UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVILUNP “UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALS I DOCENTE: ING. OLIVER A. MOGOLLON ALUMNOS: KELVIN TERRONES HUATANGARE SAAVEDRA CUNYA INGRID ROCIO OROZCO LOZADA JORGE EMILIO PIURA 20 DE FEBRERO DEL 2015 UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL INDICE INTRODUCCION. CIRCULO DE MOHR. 1. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS 1.1 CASO BIDIMENSIONAL. 1.2 CASO TRIDIMENSIONAL. 2. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA 3. ESFUERZOS EN EL ESPACIO. 3.1 EL ESFUERZO ESFERICO. 3.2 ROTACION DE PLANOS: PLANOS DE MAXIMO ESFUERZO CONSTANTE. 3.3 EL ESTADO DE ESFUERZOS TRIDIMENSIONAL. 3.4 ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE ESFUERZOS. 4. SOLUCION DE PROBLEMAS 5. ESFUERZOS TERMICOS EN ARMADURA a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Las aplicaciones de esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la Resistencia de Materiales y de la mecánica de suelos. . en la mayoría de las aplicaciones. medidas de escala. La razón para esta vigencia se encuentra en la información. aunque se trate de una solución gráfica. su construcción no exige. simultáneamente general y detallada. Una de sus características más importantes es que.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL INTRODUCCION El Círculo de Mohr es una de las pocas construcciones graficas en la ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y las computadores. que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería. adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio. centro. También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.). deformaciones y tensiones. . etc.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CIRCULO DE MOHR El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia. Usando ejes rectangulares.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 1.1 CASO BIDIMENSIONAL En dos dimensiones. donde el eje horizontal representa la tensión normal ( σ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (τ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: . la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima. a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º: NOTA: el eje vertical se encuentra invertido por lo que los esfuerzos positivos van hacia abajo y los esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Centro del círculo de Mohr: Radio de la circunferencia de Mohr: Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por: Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por: . representadas en el diagrama (σ. no necesariamente diferentes.2 CASO TRIDIMENSIONAL El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 1. medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P. τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr. Esto es más complejo que el caso bidimensional. las tensiones normal (σ) y tangencial (τ). En el caso general. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ. donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado. la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 2 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA Para sólidos planos o casi-planos. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos: Centro de la circunferencia: Radio de la circunferencia: . Estado de los esfuerzos en el espacio Solo se muestran los esfuerzos sobre las Caras positivas del cubo elemental . pues además de los esfuerzos asociados a las direcciones X y Y aparecen ahora los esfuerzos en la dirección Z.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 3 ESFUERZOS EN EL ESPACIO Un elemento de material como el indicado en la figura siguiente se encuentra en un estado de esfuerzo triaxial. z son iguales y no existen cortantes. y. Z = Componentes de esfuerzos paralelos a los ejes x. Para el estado de esfuerzo esférico. . z = Dirección de los ejes de coordenadas. Y. z respectivamente. y.1 EL ESFUERZO ESFERICO Es un estado especial de esfuerzo triaxial en el cual los esfuerzos normales en las direcciones x. y. X. Nótese x. Es claro que estos esfuerzos son esfuerzos principales.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 3. el esfuerzo cortante es nulo en todos los planos (el circulo de Mohr se convierte en un punto). B. Circulo C = rotación respecto al eje z. Circulo B = rotación respecto al eje y.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 3.2 ROTACION DE PLANOS: PLANOS DE MAXIMO ESFUERZO CONSTANTE. C. Interpretación de los Círculos de Mohr: Circulo A = rotación respecto al eje x. Esfuerzos cortantes máximos Circulo A: Circulo B: . El estado de esfuerzos principales indicados encuentra su representación gráfica en los círculos de Mohr A. el máximo esfuerzo cortante se obtiene en el círculo C. Gráficamente: .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Circulo C: En este caso en particular. Los esfuerzos cortantes así obtenidos actúan sobre planos de esfuerzos cortantes máximos (o principales). Del estado tridimensional de los esfuerzos se concluye que es posible conocer los esfuerzos en cualquier plano que pase por el punto en el cual se quiere obtener los esfuerzos. Notación para los esfuerzos cortantes: Ty = Esfuerzo cortante que actúa en la cara “i” del elemento y tiene la dirección del eje “j”. si se conocen las seis componentes del estado tensional .3 EL ESTADO DE ESFUERZOS TRIDIMENSIONAL El estado de esfuerzos tridimensional no solo consta de esfuerzos normales sino también de esfuerzos cortantes. donde se supone que todos los esfuerzos (normales y cortantes) son positivos. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 3. como se muestra en la figura siguiente. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 3.4 ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE ESFUERZOS. Supóngase que se quiera calcular los esfuerzos que se generan en un plano oblicuo cuya dirección en el espacio viene determinada por los cosenos directores de la normal N al plano. m y n. es decir por l. . σy)/2 2 =40º a=280 b= xy =-560 .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 4.099 a = (σx . sometido a torsión. 560 kg/cm2 560kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 Datos: σx =1400 kg/cm2 xy =-560 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2 =20º MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=1120 R=626. SOLUCION DE PROBLEMAS 1) Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada. soporta las tensiones cortantes representada en la figura. determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. 45 t =249kg/cm² s =R-574.099cosb=574.099 t =249kg/cm² b b=63.099cosb=574.9 senb=560/626.54kg/cm² b=63.45 626.435 626.099 a=23.099 b b=63.099sena=249 626.099kg/cm² s (1400.099kg/cm² s t b 40º a O s min=493.54kg/cm² .435 626.099sena 626.9 s =545.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL t (8400.435 626.099 a=23.-560) -560 626.099sena 626.435 senb=560/626.560) t max=626.435 s =R-574.099 560 626.099 560 626.099sena=249 626.435 a=23.45+493.099cosb b=63.435 a=23.45+493.099cosb s =545.9kg/cm² C=1120 s max=1746.435 626. 86 a = (σx . 840 kg/cm2 700 kg/cm2 700kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 700kg/cm2 700 kg/cm2 840 kg/cm2 Datos: σx =-560 kg/cm2 xy =700 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=-700 R=713. a) Las tensiones principales y sus direcciones b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan.σy)/2 a=140 b= xy =700 . determinar analíticamente.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 2) Un elemento plano está sometido a las tensiones indicadas en la figura. 86kg/cm² 840 .86kg/cm² 2qc s x.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL t t max=713.t xy t max=-713.86 C=-700 O s max=13.86 s s y.86 700 2qp 2 s min=-1413.t xy R=713. σy)/2 a=560 b= xy =0 2 =40º s y.t xy sn s x. las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 3) Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2.981 kg/cm2 σn =560cos40º σn =-428.359. Determinar el círculo de Mohr.t xy DEL GRÁFICO: -560 O=centro s 560 40º t R=560 t =560sen40º t= .985kg/cm2 . Datos: σx =560 kg/cm2 xy =0 σy =-560 kg/cm2 =20º MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=0 R=560 t a = (σx . UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 4) Un elemento plano de un cuerpo está sometido a las tensiones . 2 2 XY 2 2 σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210.0) /2+280 2 σ min=-194.0) /2+280 2 σmax =404. así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar . σx = 210 Kg/ cm2. a) determinar analíticamente las tensiones principales y sus direcciones.04 Kg/ cm2 .04 Kg/ cm2 σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210. σy =0. xy =280 Kg/ cm2 .b) resolverlo por el circulo de morh Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 xy =280 Kg/ cm2 =45º a) Calculando los esfuerzos principales: x y x y 2 1. IVQ 90º-2 p=20.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL b) Hallamos las direcciones: 2 xy tan2 p x y Tan2 p=-2x280/210 2 p=-2.σy)/2 xy c=10º16´41” .667 IIQ.554 2 p1=20.554+90º 2 p2=20.04 Kg/ cm2 Tan2 c=(σx.554+270º p1=55º16´ p2=145º16´ c) Cortante máximo: x y 2 máx = ± J xy 2 2 máx = ±√ (210-0)2/2+2802 tmax= ±299. 55 .04kg/cm² DEL GRÁFICO: Sen2 c=105/299 2 c=20.55 2 p=20.σy)/2 210 a=280 t b= xy =280 t max=299.t xy 280 2qp2 s min=-194 O C=105 s max=404.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=105 R=299.t xy 105 280 t max=-299.04kg/cm² s x.55+90º 2 p=110.04 a = (σx .04 s R=299 2qp1 2qc s y. σy) Cos2 )/2+ xy Sen2 σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2 . Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado está sometida a una carga de compresión axial de 2. Datos: L=2cm P=-2240kg =30º 2240kg 2240kg σx = P/A σy =0 σx = -2240kg/2x2cm2 xy =0 σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales.24 kg. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 5. 0)/2+0 Cos60º t= -242. Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0 xy =0 θ=30º .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Esfuerzo cortante: t= Sen2 (σx.49 Kg/ cm2 Resolver nuevamente el problema 5 utilizando el círculo de Mohr.σy)/2+ xy Cos2 t= Sen60º(-560. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=-280 R=280 a = (σx .t 280 280Sen60º 2 s min=-560 C=-280 O s s max=0 DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2 t= 280Cos60º t= -140 Kg/ cm2 .σy)/2 2θ=60º a=280 t b= xy =0 s n. Recordando que: . Estos esfuerzos se generan cuando un elemento sometido a cambios de temperatura se le sujetan de tal modo que impide la deformación del mismo. ESFUERZOS TERMICOS EN ARMADURAS Esfuerzo térmico.UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL 5. esto genera que aparezca esfuerzos en la pieza. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Cuando un material se somete a un incremento de temperatura se produce una dilatación: Al incrementarse la temperatura se produce la dilatación ∂ Como se recuerda en los cursos de física se a estudiado. T: Incremento de temperatura. T Siendo Coeficiente de dilatación térmica. Si al elemento se le impide la libre dilatación mediante una restricción como un empotramiento. el elemento quedará sometido a un esfuerzo al ser impedido el alargamiento por medio de los dos empotramientos. Como en la realidad los empotramientos están impidiendo completamente la deformación debe cumplirse que: 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐸𝐴 = 𝐸 LT =𝑃𝐿 𝐿 Por lo tanto el esfuerzo generado por el cambio de temperatura es: TE .UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Al medirse la dilatación se generan esfuerzos de comprensión La fuerza ejercida por el empotramiento se puede calcular quitándolo y dejando que se produzca la deformación y volviéndolo a poner de tal manera que obligue a la barra a recobrar su tamaño original. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL .