APLICACIONES DE ECUACIONES 1.(Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de$600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 1 horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? SOLUCIÓN: DATOS: Salario base (S) = $600 1 h se vende $100 x=? I = $2´000 Hallamos las ventas que realiza por hora: 1 h = $100 h = $100 Despejamos h: h= h= El ingreso de la vendedora esta dado de la siguiente manera: I = S + 10%x 10% = Despejamos x: x= x= x = 210 Conclusión 1: La vendedora deberá trabajar en promedio cada mes 210 horas para que sus ingresos sean de $2000. Ahora llevamos a días laborales las 210 h aplicando una regla de 3 simple: 1dl x 210hdl = 8hx x= 8h 210h Reemplazamos datos conocidos: 2000 = 600 + 2000 = 600 + Simplificamos: 2000 = 600 + x x x x = 26.25dl x = 26 dl x = 26 + 2h Conclusión 2: La vendedora deberá trabajar en promedio cada mes 26dl más dos horas para que sus ingresos sean de $2000. 2. (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo el 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha ser de del 30%? SOLUCIÓN: DATOS: Total invertido: 1´000 X $150 = $150´000 Utilidad total (UT): $150´000 X 30% = $45´000 Vendió 400 con utilidad del 25%. Hallamos primero el valor de las 400 reses: 400 X $150 = $60´000, entonces: Utilidad de las 400 reses (U400): 60´000 X 25%= $15´000 Nos piden a qué precio debemos vender las restantes 600 reses (PV600), pero primero tenemos que hallar cuánto costaron y sumarlo con la utilidad de las mismas y dividirlo entre 600: 600 X $150 = $90´000 Hallamos la utilidad de las 600 reses (U600) restando la utilidad de las 1000 (UT) reses menos la utilidad de las 400 reses (U400): U600 = UT – U400 U600 = $45´000 - $15´000 U600 = $30´000, entonces: PV600 = $90´000 + $30´000/600 PV600 = $120´000/600 PV600 = $200 CONCLUSIÓN: El comerciante debe vender las restantes 600 reses a $200 cada una para poder tener una utilidad promedio de lote completo de 30%. 3. (Inversiones ) La señora Cordero va a invertir $70000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos de gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% en los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000? SOLUCIÓN: DATOS: Capital (C) =$70´000 6% = 0.06 (%1) $70´000 8% = 0.085 (%2) $5´000 Aplicamos la ecuación de Inversión Capital: x%1 + (C – x) %2 = I Sea x lo que se invirtió al 6%. Entonces: 0.06x + (70´000 – x) 0.085 = 5´000 Resolvemos: 0.06x + 5´950 – 0.085x = 5´000 -0.025x+ 5´950 = 5´000 x 38´000 Se hace una inferencia de prueba: $38´000 x 0.06 $32´000 x 0.085 $70´000 CONCLUSIÓN: Para minimizar los riesgos y obtener una ganancia de $5´000 la Sra. Cordero debe invertir: $38´000 en bonos de gobierno y $32´000 en bonos hipotecarios = = $2´280 $2´720 $5´000 4. (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere producir 10´000 de jerez encabezando vino blanco, que tiene contenido de alcohol del 10% con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol de 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de Brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado. SOLUCIÓN: DATOS: C = 10´000 10% de vino blanco = 0.1 (%1) 10´000 de jerez 35% de brandy = I es igual a la cantidad de jerez por 15%: I = 10´000 x 15% I = 10´000 x 0.15 I = 1´500 Aplicamos la ecuación de Inversión Capital: x%1 + (C – x) %2 = I Sea x la cantidad de vino blanco. Resolvemos: 0.1x + (10´000 – x) 0.35 = 1´500 0.1x + 3´500 – 0.35x =1´500 -0.25x + 3´500 = 1´500 – I 0.35 (%2) Se hace una inferencia de prueba: 8´000 2´000 10´000 x x 0.1 = 0.35 = 800 700 1´500 CONCLUSIÓN: La mezcla debe contener 8´000 de vino blanco y 2´000 de brandy para obtener 10´000 de jerez con un contenido de 15% volumen de alcohol. 6.25 = 1.25+0.25 – 0.5.25 Por último hallamos X2: X2 = X2 = X2 = 0.25 Nota: Cantidades decimales están dadas en millones de dólares.25 + 0.75 0.25 + 0. sabe por experiencia que si fija en P dólares.5x + 0. el precio de la docena de huevos.25 + 0.5 C = 0.25 + 0.25 = 0.) (Decisión sobre fijación de precios) La cámara de comercio del huevo del estado de Columbia.5x C = 0.25 millones 2.5 Si fija la docena de huevos a $1.25 millones de dólares? SOLUCIÓN: DATOS: P=2–x I = xP entonces I= x (2 – x) C = 0. ¿Qué precio del huevo debería fijar la cámara de comercio para asegurar una utilidad semanal de 0.75 Hallamos también I y U: I = xP I = 1 (2 .5 millones Entonces hallamos X1 X1 valores respectivos: √ .5x U = 0.5 CONCLUSIÓN: La cámara de comercio tiene a su disposición dos políticas: 1. Su ingreso semanal total seria entonces I=xP=x (2-x) millones de dólares.25 = 1 – 0. Puede fijar la docena de huevos en: P = 2 – X2 P = 2 – 0.25 = 2x – x2 – 0.5 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0.1) I = 1(1) I=1 Luego comprobamos U: U=I–C 0.5x + 0. Puede fijar la docena de huevos en: P = 2 .5 la utilidad sería de $0. El costo industrial de producir x millones de docenas de huevos por semana esta dado por C=0. que regula el precio de venta de éste. igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: x2 – 1. donde: a=1 b = -1.X1 P=2–1 P=1 Si fija la docena de huevos a $1 la utilidad sería de $0.5 c = 0.25.5x – x2 – 0.5x) 0.25 + 0. reemplazamos los X1= X1= X1= √ √ √ .25 = x (2 – x) – (0.25 = 0 2 x – 1. Aplicamos fórmula de utilidades: U=I–C Reemplazamos y Resolvemos: 0.5x millones dedolares.5 (1) C = 0.5x 0. el número de docenas de huevo vendidas a la semana será de x millones.25 + 0.5 Entonces encontramos las raíces para x: √ X1= X1= X1= 1 Ahora hallamos C que es el costo de producción: C = 0. Donde P=2-x.5 P = 1. 21x = 840 I = $840 x= x = 4´000 Por lógica si x = 4´000 entonces 2x = 8000 por consiguiente: C = 4´000 + 8´000 C = 12´000 Se hace una inferencia de prueba: 4´000 x 0. . 8.) (Inversiones) Un hombre invierte el doble al 8% de lo que invierte al 5 %.05 + 2 (0.05 = 200 + + 8´000 x 0.08) x = 840 0.08 = 640 12000 840 CONCLUSIÓN: El hombre obtuvo un ingreso total anual de $840 porque invirtió en cada tasa $8´000 y $4´000 respectivamente.16x = 840 0.6. Sea 2x lo que se invierte al 8% Entonces: 0.08 DATOS: Sea x lo que se invierte al 5%. ¿Cuánto invirtió en cada tasa? SOLUCIÓN: 5% = 0.05 + 0.05 C 8% = 0. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. 08x + (60´000 – x) 0. Parte de esto se destinará inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.08 $ 8´000 x 0.08 C 10.105 $60´000 CONCLUSIÓN: Con el objeto de obtener el ingreso requerido es decir $5´000 el colegio deberá invertir: $52´000 en fondos de gobierno y $ 8´000 en depósitos a largo plazo = = $4´160 $ 840 $5´000 . Entonces: 0.105 Aplicamos la ecuación de Inversión Capital: x%1 + (C – x) %2 = I Sea x lo que se invirtió al 8%.105x = 5´000 -0.5% = 0.5%. 9.08x + 6´300 – 0.105 = 5´000 Resolvemos: 0.) (Inversiones) Un colegio destina $60´000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5´000 para becas.025x+ 6´300 = 5´000 I = $5´000 x 52´000 Se hace una inferencia de prueba: $52´000 x 0.7. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? SOLUCIÓN: DATOS: 8% = 0. 10. = = $1´080 $ 360 $1´440 .06x = 1´440 0.03x + 1´080 = 1´440 I = 8% de la inversión total x 2´000 Se hace una inferencia de prueba: $12´000 x 0.06 Hallamos I: I = 18´000 (8%) I = 1´440 Aplicamos la ecuación de Inversión Capital: x%1 + (C – x) %2 = I Sea x lo que se invirtió al 9%.06 $18000 CONCLUSIÓN: Los miembros de la fundación deberán invertir: $12´000 en el tipo de seguro que pagan dividendos del 9% y $ 6´000 en el tipo de seguro que pagan dividendos del 6%.) (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $18000 en tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6% respectivamente.8.09x + (18´000 – x) 0.06 = 1´440 Resolvemos: 0. Entonces: 0.09x + 1´080 – 0.09 18´000 6% = 0. ¿Cuánto deberán invertir en cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total? SOLUCIÓN: DATOS: 9% = 0.089 $ 6´000 x 0. Si tiene un costo $0.6x – 2´000 1´000 = 0. Determine cuántos artículos debería producir con objeto de obtener utilidades de $1´000.9x – 0. SOLUCIÓN: DATOS: Cf = $2´000 Cv =$ 0.) (Utilidades) Le cuesta a un fabricante $2´000 comprar las herramientas a fin de producir cierto articulo domestico.9.3x – 2´000 x = 10´000 CONCLUSIÓN: Para poder obtener utilidades de $ 1´000 el fabricante debería producir 10´000 artículos. y si el fabricante puede vender todo lo producido a $0.6x Pv = 0. 11.6 por el material y la mano de obra de cada artículo producido.9 >I = 0. .9x x=? U = $1´000 Aplicamos fórmula de Utilidades: U = I – Ct U = I – Cv – Cf Reemplazamos y resolvemos: 1´000 = 0.9cada uno. 10. ¿Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de $17´500?. donde: a=5 b = -600 c = 17´500 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= X1= X1= X1= X1= X1= X1= 70 √ √ √ √ √ . una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de P dólares c/u. en donde P=600-5x. es decir X2: X2 = .) (Producción) Cada semana.5x C = 800 + 75x a) x = ? b) P = ? c) x = ? d) P = ? I = 17´500 I = 18´000 U = 5´500 U = 5´500 a) R/) x = ? I = 17´500 Aplicamos fórmula de Ingresos Totales: I = Px Reemplazamos y resolvemos: 17´500 = (600 – 5x) x 17´500 = 600x – 5x2 Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: 5x2 – 600x + 17´500 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0. Si le cuesta a la compañía 800+75x dólares producir x unidades. 20. reemplazamos los valores respectivos: Hallamos la segunda raíz de X. ¿Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos semanales por $18´000? ¿cuántas unidades debería producir y vender cada semana para lograr utilidades de $5500? ¿a qué precio por unidad generaría la compañía una utilidad semanal de $5500? SOLUCIÓN: DATOS: P = 600 . 2.X2 = X2 = 50 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X1: C = 800 + 75x C = 800 + 75(70) C = 800 + 5250 C = 6´050 en X2: C = 800 + 75x C = 800 + 75(50) C = 800 + 3´750 C = 4´550 Comprobamos X1 : 17´500 = 600(70) – 5(70)2 17´500 = 42´000 – 5(4900) 17´500 = 42´000 – 24´500 17´500 = 17´500 Comprobamos X1 = 600x – 5x2 X2 : 17´500 = 600(50) – 5(50)2 17´500 = 30´000 – 5(250) 17´500 = 30´000 – 12´500 17´500 = 17´500 CONCLUSIÓN: La compañía tiene a su disposición dos políticas: 1. Fijar el precio por unidad en: P = 600 – 5x2 P = 600 – 5(50) P = 600 – 250 P = 350 Si fija el precio por artículo en $350 tiene que vender 50 unidades para tener un ingreso de $17´500. b) R/) P = ? I = 18´000 X2 = 600x – 5x2 Aplicamos fórmula de Ingresos Totales: I = Px Reemplazamos y resolvemos: 18´000 = (600 – 5x) x 18´000 = 600x – 5x2 . Fijar el precio por unidad en: P = 600 – 5x1 P = 600 – 5(70) P = 600 – 350 P = 250 Si fija el precio por artículo en $250 tiene que vender 70 unidades para tener un ingreso de $17´500. c) R/) x=? U = 5´500 Aplicamos fórmula de Utilidades: U = I – Ct . pero como I = Px entonces tenemos que: U = Px – Ct . donde: a=5 b = -600 c = 18´000 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= X1= X1= X1= X1= X1= X1= 60 √ √ √ √ √ .Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: 5x2 – 600x + 18´000 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0. reemplazamos los valores respectivos: Hallamos la segunda raíz de X. es decir X2: X2 = X2 = X2 = 60 Entonces tenemos que X1 es igual X2: X1 = X2 Comprobamos 2 X: X = 600x – 5x 18´000 = 600(60) – 5(60)2 18´000 = 36´000 – 5(3600) 18´000 = 36´000 – 18´000 18´000 = 18´000 CONCLUSIÓN: Si fija el precio por artículo en $350 tiene que vender 60 unidades para tener un ingreso de $18´000. 82 Comprobamos X1 : 5´500 = 600x – 5x2 – 800 . reemplazamos los valores respectivos: X1= X1= 91.82) 5´500 = 8292 – 5(191) – 800 – 1036.5 5´500 = 54708 – 41569 – 800 – 6838.75x 5´500 = 600(13.82) – 5(13.18)2 – 800 – 75(91.8) – 800 – 6838.5 CONCLUSIÓN: La compañía tiene a su disposición dos políticas: .82)2 – 800 – 75(13.5 5´500 = 8292 – 955 – 800 – 1036.18) 5´500 = 54708 – 5(8313.5 Comprobamos X2 : 5´500 = 600x – 5x2 – 800 .5 5´500 ~ 5´500.5 5´500 ~ 5´500. donde: a=5 b = -525 c = 6´300 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= X1= X1= X1= X1= √ √ √ √ √ .Reemplazamos y resolvemos: 5´500 = (600 – 5x) x – (800 + 75x) 5´500 = 600x – 5x2 – 800 .18 Hallamos la segunda raíz de X.18) – 5(91. es decir X2: X2 = X2 = X2 = 13.75x 5´500 = 525x – 5x2 – 800 Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: 5x2 – 525x + 800 + 5´500 = 0 5x2 – 525x + 6´300 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0.75x 5´500 = 600(91. 9 P = 144.1 Hallamos los ingresos en x1: I = 144 x 91.5 Si fija el precio por artículo en $530.82) P = 600 – 69. 2.18 I = 13´139 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X1: C = 800 + 75x C = 800 + 75(91. Fijar el precio por unidad con x2 : P = 600 – 5x2 P = 600 – 5(13.5 Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U=I–C 5´500 = 7´337.1 tiene que vender 91.5 Si fija el precio por artículo en $144.5 Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U=I–C 5´500 = 13´139 .5 C = 7638. .5 5´500 ~ 5´500.18 unidades para tener una utilidad de ~$5´500.7638.1.9 tiene que vender 13.1 P = 530.1´836.82) C = 800 + 1036.5 C = 1´836.18) C = 800 + 6´838.82 unidades para tener una utilidad de ~$5´500. Fijar el precio por unidad con x1 : P = 600 – 5x1 P = 600 – 5(91.9 x 13.9 Hallamos los ingresos en x2: I = 530.18) P = 600 – 455.5 5´500 ~ 5´500.82 I = 7´337 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X2: C = 800 + 75x C = 800 + 75(13. 21.x C = 2800 + 45x a) x = ? b) P = ? c) x = ? d) P = ? I = 9´600 I = 9´900 U = 3´200 U = 3´150 a) R/) x = ? I = 9´600 Aplicamos fórmula de Ingresos Totales: I = Px Reemplazamos y realizamos operaciones: 9´600 = (200 – x) x 9´600 = 200x – x2 Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: x2 – 200x + 9´600 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0.) (Producción y fijación de precios) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio P dólares por unidad. es decir X2: X2 = . en donde P=20-x. donde: a=1 b = -200 c = 9´600 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= X1= X1= X1= X1= X1= X1= 120 √ √ √ √ √ . ¿Cuántas unidades debería vender a la semana si desea generar ingresos por $9600? ¿A qué precio por unidad generaría un ingreso semanal de $9900? ¿Cuántas unidades debería producir y vender el fabricante a la a semana para obtener una utilidad de $3200? ¿A qué precio por unidad el fabricante generaría una utilidad semanal de $3150? SOLUCIÓN: DATOS: P = 200 . y cuesta 2800+45x producir x unidades.11. reemplazamos los valores respectivos: Hallamos la segunda raíz de X. X2 = X2 = 80 Comprobamos X1 : X1 = 200x – x2 9´600 = 200(120) – (120)2 9´600 = 24´000 – 14´400 9´600 = 9´600 Comprobamos X2 : 9´600 = 200(80) – (80)2 9´600 = 16´000 – 6´400 9´600 = 9´600 X2 = 200x – x2 CONCLUSIÓN: La compañía tiene a su disposición dos políticas: 1. reemplazamos los valores respectivos: . Fijar el precio por unidad en: P = 200 – x1 P = 200 – 120 P = 80 Si fija el precio por artículo en $120 tiene que vender 80 unidades para tener un ingreso de $9´600. Fijar el precio por unidad en: P = 200 – x2 P = 200 – 80 P = 120 Si fija el precio por artículo en $80 tiene que vender 120 unidades para tener un ingreso de $9´600. 2. b) R/) P = ? I = 9´900 Aplicamos fórmula de Ingresos Totales: I = Px Reemplazamos y resolvemos: 9´900 = (200 –x) x 9´900 = 200x – x2 Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: x2 – 200x + 9´900 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0. donde: a=1 b = -200 c = 9´900 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= √ √ . Fijar el precio por unidad en: P = 200 – x2 P = 200 – 90 P = 110 Si fija el precio por artículo en $90 tiene que vender 110 unidades para tener un ingreso de $9´900. 2. Fijar el precio por unidad en: P = 200 – x1 P = 200 – 110 P = 90 Si fija el precio por artículo en $110 tiene que vender 90 unidades para tener un ingreso de $9´900. pero como I = Px entonces tenemos que: U = Px – C X1 = 200x – x 2 X2 = 200x – x2 . c/R) x=? U = 3´200 P = 200 – x C = 2800 + 45x Aplicamos fórmula de Utilidades: U = I – C.X1= X1= X1= X1= X1= X1= 110 √ √ √ Hallamos la segunda raíz de X. es decir X2: X2 = X2 = X2 = 90 Comprobamos X1 : 9´900 = 200(110) – (110)2 9´900 = 22´000 – 12´100 9´900 = 9´900 Comprobamos X2 : 9´900 = 200(90) – (90)2 9´900 = 18´000 – 8´100 9´900 = 9´900 CONCLUSIÓN: La compañía tiene a su disposición dos políticas: 1. es decir X2: X2 = X2 = X2 = 75 Comprobamos X1 : 3´200 = 155x – x2 –2´800 3´200 = 155(80) – (80)2 –2´800 3´200 = 12´400– 6´400 –2´800 3´200 = 3´200 Comprobamos X2 : 3´200 = 155x – x2 –2´800 3´200 = 155(75) – (75)2 – 2´800 3´200 = 11´625 – 5´625 – 2´800 3´200 = 3´200 CONCLUSIÓN: La compañía tiene a su disposición dos políticas: .Reemplazamos y resolvemos: 3´200 = (200 – x) x – (2´800 + 45x) 3´200 = 200x – x2 –2´800 . reemplazamos los valores respectivos: Hallamos la segunda raíz de X.45x 3´200 = 155x – x2 –2´800 Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: x2 – 155x + 2 800 + 3´200 = 0 x2 – 155x + 6´000 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0. donde: a=1 b = -155 c = 6´000 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= X1= X1= X1= X1= X1= X1= 80 √ √ √ √ √ . 2. Fijar el precio por unidad con x2 : P = 200 – x P = 200 – 75 P = 125 Hallamos los ingresos en x2: I = Px I = 125 (75) I = 9´375 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X2: C = 2´800 + 45x C = 2´800 + 45(75) C = 2´800 + 3´375 C = 6´175 Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U=I–C 3´200 = 9´375 .1.6´175 3´200 = 3´200 Si fija el precio por artículo en $125 tiene que vender 75 unidades para tener una utilidad de $3´200. Fijar el precio por unidad con x1 : P = 200 – x P = 200 – 80 P = 120 Hallamos los ingresos en x1: I = Px I = 120 (80) I = 9´600 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X1: C = 2´800 + 45x C = 2´800 + 45(80) C = 2´800 + 3´600 C = 6´400 Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U=I–C 3´200 = 9´600 . d/R) P=? U = 3´150 Aplicamos fórmula de Utilidades: U = I – C. pero como I = Px entonces tenemos que: .6´400 3´200 = 3´200 Si fija el precio por artículo en $120 tiene que vender 80 unidades para tener una utilidad de $3´200. reemplazamos los valores respectivos: Hallamos la segunda raíz de X. donde: a=1 b = -155 c = 5´950 Utilizamos Fórmula cuadrática General: √ Entonces hallamos las raíces para x: X1 X1= X1= X1= X1= X1= X1= X1= 85 √ √ √ √ √ . es decir X2: X2 = X2 = X2 = 70 Comprobamos X1 : 3´150 = 155x – x2 –2´800 3´150 = 155(85) – (85)2 –2´800 3´150 = 13´175 – 7´225 –2´800 3´150 = 3´150 Comprobamos X2 : 3´150 = 155x – x2 –2´800 3´150 = 155(70) – (70)2 –2´800 3´150 = 10´850 – 4´900 – 2´800 3´150 = 3´150 .45x 3´150 = 155x – x2 –2´800 Igualamos a cero para obtener una ecuación cuadrática: x2 – 155x + 2 800 + 3´150 = 0 x2 – 155x + 5´950 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuación cuadrática: a2 + bx + c = 0.U = Px – C Reemplazamos y resolvemos: 3´150 = (200 – x) x – (2´800 + 45x) 3´150 = 200x – x2 –2´800 . Fijar el precio por unidad con x1 : P = 200 – x1 P = 200 – 85 P = 115 Hallamos los ingresos en x1: I = Px I = 115 (85) I = 9´775 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X1: C = 2´800 + 45x C = 2´800 + 45(85) C = 2´800 + 3´825 C = 6´ 625 Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U=I–C 3´150 = 9´775 .6´ 625 3´150 = 3´150 Si fija el precio por artículo en $115 tiene que vender 85 unidades para tener una utilidad de $3´150.CONCLUSIÓN: La compañía tiene a su disposición dos políticas: 1. . Fijar el precio por unidad con x2 : P = 200 – x P = 200 – 70 P = 130 Hallamos los ingresos en x2: I = Px I = 130 (70) I = 9´100 Ahora hallamos C que es el costo de producción: en X2: C = 2´800 + 45x C = 2´800 + 45(70) C = 2´800 + 3´150 C = 5´950 Utilizamos la fórmula de utilidades para comprobar: U=I–C 3´150 = 9´100 . 2.5´950 3´150 = 3´150 Si fija el precio por artículo en $130 tiene que vender 70 unidades para tener una utilidad de $3´150. ¿Cuál es el costo de fabricar 100 al día? SOLUCIÓN: DATOS: Cv = $7 en función de x Cf = $150 yc = ?. Determine el costo total yc de fabricar x mesas al día. yc = Ct.) (Modelo de costo lineal) El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150 al día. 22.12. Ct = Cv + Cf entonces yc = Cv + Cf Reemplazamos para determinar ecuación costo total: yc = 7x + 150 x = 100 yc = 7 (100) + 150 yc = 700 + 150 yc = 850 CONCLUSIÓN: El costo de fabricar 100 mesas al día es de $850 yc = ? . 700) (120.) (Modelo de costo lineal) El costo de fabricar 100 cámaras digitales a la semana es de $700. . 23. y el de fabricar 120 cámaras a la semana es de $800.800) x1 y 1 x2 y 2 a) Aplicamos fórmula pendiente de una recta: – – Reemplazamos valores y resolvemos Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación de costos: b) x = 200 y=? CONCLUSIÓN: Fabricar 200 cámaras tiene un costo de $1´200.13. ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad? ¿Cuál es el costo para fabricar 200 cámaras? SOLUCIÓN: (100. suponiendo que es lineal. Determine la ecuación de costos. suponiendo que es lineal. ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades al día? ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo? SOLUCIÓN: DATOS: (10.120) x2 y 2 a) Aplicamos fórmula pendiente de una recta: Reemplazamos valores y resolvemos Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación de costos: b) x = 20 y=? CONCLUSIÓN: El costo de producir 20 unidades al día es de $105. 24. Determine la ecuación de costos. c) Cv = 3x Cf = $45 . 75) x1 y 1 (25.14.) (Modelo de costo lineal) A una compañía la cuesta $75 producir 10 unidades de cierto articulo al día y $120 producir 25 unidades del mismo artículo al día. . 100) x2 y 2 a) Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar la relación entre la cifra total y la distancia recorrida: Reemplazamos valores y resolvemos Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación de costos: b) Como x representa las distancias suponemos que la distancia mínima es una milla: x=1 y=? c) CONCLUSIÓN: La cuota por cada milla varía con respecto a la distancia. 70) x1 y 1 (25.15.) (Modelo de costo lineal) La compañía de mudanzas Ramírez cobra $70 por transportar cierta maquina 15 millas y$100 por transportar la misma máquina 25 millas. Determine la relación entre la cifra total y la distancia recorrida. ¿Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina?. ¿Cuál es la cuota por cada milla que la maquina es transportada? SOLUCIÓN: DATOS: (15. suponiendo que lineal. 25. mientras más distancia recorrida menor es la cuota y viceversa. en la fórmula de costos para hallar la ecuación de relación entre costo total y número de unidades producidas: Ct = 5. los datos dados y datos obtenidos. Determine la relación entre el costo total y el número de unidades producidas. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana? SOLUCIÓN: DATOS: Cf = $300 Ct = $410 Cv = ? Aplicamos Fórmula de costos para hallar costo variable: Ct = Cv + Cf Reemplazamos y resolvemos: 410 = Cv(20) + 300 x = 20 Reemplazamos.) (Modelo de costo lineal) Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $410.5x + 300 ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana? x = 30 Ct = 5. suponiendo que es lineal. 26.16.5(30) + 300 Ct = 165 + 300 Ct = 465 CONCLUSIÓN: El costo de fabricar 30 unidades a la semana es $ 465. Ct = ? .5x + 300 Ct = 5. 27. SOLUCIÓN: DATOS: Cf = $25 Ct = $410 Cv = 20(x – 1). Cv representa la tarifa de la segunda noche en adelante por la cantidad de las noches siguientes: x=1 yc yc yc representa el costo total de noches que la persona se hospeda en el hotel: Entonces la ecuación de costos estaría dada así: = 20(x – 1) + 25 = 20x – 20 + 25 yc = 20x + 5 Ejemplo: En dado caso que la persona se hospede en el hotel 20 noches ¿cuánto pagaría? x = 20 yc = ? yc yc yc = 20x + 5 = 20(20) + 5 = 405 CONCLUSIÓN: En caso de que la persona se hospede en el hotel 20 noches en el hotel pagaría $405.17. el número de noche que la persona se hospeda en el hotel. . Exprese el costo yc de la cuenta en términos de x.) (Modelo de costo lineal) Un hotel alquila un cuarto a una persona a una tarifa de $25 por la primera noche y de 20 por cada noche siguiente. más un cargo extra de $150. . x representa el número de personas: yc = ?. entonces: yc = 10x + 150 Ejemplo: Si la compañía ofreciera banquetes a 50 personas. 28. SOLUCIÓN: DATOS: Cf = $150 Cv = 10x. ¿cuánto cobraría? x = 50 yc = yc = 10x + 150 yc = 10(50) + 150 yc = 500 + 150 yc = 650 ? CONCLUSIÓN: Si la compañía ofreciera banquetes a 50 personas cobraría $650. y si: yc = Cv + Cf . pero yc representa el costo total que fijaría la compañía por x personas.18. Encuentre el costo yc que fijaría la compañía por x personas.) (Modelo de costo lineal) Una compañía especializada ofrece banquetes a grupos de personas al costo de $10 por personas. 29.6) x1 y 1 x2 y 2 Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar de relación entre millas y costos: Reemplazamos los valores dados y resolvemos: Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación que determina el costo de un boleto por un recorrido de x millas: Ejemplo: Si la persona viaja 20 millas. 0.) (Modelo de costo lineal) El costo de boleto de un autobús en Yucatán depende directamente de la distancia viajada. . 4) (6.19. SOLUCIÓN: DATOS: (2.3.4. 0. Un recorrido de 2 millas cuesta $0. mientras que uno de 6 millas tiene un costo de $0. ¿cuánto costaría su boleto? x = 20 y=? CONCLUSIÓN: Si la persona viaja 20 millas su boleto costaría $1. Determine el costo de un boleto por un recorrido de x millas.6. 2x x = ? . Pe Si en Pe I = Ct entonces: I =Cv + Cf Reemplazamos los valores dados y resolvemos: 1.2 (800) = 0.9x + 240 1.9 por unidad y los costos fijos son de $240 al día. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya pérdidas ni ganancias? SOLUCIÓN: DATOS: Cv = $0.3x = 240 x= x = 800 Comprobamos: I = Cv + Cf 1.20.) (Análisis de punto de equilibrio) El costo variable de producir cierto artículo es de $0.2 I = 1.2x 0. El artículo se vende por $1. .2 c/u.2x = 0.9x Cf = $240 Pv = $1.9 (800) + 240 960 = 720 + 240 960 = 960 CONCLUSIÓN: Se deberán producir y vender 800 artículos para garantizar de que no haya pérdidas ni ganancias. 30.9x = 240 0. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener unas utilidades $1000 mensual? Obtenga la perdida cuando solo 1500 unidades se producen y venden al mes. Si el productor vende cada artículo a $6. 31.5x + 5´000 Utilizamos Fórmula de utilidades: U = I – Ct Reemplazamos los valores conocidos: 1´000 = 6x – (3.5x – 5´000 2.5x + 5´000) 1´000 = 6x –3. Pe b) x = ? c) x = 1´500 a/R) Pe.5´000 1´000 = 2.5x = 5´000 2.5 por unidad.21.5x = 5´000 x= x = 2´000 CONCLUSIÓN a): El productor tiene que producir y vender 2´000 unidades para no perder en el negocio.) (Análisis de punto de equilibrio) Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3. I = Ct I = Cv + Cf Reemplazamos los datos dados: 6x = 3. Encuentre el punto de equilibrio.5x = 1´000 + 5´000 x= x = 2´400 .5x + 5´000 6x – 3.5x . SOLUCIÓN: DATOS: a) Cf = $5´000 Cv = 3. b) x = ? U = $1´000 U = $1´000 Pérdidas = ? I = 6x Ct = Cv + Ct Ct = 3.5x Pv = $6 I = 6x x = ? . 5 (1´500) – 5´000 U = 3´750 – 5´000 U = – 1´250 CONCLUSIÓN: Por producir y vender 1´500 unidades el productor reporta pérdidas por $1´250.CONCLUSIÓN b): El productor tiene que producir y vender 2´400 unidades para poder obtener utilidades de $1´000. .5 x – 5´000 U = 2. c) x = 1´500 Pérdidas = U cuando tiene signo negativo U = I – Ct U = 6x – 3.5x – 5´000 U = 2. ¿Cuál debería ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya perdidas si se sabe que al menos 450 unidades de venderán? SOLUCIÓN: DATOS: a) yc = 2. b/R) ) Pv = ? Pe = ? x = 450 Para hallar Pv en este punto primero hallaremos I: I= yc I = 2.2x = 600 x= x = 500 CONCLUSIÓN a): Para hallar el punto de equilibrio se deben producir y vender 500 unidades.8x + 600 Pv = $4 I = 4x x = ? . I = Ct .) (Análisis de punto de equilibrio) El costo de producir x artículos esta dado por yc=2.8x + 600 4x – 2.8x + 600 I = 2.8x = 600 1. Pe = ? b) Pv = ? Pe = ? x = 450 a/R) Pe.22. Encuentre el punto de equilibrio. Ct = yc I= yc Reemplazamos los datos dados y resolvemos: 4x = 2.14 .8x+600 y cada artículo se vende a $4. 32.8 (450) + 600 I = 1260 + 600 I = 1´860 Ahora como I = Pv(x) Pv = Pv = Pv = 4. 8 (450) + 600 1´860 = 1260 + 600 1´860 = 1´860 CONCLUSIÓN b) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán se debe fijar un precio de $4.Comprobamos: I= yc I = 2.8x + 600 1´860 = 2. .14 por artículo para que no haya pérdidas. 0. SOLUCIÓN: DATOS: Cv = $0.) (Análisis de punto de equilibrio) Un fabricante produce artículos a un costo variable de $0. I = Ct I = Cv + Cf 1.85x = 280 0.23.1x . Si cada artículo puede venderse a $1.85c/u y los costos fijos son de $280 al día.85x Cf = $280 Pv = $1. .1x = 0.25x = 280 x= x = 1´120 CONCLUSIÓN: Si cada artículo el fabricante lo vende a $1.1x Pe = ? Pe.1 determine el punto de equilibrio.1 I = 1.85x + 280 1.1 tiene que vender 1120 unidades para mantener el punto de equilibrio. 33. ) (Depreciación) Juan compró un automóvil nuevo por $10´000. . suponiendo que deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original? ¿Cuál es el valor del automóvil después de 5 años? SOLUCIÓN: DATOS: a) v1 = $10´000 t1 = 0 v2 = v1 – v1(12%) v2 = $10´000 – $10´000(0. 1) v1 t1 v2 t2 Aplicamos ecuación pendiente depreciativa de una recta para hallar la relación de depreciación: Utilizamos fórmula ecuación de la recta punto pendiente depreciativa para hallar ecuación que determina la ecuación de depreciación lineal del vehículo: b) v = ? t=5 CONCLUSIÓN: El valor del automóvil después de 5 años es de $2´800. ¿Cuál es el valor V del automóvil después de t años.24. 0) ( 8´800.12) v2 = $10´000 – $1´200 v2 = $8´800 t2 = 1 (10´000. 34. 25. 35. 0) (12´750. . 1) t1 = 0 t2 = 1 v1 t1 v2 t2 Aplicamos ecuación pendiente depreciativa de una recta para hallar la relación de depreciación de la maquinaria: Ahora utilizamos fórmula ecuación de la recta punto pendiente depreciativa para hallar ecuación que determina la ecuación de depreciación lineal del vehículo: b) t = ? v= 0 t = 6.) (Depreciación) Una empresa compro maquinaria nueva por $15000. ¿Por cuánto tiempo estará la maquina en uso? ¿Cuál será el valor V de la maquinaria después de t años de uso y después de 6 años de uso? SOLUCIÓN: DATOS: a) v1 = $15´000 v2 = v1 – $2´250 v2 = $15´000 – $2´250 v2 = $12´750 (15´000.66 CONCLUSIÓN: La máquina estará en uso por 7 años aproximadamente. Si se deprecia linealmente en $750 al año y si tiene un valor de deprecio de $2250. .c/R) t = 6 v= ? CONCLUSIÓN: Después de 6 años de uso la máquina tendrá un valor de $1´500. 800) (1. 680) t1 = 0 t2 = 1 v1 t1 v2 t2 b) Ahora utilizamos fórmula ecuación de la recta punto pendiente depreciativa para hallar ecuación que determina la ecuación de depreciación anual del TV: c) t = 6 v= ? CONCLUSIÓN: Después de 6 años de uso el TV tendrá un valor de $80.26. .15) v2 = $800 – $120 v2 = $680 (0. 36.) (Depreciación) La señora Olivares compro un TV nuevo por $800 que se deprecia linealmente cada año un 15% de su costo original. ¿Cuál es el valor del TV después de t años y después de 6 años de uso? SOLUCIÓN: DATOS: a) v1 = $800 v2 = v1 – v1(15%) v2 = $800 – $800(0. . a $4 cada unidad. la misma empresa ofrecerá 14´000 camisetas al mes. suponiendo que es lineal.5 x1 = 8´000 x2 = 1´4000 (14´000. SOLUCIÓN: DATOS: a) P1 = $2.5 por unidad.5) x1 y1 x2 y2 Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar relación lineal de la oferta: Reemplazamos los valores dados y resolvemos: Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación que determina la ley de la oferta: Ejemplo: Si la empresa ofreciera 20´000 camisetas ¿Qué precio ofrecería? x = 20´000 y=? CONCLUSIÓN: Si la empresa ofreciera 20´000 camisetas el precio sería $5.5 por unidad.) (Ecuación de la oferta) A un precio de $2. 2.27. una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes. Determine la ley de la oferta. 37. 4) P2 = $4 (8´000. mientras que solo puede vender 2000 a $2. SOLUCIÓN: DATOS: a) x1 = 3´000 P1 = $2 P2 = $2.5 la cantidad demandada sería de 4´000 unidades.) (Relación de la demanda) Un fabricante de herramientas puede vender 3000 martillos al mes a $2 c/u.75) x2 = 2´000 (3´000.28. . 2.75 (2´000.5 x=? CONCLUSIÓN: Si el fabricante baja el precio de los martillos a $1. suponiendo que es lineal.75 c/u. 2) x1 y1 x2 y2 Aplicamos fórmula pendiente de una recta para hallar relación lineal de la demanda de martillos: Reemplazamos los valores dados y resolvemos: – Ahora aplicamos Fórmula Ecuación de la recta punto pendiente para hallar la ecuación que determina la ley de la demanda de los martillos: Ejemplo: Si el fabricante baja su precio a $1. determine la ley de la demanda. 38.5 ¿Cuál sería la cantidad demandada? y = $1. D: 3p+5x=200 y O: 7p-3x= 56.29. D5p+8x y O: 3x=2p-1. D: 4p+x= 50 y O: 6p-5x=10. 39. .) (Punto de equilibrio del mercado) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio de las curvas de demandas y ofertas siguientes: D: 2p+3x=100 y O: p = x+2.