CALCULO DIFERENCIALTRABAJO COLABORATIVO 03 GRUPO: 100410_156 TUTOR: JUAN GABRIEL CABRERA PRESENTADO POR: DERLY JESSICA DAZA LADINO CC 1.121.822.015 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD SEPTIEMBRE 2014 INTRODUCCIÓN Para el desarrollo de la fase III se continúa trabajando con ejercicios que permitan afianzar los conocimientos, y profundizar el conocimiento obtenido en las lecturas. Se plantea el desarrollo de ejercicios sobre límites y derivadas hallando puntos críticos, máximos, mínimos y coordenadas. OBJETIVOS Identificar los conceptos de derivadas y su aplicación a ejercicios prácticos. DESARROLLO DE ACTIVIDADES Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué? EJERCICIO 1. Derivamos Buscamos los valores críticos ( ) Valor crítico es Analizamos si el punto crítico es un máximo o un mínimo: Tomamos un valor anterior al punto crítico y un valor siguiente Ahora reemplazamos: ( ) ( ) Ahora hallamos las coordenadas. Reemplazamos en la ecuación inicial a x por el valor del punto crítico. P (1,5 , -4,25) EJERCICIO 2. Buscamos los valores críticos ( ) Valor crítico es 2 Tomamos un valor anterior al punto crítico 1 y un valor siguiente 3. Ahora reemplazamos: ( ) ( ) Ahora hallamos las coordenadas. Reemplazamos en la ecuación inicial a x por el valor del punto crítico. ( ) ( ) ( ) P (2,-12) EJERCICIO 3. √ ( ) INDETERMINACION √ -1 TRANSFORMANDO ( √ ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) EJERCICIO 4. ( ) ( ) Derivamos ( ) EJERCICIO 5. Derivamos ( ) ( ) ( ) EJERCICIO 6. ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ⏟ ) ( ) ( ) ) ⏟ Aplicando la derivada para un producto de funciones formula ( ) ( ) ( ) u= ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) - ( )- ( ) ( )* +, ( ) - , - OPCIONAL ( ) , ( ) , - EJERCICIO 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) )( ( ( ( ) ( ) ( )/ . ( ) , ( ) ) ) ) -, - ), ( ( )- Identidad ( ) ( ) , - ( , )( - ) ( ) ( ) , , - EJERCICIO 8. ( ) - EJERCICIO 9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de . ¿Con qué rapidez crece el globo cuando su radio es de 25cm? Recordar que el volumen es igual a ⁄ ( ) ⁄ ⁄ EJERCICIO 10. Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización. Una fábrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000 litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima? Cilindro = 2 tapas + cuerpo del cilindro 1 Reemplazando h en 1 ( ) Derivando con respecto a r ( ) ( ) Igualamos ( ) Despejando ( √ √ Despejando h ( ) ) CONCLUSIONES Podemos decir que los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite). Otras ocasiones, la función está definida en un punto. Durante el desarrollo de los ejercicios evidencia como no es suficiente con reemplazar los valores de x para resolver un ejercicio de límite, en algunos casos esta operación no lleva al resultado, sin embargo cuando se trata de una indeterminación se debe acudir a las distintas propiedades para obtener el resultado correcto. BIBLIOGRAFIA Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el cálculo. México D.F. Pág. 784-800. Disponible en http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#Ga lván, D. y otros (2012), Cálculo diferencial: un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. México DF. Pág. 128 239. Disponible en: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=319#