1.INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) La interpolación mediante trazadores (Splines) consiste en colocar polinomios de grado inferior en subconjuntos de los datos. Las curvas de tercer grado empleadas para unir cada par de datos se llaman trazadores cúbicos. Esas funciones se pueden construir de tal forma que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes resulten visualmente suaves. Podría parecer que la aproximación de tercer grado de los trazadores sería inferior a la expresión de séptimo grado. El concepto de trazador se originó en la técnica de dibujo que usa una cinta delgada y flexible (llamada spline, en inglés), para dibujar curvas suaves a través de un conjunto de puntos. El proceso se representa en la figura 18.15 para una serie de cinco alfileres (datos). Una curva cúbica suave resulta al entrelazar la cinta entre los alfileres. De aquí que se haya adoptado el nombre de “trazador cúbico” (en inglés: “cubic spline”) para los polinomios de este tipo. Trazadores Cúbicos El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos: 𝑓𝑖 (𝑥) = 𝑎𝑖 𝑥 3 + 𝑏𝑖 𝑥 2 + 𝑐𝑖 𝑥 + 𝑑𝑖 Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son: 1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2 condiciones). 2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condiciones). 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones). 4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones). 5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones). La interpretación visual de la condición 5 es que la función se vuelve una línea recta en los nodos extremos. La especificación de una condición tal en los extremos nos lleva a lo que se denomina trazador “natural”. Se le da tal nombre debido a que los trazadores para el dibujo naturalmente se comportan en esta forma (figura 18.15). Si el valor de la segunda derivada en los nodos extremos no es cero (es decir, existe alguna curvatura), es posible utilizar esta información de manera alternativa para tener las dos condiciones finales. Los cinco tipos de condiciones anteriores proporcionan el total de las 4n ecuaciones requeridas para encontrar los 4n coeficientes. Mientras es posible desarrollar trazadores cúbicos de esta forma, presentaremos una técnica alternativa que requiere la solución de sólo n – 1 ecuaciones. Ecuación Cubica para cada intervalo: 𝑓𝑖" (𝑥𝑖−1 ) 3 𝑓𝑖" (𝑥𝑖 ) 𝑓𝑖 (𝑥) = (𝑥𝑖 − 𝑥) + (𝑥 − 𝑥𝑖−1 )3 6(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 6(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑓 (𝑥𝑖−1 ) 𝑓 " (𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) +[ − ] (𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 6 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓 " (𝑥𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) +[ − ] (𝑥 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 6 Esta ecuación contiene sólo dos incógnitas (las segundas derivadas en los extremos de cada intervalo). Las incógnitas se evalúan empleando la siguiente ecuación: (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )𝑓 " (𝑥𝑖−1 ) + 2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 )𝑓 " (𝑥𝑖 ) + (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )𝑓 " (𝑥𝑖+1 ) 6 6 = [𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )] + [𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )] 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 Si se escribe esta ecuación para todos los nodos interiores, resultan n – 1 ecuaciones simultáneas con n – 1 incógnitas. (Recuerde que las segundas derivadas en los nodos extremos son cero). Ejemplo: 1. Ajuste trazadores cúbicos a los siguientes datos. Utilice los resultados para estimar el valor en x = 5. x F(x) 3.0 2.5 4.5 1.0 7.0 2.5 9.0 0.5 Solución. Usar la ecuación para generar el conjunto de ecuaciones simultáneas que se utilizarán para determinar las segundas derivadas en los nodos. Para el primer nodo interior: (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )𝑓 " (𝑥𝑖−1 ) + 2(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 )𝑓 " (𝑥𝑖 ) + (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 )𝑓 " (𝑥𝑖+1 ) 6 6 = [𝑓(𝑥𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )] + [𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )] 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 (4.5 − 3)𝑓 " (3) + 2(7 − 3)𝑓 " (4.5) + (7 − 4.5)𝑓 " (7) 6 6 = [2.5 − 1] + [2.5 − 1] (7 − 4.5) 4.5 − 3 1.5𝑓 " (3) + 8𝑓 " (4.5) + 2.5𝑓 " (7) = 9.6 8𝑓 " (4.5) + 2.5𝑓 " (7) = 9.6 Para el segundo punto interior: (7 − 4.5)𝑓 " (4.5) + 2(9 − 4.5)𝑓 " (7) + (9 − 7)𝑓 " (9) 6 6 = [0.5 − 2.5] + [1 − 2.5] (9 − 7) (7 − 4.5) 2.5𝑓 " (4.5) + 9𝑓 " (7) + 2𝑓 " (9) = −9.6 2.5𝑓 " (4.5) + 9𝑓 " (7) = −9.6 Las dos ecuaciones se resuelvan simultáneamente: 8𝑓 " (4.5) + 2.5𝑓 " (7) = 9.6 (2.5) 2.5𝑓 " (4.5) + 9𝑓 " (7) = −9.6 (-8) 20𝑓 " (4.5) + 6.25𝑓 " (7) = 24 −20𝑓 " (4.5) − 72𝑓 " (7) = 76.8 100.8 −65.75𝑓 " (7) = 100.8 𝑓 " (7) = = −1.53308. −65.75 ” (4.5) 9.6 − 2.5𝑓 " (7) 9.6 − 2.5(−1.53308) 𝑓 = = = 1.67909. 8 8 Trazador cubico para el primer intervalo (i=1); 𝑓𝑖" (𝑥𝑖−1 ) 𝑓𝑖" (𝑥𝑖 ) 𝑓(𝑥𝑖−1 ) 𝑓𝑖 (𝑥 ) = ) (𝑥𝑖 − 𝑥)3 + ) (𝑥 − 𝑥𝑖−1 )3 + [ − 6(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 6(𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 𝑓" (𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 ) 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓 " (𝑥𝑖 )(𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 ) ] (𝑥𝑖 − 𝑥 ) + [ − ] (𝑥 − 𝑥𝑖−1 ) 6 𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 6 𝑓1" (3) 3 𝑓𝑖" (4.5) 𝑓(𝑥𝑜 ) 𝑓1 (𝑥 ) = (𝑥 − 𝑥) + ) 1 ) (𝑥 − 𝑥𝑜 )3 + [ − 6(𝑥1 − 𝑥𝑜 6(𝑥1 −𝑥𝑜 𝑥1 −𝑥𝑜 𝑓" (𝑥𝑜 )(𝑥1 −𝑥0 ) 𝑓(𝑥1 ) 𝑓 " (𝑥1 )(𝑥1 −𝑥𝑜 ) ] (𝑥1 − 𝑥 ) + [ − ] (𝑥 − 𝑥𝑜 ) 6 𝑥1 −𝑥0 6 1.67909 2.5 0(1.5) 𝑓1 (𝑥) = 0(𝑥1 − 𝑥)3 + (𝑥 − 3)3 + [ − ] (4.5 − 𝑥) 6(1.5) 1.5 6 1 1.67909(1.5) +[ − ] (𝑥 − 3) 1.5 6 𝑓1 (𝑥) = 0.1866(𝑥 − 3)3 + 1.6667(4.5 − 𝑥) + 0.2469(𝑥 − 3) Para el segundo intervalo (i=2); 1.67909 (−1.53308) 𝑓2 (𝑥) = (7 − 𝑥)3 + (𝑥 − 4.5)3 6(7 − 4.5) 6(7 − 4.5) 1 1.67909(2.5) 2.5 (−1.53308)(2.5) +[ − ] (7 − 𝑥) + [ − ] (𝑥 − 4) 2.5 6 2.5 6 𝑓2 (𝑥) = 0.1119(7 − 𝑥)3 − 0.1022(𝑥 − 4.5)3 − 0.2996(7 − 𝑥) + 1.6388(𝑥 − 4.5) Para el tercer intervalo (i=3); −1.53308 3 𝑓 " (9) 𝑓3 (𝑥) = (9 − 𝑥) + (𝑥 − 7)3 6(2) 6(2) 2.5 (−1.53308)(2) 0.5 𝑓 " (9)(2) +[ − ] (9 − 𝑥) + [ − ] (𝑥 − 7) 2 6 2 6 𝑓3 (𝑥) = −0.1278(9 − 𝑥)3 + 1.7610(9 − 𝑥) + 0.25(𝑥 − 7) El valor de x=5, está dentro del segundo intervalo. 𝑓2 (𝑥) = 0.1119(7 − 5)3 − 0.1022(5 − 4.5)3 − 0.2996(7 − 5) + 1.6388(5 − 4.5) = 1.1026 𝑓2 (5) = 1.1026 2. INTERPOLACION INVERSA Los valores de f(x) y x en la mayoría de los problemas de interpolación son las variables dependiente e independiente, respectivamente. En consecuencia, los valores de las x con frecuencia están espaciados uniformemente. Un ejemplo simple es una tabla de valores obtenida para la función f(x) = 1/x. X 1 2 3 4 5 6 7 F(x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429 Ahora suponga que usted debe usar los mismos datos, pero que se le ha dado un valor de f(x) y debe determinar el valor correspondiente de x. Por ejemplo, para los datos anteriores, suponga que se le pide determinar el valor de x que corresponda a f(x) = 0.3. En tal caso, como se tiene la función y es fácil de manipular, la respuesta correcta se determina directamente, x = 1/0.3 = 3.3333. A ese problema se le conoce como interpolación inversa. En un caso más complicado, usted puede sentirse tentado a intercambiar los valores f(x) y x [es decir, tan sólo graficar x contra f(x)] y usar un procedimiento como la interpolación de Lagrange para determinar el resultado. Por desgracia, cuando usted invierte las variables no hay garantía de que los valores junto con la nueva abscisa [las f(x)] estén espaciados de una manera uniforme. Es más, en muchos casos, los valores estarán “condensados”. Es decir, tendrán la apariencia de una escala logarítmica, con algunos puntos adyacentes muy amontonados y otros muy dispersos. Por ejemplo, para f(x) = 1/x el resultado es: F(x) 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1 X 7 6 5 4 3 2 1 Tal espaciamiento no uniforme en las abscisas a menudo lleva a oscilaciones en el resultado del polinomio de interpolación. Esto puede ocurrir aun para polinomios de grado inferior. Una estrategia alterna es ajustar un polinomio de interpolación de orden n-ésimo, fn(x), a los datos originales [es decir, con f(x) contra x]. En la mayoría de los casos, como las x están espaciadas de manera uniforme, este polinomio no estará mal condicionado. La respuesta a su problema, entonces, consiste en encontrar el valor de x que haga este polinomio igual al dado por f(x). Así, ¡el problema de interpolación se reduce a un problema de raíces! Por ejemplo, para el problema anterior, un simple procedimiento podría ser ajustar los tres puntos a un polinomio cuadrático (4, 0.25) (3, 3.3333) y (2, 0.5). (4, 0.25) 16x2 + 4x + c =0.25 (3, 0.3333) 9x2 + 3x + c =0.3333 (2, 0.5) 4x2 + 2x + c =0.5 El resultado sería F2(x)= 0.041667x2 – 0.375x + 1.08333 La respuesta al problema de interpolación inversa para determinar la x correspondiente a F(x)= 0.3 sería equivalente a la determinación raíces de: 0.3= 0.041667x2 – 0.375x + 1.08333 Para este caso simple la formula cuadrática de pude usar para calcular: 0.375±√− 0.3752 −4(0.041667∗0.78333) 𝑥= = 5.704158 y 3.295842 2(0.041667) Así, la segunda raíz (3.296) es una buena aproximación del valor real de 3.3333. Si se desea una mayor exactitud, se podría emplear un polinomio de tercer o cuarto orden con uno de los métodos para la localización de raíces. Otro método para resolver una interpolación inversa es utilizando el método de newton, pero intercambiando las columnas de F(x) y x de la siguiente manera: F(x) X Primera Segunda X0 0.5 2 -5.9988 X1 0.3333 3 24.024 -12.0048 X2 0.25 4 El procedimiento para resolverlo sería la misma fórmula de newton solo que invirtiendo las f(x) con las x: P3(x)= X0 + F(X0, X1) (x - F(x0)) + F(X0, X1, X2) (x - F(x0)) (x - F(x1)) De esta forma la interpolación es: P3(x)= 2 – 5.9988 (x - 0.5) + 24.024 (x – 0.5) (x – 0.3333) P3(x)= 24.024 x2 - 26.018 x + 9.003 Entonces una aproximación de x de la función 0.3 seria: P3(0.3)= 24.024 (0.32) - 26.018(0.3) + 9.003 P3(0.3)= 3.36 Si se requiere más exactitud en la aproximación se puede utilizar un número mayor de datos es decir un polinomio de grado 3 o uno de grado 4 3. INTERPOLACION MULTIDIMENSIONAL Los métodos de interpolación para problemas unidimensionales se pueden extender a la interpolación multidimensional. En esta sección se describirá el caso más sencillo de interpolación bidimensional en coordenadas cartesianas. Interpolación bilineal Sirve para determinar valores intermedios para funciones de dos o más variables 𝑍 = 𝑓(𝑋𝑖, 𝑌𝑖) se tienen valores en cuatro puntos 𝑓(𝑥2, 𝑦1) 𝑓(𝑥1, 𝑦2) 𝑓(𝑥2, 𝑦2). Se desea interpolar entre estos puntos para estimar el valor de un punto intermedio 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖). Si se usa una función lineal, el resultado es un plano que conecta los puntos. Tales funciones se les conocen como bilineales. Una forma sencilla de desarrollar la función bilineal. Primero se puede mantener fijo el valor de y aplicar interpolación lineal unidimensional en la dirección X. Usando la forma de LaGrange el resultado en (Xi, Yi) es 𝑋𝑖−𝑋2 𝑥𝑖−𝑥1 𝑓(𝑋𝑖, 𝑌𝑖) = 𝑋1−𝑋2 𝑓(𝑋1, 𝑌1) + 𝑥2−𝑥1 𝑓(𝑥2, 𝑦1) ec1 Y en (𝑥𝑖, 𝑦2) es 𝑥𝑖−𝑥2 𝑥𝑖−𝑥1 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦2) = 𝑓(𝑥1, 𝑦2) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2) ec2 𝑥1−𝑥2 𝑥2−𝑥1 Estos puntos se pueden entonces usar para interpolar linealmente a lo largo de la dimensión y ara obtener el resultado final, 𝑦𝑖−𝑦2 𝑦𝑖−𝑦1 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝑦1−𝑦2 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦1) + 𝑦2−𝑦1 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦2) ec3 Se puede desarrollar una sola ecuación sustituyendo las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación 3 para dar: 𝑥𝑖 − 𝑥2 𝑦𝑖 − 𝑦2 𝑥𝑖 − 𝑥1 𝑦𝑖 − 𝑦2 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦1) 𝑥1 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2 𝑥2 − 𝑥1 𝑦1 − 𝑦2 𝑥𝑖 − 𝑥2 𝑦𝑖 − 𝑦1 𝑥𝑖 − 𝑥1 𝑦𝑖 − 𝑦1 + 𝑓(𝑥1, 𝑦2) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2) 𝑥1 − 𝑥2 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 Ejemplo: Al graficar pixel a pixel un objeto 3D, se proyectan en la pantalla (coordenadas CRT) pixeles contiguos en las coordenadas normalizadas (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) con intensidades de u= 4, 8, 2, 10, respectivamente. Se desea hacer un “zoom” del despliegue, ¿cómo determinaría la intensidad de un punto localizado en (x, y) = (0.25, 0.75)? Dé la o las fórmulas generales para calcular u en cualquier punto (x, y) que satisfaga 0 x 1 y 0 y 1. Hay varios criterios; por vecino más próximo, el pixel más cercano a (0.25, 0.75) es (0,1), cuya intensidad es u = 2. por interpolación, como hay cuatro vecinos, escogemos interpolación bilineal; tenemos valores intermedios (en el diagrama, i, j = 0,0 en nuestro caso particular) : 𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 𝑓(0,0) = 4 𝑓(𝑥1, 𝑦2) = 𝑓(0,1) = 2 𝑓(𝑥2, 𝑦1) = 𝑓(1,0) = 8 𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 𝑓(1,1) = 10 Xi=0.25 Yi=0.75 Sustituyendo en la ecuación la ecuación 3. 0.25 − 1 0.75 − 1 0.25 − 1 0.75 − 1 0.25 − 1 0.75 − 0 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 4+ 8+ 2 0−1 0−1 1−0 0−1 0−1 1−0 0.25 − 0 0.75 − 0 + 10 1−0 1−0 𝑓(0.25,0.75) = 4.25