Conceptos Básicos: Torsión es la capacidad de objetos para rotación alrededor de un eje fijo. En otras palabras, es la multiplicación de la fuerza y la distancia más corta entre el punto de aplicación de la fuerza y el eje fijo. También se puede inferir que, el par es una cantidad vectorial que tiene tanto la dirección como en magnitud. Sin embargo, ya que está girando alrededor de un eje fijo de su dirección puede ser en sentido horario o antihorario. Durante las explicaciones y ejemplos que dan la dirección "+" si se gira hacia la derecha y "-" si se gira hacia la izquierda. En este informe detallaremos los diferentes puntos a analizar acerca de este tipo de esfuerzo así como sus respectivas fórmulas para el cálculo de los problemas propuestos. Posteriormente analizaremos los llamados arboles principales en las secciones circulares. INTRODUCCIÓN Entendemos por Torsión la deformación de un eje, producto de la acción de dos fuerzas paralelas con direcciones contrarias en sus extremos. El término árbol se usa para referirse a un elemento giratorio que a una velocidad de rotación determinada transmite una potencia. Este árbol también llamado árbol principal o de transmisión recibe la potencia de una máquina motriz y la transmite a maquinas conectadas a él por medio de correas, cadenas o engranajes. En general se dice que cuando un miembro estructural se carga con momentos que producen rotación alrededor de su eje longitudinal se produce torsión. Este tipo de solicitaciones se presentan en la Figura. Figura. Barra sujeta a torsión TORSION Página 1 inicialmente recta y paralelo al eje. Por la hipótesis de la sección. la distorsión es: γ= δ s ρθ = [2] L L TORSION Página 2 .DEDUCCION DE LAS FORULAS DE TORSION En la figura se muestra dos proyecciones en un árbol circular macizo al cual se le aplica un momento torsionante T en los extremos del árbol: Figura . Consideremos una fibra cualquiera a una distancia ρ del eje del árbol. al tiempo que la sección en B gira cierto ángulo θ respecto de la sección en A. produciéndose una de una deformación tangencial δ. se tuerce formando una hélice AC. Deformación de un árbol circular Tal como AB en la superficie del cilindro. La longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio ρ y ángulo θ y viene dado por: δ s=DE= ρθ [1] En estas condiciones. el radio de ficha fibra gira también el mismo ángulo θ. De la figura 3 procedemos a dividir el árbol en dos mediante una sección M-N perpendicular a su eje y se traza el diagrama del cuerpo correspondiente a una de las partes: Figura 4. Para que se produzca la maxima resistencia a la torsion se debe cumplir que dP sea perpendicular a ρ.Y el esfuerzo cortante. τmax. Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estatico. apliquemos la condicion ΣM=0. Sección perpendicular M-N De esta sección estará sometido una fuerza resistente dP = τ dA en un elemento diferencial de area. han de tener la direccion perpendicular al radio para producir el maximo efecto. tiene lugar evidentemente en las fibras exteriores. En la figura anterior representa grafica mente esta variación a lo largo de OB. de esta manera decimos que el par torsor resistente ha de ser TORSION Página 3 . La mision de estas fuerzas resistentes es oponerse al mimento torsionante aplicado T. el esfuerzo cortante máximo. según la ley de Hooke: ( GθL ) ρ[3] τ =Gγ= La ecuación [3] llamada como ecuación de compatibilidad debido a que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas. debido a que al ser difeencial se puede admitir que el esfuerzo es constante dentro del elemento. La distribución de los esfuerzos a lo largo de cualquier radio varia linealmente con a distancia al centro de la sección. se procede a sustituir ρ por el radio r del arbol. la cual es la expresion mas utilizada en la practica.m L enm J en m4 Gen N/m2 Sustituimos Gθ/Lpor T/Jpara de esta manera obtener la formula de la torsion. El par resistente T. es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP: T =T r =∫ ρdP=∫ ρ ( τdA ) [ 5] Sustituyendo τ por su valos dado en [3] resulta: T= Gθ 2 ρ dA [6] L ∫ Ahora bien. Para calcular el esfuerzo maximo cortante.igual al momento aplicado. τ= Tρ [9] J τ máx = Tr [10] J TORSION Página 4 . con la que : T= Gθ ∗J [7] L Que tambien se suele escribir en la forma: θ= TL [8] JG De donde : T esta enN. ∫ ρ2 dA=J es el momento polar de inercia de la seccion recta. Estas expresiones solo son válidas en el caso de secciones circulares. los árboles se utilizan para transmitir potencia. Si gira a una frecuencia de f rev/s se tiene: P=T 2 πf [14] De esta manera el momento torsionante puede expresarse como:] TORSION Página 5 .Debido a q aplicamos la ley de Hook en la deducción de estas fórmulas. Eje macizo: Eje hueco τ= τ= 2 T 16 T = [11 ] π r3 π d3 2 TR 16 TD = [12] 4 4 π ( R −r ) π ( D4 −d 4 ) Figura 5. estas no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad. en la cual en dinámica está representada por P y es transmitida por un par constante T que gira a una velocidad angular constante W: P=Tw [13] Donde w esta rad/s. llenas o huecas. Deformación de un árbol circular Como se señaló posteriormente. ¿Cuál es. sometido a un momento torsionante de 14 Knm. el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use G=83 GN/m2. entonces.T= P [15] 2 πf APLICACION 1. Calcule el mínimo diámetro de un árbol de acero que. Solución: J= π 4 d 32 θ= TL TL →J= JG θG d4 = d= 32 TL πθG √ 32TL πθG √ 32(14 x 103 )6 π π ( )(83 x 109 ) 60 4 d= 4 d=0. no debe experimentar una deformación angular superior a 3 0 en una longitud de 6m.118 m→ d=118 mm T max= TC Td →T max= J 2J TORSION Página 6 . para que este trozo de eje este en equilibrio. Por tanto en cualquier sección de este eje existe un momento torsor T. Al aplicar las ecuaciones de la estática.4 MN /m 2 DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES. Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo.T max= (14 x 103 )(118) π 4 2 x x 118 32 T max=43. en la sección 1-1 debe existir un momento torsor igual y de sentido contrario. en el empotramiento se producirá un momento torsor igual y de sentido contrario a T. El diagrama de momentos torsores será: El diagrama de momentos torsores será: TORSION Página 7 . 01 Eje ABC: Diagrama de torques: TORSION Página 8 .TA TC B TE TD TF TH Ecuación de equilibrio por eje: Eje DEFH: Ec. Vamos a aislar el trozo dx de eje. c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rigidos. Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las que esta sometido. Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las siguientes hipótesis: a) Hipótesis de secciones planas. b) Los diámetros se conservan asi como la distancia entre ellos.TE TD + + D TA E - A F B TF H - TH TC C Transmisión de potencia en los engranajes: TCr C TEa Rx Ry Giro Pa N E Giro Pr N Rx Ry Ángulo girado por un eje. TORSION Página 9 . Las tensiones principales de este elemento serán: TORSION Página 10 . por tanto existe una t. c. d. D/2 El circulo de Morh de este elemento es el circulo de la tensión cortante pura. Este elemento trabaja a tensión cortante pura. b. El valor de t será: r = G . e .Cálculo de las tensiones a las que está sometido el elemento a. y = G . El lado cd desliza hacia la derecha respecto al lado ab. c. la t a la que estaría sometido este elemento será Tensión y Deformación por torsión en un árbol de leva. Tensión en un árbol de leva. hubiera considerado otro elemento a la distancia r del centro. Dicho módulo se designa por J y aparece en las ecuaciones que relacionan las tensiones tangenciales asociadas. b. d. σ1 = τ y σ2 = -τ Si en vez de considerar al elemento la superficial a. el momento torsor (Mx) y la función del alabeo unitario (ω). Tensión por torsión El momento de torsión (o inercia torsional) es una propiedad geométrica de la sección transversal de una viga o prisma mecánico que relaciona la magnitud del momento torsor con las tensiones tangenciales sobre la sección transversal. esa relación viene dada aproximadamente por las dos ecuaciones siguientes Y donde sección son las coordenadas del centro de cortante de la Para una pieza prismática recta de sección constante torsionada aplicando un momento torsor constante a través de sus extremos el módulo de torsión se relaciona con el ángulo girado y la longitud total de la pieza mediante la expresión: TORSION Página 11 .Las direcciones principales del elemento estarán a 45º. : Módulo de torsión. Módulo de torsión para una sección circular Para una sección circular o circular hueca el módulo de torsión coincide con el momento de inercia polar. debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. : Momento torsor total que actúa sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula: Donde: : Esfuerzo cortante a la distancia .Donde G es el módulo de elasticidad transversal del material de la pieza. el alabeo unitario puede determinarse exactamente de manera sencilla. Deformación elástica. es decir. irreversible o permanente. : Distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante. reversible o no permanente. TORSION Página 12 . Deformación en árbol de leva Tanto para la deformación unitaria como para el tensor deformación se puede descomponer el valor de la deformación en: Deformación plástica. coincide con la suma de los dos segundos momentos de área de la sección transversal: Módulo de torsión para una sección elíptica Para una sección elíptica maciza de semi-ejes a y b. Eso lleva a un módulo de torsión dado por: La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos. RESISTENCIA A LA TORSION La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse. y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. TORSION Página 13 . la rigidez es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.Deformación plástica de los arboles de levas La tensión cortante en el plano superficial de la pieza produce dislocaciones permanentes que se oxidan provocando la aparición de EXTRUSIONES e INTRUSIONES. RIGIDEZ TORSIONAL En ingeniería. Propagación de las grietas: La propagación de la grieta se reorienta perpendicular al campo tractivo. El tamaño de las grietas en este estado es MICROSCÓPICO. también llamadas cargas o acciones. Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. El crecimiento de grieta es entonces estable y puede ajustarse a una ley potencial del tipo : m C K da = ∆ donde ΔK1 es el factor de intensidad de tensión (variable en la evolución de la grieta) m C K dN da = ∆ 1 donde ΔK1 es el factor de intensidad de tensión (variable en la evolución de la grieta) Colapso por fatiga: El tamaño de la grieta se hace crítico y la pieza no es capaz de soportar el nivel de solicitación: Rotura inminente . Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas. al mantener fijo el extremo opuesto de la barra: Donde G el módulo elástico transversal. TORSION Página 14 . La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación entre el momento torsor aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por este extremo.Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza. J es el momento de inercia torsional y L la longitud de la barra.