TRABAJO_I

TRABAJO DE ESTAD´ ISTICA II GRUPO N ◦ 5 -Yupanqui Alarcon, Alfredo -Ramirez Pizarro,Marvin -Saico Huamán, Esther -Flores Garagundo,Eder 28 de agosto de 2014 Parte I 1. teorema del limite central (a) Con el uso de los teoremas 7.8 7.9 y 7.10 muestre que: M (x−u)(σ/ √ n) (t) = e −u/ √ nt/σ M x 1 σ √ n n Donde x es la media de una muestra aleatoria de tama˜ no n de una poblaci´ on f(x) con media u y varianza σ 2 y de aqu´ı. lnM (x−u)/ √ t (t) = −u √ nt 6 + n ln M x ( 1 σ √ n ) (b) Use el resultado del ejercicio22 que esta en la pagina 197 para expandir M x (1/σ √ n) como una serie infinita de potencia de t. Podemos escribir entonces M x (1/σ √ n) = 1 + v donde v es una serie infinita. (c) Suponga que n es suficientemente grande, expanda ln (1+v) en una serie de Maclaurin y después muestre que. lim n→∞ ln M (x−u)(σ/ √ n) (t) = t 2 2 y de aqu´ı. lim n→∞ ln M (x−u)(σ/ √ n) (t) = e t 2 /2 1 2. ejercicio N ◦ 12 Se toma una muestra aleatoria de tama˜ no 25 de una poblaci´ on normal que tiene un media de 80 y una desviación est´ andar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tama˜ no 36 se toma de una poblaci´ on normal diferente que tienen una media de 75 y una desviaci´ on est´ andar de 3. Encuentre la probabilidad de que la media maestral calculada de las 25 exceda a la media maestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3,4 pero en menos de 5,9 . Suponga que las medias se mide al décimo mas cercano. Soluci´ on: X : n X = 25; N(80, σ 2 = 25; ); u = 80; σ = 5 Y : n Y = 36; N(75, σ 2 = 9; ); u = 75; σ = 3 P(x −y>3,4) P(3,4<x −y<5,9) P( 3,4−(80 75) √ ( 25 25 + 9 36 ) < (X−Y )−(u x u y ) ( σ 2 x n x + σ 2 y n y ) < 5,9−(80 75) √ ( 25 25 + 9 36 ) ) P(−1,43<Z<0,8) P(Z<0,8) −P(Z<−1,43) 0,78814 −0,07636 0,71178 3. ejercicio N ◦ 13 La distribuci´ on de alturas de cierta raza de perros terrier tiene una altura media de 72 cent´ımetros y una desviación estándar de 10 cent´ımetros, mientras que la distribuci´ on de alturas de cierta raza de poodles tiene una altura media de 28 cent´ımetros con una desviaci´ on est´ andar de 5 cent´ımetros. Suponga que las medias muestrales se puede medir con cualquier grado de precision, encuentre la probabilidad de que la media muestral para una muestra aleatoria de altura de 64 terriers exceda la media muestral para una muestra aleatoria de altura de 100 poodles por cuanto mucho 44.2 cent´ımetros. soluci´ on: x 1 ⇒u = 72; σ = 10; n = 64 x 1 x 2 ⇒u = 28; σ = 5; n = 100 x 2 2 P(x 1 −x 2 <44,2) P( (x 1 −x 2 )−(u 1 −u 2 ) ( σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 ) < 44,2−(72−28) √ ( 100 64 + 25 100 ) ) P(Z<0,5) 0,55962 4. ejercicio N ◦ 14 La calificación media de estudiantes de primer a˜ no en un examen de aptitud en cierta uni- versidad es 540, con una desviaci´ on estándar de 50. ¿ Cual es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes seleccionados al azar, que consiste en 32 y 50 estudiantes, respectivamente, difiera en sus calificaciones medias por (a)mas de 20 puntos? (b)una cantidad entre 5 y 10 puntos? Suponga que las medias se mide con cualquier grado de precision. Datos: u 1 = 540 u 2 = 540 σ 1 = 50 σ 2 = 50 n 1 = 32 n 2 = 50 soluci´ on: (a) P(x 1 −x 2 ) P( (x 1 −x 2 )−(u 1 −u 2 ) ( σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 ) > 20−0 ( 50 2 32 + 50 2 50 ) ) P(|Z| > 1,77) 1 −P(|Z|<1,77) 1 −[2P(Z<1,77) −1] 2 −2(0,96164) 0,07672 (b) P(5<x 1 −x 2 <10) P( 5−0 ( 50 2 32 +50) 2P<|Z|< 10−0 ( 50 2 32 +50) ) 3 P(0,44<|Z|<0,88) P(|Z|<0,88) −P(|Z|<0,44) 2P(Z<0,88) −1 −[2P(Z<0,44) −1] 2(0,81057) −1 −[2(0,67003)] 0,28108 5. ejercicio N ◦ 15 Construya una gr´ afica de cuantiles para estos dato. La duraci´ on en horas de 50 lamparas incandescentes de 40 watts a 110 voltios enfriadas internamente tomadas de pruebas en condiciones adversas. 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948 1067 1092 1162 1170 929 950 905 972 1035 1045 855 1195 1195 1340 1122 938 970 1237 956 1102 1157 978 832 1009 1157 1151 1009 765 958 902 1022 1333 811 1217 1085 896 958 1311 1037 702 923 soluci´ on: datos tabla Min 702 Min=702 Cuartil 1 930.75 Cualtil 1=930.75 Mediana 1009 Mediana=1009 Cuartil 3 1154.75 Cuartil 3=1154.75 MAX 1340 MAX=1340 4 N ◦ de prueba Prueba tomada 1 919 2 1196 3 785 4 1126 5 936 6 918 7 1156 8 920 9 948 10 1067 11 1092 12 1162 13 1170 14 929 15 950 16 905 17 972 18 1033 19 1045 20 855 21 1195 22 1195 23 1340 24 1122 25 938 26 970 27 1237 28 956 29 1102 30 1157 31 978 32 832 33 1009 34 1157 35 1151 36 1009 37 965 38 958 39 902 40 1022 41 1333 42 811 43 1217 44 1085 45 896 46 958 47 1311 48 1037 49 702 50 923 5 Para grafica Min 702 Q1 228.75 Q2 78.25 Q3 145.75 MAX 1340 6. ejercicio N ◦ 16 Construya una gráfica de cuantiles-cuantiles normales de estos datos. Diámetro de 36 cabezas de remache en 1/100 de pulgada. 6,72 6,77 6,82 6,70 6,78 6,70 6,62 6,75 6,66 6,66 6,64 6,76 6,73 6,80 6,72 6,76 6,76 6,68 6,66 6,62 6,72 6,76 6,70 6,78 6,76 6,67 6,70 6,72 6,74 6,81 6,79 6,78 6,66 6,76 6,76 6,72 soluci´ on: Datos tabla Min 6.3 Min=6.3 Cuartil 1 6.6775 Cuartil 1=6.6775 Mediana 6.725 Mediana=6.725 Cuartil 3 6.76 Cuartil 3=6.76 MAX 6.82 MAX=6.82 6 N ◦ de prueba prueba tomada 1 6.72 2 6.77 3 6.82 4 6.7 5 6.78 6 6.7 7 6.62 8 6.75 9 6.66 10 6.66 11 6.64 12 6.76 13 6.73 14 6.8 15 6.72 16 6.76 17 6.76 18 6.68 19 6.66 20 6.62 21 6.72 22 6.76 23 6.7 24 6.78 25 6.76 26 6.67 27 6.3 28 6.72 29 6.74 30 6.81 31 6.79 32 6.78 33 6.66 34 6.76 35 6.76 36 6.72 Diferencias para crear barras Min 6.3 Cuartil 1 0.3775 Mediana 0.0475 Cuartil 3 0.035 MAX 0.06 7 Parte II 7. ejercicio N ◦ 9 (a)Encuentre P(T < 2,365) cuando v=7 (b)Encuentre P(T > 1,318) cuando v=24, (c)Encuentre P(−1,356 < T < 2,179) cuando v=12, (d)Encuentre P(T > −2,567) cuando v=17, Soluci´ on: (a) P(T < 2,365) cuando v=7 1 −P(T>2,365) seg´ un la tabla 8 = 1 −0,025 = 0,975 Respuesta: la probabilidad de que un valor T sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es de 97.5por ciento (b) P(T > 1,318) cuando v=24 seg´ un la tabla Respuesta: la probabilidad de que un valor T sea mayor que 1.318 con 24 grados de libertad es del 10por ciento (c) P(−1,356 < T < 2,179) cuando v=12 9 seg´ un la tabla = P(T<2,2179) −P(T<−1,356) = (1 −0,10) −0,025 = 0,90 −0,025 = 0,875 Respuesta: la probabilidad de que un valor T se encuentre entre -1.356 y 2.179 con 12 grados de libertad es del 87.5 por ciento (d) P(T > −2,567) cuando v=17 1 −P(T>2,567) cuando v=17 seg´ un la tabla: = 1 −0,01 = 0,99 10 Respuesta: la probabilidad de que un valor T sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del 99 por ciento 8. ejercicio N ◦ 10 (a)Encuentre P(−t 0,005 < T < t 0,01 ) (b)Encuentre P(T > −t 0,0025 ) Soluci´ on: (a) P(−t 0,005 < T < t 0,01 ) como t 0,005 deja un area de 0.005 a la derecha, y −t 0,025 a la izquierda encontramos, un area total de : 1 −(0,01 + 0,005) = 1 −0,015 = 0,985 Respuesta: 0,985 (b) P(T > −t 0,0025 ) 1 −0, 0025 = 0,9975 9. ejercicio N ◦ 11 Dada una muestra aleatoria de tama˜ no 24 de una distribución normal, encuentre K tal que, (a)P(−2, 069 < T < K) = 0, 965; (b)P(K < T < 2, 807) = 0, 095; (c)P(−K < T < K) = 0, 90. Solucion: (a) n = 24 y (n −1) = 23 grados de libertad P(−2, 069 < T < K) = 0, 965; P(T < K) −P(T < −2,069) = 0,965 P(T < K) −(1 −P(T < 2,069)) = 0, 965; P(T < K) −(1 −0,975) = 0,965 P(T 23 < K) = 0,99 K = 2,500 (b) 11 n = 24 y (n −1) = 23 grados de libertad P(K < T < 2, 807) = 0, 095; P(T < 2, 807) −P(T < K) = 0, 095; P(T < K) = 0,995 −0,095 P(T < K) = 0,9 K = 1,1319 (c) n = 24 y (n −1) = 23 grados de libertad P(−K < T < K) = 0, 90. P(T < K) −P(T < −K) = 0,90 P(T < K) −(1 −P(T < K)) = 0,90 2P(T < K) −1 = 0,90 P(T < K) = 0,95 K = 1,714 10. ejercicio N ◦ 12 una empresa manufacturera afirma que la bater´ıas que utiliza en sus juegos electr´ onicos dura un promedio de 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 bater´ıas cada mes. Si el valor t que se calcula cae entre −t 0,025 y t 0,025 , la empresa queda satisfecha con su afirmación.¿ que conclusi´ on extraer´ıa la empresa de una muestra que tiene una media de x = 27, 5 horas y una desviación est´ andar de s = 5 horas? Suponga que las distribuci´ on de las duraciones de las bater´ıas es aproximadamente normal. Soluci´ on Datos : P :bater´ıas de juegos electrónicos. X :rendimiento en horas de una bater´ıa de juegos electrónicos. Media poblacional u x = 30 horas Tama˜ no de muestra n = 16 baterias Media muestral x = 27,5 horas Desviaci´ on est´ andar muestral s = 5 horas soluci´ on: De la tabla encontramos que t 0,025 = 2,131 para 15 grados de libertad.Por tanto, la empresa queda satisfecha con esta afirmación si una muestra de 16 bater´ıas rinde un valor t entre -2.131 y 2.131, si u = 30, entonces. T = X −u s √ n con(n −1) grados de libertad Con nuestros datos 12 T = 27,5 −30 5 √ 16 = −2 Respuesta: La empresa estar´ıa satisfecha con su afirmaci´ on ya que el valor hallado de t pertenece al inter- valo establecido como par´ ametro para poder afirmar que sus bater´ıas promedian las 30 horas de duración. 11. ejercicio N ◦ 13 Una poblaci´ on normal con varianza desconocida tiene una media de 20 ¿ se tiene una posi- bilidad de obtener una muestra aleatoria de tama˜ no 9 de esta poblaci´ on con una media de e24 y una desviaci´ on estándar de 4,1? Si no ¿ Que conclusi´ on sacar´ıa? Datos: Media poblacional u x = 20 Tama˜ no de la muestra n = 9 Media muestral X = 24 Desviaci´ on est´ andar muestral s = 4,1 Soluci´ on: T = X −u s √ n con(n −1) grados de libertad con nuestros datos: P(|X −u| = |X −20| > 4) = 1 −P(|X −20| < 4) = 1 −P(4 < X −20 < 4) = 1 −P( −4 4,1 3 < X −20 < 4 4,1 3 ) = 1 −P(−2,92 < t 8 < 2,92) = P(t 8 < 2,92) −P(t 8 < −2,92) = 0,00959 + 0,00959 = 0,01918 = 1,918 Soluci´ on: Si se tiene la probabilidad de obtener una muestra de tama˜ no 9 con estas condiciones, con una probabilidad del 1.918 13 12. ejercicio N ◦ 14 un fabricante de cierta marca de cereal bajo en grasa afirma que su contenido promedio de su grasa saturada es 0,5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras de cereal de esta manera el contenido de grasa saturada fue: 0,6, 0,7, 0,7, 0,3, 0,4, 0,5, 0,4, 0,2 ¿ Estar´ıa de acuerdo con la afirmación? Datos: P: barras de cereal bajo grasa. X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal. Media poblacional u x = 0,5gramos. Tama˜ no de la muestra n = 8. Media muestral x = n 1 X i n = 0,6 + 0,7 + 0,7 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,4 + 0,2 8 = 3,8 8 = 0,475 gramos Desviaci´ on est´ andar muestral s = n 1 (X i −X) 2 n s = (0,6 −0,475) 2 + (0,7 −0,475) 2 + (0,7 −0,475) 2 + (0,3 −0,475) 2 + (0,4 −0,475) 2 + (0,5 −0,475) 2 + (0,4 −0,475) 2 + (0,2 −0,475) 2 7 = (0,125) 2 + (0,225) 2 + (0, 225) 2 + (−0, 175) 2 + (−0,075) 2 + (0,025) 2 + (−0,075) 2 + (−0,275) 2 7 0,26 7 = √ 0,037 = 0,19 Inc´ ognita: u x = 0,5 Soluci´ on: T = X −u s √ n con(n −1) grados de libertad con nuestros datos T = | 0,475 −0,5 0,1832 √ 8 | = 0,3860 P(| X −u s √ n | > | X −u 0 s √ n |) con nuestros datos P(−0,3860 < t 7 < 0,3860) = 0,3754 + 0,3754 = 0,7508 = 75,80 14 Respuesta: hay razones suficiente (75,08) para considerar que la afirmación es cierta. 13. ejercicio N ◦ 15 (a)F 0,05 con u 1 = 7 y u 2 = 15; (b)F 0,05 con u 1 = 15 y u 2 = 7; (c)F 0,01 con u 1 = 24 y u 2 = 19; (d)F 0,95 con u 1 = 19 y u 2 = 24; (e)F 0,99 con u 1 = 28 y u 2 = 12; Soluci´ on: (a)F 0,05 con u 1 = 7 y u 2 = 15; seg´ un la tabla F 0,05 con u 1 = 7 y u 2 = 15 => 0,285 Respuesta: el valor f con 7 y 15 grados de libertad, que deja un ´ area de 0.05 a su derecho es 2.71 Gr´ afica: (b)F 0,05 con u 1 = 15 y u 2 = 7; seg´ un la tabla F 0,05 con u 1 = 15 y u 2 = 7 => 0,369 Respuesta: el valor f con 15 y 7 grados de libertad, que deja un ´ area de 0.05 a su derecho es 15 Gr´ afica: (c)F 0,01 con u 1 = 24 y u 2 = 19 seg´ un la tabla F 0,01 con u 1 = 24 y u 2 = 19 => 2, 92 Respuesta: el valor f con 24 y 19 grados de libertad, que deja un ´ area de 0.01 a su derecho es Gr´ afica: (d)F 0,95 con u 1 = 19 y u 2 = 24; seg´ un la tabla F 0,95 con u 1 = 19 y u 2 = 24 => 0,4739 Respuesta: el valor f con 19 y 24 grados de libertad, que deja un ´ area de 0.95 a su derecho es 16 Gr´ afica: (e)F 0,99 con u 1 = 28 y u 2 = 12; segun la tabla F 0,99 con u 1 = 28 y u 2 = 12 ⇒0,3448 Respuesta: el valor f con 28 y 12 grados de libertad, que deja un area de 0.99 a su derecho es Gr´ afica: 14. ejercicio N ◦ 16 pruebas de resistencia a la tracci´ on sobre 10 cables conductores soldados para un dispositivo semiconductor dan los siguientes resultados en libras fuerza requerida para romper la unión. 19,8 12,7 13,2 16,9 10,6 18,8 11,1 14,3 17,0 12,5 Otro conjunto de 8 cables conductores se probo después del encapsulado para determinar si la resistencia a la atracci´ on hab´ıa aumentado debido al encapsulado del dispositivo, con los siguientes resultados; 17 24,9 22,8 23,6 22,1 20,4 21,6 21,8 22,5 Haga comentarios sobre la evidencia disponible con respecto a la igualdad de las dos varianzas de poblaci´ on. soluci´ on muestra 1 n=10 u = (19,8 + 12,7 + 13,2 + 16,9 + 10,6 + 18,8 + 11,1 + 14,3 + 17,0 + 12,5)/10 u = 14,96 σ 2 = ((19,8 −14,96) 2 + (12,7 −14,96) 2 + (13,2 −14,96) 2 + (16,9 −14,96) 2 + (10,6 −14,96) 2 + (18,8 −14,96) 2 + (11,1 −14,96) 2 + (14,3 −14,96) 2 + (17,0 −14,96) 2 + (12,5 −14,96) 2 )/10 σ 2 = 9,49 soluci´ on muestra 2 n=8 u = (24,9 + 22,8 + 23,6 + 22,1 + 20,4 + 21,6 + 21,8 + 22,5)/8 u = 22,46 σ 2 = ((24,9 −22,46) 2 + (22,8 −22,46) 2 + (23,6 −22,46) 2 + (22,1 −22,46) 2 + (20,4 −22,46) 2 + (21,6 −22,46) 2 + (21,8 −22,46) 2 + (22,5 −22,46) 2 )/8 σ 2 = 1,61 respuesta: las varianzas de ambas muestras difieren considerablemente, por las muestras tomadas errónea- mente. 15. ejercicio N ◦ 17 Considere las siguientes mediciones con la capacidad de producción de calor del carb´ on pro- ducido por dos minas (en millones de calor´ıas por tonelada); Mina 1; 8260 8130 8350 8070 8340 Mina 2; 7950 7890 7900 8140 7920 7840 ¿ Se puede concluir que las dos varianzas de población son iguales? soluci´ on de la muestra 1 n=5 u = (8260 + 8130 + 8350 + 8070 + 8340)/5 u = 8230 σ 2 = ((8260 −8230) 2 + (8130 −8230) 2 + (8350 −8230) 2 + (8070 −8230) 2 + (8340 −8230) 2 )/5 σ 2 = 12600 soluci´ on de la muestra 2 n=6 18 u = (7950 + 7890 + 7900 + 8140 + 7920 + 7840)/6 u = 7940 σ 2 = ((7950 − 7940) 2 + (7890 − 7940) 2 + (7900 − 7940) 2 + (8140 − 7940) 2 + (7920 − 7940) 2 + (7840 −7940) 2 )/6 σ 2 = 9100 respuesta las varianzas no varia excesivamente, la peque˜ na diferencia obtenida es por el aumento de n por lo cual se podr´ıa decir que que la muestra dos es mas homogénea que la muestra 1. 19

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