TRIANGULACION TOPOGRAFICAObjeto de la red topográfica: • Densificar los vértices de la red geodésica. • Tener puntos con menor distancia entre ellos y de coordenadas conocidas. • Faciliten el relleno topográfico. PLANEAMIENTO DEL TRABAJO DE UNA TRIANGULACION •NOMBRE DEL PROYECTO: ............................................. •UBICACIÓN DEL PROYECTO: .......................................... 1) METODOLOGÍA DEL TRABAJO: ESTUDIO TAREAS DE CAMPO 1.1 Reconocimiento y Monumentación. a) Estudio preliminar de ubicación de estaciones con el uso de cartas, fotos aéreas, etc. b) Croquis de la selección de estaciones a escala aproximada con distancias, ángulos y azimuts magnéticos. c) Ubicación en el campo de la situación real de estaciones. d) Monumentación, descripción y embanderamiento de estaciones. 1.2 Base electrónica de partida y cierre. 1.3 Azimut geodésico. 1.4 Amarre en posición y altura. 1.5 Ángulos horizontales y verticales. 2) MEDICION DE LA TRIANGULACION EN EL CAMPO 2.1 Medición de bases electrónicas (o Wincha). 2.2 Medición de azimut en la base de partida y cierre (por observación de sol o estrellas). 2.3 Medición de ángulos horizontales y verticales. 2.4 Amarre en posición y altura de la base de partida y de cierre. 2.5 Descripción de estaciones nuevas y notas de recuperación de las estaciones antiguas 3) TRABAJO DE GABINETE 3.1 Verificación y cálculo de libretas de ángulos y distancias. 3.2 Cálculo de la distancia de la base de partida y de cierre. 3.2.1 Determinar y plantear las ecuaciones de ajuste (ángulo y distancia) 3.3 Compensación de los ángulos horizontales y verticales. (por estación y ajuste por mínimos cuadrados). 3.4 Cálculo de resistencia de figuras y mejor camino 1 y 2. 3.5 Cálculo de distancias de los lados de la triangulación por el mejor camino 1 y 2. 3.6 Cálculo de la convergencia de meridianos en la base de cierre. 3.7 Cálculo del azimut de las líneas por el mejor camino. 3.8 Cálculo de las coordenadas UTM y Geográficas. 3.9 Dibujo del plano por coordenadas y anexos. 3.10 Fichas de descripción de estaciones nuevas. 3.11 Elaboración del informe técnico y/o Memoria Descriptiva / Sustentación. 4) PERSONAL 4.1 Brigadas: Composición y funciones de sus miembros. 5) EQUIPOS 5.1 De medición: ángulos, distancias, azimuts, comunicación, altura. 6) MATERIALES 6.1 De monumentación, señalización, comunicación, locomoción, supervivencia, vestimenta, salud, iluminación, dibujo y librería, libretas y formatos, cartas y fotos, calculadora de bolsillo. 7) CRONOGRAMA DEL TRABAJO DE CAMPO Y GABINETE 8) PRESUPUESTO 8.1 Personal de campo y gabinete. 8.2 Equipos. 8.3 Material. 8.4 Movilidad local. 8.5 Viaje de ida y vuelta. 8.6 Imprevistos. 8.7 Supervisión. 8.8 Otros: cartas, fotos, impresiones, pilas, etc. F. Cruz M. - G. Valdivia B. Lima, Abril 2000 ETAPAS DE LA TRIANGULACION Planeamiento. Trabajos de campo • Reconocimiento y Monumentación. • Medida de ángulos de precisión horizontales y verticales. • Medida de las bases de partida y cierre. • Medida del azimut de las bases. • Vinculación a la red absoluta del IGN. Cálculos de gabinete (ajuste). Memoria de los trabajos. PLANEAMIENTO La etapa del planeamiento contempla: • Las condiciones geométricas, técnicas, económicas, y • Factibilidad que permita la elaboración de un anteproyecto para realizar el levantamiento destinado a satisfacer una necesidad. • Tener en cuenta la precisión requerida, • Disponibilidad de equipo, materiales, personal y demás facilidades, así como los factores ambientales. • Ubicación de la zona a efectuar el trabajo. • DISEÑO DE LA RED DE TRIANGULACION en la Carta Nacional escala 1/100,000 que contiene la zona del proyecto. PLANO DE UBICACIÓN 1/100000 SELECCIÓN DEL AREA DISEÑO DE LA RED DE TRIANGULACION La red topográfica que se diseña para establecer el control horizontal de un gran proyecto de Ingeniería Civil debe conectarse a los vértices geodésicos que se encuentran en su interior o próximos a su periferia para obtener coordenadas del país. Los vértices se materializan en el terreno por HITOS de concreto y se señala instalando en ellas banderolas para realizar las mediciones. Si no es posible estacionar el teodolito en un vértice, se determinarán las coordenadas de un vértice de la red topográfica referidas al sistema de la red del país, aplicando el Problema de Pothenot para lo cual es conveniente visar al menos cuatro vértices geodésicos, o mediante la aplicación del GPS. En el caso de triangulaciones topográficas: • Lado medio de los triángulos entre 1 km y 5 km, pudiendo alcanzar valores menores en casos especiales. • Los vértices de la red se elegirán puntos dominantes del terreno, la ínter visibilidad se analiza con perfiles de las líneas entre estaciones, en base a las curvas de nivel de la carta. Los triángulos de forma equilátera y los ángulos no sean menores de 25° ni mayores de 150°. DISEÑO DE LA RED DE TRIANGULACION BASE MANCHAY LLEGADA BAJO MALPASO PICA PIEDRA CARDAL GUAYABO SAN CRUZ FERNANDO PACHACAMAC TEMPLO CAVERO BASE PARTIDA TRABAJO DE CAMPO Los trabajos de campo consiste en: • Reconocimiento y Monumentación. • Método de Triangulación (Medida de Ángulos con Teodolito). • Método de Trilateración, (Medida de todos los lados de la red con Estación Total ). • Medida de las bases de partida y cierre. • Medida del azimut de las bases. • Vinculación a la red absoluta del IGN. RECONOCIMIENTO Y MONUMENTACION • El reconocimiento se realiza con el plano del Diseño de la Triangulación. • Se considera la selección de los vértices ínter visibles. • Se estudiarán nuevos diseños de redes para tener la red del proyecto final. • Definidos los vértices se monumentan con Hitos los puntos establecidos. • Se da la nomenclatura a cada vértice según el lugar que se encuentra el mismo. MODELOS DE HITOS MARCA DE MARCA DE CONTROL REFERENCIA HORIZONTAL HITO SUBTERRANEO DE TRIANGULACION VISTA DEL HITO SUBTERRANEO Diagrama de instalación típica 0.30m Borde para aplomar Parte superior 0.15m 0.30m 0.35m Llénese de concreto 1.20m armado para dar la forma Capa de arena de 2" a 3" sobre la marca Este hueco es cabado 0.15m con excavadora al fondo Marca al borde TARJETA DE COORDENADAS GEODESICAS DE LA ESTACION C° LA MILLA 1° DESCRIPCION DE LA ESTACION DE TRIANGULACION C° LA MILLA TARJETA DE COORDENADAS GEODESICAS: ESTACION VILLA SALVADOR MEDICION DE ANGULOS HORIZONTALES DE PRECISION TEODOLITOS WILD T2 Y THEO-010B ESTACION TOTAL VINCULACION A LA RED GEODESICA NACIONAL • La Red de triangulación será amarrada a la red nacional de puntos geodésicos del IGN. • Finalidad: Dar Coordenadas Absolutas del país. • Establecer una Base de Partida y otra Base de Llegada, ligados a la señal geodésicos del IGN. • Se puede usar también el GPS geodésico que cumplen las normas establecidas para fijar redes de control horizontal. PUNTOS GEODESICOS GPS PUNTOS GEODESICOS Orden “0” 10 Orden “A” 51 Orden “B” 82 Orden “C” 95 Total 238 SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL GEODESICO (GPS) MEDICION DE BASE DE UNA TRIANGULACION La Base de la triangulación se mide: Con wincha de acero. Con hilo invar. Con distanciómetro. Con Estación Total. Técnicas GPS geodésico. Las mediciones se efectúan en ambos sentidos debiendo emplearse la media aritmética (Ida y Regreso) Las Bases será como longitud aprox. el valor medio de los lados de la red de triangulación y considerar al menos dos bases, situadas en la periferia y en posición diametralmente opuestas. MEDIDA DE LA BASE CON CINTA DE ACERO Se medirá en las primeras horas de la mañana o en las últimas horas de la tarde. Equipo: • Wincha de acero de preferencia de 50m para reducir el número de cintadas. • Tener en cuenta las especificaciones de dicha cinta, Disponer de un termómetro, • Un dinamómetro de resorte, también se le llama romana o romanilla, para medir la tensión que se aplicará a la cinta. • Estacones de madera y estacas simples. ETAPAS DE LA MEDICION CON WINCHA DE ACERO 1. Materialización de los extremos de la base (Hitos). 2. Se alinean las estacas con un teodolito estacionado en uno de los extremos de la base; éstas estacas deben estar separadas entre sí la longitud de la wincha. Estaca Principal (Estacón) 3. Sobre la cabeza de las estacas principales se colocan pequeñas láminas de hojalata o cartones con la finalidad de marcar en ellas la alineación de la base y la longitud exacta del tramo. 4. Para darle mayor apoyo intermedio a la cinta, se colocan estacas intermedias o secundarias ubicadas aproximadamente a un centímetro fuera del alineamiento, la cual tendrá un clavo que sobresalga, el que servirá de apoyo a la cinta. Se alinea el clavo sobre las cabezas de las estacas principales. 5. Se procede a medir las longitudes de los tramos con toda precisión con la cinta apoyada en las estacas principales y en el clavo de las estacas secundarias, anotando la temperatura y la tensión que se le está aplicando. Se hace una medida de ida y otra de regreso. Una estaca principal generalmente es de 4”x4”x28” (10x10x70 cm). 6. Se nivelan la cabeza de todas las estacas principales y los extremos de la base (nivelación de ida y vuelta), para así obtener los desniveles de cada tramo. Estaca Principal (Estacón) 7. Se nivelan la cabeza de todas las estacas principales y los extremos de la base (nivelación de ida y vuelta), para así obtener los desniveles de cada tramo. ERRORES EN LA MEDICION CON WINCHA DE ACERO a. Cinta con longitud errónea.- Una cinta de esta clase da lugar a un error sistemático, la forma de eliminar el error es haciendo una comparación con una cinta patrón. b. Cinta no horizontal.- Es muy difícil saber con certeza si la cinta está horizontal. c. Cinta floja.- Generalmente sucede cuando la cinta está suspendida y el viento no sopla fuerte; la forma de eliminar este error es tratando de estirar y mantenerlo más recta la cinta. d. Cambios de temperatura.- La forma de eliminar es tomar la temperatura en cada medición. e. Tensión de la cinta.- La cinta por ser elástica se estira cuando se atiranta, es decir cuando se le aplica una tensión; por cada 1.5 kg se estira 0.3mm. f. Cinta combada.- Esto sucede cuando la cinta está suspendida en sus extremos, entonces por efecto de su propio peso se cuelga formando una curvatura o arco llamado “catenaria”. CORRECCIONES A LAS MEDIDAS CON WINCHA DE ACERO 1. CORRECCION POR LONGITUD ABSOLUTA O ESTANDARIZACION (L).- Evita cuando la cinta está con longitud errónea, consiste en determinar la verdadera longitud de la cinta a usarse comparándola con una cinta patrón o estándar, ésta corrección se aplica solamente cuando se conoce su certificación, donde: L = LM (LS) LN Donde: L = Longitud total corregida por longitud absoluta LM = Longitud total medida en el campo LS = Longitud estándar o longitud absoluta, o también longitud verdadera de la cinta LN = Longitud nominal (lo que marca la caja de su certificación) 2. CORRECCION POR TEMPERATURA (CT).- Generalmente las cintas tienen una temperatura de fabricación de 20°C, la que se tendrá que comparar con la temperatura de la wincha al momento de la medición en campo. CT = LM . K.(T-To) Donde: CT = Corrección por temperatura K = Coeficiente de dilatación térmica del acero: K = 0.000012 por 1°C T = Temperatura promedio de la wincha en °C To = Temperatura de fabricación o de calibración de cinta (generalmente es 20°C) 3. CORRECCION POR HORIZONTALIDAD (Ch).- Es expresar la distancia medida reducida al horizonte. Ch = - h2 - h4 - h6 2L 8L3 16L5 L h Ch = - h2 ; 2L DH Ch Donde: DH = Distancia horizontal h = Desnivel en m L = Longitud del tramo en m 4. CORRECCION POR CATENARIA (Cc).- Físicamente es la diferencia entre la longitud que forma un arco y si la cinta está apoyada totalmente. Cc = - n . lm ( W x lm )2 24 P Donde: Cc = Corrección por catenaria en m n = Número de tramos con catenaria lm = Longitud de cada tramo con catenaria W = Peso por metro lineal de la cinta (kg/m) P = La tensión que aplica (kg) Si la cinta está apoyada íntegramente en el suelo: Cc= 0 5. CORRECCION POR TENSION (Cp).- Se corrige sólo cuando la tensión con que se atiranta la cinta es diferente a la tensión de calibración. Cp = n . Lm ( P - Po) E.A Donde: n = Número de tramos iguales Lm = Longitud de cada tramo P = Tensión que se aplica en el campo en kg Po = Tensión de calibración kg A = Área de sección transversal de la cinta en mm2 E = Módulo de elasticidad dado en kg/mm2 Para el acero: E = 20000 kg/mm2 Si la tensión aplicada en el campo es igual a la tensión de calibración de la cinta: Cp = 0 6. CORRECCION POR REDUCCION AL NIVEL DEL MAR (CRNM).- La base se mide a cierta altura y el resto del sistema de triangulación se encuentra a alturas diversas; puede reducirse todo el trabajo a un mismo plano, y se toma el más común que es el plano del nivel del mar. Esto se hace únicamente en trabajos de importancia y cuando hay que ligar con otras triangulaciones. CCRNM RNM = - B. = H - B. H B R R H b Donde: CRNM = Corrección por reducción al nivel del mar. R B = Longitud de la base medida a una altura H sobre el nivel del mar R. H = Altura de la base sobre el nivel del mar. R = Radio de la tierra. Esta corrección siempre será substractiva para lugares sobre el nivel del mar. Por consiguiente: b = B - CRNM; Donde: b = base reducida. 7. LONGITUD DE LA BASE FINAL (B).- Será el promedio de la base de ida como el de vuelta. Longitud de ida (Li): Li = L ± CT ± Cp - Cc - Ch Longitud de regreso (Lr): Necesariamente arroja un valor parecido a la longitud de ida. Lr = L ± CT ± Cp - Cc - Ch Por consiguiente: B = (Li + Lr)/2 Cálculo del Error probable de una observación (E): E = ±0.6745 ∑ V2 (n-1) Después es necesario el Error relativo (ER): ER = 1 . B/E Error probable de la media aritmética (Em): Em = ±0.6745 ∑ V2 n(n-1) Por lo tanto: VMP = Longitud ± Em Error probable permitido (Ep): Ep = Em/L final La comparación con los errores máximos permitidos, depende de la categoría de triangulación: 1° orden error máx. 1/500000 2° orden Ep máx. 1/200000 3° orden Ep máx. 1/25000 Problema de aplicación 1 1. Se ha medido una base de triangulación con los siguientes datos: Datos de calibración de la cinta: Cinta N° 017 Longitud Estándar = 49.992 m (totalmente apoyada) Temperatura de calibración = 20°C Longitud Nominal = 50.00 m Tensión de calibración = 5 kg Peso por metro lineal = 25 gr/mm ~ 0.025 kg/m Coeficiente de dilatación del acero = 0.000012 por 1°C Además se tiene la siguiente información de campo: Se han colocado estacas secundarias intermedias cada 25m; en todas las mediciones se aplicó una tensión de 5kg. LIBRETA DE CAMPO Libreta de Campo MEDIDA DE LA BASE TOPOGRAFICA CON WINCHA DE ACERO Lugar: MALA Hora de inicio : 06.00 Operadores: .................................... Fecha: 15/06/99 Hora de término: 09.00 .................................... MEDICION DE IDA: De BN a BS MEDICION DE REGRESO: De BS a BN TRAMO CINTADA( T°C TRAMO CINTADA(m T°C m) ) BN-a 50.00 18.5 BS-f 23.500 19.0 a-b 50.00 18.5 f-e 50.00 19.5 b-c 50.00 18.5 e-d 50.00 19.5 c-d 50.00 18.5 d-c 50.00 19.6 d-e 50.00 18.5 c-b 50.0 19.9 e-f 50.00 18.5 b-a 50.00 20.0 f-BS 23.493 18.5 a-BN 49.985 20.1 LM = 323.493 18.5 LM = 323.485 19.7 CORRECCIONES DE LA BASE 1. CORRECCION POR LONGITUD ABSOLUTA O ESTANDARIZACION (L): Ida: L = LM (LS) LN L = 323.493 ( 49.992 ) = 323.4412 m 50.000 Regreso: L = 323.485 ( 49.992 ) = 323.4332 m 50.000 2. CORRECCION POR TEMPERATURA (CT): Ida: CT = LM x K.(T-To) CT = 323.493x 0.000012 (18.5-20) = -0.0058 m Regreso: CT = 323.485x 0.000012 (19.7-20) = -0.0016 m 3. CORRECCION POR HORIZONTALIDAD (Ch): Datos de campo : (h = desnivel por tramo de la nivelación de ida) Tramo Longitud h(m) h2 2L Ch = -h2 Medida (m) 2L BN-a 50.00 0.31 0.0961 100.0 -0.0010 a-b 50.00 0.26 0.0676 100.0 -0.0007 b-c 50.00 0.48 0.2304 100.0 -0.0023 c-d 50.00 0.68 0.4624 100.0 -0.0046 d-e 50.00 0.53 0.2809 100.0 -0.0028 e-f 50.00 0.36 0.1296 100.0 -0.0013 f-BS 23.493 0.45 0.2025 46.986 -0.0043 Ch = -0.0170 m Ida: Ch = - h2 = -0.0170 m 2L Regreso: (h = desnivel por tramo de la nivelación de regreso) Ch = - h2 = -0.0170 m 2L 4. CORRECCION POR CATENARIA (Cc): Ida: Cc = - n . lm ( W x lm )2 24 P Apoyos: 0 - 25 - 50 m Espacios libres de 25 m: n= 12 tramos; lm = 25 m; W = 0.025 kg/m; P = 5 kg Cc1 = - 12 x 25 x (0.025 x 25 )2 = -0.1953 24 5 Espacio libre final : n= 1 tramo; lm = 23.493 m; W = 0.025 kg/m; P = 5 kg Cc2 = - 1 x 23.493 x (0.025 x 23.493 )2 = -0.0135 24 5 Cc = Cc1 + Cc2 = -0.2088 m Regreso: Cc = - n . lm ( W x lm )2 24 P Apoyos: 0 - 25 - 50 m En 5 tramos de 50m hay 10 tramos de 25m: n= 10; lm= 25 m; W= 0.025 kg/m; P=5 kg En 49.985m hay 1 tramo de 25m y sobra 24.985: n=1; lm=25 m; W=0.025 kg/m;P=5kg Luego: n = 10 +1 = 11; entonces: Cc1 = - 11 x 25 x (0.025 x 25 )2 = -0.1790 m 24 5 Cc2 = - 1 x 24.985 x (0.025 x 24.985 )2 = -0.0162 m 24 5 Espacio libre inicio: n= 1 tramo; lm = 23.5 m; W = 0.025 kg/m; P = 5 kg Cc3 = - 1 x 23.5 x (0.025 x 23.5 )2 = -0.0135 24 5 Cc = Cc1 + Cc2 + Cc3 = -0.2088 m 5. CORRECCION POR TENSION (Cp): Cp = n . Lm ( P - Po) E.A Cp = 0 (porque la tensión aplicada a la cinta en campo es igual a la de calibración) RESUMEN DE LAS CORRECCIONES DE LA BASE: Ida: Li = L ± CT - Ch - Cc + Cp Li = 323.4412 - 0.0058 - 0.0170 - 0.2088 + 0 = 323.2096 m Ida: Li = L ± CT - Ch - Cc + Cp Li =Regreso: 323.4412 - 0.0058 - 0.0170 - 0.2088 + 0 = 323.2096 m Lr = L ± CT - Ch - Cc + Cp Regreso: LrLr = L=± 323.4332 CT - Ch - Cc- +0.0016 Cp - 0.0170 - 0.2088 + 0 = 323.2058 m (v Lr = 323.4332 - 0.0016 - 0.0170 - 0.2088 + 0 = 323.2058 m (valor parecido a Li) LONGITUD DE LA BASE FINAL (B): B = (Li + Lr)/2 B = (323.2096 + 323.2058)/2 = 323.2077 m Cálculo del Valor más Probable(VMP): Se tiene: X Vi = ( X - X) Vi2 323.2096 -0.0019 3.61x 10 -6 323.2058 +0.0019 3.61x 10-6 Vi2 = 7.22x 10-6 La media aritmética(X): X = X1 + X2 = 323.2096 + 323.2058 = 323.2077 m 2 2 Error probable de la media aritmética (Em): Em = ±0.6745 V2 = ±0.6745 7.22 x 10-6 = ± 0.00128155 n(n-1) 2(2-1) Em = ± 0.0013 Por lo tanto: V.M.P. = X ± Em V.M.P. = 323.2077 ± 0.0013 m Cálculo del Error relativo (ER): E = ±0.6745 V2 = ±0.6745 7.22x10-6 = ± 0.001812385 (n-1) (2 - 1) Luego: ER = 1 = 1 = 1 . X/E 323.2077/0.001812385 178,333 Er Ert; Error relativo tolerable ( Ert) = 1/25,000 (triangulación de 3er orden) 1/178,333 1/25,000 La Base medida es aceptable Ejemplo de aplicación de una Base Electrónica CALCULO DEL VMP DE LA BASE TRABAJO DE GABINETE • Se verifica el cálculo de las libretas de ángulos y distancias, realizadas en el campo. • Calcular las distancias de la base de partida y de cierre. • Compensación de los ángulos horizontales y verticales (por estación y ajuste por mínimos cuadrados). • Se calcula la resistencia de figuras, y se determinan los mejores caminos 1 y 2. • Calcular las distancias de los lados de la triangulación por el mejor camino 1 y 2. • Cálculo de la convergencia de meridianos en la base de cierre. • Calcular el azimut de las líneas por el mejor camino. • Calcular las coordenadas UTM y Geográficas de los vértices de la Triangulación. • Calcular las cotas de los vértices de la Triangulación por Nivelación trigonométrica. • Dibujo del plano de la Triangulación por coordenadas UTM, incluyendo el Plano de Ubicación, norte, cuadro de datos técnicos, leyenda y membrete. • Preparar las Fichas de descripción de estaciones nuevas. • Elaboración del informe técnico. CONDICIONES GEOMÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE UN CUADRILÁTERO CON DOS DIAGONALES. Ejemplo.- Determinar las condiciones geométricas y trigonométricas que debe satisfacer los ángulos de un cuadrilátero con dos diagonales. • Numeración de los ángulos (según Basadre). CONDICIONES GEOMÉTRICAS O CONDICIONES DE ANGULOS • CONDICIONES 1) 1+2+3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 360° GEOMÉTRICAS 2) 1+2=5+6 INDEPENDIENTES 3) 3+4=7+8 4) 1 + 2 + 3 + 4 = 180° • CONDICIONES 5) 5 + 6 + 7 + 8 = 180° GEOMÉTRICAS 6) 1 + 2 + 7 + 8 = 180° DEPENDIENTES 7) 3 + 4 + 5 + 6 = 180° CONDICIONES TRIGONOMETRICAS O CONDICIONES DE LADO 1er CASO.- CUANDO LA BASE ES UN LADO PERIMETRAL: PROCEDIMIENTO: a) Consideramos para el lado por calcular es el más alejado de la Base, que en nuestra figura es CD. b) Determinar las rutas que conducen al cálculo de dicho lado CD, partiendo de la Base AB. • Ruta 1: En el ABD calculamos BD y en el BCD calculamos CD. • Ruta 2: En el ABD calculamos AD y en el ACD calculamos CD. • Ruta 3: En el ABC calculamos AC y en el ACD calculamos CD. • Ruta 4: En el ABC calculamos BC y en el BCD calculamos CD. c) De las rutas planteadas, se selecciona solamente 2 rutas, por ejemplo seleccionamos la ruta 2 y la ruta 4. d) En cada una de estas dos rutas seleccionadas, calculamos la expresión trigonométrica para calcular el lado CD partiendo de la Base AB: RUTAS DEL CUADRILATERO PARA CALCULAR CD RUTAS 2 y 4 PARA CALCULAR CD PARTIENDO DE LA BASE AB Ruta 2: • En el ABD aplicamos ley de senos: AD = AB.sen 1 ...............(a) Remplazando (a) en (b): sen 4 CD = AB.sen 1.sen 3 …..(A) En el ACD: sen 4.sen 6 • CD = AD.sen 3 .........…...(b) sen 6 Ruta 4: • En el ABC aplicamos ley de senos: BC = AB.sen 2 ...............(c) Remplazando (c) en (d): sen 7 CD = AB.sen 2.sen 8 .....(B) • En el BCD: sen 5.sen 7 • CD = BC.sen 8 .........…..(d) sen 5 Dividiendo (A) entre (B): sen 1.sen 3.sen 5.sen 7 = 1 Condición Indpdte de lado o sen 2.sen 4.sen 6.sen 8 condición trigonométrica. (I) En forma logarítmica: log sen 1+log sen 3+log sen 5+log sen 7–(log sen 2+log sen 4 +log sen 6+log sen 8) = 0 Sabiendo:1= ángulo ajustado; 1= ángulo campo; V1= correcc a 1 1 = 1 + V1 sen1 = sen(1+V1) log sen1 = log sen (1 + V1) Luego: log sen 1 = log sen 1+ d1V1; d1 = {log sen (1+1”) - log sen(1)}x106 d1= Diferencia tabular para 1” (sexto orden decimal) Aplicando en la ecuación “I” log sen 1 + d1V1 + log sen 3 + d3V3 + log sen 5 + d5V5 + log sen 7 + d7V7 – (log sen 2 + d2V2 + log sen 4 + d4V4 + log sen 6 + d6V6 + log sen 8 + d8V8) = 0 Sea N y D el log sen de los ángulos del Numerador y Denominador de la fórmula I: Σlog sen N=log sen 1 + log sen 3 + log sen 5 + log sen 7 Σlog sen D=log sen 2 + log sen 4 + log sen 6 + log sen 8 Siendo E= (Σlog sen N – Σlog sen D)x106 Agrupando y simplificando los términos, la Ecuación de lado será: d1V1 -d2V2 +d3V3 -d4V4 +d5V5 -d6V6 +d7V7 -d8V8+E=0 Ecuación de lado .... II • Se calcularán los términos “di” de esta última fórmula. EJEMPLO 1: SEGÚN LA TRIANGULACION MOSTRADA Los ángulos compe DETERMINAR LA ECUACION DE LADO A B 1 = 31°31’43.3” 4 5 6 2 = 27°05’13.4” 7 3 =104°27’44.8” 3 8 4 = 16°55’21.7” 2 1 BN Base BS Los ángulos compensados por cierre de horizonte son: 1 = 31°31’43.3” 5 = 15°36’12.4” 2 = 27°05’13.4” 6 = 43°00’50.8” 3 =104°27’44.8” 7 = 40°54’36.4” 4 = 16°55’21.7” 8 = 80°28’36.7” SOLUCION 1 DETERMINACION DE LA ECUACION DE LADO TRIGONOMETRICA O DE LADO (Ruta 2 y 4) sen 1.sen 3.sen 5.sen 7 = 1→ Condición Indpdte de lado o sen 2.sen 4.sen 6.sen 8 cond. trigonométrica. (I) DIFERENCIAS TABULARES N° ANGULO Dif. Tab. 1" (di) log sen N log sen D 1 31 31 43.3 3.43 9.718439830 3 104 27 44.8 -0.54 9.986015111 5 15 36 12.4 7.54 9.429716312 7 40 54 36.4 2.43 9.816157875 2 27 5 13.4 4.12 9.65833940 4 16 55 21.7 6.92 9.46401409 6 43 0 50.8 2.26 9.83389800 8 80 28 36.7 0.35 9.99397331 = 38.9503291 38.95022481 Luego: E=(log sen N - log sen D)x106= ( 38.9503291 - 38.95022481 )x106 =+104.321 ECUACION DE LADO TRIGONOMETRICA O ECUACION DE LADO ……. II d1V1 -d2V2 +d3V3 -d4V4 +d5V5 -d6V6 +d7V7 -d8V8 +E = 0 Se calcularán los términos “di” de esta última fórmula. Reemplazando valores se tiene la Ecuación Trigonométrica o Ecuación de lado siguiente: +3.43V1 -4.12V2 -0.54V3 -6.92V4 +7.54V5 -2.26V6 +2.43V7 -0.35V8 +104.321 = 0 Dividiendo (A) entre (B): sen(2+3).sen(4+5).sen 7.sen 8= 1→ Condición Indpdte de lado o sen(1+8).sen 3.sen 4.sen(6+7) cond. trigonométrica. (III) En forma logarítmica: log sen(2+3)+log sen(4+5)+log sen 7+log sen 8 – {log sen(1+8)+log sen 3+log sen 4+log sen(6+7)} = 0 Observación : i = i+Vi seni = sen(i+Vi) log seni = log sen i+diVi; di= Diferencia tabular de 1” donde: di = {log sen(i+1”) - log sen i}x106 (sexto orden decimal) Luego: log sen 7 = log sen 7+ d7V7; Para: log sen(2+3) = log sen(2+3)+ d2+3(V2+V3); Aplicando en la ecuación “III” log sen(2+3) + d2+3(V2+V3) + log sen(4+5) + d4+5(V4+V5) + log sen 7 + d7V7 + log sen 8 + d8V8 – {log sen(1+8) + d1+8(V1+V8) + log sen 3 + d3V3 + log sen 4 + d4V4 + log sen(6+7) + d6+7(V6+V7) } = 0 Sea N y D el log sen de los ángulos del Numerador y Denominador de la fórmula III: Σlog sen N= log sen(2+3)+log sen(4+5)+log sen 7+log sen 8 Σlog sen D= {log sen(1+8)+log sen 3+log sen 4+log sen(6+7)} Siendo E= (Σlog sen N – Σlog sen D)x106 Agrupando y simplificando los términos, la Ecuación de lado será: d2+3(V2+V3) + d4+5(V4+V5) + d7V7 + d8V8 – d1+8(V1+V8) – d3V3 – d4V4 – d6+7(V6+V7) + E = 0 Multiplicando: d2+3V2 + d2+3V3 + d4+5V4 + d4+5V5 + d7V7 + d8V8 – d1+8V1 – d1+8V8 – d3V3 – d4V4 – d6+7V6 – d6+7V7 + E = 0 Agtrupando: d2+3V2 + d2+3V3 – d3V3 + d4+5V4 – d4V4 + d4+5V5 + d7V7 – d6+7V7 + d8V8 – d1+8V8 – d1+8V1– d6+7V6 + E = 0 Simplificando: – d1+8V1 + d2+3V2 + (d2+3 – d3)V3 + (d4+5 – d4)V4 + d4+5V5 – d6+7V6 + (d7 – d6+7)V7 + (d8 – d1+8)V8 + E = 0 Ecuación de lado ...... IV Se calcularán los términos “di” de esta última fórmula. EJEMPLO 2: SEGÚN LA TRIANGULACION MOSTRADA, Los ángulos compensa DETERMINAR LA ECUACION DE LADO A B 1 = 31°31’43.3” 4 5 6 2 = 27°05’13.4” 7 3 =104°27’44.8” 3 8 4 = 16°55’21.7” 2 1 BN Base BS Los ángulos compensados por cierre de horizonte son: 1= 49°33’02” 5= 35°00’53” 2= 51°55’39” 6= 66°27’32” 3= 42°40’34” 7= 47°27’51” 4= 35°51’03” 8= 31°03’42” SOLUCION 2 DETERMINACION DE LA ECUACION DE LADO TRIGONOMETRICA O DE LADO (POR LAS DIAGONALES) sen(2+3).sen(4+5).sen 7.sen 8 = 1→ Condición Indpdte de lado o sen(1+8).sen 3.sen 4.sen(6+7) cond. trigonométrica. (III) DIFERENCIAS TABULARES N° ANGULO Dif. Tab.1" (di) log sen N log sen D 2+3 94 36 13.0 -0.17 9.998596624 4+5 70 51 56.0 0.73 9.975317833 7 47 27 51.0 1.93 9.867381842 8 31 3 42.0 3.50 9.712616315 1+8 80 36 44.0 0.35 9.994144183 3 42 40 34.0 2.28 9.831135648 4 35 51 3.0 2.91 9.76765819 6+7 113 55 23.0 -0.93 9.960989364 Ʃ= 39.55391261 39.55392738 Luego: E=(Ʃlog sen N - Ʃlog sen D)x106= ( 39.55391261 - 39.55392738 )x106 =-14.772 ECUACION DE LADO TRIGONOMETRICA O ECUACION DE LADO ……. IV Reemplazando valores se tiene la Ecuación Trigonométrica o Ecuación de lado siguiente: – 0.35V1 –0.17V2 –2.45V3 –2.185V4 +0.73V5 +0.93V6 +2.86V7 +3.15V8 –14.772 = 0 RESISTENCIA DE FIGURAS (R) Es una expresión del error comparativo probable de uno de los lados de una figura de triangulación. •Fórmula: R = D-C (A2 + AB +B2) ..............(a) D Tiene dos utilidades de gran importancia: •EN LA FASE DEL PLANEAMIENTO, para reforzar la geometría de la red donde los ángulos no son los más adecuados, o sea que la Resistencia es mayor que la especificada. En estos casos puede añadirse una base medida o mejorar la disposición de la red. •EN LA FASE DE CÁLCULO, para elegir la ruta más adecuada para que los triángulos de ángulos más pequeños tengan la menor incidencia en la transmisión de errores en el cálculo de la red. VALOR DE RESISTENCIA DE FIGURAS Para una figura única de triangulación: Valor de Resistencia de la figura: Entre 25 y 40 para el segundo orden. y entre 25 y 50 para el tercer orden. Para una cadena de triángulos: Valor de Resistencia: Entre 100 y 130 segundo orden y entre 125 y 175 para el tercer orden entre la base de partida y la base de cierre. INTERPRETACIÓN DEL FACTOR (D-C) D Este factor expresa la disposición del plan de observaciones y es tanto más apropiado cuanto más se aleja de una unidad. Por ejemplo, en una figura de triangulación el factor: (D-C)= 0.50 es más relevante que el factor (D-C)= 0.75. D D Siendo: D = Número de direcciones observadas en la red, atrás y adelante, excluyendo las direcciones de la Base. C = Número total de condiciones de ángulo y de lado que han de ser satisfechas en la red desde el lado conocido hasta el lado considerado. CÁLCULO DE C: C = (n’-S’+1)+(n-2S+3) Siendo: • n = Número total de lados de la red incluyendo la Base. • n’= Número de lados observados en ambas direcciones, incluso la base si ha sido observada en ambas direcciones • S = Número total de estaciones • S’= Número de estaciones que han sido ocupadas por el instrumento. • (n’-S’+1) = Número de condiciones de ángulo. • (n-2S+3) = Número de condiciones de lado. ACLARACIONES AL CALCULAR (D-C) D EJEMPLOS DE CALCULO DEL FACTOR (D-C) D D-C = 4 – 1 = 3 = 0.75 D 4 4 D-C = 10 – 4 = 6 = 0.6 D 10 10 D-C = 7 – 2 = 5 = 0.71 D 7 7 D-C = 23 – 8 = 15 = 0.65 D 8 8 D-C = 16 – 4 = 12 = 0.75 D 16 16 D-C = 16 – 7 = 9 = 0.56 D 16 16 INTERPRETACIÓN DEL TERMINO (A2 + AB +B2) • Este término será más óptimo cuanto más pequeño sea su valor. • Siendo: • A = diferencia tabular para 1” del logaritmo seno del ángulo opuesto al lado del triángulo que ha de ser calculado. • B = diferencia tabular para 1” del logaritmo seno del ángulo opuesto al lado conocido o previamente calculado. ANGULOS DE DISTANCIA En todo triángulo es necesario conocer dos de los ángulos para poder calcular un lado, aplicando la ley de los senos. Estos dos ángulos conocidos se llaman “ángulos de distancia” y se designan por las letras A y B siendo: • A = ángulo opuesto al lado que se ha de calcular. • B = ángulo opuesto al lado conocido. • C = tercer ángulo del triángulo “ángulo azimutal o ángulo de dirección”, no intervienen en el cálculo del lado. En una red, cada triángulo tendrá sus dos ángulos A y B. Para designar a estos ángulos se comienza por el triángulo que lleva incorporada la base de partida, para luego continuar con los demás triángulos. • Cada ruta que conduce a calcular un lado está compuesta por dos o más triángulos. • Por consiguiente a cada triángulo de una ruta se le calculará su trinomio: A2 + AB +B2. • Luego sumaremos estos trinomios para obtener el trinomio total que indica el segundo miembro de la fórmula: R = D-C (A2 + AB +B2). D EJEMPLO: DETERMINAR LA RESISTENCIA “R” DEL CUADRILATERO MOSTRADO. SOLUCION: Utilizando la Tabla de Factores para determinar la Consistencia de una Figura. CALCULO DE LA RESISTEN CIA DE FIGURA FACTORES PARA DETERMINAR LA CONSISTENCIA DE UNA FIGURA SEMINARIO: RESISTENCIA DE FIGURAS APLICACIÓN DE FORMULA En el siguiente cuadrilátero ABCD, se han observado todos los lados en sus dos direcciones opuestas. Calcular el coeficiente de precisión para determinar el lado CD partiendo de la base AB. (Aplicando fórmulas) CALCULO DE LA RESISTENCIA DE FIGURAS “R” RESISTENCIA DE FIGURAS – APLICACIÓN DE LA TABLA (Interpolación) EJEMPLO.- En la siguiente triangulación ABCD, se han observado todos los lados en sus dos direcciones opuestas y se indican sus ángulos compensados por mínimos cuadrados. Calcular el coeficiente de precisión para determinar el lado CD partiendo de la base AB. TRIANGULACION ABCD N° ANGULO ANGULO 1 = 31°31’38.9” 32° 2 = 27°05’14.4” 27° 3 = 104°27’42.6” 104° 4 = 16°55’24.1” 17° 5 = 15°36’04.0” 16° 6 = 43°00’49.3” 43° 7 = 40°54’32.2” 41° 8 = 80°28’34.5” 80° SOLUCION: CALCULO DE LA RESISTENCIA DE FIGURAS (R) Aplicando la “Tabla de Factores” para determinar la Consistencia de una Figura PROCEDIMIENTO: (Interpolando con los valores de la tabla) RUTA 1: Formada por los triángulos ABD y ACD; lado común AD. • En el ABD se calcula AD y en el ACD se calcula CD: Interpolando con los valores de la tabla ? ? ? Interpolando con los valores de la tabla 7.5+79=86.5 Tirángulo ACD: Interpolando con los valores de la tabla 4=4.8 AJUSTES DE TRIANGULACION