Traduccion Timoshenko

HISTORIA DE RESISTENCIA DE MATERIALESHISTORIA DE RESISTENCIA DE MATERIALES Copyright © 1953, por el Me Graw-Hill Boolc Company, Inc. Printod en los Estados Unidos de América. Todos los derechos reservados. Este libro, en parte o en su totalidad, no puede ser reproducida en cualquier forma sin el permiso de los editores. Biblioteca del Congreso fíataloy Número de la tarjeta: 52-10341 LA abastecedora.E PULSE EMPRESA, YORK, PA. Proface Este libro se ha escrito sobre la base de conferencias sobre la historia de la fuerza de los materiales que me han dado durante los últimos veinticinco años para los estudiantes en ingenieria aheady mechamos que tuvo conocimiento de la fuerza de matei'ial y teoría de estructuras. Durante la preparación del libro para su publicación, un volumen considerable de material se ha añadido al contenido inicial de las conferencias, pero en general, el carácter del curso se mantuvo sin cambios. Al escribir el libro, yo tenía en mente sobre todo aquellos de la stu 4 " Padrino Encyklopadie der Wissenschaften", editado por F. Klein y C. MtiUer. Yo quería en lugar de seguir el ejemplo de Saint-Venant , discretizadas mediante un "Historique Abrégó" * y dar a un círculo más amplio de lectores una revisión histórica de las principales etapas en el desarrollo de nuestra ciencia sin entrar en demasiados detalles. Para hacer esto, he considerado conveniente incluir en la historia breves biografías de los más destacados los trabajadores en este tema, y también para discutir la relación de los progresos realizados en la dotación de material para el estado de la enseñanza de la ingeniería y en el desarrollo industrial de varios países. No hay duda, por ejemplo, que el desarrollo IU de progreso material no puede ser satisfactoriamente discutido sin considerar el desarrollo de las ciencias colindantes como la teoría de la elasticidad y la teoría de las estructuras. Existe una interrelación cióse en el desarrollo de las ciencias, y que era necesario incluir parte de su historia en el libro. Para ello he tomado * La introducción histórica que Saint-Venant , discretizadas mediante un añadido a su edición de libro de Navier . Matemático e: "Currículum des Legons." Vi Prefacio De la historia de la teoría de la elasticidad sólo aquellas partes¿½ relacionadas con el desarrollo de la fuerza de los materiales y omite todo el material relacionado con la matemática teórica y progreso de la ciencia . De la misma manera, en relación con el desarrollo de la teoría de las estructuras, las porciones de interés técnico no se incluye en este libro. En el momento de escribir este texto, he intentado usuarios el orden cronológico de presentación y divide la historia de la materia en varios períodos. Para cada uno de esos períodos he diseussed el progreso alcanzado en la dotación de mate En la elaboración del libro, las publicaciones existentes sobre la historia de las ciencias era muy servicial. Además de los libros ya los hombres- bles que he tenido en mis manos la tercera edición del libro de Navier . Matemático e, "Currículum des Lcyons . . . Editado por Saint-Venant , discretizadas mediante un y que contiene su "Su- torique , Abregès . . . " y sus numerosas notas ivhich son ahora de gi'comer interés histórico. También he consultado la traducción de Saint-Venant , discretizadas mediante un libro de Clebsch, de la elasticidad, que contiene en sí la historia de elasticidad en sus períodos anteriores. Entre las biografías ME encontró los siguientes muy útil: "Histoire des Sciences Mathématiques et de músiques" de M. Marie, "Geschichte der Mechanik El", por M. Rühlmann, varias biografías en inglés, y las colecciones de "Éloges Academiques" por Fran^ois Arago y Joseph Bertrand. Para el examen de las nuevas publicaciones es necesario pasar por muchas revistas especializadas en diversas lenguas. Esto tuvo una considerable cantidad de tiempo, pero el autor se sentirá totalmente recompensado si su trabajo se ahorrará algo de mano de obra para otros worlcers en la historia de resistencia de materiales. I Estoy agradecido a mis colegas en la Universidad de Stanford y el Profesor Alfred S. Niles, por sus comentarios sobre las partes del manuscrito que trata con la historia de los inicios de racimos y el Maxwell-Mohr método de analizar vigas estáticamente indeterminadas; y al Profesor Donovan H. Los jóvenes que dieron mucho asesoramiento constructivo en el momento de la preparación del manu- script. Yo también le estoy muy agradecido al Dr. R. E. D. Obispo para su lectura de todo el manuscrito y sus numerosas observaciones importantes, y a nuestro estudiante es diplomado, James Gere, quien verificó las pruebas. Stephen P. Timoshenko Stanford, California. 1952 Diciembre Contenido Proface ................................................................................................................ V Introducción .......................................................................................... 1 I. LA FUERZA MATERIAL ANTES MENCIONADA EN EL SIGLO XVII 1. Galileo ........................................................................................... 7 2. Trabajo de Galileo en la fuerza de los materiales ........................ 11 3. Organización de las academias nacionales de; ciencia . . 15 4. Robert Hooke ......................................................................................... 17 5. Mariotte ................................................................................................. 21 II. LAS CURVAS ELÁSTICAS 6. Los matemáticos Bernoulli .................................................................... 25 7. Euler ...................................................................................................... 28 8. Contribución de Euler a la fuerza de los materiales. ... 30 9. Lagrange........................................................................................ 37 III. RESISTENCIA DE MATERIALES EN EL SIGLO XVIII 10. Ingeniería applieat.iones de resistencia de los materiales . . 41 11. Parents ................................................................................................. 43 12. Coulomb ............................................................................................... 47 13. Estudio experimental de las propiedades mecánicas del structural materials in the eighteenth c e n t u r y . . . 54 14. Teoría de los muros de contención en el siglo xviii. . (50 15. Teoría de arcos en el siglo xviii . . . 62 IV. RESISTENCIA DE MATERIALES ENTRE 1800 Y 1833 16. L'Ecole Polytechnique.......................................................................... 67 17. Navier . Matemático e ......................................................................... 70 18. Libro de Navier . Matemático e intensidad de los materiales ............ 73 19. El trabajo experimental de ingenieros franceses entre 1800 Y 1833 ............................................................................. 80 20. Las teorías de suspensión avches y tender puentes entre 1800 Y 1833 ............................................................................. 83 21. Poncelet ............................................................................................... 87 22. Los jóvenes Thornas ............................................................................ 90 VII I La teoría de las placas. 119 Viii Conlenis 23. Strength of materials in England betwcen 1800 and 1833 98 24. Otros notables Euvopean contributíons a fuerza de Materiales .....................................................................................................100 V. EL COMIENZO DE LA MATHKMATICAL TEORÍA DEL ET, COMO: TICITY 25. Las ecuaciones de equilibrio en la teoría de elastieity. . 104. 26. Cauchy ..............................................................................................................107 27. Poisson ..............................................................................................................111 28. G. Lamé y B. P. E. Clapeyron ............................................................................114 VI. RESISTENCIA DE MATERIALES ENTRE 1833 Y 1867 30. Fairbairn y Ilodgkinson .....................................................................................123 31. El crecimiento de Germán eugitieering sehools . . . . 129 32. DE Saint-Venant , discretizadas mediante un contributíons la teoría de flexión De las vigas ...................................................................................................135 33. Análisis de la Jourawski destaca de la esquila de las vigas . . 141 34. Vigas continuas .................................................................................................144 35. Bresse ................................................................................................................146 36. E. Winkler .........................................................................................................152 VII. RESISTENCIA DE MATERIALES EN LA EVOLUCIÓN DE LOS FERROCARRILES 37. Puentes tubulares ..............................................................................................156 38. Principios sobre la fatiga de investígations metáis ............................................162 39. La labor de Wohler ............................................................................................167 40. Movimiento de cargas ........................................................................................173 41. Impacto .............................................................................................................178 42. Las primeras etapas de la teoría de vigas ..........................................................181 43. K. Culmann .......................................................................................................190 44. W. J. Macquorn Rankine ...................................................................................197 45. J. C. Maxwell contributíons a la teoría de estructuras 202 46. Problemas de estabilidad elástica. Columna fórmulas. 208 47. Teoría de los muros de contención y arcos entre 1833 y 1867 ...................................................................................................... 210 VIH. LA MATHEMATICAI * TEORÍA DE LA ELASTICIDAD ENTRE 1833 Y 1867 48. El físico elastieity y "la constante elástica- Redonda" .......................................................................................................216 49. Primeros trabajos en elastieity en la Universidad de Cambridge . . 222 50. Stokes ................................................................................................................225 50A. Barré de Saint-Venant , discretizadas mediante un ...........................................229 Contenls Ix 51. La semi-método inverso ..................................................................................... 233 52. Las obras posteriores de Saint-Venant , discretizadas mediante un .................. 238 53. Duhamel y Phillips ........................................................................................... 242 54. Franz Neumann ................................................................................................ 246 55. G. R. Kirchhoff .................................................................................................. 252 56. A. Clebsch, ........................................................................................................ 255 57. Lord Kelvin ....................................................................................................... 260 58. James Maxwell Clei'k ........................................................................................ 268 IX. FUERZA OP MATERIALES EN PERÍODO 1867 1900 THB 59. Laboratorios de Ensayos Mecánicos .................................................................. 276 60. El trabajo de O. Mohr ........................................................................................ 283 61. Energía de deformación y teorema de Castigliano ............................................. 288 62. Problemas de estabilidad elástica ...................................................................... 293 63. Agosto Fóppl ..................................................................................................... 299 X. TEORÍA OFSTRUCTURES EN EL PERIODO 1867-1900 64. Racimos Statieally determínate......................................................................... 304 65. Deflexión de vigas ............................................................................................. 311 66. Racimos Statieally indeterminado ..................................................................... 316 67. Arcos y muros de retención ................................................................................ 323 XI. TEORÍA DE LA ELASTICIDAD ENTRE 1867 Y 1900 68. El trabajo de los alumnos de Saint-Venant , discretizadas mediante un ............ 328 69. Lord Rayleigh .................................................................................................... 334 70. Tlieory de elasticidad en Inglaterra entre 1867 y 1900 339 71. Teoría de la elasticidad, en Germán y entre 1867 y 1900344 71A. Las soluciones de dos dimensiones de problemas entre 1867 Y 1900 .................................................................................................. 350 XII. LOS AVANCES EN LA DOTACIÓN DE MATERIALES DURANTE EL VIGÉSIMO PERÍODO SIGLO 72. Propiedades de los materiales dentro del límite elástico. . . 355 73. Fractura de materiales quebradizos .................................................................. 358 74. Ensayo de materiales dúctiles ........................................................................... 362 75. Fuerza teorías ................................................................................................... 368 76. Arrastre de metáis a elevadas temperaturas .................................... 372 77. Fatiga de metáis ................................................................................................ 377 78. Análisis Experimental de la tensión .................................................................. 383 XIII. TEORÍA DE LA ELASTICIDAD DURANTE EL PERÍODO 1900-1950 79. Félix Klein ........................................................................................................ 389 80. Ludwig Prandtl ................................................................................................. 392 81. Métodos aproximados de solución problemas elasticidad . 397 I X Conlenls 82. Tres de los problemas de elasticidad tridimensional ......................... 401 83. Dos de los problemas de elasticidad tridimensional .......................... 405 84. Flexión de placas y los depósitos ........................................................ 408 85. Estabilidad elástica ............................................................................ 412 86. Las vibraciones y el impacto ............................................................... 417 XIV. TEORÍA DE LAS ESTRUCTURAS DURANTE EL PERÍODO 1900-1950 87. Nuevos métodos de solución sistemas estáticamente indeterminadas422 88. Suspensión Arcos y puentes ............................................................... 426 89. Destaca en las pistas raihvay ............................................................. 430 90. Teoría del buque estructuras .............................................................. 434 Ñame Index ........................................................................................ 441 Subject Index ...................................................................................... 449 Introducción Desde los primeros tiempos cuando comenzó a huiltlj definicibn se encontró nece- sarios para hayo Información sobre la fuerza estructural de matcrials que safo reglas para determinar las dimensiones de los miembros drawp. Sin duda los egipcios tenían algunas reglas empíricas antes mencionada este tipo, ya que sin ellos habría sido imposible de levantar sus grandes monumentos, templos, pirámides y obeliscos, algunos de los cuales todavía existen. Los griegos más avanzados del arte de construir. I, desarrollado statics, que subyace en la mecánica de los materiales". Arquímedes (287 212 A.C. ) dio una rigurosa prueba de las condiciones de equilibrio de una palanca y a revestidos de métodos para determinar centros de gravedad de los cuerpos. mentira utiliza su teoría en la construcción de los distintos dispositivos elevadores. Los métodos utilizados por los griegos en el transporte de los coíumns architravos y del templo de Diana de los Efesios se muestran en las Figs. 1 A 3. Los romanos fueron grandes constructores. No sólo de algunos de sus monumentos y templos, pero también en carreteras, puentes, y fortificaciones. Algo sabemos de sus métodos de construcción del libro de Vitruvius,1 un famoso Román arquitecto e ingeniero de la época del emperador Augusto. En este libro, su matcrials estructurales y tipos de construcción. La Figura 4 muestra un tipo de grúa utilizada por los romanos para levantar piedras pesadas. Los Romanos a menudo se utilizan arcos en sus edificios. La Figura 5 muestra los arcos en el famoso Pont du Gard, un puente que está al servicio de este día, en el sur de Francia. Una comparación2 del ges- arcos de Román politemáticas los de la época actual indica que hoy en día es mucho más ligero. Los romanos no habían las ventajas proporcionadas por análisis de estrés. No sé cómo seleccionar la forma adecuada y generalmente tenían arcos de medio punto de compara- tivamente reducida. La mayor parte de los conocimientos que los griegos y los romanos acumulado en el camino de la ingeniería estructural se perdió durante la Edad Media y sólo desde la llenaissance ha sido recuperado. Así, por ejemplo, cuando el famoso arquitecto italiano Fontana (1543-1607) levantaron el Vaticano obelisco a la orden del Papa Sixto V, (Fig. 6), en este trabajo ha atraído una gran atención en X ffiitruvms, " Architecturc", fFrcnch traducción por De Bioul, Bruselas, 1816 . X ¡ ¡Me siicíi Para comparación, seo Alfrcd Leger, "Les Travaux Publica aux temps des Romains", pág. 135, París, 1875. 1 2 Hislory de Slrength de materiales Los ingenieros europeos. Pero sabemos que los Egipcios hacl planteadas sevei'al, obeliscos miles de años antes, tras el corte de la piedra de Syene y transporta en el Nilo. De hecho, los romanos habían llevado sorae de los obeliscos egipcios de sus sitios de origen y erigió en Roma; por lo que parece que los ingenieros de la seis- Fios. 1 A 4. Abajo, los metliods Grceks eolumns de transporte. Arriba, el tipo de grúa utilizada por los Romanos. Buenas prácticas siglo no eran tan bien equipado para tareas difíciles como sus predecesores. Durante el Renacimiento se produjo un resurgimiento del interés en la ciencia y el arte, los líderes en el campo de la arquitectura y la ingeniería. Leonardo da Vinci (1452-1519) fue una de las más outstandiug hombre de ese período. no era sólo el principal artista de su tiempo, sino también un gran científico e ingeniero. No escribir libros, pero gran parte de la información I Ntroduclion 3 Fue encontrado en sus cuadernos1 con respecto a su grandes descubrimientos en diversas ramas de la ciencia. Leonardo da Vinci tiene gran interés en mecánica y en una de sus notas se afirma: " mecánica es el paraíso de la ciencia matemática porque aquí es donde entramos en los frutos de las matemáticas." Leonardo da Vinci utiliza el método de los momentos para obtener la correcta Solucion8b, que se aplica el concepto de la divisi� de desplazamientos virtuales para analizar los diversos sistemas de poleas y palancas como se usan en dispositivos elevadores. Parece que FIG. 5. La fanious Pont du Gard. Leonardo da Vinci tenía un concepto correcto de la orientación producida por un arco. En uno de sus manuscritos hay un boceto (Fig. 9) De dos de sus miembros en el que una carga vertical Q está actuando y la pregunta es: ¿Qué se requiere en a y en b de equilibrio? En la línea de puntos- allelogram, en el esquema, se puede concluir que Leonardo da Vinci tenía la respuesta correcta en este caso. Leonardo da Vinci estudió la resistencia de los materiales estructurales- mulario imentally. En su nota "Probar la fuerza de cables de hierro antes mencionada diversas longitudes " da el dibujo se muestra en la Fig. 10, Y hace que el siguiente comentario: "El objeto de esta prueba es buscar la carga un cable de hierro puede llevar. Conecte un cable de hierro 2 braocia largo a algo que apoyará firmemente 1Una bibliografía de Leonardo da Vinci de trabajo se da en la Enciclopedia Britain de telefónica. También una selección de pasajes de los manuscritos se encuentran en la boolc por Edward McCuvdy, "Leonardo da Vinci la nota de los libros." Ver también el libro de W. B. Parsons, "Los ingenieros e Ingeniería en la. llenaissance", 1939. Lutter libro de la Fig. 10 Y las cotizaciones dadas en este artículo. F i u . 6 . L a e r e c c i ó n d e l V a t i c a n o o b e l i s c o . Introduclion 5 , Thcn fije una cesta de la compra. o de cualquier contenedor similar al cable y se alimentan La cesta algunos arena fina a través de un pequeño orificio situado en el extremo de un La tolva. Un muelle se fija de manera que se basaraen cióse el orificio tan pronto como el cable Se rompe. La cesta no está molesto Mientras que la disminución, puesto que entra a través de un Distancia muy corta. El peso de Arena y la ubicación de la fractura Del cable se registran. El Se repite la prueba varias veces para Verificar la resulte. A continuación, un hilo de A la mitad del tiempo se han probado Y el peso adicional que lleva Está grabado y, a continuación, un cable de un cuarto Longitud es probado y así sucesivamente, observando Cada vez que el ultímate fuerza y La ubicación de la fractura. "1 Leonardo da Vinci también consideró La fuerza de las vigas y declaró un Principio general de la siguiente manera: "En , , • FIG. 7. Leonardo da Vmci. Cada uno de los artículos que es compatible, pero es Libre para doblar, y es de sección transversal uniforme y material, en la parte que está más lejos de los soportes se doblará la más." Se recomienda que una serie de pruebas, a partir de un haz de luz que puede llevar un peso cuando esté apoyada en ambos extremos, y, a continuación, tomando sucesivamente más Las vigas de la misma profundidad y anchura, y grabar lo que llevar peso. Su conclusión valida es que la fuerza de las vigas apoyadas en ambos extremos las paletas inversamente a la longitud y directamente como la anchura. También hizo algunas investigaciones de las vigas que un extremo fijo y otro libre y dice: "Si un rayo 2 100 soportes largos braccia libbre, haz 1 braecia tiempo apoyo 200. Tantas veces como la longitud más corta es 1 Véase Parsons, "Ingenieros y língineermg en el Renacimiento", pág. 72. 6 Historia de resistencia de materiales FIG. 9. FIG. 10. Ensayo de tracción por cable Leonardo da Vinci. De los materiales estructurales. Sin embargo, estos importantes avances fueron enterrados en las notas de da Vinci y los ingenieros de los siglos xv y xvi, como en el Román era, para fijar las dimensiones estructurales de ele- mentos de confiar solamente en la experiencia y el criterio. Los primeros intentos de encontrar la caja dimensiones de los elementos estructurales analíticamente se hicieron en el siglo xvii. Galileo del famoso libro "Dos nuevas ciencias"1 se muestran los esfuerzos del escritor para poner los métodos aplicables en análisis de estrés en una secuencia lógica. Representa el comienzo de la ciencia de la fuerza de los materiales. 1 Ver inglés Henry Tripulación de translación y Alfonso de Salvio, Nueva York, 1933. Figura en el más largo, de modo que muchas veces más peso que el soporte técnico de ti Ya no es." En cuanto al efecto de la profundidad en la fuerza de un rayo No hay defmite declaración de Leonardo da Vinci. Al parecer Leonardo da Vinci hizo algunas investigaciones de la fuerza De las columnas. Afirma que esta inversamente a medida que varíes sus longitudes, pero Directamente como una proporción determinada de la cruz Las secciones. Estos examinan brevemente lograr- Declaraciones de da Vinci representan sin duda habrá que pensar muy seriamente El primer intento de aplicar statics en Encontrar las fuerzas que actúan en los miembros De las estructuras y también la primera expe- Requisitos para la determinación de la resistencia CAPÍTULO T La fuerza de los materiales en el Siglo xvii 1 1. Galileo ( 1564-1642) Galileo nació en Pisa2 y fue descendiente de una noble florentina Casa. Galileo recibió su primera educación en latín, griego y Logie ¡n el monasterio de Vallom- Brosa, cerca de Florencia. En 1581, el sr. Fue colocado en Universidad de Pisa, donde Fue a estudiar medicina. Pero muy Pronto las conferencias sobre mathematies Comenzó a atraer su atención, y Tiró toda su energía en estudio- El trabajo de Euclides y archi- Medes. Parece ser que, a través Libros de Cardan, 5 él beeame ac- Publi con Leonardo da Vinci Discoveiies en mecánica. En 1585, Galileo tuvo que retirarse del Universidad, debido a la falta de medios, Sin tener el grado y el orador Regresó a su casa en Florencia. Allí, Galileo dio su vez ha realizado una experiencia En mathematies y mecánica y Siguió su propio seientific trabajo. En 1586, hizo una hidrostática Balanza para medir la densidad de las distintas sustancias y mentira llevada 1 La historia de la mecánica de los materiales durante los siglos xvii y xviii se explica en el prefacio de su libro "Traité Analytique de la résietan.ee des solides" por P. S. Girard, París, 1798. 2 Véase J. J. Fahie, "Galileo, su vida y su obra", Nueva York, 1903. Véase también la novela "El quien fallecería al año siguiente de Zsolt de Harsanyi, traducción de P. Englisli Tabor, Nueva York, 1939. 3 Véase P. Duhem, "Les Origines de la Enrutamiento", pág. 39, París, 1905. Cardano (1501 1576) analiza mecánica en algunos de sus matheinatical publicaciones. Su pre- sentación de esta ciencia es muy similar a la de Leonardo da Vinci, y se suele suponer que Cardano había acceso a los manuscritos de este último y los portátiles. •• 7 8 Ilislory de Slrength de materiales Las investigaciones de los centros de gravedad en cuerpos sólidos. Este trabajo le ha dado conocer, y en el medio de 1589 se le dio la cátedra matemática- ematical en Pisa cuando tenía veinte y cinco años y medio oíd. Durante su tiempo en Pisa (1589-1592), Galileo continuó su trabajo en el campo de las matemáticas y de la mecánica y su célebre experimentos en cuerpos que caían. Sobre la base de estos experimentos el tratado "De Motu Gravium", que se elaboró en el año 1590, y representa el principio de la dinámica que hoy lo conocemos. Las principales conclusiones de este wol k fueron: (1) al] órganos corresponden a la misma altura en tiempos iguales; (2) en su caída, la velocidad final son proporcionales a los tiempos; (3) el spaees caído en son proporcionales a los cuadrados de los tiempos. Estas conclusiones fueron en total disagreoment con los de mecánica aristotélica, pero Galileo no vacila en utilizar en su disputa con los representantes de la escuela aristotélica. Esto produjo sentimientos de animosidad contra el joven Galileo y íinally tuvo que dejar Pisa y regreso a Florencia. En este momento difícil algunos de sus amigos le ayudaron a obtener el profe 1 se hizo en ese momento: "Debido a la muerte del Signor Moletti, quien anteriormente ha dictado conferencias sobre matemáticas El 7 de Diciembre, 1592, Galileo embarcado en sus nuevas funciones con un dis- curso "que ha ganado la mayor admiración, no sólo por sus profundos conocimientos, sino por su elocuencia y elegancia en la dicción " Durante sus primeros años en Padua, Galileo fue extraordinariamente activo. Sus conferencias llego a ser tan conocido que los estudiantes de otros países europeos carne a Padua. Una sala capaz de contener 2.000 estudiantes tuvieron que ser utilizados posteriormente para estas conferencias. En 1594 el famoso "tratado de mecánica ( "della Scienza Meccanica") fue escrita. En este tratado diversos pro- blemas de statics fueron tratados mediante el principio pedagógico de desplazar- virtual. El tratado logró una amplia difusión en la forma de manu- script copias. Al mismo tiempo, en relación con algunos problemas en el sector de la construcción naval, Galileo se interesó también en la fuerza de su compañero 1 Ver el libro de J. J. Fahie, p. 35, La Strenglh de materiales en el siglo SeveiUeenlh 9 1597, El orador stafces: "hace muchos años me convertí en un convertir a la opinión de Copérnico, y con esta teoría ha tenido éxito a la hora de explicar muchos com- prender que, por el contrario son hipótesis totalmente inexplicable." los rumores de la invención del telescopio llegó a Padua en 1609, y, en la fuerza de escasa información, Galileo ha logrado construir uno por su cuenta con un poder de aumento de 32. Con este instrumento, hizo La Fia. 12. La sala de estar ¡n de Galileo en villa Arcerti. Una serie de importantes descubrimientos astronómicos. El demostró que la Vía Láctea está formada por menor estrellas, describe el carácter montañoso de la luna, y en 1610 Enero, vio satélites de Júpiter por primera vez. Este último descubrimiento afinnó effeet un gran sobre el ulterior desarrollo de la astronomía, para el movimiento de este sistema se transformó en un poderoso argumento a favor de la teoría Copernicana. Todos estos descubrimientos Galileo famosos. Fue nombrado "filósofo y martya origi- extraordinarias " al gran duque de Toscana y en septiembre, 10 Hislory de resistencia de materiales 1610, Abandonó Padua de Florencia. En su nueva posición Galileo no tenía otras tareas que continué con su trabajo científico y la puso toda su energía ¡npara la astronomía. Él descubrió la forma peculiar de Saturno, observó las fases de Venus, y se describen las manchas en el sol. Todos estos descubrimientos brillantes y entusiastas de Galileo por escrito a favor de la teoría Copernicana atrajo la atención de la Iglesia. El D I S C O R S I DIMOSTRAZIONI M A T E M A T I C H E , Intorno a debido tihohc/cíenle Attenenti otras cosas MECANI CE & i MOVI MENT I L OCAL I . Del Signor G A L I L E O G A L I L E I L I N C E O , C Matcmacico Filofofo primario del Sercniífimo Gran Duca di Tofcana. COK vna Appendtccdel centro digrauiti d'alcvniSolidi. EN L É R I D A Gli Elíévirii Apprcflo. M. d. c . Xixvm. Fio. 13. El título de la página del libro de GaHleo, "Dos nuevas ciencias". Discrepancia entre la nueva vista de el sistema planetario y que de las Escrituras fue llevado ante la Inquisición y, en 1615, Galileo í'acogidos semioficial de advertencia para evitar teología y limita a physieal razonamiento. En 1616, la gran obra de Copérnico fue- deraned por la Iglesia, y, durante los siete años siguientes, Galileo dejó de publicar su polémico trabajo en el campo de la astronomã a. En 1623, Maffeo Barberini, un amigo y admirador de Galileo, fue elegido para el trono pontificio, y Galileo, a la espera de un tratamiento más favorable de su astro- La Slrenglh de materiales en el siglo Sevenleenlh 11 Para las publicaciones, comenzó a escribir su famoso libro dedicado a la Dos formas de ver el universo, y que apareció en la prensa en 1632. Desde que el libro sin duda es partidario de la teoría Copernicana, su venta fue pro- Congreso fue prohibido por la Iglesia y Galileo fue llamado a Roma por la Inquisición. Allí fue condenado y tenían que leer su retractación. Af ter su regreso A Florencia, tuvo que vivir en su casa en Arcerti en estricto aislamiento, que Lo hizo durante los ocho años restantes de su vida. Fue entonces que él Escribió su famoso libro "Dos nuevas ciencias", 1 en la que se repasaban Los resultados de la labor de todos sus trabajos anteriores en los diversos campos de la mecánica. El Libro fue impreso por el Elzevirs en Leiden en 1638 (Fig. 13). Una parte Del libro "tratamiento de las propiedades mecánicas de los materiales estructurales Y con la fuerza de las vigas, constituye la primera publicación en el Campo de fuerza de los materiales, y a partir de esa fecha la historia de la mecánica Elástico de órganos comienza. 2. Trabajo de Galileo en la fuerza de los materiales Todo trabajo de Galileo sobre la mecánica de los materiales se incluye en la primera Dos diálogos de su libro "Dos nuevas ciencias." mentira comienza con varios Las observaciones realizadas durante sus visitas a Venecia Arsenal y analiza geométricamente estructuras similares. El autor afirma que si hacemos las estructuras geométricamente Similar, thén, con el aumento de las dimensiones, Se debilitan. En la ilustración se afirma: "Un pequeño obelisco o columna u otra figura sólida puede Sin duda alguna se establecerán o configurar sin peligro de Romper, mientras que muy grandes, vaya a pedazos bajo La más mínima provocación, y que únicamente en cuenta De su propio peso." Para probar esta afirmación, que comienza con un Examen de la fuerza de los materiales en simple Aciagos (Fig. 14) Y los estados que la fuerza de un bar Es proporcional a su área de sección transversal y es inde- Colgante de su longitud. La fortaleza de la barra Galileo calis la "absoluta resistencia a la fractura" Y él le da algunas cifras relativas a la última Fuerza de cobre. Tener la absoluta resistencia En un bar, Galileo investiga la resistencia a la fractura De la misma barra si se utiliza como un brazo con el Carga en el extremo (Fig. 15). Afirma: "Es evidente que, si el cilindro Bréales, fractura se produce en el punto B, donde el borde de la balseta Actúa como un punto de apoyo para la palanca BC, a la que se aplica la forcé; el espesor Fio. 14. Ilustración de Galileo de diez- sile prueba. 12 Historia de resistencia de materiales La resistencia. Esta resistencia se opone a la sep&ración de parte BD, situadas fuera de los muros, de la parte situada dentro. De la discusiones permi- ing, de ello se deduce que la magnitud de la forcé a C lleva a la magnitud de la resistencia, que se encuentra en el espesor del prisma, es decir, en la fijación de la base BA a sus partes contiguas, el mismo porcentaje Fio. 15. Ilustración de Galileo de ensayo de flexión. FIG. 16. La mitad de longitud que BA tiene la longitud BC. 'n vemos que Galileo se supone que cuando esto ocurre la "resistencia" es uniformemente repartido, en la sección transversal BA ( Fig. 166). Suponiendo que el bar tiene una sección transversal rectangular y que el material sigue la ley de Hooke de fractura, podemos obtener la distribución de la tensión se muestra en la Fig. 16C. La resistencia al par correspondiente a esta distribución de la tensión sólo es igual a un tercio del momento asumida por Galileo. Por lo tanto, para este tipo de material 1 Ver "Dos nuevas ciencias", traducción al inglés, p. 115. F S/ ,s La fuerza de los materiales en el siglo Sevenleenlh 13 Galileo la teoría givcs valué un tres veces más grande que la carga de rotura para la carga en C. Real no siga materiales ley de Hooke hasta que fallen, y la distribución de la tensión de rotura es diferente de la que se muestra en la Fig. 16C de manera tal que ha decrecido la discrepancia entre la predicción de la teoría de Galileo y la verdadera valué de la carga de rotura. Sobre la base de su teoría Galileo dibuja varias conclusiones importantes. Considerando una viga rectangular, por lo que se presenta la pregunta: " ¿Cómo y en qué proporción no una varilla, o más bien un prisma cuya anchura es mayor que su espesor y ofrecen más resistencia a la fractura cuando la forcé es aplicada en la dirección de su amplitud no en el sentido de su grosor." Mediante su asunción (Fig. 16B), se le da la respuesta correcta: "Cualquier regla o prisma, cuya anchura supera el grosor, ofrecerá una mayor resistencia a la fractura cuando se pone de pie en el borde de cuando la persona está acostada fiat, y esta en la relación de la anchura de la espesor. "1 Continuación del debate sobre el brazo de carretera problema y manteniendo un constante sección transversal, Galileo concluye que el momento de flexión, debido a que el peso de la viga, aumenta a medida que el cuadrado de la longitud. Mantener la longitud de un cilindro circular constante y variando su radio, Galileo llega a la conclusión de que la resistencia al momento aumenta a medida que el cubo del radio. Este resultado se deriva del hecho de que el "absoluto" de resistencia es proporcional a la superficie de la sección transversal del cilindro y que el brazo de resistencia par es igual al radio del cilindro. Teniendo en cuenta las vigas en voladizo geométricamente similar bajo la acción de su peso Galileo concluye que, si bien el momento de flexión en la incorporada aumenta a medida que la cuarta potencia de la longitud, la resistencia es proporcional al cubo de las dimensiones lineales. Este indi- cates que geométricamente las vigas similares no son igual de fuerte. Las vigas se vuelven más débiles con aumento de las dimensiones y, por último, cuando son grandes, pueden fallar en la acción de su peso. También observa que, a fin de ajustar la fuerza constante, la dimensión transversal Con estas consideraciones en mente, Galileo malees la siguiente importante 1 Ver "Dos nuevas ciencias", Englisli traducción, p. 118. 14 Historia de Sirenglh de materiales Altura; por este aumento de altura sólo se puede lograr mediante el empleo Un material que es más difícil y más fuerte thanusual o ampliando el tamaño De los huesos, por lo tanto, ehanging su forma hasta que la forma y la apariencia de Los animales sugieren una monstruosidad. . . . Si el tamaño de un cuerpo se ha disminuido, la R"-t- * -i fuerza de ese cuerpo no es disminuido En la misma proporción; de hecho, el Más pequeños del cuerpo, el mayor es su relativa Fuerza. Por lo tanto, un perro pequeño podría prdb- Llevar a cabo sus hábilmente baclc dos o tres perros de su propio tamaño, pero creo Que un caballo no puede llevar ni siquiera a uno de su propio tamaño." 1 Galileo también tenían una viga sobre dos soportes (Fig. 17) Y considera que el momento de flexión es mayor por debajo de la carga y es proporcional al producto ab, de modo que para producir fractura con la menor carga esta carga debe ser puesto en la mitad del tramo. Él observa que existe la posibilidad de economizar material, reduciendo el tamaño de la sección transversal de los soportes. Fio". 17. Fio. 18. Galileo ofrece una derivación completa de la forma de un voladizo haz de igual intensidad, la sección de planta rectangular. Considerando en primer lugar haz un prismatical ABCD (Fig. 18A), señala que una parte de el material se puede retirar sin que ello afecte a la fuerza de la viga. se encuentran también muestra que si nos quite la mitad de la material y tomar la viga en la forma de la cuña ABC, la fuerza en cualquier sección transversal EF no será suficiente ya que, mientras que la proporción de la momento de flexión en EF para que de AB se encuentra en la relación entre CE:AC, la resistencia a momentos, proporcional al cuadrado de la profundidad, será en la proporción ( CE)2: (CA)2 en estas secciones transversales. Para que la resistencia al momento varían en la misma proporción que el momento de flexión, debemos tomar la curva parabólica BFC (Fig. 186). Este cumple con el requisito de equalst el deslizado, ya que para una parab- ola hemos (EF)* EC * CA (ABj Por último, Galileo explica la fuerza de vigas huecas y los estados2 que haces "trabajan en el campo del arte y aún más a menudo en la naturaleza en un "Consulte "Dos nuevas ciencias", Inglés translación, p.130. 2 Ver "Dos nuevas ciencias", traducción al inglés, pág. 150. / La Slrength de materiales en el Ihe Siglo Sevenleenth 15 Miles de operaciones con el fin de aumentar de forma considerable fuerza sin añadir peso; algunos ejemplos de estos son vistos en los huesos de las aves y en muchos tipos de cañas que resultan altamente resistente y ligero botli a doblar y romper. Si un vástago de paja, lo que lleva una cabeza de trigo más pesado que el tallo completo se compone de la misma cantidad de mate 3. Organización de las Academias Nacionales de Ciencias Durante el siglo xvii se produjo un rápido desarrollo, y en las matemáticas, la astronomía, y de las ciencias naturales. Muchos aprendieron los hombres se interesan en las ciencias experimentales y en particular worlc recibido mucha atención. Muchas de las universidades estaban controladas por la Iglesia, y puesto que esto no fue favorable para el progreso científico, las sociedades científicas se organizaron en varios países europeos. El objetivo de estas es para acercar a los hombres con intereses científicos y facilítate trabajo experimental. Este movimiento se inicia en Italia, donde, en 1560, la Accademia Secretoram Naturae se organizó en Nápoles. La famosa Accademia dei Lincei fue fundada en Roma en 1603, y Galileo fue uno de sus miembros. Tras la muerte de Galileo, la Accademia del Cimento organizó en Florencia con el apoyo del gran duque Fernando de Medici y su hermano Leopoldo. Los alumnos de Galileo Viviani y Torricelli participó en la labor de la escuela. En el volumen de la academia publicaciones, una cantidad considerable de espacio está dedicado a tales problemas 1 En Inglaterra al mismo tiempo, el interés científico señaló a un grupo de hombres, y siempre que se cumplan las oportunidades adecuadas. El matemático Wallis se describen estos informales las reuniones de la siguiente manera: "En el año 1645, mientras que yo viví en Londres, junto a la conversación de los buzos eminentes de los asuntos divinos theologioal, afinnó la oportunidad de entrar en contacto con los buzos digna las personas, inquisitivo en filosofía natural, y otras partes del aprendizaje humano; y las partes- de lo que ha sido llamado la "Nueva Filosofía" o "Experimental 1 " Saggi di naturali Esperienze", 2a. ed., Flovence, 1691. 16 Hislory de resistencia de materiales Filosofía. "en los acuerdos, los buceadores de nosotros, semanalmente se reúnen en Londres en un determinado día y hora, en la iniciativa "tain pena, y una vez por semana- para el cargo de experimentos, con ciertas reglas acordadas entre nosotros para tratar y el discurso de esos asuntos. . . . Nuestro negocio era (remisión de cuestiones de teología y asuntos de estado) para discurso filosófico y que consideren de Enquiñes y estampan como relacionados con; como Physick, anatomía, geometría, astronomía, Navegación, Staticks, magnéticos, Chymicks, Mechanicks y experimentos naturales; con el estado de estos estudios, como después se cultivan en el país y en el extranjero. A continuación, leída en la circulación de la sangre, las válvulas de las venas, la hipótesis Copernicana, la naturaleza de los cometas y las estrellas nuevas, los satélites de Júpiseveral las fases de Venus y Mercurio , el Improvoment de telescopios, y molienda de gafas para este fin, el peso del Aire, la posibilidad o imposibilidad de muestran vacuidades internas que suponen y aborrecimiento de la Naturaleza, realizó el experimento de Quicksilver, el descenso de los órganos, y los grados de aceleración en ella; y los buceadores otras cosas de la misma naturaleza. Algunos de los cuales fueron, a continuación, pero los nuevos descubrimientos, y otros no tan conocidos en general y sean aceptados como ahora están, con otras cosas pertenecen a lo que ha sido llamado la "Nueva Filosofía" que desde los tiempos de Galileo en Florencia, y Sir Francis Bacon (Lord Verulam) en Inglaterra, ã©l se cultiva mucho en Italia, Francia, Alemania, y otras partes en el exterior, así como con nosotros en Inglaterra. Esas reuniones en Londres . . . Y fueron posteriormente incorporados por el ñame de la Royal Society, etc. , y continué hasta la fecha. "1 La fecha en la que la Primera Carta fue sellada (15 julio, 1662) por lo general, se toma como el de la fundación de la Sociedad Real. En la lista de los invitados a convertirse en miembros de la sociedad se encuentran los ñames de Robert Boyle, físico y químico; Christopher Wren, el arquitecto y matemático, y John Wallis, matemático. Como el curador, cuyo deber sería "a facilitar a la sociedad cada día se reúnen, con tres o cuatro grandes experimentos," Robert Hooke fue nombrado. La Academia de Ciencias de Francia también tuvo su origen en las reuniones oficiosas de los científicos. Padre Mersenne (1588-1648) estableció, y ha promovido hasta la fecha de su fallecimiento, una serie de conferencias, que contaron con la presencia de hombres como Gassendi, Descartes y Pascal. Más tarde su vez ha realizado una de estas reuniones de científicos continuaron en la casa de Habert de Mont- mor. En 1666, Luis XIV ministro Colbert tomó medidas oficiales a organizarse la Academia de Ciencias que se que tendrá como miembros especialistas en diferentes campos de la ciencia. El matemático Roberval, el astrónomo 1 Sir Henry Lyon, "La Real Sociedad 1660-1940," 1944. / La fuerza de los materiales en el Siglo xvii 17 Cassini, el físico danés Rómer (que miden la velocidad de la luz), y el físico Mariotte Freneh aparecen en la primera lista de miembros de la Academy.1 Un poco más tarde (en 1770) el Berlín Academia de Ciencias- ganizado, y en 1725 la Academia de Ciencias de Rusia se inauguró en San Petersburgo. Todas estas academias publicaron sus transacciones y estos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de la ciencia en los siglos xviii y xix. 4. Robert Hooke (1635-1703) * Robert Hooke nació en 1635, hijo de un ministro parisli que vivió en la Isla de Wight. Como el niño que era débil y enferma, pero muy pronto mostró gran interés en hacer juguetes mecánicos y en el dibujo. Cuando tenía trece años oíd, Westminster, entró y vivió en la casa del Dr. Busby, maestro. Allí aprendió Latín, griego y hebreo y algunas se han familiarizado con los elementos de Euclides y con otros temas matemáticos. En el año 1653, Hooke fue enviado a la Iglesia de Cristo, de Oxford, donde fue un corista, y esto le dio una oportunidad de continué su estudio por lo que, en 1662, tomó el grado de Master of Arts en Oxford, carne en contacto con varios científicos y un hábil mecánico, ayudó en su trabajo de investigación. En 1658 trabajó con Boy le y perfeccionada. una bomba de aire. Escribe: "Sobre el mismo tiempo en que la oportunidad de dar a conocer yo con Astron encon- trar por la amabilidad del Dr. Ward, yo me he dirigido a la mejora de la péndulo de esas observaciones y contriv ME gustaría una forma de continué el movimiento del péndulo . . . he realizado algunos triáis para este fin, que me pareció tener éxito a mi deseo. El éxito de estos me ha hecho pensar en mejorar farthcr, para encontrar la longitud y el método que había hecho para mí por las invenciones Mechanick, rápidamente me ha llevado a la utilización de los muelles, en lugar de la gravedad, de la que un cuerpo en la postura víbrate." Esto marca el comienzo de sus experimentos con resortes. En 1662, en la recomendación antes mencionada Robert Boyle, Hooke fue nombrado conservador de los experimentos de la Royal Society y su conocimiento de la mecánica y capacidad inventiva se buen uso de la sociedad. Siempre estaba dispuesto a diseñar aparatos para demónstrate sus propias ideas o para ilustrar y aclarar cualquier aspecto relacionado con los debates de los becarios. 1 J. L. F. Bertrand, "L'Académie des Sciences et les Académiciens de 1666 a 1793, París, 1869. . Ver "La vida y el trabajo de Robert Hooke por R. T. Gunther en "temprana de la ciencia en Oxford", vols.Vl-VIII. Ver también el artículo de E. N. Da C. Andrade, Proc . Roy. Soc. (Londoii" ), vol. 201, pág. 439, 1950. Las cotizaciones dadas en este artículo están tomados de estas fuentes. 18 Historia de resistencia de materiales Entre los años 1663-1664 Robert Ilooke beeame interesados en microscopía y en 1665 su libro "Micrographia", fue actividades.1 Hay que encontrar no sólo información sobre microscopio de Hooke sino también descripción de su fundamental! Nuevos descubrimientos. Ilooke concibió la idea de que "la luz es una muy breve vibrative movimiento transversal de las líneas rectas de propagación." explicó la interferencia los colores de las burbujas de jabón, y el fenómeno de los anillos de Newton. En 1664, Hooke beeame profesor de geometría en el Gresham College, sino que se siguió para presentar sus experiencias, las invenciones y las descripciones de los nuevos instrumentos a las Sociedad y Roya] para leer su Cutlerian Lectures.2 En una reunión de la Royal Society el 3 de mayo de 1666, Hooke dijo: "YO le explicará el sistema del mundo muy diferente a la de cualquier pero concebido y se basa en las tres siguientes posiciones: " I. que todos los cuerpos celestes no solo tienen una gravitación de sus piezas" a su propio centro, pero que también se atraen mutuamente dentro de sus esferas de acción. "II. Que todos los órganos con un simple movimiento, se continué a moverse en línea recta, a menos que continuamente se desvía de forcé por algunos extraños, lo que hace que tengan que describir un círculo, una elipse, o alguna otra curva. "III. Que esta atracción es tanto mayor como los cuerpos están más cerca. En cuanto a la proporción en que disminuyen los forcea con un aumento de la distancia, tengo [dice] que no he descubierto que aunque he hecho algunos experimentos con este fin. Le dejo esto a los demás, que tienen el tiempo y el conocimiento suficiente para la tarea. "3 Podemos ver que Hooke había una imagen clara de la gravitación universal, pero, al parecer, no tenía conocimientos matemáticos para demostrar las leyes de Kepler. Después del Gran Incendio de Londres de 1666 Septiembre, Hooke realizó un modelo que incorpore sus propuestas para la reconstrucción y los magistrados de la ciudad hizo de él un agrimensor. mentira fue muy activa en este trabajo obras de reconstrucción y diseñado varios edificios. En 1678, el documento "De Potentiá restitutiva", o "de la Primavera", se publicó. Contiene los resultados de los experimentos de Hooke con elástico. Este es el íirst documento publicado en el cual las propiedades elásticas de los materiales. En cuanto a los experimentos, él sajrs: "Talce un cable cadena [Fig. 19]4 de 20 , o 30, o 40 pies de largo, y fije la parte superior, a un clavo, y en el otro extremo fije un Soale a recibir los pesos: y, a continuación, con un par de compases talce la distancia de la parte inferior de la escala desde el suelo o piso inferior y establece las dice distancia, 1 Consulte el apartado "temprana de la ciencia en Oxford", vol. XIII. 2 Consulte el apartado "temprana de la ciencia en Oxford", vol.VIII. 3 Véase John Robison, "Elementos de Mecánica Filosofía", p. 284, Edimburgo, 1804. 4 La Figura 19 es tomado de Hooke de papel. / La fuerza de los materiales en el siglo Seventeenlh Fio. 19. Los dispositivos que se usan en experimonts de Hooke. 20 Hislory de resistencia de materiales A continuación, poner en los pesos en dicha escala y medir los diversos estiramientos de la mencionada cadena, y les hacia abajo. A continuación, compare los varios tramo... Esta escala QUE, ideé a fin de examinar la gravitación de los cuerpos hacia el centro de la Tierra, es decir, para examinar si los organismos a cierta distancia del centro de la tierra no suelta un poco de su poder o tendencia hacia ella . . . Vemos que Robert Hooke no sólo estableció therelation entre la magnitud de las fuerzas y las deformaciones que producen, sino también su- gerido varios experimentos en los cuales esta relación puede ser utilizado para resolver problemas muy importantes. Esta relación lineal entre la forcé y la deformación es la denominada ley de Hooke, que más tarde fue utilizado como la base sobre la que un mayor desarrollo de la mecánica de cuerpos elásticos. La Slrenglli de materiales en el decimoséptimo Ceniury 21 5. Mariotte Mariotte (1620-1684) pasó la mayor parte de su vida en Dijon donde fue prior de St. -Martin-sous-Beaune. Él beeame uno de los primeros miembros de la Academia de Ciencias de Francia, en 1666, y fue en gran parte responsable de la introducción de métodos experimentales en Francés scienee. Sus experimentos con el aire dio lugar a la conocida ley de Boyle-Mariotte que afirma que, a temperatura constante, la presión de una masa fija de gas multiplicado por su volnme permanece constante. En la mecánica de los cuerpos sólidos, Mariotte creó las leyes de impacto, usando las bolas suspendidas por hilos, fue capaz de demónstrate la conservación del ímpetu. Inventó el pendnlum balísticos. Las investigaciones de Mariotte de la elasticidad se incluyen en un documento sobre el movimiento de Mariotte fluids.1 tuvo que diseñar las tuberías para el suministro de agua de el Palacio de Versalles y, como resultado de esto, se interesó en la resistencia a la flexión de las vigas. Experimentando con madera y varillas de vidrio, Galileo descubrió que la teoría da valúes exagerada para la carga de rotura y, por tanto, desarrolló su propia teoría de flexión en la que las propiedades elásticas de los materiales se ha tenido en cuenta. Él comienza con resistencia a pruebas. La Figura 20a2 muestra la- utilizados en las pruebas de resistencia a la madera. En la Fig. 20B, el ensayo de tracción de papel se muestra. Mariotte fue no sólo interesados en la fuerza absoluta del material, sino también en sus propiedades elásticas y comprobó que, en todos los materiales que se han probado, las elongaciones fueron proporcionales a las fuerzas aplicadas. Afirma que fractura ocurre cuando la elongación excede un cierto límite. En su discusión de la curvatura de un brazo (véase la Fig. 20C), que comienza con un examen del equilibrio de una palanca AB ( Fig. 20D), con el apoyo de C. en el brazo izquierdo de la palanca, tres porcentajes iguales G = H = I = 12 Ib son suspendidos en las distancias AC = 4 pies, DC = 2 pies, CE = 1 pies. Para equilibrar la carga aplicada en el itinera- BC = 12 ft, debemos tomar F = 7 Ib. Si ahora la carga es algo más, la palanca comienza a girar alrededor del punto C. Los desplazamientos de los puntos A , D y E se encuentran en proporción a sus distancias de C, pero las fuerzas aplicadas a los puntos que se continué igual a 12 Ib. Consideremos ahora la misma palanca, pero supone que la carga G, H, I se sustituye por los tres idénticos los cables DI, GL, HM ( Fig. 20E), la intensidad absoluta de la que es igual a 12 Ib.' En el cálculo de la carga R que es necesaria para producir fractura de los hilos, Mariotte observa que, cuando la forcé en el cable DI alcanza su ultímate valué 12 Ib, las fuerzas en los cables GL y IIM, proporcional a su alargamiento, será de 6 y 3 Ib Ib, respectivamente, 1 Este documento fue editado por M. de la alquiler de 168G, tras la muerte Mariotte. Véase también el segundo volüme de Mariotte obras completas (2a. ed., La llague, 1740). 2 La Figura 20 es tomado de obras completas de Mariotte. 22 Ilistory de resistencia de materiales Y el ultímate carga R será sólo el 5í Ib 7 Ib y no, como lo fue en el caso anterior. Maiiotte utiliza razonamiento similar en considerar la curvatura de un cantid, con- cluye que las fuerzas en sus fibras longitudinales se encuentran en la misma propor- ción de sus distancias de D. De lo que se deduce que en el caso de FIG. 20. Resistencia a flexión y experimentos realizados por Mariotte. Haz rectangular, la suma de estas fuerzas será igual a S/2 (es decir, sólo la mitad de la fuerza de la viga en aciagos) y que su momento con respecto a D S/ 2 X f h = Sh/3, donde h es la profundidad de la viga. Equiparando este al momento Ll de la carga aplicada L, nos encontramos con que el ultímate carga Por lo tanto, teniendo en la deformación de las fibras en consideración y utilizando el mismo punto de rotación D, como hizo Galileo, Mariotte considera que el ultíL es la fuerza absoluta como (h/ 3): l . / La Slrenglh de materiales en el siglo Seventeenlh 23 Significa que la carga final es igual a sólo dos tercios de los valué caleulated por Galileo. Ahora, Mariotte va más allá en su análisis y, refiriéndose nuevamente a la viga rectangular (Fig. 20/ ), señala que las fibras de la parte inferior por la ID de la sección transversal es de compresión, mientras que las fibras de la parte superior de IA son aciagos. A calcúlate la carga L , que es necesario para superar la resistencia de las fibras de aciagos, que él usa Eq. (A) colocando h/2, en lugar de h, lo que da Las fibras Consideiing el comprimido en la parte inferior código de la sección transversal, Mariotte se supone que en la misma ley de forcé distribución tiene como en el caso de tensión y que la resistencia final es el mismo. De aquï¿ ½la contribución a la fuerza de la viga de la fibras comprimido también será igual a Li, y se da por el ecualizador. (B). El total fort h se dará previamente establecidos por la ecuación ( a). ver que, en su análisis Mariotte utiliza una teoría de distribución de tensiones elásticas en las vigas que se satisfaetory. Ilis hipótesis en torno a la forcé disi es necesario no sólo para substituto h/2 para h en Eq. (A), sino también para utilizar S/2 en lugar de S. Este error ha impedido llegar a Mariotte la fórmula correcta para el fracaso de las vigas, el material del que sigue la ley de Hooke de fractura. Para comprobar su teoría, Mariotte experimentado con barras cilíndricas de madera j- en diámetro. El ensayo de tracción dio la absoluta fuerza como S = 330 Ib. Prueba de la barra como un voladizo haz1 de longitud l = 4., se encuentra el último carga igual a L - 6 Ib, que da S:L = 55 , mientras que Eq. (A) da2 S :L = 48 y Galileo la teoría da S:L = 32. Mariotte intenta explicar la diferencia entre sus resultados experimentales y las predicciones de Eq. (A) se debe a un "tiempo effeet." dice que el espécimen en aciagos bien podría fractura bajo una carga de 300 Ib si la carga actuó durante un tiempo suficientemente largo. Al repetir la experiencia- con las varillas de vidrio, Mariotte una vez más que su fórmula [Eq. (A)] da una previsión más exacta que la de Galileo. Este físico francés también llevó a cabo experimentos con rayos apoyado en ambos extremos, y se encontró con que un rayo con extremos puede llevar, en su centro, que es el doble de la carga final simplemente apoyados por un haz de las mismas dimensiones. 1 Mariotte mentiocs en su papel que los ensayos fueron realizados en el presenee de Roberval y Huygens. 2 Tenga en cuenta que Tiq. (A) se deriva de una sección transversal rectangular, es utilizada por Mariot te de un círculo. Hislory de resistencia de materiales Por medio de una muy interesante serie de ensayos, Mariotte la Fuerza de corte de tubos de presión hidrostática interna. Para este Fin, utiliza un tambor cylindiical AB (Fig. 21) Que un largo tubo vertical. Durante el llenado de los Tambor y el tubo con agua y aumentando la altura 1 Nivel de agua en el último, fue capaz de reventar los Tambor. De esta manera se deduce que el grueso- Ness de la tubería debe ser proporcional a su presión interna- Y el diámetro del tubo del che. Tratar con la flexión de unifovmly plaza cargado Las placas, Mariotte correctamente establece, a la fuerza Consideraciones en cuanto a la similitud que el total ultímate Carga en la píate remaras constante e independiente El tamaño de la píate, si el espesor es siempre el Mismo. Vemos que Mariotte mejorado considerablemente la teoría de la mecánica de cuerpos elásticos. Por introducíng consideraciones de deformación elástica, mejoró la teoría de flexión de las vigas y, a continuación, utiliza experimentos para comprobar su hipótesis. Experimentalmente, ehecked algunos de Galileo sus conclusiones sobre la forma en que la fuerza de un rayo varíes con el span. Él investigó los efectos de la intensidad de un haz de sujeción por sus extremos y dio una fórmula para la fuerza de corte de los tubos. UN ---------------- B Fio. 21. Cy- lindrical tambor utilizado en Mari- otte ruptura de pruebas. 1 La altura del agua en algunos experimentos se acercó 100 pies. CAPÍTULO II Las curvas elásticas 6. Los matemáticos Bemoulli 1 La familia Bemoulli vivían originalmente en Amberes, pero, a causa de la Persecución religiosa del gran duque de Alba, que dejaron Holanda y, hacia Finales del siglo xvi, se instalaron en Basilea. Comenzando cerca del final Del siglo xvii esta familia Pendientes produeed martya- Acuden más de cien años. En 1699, la Academia Francesa de Eligió a los dos ciencias brothei-s Jacob y Juan Bemoulli como extranjeros Los miembros, y hasta 1790 no hubo Siempre representantes de la Ber- Noulli familia en esa institución. Durante el último trimestre del XVII y principios del Siglos xviii a un rápido desarrollo Declaración del cálculo infinitesimal Se llevó a cabo. Iniciado en el Con- Cano. por Leibnitz (1646- 1716), 1. Desarrollado principalmente por el trabajo De Jacob y John Bemoulli. En Tratar de ampliar el sector de aplicación de esta nueva herramienta matemática, Se analizaron varios ejemplos de mecánica y física. Uno de esos Ejemplo 8 tratados por Jacob Bemoulli (1654-1705) se refiere a la forma De la curva defiection un elástico y de esta manera comenzó una 1 Por biografías, ver "Dic Matemático Bernoulli " por Peter Morían, Basilea, 1860. 5 Ton ha desarrollado el nuevo fundamentáis indcpendently del cálculo en Inglaterra, pero en el Continente de Leibnitz metliod de presentación y su notación se han adoptado y utilizado en el rápido crecimiento de esa rama de las matemáticas. 3 Algunos preliminarj s la discusión del problema, que se imprime en Leibnitz la publicación "Acta Eruditorum Lipsiae", 1694, él puso su version final de este problema en los "Histoiie de l'Acadéniie des Sciences de París", 1705. Véase también "Obras Completas de J. Bernoulli", vol 2, p. 976, Ginebra, 1744. 25 26 Hislory de resistencia de materiales ¡Mportantes capítulo en la mecánica de cuerpos elásticos. Mientras que Galileo y Mariotte investigó la fuerza de las vigas, Jacob Bernoulli realizó los cálculos de su desviación; no contribuyen al conocimiento de las propiedades físicas de los materiales. Mariotte la siguiente hipótesis en torno a la posición del eje neutral, se llevó a la tangente a la frontera de la sección transversal en el lado cóncavo perpendicular a la plañe de acción de las cargas externas. Considerando una viga rectangular en un extremo y cargar en el otro de la forcé P, se toma la desviación curva, como se muestra en la Fig. 23. ABFD que representan un elemento de la viga la longitud axial de la que es para nintendo ds. Si durante doblado, la cruz FIG. 23. Sección AR gira con respecto a la sección FD alrededor del eje A, la elongación de las fibras entre las dos secciones adyacentes es proporcional a la distancia del eje A. Suponiendo que Hooke la ley y que denota la elongación de la fibra más alejadas en el lado convexo de LA ds, nos encontramos con que la resultante de las fuerzas de tensión en todas las fibras de la sección transversal AB es 1 M Anuncios " , . 2 Ds~ (A) Donde bh es el área de sección transversal y m es una constante en función de las propiedades elásticas del material de la viga. El momento de la resultante con respecto al eje DE deben ser iguales al momento Px de la carga aplicada con respecto a un mismo eje, y obtenemos la ecuación Las curvas elásticas 27 Observar ahora que Anuncios _ h ds r Ponemos Eq. ( B ) enla forra C- = Px (C) Donde " _ Mbh3 0 " ~ 3~ Jacob Bernoulli debido a la suposición errónea con respecto al eje de rotación de la sección transversal AB, hemos encontrado su incorrecta valué por la constante C. Sin embargo, la forma general de Eq. (C), que indica que la curva- tura de la deformación curva en cada punto es proporcional a el momento de flexión en ese momento, es correcto, se fue luego utilizada por otros matemáticos maticians Eider (principalmente) en sus investigaciones de las curvas elásticas. Juan Bernoulli (1667-1748), el hermano menor de Jacob era perí- el matemático más grande de su tiempo. Como resultado de su enseñanza, el primer libro de cálculo fue escrito por el Marqués de l'Hópital en 1696. El original las conferencias de Juan Bernoulli en cálculo diferencial fueron publicados por Naturforschende Gesellschaft de Basilea en 1922, con ocasión del tercer centenario de haber alcanzado los Bernoullis ciudadanía de la ciudad de Basilea. Fue Juan Bernoulli que formulado el principio pedagógico de los desplazamientos virtuales en su carta toVarignon." a pesar que estaba interesado en las propiedades elásticas de los materiales, su contribución a este campo es de poca importancia internacional.2 mucho más importantes contribuciones a la fuerza de los materiales fueron realizados por Juan de Bernoulli hijo Daniel y su alumno L. Euler. Daniel Bernoulli (1700 1782) es más conocido por su famoso libro "Bernoulli", sino que también contribuyó a la teoría de curvas elásticas. El orador sugirió que Euler que debe aplicar el cálculo variacional para obtener las ecuaciones de las curvas elásticas señalando en una carta: "Ya que nadie es tan completamente al maestro de la isoperimetric método (el cálculo de variaciones) como usted, usted muy fácil resolver el siguiente problema en el que es necesario que / ds /r2 será un míni 3 Esta integral, ahora lo sabemos, representa la energía de deformación doblada de un bar descuidar un factor constante. Trabajo de Euler, que se basa en esta sugerencia, se verá más adelante (consulte la página 32). 1 Véase "Nouvelle Méeanique" por Vurignon, vol 2, pág. 174, París, 1725. 1 Elasticidad es discutido en el primer thrce capítulos de libro de Juan Bernoulli, "Dis- eours sur les loix de la communication du Mouvement", París, 1727. 3 Ver pág. II. Fuss, "Correspondance Mathématique et Physique", carta 26, vol. II, San Petersburgo, 1843. 28 Hislory de Slrenglh de materiales Daniel Bernoulli fue el primero en obtener la ecuación diferencial gobernar- prismatical lateral vibraciones de barras y lo usó para estudiar modos particulares de este movimiento. La integración de esta ecuación fue realizada por Euler y que se discutirá más adelante (consulte la página 35), pero Daniel Bernoulli realizó una serie de experimentos y verificación, sobre sus resultados, escribe a Euler: "Estas oscilaciones se producen libremente, y yo hemos determinado diversas condiciones y han realizado una gran cantidad de hermosos experimentos sobre la posición del nudo y el tono de la melodía, lo cual concuerda perfectamente con la teoría. "1 Por lo tanto, Daniel Bernoulli no sólo era un matemático sino también un experimentador. Algunos de sus experimentos octu- nuevos problemas matemáticos de Euler. 7. Euler ( 1707-1783) 1 Véase P. H. Fuss, carta 30, vol 2. 1 Véase "Leonard Euler" por Otto Spiess, Leipzig. Véase también elogio de Condorcet, impreso en "Lettres de L. Kuler ¡\ une Princesse D'Allemagne", París, 1842. Leonard Euler2 nació en las cercanías de la ciudad de Basilea. Su padre era el Pastor de la vecina localidad de Riechen. En 1720, Euler entró en el Universidad de Basilea, que en ese momento era un centro muy importante de Researeh matemática, ya que la Conferencias de Juan Bernoulli atraído Los jóvenes matemáticos de todos Partes de Europa. Los jóvenes estu- Dent de talentos matemáticos fueron Notó, y Juan Bernoulli, Además de sus habituales charlas, Le dio su vez ha realizado una semanalmente las lecciones. A los dieciséis años, Euler obtuvo su Grado de maestría, y antes de que se Veinte había participado en un Concurso internacional de Premio por el francés oífered Acad- Emy de Ciencias y había publicado Su primer papel scientifie. La Academia de Ciencias de Rusia Fio. 24. Leonard Euler. Fue inaugurado en el año 1725 en San Pedro- Burg. Los dos hijos de Juan Ber Las curvas elásticas 29 Academia en el departamento de physies en 1730 y en 1733, cuando Daniel Bernoulli izquierda San Petersburgo después de la muerte de su hermano (en 1726) y regresó a Basilea, Euler tomó su lugar como jefe del departamento de matemáticas. Durante el tiempo que estuvo en la Academia Rusa de San Petersburgo, Euler escribió su famoso libro sobre mecánica,1 y en ella, en lugar de in- los métodos geométricos utilizados por Newton y sus alumnos, Euler presenta métodos analíticos. Él mostró cómo las ecuaciones diferenciales de movimiento de una partícula puede ser derivada y cómo el movimiento del cuerpo se puede encontrar mediante la integración de estas ecuaciones diferenciales. Este método simplificado la solución de los problemas, y el libro tenía un gran irifhience sobre acontecimientos posteriores en mecánica. Lagrange dice en su "Mécanique analytique" (1788) libro de Euler que fue el primer tratado de mecánica en la que el cálculo se aplicó a la ciencia de cuerpos móviles. En la época de la publicación de su libro, Euler se interesó en las curvas elásticas. También, de la correspondencia entre Euler y Daniel Bernoulli, se puede observar que esta última señala a la atención de Euler el problema de la vibración lateral elástica de bares y a la investigación de la ecuación diferencial correspondiente. Federico II (Federico el Grande) se convirtió en el rey de Prusia en 1740. Él se interesó por la ciencia y la filosofía y quería que los mejores científicos de la Academia Prusiana. Por esa época Euler fue reconocido como un destacado mathem&tician y el nuevo rey le invita a convertirse en miembro de la Academia Berlín. Puesto que no había disturbios políticos en Rusia en ese momento, Euler aceptó la depara y en el verano de 1741 se trasladó a Berlín. Que mantuvo alguna relación con la Academia Rusa y continuó publicando muchos de sus memorias en la Com- mentarii Academiae (Real Academia Petropolitanae} en Berlín, Euler continuó su investigación en el campo de las matemáticas y sus papeles aparecieron en las publicaciones anuales de Prusia y Rusia academias. En 1744 su libro " Methodus inveniendi lineas curves . . . "Apareció. Este fue el primer libro de cálculo variacional y también contiene el primer tratamiento sistemático de las curvas elásticas. Esto se discutirá más adelante. Mientras que en Berhn, Euler escribió su "Introducción al cálculo" (1748), "Cálculo Diferencial" (2 vols., 1755), y "IntegralCalculus" (3 vols. ), el último de ellos publicado en San Petersburgo (1768-1770). Todos estos libros los matemáticos guiada por muchos años, y se puede decir que todas 1 " Mechanica sive motus scicntia anulytice expósita", 2 vols., San Petersburgo, 1736, Gorman traducción por J. P. Wolfers, Greiswald, 1848 y 1850. * Memorias de la Academia Rusa. 30 Historia de Slrenglh de materiales Los eminentes hombres de vida mathematies hacia el final del siglo xviii y a comienzos del siglo xix fueron de Euler pupils.1 Después de la muerte de See also: Maupertuis (1759), Euler fue el encargado de la academia, y beeause de este, que había una cantidad considerable de trabajo ejecutivo. También había que buscar dinero para el mantenimiento de la academia durante el difícil período de la Guerra de los Siete Años. En la 17G0, Berlín fue ocupada por los invasores ejército ruso, y Euler la casa fue saqueado. Cuando el comandante Ruso, el General Totleben, informó de ello, inmediatamente pidió disculpas a Euler y ordenó que se le pagará una indemnización. La emperatriz Isabel Rusia envió una cantidad de dinero adicional que paga más que el matemático. Catalina II beeame la emperatriz de Rusia en 1762. La oradora es partidaria seientific investigación y progreso y quería mejorar el Ruso Acad 8. Euler de contribución a la fuerza de los materiales Euler, como un matemático, se interesa principalmente en las formas geométricas de curvas elásticas. Jacob Bernoulli aceptó la teoría de que la curvatura de una viga elástica en cualquier punto es proporcional a el momento de flexión en ese momento, sin mucha discusión. Sobre la base de ese supuesto, investigó las formas de las curvas que un delgado 1 Condorcet en su eulog.v dice: "Tous les mathémáticiens célébres qui existe aujourdhui sont ses éleves: il n'en est que qni ne se soit formé par la conferencia de ses ouvrages. . . . " \ Las curvas elásticas 31 Barra elástica se ocupará de bajo diferentes condiciones de carga. Los principales resultados del trabajo de Euler en esta dirección se encuentran en su libro " de metanfetamina odus inveniendi lineas curves . . . Antes mencionados. Aborda el problema desde el punto de vista de cálculo variacional, el euskara con que leáis en ese libro. Introducir este método, Euler señala: "Desde la estructura del universo es más perfecto, y es la labor del sabio Creador, nada se lleva a cabo en el universo, en el que una relación de máximum y mínimo no aparece. En caso de avance no hay absolutamente ninguna duda de que cada efecto en el universo puede ser explicado como satisfactoriamente de las últimas causas, con la ayuda del método de máximos y mínimos, ya que puede partir de la causas . . . . Por lo tanto, hay dos métodos para estudiar efectos en la naturaleza se encuentran abiertos a nosotros, mediante eiTective causas, que se denomina comúnmente el método directo, El otro por medio de causas finales . . . u n o debe, hacer un especial eft'ort para ver que las dos formas de aproximación a la solución del problema se; por tanto, no sólo es una solución muy fortalecida por las otras, pero, más que eso, desde el acuerdo entre las dos soluciones que asegure el mayor satisfacción." Para ilustrar los dos métodos, Euler se menciona el problema de la catenaria. Si una cadena está suspendido en A y B (Fig. 25), podemos obtener la curva de equilibrio mediante el "método directo." a continuación, examinar las fuerzas que actúan sobre un infinitesmn de la curva y escribir las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas. De estas ecuaciones requircd la ecuación diferencial de la catenaria. Pero con la misma finalidad también se puede usar el "método de causas finales " y atacar el problema con un examen de la potencialidad energética las fuerzas de la gravedad. De todas las posibles curvas geométricamente el que necesita es que lo que le da a la energía potencial un mini 1 Una traducción al inglés del Apéndice de este libro, que contiene el estudio de las curvas elásticas, fue realizado por \V. A. Oldfather, C. A. Ellis, y D. M. Brown. Ver Isis, vol. XX, pág. 1, 1933 (reimpresa en Brujas, Bélgica). Véase también la traducción de Germán "Ostwald de IClassiker," no. 175. 32 Historia de Slrenglh de materiales t Fo wy ds cuando la longitud de la curva es, w el peso por hacer Longitud de la unidad. Aplicando las reglas de cálculo variacional, llegamos a la misma ecuación diferencial como antes. En el caso de una barra elástica, Euler se menciona que el "método directo" de establecer la ecuación de las curvas elásticas fue utilizado por Jacob Bernoulli (consulte la página 27). Para utilizar el método de causas finales", Euler necesidades la expresión de energía de deformación y, a continuación, utiliza la información que se le de Daniel Bernoulli. Él afirma: "la más ilustre y, en este sublime forma de estudiar la naturaleza, más perspicaz hombre, Daniel Bernoulli, ha señalado que podría expresar en una fórmula única, que él calis el polential forcé, toda la forcé que encierra en una curva banda elástica, y que esta expresión debe ser de un mínimo de la curva elástica", y, a continuación, continúes (según Bernoulli) "si la tira de sección transversal uniforme y elasticidad, y, de ser recto, cuando en su posición natural, el carácter de la curva va a ser tal que en este caso la expresión Jfí ds/R2 es un mínimo absoluto." Usando su cálculo variacional, Jacob Bernoulli Euler obtiene la ecuación diferencial en las curvas elásticas Que, en el caso que se muestra en la Fig. 23, Se C ( 1 + y" 1)i = Px (O) Desde Euler no limitar su discusión a la consideración de pequeñas desviaciones, el término y'1 en el denominador no puede ser descuidado y la ecuación es complicado. Euler se integra de serie y muestra que si la desviación / (véase la Fig. 23) Es pequeño, Eq. (A) da C = w w - w ( B ) Si descuidamos el término 3f en el numerador, la fórmula usual para el desvío de la final de un brazo se obtiene, es decir, F~ 3 C (C) No descuidar el término permite el hecho de que, debido a la deflexión, la longitud l Es un poco menor que la longitud inicial de la barra. Euler no discutir el significado físico de la constante C que calis la "absoluta elasticidad", merelv que indica que depende de las propiedades elásticas de los materiales y que, en el caso de rech. Vemos que Euler se equivocan si creen que es C Las curvas elásticas 33 Proporcional a h-, en lugar de h3. Su recomendación de Eq. (6) debe ser utilizado para una determinación experimental de C fue seguida por muchos experimenters.1 Euler considera los distintos casos de flexión se muestra en la Fig. 26,2 Y clasifica las correspondientes curvas elásticas según valúes del ángulo Entre la dirección de la forcé P y la tangente en el punto de aplicación de la carga. Cuando este ángulo es muy pequeño, nos ha ve el importante caso de columnas cediendo bajo la acción de una compresión axial- sive forcé. Euler (véase la columna AB en la Fig. 26) Que, en este caso, la ecuación de la curva elástica puede ser fácilmente resuelto y de que la carga en 1 Véase, por exnmple, P. S. Girnrd de trabajo (p. 7). 2 Esta cifra se ha tomado de Euler la obra original. Historia de resistencia de materiales Que el pandeo ocurre es dada por la ecuación Afirma: "Por lo tanto, a menos que la carga P a cargo más de Cx2/4Z2, no habrá absolutamente ningún miedo de flexión; por otra parte, si el peso P sea mayor, la columna será incapaz de resistir la deformación. Ahora, cuando la elasticidad de la columna y del mismo modo su grosor siguen siendo los mismos, el peso P que se puede llevar sin peligro será inversamente proporcional al cuadrado de la altura de la columna; y una columna doble de alta serán capaces de tener sólo una cuarta parte de la carga." vemos que, hace doscientos años, Euler estableció la fórmula para el pandeo de columnas que ahora tiene tan amplia aplicación en el análisis de la estabilidad elástica de ingeniería stractures. Euler considera también barras de sección transversal variable y, como ejemplo, se analiza la desviación de un brazo (Fig. 26), la rigidez de la que es proporcional a la distancia * . Una vez más, Euler trata la curvatura de bares que tienen alguna curva inicial- 1/Ro y los estados que, en este caso, Eq. (A) deben ser sustituidos por Es decir, barras curvadas en un principio, el cambio de curvatura en cada punto es proporcional al momento flector. El autor muestra que si la primera curva- tura l/Iio es constante a lo largo de la longitud de la barra, Eq. (E) pueden ser tratadas de la misma manera que el de barras rectas consideradas anteriormente. El autor analiza también los siguientes problemas interesantes: ¿Qué debe ser la forma inicial de un voladizo si una carga, aplicado al final de la misma, es recto? Cuando una carga distribuida actúa sobre una viga, como el peso de la viga o una presión hidrostática, Euler demuestra que la ecuación diferencial de la curva elástica será de la cuarta orden. mentira logra resolver esta ecuación para el caso de la presión hidrostática y obtiene la desviación curva algebraica en un formulario. j Más de 011 libros de Euler, encontramos un tratamiento de la vibración lateral de las barras. Limitando su discusión en el caso de pequeñas desviaciones, se encuentran los estados que mentira es capaz de t.ake d2y/dx2 como la curvatura de la luz desviada y escribe la ecuación diferencial de la curva de la misma forma que se utiliza ahora. A elimínate el efecto de la fuerza de la gravedad, las fuerzas se supone que la vibración bar AB es vertical en el extremo (Fig. 27A) y conmn de peso w dx , observa que este movimiento es el mismo que el de un simple isócrono \ \ Curvas Elaslic 35 Péndulo (Fig. 27B), y la forcé tirando del elemento hacia el eje x Debe ser la misma que en el caso del péndulo, es decir, de la pequeña Oscilaciones, es igual a wy dx/l. Euler razones: "Se deduce que, si a El único elemento ron de las vegas strip. Igual forees wy dx/l debe aplicarse En el sentido opuesto (en la ofi- De eje y) la tira de la posición AmnB se encontraría en estado de equilibrio Vó. De aquï¿ ½la franja, mientras que oscila- Ing, asumirá la misma curvatura Lo que se tardaría en cuando está en reposo, si En los elementos individuales mn debe Actuar por las fuerzas wy dx/l En la dirección y." De esta manera Euler Llega a las conclusiones que ahora llegan con la aplicación de D'Alembert principie.1 la carga distribuida Euler ahora obtiene la ecuación diferencial de movimiento por dos veces diferenciando la ecuación Y observando que la derivada segunda de M es igual a la intensidad de carga lateral. Esto da R dhj wy Dx * l ( /) Euler y concluye: "Por esta ecuación, por lo tanto, el carácter de las curvas AmnB se expresa, y de que, si se adapta al caso presentado, la longitud l (el equivalente del péndulo) se determinarán. Que se sepa, el movimiento oscilatorio sí se dará a conocer." Después de esto él se integra Eq. ( /) y, utilizando el supuesto las condiciones en los extremos de la tira, se encuentra la ecuación de frecuencia que las frecuencias de los modos de vibración consecutivo se puede calcular. Euler no limita su análisis con el caso de un voladizo pero también analiza el movimiento transversal de barras (1) con extremos simplemente apoyados, (2) con extremos, y (3) con ambos extremos totalmente libre. Para todos estos casos se estableció la fórmula de la frecuencia y del tipo Lirk M- \¡ wl 4Cg Wí * (I9 ) 1 D'Alembert gancho del "Traité de Dynamique" se publicó en 1743, pero no se sabía a Euler cuando estaba escribiendo el apéndice "Curvis Elastieis" a su libro "Methodus inveniendi . . . . " 36 Historia de resistencia de materiales Donde vi es un número dependiendo de las condiciones en los extremos de la barra y en el modo de vibración. En conclusión valida que Euler Eq. (G) no se puede utilizar en forma experimental sesión matinal de su teoría, sino que también ofrece un medio práctico para determinar el "absoluto elasticidad" C de la tira. En 1757, Euler más trabajos publicados sobre el problema1 del pandeo de columnas. Él nos da una simple derivación de la foi'mula para la carga crítica mediante la simplificación diñ'erential ecuación Aquí se da un debate más satisfactoria de la cantidad C y con- cluye que debe tener las dimensiones de una forcé multiplicado por el cuadrado de la longitud. En posteriores papéis Euler se extiende su análisis a fin de cubrir las columnas de sección transversal variable y también trata el problema de la coluinn con carga axial distribuidos a lo largo de su longitud, pero no llegar a soluciones correctas para estos problemas más complejos. Jacques Bernoulli (1759-1789)2 refera al papel de Euler "Von dem eines Drucke mit einem Gewichte beschwerten Tisches auf eine Flaeche" en la que tenemos el primer tratamiento de problema estáticamente indeterminados. Fue resuelto bajo el supuesto de que la parte superior de la mesa sigue siendo plañe. Euler estudió también la teoría de la dellection y vibración de una membrana flexible neumólogos. Considerando una membrana que se compone de dos sistemas de cadenas que son perpendiculares entre sí, es él el que se deriva la ecuación diferencial parcial3 Esta idea fue usada posteriormente por Jacques Bernoulli, quien en su investigación de flexión y la vibración de un rectangular píate, considerado el píate como un entramado de dos sistemas de vigas y obtenido una ecuación de la forma4 Esto lo utiliza para explicar los resultados experimentales de Chladni para la vibración de las placas (consulte la página 119). 1 Sur la forcé de colorines, Mem. Acad. Berlín, vol 13, 1759. 1 Sobrino de Daniel Bernoulli. Él murió en el Biver Neva. 3 Novi Comm. Acad. Petrop., vol. 10, pág. 24.3 , 1767. Euler utiliza esta idea una vez más en el estudio de las vibraciones de las campanas (véase la misma publicación, pág. 261). * Nova acta, vol 5, 1789, San Petersburgo. * Dt 2 dy 2 dx \ Curvas Elaslic 37 9. Lagrange (1736-1813) Lagrange nació en Tnrin1 y su fathcr era un hombre rico que pierde Su propiedad a través de algunos pobres especulaciones. Más tarde los jóvenes Lagrange- Consideró que esta pérdida tiene algunas características reseñables, ya que, había sido Rico, podría no haber tenido hasta mathematies. En un principio, se mostró Excepcionales habilidades matemáticas y a los diecinueve años de edad, afinnó Ya convertirse en profesor de matemáticas Campo en la Real Escuela de Artillería En Turín. Con un grupo de alumnos que fundó Un societ.y que más tarde se convirtió en la Turín Academia de Ciencias. En el Primer volumen de las publicaciones de Que institnte (que aparecía en 1759) Varios de Lagrange de las memorias Fueron impresas, y entre ellos, Constituyen su importante trabajo en Cálculo variacional. Esta común Interés que le corres- Riera con Euler. Euler muy De trabajo de Lagrange Le nomínate a esta última como una de Miembros extranjeros de la Academia de Berlín Y Lagrange fue elegido en 1759. En 1766, fue invitado para sustituir a esa academia Euler a los hombres.de Euler y D'Alembert y se trasladó a Berlín. Aquí encontró excelentes condiciones de trabajo y pronto pubüshed una larga serie de documentos importantes. En ese momento, él también ha preparado su famoso "Mécanique analytique." En ella, con D'Alembert principio pedagógico y la divisi� de desplazamiento virtual- Lagrange, presentó las nociones de "coordenadas generalizadas" y "las fuerzas generalizadas", y redujo la teoría de la mecánica a ciertas fórmulas generales de cual las ecuaciones de cualquier problema en particular. En el proface Lagrange afirma que no hay cifras en su libro debido a que los métodos que utiliza no requieren geometrieal o consideraciones de la mecánica, pero sólo operaciones algebraicas que tiene que seguir un orden preseribed. En manos de Lagrange, la mecánica se convirtió en una rama del análisis lo que llamó "geometría de cuatro dimensiones." había pocas personas en ese momento que podía apreciar la presentación de la mecánica, y Lagrange había dificultades para encontrar un pub- 1 Ver la biografía de Lagrange por partir, "Oeuvres de Lagrange", vol.I, París, 1867. 38 Historia de resistencia de materiales Lisher para esa labor. Finalmente, se publicó en París en el año 1788, un Cien años después de Newton "Principia". Después de la muerte de Federico el Grande scientifie las condiciones de trabajo En Berlín deteriorado, y no el mismo reconocimiento como Antes, Lagrange se trasladó a París en 1787. Y se encontró con una cálida recepción Le esperan en la capital francesa, fue presentada en theLouvre, y recibió Una subvención igual a la que había tenido hasta ahora. Sin embargo, como Resultado de exceso de trabajo, Lagrange completamente perdido el interés en las matemáticas y Desde hace dos años su volumen impreso del "Mécanique", sin abrir. Durante este período, mostró cierto interés en otras ciencias, especialmente En el campo de la química, y también participó en la labor de la comisión que Se estaba debatiendo la introducción del sistema métrico decimal en Francia. Esta fue la época de la Revolución Francesa y la revolución Gobierno comenzó la purga de los miembros de la comisión. Varios Grandes científicos, como el químico Lavoisier Y el astrónomo Bailly, fueron ejecutados, y Lagrange tiene previsto abandonar el país. Pero en Ese tiempo, una nueva escuela, la École Polytechnique, Se abrió y Lagrange era para disertar sobre pedido El cálculo en el nuevo instituto. Esta actividad Revivió su interés por las matemáticas y su lec- Tures comenzó a atraer no sólo a estudiantes, sino también Maestros y profesores. Como resultado de estas lec- Tures escribió dos libros, "Fonctions de análisis Críticas " y "Traité de la Résolution des équations Numériques." Durante los últimos años de su vida Lagrange fue ocupada con una revisión de su libro En el área mecánica, pero éste murió en 1813, cuando sólo alrededor de dos tercios de este Trabajo ya estaba hecho. El segundo volumen de la edición revisada apareció Después de su muerte. La contribución más importante de Lagrange de la teoría de curvas elásticas es su autobiografía "Sur la figura des colonnes. "1 Él comienza con una discusión de una barra prismática con bisagras en sus extremos (Fig. 29) Y se supone que hay una pequeña desviación bajo la acción de la axial com impresionante forcé P. Esto le lleva a la ecuación Od¿ --Py M Que ya habían sido examinados por Euler (consulte la página 36). El autor demuestra que la solución de esta ecuación Y = / pecado Jg x t * 1 Véase "Oeuvrcs de Lagrange", vol 2, pág. 125. \ Las curvas elásticas 39 Satisfecho el final condiciones sólo si "YZ l = mir Donde m es un entero. De ello se desprende que la carga para la que una pequeña flexión de la columna puede ocurrir está dada por la ecuación Por lo tanto, es posible tener un número infinito de pandeo curvas. Para producir la curva con una media onda, como en la Fig. 29A, tenemos que aplicar una carga cuatro veces largor a la calculada por Euler en el caso de que uno de sus extremos está incorporada. Para que la curva de la Fig. 296, La carga es dieciséis veces más carga de Euler, y así sucesivamente. Lagrange no se limita a un microdepuración valúes de la crítica de la carga P, pero va a investígate las inclinaciones que existirá si la carga P excede la crítica valué. Para ello, utiliza la ecuación que contiene la expresión exacta de la curvatura en lugar de la aproximada en Eq. (A) y se integra en la serie obtener Para / = 0, esta ecuación da fórmula (b ).Para los pequeños valúes de /, la serie converge rápidamente y la carga correspondiente a una deformación dada puede calcularse fácilmente. Continuando, Lagrange considera columnas de sección transversal variable (las columnas están sólidos de revolución) y se indaga sobre cómo encontrar esa curva que, por medio de una revolución alrededor de un eje, genera la columna de mayor efliciency. Como una medida de la eficacia Lagrange toma la relación de la carga crítica P hasta la plaza del volumen V de la columna. En las curvas que tienen la misma curvatura en ambos extremos de la columna y tienen tan- caballeros de los extremos paralelos al eje de la columna, Lagrange concluye que la columna de mayor eficiencia tiene una forma cilíndrica. Llega a la misma conclusión valida considerando las curvas que pasan por cuatro puntos tomados a la misma distancia del eje. Lagrange, por lo tanto, no logró conseguir una solución satisfactoria al problema de la forma de la columna del máximum eficiencia. Más tarde el mismo problema se diseussed por varios otros autores.1 En un segundo memoir,2 "Sur la forcé des ressorts pliés", Lagrange dis- 1 Véase Clausen, Butt. méd. -matemáticas. acad. Sci. (Is. Pctcrsburg), vol. IX , 1851; K. Nieolai, Bol. Polytech. Inst. San Petersbwg, vol., 8, 1907; Blasco, Z. Matemáticas. u. Physik, vol 62. * "Oeuvres de Lagrange", vol 3, pág. 77. ♦ V 40 Historia de resistencia de materiales - Ción la curvatura de un uniforme en un extremo y cargados en el otro. Él hace la suposición generalizada que la curvatura es abso Aunque las contribuciones de Lagrange a fuerza de los materiales son de más teórico que práctico, su método de las coordenadas generalizadas y posteriormente, las fuerzas generalizadas aplicaciones en fuerza de materiales y resultó de gran valué en la solución de los problemas de importancia práctica. CAPÍTULO til Resistencia de materiales en el siglo xviii 10. Las aplicaciones de la Ingeniería de la fuerza de los materiales Durante el siglo xvii, investigación científica desarrollada principalmente en las manos de los hombres que trabajan en las academias de ciencias . Muy pocas personas estaban interesados en la mecánica de cuerpos elásticos y, si bien el programa Galileo, Hooke y Mariotte considera algunas de las preguntas de la elasticidad y de la fuerza de las estructuras planteadas por problemas prácticos, científicos curi, jeans apretados fue el principal motivo de su trabajo. Durante los ocho En el año 1720, varios militares se abrieron escuelas en Francia para la formación de expertos en las fortificaciones y la artillería, y, en 1735, Belidor (1697-1761) publicó un texto de matemáticas1 para su uso en las escuelas. No sólo las matemáticas, sino también sus aplicaciones en mecánica, geodesia, artillería y se analizan en el escritor. Belidor aunque sólo incluye matemáticas elementales en este trabajo se recomienda a aquellos de sus alumnos que son matemáticamente inclinado, para el estudio y cálculo también menciona el libro "Analyse des Infiniment Petits " por el Marqués de L'Hópital, el primer libro de cálculo cada vez que se publique. Para apreciar la rapidez con la aplicación de las matemáticas, sólo tenemos que pensar que, a finales del siglo xvii, sólo cuatro hombres (Leibnitz, Newton, y los dos hermanos Bernoulli) están trabajando en el cálculo y estaban familiarizados con esta nueva rama de las matemáticas. 1 Belidor, "Nouveau Couvs de Matliématique a l'üsage de L'Artillerie et du Génie", París, 1735. 42 Historia de resistencia de materiales Belidor En 1729, el libro "La Science des Ingénieurs" fue publicado. Este libro gozó de gran popularidad entre los ingenieros estructurales y fue reimpreso muchas veces. La última edición, con notas añadidas por Navier . Matemático e, apareció en 1830. En este libro hay un capítulo deaiing con fuerza de los materiales. La teoría aquí no vaya más allá de los resultados obtenidos por el proyecto Galileo y Mariotte, pero Belidor se aplica a sus experimentos con vigas de madera y da las reglas para determinar la seguridad dimensiones de las vigas. En estos caleulations Belidor, muestra que la práctica establecida de elegir los tamaños de las vigas no es satisfactorio y que rectím- mienda un método más racional de enfoque en la solución del problema. Para ello, utiliza la afirmación por Galileo que la fuerza de un rectángulo En 1720, el Cuerpo de Ingenieros de Vías de Comunicación fue creado por el gobierno francés y, en 1747, la célebre escuela École des Ponts et Chaussées se fundó en París de formación de ingenieros en la construcción de carreteras, canales y puentes. Esta escuela, como veremos posteriormente, jugó un gran papel en el desarrollo de nuestra ciencia ficción1 El primer director de esta escuela, Jean- Rodolphe Perronet (1708- 1794), fue un famoso ingeniero que diseñó y construyó varios puentes de arco largo, el canal de Borgoña, y muchas estructuras importantes en París. Ilis memoii's2 fueron muy leídas por los ingenieros estructurales. El capítulo de las memorias que deais con las pruebas estructurales de mate Hacia el final del siglo xviii (en 1798) el primer libro en la fuerza de los materiales por Girard fue actividades.8 una introducción histórica en este libro es de gran interés, ya que contiene un análisis de las principales investigaciones sobre la mecánica de cuerpos elásticos que se realizaron en los siglos xvii y xviii. Flexión en la discusión de las vigas, Girard considera de Galileo de Mariotte y métodos de análisis y parece ser que, en ese momento, ambas teorías. En el caso de frágil mate 1 La historia de esta famosa escuela se puede encontrar en Aun. ponts el Marne, 1906; véase el artículo de de Dartein. 2 Déscription des projets de la construction des ponts, etc. , "Oeuvres de Perronet", París, 1788. 5 " Traité Analytique de la Résistance des solides" por P. S. Girard, ingenieur des Ponts et Chaussées, París, 1798. \ Resistencia de materiales en la Eighleenlh Siglo 43 Esis es la preferida, por la que se supone que la intensidad de las fuerzas internas varíes de cero en el lado cóncavo en el máximum aciagos remóte la mayoría de la fibra (en el lado convexo). Sin embargo, Girard afirma claramente que las fibras en el lado cóncavo son de compresión y que en el lado convexo están en tensión. Ve que el eje con respecto a los cuales el momento de fuerzas internas deberían estar calculado se encuentra en la sección transversal, pero al mismo tiempo que defiende Mariotte la equivocada impresión de que la posición del eje neutral es irrelevante. Así pues, en la teoría de la fuerza de las vigas, Girard el libro no mejora Mariotte. Girard sigue Euler muy de cerca la labor en relación con las desviaciones de carretera y no limitar sus derivaciones a pequeñas desviaciones. Con- se llega a complicadas fórmulas que no son satisfactorias para la aplicación práctica. En su trabajo anterior, Euler asumió que la flexura! Rigidez de una viga es proporcional al cubo de su dimensión lineal En la segunda parte del libro, Girard deais con vigas de igual fuerza. Para estas estructuras tiene que satisfacer la ecuación En cada sección, donde M es el momento de flexión, I es el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutral, y h es la profundidad de la viga. Girard muestra que, para una determinada carga, podemos encontrar una gran variedad de formas para estas vigas de igual fuerza, dependiendo de la manera en la que hacemos variar la sección transversal dimensiones. En los ocho- eenth siglo este problema era muy popular y hay muchos artículos que tratan con ella. Pero este tipo de trabajo no aporta mucho a la más práctica importante teoría de la resistencia de las vigas. La tercera parte del libro de Girard deais con experimentos en la flexión y pandeo de columnas de madera. Girard, representa la obra original, de la flexión de las vigas y se examinan más adelante (consulte la página 58). De este breve análisis, se aprecia que a la hora de resolver pro- blemas en la fuerza de las vigas, los ingenieros del siglo xviii utiliza las teorías del siglo xvii. Pero, en el samo, más satis 11. Padre En el capítulo anterior vimos cómo los matemáticos del siglo xviii desarrolló la teoría de las curvas elásticas de la curvatura pro 44 Historia de resistencia de materiales El estrés se distribuye en la viga. Si bien este trabajo matemático- prog. Expresó su, se hicieron las investigaciones relacionadas con el aspecto físico de los Doble problema y eso dio lugar a una mejor comprensión de la Distribución de las tensiones. En estas investigaciones relativas a vamos a tomar La labor del Padre (1666-1716). Padre nació en París. 1. Su par- Las pruebas le quería a estudiar derecho, pero su interés estaba en mathematies y Las ciencias físicas. Después de su graduación, el padre nunca ejerció la abogacía. Él pasó la mayor parte de su tiempo a estudiar mathematies y vivida por dar Las lecciones de este tema. En 1699, des Billettes fue elegido como miembro De la Academia francesa y padre con él como un éleve (Asistente). Esta posición de la Academia dio Padre la oportunidad Para cumplir con científicos franceses y particípate en las reuniones de la acad- Emy. Ahí tuvo la oportunidad de mostrar su gran conocimiento en los diversos campos De la ciencia y que tenía varias memorias publicadas en la Academia los volúmenes. No todos sus memorias fueron aceepted para estas publicaciones y, en 1705, Padre comenzó su propia revista en la que imprimir sus documentos y también Examinó la labor antes mencionada otros matemáticos. En 1713 estos documentos fueron reeditadas en tres Volúmenes y se imprimen como su "Recherches de Mathématique et de Physique". En su primer memorias2 tratamiento de la curva. Ing de vigas, padre del siguiente Mariotte Asunción y toma como el eje neutral, el Tangente a la frontera, en el lado cóncavo Perpendicular a la plañe de acción de la Las cargas. Utiliza esta teoría para encontrar diferentes Las formas de las vigas de igual fuerza. También Describe un problema interesante de cómo haz rectangular se debe cortar Tronco de una circular con el fin de tener el máximum fuerza y muestra Que, para un determinado diámetro d (Fig. 30), el producto ab 2 debe tener el Máximum valué. Este se obtiene dividiendo el diámetro en tres Partes iguales y levantar las perpendiculares cf y eg ( como se muestra en la figura). En 1713, el Padre publicó dos memorias3 en la flexión de las vigas, que Repre.envió un importante paso adelante. En el primero de estos, el autor muestra que La ecuación FIG. 30. R Sh L = 37 (A) [Deriva de Mariotte (vea la página 22) para las vigas rectangulares y utilizarse más tarde para otras formas de secciones transversales] no puede ser aplicado a tubos circulares o a 1 Véase el artículo publicado en "Histoive de l'Académie des Sciences", París, 1716. 1 Véase "Histoire de l'Académie des Sciences", 1704, 1707, 1708, 1710, Thavis. 5 "Essais et Recherches de Mathématique et de Physique", vol 2, pág. 567; vol. 3, pág. 187. \ Fio. 31. Resistencia de materiales en el siglo xviii 45 Haces circular sólida. Asumiendo, con Mariotte, que la sección transversal Gira sobre la tangente onu ( Fig. 31) Y que el forees en las fibras son Proporcional a la distancia de este tan - Gent, Padre íinds que, con una sólida circular Sección transversal, el último momento de estos Con respecto a las fuerzas del eje nn es 5 &Z/16, Donde S es la "absoluta" de la Haz. Esto indica que, en la circular haces 5Í¿ /16 (en lugar de h¡3) debe ser sustituida en La ecuación anterior (a). En la segunda autobiografía, Padre da una muy importante discusión acerca de la posición del eje sobre el que el momento de resistir las fuerzas de fibra debe ser calculada. Considerando una viga rectangular en la sección AB ( Fig. 32 A) y el transporte de la carga L , asume en primer lugar que la rotación se produce alrededor del eje B. Las solicitaciones correspondientes, como se muestra en la Fig. 326, Puede ser sustituido por el consiguiente F. Continuar este forcé a su intersección en E con la línea de acción de la carga L, que con- cluye, las consideraciones de equilibrio, que es la resultante de las fuerzas F y L debe pasar a través del eje de rotación B. Ahora afirma que un solo punto B no ha sufíicient resistencia a servir de apoyo a esta Una d (C) Resultante y llega a la conclusión de que una parte considerable de la sección transversal AB debe servir de apoyo a la investigación y trabajo en la compresión. Sin duda, dice, esta consideración obligada Mariotte para utilizar la variación mostrada en los dos triángulos iguales de la Fig. 32C en lugar de la tensión distribu- ción representado por el triángulo ahd (Fig. 326). Tomando este segundo modo de distribución de la tensión y observar que en el momento de ruptura en el tena-uu, el autor concluye que la resistencia al momento, representado por los dos triángulos, es sólo la mitad de grande como la representada por un triángulo de la Fig. 326. Por lo tanto, no corrige el error cometido por Mariotte y confirmada más tarde por hombres tales como Jacob Bernoulli y Varignon.1 sabemos que la distribución de tensiones 1 Véase el artículo de Varignon en "Histoire de l'Acadómie des Sciences", París, 1702. 46 Ilistory de resistencia de materiales Representado por dos triángulos iguales (Fig. 32C) sólo es correcta en la medida en que la Material de la viga de la ley sigue Hooke camiot y ser usado para cal- La forma de ultímate valué la carga de deformación de L. De Mariotte Experimentos, Padre sabe que el ultímate resistir pareja tiene un mag- Podrán tolerar entre las predicciones de la distribuci� de las tensiones de las Figs. 326 Y 32C. Él supera este diñiculty por asumir que, en el momento de Fractura, el eje de rotación (línea neutral) no pasa a través de los Centro de la sección transversal y la distribución de la tensión es lo que se muestra en Fig. 33. El máximum de aciagos es siempre la misma y representantes, la Ultímate resistencia a la tracción de las fibras. Sustitución de las tensiones que actan en el Sección transversal ab por su resultado y la adición de la resistencia y la forcé F Carga externa L juntos, tal y como se muestra en la figura, el Padre concluye de La condición de equilibrio que forcé la compresión resultante actúa En la parte de la sección transversal ab debe ser igual a la resultante Forcé tracción F que actúan en la parte superior de la misma sección. El orador También observa que, además de ni- Las fuerzas mal, una cizalla forcé de Magnitud L actuará en la cruz Sección ab . Vemos que cla- Ical problema en la curvatura de Vigas es resolver por completo Padre de familia, y que muestra claramente que La resistencia a las fuerzas distribuidas En la sección transversal ab Debe constituir un sistema de fuerzas Equilibrio de la carga externa. En Uno de sus anteriores observaciones .1 Padre que la línea neutral puede Cambio durante el incremento de la carga y el enfoque que la tangente a la obligada- En el lado cóncavo en el momento de la fractura. Ahora, tras el estrés Distribución que se muestra en la Fig. 33, El Padre de Mariotte experimental de Resultados y demuestra que su padre's) ultimate resistir par coincide Experimentalmente se ha encontrado con que si el eje neutral se coloca de forma que Ab = ac\ 9:11. A la hora de tomar una distribución de tensiones triangular como se muestra en la Fig. 33, El Padre asume que Hooke la ley y que tiene el módulo en aciagos es diferente del módulo de compresión. El orador también considerar el caso de que el material no se sigue que la ley y señala correctamente que la máxima resistencia a pareja se vuelve más pequeña a la que representan los dos tri Un =7 F 1 c p. 6^^ L Fio. 33. 1 Ver sus memorias, vol 2, págs. 588- 589. Resistencia de materiales en el siglo xviii 47 A clevelop fundamcntally su ideas correctas sobre este problema. De esta breve discusión de los padres de trabajo que puede ser visto que había Mucho más claras las ideas en cuanto a la distribución de tensiones en el sector de las vigas de su Predecesores. Sin embargo, su obra ha pasado inadvertido, y durante el Siglo xviii, la mayoría de los ingenieros siguen uso de fórmulas Mariotte basado en la teoría. La causa de esto quizá se encuentran en la Hecho de que sus padres no principales resultados fueron publicados por la Academia Y apareció en los volúmenes de sus obras completas que estaban mal Editado y contienen muchas equivocaciones. Por otra parte, el Padre no era un claro Escritor, y es difícil seguir sus derivaciones. En su escrito, fue Muy crítico con el trabajo de otros investigadores, y sin duda este hecho Él impopular con los científicos de su tiempo. Sesenta años después de la Apariencia de trabajo antes de los padres se realizaron nuevos progresos en la ciencia ficción- Conferencia de la mecánica de cuerpos elásticos. Al final de este período, nos encontramos con el Destacada labor de Coulomb. 12. Coulomb C. A. Coulomb (1736-1806) nació en Angouléme.1 Después de obtener Su primera educación en París, entró en el cuerpo militar de ingeniería . Mentira fue enviado a la isla de Martinica donde, por un período de nueve años, Estaba a cargo de las diversas obras de Construcción, lo que le llevó a estudiar Las propiedades mecánicas de los materiales Y los diversos problemas estructurales de Ingeniería. Mientras que en esta isla, Escribió su famoso libro "Sur une Aplicación des regles de maximis et Minimis á. quelques problémes de Enrutamiento relatifs á l'architecture . Que fue presentado en 1773 a la Academia de Ciencias de Francia en 2. El prefacio de esta obra Coulomb Dice: "Esta memoria escrita algunos Hace años, fue en el primer significado para mi Uso individual en el trabajo en que estaba metido en mi profe- Sion. Si me daré para que lo presente a esta Academia, es sólo porque el morador Se ruega por que cuando tienen un objetivo útil. Por otra parte, las ciencias son monumentos consagrados al bien público. 1 Ver J. B. J. Partir, Éloge historique de Coulomb, \ Ikm. inst. concordarta. Frunce, vol 7, pág. 210, 1806. Véase también S. C. Hollister, "La vida y la obra de C. A. Coulomb", Medí. Eng., 1936, p 615. 48 Hislory de Slrenglh de materiales Cada ciudadano debe a homenaje a ellos de acuerdo a sus talentos. Mientras que grandes hombres se llevarán a la parte superior de la ediíice donde pueden marcar, a construir las plantas superiores, con los artesanos que se encuentran dispersos a través de la parte inferior pisos o están ocultos en la oscuridad de las bases debe buscar sólo en perfecto que ingeniarse manos han creado." Después de su regreso a Francia, Coulomb trabajó como ingeniero en Ilochelle, el Iste de Aix, y Cherburgo. En 1779, compartió (con Van Swinden) el premio de la Academia por un artículo sobre la mejor manera de con 1 " Théorie des máquinas simples", en la cual los iesultados de sus experimentos en la fricción de deslizamiento en órganos difíerent uno al otro (seco, o las que estén recubiertas de sustancias grasas) se presentaron. Tras 1781, Coulomb se sta- bles permanentemente en París, donde fue elegido miembro de la Academia y fue capaz de encontrar mejores instalaciones para actividades de investigación científica. Él ha transformado su attcntion a investigaciones en clectricity y el magnetismo. Para la medición de pequeñas fuerzas eléctricas y magnéticas, desarrolló una muy delicada balanza de torsión y en relación con este trabajo investigó la resistencia del cable a torsion.2 En el momento del estallido de la Revolución Francesa en 1789, Coulomb se retiró a una pequeña estáte que poseía en Blois. En 1793, la Academia fue cerrada, pero dos años más tarde volvió a aparecer en el nuevo el ñame de L'Institut. National des Sciences et des Arts. Coulomb fue elegido uno de los primeros miembros de la nueva institución y sus últimos trabajos relacionados con la viseosity de líquidos y con el magnetismo se publicaron en los Mémoires de l'Institut (1801, 1806). Coulomb fue nombrado uno de los inspectores generales de los estudios en 1802, y dedicó gran parte de su energía a la mejor- de la educación pública. Esta actividad requiere mucho viaje, que fue muy intenso para su edad y débil liealth, y murió en 1806. Su trabajo sigue siendo, y todavía nos encontramos con sus teorías de fricción, la fuerza de los materiales estructurales y de torsión. No hay ningún otro científico del siglo xviii ha contribuido tanto como Coulomb a la ciencia de la mecánica de cuerpos elásticos. Los principales avances se incluyen en su documento de 1773. El trabajo comienza con una discusión de los experimentos que Coulomb realizadas a los fines de establecer la fuerza de algún tipo de arena y piedra. Por su resistencia a las pruebas, Coulomb utiliza placas cuadradas 1 pies por 1 pies por 1 de espesor y da la prueba speeimens el formulario que se muestra en la Fig. 35A.3 1 Ver incoó. présentés par savants ótrangers, vol. X, p. 161. Esta autobiografía, junto con el anteriormente mencionado uno de los theoiy de estructuras y varios otros de interés para los ingenieros mecánicos, fue reeditada en forma de libro, "Théorie des máquinas simples", 1821, París. 2 ". Sources théoriques et Recherches sur la forcé experimentales", lo de torsión et sur l'élasticité des fils de métal", incoó. acad. sci., 1784. 3 Esta cifra es tomada del trabajo de Coulomb. \ Slrenglh de materiales en el decimoctavo Cenlury 49 De esta manera, encuentra a los aciagos ultímate a fuerza de ser de 215 Ib por in.2 para probar el mismo material en cizalla, él utiliza barras rectangulares de 2 en 1, y se aplica una cizalla forcé P a los ge en la sección transversal (véase la Fig. 356). Considera que la fuerza de cizallamiento ultímate es igual a la fuerza de ultímate aciagos en este caso. Por último, lleva a cabo doblado ' ¿ -- "fr/ /e/e' C PPP \V// L>/ Ñ; ¿K:______ /I Ll _____ L FIG. 35. Pruebas (Fig. 35C), con ayuda de las barras 1. en dcpth, 2 de ancho, y 9. en longitud. Él considera que el ultímate carga P es igual a 20 Ib. Después de esto, Coulomb proporciona una discusión teórica de la flexión de las vigas (Fig. 35El), tomando una forma rectangular en voladizo y examinar- una sección transversal AD, el autor llega a la conclusión que las fibras de la porción superior AC de la sección transversal de las fibras y aciagos de parte inferior será comprimido. Resolver las fuerzas en las fibras en componentes vertical y horizontal (como se muestra por los vectores PQ y P'Q) y aplicar 50 Historia de resistencia de materiales Las tres ecuaciones de statics, eoncludes que la suma de las fuerzas horizontales, la distribución de las cuales se administra junto A) por la curva CCO, debe desaparecer. La suma de componentes verticales debe ser igual a la carga aplicada <t> y el momento con respecto al eje C de todas las fuerzas en las fibras debe ser igual al momento de la carga aplicada < ¡> con respecto a un mismo eje. Señala que estas ecuaciones son independientes de la ley que regula las fuerzas y alargamiento de las fibras. Un material elástico pcrfectly Ilooke que sigue la ley de fractura, y teniendo en cuenta el elemento ofhn a los finales, él asume que, debido a la deformación de la carga <f>, la plañe fh tendrá una posición gm y los pequeños triángulos fge y emh se representan las deformaciones y las tensiones de las fibras. Si a es el máximum aciagos en el punto /, íinds que en el momento de las fuerzas internas es < r(Jh)2/6,1 denota la resistencia final de la barra de tensión de S y el brazo de la carga <t> y la profundidad de la viga de l y h, la ecuación para calcular la carga final se convierte El autor señala que el efecto de fuerzas de cizallamiento de la fuerza de la viga se puede descuidar si su profundidad es pequeña en comparación con su longitud. Considerando ahora materiales que son absolutamente rígido y en el supuesto giro alrededor del punto h y que una distribución uniforme de tensiones sobre las secciones transversales, Coulomb concluye que la ecuación para el cálculo del último se carga Aplicación de esta ecuación a los mencionados anteriormente los experimentos, que él considera que el valor calculado lo último es algo más grande que el dado por la experiencia. Él concluye que el punto de rotación no puede ser en el h , sino que debe estar en algún punto h ( véase la Fig. 35D) de modo que la parte lili" de la sección transversal será en la compresión. Por lo tanto, observamos que, en su teoría de flexión, Coulomb utiliza las ecuaciones de estática correctamente cuando se trata de analizar las fuerzas internas y tuvo claras las ideas en cuanto a la distribución de estas fuerzas en la sección transversal de la viga. Parece que fue el trabajo del padre desconocido para él. En su análisis, Coulomb se refiere sólo a C. Bossut2 quien, en su obra "La construcción la plus avantageuse des digues", recomienda que las vigas de madera se considerará como elástico y vigas de piedra como si absolutamente rígido. 1 La anchura del haz es takcn eqtial a la unidad. * C. Bossut (1730 -1814) fue profesor de matemáticas en la ingeniería militar séhool en Méziéres y miembro de la Academia. Ha publicado tres volúmenes de matemáticas (1765), de dos volúmenes de la hidrodinámica (1771), y una historia de las matemáticas (1810) en dos volúmenes que son de gran interés. \ Resistencia de materiales en la Eighleenlh Siglo 51 Como su próximo problema, Coulomb contempla la compresión de un prisma de forcé P axial (Fig. 35E). Él asume que fractura es debido a lo largo de determinada süding plañe CM y que se produce cuando el componente de forcé P a lo largo de este plañe pasa a ser mayor que la resistencia de cizallamiento coherente a lo largo de la misma plañe. En la fuerza de su previamente encontrado resultados experimentales, Coulomb ultímate considera que la fuerza de cizallamiento, t "U, ES IGUAL A LA FUERZA UN " ¡< EN ACIAGOS. LO CUAL DENOTA QUE, A CONTINUACIÓN, EL ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PRISMA POR A Y el ángulo entre el eje del prisma y la normal a la plañe CM por a, se obtiene una ecuación de ultímate caleulating la carga. Es P pecado " = (C) Desde que P = (D) Un pecado a la eos Esta ecuación muestra que los más pequeños valué de P se obtiene cuando a = 45° y que esta valué es dos veces tan grande como el ultímate fuerza de la columna en aciagos. Para llevar la teoría a una mejor concordancia con los resultados experimentales, Coulomb propone que no sólo debía resistencia coherente a lo largo de la CM plañe hay que tener en cuenta, pero también mucha fricción. Por lo tanto, toma, en lugar de Eq. (C), la ecuación D . <R"ita . P eos un , . P pecado ------------ 1 ------------ (E) Eos a n Donde l/n es el coefíicient de fricción. De esta ecuación, P = ____________ < [ "uA_ _____ ... Eos a[sm - (eos a/n)] Selección de un modo de hacer P un mínimum, se ve Tan a = - - ------------- ( ¡ 7) V (1 + l/n2) - l/n Suponiendo que de ladrillo l/n = f, Coulomb considera que tan a = 2 y, por lo tanto, obtiene P = 4 e n l a E c . ( / ). Esto concuerda con su expe En la segunda parte del mismo documento (de 1773), Culombio examen la estabilidad de los muros de contención y los arcos, pero vamos a posponer nuestra discusión En 1784, producida la autobiografía Coulomb de torsión, y ahora pasan 011 a un examen de su contenido. Coulomb determina la rigidez de torsión de un alambre por la observación de las oscilaciones torsionales de un cilindro de metal 52 Ilistory de resistencia de materiales Suspendido por (Fig. 36A).1 Suponiendo que el par de resistencia de un cable trenzado es proporcional al ángulo de giro <j>, obtiene el Fio. 36. Dispositivo de Coulomb para ensayos de vibración torsional. Ecuación diferencial N< ¡> = - / < /> Y, por la integración, encuentra la fórmula para el período de vibración, es decir, T = 2tt ^ /TJn (H) Mediante un experimento, Coulomb considera que este período es indcpendent del ángulo de giro, si el ángulo no es demasiado grande, y se llega a la conclusión de que la presunción de la proporcionalidad de la par hasta el ángulo de giro es correcta. Coulomb ahora continúa con sus experimentos, los cables de la misma 1 Esta cifra es tomada de Coulomb la autobiografía. \ Resistencia de materiales en el siglo xviii 53 Material sino de la pifd'diferentes longitudes y diámetros. De esta manera, establece la siguiente fórmula para el par M: Donde l es la longitud del cable, d su diámetro, y n un eonstant del material. Comparación entre acero y latón mes, Coulomb considera que la relación de estas constantes es de 3 £: 1, y allï¿ ½concluye que, en los casos en que necesitamos gran rigidez, como en los ejes, el uso del acero es preferible. Después de la creación de la ecuación fundamental (i), Culombio se extiende su investigaron de propiedades mecánicas de los materiales con los cuales los cables. Para eaeh tipo de cable se encuentra el límite de torsión de elastieity, más allá de la cual se produce un ajuste permanente. Además, muestra que, si el alambre está doblado en un principio mucho más allá del límite elástico, el material se vuelve más difícil y su límite elástico se eleva mientras que la aritmé- ju en Eq. (I) permanece inalterado. Una vez más, por recocido, que puede quitar la dureza producida por la deformación plástic. En la fortaleza de estos experimentos Coulomb afirma que, con el fin de especificar las características mecánicas del material, necesitamos dos cantidades, a saber, n definir los elásticos propiedad del material y el límite elástico que depende de la magnitud de las fuerzas cohesivas. Por trabajo o temple coid se pueden aumentar dichas las fuerzas cohesivas y así elevar el límite elástico, pero no podemos cambiar la propiedad elástica del material definido por el eonstant ¡x. a demónstrate que esta conclusión valida es aplicable también a otros tipos de deformación, Coulomb hace pruebas de doblado con barras de acero que difieren solamente en su tratamiento de calor y muestra que para cargas pequeñas que dan la misma defiection (independientemente de su historia térmica), pero el límite elástico de los bares templado es mucho menor que la del bebe. Por lo tanto, a mayor carga el recocido bares desarrollar permanentemente mientras que el tratamiento térmico a que continúes metal perfectamente elástica, es decir, el tratamiento de calor cambia el límite elástico pero deja la propiedad elástica del material. Coulomb marcos la hipótesis de que cada material elástico tiene una característica determinada disposición de las moléculas que no es perturbado por las pequeñas deformaciones elásticas. Más allá del límite elástico permanente desplazamiento de algunas moléculas se lleva a cabo, lo que resulta en un aumento de las las fuerzas cohesivas aunque la propiedad elástica no se verá afectado. Coulomb también analiza la amortiguación de las oscilaciones de torsión y demuestra experimentalmente que la causa principal de que no es de la resistencia, pero algunas imperfecciones del material de sus cables. Cuando el movimiento es pequeño, se encuentra que la cantidad en la que la amplitud se ve disminuida por eyele es aproximadamente proporcional a la amplitud. Pero en los casos en que las oscilaciones son más grandes (el límite elástico de coid trabajo), el efecto de amortiguación 54. Historia de resistencia de materiales Mareases a un ritmo superior al de la amplitud y los resultados de la prueba serán más irregulares. 13. Estudio experimental del autorrefuerzo Materíais estructurales en el siglo xviii Ya se ha hecho mención del trabajo experimental de los científicos como Ilooke, Mariotte, y de Coulomb. Sus experimenta chiefiy se llevaron a cabo con el fin de verificar eertain las teorías de la mecánica de los materiales. Pero independientemente de estos, una cantidad considerable de expe Réaumur (1683-1757) se basó en pruebas mecánicas en estudiar los diferentes procesos tecnológicos en acero manufacture.1 hizo las pruebas de resistencia a cable evalúate a la diferencias de los distintos tipos de tratar con calor- y ha desarrollado un método para medir dureza de estudiar las hendiduras de las esquinas de dos perpendiculares tri Un extensivo serie de ensayos mecánicos de diversos materiales de Petrus van Musschen,broek (1692-1761) fue profesor de física en Utrecht y posteriormente en Leiden. En su obra "experimentales", lo Physicae et 1 Durante los años 1720-1722, Réaumur presentó varias memorias de la Academia de Ciencias de Francia. Véase también su libro "L'art de convertir le fer forgé en acier", París, 1722. Resistencia de materiales en el siglo xviii 55 Geometricae" (1729), ho describe sus métodos de prueba y de la appa- Tutelaje que ha diseñado para este propósito. La Figura 37 muestra su límite elástico Las pruebas de la máquina mientras Fig. 38 Indica el tipo de modelo que utiliza Y los métodos de comprender los extremos. Aunque el sistema de la palanca, Una considerable ampliación de la forcé, Id a producir fractura De la madera y el acero con su máquina sólo cuando las secciones de los Piezas de prueba eran pequeñas. Los resultados de sus pruebas fueron Incorporado en su libro sobre la física1 y se Ampliamente utilizado por los ingenieros. La Figura 39 representa Máquina de Musschenbroek para hacer pruebas de doblado. Por utilizar madera barras rectangulares este físico Galileo se comprueba la teoría que la fuerza de las vigas En flexión es proporcional a bh2. Utilizando los resultados Que obtuvo con pequeñas muestras, Musschenbroek muestra cómo la última carga de los grandes Vigas de madera, tales como las que se utilizan en las estructuras, se pueden Calcula. La Figura 40 muestra el aparato de Musschenbroek Llevar a cabo las pruebas de compresión de struts. Este fue La primera vez que una investigación práctica de la Fenómeno de bucklmg lateral se llevó a cabo Y, como resultado de su investigación, que hace que el escritor Importante declaración en la que se carga el pandeo en- 0J 0f Paradójicamente proporcional al cuadrado de la longitud de sujeta los extremos del soporte. Como ya hemos visto, carne de Euler de resistencia a prueba de especímenes la misma conclusión valida mediante su análisis matemático . Curvas de elasticidad. Los experimentos realizados por Musschenbroek fueron criticadas por Buffon( 1707-1788). Esto último es lo que se conoce principalmente por su trabajo en el campo de las ciencias naturales, pero sus intereses parecen haber adoptado muchos temas. Aunque él era el director del jardín botánico de París y el organizador del museo de ciencias naturales, Buffon traducido de Newton "Métodos of Fluxions" en francés y muy amplios estudios sobre las propiedades mecánicas de wood.2 Su investigación ha demostrado que la fuerza de la madera muestras tomadas del mismo tronco varía muy considerablemente con la ubicación de la que se toman, tanto en lo que se refiere a distancia del eje del tronco y también la distancia. Por lo tanto, los experimentos con pequeños especímenes como los utilizados por Musschenbroek 1 Ver la traducción al francés del libro "Essai de Physique", Leiden, 1751. La interesante prólogo de este libro, se puede observar que los problemas de la física han suscitado el interés de diversos grupos de personas en esos días, y que las sociedades científicas se organizaron en varios] ciudades de Holanda. Historia de resistencia de materiales FIG. 40 . De Musschenbroek comprcssion aparatos para pruebas. Resistencia de materiales en la Eighleenlh Siglo 57 No dar al ingeniero estructural toda la información que necesita y a las pruebas de tamaño completo las vigas son necesarios. Buffon muchas de estas pruebas con la escuadra haces de 4-por-4 a 8-por-8 en. las secciones transversales y con tramos de hasta 28 pies. Las vigas simplemente se apoya en los extremos y se carga en sus centros, y los resultados confirmaron la afirmación de que Galileo la fuerza de un rayo es proporcional al ancho de la sección transversal y al cuadrado de su altura. También se demostró que la fuerza de las vigas puede ser asumida proporcional a la densidad del material. En relación con la construcción de la iglesia de Sainte Geneviéve en París, las preguntas respecto a la correcta de corte transversal aróse dimensiones de los pilares, y las opiniones de los principales arquitectos franceses y los ingenieros se dividieron. Se hizo imperativo que las pruebas en el esquematismo figurativo eompression de diversos tipos de piedra. Para realizar las pruebas necesarias, el ingeniero francés Gauthey (1732-1807), quien fue el autor de los libros bien conocidos en bridges,1 diseñado y construido una máquina especial, se muestra en la Fig. 41. La construcción utiliza la palanca principio pedagógico y es algo similar a la que se utiliza de Musschenbroek pruebas de resistencia (véase la Fig. 37). Los especímenes fueron utilizados en forma de cubos generalmente tienen 1 Gauthey, "Traité de la Construction des Ponts", 1809 1813. Este tratado fue editado, después la muerte Gauthey, por su sobrino Navier . Matemático e y se verá más adelante, junto con el trabajo Navier . Matemático e (consulte la página 71). 58 Historia de resistencia de materiales Lados 5 cm de largo. Al comparar sus resultados con la cargas compresivas que tuvo que llevar piedras en algunos las estructuras actuales, Gaut.eh encontrado que (suponiendo que acción central de forcé) el factor de seguridad, generalmente no menor de 10. Él explica esta baja carga oomparatively las estructuras de piedra por el hecho de que, en los edificios, la carga puede actuar con cierta excentricidad y puede no ser normal a la plañe en que actúa. También menciona algunos experimentos que mostraron que la com , Rondelet (1734-1829) mejora la máquina Gauthey, sustituyendo el eje b ( Fig. 41) Con el filo de la navaja, con lo que se reduce la fricción en la appara- tus. Una descripción de la máquina aparece en Rondelet, "L'Art de Batir", París, 1802. Una cantidad considerable de trabajos experimentales relacionados con la fuerza de piedras, fue llevado a cabo por Perronet. Esto se logró por la construcción del arco puente de Neuilly-sur-Seine. Ha diseñado e instalado una máquina similar a el de Gauthey de la École des Ponts et Chaussées y añadió que los intercambios intracomunitarios sean un medio de resistencia a las pruebas. En su calidad de profesor e ingeniero estructural de la escuela, Perronet hizo un gran número de pruebas. Durante los últimos años del siglo xviii, una serie de investiga- ción de madera con struts. Este trabajo fue iniciado por J. E. . Lamblardie (1747-1797) quien logró Perronet, director de la École des Ponts et Chaussées y quien ayudó a que oigan me ze la famosa École Polytechnique. Fue continuada por P. S. Girard, el autor del primer libro sobre resistencia de los materiales (consulte la página 42). La máquina construida para estos experimentos se muestra en la Fig. 42. El soporte vertical se com- / presionado por el uso de la palanca XY gira alrededor del eje V y carga 1 en y. La circular los discos en el extremo superior de la diapositiva muestra entre las verticales AB y EF y evitar el fin del movimiento lateral. El extremo inferior de la muestra se apoya en R. La misma máquina se utiliza también para pruebas de doblado lateral cuando el extremo inferior R' de la columna produce presión en el centro de la viga horizontalmente. Con el fin de realizar una comparación de soporte de los resultados de la prueba con las predicciones de Euler la fórmula de columna, la rigidez flexural de los soportes se ha obtenido experimentalmente, como Euler sugirió (consulte la página 33). Estas expe / Slrenglh en El Ihe de Moleríais Eighleenlh Cenlury 59 En San Petersburgo, G. B. Bülfinger hizo algunos experimentos para comprobar y Mariotte de Galileo las teorías de la bending.1 Mariotte, considera que la teoría es la mejor para explicar los resultados experimentales. Bülfinger La Fia. 42. Girard experimentos de puntales de madera. IJooke piensa que la ley no se ha visto confirmada por los experimentos y sugiere una relación parabólica Í = un<rm Donde m es una constante que se determina experimentalmente. La experiencia 1 Comm. Acad. Pelrop., vol 4, pág 164, 1735. 60 Hislory de resistencia de materiales (Mencionado anteriormente) se encuentran numerosos cuadros que contienen información sobre la fuerza de los diversos tipos de hierro, madera y piedra. 14. Teoría de los muros de contención en el siglo xviii La práctica de utilizar muros de contención para evitar deslizamiento de tierra es muy oíd. Pero en los días oíd el problema de cómo seleccionar las dimensiones adecuadas de estas estructuras fue atacado por reglas empíricas de métodos. Para encontrar una base racional para un procedimiento de diseño, se han propuesto diversas hipótesis de los ingenieros durante el siglo xviii para el cálculo de la masa presión que actúa sobre la pared. Además, algunos experimentos de laboratorio fueron realizados.1 Belidor han contribuido considerablemente a la solución de este problema y se incluía un capítulo sobre muros de contención en su libro (consulte la página 42) "La Science des Ingénieurs" (1729). El autor señala que la forcé Q necesita horizontal Pro. 43. Para mantener una bola de peso P ( Fig. 43A) en equilibrio sobre la inclinación plañe UNA D es igual a P bronceado . considerando ahora la tierra detrás del muro de contención quisiera informarle (Fig. 436) Y suponiendo que en la ausencia de pared .la tierra no tendrá la pendiente BC de unos 45 grados, que con- cluye que el prisma triangular de la tierra ABC tiene una tendencia a deslizarse a lo largo del plañe a.c. Si que se desliza sin fricción, como en el caso de la bola, la reacción horizontal de la pared es necesario para mantener el prisma de tierra en equilibrio debe ser igual al peso de la prisma. Sin embargo, debido a la fricción es mucho menor forcé, Belidor propone que la reacción de la pared puede tomarse igual a la mitad del peso del prisma. Indica la altura de la pared por h y el peso de unidad de volumen de la tierra por y , si considera que la presión horizontal por unidad de longitud ejercida por la tierra sobre el muro es igual a l/i2/4. Repetir- el mismo razonamiento para cualquier plañe paralela a BC, como se muestra en la figura con líneas de puntos, Belidor concluye que la presión sobre la tierra plañe AB sigue el triangular y del consiguiente presión Q actúa en dis- 1 La historia completa de la teoría de los muros de contención y de estos experimentos en el siglo xviii es narrada en el libro de K. Mayniel, "Traité expériinental, analytique et pratique de la Poussée des Tenes et de murs de Revétements", París, 1808. - N bronceado , ... Resistencia de materiales en el siglo xviii 61 Asistencia técnica h/3 de la base BD en la pared. El momento de cambio de este Presión con respecto al borde D, que deben ser considerados en la selección El espesor de la pared, es igual al 7/13/12. Ut i l i zando est e val ué de l a Momento en el cálculo del espesor, Belidor llega a proporciones que Están en buen acuerdo con el entonces práctica establecida. Nuevos avances en la teoría de los muros de contención de Coulomb. En las "memorias" de 1773 (ment.propuso qxe 011 página 47), el orador perí odo la tierra Presión sobre la porción BC de la parte vertical de la pared (Fig. 35) Y se supone que la tierra tiene una tendencia a deslizar A lo largo de algunos plañe ab. Descuidar fricción 011 CB, Concluye que la reacción H de la pared se encuentra en posición horizontal. El peso W del prisma CBA es (7/j2 tan a) /2, Donde h es la profundidad del punto B y a es el ángulo Análisis de costes y beneficios. La resultante R de la reaetions a lo largo de la deslizan- Ing plañe se forma el ángulo de rozamiento con el ni- Mal a la plañe Ba, es decir, R mil se encuentran en un ángulo Una -f- con la horizontal. El triángulo de la Fig. A continuación, representan 44 El estado de equilibrio de la cuña CBA en la Fig. 35 Y él Concluye que II = W cuna (a + tp) = tan una cuna (a + _ Y/i2 1 - m bronceado ~ ~ 2~ 1 + n cuna un W Donde n - tan \j/ es el coeficiente de fricción. El siguiente paso es seleccionar un valué para el ángulo a que la reacción FI un máximum. La derivada de H [ de expresión (a)] con respecto a a es sinónimo de cero, y se le considera que = - ¡ ---r- = tan2 (0) 1 4- H cuna un Desde que Bronceado - - ¡j - )- s/\ + /i2 (C) Sustituyendo esta valué en la expresión (a) obtiene el necesario máxiBa y muestra que el Eq. (c) Todavía sigue vigente. Una vez más, el caso de una carga extra P ( Fig. 35) Se considera Coulornb de papel. Como un segundo problema, Coulomb prevé la pared produciendo un horizonQ" en el prisma ACB que el prisma se desplaza hacia arriba. Calcula que valué del ángulo a que hace Q' un mínimo. Por último Culombio perí odo el caso en que el deslizamiento de tierra se lleva a cabo a lo largo de una superficie curva, como la indicada por la línea mendigar en la Fig. 35 Y él 62 Hislory de resistencia de materiales Se analiza brevemente la forma de la curva que produciría el máxi Una simplificación del método de Coulomb fue introducido por Prony (1755-1839) practieal para ayudar a su aplicación. Prony nació en Chamelet cerca de Lyon y entrado l'École des Ponts et Chaussées en 1776. Después graduat.en 1780, trabajó en Perronet en la construcción del puente de Neuilly. En 1785, ayudó Perronet en la reconstrucción del puerto de Dunkerque, acompañado Perronet en una visita a Inglaterra. En la época de la Revolución Francesa Prony se convirtió en un miembro de la comisión francesa para el sistema métrico y, cuando el sistema de clasificación decimal de dividir el círculo fue aprobado y exigió la preparación de nuevos cuadros trigonometiic, fue puesto a cargo de la obra. Prony fue uno de los fundadores del famoso .Acole Polytechuique (1794) y se convirtió en el primer catedrático de mecánica en que sehool. En 1798 se convirtió en el director de l'École des Ponts et Chaussées. Sus libros de hidráulica [" Arquitectura hidro-angélique" (1790-1796, 2 vols. )] y en el área mecánica [ "Le$ons de mécanique analytique" (1810)] fueron ampliamente utilizados en escuelas de ingeniería de Francia. Para volver a análisis de Coulomb, observando que ¡x = tan \p, Prony arrojaron Eq. (B) en una forma más simple, es decir, Cuna (ct 4 - \ ¡ /) = tan a partir del que se deduce que A = ¿ (90O - i) Esto indica que la plañe Ba, correspondiente a la máximum tierra presión en la Fig. 35, Biseets el ángulo entre la vertical y la línea BC de inclinación natural. De esta manera, Prony desarrolló un método práctico de selección de las dimensiones adecuadas de conservar sus1 15. Teoría de arcos en el siglo xviii El arte de construir arcos es muy oíd. Los romanos utilizaban arcos amplias (con semicircular abarca) en la construcción de sus puentes y aqueduets. De hecho, son tan hábiles en este trabajo, que algunas de sus estructuras permanecen intactas para este día,2 y podemos estudiar las proporciones y los métodos de construcción que se ha utilizado. Al parecer no hay teoría para determinar las dimensiones de la caja arcos, y los constructores Román están guiados únicamente por reglas empíricas. En la época medieval se 1 R. Prony, " Instruetion-Pratique pour déterminer les dimensiones des mnrs de revétement", Germinal, una X, París. 2 Dibujos de Román puentes Gauthey en el trabajo (mencionado anteriormente), "Traité de la Construction des Ponts", vol 1, 1809. Resistencia de materiales en el siglo xviii 63 Fue poca o ninguna carretera o construcción de puentes, y Román cayó en el olvido. El advenimiento de la renacentista, con su reanimación de la vida económica, hecho que es necesario para los constructores para obtener nuevamente el arte de creación de arcos. En primer lugar, la pioportions de estas estructuras fueron llevadas de nuevo en una forma totalmente empírica, pero hacia el final del siglo xvii y a principios del siglo xviii, se hicieron algunos intentos por los ingenieros franceses para la elaboración de una teoría de arcos. Francia estaba en ese momento por delante de otros países en el desarrollo de su sistema de carreteras y que allí, puentes de arco fueron ampliamente utilizados en conjunción con las autopistas. La primera aplicación de estadísticas para la solución de problemas de arco se debe a Lahire1 ( 1640-1718), miembro de la Academia Francesa. Aprendió el matemáticas de Desargues y desarrolló un interés en la geometría Bajo la influencia de ese gran matemático. Lahire en el libro "Traité de Se constituye" (1695) nos encontramos con el polígono funicular utilizado por primera vez en arco. Se le considera un arco de medio punto (Fig. 45) Y se supone que las superficies de contacto de las cuñas forman son perfectamente lisas para que sólo presiones normales pueden ser transmitidos a través de ellos. Con este supuesto investiga los siguientes pro- blema: qué pesos Pi, Pt, P3, . . . Que las cuñas del arco tenemos a fin de garantizar la estabilidad de la estructura? Lahire resuelve este qviestion geométricamente, como se muestra en la Fig. 45. Dibujo de una tangente horizontal MN a la superficie exterior y ampliar los radios que subdividir el arco en las cuñas para los puntos de intersección M, K, L, N, que considera que el requisito de la estabilidad se cumple si los pesos pi, pi, . . . Se encuentran en la misma proporción que las longitudes MK, KL, LN. también considera que las presiones que actúan entre las cuñas del arco están representados en este caso por las longitudes CK, CL, CN. utilizando el lenguaje de hoy, debemos afirmar que la figura es el ABC DE polígono funicular construido para la 1 La historia del desarrollo de la teoría de arcos se encuentra en un gran interés por la memoria- Poncelefc; véase Couip. liend., vol. 35, pág. 493, 1852. 64 Historia de resistencia de materiales Sistema de fuerzas verticales Ph P2, P3, . . . Y que la cifra MKLNC representa el polígono de fuerzas rotada 90 grados sobre el polo C. Proceder como en el caso anterior, Lahire considera que el peso de la última cuña apoyado por la CE plañe horizontal debe ser infinitamente grande, ya que el radio CE es paralelo a la recta tangente MN. Este mostró Lahire que, bajo el supuesto de perfecta suavidad en la cuña las superficies, la estabilidad de un arco de medio punto no puede existir. Hace la observación de que en el arco cemento impedirá las cuñas de deslizamiento, con lo que se contribuye a la estabilidad. De aquï¿ ½la razón establecida para Pi:P2:P3 . . No es necesario cumplir con rigor. Más tarde, Lahire devuelve al arco problema1 y aplica su teoría a la determinación de las dimensiones correctas de los pilares en los que se asienta un semiMN y mini, que calcula las fuerzas F representa las acciones de la parte superior del arco en la parte inferior, dejando una vez más fricción. A continuación, se calcula el peso de los pilares sobre los que es necesario para contrarrestar las fuerzas F y evitar la rotación de los pilares sobre los puntos A y tí. Este método de análisis se puso en práctica por Belidor Lahire que describe en su libro "La Science des Ingónieurs" y sugirió que el ángulo de la Fig. 46 Debe tomarse igual a 45 grados. Lahire el método fue utilizado más tarde por Perronet Chezy y en la preparación de una tabla para utilizar en el cálculo del espesor de que tiene muchos arcos.2 Coulomb realizó nuevos progresos en la teoría de arcos. En su tiempo, 1 Véase su autobiografía en "Histoire de L'Académie des Sciences", París, 1712. S M. Lesage, "Recueil des Mémoires extraits de la bibliothéque des Ponts et Chaitssées", París, 1810. = 7 (B) Resistencia de los materiales en el Ihe siglo xviii 65 Se sabe por los experimentos con moclels1 que averías típicas de arcos son, como se muestra en la Fig. 47. Podemos concluir, a partir de esta figura que en la investigación arco estabilidad, no es sólo suíficient- sider deslizante relativa de las cuñas, pero también la posibilidad de rotación relativa debe ser verificado. En su autobiografía de 1773, Coulomb contémplales Ambos de estos tipos de error. Deje que ÁBDE en la Fig. 48 Representan la mitad Simétrico de un arco que se carga simétrica. El Deuoting Empuje horizontal en la sección transversal UNA R de II y el peso de la De ABmn del arco en el segundo trimestre , se encuentra Que el normal y tangencial Los componentes de la resultante forcé Actúa sobre la plañe mn son II Eos a + Q pecado Y Q eos un pecado - II Donde a es el ángulo entre este Plañe y vertical AC. Menor valué de II de pre- Ventilar la parte ABmn del arco de deslizamiento hacia abajo a lo largo de la plañe Mn está dada por la ecuación Q eos a - II pecado a = n(H + Q eos un pecado ct) + ra (A) Donde ¡J. es el coeficiente de fricción y ta la resistencia total del arco de cizallamiento a lo largo de la plañe mn. de esta ecuación se encuentra con que TT Q eos a - uq pecado a - ra " x Pecado a + COS fí un De todas las posibles valúes del ángulo a , ahora es necesario que encontrar lo que convierte a expression (b) un máximum. Supongamos que II es la contami- 1 Experimentos de este Idnd, hecho en 1732 por Danizy en la Academia de Montpellier, se describen por Frézier en su libro "Tiaité de la Coupe des Fierres", vol.3, Estrasburgo- bourg, 1739. Experimentos similares se hicieron en una escala mayor por L. C. Boistard. Ver Lesage, "Recueil de mémoires de divei . . . Vol 2, pág. 171, París, 1808. 66 Historia de resistencia de materiales Poración valué de el empuje. Evidentemente, este es el más pequeño forcé necesarios para evitar que la parte superior del arco de deslizamiento hacia abajo a lo largo de la mn plañe. De manera similar se puede encontrar el valué H' de la que se iniciará el deslizamiento del ABmn parte del arco hacia arriba. Este valué es _ Q eos + nQ pecado + ta , Pecado - n eos un Ahora seleets que valué de una expresión que malees (c) un mínimum. Supongamos que los IV tiene el correspondiente valué. Está claro que para elimH y menor de H'. En cuanto a la posible rotación alrededor del punto m , como que nos posibilitaran en la Fig. 47, Y utilizando la notación de la Fig. 48, Que se encuentra la limitación valué II i de el empuje. Es H' = T {D) De igual forma, en rotación alrededor del punto n obtiene Bi - £ ( .) El máximum valué de expresión (d) y el mínimum de la expresión (e) dar los límites dentro de los cuales el valué del empuje real debe ser obvíate rotación. De Coulomb es método de ataque. En su estudio de casos prácticos, Coulomb concluye que por lo general, el diseñador de un arco necesita preocuparse sólo de los límites (d) y (e ), de la que sugiere que el punto de aplicación de la impulso debe ser trasladado a un (Fig. 48) Con el fin de malee Case IH en la expresión ( d) sea lo más pequeño posible. Coulomb, encontramos que no da reglas claras para diseñar arcos pero sólo determina límites a la idea central que es necesaria para la estabilidad. Por esta razón, el valué de Coulomb de labor no era apreciado por los ingenieros de su tiempo1 pero más tarde, en el siglo xix, cuando se desarrollaron los métodos gráficos para el cálculo de los límites (d) y (e ), sus ideas fueron ampliamente utilizados por los constructores paso. A fines del siglo xviii un número considerable de las pruebas fueron realizadas por Gauthey,2 Boistard,3 y Rondelet.4 Todos estos. 1 Los ingenieros prefieren prácticas en ese momento para utilizar las fórmulas de einpirical Perronet Lahire basado en la teoría para calcular el grosor necesario de arcos. 2 Gauthey, "Disertación sur les dégradations du Panthéon Fransais", París, 1800. 3 Boistard, "Recueil d'experiencias y observaciones", París, 1800. Me Rondelet, "Art de batir", vol 3, p. 236. TV CIIAPTER Resistencia de Materiales betwecn 1800 y 1833 16. L'École Polytechnique1 Como raentioned antes (véase el artículo 10), fueron varias las escuelas de ingeniería Organizado en Francia durante el siglo xviii. Durante el Francés Revolución, la enseñanza de los Las escuelas y también en las universidades Se interrumpió, pues los estudiantes Y sus profesores eran considerados Con cierta desconfianza por la revolu- Revolucionaria propuesto. Pero en el Mismo tiempo Francia estaba en guerra con La coalición europea y mal Los ingenieros necesarios para impulsar La construcción de fortificaciones, Las carreteras, los puentes y para el desarrollo Desarrollo de la artillería. Un grupo de Los científicos e ingenieros en el Dirección del gran mathema- Podrían articular tician Gaspard Monge (a El nuevo propuesto) que un- Escuela pioneros de un nuevo tipo debe Se organizaron para reemplazar todos los Afinnó que existía en el marco del régimen oíd. La propuesta fue oficialmente Aprobado en 1794, y a fines del mismo año inició instrucción En la nueva escuela. En 1795, la escuela fue dada su presente el ñame, École Polytechnique. La organización de la nueva escuela difiere mucho de la de las escuelas que reemplaza. Oíd todos los privilegios fueron suprimidos y los chicos de todas las clases sociales podrían entrar a la escuela. Con el fin de seleccionar a los mejores alumnos, 1 Una historia completa de esta famosa escuela, "École Polytechnique, Livre du Centenaire 1794 1894", fue publicado en 1895 por los alumnos. Véase también Pinet, "l'Histoirc de l'í'école Polytechnique", 1886. Fio. 49. Gaspard Monge. 68 Hislory de resistencia de materiales Los exámenes de ingreso competitivo se comercializan.1 cuando la escuela se inició, hay muchos científicos y profesores ralentí de París, quien quería enseñar y un grupo más destacado de los hombres formaron el aprendizaje personal de la nueva escuela. Tales hombres famosos como Lagrange, Monge, y tomaron parte de Prony enseñanza de las matemáticas y la mecánica. Muy pronto Fourier y de Poisson se unió a ellos. El sistema de enseñanza de la nueva escuela, preparado por Monge, dilfercd establishecl sustancialmente a partir de práctica. No había uniformidad de requisitos de entrada en la escuela y oíd la lec La administración de la nueva escuela fue completamente basado en dife- rentes ideas. Se suponía que las diversas ramas de la ingeniería requieren la misma preparación en tales cuestiones generales, las matemáticas, la mecánica, la física y la química. Se supone que si un estudiante recibió una buena formación en las ciencias fundamentales, no será difícil para él para adquirir los conocimientos especiales necesarios en cualquier direc La fuerza motriz de la nueva escuela era Gaspard Monge (1746 1818) cuyo entusiasmo y capacidad como maestro contribuyó mucho a la suceess de la escuela. Nació en Beaune en el seno de una familia de medios muy limitados y estudió en la escuela local. Que es tan brillante en su trabajo, antes de que lo tenía dieciséis años se convirtió en el profesor de física. Que siempre ha estado interesado en la geometría y en hacer dibujos. UN militar- sucedió a neer aviso la habilidad inusual del muchacho y le 1 Este método de selección se ha mantenido hasta nuestros días. Cada año, el examen de ingreso de la École Polytechnique atrae a los mejores alumnos de las escuelas de francés en París. Sólo una pequeña fracción del número de estudiantes compiten es admitido. Slrenglh de ¡Víaleriáis belween 1800 y 1833 69 Estudio en la escuela militar de Méziéres que en aquel momento tal vez la más famosa escuela en Europa. En este sentido, carne en contacto con los profesores Camus y Bossut, quien muy pronto notó su talento en matemáticas En Méziéres Monge ha evolucionado la totalmente nueva rama de las matemáticas conocida como geometría descriptiva, que se ha convertido en un tema muy importante en la enseñanza de la ingeniería. En 1780, fue elegido para Monge- bei'barco de la Academia de Ciencias y, en 1783, dejó la escuela en Méziéres y se trasladó a París donde se convirtió en profesor de l'École de Marina. Para el uso en este colegio en el que escribió el tratado de statics1 que fue utilizada por muchos años como el libro de texto en varias escuelas de ingeniería de Francia. Como un pensador progresista, Monge apoyó con entusiasmo la revoluScience, y se ocupó de la organización de la Escuela Politécnica. Monge no sólo fue un gran científico sino también un maestro y un permanente powerfnl profesor. El creía en una conferencia sis- tema que los estudiantes puedan responder a los destacados científicos de su día y lo que les permitió obtener la fundamentáis de sus subjeets de los hombres que participaron en la creación y el desarrollo de la ciencia. La ponencia sistema de la École Polytechnique fue un gran éxito. Los más grandes matemáticos de la época dictó conferencias en la escuela, y se ha logrado en la tarea de impartir un interés en sus subjeets al stu Las conferencias para grupos numerosos de estudiantes fueron intercaladas con pro- blema clases y los plazos previstos para la elaboración y el trabajo en el campo de la física y la química laboratories. ldnd2 para este trabajo las grandes clases, que se dividen en grupos (briyades) de veinte y un instructor especial se atribuye a cada grupo. El más destacado de estos jóvenes instructores se ha promovido en tiempo de cátedra, a fin de que la escuela no sólo entrena futuros ingenieros, sino también profesores y científicos. El 1 "Traité élémentaire de Enrutamiento", lst ed., 1786. 2 Parece que esta fue la primera vez que trabajo de laboratorio se ¡mirada como parte de un programa de enseñanza. 70 Historia de Slrenglh de materiales Los avances en mecánica de cuerpos elásticos en la primera mitad del siglo xix se realiza principalmente por hombres que se graduó de la escuela. Desde el comienzo, la escuela publica la revista Polytech- nique y se convirtió en una de las principales revistas de matemáticas. En que no sólo los papeles originales de los docentes sino también los cursos de lecFrance sino también en otros países y han ejercido una gran influencia en el progreso de las ciencias fundamentales. Otros países como modelo sus sistemas de enseñanza de la ingeniería a la aprobada en la École Polytechnique. Por ejemplo, su programa fue utilizada como una guía por los organizadores de la Instituto Politécnico de Viena y el Instituto Politécnico de Zúrich fue fouuded por el General Dufour, un antiguo alumno de la École Polytechnique. El sistema francés de téc- fue copiado en educación llussia y que ha influido en el establecimiento de la Academia Militar de los Estados Unidos en West Point. Francia fue el primer país en el que los ingenieros habían dado una formación completa en el campo de las ciencias fundamentales. Con su amplia educación científica 17. Navier . Matemático e La famosa autobiografía de Coulomb, pi'comisión-preparatoria en 1773, figura el cdr soluciones de varios problemas importantes de la mecánica de materiales, pero que llevaba más de cuarenta años en comprender su satisfac- torily y la utilización de éstos en las aplicaciones prácticas.! nuevos avances en nuestra ciencia fue hecha por Navier . Matemático e2 ( 1785-1836) pero, a pesar de que trabajaron tras muerte de Coulomb, sus primeras publicaciones no contienen los avances 1 Poncelet en su revisión histórica de diversas teorías de arcos (prcviously- bles) remarles: "autobiografía de Coulomb contiene en algunas páginas para muchas cosas que durante cuarenta años la atención de los ingenieros y los científicos no se hayan fijado en cualquiera de ellos." 1 De Navier . Matemático e biograpliy y una lista completa de sus publicaciones se encuentran en la tercera edición de su libro en la solidez de los materiales editados por Saint- Venant , discretizadas mediante un , París, 1864. Resistencia de Materiales behoeeri 1800 y 1833 71 Por su predecesor. Navier . Matemático e fue boru en Dijon, en el seno de la familia de un bien-a- No abogado. Cuando catorce años oíd, que perdió a su padre y fue tomado En la casa de su únele, quien fue El famoso ingeniero francés Gauthey, Y que presta gran atención a la Educación del niño. En 1802, Navier . Matemático e Aprobado el concurso de ingreso ex- Animadora para entrar en la Escuela Poli- Técnica y, en 1804, después de grad Conciben de la escuela, fue Admitido en la École des Ponts et Marne, donde su únele había pre- Previamente estudiado y enseñado mathema- Los tics. Gauthey usa cada oportunidad Fundó su sobrino totemperhis teórica Estudios con conocimientos prácticos Puente sobre canal y con- Struction. Por lo tanto, cuando él Navier . Matemático e Graduado en el año 1808, estaba bien preparado Para llevar a cabo las investigaciones teóricas de problemas prácticos. Inmediatamente tuvo la oportunidad de utilizar sus conocimientos y capacidad A un importante trabajo. Gauthey, quien murió en 1807, fue ocupado durante su Últimos años en la preparación de un tratado sobre los puentes y canales. El trabajo no está terminado, y se Navier . Matemático e quien hizo la edición final Y quien lo publicó los tres volúmenes. El primer volumen, que contiene una Historia de construcción de un puente y también una descripción de las más importantes Nuevos puentes, aparecido en 1809. La segunda se publicó en 1813 y La última, que se ocupa de la construcción de canales, aparecido en 1816. Para que el trabajo hasta la fecha, Navier . Matemático e añadido en muchas notas editoriales Lugares. Estos tienen gran interés histórico ya que describen el estado De la mecánica de cuerpos elásticos al comienzo del siglo xix cen- CIAL. La comparación de estas notas con la posterior trabajo Navier . Matemático e, podemos ver la Los progresos realizados por la ciencia en su tiempo debido principalmente a sus propios esfuerzos. La nota en la página 18, volumen 2, es especi al ment e i nt eresant e en est e sent i do. En ella, la teoría completa de flexión de prisinatical bares. Puede Navier . Matemático e se observa que no tiene conocimiento de los padres es importante autobiografía (véase Página 45) o de trabajo de Coulomb. Con Mariotte y Jacob Bernoulli, que Considera que la posición del eje neutral es irrelevante y toma la Tangente a la sección transversal en el lado cóncavo de este eje. También 72 Historia de resistencia de materiales Que si se dobla y pruebas de compresión de bares shonld se utilizará para determinar los dos constante que aparece en la fórmula. Navier . Matemático e no conservar esas ideas erróneas para largo y, en 1819, cuando comenzó sus clases en la fuerza de los materiales de la École des Ponte et Chaussées, algunos errores en su teoría ya se han eliminado." Pero el método de iinding la posición del eje neutral se incor- rect, es decir, Navier . Matemático e supone que este eje debe dividir la sección transversal que el momento de esfuerzos de tracción sobre debe ser igual al momento de la esfuerzos compresivos. Sólo en la primera edición impresa (1826), de sus conferencias. es este remedio, y se demuestra que, para los materiales des- pués la ley Ilooke, el eje neutral debe pasar por el centroide de la sección transversal. Navier . Matemático e publicó una nueva edición de Belidor "La Ciencia desingénieurs" en 1813 y, en 1819, reeditado el primer volumen de Belidor "l'Arquitectura Hydrolique." En los dos libros que vemos numerosas notas importantes de Navier . Matemático e que quería el contenido para satisfacer los requisitos de su tiempo. En el año 1820, presentó una autobiografía Navier . Matemático e en la curvatura de las placas de la Academia de las Ciencias y, en 1821, su famoso papel dando la picia Aunque ocupado con trabajos teóricos y de edición de libros, Navier . Matemático e tenido siempre algún trabajo práctico en la mano, generalmente en relación con ingeniería de puentes. Grandes cambios en ese íield tuvo lugar durante el final del siglo xviii y principios del xix. Hasta ese momento era la principal piedra material utilizado para la construcción de puentes importantes pero, ahora, el uso de metáis es cada vez más común. Inglaterra fue industrialmente el país más avanzado en ese momento y la amplia applicatión de metáis en la industria se inició allí. John Smeaton (1724-1792)2 fue el primer ingeniero pendientes de hierro fundido, lo que cualquier gran concep t y que utilizó en su construcción de molinos de viento, ruedas de agua y bombas. El primer puente de hierro fundido se construyó (iu 1776-1779) sobre el río Severn por Abraham Darby. Otros países siguieron Inglaterra y, a la vuelta del siglo, los puentes de hierro fundido en Alemania y de Trance. Estos puentes se hicieron en forma de arcos, para que el material trabajado chieíly en la compresión. Estas nuevas estructuras no siempre son lo suficientemente fuerte y un número de ellos no han podido. Engmeers concluyó que los puentes de hierro fundido no son seguros para grandes luces y comenzaron a construir puentes suspensión, el principio pedagógico de que es muy oíd. Algunos muy oíd que se han encontrado en China y el Sur 1 Ver de Saint-Venant , discretizadas mediante un comentario en la página 104 de su historia de resistencia de los materiales y la teoría de la elasticidad de su famosa edición de Navier . Matemático e de "Currículum des Le< ;ons . . . De la résistance des corps solides", París, 1864. 5 Biografía de Smeaton se encuentra en el primer volumen de los "Informes de John Smeaton, F. R. S. , Londres, 1812. Slrenglh de materiales entre 1800 y 1833 73 Unidos1. Pero la primera suspensión puentes capaces de resistir los rigores de épocas más modernas fueron levantadas en América del Norte a finales del siglo xviii. James Finley construyó su primer suspensión puente en Pensilvania en 1796. A principios del siglo xix existía ya un número considerable de esos puentes en ese estado. El más importante fue el de más cerca el río Schuylkill Philadel- phia. Ingenieros británicos y los estadounidenses, y, durante el primer cuarto del siglo xix, un gran número de estos puentes fueron construidos en Inglaterra. El más importante de ellos, el Menai Bridge con un centro de 550 pies, fue diseñado y construido (1822-1826) por Tel2 ( 1757-1834). El gobierno francés está muy interesado en este nuevo desarrollo, y Navier . Matemático e fue enviado a Inglaterra para estudiar el arte de construir puentes suspensión. Después de dos visitas (en 1821 y 1823) presentó su "Rapport et mémoire sur les Ponts Suspendus" (1823), que contiene no sólo un examen histoi'ical del campo, y una descripción de las más importantes existen puentes- sino también los métodos teóricos de análisis tales estructuras.® durante los últimos cincuenta años, este informe fue uno de los libros más importantes sobre el diseño de suspensión los puentes y hasta el día de hoy se ha conservado en su importancia. Navier . Matemático e En 1824 fue elegido miembro de la Academia, y en 1830 se convirtió en profesor de cálculo infinitesimal y mecánica en la Escuela Politécnica. Sus conferencias sobre estos temas, "Résurné des Legons de Mécauique", fueron publicados, y por muchos años, se gozó de una gran popularidad entre los ingenieros franceses. 18. Libro de Navier . Matemático e intensidad de los materiales En 1826, la primera edición impresa del libro de Navier . Matemático e intensidad de mate- riales4 apareció, y sus principales logros en ese campo se incorporaron 1 Interesante información histórica sobre oíd los puentes de metal puede encontrarse en G. C. Mehrtcns de conferencias en los puentes de metal, vol. 1, Leipzig, 1908. Véase también A. A. Jakkula, "UN Ilistory Puentes de Suspensión en forma bibliográfica", Agrícola de Texas y Mecbanical College, 1941. 2 Ver "La Historia de Telford" por A. Gibb, Londres, 1935. Véase también sonríe, "Vida de los ingenieros", vol 2. Telford organizó el Instituto Londinense de Ingenieros Civiles (1821) y fue el presidente de ese instituto para el final de su vida. 3 El inglés los ingenieros no estaban muy interesados en la teoría en ese momento. Por lo tanto, escribe acerca de Telford Brewster que "había un singular disgusto por los estudios matemáticos, y ni siquiera se hizo conocer con los elementos de la geometría; por lo tanto fue realmente notable esta peculiaridad, que cuando tuvimos la oportunidad de recomendar a un amigo joven como un neófito en su oficina, y fundó nuestra recomendación en su haber distinguido en el campo de las matemáticas, no dudo en decir que, a su juicio, entrad en vez de descalificar de la situación". * Copias de las conferencias de Navier . Matemático e ha sido distribuido entre sus estudiantes desde 1819. Saint-Venant , discretizadas mediante un, que fue uno de los estudiantes de Navier . Matemático e, se refiere a este material cuando se le dis- ción algunos err¿rs de Navier . Matemático e su primera obra. 74 Hislory de resistencia de materiales En ella. Si hemos de comparar este libro con los del siglo xviii, vemos claramente el gran progreso hecho en mecánica de materiales durante el primer trimestre del siglo xix. Los ingenieros del siglo xviii utiliza experimentos y teoría de establecer fórmulas para el cálculo de cargas ultí. Xavier, desde el principio, que es muy importante saber el límite hasta la cual se comportan perfectamente las estructuras elásticamente y no sufrir ajuste permanente. Dentro del rango elástico, estructura superficial En los dos primeros ulos del libro el autor trata simple- ber y simple prismatical aciagos de bares e indica que, para especificar las características de un material, no es suficiente para dar el ultímate fuerzas, sino que también es necesario dar a conocer su módulo de elastieity E, que él define como la relación de la carga por unidad de área de sección transversal a la unidad alargamiento producidas.1 ya que las mediciones de elongaciones muy pequeñas en el campo elástico son necesarios para determinar E, Navier . Matemático e podría llamar muy alejado poca información de experimentos anteriores. Por lo tanto hizo su propia pruebas con el hierro que usó en el para2 que determina el módulo E para ese material. En el tercer artï¿ ½ulo, se discute si se doblan de Navier . Matemático e prismatical bares y asume desde el principio que si se dobla se presenta en el mismo plañe en el que la ley de las fuerzas para que su análisis es válido sólo para las vigas de plañe de simetría y que se cargan en que plañe. - Troladores secciones transversales que permanecen plañe en flexión y con tres equa- nes de statics, concluye que el eje neutral pasa a través del centroide de la sección transversal y que la curvatura está dada por la ecuación El " . , - = M (A) P En la que me indica que el momento de inercia de la sección transversal con respecto a el eje neutral. Suponiendo que las desviaciones son pequeñas y 1 El módulo de elastieity xvas introducido por primera vez en mecánica de cuerpos elásticos por Thomas Young (véase la pág. 92). Pero él se define de un modo diferente. De Navier . Matemático e- recidamente es ahora generalmente aceptado. 2 Consulte el apartado "Kapport et mémoire sur les ponts suspendus", 2a. ed., pág. 293. Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 75 Tomando el eje x en la dirección del eje de la viga, se encuentra la relación E ' % - M ( 6 ) Desde tiempo de Euler, esta ecuación ha sido utilizado para el cálculo del Deflexión de ménsulas y de forma simétrica carga simplemente apoyados Las vigas. Navier . Matemático e utiliza para cualquier Tipo de carga lateral de un simple Viga, en cuyo caso la deflexión Curva está representado por diferentes Ecuaciones en diferentes partes de La viga. Para ilustrar de Navier . Matemático e Método de análisis, veamos Una viga cargada en cualquier punto C, Fig. 51. Denota el ángulo que la recta tangente en C con el eje horizontal de un , encuentra las expresiones , Pa bi . i + / Fb = ~f 3 + s jjjj bronceado /" = Pb a3_ l 3EI - Un bronceado Desde el De las deflexiones de R y con respecto al eje x , Igualdad de esas desviaciones se concluye que Pab{a - b). Bronceado" = - WTl Y el uso de la conocida curva de deflexión en voladizo, los deflec- De las curvas de las dos parte de la viga UN fí puede ser escrito. Él trata el problema de carga uniforme sobre una parte del haz de Fig. 51 De manera similar. En el cálculo del máximum destacar en este caso, Él asume erróneamente que el máximum momento flector existe en virtud de la Centro de gravedad de la carga. Navier . Matemático e fue la primera en desarrollar un método general de analizar estáticamente Indeterminados problemas de mecánica de materiales. El autor afirma que tales Los problemas son tan indeterminado como la Se consideran como absolutamente rígidos, sino que al Elasticidad teniendo en cuenta que siempre podemos Añadir (de las ecuaciones de statics) una serie de equa- Expressmg- las condiciones de deformación, por lo que Que siempre habrá suficiente para permitir las relaciones Evaluación de las cantidades desconocidas. Habida cuenta de que, Por ejemplo, una carga P apoyado por varios bares en Uno plañe (Fig. 52), Navier . Matemático e indica que si los bares son absolutamente rígida Problema es indeterminado. El hombre puede tomar valúes arbitraria de las fuerzas 76 Hislory de resistencia de materiales En todos los bares excepto dos y determinar las fuerzas en los dos últimos mediante las ecuaciones de estática. Pero el problema pasa determínate si la elasticidad de las barras es tomado en consideración. Si ella y v son las horiO, puede expresar el alargamiento de las barras y las fuerzas en ellos, así como funciones de u y v. Escritura ahora dos ecuaciones de estática, se encuentra i< y v y, a continuación, calcúlales las fuerzas en todos los bares. Examinar los problemas de duración indeterminada statieally doblado, Navier . Matemático e comienza con el caso de una viga en un extremo y simplemente apoyados en la FIG. 53. Otros (Fig. 53). Lo cual denota la reacción statieally indeterminado en B por Q , obtiene las siguientes ecuaciones: El g = P(a - x ) - Q (l - x) Para la parte AC de la viga y Dhj El Dx2 -Q(l - x) Para la parte CB. Integrando esta ecuación y observando que en C las dos partes de la deformación curva tangente común tienen una igualdad y las coordenadas, se encuentra " Dy _ Pa2 Hasta ~r~ - Dx 2 Desde el desvío se anula para x = l, señala que P(3a2l, a3) Q = 2L'i Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 77 De la última ecuación. Ilaving esta reacción, las ecuaciones para ambas partes de la curva rlefiectioii pueden obtenerse con facilidad. De manera similar Navier . Matemático e analiza una viga con ambos extremos integrado y un haz de tres apoyos. Vemos que los métodos de llegar a las curvas deformación de integración, y de calcular estáticamente indeter- nización quantitics, están completamente desarrollados por Navier . Matemático e. Pero la curva- momento de esquila y de fuerza de diversa índole, tan ampliamente utilizado en el momento actual, están ausentes en su análisis, y esto podría explicar por qué, en algunos casos, la ubicación de la máximum momento flector no está correctamente fijado. Navier . Matemático e considcrs también problemas en los que la deformación de barras prismatical es producida por la acción simultánea de las fuerzas axiales y laterales. Después de un debate sobre el pandeo de columnas bajo la acción de compresión axial, se lleva los casos de compresión excéntrica y aciagos y también de que La Fia. 54. De una forcé actuando en el extremo de la columna de un cierto ángulo con el eje. Fórmulas para calcular el momento de flexión y máximum máx Navier . Matemático e hizo una importante contribución a la teoría de deformación de barras curvadas en su libro. Euler ya había formulado la hipótesis de que, cuando un initiaUy barra curva está doblado, el momento de flexión es proporcional al cambio de la curvatura. Navier . Matemático e toma la fórmula El = M \P po / Y la utiliza para investígate la curvatura de un element afí barra curvada (Fig. 54A) en el extremo A. Teniendo un elemento ds en un punto C, el autor llega a la conclusión de la ecuación anterior que el ángulo entre las dos secciones transversales adyacentes los cambios, debido a la flexión, por la cantidad M ds/IE, por lo que el 78 Hislory de resistencia de materiales Sección transversal C gira en flexión, a través del ángulo _ Í ' Mds · : t : Debido a la rotación, las proyecciones iniciales dx y dy del elemento ds Será cambiado a dx y dy, (Fig. 546), y hemos Dx i - dx = -ds ■ 8 <t> ■ pecado <f> = -áy Dy i - dy = ds ■ d<p • eos <f> = dx Integración de todas estas fórmulas, que obtiene los componentes del desplazamiento de cualquier punto C, en flexión de la siguiente forma: [ * , [ * M ds 1 D · / · Fs , M ds t , ; . · : : : Con estas ecuaciones, estáticamente mdeterminate problemas de deformación de barras curvas pueden ser resueltos. Considerar, por ejemplo, la simetría de dos bisagras arco cargado de la corona (Fig. 55), tenemos una forma estática indeter- t ·. : El [ * M ds : E l Y Fio. 55. FIG. 56. Empuje nización II, cuya magnitud se puede encontrar en la condición de que la horizontal de la bisagra displaeement B desaparece. Por lo tanto De esta ecuación Navier . Matemático e calcula el empuje H de antena parabólica y cir El último capítulo del libro deais con conchas finas, y también contiene algunos de Navier . Matemático e la obra original. Él comienza con un análisis de la forma Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 79 De equilibrio de una perfectamente flexibles y cadena inextensible AB sometido a presión normal, en la plañe de la curva (Fig. 56) Y llega a la conclusión (a partir de las condiciones de equilibrio de un elemento rm) que S S = const y - = p p Donde S es la tensión de la cadena y p es el radio de curvatura. La curvatura en cualquier momento, por lo tanto, debe ser proporcional a la presión. Teniendo una indefinida canal (Fig. 57A) que contiene el líquido y es apoyado por las fuerzas distribuidos de manera uniforme , se le pregunta en qué condiciones no habrá doblado de la concha y se muestra que este es el caso si la curvatura en cualquier punto m es proporcional a la profundidad . La curva satisfacer este requisito es producida por una esbelta curvatura en un principio tira recta AB por fuerzas F como se muestra en la Fig. 576, Desde el momento de flexión y la curvatura de la deformación curva en cualquier punto m son evidentemente proporcional a y. Considerando una cáscara fina uniforme sometido a tensión y presión normal p, Navier . Matemático e encuentra la ecuación S(L + i ) - p \p p i/ De las condiciones de equilibrio. De ella, se encuentra una expresión para la tensión de tracción en una capa esférica de espesor h, es decir, = - = BR a h 2h Navier . Matemático e1 esférica delgada pruebas con proyectiles de hierro alrededor de 1 pies de diámetro y 0,1 de espesor. Someterlos a presiones internas suflicient para producir ruptura, se encontró que la fuerza de ultímate el material es aproximadamente la misma que si se obtienen a partir de ensayos tracción simple. 1 Ver Aun. ¿Él. Et phys., vol. 33, Pág. 225, París, 1826. 80 Historia de resistencia de materiales Libro de Navier . Matemático e ehapters adicionales se trata de muros de contención, arcos, placas y vigas. Estos serán tratadas más adelante. Vemos que el libro contiene satisfaetory soluciones de muchos problemas estructurales a pesar de que, para que sea completa desde el punto de vista presente, habría que añadir los debates de la esquila destaca en la curvatura de un bcam y de la curvatura de un haz de plañe que no coincide con la de la ley de fuerzas. Estos dos problemas, como veremos, fueron resueltos posteriormente, tras la muerte Navier . Matemático e. 19. El trabajo experimental de ingenieros franceses entre 1800 y 1833 Los ingenieros del siglo xviii son los principales interesados, cuando las pruebas materiales, en resistencia final y, a pesar de que acumulan una gran cantidad de datos relatiug a fracaso, muy poca atención se ha tomado de las propiedades elásticas de sus especímenes. Vamos a ver ahora que los ingenieros que han pasado por la Escuela Politécnica al comienzo del siglo xix, por lo general no sólo la práctica sino también algún interés científico en sus trabajos experimentales. Esto se debió a su formación integral en las matemáticas, la mecánica y la física. F. P. C. Dupin1 ( 1784-1873) fue un destacado alumno de la nueva generación, y se graduó de la Escuela Politécnica ílcole en 1803. Aunque todavía en la escuela, Dupin demostró su gran capacidad de mathe- malician, publicó su primer trabajo en geometría. En 1805 fue enviado, como un ingeniero naval, a las Islas Jónicas donde fue puesto en cliarge del arsenal en Corfú. Allí, hizo su importantes investigaciones del arco de madera vigas beams.2 Prueba que son compatibles en los extremos se encuentra con que, hasta un límite certaiu, las deformaciones son proporcionales a la carga. Más allá de este límite las deflexiones aumento a un ritmo superior y, como se muestra, la deflexión de carga relación puede ser representada por un par- abolic curva. Utilización de distintos tipos de madera, se encuentra con que su resistencia a la flexión gmeral aumenta con su peso. Comparando la deflexión producida por una carga concentrada aplicada en el medio de un cruce con los producidos por una carga uniformemente distribuida de la misma magnitud, se encuentra con que la desviación en el segundo caso es igual a la de primera. Vemos que la relación es bastante experimental cióse acuerdo con el valué f, dado por la teoría. En experimentos con vigas rectangulares, Dupin encuentra que las desviaciones son inversamente proporcional a la anchura y al cubo del grosor. También considera que las desviaciones son proporcionales al cubo de la span. Geométricamente semejante Consideving bearas del mismo material, que se con- cluye que la curvatura en los centros producida por su propio peso 1I, 'o biografía de Dupin, véase J. Bertrand, "Éloges Académiques", pág. 221, 1890. 2 Ver Expóriences sur la flexibilité, la forcé et l'élasticité des bois, J. École polytech., vol. 10, 1815. Istrength de materiales entre 1800 y 1833 81 Es eonstant- y que sus inclinaciones son proporcionales a los cuadrados de las dimensiones lineales. Investigando la forma curva de la deformación- por una carga aplicada en el medio de una viga, se encuentra con que la curva se puede representar con una buena exactitud de una hipérbola. De estos experimentos Dupin algunas conclusiones en torno a la fortaleza y las desviaciones de los cascos de buques de madera. Todos estos residís se obtuvieron antes de la aparición de Navier . Matemático e el libro de resistencia de materiales. Una extensa serie de pruebas de hierro y las estructuras no fue hecha por A. Duleau,1 otra es diplomado de la Escuela Politécnica. En la primera parte de su ponencia, se deriva la necesaria Duleau fórmulas para la flexión y prismatical bucklmg de bares, de la curvatura de arcos, y de la torsión de los ejes. En assigniug la posición del eje neutral en flexión, incorrectamente assuines que en el momento de las fuerzas de tracción sobre es igual ( B) Fio. 58. En el momento de las fuerzas de compresión. Dado que la mayoría de su trabajo deais con vigas rectangulares y circulares, este error no afecta a la validez de sus conclusiones. Muy al principio, él se define el módulo de elastieity en aciagos y compresión y, suponiendo que durante la flexión de una viga secciones siguen plañe, él deriva la ecuación differeutial curva de la deformación. Esta ecuación se aplica a un brazo y a una viga simplemente apoyada en sus extremos. De llegar a una fórmula de la deflecl, se concluye que la construcción en los extremos reduce la deflexión en el centro de un cuarto de las correspondientes valué simplemente apoyados por un haz de la misma. Los resultados de sus experimentos en flexión de las vigas muestran muy buen acuerdo con su teoría, en el caso de vigas rectangulares, pero cuando la sección transversal tiene la forma de un triángulo equilátero, una menor rigidez se encuentra que el que la teoría prediets. Este discrepaucy puede ser \ # m 1 A. Duleau, "Essai théorique et preescolaridad sur la résistance du fer forgé", París, 1820. 82 Historia de Slrengllt de materiales Explica en términos de su idea equivocada con respecto a la posición del eje neutro. Las pruebas siguientes se mencionan con compresión axial del prismat- ical barras de hierro. Él utilizó muy delgadas barras para sus experimentos y se esfuerza por garantizar aplicación central de la carga. De esta manera, él llegó a resultados que muestran acuerdo satisfactorio con teoría de Euler. Duleau realizó varias pruebas con las vigas del tipo se muestran en la Fig. 59. Para el cálculo de la rigidez flexural que utiliza la cantidad b(h3 - hi3) /12 para el momento de inercia de la sección transversal. Los experimentos muestran que, para obtener acuerdo satisfactorio con la teoría, es muy importante para prevenir el deslizamiento de la parte superior de la viga con respecto a los inferiores. Esto puede llevarse a cabo por apretar los tornillos. Las deflexiones obtenidas experimentalmente con estas estructuras fueron siempre un poco más grande que los calculados, y la diferencia beeame cada vez más notable cuando la distancia entre los dos hi F ---------- J ---------------------- t --------------------- F ------------ Fl Y Y L/V - ·/, H H < ---------- I ----------------------- Ti -------------------- 6 ------------ ¿R R 77Z¿¿ * FIG. 59. Las piezas de la viga se incrementó. La causa de esta incoherencia se hace evidente si tenemos en cuenta que, en los cálculos de Duleau, la influencia de la esquila forcé en desviaciones no se tiene en cuenta. Con el aumento de la distancia h¡ esta influencia es mayor mientras que la desviación total es relativamente reducido para que la deflexión a cortante se vuelve más y más importante. Habiendo aprendido de sus experimentos que la fuerza de la luz y su rigidez aumentan con la distancia hh Duleau observa que es conveniente utilizar vigas que consta de dos bridas conectados por una red. Recomienda también que las secciones tubulares que ya se estaban utilizando en arcos de hierro fundido puentes.1 Duleau hizo su próxima serie de pruebas con fina arcos que había dos bisagras. Él encontró que cuando el arco se ha cargado en el medio no se observó ningún cambio de curvatura en el tercer puntos spanwise (en el sentido de la palabra). Suponiendo que hay bisagras en esos puntos, él ha desarrollado una solución aproximada del problema y este fue satisfactoria para arcos de las proporciones utilizadas en sus experimentos. Una aceptable teoría de flexión de los arcos se ofreció más tarde por Navier . Matemático e como sabemos (consulte la página 77). Las pruebas finales que Duleau han abordado la torsión de los pri- puedan definir barras de hierro. A partir de los ejes circular y en el supuesto de que las secciones que siguen siendo plañe y radios en las secciones permanecen rectas 1 Gauthey Duleau menciona que recomendó la arcos tubulares en 1805. Slrenglh de materiales entre 1800 y 1833 83 Él trabaja en una fórmula para el ángulo de giro que coincide con Coulomb's. mentira malees el mismo supuesto para el cálculo del ángulo de giro de tubos circulares. Aquí de nuevo, menciona la ventaja de utilizar las secciones tubulares. En cuanto a la torsión de barras rectangulares, Duleau observa que las hipótesis formuladas para circular los ejes ya no son aplicables. En ese momento, se había aceptado que generaUy torsión proporcional a la distancia desde el eje de la barra, pero los experimentos de la Duleau ha demostrado que esto no es so.1 más adelante veremos que Cauchy mejor esta teoría y que el problema fue resuelto finalmente con rigor de Saint-Venant , discretizadas mediante un . Vemos que los experimentos de Duleau siempre se realizaron dentro de los límites del límite elástico. Su material seguido Hooke la ley y siempre trató de verificar su teórico fórmulas mediante la experimentación. Consideraba que sólo este tipo de experimento puede proporcionar información útil para los ingenieros- y ha criticado las pruebas que los realizados por Buffon (consulte la página 55) en la que el objetivo fue siempre el de buscar la máxima carga. En conclusión valida, interesante e importante se llegó a resultados. por Séquin, Lamé y Vicat durüig este período. El primero de estos famosos ingenieros publicó los resultados de sus pruebas del cable, que se utiliza para levantar el primer francés bridge.2 suspensión de Lamé investigaciones tratan con las propiedades mecánicas de hierro,Rusia aboga por Vicat3 mientras que las pruebas de larga duración como una protección contra el "fenómeno de arrastre, que fue el primer aviso de Vicat4 también estudió la resistencia de los distintos materiales de seguridad6 y mostró por prueba directa que, en breve las vigas, el efecto de la esquila forcé de la fuerza se vuelve muy alejado. Desde que trabajó con las vigas cortas y utiliza materiales como piedra y ladrillo que no siga la ley Hooke, se ocupó de los asuntos en que la flexión simple teoría no puede ser applicd satisfactoriamente. Por lo tanto, su trabajo era de poco teóricas valué salvo que en él se subraya la importancia de la pre- sencia de fuerzas de cizallamiento de vigas. 20. La Theoríes Suspensión de Arcos y Puentes entre 1800 y 1833 Durante el período 1800-1833, los diseñadores de arcos seguidos por lo general teoría de Coulomb y suponer que si un arco falla, lo hace en el hombre- ner se muestra en la Fig. 47, Es decir, bréales en cuatro trozos. La dificultad principal 1 En su histórico Saint-Venant , discretizadas mediante un examen (véase la pág. 181) afirma que los resultados de los experimentos de Duleau, obtenidos por torsión barras rectangulares, sorprendido Navier . Matemático e. 2 Ver su libro "Des ponts en fil de fer", 1823; 2d ed., 1826. Para conocer la biografía de este ilustre ingeniero, véase Émile Picard, "ftloges et Discours Académiques", París, 1931. 3 Los resultados de sus experimentos se puede encontrar en libro de Navier . Matemático e, 2a. ed., p. 34. 1 Véase Ann . ponts el Marne, 1834 (Note sur l'allongement progresivo du fil de fer géog á diversas tensiones). 6 Ann. ponts el Marne, 1833, pág. 200. 84 Historia de resistencia de materiales De este análisis es encontrar la ubicación de la sección transversal de la fractura BC ( Fig. 60). La teoría supone que el eje horizontal //, aplicada En el punto más alto de la sección transversal ), junto con el peso P de la parte A D BC del arco y la carga en la parte da una R resultante pasa a través del punto B. También, la sección BC es Situadas de tal manera que H tiene su máximum valué. El problema de hallar el Ubicación de esta sección transversal de fractura por lo general se resuelve mediante una prueba y- Método error. Para algunos supone Posición de la sección, el peso P y el punto de aplicación Se pueden encontrar y, a continuación, la contami- Describimos el empuje de valué H Se puede calcular a partir de la so De statics. Para encontrar el Máximum valué de H con carác- CIENTE precisión, este cálculo Debe ser repetido varias veces, Y ya que en ese momento el trabajo Se llevó a cabo analíticamente, de- Demandada el gasto de mucho Tiempo. A fin de simplificar la labor, las mesas estaban preparados con el peso y La posición del centro de gravedad de la porción BCAD del arco para Cualquier ubicación del BC en ciertos tipos de que tiene muchos arcos.1 cuando la sección transversal De la fractura y la correspondiente valué //,"" * se han encontrado las de dimensión Desarticularlas EF de la parte inferior de los seminarios EFCB tendrán sus próximas ediciones stincture debe ser fija, Que, en el momento de el peso de la mitad arch ADEF con respecto a El eje F withatand la acción de Hmx aplicadas a una con un factor De la seguridad. Algunas extensiones muy interesantes de esta teoría fueron dadas por M. G. y E. Clapeyron Lainé2 que, en su momento, estaban al servicio del gobierno ruso. Ambos eran profesores en el Instituto de Ingenieros de Caminos de Comunicación en San Petersburgo. Y se les pidió que investígate la estabilidad de forma cilíndrica y arcos de la cúpula de la catedral San Isaac, que en ese momento se estaba construyendo. Para un arco de sección transversal constante, que la posición de la sección transversal de la fractura analítica y dio una fórmula de // "ulk han sido diseñadas para trabajar. También mostró que, en el caso de arcos simétricos de cualquier forma, el cálculo de la posición de la sección transversal de fractura puede ser mucho más fácil si en lugar de las secciones radiales verticales se contempla. Han demostrado que si se hace la sección transversal se encontrará en el estado 1 Poncelet en su "Examen critique et historique des théories ou soluciones principales concernant l'équilibre des voutes", Compt. rend., vol. 35, págs. 494, 531 y 577, 1852, menciona las fórmulas de Audoy, utilizada para este pui'plantean en la escuela militar de Metz. S Ann. las minas, vol 8, 1823. Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 85 Que la tangente a la intradós (o muer surfaee) en B pasa por el punto de intersección de las fuerzas P y II A vory gráfico simple método para localizar la sección transversal BC foJlows de este hecho. Navier . Matemático e, en las notas que se adjuntan a la Gauthey libros sobre puentes (consulte la página 57), sigue teoría de Coulomb. Pero, en su "Currículum des Le^complementos . . . " De 1826, añade un importante debate de tensiones en arcos. Coulomb ya se menciona que las fuerzas H y R ( Fig. 60) Debe actuar a una cierta distancia de puntos A y fí para que no sea suficiente para la distribución de las tensiones. Navier . Matemático e supone que tensiones normales a lo largo de las secciones transversales AD y BC se distribuyen según una ley lineal y que desaparecen en los puntos D y C, donde , según la teoría de Coulomb, splittmg comienza cuando se produce una falla. De ello se desprende que, en los puntos A y B , las tensiones son el doble de los que se obtendrían en el supuesto de una distribución uniforme de tensiones (por encima de la cruz secciones AD y BC). También se desprende que las resultantes de las fuerzas II y R debe aplicarse en las distancias de un tercio de la profundidad de las secciones transversales de los puntos A y B. Teniendo estas nuevas líneas de acción de las fuerzas II y R, Navier . Matemático e encuentra a algunos- lo que más grande para que los valúes llegó a hasta ahora. Él aplica estas nuevas tensiones valúes en informática y en la búsqueda de la dimensión EF ( Fig. 60) De la estructura. La nueva posición de la foi'ces H y R ganó aceptación general, las que fueron aprobadas en futuros trabajos en arco. Es interesante señalar que la solución del problema de cora excéntrico encarcelamien- de barras obtenidas por Thomas Youñg (consulte la página 95), y publicado en su "filosofía Natural" (1807), no se le vio por Navier . Matemático e que llegó a su conclusión valida sobre el significado de los tres puntos con bastante independencia. Navier . Matemático e fue el primero en resolver se vera 1 problemas de la deformación de barras curvadas; pero no se le ocurrió a que estas sol.los iones se pueden aplicar para el cálculo de la magnitud del impulso II en arcos de piedra. La opinión de que arcos deben ser tratados como barras curvas elásticas se expresó, por primera vez, Poncelet en el artículo mencionado anteriormente sobre la historia de las teorías arco. Tomó una cantidad de tiempo considerable, como veremos, de la idea de afectar el diseño práctico de arcos. La primera suspensión los puentes que se construyen para soportar los rigores del reg,1 se usa la ecuación de la catenaria para determinar la resistencia de la forcé cables.2 1 Ver Barlow, "Tratado sobre la solidez de los Materiales", 6ª ed., p. 209, 1867. 1 Davies Gilbert p mesas para simplificar los cálculos de este tipo. Seo su artículo, " 'Pables Informática para todos los Circurastances de presión, estrés, . . Puentes de Suspensión", Phil . Trans., 182G. 86 Historia de resistencia de materiales T.hc ingenieros de la época consideraba que era más importante ataque pro- blemas de fuerza por medio de pruebas. Telford consideraron que era conveniente poner a prueba la solidez de su cable, presentando a las cepas como los resembhng casi en el puente en sí como sea posible. La Figura 61 representa la- que utilizaba para vanos de hasta 900 pies. Se encontró que el cable comienza a extenderse rápidamente cuando la forcé en que era un poco más grande que la mitad de sus efectivos ultímate; por lo tanto, se decidió zumentar que el cable debe estar diseñado de manera que, en las peores condiciones posibles, los forcé tracción no deberá exceder de un tercio del ultímate. Una labor en la teoría de suspensión los puentes se encuentra en de Navier . Matemático e informe (véase la página 73). Navier . Matemático e ha quedado muy impresionado por los puentes, lo vio en Inglaterra y elogia a ese tipo de estructura. En el primer capítulo nos da una reseña histórica de la cuestión, así como también describe la nueva British puentes. El segundo capítulo está dedicado a las soluciones de diferentes problemas de esfuerzos y deformaciones en suspensión Puentes. Después de investigar la desviación producida por una carga que es distribuida de manera uniforme a lo largo del cable, o a lo largo de la span, Navier . Matemático e examina las desviaciones producidas por un concentrado forcé y muestra que el eíTect de tal carga es cada vez más y más pequeña que la estructura es más grande y pesada. Llega a una conclusión valida similares cuando se trata de investigar las vibraciones producidas por el impacto de cargas concentradas en suspensión los puentes. Sobre la base de este análisis, Navier . Matemático e decide que "le succós est d'autant mieux assuré, que l'entreprise est plus grande et nómeno plus hardie." estudio posterior construcción de un puente de suspensión ha. revelado que este dictamen fue el correcto. Grandes y pesadas gibilidad En la segunda edición de su informe y, en forma de autobiografía, el ingeniero francés da un análisis detallado de los factores que dio lugar finalmente a la desmantelar- puente de su suspensión antes de su completion.1 1 El peso de los bloques para que los cables estaban conectados demostrado insuflicient deslizante y algunos se dieron cuenta durante el proceso de construcción. La historia de este Strenglh de materiales entre 1800 y 1833 87 Es interesante observar que el primer puente de suspensión- St, impuesta por los ingenieros franceses fue erigido en San Petersburgo, Rusia (1824-1826), sobre el río Fontanka. 21. Poncelet (1788-1867) Poncelet nació en una familia pobre de Metz.1 ilis trabajos pendientes En la escuela de gramática no le ganó la oportunidad de obtener una beca para El liceo de su ciudad natal. En 1807, Pasó con éxito el entorno competitivo Examen de ingreso de la Escuela Politécnica, y allí se convirtió en Un alumno de Monge. En graduarse (En 1810) ingresó en el ejército Escuela de ingenieros de Metz2 y, Después de completar su curso, se unió a Ejército de Napoleón en 1812. Durante La retirada de Moscú en noviembre de Ber, 1812, fue tomado prisionero y Tuvo que vivir como tal durante unos dos Años en Saratov a orillas del río Volga. En su confinamiento, sin científicos. Libros o cualquier otlier contacto con Cultura Europea Occidental, pero con Tiempo de sobra para científicos de meditación Poncelet, desarrolló las ideas básicas de su nueva geometría proyectiva ( Geometría). Cuando la paz se declarcd, Poncelet regresó a Francia y se llevó una posi- ción en el arsenal de Metz. mentira había sulficient tiempo que continué la investigación científica para que su famoso libro, "Traité des propriétés proye- des cifras", se publicó en París en 1822. En ese momento, el francés los matemáticos están más interesados en las aplicaciones de análisis matemático en la solución de los problemas físicos y la labor de Poncelet puré geometría no ganar reconocimiento adecuado. Esto desalienta la sci- entist que interrumpía la investigación matemática y tiró toda su energía en resolver los problemas de ingeniería mecánica; hay muchos mecánicos importantes cuestiones que se plantean en el arsenal. Muy pronto, Pon... Shortcoraing de Navier . Matemático e es de diseño de Prony. Ver Ann . ponls et cliaussées, 1837, p. 1. "La biografía de Poncelet, véase J. Bertrand, " Ménioires de l'Académie des Sciences", vol 41, 1879. 2 La escuela de Móziéres fue trasladado a Metz en 1794. Fio. 62. .T. V. Poncelet. 88 Hislory de resistencia de materiales 1826, Su libro "Cours de mécanique applique aux machines" fue pub Durante los años 1848 1850, fue comandante de la École Polytech Mientras que las reclamaciones principales de Poncelet a la fama se encuentran en los campos de la geometría y dinámica, también hizo importantes contribuciones a la mecánica de mate Thomas Young fue el primero en demostrar (consulte la página 93) la importancia del efecto dinámico de una carga puede ser. Poncelet, influeneed por la práctica del diseño de la suspensión los puentes de su tiempo, entra en un estudio más detallado de esta dinámica. Con el uso de sus diagramas de prueba muestra que, hasta el límite elástico, una barra de hierro sólo puede absorber una pequeña cantidad de energía cinética y que las condiciones de impacto puede producir fácilmente una per- manentes. Para los miembros estructurales sometidos a impacto, se reco- mienda hierro forjado, lo que da un gran alargamiento y pruebas de resistencia puede absorber una mayor cantidad de energía cinética sin fallos. Poncelet demónstrales analíticamente que la aplicación repentina de carga produce dos veces la tensión que la misma carga produciría si se ha aplicado progresivamente. Investiga el efecto longitudinal en un bar y la longitudinal las vibraciones producidas por un impacto de este tipo. También muestra que, si un pulsat forcé- actúa sobre una carga, la amplitud de las vibraciones se pueden construir en condiciones de resonancia y explica por qué un destacamento de soldados marchando a través de una suspensión puente puede ser peligroso. Encontramos una interesante discusión sobre los experimentos de Savart longitudinal en la vibración de bares y una demostración del hecho de que grandes amplitudes Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 89 Y grandes esfuerzos pueden ser producidos por pequeñas fuerzas de fricción actuando a lo largo de la superficie. Encontramos una referencia a la importante phenoinenon de cansancio de metáis causado por ciclos repetidos de estrés en Poncelet de "Mecánica Industrial." afirma que, bajo la acción de la alternancia entre tensión y compresión, la más perfecta primavera pueden fallar en fatiga1 Algunas investigaciones en mecánica de los materiales fueron realizados por Poncelet en relación con su cátedra en la Sorbona. Estas conferencias han publicado nunca beeu pero existen en forma manuscrita. Algunas partes fueron utilizados por Morin en su libro "Résistance des Matériaux", párrafos 213 a 219, París, 1853. Saint-Venant , discretizadas mediante un , en la tercera edición de Navier . Matemático e "Ilésumé des legons", se refiere a Poncelet inéditos de conferencias en las páginas 374, 381 y 512; el Dr. Schnuse, el editor de la traducción de Germán de Poncelet "Mécanique appliquóe aux máquinas", añade (para este translal, amplitud b y altura h lleva una carga uniformemente distribuida de intensidad q, él da la fórmula Ebh 2 J'1 \ 8 P) El máximum de deflexión y observa que el segundo término en el soporte y representa el efecto de la esquila forcé, es de una importancia práctica sólo relativamente corto en las vigas. En el debate sobre la cuestión de la selección seguro destaca, Poncelet favorece la teoría andasserts máximumstrain que error se produce cuando el máximum cepa alcanza un determinado límite. Por lo tanto, el estado de ruptura en el caso de compresión de tales materiales quebradizos como la piedra y el hierro fundido se basa en la expansión lateral. El máximum cepa teoría se usa de la misma forma después de Saint-Venant , discretizadas mediante un uso extenso y se encuentra en el continente, mientras que las de Inglés escritores continuaron a basar sus cálculos de diseño de máximum estrés. Poncelet investigaciones del abrazado también la theoi-y de las estructuras. En se examinaban la estabilidad de los muros de contención, que ofrece un método gráfico de encontrar el máximum de la presión wall.2 en el tratamiento de los factores de estrés en arcos, fue el primero en señalar que un sistema racional análisis de estrés puede ser "Sen p. 317 de la tercera edición de "Introducción a la Mécanique Industrielle", París, 1870. 2 Véase su "Mémoire sur la stahilité des revétements et de leurs fondations" en incoó. officier génie, 13, 1840. 90 Historia de resistencia de materiales Desarrollado sólo por considerar un arco como una barra curva elástica (consulte la página 323). 22. Tilomas Young ( 1773-1829) Thomas Young1 nació en una familia de Cuáqueros con Milverton, Somerset. Como un niño que ha mostrado una notable Capacidad de aprendizaje, especialmente en Dominar languagas y mathema- Los tics. Antes de que él era catorce años Oíd, tenía un conocimiento antes mencionada no sólo Lenguas modernas sino también del latín, Griego, árabe, persa, y el hebreo. De 1787 a 1792 obtuvo su liv- Ing de una familia rica como tutor. Esta posición le dejó libre suficiente Tiempo continué sus estudios, y él Trabajó duro en los campos de la filosofía Y las matemáticas. En 1792, los jóvenes Comenzó a estudiar medicina, primero en Londres y Edimburgo y posteriormente Universidad de Gottingen, donde él Recibió su título de doctor en 1796. En 1797, después de su regreso a Inglaterra, fue admitido como Miembro Com- moner de Emmanuel College, Cambridge, y pasado algún tiempo estudiando allí. Un hombre que sabía los jóvenes y en ese momento lo describe con las siguientes palabras:2 "Cuando el maestro introdujo los jóvenes a sus tutores, se le llama con humor dijo: "Le he traído un alumno calificado para leer conferencias a sus tutores." Esto, sin embargo, que no intento, y la paciencia era mutuo; nunca fue obligado a asistir a las funciones comunes de la col. 1 UNA muy interesante biografía de Thomas Young fue escrito por G. Peacock, Londres, 1855. 2 Ver el libro de G. Peacock. Slrenglh de materiales entre 1800 y 1833 91 Supongamos que poseía, sino que hablaba como si él daba por descontado que todos comprendimos el asunto, así como lo que hizo. . . . Su lenguaje era co su pronunciación rápida, aucl sus oraciones, aunque sin ninguna affecta- nunca dejó inconclusa. Pero sus palabras no eran las mismas que las de uso familiar, así como la disposición de sus ideas raras veces los mismos que los que la conocen bien. Por lo tanto, peor calcula que cualquier hombre que nunca supo de las redes" de conocimiento. . . . Es difícil decir cómo es él mismo; mentira leer poco, y aunque tuvo acceso a la Universidad y las bibliotecas de la Universidad, fue rara vez se ve en ellos. No se encontraron los libros apilados en el suelo, sin papeles esparcidos por la mesa, y de su habitación tenía todas la apariencia de pertenecer a un hombre. . . . El sel Muy caiiy jóvenes empezaron su trabajo científico original. Tan temprano como 1793, un documento de su sobre la teoría de la vista se presentó a la Real Sociedad. Mientras que en la Universidad de Cambridge (en 1798), Los jóvenes se interesó en el sonido. Sobre este trabajo, escribe: "he estado estudiando, y no la teoría de los vientos, pero del aire y me han hecho observaciones sobre harmonios que creo que son nuevos. Varias circunstancias desconocidas por el matemático Inglés que yo pensaba que había primera diseovered, I desde que se han diseovered y demostrada por la relaciones matemáticas Su gran conocimiento de las ciencias físicas fue reconocido cuando, en 1802, fue elegido miembro de la Real Sociedad. El mismo año fue instalado como un profesor de filosofía natural en el Royal institu- ción. Esta institución iasl reúne en 1799 "para diífusing el conocimiento y facilitar la general y rápida introducción de nuevos y útiles invenciones mecánicas y mejoras, y también para la enseñanza, bjr reg. 92 Ilislory de Sirenglli de materiales Calculado para causar dificultades. , Renunció a su cátedra en 1803, pero se mantuvo el interés de filosofía natural y preparó su ciclo de conferencias para su publicación. Los jóvenes las principales contribuciones a la mecánica de los materiales que se encuentran en este golf.1 En el capítulo de resistencia pasiva y la fricción (vol. 1, Pág. 136), los principales tipos de deformación de prismática. Bares son discutidos. En segu- ridad aciagos y la compresión, la noción de módulo de elasticidad es introducido por primera vez. La definición de esta cantidad es diferente de la que ahora se utilizan para especificar módulo de Young. Se dice: "El módulo de la elasticidad de cualquier sustancia es la columna de la misma sub-posición, capaz de producir una presión sobre su base que es el peso lo que hace que un cierto grado de compresión, como la longitud de la sustancia se encuentra en la disminución de su longitud." Los jóvenes también habla del "peso del módulo" y la "altura del módulo", y señala que la altura del módulo (para un determinado material es independiente de la zona de la sección. El peso del módulo equivale al producto de la cantidad que tenemos en la actualidad cali módulo de Young y el área de sección transversal de la podían verla.2 Describir los experimentos sobre aciagos y compresión de bares, los jóvenes se señala a la atención de sus lectores sobre el hecho de que deforma longitudinal- siempre están acompañados de algunos cambios en las dimensiones laterales. La ley de Hooke, que observa que contiene sólo hasta un cierto límite más allá del cual una parte de la deformación es inelástica y constituye ajuste permanente. En relación con las fuerzas de cizallamiento, los jóvenes que no se han hecho las pruebas para establecer la relación entre fuerzas de cizallamiento y la deforma- ciones que producen, y afirma: "se puede inferir, sin embargo, a partir de las propiedades de las sustancias, destacamos que la forcé en la simple relación entre la distancia de la partióles de su posición natural, que, además, debe ser simplemente proporcional a la magnitud de la superficie a la que se aplica." Cuando los ejes circular están trenzados, señala que los jóvenes del par de apriete aplicado es principalmente equilibrado mediante la esquila ley destaca que en la sección transversal aviones y son proporcionales a la distancia desde el eje y el ángulo de torsión. También señala que una resistencia adicional al par, proporcional al cubo de la ángulo de giro, será provista por la longitudinal destaca en las fibras que se dobla 1 Thomas Young, "un ciclo de conferencias sobre filosofía Natural y Artes Mecánicas", 2 vols., Londres, 1807. La parte más interesante del material relativo a la deformación de las vigas no se ineluded en la nueva edición que fue editado por Totnes Museum. * Los jóvenes habían determinado el peso del módulo de acero a partir de la frecuencia de vibración de un diapasón y la encontró igual a 29 X 10e Ib por in.2 Ver "Filosofía Natural", vol 2, pág. 86. Resistencia de Materiales belween 1800 y 1833 93 De hélices. Debido a esto, el exterior de las fibras se aciagos y las fibras internas en la compresión. Además, el eje se acortará en torsión " un cuarto tanto como el externo se extenderá las fibras si la longitud se mantuvo. "1 En el debate sobre si se doblan de ménsulas y vigas en sus dos extremos, los jóvenes da los principales resultados sobre las desviaciones y fuerza, sin derivación. Su tratamiento de la flexión lateral de columnas comprimido incluye el siguiente comentario: "Un gran irreg- ularities pueden ser observadas en todos los experimentos que se han realizado en la flexión de las columnas y vigas expuestas a las fuerzas longitudinales; y no hay duda de que algunos de ellos fueron ocasionados por la difliculty de la aplicación de la forcé precisamente en las extremidades del eje, y otros por la accidental las desigualdades de las sustancias, de las cuales hay que tener en cuenta que con frecuencia las fibras han sido en ese sentido como para constituir originalmente doblado en lugar de columnas". Al considerar deformaciones inelásticas, los jóvenes hacen una importante declaración: "una alteración permanente de la forma . . Limita la fuerza de los materiales con respecto a efectos prácticos, casi tanto como la fractura, ya que en general, la forcé que es capaz de producir este eíTect es suficiente, con una pequeña adición, para aumentar hasta fractura tiene lugar." Como hemos visto, Navier . Matemático e carne a la misma conclusión valida y propuso que el trabajo subraya debe mantenerse mucho más bajos que el límite elástico del material. En conclusión valida, los jóvenes le da un interesante debate sobre la fractura de cuerpos elásticos producidos por impacto. En este caso, no en el peso corporal de la sorprendente pero la cantidad de su energía cinética debe ser considerado. "Suponiendo que la dirección del trazo en posición horizontal, de modo que su efecto no puede ser mayor por la forcé de gravedad", concluye que "si la presión de un peso de 100 Ib (aplicada estáticamente) rompió una sustancia dada, tras una prórroga, a través del espacio de una pulgada, el mismo peso, de sorprendente, con la velocidad que se adquiere por la caída de un cuerpo pesado de la altura de la mitad de una pulgada y un peso de una libra se rompen al caer desde una altura de 50 in." los estados jóvenes que, cuando un prismatical barra longitudinal es sometido a impacto, por la fortaleza de la barra "es proporcional a su longitud, ya que La misma extensión de un mayor de la fibra produce una mayor elongación." Más adelante, él considera que "hay, sin embargo, un límite más allá del cual la velocidad de un cuerpo impresionante otro no se puede aumentar sin superar su capacidad de adaptación y romper 1 La correcta valué del acortamiento es dos veces tan grande como el de los jóvenes. (Consulte el apartado "Resistencia de Materiales", vol 2, pág. 300.) 94 Hislory de resistencia de materiales Cuando se hace caso omiso a una considerable velocidad." Denot- la velocidad con la que una onda de compresión a través de un bar por V y la velocidad de los golpes cuerpo de v , se concluye que la unidad compresv/V, y que la limitación valué para la velocidad v se obtiene al equiparar la relación v/v a la compresión de la unidad en la que fractura del material de la barra se presenta en pruebas estáticas. Teniendo en cuenta los efectos del impacto de un rayo rectangular, joven decide que, para un determinado máximum esfuerzo de flexión generado por el golpe, la cantidad de energía acumulada en el haz es proporcional ío su volumen. Esto es debido a que el máximum forcé P, producido 011 el haz por el impresionante cuerpo, y la desviación 8 en el punto de impacto están dadas por las fórmulas P _ i. W , _ Pl> P-k - l- k x m Donde b es la anchura, la profundidad, li y l la longitud de la viga; k y k son constantes en función de la elasticidad de los materiales y en el supuesto magnitud del máximum estrés. Sustituyendo en la expresión de la energía de deformación U, obtenemos T I PS k2ki... ~2 = ~ 2~ Lo que demuestra la declaración anterior. Podemos ver que los jóvenes han contribuido en gran medida a la fuerza de materiales por introducción de la noción de un módulo en aciagos y compresión. También fue pionero en el análisis de tensiones por impacto y dio un método de caleulatiiig perfectamente para materiales elásticos que siga la ley de Hooke de fractura. Algunos problemas más complejos en cuanto a la flexión de bares se discuten en el capítulo "del equilibrio y la fuerza elástica de Sustancias" en el volumen II de "Filosofía Natural." Las siguientes observaciones en relación con este capítulo se encuentran en la "Historia de la teoría de Elastieity" por I. Todhunter y K. Pearson: "Se trata de una serie de teoremas que en algunos casos sufren bajo la oíd rnis'tomar en cuanto a la posición de punto muerto. . . . El conjunto de la sección me parece muy oscuro al igual que la mayoría de los escritos de su distinguido autor; entre sus grandes logros en el ámbito de las ciencias y los idiomas que de expresarse claramente en el dialecto de mathematiéians lamentablemente no fue incluido. Las fórmulas de la sección fueron probablemente principalmente nuevos en el momento de su aparición, pero fueron poco probable para ganar attentiou en consecuencia de la atractiva forma en que se presentaron." Ella, está de acuerdo en que este capítulo del libro de los jóvenes es difícil de leer, pero con- Strengih de materiales entre 1800 y 1833 95 Contiene soluciones correctas de varios problemas importantes, que son nuevos en Youug. Por ejemplo, creemos que la solución del problema del eccen- Tric aciagos o compresión de barras rectangulares por primera vez. Assu m- Que la distribución de tensiones en este caso está representado por Dos triángulos, tal como se muestra en la Fig. 64C, los jóvenes determina la Posición del eje neutral de la condición de que la Resultado de estas tensiones deben pasar por el punto 0 de Aplicación de la forcé (Fig. 646). Esto da A = H2 \ 2E . T (A) P 0 Donde e es la excentricidad de la forcé. Cuando e = 7i/6, A = h/2. La distribución de la tensión es representado por un tri- Ángulo, y el máximum estrés se hace dos veces tan grande como Que haya sido causado por aplicar la carga central. La correcta Valué al radio del círculo para que el eje de la barra En la Fig. 64A se dobla, en el caso de vei-y pequeña deflec- Nes, también se deriva del análisis de los jóvenes. Como su siguiente problema Los Jóvenes ocupa la curvatura de un Columna prismatical comprimido que inicialmente está ligeramente Curva. Suponiendo que la curvatura inicial puede ser repre- Representó a la mitad de la curva del seno, da pecado ( irx/l), que considera que la Deflexión en el medio después de la aplicación de la compresión se forcé P Áo H (b) D ?" F ig. 64. 1 - (PP/E17T * ) De este resultado se concluye que si P = EIT2/12, " la desviación Se vuelve infinito, cualquiera que sea la magnitud de S0 La forcé y cubrirán el haz, o por lo menos Que se dobla mucho, para que perturbe la operación De las fuerzas en cuestión." Iiere tenemos la primera Derivación de la ecuación que permite columna por falta de Rectitud inicial. En el uso de fórmula de Euler- Explotación minera de la sección transversal dimensiones de una columna, Los jóvenes señala que su aplicación se limita a Esbeltas columnas y le da cierta limitación valúes del Relación entre la longitud de la columna de su profundidad. Para el Menor valúes de esta relación, fallo de la columna es Por aplastamiento del material en lugar de pandeo. Si una figura esbelta columna está integrado en un extremo y libre en el otro, Thomas Young muestra que, cuando un axial P actúa excéntricamente forcé (como en la Fig. 65), la desviación y es dada por A/v/////. Fio. 65. 96 Hislory de resistencia de materiales V= _ E(l - eos px) Eos pl En esta fórmula, e indica la excentricidad, p = s/P/éi, y x es medi- urados de la incorporada. En este caso, los jóvenes está por delante de Navier.1 En su tratamiento del pandeo lateral de columna que tengan variable secciones transversales, los jóvenes muestra que una columna de profundidad constante se adaptará a un cir66a) si su anchura (Fig. 666) Varíes a lo largo de las coordenadas de un arco semicircular. Teniendo en cuenta el pandeo de una columna de dos triangúlar eonsisting prismas (Fig. 67) Y suponiendo que la desviación es tal que el radio De curvatura en el medio es igual a la mitad de la longitud de todos los estados, los jóvenes que la deformación curva es una cicloide. Así se deduce de la ecuación Py _ i / V El ~ P (A) El momento de inercia I de las secciones transversales es proporcional a s3 y las coordenadas de la cicloide y son proporcionales al s2, donde s se define como se muestra en la Fig. 67. Ahora el lado izquierdo de Eq. (A) tiene las dimensiones de un número dividido por s. P = s'étodos de una cicloide, siempre podemos seleccionar un valué para P que el Eq. (A) será satisfecha. Cuando una viga rectangular se corta de un cilindro circular, los jóvenes considera que "la luz es más rígida de lo que la profundidad de la amplitud de la raíz cuadrada de 3 a 1, y las más fuertes como la raíz cuadrada de 2 a 1; pero el más resistente será el que tiene su profundidad y amplitud igual." Esto se deriva del hecho de que durante un período determinado la rigidez de la viga 1 La solución fue dada por Navier . Matemático e en un higlands presentado a la Academia en 1819. Ver de Saint-Venant , discretizadas mediante un "La Historia", p. 118. Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 97 Es governcd por la magnitud de la transversal de momento de inercia, la fuerza por el módulo de sección y la resistencia por el área de sección transversal. Análogamente, resuelve el problema de delgados tubos circulares. Los jóvenes estados: "Suponiendo un tubo de evanescente, grosor que se debe ampliar a un tubo similar de mayor di&m, pero de igual longitud, la cantidad de la materia siguen siendo los mismos, la fuerza será mayor en la relación entre el diámetro y la rigidez en la proporción de la plaza del diámetro, pero la resistencia se rcmain inalterada". De este análisis podemos ver que el capítulo de mecánica de materiales en el segundo volumen de "Filosofía Natural" contiene soluciones válidas de varios problemas importantes de fuerza de los materiales, que se ignoró totalmente nuevo en los jóvenes. Este trabajo no ha ganado gran parte de la atención de los ingenieros porque el autor la presentación fue siempre breve y rara vez claro. Antes de abandonar el tema de este libro, algunas observaciones con respecto a los jóvenes de "Filosofía Natural" será citado. Vienen del guisante de Lord Rayleigh biographer.1 En 1892, Lord Rayleigh fue nombrado como profesor de la Royal Institution y sus conferencias "siguie- algo dosely las líneas de las que había sido dado por Thomas Young en el mismo lugar casi un siglo antes, en el momento del nacimiento de la Royal Institution. Estos fueron totalmente escritas en los jóvenes la filosofía natural, publicado en 1807, y muchas de las piezas idénticas de demon- stration aparato figuró en esta actividad, que se conservan en el museo de la Institución, se llevaron a cabo y se utilizan. . . . Rayleigh ha estudiado las Conferencias de jóvenes y se ha encontrado una mina de interesante asunto. Las marcas de lápiz en su ejemplar muestra cuán cerca había pasado en el libro, y en la conferencia que reunió a algunos de los buenos, pero olvidado obra que había encontrado en la casa y también en otros escritos del mismo autor. Uno de los puntos más destacados fue el de los jóvenes de estímate del tamaño de las moléculas; (dio) el diámetro molecular entre los dos mil y los diez mil millonésima parte de una pulgada. Esta es una maravillosa anticipación de la moderna dominio, y es anterior en más de cincuenta años, las estimaciones similares de las dimensiones moleculares realizados por ICelvin. Hasta que señala a la atención de Rayleigh, que había caído completamente fuera de plazo, incluso si suponemos que lo que nunca había despertado interés, y de esto no hay pruebas". Los jóvenes demostraron su habilidad inusual no sólo para resolver problemas puramente seientific sino también en la lucha contra prácticas diíficulties ingeniería. Por ejemplo, presentó un informe a la Junta del Almirantazgo que trata de la utilización de ríders oblicua y eoncerning otras alteraciones en la construc.2 trata el casco de un buque como una viga, supone una clara 1 "Vida de Lord Rayleigh" por su hijo, cuarto Barón Rayleigh, pág. 234, 1924. 2 Phü. Trans., 18 X4, pág. 303. 98 Historia de resistencia de materiales Distribución de peso y una forma definitiva de las ondas, y se calcula la magnitud de las fuerzas de cizallamiento y la flexión ruoments en varias secciones. También muestra cómo la deflexión de un barco puede ser calculado. Explica que la flexura! Rigidez de un barco depende, en gran medida, de las conexiones entre las partes y remarles: "un entrenador primavera, que consta de diez placas iguales, sería diez veces más fuerte, si no se unen en una sola misa, y al mismo tiempo cientos de veces de rígido, doblar sólo una centésima parte de una pulgada con el mismo peso que doblar toda una pulgada en su estado normal, aunque nada se ganaría con la unión en relación con el poder de resistir un movimiento muy rápido, que tengo en otra ocasión, se aventuró a cali resistencia. Ahora que parece muy difícil unir a un número de tablones para íii'ingestiã³juntos, por trozos Cruce en ángulo recto como completamente para evitar el deslizamiento en cualquiera de sus grados por encima del de los demás, y un refuerzo diagonal con la suficiente intensidad, evon si ¡no a las tablas que tienen una mayor carga sin dar forma, podría ser una ventaja todavía, en muchos casos, disminuyendo el grado en el que toda la estructura se curva antes de que se rompió." basando sus argumentos en este tipo de consideraciones, los jóvenes favorece la adopción de la diagonal de la construcción de buques de madera. Parece ser que este informe constituye el primer intento de aplicar análisis teórico para el diseño estructural de los buques. Después de este resumen de las contribuciones de los jóvenes a la teoría de resistencia de materiales, tal vez podamos apreciar Lord Rayleigh's1 remarle: "Los jóvenes . . . Por diversas causas no han tenido éxito en alcanzar la debida atención de sus contemporáneos. Posiciones que ha ocupado ya en más de una instancia reconquistada por sus sucesores a un gran gasto de energía intelectual". 23. Resistencia de Materiales en Inglaterra entre 1800 y 1833 Durante el período 1800-1833 Inglaterra no tenía escuelas equivalentes a la Ecole Polytechnique y en la École des Ponts et Chaussées en Francia. Los ingenieros de la eountry no reciben una amplia formación científica y el nivel de sus libros de texto sobre resistencia de materiales es mucho menor que la de Francia. Para describir los libros de texto, el historiador inglés de la teoría de la elasticidad, Todhunter, afirma: "No hay nada shews más claramente la profundidad de conocimientos mecánicos que el inglés se había hundido en el comienzo de este siglo. "2 para ilustrar el nivel de autores ingleses de la época, Todhunter cita las siguientes críticas de trabajo de Euler de Robison el libro "un sistema de Mecánica Filosofía": "En el oíd Las memorias de la Academia de Petersburgo de 1778 hay una tesis de Euler sobre el tema, pero sobre todo limitado a la cepa en las columnas, 1 "Recopilado Papéis", vol 1, pág. 190. J Ver "Historia". . . Vol 1, pág. 88. Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 99 En el que la curvatura es tomado en cuenta. El Sr. alboroto ha tratado el mismo tema con relación a carpentiy en un volumen posterior. Pero no hay nada en estos documentos además de una disquisición matemáticas seco, el proceso de supuestos que (para hablar favorablemente), son extremadamente gratuita. La consecuencia más importante de la compresión es totalmente pasado por alto, como se encuentra actualmente. Nuestro conocimiento del mecanismo de cohesión es todavía demasiado imperfecto para nos da derecho a un con- fident aplicación . . . ." Y también: "por lo tanto, estamos graves en nuestro participantes en ella, porque su teoría de la fuerza de las columnas es uno de los más fuertes evidencias de este tipo de procedimiento y porque sus seguidores en la Academia de San Petersburgo, como es el caso del Sr. Lexell y Fuss, otros, adoptar su ante, y simplemente eco sus palabras." Este tipo de críticas, Todhunter comentarios, es muy loco en un escritor, que en la siguiente página coloca la línea neutral de la superficie cóncava de una viga sometidas a flexión. . . . Era Robison que perpetúan (en inglés) este error los libros que ya han sido corregidos por Coulomb. Sin embargo, a pesar de que el inglés trabajo teórico en la solidez de los materiales fue de tan mala calidad, los ingenieros británicos había que resolver muchos problemas de ingeniería importante. El país se encontraba por delante de los demás en el desarrollo industrial y la introducción de materiales como hierro fundido en hierro forjado y estructural y mecánica ingeniería presenta muchos de los nuevos problemas y pidió que las investigaciones de las propiedades mecánicas de estos nuevos materiales. Una cantidad considerable de trabajo experimental fue realizado y los resultados obtenidos se encontró que fueron compilados utilizar no sólo en Inglaterra sino también en Francia. Un libro titulado "Un Ensayo sobre la Fuerza y el estrés de madera" fue escrito por Peter Barlow (1776-1862), cuya primera edición apareció en 1817. El libro fue muy popular en Inglaterra y fue reeditada muchas veces.1 al principio del libro, Barlow ofrece una historia de resistencia de los materiales utilizando material de Girard el libro (ver página 7); pero al mismo tiempo que Girard dedica mucho espacio en su libro a Euler el estudio de las curvas elásticas, Barlow es de la opinión de Euler que "instrumentos de servicio de análisis" son "demasiado delicada para operar con éxito en los materiales a los que se hayan aplicado; así que, mientras que exhiben en el punto de vista más fuerte, los inmensos recursos de análisis, y a la trascendencia talento de su autor, que, por desgracia, proporcionar un poco, muy poco, muy útil infor- mación." Al analizar la teoría de flexión, Barlow malees el mismo error que Duleau (consulte la página 81) y se supone que la línea neutral divide la sección transversal de la viga, de manera que, en el momento de esta línea 1 La sexta edición del libro, preparado por Peter Barlow de dos hijos, fue publicado en 1867. Esta edición es de considerable interés en lo que respecta a la historia de nuestro tema, por que con el tai ns una biografía de Peter Barlow y, en un apéndice, la labor de WilUs titulado " Ensayo sobre los efectos producidos por los pesos que a viajar por barras elásticas." 100 Historia de resistencia de materiales De los esfuerzos de tracción es igual al momento de esfuerzos compresivos. Este error se ha corregido en la edición 1837 del libro. Barlow atributos la determinación correcta de la línea neutral a Ilodgkinson. mentira aún parece que desconocían el hecho de que Coulomb había hecho esta corrección cincuenta años antes. De Barlow, Todhunter afirma: "Como un teórico que es otro ejemplo evidente de que desea thinkhig de clara, de la precisión científica, y de conocimiento de la labor aecomplished en el exterior, lo que hace que la lectura de los libros de texto en inglés en la práctica mecánica publicado en la primera mitad de este siglo, tan desestimulante, si no sin esperanza, tarea que el historiador de la teoría." parece que es demasiado severo Todhunter en esta crítica, especialmente en vista del hecho de que, en ese momento, los ingenieros de tal calibre como Duleau y Navier . Matemático e que se cometan errores similares en la determinación del eje neutral. , El libro no añade nada a la teoría de resistencia de materiales, pero contiene descripciones de muchos de los experimentos que se hicieron en la primera mitad del siglo xix y que son de interés histórico. Así, podemos encontrar un informe sobre las pruebas de cables de hierro por Barlow para Tel- ford que fue entonces, planear la construcción de Runcorn suspensión puente. El autor de los experimentos con pasamanos de hierro de diferentes formas también son muy interesantes. En ellos las deflexiones de los rieles en rápido mov- se midieron las cargas para el primer tiempo y en comparación con los resultados estadísticos. En la última edición del libro de Barlow (1867) la importancia de pruebas de fatiga píate vigas, llevado a cabo por Fairbairn. R. Willis del informe sobre la acción dinámica de mover la carga sobre una viga también está incluido. Estas investigaciones serán discutidas más adelante. Otro ingeniero inglés cuyos libros eran muy populares en la primera mitad del siglo xix fue Thomas Tredgold (1788 1829). Su obra "Los principios elementales de la carpintería" (1820) contiene un capítulo relativo a fuerza de los materiales. No hay mucho nuevo trabajo que se encuentran en él y que todos los resultados teóricos puede ser visto en Thomas Young de "clases" (consulte la página 92). Otro libro por Tredgold "un ensayo práctico de la Fuerza de Hierro Fundido" (1822) contiene los resultados de las experiencias del autor y da muchos normas prácticas para los diseñadores de estructuras de hierro fundido. Tredgold parece que fue el primero en introducir una fórmula para calcular seguro destaca de las columnas (consulte la página 209). En el período de 1800 a 1833 el uso de hierro fundido en las estructuras Tredgold aumentado rápidamente y el libro fue ampliamente utilizado por los ingenieros prácticos. Fue traducido al francés, italiano, y Germán. 24. Otros notables Exiropean Contribuciones a la fuerza de los materiales Trabajo en la solidez de los materiales se ha iniciado en la República Federal de Alemania en fecha tan tardía como el comienzo del siglo xix, y la primera contribución importante Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 101 A esta ciencia se hizo Gerstner de Franz Joseph (1756 -1832) quien se graduó en Universidad de Praga en 1777. Después de varios años de prácticas de un trabajo de ingeniería, Gerstner se convirtió en un asistente en el observatorio astronómico de la universidad oíd. En 1789, se convirtió en profesor de mathP y la elongación 5 es P = - (A) Donde a y b son dos constantes. Para los pequeños, el segundo término en el lado derecho de Eq. (O) puede ser descuidado y obtenemos Hooke's law. Gerstner también estudiaron el efecto del ajuste permanente en la propiedad de tracción de probetas. El demostró que, si un cable se estira para que un determinado conjunto permanente es producido y, a continuación, descarga, hará el seguimiento ley de Hooke hasta la carga a la que produjo el primer conjunto permanente dur Gerstner había hecho una importante labor en otras ramas de la ingeniería mechan.1 Otro Germán ingeniero que contribuyeron a nuestro conocimiento de ingeniería 1 Véase su "Theorie der Wellen", Praga, 1804. 102 Hislory de Slrenglh de materiales Ing. En 1799, él y varios otros ingenieros organizó la Bauakademie en Berlín y él beeame el director de ese instituto y su profesor de la facultad de ingeniería mecánica. Curso de Eytehvein "Handbuch der retroinstalado ik se agraven Korper" fue pub1 y Gregorio1 de ser al corriente de las mathcmatical conocimiento de su día." En la teoría de las estructuras, Eytelwein hace algunas adiciones a la teoría de arcos y a la teoría de los muros de contención. También desarrolla un método útil para determinar la carga admisible en un montón. Después de las guerras napoleónicas un intenso movimiento se desarrolló para crear British, Germán, y el francés los avances en el campo de fuerza de mate.2 conoce el theoretieal obra de Thomas Young, Duleau y Eytelwein guidod y fue en su trabajo de investigación por prácticas no sólo sino también por consideraciones theoretieal. La tracciã³n de las pruebas de la máquina construida por Brolling a su diseño ha sido muy satisfactoria, tanto en el hecho de que más tarde similar 1 Los autores contemporáneos de habla inglesa de libros sobre ingeniería meelianics. 2 Lagerhjelra la obra fue publicada en El Jem- Kontorets Ann., 1826 . Un breve relato de su residís en Poyg. Ann. Physik u. Chetn., Bd. 13, Pág. 404, 1828. Posteriormente reformada Sueca de experimentadores Lagerhjelm de trabajo. Por ejemplo, véase Ií. Styffe, quien ofrece una descripción muy completa de Lagerhjelm machino de pruebas de resistencia en años (Martin Jern- Kontorets Ann., 1866. Resistencia de materiales entre 1800 y 1833 103 La máquina fue construida para experimentos de Lamé en San Petersburgo (consulte la página 83). Las pruebas de Lagerhjelm mostró que el módulo de elasticidad es iu aciagos de la misma para todos los tipos de hierro y es independiente de estos procesos tecnológicos como el laminado, un martillo, y los distintos tipos de tratamiento de calor pero que, al mismo tiempo que el límite elástico y ultímate fuerza puede ser cambiado radicalmente por estos procesos. Él encontró que la mayor fuerza de hierro suele ser proporcional a su límite elástico. Él encontró que la densidad del hierro en el punto de ruptura es algo fina- cionarse. Lagerhjelm¿½ espongiforme; miocardiopat� el módulo de elasticidad obtenidos a partir de pruebas estáticas con la calculada a partir de la frecuencia de las vibraciones de una lateral bar y me pareció un buen acuerdo. También demostró que si dos diapasones dan la misma nota, continué a hacerlo después de un se ha endurecido. CAPÍTULO V El comienzo de la teoría matemática antes mencionada de elasticidad1 25. Equalions del equilibrio en la teoría de la elasticidad En la teoría de resistencia de materiales, la historia de la que hasta ahora nos hemos trazado, las soluciones que resuelvan los problemas de la deflexión y destaca en el sector de las vigas se obtiene, por lo general en el supuesto de que la sec- siguen siendo de las vigas en deformación plañe y que el material sigue Hooke la ley. A principios del siglo xix, se hicieron esfuerzos para dar a la mecánica de cuerpos elásticos más funda2 desde Newton, que la propiedad de los cuerpos elásticos puede ser explicada en términos de algunos atractivos y repul- entre sus fuerzas paiticles ultímate. Esta idea fue por la Via Boscovich expatiated3 que supone que entre cada dos ultímate partióles y a lo largo de la línea que une las fuerzas ellos que son atractivas para algunos las distancias y repulsivo para los otros. Además, hay dis Con esta teoría, con el requisito de que las fuerzas moleculares disminuyendo rápidamente con el aumento de las distancias entre las moléculas, Laplace fue capaz de desarrollar su teoría de capillarity.4 La aplicación de la Via Boscovich theoiy de en el análisis de la deformación elástica de órganos fue iniciado por Poisson5 en su investigación de flexión de las placas. El orador considera que la píate como un sistema de partióles distribuidos en los middlc plañe del píate. Sin embargo, un sistema de estas características se resistirán a concep- 1 Una discusión más completa de la historia de la teoría de la elasticidad se puede encontrar en Saint-Venant , discretizadas mediante un notas de la tercera edición de libro de Navier . Matemático e, "Currículum des Lcgons . . . ," 1864, en las notas de traducción de Saint-Venant , discretizadas mediante un de Clebsch, "Théorie de l'élasticité des corps solides", 1883, y en dos de Saint-Venant , discretizadas mediante un Moigno chaptcrs en su libro "Legons de mécanique analytique", 1868. Véase también el artículo de C. H. Müller y A. Timpe en "padrino EncyMopádie der Wissenschaften", vol. 4j, p. t, 1906, y H. Burkhardt "Entwicklugen nach oscilliienden Punetionen", págs. 526" 671, Leipzig, 1908. Ver Saint-Venant , discretizadas mediante un , "Mistorique Abrógé." * La Via Boscovich, " Philosopliiae naturalis", lst ed., Venecia, 1763. También la nueva de Latinoamérica edición en inglés con un sliort vida de la Via Boscovich, Chicago y I. ondon, 1922. "Laplace, Ann. chim. et phys., vol 12, 1819. La Poisson, incoó. acad., 1812, p. 167. 104 El comienzo del Ihe Mathemalical Teoría de elasticidad EL IOS Sion, pero no doblado, y, por tanto, puede representar un mcm idealmente flexible- brana, pero no un píate. Un nuevo avance en la teoría molecular de un cuerpo elástico por Navier.1 Él assumcs que hay dos sistemas de fuerzas 2F y XF \ partióles actuando sobre la elástica de un sol id. Las fuerzas 2F equilibrio entre sí y representan las fuerzas moleculares las fuerzas esternal actuar cuando están ausentes. Las fuerzas Sí'i equilibrar las fuerzas externas, como la debida a la gravedad, por ejemplo. Se asume que son proporcionales a los changos eran n - r de las distancias entre las partículas y a actuar en el sentido de ellos. Si ", v y w son las componentes del desplazamiento de un partióle P(x,y,z) y u -f- AM, V + Av, w - (- Aw, la correspondiente dis- las colocaciones de partículas adyacentes de un P¡ (x + y + Ax, Ay, z + Az), el cambio de distaaice entre estas partículas es Ri - r = Au + P + y Av Aw (A) En caso de que un ,0, y denotanloscosenosdelosángulosqueelsentidorcoordínateconelejex,y,z. La correspondiente forcé F\ es entonces F\ = / ( > ' )" - (- /3 Aw + y Aw) (B) Dónde/ (r) es un factor que disminuye rápidamente con el aumento de la disr. Navier . Matemático e se amplía ahora Aw, Ay, Aw en la serie del tipo . Dw . Du . du 1 d2u . d2u Au=teAx ñ y + + + 2 C E R A t e A Z + t e d i A x A y + • - • Y limita con los términos de segundo orden. A continuación, sustituyendo estas expresiones en Eq. (B) y poner Ax = ra Ay = r/3 Az = ry Se obtiene la siguiente expresión para la componente x de la forcé F¡ : + 'W) [ís + " * H^ + - " +íw] " Para calcular el total forcé actuando en la dirección del eje x en los desplazados parp(x,y,z) la suma de expresiones como (c) se debe realizar para todas las partículas dentro de la esfera de acción de la partícula P. Al hacer esto, Navier . Matemático e 1 del documento "Mémoire sur les lois no l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques" se presentó a la Academia, 14 de mayo de 1821. Se incoó priiited en. inst. Nati., 1824. Un extracto de la publicación en Bvll. soc. phüomath. París, 1823, pág. 177. 106 Historia de resistencia de materiales Y en el supuesto de que el las fuerzas moleculares son independientes de la dirección de la investigación , es decir, que el cuerpo es isotrópica, Navier . Matemático e observa que todos los términos que contienen cosenos potencias impares a cancelar. De este modo, todos integráis de la primera línea de la expresión (c) desaparece. La evaluación de los inte (D) Suponiendo que el valué de esta integral es conocido, la proyección en el eje x de la forcé resultante de partículas actúan 011 P se hace Xa v n (o d * i¿ , Shl , d2U , 0 d2V . 0 Dh u \ . . ¿ , 'rf' -c^ + 5?+®+ÍSN"+ *** y De manera similar los otros dos proyecciones pueden ser por escrito. Introducir la notación . _ I dv . dw Dx dy dz ... +: , a2 . · t· V: ■ -I- ---------------- - 1- -- Da:2 dys dz2 Las ecuaciones de equilibrio de una partícula P puede evidentemente ser expresado de la siguiente manera El vu + + X = 0 C ( v w + 2 + y = s ( ,¡ C( v' " + 2 s) + Z- ° Donde X , Y, Z son los componentes de la forcé externa actúa sobre el parp{x,y,z); estas relaciones son de Navier . Matemático e ecuaciones diferenciales de equiC es necesaria para determinar las propiedades elásticas del cuerpo.1 Forcé la inercia de las partículas a las fuerzas externas X, Y, Z, Navier . Matemático e también obtiene las ecuaciones generales de movimiento de un cuerpo elástico. Además de las tres ecuaciones ( ¡ 7) que han de cumplirse en cada uno de los puntos dentro del cuerpo, también es necesario establecer las exigen- 1 Más tarde, Caucky generalizado de Navier . Matemático e y derivaciones órganos considerado anisótropo. Él mostró que, en el caso más general, 15 las constantes son necesarios para definir las propiedades elásticas de los organismos internacionales. Consulte el apartado "Ejercicios de inathématique," 3d año, pág. 200. El comienzo de la teoría matemática de Elastieity 107 Declaraciones en la seccìon del cuerpo, donde las fuerzas moleculares debe estar en equilibrio con el exterior para des distribuidos a través de la frontera. Denotmg los tres componentes de este forcé por Xn, Y", 2" por unidad de área en el punto con el externo normal n y utilizando el principio de los desplazamientos virtuales, Navier . Matemático e obtiene la condiciones de frontera en la forma siguiente: Cauchy cxplainod thcsigniíicance más tarde de las expresiones entre paréntesis en el- ses de Eq. (H) y demostró que los componentes X", Yn, Z" de las fuerzas de superficie son funciones lineales de las seis cepas componentes, El siguiente avance importante en la teoría de elastieity se debe principalmente a los trabajos de Cauchy. En lugar de debatir las fuerzas moleculares entre las partículas individuales, que presentó las nociones de tensión y estrés y en este wajr enormemente simplificado la derivación de la funda 26. Cauchy (1789-1857) Augustin Cauchy1 nació en París en 1789. Su padre, un exitoso abogado al servicio del gobierno, tuvo que abandonar París en la época de la Revolución Francesa y se refugiaron en Arcueil, un pueblo cerca de París en la que los famosos científicos Berthollet Laplace y vivían en esa época. En la época de Napoleón, Laplace la casa se convirtió en el lugar de reunión de los más destacados científicos de París para que los jóvenes Cauchy creció de conocer a muchos de ellos. Entre estos hombres fue Lagrange, quien pronto lo notaron el muchacho la inusual habilidad matemática. Cauchy obtuvo su segundo- ary educación en l'École Centrale du Panthéon elassie donde estudió idiomas y a la humanidad con gran éxito. En 1805 pasó con éxito las pruebas de acceso a la École Polytechnique y durante su período de esta escuela Cauchy mostró su gran competencia en matemáticas. Después de completar este curso en 1807 1 Para una biografía de Cauchy, ver "La vie et les travaux du Barón Cauchy", por C. A. Valsori, París, 1868. Véase también "Ilistoire des Sciences Mathématiques et de músiques", vol. 12, pág. 144, París, 1888. UNA n " Du , <> v , Úw dx + dy ~dz LA dz dx dy \dy dx) \ 5z dx) Dy) 108 Hislory de Slrenglli de materiales El elegido para entrar en la École des Ponts et Chaussées de ingeniero- Ing estudio y se graduó en 1810. Fue primero en la entrada Examen y también en la final, y su gran capacidad fue reconocida Por sus profesores. A la edad de veinte y un años ya estaba haciendo im- Importante obra de ingeniería en el puerto de Cherburgo. Pero las matemáticas Cauchy atrajo más de ingeniería Pioneros, y dedicó su tiempo libre Las investigaciones de la matemática. Discriminato- En los años 1811 y 1812, pre- Representó a varias importantes memorias La Academia de Ciencias, y en el año 1813 Dejó Cherbourg y regresó a París, donde puso en toda su energía en Las matemáticas. En 1816 se convirtió en un Miembro de la Academia. A su regreso a París, Cauchy Comenzó a enseñar en la Escuela Poli- Técnica y en la Sorbona. En Sus lecciones de cálculo que ha intentado Presente el tema en forma más rigurosa Forma de lo que se había dado antes. Fig. 68. Augustin Cauchy. La originalidad de esta presentación Atraído no sólo a estudiantes, sino también profesores y científicos de países extranjeros para estas conferencias. La publicación de su "Cours d'Analyse de l'École Polytechnique" en 1821 tuvo un efecto importante sobre las tendencias en el campo de las matemáticas. En este tiempo, Navier . Matemático e del primer trabajo sobre la teoría de la elasticidad se presentó a la Academia de Ciencias. Cauchy se interesó en ese papel y comenzó a trabajar en la teoría. Los resultados obtenidos en las primeras etapas de esta rama de la mecánica son de inmensa valué.1 Navier . Matemático e, como vimos en el último artículo, considera las fuerzas que actúan entre las moléculas individuales de un cuerpo elástico deformado en su derivaciones de las ecuaciones fundamentales. Cauchy,2 en su lugar, se aplica el concepto de presión en un plañe (un concepto que le era familiar de la hidro- dinámica) y se supone que esta presión ya no es normal que la plañe a que actúa en un cuerpo elástico. De esta manera, el concepto de estrés fue introducido en la teoría de la elasticidad. El estrés total de un elemento infinitesimal de un plañe tomadas dentro de un cuerpo elástico deformado se define como la 1 La mejor résnmé de Cauchy de trabajo en la teoría de la elasticidad fue hecha por San- Vennnt chaptcrs en los dos de la elasticidad, que escribió para la Moigno "Mécanique analytique, enrutamiento", 1868. Trabajo de Cauchy 5, escritas después de su estudio de Navier . Matemático e documento de trabajo (véase la pág. 105), fue preBull. soc. philomath. París, 1823, pág. 9. El comienzo de la teoría matemática de la elasticidad 109 Resultante de todas las acciones de las moléculas situadas en un lado de la Plañe a las moléculas 011 el otro, el sentido de que (las acciones) Cruzan el elemento en consideración primordial.1 dividiendo el estrés total Por la zona del elemento, la magnitud del estrés. Considerando un tetraedro elemental Z (Fig. 69), Cauchy demuestra que los tres com- Ponentes de estrés X", Y n Zn sobre un inclinado Abe se plañe obtenido de los tres- De equilibrio Xn = <rj. + + ahstenerse rvxm Yn Txyl " 1" C¡ /tH " 1" Tgy te TX DE ZN = 1 + ru,m + a¡n (A) Donde l, m, n son los cosenos de los ángulos Normal que la ida a la plañe abe Mak.es con la coordínate ejes2 y <Tz, TVX, . . . Son normales y tangenciales Los componentes de la tensión actuando en O sobre la coordínate planos yz, xz, Y .yz. tambiã©n demuestra que FIG. 69. Lo que demuestra que el estrés actúa sobre cualquier plañe, como abe, pueden ser especificados por el estrés seis componentes <rx, a," <Tz, txii, t", rv¡. Resolver los componentes X", F", Zn [de Eq. (A)] en el sentido de la normal a la plañe abe, obtenemos la tensión normal <r" de plañe. Cauchy demuestra que, si hacemos un vector de longitud r r = \ /l/k"! Cada dirección n desde el origen O (Fig. 69), los extremos de estos vectores se acuesta sobre una superficie de segundo grado. Cauchy calis las direcciones de los ejes principales de esta superficie la direcciones principales y las solicitaciones correspondientes las principales tensiones. Cauchy se deriva las ecuaciones diferenciales de equilibrio para un eleviz., D<rx . Drux . Drzx . " _ ^ -^ + tf + ^+ F = 0 Dx dy dz Dx dy dz (B) 1 En esta última forma la definición del estrés se debe a Saint-Venant , discretizadas mediante un . Ver Compt. retid., vol. 20 , pág. 1765, 1845; vol. 21, pág. 125. Cauchy utilizó una definición un poco dilíerent en sus publicaciones anteriores pero más tarde aceptó que de Saint- Venant , discretizadas mediante un . 2 En la notación utilizada por diversos autores, en las primeras etapas de la teoría de la elasticidad, consulte Moigno, "Statics", pág. 626. Véase también, I. Todhunter y K. Pearson, "Historia de la teoría de la elasticidad", vol 1, pág. 322. YO LO Hislory de resistencia de materiales Donde X : , z . . » · » / · · . -, » . » · . . . / . . · , / · . , · . » · . . . . . / . -. » . » . / , . » · · t » . / . . . · / · · · . / . . · . . . · » . · · . » . . » . · / . . · . El matemático francés también examina las posibles deformaciones de un cuerpo elástico alrededor de un punto 0 (Fig . 69) Y demuestra que, cuando esta deformación es pequeño, la unidad elongación en cualquier dirección, y el cambio de ángulo recto entre dos direcciones perpendiculares al principio puede ser expresado por el cepa seis componentes: Du DV DW Du dv Dv . ÓLO I x = te e " ~ d y £í " de 7l!" dy + te y u ' ~ T z + Ty Dw , du , . 7 ~ "te + á¡ W Estas relaciones dan las tres cepas a lo largo de la coordínate los ejes y las distorsiones de los ángulos entre los ejes. Si, para cada dirección, nos dibuja un vector desde el punto 0 de longitud r = \ /l/ er| donde tr es la tensión en la dirección r, los extremos de estos vectores se acuesta sobre una superficie de segundo grado. Los ejes principales de esta superficie dar las principales direcciones de la deformación y la corrcsponding cepas son las principales cepas. Cauchy también da las relaciones entre los seis componentes estrés y los seis componentes de la deformación de un cuerpo es isótropo. Suponiendo que las principales direcciones de deformación coinciden con las direcciones de las principales tensiones y estrés que los componentes son funciones lineales de la cepa los componentes, escribe las ecuaciones S X - ktx + K6, s,j = keu + K8, a, = ke + KO donde k y K son dos constantes elásticas y · = "" + í¡, + Es decir, 6 es la unidad de volumen. En cualquier dirección del coordínate ejes, a continuación, obtiene <Jx - ñex + K8, <ry = keu + K6, = Ke + K6 K k _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ K / i . Txu ~ o x -f" Txx ~ 2 ^ xct ~2 1JZ Las relaciones (a) a (d) ascienden a un completo sistema de ecuaciones para la solución de los problemas de la elasticidad isotrópica de órganos. Cauchy sí se aplica estas ecuaciones en estudiar las deformaciones de barras rectangulares. Estaba particularmente interesado en el problema de torsión de barras rectangulares y ha logrado encontrar una solución para un satisfactoiy barra angosta de sección transversal rectangular. El autor demuestra que las secciones de la barra de torsión no, siguen siendo en general plañe pero warp en torsión. Estos con- El principio de íhe Malhemalical Teoría de elasticidad 111 Conclusiones de Cauchy, se utilizaron más tarde por Saint-Venant , discretizadas mediante un , que Formuló una teoría completa de la torsión de barras prismatical (véase Página 233). 27. Poisson ( 1781-1840) S. D. Poisson nació en la pequeña ciudad de Pithiviers cerca de París en un Familia pobre, hasta que fue quince años oíd, no tenía ninguna oportunidad de aprender Más que leer y escribir. En 1796 fue enviado a su únele a Fon- Tainebleau y allí pudo visitar mathematies clases. Su trabajo Era tan bueno en el tema que en 1798 fue capaz de pasar la entrada Los exámenes de la Escuela Poli- Técnica de distinetion. Aquí Su excelente progreso fue advertido por Lagrange (quien fue dando su curso De la teoría de funciones en ese momento) Y también por Laplace. Después ocasio- Rente, en 1800, permaneció en Poisson La escuela como instructor de mathe- Méta-matics , y en 1806 había sido A cargo del curso de cálculo infinitesimal. Su Ótíginal publicaciones en matemáticas Maties le hizo conocido como uno de La mejor los trabajadores franceses en este campo, Y tan pronto como 1812 se convirtió en un Miembro de la Academia Francesa. En ese momento, física teórica fue Están experimentando un rápido desarrollo, y Los matemáticos del día usa Su habilidad para resolver problemas de física teórica. La teoría de Elasticidad en función de la idea de una estructura molecular attraeted de Poisson Interés, e hizo mucho para sentar las bases de la ciencia. Los principales resultados que se han obtenido por Poisson se incorporan en dos Memoirs,1 que fueron publicadas en 1829 y 1831, y en su curso de Mechanics.2 comenzar su trabajo con el examen de un sistema de par- Artículos entre los que ley de las fuerzas moleculares, obtiene las tres ecuaciones De equilibrio y las tres condiciones en la boundaiy. Estos son Similares a las dadas anteriormente por Navier . Matemático e y Cauchy. Prueba 1 Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques, incoó. acad., vol., 8 , 1829, Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des Cuerpo élastiques et des Anides, . /. École. polylech. (París), caliier 20, 1831. Todhunter Pearson y "La Historia de elasticidad" contaius una amplia revisión de estos dos Memorias. El " Traité de Mécanique", 2 vols., 2a edición 1833. 112 Hislory de resistencia de materiales Que estas ecuaciones son no sólo es necesario sino que también son suficientes Para garantizar el equilibrio de cualquier parte del cuerpo. Logra En la integración de las ecuaciones de movimiento y muestra que si una perturbación es Producido en una pequeña parte de un cuerpo, que da lugar a dos tipos de waves.1 En la onda más rápido, el movimiento de cada partióle es normal en el Frente de onda y es acompañada por Los cambios de volumen (o dilatación); en el Otra onda el movimiento de cada par- Tióle es tangencial a la frente de onda Y sólo hay distorsión sin Chango volumen durante el movimiento. En esta autobiografía refera a Poisson La labor de Ostrogradsky (consulte la página 142). Aplicar sus ecuaciones generales A órganos subsidiarios2, isótropo encuentra Poisson Que en el caso de simple aciagos de prismat- Ical, la elongación axial e debe Estar acompañado por un lateral de contratistas De magnitud ne donde m = i- El cambio de Arolume entonces será E(l - 2/j.) = ^e. Como un examen simple- Ple de un problema tridimensional, El escritor discute las tensiones y Deformaciones en una esfera hueca que es objeto de interno o externo Presión uniforme. Él también trata puramente radial las vibraciones de una esfera. Como dos dimensiones de solución, Poisson obtiene la ecuación de la desviación lateral de carga píate: N ( dhv , 0 daw , d * w\ _______________ * \A.R dx2 + dy2dy * ) 9 ^A) Cuando la rigidez flexural D tiene el valué correspondiente a n = \ y q es la intensidad de la carga. El autor analiza las condiciones de frontera. Sus condiciones coinciden con las que se ha aceptado de manera general para simplemente apoyados y de bordes. Para un canto a lo largo de los cuales se distribuyen en las fuerzas, necesita tres condiciones (en lugar de los dos que ahora se utilizan); se trata de que forcé la esquila, la deformación y el momento de flexión (calculado a partir de la las fuerzas moleculares elementales para cualquier longitud del borde) debe equilíbrate la correspondiente cotejar furnishod por las fuerzas aplicadas a la orilla de la playa. La reducción de la 1 Véase la memoria sur la propagation du mouvement dans les ambientes élastiques, incoó, acad. . . . Francia, vol 10, pp.549-605, 1830. : Las solicitudes son analizadas en la mencionada autobiografía de 1829, El comienzo de la teoría matemática de Elastieity 113 Cierto número de condiciones de tres a dos se logró después de Kirchhoff y una interpretación física de esta reducción fue dada por Lord Kelvin (consulte la página 266). A la applieation demónstrate de la teoría, Poisson eonsiders flexión de placas circulares cuando la intensidad de la carga es una función de sólo distanee radial. Para ello, Poisson reescribe Eq. (A) en las coordenadas polares y ofrece una solución completa del problema. Más adelante, también se aplica esta solución a una carga uniformemente distribuida y da las ecuaciones para simplemente apoyada y sujeta los bordes. se encuentran también vibraciones eonsiders lateral de placas y resuelve el problema de la vibración píate circular cuando la forma de desviaciones es simétrico con respecto al centro. Poisson se desarrolla ecuaciones para la longitudinal, lateral y torsional, vibraciones de bares y calcula las frecuencias de los distintos modos de vibración. En su libro "Traité de mécanique", Poisson no utilizar las ecuaciones generales de elastieity y deriva de las desviaciones y las vibraciones de bares, suponiendo que, en deformación, sus secciones transversales rcmain plañe. Para doblar barras de prismatical, él no sólo utiliza la segunda ecuación de orden, que expresa la proporcionalidad de curvatura de la línea elástica para momento flector, sino también la ecuación Donde B es la rigidez flexural y q la intensidad de carga lateral. Discutir sobre diversas aplicaciones de Eq. (A), Poisson hace la interesante observación de que, si q es una función de * que se esfuma en los extremos x = 0 y x = l de la barra, siempre se puede estar representado por una condición. A continuación, Eq. (A) se Integrando esta ecuación y suponiendo que la desviación es nula en los extremos, obtiene la solución Donde C y C'i son constantes que se determinen, a fin de satisfacer las condiciones finales. Cuando los extremos son simplemente apoyados, C y C\ desaparecen, y hemos Parece que aquí tenemos el primer caso en el que se utilizan series trigonométricas en investigar la desviación las curvas de los bares. En este tiempo de Poisson De Ssin = P X + * (l " * ) [Cx + cí (l - x ) ] 114 Historia de resistencia de materiales Mcthod no permite atraer la atención de los ingenieros, cabaña ahora se ha encontrado Aplicaciones útiles. Poisson, vemos que no contribuyen, tales ideas fundamentales para el Teoría de la elasticidad, Navier . Matemático e y Cauchy. Sin embargo, resolvió muchos Los problemas de importancia práctica y, por eso, siguen utilizando sus resultados. 28. G. Lamé (1795-1870) y B. P. E. Clapeyron (1799-1804) Ambos de estos ingenieros se graduaron en la Escuela Poli- Técnica en 1818 y de la escuela de minas en 1820. Una vez com- Pleting estos cursos, se re- Dó a la Jlussian- , Como proraising jóvenes ingenieros, Para ayudar en la labor de la nueva Rusia, la escuela de ingeniería Instituto de Ingenieros de Caminos de Comunicación en San Petersburgo. La nueva escuela fue después de haber Una poderosa influencia en el desarrollo de Desarrollo de Ciencias de la ingeniería en Rusia, fue fundada en 1809 con La colaboración de los pendientes Ing ingenieros franceses como Bétancourt (Quien fue el primer director de la Escuela), Bazain y Potier. Su Programas y métodos de enseñanza Eran similares a las de la Escuela Politécnica y de la École des Ponts et Cliaussées en París. Lamé Clapeyron y tuve que enseñar matemática y física aplicada en el Escuela y que también tenía que ayudar con el diseño de varios importantes Estructuras en las que el gobierno de Rusia está interesado; por ejemplo, Suspensión varios puentes fueron diseñados y construidos1 en San Petersburgo En ese momento. Investígate a las propiedades mecánicas de la Ruso hierro utilizado en estos puentes, Lamé diseñado y construido (1824) una máquina de pruebas especiales, similar a la de Lagerhjelm en Stockholm.2 fue una prueba horizontal 1 Estos puentes construidos (1824-1826) fueron los primeros suspensión puentes construidos en el continente de Europa. Ver Wiebeking, "Arquitectura civile", vol 7, Munich, 1831. Véase también, G. C. Mehrtens, "Eisenbrftokenbau", vol 1 , Leipzig, 1908. Lamé y Clapeyron también ayudó a diseñar el largo suspensión puente sobre el río Neva (con un span de 1.020 pies). Ver Ann . las minas, vol. XI, pág. 265, 1825. 2 El conocido Woolwich las pruebas de la máquina fue construida en 1832 en el mismo principio de Kirkaldy y también la máquina a la arboleda, Southwark Street, Londres. Véase C. H. Gibbons, "ensayos de materiales Máquinas", Pittsburgh, 1935. El comienzo del Ihe Mathemalical Teoría de Elaslicily, 115 La máquina que incorpora un cilindro hidráulico para producir la carga y La absorción de la cepa. La magnitud de la carga se mide en función de Medios de masas, como se muestra en la Fig. 74. Lamé observado, a la vez que lleva a cabo Estas pruebas, que el hierro comienza a extenderse rápidamente en una carga aproxi- Aproximadamente igual a dos tercios de la fuerza ultímate. La exfoliación de la Escala de óxido y la formación de un cuello después de que el punto del rendimiento fue aprobada También fueron óbserved. Los resultados1 de Estas pruebas se utilizaron en el diseño de Estructuras de hierro en Rusia y se Mencionado en varios libros sobre Fuerza de materials.2 En relación con las obras de De la catedral de San Isaac St. Petersburg, Lamé y Clapeyron Examinó el problema de atability de Arcos y preparado la autobiografía de Que ya nos hemos referido (véase Página 84). Durante su servicio en San Pedro- Burg, los dos ingenieros OTU te sus Importante autobiografía "sur l'équilibre Intérieur des corps solides homogénes" Que fue presentado a los Franceses Academia de las Ciencias, revisado por Poinsot y Navier . Matemático e en 1828, y publicado en "Mémoires présentés par Divers savants", vol. 4,1833 . Esta memoria debe su importancia al hecho Que contiene no sólo una derivación de las ecuaciones de equilibrio (que Ya eran conocidos en ese momento de la obra de Cauchy y Navier . Matemático e) Pero también algunas de las aplicaciones de estas ecuaciones generales para la solución de Problemas de interés práctico. En la primera sección de la autobiografía que Ri Z ////////////A. « 1 Fra. 74. Resistencia de Lamé de máquina de ensayo. Deducir las ecuaciones de Navier . Matemático e equilibrio mediante la noción de las fuerzas moleculares (véase el Artículo 25) y muestran que el mismo se obtienen ecuaciones mediante el concepto de estrés, introducido por Cauchy. En la segunda 1 Los resultados de estas pruebas, que se incluye en la carta de Lamé Baillet, fueron publicados en Ann, minas, vol 10, París, 1825 2 Véase, por ejemplo, Navier . Matemático e, "Currículo de Le?ons . . . ," 2d ed., pág. 27, 1833. FIG. 73. Gabriel Lamé. 116 Historia de resistencia de materiales Sección las tensiones en un punto de un cuerpo elástico se estudian y se pone de manifiesto que si para cada plañe pase por el punto, el correspondiente estrés es representado por un vector de ese punto, los extremos de todos esos vectores se 011 la superficie de un elipsoide. Este es el llamado estrés Lamé elipsoide. también se muestra cómo (mediante este elipsoide junto con el estrés y director quadrie) la magnitud y la dirección del estrés puede ser obtenido en cualquier plañe pase por el punto. Después de este debate general los autores aplicar sus ecuaciones para casos particulares. Muestran cómo el único constante elástica que entra en sus ecuaciones pueden obtenerse experimentalmente las pruebas de resistencia o de ensayos de compresión uniforme. Después se llevan el problein de un cilindro circular hueco y derivar las fórmulas para las tensiones producidas por uniforme las presiones internas y externas. Estas fórmulas se utilizan para calcúlate el grosor necesario de la pared si la magnitud de las presiones . En su análisis que utilice el máximum estrés teoría; pero cuidado que cada uno de los elementos del cilindro está en una condición de dos dimensiones de estrés y que el límite elástico obtenidos a partir de un simple ensayo de tracción puede no ser aplicable a este caso más complicado. Los siguientes problemas se tratan en esta sección son los de la simple torsión de los ejes circular, una esfera víc- a las fuerzas de gravitación dirigida hacia su centro, y una cubierta esférica uniforme sometido a presión interna y externa. En todos estos casos se derivan fórmulas correctas y estos han encontrado muchas aplicaciones. En la última sección, los autores examinan problemas más complejos. Empiezan con la de un cuerpo infinito plañe delimitada por un dado que las fuerzas normales se distribuyen. Estas fuerzas representan un Fourier integral, ellos tienen éxito en obtener las expresiones para las componentes de los desplazamientos en la forma de quadruple integr ahorro. Se aplican análisis similar para el caso de un cuerpo limitado por dos infinitos planos paralelos. Por último, el problema de un cilindro circular de longitud infinita. Ilere, por primera vez, se han introducido las coordenadas cilíndricas. Como ejemplo, la torsión de un cilindro fuerzas tangenciales producidas por dis Otro aspecto importante de esta autobiografía es que, aparte de su ínter- , interesante conclusiones, que contiene todos los resultados teóricos relacionados con deformaciones elásticas de materiales isótropos. Estos se presentan de un modo claro y conciso. Más tarde, este papel se utilizó por Lamé en la preparación de su famoso libro "Legons sur la Théorie Mathématique de l'Élasticité des Corps solides." Este fue el primer libro 011 teoría de la elasticidad. El comienzo del Ihe Malhematical Teoría de Elaslicily 117 Lamé Clapeyron y regresó a Francia en 1831 porque, tras una revolución en su país de origen, las relaciones políticas entre Francia y Rusia habían empeorado. Allí encontraron que el interés de los ingenieros se sintió atraído por el crecimiento de construcción de ferrocarriles en Inglaterra y algunos existían planes para realizar tareas similares en Francia. Lamé y Clapeyron oulline y ayudó a construir la línea entre París y Saint-Germain . Sin embargo, Lamé muy pronto abandonó este tipo de trabajo y beeame profesor de física en la École Polytechnique, en cuya capacidad se mantuvo hasta 1844. Durante este período, publicó su curso de física (1837) y también algunos trabajos importantes sobre la teoría de la luz. En el año 1852, libro de Lamé en la teoría de la elasticidad (antes mencionado). Los resultados de las memorias que escribió el autor con Clapeyron fueron incluidas en la misma, pero la forma de las ecuaciones se algunos- ¿qué ha cambiado pecado ce Lamé había llegado a la conclusión valida de que para determinar las propiedades elásticas del material es isótropo, dos constantes elásticas. Este ha sido de Cauchy dada (véase el artículo 26). Lamé introaeolotropic. changos la elasticidad equa Conclusión de la revisión de libro de Lamé, en su "Historia", Todhunter dice: "El trabajo de Lamé no puede ser muy muy elogiado, que protege un ejemplo que ocurre pero rara vez de un filósofo del mayor renombre condescendiente para emplear su habilidad en la construcción de una escuela primaria tratado sobre un tema de lo que es un eminente cultivador. Los matemáticos puedan definir las investigaciones son claros y convincentes, mientras que el general- xiones que se dan tan generosamente en el comienzo y el final de las clases se distingue por su elegancia de la lengua y profundidad de pensamiento." Después de la pubücation de su libro, Lamé se mantuvo el interés en la teoría de la elasticidad y, en 1854, su "Mémoire sur l'équilibre d'élas- ticité des enveloppes sphériques" apareció en la Revista de Liouville matemáticas- ématiques, vol. XIX. En ella el escritor da la solución completa al problema de la deformación de capas esféricas bajo la acción de las fuerzas de superficie. En 1859, el libro "Lamé Le^ons sur les coordenadas curvilignes diverses et leurs applications " fue publicado. Este libro proporciona la teoría general 118 Historia de Slrenglh de materiales De coordenadas curvilíneas y su aplicación a la mecánica, calor y fuerza la teoría de la elasticidad. La transformación de las ecuaciones de elas Lamé En 1843 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia, y en 1850 se convirtió en profesor en la Sorbona, donde lecc.urados de diversas ramas de la física teórica. No se trataba de un profesor outstandixxg, pero sus libros fueron muy leídas y una gran influencia mathe- puedan definir los físicos durante muchos años. Lamé Mala salud obligó a dis Clapeyron, después de su regreso a Francia en 1831, fue siempre activo en trabajos prácticos relacionados con la construcción de ferrocarriles franceses. Su ocupación principal era con la aplicación de la termodinámica a loco- motivo diseño. A partir de 1844, se impartió el curso de motores de vapor de la École des Ponts et Chaussées, él fue un excelente maestro. La combinación de grandes conocimientos teóricos prácticos con amplia expe- riencia que poseía especialmente atraído los estudiantes a sus clases. Cuando se dedican al diseño de un puente colgante en el año 1848, Clapeyron desarrolló un nuevo método de análisis destaca en las vigas continuas, que se disexissed posterior (consulte la página 145). En su libro de la elasticidad, Lamé describe otra contribución de su ex compañera que calis de Clapeyron Iheorevi. Este teorema establece que la suma de los producís de fuerzas externas aplicadas a un cuerpo, y los componentes de los desplazamientos en el dircctions de estas fuerzas en sus puntos de aplicación, es igual al doble de la valúe de la corres- pondiente energía de deformación del cuerpo. Parece que este teorema fue enunci- sos de Clapeyron mucho antes de la fecha en que libro de Lamé se publicó, y que marcó la primera vez que la expresión general de la energía de deformación de un deformado cuerpo isoti'opic se derivan. Clapeyron En 1858 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia. Continuó su trabajo en la Academia y en la École des Ponts et Chaussées hasta la hora de su muerte en 1864. El comienzo del Ihe Malhemalical Teoría de Elaslicily 119 29. La teoría de Plat� Los primeros ataques upou el problema elástico de desviación del sur- fueron los cordones de Euler. Al describir la vibración de una membrana flexible perfectamente, lo considera como que constan de dos sistemas de estirar las cuerdas perpendiculares entre sí (Fig. 75). Él encontró1 la ecuación diferencial, es decir, D h u dt 2 = A D h v d x 2 B Dh o Dy 2 (A) Fio. 75. Donde w denota las desviaciones y A y B son Constantes. Euler también utiliza esta idea en mediterrán- Ing las vibraciones de las campanas. Jacques Bernoulli2 ( 1759-1789) aplicó el Mismo concepto para el análisis de las placas y, de esta manera, obtiene3 la Ecuación diferencial """H- í t I - í M D ( I W W) ~ Donde D es la rigidez de la flexión píate y q es la intensidad de la carga lateral. Bernoulli dejó muy en claro que su ecuación era sólo una aproximación y que, de dos sistemas de vigas que no son perpendiculares entre sí es algo diferente resultado será. Él publicó el trabajo sólo como un primer intento de resolver el problema de flexión de las placas. Gran interés en la teoría de las placas se despertó por la E. F. F. Chladni en acústica4 y sobre todo por sus experimentos con placas con vibración. Cubriendo un píate con arena fina, Chladni pudo demostrar la existencia de líneas nodales de los diversos medios de su movimiento y para determinar las frecuencias correspondientes. En 1809 la Academia Francesa invitó a Chladni para dar una demostración de sus experimentos, y Napoleón, que asistió a la reunión, quedó muy impresionado por ellos. En la sugerencia del emperador la Academia Francesa propone, como tema de un premio ensayo, el problema de obtener una teoría matemática de las vibraciones y píate de comparar los resultados teóricos con los obtenidos experimentalmente. 1 Ver Novi Comvi. Acad. Pelrop., vol. X, p. 243, 1767. 8 Jacques era el sobrino de Daniel Bernoulli. Entre los años 1786 y 1789 fue miembro de la Academia de Ciencias de Rusia. 3 Nova Acta, vol.V, 1789, San Petersburgo. 4 La primera edición de Chladni de "Die Akustik" apareció en Leipzig en 1802. Una traducción al francés se publicó en 1809 en la que un breve autobiografía se encuentra. L20 Hislory de Slrenglh de materiales En 1811 Octubre, la fecha de cierre del concurso, sólo uno de los candidatos, Mlle. Sophie Germain. Sophie Germain1 ( 1776-1831) se interesó por las matemáticas mientras que todavía muy joven y aprendido Co-chairs a fin de leer "Principia de Newton." Ella continuó su estudio en el diííicult condiciones impuestas por la Revolución Francesa, y mantuvo correspondencia con la antes mencionada más grandes matemáticos su tiempo, es decir, Lagrange, Gauss y Legendre. Después de la batalla de .Tena, cuando el ejército francés en Gottingen, ella ayudó mucho Gauss escribir cartas al General Pernetty, quien estaba al mando del ejército de ocupación, y recogiendo dinero para pagar la multa impuesta por Pernetty en Gauss. Cuando oyó hablar del premio que se le ha ofrecido por el Acad Donde p \ y p2 son las principales radios de curvatura de la curva sur- cara. Sophie Germain cometió un error en el cálculo de la variación de la integral (c), y por lo tanto no logró encontrar la ecuación correcta. No ganar el premio. Sin embargo, Lagrange,2 que fue uno de los jueces, han notado su error y, después de hacer algunas correcciones, obtuvo una forma satisfactoria de la ecuación: La Academia propuso el tema, vnth una nueva fecha de cierre en 1813 Octubre y Sophie Germain entró de nuevo como candidato para el premio. Ella tiene ahora la ecuación correcta (cz), pero los jueces justiíication requiere un físico de la hipótesis fundamental (c). Fue de nuevo sin éxito. Pero la academia decidió ofíer la recompensa una vez más. La tercera vez, Sophie Germain ganó el premio3 ( en 1816), aunque los jueces no eran bastante satisfecho con su trabajo. Su papel no contiene una explicación adecuada de la expresión fundamental (c) y estamos de acuerdo con 1 Una biografía de Sophie Germain en su libro, "L'état des Sciences et des Lettres", el cual fue publicado en París en 1833, después de su muerte. 2 Ver Ann . chim" vol. 39, págs. 149, 207, 1828. 3 Su obra, "llccherches sur la théorie des superficies élastiques", fue publicado en París en 1821. (C) / El principio de teoría matemática de Elastieity 121 La declaración Todhunter1 que "los jueces deben haber sido lejos de grave, como se le ha concedido el premio. . . . " Un nuevo intento de mejorar la teoría de las placas fue hecha por Poisson.2 para dar un significado a physieal Eq. (D), se supone que la Poisson píate consta de partióles entre las fuerzas moleculares que (ges(d) de las condiciones de equilibrio en el sistema de partículas. Sin embargo, puesto que se supone que todas las partículas se distribuyen en el medio de la píate plañe, el eonstant k en su ecuación (d) es proporcional al cuadrado del espesor píate y no para el cubo, tal y como debería ser. En la misma memoria, Poisson muestra que el Eq. (D) se puede obtener no sólo de la integral (c) sino también de la integral Que, con una adecuada selección de las constantes A y m, es la expresión correcta de la energía de deformación de flexión de un elástico píate. Esto explica por qué la forma correcta (d) de la ecuación diferencial de las placas fue encontrado por Sophie Germain, aunque la cantidad (c) no le da la energía de deformación de un doblado píate. Navier . Matemático e debe ser mérito de haber dado la primera teoría satisfactoria de flexión de las placas. En su documento (que se presentó a la Academia de 14 ago, 1820, y se publicó en 1823),3 Navier . Matemático e asume, como Poisson, que la píate consta de moléculas; pero se ha distribuido a través del espesor y se supone que sus desplazamientos en flexión son paralelos a la media de la píate plañe y proporcional a la distancia desde que plañe. Por lo tanto, no considera la correcta ecuación diferencial para cualquier carga lateral, frente., Donde q es la intensidad de la carga y D es la rigidez de la flexión píate. Desde Navier . Matemático e también se realiza en la hipótesis que se describen en el artículo 25, sus resultados se da en términos de sólo una elástica y su valué eonstant de D coincide con los valué que es ahora generalmente aceptada cuando tomamos de Poisson igual a una cuarta parte. Se aplica la ecuación Navier . Matemático e (e) el problema de la píate rectangular simplemente apoyados por el cual se le indica la correcta condiciones de límite y da la co- 1 Véase su "Historia", tomo 1, pág. 148. 2 Ver su autobiografía publicada en el Mémoires de la Academia Francesa en 1814. 3 Ver Bol. soc. phifomath. París, 1823, pág. 92. 122 Hislory de resistencia de materiales Rect solución en forma de una doble serie trigonométrica. Esto se utiliza para los casos de una carga uniformemente distribuida y una carga concentrada en el raiddle. Estas soluciones fueron los primeros satisfactoria a los problemas de la flexión de las placas. Navier . Matemático e pandeo lateral considera también de placas en la acción de las fuerzas de compresión T distribuidos uniformemente a lo largo de la frontera, y obtiene la correcta ecuación diferencial en la superficie abrochado ( /) Esta ecuación, se aplica sobre el complicado problema de la píate rectangular que se apoya en las cuatro esquinas. Aquí, sin embargo, falla para llegar a una solución aceptable. CAPÍTULO VI Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 30. Fairbairn y Hodykinson Durante la primera halí del siglo xix, los ingenieros franceses, con Sus superiores conocimientos en matemáticas, fueron oceupied con los matemáticos Puedan definir teoría de la elasticidad. En este período, los ingenieros estudian inglés Resistencia de materiales experimentalmente. Inglaterra, el principal País en lo que se refiere a desarrollo industrial y, después de que el trabajo de James Watt, la máquina industria creció Rápidamente. La construcción de una reli- Capaz locomotora dio ímpetus a Construcción de la vía férrea y, mientras que en 1827 Inglaterra produjo 690.500 toneladas De hierro, la producción fue 3.659.000 Toneladas en 1857. En esta época de acelerados Expansión industrial, muy alejado poco Hecho para mejorar British engi- Pectos educación y las numerosas Problemas de ingeniería que presentaron Theinselves ha de resolverse en gran medida Por auto-enseñado a los hombres. Estos hombres habían Sin grandes conocimientos científicos y Prefería el método experimental De ataque. Aunque esta expe- Trabajo mental no contribuyen en gran medida La teoría general de la fuerza de Materiales, es de gran utilidad para los ingenieros prácticos para brindar una respuesta A sus problemas inmediatos. Los resultados de estas pruebas fueron ampliamente No sólo en Inglaterra sino también en el continente y se citaron en el Ingeniería literatura1 de Francia y Alemania. El más conocido de estos Los ingenieros inglés William Fairbairn y Eaton Hodgkinson. "Véase, por ejemplo, A. ¡Vlorin "Résistance des Matériaux", 3d ed., París, 1862; G. H. amor, "Des Résistances et outres diverses Propriétés de la fonte, du fer et de l'acier . . . ", París, 1859; J. Weisbach, "Lehrbuch der ingenieur- luid) siguiente maschinen- Meehanik", 1845-1862 (3 vols. ). 123 FIG. 76. William Fairbairn. 124 Ilistory de resistencia de materiales William Fairbairn (1789-1874)1 nació en Iíelso, Escocia, el hijo de un campesino pobre. Después de estudiar en una escuela de primaria, tenía que empezar a ayudar a su padre en la granja. Sin embargo, a los quince años de edad, comenzó a trabajar como aprendiz en la facultad de ingeniería mecánica de Percy carbonera principal Escudos cerca del Norte. Fairbairn fue muy diligente; después de un día de trabajo en la estación de alimentación que pasaría su noche en estudiando matemáticas y literatura inglesa. Durante los siete años de aprendizaje que mejoró considerablemente su educación de esta manera. En 1811, después de su emisión, Fairbairn se trasladó a Londres, donde, en ese momento, el Waterloo Bridge estaba en construcción. La fama antes mencionada el constructor, John Rennie (1761- 1821),2 atrajo a Fairbairn pero no pudo encontrar trabajo en el puente y tuvo que continué como mecánico. mentira pasó sus noches en bibliotecas y continuó de esta manera hacer de la escolarización que había sido denegado hiin. Después de dos años en Londres, y de corta duración en el sur de Inglaterra y en Dublín, Fairbairn se trasladó a Manchester en 1814. No esperaba encontrar una mejor marlcet su conocimiento como un mecánico y en un primer momento, trabajó en varios worlcshops. Pero él comenzó su propio negocio en 1817 en asociación con otro mecánico, James Lillie. Desde el principio, éste se mantuvo en contacto constante con el buen funcionamien Acerca de este tiempo, la producción de hierro maleable, el proyecto ha mejorado considerablemente y Fairbairn se interesó en estudiar las propiedades mecánicas del material nuevo y su aplicación a diversos ingeniería 1 La biografía de Fairbaim, ver "La Vida de Sir William Fairbairn, Bart." por Guillermo Polo, Londres, 1877. 2 Para John Rennie biografía de ver Sonrisas, "Vidas de los ingenieros", vol 2. Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 125 Estructuras. mentira se reunieron Eaton Hodgkinson, que ya era bien conocido por su trabajo en la resistencia de los materiales, y propone que éste debe llevar a cabo experimentos en sus obras. Una máquina de prueba de los materiales (Faü'bairn la palanca) fue diseñado y construido (Fig. 77), y la mayor parte de la labor de investigación de Fairbairn y Hodgkinson se hizo con ella. A petición de la Asociación Británica para el Avance de la ciencia, que comenzó con el estudio de las propiedades mecánicas del hierro fundido. Mientras Hodgkiuson realizaron experimentos en aciagos y compresión, Fairbairn realizó pruebas de doblado. En su trabajo, estaba particularmente interesado en FIG. 77. Fairbaim la palanca. Efecto del tiempo y efecto de la temperatura. Él encontró que después de la aplicación de la carga la deflexión de un bar aumentaron con el tiempo y quería encontrar el limitar la carga por debajo del cual no se ha encontrado. El estudio de la temperatura efecto demostró que la carga de rotura disminuyó considerablemente con el aumento de la temperatura. En los 1830 's, Fairbairn se interesó en los buques e hizo un amplio estudio experimental de la fuerza de hierro forjado y sus placas remachadas joints.1 Se encontró que la fuerza de las placas de hierro es aproximadamente la misma en todas las direcciones. Las articulaciones con remaches de cada tipo, mostró un mayor nivel de calidad de la máquina (en contraposición a mano) fascinante. El uso de placas de hierro que Fairbairn se convirtió en la mayoría de los interesados fue que en hierro 1 Los resultados de esta investigación, realizada en 1838-1839, se publicaron más tarde, Véase Phü. Trans., parte II, págs. 677-725, 1850 126 Ilistory de resistencia de materiales Puentes. El trabajo experimental que hizo en relación con el diseño y la construcción de esos puentes se verá más adelante (véase la página 156). Fairbairn investigó la resistencia al colapso de los tubos sometidos a presiones externas en su trabajo en el diseño de boilers.1 sus experimentos con tubos de diferentes tamaños, todos con extremos fijos, demostró que la crítica valué de la presión externa es dado con buena precisión mediante la fórmula pcr = Ch2/ld, donde h es la thiclcness de la pared, l la longitud, y d el diámetro del tubo. C es una constante en función de la propulsión elástica'lazos del material. Para obtener tubos y capas esféricas de más perfecta, Fairbairn vidrio posterior. Él examinó las propiedades elásticas y la mayor fuerza de varios tipos de vidrio y tubos de uso y globos en su determinación experimental de la crítica externa valué pressure. de la2 Fairbairn presentó los resultados de sus experimentos numerotis en una serie de conferencias y, más tarde, en forma de libros que se hizo muy popular entre los ingenieros3 de ese tiempo. En reconocimiento a su labor científica y por sus aportes a los diseños de los Conway y tubular Britannia puentes, Fairbairn fue elegido miembro de la Roy al Sociedad. En 1860, fue premiado con una medalla por tl)en el cuerpo. Fue elegido para ser uno de los miembros del jurado de la Exposición de París de 1855 y, después de su conclusión valida, hizo un informe que contiene los siguientes interesantes observaciones: "creo firmemente, por lo que he visto, que los franceses y los alemanes son antes de nosotros en los conocimientos teóricos de los principios de liigher las ramas de arte industrial; y creo que esto se debe a las mayores facilidades aíforded por parte de las instituciones de los países para la instrucción en la parte mecánica y chemieal . . . . En el potente estímulo de auto engrandecimiento hemos avanzado con perseverancia la cantidad, mientras que otras naciones menos favorecidas y menos tierna supphed, han estado estudiando con mucho más cuidado que nosotros los numerosos usos Para que el material puede ser aplicado y, en muchos casos, son antes de nosotros en calidad." Esta experiencia provocó Fairbairn a interesarse en la educación. Se puso en contacto con los hombres que, en su momento, estaban llevando a cabo una investigación sobre la ignorancia de las masas y declaró enfáticamente que Inglaterra tendría que mejorar su sistema educativo. Eaton Hodgkinson (1789-1861) nació en Anderton en Northwich, * Ver Fil. Trans., 1858, págs. 389-413. Una discusión completa de este trabajo se da en libro de Morin ha señalado (véase pág. 123). 2 Ver Fil. Trans., 1859, págs. 213-247. 3Seé su "información útil para Ingenieros", Londres, 1856, y, con el mismo título, serie 2d, Londres, 1860. Véase también el libro "sobre la Aplicación de yeso y hierro forjado a fines de construcción", Londres, 1856; 2d ed., 1858. Slrenglli de materiales entre 1833 y 1867 127 Cheshire, en la familia de un granjero. El orador afinnó sólo un elernentary educa- ción, y a pesar de ser todavía muy joven, comenzó a trabajar en la granja y para ayudar a su madre viuda. En 1811 su familia se trasladó a Manchester y Hodgkinson se reunió con el f&mde científico John Dalton (1766-1844), quien se dio cuenta de la joven la lucidez mental y comenzó a enseñarle mathe En 1822, comenzó su trabajo en la fuerza de los materiales y dos años más tarde publicó su libro "En el esfuerzo y la resistencia transversal de los materiales. "1 Considerando doblar barras de prismáticos, y recuerda que, en cada sección, la suma de esfuerzos de tracción debe ser igual a la de los esfuerzos compresivos y, suponiendo que las secciones transversales siguen siendo plañe, elude a: "Como la extensión de la fibra por un lado está a la contracción del que la de los otros, por lo que es la distancia de la ex de la línea neutral para que, de esta última." Este resultado no es un fenómeno nuevo, ya que se había conocido desde el tiempo de los padres y de Coulomb, pero el mérito de El documento, según lo declarado por Todhunter, radica en el hecho de que los hombres prácticos que en Inglaterra, con el fin de colocar la línea neutral en su verdadera posición. En su análisis, Hodgkinson no utiliza Hooke's law, y que asume la tensión es proporcional a algún poder de la extensión. Para mayor generalidad, asume este poder para tener un diferente valué para la relación entre contracción y compresión forcé. En la segunda parte de su ponencia, el escritor da los resultados de sus experimentos con vigas de madera y demuestra que en el límite elástico se aplica el derecho de Hooke. En su segundo documento2, Hodgkinson describe sus experimentos con la flexión de las vigas de hierro fundido y muestra que, cuando la carga de la luz aumenta, la línea neutral cambia su posición. El orador considera que el moduli de elasticidad, límite elástico, ultímate y fuerza de hierro fundido para tener diferentes valúes aciagos y compresión. Con esta información, Hodgkinson comenzó una búsqueda experimental de la forma de un haz de hierro fundido que, para una cantidad fija de material, lo que daría lugar a la máxi El siguiente tema de Hodgkinson el trabajo práctico fue el de impacto horizontal en un rayo de luz. Los resultados que obtuvo Avell acuerdo con las predicciones de elernentary teoría, que se basa en los supuestos 1 Publicado en el Mecanismo citado. Proc. Manchester poco. <6 Fil. Soc. , vol IV, 1824. 2 "Las investigaciones teóricas y experimentales para determinar la fuerza y las mejores formas de Hierro resmas", Manchester Sociedad Literaria y filosófica, 1830, págs. 407- 544. 128 Historia de resistencia de materiales Que (1) la desviación de un rayo curva doblado por iinpact es el mismo que si se hubiera doblado statieally y (2) el sorprendente cuerpo y haz avanzar juntos como una sola misa después del impacto. Común a la hora de calcular la velocidad del cuerpo y sorprendente de la viga justo después del impacto, la mitad de la masa de la viga se )1 Hodgkinson publicó los resultados de su trabajo en Fairbairn plarit.2 de la Figura 78, muestra las fotos de algunos especímenes aplastados prueba de compresión de hierro fundido y, Hodgkinson señala que todas las fracturas tenían una cosa en común, es decir, en cada caso un cono o una cuña que se formó en un ángulo casi constante. En el mismo documento, los resultados de pruebas de doblado de vigas de hierro fundido con bridas son desiguales. Ellos muestran que la capacidad de transporte del máximum el haz luminoso se obtiene cuando el arca de corte transversal de la parte inferior y superior las bridas son en la misma proporción en que 6 o 6 | a 1. Esta proporci ón es aproxi madamente i gual a l a proporci ón de l a compresi ón a la resi stenci a a l a tracci ón de la f undi ci ón de hi erro. En 1840, Hodgkinson presentó su investigación sobre pandeo de columnas a la Real sociedad.3 Su objetivo era verificar la fórmula teórica de Euler. El régimen general de estos experimentos y los tipos de muestras se desprende de la Fig. 77. Cilíndrico, sólido, y hueca especímenes con extremos redondeados y fiat han sido probados. Para delgado, soportes sólidos, buen acuerdo con Euler se encontró la fórmula (es decir, la carga final era proporcional a d'l/l2, donde d es el diámetro y l es la longitud de la columna). También se descubrió que una barra con fíat extremos tiene la misma fuerza que una columna más corta de la mitad de la longitud que tiene extremos redondeados. En el caso de menor struts, desviaciones considerables de la fórmula teórica. Aproximadamente a los resultados obtenidos para los cilindros sólidos con extremos redondeados y con longitudes varían de 121 veces el diámetro de 15 veces, Hodgkinson tuvo que tomar la carga final, proporcional a d3-6/i1,7. En relación con el diseño de la Britannia y Conway tubular puentes, Hodgkinson, junto con Fairbairn, llevado a cabo algunos experimentos muy importante en flexión y pandeo de tliin de tubos de paredes. Estos experimentos se hablará más adelante (véase la página 156). Hodgkinson se convirtió en el profesor de la mecánica son principios de la ingeniería en el University College de Londres, en el año 1847 y, durante su 1 Las investigaciones de Hodgkinson el impacto se publicaron en Asociación Británica para los años 1833-1835. 2 Este trabajo fue publicado en la British Association Informe de 1837-1838. La mayoría del material se ha reproducido en el libro "investigaciones experimentales sobre la resistencia y otras propiedades de Hierro Fundido", Londres, 1846." Este libro fue traducido al francés; véase Ann. ponts el Marne, vol. 9, págs. 2-127, 1855. 3 Ver Fil. Trans., parte II, págs. 385-456, 1840. Fio. 78. Crusheil compresión de muestras. La tenencia de la presidencia, participó como miembro de la Real Com- misión designada para investigar la aplicación de ¡ron raihvay estructuras. En 1841, Hodgkinson se adjudicó una medalla real de su trabajo en la fuerza de los pilares y, en el mismo año, fue elegido miembro de la Royal Society. 31. La Growlh de Germán EnyineeHng Escuelas Después de las guerras napoleónicas, el Germán sistemas económicos tuvo que ser reconstruido. Era necesario para promover la industria y para ello varias escuelas de ingeniería fueron fundadas siguiendo de cerca el patrón de 130 Historia de resistencia de materiales La École Polytechnique. Se decidió a construir enseñanza de la ingeniería alrededor de un núcleo central de la preparación en el campo de las ciencias fundamentales de matemáticas, física y química. Los ingenieros iban a recibir una educación general comparable a la que era necesario en otras profesiones y que se pueden obtener en las universidades. Las nuevas escuelas de ingeniería recibieron el estatuto de las universidades y se les para formar a los ingenieros que no sólo será capaz de resolver los problemas técnicos, sino que estarían equipados para recomicndan sobre el desarrollo de las ciencias de la ingeniería. Si bien estas ideas fundamentales han sido tomados de la École Polytechnique, hay cierta diferencia notable. Mientras que el francés de creación fue sólo una escuela preparatoria para los jóvenes hombres, que posteriormente fueron a recibir su formación en ingeniería en una de las escuelas especializadas (como la École des Ponts en Marne, la École des Mines, o la academia militar), Germán las escuelas se cubren completamente el curso de estudio. Durante los primeros dos años de estudio, los alumnos fueron a recibir instrucción en las ciencias. La segunda se dedica a una de las ramas de la ingeniería. Este nuevo sistema permite una mejor regulación de la cantidad y el tipo, de la teoría. Había otra diferencia importante. Las escuelas francesas de ingenieros formados principalmente Servicio gubernamental. Pero el Germán escuelas, desde el comienzo mismo, trabajó en cióse enlace con su vez ha realizado una empresa y contribuido inmensamente en el crecimiento de la industria. Había también una gran ad Este nuevo tipo de enseñanza de la ingeniería fue muy exitosa, y Germán escuelas de ingeniería muy pronto beeame un factor importante en el progreso de la industria y de las ciencias de la ingeniería. La condición social de un profesor siempre ha sido una muy alta en Alemania y, en consecuencia, las escuelas de ingeniería fueron capaces de atraer a los mejores ingenieros para enseñar y a participar en las actividades científicas. En lo que respecta a ingeniería mechamos, Germán Ciencia en un primer momento se vio muy influido por el francés libros de Navier . Matemático e, Poisson, Poncelet, y otros. Pero antes de que pase mucho tiempo Germán ingenieros comenzaron a golpear a su propia; para el resumen presentación de mechamos que fue tan popular en la École Polytechnique no les satisface. Por lo tanto, en este período (1833-1867) bajo consideración, más práctico libros de ingeniería Slrenglli de Materiales belween 1833 y 1867 131 Deje que lis dirigir nuestra atención t,o la actividad de los más destacados Ger- Mán profesores de mecánica de la época. J. Weisbach escribió libros sobre "Mecánica de maquinaria e Ingeniería" que enjoyecl un alto Fama no sólo en Europa sino también en América, donde un Inglés Traducción fue actividades.1 Julius Weisbach (180G-1871) se graduó en la prestigiosa Escuela ot Las Minas (Bergakademie Freiberg) en latee en 1826 y, con el fin de mejorar Su conocimiento de las ciencias fundamentales, estudió durante dos años (1827-1829) de la Universidad de Góttingen y por un período de un año El Viena Instituto Politécnico. Después de este estudio, Weisbach rechazado La oportunidad de trabajar como minero Ingeniero y nos alojamos en Freiberg, En el que prefiere a ganarse la vida Por lo que su vez ha realizado una experiencia en mathe- . En 1833, fue llamado a Por la Academia de Minas de Freiberg Para enseñar las matemáticas aplicadas, y Entre 1836 y el final de su vida, Era un profesor de mecánica y Diseño de la máquina en esa escuela. El Principales logros de Weisbach Sistema hidráulico y trate en su El trabajo de los métodos seguidos Poncelet Y ha logrado obtener importantes Advanees práctica mediante la combinación de resultados experimentales muy ele- Cinematógrafo análisis teórico. Los problemas de resistencia de materiales son hábilmente tratadas en su libro sobre mecánica y su obra original en este campo se ha centrado en el diseño de los componentes de la máquina que están sometidos a la acción combinada de stresses.2 utiliza el máximum cepa teoría como base para su selección de seguro las dimensiones para las piezas de la máquina. Este método de análisis fue sugerida por Poncelet (véase la página 89) y seguido de Saint-Venant , discretizadas mediante un . J. Weisbach está muy interesada en métodos de enseñanza ingeniería mecánica y organizó un laboratorio en el que los alumnos tenían que verificar los principios de estática, dinámica, y la resistencia de los materiales- rianas mentally.3 Sus estudiantes llevaron a cabo experimentos en flexión de sólidos y 1 Editado por W. R. Johnson, Philadelphia, 1848. 2 Z. Ing. , vol., 1 , págs. 252-265, 1848. 3 Weisbach publica una descripción de estos problemas en la revista Civiling., vol. 14, Págs. 389-370, 1868. FIG. 79. Julius Weisbach. 132 Historia de resistencia de materiales Construido de vigas, modelos de vigas, torsión de los ejes y de torsión eombined Y dobleces. Para estas pruebas se utilizan los modelos de madera y eran de Tales proporciones que pequeñas fuerzas que producen deformaciones que Son lo suficientemente grandes para permitir la fácil medición. Parece que este Era la primera vez que los estudiantes han tenido que trabajar experimentalmente en Resistencia de los materiales. F. Redtenbacher (1809-1863) fue otro destacado Germán El profesor de este período, que se ha defendido la introducción de seientific Análisis de diseño de la máquina. líe se graduó en 1829 de la Viehna Instituto Politécnico, y desde él Era un estudiante excelente, fue " Invitados a tomar la posición de Profesor de ingeniería mecánica En el Instituto. En 1833 se convirtió en Un teaeher de mathematies al Zurich técnica sehool.1 Aquí él Complementó su actividad docente Con el trabajo de un diseñador en el Escher Wyss y Fabricación Empresa, de modo que él adquirió- Cal experiencia en diseño de la máquina. El Instituto Politécnico de Karlsruhe Le ofreció la cátedra de Mecánica aplicada y diseño de la máquina En el año 1841, y no como un worlced El profesor (y, posteriormente, como rector de la Sehool) al final de su vida. Com- Combinar su amplia Unowledge de mecánica con su experiencia práctica, que Reorganizada por completo la enseñanza del diseño de la máquina y presenta Análisis teórico a la solución de problemas de diseño. Se convirtió en un Líder en el crecimiento de la enseñanza de la ingeniería en Alemania. Su publicación Fueron utilizados por muchos ingenieros mecánicos2 y sus métodos fueron Aprobado en la industria. Estaba interesado en la aplicación de fuerza de Materiales para la determinación de las dimensiones de los componentes de la máquina y, En sus libros "Principien der Mcchanik und des Machinenbaues" (1852) Y "Der Maschinenbau" ( 1862-1865), encontramos las soluciones de los problemas En el análisis de tensiones en los ganchos, las ballestas, muelles helicoidales, elíptico Los anillos de las cadenas, etc. En ese momento, poco se sabe acerca del 1 En 1855, este sehool se transformó en el Eidgenossisehe Technische Hoch- Sehule en Zurich por el General Dufour, forraer Éeole alumno de la Politécnica de París. De su libro "Resáltate für den Maschinenbau", 1848, fue traducida al francés. Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 133 Análisis de esa máquina parís y Redtenbacher fue un pionero en Este tema1. Después la muerte Redtenbaeher, F. Grashof fue elegido para la cátedra de Mecánica aplicada en el Karlsruhe Instituto Politécnico. Grashof2 (1826 -1893) obtuvo su enseñanza de la ingeniería en la Gewerbeinstitut en Berlín. Después de su graduación, trabajó durante 2 años como seainan en una vela Buque que visitó la India, Australia y África. Al regresar a su casa (En 1851) comenzó a prepararse para la profesión docente y Comenzó dando conferencias en matemática aplicada en el año 1854 en el Gewerbeinstitut. En 1856, ayudó a lanzar la Verein Deutscher Ingenieure y se convirtió en el Editor de la revista. En este jourual Publica una serie de artículos tratan- Ing con diversos problemas de aplicación Mecánica. Esta actividad le trajo Una medida de la fama y condujo a su Elección por la Politécnica Karlsruhe Redtenbacher Instituto para sustituir. Aquí Grashof continuó a enseñar en Las diversas ramas de la ingeniería Mecánica. Fue mucho más interesada en fuerza De los materiales y, en 1866, publicó Su "Theorie der Elasticitat und Festigkeit." En este libro, él no Se limitará a fuerza elemental De los materiales, sino que introduce la soli- Mental las ecuaciones de la teoría de elastieity. Estos, se aplica a La teoría de flexión y torsión de prismatical bares y a la teoría de Las placas. Flexión en la discusión de bares, que encuentra soluciones para algunas formas De la sección en la que no se consideraron de Saint-Venant , discretizadas mediante un , que fue El iniciador de la rigurosa en teoría de flexión de prismatical bares (véase Página 237). Para dar fórmulas para el diseño de los componentes de la máquina, Grashof Toma como su criterio de la fortaleza la cepa máximum teoría y se extiende La investigación de Weisbach stresses.3 combinado en varios lugares Grashof desarrolla sus propios métodos de solución cuando se trata de par- Concretamente los problemas y él encuentra a algunos nuevos resultados. Por ejemplo, en el tratamiento 1 Estas soluciones de Redtenbacher se citan ¡n V. contamin el libro "Résistance Appliquée", París, 1878. 2 Consulte el apartado "Franz Grashof, ein Führer der deutschen Ingenieure" por Wentzcke. Véase también R. Plank, Z. Ver deut. Ing. , vol. 70, pág. 933, 1926. 3 Ver Z. Ver deut. Ing. , vol 3, págs 183-195, 1859. 134 Historia de Slreriglh de materiales Flexión de barras articuladas con extremos, que examina los efectos de la longi011 la deflexión y acerca de las tensiones no puede descuidarse. El tratamiento que los depósitos cilíndricos son sometidos a presión interna, , Grashof no se limita de Lamé fórmula pero que analiza la flexión local destaca que se producen cuando los bordes del caparazón son rígidamente conectados con las placas finales. En este análisis se utiliza la ecuación que rige el dilferential deformación longitudinal de las tiras que se han cortado desde el shell de dos secciones radiales Grashof1 ofrece soluciones completas para varios casos de carga simétrica las placas circulares. se encuentran también considera uniformemente cargados placas rectangulares y presenta algunas soluciones aproximadas en varios casos. En la presentación de su trabajo, Grashof prefiere el uso de métodos analíticos y raramente utiliza cifras a ¡Ilústrate su significado. Por lo general comienza con la discusión de un problema en su forma más general y sólo más tarde, cuando un general se ha encontrado una solución, se introducen las simplificaciones afíorded en casos concretos. Esta forma de presentación facilita la lectura difícil; su-ntes de que el libro no era popular entre los ingenieros prácticos y era demasiado difíicult para la mayoría de los estudiantes de ingeniería. Sin embargo, el más perseverante no ahorre esfuerzo alguno por los estudiantes obtener un profundo conocimiento de la teoría de resistencia de materiales. Hasta el día de hoy, libro de Grashof no ha perdido su interés, ya que fue el primer intento de introducir la teoría de la elasticidad en una presentación de la fuerza de materiales para ingenieros. Fairbairn los experimentos de la relación con el colapso de tubos circulares uniformes cuando se presenta bajo presión externa (consulte la página 126) Grashof a una muy interesante investigación teórica de pandeo de delgados tubos circulares de gran length.2 Suponiendo que la sección transversal de un tubo circular se convierte en un principio elíptica de pandeo, Grashof considera que la crítica valué de presión es de fórmula 2Eh3 Pcr ~ d 3 Donde h es el espesor de los tubos y d es el diámetro. En su análisis, considera que un elemental Grashof anillo y hace caso omiso de la subraya, entre los anillos adyacentes de que el tubo está compuesto. Esto explica por qué esta fórmula contiene el módulo E en vez de E/ (1 - n2). " Parece que los dobleces en los extremos de tubos circulares y los anillos de refuerzo fue investigado primero por H. SchefTler; véase "Órgano für Eisenbalinwesen", 1859. Véase también E. Winkler, Civiling., vol 6, 1860. 2 Ver documento de Grashof en Z. Ver deut. Ing. , vol 3, pág. 234, 1859. Resistencia de Materiales belween 1833 y 1867 135 Germán trabajo experimental sobre las propiedades mecánicas de los materiales estructurales han avanzado durante el segundo tercio del siglo xix. A. K. von Bui'g, en el Instituto Politécnico Viena llevaron a cabo pruebas en el acero placas.1 K. Karmarsch, en Hannover Polytechnicum, estudió las propiedades de los alambres de metal de diversos diámetros de W. Lüder ( Lüders eters.2 examinó la red de sistemas ortogonales de las curvas que aparecen en la superficie de suave, reparto de muestras de acero en flexión y en otros casos en los que los materiales sometidos a grandes presiones de ing. mentira mostró que estas curvas son más pi-ominent si grabados con una solución suave de ácido nítrico acid.3 En 1852 L. Werder diseñado y construido (en el Juicio de Nuremberg) 100-ton las pruebas de la máquina para el control de la tensión de los puentes que fueron diseñados por W. Pauli. Esta máquina ha sido muy precisa y fue adecuado para probar grandes estructuras. Posteriormente más Europea laboratorios copias instaladas de esta máquina, y no hay duda de que una gran parte del trabajo de investigación en mecánica de materiales realizadas durante la segunda mitad del siglo xix fue completad el Werder de máquinas. 32. DE Saint-Venant , discretizadas mediante un Contribuciones a la teoría de flexión de las vigas. La labor principal de Saint-Yenant se refiere a la teoría matemática de la elasticidad, y que se discutirá más adelante. Pero también contribuyó mucho a la escuela elemental fuerza de los materiales (en particular, a la teoría de flexión de bares) . "1 fue el primero en estudiar la precisión de los supuestos fundamentales de agacharse, iriz., (1) que las secciones transversales de una viga siguen siendo plañe durante el deformat.ion y (2) que las fibras longitudinales de una viga no pulse en cada uno de ustedes en flexión y se encuentran en un estado de tensión o compresión simple. Demuestra que estas dos hipótesis se cumplió con rigor sólo en flexión uniforme cuando el rayo sea sometido a dos iguales y opuestas eouples aplicado en los extremos. Teniendo en cuenta la curvatura de un puré haz rectangular (Fig. 82A), demuestra que la modificación de la longitud de las fibras y la estructura superficial lateral correspondiente, no sólo respondan a las condiciones anteriores, sino también la condición de continuidad de la deformación. También muestra que la inicialmente sección transversal rectangular cambia su forma, como se muestra en la Fig. 82B, que es lateral, debido a la contracción de las fibras en el lado convexo y expansión en el cóncavo. 1 Ver Sitz. Akad. TFtss. Wien Math. -Naturer. Iilasse, vol. 35, págs. 452-474, 1859. 5 Polytech. Zenlr., 1859, Leipzig. 3 Dinglers Polytech. Stuttgart, 1860. " La mayoría de Saint-Venant , discretizadas mediante un .el trabajo en la teoría elemental de la fuerza de los materiales se recoge en sus notas a la tercera edición de Navier . Matemático e de "Currículum des Legons . . . ", París, 1864, y también en su juguestes curso "Legons de mécanique appliquée faites par intérim par M. de St. -Venant", 1837-1838. 136 Hisiory de resistencia de materiales Inicialmente, la línea recta ab se vuelve un poco dobladas y las corres- Ing radio de curvatura es p/ ¡yo, donde ¿i es de Poisson y p es el radio De curvatura del eje de la barra doblada. Debido a esta deformación lateral". Las distancias de las fibras neutral a y b de la parte superior e inferior Surfaees del bar son un poco alterado. La parte superior y la inferior , ( Surfaees se dobla a anticlaslic I \ surfaees. Esta fue la primera vez que I \ ^M la distorsión de la forma de la cruz I \ sección doblada de un bar había sido Cado ted.1 Un voladizo Talcing cargados en el Extremo libre (Fig. 83), Saint-Venant , discretizadas mediante un muestra Esquila que destaca en la ley Planos de sección transversal como ab y " ! &! Y que, debido a la presencia de Estos factores de estrés, las secciones transversales no No siendo plañe en flexión, Pero sufrir deformaciones, como se muestra en la figura. Desde esta deformación es la misma Para cualquiera de las dos secciones transversales, no produce cambios en la longitud de las fibras Y, por lo tanto, no afectará a la flexión subraya que se calculan sobre el Suponiendo que las secciones siguen plañe en flexión. Navier . Matemático e siempre supone, en su libro, que es el eje neutral perpendicu2 fue el primero en demostrar que esto es legitímate sólo si la plañe xy, en el que la curvatura Ley de las fuerzas, interseets las secciones transversales de la viga a lo largo de uno de los ejes principales de inercia (Fig. 84). Sólo entonces el momento de fuerzas internas Con respecto al eje y ^igual a ^j í zydo desaparecen y el momento de * La determinación de la relación de Poisson una medición óptica de la relación entre las dos principales curvaturas del anticlastic surfaees fue realizado por Cornu; véase Comp. rend., vol. 64, pág. 333, 1869. 2 Ver Navier . Matemático e, "Currículum des Lepons . . . ," 3d ed., pág. 53. Ver Navier . Matemático e, "Currículum des Legons 3D ed., pág. 175. / Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 137 Las mismas fuerzas con respecto al eje z del equilibrio externo. Saint-Venant , discretizadas mediante un mostró cómo la dirección del eje neutral puede ser deter- Si la plañe minadas en las fuerzas de flexión que el acto no se pasa por El eje principal de las secciones transversales. Si Fig. 85 Representa la elipse de Inercia de la sección transversal de la viga con ejes principales ou y ov Y si op es la plañe en el que las fuerzas se encuentran, entonces muestra que el Eje neutral nn es paralelo a la recta tangente en el punto de la intersección- De la elipse con la plañe OP. Saint-Venant , discretizadas mediante un muestra1 que los deflec- De un voladizo se puede calcular En un elemental sin inte- De la diferencial apropiado Ecuación e introduce el dispositivo Que ahora se llama la zona de momento Método La deflexión mi\, corres- Correspondiente a la curvatura de un elemento de la deformación curva (Fig. 86), es Mñi ____ Dx ". ------ Mn ~ - (í - x) P P Ahora observa que la curvatura en cualquier sección transversal es igual a M P{1 - x) El ~ El Obtiene la expresión P íl P13 * >■ • - ÉJ. 0- * - ah Por deflexión. El integral necesario puede calcularse como la observaciï¿momento del triángulo que representa la flexión diagrama de momento. De manera similar se encuentra la desviación producida por una carga uniformemente distribuida. Examina las desviaciones Saint-Venant , discretizadas mediante un gran ejemplo del brazo que la curvatura I/p no puede ser sustituido por la aproximada valué dhg/dx2. El da su solución en la forma de una serie por medio de la cual la desviación 5 puede calcularse con cualquier grado de precisión.2 Todos los resultados se obtuvieron de Hooke suponiendo que prevalezca. Ahora Saint-Venant , discretizadas mediante un toma de la flexión de las vigas el material del que no siga esta ley.3 hace un estudio muy completo sobre el problema por que se parte del supuesto de que las secciones transversales del haz sigue siendo plañe 1 Navier . Matemático e, " Resumen des Legons . . . ," 3d ed., pág. 72. ! Navier . Matemático e, "Currículum des Legons . . . 3D ed., pág. 73. 138 Hislory de Slrenglh de materiales En flexión y que, en lugar de seguir la ley lineal, el estrés y las tensiones están relacionados por las ecuaciones A - UN <Tl - B Aciagos para 1 - ^1 - j para la compresión (A) Donde A, B, a, ai, rn, vii son algunas constantes e y es la absoluta valué de la distancia a un punto desde el eje neutral. Limitar el problema a la luz de una forma rectangular de sección transversal bh, las distancias y\ y y2 antes mencionada remóte más las fibras de la eje neutral se puede encontrar en las dos ecuaciones 2/I + Vt = h Jj' un dy = < r, dy (B) Con la posición del eje neutral, puede calcúlate el momento de ¡Interno por las fuerzas de Eq. (A). Saint-Venant , discretizadas mediante un considera el caso especial donde y \ = a ( lo que significa Que A = <rm" ). líe supone además Que las dos curvas representadas por Eqs. (A) tienen una tangente común en Y = 0, por lo que el módulo de la Es el mismo material de aciagos y Compresión, si las tensiones Pequeño. Si, además, las dos curvas (a) Son idénticas (es decir, m = mh a = a i, A = B ), considera que el Saint-Venant , discretizadas mediante un Momento de fuerzas internas se da G7 Fi q Por la ecuación M = abh2máx/6, Donde a es un factor cuya valué depende de la magnitud de la cantidad m. El valúes de este factor se indican en el siguiente cuadro. M 1 2 3 4 5 6 7 8 U n 1 Í II I 1 * 15 !F = 1-467 Vemos que cuando m aumenta, también aumenta y se acerca el valué ■§, que se obtiene cuando la resistencia a esfuerzos compresivos y se distribuirá uniformemente. Cuando mi = 1, el material sigue ley de Hooke en la compresión. La distribuci� de las tensiones para diversos valúes de m se muestran en la Fig. 87. En el cuadro que figura a continuación, valúes de la relación yi/y2, definir la posición de el eje neutral. Valúes de la relación entre el máximum com- Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 139 Impresionante el estrés y tensión de tracción máximum valúes del factor de la fórmula _ Oídmnxbh " 6 También se muestran. Grv 1 2 3 4 5 6 7 CC Miaj Ia ranx 1 1,633 2, 1 21 2,530 2,887 3,207 3,500 CO Vi de Vt 1 1 .225 1,414 1,581 1,732 1,871 2, 000 90 Un 1 1,418 1,654 1,810 1,922 2,007 2,074 3 Para m - 6, tenemos unos M = om * J>h2/3 que coincide La teoría de Mariotte (vea la página 22) y con el valúes de Mui t obtenido Experimentalmente por ITodgkinson rectangulai" de hierro fundido Las vigas. Cuando m - < ", llegamos a la teoría de Galileo Que los esfuerzos de tracción son uniformemente distribuido por La sección transversal y los esfuerzos compresivos dar una Resulta que es tangente a la superficie cóncava de La viga. Este análisis de la deformación de rectangular Haces que no siga la ley Hooke se puede utilizar para Cálculo del ultímate momento de flexión de las vigas que No poseen sección transversal rectangular. Si, por ejemplo, Experimentos con planta rectangular de hierro fundido que haces Una precisa valué de M"u es predicha por tomando la m = 6 y Wii = 1, podemos uti li zar estos cal cúlate valúes a Mut, para otros Las formas de sección transversal, proceder de la misma manera que Para vigas rectangulares. Fig. 88- En un elemental análisis de puré flexión de vigas (véase la Fig. 82), Saint- Venant , discretizadas mediante un formula el principio pedagógico que ahora transporta su el ñame. Afirma que la distribución de tensiones en este caso se ajusta a la rigurosa solución sólo cuando las fuerzas externas aplicadas en los extremos están distribuidos en las secciones finales de la misma manera en que lo están distribuidos en intermedíate secciones transversales. Pero, afirma1) la solucion 1 V e r Navier . Matemático e, "Currículum des Lejons . . . 3D ed., p. 40. L40 Hislory de resistencia de materiales 88 Muestra de uno de Saint-Venant , discretizadas mediante un ejemplo. Los dos igual andopposite Las fuerzas que actúan sobre la barra de goma sólo producen una deformación en el local Final, y el resto es prácticamente inalterado. DE Saint-Venant , discretizadas mediante un prin- Cipie es utilizada a menudo por los ingenieros hace hincapié en el análisis de las estructuras. Nos Discutiremos sobre este concepto de nuevo cuando Saint-Venant , discretizadas mediante un trabajo de torsión y Flexión de barras prismatical es considerada (consulte la página 233). El francés elastician también investigó la curvatura de curvas y barras Presenta condiciones adicionales, que representan los desplazamientos debido a la Estiramiento del eje de la barra y a cortante, en las fórmulas de Navier . Matemático e (Consulte la página 78). Como ejemplo de ello, el autor analiza la deformación de una circular Anillo que está suspendido en una vertical plañe bajo la acción de la gravedad Y que las fuerzas de un anillo circular colocado Vertical a horizontal y plañe Cargado en la parte superior. Saint-Venant , discretizadas mediante un señala que, en Describir la deformación de un bar De doble curvatura, no es suficiente Para especificar la forma del cen- Ter, ya que las deformaciones y tensiones Puede producirse con la línea central Sigue siendo oportunistas. Imaginar (dice) Un cable elástico circular de doble Curvatura, que se coloca en un canal De la misma forma y que ha La misma sección como el cable. Será posible la rotación de las El cable en el canal. Debido a la rotación, las fibras más largas se Más corto y las cortas estirado aunque la forma del centro Línea no será cambiado. De ello se desprende que la flexión y tor- Profesional destaca en el cable no puede ser completamente definida por la deforma- De la línea central y que es necesario para tener en cuenta el ángulo de Rotación de las secciones transversales con respecto a la línea central del cable. Saint-Venant , discretizadas mediante un no limita su atención a una discusión general sobre este Tema, pero se aplica su teoría a problemas concretos. El nos da una solucio- De un bar con un eje circular que se presenten a las fuerzas perpendic- A la plañe del eje (Fig. 89) Y también se deriva la ecuación para la Extensión de un resorte helicoidal cuando las fuerzas aplicadas a los extremos actuar en Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 141 Dist, anees entre las moléculas son mayores, por la deformación, más allá de cierta valué que es peculiar de un determinado material. Por lo tanto, sus fórmulas para calcular las dimensiones de las estructuras seguras se derivan de consideraciones cepa máximum. Por ejemplo, para cubrir la combinación de flexión y torsión de los ejes, que establece una fórmula para el máximum cepa; esto se ha visto en manos de los ingenieros desde su aparición. Saint-Venant , discretizadas mediante un fue el primero en demostrar que el puré se produce por diez 33. Análisis de la Jourawski destaca de la esquila de las vigas Señala a la atención de Coulomb la esquila destaca en un brazo y mencionó que se convierten en importantes sólo en vigas cortas. Thomas Young en su "Conferencias sobre filosofía Natural"1 señaló que la capacidad del organismo para resistir corte distingue cuerpos rígidos de los líquidos. Yicat (vea la página 83) se indica que en muchos casos esta resistencia es de primordial importancia y criticó la teoría de flexión de las vigas en el suelo que no se considera rotura destaca. Mientras que en la primera edición del libro de Navier . Matemático e (1826) no se hace referencia a este tema, la segunda (1833) tiene un artículo sobre la flexión de las vigas. En ella, un promedio valué es tomado de la esquila subraya que se distribuyen a través de la incorporada en el extremo de un brazo y un insatisfactorio inethod se da en combinación con la flexión longitudinal destaca. Las rigurosas soluciones. "2 Pero cubierta, sólo unos pocos de los más simples formas de sección transversal y, por lo tanto, para los casos más complicados, los ingenieros han sido forzados a utilizar (hoy día) una solución elemental aproximada presentado por D. J. Jourawski3 ( 1821- 1891). Jourawski graduado en 1842 del Instituto de Ingenieros de Caminos de Comunicación en San Petersburgo que, recordamos, fue organizado por los ingenieros franceses (consulte la página 114). Por el momento Jourawski asistió al Instituto (1838-1842), no hay más profesores franceses, y Estadía "Conferencias sobre filosofía Natural", tomo 1, pág. 135. 2 Véase J. Liouifille, 1856. 3 La teoría de la esquila destaca en vigas rectangulares se developcd por Jourawski en relación con el diseño de los puentes de madera para el San Petersburgo Moscú tren- en 1844- 1850. Se presentó a la Academia de Ciencias de Rusia junto con otras investigaciones relacionadas con el diseño de los puentes del sistema de Howe en 1854 (véase la página 186). Demidoff Jourawski se adjudicó el premio a la labor de la academia. 142 Hislory de resistencia de materiales La enseñanza era en manos rusas. Las matemáticas se enseña por M. V. Ostrogradsky que era a la vez un conocido matemático y un pie professor.1 en sus lecturas, que a menudo va mucho más allá de los límites del programa, y su-e es de 110 duda Jourawski que tuvo la oportunidad de obtener una buena formación matemática. Estudió las propiedades mecánicas de los materiales bajo la dirección de A. T. Kupffer (consulte la página 220). Jourawski la carrera después de su graduación, estaba íntimamente relacionada con el desarrollo de construcción de ferrocarriles en Rusia. Las primeras vías férreas wfcre establecidas 111 ese país en 1838. Estas son dos líneas cortas entre San Petersburgo y Zarskoje Selo y entre San Petersburgo y Peter-:. En 1842, trabajo en el ferrocarril entre San Petersburgo y Moscú Iax. M 4 ® 1 1 L L L 1 1 L L L ! ------ < ~R N , - Oh __ . L Fio. 90. Se inició inmediatamente después de su graduación y Jourawski le fue asignada a este importante proyecto. Su capacidad fue pronto reconocido, y en 1844 fue encargado de diseñar y construir uno de los más importantes Empezando por el más sencillo de los casos de carga en voladizo rectangular en el extremo libre (Fig. 90) Y teniendo en cuenta el punto muerto plañe OO, Jourawski con- cluye que las tensiones normales que son distribuidos a través de la sección transversal mn a los finales tienen la tendencia a producir en el fusible plañe OO. 1 M. V. Ostrogradsky (1801-1861) nació en un pueblo cercano Poltawa en el sur de Rusia. Después de graduarse de la Universidad de Charlcov, estudió en París, donde se convirtió en alumno de Cauchy, Poisson, y Fourier. Él es mejor conocido por su trabajo en ealculus variacional. Todhunter En "La Historia del cálculo de variaciones", encontramos un capítulo entero dedicado a Ostrogradsky. También trabajó en la teoría de la elasticidad, y su investigación de la moción de las ondas elásticas en un cuerpo se exponen en Todhunter y Pearson, "Historia de la teoría de la elasticidad", vol. Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 143 La magnitud de la esquila forcé T M _ Ffmnxbh ZQl 4 2H Y el correspondiente esfuerzo cortante, que es distribuida de manera uniforme sobre el punto muerto , se plañe 00 T = M T Ib 2 bh De manera similar, este escritor calcúlales esquila subraya que la ley en cualquier plañe ss paralela al plano 00. Cuando la carga se distribuirá uniformemente FIG. 91. Con esta solución para las vigas sólidas, Jourawski turas , a las vigas de madera, que se muestra en la Fig. 91, Y muestra cómo las fuerzas que actúan sobre cada clave individual puede ser calculado. Más aún, él hizo demónstrales que las dimensiones necesarias de las claves puede ser calculado si las propiedades mecánicas de los materiales de las llaves y de la viga son conocidos. Este ingeniero ruso también se aplica su método para el análisis de vigas de hierro y muestra cómo la distancia entre los remaches se puede calcu- admisible si la esquila forcé por remache es conocido. Analiza las vigas tubulares de sección transversal (Fig. 92), y con la fuerza de esta distribución se describe el remache en la forma tubular y Britannia puentes (consulte la página 162). El autor muestra que el número de los remaches utilizados podrían tener Se han reducido considerablemente, ya que por el hecho de que j, 'IO 92. Forcé la transversal actúa sobre el tubo disminuye a medida que Pasar de los extremos a los introduzca de envergadura, así que el remache en la distancia Oriente medio se puede aumentar sin que ello vaya en detrimento de la fuerza del tubo. La parte de la obra que Jourawski deais con el análisis de la esquila destaca en el sector de las vigas se tradujo en French.1 elogió Jourawski Saint-Venant , discretizadas mediante un método aproximado de y, en sus notas a la tercera edición del libro de Navier . Matemático e, página 390, se adapta a una viga rectangular Cuya profundidad es mucho mayor que su anchura. El método se incorpo- \ 1 Ver Ann . ponts et chaussées, vol. 12, Pág. 328, 1850. 144 Ilistory de resistencia de materiales En los libros de 011 efectivos de tesis,1 y desde su introducción ha sido utilizado por los ingenieros y ha demostrado ser especialmente útil en el estudio de las estructuras de pared fina donde esquila destaca son de fundamental importancia que el rigor y las soluciones de los problemas no se han encontrado. 34. Vigas continuas Navier . Matemático e fue la primera en abordar la estática&oficialmente prob.2 indeterminado en su libro " Resumen des Le9ons . . . Se considera una viga de tres soportes y toma la reacción de uno de elen statioally indeterminado como la cantidad. Cuando hay más de tres apoyos, selección de las reacciones como las cantidades desconocidas se vuelve incómodo, ya que obtener tantas ecuaciones como hay soportes intermedios y cada una de las cuales contiene todas las incógnitas. Estudio de un caso particular de la igualdad y de una carga uniforme en toda la longitud de la viga, o igualdad de cargas concentradas aplicadas en el centro de cada tramo, reveáis que el problema puede ser sim- plified y una relación lineal entre los tres consecutivos reac.3 Seguir avanzando en el análisis de vigas continuas de Clapeyron. Él utiliza las expresiones de los ángulos que las tangentes a la curva en la flexión admite que inicialmente recto con el eje del haz. En el caso de carga uniforme simple rayo de una longitud l con los momentos M y M ' aplicada en los extremos, estos ángulos se " = MEI + EÍ (2M+M ' ] Una ! ( ®) = - AEI ~mw + 2 M'> Para una viga continua con n abarca, se escribe 2n ecuaciones de este tipo que 4n incógnitas (a,a' ,M,M' ). Observar ahora que, en cada inter2n - 2 equa 1 Véase, por ejemplo, Belanger, "Théorie de la Résistance et de la flexión plañe des solides", París, 1858; 2d ed., 1862. Bresse Cours de Mécanique Appliquée", 2a. ed., parte 1, pág. 209, París, 1866; E. Collignoa, Cours de Mécanique Appliquée aux- providencia", 2. ed., pág. 198, París, 1877. 2 Ver Bul!, soc. philomath. París, 1825. 3 Este método fue desarrollado por G. Rebhann. Ver su libro "Theorie der Holz- und Eisen- Constructionen", Viena, 1856. En este libro flexión diagramas de momento aparecen por primera vez y se utilizan para sencilla y continua las vigas. Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 145 Cantidades, oí que se puede encontrar fácilmente. Este método de análisis se ha desarrollado en relación con la reconstrucción de la d'Asniéres puente cerca de París (1849), y que fue utilizado por varios años antes Clap1 en 1857. Aparece en algunos de los primeros libros sobre teoría de estructuras tradicionales.2 Los tres momentos ecuación, en su forma actual, se ha publicado por primera vez por el ingeniero Bertot.3 es fácil de ver, sin embargo, que la transformación de Clapeyron Bertot en las ecuaciones de conversión (a) a los tres momentos fue una ecuación relativamente simple y nosotros estamos de acuerdo con el Profesor Bresse que dice: "M. Clapeyron est, selon moi, le véritable auteur de la découverte, en ayant produit comme l'idée mére, . . . . "4 Por lo tanto, la ecuación de Clapeyron el ñame que a menudo se suministra a los tres momentos ecuación está justificada, aunque apareció por primera vez en papel de Bertot. En este trabajo, Clapeyron Bertot se refiere a la idea, pero que no deriva la teoría, que sólo el método de resolver un sistema de estas ecuaciones. Cuando los extremos de una viga continua (de n - 1 abarca) son simplemente apoyados, él pone Mo = M = 0 y , por lo tanto, obtiene el sistema de ecuaciones: 2 ( ¿l 4" 1 %)M\ 4" ijüjT2 = t(W\t\3 -1" ÍÜ2 ^ 23) l * Mi 4- 2 ( ¿ 2 4 ís)iláT2 4 I3M3 - 4 W3Í38) (B) En el caso de carga uniforme w por unidad en cada tramo. Teniendo un valué de Mi (ai, por ejemplo), él caleulates el valué de de la primera de equa6). Sustituyendo en la segunda, se encuentra M3 y, a partir de esta manera, se llega a un íinally valué b 1 para el último momento M", de la última ecuación. El resultado correcto requiere que M" debe desaparecer. Repitiendo sus cálculos al tomar otra valué (digamos, o2) para mi, que obtiene otro valué b-¿ para M". Dado que no existe una relación lineal entre la valúes de a y b y tenemos el valúes 61 y b2, corres- pondientes a ax y a2, podrá encontrar el valué de a para el cual b desaparece. Que valué de a es la correcta valué de Mi. De los momentos restantes son fácilmente caleulated. Este es el método propuesto por Bertot para resolver el sistema de ecuaciones tres momentos. Clapeyron, en su papel (antes mencionado), da la ecuación tres momentos de la misma forma que Bertot, pero él no se hace referencia a este último la 1 Véase Comp. retid., vol. 45, pág. 1076. 8 P o r e j e mp l o , estas ecuaciones aparecen en el libro de L. Molinos y C. Pronnier, "Traité théorique et pratique de la construction des ponts charentaise", París, 1857. Véase también F. y A. Schübler Laissle, "Der Bau der Brückentrager", Stuttgart, 1857. 3 Consulte el apartado " incoó. soc. Ing. civils Frailee", vol 8, pág . 278, 1 855 . 4 Ver Ann . ponts el Marne, vol. XX, pág. 405, 1860. 146 Historia de resistencia de materiales Trabajo. Clapeyron, a continuación, se describe su propio método para resolver estos equa- te infeccioso. En conclusión valida, se da alguna información interesante acerca de la Britannia puente tubular, que ascendieron a una viga continua íive 011 soportes. Afirma que los cálculos de Molinos y Pronnier dio el siguiente valúes el máximum de estrés: (1) en la mitad del primer tiempo, 4.270 Ib por in.2; (2) en la primera columna, 12.800 Ib por in.2; (3) en la mitad del segundo tiempo, 7.820 Ib por in.2; y (4) en el pilar central, 12.200 Ib por in.2 de este que llegue a la conclusión de que "Ce magnifique ouvrage laisse quelques eligió hacer á désirer en ce qui concerlie la distribución des épaisseurs de la tóle, qui paraissent relativement ello trop sur les los puntos d'appui. "1 vamos a ver más adelante (véase la página 160) que, en la selección de la sección transversal las dimensiones de ese puente, experimeutal los datos obtenidos a partir de un simple apoyo Se utilizó el modelo y los momentos de flexión en los soportes se igualaban con los momentos en los centros de los vanos mediante el uso de un método especial de construcción. Clapeyron Bertot y siempre tuvo todos los apoyos de entonces- vigas continuas en el mismo nivel. Si este eondition no es cumplido, algunos momentos aparecen en los soportes. Estos fueron investigadas por los Ger,2 H. Scheffler,3 y F. Grashoff.4 Los tres momentos ecuación, con condiciones adicionales a fin de permitir la vertical- dos de los soportes, aparece por primera vez en un documento de Otto Mohr.5 nuevos trabajos en la teoría de vigas continuas fue realizado por M. Bresse y E. Winkler, y será examinado en los dos artículos. 35. Bresse (1822 1883) Jacques Antoine Charles Bresse nació en Vienne (provincia Isére). Después de graduarse de la École Polytechnique (1843), ingresó en la École des Ponts et Chaussées donde recibió su educación en ingeniería. Poco después de terminar la segunda escuela, regresó tras su elección a un instructorship en mecánica aplicada (en 1848). Él ayudó al Profesor Belanger hasta que, en 1853, logró el segundo. Enseñó mecánica aplicada de la École des Ponts et Chaussées al final de su vida y disfrutado de una buena reputación en la dotación de materiales y la teoría de las estructuras. En el año 1854, Bresse publicó el libro, "Recherches sur la flexión des fonctions analytiques et la résistance des pióces courbés", que deais con barras curvadas y su aplicación en la teoría de las estructuras. El año 1859 vio la aparición de los dos primeros volúmenes de su curso en la resistencia de los materiales 1 "Esta magnífica estructura podría ser iinproved de algunos cambios en el espesor de las placas de acero, que parecen ser relativamente débil en los soportes." 2 Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannover, 1856. 3 "Theorie der Gewólbe, Futtermauern Brücken und eisernen", Brunswick, 1857. 1 Z . V e r d e u t . I n g . , 1859. 6 Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannover, 1860. Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 147 Y el sistema hidráulico. El tercer volumen del curso era muy completa Estudio de vigas continuas, que se publicó en 1865. Bresse fue Poncelet awardcd el premio de la Academia Francesa en 1874 por su trabajo En mecánica aplicada y fue elegido miembro de la Academia Francesa En el año 1880. Jefe de Bresse logro en ingeniería de la ciencia fue su teoría de Barras curvadas con su aplicación al diseño de arcos. En la primera El capítulo de su libro, el autor analiza la compresión de un excéntrico prismatical Bar. El caso particular de una barra rectangular cargado en una plañe de sym- Phmetría ya habían sido examinadas por Thomas Young (consulte la página 95). Bresse trata el problema en una forma general y muestra que, mediante la Elipse central de inercia de la sección transversal de la barra (Fig. 93), el director ejecu- El eje neutral puede ser fijada fácilmente para Cualquier posición de la carga. Si el punto de Aplicación de la forcé se desplaza a lo largo de una línea Cm, el eje neutral siempre permanece paralelo Pq a la tangente a la elipse en n, el Punto de intersección de la elipse con la Línea cm. El eje neutral acerca al Centroide C si el punto O se aleja de El centroide y pasa a través de C cuando La distancia OC resulta infinitamente grande, es decir, En condiciones de puré se deforman. Si a y b son las coordenadas de Punto O, la ecuación del eje neutral es ? + + + + 1 • 0 ( un) donde rx y ? •" indican los radios de la inercia de la sección transversal con respecto a los principales ejes de esta ecuación xy, la parte de la sección transversal puede ser determinado en el que el punto o si debe seguir siendo el eje neutral no está en la intersección la sección transversal de la barra y que las tensiones en la sección transversal serán todos de la misma señal. De esta manera el concepto de núcleo de la sección transversal fue presentado por Bresse.1 En el estudio de la deformación de una barra curvada de la plañe de su curva- tura, Bresse no sólo considera que el cambio de curvatura, que ya había sido investigado anteriormente por ( consulte la página 77), sino también el estiramiento del eje de la barra. La Bresse para ilustrar el método de cálculo de las desviaciones de barras curvadas, supongamos que una sección transversal de la barra 1 Todhunter nientions en su "Historia " , q u e se encontraba en posesión de un lito- gráfico ciclo de conferencias que se dieron en la École des Ponts et Chatissóes en 1842-1843 y que contiene un examen de compresión excéntrica similar a la de Bresse's. Él atribuye este curso de Bresse, pero en ese momento Bresse era un estudiante en la Escuela Politécnica y no puede haber sido el autor. 148 Historia de resistencia de materiales Está integrada en la (Fig. 94) Y denotan la tracción axial y forcé la curvatura Momento en cualquier sección transversal de la barra de N y M ; a continuación, el estiramiento De un elemento infinitesimal de mn Longitud ds es N ds/AE y el Rotación antes mencionada la sección transversal n con Respecto a que en m es M ds/IE. Debido a la rotación, cualquier punto c En el eje de la barra se describen Un infinitesimal son icc igual a Nc-M ds/El. Observando que el Triángulo infinitesimal cc\d es similar En el triángulo cen, nos encontramos con que El desplazamiento horizontal del cd El punto c debido a que el cambio de curvatura de un elemento mn del Eje de la barra es -3 - cd - ne ca = cc 1 =- = cc \ - = icc NC M ds ■ ne M ds El El (Yn - ye ) (B) El desplazamiento horizontal del mismo punto debido al estiramiento del elemento mn será igual a N dx/AE. Para encontrar el total de la disu horizontal punto c, nos ha ve sólo para hacer una suma de los dis- las colocaciones resultantes de las deformaciones de todos los elementos de la barra y a partir de un acabado en c. esto da [E N dx , íc M ds . Ja Ja El AE + (2/ Vc) (C) De manera similar, obtenemos el desplazamiento v en la dirección de la Eje y Fc fc-M N dy ds . , co· c t t · r En el ángulo de giro de la sección transversal c, hemos DS FC- M ds " Ja El (D) · t · Con ecualizadores. (C) a la (e) , los componentes u y v en el desplazamiento y la rotación <x puede ser calculada para cualquier cruz sectiou c del bar, siempre que las fuerzas externas actuando en la barra son conocidos. Estas ecuaciones pueden ser utilizadas para el cálculo de statieally indeterabe (Fig. 95) Y la reacción horizontal H como la cantidad indeterminada statieally, podemos determinar la cantidad de la condición de que la Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 149 Desplazamiento horizontal del punto c debe ser cero. Utilizar el ecualizador. (C),1 podemos separar la acción de la forcé II y poner ( N - NI - H -f M = Mi - Aia Cls A continuación, Eq. (C) da Í c m_ h L_y. [cJ? [CMi *y - H ( cylÉi AE = o ja ja ja ds h AE El y " Ja El Y nos encontramos H = t » · . · , fc AE ^ _ Ja Ja t . . · ¡ , Ja Ja AE ds + E Mj y El DS D S ET ( /) FIG. 95. Cuando un arco ha incorporado en los extremos, tenemos un problema con tres estáticamente Cantidades indeterminadas. Las tres ecuaciones pueden ser fácilmente Obtenido de ecualizadores. (C) y (e) si nos Tenga en cuenta que, para la unidad de cruz Sección (c), los dos componentes u Y v del desplazamiento y el Ángulo de rotación de todos debe desaparecer. Bresse también muestra que expansión debido A los cambios de temperatura pueden fácilmente Debe tomarse en consideración, ya que, en El ejemplo que se muestra en la Fig. 95, Es Sólo es necesario agregar la cantidad Di que el numerador de la fórmula ( / ), donde "es el coeficiente de expansión térmica, t es el aumento de la temperatura, y l es el lapso en el arco. Bresse no solo te da la solución general del problema de arcos pero presenta un análisis detallado de algunos casos particulares de la carga. Aquí se da una muy importante debate sobre el principio de superposición y muestra que, en el caso de los pequeños que se presentan a continuación las deformaciones ley de Hooke, la dis- las colocaciones son funciones lineales de las cargas externas y puede obtenerse mediante la suma de los desplazamientos producidos por cargas individuales. Por lo tanto, para cargas verticales es suficiente para investígate el efecto de una sola vertical forcé. A continuación, las tensiones y deformaciones que se producen por un sistema de cargas verticales pueden ser obtenidos por adición. Para arcos simétricos, una mayor simplificación se puede lograr si se tiene en cuenta que la orientación no se modifica si la carga P se mueve desde el punto a ( Fig. 96A) 1 Esta ecuación se puede utilizar aquí, aunque la sección transversal a puede tener algunos rotaa sólo produce un desplazamiento vertical del punto c. 150 Historia de resistencia de materiales La symmetrieally encuentra punto, ai. Esto significa que, en el cálculo de la Estáticamente indeterminada cantidad II, podemos considerar el simétrico Caso (Fig. 906) En lugar de el asimétrico (real) uno de la Fig. 96A, y H se obtiene dividiendo el empuje para el caso simétrico por 2. La misma simplificación puede ser eft'reflejado en el caso de una rampa inclinada forcé Actuando en el arco. Bresse se aplica ahora estas consideraciones teóricas a problemas específicos En circular simétrico de dos arcos con bisagras de sección transversal constante. El orador Da tablas numéricas de estos arcos de diferentes proporciones, por el uso El empuje de los cuales pueden ser fácilmente obtenidos para una sola carga, para una carga Uniformemente distribuidos a lo largo del eje del arco o en la horizontal Proyección de este eje. Una tabla es también Para facilitar el cálculo De el empuje producido por un aumento de tem- X temperatura. Todos estos preparados cuidadosamente Las tablas son todavía de algunas prácticas valué. ■ En este debate de libro de Bresse Barras curvadas, hemos visto cómo el Autor no se contenta con hacer llegar Algunos resultados teóricos pero quería Que sean útiles para los ingenieros. A Este fin, que no dudó en bajo- Tomar largos cálculos de tablas. La Bresse curso de mecánica aplicada se compone de tres volumes.1 De estos, sólo la primera y la tercera tratar los problemas de la fuerza de su compañero- Rials. Bresse hace ningún intento de incorpórate los resultados de la matemática- Puedan definir teoría de la elasticidad en la teoría elemental de la fortaleza de Materiales. En todos los casos de deformación de las barras, se supone que la Las secciones siguen plañe en deformación. En este supuesto, Eccentrio aciagos y compresión son discutidos, utilizando la elipse central De la inercia como se ha explicado anteriormente (véase la página 147). El autor muestra cómo el problema Se pueden tratar si el módulo del material varía según la zona del Sección transversal. La hipótesis de que las secciones transversales siguen plañe es también ' Utilizado en la teoría de torsión, y trata de Bresse juslify diciendo que En las aplicaciones prácticas las secciones transversales de los ejes son círculos o Polígonos regulares; allï¿ ½, deformación de las secciones transversales puede ser dejado de lado. En la teoría de flexión, Jourawski análisis de tensiones de rotura es Dado. En los capítulos que tratan de barras curvas y arcos, el contenido De la Bresse (discutido anteriormente) se utiliza la libreta. Moleríais Slrenglli de entre 1833 y 1867 151 Se refiere a la curvatura que destaca en anillos que tienen pequeños elipticidad inicial y que se presentan de manera uniforme presión interna. El Profesor Bresse demuestra que si a es la primera excentricidad de la elipse, a continuación, la excentricidad después de la aplicación de la presión interior p es 1 + (Pd3/ ' 2Eh3) Donde h es el espesor de la pared y d es el diámetro de la caldera. Cuando la presión se aplica externamente, la misma teoría da 1 - (pd3/2Eh3) La crítica valué de p se obtiene a partir de la condición de que 1 - ^ = 0 2 Eh3 O _" H 3 Por ~ j3 Este resultado, como hemos visto (consulte la página 134), se obtuvo de Grashof. Bresse tiene problemas de vibraciones longitudinales y laterales de los pri- puedan definir barras en su curso. Tratamiento de latera) las vibraciones, él fue el primero en tomar la rotatory inertiá de los elementos de la barra en considcra- ción. También considera la desviación de un rayo simplemente apoyados bajo la acción de una carga móvil. Este último problema se dis Como se mencionó antes, el tercer volumen1 del curso contiene un estudio completo de vigas continuas. En el primer capítulo, el problema general de vigas continuas, mientras que Clapeyron y Bertot exige que todos se extiende igual y que una carga uniforme se dis- nantes a lo largo de toda la longitud de la viga, Bresse elimina estas limi- taciones. Además, permite que los soportes no estar al mismo nivel, y, por lo tanto, obtiene los tres momentos ecuación en su forma general. Bresse divide las fuerzas aplicadas en dos partes: (1) los muertos carga uniformemente distribuida, como el peso de la viga y (2) un movimiento (live) carga que puede cubrir sólo una parte de la viga. Los momentos producidos por la carga permanente en los soportes se encuentran la solución de los tres momentos ecuaciones. En el tratamiento de la carga, la pregunta principal es encontrar su posición más desfavorable para cada sección transversal de la viga. En la lucha contra este gusano2 Bresse examina el caso de una sola concentra 1 "Cours de mécanique appliquée", parte 3, París, 1865. 2 E. Winkler fue el primero en investígate este problema. Ver su papel en Civiling., vol. 8, Págs. 135-182, 1862. " & 152 Historia de resistencia de materiales Forcé y encuentra a los dos puntos fijos en cada uuloaded span, que son los puntos de inflexión cuando la carga se encuentra a la derecha o a la izquierda. Con estos puntos, doblar el diagrama de momentos para cualquier posición de la única coninfluencé tiñes.1 Sin embargo , no les y que no se utilizó un método gráfico de selección de la distribución de la carga más desfavorable. Prefería enfoque analítico y elaborado numerosas tablas, para vigas con varios números de abarca, con el fin de simplificar la tarea de diseñar los ingenieros. 36. E. Winkler ( 1835-1888) E. Winkler nació en 1835 en Torgau, Sajonia, y se volvió a sehool Torgau en el gimnasio. Cuando murió su padre, se vio obligado a interrumpir sus estudios y de trabajar durante algún tiempo como aprendiz de un ladrillo de capa. Sin embargo, fue capaz de superar sus dificultades y terminar su carrera sehool alto. Una vez que ingresó en el Dresden Polytechnicum, donde útilc de ingeniería estructural. En esta técnica se lucía sehool en el análisis teórico de problemas de ingeniería. Poco después de graduarse, publicó su importante papel en la teoría de curvas bares.2 En el año 1860 empezó a trabajar como instructor de la fuerza de materiales en Dresden Polytechnicum, y en 1863 se convirtió en profesor de la misma sehool en ingeniería de puentes. Obtuvo su título de doctor en Universidad de Leipzig en 1860 por su teoría de los muros de contención, y en 1862 su importante labor de vigas continuas se publicó (consulte la página 151). Él no sólo fue un destacado ingeniero sino también un buen maestro, y en 1865 fue elegido a la presidencia de puentes y vías férreas ingeniería en el instituto politécnico de Praga. Allí continuó su trabajo seientific y publicado (en 1867) su libro sobre fuerza de tesis,3 en el que incorporó su propias soluciones de un número importante de problemas de ingeniería. 1868 Vio Winkler la elección de una cátedra en la Viena Polytechnicum y aquí comenzó a escribir los libros de ingeniería de puentes ferroviarios y que posteriormente han desempeñado un papel importante en las ramas de ciencias de la ingeniería, no sólo en Alemania y Austria, pero también en el extranjero. En 1877 Berlín comenzó a reorganizar su Bau-Akademie , con miras a que entre en el nivel de las de otros Germán instituto politécnico, y 1 E l m é t o d o d e líneas iiifluence fue introducido por E. Winkler, Mitle. Architek. u. Íng. Ver. Bóhmen, 1868, p. 6; y por O. Mohr, Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannover, 1868, p. 19. 5 E. Winkler, Formiinderung und Festigkeit gekrümmter Kórper, insbesondere der Ringe, Civüing., vol 4, págs. 232-246, 1858. 3 E . Winkler, "Die Lehre von der Elastieitát und Festigkeit", Praga, 1867. Resistencia de materiales entre 1833 y 1867 153 Winkler Avas invitados a ayudar a y a tomar las riendas de la teoría de estructuras e ingeniería de puentes. Es aquí donde, se interesó en expe Winkler principal contribución de la fuerza de los materiales fue su teoría de flexión de barras curvadas. Navier . Matemático e y Bresse, en este tipo de bar, calcula las desviaciones y tensiones de fórmulas para el prismatical caso. Este método de análisis es adecuado si la cruz-sec- las dimensiones de la barra es pequeña en comparación con el radio de incurvaci� peneana del eje. Pero en los ganchos, anillos, cadenas, enlaces, etc. , esta condición no se ha cumplido, y las fórmulas derivadas de barras rectas no son lo suficientemente precisas para ser fiables. Hacia una teoría más satisfactoria, Winkler mantiene la hipótesis de que las secciones siguen siendo plañe en curva En la flexión de una barra curvada de la plañe incurvaci� peneana de su inicial, nos indican la longitud de un elemento del eje de ds y el ángulo inicial entre estas secciones transversales por d<f>. Deje que UN ds que la elongación, e0 = (Ads/ds) la cepa longitudinal del eje, y Ad<j> el cambio en el ángulo entre las dos secciones adyacentes en flexión. A continuación, la elongación de la fibra óptica a una distancia v eje centroidal de la de la sección transversal es UNA ds, ds = A + v a d< ¡> y su raza es longitudinal _ UN ds + 9 UN d<f> ( o UN d<t>\ r e' ds + v d<t> \e" ds ) r -v Donde r es el radio de incurvaci� peneana del eje de la barra. En el supuesto de que las fibras longitudinales no presione a los demás dur , - E , . - í ( " + < "> Y llegar a las siguientes expresiones para la forcé N axial y el bendM : 154 Historia de resistencia de materiales N - f ada = ert¡¡ f + Er í (B ) JA J¿r + v ' ds jar + v " Í " " f vdA , " Ad< ¡> í v 2 > Jfef - / <r¡> = Hasta / -:--------------------- H # "' -r2 / - 7- (C) JA JAT + v Ds JAr + v Introducir la notación F v * da = J a r + y (D) Hemos ~~ R f = í da - - í vdA + - f = A + -29 7vi r + " 7a R 7a R JA r + . R2 R[ Í v d A _ [ v * d a = _ 1 0 Ja r + f JA JA r + v T De estas relaciones Winkler obtiene A , A , V Eo " ÁÉ + AEr (E) UNd<f> _ M , N ", Ds ~ Eé 2 + + Aer AEr U) N . M . Mrv , \ * ~ + Tr + é(f+í) { (J) De ecualizadores. (6), (c) y (a). En cualquier caso statieally determínate, podemos encontrar fácilmente N y M para una determinada sección transversal. La cantidad 0 se calcula con la fórmula (rf) para una conocida forma de la sección transversal y las tensiones de Eq. ( G) , e n un caso statieally indeterminada, eqs. (E) y ( /) puede utilizarse en el ealculation de la indeterminada cantidad. Winkler aplica esta teoría general para el análisis de tensiones en los ganchos, • anillos de diferentes secciones transversales, y los eslabones de la cadena. El autor muestra que cuando la sección transversal dimensiones de una barra curvada no son pequeñas en comparación con el radio r, la fórmula elemental de doblar vigas rectas y pierde su valué la nueva teoría debe ser utilizado. En su próximo e importante que deais deborán1 con deformaciones que son simétricos alrededor de un eje, Winkler describe un tubo cilíndrico en uniforme las presiones interna y externa y la fórmula se deriva Lamé. A la hora de elegir el adecuado espesor de la pared del tubo, Winkler utiliza el máximum cepa teoría y llega a una nueva fórmula que es algo diferente de la de Lamé. Winkler también considera las condiciones en los extremos del tubo y esféricos y fíat se discute. Para ambos casos, que da las ecuaciones para tensiones y muestra que el cilíndrico 1 Ver CivUing., vol 6, págs. 325-362 y págs. 427-462, 1860. Iresistencia de materiales entre 1833 y 1867 155 Tubo será subjeeted flexión a algunos locales por los extremos. En cuanto a esta flexión, presenta algunas correcciones a la teoría anteriormente elaborado por Sheffler (consulte la página 134). En la foto aparece, Winkler se deriva- laciones de tensiones en los discos giratorios y las utiliza para analizar los factores de estrés en los volantes. Winkler de vigas continuas se publicó en 1862,1 en ese momento él estaba interesado en ingeniería de puentes, y la mayor parte del papel deais de las cuestiones relativas a la carga más desfavorable. Se presentan los cuadros de una viga con cuatro spans.2 En el libro la fuerza de los materiales, que apareció en 1867, Winkler no mantiene una escuela primaria presentación del tema, pero da las ecuaciones generales de la teoría de la elasticidad y su aplicación a la teoría de flexión de las vigas. El autor hace una comparación de la habitual aprox- soluciones y acabado con los resultados de la teoría de la elasticidad y se muestra que la ecuaciones elementales son suficientemente precisos para fines prácticos. A la hora de derivar las fórmulas de venta las dimensiones de las estructuras, Winkler Saint-Venant , discretizadas mediante un siguiente y siempre utiliza el máximum cepa teoría como su guía. El capítulo en flexión de las vigas contiene una muy completa explicación de vigas continuas. En cuanto al pandeo lateral axial de ly com Winkler el libro está escrito en un estilo conciso y no es fácil de leer. Sin embargo, es posiblemente el más completo libro de resistencia de materiales escritos en el idioma y Germán es todavía de uso para los ingenieros. En libros posteriores en este tema, pero vamos a ver un tendeney fuerza para separar los materiales de la teoría matemática de la elasticidad y presentarlo de una forma más elemental que el empleado por Winkler. 1 Ver Civiling., vol., 8 , págs. 135-182, 1862. 2 UN ulterior desarrollo de la teoría de vigas continuas en Winklcr "Theorie der Brücken", Viena, 1872. CAPÍTULO VII Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 37. Puentes tubulares La construcción del primer ferrocarril aiTected mucho el desarrollo de la fuerza de los materiales mediante la presentación de una serie de nuevos problemas (sobre todo en ingeniería de puentes) que había que resolver. Los materiales utilizados para construir puentes, piedra y hierro fundido. Se sabe que este último era muy adecuado cuando se trabaja en la compresión como en puentes de arco, pero que de vigas de hierro eran poco fiables, ya que el metal no por el cansancio de la acción de las diversas tensiones que se producen por el movimiento de cargas. Vigas de hierro fundido de hierro reforzado por los miembros fueron juzgados sin mucho éxito. Se hizo necesaria la introducción de un material más fiable y, después de 1840, el uso de hierro maleable en puente con Más rígido y se necesitan estructuras, como una posible solución tubular los puentes fueron juzgados en Inglaterra en la construcción del ferrocarril London- Chester - Holyhead. En el curso de este trabajo, los ingenieros han encontrado un problema muy difícil cruzar el río charles Conway (Fig. 97) Y el estrecho de Menai. Es necesario que los puentes no debería crear la hin- el drance envío a fin de que los puentes de arco, que se propuso inicialmente, eran inadmisibles. El ingeniero en jefe, Robert Stephenson,1 propuso la construcción de puentes en forma de grandes tubos de tamaño suficiente que los trenes podrían pasar a través de ellos. Stephenson (1845) para la asistencia de Fairbairn (consulte la página 123), que había adquirido gran experiencia con placa de hierro maleable estructuras en relación con su labor en shipbuild- 1 Robert Stephenson, hijo de George Stephenson, el "Padre de los ferrocarriles", ganó una reputación como un ingeniero de los ferrocarriles. Fue el segundo prcsident del Instituto de Ingenieros Mecánicos y se convirtió en un miembro de la Royal Society en 1849. Fue presidente del Instituto de Ingenieros Civiles en 1856 y 1857. 156 Fuerza de los materiales en la Ingeniería Evolulion de Ruilway 157 Ing, para ayudarlo a desarrollar esta idea novedosa y a la ayuda en la construcción de estos puentes inusualmente grande (el tramo más largo es de 460 ft). Stephenson la idea original no fue aprobado corapletely, ya que él habla de un tubo apoyado por cadenas. Fairbairn sólo después de las pruebas preliminares se decidió desechar las cadenas y en el diseño los tubos para que ellos fueran lo suficientemente fuertes como para soportar el mayor los trenes. Fairbairn la primera expe FIG. 97. Conway puente. Las paredes finas de los tubos beeame inestable y abrochado. Fairbairn: "Algunos curiosos e interesantes fenómenos se presentan en los experimentos- -muchas de ellas son anómalos a nuestras ideas preconcebidas de la fuerza de materiales, y totalmente diferente a cualquier cosa han exhibido en cualquier investigación anterior. Invariablemente ha sido observado, que en casi eveiy experimento los tubos dio pruebas de debilidad en su capacidad de resistencia en la parte superior, a la tendencia a aplastar las fuerzas." Aquí tenemos los primeros experimentos con las estructuras de pared fina que no a través de la inestabilidad. 1 P a r a o b t e n e r u n a d e s c r i p c i ó n c o m p l e t a de estos experimentos y de el diseño final, véase W. Fairbairn, " un relato de la construcción de la Britannia y Conway Tubular puentes", Londres, 1849. Véase también E. Clark, "El Britannia y Conway Tubular puentes", 2 vols., Londres, 1850. Este último trabajo contiene los resultados de la Ule experiReporls de Comisarios . . . .) Y \Y. Estudio del Polo vigas continuas antes mencionada. 158 Historia de resistencia de materiales Fairbairn pidió a su amigo Hodgkinson (consulte la página 126), un hombre de mayor Conocimientos teóricos, para examinar los resultados. Hodgkinson que No es suficiente para conocer la resistencia final del material cuando cal- Carxying forma de calcular la capacidad de vigas tubulares mediante la aplicación del Esfuerzo de flexión fórmula habitual. Él afirma: "parece evidente para mí, Sin embargo, que las conclusiones deducidas de principios recibidos, con Respecto a la fortaleza de tubos delgados, sólo podrían ser aproximaciones; por Estos tubos se suelen dar por la parte superior o lateral comprimido cada vez Arrugado, y es incapaz de ofrecer resistencia- Ance, mucho antes de las piezas objeto A aciagos son tensas al máximo Iban a sufrir. A fin de determinar cómo Hasta ahora este defecto, que no ha sido Previsto en la teoría, La tnvth affeet de cálculos de La fuerza de los tubos . . . Hodgkinson propone que un número De pruebas fundamentales. Algunos De estas pruebas fueron hechas por él Y se hará más adelante. Fairbairn No podía actuar a esta sugerencia Debido a la falta de tiempo y él Se vio obligado a malee una decisión re- El jardín de corte transversal Las dimensiones del puente sobre la base De las pruebas de doblado que ha llevado a cabo En vigas tubulares de vaiious formas. Por razones prácticas, una recomendación Sección transversal tangular fue seleccionado y, para garantizar la igualdad de fuerza Eompression y aciagos, más material se utilizará en la parte superior. Se decidió a hacer las pruebas con un gran modelo que tiene una duración de 75 pies y la sección transversal se muestra en la Fig. 98. Para fortalecer la parte superior, una estructura eellular fue empleado y la relación entre la superficie de la sección en la parte superior en comparación con la de abajo fue tomada como 5:3, con la idea de posteriormente inereasing la fuerza de los aciagos los experimentos deberían indícate la necesidad de hacerlo. Los experimentos demostraron que la estructura eellular contribuido en gran medida a la estabilidad del haz, y la primera se ha producido un error en la parte inferior. Esta parte fue luego de pro- tección en etapas, y se encontró que los sucesivos acuerdo mostró una mayor resistencia. La igualdad de fuerzas en tensión y compresión aehieved fue cuando la relación entre el área de eompression a la de aciagos fue igual a 12:10 eellular para que la estructura considerablemente reducido la disparidad entre las resistencias del material en aciagos y FIG. 98. Sección transversal antes mencionada el modelo probado de Fairbairn. Strenglli de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 159 Compresión. Estos experimentos también demostraron que los extremos del tubo no son suficientemente estable, y a onda elimínate formación en las placas laterales, refuerzos verticales. Después de estas pruebas se completaron, las dimensiones finales de la cruz sec- ción del tubular puentes fueron elegidos 011 la hipótesis de que el traspaso de Sección transversal a través a través de la sección longitudinal del tubo tmiddle medio del tubo 10 5 0 10 Pies I 1 _ 1 1 _ 1 _______________________ I 1 __________ 1 _ 1 _ 1 _ I_ I Fig. 99. El Britannia puente. Ing capacidad del tubo aumenta como el cuadrado de las dimensiones lineales y su peso aumenta a medida que el cubo. La Figura 99 muestra la sección transversal aud una vista lateral de la Britannia Puente ultímate en su forma. Cuando el diseño del tubo Conway se completó, Hodgkinson se pidió a carga calcúlate el máximum que el puente sería capaz de transportar y el defiec- 160 Hislory de resistencia de materiales Que lo que se. A pesar de que el problema era muy simple, lo que requiere un simple cálculo de estrés y el máximum de máximum deílection simplemente apoyados y uuiformly eonstant cargado haz de sección transversal, este tipo de análisis fue más allá del poder de Fairbairn y del ingeniero residente E. Clark. Se requiere la asistencia de " las matemáticas- ematician" (Ilodgkinson). Este análisis se consideró tan importante que, con todos sus detalles, se incluyó en el libro y Clark en el informe de los Comisarios. . . . Que también se reproduce en lind Weale's" teoría, práctica y la arquitectura de los puentes." Hodgkinson encontró que, con las dimensiones tomadas en el diseño y permitiendo un máximum de esfuerzos de compresión o por satélite.2 8 toneladas por, la carga concentrada en el centro podría ser tanto como W = 1.130,09 toneladas cuando la correspondiente deílection sería 5 = 10,33. Para una carga uniformemente distribuida, W puede ser duplicado y de la deflexión multiplicado por 5/4. El módulo de elasticidad en la cale Ib por in.2 después de la terminación de los puentes, las desviaciones producidas por una carga aplicada en el centro y una desviación de 0,01104 por cada tonelada se encuentra. Este es de alrededor de un 20 por ciento superior a la que los cálculos previstos. La construcción de la Britannia y Conway puentes constituye un gran avance en nuestro conocimiento de la fuerza de las estructuras de ingeniería. No sólo fue la fuerza general de los puentes tubulares establecidos por los ensayos, pero la fuerza de placas de hierro y de los diversos tipos de uniones remachadas1 también se requería, la diferencias de presión lateral del viento no uniformes y de calefacción se estudiaron por la luz solar. Fairbairn se llevó a cabo una patente para tubular puentes y varios puentes de tipo ejecutado se construyeron posterior.2 La construcción de estos puentes tubulares han suscitado el interés de los ingenieros extranjeros, nos encontramos descripciones de esta gran obra en numerosos libros y artículos relacionados con la fuerza de los materiales y la teoría de las estructuras. Cla- peyron la crítica se ha mencionado antes (página 146). Indicó que el máximum destaca en los pilares del Puente Britannia son mucho mayores que en el medio de las extensiones. Todo parece indicar que Clapeyron no tomar el procedimiento utilizado en la asamblea general de la Britannia Puente en cuenta, para, desde Clark's book (vol. 2, Pág. 766), vemos que los ingenieros entendido claramente las diferencias de carga uniformemente una viga continua. Allí se declara que "hemos de observar que el objeto en vista no era colocar los tubos en su lugar en las mismas condiciones que si se hubieran construido en un largo y, a continuación, 1 Como resultado de estos experimentos se coneluded que la fricción producida entre las placas de una articulación con los remaches es suficiente para resistir fuerzas de cizallamiento y de que la desviación es el resultado de deformación elástica. * También presentó las secciones tubulares en la construcción de grúas, lo que demostró ser muy exitoso. Slrength de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 161 Depositado en las torres, de una viga continua (se supone de sección uniforme) la cepa hubiera sido mucho mayor de las torres que en el centro de cada tramo, mientras que la sección es casi el mismo; el objeto, por lo tanto, es el de igualar la presión." Para llevar a cabo esta ecualización, un procedimiento especial aplicable en el proceso de montaje. El tubo grande CB ( Fig. 100) Se ha colocado en primera posición. En el conjunto B, la adyacente de tubo AB se inclina a algunos ángulo, como se muestra, en virtud de la cual la unión remachada. Ahora, cuando la parte AB se puso en posición horizontal, un momento de flexión en el apoyo a la investigación fue inducida, la magnitud de la que dependía de la cantidad de inclinación. Un procedimiento similar fue aprobado para el montaje del joiuts C y D. En Fio. 100. Selección de los ángulos de inclinación adecuada, los ingenieros han asistido por W. Polo, quien investigó el problema de flexión de vigas continuas mediante método de Navier . Matemático e. Una extensa crítica del diseño del Puente Britannia fue hecha por Jourawski.1 comienza su discusión con un examen de celosía armaduras y correctamente a la conclusión de que el pandeo de los lados de un puente tubular es causado por esfuerzos compresivos actuando en los lados de un ángulo de 45 grados con la horizontal. Se recomienda colocar los refuerzos en la dirección del máximum esfuerzos compresivos. Para probar su punto, hizo algunos experimentos muy interesantes con modelos que estaban hechas de papel grueso cartón reforzado por los refuerzos. En el debate sobre la selección de estos materiales, se le añade un interesante debate general de Inglés experiencia 1 El francés tianslation de este trabajo apareció en Ann. ponts el Marne, vol. 20, pág. 113, 1860. 162 Historia de resistencia de materiales El mayor esfuerzo compresivo en la 45-grados dirección (con respecto a la vertical). También fue capaz de estudiar la dirección de las olas que se forman en dobleces de los lados. La comparación de los eíTectiveness de los refuerzos, se encontró con que el modelo con inclinación podría llevar refuerzos 70% más de carga que con refuerzos verticales. Al mismo tiempo, el eross área de sección transversal de la inclinan los refuerzos fue igual a la mitad de los refuerzos verticales. Como se mencionó antes (página 143), Jourawski también criticó el remache tubular distancias elegido para puentes. Con su teoría de la esquila destaca en el sector de las vigas, no tiene ninguna dificultad a la hora de seleccionar correctamente las distancias remache para cada caso particular. Una importante investigación de pandeo de tubos de pared delgada de la compresión de Hodgkinson1 en conexión con el gran tubus Para puentes de corta duración, de paredes delgadas vigas píate. Brunel píate de vigas ya que las pruebas se hizo popular en les dio muy favorable resultados.2 experimentar con algunas de las vigas que se lleve a cabo en Bélgica por Houbotte.3 pruebas de estas de vigas I (con unstiffened webs) mediante la aplicación de una carga coneentrated en el medio, este ingeniero se comprobó que, en todos los casos se ha producido un error debido al pandeo local de la web cerca del punto de aplicación de la carga. 38. Primeras investigaciones sobre la fatiga de los metales El hecho de que el sometimiento de una barra de metal para muchos disulfoton resultaron con los menores de estrés pueden producir fracturas, por las fuerzas más pequeñas que se requeriría para no estática, ha sido reconocido por los ingenieros prácticos por un tiempo muy largo. Poncelet, en sus conferencias para los trabajadores de Metz, habla de la fatiga de metáis en virtud de las reiteradas aetion aciagos y compresión. "1 1 Los resultados de esta investigación fueron publicados como Apéndice AA, en el de la Coinmissioners nuevamenteprogramada,Appoinled a investigar la aplicación de hierro lo Slruciures Ferrocarril, Londres, 1849. Véase también E. Clark, "El Britannia y Conway Tubular puentes", Londres, 1850. 2 UN deseription de algunos de estos puentes es Fnirbairn en el libro "Las aplicaciones 3 Aun. Tramux Publique de Belgique, 1856 -1857. 4 Ver su "Mécanique industrielle", 3d ed., pág. 317, 1870. Desde esta edición es simplemente una reimpresión de la segunda edición (1839), es posible que l'oncciet fue el primero en debatir la propiedad por el cual los materiales resisten disulfoton resultaron con los menores repetidos de estrés y que intro Resistencia de materiales en la evolución de Bailway Ingeniería 163 Morin en su libro1 analiza los informes muy interesantes de los dos engi Con la expansión de construcción de ferrocarriles, el problema de fallas por fatiga de locomotora ejes asumido gran importancia. Tal vez el primer Inglés en este campo fue presentado por W. J. Macquorn Rankine.2 La inesperada ruptura de ejes, aparentemente buenas después de estar en funcionamiento durante varios años se suele explicar con la hipótesis de que la textura fibrosa de hierro maleable gradualmente asume una estructura cristalizada. Rankine muestra que el deterioro gradual se lleva a cabo sin pérdida de la textura fibrosa. Él dice: "Las fracturas parecen haber comenzado con un suave, de forma regular, minuto fisura, que se extiende todo el cuello de la revista y de la penetración en 011 un promedio a una profundidad de hall' una pulgada. Lo que parece que poco a poco penetró desde la superficie hacia el centro, de tal manera que el extremo roto de la revista fue convexo, y necesariamente el cuerpo del eje es cóncavo, hasta que el espesor del sonido hierro en el centro beeame insuficiente para apoyar la crisis a los que está expuesta. Una parte de la fibra que se encuentra en el interior de la masa del cuerpo del eje tendrá menos elasticidad que en el jour011 aceount elástico de su juego de repente detenido en ese punto. Por lo tanto, se propone, en el proceso de fabricación los ejes, para formar las revistas con una gran curva en el hombro, antes de ir a un torno, para que la fibra se Durante el transcurso de los años años 1849-1850 el mismo problema se debatió en varias reuniones de la institución del mec. Los ingenieros. James E. McConnell presentó un documento3 " en los ejes ferroviarios" en la que afirma: "Nuestra experiencia- rienee que parece demostrar que, incluso con el mayor de los cuidados a fabricación "A. Morin, "Résistance des Matériaux", lst ed., 1853. 2 Ver Proc. Imt. Língs Civil. (Londres), vol 2 , pág . 1 05 , 1 843. 3 Ver Proc. Insl. Mech. lingrs. (Londres), 1847-1849 (en la reunión de 24 Oct, 1849). 164 Historia de resistencia de materiales El arranque de esta causa, que casi podemos preclict en algunas clases de motores, el número de millas que puede ejecutar antes señales de fractura son visibles. . . . La cuestión de la degradación de los ejes planteados por diversas causas, que ya he enumerado, es un tema muy importante que todas las empresas ferroviarias; el hecho de que algunos cambios en la naturaleza de la plancha se lleva a cabo es un hecho bien establecido, así como la investigación de este es más merecedora de una atención especial. ... Creo que mil se encontró que el cambio de las placas fibrosas en el carácter cristalino depende de una variedad de circunstancias. He recopilado unos cuantos especímenes de fractura ejes desde puntos diferentes, que establecen claramente la visión que tengo. "Es imposible de abarcar en el presente documento una exposición de todos los hechos sobre esta rama de la materia, pero tan valioso es un claro entendimiento de la naturaleza del deterioro de los ejes, que ahora estoy registro de cada eje como se pasa de los talleres, y se esforzará en que tales declaraciones de sus actuaciones y apariciones en diferentes períodos, a me permitirá juzgar respetando su tratamiento. Cuando se prende que-- 011 del ferrocarril de Gran Bretaña hay unos 200.000 trabajadores por cuenta propia los ejes, la ventaja de tener las mejores proporciones, la mejor calificación, y el mejor tratamiento para una cuestión tan importante y vital elemento del material rodante debe ser universalmente reconocido." McConnell da un importante pedazo de consejo: "Toda mi experiencia ha demostrado la autori- posibles de mantener . . . [Revistas de ejes] lo más libre posible de las esquinas afiladas abrupta y repentina alteración en diámetro transversal o fuerza". El debate subsiguiente sobre el papel centrado en gran medida la cuestión de si la estructura de hierro cambios bajo la acción de los ciclos de tensión y compresión o no. No se llegó a un acuerdo general, y el presidente, Robert Stephenson, concluyó la reunión con el comentario: "sólo estoy deseoso de poder poner los miembros de su guardia contra estar satisfechos con menos de indiscutible evidencia de un molec011 una ocasión dictó, preguntarse si el ingeniero y el superintendente tendría un veredicto del hombre de sacrificio volvió contra ellos. La investigación requiere de aquï¿ ½la mayor precaución; y en el presente caso no es de 110 pruebas para demostrar que el eje era fibroso con anterioridad, pero cristalina cuando se rompió. I- deseo los miembros de la Institución, conectado de la fabricación de hierro, para hacer una pausa antes de llegar a la conclusión valida que el hierro es una sustancia cristalina o responsable de un cambio molecular de las vibraciones. . . . " El debate continuó en el volumen de las reuniones de 1850. UNA muy interesante propuesta se hizo en una de esas reuniones Iresistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 165 Por P. R. Hodge:1, " para llegar a una verdadera los resultados en cuanto a la estructura de hierro que sería necesaria para cali en el a-id del microscopio, para examinar el tejido fibroso y una estructura cristalina." El abogado fue seguida por R. Stephenson quien informó2 que lo que tenía (desde la última reunión) examinó un pedazo de hierro llamado "cristalina", y un pedazo de hierro llamado "fibroso" en el marco de un potente microscopio y que probablemente- tando los miembros saber que ninguna diferencia real podría ser percibido. Aproximadamente al mismo tiempo que la de la anterior discusión sobre la fatiga en las reuniones de la Institución de Ingenieros Mecánicos en Londres, algunos trabajos interesantes en euskara fue realizada por la comisión nombrada en 1848 para investigar la aplicación de hierro para estructuras ferroviarias. Como parte de la labor de la comisión el Capitán que ni'y James y el Capitán Galton realizó Una investigación experimental (en Portsmouth) de la fuerza de barras de hierro cuando está sometido a numerosos ciclos de rotación loading.3 UN excéntrico se utilizó para desviar la barra y, a continuación, liberar, de repente (véase la Fig. 101), la frecuencia de las deflexiones de cuatro a siete por minuto. De los bares sometidas a estas pruebas, "tres depresiones 10.000 diámetro igual a lo que sería producida por una tercera parte de la estadística de ruptura wsight, sin que su fuerza de voluntad para resistirse a unas presiones aparentemente a todos fuera de servicio; uno se rompió con 51.538, depresiones, y un orificio 100.000 sin ninguna disminución aparente de la fuerza; mientras que tres bares, sometido por la misma leva a una desviación igual a lo que se produciría por la mitad de la estadística de peso, rompió con 490.617 y 900 las depresiones, respectivamente. Por lo tanto, debe concluirse que barras de hierro, scareely reiteró la solicitud de un tercio su rotura de peso sin perjuicio." 1 Proc. Inst. Mec. Engrs., (Londres), 23 ene, 1850. 2 Proc. Inst. Mec. Engrs. (Londres), 1850 Abril. 3 Los resultados de esta investigación fueron publicados en el Apéndice B5 del informe de la Comisión , p.259. También se discuten en papel de Fairbairn, Phil . Trema., vol. 154, DE 1864. 166 Historia de resistencia de materiales Fairbairn estaba muy interesada en la fuerza de los puentes tubulares que se ve afectada por las cargas repetidas causada por el peso de los trenes que circulan. mentira quería encontrar el máximum estrés que podría aplicarse de manera indefinida gran número de veces sin perjuicio a la material. Por lo tanto, no sería capaz de calcular una caja fuerte estrés de trabajo. Afirma1 que , en el diseño de la gran tubular los puentes, las dimensiones fueron seleccionados de tal manera que el ultímate carga para el puente "debería ser seis veces la carga más pesada que nunca pudo ser puesto en ellos luego de deducir la mitad de peso del tubo. Lo que fue considerado como un margen razonable de la fuerza; pero con posterioridad, como por lo general asisten a un nuevo principio pedagógico de la construcción con el acusado material induce un aumento de la resistencia, y, en vez de la ultímate fuerza es seis veces, se aumentó a ocho veces el peso de la carga máxima." Después de esto Fairbairn dis 2" Que observa (correctamente) que en el caso de los puentes la píate tubular de compresión puede hebilla en relativamente bajo estrés y que un celular ■ construcción debe ser utilizado. Con el fin de encontrar un lugar seguro valué de estrés laboral de puentes, Fairbairn decidió llevar a cabo pruebas en las que la cepa que los puentes sufren por el paso de los trenes pesados se inició en la medida de lo posible. En las pruebas, ME haz UN (Fig. 102) Compuesto por placas de hierro remachado en ángulo ■ planchas, 22 pies de largo y 16 de profundidad. La desviación inicial fue producido por la carga D aplicado al final C antes mencionada la palanca a.c. para obtener ciclos de estrés, movimiento vertical de la final C fue producida por la varilla CE, que se atribuye a un excéntrico gira uniformemente. De esta manera, de siete a ocho ciclos de estrés por minuto fueron infligidas a la viga. Los experimentos demostraron que "vigas de hierro forjado, cuando se carga a la medida de la deformación por tracción de 7 toneladas por o por satélite.2, no están seguros, si esa presión es 1 Phil. Trans., vol 154, 1864. Resistencia de materiales en la evolución de fíailway Ingeniería 167 Sometido a cambios alternativos de despegar la carga y por el que se establecen de nuevo, Siempre una cierta cantidad de vibración es producida por ese proceso; y Lo que es importante a tener en cuenta es, que entre 300.000 y 400.000 cambios de Esta descripción es suficiente para asegurar fractura. Sin embargo, debe ser Nacido en mente que el haz del que se han obtenido estos condusions había Más de 3.000.000 sostenido los cambios con casi 5 toneladas deformación por tracción En la pulgada cuadrada y hay que reconocer de los experimentos, por lo tanto, Constancia de que 5 toneladas por in.2 de deformación por tracción en la parte inferior de vigas, Fijado por la Junta de Comercio, parece ser una norma de ampie Fuerza." Vemos que, a mediados del siglo xix, los ingenieros lcnew Diferencias de los malos tratos de fluetuating insiste en la fortaleza de metáis y que, Por lo que unos pocos ensayos, vinieron a La conclusión valida de que una carga igual a Una tercera parte de la última puede ser- Considerados como seguros cuando fluetuating. UN Una visión mucho más completa de este Fenómeno de la "fatiga" fue adquirida Más tarde por Wohler. 39. La labor de Wohler A. Wohler (1819 -1914) nació en La familia de un preceptor en el Provincia de Ilannover y re- Mita en su enseñanza de la ingeniería La Politécnica Ilannover- Tute. Ser un estudiante excelente, Ganó una beca después de su gradual- CIÓN, lo que le permitió obtener una prácti- Acontecieron capacitación, tanto en la locomotora Borsig en Berlín y en el Construcción del Berlin-Anhalter y Berlín-Hannover ferrocarriles. En 1843 Fue enviado a Bélgica para estudiar producción locomotora. Después de su Regreso, fue puesto a cargo de la tienda de máquina de tren de Hannover. En 1847, Wohler fue dado la carga del material rodante y de la máquina Tienda del Niederschlesisch Márkische de ferrocarril y esto le causó a Permanecer en Francfort del Oder para los siguientes veinte años. Allí, Tenía que resolver muchos problemas relativos a las propiedades mecánicas de Materiales y comenzó su famosa investigación después de la resistencia a la fatiga De metáis. Su posición le permitió poner los resultados de sus experimentos En la práctica. La uniformidad de las propiedades de los materiales es de vital importancia en las 168 Hislory de resistencia de materiales Fomentar la organización en Alemania de una ehain de material de laboratorio de pruebas Oratorios y ayudaron a lograr uniformidad en las pruebas mecánicas De metáis. Su influencia en este sentido fue muy grande en Alemania, Y las máquinas de prueba que fueron diseñados y construidos para el trabajo El mejor de su tiempo. Como un signo de la importancia histórica, son Conserva en el Deutschen Museum de Munich. Wóhler la obra principal sobre la fatiga de metáis se llevó a cabo con el fin de Solucionar la incidencia de las fracturas de los ejes de las vías férreas Nieder- Schlesisch Márkischen railway.1 a Encontrar el máximum las fuerzas que actúan sobre Un eje en el servicio, el dispositivo dia- Gramed en la Fig. 104 Fue utilizado. El Parte mrib fue rígidamente unido al Eje pq y el puntero se fue- Al acoplamiento del íim de la rueda por un Barra articulada ab. Debido a una deformación del El eje, indicado por la línea de puntos, La bisagra se ha movido y el extremo c del Puntero se hizo una raya en el zinc píate mn. en servicio, el tamaño de la Scrat.ches varían considerablemente y se convirtió en virtud de la gran Acción de las fuerzas de impacto producido por irregulariúes en las vías del tren. Midiendo el pico valúes de los arañazos, el mayor deformaciones Del eje. Para encontrar las fuerzas, flexión estática Las pruebas se realizaron mediante la aplicación conoce las fuerzas horizontales en el eje, en la Los puntos a medir, por lo que amnistía internacional y el correspondiente cambio en la distancia AAI. Al contar con esta información, el máximum doblar destaca en el servicio FIG. 104. El dispositivo para grabar las desviaciones de los ejes en el servicio. Podría ser fácilmente calculado. De manera similar, la torsión pico también se determina por la grabación del máximum ángulo de giro sufrido por el eje en el servicio. ICnowing las magnitudes de las fuerzas que actúan el máximum, Wohler comenzó sus investigaciones de la fuerza de ejes cuando se somete a eonstant inversión de las solicitaciones. Una máquina especial fue construido para el trabajo (que se muestra en la Fig. 105). Un cilindro ab se hizo para girar en los cojinetes c 1Z. Bauwesen, vol., 8 , págs. 641-652, 1858; vol. 10, págs. 583-616, 1860; vol 16, págs. 67-84, 1866; vol. 20, págs. 73-106, 1870. Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 169 Y l a 15 r.p.m. Los dos ejes ef y kl se fijaron en el rotor Y fueron expulsadas por las fuerzas de los muelles que se transmite a través Los rodamientos con anillo e y l . En cada revolución , las tensiones en el Las fibras pasan por un ciclo. El estrés puede ser obtenida por Una adecuada adjustraent de los muelles. Los ejes de los distintos materiales y diá- Y tienen entre han sido probados con esta máquina, y determinados Los resultados en cuanto a la relación de fuerzas se Obtenidos. Pero para un estudio fundamental de la Resistencia a la fatiga del acero, un gran número de Los experimentos eran requeridos, y decidió Wohler Para utilizar, en lugar de los ejes (que había Los diámetros de 3f a 5. ). más pequeños Los especímenes que pueden haberse fabricado de cir- Alan barras de H. de diámetro. Con la adop- De esos ejemplares de menor tamaño, carne la posi- Bility de aumento de la velocidad de las pruebas La máquina a 40.000 revoluciones por día. Por lo tanto, muchos millones de ciclos de estrés podría ser Aplicado a los especímenes. Mediante el uso de varios- Cal especímenes con diferentes fuerzas aplicadas a la Extremos y comparando el número de ciclos Necesaria para producir fractura, Wohler fue capaz de extraer algunas conclusiones En cuanto a la resistencia a la fatiga de su material. Que no ha utilizado la La curva denominada Wohler en este análisis, pero habla de estrés límite (Bruchgreme). Wohler reconoce que, para el efecto de elimínate esquinas afiladas (Fig. 106O), los filetes a debe ser introducido. Las pruebas se realizaron con el spcci- Mens se muestra en las Figs. 1066 Y 106c y Se encontró que los especímenes de uniforme Exhibe el diámetro mayor fatiga Fuerza. También se constató que, en el Caso de los especímenes de la Fig. 1066, El Siempre oeeurred fractura en la sección mn Cuando el cambio brusco de diámetro Situada de manera que al agregar material a Un árbol (correspondientes al incremento de De diámetro en mn) nos puede hacer que sea más débil. Wohler lo explica en términos De la irregularidad de la distribución de tensiones en la sección mn y estados que Este efecto wealcening (las esquinas agudas) no sólo es de importancia en los ejes, Sino que debe considerarse en el diseño de otros tipos de máquina Las piezas. Más experimentos le mostró que este debilitamiento efecto Depende del tipo de material y que la reducción de la fuerza pro- Fio. 107. V///Ú U n Y > 1 / <S (A) Ri <N- 7777, W ( B) '/7///Ú !§ ,"8 (C) FIG. 106. 170 Ilistory de resistencia de materiales Que, si el cambio brusco de la sección transversal se extiende sólo alrededor de una parte de la circunferencia, tal como se muestra en las figuras. 107A y 1076, la fatiga comienza siempre por la fuerte córner. La parte sombreada de la seg. Los experimentos que se llevan a cabo con la máquina de la Fig. 105 Participantes inversión completa de las tensiones. Para la obtención de otros tipos de disulfoton resultaron con los menores de estrés, Wóhler diseñado y construido más de un tipo de fatiga de las pruebas de la máquina en la que rec(es decir, de la gama de estrés). Para un tipo particular de acero eje Wóhler, proporciona la siguiente limitación valúes máximum y mínimum de subraya que el eje acero podría resistir cuando se somete a un gran número de disulfoton resultaron con los menores: Máximum estrés, Ib por in.2 ............... 30.000 50.000 70.000 80.000 90.000 Mínimum estrés, Ib por in.2................ -30.000 0 25.000 40.000 60.000 Gama de estrés, Ib por in.2 .................. 60.000 50.000 45.000 40.000 30.000 AJI los experimentos demostraron que, para una determinada tensión, el máximum num Todas estas conclusiones fueron hechas en la fuerza de pruebas de doblado y Wohler decidió comprobar por recurrir a estrés, por lo cual una especial resistencia a prueba de la máquina fue diseñada. En la nueva máquina, las muestras fueron sometidas a la acción de resistencia a estrés de disulfoton resultaron con los menores y de los resultados que se obtienen con ella mostró acuerdo satisfactorio con los anteriores de pruebas de doblado. Este led Wóhler a recomendar que la misma magnitud de estrés laboral se utilizará para estrés similares disulfoton resultaron con los menores independientemente de la forma en que se produjeron estos disulfoton resultaron con los menores. El siguiente paso en esta investigación de la resistencia a la fatiga de metáis fue Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 171 Un estudio de los ciclos de estrés combinado. Ilere, Wohler se supone que la fuerza depende de los ciclos de máximum cepa (tras la máx Apareció en una dirección de 45 grados para el eje del cilindro y se pro Desde ensayos de fatiga requiere mucho tiempo y gastos, Wohler naturalmente traté de buscar una correlación entre la resistencia a la fatiga de los materiales y de sus demás propiedades mecánicas que podría determinarse por pruebas estáticas. Parece ser que fue espeeially interesados en el límite elástico de los materiales que lo probó en la fatiga. La determinación de este límite de resistencia requiere pruebas precisas de medición de muy pequeño elonga- nes, y instrumentos adecuados para este fin no se encuentra disponible, entonces. Por esta razón, Wohler decidió utilizar pruebas de doblado de las medidas del límite elástico, a pesar de que indica claramente que este método no es exacto ya que la limitación se hará hincapié en el exterior sólo por las fibras y el beginuing de rendimiento es evidente sólo después de una considerable parte de los materiales ha pasado a través del límite elástico. Para facilitar la medición lo más exacta posible, Wohler utiliza el sistema que se muestra en la Fig. 108 Especialmente construido en su máquina. La parte ah del espécimen mn puré sufre deformaciones, y precisa de medida y la carga para la que inició un ajuste permanente. En relación con estas pruebas estáticas, Wohler se interesó en el plástic deformación de las barras que son cargados inicialmente más allá del límite elástico y en las tensiones residuales producidas por la deforma- 2 P Fio. 108. Wóhlei del aparato de flexión estática. 172 Historia de resistencia de materiales . El autor analiza estas tensiones en barras rectangulares, especímenes que se cargan más allá del límite elástico y, a continuación, descarga (Fig. 108). Suponiendo que el material sigue la ley de Hooke el proceso de descarga, el autor muestra que las tensiones residuales se distribuyen como se muestra en las áreas sombreadas de la Fig. L09a. Que obtiene estas zonas lineales, superponiendo los dis- Fio. 109. Tríbution de tensiones, en el proceso de descarga (Fig. 1096), en el Distribución de la tensión inicial, representado por la curva abocd (Fig. 109A). Desde esta consideración, Wohler concluye que el rango de Destaca en ensayos de fatiga no se ve afectada por la deformación inicial plástic. Esta es la primera vez que encontramos discusión de los residuales Destaca producido por flexión plástic. Wohler el examen de la distorsión de la rectangular Sección transversal de plástic flexión de la barra es de interés. Suponiendo que la densidad del material permanece constante Durante plástic deformación, llega a la conclusión valida Que si las fibras sufren un alargamiento e unidad, la unidad Contracción lateral debe ser de la cantidad e/ (2 + " ). Corres- Correspondiente a una unidad contracción ti hay un lateral de la unidad Expansión t\ / (2 - " i). Como resultado de estos laterales deforma- Nes, la distorsión de la barra rectangular cuando plásticamente Doblado debe ser tal como se muestra en la Fig. 110. Esto concuerda con Experimentos. Wohler concluye su trabajo con un interesante debate de trabajo destaca. mentira recomienda un factor de seguridad de 2 para barras de central constante tensión para que el estrés laboral es la mitad del ultímate resistencia del material. En el caso de ciclos de estrés, volvió a recom2, lo que significa que el estrés de trabajo sería igual a la mitad del límite de resistencia. En ambos casos, se supone que las condiciones de carga más desfavorables son tomadas en consideración. En las juntas de la estructura, el trabajo destaca deberían ser mucho más reducidos a compénsate de cualquier irregularidad en distribución de la tensión. El calis de una investigación cuidadosa de estas irregularidades. FIG. 110. Slrength de Materiales en Ihe Evolulion de ingeniería ferroviaria 173 Vemos que estos experimentos eran de carácter fundamental, y puede ser justamente dice que la investigación en el campo de la fatiga antes mencionada comenzó con Wohler materiales de trabajo. Para cada tipo de prueba, Wohler diseñado y construido todas las máquinas necesarias y medición instrumentos de servicio. A la hora de diseñar estas máquinas, impuso estrictos requisitos de la precisión con la que las fuerzas y deformaciones se mide por lo que sus máquinas representan un importante avance en la técnica de las pruebas materiales estructurales. 40. Movimiento de cargas En el estudio de la fuerza de los puentes, el problema del estrés y deflec Plan FIG. 111. Vía Férrea "sed" de fox ensayos dinámicos de las vigas. B del informe de Ule Comisarios . . ( Consulte la página 162) describe algunos muy interesantes las investigaciones realizadas por el Profesor R. Willis, el Capitán II. James y El Teniente D. Galton.1 en la mitad del siglo xix no se llegó a un acuerdo entre los ingenieros sobre el efecto de mover la carga de una viga. Mientras que algunos supone que una carga en movimiento con alta velocidad actúa como una aplicación repentina de carga y puede producir desviaciones mayores que los correspondientes a acción estática, mientras que otros sostuvieron que a velocidades muy altas no hubo tiempo suficiente para que la carga caiga a través de la distancia de la deflexión dinámica. Se decidió a hacer las pruebas que se habían de ser lo más realista posible. Una vía de ferrocarril, con el apoyo de un andamio especial, fue construido en la Portemouth dockvard (Fig. 111), y un carro de dos ejes se utiliza como mover la carga. La altura de la parte superior de la pista por encima de la porción horizontal era de unos 40 pies para que el carro puede alcanzar veloc- hasta 30 ná l i. El proceso de fundición de barras C (Fig. 111) Fueron de 9 pies de largo y sección transversal rectangular de tres tamaños diferentes, a saber: 1 Por 2 pulg., 1 El Willis i'informe dcscribing los experimentos se puede encontrar también en el apéndice de la edición de Barlow del libro "Tratado de la Fuerza de la madera", Londres, 1851. 174 Historia de resistencia de materiales B ~ &R- UNAD M)?7¡v77v77777r//////////////////'/777777777*n FIG. 112. Dispositivo de Wilüs para ensayos dinámicos de las vigas. 1 3., y 4 de la letra H. Experimentos en la estática, la flexión del Bares bajo el peso del carro fue medida con progresiva I y Inereasing cargas, y su resistencia estática. En Ensayos dinámicos, el carro, con su carga mínima, sería elaborado Hasta el punto de la inclinada vía que corresponde a la velocidad seleccionada y Libera de repente. El experimento se repitió varias veces con Aumentar gradualmente las cargas y los dinámicos se midieron las desviaciones. Por último, la última carga de la velocidad seleccionada se determinaría. V De esta manera, se demostró que Las desviaciones dinámicas con un determinado Son más grandes que las producidas Estática de la misma carga y que Las barras se rompió bajo una carga Lo cual fue considerablemente menor que La última estadística carga. Por Repetir las pruebas con las velocidades más altas, se encontró que el enfermo diferencias Aumentó con el aumento de la velocidad. Deflexión dinámica y dos Sometimos tres veces más grande que unas se obtuvieron a velocidades más altas. Los experimentos realizados en los puentes no mostrar las diferencias de velocidad En un marcado wajr. Para encontrar una explicación para esta discrepancia, Willis repitieron los experimentos en la Universidad de Cambridge en una forma simplificada y También desarrolló una teoría analítica. En su acuerdo, el juicio bar BC ( Fig. 112) Fue sometido a la acción de una rotler A, que fue articulada A un carro moviéndose a lo largo de los rieles. Un tercer carril era colocado entre Los dos con el carro Y la barra BC formaba parte de ella. Mediante el registro del movimiento relativo- La trama de AD con respeet En el carro rodar por el Vía mn rígido, el camino de la Se obtuvo un rodillo. En el desarrollo de su teoría, Willis descuida la masa de la barra BC tiial Como son pequeñas en comparación con la masa del rodillo y la utiliza el Expresión de la desviación estadística y bajo la forcé P ( Fig. 113), que Es Px\i- xy Fio. 113. : 3IAI (A) Donde l indica la longitud y El es la flexión rigidez de la barra. Con esta expresión, vemos que, cuando la forcé P se mueve a lo largo de la barra, su punto de aplicación describe una curva con tangentes horizontales en los extremos (Fig. 1136). Para adaptar Eq. (A) en el caso de un movimiento de rodillo Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria de Evolalion 175 (Fig. 112), Willis substitutos la presión del rodillo de la barra de la forcé P. Esta presión consta de dos partes, a saber, la gravedad forcé W del rodillo y su inercia forcé - Wy/g correspondiente a la vertical movimiento. Por lo tanto, no obtiene " - 5 W Observar ahora que Dy dy dx dy , D 2y d2y Dt dx dt dx Di 2 dx2 Willis, obtenemos la ecuación Desde -d2y/dx2 es la curvatura de la línea a lo largo de la cual el punto de con- tacto del rodillo A se mueve , lo vemos en Eq. (C) que la dinámica de la acción es un rodillo cubierto si a ello añadimos la centrífuga forcé - (WV2/g), d2y/dx2) a la gravedad forcé W. De esta centrífuga calcúlate forcé, debemos inté Wx2 (l - x)2 y 3IAI S Fueron sustituidos. Este presenta la trayectoria del rodillo calculado sobre la base de la estadística desviación [ver Eq. (A)] y el que tiene la sim- métricas forma se muestra en la Fig. 1136. Cerca de los soportes, la fuerza centrífuga forcé actos u/pwardy la presión del rodillo en el bar es un poco menor que la gravedad forcé W. en el medio, la fuerza centrífuga forcé es dirigido hacia abajo y se agrega a la gravedad forcé. El máximum de la barra de presión será r : t s t . · · : - · (C) Donde _ Wl * dsí 48 El Suponiendo, por ejemplo, que v = 32.2 pies por segundo, l = 32.2 pies, y = 32,2 ft por seo2, y = 0,0012 , nos encontramos, en la Ec. (E), que el máximum presión excede la gravedad forcé por sólo 1,6 por ciento. En el JPortsmouth- mulario 176 Hislory de resistencia de materiales Experimentos y, el span l fue aproximadamente una cuarta parte tan grande como este y " /l era muy a menudo más de diez veces mayor. En este caso, el efecto dinámico es aproximadamente el 64% de la gravedad forcé (para una velocidad de 32.2 pies por segundo) y se hace más pronunciada con el aumento de la velocidad v. De esta manera, Willis fue capaz de explicar que el gran efecto dinámico obtenidos en el Portsmouth dockyard se debió, principalmente, a la gran flexibilidad de las barras de prueba. Los experimentos de la Willis también muestra que el camino del rodillo no era una curva simétrica como se muestra en la Fig. 1136. Durante el movimiento de la rollef de B a C (Fig. 113), el máximum deflexión se produce más cerca del apoyo C que muestra la figura y la desviación de svmmetry se hace más grande y más grande que la cantidad 1 = 16a., v 2 P gl1 Aumento,s. La solución aproximada (e) no es suficiente para cubrir los casos en que 1//3 no es pequeña y la solución completa de Eq. (C) es necesario. B D C FF 3N /SR. FIG. 114. Willis de equilibrio inercial. Esta solución fue encontrado por G. G. Stokes,1 y para los grandes valúes de 0 muestra buen acuerdo con VVilhs de aproximación. Para los pequeños valúes de 0 , da nonsymmetrical trajeotories y muestra que la sección transversal de máximum destaca se desplaza de la mitad del tramo hacia el apoyo C (Fig. 113). Este último resultado mostraron buenas agreeC. Esta solución indica además que completa del acuerdo entre las rutas teóricas y las curvas obtenidas experimentalmente no se puede lograr mientras la masa de la viga es descuidado en cuanto a la derivación de la ecuación. Para obtener una ¡dea del efecto de la masa de la barra de ensayo sobre la forma de la trayectoria del movimiento del rodillo, Willis utilizó un ingenioso dispositivo que él llamó una balanza inercial. La palanca con dos pesos mn está articulada en el centro del juicio bar fíC (Fig. 114). Las masas están en equilibrio estático por lo que no forcé se transmite a la barra en D. Cuando el rodillo se mueve a lo largo de la barra BC, el sistema inercial equilibrio en movimiento y una inercia forcé actos en D. Esta acción es similar a la de un 1 Ver Trans. Cambridge Phil. Soc. , vol., 8 , pág. 707, 1849. Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 177 Misa por D. Si la desviación curva de la barra puede ser igual a la mitad una sinusoide, una masa en I) es dinámicamente equivalente al doble masa uniformemente distribuida a lo largo de la span. Por lo tanto, de introducción- el equilibrio inercial, la influencia de la masa de la barra de ensayo diferentes velocidades del rodillo puede ser investigado. El mismo tipo de dispositivo también hizo que se posi ble s a emplear a una relación entre la masa de los rodillos en la masa de la barra, como se podría esperar que en un puente. Organizar el experimento de tal forma que la proporción de las masas y la cantidad ¡3 son los mismos para el modelo en cuanto a la puente, podemos obtener los desvíos dinámicos del puente de la deflexión curvas del modelo.1 Stokes, quien trabajó con YVillis en Cambridge, también para hacer una solución aproximada para otro caso extremo, es decir, que en los que la masa de la puente es considerado, la masa de mover la carga es negativo Los resultados obtenidos por Willis y Stokes fueron criticadas por Homero- farsa Cox.2 de las consideraciones de energía, el autor concluye que la inteligibilidad Puede verse que Willis y Stokes fueron capaces de explicar por qué el Portsmouth experimentos mostraron efectos dinámicos tan grandes. También se indicaba que en un puente real el efecto dinámico se com- rativamente pequeño. De esta manera, el problema práctico que enfrentan los miembros de la comisión fue resuelto aunque una completa solución matemática no se encuentra. Desde ese momento, muchos ingenieros han intentado3 para mejorar nuestros conocimientos sobre la dinámica de acción de mover la carga de la 1 Esto fue demostrado por Stokes. 2 Engrs Civil, Archits. Jvol. 11, Págs. 258-264, Londres, 1848. 3 Ver Phillips, Ann. las minas, vol 7, págs. 467-506, 1855. Véase también Rcnandot, Ann. ponts et chaussées, 4ª séries, vol 1, págs. 145-204, 1861. 178 Historia de resistencia de materiales Deflexión de una viga, pero se han hecho pocos avances para la solución en el siglo xix. Al mismo tiempo que los efectos dinámicos de movimiento de cargas en puentes se estudió en Inglaterra, algunos worlc se hizo en esta dirección en Alemania. Las inclinaciones de hierro fundido de los puentes de ferrocarril el Badén se midieron a distintas velocidades de locomotoras. Con este fin, un instrumento que se utiliza en un émbolo trabajó en un depósito de mercurio y se ha obligado a los fluidos a lo largo de un tubo capilar, lo que potenció la deflexión. Los experimentos mostraron un aumento de la desviación provocada por la sptíed de las locomotoras, pero el efecto fue pequeño para velocidades de hasta 60 m 1 por segundo. 41. Impacto La comisión que fue designada en 1848 para investigar los applica,2 quien asumió el problema de la central horizontal impacto simplemente apoyados sobre una viga de sección transversal uniforme. En este trabajo se da una justificación de la existencia de un supuesto Hodgkinson (debido a que en el momento del impacto, el imping- como bola pierde mucho de su velocidad, ya que se ha alcanzado otro bolas sin tener la mitad del peso de la viga. Cox se supone que la deformación de la viga curva durante el impacto no difiere mucho de la curva elástica producida por unas presiones que tiene a su introduzca y utiliza la ecuación Donde l es el span, / es la desviación en el centro, y x se mide desde el extremo de la viga. Lo cual denota que la velocidad que el haz aequires en su centro en el instante del impacto por v, que se supone que la velocidad de la luz en cualquier otra sección transversal será dada por LEEE el papel "Die gusseisernen Brücken der carretera Badischen Burgstrasse al Eisenbahn", por Max Becker de Ingenieur, vol 1, 1848, Freiberg. 2 Trans. Cambri dge Phü. Soc. , vol 9, págs. 73-78. (Este documento fue leído el día 10 de Diciembre, 1849.) V(3l2x - 4a:8) Y = - jr - La kinetie energía del haz es entonces (B) Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 179 Ql que denota el peso de la viga. Se ve que el kinetic euergy es el mismo que si no había una masa igual a H, de la masa del haz concentrado en la mitad del tramo. Con esta "reducida" denota la masa y velocidad de la bola incide de peso ( W) por v0, Cox considera la velocidad v de la ecuación de la conservación de su impulso. Esto da Para determinar el máximum desviación / de la viga, que supone que, después de adquirir la velocidad v , se mueve la bola con la barra hasta que la energía cinética total del sistema se transforma en energía potencial de deformación. Esto da la ecuación Vemos que el máximum desviación/es proporcional a la velocidad vo de estas bolas. Este acuerdo en forma satisfactoria la experiencia Hodgkinson(d), ley de Hooke se supone que prevalecen. Con el fin de mejorar el acuerdo entre la teoría y los resultados de los experimentos de Hodgkinson, Cox supone que en el hierro fundido utilizado en los experimentos, el estrés está relacionada con la cepa de la ecuación Donde a y 0 son dos constantes. Por la selección de estas constantes, Cox obtuvo el buen acuerdo que buscaba. La mejora de la teoría del efecto se San- Venant.1 considera un sistema compuesto por un prismatical bar en el centro de la cual se adjunta una masa W/g. que se supone que, en el momento del impacto, una velocidad vo es dado a esta masa mientras que el resto de la barra permanece inmóvil. Él considera que el dilTerent modos de vibración que se deriven y calcula el máximum deflexión en el medio. Este microdepuración muestra que, si sólo la primera (lo más importante) de las series que representan el máximum deflexión se conservan, el resultado coincide con la dada por el ecuación aproximada (el). Un examen de la segunda derivada d2y/dx2, en representación de la curvatura de la defiected forma, mostró que la curva puede diferir considerablemente de que asumió en Eq. (A) y que la diferencia se hace más marlced con aumento de la relación entre ql/W. calcula valúes encontrados por de Saint-Venant , discretizadas mediante un 1 Bxdl. soc. philomalh. Paria, 1853-1854; Compt. rend., vol. 45, pág. 204, 1857. V t'° w + üql (C) 1 + 180 Historia de resistencia de materiales T La relación entre estrés antes mencionada el máximum <rm x " según los datos obtenidos de la serie de el estrés <rumJ utilizando la curva (a) se presentan en el cuadro siguiente. Ql/W I 1 2 O'mixx/ffmax 1.18 1.23 1,49 La diferencia entre la y amax' aumenta aún más con Aumento de la proporción ql/W. Sí, hay que señalar que de Saint-Venant , discretizadas mediante un investigación no puede con- Considerados como dando una solución completa del problema del transverso impacto.. La deformación local en el punto donde la bola golpea el incide Haz no se considera y el supuesto de que el balón después de que el instante Del impacto permanece en contacto con la viga V Hasta el máximum desviación es alcanzado es ,Rt> No se confirma en la práctica. La bola puede Rebote antes de que el máximum desviación es Llegó, en el que caso de Saint-Venant , discretizadas mediante un limi- No se aplica 1 . FIG. 115. También se describen Saint-Venant , discretizadas mediante un longitudinal Impacto de los bares. Considerando una prismatical Barra fija en un extremo y sometidos a un impacto en el longitudinal Otros (Fig. 115), que se supone que durante un impacto uniforme com- Compresión de la barra será establecido. Para permitir que la masa de la barra, que Llega a la conclusión de que debemos asumir que un tercio de esa masa se concentra en El extremo libre afectan el cuerpo, la cual es considerada como absolutamente Tribunal rígido, asume una velocidad v que tiene en común con el fin de El bar después del instante de impacto donde Va V 1 + Mql/W) El máximum valué ( /) de la compresión puede ser encontrada en la ecuación AEP _ Wv0 * 1 21 2g 1 +i(ql/W) {C) Para obtener una solución más satisfactoria, Saint-Venant , discretizadas mediante un considera un sistema que consta de una barra fija en un extremo y que tengan una masa rígidamente fijado a la otra. Las vibraciones libres de un sistema de este tipo ya han sido estudiados por Navier.2 para adaptar su solución del maestro en el caso de impacto, Saint- 1 Saint-Venant , discretizadas mediante un asume que su solución es exaet. En su "Historique , Abregès . . . " ( véase pág. 238) afirma: "Pour calculer sa résistance, il faut, sous peine de moe- mettre de tumbas errenrs qui inspireraient une fausse sécuritc se livrer au largo calcul de la formule nouvelle et exacle." 2 Bol. soc. philomath., París, 1823, págs. 73-76; 1824, págs. 178-181. Slrenglh de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 181 Venant se supone que, mientras que el bar está parado en el momento del impacto, la masa attaehed a su final de repente toma una velocidad v0, ahora con solución de Navier . Matemático e, representa el movimiento de la final de la barra en la forma de una serie y, a través de suma, se encuentra el máximum deflexión. Esto concuerda estrechamente con la solución aproximada de Eq. (E). Con las series que representan las vibraciones longitudinales de la barra después de que el instante del impacto, Saint-Venant , discretizadas mediante un máximum calcula también el esfuerzo longitudinal y considera que puede diferir mucho de la tensión uniforme supone aproximadamente en la ecuación (e). Los resultados de Saint- Venant de cálculos figura en la tabla siguiente. Ellos muestran que la Relación entre el estrés máximum <r""K (calculado con la serie) de ow" el estrés [obtenida mediante Eq. (E)] aumenta a medida que la relación ql/W aumenta. Ql/W I I 1 2 4 0 "MNX" 0 "máx. 1,48 1,59 1,84 2.67 3.47 Hay que señalar una vez más que la posibilidad de rebote de la armonía cuerpo no fue considerado por esta solución Saint-Venant , discretizadas mediante un, que asume que el organismo se vuelve rígida attaehed al final de la barra. Más tarde regresó a Saint-Venant , discretizadas mediante un1 este problema y encontró que poco puede avanzar hacia una solución mediante series trigonométricas de Navier . Matemático e y que es necesario encontrar una solución en términos finitos. Esta solucion " 42. [ ~Las primeras etapas de la teoría de vigas ¡ El primer uso que se colocaba en la construcción de puentes de madera y tejados. Armaduras eran utilizadas por los Ilomans. Figura 1 Véase de Saint-Venant , discretizadas mediante un "nota Cintile du 60" del libro "Théorie de l'élastieité des corps solides Clebsch, simbólos, traduite par MM. Barré de Saint-Venant , discretizadas mediante un et Flamant, avec des Notes étendues de M. de Saint-Venant , discretizadas mediante un ", París, 1883. 182 Historia de resistencia de materiales 116 Muestra la superstructura madera del famoso puente sobre el Dan de ube, que fue erigido por orden del emperador Trajano, tal como aparece en los bajorrelieves de la columna de Trajano Roma.1 En el momento de la ren- aissance, los arquitectos italianos se interesó en armazón de madera, y el famoso arquitecto Palladio fue quizás el primero en construir esas estructuras FIG. 117. Palladio puente cerca de Trento. Un mayor uso de los puentes de madera fue hecho en Suiza. La Figura 120 muestra uno de los dos tramos del famoso puente sobre el Rin en Schaffhausen, fue construido en 1757 por el talentoso carpintero Jean - Ulrich Grubenmann. Los dos tramos fueron 171 pies y 193 pies de longitud y resultó lo suficientemente fuerte para llevar carros de hasta 25 toneladas de peso con seguridad. En 1778, su hermano Grubenmann y ya construyó un puente 1 Para la historia de los inicios de los puentes, véase H. Gautier, "Traité des Ponts", París, 1765. Véase también "Oeuvres de M. Gauthey", publicado por M. Navier . Matemático e, París, 1809-1813. Ínteresting Información sobre puentes de madera se pueden encontrar en el libro de Gaspar Walter, "BrUckenbau oder Anweisung wie allerley Arten von Briicken sowohl von IIolz nach den Steinen ais ha traducido al alemán der Ziminerkunst Kcgeln anzulegen sind dauerhaft", Augs adicionales al Aug- burg, 1766. Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 183 El Limmat Wettingen cerca con un lapso de 390 pies Ambos de estos faraous puentes fueron quemados por los franceses durante la guerra de 1799,1 muchos puentes de este tipo, pero con menor abarca, se construyó en Switzcrland2 y Alemania. El desarrollo de los puentes de madera implicaba un cambio de estructura del arco debido a la mayor rigidez que admits.3 I _______________ I _______________ I _______________ I _______________ I _______________ I 0 10 10 30 40 50 Mefers Fig. 120. Grubenmann del puente sobre el Río Rin en Schaft'hausen. Con el inicio de construcción de la vía férrea, el buen diseño y4 para las condiciones en los Estados Unidos y Rusia fueron 1 Una descripción detallada de estos puentes es dada por Chrétien de Mechel, "Planes, coupes et élévations des trois ponts de bois les plus remarquables de la Suisse". 2 Puentes de madera sobre Suiza, ver el libro de Dr. J. Brunner, "Der Bau von Brücken aus Holz in der Schweiz", Zurich, 1925. 3 Estos puentes fueron desarrollados por Gauthey en Francia y, sobre todo, por Wiebeldng en Baviera. 4 Muchos tipos de puentes de ferrocarril son descritos por J. Weale, "la teoría, practico, y la arquitectura de los puentes", Londres, 1853. Véase también William Humber, "un Tratado práctico de Fundición YVrought y puentes de hierro y vigas", Londres, 1857. Hislory de Slrenglh de materiales Muy diferente, ya que, con escasa densidad de población y las largas distancias, las consideraciones económicas requiere extrema eeónomy en gasto inicial. Toda la construcción es de carácter provisional; por lo tanto madera fue ampliamente utilizado en acercamiento y los distintos sistemas de armaduras, similares a los utilizados por Palladio, fueron concebidas. Los sistemas debido al largo1 y que de la ciudad se muestran en las Figs. 118 Y 121, mientras que la armadura Howe se observa en la Fig. 122; Todos estos se utilizan con frecuencia. * "Sfr/ng p/ank Fig. 121. Puente de la ciudad. FIG. 122. Armadura de Howe. FIG. 123. Wliipple de puente. El primer conjunto de vigas metálicas fueron construidas en los Estados Unidos, en 1840,2 La Figura 123 muestra uno de estos que fue construido por S. Whipple, fundición hierro miembros superiores y hierro forjado bajo los acordes y diagonales. Fig. 1 Largo del tirante es similar a Palladio en el tirante se muestra en la Fig. 118. -A2 Ver Mehrtens, "Eisenbnickenbau", Leipzig. El primer volumen de este trabajo se da principalmente en la historia de los puentes. Slrenglh de Materiales en lite Evolución de ingeniería ferroviaria 185 Fueron construidas por Howe y también tiene compresión miembros de hierro fundido y aciagos los miembros de hierro forjado. Whipple fue el primero en publicar un bookJ que contiene información útil sobre el análisis de racimos. Él no sólo eonsiders distribuida uniformemente la carga muerta pero también analiza movimiento de cargas que considere la posición más desfavorable en cuanto a ninguno de sus miembros en particular es conagonals sólo pueden trabajar en compresión y de esta manera obtiene un determinado sistema. A partir de uno de los soportes, encuentra las fuerzas de los miembros mediante la aplicación del paralelogramo de fuerzas a la \ / \ / /\ / \ \ / \ / / \ / \ \ / ✓Nv / \ \ / / X R T Fi". 125. Ioints consecutivos del sistema. De esta manera claramente Whipple- Métodos revestido perfectamente válida, de carácter analítico y gráfico, para resolver Determinar racimos. En el método gráfico sacó una forcé polveon Alrededor de cada articulación en su esquema de la línea de la cercha. Parece que Trabajo de Whipple hicieron caso omiso de los ingenieros prácticos, en el prefacio A la H. Haupt el libro2 ( 1851) se dice: "Cuando su atención fue en primer lugar Direeted el tema de dosificación correctamente las piezas de los puentes, por Se le pide en el desempeño de sus funciones profesionales para dirigir Su construcción, le resultó imposible de adquirir información satisfactoria- CIÓN, ya sea de los ingenieros y constructores, o de los libros." Su propio libro Es, además, mucho menos clara y satisfactoria que la de Whipple, que Se publicó cinco años antes. 1 S. Whipple, C. E. , "un ensayo sobre Construcción de puente", Utica, N. Y. , 1847. 2 Hermán Haupt, "Teoría General de Construcción del Puente", Nueva York, 1851 y 1869. 186 Hislory de Slrenglh de materiales El primer metal racimos en Inglaterra fueron construidas en 1845. Fueron lat- tice racimos. similar a Ciudad de madera racimos (Fig. 121). En 1846, el tri Warren fue introducido (Fig. 126), y el método de análisis se conocía desde 1850. Fairbairn, en su libro "sobre la Aplicación de yeso y hierro forjado" (2a. ed., pág. 202, 1857) se afirma que en el año 1850 obtuvo un analj'sis de W. B. La sangre y, a continuación, ofrece fórmulas correctas para calcular tensiones en los miembros, no sólo para distribuirse uniformemente cargas muertas, sino también para los más áreas de distribución de mover la carga. En el libro de W. Huniber (consulte la página 183), interesante los datos experimentales se destaca el 011 racimos en Warren (p. 56). Los experimentos se realizaron por la sangre y Doyn en un modelo en el que fue de 154 de largo y 12,12. de profundidad. Las fuerzas se midieron mediante el dinamómetro especial que fue puesto en el nuevo modelo del miembro cuyo estrés debe ser determinada. Los resultados de la prueba están en muy buen acuerdo con el theoretieal resultados. Los ingenieros franceses también estaban interesados en el análisis de racimos. En 1848, M. Michon era discutir los métodos de cálculo de vigas de techo destaca de gran amplitud en sus conferencias en la escuela militar de Metz.1 un puente ferroviario de la Palladio tipo (véase la Fig. 117) Con un intervalo de 5 m, se probó en el Conservatoire des Arts et Métiers de Morin.2 El estrés medido por los bancos acordaron con los resultados del cálculo. Seguir avanzando en el análisis se hizo Ilowe racimos por D. I. Jourawski (página 141). Para el Werebia puente, que el mismo diseñó y construyó, selccted tipo de Howe, que ya se ha visto ya varios años de uso de los ferrocarriles en América. Sin embargo, en ese momento (1844) no hay teoría de la cercha análisis de la existencia, y no sólo había Jourawski a diseñar el puente sino también para desarrollar un método de cálculo destaca en los miembros. Jourawski logrado en este trabajo y olfered un método general de análisis vigas paralelas con los acordes. Actualnente mentar una armadura, como se muestra en la Fig. 127, Jourawski observa que el tipo de articulaciones en sistema de Howe es tal que las diagonales pueden trabajar sólo en la compresión, y en el caso de carga uniformemente distribuida sólo las diagonales se muestra por completo las multas. De esta manera, el sistema es determínate estáticamente. En el análisis, Jourawski concluye, a partir de simetría que la carga se distribuye de manera uniforme entre los dos "Consulte "Ilistorique abi'égé P. 211. Miehon se incorporan métodos de ¡11 Libro de Morin "Résistance des Matériaux", 3d ed., vol 2, pág. 141, 1862. 2 Morin, "Résistance des Matériaux", lst ed., arts. 324 -326, 1853. Slrenglh de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 187 Es compatible con, y podemos asumir que las cargas a la izquierda del centro del arco y la mitad de la carga aplicada central se transmiten a la izquierda y el resto de las cargas a la derecha. Ahora comienza la parte superior central del conjunto 0, Jourawski concluye que la carga vp, que ha de ser transmitido a la izquierda, se producen en la diagonal 0-1 compresivo forcé P/ (2 eos a). La forcé, que se transmite a las 1 se produce una resistencia a la tracción forcé P/2 en el perno vertical y horizontal 1-2 forcé (P/ 2) bronceado actuando acorde a lo largo de la parte inferior. Considerando ahora la junta 2 , podemos ver que, además de la tracci ón forcé P/2 del perno la carga P actuará verticalmente hacia abajo. Estas dos fuerzas, proa) en la diagonal horizontal 2-3 y la forcé $P bronceado actuará acorde a lo largo de la parte superior. Continuar De la misma manera con las articulaciones 3, 4, , Jourawski encuentra para las fuerzas de tensión en el resto de los pernos el valúes |P, $P, . . . Y para el las fuerzas de compresión en las diagonales f (P/cos a), P/cos a), ... . se ve que las fuerzas en los pernos y diagonales de el centro del arco en los soportes. Al mismo tiempo, las fuerzas en los acordes son mayores en el centro del arco y a disminuir hacia los soportes. En nonsymmetrical carga, se muestra en la Fig. 1276, Jourawski comienza por encontrar las diagonales que va a trabajar. Conocer las reacciones, a 188 Historia de resistencia de materiales El problema de la determinación de los miembros de las fuerzas de Howe armadura es más complicado, pues, atornillando los tornillos, inicial considerable estrés generalmente se producen en el sistema, lo cual no se puede ignorar en análisis de estrés. Jourawski entra en una investigación inicial de estrés, considerando en primer lugar un panel aislado (Fig. 128A), y muestra que al apretar el pernos verticales, eompression de las diagonales y aciagos mem.1 acorde de demostrar esto, él asume que el tornillo ab es fijo y considera que la aetion de una carga vertical Q lo largo del tornillo . Es fácil ver que debido a esta acción de la forcé Q, la FIG. 128. Fio. 129. Eompression inicial en la diagonal ac se verá disminuido mientras que en la diagonal bd irá en aumento. El mejor efecto de el apriete inicial de los tornillos en cualquier panel de la puente se obtiene cuando, bajo la acción del máximum esquila forcé Q en ese grupo, queda en una diagonal, como ac ( en la Fig. 1286) Sólo el pequeño forcé compresión necesaria para mantener la diagonal en su lugar. En tal caso, la rotura total forcé Q será transmitida por la segunda diagonal y el valúes el máximum de fuerzas en los pernos y diagonales será de la misma magnitud que el obtenido antes del análisis se muestra en la Fig. 127. En su debate, Jourawski considera también sistemas más complicados, como el que se muestra en la Fig. 129A, que se propone calcúlate las fuerzas de los miembros por superposición de las fuerzas que se pueden encontrar fácilmente en los dos sencillos racimos se muestra en las Figs. 1296 2 Y 129c. 1 Esa superposición se practica por algunos ingenieros Jourawski mucho después de investi 2 Las extensiones se supone que son iguales. Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 189 En conclusión valida, oía Jourawski analiza tres racimos apoya y da un método de cálculo en una armadura uniformemente cargado. Para aplicar el método utilizado previamente de análisis, Jourawski necesidades para determinar la posición de la sección transversal mn, definir la carga a la que se distribuye a lo largo de la porción "0 del armazón y que se transmite al soporte izquierdo A. Si la posición de esa cruz capitulo ilil "se encuentra, el sentido de las diagonales que están trabajando, y que continúa con el análisis como antes, a partir de la articulación superior 0. Ahora Joumn mediante el uso de dos supuestos: (1) que esta sección transversal coincide con uno de los pernos (tornillos 0-0 en la Fig. 130) Y (2) que este perno permanece en posición vertical durante deflec- del armazón. Para encontrar esta sección transversal, aplica un mï¿ ½odo de ensayo y error. 0-0 Tornillo que coinciden con la sección transversal; a continuación, el trabajo diagonales son conocidos y de las fuerzas en las juntas, a lo largo de la Acorde superior se determinará como antes. Considerando ahora la parte 0-1 del superior acorde como una barra fijada en los extremos 0 y 1 , se puede determinar fácilmente la forcé a término fijo 0. Si la ubicación del perno 0-0 fue seleccionado correctamente, este forcé debe estar en equilibrio con las fuerzas que actúan a lo largo de la parte 0-a de la parte superior acorde. De esta manera, Jourawski estáticamente indeterminados resuelva su problema. Publicación de las investigaciones se iniciaron después de la construcción del puente fue terminado. En el año 1850, Jouíawski publicó su método de análisis trusses.1 En 1854, presentó su trabajo sobre los puentes de la Howe sistema en forma completa a la Academia de Ciencias de Rusia y Demidov obtuvo premio de él.2 Seguir avanzando en el análisis se debía a racimos dos Germán ingenieros, J. W. Schwedler3 y A. Ritter.4 Schwedler utiliza en su análisis los conceptos de momento y de cizallamiento bencling forcé y establece la relación V = DM Dx (A) 1 Véase Zhurnal Glavnago Upratdenia Putej Soobchenia Publichnih Rabot i, 1850 . 3 Este trabajo fue publicado en 1856-1857 en San Petersburgo. La parte de cálculo de fuerzas de cizallamiento en el sector de las vigas fue traducido y publicado en francés; véase Ann . ponts et chaussées, vol. 12, pág. 328, 1856. 3 J. W. Schwedler, Theorie der Briiekenbalkensysteme, Z. Baimesen, vol 1, 1851, Berlín. 4 A. Ritter, "Elemental Está Dirigido Theorie und Berechnung eiserner Dach und Brücken- Constructionen", 1862. K. Pearson en "Historia Vol. 2, Pág. 613, tliinks que Schwedler no era el 190 Historia de resistencia de materiales Que más tarde, uso extensivo análisis de refuerzo. Con esta ecuación, Schwedler muestra que la sección transversal en que momento flector alcanza su máximum valué es aquella en la que la esquila forcé changos firmar?1 Considerando la cercha se muestra en la Fig. 131 Y teniendo una sección transversal mn, Schwedler considera las fuerzas en los tres interceptaron barras mediante los tres ecuaciones de estática. El autor muestra cómo estas fuerzas varían con los cambios en la profundidad de la cercha y define una forma óptima (o normal) forma de la armadura, que su profundidad es proporcional al momento de flexión producida por las cargas muertas y el mover la carga uniformemente distribuida cróss en cada sección. La carga no se producirá ningún estrés en las diagonales de una armadura normal. El autor muestra que el signo del estrés en una diagonal los cambios con el signo de la esquila forcé y le proporciona un método para determinar los límites de la parte de la armadura donde dos diagonales son necesarias si estas diag(P. ej., Ciudad racimos) y sugiere que, en su análisis, se divide en sistemas simples, como se muestra en la Fig. 129. | Simplificar el cálculo de las fuerzas en los bares atravesada por una I Mn ME sección transversal (Fig. 131) Mediante las ecuaciones de momentos acerca de | Ipoints de intersección de dos de los tres interceptaron bares. De este modo, Iwe se han de resolver sólo una ecuación con una incógnita cada vez para obtener fj jvery fórmulas simples de las fuerzas en los bares. ' Ambos Schwedler y Ritter usec^yjjjJ^Jjjg^ííethods. Otra simplificación se generó por el introductiongrapnic^nethods en Análisis de tirante. Estos fueron propuestos por K. Culmann y J. C. Maxwell. " - Oem ct^O) 43. K. Culmann (1821-1881) Karl Culmann nació en Bergzabern (Rheinpfalz), donde su padre era ministro. Le fue dada una muy buena educación preparatoria por su padre, de manera que, a la tierna edad de se venteen, fue capaz de entrar en el En primer lugar para obtener Eq. (A), pero el escritor no pudo encontrar en la anterior publicación. Naviei', en su libro "Currículo des Lefons . . . Pág. 234 de 1833, da una insatisfactoria de fábrica discusión del punto, para que el punto de que momento de flexión es un máximum "est toujours situé dau la verticale contenant le centre de gravité des poids dont cette lo mejor est encargado." Slrenglh de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 191 Júnior clase de Karlsruhe Polyteehnicum sin gastar tiempo en la Dos clases de preparación. Internacionales debcrzan estar después la graduación, comenzó su práctica Trabajo (en 1841) en Hof a ferrocarriles bávaros. .No tenía la oportunidad Para trabajar en el diseño y construcción de importantes estructuras ferroviarias. De Navier . Matemático e "llésumé des Leyons . . . " e r a el libro de fuerza De los materiales a partir de ese momento, y a menudo Culmann se refiere a ello en su análisis de Las estructuras. Culmann emprendió un viaje a Inglaterra y el Los Estados de los Estados Unidos en 1849 a mejor su enseñanza de la ingeniería. Como Resultado de su viaje, preparado y publishcd un amplio estudio de Inglés y Americano puentes.1 Este trabajo influyó notablemente el crecimiento De la teoría de las estructuras y la de puente Ingeniería en Alemania. Inglaterra Amei'ica y luego fueron por delante de Alemania en la construcción de ferrocarriles, y Muchos interesantes Culmann Estructuras para su estudio. En el Mismo tiempo, había tenido una mucho mejor Trai teórica ni ng de la maj ori ty De los ingenieros ingleses y americanos, Que, en el estudio de nuevas estructuras, que A menudo puede hacer que algunas im- Tant críticas. Sus escritos son de agreathistorical Interés. Comienza con una descripción Americana de puentes de madera. Para su sorpresa, se encuentra con que No son simples imitaciones de Europa Tipos pero que incorpórate Muchas de sus características originales. Es especialmente impresionado por el trabajo de S. II. Desde hace mucho tiempo, a quien considera uno de los mejores ingenieros de América de su Día y que tiene un buen conocimiento teórico que se utiliza para seleccionar Las dimensiones adecuadas de los miembros de vigas puente. El sistema de largo Armaduras era similar a la de Palladio, pero evidentemente sabía un válido Método de cálculo de refuerzo destaca los miembros y, en su trabajo multianuales2 dio Proporciones muy razonable para todos los miembros de las estructuras de las distintas Abarca. Después de describir algunos de los puentes de largo, Culmann comentarios que 192 Hislory de resistencia de materiales Los interesados en la forma de pensar acerca de sus sobresalientes de los hombres. Cada práctica engi011 los otros y no se presta atención a ellos". En el debate sobre sistema de Howe, Culmann observa que no introduce nada nuevo a la teoría de las estructuras. Su éxito es debido a que algunas mejoras prácticas en el método de construcción utilizado por mucho tiempo. La Ciudad de los puentes, Culmann es muy crítica y no recomendar para su uso en Alemania. Por último Culmann analiza los puentes construidos por Burr. Estos que considera es desarrollado a partir del tipo europeo puente de arco que se introdujo por Gauthey y Wiebeking (página 183). Este tipo (dice) resulta muy satisfactoria práctica, pero 110 unidades de análisis racional se ha ofrecido para, ya que es diíEcidt para encontrar cuál es la proporción de la carga se transmite por el arco y lo que se lleva en el tirante refuerzo. Con miras a una más satisfactoria para comparar las diferentes tipos de puentes de madera, Culmann desarrolla nuevos métodos de análisis de los sistemas de tirante. Él presenta un debate válido de largo y de configuración de Howe- urations y elabora métodos aproximados de análisis para estáticamente indeterminadas tipos como la Ciudad de los puentes y desbarbado. Este trabajo y el (mencionado anteriormente), papel de Schwedler (página 189) probablemente- ciero tirante el análisis más completo de la época. Aplicar sus propios métodos de análisis para los distintos tipos de puentes de madera, Culmann es capaz de demónstrate que los norteamericanos le permiten mucho más pequeños valúes para el movimiento de cargas en sus cálculos de lo requerido por las especificaciones europeas y, al mismo tiempo que usan mucho más altos de estrés. Este hecho induce Culmann hacer algunas observaciones de disappi'oval de la seguridad de estructuras de puentes. La segunda edición (1852) de Culmann trabajo trata de puentes de hierro. En Inglaterra, el autor se quedó impresionado por la Brunel vigas píate (consulte la página 162) y, sobre todo, por los grandes puentes tubulares, que se acaba asis-. Parece que Culmann obtenido toda su información preliminar sobre estos puentes de libro de Fairbairn (consulte la página 157), para que se inclina a dar la mayoría de los créditos a que el ing. Ahora en Inglaterra, Culmann se reunió con los hombres que seguían trabajando en Stephenson1 y, bajo su influencia, que evidentemente ha cambiado su mente porque, en su escrito, se volvió muy crítica de Fairbairn es parte de la obra. El orador eonsiders que fue un error de confiar el estudio preliminar del problema a un hombre que tenía suficiente conocimiento teórico y que, sólo después de muchos experimentos caros, diseovered que el hierro en la compresión es más débil que yo n aciagos, mientras que esto se podría haber aprendido de los libros. 1 Fairbairn, como resultado de un desacuerdo con Stephenson, se retiró de la labor de los puentes después de la terminación del primer tubo del puente Conway en 1849. Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 193 Parece que la Culmann clisparaging remarles están mal porque no se conocía en ese momento sobre las estructuras de pared fina. De hecho, Fairbairn'8 experimentos llamó por primera vez la atención de los ingenieros de la importancia de la estabilidad de las placas de hierro comprimido diseño y conchas. En el comienzo de su análisis de vigas metálicas, Culmann comentarios que fueron meras imitaciones de armazón de madera existentes. Cuando esté en Washington, visitó la tienda Ciclista en la fabricación de partes de los puentes del jinete patentado estaba en marcha. El autor comenta que el inventor estadounidense parecía estar completamente satisfechos de recibir dinero de su invención y no se preocupó por nuevas mejoras de su construcción. El principal defecto de jinete de los puentes, en opinión de Culmann, es su falta de suficiente rigidez en la parte superior con compresión acorde de un puente abierto. Como consecuencia de esta deficiencia la parte superior los acordes en algunos de esos puentes buc.kled Culmann y describe una catástrofe de esa índole, los resultados de la que era capaz de examinar. Según Culmann, armadura de Whipple es mucho mejor en este asunto de la estabilidad, ya que el superior tiene una adecuada acorde comprimido stitíness plañe en el horizontal. Este escritor es especialmente despreciar hierro vigas celosía, similar a la ciudad de armazón de madera (Fig. 121), se refiere. Explica que la delgada fíat eompression miembr os de ese sistema no puede soportar la com- con hebilla y las fuerzas laterales. En este asunto de buclding demuestren más débil que el miembros de madera desde los puentes de la ciudad, donde la madera es empleado, mucho más gruesa es el material utilizado. Él también dice que la introducción de la vertical stifTeners se encuentra en mal estado y muestra que tales miembros cambiar completamente las condiciones bajo las cuales la celosía sistema funciona. Culmann está en contra del uso de vigas celosía en Alemania. En el momento de la visita Culmann a los Estados Unidos de América, la mayoría de los ingenieros americanos tenían confianza en hierro vigas, y parece que el cansancio los fracasos fueron la causa principal de su desconfianza. Culmann dijeron que, bajo la acción de los repetidos golpes y vibraciones, el fibroso hierro asume una estructura cristalina y un miembro puede fallar de repente sin previo aviso de la aparición de esa debilidad. Culmann observa (correctamente) que probablemente la causa del problema se encuentra en la alta destaca que los estadounidenses están utilizando. Al reducir el trabajo destaca, fallas por fatiga puede ser eliminado. Este ingeniero Germán fue especialmente impresionado por la suspensión puentes y comentarios que, de todos los puentes que había visto durante el eourse de sus viajes, la que más le impresionó fue el dere 194 Iíislory de resistencia de materiales Fortalecimiento de tirante se utilizará para elimínate excesiva flexibilidad. Se recomienda el uso de las mismas dimensiones de corte transversal en el tirante refuerzo lo que sería necesario para una armadura puente el span de la que es igual a la mitad de la duración de la suspensión. En general, Culmann quedó impresionado por la construcción de un puente y por el valor de los ingenieros americanos. Pero, en su opinión, insuficien- tes se atribuía importancia teórica preliminar de análisis de las estructuras. Hace la observación de que los ingenieros estadounidenses concluyen que este o que la construcción es insatisfactoria, no porque no sea theoreticaíly irracional, sino porque falla en servicio. Después de regresar a casa en 1852, Culmann continuó su trabajo práctico en la Bavarian ferrocarriles hasta que fue llamado por la recién organizada Zürich Polytechnicum para convertirse en el profesor de la teoría de estructuras en 1855. Le gustaba enseñar Culmann y tiró toda su energía en la prepa- ración de los cursos en la que subrayó la importancia de métodos gráficos para analizar estructuras de ingeniería. La construcción del polígono de las fuerzas y en el polígono funicular se había conocido desde la época de Yarignon1 y han sido utilizados por Clapeyron y Lamé en su análisis de arcos. Poncelet2 utilizado en su teoría de los muros de contención. Pero estas aplicaciones, antes del día Culmann, sólo ascendió a unos pocos casos particulares en los que se utilizaron métodos gráficos en la solución de los problemas estructurales. De Culmann logro principal reside en su introducción sistemática de métodos gráficos en el análisis de todos ldnds de estructuras y en la publicación del primer libro sobre gráfica statics.3 Muchas soluciones gráficas originales se incorporan en este libro. La geometría proyectiva escritor considera muy importante en el desarrollo de gráficos y estadísticas se analizan las propiedades de los sistemas proyectivos de fuerzas en sus capítulos de introducción. "1 en la tramitación de las solicitudes, Cul 1 Ver Varignon, "Nouvelle Mécanique", vol 1, París, 1725. 2 Incoó. officier génie, vol 12, 1835; vol 13, 1840. Miclion, quien ha logrado Poncelet en la escuela de Missouri. tz, utiliza métodos gráficos en la teoría de los arcos y en la teoría de los muros de contención. Culmann Miclion consulte las clases de en el prefacio de la traducción Frencli de su libro (París, 1880). 3 K. Culmann, "Die institut Statik", Zurich, 1866. Copias de la lec Culmann 1 En el prefacio de su libro, Culmann expresa la opinión de que geometría proyectiva debe ser enseñada en el marco de un curso obligatorio en las escuelas de ingeniería y assumcs que sus lectores tienen algunos conocimientos de esta ciencia. Esta idea no ganar aprobación general, ya que las porciones de statics xvhich gráfica directa son de importancia práctica puede ser presentado sin recourae a la nueva geometría. Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 195 Extraído de la mina. Él muestra cómo construir el diagrama momento-curvatura y cómo encontrar esa posición de mover la carga que produce el máxi En su trabajo en flexión de vigas, Culmann muestra cómo el estrés en cualquier momento en el que el (Fig. 133A) se pueden analizar gráficamente. Considerando un elemento infinitesimal Amn y denota el estrés actúa sobre los componentes Rically colocado con respecto a una sobre el eje x . A continuación, la línea a \b representa el diámetro del círculo del estrés, y se puede sacar este círculo. De las ecuaciones de equilibrio del elemento Amn, Culmann muestra que el estrés los componentes <r y r en cualquier plañe mn están dadas por las coordenadas del punto c, que se obtiene de forma paralela a mn alc de esta construcción, el autor muestra que los puntos d y e en los extremos del diámetro horizontal definir la magnitud y las direcciones de las principales tensiones en el punto A. tambiã©n demuestra que los aviones en los que el máximum de cizalla biseccionen actos los ángulos entre los principales aviones y que el máximum de cizallamiento es dada por la magnitud del radio de los Círculo de estrés. Es fácil ver que Culmann del círculo del estrés es un precursor y caso particular de los círculos de Mohr (página 285) que son tan ampliamente utilizado en análisis de estrés. Conocer las direcciones de las principales tensiones, estrés Cülmann analiza las trayectorias y, en la ilustración de el caso de un voladizo, da el dibujo se muestra en la Fig. 134. Los aviones a través de una y perpendicx y ejes de un hachazo y TX", : Él demuestra que el normal y el estrés de los componentes tangencial actuando en cualquier plano inclinado mn están dadas por las coordenadas de puntos en un círculo de estrés. Para construir este círculo, nosotros sólo tenemos que tomar el punto FIG. 133. FIG. 134. A (Fig. 133Fc) con coordenadas T * ", Y ax y examinar punto simétrica ai- 196 Historia de resistencia de materiales Más tarde, Culmann da un amplio estudio de las vigas contimious, ampliamente utilizados en puentes de ferrocarril en ese momento. Ofrece una solución gráfica del problema que más tarde simplificado algo por Mohr (página 285). En cuanto a la infleetion puntos de una viga continua, sugiere la introducción de intermedíate depende de la estructura que se muestra en la Fig. 135A y señala que, en un acuerdo de esa naturaleza los puentes de más larga duración podría ser construido. Las trayectorias de las tensiones de una contin IWfWfWi (A) FIG. 135. Aplicar métodos gráficos para analizar vigas, Culmann utiliza el método de recursos hfdricos y muestra que, si en este proceso, interseets sólo tres barras cada vez que puede obtener fácilmente las fuerzas en estos bares por resolver el conocido las fuerzas externas de la dirección de las tres barras. Él también construyó los diagramas de fuerzas internas en vigas por considerar la En los últimos capítulos de su libro1 Culmann desarrolla métodos de análisis gráfico arcos y muros de contención. , Cuya creación corresponde al de este libro se hicieron sentir en el teoría de estructuras mucho más allá de los confines de la Zürich Polytech2 en cálculo y gráfica 1 Tenía previsto revisar esta parte del libro conipletelv en la segunda edición, pero murió antes que el trabajo estaba terminado. " Le figura reciproche nella statica grafica", Milán, 1872. Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 197 Cifras recíproca ha sido traducida al inglés, por el Profesor Thomas H. Beare en 1890. 44. W. J. Macquorn Rankine ( 1820-J872) Rankine1 nació en Edimburgo. Su padre, después de su retiro del Ejército, empezó a trabajar como ingeniero en la construcción de ferrocarriles y Fue un muy bien iníormed hombre en el campo de la ingeniería. Después de estudiar En el Glasgow school, Rankine es de propiedad privada instrucciones durante algunos años en Edimburgo. En 1836, entró en el Universidad de Edimburgo donde Asistieron a la filosofía natural Curso impartido por el Profesor Forbes Y ganó la medalla de oro de un Ensayo sobre la teoría de "Undulatory Luz." Al mismo tiempo, obtuvo Un cierto conocimiento de prácticas Ingeniería, habiendo ayudado a su Padre en supervisar algunos trabajos En el Consejo Europeo de Edimburgo y Dalkeith Ferrocarril. En 1838, Rankine él- La comenzó a trabajar en un ferrocarril como Ingeniero de Macneil y J. B. Trabajó para la mayor parte de diversas Las encuestas y las estructuras en el Drogheda Dublín y ferrocarril. El orador Más tarde trabajó en varias iniciativas promovidas por el Ferrocarril de Caledonian Empresa. Rankine comenzó a publicar su trabajo científico muy temprano. En 1842, apareció su primer libro, que fue titulado "Un estudio experimental en la ventaja de Ruedas cilíndrico en el ferrocarril." Al año siguiente, presentó su ponencia sobre fallas por fatiga de los ejes ferroviarios en el Instituto de Ingenieros Civiles (página 163). Rankine menciona en sus notas que algunas de sus primeras publicaciones se basaron en las sugerencias hechas por su padre. A partir de 1848, Rankine se interesó en física molecular y termodinámica. Publicó varios documentos importantes de la física, y fue elegido miembro de la Royal Society en 1853. En 1855, Rankine fue nombrado para la cátedra de ingeniería de Glasgow Univei de diversidad y trabajó allí hasta el final de su vida (1872). Parece que Universidad de Glasgow fue la primera universidad británica de ingeniería 1 La biografía de W. J. Macquora Rankine, escrita por el P. G. Tait, está contenida en el volumen de los "documentos científicos" de Rankine, Londres, 1881. FIG. 136. W. J. Macquora Rankine. 198 Hislory de resistencia de materiales Universidad) siempre a la creación de una institución para la instrucción de los artesanos en su voluntad, y el colegio que lleva su el ñame comenzó a olfer conferencias sobre natinstitut.es en otras ciudades. En 1840, el primer presidente de la ingeniería civil en el Iíingdom se estableció. El Glasgow y el Oeste de Escocia Escuela Técnica se formó en 1886 como una combinación de varias instituciones y las artes de Anderson College constituye una parte de esa combinación. Tras 1855, la mayor parte de Rankine de energía se gasta en su actividad docente y de internacionales debcrzan estar conferencias y mucho más, sobre todo a través de su texto- libros, logró mucho en las primeras etapas del crecimiento de ciencias de la ingeniería y de la enseñanza de la ingeniería en la universidad de Inglaterra. La mayoría de su trabajo original en fuerza de los materiales y la teoría de las estructuras se incluyó en su "Manual de Mecánica Aplicada", cuya primera edición apareció en 1858 y en su "Manual de Ingeniería Civil", el cual fue publicado en 1861. Desde su aparición, estos libros han visto muchas nuevas ediciones e incluso en la actualidad no son completamente superada. En la redacción de estos libros, Rankine prestado mucha atención a las porciones tratar- los antecedentes científicos de las diversas ramas de la ingeniería, y la mayoría de su desarrollo de estas secciones es su propia obra original. En su presentación de resistencia de materiales en "Mecánica Aplicada", Rankine comienza con la teoría matemática de la elasticidad. El nos da una explicación completa de las presiones y tensiones en un punto y se desarrolla el funstress rigurosamente definidos y cepa. En su obra Rankine prefiere para tratar cada problema por primera vez en su forma más general y que sólo más tarde ¿considera algunos casos particulares que pueden ser de interés práctico. Rankine la adopción de este método de escritura hace que sus libros difíciles de rcad, y exigen una considerable concentración del lector. En el debate sobre los problemas de la teoría de las estructuras, Rankine introduce su método de paralelo en las proyecciones estadísticas1 y muestra algunas aplicaciones interesantes. El autor muestra que "si un sistema equilibrado de las fuerzas que actúan a través de cualquier sistema de puntos estará representado por un sistema de linos, entonces cualquier proyección paralela de ese sistema de líneas representan un sistema equilibrado de las fuerzas." aplicando este principio pedagógico de la teoría de marcos, él afirma: "Si un cuadro cuyas líneas de resistencia constituyen una cifra dada, se equilibran bajo un sistema de fuerzas externas representada por un sistema determinado de líneas y, a continuación, un marco cuyas líneas de resistencia constituyen una figura, que es una proyección paralela de la figura original, será equilibrada bajo un sistema de fuerzas 1 " Mecánica Aplicada", 14ª ed., Capítulo IV, 1895. Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 199 Representado por la correspondiente proyección paralela del sistema dado de las líneas; y las líneas que representan las tensiones a lo largo de las barras de la nueva armadura, será la que corresponda de las proyecciones paralelas las líneas representcircular arco lineal1 (o ring) presentó a una distribución uniforme de presión normal j> ( véase la Fig. 137A), ho concluye que el empuje T alrededor de este anillo es el producto de la presión p por el radio r. Haciendo un paralelo cooperan). De este modo, un arco elíptico lineal Se obtiene. Ya que, en esta proyección, los componentes verticales de las fuerzas no cambie en su magnitud, mientras que al mismo tiempo las distancias entre ellos aumento de la relación entre n: 1, que puede ser que la vertical coneluded presp" - p/n. De modo similar, nos encontramos con que la presión horizontal es el px = np el empuje en las secciones cruzadas horizontales A y R del arco elíptico se V T i = Pu ' a - - m = pr n Al mismo tiempo, el empuje vertical en la sección C se Rl\ = pxr - npr En el caso de arco ACB apoyo lineal presión de agua (véase la Fig. 138), en cualquier momento M la curva debe tener una curvatura proporcional a la profundidad y, dado que sólo bajo esta condición puede el resultado de los objetivos principales de los extremos de un elemento de la curva equilibrio la presión del agua. Para obtener dicha curva, podemos utilizar una recta DCE cable elástico hasta los confines de lo que consideramos las barras EF y la DG , tal como se muestra en la figura con líneas de puntos. Ahora por rotación de los extremos del cable a 180 grados, podemos mantenerlo en su estado ACB dobladas por aplicación del las fuerzas horizontales Ií como se muestra en la figura. La curvatura de la línea elástica en cualquier momento 1 "Mecánica Aplicada", 14ª ed., artículos 179-184, 1895. 200 Historia de resistencia de materiales Será propoi'ala momento de flexión- en ese momento ¿ .e., proporcional a Hy y la curva obtenida de esta manera, satisfacer el requisito indicado en la parte superior. Por lo tanto, un arco lineal, con la forma de la curva ACB, serán sometidos a sólo eompression axial sin dobleces1 bajo la acción de presión de agua. Mediante proyección paralela, Rankine llega a geostatic arcos arcos de hidrostática, lo cual reduce las dimensiones horizontales del arco ACB en la Fig. 138 A una constante relación sin cambiar las dimensiones verticales, obtiene una arco lineal para el caso en que la intensidad de la presión horizontal 011 px, el arco es sólo una cierta parte de la presión vertical py como debería ser, por presión de tierras. El tratamiento de una trama poligonal plañe, Rankine dice: "Si las líneas que irradian fi'om, un punto se dibujan paralelas a las líneas de la resistencia de las barras de un Fio. 138. Bastidor poligonal, luego los laterales de cualquier polígono cuyos ángulos se encuentran en las líneas concéntricas, representan un sistema de fuerzas que, al ser aplicado a las articulaciones de la trama, estará en equilibrio entre sí. "2 Esta declaración fue posteriormente ampliado por Rankine8 en tres dimensiones los sistemas, y se dijo que el poliedro de las fuerzas militares y la trama son poliédricas fi jaciones relacionada, de un modo determinado. Este trabajo de Rankine propuso farnous trabajar sobre la base de cifras Maxwell (consulte la página 202). Puentes de suspensión, Rankine se refiere a P. W. Barlow que "haber realizado algunos experimentos en modelos, llega a la conclusión de que vigas muy ligero, en comparación con lo que se supone que es necesario, es suficiente para garantizar una rigidez suspensión bridge." Suponiendo que una determinada forma de la deflexión de la curva tirante refuerzo, Rankine4 ofrece una solución aproximada del problema y se llega a la conclusión de que "la fuerza transversal del refuerzo debe ser cuatro vigas vigésimo séptimo partes de ese de un : Estas formas de arcos eran matemáticamente investigados por Yvon Villarceau, Mémoire sur les voútes en berceaux cylindriques, Jiev. arquitecto. et travaux publics, París, 1845. : "Mecánica Aplicada", 14ª ed., p. 140, 1895. : Phil. Mag., 1864 Febrero. ' * "Mecánica Aplicada", 14ª ed., p. 370, 1895. Fuerza de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 201 Vigas simples de la misma span adecuados para soportar una carga uniforme de la misma intensidad." Parece que esta investigación fue el primer refuerzo análisis teórico de racimos. Rankine también ha hecho un importante complemento de la teoría de flexión de las vigas, teniendo en cuenta el efecto de la esquila de la magnitud de deflections.1 afirma que la pendiente de la línea elástica producida por cizalla Cerciora ' VS dM S_ dx dx chaveta chaveta Donde V es la esquila forcé, S es el momento unas con respecto a el eje neutral de la parte inferior de la sección transversal, y b es el ancho de la sección transversal en el eje neutral. De planta rectangular y uniforme Cargado, y haz simplemente apoyados, Rankine considera que la relación entre la desviación adicional a la dada por la fórmula usual es ( \Eh~ / 5Gl', que, a su juicio, es muy pequeña y despreciable en aplicaciones prácticas Tal vez el más importante de Rankine de contribuciones a la teoría de las estructuras fue su investigación "sobre la Estabilidad de tierra floja", 2 en la que se ofrecía un método de diagnóstico las dimensiones adecuadas de los muros de contención. Nos cor.sider el caso más sencillo en el que tierra floja presiona contra una pared vertical y está rodeada por una horizontal plañe (Fig. 139A). Dado que la condición de estrés en todos los puntos de cualquier horizontal plañe mn es el mismo, planos horizontales y los planos verticales paralelos a la pared son los principales planos de estrés. Las principales tensiones pueden estar indicados por ax y ay (Fig. 139A). El estrés los componentes a y r para un plañe en un ángulo a de la horizontal puede ser fácilmente obtenidos a partir de la Mohr círculo se muestra en la Fig. 1396. Señalamos a la radio O a un 1 "Mecánica Aplicada", 14ª ed., p. 342, 1895. 2 Phil. Trans., 1856 -1857. 202 Historia de resistencia de materiales " 2A ángulo con la horizontal y las coordenadas del punto A ns el estrés los componentes. La longitud AB representantes interino el estrés total sobre la inclinación plañe y el ángulo 0 es el ángulo de oblicuidad de ese estrés. Para el equilibrio de tierra floja, sin las fuerzas cohesivas, es necesario que la oblicuidad ángulo no debe exceder el ángulo de fricción o el ángulo de reposo , que vamos a cali <f>. De la Mohr círculo, vemos que el máximum posición oblicua se encuentra en los planos correspondientes a los puntos C y Ci y hemos llegado a la conclusión de que la condición limitativa de equilibrio de la tierra se alcanza cuando las tangentes BG y Bci formen un ángulo <p con la horizontal. Suponiendo que tenemos esta condición limitativa, la correspondiente relación entre los principales destaca ax y <jy puede obtenerse del Mohr círculo. Observando que el radio del círculo Mohr es igual a ( <rx - < r" ) /2 y que la coordínate OB de su centro es igual a ( <rt + < rv) /2, encontramos el triángulo de OBC que Donde y denota el peso del volumen de la unidad de la tierra. El mínimum valué horizontal de la reacción de la pared, compatible con el equilibrio Rankine recomienda este valué de presión al que se utiliza al profe tigating la estabilidad de un muro de contención. El ingeniero Escocés también llega a una expresión más general de la presión que actúa sobre la pared cuando la tierra está rodeada por una inclinada plañe. 45. . /. C. Contríbutions de Maxwell con la teoría de estructuras1 Hemos visto que forcé Culmann utiliza diagramas de análisis racimos. Pero, en sus esquemas, la misma forcé a veces aparece más de una vez. El método de dibujar diagramas de las fuerzas, en la que la forcé en cada mem- ber es representado por una sola línea independientemente por J. C. Max2 y por W. P. Taylor.3 a ¡Ilústrate método de Maxwell, consideremos plañe bastidor triangular (Fig. 140A) actuando en el que se 1 Biografía de Maxwell y su trabajo en la teoría de la elasticidad se discuten más adelante (véase la página 268). 2 Phü. Mayo., vol. 27, pág. 250, 1864. 3 Véase Fleming Jenkin, Trans. Roy. Soc. Kdinbnrgh, vol. 25, pág. 441, 1869. <Rx 1- J" pecado <j> <R" 1 - pecado 4> (A) Considerando ahora el muro de contención de la Fig. 139A, hemos Ax = yx (B) Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 203 Tres fuerzas P, Q, R en equilibrio. Las fuerzas en los bares se obtienen mediante la construcción de un diagrama que se muestra en la Fig. 1406. Los dos fig6, c y su base o, se utilizan las mismas letras, como se muestra en la Fig. 1406. Por lo tanto, de cada tres lincs formando un triángulo en la Fig. 140A, hay un eorresponding punto en la Fig. 1406, Por el que pasan las tres líneas paralelas a los lados del triángulo. En cada vértice de la Fig. 140A corresponde un triángulo en la Fig. 1406, Lo que representa el estado de equilibrio de las fuerzas pasa por el vértice que se examina. Las Figuras 140a y 1406 constituyen el sim plest- ejemplo de dos esquemas recíprocos. Es fácil ver que, en La base de la reciprocidad con relación descrita anteriormente, y haber Fig. 140A, podemos construir el diagrama X'eciproeal 1406 en una forma puramente geométrico sin tener en consideración el equilibrio de las articulaciones. Para el caso general, Maxwell formula sus conclusiones en los siguientes dos frases: "Dos plañe cifras son recíprocas cuando se trata de un igual número de líneas, de modo que las líneas eorresponding en dos figuras son paralelos y eorresponding líneas que convergen en un punto en una figura cerrada forma un polígono en la otra. Si las fuerzas representadas en magnitud por dos líneas de la figura se hizo para actuar entre las extremidades de la eorresponding las líneas de las recíprocas la figura y, a continuación, los puntos de la l1 que, después de citar las dos frases anteriores, observa: "pocos ingenieros, sin embargo, sospecha que los dos párrafos citando al poner a su disposición un método simple y exacto para calcular los factores de estrés en un marco." Después de esto remarle, impresores Jenkin le da varios ejemplos de la construcción de los diagramas siguientes reglas recíprocas desarrollado 1 Trans. Roy. Soc. Edimburgo, vol. 25, pág. 441, 1869. 204 Iíislory de Slrenglh de materiales Por una práctica ponente, W. P. Taylor, quien trabajó en la oficina de un contratista. En el continente, el uso de recíproca-i diagramas de Cremona se hizo conocido el libro mencionado anteriormente (consulte la página 196), y muy a menudo, estas cifras son llamados Cremona diagramas. A continuación, pasaremos a comentar brevemente algunas conclusiones generales en relación con las fuerzas de los miembros de forma estática determínate racimos. Maxwell llegaron a estas conclusiones algunos años posterior.1 afirma: "En cualquier sistema de puntos de equilibrio en una plañe bajo la acción de las atracciones y repulsiones, la suma de los producís de cada atracción multiplicada por la distancia de los puntos entre los que actúa, es igual a la suma de las repulsiones de los producís multiplican cada por el disíance íhe de puntos entre los que acís." Para demostrar íhis íhat noíe, cada uno de los puntos de íhe sysíem está en equilibrio En caso de un íhe cargado truss, hemos exíernal fuerzas y reacciones en ío addiíion íhe fuerzas en bares. Si el roíation de las fuerzas descritas anteriormente se realiza en todos joinís, íhe suma de momenís íhe roíaíed de fuerzas externas y reacciones de ío respecí poiní en cualquier plano de íhe íhe íruss musí bal Noí Maxwell no limitará su aítention ío íhe síaíically deíer análisis de- nización irusses, buí aííacked íhe problema desde un punto de vista mas general que negaron2 1 Trans. Roy. Soc. Edimburgo, vol, 26, 1870. 2 Phil. Mag, vol 27, pág. 294, 1864. Resistencia de materiales en la evolución del ferrocarril Engineerng Gp Cotizacion 205 Muestra que si tenemos un marco plañe con n articulaciones, podemos escribir 2n Las ecuaciones de equilibrio. Tres ecuaciones, por lo general, se necesita para Calcular las reacciones en los apoyos y los restantes 2n - 3 equa- Las negociaciones pueden ser usados para calcular las fuerzas en los bares de el marco si El número de las barras es igual a 2n-3. Si el número de las barras Ser mayor de 2n - 3, el problema es estáticamente indeterminado para que el Propiedades elásticas de las barras deben ser tenidas en cuenta y el Deformación de la estructura deben ser investigados para su solución. Con respecto a la forma de hacer esto, Maxwell dice: "por lo tanto, he Dijo un método general para resolver todas estas preguntas en el menos com- Forma fisurada. El método se deriva del principio de conservación de CIÓN de la energía, y está contemplado en "Leyons de Lamé sur l'Élasticité". Leíjon 7 " ' °, como de Clapeyron Theo- Rem; pero todavía no he visto ninguna Detalle de las aplicaciones de la misma." Para ilustrar el método Maxwell De análisis, comencemos con un Cálculo de las desviaciones del Una armadura, como se muestra en Fig. 141A. Esta armadura es stati- Palmente determínate, y podemos Fiebre aftosa fácilmente las fuerzas en todos los bares Producido por el cargas Pi, P2, ... . Que Si se la forcé actuando en Cualquier bar i, deje que l¡ ser la longitud de ese bar, y Ai que su sección transversal Zona. A continuación, el alargamiento de la barra es = SÍU/EAÍ. ahora tenemos la Problema geométrico de encontrar la desviación de alguna junta, decir , sabiendo Las elongaciones de todas las barras de la armadura. Para resolver esto, Maxwell considera Un problema adicional, se muestra en la Fig. Año 1416, en la que volvió a toma el mismo Truss, pero en lugar de la aplicación de las cargas reales P\, Pi, . . . , Que se aplica Una unidad de carga a la altura de la junta , la desviación de la que tenemos que calcúlate. Este Una vez más problema es determínate estáticamente, y podemos encontrar los forcé s¡ que La unidad de carga induce en cualquier bar i. ahora calcúlate la deflexión Sa" de la bisagra UNA resultante de la elongación antes mencionada, A un bar i. Para este Objetivo vamos a asumir que todas las barras de la armadura excepto la barra me son absolutamente Rígido. A continuación, el trabajo realizado por la unidad de carga en movimiento a través del deflec- De ello se desprende que 206 Hislory de resistencia de materiales Esta relación es válida para cualquier pequeña valué de A/. Si en lugar de A/ S, se escribe l¡ /EA¡, vamos a encontrar la desviación en el caso real (Fig. 141A) debido a que el alargamiento de una barra i. Para obtener la desviación total S" en el caso real, sólo tenemos que resumir las deflexiones de la estructura superficial de todas las barras. Esto da Con Eq. (A), algunos estáticamente indeterminados los problemas se pueden resolver. Considere, por ejemplo, el armazón de la Fig. 142A con un apoyo redundante. Producidos por esta reacción X es igual a -s¡X, de modo que la deflexión 8i en una producida por la reacción es el valor de la X, de Eq. (A), Ya que en el caso real de la Fig. 142A, la deformación en UNA se desvanece, la ecuación para determinar X se Es escenas que la solución del problema estáticamente indeterminados de la Fig. 142A se reduce a los dos estáticamente determinados problemas de cálculo de fuerzas{ y s, -. De una manera similar, maderos con redundancia barras pueden ser tratadas. En su trabajo sobre las desviaciones de racimos, Maxwell descubrió la existencia de una relación muy importante entre las inclinaciones de una armadura producida por dos tipos diferentes de la carga. Consideremos los dos casos de carga (A) FIG. 142. Para obtener la reacción X en la Punto A, en primer lugar, suponemos que este Extracción del soporte y calcúlate La consecuente desviación del Mediante el uso de un ecualizador. (A). Ahora, Por separado, como en la Fig. 1426, Calcúlate la deformación en UN Por la reacción X Actúan por sí solos. Uso de los resultados En el caso descrito en Fig. 1416, Vemos que la forcé en Cualquier miembro de la cercha pro- Í-i I-i SiSili V S/Si'li Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 207 Ing se muestra en las Figs. 143A, 1436. En el primero, la carga P se aplica en la bisagra B, y es necesario para encontrar el desvío 5" en A. En el segundo, de la carga P actúa en y es necesario encontrar la desviación á&. Siguiendo el método ilustrado por Fig. 141, Consideramos que los dos fillers, aborde los casos representados en las Figs. 143C y 143rf Aprovechemos la notación Si y s; para las fuerzas en el ? 'de bares de higos. 143A y 143c, respectivamente, y S/ y s/ de las fuerzas en las Figs. 1436 Y 143 ( /. A continuación, en Eq. (A), sabemos que I - n . " - 7/ f ° - L, ÁiE Sb= ¿s ~COMO 1 = 1 Í - 1 (C) Pero comparar Figs. 143C y 1436, vemos que S = s¿ de P y, a partir de figuras. FIG. 143. 143D y 143a, encontramos S - s/P. sustituyendo en eqs. (C), llegamos a T * = "l Í - í ' - p x ' í í ' M 1-1 Por lo tanto, podemos ver en los dos casos de carga, se muestra en las Figs. 143A y 1436, que, cuando la carga se mueve de manera conjunta a la fí , la desviación de UNA se mueve a B. Este es el teorema de reciprocidad, se obtuvo por Max Más tarde, como veremos, el teorema se generalizó y se hizo muy importante en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Maxwell presenta su método de marcos indeterminado en una forma abstracta sin ilustrar las cifras y, en la medida de lo que podemos deducir de la literatura contemporánea, su obra permaneció completamente unni menciono por engineers.1 Diez años más tarde, O. Mohr de Maxwell redescubierto2 1 La discusión de trabajos de Maxwell y sonie correcciones a Maxwell, ejemplo de ello son dadas en el documento elaborado recientemente por A. S. Niles, Ingeniería, 1 sept, 1950. 2 Z. Archilek. u. Ing. Ver. Hannover, 1874, S. 223, 509; 1875, S. 17, 208 Historia de resistencia de materiales Ecuación ( ") y mostró diversas aplicaciones de las tecnologías de la información en análisis estructural. Desde Mohr llegó a su conocimiento de los resultados sin trabajo y de Maxwell a través de un proceso muy diferente de derivación, y desde el método aplicación práctica sólo después de Mohr publicación, usualmente se lo llama Maxwell-Mohr método. 46. Problemas de estabilidad elástica. Fórmulas Columna Con la introducción de estructuras de hierro, las cuestiones de estabilidad elástica A mediados del siglo xix, las fórmulas que se han calculado a partir de ensayos de Hodgkinson (página 128) fueron ampliamente utilizados. Pero, en la mayor parte de los experimentos de la Ilodgkinson, las barras se fiat extremos y al final las condiciones eran algo indeñnite. Una vez más a veces extremos redondeados, pero las superficies de contacto no son esféricas por lo que cualquier pequeña excentricidad introdujo algunas deformaciones. Como resultado de ello, la Ilodgkinson buscar.1 Una investigación teórica importante muy alejado de pandeo lateral se hizo en ese momento por E. Lamarle.2 fue el primero en introducir un límite bien definido hasta que Euler se debe utilizar fórmula y más allá que los datos experimentales se debe confiar. Tener la fórmula A" = ir2# (A) En un bar con bisagras con extremos en el que l :i es la esbeltez relación, co- nocen concluye que puede dar resultados satisfactorios sólo en la medida en que el valué de ocr no supere el límite elástico del material. Para el hierro, que evidentemente supone la existencia de un límite elástico equivalente al rendimiento de subrayar y obtenido el valué T>-77,< * > 1 Véase de Rankine "un Manual de Ingeniería Civil", 20ª ed., p. 236, 1898. 2 E. Lamarle, Mómoire sur la flexión du bois, Ann. los travaux publica Belgique, vol 3, págs. 1-64, 1845; vol 4, págs. 1-36, 1846. El pandeo problema se examina en la segunda parte de la autobiografía. Resistencia de materiales en la evolución de los Ferrocarriles 209 Para limitar la esbeltez relación. Esbeltez de proporciones mayores, Lamarle recomienda fórmula de Euler, y de menor valúes propone que la constante <ryp valué de acr. Al parecer esta razonable propuesta ha pasado inadvertido para disposicio- Rankine, y a lo largo del libro encontramos Gordon la fórmula. Kine- ofrece una interesante historia de esta fórmula. Parece ser que, antes que sus experimentos Hodgkinson, Inglés ingenieros utilizaron una fórmula Tredgold debido a que se deriva en las siguientes líneas. Supongamos que una barra de sección transversal rectangular (de lados b X h) y termina con bisagras es desviada por un importe bajo la acción de una compresión axial forcé P. Entonces el máximum esfuerzos de compresión es Ahora, para un determinado material, la deformación es proporcional a Mmaxlz/I y el máximum esfuerzo de flexión es proporcional a Allï¿ ½para una Dado esfuerzo de flexión, 5 es proporcional a l * /h. Con este valué en Eq de 6. (C), Tredgold concluyó que los esfuerzos de compresión en la que el soporte no se puede calcular a partir de la siguiente ecuación Donde a es una constante. Rankine afirma que las fórmulas a base de tal consideración "haber caido en un tiempo en desuso, fueron revisadas por el Sr. Lewis Gordon, quien determinó el valúes de las constantes contenidas en ellos por la comparación de ellos con el Sr. Hodgkinson experimentos." De esta manera Gordon obtenido De hierro forjado. En el caso de una barra con construido en los extremos el factor Ogous a (e) para formularios struts, Rankine utiliza la esbeltez relación l /i en lugar de en l/ h y por lo tanto cambia la magnitud del factor numérico en el denominador. Rankine también tiene muchos otros problemas en sus manuales. Teniendo en cuenta el nivel de compresión en un tubo de hierro de sección cuadrada y suponiendo que el espesor de la pared no es menor que -gV del lado de la celda, recomienda el nse de la fórmula (e) con un estrés 27.000 Ib por in.2 en lugar de 36.000 Ib por in.2 en caloulating (D) 36.000 ( ") 1 + 12.000 íi2 210 Historia de resistencia de materiales En cuanto a la flexión de las vigas I, Rankine se discute la pos- Posibilidad de pandeo lateral de la brida comprimido del haz. Denot- Ing la widtli de la brida por b , el ultímate calcúlales estrés para el Brida con la fórmula 36.000 " Au" 1 + (1/5.000 ) ( * V& !. U) Para determinar el espesor correcto de la web de un haz, Rankine Considera la posibilidad de pandeo de la web debido a una compresión Estrés en el eje neutral en un ángulo De 45 grados de la horizontal. A calcúlate El ultímate valué de que el estrés, que ofrece La fórmula 36,0 , . (R"" 1 + (1/3.000 ) ( "" /i2) Donde t indica el espesor de la web Y s es la distancia medida a lo largo de una línea, Inclinado a 45 grados con la horizontal, Tarda entre dos refuerzos verticales adyacentes. Un método más racional de análisis corto soportes fue propuesto por H. Scheffler.1 supone que, debido a las inevitables las imprecisiones en la aplicación de las fuerzas de compresión, siempre tenemos alguna excentricidad de la carga en los extremos. Una fórmula que se deriva el máximum de estrés en términos de la excentricidad en la que, por los supuestos valué de este último, el valué de la peligrosa carga puede ser calculado. Scheffler selecciona eccen- tricities, puntales de diversos materiales, de tales magnitudes que su valúes del ultímate acuerdo carga de Hodgkinson satisfactoriamente con resultados experimentales. Aparentemente Scheffler fue el primero en utilizar un supuesto excéntrico 47. Teoría de los muros de contención y arcos entre 1833 y 1867 Durante este período, los ingenieros siguen usando teoría de Coulomb (página 61) en la investigación de la estabilidad de los muros de contención. Los avances en este ámbito consiste principalmente en el desarrollo de métodos gráficos para determinar la magnitud de la presión de tierras. Poncelet2 fue el primero en demostrar que la tierra presión sobre el muro de contención (tal como se calcula por Coulomb) pueden ser fácilmente obtenidos mediante un método gráfico. En el caso más simple de verAC (Fig. 144) Se encuentra 1 Hermana Scheffler, "Tlieorie der Festigkeit gegen das Zerknicken . . . Brunswick, 1858. : Incoó. officier génie, vol. XIII, págs. 261-270, 1840. Slrenglh de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 211 La siguiente fórmula para el masa presión horizontal por unidad de longitud del muro por descuidar fricción entre la pared y las de la tierra. Donde y es el peso por unidad de volumen de la tierra y una es la longitud obtenida de la Fig. 144 De la siguiente manera: Siendo el ángulo de inclinación natural. A continuación, en la letra a), que obtiene Este resultado coincide con fórmula de Coulomb (o) si sustituimos expres- (b) y (c) (página 61) en ella. Poncelet, también ha desarrollado una solución gráfica sencilla para el caso más general en el cual la pared inclinada, la tierra es limitada por una poligonal sur- cara, y en el que fricción entre la pared y la tierra es tomado en consideración. En este trabajo, Poncelet se deriva en primer lugar (sobre la base de teoría de Coulomb) una expresión analítica de la masa de presión y, a continuación, muestra cómo esta expresión puede ser evaluada por una construcción gráfica. Aunque los ingenieros siguieron utilizando teoría de Coulomb en el análisis de estabilidad de la pared de retención, se hicieron algunos intentos para determinar los plantines (distribución de tensiones en materiales pulverizados apoyado por un muro de contención. Estos cambios se hicieron, como Ave visto (consulte la página 20), de Rankine y también por Scheffler;1 pero el trabajo de estos dos hombres pasaron desapercibidos por los ingenieros durante un largo tiempo y tuvo poca influencia en el diseño de retain.2 En el campo del diseño en forma de arco, los ingenieros siguen considerando a arcos de piedra como las de los sistemas de absolutamente rígidos bloques de piedra a pesar de que, como hemos visto (página 149), Bresse dio una solución completa para un elástico con arco de extremos. Las nociones de una línea de presión y una línea de resistencia se han introducido en análisis sobre arco 1830. F. J. Gerstner3 al parecer debe ser creclited con la primera investigación de líneas de presión. Comienza con un análisis de suspensión puentes, trata la catenaria, y 1 Scheffler". Crelle J. Bavkunsl, 1851. 2 Para el liistory de la teoría de los muros de contención, véase G. C. Mehrtens, se publicaron las lecciones sobre "über Ingenieur-Wissenschaften", vol 3, parte 1, 1912. * "Handbuch der Mechanik", editado por Antón Gerstner, vol 1, p. 405, Praga, 1831. ( ") A - fíe - Obstetricia - OA = --, - h tan <// eos 212 De la Fortaleza de Hislory Moleríais Incluye tablas para la construcción de la curva. A continuación, se indica que la misma curva, invertido, es el adecuado para un arco de sección transversal constante. Este tipo de arco se trabajo en la compresión sólo bajo la acción de su propio peso. Circular y elíptica desde arcos eran de uso común, investiga la cuestión de cómo la intensit.y de la carga debe ser distribGerstner utiliza finalmente algunas hipótesis arbitrarias respecto de la posición de la verdadera curva de presión. Una idea general acerca de la posición de la verdadera línea de presión en un arco fue dada por el científico inglés Henry Moseley (1802-1872). Moseley nació en las cercanías de Newcastle. Estudió en la ciudad escuela de gramática y más tarde en Abbeville. Por último, se acercó a St. John's College, Cambridge, y se graduó en 1826. En L836, Moseley se convirtió en profesor de filosofía natural y de astronomía en el King's College, Londres. Allí se dieron los cursos de mecánica, mediante su aplicación a Moseley engineerIhe prin1 desarrolla un método de aplicación de este principio para el análisis de arcos en su documento "Sobre la teoría del Arco", escrito en 1839 y publicado en el primer volumen de "la teoría, práctica y la arquitectura de los puentes" editado por John Weale en 1843. Se muestra por primera vez que la tubería de presión y la línea de resistencia son dos curvas pifd'fablicos. Para ilustrar esto, un boceto (se muestra en la Fig. 145) Se utiliza. La flecha representa la forcé actuando en la sección 1-2 en el punto a . Agregar el peso de la piedra 1234 a este forcé, la forcé R actuando en la sección 3-4 en el punto b se obtiene . Continuar en esta Lphil. Mag., 1833 Octubre. Streiiglh de Materiales en lite Evolulion de ingeniería ferroviaria 213 Así, las fuerzas C, D, E, . . . En los puntos c, d, e, . . . Se obtienen. El polígono formado por las intersecciones de las fuerzas , R, C, D, E, . . . Nos da, en el límite, la línea de presión y el polígono a, b, c, d, e, ... Del mismo modo da la línea de resistencia. En la construcción de la línea de presión para un arco simétrico (Fig. 146), Moseley comienza con un escogido arbitrariamente punto C y se aplica un impulso U de tal magnitud que la tubería de presión es tangente a los intradós de los arcos en un cierto punto B. cambiando la posición del punto de partida C, un número infinito de líneas de presión pueden ser obtenidos. Para seleccionar el truc curva de presión de todos los posibles, Moseley utilizó su divisi� de menor resistencia y los estados que la requerida es que A la curva valué mínimum de H. puede verse que, al pasar el punto C hacia arriba, vamos a disminuir //, por lo que finalmente Moseley considera que la verdadera línea de presión pasa a través de los puntos A y B. Esta conclusión valida es de acuerdo con la premisa básica de la teoría de Coulomb, que Moseley, "fue desconocida para mí hasta que mis investigaciones había concluido mucho, y que, después de un olvido de más de sesenta años entre las páginas de la mémoire des savants étrangers, no perturbada por los muchos y feroces debates a los que la cuestión había sido sub. "1 Trabajo de Moseley atrajo el interés de Germán ingenieros y su libro "Principios de la Ingeniería Mecánica y Arquitectura" se concrete en Germán por Schefíler (1844) que más tarde trató de mejorar la teoría de Moseley introduciug la consideración de la resistencia del material de la arch.2 señala que si la línea de presión pasa a través 1 Ver Min l. Officier génie, vol. 12 , pág. 7, 1835. 2 Scheffler, "Theorie der Gewolbe, Futterniauern und eiserneii Brücken", Bruns 214 Historia do resistencia de materiales Puntos A y B ( Fig. 146), la tensión debe beeome infinitamente grandes en dichos puntos. Elimínate de la dificultad, Seheííler propone que la tubería de presión se mueve en el arco y eonsiders esa línea para que la máxiA y B alcanza el valúes ultímate de la resistencia del material como la verdadera línea de presión. Un mayor progreso en el arco se realizó análisis por la introducción del método gráfico de investigación. Poncelet es responsable de dichos derechos.1 le teoría de Coulomb como la base de su análisis, y muestra cómo la posición de la sección transversal de la ruptura se puede determinar gráficamente. Demuestra (en su investigación) el teorema que el punto en el intradós de un arco, eorresponding a la sección transversal de la ruptura, es aquella en la que el intradós de la tangente pasa por el punto de intersección del eje horizontal, actuando en la piedra angular, y la gravedad de la forcé por.2 Otra mejora en el análisis gráfico de los arcos se debió a K. Culmann.3 Suponiendo que el material de un arco no puede soportar esfuerzos de tracción, se deduce que la posición extrema de la tubería de presión es que para el que pasa a través del tercio superior de la piedra angular y el tercio inferior de la sección transversal de la ruptura. Con estos dos puntos, se construye el polígono funicular las fuerzas de la gravedad de los bloques de piedra y de la carga y esternal determina la forcé en (y el eorresponding destaca en cada sección transversal del arco de esta manera. Con el trabajo de Culmann, en ese período en el desarrollo de la teoría de arcos durante la cual no se tenía de deformación elástica fue llevado a una conclusión valida. Nuevos avances en este campo, y como vamos a ver, se hizo mediante el tratamiento de la arch como una barra curva elástica y en la teoría desarrollada por ( página 77) y de Bresse (página 147). En conclusión valida, sería bueno discutir briefiy la conocida obra de Yvon Villarceau4 ( 1813-1883) en puentes de arco. Hijo de un comerciante de Vendóme,6 él no mostró mucho interés en el estudio durante su juventud y pasó mucho de su tiempo a jugar con diversos dispositivos mecánicos y adquirió gran habilidad como mecánico. A continuación, se interesó por la música, participó en la actividad de la orquesta local, y en 1830 se trasladó a París, donde estudió en el Conservatorio de Música. En ese momento, 1 Ver Mi"i. officier ginie, vol. 12 , págs. 151-213, 1835. 2 Este teorema se ha demostrado antes, como hemos visto, Lamó y Clapeyron (ver pago 84). 3 Consulte el apartado "Grafisehe Statik", páginas 435-469, 1866. 4 Ver su autobiografía "sur l'établissement des arches de pont", presentado a la Academia de Ciencias de Francia en 1845 y publicado en Mim. présentés par divers savants, vol. 12, págs. 503-822, 1854. 6 Véase Joseph Bertrand, "filoges Académiques", París, 1890. Véase también "Ilistoire hacer 1 'École Centrale des Arts et fabrica", pág. 333, por Francis Pothier, París, 1887. Slrenglh de los materiales de la ingeniería ferroviaria Evolulion de 215 Mentira se interesó en las teorías de la socialista Saint-Simon . Se unió a la misión de enfantin, pasó varios años en Egipto, y hasta 1837 no regresó a París, donde se decidió a estudiar ingeniería en la École Central des Arts et fabrica. Mientras estudiaba en la escuela, él mostró su notable capacidad y no un trabajo original en geometría. Fue especialmente interesado en arco, y después de su graduación (1840) ha publicado varios artículos sobre este tema en la Revue de l'arquitectura el des travaux publica. Por último (en 1845), presentó su famosa autobiografía de arcos a la Academia. Más tarde, Villarceau se interesó en el campo de la astronomía y comenzó a trabajar en el Observatorio de París de Arago. Allí escribió su famosa obra en el campo de la astronomía. Fue elegido a- presentante de la Academia de Ciencias en 1867. En su trabajo sobre arcos, Villarceau está principalmente interesado en la selección de la forma más favorable de la línea central de un arco. Se ve claramente que el problema es statieally indeterminada y que su solución completa requiere el examen de las deformaciones elásticas. Sin embargo, concluye que no hay suficiente conocimiento de las propiedades elásticas del arco materiales y por lo tanto, decide tratar el problema considerando el arco de piedras que es absolutamente rígido. Él cree que las formas se encuentran de esta manera estaría bueno cuando el sufficienUy las deformaciones elásticas son tomadas en consideración. Este método de ataque le lleva a considerar los casos en los que la curva de presión coincide con la línea central del arco. Ya hemos mencionado el más simple este tipo de casos antes (consulte la página 199) en la que el espesor del arco está descuidado. Villarceau eonsiders va más allá y no sólo presión externa, lo cual asume actuando normalmente en el trasdós (o superficie externa), sino también el peso del arco. Bajo estos supuestos, la ecuación diferencial de la línea de presión se ve involucrado y su integración requiere el uso de las funciones elípticas. Para representar la solución útil en la práctica, no hes Villarceau faciliten a calcúlate numerosos cuadros que los ingenieros prácticos para obtener la línea central y el grosor necesario el arco en cada caso particular. Con estos cuadros, Villarceau aplica su teoría a muchos puentes existentes y demostró que, a menudo, el grosor del arco deben reducirse sin aumentar destaca por su forma de la cen En conclusión valida, que analiza el efecto de la elasticidad de los materiales (que se ha descuidado en su teoría) y eonsiders inerease el que se debe dar a la altura del arco con el fin de obtener la eorrect forma de la línea de centro después de una cancelación. La idea de Villarceau tomando la curva funicular construido por el supuesto cargas externas para la línea central es ampliamente utilizado. De esta forma, el anteproyecto forma de arco y su grosor generalmente se establecen y la seleeted dimensiones son más tarde comprobar por medio de la teoría elástica de arcos. CAPÍTULO VIII La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 48. La elasticidad física aiul " La elástica Constante polémica "l Navier . Matemático e suponer que un cuerpo elástico ideal consista de moléculas entre las que aparecen las fuerzas de deformación en su derivación de las ecuaciones fundamentales de la teoría de la elasticidad (consulte la página 105). Estas fuerzas fueron proporcionales a los cambios en las distancias entre las moléculas y actuó en las direcciones de líneas que unen. De esta manera, Navier . Matemático e fue capaz de establecer relaciones entre las deformaciones y las fuerzas elásticas de órganos isótropo con un solo constante elástica. Cauchy utilizado inicialmente dos constantes (vea la página 110 ) para escribir las relaciones entre el estrés y la tensión en el caso de isotropía. En el caso más general de órganos nonisotropic, Foisson y Cauchy tanto supone que cada uno de los 6 estrés los componentes com6 cepa (la ley de Ilooke generalizado). Para ello, las constantes elásticas 36 se introdujeron. Bajo los supuestos de la mencionada molec Poisson demostró que en los aciagos de una simple barra isotrópica la relación de contracción lateral de elongación axial debe ser igual a i y que, si E indica el módulo en simple aciagos o compresión, el módulo de cizallamiento se G ~ üíITí) - ° ' 4E (O) Una vez más, si un cuerpo es sometido a una presión uniforme p la unidad cambio de volumen e será dada por la fórmula . 3 P ( L - 2 - * ) _ 3 p e = E - - - - - - - 2 É ----------- (B) 1 La historia de este tema se analiza en detalle en los Apéndices III y V de Navier . Matemático e de "Currículum des Legons . . . " 3Ded., 1864. Dase tambicn "Nota Final du nO 16" de Saint-Venant , discretizadas mediante un la traducción del libro de Clebsch, "Théorie de l'élasticité des corps solides", París, 1883. 216 La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 217 La idea de que las propiedades elásticas de cuerpo isotrópico puede ser completamente definida por una constante (por ejemplo el módulo de aciagos E) en general, se aceptaba en las primeras fases del desarrollo de la teoría de la elasticidad. Navier . Matemático e, Cauchy, Poisson, Lamé y Clapeyron todos de acuerdo con esto. Grandes cambios se han producido en este tema por la labor de Ceorge Green, quien ofreció una derivación de las ecuaciones de la elasticidad sin usar ninguna hipótesis sobre el comportamiento de la estructura molecular de órganos elásticos. ^GRG^jregr^^ 2^^ ¿ 841) era el hijo de un molinero en Nottingham y no le dieron oportunidad de obtener una educación en su juventud. Adquirió su gran conocimiento matemático en etapas posteriores de la vida de estudiando los libros. En 1828, su primer trabajo "un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo se actividades.1 En el prefacio del documento, podemos ver que el verde se ha basado en gran medida en la literatura matemática Francesa. Menciona las obras de Laplace, Poisson, Cauchy, y Fourier, y comenta: "estoy seguro de que es considerada como una de las más bellas perspectivas para los analistas, que en un momento en astron encon- trar, desde el estado de perfección a la que se ha alcanzado, deja poco espacio para nuevas aplicaciones de su arte, el resto de la física scipaper es considerado como su más importante contribución a la ciencia. En él se utiliza una función matemática, o "potencial", que ya había sido usada por Laplace y que ha demostrado tener utilidad universal en todas las ramas de la física. Las publicaciones de Verde atrajo el interés de martya Green se ocupó de problemas de elasticidad en su obra "Sobre la base de las leyes de la reflexión y la refracción de la Luz en la superficie común de dos países no cristalizado Media. "2 que no quiere ninguna hipótesis respecto malee "Consulte la sección "Matemática de Papéis al difunto George Green," editado por N. M. logros alcanzados desde entonces, Londres, 1871. * " Matemáticas Papera", pág. 245. 218 Hislory de Slrenglh de materiales Debe cumplir con el principio de conservación de la energía. Afirma: "Si . . . Estamos tan perfectamente ignorantes del modo de acción de los ele- mentos de la luminiferous ether el uno del otro . . . Parece un método más seguro para tomar algún principio físico general como la base de nuestra razón, en lugar de asumir ciertos modos de acción, lo que, después de todo, puede ser muy diferente del mecanismo empleado por naturaleza y, más especialmente, si este principio pedagógico incluye en sí misma, como un caso particular, los antes usados por M. Cauchy y otros, y también da lugar a un proceso mucho más sencillo de cálculo. El principio pedagógico seleccionado como básis del razonamiento que se contiene en el artículo que publicamos a continuación es la siguiente: sea cual sea la manera en los elementos de cualquier sistema de materiales pueden actuar sobre los otros, si todas las fuerzas internas ejercida se multiplicará por los elementos de sus respectivas direcciones, el importe total asignado a cualquier parte de la masa siempre será exactamente el diferencial de una función." Ahora, si denotan que func<t> y cosechadora de D'Alembert principio pedagógico virtual con la de dis- las colocaciones, las ecuaciones del movimiento en ausencia de fuerzas externas pueden ser obtenidos a partir de la ecuación JJJp dx dy dz 8u+ ^ dv -f- SivJ = jJJ 8 <t> dx dy dz (a) Suponiendo que los desplazamientos u, v y w son pequeñas, Verde concluye que la función ( j> debe ser una función homogénea de segundo grado de seis componentes cepa _ Du _ DV _ DW ** Dx e" É de dy dz Du dv Du dw Dv dw Y * "~ dy +di 7" ~ di + dx yuz ~Tz + dy En el caso más general, una función contiene 21 coeficientes y las que se definen las propiedades elásticas de un material. Con esta función podemos obtener de Eq. (A), las tres ecuaciones de movimiento que debe prevalecer en cada punto de un elástico médium. Es isótropo en cuerpo, la función <j> puede ser tan verde indica simplifica enormemente. A continuación, contiene dos oidy puede lle- clientes y las ecuaciones correspondientes de movimiento contienen sólo dos constantes elásticas, como Cauchy asumió en su inicial las ecuaciones (vea la página 110). Documento de la Verde inició una polémica y dio lugar a dos escuelas en el desarrollo de la teoría de elastieity. Los científicos que siguen Navier . Matemático e y Cauchy, y aceptó sus ideas con respecto a la estructura molecular de organismos elástica, usa 15 constantes elásticas para definmg el prop1 eonstant de isotropía, mientras que el fol- baja del verde se utiliza 21 2 constantes y constantes para los mismos fines. Por supuesto, se hicieron muchos esfuerzos para resolver esta arguraent por pruebas directas, y varios los físicos se interesó en el experimental ejem- plo de las constantes elásticas. La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 219 W. Wertheim1 ( 1815- 1851) fue espeeially disuadir interesadas en estos exámenes y sus resultados son todavía muy a menudo citada en los libros de texto de física. En primer lugar, aceptó el uni-constante hipótesis y su primer trabajo módulo da la resistencia de diversos materials.2 Por esto él no sólo utiliza tracción pruebas estáticas sino también experimentos con vibraciones longitudinales y laterales. Él considera que (1) para el mismo metal, cada proceso (digamos un martillo, material rodante) que aumenta la densidad aumenta también el mod2) el módulo, según los datos obtenidos de experimentos vibración, es mayor que la obtenida a partir de ensayos estáticos, y se observa que la diferencia puede ser utilizado para encontrar la relación entre el calor específico a presión constante para el calor específico a volumen constante. Él también estudia el efecto de tempera- tura en el módulo y considera que, en general, la resistencia disminuye continuamente como módulo la subida de temperatura de -15 a 200 °C. Sin embargo, el acero es una excepción a esta última norma, por su elasticidad aumenta con tem200 °C es más pequeña que a 100 °C y sometimos menor que a tempera- tura. Los experimentos muestran que no hay un verdadero límite elástico y Wertheim toma este límite como el estrés en el que el conjunto permanente en diez Más tarde, el Wertheim, en colaboración con E. Chevandier, programaf investigaciones de vidrio8 y diversos tipos de woods.4 En 1848, presentó la "Mémoire sur l'équilibre des corps solides homogénes"5 a la Academia en la que se aprobó la sugerencia de Regnault y vidrio y tubos cilíndricos metálicos para sus pruebas y cambios medidos de la ínter- los volúmenes de producción de tubos de extensión axial. De esta manera, el lateral contracción del material puede ser calculado. Los resultados experimentales no están de acuerdo con la teórica Poissou relación del yo, y la contracción lateral sólo puede explicarse mediante dos constantes elásticas para el (isotrópica) los órganos. Pero Wertheim continuó aceptando a la uni-constante teoría y sugirió la adopción de la valué para de Poisson, a pesar de que se jactaba valué ni una base teórica ñor la habilidad de dar satisfaetory acuerdo entre la teoría y sus experimentos. Wertheim estaba interesado en la electroelastic y magnetoelastic prop- erties de materiales, y un amplio estudio del efecto de la corriente eléctrica en el módulo de tracción un cable conductor. También alcanza valores la influencia de la deformación longitudinal de una barra de hierro de una corriente eléctrica en un solenoide surrouiiding. 1 W. Wertheim nació en Vicnna en 1815. Allí, obtuvo su título de doctor en medicina ¡n 1839. En 1840 se trasladó a París donde obtuvo el grado de doc : Ver Ann . chim., vol. 12, págs. 385-454, París, 1844. 3 Ann. chim., vol 19, págs. 129-138, París, 1847. 4 " Mémoire sur les propriétés industrias mecánicas du bois", París, 1848. 5 Ann. chim., vol. 23, págs. 52-95, París, 1848. 220 Historia de resistencia de materiales En el estudio de las propiedades ópticas de elástico celestes1, Wertheim elaboró una tabla muy completa de los colores en el uso que se le podría medir tensiones en una barra transparente. Ke encontró que, si un material no se siga exactamente la ley Hooke, la doble refracción es proporcional a la cepa, pero no al estrés. Por último, cabe mencionar una muy extensa autobiografía de Wert.4 se llevaron a cabo experimentos con prismas de la circular, elíptica, y sección transversal rectangular y, en algunos casos, de forma tubular de imens fueron utilizados. Los materiales acero, hierro, vidrio y madera. Fróm sus pruebas, Wertheim vuelto a concluir que la relación de contracción lateral es diferente de £ y está más cerca de - J-, mediante la medición de su volumen interior de los tubos durante la torsión, Wertheim íinds que disminuye con el aumento del ángulo de giro (como debería si la forma helicoidal de longi Aunque Wertheim de trabajo contribuyó mucho a la elasticidad, la cuestión fundamental sobre el número necesario de las constantes elásticas sigue sin resolverse. Siempre que los experimentos revelaron que de Poisson difiere del valué i, fue posible demostrar que el material utilizado en las muestras no estaba perfectamente isotrópico. Otro físico de este período que hizo mucho trabajo en física de elasComptes rerulus annuel del Observatorio Físico Central para los años 1850-1861. Sobre este trabajo, Todhunter y Pearson3 observar: "Probablemente no hay más cuidadosa y exhaustiva de los experimentos de Kupffer nunca se ha hecho en la vibración de elasticidad y las constantes de la temperatura. ' ' Kupffer comienza con ensayos de torsión en el que se determina el módulo de cizalla G. multiplicando G por f que, de conformidad con el uni- constante hipótesis, obtener el módulo en aciagos E. Pero •" 1 Ann. chim. et phys., vol 40, págs. 156-221, París, 1854. 2 Ann. chim. et phys., vol 50, págs. 195-321 y 385-431, París, 1857. 3 Consulte el apartado "Historia". . . Vol 1, pág. 750. La teoría de Elaslicity Malhemalical entre 1833 y 1867 221 El valúes obtenidos de esta manera difieren considerablemente de los que se obtienen mediante tracción o pruebas de doblado. Por lo tanto, sus resultados no defienden la hipótesis unicon pro- yecciones. Vibraciones torsionales En el estudio, investiga la amortiguación y demuestra que sólo una parte de ella se puede atribuir a resistencia del aire y que el resto se debe a la viscosidad del material. Él toma el problema de elï¿ ½tica afterstrain y muestra que las deflexiones en barras de acero no desaparecen inmediatamente después de extracción de cargas y la constante disminución de la desviación se lleva a cabo en un período de varios días después de la descarga. El escritor señala que este efecto elástico después da lugar a amortiguación de vibraciones también. Ésta no es proporcional a la deformación, para que las vibraciones no son verdaderamente isócrono. Kupffer examinó la cuestión de la influencia de la temperatura sobre el mod de ulus de la elasticidad con gran cuidado y presentó un documento sobre el tema de la Academia de Ciencias de Rusia en 1852,1 se muestra que en el caso de los pequeños cambios en la temperatura (de t = 13 a t = 25 °R) el módulo tracción puede ser representada por la fórmula Et¡ = E, [l - fi {ti - i)] Donde fi es una constante en función de los materiales. También muestra que, con el aumento de la temperatura, la amortiguación debido a la afterstrain efecto aumenta. Kupffer ganó un premio ofrecido por la Real Sociedad de Gott- ingen (en 1855) para este trabajo. En 1860 publicó un libro Kupffer2 en la que sus numerosas investigaciones experimentales sobre la flexión y las vibraciones de barras transversales fueron cobradas. En su prefacio, Kupffer destaca la importancia de contar con una institución nacional para el estudio de las propiedades elásticas y la fuerza de los materiales estructurales. El autor afirma que, por medio de la publicación de información acerca de las propiedades de metáis que son producidas por diferentes empresas, datos muy útiles pueden ser suministrados a la ingeniero de diseño, un órgano globalización. Esta práctica puede tener una influencia positiva en el mejoramiento de la calidad de los materiales, en la medida en que las empresas tratarán de mejorar sus productos con el fin de ampliar sus mercados. En la República Federal de Alemania, Franz Neumann y sus alumnos también estaban interesados en la elasticidad y se determinó también la elasticidad constantes de experimentos. De la correspondencia3 entre Neumann y de Kupffer, nos enteramos de que la ex supone que la proporción de las acompañaban longitudinal 1 Ver cual Mitn haya. acctd. ... Si. Petersburg, sci. matli. el pliys., vol. 6, págs. 397-494, 1857. 1 " Recherches expérimentales sur l'élasticité des métaux faites à l'observatoire corpulencia central de Russie", vol 1 (todos ellos publicados), págs. 1-32 y 1-430, San Pedro J "Historia Vol. II, pág. 507. 222 Historia de resistencia de materiales La naturaleza de los materiales. Neumann, fue el primero en conectar pequeños espejos a los lados de una barra rectangular en flexión y mostrar, por medio de ellos una sección transversal trapezoidal se convierte en flexión. Desde el ángulo de giro relativo de los dos lados de la barra, de Poisson se puede calcular. Kirchhoff (Neumann la pupila) utiliza acero circular cantilevers en su exper.1 a los extremos libres de estos, se aplicó una carga transversal con una cierta eccentrieity para que doblen y torsión se produjeron distribu-. El ángulo de torsión y el ángulo que la recta tangente al final del brazo horizontal de la óptica se midieron mediante un espejo fijado al final del brazo. Muy alejado de estas pruebas con cuidado, Kirchhoff descubrió que de Poisson para el acero es 0,294 , mientras que en el caso de latón dio el valué 0,387 . Pero él ha hecho la reserva Todos estos resultados experimentales fueron en confliet con la uni-isotrópica constante hipótesis de órganos. Una vez más, esta hipótesis se ha convertido en des- cartando cada vez más incompatible con las opiniones actuales sobre la constitución de la materia. Por lo tanto, en el posterior desarrollo de la teoría de la elasticidad, el método propuesto por verde que el esfuerzo-deformación deiived son las relaciones de la consideración de energía de deformación prevalecido y es ahora es practicado. 49. Primeros trabajos de la elasticidad en la Universidad de Cambridge El brillante trabajo de los matemáticos franceses en la École Polytech- nique afectado en gran medida el desarrollo de enseñanza de las matemáticas en otros países y, sin lugar a dudas fue un factor importante en la recuperación de actividad seientific en la Universidad de Cambridge que se llevó a cabo en el primer trimestre del siglo xix2 En 1813, un grupo de Cambridge stud- bajo la dirección de Charles Babbage (1792-1871), George Peacock (1791-1858), y John Frederick Herschel (1792-1871) constituyó la Sociedad analítica. Ellos llevaron a cabo reuniones, leer periódicos, y ha llevado a cabo la famosa lucha por la introducción de la notación de la Continental cálculo infinitesimal en Cambridge.3 a facilítate la introducción Pogg 1. Ann. Physik u. Chem. , vol 108, 1859. Véase también Ges. Ábhandl., p. 316. * Consulte el apartado "Historia del Estudio de Mathematies en Cambridge" de W. W. Rouse Ball, Cambridge, 1889. 3 Información interesante acerca de Cambridge de la época se pueden encontrar en libros de Babbage, "pasajes de la vida de un filósofo", 1864. La Mathemalical Tlieory de elasticidad entre 1833 y 1867 223 Mientras viajaba en el continente, donde estableció contactos con muchos científicos. En el otoño de 1828, asistió al congreso anual de Germán naturalistas y escribió una cuenta de la misma al Profesor D. Brewster. Más tarde Brewster, en colaboración con John Robison y William V. Harcourt, emprendió la organización de una sociedad similar llamado la Asociación Británica para el Avance de la ciencia. En la segunda reunión de la asociación, Charles Babbage enérgicamente que "se debería prestar atención al objeto de la ciencia teórica en contacto con el conocimiento práctico en el que la riqueza de las naciones depende." Él mismo se interesa en las aplicaciones prácticas y participó en las deliberaciones de las diversas cuestiones técnicas relacionadas con el trabajo en los ferrocarriles ingleses. Él organizcd los primeros trabajos experimentales en la Great Western Railway y construyeron un coche experimental especial en el que los instrumentos se han instalado para la grabación de la locomotora de tracción forcé y la velocidad del tren. Estaba interesado en la construcción de grandes puentes tubulares y correspondido con Fairbairn sobre los experimentos con el modelo los tubos. William Whewell (1794-1866) y George Biddell Airy (1801 1892) fueron los principales responsables de la labor inicial en matemáticas aplicadas de la Universidad de Cambridge. Whewell se graduó en 1816, fue elegido Fellow del Trinity College en 1817, y comenzó a enseñar mecánica. En 1819, su libro "Tratado elemental de Mecánica " fue publicada. Este libro ha promovido la introducción de las matemáticas en Cambridge Continental Whewell libremente desde el cálculo diferencial e integral. Con el tiempo, Whewell publicó varios libros de charaeter. A su elemen.1 1 Gran cantidad de información de interés acerca de Whewell y VVhewell Universidad de Cambridge, en el momento se puede encontrar en el libro I. Todhunter "William Whewell, Master del Trinity College de Cambridge", 1876. 224 Historia de resistencia de materiales George Biddell Airy entró Triuity College, Cambridge, en 1819. Como estudiante, su carrera fue brillante y se graduó como sénior wrangler en 1823,1 en 1826, fue nombrado profesor Lucasiano de matemáticas y publicó el libro "matemática sobre la Luna y el Plan contratacio- teorías, la figura de la Tierra, Precesión y nutación y el cálculo de variaciones." En la segunda edición (1828) un capítulo sobre la teoría de opties undulatory fue agregado. Este libro fue utilizado ampliamente en Cambridge como una introducción a la aplicación de las matemáticas en la solución de los problemas de la astronomía y la física teórica. Con respecto a este período de su actividad en la Universidad de Cambridge, ventilado hace las siguientes por'k en su autobiografía (p. 73): "No ha habido ninguna lee- tures de Filosofía Experimental (mecánica, hidrostática, óptica) para muchos años. La universidad en general, creo, espera con gran satis- facción de mi firme principio: aún hay un considerable difliculty. No había entendido de la Conferencias: no entiende hora del día: no entiende sala de lectura." siempre que estaba dispuesto a utilizar las matemáticas en las distintas ramas de la física teórica y no aquellos que estudio matemáticas puré exclusivamente. En una carta dirigida a Stokes (1868) en cuanto a la Smith premios, afirma: "creo que la univer En 1828, fue elegido Plumian ventilado profesor de astronomía, y después de esa hora la mayoría de su energía se absorbe en la fundación de la leva Ventilado siempre ha estado interesado en la aplicación de las matemáticas en la solución de problemas de ingeniería. Interesarse en la construc.2 Considerando la viga rectangular como dos dimensiones 1 "La autobiografía de Sil George Biddle Airy" fue editado en 1896 por Wilfrid bien ventilado. S Ph.il. Trans., vol 153, 1863. La teoría matemática de FAaslicily entre 1833 y 1867 225 Problema, bien ventilada obtiene las ecuaciones diferenciales de equilibrio D( rx D x + Dr ii. ¿Y = O D<r" , dTzi/ _ 0 dy dx (A) Y muestra que estas dos ecuaciones se satisfacen si las expresiones El estrés de los componentes se derivan de una función <t> en las siguientes Forma: I ** d2 <t> _ d2 <t> Dx dy a" dx2 D2 < ¿> 0-1 dy * Txu = - ( 6 ) Airy tiene la función <j> en la forma de un polinomio y selecciona el Los coeficientes de la función polinómica de tal manera como para satisfacer las condiciones En la frontera. No con- Sider el hecho de que < /> también deberán cumplir La compatibilidad ecuación; por lo tanto, su Investigación no está completa. Pero Esta fue la primera vez que una situación de estrés Función se utiliza y se puede con- Considerados como el nacimiento de un veryuseful Método de resolver problemas elastieity. 50. Stokes La edad de oro del teórico Física en la Universidad de Cambridge comenzó el ingenio h Trabajos científicos de George Gabriel Stokes (1819-1903).1 Stokes era un Miembro de la gran familia de los Rector de Skreen, una aldea del sur de Sligo de Irlanda. Stokes recibió su En la aritmética elemental formación Secretaria de la parroquia y en 1832, a los trece años de edad, fue enviado a la Rev. R. H. escuela de pared en Dublín. Allí, su soluciones de geomet- tido problemas atrajo la atención de las matemáticas. En el año 1835, se trasladó a Bristol College, donde estudió matemáticas en Francis Newman y, en su examen final (1837), ganó un premio "eminentes de aptitud en matemáticas". En el mismo año, Stokes en Pembroke College, Cambridge. En cuanto a la labor de la Universidad de Cambridge, Stokes escribe más adelante:2 "En aquellos días los niños llegó a la Universidad en general no había leído hasta el momento en las matemáticas- 1 El "Memorias Científicas aiicl Correspondencia " de Stokes fue editado por Joseph Lannor, Cambridge, 1907. UN sliort biografía de Stokes, escrito por Lord Rayleigh, se encuentra en el volumen de Stokes fiftli de "Matemáticas y I'i nstancia Papera". 2 Véase el artículo de Glazebrook en 1 buenas palabras", 1901 Mayo. FIG. 147. G. G. Stokes. 226 Hislory de resistencia de materiales Fueron desarrolados como como es costumbre en la actualidad; y yo no había comenzado el Cálculo Diferencial cuando ingresé en la Universidad, y sólo recientemente ha leído secciones analíticas. En mi segundo año, empecé a leer con su vez ha realizado una tutor, el Sr. Hopkins, que se celebró por el gran número de sus alumnos que obtuvieron altos en los exámenes de la Universidad de Matemáticas honores. En 1841, obtuve el primer lugar entre los hombres de mi año como Sénior del Wrangler Prizeman y Smith, y fue recompensado con cultu- ra elección a una beca en la Universidad. Después de tomar mi grado I siguió residiendo en la Universidad y su vez ha realizado una útilc alumnos. Yo pensaba que iba a intentar mi mano original de la investigación; y, tras asuggestion que me ha hecho el Sr. Ilopkins mientras se realiza la lectura de mi grado, ME abordó el tema de la hidrodinámica, luego en una baja en la lectura general del lugar, no obstante que George Green, quien ha hecho esa obra admirable en este y otros departamentos , fue residente en la Universidad hasta que murió . . . En 1849, cuando treinta años de edad, fui elegido para la Cátedra cátedra Lucasiana de Matemáticas y ceascd de llevar a los alumnos. La dirección del Observatorio era en ese momento conectado a la Plumian Professorship; y el titular de ese cargo, el Profesor Challis, acostumbrado a dar conferencias en hidrodinámica, y la óptica, como lo había hecho su buscamos sor bien ventilado. Challis de mi elección, que se encontraba deseosa de ser relievcd de sus conferencias sobre Sistema Hidrostático y óptica, para poder ser libres de tomar el tema de la Astronomía, que se ajustaría más a su oficina en la his- toria Los primeros trabajos de Stokes de hidrodinámica. Pero en su documento "Sobre las teorías de la fricción interna de los fluidos en movimiento, y del equilibrio y el Movimiento de Sólidos elásticos"1 presentado a la Cambridge Philosophical Society en 1845, le dedica una gran atención a la derivación de la ecuaciones diferenciales fundamentales de la elasticidad de la norma iso- trópico. Stokes considera que la teoría de la elasticidad se debe basar en los resultados de experimentos físicos y no de especulación teórica sobre la estructura molecular de los sólidos. Y comenta: "La capacidad que poseen sólidos de un estado de iso- chronous shews vibración que las presiones llamados a la acción por parte de los pequeños desplazamientos dependen de las funciones homogéneas de los desplazamientos de un dimensión.2 me supongo que por otra parte, a la general aceording principio pedagógico de la superposición de pequeñas cantidades, que las presiones debido a distintos desplazamientos se superponen, y que, por lo tanto, las presiones son funciones lineales de los desplazamientos." Después de estas hipótesis, finalmente establece las ecuaciones de equilibrio que contiene 1 Véase Stokes, "Documentos matemáticos y físicos", vol 1, p. 75. J hemos visto (vea la página 20) que ya había mencionado Ilooke ¡sochronous vibra La teoría matemática de Elaslicily belween 1833 y 1867 227 Dos constantes elásticas. El autor menciona la india de goma1 y la jalea como materiales para la cual la relación de contracción lateral de elongación axial difiere en gran medida de la predicción de uni-hipótesis constante. Luego describe.(E y ( ?) para cualquier particular mate Desde su primera obra en hidrodinámica, Stokes convirtió a la óptica. Segu- ridad la luminiferous éter como médium elástica uncrystallized homogénea (como un sólido elástico), una vez más tuvo que trabajar con las ecuaciones de la teoría de la elasticidad. En su ponencia "Sobre la teoría de la difracción dinámica "2 afirma: "Las ecuaciones pueden ser obtenidos por el supuesto médium de ultímate moléculas, pero de ningún modo requieren de la adopción de este tipo de hipótesis, de la misma las ecuaciones se llegó por la médium como continuo". En este trabajo se establece dos teoremas que han demostrado ser muy importantes en la teoría antes mencionada vibratíon de órganos elásticos. Examinemos estos teoremas en el caso más simple de vibratíon de un sistema con un grado de libertad. El desplazamiento x de la posición de equilibrio se obtiene a partir de la expresión X = x<¡ eos pl pt + ^ pecado (A) Y vemos que la parte de la expresión que se debe a la disXo inicial, se obtiene de la parte debido a la velocidad inicial de la diferenciación con respecto a t y sustituyendo x 0 por .r0. Esto se refiere, en el caso más general y Stokes concluye que, en una cinta elástica médium, "la parte del disturbanee que es debido a los desplazamientos inicial se puede obtener de la parte que se debe a la velocidad inicial de differentiat- 1 Aquí se refiere a la autobiografía de Lamé y Clapeyron (consulte la página 115). 8" Documentos matemáticos y físicos", vol 2, pág. 243. 228 Historia de resistencia de materiales Ing con respecto a t , y sustitución de la funciones arbitrarias que representan los primeros velocitics por aquellos que constituyen los primeros desplazamientos." De esta manera, el problema de encontrar los desplazamientos está limitada por la capacidad de encontrar los desplazamientos debido a las velocidades iniciales. El segundo teorema deais con la perturbación debido a una determinada variable forcé actuando en una dirección dada en un punto dado de la médium. Una vez más a examinar el sistema con un solo grado de libertad y que denota el inquietante forcé por unidad de masa del sistema por (í), nos encontramos con que, debido a un impulso f(t) dt comunicó al sistema en el instante , una veloci- dx en la velocidad igual a/ (í) dt será producido. A continuación, en la forma de el segundo período de expressiwi (a), podemos concluir que el displacef(t) di comt, será Considerando ahora la acción de la inquietante forcé en el intervalo de l = 0 a t - h, obtenemos la expresión1 Para el desplazamiento del sistema en el instante me \. razonamiento similar se puede aplicar al caso general y los desplazamientos producidos por un inquietante de forcé se puede calcular si el libre las vibraciones del sistema son conocidas. En el mismo año (1849) que Stokes presentó su trabajo de difracción, también realizó la investigación sobre dinámicas las desviaciones de los puentes que se ha discutido antes (página 176). En 1854, Stokes se convirtió en secretario de la Royal Society. El trabajo en esta nueva posición absorbe gran parte de su energía y Lord Rayleigh, Stokes la nota necrológica, señala: "El lector de los documentos no puede dejar de observar una marcada caída en la velocidad de producción después de este tiempo. La refiection científica sugiere que los hombres deben mantenerse a la labor científica, y no se debe tentar a asumir grandes responsabilidades administrativas, en todo caso hasta el momento en que han entregado sus más importantes mensajes al mundo." Ilegarding Stokes de conoci- 1 Parece que la idea de dividir la acción continua de una inquietante forcé en intervalos infinitesimales y de obtener el movimiento forzado por la suma de los movimientos producidos durante los intervalos se utilizó por primera vez por M. Duhamel en "Mémoire sur les vibraciones d'un systéme quelconque de puntos los materiales," • /. École •polytech. (París), cahier 25, págs. 1-36, 1834. Fue aplicado por Saint-Venant , discretizadas mediante un en su estudio de las vibraciones forzadas de los bares. Ver Saint-Venant , discretizadas mediante un la traducción del libro de Clebsch,, pág. 538. 7 'Mentira Malheinalical Elaslicily belween Teoría de '1833 y 1867 229 Iraental trabajo y sus conferencias Lord Rayleigh dice: "Su experimental Trabajo se ejecutó con la más modesta aparatos." Muchos de sus dis- Cidades se hicieron en un estrecho pasaje de la despensa de su casa, En la ventana de las que había una persiana fija con una ranura en ella y un Soporte en el que colocar cristales y prismas. Era la misma en Conferencias. Durante muchos años dio un curso anual de física óptica, En general estuvo bastante atteuded matemática de los candidatos a Honores. A algunas de ellas, en todo caso, fue un placer ser enseñados por Un maestro de su asignatura, que fue capaz de introducir en sus conferencias asunto Fresco de el yunque". Stokes siempre ha estado interesado en la enseñanza de materias teóricas En la Universidad de Cambridge y a menudo actúan como un examinador de la tituló matemática. Después de que él se convirtió en el profesor Lucasiano de mathematies, era su deber Para definir uno de los papeles en el examen de los premios de Smith. Estos Pruebas de examen, junto con su problemas matemáticos, se tituló Incluido en el quinto volumen de las "Matemáticas" documentos en forma En el apéndice. De 1885 a 1890, Stokes era Presidente de la Royal Society. El testimonio más significativo de La estimación que Stokes era Celebrada por su ciencia contemporáneos Era la celebración del jubileo de Su cátedra. Muchos pendientes Ing científicos de todas partes de la Mundo carne a Cambridge para que le Un homenaje en ese momento. 50A. Barré de Sainl-Vcnant Saint-Venant , discretizadas mediante un nació en 1797 El castillo de Fortoiseau (Seine-et- Marne).2 su proeza en mathema- Los tics se dieron cuenta muy pronto y fue Entrenamiento cuidadosamente por su padre, quien fue un experto bien conocido en el medio rural Economía. Más tarde estudió en el liceo de Brujas y en el año 1813, cuando Dieciséis años de edad, enterad la École Polytechnique después de tomar el Concursos. Aquí demostró su notable capacidad y Se convirtió en el primero de su clase. Los acontecimientos políticos de 1814. ha tenido una gran repercusión en de Saint-Venant , discretizadas mediante un 1 No existe un laboratorio de física de la Universidad de Cambridge. La organización del famoso Laboratorio Cavendish era eft'impidiendo por Maxwell en 1872. 2 Biografía de Saint-Venant , discretizadas mediante un escrito por M. J. Boussinesq y M. 230 Historia de resistencia de materiales Carrera. En marzo de ese año, los ejércitos de los aliados se acercaban a París y los estudiantes de la École Polytechnique fueron movilizados. El 30 de marzo de 1814, se están moviendo sus armas de fuego para el Paris fortifica- Saint-Venant , discretizadas mediante un cuando, quien fue el primer sargento del destacamento, salió de las filas con el signo de exclamación:1 "Mi conciencia para- me las ofertas para luchar por un usurpador. . . . " Ilis compañeros les molestaba mucho que acción se proclamó y Saint-Venant , discretizadas mediante un desertor y nunca más pudieron reanudar sus estudios en la École Polytechnique. El famoso matemático Chasles, quien fue uno de Saint-Venant , discretizadas mediante un la escuela. "2 Durante los ocho años después de este incidente, Saint-Venant , discretizadas mediante un trabajado como asistente en el polvo. Luego, en 1823 el gobierno le permitió entrar en la École des Ponts et Chaussées sin examen. Aquí, en los dos últimos años Saint-Venant , discretizadas mediante un orificio las protestas de los demás estudiantes, que no habló con él ñor sentado en el mismo banco con él. Él hizo caso omiso de las acciones desagradables, a la que asistieron todos los lectures,3 y se graduó en la escuela como el primero de su garantía. No sabemos cuánto Saint-Venant , discretizadas mediante un todo esto influyó en la posterior carrera profesional, pero se puede ver que su progreso en el mundo exterior como un ingeniero no es tan rápida como es de esperar, sabiendo que su una excelente capacidad, su energía y su gran amor del trabajo duro. Mientras que no se dice nada de Saint Venant de logros sobresalientes en la Enciclopedia Británica y muy poco en la Grande Encyclopédie Francesa, leemos, en la página del título de Todhunter y Pearson "La Historia de la elasticidad", "a la memoria de M. Barré de Saint-Venant , discretizadas mediante un moderno el primero de elasticians el editor dedica su trabajo en el presente volumen." Después de graduarse de la École des Ponts et Chaussées, Saint-Venant , discretizadas mediante un trabajado durante algún tiempo en la ohannel de Nivernais (1825-1830 1825-1830 1825-1830) y más tarde, en el canal de las Ardenas. En su tiempo libre le hizo trabajos teóricos y, en 1834, presentó dos documentos de trabajo a la Academia de las Ciencias, se ocupa de algunos teoremas de mecánica teórica y la otra con dinámica de fluidos. Estos documentos le ha dado conocer a científicos franceses y en 1837 -1838, durante el curso de la enfermedad del Profesor Coriolis, le pidieron que diera 1 Véase J. Bertrand, Éloges Académiques, Nueva Serie, p. 42, París, 1902. ! Ver Bertrand de elogio. 5 En este momento de Saint-Venant , discretizadas mediante un Navier . Matemático e asistido a conferencias y se convirtió en un gran admirador de este insigne ingeniero y científico. La teoría matemática de la elasticidad entre 18,13 y 231 1867 Conferencias sobre resistencia de los materiales de la École des Ponts et Chaussées. Estas conferencias se realizaron juguestes1 y son de gran interés histórico, debido a que algunos problemas se mencionan lo que más tarde convertido en el objeto de la investigación científica del autor. En ese momento, el más avanzado libro de resistencia de materiales, de Navier . Matemático e "Currículum des Legons. . . Aunque Navier . Matemático e quien estableció las ecuaciones fundamentales de la teoría de la elasticidad, no presente en su curso y desarrollaron la teoría de aciagos, eompression, flexión, torsión y barras de prismatical, en el supuesto de que las secciones transversales de los bares siguen plañe en deforma En ese momento, la teoría de la elasticidad no tenía soluciones rigurosas para prob.2 Saint-Venant , discretizadas mediante un no convencidos de que cualquier progreso en el ámbito de la ingeniería se puede hacer de esta manera y expresa la opinión de que el conocimiento sólo puede mejorarse combinando trabajo experimental con estudio teórico. Mientras impartía clases en la École des Ponts et Chaussées también undertoolc Saint-Venant , discretizadas mediante un trabajo práctico para el ayuntamiento de París. Pero algunos de sus planes fueron rechazados, y en protesta, abandonó el trabajo en la ciudad. Muy pronto se empezó a interesar por Saint-Venant , discretizadas mediante un sistema hidráulico y sus aplicaciones en la agricultura. Ha publicado varios documentos en que sub 1 Una copia de estas conferencias se puede ver en la biblioteca de la École des Ponts et Chaussées. ' 2 Ver Vicat la crítica de la teoría de flexión (página 83). 232 Ilistory de resistencia de materiales Investigación en el campo de la teoría de la elasticidad. En 1843 presentó una mem- oir 011 doblar barras curvadas en la Academia, mientras que su primera autobiografía de torsión apareció en 1847. Sin embargo, sus últimas ideas sobre el tratamiento de de torsión y flexión los problemas se formulatcd más adelante en las dos famosas memorias que fueron publicados en 1855 y 1856. Estas cuestiones se abordarán en el siguiente artículo. Saint-Venant , discretizadas mediante un no sólo estaba interesado en el análisis de tensiones pro Saint-Venant , discretizadas mediante un también está interesado en la obtención de las ecuaciones fundamentales de la teoría de la elasticidad y participó activamente en la redonda con respecto a la cantidad necesaria de las constantes elásticas. Siempre se parte de los científicos que están a favor del menor número de ... " La Ilistory de las ecuaciones de la elasticidad es muy completo presentado por Saint-Venant , discretizadas mediante un libro de Moigno en "Legons de Mécanique analytique, enrutamiento", 1868, los dos últimos capítulos de los cuales (págs. 616-723) Fue escrito por él. Moigno malees algunas observaciones muy interesantes, en el prefacio del libro, acerca de estos capítulos. El quería que la porción de la estática de los órganos elásticos para ser escrito por un experto en la teoría de elaspar excéllence, M. de Saint-Venant , discretizadas mediante un , consultar con él, escucharle, le siguen." Uno de ellos, M. Ettingshausen, añadió: "La Academia de las Ciencias hace un error, un gran error cuando no se abre sus puertas a un matemático que es tan alto en la opinión de la mayoría los jueces competentes." En conclusión valida Moigno observa: "fatalmente menospreciado en Francia de que él es el más puro matemáticas gloria, M. de Saint-Venant , discretizadas mediante un goza de una excelente reputación en el extranjero countiies que daré a cali grandioso". En 1868, fue elegido Saint-Venant , discretizadas mediante un miembro de la Academia de Ciencia Ficción La teoría matemática de Elastieity entre 1833 y 1867 233 Gran pressure.1 ha sido un campo totalmente nuevo de researeh en ese momento y Saint-Venant , discretizadas mediante un fue el primero en establecer las ecuaciones fundamentales de la plasticidad y a utilizarlos en (varios) problemas prácticos. Saint-Venant , discretizadas mediante un nunca presentó sus numerosas investigaciones en el campo de la teoría de elastieity en forma de libro, pero en la edición de Navier . Matemático e "Currículum des leqons . . . " (1864) y ha traducido y editado "Théorie de L'élas- ticité des corps solides" de Clebsch, (1883). En el primero de estos dos libros, de Saint-Venant , discretizadas mediante un notas adicionales son tan numerosas que el material inicial de Navier . Matemático e constituye tan sólo una décima parte del volumen. El libro de Clebsch, se multiplicó por tres en el volumen de notas editoriales. Estas dos publicaciones, sin duda alguna, son los libros más importantes para todos aquellos que estén interesados en la historia del desarrollo de la teoría del ela- ticity y de la fuerza de los materiales. Saint-Venant , discretizadas mediante un continuó su trabajo hasta los últimos días de su vida. El 2 ene, 1886, su último artículo aparecido en Comptes rendus. El 6 ene , 1886, este gran científico murió. El presidente de la Academia Francesa, en el anuncio de Saint-Venant , discretizadas mediante un muerte, se utiliza las siguientes palabras: "Oíd edad fue bueno para nuestro gran colega. Murió, avanzado en años, sin flaquezas, ocupado hasta la última hora de los problemas que se han estimado para él y apoyado en el gran paso de la esperanzas que se sup 51. La Semi-Método inverso En 1853, Saint-Venant , discretizadas mediante un presentó su época de autobiografía de torsión a la Academia Francesa. El comité, compuesto de Cauchy, Poncelet, Piobert y Lamé, se quedaron muy impresionados con esta labor y recomendó su publicación original.2 La autobiografía contiene no sólo el autor de la teoría de la torsión, pero también da cuenta de todo lo que se conoce en ese momento en la teoría de elastieity junto con muchos añadidos importantes desarrollado por su autor. En la introducción Saint-Venant , discretizadas mediante un afirma que las tensiones en cualquier punto de un cuerpo elástico se puede calcular fácilmente si las funciones que representan los componentes u, v y w de los desplazamientos son conocidos. Sustitución de las funciones conocidas u(x,y,z), v(x,y,z), y w (x,y,z) en el conocido expresiones (véase la página 107) para la cepa componentes, a saber, Du "! = R- DV * ' DZ (A) 1 Consulte "fresca, Mémoires sur l'écoulement des Corps solides, incoó. presenlés par divers savants, vol. 20, 1869. 2 Incoó. acad. sci. élrangers savants, vol. XIV , págs. 233-560, 1855. 234 Hislory de resistencia de materiales Estas tensiones que obtiene los componentes de la diferenciación y los componentes Del estrés se puede calcular mediante ley de Hooke. Habiendo- laciones El estrés para los componentes que obtiene, a partir de la ecuaciones diferenciales De equilibrio [Eq. (6), página 109] y de las condiciones de borde [Eq. (A), en la página 109], las fuerzas que deben ser aplicados al cuerpo a producir Los desplazamientos. Proceder de esta manera, asumiendo Las expresiones de u, v y w , hay pocas posibilidades , dice Saint-Venant , discretizadas mediante un , de Llegar a soluciones de interés práctico. En el caso inverso, cuando el Las fuerzas son conocidos, tenemos que integrar las ecuaciones diferenciales de eqúi- Librium y métodos de integración no se han encontrado que nos permitan Resolver este problema en su forma general. , A continuación propone la Saint-Venant , discretizadas mediante un semi- método inverso por el que se Supone sólo algunas de las características de los desplazamientos y de las fuerzas y M Determina el resto de las características / \ \ De esas cantidades, de manera que satisfaga | -N-I. --------------- U-z todas las ecuaciones de la elasticidad. \ RJA JMr hace la observación de que un ingeniero, N Guiados por la solucion aproximada: De fuerza elemental de G Materiales, pueden obtener una rigurosa Las soluciones de importancia práctica De esta manera. A continuación, ofrece soluciones para la torsión y flexión de Prismatical bares de distintas formas de sección transversal. Para explicar el método más claramente vamos a considerar el caso de simple torsión de un bar por parejas Mt aplica en sus extremos (Fig. 149). Colocar el origen de coordenadas en el centroide del extremo izquierdo de la barra y tomando el positivo las direcciones de los ejes coordínate como se muestra en la figura, vamos a considerar los componentes del desplazamiento de un punto en cualquier sección transversal mn tomado a una distancia z del extremo izquierdo de la barra. Creemos que ese final se impide la rotación durante la torsión e indican el ángulo de torsión por unidad de longitud del eje de 6. La cruz secmn girará a través del ángulo 8z y cualquier punto con coordenadas x e y se verán desplazados, debido a la rotación, en los importes U - - v = ozx Bzy (B ) En una circular del eje, las secciones permanecen durante la torsión y plañe disw, en dirección axial, desaparecen. Uso de expresiones ( 6 ), elesfuerzo de torsión de los ejes circular puede ser fácilmente calculado. Se ha intentado utilizar la hipótesis de plañe noncircular secciones transversales de árboles también, pero los resultados obtenidos de esta manera no está de acuerdo con conoci1 Por esta razón, Saint-Venant , discretizadas mediante un se supone que la deformación de la cruz 1 Véase la descripción de los experimentos de Duleau, página 82 . La teoría de la elasticidad Mathemalical entre 1833 y 1867 235 Las secciones van a ocurrir, y que será el mismo para todas las secciones para que w es independiente de z , por lo tanto, por lo que se presenta. (C) Donde 4> es una función de x e y que se determinarán más adelante. Las Ecuaciones (6) y (c) representan los supuestos que hace Saint-Venant , discretizadas mediante un coneerning los desplazamientos por torsión. Respecto de las fuerzas, que se supone que no hay fuerzas y que no se aplican fuerzas a la superficie curva del eje. Coneerning las fuerzas aplicadas a los extremos, que se supone que son statieally equivalente a la dada par M,. sustituyendo las expresiones (b) y ( c) en eqs. (A), considera Saint-Venant , discretizadas mediante un esfuerzo que sólo dos componentes, yXI y y"2, son diferentes de cero y que sus expresiones son Yxi El estrés son componentes CTX = ~ ~ <Tg Tzu ~ 0 Tzz (D) Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio (página 109), que se encuentra Que se cumple si la función < !> cumple La ecuación D2 <f> , d2 <p Dy2 dx2 = 0 (E) En el límite de la sección transversal (Fig. 150), el Componente de esfuerzos de corte en la dirección de la Normal n a la frontera debe desaparecer, ya que De lo contrario, según el teorema de Cauchy (Página 109), fuerzas de cizallamiento deberá actuar sobre la curva Superficie del eje. Que entraría en contradicción con la hipótesis inicial Que la superficie lateral está libre de tracción. Esta reflexión nos conduce Para las condiciones de frontera (Ff ~ 2/) cof? ^ + ( ^y + * ) C0S ^ = ° ^ De esta manera, el problema de torsión de un bar prismatical que cualquier forma de sección transversal es reducida a la de encontrar una solución de Eq. (E) en cada caso particular, por ejemplo, que cumple las condiciones de frontera ( / ). 236 Hislory de Slrengtli de materiales Saint-Venant , discretizadas mediante un resuelve el problema de una gran variedad de formas. El caso de un eje elíptico es especialmente sencilla. En este caso, eqs. (E) y ( /) son satisfechas por tomar Un 6 * ~ "2 T \ ♦- 5T+F ** " ( 9) Donde a y b son las longitudes de los semiaxes de la elipse (Fig. 151). El estrés los componentes (rf) son, a continuación, = Cfí 2a * y a2 + 62 = R"_ 2 ^_ " 2 a2 + b2 El par correspondiente es M Y = M ((a2 + 62) vga'b3 (H) (I) Desde expresiones (/ * ) vemos que en cualquier línea Oc que yace en el plano de la sección transversal y pasando por su centroide (Fig. 151), la relación r" :rw Permanece constante en todos los puntos a lo largo. Esto indica que la consiguiente rotura destaca en estos puntos están en paralelo y debe ser paralelo a la tangente en el punto c de la frontera. También llegamos a la conclusión de que el máximum se produce estrés en la frontera en los puntos d y e , los extremos de los ejes más corta de la elipse. Las Ecuaciones (c) y (g) definir el formato de la deformada las secciones transversales y vemos que en una elipse las líneas de contorno de la superficie son deformados hipérbola más simple, como se muestra en la Fig. 151, En la que las líneas completas indícate puntos por encima del plano xy ( w es negativo en estos puntos). Ecuación ( j) puede ser escrita en la forma La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 237 Donde _ Trga'b GA * _ * ... ° A2 + i)2 4 ir2/p W , . . 7Ra 36 , ira63 A = Trafc /" = -j- + C es la rigidez de torsión de la barra. En sus cálculos de la rigidez de torsión de barras sólidas de diversos sección transversal, Saint-Venant , discretizadas mediante un concluye que la fórmula (l) da la valué de C con buena precisión en todos casos raros.1 Por consiguiente, la rigidez torsional de barras sólidas puede considerarse igual a la rigidez torsional de un bar con una sección transversal elíptica con la misma zona y el mismo momento de inercia polar Ip. La rigidez torsional evidentemente inversamente a los varíes momento polar de inercia y no directamente como en la teoría oíd. Las soluciones obtenidas por Saint-Venant , discretizadas mediante un dar el mismo estrés distribu También aplicó el Saint-Venant , discretizadas mediante un semi-método inverso a la deformación de un voladizo2 con una forcé aplicado al final. Assumingthat tensiones normales en cualquier sección transversal se administran correctamente por la teoría elemental de carretera, nos muestra que es posible encontrar una distribución de la esquila subraya que todas las ecuaciones de la elasticidad. De esta manera, se encuentra una rigurosa soluciones para doblar el prismatical bares de diversos seg. 1 Sec Compt. rend., vol 88,pp.142-147, 1879. * La flexión es tratada brevemente en la autobiografía de torsión. Esto se analiza en más detalle en la autobiografía en flexión publicado en el J. math. Liouville, 2serie d, tomo 1, pág. 89-189, 1856. Al principio de este relato, un balance muy interesante de oíd las teorías de flexión. 238 Historia de resistencia de materiales Esfuerzos de corte se aproxima al vei'y cerca de Jourawski elernentary de teoría (consulte la página 142). Con las soluciones de torsión y flexión de prismatical bai-s, Saint-Venant se pasa a considerar combinación de flexión y torsion.1 no sólo calcula las tensiones distribuidas en una sección transversal, pero también considera que las principales tensiones y calcula el máximum cepa. Recomienda que, en el diseño de vigas, las dimensiones deben ser seleccionados de manera que se mantenga el máximum cepa con i 11 límites establecidos para cada material estructural por prueba directa. El impacto de las memorias de Saint-Venant , discretizadas mediante un riguroso, dando soluciones a casos prácticos de la torsión y la flexión, en la fuerza de los materiales puede verse claramente. Desde el momento de su aparición, se ha producido un tendeney para introducir las ecuaciones fundamentales de la teoría de la elasticidad en engion resistencia de materiales. Saint-Venant , discretizadas mediante un trabajó en ese sentido en el numerosas notas en su edición de libro de Navier . Matemático e. Rankine dedica un espacio considerable en su manual de mecánica aplicada a la teoría de la elasticidad. Grashof y Winkler ambos trataron de desarrollar fórmulas de resistencia de materiales sin necesidad de utilizar la hipótesis de secciones transversales plañe y basando sus derivaciones en las ecuaciones de teoría exacta. Este método de presentar resistencia de materiales ha caído en desuso2 y que la costumbre es ahora para enseñar la materia de una vista más elernentary. Trabajo más refinado, basadas en la teoría de la elasticidad, generalmente se reserva para aquellos ingenieros que están especialmente interesados en análisis de estrés, hoy en día. 52. Las obras posteriores de Saint-Venant , discretizadas mediante un Después de terminar los famosos papeles de torsión y flexión, Saint-Venant , discretizadas mediante un continuo sus investigaciones en la teoría de la elasticidad y publicado muchos artícu- los, prineipally en los Comptes rendus de la Academia Francesa. Los resultados más importantes de este trabajo fueron presentados más adelante en forma de notas a su edición de Navier . Matemático e "Résumó des Legons . . . " y en su traducción del libro de Clebsch,. Sus apéndices a la primera de estas dos obras contienen una completa teoría de la elasticidad para aeolotropic órganos y una muy buena cuenta de la pregunta sobre el número necesario de elástico constants.3 hasta el final de su vida, Saint-Venant , discretizadas mediante un mantenido la opinión de que uno sólo puede proceder legalmente, considerando la posibilidad de una estructura molecular de los sólidos y por supuesto la existencia de las fuerzas moleculares. Es partidario de la reducción del número de las constantes elásticas del 21 al 15 de 1 Véase el Capítulo XII de la autobiografía de torsión. 2 Los cursos de la fuerza de los materiales sobre la base de la teoría de la elasticidad, como fueron dadas por Grashof de Karlsruhe y de algunos profesores en Ruso las escuelas de ingeniería, demostró ser muy difícil para el estudiante promedio y fueron eliminando paulatinamente. 3 Consulte el apéndice íifth. La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 239 (El caso general, y de 2 a 1 en sistemas isótropos. Sus investigaciones no sólo han sido de gran valué a elasticians, pero también han demostrado ser un activo para los físicos molecular. Notas de Saint-Venant , discretizadas mediante un libro de Clebsch, son también de gran valué, espe- cialmente sus notas relacionadas con las vibraciones de los bares y con la teoría de impaet. En el examen de la impaet lateral de vigas, ya lo hemos mencionado Saint-Venant "el importante aporte de este tema (página 179). Suponiendo que el cuerpo un haz simplemente apoyados siempre en contacto con la viga, que trata el problema del impaet como probt y flnd el máximum de deflexión y el máximum curvature.1 En este análisis, el traductor concluye que la teoría elemental de impaet lateral, como se desarrolla en primer lugar por Cox (página 178), son satisfactorios para el máximum valúes desviaciones, pero no es lo suficientemente precisa para calcular el máximum stress.2 Saint-Venant , discretizadas mediante un también estaba interesado en el longitudinal impaet de bares. Considerando una barra horizontal que se fija en un extremo y sometido a un duro golpe a la axial, quien examinó de nuevo el impaet problema como el de la vibración de un bar con una masa conectado en su extremo. asume que inicialmente ( t = 0) el bar se encuentra en reposo y que la masa tiene una velocidad determinada en la direcci ón axial. Él toma una solución en forma de trig- onometric serie y sumando los primeros términos alcanza una satisfactoria conclusión valida con respecto a la moción de la final de la barra. Pero a la hora de calcular tensiones, Saint -Venant , discretizadas mediante un considera que la serie no converge lo suficientemente rápido como para permitir la eomputation de un accui'ate respuesta. Más tarde trató de utilizar algunos cerrado expresión para desplazamientos en lugar de serie infinita. El problema se resolvió finalmente, aproximadamente al mismo tiempo, por Boussinesq oflicers y de dos de artillería, Sébert y Hugoniot. Dieron la solución en términos de funciones discontinuas. : Las numerosas curvas Saint-Venant , discretizadas mediante un utilizada en este análisis fueron publicados después de su muerte por su alumno M. Flamant, . /. École polytech. (París), Cahier 59, págs. 97-128, 1889. : Parece que desconocen Saint-Venant , discretizadas mediante un pasado de Cox solución elemental y da su propia derivación junto con una muy completa explicación de sus consecuencias. Véase la traducción de Saint-Venant , discretizadas mediante un libro de Clebsch,, pág. 576. 240 Hislory de resistencia de materiales Es característica de Saint-Venant , discretizadas mediante un trabajo del que nunca se satisface sólo por dar una solución general. Él siempre había querido (por ealculating tablas y preparar los diagramas) para que presente sus resultados en la forma que los ingenieros pueden utilizar sin dificultad, en las aplicaciones prácticas. La solución de Boussinesq Saint-Venant , discretizadas mediante un , en colaboración con Inflam- ant, preparado esquemas ¡Ilústrate diversas fases de impacto longitudinal para los diversos valúes de la relación r de la masa de la barra a la misa de la 1 Por ejemplo, Fig. 152 Muestra un esquema a partir de que los esfuerzos de compresión en el extremo de la barra en contacto con el sorprendente cuerpo puede ser calculado. En este diagrama, l indica la longitud de la barra, es la velocidad del sonido a lo largo de la barra, y V es la velocidad de El impresionante cuerpo. Para abscissas que toma la relación al/l y para las coordenadas que utiliza la cantidad d = a/V, el cual es proporcional a la unidad d e del peso de la barra y de la sorprendente que cuerpo. Se ve que el esfuerzo compresivo, que se produce en el momento del impacto, en la plañe de contacto de la barra con el sorprendente cuerpo disminuye gradualmente hasta el tiempo t = 21/a. En ese momento, la onda de compresión, lo que se refleja en el extremo fijo del bar, alcanza la plañe de contacto y las tensiones compresivas de repente salta a una mayor valué. La disminución gradual de deformación compresiva, a continuación, comienza nuevamente. Cuando r = 1, podemos ver como el esfuerzo compresivo se esfuma en t = 3,07 l/a así que el contacto entre el cuerpo y el llamativo bar es roto. Para los pequeños valúes de r la continúes contacto más allá de este tiempo, y en t = 4l/a, tenemos el segundo cambio abrupto en tensión compresiva. Después de esto, la presión disminuye y el contacto termina en t = 4,71 Z/a de r = £, y en t = 5.90l/a para r = -J. El diagrama muestra que la duración del efecto aumenta con la disminución de la relación r , y los cambios bruscos de tensión máximum explicar por qué la solución no dar satis- 1 Este trabajo fue publicado en Compt. retid., vol. 97, págs. 127, 214, 281 y 353, 1883. También se consideró que, en la forma de un apéndice, en la traducción al francés de la obra de Clebsch,. La teoría de la elasticidad Malhemalical entre 1833 y 1867 241 Fábrica resultados cuando se presentan en forma de una serie. Diagramas similares a la de la Fig. 152 Son construidos por Saint-Venant , discretizadas mediante un de diversas secciones de la barra y, de esta manera, él demuestra que el máximum impael estrés durante se produce en el extremo fijo Esta teoría de impaet se supone que el contacto se lleva a cabo en el mismo instante en la totalidad de la superficie del extremo de la barra. Esta condición no puede llevarse a la práctica y experimentos realizados por W. Voigt" (véase la página 345) no estaba de acuerdo con la teoría. No era sólo Saint-Venant , discretizadas mediante un interesado en impaet sino también en la vibración forzada de bares y en la "nota du no. 61" (150 páginas) de su traducción del libro de Clebsch, nos da una muy completa explicación de la vibración producida en un bar de forcé que varía con el tiempo. Él también considera que el vibraciones forzadas que son producidos por un determinado movimiento de uno de los puntos de la barra y analiza con gran detalle el caso de que el punto medio de una simple barra prismatical apoyado por las formas un determinado movimiento armónico. En la misma nota, el autor dedica un2 que trataron de dar una solución aproximada de estas ecuaciones. Phillips demuestra que la solución no es completa, y finalmente se deriva una solución aproximada con Willis el modo de razonamiento pero añadiendo las fuerzas de inercia eorreQ del haz a la inercia de la forcé SI mover la carga. De esta forma, se encuentra que el máximum momento de flexión producida por los W de carga y la carga Q en su conjunto es3 Donde, como antes (página 176). 1 = 165 , /y2 |S gl2 La diferencia con respecto a Felipe la solución reside en el segundo término de la expre- sión de M,m% en que Phillips da íl/0 en lugar de -J1//3. 1 Ver W. Voigt, Ann. Physik, vol 19, pág. 44, 1883; vol 46, p. 657,1915 . Una revisión de los litevature impaet en en el artículo de T. Póschl, "Handbuch der Physik", vol 6, p. 525, Berlín, 1928. : Ann. las minas, vol 7, 1855. 3 UN similar re.consulta de Bresse se obtuvo en su "Cours de mécanique appliquée", lst ed., 1859. Bresse también dio la solución para el caso en que un uniforme dis 242 Historia de resistencia de materiales En el año 1808, Tresca presentó dos notas relacionadas con el flujo de metáis bajo una gran presión sobre el francés Academy. Saint-Venant , discretizadas mediante un1 , que tuvieron que preparar un informe sobre este trabajo, beeame interesados en la estructura superficial plástic1) el volumen de material no cambia durante plástic deforma2) las direcciones de las principales cepas coinciden con las direcciones de las principales tensiones, y (3) el máximum shearíng estrés en cada punto es igual a una constante. Con estas hipótesis, Saint-Venant , discretizadas mediante un simple resuelve varios problemas, como el de la torsión de los ejes circular, puré de flexión prismático rectangular bars,2 y la deformación de plástic circular hueco cilindros bajo la acción del interior pressure.3 De esta manera, Saint-Venant , discretizadas mediante un inició el estudio de un campo totalmente nuevo de la mecánica de los materiales. Llamó a la nueva asignatura plasticodynamics; recientemente ha sido objeto de importantes investigaciones. 53. Duhamel y Phillips J. M. C. Duhamel (1797-1872) nació en Saint-Malo , enterad Picóle la Polytechnique en 1814 y se graduó en 1816. Después de la escuela, estudió derecho durante algún tiempo en reúnes antes de regresar a París, donde enseñó matemáticas en varias escuelas. En 1830, logró Coriolis como maestro de cálculo en la École Polytechnique y fue conectado con la escuela, al final de su carrera docente (1869). Su posición fue un influyente y muchos de sus planes fueron aprobados por la famosa escuela. Sus libros de texto sobre cálculo1 y en mecánica theoretieal5 fueron ampliamente utilizados en las escuelas francesas. En su trabajo original, Duhamel le debe mucho a su antiguo maestro Fourier y de Poisson. La suya fue la época de rápido crecimiento en la aplicación de análisis matemático de la física y sus memorias seguido esa tendencia. Después de publicar varias memorias de flujo de calor en órganos soüd, presentó su "Mémoir sur le calcul des actions moléculaires développées par les changements du température dans les corps solides"6 la Academia de Ciencias. Duhamel Este documento constituye la principal contribución a la teoría de la elasticidad. En la introducción, el autor afirma que Fourier analizó varias distribuciones de temperaturas en cuerpos sólidos en su famoso libro "Théorie analytique de la chaleur", pero que 1 "Mim. presentís par divers savants", vol. 20, 1859. 2 J. Mathémaliques, vol. 16, Págs. 373-382, 1871. 3 Compt. rend., vol. 74, Págs. 1009-1015, 1872. * "Cours d'analyse de l'Éeole Politécnica", 2 vols., 2a. ed., 1847. " Cours de mécanique", 2 vols., 2a. ed., 1853. 6 Ver incoó. acad. sci. savants élrangers, vol. 5, Págs. 440 498, 1838. La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 243 El orador no considera las deformaciones producidas por los cambios de temperatura. Los elementos, en el que un cuerpo sólido puede estar dividido, no puede expandirse libremente en virtud de la diferencias de los cambios de temperatura y se producirán tensiones. En el estudio de estas tensiones, Duhamel sigue el método presenta por ( vea la página 105) y se desarrolla ecuaciones diferenciales de equilibrio, de forma similar a Ecs. (G) ( página 106). Sin embargo, además de los componentes X, Y, Z las fuerzas del cuerpo, los términos de la forma : K(dT/dx), -K(dT/dy), -K(dT/dz) aparecen. Estos son proporcionales a la tasa de cambio de temperatura en el x, y, z . Descubre también las condiciones en la frontera del cuerpo y se muestra que la exposición térmica puede ser determinado de la misma manera que el estrés producido por fuerzas y por fuerzas aplicadas a las superficies. Duhamel, a continuación, muestra que el estrés producido por las fuerzas y tensiones debido a los cambios de temperatura se puede calcular por separado y que el estrés puede ser total obtenida por superposición. Parece que aquí, por primera vez, nos encontramos el uso de la superposición de análisis de estrés. El escritor indica que un uniforme dis Duhamel procede a aplicar sus ecuaciones fundamentales en varios fren- te casos y obtiene soluciones de interés práctico. Comienza con una esfera hueca cuya temperatura es una función dada la distancia desde el centro. El autor muestra que el cambio de longitud de los radios interior y exterior dependen sólo del valué promedio de las temperaturas de la pared del deposito. Él extiende esta a un shell que está compuesto de dos capas concéntricas de diferentes materiales. Un tubo cilíndrico, con su temperatura una determinada función de la distancia radial, también se discute en el documento. Por último Duhamel investiga movimientos de una capa esférica producida por la variación de la temperatura. En todo este trabajo, el autor asume que la constante elástica es independiente de la temperatura. El autor analiza los cambios en la temperatura producida por las deformaciones y la diferencia de calor específico a volumen constante y a presión constante en su segundo memoir,1 que es de primordial importancia en la teoría del calor. Duhamel trabajó en la teoría de la vibración de cuerpos elásticos. La vibración libre de cadenas y de barras de sección transversal uniforme de ya han recibido mucha atención. Duhamel considera los casos más complicados. Se hizo cargo de, por ejemplo, la vibración de una cuerda a la que con- centran masas son attaclied y no sólo le dio una solución completa del problema, pero también llevó a cabo numerosos experimentos que dieron resultados en satisfaetory acuerdo¿ ½2 con el que dio un método general de análisis de vibración forzada tratados3. elástico utilizando el principio de superposición, mostró t.hat los desplazamientos producidos por una variable 1 J. école polytech. (París), cahier 25, volumen 15, 1837. 2 É c o l e polytech. (París), cahier 29, 1843. 3 J. École polytech. (París), cahier 25, págs. 1-36, 1843. 211 Historia de resistencia de materiales Forcé puede obtenerse en forma de una integral (consulte la página 228). Este método fue utilizado más tarde por Saint-Venant , discretizadas mediante un estudio de vibración forzada lateral de bares (consulte la página 241). Phillips (1821-1889) nació en París. En 18-10 entró en la École Polytechnique y luego estudió en el Écolc des Mines de donde se graduó en 1840. Después de varios años de pedidospara suspolíticas, entró al servicio de los ferrocarriles franceses. Su primer científico investiga- ciones estaban relacionados con su trabajo como ingeniero de los ferrocarriles. Él se hizo cargo del material rodante de la empresa y l>ecame interesados en el diseño de vías de ferrocarril muelles. Poco se sabe en ese campo y Phillips desarrolló la teoría completa de los muelles de la hoja; que él mismo había diseñado los resortes de acuerdo con su teoría, posteriormente fue la oportunidad de hacer las pruebas para demostrar que su teoría era lo suficientemente precisa para su uso práctico. La obra fue presentada en la Academia de las Ciencias, y el comité recomendó su publicación en las Mémoires des savants étrangers.1 El papel (Fig. 153O), Phillips deriva fórmulas para el cambio de curvatura de la primavera de cada sección y demuestra que este cambio puede ser hecho constante a lo largo de la primavera, oblicuos los extremos de las láminas como se muestra en la Fig. 1536. Por la integración que obtiene las fórmulas para la deflexión de los resortes. Diferenciación le da las expresiones de la presión entre las láminas. Con esta presión, las fuerzas de fricción se puede- rarse y sobre estos dependen las características de amortiguación de vibraciones durante la primavera. Phillips se aplica todos estos resultados en el diseño de los muelles de trenes reales y da ejemplos numéricos de tal diseño. Con Una revisión completa de esta obra se encuentra en de Pearson " Su..." (vol. 2, Parte I, pág. 330). Al final de esta revisión, Pearson: "La autobiografía es un ejemplo notable de cómo un simple elástico Fio. 153. Í 6 ) Es muy valiosa para los diseñadores de los muelles y demostró que es un precio muy caro un ingeniero con una formación completa en matemáticas además de trabajos prácticos 1 En su forma completa, el documento fue publicado en Ann . las minas, 5ª serie, vol 1, 1852. La teoría de la elasticidad Malhemalicál entre 1833 y 1867 245 De una teoría lo suficientemente exactas para la gama de hechos a los que se aplica, se puede conseguir resultados más valiosos. Phillips de la teoría de los muelles como los que se emplean en el material rodante de los ferrocarriles es una de esas excelentes puntas de trabajo que sólo pueden ser producidos por el hombre práctico con un fuerte conocimiento teórico". En relación con su trabajo en el ferrocarril, Phillips se interesó en el problema de la acción de una carga en un bridge.1 dio una solución aproximada del problema en el que no sólo la masa en movimiento sino también la masa del puente. Más tarde, esta solucion Phillips también se ocupó de la forzada vibración longitudinal y lateral de bares y dio soluciones2 a problemas tales como la de la vibración longitudinal en un bar, uno de los extremos de los cuales es sometido a la acción de un periódico en el tratamiento forcé.3 lateral vibraciones Phillips examinó los factores de estrés en una barra lateral, todos los puntos en el eje de que describen círculos del mismo radio. Asimismo, considera las vibraciones de una cuerda fija que un extremo y la otra conectada a un diapasón que realiza aprendiendose las vibraciones. Los métodos desarrollados por Phillips vibración lateral en el tratamiento de los bares más tarde se aplicaron en la discusión de Saint-Venant , discretizadas mediante un caso particular de vibración lateral en la "nota du no. 61" De su traducción del libro de Clebsch, (consulte la página 241). Phillips se retiró del trabajo práctico en el año 1864 y comenzó a enseñar mecánica, primera en la École Central (1864-1875) y más tarde también en la École Polytechnique (1866 -1879). En 1868, fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia. En la última parte de su vida, Phillips se interesó por la teoría de la deformación de muelles helicoidales como se usan en los relojes. Publicó varias memorias'1 sobre el tema, en el que se discutió el problema con gran detalle. Demostró que una de las condiciones para el funcionamiento satisfactorio es que el centro de gravedad del resorte en espiral de un reloj debe mantenerse en el eje de la balanza personal. También investigó la influencia del temperaturc y de fricción 011 el oscilación del equilibrio y una serie de resultados experimentales que fueron de gran valué en la industria relojera un ejemplo del éxito de la aplicación del análisis teórico a la solución de un importante problema en la práctica. 1 Ver Ann . las minas, vol 7, págs. 467-506, 1855. 2 J. mathimatiques, vol 9, págs. 25-83, 1864. 3 Este tipo de problema tiene rccently beeome de gran importancia práctica en los campos petroleros, donde las barras de gran longitud. 1Mathimatiques, 2d series, vol 5, págs. 313 366, 1860; Ann. las minas, vol. 20, págs. 1-107, 1861. 246 Hislory de Strenglh de materiales 54. Franz Neumann Franz Neumann1 ( 1798-1895) nació cerca Joachimsthalschen Gymnasium, en la provincia- El ince de Brandeburgo. Su padre, Ernst Neumann, era un superintendente De un estáte. Las Guerras Napoleónicas presentó un momento muy difícil para Alemania, y Neumann de la infancia fue uno de gran miseria. El orador Recibió su primera instrucción en la escuela de Joachimstahl hasta que llegó a Diez años de edad cuando fue colocado en Werder Gimnasio en Berlín. Vivió con la familia de un carpintero, otra vez con muy pocos medios. Cuando Prusia fue liberado de la ocupación francesa en 1813, Neumann Se ofrecieron como voluntarios para el servicio en la Germán Ejército, pero era demasiado joven y No tuvo éxito con este plan hasta que 1815. Se unió a la armada y Bliicher Tomó parte en la batalla de Séligny (junio 16,1815 ), que precedió a la batalla de Waterloo. Fue gravemente herido Y fue dado por muerto en la batalla Campo hasta el día siguiente, cuando se sintió Se ha encontrado para ser vivo y fue llevado a Una ambulancia. Me tomó varios Meses antes de que se recuperara lo suficiente Para volver a unirse a su regimiento. En el otoño Participó en el asedio de Givet Y allí permaneció hasta el final de La campaña. En Febn.aborde, 1816, los voluntarios Fueron devueltos a Berlín y sólo A continuación, era capaz de continué Neumann Interrumpe su estudio en el alto Escuela. Se graduó en 1817 y en el mismo año en Berlín Universidad. Vida sigue siendo difícil para él, dado que su padre era Al no poder y él tenía que hacer con el poco dinero que Podría ganar dando lecciones. Al principio de su carrera universitaria Neumann clases de teología y leyes, pero muy pronto él Cambiar a las ciencias naturales y se mostró muy interesada por la mineralogía. Aunque kccn en las matemáticas, no estaba en condiciones de obtener mucha instrucción en Ese tema ya que poco se le ofrecía. Matemática, obtenida su conoci- Borde posterior de los libros y en los trabajos de Fourier han jugado un papel importante en su Estudio. FIG. 154. Franz Neumann. La teoría matemática de Elastieity entre 1833 y 1867 247 En el otoño de 1820, Neumann hizo un viaje a Silesia para recoger minerales y fósiles de Berlín del museo de ciencias naturales. Excurastronomer Bessel y ejecutado algunos jóvenes científicos, el físico y el matemático Paloma Jacoby. El Germán política de libertad académica permitió Neumann para ampliar el alcance de su actividad y se puso a enseñar en diversas ramas de la física teórica como geofísica, la teoría del calor, la teoría del sonido, la óptica y la electricidad. Por lo tanto, en los primeros tres años de su enseñanza, que abarca todos los temas de la física teórica. Rápidamente fue ascendido a profesor asociado (1828) y de cátedra (1829). En 1834, Neumann, en colaboración con Jacoby, organizó un seminario en física teórica y matemáticas. Esta forma de enseñanza afinnó sólo existía antes en la escuela de ciencias y sus aplicaciones a la física.ion es un experimento que puede ser interpretado como el primer intento de reunir cierto grado de organización en los estudios de posgrado ciencias de la teórico. Esta nueva forma de capacitación es diplomado los estudiantes rápidamente encontró favor en Alemania y fue muy exitosa. Se hizo mucho a los progresos realizados en las ciencias físicas en Alemania durante la segunda mitad del siglo xix. Cada uno de los estudiantes que asistieron al seminario a fin de preparar un documento para cada reunión en la que algunos problemas avanzados de física o la labor científica realizada por algunos de los alumnos bajo la dirección del profesor. Más tarde, Neumann divide los estudiantes en dos grupos según su nivel de conocimientos. Para aquellos que han tenido menos formación, el seminario se suelen ejecutar en colaboración con el curso de las conferencias dadas en el semestre anterior. Los documentos presentados en las reuniones a menudo consistía en las discusiones más detalladas de los temas que sólo había sido mencionado brevemente en las conferencias. A veces, estos debates más elemental contenía descripciones de experimentos realizados por los estudiantes para la verificación de las teorías. Neumann prestado gran discon- a este tipo de trabajo ya que, en ella, los estudiantes aequired experiencia en 248 Historia de resistencia de materiales Seientific manejo instrumentos de servicio, en la técnica del measuremeht, así como en la presentación de sus resultados en forma matemática. Ejemplo de ello fueron los seminara tratar los problemas de mecánica teórica, los problemas de capilaridad, de conducción térmica, acústica, óptica y electricidad. Para los estudiantes avanzados, los estudiantes generalmente obra original fue discutido. El seminario demostró ser un excelente campo de entrenamiento. Neu- mann de los estudiantes a menudo se hizo muy buenos maestros en otras universidades y, a su vez, organizaron sus propias semináis. De esta manera, Neumann 011 la influencia física en Alemania es muy importante, y mirando por encima del desarrollo de la teoría de la elasticidad en la segunda mitad del siglo xix, podemos decir que las principales contribuciones a la ciencia en Alemania se realizaron por sus alumnos. Borchardt, Clebsch,, Kirchhoff, Saalschiitz y Voigt, todos ellos hablaban en el campo de la física seminario de Konigsberg y su trabajo en la elasticidad fue iniciado por Neumann.1 Neumann la obra original, de la teoría de la elasticidad se ha iniciado con Navier . Matemático e, Cauchy, y de Poisson se mantiene activa y cuando la principal aplicación de esta teoría fue a la óptica. En su papel de doble refrac- tion,2 Neumann considera un sólido elástico la estructura de la que tiene tres planos perpendiculares de simetría y, tras de Navier . Matemático e método (página 105), que se desarrolla las ecuaciones de equilibrio que contiene seis y constantes elásticas investiga propagación de ondas en un médium. Más tarde, se convirtió en forma inmediata los interesados en las propiedades elásticas de los cristales con tres planos perpendiculares de simetría3 y mostró lo que tipo de. Sin embargo, su constante búsqueda de un acuerdo entre teoría y experiencia : Más información sobre seminario de Neumann y sus alumnos se puede encontrar en Wan- libro de gerin. : Pogg. Ann. Physik. u. Chern., vol., 25 , págs. 418-454, 1832. : Pogg. Ann. Physik. u. Chem., vol. 31, págs. 177-192, 1834. La teoría de Elaslicily Malhemalicál entre 1833 y 1867 249 De este tipo por W. Voigt es especialmente importante ya que deñnitely * Mostró que la reducción en el número de constantes elásticas, Por el supuesto central de elástico las fuerzas que actúan entre las mol- Ecules, era incompatible con los resultados de las pruebas y que, en el más general Caso 21 constantes elásticas y no 15, como teoría de Poisson indica, son Es necesario. Para salón isot.ropic órganos, se necesitan 2 constantes, y no 1, como se Asumida por Navier . Matemático e, Poisson, y Saint-Venant , discretizadas mediante un . En la medida en que los seguidores Teoría de la multiconstant fonvard trajo este tipo de ejemplos como el corcho, caucho, Y vaselina, que sin duda alguna lo demuestran valúes diferente de i para de Poisson, Siempre era posible argüe que dichos materiales no se isotrópico. Pero sin duda los experimentos de Voigt demostró que la teoría rariconstaut Da resultados satisfactorios cuando se aplica a Barras prismatical perfeet de cristales. Las contribuciones más importantes hechas Por Neumann a la teoría de la elasticidad son Este en su gran autobiografía sobre Doble refraction.2 Brewster3 y Seebeck1 Notó que sacrificará píate de calefacción Vidrio doble í'efractive. Brewster Descubrió que el vidrio también adquiere una similar Propiedad bajo la acción de las tensiones6 y Sugirió la explotación de este fenómeno Con el objeto de investigación útiles destaca En stractures por el uso de vidrio modelos. Brewster también experimentó con la jalea y demostró que, si esta sustancia se dilata y se deja que se sequen y se endurecen en ese estado, conserva la propiedad doble refracción cuando la dilatación forcé. La doble refracción de propiedad del vidrio bajo esfuerzos compresivos fue también estudiado por Fresnel.6 experimentar con prismas triangulares, demostró que bajo compresión axial que asumen el mismo doblemente refractor propiedades como cristales. 1 Ann. Physik. u. Chem., vol. 31, pág. 701, 1887; vol 34, p. 981, 1888; vol. 35, pág. 642, 1888; vol. 38, pág. 573, 1889. * Abliandl. preuss. Akad. Wiss., Malh. -Naturer. Klasse, 2d , págs. 1-254, 1843. 3 Phil. Trans., 1814, pág. 436; 1815, pág. 1. : Seebeck es mencionado en la carta de Maxwell a William Thomson. Consulte el apartado "Origen de Clerk Maxwell Eléctrico de Ideas", editado por Sir Joseph Larmor, p. 31, Cambridge, 1937. 5Fil. Trans., 1815, pág. 60; 1816, pág. 156. 8 Ann. chim. et phys., vol. 20 , pág. 376, 1822. Véase también "Oeuvres d'Augustin Fresnel", vol 1, pág. 713, 1866. La labor de Fresnel, Maxwell hace la siguiente declaración: "D. Brewster descubrió que estrés mecánico induce temporalmente en trans- padres sólidos propiedades direccionales con respecto a liglit polarizada, y Fresnel ha identificado estas propiedades politemáticas la doble refracción de crystal." (ver carta de Maxwell mencionado en la nota 4, más arriba.) 250 Historia de resistencia de materiales En su autobiografía Neumann desarrolla la teoría de la doble refracción en relieve transparente. En el caso más simple de una forma homogénea destacó píate (Fig. 155), esta teoría establece que, si un haz de luz polarizada perpendicular a la píate pasa por un punto O y O UN repreOH y OC paralelo a los ejes x e y. Estos componentes se propaga a través de la píate con dos velocidades diferentes. La pifd'erencia entre estas velocidades (vx - v ") es propore * - e", es decir, es proporcional a la tensión cortante máximum ~ /xy con el uso de un analizador, podemos hacer las dos radios interferir, ni por observ- imagen del color de la píate en una pantalla, podemos encontrar la relación entre el color de la imagen y la magnitud de la esquila cepa xy" para un determinado píate. Tener esta información, podemos analizar el distribuphotoelastic análisis de estrés. Neumann elabora una teoría para el caso general de un tridimensional distribución de tensiones. El autor muestra cómo, a partir de sencillas pruebas, la óptica stants- se puede obtener. Mediante el uso de estas, el patrón de color puede ser predicha de una determinada distribución de tensión y un determinado material. Aplicó su teoría a los casos particulares de un eje circular en torsión y subraya que de radialmente simétrica en forma de esfera. Siguiente Neumann se aplica su teoría en el estudio de los patrones de color que Brewster en la sacrificará placas de vidrio térmico y señala que la doble refracción de esa propiedad píate es debido a estrés producido por la nonutúform distribución de la temperatura. Investígate a estas tensiones, Neumann desarrolla las ecuaciones de equilibrio, similares a los obtenidos por Duhamel (página 242) y que contiene los términos de expansión térmica. Aplicando estas ecuaciones para el caso de una esfera con una distribución de la temperatura en función únicamente de la distancia del centro de la ciudad, Neumann calcula las tensiones termales y también fotoelï malees pruebas que demuestran que los flecos de color que aparecen cuando luz polarizada se pasa a través de la esfera acuerdo satisfactoriamente con su teoría. Neumann también se describen tensiones termales en un píate intentan tener una distribución de la temperatura, pero con la temperatura constante a través del espesor en cualquier punto. Él deriva la ecuaciones necesarias y las aplica a una circular píate y un anillo circular. El perí odo la circular La teoría de la elasticidad Malhemalical entre 1833 y 1867 251 Anillo de un espesor muy pequeño en la dirección radial y se trata de una deformación anular si la temperatura está en función de la distancia, medida a lo largo del eje de la corona. El caso de dos placas de distintos materiales pegados juntos, como en la Breguet termómetro bimetálico, es talcen por Neumann, que también ataca el problema de flexión de placas cuando la temperatura está distribuida de manera uniforme. En el último capítulo de su gran memoria, Neumann se ocupa del problema de las tensiones residuales que quedan en el cuerpo después de la extracción de externa. Cuando las fuerzas plástic deformación tiene lugar durante la carga. Su teoría se basa en la suposición de que las orientaciones de los principales plástic cepas coinciden con los de las principales deformaciones elásticas y que sus magnitudes son funciones lineales de las principales tensión elástica comstresses establecido en una esfera de vidrio enfriado rápidamente. Parece que Neumann, fue el primero en estudiar tensiones residuales. Algunos de Neumann la investigación original de la elasticidad se incluye en su curso de lectures.1 Neumann generalmente se analizan los problemas en que se interesó especialmente en su clase y en la cual algunas de estas conversaciones siempre subjeets para el trabajo científico de sus alumnos. Otros nunca fueron publicadas en forma de memorias y apareció en la impresión por primera vez sólo cuando las conferencias se publicó; es decir, tal vez más de treinta años después de que el trabajo estaba hecho y cuando los resultados no celebró ninguna novedad. Veamos brevemente el contenido del libro de Neumann. Tomamos nota de que, en los primeros cinco capítulos, desarrolla las ecuaciones fundamentales de elas 1 F. Neumann, "se publicaron las lecciones sobre über die Theorie der Elasticitat der festen Korper und des Lichtáthers", editado por el Dr. O. E. Meyer, Leipzig, 1885. 252 Historia de resistencia de materiales Pasamos ahora a una parte del libro que cleals con propagación de Las ondas elásticas en un médium. Sin embargo, esta aplicación de elasticidad fertö tó Óptica pertenece a la historia de la undulatory teoría de la luz. El último capítulo se ocupa de las vibraciones de las cuerdas, las membranas y los pri- Barras puedan definir. En el tratamiento de las vibraciones longitudinales del eje circular, Neumann configura las ecuaciones en una versión más completa de Ha aparecido antes por considerar no sólo longitudinal radial sino también Los desplazamientos de partióles. Da un método aproximado1 de resolver Estas ecuaciones y aplica los resultados a la longitudinal del impacto cylin- Drical bares. En este sentido fue el primero en señalar que, en la aplicación El principio de conservación de Energía en el estudio longitudinal Impacto, las vibraciones en los bares Debe tenerse en cuenta. Este problema Fue tomado de Saint-Venant , discretizadas mediante un, Como hemos visto (página 239). 55. G. R. Kirchhoff Gustave Robert Kirchhoff (1824- 1887)2 fue el hijo de un abogado y Había nacido en Konigsberg. Después de posicion Ing high school en 1842, entró en el Universidad y Konigsberg, durante El período 1843 1845, asistió a Las conferencias de Neumann y su seminario En la física teórica. Neumann He notado Kirchhoff pendientes de habili- Ty y, en su informe al secretario De la educación, recomendaba a sus alumnos como una muy joven y prometedor sci- Entist. También permite Kirchhoff para publicar varios documentos en 1845-1847 Que se habían iniciado en el seminario, bajo su dirección. En 1848, Kirchhoff obtuvo su título de doctor y comenzó a enseñar en Berlín Universidad. Él no se quedó mucho tiempo en Berlín, para, en 1850, fue invitado Por la Universidad de Breslau para unirse a la teacliing personal en la capacidad de Profesor asociado de física. Aquí se reunió con el célebre químico Mechero Bunsen (1811-1899) con quien trabajó después en cooperación para cióse Muchos años. En el año 1854, Bunsen se trasladó a la Universidad de Heidelberg, Y cuando, en 1855, el presidente de la física se quedó vacante, que consiguió Kirchhoff dibujo a Heidelberg. En 1858, Ilelmholtz se unió a ellos. Que 1 Una solución completa de los problemas de este tipo se ofreció más tarde por L. La teoría matemática de Elaslicity entre 1833 y 1867 253 Por lo tanto, que era un gran científico se inició en Universidad de Heidelberg. Las conferencias de los tres destacados profesores asistieron estudiantes de otras universidades y Germán de países extranjeros. Kirchhoff y Bunsen trabajado juntos en análisis de espectro, y en 1859 la ex publicó su famosa papeles en este campo. líe no sólo era una muy buena profesora y un experto en física teórica, sino que también fue un- mulario imenter no significa capacidad, para que sus estudiantes recibió una formación muy completa laboratoiy. En 1868, Kirchhoff la pierna en un accidente y esta afectado en gran medida su estado de salud. Ya no podía trabajar tan duro en su laboratorio y se vio obligado a limitarse a trabajos teóricos. Se trasladó a la Universidad de Berlín en 1875 y ocupó la cátedra de física teórica y fue liberado de la supervisión de los estudiantes trabajo de laboratorio. En 1876, su famoso libro sobre mecánica apareció como el primer volumen1 de sus conferencias de física teórica. Kirchhoff publicado2 el volumen de sus obras completas en 1882. Su salud continuó se ha Ser un discípulo de F. Neumann, Kirchhoff pronto se interesó en la teoría de la elasticidad. En 1850, publicó su importante papel en la teoría de las placas3 en el que nos encontramos con la primera teoría satisfactoria de flexión de las placas. En el inicio del papel, Kirchhoff ofrece una breve historia del problema. Menciona los primeros intentos de Sophie Germain para obtener la ecuación diferencial en flexión de placas y Lagrange también la corrección de su error. Él no menciona la obra de Navier . Matemático e deriv- la ecuación de las placas, el uso de algunas hipótesis sobre las fuerzas moleculares (página 121). El autor analiza el trabajo de Poisson y demuestra que la escritora tres condiciones de frontera (página 113) no se pueden cumplir distribu- en general, y de que el problema de la vibración píate circular había sido resuelta correctamente por el francés elastician sólo porque la simétrica cruciforme, modos de vibración que discutió se reunió con uno de los tres condiciones de frontera automáticamente. Kirchhoff basa su teoría de las placas en dos supuestos que ahora son generalmente aceptadas. Las hipótesis fueron: (1) que cada una de las líneas que, en principio es perpendicular a la mitad de la píate plañe sigue recto y normal en flexión a la superficie media del deílected píate y (2) que los elementos del medio de la píate plañe no undevgo estirar durante pequeñas desviaciones de las placas de carga lateral. Estos supuestos asemejan plañe la hipótesis relativa a las secciones transversales de la teoría elemental de flexión de placas hoy en día. Con sus dos condiciones, Kirchhoff establece la expresión correcta para 1 Se publicaron las lecciones sobre "über mathematische Physik, Meehanilc", lsfc ed., Leipzig, 1876. : Immanuel: Gesammelte Abhandlungen", Leipzig, 1882. 3 J, Matemáticas. (Creíle), volumen 40, 1850, 254 Hislory do Slrenglli de materiales La energía potencial V doblada de un píate, a saber, -1 ? 'i fl (D * wx i ( d2wy . D2w 0 d% 2 JJ \DX * ) + \DY * J + * dx * di D 2 W D y 2 + 2 (1 - M) ( DHL> Y \Dx dy) Dx dy (a) En esta expresión D = Eh3/12 (1 - ¿t2) es la rigidez de flexión la píate y w es la deflexión de la mitad de la superficie. Para obtener el diferencial.equa- flexión de Kirchhoff, ahora utiliza el principio pedagógico de trabajo virtual, que los estados que, en caso de cualquier desplazamiento virtual el trabajo realizado por la carga q distribuida la píate ovev debe ser igual al incremento en la energía potencial de la píate. Esto da Ffqdiodxdy = 5F (B) Sustituyendo expresión (a) para V y realizar la indicatcd variación, Kirchhoff se deriva la conocida ecuación de flexión de placas: " (D4w . d4w , D\ w+ 2 ww * + w) = q (C) Además, el autor muestra que sólo hay dos condiciones de contorno y no tres, como se suponía de Poisson. Kirchhoff se aplica sus ecuaciones de la teoría de la vibración de un píate circular con un borde libre. Él investigó no sólo modos simétrica (líneas nodales de las cuales se eoncentric cireles) sino también los modos de líneas nodales que son el diámetro del círculo y de Poisson que las condiciones de borde no puede aplicarse. Una vez llegado a su general soluciones de x. Sin embargo, desde las frecuencias no están influidos tanto por la magnitud de tí, estos experimentos resultaron inadecuados para una determinación exacta. Más tarde, como ya se ha mencionado antes (página 222), Kirchhoff earried de sus propios experimentos con el mismo fin. En su lectures,1 Kirchhoff posteriormente extendió su teoría de las placas para cubrir el caso de que las desviaciones no son muy pequeñas. El advenimiento de esta teoría de las placas es un gran paso hacia delante en la teoría de elas- ticity, y ha becoine espeeially importante últimamente debido a su amplia aplicación en el diseño de diversos tipos de thiu las estructuras de pared. Otra contribución importante de Kirchhoff a la teoría de "Seo, su "Meehanik", 2a. ed., pág. 450, 1877. La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 255 Elasticidad fue su teoría de la deformación de thin bares.1 que deriva el Ecuaciones generales de equilibrio de los tres-dimensional deflexión Curva de un bar, cuando las desviaciones no son pequeños. Entonces demostró Que, cuando las fuerzas se aplican sólo a los extremos de la barra, estas ecuaciones Son idénticas a las ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un fijo Punto. De esta manera las soluciones, que ya eran conocidas en el Dinámica del sólido rígido, puede aplicarse directamente a líe la deformación Realizar barras delgadas. Esto es lo que se conoce como analogía dinï¿ ½icos de Kirchhoff. Ejemplo simple de esta analogía, comparemos el pandeo lateral Un comprimido de una barra 2 ? (Fig. 157A) con la oscilación de un mathe- Puedan definir péndulo (Fig. 1576). En ambos casos tenemos los mismos difieren- Segunda ecuación y podemos afirmar lo siguiente Relación entre los dos problemas: si un punto M Se mueve a lo largo de la curva AB con velocidad uniforme Tal que se pasa de A a B en un tiempo igual En el medio período del péndulo, y si M comienza Para pasar de una en el momento cuando el Péndulo está en su posición extrema y la tangente A la curva en una forma un ángulo igual a la deíin- La posición extrema del péndulo con el Vertical, que en cualquier posición intermedíate realizan muitiples M la Dirección de la tangente a la curva coincide con La de el péndulo. Algo similar se puede En relación la deflexión de un alambre fino en una hélice y la regular Precesión de un giroscopio. Teoría de Kirchhoff ha suscitado mucho debate y esta despejado muchas dificultades, permitido la simplificación derivaciones, y al mismo tiempo confirma resultados de Kirchhoff. En tiempos más recientes, esta teoría ha sido utilizada en el análisis de problemas de estabilidad elástica como el de la articulación de un anillo circular uniformemente comprimido y el pandeo lateral en flexión de una barra curvada de sección transversal rectangular. En conclusión valida, hay que mencionar el papel de Kirchhoff en la vibración de barras de sección transversal variable2 La ecuación general de vibración lateral de las barras ya se conocía y Kirchhoff indica que, en algunos casos, se puede integrar exactamente. En particular, ges- tión barras que tengan la forma de una cuña delgada y de una muy fuerte cono y calcula la frecuencia del modo fundamental de vibración para ambos. 56. A. Clebsch, A. Clebsch, (1833-1872) nació en Konigsberg. En una edad entró carly Konigsberg University, donde recibió su formación teórico en- Borchardt, J1 vol. 56, 1858. Véase también "Immanuel: Gesammelte Abhandlungen", pág. 285. * Kirchhoff, "Immanuel: Gesammelte Abhandlungen", páginas 339-351. 256 Historia de resistencia de materiales Ical de Neumann física. En Neumanns dirección, escribió su tesis doctoral, que se refiere a la moción de un elipsoide de pressible líquido. Después de obtener el título de grado (1854), permaneció en Konigsberg Clebsch, como conferenciante. Más tarde trabajó en la Universidad de Berlín en la misma capacidad. Muy pronto, su trabajo científico comenzó a llamar la atención y en 1858, a la edad de veinte y cinco años, le fue dado un profesor- barco en el Karlsruhe Polytechnicum, una importante escuela de ingeniería, en donde fue puesto a cargo de mecánica teórica. Mientras que allí, escribió su famoso libro "Theorie der Elasticitat fester Korper" (1862) y que los representantes su principal contribución a la teoría de la elasticidad. Con el paso del tiempo, interés científico de Clebsch, girarse a la dirección de puré mathematics.1 se detuvo en la escuela de ingeniería, y en 1863 se convirtió en profesor de matemáticas en el puré Universidad de Giessen. En 1868, fue elegido a la presidencia en Gottingen . Ilerc demostró su talento tanto como científico y como un maestro. Con su amigo Cari Neumann, el hijo de Franz Neumann, fundó una nueva diario matemático, el Mathemalische Annalen (1868), y se convirtió en el principal periódico en las matemáticas. Sus conferencias atrajo a muchos estudiantes, ya que él sabía cómo para fomentar su interés por las matemáticas y la forma de estimularlos a trabajo creativo en ese campo. En 1872, fue elegido Rector Universidad de Gottingen pero no viven mucho tiempo en esta capacidad, ya que en el mismo año en el que se murió de repente de diphtheriaat la edad de treinta y nueve. En 1861, Clebsch, y, a continuación, veinte y ocho, empezó a escribir su libro sobre ela 1 De Clebsch, trabajar en ese campo se trata de su alumno F. Klein. Ver su libro "se publicaron las lecciones sobre líber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert [Aspectos." Véase también la biografía de Clebsch, Matemáticas. Ann., vol 6, págs. 197-202; vol 7, págs. 1-55. La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 257 Las cuestiones en que está especialmente interesado en este momento, y como consecuencia de esto, la contení del libro no es equilibrado. El libro es de gran iuterest como una colección de las obras originales de Clebsch, pero no es un libro adecuado para el estudio de la teoría de la elasticidad, especialmente para aquellos que no tienen especial interés en el tratamiento matemático de problemas. Saint- Venant , discretizadas mediante un, en su traducción al francés de Clebsch, el libro, añade muchas notas importantes, y esta edición anotada es aún uno de los más com La introducción del libro de Clebsch, contaras una presentación resumida de las ecuaciones fundamentales de la elasticidad, y tan pronto como se indica en la página 50 el autor comienza con las aplicaciones y analiza las tensiones y deforma En la siguiente parte, Clebsch, Saint-Venant , discretizadas mediante un problema del habla. Omite de Saint-Venant , discretizadas mediante un razones físicas, que se había usado en aplicaciones El siguiente capítulo deais con dos dimensiones de los problemas y que es, quizás, la parte más valiosa de Clebsch, trabajos en la teoría de la elasticidad. Dos dimensiones presenten problemas desde entonces han recibido gran atención, y los resultados obtenidos se han encontrado importantes aplicaciones prácticas. El 258 Historia de resistencia de materiales Enfoque del escritor de este problema es más puramente matemático. - Sideríng una barra cilíndrica, que se supone que las fuerzas y el estrés compo- nentes que desaparecen en Saint-Venant , discretizadas mediante un problema de ahora son diferentes de cero, mientras que las tensiones y fuerzas de Saint-Venant , discretizadas mediante un problema que mantiene ahora desaparece. En un sistema de este tipo no hace hincapié en las secciones de la ley quede perpendicular al eje de la barra y cualquier parte de la barra entre dos secciones adyacentes, representará una píate destacó por fuerzas distribuidas en la superficie cilíndrica saltón y pai'cálcu a sus caras. Este es plañe estrés. Clebsch, investiga las condiciones en que la distribución de fuerzas en la frontera deben cumplir plañe estrés y da las expresiones generales de los desplazamientos. Aftenvards que aplica estas expresiones generales a una circular píate para los desplazamientos que el radial en el límite se especifica. Como ejemplo, Clebsch, analiza el caso de una muy delgada píate y sugiere que, en lugar de la anteriormente considerada destaca, el promedio de esas tensiones valúes a través del espesor. El autor muestra R - G - ------------>1 ---------- ~¿ ---------------- Fio. 158. Que, a continuación, se puede resolver el problema de los forcé distribución a lo largo de la frontera y da la solución general de una circular píate. Como par En la siguiente parte de su libro, encontramos los problemas relativos a la defor.1 En conclusión valida, que aplica la teoría de .pequeñas desviaciones de la curvatura de un píate circular con su borde se sujeta y cargar en cualquier momento por una forcé perpendicular a su superficie. La última parte del libro contiene una elemental examen de los problemas de resistencia de materiales. En la búsqueda de la desviación de un rayo cargado por varios lateral las fuerzas concentradas (Fig. 158), demuestra que el ejem- plo de la eonstants de integración puede simplificarse si el integráis de las ecuaciones diferenciales de equilibrio de los sucesivos partes de la barra 1 Véase la nota de la página 264 del libro internacionales debcrzan estar. La teoría de la elasticidad Mathcrnalical entre 1833 y 1867 259 b/ g- - f e El ~^ = Rx + P\ (x ~ a,) El = - Rx + Pio" - ai) + - a2) Se colocan en la forma siguiente: EI * L- Dx Rx- 2 + C N • T l - § Rx2 2 + Pi(x - 2 A, )2 + C-i EI+= Ax Rx * 2 + PUx - 2 Ai) 2 . Pi(x - a2)2 + - 2 + C2 Ely Ely R x8 6 + Cx + D - Ir + f l ( * e" >' + c - + Ely = - Rx3 Pj(s - a, )8 P2 ( .r - a2)8 ~6 6 + ------------------------------ 6 ------ + ^ + De la condición de que, en los puntos de aplicación de las cargas, es decir, para x = ai, x = a * , x = a", ... , Los dos adjaeent porciones de la deflecC - Ci = Ci. . Y D = Dt - Z )2. . . . Esto significa que, independientemente de la cantidad de fuerzas, sólo tenemos que calcúlate dos constantes de integración en cada caso. Clebsch, extiende su método para problemas donde, además de las fuerzas eoncentrated, una carga distribuida también actúa. Además, se le utiliza para analizar vigas continuas uniformemente cargado. Para estos da fórmulas muy simples para las reacciones en los apoyos en los intervalos son iguales. En el último artículo de Clebsch, el libro ofrece un método de análisis racimos. Ílere, por primera vez, este problema es discusaed en su forma general. Hé muestra que si en lugar de las fuerzas en los bares que seleccione el dis- las colocaciones de las bisagras como nuestras incógnitas, que deberá ser siempre la fachada con tantas ecuaciones lineales como no son desconocidos y por lo tanto, el problema puede ser resuelto. Clebsch, lo demuestra con dos simples 260 Hislory de resistencia de materiales Problemas: (1) el caso de una sola conexión de bisagra a la fundación Varios bares (Fig. 159A) y (2) el caso de una viga reforzada por un sistema De los tres bares, como se muestra en la Fig. 1596. De Clebsch, contribución a la teoría de la elasticidad es, sobre todo, de las matemáticas- Ematical carácter. Él, como Cauchy, fue principalmente un puré martya- Cian y él aplicó las matemáticas a su dcveloping nuevos métodos de Tratamiento de problemas. Ilis libro, especialmente la traducción al francés de Notas del Saint-Venant , discretizadas mediante un ocupa un lugar importante en la historia de nuestro Ciencia. Algunos trabajos originales de Clebsch, y tratar con la óptica, también son de interés A elasticians. Este en particular Se aplica a la investigación de la Movimiento vibratorio un elástico Esfera en la que los desplazamientos Desaparecer a la superficies1 que utiliza Funciones esféricas en su solución . Del problema y añade- Hábilmente a la teoría de los (Ó) Funciones. En el caso de que se trate FIG. 159. Cuando la aceleración se desvanece, Obtenemos la solución del Unas problema que se tratará más adelante por Lord Kelvin (consulte la página 265). 57. Lord Kelvin (1824-1907) William Thomson, Lord Kelvin, nació en Belfast en 1824 de Scottish Descent.2 Su padre, James Thomson, fue profesor de matemáticas en El Royal Belfast Instituci� acadï¿ ½ica. En 1832, la familia se mudó A Glasgow, donde James Thomson ocupó la cátedra de matemáticas en La Universidad de Glasgow. En 1834, a la edad de diez años, William Thomson matriculados en la Universidad de Glasgow, donde estudió Lenguas clásicas, matemáticas y filosofía natural. Las clases de Filosofía natural que fueron dadas por el Profesor J. P. Nichol atraían a los jóvenes Interés de Thomson a la enseñanza de las matemáticas y se Nichol que, en 1840, Drcw su atención al famoso libro, "Théorieanalytiquedela chaleur". Por Fourier. El contenido de ese libro de Thomson influenciado en gran medida El trabajo científico. Después, él escribió3 "El origen de mi devoción a Estos problemas es que después de que yo había asistido en 1839 Nichol de sénior Clase de Filosofía Natural, me había convertido en llena de la mayor admiración 1 Véase J. reine u. angew. Matli., vol. 61, págs. 195-262, 1863. 2 Una extensa biografía de Lord Kelvin se encuentra en el libro en dos volúmenes, "El Vida de William Thomson, Barón Kelvin de Largs", por medio de Silvano P. Thompson, Londres, 1910. 3 Véase la página 14 del mencionado libro de S. P. Thompson. La teoría de Elaslicily Malhemalical entre 1833 y 1867 261 El esplendor y la poesía de las transformadas de Fourier. ... Le pregunté si él Nichol Pensé que podía leer Fourier. mentira contestó: "tal vez." pensó que la Libro una obra de mayor trascendencia mérito. Por lo tanto el lst de 1840 Mayo, el Un día, cuando los premios se entregaron Fourier, me tomó de la Universidad Biblioteca; y en un plazo de quince días que dominaba ya el derecho a través de." Para ayudar a sus niños el estudio de relaciones langviages, Thomson el padre Se llevaron a su familia a París en el verano de 1839, y en el verano de 1840 Viajaron en Alemania. William, en ese momento, era absorbida en Mathematies y no estaba interesado en el Germán idioma. Reminis- Bia le dice: "Vamos que el verano a Alemania con mi padre y Hermanos y hermanas, me Fourier conmigo. Mi padre nos llevó a Alemania, e insistió en que todos los trabajos Debe quedar a la zaga, por lo que el Todo el tiempo se debe dar Aprendizaje de Germán. Fuimos a Frankfort donde mi padre tuvo un Casa durante dos meses. ... He utilizado En Frankfort para bajar a la bodega Subrepticiamente cada día para leer un Poco de Fourier. Cuando mi padre Descubrió que no era muy grave Sobre mí. "1 En 1841 Abril, William Thomson Dejó la Universidad de Glasgow y St. Peter's College, Cam- Puente. En este sentido, el orador coutinued a Interesados en el trabajo de Fourier, y en 1841 Noviembre, su primer seientific Papel, que se refieren a la serie de Fourier, apareció en el Cambridge Mathe- Diario puedan definir dos documentos más de un carácter más avanzado Apareció en la misma revista durante el curso del año siguiente. En aptitud matemática y conocimiento William está muy por delante de otros Los estudiantes de su clase, por lo que se esperaba que se convirtiera en sénior Wrangler para el año 1845. Pero a su madre y su padre gran dictato- Su nombramiento se ganó sólo el lugar de la segunda final en el wrangler Examen. Su biógrafo dice: "esa devoción a científicos Actividad del orden más elevado. . . Actuó como un obstáculo más que una Ayuda a la Universidad. ... Para obtener un lugar destacado en el Senado-housc (examen final) el candidato debe tener en su dedo- Consejos para las soluciones de los problemas conocidos, puliendo sus métodos de escritura Las soluciones, a fin de poder llegar a una inmensa cantidad de 1 S. P. Tliompson la biografía de Lord Iíelvin, pág. 17. 262 Historia de resistencia de materiales Bookwork en un corto espacio de tiempo. Perforados durante meses por el entrenador o su tutor en esta especie de gimnasia rítmica, como si estuviera siendo entrenados para una carrera, el candidato de hecho aequired faeility en relación con determinadas clases de problemas en el modo particular entonces en boga. Pero este tipo de capacitación no se adaptaba bien a cultívate originalidad o ciencia matemática para avanzar. Se ha creado una falsa ideal de logro, y no pocas veces provocó la codiciada posición de Sénior Wrangler para ser otorgada, y no a los mejores matemáticos de su año, pero para el que había sido mejor cuidadas de la carrera. "1 Después de graduarse de la Universidad de Cambrigde, Thomson decidió continué su estudio y, con este fin se fue a París. Francia, en ese momento, ofrece las mejores facilidades para estudiar las matemáticas y sus aplicaciones en las diversas ramas de la física. líe Liouville no cumplen, Sturm, y Cauchy, el líder de los matemáticos del día, y conseguido arrastrar a sus intereses, al verde de trabajo (vea la página 217), una copia del cual ha traído de Cambridge. También se reunió con varios físicos Franceses. En orden a adquirir una mejor técnica experimental, entró en el laboratorio de física de la Collcige de Francia, donde trabajó con el Profesor Regnault, ayudándole a que en sus famosos trabajos experimentales de las leyes del calor. Durante este período, Thomson beeame familiarizarse con el famoso documento de Clapeyron, "Mémoire sur la puissance motrice du feu", en la que el escritor explica eyele de Carnot. En los inicios de su labor científica, Thomson le debe mucho a la escritura de Carnot, Fourier, y verde. Después de cuatro meses de estudio en París, regresó a Cambridge en 1846 Mayo, y en el otoño del mismo año, obtuvo una beca en St. Peter's College. El orador beeame un profesor de matemáticas en la eollege entrenador y comenzó a los alumnos en matemáticas. También emprendió la ordenación de los Cambridge y Dublín diario matemático, varias de sus ponencias relativas a la aplicación de las matemáticas a física theoretieal se publicaron en este periódica!. En el otoño de 1846, a la edad de veinte y dos, William Thomson fue elegido el profesor de la filosofía natural en Glasgow University, donde enseñó este tema durante cincuenta y tres años. Dice su biógrafo: "a los fines de enseñanza sistemática que beeame una mala reputación, profunda, como era su alcance, y precisa como era su fraseología. Él no podía conferencia sobre el más común y las piezas elementales de la física, hasta los más sencillos de los estudiantes universitarios, sin sus pensamientos viajan siempre con el anón y recónditos de las regiones de frontera scienee, donde sólo unos pocos pueden seguirlo. Estos originales digresiones, dice un ex-alumno de su clase, que contiene las joyas preciosas de su discurso, simplemente fueron extendidas 1 S. P. Thompson biogi-aphy de Lord Kelvin, pág. 96. La teoría matemática de Elastieity entre 1833 y 1867 263 Lejos de todos, excepto abler y sabios estudiosos, quienes escucharon con suma atención a los destellos torrent, la impetuosa catarata de su genio. Su imaginación estaba vivo: en su intensa entusiasmo seeraed a ser impulsado, en lugar de conducir liimself. El hombre se perdió en el tema, se convierte en una verdadera inspiración como es el artista en el acto de la creación. "1 Desde el comienzo de su enseñanza, Thomson reconoció la importancia de los estudiantes del trabajo experimental en el campo de la física. No se limite a dar demostraciones experimentales durante sus discursos, pero organizó un laboratorio en el cual él y sus estudiantes pueden investígate las propiedades de la materia. Este fue el primer laboratorio de este tipo en las ciencias físicas en el Reino Unido. La más importante contribución realizada por Thomson de la física durante los primeros años de su trabajo en Glasgow fueron en el campo de la termodinámica, pero también obtuvo una cantidad considerable de datos experimentales en la dotación de materiales y en la teoría de elastieity.2 Estos resultados luego fueron utilizados en la preparación de los artículos que aparecieron en la novena edición de la enciclopedia Britanniea y se convirtieron en muy leído y muy valued.3 Discutir (en estos artículos) las hipótesis fundamentales sobre las que la teoría de elastieity se basa, Thomson explica que las propiedades de los materiales a veces difieren notablemente de las que se consideran. se observa que no hay material struetural perfectamente elástica y, en investigar esta imperfección, introduce el concepto de fricción interna, que los estudios de la amortiguación de vibraciones sistemas elásticos. En sus experimentos, el autor llega a la conclusión de que esta fricción no es proporcional a la velocidad, así como en la ingesta de líquidos. En cuanto elastieity moduli de, el escritor critica fuertemente a la teoría rariconstant (consulte la página 216), que se encontraba entonces en boga entre muchos científicos franceses. En su argumento contra esta teoría cita el ejemplo de corcho, jalea, y goma india. Tilomas Thomson emplea a jóvenes la definición del módulo aciagos en simple y habla de los iveight-modtdus y longitud de modxdus (consulte la página 92). El autor muestra que la longitud de módulo tiene una simple interpretación física, la velocidad de transmisión de las vibraciones longitudinales a lo largo de un bar es igual a la velocidad adquirida por un cuerpo en caída desde una altura igual a la mitad de la longitud del módulo. Experimentos con cuerpos elásticos Thomson en la frontera entre elastieity y la termodinámica. Estudió los cambios de temperatura producidos en órganos elásticos que están sometidos a presión4 y 1 Véase de Sylvanus P. Tliompson libro, pág. 444. 5 Ver los artículos una teoría matemática de Elastieity, Trans . Roy. Soc. (Londres), (A), 1856. En el Elastieity y la viscosidad de los metales, Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), 1865. 3 Estos artículos fueron publicados posteriormente en un libro, "Elastieity y calor", 1880. 4 Consulte el apartado "Elastieity y calor", pág. 19. 264 Hislory de Slrengtli de materiales Demostró que la magnitud de la tienen modulas casi idénticos depende de la forma en Que el estrés está configurado en la muestra. Teniendo en cuenta los resultados de una resistencia a la tracción Prueba, dejar O A (Fig. 161) Representan el esquema del estiramiento repentino de un Modelo dentro del límite elástico. El esquema de lento de las aplicaciones de Forcé la tracciã³n generalmente tiene una menor pendiente, como se muestra por el recto Línea OB. En el primer caso, no hay intercambio de calor entre el Modelo y sus alrededores, y que tenemos una extensión adiabalic. La segunda, que se supone que la deformación continúa tan lentamente que, debido De intercambio de calor, la temperatura de la muestra sigue siendo prácticamente Constantes, de modo que tenemos una extensión isothennal. En el diagrama, Concluir que módulo de Young de largor repentino estiramiento es que lo que es Extensión de la lentitud. La diferencia, en la medida en que es acero, es muy Pequeño (cerca de j de 1 por ciento) y en la mayoría de los Aplicaciones que puede ser disregardcd. Un espécimen que es Sometido a una repentina extensión del refrigerador se vuelve generalmente Que en los alrededores y, debido a la igualdad de La temperatura, incremento de extensión, Surgir, representada por la distancia AB en la Fig. 161. Si ahora la tracción forcé es quitar de repente, el R modelos de contratos y su estado está representado en la Fig. Fio. 161. 161 En el punto C. debido a la reducción, la temperatura de la muestra se eleva para que el retorno al estado inicial (que se muestra en la Fig. 161 En el punto 0) sólo se lleva a cabo después de enfriar la temperatura del entorno. La zona OABC representa el trabajo mecánico perdió durante un ciclo. Hay algunas peculiares materiales, como, por ejemplo, la india de goma por debajo de una determinada temperatura, que muestran un efecto de calentamiento cuando se tira y un genial Más tarde Thomson realizó una investigación general de los cambios térmicos que se producen cuando tiene lugar la deformación de un cuerpo elástico. Por la1 que da el primer lógicas de prueba de la existencia de una cepa de función de energía en función de la tensión medida con respecto a un cierto estándar del estado y no de la manera en que la cepa es alcanzado. Este trabajo constituye uno de los más importantes de William Thomson de adiciones a la teoría de la elasticidad. 1 Consulte el apartado "Matemáticas y Física Papéis", tomo 1, pág. 291-313. La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 265 En el año 1860, P. G. Tait fue clectcd a la cátedra de filosofía natural en Edimburgo y muy pronto los dos hombres, Thomson y Tait, trabajaban juntos. Ambos se sintieron la falta de boolcs que podría ser recomendado a los estudiantes interesados en las diversas ramas de la física teórica. Los dos científicos que ellos mismos escriben los libros necesarios y, por lo tanto, en 1861, se empezó a trabajar en su "antece- esfe sobre filosofía Natural." La escritura era con mucho retraso por parte de Thomson la participación a un importante trabajo en la Costa Atlántica telegraph, que requiere un montón de investigación teórica y experimental. No fue sino hasta 1867 que el primer volumen de el famoso tratado fue publicado. Este volumen deais con la mecánica de rígido, elástico, y órganos líquido y contiene mucha obra original, de la teoría de la elasticidad debido a Thomson. A comienzos de su carrera, Thomson ha dado 1 la solución de las ecuaciones de la elasticidad infinita de un sólido elástico isótropo homogéneo. Ahora usa la solución para resolver problemas tan importantes como la de forcé aplique de manera uniforme a un esférico de una infinita parte sólida homogénea y que de una forcé aplicado a un infinitamente pequeño parte de ese cuerpo. También ofrece una solución completa para una cubierta esférica y una esfera sólida sometido a tensiones o superficie a superficie shifts.2 El autor utiliza esta solución en sus investigaciones de la rigidez de la tierra. En ese momento se planteó la cuestión: " ¿la tierra conservar su figura con prácticamente perfecta rigidez, o no rendimiento sensiblemente a la deformación de la tendencia de la luna y el sol sobre las atracciones de sus estratos superiores e interiores misa? Tiene que dar en alguna medida, como sustancia no es infinitamente rígida: pero si estos sólidos las mareas son suficientes para ser dis- eoverable por ningún tipo de observación, directa o indirecta, aún no se ha determinado." suponiendo una perfecta elasticidad, Thomson estima que el efecto de la tensión elástica de la tierra sólida de densidad uniforme a las aguas superficiales las mareas y llega a la conclusión de que si la tierra estuviera tan rígida como acero elástico su rendimiento sería reducir la altura de la marea para acerca de | de su valué calculada a partir de una teoría en la que la tierra se supone que es absolutamente rígido. En la segunda edición del tratado, un nuevo debate sobre el tema fue añadido por G. H. Darwin, que llegamos a la siguiente conclusión valida: "En su conjunto, que puede concluir de manera justa, mientras que hay algunos indicios de la existencia de un rendimiento de la marea la masa de la tierra, que produce pequeñas es, sin duda, y que la rigidez es al menos tan grande como la de acero. "3 : " Documentos matemáticos y físicos", vol 1, pág. 97. : Los mismos problemas ya habían sido resueltos por Lamé, que utiliza otro método (consulte la página 117). : "Tratado de Filosofía Natural", parte 2, pág. 460. 266 Hislory de resistencia de materiales En su tratamiento de la teoría de finas barras, Thomson ofrece un muy completo de análisis dinámico de Kirchhoff analogía (véase la página 255) y se utiliza en el cálculo de las desviaciones de muelles helicoidales. En el desarrollo de la teoría de deformación de las chapas finas, explica, en términos sencillos, ¿por qué teoría elemental de Kirchhoff es lo suficientemente preciso sólo si las desviaciones son pequeñas en comparación con el grosor de la píate. UN muy instructivo examen de las condiciones de frontera. Kirchhoff ya había demostrado que debe haber sólo dos las condiciones límite en un borde y no tres, como exigido por Poisson. Thomson ofrece una física inter- pretación de esta reducción, y, a través de la utilización de Saint-Venant , discretizadas mediante un principio pedagógico (ver página 139) elástica con respecto a la equivalencia de sistemas estáticamente equivalentes de carga, el autor muestra que la distribución de torcer las parejas a lo largo de un borde de un píate podrá ser sustituida por una estáticamente equivalentes distribución de fuerzas de cizallamiento. Por lo tanto, considerar extendersey sólo dos condiciones relativas a las fuerzas de cizallamiento y momentos de flexión en un edge.1 En el caso particular de torcer las parejas distribuidas uniformemente a lo largo de los bordes de un rectángulo píate y producir una curvatura uniforme anticlastic, sustituir- las parejas de la torsión por fuerzas de cizallamiento da lugar a los intereses- de un sistema rectangular píate sometido a las fuerzas normales P, P en los extremos de una diagonal y las fuerzas normales - P , -P en los extremos de la otra. Un sistema de este tipo de fuerzas se puede aplicar fácilmente a un píate y las deformaciones producidas en esta forma puede ser utilizado para la determinación experimental de la rigidez de flexión la píate. En el tratamiento del problema de la torsión Saint-Venant , discretizadas mediante un, Thomson utiliza el método de las funciones conjúgate que había sido presentado por Clebsch, y para el cálculo del estrés y el ángulo de giro en un bar con sección transversal en forma de un sector anular. W. Thomson la discusión de la teoría de la elasticidad, en el "Tratado de Filosofía Natural" constituye la primera exposición sistemática de la materia en el idioma inglés. Ejerció una gran influencia en el futuro los trabajadores la teoría de la elasticidad, en Inglaterra. En 1866, se ha establecido la conexión telegráfica entre Inglaterra y los Estados Unidos. El éxito de esta importante empresa se debió en gran medida a Thomson de asesoramiento científico y a su activa y enérgica eooperation. El honor de ser nombrado caballero se le confieren en agradeci- de este trabajo y de su alta posición en el mundo científico. mentira fue recognizcd no sólo como el mayor especialista en Inglaterra, pero también como un inventor e ingeniero de investigación. Desde este tiempo, una considerable 1 Ver "Tratado ou Filosofía Natural", páginas 724-729. Thomson ofrece una prueba matemática que justifiquen la sustitución de un sistema de fuerzas estáticamente por otro equivalente. Este es el primer ejemplo de una prueba de Saint-Venant , discretizadas mediante un principio pedagógico del. Más tarde, el mismo tema fue discutido por Maurice Levy, . /. Malhématiques, vol. 3, Págs. 219-306, 1877. La teoría matemática de Elasticily entre 1833 y 1867 267 Parte de su tiempo lo speut en el diseño de instrumentos y en las consultas técnicas. Las líneas generales del "Tratado de Filosofía Natural", que debía incluir todos branehes de la física teórica, nunca se cumplieron totalmente. El primer volumen apareció en la segunda edición, Parte I en el año 1879 y en la Parte II en el año 1883. Sin embargo, Kelvin sigue interesada en las propiedades de la materia. Bajo la influencia de Ilelmholtz de vortex atrás,1 desarrolló el theoi'y anillos de vórtice. Demostró que en "a perfect médium vortex anillos son estables, y que en muchos aspectos que poseen las cualidades esenciales de las propiedades de los materiales los átomos, la permanencia, la elasticidad y la facultad de actuar en una intervención a través de la médium". Las ideas de Kelvin en relación a la estructura de la materia se crystal- bilizó en el famoso "Baltimore clases" que habían sido entregadas antes de una distinguida audiencia de físicos y matemáticos en 1884. Una parte considerable de las conferencias se dedica a la teoría de la elasticidad, a la propagación de la luz en aeolotropic isótropa y sólidos elásticos, y a la propagación de un médium elástica en la que un número infinito de gyrostatic las moléculas están incrustados. Él no acepta la teoría electro-magnética de la luz y trata de mejorar la "elástica" teoría. Sin embargo, solía repetir: "nunca me satisface yo hasta que me pueden hacer un modelo mecánico de una cosa." Él ha inventado varios tipos de estructuras moleculares para explicar fenómenos ópticos. Las notas de la Baltimore conferencias fueron preparados y que se reproducen por papyrograph en 1884, pero mantuvo una participación Kelvin el tema a fin de que, después de muchas revisiones y adiciones, las conferencias fueron finalmente publicados en forma impresa veinte años más tarde. El libro "Baltimore Clases" junto con los capítulos pertinentes del "Tratado de Filosofía Natural" era muy leído por elasticians, y veremos que, durante la última parte del siglo xix y principios del siglo xx, varios destacados científicos ingleses se interesó en este tema, en consecuencia. Hubo varios intentos para que Lord Kelvin a Cambridge para ocupar la cátedra Cavendish, pero prefirió permanecer en Glasgow al final de su actividad docente en 1899. En ese momento la celebración del jubileo de Lord Kelvin era organized.2 Muchos científicos 1 J. Matemáticas (Crelle), 1858; traducción al inglés, Phil. Mag., 1867. 2 En ese momento, el libro "Lord Kelvin" se publicó, en el que Lord Kelvin la biografía y la deseription la celebración jubilar. 268 Hislory de resistencia de materiales Las investigaciones en el Laboratorio Filosofía Natural. El 17 dic 1907. Lord Kelvin muerto. 58. James Clerk Maxwell ( 1831- 1879)1 J. C. Maxwell era bom en Edimburgo, pero la mayor parte de su hijo- El capó fue aprobado en la casa de campo propiedad de sus padres. En 1841, el Niño fue llevado a Edimburgo y enviado a la escuela en Edimburgo Academia, Donde estudió hasta 1847, el gasto las vacaciones de verano en el país Probarlo. James el interés en el trabajo escolar Era lento para madurar, pero cuando las clases En geometría se iniciaron en 1844, Su aptitud matemática fue pronto Observado. Dedicó mucho de su Energía a estudiar matemáticas y, En 1845, recibió la medalla al Las matemáticas como resultado de su proeza En la sala del examen.ion. Maxwell 'S f&as visitado con frecuencia La Academia, y en esas ciu- Las normas sion, él tomó a su hijo en las reuniones De la Sociedad de Artes Edimburgo Y la Real Sociedad. En uno de Estas reuniones, las formas de Etruscan Las urnas se discutieron y el problema De cómo dibujar un óvalo perfecto aróse. El muchacho se interesó en el problema y desarrollado un ingenioso solucio- De ella. También ideó un simple medios mecánicos para producir Las curvas oval envolviendo una rosca en las patillas. La obra fue presentada A la Real Sociedad por el Profesor Forbes en 1846 y se publicó en Las actuaciones de la Royal Society of Edinburgh,2 En la primavera de 1847, James fue llevado al laboratorio de Nicol, el inventor de la polarización Prisma, y, a partir de ese momento, se convirtió en un gran interés en la experimentación con Luz polarizada. Para producir la polarización, que utiliza la reflexión de Un espejo. Más tarde, se presentó con prisma de Nicol y con El don que ha construido un aparato de análisis de estrés photoelastis. En el otoño de 1847, Maxwell entró en la Universidad de Edimburgo, donde podía trabajar sin presión alguna y seguir su inclinación en selección de temas de estudio. Asistió a las conferencias sobre filosofía natural "Para una biografía completa de J. C. Maxwell, vea el libro "La Vida de James Clerk Maxwell" de L. Campbell y W. Garnett, Londres, 1382. Véase también el proface a "Los documentos científicos", editado por W. D. Niven, Cambridge University Press, 1890. 2 Proc. Hoy. Soc. Edimburgo, vol 2, págs. 89-93. FIG. 162. James Clerk Maxwell. La teoría de Elaslicily Matliemalical entre 1833 y 1867 269 Impartido por el Profesor Forbes, continuó sus experimentos con la luz polarizada, y pasado un tiempo considerable en estudiando los libros de mecánica y física. En una carta de 1850 Marzo, escribió a un amigo: "he estado leyendo las Conferencias de Jóvenes , Willis de principios del Mecanismo, Moseley de Ingeniería y mecánica, Dixon en Ileat y Moigno de Répertoire d'Optique ... Tengo una idea para la torsión de los cables y las varillas, que no se ha hecho hasta las vacaciones; de los experimentos en la acción de eompression sobre vidrio, gelatina, etc. , numéricamente hecho; en las relaciones de las constantes ópticas y mecánicas, su desirableness, etc. , y dere- cho de los puentes, y de catenaria y elástico, curvas." vemos que, en ese entonces, ya se había convertido interesado en la teoría de la elasticidad. En 1850 Maxwell, "Sobre el equilibrio de Sólidos elásticos" fue leído a la Royal Society of Edinburgh. Este documento comienza con una crítica a la teoría rariconstant y se hace referencia a un documento de Stokes.1 El escritor se deriva las ecuaciones de equilibrio de cuerpos isótropos que tiene dos constantes elásticas. A continuación, utiliza sus ecuaciones en discutir sobre algunos problemas particulares. La mayoría de estos ya había sido resuelto previamente por otros autores, pero no se había pagado esa atención a verificación experimental de los resultados theoretieal. Comienza con el caso "de un cilindro hueco, de los cuales la superficie exterior es fijo, mientras que la superficie interior se hace a su vez a través de un pequeño ángulo en el que , por el momento es M. " Utilizando las ecuaciones de equilibrio en coordenadas polares, que fácilmente demuestra que se esquila produccd y subraya que su magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el eje del cilindro. Con el fin de verificar este resultado, que se aplica el mï¿ ½odo fotoelï y usos, para ese fin, una gelatina de pescado vierte entre dos círculos concéntricos formas cilíndricas en caliente. Cuando esté frío, se formó una sólida práctica en los experimentos. Él dice: "Si el sólido ser vistos por luz polarizada, trans- mitirá paralela al eje, la diferencia de retardo de la manera opuesta rayos polarizados en cualquier punto de la sólida será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el eje del cilindro. . . . El aspecto general es, por tanto, un sistema de anillos de colores dispuestos al revés para los anillos de uni-axial cristales, los tintes ascendente en la escala, ya que se acercan al centro, y la distancia entre los anillos disminuyendo hacia el centro. Todo el sistema está cruzado por dos bandas oscuras inclinada a 45° con respecto a la primitiva plañe de polarización." Maxwell observó esta imagen color y copiado en agua colores.2 sus biógrafos dicen: "Maxwell había una gran facultad de diseño y divertir con frecuencia 1 Trans. Cambridge Phil. Soc. , vol., 8 , 3; documento leído, 1845 Abril. ■ Las imágenes estaban conectados a su papel. Que se reproduce en su biografía de Maxwell por Campbell y cuaderno, pero se han omitido en el "Trabajos Científicos". 270 Historia de resistencia de materiales Haciéndose curiosos patrones, para que la lana. Sus diseños son notables por la armonía de los colores." Como un segundo problema, Maxwell considera la torsión de barras circulares y utiliza su análisis en una determinación experimental del módulo de cizalla. Como su tercer y cuarto ejemplos, el autor toma de Lamé por los problemas de las tensiones en los cilindros huecos y esfera hueca inducida por presión uniforme. Maxwell utiliza sus soluciones a examinar algunas expe El problema es que íifth puré de flexión de las vigas rectangulares y el escritor hace una adición interesante a la teoría elemental de considerar las presiones entre las fibras longitudinales que se deriven como consecuencia de la curvatura de la luz. Maxwell explica (como su sexto caso) la curvatura de placas circulares cargado uniformemente. Esta investigación se realizó a fin de examinar la posibilidad de hacer un espejo cóncavo de plata doble. Maxwell caleulates el radio de curvatura en el centro de la píate y observa que un telescopio realizado de acuerdo con este principio pedagógico serviría como un barómetro aneroide, la distancia focal varía inversamente a la presión de la atmósfera. Caso 7 se refiere a la par que es debido al estiramiento de las fibras longitudinales de un cilindro circular trenzado, y se pone de manifiesto que la fórmula de par contiene un término proporcional al cubo del ángulo de giro, como se ha indicado antes por Thomas Young. En el caso 8, Maxwell considera que el importante problema de tensiones pro.1 Los casos 9 a 11 se refieren en los cilindros huecos y esfera hueca. Las soluciones de Duhamel (consulte la página 242) de estos problemas parecen ser desconocidos por Maxwell. En el caso 12, Maxwell calcula la desviación de un rayo simplemente apoyados y da una fórmula en la que el efecto de fuerzas de cizallamiento de la magnitud de la desviación es tenido en cuenta. Esto se realiza bajo el supuesto de que estas presiones son uniformemente distribuida sobre las secciones transversales de la viga. 1 Hay una errata en Eq. (59), pág. 61, de los "trabajos científicos". La teoría de la elasticidad Malhematical entre 1833 y 1867 271 Las tensiones que se producen cuando dos superficies cilíndricas, cuyos ejes son perpendiculares a la plañe de una infinita píate elástico trenzado, por lo menos en la misma dirección son tratados en el caso 13. El estrés resultante en cualquier punto se obtiene entonces mediante superposición y agregar los esfuerzos producidos por cada uno de los dos cilindros. Referencia a 1 en este caso. Las franjas isocromï¿ ½icas generadas las curvas que se obtienen mediante cálculos se muestran en la Fig. 1G3, y Maxwell verificado experimentalmente los resultados teóricos. Él dice: "he preparado estas curvas para la gelatina de pescado se describe en el Caso 1. Se pueden apreciar mejor Mediante luz polarizada circular, como las curvas a continuación se ve sin interrupción, y su parecido con el calculado las curvas es más aparente". En el caso 14, Maxwell deais de estrés en un triangular de unau píate- nealed cristal. El problema es más complejo, y no tenemos theotrajectories de tensiones, Maxwell ahora muestra cómo los principales destaca puede ser calculado. Con- 272 Historia de resistencia de materiales Estudia un elemental rcctangle curvilíneos limitado por dos líneas adyacentes de la compresión y dos líneas adyacentes de aciagos, que utiliza la ecuación de equilibrio Donde q es el principal esfuerzos compresivos, p es el principal esfuerzo de tracción, r es el radio de curvatura de la trayectoria de la compresión y ds es la distancia entre las dos trayectorias consecutivas de la compresión. Por lo tanto, Eq. (A) es la misma que fue utilizada por él en la discusión de Lamé FIG. 164. Problema, donde r denota la distancia radial de un punto y el ds es igual al dr. desde q - p se conoce desde la prueba fotoelï y las cantidades r y ds se puede tomar desde la elaboración de las trayectorias, él es capaz de íind el valúes de p usando paso a paso mtegration de Eq. (A) y a partir de la frontera donde el valúes de p son conocidos. Vemos que Maxwell desarrollado por completo la técnica de foto La teoría matemática de la elasticidad entre 1833 y 1867 273 Pulsa en una fina píate. . . . La otra sustancia, la cual posee propiedades similares, es jelutong. Esta sustancia en su estado normal, cuando coid, no es transparente, incluso en películas delgadas; pero si una película delgada se gradualmente, puede extenderse a más del doble su longitud. A continuación, dispone de un potente doble refracción, que conserva tan fuerte que ha sido utilizado para polarizar luz." Maxwell hizo todo este importante trabajo en la teoría de la elasticidad incluso en el mï¿ ½odo fotoelï de análisis de estrés antes de que él tenía diecinueve años D D E D Fio. 165. Años de edad. En el otoño de 1850, salió con destino a Cambridge, donde continuó su estudio. La vida de Maxwell en Cambridge, tenemos el siguiente estado de El Profesor P. G. Tait, que estaba con él en la misma clase de Edin- burgh Universidad y dejó la universidad de Cambridge en el año 1848 entrar: "Él [Maxwell] a Cambridge, en el otoño de 1850, un conjunto de conocimientos que en realidad era inmensa y para que los jóvenes de un hombre, pero en un estado de desorden espantoso a su vez ha realizado una metódica su tutor. Sin embargo, que fue William Ilopkins tutor, el alumno a una gran exteut tomó su propio camino, y se puede afirmar, sin temor a equivocarnos, que no hay gran wrangler de los últimos años en el Senado de manera imperfecta más capacitados para producir 'pagar' trabajo que Clerk Maxwell. Pero gracias a la mera fuerza de intelecto, aunque con el mínimum de conocimientos sobre su uso en ventaja en las condiciones del examen, obtuvo la posición de la Segunda Wrangler, y entre corchetes igual con el Sénior Wrangler (E. J. R. j óvenes) en el mayor sufrimiento del Smith Los Premios." 274 Historia de resistencia de materiales Después de graduarse, Maxwell se mantuvo en Cambridge y en 1855 fue elegido Fellow del Trinity College y comenzó en el subjeets lectnring de hydrostaties y óptica. Su labor científica en ese momento se refiere a la medición de las mezclas de colores y las causas de ceguera de color. Él también estaba interesado en el sector de la electricidad y se publicó la autobiografía de Faraday de las líneas de fuerzas. En 1856, fue elegido para una cátedra de Universidad Tolbooth Museum, Aberdeen, donde ha enseñado filosofía natural durante el período 1856-1860. Al mismo tiempo, continuó el trabajo en color y sensación hizo una investigación sobre la estabilidad de los anillos de Saturno. Su trabajo en la teoría cinética de los gases también se inició en Aberdeen, y su primer papel en este tema se dio lectura a la British Association en 1859. En 1860, Maxwell fue elegido para la cátedra en el King's College de Londres y fue profesor de filosofía natural y de astronomía durante el período 1860-1865. Fue durante su estancia en el colegio, a orillas del Támesis que su importante autobiografía en la teoría cinética de los gases y sus famosas memorias se publicaron 011 electricidad. Su gran avance en la teoría de las estructuras, que ya hemos comentado (consulte la página 202) también apareció en ese momento. El trabajo docente en la Universidad Iíing ocupó gran parte del tiempo de Maxwell, y, a fin de mejorar las condiciones de su propio trabajo científico, decidió renunciar a su silla y retirarse a su país sede en Escocia. No fue capaz de lanzar toda su energía en la preparación de su libro 011 calor y en la escritura su célebre tratado sobre electricidad y magnetismo. En relación con el publieation de G. B. Airy 011 el papel de las tensiones en el interior de las1 Maxwell volvió a su idea de reciprocidad las cifras y la elaboración de una teoría general de los esquemas tridimensionales estrés paralelo2. demuestra que la solución general de las ecuaciones de la elasticidad puede ser expresada en términos de las tres funciones de estrés. Applyq indica la intensidad de la carga. Una interesante comparación de Maxwell de perspectiva científica y los de Stokes y Lord Kelvin en libro de Joseph Larmor, "Sir George Gabriel Stokes" (p. 217): "Con Maxwell la imaginación científica fue Lphil. Trans., 1863. 2 Phil. Trans., vol. 26. La teoría de la elasticidad Malhemalical entre 1833 y 1867 275 Todo: Stokes lleva cuidado en exceso. Mawvell engordaron en la construcción y la disección de la salud mental y los modelos e imágenes de las actividades de las moléculas que forman la base de la materia: Stokes publicado investigaciones son principalmente de la precisa y formal, guiados por las propiedades y simetrías de la materia a granel, en el que la noción de una molécula no necesita entrar. ICelvin está tal vez a mitad de camino entre ellos. En los rasgos principales de su actividad, con razón se podía describir, como él mismo ha insistido, como un alumno de Stokes; pero junto con esto las prácticas En 1871, Maxwell fue inducida a abandonar su refugio en Escocia y a aceptar una cátedra en la Universidad de Cambridge. En ese momento, la universidad reconoce plenamente la importancia del trabajo experimental en ramas de la física como el calor, la electricidad y el magnetismo. El canciller, el Duque de Devonshire, amuebladas generosamente los fondos para la construcción del laboratorio de física y Maxwell fue elegido para ser su primer director. Durante este último período de su vida (1871-1879), tuvo que pasar gran parte de su energía en el trabajo administrativo en el nuevo laboratorio. El orador también han ayudado mucho en la orientación de la política general de la universidad. Insistió en que los estudios en la universidad debe mantener un buen contacto con el exterior y organismos científicos que las distintas ramas de la física deben tener un lugar en la tituló. Tomó parte activa en la preparación del plan de examen en 1873. CAPÍTULO IX Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 59. Laboratorios de Ensayos Mecánicos Como ya hemos señalado, la introducción de hierro y acero estructural y mecánica de ingeniería realizó estudio experimental de las propiedades mecánicas de los materiales esenciales. Anteriormente había experimentadores por lo general se limita su atención a determinar ultímate puntos fuertes, pero se encuentra ahora se dieron cuenta de que las propiedades del hierro y el acero dependen de los procesos tecnológicos en la industria de la fabricación y que, en cualquier caso, el conocimiento de fuerza sólo idtimate es insuficiente si se selecciona un material adecuado para un propósito en particular. Una investigación más exhaustiva de las propiedades mecánicas de los materiales de mayor importancia en la práctica. Estas pruebas requieren equipo especial, y vamos a ver que en el período que se examina el rápido crecimiento de los laboratorios de ensayo de materiales se llevó a cabo en muchos países. Wohler en Alemania abogó por la organización del gobierno labora,1 Kirkaldy afirma: "Los Sres. Robert Napier e Hijos havingreccived pedidos de alta presión y calderas marinas machinory, donde la luz- se combinan con fuerza de la mayor importancia, se pro- que plantea utilizar homogéneo para el metal y charco de acero para el otro, en vez de hierro forjado como empleada habitualmente. Ya que estos materiales, sin embargo, sólo se ha introducido recientemente, se considera prudente, antes de emplear a ellos, para determinar sus méritos relativos; y con este punto de vista el aparato, que se describe posteriormente, fue ereoted. En el momento en que sólo se pretendía probar unos pocos ejemplares de cada uno de ellos, pero la investigación demostró ser tan interesante en sí mismo y, por consiguiente, probablemente conduzca a resultados prácticos importantes, que me indueed, en virtud de la sanetion de los señores Napier, de ampliar los experimentos, de ocio y oportunidad oífered, mucho más allá de lo que originalmente se había previsto. 1 D. Kirkaldy, "Los resultados de una Investigación Experimental en la resistencia a la tracción y otras propiedades de los distintos tipos de hierro forjado y el acero", Glasgow, 1862. 276 Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 277 Las pruebas commencecl el 13 1858 Abril, y termina 18 1861 Septiembre. . . . " La Figura 166 muestra que la máquina consfcructed y utilizado por Kirkaldy en su trabajo experimental, mientras que en la Fig. 167, Seo la speeimens y sus archivos adjuntos. Con este equipo sencillo, Kirkaldy logró obtener resultados muy importantes, y su libro, en el momento de su aparición, contiene la más completa descripción de las propiedades mecánicas del hierro y el acero. FIG. 166. Kivkaldy la máquina de pruebas. FIG. 167. Resistencia de Kirkaldy speeimens de prueba. Con relativamente poco trabajo speeimens1 y utilizando amuma crudo 1 Con el fin de medir alargamiento elástico satisfactoriamente y para obtener con módulo de Young suffioient aocuracy, Hodgkinson utiliza varillas 50 pies de longitud. 278 Historia de resistencia de materiales Zona. De esto, Kirkaldy concluyó que la relación entre el total de alargamiento en longitud inicial depende de las proporciones de las muestras utilizadas. Él fue el primero en recomendar la medición de contraetion lateral y considera que la reducción relativa en el área de sección transversal de la fractura fue una característica importante de los materiales. Considera que un mero conocimiento de la magnitud de la resistencia final no es suficiente011 una parte, un alto romper Kirkaldy fue probablemente el primero en reconocer el efecto de la forma de los especímenes en la resistencia final. Comparando algunas de sus resultados con los obtenidos para especímenes de sección transversal variable pero de material similar, comenta: "La cantidad de tensión de ruptura de un espécimen es, por tanto, resultó ser afectada de manera significativa por su forma de una importante influencia unasccrtained hasta ahora insospechadas, e incluso por cualquiera, a lo mejor de los conocimientos del escritor. Este es uno de instaure creada por, lo que podría ser nrodnced para mostrar la absoluta necessitv (y la observación es aplicable a muchos otros subjeets además de la de la pl'esent tratado) de corrcotlv conocer las condiciones exactas en las que alguna de las pruebas se realizan antes de que podamos ecmitablv comparar los resultados obtenidos de diferentes barrios de la construyen no cabe duda de que sería evidente que no podemos juzgar los méritos de dos piezas de hierro o de acero, comparando su rotura cepas (estrés), cuando uno de ellos era de diámetro uniforme de algunos centímetros de longitud, y el otro por sólo una parte muy pequeña". Kirkaldy fue mucho más interesada en la resistencia a la fatiga del acero y (en su libro) indicó que los debates sobre el tema en las reuniones de la Institución de Ingenieros Civiles bajo la presidencia de Robert Stephen- hijo en 1850 (véase la página 163). Está de acuerdo con el punto de vista del presidente que la vibración no puede producir recristalización de acero. Hace su propio análisis y demuestra que la hipótesis de recristalización es innecesaria para explicar el carácter frágil de la fatiga fracturas. El autor muestra que una fractura frágil puede ser producido en materiales blandos por ehanging la forma de los especímenes por lo que el lateral contraetion se han limitado a la ruptura, como en el caso de una Slrenglh. s/ Materiales en (el período ¡867-1900 279 Modelo rectangular con un profundo surco. También muestra que la aparición de fractura puede ser cambiado "mediante la aplicación de las cepa y, por lo tanto sud de repente comienza a representar el espécimen más Hable de broche, de tener menos tiempo para estirar". En el estudio de la coid elfect de trabajar en las propiedades mecánicas de hierro, Kirkaldy discrepa con la opinión de que el aumento de la resistencia a la tracción se debe a "el efecto de consolidación." se muestra por prueba directa que la "densidad de hierro es reducido por el proceso del tornillo de dibujo, y por el mismo proceso de laminación en frío, en lugar de aumentar, ya que anteriormente había imaginado." Kirkaldy considera que información útil acerca de las propiedades del hierro y el acero se puede encontrar mediante el examen de la estructura estos metáis antes mencionada. El autor muestra que la "textura de diversos tipos de forja de hierro es beautifulty desarrollado por inmersión en ácido clorhídrico diluido, que, actuando en el entorno las impurezas, expone la parte metálica de examen." De esta manera, considera que "en el fibroso frac De este esquema de trabajo de Kirkaldy, vemos que este excelente experimente!- y explicó muchas de las cuestiones importantes en el campo de pruebas mecánicas de los materiales y su libro es de interés para los ingenieros ocupados con este tema. Con una gran expe- riencia práctica con su fia ir para observar cualquier cosa fuera de lo común, Kirkaldy fue capaz de resolver, en su su vez ha realizado una laboratorio, muchos de los problemas prácticos que aróse rápidamente en el desarrollo estructural y las industrias mecánicas. En el continente, el material de los laboratorios de ensayo desarrollado como gobierno de preocupaciones. Llegaron a un nivel particularmente alto en Ger,1 donde fueron rúa por las escuelas de ingeniería y se utiliza no sólo para la realización de pruebas para el sector industrial, pero también para el trabajo de investigación del personal docente y para fines educativos. Tal disposición fue beneficioso tanto a la enseñanza de la ingeniería y a la industria. El primer laboratorio de este Idnd fue fundada en 1871 en la Polytech enti- Instituto de Munich. Su primer director, Johann Bauschinger (1833- 1893), fue el profesor de mecánica en el Instituto. Tuvo éxito en lograr que una máquina que había instalado una 100 toneladas de capacidad. Este dispositivo fue diseñado por Ludwig Werder (1808-1885)2, y en 1852 para Maschinen- 1 Por la historia de las pruebas materiales en Alemania, véase R. Baumann, Beilr. GeschichU Technik u. Industrie, vol 4, pág. 147, 1912. Véase también A. León, "Die Entwicklung untl (lie Bestrebungen der Materialprüfung", Viena, 1912. 2 Para una biografía de Werder, vea el libro "Groase Ingenieure" de Conrad Mat- sehoss, 3d ed., 1942. 280 Hislory de resistencia de materiales Están directamente a cargo Nürriberg. provecí muy adecuado para experimentos incluían- Ing una precisión mayor que se había logrado antes y después, la mayoría de los Importante laboratorios europeos instalado máquinas similares. Para medir pequeñas deformaciones elásticas, Bauschinger inventó un Espejo extensometer1 lo que le permitió medir con exactitud, la unidad Alargamiento de la orden de 1 X 10-6. Con este delicado instrumento, Investigar las propiedades mecánicas de los materiales con mayor Precisión de lo que se había logrado por los anteriores trabajadores. Hacer tracción Pruebas de hierro y acero templado, se dio cuenta de que, hasta un cierto límite, estas Seguimiento materiales ley de Hooke muy exacta y que, mientras elonga- Las naciones unidas siguen siendo proporcional al estrés, que son elásticas y no permanente Puede ser detectado. De estas pruebas, Bauschinger concluyó que podía Es de suponer que el límite elástico de Hierro o acero coincidió con su pro- Dere apropiado límite. Si él seguía Aumentar la carga en un espécimen Más allá del límite elástico, la elonga- Las delegaciones comenzaron a aumentar a mayor Tasa de la carga y, en un determinado Valué de la carga, lo que supone un fuerte incremento en Deformación que ocu- Utilizándo a crecer con el tiempo y en el Carga que se mantuvo constante. Este Limitación de la carga valué define la Punto de rendimiento del material. El rendimiento Punto de acero suave es planteado por la carga- El espécimen más allá de la inicial Punto de rendimiento y el máximum valué De la carga nos da la nueva valué del punto de rendimiento si la segunda carga Se inicia de forma inmediata. Si la segunda carga después de un intervalo de Varios días, el punto de rendimiento se convierte en algo más que el máximum En la primera carga. Bauschinger observado también que un espécimen que Se extiende más allá del punto del rendimiento no muestra una perfecta elasticidad y Tiene un muy bajo límite elástico bajo una segunda carga si se sigue la primera Se extiende a la vez. Pero, si existe un intervalo de varios días entre Las cargas, el material recupera su propiedad elástica y exhibe una pro- Límite dere apropiado que es algo mayor que sus primeras valué. Bauschinger examinó las propiedades del acero dulce cuando está sometido a Fio. 168. Johann Bauschinger. Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 281 Límite elástico inicial en aciagos, en su límite elástico eompression es baja. Su valué puede ser planteada por someter la muestra a eompression, pero si este producto eompression más allá de cierto límite, el límite elástico en tennatural límites elásticos en aciagos y eompression. Da por supuesto que el límite elástico inicial dependen de los procesos tecnológicos que el material ha sufrido y que los límites naturales representan el "verdadero" climatología física. El autor afirma que, en la medida en que el modelo sigue siendo dentro de los límites naturales de la elasticidad del material puede soportar un número ilimitado de ciclos y no hay ningún riesgo de falla por fatiga. Bauschinger publicó sus resultados en Mitleilungen, que al parecer cada año, y que fueron leídas por muchos ingenieros que participan en el mismo tipo de trabajo. Después de este trabajo pionero en Munich, investigaciones experimentales de los materiales estructurales se iniciaron en muchos otros lugares. En 1871, el laboratorio de prueba de los materiales se organizó en el Berlín Polytechnicum1 por A. Martens, quien más tarde publicó un libro2 describe los distintos métodos de prueba y de los equipos que fueron empleados. El año 1873 vio la apertura de un laboratorio similar en la Viena Poly.8 En el año 1879, el material de laboratorio de ensayo en el Zúrich Instituto Politécnico fue inaugurado, y en virtud de la direetorship del Profesor Ludwig von Tetmajer (1850- 1905), se ha ganado la reputación de ser uno de los más importantes laboratorios de en Europa. C. Baeh aceptó una cátedra en Stuttgart Instituto Politécnico en 1879 y formó un material de laboratorio de pruebas. Bach estaba principalmente interesada en la aplicación de la fuerza de los materiales de diseño de la máquina, y el laboratorio researeh no sólo para trabajar en las propiedades del material, sino también para generar soluciones a los diversos experimental prob'1 "Elasticitát und Festigkeit " que se hizo popular con ingeniería mecánica En Suecia, el interés por este tipo de pruebas mecánicas de los materiales se ha centrado sobre la industria del hierro y el acero: En 1826, P. Lagerhjelm ha hecho mucho 1 Para la historia del desarrollo de esta Germán laboratorio, consulte el libro "Das Ttónigliche Materialpríifungsamt der el Hochschule", Berlín, 1904. 2 A. Martens, "Handbuch der Materialienkunde für den Maschinenbau", I Teil, Berlín, 1898; II Teil con E. Heun, Berlín, 1912. 3 Para obtener una descripción de ese laboratorio y su trabajo, véase K. Jenny, " Festigkeits- und die dabei Versuche venvendeten Maschinen und Apparate der K. K. tech 4 "Elasticitiit und Festigkeit, " -lst ed., 1889; 6acd., 1911. 282 Historia de resistencia de materiales Trabajo en este tema y, como hemos visto (vea la página 102 ), que construyó una máquina especial para este fin. Esta máquina se utiliza ampliamente por Knut Styffe en su trabajo con el hierro y el acero utilizado en trenes Suecos engi.1 Styffe era el director del Instituto Tecnológico en Stock- holm. En 1875, la industria del acero sueco establecer un material de laboratorio de ensayo en Lilj eholmen Werdcr e instalar una máquina de 100 toneladas ca- pacidad junto con una prensa hidráulica por Amsler-Laffon . En el año 1896, el Werder la máquina fue trasladado a un nuevo laboratorio en el Instituto Politécnico de Estocolmo. Pruebas Mecánicas se inició en Rusia de Lamé, que probaron el Ruso hierro utilizado en la construcción de los puentes en suspensión San Petersburgo. Su máquina de pruebas fue colocado en el Instituto de Ingenieros de Caminos de comunicación donde fue profesor de mecánica. Se siguió trabajando en P. I. Sobko2 ( 1819-1870) fue profesor de ingeniería de puentes en la misma escuela. El laboratorio ampliado mucho y se convirtió en el laboratorio más importante en Rusia bajo el director- "barco de la puente ingeniero ruso conocido N. A. Belelubsky (1845- 1922), quien defendió enérgicamente el establecimiento de relaciones internacionales pueden encontrar formulaciones de materiales y pruebas en que participó activamente en la organización de la Sociedad Internacional de las pruebas materiales. Para representar los resultados experimentales de diversos laboratorios comparables, es necesario que haya cierta uniformidad en el techniquc de pruebas mecánicas. A tal fin, el Profesor Bauschinger organizó una conferencia en Munich en 1884. Fue un gran éxito. Setenta y nueve investigadores de diversos países asistieron a la reunión y muchos tomaron parte en los debates. El comité fue elegido para la elaboración de especificaciones para los diversos tipos de pruebas, y la mayor parte de su labor preliminar fue aprobado por la segunda conferencia que tuvo lugar en la ciudad de Dresde en 1886. Durante la Exposición Internacional de París en 1889, un Congreso Internacional de Mecánica Aplicada convocado, y una sección de ese congreso en pruebas mecánicas de los materiales. Las obras de Kirkaldy, Bauschinger, Barba, y se examinaron3 y el espa- 1 Los resultados de la investigación fueron publicados en años (Martin Jern-Iíontorets Ann., 1866. Una breve discusión de esta importante obra es incluida en el libro "Festigkeit-Proben Schwedischer Materialien", Estocolmo, 1897, prcpared para el Congreso Internacional de prueba de los Materiales en Estocolmo. 2 P. I. Sobko graduado en 1840 del Instituto de Ingenieros de Caminos de Com 3 El informe de esta sección oceupies la mayor parte del tercer volumen de la publicación Hay Congresos de Mécanique Appliquée, Paris, 1891. Da una buena imagen de la condición de pruebas mecánicas de los materiales en ese momento. Fuerza de Moleríais en el periodo 1867-1900 283 Sity categorra geométricamente semejante prueba utilizando muestras fue ampliamente reconocida. En La sesión de clausura, se decidió por unanimidad la var- Según trascendidos los gobiernos en relación con el establecimiento de una sociedad internacional Para la realización de pruebas materiales. El primer Congreso Internacional se llevó a cabo en Zürich con el Profesor L. Tetmajer con el presidente de la República. La mayoría de los países se adhirieron Esta organización y el trabajo posterior de los Congresos Internacionales que Mucho para fomentar nuevos métodos de prueba las propiedades mecánicas de los materiales. 60. El trabajo de O. Mohr ( 1835-1918) Otto Mohr nació en Wesselburen en Holstein en la costa de la Mar del Norte. Cuando tenía dieciséis Años oíd, entró en el Hannover Instituto Politécnico, y después Graduarse, trabajó como un problema estructural Ingeniero de la construcción del ferrocarril- Las carreteras en Hannover y Oldenburg. Durante este período, Mohr diseñado Algunas de las primeras vigas de acero en Alemania Muchos de ellos. También hizo algunos teóricos Trabajo y publicado varios im- Documentos importantes en el Zeitschrift des Architekten- und 1 ngenieur-Vereins De Hannover. Libro de Mohr1 en los ee.uu. de la Curva funicular elástica en la búsqueda Defiections de vigas, su derivación De los tres momentos de una ecuación Viga continua los soportes de Que no están en el mismo plano, y también las primeras aplicaciones de influencia Las líneas fueron publicados. Cuando treinta y dos años oíd, él ya era un conocido ingeniero y fue invitado por el Stuttgart Polytechnilcum para convertirse en el profesor de la facultad de ingeniería mecánica de este instituto. Él aceptó, y durante los cinco años 1868-1873 ofreció conferencias en que sehool en las distintas ramas de la ingeniería mecánica. Estaba particularmente interesado en ese momento a la hora de diseñar métodos gráficos para la solución de los problemas de la teoría de las estructuras y en el que se ha roto muchas novedades en la ciencia de estática gráfica. Mohr es un muy buen profesor, y sus conferencias ha despertado gran interés en sus alumnos, Z. Architek1. u. Ing. Ver. Hannover, 1868. 8DeAgosto Foppl, "Lebenserinncrungen", Munich, 1925. 284- Hislory de resistencia de materiales Fdppl indica que todos los estudiantes se acordó que Mohr sus mejores Profesor ( Lehrer von Gottes Gnaderi). La entrega de sus conferencias no eran De los mejores, ya que a veces las palabras carne a él muy lentamente y sus sketches En la pizarra eran pobres. Pero las conferencias fueron ahvays claro y Estructura lógica y trató siempre de traer algo fresco y Interesante a la atención de los estudiantes. El motivo de sus estudiantes de inter- Est en sus conferencias se deriva del hecho de que no sólo lo sabía el tema Completamente pero él mismo había hecho mucho en la creación de la ciencia Presentado por él. En 1873, se trasladó a la ciudad de Dresde Mohr y continuó enseñando en el Dresden ampliar sus hasta la edad de sesenta y cinco años, cuando se jubiló. El orador Pasó los últimos años de su vida en una tranquila zona del barrio de Dresde y continuando su ciencia Trabajo. Mohr sus mejores trabajos se encuentra en la teoría de estructuras, en las que se tratará en el capítulo siguiente, pero su contribución a la fuerza de los materiales es también muy importante. Fue el primero en comunicación1 que la ecuación diferencial de la curva funicular D * y dx2 II (O) FIG. 170. Construid o para una carga de variables en- Me- dias q distribuidos a lo largo de la línea element afí (Fig. 170) Tiene la misma forma que la ecuación diferencial D'y dx 2 El (B) De la línea elástica. De este modo, se deduce que la deflexión curva puede ser construida como la curva funicular de un ficticio M carga de intensidad por conseguir la pole distancia igual a la rigidez de flexión del eje. También teniendo en cuenta que la coordinación e (entre la curva funicular la acb y la línea de cierre ab), cuando se multiplica por el polo distancia H , da una measD de la viga AB, Mohr concluye que el haz las desviaciones pueden ser calculadas a partir de los momentos de flexión inducidos por un rayo, carga de intensidad M/EI, que simplifica en gran medida el problema de encontrar desviaciones. Ya no es necesario(b), y las deformaciones son obtenidos a partir de simple 1 Ver el papel en la Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannoier, 1868, p. 19. Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 285 Staties. Este simplifieation es especialmente genial, Mohr muestra, en vigas De sección transversal variable. Aplicando su método a un haz simplemente apoyados (Fig. 171A) y eon- Estudia dos secciones c y d, Mohr demuestra que si una carga P es en primer lugar Aplica en c y la deflexión se mide en "d" y en segundo lugar, la misma carga Se aplica a d y la deflexión se mide en c, entonces la medida Las desviaciones de estas dos condiciones de carga son iguales. Con este Resultado, Mohr considera que el problema en el que es necesario calcúlate Las desviaciones en cualquier sección transversal de la viga (decir d ) . a través de un Forcé que pueden actuar en diferentes posiciones a lo largo de la viga. Para este fin Plantean que construye la línea elástica el acdh (Fig. 1716), toa correspondiente unidad de carga Aplicado a d. y denote la deflexión En cualquier momento. A continuación, en la fuerza De los resultados, se concluye que una Unidad de carga aplicada en c produce en d la Deflexión y y cualquier carga P aplicado en c Produce una deformación yP en d. Por lo tanto, vha La deflexión acdb curva, a la vez Obtiene la desviación a d para cualquier posición de la carga. Mohr calis el Curva acdb la influencia de la deformación en d. Uso de la noción de Superposición, Mohr muestra que, en el caso de que varias cargas Pi, P2, P3 . . . L e y d e La viga y y, y2, y3 .. . Son las coordenadas correspondientes de la influencia Ence línea y, a continuación, la deformación en d producida por estas cargas será igual a 2P(yi. Este es el primer uso de las líneas de influencia engineering.1 En el mismo Papel (de 1868) Mohr también se describen las vigas continuas y oft'ers un gráfico- Ical solución de ecuaciones los tres momentos. Otra importante obra de Mohr de la fuerza de trabajo materiales es su representación gráfica del estrés en un destino.2 en la teoría matemática de la elasticidad, el elipsoide de estrés se utiliza para este fin (véase la página 109), y de dos problemas de dimensiones que tenemos que considerar la elipse de estrés. En el "Institut Statik" (p. 226, 1866), Culmann ya habían mostrado que el estrés en un sistema bidimensional puede ser representado por un círculo, (consulte la página 195), lo que simplifica enormemente la probat y a2 ( Fig. 172), demuestra que la normal y la rotura de los componentes de r y el estrés de la plañe mm definida por el ángulo < ¡> son dadas por las coordenadas del punto R definida por el ángulo 2 <t> en el círculo construir.ed como se muestra 1 Mohr en su "Abhandlungen", 2a. ed., pág. 374, 1914, señala que a la misma hora y con independencia de él, Winkler utiliza también el concepto de influencia linc3 .Ver documento de Winkler en Mitt. Archüek. u. Ing. Ver. BShmen, 1868, p. 6. 2 Ver Civiting., 1882, pág. 113. C 1 D (A) * -------- : 286 Hislory de resistencia de materiales En la Fig. 173. El diámetro del círculo AB es igual a <r¡ - <r2 y sus extremos A y B definen las tensiones sobre los principales planos perpendiculares a Ti y < 72. Proceder de la misma forma en el caso de tres dimensiones con los principales destaca la trh a- >, < 7: ¡, Mohr considera que el estrés actúa los componentes de los aviones pasando por los ejes principales puede ser representada por el coordínales de puntos de los tres círculos se muestra en la Fig. 174. El más grande de los tres círculos tiene un diámetro igual a la diferencia Ai - tx 3 entre los mayores y los más pequeños de las principales tensiones y Define las tensiones en los aviones pasan por el eje de la Principal medíate estrés o-2. Mohr también muestra cómo el estrés actúa sobre Los aviones que se cruzan los tres ejes principales puede ser representada por el coordinador Las de algunos puntos del diagrama (Fig. 174) Y demuestra que todos Estos puntos se encuentran en las zonas de sombra. Si tomamos algunos valué de normal Estrés, tales como la dada por EL DEPARTAMENTO DE OPERACIONES, Existe un número infinito de Aviones de la misma normal com- Poniente de estrés. Los puntos polí- La magnitud de la rotura Destaca en los aviones se encuentran en Las porciones EFand de la per- Pendicular a través de la punta D, y Se observa que, de todos los planos de la Mismo valué del estrés normal Componente, dado por la longitud OD, la más grande de la esquila valué estrés, corresponderá a los aviones pasar Intermedíate a través del eje principal, las tensiones que se han definido para Por el coordínales de los puntos F y F \. Mohr ahora utiliza este método de representación estrés en el desarrollo de su teoría de strength.1 en ese momento, la mayoría de los ingenieros trabajan en estrés analmáximum, cepa teoría como su 1 Ver Z. Ver. deul. Ing. , 1900, pág. 1524. Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 287 Criterio de fallo. Las dimensiones de los elementos estructurales se fija de tal manera que el máximum tensión en el punto más débil en la condición más desfavorable de carga no sobrepase el alargamiento en simple unidad aciagos. Pero durante muchos años ha habido institu- científicos que consideran que la acción de esfuerzos de corte es importante y debe ser considerado. Coulomb ya han asumido que los fracasos son provocados por esquila destaca. Vicat (vea la página 83) criticaron la teoría elemental de esquila en el que destaca no se consideran Lüder ( Lüders, y señala a la atención de las líneas de rendimiento que aparecen en la superficie de los especímenes pulido elástica si se estira más allá plazo1 en vez de Mohr ya existen algunos resultados experimentales obtenidos por Bauschinger, quienes, mediante su instrumentos sensibles, determina los límites elásticos de acero en aciagos, eompression y cortante. Estos resultados no coinciden con el máximum cepa teoría. Mohr, paner en su de 1882. trata de Banschinrmr eyperimñnt.s y oritimesjÜie liquidadas eompression resultados de pruebas realizadas ingenio.h cnbjc speeimeiy; en t.ha groiiiids t.ha( . -frif.t.ioii actinmon fuerzas el cubo superficies en r.tnp " .r.t. ingenio.h t.máquina de hp placas debe tener un gran efecto en la distribución de la tensión para que los resultados no son los de un simple eompression prueba. Mohr utiliza su representación de destaca por los círculos (Fig. 174) Para elaborar una teoría fuerza que puedan adaptarse a diversas condiciones de estrés y en mejor acuerdo con los experimentos. Que se supone que de todos los planos de la misma magnitud de estrés normal los más débiles, en la que falla2 es más probable que oecur, es que con el máximum esfuerzos de corte. En tales circunstancias, es necesario considerar sólo el círculo más grande en la Fig. 174. Mohr calis que es el principal círculo y sugiere que esos círculos deben ser construido cuando experimentar para cada situación de estrés en que se produzca el fallo. Figura 175, por ejemplo, muestra como principales círculos de hierro fundido t.denotan a la fractura en aciagos, eompression, cizalla y en puré (torsión). Si hay un número suficiente de esos principales círculos, un sobre de esos círculos se puede sacar, y es de suponer que con suficiente precisión, para cualquier situación de estrés para los que no hay datos experimentales, la principal limitación círculo correspondiente, el sobre. Para instanee, a la hora de considerar hierro fundido, Mohr sugiere que el sobre se tendrán en cuenta en el exterior dos círculos tangentes a las I y II (Fig. 175), lo que corresponde a la experimentación en las fracturas eompression y aciagos. El ultímate fuerza de cizallamiento se encuentra por círculo de dibujo III, que tiene su centro en O y es tangencial a la dotación. Si el valor de <rt y < r" son la absoluta valúes del ultímate fuerza de 1 Ver su papel en Dinglers Polytecli. J., 1860. Véase también L. Hartmann, "Distribución des déformations dans les métaux géog á des esfuerzos", 1896. 2 Mohr considera fracaso en un sentido amplio; puede estar produciendo el material o fractura. 288 Historia de resistencia de materiales El material en tensión y compresión, encontramos en la figura que el ultímate es fuerza de cizallamiento Que acepta satisfactoriamente con los experimentos. Teoría de Mohr atrajo gran atención por parte de los ingenieros y físicos. Una cantidad considerable de trabajo experimental se ha realizado en relación con ella y esto se discutirá más adelante (véase la página 346). 61. Energía de deformación y Teorema de Castigliano Hemos visto que Euler utiliza la expresión de la energía de deformación de flexión de barras en su derivación de la ecuación diferencial de la curva elástica (consulte la página 32). Verde, en el debate sobre el número necesario de las constantes elásticas, asume que la energía de deformación es una función homogénea de segundo grado de la cepa componentes (consulte la página 218). Lamé en su libro de la elasticidad (primera edición, 1852, véase la página 118) habla de teorema de Clapeyron, en el que se afirma que el trabajo realizado por las fuerzas externas sobre una deformación elástica durante es igual a la energía de deformación acumulada en el sólido. Suponiendo que los desplazamientos que ocurren durante la deformación elástica del cuerpo son funciones lineales de fuerzas externas, el trabajo realizado por estas fuerzas serán <Jt<Tc Tu u - - ¡- <Tl + Ce - + <r Fio. 175. (A) Donde P es el forcé en punto i y r¡ es el componente de la dis V De los sólidos es representada por la integral Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 289 Teorema de Clapeyron y estados que T = V (C) En el análisis de vigas los miembros redundante, el ingeniero militar italiano L. F. Ménabréa sugirió el uso de la expresión de la energía de deformación de la truss.1 afirma que las fuerzas X\, Xi, X3, ■ . actuando en la redundante los miembros deben ser tales que la energía de deformación un míni- mo. De esta manera obtiene las ecuaciones, Que, junto con las ecuaciones de estática, son suficientes para determinar las fuerzas en todos los bares del armazón. Vemos que Ménabréa utiliza los principios pero no le dan una prueba aceptable de este prin Castigliano nació en Asti, Italia. Después de varios años de trabajo como profesor, él entró en el Instituto Politécnico de Turín 1870 y allí, como un estudiante, que han hecho un excelente trabajo en la teoría de las estructuras. Su tesis de grado del ingeniero responsable de la escuela, presentado en 1873, contiene una declaración de su famoso teorema con algunas aplicaciones a la teoría de las estructuras. En una forma más amplia, el trabajo fue publicado por la Academia de las Ciencias Turín en 1875,2 en un primer momento, la importancia de este trabajo no fue apreciado por los ingenieros, y para que se conozca mejor, Castigliano publicó su trabajo junto con una prueba completa de su teorema y con numerosas aplicaciones, en French.3 La temprana muerte de Castigliano puso fin a la carrera de este brillante científico. Pero su teorema se ha convertido en un reconocido principio de la teoría de las estructuras. Muchas publicaciones de tan extraordinaria los ingenieros, H. Müller, Breslau en Alemania y Camilo Guidi en Italia se han basado en él. A la hora de derivar su teoría, Castigliano comienza con un examen de racimos con bisagras. Si las fuerzas externas se aplican en las bisagras y los bares tienen prismatical forma, la energía de deformación de tal sistema es de la forma 1 Ver completo rend., vol. 46, pág. 1056, 1858. * Allí rear accad. sci. Torillo, 1875. 3 A. Castigliano, "Théorio de 1' équilibre des systémes élastiques", Turín, 1879. En el aniversario de Castigliano ñftieth la muerte, el libro "Alberto Castigliano, Selecta" fue editado por O. Colonnetti. Castigliano que contiene la tesis de grado de ingeniero, y la parte principal de su publicación. Una traducción al inglés del libro fue realizado por E. S. Andrews, Londres, 1919. ( ") 290 Ilislory de resistencia de materiales Y, a partir del teorema de Clapeyron, se deduce que ( /) La suma de la izquierda se extiende a todos los cuales se cargan las bisagras, y que en el lado derecho, en todas las barras de la armadura. Castigliano asume que el sistema es tal que la deílections son funciones lineales de fuerzas externas. Sustitución de estas funciones en el lado izquierdo de Eq. ( / ), que puede representar la energía de deformación como circunscrita compuesta por de segundo grado de las fuerzas externas P¡. Utilizando el mismo las relaciones entre la deílections y de las fuerzas, que también pueden representar las fuerzas funcV lineal en su investigación y demuestra dos importantes teoremas. En primer lugar, se supone que V está escrito como una función de los desplazamientos Ti. Si por ligeros cambios en las fuerzas P¡, Sr, pequeños cambios en el disr¡ se producen, la cantidad total de energía de deformación de la armadura será cambiado por la pequeña cantidad Evidentemente esta cantidad debe ser igual a la labor realizada por las fuerzas externas durante los pequeños cambios en los desplazamientos, es decir, a Que tiene que tener para cualquier selección arbitraria de las cantidades valúes 8 r ¡ . De e s t e mo d o , s e d e d u c e q u e Ferentiating V con respecto a cualquier desplazamiento r¡, representan el correp¡. En la formulación de su segundo teorema, Castigliano se supone que V se escribe como una función de las fuerzas externas Pj.1 Así que, si algo De esta manera obtiene la ecuación (G) Para todos i. Esto significa que las funciones lineales, que se obtiene por el dif- Castigliano 1 comentarios que estén las fuerzas independientes , lo que significa que las fuerzas reactivas, que se puede calcular mediante las ecuaciones de estática, se dan a las funciones de las fuerzas P¡ para el cálculo de la energía de deformación . Slrenglh de materiales en el periodo 1867-1900 291 Las fuerzas del cambio, el cambio en la energía de deformación, bo Y, en lugar de Eq. (G), obtenemos (H) El lado derecho de esta ecuación, lo que representa un incremento del trabajo i "ZPjTi, se puede colocar en otra forma si tenemos en cuenta que 2 P¡ 6r{ = í &SP, f r ] = ¿ 2 P; Sr ¡ + i 2 r , SP, de lo que se desprende que 2Pf 6r¡ = dP{ Onu Sustituyendo en Eq. ( /I), obtenemos Porque se trata de cualquier arbitrariamente valúes de 8P¡, el escritor concluye que Por lo tanto, si la energía de deformación V se escribe como una función de la independiente las fuerzas externas, la derivada de la función con respecto a cualquier uno de Las fuerzas le da el correspondiente desplazamiento del punto de aplicación de la forcé en la dirección de la forcé. Con este método de cálculo general desviaciones, Castigliano contras actuar a lo largo de la línea ab ( Fig. 176O) de un sistema elástico, el derivativo dv/ <se da el aumento de la distancia ab debido a la deformación del sistema, por ejemplo de una armadura que contiene a y b de las bisagras. En el caso de dos fuerzas perpendiculares a la línea ab en el armazón y forma- FIG. 176. 292 Historia de resistencia de materiales Ing un par M ( Fig. 176B), la derivada dv/dm da el ángulo de rota- De la línea ab. Castigliano aplica estos resultados para el análisis de armaduras con redundancia Nuestros abundantes bares y da una prueba de la divisi� de menos trabajo. En este anal- Elemen, le quita todo redundante bares y sustituye a la acción de la Resto del sistema por parte de las fuerzas, como se muestra en la Fig. 177B. El sistema está ahora Determínate estáticamente y su energía de deformación Vi es una función de la externa Pi y las fuerzas de las fuerzas desconocidas de la redundante bares. En La fuerza de lo que se dice en lo que se refiere a la Fig. 176A, el autor llega a la conclusión de que - DVI/dXi representa el incremento de la distancia entre las articulaciones un Y b. Este aumento es claramente igual a la elonga- De la barra ab en el sistema redundante (Fig. 177A); por lo tanto, se obtiene la relación Dvj Xjli Dx t EAI (K) Observando que el lado derecho de la ecuación Representa el valor de la derivada con respecto a X , de la Energía de deformación XiH¡ / 2EA¡ de la redundante bar, y Lo cual denota la energía de deformación total del sistema con Bares, incluyendo redundante por V , puso Eq. (K) en La forma DV Dx¡ 0 (D Que expresa el principio pedagógico de menos trabajo. Los resultados que se obtuvieron en principio para con bisagras de análisis fueron generalizadas cerchas de Castigliano extender a un sólido elástico de cualquier forma. Desarrolla las expresiones de la energía de deformación de barras bajo diversos tipos de deformación y utiliza estas expresiones en numerosas aplicaciones de la teoría en el análisis de problemas estáticamente indeterminados de las vigas y arcos. Mirando a través de todas estas aplicaciones, es fácil ver que es muy poco lo que se ha agregado a esta rama de la teoría de las estructuras desde Castigliano escribió su famoso libro. La principal Castigliano generalización de la teoría se debe a F. Engesser. Castigliano1 Mientras que siempre supone que los desplazamientos de las estructuras son funciones lineales de las fuerzas externas, hay casos en los que este supuesto no es válido y su teorema no puede aplicarse. Engesser introduce la noción de la energía complementaria para dichos casos, muestra que los productos derivados de la energía complementaria con respecto a las fuerzas independientes siempre que los desplazamientos (las relaciones entre 1 Ver su papel en Z. Archilek. u. Ing. Ver. Hannover, vol. 35, págs. 733-744, 1889. Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 293 Las fuerzas y los desplazamientos pueden ser no lineal). Nos ilustran esta por el ejemplo sencillo de dos barras idénticas y articulada a la e inmuebles apoya AB ( Fig. 178A). Cuando no cargado, los bares se encuentran a lo largo de la línea recta ACB. Si un central forcé P se aplica, la bisagra C, por su parte, se traslada a la Ci a través de la distancia 5 y, a partir de Un simple análisis, encontramos - 4 P AÉ (M) Donde l y A indicar la longitud y el área de sección transversal de las barras, respectivamente. La curva Odb en la Fig. 1786 Representa 5 como una función de P y el Odbc zona da la energía de deformación V = I' PdS = -- ^ep= J 4 \ /AE -Í ----- 1 ------------V -Í-l --------------------- > c s c P (A ) Esta no es una función de segundo grado en la forcé P, de manera que la rela- tivos dv/dp no da a los deflec- h. La energía complementaria Vi, de acuerdo con Engesser, está representada por el área Odbg, y hemos V' =rup- <mi P 37PS P * dP = - 4 \ /AE La derivada de esta expresión con respecto a P da la valué de 5 representado por Eq. (M). Engesser de trabajo ha recibido poca atención desde análisis estructural se ha interesado maiidy con los sistemas que cumplen de Castigliano assumption.1 62. Problemas Slability elástica La introducción del acero estructural (ingeniería genera problemas de estabilidad elástica que se hizo de vital importancia. Muy a menudo engi 1 Rceently el Profesor H. M. Westergaard ha señalado a la atención de los ingenieros de Engesser cóntribution y ha dado algunos ejemplos en los que se pueden utilizar para gran ventaja. Sce Proc. Enm. Soc. R. C. Engrs., 1941, pág. 199. 294 Historia de resistencia de materiales 5,72 IZ45 N1c:AU dimensiones En cm FIG. 179. 12,45 5,25 Aún no estaban completamente claras. En trabajos experimentales con columnas, Una falta de atención se ha prestado a la final, a la exactitud Con los que la carga se aplica, y a las propiedades elásticas de los materiales. De aquï¿ ½los resultados de las pruebas no está de acuerdo con la teoría, y los ingenieros Preferido para utilizar las distintas fórmulas empíricas en sus diseños. Con el Desarrollo de mechanieal de laboratorios de ensayo y con la mejora de Declaración de los instrumentos de medición, se hicieron nuevos ataques de la experimentación Las investigaciones de las columnas. Las primeras pruebas fiables de las columnas fueron realizados por Bauschinger.1 Por Cónico con accesorios para su especímenes, se aseguró de rotación libre Los extremos y aplicación central de la carga. Sus experimentos demostraron 5,85/0,0 Io.o 6.0que,enesascondiciones,el Los resultados obtenidos a pesar de los escasos bares Aceptado satisfactoriamente con de Euler Fórmula. Abrocha especímenes más cortos Bajo esfuerzos compresivos superior El límite elástico y, para ellos, de Euler Teoría no podía ser aplicado y que Era necesario elaborar un empírico Regla. Bauschinger hace sólo un pequeño número de pruebas insuficientes para Una fórmula práctica para la columna. La investigación fue continuada por el Profesor L. Tetmajer en el Instituto Politécnico Zurich2 debajo de él, un número considerable de hierro y columnas de acero fueron probados, y como resultado se recomienda que de Euler fórmula, por lo que se utiliza para acero estructural a la hora de calcular tensiones al crítico la esbeltez relación es mayor que 110. Para más corto speciinens, una fórmula lineal se oflered que después encontró una gran variedad de uso en Europa. Figura 179 depiets el tipo de final admite que se empleaban en los experimentos de Tetmajer, que le permite la libertad de final rota.8 El estado de los conocimientos en el ámbito de estabilidad de las estructuras elásticas al final del siglo xix se puede observar en el importante libro de 1 T. Bauschinger, Mili. tech. mec. Lab. Munich, Heft 15, pág. 11, 1887. 2 "Mitteilungen der Materialprüfungs-Anstalt", Heft VIII, Zürich, 1896; 2d ed., 1901 ampliada. 3 Parece que A. Ostenfeld fue el primero en introducir la asumió las imprecisiones en la columna análisis y determinar la carga de las columnas como un cierto porcentaje de la carga que produce tensiones peligrosas. Ver Z. Ver deut. Ing. , vol. 42, pág. 1462, 1898; vol. 46, pág. 1858, 1902. Slrenglh de materiales en el Ihe Período 1867-1900 295 F. S. Jasinsky.1 Aquí encontramos una correlación de teóricos y experinental- Tal las investigaciones sobre las columnas junto con el hecho de que el autor original. Jasinsky (1856-1899) nació en Varsovia en una familia polaca. En 1872, Ingresó en el Instituto de los Ingenieros de Caminos de Comunicación en St. Petersburgo después de pasar el concurso de ingreso. Después de su graduación en 1877, Jasinsky comenzó a trabajar, en primer lugar en el Peters- Burg-Varsovia y más tarde en el Petersburg-Moscow vías férreas. En estos Los ferrocarriles, que él mismo había diseñado y construido varias estructuras importantes. En el Mismo tiempo, fue publicando ciencia Ponencias científicas. Las ponencias relativas Con la teoría de columnas Recogidas y publicadas (1893) Forma de libro para servir como tesis de El grado científico de Complemento de El Instituto de los ingenieros de Formas de comunicación. En 1894, Jasinsky se convirtió en el profesor de La teoría de las estructuras y la Teoría de la elasticidad en el Instituto. Una prematura muerte interrumpió a su Una brillante carrera docente, pero Durante los cinco años de su aprendizaje- Ing en el Instituto, él succeedecl En cuanto al aumento del nivel de teoría- Cal formación de Ruso Los ingenieros. Sus libros de texto sobre la teoría de las estructuras y teoría de elas- Ticity fueron muy leídas en Rusia. Jasinsky fue un gran profesor. En él, la escuela tuvo la singular combinación de un excelente ingeniero práctico que fue un gran sci- entist con profundo conocimiento de la materia y que era también un profesor de clase. Los estudiantes rusos en ese momento gozaron de plena libertad en la forma en que eligió para el estudio y en la distribución de su tiempo de trabajo. Sólo muy pocos asistieron a conferencias con regularidad; pero Jasinsky de aula siempre estaba lleno. Esto no estaba en modo alguno debido a su oratorio y su manera de leeturing siempre fue muy simple. El interés de los alumnos se atr&funcio nar por la claridad y la lógica de su presentación y por sus frecuentes referencias a los nuevos problemas que aróse de su gran actividad como ingeniero. Siempre había un montón de nuevos problemas para stu 1 F. S. Jasinsky, "un ensayo sobre el Desarrollo de la teoría de la columna Buck1893. Véase también su "Documentos", vol 1 , St. Petersburg, 1902, y la traducción al francés de este FIG. 180. F. S. Jasinsky. 296 Historia de resistencia de materiales Jasinsky la obra principal en la teoría de las columnas deais a los problemas que se presentan en ingeniería de puentes. Puentes en celosía (ver nota de pie de página, página 184), tenemos dos sistemas de diagonales, uno de compresión y la otra en aciagos. Jasinsky fue el primero en investígate la estabilidad del comprimido de diagonales y evalúate el fortalecimiento de las diagonales en aciagos. En su momento, varios fallos de puentes abiertos se produjo en Europa Occidental y en Itussia (Fig. 181). Las fallas fueron debido a la falta de rigidez lateral superior comprimido el acorde, y FIG. 181. Fracaso de un puente abierto. Ninguna información satisfactoria en cuanto a la adecuada selección de las rigideces flexión de los acordes y de los sectores de bndges. Jasinsky hizo una investigación teórica de este problema. A su juicio, el superior comprimido acorde de un puente abierto como un bar con extremos simplemente apoyados que se comprime por la componente horizontal de la las fuerzas de tracción de las diagonales y pandeo lateral está restringida por los verticales. Para simplificar el problema, la resistencia elástica de las verticales se ha sustituido por una distribución continua reacción elástica equivalente de un médium, y a la acción de las diagonales fue sustituido por la Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 297 Una rigurosa solución a este caso complicado de pandeo lateral y produc- La crítica valúes de fuerzas de compresión para que la parte superior y acordes Las líneas verticales de la opea puente podría estar diseñado ratioually. Jasinsky también examinó la solución exacta de la ecuación diferencial Para el pandeo lateral de prismatical bares y demostró que esta solución Da el mismo valué para la carga crítica que se obtiene por Euler de La ecuación aproximada. De esta manera, queda desmentida de Clebsch, comentario1 Que es sólo una feliz coincidencia que la ecuación diferencial aproximado Da la correcta valué para la carga crítica. Jasinsky no se contentó con el estudio teórico del lateral Pandeo de barras para, utilizando los resultados experimentales de Bauschinger, Tetmajer y Considóre,2 el pre- Preparado una tabla de compresión crítica Subraya, por razones diversas esbeltez. Éste se encuentran una amplia aplicación en Rusia Rankine, superada la fórmula. Además, mostró cómo, mediante El "redu ced" longitud de una barra, el Tabla calculada para un bar con bisagras Extremos podría aplicarse a otros tipos De pandeo lateral. Otro ingeniero que contribuyeron Gran parte de la teoría del pandeo de El período que se examina se Friedrich Engesser. Engesser (1848- 1931) Nació en la familia de un Profesor de música en Weinheim cerca- Heim (en el ducado de Badén).8 Después de haber asistido a una escuela en el hombre- Heim, ingresó en el Instituto Politécnico de Karlsruhe 1865. El orador Se graduó en 1869 con el diploma de ingeniero. Una rápida Desarrollo del sistema ferroviario se ha celebrado en Alemania, Y Engesser, un joven ingeniero, ayudaron con el diseño y cons- Puentes de ferrocarril en la Schwarzwald. Más tarde, obtuvo el Situación administrativa en Baden y ferrocarriles del ocupado se convirtió con El diseño de los puentes para ese sistema. Este fue un periodo de rápido crecimiento de La teoría de las estructuras y Engesser tomó parte activa en el desarrollo de Ment. Ha publicado varios artículos importantes que, en general, con 1 Clebsch, "Theorie der Iilasticitát ICorper fester", pág. 407, 1862. 2 Perí Odo, "Résistance des piéces comprimés", Congrds International des- de Construcción cédés, vol. 3, pág. 371, París, 1891. 3 Para una biografía de F. Engesser, ver Otto Steinhardt papel de "Friedrich Engesser", Karlsruhe, 1949. 298 Historia de resistencia de materiales Sistemas estáticamente indeterminados, como vigas continuas, arcos y puentes con los miembros y redundante con uniones rígidas. Él sabe que no beeame onty ingeniero en la práctica sino también como un experto en la teoría de estructuras, de modo que, en 1885, el Karlsruhe Instituto Politécnico lo eligió para la cátedra. Engesser pasaron los siguientes treinta años de su vida enseñando en la escuela y que ha hecho enormes avances en la teoría de las estructuras. Trabajar con la teoría del pandeo lateral, Engesser propuesto1 que el campo de aplicación de la fórmula, por lo que se extenderá por introduc- ing, en lugar de la constante módulo E, una cantidad variable E¡ = der/de, a la cual llamó " la tangente modidus. Mediante la determinación de las tange, nt mod2 que los esfuerzos compresivos en el lado convexo disminuir durante deformaciones y que, de conformidad con las pruebas de Bauschinger, el módulo constante E en vez de Et se debe utilizar para la parte de la sección transversal. Más tarde, Engesser revisó su teoría por dos diiTerent introdueing moduli para las dos partes de la cruz predeterminados.3 Engesser fue el primero en trabajar con la teoría de pandeo de columnas. "1 Él investigó la influencia de fuerzas de cizallamiento en el mag- podrán tolerar de la carga crítica y he encontrado que en sólidas columnas este eífect es pequeño y puede ser descuidada, pero que en struts celosía puede ser de importancia en la práctica, sobre todo si estas son hechas con listones. Engesser derivados fórmulas para calcular en qué relación carga de Euler debe disminuir en cada caso particular a fin de permitir la flexibilidad de lattiee miembros. Sólo en los problemas más simples son rigurosas soluciones de la ecuación diferencial de pandeo lateral. Por lo tanto, los ingenieros a menudo se ven obligados a utilizar soluciones que son sólo aproximadas. Engesser5 ofrece un método para calcular las cargas críticas por suecessive aproximación. Para obtener un grado aproximadamente 1 Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannover, vol. 35, pág. 455, 1889. 2 Schweiz. Bauz titulada., vol., 25 , pág. 172, 1895. 3 Schweiz. Bauz titulada., vol. 26 , pág. 24, 1895; Z. Ver deut. Ing. , vol. 42, pág. 927, 1898. 4 Zentr. Bauv., 1891, p. 483. Z. ósterr 6. Ing. u. Architek. Ver., 1893. Slrenglh de materiales en el periodo 1867-1900 299 La curva calculada como una nueva aproximación a la de la barra buekled y se repite el cálculo anterior, y así sucesivamente. En lugar de tomar una- expresión de la curva prevista inicialmente, el conducto se puede dar forma gráfica, y las aproximaciones sucesivas se pueden hacer en una gráfica cables.1 Engesser también se interesa en el problema de pandeo de las com2 problemas de estabilidad, sin embargo, constituyen sólo afraction de Engesser en la teoría de las estructuras. Su importante labor de secundaria hace hincapié será discutido en el capítulo siguiente. Engesser Jasinsky y mientras estaban investigando varios casos de pandeo lateral de bares, un importante papel dealiug con la teoría general de estabilidad elástica fue publicado por G. H. Bryan.3 demuestra que Kirch Más tarde Bryan asumió4 el problema de pandeo de un comprimido rectángulo 63. Agosto Fóppl (1854-1924) Vamos a concluir la historia de la fortaleza de los materiales al final del siglo xix por un debate sobre la labor de agosto Fóppl (1854- 1924). Su libro sobre este tema, que apareció en 1898, fue muy leído en Alemania y fue traducido al ruso y francés. : Un método gráfico de este tipo fue ofrecida por el ingeniero italiano L. Vianelio, Z. Ver deut. Ing. , vol. 42, pág. 1436, 1898. Una prueba matemática de la convergencia de este proceso fue dada por E. TrefTtz, ZAMM, vol 3, pág. 272, 1923. : Ver Zenlr. Hauu., 1884, 1885, 1909; véase también Z. Ver deut. Ing. , vol 39, 1895. : Proc. Cambridge Phil. Soc. , vol 6, p. 199, 1888. * Proc. London Math. Soc. , vol. 22, pág. 54, 1891. 300 Historia de resistencia de materiales Agosto Fóppl1 nació en la pequeña ciudad de Groß-Umstadt (en el Ducado de Hesse) en la familia de un médico. Recibió su elemental Educación en una escuela pública y más tarde fue al gimnasio Darmstadt. En ese momento, el ferrocarril a través de Groß-Umstadt cons- CIÓN, y el muchacho se quedó tan impresionado que decidió convertirse en estructural Ingeniero y, con ese fin, entró en el Instituto Politécnico de Darmstadt, en 1869. Parece que el nivel de la enseñanza en Darmstadt No es muy alta en esos días, y por lo tanto, después de terminar la preparación de Formación asistiera, Foppl se trasladó a Stuttgart, en 1871. Mohr fue enseñar- Ing en Stuttgart Polytechnicum Y sus conferencias causado Foppl a Dedican la mayor parte de su energía para el estudio de La teoría de las estructuras. Cuando, en 1873, Mohr tomó la Cátedra de Dresde, también Fóppl Izquierda Stuttgart y entró en el Instituto Politécnico de Karlsruhe Para terminar su enseñanza de la ingeniería. La ingeniería mecánica en que Escuela fue presentado por el Profesor Grashof (vea la página 133), pero aparentemente Sí sus conferencias no convencen Foppl, en su autobiografía, Critica severamente la enseñanza Grashof Métodos. Después de las charlas magistrales Ofrecido por Mohr, Grashof parecía demasiado i n vol ved y la falta de originalidad. En 1874, se graduó de la Fóppl Polytechnicum con el grado de un Ingeniero estructural y decidió trabajar como diseñador de puente. Pero el Situación económicas en Alemania se encontraba entonces en marea baja y trabajar en tren- Construcción de la carretera se hizo más lento hacia abajo, de tal manera que no pudo encontrar una satis- Fábrica posición permanente. Después de hacer algunos trabajos temporarios en puente Diseño de Karlsruhe y tras completar un año de militar obligatorio Formación, toma un puesto de profesor en una escuela comercial en 1876. En primer lugar, Enseñó en toneladas para St. Pétersbourg, y más tarde, tras 1877, fue en Leipzig. Tal Posición no satisfacer Foppl, pero siempre fue muy difícil en Alemania Resistencia de los materiales en el Ihe Período 1867-1900 301 Muy alto en Alemania, y los mejores ingenieros del país tendrían que competir para cualquier nueva vacante. Fóppl trabajó duro y publicó varios documentos importantes relacionados con estructuras espaciales. se encuentran también ha diseñado un edificio de mercado en Leipzig. Más tarde, recogió estos documentos y pub1 fue la primera obra de su tipo en el mundo y se hizo muy popular. En el comienzo de 1880, el rápido crecimiento de las aplicaciones industriales de la electricidad tuvo lugar en Alemania, y Fóppl se interesó en que rama de la física. Se reunió con G. Wiedemann, el conocido profesor de física a la Universidad de Leipzig y, por último el asesoramiento, empezó a trabajar en teoría de Maxwell de la electricidad. Este trabajo dio lugar a la- blicación de un importante libro2 en teoría de Maxwell. Que fue pionero en el uso de esta teoría en la República Federal de Alemania y de su autor el ñame bien conocida en la ciencia. En el año 1893, el Profesor J. Bauschinger murió en Munich, y Foppl fue elegido durante el año siguiente para sustituir este destacado trabajador en ingeniero En su autobiografía, Foppl describe los requisitos que un buen libro debe satisfacer. Hace la observación de que muy a menudo los escritores de libros pensar más en la crítica que x-eview su trabajo que sobre los alumnos. Para satisfacer a los críticos, los autores tratan de presentar los sujetos en los términos más generales y en como el riguroso una forma posible. Esto hace que 1 DeAgosto Fóppl, "Das Fachwerkim Raume", Leipzig, 1892. : + Foppl, "Einführung in die Maxwell'sche Theorie der Elektricitát", Leipzig, 1894. 302 Líistory de Slrenglh de materiales La lectura del libro difíicult para principiantes. Fóppl presentó el tema en la escritura de la misma manera como lo hizo con la palabra oral. Él usnally comenzó con simples casos particulares, que un principiante puede fácilmente comprender, y habló de ello sin int.roducing detalles superfluos. Una discusión más general y más rigurosa forma de presentación carne más tarde, cuando el estudiante se familiarizó con el fundamentáis y pudieron apreciar la forma más rigurosa. Ya existen libros muy completa en la fuerza de los materiales en Alemania, como los de Grashof y Winkler. Pero en ambos, los autores tomaron la matemática puedan definir teoría de la elasticidad, la base de su presentación de la fuerza de los materiales y de esta manera hizo que el tema demasiado difíicult stuadditional volumen para la mayoría. Este nuevo libro que popularice esta ciencia y tenía mucho que ver con la adopción de métodos más rigurosos de análisis de estrés en el ámbito de la ingeniería práctica. Este fue el primer libro sobre la teoría de la elasticidad que se ha diseñado específicamente para los ingenieros. El trabajo experimental de Foppl también es de gran importancia. Su predecesor, el Profesor Bauschinger, se interesa sobre todo en las propiedades mecánicas de los materiales y una fina técnica desarrollada en la prueba En su libro, Fóppl Saint-Venant , discretizadas mediante un concepto del siguiente y utiliza el máximum Resistencia de materiales en el periodo 1867-1900 303 Cepa teoría a la hora de derivar las fórmulas para calcular las dimensiones de seguridad las estructuras de. Pero, al mismo tiempo que estaba interesado en las distintas teorías de la fuerza y, para aclarar la cuestión de que se debería utilizar, realizó algunos experimentos interesantes. Mediante el uso de un cilindro de paredes gruesas, inder de acero de alta calidad, que ha logrado hacer ensayos de diversos materiales bajo una gran presión hidrostática. Él encontró que la iso La fatiga de Wohler experimentos de tipo, que se iniciaron en Munich por Bauschinger, prosiguió Foppl. Que se extiende a los especímenes con las ranuras y estudió las diferencias de concentración de tensión. También estudió esta cuestión teórica y mostró que en la torsión de un eje con dos partes (de distintos diámetros) conectados por un íillet la concentración de tensión depende mucho en la radio del filete. Foppl fue el primero en dar una teoría satisfactoria de torbellino de un eje flexible giran a gran velocidad y le hizo una serie de pruebas en su laboratorio Este ingeniero publicado todas sus resultados experimentales en los boletines del laboratorio. Esta revista fue iniciado por Bauschinger, y a partir de problema nO 24, Foppl continuó publicando hasta el final de su vida. Es bien sabido que los ingenieros interesados en la dotación de materiales y, en consecuencia, ejerce considerable infiuence en el crecimiento de la ciencia. CAPÍTULO X Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 64. Vigas estáticamente determinada Hemos examinado los diversos métodos empleados por los ingenieros para analizar vigas en cap. VII. En el simple casos tratados por Whipple y Jourawski, las fuerzas de la armadura de los miembros se encontraron las condiciones de equilibrio de las articulaciones. Más tarde, A. Ritter y Schwedler introdujo el método de las secciones y Maxwell, Taylor, y Cremona mostró cómo construir esquemas recíprocos. Estos métodos son adecuados para ana Algunos teoremas fundamentales de la teoría de vigas, se declaró por A. F. Mobius (1790-1868) quien fue el profesor de astronomía de la Universidad de Leipzig. En su libro sobre statics, Mobius1 analiza los problemas de equilibrio de un sistema de barras hingedtogether y demuestra que si hay n las bisagras es necesario tener no menos de 2n - 3 barras para formar un sistema rígido en una plañe y 3n - 6 barras de tres dimcnsional sistema. Mobius indica también que hay casos excepcionales en que un syst'em con 2n - 3 bares no será absolutamente rígidos, sino que admite la posibilidad de desplazamientos relativamente pequeño de las bisagras. Al estudiar estos casos excepcionales, se encuentra con que se producen cuando el determinante del sistema de ecuaciones de equilibrio del armazón las articulaciones se desvanece. Por lo tanto, señala que, si un sistema tiene el número de barras de rigidez y esencial si se supone que un bar, decir que laboratorio de longitud entre las articulaciones a y b se ha eliminado, el sistema permitirá el movimiento de los miembros como un mecanismo. Como resultado de este movimiento relativo, la distancia entre las articulaciones a y b puede ser alterada. Imagínese ahora que las con- figuración del sistema dado es tal que la distancia entre las articulaciones a y b es un máximum o un mínimum. A continuación, pequeños movimientos relativos del sistema no va a cambiar la distancia ab, lo que indica que la inserción de la barra no elimínate laboratorio la posibilidad de pequeños movimientos del sistema. Este es un caso excepcional. 1 "Lehrbuch der Statik", de agosto Ferdinand Mobius, 2 vols., Leipzig, 1837. Véase el volumen 2, capítulos 4 y 5. Teoría de Slruclures en el periodo 1867-1900 305 La importante labor de Mobius sigue siendo desconocido para los ingenieros durante muchos años, pero cuando vigas de acero beeame de importancia práctica y beeame necesarias para mejorar la teoría general de vigas, dirsi ingenieros- Mobius de teoremas. En este trabajo de rediseovery, el más prom- pales el ñame es la de O. Mohr.1 se encuentran el requisito en relación con el número de barras que son necesarias para la formación de un rígido sistema determínate estáticamente. También investigó el caso excepcional de infini La Figura 184a es un ejemplo de un sistema determinados estáticamente que puede (Por ejemplo, en la diagonal FC) mediante el principio pedagógico de desplazamiento virtual, vamos a asumir que el bar se retira y su acción sobre el resto del sistema se sustituye por los dos fuerzas iguales y opuestas, como se muestra en la Fig. 1846. El sistema ya no es rígido, y podemos asignar los desplazamientos virtuales de las bisagras. La ecuación para el cálculo de las fuerzas es ahora obtaii ed al equiparar la labor realizada en la virtual los desplazamientos de las fuerzas externas Pi, P-¿ y por las fuerzas de cero. Naturalmente la aplicabilidad del método depende de la forma de tomar el desplazamiento virtual. El método utilizado por Mohr5 se pone de manifiesto en Fig. 184C. Durante pequeños sintonizador interactivo digital ofrece, D, y E ir por- que los radios pendicularly AB, AD, y FE. En la construcción del diagrama de desplazamientos (Fig. 184C), tenemos una pole y dibujar las líneas Oh, Od, y Oe paralelos a los desplazamientos y la magnitud de uno de estos, es decir Ob, puede ser tomado de manera arbitraria. A continuación, los otros dos son los desplazamientos obtenidos por trazar las líneas ser perpendicular a la barra3 y de per- 1 Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannover, 1874, p. 509; Ziviling., 1885, pág. 289. Véase también su "Abhandlungen aus dem Gcbiete el der Mechanik", Capítulo XII, 1905. 2 Consulte el apartado "Abhandlungen", Cap. IV. 3 La perpendieularity de linas como estar y SER se deduce del hecho de que cualquier movimiento de la barra en la plañe de la figura sólo puede ser realizada por rotación alrededor del centro instantáneo. 306 Historia de resistencia de materiales Pendicular a ED . Por último, para obtener el punto c en el diagrama de la Fig. 184C, sólo tenemos que dibujar las líneas y de perpendiculares a las barras BC y CD virtual que los desplazamientos de todas las bisagras podemos leer: Aia calcúlate el trabajo virtual y escribir una ecuación para la determinación De las fuerzas desconocidas. N. E. Joukowski (1847- 1921), el conocido pionero en la teoría De la aerodinámica suggcsted1 considerando el desplazamiento diagrama de la Fig. 184C como un cuerpo rígido con bisagras en la pole y en el cual las fuerzas Pi, P2 Y <S' (rofcated por 90 grados) se aplican. La expresión de la virtual Trabajo es idéntico con que para el momento de las fuerzas de la Pole y la ecuación de equilibrio De la figura es idéntica a La de los desplazamientos virtuales. Por lo tanto, Obtenemos P\a-i + P ¿ai - Sa 3 = 0 Y S = Pm + Ptto (a) &3 Cuando la forcé, en el diagrama 184c, Pasa a través de la pole, la distancia O3 Desaparece y el Eq. (A) proporciona un infi- Nite valué de S. Esto indica que El sistema cumple con el requisito de Declaraciones de el caso excepcional de infini- Movilidad tesimal. Un método diferente de Los desplazamientos virtuales Propuesto por H. Müller-Breslau .2 El método se ilustra en la Fig. 186. Teniendo en cuenta el mismo sistema de antes y suponiendo que el bar FC es Retirado, volver a obtener una matriz extracellular no rígida del sistema virtual de desplazamientos Que deben ser estudiados. En lugar de hacer un diagrama de estos Los desplazamientos, toda la información necesaria ahora se mantiene en el mismo La figura. 5 La magnitud del desplazamiento de la bisagra B se arbi- Trariamente y el punto B' se obtiene girando este desplazamiento por 90 Grad. Desde el principio pedagógico de instantáneamente el centro, hemos llegado a la conclusión de que El punto "E ", que definió la gira desplazamiento EE' de la bisagra E es Obtenidos por dibujar la línea B'E' paralela que . El punto D' es Obtenido mediante la elaboración E'ü" paralelo a ED y, por último, el punto C ', definir La gira de la bisagra de desplazamiento C, se obtiene como la intersección 1 Ln un documento presentado en la Sociedad Matemática de Moscú 1908. Véase N. E. Joukowski "Documentos", vol 1, pág. 566, 1937. 2H. Müller-Breslau , Schweiz. Bauztg., vol 9, p. 121, 1887. FIG. 185. N. E. Joukowski. Teoría de Slructures en el periodo 1867-1900 307 Punto de las líneas rectas D'C' y B 'C' que son paralelos a CD y AC. Ahora que los desplazamientos virtuales de todas las bisagras, el trabajo virtual es Obtenidos con el cálculo de la suma de los momentos en los puntos E', I) ", C't . . . De las fuerzas externas y de aplicarse a E, D, C. . . . Al igualar la suma a cero, el La ecuación para el cálculo se obtiene. Si se Sucede que el punto C' se enmarca en la línea FC, el Forcé iníinitely S se convierte grandes; esto indica Que tenemos el caso excepcional de infin- Itesimal movilidad. Otro método general de análisis com- Fisurada fue ideado por racimos Henneberg.1 L. El método se basa en la posibilidad de Transformación de un determinado complejo de refuerzo Una simple extracción de algunos bares y Sustituirlos por otros, de forma diferente. A modo de ejemplo, se Volver a tomar el caso discutido previamente (Fig. 187A). Sustitución de la barra FC en el bar E, como se muestra en la Fig. 1876, Un simple armazón es obtenido, el En ella se destaca que se pueden encontrarse fácilmente por el dibujo el diagrama Maxwell. Let S , denotan la forcé actuando en el nuevo miembro de AE. B ( D) 187. Un auxiliar simple problema, consideramos dos iguales y opuestas fuerzas unidad como se muestra en la Fig. 187C. Let s¡" denotan la forcé en el bar AE en este caso. Si, en lugar de la unidad las fuerzas, las cargas de la magnitud del acto en la Fig. 187Rf, 1 L. Henneberg, "Statik der starren Systeme", pág. 122, Dannstadt, 1886. Véase también su "Institut der Statik Starren Systeme", pág. 526, 1911 y su articlein "Encyklo de padrino piidie der Wissenschaften", vol 4, p. 406. 308 Hislory de resistencia de materiales A continuación, una forcé de La Ss ¡" serán inducidos en el bar AE. Las fuerzas en los bares del sistema actual (Fig. 187A) son obtenidos por superposición de los casos 1876 y 187c/. El verdadero valué S serán obviamente que malees la forcé en el bar AE evanescente. Por lo tanto, obtenemos la ecuación S/ + SSÍ" = 0 Desde que la forcé S puede ser calculada. Si la cantidad s," se desvanece, tenemos el caso excepcional antes mencionados. Este método puede ser fácilmente ampliado a los sistemas en los que más de un intercambio de barras es necesario para obtener un simple armazón y ofiers un método general de análisis complicado plañe racimos. Otros métodos generales, relacionados con el mismo problema, fueron desarrollados por C. Saviotti1 y F. Schur.2 La teoría general de sistemas tridimensionales también fue creado por Mobius. El demostró que tenemos 3n - 6 barras para conectar n rígidamente las bisagras y observó que una vez más los casos excepcionales de movilidad infinitesimal. Estos son eharacterized por la desaparición del determinante del sistema de ecuaciones de equilibrio en todas las articulaciones. Dio un útil método práctico de decidir si es o no un determinado sistema es rígido. Si para algunas cargas que podemos encontrar las fuerzas en todos los miembros del sistema sin no-violencia re- lidad, el mencionado factor determinante no desaparece y el sistema es rígido. La hipótesis más simple como Mobius indica cero carga para que, si es posible demostrar que las fuerzas en todos los bares de desaparecer esta condición, el sistema es rígido. Mobius considera muy importante el problema de la auto-refuerzo espacio contenido que tiene la forma de un poliedro y muestra3 que, si el avión se enfrenta de forma triangular que poliedro son o se subdividen en los triángulos, el número de barras es sólo igual al número de ecuaciones de estática y el armazón es determínate estáticamente. La Figura 188 muestra ejemplos de estos racimos. El trabajo de Mobius de tres dimensiones sistemas también sigue siendo desconocido para los ingenieros que desarrollaron la teoría de vigas espacio independiente. Esto se hizo, en el principal, de A. Foppl, que consiguió su trabajo en el tema y fue publicado en forma de libro. "1 En este libro, encontramos tratamiento de varias cuestiones importantes relativas a las estructuras espaciales por primera vez. Libro de Foppl fue reconocido como una importante y que ha servido de base para gran parte de la obra posterior en este campo. El autor comienza por considerar tipos de estructuras, como se muestra en la Fig. 188. Estos, calis lattice estructuras (das Flechtwerk). No 1 C. Saviotti, "La Statica grafica", 3 vols., 1888. Véase también su papel en Allí accad. Nazi. Lincei, (3), volumen 2, pág. 148, 1875, volvió a casa. 2 7J. Las matemáticas. Phytilc, vol. 40, pág. 48, 1895. 3 Véase su "Statik", vol 2, pág. 122. 1 Atigust Foppl, "Das im Raume Fachwerk", Leipzig, 1892. Teoría de San ruciares en el periodo 1867-1900 309 Saber Mobius" trabajo, comenta: "El futuro de la historia del escritor engi FIG. 188. Ra determínate y analiza sus applieat.ion como refuerzo del techo (Fig. 189). Foppl estaba tan interesado en este sistema de armaduras que hizo un modelo de Tamaño considerable y se puso a prueba en su laboratorio. Estas pruebas demostraron que La suposición generalizada de las bisagras de las articulaciones no diese esa satisfacción Tory resultados en este caso como se hace para dos dimensiones de racimos. Por lo tanto, en Análisis más exactos de espacio Las estructuras, la rigidez de las articulaciones Debe tenerse en cuenta. Más adelante, explica Foppl Schwedler's1 tipo de cúpula (Fig. 190) Y diseña uno de sus Propia (Fig. 191). Su fue utilizado en La construcción del gran mar- Ket hall en Leipzig.2 para cada con- Figuración, se describen los métodos Foppl Por el uso de que las fuerzas de Las barras pueden ser calculadas para Cualquier tipo de carga. Además, se investiga la forma en que la Es necesario que las estructuras sean compatibles, por lo que la condición de infinitesimal mobil Es eliminado. En Foppl encontramos análisis de la utilización del método de Las articulaciones y el método de las secciones. En las estructuras más complicadas, el Método de los desplazamientos virtuales y Henneberg método de éxito- Plenamente aplicado por H. Müller-Breslau .3 1 Z. Bauwescn, 1866. : ·.. Schweiz. Bauzg., vol. 17, pág. 77, 1891. 3 Zentr. Bauv., vol 11, p. 437, 1891; vol. 12, págs. 225, 244, 1892. 310 Historia de resistencia de materiales Este trabajo 011 análisis de tirante chieíly fue conectado con el diseño de los puentes de metal y, en este sentido, el problema de encontrar la posición más desfavorable de una carga viva se convirtió de primordial importancia. La solución estaba íound en el método de influencia Unes. En la mayoría de los las estructuras, el principio de superposición se puede aplicar, y por lo tanto las tensiones producidas en una armadura por cualquier sistema de cargas pueden obtenerse fácilmente si el efecto de una unidad de carga moverse a lo largo del intervalo es investigado. La influencia se introdujeron para ayudar a visualizo el efecto de estrés de una unidad de carga al cambiar su posición. Ya hemos mencionado (véase la página 152) los primeros trabajos realizados en este campo por Mohr y por Winkler en 1868. FIG. 190. (B) La Fia. 191. Éste utilizó estas líneas en su libro sobre la teoría de bridges, wln'ch1 fue uno de los mejores libros en su campo y es muy leído. Fvánkel escribió el documento2 que contiene el primer systemmatic presentación de la teoría de la influencia El Grupo Ecologista. Podemos encontrar una descripción más completa de varias de sus aplicaciones en los libros3 de II. Müller-Breslau , quien fue un profesor en el Polytechnicum en Berlín y que ha hecho un gran trabajo en el uso de métodos gráficos para la solución de los problemas de la teoría de las estructuras. 1 " Vortráge über Brückenbau", vol 1, Theorie der Brüeken, Viena, 1872. 4 Civiling., vol. 22, pág. 441, 1876. 3 H. Müller-Breslau , Die institut der Statik Baukonstruktionen", 2a. ed., 1887. Véase también su libro "Die Methoden der neueren Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen", lst ed., 1886. Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 311 65. "Racimos de deflexión En el diseño de vigas, se requiere a menudo para calcúlate desviaciones. Cuando las fuerzas en todos los bares de un tirante determínate estáticamente se han encontrado cambios en longitudes de barras pueden calcularse utilizando la ley de Hooke que un problema es puramente geométrico. Conocer la elongare puede agregar un ficticio forcé y, después de hacer el cálculo, assiime en el resultado final que la forcé es igual a cero. Se ha utilizado el concepto de las fuerzas generalizadas y ha demostrado que, en el caso de dos iguales, y lo contrario las fuerzas P actúa a lo largo de una línea recta, el valor de la derivada dv/dp ofrece el cambio en la distancia entre los puntos de aplicación de las fuerzas, mientras que en el caso de una pareja M, aplicada a un sistema elástico, el derivado dv/dm da el ángulo de rotación del elemento del sistema en el que la pareja se aplica (consulte la página 289). Como se mencionó antes (consulte la página 205), Maxwell dio otro método para calcular los desplazamientos de las articulaciones de una cercha (antes, después, Castigliano). Pero lo ha presentado en una forma abstracta, que el método ha pasado inadvertido para los ingenieros y uso adecuado del mismo fue sólo después de su descubrimiento de dirsi Mohr.1 Mohr, a pesar de no saber de publicación de Maxwell- ros el método mediante el principio de trabajo virtual y demostrado su importancia práctica con ejemplos. Para ilustrar método de Mohr, consideremos los problemas discutidos anteriormente y se muestra en la Fig. 141A (página 205). Podemos calcúlate la deflexión de un conjunto DE pro2, ... . a la hora de resolver esos problemas, Mohr cona/ de un bar i y la correspondiente desviación del conjunto A, se elimina el bar y reemplaza a su acción en el armazón de las dos fuerzas iguales y opuestas s¡. Considerando los otros bares como absolutamente rígidos, obtiene un sistema con un grado de libertad en la que, la unidad de carga, las reacciones en los apoyos, y las fuerzas de la ley. Dado que estas fuerzas están en equilibrio, su labor durante los desplazamientos virtuales debe desaparecer. Por lo tanto, se obtiene la ecuación -Si la Ab' + 1 • da' = 0 Desde que 1 (A) * Ver Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannouer, 1874, p. 509; 1875, pág. 17. 312 Hislory de Slrenglh de materiales Se ve que, mediante el principio de desplazamiento virtual, la necesaria relación entre la elongación A¡" y el desvío 8a" se establece y se mantiene para cualquier pequeña valué de A/. Con esta relación, deflec8a de la A, en el las cargas reales P¡, P¡, . . . (Fig. 141A) pueden ser fácilmente encontrados. Sustituyendo la elongación real SH¡ /Eai del bar i En Eq. (A), que obtiene la deflexión de UN debido a la elongación de un bar. En resumen, tales desviaciones, en todos los bares, que obtiene Este resultado de de Mohr coincide con la obtenida anteriormente por Maxwell Elongaciones y contracciones pueden ser fáciles de encontrar. Calcúlate la vertical de las desviaciones de las articulaciones como resultado de una elongación Al¡ de uno de los miembros, decir bar CD, utilizar el ecualizador. (A) y llegar a la conclusión de que la deflexión Sm de la m ( Fig. 1926) Frente a la barra CD es Todas las barras excepto CD son considerados como rígidos, las dos partes de la armadura, a la sombra de la Fig. 1926, Como cuerpos rígidos, girando con respecto a cada uno . (Consulte la página 206). FIG. 192. ( D ) Se ve que, calcúlate las deflexiones de varias articulaciones por el Maxwell-Mohr método, tenemos que sol ve un problema auxiliar para cada junta, como se muestra en la Fig. 1416. Si el número de las articulaciones es grande, el método se hace com- da. Para superar esta dificultad, Mohr dio otro método1 mediante el cual todos los deflec necesarias (C) Donde sí es la axial forcé en el bar CD debido a una unidad de carga en m. Desde 1 Véase O. Mohr, Z. Architek. u. Ing. Ver. Ilannover, 1875 , pág. 17. Véase también su "Ab- handlunften", pág. 377, 1906. Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 313 Otras de las bisagras m. de aquï¿ ½las desviaciones de la vertical son evidentemente todas las articulaciones de las coordenadas del esquema amb en la Fig. 192C. Tras observar que la forcé axial s¡ ", que se produjo en el bar CD de la unidad de carga en m, es igual al momento de flexión en m dividido por la distancia h , podemos concluir, de Eq. (C), que la deflexión diagrama de la Fig. 192C se puede considerar como el momento de flexión diagrama de una viga AB ( Fig. 192D) actuar por la ficticia carga De manera similar la deformación resultante del cambio en la longitud de cualquier otro acorde miembro de la cercha se puede encontrar. Por lo tanto, la desviación De la armadura, como resultado de los cambios en la duración de los miembros todos los acordes, puede ser calculado para cada articulación, como el momento de flexión en la correspondiente sección transversal de la viga AB cuando cargas los ficticios que se definen para cada junta por la cantidad (d). Estas cargas, como podemos ver, son los números y el puré momentos de flexión correspondientes tienen la dimenweb miembros puede ser evaluado de un modo similar, de modo que, finalmente, el cálculo de las desviaciones de las articulaciones en la cercha (Fig. 192A) se reduce al cálculo de momentos de flexión en un haz inducida por una adecuada selección de cargas ficticias. Nuevos avances en la determinación de las deflexiones de vigas se hizo por Winkler1 que muestra que las inclinaciones de las articulaciones de un acorde de una armadura puede calcularse mediante la consideración de los miembros de esa cuerda. Este cálculo es especialmente sencillo si el acorde es una recta horizontal como, por ejemplo, la parte superior del armazón acordes en la Fig. 193. Es evidente 1 Véase su "Theovíe der Brücken", II Ileft, 2d ed., pág. 363, 188Í. 311 Historia de la Fortaleza de Moleríais Que son completamente deíined deílections cuando sabemos que los cambios en las longitudes de las barras de la parte superior togcther acorde con sus ángulos de rota- ción. Dado que el acorde es una recta horizontal, cambios en la longitud de sus bares resultado sólo en los desplazamientos horizontales de las articulaciones superiores. Por lo tanto, los desplazamientos verticales en estos puntos dependen sólo de las rotaciones de la superior. Winkler1 muestra que estas rotaciones pueden ser fáciles de encontrar si nos calcúlate los cambios en los ángulos de cada triángulo del tirante debido a la deformación de los bares. Suponiendo que para el momento en que tales cambios en los ángulos < ¡ >h < t>2 y < ¡ >¡ en una junta superior m ( Fig. 193O) se han encontrado, podemos obtener, por su resumen, un pequeño ángulo A0m cuyo texto se reproduce después de cancelación. La deflexión eorresponding acordes de la parte superior, en el supuesto de que A0," es positivo, se muestra en la Fig. 1936. La deformación en cualquier punto del acorde a la izquierda del conjunto m es igual a A6, "l¡x/l, mientras que para cualquier punto situado a la derecha de ni, es AOml \ {l - x ) /l. Vemos que estas expresiones para deílections son idénticas a las de momentos de flexión en un simple- haz una carga ficticia AOm actuando como se muestra en la Fig. 193C. Por lo tanto, mediante el cálculo del valúes de A0¡ para cada junta me acorde de la parte superior y utilizando el método de superposición, la deílections puede obtenerse como la momentos de flexión de una viga simplemente apoyada suba6 ¡. Si el acorde cuya desviación es requerido es de forma poligonal, como, por ejemplo, el límite inferior del armazón de la Fig. 193A, el deílections debido a cambios en los ángulos entre las barras puede ser calculado exactamente de la misma forma. La deílections debido a los cambios en la longitud de la cuerda los miembros deben añadirse a los debido a la rotación. Una vez más, se pueden obtener en los momentos de flexión en un simple haz de un conjunto seleccionado de cargas ficticias. UNA puramente grapliic método de determinación de la estructura portante de ivas deílections elaborado por M. Williot.2 Este método se ilustra por medio del ejemplo simple de un conjunto formado por dos barras 1 y 2, como se muestra en la Fig. 194, La remóte extremos de las barras que se fija en B y C. Se supone que los desplazamientos BB' y GC de las articulaciones B y C ai'e conocido como son los cambios de longitud de las barras 1 y 2. Es necesario encontrar el desplazamiento de A. en primer lugar común asumir que las barras están separadas en A y transíate a las posiciones Á'B" y "C" paralelo a sus posiciones iniciales, de tal manera que BB' y CC representan el sintonizador interactivo digital ofrece y C. Star ting con estos nuevos puestos, no tenga puntos B ' y C' los desplazamientos fijos y dar UN'Ai y UN ", en el extremo opuesto de los bares, como se muestra en el pesado. Estos últimos Estadía "Theorie der Brtteken," 2d cd., II Heft, pág., 302. 8 M. Williot, "Nociones Pratiques sur la Enrutamiento Telegr fico", París, 1877. Véase también Ann. génie civil, 2serie d, 6o año, 1877. Teoría de la Período Slruclures en Í867-J900 315 Los desplazamientos son iguales a los cambios en la longitud de las barras, es decir, un "Ai" es el conocido alargamiento de la barra 1 y un "Ai" es el conocido bar de contracción 2. Ahora, para terminar la construcción, tenemos que acercar los puntos Ai y Ai" junto a rotar.ing el bar B'Aí de B' y el bar C'ai" de C. Puesto que estamos tratando con una pequeña deforma- ciones y pequeños ángulos de rotación, el ares de los círculos a lo largo de la cual los puntos Ai y Ai" viajar en el curso de esas rotaciones se puede sustituir por las perpendiculares Ai Ai Ai Ai" y la intersección de estos a la nueva posición de la Ai A. Por lo tanto el vector DE Ai representa el desplazamiento de A. Dado que el alargamiento de las barras y los desplazamientos de las articulaciones son muy pequeñas en comparación con su longitud, es necesario señalar a FIG. 194. Estos volúmenes.ies a gran escala y a hacer todas las construcciones en un diagrama, como se muestra en la Fig. 194B. Nos tomamos un polo 0 y el despido de los desplazamientos de OA y OA" de las articulaciones B y C a la escala elegida. Después, a partir de los puntos A' y A", podemos sacar los vectores Aíi y Al?, que se muestran en las líneas pesadas y que representan los cambios conocidos en longitudes de las barras 1 y 2. Debe prestarse la debida atención a la señal de estas elongaciones. El bar 1 supuestamente aumenta de longitud para que UN¿i es en el sentido de fí a A. El bar 2 disminuye en longitud; allï¿ ½A/2 se dibuja en el sentido de una a 7. Por último, el perpendicMi y A/2 se intersecan en punto, Ai. Esto soluciona el necesario desplazamiento OAi de A. figura 194b rep- les molesta la Williot diagrama de nuestra estructura simple. El mismo procedimiento se puede seguir en la construcción de los desplazamientos los esquemas que se van formando racimos a partir de una barra y con dos nuevas barras para formar cada junta. En el manejo de esos racimos, a los que siempre podemos suponer que los desplazamientos de dos articulaciones son conocidos y determinar el desplazamiento de un tercio mediante el método anterior. Este dis- 316 Historia de resistencia de materiales Colocación, podemos pasar al siguiente conjunto y volverá a repetir el mismo con De las publicaciones del período que se examina, se puede observar que dos opiniones diferentes estaban creciendo sobre las ventajas relativas de métodos analíticos y gráficos utilizados en la teoría de las estructuras. Mientras que algunos ingenieros a menudo recabado la ayuda de soluciones gráficas, otros estimaron que no era lo suficientemente aceurate y prefiere las determinaciones analíticas de todas las cantidades necesarias. Winkler aborda esta cuestión en el prefacio de su libro en puentes.1 menciona que métodos gráficos tienen la ventaja de ser más ¡ilustrativo y de cometer errores más fáciles de detectar. Obra Gráfica no es tan aburrida como cálculos analíticos y sus soluciones se puede obtener en menos tiempo de lo que es necesario para los cálculos numéricos mientras que los resultados tienen una precisión que es suficiente para todos los propósitos prácticos. En el análisis de vigas continuas una solución gráfica sólo requiere un tercio del tiempo que se requiere para un cálculo analítico, según Winkler. Pero este escritor ve también algunas de las ventajas de los cálculos numéricos. El autor indica que los cálculos numéricos son preferible en los casos en los que una mayor precisión, especialmente cuando tablas numéricas se están preparando para su uso en el futuro. La labor de Winkler y Mohr popularizo mucho métodos gráficos en la práctica del trabajo en la teoría de las estructuras. 66. Vigas estáticamente indeterminadas Hemos visto (consulte la página 259) que Clebsch, se ocupó de problemas de análisis de estrés de armaduras redundantes con los miembros. Él mostró que el hecho de que se tomen los desplazamientos de las bisagras como incógnitas, siempre podemos escribir tantas ecuaciones como incógnitas. Considera algunos ejemplos sencillos en los que su método podría aplicarse fácilmente y obtuvo soluAB como redundaney. En la aplicación del método Maxwell-Mohr, remo ve la barra AB y sustituir su acción sobre el resto del sistema por parte de los dos fuerzas iguales y opuestas X. De esta manera, obtenemos 1 " Thcorie der Brücken", Viena, 1873. (St + Seis )gastrocnemios zy XI AIE AÉ Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 317 La armadura estáticamente determinada, que se muestra en la Fig. 1956, En la que la Carga P\, Pi y las fuerzas desconocidas X ley. Las fuerzas en los bares de este .El sistema, pVoduced por las cargas Pi, P-i, se puede calcular fácilmente. Vamos , denotan la forcé actuando en cualquier bar i. Para determinar la forcé en el Mismo bar producida por las dos fuerzas X, se resuelve el problema auxiliar En el que las cargas Pi, Ps se han retirado y las fuerzas X se sustituye por Dos fuerzas (Fig. 195C). Vamos , denotan la forcé producida en un bar me Por este par de fuerzas. A continuación, la carga total En cualquier bar i producidas por las cargas Pi, P2 Y por las fuerzas X (Fig. 1956) Evidentemente Ser Si s ¡X (A) Pj \P2 B / El alargamiento de la barra i (S¡ + Seis )l ¡ / A de E. Debi do a tal es el ongaA y B será cambiada y la cantidad en la que B enfoques A viene dada por la expresión1 (A) P, Pz XV B / <M (Si - j- SÍX)SÍIÍ Comimos (B) La magnitud de las fuerzas X puede ahora Se encuentra en el hecho de que, en el actual Cercha (Fig. 195A), el cambio en la distancia Entre las bisagras A y B es eqnal a El alargamiento XI/AE de la diagonal AB. Esto nos da la ecuación (C) A partir de aquí, la desconocida forcé X puede ser determinado y, a continuación, las fuerzas en todos los bares se puede calcular usando la expresión (a). En el uso del método Castigliano, calcúlate la energía de deformación del sistema, que se muestra en la Fig. 1956. Es dada por Fi + SiXyh 2 AIE La derivada d Vi/dx nos da la expresión (6) determinar el movimiento de la articulación de bisagra B hacia A. equiparar este desplazamiento (con signo negativo) para la elongación de la diagonal AB, nos llegan nuevamente al Eq. (C). 1UN positivo de esta suma valué, indícate que disminuye la distancia AB. Negativo, valué indícate un aumento de la misma cuantía. 318 Historia de resistencia de materiales De manera similar, los sistemas redundantes con varios miembros pueden ser tratados. Por ejemplo, Fig. 196A se muestra un sistema con dos elementos redundantes. Tomamos como las fuentes las cantidades, los dos componentes X e Y de la reacción en el apoyo A y consideran que los dos auxiliares y prob&¡ sí denotan las fuerzas en cualquier bar i para estos dos casos, y supongamos que S¡ es la forcé en bar i por las cargas Pi, P2, cuando el apoyo se quita y La Fia. 196. X = Y = 0. A continuación, el total forcé en cualquier bar i, bajo la actual condi- ciones de la Fig. 196A, mil se S + s/X + s ¡ "Y (D) Ahora con Eq. (6) del artículo precedente, al equiparar los desplazamientos horizontales y verticales de la bisagra en el caso real de la Fig. 196A a cero, obtenemos las siguientes dos ecuaciones lineales en X e Y: V (Si + Si'X + S ¡ "F)S'¿ ¿ ALE W V (Si + Si'X 4- Si"Y)si"li " L UN íe De estos, X e Y pueden ser calculados. Teoría de Ihe Slruclures en Período 1867-1900 319 De la misma manera, un sistema con tres elementos redundantes, darán lugar a tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, y así sucesivamente. Siempre obtener como muchas ecuaciones lineales como no son desconocidos, y la estática cantidades indeterminadas pueden extraerse. Prácticamente, el problema se vuelve más y más complejo, como el número de despidos aumenta, no sólo porque el número de ecuaciones [como ecualizadores. ( " )] se hace mayor, sino también porque las ecuaciones son a menudo de tal naturaleza que todos los valores numéricos se debe trabajar con gran precisión si las cantidades requeridas se encuentran con algún grado de precisión.1 También , análisis gráfico generalmente no es suficientemente precisa. Para solucionar esta dificultad, se sugirió que los desconocidos se piclced de manera tal que las ecuaciones para determinar la redundante cantidades tales que cada una de ellas contiene sólo uno desconocido. Mohr2 muestra cómo puede hacerse esto en el caso particular de un arco tirante redundantes con tres bares (Fig. Í97) .^ Para explicar el método general que se ha de seguir en la selección de los desconocidos, no nos vuelva a considerar el caso representado en la Fig. 196. Mediante el examen de los ecualizadores correspondiente. (E), se puede observar que la deseada simplifieation se logra si tenemos S/s/l = Q AIE Esta ecuación significa que [como puede verse en la Ec. (6) del artículo 65], la unidad de carga que actúa en la dirección X debería producir desplazamientos de conjuntos en la dirección del eje Y. Para satisfacer este requisito, primero investigar en qué dirección la bisagra UNA se mueve bajo la acción de la unidad de carga horizontal de la Fig. 1966 Williot mediante la construcción de un diagrama. Deje que esta dirección se mn. entonces, para el cálculo de los dos componentes de la reacción Ii en la bisagra A, tomamos el componente Y perpendicular a mn, como se muestra en la Fig. 196D. Con esta elección de las direcciones de los dos componentes, el estado (f) será satisfecho y cada uno de ecualizadores. (E) sólo contienen uno desconocido. En el arco se muestra en la Fig. 197A, nos presenten un sistema wdth tres elementos redundantes. Si tomamos las fuerzas Si, S2, y S3 en las barras 1, 2, 3, las cantidades desconocidas y continuar como antes, vamos a obtener tres ecuaciones similares a Ecs. (E), cada uno de los cuales contendrá las tres incógnitas Si, S2 y S3. Para simplificar el problema, haci endo que los tres ecuaciones con una incógnita cada uno, podemos sustituir Si. S2 y S3 por la estática equivalente sys 1 Un análisis de la exactitud de los cálculos numéricos en el análisis de sistemas estáticamente indeterminados redundantes con muchos miembros ha sido dada por J. Pirlet, tesis, Tcchnische Hochschule Aachen, 1909; ver también A. Cyran, Z. Ver deut. Ing. vol. 54, pág. 438, 1910. 8O. Mohr, Z. Architek. u. Ing. Ver. Ilannover, vol. 27, pág. 243, 1881. 320 Historia de resistencia de materiales Los desplazamientos no correspondientes a los otros dos. Para lograr esto, se supone que las bisagras A y B están conectados a un bloque rígido OABD ( Fig. 1976). Entonces se aplica el seleccionado correctamente las fuerzas X e Y y un par M a este bloque. Estos son considerados como las fuerzas generalizadas. Para encontrar el punto O en el que las fuerzas X e Y deben aplicarse, investígate el desplazamiento del bloque ABO bajo la acción de la pareja M utilizando el diagrama Williot. Tomamos el punto que permanece inmóvil durante este desplazamiento desde el punto de O. O no se mueve bajo la acción de la pareja M, podemos concluir, a partir de la rec- iprocity teorema, que forcé a O no va a tener el giro del bloque. Como resultado de esto, una de las tres ecuaciones para el cálculo de la desconocida reacciones (es decir, que contenga M) no se utilicen X Y Y y los otros se contienen sólo X y Y. Por elección de la direc- ción de las fuerzas X e Y de la misma manera como se explicó en el caso que se muestra en Fig. 196, Que finalmente obtener tres ecuaciones cada una de las cuales contiene sólo uno desconocido. Los métodos de diagnóstico destaca en sistemas redundantes pueden ser fácilmente en los casos en que los cambios en las longitudes de las barras se debe a tem El uso de las líneas de influencia análisis indeterminado statieally sistemas fue ampliamente desarrollado. En el dibujo de estas líneas, el teorema de reciprocidad el sencillo caso de dos fuerzas fue realizado por Maxwell y un general del teorema se dio más tarde E. Betti.1 Lord Rayleigh ampliado el teorema para cubrir las vibraciones de sistemas elásticos2 y demostrado 1 Consulte el periódico italiano Nuovo cimento ( 2), 7, 8 vols., 1872. 2 Proc. Londres instrui mentos. Soc., vol 4, págs. 357-368, 1873. Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 321 Que si un aprendiendose forcé de amplitud y el período actúa sobre un sistema en el punto P, el desplazamiento a través de un segundo punto Q será el mismo tanto en amplitud y fase, sería en el punto P, forcé a actuar en P. a continuación, deduce la observaciï¿reciprocidad teorema como el caso especial en que las fuerzas tienen un período infinitamente grandes." En su trabajo, Lord Rayleigh utiliza las nociones de forcé y generalizado de la corres-alergo desplazamiento generalizado y considera, como casos particulares, una forcé y una pareja. Y comenta: "Para el beneficio de aquellos cuyas mentes rebelarse contra la imprecisión de las coordenadas generalizadas, más especial de la prueba teórica resultado puede aquí dar . . . Rayleigh comprueba su teorema de experimentos y, en colaboración con una viga, determina la influencia de la desviación de la luz en una determinada sección transversal. Esta es la primera vez que una influencia obtenida experimentalmente. Lord Rayleigh de trabajo, y sobre todo la publicación de su libro "La teoría del sonido", 2 una gran influencia en el desarrollo de la teoría de las estructuras en Rusia. La idea de usar la reciprocidad teorema, junto con la noción de las fuerzas generalizadas, fue aplicada por el Profesor V. L. Kirpit- chev (1844-1913) para la construcción de líneas de diferentes prob3' Más adelante, los conceptos de las fuerzas generalizadas y las coordenadas generalizadas son ampliamente utilizadas por Kirpitchev en su importante libro sobre "redundante cotejar en la teoría de las estructuras. "4 de esta manera, logró en cuenta hábilmente simplificar la presentación de los diferentes métodos de análisis de stat6 y sus conferencias fueron destacados en la dotación de materiales en Rusia a finales de los nueve En el tratamiento de la teoría de vigas, se partió de la hipótesis que hasta ahora no eran ideales depende de las articulaciones. Pero en realidad las articulaciones por lo general son rígidas y las consiguientes.ly subjeoted miembros son algunos dobleces además de aciagos o eompression. Esto hace que el análisis de estrés de armaduras diflieult mucho más. Sólo gradualmente se métodos satisfactorios de- sarrolladas para tomar en cuenta que si se dobla. Por sugerencia del profesor Asimont,6 la presentación de un método de análisis con uniones rígidas armaduras fue propuesto por la escuela de ingeniería Munich como premio 1 Ver Fil. Mag., vol. 48, Págs. 452-466, 1874; vol. 49, págs. 183-185, 1875. 2 La primera edición del famoso libro aparecido en 1877. 3 Ver Bol. Tech. Inst. San Petersburgo, 1885. 4 Kiev, 1903. 6 Además de los mencionados libros, Kirpitchev publicó un curso de resistencia de materiales en dos volúmenes y un curso de estática gráfica.- 8 Asimont, Z. Baukunde, 1880. 322 Ilislory de resistencia de materiales Problema y como resultado de esto, un elabórate investigaron sobre el problema de II. Manderla.1 demuestra que con esa rigidez, no solo tenemos que considerar los desplazamientos de las articulaciones, sino también su rotación y él deriva la necesaria tres ecuaciones de equilibrio para cada junta. Ya que, en este trabajo, el efecto de las fuerzas axiales en momentos de flexión de refuerzo los miembros, se adoptó en aocount, su conjunto de ecuaciones es un proceso complicado en y no era adecuado para las aplicaciones. Para fines prácticos, algunos métodos aproximados se han concebido en la que sólo los acordes se2 para un método más exacto aproximado fue ofrecido por Mohr.3 supone que los desplazamientos de las articulaciones no se aífected mucho por la rigidez de las articulaciones y determina los desplazamientos mediante la utilización de los métodos desarrollados para vigas ideal con bisagras. De esta manera los ángulos de rotación \ ¡ ¡k de todos los miembros de la Organización ( ik) puede ser fácilmente calculado (por ejemplo, mediante la Williot diagrama). Como cantidades desconocidas, se lleva los ángulos de rotación < ¡ >¡ de la uniones rígidas. El momento de flexión en la articulación de cualquier miembro ik entonces será dada por la ecuación Donde < # > ,• - yf/ ¡k y 4 >k: 'P¡k son los ángulos de giro de los extremos i Y k de la barra ik con respecto a el acorde ik. En las condiciones de equilibrio de las articulaciones que obtiene ahora tantas ecuaciones de la forma Como no se conocen las rotaciones < £ ,. A pesar de que el número de Eq. (H) puede ser considerable, Mohr muestra que pueden ser fácilmente resueltos por el método de aproximación sucesiva. Ahora que los ángulos < / > , -, descubre los momentos de flexión de ecualizadores. (G) y calcula la curvatura correspondiente destaca (o secundaria destaca). Este método de análisis con uniones rígidas armaduras sido lo suficientemente precisos y encontrado una amplia aplicación en la práctica. Desde análisis de tirante se basa en varios supuestos simplificadores, los ingenieros siempre han estado interesados en las verificaciones de la experimental calculado teóricamente tensiones y deformaciones. Por ejemplo, W. Fránkel extensometer hizo un especial para medir las tensiones de refuerzo. También creó un instrumento que registra los deflec- 1 H. Manderla, Die der Sokundai Bercclmung-spanmmgen, AUgem. Bauzlg., vol. 45, pág. 34, 1880. * Véase E. Winkler, "Theorie der Brücken", II Heft, pág. 276; véase también Engesser el libro "Die Zusatzkrafte und Nebenspannungen eiserner Fachwerk Brücken", Berlín, 1892. S O. Mohr, Ziviling., vol. 38, pág. 577, 1892; véase también su "Abhandlungen", 2a. ed., pág. 467. Mik = - ( 2 <t> + < ¡¡ >k - S'pik) (9) 2 M,k = 0 ( Li ) Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 323 De los puentes bajo cargas en movimiento. Estos experimentos1 mostraron una satis- fábrica acuerdo entre las cantidades medidas y su teórico calculado- ra valúes. 67. Arcos y Retención de vatios Ya hemos visto (página 150) que Bresse elaboró la teoría de curvas bares y discutido como ejemplos de dos bisagras arco y un arco, con incorporado en los extremos. Pero, a su vez, los ingenieros no consideran que la teoría elástica podría ser aplicado en el diseño de arcos de piedra y continuó para tratar estos como si el mismo está compuesto de cuerpos rígidos. Muy poco a poco sin embargo, tras un considerable trabajo experimental por Winkler (consulte la página 153) y de Perrodil2 y sobre todo después de la extensivo las pruebas realizadas por un comité especial de la sociedad austriaca de los ingenieros y los ingenieros Architects,3 carne a aceptar la teoría de curvas elásticas bares como dar las dimensiones adecuadas de arcos de piedra con sufíicient precisión. Winkler y Mohr son los principales responsables de la introducción de esta teoría a la práctica. En su libro la fuerza de los materiales (consulte la página 155), Winkler tratados de dos arcos con bisagras y arcos sin bisagras en gran detalle, mientras que en su importante papel de 1868,1 que aplica los conceptos de las líneas de influencia arcos. Utilizando el principio pedagógico de menos trabajo, investigó las posiciones de las líneas de presión en arcos6 y formuló el principio pedagógico que lleva su el ñame. Esta declara que, a partir de todas las curvas del funicular que se puede con- struoted cargas para el efecto, la verdadera línea de presión es la que se aparta tan poco como sea posible de la línea de centro del arco. Para llegar a esta conclusión valida, el siguiente razonamiento se puede utilizar. Supongamos en primer lugar que la energía de deformación de un arco se puede representar con precisión suficiente por la energía de deformación por sí solo, de modo que Lo que indica la distancia, medida verticalmente, desde cualquier punto de la línea central del arco en el punto correspondiente de la línea de presión por z y que el eje horizontal del arco //, obtenemos * De Perrodil, Ann. ponls et chaussées, 6oserie, vol 4, pág. 111, 1882. 3 Ver Z. dsterr. Ing. u. Archilek. Ver., 1895, 1901. 4 Mitt. Archilek. u. Ing. Ver. Bóhmen, 1868, pág. 6. 6 Die Lage der Stüzlinie im Gewdlbe, Deut. Bauztg., 1879, págs. 117, 127 y 130; 1880, págs. 58, 184, 210 y 243. (A) M = iiz ' W. Frfinkel, Civiling., vol. 27, pág. 250, 1881; vol 28, p. 191, 1882; vol. 30, pág. 465, 1884. 324 Hislory de resistencia de materiales Entonces, desde el principio pedagógico de menos trabajo y de Eq. (A), se deduce que la verdadera línea de presión es la línea para la que la integral ( * HW , Jo ~ 2EI (6) Es un mínimum. Cuando todas las cargas son verticales, H es constante con respecto a s y, si el arco sección transversal también es constante, la necesidad de reducir al mínimo los integral (b) reduce a la de extremising la integral F0' "2 ds (C) Este requisito constituye de Winkler. El principio es válido también para un arco de sección transversal variable si la varia- ción de la sección transversal es tal que Lo que es la sección transversal momento de inercia en el centro del arco. Ahora, en lugar de la integral (c) la teoría requiere la minimización de la integral ¡Q z2 dx (D) Se desprende de Winkler principio pedagógico de que, si la curva funicular- está pensado para la acción se carga en la línea central de un arco, la tubería de presión coincide con la línea de centro y no hay dobleces. Pro- pias, tenemos algunas deformaciones debido a la compresión axial del arco, que se ha descuidado en la expresión de la energía de deformación (a). Pero esta flexión suele ser de pequeño tamaño, por lo que se justifica, con Guiño Mohr la principal aportación a la teoría de arcos aparece en su papel de 18701 en la que un método gráfico de análisis arco se ofrece. Considerando una de dos bisagras arco (Fig. 198A), Mohr asume en primer lugar que la derecha bisagra fí es libre de moverse horizontalmente y calcula la hore. En este cálculo, se utiliza un método gráfico y determina los desplazamientos de la curva funicular construido para ciertas cargas ficticias de la siguiente manera. Teniendo en cuenta un elemento del arco, entre dos secciones transversales en C , se observa que el ángulo de rotación d< ¡> del 1 Z. Architek. u. Ing. Ver. Hanncver, 1870. Teoría de Slruclures en el periodo 1867-1900 325 Parte CB debido a una deformación del elemento es M ds/EI y que la describimos componcnt horizontal del desplazamiento BD es igual a Mi ds/EI. Suma de estos desplazamientos elementales, se encuentra que el total movimiento horizontal de la bisagra B es Í1 Mi ds SE ENCUENTRA la x(l - x -i)y ds í1 xi(l - x)y ds U ~ El 'Jo Jo lei + L ÍEÍ Se ve que este desplazamiento horizontal puede ser calculado como el momento de flexión en la sección transversal de la Ei haz simplemente apoyados DE Bi (Fig. 1986), que está cargado de fuerzas ficticias de magnitud y ds/IE aplica a cada elemento dx de la viga. De igual modo, la horizontal disB se puede calcular si, en lugar de la unidad de carga vertical en el punto E, una unidad horizontal se aplica carga en B. Ya que, en el caso real, la bisagra B es inmueble, un empuje horizontal TI será proe. La magnitud de lo que, aparentemente, se De esta ecuación, Mohr concluye que en cada posición de la carga vertical de la unidad, empuje la eorresponding es proporcional al desplazamiento u y los momentos de flexión construye para el diagrama cargas ficticias de la viga AiBi puede tomarse como la influencia de la orientación II. El método de cargas ficticias junto con la idea fundamental con respecto a la selección del estáticamente indeterminadas cantidades (como se muestra en Fig. 197) Son los dos principales del arco simpliíieations análisis basado en la teoría de la elasticidad. Como tal, se ha acelerado la introducción de este análisis en la práctica. En el diseño de paredes rctaining, los ingenieros siguen empleando métodos basados en hipótesis de Coulomb (consulte la página 61) que se produce deslizamiento de arena 326 Historia de resistencia de materiales A lo largo de un inclinecl plañe,1 y act o re s d e or ug el principal avance del desarrollo de carácter puramente métodos gráficos de análisis. Un método muy útil de este tipo fue propuesta por G. Rebhann.2 Él eonsiders el caso general donde la pared AB no es vertical (Fig. 199), su reacción R actos a un ángulo /3 con la horizontal, la tierra está limitada por una superficie curva ACE. Ilebhann demuestra que si fil) es la plañe de inclinación natural, BC la plañe de deslizamiento según lo definido por Coulomb, y la línea CD hace un ángulo /S con la perpendicular CF a BD , entonces las dos zonas ABC y BCD deben ser iguales. De aquï¿ ½para obtener la plañe de deslizamiento, señala a la línea BC que Divide el área BA CD en dos mitades. El escritor también presenta una forma sencilla de calcular la reacción R del muro de contención. Él sólo tiene que hacer el triángulo KCD (Fig. 199), en la cual CD KD = entonces el área de este triángulo se multiplican por 7, el peso de la arena por unidad de volumen, da la reacción R por unidad de longitud de la pared. La idea de Rankine diseño de muros de contención sobre la base del análisis de tensiones en materiales pulverizados fue analizada más a fondo por varios engi.3 Pero los resultados obtenidos no han sido aceptados como son más valiosas que las de teoría de Coulomb. Una teoría para determinar la profundidad necesaria de la fundación fue pro- 1 Una bibliografía completa de este campo puede ser encontrado iu los artículos de Félix Auerbach y Félix HiUsenkamp, "Ilandbuch der physikalischen und el Meclianik", vol. 4j, 1931. 2 G. Rebhann, "Theorie des Erddruckes und der Futtermaiiern mit besonderer Rücksicht auf das Bauwesen", Vieuna, 1871. 3 A. Perí Odo, Ann. ponts et chaussées ( 4), vol 19, p. 547, 1870. M. Lévy, J. mathémaliques (2), vol. 18, pág. 241, 1873. E. Winkler, Z. oste.rr. Ing. w. Archiiek. Ver., vol. 23, pág. 79, 1871. O. Mohr, Z. Architek. u. Ing. Ver. Hannoucr, 1871, pág. 344; 1872, págs. 67 y 245; véase también su "Abhandlungen", pág. 236, 1914. Teoría de las estructuras en el periodo 1867-1900 327 Planteados por Pauker.1 en la Fig. 200, Supongamos que p denota la distribución uniforme pressui'e transmitida desde la pared (la longitud de la pared es perpendicular a la plañe de la figura) AB a la tierra. Considerando ahora un elemento ab del material pulverizado en la pared, y utilizar el ecualizador. (A) de la teoría de kine (página 202 ), llega a la conclusi ón de que, a obví ate deslizamiento de la tierra, la presi ón lateral <xv deberá cumplir la condición _ P ( 1 - pecado 0) ** F+ pecado <t> ( ") Donde < ¡> es el ángulo de inclinación natural del material. Si examinamos ahora el elemento adyacente , sometidos a una presión hy en la dirección vertical que busca la expresión Yh(l + pecado < ¡ >) 1 - Pecado <t> ( /) Para la limitación de la lateral valué Presión. Sustituyendo en (e), esta Da la valué P (1 - pecado <t>y 7 (1 + pecado <t> )2 · c· Para la profundidad necesaria del Jrig. 200. Fundación. Para verificar esta fórmula y a encontrar las superficies a lo largo de los cuales se produce deslizamiento de arena, algunos interesantes experimentos se llevaron a cabo por V. J. Kurdjumoff en el laboratorio del Instituto de los ingenieros de los medios de comunicación.ion2 en San Petersburgo. Él utilizó una caja con paredes de cristal para sus experimentos y lleno de arena. De forma gradual obli- la presión P en el bloque AB ( Fig. 200), que se ha podido encontrar para cada valué de la profundidad h, la limitación de P valué deslizante en el que amenazaban de la arena para que el bloque de repente mueve hacia abajo. Una fotografía tomada en ese momento muestra claramente las superficies de deslizamiento en la arena. Los experimentos demostraron que, con el fin de producir este deslizamiento, una mayor presión p que la dada por Eq. (G) es necesario. Algunos elabórate trabajo experimental con un modelo muro de contención fue realizado por H. Müller- Breslau .3 Estos experimentos demostraron que la presión en la pared puede a veces ser más grande que el que se previó la teoría de Coulomb. También se indica claramente que la forma de adicionar la arena, las vibraciones en este material, y la carga y descarga de su superficie se puede tener un efecto considerable sobre la magnitud de la arena presión sobre la pared. 1 Véase J. Departamento de Medios de Comunicación, J 88i), San Petersburgo. 2 V. J. Kurdjumoff, Cioüing., vol. 38, Págs. 292-311, 1892. 3 Ver el libro de H. Müller-Breslau , "Erddruclc auf Stützmauern", Stuttgart, 1906. CAPÍTULO XI La teoría antes mencionada elasticidad entre 1867 y 1900 68. El trabajo de los alumnos de Saint-Venant , discretizadas mediante un El más distinguido alumno de Saint-Venant , discretizadas mediante un José Valentín Bousslnesq (1842-1929).1 nació en la pequeña ciudad de Saint- André-de-Sangonis en la provincia de Ilérault, en el sur de Francia. Recibió su primera educación En su ciudad natal hasta las naciones unidas, a la edad De los dieciséis, se trasladó a Montpellier, Donde estudió idiomas y Las matemáticas. Después de su graduación A los diecinueve años de edad, Boussinesq Eligió la ocupación de un maestro y Profesor de matemáticas en la enseñanza secundaria En varias ciudades pequeñas en el sur De Francia. Parece que él no estaba Muy interesado en enseñar elemental- Ing, y pasó sus horas de ocio Estudio de las obras de estos matemáticos Maticians como Fourier, Laplace, y Cauchy. Pronto empezó con su Obra original, y, en 1865, Lamé Presenta la primera científica Boussinesq Papel (que se ocupaba de eapillarity) a la Academia. En 1867, Boussinesq obtuvo su título de doctor en la Universidad de París. Aproximadamente al mismo tiempo, escribió una autobiografía en la teoría de elasticidad 1 La biografía de Boussinesq, Émile Picard nota de Mim. acad. sci., 1933. 32$ Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 329 En varias ocasiones, Saint-Venant , discretizadas mediante un le aconsejó de manera clara y detallada los argumentos en su trabajo. Docente de la escuela superior no era un puesto de Boussinesq, y Saint-Venant , discretizadas mediante un hecho todo lo posible para sacar al joven científico de trabajo universitario. Finalmente tuvo éxito, y Boussinesq asumió la posición antes mencionada el profesor en la Universidad de Lille en 1873. Ahora podía dedicar todas sus energías a la ciencia y fue habilitada para hacer una labor importante en varias ramas de la física teórica. En el año 1886, fue elegido tomembership de la Academia de las Ciencias y en la cátedra de mecánica en la Univerk l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques. . . . "Esta es una de las más signiíicant libros en el campo que se han publicado desde el famoso Saint-Venant , discretizadas mediante un memorias de torsión y flexión de los bares. Lamé y Kelvin ya la había utilizado funciones potenciales en su análisis de la deformación de cuerpos esféricos Boussinesq pero se aplica a una variedad de problemas. Desde el punto de vista de práctico valué, el más importante de sus soluciones son las que se refieren a las tensiones y deformaP perpendic interino- a la horizontal límite plañe gh ( Fig. 202). El director de la ser como eje z positivo en la sólida y con polar coorr y 0 en planos horizontales, Boussinesq obtiene los siguientes componentes de estrés en los planos horizontales: Lo que indica que la dirección de la tensión resultante actuando en cualquier punto del mn plañe horizontal (Fig. 202) Es la de una línea que pasa por el punto 0 y su magnitud es <R. = - - z3 (r2 z 2) ~8 "KP Tn = - rzi{r2 - j- z2) ~5 (A) Vemos que Az _ z Trz r ( * >) > París, 1885. 330 Hislory de Slrenglh de materiales ¿Dónde está el ángulo que la dirección de la consiguiente estrés hace que con el eje z . Vemos que el estrés resultante es inversamente proporcional a fche cuadrado de la distancia entre el punto de aplicación de la carga P. Teniendo en cuenta las desviaciones verticales el w de la frontera plañe, Bous- sinesq considera que ^ (1 - M2) W - --n ------ Ir Er Lo que demuestra que el producto vrr es constante en la frontera, es decir, radios de el origen de la superficie límite ser liyperbolas (después) con deformación o asï¿ ½totas y Oz. En el origen del desplazamiento Que el material cerca del origen se corta por una superficie semiesférica de radio pequeño y que el concentrado forcé P es sustituido por fuerzas estáticamente equivalentes distribuidos en esta superficie. Con la solución de un concentrado forcé, y utilizando el principio de superposición, Boussinesq resuelve el problema de una carga distribuida en parte de la frontera de un semi-sólidas infinitas. Considerar, por ejemplo, el caso de una carga de intensidad uniforme q distribuidas en el área de un círculo de radio a, se encuentra con que la deflexión vertical en el centro del círculo se 2 (1 - m2 ) ?o Wa = E Mientras que en el perímetro es de 2wo/tt De manera similar, afronta los problemas de una carga distribuida en el área de una elipse y un rectángulo. Estos problemas son de interés para aquellos que estudian las deflexiones de públi- en estructuras de ingeniería. Boussinesq también trata los casos en que, en lugar de distribuir las fuerzas, la los desplazamientos verticales de una parte de la frontera plañe. Por ejemplo, examina una rigidez absoluta morir (en la forma de una circular Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 331 Cilindro de radio a) presiona contra la plañe límite de un semi-infinito sólido elástico y considera que el desplazamiento de la matriz Por lo tanto, una visión valué de la media de la presión P/ira2, la desviación no es constante, sino que aumenta el radio de la muerte. La distribución de la presión en el morir es, obviamente, no uniforme, y su tamaño más pequeño valué es en el centro donde es igual a la mitad de la media de la presión en el cir Boussinesq utiliza su soluciones para probar de Saint-Venant , discretizadas mediante un principio pedagógico. Teniendo un sistema de fuerzas en equilibrio aplicado a una pequeña parte de un cuerpo, se demuestra que este destaca producidas son de carácter local. Mueren rápidamente con el aumento de la distancia de la carga región y ser insignificantes en los puntos, la distancia de la carga de la que está a sólo un par de veces mayor que las dimensiones lineales del cargado región. Varios "Notas compiementaires" se adjuntan en el libro&... " son de gran valué. En uno de estos, la teoría de la vibración de los bares es discutido. Como un primer ejemplo, considera un uniforme Boussinesq delgada barra semi-infinita, cuyo eje es infinitamente extendido desde el origen en el sentido positivo. Teniendo en cuenta las vibraciones laterales, que utiliza la ecuación Y da soluciones para diversas condiciones al final x = 0. Él es espe- cialmente interesados en la propuesta de la forcé actuando en el extremo de un tiempo muy corto, como en impaet, y considera que el transverso ondas elásticas no retaiu su forma, como en vibración longitudinal, pero se separan durante la transmisión a lo largo de la barra y desapareciendo. El autor analiza la limitación valué v a la velocidad del impaet de un cuerpo más allá de la cual incide local permanente de los materiales de la barra se produjo sin importar lo pequeño que es el de la masa corporal llamativa. Él encuentra Donde y /E]p es la velocidad del sonido en el bar, h es la profundidad del haz, y i es el radio de giro de su sección transversal. El resultado, como podemos ver, 332 Hislory de Slrenglh de materiales Es similar a la obtenida por los jóvenes para Thornas impaet longitudinal (página 93). Boussinesq también impaet longitudinal de bares y da un com Boussinesq hizo una considerable cantidad de trabajo en la teoría de delgado bares y la teoría de delgado placas.1 da un nuevo método de derivar las ecuaciones de equilibrio entre barras delgadas que se habían obtenido previamente por Kirchhoff. En la teoría de las placas, que da una nueva derivación de la ecuación diferencial del equilibrio y se analizan las condiciones de frontera Poisson- Kirchhoff sobre la base de un estudio de las perturbaciones locales pro2 y que se ha incorporado en la "nota final du no. 73" De la última traducción del libro de Clebsch,. En conclusión valida, hay que mencionar la labor de Boussinesq en el equilibrio de un mamilar (o granulados) massachusetts3 La labor de sus predecesores se dedicó a calcular el límite de equilibrio de las masas, mientras que Boussinesq trabaja con la deformación elástica. Él asume que bajo la acción de la gravedad, presión suficiente existe entre la (arena) granos de fricción para evitar el deslizamiento entre la partióles para que la masa elástica se deforma como un cuerpo bajo la acción de fuerzas. También se supone que el módulo de cizalla de la sólida es proporcional a la media de la presión p = i(ax + atJ + az) en cualquier momento y, sin tener en cuenta el cambio de volumen, instaura el pue- las ecuaciones para el análisis de las tensiones. Limitándose a dos dimensiones, logra obtener soluciones que se pueden utilizar en la teoría de los muros de contención. Saint-Venant , discretizadas mediante un hecho4 la comparación de los resultados teóricos de Boussinesq con datos experimentales y llegó a la conclusión de que su amigo de la teoría fue una mejora con respecto a los de Rankine y otros. Por su sugerencia, Flamant preparado tablas de retención facilítate de pared de diseño de Boussinesq¿ ½5 un extensivo estudio de Boussinesq de trabajo está dado por K. Pearson6 quien concluye: "Entre los muchos alumnos de Saint-Venant , discretizadas mediante un , pocos se han ocupado de una amplia variedad de 1 Véase J. Matemáticas, 2d series, vol 16, págs. 125-274; vol 5, págs. 163-194 y 329-344, 1879. 2 Ver traducción comentada de Saint-Venant , discretizadas mediante un de Clebsch, el libro, pág. 691. 3 Essai théorique sur l'équilibre d'élasticité des macizos pulvérulents . . . Mémoires . . . Publiés par l'Aeadémie de Belgique. 4 Compt. rend., vol. 98, pág. 850, 1884. 4 Tablas numériques pour le ealcul de la poussée des terres, Ann. ponts el chaitssées, vol. 9, Págs. 515-540, París, 1885. 8" Ilistory . . . Vol 2, parte 2, pág. 356. Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 333 Elástico de Boussinesq problemas, o en la aportación más útil de trabajo teoría elástica... que ha ilustrado el euskara por ingenioso análisis en lugar de soluciones especiales de problemas mecánicos y físicos". Otro de los alumnos era de Saint-Venant , discretizadas mediante un Maurice Lévy (1838-1910). Después de graduarse de la Escuela Politécnica (1858) y en la École des Ponts et Chaussées (1861), trabajó como ingeniero civil en París y al mismo tiempo, al mismo tiempo, un instructorship en la École Polytechnique. Más tarde (en 1875), se convirtió en profesor de mecánica aplicada en la École Central dos artes y manufacturas y 1883 vio a su ingreso a la Academia de Ciencias de un miembro. Lévy estaba interesado en una gran variedad de problemas en la teoría de la elasticidad. Es él el que se deriva la ecuación diferencial del equilibrio de una varilla doblada en un uniforme plañe por presión lateral y se explica1 la solución donde la línea central de la barra es un círculo en el estado no cargado. Cuando la barra está sólo ligeramente doblado, la ecuación puede simplificarse, y de que Lévy logra extraer la crítica valué de presión bajo la cual un anillo circular, o.ollapse.2 En sus trabajos sobre planchas3 Lévy habla de reconciliación de Kelvin de Poisson Kirchholf y de las condiciones límite, y, de un espesor finito de píate, elabórate da un análisis de las perturbaciones producidas por sustitución de uno de los límites de unas fuerzas de otro (vando). Considerando flexión de placas rectangulares, Lévy da una solución para el caso de que dos extremos opuestos son simplemente apoyado mientras los otros dos pueden ser sujetada, simplemente apoyados, o totalmente libre. "1 Esta solución que se ha encontrado una amplia aplicación y una gran variedad de casos particulares fueron elaboradas por E. Estanave en su tesis doctoral thesis.6 Lévy resuelto el problema bidimensional de la distribución de la tensión en una cuña sometido a las presiones de su faces.6 sugiere el uso de esta solución en el análisis de tensiones en la masonería las represas. Este investigador también escribió un libro en el que nos encontramos con un tratamiento de los métodos gráficos de análisis estructural. Alfred-Aimé Flamant, después de graduarse de la École des Ponts et Chaussées, trabajó en aprovechamientos hidrotécnicos construcciones en el norte de Francia. Más tarde se convirtió en el profesor de teoría de las estructuras de la École des Ponts et Chaussées y el profesor de mecánica en la Escuela Central de Artes y manufacturas. Estaba interesado en la teoría de 1 J. mathimatiques (3), vol 10, 1884. 2 Bresse fue el primero en obtener esta solución. 3. /. Mathimatiqu.es ( 3), vol 3, págs. 219-306, 1877. 4 Compt. rend., vol 129, 1899. 6 Thése, París, 1900. 6 Compt. rend., vol 127, p. 10, 1898. 7 "La Statiquo Graphiquo", 3d ed., vols. 1-4, París, 1907. 334 Hislory de Slrengtli de materiales Masas y granulado de Boussinesq simplificado¿ ½1 ha colaborado En la traducción de Clebsch, Saint-Venant , discretizadas mediante un libro. Una labor conjunta de Saint- Venant y Flamant 011 impacto de las barras longitudinales se incluye en este Libro en forma de un apéndice. Utilizando las soluciones de Boussinesq para un cuerpo semi-infinito, Flamant obtenido La distribución de la tensión producida en una semi-infinita píate de grosor de la unidad Por una forcé P perpendicular a su borde2 (Fig. 203) Como un caso particular. La distribución de tensiones en este caso es Particularmente simple. Cualquier elemento C a una distancia R desde el punto de aplicación de la carga Sometido a un simple compresión radial en el Dirección de magnitud Fio. 203. El estrés y el esquileo tro rro estrés desaparecen en este caso. Esta es la simple distribución de tensiones radiales que se utilizarán posteriormente por J. H. Michell en resolver varios problemas importantes (consulte la página 353). 69. Lord Rayleigh Lord Rayleigh (John William Strutt demostraría)3 era el hijo mayor del segundo Barón Rayleigh y nació en Langford Grove cerca Terling estáte en la de su padre cuando él pasó la mayor parte de su vida. Después de estudiar en su vez ha realizado una escuela, entró Trinity College, Cambridge, en 1861. Como un estudiante fue entrenado por Routh en mathe:4 " tenía una deuda con él de enseñanza de las matemáticas en la Universidad de Cambridge y el estímulo, y puedo aún el recuerdo de la sorpresa con la que, como novato, he observado la medida y guiomar de su conocimiento, y la rapidez con la que él pueda ocuparse de cualquier problema que se le presentó. ... Siempre he tenido la impresión de que Routh de méritos científicos fueron menospreciados. Se asumió erróneamente que mucha devoción a la enseñanza podría dejar un margen para mucho más. ... Creo que, tal vez, a la 1 Ann. ponts et chaussées, yol. 6, Págs. 477-532, 1883. Véase también su libro " Kssai théorique sur 1 pulvérulents Équilibre des macizos", París. Un elcmentary discusión de la estabilidad de las masas se puede encontrar en libros de Flamant, "Stabilité des construcciones, résistance des Matériaux", París, 1886. 2 Ver Flamant, Compl. rend., vol. 114, pág. 1465, 1892. Una extensión de la solución de cubierta inclinada forcé es debido a Boussinesq, Compt. rend., vol. 114, pág. 1510, 1892. 3 Una biografía de Lord ltayleigh, "John William Strutt demostraría, Tercer Barón Rayleigh", Londres, 1924, fue escrita por su hijo, Robert John Strutt demostraría, cuarto Enron Rayleigh. * Ver la mencionada biografía, pág. 27. Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 335 Crédito del sistema matemático de aquellos días, que quizá sea En la actualidad la moda a los abusos, y a la forma en que se Ha trabajado por el Dr. Routh, que tengo en ningún momento, de lo que yo puedo cali mi Posterior carrera científica tuvo ocasión de lamentar el tiempo ME spont Curso de matemáticas en la Universidad de Cambridge." Sin embargo, al mismo tiempo Rayleigh notado algunos "vicios de la escuela de Cambridge" y refera a La tendencia a la "relación de símbolos analítica como un objeto en Sí mismo en lugar de como una herramienta para la Solución de problemas científicos". No hubo oportunidad de Realizar trabajo experimental en Cam- Puente. No hay física Cursos en los primeros años de Estudio de Rayleigh y hasta que no la Otoño de 1864 fue capaz de Asistir a las conferencias El Profesor Stokes en Óptica. Estaba muy impresionado por Las conferencias y, en particular, por la Ilustraciones experimentales. No existe No fue en el laboratorio de física Universidad y, como se mencionó antes, Stokes hizo su trabajo experimental "Con la más modcst applianees." Rayleigh fue muy sistemática Trabajador y, como el tiempo de los matemáticos Examen puedan definir tripos, se acercó para gradualmente a la parte delantera Entre los alumnos de la clase de Routh. En 1864 diciembre, él tuvo éxito Superado el examen, como sénior wrangler. Permaneció En Cambridge tras estos éxitos examen con miras a preparar Examen para la concesión de la beca. También quería "hacer una marcha en Investigación científica, pero consideró que esta muy difícil. El Las instalaciones existentes a la sazón en Cambridge fueron muy pequeñas. En particular, el orador No tenía formación experimental. . . . Había algo de la leamed Experimentos de Stokes, y habría más de leamed Esta fuente, pero no encontrar un camino abierto para hacerlo. El Profesor Stokes era Civil y en respuesta a las preguntas después de las conferencias, pero sus intentos Para obtener más información de él cuando aparato similar podría ser proeured no A mucho. . . . Fue un tanto decepcionada al encontrar que su eagemess No cumplir con cualquier respuesta en ser invitado a asistir, aunque sólo sea en Para salir y guardar el aparato. "1 Era más fácil de obtener orientación en el trabajo teórico. Rayleigh leer más documentos importantes de Stokes y Iíelvin y estudiado de Maxwell 1 Ver biografía de Lord Rayleigh, pág. 37. 336 Historia de resistencia de materiales Gran trabajo es "una teoría Dinámica del campo electromagnético." Él carne en eorrespondenee con Tait y Maxwell. El segundo, en ese tiempo, era su vida 011 estáte en Glenlair, pero iba a Cambridge en las ocasiones en tripos matemático exámenes y, a continuación, los dos hombres fueron capaces de satisfacer. FIG. 205. Trinity College. En 1866, Rayleigh fue elegido a una beca del Trinity College y realizó su primer viaje a América del Norte en el año siguiente. A su regreso en 1868, comenzó a experimentar en el sector de la electricidad y para que purposc comprado algunos aparatos sencillos. Aproximadamente al mismo tiempo que lee Helmholtz del famoso libro "Lehre von den Tonempfindung " y beeame acoustics.1 interesado en algunos theoretieal y expe 1 Vea Señor Raylcigh biograpliy de, pág. 50. Teoría de Elaslicity entre 1867 y 1900 337 De resonance,1 que fue el comienzo de obra original de Rayleigh en sonido. Más tarde, como resultado de la lectura del trabajo Tyndall, se interesó en la cuestión de por qué la luz del cielo es azul y publicado varios artículos sobre la teoría de muchísimos2 Estos fueron aplaudidos por Maxwell y Tyndall. En 1871, se casó con Rayleigh y, en consecuencia, tuvieron que dejar su beca en Trinidad. En 1872, tras una grave enfermedad, no es recomendado que pasan el invierno en un calentador debiles. Él tomó su esposa y varios de sus parientes en una expedición hasta el Nilo, en una especie de vela casa flotante. Durante el viaje, la vida era monótona, pero se adaptaba Rayleigh. Comenzó a trabajar en su famoso tratado "La teoría del sonido" y Svorkcd en que cada mañana en la cabina. . . . En estos momentos se diñicult para convencerle de que la tierra, incluso para ver el templo más enehanting. "3 Murió el padre de Rayleigh en 1873, y el científico había en lo sucesivo a tomar parte en la supervisión de la estáte. Se radicó en Terling, que le permita continué su investigación, él allí un pequeño laboratorio. Él conNature y sobre su propuesta de Germán traducción del libro impreso y se hizo en 1878. En 1879, Maxwell murió, y Rayleigh fue elegido a la presidencia de experimentación"4 para satisfacer la deficiencia, Rayleigh se levantó de un fondo al que él mismo y el Duque de Devonshire contributed.6 En la tarea de administrar el laboratorio, Rayleigh fue asistida por Glazebrook y Shaw quien escribió, en ese momento, el libro "Práctica física" en el que los primeros experimentos del laboratorio se describen. Rayleigh elernentary dio cursos de electroestática y magnetismo, euros alquiler de electricidad, el sonido, y cursos avanzados de mediciones eléctricas. Pero "la sehool de ciencias naturales de la Universidad de Cambridge fue, en esos días todavía en 1 Phil. Trans., vol 161, págs. 77-118, 1870. 2 Ver Fil. Mag., vol 41, 1871. 3 Biografía de Lord Rayleigh, pág. 62. 4 Biografía de Lord Rayleigh, pág. 105. 5 Gran cantidad de información de interés sobre el crecimiento del laboratorio se puede encontrar en el libro "Historia del Laboratorio Cavendish", 1910. 338 Itislory de Slrenglh de materiales Su infancia y, por supuesto, el número de participantes en el Laboratorio Cavendish no eran grandes. . . . " El primer tema del curso fue dado a un mero dieciséis alumnos, y este figm-e sigue siendo aproximadamente el mismo en todo el mandato de Rayleigh del Presidente.1 En 1884, Rayleigh realizó un segundo viaje a América y asistió a las conferencias de Lord Kelvin en Baltimore. Sobre estos se refirió a su experiencia en años posteriores con su hijo: "Lo Que un extraordinario por. "2 A finales de 1884, Cambridge Rayleigh renunció a su cátedra y se instalaron nuevamente en su estáte. Allí, en su "libro de la habitación" y en su laboratorio, él continuó su intensa labor científica al final de su vida. Por otro lado, se comprometió también a muchos deberes públicos. Entre estos, fue profesor de filosofía natural en la Royal Institution (1887-1905), presidente de la Real Sociedad (1905-1908), y el canciller de la Cambridge University (1908 hasta su muerte). Ganó muchos honores durante su vida, entre ellas la premio Nobel de física en 1904 y la Orden del Mérito. Las aportaciones principales de Rayleigh a nuestro tema se incluyen en su tratado "La teoría del sonido." En el primer volumen de este famoso libro que analiza las vibraciones de las cuerdas, barras, membranas, placas, y las conchas. El autor muestra las ventajas que un ingeniero puede ganar con la adopción generalizada de las nociones y las fuerzas las coordenadas generalizadas. La introducción de estos conceptos y el uso de la reciprocidad teorema Betti-Rayleigh han aportado grandes simplific.ación en el manejo estructuras redundantes. El trabajo no sólo abarca el sonido sino que también abarca no vibración sónica. El escritor demuestra los beneficios que se han utilizando coordenadas normal y muestra cómo, haciendo desaparecer las velocidades, las soluciones de problemas de electricidad estática pueden ser extraídos del análisis de vibraciones. Por lo tanto, no obtiene las deflexiones de bares, las placas y los depósitos expresados en términos de las funciones normales, estas ideas han sido de gran importancia en el ámbito de la ingeniería. Para encontrar las frecuencias de vibración de sistemas complejos, que obtiene un aproximado valué al asumir una forma adecuada para el tipo de movimiento y transformar el problema de la vibración de un simple oscilador. El autor describe los pasos que pueden tomarse para mejorar la aproximación. Esta idea de calcular las frecuencias directamente a partir de un examen energía difíerential, sin resolver las ecuaciones, se 1 Biografía de Lord Rayleigh, pág. 106. "Biografía de Lord Rayleigh, pág. 145. Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 339 Más tarde desarrollado por Walter Ritz Rayleiyh-Ritz1 y el método se utiliza ampliamente en la actualidad no sólo en el estudio vibración pero en la solución de los problemas de la elasticidad, la teoría de las estructuras, mecánica no lineal y en otras ramas de la física. Tal vez ninguna otra herramienta matemática ha llevado a que gran parte de los estudios de la fuerza de los materiales y la teoría de la elasticidad. Rayleigh utiliza su método aproximado en varios complicados prob.2 demuestra que para una barra circular su resultado es en un góod acuerdo con los resultados de una teoría más elabórate ideado por Pochhammer.3 una vez más, se hace una corrección para la teoría simple de las vibraciones de las varillas laterales para permitir la inercia rotativa. "1 Un avance importante en la teoría de la vibración de conchas finas Rayleigh hizo. Dos tipos de vibración tienen que tener en cuenta: (1) concep- sional modos por los cuales el centro surfa barça e del cerramiento exterior6 tramo las vibraciones de flexión cilíndrica, cónica, esférica y conchas y obtiene resultados que coinciden satisfactoriamente con los experimentos. Una contribución importante de Lord Rayleigh a la elasticidad, no se encuentra en su tratado, es la teoría de superficie waves. elast. estimada ic6 con las olas que lleven su el ñame, el movimiento se propagó por sobre la superficie de un médium elástica de un modo similar a la rugosidad de la superficie de agua se ve alterado. Tal como se predijo por Rayleigh, estas ondas se han encontrado para jugar una parte importante de los terremotos. 70. Teoría de la elasticidad, en Inglaterra entre 1867 y 1900 La aparición de Rayleigh el tratado de sonido junto con la de Thomson y Tait la "filosofía Natural" (véase la página 267) ha tenido una 1 W. Ritz, Crelle J. , vol. 85, 1909. ¡ "La teoría del sonido", vol.I, artículo 157. * J. Matemáticas 0Crelle), vol. 81, 1876. 4 "La teoría del sonido", vol.I, artículo 162. 5 "La teoría del sonido", 2a. ed., vol. I, pág. 396. *Proc. Lonclon Matemáticas. Soc. , vol 17, 1887, o "Trabajos Científicos", vol 2, pág. 441. 340 Hislory de Slrenglh de materiales Gran efecto sobre física en general y de la nuestra en particular. Discriminato- En el último cuarto del siglo xix británico han elasticians Mucho trabajo fino que sólo se resumen brevemente en este Libro destinado principalmente para los ingenieros. Sir HoraceLamb * (1849-1934) nació en Stockport (cerca de Manchester) Y fue el hijo de un algodón-molino capataz. mentira asistió a la gramática Escuela en su ciudad natal antes de entrar en Trinity College, Cambridge. El orador Graduado en el tripos matemático como el segundo wrangler y segundo Prizeman de Smith de 1872 y permaneció como profesor en Trinidad hasta 1875. Luego fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Adelaida, Australia, donde permaneció diez Años. Al final de ese período, Volvieron a ocupar la presidencia de Puré las matemáticas (y más tarde aplicado Las matemáticas también) en la Universidad De Manchester. Su período de mandato Fue prorrogado hasta el año 1920, cuando Fue elegido para un miembro honorario- Nave en el Trinity College, Cambridge, Rayleigh y profesor de matemáticas Ics, en la Universidad de Cambridge. Se nos dice que no sólo era el Primera clase científico sino también una lista de materiales Profesor. Cordero la labor principal radica en la Campo de la hidrodinámica, pero fue Fio. 20G. Horacio Cordero. También interesado en la teoría de elasticidad- Y publicado varios papeles importantes en esa esfera. Como resultado del trabajo de Rayleigh de vibración de las conchas, se hizo cargo de la teoría de las placas y las conchas y las vibraciones2 investigó extensional de conchas cilíndricas y esféricas, que no se consideró en la ltayleigh theoiy aproximada. Discutir las condiciones límite en los bordes de placas rectangulares, demostró que puede ser rectangular píate, en forma de una superficie anticlastic por dos pares de paridad de fuerzas dirigidas por lo general a la píate y aplica en su corners.3 Este resultado representa el caso más simple de flexión de placas y posteriormente fue utilizado por A. Nadai para una verificación experimental de la aproximada (Kirch.4 Otro problema interesante de borde 1 Seo " Dictionary of National Biography", Oxford. 2 Proc. London Math. Soc. , vol. 21, pág. 119, 1891. 5 Proc. London Math. Soc. , vol. 21, pág. 70, 1891. El asunto fue discutido también en Thomson y Tait, "Filosofía Natural", vol 2, art. 656. : Véase A. Nadai, "Elastische Platten", p. 42, Berlín, 1925. Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 341 Las condiciones se mencionó en Thomson y Tait la "filosofía Natural", se decía: "Por desgracia, los matemáticos hasta el momento no han succeedod en resolver, posiblemente ni siquiera intentó resolver, el problema así planteado hermoso por la flexión de una amplia y muy delgada banda (como un reloj muelle) en un círculo. . . . "L Cordero investigó el anticlastic doblar a lo largo del borde de una delgada banda2 y han logrado un progreso considerable en la solución de la viga problema.3 Considei'ing una infinita haz de un estrecho sección transversal rectangular cargado a intervalos iguales por igual la4 y la propagación de ondas elásticas en el rostro de un semi-sólidas infinitas6 y de un sólido limitado por dos plañe faces. útilc6 Él también la teoría de la vibración natural de curvas rods.7 su tratamiento (con R. Y. Southwell) de la vibración de un disco giratorio es de especial interés para engineers.8 A. E. H. Love (1863-1940) fue otro conocido trabajador de la elasticidad de Cambridge durante el período que se examina." Nació en Weston super Mare, el hijo de un cirujano, se dirigió a Wolve- hampton Grammar School (1874). Más tarde entró en St. John's College, Cambridge, y se graduó como la segunda wrangler, en 1885. UN soltero toda su vida, que tenía una beca en St. John's desde 1887 a 1899 y ocupó la cátedra de Oxford Sedleian para el resto de su vida. Su trabajo le trajo muchos honores. Fue elegido miembro de la Royal Society en 1894 y que estaba íntimamente relacionada con la London matemáticas Amor de interés principal en la elasticidad y geofísica pero, al igual que muchos de sus contemporáneos de la escuela de Cambridge, que hizo una gran labor en otros 1 "Filosofía Natural", vol 2, art. 717. 2 Phit. Mag. (5), vol. 31, pág. 182, 1891. 3 Ver Allí congr. iniern. math., 4ª Conqr. Roma, 1909, vol. 3, pág. 12; Fil. Mayo (6), vol. 23, 1912. 4 Proc. London Math. Soc. , vol. 13 , 1883. 4 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), 1904. 5 Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), 1917. "Proc. London Math. Soc. , vol 19, p. 365, 1888. 8 Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 99, 1921. 8 Ver nota necrológica del Amor en J. London Math. Soc. , vol 16, 1941. Hislory de resistencia de materiales Temas. Su obra principal, "Tratado sobre la teoría matemática de Elastieity", aparecido en 1892-1893 en dos volúmenes y, en su original Forma, era de un carácter algo abstracto. En ediciones posteriores, una Esfuerzo realizado por su autor para cambiar esto y, por tanto, realizar su diez ts Más útil para engineers.1 es un estándar de trabajo y desde entonces su Aspecto que ha sido la mayor fuente de información en la materia. Este trabajo contiene una breve revisión histórica del tema y de las numerosas Las referencias a la nueva researeh en teoría de elastieity. Amor comenzó su obra original, de la teoría de: elastieity con la teoría Conchas finas. En relación con la labor de Rayleigh la vibración de Los depósitos (antes mencionado) Amor hizo una investigación completa de flexión Conchas finas2 mediante el uso de Kirchhoff Método y demostró que la Ilayleigh Hipótesis de flexión vibra- No exactamente- satisfacer las condi- En los bordes. En la última edi- De su libro Love considerablemente Amplió la rigurosa en teoría de las placas. Mediante el uso de J. H. Michell de solución El problema bidimensional de Elastieity.3 Amor también atacó a los Problema de la elástica de equilibrio Una esfera sólida'1 y publicó un libro "Algunos problemas de Geodinámica"5 Que contiene los tratamientos originales De los muchos problemas de geofísica. El último capítulo contiene un análisis FIG. 207. A. E. H. Amor. °F la propagación de las ondas sísmicas, Incluyendo una corrección a la teoría de las ondas Rayleigh para permitir que por la gravedad y la importante demostración de la posibilidad de que las ondas del amor son ahora el ñame. Estas ondas pueden existir amor en medios estratificados y dar lugar a movimientos transversales a la dirección de propagación y plañe en el límite de la libre transmisión de los sólidos. ICarl Pearson (1857-1936),6 otro científico de Cambridge, también contribuyó mucho al desarrollo de la teoría de elastieity. Nació en Londres y se educó en King'S College, Cambridge. El grad- 1 El libro, en su segunda edición (1906), fue traducido a Germán y u'idely utilizados en Europa Central y Rusia. 2 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol 179, 1888. 3 Proc. Londres Matii. Soc. , vol. 31, pág. 100, 1899. 4 Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 82, pág. 73, 1909. 5 Apareció en 1911. El libro era un ensayo prizc Adams. C Seo "Dictionary of National Biography, 1931-1940," Oxford. Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 343 Rial como tercer wrangler, 1879, y algunos estudios de posgrado de Heidel- berg y Berlín Universidades. Sus primeras publicaciones fueron literarias y su intención original era al ejercicio de la abogacía. En 1884 abandonó ley de matemáticas aplicadas y se convirtió en profesor de matemática aplicada y mecánica en el University College de Londres. Durante los primeros años de actividad en este colegio, Pearson contribuyó mucho a nuestro tema. En 1891 se convirtió en profesor en el Gresham College también y dio instrucción popular. Él fue un destacado profesor y podría tener una gran audiencia de alumnos u ocasionales oyentes. En 1892 su libro "La Gramática de la ciencia" fue publicado, que tuvo una gran influencia en las generaciones más jóvenes. Desde finales del siglo xix, Pearson se interesó en la teoría de probabilidades y sus aplicaciones en statisties y de ciencias naturales. Se convirtió en profesor de eugenesia Galton en 1911. La principal contribución de Pearson a la teoría de la elasticidad es la edición del libro "Historia de la teoría de la elasticidad" por Isaak Todhunter y Karl Pearson, el primer volumen de 188G1 y la segunda en 1893. Todhunter, quien inició los trabajos, que se prevé examinar únicamente memorias de un carácter matemático, pero Pearson, que com- pletó, y puso en su forma final, amplía su alcance, incluyendo los comentarios de publicaciones, con un interés técnico o físico. De esta manera la utilidad del volumen.es fue aumentado considerablemente. Pera2 dedicado "a los discípulos de Barré de Saint-Venant , discretizadas mediante un que tan dignamente de su trabajo". En el inicio de su carrera científica en el University College de Pearson pub3 " En la flexión de grandes vigas sometidas a sistemas continuos de carga" es de gran interés para elasticians. En este trabajo Pearson se extiende la teoría de flexión de vigas en los casos en los que las fuerzas volumen, tales como la de la gravedad, están actuando. De la solución completa del problema de los casos de la circular y elíptica transversal Pearson concluye que "la teoría Bernoulli-Eulerian, considerada como una teoría exacta, es falso en el caso de vigas continuamente cargada. Por otra parte, su resulte approxJ y demostró que en este caso las ecuaciones eontaining momentos apoya a cinco consecutivos obtenidos. líe dis- 1 Estaba dedicado a Saint-Venant , discretizadas mediante un . 2 "Las investigaciones de Barré elàstica de Saint-Venant , discretizadas mediante un "por Karl Pearson, Cambridge, 1889. 5 Quart. Puré Aplicada Matemáticas., no. 93, 1889. 4 El Mensajero de las Matemáticas, nuevas series , no. 225, 1890. 344 Historia de resistencia de materiales Analizó también el importante problema práctico de tensiones en masoury Represas.1 Varios otros científicos británicos fueron en el trabajo de la elasticidad durante este período. J. Larmor dio una extensión del teorema de la kinetic ana- logue (Kirchhoff, naturalmente) a las varillas curved.2 mostró8 también que si un eje de torsión tiene una cavidad cilíndrica de sección circular con su eje paralelo a la del eje, el cizallamiento en el barrio de la cavidad puede ser casi el doble del máximum de cizallamiento que existiría si no se ninguna cavidad. Charles tres subprogramas han sido, el conocido gecphysicist, también se ocupa de elasticidad en algunos de sus primeros papeles. Su análisis4 de las tensiones producidas en una esfera giratoria, un elipsoide girando y girando los discos es de interés práctico ya que se da una mejora en la teoría del estrés habitual distribución Como hemos visto, el último cuarto del siglo xix se produjo una cantidad impresionante de los resultados obtenidos por los científicos británicos. Los hombres que participan no dedícate a toda una rama de la física y, en algunos casos elasticidad parece haber sido una clara línea lateral. Este período de inglés era la productividad en el presente siglo por los hombres que hemos discutido y por la entrada en escena de Profs. L. N. G. Filón, R. V. Southwell, G. I. Taylor y otros. 71. Teoría de la elasticidad, en Alemania entre 1867 y 1900 Durante la última parte del siglo xix, una cantidad considerable de trabajo en el campo de la teoría de la elasticidad fue realizada por Germán los científicos. Varios libros sobre el tema se publicaron y el más importante de ellos fue el ciclo de conferencias de Franz Neumann, que ya se ha mencionado (página 251). Algunos de los alumnos de Neumann se hizo profe- sors de la física en las universidades y Germán han mantenido las tradiciones de su maestro sehool mediante la organización de seminarios y es diplomado en física y estudio (por cierto) prestando una gran atención a la teoría de ela6 W. Voigt bom en Leipzig, Sajonia. Allí, le fue dada su alta sehool educación y comenzó trabajos de la universidad. En 1870 fue reclutado en el ejército de Sajonia y luchó en la guerra franco-prusiana de 1 Véase la investigación de la compañía transportadora Memorias, Tech. Serie II, Londres, 1904; Tech. Serie V, 1907. 2 Proc. London Math. Soc. , vol 15, 1884. 3 Phil. Mayo. (5), vol 33, 1892. * Proc. Cambridge Phil. Soc., vol 7, págs. 201, 283, 1892; Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 58, 1895. S una breve biografía de Voigt se da en el artículo de C. Runge Woldemar Voigt, Nachr. Oes. SI? "arts. Góttingen, Matemáticas. physik. Klasse, 1920. Tlteory de elasticidad entre 1867 y 1900 345 1870-1871. Después de la guerra, decidió entrar en la Universidad de Konigs En el año 1883, Voigt fue elegido para una cátedra en Gottingen Universidad donde instituyó los cursos de física teórica. También se creó un laboratorio en el cual la teoría de la elasticidad ha desempeñado un papel importante. Estaba particularmente interesado en las propiedades elásticas de los cristales y no pendientes de trabajar en el tema. Sus numerosas publicaciones sobre este tema se incorporaron más adelante en su "Lehrbuch der Kristallphysik"1, que sigue siendo un libro muy importante en su campo. Trabajo de Voigt finalmente resuelto la controversia sobre el oíd rariconstant multiconstant y teorías. Las preguntas fueron estas: "Es elástico iso- tropy a definirse por uno o dos constantes? Y, en el caso general, es elástica aeolotropy a ser definidos por 15 o 21 las constantes?" La. Voigt se interesó por la teoría de Saint-Venant , discretizadas mediante un efecto longitudinal de prismatical bares (página 239) y se hace una serie de pruebas2 con barras de metal. Los resultados no están de acuerdo con los cálculos teóricos. Ahora Saint-Venant , discretizadas mediante un la teoría se basa en la suposición que el contacto entre las barras se lleva a cabo en el mismo instante en la totalidad de la superficie de los extremos de las varillas. Esta condición es difñcult a realizar en la práctica y, a fin de que sus resultados experimentales en acuerdo con la teoría, Voigt sugirió que las dos varillas ai'e separadas por una "capa de transición" que se encarga de las imperfecciones de la superficie de contacto. Por la adecuada selección de las propiedades mecánicas de esta capa, una satisfactorias acuerdo entre la teoría y la práctica se puede lograr. La dificultad principal de estos experimente radica en el hecho de que la duración de los efectos es muy corto. Mucho mejor Saint-Venant , discretizadas mediante un acuerdo con la teoría 1 Publicado por Teubner, Leipzig, 1910. Véase también informe de Voigt, "L'état actuel de uos connaissances sur l'ílasticité des cristaux", presentado en el Congreso Internacional de Física, París, 1900. !Ver Ann . Physik, vol 19, p. 44, 1883; vol. 46, pág. 657, 1915. 346 Historia de resistencia de materiales Fue obtenida por C. Ramsauer1 que utiliza muelles helicoidales en lugar de las varillas. De esta manera, la velocidad de propagación de ondas longitudinales se reduce, y el tiempo que se tarda en la onda que se va a viajar a lo largo de la varilla y la espalda es grande en comparación con el tiempo que se necesita para nivelar las pequeñas irregularidades de los extremos. Otra manera de hacer más claras las condiciones finales en caso de choque es utilizar las varillas con extremos esféricos y tratar la deformación local en los extremos por Hertz¿ ½de2 Los ingenieros han estado muy interesados en una serie de investigaciones experimentales que Voigt y su alumnos3 a aclarar las ideas en cuanto a la ultímate fuerza de materiales. Trabajando con los especímenes de grandes cristales de sal de roca, que se ha encontrado resistencia a la tracción que depende en gran medida la orientación de los ejes de la muestra con respecto a las doraduras de ejes. Depende también de las condiciones de la superficie de los especímenes. Voigt mostró que algo grabado la superficie lateral de vidrio especímenes da lugar a un considerable aumento de su fuerza. Una vez más, demostró que en nonhomogeneous distribución de la tensión, la fuerza en un punto depende no sólo de la magnitud de los esfuerzos en ese momento sino también en el ritmo de su cambio de punto a punto. Coinparing, por ejemplo, la fortaleza de ultímate aciagos en flexión con que, obtenida de sal de roca y de vidrio, se encontró que la fractura de estrés máximum en bend En relación a su trabajo con cristales, Voigt, importante teórico4 el cuarto orden ecuaciones diferenciales parciales que el estrés función debe satisfacer en el caso de un aeolotropic material. También abordó bend,6 y lo ha utilizado en discutir la vibración de las placas. En 1 Ann. Physik, vol 30, p. 416, 1900. 4 La investigación fue realizada por J. E. Sears, Trans . Cambridge Phil. Soc. , vol. 21, pág. 49, 1908. Sec también J. E. P. Wagstaff, Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 105, pág. 544, 1924. 3 Los principales resultados de estas investigaciones se han incorporado en un artículo de Voigt, Ann. Physik (4), vol. 4, pág. 567, 1901. 4 "Lehrbuch der Kristallphysik", pág. 689. 6 "Lehrbuch der Kristallphysik", pág. 691. Teoría de Elaslicily y solicita 1867 y 1900 347 Esta forma una explicación teórica de Savart's1 experimente nodal Las líneas de placas circulares aeolotropic fue dada. El análisis de las líneas nodales Presenta una forma muy particular de detectar desviaciones de isotropía perfecto Material de la píate. Por último, Voigt fue el primero en introducir la Nociones de tensor, tensor de la tríada en la teoría de la elasticidad. Estos son Utiliza ampliamente en la actualidad. Para completar nuestra discusión de los más conocidos elasticians entre Los alumnos de Neumann, hay que mencionar el desarrollo de A. Wangerin, quien trabajó Con los problemas de deformación de sólidos de revolution,2 de L. Saalschütz que investigó una serie de casos especiales de grandes deflec- De prismatical bars,3 y C. W. Borchardt que han contribuido a la Teoría de tensión térmica. Mientras que Duhamel y Neumann investigados El caso de un cilindro circular y un Esfera con una función de temperatura Sólo la distancia radial, Borchardt Proporciona soluciones para los dos de estos en el Forma de integráis para cualquier tempera- Tura distribución. "1 El ampliado este Método de la deformación producida En la circular los cilindros y esferas de Cualquier superficie ilegales.5 UN muy importante avance Por Heinrich Hertz8 pertenece a la Período bajo consideración. Heinrich Rudolf Ilertz (1857-1894) nació En Hamburgo, en el bien-to-do-familia de un abogado. Desde su juventud Demostró una gran capacidad en su estudio y, además, un interés en mecánica Trabajo. Durante sus años en la escuela secundaria, asistió a los cursos nocturnos de un Escuela técnica y la experiencia adquirida en los planos y en la utilización Instrumentos de servicio de medición. Después de graduarse, se decidió a estudiar ingeniería Ing y en 1877 ingresó en el Instituto Politécnico de Munich. Pero Muy pronto se encontró con que su interés reside más en la dirección de puré Ciencia; thcrefore, después de un año de estudios en Munich, se trasladó a Berlín Donde se encuentran los famosos físicos y G. H. Helmholtz Kirchhoff estaban enseñando. 1 Ann. chim. et phys., vol 40, 1829. : Archiv. Math., vol 55, 1873. 3 Ver el libro de L. Saalschütz, "Der belastetc puñalada", Leipzig, 1880. * C. W. Borchardt, "Immanuel: Gesammelte Werke", pág. 246, Berlín, 1888. 5 Borchardt, "Immanuel: Gesammelte Werke", p.309. 8 Para una biografía de este trabajador, véase la Introducción del "Immanuel: Gesammelte Werke" de H. Ilertz, vol. I, y el prólogo de H. Helmholtz a vol. III, Leipzig, 1894. 348 Hislory de Slrenglh de materiales En 1878 Octubre, Hertz comenzó a trabajar en física de Helmholtz labsumma cum laude. En el otoño de 1880, Hertz se ha convertido en ayudante de Helmholtz y era libre de utilizar cualquiera de los equipos del instituto en su trabajo. Trabajar con nuevas- ton de anillos de color, se interesó en la teoría de la compresión de órganos elásticos y en 1881 Enero, presentó su famoso papel1 sobre el tema a la Sociedad Física de Berlín. No sólo ofrece la genei-al solución del problema, sino que se aplica a los casos particulares, y se prepara una tabla numérica para simplificar las aplicaciones prácticas. Asimismo, hizo extensivo su teoría al impacto y derivados fórmulas para calcular la duración de los efectos de las dos esferas y para calcular las tensiones producidas durante ese impacto. El papel atraído el interés no sólo de los físicos, sino también de los ingenieros, y, a su solicitud, se le preparó otra version de su documento2, en el que una descripción de sus experimentos con compresión de cuerpos de vidrio y circular con los cilindros. En uno de los cuerpos con una fina capa de hollín antes de la compresión, Hertz, como un esbozo de la superficie de contacto, una elipse los ejes de los cuales pueden medirse con precisión. De esta manera, fue capaz de dar una prueba experimental de su teoría. Trabajando en la compresión de los órganos elásticos, Hertz se interesó en la dureza de los materiales. Se declaró insatisfecho con los métodos de medición de dureza3 y presentó su propia definición. El paí- el uso (para efectos de medición) de los organismos de tal forma que la superficie de contacto ser circular, y una esfera de radio definido Lj. reine angew. Math., vol. 92, Págs. 156-171, 1881. : Consulte el apartado "Verhandlungen des Vereins zur Beforderung des Gewerbefleisses", Berlín, 1882 Noviembre. 3 Él encontró la descripción de los métodos en el libro de M. F. Hugueny, "Re- cherches experimentales", lo sur la dureté des corps", Estrasburgo, 1864. Teoría de Elaslieily entre 1867 y 1900 349 Que prcssed sobre una superficie plana de un cuerpo de investigación. Como una medida de dureza, que luego tuvo que cargar>ajuste permanente en la que se llevó a cabo en el material ensayado. Aplicando esta definición en el estudio de la dureza del vidrio (que permanece elástico hasta el instante de frac.1 A principios de 1883, Hertz nuevo beeame interesados en un problema de elasticidad. Ahora es la cuestión de deformación de una infinita píate flotando sobre el agua y carga normalmente en un destino.2 mentira encontró que la píate defleets dowmvard bajo la carga, sino que a una cierta distancia de la carga las desviaciones negativas. Luego, en una mayor discenter. La explicación es que, debido a la flexión píate adquiere la forma de una concha y puede sacar más agua de la que es equivalente a su propio peso. En el mismo año, Iíertz solucionado otro problema importante de elastic.3 considera el caso de un largo cilindro sometido a cargas que son perpendiculares a su eje y tienen intensidad constante a lo largo de su longitud. Se encuentra la solución general del problema y, como un caso particular, investiga la distribución de la tensión en los rodillos circulares como se usan en la construcción de puente es compatible con móviles. En 1883, después de un período de tres años a ayudantía laboratorio de Helmholtz 1 A. Fdppl ha intentado aplicar método de Hertz, utilizando como speciinens, dos cilindros circular de igual diámetro. los ejes de lo que hizo perpendicular a una de la otra. Ver Miu. mec. tech. Lab" Munich, 1897. 2 De Wiedemann Ann., vol. 22, págs. 449-455, 1884. 3 Z. Matemáticas. u. Physik, vol 28 , pág. 125, 1883. 350 IIislory de Slrenglh de materiales Logros, se encuentran succeecled en la solución de algunos problemas difíciles que fueron, al mismo tiempo, de gran importancia en la práctica. En los últimos tiempos, Hertz la teoría de cuerpos elásticos de eompression ha encontrado amplia aplicación en n.1 Las obras de L. Pochhammer (1841-1920) pertenecen al período que se examina. En 1876, Germán científico publicó un importante documento sobre las vibraciones de la circular freno.2 Desde Euler, el pro- blema había sido tratado en el supuesto de que los movimientos radiales de par En un segundo papel,3 Pochhammer analiza la curvatura de un haz de fuerzas distribuidas sobre su superficie lateral, que muestra que el eje neutral no pasa por el centroide de las secciones transversales y que el habitual fórmula elemental para doblar destaca sólo representa una primera aprox de imation. Se le calcula una aproximación para el caso de una ménsula de sección transversal circular, cuando la carga está distribuida de manera uniforme a lo largo de su generador superior. Pochhammer se extiende su método de una viga en forma de un cilindro hueco y barras curvadas. 71A. Las soluciones de Tivo problemas multidimensionales entre 1867 y 1900 Durante la última parte del siglo xix, se han realizado progresos considerables en la solución de dos problemas multidimensionales de la elasticidad. Hay dos tipos de tales problemas. Si una fina píate se somete a la acción de las fuerzas aplicadas en la frontera en el plano medio de la píate (que podemos tomar como el plano xy ), el estrés componentes <jz, rn, y tu, desaparecen en las dos caras del píate, y es de suponer sin mucho error que estos componentes desaparecen en todo. los neumáticos de la píate thiekness. De esta manera, obtenemos los problemas de plano de esfuerzo. Otro tipo de problema bidimensional se presenta cuando un largo cuerpo cilíndrico o prismatical está cargado de fuerzas, la intensidad de lo que no cambia a lo largo de la longitud del cilindro. En un sistema de este tipo, la parte del cuerpo a una distancia considerable de los extremos tiene esencialmente un avión deformación, es decir, la deformación se produce durante los desplazamientos en 1 Ver N. M. Belajev, "Local destaca en la compresión elástica de cuerpos" (Rusia), San Petersburgo, 1924. Desarrollo de la teoría de que no sólo normal sino también las fuerzas tangenciales a la superficie de contacto se debatió por Fromm, "AÁMM, vol. 7, Págs. 27-58, 1927; y L. Fóppl, Forschung reguladora Ingenieurw., 1936, pág. 209. Véase también el libro de ¡VI. M. Saverin, "Resistencia de la superficie de los Materiales", Moscú, 1946. 2 J. Matemáticas (Crelle), vol. 81, pág. 324, 1876. 3 Ver libro de Pochhammer, " Untersuchungen über das Gleichgewicht des elastischen Stabes", Kiel, 1879. Teoría de la elasticidad entre 1867 y 1900 351 Planos perpendiculares al eje del cilindro (que podemos tomar como El eje z). En tal caso, la cepa componentes e., yx¡, y y"z desaparecen Y hemos de considerar sólo los tres componentes cepa tx, e", y y-y-y-y. Esto es lo que se conoce como cepa plañe. En ambos tipos de problema, vemos que la Número de incógnitas es reducido de seis a tres. Naturalmente, esto sim- Plifican raatters. Clebsch, fue el primero en examinar el problema de plañe distribución de la tensión, Y le dio una solución para una circular píate (consulte la página 257). Otro caso De una gran importancia en la práctica fue resuelto por H. Golovin.1 fue Interesado en las deformaciones y tensiones de arcos circulares de constante Grosor. Teniendo en cuenta el problema como una Dos dimensiones, logra obtener- Las soluciones de los sistemas se muestra En la Fig. 209. Puré de flexión (Fig. 209A) que considera que siguen siendo las secciones Plañe como se suele suponer en el elemento de- ■ Teoría de barras curvadas. Pero su estrés Distribución no coincide con la de La teoría elemental ya que este último Se supone que fibras longitudinales son sub- Sólo aten aciagos a simple o com- Ber destaca en, mientras Golovin muestra Que hay también destaca o> actuando en el Dirección radial. En la flexión producida Por una forcé P, aplicado al final (Fig. 2096), No sólo se producen tensiones normales pero P También destaca en cada corte transversal Sección y la distribución de la última No siga la ley como la parabólica Teoría elemental asume. Golovin no sólo calcula destaca pero También las desviaciones de barras curvadas y, utilizando las fórmulas de estas desviaciones, Es capaz de resolver el problema estáticamente indeterminadas de un arco, con Incorporado en los extremos. Los cálculos de proporciones habituales de arcos Demostrar que la escuela primaria theoxy es lo suficientemente preciso para prácticas de pur Plantea. Golovin de trabajo representa el primer intento de utilizar la teoría de Elasticidad arco en análisis de estrés. Desde soluciones rigurosas de la teoría de la elasticidad se conocen sólo en los casos más sencillos, las determinaciones experimentales de tensiones siempre han atraído los ingenieros. Maxwell ya se mostró cómo se puede medir tensiones photoelastically, pero su trabajo no fue valorado por los ingenieros de su tiempo. El siguiente intento de uso de fotoelasticidad medi- se hizo omo destaca, luego de un intervalo de cuarenta años, de Carus 352 Historia de resistencia de materiales Wilson.1 que se aplica el método de la investigación de tensiones en un Haz rectangular cargado en el medio. Él encuentra un considerable de discrep. Ancy entre su medida destaca y las predicciones de los habituales Haz fórmula. La explicación de esta discrepancia fue proporcionado por G. Stokes, que abogaban por calcular las tensiones en la viga de super- Lo que plantea en la distribución de la tensión radial simple 2, que será producida en Un semi-infinita píate (Fig. 210A), las tensiones producidas en una simple- Haz portado (Fig. 2106) Por el esfuerzo de tracción radial igual y opuesta A esfuerzos compresivos de la infinita píate. La resultante de estas diez- Sile subraya, de cada mitad de la Haz, es equilibrado por la vertical Reacción P/2 en el soporte y Forcé la horizontal P/TT, APLICADA En el punto m ( Fig. 210A). De aquï¿ ½a La sección transversal mn de la viga, Tenemos el momento de flexión Forcé la tracciã³n y P/ir. El Tensiones normales eorresponding <rz Se bea _ ( P l _ P h \ y , P ° X \ 2 n j l ^ 2 w h Superponiendo estas tensiones sobre el Radial esfuerzos compresivos de la semi-infinita píate, Wilson obtuvo el Los resultados de sus pruebas fotoelï con una precisión suficiente. Otra instancia de la fotoelï medición de tensiones se encuentra en la labor de Mesnager4 que experimentalmente se comprueba la tensión radial distribución La evolución de la situación en el tratamiento teórico de dos dimensiones los problemas se basa en el uso de la tensión. Como hemos visto (página 224), esta función se introdujo por primera vez por * Phil. Mag. (5), vol 32, 1891. 2 G. Stokes afirma que tomó esta distribución de la tensión del libro de Boussinesq, "Application des Potentiels . . . ," 1885. Ver Stokes, "Documentos matemáticos y físicos", vol. V, pág. 238. 3 Suponiendo que el espesor de la píate es igual a la unidad. 4 Congr. inteni. méd., vol 1, pág. 348, 1900, París. Un P Jfml -La Human Rights Foundation (HRF) { ( Zr \ V\ -J 2 h L h " V ^ y \ \Y < 7 ~T D "T 2H V N -L - (B) FIG. 210. Teoría de Elaslicily entre 1867 y 1900 353 Airy, quien la utilizó en su análisis de flexión de vigas rectangulares. Espacioso Selecciona su estrés funcionar, con el fin de satisfacer las condiciones de frontera; pero él Pasar por alto el hecho de que también debe satisfacer la compatibilidad ecuación Creado por Saint-Venant , discretizadas mediante un . Maxwell, en su obra "El Reciproeal Las Figuras, cuadros y diagramas de fuerzas" corregido error de aire1 y Estableció la ecuación diferencial en función del estrés. También Demostró que, si el órgano no existen fuerzas, las ecuaciones son idénticas para Ambos tipos de dos dimensiones de los problemas y que la distribución de la tensión Es independiente de las constantes elásticas del material. Una adición importante a la teoría de los dos problemas de dimensiones se Madeby J. H. Michell (1863-1940).2 investigando a dos dimensiones- Regina, 3 demuestra que la distribución de tensiones es Independiente de la elasticidad constantes de un iso- Trópico píate si (1) no existen fuerzas cuerpo y (2) el límite es simplemente conectado. Si el Límite multiconnected es perforado, como en Las placas, por ejemplo, las tensiones son acce- Ent de la moduli sólo si la resultante de eaeh forcé límite desaparece. Aplicando la teoría general a casos particulares, Michell utiliza4 la distribución de la tensión radial simple que fue obtenida por Boussinesq y Flamant (consulte la página 334). De esta manera, obtiene soluciones para un semi-infinito cuando el interino píate forcé se inclina por el borde recto del píate y cargado de una cuña al final (Fig. 211). Una conclusión valida- la precisión de la simple fórmula de carretera se pueden sacar de la última solución de vigas de sección transversal variable. Michell también da la solucion Teniendo en cuenta las tensiones producidas en la circular los discos por cargas concentradas aplicadas en la frontera, Michell obtiene la misma solución que anteriormente fue encontrado por Hertz (consulte la página 349). A continuación, se procede a la solución para un gran disco o de un rodillo en una horizontal plañe. Varios interesante diagramas para ilustrar los diversos sistemas de distribución de la tensión en cir 1 Véase su "Trabajos Científicos", vol 2, pág. 200. - Michell, nacido en Australia. Estudió en la Universidad de Cambridge y recibió su M. A. en 1887. Después de varios años de docencia en la Universidad de Cambridge, ha vuelto a Australia y se convirtió en profesor en la Universidad de Melbourne. 3 Proc. London Math. Soc. , vol. 31, págs. 100-124, 1899. * Proc. London Math. Soc. , vol. 32, pág. 35, 1900. CHAPTEB XII Avances en la dotación de materiales durante el siglo xx Desde finales del siglo xix, hemos visto un período de rápido desarrollo de la mecánica de los materiales. La con- para la realización de pruebas materiales congresos han atraído más y más ingenieros y physicisls, el ex interesadas en estudiar las propiedades mecánicas de los materiales y la segunda en el estudio de la física de los cuerpos sólidos. Gracias a los esfuerzos de Helmholtz y Werner Siemens, el Reichsanstalt1 se organizó en Berlín (1883-1887) con la finalidad de unir el trabajo de investigación de los físicos y las necesidades de la industria. En 1891, Oliver Lodge, en su discurso presidencial a la Asociación Británica llamó la atención a los trabajos en curso en el Reichsanstalt y la importancia que una institución similar habría de gas.2 Británico se nombró un comité como resultado de la sugerencia y sus miembros visitaron el Reichsanstalt y Versuchsanstalt fuer Ernaehrung en Potsdam. En su informe, los beneficios de mantener una cióse verificar sobre la normalización en la investigación. También se manifestó que "no sería necesario ñor deshable para competir con o interferir con las pruebas de materiales de diversos tipos como ahora lleva a cabo en su vez ha realizado una u otra labora Sector privado comenzó a reconocer la importancia de la investigación científica y la creación de laboratorios de investigación industrial progresó rápidamente. No sólo era la cantidad de investigación en mecánica de materiales incrcased como resultado de ello, sino también el carácter de la obra. 1 Para la historia y la labor de esta institución, ver "Forschung und Prüfung 50 Jahre physilcalisch-technische Reichsanstalt", por J. Stark, Leipzig, 1937. 2 Consulte el apartado "Primeros días en el Laboratorio Nacional de Física" de Sir Richard Se rebozan de brook, su primer director (1900-1919). 354 Avances en Slrenglli de materiales durante el siglo Twenlielh 355 Los nuevos laboratorios researeh facilitó el contacto entre los ingenieros y físicos y, en su trabajo, más atención al estudio de los problemas fundamentales relacionados con la estructura y mecánica prop.1 El número de researeh trabajadores interesados en las propiedades mecánicas de los materiales, y el número de artículos publicados en este campo, aumentado enormemente, y que de ahora en adelante será posible caduca , sólo algunos de los más importantes de estos trabajos. Si bien este desarrollo en la investigación experimental de los materiales fue avanzando, el campo de aplicación de la fuerza de los materiales y la teoría de elastieity también aumentó rápidamente. El uso de análisis de estrés en la ingeniería estructural se consolidó durante el siglo xix. El inicio de la xx vio ccntury nuevas tendencias en las industrias de maquinaria que reíined análisis de estrés de la parte de máquina-s muy deseable. Este nuevo tendeney encontró su expresión en nuevos libros sobre diseño de máquinas, de las cuales A. Band Stodola del libro "Die Dampfturbinen " es un ejemplo especialmente claro. Aunque los anteriores libros a partir del diseño de los componentes de la máquina principalmente en fórmulas empíricas y sólo utilizan elementos de fuerza de materiales, Band Stodola libremente en su libro utiliza todos los medios de análisis de estrés que la teoría de elastieity afTords. El autor discute destaca en placas y conchas, investiga presiones térmicas y destaca en los discos giratorios, y presta una gran atención a las tensiones producidas por el var 72. Propiedades de los materiales dentro del límite elástico Una mayor precisión en la determinación del módulo de elastieity se presenta por E. Grüneisen. interferenee2 mediante la medición de la luz a través de pequeñas prolongaciones, demostró que este tipo de material como este ñon sigue fielmente la ley de Hooke pequeñas tensiones (inferior a 140 Ib por in.2) y que la fórmula exponencial t = aam propuesta por G. B. Bülffinger3 y E. Hodg- 1 Los más importantes libros que describían el trabajo con monocristales son "Kristall- plastizitat" por E. Schmid, W. Boas, Berlín, 1935, y "La distorsión del Metal cristales" de C. F. Elam, Oxford University Press, 1936. 4 E. Grüneisen, Verhandl. physik. Oes., vol 4, pág. 469, 1906. 3 G. B. Bülffinger, Comm. Ácad. Pelrop., vol 4, pág 164, 1729. 356 Historia de Slrenglh de materiales Kinson1 y ampliamente utilizadas por C. Bach2 y W. Schüle3 es completamente was overpriced isfactory- de muy pequeñas deformaciones. Un análisis de las diversas fórmulas de tensiones cepa, propuesto para materiales que no siga la ley Hooke, fue dada por R. Mehmke.4 Experimentos con un solo cristal muestras mostraron el moduli a han marcado dependenee de orientación. Figura 212 shows,5 por ejemplo, la variación de E y G de hierro. Al contar con esta información para un cristal único, los métodos de cálculo de la media de la moduli valúes para el poli- especímenes cristalinos se desarrollaron6 de tal manera que los resultados experimentales se podría predecir con cierta exactitud. Fig. 212. La variación de la moduli E y G de hierro. Mediante la interferencia de la luz, las pequeñas desviaciones de la ley Ilooke en "perfectamente materiales elásticos" fueron objeto de investigación y se determinó que los bucles histéresis elástica y algún artefacto en monocristales de cuarzo podría ser explicado por completo las propiedades piezoeléctricas y extensión termoelástica del material7 Lord Kelvin ya había demostrado8 que si un ensayo de tracción con un lento aumento de la carga se lleva a cabo, la temperatura de la muestra sigue siendo igual a la de su entorno y la relación esfuerzo-deformación puede ser representada por una línea recta OA ( Fig. 213A), la pendiente de lo que le da la magnitud del modidus E en condiciones isotérmicas. Si la carga de tensión se aplica rápidamente, por lo que no hay tiempo suficiente para 1E. Hodgkinson, Mem. Proc. Manchester poco. Phil. Soc. , vol. 4, pág. 225, 1822. 1 C. Bach, Abhandl. u. Ber., Stuttgart, 1897. 3 W. Schüle. Dinglers Polytech. Jvol. 317, Pág. 149, 1902. * R. Mehmke, Z. Matemáticas. u. Physik., 1897. 5 Ver el libro de Schmid y Boas, p. 200. 6 W. Las boas y E. Schmid, Helv. Méd. Acia, vol 7, pág. 628, 1934. 7 A. Joffe, Ann. Physik, 4ª serie, vol 20, 1906. 8 Ver Kelvin, "elasticidad y calor", pág. 18, Edimburgo, 1880. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo Twentielh 357 Intercambio de calor, la línea recta OB es obtenido en vez de OA, y por lo general El módulo E en condiciones adiabática es mayor que la que obtienen Manera isotérmica. Debido a su repentino estiramiento, la muestra llega a estar más fresco Que la temperatura de la habitación. Si la muestra sigue siendo objeto de permanente Carga de trabajo para un período de tiempo suficiente, que se calienta en forma gradual y adquiere La temperatura de la habitación y, como resultado de ello, un alargamiento de la Espécimen (representada en la figura de la horizontal Línea BA). Este es el elástico algún artefacto y es debido a la extensión termoelástica Propiedad del material. Si, después de una completa equiparación de los carburadores Tura, la muestra es de repente descarga, su adiabática contraetion será Representada en la Fig. 213A por la línea AC paralelo a OB. Debido a este rápido Acortamiento, la muestra se calienta, y el posterior proceso de enfriamiento A la temperatura de la habitación, darán lugar a un nuevo contraetion, representada Por la longitud CO. se ve que, por deformar- El espécimen adiabáticamente y, a continuación, lo que permite Tiempo suficiente para una ecualización de la temperatura Ciclo completo, representada por el paralelogramo OBAC, se describe. El área de este representa La pérdida de energía mecánica por ciclo. Nos Supone adiabatical deformación de nuestra razón- Ing, mientras que, en la práctica, siempre hay alguna Intercambio de calor durante el ciclo. Por lo tanto, en lugar de Un paralelogramo, un bucle, como se muestra en la Fig. 2136 Se obtiene. El Entre la adiabática differenee y el isothei de moduli es generalmente mal Pequeña1 y la pérdida de energía mecánica por ciclo es muy pequeño. Pero si muchos ciclos se presentan en sucesión, como de las vibraciones, las pérdidas en Energía mecánica se tornan importantes y que deben considerarse, ya que Corresponde a la denominada fricción interna y son responsables de humedad- Ing la moción. Hemos asumido en el debate que, tras un estiramiento, los specirelaxation está representada en la Fig. 213C por el verBD. Por de pronto suelta el modelo ahora, la parte DC se obtiene y, posteriormente, debido al enfriamiento, la línea de cierre del ciclo CO OBDC. Hemos considerado un cristal único espécimen, pero también un fenómeno similar de fricción interna en especímenes policristalino. La extensión termoelástica efecto durante el estiramiento de un cristal depende de la orientación del cristal. Debido a este hecho, los cambios de temperatura pro 1 Para el acero es alrededor de $ 1 por ciento. 358 Hislory de Slrenylh de materiales Y tenemos que tener en cuenta no sólo el intercambio de calor entre la muestra y los alrededores, sino también el flujo de calor entre el individuo emociona Se supone en la discusión que la deformación del espécimen es perfectamente elástica (como se puede esperar con pequeñas tensiones). Con grandes tensiones, el fenómeno de fricción interna es más complicado, ya que tenemos que tener en cuenta no sólo las pérdidas de energía mecánica debido al intercambio de calor se ha dicho anteriormente, pero también las pérdidas debidas a plástic defor.1 73. Fractura de materiales quebradizos En años recientes se han logrado considerables avances en el estudio de la fractura de materiales quebradizos, como el vidrio. Un ensayo de tracción de vidrio por lo general da una pequeña valué de resistencia a la tensión máxima (del orden de 104 Ib por in.2). En el módulo de elasticidad, E = 107 Ib por o por satélite.2, nos encontramos con que sólo se requiere 5 lb. de trabajo por pulgada cúbica para producir fractura de este material. Al mismo tiempo, los cálculos basados en las fuerzas pue- de alterar las moléculas dar valúes alrededor de 30.000 veces mayor, para la energía. Para explicar esta discrepancia, A. A. Griffith propuso2 la teoría que se supone que esta importante reducción en la resistencia del vidrio se debe a la presencia de grietas microscópicos que actúan como el estrés . Considerando un crack como un estrecho orificio elíptico, y utilizando la conocida solución de distribución de tensiones alrededor de un orificio elíptico en un píate uniformemente estirada en una dirección (Fig. 214), se considera que debido a la 1 Una considerable cantidad de trabajos de investigación para medir la capacidad de amortiguación de los distintos materiales fue realizada por llowett, Proc . Roy. Soc. (Londres), vol. 89, pág. 528, 1913, y, más recientemente, por Otto Foppl y sus colaboradores en el Instituto Wohler} Brunswick. Ver VD1, vol. 70, pág. 1291, 1926; vol. 72, pág. 1293, 1928; vol. 73, pág. 766, 1929. La importancia de la thennoelastic causa de fricción interna fue demostrado por las investigaciones de Zener C. y sus colaboradores. Ver Méd. Re" ., vol. 52, pág. 230, 1937; vol, 53, p. 90, 1938; vol 60, p. 455, 1941. Los resultados de estas investigaciones son cetá- en el libro "elasticidad y Anelasticidad de metales", por C. De Zener, 1948. .- 2 A. A. Griffith, Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 221, pág. 163, 1920. Véase también Proc. Intern. Congr. Mecánica Aplicada, Delft, 1924, pág. 55. Véase también el artículo de A. Smckal en el "Handbuch der physikalischen und el Mechanik", vol. 42, pág. 1, 1931. Los avances en materiales Slrenglh de Ihe durante siglo Twenlielh 359 Orificio, la energía de deformación de la píate (del grosor de la unidad) es reducida por el araount 7 T?Vo 2 , N (A) Donde l indica la longitud de la fisura y el espesor de la píate es tomado como unidad. Teniendo en cuenta la magnitud del estrés <ro en el que la grieta empieza a extenderse a toda la píate y, por tanto, producen fracturas, Griffith observa que la difusión se hace posible sin ningún trabajo adicional sólo si el aumento de energía sur i ace debido al incremento de la longitud de grieta se compensa con una reducción correspondiente en energía de deformación de la píate. Esto da la ecuación 2S di (Ib) Donde S denota la superficie aciagos. De esta Ecuación, se encuentra : S? W F," 214. Por lo tanto, no puede obtener la longitud de la fisura si la tensión máxima ero de vidrio se encuentra pruebas de resistencia. Teniendo el valué1 S IO = 5.6 X 4 kg por cm Aciagos para la superficie y sustituyendo E = 7 X 105 kg /cm2, ero = 700 kg/cm2, obtiene ¡ ~1 x 10-3 cm Para comprobar su teoría, Griffith hizo experimentos con tubos de vidrio delgado sometido a presión interna. Artificial de las grietas (con un diamante) paralelo al eje del cilindro y de longitudes diferentes, encontró la crítica valúes de <70 experimentalmente. Estos fueron en buen acuerdo4 kg/cm2 para una fibra de 3,3 X 10 '3 mm de diámetro. Este es cincuenta veces mayor que la máxima resistencia a la tracción se ha mencionado anteriormente. Esta relativamente enorme fuerza de las fibras delgadas puede explicarse, sobre la base de la teoría de Griffith, si se observa que en el proceso de elaboración la delgada fibra las grietas que fueron inicialmente perpen 1 Griffith obtuvo el valué mediante la extrapolación de los resultados de las pruebas realizadas en vidrio fundido en diversos teinperatures. I 360 Historia de resistencia de materiales U N M Obtención de la inmensa fuerza de ultímate 6,3 X 104 kg/cm2 para un Diámetro de 0,5 mm Esta es aproximadamente la mitad de la potencia teórica Predictod mediante la consideración de las fuerzas moleculares. Todos estos experimentos Demuestra claramente que en materiales quebradizos y la resistencia a la tracción es mucho Reducción de las imperfecciones como microscópicos grietas internas. Una nueva investigación de la misma pregunta se hizo con una sola Crystal especímenes bajo tensión. Trabajar con muestras de sal de roca, A. Joffe encontrado1 que la tensión máxima de que el material es sólo 45 Kg por cm2, si las pruebas se hacen en el aire de la temperatura ambiente. Si el mismo lcind De la muestra se ha probado en agua caliente, alcanza su punto de rendimiento con un esfuerzo de 80 Kg por cm2 y, a continuación, se extiende plásticamente, finalmente la fracturación con un esfuerzo De 16.000 kg por cm2, lo que no está tan lejos de la teoría Fuerza de 20.000 kg por cm2 según lo calculado por F. Zwicky.2 Estos conoci- Imente ha demostrado que el efecto de suavizado, Por encima de la superficie de la pieza de ensayo, tiene un gran Efecto sobre la resistencia strength.3 Muy interesante, en cuanto a los experimentos La resistencia a la tracción de hojas de mica, se Realizado por E. Orowan.4 demostró que Si en lugar de una resistencia a la tracción de probeta de ensayo, como Que se presentan en la Fig. 215O (cortada de una mica Hoja), hojas de mica para el teste y Produce tensión sobre la zona mn por las abrazaderas UNA, c o mo s e mu e s t r a e n l a F i g . 2 1 5 6 , A c o n t i n u a c i ó n , e l ú l t i mo Fuerza es aproximadamente diez veces mayor. Esto demuestra una vez más que imperfec- A lo largo de los bordes longitudinales de la muestra (a) reducir la fuerza Considerablemente y que mediante la eliminación de sus efectos por medio de arreglos (6), mayor valúes de la resistencia final puede obtenerse. Si la fuerza de materiales quebradizos y se ve afectada tanto por la presencia de imperfecciones, es lógico esperar que el valué de la resistencia final dependerá del tamaño de las muestras y se vuelve más pequeñas con el aumento de las dimensiones, desde entonces, la probabilidad de tener puntos débiles es mayor. El efecto del tamaño se observó en los casos de rotura frágil, como los producidos por impacto6 o por el cansancio tests,6 pero una explicación de este hecho sobre una base estadística fue presentado en una fecha ulterior por W. Weibull.7 He 1 Véase Z. Physik, pág. 286, 1924. Véase también Proc. Intern. Congr. Mecánica Aplicada, Delft, 1924, pág. 64. * F. Zwicky, Physik. Z. , vol. 24, pág. 131, 1923. 3 También se examina la cuestión de la Joffe efecto se da en el libro de E. Schmid, W. Boas, p.271. M ( 6 ) La Fia. 215. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo Twenlielh 361 Demostró que si en un determinado material, dos series de pruebas de tracción geométricamente semejante speeimens de dos volúmenes distintos, V y Vt, el correspondiente de ultímate valúes fuerza será en la proporción Donde m es un eonstant del material. Determinar m de Eq. (A), podemos predecir la valué de <t"ii para cualquier tamaño de muestra. Estos experimentos fueron realizados por N. Davidenkov.1 uso de acero con un gran contenido de fósforo y experimentando con speeimens de dos diámetros d (10 mm y 4 mm) y la longitud l ( 50 mm y 20 mm), encontró dos valúes (57,6 kg por mm2 y 65,0 kg por mm2) de una"u. Ecuación (a) le dio a continuación m = 23,5 . Con este valué, el ultímate speeimens con fuerza de d = 1 mm , l = 5 mm fue predicha en 77,7 kg/mm2. Los experimentos dieron el valué 75,0 kg por mm2, por lo que la teoría estaba en un acuerdo razonable con los experimentos. Utilizando el mismo método estadístico calculado Weibull (en el mencionado documento) el ultímate fuerza de flexión y puré encontrado la proporción Para una barra rectangular. Esta fórmula también se comprobó en experimentos de Davidenkov. En las pruebas, la encontró valué 1,40 para esta relación, mientras que la cifra teórica (calculada a m = 24) fue de 1,41 . Varios otros tipos de estrés práctica distribución Weibull fueron objeto de debate en el papel. También varios experimentales son menalleviat investígations.es todas las concentraciones de tensión en los "puntos de imperfcction y hace la media destaca responsable de la avería. " N En las pruebas técnicas de materiales quebradizos, el speeimens suelen ser víc- a la compresión, pero es diíficult para obtener una distribución uniforme de esfuerzos compresivos en estas pruebas. Debido a la fricción en la superficie de contacto entre la muestra y las placas de las pruebas machino, expansión lateral es impedido y el material de estas regiones se encuentra en condiciones de compresión de tres dimensiones. Como resultado de ello, el material de las superficies de contacto permanece intacta, mientras que a los lados del espécimen es erushed. Para evitar la fricción, A. Fóppl cubiertas las superficies de contacto con parafiin2 y el tipo de falla en esta condi- (A) 1 La traducción al Inglés su papel antes mencionada, véase J. Mecánica Aplicada, vol 14, pág. 63, 1947. Ver Mili, mech. lech. Lab. Munich, nro. 27, 1900. 362 Historia de resistencia de materiales Es bastante diferente de las previamente. Un metro cúbico modelo No dividiendo a las placas paralelas a las paredes laterales. Si un cylin- Drical espécimen (la altura a la que es de dos a tres veces mayor que la de su De diámetro) se utiliza en las pruebas de compresión, obtenemos aproximadamente a una uni- Formulario distribución de tensiones en la parte del medio y, de este modo, el final Efecto es prácticamente eliminado. Otro método de producción uniforme Compresión distribuidos fue propuesto por Siebel y pompa1 y se muestra En la Fig. 216. El modelo cilíndrico es comprimido entre dos cónicas Las superficies con el un ángulo igual al ángulo de fricción. La presión resultante en este caso es paralelo a la Eje de la probeta cilíndrica. Experimentos con materiales quebradizos y sometidos a altas Las presiones hidrostáticas mostró que bajo esas condiciones El material quebradizo puede comportarse como un plástic2 uno . Utilizando Muestras cilíndricas de mármol y piedra arenisca y Producir compresión axial combinada con lateral Presión, Theodore von Kármán en obtener éxito3 Cazando formas de compresión como generalmente se producen en plástic Materiales como el cobre. FIG. 216. 74. Ensayo de Materiales Ductüe Las recientes investigaciones sobre el cristal simple deformación de especímenes ha Nos ha dado mucho conocimiento nuevo sobre el esfuerzo de las dúctiles mate- Rials. Estas investigaciones4 han revelado que plástic deformación- rante El estiramiento de un cristal único consiste en deslizarse- Ing de material sobre determinados planos cristalográficos en Una dirección definida. Por ejemplo, si estamos probando Un solo cristal aluminio espécimen debe tener un rostro- Estructura cúbica centrada celosía (Fig. 217), deslizando Se realizará paralelo a uno de los aviones octaedro ^ (Como abe) y la dirección de deslizamiento se paral 1 Mili. Kaiser-Wilhelm Inst. Kisenforsch. Dusseldorf, vol 9, p. 157, 1927. 2 Véase F. ICick, VDI, vol. 36, págs. 278, 919, 1892; F. D. Adams y J. T. Nicolson, Phil . Trans., vol. 195, pág. 363, 1901. La VDI, vol. 55, pág. 1749, 1911. * Véase el ya mencionado libros por C. F. Elam, y por E. Schmid, W. Boas. Avances en Slrenglh de materiales durante el siglo xx 363 Pero también de la orientación del cristal ejes con respecto al eje de La muestra. Supongamos, por ejemplo, que, en nuestra (solo cristal) tracción de probeta de ensayo (Fig. 218) De área de sección transversal A, la dirección de los más estigmatizados Octaedro plañe orientadas a de deslizamiento se define por la normal n, y los Dirección de deslizamiento de la línea pq. los esfuerzos de corte, actuando sobre la Plañe de deslizamiento es T = ~X cos 0 1 0 1 (A) Los experimentos demuestran que la edad de inicio es de deslizamiento No por la magnitud de r, pero en cuanto a la magnitud De la componente r cos 4> de este estrés de la dirección Pq. deslizante de la corredera comienza cuando este componente Llega la definitiva valué t cos <f> = r"r. Sustituir En Eq. (O), obtenemos Tcr - eos un pecado una cos < ¡> (B) Se observa que, mientras que r es constante para un determinado material, la carga P en Comienza dando que depende de la valúes de los ángulos a y < f>. El proceso de estiramiento, debido a los deslizamientos, se muestra en la Fig. 219. Podemos Supongamos que se produce en dos pasos: (1) propuesta de la traslaci� Planos deslizantes (Fig. 219B) y (2) y, a continuación, la rotación de la pieza por el Ángulo /3 a su dirección inicial (Fig. 219C). Este mecanismo de Estiramiento es evidente que (1) el ángulo Entre la dirección de la tracción forcé P Y los planos de deslizamiento cambia durante el Distorsión y (2) la circular inicialmente Sección de la muestra se vuelve elíptico Con la relación de sus principales ejes iguales A 1: cos /3. Numerosos experimentos con monocristales Han dado resultados que defender el por encima Conclusiones. Por ejemplo, Fig. .220 Repre- Representa un estirado de cobre-aluminio único Crystal1 muestra. Los mismos experimentos También muestran que la magnitud del rcr deslizante en el que empieza es Suelen ser muy pequeños. Figura 221 le da la relación entre la esquila Tensión y esfuerzos de corte obtenido2 en pruebas de aluminio cristal simple Los especímenes a diferentes temperaturas. Se ve que el valué de T" ES muy •Ver C. F. Elam, "la distorsión del Metal Cristales", pág. 182, 1935. 2 Ver W. Boas y E. Schmid, 7j. Physik, vol. 71, pág. 703, 1931. 1¡ I Íc) 20 40 60 80 100 120 sii<j¡ng en muy pequeñas valúes de t" pero también Shearmq cepa, % , . . , 364 Hislory de resistencia de materiales Pequeña, pero la magnitud de la investigación necesaria para la continuación de deslizamiento aumenta gradualmente con deformación. Este es el resultado del endurecimiento por deformación del material. Los cálculos de rcr, basada en la consideración de las fuerzas moleculares, dar enormes valúes. Esto indica que el proceso de deslizamiento no FIG. 220. UN estirado de cobre aluminuin cristal único espécimen. Compuesta únicamente de la rígida translatoiy movimiento de planos atómicos rojo relativo a Una a la otra; y debemos asumir la existencia de algunos locales imperfec- De patinaje que puede iniciar, bajo la acción de una pequeña forcé y Todo el plañe de deslizamiento. Un modelo que ilustra el Posibilidad de deslizamiento, (que se inicia en un punto de imperfección) Fue descrito por L. Prandtl.1 Otra Modelo mecánico fue propuesta por G. I. Taylor.2 Suponiendo una perturbación en La distribución atómica (un "dislocación") Demostró que esta perturbación se Mover a lo largo de la corredera en el cristal plañe Bajo la influencia de una pequeña t " Y podría provocar un desplazamiento relativo De una parte del cristal con respecto A los demás. Con su modelo, Taylor T fue capaz no sólo de explicar la aparición de V r El fenómeno de endurecimiento por deformación se muestra Flg' 221 ". Por las curvas en la Fig. 221. Los resultados de las pruebas de las probetas policristalino puede entenderse mejor con información sobre las propiedades de un solo cristal especímenes. J. A. Ewing y W. Rosenhain3 lo hizo muy interesante. 1 El modelo de Prandtl se debatió en un seminario sobre la teoría de la elasticidad, en 1909 (Góttingen) y su descripción fue publicada en ZAMM, vol., 8, págs. 85-106, 1928. ! Proc. Roy. Soc. (Londres), vol. 145, págs. 362-404, 1934. 3 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 193, pág. 353, 1900. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo Twenlieth 365 Cargas de tensión, "slipbands" apareció en la superficie de algunos granos. Las bandas se desliza a lo largo de planos cristalográficos definitivamente esos granos. Dado que las propiedades elásticas de un cristal único puede ser muy difaftereffect en el espécimen puede ser atribuido a la acción de estas tensiones. El rendimiento de los cristales individuales también contribuye a la pérdida de energía durante loadBauschinger efecto Hawthorne.1 En el estudio de la resistencia a la tracción de its-acero uctural, los ingenieros han sido especialmente interesada en el fenómeno de extensión repentina en el punto del rendimiento. El hecho de que, en un cierto valué de tensión, una repentina caída en la carga de tensión se produce y que después de esto, el metal se extiende considerablemente en un menor estrés es bien conocida. C. Bach introdujo los términos de la parte superior e inferior punto de rendimiento2 para estos dos valúes de estrés. Más experimentos mostraron que el menor rendimiento punto es menos influenciado por la forma de la muestra de la parte superior. Por lo tanto, más práctica futu- es que se le atribuyen. Experimente con flexión y torsión charaeteristic mostraron que el rendimiento de las líneas (las líneas Lüder ( Lüders) aparecen en mucho mayor destaca que en el caso de una homogénea distribución de la tensión, de modo que el principio de rendimiento depende no sólo de la magnitud del máximum estrés, pero también en el estrés pendiente. Recientemente, importante 1 Un interesante modelo que ilustra los bucles y la histéresis Bauschinger eflfeet, fue hecha por C. F. impresores Jenkin. Ver Engineering, vol. 114, pág. 603, 1922. 1 C. Bach, VDI, vol 58, pág. 1040, 1904; vol. 59, pág. 615, 1905. 366 Historia de resistencia de materiales Bajo la dirección de A. Nadai. Ellos demostraron que el principio de rendimiento depende en gran medida de la tasa de strain.1 Las curvas en la Fig. 222 Muestran los resultados obtenidos para acero dulce para un amplio abanico de tipos de tensiones ( u = dt/dt = 9.5 X 10 "7 por seg. a u = 300 por segundo). Se ve que no sólo el rendimiento, pero también la resistencia final y la elongación total, dependen en gran medida de la tasa de esfuerzo. Para explicar el repentino estiramiento de acero en su rendimiento, se ha sugerido2 que los límites de los granos son construidas de un material quebradizo Un PercenV FIG. 222. Y forman un esqueleto rígido que impide la deformación plástic de granos en baja tensión. Sin un esqueleto el diagrama de la prueba de resistencia sería como que se indica en la Fig. 223 Por la línea punteada. Debido a la prosence del esqueleto rígido, el material sigue siendo perfectlv elásticas y sigue la ley de Hooke hasta el punto A, en el que se rompa. A continuación, el material de grano plástic de repente obtiene la tensión permanente el ají, después de lo cual el material sigue la curva material plástic a.c. esta teoría explica la situación de inestabilidad del material en la parte superior. Esto explica que el hecho de que materiales con granos pequeños suelen mostrar mayor valúes de rendimiento de estrés y, en consecuencia, una mayor extensión 0 M. J. Manjoino, J. Mecánica Aplicada, vol 11, pág. 211, 1944 * . J Ver P. Ludwik y Scheu, Werkstoffanschuss VDI, Rec., n. 70, 1925; W. Koster, Archiv Eisenhiittenw., no. 47, 1929. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo xx 367 En rendimiento (definida por la longitud de la línea horizontal AB en la Fig. 223). Una vez más, se explica el hecho de que, en las pruebas de velocidad, el incremento en el rendimiento de Subrayar es acompañado por un aumento de la cantidad de estiramiento en este Estrés (como puede verse en las curvas en la Fig. 222). En el estudio de resistencia defprmation plástic de speeimens más allá de los Punto de rendimiento, se han logrado algunos progresos1 introduciendo los conceptos de Cierto estrés y cepas naturales de resistencia en la construcción de diagramas. El Plantines (estrés se obtiene dividiendo la carga de la sección transversal Área de la deforme espécimen, correspondiente a la carga. En cálcu- Natural strains,2 la longitud real l se utiliza en su lugar La duración inicial l0. a continuación, los incrementos de tensión Están dadas por la ecuación dt = dl/l y la natural Elongación es definida por la integral F di . I " Ji, T 081S Cuando la carga de tensión en una muestra alcanza su Máximum valué, contracción local (o "estranguladas") toma Su lugar. Las tensiones no permanecen uniformemente dis- 0 Tributar en la sección transversal del cuello y una de tres Distribución de tensiones tridimensional obtiene en lugar de simples aciagos. El Distribución de tensiones en el mínimum sección transversal en el cuello fue Investigado por N. N. Davidenkov3 para el caso de circular barras de prueba. El orador Se ha encontrado que el máximum tensión actos en el centro de la cruz- Y que el mínimo se produce en la frontera. El valúes de estos Destaca se dan aproximadamente a R - (- 0,50 a COCHE - ° ° R + 0,25 a am'° ~ R + 0,25 a Donde <ra denota la media tensión de tracción, una es el radio del mínimo Sección transversal, y R es el radio de curvatura del perfil del cuello. Además de tensiones en la dirección del eje de la muestra, destaca A, y kun agüero en el radial y tangencial direcciones estará también presente. Davidenkov muestra que estos dos tensiones son iguales y están dadas por La ecuación Remo a2 - r2 °R ae R + 0,25 a 2 Ra : Una discusión de las distintas aspeets de tracción de experimentos y pruebas correspondientes Bibliograpliy se encuentran en el libro "Der Zugversuch" por G. Sachs, Leipzig, 1926. Véase también el documento sobre el mismo tema por C. W. MacGrcgor, Proc . ASTM, vol. 40, P. 508 DE 1940 y su artículo en el "Handboolc de Análisis Experimental de la tensión", 1950 * _ : Mesnager sugirió esta idea en un documento presentado en el Congreso Internacional De la Física; véase Congr. intern. méd., París, 1900, vol 1, pág. 348. " La traducción al inglés de este documento, consulte Proc. ASTM, vol. 46, 1946. C 368 Hislory de Slrenglh de materiales Donde r denota la distancia radial de un punto del eje de las especificaciones En el estudio del fenã³meno de la fractura, L. Prandtl sugirió1 que son dos los tipos de fractura se identifican: (1) coherente o fractura frágil fractura perpenshear. En especímenes cilíndricos pruebas de acero estructural, obtenemos el llamado de la copa y cono de frac frac2 que3 de leve acero fracturas muestra que algunos granos están divididos en los metros cúbicos aviones mientras que otros están rotas a lo largo de la octaedro planos. Los cristales que se han elaborado durante plástic deformación dar un aspecto fibroso en la superficie del bréale. 75. Fuerza Teorías La mayoría de nuestra información sobre las propiedades mecánicas de materiales dúctiles se obtiene pruebas de resistencia, mientras que la de materiales quebradizos y generalmente se encuentra en pruebas de compresión. Para tener una base para seleccionar trabajo destaca para los distintos casos de esfuerzos combinados que son encontradas en la práctica, las diversas teorías han sido fuerza advanced.4 Dichos científicos como Lamé y Rankine asumió como criterio el máximum de fuerza principal estrés, pero más tarde el máximum cepa teoría fue aceptada en general, principalmente bajo la influencia de autoridades como Poncelet y Saint-Venant , discretizadas mediante un . Por lo tanto, se da por sentado que el fracaso y el rendimiento de estiramiento se produce en virtud de cualquier tipo de estrés combinado si el máximum cepa alcanza la crítica adecuada valué (que se encuentra pruebas de resistencia). Maxwell sugirió el uso de la expresión de energía de deformación en la determinación de la crítica valúes de esfuerzos combinados. Él mostró que la deformación total energía por unidad de volumen se puede resolver en dos partes: (1) la energía de deformación de compresión uniforme o aciagos y (2) la energía de deformación de la distorsión. Considerando ahora la energía de deformación de la distorsión, Maxwell hace la declaración: "tengo fuertes razones para creer que 1 "Verhandlungen deutscher Naturforscher and Aerzt Árztc", Dresde, 1907. 2 Schweiz. Verband Materialpriifung. Tech., Rec., no. 13, 1928. S C. F. volquete, Metallurgia, vol. 39, pág. 133, 1949. 4 Una bibliografía completa sobre este tema puede que encontró en el artiele por Hans Fromm; véase "Handbuch der physikalischen und el Mechanik", vol 4, p. 359, 1931. Avances en la dotación de materiales durante el siglo xx 369 Cuando [la energía de deformación de la distorsión] alcanza un cierto límite, el elemento comenzará a dar forma." Más adelante afirma: "Esta es la primera vez que he puesto a escribir sobre este tema. Nunca he visto ninguna investigación de la cuestión, teniendo en cuenta la tensión mecánica en tres direcciones en un elemento, cuando se le da forma?" vemos que Maxwell ya tenía la teoría de que, hoy por hoy, nos hace ceder el máximum cali energía distorsión teoría, pero nunca volvió a esta cuestión y sus ideas fueron conocidos sólo después de la publicación de Maxwell letters.1 que llevaba un tiempo considerable antes de que finalmente desarrolló la teoría idéntica a la de Maxwell. Duguet desarrollado2 aciagos para una teoría similar a la propuesta por compresión de Coulomb (página 51). El máximum de teoría de los distintos casos de esfuerzos combinados fue propuesto por invitado3 para acero dulce. Esta teoría es una instancia particular de la de 0. Mohr, se ha dicho anteriormente (véase la página 286). Los experimentos con materiales quebradizos, como la arenisca4 mostró que la teoría Mohr puede ser puesta en acuerdo con los resultados de las pruebas de las fracturas frágiles. Beltrami6 sugiere que, a la hora de determinar la crítica valúes de esfuerzos combinados, la cantidad de energía de deformación almacenada por unidad de volumen del mate Una mejora con respecto a esta teoría de la fuerza fue propuesto por M. T. líuber,6 que sólo considera la energía de distorsión a la hora de determinar el estado crítico de estrés combinado. La expresión de la energía es distorsión U = [ ((Ti - <r2)2 + ( a\ - s-3)s + ( <T2 - o-s)2] (O) Donde s\, a¡ ¡, y <r3 son los tres principales destaca. En simple aciagos, la distorsión en el rendimiento energético de estrés es obtenido mediante la sustitución = "P> C2 = ^3 = O en la expresión (o). Esto da 1 Las cartas de James Clerk Maxwell a su amigo William Thomson se emitieron originalmente en Proc. Cambridge Phil. Soc. , parte 5 , vol 32. Más tarde fueron publicadas en forma de libro por la Cambridge University Press, Nueva York y la leva S Duguet, "Déformation des corps solides", vol 2, p. 28, 1885. 3 J. J. Guest, Phil . Mag., vol 50, p. 69, 1900. 1 Theodore von Kármán, VDI, vol 55, pág. 1749, 1911; R. Bóker, Forsch. Reguladora. Ingenieu.ru> ., no. 175-176, 1915. 6 Rendiconli, pág. 704, 1885; Matemáticas. Ann., p. 94, 1903. 5 M. T. Huber, Czasopismo tech., vol 15, 1904, Lwóv. Véase también A. Foppl y L. Foppl, "Drang und Zwang", 2a. ed., vol 1, pág. 50. La misma idea se había inde- pendencia por R. von Mises; véase Góttinger Nachr., p. 582, 1913. 370 / - /islory de resistencia de materiales U = 6 G (B) Equiparar cxpression (a) a la libertad de expresión (6), nos encontramos con que el estado de rendimiento para cualquier tridimensional es sistema de estrés (Ai - <r2)2 + ( <ri - cr3)2 + ( <r2 - <r3)2 = 2 <put2 (C) Un avión de distribución de la tensión (teniendo a3 = 0), obtenemos la condición de rendimientos de dos dimensiones de los casos de Eq. (C), es decir, Ci2 - <Ti<72 + a?2 = <PUT2 (D) Por ejemplo, en el caso de cizallamiento puré hemos <r\ = - <r2 = r, y Eq. (D) da el valué = -^ = 0,5774 <r" V3 (E) Para el rendimiento de estrés de cizallamiento. Este está en buen acuerdo con la prueba Los resultados. Teniendo a i y <r2 como rectangulares comu- Suplentes, el estado de rendimiento (d) puede ser Representados por la elipse se muestra en la Fig. 224. La hexagonal irregular en el mismo La figura representa el estado de rendimiento, Que se deriva del máximum de cizallamiento Teoría. De las principales tensiones <ri, <r2, y <r3, Podemos calcúlate roct los esfuerzos de corte , El octaedro planes,1 es decir, los planos inclinados hacia el cqually Ejes principales. Encontramos Toct = i \ / ( < 7i - C'i)2 + ( <T2 - <rj)2 + ( < ?3 - <r\ )2 ( /) Sustituyendo en Eq. (C), el estado de rendimiento, podemos obtener 2 2 2 Toct - Es decir, la distorsión teoría de rendimiento energético se puede expresar en la siguiente forma: en el caso de estrés combinado, dando comienza cuando el octaedro esfuerzos de corte alcanza el valué Toct = < ryp\ / 2/3. Una cantidad considerable de trabajo experimental se ha realizado para inves.2 De esta manera, una de dos dimensiones con diversas condiciones de estrés Esta utilización del término nada tiene que ver con que se ilustra por cerdo. 217. 2 Z. Physik, vol. 36, pág. 913, 1926. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo Twenlielh 371 Valúes de la relación entre <n : <r2 puede ser producido (el nivel de estrés en la dirección radial puede ser descuidado). Se descubrió que los obtenidos experimentalmente puntos ocupados limitar las posiciones a lo largo de la elipse se muestra en la Fig. 224 Con cierta exactitud. Experimentos similares también fueron realizados por M. Roá y A. Eich de inger1 en el laboratorio de ensayo de materiales del Instituto Politécnico Zurich. Los resultados una vez más confirmó la distorsión energía teoría. G. I. Taylor y H. Quinney2 producido diversos tipos de dos dimensiones condiciones de estrés mediante el uso combinado de torsión y aciagos de tubos de pared delgada de aluminio, cobre y acero dulce. Con los dos primeros metáis, encontraron sobre todo buen acuerdo entre los resultados de las pruebas y las predicciones de la teoría energía distorsión. G, Sachs3 llegó en relación con (e) (entre el esfuerzo de fluencia en el cizallamiento y el estrés en aciagos vield) de una forma completamente diferente. En la Ec. (6), artículo 74, sabemos que el rendimiento de carga en un cristal único espécimen depende de la orientación del cristal. Ahora, considerando polycrystal de especímenes como las de los sistemas de cristales distribuidos al azar, sin descuidar los límites elíect de cristal y en el supuesto de que todos los cristales comienzan a producir simultáneamente, Sachs calcula la relación entre el avp y esquila eritical stx-ess tc, con un promedio aproximado de locorregional.4 Para emociona Avp = 2,238 T" De igual manera, para puré de cizallamiento Tipo - 1.293t Y íinally, TVP = ~0,577 <r"p Dentro de los límites de la precisión de sus cálculos, esto coincide con el resultado (e) de la energía teoría distorsión. Sachs se supone que aproximadamente en todo el mismo resultado se obtiene en mil cristales cúbicos cuerpo centrado con estructura reticular (como en hierro). Vemos que su trabajo da una base física para el resultado obtenido antes de asumir que un rendimiento de material comienza cuando la cantidad de distorsión energía almacenada por unidad de volumen alcanza un cierto valué para cada material5 1 Ver Proc. Intern. Congr. Mecánica Aplicada, Zurich, 1926. 2 Trans. Roy. Soc. ( .Londres), (A), vol. 230, págs. 323-362, 1931. 3 G. Sachs, VDI, vol. 72, pág. 734, 1928. 4 La sugerencia de que tal "se hizo un cálculo de Prandtl en una discusión durante la mecting de la Sociedad de Matemática Aplicada y mecánica, Dresden, 1925. Ver una nota de pie de página en el papel de W. Lode, Z. Physik, vol 36, pág. 934, 1926. Es un debate de varios teorías, con una bibliografía completa sobre el tema es en "Die Brueligefahrfester Korper" de M. Ros y A. Eichinger, Bericht der BMPA nO 172, Zurich, 1949. 372 Hislory de resistencia de materiales 76. El arrastre de los metales al temperaturas elevadas Durante el siglo xix algunas investigaciones sobre la fortaleza de materiales a altas temperaturas, pero las pruebas eran de la misma clase que las a temperatura ambiente. El propósito era tofmd el ultímate puntos fuertes de los materiales y su moduli de elasticidad a elevadas tempera- tures. Sueltan hilillos En los últimos años, los problemas relacionados con las propiedades mecánicas de los materiales a altas temperaturas se han convertido en grandes adquisiciones1 de metáis se iniciaron en varios lugares. P. Chevenard comenzamos este trabajo en France.2 J. H. S. Dickenson realizaron experimentos en el flujo de los aceros en rojo en Inglaterra3 Se comprobó que, a temperaturas elevadas, lenta muestras de acero bajo la acción de una tensión constante forcé de la misma manera como se mueve lentamente a temperatura ambiente. Attexnpts a establecer un "limitar el arrastre estrés", por debajo de la cual no hay arrastre, reveló que no existe ningún límite y que, a medida que más y más sensibles se utilizaron instrumentos de medición, de menor tamaño y menor destaca se encontraron capaces de provocar el arrastre en especímenes cargado. Beeame, claro que los métodos usuales de seleccionar las dimensiones correctas de los miembros estructurales (sobre la base de un determinado trabajo subraya) no son aplicables para el trabajo a temperaturas elevadas. El diseñador tiene que considerar las deformaciones de su estructura debido a la fluencia y seleccione las dimensiones en consecuencia. Deben ser elegidos de tal manera que las deformaciones durante la vida útil de la estructura, es decir veinte a treinta años, en el caso de una estación generadora, no sobrepase ciertos límites permisibles. Para obtener la información necesaria, varios laboratorios de prueba comenzó 1 Información acerca de este tipo de trabajo y de una bibliografía completa sobre el tema se puede encontrar en los libros, "El arrastre de los metales" de II. J. Tapsel, Oxford, 1931, y "Propiedades de los metales a temperaturas elevadas por George V. Smith, Nueva York, 1950 . 3 Compt. rend., vol 169, págs. 7)2-715, 1919. : J. Inst. Hierro y el Acero (Londres), vol. 106, pág. 103, 1922. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo Twenlielh 373 Suelen estar representados por las curvas como las que se muestran en la Fig. 225, En la que Las elongaciones se representan como una función del tiempo. Estas curvas se Obtenidos con diferentes valúes de la carga de tensión. Por ejemplo, considere- Ing la curva OABCD, vemos que, en el momento de la aplicación de la carga, La muestra se extiende por la cantidad de A y , a continuación, arrastra con un grad- Mente lenta disminución. Esto se indica por la pendiente de la curva AB. a lo largo de la porción BC, la pendiente permanece prácticamente constante y La muestra se extiende a una tasa constante lenta. Por último, a lo largo de la por- La CD, la velocidad lenta increáses con el tiempo; esto se debe principalmente a la Perpetua disminución de la sección transversal lo que provoca el arrastre al con- Tinué cada vez con mayor tensión. La porción BC de la curva Es el más importante para los ingenieros, y Por lo general tratamos de trabajar dentro de este rango de "Mínimum tasa lenta." Se supone que1 Durante el período de tiempo correspondiente a la Parte BC de la curva, el endurecimiento por deformación Producida por arrastre es superación continua El recocido por efecto de la alta temperatura Y que, debido a este equilibrio y marcha lenta toma Lugar a una tasa constante. La duración de las pruebas de laboratorio por lo general No exceder de unos pocos miles de horas para que Predicción de la deformación lenta durante La vida útil de una estructura requiere algunos La extrapolación de los resultados de la prueba. Experimentos Con distintos aceros han demostrado que, en el Parte de la curva AB (Fig. 225), el exceso de arrastre por encima de la tasa Tasa mínima deereases geometiically lenta como el tiempo increáses arithmeti- Automáticamente. Con la fuerza de esta, la siguiente relación entre el arrastre Y el tiempo de se aplica generalmente2 J * = V0 + ce ~a" (A) La cantidad Vo crcep denota la tasa mínima que, junto con Las constantes c y a, tiene que ser determinado a partir de la lenta experimental- Curva de tiempo obtenido para la temperatura y el estrés para que el La extrapolación. De integración que tenemos " = "o + v 0t - - e~ ". (B) Un 1 Esta idea fue introducida por R. W. Bailey, que contribuyó mucho al estudio de arrastre. Véase J. Inst. Metales, vol. 35, pág. 27, 1926. 2 Este método de extrapolación fue propuesto por P. G. McVetty. Ver Proc. ASTM, parte II, vol 34, págs. 105-129, 1934. :·.-,-------------- >- FIG. 225. 374 Hislory de Slrenglh de materiales La constante e0 puede volver a ser obtenidos de las pruebas, de manera que el tramo de la muestra en cualquier momento t puede ser fácilmente calculada a partir de Eq. (B). Para grandes valúes de í, el último término de Eq. (B) se vuelve insignificante, y en lugar de la lenta curva de tiempo AC ( Fig. 226), podemos usar la tota BD. De esta manera los experimentos hechos con un metal de 850 °F en las diferentes valúes de estrés se utiliza para dibujar curvas se muestra en la Fig. 227." Con esas curvas, el tramo de cualquier supuesto valúes de estrés y tiempo de servicio se puede obtener. Para el cálculo de tensiones en las estructuras a temperaturas elevadas, es deseable tener una expresión para la parte del recorte total que D Fio. 226. % Fio. 227. Se produce después de que el estiramiento inicial (se muestra por la ie en la Fig. 226). Por lo general, se supone que esta cantidad puede ser representada por una ecuación de la forma "I = Donde < t> es una función de un sólo y es una función de t. En la práctica, <p se suele tomar como una función de a y la curva experimental AC en la Fig. 226 Es tomado de \ p. De esta forma, obtenemos la ecuación (O) Donde a y m son dos constantes que se han de elegir de manera que se ajuste curvas experimentales. Con esta ecuación, podemos resolver algunos problemas prácticos encontrados en diseño estructural de temperaturas elevadas. Como ejemplo, consideremos puré doblar una viga rectangular de la profundidad h y anchura b . Se supone que las secciones transversales siguen plañe en flexión y que el material tiene las mismas propiedades en aciagos como lo ha hecho en compresión en el eje neutral que pasa a través del centroide del 1 Estos resultados son de papel de McVetty, Proc . ASTM, vol 34, 1938. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo Twenlietli 375 Sección transversal. Deje que denotan el máximum y el estrés a una distancia y de el eje neutral. A continuación, utilizar el ecualizador. ( C) , t e ne mo s _ M I ll innx euros '(-. Cl(T maxy 2Y , W E = - £■ <"" = aa" ' 4/ Desde que /Oi\ L/m W - Un ·:, - <R_ Sustituyendo en la expresión del momento de flexión, encontramos [ H M = 2 / heno dy = < 7m x Jo RHN BH2 3w 6 2M + l Para que <rml>, se puede obtener y la curvatura l/p puede ser calculado En la Ec. (D) para cualquier tiempo t. La curvatura producida en el momento de Aplicar el momento M es descuidado en esta derivación. Pocos se han llevado a cabo experimentos de arrastre bajo com- Gó destaca. A temperatura ambiente, H. W. Bailey1 prueba tubos de plomo Sometido a la presión interior y de combinada y presión interna Carga axial. También investigó las propiedades de los tubos de acero de 900 Y 1020 °F baj o tensi ón axi al y torsi ón. F. L. Everett2 acero probado Tubos de altas temperaturas, en torsión. No tener suficiente experimentación Información sobre el arrastre bajo estrés combinado, es necesario Adaptar los resultados de las pruebas de arrastre aciagos la solución de estos Problemas complicados. Esto se logra generalmente por que se parte del supuesto de que (1) durante plástic deformación, las direcciones de los principales destaca ( <R i, <r2 y a-i) coinciden con las direcciones de las principales cepas (et, e2) y Í:t,) (2) el volumen de los restos materiales eonstant para que, en el caso de los pequeños Deformaciones "I + "2 + 3 = 0 ( /) Y (3) el máximum esquila destaca son proporcionales a la corresponden- Las cepas de esquila, es decir, Es) Donde 6 denota una cierta función de ai, < r2, <n que se determine a partir de experimentos. De ecualizadores. ( /) y (y ) , se deduce que 1 Conferencia de Energía Mundial, Tokio, 1929; Ingeniería, vol 129, págs. 265-266, 327-329, y 772, 1930. 2 Trans. ASME, vol 53, 1931; Proc. ASTM, vol 39, págs. 215-224, 1939. = K • (L) 376 Historia de resistencia de materiales 26 Tl 3 1 - 20 E i ~ T <T2 - 26 - Í3 3 (T3 - 1 " 1 2 2 1 2 " (H) Estas ecuaciones son comparables con el estrés y tensiones en las relaciones de Hooke la ley, pero se diferencian en dos aspectos. La cantidad 20/3 aparece en lugar de la constante 1/E y un factor sustituye de Poisson. Para adaptar eqs. (H) para el arrastre a una velocidad constante, podemos dividir estas ecuaciones por el tiempo t. Utilizando la notación próxima, ¿ >, y é3 lenta de los principales tipos y lo que denota el factor antes los soportes con K, llegamos a ¿I - k[iti - $ ( <r 2 + ff3)] "2 = 4 <T2 - i(ai + C3)] ¿3 = K[ <T3 - T¡ { <R 1 + O^ )] ( * ) Aplicando estas ecuaciones simples aciagos cuando <j\ = < r y <r2 = <r3 = 0, tenemos Ya hemos señalado que los resultados experimentales para la constante de velocidad lenta aciagos simple puede ser representado satisfactoriamente por una función de alimentación ¿ = BCR". (M) Donde b y m son dos constantes del material, Entre eqs. (I) y ( m) , debemos tomar K = baml Para crear un acuerdo (N) Para determinar la forma de la función K PARA EL CASO GENERAL REPRESENTADA POR EQS. (K), USAMOS Eq. (C), artículo 75, que muestra la relación entre el rendimiento de una de tres dimensiones sistema de estrés y de tensión simple. Por lo tanto, sustituir el valué 1 V = V2 ( <r i < ^ 2)2 + ( < ^2 - 2 + (0 - 3 - Cl) 2 (P) En Eq. (N) como equivalente tensión. Para un manejo sencillo aciagos, volvemos a obtener Eq. (A) de esta manera y, para el caso general, eqs. ( K) dar "L = ///. ¡ ·· - ' 2 ' ( <r 2 + cr3)] "2 = bac' " ~ " [ <ri ~ 3 + (Ti)] ¿3 = /·:/- ¡ ·· : 1( <ti + tr 2)] (FF) Avances en Slrength de materiales durante el siglo Twentielh 377 Sustitución sencilla de encontrar valúes aciagos pruebas de arrastre b y m, tenemos fórmulas para calcular la fluencia ratos ¿i, é2, é;¡ en el caso general. Fórmulas similares se han utilizado por varios autores1 a la hora de resolver problemas tan importantes como el arrastre en gruesas de los cilindros sometidos a presión interna y en los discos giratorios. Las tensiones <r¡, (r2, r3 < no puede obtenerse de statics en estos casos y de integración paso a paso debe ser empleado en la solución de los problemas. 77. Fatiga de los metales Los avances modernos de la industria de máquinas han dado el riesgo de fatiga de metáis en ciclos de estrés en el centro de la atención. La principal causa de avería mecánica en el servicio es la fatiga de los componentes de la máquina y, en consecuencia, el estudio de este fenã³meno ha sido uno de los más importantes de la investigación en ñelds material de ensayo laboratorios2 en el vigésimo período siglo xxi. Las nociones de límite de resistencia y un ranga de estrés han sido bien establecidos desde la época de Wohler y Bauschinger. El límite de resistencia de inversiã³n total de estrés, la fatiga propiedades de otros tipos de ciclo se basan, por lo general 011 Gerber de presunción de3 que la gama de estrés y la tensión media <xa están relacionados por una ley parabólica: Dctermination del límite de resistencia en el laboratorio con máquinas de pruebas de velocidad exigía mucho tiempo y los gastos; por lo tanto se hicieron muchos esfuerzos para averiguar si existe alguna relación entre el límite de resistencia y de las demás propiedades mecánicas que pueden ser profe de conveniencia pruebas estáticas. Estos esfuerzos han tenido poco éxito, a pesar de que se constató que el límite de resistencia de metales ferrosos metáis sometidos a estrés de reversáis completa es de aproximadamente de 0.40 a 0.55 X resistencia final. Se ha realizado un esfuerzo considerable para encontrar qué relación (si los hay) existe entre el fenómeno de la histéresis y fatiga. Bauschinger ya había introducido la noción de tho proporcional límites naturales que se han fijado tras enviar el material a ciclos de estrés; estos límites 1 P. IC. G. Odqvist, Plasticitetsteori . . . , Proc. Roy. Swed. Inst. ing. Investigación, 1934; 11. W. Bailey, J. Inst. Medí. Engrs., vol. 131, pág. 131, 1935; C. R. Soderberg, Trans. ASME, vol 58, págs. 733-743, 1936. 2 Una descripción de esta obra se puede encontrar en los siguientes libros: "La fatiga de los metales" de H. J. Gough, Londres, 1924; "La fatiga del metal" de H. F. Moore y J. B. Kommers, Nueva York, 1927; la mimeografiado conferencias de H. J. Gough en el Instituto de Tecnología de Massachusetts durante la escuela de verano 1937 junio ; y también en la publicación de M. Ros y A. Eichinger, Bericht der EMPA nO 173, Zurich, 1950. 3 W. Gerbcr, Z bayer. Archilek. u. Ing. Ver., 1874. 378 Historia de resistencia de materiales Se debe definir el rango de seguridad en ensayos de fatiga. Esta idea ha sido desarrollada por L. Bairstow.1 utilizando un espejo extensometer en conjun- ción con una lenta carga y descarga de la máquina, se le mide la anchura de los bucles histéresis y descubrieron que, cuando estas anchuras se trazan contra el máximum de la cyolical estrés, los resultados de sus pruebas dieron aproximadamente una línea recta. Bairstow sugiere el uso de la intersección de esta línea con el estrés del eje para determinar el rango de seguridad de estrés. Posteriores pruebas de resistencia se comprueba esta hipótesis. Desde ese momento, se habían ideado varios métodos para rápidamente calorimï determin2 hizo mediciones de la energía disipada por ciclo y sugirió un método rápido para determinar resistencia límites. En tiempos más recientes, O. Fóppl y de sus colaboradores en el Instituto Wohler en Brunswick han hecho programaf trabajo en la medición de la capacidad de metáis dumping y su relación con la fatiga strength.3 Otro método rápido para determinar resistencia límites fue ofrecido por Ewing y Humfrey.4 utilizan especímenes de hierro en Suecia con pol- cionarse las superficies y examinado con un microscopio después de haberlos sometido a ciclos de esfuerzo invertido. Descubrieron que si destaca por encima de un cierto límite, slipbands apareció después de un tiempo en la superficie de algunos de los cristales. Algunos de estos slipbands parece ampliar el número de ciclos mayores y, por último, una grieta comenzó siguiendo el esquema de uno de los ampliado slipbands. Se supone que subraya que producen slipbands están fuera del rango de seguridad. Si este tipo de ciclos de estrés es continuado, una constante a lo largo de la superficie deslizante. Esto es acompañado por la fricción, similar a la que existe entre las superficies deslizantes de cuerpos rígidos. Como resultado de esta fricción, el material se desgasta gradualmente a lo largo de la superficie de deslizamiento (según esta teoría) y una grieta. Nuevas investigaciones de Gough y Ilanson5 ha revelado que el deslizamiento Para obtener una visión más profunda de los mecanismos de fallo en ensayos de fatiga, Gough6 aplica un nuevo método de ataque por medio de una precisión X-ray tech- 1 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 210, pág. 35, 1911. 2 B. Hopkinson y G. T. Williams, Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 87, 1912. J los resúmenes en inglés de este trabajo han sido publicados por G. S. Heydekamp, Proc . ASTM, vol 31, 1931, O. Foppl" . /. Hierro y Acero Ihnm. (Londres), vol 134, 1936. 4 J. A. Ewing y J. G. W. Humfrey, Trans . Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 200, pág. 241, 1903. S H. J. Gough y 1). Hanson, Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol 104, 1923. 8 Un resumen de este trabajo fue presentado a la Real Sociedad Aeroriautical. Véase J. Roy. Aeronaxd. Soc. , 1936 agosto. Avances en Slrength de materiales durante el siglo Twentielh 379 Ñique. A partir de un solo cristal especímenes, mostró que el mec-objetivo de deformación dúctil de cristales metálicos en ciclos de estrés es la misma que en condiciones estáticas, es decir, el deslizamiento se produce a lo largo de planos cristalográficos cierto tendrías que saber y es controlada por el mag1 que si los ciclos se encontraban fuera del rango de seguridad, "el cristalográficos planos distorsionados de tal manera que, si bien su curvatura media no sensibles. . . Sin embargo locales severas curva- ciona. Se sugirió que las cepas locales grandes también, posiblemente, la celosía de discontinuidades rintrodúzcala para mostrar \reg distorsionada en aviones, en el que, en virtud de la aplicación de una lo suficientemente grande gama de tensiones o presiones externas, daría lugar a la formación progresiva de un crack; en una menor magnitud de esfuerzo continuo, el estado podría ser estable". En la experimentación con materiales cristalinos como el acero, el anteproyecto pruebas estáticas mostró que no se produce cambio permanente en esmeran granos si que se mantienen dentro del rango elástico. Entre el límite elástico y el punto de rendimiento perfecto, unos pocos granos romper, formando una pequeña proporción de granos más pequeños cristalitos y (la limitación pequeño tamaño de estos fragmentos cristal fue 10-4 a 10 " 5 cm). Después, cada grano perfectas bréales, formando granos más pequeños y un gran número de cristalitos. Mediante la aplicación de los ciclos de estrés, se encontró que "si la gama de estrés supera el rango de seguridad, progresivo deterioro y ruptura en cristalitos establece en la dirección exactamente como a la fractura en el ensayo estático de destrucción." Por lo tanto los experimentos demostraron que la fractura de metáis tanto estáticos como fatiga de recalcar es acompañado por los mismos cambios en su estructura. Una considerable cantidad de trabajo se ha hecho en el estudio de los factores que afectan el límite de resistencia. Trabajo en máquinas que podría aplicar un esfuerzo antes mencionada ciclos diferentes frecuencias mostró que, hasta una frecuencia de 5.000 ciclos por minuto, frecuencia apreciable efecto observable. Mediante el aumento de la frecuencia de un valué en más de 1.000.000 de ciclos por minuto, Jenldn2 encontró un aumento en el límite de resistencia de más de 30 por ciento de hierro y aluminio Arnaco. Ensayos de fatiga realizados con muestras de acero estirado en un principio más allá de su punto de rendimiento demuestran que un grado moderado de estiramiento produce un aumento en el límite de resistencia. Con mayor aumento de la coid-, un punto se puede alcanzar en el que un descenso en el límite de resistencia puede ocurrir debido a overwork.3 experimentos en los cuales ciclos de estrés por encima del límite de resistencia se aplicaron una serie de veces antes de iniciar la prueba de la resistencia, demostró que hay un número limitado de ciclos de más 1 Véase el documento mencionado por H. J. Gough. * C. F. Jenldn, Proc . Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 109, pág. 119, 1925; vol 125, 1929. 3 H. F. Moore y J. B. Kommers, Univ. Illinois ing. Exp. Sta. Bvll. 124, 1921. 380 Hislory de resistencia de materiales Estrés (dependiendo de la magnitud del estrés antes mencionada) por debajo de la cual el límite de resistencia no se verá afectado. Pero por encima de este límite, el número de ciclos resistido se observó a disminuir. El máximum de estrés de los ciclos de sobrecarga contra la la limitación del número de estos ciclos, curva de daños materiales para la prueba se habían1 el área debajo de esta curva define todos los grados de sobreesfuerzo que no causa daño. Los daños curva se puede utilizar en el tratamiento de las piezas de la máquina funcionando por debajo del límite de resistencia, pero de vez en cuando a ciclos de sobrecarga. Se estableció una fórmula para calcular el número de ciclos de sobrecarga de diversas intensidades que un elemento de la máquina puede soportar antes años.2 En avión las estructuras, anal3 estadística pruebas de fatiga y concebido de tal manera que ajustar los ciclos aplicados en el laboratorio a la condición de servicio de la parte que se encuentra bajo investigación. Una considerable cantidad de trabajos de investigación se ha hecho en relación con el comportamiento de metáis sometido a ciclos de tensiones y expuestos a la acción de un agente oxidante. Iíaigh"1 cierta disminución del límite de resistencia cuando los especímenes de bronce fueron sometidos a la acción de la sal agua, amoníaco, ácido clorhídrico o bajo tensión alterna. También señaló que el efecto perjudicial de amoníaco en latón no se produjo a menos que la sustancia corrosiva y destaca la alternancia se apliquen simultáneamente. Nuevos avances en corrosión fatiga fue hecha por McAdam6 que investigó el efecto combinado de la corrosión y la fatiga en diversas metáis y aleaciones. Estas pruebas han demostrado que en la mayoría de los casos una grave corrosión antes de una prueba de resistencia es mucho menos dañina que una ligera. corrosión que tiene lugar al mismo tiempo. Las pruebas también demostraron que, mientras que el límite de resistencia del acero aumenta aproximadamente en todo en la misma proporción que el ultímate fuerza cuando la prueba se realice en el aire, los resultados obtenidos en el ensayo en agua dulce son bastante diferentes. Se encontró que el límite de fatiga corrosión de acero con más de 0,25 % carbón no puede ser aumentado, pero puede ser disminuido por el calor. Experimentos llevados a cabo en el vacío han demostrado6 que el y duradero 1 H. J. Francés, ayudante , vol. 21, pág. 899, 1933. !B. F. Langer, J. Mecánica Aplicada, vol 4, pág. 160, 1937. 3H. W. Kaul, Jahrb. deut. Luftfahrt-Forsch ., 1938, págs. 307-313. : t»· ·.·/. vol 18, 1917. 5 D. J. McAdam, Proc. Intern. Cong. Las pruebas materiales, Amsterdara, 1928, vol 1, pág. 305. 6 H. J. Gough y Sopwich D. G. J. Inst. Metales, vol. 49, pág. 93, 1932. Avances en Slrenglh del material durante la Twenlieth Cenlury 381 La mayoría de nuestra información sobre la fatiga se obtiene a partir de flexión y tensión direet eompression de pruebas y es de gran importancia para establecer normas sobre la forma de utilizarla en casos de esfuerzos combinados. Para la obtención de los datos experimentales, una combinación de curvatura inversa y se ha invertido- sion actuando en la fase fue utilizado por H. J. Gough y H. V. Pollard.1 variando la proporción entre el máximum de momento de flexión de torsión a la máximum momento se comprobó que, en carbón y acero suave níquel- cromo acero (3¡ % Ni), la limitación de la flexión valúes estrés y de los esfuerzos de corte se puede encontrar en la ecuación Donde < rc es el límite de resistencia a flexión y r" es el límite de resistencia de torsión. Llegamos a el mismo resultado utilizando el máximum teoría energía distorsión. Escribir Eq. (C), en la página 370, en la forma ( <Ri - < T2)2 + ( <n - <r3)2 + ( <j2 - <r3)2 = 2ov (6) Y para sustituir al y <r3 el valúes ^ ( <r ± Vtr2 + 4 i2), <72 = 0, T = - ~= En esta ecuación, obtenemos Eq. (A). Los ensayos realizados por R. E. Peterson y A. M. Wahl2 también defender el uso de Eq. (B) para materiales dúctiles. Amarga experiencia nos ha enseñado que la mayoría inicio grietas de fatiga en los puntos de concentración de tensión; estos están siempre presentes en las piezas de la máquina real en filetes, ranuras, agujeros, ranuras, etc. Wohler fue la primera experiencia con ranurado3 especímenes. Con ranuras de 0,1 y 0,5 mm sólo encontró pequeñas reducciones en el límite de resistencia de acero dulce. Un estudio más sistemático de concentración de tensión fue hecha por A. Foppl.4 mentira presentado rectangular especímenes de los agujeros circulares de tensión eompression pruebas y encontró que la influencia de los agujeros es mucho más pequeño que la fórmula teórica de las dietas. Esta discrepancia se explica por el hecho de que altos esfuerzos fueron utilizados en estas pruebas para reducir el número de disulfoton resultaron con los menores necesarias para pro : Proc. Inst. Mec. Ewjrs., vol 131. : Véase el documento presentado ante la Sociedad para la Promoción de Ingeniería Educa- ción, 23 de junio de 1941, Ann Arbor, Michigan. 3 Ver Mili. mec. tech. Lab. El Hochschule, Munich, nro. 25, 1897. * Mili. . . . Munich, nro. 31, 1909. 382 Historia de resistencia de materiales Inclusión. Por último, realizó pruebas de fatiga de torsión en circular spec(d = 20 mm) con filetes de 1 y 4 mm de radio. Una vez más, con el fin de obtener fractura después de un número relativamente pequeño de ciclos (n: 106), tensiones altas fueron contratados. Una vez más el efecto de los filetes fue encontrado es mucho menor de lo que se esperaba de Fóppl theoretieal de investigación.1 Un nuevo examen de la influencia del estrés concentración sobre la fatiga fue realizado por R. E. Peterson.2 llegó a las siguientes conclusiones de los resultados de sus experimentos con ejemplares de distintas diametors: (1) En algunos casos los resultados son bastante fatiga cióse theoretieal de estrés con Varias teorías han sido propuestas para explicar el efecto del tamaño en ensayos de fatiga de las concentraciones de esfuerzos. Peterson3 muestra que este efecto se puede explicar mediante la aplicación del método estadístico recomendado b3r W. Wiebull (para prueba estática los resultados obtenidos con materiales quebradizos) para el análisis de los resultados experimentales (consulte la página 380). Si o no este método producirá una explicación satisfactoria del efecto del tamaño en ensayos de fatiga depende de la necesidad de tener una cantidad adecuada de datos experimentales de especímenes de una gran variedad de tamaños. Ensayos de fatiga con grandes ejemplares de Timken máquina4 y los hechos con una máquina de eje marino Stavely, England,6 muestran una considerable reducción del límite de resistencia con ejemplares de gran tamaño. El problema de la reducción de los efectos nocivos del estrés concentración es de primordial importancia en diseño de la máquina. Alguna forma de alivio puede ser adquirida por medio de una hábil changos de diseño tales como eliminar las esquinas afiladas reentrada 1 A. Foppl fue probablemente el primero en dar una fórmula aproximada para el factor de concentración de esfuerzos en el filete de un eje de torsión. Ver VDI, 1906, pág. 1032. Una solución más exacta del mismo problema son dadas por Willers, Z. Matemáticas. u. Physik., vol. 55, Pág. 225, 1907. La determinación experimental de la concentración de tensión mediante el empleo del cristal factor especímenes fue hecha por A. León, Curbgrósse und Curbwirkung, Viena, 1902. - J. Mecánica Aplicada, vol 1, págs. 79, 157, 1933; vol. 3, pág. 15, 1936. 3R. E. Peterson, "Propiedades de los metales en la Ingeniería de Materiales", publicado por la American Society for Metals, Cleveland, Oliio, 1948. •> O. J. Horger y H. R. Neifert, Proc. ASTM, vol 39, p. 723, 1939. 6 S. F. Dorey, Ingeniería, 1948. Avances en Slrenglh de materiales durante el siglo Twenlielh 383 Los filetes y la introducción de generoso radios, mediante el diseño de perfil correcto íillets, introduciendo aliviar ranuras, etc. pero a veces estas medidas ade- cuadas no puede ser aprobado y debe recurrir a algunos medios de mejorar el material en el sitio peligroso. La mejora puede ser a veces de superficie adecuada de tratamiento térmico del material. Notable mejoría se ha obtenido a partir de material rodante coid; la idea de superficie coid trabajo para mejorar la fatiga de materiales se propiedad de O. Foppl quien hizo una serie de investigaciones oír de pequeño tamaño speeimens.1 T. V. y O. J. Buckwalter Iiorger2 aplicado este método a gran escala los ejes y desarrolló una máquina capaz de realizar pruebas de hasta 14 ejes en diámetro. Este illustrat posmoderno.es la tendencia a llevar a cabo ensayos de fatiga y también, en algunos casos, pruebas estáticas de la destrucción de tamaño completo. Wóhler comenzó su famosa obra sobre la fatiga de tamaño completo los ejes ferroviarios (ver página 1 (58) y poco a poco pasó a pruebas de laboratorio de los pequeños speeimens. Ahora, para probar mejoras en el diseño y estudio del efecto del tamaño, se recurre nuevamente a plena escala speeimens. 78. Análisis Experimental de la tensión Posmoderno de la fuerza de trabajo materiales ha implicado la introducción de nuevos dispositivos de medición experimental en researeh. Estos nos han permitido incrementar considerablemente nuestro conocimiento del estrés las distribuciones en ingeniero 1 Ver sus documentos en Mi ti. Wóhler inst., Brunswick ; véase también Maschinenbau, vol., 8, págs. 752-755, 1929. 2 T. V. Buckwalter y O. J. Iiorger, Trans. ASM, vol 25, págs. 229-244, 1937. Véase también S. Timoshenko, Proc. Inst. Mec. Engrs. (Londres), vol. 156, pág. 345, 1947. 384 Historia de resistencia de materiales Aproximadamente por lo que, a fin de mejorar nuestros conocimientos, es necesario recurrir a la investigación de las tensiones en la struc.1 Los nuevos progresos en esta fase de la elasticidad se refiere a la producción de nuevos instrumentos de medición y de nuevo se reunieron jefes de enfoque- librio destaca. Para la medición directa de la cepa, diversos tipos de indicador de presión se han desarrollado; estos pueden ser utilizados no sólo en laboraelectric medidor de inductancia, ha sido ampliamente utilizada para medir tensiones producidas en rieles de locomotoras en las ruedas y en la medición de los ángulos de giro de rotación shafts.2 La photoelastie método de análisis de estrés, de Maxwell (consulte la página 271), ha encontrado muy amplio uso en el siglo xx. Mesnager utiliza el método de comprobación de la teoría de Flamant distribución de tensiones alrededor del punto de aplicación de un concentrado forcé.3 también utilizado para resolver un problema práctico de tensiones en un arco bridge. photoelastie4 El método nos da la diferencia de los dos principales destaca. Mesnager sugirió que la suma de las tensiones principales deben ser obtenidos de la medición de los cambios en el grosor de la píate modelo en el punto bajo consideración. Esta idea fue utilizada por E. G. Coker, quien diseñó un lateral especial extensometer para las mediciones de estos cambios en el grosor. También introdujo el uso del celuloide, que se ha simplificado en gran medida la preparación de los modelos de pruebas photoelastie. Coker de trabajo6 que popularizo el método. Muchos jóvenes investigadores 1 La Soeiety de Experimenta) Análisis de estrés se organizó en los Estados Unidos; sus actividades y publicaciones han atraído el interés de un gran grupo de ingenieros. La nueva publicación de este soeiety, "Manual de Análisis Experimental de la tensión", editado por el Profesor M. Hetényi, "contribución a la mejora de fran 2 Una discusión completa de este tipo de indicador de presión en un artículo de B. F. Langer; ver "Manual de Análisis Experimental de la tensión", páginas 238-272. 3 Un/i. ponts et chaussées, vol 4, págs. 128-190, 1901. * Ann. ponts et chaussées, vol 16, págs. 133-186, 1913. 6 E. G. Coker de investigaciones experimentales, junto con las obras teóricas de la L. N. G. Filón, se recogen en el libro "Tratado sobre Foto-elasticidad", Cambridge, 1931. Los avances en la dotación de materiales durante el siglo xx 385 Los trabajadores de fotoelasticidad obtuvo su primera experiencia de trabajo en laboratorio de Coker en el University College de Londres. Seguir avanzando en este aspecto de la elasticidad de Z. Tuzi,1 que introdujo el llamado método marginal y medición del estrés plioto de registro gráfico, a través de la utilización de los resultados que pueden obtenerse ai-e inmediatamente después de la carga, por lo que los errores debido a efecto del tiempo se reducen al mínimo. También utilizó un nuevo material óptico con mayor sensibilidad para sus modelos phenolite. Un método puramente óptica de fotoelasticidad fue desarrollado por H. Favre.2 El mï¿ ½odo fotoelï se ha convertido en muy popular entre los ingenieros, y que la fiebre aftosa todos los equipos necesarios para photo.3 En los últimos tiempos, se han hecho algunos intentos para desarrollar tres dimensiones fotoelï análisis de tensiones por el método de congelación la tensión en el modelo. Este fenómeno fue observado por primera vez por Maxwell. Pero, de la fotoelasticidad tridimensional es en su infaney.4 Para la determinación aproximada de las tensiones en los puntos más débiles de las estructuras coinplicated (para análisis de estrés que, teóricamente no puede ser aplicado fácilmente), el método de quebradizos recubrimientos ofrece muchos advantages.5 Si la superficie de un modelo o modelo está recubierta de un barniz antes de la aplicación de las fuerzas y, a continuación, poco cargado, la primera fisura en la capa de laca, para ver el máximum de esfuerzo y la dirección de la grieta indica la dirección del máximum tensión; es perpendicular a la grieta. La magnitud de la tensión también se puede determinar si un ensayo de tracción de una barra de calibración, recubiertos con el mismo tipo de laca. Para mayor precisión, cepa sensible los medidores pueden ser utilizadas ahora los puntos débiles en la dirección de la grieta y perpendicular a ella. De esta manera, Dietrich y Lehr6 han analizado destaca en los cigüeñales, bielas, y otras partes de la máquina. 1 Z. Tuzi, Sei . Documentos Inst. Méd. Chem. Investigaciones (Tokio), vol.7, págs. 79-96, 1927. Véase también Proc. 3d Inteni. Congr. Mecánica Aplicada, Estocolmo, 1931, vol 2, págs. 176- 180. 2 Ver Schweiz. Bauz titulada., v. 20, 1927. 5 Véase M. M. Frocht, "Fotoelasticidad", Nueva York, 1941. 4 La historia de este nuevo desarrollo se puede encontrar en el documento de M. Hetényi, J. Mecánica Aplicada, 1938 diciembre. Véase también el artículo sobre de la fotoelasticidad tridimensional en el "Manual de Análisis Experimental de la tensión", págs. 924 965, 1950. 6 Una descripción de este método se encuentra en el artículo de Hetónyi en el "Manual de Análisis Experimental de la tensión", páginas 636-662. 8 VDI, vol 76, págs. 973-982, 1932. 386 Hislory de resistencia de materiales Una gran cantidad de trabajos de investigación se ha realizado en el estudio de las tensiones residuales Por lo general se producen en las piezas de machino proeesses tecnológico. Por ejemplo, para dibujar una barra de cobre a través de un molde, las tensiones no son Uniformemente distribuida sobre la sección transversal. El metal cerca de la superficie Es más de que en el centro, como se muestra en la Fig. 228 A. Cuando Forcé la tracciã³n P es eliminado, el bar los contratos uniforme y un uniforme El estrés es restar de las tensiones de la curva , por lo tanto, el mn Tensiones residuales representados por el área sombreada de la Fig. 2286 Al fin. Las fibras del exterior se encuentran en tensión, mientras que las del interior son de eompression. Si la barra está ahora cortado longitudinalmente, las tensiones residuales serán parcialmente Liberadas, las dos partes suponiendo que la formas curvas se muestra en la Fig. 228C. Similares tensiones residuales son producidos por coid material rodante, como se muestra en Fig. 228D. Si extensometers son En el exterior attaehed surfaees de El bar, antes de que el corte longitudinal El estrés pico residual Puede medirse1 durante el agacharse Se muestra en la Fig. 228C. Tensiones residuales son de gran Importancia en la práctica. Que causan Deformaciones indeseables en el proceso Temporada de mecanización y grietas Debe atribuirse también a ellos. Esto ocurre en estirado en frío de tubos Varias aleaciones de cobre que, tras Coid trabajo, no han sido adecuadamente Recocido. Para medir el residual Destaca que existen en un miembro estructural, tenemos que reducir los Miembro de capas delgadas. Por mediciones de deformación En este proceso, podemos obtener información a partir de la cual residual Destaca puede ser calculado. Los primeros experimentos de este tipo Realizado por N. Kalakoutzky,2 quien estudió tensiones residuales en armas. Investígate a tensiones residuales en barras rectangulares (Fig. 229), para empezar, Mecanizado de una fina capa de espesor capa A. Si que había una resistencia a la tracción Tensiones residuales <r, el mecanizado produce el mismo efecto en la estructura superficial- Información de la barra como la aplicación de las dos fuerzas de tensión excéntrica <rbA (Fig. 229A). Estas dos fuerzas se producirá una deformación longitudinal t dada por 1 En el caso de algunos experimentos de este tipo fueron realizados por el escritor en el Laboratorio de Investigación de la Westinghouse Electric Corporation en 1924. 4 N. Kalakoutzky, "el estudio de tensiones internas en fundición de hierro y acero", San Petersburgo, 1887, traducción al inglés, Londres, 1888. (B) Fio. 228. Ahha ... Avances en Slrenglh del material durante el siglo Twenlielh 387 y curvatura 1/p según la f órmula: P = 2 ÉT (B) Midiendo el cambio de curvatura después de cada capa, podemos obtener información de suííicient calculaling la primera tensiones residuales mediante eqs. (O) y (b). El método se puede mejorar mediante un proceso químico para capas delgadas de material en lugar de machin. Este método fue ideado por N. N. Davidenkov.1 también se aplica en la investigación tensiones residuales en frío de los tubos. Tensiones residuales en barras cilíndricas sólidas pueden ser investigadas por un aburrido. Por medio de rebajarle el material en capas delgadas de dentro y las mediciones de las deformaciones de la correspondiente U N Y 1 H I AB A ABA (A) (6) FIG. 229. El cilindro en la dirección tangencial y longitudinal, podemos obtener suficiente información para el cálculo de la tensiones residuales2 distribuidos sim- sistema métrico con respecto al eje del cilindro. Este método ha sido utilizado en el estudio tensiones residuales producidas durante varias de calor proeesses tratamiento y el examen de la deformación causada por plástic intentan cooling.3 El mismo método también se utiliza en relación con tratamiento de calor. Endurecimiento y nitruración Fíame se utilizan ahora a menudo para mejorar la resistencia a la fatiga de los componentes de la máquina en los puntos de alta concentración de tensión. De esta manera, la alta compresión se crean tensiones residuales en la superficie que, en combinación con los ciclos de estrés pro Tensiones residuales tienen gran importancia en las estructuras soldadas. Debido a las altas temperaturas locales en el proceso de soldadura y a la sub- sequent refrigeración, altas tensiones residuales suelen aparecer. La magnitud de estas presiones en acero soldado píate estructuras pueden ser investigados por 1 J. Tech. Phys., ( U. R. S. S. ), vol., 1, 1931. 2 Este método de ealeulation fue desarrollado por G. Sachs, Z. Metallkunde, vol 19, págs. 352-357, 1927; Trans. ASME, pág. 821, 1939. " H. Buchholtz y li. Bi'ihler, " Stahl u. Bisen", vol. 52, págs. 490-492, 1932. Véanse también los documentos por S. Fuchs, Mitt. Forsch.- Inst., vol 3, págs. 199-234, 1933, y H. Bühler, H. Bucliholtz y F. H. Sclmltz, Archiv Eisenhiittenw., vol. 5 , págs. 413-418, 1942. 388 Hislory de Slrenglh de materiales Utilizando el medidor de deformación roseta1 las medidas que la cepa de la plañe de píate en tres direcciones. Con estas medidas, las magnitudes y las direcciones de las principales cepas y el correspondiente principal destaca puede ser calculado. A fin de obtener las tensiones residuales en una píate, son necesarias dos mediciones, una antes de cortar una pequeña porción de la píate y el otro después. Las diferencias entre los dos las lecturas de las cepas que dan como resultado del aislamiento del elemento y que definir la magnitud de las tensiones residuales. Métodos de análisis experimental de la tensión se van desarrollando en diversas direcciones, y podemos esperar nuevos progresos en esa esfera y de la consiguiente mejora de nuestros conocimientos de resistencia de materiales. Durante un largo período de tiempo, los métodos analíticos han prevalecido en la resistencia de los materiales. Estos métodos son útiles, pero no siempre es suficiente para la solución de problemas de ingeniería. La introducción del método experimental ha dado nueva vida a la investigación de materiales. 1 Dcscription de distintos tipos de roseta medidor de deformación, su teoría y aplicaciones, se puede encontrar en el artículo de J. H. Meier en el "Manual de Análisis Experimental de la tensión", págs. 390 437. CAPÍTULO XIII Teoría de la elasticidad durante el período L900-1950 79. Félix Klein Evei siuce" el tiempo de Ganss, Gottingen ha sido un importante centro De las matemáticas. Gauss no sólo fue un gran matemático, pero fue También los interesados en las aplicaciones de la materia de las soluciones de los problemas- Regina de la astronomía, la física y la geodesia topografía. Como resultado de su Trabajo, una tradición de contacto entre las matemáticas y sus aplicaciones Se estableció en Gottingen. Ilis Sus sucesores, los destacados matemáticos Dirichlet maticians, Riemann, y Clebsch, confirmó esta tradición y Por lo general dio conferencias en diversas Las ramas de la física teórica como Así como en puré las matemáticas. En El final del siglo xix y el Principios del siglo xx, Esta idea de vincular estas subjeets Ganado nuevos ímpetus en virtud del en- Fluencia de Félix Klein. Félix Klein (1849-1925) nació En Dusseldorf.1 Después de graduarse Desde el gimnasio, entró en el Universidad de Bonn donde pronto se- Vino un asistente del profesor de Física, el Profesor Plucker. Klein Fue galardonado con el título de doctor antes de que él tenía veinte años (en 1868) y se trasladó A Gotinga, donde Clebsch, estaba enseñando. En 1871, se convirtió en un profesor 1 Véase Klein notas autobiográficas del agregado a varias partes de su "Immanuel: Gesammelte Mathematische Abliandlungen", Berlín, 1921. Véase también Universitütsbund Gottingen E.V. Jahrgang 26, Mitleilungen, 1949, Heft 1; R. Mises, ZAMM, vol. 4, pág. 86, 1924. Para la historia de las matemáticas en Gottingen, ver "Der Mathematische El Título . . . " Por Klein und Schimmaek, Teil I, pág. 158, 1907. 389 390 Hislory de resistencia de materiales En la universidad, pero ha dejado Gottingen iu al año siguiente, fue elegido para una cátedra en la Universidad de Erlangen (antes de la edad de veinte y tres). Allí se elaboró su famoso programa conferencia "das Erlanger Programm" en el que la importancia de asociar las matemáticas con sus diversos campos de aplicación. En 1875, Klein se convirtió professubjects no habían presentado antes en Germán universida- des, pero debido a su influencia, los tres nuevas cátedras de matemática aplicada, física técnica (ingeniería eléctrica), y mecánica aplicada se establishcd en Gottingen. Klein hizo un viaje a los Estados Unidos en 1893 y visitó la Exposición Internacional de Chicago. Participó en el congreso de ese año y dio una serie de conferencias en Evanston de los matemáticos. Después de ese tiempo, Klein siguió en contacto con científicos estadounidenses y a menudo los alumnos de los Estados Unidos en sus clases. Mientras que él estaba en los Estados Unidos, estudió la organización de aquellas universidades que había escuelas de ingeniería y matemáticas que dio A su regreso a Gottingen, Klein decidió tiy métodos norteamericanos y establecer contacto con los representantes de Germán industria. Explicó que estas personas lo beneficioso que sería para la industria a organizarse, en Gottingen, en los institutos de matemática aplicada, mecánica aplicada y física aplicada, en la que los jóvenes researeh los científicos podrían estar capacitados. El describió cómo su activitics de esas instituciones podrían influir sobre métodos de enseñanza de las matemáticas y la manera en que ayuda en la formación de docentes de matemáticas con algunos conocimientos de las ciencias de la ingeniería. En 1898 la Góllinger Vereinigung zur Fórderung der Physik und Mathcmatik angcwandten fue fundada y, con el apoyo financiero de la soci Teoría de Elaslicily durante el período 1900-1950 391 Completado, C. Runge1 estaba a cargo de las matemáticas aplicadas, L. Prandtl fue director del instituto de mecánica aplicada, y H. T. Simón dirigió el departamento de ingeniería eléctrica. Para mantener el contacto entre las nuevas instituciones, así como la escuela de puré las matemáticas, se organizó un seminario bajo la presidencia de Klein con la colaboración de los profesores de ciencias aplicadas. Resistencia de los materiales, la teoría de las estructuras, la teoría de la elasticidad, electro- las Técnicas, etc. , fueron tomados como los temas en el seminario de semestres consecutivos. Para cada sesión de dos horas, uno de los estudiantes han tenido que preparar un documento, con la dirección del profesor, sobre un tema sugerido por adelantado. Después de la presentación de los documentos, el debate por los profesores y los estudiantes. Klein remarles suelen ser de especial interés, ya que, con su gran conocimiento y su notable capacidad como docente, iba a ver algunos puntos de interés más general en cada problema específico, y con algunos comentarios que demuestran la conexión de los trabajos presentados con problemas en las áreas relacionadas. Este tipo de seminario, en el que participan los representantes de puré las matemáticas y las ciencias aplicadas han colaborado, era una novedad, y lo que atrajo el interés de muchos jóvenes ingenieros no sólo en Alemania, sino también de otros países, a fin de que la reunión por lo general tenían un aire cosmopolita. Este nuevo movimiento tuvo gran éxito, por lo que muchos estudiantes seleccionados Gottingen para su grad Klein de actividad no se limita a este trabajo de organización en Gott 1 De la biografía de C. Runge, consulte el libro "Cari Runge", por Iris Runge, en el cual una imagen vívida de la vida académica en Gottingen en el comienzo del siglo xx. 392 ¡Lislory de fuerza de los materiales Ingeniería mecánica para llevar a un nivel superior mediante un acercamiento Contacto entre el puré y ciencias aplicadas. UNA n otra forma de Klein mejora de las relaciones entre el puré y Ciencias aplicadas fue a través de su trabajo en la revisión de los programas de matemáticas- Ematical educación en escuelas y universidades. Abogó por el Creación de institutos de ciencias aplicadas en el Germán universidades. También quería particípate las escuelas de ingeniería en mayor medida en La formación de profesores de matemáticas por elevar su nivel en la Ciencias fundamentales. Estas ideas han tenido una gran incidencia en matemáticas En Alemania, la educación y, más tarde, a través de la Comisión Internacional De los Congresos Internacionales de Matemáticas, influyeron las matemáticas- Métodos de enseñanza ematical en otros Los países. La tendencia de la fuerza de Materiales en el siglo xx Ha sido a una mayor utilización de Herramientas matemáticas, y el prin- Pales contribuciones a nuestra ciencia Han sido realizados por hombres que tienen Educación combinados de ingeniería Con una gran preparación en El campo de las ciencias fundamentales. Este Los avances en las ciencias de la ingeniería Ha sido en la dirección prevista Por Klein. 80. Ludwig Prandtl I/. Prandtl nació en 1875 en Freising cerca de Munich en la familia De un profesor de la escuela de agricultura. Recibió su ingeniería Educación en Munich Instituto Politécnico. Después de graduarse, Permaneció en la escuela como un ayudante del Profesor A. Foppl que, en aquel momento, Apenas había comenzado docente y está reorganizando el programa de Ingeniería mecánica y de los materiales de laboratorio de ensayo. Prandtl le ayudó en esa labor y, en el comienzo mismo de su carrera, Completó una parte importante de la investigación. , Fóppl estaba interesado en ese momento de la teoría de flexión de barras curvadas y han hecho un gran número de pruebas de la fuerza del ferrocarril Teoría de la elasticidad durante el período 1900-1950 393 Que las secciones transversales de una barra curvada siguen plañe en flexión. Prandtl obtuvo la solución rigurosa para el puré doblar una barra curva de sección transversal rectangular estrecha. Esto demuestra que siguen siendo las secciones transversales puré plañe en flexión y que la distribución de tensiones es prácticamente el de Winkler¿ ½de1 Trabajando en flexión de placas circulares, Prandtl observó que las desviaciones son proporcionales a la carga para pequeñas desviaciones solamente y que para las grandes desviaciones la píate presenta mayor rigidez que la teoría predice. Esta es quizás la primera prueba experimental de esta limitación a la aplicación de la teoría habitual píate. En 1899 escribió, en su tesis de doctorado, un documento2 de pandeo lateral (kipperscheinung) de vigas de sección transversal rectangular estrecha doblada en el máximum plañe de flexión rigidez. Obtuvo soluciones para varios casos particulares3 de importancia en la práctica, calcula la tabla de la función Bessel que es necesario en este problema, y ha hecho una serie de experimentos, los resultados de los cuales mostraron buen acuerdo4 y curvas bares.5 Después de terminar su tesis de doctorado, Prandtl trabajó en la industria. De cualquier modo, pero pronto regresó a la vida académica y, ya en 1900, aceptó la cátedra de ingeniería mecánica en el Politécnico Hannover Insti- tute. Allí publicó su importante papel en la membrana de torsión analogía de la salud.6 En este trabajo se muestra que, mediante una capa de jabón, toda la información sobre distribución de la tensión de torsión puede ser obtenida experimentalmente. Algunos trabajos sobre este luego se hizo de su alumno H. Anthes.7 La importancia práctica de la analogía fue reconocida por A. A. Griffith y G. I. Taylor, quien usa8 el jabón de la película método para disuadir- 1 La solución rigurosa para doblar barras de circular se obtuvo anteriormente por Golovin, pero su trabajo fue publicado en ruso y no se conoció en Europa Occidental. Prandtl nunca publicó su trabajo; referencia a la misma se hizo en A. Timpe, Z. Malh. u. Physik, vol. 52, pág. 348, 1305. 2L. Prandtl, "Kipperscheinungen", Tesis Doctoral, Munich, 1899. 3 El caso más simple de pandeo en el caso de flexión puré fue resuelto en forma independiente A. G. M. Michell, Phil . Mag. (5), vol. 48, pág. 298, 1899. 4 El escritor de pandeo lateral investigado ME haces; véase S. Timoshenko, Bol. Polylech. Inst. San Petersburgo, vol 4, 1905; vol 5, 1906. Una nueva investigación de los mismo problema fue hecha por E. Chwalla, Bauing., vol 17, 1936. Seo también Silzber. Ákad. TFíss. Wien Math. -Naiurw. Klause, Abt lia, vol. 153, de 1944, y O. Pettersson, Boletín nO 10, Real Instituto de Tecnología, Estocolmo, 1952. : Véase S. Timoshenko, Bol. Polylech. Inst. Iiiev", 1910. S Physik. Z. , vol 4. 1903. 7 H. Anthes, Dinglers Polytech. J. , 1906, pág. 342. 8 Tech. Sust. Coinm Consultiva. Aeronáutica, Londres, vol. 3, págs. 910, 938, 1917-1918. ] 394 Hislory de Slrenglh de materiales Minería al rigidez de torsión barras de diversos y complicados secciones transversales. De Prandtl aceomplishments en ingeniería mecánica se dio a conocer a Klein y, en la fuerza de la recomendación Foppl, él decidió poner a Gottingen Prandtl y encomendarle a la importante labor de desarrollo ingeniería mecánica de la universidad. Esta acción inusual1 de que un joven ingeniero a una escuela de matemáticas y de darle esa responsabilidad muestra una vez más su previsión Klein. De Prandtl actividad ulterior en Gottingen aportado mucho a la gran reputación de la institución. FIG. 232. Instituto de Matemática Aplicada y Mecánica de la Universidad de Gottingen. En la reunión del Congreso Internacional de Matemáticas de Heidel- berg en 1904, Prandtl presentó su famoso documento " Über Flüssiglceits- bewegung bei sehr kleiner Reibung" en el que la capa límite se dis Prandtl comenzó su labor en Gottingen en la falla de 1904. En el mismo año, el Profesor C. Runge, un amigo cióse, se unió a él para enseñar matemática aplicada2 y, debido a su actividad, 1 Algunos de los profesores no están a favor de la enseñanza de la ciencias aplicadas en la universidad, pero demostró que el trabajo de Prandtl que plena armonía podría mantenerse con el alto ideáis de educación universitaria. Ver W. Voigt, "Festrede", Gottingen, 1912. 2 En la pared del edificio la píate puede ser visto para conmemorar Thonias Jóvenes, que, como estudiante, ha trabajado en física en el edificio a finales del siglo xviii (consulte la página 90). Teoría de Élaslicity durante el período 19001950 395 Pronto se convirtió en un importante centro para atraer a los jóvenes hombres interesados en Las aplicaciones de mathematies a engineering.1 en ese momento, de Prandtl Es diplomado los alumnos trabajan principalmente en la solidez de los materiales. II. Hort2 Escribió una tesis sobre resistencia a los cambios de temperatura durante las pruebas del acero y S. Berliner3 hizo una investigación de ciclos de histéresis en las pruebas de tracción Hierro fundido, y el escritor inició los trabajos de pandeo lateral de vigas Que ya ha sido menlioned. Tras el fracaso en la construcción El puente de Québec, Prandtl se interesó en dobleces de Columnas y mostró'1 que las diagonales y listones, Avhich conectado La pesada acordes del comprimido miembros del puente, había necesi- Dos dimensiones transversales. Aproximadamente al mismo tiempo, Theodore von Kármán llegó a Gotinga y Comenzó su labor de pandeo de col- Plástic umns en la región5 ( su médico Tesis) en virtud de Prandtl. Después de obtener su licenciatura, von Kármán Nos alojamos en Gottingen durante varios años Como ayudante de Prandtl y un Investigación en flexión de curvas Tubos6 (un problema que se Prandtl Interesados en). También realizó trabajo experimental de la compresión Fortaleza de piedra en sentido longitudinal y lateral pressure.7 Prandtl él mismo elaboró su teoría de los dos tipos de fracturas de Sólidos y también elaboró su modelo para explicar la histéresis bucles (véase Página 364). Estaba interesado en la plástic deformación de las vigas y una tesis sobre el tema fue escrito por II. Herbert8 bajo su dirección. Varios problemas de plástic deformación ya había sido resuelto por Saint-Venant (consulte la página 242). Prandtl logrado nuevos avances en este campo y resolver5 el más complicado problema bidimensional de un semi-infinito cuerpo bajo una presión uniforme p distribuidas en un franja de anchura (Fig. 233). Demostró que, en una cierta crítica pcr valué de presión, la triABC se mueve hacia abajo mientras que el BDE prismas triangulares y un FG subir bajo la acción de la presión transmitida por la sec- BCD y ACF. El deslizamiento se produce a lo largo de las superficies del máximum 1 Véase A. Sommeríeld papel de Prandtl de su sexagésimo aniversario en ZAMM, vol. 15 , pág. 1, 1935. 2 H. Hort, "Über die Wármevorgiinge beim Zerreissversuch", Tesis Doctoral, 1906. 5 S. Berliner, Ann. Physik, vol. 20, Pág. 527, 1906. 4 VDI, vol 55, 1907. 5 Forschungsarb., no. 81, 1910, Berlín. • VDI, vol. 55, pág. 1889, 1911. " VDI, vol 55, pág. 1749, 1911; Forschungsarb., no. 118, 1912, Berlín. 8H, Herbert, Tesis Doctoral, Gottingen, 1909. 9 Ver Z. Angew. Las matemáticas. U. Mechanik, vol. 1, P. 15, 1921. 396 Historia de resistencia de materiales Esfuerzos de corte se muestra en la figura. Suponiendo que en rendimiento, el máximum esfuerzos de corte es igual a la mitad de la producción de subrayar en aciagos, la presión crítica es Un rápido progreso en la teoría de plasticidad comenzó con la appearanee de este papel. El tema ahora eonstitutes una importante rama de la mecánica de los materiales y se trata en los libros de A. Nadai,1 W. W. Sokolovsky,2 y R. Hill.3 Papel de Prandtl ha significado histórico en otro sentido. Al parecer en la primera edición de la Zeilschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. Esta revista ha adquirido una gran influencia en la dirección editorial de R. von Mises no sólo en Alemania sino también en otros lugares. Varios países han seguido este ejemplo y comenzó a publicar revistas de mecánica aplicada. Estos han mejorado considerablemente las instalaciones para la generación de nuevos trabajos en el tema antes de que los trabajadores en el ámbito de la mecánica de los materiales. Documentos de Prandtl en la fuerza de los materiales representan sólo una pequeña parte de su contribución a la ingeniería mecánica. Sus principales logros se encuentran en la aerodinámica, pero, como esto no pertenecen a el tema de nuestro debate, sólo mencionaremos que, desde 1906, cuando el Motorluftschiff de Studiengesellschaft fue organizada, Prandtl ha tenido que dedicar más y más tiempo a su aerodinámica. En 1908, el primer pequeño túnel de viento se construyó en Gottingen planes de Prandtl. La labor de investigación en este túnel y las técnicas de realización de las mediciones y presentar los resultados fueron tan exitosos que, muy pronto, experimentadores de aerodinámica todo el mundo aceptó métodos de Prandtl. Durante la Primera Guerra Mundial, la segunda (el más grande) túnel de viento fue construido a Gott La principal característica de Prandtl es la originalidad de sus trabajos. Sus publicaciones generalmente abierto nuevos campos de investigación, y que siempre había tenido suficientes alumnos que están listos para seguir en las direcciones indicadas por sus primeros trabajos. Muchos de esos alumnos son ahora teaehers tanto en Alemania como en otros países.4 En la evaluación de Prandtl contribución 1 A. Nadai, "Teoría del flujo y la fractura de los sólidos", 2a. ed., 1950. 2 W. W. Sokolovsky, "la teoría de plasticidad" (en ruso). Moscú, 1946. 3 R. Hill, "la teoría matemática de plasticidad", Oxford, 1950. 4 Varios de los alumnos de Prandtl y antiguos asistentes son en la actualidad en el Teoría de Ihe Elasticily durante período 1900-1950 397 En ingeniería mecánica, tenemos que tener en cuenta no sólo sus publicaciones sino también la gran escuela de la mecánica que desarrolló en Gottingen. 81. Métodos aproximados de solución problemas Elastieity Nuevos problemas de diseño de la máquina y la teoría de las estructuras en el vigésimo período siglo han exigido una mayor precisión de análisis de estrés que fue previamente. La escuela primaria las fórmulas de resistencia de los materiales a menudo no son lo suficientemente precisos, y el uso de la teoría de elastieity en la resolución de problemas prácticos se ha convertido rápidamente más comunes. Por lo tanto, la teoría de elastieity, que anteriormente se enseña en algunas escuelas y era por lo general de carácter teórico, se ha convertido en un muy importante apScience que se incluye en los programas de muchas escuelas de ingeniería. Los libros de texto en este tema también han cambiado su forma, y los autores suelen hablar de sus problemas no sólo teórico sino también de interés práctico1 Sólo en los casos sencillos son matemáticos rigurosos elastieity soluciones de problemas, y la tendencia moderna de la teoría es hacia la utilización de diversos métodos aproximados. Uno de estos métodos se basa en la utilización de analogies.2 ya hemos mencionado la membrana analogía que fue sugerido por Prandtl y que ha resultado muy útil en el estudio de los problemas de torsión. Esta analogía se extendió por Yening Meinesz3 a la teoría de flexión. Utilizando la ecuación de una membrana sesga cargado, el escritor simplificado'1 el análisis de flexión de las vigas. Uso de la membrana analogía en dos dimensiones de trabajo fotoelï fue propuesto por J. Den Hartog6 para determinar la suma de los dos principales destaca. Este fue seguido con éxito6 por E. E. Weibel concentración de tensión en el estudio de los filetes. Los Estados. Podemos mencionar Thcodore von Kármán, quien ha realizado una gran labor en aero- dinámica en este país, A. Nadai que había hecho una importante labor de plasticidad en la Westinghouse researeh laboratorios, y W. Prager quien está liderando las nuevas investigaciones en la plasticidad de la Universidad de Brown. El Profesor y la Sra. Flügge están trabajando en la división de ingeniería mecánica en la Universidad de Stanford. El Profesor J. Den Hartog y el escritor también han pasado algún tiempo en trabajo es diplomado en Gottingen y considerar themsclves alumnos de Prandtl. 1 El primer libro sobre la teoría de elastieity que fue escrito específicamente para ingenieros de A. Fóppl "Die wichtigsten Lehren der hoheren lOlastizitatstheorie, tochnische Mechanik", vol 5, 1907, Leipzig. Se amplió más tarde por su guionista en colaboración con L. Fóppl en la publicación en tres volúmenes "Drang und Zwang", 1920-1947. "El uso de analogías en análisis de estrés se describe en el "Manual de Experimentación 3 Ingenieur (Ulrecht), 1911, pág. 108. 1 Ver Bol. Inst. Engrs. Medios de Comunicación, San Petersburgo, 1913; véase también Proc. London Math. Soc. (2), vol. 20, pág. 398, 1922. 5 Z. angew. Las matemáticas. Mech., vol. 11, pág. 156, 1931. 6 Trans. ASME, vol. 56, pág. 601, 1934. 398 Hislory de Slrenglh de materiales Analogías eléctricas también se utilizan en la solución problemas elasticidad. Uno de este tipo fue demostrado por L. S. Jacobsen en la torsión de un eje de diámetro variable. Mostró1 de que es posible, por la variación del espesor de un píate con el mismo límite como una sección axial del eje, para que la ecuación diferencial de la función potencial que coincida con el estrés de función del eje. Utilizando este anal- gía, ha sido posible investígate la importante cuestión de concentración de tensión en un filete de dos ejes de diferentes diámetros. Un nuevo avance en este campo fue realizado por A. Thum y W. Bautz2 que utiliza, en lugar de un píate de espesor variable, un electrolytie tanque de profundidad variable. Otro interesante analogía se señaló por Muschelisvili.3 las tensiones producidas por un dos-dimensional temperatura estabilizada distribución y el estrés producido por dislocaciones. Por medio de este estado permanente tensión térmica en tubos circulares y rectangulares se ittves photoelastically por conveniencia- E. E. Weibel. "1 Existe una analogía que se basa en el hecho de que el biharmonic6 difieren en la solución de dos problemas de elasticidad tridimensional. Un método muy útil de obtener soluciones aproximadas se ha planteado por C. Runge.6 que utiliza diferencias finitas ecuaciones en lugar de ecuaciones diferenciales. Considerando los problemas de torsión, que requiere la integración de la ecuación t · ·· . · ·· _ n .· ·.,: Donde < f> es el estrés, que sustituye a esta relación por lo finito difieren <T>i + <t>2 + < # >3 + <T> * - 4 < #> o = C i (A) Este debe ser satisfecho en cada punto (como 0 en la Fig. 234) De un cuadrado net que subdivide la sección transversal de la barra trenzado. Escribir Eq. 1 Trans. ASME, vol 47, pág. 619, 1925. 2 VDI, vol. 78, pág. 17, 1934. 3 Butt. Elecrotecli. Inst. San Petersburgo, vol. 13, págs. 23 37, 1916; véase también Retid, accad. Nazi. Lincei, 5ª serie, vol. 31, págs. 548-551, 1922; M. A. Biot, Phil. Mag., vol 19, p 540, 1935. 4 Proc. 5O le puede ser. Congr. Mecánica Aplicada, Cambridge, Mass. , p. 213, 1938. 5 K. Wieghardt, Mili. Forschungsarb., vol. 49, págs. 15-30, 1908. Véase también H. Crantz, Ing. -Arch., vol. 10, págs. 159-166, 1939. ' 7J. Matemáticas. u. Physik, vol. 50, pág. 225, 1908. Tlieory de Elaslicily durante el período 1900-1950 399 (a) Para cada punto interior del net (Fig. 234) Y observar que < ¡> desaparece En el límite, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que es suficiente Para calcular todas valúes de < ¡ >. El máximum y rigidez de torsión Esfuerzos de corte se puede calcular a partir de estos valúes. En el caso de sym- Phmetría, que se muestra en la figura 234, sólo tenemos que escribir tres ecuaciones, a saber, Los puntos 0,1 y 5. Por lo tanto, dirigir la solución de estos no presente Cualquier dificultad. Para lograr una mayor precisión, es necesario utilizar una textura más fina Net y, naturalmente, da lugar a un mayor número de ecuaciones. Si el número de ecuaciones es grande, un proceso de iteración1 se puede utilizar En la solución de los mismos. Damos por sentado algunos inicial arbitraria valúes para < ¡ >. Ellos en la ecuación ( a) < ¡ >i, fc, <f>3, < / > ." Encontrar un nuevo valué de 4 >n de todos los puntos de la Net, y, con estos, los cálculos deben ser Repite. Después de varias repeticiones de este Proceso valúes, lo suficientemente precisa para < j> son Obtenidos. Diferencias Finitas ecuaciones fueron éxito- Totalmente utilizado por L. F. Richardson2 en dos Los problemas de elasticidad tridimensional donde la Estrés función tiene que satisfacer una diferencial Ecuación de cuarto orden. Desarrollar aún más- El método de R. V. Southwell Quien ha mejorado, y se aplica el sistema- Sistemáticamente a un gran número de problemas físicos, entre ellos muchos de Elasticity.3 El método Rayleigh-Ritz ha demostrado ser muy útil para obtener soluciones aproximadas de problemas elasticidad. Para encontrar la frecuencia de el modo fundamental de vibración de un sistema de estructura compleja, Rayleigh sugirió asumir alguna forma de ese modo, derivar una expresión para la frecuencia resultante y, a continuación, seleccionar los parámetros, definir la forma, de manera que la expresión de la frecuencia con que un mínimo. W. Ritz,4 trabajo con flexión de placas rectangulares, con R _ [ I ¡ D ( D * w i d * w x 9/i -1 r e c . d % w Al : : ; · : . .· : ( 1 - "> [ . . -W : Y · X · / 3 2 FIG. 234. - Wgj dx dy (b) 1 Véase H. Liebmann, Sitz. ber. math. -naturw. Abt. bayer. La FIP Akad'arts. Miínchen, 1918, p. 385. Lphil. Trans., (A), vol 210, págs. 307-357, 1910. 3 Véase R. C Southwell, "Métodos de relajación en Engineei'ing Ciencia", Oxford, 1940, y "métodos de relajación de la Física Teórica", Oxford, 1946. 4 Para conocer la biografía de este destacado científico, ver a su "Recopilado Papcrs", París, 1911. 400 Hislory de resistencia de materiales Donde w denota las desviaciones, q es la intensidad de carga lateral, y D es la rigidez flexural. se observa que la verdadera solución para la deflecw debe de hacer la mínima energía y tiene esa solución en la forma de una serie W = ai<t>i(x,y) + a2 <t>i(x,y) + a3 <ps (x,y) + • • • (C) En cada una de las funciones <p cumple las condiciones de frontera de la píate y el coeflicients a¡,?, un¿, . . . Tiene que ser calculado a partir del sistema de ecuaciones lineales 5/ _ Di _ n d¿ _ ... Da, ' da' da3 ^ Estas expresan las condiciones para reducir al mínimo la integral I cuando la solución aproximada (c) obtains.1 La experiencia demuestra que por lo general, un pequeño número de términos de la serie (c) es sufíicient a dar buenos resultados. Mediante el uso de este método en la deformación de barras laterales y combinado de las fuerzas axiales, fórmulas aproximadas se han obtenido. Algunos bares con curvatura inicial y anillos circulares también fueron tratados en la misma distintas2. aplicando el método Ritz los cálculos de la deflexión de una mem- brana, en la membrana analogías, fórmulas sencillas para calcular tor- sional y el pliegue destaca en los bares de las diversas secciones transversales han sido derived.3 El mismo método ha producido resultados útiles en el estudio de la vibración de barras de sección transversal variable y de placas rectangulares con cantos diferentes condiciones. El Ritz método también ha sido utilizada"1 en relación con el principio pedagógico de menos trabajo. Allí se afirma que, si tenemos un cuerpo con las fuerzas que actúan sobre su límite y, si se considera los cambios de estrés compo<f>, la energía de deformación viene dada por V- éf í [ (S), +2 ( srfe)' + (dólares) "] * ^ < "> 1 De esta manera, el límite superior para el mínimo valué de / se obtiene. E. Trefftz mostró cómo el límite inferior de la misma cantidad se puede obtener; ver las matemáticas. Ann., vol. 100, Pág. 503, 1928. * Véase S. Timoshenko en el papel de "Festschrift zum siebzigsten Geburtstage, agosto Foppl", 1923. 3 Véase S. Timoshenko, Bol. Inst. Engrs. Vías de Comunicación, St. Pétersburg, 1913; véase también Proc. London Math. Soc. Y (2 ), vol. 20, pág. 398, 1922. * Véase S. Timoshenko, "Teoría de la elasticidad", San Petersburgo, 1914; también S. Timo- shenko, Phil . Mag., vol. 47, pág. 1095, 1924. Teoría de la elasticidad durante el período 1900-1950 401 En función del estrés en la forma de una serie <P = ai<t>i(x,y) + ai<t>2 (x,y) + a%<t> * {x,y) + • • • ( /) En la que cada término cumple las condiciones de borde del problema, y su sustitución en la expresión ( e), podemos calcúlate la valúes del coefi- clientes antes mencionada, un " a3 . . . De las ecuaciones = S = s ^ ^ = • • • Da, da, da3 " En sustitución de estas valúes expresión ( / ), obtenemos el estrés func.1 También , cizalla lag en las estructuras de pared fina ha sido tratada2 por este medio. 82. Tres de los problemas de elasticidad tridimensional3 Del estudio de Saint-Venant , discretizadas mediante un problema de torsión y la curvatura de un can6 se demostró que, en forma semicircular y triangular isósceles secciones transversales, sólo un pequeño desplazamiento de la carga desde el centroide es necesario elimínate torsión. En las secciones de pared delgada, este desplazamiento puede ser amplio y de gran importancia en la práctica. Esta cuestión se ha despejado por R. Maillart,6 que presenta el concepto de la cizalla centro y mostró cómo este punto se pueden encontrar. En Saint-Venant , discretizadas mediante un solución del problema de la torsión, se supone que el par de apriete se aplica a través de la esquila destaca distribuidas en los extremos de la barra de un bar en la misma forma que en cualquier intermedíate sección transversal. Si 1 Theodore von Kármán, "Festschrift . . . Agosto Foppl", pág. 114, 1923. 2 Eric Reisner, Quart. Aplica Math., vol. 4, pág. 268, 1946. 3 Sólo unos pocos documentos que revisten importancia práctica se mencionan en este artículo. Para una bibliografía completa en este campo, seo los artículos de A. y O. Tcdone Timpe Encyklopadic en Matemáticas. VFtss., vol. 4 (, 1914; y los artículos de E. Trefftz y J. W. Geckelerin "Handbuch der Physik", vol 6, 1928. 4 Véase E. Trefftz, Matemáticas . Aun., vol. 82, pág. 97, 1921; ZAMM, vol 2, pág. 263, 1922. 4 Véase S. Timoshenko, Bol. Inst. Engrs. Medios de Comunicación, San Petersburgo, 1913. Ver también el artículo de M. Seegar e IC. Pearson, Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 96, pág. 211, 1920. 6 R. Maillart, Schweiz. Bauztg., vol. 77, pág. 195, 1921; vol. 79, pág. 254, 1922. Véase también A. Eggénscliwyler, Diss. E. Tech. Hochsclnile, Zürieh, 1921. Un nuevo estudio sobre el tema fue hecha por C. VVeber, ZAMM, vol. 4, pág. 334, 1924. Véase también E. Trefftz, ZAMM, vol. 15, pág. 220, 1935. 402 Hislory de Slrenglh de Moleríais La distribución de tensiones en los extremos difiere de esta, una perturbación en la destaca los resultados y de Saint-Venant , discretizadas mediante un solución es válida únicamente en las regiones a cierta distancia de los extremos. Estas perturbaciones locales han sido objeto de estudio de varios investigators.1 En paredes finas secciones abiertas, aplicaciones2 el problema de torsión en un I Haz con una incorporada y encontró que, para conseguir una satisfactoria valué para el ángulo de giro, no sólo de Saint-Venant , discretizadas mediante un torsión deformación sino también destaca en las bridas deben ser considerados. La ecuación diferencial en el ángulo de torsión por unidad de longitud producido por el par T se convierte, entonces, Ce - cio" = T (O) C es la rigidez de torsión y Saint-Venant , discretizadas mediante un Ci es una constante en función de la flexión rigidez de las bridas. Experimentos mostraron acuerdo satisfactorio con los resultados teóricos de Eq. (A) y se indica que existe algún tipo de limitación en cuanto a la aplicabilidad de los principios de Saint-Venant , discretizadas mediante un3 llegó al mismo resultado en el estudio el trenzar ehannel secciones como V. Z. Vlasov en su debate general de torsión de paredes delgadas secciones4 abierto El uso de funciones de una variable compleja en la solución de Saint-Venant , discretizadas mediante un problema ha sido demostrada por N. I. Muschelisvili.6 ha encontrado la solución para varias nuevas formas de sección transversal y examinado6 la torsión de barras de dos materiales diferentes, como en hormigón armado. El problema del par combinado y carga axial se ha estudiado más a fondo. Thomas Young (consulte la página 92), considerando la torsión de un cir8 y los demás propor63. Los jóvenes demostraron que para obtener el segundo término es necesario, en el debate sobre deformación, para tomar pequeñas cantidades de orden superior en consideración. Estos son generalmente omitidos en el análisis de torsión. Considerando un elemento rectangular abed sobre una superficie cilíndrica coaxial 1 F. Sobrecargo, Proc. Roy. Irish Acad., (A), vol. 26, pág. 54, 1006; A. Timpe, Matemáticas. Ann., vol. 71, pág. 480, 1912; K. Wolf, Sitzsber. Akad. TFíss. IVien, Math. -Naturio. Klasse, vol. 125, pág. 1149, 1916. El caso de una barra rectangular con extremos se analizó por S. Timoshenko, Proc. London Math. Soc. , vol. 20, pág. 389, 1921. Una prueba de Saint-Venant , discretizadas mediante un principio pedagógico del fue dada por J. N. Goodier, Phil. Mayo. (7), vol. 24, pág. 325, 1937. 2 Bol. Polytech. Inst. San Petersburgo, 1905-1906. 3 ZAMM, v o l 6 , p . 8 5 , 1 9 2 6 . 4 Véase la sección V. Z. Vlasov el libro "Paredes delgadas Barras elásticas", Moscú, 1940. < 5 Rend. accad. nazi. Lincei, 6ª serie, vol 9, págs. 295-300, 1929. 6 Compt. rend., vol. 194, pág. 1435, 1932. Jo 6 Teoría de Elaslicily durante el período 1900-1950 403 Con el eje y de un radio de r, podemos concluir que, debido a la torsión, se tarda La forma de un paralelepípedo ab\cxd (Fig. 235) Y que la esquila Cepa es rd. El correspondiente destaca Grd esquila a la bien conocida Fórmula de par Ti = f" Grd • 2 ht2 dr = IPG6 (B) Pero, si suponemos que la distancia entre las dos secciones de los Eje de torsión permanece inalterada durante, podremos ver que tales elementos lineales Como ab y cd se estira y sus uuit elongación es E = VT+ rw - 1 ~ &W (C) Los esfuerzos de tracción Er262/2 a la par adicional Alrededor del eje del eje: Mej í a 6 1 T% = i / Er * 0 °- re ■ ■ 2wr2 dr = ~ e3E W Que, a nuestro modo de ver, es proporcional a 63 jóvenes fue el. Examinar en primer lugar las pequeñas cantidades de orden superior Que dan lugar a Eq. (C). La corrección ( d) a la Fórmula usual es muy pequeño en un eje de acero, pero no Es importante que este tipo de materiales como el caucho, el cual puede asumir muy Grandes deformaciones en el campo elástico. Es también de importancia en Paredes delgadas de abrir secciones1 La teoría de grandes deformaciones ha sido Desarrollado, en los últimos tiempos, por varios investigadores2 y Biot3 ha mostrado Este método de Thomas Young, como se explicó anteriormente, da la correcta Respuesta para los ejes circular. Los casos de torsión de paredes finas secciones abiertas Axial combinada con forcé y flexión con puré han sido examinadas por J. N. Goodier,4 que gran deformación aplicada teoría y, una vez más se Se muestra que la enseñanza primaria derivaciones, sobre la base de Thomas Young la presunción de De acuerdo con los resultados de investigación más elabórate. Se han hecho algunos avances en el problema de la torsión de un eje circular de diámetro variable. J. H. Michell6 y , de forma independiente, A. Foppl6 demostraron que la distribución de tensiones se define por una función estrés, 1 Véase el artículo de Buckley en Fil . Mag., vol 28, págs. 778-787, 1914; y también el papel de C. Weber en "Festsehrift... A. Fóppl", Berlín, 1924. 2 Véase R. C Southwell, Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 213, pág. 187, 1913; C. B. Biezeno y H. Ilencky, Proc. Acad. Sci. Amsterdam, vol 31, págs. 569-578 y 579-592, 1928; E. Trefftz, ZAMM, vol. 12, págs. 160-165, 1933. 3 M. A. Biot, Phil. Mag., vol. 27, págs. 468-489, 1939. 4 J. Mecánica Aplicada, vol 17, págs. 383-387, 1950. Véase también A. E. R. T. Verde y protección, Trans. Roy. Sor". (Londres), A, vol 244, pág. 47, 1952. 6 Proc. Londres Malh. Soc. , vol. 31, pág. 140, 1900. 6 Sitzsber. Math. -Nalurw. Abl. bayer. Akad. IKjss. Munich, vol. 35, págs. 249, 504, 1905. 404 Hislory de Slrenglh do materiales Y le dio la función de un eje cónico. Los casos de los ejes en la forma de un elipsoide, hiperbólica y paraboloide de revolución han sido resueltos por el mismo método. C. Runge1 propone un método aproximado para calcular las tensiones en una circular de filete cilíndrico unir dos ejes de distintos diámetros. Varios problemas de distribución de tensiones axialmente simétrico en un sólido de revolución han recibido el tratamiento. J. II. Michell2 y A. E. H. Amor3 demostró que, en esos casos, todos los componentes del estrés puede ser representada en términos de una única función estrés. La relación entre el estrés y que en dos dimensiones los problemas ha sido investigado por C. Weber.4 teniendo la función de estrés axialmente simétrico dis.6 La extensión de la superficie del cilindro de esquila destaca aplicado cerca de los extremos y la compresión de un cilindro entre dos placas rígidas han sido examinados por L. N. G. Filón,6 quien dio la solución en términos de funciones de Bessel. La distribución de la tensión producida en un largo cilindro de un uniforme normal presión que actúa sobre una estrecha banda circunferencial es de importancia práctica, ya que corresponde aproximadamente a que induce al un collar corto se encoge en un eje más largo. Ya se ha discutido por varios autores,7 y ahora tenemos suficiente informa- ción relativa a este problema. Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de elastieity recientemente han atraído el interés de los ingenieros. Boussinesq mostró que los tres componentes de desplazamiento u, v, w puede ser definido por tres biharmonic.8 P. F. Papkovich9 han demostrado que la solución Boussinesq puede simplificarse y presentados en la siguiente forma: R> dío . J-j díC , 00) , , U = B --- ---- H$i v = B - ---------------- B< ¿ >2 w = 5 --h<í>3 Dx Dy DZ 1 Véase F. A. Willers, Z. Matemáticas. u. Physik, vol. 55, pág. 225, 1907. Véase también L. Fóppl, Sitzsber. Math. -naturw. Abl. bayer. Akad. Wisí. Münich, vol. 51, pág. 61, 1921. 1 Proc. London Math. Soc. , vol. 31, pág. 144, 1900. 5 " Teoría Matemática de Elastieity", 4ª ed., p. 274, 1927. 4 ZAMM, vol 5, 1925. 5 Véase el artículo de A. Korobov, Bol. Polytech. Inst. ICiev, 1913. Forcé UN concentrado aplicado en el centro de la píate fue investigado por A. Nadai; véase su libro "Elastische Platten", pág. 315, 1925. "Phil. Trans., (A ), vol. 198, pág. 147, 1902. 7 A. Foppl y L. Foppl, "Drang und Zwang", 2a. ed., vol 2, pág. 141, 1928. M. V. Barton, J. Mecánica Aplicada, vol 8, p. 97, 1941; A. W. Rankin, J. Mecánica Aplicada, vol. 11, Pág. 77, 1944; C. J. Tranter y J. W. Craggs, Phil . Mayo., vol. 38, pág. 214, 1947. 8 "Application des Potentiels", pág. 281, París, 1885. 9 Compt. rend., 1932, pág. 513. Teoría de la elasticidad durante el período 1000-1950 105 Donde B es una constante, O) = a>s + ^ ( <t> iX <t>z y + < I>3Z) Y las funciones <f>i, 4 >i, <t>3, y & >o satisfacer el Laplaciano ecuación 4. DJ ± 4. = N A. - "2 . , 2 a/2 Esta solución general es obtener de forma independiente H. Neuber,1 quien la utilizó en la solución de los problemas prácticos relacionados con el estrés concentra.2 Neuber adoptó su solución también a bidimensional de tensiones y distribuciones derivadas fórmulas para el estrés factores de concentración en las ranuras y puntos suspensivos- tic los agujeros y en un píate sometidos a tensión, cizalla, o doblar en su plañe. Las numerosas tablas y cuadros de Neuber el libro3 son muy útiles para analizar las concentraciones de la tensión en las piezas de la máquina. 83. Dos de los problemas de elasticidad tridimensional Seguir avanzando en el manejo de dos problemas de dimensiones de la elasticidad se ha hecho a lo largo de este siglo, y el uso de los rigurosos soluciones prácticas en análisis de estrés se ha convertido en algo muy común. A. Mesnagei"1 resolver dos problemas multidimensionales con estrés funciones en forma de polinomios y aplica sus resultados para varios problemas de flexión de las vigas de sección transversal rectangular. Mostró que el elemento de M. C. Ribiére5 usa serie de Fourier en la discusión de la deformación del rectángulo6 que le aplicó la solución general para casos particulares de interés práctico. H. Cordero7 considera un infinito tira rectangular cargado a intervalos constantes de la igualdad concentra las fuerzas que actúan en la dirección hacia arriba y hacia abajo alternativamente. De este modo, estudió las deflexiones 1 ZAMM, vol. 14, pág. 203, 1934. Véase también Ing. Arch., vol 5, págs. 238-244, 1934; volumen 6, págs. 325 334, 1935. 2 El caso de una cavidad esférica era investigado por R. V. Southwell, Phil. Mag., 1926, y por J. N. Goodier, Trans . ASME, vol 55, p. 39, 1933. El caso general de forma elipsoidal agujeros se debatió por M. A. y E. Stembcrg Sadowsky, J. Mecánica Aplicada, vol 16, págs. 149-157, 1949. 5 H. Neuber, "Curbspanimngslehre", Berlín, 1937. 4 Compt. rend., vol. 132, pág. 1475, 1901. 5 Consulte su tesis "Sur divers cas de la flexión des prismes rectángulos", Bordeaux, 1889. * Phil. Trans., (A ), vol. 201, pág. 63, 1903. * H. Cordero, Aiti congr. intern. materna., IV Congres., Roma, 1909, vol. 3, pág. 12. 406 Hislory de Slrenglh de materiales Producido por una carga concentrada. La misma pregunta fue retomada por Th. von Kármán,1 que deriva una fórmula exacta de la desviación producida en una viga simplemente apoyada por un concentrado forcé. Serie de Fourier fueron empleados por Clebsch, discos circulares en el estudio (consulte la página 257). El mismo método se utilizó para un anillo circular de O. Venske. Timpe2 A.3 investigó varios casos particulares y obtuvo las soluciones de Golovin para doblar de una parte de la corona por las parejas y las fuerzas aplicadas en los extremos. El anillo circular constituye el caso más sencillo de multiplicar conectado región y la solución general que contiene múltiples valores. Timpe da la explicación física de multiplicar las soluciones valoradas considerando las tensiones residuales que se pueden configurar por el corte del anillo, desplazando a un extremo con respecto a los otros y, a continuación, unirse a ellos en algún medio. Como se mencionó antes (consulte la página 353), un debate general de las soluciones de los problemas de dos dimensiones para mul,4 que muestra que la distribución de tensiones no depende de las constantes elásticas del material si no hay fuerzas y las fuerzas superficiales son tales que su resultante en cada límite desaparece. Esta conclusión valida es la de una gran importancia práctica en los casos en que el mï¿ ½odo fotoelï de análisis de estrés. El caso de un disco circular de las fuerzas concentradas en cualquier punto que ha sido objeto por el R. D. Mindlin.6 como un ejemplo concreto de un anillo circular, el problema de la compresión de dos iguales y opuestas las fuerzas que actúan a lo largo de un diámetro fue examinado por el writer.6 en la que se muestra que, en una sección transversal situado a cierta distancia de los puntos de aplicación de las cargas, la hiperbólica distribución estrés7 y por II. Reissner.8 El problema0 en relación con el estrés análisis de los rodamientos de rodillos. 1 Ábhandl. aerodynam. Inst. Tech. Ilochschxde Aachen, vol 7, p. 3, 1927. * Nachr. Ges. TVtss. GñUingen, 1891, pág. 27. 5 Z. Matemáticas. u. Physik, vol. 52, pág. 348, 1905. * Proc. London Math. Soc. , vol. 31, pág. 100, 1899. Véase también V. Volterra, Ann. École se llenan., 3d series, vol. 24, págs. 401-517, 1907; A. Fóppl, Tech. Mecli. vol 5, p. 293, 1907. 6/ . Appl . Mec áni c a, vol 4, pág. A- 115, 1937. 6 S. Timoshenko, Bol. Polytech. Inst. Kiev, 1910; Fil. Mag., vol. 44, pág. 1014, 1922. 7 Los documentos seleccionados "ingeniería", no. 12, Publicado por la Entidad Civil de JCngineers, Londres, 1924. 8 Wiss Statistiches Jahrbuch. Ges. Lujtfahrt, pág. 126, 1928. * J. Mecánica Aplicada, Documento 50-A-16, que se presentaron en la reunión de la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos, 1950 diciembre. Tlieory de lile Elaslicily durante período 1900-1950 407 Las concentraciones de la tensión que se producen en las ranuras y íillets y huecos de diversas formas, de gran importancia práctica y rigurosa las dos soluciones de elasticidad tridimensional se han encontrado problemas en una serie de casos. La distribución de la tensión alrededor de un orificio circular en un píate sometido a tensión uniforme en una dirección se analizó por G. Kirsch.1 Esta solución muestra que el máximum estrés se produce en el límite de los agujeros (de los extremos del diámetro perpendicular a la dirección de la tensión aplicada de tracción) y que es tres veces mayor que la tensión aplicada. De esta manera, se ha mostrado, probablemente por primera vez, lo fundamental que es para estudiar las irregularidades en distribución de la tensión producida por los agujeros. Desde esa época, los ingenieros han sufrido estrés problemas de concentración a un intenso estudio teórico y experimental. R. C. J. La tierra2 examinó la píate finitos de ancho con un orificio circular en el eje de simetría. El caso en que las fuerzas se aplican a los límites de la agujero fue tratada por W. G. elíptica Biclcley.3 El agujero fue investigado por G. V. Kolosoff4 y más tarde por C. E. Inglis,6 y el (B) Reducción de los esfuerzos por reforzar el borde ^ ~ De un orificio circular de cordón se investigó F¡¡ ( 236 Por el writer.6 Los problemas de dos o más los agujeros circulares han sido discutidos por varios autores.7 Muchos importantes problemas de dos dimensiones de la elasticidad se han resuelto mediante las funciones de una variable compleja. El método fue desarrollado principalmente por G. V. Kolosoff8 y su alumno N. I. Muschelisvili. Una bibliografía, que contiene los principales publicaciones en ruso, se puede encontrar en la libreta Muschelisvili9 El análisis de tensiones en las estructuras de pared fina, como los aviones, muy a menudo requiere investigación de flexión de las vigas con secciones transversales lilce descrita en la Fig. 236. La anchura de la fiange y la disa entre las webs no es pequeña en comparación con el lapso de la viga, y cuestiones de ancho efectivo y rompible de lag tienen que 1 VDI, vol 42, 1898. 2 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 229, pág. 49, 1930; vol 232, págs. 155-222, 1932. 3 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 227, pág. 383, 1928. 4 Tesis doctoral, San Petersburgo, 1910. 5 Trans. Inst. Arquitecto Naval, Londres, 1913. 6 S. Tirnoshenko, J. Franklin inst., vol. 197, pág. 505, 1924. 7 C. Weber, ZAMM, vo l 2, p. 267, 1922; M. A. Sado ws ky, ZAMM, vo l 8, pág. 107, 1928; 11. C. J. Ho wl and, Pr o c . Ro y. So c . ( Lo ndr e s ) , ( A) , vo l . 148, pág. 471, 1935. 8 Véase bis Tesis mencionadas anteriormente y también el documento en Z. Las matemáticas. U. Physik, vol. 62, págs. 383-409, 1914. 8 " Algunos problemas fundamentales de la teoría matemática de la elasticidad" (Rus 408 Historia do resistencia de materiales De varios autores, y la bibliografía se pueden encontrar en los documentos de E. Chwalla,1 E. Reissner,2 y J. Hadji-Argyris y H. L. Cox.3 El uso de la madera y otros materiales nonisotropic en diversas estructuras ingenieros ha centrado la atención en la teoría de cuerpos anisotrópico. Se han realizado algunos avances en la investigación de dos problemas de dimensiones en el que se supone que las propiedades elásticas de la píate puede ser definido por las ecuaciones 1 Mi 41 " El ** ~ El * . _ _ M2 , 1 €U" E" T" jp < ? \l EJ1 12/2 _ 1 Y Q T * U * v Cuando ®imi = Eint. L'cantar estas relaciones, una ecuación diferencial en un estrés función, similar a la que se utiliza en condiciones de isotropía, puede ser derivado. S. Lechnitski'1 obtenido las soluciones de esta ecuación de rectángulo 84. Flexión de Piales y los depósitos La utilización en gran escala de las placas relativamente delgada, losas y conchas en las estructuras posmoderno ha producido avances en la teoría de las placas y las conchas. Aunque las ecuaciones fueron derivados por Kirchhoff y algunas aplicaciones de la acústica, todo uso de la teoría de las placas en ingeniería comenzó en el siglo xx. La píate rectangular que es simplemente apoyados a lo largo de dos lados opuestos y que tiene condiciones de frontera a lo largo de las otras dos partes se investigó por M. Lévy y E. Estanave (consulte la página 333). Es de gran importancia práctica y algunos casos particulares de la carga fueron estudiados por engi.6 En caso de que no rigurosa solución de un problema 1 Stahlbau, vol. 9 , pág. 73, 1936. 2 Quart. Aplicado. Math., yol. 4, Pág. 268, 1946. 3 Aeronaut. Consejo de Investigación (Brit. ), Rept. 1969, 1944. J S. Lechnitski, "Anisotrï platos" (en ruso), Moscú, 1947. Una bibliografía completa sobre el tema se encuentra en este libro. 5S. Timoshenko, "Teoría de la elasticidad" (en ruso), vol., 2, San Petersburgo, 1916; A. Nadai, "Elastische Platten", Berlín, 1925; B. G. Galerkin, "elástica Placas finas", Moscú, 1933. Teoría de Elaslicily durante el período 19001950 409 Elemen. Método del Ritz se ha utilizado ampliamente en la teoría de las placas y que ha llevado a muchos resultados útiles. En algunos casos complicados, finito difieren- se han utilizado las ecuaciones y la necesaria información obtenida por cálculos numéricos.! La píate rectangular con los cuatro lados de se encuentra en muchos problemas de la ingeniería, pero un tratamiento matemático de este caso prcsents muchas dificultades. La primera solución del problema que era adecuado para cálculos numéricos fue dada por B. M. Kojalovich.2 es un poco simplificada por I. G. Boobnov3 que calcula las tablas de las desviaciones y máximum máximum momentos de flexión de las placas de var. 4 fueron calculados por T. H. Evans.5 UN concentrado forcé a píate conduce al estudio de las tensiones en el punto de aplicación de la carga. Esto no se puede hacer con elementos6 y S. Woinowsky- Krieger .7 La acción de un concentrado de forcé9 rec. UN píate apoyado por las filas equidistantes de las columnas es de una gran importancia práctica en hormigón armado. La primera solución aproximada del problema fue dada por F. Grashof10 y se siguió trabajando por V. Lewe.11 también está en los mencionados libros de A. Nadai y B. G. Galerkin. EL más reciente debate sobre el mismo sub.12 En relación con el análisis de tensiones en bandas utilizadas en construcción de la autopista, la píate elástica en una fundación ha recibido aten- 1 Ver el libro de H. Marcus, "Die Theorie elastischer Gewebe", 2a. ed., Berlín, 1932. Véase también el documento presentado por D. L. Holl, J. Mecánica Aplicada, vol 3, pág. 81, 1936. 2 Su tesis doctoral, San Petersburgo, 1902. 3 Véase Boobnov el libro "Teoría de la estructura de los buques", vol 2, pág. 465, San Petersburgo, 1914. 4 Ver Proc. 5Íh Inlern. Congr. Mecánica Aplicada, Cambridge, Mass. , 1938. 5 J. Mecánica Aplicada, vol 6, pág. A-7, 1939. 8 Véase su "Elastische Platten", pág. 308. 7 Ing. -Arch., vol. 4, pág. 305, 1933. 8 Véase A. Nadai, Bauing., 1921, pág. 11; S. Timoshenko, Iia.teniéndose, 1922, pág. 51. Véase también papel de Galerkin en Messenger Math., vol. 55, pág. 26, 1925. ! . /. Mecánica Aplicada, vol 6, pág. A-114, 1939. 10 Ver su libro "Theorie d. Elasticitat u. Festigkeit", 2a. ed., pág. 358, 1878. 11 Ver su libro "Pilzdecken", 2a. ed., Berlín, 1926. El libro contiene una bibliografía completa del tema. " ZAMM, vol. 14, pág. 13, 1934. Historia de resistencia de materiales CIÓN, especialmente en las obras de II. M. Westergaard.1 Los experimentos con este tipo de placas J. Yint Elgood y W. N.2 y G. Murphy.3 Las numerosas aplicaciones de láminas de madera y losas de concreto reforzado han dado lugar a la teoría de flexión de placas anisótropas. A pesar de que el primer trabajo de este tipo fue realizado por Gehring,4 las soluciones que permiten aplicación práctica eran en su mayoría aportados por Ai. T. Huber. Sus numerosas publicaciones sobre este tema son recogidas en el libro "Probleme der Statik technisch wichtiger orthotroper Platten" (Varsovia, 1929). También pueden a su recientemente publicado libro sobre teoría de elasticity.5 Continuación de la labor en este campo se debe principalmente a que los ingenieros de Rusia y de los resultados obtenidos se recogen en el mencionado libro de Lechnitsld. Se asume en la teoría elemental de las placas que las desviaciones son pequeñas en comparación con el grosor. Para las grandes desviaciones, el tramo7 reduce el problema de doblar una tira y se soluciona para varias condiciones, como las que se encuentran en construcción de buques. Asimismo, preparó las tablas, que simplifican en gran medida análisis de estrés y ahora son muy utilizadas en la industria de la construcción naval. Grandes desviaciones del cir,8 quien investigó el límite de precisión de la elemental teoría lineal. Un nuevo estudio del problema ha sido realizada por S.9 que aún queda mucho por hacer investígales doblar una carga uniforme circular píate 1 Ver Ingeniaren, vol. 32, pág. 513, 1923; ver también sus documentos en J. Vías Públicas, 1926, 1929, 1933. 2 Phil. Mag., 7ª serie, vol 19, p. 1, 1935. 8 Test lowa para calzado Inglés. Exp. Sta. Bul! ., vol 135, 1937. 1 Ver a su tesis doctoral, Berlín, 1860. 6 "Théorie de L'élasticitd" (polaco), Cracovia, vol 1, 1948; vol 2, 1950. •Consulte su "Vorlcsungen über mathematische Physik, Mechanik", 2a. ed., 1877; también F. Gehring en la tesis de que Kirchhofí sugerencias, hizo de Crelle en . / ., vol. 56. 7 La traducción al inglés antes mencionada el documento fue publicado en Trans . Inst. Los Arquitectos Navales., vol. 44, Pág. 15. 8 Mein. Inst. Engrs. Waijs de la Comunicación, vol 89, 1915. 9 Trans. ASME, vol. 56, pág. 627, 1934. Véase también Ií. Federhofer, Lvflfahrl-Forsch ., vol. 21, Pág. 1, 1944, Sitzber. Akad. TPíss. IVien, Math. -nalurw. Klasse, Abt . lia, vol. 155, pág. 15, 1946. Teoría de Elaslicity durante el período 1900 1950 411 Bordes con abrazadera, teórica y experimentalmente. También analyzcd1 uniformemente cargado píate rectangular y mostraron que cuando la proporción de los lados a y b es mayor que 2, el máximum no dif i eren mucho de los obteni dos por Boobnov de pí ate i nfi ni tamente largo. Las ecuaciones generales de las grandes desviaciones de las placas muy delgada se han simplificado por A. Foppl por el uso de la función de estrés las tensiones en el medio de la plañe píate.2 El requisito de que la píate será "muy finas" fue eliminado por von Kármán3 cuyas ecuaciones fueron utilizados por A. Nadai en su libro (mencionado anteriormente) y de Samuel Levy4en su investigaron de grandes desviaciones de placas rectangulares. En cuanto a la derivación de las ecuaciones de la teoría elemental de las placas, se supone que cada capa delgada de la píate paralelo al medio plañe xy se encuentra en un estado de estrés plañe por que sólo el estrés componentes <rt, <r", y tx " SON DIFERENTES DE cero. En placas más gruesas, es útil tener una solución completa del problema en los seis componentes se consideran estrés. Algunas soluciones de este tipo son de Saint-Venant , discretizadas mediante un en su traducción de Clebsch, libreta de primaria5 Algunos riguroso soluciones para placas circulares han sido encontrados por A. Korobov6 y una discusión general7 y fue desarrollado por A. E. H. en su libro Amor ou elastieity.8 En los últimos tiempos, la rigurosa en teoría de las placas ha atraído el interés de los ingenieros y varios problemas se han resuelto por completo. Debe hacerse una mención especial de los documentos presentados por S. Woinowsky-Krieger 9 y B. G. Galerkin.10 Como resultado de la creciente popularidad de las estructuras de pared fina, la teoría de los depósitos ha recibido mucha atención en los últimos tiempos. En muchos problemas de conchas finas, una solución satisfactoria se puede obtener por el abandono de flexión y suponiendo que destaca son distribuidos de manera uniforme a través del espesor de las estructuras. Estas tensiones han sido investigados por varios superficies de revolución, especialmente para esféricas y cilíndricas formas.11 La teoría general de flexión de los depósitos se ofreció I Ver el papel en Proc. 5ª Inlern. Congr. Mecánica Aplicada, Cambridge, Mass. , 1938. 8 Véase su "Tcchnische Mechanik", vol 5, pág. 132, 1907. 3 Véase su artículo "Festiglceit im Maschinenbau", Encykl. Matemáticas. Protocolo fomenta., vol IV<, p. 311, 1910. * Ver Nati. Asesor Comunic. Aeronaul. Tech. Notas, 846 , 847, 853. 5 Véase la pág. 337 de la traducción. 6 Véase S. Timoshenko, "Teoría de Elastieity", pág. 315, 1934. 7 Proc. Londres. Las matemáticas. Soc. , vol. 31, pág. 100, 1900. " Ver 4ª ed., p. 473, 1927. 9 Ing. -Arch., vol 4, págs. 203, 305, 1933. "Compl. rend., vol. 190, pág. 1047; vol. 193, pág. 568; vol. 194, pág. 1440. II Para una bibliografía, véase W. Flíigge, "Statik und Dynamik der Schalen", Berlín, 1934; 1C. Giikmann, "Fláchentragwerke", 2a. ed., Viena, 1948. Ziegler. Ver ZAMM, vol. 20, pág. 49, 1952. 412 Historia de resistencia de materiales Por H. Avon1 y A. E. II. Amor5 y la primera aplicación de ingeniería que esta teoría se encuentra en análisis de A. Band Stodola3 de tensiones en los depósitos cónicos de espesor constante. El shell simétricamente esférico cargado de un espesor constante ha sido investigado por II. Reissner.4 demuestra que doblar destaca son producidos principalmente por las fuerzas reactivas actuando a lo largo de la borde fijo de la estructura y se deriva las ecuaciones diferenciales para el cálculo de estas fuerzas. Estas ecuaciones fueron utilizados por E. Meissner, quien, junto con sus alumnos lograron obtener una rigurosa soluciones para varios problemas prácticos de importancia internacional.6 La aplicabilidad de estas rigurosas soluciones depende de la rapidez de la convergencia de la serie y esta se vuelve más lento para los depósitos delgados. Para superar estas dificultades juridicas, los métodos aproximados de O. Blumenthal6 y J. W. Geckeler7 puede ser aplicado con éxito. Carga Nonsymmetrical dis- nistración de proyectiles esféricos han sido estudiados por A. Havers.8 La teoría de los depósitos ha veeeived eylindrical atteiition la de varios autores9 en relación con el diseño de calderas y tuberías. 85. Stabilily elástica El amplio uso que se hace del acero y aleaciones de alta resistencia en estructuras de ingeniería (especialmente en puentes, barcos y aviones) inestabilidad elástica ha hecho un problema de gran importancia internacional.10 ürgent prácticas 1J. reine u. ang. Math., vol. 78, pág. 136, 1874. 2 Phil. Trans., (A ), vol. 179, pág. 491, 1888. • "Die Dampfturbinen", 4ª ed., p. 597, Berlín, 1910; véase también H. Keller, Schweiz. Bauztg., 1913, p. 111, y el libro "Berechnung gewolbter Boden", Berlín, 1922. 1 " Müller-Breslau Festschrift", pág. 192, 1912. 6 E. Meissner, Physik. Z. , vol. 14, pág. 343, 1913; L. Bolle, Schweiz. Bauztg., vol. 66, pág. 105, 1915; F. Dubois, Promotionsarb., Ziirich, 1916; E. Honegger, ZAMM, vol 7, p. 120, 1927. 6 Z. Las matemáticas. Physik, vol. 62, pág. 343, 1914. 7 Forschungsarb., no. 276, Berlín, 1926. Véase también Ing. -Arch., vol. i , p . 255, 1930. 8 Ing. -Arch., vol 6, p. 282, 1935. 9 Una bibliografía sobre la teoría de los depósitos se pueden encontrar en el artículo de J. W. Geckeler, "Handbuch der Physik", volumen 6, 1928; W. Fliigge, "Statik und Dynamik der Schalen", Berlín, 1934; S. Timoshenko, "la teoría de las placas y Las Conchas", 1940. 10 El debate general sobre el criterio de estabilidad en la teoría de la elasticidad es dada por Teoría de la elasticidad durante el período 1900-1950 413 En relación con este último problema, la cuestión de la torsión de delgadas Recinto amurallado abierto secciones de importancia práctica. La forma más sencilla Caso de pandeo torsional (Fig. 237) De un ángulo sección ya ha Se debía1 una investigación general de pandeo torsional de com- Barras de prensado de paredes delgadas secciones, como las que se utilizan en avión- Struction, ha sido realizado por H. Wágner * y la teoría de manera más Una rigurosa base de R. Kappus.3 Desde ese momento, la teoría del lateral Deformaciones de las vigas y soportes de pandeo torsional ha sido estudiado por Muchos ingenieros y las aplicaciones se han encontrado para ella, no sólo en Avión construcción, pero también acercamiento. Mencionar Debe ser de las obras de Goodier4 quien ha investi- Gated no sólo la estabilidad de la muleta bajo aislados Diversas condiciones, sino también la de una barra rígidamente conectados Elástico de las placas. Mediante la teoría del gran estructura superficial- Información, que ha dado una rigurosa prueba de que el supuesto A partir de la cual la teoría de Wagner de torsión se abrochar Fundada en realidad es un válido uno.6 H. Nylander6 ha contribuido De la teoría del pandeo lateral de vigas y me ha hecho Un amplio estudio experimental del problema. E. Chwalla7 pandeo lateral investigado de vigas de no- Sección transversal simétrica y ecuaciones generales Desde que las de una viga QUE se obtienen como un caso particular. La teoría general de flexión, torsión y pandeo de paredes finas Los miembros de sección transversal abierta fue examinado por el writer.8 En su libro, V. Vlasov Z.9 desarrolla un método diferente del enfoque de la teoría de De torsión y flexión que indi de Saint-Venant , discretizadas mediante un principio pedagógico no De paredes delgadas de los miembros y que es posible, por ejemplo, en Producir torsión de un bar de Z sección mediante la aplicación a las parejas la flexión Las bridas en los extremos. Como resultado de algunos de los problemas estructurales que aróse de la marina de guerra rusa, el escritor investigó la estabilidad elástica de placas rectangulares10 1 Véase S. Timoshenko, Bol. Poiytech. Inst. Kiev, 1907. Véase también H. J.:Norad Direcciones Dirección Postal, J. Mecánica Aplicada, vol 18, pág. 285, 1951. 2 Su papel en "Festsehrift Fünfundzwanzig Jahre Technisehe Hochschule Danzig", pág. 329, 1929. 3 Ver Statistiches Jahrbuch der deutschen Viijlfakrlforschung, 1937; y Luftfalirt-Porsch ., vol. 14, pág. 444, 1938. 4 Cornell Univ. ¡ing. Exp. Sla. Toros, 27 , 1941, 28, 1942. J. Mecánica Aplicada, vol 17, pág. 383, 1950. 6 Proc. Roy. Swed. Inst. ing. Investigación, no. 174, 1943. 414 Historia de resistencia de materiales Sometido a fuerzas en el medio plañe. El caso más simple de un uniforme rectangular comprimido píate simplemente apoyados con bordes ya había sido resuelto por G. H. Bryan (consulte la página 299), pero en el sector de la construcción naval del engi- generalmente neer encuentra otros tipos de bordes y la crítica de determinar valúes de tensiones requives elabórate más cálculos. El problema ha sido solucionado en ese momento para muchos casos particulares y cuadros de crítica valúes de tensiones se prepararon. La investigación de problemas de estabilidad elástica a menudo conduce a ecuaciones diferenciales, la rigurosa solución presenta muchas dificultades, y es necesario recurrir a algún método aproximado para calcular las fuerzas críticas. Un método basado en la consideración de la energía de un sistema, similar a la que se utiliza de Rayleigh para cálculo aproximado de las frecuencias de vibración de sistemas elásticos, ha sido desarrollado por el autor1 y aplicada para la solución de muchos problemas de estabilidad. Considerando la columna comprimido, por ejemplo, se puede suponer alguna expresión de la desviación de la curva columna abrochado, en el sentido de que la final se cumplen las condiciones y calcúlate la crítica valué de la carga de la condición de que el aumento de energía de deformación de la columna en flexión debe ser igual a la labor realizada por la forcé. De esta manera, se obtiene, en general un valué para la carga crítica que es superior a la real, ya que el trabajo con un supuesto curva es equivalente a introducir algunas restricciones adicionales en el sistema. Estos impiden la columna de cualquier otra forma que la prescrita por la curva. Con la introducción de estas limitaciones adicionales, la carga crítica sólo puede hacerse más grande. Una mejor aproximación para las cargas críticas se pueden tomar por las expresiones de la curvas con varios parámetros de la variación de la forma de la curva puede ser cambiado algo. Mediante el ajuste de estos parámetros para que la expresión de la carga crítica un mínimo, obtenemos los valué de esta carga con una mayor precisión. El método se utiliza en varios casos, entre ellos el de un sistema de barras. De esta forma, la estabilidad de las columnas, comprimido de acordes de puentes abiertos, y de varios tipos de sistemas marco fue investigado. El problema de las placas de refuerzo por diversos tipos de refuerzos se somete al método aproximado de ataque. En el sector de la construcción naval a menudo tenemos comprimido uniformemente placas rectangulares que tienen que ser reforzado por un sistema de refuerzos longitudinales o transversales. La crítica de esfuerzos compresivos valúes ese fortalecimiento de las placas han sido deter- minada por utilizando el método de energía, y las tablas se han calculado que simplifican la selección adecuada de dimensi ons de refuerzos. El pandeo de una rectangular píate bajo la acción de la esquila destaca también fue resuelto por 1 Bol. Polytech. Inst. Kiev, 1910. Seo también traducción al francés en Ana. ponts el Marne, París, 1913. Teoría de la elasticidad durante el período 1900-1950 415 Utilizando el mismo método aproximado y la adecuada selección de stiííeners se requería1 Con la introducción de los grandes vigas span píate la cuestión de stifi'alargar el web fue resuelto por el mismo controlada2. La estabilidad elástica de compresión se ha convertido en barras curvas de importancia práctica en relación con la construcción de arcos delgado. Las dos bisagras arco de sección transversal constante ha sido resuelto por E. Hurlbrink,3 y el caso de curvatura inicial muy pequeña fue examinado por el writer.4 Los tres con bisagra de arco fue investigado por R. Mayer,6 y experimentos con esas estructuras se llevaron a cabo por E. Gaber.6 comprimido uniformemente arco de sección transversal constante con abrazadera se termina por E. Nicolai,7 creciendo desd arcos de sección transversal variable han sido considerados por E. A. N.8 Steuermann, Dinnik,® y K. Federhofer.10 un estudio completo muy alejado de la estabilidad de muelles helicoidales de J. A. Haringx.11 La estabilidad elástica delgada de los depósitos es de primordial importancia en construcción moderno avión. El actual trabajo deais principalmente con los depósitos cilíndricos, y el caso de la compresión axial ha sido tratado por varios autores.12 Se ha demostrado que no ai-e no sólo symmetri- asimétrico, pero también formas de pandeo. En el estudio de la estabilidad elástica de un submarino casco, el problema de una carcasa en com.13 compresión axial de paneles de chapa curva fue tratada por el escritor14 mientras que una curva de pandeo chapa en fuerzas de cizallamiento se investigó 1 Véase S. Timoshenko en papel del Mein. Ungí Instal.s. Medios de Comunicación, vol. 89, pág. 23, 1915. El caso de una longitud infinita rectangular independcntly píate fue investigado por R. V. Southwell, Phil. Mayo., vol. 48, pág. 540, 1924. 2 Véase S. Timoshenko en papeles de Eisenbau, vol. 12 , pág. 147, 1921; Engineering, vol. 138, pág. 207, 1934. Para un estudio más detallado de pandeo de las placas reforzadas por los refuerzos, véase R. Barbré, Bauing., vol 17, 1936; E. Chwalla, Bauing., vol. 17, 1936. * Schiffbau, vol 9, p. 517, 1908. * J. Mecánica Aplicada, vol 2, pág. 17, 1935. 5 Eisenbau, vol. 4, pág. 361, 1913. 6 Bautech., 1934, pág. 646. 7 Buu. Polytech. Imt. Si. Petersburg, vol 27, 1918; ZAMM, vol 3, pág. 227, 1923. 8 Ing. -Árchiv., vol 1, pág. 301, 1930. 9 Vestnik Inzhenerov i Tech., nO 6, 12, 1933. 10 Bauing., vol. 22, pág. 340, 1941. 11 Philips Research Informes Trimestrales., vol. 3, 1948; vol 4, 1949. 12 R. Lorenz, VDI, vol. 52, pág. 1766, 1908; Physik. Z. , vol. 13, pág. 241, 1911; S. Timoshenko, Z. Matemáticas. u. Physik, vol. 58, pág. 378, 1910; Bol. Electrotech. Inst. San Petersburgo, vol 11, 1914. Véase también R. V. Southwell, Phil. Mayo., vol., 25 , pág. 687, 1913; Trans. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 213, pág. 187, 1914. I" VDI, vol. 58, pág. 750, 1914. 14 Segundos S. Timoshenko, "Teoría de la elasticidad" (en ruso), vol 2, pág. 395, 1916. 416 Hislory de Slrenglh de materiales Por D. M. A. Leggett.1 El pandeo de los depósitos cilíndricos sometidos a torsión ha sido estudiada por E. Schwerin2 y L. H. Donnell.8 La estabilidad de delgados tubos cilíndricos sometidos a flexión puré ha sido investigado por W. Flügge.4 mentira muestra que la crítica esfuerzos de compresión es de .30 por ciento más alto que el de una forma simétrica abrochado comprimido axialmente carcasa. Diversos métodos de refuerzo los depósitos cilíndricos se han probado experimentalmente y teóricamente en lla- mado con avión construcción. Si la carcasa está rigidificada por equidistante longitudinal y circunferencial las costillas, el problema puede reducirse a la de investigar el pandeo de una nonisotropic shell. Las ecuaciones diferenciales se han establecido por W. Flügge1 y algunos de los cálculos realizados por Dji-Djü án Dschou.6 Los depósitos esféricos uniformemente comprimido han recibido la atención de R. Zoelly,6 que consideran formas simétricas de pandeo, y por Van der Neut,7 que llevó a cabo una investigación más general de la cuestión. El pandeo problema para un segmento de una capa esférica de los pequeños curvaturo fue investigado por la C. B. Biezeno.8 Las fórmulas de la teoría crítica destaca en las placas y los depósitos se han obtenido mediante el uso de ecuaciones diferenciales lineales las desviaciones, derivado de la hipótesis de que las desviaciones son pequeñas. Al examinar las deformaciones de placas y las granadas cuando las cargas son mucho mayores que los críticos valúes, la teoría del gran deflexión debe ser utilizado. H. Wagner5 demostró que una viga píate con una web muy delgada puede recomicndan una gran carga adicional después de la web se ha producido y el dio una fórmula aproximada para el cálculo de la carga límite. La última carga de trabajo para un comprimido píate rectangular fue examinado por Theodore von Kármán10 y de una fórmula aproximada para la efectiva xoidlli fue dada. Un nuevo estudio de la misma fue hecha por el escritor11 y E. TrefTtz y K. Marguerre.12 experimentos realizados sobre el pandeo de thin proyectiles demostraron que por lo general comienza a pandeo cargas mucho más pequeño que los previstos por la teoría. La explicación de este fenómeno fue dada por 1 Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 162, págs. 62-83, 1937. 2 Informes trimestrales. Le puede ser. Cong. Mecánica Aplicada, Delft, 1924; ZAMM, vol 5, p. 235, 1925. 3 Nati. Asesor Comunic. Aeronaxdic. Rept. 479, 1933. 4 Ing. -Arch., vol 3, pág. 463, 1932. 5 Luftfahrt-Forsch ., vol. 11, pág. 223, 1935. * Tesis doctoral, Ziirich, 1915. 7 Tesis doctoral, Delft, 1932. 8 ZAMM, vol. 15, pág. 10, 1935. 9 Z. Flugtecli. u. Motorluftschiffahrl, vol. 20, pág. 200, 1929. 10 Trans. ASME, vol 54, p. 53, 1932. 11 "La teoría de Estabilidad elástica", pág. 390, 1936. 12 ZAMM, vol 16, pág. 353, 1936; vol. 17, pág. 121, 1937. Teoría de Elaslicily durante el período 1900 -1950 417 Von Kármán y Tsien1 que mostraron, mediante la teoría de grandes deflec2 y K. O. Friedrichs.3 El problema de estabilidad elástica surge generalmente en uno o dos cuerpos de cuyas dimensiones son pequeñas (es decir, en delgadas barras o láminas finas y depósitos). Pero en este tipo de materiales como el caucho, que puede tener grandes deformaciones dentro del rango elástico, la cuestión de la estabilidad puede surgir en los cuerpos que tienen todas sus dimensiones en el mismo orden. Los primeros problemas de esta lcind fueron examinados por R. V. Southwell.4 estudio de la teoría general de estabilidad elástica fue hecha por C. B. Biezeno y H. Hencky6 y de M. A. Biot0 y E. Trefftz.7 86. Las vibraciones y el impacto Maquinaria moderna con frecuencia presenta problemas que requieren el análisis de las tensiones producidas por causas dinámicas. Este tipo de problemas de importancia práctica como las vibraciones torsionales de los ejes, las vibraciones de las palas de la turbina y discos de turbina, el torbellino de los ejes giratorios, las vibraciones de las vías del ferrocarril y puentes bajo cargas rodantes y la vibración de las fundaciones sólo pueden ser entendidos completamente a través de la teoría de la vibración. Sólo mediante el uso de esta teoría, diseño favorable puede ser encontrado proporciones que eliminará las condiciones de trabajo de la máquina en la medida de lo posible de las condiciones críticas de resonancia (donde puede que haya vibraciones). Uno de los primeros problemas a los que la importancia de estudiar las vibraciones se reconoce por los ingenieros de la las vibraciones torsionales en los árboles de transmisión de vapor. Frahm8 probablemente fue el primero en investí LJ. Aeronaut. Sci., vol 7, pág. 43, 1939; vol. 8, pág. 303, 1941. 2 J. Mecánica Aplicada, vol 17, pág. 73, 1950. 3 Theodore von Kármán Aniversario Volumen, pág. 258, 1941. 1 Trans. Roy. Soc. (Londres), (A. ), vol 213, págs. 187-244, 1913. 5 Proc. Acad. Sci. Amsterdam, vol 31, págs. 569-592, 1928. * Proc. 5Lh Intern. Congr. Mecánica Aplicada, Cambridge, Mass. , 1938; y Phil. Mag. (7 ), vol. 27, págs. 468-489, 1939. " ZAMM, vol. 13, págs. 160-165, 1933. 8 VDI, 1902, pág. 797. 418 IHsiory de resistencia de materiales Con constantes coeffieients. De estos, la frecuencia ecuación puede ser derivada y la evaluación de los coeficientes de la ecuación y la solución numérica de la ecuación sí beeome más y más involucrado, ya que el número de masas de rotación increáses. En la práctica muchas veces tenemos sistemas con muchas masas y la cantidad de trabajo necesaria para la coeffieients evalúate y resolver la frecuencia ecuación resulta prohibitivo. A continuación, se debe hacer un uso aproximado de algunos métodos de calcular las frecuencias sin derivar la frecuencia equa,1 que la utilizan para calcular buck,2 y una muy completa revisión de los diversos métodos empleados para investigar problemas de torsión (con una comparativa entre ellos) se hace por Ií. Klotter.3 Las vibraciones de los ejes laterales y vigas son también de gran importancia en la práctica. Los casos más sencillos de la vibración de barras prismatical fueron investigados durante el siglo xviii, y sus soluciones en los libros sobre acústica. Para la aplicación de estas soluciones prácticas a las vigas en el que la sección transversal dimensiones no son muy pequeños en comparación con la longitud, o a los casos en que los modos de vibración superior son de importancia, ha beeome necesarios para derivar una más completo diferentes." 1 Muy a menudo la sección transversal dimensiones varían a lo largo de la longitud de la viga. Un riguroso análisis de la vibración de las vigas, sólo puede ser realizada en el más simple y, por lo general casos,6 ha recurrido a uno de los métodos aproximados de integración diferencial equa.6 por lo general, son sobre la base de la mencionada idea de aproximación sucesiva, originado por L. Vianello. La vibración de prismatical bares con las masas en la 1 VDI, vol. 42, pág. 1436, 1898. 2 "Technische Dynamik", Berlín, 1939. 3 Ing. -Arch., vol. 17, pág. 1, 1949. J Véase S. Timoshenko, "Teoría de la elasticidad " (Ruso), vol 2, p. 206, 1916. Véase también Fil. Mag. (6 ), vol 41, p. 744; vol. 43, pág. 125. 6 Véase P. F. Warcí, Phil . Mag., vol., 25, 106 págs. 85, 1913; y A. N. Dinnik, Disserta " UNA muy completa revisión de la literatura sobre las vibraciones de los buques y la comparación de los diversos métodos de P. F. Papkovich, Appl. Las matemáticas. Mecánica (en ruso), tomo 1, pág. 97-124, 1933. Teoría de la elasticidad durante el período 1900-1950 419 Es también de interés práctico y de los modos fundamentales de los movimientos se requería1 El problema de vibración lateral de los puentes, las cargas de viaje, ha seguido con interés los ingenieros. En 1905, A. N.2 Rryloff dio una solución completa del problema, descuidando la masa del material rodante carga y suponiendo que forcé una constante prismatical se mueve a lo largo de una viga con velocidad constante. El caso de una carga pulsante, como el producido por una locomotora imperfectamente equilibrada pasa por encima de la puente era también )3 'I'él investigación mostró que la palpitante forcé puede dar lugar a una considerable vibración bajo la condición de resonancia. El problema era por C. E. Inglis,4 que considera el efecto de masa del material rodante con algunos supuestos simplificadores. UNA discusión general sobre el efecto de las masas se hizo rodar por A. Schallenkamp,5 que también hacía experimentos con un modelo pequeño y encontró que la deflexión experimental curva satisfactoriamente con theoretieal acuerdo ealculations. Un estudio de las vibraciones producidas por un movimiento forcé en un continuo de dos spau: single parent'S association of de carretera se ha llevado de forma teórica y experimentalmente en la Universidad de Stanford por II. S. Ayre, George Ford, y L. S. Jacobsen.6 Varios importantes problemas de vibración han sido estudiadas por los ingenieros de conneetion de los avances en diseño de la turbina de vapor. El torbellino de un eje llevando un disco fue investigado en primer lugar teóricamente experi.7 y seguir trabajando en el problema se da en el libro A. Band Stodola en las turbinas de vapor. Examen de la histéresis efecto sobre el eje bailando fue cubierto por A. L. Kimball.8 Las vibraciones de las palas de la turbina puede ser excesiva y a veces llevar a fracturas. Este problema ha sido estudiado por muchos ingenieros. Tenemos aquí la vibración de una barra de sección transversal variable bajo la acción combinada de las fuerzas axiales y laterales. En el cálculo de la frecuencia fundamental, el mï¿ ½odo de Rayleigh es generalmente apliquen.11 Para reducir este efecto, las hojas están a menudo ligados a los grupos y la vibración de estos complicados sistemas ha sido discutido por E. Schwerin10 y R. P. Kroon.11 Las vibraciones de los discos giratorios presenta otro problema importante de I Véase S. Timoshenko, Z. Matemáticas. u. Physik, vol 59, 1911. * Las matemáticas. Ann., vol 61, 1905. 3 S. Timoshenko, Bvll. Polylech. Inst. Kiev, 1908; Fil. Mayo., vol. 43, pág. 1018, 1922. * "Un Tratado matemático de vibraciones en puentes de ferrocarril", Cambridge, 1934. S Ing. -Arch., vol., 8 , pág. 182, 1937. * J. Mecánica Aplicada, vol 17, págs. 1 y 283. 7 Civüing., vol 41, p. 333, 1895. 8Méd. Kcv., 1923; Fil. Mag., 6ª serie, vol. 49, pág. 724, 1925. 9 Véase E. Sorensen, Ing. -Arch., vol., 8 , pág. 381, 1937; G. Mesmer, Ing. -Arch., vol., 8 , pág. 396, 1937. >" Z. tech. Phi/sik, vol 8, pág. 312, 1927. II Trans. ASME, vol. 56, pág. 109, 1934; Mec. UU. ), vo). 62, Pág. 531, 1940. 420 Hislory de resistencia de materiales Diseño de la turbina. Ha sido estudiado en teoría, usando el mï¿ ½odo de Rayleigh, por A. Band Stodola1 y experimentalmente por Wilfred Campbell,2 que se describe un método de observación las vibraciones disco en condiciones normales de servicio. UN muy completo estudio experimental de la vibración de los discos se ha hecho circular por María D. Waller,3 que desarrollaron un nuevo y poderoso método de obtención Chladni. El estudio de la vibración de placas rectangulares también se ha avanzado, principalmente como resultado de la época de hacer el trabajo de Walter Ritz (consulte la página 339). Joven Dana4 recientemente aplicó el método Ritz para fre Los problemas de vibración de anillos circulares y porciones de anillos es bas- tradas en las investigaciones de la vibración de la circular marcos, giratorio eléctrico machineiy y arcos. La vibración de flexión un anillo de sección transversal circular en su plañe ha sido estudiado por R. Hoppe6 y en ángulos rectos que plañe por J. H. Michell.6 vibraciones torsionales del mismo tipo de los anillos fue investigado por A. B. Basset.7 Vibración de una parte de un anillo de oro con las condiciones finales varióus ha sido discutido por varios autores, y una muy completa estudio del problema fue hecha por K. Federhofer,8 que recientemente ha recogido sus numerosas publicaciones sobre este tema y los publicó en forma de libro. El estudio de impacto de cuerpos elásticos han continuado en el vigésimo período siglo xxi. Los experimentos sobre el impacto de las bolas de acero9 han demostrado la validez de la teoría de Hertz. La teoría de Saint-Venant , discretizadas mediante un efecto longitudinal de barras cilíndricas se ha descubierto que de acuerdo con los experimentos de J. E. Sears,10 que utiliza barras con extremos esféricos en sus pruebas. El estudio de impacto de las bolas más allá del límite elástico ha sido hecha por D. Tabor.11 El choque lateral de la bola en una viga fue estudiado teóricamente por el writer.12 combina el Hercio teoría de la deformación en la superficie de contacto con la teoría de vibración lateral de la carretera, ha sido posible calcúlate la duración de los efectos y para demostrar que varias interrupciones del contacto entre la bola y la viga generalmente ocurren 1 Schweiz. Bauztg., vol. 63, pág. 112, 1914. 2 Trans. ASME, vol 46, p. 31, 1924. 3 Proc. Pliys. Soc. (Brit. ), vol. 50, pág. 70, 1938. 4 J. Aplicada, mecánica, vol 17, pág. 448, 1950. 6 J. Matemáticas ( Crelle), vol. 73, 1871. 0 Messenger Math., vol 19, 1890. 7 Proc. London Math. Soc. , vol 23, 1892. 8 "Dynamilt des Bogentragers und Kreisringcs", Viena, 1950. 9 A. Dinnik, J. Ruso Méd. Soc. , vol. 38, pág. 242, 1906. 10 Proc. Cambridge Phil. Soc. , vol. 14, pág. 257, 1908; véase también J. E. P. Wagstaff, Proc. Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 105, pág. 544, 1924; W. A. Prowse, Phil . Mag. (7 ), vol. 22, pág. 209,1936 ; R. M. Davies, Trans . Roy. Soc. (Londres), (A), vol. 240, págs. 375-457, 1948. 11 Engineering, vol. 167, pág. 145, 1949. N Z. Matemáticas. u. Physik, vol. 62, pág. 198, 1914. Teoría de Elaslicity durante el período 1900 1950 421 Durante el impacto. Este resultado fue verificado por los experimentos de H. L. Masón.1 Un estudio de impacto lateral se ha hecho por muchos investigators.2 Plástic deformación de las barras y elástico y plástic deformación de las distintas estructuras en condiciones de impacto han recibido recientemente de mucha atención en relación con algunos problemas militares. 1J. Aplica Mechantes, vol. 58, pág. A-55, 1936. 2 Véase R. N. Arnold, Proc. Inst. Mecli. Engrs. (Londres), vol. 137, pág. 217, 1937; E. H. Lee, J. Mecánica Aplicada, vol 62, pág. A-129, 1940; C. De Zener, J. Mecánica Aplicada, vol. 61, Pág. A-67, 1939; Zir6 Tuzi y Masataka Nisida, Bol. Inst. Méd. Chem. Investigación (Tokio), vol. 15, págs. 905-922, 1936. CAPÍTULO XIV Teoría de las estructuras durante el período 1900 -1950 87. Nuevos métodos de solución Sistemas indeterminados Staticálly La teoría de las estructuras fue desarrollado en el siglo xix principalmente para el análisis de racimos. Soluciones satisfactorias para estos servicios se pueden obtener al asumir que están articuladas con las juntas para que todos los miembros están sometidos únicamente a las fuerzas axiales. Con la introducción del hormigón armado en ingeniería estructural, diversos tipos de estructuras de trama. Estas estructuras son generalmente liighly indetermi- Nate sistemas que los miembros de la triple viral, p Nm trabajan esencialmente en flexión. Cuan- I _______ I _____ Ti'\ enormemente desarrollado métodos muy pronto I 1 -que sea apta para analizar este tipo de sistemas y algunos métodos nuevos, Fio. 238. Basado en consideraciones de deforma Ya hemos visto (página 322) que, cuando se trata de analizar factores estresantes secundarios, que es nuestra ventaja para tomar los ángulos de giro de uniones rígidas como las cantidades desconocidas. Un uso sistemático de los ángulos de rotación en el análisis de estructuras de trama fue presentado por Axel Bendixen, 1 que desarrolló el denominado pendiente de método defleclion. Teniendo en cuenta la trama struc,2 conocido ecuación M, "n = 21 cmn(26mn + 8 "" ¡) + Mm"° (A) Se utiliza para el momento de flexión Mmn actuando en el extremo de la barra mn ( Fig. 238). DMN y 0 "", son los ángulos de giro de los extremos, positivo en el sentido horario sentido; kmn=EImn/lmn es el llamado factor sliffness; y Mmn O esefixed de momento, esto es, el momento que actúa sobre el extremo de la barra si sus extremos fijos y sólo las cargas laterales P y Q estaban actuando. Esos momentos son medidas positivas si actúan sobre 1 Ver su libro "Die Methode der Alpha-Gleichungen zur Borcchnung von Rahmen, konstruktionen", Berlín, 1914. 2 En su documento Bendixen también considera moro casos generales. 422 Teoría de Slruclures durante el período 1900-1950 423 La barra de la dirección de las agujas del reloj. Tomando como ejemplo el sistema Se muestra en la Fig. 239 Y teniendo en cuenta los momentos extremos en los bares ab, Ac, ad y ae como desconocidos, wc deben tiene que derivar y resolver siete Las ecuaciones; pero el problema reduce a la de una ecuación, si tomamos el Ángulo de rotación 6a de la unión rígida como el desconocido. Esta ecuación es Ave si poner la suma de los cuatro momentos extremos de las barras Articulado en una igual a cero. Utilizar el ecualizador. (A) para momentos extremos y observar Que los extremos b, c, d, y e son fijos, obtenemos 400 ( Kat, ka + C + k d + kae) = - (Mab° + Ma< ¡ °) (B) Para resolver esta ecuación d" y sustituyéndolos por Eq. (A), obtenemos todos Los momentos extremos de las barras del sistema. Más complicado en tér- Culturas donde tenemos que eonsidei varias articulaciones (como la de la anterior Ejemplo), se escribe una ecuación, equivalente a Eq. (B), para cada junta. El número de estas ecuaciones es igual S/A//, El número de ángulos de desconocido E Rotación y cuando estos ángulos se Calcula, todos momentos extremos se puede encontrar De ecualizadores. (A). Un paso más en la simplificación de Análisis de la estructura enmarcada fue hecha por K. A. Calisev.1 que utiliza el método de Aproximaciones sucesivas y reduce la Problema a la de resolver sólo uno- Con un desconocido en cada paso. Teniendo en cuenta el sistema (que se muestra en Fig. 240) En caso de que cualquier movimiento lateral es impedido por la Barra horizontal ab, que asume en primer lugar, que todas las articulaciones son fijos y que se No gire durante la aplicación de las cargas Pi, Pt en este Asunción, él calcula el final momentos cargados de todos bares y Estos importes para cada junta. Esta suma, con un signo negativo, repre- El desequilibrado momento actuando en la junta. El final de la valúes Momentos extremos se obtienen mediante la adición (algebraica) el final momentos Producida por el desequilibrio momentos actuando en las articulaciones de la anterior Fijos de momentos extremos. Calisev soluciona este problema por Aproximaciones sucesivas. Lo cual denota que el desequilibrio de los momentos Sistema (Fig. 240) Por Mc , Mi, M, :, que desbloquea una junta a la vez, manteniendo Todos los demás fijo, y calcula en primer lugar aproximaciones para los ángulos de Rotación. Por ejemplo, el desbloqueo de d en la Fig. 2402 Y considerando 1 Tehnicki Lista, nO 1-2, 1922; nO 17-21, 1923. C Fio. 239. 424 Historia de resistencia de materiales El resto de las articulaciones como fijos, escribe una ecuación similar a Eq. (B) para hacer una primera aproximación 8 ' ,¡ del ángulo de rotación Ú,t; es decir, W(Cultural Development Comisión - Jcdc + k<ic + bilí") = + Mdc") - M,¡ Desde que 6D' = Md 42A:n (C) La primera aproximación Mm"' de los momentos extremos se obtiene de los ángulos de rotación de las articulaciones por medio de la conocida ecuación Mmn = 2 kmn(20m"' + baño¿) (D) Dado que el valúes 8, ""' y 0 "J en esta ecuación no son exactos, la summa- - 2 Mmn" no es igual a la desequilibrada Md en el momento * B. C, Fio. 240. La d. Para obtener una segunda aproximación, Calisev introduce la diferencia A'Md = M + 2 Mmn¿ y en Eq. (C), en lugar de M¿, que obtiene una corrección A0d. Haber esas correcciones para todas las juntas y los utilizan de Eq. (D), las correspondientes correcciones AMmn" pueden ser calculan. Agregar estas correcciones a las primeras aproximaciones de los momentos extremos, mejores aproximaciones de estos momentos se obtienen. Estos generalmente son lo suficientemente precisos para fines prácticos. Si una mayor approxiMmn" de la misma manera como se ha descrito anteriormente y obtiene la tercera aproximación, y así sucesivamente. En lugar de obtener aproximaciones sucesivas mediante eqs. (C) y (d), podemos conseguir el mismo fin por distribuir directamente el desequilibrado momentos al desbloquear una junta a la vez, teniendo en cuenta todas otras articulaciones como fijos. Este procedimiento de aproximaciones sucesivas fue pro- que plantean Ilardy Cruz1 y encontrar las aplicaciones en los Estados Unidos. En la selección adecuada de corte transversal las dimensiones de las estructuras de acero, es necesario sometimos a considerar no sólo las cargas en el que el rendimiento de juegos de material sino también las cargas en virtud de la cual colapso total de la estructura se lleva a cabo. Análisis muestra que, si dos estructuras son 1 Trans. ASCE, vol 96, 1932. Teoría de Ihe Slruclures durante período 1900-1950 425 Diseñado con el mismo factor de seguridad con respecto a rendimiento, pueden tener muy diferentes factores de seguridad con respecto a fracaso total. Por ejemplo, considerando deformación de puré y suponiendo que las vigas estructurales de acero sigue la ley de Hooke en el punto de rendimiento y que más allá de ese límite se extiende sin endurecimiento por deformación, obtenemos el estrés las distribuciones, como se muestra en las Figs. 241A y 2416 para las dos condiciones de limitación: (1) el principio de rendimiento y (2) colapso completo. Los momentos de flexión para una sección transversal rectangular (Fig. 241C) BH2 7"" T' V _ bh2 I" ult - & UN Para que M " ¡t i M,JP l.o ME haz de esta relación es mucho más pequeña y depende de las proporciones de la sección transversal dimensiones (Fig. 24 Id). De ello se desprende que, (A) (B) <-6 T 1 H I (C) (D) Fio. 241. Si haz rectangular y un rayo están diseñados con el mismo factor de seguridad con respecto al rendimiento, el factor de seguridad de la viga con respecto al colapso total es menor que la de una viga rectangular. Para tener en cuenta que este hecho, algunos ingenieros que han recomendado1 transversal dimensiones estructurales de'los miembros deben ser elegidos sobre la base de la resistencia final. Ellos han demostrado que, si tomamos el estrés dism"u a las tres secciones, a, 6, y c. para cualquier otra carga, la condición será el mismo que para barras articuladas (Fig. 2426). La magnitud de la carga es, a continuación, 1 Véase el artículo de N. C. Iíist, Siseaban, 1020 , pág. 425, y el análisis teórico del problema de M. Griining en su libro "Die Tragfiihigkeit statisch unbestimmter Tragwerke . . . ", Berlín, 1926. 426 Hislory de Slrenglh de Moleríais Pueden obtenerse en el momento de flexión correspondiente diagrama (Fig. 242A), de la que hemos Si nos proeeed de forma similar en tan indeterminado statieally sistemas como las estructuras de los edificios de oficinas, y bisagras en todas las secciones transversales en los que llegan a sus momentos de flexión ultímate valúes, el problema de determinar las cargas ultímate puede reducirse a la simple estática de cuerpos rígidos, y el análisis de estrés de los neumáticos del sistema se puede simplificar enormemente. En sistemas de análisis de barras delgadas que llevan las fuerzas axiales y lateral al mismo tiempo, viga-columna se conviertan en problemas prácticos de impor.1 no se contentó con un estudio teórico sobre el tema, sino que también calcula las tablas para simplificar este tipo de análisis. Con el desarrollo de las estructuras avión, que es el tema de viga-columna análisis ha llegado a la vanguardia y más elabórate tablas han sido elaborados por varios autores2 para simplificar el análisis. 88. Suspensión Arcos y Puentes Con la introducción del hormigón armado en ingeniería estructural práctica, arcos se han encontrado una gran variedad de aplicaciones especialmente en puente con3 intro- 1 Ment. Inst. Engrs. Formas de Comunicación, 1900-1903; Bol. Poiytech. Inst. San Pelersburg, 1904 . 2 Muy completa las tablas fueron calculados por A. S. Niles y dado en el libro "Aero *Consulte el libro "der graphischen Amvendungen Statik" de W. llitter, vol 4, p. 197, Zurich, 1906. Fio. 242. Teoría de las estructuras durante el período 1900-1950 427 Presenta el llamado centro elástico y demostró que, si el reactivo las fuerzas que actúan en un arco rebaje están representados por una forcé aplicadas a sus elásticos y centro de la pareja, las tres incógnitas (dos componentes de la forcé y la pareja) puede ser determinado, cada uno de una ecuación con una incógnita. Para determinar la posición de los elásticos y centro para el cálculo de la reacción, que utiliza un método gráfico en el que las fuerzas ficticias, similares a los utilizados en el cálculo de la deflexión de las vigas, se aplican. Diversos métodos de análisis han sido arco pre,1 J. Melan,2 y A. Strassner.3 numerosos tablcs de empuje y momentos de flexión en arcos de diferentes proporciones se dan en sus libros. Es ventajoso malee la línea central de un arco coincide con la curva funicular de cargas permanentes. Si se cumple esta condición en un arco de tres bisagras, el resultante forcé 011 cada sección transversal es tangencial a la línea central, produciendo sólo distribuidos uniformemente esfuerzos compresivos. En un paso sin, fuerzas internas dependen de la deformación de la estructura, y no podemos totalmente doblado elimínate destaca. Si la línea central de ese arco coincide con el funicular de la curva carga muerta en un principio, habrá una cierta contracción del eje de la aveh debido a la compresión del material, la retracción del hormigón, y bajada de temperatura. La idea central del arco, que se calculan a partir de las tres de estructura articulada, será algo menor. Como resultado de esto, el eje de empuje sin un arco se desplaza hacia arriba en la corona y hacia abajo en los contrafuertes de la supuesta línea central (coincidiendo con el funicular de la curva carga muerta). Este desplazamiento se vuelve particularmente grande en grueso y plano arcos donde podemos esperar la aparición de esfuerzos de tracción indeseables a los estribos. Varios métodos se han desarrollado recientemente para reducir estos desplazamientos en las grandes estructuras de arco. A veces, temporales las bisagras son de la corona y a los estribos; estas permiten rotación libre durante descentramiento. De esta manera, los desplazamientos de la línea de empuje, que se produce como resultado de la compresión de la línea central de las cargas muertas, son eliminados. Llenando los vacíos en el temporal con bisagras decenter hormigón después 1 Scltweiz. Bauztg., vol 47, p. 83, 1906; véase también E. Mórsch, "Der Eisenbetonbau", vol 2, parte 3, 1935. 2J. Melan y T. Gesteschi, "Bogenbrücken, Iiandbuch ffir) ayudará Eisenbetonbau", vol 11, 1931. 3 A. Strassner, "Der Bogen und das Brüekengewólbe", 3d ed., vol 2, Berlín, 1927. 428 Historia de resistencia de materiales Corona y los estribos, los signos de los cuales se encuentran en el lado opuesto a los que se esperaba después de la contracción y disminución de temperatura. E. Freyssinet1 sugirió poner tomas en el espacio temporal de la corona entre las dos mitades del arco. Mediante ellas, la posición más favorable de la línea de empuje de la corona puede ser comprobado antes de llenar el hueco con concreto. En el caso de un arco de medio punto con un empate de carretera, F. Dischinger2 propuso el uso de los cables de amarre; de ejercicios de estiramiento, los momentos de flexión resultante de muertos de carga y una reducción de medidas concretas pueden ser muy permanente.3 La idea de pretensión es ahora en las estructuras widcly. F,o por ejemplo, por este medio, Dischinger logrado reducir considerablemente el peso del concreto reforzado recientemente diseñado puentes en Alemania. El uso de presti'esser en el trabajo concreto ha llevado a una cuenta. "1 con fuertes hilos de acero, los cuales se han mantenido en alto esfuerzo de tracción durante el endurecimiento del hormigón, vigas reforzadas se puede fabricar inicial que disponen de un considerable esfuerzos compresivos en el hormigón. Tales pre- destacó las vigas puede soportar cargas mucho mayor que en otros casos, antes de la primera aparecen grietas en el concreto. Para simplificar, pretensión H. Lossier ha sugerido el uso de un tipo especial de hidrofugante para5 que se expande y endurecimiento. Como resultado de esto, esfuerzos de tracción son pro Los diseñadores de arcos por lo general asumen que los desplazamientos que se produzcan como resultado de las deformaciones elásticas son pequeñas y sin deformar la inicial línea de centro del arco en su análisis. Pero en gran-span arcos, la diferencias de las desviaciones de la magnitud de la redundante puede convertirse en fuerzas considerable.6 Si esto es así, los cálculos efectuados sobre la base de la primera línea de centro sin deformar sólo pueden entenderse como un primer evidenciaban Con el aumento de la utilización del arco la construcción de represas, los ingenieros han tenido que resolver un problema muy complicado de análisis de estrés. Una distancia aproximada > Génie civil, vol 79, p. 97, 1921; vol. 93, pág. 254, 1928. 1 Bauing., vol. 24, pág. 193, 1949. 3 Génie civil, 1944. * Métodos de cálculo y el estrés inicial descripciones de experimentos se puede encontrar en los siguientes libros: M. Ritter y P. Lardy, 11 Vorgespannter Betón", Zttrich, 1946; y Gustave Magnel" y "hormigón pretensado", Gante, 1948, traducción al inglés, Londres, 1950. 5 Este tipo de pretensión fue utilizado por Dischinger en la construcción de la Saale Alsleben puente cerca de 1927-1928 y también en el de muchos hangares construetion dur 6 Véanse los artículos de J. Melan en "Handbuch der Ingenieurwissenschaften", vol 2, 1906, y en Bauing., 1925. Véanse también los documentos de S. Kasarnowsky, "Stahlbau", 1931, y B. Fritz, "Theorie und Berechnung vollwandiger Bogentriiger", Berlín, 1934. Teoría de Slruclures durante el período 1900-1950 429 Método se diseñó en conneetion con el gran arco presas en los Estados Unidos. Una primera aproximación se obtiene al reemplazar la presa por un sistema de arcos horizontales y verticales de un sistema cantilevers. La presión del agua es horizontal dividido por prueba en dos componentes radiales, la que actúa sobre los arcos y la otra en la cantilevers. La división de la carga es que dar los arcos y las ménsulas comunes componentes radiales de deflexión en todos los puntos. Este método fue propuesto por los ingenieros de la Oficina de los EE.UU Reclamation.1 para obtener una mejor aproximación, los efectos de torsión en el hori. momentos2 a comprobar esta teoría, se llevaron a cabo experimentos con modelos en varios casos importantes. En relación con la construcción de la Represa Hoover, un plastercelite modelo fue probado, del uso de mercurio para la carga, y las deformaciones se encuentran en buen acuerdo con el diseño análisis Recientemente se ha logrado un progreso considerable3 en el análisis y la construcción de puentes suspensión. Aquellos que se levantaron a principios del siglo xix no respondieron a las expectativas, ya que son muy flexibles y muchos de ellos se derrumbó debido a las excesivas vibra.4 se lograron varios avances en este sentido por varios investigadores y en un formato adecuado para su uso en la práctica es presentado por J. Melan.6 Esta teoría fue utilizada en el diseño de grandes puentes en suspensión los Estados Unidos. La theoiy cubre un uniforme 1 Véase el artículo de C. H. Howell y A. C. Jaquith, Trans . ASCE, vol. 93, pág. 1191, 1929. * Véase el artículo de H. M. Westergaard en Proc. 3 d interno. Cong. Mecánica Aplicada, 1931, Estocolmo, vol 2, pág. 366. 3 UNA muy completa historia de los puentes en suspensión bibliographioal formulario por A. A. Jakkula; véase Bol. Agr. Mech. Recop., Texas, 4ª serie, vol. 12, 1941. 1 Ver Z. Bauwesen, 1877, p. 189. 5 Ver su libro "Théorie der eisernen Bogenbriicken und der Hiingebrflcken", 2d ed.Berlín, 1888. 430 Hislory de Slrenglh de materiales Distribuyen cargas muertas y también una carga uniformemente distribuida en vivo una parte del tramo. • Para seleccionar la distribución de la carga más desfavorable, Godard recomienda1 el uso de influencia en un sentido restringido (restringido por el hecho de que el principio de la superposición no puede ser aplicada con rigor). El escritor aplica2 series trigonométricas en el análisis de la deformación sufrida por rigidez racimos. Mediante este método, el efecto de un con,3 que la usaban para varios tipos de condiciones de rigidez y racimos de E. Steurman,i quien lo aplicó a una rigidez de sección transversal variable. Como se demuestra en F. Stüssi,5 finito diferencia ecuaciones pueden ser utilizados para analizar doblar vigas de refuerzo de sección transversal variable. Una investigación de los puentes de suspensión span refuerzo continuo tres racimos fue hecha por el escritor en colaboración con S. cables.6 La theoiy continúes puentes de suspensión a fin de atraer el interés de los ingenieros y recontly varias importantes publicaciones han aparecido en este terreno7 El problema de la vibración inducida por los puentes de suspensión se ha convertido en muy importante, y diversos documentos sobre el tema han sido publicados recientemente. Cabe mencionar aquí el informe sobre el fracaso de Puente de Tacoma Narrows O. H. Ammán, Theodore von Kármán, L. G. Dunn, y G. B. Woodruff, el papel de H. Reissner,8 y la de K. Kloppel y K. H. Lie.0 89. Destaca en Trocha Ferroviaria Parece que el análisis de las tensiones producidas en los carriles al movimiento de cargas ha atraído la atención ingeniero desde el primer ferrocarril se 1 Ann. ponls el Marne, vol 8, págs. 105-189, 1894. 2 Proc. ASCE, vol. 54, pág. 1464, 1928. El uso de series trigonométricas de flexión en el análisis se muestra implacable racimos indepcndently por Martin, Engineering, vol. 125, pág. 1, 1928. Una comparación de la metodología de series con la de Melan fue realizado por A. A. Jakkula, Pub. Intern. Asoc. Puente Slructural Eng., vol 4, pág. 333, 1936, Ziirich. Ver su libro "Die Berechnung verankerter Hangebriicken", Viena, 1935. 4 Trans. ASCE, vol. 94, pág. 377, 1930. 5 Publ. Intern. Asoc. Puente Slructural Eng., vol. 4, pág. 531, 1936. Véase también sus artículos en Suiza. Bauztg., vol 116, 1940; vol 117, 1941. • Publ. Asoc. Intern. Puente Slructural Eng., vol 2, pág. 452, 1934. 7 Debe hacerse referencia te los siguientes documentos: R. I. Atkinson y R. V. Southwell, Inst. Engrs Civil. (Londres), 1939, págs. 289-312; K. Kloppel y K. H. Lie, Forschungshefle Stahlbau, no. 5, Berlín, 1942; H. Granholm, Trans. Chalmers Univ. Technol., Gñlhenburg, 1943; S. O. Asplund, Proc . Roy. Swed. Inst. ing. Investigación, nro. 184, Estocolmo, 1945; A. Selberg, "Diseño de Suspensión Los puentes", Trondheim, 1946; R. Gran Olsson, Kgl. Norske Videnskáb. Selskabs., vol 17, no. 2. 8 J. Mecánica Aplicada, vol 10, págs. A23-A32, 1943. 9 Ing. -Arch., vol. 13 , págs. 211-266, 1942. Tlieory de las estructuras durante el período 1900-1950 431 Construido. Barlow (ver pago 100) investigaron la resistencia a la flexión de los rieles De las distintas secciones transversales por considerarlos como las vigas sobre dos soportes. Por lo tanto, para una carga P y la distancia l entre los soportes, el máximum Momento de flexión es 0,250 Pl. Winkler1 tomó el ferrocarril como una viga continua Sobre soportes rígidos y encontró el valué 0.189PÍ el máximum de flexión Momento. Nuevos avances en el tema fue realizado por H. Zimmermann,2 que Preparado los cuadros para simplificar el Winkler análisis de una viga en un Fundación elástica y aplicar la teoría en el cálculo de la desviación De corbatas. La rampa que eonsiders es una viga continua de elástico- Los puertos. Con las distancias entre los vínculos, el riel vertical Carga se distribuye en varios vínculos para que el aislado es compatible con elástico Puede ser sustituida por un equivalente Fundación elástica continua. Por lo tanto, la teoría de las luces de Fundaciones elásticas pueden aplicarse Hace hincapié en el análisis y las desviaciones V', 243 De rails.3 denota el módulo de la base de K, la ecuación diferencial de la deformación curva (Fig. 243) Se vuelve E I % - - K y < ". Considerando el ferrocarril como una viga infinitamente largo e integrar Eq. (A), nos encontramos con que el máximum es momento de flexión M - F PZ P-c\ Mm * x £ y K ' ' Máximum correspondiente y que el estrés es _ M"u", _ P Vi - s - 4 • s P V///////Á "///////?///, Y (C) Donde S denota el módulo de sección del ferrocarril. La segunda factorin esta fórmula tiene las dimensiones de in.-2 y se puede llegar a la conclusión de que, por 1 E. Winkler, "Vortrüge über Eisenbahnbau", 3d ed., Praga, 1875. 2 H. Zimmermann, "Die Berechnung des Eisenbahn-Oberbaues", Berlín, 1888; 2a. ed., Berlín, 1930. Véase también su artículo "Berechnung des Oberbaues" en Handbuch Ingenieurwiss., vol., 2 , págs. 1-68, 1906. 3 Esta teoría fue simplificado por el escritor ruso para el sistema ferroviario. Ver Mein. Inst. Engrs. Medios de Comunicación, San Petersburgo, 1915. Que se ha usado en el sistema de ferrocarriles polacos A. Wasiutyáski; véase Ann . acad. sci. tech. Varsovie, vol 4, págs. 1-136, 1937. En Alemania, fue utilizado por el Dr. Saller; véase Órgano Fortschritle Eisen- bahnw., rol. 87, Pág. 14, 1932. Ver también el artículo de E. Czitary en la misma publicación, vol. 91, 1936. 432 Historia de resistencia de materiales Geométricamente semejante las secciones transversales de los carriles y de constante valúes de la cantidad E/K, la valuó de permanece sin cambios si la carga P aumenta en la misma proporc.ion como el peso de la rampa por unidad de longitud. Utilizando la teoría de vigas en fundación elástica, doblar el diagrama de momento pueden obtenerse fácilmente de un sistema de cargas que actúan en la rampa, por superposición. Por ejemplo, Fig. 244 Representa la flexión- diagrama de momento cuatro iguales cargas con / = 44 in. "1 y K = 1.500 Ib por in.2 El valué de mln¡ ,x para una carga aislada P es tomado de Eq. (6) como unidad por el momento. Se considera que se trata de la figura que el máxP. Entre las cargas, la rampa se dobla hacia arriba y el convexo máximum numérico correspondiente valué del momento de flexión es de aproximadamente el 25 por La Fia. 244. Ciento de Eq. (B). De ello se desprende que, durante el paso de una locomotivo, las tensiones en una sección transversal de una viga cambio en magnitud y firmar varios timios. Esto explica las fallas debidas a la fatiga de los rieles. Una cantidad considerable de trabajo experimental se ha realizado en measur.1 Un extensivo estudio de vía destaca se llevó a cabo en los Estados Unidos por la Westinghouse Electric Corporation. En estas pruebas medidores de tensión magnética se utiliza para la caracterización de cepas mediciones.2 Estos 1 Una descripción completa de estas importantes pruebas en la comunidad por disser Wasiutyñski- presentada en el Instituto de Ingenieros de Vías de Comunicación, San Petersburgo, 1899. Véase también Verhandl. Internac. Eisenbahn Kong", 1895 -1898, y el libro "Wasiutyiíski Beobachtungen i'ibã die elastischen Formanderungen des Eisenbahngleises", Wiesbaden, 1899. 1 El original fue inventado por J. G. Ritter. Su desarrollo se debe a B. F. Langer y J. P. Shamberger, Westinghouse ingenieros, que experimentos realizados vía estrés. Una descripción completa del instrumento está dada por B. F. Langer en "Manual de Análisis Experimental de la tensión", pág. 238. Teoría de Slruclures durante el período 1900-1950 433 Los experimentos demostraron que la teoría de vigas elásticas de fundaciones es lo suficientemente preciso para este fin. Además, demostraron que las fuerzas laterales, así como las cargas verticales producen flexión y torsión también de rieles. Estos efectos no se pueden neglected.1 para seleccionar el mejor método de calcular las fuerzas de ensayos de campo, preliminares de las pruebas de laboratorio se llevaron a cabo experimentos en flexión de una manera elástica con trenes y destaca en el punto de aplicación de una carga concentrada se es el lugar apropiado2 de galgas extensométricas en las pruebas de campo se estableció en esta investigación. Experimentos de campo mostraron la gran influencia de los factores dinámicos de la vía destaca producida por las ruedas en movimiento. Wasiutyñsky, en la mencionada tesis, indica que algunas mercancías de rueda de un coche con manchas planas producir en mayor desviaciones de rieles de locomotoras más pesado con ruedas lisas surfaees. Una investigación teórica, al parecer el primero de los efectos dinámicos de puntos planos en las ruedas y de puntos bajos sobre los rieles, fue realizado por N. P. Petrov,3 el iniciador de la hidrodinï teoría de fricción en los cojinetes. Descuidar la masa de la rampa en su derivación, y considerando que como una viga elástica equidistante de soportes, que se deriva del differentiarequation, similar a la de Willis" (véase la página 175). Un paso a paso se utiliza para la integralion de esa ecuación. De esta forma la presión de la rueda sobre el carril está- rarse a tener en cuenta no sólo la deformación de los rieles pero también elásticos movimientos verticales de los soportes y los movimientos verticales de la rueda debido a puntos bajos. Una simplificación de este análisis se llevó a cabo mediante la consideración de un haz de un elástico foundalion en lugar de un haz de elástico aislados sup. "1 de esta manera, el efecto dinámico de puntos bajos de la deflexión de rieles pueden ser fácilmente analizados. Supongamos, por ejemplo, que el perfil del punto bajo (de longitud l y de profundidad 5) está dado por la ecuación Se puede demostrar que la deflexión dinámica adicional, debido a la baja, es proporcional a 5 y depende de la magnitud de la relación "Ver documento preparado por S. TimosheDko, Proc . 2 <1 interno. Cong. UNA de Mecánica aplicada, Zurich, 1926, P. 407. * Véase el artículo de S. B. F. Timosheuko y Langer, Trans. ASME, vol 54, p. 277, 5 Consulte el Bol. Ruso Imp. Tech. Soc. , 1903, y su posterior publicación en la gaceta Salen. H'ai/s/ Communicalion. 4 Véase S. Timoshenko papel del mencionado en la página 431; véase también su papel en Génie civil, 1921, pág. 551, París. Un estudio más detenido de la dinámica acción de la rueda sobre el carril está dada por B. K. Ilovey en su tesis doctoral, Gottingen, 1933. Id) 1932. 434 Historia de resistencia de materiales Ti/T, en la que T es el período de vibración vertical de la rueda, considere la rampa- como un resorte, y Ti es el tiempo que tarda la rueda para cruzar el punto bajo. El máximum adicionales, desviación igual a 1,475 , se produce a la velocidad correspondiente a T\ /T = • §■. Por lo tanto, puede concluirse que la presión dinámica, debido a la baja, es igual que el de la carga estática que produce una desviación de la rampa igual a 1,55 . Vemos que un porcentaje relativamente pequeño de baja produce un spot muy apreciable efecto dinámico a ciertas velocidades. En este análisis, la masa de la rampa se ha descuidado en comparación con la masa de la rueda. Este permiso es- Ti si el tiempo es largo en comparación con el período de vibración de la rampa en su fundación elástica. En cuanto a la derivación de Eq. (A), se supone que la deformación en cualquier sección transversal de la viga es proporcional a la presión de las bases en la sección transversal. Pero si tenemos en cuenta la fundación como semi- infinito cuerpo elástico, la deformación en cualquier sección transversal de la viga es una función de la distribución de la presión a lo largo de la viga y el problema de las desviaciones se vuelve más. Esta investigación fue más elabórate de M. A. Biot1 y los de K. Marguerre.2 fue mostrado, por este último, que la más exacta teoría indica un máximum esfuerzo de flexión en el haz de luz que es de alrededor de un 20 por ciento superior que la que se deriva de la fórmula elemental. 90. Teoría del buque Estructuras Se ha logrado un gran progreso en la aplicación de análisis de estrés para el diseño estructural de los buques durante el siglo xx; esto es especialmente cierto en el caso de los hombres de guerra. Designors se han enfrentado a muchos nuevos problemas debido al rápido incremento en el tamaño de estos buques, el tender- ency peso casco minimizo a fin de permitir la instalación de más armas y armadura protección, aumento de velocidad, etc. Para hacer frente a estas exigencias, han convertido al análisis teórico. Thomas Young considera una nave como una viga y sugirió la conWolf,3 y más tarde en los destructores Preston y Bruce4 demostró que la medida las desviaciones y subraya podría ser para llegar a un acuerdo 1J. Mecánica Aplicada, vol 4, págs. 1-7, 1937. 2 ZAMM, v o l . 17, págs. 224-231, 1937. 3 Véase J. H. Biles, Trans . Inst. Los Arquitectos Navales., vol., 1 , 1905; G. H. Hoffmann, Trans. Inst. Arquitectos Navales, 1925. 4 Ver W. Ilovgaard, Trans. Soc. Los arquitectos navales Marina Engrs., 1931, pág. 25; véase también el documento presentado en una reunión de la Soeiety de Arquitectos Navales e ingenieros marinos, 1931 Noviembre, de C. O. Kell. Teoría de Slruclares durante el período 1900-1950 435 Con el rayo en teoría, en el cálculo de la rigidez de flexión los barcos El hecho es tomar en consideración el hecho de que la eficacia de algunas placas Se reduce por pandeo. Fallo en la hizo merecedor y Bruce tuvo lugar por Pandeo de placas comprimido y corresponsales. Experiencia ha demostrado que, además de general debe considerar.iones de Resistencia a la flexión de vigas, destaca en los puntos de abrupta changos De sección transversal debe ser investigada y refuerzos necesarios . Tenemos, una condición en la que un deckhouse está construido sobre una estructura Turally importantes (o fuerza) cubierta. Hay muchos casos de registro En donde han aparecido grietas en la plataforma, y en la pared del deckhouse, En las esquinas. Tenemos otro importante ejemplo de estrés concentra- En las esquinas de las escotillas en un Plataforma de fuerza. Ha habido Los casos en que las grietas han comenzado a Estos puntos y se extendió progresivamente A través de las chapas de cubierta, de modo que La seguridad del buque fue seriamente Endangered.1 El estrés concentra- Las producidas por los orificios de las cubiertas Fueron investigados por C. E. Inglis2 Y el refuerzo de los agujeros circulares Ha sido estudiado por la writer.3 El problema de resistencia transversal De los buques ha sido estudiada también por Los arquitectos navales y diversos métodos Análisis de la deformación de Marcos se han desarrollado. Este Problema es particularmente importante en Torpedo barcos y submarinos. Las tramas de estos barcos se asemejan a Los anillos cerrados, y la curva de teoría y métodos utilizados en la teoría de Arcos se han aplicado4 para su análisis. El trabajo de A. N. Krylov (1863 -1945) ha tenido una influencia importante en el desarrollo de métodos racionales de análisis de estrés y su aplicación en diseño estructural de los buques. UN breve esbozo ahora se da cuenta de los principales logros de este gran ingeniero y scicntist.6 1 El caso de la S. S. Majestic fue descrito por E. EUsberg, "Ingeniería marina", 1925. Un caso similar con el Leviatán se debatió por J. Lyell Wilson, Trans. Soc. Naval Marina Archtíecls Engrs., 1930. 2 Trans. Inst. Los arquitectos navales, Londres, 1913. 3 J. FrankUn inst., vol. 197, pág. 505, 1924. 4 Véase el artículo de M. Marbec, Bol. assoc. tech. marilime, 1908. * Consulte el apartado " Mi Reminisceuces " por A. N. Krylov, publicación de la Academia de Ciencias de Rusia, 1945. Véase también la nota necrológica de Krylov, aplican las matemáticas. 436 Historia de resistencia de materiales Mientras aún estaba en la marina militar sehool, Krylov la gran raath- ematical capacidad fue observado. Por lo general él pasó su tiempo libre leyendo libros matemáticos y, en el momento de su graduación de la sehool (1884), él ya tenía una amplia base matemática más allá de los límites de la sehool programas establecidos. En el año 1888, después de algunas experiencias prácticas de la Marina de guerra rusa, Krylov entró en la academia naval en la que se interesa particularmente en la teoría de los buques y en el diseño estructural. Como el más sobresaliente estudiante, Krylov fue invitado a quedarse en el sehool en la capacidad del instructor en mathematies, después de graduarse (1890). En 1891 se había convertido en el profesor de teoría de los buques. A modo de introducción a este supuesto, la joven dio una serie de conferencias sobre cálculos aproximados y mostró cómo los métodos de cálculo ideado por los matemáticos y astrónomos podrían ser utilizados en beneficio de los ingenieros. Con base en estas conferencias que posteriormente preparó y publicó (1906) un libro sobre cálculos aproximados. Este es uno de los libros más importantes en su campo. Muy pronto, Krylov se interesó en la teoría del movimiento de los buques sobre las olas. Si bien el problema del buque se ha tratado de rodadura de Froude, Krylov oecupied él mismo con la cuestión más complicada del lanzamiento. En 1896 se ha resuelto el problema y publicó sus resultados en inglés1 y en French.2 siguiente, pasó a investígate la moción general de un buque sobre las olas y presentó sus conclusiones en un documento, "Teoría General de las oscilaciones de un buque sobre las Olas. "3 Estas publi- naciones colocan Krylov en la primera fila de las autoridades de la teoría de los buques y de la Sociedad de Construcción Naval Inglés Los ingenieros le otorgó la medalla de oro de la sociedad, un honor concedido a ningún extranjero antes que él. Trabajando en movimiento oscilatorio de los cascos de los buques, Krylov presta atención a las tensiones producidas en cascos de las fuerzas de inercia y ofreció un método válido de calcular estos stresses.4 también hizo investigaciones experimentales del dynamieal destaca en varios buques de la armada rusa mediante un sensible extensometer de su propio diseño. En 1900, A. N. Krylov fue puesto a cargo de la modelo de la cuenca Rus.6 1 Una nueva teoría del lanzamiento movimiento de buques sobre las olas . . . , Trans . Inst. Arquitectos Navales, 1896, págs. 326-359, Londres. 2 Bvll. assoc. lech. marüime', vol., 8 , págs. 1-31, 1897. 3 Trans. Inst. Arquitectos Navales, vol 40, págs. 135-190, 1898, Londres. 4 Ver Ingeniería, 1896, págs. 522-524; Trans. Inst. Los arquitectos navales, volumen 40, páginas 197-209, 1898. La " vibración de buques" (en ruso), 1936. Teoría de Slruclures durante el período 1900-1950 437 ¿Cuáles fueron las primeras investigaciones de la vibración de los buques fueron realizados por 0. Schlick1 quien hizo un instrumento especial para grabar estos movimientos2 y determinar las frecuencias de distintos modos de vibración5 - mulario imentally. Krylov le da un análisis teórico de las vibraciones libres de los buques en el mencionado curso, en el que además, el buque se considera como una viga de sección transversal variable y Adams3 método aproximado de integrar ecuaciones diferenciales ordinarias. Aproximadamente al mismo tiempo Krylov se interesó en la vibración de los puentes y que ha publicado el rrolló dicho documento (consulte la página 419) en vibración forzada de las vigas producidos por cargas en movimiento. El método utilizado en este trabajo se aplicó posteriormente a la investigación de vibración longitudinal de los cilindros y en la medición de la presión de gas en las armas. "1 En relación con el problema del movimiento de los buques sobre las olas, dispositivos giroscópicos Krylov estudiado fines de estabilización5 y más tarde publicó un libro sobre gyroscopes.6 Este investigador escribió el artículo sobre la teoría de los buques7 en el "der padrino Encyklopadie Wissenschal'diez." falta a la verdad en la solicitud de Klein (consulte la página 391) que, como hemos visto, se comprometió a recoger material para el volumen en mecánica. En 1908, Krylov fue puesto a cargo de todos para la construcción de buques Rus011 el programa ruso. Muchos de los nuevos problemas aparecieron en el diseño de estos nuevos buques y Krylov había ampie alcance a usar el método científico, en la medida de lo posi ble en la solución de los mismos. Su idea de sustituir las reglas del pulgar por math.8 también hizo una muy completa 1 Ver Trans. Inst. Arcliitects Naval, 1884, pág. 24. 2 Ver Trans. Inst. Arquitectos Navales, 1893, pág. 167. 3 Ver el libro de F. Bashford, "un intento para probar las teorías de la acción capilar con una explicación del método de integración empleada por J. C. Adams", Cambridge, 1883. 1 Bol. Ruso Acad. Sci., 6ª serie, 1909, págs. 623-654. 5 Ver su papel en Bol. assoc. lech. marítimo, 1909, págs. 109-139. 6 " Teoría General de giroscopios y algunas de sus aplicaciones técnicas", publicación de la Academia de Ciencias de Rusia, 1932, p. 394. 7 Consulte el apartado "Encyklopadie padrino der Wissenschaften", vol 4, parte 3, págs. 517- 562, 1906. 8 Los detalles de esta investigación se publicaron posteriormente en forma de libro, véase "Análisis de las vigas en Fundación elástica", una publicación de la Academia de Ciencias de Rusia, 2d cd., p. 154, 1931. 438 Hislory de resistencia de materiales Análisis de la curva elástica de abrochado cuyo soporte son desviaciones large.1 Como resultado de su enseñanza, Krylov publicó varios libros sobre matemática aplicada y mecánica. El uno en el diferencial parcial equa2 atrajo tanta atención por parte de los ingenieros y físicos, que la primera edición se agotó en pocos días. Su libro sobre la numérica. Integración de ecuaciones diferenciales ordinarias wastranslated en French.3 En su "reminiscencias", 4 Krylov estados que, tras días agotadores en su oficina, leer obras clásicas en el campo de la astronomía y las matemáticas para el descanso y la relajación. De esta manera, su importante obra "en la determinación de las trayectorias de los cometas y planetas a partir de un pequeño número de observaciones" era actividades.6 también se comprometió la enorme tarea de traducir de Newton "Principia" en ruso, "más de 200 se han añadido notas de Krylov en este trabajo. En la última parte de su vida, Krylov también traducido libro de Euler en la nueva teoría del movimiento de la moon.6 Una completa colección de obras de Krylov ha sido editado y publicado en ocho volúmenes de la Academia de Ciencias de Rusia, 1936-1943. I. G. Boobnov, quien fue alumno de Krylov y colaborador y que ha diseñado el primer ruso dreadnoughts y los submarinos, hizo contribuciones muy importantes a la teoría de las estructuras. El primero en aplicar la teoría de flexión de placas en el diseño estructural de los buques, mostró que las desviaciones de las placas bajo presión hidrostática no son generalmente pequeñas, de modo que no sólo doblar sino también el estiramiento de la plañe de plat� medio debe ser considerado. Es él el que se deriva la solución general del problema y también propared tablas numéricas para simplificar su aplica- ción. Este trabajo contando con un amplio conocimiento tanto en Rusia como en otros países. Un ensayo sobre este tema fue traducido al inglés7 y además, los resultados se incluyen en Boobnov la "teoría de la estructura de los buques. "8 La teoría de interconexión las vigas longitudinales y transverso es de gran importancia en el diseño de los buques y Boobnov han contribuido en gran medida 1 Bol. Ruso Acad. Sci., 7ª serie, 1931, págs. 963-1012. 2 Publicación de la Academia Naval, 2a. ed., 1913; una publicación de la Academia de Ciencias de Rusia, 472 págs., 1932. 3 "Sur l'intégration des équations numerique approchée pifd'erentielles avec aplica- ción au caleul des trajectoires des proyectiles", París, 1927. 4 Véase la página 217. 6 Ver pubis. Academia Naval, 1911, págs. 1-161. 6 Ver pubis. Ruso Acad. Sci., 1934. 7 Trans. Inst. Arquitectos Navales, vol 44, p. 15, 1902. 8 Los dos primeros volúmenes de este importante libro aparecido en 1912 (St. Petersburgo). El tercer volumen, que se ocupa de las aplicaciones de la teoría de las Teoría de las estructuras durante el período 1900-1950 439 A esta teoría. Considerar un sistema de vigas longitudinales paralelas equidistantes apoyado por un travesaño, Boobnov mostró que este apoyo puede ser tratada como una viga sobre fundación elástica y preparado los cuadros sim- efectivo el análisis de este cruce. Más tarde Boobnov extendió su método para el caso de varios crossbeams.1 El análisis de la estabilidad elástica de placas en diferentes tipos de carga y bordes se introdujo por primera vez en la concepción de los buques2 en el Ruso dreadnoughts. La condición de que un acorazado se acopla en su centro quilla difíiculty sólo presenta una considerable en cuanto a solidez y estabilidad elástica de los mamparos transversales. La mencionada teoría de pandeo de placas rígidas (consulte la página 415) se ha desarrollado, y una serie de pruebas en 15 modelos de 7 pies, como consecuencia de este problema. En el análisis de flexión longitudinal de la red interconectada y vigas transversales, el método Rayleigh- Ritz se aplicó3 y lo suficientemente precisas soluciones fueron obtenidos de esta manera. Todos estos métodos refinados de los análisis de estrés son las estructuras del buque discutido críticamente y se extendió por P. F. Papkovich (1887-1946) en su "Teoría de la estructura de los buques", tomo 1, pág. 1-816 (teoría de Marcos y vigas interconectadas), Moscú, 1947, vol. 2, págs. 1-960 (teoría de flexión y pandeo de placas y Las Conchas), 1941. Estos dos volúmenes constituyen la más completa y actualizada sobre las estructuras teoría de barco. 1 Un estudio de este tipo de problema y la bibliografía de este tema se puede encontrar en M. Iletényi, "vigas de Fundación elástica", la Universidad de Michigan Press, 1946. Véase también el libro de J. M. Hlitcijev, "Teoría de la elasticidad", Beograd, 1950. 2 En cuanto a la capacidad de un ingeniero (1912-1917), el escritor participó en este trabajo. 3 Véase S. Timoshenko, "fuerza de los Materiales", pág. 321, 1911; "Generative Theory of elasticidad" (en ruso), vol 2, pág. 72, 1916. Véase también S. Timoshenko, ZAMM, vo l . 13, pág. 153, 1933. El Ñame Índice Pago números seguidos por asteriscos donóte material biográfico UN Adams, F. D. , 362 Adams, J. O. , 437 Espacioso, G. B. , 223, 224, 226, 274 Airy, Wilfrid, 224 Ammán, O. H. , 430 Amsler, Laffon, 282 Anderson, J. , 197 Andrews, E. S. , 289 Anthes, ÍL, 393 Arago, 69 Arquímedes, 1 Arnold, R. N. , 421 Aron, H. , 412 Asimont, 321 Asplund, S. O. , 430 Atkinson, R. I. , 430 Auday, 84 Auerbach, F. , 326 Ayre, R. S. , 419 B Benítez, C. , 222 Bach, C. , 281, 283, 356, 365, 392 Bailey, R. W. , 373, 375, 377 Baillet, 115 Bairstow, L. , 387 Los bancos, 102 Barba, 282 Barbré, R. , 415 Barlow, P. W. , 85, 99, 200, 223, 431 Barton, M. V. , 404 Bashford, F. , 437 Basset, A. B. , 420 Baumann, R. , 279 Bauschinger, J. , 279. 287, 294, 297, 301, 303, 377, 381 Bautz, W. , 398 Bazain, 114 Beare, Thomas H. , 197 Becker, M. , 178 Belajev, N. M. , Belanger 350, 144, 146 Belelubsky, N. A. , 282 Belidor, 41, 60, 64, 72 Beltrami, E. , 369 Bendixen, A. , 422 Berliner, S, 395 Bernoulli, Daniel, 27 * , 32 Bernoulli, Jacob, 25 * , 71 Bernoulli, Jacques, 119 * Bernoulli, John, 25 * , 27 Bernoulli, Nicolás, 28 Berthollet, 107 Bertot, 145 Bertrand, J. L. F. , de 17, 80, 214, 230, 247 Besscl Bótancourt, A. , 114 * Betti, E. , 320 Bickley, W. G. , 407 Biezeno, C. B. , 397, 416, 418 Biles, J. H. , 434 Biot, M. A. , 69, 398, 403, 417, 434 Birkbech, G. , 198 Blasco, 39 Bleich, H. H. , 430 Sangre, W. B. , 186 Blumenthal, O. , 412 Boas, W. , 355, 360, 362, 363 Boistard, L. C. , 65, 66 Boker, R. , 369 Bolle, L. , 412 Boltzmann, L. , 252 Boobnov, I. G. , 409, 410, 438 Borchardt, C. W. , 248, 347 La Via Boscovich, 104 Bossut, C. , 50, 69 Boussinesq, J. , 181, 229, 239, 328, 334, 404 Boyle, R. , 16, 17 Breguet, 251 Bresse, J. A. C. , 144, 145, 146, 211, 241, 333 442 Historia de resistencia de materiales Brewster, D. , 73, 223, 249, 102 Brown Brolling, D. M. , 31 Brunel, 162, 192 Brunner, J. , 183 Bryan, G. H. , 299, 414 Buchholtz, H. , 387, 403 BuÉEon Buekley, 55 * Buckwalter, T. V. , 383 Bühler, H. , 387 Bülfmger, G. B. , de 59 años, 355 Bunsen, 252 Burg, von, 135 Burkhardt, H. , 104 Burr, 192 Busby, 17 C Calisev, K. A. , 423 Campbell, L. , 268 Campbell, W. , 420 Camus, 69 Cardan, 7 Carnot, Lazare Carnot, de 69 años, S. N. L. , 262 Cassini, 17 Castigliano, A. , 289 * , 311, 316, 320 Cauchy, A. , 69, 106, 107, 115, 142, 220, 233, 248, 262, 328, 230 Chales Challis, 226, 360 Chevandier Charpy, E. , 219 Chevenard, P. , 372 Chezy, 64 Chladni, E. F. F. , tres subprogramas han sido 119, C. , 344 Chwalla, E. , 393, 408, 413, 415 Clapeyron, B. P. E. , 84, 114, 144, 160, 194, 205, 213, 262, 288 Clark, E. , 157 Clausen, 39 Clebsch,, A. , 104, 238, 248, 255 * , 266, 297, 316, 389, 406 Coker, E. G. , 384 Collignon, E. , 144 Colonnetti, G. , 289 Condorcet, 28, 30 Considére i, 297, 326 contamin, V. , Coriolis 133, 230, 242, 136 Cornu Coulomb, C. A. , 47 * , 61, 70, 71, 100, 141, 287, 325 Cox, H. L. , 408 Cox, Ilomersham, 177, 178 Craggs, J. W. , 404 Crantz, H. , 398 Cremona, L. , 196, 304 tripulantes, H. , 6 Cruz, H. , 424 Culmann,, 190 * , 426 Cyran, A. , 310 Czitary, E. , 431 D D'AIembert, 35 Dalton, J. , 127 Danizy, 65 Darby, Abraham, 72 Dartein, de, 42 Darwin, G. H. , 265 Davidenkov, N. N. , 361, 367, 387 Partir, J. B. J. , 27, 37, 47 Den Hartog, J. P. , 397 Desargues, 63 Des Billettes, 44 Descartes, 16 Dickenson, J. H. S. , 372 Dietrich, 385 &N Dschovi Dji-Djü, 416 Dirichlet, 389 Dinnik, A. N. , 415, 418, 420 Dischinger, F. , 428 Dixon, 269 DonneU, L. H" 416, 417 Dorey, S. F. , 382 Dove, 247 Doyn, 186 Dubois, F. , 412 Duguet, C. , 369 Duhamel, J. M. C. , 228, 242 * , 347 Duhem, P. , 7 Duleau, A. , 81, 99, 234 Dunn, L. G. , 430 Dupin, F. P. C. , 80 E Eggenschwyler, A. , 401 Eiehinger, A. , 371, 377 Elam, C. F. , 355, 362, 363 Elgood, W. N. , 410 Bilis, C. A. , 31 Ellsberg, E. , 435 Engesser, F. , 292, 297 * , 322 Escher, G. , 124, 132 Estanave, E. , 333 Ettinghausen, 232 Euler, L. , 27, 28 * , 98, 119, 120, 288 El Ñame Índice 443 Evans, T. H. , 409 Everett, F. L. , 375 Ewing, J. A. , 364, 378 Eytelwoin, J. A. , 101 * F Fahie, J. J. , 7 Fairbairn, W. , 100, 123, 156, 157, 166, 192, 223 Faraday, M. , 275 Favre, II., 385 Federhofer, K. , 410, 415, 420 logros alcanzados desde entonces, N. M. , 217 Filón, L. N. G. , 344, 384, 404-406 Finley, J. , 73 Flamant, 181, 229, 239, 240, 332, 333 * , 384 Flügge, W. , 397, 411, 416 Fontana, 1 Fóppl, 283 Agosto, 299 * , 308, 349, 361, 369, 381, 382, 392, 397, 403, 404, 411, 419 Fóppl, L. , 350, 369, 397, 403, 404 Fóppl, O. , 358, 378, 383 Forbes, 197, 268, 269 Ford, G. , 419 Fourier, 142, 242, 246, 260, 262, 328 Frahm, H. , 417 Frankel, W. , 322 Francés, H. J. , 380 Fresnel, A. , 249 Frézier, 65 Freyssinet, E. , 428 Friedrichs, K. O. , 417 Fritz, B. , 428 Froeht, M. M. , 385 Fromm, H. , 350, 368 Fuchs, S. , 387 Fuss, P. H. , 99 G Gaber, E. , 415 Galerkin, B. G. , 408, 409, 411 Galileo, 7 * , 139 Galton, D. , 165, 173 Garnett, W. , 268 Gassendi, 16 Gauss, O. F. , 120, 389 Gauthey, 57 * , 59, 66, 71, 182, 183 Gautier, H. , 182 Gay-Lussac puesta , 69 Geckeler, J. W. , 401, 412 Geliring, F. , 410 Gerber, W. , 377 Germain, Sophie, 120 * Gerstner, F. J. , 101 * , 211 Gesteschi, T. , 427 Gibb, A. , 73 Gibbons, C. H. , 114 Gilbert, D. , 85 Girard, P. S. , 7, 42, 58, 99 Girkmann, IÍ., 411 Glazebrook, R. , 225, 337, 354 Godard, T. 430 Golovin, II., 351, 406 Goodier, J. N. , 402, 403, 405, 413 Gordon, Lewis, 209 Gough, H. J. , 377, 378, 380, 381 Grammel, R. , 397, 418 Granholm, H. , 430 Grashof, F. , 133 * , 146, 238, 409 Green, G. , 217 * , 262, 288 Gregory, 102 Griffith, A. A. , 358, 393 Grubenmann, J. U. , 182 Griineisen, E. , 355 Grüning, M. , 425 Guest, J. J. , 369 Guidi, C. , 289 H Hadji-Argyris , J. , 408 Haigh, P. B. , 380 Hanson, D. , 378 Ilarcourt, W. V. , 223 Haringx, J. A. , 415 Harsanyi, Z. , 7 Hartmann, L. , 287 Haupt, H. , 185 Havers, A. , 412 Helmholtz, II., 267, 336, 337, 347, 354 Hencky, H. , 403, 417 Henneberg, L. , 307 Herbert, H. , 395 Herscliel, J. F. , 222 Hertz, H. R. , 347 * Hetényi, M. , 384, 385, 439 Heun, E. , 281 Heydecamp, G. S. , 378 Hill, R. , 396 Alquiler, de la, 21 Hlitíijev, J. M. , 439 Hodge, P. R. , 165 Hodgkinson, 100, 123, 126, 157, 162, 209, 223, 277, 356 Hoffmann, G. H. , 434 Holl, D. I, ., 409 Hollister, S. O. , 47 Honegger, E. , 412 Hooke, R. , 12, 16, 17 * Hópital (véase l 'Hópital) Hopkins, W. , 226, 273 444 Ilislory de resistencia de materiales Hopkinson, B. , 378 Hoppe, R. , 420 Horger, O. J. , 382, 383 Hort, H. , 395 Houbotte, 162 Hovey, B. K. , 433: Sr. Hovgaard, W. , 434 Howe, 184 Howell, C. H. , 429 Howland, R. C. J. , 407 Huber, M. T. ( 369, 410, 181 Ilugoniot Hugueny, 239, M. F. , 348 Httlsenkamp, F. , 326 Humber, W. , 183 Ilumfrey, J. C. W. , 378 Hurlbrink, E. , 415 Huygens, 23 I Inglis, C. E. , 407, 419, 435 J Jacobsen, L. S. , 398, 419 Jacoby, C. G. J. , 247 Jakkula, A. A. , 73, 429 James, H. , 165, 173 Jaquith, A. C. , 429 Jasinsky, F. S. , 295 * , 298, 301 Impresores Jenkin, C. F. , 365, 379 Impresores Jenkin, Fleming, 202 Jenny, IC., 281 Joffe, A. F. , 360 Joukowski, N. E. , 306 Jourawski, D. J. , 141 * , 150, 161, 186, 304 K Iíalakoutzky, N. , 386 Kappus, R. , 413 , Theodore von Kármán, 369, 395, 397, 401, 406, 411, 416, 417, 430 Karmarsch, K. , 135 Kasarnowsky, S. , 428 Kaul, H. W. , 380 Kell, C. O. , 434 Iíelland, 92 Keller, H. , 412 Iíelvin, Señor" (William Thomson), 97, 113, 249, 260, 275, 329, 333, 335, 338, 341, 356 Iíick, F. , 362 Kimball, A. L. , 419 Kirchhoff, G. R. , 113, 222, 248, 252, 256, 266, 332, 345, 347 Kirkaldy, 114, 276 * Kirpitchev, V. L. , 321 Kirsch, G. , 407 Kist, N. C. , 425 Klein, F. , 256, 389 * , 394 Klóppel, K. , 430 Klotter, K. , 418 Kojalovich, B. M. , 409 Kolossoff, G. V. , 407 Kommers, J. Ti., 377, 379, 146 Kopcke Korobov, A. , 404, 411 Koster, W. , 386 KTOODL, R. P. , 419 . Krylov, A. N. , 419, 435 * Iíupffer, A. T. , 220 Kurdjumoff, V. J. , 327 L Lacroix, S. F. , 222 Lagerhjelm, P. , 102, 114, 281 Lagrange, J. , 37 * , 68, 107, 111, 120, 63 Laisle Lahire, F. , 145 Lamarle, E. , 208 Cordero, II., 340 * , 405 Lamblardie, J. E. , 58 * Lamé, G. , 83, 84, 114, 194, 205, 213, 233, 282, 288, 328, 329, 368 Langer, B. F. , 380, 384, 432, 433 Laplace, P. S. , 104, 107, 111, 328 Lardy, P. , 428 Larmor, J. , 225, 249, 274, 344 Laue, 355 Lechnitski, S. , 408 Lee, E. H. , 421 Legendre, 120 Leger, A. , 1 Leggett, D. M. A. , 416 Lehr, 385 León, A. , 279, 382. Leonardo da Vinci, 2 * Lesage, 64, 65 Lévy, M. , 265, 326, 333 * Levy, S. , 411 Lewe, V. , 409 Lexell, 99 mentira, K. H. , 430 Liebmann, H. , 399 Lillie, J. , 124 Liouville, 262 Lode, W. , 370 Lodge, O. , 354 I. ong, S. II., 184, 191, l'Hópital 41 Lorenz, It., 415 I. Ossier, H. , 428 Amor, A. E. H. , 251, 342, 404, 411, 412 El Ñame Índice 445 Amor, G. H. , 123 Líiders, W. , 135, 287 Ludwik, P. , 366, 368 Lyon, H. , 16 M McAdam, D. J. , 380 McConnell, J. E. , 163 McGregor, C. W. , 367 Macneil, J. B. , 197 McVetty, P. G. , 373, 374 Maillart, R. , 401 Malus, 69 Manderla, H. , 322 Manjoine, M. J. , 366 Marbec, M. , 435 Marcus, H. , 409 Marguerre, Ií., 416, 434, E. , 17, 21 * , 71, 139 Martens, A. , 281 Martin, H. M. , 430 Masón, H. L. , 421 Matschoss, C. , 279 See also: Maupertuis, 30 Maxwell, J. C. , 202, 228, 249, 268, 304, 311, 320, 335, 336, 349, 368, 384 Mayer, R. , 415 Mayniel, K. , 60 Mechel, Chrétien de, 183 Mehmke, R. , 356 Mehrtens, G. C. , 73, 114, 184 Meier, J. II., 388 Meinesz, V. , 397 Meissner, E. , 412 Melan, J. , 427, 429 Ménabréa, L. F. , 289 quienes vayan, P. , 25 Mersenne, 16 Mesmer, G. , 419 Mcsnager, A. , 367, 384, 405 Meyer, O. E. , 251 Michell, A. G. M. , 393 Michell, J. H. , 334, 353 * , 403, 404, 406, 411, 420 Michon, 186, 194 Mindlin, R. D. , 406 R. von Mises, 369, 389, 396, 415 Mobius, A. F. , 304, 308 Mohr, O. , 146, 193, 196, 207, 283, 305, 310-312, 316, 319, 320, 322, 324, 326 Moigno, 104, 108, 232, 269 Molinos, L. , 145, 146 Mongo, Gaspard, 67, 68 * Montmor, II., 16 Moore, II. I< ' ., 377, 379 Morin, A. , 89, 123, 126, 163 Morphy, G. , 410 Morsch, E. , 427 Mosley, H. , 212 * , 269 Müller, C. H. , 104 Müller-Breslau , II., 289, 306, 309, 310, 327 Muschelisvili, N. I. , 398, 407 Musschenbroek, P. , 54 * N Nádái, A. , 340, 366, 370, 396, 397, 404, 408, 409 Napier, R. , 276 Navier . Matemático e, 57, 69, 70 * , 73, 105, 115, 161, 180, 190, 213, 216, 230, 231, 238, 248, 249, 251, 253 Neifert, H. R. , 382 Nelson, C. W. , 406 Neuber, H. , 405 Neumann, Cari, 256 Neumann, F. E. , 221, 246 * , 347 Neumann, Luise, 246 Newell, J. S. , 426 Newman, Francis, 225 Newton, I. , 25, 41, 104, 120, 233 Nichol, J. P. , 260 Nicol, William, 268 Nicolai, E. , 415 Nicolson, J. T. , 362 Niles, A. S. , 207, 426 Niven, W. Ó., 268 Nizida, M. , 421 Nylander, H. , 413 S Odqvist, F. K. G. , 377 Oldfathor, W. A. , 31 Olsson, Gran R. , 430 Orowan, E. , 360 Ostenfeld, A. , 294 Ostrogradsky, M. V. , 112, 142 * , 282 P Palladio, 182 Papkovich, P. E. , 404, 418 padres, 43 * Parsons, W. B. , 3 Pascal, 16, 233, 327 Paulcer Pauli, W. , 135 Peacock, G. , 90, 222 Pearson, K. , 342 * , 401 Pernetty, Perrodil 120, 323 Perronet, J. R. , 42, 58, 64, 136 Persy 446 Historia de Slrenglh de materiales Peterson, R. E. , 360, 381, 382 Petrov, N. P. , 433 Pettersson, O. , 393 Pinet, 67 Phillips, E. , 177, 241, 244 * Picavd, E. , 83, 328, 233 Piobert Pirlet, J. , 319:Norad Direcciones Dirección Postal, H. J. , Plucker 413, 389 Poohhammer, L. , 252, 350 Poinsot, L. , 69, 115 Poisson, S. D. , 69, 104, 111, 121, 142, 216, 242, 248, 249, 251, 253 polos, W. , 124, 157, 161 Pollard, H. V. , 381 Pompa, A. , 362 Poncelet, J. V. , 63, 84, 85, 87 * , 131, 162, 194, 210, 214, 233, 368 Poschl, T" 241 Pothiei', F. , 214 Potier, 114 Prager, W. , 397 Prandtl, L. , 364, 368, 371, 391, 392 * , 397 Prechtl, J. J. , 102 Prieur, 69 Pronnier, C. , 145, 146 Prony, G. C. F. M. , 62 * , 87 sobrecargo, F. , 402 Q Quinney, H. , 371 R Ramsauer, C. , 346 Rankin, A. W. , 404 Rankine, W. J. M. , 163, 197, 238, 326, 332, 368 Rayleigh, Señor, 97, 98, 225, 228, 320, 334 * , 399 Réaumur, 54 Rebhann, G. , 144, 188, 326 Redtenbaehcr, F. , 132 * Regnault, H. V. , 219, 262 Reisner, E. , 401, 408 Reisner, H. , 406, 412, 430, 177 Renaudot Rennie, J. , 124 Ribiére, C. , 405 Richardson, L. F. , 399 jinetes, 193 Riemann, 389 Ritter, A. , 189, 304 Ritter, J. G. , 432 Ritter, M. , 428 Ritter, W. , 426, 429 Ritz, W. , 339, 399, 409, 420 Robcrval, 16, 23 Robison, J. , de 18, 98, 223 Romer, 17 Rondelet, 58, 66 Ros, M. , 371, 377 Rosenhain, \V. , 364 Rouse Ball, W. W. , Routh 222, 273, 334, 358 Rowett Runge, C. , 391, 398, 404 S Saalschütz, L. , 248, 347 Sachs, G. , 367, 371, 387 Sadowsky, M. A. , Saller 405, 407, 431 Saint-Venant , discretizadas mediante un , Barré de 89, 104, 108, 109, 131, 135, 179, 216, 228, 229, 248, 249, 252, 256, 257, 332, 334, 343, 353, 368, 395 Salvio, , 6 Savart, 88, 347 Saverin, M. M. , 350 Saviotti, C. , 308 Schallenkamp, A. , 419 Scheffler, H. , 134, 146, 155, 210, 213, 366 Schimmack Scheu, 389 Schlick, O. , 437 Schmid, E. , 355, 360, 362, 363, 89 Schnuse Schübler, A. , 145 Schüle, W. , 356 Schultz, F. H. , 387 Schur, 308 Schwedler, J. W" 189, 304, 309 Schwerin, E. , 416 Sears, J. E. , 346, 429 Sóbert, 181, 239 Seebeck, 249 Seegar, M. , 401 Séguin, M. , 83 Selberg, A. , 430 Shamberger, J. P. , 432 Shaw, 337 Siebeí, E. , 352 Siemens, W. , 354 Simón, H. T. , 391 Smeaton, Juan 72 Smekal, A. , 358 Sonríe, 73, 124 Smith, G. V. , 372 Sobko, P. I. , 282 * Soderberg, C. R. , 377 Sokolovsky, W. W. , 396 Sopwich, D. O. , 380 El Ñame Índice 447 Sorensen, E. , 419 Southwell, R. V. , 341, 344, 399, 403, 105, 415, 430 Stark, J. , 354 Steinhardt, O. , 297 Stephenson, G. , 156 Stephenson, lt., 156 * , 164, 165 Sternberg, E. , 405 Steuerman, E. , 430 Band Stodola, A. , 355, 412, 418-420 Stokes, G. G. , 176, 224, 225 * , 269, 275, 335, 352 Strassner, A. , 427 Strehlke, 254 Sturra, 262 Stüssi, F. , 430 Styííe, K. , 102, 282 T Tabor, D. , 420 Tabor, P. , 7 Tait, P. G. , 197, 265, 273, 336 Tapsel, H. J. , 372 Taylor, G. I. , 344, 364, 371, 393 Taylor, W. P. , 202, 304 Tedone, O. , 401 Telford, 73, 85 y 100 Tetmajer, L. , 281, 283, 297 Thompson, S. P. , 260 Thomson, James, 260 mariposa, A. , 398 Timpe, A. , 104, 393, 401, 402, 406 Volquete, C. F. , 368 Todhunter, I. , 223 Torricelli, 15 Ciudad, 184 Tranter, C. J. , 404 Tredgold, Thomas, 100 Trefítz, E. , 299, 400, 401, 403, 416, 417 Tresca, II., 232, 242 Tsien, 417 Tuzi, Z. , 385, 421 Tyndall, 337 V Valson, C. A. , 107 Van der Neut, 416 Van Swiuden Varignon, 48, 45, 194 Venske, O. , 406 Vianello, L. , 299, 418 Vicat, 83, 287 Villarceau, Y. , 200, 214 * Vinci, Leonardo da, 2 * Vint, J. , 410 Vitrubio, 1 Viviani, 15 Vlasov, V. Z. , 402, 413 Voigt, W. , 241, 246, 248, 249, 344 * , 394 W Wagner, H. , 413, 416 Wagstaff, J. E. P. , 346 Wahl, A. M. , 381 Waller, M. IX, 420 Wallis, J. , 15 YValter, Gaspar, 182 Wangerin, A. , 246, 248, 347 Ward, P. E. , 418 Warren, 186 Wasiutyñski, A. , 431-433 Watt, James, 123, S. , 410, 430, 438 Weale, J. , 160, 183, 212 Weber, C. , 401-404, 407 Wcibcl, E. E. , 397, 398 Weibull, W. , 360 Weisbach, ] ., 123 , 131 * , 133 Weiss, Ií. C. , 247 Werder, L. , 135, 279 Wertheim, G. , 219 * , 345 Westergaard, II. M. , 293, 410, 429 Whewell, W. , 223 * Whipple, S. , 184, 193, 304 Wiebeking, 114, 183 Wiedemann, G. , 301 Wieghardt, K. , 398 Willers, F. A. , 382, 403 Williams, G. T. , Williot 378, 314 Willis, R. , 99, 173, 174, 269 Wilson, Carus, 352 Wilson, J. Lyell, 435 Winkler, E. , 134, 151, 152, 196, 238, 285, 310, 313, 316, 322, 323, 326, 431 Wohler, A. , 167 * , 276, 303, 377 Woinowsky-Iírieger, S. , 409, 411 Wolf, K, 402 Woodruff, G. B. , 430 Wren, C. , 16 Wyss, T. , 132 Y Los jóvenes, D. , 409, 420 Los jóvenes, Thomas, 74, 85, 90 * , 141, 147, 263, 269, 403, 434 Z Zener, C. , 358, 421 Ziegler, IÍ., 412 Zimmennann, H. , 431 Zoelly, R. , 416 Zwicky, F. , 360 Índice de Temas UN Acaderaies de la ciencia adiabática, cepa 15, 357 Aelotropy (anisotropía), 106, 408 Aftereffeet, elástica, 356 Analogics en análisis de estrés Anticlastic superficie, 397, 136 mecánica aplicada en Gottingen, 389 Arcos, línea central de 328 experimentos en, 65, 153, 323, 200 geostatic hidrostática, línea de presión de 200, 323, 428 pretensión de teoría de, Bress's, 147 Coulomb's, 65 Lahire's, 63 Mosley's, 212 Villarceau's, 214 Zona de momento método, 137 hachas, principal, 109 ejes, ferrocarril, 163, 168, 383 B Péndulo balístico, Baltimore 21 conferencias, 338 efecto Bauschinger, 280, 365 Vigas, de, 82, 143 de hierro forjado, 127 Continuo, 77, 144, 151, 161 prueba dinámica de, 127, 173 de la misma fuerza, no 14 ley de Hooke, 127, 137 de carga, 173 efectivos de, 12, 21, 45, 49, 189 momento de flexión diagrama de, 195 puentes, de hierro forjado, desviación de 72, 322, 173 principios dinámicos historia de suspensión 181, 73, 86, 429 Puentes, tubular, 156 frágil capa, 385 materiales quebradizos, fractura de 358 Pandeo, columnas, barras curvas de 413, 415 de las vigas I, 393 de las placas y los depósitos, 415 C Hierro fundido, vigas de trituración de 127, 127, 288 teorema Castigliano Catenaria, en arcos, 211 puentes en suspensión, 85 Centro de cizalla, 401 enlaces Cadenas, 153 Círculo de estrés, 195, 286 arco, anillo circular 63, 140 teorema de Clapeyron, 118 Coeffieients, elástica, 110, 216, 248, 345, 356 Las columnas, construida de 298 fórmulas de diseño, teoría de Euler 208 de, 33 experimentos con, 56, 128, 294 de torsión pandeo de energía complementaria, 413, 292 elementos de tensión, resistencia a la compresión 110 de hierro fundido, 129 prueba de compresión de los materiales, 57, 128, 362 Concentración de esfuerzos, 358, 382, 405, las constantes elásticas (véase Coeffieients) vigas continuas, 77, 144, 151, 161, coordenadas curvilíneas, 117 Núcleo de una sección transversal, 147 Corrosión fatiga, 380 Grúa, tubular, 160 Arrastre de metáis, 372 Aplastamiento de fundición, 129 materiales cristalinos, 364 4-50 Hislory de Strenglh de materiales Cristales, las constantes elásticas de, 248, 345 de estructura reticular, 362 pruebas de pista exterior y cono 362 fractura 368 Curvatura de flexión de bares, 27 barras curvadas, doblar, 34, 77, 147, 152 De doble curvatura, 140 curvas, elástica (ver las curvas elásticas) coordenadas curvilíneas, 117 cilindro hueco, 116 D Capacidad de amortiguación, 378 deflexión de las vigas, 32, 75, debido a mover la carga, 173 para sesgar, 89, 201, 270 producido por el impacto, 94, 127, 179 como desviación curva curva funicular, 282 Diagrama de momentos flectores, 195 de ensayos de tracción, 88 ecuaciones en diferencias análisis de estrés, 398 Disco, carga en su plañe, 257, 349, 353, 406 Rotación, 155, 270, 341, 364, 370 Distorsión energía materiales dúctiles, pruebas de, 362 E Tierra, estabilidad de flojo, 201, 332 École Polytechnique, 67 después de efecto elástico, elástico 356 constantes (ver coeficientes) determinación experimental de las curvas elásticas, 216, 33 ecuación de, 27, 32 límite elástico, elástico 280 línea elástica (ver curvas) Elastic moduli (ver Módulo) Elastieity, ecuaciones generales de, 106, 109 Elipsoide, Lamé, 115 límite de resistencia, 169 Energía, distorsión, 370, 288, 288 método de energía, 399, 414 F Fatiga de metáis, primera obra sobre, 162, 167 efecto de la corrosión de, 380 Fatiga de metáis, nueva investigación, 377 Efecto del tamaño en flexión rígida, 382, 113, 326 Fundación profundidad fractura, frágil, dúctil, 368 368 fricción, interno, 221, 357, 378 método marginal en la foto- elasticidad, curva Funicular 385 curva de deflexión, 282 Polígono Funicular, 194 I G Cristal, la resistencia a la tracción de 358 tubos y globos, 126 H Dureza, 349 endurecimiento, Calor 364, 357, 140 Hélice ley de Hooke generalizada, 20, 110, 218, 356 I Impacto lateral, sobre una viga, 94, 127, 179 Longitudinal, en un bar, 93, 179, 180, 239, 252, 345, 420 esferas de influencia, las líneas 348, 152, 285 Primer destaca, 171, 251, 365, 386 252, 345, 420 fricción interna, 221, 357, 378, 357 cepa isotérmica Isótropa, 106 J Las articulaciones, rígido, en racimos, 321 pruebas de remachado, 125 L Contraetion Lateral, calculado, 112, 220, 222, 249, 271, 351 Límite elástico y proporcional, 280, 280, 424 diseño límite Limitar estrés, carga Livo atacaron 169, 173 Isubject Índice 451 M Método Maxwell-Mohr, membrana 208 analogía, en flexión, 307 en tovsion, 393 membranas, vibraciones de 36 metales, de lenta, 372 fatiga (véase metáis Fatiga de módulo, en corte, estática y kinetio 216, 219, 264, 298 en tangente aciagos, 74 las fuerzas moleculares, 104 Momento de método de distribución, 423 Multiconstancy, 218 N Estranguladas, 367 Eje Neutral, 23, 26, 46, 50, 74, 136, 119 líneas nodales S Obelisco, la construcción de 4 Secciones abiertas, de paredes delgadas, 401, 402 Análisis de estrés Óptico, 249, 271, 351 P Fotoelasticidad, 249, 271, 351 Plañe presión, estrés, 257, 350, 405 plasticidad, 242, 395, 396, 162 vigas Píate Las placas, doblar, 72, 119, 253, 266, 108 Las condiciones de frontera de, 112, 254, 266, 340 Gran deüections de, 254, 258, 410 las vibraciones transversales de, 119, 254, 420, 288 potenciales de energía principal cepa, 110 principio pedagógico, de trabajo, de Saint- Venant , discretizadas mediante un 292 , 139 de la superposición, 149 prismas, torsión de (véase torsión) límite proporcional, natural, 377 R Rieles, tensiones dinámicas, 433 formas de secciones transversales de pruebas estáticas de 100, 433 variedad de estrés, 170, 377, 218 recíproco Iíariconstancy cifras, reciprocidad teorema 203, 207 Ltelaxation, 357 método relajación, 399 tensiones residuales, 171, 251, 365, 386, 93, 127 línea de resistencia en arcos, 212 muros de contención, 60, 201, 326 rigidez, flexura!, de vigas, 113 de las placas, 254, 237 anillos de torsión, circular, 140 método Ritz, 399 remaches, hace hincapié en los rodillos, 143, 349 En el sector de las vigas de carga, 173 discos giratorios, 155, 270, 341 S DE Saint-Venant , discretizadas mediante un principio pedagógico, 139 escuelas de ingeniería , en Francia, de 41 años, 61 en Alemania, 100, 129 en Rusia, 114 Semi- método inverso, 233 ejes de torsión, cilíndrico, 234 de sección transversal variable, 403 centro de cizalla, fractura de 401, 368, 216 módulo de Cizalla cizalla, punzonado 49 forcé, 189 esfuerzos de corte en torsión, 92, 236 en el sector de las vigas, 142 milímetros, dobleces de 415 teoría de, 342, 411, 364 bandas de patinaje Slopc-método de deflexión, 422 esferas, impaet de, 348 muelles, construido de lï¿ ½inas, helicoidal 244, 140 Espiral, de relojes, de 40 años, 245 Estabilidad, elástica, de las placas y los depósitos, 413 de estructuras, 293, 414 los refuerzos, 159, 161, 414, adiabáticos, 357 de los componentes isotherraal 110, 357, 110, 288 energía de deformación fuerza las teorías, 287, 346, 368, análisis de las analogías, 397 dilTei conferencias ecuaciones en círculo, 398, 195, 286, 109 los componentes de concentración de, 358, 382, 405, 109 gama de, 170, 377, 171 residual, 251, 365, 386 452 V Hislory de resistencia de materiales Estrés térmico secundaria, 322, 242, 250 función Estrés, 225, 353, vibraciones de cuerdas, 243 gatos (véanse las columnas ) Principio de Superposición, Suspensión, 149 puentes, 73, 86, 429 T Tensión térmica, 242, 250, 263 termoelasticidad ensayo de tracción de materiales dúctiles, 362 aciagos, eecentric, 95 laboratorios de ensayo, 276, 354, los experimentos de torsión, 52, 82, 220 la teoría de Saint-Venant , discretizadas mediante un 233 la teoría de los jóvenes, de 92 años, 402 vibraciones torsionales, 52, 417 de amortiguación, DE 53 AÑOS DE EDAD, 221 vigas, desviación de, 311 Ilistory, determínate estáticamente 181, 304 estáticamente indeterminadas, 316 tubos, rebosantes de 24 colapso de, 126, 134, 151, 154, 161 de paredes delgadas, tubulares 162 puentes, 156 U Carga final, Final 74, 74 V Vibraciones, de bares, lateral, 35, 241, 255, 418 Longitudinal, 88, 178, 417 de torsión de discos, 419 de las membranas, 36 de las placas, transversal, 119, 254, 420 de las conchas, 339, 340, 418 de los buques de las esferas, 243, 257, 243 de las cadenas De torsión vibraciones torsionales (ver) W Torbellino de ejes, 419 Ancho, eficaz, 407, 416, 314 Williot diagrama Y Punto de rendimiento, 280, 365 módulo de Young, 92