NOMBRES: Julio Siguencia, Mauricio Tipan, Juan Diego PlacenciaCARRERA: Ingeniería Electrónica DOCENTE: Ing. Diego Chacon FECHA: 01/04/2013 CICLO: 4º Realizar los ejercicios de la unida 5 desde el 5.1 hasta el 5.15 los pares. 5.2 Determine las raíces reales de ( ) – – a) Gráficamente b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores iniciales xl = 0 y xu = 1 iterando hasta que el error estimado se encuentre debajo de = 10%. Graficamos y determinamos el cruce con x que es la raíz solución de la función para este caso solo raíces reales: Posición x= 0.417725 y=0 Para el literal b utilizamos el método de la bisección: Condiciones iniciales xl = 0 y xu = 1 Entonces realizamos la primera iteración utilizando la siguiente formula: ^ Para calcular el error aproximado utilizamos la siguiente formula: | | | | Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. Si ( ) ( ) entonces termina el cálculo. f(0)*f(0.5)= -2*0.375= - 0.75 Segunda iteración: | | f(0)*f(0.25)= -2*-0.73= +1.5 375)*f( )= -0.Tercera iteración: | | f(0.086= -0.18*+0.73*-0.1314 Cuarta iteración: | | f(0.406 ya que .015 Quinta iteración: | | La respuesta es x = 0.25)*f(0.18= +0.375)= -0. 4375 Xr 0.2857143 0.5 0.5 0.Tabla comparativa.25 0.375 33. .5 0.40625 7.4375 14.25 Ea(%) 100 100 0. b) Empleando el método de la falsa posición con un valor de Es correspondiente a tres cifras significativas para determinar la raíz más pequeña.69230769 5.4 Calcule las raíces reales de ( ) : a) Gráficamente. Iteración 1 2 3 4 5 Xi 0 0 0.3333333 0.375 Xu 1 0.5 0.375 0. ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ) ( Primera Iteración ( ( ) ) Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo .f(xl)=(-1.75) f(xu)=(0. Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. -12) Usando el método de la falsa posición que trata de unir f(xl) y f(xu) con una línea recta. ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: ( ) ( izquierdo. 29. ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo Tercera Iteración ( ) ( ) ( ( ( ) | ) ) | .Segunda iteración ( ) ( ) ( ( ( ( ) ( )( ) | ) ) ) | ( ) Por lo tanto: ( ) ( izquierdo. Cuarta Iteración ( ) ( ) ( ( ( ) | ) ) | Quinta Iteración ( ) ( ) ( ( ( ) | ) ) | Sexta Iteración ( ) ( ) ( ( ) ) . 4146 Ea(%) 24.43% 0.2873 -0.04% .4121 -0.4144 -0.67% 0.4144 Xr -0.4052 -0.2873 -0.3794 -0.3794 -0.36% 1.4139 -0.4139 -0.12% 0.0108 ( ( ( ) | ) ) | Por lo tanto: Iteración 1 2 3 4 5 6 7 Xl -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Xu 0 -0.4121 -0.| Séptima Iteración ( ) | ( ) ( ) 0.27% 6.4052 -0. 4 b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales xl = 0.5. ( ) ( ) si >0 sustituye a Iteración 1 Y ( ( ) ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2 ( ) Iteración 2 Y ( ( ) ) ( ) <0 reemplazo por en iteración 3 ( ) .7: X ≈ 1.6 Determine la raíz real de ln a) Gráficamente = 0.5 y xu = 2. Iteración 3 Y c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición. ( )( ( ) Iteración 1 ( ( ) ) Y ( ) ( ) >0 reemplazo por en iteración 2 ( ) ) Iteración 2 ( ( ) ) ( ) Y ( ) <0 reemplazo por en iteración 3 Iteración 3 ( ) Y ( ) . con los mismos valores iniciales de b). 8 Calcule la raíz cuadrada positiva de 18 usando el método de la falsa posición con = 0. Emplee como valores iniciales xi = 4 y xu = 5. Primero calculamos la raíz cuadrada positiva de 18 que es igual a 4.5%. ( ) .243 Método de la falsa posición: ( ) ( )( ( ) ( ) ) Valores iniciales Condición hasta Primera iteración ( ) .true 5. 47 | | ( ( ) )( ( ) ) 4.22 | | ( ( )( ) ( ) ) 4.27 | | .34 | | ( ( )( ) ( ) ) 4.( )( ( ) ) ( ) 4. 5 y xu=6.235 ya que 5. Emplee una gráfica para explicar sus resultados y hacer el cálculo dentro de un Es=1. y ejecute cinco iteraciones.10 Encuentre la raíz positiva de ( ) .60979.24492 | | ( ( )( ) ( ) ) 4. utilizando el método de la falsa posición. con base en el hecho de que la raíz es 5.235 | | La respuesta es x = 4.( ( )( ) ( ) ) 4. Tome como valores iniciales a xl=4.0% ( ) ( ) ( ) ( ) . Calcule los errores tanto aproximado como verdadero. . Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho.( )( ( ) Primera Iteración ( ( ) ) ) Ahora realizamos la siguiente evaluación para determinar en que subintervalo está la raíz: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo izquierdo. Tercera iteración ( ) ( ) ( ) .Segunda iteración ( ) ( ) ( ) ) | | ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. Cuarta iteración ( ) ( ) ( ) ) | | ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: .| ) | ( ) ( ) ( )( ) Por lo tanto: Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho. 55% 8.2539 5. Quinta iteración ( ) ( ) ( ) ) | | Iteración 1 2 3 4 5 Xl 4.1404 5.39% 0.1404 5.0175 5.98% .2539 5.3569 5.34% 4.019% 0.0175 5.36% 6.4425 Ea(%) 2.Si ( ) ( ) entonces el intervalo se encuentra dentro del subintervalo derecho.5 5.015% Et(%) 10.50% 2.021% 0.3569 Xu 6 6 6 6 6 Xr 5. Después de cinco iteraciones. Por lo que el error aproximado es engañoso.9%. . Se obtiene mayor claridad examinando la gráfica. el error verdadero sólo se ha reducido al 2. Además observamos que Ea<Et. 12 Dada f(x) = Use el método de la bisección para determinar el máximo de esta función. Haga elecciones iniciales de xl = 0 y xu = 1.5. y realice iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea menor que 5%. | Iteración 1 ( ) ( ) | Y ( ) | | >0 reemplazo por en iteración 2 Iteración 2 ( ) ( ) | Y ( ) | >0 reemplazo por en iteración 3 . Iteración 3 ( ) ( ) | Y ( ) | >0 reemplazo por en iteración 4 Iteración 4 ( ) ( ) | ( ) | Y >0 reemplazo por en iteración 5 Iteración 5 ( ) ( ) | ( ) | Y >0 reemplazo por en iteración 6 En la iteración número 6 se logró el máximo ya que se llegó a un porcentaje menor a 5%. (%) . 5. Emplee el método de bisección para resolver la posición dentro de la viga donde no hay momento. Encontrando las reacciones en los apoyos: ∑ M1 = 100 (3) +100 (6) -R2 (100) + 100 (12) = 0 R2 = 285 LBS ∑ M2 = -100 (8) -000 (5.5 ) +R1 (10) + 100 (2) = 0 R1 = 265 LBS R1=100 lbs.14 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura P5. R2= 100 lbs.14. La ecuación de momento es: 0 < x < 3 La ordenada en el punto x sera igual a (100/3)x . por consiguiente: . 265 x = 0 ∑ Mx = M + 50 x^2 -300 x +450 + 150 x -300 .265 x = 0 ∑ Mx = M + (100/18)x^3 .La carga en el intervalo x sera igual a (100/3)x * x /2 ubicada a 2/3 de x por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x. tenemos que: ∑ Mx = M + (100/6)x^2 (x/3) . tenemos que: ∑ Mx = M + 100 (x-3) (x-3) (1/2) + 150 (x-2) .265 x = 0 3 < x < 6 La ordenada en el punto x sera igual a 100 lb .415 x + 100 = 0 .265 x= 0 ∑ Mx = M + 50 (x^2-6 x + 9 + 150 x -300 . por consiguiente: La carga en el intervalo x sera igual a 100(x-3) ubicada a (x-3)/2 por lo tanto si tomamos momento en el extremo de x.265 x = 0 ∑ Mx = M + 50 x^2 . Nota: asegúrese de haber desarrollado una solución que converja a la raíz. .2 Determine la raíz real más grande de f(x) = a) En forma gráfica.6. La raíz real más grande es x ≈ 3. x0 = 3).5 b) Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones. ( ) ( ) ( ) ( ) Iteración 1 ( ) ( ) Iteración 2 ( ) ( ) Iteración 3 ( ) ( ) .c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones. x0 = 3.001). d = 0. ( ) ( )( ( ) Iteración 1 ( ( ) ) ) ( ) Iteración 2 ( ( ) ) Iteración 3 ( ( ) ) .d) Con el método de la secante (tres iteraciones x–1 = 3. x0 = 4). ( ) ( ) ) ( ) ( Iteración 1 ( ) ( Iteración 2 ( ( ) ) ) Iteración 3 ( ) ( ) . x0 = 3.e) Con el método de la secante modificado (tres iteraciones.01). Calcule el porcentaje aproximado de errores relativos para sus soluciones. d = 0. 5.023 Xi+1= Tercera iteración Xi-1=-0.4822 ( ) -1.023 f(x-1)=-0.6979 f(Xi)=-0.5 y xi = 2.023 Segunda iteración Xi-1=3 Xi=-0. use cuatro iteraciones del método de la secante con valores iniciales de a) xi–1 = 1.5746 ( ) -0. c) xi–1 = 1.6979 f(Xi)=-0.4 Localice la primera raíz positiva de f(x) = sen x + cos(1 + x2) – 1 donde x está en radianes. b) xi – 1 = 1.25.2218 .5 y xi = 2. Primera iteración Xi-1=3 Xi=1 Xi+1= f(x-1)=-1.0 y xi = 3.0.4822 f(x-1)= -1.( ) % % 6. Para localizar la raíz. 3565 Segunda iteración Xi-1=2.176 Primera iteración Xi-1=1.3565 Xi+1= f(x-1)= 0.5 Xi+1= f(x-1)=-0.3565 Xi+1= f(x-1)=-0.2218 Xi+1 -0.0845 f(Xi)=0.5 Xi=2.964 ( ) Iteración 1 2 3 Xi-1 1 3 -0.023 Xi 3 -0.9966 f(Xi)=0.2218 1.023 -1.Xi=-1.5 Xi=2.023 -1.1663 ( ) .54 Xi=2.1663 f(Xi)=-0.1993 ( ) 2.2218 Xi+1= f(Xi)=-0.6706 ( ) Tercera iteración Xi-1=2. 7538 f(Xi)=-0.9449 .3565 Xi 2.618 ( ) Tercera iteración Xi-1=1.9966 f(Xi)=0.927 Xi=1.927 1.9514 Xi+1= f(x-1)=-0.3565 2.9574 1.5 2.25 1.611 Primera iteración Xi-1=1.0618 f(Xi)=0.25 Xi=1.927 f(x-1)= 0.54 Xi+1 2.927 1.7538 ( ) Segunda iteración Xi-1=2.5 2.9574 Xi+1 1.Iteración 1 2 3 Xi-1 1.25 1.927 Xi 2.5 Xi=2.3565 2.927 Xi+1=1.54 2.25 Xi+1= f(x-1)=-0.5 2.5 2.0238 ( ) Iteración 1 2 3 Xi-1 1. 050633 y=0 .6. b) Con el empleo del método de la secante para un valor de corresponda a tres cifras significativas.6 Determine la raíz real más pequeña de f( ) – – – a) En forma gráfica. Graficamos y determinamos la raíz real más pequeña: que Posición x= 2. Método de la secante Valores iniciales La raíz es 2.05 .05 Primera iteración ( ) ( ) ( ) =2.01 | | Segunda iteración: ( ) ( ) ( ) =2. con el método de la secante modificado dentro de Ea = 0.01.1%. con el uso de una elección inicial de Xo= 3.05 | 6. ( ) Función Formula del método de la secante modificada ( ( ) ) ( ) Iteración 1 ( ) ( ) Iteración 2 ( ( ) ) ( ) % .| La solución es 2.8 Determine la raíz real de .5 y d = 0. xi-1=0.5 y xi=0.10 Determine la menor raíz positiva de ( ) a) En forma gráfica.6.14501 ( ) ( ) ( ) Primera Iteración . c) Con el método de la secante (tres iteraciones. xi=0. ( ) b) Con el uso del método de Newton-Raphson(tres iteraciones.3).3). La menor raíz positiva es: 0. ( ) ( ) ( ) ( ) Segunda Iteración ( ) ( ) Tercera Iteración ( ) ( ) . 9524 f´(x1) 5.9592 -0.3 0. xi-1=0.5 y xi=0.8888 c) Con el método de la secante (tres iteraciones.Iteracion 1 2 3 X1 0.9876 4.4415 ( ) .3).4643 0. Primera Iteración ( ) ( )= ( )( ( ) ) ( ) ( ) Segunda Iteración ( ) 17.9689 -0.8954 4.6566 f(x1) -0.1010 Xi+1 0.6566 0.4643 0. Option explicit Sub Secmod() Dim imax As Integer.3. con base en la figura 6.6. ea ) MsgBox “iteraciones: ” & iter MsgBox “error estimado: ” & ea End Sub Function f(x) f=Exp(-x)-x End Function Function ModSecant(x. iter. iter As Integer Dim x As Single. ea As Single x=1 es=0. iter. es.01 . fr As Single Const del As Single=0.( )( ( ) ) ( ) ( ) 6.2. Pruébelo con la repetición de los cálculos del ejemplo 6. xrold As Single. imax.01 imax=20 Msgbox “raiz: ” & ModSecant(x. es As Single.18 Desarrolle un programa amigable para el usuario para el Método de la secante.4 y la sección 6. ea ) Dim xr As Single. imax`. es. xr=x iter=0 Do xrold=xr fr = f(xr) xr=xr – fr * del * xr / (f(xr+del*xr)-fr) iter= iter + 1 If(xr<> 0) Then ea= Abs((xr-xrold)/xr)*100 End If If ea < es Or iter >= imax Then Exit Do Loop ModSecant = xr End Function .