Trabajo Vigas

Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P.De Ingeniería Civil DEDICATORIA Este trabajo lo dedicamos en especial a nuestros padres pues ellos son el principal cimiento para la construcción de nuestra vida profesional. Gracias por que su presencia y persona han ayudado a construir y forjar la persona que ahora somos. Y también dedicamos al ing. Edwin I. Vilca Gonzales. Quien se ha tomado el arduo trabajo de transmitir sus diversos conocimientos, especialmente del campo y de los temas que corresponde a nuestra profesión, quien nos ofrece sabios conocimientos para lograr nuestras metas y lo que nos proponemos. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 1 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil INTRODUCCION: 1. VIGAS TIPO “T” 1.1 VIGAS TIPO T “POSTENSADO” Es el sistema más eficiente de losas para cubrir claros desde 10.00 hasta 24.50 metros sin ningún apoyo intermedio y con capacidad de soportar cargas tan altas como las de bodegas o puentes. Regularmente se usa en puentes con claros medianos (10.00 hasta 24.50 metros), en pasarelas o en edificaciones donde se requieren entrepisos o techos de concreto con combinaciones de cargas y claros, que imposibilitan el uso de sistemas convencionales de losa. El diseño y la fabricación se realizan según los requerimientos específicos de cada proyecto. En PreCon nos regimos por las normas y códigos nacionales e internacionales más estrictos. VENTAJAS: - Cubre grandes claros sin apoyos intermedios. - Soporta cargas altas, inclusive mayores a las de puentes. - Optimiza el diseño según las necesidades de cada proyecto. - Las reacciones de capacidad portante al peso propio y de costo al beneficio son las mejores de todos los sistemas de losas especiales disponibles en el mercado. - La prefabricación industrializada y la instalación con grúa agilizan los proyectos y garantizan la calidad necesaria. - Al ser pretensadas, se evitan las grietas y se protege el contenido de acero, evitando su corrosión. - Utilizando este sistema, se reduce el tiempo de construcción: se construyen losas de techo - o entrepiso y superestructuras de puente en menor tiempo que cualquier otro sistema. - Garantía de por vida. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 2 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Fig.1 fuente CivilGeeks.com 1.2 DISEÑO: La viga “T”, utilizada por arquitectos y/o directores de proyectos, es una herramienta para generar grandes espacios libres de columnas o muros intermedios. El diseño estructural usa los parámetros adecuados para la región donde es requerida tomando en cuenta las condiciones críticas de cada lugar como sismos, climas corrosivos, posibilidad de sobrecargas, etc. El diseño sigue las normas nacionales del COGUANOR y de las Especificaciones Generales para la Construcción de Carreteras y Puentes de la Dirección General de Caminos y MICIVI 2001 y las normas internacionales del UBC, ACI, PCI y AASHTO. 1.3 FABRICACION: Estas vigas son de concreto pretensado con sección transversal en forma de “T”. Se producen industrialmente en líneas de pretensados de gran capacidad y con formaleta metálica. Sus dimensiones pueden variar, dependiendo de los requerimientos de cada proyecto. Los materiales que se utilizan son de la más alta calidad; se logra resistencia de concreto de hasta f’c=7,000 lb. / pulg2, acero de preesfuerzo primario de fpu=270,000 lb. / pulg2 y acero de refuerzo complementario con fy=60,000 lb. / pulg2 todos conforme a las normas ASTM. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 3 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil (a) (b) (c) Fig. 2, fuente: CivilGeeks.com a) Amarrado de los estribos de la viga T b) Colocacido de Vigas mediante grúas c) Vaceado de las vigas en Puente de Costa Rica. 1.4 INSTALACION Y TRANSPORTE: Se instalan con equipos especiales – grúas de gran capacidad – a un ritmo de 4 a 10 unidades diarias. Montándose sobre apoyos que deben de estar listos, previo al inicio del montaje, pueden ser columnas, muros o vigas de carga en edificios y pasarelas o estribos y pilas en el caso de puentes y pasos a desnivel. Las vigas se unen entre sí por medio de esperas de acero y fundición de concreto para lograr la integración monolítica del sistema: comúnmente se funde un “topping” de concreto sobre las vigas. Se unen a apoyos a través de dados antisísmicos cuando se requiere una unión articulada o a través de esperas y fundición de concreto cuando se trabaja con uniones rígidas. Para las vigas de gran dimensión, se utilizan equipos especiales de transporte con el objeto de que pueda transitar en todas o en la gran mayoría de carreteras. En caso de que su transporte no sea factible, las vigas pueden fabricarse en secciones y unirlas en el sitio, usando un sistema de postensión. 1.5 DESCRIPCION GENERAL: CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 4 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Las vigas “T” postensadas son los elementos de gran dimensión que se utiliza para aplicaciones de superestructuras de puentes de claros mayores de 25.00 metros. Este sistema permite lograr cubrir claros de hasta 40.00 metros con las cargas normales de un puente. Se colocan varias vigas “T”, una a la par de la otra, para lograr el ancho de la losa de rodadura requerida. Las vigas se integran mediante un topping de concreto en el sitio de losa de rodadura estructural, que completa la sección estructural de dicho conjunto. Estas vigas pueden ser usadas en estructuras de otro tipo que requieran de grandes claros libres, tales como auditorios, gimnasios, etc. Por su gran longitud las vigas se construyen en secciones transportables, y ya en la obra mediante el sistema de preesfuerzo por postensión (cables de postensión) se integran en una sola unidad. En casos específicos se pueden fundir las vigas en obra y siempre ser preesforzadas con los cables de postensión. 1.6 VENTAJAS: - Capacidad de cubrir grandes claros. - Capacidad de soportar cargas importantes. - Transportable, aun para claros de 40.00 metros (en secciones) - Costos competitivos contra sistemas alternativos. - Ningún mantenimiento, duración de por vida. - Solución estética. (a) (b) CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 5 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Figura 3, fuente http://www.arq.com.mx 1.7 DISEÑO: Estas vigas se diseñan para cada caso específico, tomando en consideración el largo y cargas que se deben soportar. Los códigos que norman el diseño son generalmente los de la AASHTO, ACI y UBC. En este proceso se toma en cuenta las condiciones sísmicas de la región. 1.8 FABRICACION: Las vigas se prefabrican por secciones en la planta, bajo las más estrictas normas de calidad. Los moldes utilizados son metálicos, con lo que se obtiene un acabado muy satisfactorio. Los Materiales usados son: - Concreto de 350 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . Mínimo. - Acero de preesfuerzo 1898 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . - Acero de refuerzo 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . 1.9 VIGA “T” 𝑏 ≤ 𝑏𝑤 + 16ℎ𝑓 (𝑠1 − 1 + 𝑠2) 𝑏 ≤ 𝑏𝑤 + 2 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 6 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 𝐿𝑛 𝑏≤ 4 𝑀 = 0.85𝑓𝑐. 𝑎. 𝑏(𝑑 − 𝑎/2) Cc=0.85FcAc Ac = abw + h2b2 + h2b3 𝐴𝑐 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 𝐴1 = 𝑎1. 𝑏𝑤 Ac = abw + h1(b2 + b3) 𝐴2 = ℎ1. 𝑏2 Ac = abw + h2(b − bw) 𝐴3 = ℎ2. 𝑏3 Caso 1-2 1. Primer caso a ≤ h2 viga b*h 2. Segundo caso a=hL viga b*h CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 7 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 3. Tercer caso a ≥hl Figura 4, Fuente Cuaderno Pre-esforzado a) Supone que As fluye fs=fy b) verificar si As fluye ∑fx=0 Cc=T Es=d-c Cc=0.85fc.As Ac=a.bw+hl(b-bw) 0.003 c 𝑘1−𝑎 Cc=0.85.fc.abw+0.85.fc*hl(b-bw) 𝐸𝑠 = 0.003( ) 𝑎 𝑘1−𝑎 T=As.fs T=As.fy 𝑓𝑠 = 0.003( ) 𝑎 0.85. 𝑓𝑐. 𝑎. 𝑏𝑤 = 𝐴𝑠. 𝑓𝑦 − 0.85. 𝑓𝑐. ℎ𝑙. (𝑏 − 𝑏𝑤) b) As no fluye = 𝑎 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 − 0.85. 𝑓𝑐. ℎ𝑙(𝑏 ∗ 𝑏𝑤) … . . (1) 𝑎 = 𝐴𝑠. 𝑓𝑦 − 0.85. 𝑓𝑐. ℎ𝑙. 𝑏. 𝑏𝑤 … (2) 0.85.fc.bw 0.85.fc.bw CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 8 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 𝑘1.𝑑−𝑎 𝑓𝑠 = 0.003. 𝐸𝑠 ( ) … . . (3) 𝑎 𝑎 c). 𝑀𝑛 = 0.85. 𝑓𝑐. 𝑎. 𝑏𝑤. (𝑑 − 2) + 0.85. 𝑓𝑐. ℎ𝑙. (𝑏 − 𝑏𝑤). (𝑑 − ℎ𝑙/2) 𝑀𝑛 = 𝜑𝑀𝑛 Diseño: Figura 5, fuente cuaderno Pre-esforzado ℎ𝑓 ℎ𝑓 1). 𝑀𝑢𝑓 = 0.85𝑓𝑐. ℎ𝑓(𝑏 − 𝑏𝑤) (𝑑 − ) . . (1) As. f = Muf. 𝜑. 𝑓𝑦(d − )…(2) 2 2 𝑇𝑠𝑓= 𝐴𝑠𝑓. 𝑓𝑦 𝑀𝑢𝑓= 𝑇𝑠𝑓(𝑑 − ℎ𝑓/2) 2). 𝑀𝑢𝑤 = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑢𝑓 … . (3) 𝐾𝑢𝑤 = 𝑀𝑢𝑤 𝑃𝑤 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 … (4) 𝐴𝑠𝑤 = 𝑃𝑤. 𝑏𝑤. 𝑑 … (5) Asw≥Asmin 𝑃𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑚𝑖𝑛. 𝑏𝑤. 𝑑 1.10 Ancho efectivo de una viga “T” 1) Losa maciza a). El ancho efectivo de la losa no debe exceder, 𝑏 ≤ 𝐿𝑛/4 de ¼ de la luz libre de la viga. b). no debe exceder de 16 veces el espesor de la losa 𝑏 = 16. ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 9 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil mas en ancho de la viga. 𝐿1 𝐿2 c). no debe exceder a la mitad de la distancia a 𝑏 = + + 𝑏𝑤 1 2 las siguientes almas de la viga más el ancho de la viga. 2.1 VIGA T AISLADA Donde: Ln = luz libre de la viga S = separación libre entre vigas. bw = ancho del alma de la viga b = ancho del ala Hf = Espesor del patin 2 VIGAS A TORSION: En la edición 2002 del Código se incluyen nuevas ecuaciones en los artículos 11.6.1 y 11.6.2 para determinar la torsión crítica y el momento torsor mayorado, respectivamente, para elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial. Además, en el artículo 11.6.1 se modificaron los valores de la torsión crítica del Código 1999 de manera que también fueran aplicables a secciones huecas. El área mínima de estribos transversales cerrados indicada en el artículo 11.6.5.2 también se modificó para considerar los hormigones de alta resistencia. Esta modificación es consistente con los requisitos modificados del artículo 11.5.5.3 para corte. 2.1 ANTECEDENTES: CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 10 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Los requisitos para el diseño a torsión se introdujeron por primera vez en el Código de 1971. A excepción de un cambio de formato en el documento de 1977, los requisitos permanecieron sin modificaciones hasta el Código 1989. Esta primera generación de requisitos se aplicaba exclusivamente a los elementos de hormigón armado no pretensados. El procedimiento de diseño a la torsión era análogo al procedimiento de diseño al corte. La resistencia a la torsión se componía de una contribución del hormigón (Tc) más una contribución de los estribos y la armadura longitudinal, en base a una analogía de un reticulado con elementos a 45 grados. En el Código 1995 los requisitos para el diseño a torsión fueron totalmente revisados. El nuevo procedimiento, tanto para elementos macizos como para elementos huecos, se fundamenta en la analogía de un reticulado espacial en un tubo de pared delgada. Este enfoque unificado se aplica igualmente a elementos de hormigón armado y de hormigón pretensado. MacGregor y Ghoneim1 resumen los antecedentes de estos requisitos. La Referencia 13.2 contiene ayudas de diseño y ejemplos correspondientes a elementos de hormigón estructural solicitados a torsión. A los fines del diseño, de forma conservadora, se puede despreciar el núcleo de la sección transversal de las vigas macizas. Esta hipótesis ha sido verificada por los resultados de ensayo informados en la Referencia 13.1. Por lo tanto, las vigas se idealizan como tubos. La torsión es resistida por un flujo de corte constante q (fuerza por unidad de longitud) que actúa alrededor de una línea en la mitad del espesor de la pared del tubo como se ilustra en la Figura 13-1(a). Considerando el equilibrio del momento torsor externo T y las tensiones internas: T 2Ao q 2Ao Ecuación. 1 Reordenando la Ecuación (1)  T 𝑞 = t = 2A CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 11 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Cuando una viga de hormigón es solicitada por un momento torsor que provoca una tensión de tracción principal mayor que 4 √𝑓𝑐, alrededor de la viga se forman fisuras diagonales en espiral. Una vez fisurado, el tubo se idealiza como el reticulado espacial ilustrado en la Figura. En este reticulado los elementos diagonales tienen un ángulo de inclinación θ. La inclinación de las diagonales en todas las paredes del tubo es la misma. Observar que este ángulo no es necesariamente igual a 45 grados. La resultante del flujo de corte en cada pared del tubo induce esfuerzos en los componentes del reticulado. Un concepto fundamental para el diseño del hormigón estructural es que el hormigón resiste compresión, mientras que el acero resiste tracción. Por lo tanto, en la analogía del reticulado, los elementos del reticulado solicitados a tracción consisten en las armaduras de acero o los "tirantes traccionados." Las diagonales y otros elementos del reticulado solicitados a compresión consisten en "bielas comprimidas" de hormigón. Las fuerzas que actúan en los elementos del reticulado se pueden determinar a partir de las condiciones de equilibrio. Estas fuerzas se usan para dimensionar y detallar las armaduras. Vc=At.Fy/S 2.2 Torsión crítica: La torsión se puede despreciar si el momento torsor mayorado Tu es menor que Tcr/4, siendo Tcr el momento torsor de fisuración (o momento torsor crítico). El momento torsor de fisuración corresponde a una tensión de tracción principal de 4 √𝑓𝑐 . Antes de la fisuración, el espesor de la pared del tubo "t" y el área encerrada por la trayectoria del flujo de corte "Ao" se relacionan con la geometría de la sección no fisurada en base a las siguientes hipótesis: T=3A/4P Ao=2A/3 (Antes de la fisuración) CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 12 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Donde: A= área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón, in.2 P= perímetro exterior de la sección transversal de hormigón, in Ao= área encerrada por la trayectoria del flujo de corte, in.2 Las Ecuaciones (7) y (8) se aplican a secciones no fisuradas. Para las vigas de borde y otros elementos hormigonados de forma monolítica con una losa, el ancho de ala en voladizo de la losa contribuyen a la resistencia a la torsión. En la Figura R13.2.4 se ilustra la sección efectiva de losa a considerar junto con la viga. Reemplazando t de la Ecuación (7), Ao de la Ecuación (8) y tomando T 4 √𝑓𝑐 Para los elemento de hormigón pretensado, un análisis utilizando el círculo de Mohr demuestra que el momento torsor necesario para producir una tensión principal de tracción igual a4 √𝑓𝑐 veces el momento torsor 𝑓𝑦 √1 + 4√𝑓𝑐 2.3 Equilibrio y compatibilidad - Momento torsor mayorado, Tu Ya sea que un elemento de hormigón armado esté solicitado exclusivamente a torsión o a una combinación de flexión y corte, la rigidez de dicho elemento disminuirá luego de su fisuración. Después que el elemento se ha fisurado, la rigidez torsional sufre una reducción mucho mayor que la rigidez flexional. Si en un elemento el momento torsor Tu no se puede reducir por medio de una redistribución de las fuerzas internas en la estructura, dicho elemento se debe diseñar para la totalidad del momento torsor Tu. Esto se conoce como "torsión de equilibrio," dado que el momento torsor es necesario para el equilibrio de la estructura Si se puede realizar una redistribución de las fuerzas internas, como en el caso de las estructuras indeterminadas, es posible reducir el momento CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 13 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil torsor de diseño. Este tipo de momento torsor se conoce como "torsión de compatibilidad". No es necesario que los elementos solicitados a torsión de compatibilidad se diseñen para un momento torsor mayor que el producto entre el momento torsor de fisuración y el factor de reducción de la resistencia 0,75 para torsión, Para el caso de torsión de compatibilidad donde se verifique Tu > Tcr el elemento se puede diseñar para Tcr solamente, siempre que en el diseño de los demás elementos de la estructura se tome en cuenta la redistribución de las fuerzas internas El momento torsor de fisuración Tcr se calcula usando la Ecuación para los elementos no pretensados, usando la Ecuación para los elementos pretensados, y usando la Ecuación para los elementos no pretensados solicitados por una fuerza de tracción o compresión axial. Para las secciones huecas, en estas ecuaciones Acp no se reemplaza por Ag Multiplicando el momento torsor de fisuración 2.4 Sección crítica En los elementos no pretensados, la sección crítica para el diseño a torsión se encuentra a una distancia "d" (profundidad efectiva) medida desde de la cara del apoyo. Las secciones ubicadas a una distancia menor que d desde la cara del apoyo se deben diseñar para el momento torsor determinado a una distancia d medida desde el apoyo. Cuando hay una viga secundaria vinculada a una viga principal a una distancia menor que d medida desde el apoyo, en la viga principal ocurre un momento torsor concentrado dentro de la distancia d. En estos casos, el momento torsor de diseño se debe tomar en la cara del apoyo. Esta misma regla se aplica a los elementos pretensados, excepto que la distancia d se reemplaza por h/2, siendo h la altura total del elemento. Para los elementos compuestos o construidos en etapas h es la altura total de la sección compuesta. 2.5 Resistencia al momento torsor La resistencia a la torsión de diseño debe ser mayor o igual que la resistencia a la torsión requerida: Tn=Tu El desarrollo de la expresión para calcular la resistencia nominal al momento torsor en términos de la tensión de fluencia de los estribos ya se indicó anteriormente. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 14 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 2𝐴. 𝐴𝑡. 𝐹𝑦𝑣 𝑇= 𝑐𝑜𝑡ᶲ 𝑠 Donde: Ao = 0,85Aoh Aoh= área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión Θ = ángulo de las diagonales comprimidas, comprendido entre 30 y 60 grados. En el artículo 11.6.3.6 se sugiere usar un valor de 45 grados para los elementos no pretensados y 37,5 grados para elementos pretensados con una fuerza de pretensado mayor que el 40 por ciento de la resistencia a tracción de la armadura longitudinal Observar que la definición de Ao usada en la Ecuación corresponde a la sección no fisurada. Observar también que la resistencia nominal a la torsión, Tn, se alcanza después que el hormigón se ha fisurado y después que el elemento de hormigón ha sufrido una considerable rotación por torsión. Bajo estas grandes deformaciones es posible que el hormigón se haya descascarado. Por este motivo, cuando se calcula el área Ao correspondiente a Tn se ignora el recubrimiento de hormigón. Así, el parámetro Ao se relaciona con Aoh, el área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para resistir torsión. El área Ao se puede determinar aplicando un análisis riguroso (Referencia 13.3) o bien simplemente suponer igual a 0,85Aoh Sustituyendo T de la Ecuación (5) en la Ecuación (6) y reemplazando 2(xo + yo) por ph (perímetro del eje de la armadura transversal cerrada dispuesta para resistir torsión), la armadura longitudinal requerida para resistir torsión se calcula en función de la armadura transversal: CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 15 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 𝐴1 𝑓𝑦𝑣 𝐴𝑓 = ( ) 𝑃𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑡2. ᶲ 𝑥 𝐹𝑦𝑓 Observar que el término (At/s) usado en la Ecuación (11-22) sólo corresponde a torsión, y se calcula usando la Ecuación (11- 21). En los elementos solicitados a torsión combinada con corte, flexión o fuerza axial, la cantidad de armadura longitudinal y transversal requerida para resistir todas las acciones se debe determinar aplicando el principio de superposición. En los elementos solicitados a flexión, se puede reducir el área de armadura longitudinal de torsión en la zona comprimida por flexión para tomar en cuenta la compresión provocada por la flexión (11.6.3.9). En los elementos pretensados, la armadura longitudinal requerida para torsión puede consistir en cables de acero de pretensado con una resistencia a la tracción Apsfps equivalente a la fuerza de fluencia del acero no pretensado, Aℓfyℓ, calculada de acuerdo con la Ecuación Para reducir la fisuración antiestética del hormigón y para impedir el aplastamiento de las bielas comprimidas, el artículo 11.6.3.1 establece un límite superior para la máxima tensión debida a corte y torsión, análogo al correspondiente a corte solamente. En las secciones macizas, las tensiones debidas al corte actúan en la totalidad del ancho de la sección, mientras que se asume que las tensiones debidas a la torsión son resistidas exclusivamente por un tubo de pared delgada. Por este motivo el artículo 11.6.3.1 especifica para las secciones macizas una interacción elíptica entre las tensiones debidas al corte y las tensiones debidas a la torsión: 𝑉𝑢 2 𝑇𝑢. 𝑃ℎ 2 𝑉𝑐 √( ) +( ) ≤ ᶲ( + 8√𝑓𝑐) 𝑏𝑤. 𝑑 1.7. 𝐴2 𝑏𝑤. 𝑑 Para las secciones huecas, las tensiones debidas al corte y a la torsión son directamente aditivas a un lado de la pared. 𝑉𝑢 𝑇𝑢. 𝑃ℎ ( )+( ) ≤ ᶲ(𝑉𝑐/(𝑏𝑤. 𝑑) + 8√𝑓𝑐) 𝑏𝑤. 𝑑 1.7 ∗ 𝐴2 2.6 Detalles de la armadura de torsión CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 16 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Para resistir la torsión se requiere tanto armadura longitudinal como armadura transversal. La armadura longitudinal puede estar constituida por armadura no pretensada o por cables de pretensado. La armadura transversal puede estar constituida por estribos, malla de alambre soldada o zunchos. Para poder controlar el ancho de las fisuras diagonales la tensión de fluencia de diseño de la armadura no pretensada no debe ser mayor que 60.000 psi En la analogía del reticulado las fuerzas en las diagonales comprimidas llegan a la armadura longitudinal de la esquina. En cada pared, la componente de las diagonales perpendicular a la armadura longitudinal se transfiere desde la armadura longitudinal a la armadura transversal. En ensayos de torsión realizados sobre vigas cargadas hasta su destrucción se ha observado que, a medida que se llega al momento torsor máximo, el recubrimiento de hormigón se descascara.13.3 Las fuerzas en las diagonales comprimidas fuera de los estribos, es decir en el recubrimiento de hormigón, hacen estallar la cáscara de hormigón. En base a esta observación, el artículo 11.6.4.1 especifica que los estribos deben ser cerrados y tener ganchos a 135 grados. Los estribos con ganchos a 90 grados dejan de ser eficientes cuando el recubrimiento de hormigón se descascara. De manera similar, se ha observado que los estribos en forma de U solapados no son adecuados para resistir torsión, también debido a la falta de apoyo que se produce al descascararse el hormigón. Para las secciones huecas, la distancia entre el eje de la armadura transversal de torsión y la cara interna de la pared de la sección hueca no debe ser menor que 0,5Aoh/ph. 2.7 Armadura mínima de torsión. En general, para asegurar la ductilidad de los elementos de hormigón armado y pretensado, se especifica una armadura mínima tanto para flexión como para corte. De manera similar, en el artículo 11.6.5 se especifica una armadura mínima transversal y longitudinal que se debe colocar siempre que Tu > Tcr/4. Habitualmente los elementos solicitados a torsión también están solicitados simultáneamente a corte. El área mínima de estribos para corte y torsión se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: 𝑏𝑤. 𝑠 50. 𝑏𝑤. 𝑠 (𝐴𝑣 + 2𝐴𝑡) = 0.75√𝑓𝑐. ≥ 𝑓𝑦 𝐹𝑦 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 17 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Esta ecuación ahora permite considerar los hormigones con resistencias más elevadas. El área mínima de armadura longitudinal se calcula como: 5√𝑓𝑐. 𝐴𝑐𝑝 𝐴𝑠 𝐹𝑦𝑣 𝐴𝑡. 𝑚𝑖𝑛 = − ( )𝑃𝑡 𝑓𝑦 𝑠 𝐹𝑦𝑡 2.8 Separación de la armadura de torsión: La separación de los estribos no debe ser mayor que el menor valor entre ph/8 y 12 in. Para una viga de sección cuadrada solicitada a torsión, esta separación máxima es análoga a una separación de alrededor de d/2 en una viga solicitada a corte. La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una separación máxima de 12 in. En la analogía del reticulado las bielas comprimidas empujan contra la armadura longitudinal, la cual transfiere las fuerzas transversales a los estribos. En consecuencia, las barras longitudinales deben estar ubicadas dentro de los estribos cerrados. Debe haber al menos una barra o cable longitudinal en cada esquina de los estribos para ayudar a transmitir las fuerzas desde las bielas comprimidas a la armadura transversal. Para evitar el pandeo de la armadura longitudinal debido a la componente transversal de las bielas comprimidas, la armadura longitudinal debe tener un diámetro mayor o igual que 1/24 de la separación de los estribos, pero nunca menor que el diámetro correspondiente a una barra No. 3 3 VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA. El Código ACI ha adoptado como un valor límite de seguridad una deformación unitaria máxima del concreto de 0.003, para el cual el concreto falla. Si hacemos el equilibro en la sección tenemos lo siguiente: C=T CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 18 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 0.85 Fc ba=As Fc 𝐴𝑠.𝐹𝑠 a=0.85 𝐹𝑐.𝑏 Donde a es la profundidad del bloque equivalente en compresión del concreto, notaremos que el valor ft depende de la deformación alcanzada por el acero siendo su mayor valor su esfuerzo de fluencia ft. Es de lo anterior que se concibe tres tipos de falla de una sección de viga simplemente reforzada. 1. Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento. 2. Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto. 3. Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción. Cuantía del Acero en Tracción. Definimos como cuantía del acero en tracción (p): 𝐴𝑠 P=𝑏𝑑 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 19 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 3.1 Condición de falla balanceada. Determinaremos el valor de la cuantía para la cual la sección se encuentra en la falla balanceada, por lo que existirá un valor de A s. a, c, para el estado balanceado. De la figura tenemos: 𝑐𝑏 0.003 0.003 = ↔ (𝑑) 𝑑 0.003+∈ 𝑦 0.003 + 𝜖𝑦 Conocemos que el valor del módulo de elasticidad del a acero es Es= 2*106 entonces: 𝑓𝑦 𝑓𝑦 ∈𝑦== 𝐸𝑠 2 ∗ 106 Efectuando el reemplazo tenemos: 6000 Cb=6000+𝑓𝑦 (𝑑) Haciendo el equilibrio, C, = T, y despejando A tenemos, As=0.85 fs ba/fy. Entonces: 𝑓𝑐 6000 Asb=0.85𝑓𝑦 𝑏 𝛽1(6000+𝑓𝑦)𝑑 Finalmente: 𝑓𝑐 6000 Pb=𝛽1 0.85 𝑓𝑦 (6000+𝑓𝑦) Siendo esta última expresión el valor de la cuantía balanceada. Análisis de secciones de viga con falla dúctil. Partiendo de nuestra expresión de equilibrio tenemos. Cc=T CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 20 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 0.85 Fc ba=As Fy 𝐴𝑠 𝑓𝑦 a=0.85 𝑓𝑐 𝑏 Tomando Momentos respecto a un eje que pasa por el centroide del acero tenemos: Mo=As.Fy (d-a/2) Mu=ᶲMn=ᶲAs.Fy(d-a/2) Donde ᶲ es el factor de resistencia que para vigas su valor es 0.9. Diseño por Flexión Para el diseño por flexión debemos saber que el tipo de falla deseable es la falla dúctil con la cual la sección ha desarrollado grandes deformaciones. El Código ACI da los límites de cuantía para el desafío: Cuantía Máxima: Pmax=0.75Pb Para zona sísmica se toman como cuantía máxima el valor de 0.5 Pb Cuantía mínima: Se toman el valor mayor de las dos siguientes expresiones: 14 √𝑓𝑐 Pmin=𝑓𝑦 Pmin=0.8 𝑓𝑦 Donde fc' y fy están en kg/cm². Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el cual dimensionaremos la sección. Sabemos: 𝑓𝑦 1 𝐴𝑠.𝑓𝑦 Mu=ᶲpbd(𝑓𝑐 ) fc (d-2 ∗ 0.85∗𝑓𝑐.𝑏) CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 21 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Luego: Mu=ᶲMn=ᶲAs.fy(d-a/2) Finalmente: Mu=ᶲb𝑑2 fc w(1-0.59w) Esta última expresión es la expresión de dimensionamiento, donde los valores desconocidos son “b” y ”d” de los cuales el diseñador escogerá adecuadamente Cálculo del Acero: Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuara simplemente haciendo una iteración entre las siguientes 2 expresiones. 𝑀𝑢 𝐴𝑠.𝑓𝑦 As=𝜃.𝑓𝑦(𝑑−𝑎/2) a=0.85∗𝑓𝑐∗𝑏 Se sugiere que como primera aproximación que “a” sea igual a d/5. En la imagen se observa la viga sobre reforzada: De la figura tenemos: ∈ 𝑠 (𝑑 − 𝑐) (𝑑 − 𝑐) = ↔∈ 𝑠 = 0.003 ∈𝑦 𝑐 𝑐 Sabemos que: Fs=Es ∈ 𝑠 = 2 ∗ 106 ∈ 𝑠 Efectuando el reemplazo tenemos: (𝛽1𝑑 − 𝑎) 𝑡𝑛 𝑓𝑠 = 6 ≤ 𝑓𝑦( ) 𝑎 𝑐𝑚2 Haciendo el equilibrio C, = T, tenemos: 0.85fc.ba=AsFs, reemplazando Fs; CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 22 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 0.85fc.ba2=6Asβ1d-6As.a Ordenando los términos tenemos: 0.85 f'c ba2+6As.a-6Asβ1d=0 Donde Fc esta en t/cm2, si resolvemos la ecuación cuadrática obtenemos el valor de “a” con el cual obtenemos el valor del momento ultimo resistente. 𝑎 𝑀𝑢 = ∅𝐴𝑠 𝑓𝑠(𝑑 − ) 2 3.2 Análisis de la sección de Viga Doblemente Reforzada. Para el análisis empezaremos asumiendo que el refuerzo en tracción esté en fluencia, el acero en tracción compensa las fuerzas de compresión del concreto y el acero siendo estas fuerzas: (As1 fy) y (As2 fy) respectivamente, tal como se muestra en la figura. Si hacemos el equilibrio tenemos: Cc=As1Fy 0.85fc ab=As1Fy 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 a=0.85𝑓𝑐.𝑏 As1=As-As2 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 23 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil As1fy=Asfy-As2 fy Tambien por equilibrio tenemos: AsFs=As2.Fy Luego: As1Fy − As. Fs Reemplazando tenemos: 𝐴𝑠𝐹𝑦 − 𝐴𝑠𝐹𝑠 𝑎= 0.85 𝑓𝑐. 𝑏 Para encontrar el momento nominal, bastará con sumar los momentos producidos por los pares de fuerza, entonces: 𝑎 𝑑 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 (𝑑 − ) + 𝐴𝑠 𝐹𝑦( ) 2 𝑑° 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐴𝑠𝐹𝑦 − 𝐴𝑠𝐹𝑠) (𝑑 − ) + 𝐴𝑠 𝐹𝑠(𝑑 − 𝑑°) 2 Empleando el diagrama de deformaciones unitarias y por semejanza de triángulos tenemos: 𝑐 0.003 𝑐 − 𝑑° = →∈ 𝑠 = 0.003 𝑐−𝑑 ∈𝑠 𝑐 Además Fs=Es ∈ 𝑠 (𝑐 − 𝑑°) (𝑎 − 𝛽1𝑑°) 𝑓𝑠 = 6 → 𝐹𝑠 = 6 𝑡/𝑐𝑚2 𝑐 𝑎 Si Fs>Fy→As esta en fluencia, ergo Fs=Fy; 3.3 Determinación de Ia cuantía balanceada. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 24 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Recordemos que la cuantía balanceada se encuentra para el estado en que empieza la fluencia del acero en tracción. Haciendo el equilibrio tenemos: T=Cc+Cs AsFy=0.85Fc bab+As Fs 𝐶𝑏 0.003 0.003 = → 𝐶𝑏 = 𝑑 𝑑 0.003+∈ 𝑦 0.003+∈ 𝑦 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝜖𝑦 = = 𝐸𝑠 2 ∗ 106 6000 6000 𝐶𝑏 → 𝑎𝑏 = 𝛽1( )𝑑 6000 + 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑓𝑐 6000 1 𝐴𝑠 𝑓𝑠 = 0.85 𝑏 𝛽1 ( )𝑑 ∗ + . 𝑏𝑑 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝑏𝑑 𝑏𝑑 𝑓𝑦 𝑓𝑠 𝑃𝑏 = 𝑃𝑏 + 𝑃 𝑓𝑦 𝑓𝑐 6000 𝐴𝑠 Donde: 𝑃𝑏 = 𝛽1 0.85 𝑓𝑦 (6000+𝑓𝑦) 𝑦 𝑃° = 𝑏𝑑 Cuantía Máxima._ El código ACI limita la cuantía a una cuantía máxima permisible para el diseño de vigas doblemente reforzadas según la siguiente expresión: 𝑓𝑠 𝑃 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝑃𝑏 + 𝑃 𝑓𝑦 3.4 Diseño de Secciones Doblemente Reforzadas. Sea "Mu" Al valor del momento último actuante en nuestra sección de viga, el desafío de secciones doblemente reforzadas se parte asumiendo un valor de cuantía para la parte de acero en tracción que equilibra el esfuerzo de compresión del concreto. 𝐴𝑠1 𝑃1 = → 𝐴𝑠1 = 𝑃1𝑏𝑑 𝑏𝑑 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 25 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Con el cual podemos calcular el valor de “a" y el valor de Mu1 𝐴𝑠1𝑓𝑦 𝑎= 0.85𝑓𝑐. 𝑏 𝑎 𝑀𝑢1 = ∅𝑀𝑛1 = ∅𝐴𝑠1𝑓𝑦(𝑑 − ) 2 Es posible que M 1 sea suficiente para soportar el momento último actuante, en todo caso se tendré que: Si Mu≤Mu1 entonces no necesitamos acero en comprensión. Si Mu>Mu1 entonces si necesitamos acero en comprensión. Para el caso que necesitemos acero en comprensión, procederemos a calcular la cantidad de acero en tracción adicional para compensar el momento último remanente, es decir: 𝑀𝑢2 = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑢1 𝑀𝑢2 = ∅𝑀𝑛2 = ∅𝐴𝑠2. 𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑°) 𝑀𝑢2 𝐴𝑠2 = ∅𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑°) EI acero en comprensión será el que equilibra la fuerza de tracción que origina As2. 𝐴𝑠𝑓𝑠 = 𝐴𝑠2𝑓𝑦 𝑀𝑢2 = ∅𝑀𝑛2 = ∅𝐴𝑠𝑓𝑠(𝑑 − 𝑑°) 𝑀𝑢2 𝐴𝑠 = ∅𝑓𝑠(𝑑 − 𝑑°) (𝑎−𝛽1𝑑°) 𝑡 Donde: 𝑓𝑠 = 6 ≤ 𝑓𝑦 (𝑐𝑚2) 𝑎 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 26 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Luego el área total de acero en tracción estará por: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 3.0 FUERZA CORTANTE TRACCION DIAGONAL. I. T1 Esfuerzo principal T2 Cg A 𝑡1 < 𝑡2 II x Y Β H 𝑉 = 𝑃𝑠𝑒𝑛𝛽 𝐻 = 𝑃𝑠𝑒𝑛𝛽 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 27 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Formula de diseño por corte: 𝑉𝑢 = 𝜃𝑉𝑛 𝜃 = 0.85 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 Vc= cortante que resiste al c concreto h/2 Cortante Agrietamiento diagonal de viga para C°  Grietas por cortante y flexión.  Grietas por cortante en el alma. I. Grietas por cortante y flexión Vci fuerzas de presión bajas, que se presenta en un cortante nominal el Vci, se inicia como grietas de flexion casi virtuales en la caarga a tensión de la viga y se propagan diagonalmente hacia arriba (bajo la influencia de la tensión diagonal) hacia la cara o compresión. Este tipo de grieta diagonal es común en vigas con una fuerza de presfuerzo relativamente baja. II. Grietas por cortante en el alma: Vcu, almas delgadas, fuerzas de presión alta ocurren en un cortante nominal, se inician en alma por la tensión diagonal y luego se propagan en forma diagonal tanto hacia arriba como hacia abajo, estas se presentan a menudo en vigas con almas delgadas sometidas a altas fuerzas de presfuerzo. Grietas por flexion cortante. Grietas por cortante en el alma. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 28 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil a) Grietas por cortante y flexión Vci 𝑉𝑐𝑖 = 0.6√𝑓𝑐 𝑏𝑤. 𝑑 + 𝑉𝑑 + 𝑉𝑐𝑣 Vd = carga de la viga (sin aplicacion) Vcv=carga adicionado (carga muerta sobrepuesta) 𝑉𝑑 𝑓𝑙 𝑉𝑐𝑣 = . 𝑀𝑐𝑟 𝑀𝑑 + 𝑙 𝐼𝑐 Mcv=momento de agrietamiento 𝑀𝑐𝑣 = 𝐶𝑧 (6. √𝑓𝑐 + 𝑓2𝑝𝑒 − 𝑓2𝑜) Siendo: C2=distancia al centroide del C° hasta la cara a tensión. F2pe=Esfuerzo de compresión en la cara a tension que resulta a la fuerza. F2o=Esfuerzo en la fibra inferior por el peso propio de la viga. EL CODIGO ACI Vci≥1.7√𝑓𝑐. 𝑏𝑤. 𝑑 Los ensayos indican que (Vci) no es necesario que Vci sea menor que 1.7√𝑓𝑐. 𝑏𝑤. 𝑑 d≥0.8h b) Grietas por cortante en el alma Vcw 𝑉𝑐𝑤 = (3.5√𝑓𝑐 + 0.3𝑓𝑝𝑒)𝑏𝑤. 𝑑 + 𝑣𝑝 Siendo: Fpe=Esfuerzo de compresión en el C° después de las perdidas en el centroide de la sección del C° Vp=Componente vertical de la fuerza efectiva de presfuerzo Después de calcular Vci y Vcw el valor de Vc se toma igual al menor de estos valores CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 29 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil El calculo del momento de agrietamiento Mov, Vci y Vcw para una viga de C° presforzado es un asunto tedioso por que muchos de los parámetros varian a lo largo del eje del elemento. En casos practicos las cantidades requeridas pueden encontrarse en intervalos discretos a lo largo de la longitud como L/2, L/3, L/6 y h/2 a la cara del apoyo. Para obtener los cálculos requeridos el código ACI incluye como una alternativa conservadora el procedimiento antes descrito una ecuación para determinar la manera directa la resistencia al cortante del C° Vc. 𝑉𝑢 𝑉𝑐 = (0.6√𝑓𝑐 + 700 𝑑) 𝑏𝑤. 𝑑 𝑀𝑢 Mu = Momento flector. 𝑉𝑢.𝑑 Para no debe tomarse mayor que 1. 𝑀𝑢 Cuando se utiliza esta ecuación alternativa no es necesario que Vc se tome menor que Vc≥2√𝑓𝑐 𝑏𝑤. 𝑑 Ni mayor que Vc≤5√𝑓𝑐 𝑏𝑤. 𝑑 DISEÑO POR CORTE: Vc=menor valor entre (Vcr, Vc) Vn=Vc+Vs Siendo Vs=refuerzo y cortante: 𝐴𝑣. 𝑓𝑦. 𝑑 𝑉𝑠 = 𝑠 Siendo: S= Espaciamiento del refuerzo transversal. Según ACI 𝑉𝑠 = 8√𝑓𝑐. 𝑏𝑤. 𝑑 CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 30 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Ar= Area del esfuerzo transversal. Vu=ᶲVn ᶲ= 0.85 𝐴𝑟.𝑓𝑦.𝑑 Vu= ᶲ( + 𝑣𝑐) 𝑠 Despejando Ar (𝑉𝑢 − ᶲVc)𝑠 𝐴𝑣 = ᶲ. fy. d O también ᶲAr. fy. d 𝑠= 𝑉𝑢 − ᶲVc Acero de 3⁄8 Ar= 1.42 Cm2 3.1 AREA MINIMA DEL ESFUERZO POR CORTANTE SEGÚN ACI. Este área debe tomarse igual al menor de: 𝑆𝑜. 𝑏𝑤. 𝑠 𝐴𝑃 𝑓𝑝𝑢 𝑠 𝑑 𝐴𝑣 = 𝐴𝑣 = . . 𝑑 . √𝑏𝑤 𝑓𝑦 𝑆𝑜 𝑓𝑦 y Ap= área de acero de presfuerzo. Fpu= resistencia ultima acero presfuerzo. El espaciamiento “s” máximo no debe exceder el menor valor entre 0.75h o 24 pulgadas. Si el valor Vs≥4√𝑓𝑐.bw.d estos límites se reducen a la mitad. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 31 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 4.VIGA TRACCION Y COMPRESION. 4.1, Analisis de una viga de concreto armado sometido a fuerza cortante: 1. Viga con refuerzo longitudinal. El C° armado antes de presentar alguna grieta se comporta como un material homogéneo, aunque esta etapa es muy corta. por encima del eje E.N los puntos de la sección A-A están sometidos a esfuerzo de corte y compresión, Vy Vs. Respectivamente, por debajo de el la compresión es reemplazada por tracción. Para cada punto es posible determinar la magnitud y dirección de sus esfuerzos principales con. 𝑚𝑎𝑥 𝛿𝑥 𝛿𝑥 2𝑉 𝛿 𝑚𝑖𝑛 = ± √( 2 )2 + 𝑣 2 , 𝑇𝑝. 2𝜃 = 2 𝛿𝑥 Donde: CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 32 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 𝛿max= esfuerzo principal de tensión en la dirección 𝜃 𝛿min= esfuerzo principal de compresión en la dirección 𝜃 𝛿𝑥= esfuerzo de tracción o compresión debido al momento flector. V= esfuerzo de corte debido a la fuerza cortante. θ= angulo que toma la dirección del esfuerzo principal con el eje del elemento. Se observa que: 1. En el eje neutro solo actúa el esfuerzo de corte, δx=0 y por lo tanto, δmax=v y θ=0.45° y θ=135° 2. El esfuerzo principal de tensión es menor que V por encima del eje neutro y mayor por debajo de el. 3. El el borde superior del elemento, el esfuerzo de corte es nulo y el esfuerzo principal de compresión es igual a δx este ultimo se presume paralelo al eje del elemento. 4. En el borde inferior ocurre lo mismo que en el caso anterior, el esfuerzo cortante es nulo y el esfuerzo principal de tensión es paralelo al eje del elemento e igual δx en los 2 últimos casos θ ± 90°, θ ± 180° y δmax=δx. Consideremos ahora una viga de C° similar a la analizada pero provista de refuerzo longitudinal para resistir los refuerzos generados por la flexion, el C° es un material que tiene poca resistencia a la tracción en comparación con su resistencia a la compresión y al esfuerzo cortante, los esfuerzos de tensión alcanzan la resistencia del material antes que los esfuerzos de corte por lo que las grietas que se presentan son ocasionadas por los primeros. En cualquier punto del eje neutro, el esfuerzo δx es nulo y por lo tanto θ ± 45°, θ ± 135° COMPORTAMIENTO DE LA VIGA SIN ESFUERZO EN EL ALMA. Si la viga no presenta esfuerzo en el alma para resistir las solicitaciones de corte, estos serán soportados por C° solo. Las fuerzas que resisten el corte en vigas sin refuerzo en el alma son: CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 33 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil Vc2=fuerza de corte soportada por la garganta de concreto ubicada sobre la figura constituye de un 20 a 40% del corte total. Vc y Vd= fuerzas que se generan por el deslizamiento relativo entre los 2 bordes de la fisura Va se debe a la interacción entre los agregados del concreto a lo largo de la fisura y constituye de un 35% a 50% del cortante total Vd, es generado por el refuerzo longitudinal y se encuentra limitado por la resistencia a tracción del concreto pues el acero se apoya directamente sobre el concreto bajo el equivale a un 15% a 20% del total. Los mecanismos de falla del C° sin refuerzos transversal son múltiples, y dependen fundamentalmente de la esbeltez del elemento, se define esbeltez como la relación entre la luz del cortante y el peralte de la sección. La luz de cortante para vigas sometidas a cargas concentradas (A) es la distancia en tre el punto de aplicación de la capa y el poyo mas cercano. Para vigas con cargas uniformemente repartidas. Esto es igual a la luz libre del elemento (Ln) En elementos de gran esbeltez con: A/2≥5.5 y Ln/d≥16. La falla es producto de los esfuerzos generados por el momento flector actuante. La falla por tensión diagonal se produce en elementos con esbeltez intermedia: 2.5≤A/d≤5.5 y 11≤Ln/d≤16. La falla en compresión por cortante se presenta en elementos poco esbeltos: 1≤A/d≤2.5. Cualquier tipo de falla ocasionada por fuerza cortante es indeseado pues se desarrolla bruscamente bajo deformaciones pequeña. Para evitarlas la estructura debe ser provista de refuerzo transversal. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 34 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil 5.0 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:  El objetivo principal de un diseñador de estructuras es lograr elementos estructurales económicos, que cumplan con los requerimientos de seguridad, funcionalidad y estética. Para ello se requiere de un buen análisis y diseño estructural; tareas que comprenden un gran número de cálculos y operaciones numéricas. También hay que destacar que muchas metodologías, desarrolladas en la actualidad para el diseño de estructuras, utilizan soluciones iterativas que pueden ser desventajosas para los diseñadores; sobre todo para aquellos con escasa experiencia. Por tales motivos se vuelve necesario hacer uso de las herramientas y tecnologías disponibles en el presente. Una de ellas es la utilización de programas de cómputo desarrollados especialmente para el diseño estructural. Tal es el caso del software que se utilizó en este trabajo y cuya realización está justificada por todo lo anteriormente mencionado .  El programa de cómputo desarrollado en este proyecto sirve para revisar o diseñar placas base para columnas y placas de soporte para vigas. Se decidió enfocar el trabajo en este tipo de miembros estructurales por 2 motivos principales. Primero, porque estos miembros son importantes y además necesarios en las estructuras de acero. Se vuelven indispensables debido a que fungen como conexión entre elementos de concreto y elementos de acero, para asi lograr una adecuada transmisión y distribución de las cargas. Segundo, porque resulta ser escasa la literatura concerniente al diseño de dichos elementos estructurales tan importantes. Por ello, el trabajo aquí realizado puede servir como apoyo en el estudio de vigas base para las columnas y placas de soporte para vigas. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 35 Universidad Andina Néstor Cáceres Velásquez C.A.P. De Ingeniería Civil  Dentro de las estructuras ningún elemento ningún elemento tiene menor importancia que el otro. Cada miembro desempeña una tarea especifica y con esto se logra el funcionamiento adecuado de toda la estructura. Por tal motivo, el ingeniero tiene la obligación de realizar el diseño de todos los elementos estructurales, apegándose a las normas disponibles.  Toda la teoría empleada y las conclusiones obtenidas en este trabajo están basadas en investigación y documentos desarrollados por autores, mismos que deben utilizarse como base para el estudio de diseño de vigas. CONCRETO ARMADO II VIII-B Página 36