UNIVERSIDAD NACIONALAUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES GRUPO 14 11 DE MARZO DEL 2013 Bernal Téllez Daniel Omar Ávila García Alberto TRAYECTORIAS ORTOGONALES Ejemplo 1 Sea la ecuación diferencial + −4 = 0 La cual se puede resolver por el método de ecuaciones diferenciales exactas o por variables separables. Pero usaremos el segundo método. −4 + = 0 ln = ln(4 −) −1 = 4 − ln = ln (4−) −1 = 4 − = 4 − = 4 − Con c=-10 Con c=-1 Con c=10 Con c=1 Ahora usamos la ecuación de la familia de curvas y derivando. = 4 − → = − (4 −) 2 Procedemos a elevar a la menos uno y multiplicar por menos uno para obtener la derivada de la familia ortogonal de curvas, de acuerdo al criterio : m1 m2 m1 = -1/m2. = (4 −) 2 → = (4 −) 2 = (4 −) 2 = 3 (4 −) 3 Que es la nueva familia de curvas. = 3 (4 −) 3 c=1 K=-1 c=10 K=-1/10 c=-10 K=1/10 c=-1 K=1 Tenemos la ecuación diferencial satisfecha por la ecuación: Diferenciamos respecto a x para conseguir: Reescribimos esta ecuación en la forma explicita Ejemplo 2 Sabemos que para cualquier curva de la familia que pasa por el punto (x,y), la pendiente de la tangente a este punto es f (x,y). Por lo tanto la pendiente de la perpendicular a esta tangente es La cuál debe ser la pendiente de la línea de la tangente a la curva ortogonal que pasa por el punto (x,y). Es decir la familia de curvas ortogonales es solución a la ecuación diferencial Retomando la ecuación, anotamos la ecuación diferencial para la familia ortogonal: Ésta es lineal y de variables separadas. Buscando un factor que integra Reescribir en la forma Sabemos que existe un factor que integra De ahí Familia de curvas Familia de rectas Si analizamos el gráfico es claro que siempre que una línea interseque un círculo, la línea de la tangente al círculo y la propia línea son perpendiculares u ortogonales. Dada la ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 +4 − 2 = 0 = 2 +4 = 2 = − 1 2 = 2( +4) = − 1 2 +4 = 2 = − 1 2 ln +4 = 2 = − 2 +4 = 2 = 2 −4 Ejemplo 3 K=-1 K=-1/2 K=1/3 K=1/10 TRAYECTORIAS ORTOGONALES Aplicaciones En Electricidad • Al estudiar la corriente eléctrica de una lámina plana de un material conductor, las líneas de corriente están representadas por curvas planas, ya que están contenidas en un plano. • Las trayectorias ortogonales de la familia de curvas representan las equipotenciales. Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual Aquí las líneas de fuerza representadas en verde tienen una relación ortogonal con los Campos equipotenciales representados en azul. En Magnetismo • Aquí NS representa una barra Magnética, siendo N su polo norte, y S su polo sur. Si sus limaduras de hierro se esparcen alrededor del magneto encontramos que ellas se ordenan a si mismas (curvas punteadas). • Estas curvas las llamaremos Líneas de fuerza. • Las curvas perpendiculares a estas (líneas gruesas) se llaman líneas equipotenciales, o curvas de igual potencial. • Aquí, también los miembros de una familia constituyen las trayectorias ortogonales de la otra familia. En Meteorología • Las curvas representan isobaras, las cuales son curvas que conectan todas las ciudades que reportan la misma presión barométrica a la oficina meteorológica. • Las trayectorias ortogonales de la familia de isobaras podrían indicar la dirección general del viento desde áreas de alta a baja presión. • En vez de Isobaras, la podría representar curvas isotermas las cuales son Curvas que conectan puntos que tienen la misma temperatura. En aeronáutica Imaginemos un cohete lanzado desde el planeta cuya misión es lanzar al espacio, en cierto momento y en cierta dirección y velocidad sondas que explorarán nuestro sistema solar, con la condición de que salgan normales a la trayectoria del cohete. Resultando por efectos gravitatorios en que la familia de curvas resultantes de las trayectorias son ortogonales a la trayectoria del vehículo. Trayectoria del cohete Trayectoria del objeto curvada por efectos gravitatorios de los cuerpos celestes Bibliografía • ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera. 6a edición. México. Thomson, 2006. • MAKARENKO, G. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. 4a edición. Editorial Mir. Moscú, 1984. • GRANVILLE, William A. Cálculo diferencial e integral. Decimoséptima reimpresión. Editorial Limusa. México, 1993.