TRABAJO COLABORATIVO 2PROBABILIDAD AMÉRICA LIDUEÑA MEZA COD. 32612763 DANILO ANDRES JOJOA ABELLA CÓDIGO: 1073243766 SUSANA PAOLA AMARIS CÓDIGO: 52793978 . Tutor LUIS ALEXANDER SARAVIA ROA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS Y NEGOCIOS “ECACEN” ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Bogotá, Noviembre 8 de 2015 INTRODUCCIÓN. En este trabajo se plantean 2 estudios de casos teniendo en cuenta la temática de la unidad dos del módulo de probabilidad, que trata sobre Variables aleatorias, distribución discreta y continua, medidas de tendencia central, la distribución binomial entre otras distribuciones de probabilidad. Estaremos poniendo en práctica estas temáticas con el fin de dar solución a los dos casos planteados. RESUMEN DE LOS CONCEPTOS TEÓRICOS DE LA UNIDAD 2 Variable aleatoria discreta y continua, valor esperado y varianza Variable Aleatoria Discreta: Se llama Variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Las Variables Aleatorias Discretas, representan datos contados, como el número de artículos defectuosos en una muestra o el número de accidentes de carretera por año en un estado dado. Variable Aleatoria Continua: Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le denomina Variable Aleatoria Continua. A menudo los posibles valores de una Variable Aleatoria Continua son precisamente los valores que contiene el espacio muestral continuo. Las Variables Aleatorias Continuas representan datos medidos, como son todos los posibles pesos, alturas, temperaturas, distancias o periodos de vida. Valor Esperado: es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en Condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos Cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese Valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los Resultados que se esperan en el futuro. Varianza: La medida o valor esperado de una variable aleatoria x es de especial importancia en estadística, pues describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad. Necesitamos caracterizar la variabilidad en la distribución. Distribución binomial: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario . La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La distribución binomial se suele representar por B(n, p). n es el número de pruebas de que consta el experimento. p es la probabilidad de éxito. La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q. Variable aleatoria binomial: La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Ejemplo: k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras. Distribución binomial negativa y geométrica: La distribución binomial negativa o distribución de Pascal es una generalización de la distribución geométrica donde la variable aleatoria X es el número de ensayos Bernoulli efectuados hasta que se tienen r éxitos, con una probabilidad constante de éxito p. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r = 1, 2, 3,... f(x,p,r)= Cr-1 x-1 qx-r . pr x=r,r+1,r+r+2+... En la distribución geométrica, la variable aleatoria estaba definida como el número de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer éxito. Suponga ahora que se desea conocer el número de ensayos hasta obtener r éxitos; en este caso la variable aleatoria es denominada binomial negativa. Distribución de Poisson: Esta es otra distribución de probabilidad discreta útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante. La distribución de Poisson, llamada así en honor a Simeón Denis Poisson probabilista francés que fue el primero en describirla, es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de líneas de espera, confiabilidad y control de calidad; como el número de personas que llegan a un lugar determinado en un tiempo definido, los defectos en piezas similares para el material, el número de bacterias en un cultivo, el número de goles anotados en un partido de fútbol, el número de fallas de una máquina en una hora o en un día, la cantidad de vehículos que transitan por una autopista, el número de llamadas telefónicas por minuto, etc. Como se puede observar se trata de hallar la probabilidad de ocurrencia de cualquier número por unidad de medición (temporal o espacial). Dado un intervalo de números reales, si éste puede dividirse en subintervalos suficientemente pequeños, tales que: (1) La probabilidad de más de un acierto en un subintervalo es cero o insignificante. (2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos, y es proporcional a la longitud de estos. (3) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los demás subintervalos. Entonces el experimento aleatorio recibe el nombre de proceso Poisson o flujo de procesos de Poisson. Un proceso Poisson constituye un mecanismo físico aleatorio en el cual los eventos ocurren al azar en una escala de tiempo (o de distancia). Por ejemplo, la ocurrencia de accidentes en un cruce específico de una carretera sigue dicho proceso. Cabe recordar que no es posible predecir con exactitud la cantidad de accidentes que pueden ocurrir en determinado intervalo de tiempo, pero sí el patrón de los accidentes en gran número de dichos intervalos. Distribución hipergeométrica: En la distribución binomial se veía que el muestreo se hacía con reemplazo, asegurando la independencia de los ensayos y la probabilidad constante. Supóngase ahora que el muestreo es sin reemplazo, caso en el cual los ensayos no son independientes. Sea N el número de elementos de un conjunto de los cuales k son determinados como éxitos y N-k como fallas, se trata ahora de determinar la probabilidad dex éxitos en n ensayos de los N elementos del conjunto donde y . Sea también la variable aleatoria X el número de éxitos en la muestra. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica y su función de distribución de probabilidad está dada por: f(x,N,k,n)= ( kCx . N-kCn-x )/ NCn x=0,1,2,... min(k,n) Distribución uniforme discreta y uniforme continúa: La variable aleatoria discreta más sencilla es aquella que toma sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina entonces variable aleatoria discreta uniforme y su distribución uniforme discreta está dada por: f(x)= 1/n Para una variable aleatoria discreta uniforme X, que puede tomar los valores 1, 2,..., n, la media es: Y su desviación estándar es: S2x =(n2 -1)/12. Se dice que una variable X posee una distribución uniforme en el intervalo [a,b], si su función de densidad es la siguiente: Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de [a,b] depende únicamente de la longitud del mismo, no de su posición. Distribución normal: Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución. La distribución gaussiana, recibe también el nombre de distribución normal, ya que una gran mayoría de las variables aleatorias continuas de la naturaleza siguen esta distribución. Var(x) = S2 µ: es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss). s2: es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy alejados de ella. Se representa por s2 porque su raiz cuadrada, s, es la denominada desviación estándar. Distribución chi cuadrado y t de studen: Distribución χ² En estadística, la distribución χ² (de Pearson), donde χ² se pronuncia como jicuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria: Donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno. Esta distribución se expresa habitualmente como La distribución ji-cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, por ejemplo en la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. También está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student, y participa en todos los problemas de análisis de varianza, por su papel en la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias de distribución ji-cuadrado e independientes. PROPIEDADES. Función de densidad Función de distribución ESTUDIO DE CASO 1 1. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviado a ver al doctor X=20-23.5=3.5 PUNTUACION MEDIA=23.5 VARIBALE X=3.5 DESVIACION ESTANDAR=7.5 Z= X−μ 3.5−23.5 −20 = = =−2.66 σ 7.5 7.5 Vamos a la tabla de distribución normal y es 0.0039 =0.039% 2. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos x=10 μ=23.5 σ =7.5 Z= X−μ 10−23.5 −13.5 = = =−1.8 σ 7.5 7.5 Vamos a la tabla de distribución normal y es 0.0359 =3.59% 3. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos. Puntuación 16 x=16 μ=23.5 σ =7.5 Z= x−μ 16−23.5 −7.5 = = =−1 σ 7.5 7.5 Vamos a la tabla de distribución normal y es 0.1587 Puntuación 20 x=20 μ=23.5 σ =7.5 Z= X−μ 20−23.5 −23.5 = = =−0.46 σ 7.5 7.5 Vamos a la tabla de distribución normal y es 0,3228 Ahora se suman 0.1587+0,3228=0.4815 =48.15% 4. Si las personas sin hogar con puntuación en el 15% más alto deben ser enviadas a los servicios de prevención de suicidios, ¿Qué puntuación hace calificar a una persona que llega al refugio para este servicio? 23.5+15%=27.025 Ósea que la puntuación que hace calificar a una persona que llega al refugio de servicios de prevención de suicidios es de 27.025 en adelante. 5. Las personas sin hogar con puntación en el 25% más bajo, se les envía a un servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos. ¿Qué puntuación permite calificar a una persona para acceder a este servicio? 23.5-25%=17.625 La puntuación que hace calificar a una persona para acceder al servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos es de 17.625. ESTUDIO DE CASO 2. 1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm X =154 μ=166.3 σ =3.7 X−μ 154−166.3 −12.3 Z= = = =−3.32 σ 3.7 3.7 Vamos a la tabla de distribución normal el valor es 0,0005 =0.05% 2. De igual manera, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chico escogido al azar sea mayor a 157 cm X =158 μ=166.3 σ=3.7 Z= X−μ 158−166.3 −8.3 = = =−2.24 σ 3.7 3.7 Vamos a la tabla de distribución normal el valor es 0,0125 =1.25% 3. Los resultados de la pregunta probabilidades de Seligman? 1 ¿concuerdan con las No concuerdan ya que seligman dice que el 2.5% tendrían 154 cm de altura o menos y solo el 0.05% tendrían esa altura. 4. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento? Si hay errores, Seligman dedujo la estatura promedio de los chinos sin contar con los datos estadísticos pertinentes, es decir tomó la estatura promedio de los estadounidenses. Con los datos estadísticos pertinentes, es decir la de los chinos, debió calcular la media sumando el producto de cada valor de x con su probabilidad correspondiente. Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de países como Estados Unidos y por tanto, es difícil obtener las estadísticas de salud de la población actual china. Sin embargo, afirma que “en general se sostiene que la longitud de un niño al nacer representa el 28,6% de su estatura final”. Esta afirmación debe tener un margen de error muy alto puesto que no es una medida exacta sino una suposición. 5. Según criterios estadísticos se considera que un individuo es de estatura alta si supera el promedio en más de 2 desviaciones estándar. Usando las suposiciones de Seligman : a- Calcule de que la probabilidad de un varon adulto chino sea considerado como de estatura alta. ( x−μ σ ( 173,7−166,3 3,7 P ( x ≥173,7 )=P z ≥ P ( x ≥173,7 )=P z ≥ ) ) P ( x ≥173,7 )=P ( z ≥ 2 ) P ( x ≥173,7 )=0,0228=2,28 b- Calcule la probabilidad de que un varón adulto chino sea considerado como de estatura baja. ( x−μ σ ( 158,9−166,3 3,7 P ( x ≤158,9 )=P z ≤ P ( x ≤158,9 )=P z ≤ ) ) P ( x ≤158,9 )=P ( z ≤−2 ) P ( x ≤158,9 )=0,0228=2,28 6. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor. No considero que Deng Xiaping utilizara la estatura como criterio en la elección de su sucesor puesto que el 44% de la población tiende a tener esta estatura según los cálculos realizados con base a los estudios de Seligman. En lo que se puede deducir que casi la mitad de la población hubiera podido ser escogida por este criterio. CONCLUSIÓN De acuerdo a la temática de la unidad dos y a los ejercicios planteados en los dos casos, se identifican los conceptos, fundamentos y métodos de la probabilidad, también se comprende los principios y aplicaciones que tiene la probabilidad en los distintos campos. REFERENCIAS BIBILIOGRAFICAS Morales, Adriana (2010) Modulo Probabilidad. Bogotá D.C., Universidad Nacional Abierta y a distancia – UNAD. Walpole, R (1999). Probabilidad y estadística para ingenieros. Hispanoamericana. México; Llinás, H. (2006). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Bogotá: Uninorte. VIDEOS CONSULTADOS. Variable aleatoria discreta. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=naEqsDvkIXs Distribuciones de probabilidad. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=unUpFZiI6DM Distribuciones continuas. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=s-hZzqm6nDc https://www.youtube.com/watch?v=MCH5kfMpmns Distribución Biominal. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=PXx4pUiPIhQ