UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 4 ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 301301 Presentado por: JOSE ALFONSO CARRILLO BERMUDEZ Código No. 1.049.627.449 LICETH CONSUELO PEDRAZA Código No. 1.002.414.873 TANIA KATHERINE ACEVEDO Código No. x.xxx.xxx.xxx EDGAR ROLANDO GUTIERREZ ALVARADO Código No. 1.049.634.001 Grupo No. 706 Tutor: SANDRA ISABEL VARGAS L. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ECBTI UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ TUNJA, ABRIL 14 DE 2016 ..........................................2 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD.................6 4.está ubicado sobre una roca que tiene de altura 30 cm......................................................................................................... Para la función dada determine el respectivo dominio y rango:.................................... Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0 ° ≤ x ≤ 360 ° ....11 7............................ ¿cuál será la altura del edificio?.................. Dadas las funciones fx=x 2+ 4 y gx=x−2 ..............15 CONCLUSIONES........................................16 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.................................14 9........... si el ángulo de elevación desde la vista del turista hasta la cima es de 35 grados...........8 metros ...9 6........................ Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra.........................7 5....................................................................... Si un triángulo ABC tiene lados � = 130.. Un turista que mide 1........................................................................ � = 90 � � = 60........................................................................................................................... Verifique la siguiente identidad trigonométrica:..............13 8......................................................... Realizar las siguientes conversiones:............................................. Determine la inversa de la función:................ β .........................................3 1. γ...................................................... Calcular los ángulos α ...................................4 2....... El número de bacterias en un cultivo está dado por el siguiente modelo............. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN........................................................................ este divisa un edificio que está a 150 metros de distancia...............6 3...............................17 ........................................................................... UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas.................... . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. con el fin de ampliar conocimientos. conocer y aprender más sobre este trabajo propuesto. El trabajo lo realizamos con base en las investigaciones por cada integrante del grupo. integración con el grupo. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ INTRODUCCIÓN En este trabajo colaborativo buscamos profundizar temáticas importantes y que son la base para el desarrollo de trabajos siguientes y del fortalecimiento en nuestras competencias cognitivas futuras como ingenieros y desarrolladores de soluciones en esta área. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ . Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. . Paso 2: Despejamos la variable X para obtener la inversa. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. luego tiene inversa. Determine la inversa de la función: 8 x +3 g( x)= 5 x−7 Paso 1: Verificamos si la función es Inyectiva. x x Si f (¿¿ 2) entonces x 1=x 2 f (¿¿ 1)=¿ ¿ 8 x 1 +3 8 x 2 +3 = 5 x 1−7 5 x 2−7 ( 8 x 1+3 ) ( 5 x 2−7 )=(5 x1 −7)(8 x2 +3) 40 x 1 x 2−56 x 1+ 15 x 2−21=40 x 1 x 2 +15 x 1−56 x 2−21 −56 x 1 +15 x2 =15 x 1−56 x 2 −56 x 1−15 x 1=15 x 2−15 x 2 −71 x 1=−71 x 2 x 1=x 2 La función es Inyectiva. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ 8 x +3 y= ⟹ ⟹ y ( 5 x−7 )=8 x+ 3⟹ ⟹ 5 xy−7 y−8 x=−3 ⟹ ⟹5 xy−8 x =7 y+ 3 5 x−7 7 y +3 x ( 5 y−8 )=7 y +3 ⟹ ⟹ x= 5 y−8 Así la función de la inversa es: Forma implícita: 7 y +3 x= 5 y −8 Forma explícita: 7 y +3 7 x +3 g−1 (x)= = 5 y−8 5 x−8 7 x +3 g−1 (x)= 5 x−8 Paso 3: Ver las gráficas en GeoGebra. . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. Figura utilizando la inversa obtenida en el desarrollo de la función. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Para la función dada determine el respectivo dominio y rango: . Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. 2. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ Figura utilizando el complemento de la función con GeoGebra. ) g∗f (x ) con f ( x)= √ x + 4. Dadas las funciones f ( x ) = √ x 2+ 4 y g ( x ) =x−2 Determine: a. 3. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ x +9 g( x)= √ x−8 Pendiente. 2 Para g=x−2 sustituimos x ¿ √ x 2 + 4−2 Luego: g∗f ( x )=√ x2 + 4−2 c. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra.) ( f ∗g ) ( 3 ) √ 32−4 ( 3 ) +8=√ 9−12+8=√ 5 Luego: .) f ∗g(x ) Para f ( x )=√ x + 4 2 sustituimos x con g ( x ) =x−2 ¿ √ ( x −2 ) + 4=√ x2 −4 x +4 +4= √ x 2−4 x+ 8 2 Luego: f ∗g ( x )=√ x2−4 x +8 b. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ ( f ∗g ) ( 3 )=√ 5 d. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. 180 ° 3 π y= ( ) π 2 Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos.) (g∗f )(5) √ 52+ 4−2= √25+ 4−2= √29−2 Luego: ( g∗f ) ( 5 )=√ 29−2 4. Realizar las siguientes conversiones: a. Convertir a grados: Para convertir de radianes a grados utilizamos la siguiente formula: 180° y Grados= (x Radianes ) π 3π a grados 2 Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. 180 °∗3 540° y= = =270 ° 2 2 3π La respuesta es: equivale a 270 ° 2 . Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. 150 π 15 π 5 π y= = = 180 18 6 5π La respuesta es: 150 ° equivale a 6 . 180 ° 4 π y= ( ) π 3 Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. Convertir a radianes: Para convertir de grados a radianes utilizamos la siguiente formula: π x Radianes= (y ) 180 ° Grados A cuantos radianes equivale 150°. π y= (150 ° ) 180 ° Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. 180 °∗4 720° y= = =240 ° 3 3 4π La respuesta es: equivale a 240 ° 3 b. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ 4π a grados 3 Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. El número de bacterias en un cultivo está dado por el siguiente modelo. 750 π 75 π 25 π y= = = 180 18 6 25 π La respuesta es: 750 ° equivale a 6 5. B=Cultivo bacterias . P= población Inicial .25 t N ( t )=250 e Donde t se mide en horas. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ A cuantos radianes equivale 750°. 0. t=tiempomedido en horas N=? . Paso 1: Reemplazamos los valores de la formula. ¿Cuál es la población inicial del cultivo? ¿Cuantas bacterias habrá en el cultivo a los 2 días? ¿Después de cuantas horas las bacterias serán de 500000? Solución: N=Incognita . π y= (750 ° ) 180 ° Paso 2: Eliminamos términos semejantes y operamos. 25 (48) N=250 e 0.85 . N ( 0 )=250 e 0. N ( 48 )=250 e0. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas.85 Realizada la operación tenemos que el cultivo de bacterias a los 2 días es de: N=40688697 .25 ( 48 ) ) N=250 e N=40688697. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ t=48 horas ¿Cuál es la población inicial del cultivo? La población inicial del cultivo está dada de la siguiente manera: Reemplazamos el tiempo por cero (0) en el modelo y despejamos N.25(0) N=250 Realizada la operación tenemos que la población inicial es de: N=250 ¿Cuantas bacterias habrá en el cultivo a los 2 días? Reemplazamos el tiempo por cero (48) en el modelo y despejamos N.25(0) N=250 e 0. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra.25(48) (0. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas.25(t ) e =2000 Ahora aplicamos Ln (Logaritmo de un número) del número.25(t ) 50000=250 e 0.25 ( t )= 250 0.4 )=250 e 0.25 Finalmente tenemos que las bacterias serán de 500000 después de: t=30 .25(30. 0.25(t ) 50000=250 e 500000 e 0.4 ) N=250 e . Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ ¿Después de cuantas horas las bacterias serán de 500000? Reemplazamos la N por 500000 en el modelo y operamos.6 t= =30.25 (30. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. e 0.6 Ahora despejamos t.25(t )=ln ( 2000 )=7. 4 horas Para verificar este resultado reemplazamos los valores en el modelo original. N (30. 7.4 horas 0.4 ) 0. Utilizamos el teorema del coseno. 77 ° Paso 2: Ahora calculamos el ángulo de β . Paso 1: Calculamos el ángulo de α . 1302−90 2−602 5200 cos ( α )= = =−0. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ N=499548 . Si un triángulo ABC tiene lados � = 130. β . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. 2 2 2 b2−a2−c2 b =a +c −2 ac cos β =cos β = ( ) ( ) 2 ac . γ.97 bacterias Realizando la operación se puede apreciar que el resultado es correcto: 6.4814 ⟹ ⟹ cos−1 (−0.4814 −2(90)(60) −10800 cos ( α )=−0. � = 90 � � = 60. 2 2 2 a −b −c a2=a2 +b2−2ab cos ( α ) =cos ( α )= 2 bc Reemplazamos los valores.4814 )=118.77 ° α =118 . Calcular los ángulos α . 2 2 2 90 −130 −60 −12400 cos ( β )= = =0.77 +37. 2 2 2 2 2 2 c −b −a c =b + a −2 ab cos γ =cos γ = ( ) ( ) 2 ab Reemplazamos los valores.86 ° γ =23 .87 ° Respuesta: Luego los ángulos del triángulo son: α =118 .7948 )=37. 77 ° . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas.36 )=23. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ Reemplazamos los valores. 86 ° El ángulo de γ también se puede calcular de la siguiente manera: γ =180 °−( 118.36 ° β=37 . 36 ° Paso 3: Ahora calculamos el ángulo de γ .9145 )=23.9145 −2(130)(90) −23400 cos ( γ )=0.7948 −2(130)(60) −15600 −1 cos ( β )=0.7948 ⟹ ⟹ cos ( 0. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra.9145⟹ ⟹ cos−1 ( 0. 602−902−1302 −21400 cos ( γ )= = =0. 8 metros . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas.3 m=2.3 m El turista se para sobre la piedra. ¿cuál será la altura del edificio? Solución: Tenemos que convertir todas las medidas a metros. 86 ° β=37 .está ubicado sobre una roca que tiene de altura 30 cm.8 m+ 0. 36 ° 7. este divisa un edificio que está a 150 metros de distancia.1m Altura del edificio tan 35 °= 150 . Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ γ =23 . entonces el turista más la piedra miden: 1. en este caso solo convertimos la única que está en centímetros: 30 cm=0. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. si el ángulo de elevación desde la vista del turista hasta la cima es de 35 grados. Un turista que mide 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas.13 m La altura del edificio será de 107. Verifique la siguiente identidad trigonométrica: tan 2 (x ) Csc (x) Sen 2(x ) Sen ( x ) 2 + +(1−cos 2 (x))− =2 Sen2 (x ) Sec (x) cos( x ) cos x ( ) Demostración: tan 2 (x ) Csc (x) Sen 2(x ) Sen ( x ) 2 + +(1−cos 2 (x))− =2 Sen2 (x ) Sec (x) cos( x ) cos ( x ) Sen2 (x) cos 2 ( x) Csc( x ) Sen2 (x ) Sen ( x ) + +(1−cos 2( x ))− =2 Sen2 (x) 1 cos ( x) cos ( x ) cos 2 ( x) 1 2 2 2 Sen (x) Sen (x )cos (x) Sen x 2 Sen ( x) 2 2 + +Sen (x )− =2 Sen ( x ) cos (x) cos ( x) cos (x) 2 Sen (x) Sen2 (x) Sen(x ) Sen 2( x)+ + Sen2 (x)− =2 Sen2 ( x) cos(x ) cos( x ) . para saber la altura total sobre el nivel del suelo hay que sumarle la altura del turista + la piedra A lturaTotal =105.13 metros 8. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ Despejamos la altura del edificio: Altura del edificio=150∗tan 35 Altura del edificio=105.1 m=107.03m+2.03 m La anterior fue la altura del edificio medida desde el techo del turista. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. 57 . presionas SHIFT TAN. se les suma el periodo de tangente 180: x=135 ∧ x=116. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0 ° ≤ x ≤ 360 ° 2 tan x+ 3 tan x+ 2=0 La solución la puedes obtener haciendo el cambio u=tan(x) para obtener: u2 +3 u+2=0 Esta ecuación cuadrática se puede factorizar así: (u+1)(u+2)¿ 0 Y sus soluciones son: u=−1 ∧u=−2 Se regresa a la variable original u=tan(x) y las soluciones anteriores quedarían: tan ( x )=−1∧ tan ( x )=−2 Se despeja xx con la inversa de la tangente (arcotangente): x=arctan (−1 ) ∧ x=arctan (−2) Para calcular estos valores con calculadora.43 Pero estos resultados deben están entre 0 y 360. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ x (¿) Sen( x ) 2 Sen − =2 Sen (x) cos( x) cos(x ) 2 Sen 2( x )+¿ 2 Sen2 (x )=2 Sen2 (x ) 9. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. De donde se obtienen los valores: x=−45 ∧ x=−63. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ . Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. En el presente trabajo pudimos aplicar conceptos básicos de algebra. mediante la solución de problemas. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. . Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ CONCLUSIONES Se ha podido establecer la importancia de la actividad en cuanto al fortalecimiento de los conocimientos tanto personal como en la formación profesional. 2009) (Pomalesjuan.Caso 2.Caso 1. 2015) (Julioprofe. Desigualdades con Valor Absoluto . 2011) (Julioprofe. 2011) (Julioprofe.Ejercicio 6. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) Escuela De Ciencias Básicas. 2012) (Rondon Duran. Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra. Sistema de 3x3 resuelto por Regla de Cramer. 2009) (Unicoos. Hallar la inversa de una función. Trigonometría y Geometría Analítica __________________________________________________________________________________________ _ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Actualizadas (Pomalesjuan. 2009) (Julioprofe. construir función inversa con geogebra. 2011) Pendientes actualizar (Julioprofe. trazando funcion inversa con el geogebra. Ecuaciones Lineales . 2011) . 2015) (Julioprofe. Desigualdades con Valor Absoluto .Ejercicio 8. Ecuaciones con radicales .