TRABAJO DE FASE N°1

UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIAFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIASFISICASY FORMALES PROGRAMA PROFECIONAL DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA Y MECATRONICA MECANICA COMPUTACIONAL II INFORME DE FASE N°1 NOMBRE CODIGO SECCI ON MEDINA VILLEGAS ARNULFO 200820168 A ANDRE 1 SALINAS BARREDA EDISON 200880236 A ERICK 1 ARENAS OVIEDO ALVARO 200820391 A ALONSO 1 MONZÓN ARU DIEGO YAIR 200820156 A 1 ING. JUAN CARLOS CUADROS AREQUIPA-PERÚ 2009-10-8 TRABAJO DE FASE N°1 1. Si se drena el agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el liquido fluirá rápidamente cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. La tasa a la que el nivel del agua disminuye es: dy =−k √ y dt donde es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero de drenaje. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo t en minutos. Si k=0.06 determine cuánto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3 m. 2.1.1. Resuelva analíticamente con por la metodología de Euler. Utilice un paso de 0.5 minutos 2.1.2. Resuelva analíticamente por la metodología de RK2, bajo las mismas condiciones. 2.1.3. Haga una grafica de los resultados de cada uno de los métodos aplicados Resolución de 2.1.1 y 2.1.2 adjuntado en el archivo de Excel 2.1.3 Grafica de Euler 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 60 while y(i)>0 y(i+1)=y(i)+F(y(i))*h.06 t=57.'Metodo de RK2').5 1 0. Código: clc. y(1)=3. . Implemente un programa en MATLAB que solucione el problema anterior. Adjuntar su diagrama de flujo. t(i+1)=t(i)+h. h=0. switch q case 1 F=inline('-0.5.06*sqrt(y)').'metodo de Euler'. i=1.5 0 0 10 20 30 40 50 60 VALOR REAL DE LA INTEGRACION: 0 t 1 dy =∫ dt ∫ −0. t(1)=0. y una vez hecha la elección por parte del usuario deberá mostrar la respuesta al problema en forma tabular y gráfica. El programa deberá solicitar cual de los dos métodos se empleará en la solución.06 3 √ y 0 1 ( 2 √ 3 )=t 0.5 2 1.7 2. clear all q=menu('seleccione el metodo'.Grafica de RK2 3 2. 5f %5. end grid on plot(t. i=1.y(i).t(i).y) grid on end Algoritmo: i.t(i+1). i=1 ii. Ingresar la función. y0.fprintf('%5. k2=F(y1(i+1)). t0. h. i=i+1. Ingresar la función. end grid on plot(t. k2=F(y1(i+1)). t0. y(i+1)=yn(i+1) 7.5f\n'. 3. i=i+1 . y(1)=3.y(i).t(i).5f %5.5f %5. fprintf('%5. h=0. K1=f(y(i)) 2. h. 5.t(i+1).06*sqrt(y)'). Elegir el método a realizar ii. yn(i+1)=y(i)+(h/2)*(k1+k2) 6.5f %5.y) grid on case 2 F=inline('-0. y0.k2.5f %5. Mientras y(i)>0 1. i=i+1 iii.5f %5.yn(i+1)) y(i+1)=yn(i+1). 4. y(i+1)=y(i)+F(y(i))*h 3.y1(i+1). y1(i+1)=y(i)+F(y(i))*h. t(i+1)=t(i)+h. t(1)=0. y(i+1)=y(i)+f(y(i))*h 2.k1.y(i+1)) i=i+1.5f %5. if y1(i+1)<0 break end t(i+1)=t(i)+h. Si se elige el método de Euler i. t(i+1)=t(i)+h. Mientras y(i)>0 1. yn(i+1)=y(i)+(h/2)*(k1+k2). i=1 ii.5f\n'. Si se elige el método de RK2 i.5f %5.5f %5.5. while y(i)>0 k1=F(y(i)). K1. y(i).y(i)>0 y ( i+1 ) = y ( i ) + dy ( y ( i ) )∗h dt t ( i +1 ) =t ( i ) +h i=i+1 t(i).5. y(i+1) y(i)>0 dy K1= ( y ( i ) ) dt y1 (i+ 1 )= y (i )+ dy ( y ( i ) )∗h dt t ( i +1 ) =t ( i ) +h K2= dy ( y ( i+1 ) ) dt h y n (i+ 1 )= y (i )+ ( K1+ K2 ) 2 y ( i+1 ) = y n (i+ 1 ) i=i+1 t(i).yn(i+1) INICION h=0.i=1.t(1)=0.y(1)=3.q q=1 q=2 FIN Diagrama de flujo: .y(i).y1(i+1).t(i+1). t(i+1).k2. . 6−2 )( 2.4 x−2.6 ( 0.5202 )+ ¿ ( 2.8 2.3.2−1.4 )( 1.4−2.6 ( 1.5815 0.4−2.5815 ) +¿ )( 2.2 2.6−2.8−2.1−2 2.1 )= x−2 x−2.2 )( 2.4 F ( x 2.2 2.8−2.1−2.8−2.8 )( 2.2−2. Es frecuente que en los análisis avanzados de ingeniería surjan funciones de Bessel.8−2.8 )( 2−1.1−2.4 2. no es raro que estén compiladas en tablas matemáticas estándar.2 )( 1.6 ) 2.8−2.4 x−2.2 x−2.4 )( 2.6 ( 2−1.6 1.1−1.6 ( 2.4708 Estime J1(2.1−2.6−2.8 2 2.2−2.4708 ) +¿ x=2.2 x−2.2 )( 2−2.4 )( 0.1 2. x 1.5202 0. Dichas funciones por lo general no son susceptibles de evaluarse en forma directa y.1−2.2−2 )( 2. Si el valor verdadero es 0.5767 0.4 2.4 ( )( )( ( 0.6 ( 0.556 0.6 ) 2.2 )( 2.5560 ) +¿ x−1. como en el estudio de los campos eléctricos.5560 ) +¿ ( 2.1−1.2−2 )( 2.4 )( 2.2 2.8 )( 2.8 x−2 x−2.6 )( 0.1−2.1−2.5767 )+ ¿ x−1. haga el cálculo del error absoluto y el error relativo x=2.2 x−2.1 )= 1.8 x −2.6 ) ( 0.2 )( 2−2.8 )( 2.2 )( 2.2 2.2 x−2. Por ejemplo.1 f ( x n )=0.1) con el uso de un polinomio de interpolación de Lagrange de grado máximo de acuerdo a los datos proporcionados.2 1.8−2 1.8 2.4 )( 2−2.1−2.4−2 )( 2.4−2.4−1.8−2.4 ( 2.8 x−2 x−2.8−2 )( 1.4 x−2.1−2.5767 )+ ¿ ( 2.4−2.1−1.4−1.6 )( 0.2−2.5202 )+ ¿ x−1.1−2 2.4−2 )( 2.4 2.6 ( 0.6 ) ( 0.1−2. por ello.8 )( 2.8 )( 2−2.8 2−2.6−1.8 )( 2.1−2.8 x−2 x−2.568292 ∣Ea∣=¿ ? ∣Er∣=¿ ? F ( x 2.1−2 2.6 ( 2.6 ) 2.4 )( 2−2.5815) +¿ x−1.6 ) .2−2.6 J1(x) 0.568292.2−1. 4 ) F ( x 2.6 Er=∣0.1−2 2.024 -0.4708 ) +¿ ( 2.568292 ∣∗100 0.4)( x−2.0182 .179 -0.6−1.1035 -0.8 )( 2.4 2.1−2.6)∣ F(x) 0.1−1.0182( x−1.2)(x−2.017 −6 4.5815 0.2 2.4708 -0.6−2.2.4 ( 0.18875 -0.5767 0.247 Er=8.8 2.19875 -0.1 )=0.016 0.556 0.499871 • x 1.1900∗10 -0.6−2. ados los datos de la siguiente tabla: x 1 2 3 5 7 8 f(x) 3 6 19 99 291 444 0.03125 0.5202 0.6−2 )( 2.1 ∣0.2 2.2 )( 2.571147 • ∣ Ea= ∣ F ( x 2.8 2 2.8)(x −2)(x−2.1−2.571147−0.571147 Ea= E a =0.1 ) −F (x n ) ∗100 F x 2. x 1 . 2. x 0 ) ( x−x 0 ) x 3 5 F(x) 19 99 40 F ( 4 )=19+ 40(4−3) F ( 4 )=59 • Error (Rn) : x 3 5 7 F(x) 19 99 291 40 96 Rn =14∗( x−x 0 )∗( x −x 1 ) Rn =∣−14∣=14 b) Grado º 2 : F ( 4 )=F ( x 0 ) + F ( x 1 . x 0 ) ( x− x 0 ) + F ( x 2. Elija los puntos base para obtener una buena exactitud. Estime el error para cada predicción según la ecuación de error Rn F(4)=??? x=4 a) Grado º 1 : F ( 4 )=F ( x 0 ) + F ( x 1 . Calcule f(4) con el uso de polinomios de interpolación de Newton de órdenes de 1 a 4. x 0 ) ( x− x 0 ) (x− x 1) x 2 3 5 F(x) 6 19 99 13 40 9 14 .1. x 0 ) ( x− x 0 )( x−x 1 ) + F ( x 3 . x 0 ) ( x− x 0 ) ( x− x1 ) ( x−x 2) x 1 2 3 5 F(x) 3 6 19 99 3 13 40 5 9 1 F ( 4 )=3+3 ( 4−1 ) +5 ( 4−1 )( 4−2 ) +1 ( 4−1 ) (4−2)( 4−3) F ( 4 )=48 • x 1 2 3 5 7 F(x) 3 6 19 99 291 Error (Rn) : 3 13 40 96 5 9 14 1 1 0 . x 0 ) ( x− x 0 ) + F ( x 2. x 2 x 1 .F ( 4 )=6+13 ( 4−2 )+ 9 ( 4−2 ) ( 4−3) F ( 4 )=50 • x 2 3 5 7 F(x) 6 19 99 291 Error (Rn) : 13 40 96 9 14 1 Rn =1∗( x−x 0 )∗( x− x 1)∗( x−x 2) Rn =∣−2∣=2 c) Grado º 3 : F ( 4 )=F ( x 0 ) + F ( x 1 . x 1 . x 0 ) ( x −x 0 ) ( x− x 1) ( x−x 2 ) + F ¿ ) x 1 2 3 5 7 ( x− x 0 ) ( x− x1 ) ( x−x 2 ) ( x−x 3 ) F(x) 3 6 19 99 291 3 13 40 96 5 9 14 1 1 0 F ( 4 )=3+3 ( 4−1 ) +5 ( 4−1 )( 4−2 ) +1 ( 4−1 ) (4−2) ( 4−3 ) +0( 4−1)(4−2)(4−3)(4−5) F ( 4 )=48 • x 1 2 3 5 7 8 F(x) 3 6 19 99 291 444 Error (Rn) : 3 13 40 96 153 Rn =0 5 9 14 19 1 1 1 0 0 0 .Rn =0 d) Grado º 4 : x 4 . x 3 . x 0 ) ( x− x 0 ) + F ( x 2. x0 F ( 4 )=F ( x 0 ) + F ( x 1 . x 0 ) ( x− x 0 )( x−x 1 ) + F ( x 3 . x 2 x 1 . x 2 x 1 . x 1 . 02691 2. y R=radio del tanque (m) Resuelva por el método de la Falsa Posición hasta que el error relativo se menor o igual que 0.03385 0.89773 2.02682 2.9 2.02691 f(a) 21.21571 -0.00010 -0.02617 2.01871 -0.5.02691 e 100. hasta que el error relativo se menor o igual que 0.01679 2.02691 -3.0000 3.00001 b f(b) xr f(xr) e 3.00417 0.02690 2. xr 1.0000 3.00018 0. El volumen de líquido que puede contener el tanque se calcula con: V =π h 2 (3R−h) 3 donde V=volumen(m3).01871 -0.89773 2.02691 2.00001 0 100 5.0000 0 6.0000 3. h=profundidad del agua en el tanque (m).0001 -0.5e-4.01679 2.54867 26.54867 1.54867 26.02617 2.0000 3.25715 0. Suponga que esta diseñando un tanque esférico para almacenar agua para un poblado pequeño del país.0000 26.62242 -3.0000 3.00136 -0.02685 2.54867 26.0000 3.00246 0.54867 26.00000 .21471 -0.00136 -0.00001 Resuelva por el método de Newton Raphson de 2° Orden.25564 -0.90317 0. Intervalo: [1:3] a 1.0269 2.54867 26.5e4.54867 26.25564 -0.4628 0.00000 1.02685 2. 9. while con>1 x0=1.F(a).5*10^-4. y una vez hecha la elección por parte del usuario deberá mostrar la respuesta al problema en forma tabular y gráfica. else x0=x2.a. end while e<er x1=x0-(DF(x0)/D2F(x0))+((sqrt((DF(x0)^2)(2*D2F(x0)*F(x0))))/D2F(x0)).5f %5.5f %5. e=0. elseif F(xr)*F(a)>0 a=xr.b. while F(a)*F(b)>0 a=input('ingrese un nuevo primer valor: ').xr. con=abs(F(x0)*D2F(x0)/(DF(x0)^2)). er=e1. x2=x0-(DF(x0)/D2F(x0))-((sqrt((DF(x0)^2)(2*D2F(x0)*F(x0))))/D2F(x0)).'Falsa Posicion'.5f %5. Adjuntar su diagrama de flujo.er) if F(xr)*F(a)<0 b=xr.F(b). con=inf. x0=0. er=e2.5f\n'.er) end end Algoritmo: .5f %5. x0=xr.6.5f %5. switch q case 1 a=1. e1=abs((x1-x0)/x1)*100. e=0. b=input('ingrese un nuevo segundo valor: ').x0.5f %5.'Newton Raphson 2do orden'). er=100. F=inline('(pi*x^2*(9-x)/3)-30'). er=abs((xr-x0)/xr)*100. end fprintf('%5. if e1<e2 x0=x1. fprintf('%5.5f\n'.5f %5.clear all q=menu('elija el metodo'. b=3. end while e<er xr=a-((F(a)*(b-a))/(F(b)-F(a))). e2=abs((x2-x0)/x2)*100. D2F=inline('pi*(6-2*x)'). Código: clc. El programa deberá solicitar cual de los dos métodos se empleará en la solución. elseif F(xr)*F(a)==0 break end end case 2 F=inline('(pi*x^2*(9-x)/3)-30'). er=100. Implemente un programa en MATLAB que solucione el problema anterior.F(xr).5*10^-4. DF=inline('pi*(6*x-x^2)'). Mientras es<er f ( a )∗( b−a ) x r =a− i. Ingresar x0 ' '' f ( x 0 )∗ f ( x 0 ) ' 2 2. f’(x). x0=0. a. e 2= xr − x0 ∗100 xr f ' ' ( x0 ) √f ∣ ∣ ∣ ∣ 5. x r −x 0 ∗100 xr Comparar 1. Si e1<e2 i. iii. b. con= f (x ) ∣ ∣ 0 iii. f’’(x). er=e2 ' 2 ( x 0 ) −2∗ f '' ( x 0 )∗ f ( x 0 ) '' f ( x0 ) ' 2 ( x 0 ) −2∗ f '' ( x 0 )∗ f ( x 0 ) f ' ' ( x0 ) . Ingresar f(x). Mientras es<er 1. x 1= x0 − f ' ( x0 ) '' f ( x0 ) f ' ( x0 ) + √f − 2. a=xr 3. a. Xr=0 Si f(a)*f(b)>0 Volver a pedir un intervalo 2. Si f(xr)*f(a)>0 a. Sino i. er=e1 b.Algoritmo de la falsa posición: i. Comparar a. ii. x0=x2 ii. b=xr 2. x 1= x0 − 3. es. Si f(xt)*f(a)=0 a. e 1= x r −x 0 ∗100 xr 4. f ( b )− f ( a ) ∣ ∣ er = ii. Si f(a)*f(b)<0 a. er=100 Comparar 1. Mientras con>1 1. es. Algoritmo de Newton Raphson de segundo orden i. con=inf. Si f(xr)*f(a)<0 a. x0=x1 ii. Ingresar f(x). er=inf ii. b. x0=0 f(a)*f(b)>0 a.Diagrama de flujo Diagrama de la falsa posición: INICIO f(x). f(xr) . es. er=100. f(a).er a=xr b=xr xr=0 FIN x r −x 0 ∗100 xr . b es<er f ( a )∗( b−a ) x r =a− f ( b )− f ( a ) ∣ ∣ er = f(a)*f(xr)>0 f(a)*f(xr)<0 A. f(b).b. xr. a . f’’(x). es. er=100. con=inf con>1 X0 ∣ con= ' ∣ '' f ( x 0 )∗ f (x 0 ) ' 2 f ( x0 ) es<er ' x 1= x0 − x 1= x0 − f ( x0 ) '' f ( x0 ) f ' ( x0 ) '' f ( x0 ) + √f − ∣ ∣ e 1= x r −x 0 ∗100 xr ∣ ∣ e 2= e1<e2 er=e1 x0=x1 er=e2 x0=x2 FIN √f xr − x0 ∗100 xr ' 2 ( x 0 ) −2∗ f '' ( x 0 )∗ f ( x 0 ) '' f ( x0 ) ' 2 ( x 0 ) −2∗ f '' ( x 0 )∗ f ( x 0 ) '' f ( x0 ) .Diagrama de flujo de Newton Raphson de Segundo orden Inicio f(x). x0. f’(x). Diagrama del programa de selección de Método INICIO q q=1 Realizar los procedimientos de la falsa posición Realizar los procedimientos de Newthon-Rhanposon de segundo orden q=2 Fin . 1 ∗tanh ⁡ 0.10 ]∣ f 4∣ Para valor máximo de la cuarta derivada t=2.8∗68. v ( t )= √ gm tanh ⁡ Ca ( √ gCam t ) 9. Para este caso.8 m/¿ s2 . Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 segundos.7. la velocidad se calcula con: donde =coeficiente de arrastre de segundo orden. pero evalué la integral empleando la regla de Simpson 1/3 compuesta.1 Integración por Simpson 1/3 Cuarta derivada F4=67228/2318805*(1tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)^2)^2*tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)*1362^(1/2)33614/2318805*tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)^3*(1tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)^2)*1362^(1/2) M4=max x ∈ [0. Haga lo mismo. Integración Analítica: 10 ∫ 0 √ 9.2 F4 =0.9262 ( √ 9. Pruebe con diferentes hasta obtener tres dígitos significativos de exactitud.25 68.25 Si Kg m .1 kg.2732 a=0 .8∗0. m=68. y ca=0.25 ∗t ) dt =333. 5002+38.00000 1.0832 38.00000 7.00000 8.4356 f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(x6) f(x7) f(x8) f(x9) f(x10) 2n −2 ∑ i=2 f ( xi ) + f (x 2n ) h ≅1 0 9.00000 5.00000 6.1846 42.1841+ 26.9266 48.00000 10.0005 b−a 2n n=10 h= x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 10 S =∫ f ( t ) dt ≈ 0 0.711+33.b=10 b−a 4 h M4 180 ≥ 0.3918 ] 1 [ 0+ 4 ( 9.8830+48.00000 9.00000 2n−1 h ¨ f ( x0 )+ 4 ∑ f ( xi ) +2 3 i =1 10 S =∫ f ( x ) dx ≈ 0 [ h ≥ 0.00000 2.0446+46.00000 4. 3 S≈334.1846+ 44.5902 33.711 26.6841 18.00000 3.0832+ 42.3755 49.883 46.0446 44.3755 ) + 2 ( 18.064 . mientras haiga más valores. sino en varias • Los cálculos de errores relativos son útiles si se quiere encontrar el grado de erro de un resultado. sin tener el verdadero resultado en el cual basarse y así. ya que define la función no solo en una variable. porque permiten trabajar con las funciones creadas con una gran libertad ya que. a que Newton de segundo orden trabaja con la segunda derivada. . a diferencia del comando inline. • Como se pudo observar en el los métodos para encontrar raíces. el comando syms es de mucha utilidad al momento de realizar métodos de interpolación. esto se debe. como se puede apreciar en esta práctica. dar una idea de cuánto es el error del método • En los métodos de interpolación. se define al inicio una variable • El comando inline tiene un mejor uso en los programas y métodos que requieren una fácil evaluación.CONCLUSIONES: • Como se ve en los programas realizados. el método de Newton de segundo orden lo encuentra más rápido que la falsa posición. el resultado será más exacto al resultado real.