Trabajo Colaborativo Fase 3 Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ECUACIONES DIFERENCIALES APORTE TRABAJO COLABORATIVO FASE 3 Unidad 3 – Estudio de series y funciones especiales. Licenciado ROBEIRO BELTRAN TOVAR Tutor GRUPO 100412_158 DOSQUEBRADAS Abril 2016 1 Temática Ecuaciones Diferenciales y solución por series de potencias. 2. Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de: ∞ (−2 )n ∑ ( n+1 ) ( x−3 )n n=0 Desarrollo de la actividad: Para realizar el criterio de la razón para calcular el intervalo de convergencia debemos partir de: Si existe un N tal que para toda n ≥ N , Si L<1, entonces ∑ es convergente . Si L>1, entonces ∑ es divergente . Si L=1, entonces ∑ es poco concluyente . an ≠ 0 y an an an | ( ) (−2 ) n +1 n +1 ( x−3 ) an +1 ( n+1 ) +1 = an (−2 )n n ( x−3 ) n+1 | | Calcular lim n →∞ lim n →∞ (| (| | |) |) (−2 )(n +1) ( x−3 )( n+1) ( n+1 ) +1 : 2|x−3| (−2 )n n ( x−3 ) n+1 (−2 )(n +1) ( x−3 )( n+1) ( n+1 ) +1 (−2 )n n ( x−3 ) n+1 2 lim n →∞ | | an +1 =L : an (−2 )( n+1) ( x−3 )(n+1 ) ( n+1 ) +1 2 ( n+1 ) ( x −3 ) Simplificamos: lim :− n n+2 n →∞ (−2 ) ( x−3 )n n+ 1 (−2 )( n+1) ( x−3 )(n+1 ) ( n+1 ) +1 lim n →∞ (−2 )n ( x−3 )n n+ 1 Multiplicamos la expresión: (−2 )n (−2 )n ( x−3 )n ( x−3 )n : n+1 n+1 (−2 )n ( x−3 )n n+1 b a. b Multiplicación de fracciones: a . = c c ¿ (−2 )n ( x −3 )n n+1 (−2 )n+1 ( x−3 )n+1 ( n+1 ) +1 ¿ (−2 )n ( x−3 )n n+1 Multiplicamos: (−2 )n +1 (−2 )n +1 ( x−3 )n+1 ( x−3 )n +1 : n+2 ( n+1 )+ 1 3 (−2 )n +1 ( x−3 )n +1 ( n+1 )+ 1 b a. b Multiplicación de fracciones: a . = c c (−2 )n+1 ( x−3 )n +1 ¿ ( n+ 1 )+1 Simplificar la expresión: ( n+1 ) +1 :n+2 ( n+1 ) +1 Se deben eliminar los paréntesis: ( a ) =a Sumar: 1+1=2 ¿ (−2 )n+1 ( x−3 )n +1 n+2 (−2 )n+1 ( x−3 )n+1 n+ 2 ¿ (−2 )n ( x−3 )n n+ 1 Dividir fracciones: a b a. d = c b.c d 4 ¿ (−2 )n+1 ( n+1 ) ( x−3 )n+1 (−2 )n ( n+2 ) ( x−3 )n xa =x a−b b x Aplicamos las leyes de los exponentes: ( x−3 )n+1 =( x−3 )( n+1)−n =x−3 n ( x−3 ) ¿ (−2 )n+1 ( n+1 ) ( x−3 ) (−2 )n ( n+2 ) xa a−b =x xb Aplicamos las leyes de los exponentes: (−2 )n+ 1 =(−2 )(n +1) −n=−2 n (−2 ) ¿ Simplificamos: (−2 ) ( n+1 ) ( x−3 ) n+2 −2 ( n+1 ) ( x −3 ) n+2 5 ¿ lim n →∞ (| −2 ( n+ 1 )( x−3 ) n+2 ¿|−2 ( x−3 )| lim n→∞ lim =1 |( n+1 n+2 |) lim (| |) n →∞ n →∞ |) (| |) n+1 n+2 n+1 n+2 | | n+1 n+1 n+ 1 es positivo cuando n → ∞ . Por lotanto = n+2 n+2 n+ 2 ¿ lim n →∞ ( n+1 n+2 ) Simplicamos: n+1 n+2 ( lim 1− n →∞ 1 n+ 2 ) Aplicamos las propiedades para límites infinitos en el infinito. 6 ¿ 1− 1 ∞+2 Simplicar: ¿1 Simplificar: ¿|−2 ( x−3 )|1 ¿ 2| x−3| La suma converge para L<1, por lo tanto ,resolver 2|x −3|<1 5 7 2| x−3|<1 : < x < 2 2 2| x−3|<1 Despejamos el valor absoluto: |x−3|< 1 2 |f ( x )|<a → f ( x ) <a ϑ f ( x ) >−a 1 −1 x−3< ϑ x−3> 2 2 1 7 x−3< : x < 2 2 7 x−3< 1 2 1 x . 2−3 . 2< .2 2 Se multiplican los dos lados por 2: 2 x −6<1 Sumamos 6 en ambos lados: 2 x −6+6<1+6 2 x <7 2x 7 < 2 2 Dividimos los dos lados entre 2: x< x−3> −1 5 : x> 2 2 x−3> −1 2 Multiplicamos los dos lados por 2: 7 2 x . 2−3 . 2> −1 .2 2 2 x −6>−1 8 Sumar a 6 en ambos lados: 2 x −6+6>−1+6 2 x >5 2x 5 > 2 2 Dividimos ambos lados entre 2: x> Combinación de rangos: 5 2 5 7 <x< 2 2 La suma converge para L=1, por lo tanto , verificar la convergencia para 2|x−3|=1 ∞ n (−2 ) 7 Para x= , ∑ 2 n=0 ( n+ 1 ) ∞ (−2 )n 7 ∑ ( n+1 ) 2 −3 n=0 n (( ) ) 7 −3 : Converge 2 n (( ) ) ∞ Simplificamos: (−1 )n ∑ ( n+1 ) n=0 9 ∞ (−1 )n : Es convergente . ( n+1 ) Verificamos convergencia de : ∑ n=0 ∞ (−1 )n ∑ ( n+1 ) n=0 Criterio de series alternadas: an = 1 n+ 1 donde an es positiva y con decremento monótono desde N=0 lim ( n+11 )=0 lim ( n+11 ) n →∞ n →∞ Aplicamos las propiedades para límites infinitos en el infinito. ¿ 1 ∞+1 Simplificando. ¿0 Por el criterio de series alternadas. ¿ Convergente ∞ Verificamos convergencia de : ∑ n=0 | | (−1 )n : Es divergente . ( n+1 ) 10 ∞ ∑ n=0 | | (−1 )n ( n+1 ) ∞ 1 ∑ n+1 Simplificamos: n=0 ∞ 1 Verificamos convergencia de : ∑ : Es divergente . n=1 n ¿ Es divergente por el criterio de Cauchy . 1 n+1 lim =1 1 n →∞ n ( ) 1 n+1 lim 1 n →∞ n ( ) Simplicamos: lim n →∞ ( n+1n ) ( ba ) Aplicamos la siguiente propiedad algebraica: a+b=a 1+ lim n →∞ n (( )) 1+ 1 n 11 1 lim n →∞ (( )) 1 +1 n Aplicamos las propiedades para límites infinitos en el infinito. ¿ 1 0+ 1 Simplificamos: ¿1 Por el criterio de comparación de límites es divergente. 5 7 <x ≤ 2 2 ∞ n (−2 ) 5 Para x= , ∑ 2 n =0 n+1 n (( ) ) 5 −3 : Es divergente . 2 ∞ (−1 )2 n Simplificamos: ∑ n=0 n+ 1 ∞ 1 Verificamos convergencia de : ∑ : Es divergente . n=1 n ∞ ∑ n=0 (−2 )n ( x−3 )n es : n+1 12 5 7 <x ≤ 2 2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 13 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. 128-144. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. 197-206. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10584022 Dennis, Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Cengage Learning Editores. 223254. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2104/libro.php?libroId=320 Cuartas, R., (2011). Módulo 6: solución de ecuaciones lineales mediante series de potencias. [Videos]. Disponible en http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES Gómez, R. (2012). Módulo Ecuaciones Diferenciales. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Leer páginas 92 a 107 Recuperado de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/MODULO %20Ecuaciones%20Diferenciales%202013-2.pdf 14