Trabajo Grupal G3_Utilidad Total y Máxima

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPEMatemática II Utilidad Total y Máxima Integrantes: Cadena Eduardo; Guerrero Andrés; Pérez Sthefany; y Sandoval Pabel NRC: 1201 Aula: B-410 Docente: Ortega Nelson Semestre Octubre 17- Febrero 18  Utilidad Total y Máxima Introducción La representación de sucesos a través de funciones y su respectivo análisis, brindan a la empresa la posibilidad de anticipar costos de producción, utilidad máxima, etc. Por lo cual, es importante reconstruir funciones con base al cálculo integral de aquellas expresiones marginales con que cuenta la empresa. Función Utilidad La función utilidad tiene su fundamento en la teoría respecto al consumidor y que se refleja en el flujo monetario que tendrá la empresa al realizar la venta de algún artículo o cuando vende un servicio y esto están en función de los costos que se generen. Recordando, la función utilidad es: U (x) = I(x) – C(x) De la que se espera que siempre los ingresos sean mayores a los costos para así obtener la mayor ganancia posible. Así, se puede ver que al integrar la función utilidad marginal se obtiene la Utilidad Total. Utilidad Total: La Utilidad total corresponde a la satisfacción total que obtiene un individuo por el consumo de una cierta cantidad de bienes o servicios. La utilidad total se calcula como la suma de las utilidades que reporta el consumo de una determinada cantidad de bienes o servicios. La utilidad total siempre llegará hasta un punto de saturación donde comenzará el declive, mediante el cálculo integral podemos determinar el área de estos puntos donde la gráfica comienza a variar. La forma de la curva se explica por el hecho de que a medida que vamos consumiendo unidades adicionales de un bien o servicio cada vez los valoramos menos, hasta que llegamos a un punto en donde ya no queremos consumir más. 1) Por ejemplo, Una comercializadora de queso francés tiene, debido a sus ventas, la siguiente función de utilidad marginal: U’ (x)= 230 – 10x Determine la función de utilidad total de la empresa. Solución: 𝑈 (𝑥) = ∫ 𝑈 ′ (𝑥) = ∫(230 − 10𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 230 𝑑𝑥 − 10 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 = 230 𝑥 − 10 + 𝑐 2 = 𝟐𝟑𝟎 𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒄  Utilidad Total 2) Ejemplo: Las tasas de costo e ingreso de cierta operación minera están dadas por 𝐶 ′ (𝑡) = 5 + 2𝑡 2/3 y 𝑟 ′ (𝑡) = 17 − 𝑡 2/3 en donde C’ y r’ se miden en millones de dólares y t en años. Determine que tanto deberá prolongarse la operación y encuentre la utilidad total que puede obtenerse durante este periodo C’ (t) = r’ (t) 5 + 2𝑡 2/3 = 17 − 𝑡 2/3 3𝑡 2/3 = 12 𝑡 2/3 = 4 t=8 8 ∫0 (𝑟 ′ (𝑡) − 𝐶 ′ (𝑡)) 𝑑𝑡 2 8 ∫0 17 − 𝑡 3 − 5 − 2𝑡 2/3 𝑑𝑡 8 ∫0 12 − 3𝑡 2/3 𝑑𝑡 2 12 − 3(8)3 − 12 + 3(0)2/3 = - 12 Utilidad total y Utilidad Marginal Para un individuo la utilidad estará en función del número de bienes que pueda adquirir con una cantidad de dinero, y para la empresa, la utilidad estará en función de la cuantía de artículos producidos que se demandan en el mercado. En ocasiones nos interesa no sólo conocer la utilidad total que produce un artículo, sino también determinar la utilidad marginal. Ejemplo de Utilidad Marginal Para comprender mejor, acerca de la utilidad marginal para un individuo o empresa, supongamos que una persona pasa un gran periodo de tiempo sin consumir líquidos, y por tanto, es de esperarse que tenga una gran necesidad de satisfacer su sed; al comenzar a tomar el primer vaso de agua la satisfacción o utilidad que le proporciona es alta, pero a medida que va ingiriendo más agua la satisfacción es cada vez menor. Asimismo, una empresa espera que su utilidad se incremente al vender una mayor cantidad de artículos, por lo que tiene que incrementar su producción, pero también debe considerarse que al aumentar su producción debe subir sus costos, ya que puede ser necesario, además de adquirir una mayor cantidad de materia prima contratar más personal o utilizar una mayor cantidad de maquinaria y equipo, cuestiones que si crecen demasiado legarán a un punto donde los costos sobrepasen a los ingresos, provocando que las ganancias se conviertan en pérdidas. Utilidad Máxima Si una empresa desea saber qué cantidad debe producir para que su utilidad sea máxima primero debe tener en cuenta dos funciones: la función ingreso y la función de costos, estas funciones fundamentales permitirán obtener la ecuación de utilidad, esta debe ser derivada y luego igualada a cero. En resumen, la utilidad máxima se calcula por medio de una función de la utilidad que está dada por: UTILIDAD= INGRESO - COSTO, donde al calcular la derivada encontraremos el punto donde al producir X cantidades la utilidad llegara hasta su máximo valor. 1) Ejemplo: Una compañía ha determinado que puede vender su producto a 5 dólares por unidad y su función de costo está determinada por C = X2 - 995X +20. Hallar: 1. a) La ecuación de utilidad. 2. b) La cantidad para que la utilidad sea máxima. 3. c)¿Cuanto es la utilidad máxima? 4. d) La utilidad de producir 499 y 501 unidades Solución a) Recordamos que la ecuación de utilidad es: U = R – C R= 5X C= X2 - 995X +20 U= 5X - X2 + 995X – 20 = -X2 +1000X - 20 b) Para hallar la utilidad máxima se deriva la función de utilidad y se iguala a cero: -2X +1000 = 0 X = 500 c) La utilidad máxima se halla reemplazando la cantidad en la ecuación de utilidad: U= -(500)2 +1000(500) – 20 = 249980 dólares 1. d) La utilidad de producir 499 y 501 unidades: Para 499 unidades U= -(499)2 +1000(499) – 20 = 249979 dólares Para 501 unidades U= -(501)2 +1000(501) – 20 = 249979 dólares  Aquí se puede observar como si se aumenta la cantidad o se disminuye ya no se puede obtener más de la utilidad máxima. 2) Ejemplo: Este ejemplo, implica la maximización de la utilidad cuando se conocen las funciones de demanda y de costo promedio. Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es 𝒑 = 𝟒𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎 – 𝟐𝒒 y que la función de costo promedio es 𝒄̅ = 𝟎, 𝟐 𝒒 + 𝟒 + ( ), donde q 𝒒 es el número de unidades, y p y 𝑐̅ se expresan en dólares por unidad. a. Determinar el nivel de producción en el que se maximiza la utilidad. b. Determinar el precio en que ocurre la utilidad máxima. c. Determinar la utilidad máxima. Solución: U = r -c , donde U= Utilidad r = Ingreso total c= Costo total Como el ingreso total r y el costo total c están dados por: r = p*q = (400 -2q) q = 400 q – 2 q2 Y 400 c = q 𝒄̅ = q ( 0,2 q + 4 + ( )) q = 0,2 q2 +4q + 400, La utilidad es: U= r – c = 400 q – 2 q2 – (0,2 q2 +4q + 400) = 400 q – 2 q2 – 0,2 q2 - 4q – 400 = 396 q – 2,2 q2 -400 Donde q > 0. a. Para maximizar la utilidad, hacemos d U / d q = 0 : U= 396 q – 2,2 q2 -400 𝑑𝑈 = 396 – 4,4 q = 0 𝑑𝑞 396 q= = 90 4,4 R= El nivel de producción en el que se maximiza la utilidad es de 90 unidades.  b. El precio en que ocurre la utilidad máxima se obtiene haciendo q = 90 en la ecuación de demanda. p = 400 – 2q p = 400 – 2 (90) p = $ 220 R= El precio en que ocurre la utilidad máxima es de 220 dólares. c. La utilidad máxima se obtiene reemplazando q por 90 en la ecuación de la Utilidad: U= 396 q – 2,2 q2 -400 U= 396 (90) – 2,2 (90) 2 -400 U= $17 420 R= El precio en que ocurre la utilidad máxima es de 220 dólares. Bibliografía: Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matemáticas para la administración y economía. México: Pearson Educación. Libretas de Salón. (30 de Julio de 2017). Cálculo Integral y sus aplicaciones. Obtenido de https://libretadesalon.blogspot.com/2017/03/calculo-integral-y-sus- aplicaciones.html Matemáticas 2. (27 de Diciembre de 2017). Obtenido de http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13095w/Mate2_Lic_4aEd_10.pdf