UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBALDE HUAMANGA E.F.P INGENIERIA DE SISTEMAS TEMA DE INVESTIGACION “MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA” ASIGNATURA 2015 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II(IS-347) DOCENTE Ing. Eloy Vila Huamán AYACUCHO-PERU 2015 INTEGRANTES PRADO VASQUEZ Luis Miguel 27125820 AQUINO YUPARI Rhoy Clinton 27125721 TRISTAN QUISPE Ricardo 27120649 ...…………………………………….…………….3 II..5 IV Algoritmo de Dijkstra :………...…………………….8 VII IMPORTANCIA DEL PROBLEMA………………………….....17 VIII APLICACIONES………………………………………………………………..…………………………...……………………………4 III..………...5 V Algoritmo de Floyd ………………………….……………………………………. Problema de la ruta mas cuarta……………..……..……………………………...………………….. INTRODUCCION……………………………………....…………………..6 VI Ejercicios Resueltos……………………….INDICE I. Objetivos………………………………….17 .. El mismo modelo puede representar otras situaciones. . Una aplicación común se representa en la pavimentación de carreteras que unen poblaciones o de forma directa.INTRODUCCION Estos problemas determinan la ruta más corta entre un origen y un destino en una red de transporte. como se ilustra con los siguientes ejemplos. o que pasan por otras poblaciones. La solución del árbol de mínima expansión proporciona el diseño del sistema de carreteras. Estos vinculan los nodos de una red valiéndose de la longitud mínima total de las ramas de conexión. .OBJETIVOS Distinguir problemas de la ruta más corta y su proceso de solución aplicar los algoritmos ( Dijkstra y Floyd) a los problema de la ruta más corta para la solución del mismo. 1. Etiquete el nodo de origen (nodo 1) con la etiqueta permanente [0. i ]. En esta sección se presenta dos algoritmos para resolver tanto redes cíclicas (es decir. [ uj .j) . el algoritmo define la etiqueta para un nodo j que sigue inmediatamente como. y defina d ij la distancia más corta del nodo ( ≥ 0 ) como la longitud del arco (i. que indica que el nodo no tiene predecesor. el estado temporal cambia a permanente. PASO 0).-] . PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA Este problema determina la ruta más corta entre un origen y un destino en una red de transporte. . i ] para cada nodo j >0.1 Algoritmo de Dijkstra sea ui origen 1 al nodo i. siempre que j no este etiquetado permanentemente. que contiene bucles) como redes acíclicas: El algoritmo de Dijkstra para determinar las rutas más cortas entre el nodo origen y los demás nodos en la red.-]. i ]=[ ui + d ij . Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una ruta más corta al nodo. De lo contrario. El algoritmo de Floyd para determinar la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera en la red. Establezca i=1 Paso general i: (a) Calcule las etiquetas temporales [ con d ij ui + d ij . d ij ≥ 0 La etiqueta para el nodo de inicio es [0. 1. Las etiquetas de nodo en el algoritmo de Dijkstra son de dos tipos: temporales y permanentes. j) de la matriz de la d ij distancia del nodo i al nodo j . Este intercambio de operación triple se aplica a la matriz de distancia por medio de los siguientes pasos: Paso 0. seleccione la etiqueta más corta (= ur u [¿ ¿ r . .j y k en la figura 1 con las distancias de conexión que se muestran en los 3 arcos . Este algoritmo es más general que el de Dijkstra porque determina la distancia entre dos nodos cualesquiera en la red.si el nodo j ya tiene una etiqueta temporal existente [ hasta otro nodo k y si ui + d ij <u j .Establezca i=r y repita el paso i. (b) si todos los nodos tienen etiquetas permanentes deténgase. De lo contrario. es más corto llegar de j a i pasando por k si . Dado 3 nodos i. reemplace [ ui uj . la cual es finita si i está vinculado directamente a j . s] ¿ que tenga la distancia ) entre todas las etiquetas temporales (rompa los empates arbitrariamente). e infinita en caso contrario . la entrada (i.2 Algoritmo de Floyd. Establezca k=1. el algoritmo representa una red de n nodos como una matriz cuadrada con n filas y n columnas. 1. Defina la matriz de la distancia de inicio de D0 y la matriz de secuencia de nodos S0 (todo los elementos en las diagonales están bloqueados). la idea de algoritmo de Floyd es simple . d ik d d + kj < ij En este caso es óptimo reemplazar la ruta directa de i j con al ruta indirecta i kj. k + ] di j . i ]. Defina la fila k y la columna k como fila pivote y columna pivote.Si .Paso general K. y i ≠ j ) en DK-1 . Aplique la operación tripe a cada elemento d ij la condición d ik + d kj < d ij (i ≠ k . j ≠ k . para todas las i y j . 2. Cree Dk reemplazando dij en Dk-1 con dik+dkj..FIG 1. entonces es óptimo reemplazar la distancia de intersección por la suma de las distancias pivote .1 Se satisface .Aquí.….. y k-1 . El paso k del algoritmo puede explicarse representando D k-1 como se muestra en la figura 1. Si K=n+1. y la columna q representa cualquiera de las columnas k+1 . realice los siguientes cambios : a. podemos determinar la ruta más corta entre los nodos i y j a partir de las matrices Dn Y Sn aplicando las siguiente reglas: . Cree Sk reemplazando Sij en Sk-1 con k. y n. deténgase: de lo contrario repita el paso k.2... la fila k y la columna k definen la fila y columna pivote actuales.La operación triple pude aplicarse como sigue: Si la suma de los elementos de intersección asociado (mostrado por un circulo ). después de n pasos . k+2. la fila p representa cualquiera de las columnas 1. b.1 . la fila i representa cualquiera de las filas 1.…. y k-1 . Establezca k=k+1. j. Se envían mensajes de la estación 1 a la estación 7. deténgase. determinar el nodo intermedio k=Sij que da en resultado la ruta i kj. y determine la solución óptima. La probabilidad de que un enlace en la red opere sin fallas se muestra en cada arco. A partir de Sn. 1 y 7.-] en el nodo 1. dij .1. Formule la situación como un modelo de la ruta más corta. 2.1 muestra la red de comunicación entre dos estaciones. repita el procedimiento entre los nodos i y k y entre los nodos k y j. EJERCICIOS RESUELTOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II a) La figura 2. y el objetivo es determinar la ruta que maximice la probabilidad de una transmisión exitosa. todo los nodos intermedios de la ruta han sido encontrados. de lo contrario. 2. da la ruta más corta entre los nodos i. Solución: ITERACION 0: Etiqueta permanente [0. a partir de Dn .-] Estado permanente . Si Sik=k y Skj=j. ITERACION 1: Nodo 1 Etiqueta [0. 30. 2] permanente permanente permanente permanente permanente ITERACION 2: 2 3 4 Nodo 1 ITERACION 6: . 1] [1.-] [0.65. 4] [2.-] [0.65.15.30.8. 1] [0.8.3.3.3.65. 1] Etiqueta [0.-] [0. 1] [0. 1] [0. 4] Etiqueta permanente temporal permanente permanente temporal temporal estado ITERACION 5: 1 2 3 4 5 6 Nodo [0.8. 1] [0. 1] [1. 1] [0. 1] [0.3. 1] [0. 1] [0.65. 1] [0.3. 1] [1.8.30.3. 2] [1. 4] Etiqueta permanente permanente permanente permanente temporal temporal Estado 1 2 3 4 5 6 7 [0. 1] [0.65.8. 6] permanente permanente permanente permanente temporal permanente temporal Nodo Etiqueta Estado 1 2 3 4 5 [0.25.35. 1] [0. 4] [1.65.-] [0.-] [0. 2] [1.25.25.ITERACION 3: 2 3 4 6 Nodo [0. 1] [0.25. 4] Etiqueta temporal temporal temporal Estado permanente temporal permanente temporal temporal Estado ITERACION 4: 1 2 3 4 5 6 Nodo [0. 1] [1.8. 1] [1. 4] [2..2.6 7 [1. tenemos: 1 2 5 2 1 7 RESPUESTA: La transmisión exitosa se realiza a través de las estaciones 1.10.8. . EJERCICIOS 2 La red de la figura presenta las distancias en millas entre pares de ciudades 1. Por lo tanto la ruta deseada es: 7 5 Ordenando..7. Use el algoritmo de Dijkstra para determinar la ruta mas corta entre las siguientes ciudades. 5.3. 5] permanente temporal La ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 7 determinamos partiendo del nodo destino y retrocediendo hasta el nodo de inicio utilizando la información en las etiquetas permanentes.25. 2. -] [1. 2] [4. 2] permanente permanente permanente 1 . 1] Estado permanente temporal temporal ITERACION 2: Nodo ITERACION 3: 2 3 4 5 Nodo Etiqueta [0.Solución: ITERACION 0: Etiqueta permanente [0. 1] [2.-] [2.-] [1. 1] [2. ITERACION 1: Nodo 1 2 3 Etiqueta [0.-] en el nodo 1. 1] [2. 2] [3. 2] Etiqueta Estado permanente permanente temporal temporal temporal Estado ITERACION 4: 1 2 3 4 5 6 Nodo [0. 3] [6. 3] [3. 1] Etiqueta permanente permanente permanente temporal temporal temporal estado 1 2 3 [0. 2] [6. 1] [1.-] [1. 3] [3. 1] [2. 3] [6.-] [1. 5] [10. 2] [4. 1] [2.5] [8. 1] [2. 3] [6.-] [1. 3] [6. 5] [10. 3] [3. . 2] [4. 5] [10.5] [8.6] permanente permanente permanente permanente permanente permanente temporal temporal Nodo Etiqueta Estado 1 2 3 4 5 6 7 8 [0. 5] [10.6] permanente permanente permanente permanente permanente permanente permanente permanente La ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 8 determinamos partiendo del nodo destino y retrocediendo hasta el nodo de inicio utilizando la información en las etiquetas permanentes. 3] [3.5] Etiqueta [0. 3] [3.-] [1. 3] [6.5] temporal permanente temporal temporal Estado permanente permanente permanente permanente permanente temporal temporal Nodo Etiqueta Estado 1 2 3 4 5 6 7 8 [0.ITERACION 5: ITERACION 6: ITERACION 7: 4 5 6 7 Nodo 1 2 3 4 5 6 7 [4. 2] [4. Las distancias están (en millas) de satélites entre seis áreas se ven en la figura 6. .24 Tell-All debe determinar las rutas de mensaje más eficiente que se van a establecer entre cada para de áreas en la red. 2.Por lo tanto la ruta deseada es: 8 6 Ordenando. EJERCICIO 3 La telefonía Tell –All da servicio a seis áreas geográficas. 6.8. tenemos: 1 2 3 5 5 6 3 2 1 8 RESPUESTA: La transmisión exitosa se realiza a través de las estaciones 1. 3. SOLUCION: Iteración 0 1 2 3 4 1 ---70 0 20 0 ∞ 2 70 0 ---30 0 20 0 3 20 0 30 0 ---70 0 4 5 ∞ 20 0 70 0 ---- 6 ∞ 1 1 ---- 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 1 ---- 3 4 5 6 ∞ 3 1 2 ---- 4 5 6 ∞ 4 1 2 3 ---- 5 6 ∞ ∞ 400 60 0 60 0 . 5 ∞ ∞ 60 6 ∞ 40 0 ∞ 0 30 0 10 0 ---- 500 5 1 2 3 4 ---- 6 50 0 ----- 6 1 2 3 4 5 ---- 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 ---1 1 1 1 1 2 2 ---2 2 2 2 3 3 3 ---3 3 3 4 4 4 4 ---4 4 5 5 5 5 5 ---5 6 6 6 6 6 6 ---- 1 2 3 4 5 6 1 ---1 1 2 1 2 2 2 ---2 2 2 2 3 3 3 ---2 3 2 4 2 4 2 ---4 4 5 5 5 5 5 ---5 6 2 6 2 6 6 ---- Iteración 1 1 2 3 1 ---70 0 20 0 4 ∞ 5 ∞ 6 2 70 0 ---30 0 20 0 ∞ 3 20 0 30 0 ---70 0 60 0 ∞ 40 ∞ 0 ∞ 20 0 70 0 ---30 0 10 0 ∞ ∞ ∞ 400 60 0 60 0 ---- ∞ ∞ 500 50 0 ----- 5 6 Iteración 2 1 1 ---- 2 700 3 200 4 5 6 2 70 0 ---- 3 20 0 30 0 ---- 30 0 900 20 0 4 900 ∞ 20 0 50 0 ---- 50 0 ∞ ∞ 60 30 0 0 1100 40 700 10 0 0 1100 ∞ 400 60 0 30 0 ---- 700 100 500 50 0 ----- 5 6 Iteración 3 1 2 1 ---50 0 2 50 0 ---- 3 20 0 30 0 4 700 800 900 20 0 ∞ 400 . 50 0 0 700 20 50 ---0 0 80 900 60 30 0 0 0 900 40 700 10 0 0 60 0 30 0 ---- 700 100 500 50 0 ----- 5 6 1 2 3 4 5 6 1 ---3 1 3 3 3 2 3 ---2 2 3 2 3 3 3 ---2 3 2 4 3 4 2 ---4 4 5 3 5 5 5 ---5 6 3 6 2 6 6 ---- 1 2 3 4 5 6 1 ---3 1 3 3 4 2 3 ---2 2 4 4 3 3 3 ---2 3 4 4 3 4 2 ---4 4 5 3 4 5 5 ---4 6 4 4 4 6 4 ---- Iteración 4 1 2 3 4 5 6 1 ---50 0 20 0 40 0 2 50 0 ---30 0 20 0 3 20 0 30 0 ---- 4 700 80 800 0 20 0 50 0 ---- 50 0 800 500 60 30 0 0 800 30 600 10 0 0 500 300 60 0 30 0 ---40 0 600 100 400 ----- Iteración 5 1 2 1 ---50 0 2 50 0 ---- 3 20 0 30 0 4 5 6 700 80 800 0 20 500 300 0 .3 4 5 6 20 0 30 ---. 3 4 5 6 20 0 40 0 30 0 20 0 ---- 50 0 ---- 50 0 800 500 60 30 0 0 800 30 600 10 0 0 600 60 0 30 0 ---- 100 400 40 0 1 2 3 4 5 6 ----- Las rutas de mensaje más eficiente 1 ---3 1 3 3 4 2 3 ---2 2 4 4 3 3 3 ---2 3 4 4 3 4 2 ---4 4 5 3 4 5 5 ---4 6 4 4 4 6 4 ---- que se van a establecer entre cada para de áreas en la red. Algunas De las razones son: . Del grafico del nodo 1 al nodo 6 más eficiente es: 1 3 4 6 Del 1 al 3 es 200 Del 3 al 4 es 700 Del 4 al 5 es 300 Del nodo 2 al nodo 6 más eficiente es 2 4 6 Del 1 al 4 es 200 Del 4 al 6 es 100 Del nodo 3 al nodo 6 más eficiente es 3 2 4 6 Del 3 al 2 es 300 Del 2 al 4 es 200 Del 4 al 6 es 100 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA El problema de la ruta más corta es fundamental en muchas áreas . ciencia de la computación e ingeniería . como son: Investigación de operaciones . esto es. . se puede utilizar. algunas son : encontrar la ruta más corta o más rápida entre dos puntos en un mapa . cuando no se conoce la estructura de la red se pueden aplicar algoritmos para conocer algunas características de la red (presencia de ciclos negativos). Se utiliza frecuentemente como subproblemas (subrutinas) en la solución de problemas combinatorios y redes. como inicio en el estudio de modelos complejos de redes. económica o rápida Existen métodos se solución eficiente s . resultan auxiliares para encontrar una buena solución. proveen una solución exacta aun tiempo costos razonables . redes de colaboración entre científicos . la aplicación de aplicación de algoritmos de la ruta más corta. planeación de inventarios administración de proyectos .diseño de rutas de vehículos . planeación de producción . horarios de operadores telefónicos . transporte . diseño de movimiento en robótica . los cuales al ser aplicados a una red con características específicas (acíclicas y con costos no negativos ). planeación de tráfico urbano . redes eléctricas . telecomunicaciones . etc. La amplia variedad de aplicaciones prácticas como es él envió de algún material entre dos puntos específicos de la forma más eficiente . APLICACIONES El problema de la ruta más corta tiene muchas aplicaciones prácticas . reemplazo de equipos . así en el caso de problemas para los cuales no existen un algoritmo se solución exacta. trasbordo .