1/10RDM : calculs en statique des treillis Calculs statique des treillis par la RDM Définition Un treillis est une structure constituée d'un assemblage de barres articulées entre elles, ces articulations sont les nœuds de la structure. Les charges extérieures sont supposées appliquées aux nœuds de la structure. Les éléments du treillis ne travaillent donc qu'en traction compression. Pour que parler de treillis, il faut que les charges sur les éléments du treillis soient faibles devant les charges nodales. Dans le cas contraire il faudra prendre en compte la flexion des éléments, nous parlerons de portiques. L'objectif de ce chapitre est de vous initier au calcul analytique de la réponse statique d'un treillis bidimensionnel. Ces calculs permettent d'obtenir très rapidement l'état de contrainte (effort normal) dans les éléments d'une structure simple. La connaissance de l'effort normal dans les éléments du treillis permet de vérifier que la structure reste dans le domaine élastique, et qu'il n'y a pas d'instabilité (étude du flambement). Utile pour le pré dimensionnement, savoir effectuer ces calculs analytiques permet d'assimiler l'utilisation des outils d'analyse qui sont utilisés lors des calculs numériques. Pour les treillis plus complexes (géométrie, forte hyperstaticité, ou cas de chargement multiples) ou pour les études dynamiques, la méthode des éléments finis présentée dans le chapitre suivant, permettra d'effectuer les calculs numériques. Dans ce chapitre nous ne traitons que des problèmes statiques Théorèmes énergétiques de la RDM Nous énonçons les trois principaux théorèmes énergétiques couramment utilisés pour les calculs statiques. La démonstration de ces théorèmes est basée sur l'existence de l'énergie de déformation élastique. Vous trouverez ces démonstrations dans tous les ouvrages de résistance des matériaux. Nous nous attacherons d'avantage à leur utilisation dans le cadre du calcul pratique des structures. Les trois théorèmes peuvent se déduire de l'écriture du principe des travaux virtuel en statique δ Wint + δ Wext = 0 Soit en utilisant l'énergie de déformation élastique : δ Wext = δ Ed L'énergie élastique emmagasinée est égale à l'énergie fournie pour déformer la structure depuis son état initial jusqu'à son état final, c'est le travail des forces extérieures appliquées à la structure. Théorème de Maxwell - Betty Le travail d'un système de force F1 dans le déplacement produit par un système de force F2 est égal au travail du système de force F2 dans le déplacement produit par le système de force F1 . Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : W (1 → 2) = W (2 → 1) Où F1 δ 2 = F2 δ1 L'intérêt de ce théorème est historique (1864-1872) on trouve ce théorème de réciprocité dans d'autres domaines de la physique (électricité, électromagnétisme, fonctions de transfert). Du point de vue mécanique ce théorème de réciprocité énonce la symétrie de l'opérateur "raideur" liée à l'existence de l'énergie de déformation élastique. Castigliano (1873) l'a utilisé dans la démonstration de son théorème. 1 La dérivée partielle de l'énergie de déformation de la structure par rapport à un effort est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cet effort. ∂Ed = δF Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : ∂F Ce théorème est très pratique. puisqu'il consiste à couper les liaisons hyperstatiques pour faire apparaitre soit des efforts internes soit des efforts de liaison. Hyperstaticité La première question à se poser lorsque l'on aborde le calcul statique d'une structure treillis est celle de l'hyperstaticité de la structure. Pour respecter les liaisons coupées il faut écrire que le travail de l'effort de liaison est nul. Théorème de Ménabréa. ∂Ed ( F .2/10 RDM : calculs en statique des treillis Illustration du théorème de Maxwell-Betty x=a x=ℓ u1 = F Fa ES Q u2 = ? La solution du problème 1 est connue : u1 = Fa ES Appliquons le théorème de Maxwell-Betty Fa Fa Fu2 = Qu1 = Q ==> u2 = ES ES Résultat prévisible Théorème de Castigliano. X ) = δX ∂X X =0 Ménabréa a eu l'idée d'utiliser le théorème de Castigliano pour déterminer les inconnues hyperstatiques d'un problème. puisqu'il permet de calculer le déplacement d'un point de la structure sans avoir à intégrer les équations différentielles locales. N ] =0 ∂X i L'intérêt est évident puisque ce théorème permet de construire le système matriciel des N équations pour déterminer les N inconnues hyperstatiques. Dans un premier temps il faut considérer l'hyperstaticité "extérieure" c'est à dire l'ensemble des liaisons cinématiques qui bloquent les mouvements d'ensemble de la structure. Cette utilisation particulière porte le nom de théorème de Ménabréa. les N inconnues hyperstatiques X i minimisent l'énergie de déformation élastique de la structure. ponts. etc. ∂Ed ( F . Pour la grande majorité des structures les liaisons cinématiques sont généralement surabondantes (structures portantes de type. Ce théorème peut être vu comme l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange. grues.) et le problème est hyperstatique extérieur. pylônes. X i ) Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : ∀i ∈ [1. c'est le théorème de Ménabréa. Si la structure possède des mouvements rigides (champ de déplacement non nul n'entrainant pas de déformation de la structure) il faudra tenir compte de ces mouvements d'ensemble dans le bilan des inconnues du problème. Pour calculer le déplacement d'un point qui n'est pas chargé on introduit une charge fictive X dans la direction souhaitée. Pour une structure hyperstatique de degré N. On calcul alors l'énergie de déformation en fonction de ces inconnues. Cependant pour certains problèmes les conditions aux limites ne font intervenir que des chargements 2 . cette structure aura selon la dimension de l'espace physique : 1 déplacement rigide pour un problème monodimensionnel. Pour calculer la réponse statique du treillis nous disposons des équations d'équilibre de chaque nœud. 3 déplacements rigides pour un problème bidimensionnel. Les efforts au niveau des conditions aux limites cinématiques. et 6 déplacements rigides pour un problème tridimensionnel. B Ce problème est équivalent aux précédents Le mouvement rigide de rotation est bloqué par la condition d'appui en B. Ce qui est équivalent à ajouter le nombre de liaison pour définir un problème isostatique extérieur. Ce problème est un problème isostatique équivalent au problème initial. le modèle possède alors un ou plusieurs modes rigides dont il faudra tenir compte dans le bilan des inconnues du problème. L'équilibre de la structure permet de vérifier RA = − F . Il existe plusieurs problèmes isostatiques équivalents (non unicité de la solution du problème initial) Ayant le degré d'hypostaticité extérieure (nombre de mouvements d'ensemble possibles) on peut déterminer le degré d'hyperstaticité d'une structure treillis par un simple dénombrement des nœuds et des barres. A F ℓ ℓ A une structure uniquement soumise à un ensemble de charges formant un torseur nul (condition d'équilibre). A ces inconnues naturelles (efforts) il faut ajouter le nombre de mouvements d'ensemble s'il y en a. Le degré d'hyperstaticité de la structure treillis est donné par le nombre d'inconnues moins le nombre d'équations 3 . Le bilan des inconnues naturelles du problème sont : L'effort normal dans chaque barre du treillis soit N e inconnues. Ce qui change ce sont les constantes d'intégration qui apparaissent dans le calcul du champ de déplacement. le problème est bien équivalent. Le mouvement rigide restant est la rotation par rapport au point A. le nombre d'équations dépend donc de la dimension de l'espace physique. Exemples : Hyperstaticité extérieure F ℓ ℓ La structure ci-contre possède donc 3 mouvements rigides (problème plan) F F ℓ ℓ Ce problème est équivalent au précédent il ne comporte plus qu'un mode rigide Nous avons introduit deux conditions aux limites cinématiques u ( A) = 0 .3/10 RDM : calculs en statique des treillis extérieurs (conditions naturelles). Les déformations et les contraintes de ces trois problèmes sont identiques. N'ayant aucune liaison cinématique. Un treillis est une structure discrète constituée de N b barres reliés entre elles aux N n nœuds de la structure. Soit 2 N n équations pour un problème bidimensionnel ( 3 N n équations dans le cas tridimensionnel). Cette structure est isostatique. La méthodologie à adopter face à ces deux situations est différente. nous disposons donc de 8 équations d'équilibre. le cas des structures isostatiques et le cas des structures hyperstatiques. et calculer sa déformation. La résolution de ces problèmes est de ce fait plus complexe et fera appel aux théorèmes énergétiques. 1. Dans le cas d'une structure isostatique la répartition des efforts ne dépend que de la géométrie.Déterminer le degré d'hyperstaticité des six structures représentées ci-dessous F F A B F B A C F C F A B B A F B A A B Calcul pratique d'un treillis Deux situations sont donc à envisager. et 5 barres donc 5 efforts intérieurs inconnus. Pour les structures hyperstatiques la distribution des efforts internes et externes dépend de la géométrie et des matériaux. Il y a 3 mouvements rigides. ce type de problème se résout "assez simplement" en utilisant les équations d'équilibre. Du point de vue mécanique le système n'est pas stable on ne peut pas le traiter en statique. Si la structure est hypostatique (degré d'hyperstaticité négatif) au moins un élément conserve une ou plusieurs possibilités de mouvement. Exercice 5 : degré d'hyperstaticité des structures treillis Objectifs : Dénombrer les inconnues principales d'une structure treillis. le problème est plan. Sa rigidité sera plus élevée. 4 . Ayant ces efforts nous verrons comment utiliser ces résultats pour dimensionner la structure. Exemple : Hyperstaticité d'une structure F ℓ ℓ F Cette structure possède 4 nœuds. car cela leur assure de la raideur supplémentaire et donc une meilleure stabilité (au détriment du poids). soit un total de 8 inconnues. les efforts dans les barres ne dépendent que da la géométrie.4/10 RDM : calculs en statique des treillis Les structures industrielles sont en général fortement hyperstatiques. et la distribution des efforts interne dépendra des caractéristiques mécaniques des barres. En général cette situation est dû à une erreur de modélisation car un système hypostatique est un mécanisme. matériau) Si on ajoute une barre sur l'autre diagonale la structure sera hyperstatique de degré 1. ils sont indépendants des caractéristiques mécaniques des barres (section. Dans les deux cas les calculs conduirons à la détermination de l'effort normal dans les barres du treillis. et ne peut pas être modélisée en statique sauf à considérer des mouvements stationnaires ce qui impose des liaisons cinématiques. on donc passer au post-traitement. c'est le pré dimensionnement graphique. il sera alors possible de vérifier l'équilibre global de la structure. C N1 yo xo α F N2 N1 C α N2 F Les deux équations d'équilibre du nœud donnent: N1 = F tan −1 α − N1 − N 2 cos α = 0 soit : −1 − F − N 2 sin α = 0 N 2 = − F sin α Pour F > 0 et 0 < α < π / 2 L'effort N1 > 0 la barre "1" est en traction L'effort N 2 < 0 la barre "2" est en compression Il est possible de visualiser graphiquement le calcul N1 + N 2 + F = 0 sur un dessin à l'échelle de la structure. YA + YB − F = 0 . Les équations globales ne sont pas indépendantes des équations nodales. YA ) et ( X B . il suffit alors de passer au nœud suivant. il est positif en traction et négatif en compression. N 2 ) CL ==> 4 inconnues efforts de liaison ( X A . l'effort normal est orienté suivant la normale extérieure à la coupe. 3 en 3D). En pratique. on peut utiliser les équations d'équilibre global pour déterminer les efforts aux appuis sans passer par l'équilibre des nœuds.5/10 RDM : calculs en statique des treillis Cas des structures isostatiques La méthode de Cramona consiste à écrire l'équilibre des nœuds de la structure. et −hX B − hF = 0 sont vérifiées. YB ) Soit 6 inconnues pour 6 équations le problème est isostatique Exemple B h yo A h xo C F N = F 2 Équilibre du nœud C ==> 1 N 2 = − F On connait les efforts dans les barres. la loi de comportement du matériau n'intervient pas dans le calcul des efforts intérieurs d'une structure isostatique. Pour appliquer cette méthode il faut juste être attentif à l'orientation des efforts normaux au niveau des coupes lorsque l'on isole un nœud. Sachant que ( N1 . Pour être efficace il faut partir d'un nœud ou le nombre d'inconnues est égale au nombre d'équations (2 en bidimensionnel. N 2 entrant dans la barre c'est une compression Ce type de calcul analytique est très rapide. Historiquement cette méthode a longtemps été utilisée pour effectuer le pré dimensionnement graphique des treillis. Analyse du calcul Nous venons de voir que l'état de contrainte dans la structure ne dépend que de la géométrie. elle a l'avantage d'être systématique est simple. Ce qui permet de résoudre au fur et à mesure les équations du système sans avoir à construire le système complet des équations du problème avant de le résoudre. N1 C N2 F X = F X = −F L'équilibre du nœud A donne A et celui du nœud B B YA = 0 YB = F Les 3 équations d'équilibre X A + X B = 0 . N 2 ) sont maintenant connus en fonction du chargement. Si l'on écrit toutes les équations d'équilibre on obtiendra aussi les efforts au niveau des appuis. Analyse 2 Barres ==> 2 inconnues internes ( N1 . 5 . Calcul de l'énergie de déformation élastique de la structure 2 ℓi N ℓ 2 Ed = ∑ ∫ dx = ∑ N i2 L'effort normal est uniforme dans chaque barre i du treillis 0 ES ES i i i Application du théorème de Ménabréa Pour un treillis hyperstatique de degré N nous aurons à écrire ∀i ∈ [1. On calcule alors la déformation de la structure et pour chaque barre coupée on devra écrire ∆ℓ i X i ( F . En résolvant ce système nous pourrons alors calculer les X i . N 2 . YB X C . Il est alors possible de calculer les contraintes dans les barres en fonction du chargement extérieur et des inconnues X i des coupures. N 3 ) CL ==> 6 inconnues efforts de liaison ( X A . On peut procéder par coupure pour faire apparaitre autant d'inconnues que le degré d'hyperstaticité. YA X B . X i ) =0 ∂X i F N3 N1 2 − F − 2 = 0 Équilibre du nœud chargé ==> N + N1 + N 3 = 0 2 2 2 N = N 3 + F 2 Choisissons N 3 comme inconnue hyperstatique ==> 1 N 2 = − F − N 3 2 ∂Ed h 2 h h 2 = ( N 3 + F 2) + (− F − N 3 2)(− 2) + N3 ∂N 3 ES ES ES ∂Ed Le théorème de Ménabréa = 0 ==> N 3 (2 + 2 2) + F (2 + 2) = 0 ∂N 3 F N = F / 2 N1 = F 2 − D'où 2 ==> 1 N 2 = 0 N = −F + F 2 N1 C N2 F N3 soit N 3 = − F / 2 La barre 2 ne sert à rien ! (pour ce chargement) On connait les efforts dans les barres. Il est beaucoup plus rapide d'effectuer ces calculs en utilisant le théorème de Ménabréa. on donc passer au post-traitement. X j ) l'équation de compatibilité des déplacements en calculant = ℓi ESi Nous voyons ici que la solution dépend directement des caractéristiques mécaniques des barres pour calculer la déformation de la structure et écrire les équations de compatibilités.6/10 RDM : calculs en statique des treillis Cas des structures hyperstatiques Si la structure est hyperstatique les équations d'équilibre ne permettront pas de résoudre directement le problème. X i ) Analyse 3 Barres ==> 3 inconnues internes ( N1 . YC ) Soit 9 inconnues pour 8 équations le problème est hyperstatique de degré 1 Exemple h ∂Ed ∂E ℓ = ∑Nj d ∂X i ∂X i ES j j ∂Ed ( F . N ] D'après ce qui précède A B h 1 C 2 3 où les N j sont des fonctions de ( F . 6 . S Plus le rayon de giration est élevé plus la matière est éloignée du centre de la section droite 7 . De plus il faut considérer différentes combinaisons d'un grand nombre de cas de chargement (avec leurs coefficients). S i En pratique. il y aura ruine plastique du treillis. EI Soit pour une barre donnée SRe ≪ π 2 2 ℓ Regroupons les caractéristiques matériaux et les caractéristiques mécaniques entre elles. Si la structure est isostatique. Ce n'est plus aussi simple! Si l'on atteint la limite élastique dans une barre celle ci plastifie sur toute sa section et sur toute sa longueur (l'état de contrainte est uniforme dans les barres). Vérification au flambement Le flambement élastique est une instabilité beaucoup plus sévère car une barre qui flambe n'absorbe plus d'énergie (instabilité). MAIS .7/10 RDM : calculs en statique des treillis Utilisation des résultats .. la réserve de sécurité passive d'un treillis hyperstatique peut être très importante. Les aspects théoriques sur le flambement sont présentés dans le chapitre sur les poutres en flexion. seront appliqués d'une part sur les caractéristiques des matériaux et d'autre part sur les sollicitations. Le critère d'instabilité est de la forme. elle deviendra hypostatique.post-traitement Vérification à la limite élastique Pour que la structure reste dans le domaine élastique. c'est une donnée géométrique caractéristique de la section. dont les effets se combinent entre eux. il faudra satisfaire un critère de dimensionnement du type : Nous utilisons ce type de critère Rei limite élastique conventionnelle N du matériau de la barre i pour illustrer nos calculs dans les < Rei exercices. et si l'on considère que l'écoulement plastique se fait sans écrouissage il y aura ruine plastique de la barre. Si la structure treillis est fortement hyperstatique nous aurons une réserve de sécurité plastique par rapport au chargement maximal élastique (il faudra plastifier n barres. Introduisons le rapport i = I qui est le rayon de giration de la section droite. S ℓ2 E ≪π2 I Re S ℓ 2 / I est un coefficient adimensionnel caractéristique de l'élancement de la barre. EI ℓ 2c Pour les structures treillis la longueur de flambement ℓ c est la longueur des barres entre les nœuds. Sachant que l'énergie de déformation absorbée dans les déformations plastiques est beaucoup plus importante que l'énergie de déformation élastique.. Pour cela des coefficients de sécurité partiels. définis par des normes (Eurocodes). une structure doit satisfaire durant toute sa durée d'exploitation des conditions de fiabilité et durabilité appropriées. ∀N i < 0 N i < Fci En pratique on cherchera à avoir N Max ≪ Fc pour avoir une réserve de sécurité plastique. n étant le degré d'hyperstaticité). Plus la barre est élancée plus le risque de flambement élastique est important. Le flambement est un phénomène brutal qui se produit sous de forte charge de compression. Le critère d'instabilité par flambement élastique d'un treillis est relatif à la charge critique d'Euler Fc définie par Fc = π 2 I est le moment quadratique de la section droite. La démarche consiste à partir des conditions aux limites. nous pouvons déterminer la déformée complète du treillis. la condition pour éviter le flambement élastique SRe < Fc conduit à λ < π E Re Cette relation donne par exemple la longueur maximale de la barre en fonction du matériau et de la section. Si la structure est isostatique 2 N n = p + N b si la structure est hyperstatique 2 N n < p + N b ==> Nombre d'équations supérieur ou égale au nombre d'inconnues déplacements. Pour une barre AB : ε AB ∆ℓ N Nℓ = = ==> ( uB − u A ) . eBC avec uB = 0 et eBC = xo −1/ 2 F ( u − v ) Fh ==> C C = 2 ES 2 Fh il faut alors utiliser la compatibilité des déplacements uC = − ES Fh 2 2 +1 pour trouver vC = − ES Si l'on fait le bilan des équations utilisées 2 Lois de comportement (une par barre) 4 conditions aux limites pour un total de 6 inconnues (ui . or nous avons aussi les p conditions aux limites. I Avec ces notations. pour que le flambement n'ait pas lieu dans le domaine élastique. Calcul de la déformée Pour chaque barre du treillis nous pouvons calculer son allongement à partir de l'effort normal en utilisant la loi de comportement du matériau.8/10 RDM : calculs en statique des treillis R Barre de section circulaire R R>>e Tube creux d'épaisseur e << R Le rapport λ = ℓ = i I = π R 4 / 4 S = π R 2 ==> i = R / 2 I ≅ π R 3e S ≅ 2π Re ==> i ≅ R / 2 S ℓ2 caractérise l'élancement de la barre. pour de proche en proche utiliser la compatibilité des déformations et des déplacements aux nœuds de la structure. eAB = ℓ AB ES AB ES AB eAB Direction unitaire de la barre de A vers B Nous disposons donc de N b relations entre les déplacements nodaux ( 2 N n inconnues). vi ) Exemple Pour la barre AC : N AC = − F ==> ε AC = − ( ) 8 . Ces calculs peuvent devenir longs si le nombre de barres et de nœuds est important Fh Fh or u A = 0 ==> uC = − ES ES B F 2h 2 Fh Pour la barre BC : N BC = − F 2 ==> ε BC = =2 h ES ES yo h 1/ 2 C A or ε BC = ( uC − uB ) . il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé. 4. flambement) Calcul du champ de déplacement (géométrique et Castigliano). ∂Ed ∂E ( F . B h yo A h N = F 2 ∂Ed h Il faut reprendre le problème 1 ==> = (X − F) ∂X ES N 2 = X − F Fh Pour X = 0 on retrouve uC = − ES C X xo ) F Exercices Les exercices de cours sont corrigés sur le site. Calculer l’effort normal dans les barres ainsi que les réactions aux appuis. Calculer la déformation de la structure 6. 1. il faut introduire une charge fictive X horizontale. 9 .9/10 RDM : calculs en statique des treillis Utilisation du théorème de Castigliano Il est beaucoup plus rapide d'utiliser le théorème de Castigliano si l'on cherche le déplacement d'un point particulier de la structure. Notions de critères de dimensionnement (limite élastique. Exercice 6 : étude d'un treillis de deux barres Objectifs : Approche "RDM" pour les structures isostatiques. ℓ A C h = ℓ/ 3 F L = 2ℓ / 3 B π /6 yo xo Barres de section S et de module d’Young E 2. pour quelle valeur de la portée maximale ℓ Max y a-t-il un risque de flambement élastique ? 5. Vérifier les résultats en utilisant le théorème de Castigliano. 3. En déduire la charge maximale que peut supporter cette structure pour rester dans le domaine élastique. Montrer que cette structure est isostatique. X ) = δ F ou pour les charge fictive d = δX ∂F ∂X X =0 Exemple ∂Ed Fh ( − F ) 2 h ( 2 F ) 2 2h + ==> = (1 + 2 2) ES ES ∂F ES ∂E Fh La charge est orientée vers le bas ==> vC = − d = − 1+ 2 2 ∂F ES On a retrouvé très rapidement le résultat précédent 2 Ed = B h yo h A ( C xo F Si l'on veut calculer par Castigliano le déplacement horizontal du point C. Montrer que cette structure est hyperstatique. En déduire l'allongement de la diagonale chargée. Il est naturel de voir comment aborder ces problèmes numériquement par la méthode des éléments finis. Utiliser le TH de Ménabréa pour calculer les efforts dans les barres. Votre parcours pédagogique Ayant appliqué les techniques de calculs analytiques sur des cas simples. Simplifier le modèle en tenant compte des symétries. Suite conseillée Étude des treillis par la MEF 10 . vous avez vu comment exploiter les résultats des calculs. pour pouvoir s’attaquer a des problèmes plus complexes. Les barres sont de section S et de module d’Young E Pour assimiler le cours il faut traiter des exercices non corrigés. F 1.10/10 RDM : calculs en statique des treillis Exercice 7 : étude d'un treillis de six barres Objectifs : Approche "RDM" pour les structures hyperstatiques. h F 4. 2. h 3. À partir des déformations Retrouver ce résultat à partir de Castigliano.