TRABAJO COLABORATIVO No.1 METODOS NUMERICOS PRESENTADO POR: EDGAR JOSE BUELVAS DARIO JAVIER CHAVEZ LUIS GUILLERMO MARTINEZ DARWUIN RIVERO TUTOR: LEONARDO ANDRES PEREZ GRUPO: 104401_5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAS 2015 INTRODUCCION Los métodos numéricos son de vital importancia para la solución de problemas complejos en poco tiempo y con mayor exactitud a través de operaciones aritméticas. . Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. . Presentar las técnicas adecuadas que permitan cuantificar y minimizar errores de redondeo y truncamiento. Exponer los diferentes métodos numéricos para resolver o encontrar raíces de una ecuación. Poder desarrollar ejercicios y resolverlos mediante los métodos numéricos. como también saber su teoría y utilidad.OBJETIVOS Reconocer las diferencias entre los tipos de errores y su aplicación. Es evidente. a diferencia del error de redondeo. Puede ser positivo o negativo. ERROR POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO R/ Para la construcción del cuadro comparativo considero necesario conocer en qué consiste cada uno de los errores mencionados anteriormente. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. ERROR RELATIVO: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Note que el error de truncamiento.R.R.A). las mismas que las de la medida El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. ERROR RELATIVO APROXIMADO (E.A). ERROR POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO) Teniendo en cuenta la precisión y exactitud del mismo. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. RELATIVO. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error relativo es la razón entre el error absoluto y el valor real. que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio.FASE 1 Leer y revisar los conceptos de error y los diversos tipos de errores para diferenciar los diversos tipos de errores (ERROR ABSOLUTO. no depende directamente del sistema numérico que se emplee. ERROR RELATIVO APROXIMADO: Es el producto del error relativo por el 100%. según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). TIPOS DE ERRORES: ERROR ABSOLUTO. Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Tiene unidades. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial: Serie de Taylor. No tiene unidades. RELATIVO. ERROR RELATIVO APROXIMADO (E. ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. ERROR DE TRUNCAMIENTO: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. . los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo. el error de redondeo puede resultar de mucha importancia. Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas. omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592. En consecuencia. Por ejemplo. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo.ERROR DE REDONDEO: Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Sin embargo. aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño. si sólo se guardan siete cifras significativas. . Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos. hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos: Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. 0036 ml Hallar el error aproximado del ejemplo anterior ERA= │𝟓𝟎𝟎 𝐦 𝐥 − 𝟒𝟗𝟖.8284271247461900976033774484194 resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.8284271247461900976033774484194 Redondeo 2.82 Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. positivo debido a que la ecuación está en términos del valor absoluto.𝟐 𝐦𝐥│ 𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒍 = 0. omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.𝟐 𝐦𝐥│ 𝒙𝟏𝟎𝟎% 𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒍 = 0. Error relativo Error relativo = │𝐩 − 𝐩´│ 𝒑 Con la condición de p ≠0 Es igual al error relativo multiplicado por 100%.0036% Con la condición de p ≠0 Como se pudo evidenciar en el ejemplo anterior. si sólo se guardan siete cifras significativas. el error relativo nos arroja un resultado el cual es más interpretativo que el resultado que nos arroja el error absoluto.141592.83 .CUADRO COMPARATIVO – TIPOS DE ERRORES Tipo de error Error absoluto Concepto Ejemplos Es la diferencia entre el valor real (p) y el valor El valor real de una botella de agua es de una cantidad de 500ml y aproximado (p´).498.2ml│= 1. es decir aparece truncamiento cuando un procedimiento infinito se hace finito. Hallar el error absoluto Error absoluto = │500 ml . El resultado de este siempre será al medir la cantidad de esa botella de agua nos da 498.2 ml. por eso este tipo de error es más usado.8 ml Error absoluto = │p . Por ejemplo. Expresa la raíz de ocho con tres decimales Los errores de truncamiento son aquellos que √𝟖 = 2.p´│ Es igual al error absoluto entre el valor real. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Expresa la raíz de ocho con tres decimales √𝟖 = 2. 2. Error relativo aproximado NOTA Error por truncamiento Error por redondeo ERA= │𝐩 − 𝐩´│ 𝒙𝟏𝟎𝟎% 𝒑 Hallar el error relativo del ejemplo anterior Error relativo = │𝟓𝟎𝟎 𝐦𝐥− 𝟒𝟗𝟖. MAPA CONCEPTUAL – TIPOS DE ERRORES . Es el método más elemental. una cota del error absoluto es: en la n-ésima iteración. ya hemos encontrado la raíz buscada En caso de que no lo sea. se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo. al menos. verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b) Se redefine el intervalo [a.b] y f(a)f(b) < 0. La bisección converge linealmente. De hecho.b] A continuación se verifica que Se calcula el punto medio m del intervalo [a. NEWTON RAPHSON Y PUNTO FIJO Para luego realizar la comparación de los métodos. sencillo y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable.x1] tal que f(x0)f(x1) < 0. Consiste en partir de un intervalo [x0. Si f es una función continua en el intervalo [a. b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño. El método consiste en lo siguiente: Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a. una raíz real.FASE 2 Leer y revisar los conceptos de métodos para calcular las raíces de una ecuación BISECCIÓN. m] ó [m. REGLA FALSA. . pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia.b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero. también conocido como método de intervalo medio. b] como [a. entonces este método converge a la raíz de f. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear. por lo que sabemos que existe. está basado directamente en el teorema de Bolzano. hasta alcanzar la precisión deseada El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton. Sin embargo. por lo cual es un poco lento. R/ METODO DE BISECCIÓN: El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. De esta forma si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva. por extensión con el método de la secante. el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0 . Esto es equivalente a linealizar la función. El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0. Matemáticamente: Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor. se logra de la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. encontrando los ceros de su primera derivada.Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método. la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz. Observe que no requiere construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado. para un entorno del punto : . METODO DE NEWTON: El método de Newton también conocido como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier. ( )) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto . es decir. La nueva aproximación a la raíz . entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal). La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. Son tres las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función. ya que converge rápidamente. es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. Atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante. f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ( . Existen numerosas formas de evitar este problema. por lo menos. se escoge de la forma más sencilla: Por tanto.Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2. : . se puede considerar Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). sustituyendo en la expresión anterior. como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. Así. Dado que g'(r) es: Entonces: Como h (x) no tiene que ser única. Evidentemente. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x). lo cual no siempre es posible. resultando: . se ha de cumplir que luego. imponiendo subíndices: CONVERGENCIA DEL METODO: El orden de convergencia de este método es. dada la ecuación el siguiente método de iteración de punto fijo: . este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz. cuadrático. Finalmente. y evaluamos en Si además se acepta que tiende a la raíz. hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. obtenemos el algoritmo. es decir. ahora C equivaldrá a b. A partir de un intervalo [ak.Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable. Así. El método de la interpolación lineal inversa. f(x). El método combina el método de bisección y el método de la secante. Como en el método de bisección. 2. requiere varias condiciones: 1. entonces En el caso de que f(C)*f(b) sea la que haya dado el producto menor a cero. METODO DE REGLA FALSA: Es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. b]. f(x). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak. Si se obtiene cero. y se repite el cálculo para encontrar una nueva C. es decir. lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase Teorema de Bolzano). que el producto de la función de x.Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x). pero gen caso de no ser así. sea negativo (menor a cero). Además. f(a). no se debe avanzar más. y se repite el cálculo para encontrar una nueva C. es una función de x. se parte de un intervalo inicial [a0. evaluada en b. bk] se calcula un punto interior ck: Se trata de encontrar la raíz de una ecuación. multiplicada por la función de x. f(x) esta definida en el intervalo [a.b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos. o sea negativo. es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local. . se realiza lo siguiente: Se calcula f(C)*f(a) si este producto es menor a cero (negativo).. f(b). bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.f(a)*f(b) < 0. La ecuación tiene la forma f(x). evaluada en a. Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. f(x) es aproximadamente igual a L(x) Por tanto encontramos un punto falso c Donde C es la raíz que se anda buscando Después se calcula f(C) para ver su valor. entonces ahora a equivaldrá a C.. 3 = 0.2x . es otro método para hallar los ceros de f(x). los valores sucesivos de x son: Los valores convergen a x = 3. Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g(xn) .METODO DE PUNTO FIJO: También conocido como iteración de punto fijo. .n= 0. 2. x = 3 y x = -1 Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente: Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1). . f(c)=0 y c=g(c). donde x0 es una aproximación inicial del cero de f. 3. . se reordena en una forma equivalente: f(x) = 0 x . . Ejemplo. f(x) = x2 . tiene dos ceros.g(x) = 0 x = g(x) Observe que si c es un cero de f(x). (Siempre que se tenga c=g(c) se dice que c es un punto fijo de la función g). 1. Para resolver f(x) = 0. generalmente converge independientemente de la aproximación inicial que se escoge.1].818595. REGLA FALSA Es una mejora del método de bisección que hace que Encontrar la raíz de f(x)=cosx por el método de la falsa posición en el converja más rápidamente a la solución. c2] y se renombra como [a3. se renombra a2=c1 y b2=b1 .4161) < 0 si hay raíz C_ant= 99999 para arrancar . VENTAJAS: Es un método más rápido que los otros Si se aplica el método de Newton comenzando con x0 = 0 se tiene: métodos. el método la encontrará. También llamado Newton-Raphson.4161 f(a)*f (b) < 0 (0.496242.b3]. porque f(0) = -1 yf(2)=0. comparado con los demás El nuevo punto medio es y f(c2) = f(1. es decir que converge en menos iteraciones. es considerado como el método más rápido. DESVENTAJAS: Es necesario conocer la derivada de la función. a=1. la cual a veces es difícil de obtener.2] y Ɛs =0. DESVENTAJAS: El método es lento. el cero esta en el intervalo [a2.001. cuando hay raíces múltiples (polinomios). luego la función tiene un cero en el intervalo [c1. según el teorema del valor intermedio existe un cero de f en el intervalo [0. es decir que se necesitan a veces muchas iteraciones para lograr encontrar la solución. b1] = [1. Observe que f(0) = -1 y f(1) = 1. se puede tomar f(x)=3x+senx-ex.5403)*(-0.2] . Ahora f(c1) = f(1) = -0.123189. b=2 f(a=1)=cos 1 = 0. si la solución existe. el método puede no converger. especialmente si los extremos están muy separados.5403 f (b=2)=cos 2 = -0.CUADRO COMPARATIVO . intervalo [1. Para aproximar una solución de la ecuación 3x + senx . La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el intervalo [0. VENTAJAS: Es un método muy simple y por lo tanto fácil de implementar. el método a veces falla. Si se denota con entonces c1 = 1.ex.MÉTODOS PARA CALCULAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN METODOS BISECCION NEWTON CONCEPTOS EJEMPLOS Es el método más simple para resolver ecuaciones de una variable.2].5) = 0. si la derivada de la función toma un valor cercano a cero.158529. 4161 DESVENTAJA: este método no permite acotar el error cometido.5649 b=2 Itera = 1 C_ant <-. C_ant = 99999)= 1. los muchos problemas.005896)*(0. .5649.5649 Este método se puede utilizar para determinar raíces f(x) = x2 .5649 .005896 f(Cact)= 0.3 = 0. converge más rápidamente que el método de la bisección. PUNTO FIJO Itera=0 Ɛs =0. DESVENTAJAS: No converge globalmente para Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1). fc=f(Cact=1. Aunque en general. x = 3 y x = -1 de una función de la forma .99999 / 1.5649)= 0. obtiene solución exacta en una sola iteración cuando F es afín. Parece que los valores convergen a x = 3. al igual que el de bisección. VENTAJAS: Es de convergencia cuadrática cuando se eligen buenos puntos de inicio.2x . tiene dos ceros.5649 Ɛa no es menor a Ɛs fC*f(a) < 0 (0.VENTAJAS: La ventaja del método de Regla Falsa. siempre y cuando se Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente: cumplan los criterios de convergencia.005896 ¿no es igual a 0? no ERA (Cact=1.5403) ≠ 0 es diferente a cero a = Cact= 1.5403 fb=f(b=2)=-0.001 Encontrado= False fa=f(a=1)=0.Cact = 1. su velocidad de convergencia es baja. es que es siempre convergente para funciones continuas f(x). en cada iteración necesita resolver valores sucesivos de x son: un sistema de ecuaciones lineales que puede ser singular o mal condicionada.5649)= cos(1. DIAGRAMA DE FLUJO – MÉTODOS PARA CALCULAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN . habilidades para encontrar el valor real del valor aproximado.CONCLUSIONES De lo anterior se puede concluir que: Se sustentó por medio de ejemplos en un cuadro comparativo. Se desarrolló ejercicios y se resolvieron mediante los métodos numéricos. . Se reconoció las diferencias entre los tipos de errores y sus diversas aplicaciones. Se expuso los diferentes métodos numéricos para resolver o encontrar raíces de una ecuación. Se Presentó las técnicas adecuadas que permitieron cuantificar y minimizar errores de redondeo y truncamiento. utn.”cálculo del error”.frsn.”módulo de métodos numericos”. recuperado de: http://148. (febrero de 2015). (febrero de 2015). (febrero de 2015).”tipos de errores”.204.com/2008/02/tipos-de-errores.blogspot.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-errorabsoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento [4] Blog del ingeniero.google. http://meto2numericos. (febrero de 2015).134/polilibros/portal/polilibros/P_terminados/MetNumGarzo/13. recuperado de: http://148. (febrero de 2015).211.”método regula”. 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