Longitud de arco de una curva planaDefinición Arquímedes logró aproximar la longitud de una circunferencia, inscribiendo un polígono de n lados y calculando el perímetro de este mediante propiedades geométricas. n=4 n=8 n=12 Este método es el mismo que se utiliza para calcular la longitud de una curva cualquiera en el plano. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a;b], la porción de la curva desde el punto A hasta el punto B se denomina arco, y su longitud se 1 calcula por medio de la subdivisión del arco en n partes y la unión de los puntos sucesivos de la división mediante segmentos de recta. Los puntos Pi determinan una poligonal AP1P2…Pn, cuya longitud se calcula sumando los infinitos segmentos rectilíneos P i-1Pi: n Longitud poligonal= ∑ Pi-1Pi i=1 Si n (cantidad de segmentos) tiende a infinito, cada segmento tenderá a cero, y el resultado de la sumatoria de los segmentos se aproximará cada vez más a la longitud del arco AB. Por lo tanto, calculamos el límite de la longitud poligonal cuando n tiende a infinito. Si este límite existe y es finito, el resultado es la longitud del arco AB: n Longitud del arco AB= lim ∑ n →∞ i=1 Pi-1Pi Para garantizar la existencia de este límite, se deben cumplir dos condiciones: 1. La función f(x) debe ser continua en el intervalo [a;b], pues sino el arco no podría subdividirse en n segmentos de rectas. 2. F(x) debe ser rectificable, es decir, tener derivada continua en [a;b]. Actividad con Geogebra: 2 Dada la función f ( x )= −x +6 4 calcular la longitud de la poligonal entre los puntos x=-4 y x=4, para n=2, n=4 y n=8. Luego calcular la longitud del arco comprendido entre dichos puntos. Resolución: Grafico la función dada y luego ubico los puntos A=(-4;2), B=(4;2) y C arbitrario sobre el arco AB, con la herramienta “Punto”. Sobre la barra de entrada, escribo el siguiente comando: Poligonal[<Lista de puntos>], y reemplazo “<lista de puntos>” por los puntos A, C, B. (Se debe respetar el orden de los puntos, de izquierda a derecha). El número renombrado P2 que aparece en la vista algebraica es la longitud poligonal cuando n=2 2 Para n=4 se necesitarán 3 puntos sobre la curva entre A y B, por lo tanto es necesario crear 2 puntos nuevos sobre el arco. Luego con el mismo comando utilizado anteriormente, calculo la poligonal para este caso. (Recordar que siempre se debe respetar el orden de los puntos de izquierda a derecha). El mismo procedimiento se repite para n=8, con 7 puntos entre los puntos A y B. 3 A y B.<Punto inicial>.Por último.<Punto final>]. En la vista algebraica se podrá ver que cuando n aumenta. la longitud poligonal se aproxima a la longitud del arco. 4 . respectivamente. El número renombrado como “Long” es la longitud del arco AB. para calcular la longitud del arco AB. es decir. reemplazando por f(x). aumentan la cantidad de segmentos entre A y B. utilizo en la barra de entrada el comando Longitud[<Función>. Longitud del arco de una curva dada en coordenadas cartesianas: Deducción de la fórmula para el cálculo de la longitud del arco de una curva: Por el teorema de Pitágoras: Pi-1Pi= √ ∆ xi2+ ∆ yi2 (1) ' Y por el teorema del valor medio del cálculo diferencial (*): ∆ yi=f (εi) ∆ xi (2) Reemplazando (2) en (1) se obtiene: 2 ' 2 2 ' 2 Pi-1Pi ¿ √ ∆ xi + f (εi) ∆ xi =√ 1+ f (εi) ∆ xi Teniendo en cuenta la definición de longitud “s” de un arco de curva. reemplazando la expresión obtenida: n s= lim ∑ n →∞ i=1 n Pi-1Pi = lim ∑ √1+ f ' (εi)2 ∆ xi n →∞ i=1 b Luego. s=∫ √ 1+ f ' ( x )2 dx a 5 . (De esta fórmula surge la segunda condición de existencia de la longitud de arco. Los ejes coordenados se elijen de modo que el origen esté a la mitad entre las bases de los dos postes sobre el eje x.b] y diferenciable en (a.b]. entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a. y el punto más bajo del cable está a 200 pie sobre el suelo. b−a Ejemplo: La siguiente figura muestra un cable que pende en la forma de catenaria(*) entre dos postes separados 300 pies. y luego verifique la solución utilizando el programa Geogebra.) (*)Teorema del valor medio: Si una función f es continua en el intervalo [a. Una ecuación de la catenaria es: y=200 cosh ( x ) 200 Calcule la longitud del cable entre los dos postes. y el eje y contiene el punto más bajo del cable.b) tal que f ´ ( c )= f ( b )−f (a) .b). que f’(x) sea continua en [a. 6 . 7 .Solución: 150 L= ∫ √1+ f ' ( x)2 dx −150 y ' =senh ( 200x ) 150 L= ∫ Reemplazando −150 √ 1+ senh2 ( 200x ) dx 150 2 2 Como cosh x−senh x=1 [ ¿ 200 senh L= ∫ cosh −150 ( 200x ) dx ] x 150 =328. reemplazando por f(x). Con la herramienta “intersección”.<Punto final>]”. marco las intersecciones de la función con las rectas (puntos A y B).93 200 −150 Geogebra: Introduzco en la barra de entrada la función f ( x)=200 cosh ( x ) 200 y las rectas x=-150 y x=150. A y B respectivamente. utilizo el comando “Longitud[<Función>. Luego.<Punto inicial>. para hallar la longitud. 2. ¿Cuántas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su respuesta Soluciones: 1. se creía que la forma de una cuerda sujeta a dos extremos tenía la forma de una parábola. 3. descubrieron la fórmula correcta: x y=cosh ( ) . En un principio. Determine la curva que pase por el punto (1. a. (Se asemejao mucho a una parábola pero no es igual).1). Calcular la longitud de la parábola semicúbica y=x 2 3 en el intervalo (0. Calcular la longitud del arco de parábola y=x 2 desde el origen hasta el punto x=4. a Ejercicios: 1.(*) La palabra catenaria se emplea para designar la curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. cuya longitud de arco 4 1 L= 1+ dx ∫ sea: 4x 1 √ b.1). No fue hasta 1691 cuando Gottfried Leibniz. Christiaan Huygens y Johann Bernoulli. 8 . 70 2 L 3. L 4 0 1 f '( x) 2 dx f '( x) 2 x L 4 0 1 (2 x) 2 dx Por tabla. 43 9 9 3 0 9 3 4 0 1 u2 2. 1 4x 1 y' 2 x y '2 y' 1 2 x y' 1 2 x 9 . la integral resulta: 1 x 2 4 x 1 log x x 2 1 2 2 0 1 2 17 log 4 17 8.1 L 1 f '( x )dx 0 3 12 x 2 f '( x ) 1 1 3 1 9 L 12 ( x 2 ) 2 dx 1 xdx 0 0 2 4 u 1 9 x 4 du 9 dx 4 4 dx du 9 1 0 4 4 2 3 1 4 2 9 1 du u 2 1 x 1. la longitud del arco será: x s ( x)=∫ √ 1+ f ' (x)2 dx a Diferenciando a ambos miembros: ds=√ 1+ f ' (x )2 dx ds=√ 1+ f ' (x )2 √ dx 2 10 .1). entonces: 1 1 c1 1 1 c3 c1 0 c3 2 Una curva será: Otra curva será: y x y x 2 Diferencial de arco Dado el arco AB donde el extremo B es una variable x.dy 1 dx 2 x dy 1 dx 2 x Integrando a ambos miembros: dy 1 2 x dy 2 dx 1 y (2 x c0 ) 2 y x c1 Con 1 x dx 1 y (2 x c2 ) 2 y x c3 Con c0 c1 2 c2 c3 2 La curva debe contener al punto (1. son sin embargo equivalentes. Longitud de un arco en coordenadas paramétricas. tangente a la curva en P. Los cosenos directores son dx dy cosα= senα=cosβ= y ds ds ´ PQ=∆ c ^ PQ=∆ s ´ PR=ds Estos tres infinitésimos diferentes. y=h(t). Cuando la curva está dada en coordenadas paramétricas: x=g(t). 11 .ds=√ dx 2+ f ' ( x)2 dx 2 ' Como f ( x ) dx=dy ds=√ dx 2+ dy 2 Geométricamente ⃗ ds es el “vector diferencial de arco”. pues puede demostrarse que el límite del cociente de dos de ellos es igual a 1. y siendo su módulo ds. <Valor final> ]. El grafico de la curva será el siguiente: 12 . Para ello utilizaremos el siguiente comando que nos permite graficar en coordenadas paramétricas. Una vez realizado el reemplazo correspondiente nos quedará: Curva[ t3.-2. <Valor inicial>. Curva[ <Expresión>. <Expresión>.2t2.t.2].Por lo tanto: dx= g´(t) dt. <Parámetro>. dy= h´(t) dt Por consiguiente el diferencial de arco es: ds= √ d x 2 +d y 2=√ g ´ (t)2 +h ´ (t )2 dt La longitud de un arco de curva AB dada en forma paramétrica cuando los extremos A y B están dados por los valores t 0 y t1 del parámetro será: t0 s= ∫ √ g ´ (t)2 +h ´ ( t)2 dt t1 Ejemplo: Calcule la longitud de arco de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: x= t3 y y=2t2 para cada uno de los casos: a) De t=0 a t=1 b) De t=-2 a t=0 Solución: En primer lugar graficaremos la curva utilizando como recurso de apoyo el programa geogebra. ( 9 t +16) 2 ] 1 18 3 0 [ 3 3 1 ( 25 ) 2 − (16 ) 2 27 ] 13 .La curva está dada por las ecuaciones paramétricas x=g(t) y y=h(t) donde g (t)=t3 g´ (t)=3t2 h(t)=2t2 h´(t)= 4t a) Para calcular la longitud de arco de la curva en el intervalo [0.1] 1 L=∫ √ 9 t 4 +16 t 2 dt 0 1 L=∫ √ t 2 √ 9 t 2 +16 dt 0 1 L=∫ t √ 9 t 2+ 16 dt 0 3 L=[ L= 1 2 2 . 2. Calcular la longitud de una onda de cicloide 14 . ¿De qué curva se trata en coordenadas cartesianas? Verifique el resultado gráficamente.5 Obsérvese que en la tercera integral del inciso a) se sustituyó √t 2 por t ya que 0≤t≤1. En cambio.0] 0 L=∫ √ 9 t 4 +16 t 2 dt −2 0 L=∫ √ t 2 √ 9 t 2 +16 dt −2 0 L=∫ −t √ 9 t 2 +16 dt −2 3 L=[ −1 2 . (9 t 2+16) 2 ] 0 18 3 −2 [ 3 3 −1 L= (16 ) 2 −( 52 ) 2 27 L= ] 1 ( 104 √ 13−64 ) 27 L≈ 11.L= 1 ( 125−64 ) 27 L= 61 27 b) Para calcular la longitud de arco de la curva en el intervalo [-2. Ejercicios: 1. Dada la curva: 2 x=4+ 3t 2 y=6−4 t { Calcular la longitud del arco comprendido entre t=0 y t=4. en la tercera integral del inciso b) se reemplazó √ t2 por –t puesto que -2≤t≤0. x=r ( t −sen t ) t 1−cos ¿ ¿ ¿ y=r ¿ Cuando t varía de 0 a 2π Soluciones: 1. t 4 =10. x=g ( t ) =4 +t 2 dx=g ´ ( x )=6 t √ ( 6 t ) +(−8 t ) ∫¿ 2 2 y=h ( t )=6−4 t 2 dy=h´ ( x )=−8 t dt=¿ 4 0 √ 100t 2 dt=¿ 4 ∫¿ 0 10 t dt =¿ 4 ∫¿ 0 t dt=¿ 4 10 ∫ ¿ 0 [] 2 10.8=80 2 0 2. x=g ( t ) =r (t−sen t ) t 1−cos ¿ dt dx=g ´ ( x )=r ¿ t 1−cos ¿ y=h ( t )=r ¿ dy=h´ ( t )=r sen t dt 15 . ( 1−cos t ) ] +[ r . que en coordenadas x2 y2 cartesianas se escribe a2 + b2 =1 Y que en forma paramétrica queda definida mediante el par de ecuaciones: X=a sin φ Y= b cos φ Con el parámetro φ variando de 0 a 2π. sen t ]2 dt=¿ 2 0 2π ∫ √r 2 √ 1−2 cos t + cos2 t+ se n2 t dt=¿ 0 2π r ∫ √2−2cos t dt =¿ 0 t 1−cos ¿ ¿ 2¿ √¿ 2π r∫ ¿ 0 2π √ 1 r ∫ 2.2 se n2 t dt=¿ 2 0 1 sen t dt=¿ 2 2π 2r ∫ ¿ 0 [ ] 1 4 r −cos t 2 π =¿ 8r 2 0 Integrales elípticas: Sea una elipse de semiejes a y b.2π ∫ √[ r . 16 . ds 2=dx 2 +dy 2=( a2 cos 2 φ+b2 sen 2 φ ) dφ2=¿ 2 2 2 2 2 ¿ [ a ( 1−sen φ ) + b sen φ ] dφ =¿ ¿ [ a2 −( a2−b2 ) sen 2 φ ] dφ2=¿ ¿ a2 (1−k 2 sen 2 φ) dφ2 Designando con k2 al cociente a2−b 2 2 a (k es la excentricidad de la elipse).Como es: dx=a cosφ dφ dy=−b sen φ dφ Resulta. Siendo ds=a √ 1−k 2 sen2 φ dφ φ El arco AP es s=a∫ √ 1−k 2 sen2 φ dφ 0 17 . htm Resulta que E1 ( 0. a2 −b2 16 4 2π ( ) L= [ s ] 0 =4 a E1 k . b=3. se tienen las integrales elípticas completas de primera y segunda especie: 1 π F(k.276=25.faii.1.8 Para hallar E1 ( 0. 2 )=F1(k) 1 π E(k.φ)= ∫ 0 dφ √1−k 2 sen 2 φ integral de primera especie. Hallar la longitud total de una elipse de semiejes a=5.No hay ninguna combinación de de funciones elementales cuya 2 2 derivada sea √ 1−k sen φ con k2≠1. podemos utilizar una tabla de integrales elípticas o como en este caso una calculadora online de integrales elípticas que la podemos encontrar en: http://mecfunnet.53 Longitud de un arco en coordenadas polares: Sea AB un arco de curva dado en coordenadas polares mediante la relación ϱ=ϱ( ϧ) 18 . con k= a2 = 25 o sea k = 5 =0.276 y la longitud L es: L=4.etsii.es/Xitami/webpages/eli1. φ E(k.5.8 ) .φ)= ∫ √ 1−k 2 sen2 φ dφ 0 integral de segunda especie. Resulta entonces: [ s ] φ =aE (k .upm. Por eso se han introducido y tabulado las integrales elípticas de Legendre de primera y segunda especie (con k≠1) φ F(k. φ) 0 1 π En particular si φ= 2 .8 )=1. 2 )=E1(k) Ejercicio: 1. Teniendo en cuenta que es x=ϱ cos ϧ y=ϱ sin ϧ Resultan x e y funciones del parámetro ϧ . Verificar que la longitud de la circunferencia ϱ=4 senϑ de radio 2es 1. ϱ ´ =cos ϑ Entonces: 19 . Diferenciando es: dx= cos ϧ dϱ-ϱ sin ϧ d ϧ dy= sin ϧ dϱ+ϱ cos ϧ d ϧ Elevando al cuadrado sumando y simplificando se tiene: ds 2=d x2 +dy 2 =dϱ2 ( cos 2 ϑ + sen2 ϑ ) + ϱ2 dϑ 2 ( sen2 ϑ +cos 2 ϑ )−¿ −2 dϱ cosϑ ϱ senϑ dϑ +2 dϱ senϑ ϱ cosϑ dϑ =d ϱ2 +ϱ 2 dϑ 2 Con lo que resulta dϱ dϑ ¿ ¿ ¿2 ¿ 2 2 2 ds=√ dϱ + ϱ dϑ = √ ¿ Designando con ϱ´ la derivada de ϱ respecto de ϑ. La longitud del arco AB será la integral correspondiente a este diferencial: S= β β α α ∫ ds=∫ √ ϱ 2 +ϱ ´ 2 dϑ Ejercicios: para 0 ≤ϑ ≤ π 2. Calcular la longitud de la curva ϱ=sen ϑ 4π Soluciones: 1. Este concepto proporciona la tasa de variación (o cambio) de la dirección de una curva con respecto a la variación en su longitud. ϱ ´ =4 cos ϑ π ∫ √ ( 4 sen ϑ )2+( 4 cos ϑ )2 dϑ =¿ 0 π ∫ √ 4 2 +se n2 ϑ +cos 2 ϑ dϑ =¿ 0 4 dϑ=¿ 4 π π ∫¿ 0 Curvatura La curvatura es un concepto importante en el estudio de la geometría diferencial y el movimiento curvilíneo. Curvatura de una curva dada en coordenadas cartesianas: 20 .π ∫ √ sen 2 ϑ +cos2 ϑ dϑ =¿ 0 π ∫ dϑ =ϑ ] π0 =ϑ 0 2. se define curvatura media Cm del arco AB al cociente: Cm = ∆φ ∆s Cuando el punto B tiende hacia el punto A. ∆s→0 y. respectivamente. φ y φ1 son los ángulos que t y t1 respectivamente forman con el eje x.A y B son puntos sobre la curva de la función f(x) t y t1 son las rectas tangentes a la curva en los puntos A y B. con ∆φ= φ1 –φ. Siendo ∆s la longitud del arco AB y ∆φ el ángulo de contingencia. por consiguiente. ∆x→0. se define la curvatura C en el punto A: ∆φ dφ =¿ ∆s ds Cm =¿ lim ¿ ∆ x→ 0 C= lim ¿ ∆ x→ 0 21 . R punto de intersección de las rectas tangentes. De esta manera. Para derivar φ=arctg y´. resulta: y ´ ´ dx=( tgφ ) ´ dφ y ´ ´ dx=( 1+t g2 φ ) dφ dφ= y ´ ´ dx 2 (1+t g φ) (Dado que y ´ =tgφ . ds 1+ y ´ 2 1 1 2 2 dx ( 1+ y ´ ) Luego. buscamos la derivada de φ.Fórmula para el cálculo de la curvatura: Siendo φ=arctg y´ (por ser tg φ = y´). C= y´´ 3 (1+ y ´ 2) 2 Ejemplo: Hallar la curvatura de la función y=senx en el punto x=π/2. dφ= y ´ ´ dx 2 (1+ y ´ ) Por definición C= dφ ds y por ser ds=√ d x 2 +d y 2=√ 1+ y ´ 2 . podemos usar la función inversa: y ´ =tgφ Diferenciando a ambos miembros. 22 . se obtiene: C= dφ y ´ ´ dx = . y verificar el resultado con el programa Geogebra. elevando a ambos miembros: y ´ 2=t g2 φ ) Luego. El número renombrado como “c” muestra la curvatura buscada.1) en la barra de entrada del programa.Solución: y=senx y' =cosx y '' =−senx π −sen( ) 2 C= = = =−1 3 3 3 2 π 2 2 2 2 2 ] (1+ y ´ ) (1+cos x ) [1+cos 2 y´´ −senx () Geogebra: Insertar la función y=senx y el punto (π/2. <Objeto (función o curva)> ]”. con el comando “Curvatura[ <Punto>. Luego calculo la curvatura de la función en el punto. Ejercicios: 1. Demostrar que la curvatura de la catenaria 1 x −x y= (e + e ) en un 2 punto cualquiera es c=y-2. reemplazando “punto” y “objeto” por el punto A y la función f(x). Hallar la curvatura de y=x3 en el punto (1.1) 2. 23 . respectivamente. 1 ) 10 c 2. El primer paso será graficar la función y=x 2 y crear el punto A=(0. se creará una “circunferencia dada tres puntos”. la circunferencia osculatriz o círculo osculador es aquella circunferencia que “mejor se adapta o acomoda” a la curvatura en un cierto punto.0). Luego se crearán dos puntos B y C.0).Soluciones: 1. Actividad con Geogebra: Dada la curva y=x2. 1 y (e x e x ) 2 1 1 y 2 (e x e x ) 2 (e2 x e 2 x 2) 4 4 1 y´ (e x e x ) 2 1 y '' (e x e x ) y 2 y '' y 2 3/ 2 1 [1 y ' ] [1 (e x e x ) 2 ]3/ 2 4 y y 1 2 x 2 x 1 1 1 [1 (e e 2)]3/ 2 [1 e 2 x e 2 x )]3/ 2 4 4 4 2 y y 2 3/ 2 y 2 1 [ (e2 x e 2 x 2)]3/ 2 ( y ) 4 c Circulo Osculador Intuitivamente.1 6 c 3/ 2 2 3/ 2 (1 9. 24 . pertenecientes a la curva. y x3 y ' 3x 2 y '' 6 x y '' 6x 2 3/ 2 [1 y ' ] [1 9 x 2 ]3/ 2 6. trataremos de encontrar una circunferencia que “mejor se adapte” a la curvatura en el punto (0. uno a cada lado de A. Con estos tres puntos. <Objeto (función o curva)> ].Con el fin de buscar esa circunferencia que mejor de adapte a la curvatura en A. reemplazando por A y f respectivamente. Para hallar con exactitud la circunferencia osculatriz. se pueden mover los puntos B y C y hacer zoom cada vez que B y C se aproximan a A. Esto permitirá observar que dicha circunferencia se obtiene cuando B y C tienden al punto A. 25 . se utilizará el comando CírculoOsculador[ <Punto>. como ya se mencionó. Ecuación del círculo osculador: Dada la curva y=f(x).La circunferencia azul es la circunferencia osculatriz y. 26 . y). tiene en dicho punto las mismas derivadas primera y segunda que la curva dada. β) y radio R que además de pasar por el punto P= (x. se denomina circunferencia osculatriz o círculo osculador a la circunferencia de centro C= (α. se obtiene cuando B y C tienden a A. La ecuación de la circunferencia es: ( x )2 ( y )2 R 2 [1] C es el centro de curvatura. Derivando [1] implícitamente respecto de x se obtiene (x ) ( y ) y ' 0 [2] Derivando por segunda vez: 1 y '2 ( y ) y '' 0 (y ) 1 y '2 y '' [3] 27 . y R es el radio del circulo osculador. Resolución: 2 y=x y ´ =2 x y ´ ´ =2 Las derivadas en el punto (0.1 y '2 y y '' Reemplazo [3] en [2]: (x ) 1 y '2 y' 0 y '' 1 y '2 (x ) y y '' [4] 1 y '2 y ' x y '' Reemplazando [3] y [4] en [1] resulta: R 2 ( x )2 ( y )2 R2 (1 y '2 ) 2 . Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia osculatriz correspondiente a y=x 2 en el punto (0. y '2 (1 y '2 ) 2 y ''2 y ''2 R2 (1 y '2 ) 2 ( y '2 1) y ''2 R2 (1 y '2 )3 y ''2 (1 y '2 )3/ 2 R y '' Se puede observar que el radio del círculo osculador es el valor recíproco del valor de la curvatura.0) son: 28 .0). El centro y el radio de la circunferencia osculatriz se denominan también centro de curvatura y radio de curvatura. Determinar el centro de curvatura. ecuación que coincide con la dada por el programa Geogebra. β y el radio. Soluciones: 1) Para hallar la ecuación de la circunferencia osculatriz debemos hallar α. Primero calcularemos las derivadas primera y segunda de la función. 2.y ' =0 y ´ ´ =2 1 y '2 y ' x y '' α= −1+0 . sen . Hallar la ecuación de la circunferencia osculatriz de y=2 cos ( x2 ) en el punto x=2π. → y ´=−sen y ´ ´ = −cos . Ejercicios 1. x 1 x x 1 y ´ =−2.0 2 β= 1−0 +0 → 2 α =0 1 y '2 y y '' (1 y '2 )3/ 2 R y '' β= 3 2 R= La ecuación de la circunferencia es: ( 1+0 ) → 2 1 2 1 = 2 2 1 2 R= 1 2 2 ( ) () x 2+ y− Si desarrollamos esta expresión se obtiene: x 2+ y 2 − y=0 . 2 2 2 2 2 () () [ ( )] Ahora evaluaremos ambas derivadas en x=2π 29 . π 1 1 −cos ¿ .0+2 π =2 π 1 2 1 y '2 y β= 1+0 −2=0 y '' 1 2 R (1 y '2 )3/ 2 y '' 1 R= =2 1 2 2 2 2 La circunferencia osculatriz tendrá la ecuación: ( x−2 π ) + y =2 2) El centro de la circunferencia será: C=(2 π . 12 =¿ Reemplazando en las fórmulas: 1 y '2 y ' x y '' α= −1+0 . 0) Curvatura en coordenadas paramétricas Dada una curva en coordenadas paramétricas x=x ( t ) y= y (t) dy dy dt y ´ tg ( φ )= = = dx dx x ´ dt 30 . = 2 2 y ´ ( 2 π )=−sen ( 22π )=−sen π=0 y ´ ´ ( 2 π )=[−cos( 22π )] . d = 2 x´ y´ y´ 1+ 1+ x´ x´ ( ) ( ) Además como ds= C= dφ = ds 2 ( ) . y=2t + 1 En el punto t=0 Soluciones: 1. y ´ ´ x´− y´ x ´´ y ´ ´ x ´−x ´ ´ y ´ dt = dt . 2 2 2 x´ x´ + y´ √ d x 2 +d y 2= y ´ ´ x ´ −x ´ ´ y ´ 2 2 x ´ + y´ 1 2 2 (x ´ 2+ y ´ ) dt = √( dx 2 dy 2 + dt=√ x ´ 2+ y ´ 2 dt . Hallar el radio de curvatura de la curva: 2 x=t . donde los acentos indican las derivadas respecto del parámetro t.resulta dt dt ) ( ) y ´ ´ x ´ −x ´ ´ y ´ 3 ( x ´ 2+ y ´ 2 ) 2 La curvatura de la curva se expresa mediante la fórmula anterior. Siendo t 1+cos ¿ ¿ x ´=r ¿ y ´ =−r sen t y ´ ´ =−r cos t 31 . Calcular la curvatura C de la cicloide x=r ( t+ sen t ) t 1+ cos ¿ ¿ ¿ y =r ¿ ¿ 2.φ=arc tg Resulta y´ x´ Y se tendrá 1 y´ 1 dφ= . Ejercicios: 1. Resulta: t 1 1+cos ¿=−2r 2 cos 2 t 2 2 2 cos t +cos t+ se n t=−r 2 ¿ x ´ y ´ ´ −x ´ ´ y ´ =−r 2 ¿ t 1+cos ¿ ¿ x ´ 2+ y ´ 2=r 2 ( 1+2 cos t +cos 2 t+ se n2 t )=2r 2 ¿ 1 −2 r 2 cos 2 t 2 −1 −1 1 C= = = sec t 1 1 4r 2 8 r 3 cos3 t 4 r cos t 2 2 2. Demostrar que la curvatura de una curva dada en coordenadas polares ϱ=ϱ(ϑ ) Está expresada por la fórmula: 32 .4 t=4 x ´ 2+ y ´ 2=1 2+ ( 4 t )2=1+16 t 2 C= 4 2 1+16 t El radio de la curvatura es: Para t=0 el radio será: r= 1 1+16 t 2 = C 4 1 4 Curvatura en coordenadas polares Ejercicios: 1.4−0. x ´ =1 x ´ ´=0 y ´ =4 t y ´ ´=4 x ´ y ´ ´−x ´ ´ y ´ =1. 2 C= 2 ϱ +2 ϱ ´ −ϱϱ ´ ´ 3 2 2 2 (ϱ + ϱ ´ ) 2. Hallar el radio de curvatura de la espiral de Arquímedes ϱ=aϑ en el origen. Recordando que las coordenadas cartesianas y polares están vinculadas por las relaciones x=ϱ cosϑ y=ϱ senϑ Calculamos las derivadas primeras y segundas respecto del parámetro ϑ x ´ =ϱ ´ cosϑ −ϱ senϑ x ´ ´ =ϱ ´ ´ cosϑ −2 ϱ ´ senϑ −ϱ cos ϑ y ´ =ϱ ´ senϑ +ϱ cosϑ y ´ ´ =ϱ ´ ´ senϑ + 2 ϱ ´ cosϑ −ϱ senϑ Operando tenemos: 2 2 x ´ y ´ ´−x ´ ´ y ´ =ϱ +2 ϱ ´ −ϱϱ ´ ´ 3 3 (x ´ 2+ y ´ 2 ) 2 ¿(ϱ 2+ ϱ ´ 2 )2 Luego: C= x ´ y ´ ´ −x ´ ´ y ´ 3 2 2 2 = ϱ 2+ 2 ϱ ´ 2−ϱϱ ´ ´ (x ´ + y ´ ) 2. 3 2 2 2 (ϱ +ϱ ´ ) ϱ ´ =a ϱ ´ ´=0 C= ϱ2 +2 ϱ ´ 2−ϱϱ ´ ´ 2 3 2 2 = ( aϑ )2+ 2 a2−aϑ . Soluciones: 1.0 (ϱ + ϱ ´ ) Para ϑ=0 C= 2 3 2 2 (( aϑ ) + a ) 2 = 2 a (ϑ + 2) 3 ( a2 ϑ 2+ a2 )2 2a 2 2 = √a 6 a 33 . 34 . Seguidamente hallaremos la intersección entre las mediatrices.Por lo tanto 1 r= a 2 Evoluta de una curva. la cual será un punto D. Luego marcaremos dos puntos sobre la circunferencia B y C y trazaremos las mediatrices de los segmentos AB y AC. Evolvente Actividad con geogebra: Graficaremos la curva y=x2. el mismo es el centro de nuestra circunferencia osculatriz. marcaremos un punto A sobre la curva y hallaremos el circulo osculador en ese punto. La curva generada por el rastro del centro de la circunferencia osculatriz se denomina Evoluta.Luego ocultaremos las rectas y los puntos auxiliares. 35 . Activaremos el rastro de D (centro de la circunferencia) y luego moveremos el punto P por la parábola. y´= −p2 y´ ´= 3 y p y Tenemos: α =3 x+ p β= −y 2 p 3 Despejando de estas expresiones x e y y reemplazándolas en la ecuación de la curva dada se obtiene la ecuación de la evoluta: 2 β p= 8 ( α−p )3 27 Que en el plano (α.β) es una parábola semicúbica. el valor de y (y el de y´ y el de y´´) queda determinado por la ecuación de la curva. Así se tendrá en el plano (α. las ecuaciones paramétricas de la Evoluta son: 1 y '2 y ' x y '' 1 y '2 y y '' Para cada valor de x. De acuerdo a lo visto anteriormente.β) cuya pendiente será dβ dα . Ejemplo: Verificar que la Evoluta de la parábola de eje horizontal y 2=2 px Es una parábola semi-cúbica. Los respectivos centros describirán una curva que se llama Evoluta.Definición: Considerando el punto P variable sobre la curva se tendrán infinitos círculos osculadores. Ejercicio: 36 . = dt dx x a t cos 3 t Con lo que resulta la circunferencia en el plano (α.1) Verificar que la evoluta a la curva : t+t sen t cos ¿ ¿ t+ t cos t sen ¿ ¿ ¿ x=a ¿ ¿ Es una circunferencia de centro en el origen y radio a. Solución: y a t sen t y´= = =tg t x a t cos t y´ ´= dy ´ dt 1 1 . =( tg t ) . 37 .β): t+t sen t cos ¿−a t sen t=a cos t α =a ¿ t sen t−t cos ¿+ at cos t=a sen t β=a ¿ Podemos hacer la verificación con geogebra. 38 .