TRABAJO MECANICA DE ROCAS .docx

March 26, 2018 | Author: juan | Category: Sphere, Circle, Plane (Geometry), Geometry, Space


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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIACIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS DEDICATORIA El presente trabajo está dedicado aquellas personas que en transcurso de la vida nos llenan de amor y sabiduría, Pilares de nuestras vidas, nuestros padres y maestro. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS AGRADECIMIENTO Por medio de este presente trabajo triaxial informativo doy a conocer mis sinceros agradecimientos primeramente a mis padres que me han brindado todo su apoyo y que con sus sabios consejos me supieron orientar e inculcar principios morales, para que así siga adelante y culminen mis estudios. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS ÍNDIC OBJETIVOS......................................................................................................... 5 I. 1.1. OBJETIVOS PRINCIPAL..................................................................................5 1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS.............................................................................5 II. MARTILLO SCHMIDT PARA ROCAS......................................................................6 2.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................. 6 2.2. CARACTERISTICAS....................................................................................... 6 2.3. TIPOS DE MARTILLO..................................................................................... 7 2.3.1. Martillo SCHMIDT Tipo N/NR....................................................................7 1.1.1. Martillo SCHMIDT Tipo L/LR.....................................................................7 1.2. DESCRIPCION Y PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO.........................................8 1.3. PROCEDIMIENTO DE MEDIDA........................................................................9 1.4. EJEMPLO DE MEDIDAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS..................................14 II. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA......................................................................16 2.1. TIPOS DE PROYECCIÓN ESTEREOGRAFICA................................................20 2.1.1. Proyección Equiangular.........................................................................20 2.1.2. Proyeccion Equiareal:............................................................................21 TIPOS DE FALSILLAS...................................................................................... 22 III. 3.1. FALSILLA DE IGUAL ÁREA O FALSILLA DE SCHMIDT:...................................22 3.2. FALSILLA DE IGUAL ÁNGULO O FALSILLA DE WULFF:.................................22 IV. MEDICIÓN DE PLANOS Y LÍNEAS....................................................................23 V. TOMA DE DATOS EN GEOLOGIA EN LA PROYECCION........................................24 5.1. PROYECCION DE UN PLANO.......................................................................24 5.2. TIPOS DE REPRESENTACIONES ESTEREOGRÁFICAS:.................................28 5.2.1. Diagrama de círculos máximos o diagrama beta:.....................................28 5.2.2. Diagrama de polos o diagrama pi...........................................................28 5.2.3. Diagrama de densidad de polos.............................................................29 5.2.4. CONSTRUCCION DE UN SEMICIRCULO (DISCONTINUIDAD) Y UN POLO REPRESENTANDO UN PLANO............................................................................30 5.3. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA.........................................32 5.3.1. Línea orientada mediante dirección e inmersión......................................32 UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS 5.3.2. Línea orientada mediante dirección y cabeceo sobre un plano conocido..33 5.4. REPRESENTACION DE FALSILLAS...............................................................35 5.5. REPRESENTACION DE UNA RECTA..............................................................35 5.6. DETERMINAR EL ANGULO ENTRE DOS RECTAS:.........................................36 5.7. REPRESENTACION DE UN PLANO...............................................................36 5.7.1. Proyeccion Ciclográfica:.......................................................................36 5.8. REPRESENTACION DE UN PLANO (CICLOGRÁFICA)....................................37 5.9. REPRESENTACION DE UN PLANO (POLAR)..................................................38 5.10. INTERSECCION DE LOS PLANOS..............................................................38 5.10.1. Representación Ciclográfica..............................................................38 5.10.2. REPRESENTACIÓN POLAR.................................................................39 VI. CONCLUSIONES............................................................................................. 39 VII. BIBLIOGRAFIA................................................................................................ 40 UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS I. OBJETIVOS I.1. OBJETIVOS PRINCIPAL  El objetivo primordial en el trabajo triaxial informativo es saber las técnicas de proyección estereográfica I.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS   Introducir el concepto del martillo Schmidt para rocas en un ensayo Saber cómo se representa un plano, una recta y las falsillas en una proyección estereográfica II. MARTILLO SCHMIDT PARA ROCAS II.1. INTRODUCCIÓN Ideado en un principio para estimar la resistencia a compresión simple del concreto, el martillo de Schmidt se ha modificado convenientemente dado lugar a varios modelos, alguno de los cuales resulta apropiado para estimar la resistencia a compresión simple de la roca (RCS). Su uso es muy frecuente dada la manejabilidad del aparato, pudiendo aplicarse sobre roca matriz y sobre las discontinuidades (resistencia de los labios). El Martillo de Schmidt o por rebote consiste en un pistón de acero que se impulsa por un resorte contra la superficie de la roca a medir. El rebote de este pistón sobre la superficie define un valor adimensional entre Dureza y Resistencia de la muestra. Este rebote se mide como el cociente entre la velocidad del pistón al impactar la superficie y la velocidad al regresar del golpe sobre la superficie (HR). La medida del rebote se correlaciona con la resistencia a compresión simple mediante un gráfico debido a Miller (1965) que contempla la densidad de la roca y la orientación del martillo respecto del plano ensayado. II.2. CARACTERISTICAS  Independencia   independiente de la dirección de impacto. Optimizado para el trabajo en el terreno: Encapsulado más herméticamente contra la penetración de suciedad y  polvo, para mayor durabilidad. Significantemente más ligero y más ergonómico que el clásico martillo Schmidt. Una gran cantidad de lecturas se puede guardar, y descargar posteriormente a algún PC. Estadísticas preajustadas: Métodos de estadísticas recomendados por del ángulo de impacto: El valor de rebote es ISRM y ASTM están implementados en el martillo para el cálculo automático del número de rebote. También está a disposición la opción de definir un método estadístico específico del usuario. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS  Resistencia a la compresión libre: ISRM reco mienda una correlación entre  UCS y el valor de rebote basado en la fórmula UCS = aebR (en lo que R es el valor de rebote). Una correlación en este formato se puede definir en el software de PC y descargar al RockSchmidt. Módulo (E) de Young: ISRM recomienda una correlación entre el módulo  de elasticidad y el valor de rebote basada en la fórmula Et = cedR (en lo que R es el valor de rebote). Una correlación en este formato se   puede definir en el software y descargar al RockSchmidt. Grado de alteración por agentes atmosféricos: Dos impactos en la misma ubicación se pueden usar para correlacionar el grado alteración por agentes atmosféricos. El método recomendado por ISRM ha sido incluido en el dispositivo. II.3. TIPOS DE MARTILLO En la práctica común se utilizan dos tipos de martillo, el tipo L con una energía de impacto de 0.735N.m y el tipo N con una energía de impacto de 2.207 N.m. los rebotes medidos con estos martillos se denotan con los símbolos Rl y Rn, respectivamente. II.3.1. Martillo SCHMIDT Tipo N/NR El martillo Tipo N está diseñado para examinar muestras de hormigón de 4” (100 mm) de espesor o superior, o con un tamaño máximo de partícula de 1.25” (32 mm). El martillo Tipo NR cuenta con un registro de datos por ensayo. Los valores de rebote se registran en forma de gráfico de barras en una cinta de papel. Un rollo de papel registra 4,000 impactos de ensayo. Figura 1: Martillo SCHMIDT Tipo N/NR I.1.1. Martillo SCHMIDT Tipo L/LR El martillo tipo L/LR opera con energía de impacto significativamente baja, haciéndolo la opción ideal para ensayos de tabiques delgados, con un UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS espesor entre 2” y 4” (50 a 100 mm) o para ensayos de componentes pequeños. El tipo L/LR es adecuado para ensayos mampostería y sillería sensibles al impacto. En mecánica de rocas, los martillos tipo L/LR se utilizan comúnmente para ensayos de clasificación de núcleos de roca y piedra quebradiza. I.2. DESCRIPCION Y PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO El martillo de Schmidt (Fig. 2) es un dispositivo mecánico usado para realizar ensayos no destructivos en materiales como el concreto o roca. Figura 2: Martillo SCHMIDT UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 3: Principio de Funcionamiento del Martillo Consiste básicamente en un vástago que lleva conectado un muelle. Se coloca el vástago sobre la roca y se introduce en el martillo empujándolo contra la roca, lo que da lugar a que se almacene energía en el muelle que se libera automáticamente cuando esa energía elástica alcanza un cierto nivel y lanza una más contra el vástago. La altura que alcanza esta maza al rebotar, que se mide una escala graduada de 0 a 100, es directamente proporcional a la dureza y por lo tanto a la resistencia a compresión simple de la superficie de la roca. I.3. PROCEDIMIENTO DE MEDIDA El martillo únicamente se debe utilizar en la superficie de los materiales a ensayar y en el yunque de prueba En el caso de ensayos, el desarrollo del ensayo consiste en una preparación de las zonas elegidas, eliminando la pátina de roca meteorizada. Para alisar la superficie de ensayo se utiliza una piedra de amolar (Fig.4). UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 4: Piedra Amoladora Para la ejecución del ensayo, se realzan los siguientes pasos:  Posicionar el martillo perpendicularmente a la de superficie de la roca  ensayada. Disparar el vástago o punzón de impacto (1) empujando el martillo  hacia la superficie de ensayo hasta que el botón (6) salte hacia afuera. Pulsar el botón para bloquear el vástago de impacto después de cada  impacto. A continuación, leer y anotar el valor de rebote indicado por el puntero (4) en la escala (19). Figura 4: Ejecución del Ensayo Para la realización de ensayos sobre testigos de roca obtenidas en la perforación de sondeos se utiliza una base especial de acero de 20kg peso para los ensayos con martillo tipo L, sobre la que se apoya la probeta de roca cilíndrica de diámetro mínimo 54mm (NX) y longitud superior a 100 mm (ISRM ). Para los ensayos con martillo tipo N, ISRM sugiere un diámetro igual o superior a 4 mm (T2) y que la base tenga un peso de 40kg. Para calibrar el martillo se utiliza un yunque de prueba. Se recomienda realizar esta prueba de funcionamiento cada vez que se utilice el dispositivo. Si no se dispone del yunque de prueba se recomienda enviarlo al fabricante para su chequeo después de realizar 1000 impactos o cada 3 meses. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 6: Soporte para Testigos de Roca Para la ejecución de la prueba de funcionamiento se deben realizar los siguientes pasos:  Colocar el yunque de prueba en una superficie dura y lisa.  Limpiar las superficies de contacto del yunque y del vástago de  impacto. Ejecutar 10 impactos con martillo y comprobar los resultados comparándolos con el valor de calibración especificado en el yunque de prueba. Figura 7: Para Ejecutar la Prueba El factor de corrección (FC) se debe aplicar a todas las lecturas obtenidas en los ensayos y se calcula como: UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS De esta manera se tiene la perdida de rigidez del muelle del martillo con el paso de tiempo. Mediante el martillo de Schmidt, o esclerómetro, se puede, por tanto, estimar la resistencia a compresión simple de la roca a partir de la resistencia al rebote de la superficie de la roca ensayada. Como se ha comentado anteriormente, esta superficie deberá estar fresca y limpia, sin ningún signo de alteración ni fracturas. Esta medida del rebote se correlaciona con la resistencia mediante el grafico Miller que tiene en la densidad de la roca y la orientación del martillo respecto al plano de roca ensayado. Figura 7: Grafico de Correlación para el Martillo Schmidt El valor estimado a partir del martillo Schmidt debe ser obtenido estadísticamente, de tal manera que sea un valor representativo. ISRM recomienda tomar 20 lecturas en diferentes zonas con la opción de parar cuando alguna de las lecturas siguientes a las diez primeras difiera de la inmediatamente anterior un máximo de golpes. La norma ASTM recomienda tomar 10 lecturas. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS ISRM sugiere utilizar el promedio de las 10 lecturas con valores mas altos. La ASTM recomienda descartar las lecturas que difieran mas de 7 golpes del promedio y después promediar las restantes. La ISRM revisada sugiere no descartar ninguna lectura y presentar los valores obtenidos mediante un histograma de frecuencias que incluya el promedio, mediana, moda y el rango. Con el valor medio obtenido y conociendo la densidad de la roca se entra en el grafico de Miller, obteniendose el valorde resistencia a compresion para el material ensayado. Con los valores obtenidos se puede clasificar la roca por su resistencia. Figura 8: Muestra valores típicos medidos en diferentes tipos de roca con un martillo Schmidt tipo L. Figura 9: Valores Típicos de Valores de Rebotes UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Igualmente, mediante la aplicación del martillo de Schmidt tipo L sobre una discontinuidad se puede obtener la resistencia a compresión simple de los labios de la discontinuidad (JCS). En este caso, se indicara expresamente que son valores de resistencia medidos sobre la superficie de la discontinuidad. En general, el valor de JCS que se obtenga para una determinad discontinuidad deberá ser inferior a la resistencia a compresión simple de la roca sana de forma que en general se podrá estimar JCS como la resistencia a compresión simple del material sano dividida entre una constante que se aproximara a 2.5 para rocas densas, a 5 para rocas intermedias y que llegara a 10 para el caso de rocas porosas. I.4. EJEMPLO DE MEDIDAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS Se pretende estimar en campo la resistencia a compresión simple de la roca de un talud vertical con un martillo tipo L, aplicándolo en posición horizontal (0º) sobre la superficie de la roca el material es una caliza de peso específico 26 KN/m³. Se pretende estimar en campo la resistencia a compresión simple de la roca de un talud vertical con un martillo tipo L, aplicándolo en posición horizontal (0º) sobre la superficie de la roca. El material es una caliza de peso específico 26KN/m³. Previo a la ejecución de la secuencia de ensayos de realiza la prueba de funcionamiento del martillo mediante el yunque de prueba para determinar el factor de corrección utilizando la formula descrita en el apartado anterior. Si las lecturas del aparato son más bajas que el valor de calibración del yunque, el factor de corrección será mayor que 1. Por el contario, si los valores son más altos que el valor de referencia del yunque, el factor será menor que 1. La corrección de los datos se realiza multiplicando el valor de cada una de las lecturas obtenidas por el coeficiente de corrección. En la tabla siguiente se muestran las medidas del rebote obtenidas al ensayar la superficie de la roca caliza ensayada. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 10: Valores de Rebote obtenidos al ensayar en superficie El factor de corrección del martillo empleado se determinó con el yunque de prueba, proporcionando un valor de 1.05. Los valores corregidos de la tercera columna de la tabla se han obtenido multiplicando las medidas obtenidas en campo por el factor de corrección. En la cuarta columna se presentan ordenadas de menor a mayor las lecturas corregidas. El promedio de las 10 medidas con valores más altos (= 50) es el valor del rebote (RL) de acuerdo a lo sugerido por la ISRM. La versión revisada sugiere presentar todas las medidas mediante un histograma de frecuencias. El promedio de las 20 medidas es 47. Las dos medidas que difieren es más de 7 del valor promedio se descartan (sombreadas en amarillo), calculando el valor promedio de las restantes medidas (= 46). Este es el valor RL sugerido por la ASTM. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 11: Valores de Frecuencia II. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA La proyección estereográfica es una representación gráfica de los cristales, en la que se conservan las relaciones angulares entre planos, y sobre la cual es posible hallar soluciones gráficas a los problemas que involucren dichos ángulos. La orientación de algún plano en un cristal puede representarse por la inclinación de la normal a dicho plano relativa a un plano de referencia, o por la inclinación del propio plano. Todos los planos de un cristal pueden representarse por un conjunto de normales a los planos partiendo de un punto dentro del cristal. Si alrededor de ese punto se define una esfera de referencia, las normales a los planos intersecarán la superficie de la esfera en un conjunto de puntos llamados polos. El conjunto de los polos forma sobre la esfera una figura de polos que representa las orientaciones de los planos cristalinos. El ángulo entre dos planos cualesquiera es igual al formado por las rectas que unen sus polos con el centro de la esfera, o al arco determinado por ellos sobre la circunferencia máxima que los contiene (Fig. 12). Un plano puede representarse también por la intersección de su prolongación con la esfera, como se muestra en la Figura 12. Esta traza es una circunferencia máxima. Si se proyectasen de esta forma todos los planos del cristal, las circunferencias máximas representativas se cortarían formando los mismos ángulos que los planos y mostrarían, sin distorsiones, todas las relaciones angulares del cristal. Figura 12: Traza es una circunferencia máxima En la práctica resulta más conveniente emplear una representación plana de la esfera. La proyección estereográfica es una representación plana de la esfera polar. Esta representación se hace colocando un plano de proyección normal al extremo de un diámetro de la esfera, y usando el otro extremo del diámetro como punto de proyección (Fig. 13). UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 13: Usando el otro extremo del diámetro como punto de proyección  El plano de proyección puede estar ubicado en cualquier otra posición  distinta de la indicada más arriba, siempre que se traslade en forma paralela a si mismo. Un cambio de posición sólo implica un cambio de escala, pero no altera las relaciones geométricas. Sólo el hemisferio opuesto al punto de proyección se proyecta dentro del  círculo fundamental. Para representar toda la esfera dentro de dicho círculo deben superponerse dos proyecciones, una para el hemisferio de la izquierda y otra para el de la derecha. En las dos proyecciones superpuestas pueden distinguirse los puntos correspondientes a cada hemisferio mediante una notación adecuada, como, por ejemplo, mediante un signo + y un signo -. Toda circunferencia máxima se proyecta como un arco circular sobre la  proyección, o como un diámetro de la circunferencia fundamental. Las proyecciones de las circunferencias máximas siempre cortan a la circunferencia fundamental en puntos Diametralmente opuestos, puesto que el locus de una circunferencia  máxima sobre la esfera es una colección de puntos diametralmente opuestos. Una circunferencia menor sobre la esfera también se proyecta como circunferencia, pero su centro de proyección no coincide con el centro de proyección (Fig. 14), a menos que el centro de la circunferencia coincida UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS con el eje de proyección, en cuyo caso la proyección será concéntrica con la circunferencia fundamental. Figura 14: El centro de la circunferencia coincida con el eje de proyección Un recurso útil para resolver problemas que involucren la proyección estereográfica es la red de Wulff que es la proyección de una esfera graduada con meridianos y paralelos sobre un plano paralelo al eje norte-sur de la esfera (Fig. 15). La red de Wulff permite determinar distancias angulares entre polos; para ello se superpone sobre la misma una figura de polos, con circunferencia fundamental de igual diámetro que el de la red de Wulff, dibujada sobre papel transparente, mediante giros sobre ejes adecuados se hace coincidir los polos cuya distancia angular se desea medir sobre la proyección de una circunferencia máxima (un meridiano o el ecuador) y se mide directamente sobre ésta la distancia angular. UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, FILIAL - AREQUIPA, CURSO: MECANICA DE ROCAS Figura 15: un plano paralelo al eje norte-sur de la esfera Si el plano de proyección se hace coincidir con un plano de índices bajos de un cristal, y sobre dicha proyección se representan los polos de todos los planos importantes, a dicha proyección se la denomina proyección tipo. Las proyecciones tipo de cristales cúbicos son válidas para el análisis de cualquier cristal con geometría cúbica, ya que las relaciones angulares se conservan aunque cambien el parámetro de red o la posición relativa de los átomos dentro de la celda elemental (es decir que la representación es válida para una red cúbica simple, centrada en las caras o centrada en el cuerpo). No es así para cristales con otra geometría, ya que las relaciones angulares dependen de los parámetros de red (por ejemplo no son equivalentes las proyecciones tipo para cinc y para magnesio, aunque ambos tienen estructura hexagonal, pero su relación c/a es diferente). Figura 16: Las proyecciones tipo de cristales cúbicos son válidas para el análisis de cualquier cristal con geometría cúbica II.1. TIPOS DE PROYECCIÓN ESTEREOGRAFICA II.1.1. Proyección Equiangular  La proyección equiangular al igual que la equiareal es un  sistema de representación que permite una fácil visualización de problemas geológicos aplicando conceptos de geometría descriptiva. La proyección equiangular es un elemento de resolución de  problemas geológicos (detección de los mismos y también es unas herramienta para el cálculo. Ej.: coeficiente de seguridad de una falla). Un problema Geológico puede ser una discontinuidad (diaclasa, falla, esquistosidad, etc.). La característica de la  discontinuidad es que sea plana o que tenga una gran longitud de onda. Este es un sistema que lleva a dos dimensiones un problema  espacial para tratarlo con mayor facilidad. La interpretación de la proyección equiangular (igualdad de  ángulos) es que realiza una vista desde el cenit y representa lo visto en un plano horizontal. Construyendo una esfera centrada en algún punto 0 de la traza de afloramiento de un plano estructural inclinado, el plano y su prolongación cortarán la esfera según un círculo máximo. Ahora proyectaremos todos los puntos de la parte inferior del círculo máximo al plano horizontal mediante su unión con el punto cenital P. La representación resultante consiste en líneas (planos) y puntos (rectas) contenidas en el círculo máximo. II.1.2. Proyeccion Equiareal:  Esta  representan en superficies planas a la superficie esférica de la tierra (se conserva la igualdad de áreas). Para la representación de los problemas estructurales en los  macizos rocosos se trazan sobre la esfera de referencia planos, que quedan definidos por un RUMBO y un BUZAMIENTO. La esfera de referencia es libre para moverse en el espacio, pero no es libre de rotar en cualquier dirección (un eje fijo). Es así que nosotros podemos representar cualquier discontinuidad que surja en el espacio. En aplicaciones ingenieriles usamos solamente el hemisferio proyección es familiar para los geógrafos de referencia inferior para la representación de datos que Figura 17: Proyeccion III. TIPOS DE FALSILLAS III.1. FALSILLA DE IGUAL ÁREA O FALSILLA DE SCHMIDT: En la proyección de igual área, una unidad de área en toda la proyección representa la misma fracción del área total del hemisferio de referencia. Esta característica de proyectar con un área igual es ventajosa en una investigación estadística. Una desventaja de esta proyección es su distorsión, la cual es mayor hacia el círculo de referencia. (Figura a). III.2. FALSILLA DE IGUAL ÁNGULO O FALSILLA DE WULFF: Mantiene las relaciones angulares, es empleada generalmente en la solución de problemas estructurales, es decir, donde es importante mantener las relaciones angulares. (Figura 18 b). Figura 18: Falsilla equiangular, conserva los ángulos, no áreas Figura 19: Falsilla equiangular, conserva los ángulos, no áreas IV. MEDICIÓN DE PLANOS Y LÍNEAS  Dirección: ángulo horizontal comprendido entre una línea  norte. Buzamiento: ángulo de inclinación entre plano y el plano horizontal  (ß) Dirección de buzamiento (B): dirección de la línea de máxima y el pendiente  Figura 20: Medición de Planos Dirección de lineamiento (plunge dirección): ángulo horizontal  comprendido entre línea y el norte. Cabeceo (pitch, rake): ángulo entre horizontal lineación. de capa y la  Inmersión (plunge): Angulo vertical desde la horizontal de capa hasta la lineación  Figura 21: Angulo vertical BRUJULA DE GEOLOGO Figura 22: Brújula de Geólogo Figura 23: Medición V. TOMA DE DATOS EN GEOLOGIA EN LA PROYECCION V.1. PROYECCION DE UN PLANO Se construye una esfera centrada en algún punto "O" de la traza de afloramiento de un plano geológico inclinado. El plano y su prolongación cortarán la esfera según un círculo máximo o círculo mayor. Representación de un plano inclinado (según Phillips 1971): Figura 24: Bloque Diagrama con el punto, Esfera centrada en el punto Figura 25: Representación de un plano inclinado con su polo: Esta proyección esférica hay que representar en 2D. Como los mapas mundi. Para esto se proyectan todos los puntos de la parte inferior (hemisferio Sur) del círculo máximo al plano horizontal (ecuatorial o círculo primitivo) mediante su unión con el punto cenital P. El resultado es una ciclográfica. Proyección estereográfica de un plano inclinado (Phillips 1971): Figura 26: Proyección estereográfica de un plano inclinado Figura 27: Ejemplo gráfico de la proyección estereográfica: Figura 28: Proyección estereográfica de planos que buzan Figura 29: Cuantificación del ángulo de inclinación de un plano: V.2. TIPOS DE REPRESENTACIONES ESTEREOGRÁFICAS: Existen diversas formas de representación de los elementos planos y lineales en la proyección estereográfica. Todos ellos se llevan a cabo mediante el empleo de la falsilla de Wulff que se obtiene a partir de la proyección de los meridianos y paralelos de la esfera. V.2.1. Diagrama de círculos máximos o diagrama beta: Únicamente se utiliza para la representación de elementos planos. Se obtiene por proyección sobre el plano ecuatorial, del círculo máximo de la superficie plana considerada. Este círculo máximo representa la intersección del plano con la esfera. En la Figura 30.a. se muestra el diagrama de círculos máximos correspondiente al estudio de un macizo rocoso. Figura 30: se muestra el diagrama de círculos máximos correspondiente al estudio de un macizo rocoso. V.2.2. Diagrama de polos o diagrama pi Cuando las medidas a representar en el diagrama son muy numerosas, la representación mediante círculos máximos puede dificultar la lectura de los resultados en la falsilla, por lo que se suele recurrir a los diagramas de polos o diagramas pi. En este tipo de diagramas se representan únicamente los polos de los planos o rectas, es decir la intersección de la recta con la esfera en el caso de elementos lineales o la intersección de la normal al plano con la esfera si se trata de elementos planos. En la figura b. se muestra la representación pi de los datos correspondientes al mismo macizo rocoso de la figura a. La concentración de polos superior izquierda (S0) corresponde con la estratificación de orientación aproximada N30E 35 SE. Las otras dos concentraciones observadas (J1 y J2) de orientaciones N60E 49NW y N160E 20SW corresponden a sendos juegos de diaclasas. Figura 30: La concentración de polos superior izquierda (S0) corresponde con la estratificación V.2.3. Diagrama de densidad de polos La proyección estereográfica de un determinado elemento de la naturaleza, nunca es tan exacta como la de líneas y planos teóricos, ya que presentan irregularidades puntuales, falta de ajuste con la geometría ideal, en muchos casos, y posibles errores de precisión. Esto hace que se produzcan dispersiones que, dependiendo de su magnitud, pueden o no facilitar la interpretación de un polo o un círculo máximo. Figura 31: Proyeccion de un Plano con su Polo Figura 32: Proyeccion de un Plano con su Polo V.2.4. CONSTRUCCION DE UN SEMICIRCULO (DISCONTINUIDAD) Y UN POLO REPRESENTANDO UN PLANO Pensar en un plano con buzamiento 50° y un rumbo 40°; representar el plano y su polo. Nomenclatura: 040°; 50°  PASO 1: Con el papel calco ubicado sobre la malla  estereográfica equiareal ecuatorial marcar 40° medidos en sentido horario desde el NORTE. Los puntos cardinales deben estar marcados sobre el papel calco y la malla. PASO 2: Rotar el papel por el centro hasta hacer coincidir la  marca efectuada con el NORTE de la malla. Posteriormente en la dirección ESTE – OESTE medir 50° desde el borde de la circunferencia y trazar el plano. Para encontrar el polo se trazan los 50° desde el centro hacia la dirección opuesta al plano de representación. PASO 3: Finalmente se rota volviendo a la posición original (se hace coincidir el NORTE de la malla con el NORTE del papel calco). Figura 33: Construcción de un Semicírculo V.3. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UNA LÍNEA V.3.1. Línea orientada mediante dirección e inmersión El principio básico es similar a la proyección de un plano. La línea L pasa por el centro de la esfera y se extiende hasta cortar al hemisferio inferior en un punto (P). Este punto se une con el zenit de la esfera mediante una línea recta, y la proyección estereográfica de la línea L se localiza donde esta recta corta al plano de proyección, por tanto, en un punto (P´) (Fig. 34 A). Las líneas se proyectan como puntos en proyección estereográfica. El procedimiento es el siguiente suponiendo una línea con orientación 060º/40º. Figura 34: Las líneas se proyectan como puntos en proyección estereográfica.  Marcar en la circunferencia primitiva la dirección (sentido  de inmersión) de la línea, 060º en este ejemplo (Fig. 35 A). Girar el transparente hasta que esta marca esté situada en  uno de los diámetros principales, norte‐sur o este‐oeste siempre que se utilice la falsilla de Wulff. Si se utiliza la de Schmidt, sobre el diámetro este‐oeste únicamente. Contar el ángulo de inmersión a lo largo de este radio desde la circunferencia primitiva hacia el centro, y marcar el punto que representa la proyección de la Figura 35: Ejemplo de la Proyeccion Estereográfica V.3.2. Línea orientada mediante dirección y cabeceo sobre un plano conocido  En este caso el dato que hemos obtenido en el campo se refiere, por ejemplo, a la orientación de un plano de falla y el cabeceo de una familia de estrías que aparecen en este plano. El plano de falla está orientado N40ºE‐20ºSE y la estría tiene un cabeceo de 45ºS medido en este plano (Fig. 36).  Para representar el estereograma correspondiente, el proceso es  como sigue: Dibujar sobre el transparente el círculo mayor que representa el  plano medido, como ya se ha indicado anteriormente. Dentro de este círculo mayor, está la línea representada por su  cabeceo. Si el cabeceo es el ángulo entre la línea y la dirección del plano inclinado que la contiene, solo tenemos que medir el ángulo de 45º en el plano (círculo mayor) colocado sobre un círculo mayor de la falsilla, desde el sur, contando con ayuda de los círculos menores. Este punto, situado sobre el estereograma del plano de falla,  representa la orientación de la estría. De la misma manera, podemos resolver el problema inverso. En el estereograma de la figura 5 se han representado dos planos N40ºE‐30ºNO y 116º‐50ºS, ambos con una línea inscrita, L y L´ respectivamente. ¿Cuál será el valor del ángulo de cabeceo para cada una de las líneas? Figura 36: Ejemplo de medido en este plano V.4. REPRESENTACION DE FALSILLAS Considerando el plano 130/50, el círculo mayor y el polo es construido de la siguiente manera: Figura 37: Representación de Falsillas V.5. REPRESENTACION DE UNA RECTA 1. 2. 3. 4. Se Se Se Se marca la dirección de la horizontal de capa. gira el papel transparente hasta llevar la marca al E-W. marcan los grados de inmersión hacia el centro. devuelve el papel transparente a su posición original. Figura 38: Representación de una Recta V.6. DETERMINAR EL ANGULO ENTRE DOS RECTAS: Figura 39: Determinar el Angulo entre dos rectas Dadas dos rectas: A) 54°, 240° B) 40°, 140° Encontrar el ángulo entre las dos rectas y el plano que las contiene. PASO 1: Representar las rectas indicadas. PASO 2: El papel calco es rotado hasta hacer coincidir estos dos puntos A y B trazando un plano que las contenga. El ángulo que midiendo sobre la traza nos da 64° es el ángulo pedido y la traza es el plano que las contiene siendo 110°, 60°. V.7. REPRESENTACION DE UN PLANO V.7.1. Proyeccion Ciclográfica: Es un semicírculo que va de un lado de la periferia a otro con curvatura determinada. PROYECCION POLAR: se representa mediante la línea de máxima pendiente (lápiz) Figura 40: Proyeccion Ciclografica V.8. REPRESENTACION DE UN PLANO (CICLOGRÁFICA) 1. Se marca el N en la hoja transparente y se marca de la horizontal de capa. 2. Se gira el papel transparente hasta llevarlo al diámetro E –W. 3. Contar el Angulo de buzamiento hacia el centro y se dibuja el circulo máximo. 4. Se restituye la hoja a su posición original y tenemos la línea que representa el plano. Figura 41: Representación de un Plano V.9. REPRESENTACION DE UN PLANO (POLAR) 1. Se repiten los pasos anteriores hasta tener la falsilla en dirección E-O. 2. Se cuentan 90º hacia el extremo opuesto de la falsilla desde el circulo máximo y obtenemos el punto polar (P) el polo siempre está en la mitad opuesta al circulo mayor. Figura 41: Representación de un Plano Polar V.10. INTERSECCION DE LOS PLANOS V.10.1. Representación Ciclográfica  La intersección de dos planos es una línea.  La línea viene representada por el punto de intersección de los  planos. El buzamiento de la línea de intersección se mide en el eje E-  W Su dirección se determina respondiendo el norte y midiendo la línea que corta al puno desde el centro Figura 42: Representación Ciclografica V.10.2.    REPRESENTACIÓN POLAR Se busca el círculo máximo que contenga los dos puntos. Se dibuja el circulo máximo Se miden 90º en E-W para obtener el punto de intersección Figura 41: Representación Polar VI. CONCLUSIONES  Las líneas en el espacio se orientan mediante dos ángulos, que pueden ser sentido de inmersión (dirección) e inmersión, o bien dirección y cabeceo medido sobre un plano inclinado que contiene a la línea. En este caso, es necesario indicar la orientación del plano en el que se ha medido el ángulo de cabeceo de la línea.  A partir de las explicaciones y los ejercicios resueltos, se deduce que es bastante rápido y sencillo proyectar líneas en proyección estereográfica, y que su proyección siempre es un punto dentro del estereograma.  También se pueden relacionar con facilidad planos y líneas en la proyección, de forma que conocidos datos referentes a unos y a otras, podemos llegar a obtener mucha información, a menudo difícil de encontrar directamente en el afloramiento.  Todos estos problemas se pueden a su vez combinar con resoluciones propias de proyección ortográfica, de tal manera que todo lo referente a la medida de ángulos puede ser tratado en proyección estereográfica y los datos obtenidos por este método añadirlos a aquellos que necesariamente necesitan un tratamiento mediante planos acotados. VII. 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Geología Estructural. Ed. Omega. Barcelona.  210 pp. Turner, F. & Weiss, L.R. 1963. Structural analysis of metamorphic tectonites. McGraw Hill. New York. 545 pp.
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