F Í S I C AM E C Á N I C A TEXTO Nº 6 TRABAJO Y ENERGÍA MECÁNICA Conceptos Básicos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Febrero 2010 Sede Maipú, Santiago de Chile 1 Introducción M E C Á N I C A Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Trabajo y Energía. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura Física Mecánica. El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de Trabajo y Energía partículas, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más F Í S I C A complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones. 2 F Í S I C A M E C Á N I C A TRABAJO Y POTENCIA En física el concepto de trabajo no es tan amplio como lo es en la vida diaria, en física se r denomina trabajo mecánico y se dice que se produce cuando una fuerza F experimenta r un desplazamiento r a lo largo de su recta de acción o componente de ella. El trabajo mecánico es una magnitud escalar que se simboliza por W y se define por: r r W = F ⋅ r ⋅ cos θ = F • r Donde: r F = magnitud o módulo de la fuerza F r r = magnitud o módulo del desplazamiento r r r θ = ángulo formado entre los vectores fuerza F y desplazamiento r La definición anterior permite notar que no se realiza trabajo mecánico (trabajo nulo) cuando el vector fuerza y el vector desplazamiento forman un ángulo recto ( θ = 90º ), ya que cos 90º = 0 , es decir: r r r Si F ⊥ r , entonces la fuerza F no se realiza trabajo mecánico ( W = 0 ) Unidades de trabajo mecánico: Trabajo mecánico CGS MKS r r W = F •r d ⋅ cm = erg N ⋅ m = joule = J TEC. METRICO TEC. INGLES kp ⋅ m = kilogrametro = kgm librapie = lbpie 1kgm = 9,8 J = 9,8 × 10 7 erg 1 J = 10 7 erg 3 al arrastrar un cuerpo sobre una superficie rugosa. La fuerza F realiza trabajo motor F h Trabajo resistente: Cuando el sentido de la fuerza es contrario al sentido del desplazamiento. entonces el trabajo se llama trabajo motor. al ser levantado El peso mg realiza trabajo resistente F mg h 4 . la F Í S I C A M E C Á N I C A fuerza realizada para alargar un resorte. el trabajo realizado por el peso de un cuerpo. entonces el trabajo se llama resistente. ejemplo la fuerza ejercida para levantar un cuerpo. etc.Trabajo motor: Cuando el sentido de la fuerza coincide con el sentido del desplazamiento. ejemplo el trabajo realizado por la fuerza de fricción. la solución consiste en aplicar directamente la definición antes indicada. 5 . F = 20 N x Solución: Movimiento F = 20 N La situación planteada x correspon de al caso r = 12m más simple respecto al cálculo de trabajo mecánico realizado por una fuerza constante. tal como indica la figura.Ejemplo 1 F Í S I C A M E C Á N I C A r Una fuerza constante F = 20 N paralela al eje x actúa sobre un cuerpo. es decir: W = F ⋅ r ⋅ cos θ Se conocen todos los valores involucrados en la definición: r Fuerza F = 20 N . significa que el trabajo realizado por la fuerza F es un trabajo motor. si el cuerpo experimenta un desplazamiento de 12 metros en el mismo sentido de la fuerza F ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza F ? Despreciar efectos de fricción. desplazamiento r = 12m y el ángulo θ = 0º Reemplazando estos valores y multiplicando se obtiene: W = 20 N ⋅ 12m ⋅ cos 0º = 20 N ⋅ 12m = 240 J r Como el resultado es positivo. Ejemplo 2 M E C Á N I C A Un cuerpo de 40 kg descansa sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie vale 0.3.234 J 6 . Se elige el sistema coordenado horizontal para el eje x y vertical para el eje y F = 600 N 20º μ k = 0. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de 600N a un ángulo de 20º por encima de la horizontal. tal como indica la figura. Trabajo realizado por la fuerza normal en un recorrido de 15 metros. Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en un recorrido de 15 metros.3 r = 15m Por definición se tiene: W = F ⋅ r ⋅ cos θ Reemplazando valores numéricos: W = 600 N ⋅ 15m ⋅ cos 20º r Finalmente multiplicando se obtiene el trabajo realizado por la fuerza F . Trabajo realizado por la fuerza peso en un recorrido de 15 metros. Calcular: a) b) c) d) Trabajo realizado por la fuerza F en un recorrido de 15 metros. es decir: W = 8457. F = 600 N 20º F Í S I C A r Solución (a): Trabajo realizado por la fuerza F . r = 15m y θ = 180º (ángulo entre la fuerza de roce y el desplazamiento) Calculo de fuerza normal: Como el cuerpo se mueve solo en el eje x. r N Por definición se tiene: F Í S I C A M E C Á N I C A W = N ⋅ r ⋅ cos θ 90º r r r r En este caso el ángulo formado entre la fuerza normal N y el desplazamiento r es igual a 90º y como cos 90º = 0 .3 . es decir: WFuerza Normal = 0 Solución (c): Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento f . Por definición se tiene: W = f ⋅ r ⋅ cos θ Pero: f = μ⋅N (1) (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: 180º r f W = μ ⋅ N ⋅ r ⋅ cos θ r r Se conoce el valor de todas las variables excepto la fuerza normal. se tiene que el trabajo de la fuerza normal vale cero. μ = 0. es decir: y Movimiento N + Fsenθ − mg = 0 N Despejando fuerza normal se obtiene: N = mg − Fsenθ F 20º f x mg 7 . significa que la sumatoria de las fuerzas en el eje y debe ser igual a cero.r Solución (b): Trabajo realizado por fuerza normal N . significa que el trabajo realizado por el peso del cuerpo es igual a cero ya que cos 90º = 0 . r Solución (c): Trabajo realizado por la fuerza peso ( mg ). esto es: W = μ ⋅ N ⋅ r ⋅ cos θ W = 0.788 N Ahora sí se conocen todos los datos y por lo tanto es posible utilizar la ecuación (1) para calcular el trabajo realizado por la fuerza de fricción. por lo tanto: WPeso = 0 8 .788 N ⋅ 15m ⋅ cos180º Multiplicando: W = −840.3 ⋅ 186. Por definición se tiene que el trabajo realizado por el peso del cuerpo es: W = mg ⋅ r ⋅ cos θ Como el ángulo que forman el vector peso y el vector desplazamiento es de θ = 90º .Reemplazando los valores correspondientes: N = 392 N − 600 N ⋅ sen 20º F Í S I C A M E C Á N I C A Multiplicando: N = 186.546 J El signo negativo significa que es un trabajo resistente. es decir.688 J Como resulto un valor positivo. es decir. 9 .Trabajo neto o trabajo total realizado sobre un cuerpo: F Í S I C A M E C Á N I C A Como sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas en forma simultanea. significa que el trabajo total realizado sobre el cuerpo es un trabajo motor. basta sumar cada uno de estos valores. r utilizando la componente R x de la fuerza resultante. es decir: WTotal = W1 + W2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Wn Ejemplo: Determinar el trabajo total realizado sobre el cuerpo del ejemplo anterior. se tiene: WTotal = 8457. el trabajo total realizado sobre el cuerpo es igual a la suma algebraica de los trabajos parciales realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Otra solución: También es posible determinar el trabajo total realizado sobre el cuerpo. en la dirección del movimiento. Solución: Como se conoce el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo del ejemplo anterior.546 J + 0 Es decir: WTotal = 7616. r El trabajo realizado por la fuerza R x queda determinado por definición: WTotal = R x ⋅ r ⋅ cos θ r Como R x está en la dirección del eje x y el desplazamiento del cuerpo es en el eje x. utilizando la fuerza resultante que actúa en el cuerpo. WTotal = WFuerza F + WFuerza Normal + WFuerza Roce + WFuerza Peso Reemplazando los valores correspondientes para cada trabajo.234 J + 0 − 840. significa que el ángulo θ es igual a cero y por lo tanto cos 0º = 1 . WTotal = 7616. esto es: r R x = F ⋅ cos 20º − f r R x = F ⋅ cos 20º − μ ⋅ N Los valores de las variables son: F = 600 N .Entonces: F Í S I C A M E C Á N I C A WTotal = R x ⋅ r Como se conoce el valor del desplazamiento r = 15m . es decir: WTotal = R x ⋅ r WTotal = 507.0. μ = 0.688 J 10 .788 N Multiplicando y restando se obtiene: r R x = 507. hay que calcular la fuerza resultante en el eje x.788N Reemplazando: r R x = 600 N ⋅ cos 20º .3 y N = 186.779 N ⋅ 15m Finalmente.779 N r Conocido el valor de la resultante R x es posible aplicar la definición de trabajo anteriormente indicada.3 ⋅186. multiplicando se obtiene el trabajo total realizado sobre el cuerpo. F = −K ⋅ x Fuerza realizada por el resorte x F = K⋅x Fuerza realizada sobre el resorte Unidad de medida de la constante K . donde kN = kilo Newton = 1000 N m m Si se usa el sistema ingles. las unidades de la constante K deben ser expresadas en N kN o . las unidades de la constante K deben ser expresadas en 11 . Si se usa el sistema internacional. Ley de Hooke: La fuerza F necesaria para alargar (acortar) un resorte en una longitud x es directamente proporcional al alargamiento (acortamiento).Trabajo realizado sobre un resorte ideal: Es un caso particular de trabajo realizado por una fuerza variable. matemáticamente la ley de Hooke se expresa por: F = K⋅x Donde K representa una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de restitución o constante elástica del resorte que para nuestro objeto de estudio se puede afirmar que depende del material y del proceso de fabricación del resorte. F Í S I C A M E C Á N I C A Un resorte ideal es aquel que cumple exactamente con la ley de Hooke. m Al reemplazar en la formula anterior. es decir: W = 6.06 2 m 2 2 m Cancelando la unidad de metro y multiplicando resulta el valor pedido. Solución: El trabajo realizado sobre un resorte ideal queda determinado por: W = La información indica que K = 3800 1 K ⋅ x2 2 N y el alargamiento x = 6cm = 0.lbf lbf o pie pulg M E C Á N I C A El trabajo realizado sobre un resorte ideal queda determinado por: 1 K ⋅ x2 2 Siendo K la constante elástica del resorte y x el alargamiento (acortamiento). se obtiene: W= 1 N ⋅ 3800 ⋅ 0.84 J Recordar que N ⋅ m = J 12 . determinar el trabajo realizado m para alargarlo en una longitud de 6cm.06m . W = El trabajo realizado sobre un resorte ideal para llevarlo desde la posición x1 hasta la posición x 2 queda determinado por: W= ( 1 2 2 K ⋅ x 2 − x1 2 Ejemplo 1 Un resorte ideal tiene una constante elástica de 3800 F Í S I C A ) N . 4 N s2 Por lo tanto.3m.4 m sobre un resorte ideal.4m N m El resultado obtenido significa que por cada metro de alargamiento se necesita una fuerza de 686 N . es decir: F Í S I C A F = mg = 28kg ⋅ 9.8 m = 274. al reemplazar el valor de F se obtiene: 274. Solución (a): Cálculo de la constante elástica del resorte. m K = 686 x = 0. determinar: a) la constante elástica del resorte. Como el cuerpo de 28 kg ejerce una fuerza sobre el resorte ideal. esto es: F = K⋅x Despejando la constante K resulta: F =K x En este caso la magnitud de la fuerza F . 28kg 13 . se cumple la Ley de Hooke.4 N =K 0. dividiendo se tiene el valor de N la constante K en .Ejemplo 2 M E C Á N I C A Un cuerpo de 28 kg produce un alargamiento de 0.4m Finalmente. b) El trabajo realizado sobre el resorte para comprimirlo una longitud de 0. corresponde al peso del cuerpo. solo hay que reemplazarlas y realizar la operatoria indicada: W= W = ( ) 1 N 6200 ⋅ 0. es decir: W = 1 N ⋅ 686 ⋅ 0.3m. queda determinado por: ( ) 1 2 2 K ⋅ x 2 − x1 2 Como se conocen todas las variables. Un resorte ideal tiene una constante elástica de 6200 Solución: El trabajo realizado sobre un resorte para alargarlo desde una posición ya deformada hasta otra posición.1m hasta la posición de 0.87 J Ejemplo 3 N .4m.4 2 − 0.3 2 m 2 2 m W = 30. determinar el trabajo realizado m sobre el resorte para alargarlo desde la posición ya deformada de 0.12 m 2 2 m Resolviendo el paréntesis y multiplicando se obtiene el trabajo realizado sobre el resorte. es decir: W = 465 J 14 . basta con reemplazar estos valores y realizar la multiplicación. F Í S I C A M E C Á N I C A El Trabajo realizado sobre un resorte ideal queda determinado por la fórmula: W = 1 ⋅ K ⋅ x2 2 Como se conoce el valor de la constante K y el valor de la longitud comprimida x .Solución (b) Cálculo de trabajo realizado sobre el resorte. para comprimirlo una longitud de 0. 15 . Trabajo realizado por fuerza constante: Fuerza F W = F ⋅r r Posición El área de una región rectangular se obtiene multiplicando el largo por el ancho. r es el módulo del desplazamiento.Representación grafica del trabajo. F Í S I C A M E C Á N I C A El área que queda comprendida bajo la curva en un grafico fuerza – posición. por lo tanto: Area bajo la curva = A = F ⋅ r = W Donde F es el modulo de la fueraza en la dirección del movimiento. representa el trabajo mecánico realizado sobre un cuerpo. es decir: Area bajo la cuva = A = 1 1 1 ⋅ base ⋅ altura = ⋅ x ⋅ K ⋅ x = K ⋅ x 2 = WRelizado sobre el resorte 2 2 2 Donde: K = constante elástica del resorte x = alargamineto (acortamiento) 16 .Trabajo realizado por fueraza variable (caso particular de trabajo realizado sobre un resorte ideal) F Í S I C A M E C Á N I C A Deformar el resorte una longitud x respecto de su posición de equilibrio (resorte sin deformar) Fuerza F = K⋅x La inclinación de la línea recta representa el valor de la constante K W = 1 ⋅ K ⋅ x2 2 x Posición El área de una región triangular se obtiene multiplicando un medio de la base del triángulo por su altura. F Í S I C A M E C Á N I C A F = K⋅x F2 F1 W = ( 1 ⋅ K ⋅ x2 2 − x12 2 ) x1 Area bajo la curva = W = Posición x2 ( 1 2 2 ⋅ K ⋅ x 2 − x1 2 ) Ejemplo 1 Determinar el trabajo mecánico representado por la grafica siguiente: F(N ) 25 X (m) 14 17 . La región sombreada corresponde a un rectángulo y por lo tanto su área se obtiene multiplicando el largo por el ancho: M E C Á N I C A A = 25 N ⋅ 14m = 350 J Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza de 25 N es de 350 J. Ejemplo 2 Determinar el trabajo representado por la siguiente grafica. F (N ) 2500 F Í S I C A 1000 0,2 0,5 x(m) Solución: Se sabe que el área que queda comprendida bajo la curva en un grafico fuerza versus posición, representa el trabajo realizado. El área de la región sombreada se puede obtener por una resta entre el área del triángulo mayor y el área del triángulo menor, esto es: A =W = 1 1 ⋅ 2500 N ⋅ 0,5m − ⋅ 1000 N ⋅ 0,2m 2 2 Multiplicando y restando se obtiene el trabajo que se busca. A = W = 525 J 18 Ejemplo 3 Determinar el trabajo representado por la grafica. F Í S I C A M E C Á N I C A F (N ) 4480 1920 0,3 0,7 x ( m) Solución: También es posible calcular el área achurada utilizando la formula del área de un trapecio, esto es: Base menor ATrapecio = (base mayor + base menor ) ⋅ altura Altura 2 Base mayor Recordando que las bases corresponden a los lados paralelos y la altura a la distancia perpendicular entre las bases, se tiene que: W= (4480 + 1920)N ⋅ 0,4m 2 Sumando, multiplicando y dividiendo se obtiene el valor del trabajo realizado, es decir: W = 1280 J 19 Potencia mecánica (P) (Potencia media) F Í S I C A M E C Á N I C A Se define como el cuociente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado en realizar dicho trabajo, es decir: P= W t Unidades para medir Potencia: Potencia mecánica W P= t CGS erg s MKS TEC. METRICO TEC. INGLES kgm s lbpie s J = Watt = W s Otras unidades de potencia: 1 Kilo Watt = 1 KW = 1000W 1 Caballo Vapor = 1CV ≅ 736W 1 Caballo fuerza = 1HP ≅ 746W Potencia y velocidad Por definición, se tiene que: P= W t r r Pero W = F • r = F ⋅ r ⋅ cos θ Entonces: P= Pero F ⋅ r ⋅ cos θ t r = vm t Entonces: P = F ⋅ v m ⋅ cos θ r r = F • vm De la expresión anterior se puede decir que la potencia corresponde a la rapidez con la que se realiza trabajo. 20 es decir: W = 3200kg ⋅ 9. Como se entrega el tiempo empleado. la fuerza F corresponde al valor del peso mg del cuerpo.Ejemplo 1 F Í S I C A M E C Á N I C A Una grúa levanta una carga de 3200 kg a una altura de 18 metros respecto al suelo. ¿Cuál es la potencia media desarrollada por la grúa? Solución: El problema plantea determinar la potencia media desarrollada por una grúa. el valor del r desplazamiento corresponde a la altura 18 metros y como la fuerza F y el desplazamiento son verticales y en el mismo sentido. utilizando un tiempo de 15 segundos. Calculo de trabajo: W = F ⋅ r ⋅ cos θ En este caso. aplicamos la definición de potencia. se debe calcular en primer lugar el trabajo W . se tiene: m ⋅ 18m s2 Multiplicando resulta el trabajo realizado para elevar la carga a 18 metros de altura. significa que θ = 0º y por lo tanto cos 0º = 1 De lo anterior se tiene entonces: W = mg ⋅ h Reemplazando los valores correspondientes. por lo tanto utilizamos la definición de potencia media. es decir: P= W 564480 J = t 15s Dividiendo: P = 37632 W 21 . como se conoce el trabajo. esto es: P= W t Se necesita conocer el trabajo mecánico y el tiempo empleado en dicho trabajo.8 W = 564480 J Ahora. junto con su carga máxima tiene una masa de 3200 kg. incluyendo su carga máxima. Ejemplo 3 Un ascensor. por lo tanto: 22 . esto indica que es posible utilizar la formula que relaciona la potencia con la velocidad. Aplicando la definición de potencia.5 m/s ¿Cuál debe ser la potencia media que debe tener el motor a utilizar? Solución: En este caso se pide que el ascensor se mueva con la velocidad constante. es decir: W = 36800 J Esto significa que el motor de 5 CV puede desarrollar 36800 J de trabajo en un tiempo de 10 segundos. se tiene: P= W t Despejando el trabajo W resulta: P ⋅t = W Reemplazando los valores para potencia y tiempo se tiene: J 3680 ⋅ 10s = W s Multiplicando se obtiene el trabajo en joule. Si se quiere que el ascensor se eleve con una velocidad de 1.Ejemplo 2: F Í S I C A M E C Á N I C A ¿Que cantidad de trabajo puede realizar un motor de 5 CV en un tiempo de 10 s? Solución: Según información. se tiene un motor de 5 CV y se pide determinar la cantidad de trabajo que puede hacer en 10 segundos. es decir: P = F ⋅ v m ⋅ cos θ El valor de la fuerza F corresponde al peso del ascensor. La energía se presenta de variadas formas.5 s Por lo tanto: P = F ⋅ v m ⋅ cos θ m P = 31360 N ⋅ 1. por mencionar algunas: Energía solar. energía eléctrica.F Í S I C A M E C Á N I C A F = mg = 3200kg ⋅ 9. se dice que es la energía actual que posee un cuerpo. Energía cinética ( U k ): Es la energía que poseen los cuerpos en movimiento.5 ⋅ cos 0º s P = 47040 J Esto quiere decir que la potencia media que debe desarrollar el motor del ascensor es de 47040 J Energía mecánica La energía es un concepto abstracto que científicamente se define como la capacidad de un cuerpo (o sistema) para realizar trabajo. energía eólica. es decir: m v m = 1. la energía se mide en las mismas unidades en que se mide el trabajo mecánico. En este estudio interesa la energía mecánica La energía mecánica está formada por la energía cinética y la energía potencial. energía química. erg. la velocidad media corresponde a la velocidad constante. joule. energía fósil. de acuerdo a su capacidad de transformarse de una a otra. matemáticamente queda determinada por: Uk = 1 m ⋅ v2 2 23 . es decir. kgm (kilogrametro) y lbpie. según ésta definición.8 m = 31360 N s2 r r El ángulo θ = 0º ya que tanto la fuerza ejercida F como la velocidad v son verticales y dirigidas hacia arriba. etc. energía mecánica. energía hidráulica. se dice que es la energía que almacenan los cuerpos. Matemáticamente la energía potencial gravitatoria queda determinada por: U PG = mgh Donde: m = Masa del cuerpo g = Aceleración de gravedad h = Altura respecto a superficie de la tierra u otra indicada Energía potencial elástica ( U PE ) Es la energía que poseen los cuerpos tales como resortes y elásticos. es decir la tienen en forma potencial y que manifestarán cuando las condiciones les san favorables. es decir: U PE = 1 k ⋅ x2 2 Donde: k = Constante elástica del resorte x = Alargamiento (o acortamiento) 24 . por ejemplo. para el caso particular del resorte ideal. la energía elástica queda determinada por el trabajo que se realiza sobre el resorte.Donde: F Í S I C A M E C Á N I C A m = Masa del cuerpo v = Módulo de la velocidad Energía potencial gravitatoria ( U PG ): Es la energía que poseen los cuerpos que se encuentran ubicados a una altura respecto d la superficie de la tierra u otra superficie indicada. soltar un cuerpo que se encuentra a cierta altura respecto de la superficie de la tierra. - F Í S I C A El trabajo realizado al levantar un cuerpo respecto de la superficie de la tierra. como por ejemplo: - Al arrastrar un cuerpo sobre una superficie rugosa.La energía mecánica total ( U ) de un cuerpo corresponde a la suma entre la energía cinética y la energía potencial. como por ejemplo: - recupera el mismo cuerpo como energía potencial gravitatoria y que manifestará cuando las condiciones le sean favorables (soltar el cuerpo). Sistema no conservativo: Se dice de aquel sistema en que el trabajo realizado sobre el cuerpo no es recuperado por el mismo cuerpo. el trabajo realizado por la fuerza de roce no lo recupera el cuerpo como energía en potencia. Observación: en nuestro estudio cada vez que intervenga el roce se considerará como un sistema no conservativo. es decir: M E C Á N I C A U = UK +UP Sistema conservativo: En este nivel es suficiente decir que un sistema conservativo es aquel en que el trabajo realizado sobre un cuerpo es recuperado por el mismo cuerpo como energía en potencia. lo El trabajo realizado al alargar (o acortar) un resorte lo recupera el mismo resorte como energía en potencia y que manifestará cuando las condiciones le sean favorables (soltar el resorte). sino que ése trabajo es disipado en forma de calor. 25 . También se dice que un sistema es conservativo cuando el trabajo total realizado en una curva cerrada es igual a cero. es decir se cumple que: U iinicial = U final Para un sistema no conservativo. la energía mecánica total de un cuerpo no se mantiene constante y se cumple que: U inicial = U final + Wroce Teorema del trabajo y la energía Este teorema expresa que el trabajo total o trabajo neto realizado sobre un cuerpo para acelerarlo desde la velocidad v0 hasta la velocidad v queda determinado por la variación de la energía cinética que experimenta el cuerpo. se tiene que: WTotal = ΔU K = Factorizando por 1 1 2 m ⋅ v 2 − m ⋅ v0 2 2 1 m resulta: 2 WTotal = ( 1 2 m ⋅ v 2 − v0 2 ) Reemplazando valores numéricos: 26 .Principio de conservación de la energía F Í S I C A M E C Á N I C A Para un sistema conservativo la energía mecánica total de un cuerpo se mantiene constante. es decir: WTotal = ΔU K = 1 1 2 m ⋅ v 2 − m ⋅ v0 2 2 El Teorema sirve sólo para calcular el trabajo total realizado sobre el cuerpo. Solución: Por el teorema del trabajo y la energía. Ejemplo: Determinar el trabajo total realizado al acelerar un cuerpo de 80 kg desde la velocidad de 10 m/s hasta la velocidad de 24 m/s. es decir: η= Energía util o aprovechada Energía total o suministrada Energía total = Energía util + Energía consumida por el roce El rendimiento normalmente se expresa por medio de porcentaje. ya que mecánicamente. parte de ella se pierde a causa del rozamiento.WTotal = ( ) 1 m2 80kg ⋅ 24 2 − 10 2 2 2 s F Í S I C A M E C Á N I C A Multiplicando se obtiene el valor del trabajo total realizado sobre el cuerpo. es decir: WTotal = 19040 J RENDIMIENTO DE UNA MAQUINA (η) Es sabido que no toda la energía que llega a un cuerpo es utilizada como energía útil. para esto. la expresión anterior se multiplica por 100. es decir: η= Energía util o aprovechada ⋅ 100% Energía total o suministrada Otras expresiones para rendimiento: η= PUtil ⋅ 100% PTotal η= WUtil ⋅ 100% WTotal 27 . por tal razón se define el concepto de rendimiento como el cuociente entre la engría útil o aprovechada y la energía total o suministrada. 28 . r = 8m y θ = 0 . como F = 120 N . Solución Al representar la situación planteada mediante un simple esquema. se llama motor. se tiene algo como indica la figura r F = 120 N X r F = 120 N F Í S I C A X 8m El problema corresponde al caso más elemental y directo en el cálculo del trabajo mecánico ya que consiste en aplicar directamente la definición. o sea: W = 960 J Como el trabajo resulto positivo.M E C Á N I C A Problemas resueltos – Trabajo y Energía Problema 1 Determinar el trabajo realizado por una fuerza constante de 120N paralela al eje X y que experimenta un desplazamiento de 8m. se tiene que: W = 120 N ⋅ 8m ⋅ cos 0 . es decir: W = F ⋅ r ⋅ cosθ . en este caso. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de 120N? r F = 120 N 30º Solución: En este caso la solución también consiste en la aplicación directa de la definición de trabajo. y por tanto: F Í S I C A W = F ⋅ r ⋅ cosθ = 120 N ⋅ 8m ⋅ cos 30º Multiplicando resulta: W = 831.M E C Á N I C A Problema 2 Un cuerpo es desplazado una distancia de 8 metros por una fuerza de 120N que actúa a un ángulo de 30º tal como indica la figura. 29 .384 J Problema 3 ¿Cuál es el trabajo realizado para elevar un cuerpo de 24kg a una altura de 1.4 m Solución: Para calcular el trabajo es necesario conocer la fuerza.4 metros a velocidad constante? 1. la única diferencia es que la fuerza forma un ángulo 30º respecto a la horizontal. y por lo tanto hay que calcular el valor de la fuerza F . el valor del desplazamiento y el ángulo que forman el vector fuerza y el vector desplazamiento. se conoce el valor del desplazamiento 1.4 metros y el valor del ángulo entre la fuerza y el r desplazamiento 0º. En primer lugar se dibuja el diagrama de cuerpo libre.2 N ⋅ 1. se tiene: W = 235.2 N Conocido el valor de la fuerza.4m ⋅ cos 0º 30 . podemos calcular el trabajo realizado sobre el cuerpo al levantarlo 1.2 N Como el cuerpo es levantado a velocidad constante. esto es: W = F ⋅ r ⋅ cos θ Reemplazando valores correspondientes. esto es: F Í S I C A M E C Á N I C A y F v =cte x mg = 235.4 metros. significa que no hay aceleración y por lo tanto la sumatoria de fuerzas es igual a cero. es decir: ∑F = 0 Eje x: no existen fuerzas Eje y: F − mg = 0 Despejando F resulta: F = mg Reemplazando el valor para mg : F = 235. 322m 4410 N Recuerde que J = N ⋅m 31 . corresponde a su propio peso. ¿A qué altura se eleva la viga? Solución: Considerando que la fuerza necesaria para elevar la viga.6 J.8 m = 4410 N s2 Solo hay que aplicar la fórmula de trabajo mecánico y despejar el desplazamiento. que en este caso corresponde a la altura.Multiplicando resulta: F Í S I C A M E C Á N I C A W = 329. la fuerza que se debe aplicar corresponde mínimo al peso del cuerpo.28 J Trabajo realizado para levantar el cuerpo de 24 kg a una altura de 1. W = F ⋅ r ⋅ cos θ = F ⋅ h ⋅ cos 0º = F ⋅ h Ya que cos 0º = 1 Despejando h resulta: W =h F Reemplazando valores y dividiendo resulta que: h= 1420. Observación: Otra forma de haber razonado el problema es haberse dado cuenta que para levantar un cuerpo. es decir: F = mg = 450kg ⋅ 9.6 Nm = 0. y sólo haber calculado el trabajo realizado. Problema 4 Para elevar una viga en T de 450 kg se requiere un trabajo de 1420.4 metros. demorando un tiempo de 14 segundos. es posible calcular la potencia desarrollada en el proceso. el desplazamiento es de 60 metros y el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es de 0º. se calculará el trabajo realizado. la fuerza corresponde al peso del cuerpo ( m ⋅ g ). por lo tanto se tiene que: W = m ⋅ g ⋅ r ⋅ cos 0º = m ⋅ g ⋅ r Ya que cos 0º = 1 Reemplazando valores correspondientes resulta: W = 85kg ⋅ 9. es decir: Recuerde que J = watt (o vatio) s 32 . como se conoce el tiempo (14 segundos).Problema 5 F Í S I C A M E C Á N I C A Un cuerpo de 85 kg es elevado una altura de 60 metros.8 m ⋅ 60m s2 Multiplicando resulta: W = 49980 J Como ahora se conoce el trabajo. Solución: W . Calcular la potencia requerida para el proceso. se necesita conocer el t trabajo realizado y el tiempo empleado en realizarlo. esto es: La potencia se determina aplicando la formula P = W = F ⋅ r ⋅ cos θ Como se vio en el ejercicio anterior. es decir. Problema 6 M E C Á N I C A Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s. expresar la potencia empleada en: a) W. Solución: Este ejercicio puede ser resuelto de la misma forma que el ejercicio anterior.410 HP 33 . b) cv y c) HP. se desglosará la formula de potencia y se reemplazaran los datos en forma inmediata: P= W F ⋅ r ⋅ cos θ mg ⋅ h ⋅ cos θ = = = t t t m ⋅ 15m ⋅ cos 0º s2 10 s 2000kg ⋅ 9. pero en esta ocasión.946cv ÷ 746 P ≅ 39.8 F Í S I C A Multiplicando y dividiendo resulta: P = 29400W ÷ 736 P ≅ 39. por lo tanto como hay 40 m3 de agua. Se sabe que 1m3 de agua = 1000 litros de agua y que 1 litro de agua = 1 kg de agua. lo primero es trasformar los metros cúbicos de agua en kilogramos de agua. ¿Cuál es la potencia de la bomba en kilo watt? F Í S I C A M E C Á N I C A Bomba h Solución: En este caso se debe pensar que el cuerpo a levantar es agua y por lo tanto se desarrolla de igual manera que el ejercicio anterior.544 KWatt 34 .8 3600s m 5m s2 Porque 1 hora son 3600 segundos Multiplicando y dividiendo: W = 544.Problema 7 Una bomba transporta en una hora 40 m3 de agua desde una profundidad de 5 metros.444 Watt = 0. La potencia desarrollada por la bomba corresponde a: P= W F ⋅ r ⋅ cos θ F ⋅ h ⋅ cos 0º F ⋅ h mg ⋅ h = = = = t t t t t Reemplazando los valores correspondientes resulta: W= 40000kg ⋅ 9. corresponde a 40000 litros de agua que equivalen a 40000 kg de agua. 8 m 18m = 352800 J s2 Entonces el tiempo resulta: t= 35280 J J 8832 s Dividiendo y cancelando los joules se obtiene el tiempo buscado. ¿cuál es el tiempo empleado? Solución: J ).946s 35 . es t decir: La información del problema entrega la potencia ( 12CV = 8832W = 8832 t= W P Como el trabajo es W = F ⋅ r ⋅ cos θ = F ⋅ r ⋅ cos 0º = F ⋅ r = mg ⋅ h = 2000kg ⋅ 9. Según la W información anterior. la masa del s cuerpo (2000 kg) y la altura (18 m) a la cual se debe elevar el cuerpo.Problema 8 F Í S I C A M E C Á N I C A Un motor de 12 cv es capaz de levantar un bulto de 2000 kg hasta 18 m. el tiempo se puede obtener despejando t de la formula P = . t = 39. Problema 9 M E C Á N I C A Un cuerpo de 150 g de masa se lanza hacia arriba con velocidad inicial de 400 m/s. ¿cuál será su energía potencial si pesa 780 N? Solución: La energía potencial gravitatoria queda determinada por: U P = mg ⋅ h Donde mg representa el peso del cuerpo y h representa la altura en que se encuentra respecto a la superficie de la tierra u otra superficie indicada. En este caso. calcular: a) La energía cinética inicial. por lo tanto basta con reemplazar los valores para la masa y la velocidad. es decir: Uk = 1 m2 0. por lo tanto hay que reemplazar valores y luego multiplicar: U P = 780 N ⋅ 1800m U P = 1404000 J 36 . se conocen todos los datos. Solución: La energía cinética de un cuerpo queda determinada por la formula: Uk = 1 m ⋅ v2 2 La información del problema entrega todos los datos.15kg ⋅ 400 2 2 2 s F Í S I C A Multiplicando: U k = 12000 J Recuerde que kg ⋅ m = N y N ⋅m = J s2 Problema 10 Una persona sube una montaña hasta 1800 m de altura. 492 m s 37 .Problema 11 F Í S I C A M E C Á N I C A Un cuerpo de 40 kg de masa posee una energía cinética de 4800 J ¿Cuál es el valor de la velocidad del movimiento? Solución: Como la energía cinética de un cuerpo queda determinada por: Uk = 1 m ⋅ v2 2 Corresponde despejar la velocidad v .492 = v 40kg s s 2 ⋅ 4800kg ⋅ Es decir el valor de la velocidad del cuerpo de 40 kg es de 15. esto es: 2 ⋅U k = v 2 Aplicando raíz cuadrada resulta m 2 ⋅U k =v m Reemplazando los valores correspondientes se tiene el valor buscado: 2 ⋅ 4800 J = 40kg 2 ⋅ 4800 N ⋅ m = 40kg m ⋅m m2 m s2 = 240 2 = 15. es decir: W = cos θ F ⋅s Donde: F= s= (Fx )2 + (Fy )2 (s x )2 + (s y )2 = = (6)2 + (− 2)2 (3)2 + (1)2 = 36 + 4 = 40 ( N ) = 9 + 1 = 10 (m) W = 16 (J) Entonces se tiene que: 38 . se tiene que: W = F ⋅ s cosθ (1) r r W = F •s (2) F Í S I C A Utilizando esta última expresión (2) se tiene: ( )( ) W = 6iˆ − 2 ˆj • 3iˆ + ˆj ⇒ W = 6iˆ • 3iˆ + 2 jˆ • jˆ (Nm ) ⇒ W = 18 − 2 (J ) ⇒ W = 16(J ) El ángulo entre ellos queda determinado despejando el cos θ de la ecuación (1). Encuentre: (a) el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula. (b) el M E C Á N I C A ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento s. Solución Datos: r F = 6iˆ − 2 ˆj (N) r s = 3iˆ + ˆj (m) Según el concepto de trabajo mecánico.Problema 12 r Una fuerza F = 6iˆ − 2 ˆj N actúa sobre una partícula que experimenta un desplazamiento r s = 3iˆ + ˆj m. 39 .0 cm desde su posición no F Í S I C A deformada. X=0 F = 50 (N) 12 cm Solución 13 (a) Datos: F = 50 N x = 12 cm Si el resorte cumple con la ley de Hooke.16( J ) M E C Á N I C A cos θ = 40 ( N ) ⋅ 10 ( m) 16( J/ ) ⇒ cos θ = 400 ( J/ ) 16( J/ ) ⇒ cos θ = 20( J/ ) ⎛ 16 ⎞ ⇒ θ = cos −1 ⎜ ⎟ ⎝ 20 ⎠ ⇒ θ = 36.0 N cuando lo extendemos moviendo un extremo 12. (b) el trabajo realizado para extender el resorte 12 cm. (a) Encuentre la constante de elasticidad del resorte. entonces la relación entre la magnitud de la r fuerza F y la longitud deformada x es: F = k⋅x Donde k es la constante de restitución o constante elástica del resorte.870° Problema 13 La fuerza requerida para alargar un resorte que cumple la ley de Hooke varía de cero a 50. el trabajo realizado sobre el resorte es: W= 1 ⋅ 416.12[m] Realizando la operación se obtiene finalmente el valor de k.12[m] porque 12[cm] = 0. esto es: ⎡N ⎤ k = 416. por lo tanto despejando k de la ecuación anterior resulta: F =k x Donde la fuerza F corresponde a los 50[N ] necesarios para deformarlo desde su posición de equilibrio hasta una longitud de x = 12[cm] Reemplazando estos valores se tiene: k= 50[N ] 0.667 ⎢ ⎥ ⎣m⎦ Solución 13 (b): El trabajo realizado sobre el resorte para extenderlo una distancia x esta dado por la expresión 1 W = kx 2 2 Luego.12 2 (m 2/ ) 2 ⇒ W = 3(J ) 40 .667(N / m/ ) ⋅ 0.F Í S I C A M E C Á N I C A En este problema se pide calcular la constante del resorte. 00 cm.(b) Suponga que la fuerza de fricción es F Í S I C A una distancia de 4.00 g y una velocidad de 600 m/s penetra un árbol hasta M E C Á N I C A de fricción promedio que detiene la bala.Problema 14 Una bala con una masa de 5. (a) Utilice consideraciones de energía para encontrar la fuerza vi=600 m/s vf=0 constante y determine cuanto tiempo transcurre entre el momento en que la bala entra en el árbol y el momento en que se detiene. Solución 14 (a) El sistema es no conservativo por lo tanto: ⇒ U inicial ( Instante de limpacto ) = U final ( bala det enida ) ⇒ (U K + U PG )inicial = (U K + U PG )final + Wroce Como la energía potencial gravitatoria es la misma antes y después del choque. la ecuación anterior se reduce a: (U ) K inicial = (U K ) final + Wroce Como la bala se detiene. luego se tiene que: (U ) K inicial = Wroce (1) 41 . por lo tanto (Uk)final = 0. 08(m /) ⇒ f = 22500(kg ⋅ m / s 2 ) ⇒ f = 22500( N ) 42 .04(m) ⇒ f = 0.005(kg ) ⋅ [600(m / s )] 2 ⋅ 0. se tiene: 1 2 mv1 = f ⋅ d 2 Despejando f resulta: F Í S I C A 2 1 mv1 = f 2 d Reemplazando los valores dados resulta : ⇒ f = 0.08(m) 2 1800(kg ⋅ m 2/ / s 2 ) ⇒ f = 0.005(kg ) ⋅ 360000(m 2 / s 2 ) 0.Donde: 1 2 mv1 2 W = f ⋅d M E C Á N I C A UK = Siendo: m: masa de la bala v1:módulo de velocidad inicial de la bala f: fuerza de roce d: distancia que recorre la bala en el árbol Reemplazando en la ecuación (1). se tiene: mv i f 0. aplicando la segunda Ley de Newton. luego ⎛−v ⎞ − f = m ⋅ ⎜ i ⎟ / ⋅ (-1) ⎝ t ⎠ mv i ⇒ f = t Despejando el tiempo t. y reemplazando los valores. se tiene: − f =m⋅ v f − vi t Pero vf = 0. porque la bala se detiene.Solución problema 14 (b): F Í S I C A M E C Á N I C A Para este caso la única fuerza que detiene a la bala es la fuerza de fricción por lo tanto.005(kg/ ) ⋅ 600(m/ / s ) ⇒t = 22500(k/ gm/ / s 2/ ) t= ⇒ t = 1.333 × 10 − 4 (s ) 43 . se tiene: ∑F x = m ⋅ ax ⇒− f = m⋅a (2) Donde: f: fuerza de roce (N) m: masa de la bala (kg) a: desaceleración de la bala (m/s2) Por cinemática de la partícula a = v f − vi t reemplazando en la ecuación (2). determine el trabajo extra necesario para F Í S I C A M E C Á N I C A extenderlo 10.00 J de trabajo para alargar 10.0 cm adicionales. X=0 F F 10 cm 20 cm Solución Datos: W = 4 (J) x0 = 10 cm x = 20 cm El trabajo realizado sobre un resorte para deformarlo desde la posición x0 hasta la posición x queda determinado por: W = ( 1 2 k x 2 − x0 2 ) (1) En este caso se necesita la constante k y como conocemos el trabajo para deformar 10 cm el resorte.0 cm un resorte que cumple con la ley de Hooke a partir de su longitud no deformada.Problema 15 Si se necesitan 4. se tiene que: 44 . 1 W = kx 2 2 ⇒ 2W = kx 2 2W =k x2 2 ⋅ 4.00(N ⋅ m ) ⇒k = [0.2 2 − 0.12 (m 2/ ) 2 ⇒ W = 12(J ) 45 . se tiene: ( ) 1 W = 800(N / m/ ) 0.01(m 2/ ) F Í S I C A M E C Á N I C A ⇒ ⇒ k = 800(N / m ) Conocida la constante k es posible determinar el trabajo adicional para extender el resorte otros 10 cm.1(m )]2 8.00(N ⋅ m/ ) ⇒k = 0. Utilizando la ecuación (1) y reemplazando los valores. el auto se mueve 25 m. m = 2500 kg. es decir: W = ΔU K 1 1 2 2 mv f − mvi 2 2 1 2 2 ⇒ W = m v f − v/ i pero v i = 0 2 1 2 ⇒ W = mv f (1) 2 ⇒W = ( ) Despejando de la ecuación (1) la velocidad final y reemplazando valores numéricos. el trabajo W = 5000 J realizado por el mecánico y la masa del automóvil.0 m Como son conocido. ya que el trabajo realizado por una fuerza produce un cambio en la energía cinética.F Í S I C A M E C Á N I C A Problema 16 Un mecánico empuja un auto de 2500 kg desde el reposo hasta una velocidad vf efectuando 5000 J de trabajo en el proceso. y encuentre: (a) ¿Cuál es la velocidad final vf del auto? (b) ¿Cuál es el valor de la fuerza horizontal ejercida sobre el auto? vi = 0 Vf =? 25 m Solución 16 (a): Datos: W = 5000 J m = 2500 kg d = 25. Durante este tiempo. Se puede calcular la velocidad vf. se tiene: 46 . Ignore la fricción entre el auto y el camino. F Í S I C A M E C Á N I C A vf = 2W m ⇒ vf = kg ⋅ m 2 ⋅ 5000( / 2 ⋅ m ) s 2500(kg/ ) m2 ) s2 2500 10000( ⇒ vf = ⇒ v f = 4(m 2 / s 2 ) ⇒ v f = 2(m / s ) Solución 16 (b): El módulo de la fuerza aplicada sobre el automóvil se obtiene de la definición de trabajo debido a una fuerza constante. es decir: W = F ⋅ d ⋅ cosθ pero θ = 0° ⇒ cos 0° = 1 ⇒ W = F ⋅d Despejando F y reemplazando valores numéricos. se tiene: F= W d ⇒F = 5000(Nm/ ) 25(m/ ) ⇒ F = 200(N ) 47 . (c) el cambio en la energía cinética de la caja. Solución: Datos: F = 130 (N) m = 40 (kg) μ = 0. entonces forman un ángulo θ = 0°.0( m ) ⇒ W = 650( J ) 48 .30 s = 5. encuentre: (a)el trabajo realizado por la fuerza aplicada. se tiene: W = 130( N ) ⋅ 5.M E C Á N I C A Problema 17 Una caja de 40 kg inicialmente en reposo se empuja 5. (b) la energía cinética perdida por la fricción.00 (m) vi = 0 Para este problema es conveniente hacer un esquema simple como el que indica la figura siguiente F Í S I C A N V0 = 0 F= 130 N Vf = ? F= 130 N 40 kg 5.0 m 40 kg f W = mg Solución 17 (a): El trabajo realizado por la fuerza constante queda determinado por W = F ⋅ s cos θ (1) Como la fuerza y el desplazamiento son horizontales.30.0 m por un piso rugoso horizontal con una fuerza aplicada constante horizontal de 130 N. por lo tanto la ecuación (1) queda: W = F ⋅s Reemplazando los valores para F y s. Si el coeficiente de fricción entre la caja y el piso es 0. es decir: ΔU K = U final − U inicial 1 1 2 2 mv f − mvi 2 2 1 2 2 ⇒ ΔU K = m v f − v/ i . por lo tanto.F Í S I C A M E C Á N I C A Solución 17 (b): La energía cinética perdida corresponde al trabajo realizado por la fuerza de fricción. f = μN luego. calcularemos su valor. Solución 17 (c): El cambio en la energía cinética corresponde a la variación ΔUK. pero vi = 0 2 1 2 ⇒ ΔU K = mv f (1) 2 Para esto se observa que se necesita la velocidad final de la caja. por definición de fuerza de roce. r r Aplicando el segundo principio de Newton que expresa ∑ F = ma . es decir: U roce = Wroce = f ⋅ d Donde: f: fuerza de roce (N) d: distancia recorrida (m) Pero. se tiene: U roce = μ ⋅ N ⋅ d Por otro lado se tiene que N = m ⋅ g Entonces U roce = μ ⋅ m ⋅ g ⋅ d ⇒ U roce = 0.3 ⋅ 40(kg ) ⋅ 9.8(m / s 2 ) ⋅ 5(m ) ⇒ U roce = 588(J ) Por lo tanto la energía perdida por el roce es de 588 (J). se tiene que: Eje X: ∑F x = ma ⇒ F − f = ma pero f = μN ⇒ F − μN = ma (2) 49 . y observando el ⇒ ΔU K = ( ) diagrama de cuerpo libre. 8(m / s )]⋅ 2 ⋅ 5(m) = v 2 40(kg ) f 124( Nm) = vf 40(kg ) ⇒ 3. es decir.761(m / s ) = v f velocidad de la caja a los 5 metros de recorrido Reemplazando este valor en la ecuación (1) se obtiene la variación de la energía cinética de la caja.1(m 2 / s 2 ) = v f ⇒ 3.30 ⋅ 40(kg ) ⋅ 9.7612 (m 2 / s 2 ) 2 ΔU K = 62(J ) 50 . despejando v f ⎟ ⎠ ⇒ (F − μmg ) ⋅ 2d = m ⋅ v f ⇒ 2d 2 2 2 = vf Reemplazando los valores numéricos resulta: ⇒ ⇒ [130( N ) − 0.1(m / s ) = 1.Eje Y: ∑F y =0 F Í S I C A M E C Á N I C A ⇒ N − mg = 0 ⇒ N = mg (3) Reemplazando la ecuación (3) en ecuación (2) se obtiene: v f − vi 2 F − μmg = ma pero a = ⎛vf ⇒ F − μmg = m ⋅ ⎜ ⎜ 2d ⎝ 2 ⇒ (F − μmg ) ⋅ 2d m = vf (F − μmg ) ⋅ 2d m y vi = 0 ⇒ a = vf 2 2d ⎞ ⎟. 1 ΔU K = ⋅ 40(kg ) ⋅ 1. 6)(N ) ⋅ 5(m ) ⇒ ΔU K = 12. entonces cos 0°=1 Luego ΔU K = Wtotal = R x ⋅ s ⇒ ΔU K = Wtotal = (F − μN ) ⋅ s ⇒ ΔU K = (F − μmg ) ⋅ s ⇒ ΔU K = (130 − 0.8)(N ) ⋅ 5(m ) ⇒ ΔU K = (130 − 117.Otra forma de obtener este valor. es decir. es pensar que la variación de la energía cinética corresponde al trabajo total realizado sobre el cuerpo.3 ⋅ 40 ⋅ 9.4(N ) ⋅ 5(m ) ⇒ ΔU K = 62(J ) 51 . Entonces: F Í S I C A M E C Á N I C A ΔU K = Wtotal = R x ⋅ s ⋅ cosθ Tanto la resultante Rx como el desplazamiento s son horizontales. por lo tanto θ = 0º. trabajo realizado por la resultante de las fuerzas Rx. se tiene: 700(N ) ⋅ 10(m ) 8. por lo tanto hay que aplicar directamente el concepto de potencia.00(s ) 7000(J ) ⇒P = 8. ¿Cuál es la potencia de subida? M E C Á N I C A Solución 18 Datos: mg = 700 N h = 10 m t = 8.00 s. es decir: P= W t pero W = F ⋅ d = m ⋅ g ⋅ h Por lo tanto: P= m ⋅g ⋅h t Reemplazando valores numéricos. en un entrenamiento básico sube por una cuerda vertical de 10 m a una velocidad constante en 8.Problema 18 Un marino de 700 N de peso.00 s h = 10 m F Í S I C A mg = 700 N El problema pide determinar la potencia desarrollada por el marino durante su entrenamiento.00(s ) P= ⇒ P = 875(W ) 52 . Para esto se conoce su peso de 700 N que tiene que levantar 10 m de altura a la velocidad constante en el tiempo de 8 s. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es μc. luego su energía cinética es cero. como se puede ver en la figura. Considerando lo anterior. por lo tanto tampoco hay energía cinética.vi = 0 θ h vf= 0 ymax M E C Á N I C A F Í S I C A Problema 19 Un bloque se desliza hacia abajo por una pista curva sin fricción y después sube por un plano inclinado. Entonces se tiene sólo energía potencial gravitatoria. se tiene que: ⇒ (U PG )inicial = (U PG )final + Wroce ⇒ m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y max + f ⋅ d ⇒ m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y max + μ c ⋅ N ⋅ d (1) la fuerza normal N es posible obtenerla trabajando una sumatoria de fuerzas en el eje Y. Al final el cuerpo termina con velocidad cero. es decir: 53 . se cumple que: U inicial = U final + Wroce ⇒ (U K + U PG )inicial = (U K + U PG ) final + Wroce El bloque no es lanzado por lo tanto al inicio su velocidad es cero. Con métodos de energía demuestre que la altura máxima alcanzada por el bloque es: h y max = 1 + μ c cot θ Solución El sistema desde su inicio hasta su fin es no conservativo por lo tanto. cot θ = cosθ se tiene: senθ 54 .(1) se obtiene: m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ y max + μ c ⋅ m ⋅ g ⋅ cosθ ⋅ ⇒ h = y max + μ c ⋅ cosθ ⋅ y max senθ / ÷ (m ⋅ g) y max senθ Aplicando la identidad trigonométrica.F Í S I C A N f θ mg θ M E C Á N I C A Y N − m ⋅ g ⋅ cosθ = 0 Despejando N se obtiene: N = m ⋅ g ⋅ cosθ (2) La distancia d recorrida sobre el plano inclinado se puede obtener utilizando la razón seno ya que senθ = y max d Despejando d resulta: d= y max senθ (3) Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en Ec. h = y max + μ c ⋅ y max ⋅ cotθ ⇒ y max = finalmente despejando y max se tiene h (1 + μ c ⋅ cot θ ) F Í S I C A M E C Á N I C A ⇒ h = y max (1 + μ c ⋅ cot θ ) factorizando por y max 55 . 00 m M E C Á N I C A Problema 20 En la figura se ve un bloque de 10.00 m Utilizando concepto de energía y considerando la presencia de un resorte ideal.00 m F Í S I C A Solución N vf = 0 f B mg C 6. entonces vi = 0. la energía cinética inicial es cero UK = 0. en ese instante se tiene que la energía cinética final UK = 0 y la energía potencial gravitatoria UGP = 0.A 3. golpea un resorte ideal de constante elástica k = 2250 N/m y lo comprime 0.0 kg que se suelta desde el punto A. Luego la ecuación anterior queda: 56 . El bloque se mueve hacia abajo por la pista.30 m a partir de su posición de equilibrio antes de quedar momentáneamente en reposo. Al inicio el cuerpo es soltado en A. es decir. por lo tanto. B C 6.00 m vi = 0 A 3. Por otra parte al llegar al resorte el cuerpo pierde toda la altura y además se detiene momentáneamente.00 m de longitud. se tiene que: U inicial = U final + Wroce ⇒ (U K + U PG )inicial = (U K + U PG + U PE )final + Wroce (1) Ya que durante el recorrido existe roce en el tramo BC. Determine el coeficiente de fricción cinético entre la superficie BC y el bloque. La pista no ofrece fricción excepto en la parte BC de 6. 5(J ) 192.0(m ) ⇒μ= 294(J ) − 101.0(kg ) ⋅ 9. 2 1 ⇒ m ⋅g ⋅h − k ⋅ x2 = μ ⋅m ⋅g ⋅d 2 1 m ⋅g ⋅h − k ⋅x2 2 ⇒ =μ m ⋅g ⋅d Reemplazando los valores numéricos se tiene: 1 10.8(m / s 2 ) ⋅ 3.(U PG )inicial = (U PE )final + Wroce F Í S I C A M E C Á N I C A 1 ⇒ m ⋅g ⋅h = k ⋅ x2 + f ⋅d 2 pero f = μN y N = m ⋅ g 1 ⇒ m ⋅ g ⋅ h = k ⋅ x 2 + μ ⋅ m ⋅ g ⋅ d depejando μ .3 2 (m 2/ ) 2 μ= 10.75(J/ ) = 588(J ) 588(J/ ) ⇒ μ = 0.328 57 .00(m ) − ⋅ 2250(N / m/ ) ⋅ 0.8(m / s 2 ) ⋅ 6.0(kg ) ⋅ 9. 0 0 d kg vf = 0 F Í S I C A 37° h M E C Á N I C A se suelta desde el reposo cuando el resorte no esta deformado. k = 100 N/m vi = 2 . Luego el cuerpo debido a su posición posee sólo energía potencial gravitatoria. y además la posición de acuerdo a su altura es cero.00 kg situado sobre una pendiente rugosa se conecta a un resorte ideal de masa despreciable que tiene una constante elástica de 100 N/m.0 cm hacia debajo de la pendiente antes de detenerse.0 cm.Problema 21 Un bloque de 2. El bloque fricción. 58 . y la polea no presenta Solución Utilizando concepto de energía y trabajo. se tiene que: U inicial = U final + Wroce ⇒ (U K + U PG + U E )inicial = (U K + U PG + U PE )final + Wroce (1) Al inicio el cuerpo se suelta del reposo y el resorte se encuentra en su posición de equilibrio. El bloque se mueve 20. En su posición final se tiene que el cuerpo termina en reposo y el resorte se encuentra estirado una distancia de 20. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente. ver figura. por lo tanto aquí sólo se tiene energía potencial elástica. por lo tanto el cuerpo en ese instante no posee energía cinética y el resorte no almacena energía potencial elástica. y considerando la presencia de un resorte ideal. Considerando lo anterior. aplicando la razón senθ = m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d d 1 m ⋅ g ⋅ d ⋅ senθ − k ⋅ x 2 2 ⇒ =μ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d y h = d ⋅ senθ separando en fracciónes 59 . se tiene entonces que la ecuación (1) se expresa por: F Í S I C A M E C Á N I C A ⇒ (U PG )inicial = (U PE ) final + Wroce es decir. ⇒ m⋅g⋅h = 1 k ⋅ x2 + f ⋅ d 2 ⇒ m⋅g⋅h = 1 k ⋅ x2 + μ ⋅ N ⋅ d 2 ⇒ m⋅g⋅h = 1 k ⋅ x 2 + μ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d 2 pero f = μ ⋅ N y N = m ⋅ g ⋅ cos θ 1 ⇒ m ⋅ g ⋅ h − k ⋅ x 2 = μ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d despejando μ resulta 2 1 m ⋅ g ⋅ h − k ⋅ x2 h 2 ⇒ = μ pero. 1 F Í S I C A M E C Á N I C A ⇒ μ = ⇒ μ = m ⋅ g ⋅ d ⋅ senθ m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d senθ cos θ ⇒ μ = tg θ − − − 2 m ⋅ g ⋅ cos θ ⋅ d 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ d ⋅ cos θ 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ d ⋅ cos θ ⇒ μ = tg 37° − simplificado kx 2 kx 2 ⇒ μ = tg 37° − k ⋅x reemplazando valores numéricos 100(N / m ) ⋅ 0.2(m ) ⋅ cos 37° 4(J ) 6.20 2 (m 2 ) 2 ⋅ 2(kg ) ⋅ 9.261(J ) = tg 37° − 0.639 ⇒ μ = 0.8(m / s 2 ) ⋅ 0.115 Y N f 37° mgcos37° mg 60 . situado a una altura de 25 m.90 t = 1 h 40 min = 6000 s VH 2O = ? El rendimiento de una máquina se define como: η= Pútil Ptotal (1) W t (2) Pero Pútil = Donde W = m ⋅g ⋅h (3) Reemplazando ecuación (3) en (2) se tiene: 61 . ¿Cuál es la capacidad que debe tener el depósito? h = 25 m DEPOSITO MOTOR BOMBA Solución Datos: h = 25 m P = 10 CV= 10[CV/ ] ⋅ 736[W ] = 7360[W ] 1[CV/ ] η = 90%= 0.F Í S I C A M E C Á N I C A Problema 22 Se requiere llenar un depósito de agua. El tiempo que emplea el motor en elevar el agua es de 1h 40 min. Para ello se utiliza un motor de 10 CV. con un rendimiento del 90%. 8(m / s 2 ) ⋅ 25(m) ⇒ m = 162.220.408(kg ) Luego.Pútil = W m ⋅g ⋅h = t t (4) M E C Á N I C A Por último reemplazando (4) en la ecuación (1) y despejando m.220. es decir: VH 2O = 162.408(kg ) 1000(kg / m 3 ) ⇒ VH 2O = 162. Entonces el volumen de agua será: ρ= m m ⇒ V= V ρ Donde ρ es la densidad del agua (ρ=1000 kg/m3) Por lo tanto.90 ⋅ 6000( s ) ⋅ 7360(W ) 9. la cantidad de masa impulsada por el motor a la altura de 25 m es de 162.220408(m 3 ) 62 . resulta: m⋅ g ⋅h m⋅ g ⋅h t = η= Ptotal t ⋅ Ptotal ⇒η = ⇒ ⇒ η⋅ g ⋅h = m t ⋅ Ptotal η ⋅ t ⋅ Ptotal g ⋅h =m Reemplazando valores numéricos: m= F Í S I C A m⋅ g ⋅h t ⋅ Ptotal 0.408 kg. la capacidad del depósito es igual al volumen de agua impulsada.220. 4 se aplica una fuerza horizontal de 150N (Usar g =9. del cuerpo a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) b) c) d) 2. realizado por la fuerza cuando el cuerpo se ha desplazado 10 m.Problemas Propuestos – Trabajo y Energía F Í S I C A M E C Á N I C A Las preguntas de la 1 a la 5 se refieren al siguiente enunciado Sobre una cuerpo en reposo de 20Kg.52 Figura 1 F = 150 N 4) La energía.32 0.8 m/s2).46 3) La energía cinética. del cuerpo a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) b) c) d) 570. que se puede desplazar sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento cinético vale 0. en Joule.22 8. en CV.26 0.72 784.85 715.26 667.86 63 . es aproximadamente: a) 1500 b) 1760 c) 2000 d) 1960 2) La velocidad en m/s. en Joule.34 5. que ha desarrollado la fuerza F en el proceso es aproximadamente: a) b) c) d) 0.95 3. consumida por el roce es aproximadamente: a) b) c) d) 574 784 806 960 10 m 5) La potencia media. Figura 1 1) El trabajo en Joule.63 0. ¿Cuál es el trabajo. La potencia del motor en Watt es aproximadamente: a) 90 b) 150 c) 180 d) 540 9) Un móvil de 3 Kg. en KWH realizado por el motor? a) 0. en joule. 11. Su energía cinética inicial. se mueve a 4 m/seg. que se puede desplazar sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento cinético vale 0.. 12. Frena y se detiene en 4 seg. 13. y 14 se refieren al siguiente enunciado: Sobre una cuerpo en reposo de 10Kg.1 b) 1. es: a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 Las preguntas 10.M E C Á N I C A F Í S I C A 6) ¿Cuánto vale el trabajo realizado al levantar un objeto que pesa 50 N a 20 m respecto del suelo? a) 781 J b) 890 J c) 987 J d) 1000 J 7) Un motor con una potencia P = 50 KW acciona un vehículo durante 2 horas.0 c) 10 d) 100 8) Un motor realiza un trabajo de 27000 Joule en 5 minutos.32 se aplica una fuerza de 600N a un ángulo de 20º tal como indica la figura 2 F = 600 N Figura 2 20° 10 m 64 . en m/s a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) b) c) d) 18.2 c) 18.7 6844.3 13) La energía en Joule.5 65 .3 11) La velocidad del cuerpo.2 c) 970. consumida por el roce en los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) 691.2 6243.6 5638.5 b) 6781.4 14) La potencia media en CV.2 c) 7244.7 b) 13.3 d) 1020.55 12) La energía cinética en Joule.7 b) 749.38 28.46 24.35 30.7 d) 21. Es aproximadamente: a) b) c) d) 4500.6 d) 7849.F Í S I C A M E C Á N I C A 10) El trabajo en Joule realizado por la fuerza cuando el cuerpo se ha desplazado 10 m. del cuerpo a los 10 m de recorrido es aproximadamente: a) 4666. aproximada que ha desarrollado la fuerza F en el proceso es: a) 11. 03 b) 15. desarrollada por el motor del carro es: a) 13.82 El carro de la figura sube por un camino de 6º de inclinación con una rapidez constante de 40 km/h.85 d) 30. Figura 3 Figura 3 6º 17) La potencia media en HP.46 c) 907407. en HP desarrollada por el motor durante el proceso es aproximadamente: a) 59.Las preguntas 15 y 16 se refieren al siguiente enunciado: M E C Á N I C A 15) La energía cinética del automóvil.44 16) La potencia media.05 b) 790123.41 d) 980476. Despreciar las fuerzas de fricción. la masa del carro es de 1000 Kg.84 66 .26 c) 22.05 c) 184.90 d) 211.24 b) 152. Las preguntas 17 y 18 se refieren al siguiente enunciado: a) 1382716. en Joule a los 8 segundos es aproximadamente: F Í S I C A Un anuncio publicitario dice que un automóvil de 1200 kg puede acelerar desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 140 km/h en 8 segundos. 8 20) El trabajo. realizado por la fuerza de roce en la parte horizontal de 6m es aproximadamente: a) b) c) d) – 13. para ello se utiliza un esquema como el que muestra la figura.56 d) 874566. del cuerpo en el punto A es aproximadamente: a) b) c) d) 202.20 – 105. 21.5 405.4 882.a) 33256.88.84 67 . en Joule.0 940.43 Las preguntas 19.54 b) 56909.3. en joule.72 – 49. 20.00 .94 c) 667284. El cuerpo de 6 Kg tiene una velocidad de 8 m/s en el punto A y en el trayecto recto de 6m de longitud existe un coeficiente de roce cinético 0. (Figura 4) Figura 4 F Í S I C A M E C Á N I C A 18) El trabajo efectuado por el motor del carro. 22 y 23 se refieren al siguiente enunciado: Se quiere probar un amortiguador de resorte ideal. en 5 segundos es aproximadamente: 6m 19) La energía potencial gravitatoria. La constante elástica del resorte es de 5200 N/m. en Joule. Para ello se emplea una bomba de 90% de rendimiento.921 c) 19.2 Bomba Motor 25) La altura aproximada.42 c) 0.125 c) 16.8 m/s2) 24) La potencia en Watt.7 68 . 25 y 26 se refieren al siguiente enunciado: Se quiere llenar un depósito de 30 m 3 de capacidad elevando el agua a una altura desconocida.4 c) 1961. en metros.964 b) 18. del resorte es aproximadamente: a) 0. a la cual se ha elevado el agua es: a) 19.63 d) 0.5 b) 20.101 d) 22.28m es aproximadamente: a) 12.30 b) 0.F Í S I C A M E C Á N I C A 21) La velocidad. del cuerpo. del cuerpo cuando el resorte se ha comprimido 0. en m/s.7 c) 23. aproximada que entrega el motor a la bomba es: a) 1240.3 d) 2355.895 22) La máxima compresión. en metros. justo antes de chocar con el resorte es aproximadamente: a) 17.6 d) 28. (Usar g = 9. accionada por un motor de 4 cv que tiene un rendimiento de 80%.65 23) La velocidad en m/s.893 d) 15. El tiempo total de trabajo es de 45 minutos.962 Las preguntas 24.3 b) 1626.521 b) 14. en kilo Joule.2 Respuesta a problemas propuestos Pregunta a b c d 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x Pregunta a b c d 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x Pregunta a b c d 19 x 20 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26 x 69 . para elevar el agua a la altura de 10m es aproximadamente: a) 1960.0 c) 3250.6 d) 3480.F Í S I C A M E C Á N I C A 26) El trabajo.0 b) 2940. Física. 4ª Edición 1999 .Fundamentos de Física.Frederick Bueche .Física Universitaria. Vol.Raymond A. Tippens .Halliday – Resnick – Krane . 1 CECSA.M E C Á N I C A F Í S I C A BIBLIOGRAFÍA . Conceptos y Aplicaciones Mc Gaw Hill. Serway . 1 Ed.Young .Paúl E.Guías de INACAP 70 .Física . Tomo I . Tomo I Mc Gaw Hill. 1996 . 1995 .Freedman . 4ª Edición 1999 . 9ª Edición 1996 . Vol.M.Sears – Zemansky . Pearson. Quinta Edición.Física. Alonso – E Finn Física Addison Wesley.