Trabajo Practico 3 de Geometria Proyectiva

Diego Sebastián DaubrowskyGeometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. Tello” TRABAJO PRACTICO N° 3 GEOMETRIA PROYECTIVA 1- EL PLANO PROYECTIVO Y SUS TRANSFORMACIONES 3.1 – EL PLANO PROYECTIVO  ¿Qué nombre recibe el plano ordinario de la geometría elemental? Se llama plano euclidiano al plano de la geometría euclidiana, es decir al plano que utiliza Euclides en sus Elementos, y para el cual valen todos los postulados establecidos en los mismos. Es el plano ordinario de la geometría elemental.  Escribe las definiciones de las “Formas Proyectivas Fundamentales”. Realiza un gráfico de cada una de ellas, acompañado de su notación. Ceppi Con los elementos fundamentales, punto, recta y plano, pueden generarse un cierto número de formas llamadas fundamentales: Formas Proyectivas fundamentales generadas por: PUNTO a) PUNTUAL: Constituida por puntos de una recta. b) PLANO PUNTUAL: Constituido por los puntos del plano. c) ESPACIO PUNTUAL: Constituido por los puntos del espacio. Esta forma no es posible graficarla. Formas Proyectivas fundamentales generadas por: RECTA 1 Formas Proyectivas fundamentales generadas por: PLANO a) HAZ DE PLANOS: Constituido por los planos que pertenecen a una misma recta.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. c) RADIACION DE RECTAS: Constituido por las rectas que pasan por un punto. b) PLANO REGLADO: Constituido por las rectas de un plano. Tello” a) HAZ DE RECTAS: Constituido por rectas de un plano que pasan por un punto. 2 . Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E.  Enuncia los seis postulados fundamentales de la geometría proyectiva. Esta forma no tiene nomenclatura y no la representamos. Ceppi 3 . c) ESPACIO TANGENCIAL: Constituido por los planos del espacio. Tello” b) RADIACION DE PLANOS: Constituida por planos que pertenecen a un mismo punto. Tres puntos que no pertenecen a una misma recta. Tello” a) b) c) a) b) Dos puntos determinan una recta. determinan un plano Un punto y una recta determinan un plano. Tres o más planos que no pertenecen a una misma recta. Cortar (con una recta o un plano). c) Un plano y una recta determinan un punto. Mediante las operaciones proyectivas se puede pasar de una forma a otra. determinan un punto.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. Dos planos determinan una recta a la cual pertenecen. Cortando desde un plano: Un haz de planos Un haz de rectas Un plano reglado Se obtiene Un haz de rectas Una puntual. 2. Así si: Proyectamos desde un punto: Una puntual Un haz de rectas Una radiación de rectas Un plano puntual Un espacio puntual Un plano reglado Un haz de rectas Un haz de planos Se obtiene Una radiación de rectas Una radiación de planos Proyectando desde una recta: Una puntual Un plano puntual Un espacio puntual Se obtiene Haz de planos. Cortando desde una recta: Un haz de planos Una radiación de planos Un espacio tangencial Se obtiene Una puntual. 4 . Ceppi Se llaman operaciones proyectivas: 1. Proyectar (desde un punto a una recta).  ¿Cuáles son las operaciones proyectivas? Descríbelas. Ceppi “Toda proposición que se establezcamos en el plano α tendrá su correspondiente en α1.”  Aplica el PDP a la expresión “dos puntos determinan una recta”. con la sola diferencia que se habrá de cambiar únicamente la palabra punto por recta. llegaremos a demostrar una propiedad que se llamara dual o correlativa de la anterior en el espacio. las palabras punto por plano. la expresión queda “dos rectas determinan un punto. por dualidad. que “Cambiando la proposición enunciada. 5 . no necesitara ser demostrada. La palabra plano permanece invariable. Además a diferencia de la geometría proyectiva en la que dos rectas siempre se cortan en un punto. y viceversa. en la geometría euclidiana dos rectas pueden cortarse en un punto. Se llega a la conclusión luego de observar los postulados fundamentales. ¿Es valida la propiedad dual en el plano euclidiano? ¿Por qué? Por el principio de dualidad en el plano. es decir es válida si las rectas se cortan entre sí. Ceppi El principio de dualidad lo aplicamos a figuras formadas por puntos. Tello” Una radiación de rectas Una radiación de planos Un espacio tangencial Un plano puntual Un plano reglado Las operaciones de proyectar y cortar son contrarias. con excepción de las rectas paralelas. Grafica. rectas y planos. y viceversa. siendo una consecuencia lógica de la primera. Ceppi Hay que tener en cuenta que la dualidad de dos proposiciones exige que a elementos que pertenecen a una de ellas le correspondan elementos que también se pertenecen en la otra.  Enuncie el Principio de Dualidad en el Plano (PDP). La operación de proyectar le corresponde. de tal manera que la segunda.”  ¿Qué hay que tener en cuenta cuando se aplica el PDE? ¿A la expresión “Proyectar” que expresión le corresponde.  Enuncie el principio de dualidad en el espacio (PDE). la operación de cortar.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E.” Esta propiedad no es válida en el plano euclidiano ya que si las rectas fueran paralelas no habría intersección por lo cual no determinarían un punto. llamado punto impropio (o punto en el infinito). y común a todas las rectas paralelas. El mismo razonamiento se realiza si moveríamos el punto a la izquierda. pues va tendiendo a cero.  ¿Cómo se define gráficamente el punto impropio?  ¿Qué indica la recta que define un punto impropio? La recta que define un punto impropio define una dirección común a las rectas paralelas que lo generan. Tello”  ¿Qué nombre recibe el punto determinado por dos paralelas? Dentro de la geometría proyectiva. A medida que el punto P se aleja hacia derecha. Si el punto P se mueve y pasa a una posición P´. De aquí el punto impropio P∞ puede considerarse tanto a la izquierda como a la derecha de la recta y representa la dirección común de las rectas p y μ (y de todas las paralelas a ellas). Decimos entonces que p y μ. Un punto P de la recta μ proyectado desde S determina una recta SP.  ¿Qué significa la expresión “dos rectas tienen la misma dirección”? De aquí el punto impropio P ∞ puede considerarse tanto a la izquierda como a la derecha de la recta y representa la dirección común de las rectas p y μ (y de todas las paralelas a ellas). limite que alcanza cuando la recta por S es la recta p paralela a μ. se cortan en un punto P ∞. Si consideramos una recta μ y un punto S fuera de ella. la recta SP´´. 6 . y así siguiendo. la recta que lo une con S forma con la recta μ un Angulo cada vez más pequeño. le corresponde una nueva recta SP´. a la posición P´´. y cualquier otra recta paralela a ellas.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. es decir el punto P alejándose sobre la recta μ en cualquiera de los dos sentidos tiende al mismo limite P ∞ . Dos rectas paralelas μ y p de los planos α y β. y en la geometría proyectiva dos rectas paralelas se cortan en un punto impropio P∞.  ¿Teniendo en cuenta el concepto de punto impropio. pertenece a la recta impropia l∞. Este punto impropio. por lo tanto el punto en el infinito 7 . aparece por el extremo opuesto al recorrido anteriormente. Tomando un plano α y una recta r que no pertenezca a él. por contener todos los puntos P∞ del plano α. llegamos a establecer que todo plano por r corta al plano α.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. que es paralelo a α. con excepción del plano β. se los representa como una línea cerrada. ya que se amplía el concepto de la geometría euclidiana en que dos rectas coplanares se intersectan con excepción de las rectas paralelas. Tello” La consideración precedente nos lleva a la conclusión de que una recta tiene un solo punto impropio. La línea l ∞. caso que se obtiene como límite cuando la intersección de ambos planos se va alejando indefinidamente. Esta recta l∞ pertenece a todos los planos paralelos al α y define una orientación común. Con este nuevo concepto. de tal manera que si un punto se aleja en un sentido. que contiene. Variando la posición de las paralelas μ y p de los dos planos. respectivamente. obtenemos infinitos puntos impropios.  ¿Por qué se dice que “cada recta tiene un punto impropio y solo uno”? Se dice que cada recta tiene un solo punto impropio partiendo de su definición se reprenta un movimiento de un punto hasta lograr llegar a un punto limite P ∞. después de pasar por la posición limite P ∞. todos ellos pertenecen a la recta impropia l∞. Decimos que dos planos paralelos α y β determinan una recta impropia l ∞ (o recta en el infinito). Teniendo en cuenta el concepto de punto impropio dos rectas coplanares siempre se cortan. en el cual en las rectas se unen los extremos de todas las paralelas. evidentemente. tienen en común un punto P ∞.  Explica porque el conjunto de todos los puntos impropios de un plano forman una recta ¿Qué nombre recibe esta recta? Si consideramos el caso de dos planos. según una recta t. pero que sea paralela. Luego esta orientación contiene las infinitas direcciones de todas las rectas de los planos α y β (y de cualquier plano paralelo a ellos). la línea recta aparece como un ente geométrico que se cierra en el infinito. siempre se cortan? Representa las diferentes posibilidades. dos rectas coplanares. que podemos imaginar intuitivamente considerando la circunferencia de radio infinito. b) determinado por las dos rectas. Los puntos impropios de π corresponden a las rectas de la radiación contenidas en el plano π´. 8 . Tello” de cada uno de sus radios. al cortar con el plano π. La recta impropia corresponde a π´.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. Esta recta se la llama recta impropia y se la simboliza l ∞. paralelo a π. Considerando el conjunto de rectas y planos del espacio que pasan por el punto O.  Explica cómo obtener una imagen del plano proyectivo. un solo “punto” impropio. Realiza un gráfico y argumenta tu relato. constituye una representación del plano euclidiano. o sea. contenida en el plano π´. de todas las dirección del plano. excluido en el plano π´. Para obtener el plano proyectivo debemos partir de un plano π y un punto exterior O. Se llama plano proyectivo al plano euclidiano ampliado con los puntos impropios. o sea.  Define plano proyectivo. a cada recta a que corte a π le corresponde un punto A de intersección. la recta AB determinada por los puntos correspondientes. con el convenio de llamar “puntos” a las rectas de la radiación y rectas a los planos de la misma. y a cada plano (a. A rectas paralelas de π les corresponde una misma recta paralela que pasa por O. Luego. La radiación de vértice O. se tiene: La radiación de vértice O constituye una representación del plano proyectivo. y un cierto orden A.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. B. D entre ellos – independiente del orden que estén dados sobre r –. C y D. Dados cuatro puntos sobre una misma recta r. proposición valida en el plano proyectiva.2 – RAZON DOBLE DE CUATRO PUNTOS: Su invariancia por proyecciones y secciones. Tello”  ¿Cuál es la afirmación equivalente en el plano proyectivo del postulado V de Euclides? El postulado V equivale a la afirmación de que un punto propio y un punto impropio determinan una sola recta. se llama razón doble o razón armónica de los mismos a la expresión: AC AD (ABCD)= BC : BD  ¿Dados cuatro puntos A. B. C. 3.  Define “Razón Doble”. sobre una recta cuantas relaciones dobles se pueden formar? 9 . = . = . DA CB CB DA 1=1 10 . AD BC DA CB BD AC − AC −BD . = . al variar el orden de los mismos. es decir realizando la permutación de los cuatro elementos. AD BC −AD −BC 1=1 (CDAB) = (DCBA) CA CB DB DA : = : DA DB CB CA CA DB DB CA . P= 4! = 24. = . (ABCD) = (BADC) AC AD BD BC : = : BC BD AD AC AC BD BD AC . Expresa una conclusión. Tello” Se pueden formar 24 razones dobles con los cuatro puntos de una cuaterna. BC AD AD BC 1=1 (BADC) = (CDAB) BD BC CA CB : = : AD AC DA DB BD AC CA DB .  Verifica las siguientes igualdades: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA).Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. gráfica y demuestra el teorema de la invariabilidad de la relación doble. C. Debemos demostrar que (ABCD) = (A1B1C1D1) AC AD A 1 C1 A1 D1 : = : BC BD B1 C 1 B 1 D1 1. Tello” Por propiedad transitiva se verifica que (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA). B1.5 4. D1. Dada una recta r y cuatro puntos A.79 −0. Desde un punto P cualquiera.5 0.5 −0. (Teorema 1) TEOREMA 1: “La razón doble de cuatro puntos es invariable por la operaciones de proyección desde un punto y sección con una recta”.  Enuncia. para solo estos cuatro mantiene el valor.3333333≅−0.99 2. De las 24 formas que se podrían combinar estos cuatro elementos. D arbitrarios.33411654 11 .66 : = : −1.5 1. B.Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. trazo un haz de rectas. Luego con una recta r 1 cualquiera corto este haz de recta. C1.88 0. obteniendo los puntos A1. Tello” 3. 12 .Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E.3 – RAZON DOBLE DE CUATRO RECTAS.  Define razón doble de cuatro rectas de un haz. Se llama razón doble de cuatro rectas de un haz. a la razón doble de los cuatro puntos que se obtienen de al cortar el haz con una recta cualquiera que no pase por el vértice.