UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIACalculo Integral SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN, APLICACIONES DE LAS INTEGRALES A LA FÍSICA, APLICACIONES DE LAS INTEGRALES A LA ECONOMÍA PRESENTADO A: HUGO NELSON TATIS HERAZO (TUTOR) PRESENTADO POR: OSWALDO CONTRERA SIERRA CODIGO: 92530308 DORALYS RICARDO VALERIO 95031225974 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICA, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CEAD - COROZAL MAYO 31 DEL 2014 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral INTRODUCCION Hasta ahora se conoce que al aplicar el manejo y las técnicas del cálculo integral podemos hallar áreas bajo la curva, longitud de curvas y áreas de superficies de una curva. El desarrollo del presente trabajo nos permitirá hallar el volumen sólidos en revolución. Así como también nos permitirá identificar la importancia y aplicación del cálculo integral en los distintos campos de formación de profesionales en cualquier área del saber, tales como Ingenieros, Administradores, Economistas, Físicos, Químicos, entre otros. Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias; de las cuales se desarrollaran en el presente trabajo las aplicadas a la Física y la Economía. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcular la longitud del arco de curva que se indica. = + , = = 2. Halla los volúmenes de los sólidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x = √ 9 − 2 , = 0 3. Se hace un trabajo de 4 kg – cm para estirar un resorte de una longitud de 8 cm a una de 9 cm y 6 kg – cm para estirarlo de una longitud de 10 cm a una de 11 cm. Hallar la constante del resorte y su longitud natural 4. La función demandada para un producto es de la forma: () = 450 +8 a. Cuál será el nivel de venta para un precio de $10 b. Encontrar el excedente del consumidor para el nivel para el nivel de ventas de la parte a UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral SOLUCION: 1. Calcular la longitud del arco de curva que se indica: = + , = = Sabiendo que: = ∫√ +[′()] Entones Hallamos la derivada de la Función Interna y se tiene: = 4 4 + −2 8 = 4 3 4 + −2 −3 8 = 3 − − −3 4 = 3 1 − 1 4 3 = 4 6 1 − 1 4 3 = 4 6 −1 4 3 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral Teniendo presente que la función se encuentra elevada al cuadrado se tiene: ( ) 2 = ( 4 6 − 1 4 3 ) 2 ( ) 2 = 16 12 − 8 6 +1 16 6 ( ) 2 +1 = 16 12 −8 6 +1 16 6 + 1 1 ( ) 2 +1 = 16 12 −8 6 +1 +16 6 16 6 ( ) 2 +1 = 16 12 −8 6 +1 16 6 ( ) 2 +1 = (4 6 +1) 2 (4 3 ) 2 = ( 4 6 +1 4 3 ) 2 Aplicando la formula se tiene: = ∫√1 +[′()] 2 = ∫ √ ( 4 6 +1 4 3 ) 2 2 1 = ∫ 4 6 +1 4 3 2 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral = ∫( 4 6 4 3 + 1 4 3 ) 2 1 = ∫( 3 + 1 4 −3 ) 2 1 = ∫ 3 + 1 4 ∫ −3 2 1 2 1 = 4 4 ∫+ 1 4 2 1 ( −2 −2 )∫ 2 1 = ( 2 4 4 − 1 4 4 ) − 1 8 (2 −2 −1 −2 ) = ( 16 4 − 1 4 ) − 1 8 ( 1 2 2 − 1 1 1 ) = ( 16 −1 4 ) − 1 8 ( 1 4 −1) = 15 4 − 1 8 ( −3 4 ) = 15 4 + 3 32 = 120 32 + 3 32 = UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral 2. Halla los volúmenes de los sólidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x = √ 9 − 2 , = 0 Sabiendo que: = ∫ [()] 2 0 = √ 9 − 2 0 = ( √ 9 − 2 ) 2 0 = 9 − 2 2 = 9 = ±√9 = ±3 Ahora aplicando la formula se tiene: = ∫ (9 − 2 ) 3 −3 = ∫ 9 − ∫ 2 3 −3 3 −3 = (9) ∫ − 3 3 ∫ 3 −3 3 −3 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral = 9[3 −(−3)] − 3 [3 3 −(−3) 3 ] = 9(3 +3) − 3 (27 −(−27)) = 9(6) − 3 (27 +27) = 54 − 3 (54) = 54 − 18 = 3. Se hace un trabajo de 4 kg – cm para estirar un resorte de una longitud de 8 cm a una de 9 cm y 6 kg – cm para estirarlo de una longitud de 10 cm a una de 11 cm. Hallar la constante del resorte y su longitud natural. Se sabe que: 1 = 8 2 = 9 = 4 . = 2 Como: = ∫ , Aplicamos esta Fórmula para hallar la constante y se tiene: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral 4. = ∫ 2 9 8 4. = 3 3 ∫ 9 8 4. = ( 9 3 3 − 8 3 3 ) ( 729 3 − 512 3 ) = 4. ( 217 3 ) = 4. = 3(4. ) 217 = . Como: = , : 4. = 12 217 . ( 2 ) 2 = 4. ( 217 12 . 2 ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral 2 = 868 12 = √ 217 3 = , Se sabe también que: 1 = 10 2 = 11 = 6 . = 2 Como: = ∫ , Aplicamos esta Fórmula para hallar la constante y se tiene: 6. = ∫ 2 11 10 6. = 3 3 ∫ 11 10 6. = ( 11 3 3 − 10 3 3 ) UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral ( 1331 3 − 1000 3 ) = 6. ( 331 3 ) = 6. = 3(6. ) 331 = . Como: = , : 6. = 18 331 . ( 2 ) 2 = 6. ( 331 18 . 2 ) 2 = 1986 18 = 331 3 = √ 331 3 2 = , UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral 4. La función demandada para un producto es de la forma: () = 450 +8 a. Cuál será el nivel de venta para un precio de $10 b. Encontrar el excedente del consumidor para el nivel para el nivel de ventas de la parte a. a. Reemplazamos en la función el precio y se tiene: (10) = 450 10 +8 (10) = 450 18 () = El nivel de Venta es 25 para un precio de $10 b. Como se sabe que el excedente del consumidor se halla aplicando la fórmula: = ∫ () − = ∫ 450 +8 −10(25) 25 0 = 450 ∫ + 8 −250 25 0 = 450 | + 8| ∫ −250 25 0 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral = 450(|25 +8| −|0 +8|) −250 = 450(|33| −|8|) −250 = 450(1417) −250 = 637,50 −250 = $, UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral CONCLUSIONES Después del desarrollo del presente trabajo se puede identificar que el Cálculo Integral como área de las matemáticas, tiene un carácter básico en cualquier campo de formación disciplinar o área del saber, debido a que los Ingenieros, administradores, Economistas, Físicos, Químicos, por supuesto los Matemáticos y demás profesionales requieren de esta área del saber