Trabajo y Energía

TRABAJO Y ENERGÍA1. El consumo de agua de una casa es de unos 500 l/día. Pretendemos sacar el agua de una alberca situada a 3 m de profundidad y subirla a unos depósitos que se encuentran en lo alto de la casa (a 5 m de altura). Admitimos tener que hacer esta operación a diario pero no queremos que nos lleve más de 30 minutos. Estima la potencia mínima que deberá tener el motor para “subir” el agua desde la alberca. Sol: 21,7 w Para subir el agua hemos de realizar un trabajo que en este caso es igual a la energía potencial que adquiere el agua: W = Ep = m·g·h = 500kg · 9,8m/s2· 8m = 39200 J W 39200 J La potencia necesaria sería: P    21, 7 w t 1800s 2. Determina la función energía potencial asociada a un muelle que ejerce una fuerza F = - k·x·î. Sol: U = ½·k·x2 Cuando comprimimos un muelle, el trabajo realizado se acumula en forma de energía potencial: dW = F·dx = - k·x·dx,, integrando: x x 1 Ep   dW   k·x·dx   k·x 2 0 0 2 3. Un cuerpo de 10 g de masa cae desde una altura de 3 m sobre un montón de arena. Si el cuerpo se detiene a una profundidad de 3 cm, ¿Qué fuerza (constante) ha ejercido la arena sobre él? Sol: 9,9 N A El origen de coordenadas lo colocamos en B Cuando el cuerpo se encuentra en A: Ep = m·g·h = 0,010 kg ·9,8m/s·3m = 0,294J Cuando el cuerpo se encuentra en B: Toda la Ep se ha convertido en Ec Ec = ½·m·v2 = 0,294J B Cuando el cuerpo se encuentra en C: C La energía cinética se ha anulado por la acción de la resistencia de la arena: 0, 294 J Wr = Ec => Fr · d = 0,294J,, Fr   9,8 N 0, 03m es decir: 1 1 ·m ·v02  m ·g ·h0  ·m ·v32  m ·g ·h3 . Determina la altura mínima desde la cual una bola debiera empezar a caer de manera que pueda completar el movimiento circular (de radio R) mostrado en la Figura. será aquel que haga que la bola no pierda el contacto con el anillo.. Se supone que la bola resbala sin rodar y sin ninguna fricción.. El valor mínimo de la velocidad en la posición 3. En primer lugar tenemos que calcular el valor de la velocidad mínima en la posición 3 de tal manera que la bola no pierda el contacto con el suelo y continúe el movimiento. para ello la condición es que: N = 0 Sustituyendo en la ecuación anterior: v2 m·  0  m· g  v 2  g ·R  v  g ·R R Para calcular la altura desde la que hay que dejar caer la bola. dirigida hacia el centro del anillo. utilizamos el hecho de que la energía mecánica Em permanece constante: Em = cte. para que alcance esa velocidad. la Fc depende de la velocidad v. pero h3 = 2R g 2 5 sustituyendo: h0 = ½ R + 2R = R 2 . => Em (0) = Em (3) en las posiciones 0 (inicial) y 3 Ec (0) + Ep (0) = Ec (3) + Ep (3). como v0 = 0 2 2 1 0  m ·g ·h0  ·m ·v32  m ·g ·h3 . R En la posición 3 para que la bola siga apoyada en el anillo: v2 Fc = N + P => m ·  N  m · g R Como m y R son constantes. despejando h0 y simplificando m: 2 1 2 v3  g ·h3 h0  2 y sustituyendo el valor obtenido arriba para la velocidad: v  g ·R : g 1 g ·R  g ·h3 2 1 h0   R  h3 ..4. v2 La fuerza centrípeta es: Fc  m·ac  m · . Sol: 5/2 R P = m·g peso de la bola N = fuerza que el suelo ejerce sobre la bola Como se trata de un movimiento circular existe una fuerza centrípeta que va cambiando la dirección de la velocidad. 000N d 60 6.02. luego: m ·v12  m ·g ·h0  0. 1 1  Entre las posiciones 0 y 1: W  Ec  E p   m ·v12  m ·v02    m ·g ·h1  m ·g ·h0   0 2 2  1 1 pero: v0 = 0 y h1 = 0. Un tren de 1000 Tn que parte del reposo baja 300 m por una pendiente del 1%. Calcula la fuerza de resistencia al movimiento del tren.. al pasar por la posición más baja resulta que la tensión del hilo es el triple que la que le correspondería si el péndulo estuviese inmóvil. Demuestra la siguiente proposición: Cuando un péndulo oscila de modo que su amplitud es de 90º.01 – 60·0. Los ángulos que forman la pendiente con la horizontal vienen dados por: senα = 0. La fuerza centrípeta será: Fc = T – FN = T – mg·cosα Por otra parte: m ·vB2 m ·vB2 FC   R l Sustituyendo: m·vB2  T  m·g ·cos  l La fuerza centrípeta no realiza ningún trabajo por . análogamente: 1 1  Ec  Ep  Wr   m ·v22  m ·v12   (m·g·h2  m·g·h1 )  Wr  0 (el trabajo resistente 2 2  debe igualar al trabajo realizado en la bajada) 1 1 Como ahora h1 = 0 y v2 = 0 : Wr  m ·v12  m ·g ·h2  m ·v12  m ·g ·60·sen 2 2 Sustituyendo el valor de la Ec obtenida entre las posiciones 0 y 1: Wr = m·g·300·senα .01 y senβ = 0.60·senβ) Wr = 106kg·9. m ·v12  m ·g ·h0  m ·g ·300·sen 2 2 Entre las posiciones 1 y 2.5.8m/s (300·0.02) = 1764x104 Wr 1764 x104 Fr =   294. Con el impulso adquirido sube 60 m por una pendiente del 2% hasta detenerse.m·g·60·senβ = m·g·(300·senα . sustituyendo: . (b) Si el coeficiente de rozamiento estático vale 0.25?. Un bloque de 5 kg comienza a subir por un plano inclinado (30º) con una velocidad inicial de 20 m/s. 1 1 2  m ·v2  m ·v1   (m ·g ·h2  2  2 2  m·g ·h1 )  Wr  0 Pero como v2 = 0 y h1 = 0.ser perpendicular a la velocidad v. ¿Volverá a bajar el bloque después de haberse detenido?. (a) ¿Qué distancia recorrerá sobre el plano antes de detenerse.. al final de la página anterior: 2·m ·g ·l (cos   cos  0 )  T  m ·g ·cos  . inmóvil en C:    0  0  cos   cos  0  1 y por tanto: T = m·g·(3 – 2) = m·g 7. despejando T: l T  m·g ·(2cos   2cos  0  cos  )  m·g ·(3cos   2cos  0 ) Si la amplitud es de 90º :  0  90º => cos90º = 0 y al pasar por C:   0 => cos 0º = 1 O sea que: T = m·g·(3 – 0) = 3·m·g Mientras que si está colgando. y OA '  l ·cos 0 Es decir: yB  y A  l·cos   l·cos  0 1 Sustituyendo: m ·vB2  m ·g ·l  cos   cos  0   m ·vB2  2·m ·g ·l  cos   cos  0  2 Si llevamos este valor a la expresión de la fuerza centrípeta.85 m/s El trabajo total realizado será: ΔEc + ΔEp + Wr = 0 donde Wr es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.5 m. si el coeficiente de rozamiento dinámico vale 0. luego: m ·vB2  m ·g  yB  y A  2 Midiendo la altura a partir de un nivel horizontal arbitrario. En caso afirmativo... tenemos: yB  y A  A ' B '  OB ' OA '.45. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad entre A y B será: 1 1  W = ΔEc + ΔEp =  m ·vB2  m ·v A2    m ·g ·yB  m ·g ·y A   0 2 2  1 Pero en el punto de inicio A: vA = 0. ¿cuál será su velocidad al llegar al pie del plano? Sol: 28. 7. peroOB '  l ·cos  . . Componente del peso: Px = m·g·sen30º = 5kg· 9.8m/s2·cos30º = 19. habría que haber utilizado el coeficiente de rozamiento estático en esta ecuación.5 N Fuerza de rozamiento: Fr = μ·m·g·cos30º = 0.5m 2·g (·cos30º  sen30º ) Veamos si el bloque vuelve a bajar: Para que vuelva a bajar es necesario que la componente del peso paralela al plano inclinado. despejando v12 : 2 2(m ·g ·h2   ·m ·g ·d·cos 30º ) v12   2( g ·h2   ·g ·d ·cos 30º ) m y como h2 = d·sen30º: v1 = 2g ·d (sen30º  ·cos30º )  12.... despejando : m ·v12  m ·g ·h2  Wr 2 2 Sustituyendo el valor de Wr = μ·m·g·cos30º·d 1 m ·v12  m ·g ·h2   ·m ·g ·cos 30º·d ..09 N Luego el bloque vuelve a deslizar hacia abajo. sustituyendo e igualando: 1  ·m ·g ·cos 30º·d  m ·v12  m ·g ·d ·sen30º .8m/s2·sen30 = 24. en lugar de usar el coeficiente dinámico. sea mayor que la fuerza de rozamiento. 1 Wr  m ·v12  m ·g ·h2 y como h2 = d·sen30º nos queda: 2 1 Wr  m ·v12  m ·g ·d ·sen30º 2 Por otra parte: Wr = Fr ·d y Fr = μ·N = μ·m·g·cos30. . sustituyendo estos valores: 1 1 0 m ·v12  m ·g ·h2  Wr . agrupamos y despejamos d: 2 1 d·(  ·m ·g ·cos 30º  m ·g ·sen30º )  m ·v12 2 v12 d= = 28.45 · 5kg· 9. Calculamos la velocidad con la que llega al pie del plano: La energía total será: W = ΔEc + ΔEp + Wr Como no hay ninguna fuerza externa que origine el movimiento => W = 0 1 1  0   m ·v12  m ·v22    m ·g ·h1  m ·g ·h2   Wr 2 2  en este caso: v2  0 y h1  0 .58m / s Nota: Para obtener la solución propuesta en el ejercicio. como corresponde. . 4m / s m Nota: Aquí hay también una diferencia con el resultado propuesto. Wr = 70% de 620 J luego: 1 1  0   m ·v12  m ·v02    m ·g ·h1  m ·g ·h0   0. Caperucita tiene que cruzar un río para llevarle la merienda a su abuelita.8. La rama está a una altura de 2 m sobre el suelo.. pero v1  0 y h0  0 . 7·620. ya que no hay una fuerza externa que realice el movimiento. sustituyendo: 2 2  1 1 0   m ·v02  m ·g ·h1  Wr . en el que se nos pedía también calcular la tensión que ha de soportar la cuerda.. (b) 619 J y (c) 16 m/s. Asegura una cuerda. what is the speed of the rock when it returns to the initial position? Sol: (a) 1600 J. a la rama de un árbol. 1 1 La energía cinética inicial será: Ec = m ·v02  ·2kg ·402 m 2 / s 2  1600J 2 2 El aumento de energía térmica durante la subida será: W  Ec  Ep  Wr  0 . según ha visto a Tarzán en las películas y empieza a balancearse tratando de alcanzar la otra orilla. ¿Qué tensión debe resistir la cuerda para asegurarle al lobo la cena? Caperucita pesa 57 kg.. In a volcanic eruption... Caperucita se lanza agarrándose al otro extremo. . en lugar de los ángulos (amplitudes). 7·620) v12   546m 2 / s 2 . 1 1  0   m ·v12  m ·v02    m ·g ·h1  m ·g ·h0   Wr . 2 2 2kg ·402 m2 / s 2 Wr =  2kg ·9.. a 2 kg piece of porous volcanic rock is throw vertically upward with an initial speed of 40 m/s. despejando : Wr  m ·v02  m ·g ·h1 .8m / s 2·50m  620J 2 La velocidad cuando la roca llega de nuevo al punto de partida será: W  Ec  Ep  Wr  0 . pero ahora: v0  0 y h1  0 2 2  1 1 luego: 0  m ·v12  m ·g ·h0  0. 9. El planteamiento de este problema es parecido al del nº 6. despejando : m ·v12  m ·g ·h0  0. 7·620 2 2 2(m·g·h0  0. It travels upward 50 m before it begins to fall back to the earth. que tiene una longitud de 10 m. v1 = 23.. (a) What is the initial kinetic energy of the rock? (b) What is the increase in thermal energy due to air friction during ascent? (c) If the increase in thermal energy due to air friction on the way down is 70% of that on the way up. aunque ahora conocemos la diferencia de altura entre las posiciones inicial y final.. ya que no hay una fuerza externa que realice el movimiento. 7·620 . una vez en el hielo. sustituyendo: 2m·g ( y A  yC ) 2·57kg ·9.4 km de distancia horizontal.8m / s 2·8m T=  m·g   57kg ·9. despejando : m ·vC2  2m ·g ( y A  yC ) 2 Sustituyendo en la expresión que obtuvimos de la fuerza centrípeta: m ·v 2 2m ·g ( y A  yC )  T  m ·g ·cos  =>  T  m ·g ·cos  l l 2m ·g ( y A  yC ) despejamos T: T   m ·g ·cos  l Cuando Caperucita llega a la posición C: α = 0 => cosα = 1. Estima el coeficiente de fricción dinámica entre el hielo y la pelota suponiendo: un ángulo de salida de 45º. un vuelo horizontal de 200 m (despreciando la resistencia con el aire) y que. la pelota simplemente deslizó. 36 N l 10m Para entregar: E1.La fuerza centrípeta valdrá: Fc = T – FN = T – m·g·cosα m·v 2 y por otra parte: Fc = m·ac = l m ·v 2 Sustituyendo en la anterior:  T  m ·g ·cos  l Por otra parte el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad será: 1 1  W = Ec + Ep =  m ·vC2  m ·v A2   (m ·g ·yC  m ·g ·y A )  0 2 2  pero en este caso: vA  0 . sustituyendo: 1 m ·vC2  m ·g ( yC  y A )  0.8m / s 2  1452.. Un geólogo australiano jugó al golf en la Antártida durante uno de sus viajes y lanzó la pelota a 2. . 8m / s 2·2200m . teniendo en cuenta que la Ep = 0.. porque al final se para..Las ecuaciones de movimiento son: v0 X  v0·cos  . tendremos el alcance máximo R: 2·v ·sen 2·v02·sen ·cos  R  v0·t ·cos   v0·cos · 0  .. vY  v0Y  g ·t  v0·sen  g ·t . Si sustituimos este valor en la ecuación que nos daba el valor de la distancia recorrida. esta ecuación tiene dos posibles soluciones: 2 2 t=0 y 1 2·v0· sen 0  (v0·sen  g ·t ). la velocidad con que llega al suelo coincide con la inicial: v = v0 En el momento en que cae al suelo. W = 0 porque no hay ninguna fuerza exterior. al no haber rozamiento con el 2· sen ·cos  2· sen45º·cos 45º 0 aire. vX  v0 X  v0·cos  . será 1 1  W   m ·v 2f  m ·vi2   Wr  0 .. despejando t : t  que es el tiempo que tarda en 2 g llegar al suelo.8m / s 2 v  2   1960m2 / s 2 . x  v0 X ·t  v0·t ·cos  1 2 1 v0Y  v0 ·sen . la bola desliza hasta recorrer 2200m. 2 2  además v f  0 . tenemos: 2 1 m ·vi2   ·N ·d   ·m · g ·d .. 045 2· g ·d 2·9.. ya que N  m ·g 2 vi2 1960m2 / s 2 y despejando μ: μ =   0. 1 Wr  m ·vi2 y como por otra parte: Wr = μ·N·d. despejamos v2: g g R ·g 200m·9. y  voY ·t  g ·t  v0·t ·sen  g ·t 2 2 2 Cuando la bola llegue al suelo: y = 0 1 1 0  v0 ·t ·sen  g ·t 2  t·(v0·sen  g ·t ) .. en que por el rozamiento con el suelo. se para: El trabajo realizado....