Transferencia de Calor

TRANSFERENCIADE CALOR GUÍA DE CLASE NÉSTOR GOODING GARAVITO TRANSFERENCIA DE CALOR TRANSFERENCIA DE CALOR CONTIENE : FUNDAMENTOS TEORICOS 94 PROBLEMAS RESUELTOS 264 PROBLEMAS PROPUESTOS NESTOR GOODING GARAVITO INGENIERO QUIMICO PROFESOR ASOCIADO FACULTAD DE INGENIERIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEGUNDA EDICION 2008 TABLA DE CONTENIDO CAPITULO 1 - INTRODUCCION 1 Conducción – Convección – Radiación – Problemas resueltos – Problemas Propuestos. CAPITULO 2 - CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL 11 Ecuación básica de energía – Placa plana – Sistemas radiales – Conducción con conductividad térmica variable – Condiciones de contorno con convección – Coeficiente global de transferencia de calor – Espesor crítico de aislamiento – Sistemas con generación de calor – Transferencia de calor desde aletas – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 3 - CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL 39 Solución analítica – Solución gráfica – Análisis numérico – Analogía eléctrica para la conducción bidimensional – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 4 - CONDUCCION NO ESTACIONARIA 65 Sistemas de capacidad térmica global – Números de Biot y Fourier – Flujo de calor transitorio en un sólido semi-infinito – Condiciones de contorno convectivas – Soluciones gráficas (Diagramas de Heisler) – Sistemas multidimensionales – Análisis numérico – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 5 - CONVECCION FORZADA 109 Capa límite hidrodinámica – Capa límite hidrodinámica y laminar en una superficie plana isotérmica – Capa límite térmica – Número de Nusselt y coeficiente de transferencia de calor – Analogía entre la transferencia de calor y la fricción – Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento – Procedimiento de cálculo en convección forzada para flujo sobre placas planas – Flujo por el interior de tubos – Flujo a través de conductos no circulares – Flujo transversal a cilindros – Flujo a través de haces de tubos – Relaciones empíricas para convección forzada – Problemas resueltos - Problemas propuestos. CAPITULO 6 - CONVECCION NATURAL 151 Ecuaciones para la convección natural en una placa plana vertical – Parámetros adimensionales – Coeficiente local de transferencia de calor – Coeficiente medio de transferencia de calor – Relaciones empíricas para convección natural – Ecuaciones simplificadas para el aire – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 7 - CONDENSACION Y EBULLICION 173 Condensación – Tubos verticales – Tubos horizontales – Condensación en película turbulenta - Ebullición – Ebullición en recipientes – Relaciones simplificadas para el agua – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 8 - INTERCAMBIADORES DE CALOR 191 Tipos de intercambiadores de calor – Coeficiente global de transferencia de calor – Temperatura media logarítmica – Método del NTU–Rendimiento - Factor de suciedad – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 9 - RADIACION 229 Propiedades y definiciones – Radiación del cuerpo negro – Superficies reales y cuerpo gris – Intercambio de calor entre cuerpos negros (factor de forma) – Intercambio de calor entre cuerpos grises – Pantallas de radiación – Problemas resueltos – Problemas propuestos. TABLAS 271 BIBLIOGRAFIA CAPITULO 1 INTRODUCCION El área de la ingeniería conocida como ciencia térmica incluye la termodinámica y la transferencia de calor. El papel de la transferencia de calor es complementar la termodinámica, la cual considera sólo sistemas en equilibrio, con leyes adicionales que contemplan la rapidez con que se transfiere dicha energía. Estas leyes están basadas en las tres formas fundamentales de transferencia de calor, comunmente llamadas conducción, convección y radiación. 1.1 CONDUCCION Un gradiente de temperaturas dentro de una sustancia homogénea, da como resultado una transferencia de energía, que según la termodinámica, debe efectuarse desde la región de alta temperatura hasta la región de baja temperatura. Se dice que la energía se ha transferido por conducción y que el flujo de calor es proporcional al gradiente normal de temperatura. Dicho flujo de calor puede ser calculado por la expresión: ∂T q =- k A ⎯⎯ ∂x donde q es el flujo de calor, (∂T/∂x) es el gradiente de temperaturas en la dirección normal al área A. La constante positiva k se llama conductividad térmica del material y se coloca el signo menos para satisfacer el segundo principio de la termodinámica, es decir, que el calor debe fluir en el sentido de las temperaturas decrecientes. La ecuación anterior se denomina ley de Fourier y las unidades de k son vatio por metro y por grado Celsius en un sistema de unidades en el que el flujo de calor se expresa en vatios. Si el perfil de temperaturas dentro del medio es lineal (ver figura), es posible reemplazar el gradiente (derivada parcial) por: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 ΔT T 2 – T 1 ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ Δx x 2 – x 1 La linealidad anterior siempre existe en un medio homogéneo de conductividad térmica constante y con transferencia de calor en estado estacionario. La transferencia de calor en estado estacionario ocurre cuando la temperatura de cada punto dentro del cuerpo, incluyendo las superficies, es independiente del tiempo. Si la temperatura cambia con el tiempo (τ), la energía se está almacenando o removiendo desde el cuerpo. Este flujo de energía es: ∂T q almacenada =m c P ⎯⎯⎯ ∂τ donde la masa m es el producto del volumen V y la densidad ρ. 1.2 CONVECCION Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido y si las temperaturas del fluido y del sólido son diferentes, habrá transferencia de calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se le denomina convección. Se dice que existe convección forzada si el movimiento es inducido T T 1 T 2 x x 1 x 2 CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 artificialmente, bomba o ventilador que impulse el fluido sobre la superficie. Se dice que existe convección libre (o natural) si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperatura en el fluido. Si la temperatura del fluido es T ∞ y la temperatura de la superficie del sólido es T s el calor transferido por unidad de tiempo está dado por: q =h A (T s - T ∞ ) La ecuación anterior es conocida como la ley de Newton del enfriamiento, donde A es el área de la superficie y h se denomina coeficiente de transferencia de calor por convección. Las unidades de h son vatio por m 2 y por grado Celsius, cuando el flujo de calor se expresa en vatios. La determinación de este coeficiente se hace analíticamente, pero en situaciones complejas debe hacerse experimentalmente. Es importante notar que el intercambio fundamental de energía en el límite sólido-fluido es por conducción y que dicha energía es llevada por convección a través del fluido. Por comparación de las ecuaciones para conducción y convección puede obtenerse: h A (T s - T ∞ ) =- k A (∂T/∂y) y=0 donde el sub-índice en el gradiente de temperaturas indica su evaluación para y=0. 1.3 RADIACION La transferencia de calor por conducción y por convección requieren de un medio material para la propagación de la energía. Sin embargo, el calor puede propagarse en el vacío absoluto mediante el mecanismo de radiación. A una temperatura dada, todos los cuerpos emiten radiación en forma de energía electromagnética en diferentes longitudes de onda, siendo la radiación dependiente de la temperatura absoluta del cuerpo y de sus características superficiales. Evidencias experimentales indican que la transferencia de calor por radiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es: q =σ A T 4 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4 donde T es la temperatura absoluta. La constante σ es independiente de la superficie, medio y temperatura, se denomina constante de Stefan-Boltzmann y su valor es 5,669 x 10 -8 W/m 2 K 4 . El emisor ideal o cuerpo negro, es aquel cuya energía radiante está dada por la ecuación anterior. Todas las demás superficies emiten algo menos de ésta cantidad de energía y la emisión térmica de muchas superficies (cuerpos grises) puede representarse por: q =ε σ A T 4 donde ε es la emisividad de la superficie, que relaciona la radiación de la superficie “gris” con la de la superficie ideal negra, su valor esta en un intervalo de 0 a 1. La radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura absoluta T 1 hacia una envolvente a temperatura T 2 que lo rodea completamente y la cual se comporta también como cuerpo negro, puede evaluarse mediante la expresión: q =σ A 1 (T 1 4 – T 2 4 ) Por otra parte, la radiación emitida por un cuerpo gris a una temperatura T 1 hacia la misma envolvente a temperatura T 2 , puede calcularse ahora mediante la expresión: q =ε 1 σ A 1 (T 1 4 – T 2 4 ) Si se considera la radiación entre dos cuerpos grises a temperaturas absolutas T 1 y T 2 respectivamente, el flujo neto de energía radiante entre ellos puede calcularse mediante la expresión: q =σ F A 1 (T 1 4 – T 2 4 ) donde F es una función que depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la fracción de energía radiante emitida por el cuerpo 1 que es interceptada por el cuerpo 2. CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 PROBLEMAS RESUELTOS 1.1 Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área a través de un bloque homogéneo de 4 cm de espesor con sus dos caras mantenidas a temperaturas uniformes de 40 º C y 20 º C. La conductividad térmica del material es 0.1903 W/m o C. q T 2 – T 1 W (20 – 40) o C W ⎯ =- k ⎯⎯⎯⎯ =- 0.1903 ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =95.15 ⎯⎯⎯ A x 2 – x 1 m o C 0.04 m 2 1.2 Una cara de una placa de cobre ( k =370 W/m o C ) de 3 cm de espesor se mantiene a 450 º C y la otra cara se mantiene a 80 º C. ¿Qué cantidad de calor se transfiere a través de la placa? q ΔT (80 – 450) MW ⎯ =-k ⎯⎯ =- 370 ⎯⎯⎯⎯⎯ =4.56 ⎯⎯⎯ A Δx 0.03 m 2 1.3 El coeficiente de transferencia de calor por convección forzada para un fluido caliente que circula sobre una superficie fría es 226.8 W/m 2 o C. La temperatura del fluido es 120 º C y la superficie está a 10 º C. Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área desde el fluido hasta la superficie. q W W ⎯ =h (T ∞ - T s ) =226.8 ⎯⎯⎯ x (120 – 10) o C =24948 ⎯⎯ A m 2 o C m 2 1.4 Sobre una placa caliente de 60 x 90 cm que se mantiene a 280 º C pasa aire a 18 º C. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 25 W/m 2 o C. Calcular el flujo de calor transferido. q =h A (T s - T ∞ ) =25 W/m 2 o C x (0.6 x 0.9) m 2 x (280 – 18) o C =3.537 kW 1.5 Una corriente eléctrica pasa por un hilo de 1 mm de diámetro y 15 cm de largo. El hilo se encuentra sumergido en agua líquida a la presión atmosférica y se incrementa la corriente interior hasta que el agua hierve. Si h =5000 W/m 2 o C y la temperatura del agua es 100 º C. ¿Cuánta potencia eléctrica se debe suministrar al hilo para mantener su superficie a 118 º C? TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6 El área superficial del hilo será: A =π D L =π (0.001) (0.15) =4.71 x 10 -4 m 2 q =h A (T s - T ∞ ) =5000 W/m 2 o C x 4.71 x 10 -4 m 2 x (118 – 100) o C =42.39 W 1.6 Luego de una puesta del sol, la energía radiante puede ser percibida por una persona parada cerca de una pared de ladrillo. Tales paredes con frecuencia tienen una temperatura en su superficie de 44 º C y el valor de la emisividad del ladrillo es del orden de 0.92. ¿Cuál podría ser el flujo de radiación térmica por m 2 desde la pared de ladrillo? q W W ⎯ =ε σ T 4 = 0.92 x 5,669 x 10 -8 ⎯⎯⎯ x (44+273) 4 k 4 =526.6 ⎯⎯ A m 2 k 4 m 2 1.7 Dos placas infinitas a 800 o C y 300 o C intercambian calor por radiación. Calcular el calor transferido por unidad de área. q W kW ⎯ =σ (T 1 4 – T 2 4 ) =5,669 x 10 -8 ⎯⎯⎯ x (1073 4 – 573 4 ) k 4 =69.03 ⎯⎯ A m 2 K 4 m 2 1.8 Un termopar de 0.8 mm de diámetro se emplea para medir la temperatura del aire en un horno eléctrico. La lectura del termopar es de 150 º C. Se sabe, sin embargo, que el flujo de calor por radiación que recibe el termopar de la pared del horno es igual a 0.001 W/cm de longitud. El coeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m 2 o C. Estimar la temperatura correcta del aire en el horno. q W W ⎯ =h π D (T s - T ∞ ) =0.001 ⎯⎯ =0.1 ⎯⎯ L cm m CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 7 q / L 0.1 W/m T ∞ =T aire =T s - ⎯⎯⎯ =150 º C - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ π D h π (0.8/1000) m x 5 W/m 2 T ∞ = 150 – 7.95 =142 o C 1.9 En el problema 1.4, si la placa tiene 3 cm de espesor y una conductividad térmica de 40 W/m o C y suponiendo que se pierden por radiación desde la placa 300 W, calcular la temperatura interior de la placa. q conducción =q convección +q radiación ΔT - k A ⎯⎯ =3.537 +0.3 =3.837 kW Δx 3.837 ΔX 3.837 X 0.03 ΔT =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =- 5.33 o C - k A - 40 x (0.6 x 0.9) La temperatura en el interior de la placa será: 280 +5.33 =285.33 o C 1.10 Una tubería horizontal de acero que tiene un diámetro de 5 cm se mantiene a una temperatura de 60 º C en un salón grande donde el aire y las paredes están a 20 º C. La emisividad de la superficie de la tubería de acero puede tomarse como 0.8. El coeficiente de transferencia de calor, en convección natural puede tomarse como h =6.5 W/m 2 o C. Calcular la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud. Por metro de longitud de tubería: A =π D L =π x 0.05 x 1 =0.157 m 2 q conv =h A (T s - T ∞ ) =6.5 W/m 2 o C x 0.157 m 2 x (60 – 20) o C =40.82 W El calor transferido por radiación será: q rad =ε 1 A 1 σ (T 1 4 – T 2 4 ) =0.8 x 0.157 m 2 x 5,669 x 10 -8 W/m 2 k 4 x (333 4 – 293 4 ) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 8 q rad =35.07 W La pérdida total de calor por metro de longitud será: q total =q conv +q rad =40.82 +35.07 =75.89 W PROBLEMAS PROPUESTOS 1.11 Una pared plana de 15 cm de espesor, hecha de material homogéneo con k =0.4325 W/m o C tiene temperaturas estables y uniformes de 71 º C y 21 º C. Determinar el flujo de calor transferido por m 2 de área superficial. 1.12 Si por conducción se transfieren 3 kW a través de un material aislante de 1 m 2 de sección recta, 2.5 cm de espesor y cuya conductividad térmica puede tomarse igual a 0.2 W/m o C, calcular la diferencia de temperaturas entre las caras del material. 1.13 En una capa de fibra de vidrio de 13 cm de espesor se impone una diferencia de temperaturas de 85 º C. La conductividad térmica de la fibra de vidrio es 0.035 W/m o C. Calcular el calor transferido a través del material por hora y por unidad de área. 1.14 Un cilindro de 30 cm de alto está hecho de aluminio. El diámetro es 7.5 cm. La superficie inferior se mantiene a 90 º C y la superior a 540 º C. La superficie lateral está aislada. ¿Cuál es el flujo de calor en vatios? La conductividad térmica del aluminio puede suponerse 215 W/m o C. 1.15 Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15 cm de espesor son 370 º C y 93 º C. La pared está construida de vidrio con una conductividad térmica de 0.78 W/m o C. ¿Cuál es el flujo de calor a través de la pared? 1.16 Un material superaislante cuya conductividad térmica es 2 x 10 -4 W/m o C se utiliza para aislar un depósito de nitrógeno líquido que se mantiene a – 196 º C; para evaporar 1 kg de nitrógeno a esa temperatura se necesitan 199 kJ . Suponiendo que el depósito es una esfera que tiene un diámetro interior de 0.61 m, estimar la cantidad de nitrógeno evaporado por día CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 9 para un espesor de aislante de 2.5 cm y una temperatura ambiente de 21 º C. Suponer que la temperatura exterior del aislante es 21 º C. 1.17 Una capa de 5 cm de asbesto, poco compacta, está colocada entre dos placas a 100 º C y 200 º C. Calcular el calor transferido a través de la capa. La conductividad térmica del asbesto es 0.149 W/m o C. 1.18 Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/m o C. ¿Qué espesor será necesario para que haya una caída de temperatura de 500 º C para un flujo de calor de 400 W/m 2 ? 1.19 Considere el cárter de un automóvil. Este tiene aproximadamente 75 cm de longitud, 30 cm de ancho y 10 cm de profundidad. Suponiendo que la temperatura de la superficie del cárter es de 80 º C cuando el vehículo se desplaza a 100 km/h y que el coeficiente de transferencia de calor es igual a 82 W/m 2 o C, determine el calor disipado. Desprecie la radiación y use para las superficies del frente y de atrás el mismo coeficiente de transferencia de calor que para el fondo y los lados. La temperatura del aire ambiente es 30 º C. 1.20 Un oleoducto de 50 cm de diámetro transporta, en el Ártico, petróleo a 30 º C y está expuesto a una temperatura ambiente de – 20 º C. Un aislante especial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad térmica 7 mW/m o C cubre la superficie del oleoducto. El coeficiente de convección en el exterior del oleoducto es 12 W/m 2 o C. Calcular la pérdida de energía del oleoducto por unidad de longitud. 1.21 Aire es forzado a fluir a través de un intercambiador de calor convectivo. El coeficiente de transferencia de calor es 1134 W/m 2 o C. La temperatura de la superficie del intercambiador puede considerarse constante a 65 o C y la del aire es 18 o C. Determinar el área superficial del intercambiador para un flujo de calor de 8.78 kW. 1.22 Una tubería desnuda que transporta vapor húmedo a una presión absoluta de 1 MPa se localiza en una habitación cuya temperatura ambiente es 20 º C. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de 10 W/m 2 o C, calcular las pérdidas de calor por metro de longitud. El diámetro es igual a 10 cm. 1.23 Una placa cuadrada vertical de 30 x 30 cm que está fría se expone al vapor de agua a una presión de 1 atm de modo que se condensan 3.78 kg/h. Calcular la temperatura de la placa. Se pueden consultar las tablas de vapor de agua para las propiedades que se requieran. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 10 1.24 Una de las caras de una pared plana se mantiene a 100 º C mientras que la otra se expone al ambiente que está a 10 º C, siendo h =10 W/m 2 o C el coeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica k= 1.6 W/m o C y un espesor de 40 cm. Calcular el flujo de calor a través de la pared. 1.25 Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a 800 º C, es interceptada por la otra. La temperatura de esta ultima superficie se mantiene a 250 º C. Calcular la transferencia de calor entre las superficies, por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene a 800 º C. 1.26 Dos planos paralelos y muy grandes, cuyas condiciones superficiales se aproximan a las de un cuerpo negro, se mantienen a 1100 o C y 425 º C, respectivamente. Calcular el calor transferido entre los planos por unidad de tiempo y por unidad de área. 1.27 Un pequeño calentador radiante tiene tiras de metal de 6 mm de ancho con una longitud total de 3 m. La emisividad de la superficie de las tiras es 0.85.¿A qué temperatura habrá que calentar las tiras si tienen que disipar 1600 W de calor a una habitación a 25 º C? 1.28 Calcular la energía emitida por un cuerpo negro a 1000 º C. 1.29 Si el flujo radiante del sol es 350 W/m 2 , ¿cuál sería su temperatura equivalente de cuerpo negro? 1.30 Una esfera de 4 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 150 º C y se coloca en una habitación muy grande que se encuentra a 20 º C. Calcular la pérdida de calor por radiación si la emisividad de la superficie de la esfera es 0.65. CAPITULO 2 CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL 2.1 ECUACION BASICA DE ENERGIA La ecuación básica para un sistema tridimensional con generación interna de energía y variación de la temperatura con el tiempo es: ∂ 2 T ∂ 2 T ∂ 2 T q* 1 ∂T ⎯⎯ +⎯⎯ +⎯⎯ +⎯ =⎯ ⎯⎯ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k α ∂τ donde: α =difusividad térmica =k / ρ c q* =energía generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo τ =tiempo ρ =densidad c =calor específico del material Para flujo unidimensional, estacionario y sin generación interna de calor se tiene: (∂ 2 T/∂y 2 ) =0 ; (∂ 2 T/∂z 2 ) =0 : (∂T/∂τ) =0 ; (q*/k) =0 luego: (d 2 T/dx 2 ) = 0 que es la misma ecuación de Fourier cuando q es constante. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 12 2.2 PLACA PLANA El problema más simple de transferencia de calor es la conducción unidimensional en estado estacionario a través de una placa plana de material homogéneo, cuya conductividad térmica es constante y cuyas temperaturas en ambas caras son uniformes. Ver figura. A partir de la ley de Fourier: T 2 – T 1 k A q = - k A ⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯ (T 1 – T 2 ) x 2 – x 1 Δ x T 1 T 2 q /A Δx x 1 x 2 o también: T 1 – T 2 diferencia de potencial térmico q =⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / kA resistencia térmica Nótese que la resistencia al flujo de calor es directamente proporcional al espesor del material, inversamente proporcional a la conductividad térmica del material e inversamente proporcional al área normal a la dirección de la transferencia de calor. CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 13 Estos conceptos pueden extenderse al caso de una pared plana compuesta como se aprecia en la siguiente figura: q a b 1 2 3 En estado estacionario el flujo de calor transferido que entra por la cara izquierda es el mismo que sale por la cara derecha, por tanto: T 1 – T 2 T 2 – T 3 q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ y q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx a /k a A Δx b /k b A T 1 – T 3 q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (Δx a /k a A) +(Δx b /k b A) Las ecuaciones anteriores ilustran la analogía entre la transferencia de calor por conducción y el flujo de corriente eléctrica o de manera similar entre la ley de Fourier y la ley de Ohm. Puede ser conveniente expresar la ley de Fourier asÍ: diferencia global de temperaturas flujo de calor por conducción =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ suma de las resistencias térmicas La extensión de las ecuaciones anteriores para tres o más paredes es obvia. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 14 2.3 SISTEMAS RADIALES La siguiente figura muestra un cilindro hueco de una sola capa compuesta de un material homogéneo de conductividad térmica constante y temperaturas uniformes interna y externa. Para un radio dado (r) el área normal para un flujo de calor radial por conducción es 2πrL, donde L es la longitud del cilindro. Sustituyendo lo anterior en la ecuación de Fourier e integrando para q constante: T 1 T 2 r 1 r 2 T 1 T 2 T 3 a b r 1 r 2 r 3 q r 2 T 2 – T 1 =- ⎯⎯⎯ ln ⎯⎯ 2πk L r 1 o también, 2πkL (T 1 – T 2 ) q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (r 2 /r 1 ) A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa cilíndrica simple es [ln(r 2 /r 1 )] /2πkL. Para un cilindro con dos capas (ver figura) el flujo de calor transferido está dado por: CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 15 2πL (T 1 – T 3 ) q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 r 2 1 r 3 ⎯ ln ⎯ + ⎯ ln ⎯ k a r 1 k b r 2 La ecuación anterior puede extenderse a tres o más capas. Para transferencia de calor por conducción radial en una pared esférica el área para un radio (r) está dada por 4πr 2 . Sustituyendo en la ley de Fourier e integrando con q constante: 4πk (T 1 – T 2 ) q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 1 ⎯ - ⎯ r 1 r 2 A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa esférica simple es [(1/r 1 ) – (1/r 2 )] / 4πk. Para un sistema multicapas esféricas la resistencia total es la suma de las resistencias individuales de cada capa. 2.4 CONDUCCION CON CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE La conductividad térmica de un metal puede representarse generalmente en un amplio intervalo de temperaturas por: k =k o (1 +bθ +cθ 2 ) donde θ =T – T ref y k o es la conductividad a la temperatura de referencia T ref . Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería el intervalo de temperaturas es relativamente pequeño y la conductividad puede tomarse como: k =k o ( 1 +bθ) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 16 Se demuestra que las ecuaciones de transferencia de calor para placas planas y sistemas radiales son: T 1 – T 2 q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / k m A 2πk m L (T 1 – T 2 ) q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (r 2 /r 1 ) donde k m es la conductividad térmica evaluada a la temperatura media de la pared. 2.5 CONDICIONES DE CONTORNO CON CONVECCION Para la transferencia de calor por convección: (T s - T ∞ ) q conv =h A (T s - T ∞ ) =⎯⎯⎯⎯⎯ 1/ h A donde el término 1/hA es la resistencia a la transferencia de calor por convección. 2.6 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR Para la pared plana de la figura en contacto con un fluido caliente A por una cara y con un fluido más frío B por la otra cara. La transferencia de calor se expresa por: kA q =h 1 A(T A – T 1 ) =⎯⎯ (T 1 – T 2 ) =h 2 A(T 2 – T B ) Δx CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 17 T A q Fluido A T 1 T 2 T B h 1 h 2 Fluido B La transferencia de calor global se calcula como el cociente entre la diferencia total de temperaturas y la suma de las resistencias térmicas. T A – T B q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h 1 A) +(Δx/kA) +(1/h 2 A) La transferencia de calor global que combina la conducción y la convección se expresa con frecuencia en función de un coeficiente global U, definido por la relación: q =U A ΔT global luego el coeficiente global será: 1 U =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h 1 ) +(Δx/k) +(1/h 2 ) Para el esquema de un cilindro hueco con contorno convectivo: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 18 Fluido B Fluido A 1 2 T A – T B q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 ln(r e /r i ) 1 ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ h i A i 2πk L h e A e Los términos A i y A e representan las áreas de las caras interna y externa del tubo interior. 2.7 ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO Considerando una capa de aislamiento instalada alrededor de una tubería circular: T ∞ r i r e h T i CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 19 La temperatura interna del aislante es T i y la temperatura externa está expuesta a un entorno T ∞ . La transferencia de calor será: 2πL (T i - T ∞ ) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln(r e /r i ) 1 ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ k r e h Para determinar el radio exterior de aislamiento r e que hace máxima la transferencia de calor se debe cumplir que (dq/dr e ) =0 , lo que conduce a la relación: r e =k/h. Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta relación, la transferencia de calor aumentará al añadir más aislante. 2.8 SISTEMAS CON GENERACION DE CALOR Tienen aplicación en conductores eléctricos para calentamiento, generación de calor en reactores nucleares y en sistemas químicamente reactivos. PAREDES PLANAS Se considera la pared plana con generación interna de calor mostrada en la figura: Suponiendo conductividad térmica constante y dimensiones muy grandes en las direcciones y, x, el gradiente de temperatura es sólo significativo en la dirección x, y el flujo puede considerarse unidimensional. La ecuación del balance de energía es: d 2 T q* ⎯⎯ + ⎯⎯ =0 dx 2 k TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 20 (a) (b) Para la figura (a) se fijan las siguientes condiciones de contorno: T =T 1 para x =0 y T =T 2 para x =2L Integrando doblemente la ecuación anterior respecto a x se tiene: q* T =- ⎯⎯ x 2 + C 1 x + C 2 2k Utilizando las condiciones de contorno dadas: T 2 – T 1 q* L C 2 =T 1 C 1 =⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 2L k Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación integrada: ( ) 1 1 2 T x x L 2 k 2 * q L 2 T T T + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = el flujo de calor dependerá de la localización de x. Para el caso más sencillo como el de la figura (b), x =L y T 1 =T 2 =T s CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 21 Se tiene: s 2 o T k 2 L * q T + = T s =temperatura en la superficie ; T o =temperatura en el centro de la pared Diferenciando la ecuación anterior respecto a x, dT q* L ⎯⎯ =⎯⎯⎯ dx k Introduciendo la expresión anterior en la ley de Fourier q =- q* A L El signo menos indica que el calor se transfiere en sentido contrario a la coordenada x, para x =2L sería el mismo valor pero positivo. El producto AL es la mitad del volumen de la placa. CILINDRO La ecuación del balance de energía será ahora: d 2 T q* ⎯⎯ +⎯⎯ =0 dr 2 k Considerando como condiciones de contorno: T =T s para r =R y dT/dx =0 para r =0 Se demuestra que ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 2 2 s R r 1 k 4 * q R T T k 4 R * q T T 2 s o + = TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 22 T o =temperatura para r =0 (centro del cilindro) 2.9 TRANSFERENCIA DE CALOR DESDE ALETAS Las superficies extendidas o aletas son utilizadas para incrementar la efectividad del área superficial en la transferencia de calor por conducción- convección en intercambiadores de calor, máquinas de combustión interna, equipo electrónico, etc. ALETAS RECTANGULARES Haciendo referencia a la figura, se realiza un balance de energía en un elemento de espesor dx de aleta, así: = + Energía perdida por convección Energía que entra por la cara izquierda Energía que sale por la cara derecha El anterior balance de energía conduce a la siguiente ecuación: d 2 θ ⎯⎯ - m 2 θ =0 dx 2 A Z L q’ 1 → → q’ 2 x Δx q conv t CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 23 Donde: h =coeficiente de convección, θ =T - T ∞ , m = kA / hP La solución general de la ecuación diferencial anterior es: θ (x) =C 1 e mx + C 2 e -mx Una condición de contorno es: x =0 , θ (x) =θ 0 =T 0 - T ∞ =C 1 +C 2 Una segunda condición de contorno: x =∞ , θ (∞) =C 1 (∞) +(C 2 /∞) → C 1 =0 → C 2 =θ 0 Reemplazando en la ecuación general: [ θ (x) / θ 0 ] =e - mx Esta ecuación indica la distribución de temperaturas en la aleta. La transferencia de calor a través de la aleta puede ahora calcularse tomando el flujo de calor por conducción que llega a la base de la aleta: q =- kA (dT/dx) x=0 =- kA (dθ/dx) x=0 Para el caso presente de una aleta rectangular de longitud infinita se tiene: q =k A m θ 0 Dos casos que pueden presentarse son también los siguientes: Aleta de longitud finita con extremo aislado. cosh [m (L – x) ] Distribución de temperaturas: θ/θ 0 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL Calor transferido: q =k A m θ 0 [tanh (mL)] TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 24 Aleta de longitud finita con pérdida de calor por convección en el extremo. Distribución de temperaturas: cosh [m (L – x) +(h/mk) senh [m (L – x)] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL +(h/mk) senh mL Calor transferido: senh mL +(h/mk) cosh mL q =k A m θ 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL +(h/mk) senh mL EFICIENCIA DE ALETAS El propósito fundamental de las aletas es incrementar la efectividad del área superficial de transferencia de calor que está expuesta a un fluido en un intercambiador. El comportamiento de las aletas se expresa en términos de su eficiencia η a que no es otra cosa que la razón entre la transferencia de calor de aleta a la transferencia de calor que existiría sin la aleta o: calor real transferido η a =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ calor transferido si toda la aleta está a la temperatura base Como ejemplo para una aleta de sección transversal uniforme y extremo aislado la eficiencia sería: hPkA θ 0 tanh mL tanh mL η a =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ hPLθ 0 mL CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 25 PROBLEMAS RESUELTOS 2.1 Un horno industrial está construido de un ladrillo refractario de 20 cm de espesor con k =1.038 W/m o C. El horno está recubierto de una superficie externa de 3 cm de espesor de material aislante con k =0.07 W/m o C. La superficie interior está a 980 º C y la superficie exterior está a 38 º C. Calcular el calor transferido por m 2 de superficie. Considerando las dos capas como a y b: q T 1 -T 3 980 – 38 W ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1516 ⎯⎯ A Δx a Δx b 0.20 0.03 m 2 ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯ k a k b 1.038 0.07 2.2 Con frecuencia en ingeniería el problema es la determinación del espesor de un aislamiento que se necesita para un flujo especificado de calor. Si en el problema 2.1 el máximo flujo de calor se establece en 1000 W/m 2 , la pared de ladrillo se mantiene y se utiliza el mismo material aislante, ¿cuál debe ser el espesor de este material? q T 1 – T 3 980 – 38 ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1000 A Δx a Δx b 0.20 Δx b ⎯⎯ +⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯ k a k b 1.038 0.07 Resolviendo: Δx b =0.052 m =5.2 cm 2.3 Una pared está formada por tres capas así: 0.5 cm de placa de aluminio, 0.25 cm de una capa de asbesto y 2 cm de un material aislante. El asbesto es la capa central. La superficie externa de aluminio está a 500 º C y el material interno aislante está a 50 º C. Determinar el flujo de calor por unidad de área. Las conductividades térmicas son: k Al =268.08 W/m oC, k asb = 0.166 W/m o C, k aisl =0.0548 W/m o C. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 26 q 500 – 50 ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1184 W/m 2 A 0.005 0.025 0.02 ⎯⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯ 268.08 0.166 0.0548 2.4 Una pared exterior de una casa se puede aproximar a una capa de 10.16 cm de ladrillo corriente (k =0.7 W/m o C) seguida de una capa de 3.81 cm de yeso (k =0.48 W/m o C). ¿Qué espesor aislante de lana de roca (k = 0.065 W/m o C) debería añadirse para reducir en un 80% la pérdida de calor a través de la pared? Sin aislamiento: q ΔT ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A Δx L Δx y ⎯⎯ +⎯⎯ k L k y Con aislamiento: q ΔT ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A Δx L Δx y Δx aisl ⎯⎯ +⎯⎯ +⎯⎯ k L k y k aisl (q/A) sin a. – (q/A) con a. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.8 (q/A) sin a. (q/A) con a. 1 - ⎯⎯⎯⎯ =0.8 (q/A) sin a. (q/A) con a. ⎯⎯⎯⎯⎯ =0.2 (q/A) sin a. CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 27 (0.1016/0.7) +(0.0381/0.48) 0.2 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (0.1016/0.7) +(0.0381/0.45) +(Δx aisl /0.065) Δx aisl =0.058 =5.8 cm 2.5 Un tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (k =19 W/m o C) de 2 cm de diámetro interior (D i ) y 4 cm de diámetro exterior (DE), se cubre con una capa de 3 cm de aislante de asbesto (k =0.2 W/m o C). Si la temperatura de la pared interna del conducto se mantiene a 600 o C, calcular la pérdida de calor por metro de longitud. La temperatura exterior es 100 º C. Calcular también la temperatura de la interfaz tubo-aislante. q 2π (T 1 – T 3 ) 2π (600 – 100) ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =680 W/m L ln(r 2 /r 1 ) ln(r 3 /r 2 ) ln(2) ln(5/2) ⎯⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯ +⎯⎯⎯ k aisl k a 19 0.2 Utilizando este flujo de calor, se calcula la temperatura de la interfaz entre la pared del tubo y el aislante. q 2π (T 2 – T 3 ) ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =680 W/m L ln(r 3 /r 2 )/k T 2 =595.8 o C 2.6 Una pared de cobre (k =375 W/m o C) de 1 cm de espesor, la cual está expuesta por una de sus superficies a vapor de agua condensándose (h = 10000 W/m 2 o C) a una temperatura de 200 º C. La otra superficie está en contacto con aire ambiente (h =5 W/m 2 o C) a una temperatura de 25 º C. Calcular el calor transferido por unidad de área a través de la placa, y las temperaturas de ambas superficies. q T 1 – T 2 200 – 25 ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =874.45 W/m 2 A 1 Δx 1 1 0.01 1 ⎯⎯ +⎯⎯ +⎯⎯ ⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯ +⎯⎯ h 1 k h 2 10000 375 5 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 28 Puesto que el calor transferido por convección del vapor a la placa es igual al calor por conducción a través de ésta y a su vez al calor por convección de la placa al aire. (q/A) = h 1 (T ∞ - T 1 ) ⇒ T 1 =T ∞ - (q/A)/h 1 T 1 =200 - (874.45/10000) =199.91 o C (q/A) =h 2 (T 2 - T ∞ ) ⇒ T 2 =T ∞ +(q/A)/h 2 T 2 =25 +(874.45/5) =199.89 o C 2.7 Una pared de ladrillo de 30 cm de espesor se utiliza en un edificio. En un día de invierno las siguientes temperaturas fueron medidas: temperatura interior del aire, T i = 21 º C; temperatura exterior del aire, T o = - 10 º C; temperatura de la superficie interna, T 1 =13 º C; temperatura de la superficie externa, T 2 =- 7 º C. Utilizando k =1.31 W/m o C, determinar los valores promedio de los coeficientes de transferencia de calor h i y h o . Para la pared de ladrillo: (q/A) =- k(ΔT/Δx) =- 1.31 (- 7 – 13)/0.3 =87.23 W/m 2 (q/A) =87.33 =h 1 (21 – 13) ⇒ h i =10.91 W/m 2 o C (q/A) =87.33 =h o [ - 7 – (- 10)] ⇒ h o =29.11 W/m 2 o C 2.8 Por el interior de un tubo de 2.5 cm de diámetro interior circula agua a 50 º C de modo que h i =3500 W/m 2 o C. El tubo tiene una pared de 0.8 mm de espesor, con una conductividad térmica de 16 W/m o C. El exterior del tubo pierde calor por convección natural con h = 7.6 W/m 2 o C. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor y la pérdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante, que está a 20 º C. Se calculan las correspondientes resistencias térmicas. 1 1 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.00364 o C/W h i A i (3500) (π) (0.025) (1) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 29 ln(D o /D i ) ln (0.0266/0.025) ⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.00062 o C/W 2πkL 2π(16)(1) 1 1 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.575 o C/W h o A o (7.6) (π) (0.0266) (1) La resistencia exterior a la transferencia de calor por convección es la mayor y en consecuencia controla la transferencia total de calor. El coeficiente global de transferencia de calor se basará en el área exterior del tubo y por lo tanto: q =(ΔT/ΣR) =U A o ΔT 1 1 U o =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A o (ΣR) [(π) (0.0266) (1)] [(0.003364) +(0.00062) +(1.575)] U o =7.577 W/m 2 o C Observar que el valor es muy próximo al valor de h o =7.6 q =U A o ΔT =(7.577) (π) (0.0266) (1) (50 – 20) =19 W (por m de longitud) 2.9 Calcular el espesor crítico de aislamiento para el asbesto (k =0.17 W/m o C) que rodea a una tubería y se halla expuesto al aire de una habitación a 20 º C con h =3 W/m 2 o C. Calcular la pérdida de calor desde una tubería a 200 º C, de 5 cm de diámetro, cuando se cubre de aislante con el radio crítico y sin aislamiento. r e =(k/h) =0.17/3 =0.0567 m =5.67 cm El radio interior del aislamiento es 5/2 =2.5 cm 2πL (T i - T ∞ ) 2π (200 – 20) q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =105.77 W/m ln(r o /r i ) 1 ln(5.67/2.5) 1 ⎯⎯⎯ +⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯⎯⎯ k r e h 0.17 (0.0567) (3) Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 30 (q/L) = (h) (2π) r (T i – T o ) =(3) (2π)(T i – T o ) =(3) (2π) (0.025) (200 – 20) (q/L) =84.8 W/m Luego la adición de 3.17 cm de aislamiento, lo que está haciendo es aumentar la transferencia de calor en 105.73 – 84.8 =20.93 W/m 2.10 Para una placa plana con generación uniforme de calor se tiene los siguientes datos: k = 200 W/m o C, q* =40 MW/m 3 , T 1 =160 º C (x=0) , T 2 =100 º C (x=2L), espesor de la placa 2 cm. Determinar: (a) T como una función de x. (b) q/A en la cara izquierda. (c) q/A en la cara derecha. (d) q/A en el centro de la placa. a) ( ) 1 1 2 T x x L 2 k 2 * q L 2 T T T + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = 2 5 3 7 x 10 x 10 160 160 x ) 200 ( 2 ) x 02 . 0 ( ) 10 x 4 ( 02 . 0 160 100 T − − = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = T en o C y x en m b) Se calcula dT/dx en x =0 y se reemplaza en la ecuación de Fourier. (dT/dx) =- 10 3 – (2) (10 5 ) x (dT/dx) x=0 =- 10 3 (q/A) =- k (dT/dx) =- (200) (-10 3 ) =+200 kW/m 2 El signo +significa que el calor fluye hacia el interior de la cara izquierda. c) Se calcula dT/dx en x =2L y se reemplaza en la ecuación de Fourier (dT/dx) 2L =- 10 3 – 2 (10 5 ) (0.02) =- 5 (10 3 ) (q/A) 2L =- k (dT/dx) =- (200) (- 5 x 10 3 ) =1 MW El balance de energía en la placa es CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 31 (q/A) x=2L =(q/A) x=0 +(q* x volumen /A) el cual puede ser utilizado para chequear los resultados. d) (dT/dx) x=L =- 10 3 – 2 (10 5 ) (0.01) =- 3 x 10 3 (q/A) x=L =- (200 (- 3 x 10 3 ) =+600 kW/m 2 2.11 Una corriente de 200 amperios pasa a través de un hilo de acero inoxidable (k =19 W/m o C) de 3 mm de diámetro. La resistividad del acero puede tomarse como 70 μΩ.cm y la longitud del hilo es 1 m. Se sumerge el hilo en un líquido a 110 º C siendo el coeficiente de transferencia de calor por convección de 4 kW/m 2 o C. Calcular la temperatura en el centro del hilo y el calor generado por unidad de volumen. La potencia generada en el interior del hilo se disipa por convección hacia el líquido. P =I 2 R =q =hA(T s - T ∞ ) La resistencia del hilo es: R =ρ (L/A) =70 x 10 -6 [100/(π) (0.15) 2 ] =0.099 Ω donde ρ es la resistividad del hilo. El área superficial del hilo es πDL, luego: (200) 2 (0.099) =(4000) (π) (0.003) (1) (T P – 110) =3960 W T P =215 o C El calor generado por unidad de volumen será: P 3960 q* =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =560.2 MW/m 3 πr 2 L (π) (0.015) 2 (1) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 32 La temperatura en el centro del hilo será: q* r o 2 (5.602 x 10 8 ) (0.015) 2 T o = ⎯⎯⎯ + T P =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 215 =231.6 o C 4k (4) (19) 2.12 Una superficie extendida de sección transversal rectangular tiene las siguientes dimensiones: longitud 3.5 cm, ancho 3.0 cm y espesor 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k =205 W/m o C), el coeficiente promedio de transferencia de calor es 600 W/m 2 o C, la temperatura en la base es igual a 135 º C y la temperatura del aire ambiente es 40 º C, calcular el calor disipado por la aleta. Considere longitud finita y desprecie el flujo de calor en el extremo de la aleta. q = hPkA (T o - T ∞ ) Tanh mL A =(0.03) (0.002) =6 x 10 -5 m 2 (2) (A) (2 ) (6 x 10 -5 ) m 2 (P/A) ≈ (2/t) ⇒ P =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.06 m t 0.002 m m = kt / h 2 = ) 002 . 0 )( 205 /( ) 600 )( 2 ( =54.1 m -1 L =0.035 Reemplazando: q = 5 10 x 6 )( 205 )( 06 . 0 )( 600 ( − (135 – 40) [tanh (54.1 x 0.035)] q =60.21 W PROBLEMAS PROPUESTOS 2.13 Una pared de concreto (k =1 W/m o C) de 10 cm de espesor tiene sus superficies a 80 o C y 20 º C, respectivamente. Calcular el flujo de calor por unidad de área a través de la pared. CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 33 2.14 Se va a construir una pared de 2 cm de espesor con un material que tiene una conductividad térmica media de 1.3 W/m o C. Se aisla la pared con un material que tiene una conductividad térmica media de 0.35 W/m o C de modo que la pérdida de calor por m 2 no supere los 1830 W. Suponiendo que las temperaturas de las superficies interna y externa de la pared aislada son 1300 º C y 30 º C, calcular el espesor de aislante necesario. 2.15 Una pared compuesta está formada por una placa de cobre de 2.5 cm, una capa de asbesto de 3.2 mm y una capa de 5 cm de fibra de vidrio. La pared está sometida a una diferencia de temperaturas total de 560 º C. Calcular el flujo de calor por unidad de área a través de la estructura compuesta. 2.16 Encontrar la transferencia de calor por unidad de área, a través de la pared compuesta esquematizada. Suponer flujo unidimensional. A B C D T 1 =370 o C T 2 =66 o C 2.5 cm 7.5 cm 5.0 cm Se tienen además los siguientes datos: k A =150 W/m o C, k B =30, k C =50, k D =70, A B =A D , A C =0.1 m 2 . 2.17 Una cara de un bloque de 5 cm de espesor se mantiene a 260 º C. La otra cara está cubierta con una capa de fibra de vidrio de 2.5 cm de espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 38 º C, y el flujo total de calor a través del conjunto cobre-fibra de vidrio es 44 kW. ¿Cuál es el área del bloque? 2.18 Una pared exterior de un edificio consiste en una capa de 10 cm de ladrillo corriente y una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k =0.05 W/m o C). Calcular el flujo de calor a través de la pared para una diferencia de temperaturas de 45 º C. 2.19 Una cara de un bloque de cobre de 4 cm de espesor se mantiene a 175 º C. La otra cara está cubierta con una capa de fibra de vidrio de 1.5 cm de TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 34 espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 80 º C, y el flujo total de calor a través del bloque compuesto es 300 kW. ¿Cuál es el área del bloque? 2.20 Un material determinado tiene un espesor de 30 cm y una conductividad térmica de 0.04 W/m o C. En un instante dado la distribución de temperaturas en función de x, distancia desde la cara izquierda, es T = 150 x 2 – 30 x, donde x está en metros. Calcular el flujo de calor por unidad de área en x=0 y x=30 cm. ¿Se está enfriando o calentando el sólido? 2.21 Una pared está construida con 2 cm de cobre, 3 mm de lámina de asbesto (k =0.166 W/m o C) y 6 cm de fibra de vidrio. Calcular el flujo de calor por unidad de área para una diferencia de temperaturas total de 500 º C. 2.22 Una pared está construida con una chapa de 4 mm de espesor de acero inoxidable (k =16 W/m o C) con capas plásticas idénticas a ambos lados del acero. El coeficiente de transferencia de calor global, considerando convección a ambos lados del plástico es 120 W/m 2 o C. Si la diferencia total de temperaturas a través del conjunto es 60 º C, calcular la diferencia de temperaturas a través del acero inoxidable. 2.23 Un depósito esférico, de 1 m de diámetro, se mantiene a una temperatura de 120 º C y está expuesto a un ambiente convectivo con h=25 W/m 2 o C y T ∞ =15 º C, ¿qué espesor de espuma de Styrofoam habría que añadir para asegurarse que la temperatura externa del aislante no sobrepase los 40 º C? ¿Qué tanto por ciento de reducción de pérdida de calor se obtiene al instalar este aislante? 2.24 Una pared de concreto de 15 cm de espesor, tiene una conductividad térmica k =0.865 W/m o C y está expuesta al aire a 20 º C por una cara y a aire a –7 º C por la cara opuesta. Los coeficientes de transferencia de calor son h I =11.34 w/m 2 o C sobre la cara de 20 º C y h o =56.7 W/m 2 o C sobre la cara de –7 º C. Determinar el flujo de calor transferido y la temperatura superficial de las dos caras. 2.25 La pared de un horno de una estufa está constituida por dos placas de acero delgadas, con aislante de fibra de vidrio (k =0.035 W/m o C) en el interior de ellas. La temperatura máxima de operación del horno puede suponerse 250 º C, mientras la temperatura ambiente de la cocina es 35 º C. Calcular el espesor de aislante que deben tener las paredes para evitar que la temperatura en la superficie exterior no exceda de 60 º C. El coeficiente de transferencia de calor para convección en ambas superficies puede suponerse 10 W/m 2 o C. CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 35 2.26 La pared de una casa se puede aproximar a dos capas de 1.2 cm de plancha de fibra aislante, una capa de 8 cm de asbesto poco compacta, y una capa de 10 cm de ladrillo corriente. Suponiendo coeficientes de transferencia de calor por convección de 15 W/m 2 o C en ambas caras de la pared, calcular el coeficiente global de transferencia de calor de este conjunto. 2.27 Una tubería de acero de 7.62 cm de diámetro exterior está recubierta con una capa de asbesto de 1.25 cm, la cual a su vez está recubierta con 5 cm de lana de vidrio. Determinar: a) El flujo de calor por metro de longitud. b) La temperatura de la interfaz entre el asbesto y la lana de vidrio, si la temperatura exterior de la tubería es 205 º C y la temperatura exterior de la lana de vidrio es 35 º C. 2.28 Una tubería de acero de 5 cm de diámetro exterior (DE) está recubierta por un aislamiento de 6.4 mm de asbesto (k =0.166 W/m o C), seguido de una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k =0.048 W/m o C). La temperatura de la pared de la tubería es 315 º C, y la temperatura del exterior del aislamiento es 38 º C. Calcular la temperatura de la interfaz entre el asbesto y la fibra de vidrio. 2.29 Una tubería de vapor caliente con una temperatura superficial interna de 250 º C tiene un diámetro interior de 8 cm y un espesor de pared de 5.5 mm. Ésta está recubierta de una capa de 9 cm de un aislante que tiene k =0.5 W/m o C, seguida de una capa de 4 cm de aislante que tiene k = 0.25 W/m o C. La temperatura exterior del aislamiento es 20 º C. Calcular la pérdida de calor por metro longitudinal. Suponer k =47 W/m o C para la tubería. 2.30 Una tubería está recubierta con asbesto (k =0.208 W/m o C). El coeficiente externo de transferencia de calor es 8.5 W/m 2 o C. Si T i =120 º C y T o = 20 º C, construya un gráfico de (q/L) W/m en función del radio r i haciendo variar r i desde 1.25 cm hasta 3.8 cm. Analizar el gráfico respecto al radio crítico de aislamiento. 2.31 Una pared plana de 6 cm de espesor genera internamente un calor de 0.3 MW/m 3 . Una cara de la pared está aislada, y la otra cara está expuesta a un entorno a 93 º C. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la pared y el entorno es 570 W/m 2 o C. La conductividad térmica de la pared es 21 W/m o C. Calcular la temperatura máxima de la pared. 2.32 En una varilla cuadrada de cobre de 2.5 cm, se genera un calor de 35.3 MW/m 3 . La varilla está expuesta a un entorno convectivo a 20 º C, y el TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 36 coeficiente de transferencia de calor es 4000 W/m 2 o C. Calcular la temperatura superficial de la varilla. 2.33 Una placa de 3 cm de espesor genera uniformemente un calor de 5 x 10 5 W/m 3 . Una cara de la placa se mantiene a 200 º C y la otra cara a 50 º C. Calcular la temperatura en el centro de la placa para k =20 W/m o C. 2.34 En una placa de acero inoxidable cuyo k =20 W/m o C, se genera calor de manera uniforme. El espesor de la placa es 1 cm y la generación de calor es 500 MW/m 3 . Si las dos caras de la placa se mantienen a 100 º C y 200 º C, respectivamente, calcular la temperatura en el centro de la placa. 2.35 Una placa con un espesor de 4 mm tiene una generación interna de calor de 200 MW/m 3 y una conductividad térmica de 25 W/m o C. Una cara de la placa está aislada y la otra cara se mantiene a 100 º C. Calcular la temperatura máxima de la placa. 2.36 El alambre de un calentador de resistencia eléctrica tiene un diámetro de 2.03 mm. La resistividad eléctrica es 80 x 10 -6 Ω.cm y la conductividad térmica es 19.03 W/m o C. Para una corriente eléctrica de 150 amperios que pasa por el alambre, determinar la elevación de temperatura desde la superficie del alambre hasta su centro. 2.37 Un cable de 30 cm de largo de acero inoxidable y 3.2 mm de diámetro, se somete a un voltaje de 10 voltios. La temperatura de la cara externa del cable se mantiene a 93 º C. Calcular la temperatura del centro del cable. Tomar la resistividad del cable como 70 μΩ.cm y la conductividad térmica como 22.5 W/m o C. 2.38 Un cable eléctrico de una aleación de aluminio tiene k =190 W/m o C, un diámetro de 30 mm, y transporta una corriente eléctrica de 230 amperios. La resistividad del cable es 2.9 μΩ.cm, y la temperatura de la superficie exterior del cable es 180 º C. Calcular la temperatura máxima dentro del cable si el aire ambiente está a 15 º C. 2.39 El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de diámetro está expuesto a un entorno convectivo con h =5000 W/m 2 o C y T ∞ =100 º C. ¿Qué corriente debe pasar a través del hilo para que la temperatura en el centro sea de 150 º C? La resistividad del cobre es 1.67 μΩ.cm. 2.40 Un tubo hueco que tiene 2.5 cm de diámetro interior y una pared de 0.4 mm de espesor está expuesto a un entorno con h =100 W/m 2 o C y T ∞ = 40 º C. ¿Qué generación de calor por unidad de volumen dentro del tubo CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 37 originará una temperatura máxima del tubo de 250 º C para k =24 W/m o C? 2.41 Por el interior de una tubería de aluminio de 2.5 cm de diámetro interior (DI) circula agua. El espesor de la pared es 2 mm, y el coeficiente de convección en el interior es 500 W/m 2 o C. El coeficiente de convección en el exterior es 12 W/m 2o C. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor. 2.42 Una esfera de acero inoxidable (k =16 W/m o C) que tiene un diámetro de 4 cm está expuesta a un ambiente convectivo a 20 º C, h =15 W/m 2 o C. Dentro de la esfera se genera un calor uniforme de 1.0 MW/m 3 . Calcular la temperatura en el centro de la esfera. 2.43 Una aleta recta rectangular de 2 cm de espesor y 14 cm de longitud está fabricada en acero y colocada en el exterior de una pared mantenida a 200 º C. La temperatura del ambiente es de 15 º C, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 20 W/m 2 o C. Calcular el calor perdido por la aleta por unidad de anchura. 2.44 Una aleta recta rectangular tiene una longitud de 2 cm y un espesor de 1.5 mm. La conductividad térmica es 55 W/m o C, y está expuesta a un ambiente convectivo a 20 º C y h =500 W/m 2 o C. Calcular la pérdida de calor máxima posible para una temperatura de la base de 150 º C. ¿Cuál es la pérdida real de calor para esta temperatura de la base? 2.45 Una aleta anular de perfil rectangular rodea un tubo de 2.5 cm de diámetro. La longitud de la aleta es 6.4 mm, y el espesor es de 3.2 mm. La aleta está fabricada con acero templado. Si se sopla aire sobre la aleta de modo que se alcance un coeficiente de transferencia de calor de 28 W/m 2 o C, y las temperaturas de la base y el aire son 260 y 93 o º, respectivamente, calcular la transferencia de calor desde la aleta. 2.46 Una aleta de aluminio de 1.6 mm de espesor rodea un tubo de 2.5 cm de diámetro. La longitud de la aleta es 12.5 mm. La temperatura de la pared del tubo es 200 º C y la temperatura ambiente es 20 º C. El coeficiente de transferencia de calor es 60 W/m 2 o C¿Cuál es el calor perdido por la aleta? 2.47 Una aleta recta de perfil rectangular está fabricada en duraluminio (94% Al, 3% Cu) con un espesor de 2.4 mm. La aleta tiene 19 mm de longitud, y está sometida a un entorno convectivo con h = 85 W/m 2 o C. Si la temperatura de la base es 90 º C y el ambiente está a 25 º C, calcular la transferencia de calor por unidad de longitud de la aleta. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 38 2.48 Un tubo de 2.5 cm de diámetro tiene aletas anulares de perfil rectangular, longitudinalmente espaciadas en incrementos de 9.5 mm. Las aletas son de aluminio, de 0.8 mm de espesor y 12.5 mm de longitud. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 200 º C, y la temperatura ambiente es 93 º C. El coeficiente de transferencia de calor es 110 W/m 2 o C. Calcular la pérdida de calor del tubo por metro de longitud. 2.49 Una aleta recta rectangular de acero (1% de C) tiene 2.6 cm de espesor y 17 cm de largo. Está colocada en el exterior de una pared mantenida a 230 º C. La temperatura del aire circundante es 25 º C, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 23 W/m 2 o C. Calcular la pérdida de calor de la aleta por unidad de anchura y el rendimiento de la aleta. CAPITULO 3 CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL La ecuación de Laplace aplicable a un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional y suponiendo conductividad térmica constante sin generación de calor es: ∂ 2 T ∂ 2 T ∂ 2 T ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 El objetivo fundamental es con frecuencia determinar el flujo de calor o la temperatura resultante de un flujo de calor. Teniendo en cuenta que la principal aplicación de la ecuación anterior se hará sólo en las dimensiones x, y (flujo bidimensional) la ecuación será: ∂ 2 T ∂ 2 T ⎯⎯ + ⎯⎯ =0 ∂x 2 ∂y 2 La solución de la ecuación anterior proporciona la temperatura en un cuerpo bidimensional como función de x e y. El flujo de calor puede calcularse después a partir de las ecuaciones de Fourier: q x =- kA (∂T/∂x) y q y =- kA (∂T/∂y) Estos flujos de calor se dirigen en la dirección x o y. El flujo total de calor en cualquier punto del material es el resultado de q x y q y en este punto. El vector flujo total de calor es entonces perpendicular a las líneas de temperatura constante en el material (ver figura). TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 40 q y q =q x +q y q x Existen diferentes métodos para resolver la ecuación de Laplace, entre los cuales están: técnicas analíticas, gráficas, numéricas y análogas. 3.1 SOLUCION ANALITICA Considerando la placa rectangular del diagrama, como caso particular y más sencillo y resolviendo la ecuación de Laplace por el método de separación de variables y con una distribución sinusoidal de temperaturas se tiene: Y X H W T 1 T 1 T 1 T =f(x) Para las siguientes condiciones de contorno: T =T 1 en y =0 ; T =T 1 en X =0 ; T =T 1 en x =W ; T =T 2 en y =H CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 41 T – T 1 2 ( - 1) n+1 + 1 nπx senh (nπy/W) ⎯⎯⎯ =⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ T 2 – T 1 π n W senh (nπH/W) ∑ ∞ =1 n 3.2 SOLUCION GRAFICA La figura representa una tubería con una capa de material aislante. La superficie interior está a T 1 mientras que la superficie exterior se encuentra a T 2 y existe un flujo de calor en la dirección T 1 >T 2 . Como se ve en la figura, las isotermas y las líneas de flujo de calor forman grupos de figuras (elementos) curvilíneas. El flujo de calor por unidad de profundidad para cada elemento será: (q/L) =- k Δx (ΔT / Δy) Cada sección perpendicular a la línea isotérmica puede llamarse un “ducto” de flujo de calor y el número de éstos correspondiente a un área determinada será M. Si en cada elemento Δx ≅ Δy se tiene: (q/L) = k ΔT ΔT debe tomarse positivo isotermas típicas T 1 >T 2 T 2 Δx Δy TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 42 Como el flujo de calor es proporcional a ΔT a través de cada elemento debe ser el mismo dentro de cada “ducto” de flujo de calor, por lo tanto: ΔT =ΔT global / N = (T 1 – T 2 ) / N N =número de elementos por ducto Luego el flujo de calor a través de los M “ductos” de calor será: q (T 1 – T 2 ) ⎯⎯ =k ⎯⎯⎯⎯ x M L N Para el ejemplo de la figura, en cada cuadrante: M =4 y N =4. Luego (M/N) =1. La relación (M/N) se denomina factor de forma conductivo y se representa por la letra S. En un sistema bidimensional en el que sólo hay involucradas dos temperaturas límite el flujo de calor por unidad de profundidad será: q/L =k S ΔT global =k S (T 1 – T 2 ) Valores de S se han calculado para diversas geometrías y se pueden consultar en la siguiente tabla: Tabla 3-1 Factores de Forma Conductivos Nota: Para objetos inmersos, la diferencia de temperaturas es ΔT =T objeto – T campo lejano . La temperatura del campo lejano se toma igual a la temperatura de la superficie isoterma para un medio semi-infinito. Sistema Físico Esquema Factor de forma Restricciones Cilindro isotermo de radio r inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma. Isoterma 2πL ⎯⎯⎯⎯⎯ cosh -1 (D/r) 2π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (D/r) L>>r L>>r D>3r CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 43 Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio infinito 4π r Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma ΔT =T sup – T campo lejano Isoterma 4 π r ⎯⎯⎯⎯ 1 – r/2D Conducción entre dos cilindros isotermos de longitud L inmersos en un medio infinito. 2 π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ D 2 – r 1 2 – r 2 2 cosh -1 (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 2r 1 r 2 L>>r L>>D Cubo inmerso en un medio infinito, lado L 8.24 L Cilindro isotermo de radio r situado en un medio semi-infinito como se muestra. 2 π L ⎯⎯⎯⎯ ln (2L/r) L>>2r Paralelepípedo rectangular isotermo inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma. b 1.685 L [log (1 +⎯ ) -0.59 a b x ( ⎯) -0.078 c TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 44 Pared plana A/L Flujo de calor unidimensio- nal Cilindro hueco, longitud L. 2 π L ⎯⎯⎯⎯ ln(r e /r i ) L>>r Esfera hueca 4 π r e r i ⎯⎯⎯⎯ r e - r i Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma Isoterma 4r 8r 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (π/2) – tan -1 (r/2D) D =0 D >>2 (D/2r)>1 tan -1 (r/2D) en radianes Semiesfera inmersa en un medio semi-infinito ΔT =T esfera – T campo lejano 2π r Esfera isoterma inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie está aislada. 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 +(r/2D) Dos esferas isotermas inmersas en un medio infinito 4π r 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r 2 (r 1 /D) 4 2r 2 ⎯ [1- ⎯⎯⎯⎯] - ⎯⎯ r 1 1 – (r 2 /D) 2 D D>5r máx Placa rectangular delgada de longitud L, inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma. π W ⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L) 2π W ⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L) D =0 W>L D>>W W>L CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 45 2π W ⎯⎯⎯⎯⎯ ln(2πD/L) W>>L D>W Discos paralelos inmersos en un medio infinito. 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ π [ ⎯ - tan -1 (r/D)] 2 D>5r tan -1 (r/D) en radianes Cilindros excéntricos de longitud L 2 π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r 1 2 +r 2 2 - D 2 cosh -1 (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 2r 1 r 2 L>>r 2 Cilindro centrado en un prisma cuadrado de longitud L 2π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln(0.54W/r) L>>W Cilindro horizontal de longitud L centrado en una placa infinita. 2π L ⎯⎯⎯⎯ ln(4D/r) Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi infinito cuya superficie es adiabática. 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (π/2) +tan -1 (r/2D) (D/2r) >1 tan -1 (r/D) en radianes Para facilitar los cálculos: cosh -1 x =ln (x ± 1 x 2 − ) Un caso particular como la pared tridimensional de un horno, se utilizan por separado factores de forma para calcular el flujo de calor a través de las secciones de las aristas y de las esquinas. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 46 Si todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared: S pared =(A/L) ; S arista =0.54 D ; S esquina =0.15 L A =área de la pared L =espesor de la pared D =longitud de la arista 3.3 ANALISIS NUMERICO Consideramos el cuerpo bidimensional de la figura. El cuerpo tiene un espesor uniforme L en la dirección z y no hay gradiente de temperaturas en esta dirección. Considerando incrementos Δx y Δy apropiados, el cuerpo se divide en un gran número de rectángulos, donde cada uno tiene un punto nodal o nodo en su centro. CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 47 Un balance de energía al interior de un punto nodal, en estado estacionario es: q 1⇒ n + q 2 ⇒ n + q 3 ⇒ n + q 4 ⇒ n =0 Utilizando la ecuación de Fourier: (T 1 – T n ) (T 2 – T n ) (T 3 – T n ) (T 4 – T n ) kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ +kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ =0 Δx Δy Δx Δy Si Δx =Δy T 1 +T 2 +T 3 +T 4 – 4 T n =0 Para aplicar el método numérico debe escribirse la ecuación anterior para cada nodo dentro del material y resolver el sistema de ecuaciones resultante para las temperaturas de los nodos. La solución del sistema de ecuaciones puede hacerse empleando matrices, regla de Cramer, método de eliminación de variables de Gauss, método de relajación o utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel. Para ilustrar la aplicación del método anterior consideramos el ejemplo mostrado en la figura: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 48 Las cuatro ecuaciones para los nodos 1,2,3 y 4 son: 100 +500 +T 2 +T 3 – 4 T 1 =0 T 1 +500 +100 +T 4 – 4 T 2 =0 100 +T 1 +T 4 +100 – 4 T 3 =0 T 3 +T 2 +100 +100 – 4 T 4 =0 La solución a este sistema es: T 1 =T 2 =250 º C y T 3 =T 4 =150 o C Por la simetría del material se puede deducir que T 1 =T 2 y T 3 =T 4 . El calor puede calcularse ahora a partir de: q =∑ k Δx (ΔT / Δy) donde ΔT se toma en los contornos. El flujo de calor sobre la cara de 500 º C o sobre las tres caras de 100 º C será: Sobre la cara de 500 º C y considerando que Δx =Δy: q =- k [ (250 – 500) +(250 – 500)] =500 k Sobre las tres caras de 100 º C: CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 49 q =- k [(250 – 100) +(150 – 100) +(150 – 100) +(150 – 100) +(150 – 100) + (250 – 100)] q =- 500 k Nodo exterior con contorno convectivo Con frecuencia las temperaturas de los nodos exteriores no se conocen y deben ser calculadas como se muestra en el siguiente ejemplo: T ∞ El balance de energía en estado estacionario alrededor del nodo n es: (Δy) T 1 – T n T 2 – T n (Δy) T 3 - T n kL ⎯⎯ ( ⎯⎯⎯⎯ ) +kL(Δx) ( ⎯⎯⎯⎯ ) +kL ⎯⎯ ( ⎯⎯⎯⎯ ) 2 Δx Δy 2 Δx +hL(Δx)(T ∞ - T n ) =0 La ecuación anterior se simplifica hasta ( ) 0 T ) 2 k x h ( ) T ( k x h T T 2 T 2 1 n 3 2 1 = + Δ − Δ + + + ∞ Las ecuaciones nodales para otras geometrías se dan en la siguiente tabla: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 50 Tabla 3.2 Ecuaciones nodales para cálculos de diferencias finitas Configuración física Ecuación nodal para incrementos iguales de x e y Esquina exterior con contorno convectivo 1 hΔx hΔx ⎯ ( T 1 +T 2 ) +⎯⎯⎯ (T ∞ ) – ( ⎯⎯⎯ +1 ) T n =0 2 k k Esquina interior con contorno convectivo 1 hΔx hΔx T 1 +T 4 +⎯ (T 2 +T 3 ) +⎯⎯⎯ (T ∞ ) – ( ⎯⎯⎯ +3 ) T n =0 2 k k Contorno aislado 1 ⎯ (T 1 +T 2 ) +T 3 – 2T n =0 2 Nodo interior cercano a un contorno curvo T 1 T 2 T 3 T 4 1 1 ⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯ +( ⎯ +⎯ ) T n =0 a(a+1) b+1 a+1 b(b+1) a b h, T ∞ h, T ∞ CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 51 3.4 ANALOGIA ELECTRICA PARA LA CONDUCCION BIDIMENSIONAL La conducción eléctrica en régimen estacionario en un material homogéneo de resistividad constante es análoga a la conducción de calor en régimen estacionario para un cuerpo de forma geométrica similar. Para la conducción eléctrica bidimensional es aplicable la ecuación de Laplace: ∂ 2 E ∂ 2 E ⎯⎯ +⎯⎯ =0 ∂x 2 ∂y 2 donde E es el potencial eléctrico. Una forma muy sencilla de resolver un problema de conducción de calor bidimensional es establecer una analogía eléctrica y determinar experimentalmente los factores de forma geométricos para utilizarlos en la ecuación: q =k S ΔT global . PROBLEMAS RESUELTOS 3.1 Para el plato mostrado en la figura, determine la temperatura en el centro del plato. W =H =2 m., T 1 =280 K, T =f(x) =320 K. Y X H W T 1 T 1 T 1 T =f(x) La temperatura en el centro del plato corresponde a x=1 , y=1 Se construye la siguiente tabla: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 52 n (-1) n+1 +1 ⎯⎯⎯⎯⎯ n nπx sen ⎯⎯ W nπy senh ⎯⎯ W nπH senh ⎯⎯ W 1 2 1 2.3013 11.5487 3 0.666 -1 55.6544 6195.82 5 0.4 1 1287.98 3.31 x 10 6 Reemplazando en la ecuación: T – T 1 2 ( - 1) n+1 + 1 nπx senh (nπy/W) ⎯⎯⎯ =⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∑ T 2 – T 1 π n W senh (nπH/W) n ∞ =1 T – T 1 2 π senh (π/2) 3π senh (3π/2) ⎯⎯⎯ =⎯⎯ [ (2) ( sen ⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ ) +(0.666) ( sen ⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯ ) T 2 – T 1 π 2 senh π 2 senh 3π 5π senh (5π/2) +(0.4) ( sen ⎯⎯ ) ( ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ) 2 senh 5π T – T 1 ⎯⎯⎯ =(2/π) (0.398538 – 0.005988 +0.000155 ....) =0.25 T 2 – T 1 T =(T 2 – T 1 ) +T 1 =(320 – 280) (0.25) +280 =290 K 3.2 Una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 4 m de longitud está enterrada a una profundidad de 20 cm. La temperatura de la pared de la tubería es de 75 º C y la temperatura de la superficie de la tierra es de 5 º C. Suponiendo que la conductividad térmica de la tierra es 0.8 W/m o C, calcular el calor perdido por la tubería. El factor de forma tomado de la tabla 3-1, y teniendo en cuenta que L >>r 2πL 2π (4) S =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =15.35 m cosh -1 (D/r) cosh -1 (20/7.5) El flujo de calor será: CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 53 q =kS ΔT =(0.8) (15.35) (75 – 5) =859.6 W 3.3 Un pequeño horno cúbico de dimensiones interiores 50 x 50 x 50 cm y 10 cm de espesor está construído de ladrillo refractario (k=1.04 W/m o C). El interior del horno se mantiene a 500 º C y el exterior se mantiene a 50 º C. Calcular el calor perdido a través de las paredes. El factor de forma se calcula sumando los factores de forma de las paredes aristas y esquinas.: Paredes: S =(A/L) =(0.5) (0.5) / 0.1 =2.5 m Aristas : S =0.54 D =(0.54) (0.5) =0.27 m Esquinas: S =0.15 L =(0.15) (0.1) =0.015 m Hay seis secciones de pared, doce aristas y ocho esquinas, de modo que el factor de forma total es S =(6) (2.5) +(12) (0.27) +(8) (0.015) =18.36 m y el flujo de calor será: q = kS ΔT =(1.04) (18.36) (500 – 50) =8.592 kW 3.4 Un disco de 30 cm de diámetro que se mantiene a una temperatura de 95 º C está enterrado a una profundidad de 1 m en un medio semi-infinito cuya superficie, que es isoterma, está a 20 º C y cuya conductividad térmica es 2.1 W/m o C. Calcular el calor perdido por el disco. A partir de la tabla 3-1, el factor de forma seleccionado es aquel para el cual (D/2r) =(1/0.3) =3.33 >1 4πr S =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (π/2) – tan -1 (r/2D) 4π (0.15) 4π (0.15) S =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.26 m (π/2) – tan -1 (0.15/2) [ (π/2) – 0.07486] TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 54 Para objetos enterrados, el factor de forma está basado en que ΔT =T objeto – T campo lejano . La temperatura del campo lejano se toma como la temperatura de la superficie isoterma, y el calor perdido por el disco es: q=kS ΔT =(2.1) (1.26) (95 – 20) =198.45 W 3.5 Dos discos paralelos de 50 cm de diámetro están separados 1.5 m en un medio infinito de k =2.4 W/m o C. Un disco se mantiene a 80 º C y el otro a 20 º C. Calcular el calor transferido entre los discos. De la tabla 3-1 como D>5r el factor de forma será: 4πr 4π (0.25) S =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =2.235 m (π/2) – tan -1 (r/D) (π/2) – tan -1 (0.25/1.5) q =kS ΔT =(2.3) (2.235) ( 80 – 20) =308.4 W 3.6 El diagrama muestra la sección de una chimenea. Suponiendo que el material tiene una conductividad térmica uniforme, la temperatura interna es 150 º C y la temperatura exterior es 40 º C, Calcular las temperaturas correspondientes a los nodos a, b, c, d, y e. a b c d e 40 o C 150 o C f CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 55 Por simetría del diagrama: T b =T d ; T a =T e ; T b =T f Las ecuaciones nodales serán: Nodo c: T b +T d +40 +40 – 4T c =0 Nodo d: T c +T e +150 +40 – 4T d =0 Nodo e: T d +T f +150 +40 – 4T e =0 Ordenando y simplificando: 2T c – T d +0 =40 - T c +4T d – T e =190 0 – T d +2T e =95 Resolviendo por la regla de Cramer: T c =62.9 o C T d =85.8 o C T e =90.4 o C 3.7 Con referencia al cuadrado de la figura, calcular la temperatura de los nodos indicados y el flujo de calor en los contornos. El lado es 1 metro. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T =100 o C T ∞ =100 o C T =500 o C T ∞ =100 o C TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 56 La conductividad térmica del material es k =10 W/m o C y el coeficiente h =10 W/m 2 o C. Para los nodos 1, 2, 4 y 5 las ecuaciones son: Nodo 1: 100 +500 +T 2 +T 4 – 4T 1 =0 Nodo 2: 500 +T 3 +T 1 +T 5 – 4T 2 =0 Nodo 4: 100 +T 7 +T 1 +T 5 – 4T 4 =0 Nodo 5: T 6 +T 8 +T 2 +T 4 – 4T 5 =0 Para los nodos 3, 6, 7 y 8, se aplica la ecuación de un nodo exterior con contorno convectivo (ver teoría), las ecuaciones son: Nodo 3: 2T 2 +T 6 +567 – 4.67 T 3 =0 Nodo 6: 2T 5 +T 3 +T 9 +67 – 4.67 T 6 =0 Nodo 7: 2T 4 +T 8 +167 – 4.67T 7 =0 Nodo 8: 2T 5 +T 7 +T 9 +67 – 4.67T 8 =0 Para el nodo 9, es una esquina exterior con contorno convectivo, se aplica la ecuación de la tabla 3-2: Nodo 9: T 6 +T 8 +67 – 2.67T 9 =0 Las nueve ecuaciones con nueve temperaturas se resuelven por un método numérico y los resultados finales son: Nodo T ( o C) 1 280.67 2 330.3 3 309.38 4 192.38 5 231.15 6 217.19 7 157.70 8 184.71 9 175.62 CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 57 Los flujos de calor en los contornos se calculan de dos modos: como flujos conductivos para las caras a 100 º C y 500 º C y como flujos convectivos en las otras dos caras. Para la cara de 500 º C el flujo que entra es: q=∑ kΔx (ΔT/Δy) =(10) [500 – 280.67 +500 – 330.3 +(500 – 309.38)(1/2))] q =44843.4 W/m El flujo que sale de la cara de 100 º C es: q =(10) [280.67 – 100 +192.38 – 100 +(157.7 – 100) (1/2)] =3019 W/m El flujo que sale de la cara derecha viene dado por la relación de convección: q =∑ hΔy(T - T ∞ ) q =(10) (1/3) [309.38 – 100 +217.19 – 100 +(175.62 – 100) (1/2)] q =1214.6 W/m Finalmente, el flujo que sale de la cara inferior es: q =∑ hΔy(T - T ∞ ) q =(10)(1/3)[(100–100)(1/2)+157.7–100+184.71–100 +(175.62–100)(1/2)] q =600.7 W/m El flujo total de calor que sale es: q sale =3019 +1214.6 +600.7 =4834.3 W/m Resultado que es igual al calor que entra por la cara superior. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 58 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.8 En la barra de sección transversal cuadrada que se muestra en la figura, determinar la temperatura en el punto x =0.2 m , y =0.2 m. 100 o C 0 o C 0.3 m 0 o C 0 o C 3.9 Determine la temperatura en el centro de la figura. Y X 100 o C 50 o C 50 o C 200 o C 3.10 Encontrar la temperatura en el centro del plato rectangular de la figura. CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 59 Y X 80 o C 0 o C 0 o C 0 o C 2 1 3.11 Una tubería de 6 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a 210 º C pasa por el centro de una losa de hormigón de 45 cm de espesor. Las temperaturas exteriores de la losa se mantienen a 15 º C. Utilizando la tabla 3.1, calcular las pérdidas de calor por unidad de longitud en la tubería. 3.12 Un cubo de 35 cm de lado exterior está construido de ladrillo refractario. El espesor de la pared es 5 cm. La temperatura de la superficie interior es 500 º C y la temperatura de la superficie exterior es 80 º C. Calcular el flujo de calor en vatios. 3.13 Dos cilindros largos de 8 y 3 cm de diámetro están completamente rodeados por un medio de k =1.4 W/m o C. La distancia entre los centros es 10 cm y los cilindros se mantienen a 200 o C y 35 o C. Calcular el calor transferido por unidad de longitud. 3.14 Una esfera de 1 m de diámetro que se mantiene a 30 º C está enterrada en un lugar donde k =1.7 W/m o C. La profundidad del centro es 2.4 m y la temperatura de la superficie de la tierra es 0 o C. Calcular el calor perdido por la esfera. 3.15 Un gran tanque esférico de almacenaje de 2 m de diámetro, está enterrado en la tierra en un lugar donde la conductividad térmica es 1.5 W/m o C. El tanque se utiliza para almacenar agua y hielo a 0 o C, y la temperatura del ambiente de la tierra es 20 º C. Calcular la pérdida de calor del tanque. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 60 3.16 Dos largos cilindros excéntricos de 15 y 4 cm de diámetro respectivamente se mantienen a 100 º C y 20 º C separados por un material de k =3 W/m o C. La distancia entre centros es 4.5 cm. Calcular el calor transferido por unidad de longitud entre los cilindros. 3.17 Dos tuberías enterradas se mantienen a las temperaturas de 300 º C y 125 º C. Sus diámetros son 8 y 16 cm y la distancia entre centros es 40 cm. Calcular el flujo de calor por unidad de longitud si la conductividad térmica de la tierra en ese lugar es k =0.7 W/m o C. 3.18 Una esfera caliente de 1.5 m de diámetro se mantiene a 300 º C inmersa en un material de k =1.2 W/m o C cuya superficie exterior está a 30 º C. La profundidad del centro de la esfera es 3.75 m. Calcular la pérdida de calor. 3.19 Dos tuberías están inmersas en un material aislante de k =0.8 W/m o C. Una de las tuberías tiene 10 cm de diámetro y lleva un fluido caliente a 300 º C, mientras que la otra tiene 2.8 cm de diámetro y lleva un fluido frío a 15 º C. Las tuberías son paralelas y sus centros están separados 12 cm. Calcular el flujo de calor por metro de longitud entre las tuberías. 3.20 En cierto lugar la conductividad térmica de la tierra es k =1.5 W/m o C. En este lugar, una esfera isoterma que tiene una temperatura de 5 º C y cuyo diámetro es 2 m se encuentra enterrada, estando su centro a una profundidad de 5 m. La temperatura de la tierra es 25 º C. Calcular el calor ganado por la esfera. 3.21 Dos tuberías de 5 cm y 10 cm de diámetro están totalmente rodeadas de asbesto poco compacto. La distancia entre los centros de las tuberías es 20 cm. Una de las tuberías lleva vapor a 110 º C, mientras que la otra lleva agua fría a 3 º C. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por la tubería caliente. 3.22 Un cilindro largo cuya superficie se mantiene a 135 º C está inmerso en un material cuya conductividad térmica es k =15.5 W/m o C. El diámetro del cilindro es 3 cm y la profundidad de su eje es 5 cm. La temperatura de la superficie del material es 46 º C. Calcular el calor por metro de longitud perdido por el cilindro. 3.23 Una esfera de 3 m de diámetro contiene hielo y agua a 0 o C y está inmersa en un medio semi-infinito que tiene una conductividad térmica k =0.2 W/m o C. La superficie superior del medio es isoterma a 30 º C y el centro de la esfera está a una profundidad de 8.5 m. Calcular el calor perdido por la esfera. CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 61 3.24 Un calentador eléctrico con forma de placa de 50 por 100 cm, está situado en la parte superior de una medio semi-infinito que tiene una conductividad térmica de k = 0.74 W/m o C. Toda la superficie del calentador se mantiene a 120 º C y la temperatura del material aislante a gran distancia del calentador es 15 º C. Calcular el calor transmitido por conducción al material aislante. 3.25 Las dimensiones interiores de un pequeño horno son 60 x 70 x 80 cm y su espesor 5 cm. Calcular el factor de forma de esta configuración geométrica. 3.26 Una tubería de 15 cm de diámetro, que lleva vapor a 150 º C, está enterrada cerca de una tubería de 5 cm que lleva agua fría a 5 º C. La distancia entre los centros es 15 cm y la conductividad térmica de la tierra en este lugar puede tomarse como k =0.7 W/m o C. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por la tubería de vapor. 3.27 Si en el problema 3.6 la temperatura interna es 100 º C y la temperatura externa es 0 o C en los cuatro lados, determine las temperaturas en los nodos a, b, c, d, e y f. 3.28 Calcular las temperaturas de los puntos 1, 2, 3 y 4. utilizando un método numérico. 4 1 2 3 100 o C 700 o C 500 o C 400 o C TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 62 3.29 Calcular las temperaturas de los nodos 1 a 6 de la figura. 2 o C 3.30 Las superficies interior y exterior de una chimenea cuya sección transversal se muestra en el esquema se encuentran a 100 º C y 0 o C. Determine las temperaturas en los nodos 1, 2, 3, y 4. 3.31 El diagrama muestra la sección transversal de una barra. El material tiene una conductividad térmica de 3 W/m o C y el coeficiente de transferencia 50 o C 3 4 5 6 50 o C T ∞ =15oC 50 o C 1 2 h=12 W/m Δx =Δ y =25 cm k =1.5 W/m o C 100 o C 0 o C 4 3 1 2 CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 63 de calor por convección es 10 W/m 2 o C. Determine las temperaturas en los nodos 1 al 9. (Δx =Δy =0.1 m) 500 o C T ∞ =100 o C 100 o C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.32 Dos superficies de una barra de sección transversal cuadrada como la mostrada en la figura se mantienen a 100 º C mientras las otras dos se mantienen a 0 o C. Determine las temperaturas en los nodos 1, 2, 3 y 4. 0 o C 100 o C 100 o C 1 2 3 4 0 o C TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 64 3.33 Calcular las temperaturas en los nodos 1 a 9. h =25 T ∞ =5 o C 3.34 En la siguiente sección, la superficie 1-4-7 está aislada. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie 1-2-3 es 28 W/m 2 o C. La conductividad térmica del material sólido es 5.2 W/m o C. Calcular las temperaturas de los nodos 1,2,4 y 5. 100 o C 100 o C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aislado Δx =Δy =25 cm k =1.5 Aislada 1 3 4 7 2 5 8 6 9 30 cm T ∞ =0 o C h =28 T 7 =T 8 =T 9 =38 o C T 3 =T 6 =10 o C CAPITULO 4 CONDUCCION NO ESTACIONARIA Hasta el momento se han considerado problemas de transferencia de calor en los cuales la temperatura es independiente del tiempo. En muchas aplicaciones, sin embargo, la temperatura está variando con el tiempo. El análisis de tales problemas llamados no estacionarios pueden entenderse bajo la ecuación general de la conducción tomada inicialmente en una dimensión: ∂ 2 T 1 ∂T ⎯⎯ =⎯ ⎯⎯ ∂x 2 α ∂τ Para la solución de la ecuación anterior se necesitan condiciones de contorno en la dirección x y una condición de tiempo como se verá más adelante. 4.1 METODO DE CAPACIDAD TERMICA GLOBAL O RESISTENCIA INTERNA DESPRECIABLE Algunos autores lo denominan también análisis por bloques. Para que pueda aplicarse este método debe considerarse que la temperatura de un sistema durante un calentamiento o un enfriamiento depende casi exclusivamente del tiempo y no de la distancia. Puede suponerse que en estas circunstancias la conductividad térmica del material que constituye el sistema es suficientemente alta para que la caída de temperatura en su interior sea insignificante. En igual forma si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas, las diferencias de temperatura en su interior son también insignificantes. Si suponemos el cuerpo mostrado en la figura, el cual está inicialmente a una temperatura T o , y éste se sumerge repentinamente en un fluido a menor temperatura T ∞ cuyo valor es constante, la resistencia interna a la conducción es insignificante respecto a la resistencia externa a la convección. La temperatura del cuerpo dependerá únicamente del tiempo. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 66 q =hA(T - T ∞ ) =- CρV (dT/dτ) La pérdida de calor por convección desde el cuerpo equivale a la disminución de la energía interna del cuerpo. q =hA(T - T ∞ ) =- CρV (dT/dτ) donde: h =coeficiente de transferencia de calor. A =área del cuerpo para transferencia de calor por convección. ρ =densidad del material que constituye el sistema. V =volumen del cuerpo. C =calor específico del material que constituye el sistema. La solución a la ecuación anterior para T =T o en τ =0 es: T – T ∞ - (hA/ρCV) τ ⎯⎯⎯ = e T o - T ∞ T ∞ =temperatura del ambiente convectivo. La cantidad CρV/hA se denomina constante de tiempo del sistema ya que tiene las dimensiones de tiempo. 4.2 NUMEROS DE BIOT Y FOURIER Si se considera la relación V/A =s como una longitud característica del sólido , el grupo hs/k es adimensional y se llama número de Biot. Bi =Número de Biot =(hs/k) CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 67 El número de Fourier Fo es adimensional y se define como: Fo =Número de Fourier =(ατ/s 2 ) =(kτ/ρCs 2 ) El número de Biot compara los valores relativos de la resistencia a la transferencia de calor por convección en la superficie y la resistencia interna a la conducción. Puede aplicarse el método de capacidad térmica global con un error de no más del 5% si Bi<0.1. El número de Fourier compara una longitud característica del cuerpo con un valor aproximado de la longitud hasta la que penetra la onda de temperatura en un tiempo dado “τ”. Un valor muy bajo del número de Biot significa que la resistencia a la conducción es despreciable en comparación con la resistencia convectiva de la superficie. Esto a su vez implica que la temperatura será prácticamente uniforme a lo largo del sólido, y su comportamiento puede aproximarse por el método de análisis de la capacidad global. El exponente (hA/ρCV) τ toma la siguiente forma: hA hτ hs kτ ⎯⎯ τ =⎯⎯⎯ =⎯⎯ x ⎯⎯⎯ =Bi Fo ρCV ρCs k ρCs 2 Luego la ecuación que relaciona las temperaturas en el sistema de capacidad térmica global es: T - T ∞ - Bi Fo e ⎯⎯⎯ = T o - T ∞ 4.3 FLUJO DE CALOR TRANSITORIO EN UN SOLIDO SEMI-INFINITO Se considera el sólido semi-infinito mostrado en la figura. Se supone que todo el sólido se encuentra inicialmente a una temperatura constante T i y repentinamente su superficie plana experimenta un cambio de temperatura, de tal manera que ésta adquiere un valor constante T o . TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 68 q o =-kA (dT/dx) x=0 T i x T o La ecuación diferencial para la distribución de temperaturas T (x,τ) , cuando las propiedades son constantes es: ∂ 2 T 1 ∂T ⎯⎯ =⎯ ⎯⎯ ∂x 2 α ∂τ Esta ecuación diferencial requiere una condición inicial y dos condiciones de frontera para determinar de una manera única la distribución de temperatura T (x,τ) en el sólido. Puesto que inicialmente la temperatura del sólido es constante: T (x,0) =T i Por otra parte, puesto que la temperatura en la superficie se mantiene constante durante el proceso transitorio T (0,τ) =T o Al ser el sólido infinitamente grande en la dirección del flujo de calor T (∞,τ) =T i La solución mediante transformación de Laplace es: CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 69 T (x,τ) – T o x ⎯⎯⎯⎯ =erf ⎯⎯⎯⎯ =erf u T i – T o ατ 4 donde la función de error de Gauss (erf) viene definida por: η π = ∫ η − d e 2 u erf u 0 2 Efectuando la derivada parcial de la ecuación anterior: ∂T T i – T o - (x 2 /4ατ) e ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ ∂x πατ Sustituyendo este gradiente en la ley de Fourier, el flujo de calor será: ατ − πατ − = 4 / x i o 2 e ) T T ( k A q Para x =0 (flujo de calor en la superficie) kA (T o – T i ) q o =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ πατ La gráfica 4-1 representa la distribución de temperatura para un sólido semi- infinito. La tabla 4-1 suministra los valores de la función de error. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 70 Gráfica 4-1 – Distribución de temperaturas para un sólido semi-infinito TABLA 4-1 - FUNCION DE ERROR ατ 2 x ατ 2 x erf ατ 2 x ατ 2 x erf ατ 2 x ατ 2 x erf 0.00 0.00000 0.76 0.71754 1.52 0.96841 0.02 0.02256 0.78 0.73001 1.54 0.97059 0.04 0.04511 0.80 0.74210 1.56 0.97263 0.06 0.06762 0.82 0.75381 1.58 0.97455 0.08 0.09008 0.84 0.76514 1.60 0.97636 0.10 0.11246 0.86 0.77610 1.62 0.97804 0.12 0.13476 0.88 0.78669 1.64 0.97962 0.14 0.15695 0.90 0.79691 1.66 0.98110 0.16 0.17901 0.92 0.80677 1.68 0.98249 0.18 0.20094 0.94 0.81627 1.70 0.98379 0.20 0.22270 0.96 0.82542 1.72 0.98500 0.22 0.24430 0.98 0.83423 1.74 0.98613 0.24 0.26570 1.00 0.84270 1.76 0.98719 0.26 0.28690 1.02 0.85084 1.78 0.98817 0.28 0.30788 1.04 0.85865 1.80 0.98909 0.30 0.32863 1.06 0.86614 1.82 0.98994 0.32 0.34913 1.08 0.87333 1.84 0.99074 0.34 0.36936 1.10 0.88020 1.86 0.99147 0.36 0.38933 1.12 0.88079 1.88 0.99216 0.38 0.40911 1.14 0.89308 1.90 0.99279 0.40 0.42839 1.16 0.89910 1.92 0.99338 0.42 0.44749 1.18 0.90484 1.94 0.99392 0.44 0.46622 1.20 0.91031 1.96 0.99443 0.46 0.48466 1.22 0.91553 1.98 0.99489 0.48 0.50275 1.24 0.92050 2.00 0.995322 0.50 0.52050 1.26 0.92524 2.10 0.997020 0.52 0.53790 1.28 0.92973 2.20 0.998137 CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 71 ατ 2 x ατ 2 x erf ατ 2 x ατ 2 x erf ατ 2 x ατ 2 x erf 0.54 0.55494 1.30 0.93401 2.30 0.998857 0.56 0.57162 1.32 0.93806 2.40 0.999311 0.58 0.58792 1.34 0.94191 2.50 0.999593 0.60 0.60386 1.36 0.94556 2.60 0.999764 0.62 0.61941 1.38 0.94902 2.70 0.999866 0.64 0.63459 1.40 0.95228 2.80 0.999925 0.66 0.64938 1.42 0.95538 2.90 0.999959 0.68 0.66278 1.44 0.95830 3.00 0.999978 0.70 0.67780 1.46 0.96105 3.20 0.999994 0.72 0.69143 1.48 0.96635 3.40 0.999998 0.74 0.70468 1.50 0.96610 3.60 1.000000 4.4 CONDICIONES DE CONTORNO CONVECTIVAS En la mayoría de las situaciones prácticas, el problema de la conducción de calor en régimen transitorio está unida a condiciones de contorno convectivas en la superficie del sólido. Para el caso del sólido semi-infinito la ecuación diferencial debe tener en cuenta la transferencia de calor por convección en la superficie. El balance de energía queda: Calor conducido hacia dentro de la superficie Calor por convección hacia la superficie = hA(T ∞ - T) x=0 =- kA (∂T/∂x) x=0 La solución al problema anterior es muy compleja y el resultado final es: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ α + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ α + − − = − − ∞ ) k h u ( erf 1 ) k h k x h ( exp ) u ( erf 1 T T T T 2 2 i i TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 72 x donde : u =⎯⎯⎯⎯ ατ 4 T i =Temperatura inicial del sólido T ∞ =Temperatura ambiente. La solución anterior se presenta en la gráfica 4-2. Gráfica 4-2 Distribución de temperatura en un sólido semi-infinito con condiciones de contorno convectiva CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 73 4-5 SOLUCIONES GRAFICAS : CONDICIONES DE CONTORNO DE CONVECCION (DIAGRAMAS DE HEISLER) En general corresponden a las siguientes geometrías: a) Placa de espesor finito. b) Cilindro largo sólido. c) Esfera sólida. Placa de espesor finito. En la gráfica 4-3 se muestra el diagrama de Heisler en el cual se representa la temperatura en la línea central de la placa en función de Fo y Bi. Para un tiempo determinado (Fo) la temperatura en cualquier lugar x del cuerpo puede determinarse con ayuda de la gráfica 4-5 junto con la temperatura de la línea central en ese tiempo Fo. La gráfica 4-6 representa el diagrama de Grober en el cual se representa el calor adimensional adicionado o retirado Gráfica 4-3 Temperatura del plano medio de una placa infinita de espesor 2L (escala completa) ( α τ / L 2 ) =Fo θ 0 / θ i TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 74 Gráfica 4-4 Temperatura del plano medio de una placa infinita de espesor 2L (escala expandida para 0<Fo<4) Gráfica 4-5 La temperatura en función de la temperatura del centro de una placa de espesor 2L θ / θ 0 k/hL 0 =1/Bi CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 75 Gráfica 4-6 Flujo de calor adimensional Q/Q o de una placa infinita de espesor 2L, en función del tiempo. Q/Q 0 h 2 Cilindro largo sólido. La ecuación diferencial de la temperatura para la transferencia de calor únicamente radial en un cilindro de radio R o es ∂ 2 θ 1 ∂θ 1 ∂θ ⎯⎯ + ⎯ ⎯⎯ = ⎯ ⎯⎯ ∂r 2 r ∂r α ∂r donde θ =T (r,τ) - T ∞ La solución de la ecuación anterior para las siguientes condiciones de contorno ∂θ/∂r =0 para r =0 ∂θ/∂r =- hθ/k para r =R θ =θ i para τ =0 se presenta en las gráficas 4-7, 4-8, 4-9 y 4-10. ατ/k 2 =Fo Bi 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 76 Gráfica 4-7 Temperatura en el eje de un cilindro infinito de radio R o (escala completa) θ 0 / θ i Gráfica 4-8 Temperatura en el eje de un cilindro infinito de radio R o (escala expandida 0<Fo<4) (α τ / r 0 2 ) =Fo CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 77 Gráfica 4-9 La temperatura en función de la temperatura en el eje para un cilindro infinito de radio R o θ / θ 0 Gráfica 4-10 Pérdida de calor adimensional Q/Q o de un cilindro infinito de radio R o en función del tiempo. k / h r 0 =1/Bi Q/Q 0 h 2 ατ/k 2 =Fo Bi 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 78 Esfera sólida. En el caso de una esfera sólida se utilizan las gráficas 4-11, 4-12, 4-13 y 4-14. La gráfica 4-15 se utiliza para pequeños valores de h. Gráfica 4-11 Temperatura del centro de una esfera de radio R o (escala completa) θ 0 / θ i Gráfica 4-12 Temperatura del centro de una esfera de radio R o (escala expandida para 0<Fo<3 (α τ / r 0 2 ) =Fo CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 79 Gráfica 4-13 La temperatura en función de la temperatura del centro para una esfera de radio R o θ / θ 0 Gráfica 4-14 Pérdida de calor adimensional Q/Q o de una esfera de radio R o en función del tiempo k / h r 0 =1/Bi Q/Q 0 h 2 ατ/k 2 =Fo Bi 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 80 Gráfica 4-15 Temperatura del centro de placas, cilindros y esferas para valores pequeños de h. (s = L en placas, s = r o en cilindros y esferas) Placa : m =1 Cilindro: m =2 Esfera: m =3 m α τ h ⎯⎯⎯⎯ =m Fo Bi s k Intervalo para el gráfico anterior: ατ/s 2 >0.2 y hs/k <0.01 Para las gráficas anteriores: θ =T (x,τ) - T ∞ o θ =T (r,τ) - T ∞ ; θ i =(T i - T ∞ ) ; θ o =(T o - T ∞ ) T i =Temperatura inicial uniforme del sólido T ∞ =Temperatura del contorno convectivo T o =Temperatura en el centro (x=0 , r=0) Q o =Energía interna inicial del cuerpo respecto a la temperatura ambiente Q o =ρCV θ i Q =Pérdida de calor real del cuerpo en el tiempo τ. CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 81 Los cálculos para los diagramas de Heisler se han realizado truncando las series infinitas de las soluciones de los problemas y reduciéndolas a unos pocos términos. Esto restringe el campo de aplicación de las gráficas a valores de número de Fourier mayores que 0.2. 4.5 SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES Los diagramas de Heisler anteriores, pueden utilizarse para obtener la distribución de temperatura en la placa infinita de espesor 2L, en el cilindro largo o en la esfera. Cuando se encuentra una pared cuya altura y anchura tienen dimensiones que no son grandes comparadas con el espesor, o un cilindro cuya longitud no es grande comparada con su diámetro, se necesitan coordenadas espaciales adicionales para especificar la temperatura. Los diagramas anteriores no pueden utilizarse y es necesario buscar otro método de solución. Afortunadamente, es posible combinar las soluciones de problemas unidimensionales de forma muy sencilla, para obtener las soluciones de problemas multidimensionales. La barra rectangular infinita de la figura, puede formarse a partir de dos placas infinitas de espesor 2L 1 y dos placas de infinitas de espesor 2L 2 . La ecuación diferencial para este caso es: ∂ 2 T ∂ 2 T 1 ∂T ⎯⎯ +⎯⎯ =⎯ ⎯⎯ ∂x 2 ∂z 2 α ∂τ TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 82 Se demuestra que la distribución de la temperatura en este caso se puede expresar como el producto de soluciones de los problemas de dos placas de espesores 2L 1 y 2L 2 : T - T ∞ ⎯⎯⎯ T i - T ∞ T - T ∞ ⎯⎯⎯ T i - T ∞ barra placa 2L 1 placa 2L 2 = X T - T ∞ ⎯⎯⎯ T i - T ∞ donde T i es la temperatura inicial de la barra y T ∞ es la temperatura ambiente. De manera análoga a lo descrito anteriormente, la solución para un bloque tridimensional puede expresarse como un producto de soluciones de tres placas infinitas que tengan los espesores de los tres lados del bloque. La solución para un cilindro de longitud finita podría expresarse como el producto de las soluciones de un cilindro infinito y una placa infinita que tenga un espesor igual a la longitud del cilindro. Podrían hacerse combinaciones con las soluciones de cilindro infinito y placa infinita para obtener las distribuciones de temperaturas en barras semi-infinitas y en cilindros. Algunas de estas combinaciones se resumen en la siguiente figura donde: C (Θ) =Solución de un cilindro infinito. P (X) =Solución de una placa infinita. S (X) =Solución de un sólido semi-infinito. Placa semi-infinita y barra rectangular infinita CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 83 Barra rectangular semi-infinita y paralelepípedo rectangular. Cilindro semi-infinito y cilindro corto TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 84 TRANSFERENCIA DE CALOR EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES Es posible suponer las soluciones de pérdida de calor de cuerpos unidimensionales, como se indica en las gráficas 4-6, 4-10 y 4-14 para obtener el calor para un cuerpo multidimensional. Los resultados de este análisis para la intersección de dos cuerpos es: (Q/Q o ) total =(Q/Q o ) 1 +(Q/Q o ) 2 [1 – (Q/Q o ) 1 ] donde los subíndices hacen referencia a los dos cuerpos que se intersectan. Para un cuerpo multidimensional formado por la intersección de tres sistemas unidimensionales, la pérdida de calor viene dada por: (Q/Q o ) total =(Q/Q o ) 1 +(Q/Q o ) 2 [1 – (Q/Q o ) 1 ] +(Q/Q o ) 3 [1 – (Q/Q o ) 1 ] [1 – (Q/Q o ) 2 ] Si se desea obtener la pérdida de calor al cabo de un tiempo dado, el cálculo es inmediato. Por otra parte, si lo que se desea conocer es el tiempo para conseguir una cierta pérdida de calor, se debe emplear un procedimiento de prueba y error. 4.6 ANALISIS NUMERICO Los diagramas anteriores son útiles para sólidos de formas regulares. Desafortunadamente las formas geométricas de interés práctico no corresponden a las anteriores y con frecuencia los problemas tienen condiciones de contorno transitorias y su geometría no hace posible una solución analítica. Para estos casos los problemas se tratan por técnicas numéricas con computador. ECUACION DE CONDUCCION PARA DIFERENCIAS FINITAS Para un sistema bidimensional y a partir de la ecuación diferencial que gobierna el flujo de calor en el interior del cuerpo sólido, se demuestra (ver figura) que: CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 85 y x Δx Δy ( ) p n 2 p 4 p 3 p 2 p 1 2 1 p n T x 4 1 T T T T x T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ τ Δ α − + + + + Δ τ Δ α = + Si se define: M =Δx 2 / αΔτ Para un sistema unidimensional: ( ) p n p 3 p 1 1 p n T M 2 1 T T M 1 T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = + Para un sistema bidimensional: ( ) p n p 4 p 3 p 2 p 1 1 p n T M 4 1 T T T T M 1 T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + = + Para un sistema tridimensional: ( ) p n p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p 1 1 p n T M 6 1 T T T T T T M 1 T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + + + = + TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 86 donde: es la temperatura en el tiempo τ y es la temperatura en el tiempo τ +Δτ. p n T 1 p n T + Los valores de M para lograr la convergencia de la solución numérica de la ecuación deben ser: M ≥ 2 para problemas unidimensionales M ≥ 4 para problemas bidimensionales. M ≥ 6 para problemas tridimensionales. Las ecuaciones anteriores son apropiadas para nodos interiores de un cuerpo. Para puntos nodales exteriores sujetos a condiciones de contorno convectivas en un sistema unidimensional, la ecuación del balance de energía conduce a: Δx/2 Δx Δy p n p 1 1 p n T 1 k x h M 2 1 T k x h T M 2 T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + = ∞ + Para un punto nodal exterior sujeto a condiciones de contorno covectivas en un sistema bidimensional: CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 87 Δx/2 Δx Δy h p n p 3 p 2 p 1 1 p n T 2 k x h M 2 1 T k x h 2 T T 2 T M 1 T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + + + = ∞ + Los requerimientos para convergencia de las soluciones numéricas deben ser: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ ≥ 1 k x h 2 M sistema unidimensional ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ ≥ 2 k x h 2 M sistema bidimensional Ecuaciones nodales adicionales para casos que tienen en cuenta esquinas interiores o exteriores y/o superficies bajo condiciones de radiación se pueden consultar en la bibliografía. Los requerimientos de estabilidad consideran siempre que no sea negativo. p n T PROBLEMAS RESUELTOS 4.1 Determinar el número de Biot para una esfera de acero dulce a 100 º C, con diámetro de 2.5 cm sometida a un ambiente convectivo de aire circulante con h=56.7 W/m 2 o C. Para la esfera k =45 W/m o C. 4πr 3 /3 r s =⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ 4πr 2 3 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 88 h (r/3) (56.7) (1.25 x 10 -2 / 3) Bi =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =5.25 x 10 -3 k 45 4.2 Un trozo de hierro (k =64 W/m o C) mide 20x16x80 cm y está sometido a una transferencia de calor por convección libre con h =11.34 W/m 2 o C. Determinar el número de Biot y la posibilidad de un análisis por capacidad térmica global para un enfriamiento, si este trozo está inicialmente más caliente que el medio que lo rodea. A =(2)(20x16) +(2)(16x80) +(2)(20x80) =6400 cm 2 V =20x16x80 =25600 cm 3 S =(V/A) =(25600/6400) =4 cm hs (11.34)(4x10 -2 ) Bi =⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.0071 k 64 Un análisis por capacidad térmica global podría utilizarse. 4.3 Determine la constante de tiempo para un termopar de cobre-constantan a una temperatura promedio de 0 o C expuesta a un ambiente convectivo donde h=45.36 W/m 2 o C, si su diámetro es 0.0128 cm. Las propiedades de los materiales son: k Cu =387.52 W/m o C k con =21.45 W/m o C C Cu =0.38 J /g o C C con =0.418 J /g o C ρ Cu =8.93 g/cm 3 ρ con =8.92 g/cm 3 Suponiendo que un promedio aritmético es válido: k =(387.52 +21.45) / 2 =204.48 W/m o C C =(0.38 +0.418) / 2 =0.4 J /g o C ρ =8.925 g/cm 3 =8925 kg/m 3 Para un objeto esférico de radio r, s =(V/A) =r/3 CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 89 La constante de tiempo será: CρV (400) (8925) (6.4 x 10 -5 ) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.68 s hA (45.36) (3) 4.4 Una esfera de aluminio de 3 cm de diámetro se encuentra inicialmente a una temperatura de 200 º C y se pone al aire a una temperatura de 100 º C. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es h =20 W/m 2 o C, calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 150 º C. Para el aluminio: k =210 W/m o C C =0.895 J /g o C ρ =2.7 g/cm 3 hs (20) (1.5 x 10 -2 ) Bi =⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =4.71 x 10 -4 k (210) (3) Puesto que el número de Biot es mucho menor que 0.1, se puede aplicar la ecuación: τ ρ − ∞ ∞ = − − ) CV / hA ( o e T T T T ρ =2.72 g/cm 3 =2720 Kg/m 3 C =0.895 J /g o C =895 J /Kg o C hA h(4πr 2 ) 3h (3) (20) ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =16.43 x 10 -4 s -1 ρCV ρC(4πr 3 /3) ρCr (2720) (895) (1.5 x 10 -2 ) T - T ∞ 150 - 100 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =0.5 ⇒ τ =421.8 s ≅ 7 mi T o - T ∞ 200 – 100 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 90 4.5 ¿Cuál es la máxima longitud de las aristas de un cubo de aluminio sólido a 100 º C dentro de un medio convectivo con h =25 W/m 2 o C para que pueda ser analizado mediante el método de capacidad térmica global? Para el aluminio: k =205.82 W/m o C hs (0.1) (205.82) Bi =0.1 =⎯⎯⎯ ⇒ s =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.823 m k 25 s =(V/A) =(L 3 / 6L 2 ) =L / 6 ⇒ L =6 x 0.823 =4.94 m 4.6 Una esfera de acero ( C =0.46 kJ /kg o C , k =35 W/m o C ) de 5 cm de diámetro e inicialmente a una temperatura uniforme de 450 º C, se coloca repentinamente en un ambiente controlado en el que la temperatura se mantiene a 100 º C. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 10 W/m 2 o C. Calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance la temperatura de 150 º C. hs hr (10) (2.5 x 10 -2 ) Bi =⎯⎯ =⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.0023 <0.1 k 3k (3) (35) Se aplica por tanto el método de capacidad térmica global. T =150 o C T ∞ =100 o C T o =450 o C ρ =7800 kg/m 3 h =10 W/m 2 o C C =460 J /kg o C hA (10) (4π) ( 0.025) 2 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =3.44 x 10 -4 s -1 ρCV (7800) (4π/3) (0.025) 3 (460) τ ρ − ∞ ∞ = − − ) CV / hA ( o e T T T T CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 91 150 – 100 ⎯⎯⎯⎯⎯ = τ 4 10 x 44 . 3 e − − 450 – 100 τ =5819 s =1.62 h 4.7 ¿A qué profundidad debería enterrarse una tubería de agua en tierra húmeda (α =7.74 x 10 -7 m 2 /s) si su temperatura inicial es 4 º C, para una temperatura de la tierra de 0.5 º C, cuando la temperatura de la superficie de la tierra baja repentinamente a –20 º C y permanece en este valor por 10 horas? Tomando la tierra como un cuerpo semi-infinito, aplicamos la ecuación: T (x,τ) – T o x ⎯⎯⎯⎯ =erf ⎯⎯⎯⎯ T i – T o ατ 4 0.5 – (-20) x ⎯⎯⎯⎯⎯ =0.854 =erf ⎯⎯⎯⎯ 4 – (-20) ατ 4 x del diagrama 4-1: ⎯⎯⎯⎯ ≈ 1.0 ατ 4 x = ατ 4 = ) 3600 )( 10 )( 10 x 774 )( 4 ( 7 − =0.33 m 4.8 Un bloque grande de acero (k =45 W/m o C, α =1.4 x 10 -5 m 2 /s) se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 35 º C. La superficie se expone a una flujo de calor al elevar repentinamente la temperatura hasta 250 º C. Calcular la temperatura a una profundidad de 2.5 cm, al cabo de un tiempo de 0.5 mi. Se aplicará la ecuación: T (x,τ) – T o x ⎯⎯⎯⎯ =erf ⎯⎯⎯⎯ T i – T o ατ 4 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 92 x 0.025 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.61 ατ 4 ) 30 )( 10 x 4 . 1 )( 4 ( 5 − De la tabla 4-1: erf 0.61 =0.61164 T x,τ =T o +(T i – T o )erf (x/ ατ 4 ) =250 +(35 – 250) (0.61164) =118.5 o C 4.9 Una placa de acero de 5 cm de espesor, muy ancha y muy larga, está inicialmente a 50 º C. Una superficie es expuesta a un fluido el cual repentinamente incrementa la temperatura de la superficie hasta 100 º C. Determinar la temperatura en el centro de la placa (x =2.5 cm), un minuto después de ocurrido el cambio de temperatura, (α =1.26 x 10 -5 m 2 /s). Se aplica la ecuación: T (x,τ) – T o x ⎯⎯⎯⎯ =erf ⎯⎯⎯⎯ T i – T o ατ 4 x 2.5x10 -2 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.45 ατ 4 ) 60 )( 10 x 26 . 1 )( 4 ( 5 − T x,τ =100 +(50 – 100) erf 0.45 =100 – 50(0.48) =76 o C 4.10 La temperatura de la superficie de una plancha grande de aluminio a 200 º C se baja repentinamente a 70 º C. ¿Cuál es el calor total por unidad de área extraído de la plancha cuando la temperatura, a una profundidad de 4 cm, ha descendido a 120 º C? Se calcula el tiempo necesario para alcanzar los 120 º C. Para el aluminio: α =8.4 x 10 -5 m 2 /s ; k =215 W/m o C T i =200 º C ; T o =70 º C ; T x,τ =120 o C CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 93 120 – 70 x ⎯⎯⎯⎯ =erf ⎯⎯⎯ =0.3847 200 – 70 ατ 4 De la tabla 4-1: (x/ ατ 4 ) =0.3553 (0.04) 2 τ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =37.72 s (0.3553) 2 (4) (8.4 x 10 -5 ) El calor se calcula de la siguiente manera: ∫ ∫ τ τ πα τ − = τ πατ − = τ = 0 0 i o i o o o ) T T ( k 2 d ) T T ( k d A q A Q 6 2 1 5 o 10 x 32 . 21 ) 10 x 4 . 8 ( 72 . 37 ) 200 70 ( ) 215 ( ) 2 ( A Q − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π − = − J /m 2 4.11 Una tubería de agua es enterrada 33 cm (como en el problema 4.7) bajo tierra húmeda (α =7.74 x 10 -7 m 2 /s y k =2.59 W/m o C). La tierra está inicialmente a temperatura uniforme de 4 º C. Se aplica repentinamente una condición de superficie convectiva bajo la cual h =56.7 W/m 2 o C y T ∞ =-20 o C. Decir si la tubería estará expuesta a la congelación del agua en un periodo de 10 horas. Este problema se basa en la ecuación: T – T i hx h 2 ατ h ατ ⎯⎯⎯ =1 – erf u – [ exp ( ⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯ ] [ 1 – erf (u + ⎯⎯⎯⎯)] T ∞ - T i k k 2 k x donde : u =⎯⎯⎯⎯ ατ 4 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 94 h ατ 4 56.7 ) 3600 )( 10 )( 10 x 74 . 7 ( 7 − ⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =3.65 k 2.59 x 0.33 u =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.99 ≈ 1.0 ατ 4 ) 3600 )( 10 )( 10 x 74 . 7 )( 4 ( 7 − Para mayor facilidad se utiliza la gráfica 4-2: T - T i ⎯⎯⎯ ≈ 0.12 T ∞ - T i T =(0.12)(T ∞ - T i ) +T i =(0.12)(-20 - 4) +4 =1.12 o C Luego la congelación no alcanza a ocurrir. 4.12 La superficie de la plancha del problema 4.10 se expone, de forma rápida, a la convección del ambiente, que está a 70 º C y cuyo coeficiente de transferencia de calor por convección vale 525 W/m 2 o C. Calcular el tiempo necesario para que la temperatura alcance el valor de 120 º C a una profundidad de 4 cm. Para resolver más fácilmente este problema se utiliza la gráfica 4-2. Es necesario un procedimiento iterativo, ya que el tiempo aparece en las dos variables. T – T i 120 - 200 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =0.615 T ∞ - T i 70 – 200 Se busca en la gráfica un valor tal que se obtenga el resultado anterior. Las iteraciones se ilustran en la siguiente tabla, los valores de α y k se toman del problema 4.10. CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 95 τ h k ατ ατ 4 x i i T T T T − − ∞ (gráfica 4-2) 1000 0.708 0.069 0.41 3000 1.226 0.040 0.61 4000 1.416 0.035 0.68 Luego el tiempo necesario es de aproximadamente 3000 segundos. 4.13 Una placa grande de aluminio de 5 cm de espesor, y que inicialmente está a 200 º C, se expone, de forma rápida al entorno convectivo del problema 4.12. Calcular la temperatura a una profundidad de 1.25 cm desde una de las caras 1 minuto después de que la placa haya sido expuesta al ambiente. ¿Qué cantidad de energía por unidad de área debe ser extraída de la placa en ese intervalo de tiempo? Para calcular la temperatura central de la placa se utiliza la gráfica 4-3. θ i =T i - T ∞ =200 – 70 =130 α =8.4 x 10 -5 m 2 /s ; 2L=5 cm ; L=2.5 cm ; τ =1 mi =60 s k =215 W/m o C ; h =525 W/m 2 o C x =2.5 – 1.25 =1.25 cm Luego: ατ (8.4 x 10 -5 ) (60) k 215 ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =8.064 ; ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =16.38 L 2 (0.025) 2 hL (525) (0.025) (x/L) =1.25/2.5) =0.5 De la gráfica 4-3: θ o /θ i =0.61 ⇒ θ o =T o - T ∞ =(0.61) (130) =79.3 De la gráfica 4-5 en x/L =0.5, θ/θ o =0.98 ⇒ θ =T - T ∞ =(0.98) (79.3) =77.7 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 96 T =77.7 + 70 =147.7 o C La energía perdida por la placa se calcula a partir de la gráfica 4-6. Para este cálculo se necesitan las siguientes propiedades del aluminio: ρ =2700 kg/m 3 C =0.9 kJ /kg o C Para la gráfica 4-6 se necesita: h 2 α τ (525) 2 (8.4 x 10 -5 ) (60) ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.03 k 2 (215) 2 hL (525) (0.025) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.061 k 215 De la gráfica 4-6: Q/Q o =0.41 Por unidad de área Q o ρCVθ i ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ = ρC(2L)θ i =(2700) (900 ) (0.05) (130) =15.8 x 10 6 J /m 2 A A El calor extraído por unidad de superficie, (Q/A) =(15.8 x 10 6 ) (0.41) =6.48 x 10 6 J /m 2 4.14 Un cilindro largo de aluminio de 5 cm de diámetro e inicialmente a 200 º C, se somete, de forma rápida, a un entorno convectivo a 70 º C y h =525 W/m 2 o C. Calcular la temperatura en un radio de 1.25 cm y la pérdida de calor por unidad de longitud, 1 minuto después de que el cilindro se exponga al ambiente. Este problema es igual al 4.13, excepto que para la solución se emplean las gráficas 4-9 y 4-11. CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 97 θ i =T i - T ∞ =200 – 70 =130 α =8.4 x 10 -5 m 2 /s ; r o =2.5 cm ; τ =1 mi =60 s k =215 W/m o C ; h =525 W/m 2 o C r =1.25 cm ρ =2700 kg/m 3 C =0.9 kJ /kg/ o C Se calcula α τ (8.4 x 10 -5 ) (60) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =8.064 r o 2 (0.025) 2 k 215 ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =16.38 hr o (525) (0.025) (r/r o ) =(1.25/2.5) =0.5 De la gráfica 4-7 θ o /θ i =0.38 De la gráfica 4-9 en r/r o =0.5θ θ/θ o =0.98 de manera que (θ/θ i ) =(θ o /θ i ) x (θ/θ o ) =(0.38) (0.98) =0.372 θ =T - T ∞ =(0.372) (130) =48.4 T =70 +48.4 =118.4 o C Para calcular la pérdida de calor, se determina h 2 ατ (525) 2 (8.4 x 10 -5 ) (60) ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.03 k 2 (215) 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 98 hr o (525) (0.025) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.061 k 215 De la gráfica 4-10 (Q/Q o ) =0.65 Por unidad de longitud Q o ρCVθ i ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ =ρCπr o 2 θ i =(2700) (900) (π) (0.025) 2 (130) =6.203 x 10 5 J /m L L y la pérdida real de calor por unidad de longitud es (Q/L) =(6.203 x 10 5 ) ( 0.65) =4.032 x 10 5 J /m 4.15 Un cilindro semi-infinito de aluminio de 5 cm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 200 º C. Este cilindro es sometido, de forma rápida, a una condición de contorno convectiva a 70 º C con h =525 W/m 2 o C. Calcular las temperaturas en el eje y en la superficie del cilindro a 10 cm de la base, 1 minuto después de la exposición al ambiente. Este problema exige la combinación de las soluciones para un cilindro infinito y una plancha semi-infinita. Para la plancha se tiene x =10 cm α =8.4 x 10 -5 m 2 /s k =215 W/m 2 o C de modo que los parámetros a usar en la gráfica 4-2 son h ατ (525) ) 60 )( 10 x 4 . 8 ( 5 − ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.173 k 215 x 0.1 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.704 ατ 4 ) 60 )( 10 x 4 . 8 )( 4 ( 5 − De la gráfica 4-2 CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 99 (θ/θ i ) plancha semi-infinita =1 – 0.036 =0.964 =S(X) Se buscan los cocientes de temperaturas tanto en el eje como en la superficie del cilindro infinito. Los parámetros a usar en la gráfica 4-7 son r o =2.5 cm (k/hr o ) =16.38 (ατ/r o 2 ) =8.064 (θ o /θ i ) =0.38 Este es el cociente de temperaturas en el eje. Para encontrar el cociente de temperaturas en la superficie, se entra en la gráfica 4-9 con (r/r o ) =1.0 (θ/θ o ) =0.97 De este modo C(Θ) =(θ/θ i ) cilindro infinito =0.38 en r =0 C(Θ) =(θ/θ i ) cilindro infinito =(0.38) (0.97) =0.369 en r =r 0 Combinando las soluciones para la plancha semi-infinita y para el cilindro infinito se tiene (θ/θ i ) cilindro semi-infinito =C(Θ) S(X) =(0.38) (0.964) =0.366 en r =0 (θ/θ i ) cilindro semi-infinito =C(Θ) S(X) =(0.369) (0.964) =0.356 en r =r o Las temperaturas correspondientes son T =70 +(0.366) (200 – 70) =117.6 en r =0 T =70 +(0.356) (200 – 70) =116.3 en r =r o 4.16 Un cilindro de aluminio de 5 cm de diámetro y 10 cm de largo está inicialmente a una temperatura uniforme de 200 º C. Este cilindro se expone, de forma rápida, a un ambiente convectivo a 70 º C y h =525 W/m 2 o C. Calcular la temperatura en una posición radial de 1.25 cm y a una distancia de 0.625 cm desde una de las bases del cilindro, 1 minuto después de haber sido expuesto al ambiente. Para resolver este problema se combinan las soluciones para un cilindro infinito y una placa infinita. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100 Para el problema de placa infinita L =5 cm La posición x se mide desde el centro de la placa de modo que x =5 – 0.625 =4.375 ⇒ (x/L) =4.375/5 =0.875 Para el aluminio α =8.4 x 10 -5 m 2 /s k =215 W/m o C luego k 215 ατ (8.4 x 10 -5 ) (60) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =8.19 ; ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =2.016 hL (525) (0.05) L 2 (0.05) 2 De las gráficas 4-3 y 4-5 respectivamente (θ o /θ i ) =0.75 ; (θ/θ o ) =0.95 de modo que (θ/θ i ) placa =(0.75) (0.95) =0.7125 Para el cilindro, r o =2.5 cm (r/r o ) =1.25/2.5 =0.5 (k/hr o ) =215/(525) (0.025) =16.38 ατ (8.4 x 10 -5 ) (60) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =8.064 r o 2 (0.025) 2 y de las gráficas 4-7 y 4-9, respectivamente (θ o /θ i ) =0.38 (θ/θ o ) =0.98 de modo que (θ/θ i ) cil =(0.38) (0.98) =0.3724 La combinación de las soluciones para la placa y el cilindro proporciona CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 101 (θ/θ i ) cilindro corto =(0.7125) (0.33724) =0.265 Así T =T ∞ +(0.265) (T i - T ∞ ) =70 +(0.265) (200 – 70) =104.5 o C 4.17 Calcular la pérdida de calor en el cilindro corto del problema 4.16. En primer lugar se calcula el cociente de pérdida de calor adimensional de la placa infinita y del cilindro infinito que forma el cuerpo multidimensional. Para la placa se tiene L =5 cm =0.05 m. Utilizando las propiedades del aluminio del problema 4.16 se calcula hL (525) (0.05) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.122 k 215 h 2 ατ (525) 2 (8.4 x 10 -5 ) (60) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.03 k 2 (215) 2 Para la placa, en la gráfica 4-6 (Q/Q o ) placa =0.22 Para el cilindro, r o =2.5 cm =0.025 m hr o (525) (0.025) ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.061 k 215 y en la gráfica 4-10 se puede leer (Q/Q o ) cillindro =0.55 Los dos cocientes del calor se introducen en la ecuación (Q/Q o ) total =(Q/Q o ) 1 +(Q/Q o ) 2 [1 – (Q/Q o ) 1 ] (Q/Q o ) total =0.22 +(0.55) (1 – 0.22) =0.649 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 102 El calor específico del aluminio es 0.896 kJ /kg o C y la densidad 2707 kg/m 3 , de modo que se calcula Q o Q o =ρCVθ i =(2707) (0.896) (π) (0.025) 2 (0.1) (200 –70) =61.9 kJ La pérdida de calor real, al cabo de 1 minuto, es Q =(61.9 kj)(0.649) =40.9 kJ 4.18 Una placa de concreto de espesor 8 cm tiene unas dimensiones muy grandes en el plano normal al espesor, y está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 º C. Ambas superficies de la placa son expuestas, en forma rápida, a una elevación de temperatura que alcanza los 100 o C. Las propiedades del material son: α =0.0694 x 10 -5 m 2 /s ; k =1.40 W/m o C Utilizando un espacio entre nodos de 1 cm, determine numéricamente por el método explícito la variación de temperatura en la placa durante un periodo de 15 minutos. Δx/2 Δx a b c d e d Las designaciones de los nodos se dan en la figura, puesto que el problema es simétrico alrededor de la línea central, sólo la mitad de la placa es considerada. Los requerimientos de estabilidad para el método explícito, en el caso de una dimensión, son: M =(Δx) 2 / α Δτ ≥ 2 luego (Δx) 2 (0.01) 2 (Δτ) max =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.020 h 2α (2) (0.0694 x 10 -5 ) CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 103 Para este incremento, M =2 y la ecuación correspondiente que simplificada a ( ) p 3 p 1 1 p n T T 2 1 T + = + donde los subíndices 1 y 3 son para los dos nodos adyacentes al nodo n. luego para el presente problema las ecuaciones nodales son: ( ) p c p a 1 p b T T 2 1 T + = + ( ) p d p b 1 p c T T 2 1 T + = + ( ) p e p c 1 p d T T 2 1 T + = + ( ) p d p d 1 p e T T 2 1 T + = + No se requiere ecuación para el nodo a puesto que está a temperatura constante. Como T a está inicialmente a 20 º C y es cambiado repentinamente a 100 º C un valor aproximado para T a durante el primer incremento de tiempo es un promedio entre estos dos extremos. La solución es mostrada en la siguiente tabla. En esta solución se escogió el Δτ máximo para mayor simplicidad. En la práctica, especialmente si se utiliza computadora, es preferible utilizar pequeños intervalos de tiempo. Tiempo (horas) a b c d e 0.0 60 20 20 20 20 0.02 100 40 20 20 20 0.04 100 60 30 20 20 0.06 100 65 40 25 20 0.08 100 70 45 30 25 0.10 100 72.5 50 35 30 0.12 100 75 53.8 40 35 0.14 100 76.9 57.5 44.4 40 0.16 100 78.8 60.6 48.8 44.4 0.18 100 80.3 63.8 52.5 48.8 0.20 100 81.9 66.4 56.3 52.5 0.22 100 83.2 69.1 59.4 56.3 0.24 100 84.6 71.3 62.7 59.4 0.26 100 85.6 73.9 65.4 62.7 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 104 Las temperaturas de los nodos están en o C. PROBLEMAS PROPUESTOS 4.19 La temperatura de la superficie de una plancha de cobre de 30 por 30 cm, de 5 cm de espesor y a una temperatura uniforme de 260 º C, desciende, de forma rápida, hasta 35 º C. Haciendo uso del concepto de capacidad térmica global, obtener el tiempo para que la temperatura del centro alcance un valor de 90 º C. Las propiedades son: ρ =8900 kg/m 3 , C =0.38 kJ /kg o C, y k =370 W/m o C. 4.20 Un trozo de aluminio de 5.5 kg de peso e inicialmente a una temperatura de 290 º C, se sumerge, de forma rápida, en un fluido a 15 º C. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 58 W/m 2 o C. Tomando el trozo de aluminio como una esfera del mismo peso que el dado, estimar el tiempo necesario para enfriar el aluminio a 90 º C, haciendo uso del método de análisis de la capacidad global. 4.21 Una barra de acero inoxidable (18% Cr, 8% Ni) de 6.4 mm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 50 º C y, de forma rápida, se sumerge en un líquido a 200 º C con h =120 W/m 2 o C. Utilizando el método de análisis de la capacidad global, calcular el tiempo necesario para que la barra alcance la temperatura de 120 º C. 4.22 Una esfera de cobre de 5 cm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 250 º C. Esta esfera se expone de forma rápida a un ambiente de 30 º C y que tiene un coeficiente de transferencia de calor h =28 W/m 2 o C. Utilizando el método de análisis de la capacidad global, calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 90 º C. 4.23 Una esfera de cobre que tiene un diámetro de 3 cm se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 50 º C. De forma rápida se le coloca en una corriente de aire a 10 º C con h =15 W/m 2 o C. ¿Cuánto tiempo tardará la esfera en bajar su temperatura hasta 25 º C? 4.24 Una lata de aluminio de 350 cm 3 de volumen contiene cerveza a 1 º C. Utilizando el análisis de la capacidad global, estimar el tiempo necesario para calentar el contenido hasta 15 º C, cuando la lata se coloca en una habitación a 22 º C con un coeficiente de convección de 15 W/m 2 o C. CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 105 Suponer que las propiedades de la cerveza son las mismas que las del agua. 4.25 Una esfera de aluminio de 12 mm de diámetro se calienta hasta alcanzar una temperatura uniforme de 400 º C, y a continuación se la somete, de forma rápida, al aire en una habitación a 20 º C con un coeficiente de transferencia de calor de 10 W/m 2 o C. Calcular el tiempo para que el centro de la esfera alcance la temperatura de 200 º C. 4.26 Una esfera de cobre de 4 cm de diámetro se encuentra inicialmente a 200 º C. De forma rápida, se la somete a un ambiente convectivo a 30 º C con h =20 W/m 2 o C. Calcular el tiempo necesario para que el centro de la esfera alcance una temperatura de 80 º C. 4.27 Una pared gruesa de hormigón, que tiene una temperatura uniforme de 54 º C, es sometida, de forma rápida, a una corriente de aire a 10 º C. El coeficiente de transferencia de calor es 2.6 W/m 2 o C. Calcular la temperatura de la plancha de hormigón a una distancia de 7 cm, al cabo de 30 mi. 4.28 Una plancha muy grande, de cobre, está inicialmente a la temperatura de 300 º C. La temperatura de la superficie se baja, de forma rápida, hasta 35 º C. ¿Cuál es la temperatura a una distancia de 7.5 cm, 4 mi después de haber cambiado la temperatura de la superficie? 4.29 Una carretera de hormigón puede alcanzar una temperatura de 50 º C en un día caluroso. Suponiendo que se dirige una corriente de agua sobre la carretera, de modo que la temperatura de la superficie baje, de forma rápida, hasta 10 º C. ¿Cuánto tiempo tardará el hormigón en enfriarse hasta 25 º C a una profundidad de 5 cm desde la superficie? 4.30 Una plancha semi-infinita de cobre se expone a un flujo constante de calor por unidad de superficie de 0.32 MW/m 2 . Suponer que la plancha está en el vacío, de modo que en la superficie no hay convección. ¿Cuál es la temperatura de la superficie después de 5 mi si la temperatura inicial de la plancha es de 30 º C? ¿Cuál es la temperatura a una distancia de 15 cm desde la superficie después de 5 min? 4.31 Una plancha grande de cobre está inicialmente a una temperatura uniforme de 90 º C. La temperatura de su superficie se disminuye, de forma rápida, hasta 30 º C. Calcular el flujo de calor a través de un plano a 7.5 cm de la superficie, 5 segundos después de haber disminuido la temperatura de la superficie. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 106 4.32 Una plancha grande de aluminio a una temperatura uniforme de 30 º C se somete de forma rápida a un flujo constante de calor por unidad de superficie de 15 kW/m 2 . ¿Cuál es la temperatura a una profundidad de 2.5 cm después de 2 mi? 4.33 Para la plancha del problema 4.32, ¿Cuánto tiempo tardará la temperatura en alcanzar los 150 º C a una profundidad de 2.5 cm? 4.34 Un trozo de material cerámico (k =0.8 W/m o C, ρ =2700 kg/m 3 , c =0.8 kJ /kg o C), es bastante grueso e inicialmente se encuentra a una temperatura uniforme de 30 º C. La superficie del material se expone, de forma rápida, a un flujo de calor constante de 650 W/m 2 . Representar gráficamente la temperatura en función del tiempo a una profundidad de 1 cm. 4.35 Una plancha grande de hormigón (mezcla de grava 1-2-4) se somete en forma rápida, a un flujo de calor radiante constante de 900 W/m 2 . La plancha está inicialmente a la temperatura uniforme de 20 º C. Calcular la temperatura de la plancha a una profundidad de 10 cm, al cabo de un tiempo de 9 h. 4.36 La temperatura de la superficie de una placa muy gruesa de acero inoxidable (18% Cr, 8% de Ni), a una temperatura uniforme de 300 º C, se disminuye, de forma rápida, hasta 100 º C. Calcular el tiempo necesario para que la temperatura alcance el valor de 200 º C a una profundidad de 3 cm. 4.37 Una plancha grande tiene las propiedades de un ladrillo corriente para la construcción y se ha calentado hasta una temperatura uniforme de 40 º C. Su superficie se somete, de forma rápida, a un ambiente convectivo a 2 º C y h =25 W/m 2 o C. Calcular el tiempo para que la temperatura alcance un valor de 20 º C a una profundidad de 8 cm. 4.38 Un bloque grande, que tiene las propiedades del ladrillo al cromo a 200 º C, se encuentra a una temperatura uniforme de 30 º C, cuando se expone, de forma rápida, a un flujo de calor por unidad de superficie de 3 x 10 4 W/m 2 . Calcular la temperatura a una profundidad de 3 cm cuando han pasado 10 min. ¿Cuál es la temperatura de la superficie al cabo de ese tiempo? 4.39 Una plancha de cobre de 3 cm de espesor se encuentra inicialmente a 300 º C. La superficie superior se somete, de forma rápida, a un ambiente convectivo a 80 º C mientras que la otra superficie se mantiene aislada. En 6 minutos la temperatura de la superficie baja hasta 140 º C. Calcular el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección. CAPITULO 4 : CONDUCCION NO ESTACIONARIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 107 4.40 Una plancha grande de aluminio tiene un espesor de 10 cm e inicialmente se encuentra a 400 º C. De forma rápida se expone a un ambiente convectivo a 90 º C con h =1400 W/m 2 o C. ¿Cuánto tiempo tardará en bajar la temperatura central hasta 180 º C? 4.41 Un cilindro de acero de 10 cm de diámetro y 10 cm de largo está inicialmente a 300 º C. Este cilindro se sumerge de forma rápida, en un baño de aceite que se mantiene a 40 º C, con h =280 W/m 2 o C. Encontrar la temperatura en el centro del sólido al cabo de 2 mi. 4.42 Una barra de aluminio tiene un diámetro de 11 cm e inicialmente se encuentra a una temperatura uniforme de 300 º C. De forma rápida, se expone a un ambiente convectivo a 50 º C, con h = 1200 W/m 2 o C. ¿Cuánto tiempo se invertirá hasta que la temperatura del centro llegue a 80 º C? Calcular también la pérdida de calor por unidad de longitud. 4.43 Una barra de acero cuadrada de 2.5 cm de lado y de 7.5 cm de larga, está inicialmente a 250 º C. La barra se sumerge en un depósito de aceite que se mantiene a 30 º C. El coeficiente de transferencia de calor es 570 W/m 2 o C. Calcular la temperatura del centro de la barra al cabo de 2 mi. Calcular también la pérdida de calor por unidad de longitud. 4.44 Un cilindro de acero inoxidable (18% Cr, 8% Ni) se ha calentado hasta una temperatura uniforme de 200 º C y después se le deja enfriar en el ambiente donde la temperatura del aire se mantiene constante a 30 º C. El coeficiente de convección puede tomarse igual a 200 W/m 2 o C. El cilindro tiene un diámetro de 10 cm y una longitud de 15 cm. Calcular la temperatura del centro geométrico del cilindro al cabo de 10 mi. Calcular también la pérdida de calor. 4.45 Un cubo de aluminio de 10 cm de lado se encuentra inicialmente a 300 º C y se sumerge en un fluido a 100 º C. El coeficiente de transferencia de calor es 900 W/m 2 o C. Calcular la temperatura en el centro de una de sus caras después de 1 mi y la pérdida de calor. 4-46 Un cubo de aluminio de 5 cm de lado está inicialmente a una temperatura uniforme de 100 º C y de repente se expone al aire de un recinto a 25 º C. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 20 W/m 2 o C. Calcular el tiempo necesario para que la temperatura del centro geométrico alcance los 50 º C. 4-47 Determinar la temperatura en el centro de un cubo de plomo que tiene 7.6 cm de lado, un minuto después de haber sido expuesto a un flujo de calor TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 108 por convección con un fluido a 37 º C y h =425 W/m 2 o C. La temperatura inicial uniforme del cubo es de 150 º C. 4-48 Una esfera de cuarzo fundido tiene una difusividad térmica de 9.5 x 10 -7 m 2 /s, un diámetro de 2.5 cm y una conductividad térmica de 1.52 W/m o C. La esfera se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 25 º C y, de forma rápida, se la somete a un ambiente convectivo a 200 º C. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 110 W/m 2 o C. Calcular las temperaturas en el centro y en un radio de 6.4 mm, al cabo de 4 minutos. 4-49 Se pueden fabricar perdigones de plomo echando pequeñas gotas de plomo fundido en agua. Suponiendo que las gotas tiene las propiedades del plomo sólido a 300 º C, calcular el tiempo necesario para que la temperatura del centro alcance el valor de 120 º C, estando en agua a 100 º C con h=5000 W/m 2 o C y d =1.5 mm. 4-50 Un niño decide colocar sus canicas de vidrio en un horno a 200 º C. El diámetro de las canicas es 15 mm. Al cabo de un rato las saca del horno y las coloca al aire de la habitación a 20 º C para que se enfríen. El coeficiente de transferencia de calor por convección vale 14 W/m 2 o C. Calcular el tiempo que el niño debe esperar hasta que la temperatura del centro de las canicas sea de 35 o C 4-51 Un sólido rectangular de 15 x 10 x 20 cm tiene las propiedades de un ladrillo refractario. Inicialmente se encuentra a una temperatura uniforme de 300 º C y entonces se somete, de forma rápida, a un ambiente convectivo a 80 º C y h=110 W/m 2 o C. Calcular el tiempo para que el centro geométrico alcance la temperatura de 200 º C. Determinar también la pérdida de calor. 4.52 Una placa de acero al cromo (1% Cr) se calienta en un horno hasta una temperatura uniforme de 200 º C. Posteriormente se la somete a un ambiente convectivo que tiene T ∞ =20 º C y h =300 W/m 2 o C por ambas caras. El espesor de la placa es 10 cm. Tomando Δx =1 cm, calcular la temperatura del centro al cabo de 5 mi utilizando un método numérico. Resolver el problema también utilizando los diagramas de Heisler. CAPITULO 5 CONVECCION FORZADA Hasta ahora se ha supuesto como conocido el coeficiente de transferencia de calor h en todos los análisis realizados. Sin embargo, la determinación de éste constituye con frecuencia un problema complejo. Es por esto que en este capítulo se examinarán algunos métodos para predecir en una situación dada el valor del coeficiente de transferencia de calor en convección forzada. En primer lugar se dará énfasis a la relación física que existe entre el proceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido. Como resultado de este análisis de tipo fundamental será posible desarrollar diferentes correlaciones analíticas para la determinación del coeficiente h. Sin embargo, dada la complejidad involucrada en los procesos, no siempre es posible obtener soluciones analíticas para muchos problemas de interés práctico. Por consiguiente, en estos casos es necesario recurrir a diferentes correlaciones experimentales con el objeto de obtener la información necesaria. Estas correlaciones empíricas generalmente se expresan en forma de gráficas o a través de expresiones matemáticas. 5.1 CAPA LIMITE HIDRODINAMICA Se considera una corriente sobre una placa plana como se muestra en la figura. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 110 Comenzando en el borde de ataque de la placa, se desarrolla una región donde se hace notar la influencia de las fuerzas de viscosidad. Estas fuerzas de viscosidad se describen en términos de un esfuerzo cortante (τ) entre las capas del fluido. Si se supone que este esfuerzo es proporcional al gradiente normal de la velocidad, se tiene la ecuación que define la viscosidad τ =μ (du/dy) μ =viscosidad dinámica (N s/m 2 ) A la zona de la corriente que se desarrolla desde el borde de ataque de la placa, en la que se observan efectos de la viscosidad, se le llama capa límite. Para designar la posición y en la que termina la capa límite, se utiliza un punto arbitrario; este punto se elige normalmente como la coordenada y donde el valor de la velocidad se hace el 99% del de la corriente libre. Al principio, el desarrollo de la capa límite es laminar, pero a una distancia crítica del borde de ataque, dependiendo del campo del flujo y de las propiedades del fluido, comienzan a amplificarse pequeñas perturbaciones dentro de la corriente, y tiene lugar un proceso de transición hasta que la corriente se hace turbulenta. La región de flujo turbulento se puede imaginar como una zona de agitación al azar con partes de fluido moviéndose en diferentes direcciones. La transición de flujo laminar a turbulento tiene lugar aproximadamente cuando u ∞ x ρ u ∞ x ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ >5 x 10 5 ν μ donde: u ∞ =velocidad de la corriente libre x =distancia desde el borde de ataque ν =μ / ρ =viscosidad cinemática (m 2 /s) Al grupo de términos anterior se le llama número de Reynolds (Re x ) y utilizando las unidades coherentes es adimensional. u ∞ x u ∞ x ρ ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ =Re x ν μ CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 111 5.2 CAPA LIMITE HIDRODINAMICA Y LAMINAR EN UNA SUPERFICIE PLANA ISOTERMICA Dada la relación física tan estrecha que existe entre el movimiento del fluido y la transferencia de energía que tiene lugar, la determinación analítica del coeficiente de transferencia de calor en régimen laminar implica un conocimiento completo de la distribución de velocidad y de temperatura en el fluido que rodea al sistema. 5.2.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA CAPA LIMITE Si se aplica un balance de masa (ecuación de continuidad), un balance de momentum y un balance de energía a un volumen de control formado por un elemento finito tridimensional (Δ x, Δ y, Δ z) y suponiendo que ♦ La viscosidad, la conductividad térmica y la capacidad calorífica del fluido son constantes. ♦ Las fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos en la dirección y son despreciables. ♦ El flujo es estable y el fluido es incompresible ♦ El gradiente vertical de presión es despreciable ♦ La conducción del calor es despreciable en la dirección de la corriente (dirección x) se pueden obtener las siguientes ecuaciones: Ecuación de Continuidad ∂u ∂v ⎯⎯ +⎯⎯ =0 ∂x ∂y Ecuación de Cantidad de Movimiento ∂u ∂u μ ∂ 2 u u ⎯⎯ +v ⎯⎯ =⎯ ⎯⎯ ∂x ∂y ρ ∂y 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 112 Ecuación de la Energía. ∂T ∂T ∂ 2 T u ⎯⎯ +v ⎯⎯ =α ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y 2 5.2.2 ESPESOR DE LA CAPA LIMITE HIDRODINAMICA La ecuación anterior de la cantidad de movimiento en la capa límite laminar, se puede resolver exactamente para muchas condiciones de contorno mediante métodos complejos dados en la literatura. Para el presente caso, se considera suficiente un análisis aproximado que proporcione una solución sencilla sin perder el significado físico del proceso. El método aproximado se debe a von Kármán y el resultado final para el espesor de la capa límite es: 4.64 x δ =⎯⎯⎯⎯ x Re donde: δ =espesor de la capa límite x =distancia desde el borde de ataque de la placa. 5.3 CAPA LIMITE TERMICA Igual que se definió la capa límite hidrodinámica como aquella región de la corriente donde se manifiestan las fuerzas de viscosidad, se puede definir una capa límite térmica como la región de la corriente donde se presentan gradientes de temperatura. Estos gradientes de temperatura podrían estar originados por un proceso de intercambio de calor entre el fluido y la pared. Considerando el sistema mostrado en la figura, la temperatura de la pared es T s , la temperatura del fluido fuera de la capa límite es T ∞ y el espesor de la capa límite térmica es δ t . En la pared la velocidad es cero, y la transferencia de calor hacia el fluido tiene lugar por conducción. De este modo, el flujo de calor local por unidad de área (q/A) es (q/A) =- k [∂T/∂y] pared CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 113 y x T s Perfil de temperaturas en la capa límite térmica De la ley del enfriamiento de Newton, (q/A) =h ( T P - T ∞ ) donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección. Combinando las ecuaciones anteriores se tiene, ∞ − ∂ ∂ − = T T ) y / T ( k h P pared de tal manera que para evaluar el coeficiente de transferencia de calor, sólo es necesario determinar el gradiente de temperatura en la pared. Esto significa que debe obtenerse una expresión para la distribución de temperaturas. El procedimiento para obtener este gradiente utiliza la solución de la ecuación diferencial del balance de energía y el resultado final es: [ ] t 0 y 2 3 y / T δ θ = ∂ ∂ ∞ = donde: y δ t =espesor de la capa límite térmica s T T − = θ ∞ ∞ TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 114 5.3.1 NUMERO DE PRANDTL Y RELACIÓN ENTRE EL ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE HIDRODINÁMICA Y LA CAPA LÍMITE TÉRMICA Se define el número de Prandtl como la relación entre la viscosidad cinemática y la difusividad térmica: Pr =ν / α =(C μ / k) La interpretación física del número de Prandtl a partir de su definición se interpreta como la razón de la difusividad del momento (ν) a la difusividad térmica (α ). El número de Prandtl proporciona una medida de la efectividad relativa del transporte de momento y energía por difusión en las capas límite hidrodinámica y térmica, respectivamente. De la tabla A-5 y A-6 se observa que el número de Prandtl de los gases es cercano a la unidad, en cuyo caso la transferencia de energía y momento por difusión son similares. En un metal líquido Pr << 1 y la velocidad de difusión de energía excede grandemente la velocidad de difusión de momento. Lo opuesto se cumple en el caso de aceites para los que Pr >> 1. De esta interpretación se sigue que el valor de Pr influye fuertemente en el crecimiento relativo de las capas límite hidrodinámica y térmica. De hecho para capas límite laminares en las que la difusión no se ve afectada por la mezcla turbulenta, es lógico considerar que, (δ / δ t ) ≅ (Pr) n donde n es un exponente positivo. De aquí, para un gas δ t ≅ δ ; para un metal líquido δ t >> δ : para un aceite δ t << δ. δ t δ Capas límite hidrodinámica y térmica en una placa plana El calentamiento comienza en x o =0 CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 115 Lo anterior se comprueba mediante un análisis de la ecuación de la energía que permite llegar a la siguiente ecuación: 3 1 4 3 o 3 1 t x x 1 Pr 026 . 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = δ δ − 5.4 NUMERO DE NUSSELT Y COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR Se tenía anteriormente que: ∞ − ∂ ∂ − = T T ) y / T ( k h P pared reemplazando el valor del gradiente de temperatura en la pared se tiene: t s t 2 k 3 T T 2 3 k h δ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ δ θ = ∞ ∞ y utilizando el valor de δ t dado por la ecuación: 3 1 4 3 o 3 1 t x x 1 Pr 026 . 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = δ δ − donde x Re x 64 , 4 = δ se tiene: 3 1 4 3 o 2 1 x 3 1 x x x 1 Re Pr 332 . 0 Nu − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 116 h x x Nu x =⎯⎯⎯ =número de Nusselt k Cuando la placa se calienta en toda su longitud, x o =0 3 1 t Pr 026 . 1 1 − = δ δ 2 1 x 3 1 x Re Pr 332 . 0 Nu = Mediante las ecuaciones anteriores se puede obtener el coeficiente de transferencia de calor, en función de la distancia desde el borde de ataque de la placa y de las propiedades del fluido. Para el caso en que x o =0 el coeficiente de transferencia de calor medio y el número de Nusselt pueden obtenerse integrando sobre la longitud de la placa ∫ ∫ ∫ = = = = − A L 0 x L 0 2 1 x x h 2 dx ) x ( f L 1 dx W h WL 1 dA h A 1 h L Nu = k L h =0.664 3 1 2 1 L Pr Re donde Re L =(ρu ∞ L /μ) El análisis anterior se basa en la hipótesis de que las propiedades del fluido son constantes en todo el flujo. Cuando existe una variación apreciable entre las condiciones de la pared y de la corriente libre, se recomienda evaluar las propiedades a la llamada temperatura de película T f definida como CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 117 T s +T ∞ T f =⎯⎯⎯⎯ 2 5.4.1 FLUJO DE CALOR CONSTANTE El análisis anterior ha estudiado la transferencia de calor laminar desde una superficie isoterma. En muchos problemas prácticos, el flujo de calor de la superficie es prácticamente constante, y el objetivo es encontrar la distribución de temperaturas de la superficie de la placa en unas condiciones de la corriente dadas. En el caso de flujo de calor constante, se puede demostrar que el número de Nusselt local viene dado por 3 1 2 1 x x Pr Re 453 . 0 k x h Nu = = El flujo de calor por unidad de área en este caso será: ) T T ( h 2 3 q s L x P ∞ = − = 5.5 ANALOGIA ENTRE LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y LA FRICCION El análisis anterior demuestra la relación física tan estrecha que existe entre el proceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido, por lo cual es posible intuir que la transferencia de calor está también relacionada con la fricción de éste. Con el propósito de determinar esta posible relación física es conveniente definir el coeficiente local de fricción f x como 2 u f 2 o x ∞ ρ τ = donde τ o es el esfuerzo viscoso de corte sobre la superficie de la placa. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 118 Se demuestra que la relación entre el esfuerzo viscoso y el espesor de la capa límite está dada por τ o =(3/2) μ (u ∞ /δ) y teniendo en cuenta que el espesor de la capa límite esta dado por 2 1 x Re x 64 . 4 = δ se concluye que 2 1 x x Re 323 . 0 2 f − = Se define ahora el número adimensional St x como Pr Re Nu Cu h St x x x x = ρ = ∞ =Número de Stanton En la sección anterior se tenía la ecuación 2 1 x 3 1 x Re Pr 332 . 0 Nu = que puede ahora expresarse como 2 1 x 3 2 x Re 332 . 0 Pr St − = Comparando el lado derecho de dos de las ecuaciones anteriores se observa la similitud existente. Despreciando la pequeña diferencia en las constantes se llega a la siguiente expresión 2 f Pr St x 3 2 x = Esta relación entre la transferencia de calor y la fricción del fluido se conoce como la Analogía de Reynolds. Examinando la ecuación anterior se observa que el coeficiente de película en una placa puede también determinarse CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 119 experimentalmente sin existir transferencia de calor mediante una medición de la fuerza de arrastre. Vale la pena anotar que la analogía de Reynolds también es valida para el régimen turbulento en una placa. 5.7 TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA PLACA CON CONVECCION FORZADA EN REGIMEN TURBULENTO Como se comentó anteriormente el flujo dentro de la capa límite permanece laminar por una cierta distancia que depende de las propiedades y de la velocidad del fluido. Sin embargo, el cociente de fuerzas viscosas a fuerzas inerciales disminuye a medida que el espesor de la capa límite aumenta y el campo de flujo se hace turbulento. Aún en estas condiciones persiste un movimiento cuasi laminar en la vecindad inmediata de la superficie. A esta porción de la capa límite turbulenta se le conoce como subcapa laminar. Por otra parte, profundizando más en el campo de flujo se observa entre la subcapa laminar y la región turbulenta una capa de transición en donde se experimenta cierta turbulencia, pero la transferencia de calor y cantidad de movimiento a nivel molecular aún son importantes. Aunque numerosas investigaciones han contribuido considerablemente a un entendimiento fundamental del flujo turbulento, éstas no han tenido éxito en la predicción analítica de los coeficientes de transferencia de calor y de fricción sin recurrir a la experimentación. Esta falta de éxito estriba en la enorme complejidad del flujo turbulento, pues las fluctuaciones irregulares de velocidad sobrepuestas al movimiento principal del fluido no pueden describirse de una manera analítica; éstas son precisamente las responsables principales de la transferencia de calor y de cantidad de movimiento en este régimen. El coeficiente local de fricción superficial está dado por 5 1 x x Re 0592 . 0 f − = para Reynolds entre 5 x 10 5 y 10 7 . Para números de Reynolds más altos, desde 10 7 hasta 10 9 , se recomienda la fórmula de Schultz-Grunow f x =0.370 (log Re x ) -2.584 El coeficiente medio de fricción de una placa plana, con una capa límite laminar hasta Re crítico y turbulencia a partir de ahí, se puede calcular con TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 120 L 584 . 2 L Re A ) Re (log 455 . 0 f − = Re L <10 9 donde la constante A depende de Re crítico de acuerdo a la siguiente tabla Re crítico 3 x 10 5 5 x 10 5 10 6 3 x 10 6 A 1055 1742 3340 8940 Se puede obtener una fórmula algo más simple para números de Reynolds más bajos L 5 1 L Re A Re 074 . 0 f − = Aplicando la analogía de Reynolds se pueden obtener las siguientes ecuaciones ) 871 Re 037 . 0 ( Pr k L h Nu 8 . 0 L 3 1 L − = = Re <10 7 Para Reynolds más altos [ ] 3 1 584 . 2 L L Pr 871 ) Re 228 . 0 ( k L h Nu − = − 10 7 <Re < 10 9 Se puede obtener una expresión para el espesor de la capa límite si esta es completamente turbulenta desde el borde de ataque de la placa: Re x <10 7 , δ =0 en x =0 1 x 5 1 x Re 10256 Re 381 . 0 x − − − = δ 5 x 10 5 < Re x < 10 7 ; Re crítico =5 x 10 5 5.8 PROCEDIMIENTO DE CALCULO EN CONVECCION FORZADA PARA FLUJO SOBRE PLACAS PLANAS Para mayor facilidad en los cálculos, la tabla 5-1 presenta las ecuaciones junto con las restricciones. El procedimiento general es como sigue: CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 121 ♦ Evaluar las propiedades del fluido; esto será generalmente a la temperatura de película. ♦ Establecer las condiciones de contorno, esto es, temperatura constante o flujo de calor constante. ♦ Establecer el régimen de flujo según lo determina el número de Reynolds. ♦ Seleccionar la ecuación apropiada, teniendo en cuenta el régimen de flujo y cualquier restricción en la propiedades del fluido que pudiera darse. ♦ Calcular el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección y la transferencia de calor. TABLA 5 - 1 ECUACIONES PARA FLUJO SOBRE PLACAS PLANAS (Propiedades evaluadas a T f =(T P +T ∞ ) /2 ) Régimen de Flujo Restricciones Ecuación Laminar, local T P =const. Re x <5 x 10 5 0.6 <Pr <50 3 1 2 1 x x Pr Re 332 . 0 Nu = Laminar, local T P =const. Re x <5 x 10 5 Re x Pr >100 4 1 3 2 3 1 2 1 x x Pr 0468 . 0 1 Pr Re 3387 . 0 Nu ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Laminar, local q P =const. Re x <5 x 10 5 0.6 <Pr <50 3 1 2 1 x x Pr Re 453 . 0 Nu = Laminar, local q P =const. Re x <5 x 10 5 4 1 3 2 3 1 2 1 x x Pr 0207 . 0 1 Pr Re 4637 . 0 Nu ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Laminar, medio T P =const. Re L <5 x 10 5 3 1 2 1 L L x L Pr Re 664 . 0 Nu 2 Nu = = = Laminar, local T P =const. Re x <5 x 10 5 Pr <<1 (metales líquidos) 3 1 x x Pr) (Re 564 . 0 Nu = Laminar, local T P =const. comenzando x =x o Re x <5 x 10 5 0.6 <Pr <50 3 1 4 3 o 3 1 2 1 x x x x 1 Pr Re 332 . 0 Nu − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Turbulento, local T P =const. 5 x 10 5 <Re x <10 7 2 . 0 x 3 2 x Re 0296 . 0 Pr St − = TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 122 Turbulento, local T P =const. 10 7 <Re x <10 9 584 . 2 x 3 2 x ) Re (log 185 . 0 Pr St − = Turbulento, local q P =const. 5 x 10 5 <Re x <10 7 . const Tp x x Nu 04 . 1 Nu = = Laminar-turbulento, promedio T P =const. Re x <10 7 , Re crit. =5 x 10 5 L Nu ) 871 Re 037 . 0 ( Pr 8 . 0 L 3 1 − = Laminar-turbulento, promedio T P =const. Re x <10 7 , líquidos μ a T ∞ μ P a T P L Nu 4 1 P 8 . 0 L 43 . 0 ) 200 . 9 Re ( Pr 036 . 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ μ − = ∞ Espesor de la capa límite Laminar Re x <5 x 10 5 2 1 x Re 0 . 5 x − = δ Turbulento Re x <10 7 , δ =0 en x =0 5 1 x Re 381 . 0 x − = δ 5.8 FLUJO POR EL INTERIOR DE TUBOS Una vez adquiridos los conocimientos para calcular la transferencia de calor sobre placas planas que constituyen un tipo de flujo externo que permite la producción de una capa límite sin restricciones externas, trataremos el flujo por el interior de tubos que constituye un flujo interno donde el fluido está confinado por una superficie. La configuración de flujo interno representa una geometría muy utilizada para calentar y enfriar fluidos que se usan en tecnologías de procesamiento químico, control ambiental y conversión de energía. Se considera ahora la corriente en un tubo como se muestra en la figura Se desarrolla una capa límite a la entrada, luego la capa límite llena todo el tubo, y se dice que el flujo está completamente desarrollado. Si el flujo es laminar, se tiene un perfil de velocidades parabólico, como se ve en la figura (a). Cuando el flujo es turbulento, se observa un perfil algo achatado, como el la figura (b). En un tubo se utiliza también el número de Reynolds como criterio de flujo laminar y turbulento. CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 123 d u m ρ Para Re d =⎯⎯⎯⎯ > 2300 el flujo es turbulento μ El intervalo generalmente aceptado para la transición es 2000 <Re d <4000 Para flujo unidimensional en un tubo la ecuación de continuidad es: ο m=ρ u m A donde: ο m=flujo másico u m =velocidad media A =área de la sección transversal Se define el flujo másico por unidad de área =G = /A =ρ u m ο m de modo que el número de Reynolds se expresa también como TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 124 Re d =Gd/μ d =diámetro del tubo 5.8.1 TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR EN UN TUBO La mayoría de problemas de transferencia de calor en ingeniería tiene que ver con flujo de fluidos a través de tuberías, particularmente en intercambiadores de calor. La capa límite térmica se desarrolla en forma similar a la capa límite hidrodinámica. Aunque la transferencia de calor en flujo laminar dentro de tubos no es tan común, algunas veces es deseable tener bajas potencias de bombeo que requieren una situación laminar. La siguiente expresión para el coeficiente de transferencia de calor puede ser desarrollada a partir de un balance de cantidad de movimiento y energía sobre un volumen de control tomado en el fluido y se aplica para flujo uniforme de calor o diferencia constante de temperaturas: 364 . 4 k d h Nu d = = Para temperatura constante de pared: 656 . 3 k d h Nu d = = El flujo de calor se puede calcular como: (q/A) = h (T P – T m ) donde: T P =temperatura de la pared interior del tubo T m =temperatura media del fluido o temperatura media volumétrica. 2 T T 2 T T T salida entrada 2 b 1 b m + = + = CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 125 5.8.2 FLUJO TURBULENTO EN UN TUBO El perfil de velocidades del flujo turbulento en un tubo tiene la forma mostrada en la figura. Una subcapa laminar, o “película”, ocupa el espacio cercano a la superficie, mientras que la parte central de la corriente es turbulenta. Para determinar analíticamente la transferencia de calor en esta situación, se necesita, como de costumbre, el conocimiento de la distribución de temperaturas en la corriente. Para obtener esta distribución de temperaturas, el análisis debe tener en cuenta el efecto de los torbellinos sobre la transferencia de calor y de cantidad de movimiento. Se emplea un análisis aproximado que relaciona la conducción y el transporte de calor, con el transporte de cantidad de movimiento dentro de la corriente, esto es, los efectos viscosos. El procedimiento demuestra que existe una analogía de Reynolds para un tubo dada por la siguiente relación: St =f/8 La ecuación anterior relaciona el flujo de calor con las pérdidas por fricción de la corriente en un tubo y está en buena concordancia con los experimentos, cuando se utiliza con gases cuyos números de Prandtl están cercanos a la unidad (suposición del procedimiento analítico). Una fórmula empírica para el factor de fricción turbulento hasta números de Reynolds de 2x10 5 aproximadamente, para flujos en tubos lisos, es 4 1 d Re 316 . 0 f = TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 126 La analogía de la transferencia de calor con la fricción en el caso de la placa plana, indicaba una dependencia del número de Prandtl de 3 2 Pr y como se ve esta dependencia funciona bien en el caso de flujo turbulento en un tubo, luego se tendrá 8 f Pr St 3 2 = 3 1 4 3 d d Pr Re 0395 . 0 Nu = La ecuación anterior proviene de un procedimiento analítico y en consecuencia predice unos valores de los coeficientes de transferencia de calor algo mayores que los observados en lo experimentos. Con fines de cálculo, la siguiente ecuación es una relación más correcta para utilizarla con flujo turbulento en un tubo liso: 4 . 0 8 . 0 d d Pr Re 023 . 0 Nu = las propiedades en la ecuación anterior se evalúan a la temperatura promedio. 5.9 FLUJO A TRAVES DE CONDUCTOS NO CIRCULARES Si el conducto a través del cual circula el fluido no tiene sección transversal circular, se recomienda que las correlaciones de transferencia de calor se basen en el diámetro hidráulico D H definido por P A 4 D H = A =área de la sección transversal de la corriente. P =perímetro mojado. El diámetro hidráulico debe utilizarse para calcular los números de Nusselt y de Reynolds y para determinar el coeficiente de fricción que se utiliza en la analogía de Reynolds. Para flujo turbulento, si Re d >2300, es razonable utilizar las correlaciones para tubos circulares para Pr > 0.7. No obstante, en un tubo no circular los coeficientes de CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 127 convección varían alrededor de la periferia, aproximándose a cero en las esquinas. En consecuencia al utilizar una correlación de tubo circular, se supone que el coeficiente es un promedio sobre el perímetro. Para flujo laminar, el uso de correlaciones de tubo circular es menos preciso, en particular con secciones transversales caracterizadas por esquinas agudas. Para tales casos, el número de Nusselt que corresponde a condiciones completamente desarrolladas se puede obtener de la tabla 5-2 que se basa en soluciones de las ecuaciones diferenciales de momento y energía para flujo por las diversas secciones transversales del tubo. TABLA 5-2 - Números de Nusselt y factores de fricción para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente sección transversal Nu d = h D H /k Sección Transversal b/a q constante T s (constante) f (Re d ) Circulo - 4.36 3.66 64 Cuadrado 1.0 3.61 2.98 57 Rectángulo 1.43 3.73 3.08 59 Rectángulo 2.0 4.12 3.39 62 Rectángulo 3.0 4.79 3.96 69 Rectángulo 4.0 5.33 4.44 73 Rectángulo 8.0 6.49 5.60 82 Rect. Infinito ∞ 8.23 7.54 96 triángulo - 3.11 2.47 53 5.10 FLUJO TRANSVERSAL A CILINDROS El coeficiente local de transferencia de calor (Número de Nusselt) para un cilindro simple sometido a un flujo transversal de aire con temperatura y velocidad aproximadamente uniformes varía ampliamente de un punto a otro. El número de Nusselt promedio está bien representado por la siguiente correlación: 3 1 n df f Pr Re C Nu = Las constantes de la ecuación anterior se tabulan en la tabla 5-3. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 128 Tabla 5-3 Re df C n 0.4 - 4 0.989 0.330 4 - 40 0.911 0.385 40 - 4000 0.683 0.466 4000 - 40000 0.193 0.618 40000 - 400000 0.0266 0.805 5.11 FLUJO A TRAVÉS DE HACES DE TUBOS En los intercambiadores de calor se utilizan frecuentemente haces de tubos cilíndricos poco espaciados. En esta situación las estelas de los tubos localizados aguas arriba ejercen influencia sobre la rapidez de la transferencia de calor y las características de flujo sobre los tubos situados aguas abajo. Para los primeros tubos se presentan variaciones de tubo a tubo y después no hay cambios perceptibles. El tipo de arreglo es otro factor de influencia; en la siguiente figura se muestran los dos arreglos más comunes. d d u ∞ Disposición en línea Disposición escalonada Los resultados de varios investigadores fueron evaluados por E.D. Grimson, quien encontró que el coeficiente promedio de transferencia de calor para haces de por lo menos 10 tubos de profundidad en la dirección del flujo está dado por CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 129 3 1 n f f máx f Pr d u C k d h ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ ρ = En la tabla 5-4 se dan los valores de la constante C y del exponente n en función de parámetros geométricos utilizados para describir la disposición del haz de tubos. El número de Reynolds está basado en la velocidad máxima que se tiene en el haz de tubos, esto es, la velocidad a través del área de flujo mínima. Esta área dependerá de la disposición geométrica de los tubos. Para haces de tubos que tienen menos de 10 tubos en la dirección del flujo, Kays y Lo, obtuvieron los coeficientes de corrección h/ 10 h dados en la tabla 5-5. En corrientes perpendiculares a haces de tubos en línea, el máximo de la velocidad de la corriente se producirá donde, para esa configuración, sea mínima el área (a – d) normal a la corriente incidente de velocidad u ∞ . Así u máx =u ∞ [ a / (a – d)] (disposición en línea) En la disposición escalonada la velocidad máxima de la corriente será igual si el área normal a la entrada del haz de tubos es el área de paso mínima. Esto no ocurre cuando la separación es pequeña en la dirección longitudinal, así como cuando “b” es pequeña. En el caso correspondiente a la distribución escalonada, la corriente entra al haz de tubos a través del área (a – d), y después se divide en las dos áreas [(a /2) 2 +b 2 ] 0.5 – d. Si la suma de estas dos áreas es menor que (a – d), entonces representan el área de flujo mínima y la velocidad máxima en el haz de tubos será: ( ) [ ] d b 2 / a ) 2 / a ( u u 2 1 2 2 máx − + = ∞ donde u ∞ es la velocidad de la corriente libre que entra al haz de tubos. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 130 TABLA 5-4 a/d 1.25 1.5 2 3 b/d C 1 n C 1 n C 1 n C 1 n Tubos en línea 1.25 0.348 0.592 0.275 0.608 0.100 0.704 0.0633 0.752 1.5 0.367 0.586 0.250 0.620 0.101 0.702 0.0678 0.744 2 0.418 0.570 0.299 0.602 0.229 0.632 0.198 0.648 3 0.290 0.601 0.357 0.584 0.374 0.581 0.286 0.608 Tubos escalonados 0.6 0.213 0.636 0.9 0.446 0.571 0.401 0.581 1 0.497 0.558 1.125 0.476 0.565 0.518 0.560 1.25 0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522 0.562 1.5 0.451 0.568 0.460 0.562 0.452 0.568 0.488 0.568 2 0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449 0.570 3 0.310 0.592 0.356 0.580 0.440 0.562 0.421 0.574 TABLA 5-5 – Relación h/ 10 h Número de tubos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Escalonados 0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99 En línea 0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99 5.12 RELACIONES EMPIRICAS PARA CONVECCION FORZADA Los datos en los que se basan las relaciones experimentales, con frecuencia se obtienen bajo condiciones de laboratorio donde puede ejercerse un control riguroso de las variables de la corriente. Es posible que la aplicación de estas relaciones difiera de los resultados obtenidos en la práctica, pero su sencillez compensa lo anterior. Puede utilizarse el siguiente procedimiento de cálculo para la mayoría de los problemas: ♦ Establecer la geometría de la configuración. ♦ Determinar las propiedades del fluido. CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 131 ♦ Establecer el tipo de régimen según el número de Reynolds calculado. ♦ Seleccionar la ecuación que se ajuste a la geometría y al régimen de flujo. ♦ Se calcula el valor de h y el flujo de calor. En la tabla 5-6 se presentan las más importantes correlaciones empíricas utilizadas en convección forzada. TABLA 5-6 ECUACIONES PARA CONVECCIÓN FORZADA – TUBOS, CILINDROS Y ESFERAS – FLUJO INTERNO Y EXTERNO Subíndices: b =temperatura promedio, f =temperatura de película, ∞ =temperatura de la corriente libre, p =temperatura de la pared Régimen de Flujo Restricciones Ecuación Corriente en un tubo Flujo turbulento completamente desarrollado. n =0.4 para calentamiento n =0.3 para enfriamiento 0.6 <Pr <100 2500 <Re <1.25 x 10 5 Propiedades a T m n 8 . 0 d d Pr Re 023 . 0 Nu = Corriente en un tubo 0.5 <Pr <1.5 10 4 <Re <5 x 10 6 Propiedades a T m 4 . 0 8 . 0 Pr ) 100 (Re 021 . 0 Nu − = Corriente en un tubo 1.5 <Pr <500 3000 <Re <10 6 Propiedades a T m 4 . 0 87 . 0 Pr ) 280 (Re 012 . 0 Nu − = Corriente en un tubo Flujo turbulento completamente desarrollado Propiedades a T m 0.7 <Pr <1.67 x 10 4 Re >10 4 (L/D) >10 14 . 0 p 3 1 8 . 0 d d Pr Re 027 . 0 Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ μ = Ecuación de Sieder Tate Corriente en un tubo, región de entrada Flujo turbulento Propiedades a T m 055 . 0 3 1 8 . 0 d d L d Pr Re 036 . 0 Nu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Corriente en un tubo Flujo turbulento completamente desarrollado 0.5 <Pr <2000 10 4 <Re d <5 x 10 6 T p >T b n =0.11 T p <T b n =0.25 n =0 para flujo de calor constante o gases Propiedades a T f n p b 3 2 2 1 d d ) 1 (Pr ) 8 / f ( 7 . 12 07 . 1 Pr Re ) 8 / f ( Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ μ − + = 2 d ) 64 . 1 Re ln 590 . 0 ( f − − = Corriente en un tubo Laminar Propiedades a T m ( ) [ ] 3 2 d d d Pr Re L / d 04 . 0 1 Pr Re ) L / d ( 0668 . 0 66 . 3 Nu + + = TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 132 Corriente en un tubo Flujo laminar completamente desarrollado Re d Pr (d/L) >10 Propiedades a T m 14 . 0 p 3 1 3 1 d d L d Pr) (Re 86 . 1 Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ μ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Tubos rugosos Flujo turbulento completamente desarrollado 8 f Pr St 3 2 f b = Corriente transversal a cilindros 0.4 <Re d f <400 000 C y n de la tabla 5-3 Propiedades a T f 3 1 n df f Pr Re C Nu = Corriente transversal a cilindros 10 2 <Re f <10 7 Pe >0.2 Propiedades a T f 5 4 8 5 4 1 3 2 3 1 2 1 f df 000 . 282 Re 1 Pr 4 . 0 1 Pr Re 62 . 0 3 . 0 Nu ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Corriente transversal a cilindros 10 -1 <Re f <10 5 Propiedades a T f 3 . 0 f 52 . 0 f f Pr ) Re 56 . 0 35 . 0 ( Nu + = Corriente transversal a cilindros 1 <Re <10 3 Gases: Propiedades a T f Líquidos: Propiedades a T ∞ 25 . 0 p f 38 . 0 5 . 0 Pr Pr Pr ) Re 50 . 0 43 . 0 ( Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = Corriente transversal a cilindros 10 3 <Re <2 x 10 5 Gases: Propiedades a T f Líquidos: Propiedades a T ∞ 25 . 0 p f 38 . 0 6 . 0 Pr Pr Pr Re 2 . 0 Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Corriente alrededor de esferas Pr ≅0.7 (gases) 17 <Re <70 000 Propiedades a T f 8 . 0 df df Re 037 . 0 Nu = Corriente alrededor de esferas Agua y aceites 1 <Re <200 000 propiedades a T ∞ 54 . 0 d 25 . 0 p 3 . 0 Re 53 . 0 2 . 1 ) / ( Pr Nu = = μ μ − Corriente alrededor de esferas 0.7 <Pr <380 3.5 <Re <80 000 propiedades a T ∞ 4 1 p 4 . 0 3 2 d 2 1 d ) / ( Pr ) Re 06 . 0 Re 4 . 0 ( 2 Nu μ μ + + = ∞ PROBLEMAS RESUELTOS 5.1 Sobre una placa plana circula aire a 27 º C y 1 atm., a una velocidad de 2 m/s. Calcular el espesor de la capa límite a una distancia de 20 cm. La viscosidad del aire a 27 º C es 1.85 x 10 -5 kg/m.s. Suponer la unidad de longitud en la dirección z. La densidad del aire se calcula a partir de CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 133 PM 101.325 x 28.84 ρ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.17 kg/m 3 RT (8.319) (300) El número de Reynolds se calcula (1,17) (2.0) (0.2) Re =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =25297 1.85 x 10 -5 El espesor de la capa límite será (4.64) (0.2) δ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.00583 m =0.583 cm (25297) 0.5 5.2 Considerar que la placa plana de la corriente del problema 5.1, se calienta en toda su longitud hasta una temperatura de 60 º C. Calcular el calor transferido. Se desea obtener la transferencia de calor total sobre la longitud de la placa; así que se necesita calcular el coeficiente de transferencia de calor medio. Con este fin evaluamos las propiedades a la temperatura de película. 27 +60 T f =⎯⎯⎯⎯ =43.5 º C =316.5 K 2 Las propiedades evaluadas a la temperatura anterior son ν =17.36 x 10 -6 m 2 /s k =0.02749 W/m o C C P =1.006 kJ /kg o C C P μ C P ρν (1006) (17.36 x 10 -6 ) (1.17) Pr =⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.7 k k 0.02749 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 134 u ∞ x (2) (0.2) Re x =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =23041 ν 17.36 x 10 -6 k x h Nu x x = =0.332 3 1 2 1 x Pr Re Nu x =(0.332) (23041) 0.5 (0.7) 0.333 =44.74 h x =Nu x (k/x) =44.74 (0.02749 /0.2) =6.15 W/m 2 o C El valor medio del coeficiente de transferencia de calor es dos veces este valor, _ h=(2) (6.15) =12.3 W/m 2 o C El flujo de calor es q = A (T s - T ∞ ) =(12.3) (0.2) (1) (60 – 27) =81.18 W _ h Se supuso la unidad de longitud en la dirección z. 5.3 Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, se obliga a moverse aceite motor a 20 º C, a una velocidad de 1.2 m/s. La placa se calienta hasta una temperatura uniforme de 60 º C. Calcular el calor perdido por la placa. Se evalúa la temperatura de película 20 +60 T =⎯⎯⎯⎯ =40 o C 2 Las propiedades del aceite motor son ρ = 876 kg/m 3 ; ν =0.00024 m 2 /s ; k =0.144 W/m o C C P =1.965 kJ /kg o C (0.00024) (876) (1965) Pr =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =2870 0.144 CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 135 El número de Reynolds es u ∞ L (1.2) (0.2) Re =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =1000 ν 0.00024 Como el número de Prandtl es tan grande se utiliza la siguiente ecuación: 4 1 3 2 3 1 2 1 x x Pr 0468 . 0 1 Pr Re 3387 . 0 Nu ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 . 152 2870 0468 . 0 1 ) 2870 ( ) 1000 ( ) 3387 . 0 ( Nu 4 1 3 2 3 1 2 1 x = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = (152.2) (0.144) h x =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =109.6 W/m 2 o C 0.2 El valor medio del coeficiente de convección es _ h=(2) (109.6) =219.2 W/m 2 o C La transferencia de calor total es q = A (T s - T ∞ ) =(219.2) (0.2) 2 (60 – 20) =350.6 W _ h 5.4 Para la corriente del problema 5.2, calcular la fuerza de resistencia ejercida sobre los 20 cm de la placa, utilizando la analogía entre la fricción en el fluido y la transferencia de calor. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 136 Para calcular el coeficiente de fricción se emplea la ecuación 2 f Pr St x 3 2 x = La densidad a 316.5 K es P 1.0132 x 10 5 ρ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.115 kg/m 3 RT (287) (316.5) 3 P _ _ 10 x 48 . 5 ) 2 ( ) 1006 ( ) 115 . 1 ( 3 . 12 u C h St − ∞ = = ρ = (f/2) =(5.48 x 10 -3 ) (0.7) 0.666 =4.32 x 10 -3 τ P =(4.32 x 10 -3 ) (1.115) (2) 2 =0.0192 N/m 2 La fuerza de resistencia es el producto de este esfuerzo cortante por el área Fuerza =(0.0192) (0.2) =0.00384 N 5.5 Sobre una placa plana sopla aire a 20 º C, 1 atm y 35 m/s de velocidad. La placa tiene 75 cm de largo y se mantiene a 60 º C. Suponiendo la unidad de longitud en la dirección z, calcular la transferencia de calor desde la placa. Se evalúan las propiedades a la temperatura de película. 20 +60 T f =⎯⎯⎯⎯ =40 º C =313 K 2 P 1.0132 x 10 5 ρ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.128 kg/m 3 RT (287) (313) μ =1.906 x 10 -5 kg/m.s ; k =0.02723 W/m o C ; C P =1.007 kJ /kg o C Con los datos anteriores Pr =0.7 CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 137 El número de Reynolds es ρ u ∞ L (1.128) (35) (0.75) Re L =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.553 x 10 6 μ 1.906 x 10 -5 La capa límite es turbulenta porque el número de Reynolds es mayor que 5x10 5 Por tanto, se utiliza la ecuación ) 871 Re 037 . 0 ( Pr k L h Nu 8 . 0 L 3 1 L − = = Nu L =(0.7) 0.333 [(0.037) (1.553 x 10 6 ) 0.8 - 871] =2180 h =Nu L (k/L) =[(2180) (0.02723) / (0.75)] =79.1 W/m 2 o C q =h A (T s - T ∞ ) =(79.1) (0.75) (60 – 20) =2373 W 5.6 Se calienta aire a 2 atm y 200 º C mientras circula por un tubo de 2.54 cm de diámetro a una velocidad de 10 m/s. Calcular el calor transferido por unidad de longitud de tubo si se mantiene en la pared una condición de flujo de calor constante, siendo la temperatura de la pared 20 º C superior a la temperatura del aire a lo largo de todo el tubo. ¿Cuánto aumentaría la temperatura promedio en 3 m de longitud del tubo? En primer lugar se calcula el número de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento y después se selecciona la correlación empírica adecuada para calcular el calor transferido. Las propiedades del aire a una temperatura promedio de 200 º C son P (2) (1.0132 x 10 5 ) ρ = ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.493 kg/m 3 RT (287) (473) Pr =0.681 ; μ =2.57 x 10 -5 kg/m.s ; k =0.0386 W/m o C C P =1.025 kJ /kg o C TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 138 ρ u m d (1.493) (10) (0.0254) Re d =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =14756 μ 2.57 x 10 -5 de modo que el flujo es turbulento. Se utilizará la siguiente ecuación para calcular el coeficiente de transferencia de calor n 8 . 0 d d Pr Re 023 . 0 Nu = Nu d =(0.023) (14756) 0.8 (0.681) 0.4 =42.67 h =(k/d) Nu d =(0.0386) (42.67) / (0.0254) =64.85 W/m 2 o C El flujo de calor por unidad de longitud es (q/L) =h πd (T s – T b ) =(64.85) (π) (0.0254) (20) =103.5 W/m Ahora se establece el balance energético para calcular el aumento de la temperatura promedio en una longitud de tubo de 3 m: q = C P ΔT b =L (q/L) ο m ο m=ρ u m (πd 2 /4) =(1.493) (10) (π) [(0.0254) 2 /4] =7.565 x 10 -3 kg/s (7.565 x 10 -3 ) (1025) (ΔT b ) =(3.0) (103.5) ΔT b =40.04 o C 5.7 En un tubo de 2.54 cm de diámetro entra agua a 60 º C a una velocidad media de 2 cm/s. Calcular la temperatura de salida del agua si el tubo tiene 3.0 m de longitud y la temperatura de la pared permanece constante a 80 º C. En primer lugar se evalúa el número de Reynolds a la temperatura media a la entrada para determinar el régimen de flujo. Las propiedades del agua a 60 º C son ρ =985 kg/m 3 ; C P =4.18 kJ /kg o C ; μ =4.71 x 10 -4 kg/m.s k =0.651 W/m o C ; Pr =3.02 CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 139 ρU m d (985) (0.02) (0.0254) Re d =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1062 μ 4.71 x 10 -4 de modo que el flujo es laminar. Calculando el parámetro adicional se tiene (1062) (3.02) (0.0254) Re d Pr (d/L) =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =27.15 >10 3 de modo que es aplicable la siguiente ecuación 14 . 0 P 3 1 3 1 d d L d Pr) Re ( 86 . 1 Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ μ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = La temperatura media para evaluar las propiedades no se conoce aún, así que el primer cálculo se realiza sobre la base de 60 º C, se determina una temperatura media a la salida y se realiza una segunda iteración para obtener un valor más preciso. Si las condiciones en la entrada y salida se designan con los subíndices 1 y 2, respectivamente, el balance de energía es ( 1 2 2 1 b b P b b P T T C m 2 T T T dL h q − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − π = ο ) (a) A la temperatura de la pared de 80 º C se tiene μ P =3.55 x 10 -4 kg/m.s 816 . 5 55 . 3 71 . 4 3 ) 0254 . 0 ( ) 02 . 3 ( ) 1062 ( ) 86 . 1 ( Nu 14 . 0 3 1 d = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = h =Nu d (k/d) =(0.651) (5.816) /(0.0254) =149.1 W/m 2 o C El flujo másico es ο m=ρu m (πd 2 /4) =(985) (π) (0.0254) 2 (0.02) / (4) =9.982 x 10 -3 kg/s Introduciendo el valor de h en la ecuación (a) así como el flujo de masa y T b1 = 60 º C y T P =80 º C se obtiene TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 140 ) 60 T ( ) 4180 ( ) 10 x 982 . 9 ( 2 60 T 80 ) 0 . 3 ( ) 0254 . 0 ( ) ( ) 1 . 149 ( 2 2 b 3 b − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − π − Esta ecuación puede resolverse para dar T b2 =71.98 o C Entonces habría que volver atrás y evaluar las propiedades a 71.98 +60 T b, media =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =66 o C 2 Se obtiene ρ =982 kg/m 3 ; C P =4185 J /kg o C ; μ =4.36 x 10 -4 kg/m.s k =0.656 W/m o C ; Pr =2.78 (1062) (4.71) Re d =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1147 4.36 (1147) (2.78) (0.0254) Re Pr (d/L) =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =27.00 3 Nu d =(1.86) (27.00) 0.333 (4.36/3.55) 0.14 =5.743 (0.656) (5.743) h =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =148.3 W/m 2 o C 0.0254 Se introduce de nuevo este valor de h en la ecuación (a) para obtener T b2 =71.88 o C CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 141 La iteración de este problema da como resultado una diferencia muy pequeña. Si se hubiese encontrado una diferencia de temperaturas media grande, el cambio en las propiedades podría haber tenido un mayor efecto. 5.8 Un tubo de 2 cm de diámetro, cuya rugosidad relativa es 0.001, se mantiene a la temperatura constante de 90 º C. En el tubo entra agua a 40 º C y sale a 60 º C. Si la velocidad a la entrada es 3 m/s, calcular la longitud de tubo necesaria para conseguir el calentamiento. En primer lugar se calcula el calor transferido a partir de T C m q P Δ = ο q =(989) (3.0) (π) (0.01) 2 (4174) (60 – 40) =77.812 W Dada la condición de tubo rugoso, puede emplearse la ecuación n P b 3 2 2 1 d d ) 1 (Pr ) 8 / f ( 7 . 12 07 . 1 Pr Re ) 8 / f ( Nu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ μ − + = La temperatura de película media es 90 +50 T f =⎯⎯⎯⎯⎯ =70 o C 2 y las propiedades del fluido son ρ =978 kg/m 3 ; μ =4.0 x 10 -4 kg/m.s ; k =0.664 W/m o C Pr =2.54 También, μ b =5.55 x 10 -4 kg/m.s ; μ P =2.81 x 10 -4 kg/m.s El número de Reynolds es entonces TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 142 (978) (3) (0.02) Re d =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =146700 4 x 10 -4 Consultando la gráfica 5-1, se encuentra el factor de fricción como f =0.0218 ; f/8 =0.002725 Puesto que T P >T b se toma n =0.11 y se obtiene 8 . 666 81 . 2 55 . 5 ) 1 54 . 2 ( ) 002725 . 0 ( ) 7 . 12 ( 07 . 1 ) 54 . 2 ( ) 146700 ( ) 002725 . 0 ( Nu 11 . 0 3 2 2 1 d = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = h =(666.8) (0.664) / (0.02) =22138 W/m 2 o C La longitud del tubo se obtiene a partir del balance de energía W 77812 ) T T ( L d h q b _ P _ = − π = L =1.4 m 5.9 Transversalmente a un cilindro de 5 cm de diámetro circula aire a 1 atm y 35 º C a la velocidad de 50 m/s. La superficie del cilindro se mantiene a una temperatura de 150 º C. Calcular el calor perdido por unidad de longitud del cilindro. En primer lugar se determina el número de Reynolds, las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película T P +T ∞ 150 +35 T f =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =92.5 o C 2 2 P 1.0132 x 10 5 ρ f =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.966 kg/m 3 RT (287) (365.5) μ f =2.14 x 10 -5 kg/m.s k f =0.0312 W/m o C CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 143 Pr f =0.695 ρu ∞ d (0.966) (50) (0.05) Re df =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.129 x 10 5 μ 2.14 x 10 -5 Se utilizará la ecuación 3 1 n df f Pr Re C Nu = C =0.0266 n =0.805 ( ) 1 . 275 695 . 0 ) 10 x 12 . 1 ( ) 0266 . 0 ( k hd 3 1 805 . 0 5 f = = h =(275.1) (0.0312) / (0.05) =171.7 W/m 2 o C Por lo tanto el calor transferido por unidad de longitud es (q/L) =hπd (T P - T ∞ ) =(171.7) (π) (0.05) (150 – 35) =3100 W/m 5.10 Alrededor de una esfera de 12 mm de diámetro circula una corriente de aire a 1 atm y 27 º C con una velocidad de la corriente libre de 4 m/s. Un pequeño calentador situado dentro de la esfera mantiene la temperatura de la superficie a 77 º C. Calcular el calor perdido por la esfera. Se utilizará la ecuación 4 1 P 4 . 0 3 2 d 2 1 d ) / ( Pr ) Re 06 . 0 Re 4 . 0 ( 2 Nu μ μ + + = ∞ Las propiedades se evalúan a T ∞ =27 º C =300 K ν =15.69 x 10 -6 m 2 /s ; k =0.02624 W/m o C ; Pr =0.708 μ ∞ =1.8462 x 10 -5 kg/m.s Para T P =77 º C =350 K μ P =2.075 x 10 -5 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 144 El número de Reynolds es (4) (0.012) Re d =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =3059 15.69 x 10 -6 4 . 31 075 . 2 8462 . 1 ) 708 . 0 ( ) 3059 ( ) 06 . 0 ( ) 3059 ( ) 4 . 0 ( 2 Nu 4 1 4 . 0 3 2 2 1 _ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = C m / W 66 . 68 012 . 0 ) 02624 . 0 ( ) 4 . 31 ( d k Nu h o 2 _ _ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = El calor transferido es q = A (T P - T ∞ ) =(68.66) (4π) (0.006) 2 (77 – 27) =1.55 W _ h 5.11 A través de un haz de tubos en línea formado por 15 filas transversales y 5 filas en la dirección de la corriente, fluye aire a 1 atm y 10 º C a la velocidad de 7 m/s medida en un punto de la corriente antes de que el aire entre al haz de tubos. Las superficies de los tubos se mantienen a 65 º C. El diámetro de los tubos es 2.54 cm; están dispuestos en línea, de modo que la separación en ambas direcciones normal y longitudinal es 3.81 cm. Calcular el calor total transferido por unidad de longitud del haz de tubos y la temperatura de salida del aire. Se utilizará la ecuación: 3 1 n f f máx f Pr d u C k d h ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ μ ρ = Las constantes pueden obtenerse de la tabla 5-4, empleando b 3.81 a 3.81 ⎯ =⎯⎯ =1.5 ⎯ =⎯⎯ =1.5 d 2.54 d 2.54 de modo que C =0.278 n =0.620 CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 145 Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película, que a la entrada del haz de tubos es T p +T ∞ 65 +10 T f1 =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =37.5 o C =310.5 o K 2 2 P M (101.3) (28.84) ρ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.131 kg/m 3 RT (8.319) (310.5) μ f =1.894 x 10 -5 kg/m.s k f =0.027 W/m. o C C P =1007 J /kg o C Pr =0.706 Para calcular la velocidad máxima, debe determinarse el área de paso mínima. a (7) (3.81) u máx =u ∞ ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =21 m/s a – d 3.81 – 2.54 donde u ∞ es la velocidad incidente a la entrada del haz de tubos. El número de Reynolds se calcula utilizando la velocidad máxima. ρ u máx d (1.131) (21) (0.0254) Re =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =31 851 μ 1.894 x 10 –5 El coeficiente de transferencia de calor será: h d ⎯⎯ =(0.278) (31851) 0.62 (0.706) 0.333 =153.3 k f (153.3) (0.027) h =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =162.9 0.0254 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 146 Éste es el coeficiente de transferencia de calor que se obtendría si hubiese 10 filas de tubos en la dirección de la corriente. Puesto que hay sólo 5 filas, este valor debe multiplicarse por el factor 0.92, como se deduce de la tabla 5-5. El área de la superficie para transferencia de calor, por unidad de longitud de los tubos, es A =N π d (1) =(15) (5) π (0.0254) =5.985 m 2 /m donde N es el número total de tubos. Antes de calcular el calor transferido, debe observarse que la temperatura del aire aumenta cuando el aire atraviesa el haz de tubos. Por tanto, hay que tener esto en cuenta cuando se utilice q =h A (T P - T ∞ ) Como buena aproximación, puede utilizarse el valor de la media aritmética de T ∞ , escribiéndose el balance energético ) T T ( C m 2 T T T A h q 1 , 2 , p 2 , 1 , p ∞ ∞ • ∞ ∞ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = donde los subíndices 1 y 2 designan ahora la entrada y la salida del haz de tubos. El flujo másico a la entrada de los 15 tubos es a ) 15 ( u m ∞ ∞ • ρ = PM (101.3) (28.84) ρ ∞ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.24 kg/m 3 RT ∞ (8.319) (283) 96 . 4 ) 0381 . 0 ( ) 15 ( ) 7 ( ) 24 . 1 ( m = = • Reemplazando en la ecuación del balance energético se tiene: ) 10 T ( ) 1007 ( ) 96 . 4 ( 2 T 10 65 ) 985 . 5 ( ) 9 . 162 ( ) 92 . 0 ( 2 , 2 , − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∞ ∞ Resolviendo: T ∞, 2 =19.06 o C CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 147 El calor transferido es q =(4.96) (1007) ( 19.06 – 10) =45252.16 W =45.25 kW Este resultado podría mejorarse algo volviendo a calcular las propiedades del aire a un valor medio de T ∞ , pero la diferencia sería muy pequeña. PROBLEMAS PROPUESTOS 5.12 Calcular el flujo másico del agua que circula sobre una placa plana a 15 º C y 3 m/s, a través de la capa límite a una distancia de 5 cm del borde de ataque de la placa. 5.13 Sobre una placa plana circula aire a 90 º C, 1 atm y una velocidad de 30 m/s. ¿Cuál es el espesor de la capa límite a una distancia de 2.5 cm del borde de ataque de la placa? 5.14 Sobre una placa plana circula aire en condiciones estándar de 1 atm y 30 o C a 20 m/s. La placa es cuadrada, tiene 60 cm de lado y se mantiene a 90 º C. Calcular la transferencia de calor desde la placa. 5.15 Sobre una placa plana cuadrada de 30 cm de lado, circula aire a 7 kPa y 35 º C, a 7.5 m/s. La placa se mantiene a 65 º C. Estimar la pérdida de calor de la placa. 5.16 Sobre una placa horizontal circula aire a 90 º C y presión atmosférica, a 60 m/s. La placa es un cuadrado de 60 cm de lado y se mantiene a una temperatura uniforme de 10 º C. ¿Cuál es la transferencia total de calor? 5.17 Calcular la transferencia de calor desde una placa cuadrada de 30 cm de lado, sobre la que circula aire a 35 º C y 14 kPa. La temperatura de la placa es 250 º C y la velocidad de la corriente libre es 6 m/s. 5.18 Alrededor de una gran superficie de hormigón de 15 cm de ancho, mantenida a 55 º C, sopla aire a 1 atm y 27 º C. La velocidad de la corriente es 4.5 m/s. Calcular la pérdida de calor por convección de la superficie. 5.19 Sobre una placa cuadrada de 1 m de lado, circula aire a 300 K, 75 kPa y 45 m/s. La placa se mantiene a una temperatura constante de 400 K. Calcular el calor perdido por la placa. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 148 5.20 Una placa plana horizontal se mantiene a 50 º C y tiene unas dimensiones de 50 x 50 cm. Se sopla aire sobre la placa, a 50 kPa, 10 º C y 20 m/s. Calcular el calor perdido por la placa. 5.21 Sobre una placa cuadrada de 20 cm de lado, circula aire con una velocidad de 5 m/s. Las condiciones de la corriente libre son 10 º C y 0.2 atm. Un calentador en la superficie de la placa proporciona un flujo de calor constante en la pared, de modo que la temperatura media de la pared es 100 º C. Calcular el flujo de calor de la superficie y el valor de h en una posición de x =10 cm. 5.22 Sobre una placa cuadrada de 2 m de lado, circula aire a 50 kPa y 250 K, a una velocidad de 20 m/s. La placa se mantiene a una temperatura constante de 350 K. Calcular el calor perdido por la placa. 5.23 Sobre una placa plana circula aire a 1 atm y 350 K con una velocidad de 30 m/s. Calcular el flujo másico a través de la capa límite para valores de x para los que Re x =10 6 y 10 7 . 5.24 Sobre una placa plana isoterma mantenida a una temperatura constante de 65 º C circula aire. La velocidad del aire es 600 m/s con las propiedades estáticas de 15 º C y 7 kPa. Calcular el coeficiente de transferencia de calor medio para una placa de 1 m de largo. 5.25 En un tubo de 5.0 mm de diámetro entra aceite de motor a 120 º C. La pared del tubo se mantiene a 50 º C y el número de Reynolds a la entrada es 1000. Calcular el calor transferido, el coeficiente de transferencia de calor medio y la temperatura de salida del aceite para longitudes del tubo de 10, 20 y 50 cm. 5.26 Se calientan 3 kg/s de agua desde 5 hasta 15 º C pasando a través de un tubo de cobre de 5 cm de diámetro interior. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 90 º C. ¿Cuál es la longitud del tubo? 5.27 Se calientan 0.8 kg/s de agua desde 35 hasta 40 o C en un tubo de 2.5 cm de diámetro cuya superficie está a 90 º C. ¿Qué longitud debe tener el tubo para conseguir este calentamiento? 5.28 En un tubo de 1.25 cm de diámetro y 3 m de longitud entra aceite de motor a una temperatura de 38 º C. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 65 º C y la velocidad de la corriente es de 30 m/s. Estimar el calor total transferido al aceite y su temperatura de salida. CAPITULO 5 : CONVECCION FORZADA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 149 5.29 Por un tubo liso de 2.5 cm de diámetro interior y 15 m de longitud se fuerza la circulación de 0.5 kg/s de agua. La temperatura de entrada del agua es 10 º C y la temperatura de la pared del tubo es 15 º C mayor que la temperatura del agua a lo largo de todo el tubo. ¿Cuál es la temperatura de salida del agua? 5.30 Por un tubo de 3 cm de diámetro y rugosidad relativa 0.002 cuya pared se mantiene a una temperatura constante de 80 º C circula agua. Si el agua entra a 20 º C estimar el coeficiente de convección para un número de Reynolds de 10 5 . 5.31 En un tubo de 6 mm de diámetro entran 8 x 10 -5 kg/s de aire a 110 kPa y 40 º C. La temperatura de la pared del tubo se mantiene constante a 140 º C. Calcular la temperatura de salida del aire para una longitud de tubo de 14 cm. 5.32 En un tubo de 1 cm de diámetro entra aceite de motor siendo el flujo másico tal que el número de Reynolds a la entrada es 50. Calcular la temperatura de salida del aceite para una longitud de tubo de 8 cm y una temperatura en la pared constante de 80 º C. La temperatura de entrada es 20 º C. 5.33 Por un tubo de 2 cm de diámetro circula agua, siendo la velocidad media de la corriente 8 m/s. Si el agua entra a 20 º C y sale a 30 º C y la longitud del tubo es de 10 m, estimar la temperatura media necesaria en la pared para que se transfiera el calor requerido. 5.34 En un tubo de 2.0 mm de diámetro entra aceite de motor a 20 º C a una velocidad de 1.2 m/s. La temperatura de la pared del tubo es constante e igual a 60 º C y el tubo tiene 1 m de longitud. Calcular la temperatura de salida del aceite. 5.35 En un tubo de 3 mm de diámetro entra agua a 21 º C y sale a 32 º C. El flujo másico es tal que el número de Reynolds es 600. La longitud del tubo es de 10 cm y se mantiene a una temperatura constante de 60 º C. Calcular el flujo másico de agua. 5.36 Por un tubo de 5 mm de diámetro circula un flujo másico de glicerina tal que el número de Reynolds es 10. La glicerina entra a 10 º C y sale a 30 º C. La pared del tubo se mantiene constante a 40 º C. Calcular la longitud del tubo. 5.37 Un cilindro de 5 cm de diámetro se mantiene a 100 º C y está situado en una corriente de nitrógeno a 2 atm y 10 º C. El nitrógeno circula TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 150 transversalmente al cilindro con una velocidad de 5 m/s. Calcular el calor por unidad de longitud perdido por el cilindro. 5.38 Se sopla aire a 1 atm y 0 o C transversalmente a un cilindro de 4 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a una temperatura de 54 º C. La velocidad del aire es 25 m/s. Calcular el calor perdido por el cilindro por unidad de longitud. 5.39 Se sopla aire a 200 kPa transversalmente a un cilindro de 20 cm de diámetro a una velocidad de 25 m/s y una temperatura de 10 º C. El cilindro se mantiene a una temperatura constante de 80 º C. Calcular el calor transferido. 5.40 Alrededor de una esfera de 3 mm de diámetro circula agua a 6 m/s. La temperatura de la corriente libre es 38 º C, y la esfera se mantiene a 93 º C. Calcular el flujo de calor. 5.41 Una esfera caliente de 3 cm de diámetro se mantiene a la temperatura constante de 90 º C y está situada en una corriente de agua a 20 º C. La velocidad de la corriente de agua es 3.5 m/s. Calcular el calor perdido por la esfera. 5.42 En un haz de tubos en línea que consta de cinco filas de diez tubos cada una entra aire a 300 K y 1 atm. El diámetro de los tubos es 2.5 cm y a =b =5.0 cm. La velocidad en la entrada es 10 m/s y la temperatura de las paredes de los tubos es 350 K. Calcular la temperatura de salida del aire. 5.43 Un haz de tubos utiliza una disposición en línea con a =b =1.9 cm y 6.33 mm de diámetro de tubos. Se emplean 6 filas de tubos que constan de una pila de 50 tubos de altura. La temperatura de la superficie de los tubos se mantiene constante a 90 º C y transversalmente a ellos circula aire atmosférico a 20 º C siendo 4.5 m/s la velocidad antes de que la corriente entre al haz de tubos. Calcular el calor total por unidad de longitud transferido en el haz de tubos. 5.44 Una corriente de aire a 3.5 MPa y 38 º C fluye transversalmente a un haz de tubos que consta de 400 tubos de 1.25 cm de diámetro exterior, dispuestos escalonadamente con 20 filas de altura; b =3.75 cm y a =2.5 cm. La velocidad a la entrada de la corriente es 9 m/s y la temperatura de las paredes de los tubos se mantiene constante a 20 º C mediante vapor que condensa en el interior de los tubos. La longitud de los tubos es 1.5 m. Estimar la velocidad de salida del aire cuando sale del haz de tubos. CAPITULO 6 CONVECCION NATURAL En el capítulo anterior se describió el fenómeno de convección forzada, en donde el fluido se hace pasar a través de la superficie de transferencia de calor mediante la acción de algún agente externo al sistema. Sin embargo a diferencia de la convección forzada, el movimiento del fluido en la convección natural resulta como consecuencia de las fuerzas de empuje que se ejercen sobre éste cuando disminuye su densidad, al encontrarse en la vecindad de la superficie de transferencia de calor y en presencia de un campo gravitacional o centrífugo en una máquina rotatoria. No obstante que el coeficiente de transferencia de calor en convección natural es relativamente bajo en comparación con el de convección forzada, muchos dispositivos dependen enteramente de este modo de transferencia de calor para su correcto funcionamiento. Tal es el caso de algunos transformadores eléctricos, radiadores para calefacción en edificios de tipo residencial, transistores en equipos electrónicos, etc. Aun cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección natural puede obtenerse analíticamente mediante la solución simultánea de las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía, en geometrías relativamente sencillas, la tarea es enormemente compleja. Esta dificultad estriba en que las distribuciones de velocidad y de temperatura están íntimamente relacionadas entre sí y dependen la una de la otra. 6.1 ECUACIONES PARA LA CONVECCION NATURAL EN UNA PLACA PLANA VERTICAL Se considera la placa vertical de la figura a temperatura T s que está expuesta a un fluido de menor temperatura cuyo valor es T ∞ . A diferencia de la convección forzada, la velocidad del fluido es igual a cero en la interfase, aumenta hasta un cierto valor máximo y luego disminuye a cero en el extremo de la capa límite. Por otra parte el desarrollo de la capa límite es inicialmente laminar, pero a medida que el fluido progresa a lo largo de la placa se empiezan a experimentar perturbaciones y el flujo sufre una transición a régimen turbulento. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 152 Turbulento (Gr Pr >10 9 ) Laminar (10 4 <Gr Pr <10 9 El estudio de un elemento finito bidimensional dentro de la capa límite conduce a la ecuación de la cantidad de movimiento de la capa límite en convección natural: CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 153 ∂u ∂u ∂ 2 u ρ ( u ⎯⎯ +v ⎯⎯ ) = g ρ β (T - T ∞ ) +μ ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y 2 El primer término del lado derecho de la ecuación es la fuerza de flotación, y el flujo se origina debido a que la densidad ρ es variable; se hace evidente como la fuerza de flotación se relaciona con la diferencia de temperaturas. 1 β =⎯ (∂V/∂T) P =coeficiente de expansión térmica V u =componente de la velocidad en la dirección del flujo. v =componente de la velocidad perpendicular a la placa. El conjunto de ecuaciones que gobierna la convección natural es por lo tanto: ∂u ∂v ⎯⎯ +⎯⎯ =0 ∂x ∂y ∂u ∂u ∂ 2 u ρ ( u ⎯⎯ +v ⎯⎯ ) = g ρ β (T - T ∞ ) +μ ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y 2 ∂T ∂T ∂ 2 T u ⎯⎯ +v ⎯⎯ =α ⎯⎯ ∂x ∂y ∂y 2 6.2 PARÁMETROS ADIMENSIONALES El primer número adimensional es el llamado número de Grashof local que representa la razón de las fuerzas de empuje a las fuerzas viscosas que actúan sobre el fluido. Está dado por la siguiente expresión: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 154 2 3 s 2 x x ) T T ( g Gr μ − ρ β = ∞ El segundo número adimensional es el llamado número de Rayleigh que sirve como criterio para la transición de régimen laminar a régimen turbulento y que depende de la magnitud relativa de las fuerzas de empuje y viscosa en el fluido. Está dado por la siguiente expresión y no es otra cosa que el producto del número de Grashof por el número de Prandtl. α μ − ρ β = = ∞ 3 s x x x ) T T ( g Pr Gr Ra El valor de Ra x crítico donde ocurre la transición es 10 9. En las ecuaciones anteriores: β =coeficiente de expansión volumétrica x =longitud desde el borde de la capa límite. μ =viscosidad dinámica T s =temperatura de la pared T ∞ =temperatura del fluido α =difusividad térmica Las propiedades se evalúan a la temperatura de película T f . 6.3 COEFICIENTE LOCAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR El coeficiente de transferencia de calor puede evaluarse a partir de ) T T ( A h dy dT A k q P P P ∞ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Haciendo uso de las ecuaciones de la capa límite para encontrar la distribución de temperatura pueden obtenerse las siguientes ecuaciones 4 1 x 4 1 2 1 Gr Pr) 952 . 0 ( Pr 93 . 3 x − − + = δ CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 155 δ = k 2 h donde δ es el espesor de la capa límite. Utilizando las relaciones anteriores se puede llegar a la siguiente ecuación adimensional que permite calcular el coeficiente local h x de transferencia de calor. 4 1 x 4 1 2 1 x Gr Pr) 952 . 0 ( Pr 508 . 0 Nu − + = 6.4 COEFICIENTE MEDIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR La ecuación para Nu x da la variación del coeficiente de transferencia de calor local a lo largo de la placa vertical. El valor medio del coeficiente de transferencia de calor puede calcularse realizando la siguiente integración: ∫ = = = L 0 L x x h 3 4 dx h L 1 h 4 1 L 4 1 2 1 Gr Pr) 952 . 0 ( Pr 677 . 0 k L h Nu − + = = 2 3 s 2 L L ) T T ( g Gr μ − ρ β = ∞ 6.5 RELACIONES EMPIRICAS PARA CONVECCION NATURAL En la mayor parte de los casos, la ecuación fundamental para calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección está dado por la siguiente relación: Nu f =C (Gr f Pr f ) m TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 156 El subíndice f indica que las propiedades en los grupos adimensionales se evalúan a la temperatura de película 2 T T T s f + = ∞ En la tabla 6-1 se proporciona un resumen de las correlaciones, para varias geometrías, con los valores de las constantes C y m. Tabla 6-1 Constantes para la ecuación Nu f = C (Gr f Pr f ) m para superficies isotermas GEOMETRIA Gr f Pr f C m Planos y cilindros verticales 10 -1 - 10 4 Gráfica 6-1 Gráfica 6-1 10 4 – 10 9 0.59 1/4 10 9 – 10 13 0.021 2/5 10 9 – 10 13 0.10 1/3 Cilindros horizontales 0 – 10 -5 0.4 0 10 -5 - 10 4 Gráfica 6-2 Gráfica 6-2 10 4 – 10 9 0.53 1/4 10 9 – 10 12 0.13 1/3 10 -10 – 10 -2 0.675 0.058 10 -2 – 10 2 1.02 0.148 10 2 - 10 4 0.850 0.188 10 4 – 10 7 0.480 1/4 10 7 – 10 12 0.125 1/3 Superficie superior de placas calientes o superficie inferior de placas frías 2 x 10 4 – 8 x 10 6 0.54 1/4 Superficie superior de placas calientes o superficie inferior de placas frías 8 x 10 6 – 10 11 0.15 1/3 Superficie inferior de placas calientes o superficie superior de placas frías 10 5 – 10 11 0.27 1/4 Cilindro vertical (altura = diámetro). Longitud característica =diámetro 10 4 – 10 6 0.775 0.21 Sólidos irregulares, longitud característica =distancia que una partícula fluida recorre en la capa límite 10 4 - 10 9 0.52 1/4 La dimensión característica que se utiliza en los números de Nusselt y Grashof depende de la geometría del problema. Para una placa vertical es la altura de la placa L; para un cilindro horizontal es el diámetro d, etc. CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 157 Gráfica 6-1 Correlación de la transferencia de calor por convección natural en placas verticales calientes 6.5.1 CONVECCION NATURAL EN PLANOS Y CILINDROS VERTICALES CON SUPERFICIES ISOTERMAS Los números de Nusselt y Grashof en paredes verticales, se forman con la altura de la superficie L como longitud característica. La transferencia de calor en cilindros verticales puede calcularse con las mismas relaciones de las placas verticales si el espesor de la capa límite no es grande comparado con el diámetro del cilindro. El criterio general es que un cilindro vertical puede tratarse como una placa plana vertical cuando 4 1 L Gr 35 L D > donde D es el diámetro del cilindro. Las relaciones de la tabla 6-1 pueden ser aplicadas, pero las siguientes relaciones dadas por Churchill y Chu son aplicables en un intervalo más amplio del número de Rayleigh: TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 158 9 L 9 4 16 9 4 1 10 Ra para Pr 492 . 0 1 Ra 670 . 0 68 . 0 u N < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 13 1 27 8 16 9 6 1 2 1 10 Ra 10 para Pr 492 . 0 1 Ra 387 . 0 825 . 0 u N < < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = − 6.5.2 CONVECCION NATURAL EN PLANOS Y CILINDROS VERTICALES CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE Las correlaciones para este caso se presentan en función de un número de Grashof modificado, Gr * . 2 4 p x x * x k x q g Nu Gr Gr ν β = = donde q p es el flujo de calor, por metro cuadrado, en la pared. Los coeficientes de transferencia de calor locales están correlacionados en el intervalo laminar por la siguiente relación: constante q ; 10 Gr 10 ) Pr Gr ( 60 . 0 k x h Nu p 11 * x 5 5 1 f * x f xf = < < = = El criterio para flujo laminar, expresado en función de , no es el mismo que el expresado en función de Gr x . La transición de la capa límite comienza entre * x Gr * x Gr =3 x 10 12 y 4 x 10 13 y termina entre 2 x 10 13 y 10 14 . Los coeficientes para transferencia de calor locales para la región turbulenta se pueden calcular a partir de: constante q ; 10 Pr Gr 10 x 2 Pr) Gr ( 17 . 0 Nu p 16 * x 13 4 1 * x x = < < = CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 159 En las ecuaciones anteriores las propiedades se evalúan a la temperatura local de película. El coeficiente medio de película se puede evaluar por: h= ∫ = = = L 0 p L x x constante q h 4 5 dx h L 1 6.5.3 CONVECCION NATURAL DESDE PLACAS HORIZONTALES ISOTERMAS El coeficiente de calor medio se calcula por la ecuación: Nu f =C ( Gr f Pr f ) m Las constantes se toman de la tabla 6-1. La dimensión característica se toma como la longitud de un lado en un cuadrado, la media de las dos dimensiones en una superficie rectangular y 0.9 D en un disco circular. También es posible utilizar como dimensión característica: L =A / P donde A es el área de la superficie y P su perímetro. Esta relación es aplicable a formas planas no simétricas. 6.5.4 CONVECCION NATURAL DESDE PLACAS HORIZONTALES CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE Se utilizan las siguientes correlaciones: Para la superficie caliente mirando hacia arriba. Nu L = 3 1 L Pr) Gr ( 13 . 0 para Gr L Pr <2 x 10 8 Nu L = 3 1 L Pr) Gr ( 16 . 0 para 2 x 10 8 <Gr L Pr <10 11 Para la superficie caliente mirando hacia abajo. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 160 L Nu = 5 1 L Pr) Gr ( 58 . 0 para 10 6 <Gr L Pr <10 11 En estas ecuaciones todas las propiedades excepto β se evalúan a la temperatura T e definida por: T e =T P – 0.25(T P -T ∞ ) T P =temperatura media de la pared, relacionada, con el flujo de calor mediante la ecuación: h= ∞ −T T q P p El número de Nusselt es en este caso: L Nu =h k ) T T ( L q k L P p ∞ − = 6.5.5 CONVECCION NATURAL DESDE CILINDROS HORIZONTALES Se pueden utilizar las constantes de la tabla 6-1, pero las siguientes relaciones pueden ser aplicadas en un intervalo más amplio: 6 1 9 16 16 9 2 1 Pr 559 . 0 1 Pr Gr 387 . 0 60 . 0 u N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = para 10 -5 <Gr Pr <10 12 9 4 16 9 4 1 D Pr 559 . 0 1 Pr) Gr ( 518 . 0 36 . 0 Nu ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = para 10 -6 <Gr Pr <10 9 CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 161 Gráfica 6-2 Correlación de la transferencia de calor por convección natural de cilindros horizontales calientes 6.5.6 CONVECCION NATURAL EN ESFERAS Se recomiendan las siguientes ecuaciones empíricas para la transferencia de calor desde esferas al aire: 4 1 f f f Gr 392 . 0 2 k hD Nu + = = para 1<Gr f <10 5 La ecuación anterior puede modificarse con la introducción del número de Prandtl, asï, 4 1 f f f ) Pr Gr ( 43 . 0 2 Nu + = Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para la convección natural en gases y en ausencia de mayor información pueden utilizarse también para líquidos. Para agua e intervalos mayores del número de Rayleigh, puede utilizarse la siguiente correlación, TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 162 4 1 f f f ) Pr Gr ( 5 . 0 2 Nu + = 3 x 10 5 <Gr Pr <8 x 10 8 6.6 ECUACIONES SIMPLIFICADAS PARA EL AIRE En la tabla 6-2 se dan las ecuaciones simplificadas para el coeficiente de transferencia de calor desde distintas superficies al aire a presión ambiente y temperaturas moderadas. Estas relaciones pueden extenderse a presiones más altas o más bajas multiplicando por los factores siguientes: 2 1 32 . 101 p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ para casos laminares 3 2 32 . 101 p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ para casos turbulentos donde la presión p es la presión en kilopascales. Debe tenerse cuidado con el uso de estas relaciones simplificadas, ya que éstas son sólo aproximaciones de ecuaciones más precisas establecidas anteriormente. Tabla 6-2 Ecuaciones simplificadas para la convección natural desde varias superficies hacia el aire a presión atmosférica Superficie Laminar 10 4 <Gr f Pr f <10 9 Turbulenta Gr f Pr f >10 9 Plano o cilindro vertical 4 1 L T 42 . 1 h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = 3 1 ) T ( 31 . 1 h Δ = Cilindro horizontal 4 1 d T 32 . 1 h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = 3 1 ) T ( 24 . 1 h Δ = Placa horizontal: Placa caliente mirando hacia arriba o placa fría mirando hacia abajo Placa caliente mirando hacia abajo o placa fría mirando hacia arriba 4 1 L T 32 . 1 h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = 4 1 L T 59 . 0 h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = 3 1 ) T ( 52 . 1 h Δ = 4 1 L T 59 . 0 h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 163 h =coeficiente de transferencia de calor, W/m 2 o C ΔT =T P - T ∞ , o C L =dimensión vertical u horizontal d =diámetro, m PROBLEMAS RESUELTOS 6.1 Una placa grande vertical de 4 m de alto se mantiene a 60 º C y se expone al aire atmosférico a 10 º C. Calcular el flujo de calor transferido si la placa tiene una anchura de 10 m. Se determina la temperatura de película 60 +10 T f =⎯⎯⎯⎯ =35 º C =308 K 2 Las propiedades son β =(1/T) =(1/308) =3.25 x 10 -3 k -1 k =0.02685 W/m o C ν =16.5 x 10 -6 m 2 /s Pr =0.7 (9.8) (3.25 x 10 -3 ) (60-10) (4) 3 Gr Pr =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x 0.7 =2.62 x 10 11 (16.5 x 10 -6 ) 2 Se utiliza la ecuación: 75 . 26 ) 7 . 0 / 492 . 0 ( 1 ) 10 x 62 . 2 ( ) 387 . 0 ( 825 . 0 Nu 27 8 16 9 6 1 11 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = Nu =716 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 164 El coeficiente de transferencia de calor es (716) (0.02685) h =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =4.8 W/m 2 o C 4.0 El flujo de calor transferido q =h A (T s - T ∞ ) =(4.8) (4) (10) (60 – 10) =9606 W También se podría haber utilizado la relación 9 . 639 ) 10 x 62 . 2 ( ) 10 . 0 ( Pr) Gr ( 10 . 0 Nu 3 1 11 3 1 = = = Este último valor es un 10% más bajo que el obtenido con la primera ecuación. 6.2 Un calentador de 2 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a una temperatura de 38 º C se encuentra sumergido, en posición horizontal, en agua a 27 º C. Calcular, por unidad de longitud del calentador, el calor perdido por convección natural. La temperatura de película es 38 +27 T f =⎯⎯⎯⎯ =32.5 o C 2 Las propiedades del agua, del apéndice k =0.630 W/m 2 o C Calculamos el término, g β ρ 2 C P ⎯⎯⎯⎯⎯ =2.48 x 10 10 μ k el término anterior, multiplicado por D 3 ΔT da como resultado Gr Pr. Gr Pr =(2.48 x 10 10 ) (38 – 27) (0.02) 3 =2.18 x 10 6 CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 165 Utilizando la tabla 6-1 se tiene: C =0.53 y m =¼ 36 . 20 ) 10 x 18 . 2 ( ) 53 . 0 ( Nu 4 1 6 = = (20.36) (0.63) h =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =642 W/m 2 o C 0.02 La transferencia de calor será (q/L) =h π D (T P - T ∞ ) =(642) (π) (0.02) (38 – 27) =443 W/m 6.3 Un alambre delgado, que tiene un diámetro de 0.02 mm, se mantiene a una temperatura constante de 54 º C por medio de una corriente eléctrica. El alambre se expone al aire a 1 atm y a 0 o C. Calcular la potencia eléctrica necesaria para mantener la temperatura del alambre si la longitud de éste es 50 cm. La temperatura de película es 54 +0 T f =⎯⎯⎯⎯ =27 º C =300 K 2 Las propiedades del aire son β =1/300 =0.00333 K -1 k =0.02624 W/m o C ν =15.69 x 10 -6 m 2 /s Pr =0.708 El producto Gr Pr será (9.8) (0.00333) (54 – 0) (0.02 x 10 -3 ) 3 Gr Pr =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x (0.708) =4.05 x 10 -5 (15.69 x 10 -6 ) 2 En la tabla 6-1: C =0.675 y m =0.058 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 166 Nu =(0.675) (4.05 x 10 -5 ) 0.058 =0.375 k (0.375) (0.02624) h =Nu (⎯) =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =492.6 W/m 2 o C D 0.02 x 10 -3 El flujo de calor transferido o la potencia necesaria es q =h A (T P - T ∞ ) =(492.6) (π) (0.02 x 10 -3 ) (0.5) (54 – 0) =0.836 W 6.4 Una tubería horizontal de 0.3048 m de diámetro se mantiene a una temperatura de 250 º C en una habitación en la que el aire ambiente se encuentra a 15 º C. Calcular, por unidad de longitud, el calor perdido por convección natural. 250 +15 T f =⎯⎯⎯⎯⎯ =132.5 o C =405.5 K 2 k =0.03406 W/m o C β =1/T =1/405.5 =2.47 x 10 -3 K -1 ν =26.54 x 10 -6 m 2 /s Pr =0.687 gβ (T P - T ∞ ) D 3 Gr D Pr =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Pr ν 2 (9.8) (2.47 x 10 -3 ) (250 – 15) (0.3048) 3 (0.687) Gr D Pr =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.571 x 10 8 (26.54 x 10 -6 ) 2 De la tabla 6-1: C =0.53 y m =1/4 Nu D =0.53 (Gr Pr) 1/4 =(0.53) (1.571 x 10 8 ) 1/4 =59.4 CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 167 k Nu D (0.03406) (59.4) h =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =6.63 W/m 2 o C D 0.3048 El calor transferido por unidad de longitud será, (q/L) =h π D (T P - T ∞ ) =(6.63) (π) (0.3048) (250 – 15) =1.49 kW/m Como alternativa, se podría emplear la ecuación 6 1 9 16 16 9 2 1 Pr 559 . 0 1 Pr Gr 387 . 0 60 . 0 Nu ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 6 1 9 16 16 9 8 2 1 687 . 0 559 . 0 1 10 x 571 . 1 387 . 0 60 . 0 Nu ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Nu =64.7 El resultado anterior es 8% mayor que el calculado anteriormente. 6.5 Un cubo de 20 cm de lado y que se mantiene a 60 º C, está expuesto al aire ambiente a 20 º C. Calcular la transferencia de calor. Se trata de un sólido irregular, así que, se utilizará la tabla 6-1, al no disponerse de una correlación específica para esta geometría. Las propiedades son TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 168 β =3.25 x 10 -3 K -1 k =0.02685 W/m o C ν =17.47 x 10 -6 m 2 /s Pr =0.7 La longitud característica es la distancia que recorre una partícula en la capa límite, que en este caso es L/2 a lo largo de la cara inferior, más L a lo largo de la cara lateral, más L/2 a lo largo de la cara superior, esto es, 2L =40 cm. (9.8) (3.25 x 10 -3 ) (60 – 10) (0.4) 3 Gr Pr =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x (0.7) =3.34 x 10 8 (17.47 x 10 -6 ) 2 De la tabla 6-1: C =0.52 y m =1/4 Nu =(0.52) (3.34 x 10 8 ) 1/4 =135.2 k (135.2) (0.02685) h =Nu ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =9.07 W/m 2 o C L (0.4) El área del cubo será: A =6 (0.2) 2 =0.24 m 2 El calor transferido es q =h A (T P - T ∞ ) =(9.07) (0.24) (60 – 10) =108.8 W PROBLEMAS PROPUESTOS 6.6 Una placa cuadrada vertical, de 1 m de lado, se calienta hasta 400 º C y se expone al aire ambiente a 25 º C. Calcular la pérdida de calor por una de las caras de la placa. 6.7 Un cilindro vertical de 1.8 m de alto y 7.5 cm de diámetro, se mantiene a una temperatura de 93 º C en un ambiente a 30 º C. Calcular la pérdida de calor por convección natural de este cilindro. Para el cálculo, el cilindro puede tratarse como una placa plana vertical. CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 169 6.8 Una placa vertical cuadrada de 30 cm de lado se calienta eléctricamente, de modo que se mantiene un flujo de calor constante, siendo 30 W el calor disipado. El aire ambiente se encuentra a 1 atm y 20 º C. Calcular el valor del coeficiente de transferencia de calor a 15 y 30 cm de altura. Calcular también el coeficiente de transferencia de calor medio de la placa. 6.9 Una placa vertical cuadrada de 0.3 metros de lado se mantiene a 49 º C y está expuesta al aire ambiente a 1 atm y 19 º C. Calcular la pérdida de calor por ambas caras de la placa. 6.10 Calcular la pérdida de calor por convección natural de una placa vertical cuadrada de 0.61 m de lado, que se mantiene a 100 º C y está en presencia de helio a 20 º C y 2 atm. 6.11 Una placa grande vertical de 6.1 m de altura y 1.22 m de ancha, se mantiene a una temperatura constante de 57 º C y está en presencia de aire atmosférico a 4 º C. Calcular la pérdida de calor de la placa. 6.12 Una placa cuadrada vertical, de 1 m de lado, se mantiene a 49 º C en aire ambiente a 21 º C. Calcular la pérdida de calor de la placa. 6.13 ¿Qué distancia vertical se necesita para que, en aire en condiciones estándar y ΔT =10 º C, el número de Rayleigh valga 10? 6.14 Una placa vertical de 25 x 25 cm está equipada con un calentador eléctrico que proporciona un flujo de calor constante de 1000 W/m 2 . La placa se sumerge en agua a 15 º C. Calcular el coeficiente de transferencia de calor y la temperatura media de la placa. ¿Qué cantidad de calor perdería una superficie isoterma a esta temperatura media? 6.15 Una placa vertical de 25 x 25 cm está equipada con un calentador eléctrico que proporciona un flujo de calor constante de 1000 W/m 2 . La placa se sumerge en agua a 15 º C. Calcular el coeficiente de transferencia de calor y la temperatura media de la placa. ¿Qué cantidad de calor perdería una superficie isoterma a esta temperatura media? 6.16 Un calentador eléctrico horizontal con D =2 cm está colocado en un recipiente que contiene etilenglicol a 80 o C. La temperatura de la superficie del calentador se mantiene a 200 º C. Calcular la transferencia de calor si el calentador mide 40 cm de largo. 6.17 Una varilla caliente horizontal de 3 cm de diámetro y 1 m de longitud está colocada en un recipiente con amoniaco líquido saturado a 20 º C. La TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 170 superficie del calentador se mantiene a una temperatura constante de 70 º C. Calcular el flujo de calor. 6.18 La condensación de vapor de agua a 120 º C en el interior de una tubería horizontal de 7.5 cm de diámetro se utiliza para suministrar calor a una cierta área de trabajo en el que la temperatura del aire ambiente es 17 º C. El calor total necesario es 29.3 kW. ¿Qué longitud de tubería se precisa para llevar a cabo este calentamiento? 6.19 Un alambre de platino de 10 cm de longitud y 0.4 mm de diámetro se coloca horizontalmente en un recipiente con agua a 38 º C y se calienta por medio de energía eléctrica, de manera que la temperatura de la superficie se mantiene a 93 o C. Calcular el calor perdido por el alambre. 6.20 Por una tubería de acero de 2.5 cm de diámetro interior (DI) y 3 cm de diámetro exterior (DE) circula agua, con un flujo másico de 0.8 kg/s, a 90 º C. La temperatura de la superficie exterior de la tubería es 85 º C, y la temperatura del aire ambiente es 20 º C. La presión atmosférica es 1 atm. y la longitud de la tubería es 15 m. ¿Cuánto calor se pierde por convección natural al ambiente? 6.21 Una tubería horizontal de 8 cm de diámetro está colocada en un recinto en el que el aire ambiente está a 20 º C. La temperatura de la superficie de la tubería es de 140 º C. Calcular la pérdida de calor por convección natural por metro de tubo. 6.22 Un tubo horizontal de 1.25 cm de diámetro exterior se calienta hasta que la temperatura de su superficie alcanza los 250 º C y se expone al aire a una temperatura ambiente de 20 º C y 1 atm. ¿Cuál es la transferencia de calor por convección natural por unidad de longitud de tubo? 6.23 Un calentador eléctrico horizontal de 2.5 cm de diámetro se encuentra sumergido en un baño de aceite ligero a 93 º C. La temperatura de la superficie del calentador se mantiene a 150 º C. Calcular el calor perdido por unidad de longitud del calentador. 6.24 Un alambre delgado de 0.0254 mm de diámetro, se calienta por medio de una corriente eléctrica y se coloca horizontalmente en una cámara que contiene helio a 3 atm y 10 º C. Si la temperatura de la superficie del alambre no excede de los 240 º C, calcular la potencia eléctrica que hay que suministrar por unidad de longitud. CAPITULO 6 : CONVECCION NATURAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 171 6.25 Un conducto circular grande, de 3 m de diámetro, lleva gases calientes a 250 º C. El exterior del conducto está expuesto al aire ambiente a 1 atm y 20 º C. Estimar la pérdida de calor por unidad de longitud del conducto. 6.26 Un calentador cilíndrico de 2 cm de diámetro se coloca en un depósito de glicerina a 20 º C. La temperatura de la superficie del calentador es 60 º C y su longitud 60 cm. Calcular la transferencia de calor. 6.27 Un cilindro de 3.5 cm de diámetro contiene un calentador eléctrico que mantiene en la superficie un flujo de calor constante de 1500 W/m 2 . Si el cilindro está inclinado en ángulo de 35 º con la horizontal y se halla expuesto al aire ambiente a 20 º C, estimar la temperatura media de la superficie. 6.28 Una tubería horizontal de 30 cm de diámetro se mantiene a una temperatura constante de 25 º C y está colocada en el aire ambiente a 20 º C. Calcular la pérdida de calor por convección natural de la tubería por unidad de longitud. 6.29 Un cilindro horizontal de 5 cm de diámetro y una longitud de 3 m se mantiene a 82.2 º C y se sumerge en agua que está a 15.6 º C. Calcular el calor perdido por el cilindro. 6.30 Un cilindro horizontal de 2 m de diámetro se mantiene a una temperatura constante de 77 º C y está colocado al aire, en un gran almacén a 27 º C. La longitud del cilindro es 20 m. Calcular el calor perdido por el cilindro. 6.31 Calcular el flujo de calor cedido por convección natural desde una esfera de 30 cm de diámetro que se mantiene a 90 º C y se halla expuesta al aire ambiente a 20 º C. 6.32 Una esfera de 2.5 cm de diámetro a 32 º C se sumerge en agua a 10 º C. Calcular el flujo de calor cedido por la esfera por convección natural. 6.33 Una esfera de 2.5 cm de diámetro se mantiene a 38 º C sumergida en agua a 15 º C. Calcular el flujo de calor en estas condiciones. 6.34 La superficie superior de una placa horizontal de 10 x 10 m se mantiene a 25 º C en un ambiente a 28 º C. Calcular la transferencia de calor. 6.35 Una placa circular caliente de 15 cm de diámetro, se mantiene a 150 º C en aire atmosférico que está a 20 º C. Calcular la pérdida de calor por convección natural cuando la placa está en posición horizontal. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 172 6.36 Un calentador horizontal de 4 x 4 m está colocado en el aire ambiente de una habitación a 15 º C. Tanto la superficie superior como la inferior de la placa están a 50 º C. Calcular la pérdida total de calor por convección natural. 6.37 Una placa horizontal, a temperatura uniforme de 400 K, tiene la forma de un triángulo equilátero de 45 cm de lado y está expuesta al aire ambiente a 300 K. Calcular el calor perdido por la placa. 6.38 Un pequeño bloque de cobre que tiene la base cuadrada de 2.5 x 2.5 cm y una altura vertical de 5 cm se enfría en el aire ambiente a 1 atm y 20 º C. El bloque es isotermo y se encuentra a 93 º C. Calcular el flujo de calor. 6.39 Un pequeño calentador horizontal tiene la forma de un disco circular de 3 cm de diámetro. El disco se mantiene a 50 º C en presencia del aire ambiente a 30 º C. Calcular la pérdida de calor. CAPITULO 7 CONDENSACION Y EBULLICION En muchos procesos de transferencia de calor en los que interviene un vapor saturado se experimenta un cambio de fase al estado líquido mediante el mecanismo de condensación. Este fenómeno ocurre cuando el vapor se pone en contacto con una superficie a menor temperatura. Por otra parte, en otros procesos se experimenta un cambio de fase inverso del estado líquido al de vapor mediante el mecanismo de ebullición. Los problemas de transferencia de calor en estas condiciones de condensación y ebullición son considerablemente más complejos que los de convección sin cambio de fase, por lo que en el presente capítulo se dará prelación a la comprensión física del mecanismo, limitándose el estudio a sustancias puras. 7.1 CONDENSACION Se considera la placa vertical de la figura, la cual se mantiene a una temperatura T P inferior a la de saturación del vapor que la rodea. Como consecuencia de la condensación generalmente se forma una película de líquido sobre la superficie, la cual fluye hacia abajo debido a la atracción gravitacional e incrementa su espesor a medida que una mayor cantidad de vapor se condensa en la interfase. A menos que la velocidad del vapor sea muy alta o el espesor de la película sea grande, el flujo de condensado es laminar y el calor se transfiere hacia la superficie solamente por conducción. A este fenómeno de transferencia de calor se le conoce como condensación en forma de película. En otras circunstancias menos comunes, cuando la superficie de transferencia de calor está contaminada con alguna sustancia que evita que el líquido se adhiera a la superficie, el vapor se condensa en gotas en vez de formar una película continua. A este fenómeno se le conoce como condensación en forma de gotas. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 174 En el caso de la condensación en forma de película el coeficiente de transferencia de calor puede determinarse en forma analítica recurriendo a la metodología propuesta por Nusselt. Considerando el sistema de coordenadas mostrado en la figura, la temperatura de la placa se mantiene a T p y la temperatura del vapor en el borde de la película es la temperatura de saturación T sat . El espesor de la película se representa por δ, y se elige el sistema de coordenadas con la dirección positiva de las x medida hacia abajo. Se supone que el esfuerzo viscoso del vapor sobre la película es despreciable en y=δ. Se supone además que hay una distribución de temperaturas lineal entre las condiciones de la pared y del vapor. Haciendo un balance de fuerzas sobre un elemento de fluido, con profundidad unitaria, ver figura, se tiene: dx ) y ( ) ( g dx dy du V L L − δ ρ − ρ = μ A partir de la ecuación anterior se obtiene analíticamente la expresión para el coeficiente promedio de transferencia de calor: 4 1 P sat L 3 L fg V L L ) T T ( L k h g ) ( 943 . 0 h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − μ ρ − ρ ρ = δ - y T P T sat dx x y δ dx μ (du/dy) dx ρ L g (δ-y) dx ρ v g (δ-y) dx CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 175 En forma más general, el coeficiente promedio de transferencia de calor para una placa inclinada un ángulo φ respecto a la horizontal es 4 1 P sat L 3 L fg V L L sen ) T T ( L k h g ) ( 943 . 0 h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ φ − μ ρ − ρ ρ = Los resultados experimentales han demostrado que esta ecuación es conservativa, ya que los valores obtenidos con ella son aproximadamente un 20% más bajos que los valores medidos. En consecuencia, la relación recomendada para placas inclinadas (incluidas verticales) es 4 1 P sat L 3 L fg V L L sen ) T T ( L k h g ) ( 13 . 1 h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ φ − μ ρ − ρ ρ = Tubos verticales. La ecuación anterior, con senφ =1, también es válida para las superficies interiores y exteriores de tubos verticales, cuando su diámetro D es grande comparado con el espesor de la película δ. No obstante, no es válida para tubos inclinados, ya que en este caso el flujo de la película puede no ser paralelo al eje del tubo. Tubos horizontales. Mediante un análisis de Nusselt para condensación externa se obtiene 4 1 P sat L 3 L fg V L L ) T T ( D k h g ) ( 725 . 0 h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − μ ρ − ρ ρ = Cuando la condensación tiene lugar en una batería de n tubos horizontales dispuestos en una fila vertical, el condensado de un tubo superior que cae sobre los tubos inferiores afecta la velocidad de transferencia de calor en estos últimos. En este caso se debe calcular aproximadamente la transferencia de calor, reemplazando D por nD, ya que no se han desarrollado relaciones empíricas que tengan en cuenta las salpicaduras y otros efectos. Condensación en película turbulenta. Cuando una película de líquido es suficientemente fuerte, el calor se transfiere no solo por conducción sino también mediante la difusión de remolino, la cual es una característica de la turbulencia. Este fenómeno puede ocurrir en superficies verticales altas o en baterías de tubos horizontales. El criterio para determinar si el flujo es laminar o TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 176 turbulento es el número de Reynolds y para el sistema de condensación éste se define como L L L L h f P V A 4 VD Re μ ρ = μ ρ = donde D h =diámetro hidráulico ≅ 4 A/P A =área de flujo P =perímetro mojado V =velocidad media de la corriente Pero V A m ρ = ο L f P m 4 Re μ = ο donde es el flujo de masa a través de la sección particular de la película de condensado. Para una placa vertical de anchura unidad, P=1; para un tubo vertical P =π D. El número de Reynolds crítico es aproximadamente 1800, y se deben usar las correlaciones de turbulencia para la transferencia de calor a números de Reynolds mayores que ese valor. Algunas veces el número de Reynolds se expresa en función del flujo de masa por unidad de anchura de la placa Γ. de modo que ο m Re f =4 Γ /μ L En el cálculo de los números de Reynolds, el flujo de masa puede relacionarse con la transferencia total de calor y con el coeficiente de transferencia de calor mediante q =hA (T sat –T P ) = h fg ο m donde A es el área total de la superficie de transferencia de calor. fg P sat fg h ) T T ( A h h q m − = = ο CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 177 L fg P sat f P h ) T T ( A h 4 Re μ − = Pero: A =LW y P =W donde L y W son la altura y el ancho de la placa, respectivamente, de modo que L fg P sat f h ) T T ( L h 4 Re μ − = Para superficies inclinadas de anchura W, A/P = LW/W = L; para tubos verticales, A/P =πDL/πD =L; y para tubos horizontales, A/P =πDL/L =πD. En este punto debe observarse que el número de Reynolds de transición para un tubo horizontal es 3600 en lugar de 1800, ya que la película fluye hacia abajo por ambos lados del tubo. Sin embargo, esto resulta académico, pues sobre un tubo horizontal difícilmente se presenta flujo turbulento, debido a su pequeña dimensión vertical. El mecanismo de la condensación es algo diferente si el vapor que condensa está recalentado en lugar de saturado. Los resultados experimentales han demostrado que en la mayoría de casos se puede despreciar el efecto del recalentamiento y pueden utilizarse las ecuaciones para vapores saturados, sin que el error introducido sea apreciable. Debe hacerse énfasis, sin embargo, en que (T sat – T P ) sigue siendo la diferencia de temperatura que rige y la temperatura real del vapor recalentado no interviene en los cálculos. En todas las relaciones de condensación, las propiedades del condensado se evalúan a la temperatura media de la película T f = (T sat + T P )/2; las propiedades del vapor se evalúan a la temperatura de saturación y h fg se toma a la temperatura de saturación del vapor. 7.2 EBULLICION Cuando un fluido confinado en un recipiente se calienta desde abajo, por ejemplo, con un alambre sumergido, y la adición de calor es lenta, se observa la formación de vapor en la superficie libre. A medida que aumenta el flujo de calor se forman burbujas en la superficie del elemento de calefacción, las cuales cambian de tamaño mientras suben por el fluido, además de la evaporación en la superficie libre. Esta formación de burbujas, con la agitación que le es propia, se denomina ebullición. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 178 El comportamiento de un fluido durante la ebullición depende en gran medida del exceso de temperatura, ΔT x =T P – T sat , medido a partir de la temperatura de ebullición del fluido. La figura indica seis regímenes diferentes para la ebullición en recipiente típica; la curva de flujo de calor se denomina comúnmente curva de ebullición. Régimen I. El calor se transfiere por convección libre, como se describe en el capítulo anterior. Régimen II. Empiezan a aparecer burbujas en la superficie de calefacción y suben, en forma individual, hasta la superficie libre. Régimen III. La acción de la ebullición se hace tan fuerte que las burbujas individuales se combinan unas con otras, rápidamente para formar una columna de burbujas de vapor que llega hasta la superficie libre. Exceso de temperatura ΔT x =T P - T sat , o F Gráfica 7-1 Alambre de calefacción horizontal de cromel de 0,04 pulgadas de diámetro en agua a 1 atm (BTU/hr.pie 2 ) =3.15 W/m 2 (BTU/hr.pie 2 o F) =5.67 W/m 2 o C CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 179 Régimen IV. Las burbujas se forman tan rápidamente que cubren la superficie de calefacción, evitando que nuevas partículas de fluido se pongan en contacto con ella. La resistencia de la película se incrementa, reduciendo el flujo de calor y la rapidez de transferencia de calor disminuye, aumentando la diferencia de temperatura. Debido a que la película se desvanece y reaparece intermitentemente, este régimen es muy inestable. Régimen V. La película sobre la superficie de calefacción se hace estable. Cuando ΔT alcanza aproximadamente los 540 º C, la transferencia de calor por radiación empieza a tener importancia, en realidad se hace predominante, y el flujo de calor vuelve a aumentar cuando aumenta ΔT. El flujo de calor pico, punto B se llama punto de quemado. Esta es la condición que se presenta cuando el incremento del flujo de calor debido al aumento de ΔT se compensa con el incremento de la resistencia de la película de vapor que cubre la superficie de calefacción. Los dos efectos se equilibran, produciendo lo que a veces se denomina ebullición crítica o desviación de la ebullición en núcleos. Para muchos fluidos comunes, la temperatura en D es superior al punto de fusión de la mayoría de los materiales de calefacción y el calentador falla antes de alcanzarla. Si el calentador no se funde, la curva de ebullición continúa ascendiendo más allá del punto D. Como la ebullición es un fenómeno predominantemente local, el coeficiente de transferencia de calor h generalmente se expresa sin la barra superior. Sin embargo, la mayoría de aplicaciones requieren el cálculo de un flujo promedio de calor. Como el quemado de los elementos de calefacción es un problema corriente de ebullición y el flujo de calor más alto es una cantidad local para un régimen determinado, el valor local es el que se debe utilizar en diseño, lo cual constituye un criterio conservativo. Ebullición en recipientes. Convección Libre (Régimen I). Utilizando la ecuación general de la convección natural, m L Pr) Gr ( C k L h = la rapidez de transferencia de calor en este régimen está dada por q =h A (T P – T b ) ⇒ q/A =h (T P – T b ) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 180 ) T T ( Pr) Gr ( L k C A q b P a L − = donde T b es la temperatura media volumétrica y las constantes m y C se toman de la tabla correspondiente del capítulo anterior. Como Gr L =g β (T P – T b ) L 3 /ν 2 y el exponente a es generalmente ¼ para flujo laminar y 1/3 para flujo turbulento, la rapidez de transferencia de calor en éste régimen varía con ΔT a la potencia 5/4 para flujo laminar y 5/3 para flujo turbulento. Ebullición en núcleos (Regímenes II y III). La correlación general más aceptada para la transferencia de calor en los regímenes de ebullición en núcleos es la debida a W.M. Rohsenow. 3 fs s L fg sat P L V L fg L C Pr h ) T T ( C * ) ( g h A q ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − σ ρ − ρ μ = donde: La constante para la combinación superficie-fluido, es función de la rugosidad superficial y del ángulo de contacto entre la burbuja y la superficie de calefacción. En la siguiente tabla se dan algunos valores. Combinación superficie-fluido C sf Agua-latón 0.006 Agua-cobre 0.013 Agua-níquel 0.006 C L =calor específico del líquido saturado, J /kg o C C sf =constante para la combinación superficie –fluido (ver tabla) g =aceleración de la gravedad, m/s 2 h fg =entalpía de evaporación, J /kg Pr L =número de Prandtl del líquido saturado q/A =flujo de calor por unidad de área T P – T sat =ΔT x =exceso de temperatura, o C μ L =viscosidad del líquido, kg/m.s σ* =tensión superficial, N/m ρ L =densidad del líquido saturado, kg/m 3 ρ V =densidad del vapor saturado, kg/m 3 s =1.0 para el agua y 1.7 para otros líquidos CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 181 Agua-platino 0.013 CCl 4 - cobre 0.013 Benceno-cromo 0.010 n-Pentano-cromo 0.015 Alcohol etílico-cromo 0.0027 Alcohol isopropílico-cobre 0.0025 n-Alcohol butílico 0.0030 Para la tensión superficial del agua se puede utilizar la siguiente ecuación: σ* =(0.07708) (0.9584 – 0.00234 T) T ( o C) y σ (N/m) Flujo de calor pico. En el punto donde la transferencia de calor es máxima (punto B de la gráfica), se recomienda la correlación 2 1 V L L 4 1 2 V V L fg V máx g ) ( * h ) 18 . 0 ( A q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ + ρ ρ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ρ ρ − ρ σ ρ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Obsérvese que el flujo de calor pico es independiente del elemento de calefacción. Ebullición en forma de película (Regímenes IV, V y VI) Tubo horizontal. Con base en un estudio de la conducción a través de la película sobre un tubo caliente y la radiación del tubo, L. A. Bromley propuso las siguientes ecuaciones para determinar el coeficiente de transferencia de calor por ebullición, en estos regímenes: r 3 1 c c h h h h h + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 1 x v x v fg v L v v c T D ) T C 4 . 0 h ( g ) ( k ) 62 . 0 ( h ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ μ Δ + ρ − ρ ρ = TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 182 sat P 4 sat 4 P r T T ) T T ( h − − ε σ = En las ecuaciones anteriores σ es la constante de Stefan-Boltzmann y ε es la emisividad de la superficie. En la ecuación para h c , D es el diámetro exterior del tubo y las propiedades del vapor se toman a la temperatura media de película, T f =(T P +T sat ) / 2. Tubo vertical. Para tubos verticales, Y. Y. Hsu y J . W. Westwater propusieron la correlación 3 1 2 v 3 v v L v 6 . 0 k ) ( g Re ) 002 . 0 ( h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ μ ρ − ρ ρ = donde v D m 4 Re μ π = ο ο m=flujo de vapor en el extremo superior del tubo. Para condiciones análogas, el flujo de calor es mayor para tubos verticales que para horizontales. Flujo mínimo de calor. Utilizando la inestabilidad hidrodinámica del límite líquido-vapor, N. Zuber y M. Tribus encontraron la siguiente ecuación para expresar el flujo mínimo de calor en la ebullición por película (punto C de la gráfica). 3 1 v L o f 2 1 v L 3 2 v L v L fg v min ) ( g ) ( g ) ( g h ) 09 . 0 ( A q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ − ρ μ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ − ρ σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ + ρ ρ − ρ ρ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Las propiedades se evalúan a la temperatura media de película y g o es la aceleración normal de la gravedad, 9.81 m/s 2 . Relaciones simplificadas para el agua. Se han desarrollado muchas relaciones para estimar los coeficientes de transferencia de calor por ebullición del agua. J akob y Hawkins presentan algunas de las relaciones más sencillas para la ebullición del agua sobre el CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 183 exterior de superficies sumergidas a presión atmosférica. Esos coeficientes de transferencia de calor pueden modificarse para tener en cuenta la influencia de la presión haciendo uso de la relación empírica 4 . 0 1 1 p p p h h ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = donde h p =coeficiente de transferencia de calor a presión p. h 1 =coeficiente de transferencia de calor a presión atmosférica determinado en la siguiente tabla. p =presión del sistema p 1 =presión atmosférica normal Superficie q/A, kW/m 2 h, W/m 2 o C ΔT x , o C Intervalo de h Horizontal q/A <16 1.042(ΔT x ) 0.33 0 – 7.76 0 – 2060 16 <(q/A) <240 5.56 (ΔT x ) 3 7.32 – 14.4 2180 – 16600 Vertical q/A <3 537 (ΔT x ) 0.143 0 – 4.51 0 – 670 3 <(q/A) <63 7.96 (ΔT x ) 3 4.41 – 9.43 680 - 6680 Para ebullición local en convección forzada en el interior de tubos verticales, se recomienda la siguiente relación 551 . 1 p 3 x e ) T ( 54 . 2 h Δ = donde ΔT x es la diferencia de temperaturas entre la de la superficie y la del líquido saturado en o C, y p es la presión en MPa. La ecuación es válida en el intervalo de presiones de 5 a 170 atm. PROBLEMAS RESUELTOS 7.1 Una placa vertical cuadrada, de 30 x 30 cm, se coloca en presencia de vapor de agua a presión atmosférica. La temperatura de la placa es 98 º C. Calcular la transferencia de calor y la masa de vapor de agua condensado por hora. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 184 Debe comprobarse el número de Reynolds para determinar si la película de condensado es laminar o turbulenta. Las propiedades se evalúan a la temperatura de película 100 +98 T f =⎯⎯⎯⎯⎯ =99 o C 2 ρ L =960 kg/m 3 ; μ L =2.82 x 10 -4 kg/m.s ; k L =0.68 W/m o C En este problema, la densidad del vapor es muy pequeña en comparación con la del líquido, y está justificado hacer la sustitución: ρ L (ρ L - ρ v ) ≈ ρ L 2 Al tratar de calcular el número de Reynolds, se encuentra que éste depende del flujo másico de condensado. Pero este último depende del coeficiente de transferencia de calor, el cual depende a su vez del número de Reynolds. Para resolver el problema se supone o flujo laminar o turbulento, se calcula el coeficiente de transferencia de calor y después se comprueba el número de Reynolds para ver si la hipótesis inicial del flujo era correcta o no. Suponiendo condensación en película laminar. A presión atmosférica se tiene T sat =100 º C h fg =2255 kJ /kg 4 1 P sat L 3 L fg 2 L ) T T ( L k h g 943 . 0 h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − μ ρ = C m / W 13150 ) 98 100 ( ) 10 x 82 . 2 ( ) 3 . 0 ( ) 68 . 0 ( ) 10 x 2255 ( ) 8 . 9 ( ) 960 ( 943 . 0 h o 2 4 1 4 3 3 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − Al comprobar el número de Reynolds se tiene L fg P sat f h ) T T ( L h 4 Re μ − = 6 . 49 ) 10 x 82 . 2 ( ) 10 x 255 . 2 ( ) 3 . 0 )( 98 100 ( ) 13150 ( ) 4 ( Re 4 6 f = − = − CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 185 de manera que la hipótesis de laminar es correcta. La transferencia de calor se calcula ahora por q =hA (T sat – T P ) =(13150) (0.3) 2 (100 – 98) =2367 W El flujo de masa de condensado es s / kg 10 x 05 . 1 10 x 255 . 2 2367 h q m 3 6 fg − = = = ο 7.2 Cien tubos de 1.27 cm de diámetro están dispuestos formando un cuadrado y en presencia de vapor de agua a presión atmosférica. Calcular la masa de vapor de agua condensado, por unidad de longitud de tubos, para una temperatura de la pared del tubo de 98 º C. Las propiedades del condensado se toman del problema anterior. Para la solución se sustituye D por nD con n=10. 4 1 P sat L 3 L fg 2 L ) T T ( nD k h g 725 . 0 h ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − μ ρ = C m / W 12540 ) 98 100 ( ) 0127 . 0 ( ) 10 ( ) 10 x 82 . 2 ( ) 68 . 0 ( ) 10 x 255 . 2 ( ) 8 . 9 ( ) 960 ( 725 . 0 h o 2 4 1 4 3 6 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − El área de la superficie total es (A/L) =n π D =(100) (π) (0.0127) =3.99 m 2 /m La transferencia de calor es (q/L) =h (A/L) (T v – T P ) =(12540) (3.99) (100 – 98) =100.07 kW/m El flujo de masa total de condensado por metro de longitud es s / kg 0444 . 0 10 x 255 . 2 10 x 0007 . 1 h q m 6 5 fg = = = ο TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 186 7.3 Un alambre de 1.0 mm de diámetro y 150 mm de longitud, se sumerge horizontalmente en agua a presión atmosférica. La caída de voltaje en el alambre es de 10.1 voltios y la corriente de 52.3 amperios. Determinar el flujo de calor en W/m 2 y la temperatura aproximada del alambre en o C. La energía liberada es q =EI =(10.1) (52.3) =528.23 W El área superficial del alambre es A =π D L =π (1.0 x 10 -3 ) (150 x 10 -3 ) =4.7124 x 10 -4 m 2 El flujo de energía para la ebullición es q 528.23 W ⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.121 x 10 6 W/m 2 A 4.7124 x 10 -4 m 2 Para aproximar el exceso de temperatura utilizando la gráfica 7-1 hay necesidad de expresar q/A en unidades británicas de ingeniería q BTU/hr-pie 2 BTU ⎯ =1.121 x 10 6 W/m 2 x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =355573 ⎯⎯⎯⎯ A 3.153 W/m 2 hr-pie 2 De la gráfica 7-1 ΔT x =40 º F x ( o C/1.8 º F) =22 o C T P =100 +22 =122 o C 7.4 Calcular el flujo de calor pico, en W/m 2 , para agua en ebullición a presión atmosférica normal. 2 1 V L L 4 1 2 V V L fg V máx g ) ( h ) 18 . 0 ( A q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ + ρ ρ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ρ ρ − ρ σ ρ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ρ L =958.42 kg/m 3 ; ρ V =0.6 kg/m 3 ; h fg =2.25 x 10 6 J /kg σ =0.0584 N/m ; g =9.8 m/s 2 CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 187 2 1 2 6 máx 6 . 0 42 . 958 42 . 958 ) 6 . 0 ( ) 8 . 9 )( 6 . 0 42 . 958 )( 0584 . 0 ( ) 10 x 25 . 2 )( 6 . 0 )( 18 . 0 ( A q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 6 máx m / W 10 x 517 . 1 A q = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 7.5 Una placa de níquel calentada a 105.5 º C se sumerge horizontalmente en agua a presión atmosférica. Calcular el flujo de calor por unidad de área. Para un exceso de temperatura ΔT x =105.5 – 100 =5.5 º C x (1.8 º F/ o C) =10 o F La gráfica 7-1 indica que la ebullición se realiza muy probablemente en núcleos y la ecuación de Rohsenow es válida 3 fs s L fg sat P L V L fg L C Pr h ) T T ( C ) ( g h A q ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − σ ρ − ρ μ = Las propiedades son h fg =2.25 x 10 6 J /kg ; ρ L =961.5 kg/m 3 ; ρ V =0.6 kg/m 3 μ L =2.82 x 10 -4 kg/m.s ; σ =0.05831 N/m ; C L =4214.3 J /kg o C Pr =1.74 ; C fs =0.006 3 6 6 4 ) 006 . 0 )( 74 . 1 )( 10 x 25 . 2 ( ) 5 . 5 )( 3 . 4214 ( x 05831 . 0 ) 6 . 0 5 . 961 )( 8 . 9 ( ) 10 x 25 . 2 ( ) 10 x 82 . 2 ( A q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 2 5 m / W 10 x 45 . 2 A q = 7.6 Por el interior de un tubo de 2.54 cm de diámetro circula agua a 5 atm en condiciones de ebullición local, estando la pared del tubo a una TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 188 temperatura de 10 º C por encima de la de saturación. Calcular la transferencia de calor para una longitud de tubo de 1 m. Para este cálculo se utiliza la ecuación 551 . 1 p 3 x e ) T ( 54 . 2 h Δ = ΔT x =10 o C p =(5) (1.0132 x 10 5 ) =0.5066 MPa El coeficiente de transferencia de calor será h =(2.54) (10) 3 e 0.5066 / 1.551 =3521 W/m 2 o C El área de la superficie para 1 m de longitud de tubo es A =π D L =π (0.0254) (1.0) =0.0798 m 2 El calor transferido es q =h A (T P – T sat ) =(3521) (0.0798) (10) =2810 W PROBLEMAS PROPUESTOS 7.7 Vapor saturado a presión de 1 atm. se condensa sobre una placa vertical de 0.5 m de altura. La placa tiene una temperatura uniforme de 60 º C. Calcular el coeficiente promedio de transferencia de calor. 7.8 Una placa vertical, de 30 cm de ancho y 1.2 m de alto, se mantiene a 70 º C en presencia de vapor de agua saturado a 1 atm. Calcular el calor transferido y la masa total de vapor que se condensa por hora. 7.9 Una placa, de 40 x 40 cm, está inclinada un ángulo de 30 º con respecto a la vertical y en presencia de vapor de agua saturado a 1 atm. La placa se mantiene a 98 º C. Calcular el calor transferido y el flujo de masa de vapor condensado. CAPITULO 7 : CONDENSACION Y EBULLICION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 189 7.10 Una placa cuadrada, de 50 x 50 cm, se mantiene a 95 º C en presencia de vapor de agua saturado a la presión de 1 atm. Calcular la cantidad de vapor condensado por hora. 7.11 Calcular el flujo de masa de vapor que condensa sobre una placa vertical de 1.5 x 1.5 m que se mantiene a 4 º C en presencia de vapor de agua saturado a 13 º C. 7.12 Una placa vertical, de 40 x 40 cm, está expuesta a vapor de amoniaco saturado a 38 º C, mientras que la temperatura de su superficie se mantiene constante a 30 º C. Calcular el flujo de masa de amoniaco condensado si h fg =1111.4 kJ /kg a 38 º C. 7.13 Vapor de agua saturado a 1 atm condensa sobre el exterior de un tubo, de 30 cm de diámetro, cuya superficie se mantiene a 95 º C. La longitud del tubo es de 15 m. Calcular la cantidad de vapor de agua condensado en una hora. 7.14 La condensación de dióxido de carbono a 20 º C se realiza en contacto con un tubo horizontal, de 10 cm de diámetro, que se mantiene a 15 º C. Calcular el flujo de masa de dióxido de carbono condensado por unidad de longitud de tubo, si h fg =153.2 kJ /kg a 20 º C. 7.15 Un haz cuadrado de tubos, de 400 tubos de 6.35 mm de diámetro cada uno, se utiliza para condensar vapor de agua a presión atmosférica. Las paredes de los tubos se mantienen a 88 º C por medio de un fluido refrigerante que circula por el interior de ellos. Calcular la cantidad de vapor de agua condensado por hora y por unidad de longitud de los tubos. 7.16 En un tubo horizontal, de 5 cm de diámetro y 1.5 m de largo, se condensa vapor de agua saturado a 1 atm. Calcular la cantidad de vapor condensado para una temperatura de la pared del tubo de 98 º C. 7.17 Se condensa vapor de agua a 1 atm en el exterior de un haz de 10 x 10 tubos horizontales, de 2.54 cm de diámetro. La superficie de cada tubo se mantiene a 95 º C. Calcular la cantidad de vapor de agua condensado para una longitud de los tubos de 0.61 m. 7.18 Un condensador de amoniaco utiliza un haz de 20 x 20 tubos, de 6.35 mm de diámetro y 0.305 m de longitud cada uno. El amoniaco se condensa a 32.2 º C, y las paredes de los tubos se mantienen a 27.8 º C por medio de una corriente de agua en su interior. Calcular el flujo de masa de amoniaco condensado. h fg =1135 kJ /kg a 32.2 º C. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 190 7.19 Se ha diseñado un condensador para condensar 10000 kg/h de refrigerante 12 (CCL 2 F 2 ) a 37.8 º C. Se utiliza un haz de tubos cuadrado de 25 x 25 tubos con un diámetro de 12 mm cada uno. Por el interior de los tubos circula agua que mantiene la temperatura de sus paredes a 32.2 º C. Calcular la longitud de cada tubo. h fg =129.96 kJ /kg a 37.8 º C. 7.20 Una placa vertical caliente a una temperatura de 107 º C está sumergida en el agua de un recipiente a presión atmosférica. La temperatura del agua es de 100 º C, y la ebullición tiene lugar en la superficie de la placa. El área de ésta es 0.3 m 2 . ¿Cuál es el flujo de calor cedido por la placa en vatios? 7.21 Una placa de cobre cuadrada, de 30 x 30 cm, sirve de fondo de una olla con agua a presión de 1 atm. La temperatura de la placa se mantiene a 117 º C. Determine el calor transferido por la placa en una hora. 7.22 Por el interior de un tubo de 2 cm de diámetro, circula agua a 4 atm en condiciones de ebullición local. La temperatura de la pared del tubo es 12 º C por encima de la de saturación. Calcular la transferencia de calor para una longitud del tubo de 60 cm. 7.23 Un hilo de níquel de 15.24 cm de longitud y 1.016 mm de diámetro está sumergido horizontalmente en agua a una presión manométrica de 689 kPa y requiere 131.8 A a 2.18 V para mantenerse a 176.7 º C. ¿Cuál es el coeficiente de transferencia de calor? 7.24 Una varilla calefactora de cobre, de 5 mm de diámetro, está sumergida en agua a 1 atm. El exceso de temperatura es 11 º C. Calcular la pérdida de calor por unidad de longitud de la varilla. 7.25 Un tubo horizontal, de 3 mm de diámetro y 7.5 cm de largo, está sumergido en agua a 1.6 atm. Calcular la temperatura de la superficie necesaria para generar un flujo de calor de 0.2 MW/m 2 . 7.26 Un tubo horizontal que tiene un diámetro exterior de 1.25 cm, está sumergido en agua a 1 atm. y 100 º C. Calcular el flujo de calor para las siguientes temperaturas de superficie: (a) 540 º C (b) 650 º C (c) 800 º C. Suponer una emisividad, ε =0.8. CAPITULO 8 INTERCAMBIADORES DE CALOR Un intercambiador de calor es cualquier dispositivo en el cual se efectúa la transferencia de energía térmica desde un fluido hasta otro. En los intercambiadores más sencillos el fluido caliente y el fluido frío se mezclan directamente; sin embargo, los intercambiadores más comunes son aquellos en los cuales los fluidos están separados por una pared. Estos últimos pueden variar desde una simple placa plana que separa dos fluidos hasta configuraciones complejas que incluyen pasos múltiples., aletas y deflectores. En este caso se requieren los principios de transferencia de calor por conducción y convección y en ocasiones por radiación, para describir el proceso de intercambio de energía. En el diseño de los intercambiadores de calor intervienen muchos factores, entre los cuales se incluyen el análisis térmico, tamaño, peso, resistencia estructural, caída de presión y costo. En este capítulo se tratará principalmente el análisis térmico. Con excepción de la resistencia estructural y el costo, los factores mencionados se pueden evaluar adecuadamente, utilizando los principios de los capítulos anteriores. 8.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR En la figura se muestra un intercambiador de calor de doble tubo y con flujos en paralelo. En caso de que los fluidos circulen en direcciones opuestas, el intercambiador de calor viene a ser de flujos opuestos o en contracorriente. En cualquiera de estos dos casos uno de los fluidos, el caliente o el frío, ocupa el espacio anular y el otro circula por dentro del tubo interior. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 192 La siguiente figura ilustra un intercambiador de calor del tipo coraza y tubos con dos pasos en los tubos (intercambiador 1-2). En este caso uno de los fluidos circula por el interior de los tubos, mientras que el otro circula por el espacio que dejan éstos y la coraza del intercambiador. Dependiendo del arreglo geométrico que se tenga en los cabezales del intercambiador se pueden tener uno o más pasos de tubos, con el fin de incrementar el área de la superficie efectiva de transferencia de calor por unidad de volumen. El fluido que circula por el exterior con frecuencia es conducido mediante el uso de deflectores o “baffles”. Otro tipo de intercambiador de calor es el de corrientes cruzadas que se emplea generalmente para calentar aire o gases y en aplicaciones de refrigeración. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de un intercambiador de este tipo, en el que se puede hacer circular un gas a través de un haz de tubos, mientras que en el interior de los tubos se utiliza otro fluido, con fines de calentamiento o CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 193 refrigeración. En este intercambiador se dice que el gas que circula transversalmente a los tubos es una corriente mezclada, mientras que la del fluido del interior de los tubos se dice que es sin mezclar. El gas es mezclado porque puede moverse libremente por el intercambiador mientras intercambia calor. El otro fluido está confinado dentro de conductos tubulares separados mientras se encuentra dentro del intercambiador, de modo que no puede mezclarse consigo mismo durante el proceso de transferencia de calor. La siguiente figura muestra un tipo diferente de intercambiador de corrientes cruzadas. En este caso, el gas circula a través de haces de tubos con aletas, por lo que es no mezclado puesto que está confinado en canales separados por las aletas, según pasa a través del intercambiador. Este intercambiador es típico entre los utilizados en aplicaciones de acondicionamiento de aire. Existen otros intercambiadores dentro de los cuales pueden estar las calderas o generadores de vapor, condensadores, torres de enfriamiento, intercambiadores compactos, radiadores y regeneradores. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 194 8.2 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR En la sección 2.6, se ha tratado ya el coeficiente global de transferencia de calor, al estudiar la transferencia de calor a través de la pared plana, ver figura, y expresada por A h 1 A k x A h 1 T T q 2 1 B A + Δ + − = donde T A y T B son las temperaturas del fluido a cada lado de la pared. h 2 h 1 T 2 T 1 T A Fluido A Fluido B q T B El coeficiente global de transferencia de calor se define mediante la relación q =U A ΔT global Desde el punto de vista del diseño del intercambiador de calor, la pared plana resulta de aplicación poco frecuente; un caso más importante para tener en cuenta sería el de un intercambiador de calor con dos tubos concéntricos como se muestra en la siguiente figura. En esta aplicación, un fluido circula por el interior del tubo más pequeño, mientras que el otro fluido circula por el espacio anular que hay entre los dos tubos. Los coeficientes de convección se calculan por los métodos descritos en los capítulos anteriores, y el coeficiente global de transferencia de calor se obtiene del circuito térmico de la figura como CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 195 e e i e i i B A A h 1 kL 2 ) r / r ln( A h 1 T T q + π + − = donde los subíndices i y e corresponden al interior y al exterior del tubo interior más pequeño. El coeficiente global de transferencia de calor puede estar basado tanto en el área interior del tubo como en la exterior, a discreción del diseñador. Por tanto e e i i e i i i h 1 A A kL 2 ) r / r ln( A h 1 1 U + π + = e i e e i i e e h 1 kL 2 ) r / r ln( A h 1 A A 1 U + π + = La siguiente tabla muestra algunos valores típicos del coeficiente U global para diferentes combinaciones de fluidos. Combinación de fluidos U W/m 2 o C Aceite a aceite 170-312 Sustancia orgánica a sustancia orgánica 57-340 Vapor de agua a soluciones acuosas 567-3400 Vapor de agua a aceite combustible pesado 57-170 Vapor de agua a aceite combustible liviano 170-340 Vapor de agua a gases 28-284 Agua a alcohol 284-850 Agua a salmuera 567-1135 Agua a aire comprimido 57-170 Agua a alcohol condensado 255-680 Agua a amoniaco condensado 850-1420 Fluido B Fluido A 1 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 196 Agua a freón 12 condensado 454-850 Agua a aceite condensado 227-567 Agua a gasolina 340-510 Agua a aceite lubricante 113-340 Agua a solventes orgánicos 284-850 Agua a agua 850-1700 8.3 TEMPERATURA MEDIA LOGARITMICA Tomando como referencia el intercambiador de doble tubo, los fluidos pueden circular tanto en paralelo como en contracorriente y los perfiles del temperatura se muestran en los siguientes diagramas: T T c1 T h1 T h2 Flujo en paralelo T c2 1 2 1 2 T T h1 T c1 Flujo en contracorriente T h2 T c2 En los diagramas anteriores h representa el fluido caliente y c el fluido frío. CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 197 La transferencia de calor en este intercambiador de doble tubo puede calcularse a partir de q =U A ΔT m donde: U =coeficiente global de transferencia de calor A =superficie de transferencia de calor consistente con la definición de U ΔT m =diferencia media de temperaturas apropiada a través del intercambiador de calor Teniendo en cuenta que la diferencia de temperaturas entre el fluido caliente y el fluido frío varía entre la entrada y la salida del intercambiador es posible determinar un valor apropiado de ΔT m , el cual se demuestra que es ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = Δ ) T T ( ) T T ( ln ) T T ( ) T T ( T 1 c 1 h 2 c 2 h 1 c 1 h 2 c 2 h m Esta diferencia de temperaturas recibe el nombre de diferencia media logarítmica de temperaturas (LMTD). Dicho en palabras, es la diferencia de temperaturas en un extremo del intercambiador, menos la diferencia de temperaturas en el otro extremo del intercambiador, dividido entre el logaritmo natural del cociente de estas dos diferencias de temperaturas. La ecuación anterior puede utilizarse para flujo en contracorriente. Además puede utilizarse en evaporadores y condensadores de un solo paso, donde uno de los fluidos permanece a temperatura constante. Si se emplea un intercambiador de calor distinto al de doble tubo, se utiliza un factor de corrección (F) que se aplica a la LMTD para un dispositivo de doble tubo en contracorriente con las mismas temperaturas fría y caliente para el fluido. La ecuación de la transferencia de calor adopta la forma: q =U A F ΔT m Los valores del factor de corrección F se obtienen de las siguientes cuatro gráficas (Gráficas 8-1 a 8-4) para diversos tipos de intercambiadores de calor. Cuando interviene un cambio de fase, como en el caso de la condensación o la ebullición (evaporación), el fluido permanece a temperatura constante y las TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 198 relaciones se simplifican. Con esta condición P o R se hacen cero y se obtiene que F=1.0. Gráfica 8-1 Factor de corrección para un intercambiador de calor de coraza y tubo con 2,4, etc pasos de tubos Gráfica 8-2 Factor de corrección para un intercambiador de calor con dos pasos de coraza y 4,8, etc, pasos de tubos CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 199 Gráfica 8-3 Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales y ambos fluidos sin mezclar Gráfica 8-4 Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales con un fluido mezclado y otro sin mezclar. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 200 8.4 METODO DEL NTU-RENDIMIENTO a aproximación de la LMTD para el análisis de intercambiadores de calor, es e define el rendimiento del intercambiador de calor como Transferencia de calor real ⎯⎯⎯⎯ a transferencia de calor real se puede obtener calculando tanto la energía ara el intercambiador en paralelo se tiene: q = c h (T h1 – T h2 ) = c c (T c2 – T c1 ) ara el intercambiador en contracorriente se tiene: q = c h (T h1 – T h2 ) = c c (T – T c2 ) c =C =flujo de capacidad térmica ara determinar la máxima transferencia de calor posible para el L útil cuando las temperaturas de entrada y salida son conocidas o se pueden determinar con facilidad. En estos casos, la LMTD se calcula fácilmente, y el flujo de calor, el área de la superficie, o el coeficiente global de transferencia de calor pueden determinarse. Cuando hay que evaluar las temperaturas de entrada o de salida de un intercambiador determinado, el análisis supone con frecuencia un procedimiento iterativo, debido a la función logarítmica que aparece en la LMTD. En estos casos, el análisis se efectúa con mayor facilidad utilizando un método basado en el rendimiento del intercambiador de calor durante la transferencia de una cantidad de calor determinada. El método del rendimiento también ofrece muchas ventajas para el análisis de problemas en los que hay que comparar varios tipos de intercambiadores de calor, con el fin de seleccionar el tipo más adecuado para cubrir un objetivo de transferencia de calor en particular. S Rendimiento =ε =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Transferencia de calor máxima posible L perdida por el fluido caliente, como la ganada por el fluido frío. P ο m h ο m c P ο m h ο m c c1 Se define ahora ο m P intercambiador, se admite en primer lugar que este valor máximo se alcanzaría si uno de los fluidos experimentase una variación de temperatura igual a la CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 201 diferencia máxima de temperaturas que se da en el intercambiador, que es la diferencia entre las temperaturas de entrada de los fluidos caliente y frío. El fluido que podría experimentar esta diferencia máxima de temperaturas sería aquel que tuviese el valor de C mínimo, puesto que el balance de energía exige que la energía recibida por uno de los fluidos sea igual a la cedida por el otro; si fuese el fluido con mayor C el que alcanzara la máxima diferencia de temperaturas, esto exigiría que el otro fluido experimentase una diferencia de temperaturas mayor que la máxima, y esto es imposible. Así, la transferencia de calor máxima posible se expresa como q máx =C mín (T h entrada – T c entrada ) i se define ahora el número de unidades de transferencia (NTU) como NTU =N =U A / C mín C =C mín / C máx e demuestra que para un intercambiador de doble tubo en paralelo S s C 1 e 1 ) C 1 ( N + − = ε + − uando se trata de procesos de ebullición o condensación la temperatura del or otra parte, en el caso de que ambos fluidos tengan la misma capacidad C fluido permanece prácticamente constante, o lo que es lo mismo, el fluido actúa como si tuviera calor específico infinito. En estos casos C mín /C máx → 0 y todas las relaciones de rendimiento de intercambiadores de calor tienden a una única y sencilla ecuación N e 1 − − = ε P calorífica, es decir C =1, la ecuación se reduce a 2 e 1 N 2 − − = ε La siguiente tabla proporciona las fórmulas de rendimiento para diferentes tipos de intercambiadores y se indican además las gráficas correspondientes. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 202 EXPRESIONES DEL RENDIMIENTO DE INTERCAMBIADORES DE CALOR Tipo de intercambiador Rendimiento Gráfica Flujo paralelo un solo paso C 1 e 1 ) C 1 ( N − + − + = ε 8-5 Flujo contracorriente un solo paso ) C 1 ( N ) C 1 ( N e C 1 e 1 − − − − − − = ε 8-6 Coraza y tubos: (un paso por la coraza; 2, 4, 6, etc., pasos por los tubos 1 2 1 2 ) C 1 ( N ) C 1 ( N 1 ) C 1 ( e 1 e 1 C 1 2 2 1 2 2 1 2 − + − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + = ε 8-9 Coraza y tubos: (n pasos por la coraza; 2n, 4n, 6n, etc., pasos por los tubos) 1 1 1 n 1 1 C 1 C 1 1 1 C 1 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε − ε − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε − ε − = ε 8-10 Flujo cruzado (las dos s) corrientes no mezclada [ ] [ ] { } 1 N C exp N C exp 1 78 . 0 22 . 0 − − − = ε 8-8 Flujo cruzado (las dos corrientes mezcladas) 1 C N N 1 e 1 C N e 1 N N − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − = ε Flujo cruzado (la corriente con C min no mezclada) ( ) [ ] [ { } N exp 1 C exp 1 C 1 − − − − = ε ] 8-7 (línea trazos) Flujo cruzado (la corriente con C máx no mezclada) [ ] [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − = ε C N exp 1 C 1 exp 1 8-7 (línea llena) CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 203 Gráfica 8-5 Rendimiento de un intercambiador de Gráfica 8-6 Rendimiento de un intercambiador calor con flujos en paralelo con flujos en contracorriente Gráfica 8-7 Rendimiento de un intercam biador de corrientes cruzadas con un fluido mezclado Gráfica 8-8 Rendimiento de un intercambiador de corrientes cruzadas con fluidos sin mezclar. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 204 Gráfica 8-9 Rendimiento de un intercambiador 1-2 ( 1 paso de carcasa, 2 pasos de tubos ) Gráfica 8-10 Rendimiento de un intercambiador multipaso 2-4 en contracorriente .5 FACTORES DE SUCIEDAD ras un periodo de funcionamiento, las superficies de transferencia de calor de tores de suciedad se tienen que obtener experimentalmente, mediante la 8 T un intercambiador pueden llegar a recubrirse con varios depósitos presentes en las corrientes, o las superficies pueden corroerse como resultado de la interacción entre los fluidos y el material empleado en la fabricación del intercambiador de calor. En cualquiera de los casos, esta capa supone una resistencia adicional al flujo de calor y, por tanto, una disminución en su funcionamiento. El efecto global se representa generalmente mediante un factor de suciedad, o resistencia de suciedad, R f , que debe incluirse junto con las otras resistencias térmicas para obtener el coeficiente global de transferencia de calor. Los fac determinación de los valores de U del intercambiador, tanto en condiciones de limpieza U limpio =U C o de suciedad U sucio =U D El factor de suciedad se define entonces como limpio sucio f U 1 U 1 R − = CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 205 En la siguiente tabla se ofrece una lista abreviada de valores recomendados del factor de suciedad de varios fluidos. (m C/W) Tipo de fluido R f 2 o Agua de mar, por debajo de 51.7 C 0.00009 o Por encima de 51.7 o C 0.002 Agua para caldera tratada, po 0. r encima de 51.7 o C 0002 Fuel Oil 0.0009 Aceite de templar 0.0007 Vapores de alcohol 0.00009 Vapor de agua, libre de aceite 0.00009 Líquido refrigerante 0.0002 Aire industrial 0.0004 8.6 CALCULO DEL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN INTERCAMBIADORES oeficiente de película por el tubo interior. 2 o interior. =flujo de masa : (Cμ / k) -1/3 Se calcula ahora: DE DOBLE TUBO C Area de flujo =a p =π D /4 D =diámetro interno del tub Velocidad másica =G p =m/a p m D G p (Re) p =⎯⎯⎯⎯ μ μ =viscosidad a la temperatura media A partir de la gráfica 8-11 se determina j H =(h i D / k) (Cμ/k) 1/3 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 206 C, μ, k : se determinan a la temperatura media e despeja h y se corrige para obtener h mediante la fórmula: h =h (DI/DE) io =coeficiente de película referido al diámetro exterior. I =diámetro interno oeficiente de película para el ánulo. rea de flujo =a S i io io i h D DE =diámetro externo. C A a =π (D 2 - D 2 ) / 4 2 =diámetro interno del tubo exterior. 1 =diámetro externo del tubo interior. elocidad másica =G a =m / a a =flujo de masa D e G a (Re) a =⎯⎯⎯⎯ μ μ =viscosidad a la temperatura e =diámetro equivalente (D 2 2 - D 1 2 ) D e =⎯⎯⎯⎯⎯ D μ =viscosidad a la temperatura partir 8-12 se calcula j H . l coeficiente de película para el agua será: 2 1 D D V m media D 1 media. A E CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 207 h =j (k / D ) (Cμ / k) 1/3 (μ / μ w ) 0.14 oeficiente global limpio U . h io . h o U C =⎯⎯⎯⎯⎯ h io +h Coeficiente de diseño U . U D =⎯⎯⎯⎯ A . Δt q =Flujo de calor transferido en el intercambiador. E =diámetro externo del tubo interno. L =longitud total del intercambiad eratura. actor de suciedad (R ) combinado. U C - U D R f =⎯⎯⎯⎯ U C . U o H e C C o D q A =área total de transferencia de calor. A =π (DE) L D or. Δt =diferencia media logaritmica de temp F d D TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 208 Grafico 8-11 CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO Diagrama para el cálculo de JH por el interior de tubos ( Tomado del libro de Procesos de transferencia de Calor de D.Q. Kern ) Gráfico 8-12 CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO Diagrama para el cálculo de JH por el ánulo en intercambiadores de doble tubo o por la coraza en intercambiadores de tubo y coraza ( Tomado del libro de Procesos de transferencia de Calor de D.Q. Kern ) CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 209 PROBLEMAS RESUELTOS 8.1 Por una tubería horizontal de acero de 2 pulgadas, con número de listado 40 (k =54 W/m o C), circula agua caliente a 98 º C, y la tubería se encuentra rodeada por aire ambiente a 20 º C. La velocidad del agua es de 25 cm/s. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor, basado en el área externa de la tubería. Las dimensiones de una tubería de 2 pulgadas de número de listado 40, tomadas de la tabla A-7, son: DI =2.067 pulg =0.0525 m DE =2.375 pulg =0.06033 m El coeficiente de transferencia de calor para el flujo de agua por el interior de la tubería se determina a partir de las condiciones de la corriente, habiéndolas evaluado a la temperatura promedio. El coeficiente de transferencia de calor por convección natural, en el exterior de la tubería, depende de la diferencia de temperaturas entre la superficie y el aire ambiente. Esta diferencia de temperaturas depende del balance de energía global. Primero se evalúa h i y a continuación se elabora un procedimiento iterativo para determinar h e . Las propiedades del agua a 98 º C son ρ =960 kg/m 3 ; μ =2.82 x 10 -4 kg/m.s ; k =0.68 W/m o C ; Pr =1.76 El número de Reynolds es ρ u D (960) (0.25) (0.0525) Re =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =44680 (a) μ 2.82 x 10 -4 y puesto que el flujo es turbulento, se utiliza la ecuación Nu =0.023 Re 0.8 Pr 0.4 =(0.023) (44680) 0.8 (1.76) 0.4 =151.4 k (151.4) (0.68) h i =Nu ⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1961 W/m 2 o C (b) D 0.0525 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 210 La resistencia térmica del acero, por unidad de longitud de tubería, es ln (r e /r i ) ln (0.06033/0.0525) R a =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =4.097 x 10 -4 (c) 2πk 2 π 54 De nuevo, la resistencia térmica en el interior, por unidad de longitud, es 1 1 1 R i =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =3.092 x 10 -3 (d) h i A i h i 2π r i (1961) (π) (0,0525) La resistencia térmica para la superficie exterior es todavía desconocida, pero se escribe, por unidad de longitud 1 1 R e =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ (e) h e A e h e 2πr e La relación simplificada para h e para flujo laminar, tomada del capítulo 6, es 4 1 e 4 1 e D T T 32 . 1 D T 32 . 1 h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = ∞ (f) donde T e es la temperatura desconocida de la superficie exterior de la tubería. La temperatura de la superficie interior de la tubería se designa por T i y la temperatura del agua por T w , así, el balance de energía requiere e e a e i i i w R T T R T T R T T ∞ − = − = − (g) La combinación de las ecuaciones (e) y (f) da 4 5 e 4 1 e e e ) T T ( D 32 . 1 r 2 R T T ∞ ∞ − π = − (h) CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 211 Esta relación se puede introducir en la ecuación (g) para dar lugar a dos ecuaciones con las dos incógnitas T i y T e . 98 - T i T i - T e ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.092 x 10 -3 4.097 x 10 -4 4 1 4 5 e 4 e i ) 06033 . 0 ( ) 20 T ( ) 32 . 1 ( ) 06033 . 0 ( ) ( 10 x 097 . 4 T T − π = − − Es un sistema no lineal que se puede resolver por iteración, para dar T e =97.6 º C T i =97.65 o C Como consecuencia, el coeficiente de transferencia de calor y la resistencia térmica exteriores son C m / W 91 . 7 ) 06033 . 0 ( ) 20 6 . 97 ( ) 32 . 1 ( h o 2 4 1 4 1 e = − = 1 R e =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.667 (0.06033) (7.91) (π) El cálculo ilustra de una manera clara el hecho de que la convección natural controla el coeficiente global de transferencia de calor, porque R e es mucho mayor que R i y que R a . El coeficiente global de transferencia de calor basado en el área exterior, en función de estas resistencias, queda ( ) e a i e e R R R A 1 U + + = Introduciendo valores numéricos 1 U e =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =7.87 W/m 2 o C π (0.06033) (3.093 x 10 -3 +4.097 x 10 -4 +0.667) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 212 Así, se ve que el coeficiente global de transferencia de calor está controlado, casi por completo, por el valor de h e . Se podría esperar este resultado basándose estrictamente en la experiencia que se tiene sobre la magnitud relativa de los coeficientes de convección; los valores para convección natural del aire son muy bajos comparados con los de convección forzada en líquidos. 8.2 Se calienta un flujo de masa de agua de 68 kg/mi, desde 35 º C hasta 75 º C, con un aceite de calor específico igual a 1.9 kJ /kg o C. Los fluidos se utilizan en un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente, y el aceite entra al intercambiador a 110 º C y sale del mismo a 75 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 320 W/m 2 o C. Calcular el área de intercambio térmico. El calor transferido se determina a partir de la energía absorbida por el agua q = w c w ΔT w =(68) (4180) (75 – 35) =11.37 MJ /min =189.5 kW ο m Como todas las temperaturas de los fluidos son conocidas, el LMTD puede calcularse mediante el esquema correspondiente a un intercambiador en contracorriente (110 – 75) – (75 – 35) ΔT m =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =37.44 o C ln [(110 - 75) / (75 – 35)] q =U A ΔT m 1.895 x 10 5 A =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =15.82 m 2 (320) (37.44) 8.3 Suponer que para el problema 8.2 se utiliza un intercambiador de tubo y coraza del tipo 1-2. Calcular el área necesaria para este intercambiador, suponiendo que el coeficiente global de transferencia de calor se mantiene en 320 W/m 2 o C. Para resolver este problema, de la gráfica 8-1 se determina un factor de corrección que se usará con el LMTD sobre la base de un intercambiador en contracorriente. Los parámetros son T 1 =35 º C T 2 =75 º C t 1 =110 º C t 2 =75 o C CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 213 t 2 – t 1 75 – 110 P =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =0.467 T 1 – T 2 35 – 110 T 1 – T 2 35 – 75 R =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =1.143 t 2 – t 1 75 – 110 F =0.81 q =U A F ΔT m 1.895 x 10 5 A =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =19.53 m 2 (320) (0.81) (37.44) 8.4 En un intercambiador de calor de coraza y tubos se calientan 3.783 kg/s de agua, desde 37.78 o C hasta 54.44 º C. Se utiliza agua como fluido caliente, con un flujo de masa de 1.892 kg/s, con un paso en la parte de la coraza y entra al intercambiador a 93.33 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 1419 W/m 2 o C, y la velocidad media del agua en los tubos de 0.366 m/s. El diámetro de los tubos es1.905 cm. Debido a limitaciones de espacio, la longitud del tubo no debe superar los 2.438 m. Calcular el número de pasos en los tubos, el número de tubos por paso, y la longitud de los tubos compatible con esta restricción. Primero se supone un paso de tubos y se comprueba si satisface las condiciones del problema. La temperatura de salida del agua caliente se calcula a partir de q = c c c ΔT c = h c h ΔT h ο m ο m (3.783) (4180) (54.44 – 37.38) ΔT h =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =33.31 o C (1.892) (4180) de modo que T h, salida =93.33 – 33.31 =60 o C El calor transferido es TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 214 q =(3.783) (4182) (54.44 – 37.78) =263.6 kW Para un intercambiador en contracorriente, teniendo la temperatura requerida (93.33 - 54.44) – (60 – 37.78) LMTD =ΔT m =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =29.78 o C ln [(93.33 – 54.44) / (60- 37.78) q =U A ΔT m 2.636 x 10 5 A =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =6.238 m 2 (1419) (29.78) Utilizando la velocidad media del agua en los tubos y flujo de masa, se calcula el área total de la corriente con u A m c ρ = 3.783 A =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.01034 m 2 (1000) (0.366) Esta área es el producto del número de tubos por el área de cada tubo π D 2 0.01034 =n ⎯⎯⎯ 4 (0.01034) (4) n =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =36.3 π (0.01905) 2 es decir, n =36 tubos. El área de la superficie de cada tubo, por metro de longitud es πD =π (0.01905) =0.0598 m 2 /m nπdL =6.238 La longitud será 6.238 L =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =2.898 m (36) (0.0598) CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 215 Esta longitud supera los 2.438 m permitidos, de modo que es necesario utilizar más de un paso de tubos. Cuando se aumenta el número de pasos, se aumenta a la vez el área total de la superficie necesaria, debido a la reducción del LMTD causada por el factor de corrección F. Se prueba a continuación con dos pasos en los tubos. De la gráfica 8-1, F =0.88 q 2.636 x 10 5 A total =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =7.089 m 2 UFΔT m (1419) (0.88) (29.98) El número de tubos para cada paso sigue siendo 36, debido al condicionamiento de la velocidad. El área total de la superficie del intercambiador con dos pasos por los tubos, se relaciona ahora con la longitud por A total =2 n π D L 7.089 L =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.646 m (2) (36) (0.0598) Esta longitud cumple con el requisito de los 2.438 m, de modo que la elección final para el diseño es Número de tubos por paso =36 ; Número de pasos =2 Longitud del tubo por cada paso =1.646 8.5 Se utiliza un intercambiador de corrientes cruzadas y un fluido sin mezclar, para calentar un aceite que está en el interior de los tubos (c =1.86 kJ /kg o C) desde 15 º C hasta 85 º C. Por la parte exterior de los tubos, se hace circular un flujo de masa de vapor de agua de 5.2 kg/s, que entra a 130 º C y sale a 110 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 275 W/m 2 o C y para el vapor de agua c= 1.86 kJ /kg o C. Calcular el área del la superficie del intercambiador de calor. q = v c v ΔT v =(5.2) (1.86) (130 – 110) =193 kW ο m El ΔT m se calcula como si fuera de doble tubo en contracorriente (130 – 85) – (110 – 15) ΔT m =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =66.9 o C ln[(130 – 85) / (110 – 15)] TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 216 De la gráfica 8-4, t 1 y t 2 representarán el fluido sin mezclar (el aceite), y T 1 y T 2 representarán el fluido mezclado (el vapor de agua), de modo que T 1 =130 T 2 110 t 1 =15 t 2 =85 130 – 110 85 – 15 R =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.286 P =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.609 85 – 15 130 – 15 F =0.97 q 193000 A =⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =10.82 m 2 UFΔT m (275) (0.97) (66.9) 8.6 Investigar el comportamiento del intercambiador de calor del problema anterior, si el flujo de masa de aceite se reduce a la mitad mientras que el del vapor de agua se mantiene igual. Suponer que U mantiene el valor de 275 W/m 2 o C. El flujo de masa de aceite es q = ac c ac ΔT ac ο m ο m ac =193 / [(1.9) (85 – 15)] =1.45 kg/s El nuevo flujo de masa será la mitad de este valor, es decir, 0.725 kg/s. Se supone que las temperaturas de entrada siguen siendo las mismas, 130 º C para el vapor de agua y 15 º C para el aceite. La nueva relación para la transferencia de calor es q = ac c ac (T s, ac – 15) = v c v (130 – T s, v ) (a) ο m ο m pero las temperaturas T s, ac y T s, v son desconocidas. Además, ΔT m es desconocida sin estas temperaturas, como lo son los valores de R y P en la gráfica 8-4. Esto significa que hay que emplear un método iterativo para resolver en las temperaturas de salida, utilizando la ecuación (a) y q =U A F ΔT m CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 217 El procedimiento general consiste en ir suponiendo valores de las temperaturas de salida, hasta que los calores q de (a) y (b) coincidan entre sí. El objetivo de este ejemplo es demostrar que, cuando no se conocen las temperaturas de entrada y salida, o no se pueden calcular fácilmente, se necesita un procedimiento iterativo. No es necesario insistir en esta iteración, porque se puede evitar utilizando la técnica del método NTU-Rendimiento. 8.7 Resolver el problema anterior empleando el método NTU-Rendimiento. Para el vapor de agua C v =(5.2) (1.86) =9.67 kW/ o C Para el aceite C a =(0.725) (1.9) =1.38 kW/ o C de modo que es el aceite el flujo de capacidad térmica mínima. C =C mín /C máx =1.38/9.67 =0.143 NTU =UA/C mín =(275) (10.82)/1380 =2.156 Se utilizará la tabla de fórmulas y como C mín (aceite) es la corriente sin mezclar se aplica la fórmula ( ) [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ε N exp 1 C 1 exp 1 C [ ] { } 831 . 0 ) e 1 ( ) 143 . 0 ( exp 1 ) 143 . 0 / 1 ( 156 . 2 = − − − = ε − Si se utiliza la gráfica 8-7, se tendría que haber evaluado C =C mezclado /C sin mezclar =7.01 y se habría obtenido también ε ≈ 0.8. Ahora utilizando el rendimiento se puede determinar la diferencia de temperaturas del fluido con flujo de capacidad térmica mínima (aceite) ΔT a =ε (ΔT máx ) =(0.831) (130 – 15) =95.5 o C TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 218 q = a c a ΔT a =(1.38) (95.5) =132 kW ο m y se encuentra que una reducción de un 50% en el flujo de masa de aceite origina una reducción del calor transferido de sólo un 32%. 8.8 El intercambiador de calor del problema 8-2 se emplea para calentar agua. Utilizando las mismas temperaturas de entrada de los fluidos, calcular la temperatura de salida del agua cuando sólo se calientan 40 kg/mi de agua, pero se emplea la misma cantidad de aceite. Calcular también el calor total transferido con estas nuevas condiciones. El flujo de masa de aceite se calcula a partir del balance de energía del problema original ο m h c h ΔT h = c ο m c c ΔT c (68) (4180) (75 – 35) ο m=⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =170.97 kg/mi (1900) (110 – 75) Se calculan ahora los flujos de capacidades térmicas con las nuevas condiciones C h =(170.97/60) (1900) =5414 W/ o C C c =(40/60) (4180) =2787 W/ o C de modo que el agua (fluido frío) es el fluido con la capacidad térmica mínima C mín /C máx =(2787/5414) =0.515 UA (320) (15.82) NTU máx =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.816 C min 2787 donde el área de 15.82 m 2 se toma del problema 8-2. A partir de la gráfica 8-6 o de la tabla, el rendimiento es ε =0.744 CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 219 y debido a que el fluido frío es el de flujo de capacidad térmica mínima. se puede escribir ΔT frío ΔT frío ε =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.744 ΔT máx 110 – 35 ΔT frío =55.8 o C y la temperatura de salida del agua es T W, salida =35 +55.8 =90.8 o C El calor total transferido bajo las nuevas condiciones es q = c c c ΔT c =(40/60) (4180) (55.8) =155.5 kW ο m Nótese que aunque el flujo de masa se ha reducido en un 41% (de 68 a 40 kg/min), el calor transferido se ha reducido en un 18% (de 189.5 a 155.5 kW), porque el intercambiador es más efectivo a flujos de masa más bajos. 8.9 Para calentar 2.36 m 3 /s de aire a 1 atm desde 15.55 º C, hasta 29.44 º C, se emplea un intercambiador de calor de tubos con aletas como se ilustra en los diagramas iniciales. El agua caliente entra en los tubos a 82.22 º C, y el aire circula transversalmente a los tubos, con un coeficiente global medio de transferencia de calor de 227 W/m 2 o C. El área total de la superficie del intercambiador es 9.29 m 2 . Calcular la temperatura del agua a la salida y el flujo de calor. La transferencia de calor se calcula aplicando el balance de energía al aire. La densidad del aire es PM (101.3) (28.84) ρ =⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.217 kg/m 3 RT (8.319) (288.55) El flujo de masa de aire es ο m c =(2.36) (1.217) =2.872 kg/s TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 220 El calor transferido es q = c ο m c c ΔT c =(2.872) (1006) (29.44 – 15.55) =40.13 kW Por el enunciado del problema no se sabe si el fluido con flujo de capacidad térmica mínima es el aire o el agua. Si es el aire el fluido con flujo de capacidad térmica mínima, se puede calcular de manera inmediata el NTU y utilizar la gráfica 8-9 para determinar el flujo de masa de agua, y por tanto, la temperatura de salida del agua. Si es el agua el fluido de flujo de capacidad térmica mínima, hay que emplear un método de ensayo y error con la gráfica 8-8 o con la tabla. Se supone que el aire es el fluido de flujo de capacidad térmica mínima y después se comprueba esta hipótesis. C c =(2.872) (1006) =2889 W/ o C UA (227) (9.29) NTU máx =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.73 C mín 2889 y el rendimiento basado en el aire ΔT aire 29.44 – 15.55 ε =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =0.208 ΔT máx 82.22 – 15.55 En la gráfica 8-8, resulta imposible hacer corresponder estas cantidades con las curvas. Esto exige que sea el fluido caliente el de flujo de capacidad térmica mínima. Hay que ir suponiendo, por tanto, valores para el flujo de masa de agua hasta conseguir encajar el funcionamiento, según viene dado por la gráfica 8-2. Primero se ve que C máx =2889 W/ o C NTU máx =UA/C mín ΔT h ΔT h ε =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (a) ΔT máx 82.33 – 15.55 4.034 x 10 4 4.034 x 10 4 ΔT h =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ C mín C h CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 221 La iteraciones son: C C mín NTU máx ΔT h Gráfica 8-8 Ecuación (a) 0.5 1452 1452 27.78 0.65 0.417 0.25 726 2.905 55.56 0.89 0.833 0.22 639 3.301 63.13 0.92 0.947 Se estima así que el flujo de masa de agua es aproximadamente C h =645 W/ o C ο m h =(645/4180) =0.154 kg/s La temperatura de salida del agua es T w, salida =82.22 – (4.034 x 10 4 / 645) =19.68 o C 8.10 Se emplea aceite caliente a 100 º C para calentar aire en un intercambiador de calor de coraza y tubos. El aceite recorre seis pasos en los tubos y el aire recorre un paso en la coraza; se tienen que calentar 2.0 kg/s de aire, desde 20 º C hasta 80 º C. El calor específico del aceite es 2100 J /kg o C, y su flujo de masa es 3.0 kg/s. Calcular el área del intercambiador para U = 200 W/m 2 o C. El balance de energía básico es ο m ac c ac ΔT ac = a c a ΔT a ο m (3.0) (2100) (100 – T ac ) =(2.0) (1009) (80 – 20) T ac =80.78 C h =(3.0) (2100) =6300 W/ o C C c =(2.0) (1009) =2018 W/ o C el aire es el fluido de flujo de capacidad mínima. C =C mín /C máx =(2018/6300) =0.3203 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 222 El rendimiento es ΔT c 80 – 20 ε =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =0.75 ΔT máx 100 – 20 Se puede ahora utilizar la gráfica 8-9. NTU =1.99 A =NTU (C mín /U) =(1.99) (2018) / (200) =20.09 m 2 8.11 Un intercambiador de coraza y tubos se utiliza como condensador de amoniaco. El vapor de amoniaco entra en la coraza como vapor saturado a 50 º C. El agua entra a un solo paso de tubos a 20 º C, y el calor transferido es 200 kW. El coeficiente global de transferencia de calor es 1000 W/m 2 o C. Determinar el área necesaria para conseguir un rendimiento del intercambiador de 60%, con una temperatura de salida del agua de 40 º C. ¿Qué porcentaje de reducción en la transferencia de calor se obtendría si el flujo de masa de agua se reduce a la mitad, manteniendo iguales el área del intercambiador y el valor de U? El flujo de masa de agua será ο m w =(200) /[(4.18) (40 – 20)] =22.39 kg/s Debido a que es un condensador, el agua es el fluido de flujo de capacidad térmica mínima, y C mín =(2.39) (4.18) =10 kW/ o C NTU =-ln(1-ε) =-ln(1-0.6) =0.916 C mín N (10000) (0.916) A =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =9.16 m 2 U 1000 Cuando se reduce a la mitad el flujo de masa, el nuevo valor de N es CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 223 UA (1000) (9.16) N =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =1.832 C mín (10000/2) Y el rendimiento se calcula como ε =1 – e -N =0.84 La nueva diferencia de temperaturas del agua es ΔT w =ε (ΔT máx ) =(0.84) (50 – 20) =25,2 o C q =C mín ΔT w =(10000/2) (25.2) =126 kW Reduciendo el flujo de masa a la mitad, se disminuye la transferencia de calor en un 37%. 8.12 Un intercambiador de calor transfiere 10% más de calor cuando está nuevo que después de haber sido utilizado durante seis meses. Suponiendo que opera entre las mismas diferencias de temperatura y que la incrustación producida no es suficiente para cambiar el área superficial efectiva, determinar el factor de suciedad efectivo en función del coeficiente global limpio (nuevo) de transferencia de calor. q limpio =U limpio A ΔT m q sucio =U sucio A ΔT m (q limpio /q sucio ) =(U limpio /U sucio ) =1.10 PROBLEMAS PROPUESTOS 8.13 En un intercambiador de calor de doble tubo un fluido entra a 49 º C y sale a 260 º C. El otro fluido entra a 482 º C y sale a 315 º C. ¿Cuál es la diferencia media logarítmica de temperaturas (LMTD) para (a) flujo paralelo y (b) flujo en contracorriente? 8.14 A un intercambiador de calor de flujo paralelo entran gases a 426 º C y salen a 260 º C, calentando 90800 kg/h de agua desde 32 º C hasta 82 º C. Para un área superficial de 371 m 2 , ¿cuál es el coeficiente global de transferencia de calor? TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 224 8.15 En una planta procesadora de alimentos se calienta salmuera desde una temperatura de –12 º C hasta – 6. º C en un intercambiador de calor de doble tubo con agua que entra a 32 º C y sale a 21 º C, a razón de 9 kg/mi. Si el coeficiente global de transferencia de calor es 850 W/m 2 o C, ¿qué área de intercambio de calor se necesita (a) en flujo paralelo (b) en contracorriente. 8.16 Se utiliza aceite caliente para calentar una corriente de agua que tiene un flujo de masa de 0.1 kg/s, desde 40 º C hasta 80 º C, en un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente. Encontrar el área de transferencia de calor si el coeficiente global de transferencia de calor es 300 W/m 2 o C y el aceite entra a 105 º C y sale a 70 º C. 8.17 En un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente se calienta agua a razón de 28 kg/mi desde 18 º C hasta 35 º C con un aceite que tiene un calor específico de 1.5 kJ /kg o C. El aceite entra al intercambiador a 93 º C y sale a 60 º C. Determinar el área de intercambio de calor para un coeficiente global de transferencia de 284 W/m 2 o C. 8.18 Aceite caliente ( c = 2.09 kJ /kg o C ) que fluye a través de un intercambiador de calor en contracorriente a razón de 0.63 kg/s, entra a 193 º C y sale a 65 º C. Aceite frío ( c = 1.67 kJ /kg o C ) abandona el intercambiador a 149 º C a razón de 1.0 kg/s. ¿Qué área de transferencia de calor se necesita si el coeficiente global de transferencia de calor basado en el área interior es 0.7 kW/m 2 o C? 8.19 Para los mismos parámetros del problema 8-16, ¿qué área se requiere cuando se utiliza un intercambiador de calor de coraza y tubos con el agua haciendo un paso por la coraza y el aceite dos pasos por los tubos? 8.20 Repetir el problema anterior para dos pasos por la coraza y cuatro pasos por los tubos. 8.21 ¿Qué área sería necesaria para las condiciones del problema 8-16 si se sustituyera el intercambiador de calor de doble tubo por un intercambiador de coraza y tubos? El agua hace un paso por la coraza y el aceite hace dos pasos por los tubos. 8.22 Un intercambiador de calor de flujo cruzado con ambos fluidos no mezclados se utiliza para calentar agua (c =4.181 kJ /kg o C) desde 4 º C hasta 27 º C, la cual fluye a razón de 1.0 kg/s. ¿Cuál es el coeficiente global de transferencia de calor, si un flujo de aceite caliente (c =1.9 CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 225 kJ /kg o C), que fluye a razón de 2.6 kg/s, entra al intercambiador a 100 º C? El área de transferencia de calor es 20 m 2 . 8.23 Calcular el área superficial necesaria en un intercambiador de calor de flujo cruzado que opera con ambos fluidos no mezclados, para enfriar 22700 kg/h de aire desde 49 º C hasta 38 º C con agua a 15 º C, que fluye a razón de 52210 kg/h. Suponer que el valor promedio del coeficiente global de transferencia de calor es 170 W/m 2 o C. 8.24 Un intercambiador de calor de doble tubo y flujo paralelo utiliza aceite (c=1.88 kJ /kg o C) a una temperatura inicial de 204 º C para calentar agua, la cual fluye a razón de 227 kg/h, desde 15 º C hasta 43 º C. El flujo de masa de aceite es 272 kg/h. (a) ¿Qué área de intercambio de calor se requiere si el coeficiente global de transferencia de calor es 340 W/m 2 o C? (b) Determinar el número de unidades de transferencia NTU. (c) Calcular el rendimiento del intercambiador. 8.25 A un intercambiador de calor de doble tubo, en contracorriente, entra agua a 38 º C y 45.4 kg/min, para ser calentada con aceite (c=1.88 kJ /kg o C) que fluye a razón de 91 kg/min y entra al intercambiador a una temperatura de 115 º C. Si el área es 13 m 2 y el coeficiente global de transferencia de calor es 340 W/m 2o C, determinar el calor total transferido. 8.26 A un intercambiador de calor de flujo cruzado (con los dos fluidos no mezclados) entra agua a 15 º C a razón de 27240 kg/h, para enfriar 36320 kg/h de aire desde una temperatura de 121 º C. Para un coeficiente global de transferencia de calor de 227 W/m 2 o C y un área superficial del intercambiador de 241 m 2 , ¿cuál es la temperatura de salida del aire? 8.27 Resolver el problema anterior para un intercambiador de coraza y tubos con un paso por la coraza y 10 pasos por los tubos. 8.28 Agua a 82 º C entra a los tubos de un intercambiador de calor de coraza y tubos (con dos pasos por la coraza y 8 pasos por los tubos), a razón de 36 kg/min, para calentar una corriente de helio desde – 7 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 113.4 W/m 2 o C, y el área del intercambiador de calor es 10.2 m 2 . Si el agua sale a 49 º C, determinar la temperatura de salida del helio y su flujo de masa. 8.29 Un intercambiador de calor en contracorriente tiene un coeficiente global de transferencia de calor de 227 W/m 2 o C y un área superficial de 84 m 2 . El fluido caliente (c=3.55 kJ /kg o C) entra a 93 º C y fluye a razón de 9080 kg/h. El fluido frío (c=11.674 kJ /kg o C) entra a 15 º C y fluye a razón de 8172 kg/h. ¿Cuál es el calor transferido? TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 226 8.30 Agua a razón de 15000 kg/h se calienta desde 38 º C hasta 55 º C en un intercambiador de calor de coraza y tubos. El fluido caliente que circula por la coraza es agua, la cual entra al intercambiador de calor a una temperatura de 94 º C y a razón de 7500 kg/h. El coeficiente global de transferencia de calor basado en el diámetro interior de los tubos es 1400 W/m 2 o C, y la velocidad promedio del agua por el interior de los tubos es 0.37 m/s. El diámetro de los tubos es 1.91 cm. Debido a limitaciones de espacio el intercambiador de calor no debe tener una longitud mayor de 2.5 m. Calcular el número de pasos de tubos, el número de tubos por paso y la longitud de los tubos. 8.31 En un intercambiador de calor en contracorriente entra agua a 75 º C y sale a 30 º C. El agua se utiliza para calentar aceite desde 25 º C hasta 48 º C. ¿Cuál es el rendimiento del intercambiador de calor? 8.32 Por el interior de una tubería de acero de 1 pulg, de número de listado 80, circula aire a 2 atm y 200 º C siendo h=65 W/m 2 o C. Un gas caliente a 400 º C con h=180 W/m 2 o C, circula transversalmente a la tubería por el exterior. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor. 8.33 En un intercambiador de tubo con aletas de flujo cruzado, se emplean gases calientes de escape para calentar 2.5 kg/s de agua desde 35 º C hasta 85 º C. Los gases (c=1.09 kJ /kg o C) entran a 200 º C y salen a 93 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 180 W/m 2 o C. Calcular el área del intercambiador de calor utilizando (a) el LMTD (b) el método NTU-Rendimiento. 8.34 Un intercambiador pequeño de coraza y tubos con un paso en los tubos (A =4.64 m 2 y U =280 W/m 2 o C), se va a utilizar para calentar agua a alta presión, inicialmente a 20 º C, con aire caliente a 260 º C. Si la temperatura de salida del agua no va a superar los 93 º C y el flujo de masa de aire es 0.45 kg/s, calcular el flujo de masa de agua. 8.35 Se va a utilizar un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente, para calentar 0.6 kg/s de agua desde 35 º C hasta 90 º C con una corriente de aceite de 0.9 kg/s. El aceite tiene un calor específico de 2.1 kJ /kg o C y entra al intercambiador de calor a una temperatura de 175 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 425 W/m 2 o C. Calcular el área del intercambiador de calor y el rendimiento. 8.36 Se diseña un pequeño condensador de vapor para condensar 0.76 kg/mi de vapor a 83 kPa, con agua de refrigeración a 10 º C. La temperatura de salida del agua no debe pasar de 57 º C. El coeficiente global de CAPITULO 8 : INTERCAMBIADORES DE CALOR ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 227 transferencia de calor es 3400 W/m 2 o C. Calcular el área necesaria para un intercambiador de calor de doble tubo. 8.37 Se va a utilizar un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente para calentar agua desde 20 º C hasta 40 º C, enfriando un aceite desde 90 º C hasta 55 º C. Se diseña el intercambiador para una transferencia de calor total de 29 kW, con un coeficiente global de transferencia de calor de 340 W/m 2 o C. Calcular el área superficial del intercambiador. 8.38 Un calentador de agua de alimentación utiliza un intercambiador de coraza y tubos con vapor de agua que condensa a 120 º C en un paso de coraza. El agua entra en los tubos a 30 º C y recorre cuatro pasos, de modo que el valor de U global es 2000 W/m 2 o C. Calcular el área del intercambiador para un flujo de masa de agua de 2.5 kg/s, con una temperatura de salida del agua de 100 º C. 8.39 En una instalación grande de acondicionamiento de aire, hay que calentar 1500 m 3 /mi de aire a 1 atm. y 10 º C en un intercambiador de calor de tubo con aletas, por medio de agua caliente que entra al intercambiador a 80 º C. El coeficiente global de transferencia de calor es 50 W/m 2 o C. calcular el área del intercambiador de calor necesaria para una temperatura de salida del aire de 35 º C y una temperatura de salida del agua de 50 º C. 8.40 En un intercambiador de calor de coraza y tubos que tiene un paso en la coraza y dos pasos en los tubos, se utiliza un flujo de masa de 95 kg/min de aceite caliente a 120 º C, para calentar 55 kg/min de agua que entra a 30 º C. El área del intercambiador es 14m 2 . Calcular el calor transferido y la temperatura de salida de ambos fluidos, si el coeficiente global de transferencia de calor es 250 W/m 2 o C. 8.41 Un intercambiador de calor de coraza y tubos funciona con dos pasos de coraza y cuatro pasos de tubos. El fluido de la coraza es etilenglicol, que entra a 140 º C y sale a 80 º C, con un flujo de masa de 4500 kg/h. Por los tubos circula agua, que entra a 35 º C y sale a 85 º C. El coeficiente global de transferencia de calor para este dispositivo es 850 W/m 2 o C. Calcular el flujo de masa de agua necesario y el área del intercambiador de calor. 8.42 Una unidad de recuperación de calor aire-aire utiliza un intercambiador de calor de flujo cruzado con ambos fluidos sin mezclar y un flujo de masa de aire de 0.5 kg/s por ambos lados. El aire caliente entra a 400 º C, mientras el aire frío entra a 20 º C. Calcular las temperaturas de salida para U =40 W/m 2 o C y un área total del intercambiador de 20 m 2 . TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 228 8.43 Un intercambiador de calor de tubo con aletas, de flujo cruzado, emplea agua caliente para calentar aire desde 20 º C hasta 45 º C. La temperatura de entrada del agua es 75 º C y su temperatura de salida es 45 º C. El flujo de calor total que se transfiere es 29307 W. Si el coeficiente global de transferencia de calor es 50 W/m 2 o C, calcular el área del intercambiador de calor. 8.44 Un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente se emplea para calentar amoniaco líquido desde 10 º C hasta 30 º C, con agua caliente que entra al intercambiador a 60 º C. El flujo de masa de agua es 5 kg/s y el coeficiente global de transferencia de calor es 800 W/m 2 o C. El área del intercambiador es 30 m 2 . Calcular el flujo de masa de amoniaco. 8.45 Un intercambiador de calor de coraza y tubos, con un paso de coraza, tiene vapor de agua que condensa a 100 º C, en el lado de la coraza. Se utilizan dos pasos en los tubos a los que entra aire a 10 º C. El área total de la superficie del intercambiador es 30 m 2 y puede tomarse el coeficiente global de transferencia de calor igual a 150 W/m 2 o C. Si el rendimiento del intercambiador es del 85%, ¿cuál es el flujo de calor transferido? 8.46 Un intercambiador de coraza y tubos del tipo 1-2, se utiliza como sistema de transferencia de calor agua-agua, estando el fluido caliente en la parte de la coraza. El agua caliente se enfría desde 80 º C hasta 60 º C, y el fluido frío se calienta desde 5 o C hasta 60 º C. Calcular el área superficial necesaria para una transferencia de calor de 60 kW y un coeficiente de transferencia de calor 1100 W/m 2 o C. 8.47 Se ha diseñado un intercambiador de calor de coraza y tubos del tipo 1-4, para calentar 4000 kg/h de aceite motor desde 40 º C hasta 80 º C, con el aceite por los tubos. En la coraza se tiene vapor de agua que condensa a 1 atm de presión y el corficiente global de transferencia de calor es 1200 W/m 2 o C. Calcular de masa de vapor de agua condensado si el flujo de masa de aceite se reduce a la mitad, mientras que se mantienen los mismos valores de la temperatura de entrada y de U. 8.48 Se desea calentar 4.500 kg/h de etilenglicol desde 25 º C hasta 50 º C utilizando agua caliente que entra a 75 º C y sale a 35 º C. Se utiliza para ello un intercambiador de calor de doble tubo en contracorriente. Puede asignarse un factor de suciedad para el intercambiador de 0.002. Se deben utilizar pinzas de 6 metros de longitud, en tubería de acero, número de cédula 40 con diámetros nominales de 2 y 1 pulgada. ¿Cuántas pinzas se requieren? CAPITULO 9 RADIACION A diferencia con los mecanismos de transferencia de calor por conducción y convección en donde el transporte de energía requiere de un medio para llevarse a cabo, el calor puede propagarse por radiación aún en el vacío. La radiación térmica es la radiación electromagnética emitida por un cuerpo como resultado de su temperatura. En la figura se ilustra la mayor parte del espectro electromagnético. La radiación térmica está comprendida entre longitudes de onda de 1 x 10 -7 m y 1 x 10 -4 m. También es de interés el estrecho espectro visible, el cual abarca desde 3.9 x 10 -7 m y 7.8 x 10 -7 m. Una unidad conveniente para expresar las longitudes de onda es el micrómetro: 1 μm =10 -6 m. En estas unidades, la radiación térmica cubre el intervalo de 0.1 a 100 μm y la porción visible del espectro va desde 0.39 hasta 0.78 μm. Otra unidad de longitud de onda utilizada comúnmente es el angstrom: 1 A =10 -10 m. La velocidad de propagación en el vacío para todos los tipos de radiación electromagnética es c =λ ν =3 x 10 8 m/s TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 230 donde λ es la longitud de onda, ν es la frecuencia de la radiación y c es la velocidad de la luz. 9.1 PROPIEDADES Y DEFINICIONES La palabra espectral se utiliza para designar la dependencia de la longitud de onda de una cantidad de radiación. El valor de la cantidad a una longitud de onda determinada se llama valor monocromático. 9.1.1 Absortividad, reflectividad y transmisividad. Cuando la energía radiante incide sobre una superficie, se puede absorber una parte, reflejar una parte y transmitir otra parte a través del cuerpo receptor. Si definimos α =fracción absorbida de la radiación incidente =absortividad ρ =fracción reflejada de la radiación incidente =reflectividad τ =fracción transmitida de la radiación incidente =transmisividad α +ρ +τ =1 Para la mayoría de los sólidos, con excepción de aquellos que son visiblemente transparentes o translúcidos, no transmiten radiación y por lo tanto α +ρ =1 La ecuación anterior se aplica con frecuencia a los líquidos, aunque la transmisividad de los líquidos depende en gran parte de su espesor. CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 231 Los gases reflejan generalmente muy poca energía radiante y la ecuación se simplifica para dar α +τ =1 9.1.2 Potencia emisiva y radiosidad. La potencia emisiva total, designada por E, es la energía térmica radiante total (en todas las longitudes de onda y en todas las direcciones) emitida por una superficie, por unidad de tiempo y por unidad de área de la superficie emisora. La potencia emisiva total de una superficie depende del material o sustancia, de las condiciones superficiales y de la temperatura. La radiosidad, J , designa la energía térmica radiante que abandona una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área de la superficie. Así, la radiosidad es la suma de los flujos de energía radiante, emitida y reflejada, que parten de una superficie. Como en el caso de la potencia emisiva total, la radiosidad total representa una integración sobre la distribución espectral y direccional. 9.1.3 Superficies especulares y difusas. La reflexión de energía térmica radiante en una superficie se puede describir con la ayuda de dos modelos ideales. El reflector especular perfecto se muestra en la figura (a); en este caso el ángulo de incidencia, φ i , es igual al ángulo formado por el rayo reflejado, φ r . En la figura (b) se muestra un reflector difuso; en este caso la magnitud de la energía reflejada en una dirección específica φ r es proporcional al coseno de φ r , y φ r se mide a partir de la normal N. Si la dimensión (altura) de la rugosidad de una superficie real es considerablemente menor que la longitud de onda de la irradiación incidente, la superficie se comporta en forma especular, si la dimensión de la rugosidad es grande respecto a la longitud de onda, la superficie refleja difusamente. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 232 Fuente Fuente Superficie difusa o rugosa Superficie especular (a) (b) 9.1.4 Intensidad de la radiación. Definimos la intensidad de la radiación, I, como la energía radiante por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido y por unidad de área del emisor, proyectada normalmente a la línea de visión desde el elemento radiante hasta el receptor. Para la geometría representada en la figura, la energía radiada desde el elemento dA 1 que es interceptada por el elemento dA 2 es dq 1→2 =I (cosφ dA 1 )dω dω =(dA 2 /r 2 ) =senφ dθ dφ es el ángulo sólido subtendido por dA 2 , y cosφ dA 1 es el área de la superficie emisora proyectada normalmente a la línea de visión dirigida a la superficie receptora. Por sustitución de la ecuaciones anteriores ∫ ∫ π π → θ φ φ = 2 0 2 0 1 2 1 d sen cos I dA q dφ la cual es la relación general entre la potencia emisiva total de un cuerpo (en este caso el elemento dA 1 ) y la intensidad de radiación. Si la superficie emisora es difusa, I =constante se integra para dar CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 233 I E dA q 1 2 1 π = = → 9.2 RADIACION DEL CUERPO NEGRO En el estudio de transferencia de calor por radiación, la superficie ideal es el cuerpo negro, el cual se define como aquel que cumple la condición α b =1. De este modo, el cuerpo negro absorbe toda la radiación térmica incidente, sin importar sus características espectrales o direccionales. Ver figura Radiación incidente TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 234 9.2.1 Potencia emisiva del cuerpo negro. La potencia emisiva total (hemisférica) de un cuerpo negro se expresa mediante la ecuación de Stefan-Boltzmann: E b =σ T 4 donde σ, es la constante de Stefan-Boltzmann, igual a 5.6697 x 10 -8 W/m 2 K 4 . 9.2.2 Distribución espectral del cuerpo negro. En general, una superficie emite diferentes cantidades de energía a diferentes longitudes de onda. La potencia emisiva total se puede expresar en la forma ∫ ∞ λ λ = 0 d E E donde E λ es el poder emisivo monocromático a la longitud de onda λ. Para un cuerpo negro, ∫ ∞ λ σ = λ = 0 4 b T d E E La primera expresión exacta para E bλ fué determinada por Max Planck; esta expresión es 1 ) T / C ( exp C E 2 5 1 b − λ λ = − λ C 1 =3.742 x 10 8 W-μm 4 /m 2 C 2 =1.4387 x 10 4 μm-K En la siguiente figura se muestra la gráfica de E bλ contra λ para varias temperaturas diferentes. El desplazamiento del valor máximo del poder emisivo monocromático hacia longitudes de onda más cortas cuando aumenta la temperatura es evidente. Este desplazamiento de las longitudes de onda se describe mediante la ley del desplazamiento de Wiem, λ máx T =2897.6 μm-K CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 235 la cual se traza como una curva punteada que pasa por los valores pico de la potencia emisiva. Con frecuencia es necesario determinar la cantidad de energía radiada por un cuerpo negro dentro y una porción específica de la banda de ondas de radiación térmica. La energía emitida en el intervalo entre 0 y λ a una temperatura específica T se puede expresar en la siguiente forma, ∫ λ λ λ − λ = T 0 b ) T 0 ( b ) T ( d E T 1 E La fracción de energía total que está dentro de este intervalo es ∫ λ λ λ − λ − λ σ = σ = T 0 5 b 4 ) T 0 ( b b ) T 0 ( b ) T ( d T E T E E E En la tabla 9-1 se presentan los valores del integrando y de la integral de la ecuación anterior. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 236 Tabla 9-1 Funciones de Radiación para un cuerpo negro λT μm. o R 5 5 b T 10 x E σ λ (μm. o R) -1 4 ) T 0 ( b T E σ λ − λT μm. o R 5 5 b T 10 x E σ λ (μm. o R) -1 4 ) T 0 ( b T E σ λ − 1 000 0.000039 0.0000 10 400 5.142725 0.7183 1 200 0.001191 0.0000 10 600 4.921745 0.7284 1 400 0.012008 0.0000 10 800 4.710716 0.7380 1 600 0.062118 0.0000 11 000 4.509291 0.7472 1 800 0.208018 0.0003 11 200 4..317109 0.7561 2 000 0.517405 0.0010 11 400 4.133804 0.7645 2 200 1.041926 0.0025 11 600 3.959010 0.7726 2 400 1.797651 0.0053 11 800 3.792363 0.7803 2 600 2.761875 0.0098 12 000 3.633505 0.7878 2 800 3.882650 0.0164 12 200 3.482084 0.7949 3 000 5.093279 0.0254 12 400 3.337758 0.8017 3 200 6.325614 0.0368 12 600 3.200195 0.8082 3 400 7.519353 0.0507 12 800 3.069073 0.8145 3 600 8.626936 0.0668 13 000 2.944084 0.8205 3 800 9.614973 0.0851 13 200 2.824930 0.8263 4 000 10.463377 0.1052 13 400 2.711325 0.8318 4 200 11.163315 0.1269 13 600 2.602997 0.8371 4 400 11.714711 0.1498 13 800 2.499685 0.8422 4 600 12.123821 0.1736 14 000 2.401139 0.8471 4 800 12.401105 0.1982 14 200 2.307123 0.8518 5 000 12.559492 0.2332 14 400 2.217411 0.8564 5 200 12.613057 0.2483 14 600 2.131788 0.8607 5 400 12.576066 0.2735 14 800 2.050049 0.8649 5 600 12.462308 0.2986 15 000 1.972000 0.8689 5 800 12.284687 0.3234 16 000 1.630989 0.8869 6 000 12.054971 0.3477 17 000 1.358304 0.9018 6 200 11.783688 0.3715 18 000 1.138794 0.9142 6 400 11.480102 0.3948 19 000 0.960883 0.9247 6 600 11.152254 0.4174 20 000 0.815714 0.9335 6 800 10.807041 0.4394 21 000 0.696480 0.9411 7 000 10.450309 0.4607 22 000 0.597925 0.9475 7 200 10.086964 0.4812 23 000 0.515964 0.9531 7 400 9.721078 0.5010 24 000 0.447405 0.9579 7 600 9.355994 0.5201 25 000 0.389739 0.9621 7 800 8.994419 0.5384 26 000 0.340978 0.9657 8 000 8.638524 0.5561 27 000 0.299540 0.9689 8 200 8.290014 0.5730 28 000 0.264157 0.9717 8 400 7.950202 0.5892 29 000 0.233807 0.9742 8 600 7.620072 0.6048 30 000 0.207663 0.9764 8 800 7.300336 0.6197 40 000 0.074178 0.9891 9 000 6.991475 0.6340 50 000 0.032617 0.9941 9 200 6.693786 0.6477 60 000 0.016479 0.9965 9 400 6.407408 0.6608 70 000 0.009192 0.9977 9 600 6.132361 0.6733 80 000 0.005521 0.9984 9 800 5.868560 0.6853 90 000 0.003512 0.9989 CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 237 9.3 SUPERFICIES REALES Y CUERPO GRIS Una superficie real tiene una potencia emisiva total E, menor que la de un cuerpo negro. La relación entre la potencia emisiva total de un cuerpo y la potencia emisiva total de un cuerpo negro a la misma temperatura, se denomina la emisividad total (emisividad hemisférica total), y se representa por ε. ε =E/E b En la tabla A-8 del Apéndice, se presentan algunos valores numéricos de emisividades totales. La emisividad monocromática (hemisférica), ε λ , es útil en el tratamiento de superficies reales que presentan valores de emitancia espectralmente selectiva. Se expresa en la siguiente forma ε λ =E λ / E bλ donde E λ es la potencia emisiva de la superficie real a la longitud de onda λ y E bλ es la potencia emisiva de un cuerpo negro a la misma longitud de onda y a la misma temperatura. 9.3.1 Ley de Kirchhoff. Suponiendo que se dispone de una cavidad perfectamente negra, esto es, que absorbe toda la radiación incidente que le llega, como se muestra en la figura. Esta cavidad también emitirá radiación de acuerdo con la ley de Stefan- Boltzmann. Sea q i W/m 2 el flujo radiante que llega a un área determinada de la cavidad. Suponiendo ahora que se coloca un cuerpo dentro de la cavidad y que se le permite alcanzar el equilibrio térmico con ésta. En el equilibrio, la energía TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 238 absorbida por el cuerpo debe ser igual a la energía emitida; de otro modo, habría un flujo de energía hacia dentro o hacia afuera del cuerpo que elevaría o disminuiría la temperatura. En el equilibrio se puede escribir E A =q i A α Si ahora se sustituye el cuerpo de la cavidad por un cuerpo negro de la misma forma y tamaño y se le permite alcanzar el equilibrio con la cavidad a la misma temperatura E b A =q i A (1) puesto que la absortividad de un cuerpo negro es la unidad. Si se dividen las ecuaciones anteriores (E / E b ) =α =ε y se encuentra que el cociente entre el poder emisor de un cuerpo y el poder emisor de un cuerpo negro a la misma temperatura, es también igual a la absortividad. 9.3.2 Emisión de una superficie real y aproximación del cuerpo gris. Como puede verse en la siguiente figura, la potencia emisiva monocromática de una superficie real no es una fracción constante de la potencia emisiva monocromática de una superficie negra. Una idealización muy útil es la del cuerpo gris, definido por (ε λ ) gris =constante Las ventajas para fines de cálculo de esta idealización son evidentes si se considera la expresión: ∫ ∫ ∞ ∞ λ λ λ λ ε = λ = 0 0 b d E d E E La cual se simplifica para ε λ constante a ∫ ∞ λ εσ = λ ε = 0 4 b T d E E CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 239 9.3.3 Dependencia direccional de las propiedades. Además de depender de las variables discutidas previamente, las cuales ejercen influencia sobre las propiedades de la superficie, la emisividad de una superficie lisa depende en gran medida del ángulo polar φ medio entre la dirección de la radiación incidente y la normal a la superficie. En general, los materiales no conductores emiten con mayor intensidad en la dirección normal (o a ángulos polares pequeños) a la superficie, mientras los conductores emiten con mayor intensidad a ángulos polares amplios. 9.4 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS NEGROS (FACTOR DE FORMA) Una vez establecidos los principales parámetros de radiación conviene ahora analizar el intercambio de energía radiante entre dos o más cuerpos a distintas temperaturas. El problema básico consiste en determinar la cantidad de radiación que sale de uno de ellos y es interceptada por el otro. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 240 Consideremos la configuración física más simple: dos planos infinitos paralelos, negros, que se mantienen a temperaturas diferentes (pero constantes) T 1 y T 2 , como se indica en la siguiente figura T 1 T 2 E b1 E b2 1 2 Si q 1-2 =Flujo de energía que abandona la superficie 1 y llega a la superficie 2. q 2-1 =Flujo de energía que abandona la superficie 2 y llega a la superficie 1 . El intercambio neto de energía entre las superficies 1 y 2 es: q 1↔2 =E b1 A 1 – E b2 A 2 Por unidad de área, q 1↔2 /A =E b1 – E b2 =σ ( ) 4 2 4 1 T T − Se consideran ahora, dos superficies negras de áreas A 1 y A 2 como se muestra en la siguiente figura y las cuales se encuentran a diferente temperatura: CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 241 Para resolver el problema de intercambio de calor por radiación se definen los siguientes factores de forma como: F 1-2 =Fracción de energía radiante que sale de la superficie 1 y es interceptada por la 2. F 2-1 =Fracción de energía radiante que sale de la superficie 2 y es interceptada por la 1. En la literatura se utilizan diferentes denominaciones del factor de forma, tales como, factor de configuración, factor de visión, y factor de ángulo. Según estas definiciones, la energía que sale de la superficie 1 y es interceptada por la 2 es, q 1-2 =A 1 E b1 F 1-2 Igualmente, la energía que sale de la superficie 2 y llega a la 1 es, q 2-1 =A 2 E b2 F 2-1 Puesto que ambas superficies 1 y 2 son negras y toda la radiación que les incide es absorbida, el intercambio neto de calor por radiación es, q 1↔2 =A 1 E b1 F 1-2 – A 2 E b2 F 2-1 En caso de que ambos cuerpos negros se encuentren a la misma temperatura (T 1 =T 2 ), el intercambio neto de calor es igual a cero y puesto que E b1 =E b2 , TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 242 A 1 F 1-2 =A 2 F 2-1 Esta relación se conoce como el teorema de reciprocidad. Haciendo uso de esta expresión puede ahora calcularse el flujo neto de calor como, q 1↔2 =A 1 F 1-2 (E b1 – E b2 ) =A 2 F 2-1 (E b1 – E b2 ) o en forma alterna, q 1↔2 =A 1 F 1-2 σ ( ) =A 2 F 2-1 σ ( ) 4 2 4 1 T T − 4 2 4 1 T T − Para simplificar el problema anterior se incluyen las gráficas 9-1 a 9-4 para geometrías sencillas. Diagrama 9-1 Variación del factor de forma entre un elemento de área dA 1 y un rectángulo de área A 2 CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 243 Diagrama 9-2 Variación del factor de forma entre dos rectángulos paralelos Gráfica 9-3 Variación del factor de forma entre dos discos paralelos TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 244 Gráfica 9-4 Variación del factor de forma entre dos rectángulos perpendiculares 9.4.1 Analogía eléctrica. Analizando la siguiente ecuación: q 1↔2 =A 1 F 1-2 (E b1 – E b2 ) =A 2 F 2-1 (E b1 – E b2 ) se observa que ésta tiene también una analogía con la ley de Ohm de circuitos eléctricos. E b1 y E b2 se interpretan como los potenciales eléctricos y el flujo neto de calor q 1↔2 como una corriente, el término 1/A 1 F 1-2 = 1/A 2 F 2-1 representa físicamente una “resistencia espacial”. Es decir la ecuación anterior puede escribirse como 1 2 2 2 b 1 b 2 1 1 2 b 1 b 2 1 F A 1 E E F A 1 E E q − − ↔ − = − = El intercambio de calor por radiación entre más de dos cuerpos puede obtenerse fácilmente haciendo uso de este concepto de resistencia térmica. Considerando como ilustración el intercambio de radiación en una envolvente constituida por tres superficies negras a distintas temperaturas, la red equivalente para radiación se muestra en la siguiente figura: CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 245 Para este arreglo 2 1 1 2 b 1 b 2 1 F A 1 E E q − ↔ − = 3 1 1 3 b 1 b 3 1 F A 1 E E q − ↔ − = q 1↔envolvente =q 1↔2 +q 1↔3 =A 1 F 1-2 (E b1 – E b2 ) +A 1 F 1-3 (E b1 – E b3 ) q 1↔envolvente =A 1 [ E b1 (F 1-2 +F 1-3 ) – E b2 F 1-2 – E b3 F 1-3 ] uesto que en general F 1-1 +F 1-2 +F 1-3 =1 q 1↔envolvente =A 1 [E b1 – (E b1 F 1-1 +E b2 F 1-2 +E b3 F 1-3 ) eneralizando el resultado anterior para cualquier superficie i en una P G envolvente constituida por n superficies negras, TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 246 ∑ = ↔ − = n 1 j ij bj bi i envolvente i ) F E E ( A q 9.5 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS GRISES En la sección anterior se describió el intercambio de calor por radiación entre cuerpos negros y el análisis resultó sencillo puesto que toda la radiación incidente sobre un cuerpo negro es absorbida. Sin embargo, hay numerosos problemas en ingeniería en que la emisividad de las superficies involucradas dista mucho de ser igual a la unidad y no se comportan como cuerpos negros. En estas circunstancias el análisis de transferencia de calor es enormemente complejo, a menos que a las superficies se les suponga un comportamiento de cuerpo gris. Ante esta complejidad, el desarrollo que se presenta se limitará entonces a superficies grises que son difusas y con temperatura uniforme, y que las propiedades reflectoras y emisoras son constantes en todas las superficies. Se define: G =irradiación =radiación total incidente sobre una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área. Teniendo en cuenta que la radiosidad J se había definido anteriormente como la radiación total que abandona una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área, y sobre la hipótesis de que la radiosidad y la irradiación son uniformes para cada superficie, un balance de energía en la superficie de un material tal como se muestra en la figura, conduce a J =ε E b +ρG CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 247 donde ε es la emisividad y E b es la potencia emisiva del cuerpo negro. Puesto que se supone la transmitancia igual a cero, la reflectancia puede expresarse como ρ =1 - α =1 - ε de modo que J =ε E b +(1 - ε) G La energía neta que abandona la superficie es la diferencia entre la radiosidad y la irradiación q/A =J – G =ε E b + (1 -ε) G – G o también A ) 1 ( J E q b ε ε − − = 9.5.1 Analogía eléctrica. La expresión anterior también tiene una analogía eléctrica. Si el numerador se interpreta como una diferencia de potenciales y el flujo de calor como una corriente, el denominador del lado derecho de la ecuación corresponde a una “resistencia superficial” de la forma (1-ε)/εA. Se considera ahora el intercambio de energía radiante entre dos superficies A 1 y A 2 , mostrado en la figura De toda la radiación que abandona la superficie 1, la cantidad que llega a la superficie 2 es J 1 A 1 F 1-2 y de toda la energía que sale de la superficie 2, la cantidad que alcanza la superficie 1 es J 2 A 2 F 2-1 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 248 q 1↔2 El intercambio neto entre las dos superficies es q 1↔2 =J 1 A 1 F 1-2 – J 2 A 2 F 2-1 Pero A 1 F 1-2 =A 2 F 2-1 de modo que q 1↔2 =(J 1 – J 2 )A 1 F 1-2 =(J 1 – J 2 )A 2 F 2-1 q 1↔2 =(J 1 – J 2 ) / (1/A 1 F 1-2 ) Para construir un circuito para un problema concreto de transferencia de calor por radiación, sólo se necesita conectar una “resistencia superficial” a cada superficie y una “resistencia espacial”, entre los potenciales de radiosidad. Por ejemplo, dos superficies que intercambian calor entre sí y con nada más, podrían representarse por el circuito mostrado en la siguiente figura. En este caso la transferencia neta de calor sería la diferencia de potencial dividida entre la suma de las resistencias CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 249 E b1 – E b2 q 1↔2 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1-ε 1 ) / ε 1 A 1 +1/A 1 F 1-2 +(1-ε 2 ) / ε 2 A 2 En la siguiente figura se muestra un problema de tres cuerpos. En este caso, cada uno de los cuerpos intercambia calor con los otros dos. El intercambio de calor entre los cuerpos 1 y 2 sería: 2 1 1 2 1 2 1 F A / 1 J J q − − − = y entre los cuerpos 1 y 3 3 1 1 3 1 3 1 F A / 1 J J q − − − = Para determinar los flujos de calor en un problema de este tipo, hay que calcular los valores de las radiosidades. Esto puede conseguirse con métodos de análisis estándar utilizados en la teoría de circuitos de corriente continua. El método más apropiado es la aplicación de la ley de Kirchhoff al circuito, que dice que la suma de las corrientes que entran en un nudo es cero. 9.5.2 Superficies aisladas y superficies muy grandes Según se ha visto (E b – J ) representa la diferencia de potencial en el flujo de calor a través de una resistencia superficial (1 - ε)/εA. Si una superficie está completamente aislada, o vuelve a radiar toda la energía que le llega, tiene un flujo de calor igual a cero y la diferencia de potencial a través de la resistencia TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 250 de la superficie es cero, dando como resultado que J =E b . Pero, la superficie aislada no tiene una resistencia superficial igual a cero. En efecto, el nudo J del circuito está flotando, esto es, no extrae ninguna corriente. Por otra parte, una superficie con un área muy grande ( A→ ∞) tiene una resistencia superficial próxima a cero, que hace que se comporte como un cuerpo negro con ε =1.0. Esta también, tendrá J =E b , debido a que la resistencia superficial es cero. Entonces, estos dos casos – superficie aislada y superficie con un área muy grande – tienen ambos J =E b , pero por dos razones completamente distintas. Un problema que puede resolverse fácilmente por el método del circuito de radiación es el de dos superficies planas que intercambian calor entre sí, pero conectadas a una tercera que no intercambia calor, esto es, que está perfectamente aislada. Sin embargo, esta tercera superficie influye en el proceso de transferencia de calor porque absorbe y vuelve a radiar energía a las otras dos superficies que intercambian calor. En la siguiente figura se muestra el circuito para este sistema. Obsérvese que el nudo J 3 no está conectado a una resistencia superficial de radiación porque la superficie 3 no intercambia energía. Existe una resistencia superficial (1 - ε)/εA, pero como no hay flujo de calor no hay diferencia de potencial, y J 3 =E b3 . Obsérvese también que los valores de las resistencias de forma se han escrito F 1-3 =1 – F 1-2 F 2-3 =1 – F 2-1 puesto que la superficie 3 rodea completamente a las otras superficies. En el caso especial en que las superficies 1 y 2 sean convexas, esto es, que no se vean a sí mismas y F 1-1 =F 2-2 =0, la figura anterior es un simple circuito serie- paralelo que puede resolverse para dar el flujo de calor como CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 251 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ε + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ε + − − + − σ = − − 1 1 A A 1 1 ) F ( A A F A 2 A A ) T T ( A q 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 4 2 4 1 1 neto donde se ha utilizado la relación de reciprocidad A 1 F 1-2 =A 2 F 2-1 para simplificar la expresión. 9.5.3 Planos paralelos infinitos. Cuando se consideran dos planos paralelos infinitos, A 1 y A 2 son iguales; y el factor de forma de radiación es la unidad, ya que toda la radiación que sale de un plano llega al otro. El circuito es el siguiente El flujo de calor por unidad de área haciendo A 1 =A 2 y F 1-2 =1.0, es 1 / 1 / 1 ) T T ( A q 2 1 4 2 4 1 − ε + ε − σ = 9.5.4 Cilindros concéntricos largos. Suponiendo que F 1-2 =1.0 ) 1 / 1 ( ) A / A ( / 1 ) T T ( A q 2 2 1 1 4 2 4 1 1 − ε + ε − σ = cuando se trabaja con cuerpos cilíndricos, se puede sustituir la relación de áreas A 1 /A 2 , por la relación de diámetros d 1 /d 2 . TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 252 9..5.5 Objeto convexo en un recinto cerrado grande. La última ecuación es particularmente importante cuando se aplica al caso límite de un objeto convexo completamente contenido en una superficie cóncava muy grande. En este caso A 1 /A 2 → 0 y se obtiene la relación sencilla siguiente ) T T ( A q 4 2 4 1 1 1 − ε σ = 9.6 PANTALLAS DE RADIACION Una manera de disminuir la transferencia de calor por radiación entre dos superficies dadas es mediante la utilización de materiales que sean altamente reflectantes. Un método alternativo es emplear pantallas frente a la radiación entre las superficies que intercambian calor. Estas pantallas no aportan ni restan ningún calor al sistema en conjunto; sólo colocan otra resistencia en el camino del flujo de calor, de modo que se disminuye la transferencia de calor total. Si se consideran los dos planos paralelos mostrados en la figura (a), se ha demostrado que el intercambio de calor entre estas superficies es: 1 / 1 / 1 ) T T ( A q 2 1 4 2 4 1 − ε + ε − σ = CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 253 Ahora se consideran los mismos dos planos, pero con una pantalla de radiación colocada entre ellos, como en la figura (b). Puesto que la pantalla no aporta ni extrae calor al sistema, la transferencia de calor entre la placa 1 y la pantalla tiene que ser, la misma que la que hay entre la pantalla y la placa 2, y ésta es la transferencia de calor total. Así (q/A) 1-3 =(q/A) 3-2 =q/A 1 / 1 / 1 ) T T ( 1 / 1 / 1 ) T T ( A q 2 3 4 2 4 3 3 1 4 3 4 1 − ε + ε − σ = − ε + ε − σ = La única incógnita en la ecuación anterior es la temperatura de la pantalla T 3 . Una vez obtenida esta temperatura, la transferencia de calor se calcula fácilmente. Si las emisividades de las tres superficies son iguales, esto es, ε 1 = ε 2 =ε 3 se obtiene la relación sencilla ) T T ( ) 2 / 1 ( T 4 2 4 1 4 3 + = y la transferencia de calor es 1 / 1 / 1 ) T T ( ) 2 / 1 ( A q 3 1 4 2 4 1 − ε + ε − σ = Pero como ε 3 =ε 2 , se observa que este flujo de calor es justo la mitad del que existiría si no estuviera presente la pantalla. En la siguiente figura se tiene el correspondiente circuito de radiación. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 254 Examinando el circuito, se ve que la transferencia de calor por radiación está dificultada por la inserción de tres resistencias más que la que había con sólo dos superficies, una enfrente de la otra; una resistencia espacial extra y dos resistencias superficiales extra debidas a la pantalla. Cuanto mayor sea la reflectancia de la pantalla, esto es, cuanto más pequeña sea su emisividad, mayores serán las resistencias superficiales introducidas. Incluso con una pantalla negra, con ε =1 y resistencia superficial nula, existirá todavía una resistencia espacial extra en el circuito. Si las emisividades de todas las superficies son iguales, se puede deducir una relación bastante simple para la transferencia de calor, cuando las superficies pueden considerarse planos paralelos infinitos. Sea n el número de pantallas. Considerando el circuito de radiación del sistema, todas las resistencias superficiales serán la misma. Habría dos de estas resistencias por cada pantalla y una por cada superficie de transferencia de calor. Habrá resistencias espaciales que serán todas iguales a la unidad, puesto que los factores de forma de radiación son la unidad para planos paralelos infinitos. La resistencia total del circuito será 1 - ε R (n pantallas) =(2n +2) ⎯⎯⎯ +(n +1) (1) =(n +1) [(2/ε) - 1] ε La resistencia cuando no hay pantalla es R (sin pantalla) =(1/ε) +(1/ε) – 1 =(2/ε) – 1 Se ve que la resistencia, cuando están colocadas las pantallas, es n+1 veces mayor que cuando faltan las pantallas. Así 1 (q/A) con pantallas =⎯⎯⎯ (q/A) sin pantallas n+1 CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 255 si en ambos casos las temperaturas de las superficies con transferencia de calor son las mismas. El método del circuito de radiación se puede aplicar también a problemas con pantallas de radiación en los que estén implicados sistemas cilíndricos. En estos casos, al formular las resistencias han de emplearse las relaciones de área apropiadas. PROBLEMAS RESUELTOS 9.1 La energía radiante total que incide sobre un cuerpo, el cual refleja, absorbe y transmite parcialmente, es 2200 W/m 2 . De esta cantidad, 450 W/m 2 se reflejan y 900 W/m 2 son absorbidos por el cuerpo. Encontrar la transmisividad τ. τ =1 - ρ -α =1 – (450/2200) – (900/2200) =0.386 9.2 Determinar la potencia emisiva total de un cuerpo negro a 1000 º C. E b =(5,6697 x 10 -8 ) (1273) 4 =148.89 kW/m 2 9.3 Para un cuerpo negro mantenido a 115 º C, determinar: (a) La potencia emisiva total. (b) La longitud de onda para la cual la potencia emisiva total es máxima. (c) La potencia emisiva monocromática máxima. (a) E b =σ T 4 =(5.6697 x 10 -8 ) (115+273) 4 =1284.95 W/m 2 (b) λ máx T =2897.6 μm K λ máx =(2897.6 μm K/388 K) =7.46 μm (c) Según la ley de Planck, 1 ) T / C ( exp C E 2 5 1 b − λ λ = − λ C 1 =3.742 x 10 8 W-μm 4 /m 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 256 C 2 =1.4387 x 10 4 μm-K [ ] 79 . 113 1 ) 388 x 46 . 7 / 10 x 4387 . 1 exp( 46 . 7 10 x 742 . 3 E 4 5 8 b = − = λ W/μm. m 2 9.4 Suponiendo que el Sol es un cuerpo negro cuya temperatura es 6000 K. Determinar la longitud de onda en que la potencia emisiva total es máxima, y la fracción de energía emitida que se encuentra en el intervalo visible (0.38 – 0.78 μm). λ máx =2897.6/6000 =0.483 μm T =6000 K =10800 o R Por otro lado según la tabla 9-1, para λT =(0.38)(10800) =4104 μm o R se obtiene que, (E b (0-λ) /E b ) =11.61% De manera análoga, para λT =(0.78)(10800) =8424 se obtiene, (E b (0-λ) /E b ) =59.09% Por lo tanto, la fracción emitida en el intervalo visible es 59.09 – 11.61 =47.48% 9.5 Una placa de vidrio cuadrada, de 30 cm de lado, se utiliza para ver la radiación de un horno. La transmitancia del vidrio es 0.5 desde 0.2 hasta 3.5 μm. Se puede suponer que la emisividad es 0.3 hasta 3.5 μm y 0.9 por encima de este valor. La transmitancia del vidrio es cero, excepto en el intervalo comprendido entre 0.2 y 3.5 μm. Suponiendo que el horno es un cuerpo negro a 2000 o C, calcular la energía absorbida por el vidrio y la energía transmitida. T = 2000 +273 =2373 K =4271.4 o R λ 1 T =(0.2)(4271.4) =854.28 μm o R λ 2 T =(3.5)(4271.4) =14949.9 μm o R CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 257 A =(0.3) 2 =0.09 m 2 De la tabla 9-1 E b (0-λ1) ⎯⎯⎯ =0 σT 4 E b(0-λ2) ⎯⎯⎯ =0.86789 σT 4 σT 4 =(5.669 x 10 -8 ) (2273) 4 =1513.3 kW/m 2 La radiación total incidente entre λ, 0.3 μm y 3.5 μm es, E b (0.2-3.5) =1513.3 (0.86789 – 0) (0.3) 2 =118.2 kW Radiación total transmitida =(0.5)(118.2) =59.1 kW Radiación absorbida entre 0 y 3.5 μm, (0.3)(118.2) =35.46 kW Radiación absorbida entre 3.5 y ∞ μm, (0.9)(1-0.86789)(1513.3)(0.09) =16.19 kW Radiación total absorbida = 35.46 +16.19 =51.65 kW 9.6 Hallar la cantidad de energía radiante emitida por una esfera de 30 mm de diámetro a 1200 K que choca contra una pared de 1 m por 1.5 m, colocada a 1 m de la esfera (ver figura). Suponer que todas las superficies son cuerpos negros. La esfera es lo suficientemente pequeña para ser tratada como un disco infinitesimal dA 1 =πR 2 De la gráfica 9-1: Z/X =1/0.75 =1.33 Y/X =0.5/0.75 =0.66 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 258 el factor de forma para una cuarta parte de la pared, es aproximadamente 0.021. De este modo, para la pared total A 2 , F dA1-A2 = 4 (0.021) =0.084 q 1→2 =F 1→2 (σT 1 4 ) dA =(0.084)(5.6697x10 -8 )(1200) 4 (π) (15x10 -3 ) =6.98 W 9.7 Dos rectángulos de 1.8 m por 3.6 m, los cuales se comportan como cuerpos negros, son paralelos y directamente opuestos, y están separados 3.6 m. Si la superficie 1 está a T 1 =90 º C y la superficie 2 a T 2 =315 º C, determinar el flujo neto de calor. De la gráfica 9-2, X/D =1.8/3.6 =0.5 y Y/D =3.6/3.6 =1 El factor de forma es F 1-2 =0.12 q 1-2 =A 1 F 1-2 σ (T 1 4 – T 2 4 ) =(1.8 x 3.6) (0.12) (5.6697x10 -8 ) (363 4 – 588 4 ) q 1-2 =-4504.6 W CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 259 9.8 Dos planos negros, infinitos y paralelos, se mantienen a 200 º C y 300 º C, respectivamente. Determinar el flujo de calor por radiación por unidad de área. Designando el plano más caliente como el plano 1: (q 1-2 /A) =σ (T 1 4 – T 2 4 ) =(5.6697x10 -8 ) (573 4 – 473 4 ) =3273 W/m 2 9,9 Dos rectángulos negros de 0.6 m por 1.2 m, paralelos y directamente opuestos, están separados 1.2 m. El rectángulo inferior está a T 1 =500 K y el rectángulo superior a T 2 =900 K. Determinar: (a) El flujo de calor por radiación entre las dos superficies. (b) El flujo de energía perdida por el rectángulo inferior si sus alrededores (diferentes del rectángulo superior) se consideran negros a 0 K. (c) El flujo de energía perdida por el rectángulo inferior si sus alrededores (diferentes del rectángulo superior) se consideran negros a 300 K. (a) Utilizando la gráfica 9-2, X/D =0.6/1.2 =0.5 y Y/D =1.2/1.2 =1 El factor de forma F 1-2 =F 2-1 =0.12 q 1-2 =A 1 F 1-2 σ (T 1 4 – T 2 4 ) =(0.72)((0.12)(5.6697x10 -8 )(500 4 – 900 4 ) =-2907.8 W (b) ∑ = ↔ − = n 1 j ij bj bi i envolvente i ) F E E ( A q q 1↔envolvente =A 1 (E b1 – F 1-2 E b2 ) =A 1 σ (T 1 4 – F 1-2 T 2 4 ) q 1↔envolvente =(0.72)(5.6697x10 -8 )[500 4 – (0.12)(900) 4 ] =-662.62 W es decir, una ganancia neta para la superficie 1. (c) F 1-espacio =1 – F 1-1 – F 1-2 =1 – 0 –0.12 =0.88 q 1↔envolvente =A 1 [E b1 – F 1-2 E b2 – F 1-espacio E b espacio q 1↔envolvente =(0.72)(5.6697x10 -8 ) [500 4 – (0.12)(900 4 ) – (0.88)(300 4 )] =-953.6 W es decir, una ganancia para la superficie 1 aún mayor que en la parte (b). TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 260 9.10 Dos placas paralelas de 0.5 por 1.0 m están separadas 0.5 m. Una de las placas se mantiene a 1000 º C y la otra a 500 º C. Las emisividades de las placas son 0.2 y 0.5 respectivamente. Las placas se encuentran en una habitación muy grande, cuyas paredes se mantienen a 27 º C. Las placas intercambian calor entre sí y con la habitación, pero solo se van a considerar en el análisis las superficies que se ven mutuamente. Calcular la transferencia neta a cada placa y a la pared. Este es un problema de tres cuerpos, las dos placas y la habitación, así que el circuito de radiación es el que se muestra en la figura. De los datos del problema T 1 =1000 º C =1273 K A 1 =A 2 =0.5 m 2 T 2 =500 º C =773 K T 3 =27 º C =300 K ε 1 =0.2 ε 2 =0.5 Dado que el área de la habitación A 3 es muy grande, la resistencia (1-ε 3 )/ε 3 A 3 puede tomarse igual a cero y se obtiene que E b3 =J 3 . Se calculan ahora los factores de forma, CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 261 Y/D =0.5/0.5 =1 X/D =1/0.5 =2 De la gráfica 9-2, F 1-2 =0.285 =F 2-1 F 1-3 =1 – F 1-2 =0.715 F 2-3 =1 – F 2-1 =0.715 Se calculan ahora las resistencias en el circuito, (1 - ε 1 )/ε 1 A 1 =(1-0.2) / (0.2 x 0.5) =8 (1 - ε 2 )/ε 2 A 2 =(1-0.5) / (0.5 x 0.5) =2 (1/A 1 F 1-2 ) =1/(0.5 x 0.285) =7.02 (1/A 1 F 1-3 ) =1/(0.5 x 0.715) =2.8 (1/A 2 F 2-3 ) =1/(0.5 x 0.715) =2.8 Tomando la resistencia (1 - ε 3 )/ε 3 A 3 igual a cero, se tiene el circuito que se muestra. Para calcular los flujos de calor en cada superficie hay que determinar las radiosidades J 1 y J 2 . El circuito se resuelve haciendo la suma de los calores que llegan a cada uno de los nudos, J 1 y J 2 igual a cero. nudo J 1 : [(E b1 – J 1 )/8] +[(J 2 – J 1 )/7.02] +[(E b3 – J 1 )/2.8] =0 nudo J 2 : [(J 1 – J 2 )/7.02] +[(E b3 – J 2 )/2.8] + [(E b2 – J 2 )/2.0] =0 E b1 =σT 1 4 =148.87 kW/m 2 E b2 =σT 2 4 =20.241 kW/m 2 E b3 =σT 3 4 =0.4592 kW/m 2 Introduciendo los valores de E b1 , E b2 y E b3 en las ecuaciones anteriores, se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas, J 1 y J 2 , que se pueden resolver simultáneamente para dar J 1 =33.469 kW/m 2 J 2 =15.054 kW/m 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 262 El calor total perdido por la placa 1 es E b1 – J 1 148.87 – 33.469 q 1 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =14.425 kW (1 - ε 1 )/ε 1 A 1 8 y el calor perdido por la placa 2 es E b2 – J 2 20.241 – 15.054 q 2 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =2.594 kW (1 - ε 2 )/ε 2 A 2 2.0 El calor total recibido por la habitación es J 1 – J 3 J 2 – J 3 q 3 =⎯⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯ 1/A 1 F 1-3 1/A 2 F 2-3 33.469 – 0.4592 15.054 – 0.4592 q 3 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =17.02 kW 2.8 2.8 Desde el punto de vista del balance global se debe cumplir q 3 =q 1 +q 2 porque la energía neta perdida por ambas placas debe ser absorbida por la habitación. 9.11 Dos rectángulos de 50 x 50 cm están colocados perpendicularmente con una arista común. Una superficie tiene T 1 =1000 K, ε 1 =0.6, mientras la otra está aislada y en equilibrio radiante con una gran habitación a 300 K. Determinar la temperatura de la superficie aislada y el calor perdido por la superficie a 1000 K. En la figura se muestra el circuito de radiación, donde la superficie 3 es la habitación y la superficie 2 es la superficie aislada. Obsérvese que J 3 =E b3 porque la habitación es grande y (1 - ε 3 )/ε 3 A 3 se aproxima a cero. Como la CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 263 superficie 2 está aislada, no tiene flujo de calor y J 2 =E b2 . J 2 flota en el circuito y se determina a partir del balance de radiación global. Los factores de forma son, de la figura 9-4 F 1-2 =0.2 =F 2-1 Debido a que F 1-1 =0 y F 1-3 =1 – 0.2 =0.8 =F 2-3 A 1 =A 2 =(0.5) 2 =0.25 m 2 Las resistencias son 1 - ε 0.4 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =2.667 ε 1 A 1 (0.6) (0.25) 1 1 1 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =5.0 A 1 F 1-3 A 2 F 2-3 (0.25) (0.8) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 264 1 1 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯ =20.0 A 1 F 1-2 (0.25) (0.2) También se tiene E b1 =(5.669 x 10 -8 ) (1000) 4 =5.669 x 10 4 W/m 2 J 3 =E b3 =(5.669 x 10 -8 ) (300) 4 =459.2 W/m 2 El circuito completo es un montaje serie paralelo y la transferencia de calor es E b1 – E b3 q =⎯⎯⎯⎯ R equivalente Se tiene 1 R equivalente =2.667 +⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =6.883 (1/5) +1/(20+5) 56690 – 459.2 q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =8.229 kW 6.883 Esta transferencia de calor también puede expresarse como E b1 – J 1 q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1 - ε 1 )/ε 1 A 1 Introduciendo los valores se obtiene J 1 =34745 W/m 2 El valor de J 2 se determina estableciendo la proporcionalidad de resistencias entre J 1 y J 2 , así que J 1 – J 2 J 1 – J 3 ⎯⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ 20 20+5 CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 265 y J 2 =7316 =E b2 =σ T 2 4 Por último, se obtiene la temperatura de la superficie aislada como T 2 =(7316 / 5.669 x 10 -8 ) 1/4 =599.4 K 9.12 Una semiesfera de 30 cm de diámetro se mantiene a una temperatura constante de 500 º C y está aislada por su cara posterior. La emisividad de la superficie es 0.4. La parte abierta intercambia energía radiante con un gran recinto a 30 º C. Calcular el intercambio neto de radiación. Tomando el interior de la semiesfera como la superficie 1 y el recinto como la superficie 2 y una superficie imaginaria 3 que cubre la apertura, se tiene en realidad, un problema de dos superficies (1 y 2) y, por tanto, E b1 =σ T 1 4 =σ (773) 4 =20241 W/m 2 E b2 =σ T 2 4 =σ (303) 4 =478 W/m 2 1 - ε 1 0.6 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =10.61 ε 1 A 1 (0.4) (0.1414) A 2 → ∞ de modo que 1 - ε 2 ⎯⎯⎯ → 0 ε 2 A 2 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 266 Ahora, en este momento, se admite que toda la radiación neta que sale de la superficie 1, que al final llegará a la 2, también chocará con la superficie imaginaria 3; esto es, F 1-2 =F 1-3 . También se tiene que A 1 F 1-3 =A 3 F 3-1 Pero, F 3.1 =1.0, así que F 1-3 =F 1-2 =A 3 /A 1 =πr 2 /2πr 2 =0.5 Entonces, 1/A 1 F 1-2 =1 /(0.1414) (0.5) =14.14 y la transferencia de calor puede calcularse por E b1 – E b2 q 1↔2 =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1-ε 1 ) / ε 1 A 1 +1/A 1 F 1-2 +(1-ε 2 ) / ε 2 A 2 20241 – 478 q =⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ =799 W 10.61 +14.14 +0 9.13 Dos planos paralelos muy grandes con emisividades de 0.3 y 0.8 intercambian calor. Encontrar el porcentaje de reducción en la transferencia de calor, cuando se coloca entre ellos una pantalla radiante de aluminio pulido (ε=0.04). La transferencia de calor sin la pantalla viene dada por ) T T ( 279 . 0 1 / 1 / 1 ) T T ( A q 4 2 4 1 2 1 4 2 4 1 − σ = − ε + ε − σ = El circuito de radiación con la pantalla colocada se muestra en la siguiente figura CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 267 1 - ε 1 1 – 0.3 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ =2.333 ε 1 0.3 1 - ε 3 1 – 0.04 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ =24.0 ε 3 0.04 1 - ε 2 1 – 0.8 ⎯⎯⎯ =⎯⎯⎯⎯ =0.25 ε 2 0.8 La resistencia total es 2.333 +(2) (24.0) +(2) (1) +0.25 =52.583 y la transferencia de calor es ) T T ( 01902 . 0 583 . 52 ) T T ( A q 4 2 4 1 4 2 4 1 − σ = − σ = de modo que la transferencia de calor se reduce en un 93.2% PROBLEMAS PROPUESTOS 9.14 Determinar la potencia emisiva monocromática a 2.3 μm de un cuerpo negro a una temperatura de 1370 º C. 9.15 Determinar λ máx y el valor máximo de la potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro a (a) 1671 º C (b) 1393 º C (c) 1116 º C (d) 838 º C. 9.16 Suponiendo que la radiación solar es como la de un cuerpo negro a 5795 K, calcular la fracción de energía en las siguientes bandas de longitud de onda: (a) 0 a 0.2 μm. (b) 0.2 a 0.4 μm. (c) 0.4 a 1.0 μm. (d) 1.0 a 2.0 μm. (e) por encima de 2.0 μm. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 268 9.17 Una superficie negra está a 800 º C. Calcular la fracción de la energía total emitida entre (a) 1 y 2 μm. (b) 2 y 3 μm. (c) 3 y 4 μm. (d) 5 y 6 μm. 9.18 Un foco de radiación negra está a 1100 º C. Calcular la longitud de onda superior en micrómetros para emisiones de (a) 25% (b) 50% (c) 75% (d) 98% de la radiación total. 9.19 Dos discos concéntricos paralelos de D 1 =10 cm y D 2 =5 cm distan 10 cm. Determinar F 1-2 y F 2-1 . 9.20 Una pared de una habitación de 3 x 3 x 3 m se mantiene a 260 º C; el suelo se mantiene a 90 º C. Las otras cuatro superficies están perfectamente aisladas. Se supone que todas las superficies son negras. Calcular el calor neto transferido entre la pared caliente y el suelo frío. 9.21 Dos planos paralelos perfectamente negros de 1.2 por 1.2 m distan 1.2 m. Un plano se mantiene a 800 K y el otro a 500 K. Los planos están situados en un recinto grande cuyas paredes están a 300 K. ¿Cuál es el calor neto transferido entre los planos? 9.22 Dos discos paralelos de 60 cm de diámetro distan 15 cm y están dentro de una habitación grande a 30 º C. Las propiedades de las superficies son T 1 = 540 º C, ε 1 =0.7, T 2 =300 º C, ε 2 =0.5. ¿Cuál es el calor neto transferido por radiación en cada superficie? (No debe incluirse el intercambio por la cara posterior, sólo el de las dos superficies enfrentadas. 9.23 Dos discos paralelos de 50 cm de diámetro distan 12.5 cm y están situados en un recinto grande a 300 K. Uno de los discos está a 100 K y el otro se mantiene a 500 K. Ambos tiene emisividades de 0.8. Calcular el flujo de calor en cada disco. 9.24 Dos discos paralelos perfectamente negros de 1 m de diámetro están separados una distancia de 0.25 m. Un disco se mantiene a 60 º C y el otro a 20 º C. Los discos se colocan en un cuarto grande cuyas paredes están a 40 º C. Suponer que las superficies exteriores de los discos (las superficies que no están frente a frente) están muy bien aisladas. Determinar el intercambio neto de radiación entre los discos. Determinar también el intercambio neto de radiación entre los discos y el cuarto. 9.25 Dos placas paralelas de 1 x 1 m, aisladas en sus lados posteriores y separadas 1 m, se pueden aproximar como cuerpos negros a 500 y 750 o K. Las placas se localizan en un cuarto cuyas paredes se mantienen a 300 o K. Determinar la transferencia de calor neta desde cada placa y la transferencia neta de calor relativa hacia las paredes del cuarto. CAPITULO 9 : RADIACION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 269 9.26 Dos planos paralelos de 90 x 60 cm distan 60 cm. Un plano se mantiene a una temperatura de 800 K y tiene una emisividad de 0.6. El otro plano está aislado. Los planos están situados en una habitación grande que se mantiene a 290 K. Calcular la temperatura del plano aislado y la energía perdida por el plano caliente. 9.27 Una tubería larga de 5 cm de diámetro pasa a través de una habitación y está expuesta al aire a presión atmosférica y una temperatura de 20 º C. La temperatura de la superficie de la tubería es de 93 º C. Suponiendo que la emisividad de la tubería sea 0.6, calcular el calor perdido por radiación por unidad de longitud de tubería. 9.28 Una placa vertical de 60 cm de alto y 30 cm de ancho se mantiene a una temperatura de 95 º C en una habitación donde el aire está a 20 º C y 1 atm. Las paredes de la habitación están también a 20 º C. Se supone que en la placa ε =0.8. ¿Cuánto calor pierde la placa por radiación? 9.29 Una tubería horizontal de 6 m de largo y 12.5 cm de diámetro se mantiene a una temperatura de 150 º C en una habitación grande donde el aire está a 20 º C y 1 atm. Las paredes de la habitación están a 38 º C. Suponiendo que en la tubería ε =0.7. ¿Cuánto calor pierde la tubería por convección y radiación? 9.30 Dos cilindros concéntricos tiene longitudes de 30 cm. El cilindro interior tiene un diámetro de 8.0 cm. ¿Cuál debe ser el diámetro del cilindro exterior para que F 1-2 = 0.8, considerando el cilindro interior como superficie 1? 9.31 Dos cilindros concéntricos de 10 y 20 cm de diámetro están situados en un recinto grande que se mantiene a 30 º C. La longitud de los cilindros es de 10 cm y el cilindro interior se mantiene a 700 º C, siendo su emisividad de 0.6. El cilindro exterior está perfectamente aislado y tiene una emisividad de 0.7. Calcular el calor perdido por el cilindro interior. 9.32 Un cuerpo gris tiene un área superficial de 0.3716 m 2 , tiene ε 1 =0.35 y T 1 =404.4 º C y está completamente encerrado por otro cuerpo gris que tiene un área de 3.34 m 2 , ε 2 =0.75 y T 2 =537.7 o C. Encontrar el flujo de calor neto entre las dos superficies si F 1-1 =0. 9.33 Dos paredes metálicas paralelas de un horno de cocina tiene temperaturas T 1 =232.3 º C y T 3 =26.6 º C y emisividades ε 1 =ε 3 =0.3, donde los subíndices 1 y 3 designan la pared interior y la pared exterior, TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 270 respectivamente. El espacio entre las paredes está lleno con un aislante de lana mineral. Suponiendo que este material aislante es transparente a la radiación térmica, calcular el flujo de calor radiante por unidad de área entre las dos paredes. (a) sin pantalla de radiación. (b) con una pantalla de radiación de lámina de aluminio que tiene ε 1 =0.09. 9.34 Se tienen tres placas paralelas infinitas numeradas en su orden 1,2 y 3. La placa 1 se mantiene a 1200 o K y la placa 3 se mantiene a 300 o K; ε 1 = 0.2, ε 2 =0.5 y ε 3 =0.8. La placa 2 no recibe calor de fuentes externas. ¿Cuál es la temperatura de la placa 2? 9.35 Dos planos grandes paralelos cuyas emisividades son 0.3 y 0.5 se mantienen a unas temperaturas de 800 o K y 400 o K respectivamente. Entre los dos planos se coloca una pantalla de radiación cuya emisividad por ambas caras es 0.05. Calcular: (a) El flujo de calor por unidad de área sin la pantallas de radiación. (b) El flujo de calor por unidad de área con la pantalla de radiación. (c) La temperatura de la pantalla. 9.36 Dos cilindros concéntricos largos tienen 4 y 8 cm de diámetro respectivamente. El cilindro interior está a 80 º C y el exterior está a 100 o C. Las emisividades del interior y del exterior son 0.8 y 0.4 respectivamente. Calcular en que porcentaje se reduce el calor transferido si entre los dos cilindros se coloca un apantallamiento radiante de 6 cm de diámetro y emisividad 0.3. TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 271 TABLA A-1 PROPIEDADES DE LOS METALES Propiedades a 20 o C ρ kg/m 3 C P kJ /kg o C k W/m o C αx 10 5 m 2 /s Aluminio Puro 2 707 0.896 204 8.418 Al-Cu (duraluminio) 94-96% Al, 3.5% Cu, trazas Mg 2 787 0.883 164 6.676 Al-Si (siluminio, cobre-portador), 86.5% Al, 1% Cu 2 659 0.867 137 5.933 Al-Si (alusil ), 78-80% Al, 20-22% Si 2 627 0.854 161 7.172 Al-Mg-Si, 97% Al, 1% Mg, 1% Si, 1% Mn 2 707 0.892 177 7.311 Plomo Puro 11 373 0.130 35 2.343 Hierro Puro 7 897 0.452 73 2.034 Hierro forjado, 0.5% C 7 849 0.460 59 1.626 Acero al carbono 0.5% C 7 833 0.465 54 1.474 Acero al carbono 1.0% C 7 801 0.473 43 1.172 Acero al carbono 1.5% C 7 753 0.486 36 0.970 Acero al niquel 0% Ni 7 897 0.452 73 2.026 Acero al niquel 20% Ni 7 933 0.460 19 0.526 Acero al niquel 40% Ni 8 169 0.460 10 0.279 Acero al niquel 80% Ni 8 618 0.460 35 0.872 Invar 36% Ni 8 137 0.460 10.7 0.286 Acero al cromo 0% Cr 7 897 0.452 73 2.026 Acero al cromo 1% Cr 7 865 0.460 61 1.665 Acero al cromo 5% Cr 7 833 0.460 40 1.110 Acero al cromo 20% Cr 7 689 0.460 22 0.635 Cr-Ni 10% Ni 7 865 0.460 19 0.527 18% Cr, 8% Ni (V2A) 7 817 0.460 16.3 0.444 20% Cr, 15% Ni 7 833 0.460 15.1 0.415 25% Cr, 20% Ni 7 865 0.460 12.8 0.361 Acero al wolframio 0% W 7 897 0.452 73 2.026 Acero al wolframio 1% W 7 913 0.488 66 1.858 Acero al wolframio 5% W 8 073 0.435 54 1.525 Cobre Puro 8 954 0.3831 386 11.234 Bronce de aluminio, 95% Cu, 5% Al 8 666 0.410 83 2.330 Bronce, 75% Cu, 25% Sn 8 666 0.343 26 0.859 Latón rojo, 85% Cu, 9% Sn, 6% Zn 8 714 0.385 61 1.804 Latón, 70% Cu, 30% Zn 8 522 0.385 111 3.412 Plata alemana, 62% Cu, 15% Ni, 22% Zn 8 618 0.394 24.9 0.733 Constantan, 60% Cu, 40% Ni 8 922 0.410 22.7 0.612 Magnesio Puro 1 746 1.013 171 9.708 Mg-Al (electrlítico), 6-8% Ala.2% Zn 1 810 1.000 66 3.605 Molibdeno Puro 10 220 0.251 123 4.790 Niquel Puro (99.9%) 8 906 0.4459 90 2.266 Ni-Cr, 90% Ni, 10% Cr 8 666 0.444 17 0.444 Ni-Cr, 80% Ni, 20% Cr 8 314 0.444 12.6 0.343 Plata Purísima 10 524 0.234 419 17.004 Pura (99.9%) 10 525 0.234 407 16.563 Estaño Puro 7 304 0.2265 64 3.884 Woframio Puro 19 350 0.1344 163 6.271 Cinc puro 7 144 0.3843 112.2 4.106 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 272 TABLA A-2 CONDUCTIVIDAD TERMINA EN FUNCION DE LA TEMPERATURA Conductividad térmica k, W/m o C en funcion de t o C -100 0 100 200 300 400 600 800 1000 1200 Aluminio Puro 215 202 206 215 228 249 Al-Cu (duraluminio) 94-96% Al, 3.5% Cu, trazas Mg 126 159 182 194 Al-Si (siluminio, cobre-portador), 86.5% Al, 1% Cu 119 137 144 152 161 Al-Si (alusil ), 78-80% Al, 20-22% Si 144 157 168 175 178 Al-Mg-Si, 97% Al, 1% Mg, 1% Si, 1% Mn 175 189 204 Plomo Puro 36.9 35.1 33.4 31.5 29.8 Hierro Puro 87 73 67 62 55 48 40 36 35 36 Hierro forjado, 0.5% C 59 57 52 48 45 36 33 33 33 Acero al carbono 0.5% C 55 52 48 45 42 35 31 29 31 Acero al carbono 1.0% C 43 43 42 40 36 33 29 28 29 Acero al carbono 1.5% C 36 36 36 35 33 31 28 28 29 Acero al niquel 0% Ni Acero al niquel 20% Ni Acero al niquel 40% Ni Acero al niquel 80% Ni Invar 36% Ni Acero al cromo 0% Cr 87 73 67 62 55 48 40 36 35 36 Acero al cromo 1% Cr 62 55 52 47 42 36 33 33 Acero al cromo 5% Cr 40 38 36 36 33 29 29 29 Acero al cromo 20% Cr 22 22 22 22 24 24 26 29 Cr-Ni 10% Ni 18% Cr, 8% Ni (V2A) 16.3 17 17 19 19 22 27 31 20% Cr, 15% Ni 25% Cr, 20% Ni Acero al wolframio 0% W Acero al wolframio 1% W Acero al wolframio 5% W Acero al wolframio 10% W Cobre Puro 407 386 379 374 369 363 353 Bronce de aluminio, 95% Cu, 5% Al Bronce, 75% Cu, 25% Sn TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 273 TABLA A-2 CONDUCTIVIDAD TERMINA EN FUNCION DE LA TEMPERATURA (Continuación) Conductividad térmica k, W/m o C en funcion de t o C -100 0 100 200 300 400 600 800 1000 1200 Latón rojo, 85% Cu, 9% Sn, 6% Zn 59 71 Latón, 70% Cu, 30% Zn 88 128 144 147 147 Plata alemana, 62% Cu, 15% Ni, 22% Zn 19.2 31 40 45 48 Constantan, 60% Cu, 40% Ni 21 22.2 26 Magnesio Puro 178 171 168 163 157 Mg-Al (electrlítico), 6-8% Ala.2% Zn 52 62 74 83 Molibdeno Puro 138 125 118 114 111 109 106 102 99 92 Niquel Puro (99.9%) 104 93 83 73 64 59 Ni-Cr, 90% Ni, 10% Cr 17.1 18.9 20.9 22.8 24.6 Ni-Cr, 80% Ni, 20% Cr 12.3 13.8 15.6 17.1 18.0 22.5 Plata Purísima 419 417 415 412 Pura (99.9%) 419 410 415 374 362 360 Estaño Puro 74 65.9 59 57 Woframio Puro 166 151 142 133 126 112 76 Cinc puro 114 112 109 106 100 93 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 274 TABLA A-3 PROPIEDADES DE LOS NO METALES Sustancia Temp O C k W/m o C ρ kg/m 3 C kJ /kg o C α x 10 7 m 2 /s Asbestopoco compacto -45 0.149 0 0.154 470-570 0.816 3.3-4 100 0.161 Cemento de asbesto: chapas 20 0.74 Láminas 51 0.166 Fieltro, 40 láminas/pulgada 38 0.057 150 0.069 260 0.083 20 láminas /pulgada 38 0.078 150 0.095 260 0.112 Corrugado, 4 ondas / pulgada 38 0.087 93 0.100 150 0.119 Cemento de asbesto - 2.08 Asfalto 20-55 0.74-0.76 Baldosa acústica 30 0.06 290 1.3 1.6 Carbón antracita 30 0.26 1300 1.25 1.6 Caucho duro 30 0.15 1200 2.0 0.62 Cemento, Portland 0.29 Mortero 23 1.16 Grafito, priolítico paralelo a las capas 30 1900 2200 0.71 12200 perpendicular a las capas 30 5.6 2200 0.71 36 Hormigón cenizas 23 0.76 Grava, mezcla 1-2-4 20 1.37 1900-2300 0.88 8.2-6.8 Ladrillo de construcción corriente 20 0.69 1600 0.84 5.2 Ladrillo de construcción de fachada 1.32 2000 Ladrillo de carborundo 600 18.5 1400 11.1 Ladrillo de cromo 200 2.32 3000 0.84 9.2 550 2.47 9.8 900 1.99 7.9 Ladrillo de tierras de diatomeas, moldeado y cocido 200 0.24 870 0.31 Ladrillo refractario 500 1.04 2000 0.96 5.4 Ladrillo refractario cocido a 1330 o C 800 1.07 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 275 TABLA A-3 PROPIEDADES DE LOS NO METALES (Continuación) Sustancia Temp O C k W/m o C ρ kg/m 3 C kJ /kg o C α x 10 7 m 2 /s 1100 1.40 Ladrillo refractario cocido a 1450 o C 500 1.28 2300 0.96 5.8 800 1.37 1100 1.40 Ladrillo Missouri 200 1.00 2600 0.96 4.0 600 1.47 1400 1.77 Magnesita 200 3.81 1.13 650 2.77 1200 1.90 Madera (transversal a la veta): Balsa, 42.97 kg/m 2 (8.8 lb/pie 2 ) 30 0.055 140 ciprés 30 0.097 460 abeto 23 0.11 420 2.72 0.96 arce o roble 30 0.166 540 2.4 1.28 pino amarillo 23 0.147 640 2.8 0.82 pino blanco 30 0.112 430 Mortero: yeso 20 0.48 1440 0.84 4.0 Varillas de metal 20 0.47 Listones de madera 20 0.28 Oxido de aluminio, zafiro 30 46 3970 0.76 150 Oxido de aluminio, policristalino 30 36 3970 0.76 120 Piedra: granito 1.73-3.98 2640 0.82 8-18 Piedra caliza 100-300 1.26-1.33 2500 0.90 5.6-5.9 Mármol 2.07-2.94 2500-2700 0.80 10-13.6 Piedra arenisca 40 1.83 2160-2300 0.71 11.2-11.9 Polietileno 30 0.33 960 2.1 1.64 Polipropileno 30 0.16 1150 1.9 0.73 Polivinilo, cloruro de 30 0.09 1700 1.1 0.48 Serrin, baja densidad 30 0.079 590 1.3 1.0 alta densidad 30 0.17 1000 1.3 1.3 Silicio, carburo de 30 490 3150 0.68 2290 Teflón 30 0.35 2200 1.05 1.5 Titanio, dióxido de 30 8.4 4150 0.7 29 Vidrio, ventana 20 0.78(prom) 2700 0.84 3.4 Borosilicato 30-75 1.09 2200 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 276 TABLA A-4 PROPIEDADES DE L0S MATERIALES AISLANTES Sustancia Temp O C k W/m o C ρ kg/m 3 C kJ /kg o C α x 10 7 m 2 /s Cartón corrugado 0.064 Celotex 32 0.048 Corcho, 160.18 kg/m 3 (10 lb/pie 3 ) 30 0.043 160 Cocho aglomerado 32 0.045 45-120 1.88 2-5.3 Rectificado 32 0.043 150 Diamante tipo IIa. aislante 30 2300 3500 0.509 12900 Fibra, chapa aislante 20 0.048 240 Fibra de vidrio, conducto lineal 30 0.038 32 0.84 14.1 Fibra de vidrio, poco soplado 30 0.043 16 0.84 32 Fieltro, pelo 30 0.036 130-200 Lana 30 0.052 330 Hielo 0 2.22 910 1.93 12.6 Insulex, seco 32 0.064 0.144 Lana de bálsamo 35.24 kg/m 3 (2.2 lb/pie 3 ) 32 0.04 35 Lana de vidrio, 24.03 kg/m 3 (1.5 lb/pie 3 ) 23 0.038 24 0.7 22.6 Lana mineral, 160.18 kg/m 3 (10lb/pie 3 ) 32 0.040 160 poco compacta 150 0.067 64 260 0.087 Magnesioa, 85% 38 0.067 270 93 0.071 150 0.074 204 0.080 Miraguano 30 0.035 Serrín 23 0.059 Sílice aerogel 32 0.024 140 Styrofoam 32 0.033 Tierra de diatomeas (Sil-o-cel) 0 0.061 320 Virutas de madera 23 0.059 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 277 Tabla A-5 PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO T, o C ρ, kg/m 3 c p , kj/kg o C ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr β, K -1 Agua, H 2 O 0 1002.28 4.2128 1.788 x 10 -6 0.552 1.308 x 10 -7 13.6 20 1000.52 4.1818 1.006 0.597 1.430 7.02 0.18 x 10 -3 40 994.59 4.1784 0.658 0.628 1.512 4.34 60 985.46 4.1843 0.478 0.651 1.554 3.02 80 974.08 4.1964 0.364 0.668 1.636 2.22 100 960.63 4.2161 0.294 0.680 1.680 1.74 120 945.25 4.250 0.247 0.685 1.708 1.446 140 928.27 4.283 0.214 0.684 1.724 1.241 160 909.69 4.342 0.190 0.680 1.729 1.099 180 889.03 4.417 0.173 0.675 1.724 1.004 200 866.76 4.505 0.160 0.665 1.706 0.937 220 842.41 4.610 0.150 0.652 1.680 0.891 240 815.66 4.756 0.143 0.635 1.639 0.871 260 785.87 4.949 0.137 0.611 1.577 0.874 280.6 752.55 5.208 0.135 0.580 1.481 0.910 300 714.26 5.728 0.135 0.540 1.324 1.019 Amoniaco, NH 3 - 50 703.69 4.443 0.435 x 10 -6 0.547 1.742 x 10 -7 2.60 - 40 691.68 4.467 0.406 0.547 1.775 2.28 - 30 679.34 4.476 0.387 0.549 1.801 2.15 - 20 666.69 4.509 0.381 0.547 1.819 2.09 - 10 653.55 4.564 0.378 0.543 1.825 2.07 0 640.10 4.635 0.373 0.540 1.819 2.05 10 626.16 4.714 0.368 0.531 1.801 2.04 20 611.75 4.798 0.359 0.521 1.775 2.02 2.45 x 10 -3 30 596037 4.890 0.349 0.507 1.742 2.01 40 580.99 4.999 0.340 0.493 1.701 2.00 50 564.33 5.116 0.330 0.476 1.654 1.99 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 278 Tabla A-5 PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO (continuación) T, o C ρ, kg/m 3 c p , kj/kg o C ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr β, K -1 Dióxido de carbono, CO 2 - 50 1156.34 1.84 0.119 x 10 -6 0.0855 0.4021x 10 -7 2.96 - 40 1117.77 1.88 0.118 0.1011 0.4810 2.46 - 30 1076.76 1.97 0.117 0.1116 0.5272 2.22 - 20 1032.39 2.05 0.115 0.1151 0.5445 2.12 - 10 983.38 2.18 0.113 0.1099 0.5133 2.20 0 926.99 2.47 0.108 0.1045 0.4578 2.38 10 860.03 3.14 0.101 0.0971 0.3608 2.80 20 772.57 5.0 0.091 0.0872 0.2219 4.10 14.00 x 10 -3 30 597.81 36.4 0.080 0.0703 0.0279 28.7 Dióxido de azufre, SO 2 - 50 1560.84 1.3595 0.484 x 10 -6 0.242 1.141x 10 -7 4.24 - 40 1536.81 1.3607 0.424 0.235 1.130 3.74 - 30 1520.64 1.3616 0.371 0.230 1.117 3.31 - 20 1488.60 1.3624 0.324 0.225 1.107 2.93 - 10 1463.61 1.3628 0.288 0.218 1.097 2.62 0 1438.46 1.3636 0.257 0.211 1.081 2.38 10 1412.51 1.3645 0.232 0.204 1.066 2.18 20 1386.40 1.3653 0.210 0.199 1.050 2.00 1.94 x 10 -3 30 1359.33 1.3662 0.190 0.192 1.035 1.83 40 1329.22 1.3674 0.173 0.185 1.019 1.70 50 1299.10 1.3683 0.162 0.177 0.999 1.61 Diclorodiflúormetano, CCl 2 F 2 - 50 1546.75 0.8780 0.310 x 10 -6 0.067 0.501x 10 -7 6.2 2.63 x 10 -3 - 40 1518.71 0.8847 0.279 0.069 0.514 5.4 - 30 1489.56 0.8956 0.253 0.069 0.526 4.8 - 20 1460.57 0.9073 0.235 0.071 0.539 4.4 - 10 1429.49 0.9203 0.221 0.073 0.550 4.0 0 1397.45 0.9345 0.214 x 10 -6 0.073 0.557 x 10 -7 3.8 10 1364.30 0.9496 0.203 0.073 0.560 3.6 20 1330.18 0.9659 0.198 0.073 0.560 3.5 30 1295.10 0.9835 0.194 0.071 0.560 3.5 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 279 Tabla A-5 PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO (continuación) T, o C ρ, kg/m 3 c p , kj/kg o C ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr β, K -1 40 1257.13 1.0019 0.191 0.069 0.555 3.5 50 1215.96 1.0216 0.190 0.067 0.545 3.5 Glicerina, C 3 H 5 (OH) 3 0 1276.03 2.261 0.00831 0.282 0.983 x 10 -7 84.7 x 10 3 10 1270.11 2.319 0.00300 0.284 0.965 31.0 20 1264.02 2.386 0.00118 0.286 0.947 12.5 0.50 x 10 -3 30 1258.09 2.445 0.00050 0.286 0.929 5.38 40 1252.01 2.512 0.00022 0.286 0.914 2.45 50 1244.96 2.583 0.00015 0.287 0.893 1.63 Etilenglicol, C 2 H 4 (OH) 2 0 1130.75 2.294 57.53 x 10 -6 0.242 0.934 x 10 -7 615 20 1116.65 2.382 19.18 0.249 0.939 204 0.65 x 10 -3 40 1101.43 2.474 8.69 0.256 0.939 93 60 1087.66 2.562 4.75 0.260 0.932 51 80 1077.56 2.650 2.98 0.261 0.921 32.4 100 1058.50 2.742 2.03 0.263 0.908 22.4 Aceite motor (sin usar) 0 899.12 1.796 0.00428 0.147 0.911x 10 -7 47100 20 888.23 1.880 0.00090 0.145 0.872 10400 0.70 x 10 -3 40 876.05 1.964 0.00024 0.144 0.834 2870 60 864.04 2.047 0.839 x 10 -4 0.140 0.800 1050 80 852.02 2.131 0.375 0.138 0.769 490 100 840.01 2.219 0.203 0.137 0.738 276 120 828.96 2.307 0.124 0.135 0.710 175 140 816.94 2.395 0.080 0.133 0.686 116 160 805.89 2.483 0.056 0.132 0.663 84 Mercurio, Hg 0 13628.22 0.1403 0.124 x 10 -6 8.2 42.99 x 10 -7 0.0288 20 13579.04 0.1394 0.114 8.69 46.06 0.0249 1.82 x 10 -4 50 13505.84 0.1386 0.104 9.40 50.22 0.0207 100 13.384.58 0.1373 0.0928 10.51 57.16 0.0162 150 13264.28 01365 0.0853 11.49 63.54 0.0134 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 280 Tabla A-5 PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS EN ESTADO SATURADO (continuación) T, o C ρ, kg/m 3 c p , kj/kg o C ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr β, K -1 200 13144.94 0.1570 0.0802 12.34 69.08 0.0116 250 13025.60 0.1357 0.0765 13.07 74.06 0.0103 315.5 12847 0.134 0.0673 14.02 81.5 0.0083 Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA Los valores de μ, k, c P y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K ρ, kg/m 3 c P , kJ /kg o C μ x 10 5 , kg/m.s ν x 10 6 , m 2 /s k, W/m o C α x 10 4 , m 2 /s Pr Aire 100 3.6010 1.0266 0.6924 1.923 0.009246 0.02501 0.770 150 2.375 1.0099 1.0283 4.343 0.013735 0.05745 0.753 200 1.7684 1.0061 1.3289 7.490 0.01809 0.10165 0.739 250 1.4128 1.0053 1.5990 11.31 0.02227 0.15675 0.722 300 1.1774 1.0057 1.8462 15.69 0.02624 0.22160 0.708 350 0.9980 1.0090 2.075 20.76 0.03003 0.2983 0.697 400 0.8826 1.0140 2.286 25.90 0.03365 0.3760 0.689 450 0.7833 1.0207 2.484 31.71 0.03707 0.4222 0.683 500 0.7048 1.0295 2.671 37.90 0.04038 0.5564 0.680 550 0.6423 1.0392 2.848 44.34 0.04360 0.6532 0.680 600 0.5879 1.0551 3.018 51.34 0.04659 0.7512 0.680 650 0.5430 1.0635 3.177 58.51 0.04953 0.8578 0.682 700 0.5030 1.0752 3.332 66.25 0.05230 0.9672 0.684 750 0.4709 1.0856 3.481 73.91 0.05509 1.0774 0.686 800 0.4405 1.0978 3.625 82.29 0.05779 1.1951 0.689 850 0.4149 1.1095 3.765 90.75 0.06028 1.3097 0.692 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 281 Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, c P y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K ρ, kg/m 3 c P , kJ /kg o C μ x 10 5 , kg/m.s ν x 10 6 , m 2 /s k, W/m o C α x 10 4 , m 2 /s Pr 900 0.3925 1.1212 3.899 99.3 0.06279 1.4271 0.696 950 0.3716 1.1321 4.023 108.2 0.06525 1.5510 0.699 1000 0.3524 1.1417 4.152 117.8 0.06752 1.6779 0.702 1100 0.3204 1.160 4.44 138.6 0.0732 1.969 0.704 1200 0.2947 1.179 4.69 159.1 0.0782 2.251 0.707 1300 0.2707 1.197 4.93 182.1 0.0837 2.583 0.705 1400 0.2515 1.214 5.17 205.5 0.0891 2.920 0.705 1500 0.2355 1.230 5.40 229.1 0.0946 3.262 0.705 1600 0.2211 1.248 5.63 254.5 0.100 3.609 0.705 1700 0.2082 1.267 5.85 280.5 0.105 3.977 0.705 1800 0.1970 1.287 6.07 308.1 0.111 4.379 0.704 1900 0.1858 1.309 6.29 338.5 0.117 4.811 0.704 2000 0.1762 1.338 6.50 369.0 0124 5.260 0.702 2100 0.1682 1.372 6.72 399.6 0.131 5.715 0.700 2200 0.1602 1.419 6.93 432.6 0.139 6.120 0.707 2300 0.1538 1.482 7.14 464.0 0.149 6.540 0.710 2400 0.1458 1.574 7.35 504.0 0.161 7.020 0.718 2500 0.1394 1.688 7.57 543.5 0.175 7.441 0.730 Helio T, K ρ, kg/m 3 c P , kJ /kg o C μ, kg/m.s ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr 144 0.3379 5.200 125.5 x 10 -7 37.11 x 10 -6 0.0928 0.5275 x 10 -4 0.70 200 0.2435 5.200 156.6 64.38 0.1177 0.9288 0.694 255 0.1906 5.200 181.7 95.50 0.1357 1.3675 0.70 366 0.13280 5.200 230.5 173.6 0.1691 2.449 0.71 477 0.10204 5.200 275.0 269.3 0.197 3.716 0.72 589 0.08282 5.200 311.3 375.8 0.225 5.215 0.72 700 0.07032 5.200 347.5 494.2 0.251 6.661 0.72 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 282 Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, c P y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K ρ, kg/m 3 c P , kJ /kg o C μ, kg/m.s ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr 800 0.06023 5.200 381.7 634.1 0.275 8.774 0.72 Hidrógeno 150 0.16371 12.602 5.595 x 10 -6 34.18 x 10 -6 0.0981 0.475 x 10 -4 0.718 200 0.12270 13.540 6.813 55.53 0.1282 0.772 0.719 250 0.09819 14.059 7.919 80.64 0.1561 1.130 0.713 300 0.08185 14.314 8.963 109.5 0.182 1.554 0.706 350 0.07016 14.436 9.954 141.9 0.206 2.031 0.697 400 0.06135 14.491 10.864 177.1 0.228 2.568 0.690 450 0.05462 14.499 11.779 215.6 0.251 3.164 0.682 500 0.04918 14.507 12.636 257.0 0.272 3.817 0.675 550 0.04469 14.532 13.475 301.6 0.292 4.516 0.668 600 0.04085 14.537 14.285 349.7 0.315 5.306 0.664 700 0.03492 14.574 15.89 455.1 0.351 6.903 0.659 800 0.03060 14.675 17.40 569 0.384 8.563 0.664 900 0.02723 14.821 18.78 690 0.412 10.217 0.676 Oxígeno 150 2.6190 0.9178 11.490 x 10 -6 4.387 x 10 -6 0.01367 0.05688 x 10 -4 0.773 200 1.9559 0.9131 14.850 7.593 0.01824 0.10214 0.745 250 1.5618 0.9157 17.87 11.45 0.02259 0.15794 0.725 300 1.3007 0.9203 20.63 15.86 0.02676 0.22353 0.709 350 1.1133 0.9291 23.16 20.80 0.03070 0.2968 0.702 400 0.9755 0.9420 25.54 26.18 0.03461 0.3768 0.695 450 0.8682 0.9567 27.77 31.99 0.03828 0.4609 0.694 500 0.7801 0.9722 29.91 38.34 0.04173 0.5502 0.697 550 0.7696 0.9881 31.97 45.05 0.04517 0.641 0.700 Nitrógeno 200 1.7108 1.0429 12.947 x 10 -6 7.568 x 10 -6 0.01824 0.10224 x 10 -4 0.747 300 1.1421 1.0408 17.84 15.63 0.02620 0.22044 0.713 400 0.8538 1.0459 21.98 25.74 0.03335 0.3734 0.691 500 0.6824 1.0555 25.70 37.66 0.03984 0.5530 0.684 600 0.5687 1.0756 29.11 51.19 0.04580 0.7486 0686 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 283 Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, c P y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K ρ, kg/m 3 c P , kJ /kg o C μ, kg/m.s ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr 700 0.4934 1.0969 32.13 65.13 0.05123 0.9466 0.691 800 0.4277 1.1225 34.84 81.46 0.05609 1.1685 0.700 900 0.3796 1.1464 37.49 91.06 0.06070 1.3946 0.711 1000 0.3412 1.1677 40.00 117.2 0.06475 1.6250 0.724 1100 0.3108 1.1857 42.28 136.0 0.06850 1.8571 0.736 1200 0.2851 1.2037 44.50 156.1 0.07184 2.0932 0.748 Dióxido de carbono 220 2.4733 0.783 11.105 x 10 -6 4.490 x 10 -6 0.010805 0.05920 x 10 -4 0.818 250 2.1657 0.804 12.590 5.813 0.012884 0.07401 0.793 300 1.7973 0.871 14.958 8.321 0.016572 0.10588 0.770 350 1.5362 0.900 17.205 11.19 0.02047 0.14808 0.755 400 1.3424 0.942 19.32 14.39 0.02461 0.19463 0.738 450 1.1918 0.980 21.34 17.90 0.02897 0.24813 0.721 500 1.0732 1.013 23.26 21.67 0.03352 0.3084 0.702 550 0.9739 1.047 25.08 25.74 0.03821 0.3750 0.685 600 0.8938 1.076 26.83 30.02 0.04311 0.4483 0.668 Amoniaco, NH 3 273 0.7929 2.177 9.353 x 10 -6 1.18 x 10 -5 0.0220 0.1308 x 10 -4 0.90 323 0.6487 2.177 11.035 1.70 0.0270 0.1920 0.88 373 0.5590 2.236 12.886 2.30 0.0327 0.2619 0.87 423 0.4934 2.315 14.672 2.97 0.0391 0.3432 0.87 473 0.4405 2.395 16.49 3.74 0.0467 0.4421 0.84 Vapor de agua 380 0.5863 2.060 12.71 x 10 -6 2.16 x 10 -5 0.0246 0.2036 x 10 -4 1.060 400 0.5542 2.014 13.44 2.42 0.0261 0.2338 1.040 450 0.4902 1.980 15.25 3.11 0.0299 0.307 1.010 500 0.4405 1.985 17.04 3.86 0.0339 0.387 0.996 550 0.4005 1.997 18.84 4.70 0.0379 0.475 0.991 600 0.3652 2.026 20.67 5.66 0.0422 0.573 0.986 650 0.3380 2.056 22.47 6.64 0.0464 0.666 0.995 700 0.3140 2.085 24.26 7.72 0.0505 0.772 1.000 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 284 Tabla A-6 PROPIEDADES DE LOS GASES A PRESION ATMOSFÉRICA (continuación) Los valores de μ, k, c P y Pr dependen poco de la presión y se pueden utilizar en un intervalo bastante amplio de presiones. T, K ρ, kg/m 3 c P , kJ /kg o C μ, kg/m.s ν, m 2 /s k, W/m o C α, m 2 /s Pr 750 0.2931 2.119 26.04 8.88 0.0549 0.883 1.005 800 0.2739 2.152 27.86 10.20 0.0592 1.001 1.010 850 0.2579 2.186 29.69 11.52 0.0637 1.130 1.019 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 285 Tabla A-7 DIMENSIONES DE TUBERIAS DE ACERO Tamaño nominal de tubería, pulg DE, pulg Número de cédula Espesor de la pared, pulg DI, pulg Area de la sección del metal, pulg 2 Area de la sección transversal interior, pie 2 1/8 0.405 40 0.068 0.269 0.072 0.00040 80 0.095 0.215 0.093 0.00025 1/4 0.540 40 0.088 0.364 0.125 0.00072 80 0.119 0.302 0.157 0.00050 3/8 0.675 40 0.091 0.493 0.167 0.00133 80 0.126 0.423 0.217 0.00098 1/2 0.840 40 0.109 0.622 0.250 0.00211 80 0.147 0.546 0.320 0.00163 3/4 1.050 40 0.113 0.824 0.333 0.00371 80 0.154 0.742 0.433 0.00300 1 1.315 40 0.133 1.049 0.494 0.00600 80 0.179 0.957 0.639 0.00499 1 1/2 1.900 40 0.145 1.610 0.799 0.01414 80 0.200 1.500 1.068 0.01225 160 0.281 1.338 1.429 0.00976 2 2.375 40 0.154 2.067 1.075 0.02330 80 0.218 1.939 1.477 0.02050 3 3.500 40 0.216 3.068 2.228 0.05130 80 0.300 2.900 3.016 0.04587 4 4.500 40 0.237 4.026 3.173 0.08840 80 0.337 3.826 4.407 0.7986 5 5.563 40 0.258 5.047 4.304 0.1390 80 0.375 4.813 6.122 0.1263 120 0.500 4.563 7.953 0.1136 160 0.625 4.313 9.696 0.1015 6 6.625 40 0.280 6.065 5.584 0.2006 80 0.432 5.761 8.405 0.1810 10 10.75 40 0.365 10.020 11.90 0.5475 80 0.500 9.750 16.10 0.5185 TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 286 Tabla A-8 EMISIVIDAD TOTAL DE VARIAS SUPERFICIES Superficie T, o F ε Metales y sus óxidos Aluminio: Placa muy pulida, 98.3% pureza 440-1070 0.039-0.057 Lámina comercial 212 0.09 Muy oxidado 299-940 0.20-0.31 Cubiertas de aluminio 100 0.216 Latón: 73.2% Cu, 26.7% Zn 476-674 0.028-0.031 62.4% Cu, 36.8% Zn, 0.4% Pb, 0.3% Al 494-710 0.033-0.037 82.9% Cu, 17.0% Zn 530 0.030 Muy laminado, pulido, pero dirección de pulido visible 70 0.038 Placa mate 120-660 0.22 Cromo pulido 100-2000 0.08-0.36 Cobre: Pulido 242 0.023 212 0.052 Placa calentada mucho tiempo, con capa gruesa de óxido 77 0.78 Oro, puro, muy pulido 440-1160 0.018-0.035 Hierro y acero (sin incluir inoxidable): Acero pulido 212 0.066 Hierro pulido 800-1880 0.14-0.38 Fundición, recientemente torneado 72 0.44 torneado y calentado 1620-1810 0.60-0.70 Acero dulce 450-1950 0.20-0.32 Superficies oxidadas: Placa de hierro bañada en ácido, luego con herrumbre roja 68 0.61 Hierro, superficie gris oscura 212 0.31 Lingote rugoso de hierro 1700-2040 0.87-0.95 Lámina de acero con fuerte y áspera capa de óxido 75 0.80 Plomo: Sin oxidar, 99.9% pureza 240-440 0.057-0.075 Oxidado gris 75 0.28 Oxidado a 149 º C (300 º F) 390 0.63 Magnesio, óxido de magnesio 530-1520 0.55-0.20 Molibdeno: Filamento 1340-4700 0.096-0.202 En bloque pulido 212 0.071 Monel metal, oxidado a 599 º C (1110 º F) 390-1110 0.41-0.46 Níquel: Pulido 212 0.072 Oxido de níquel 1200-2290 0.59-0.86 Níquel, aleaciones: Cobre níquel pulido 212 0.059 Nicrom, hilo, brillante 120-1830 0.65-0.79 Nicrom, hilo, oxidado 120-930 0.95-0.98 Platino, placa pulida, puro 440-1160 0.054-0.104 TABLAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 287 Superficie T, o F ε Plata: Pulida pura 440-1160 0.020-0.032 Pulida 100-200 0.022-0.031 Aceros inoxidables: Pulidos 212 0.074 Tipo 301:B 450-1725 0.54-0.63 Estaño, hierro estañado brillante 76 0.043-0.064 Woframio, filamento 6000 0.39 Cinc, lámina de hierro galvanizada, bastante brillante 82 0.23 Refractarios, materiales de construcción, pinturas y miscelánea Alúmina(85-99.5%, Al 2 O 3 , 0-12% SiO 2 , 0-1% Ge 2 O 3 ): efecto tamaño medio grano (μm) 10 μm 0.30-0.18 50 μm 0.39-0.28 100 μm 0.50-0.40 Asbesto, plancha 74 0.96 Ladrillo: Rojo, basto pero sin grandes irregularidades 70 0.93 Refractario 1832 0.75 Carbono: T-carbono (Gebrüder Siemens) 0.9% cenizas, comienza con emisividad 0.72 a 127 º C pero al calentar cambia a los valores dados 260-1160 0.81-0.79 Filamento 1900-2560 0.526 Placa rugosa 212-608 0.77 Negro de humo, depósito rugoso 212-932 0.84-0.78 Baldosas de hormigón 1832 0.63 Esmalte, fundido blanco, sobre hierro 66 0.90 Vidrio: Liso 72 0.94 Pyrex, plomo y sodio 500-1000 0.95-0.85 Pinturas, lacas barnices: Barniz esmalte blanco nieve sobre placa rugosa de hierro 73 0.906 Laca negra brillante, pulverizada sobre hierro 76 0.875 Laca negra brillante sobre lámina de hierro estañado 70 0.821 Laca negra mate 170-295 0.91 Laca blanca o negra 100-200 0.80-0.95 Laca negra lisa 100-200 0.96-0.98 Pinturas y lacas de aluminio: 10% Al, 22% laca, sobre superficie lisa o rugosa 212 0.52 Otras pinturas Al, con distinta antigüedad y contenido de Al 212 0.27-0.67 Porcelana, vidriada 72 0.92 Cuarzo, rugoso, fundido 70 0.93 Cartón para tejados 69 0.91 Caucho, duro, placa brillante 74 0.94 Agua 32-212 0.95-0.963 BIBLIOGRAFIA GOODING, N. Transferencia de calor – Guía de Clase. 2001. HOLMAN, J .P. : Transferencia de Calor, Mc Graw Hill. 1998 INCROPERA F.P. – DeWITT D.P. : Fundamentos de transferencia de calor, Pearson Prentice Hall, 1999 KARLEKAR, B.V. and DESMOND , R.M. : Transferencia de calor, Interamericana S.A. 1985. KRERTH, F. : Priciples of Heat Transfer, Harper Int. Ed 4ª1986. MANRIQUE J .A.: Transferencia de calor, Ed. Harla México 1981. McADAMS, W.H.: Heat Transmission, McGraw Hill 3ªEd. 1953 OZISIK, N.M.: Transferencia de Calor, McGraw Hill Lat. S.A. 1985 PITTS, D.R. and SISSOM, L.E.: Transferencia de Calor, McGraw Hill 1980 WELTY, J .R.: Transferencia de calor aplicada a la ingeniería, J ohn Wiley & Sons. Ed. Limusa 1981