Escuela Profesional de Ingeniería Civil - UNPRGResistencia de Materiales I RESISTENCIA DE MATERIALES I MOMENTO DE INERCIA RESPONSABLES: Lopez Delgado Carlos Matías Cabrera Israel Smith Mayanga Pinedo Angie Pisfil Campos Manuel Quispe Morales Joider Ramirez Julcahuanca Ronald Requejo Chilcon Gonzalo SantaMaria Carlos Mariano (110412-B) (095563-I) (102002-C) (102161-D) (102173-B) (115135-G) DOCENTE: Ing. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales FECHA DE PRESENTACIÓN: 19 de Abril del 2013 CICLO:2012-II 1 Escuela Profesional de Ingeniería Civil .UNPRG Resistencia de Materiales I INDICE Introducción-------------------------------------------------------------------------------------3 Momento de Inercia----------------------------------------------------------------------------4 Producto de Inercia----------------------------------------------------------------------------7 Momentos de Inercia de masa-------------------------------------------------------------8 Anexos--------------------------------------------------------------------------------------------15 Bibliografía--------------------------------------------------------------------------------------17 2 . debido a que.En el prediseño de secciones para análisis y obtención una primera aproximación de las secciones que se utilizarán en un modelo estructural.UNPRG Resistencia de Materiales I INTRODUCCIÓN El momento de inercia es muy importante en el área de la IngenieríaCivil. lo cuales se encuentran regidos por una carga axial y los momentos flexionantes en los ejes principales. especialmente el diseño de elementos estructurales (como vigas y columnas). Entre sus aplicaciones en este ámbito de la Ingeniería. 3 . y depende dela geometría del material. Los principales parámetros que definen una sección estructural son el área y sus momentos de inercia en los ejes principales. la inercia es con lo que diseñas. se pueden citar: . que satisfagan los requerimientos de área y de estas dimensiones dependen ahora de los materiales a emplear.La Obtención de los momentos en cada columna. permiten proponer las dimensiones de éstas.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . . el cálculo del momento de la distribución de carga con respecto a un eje implicara una cantidad llamada el momento de inercia del área. mecánica de materiales.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . Por ejemplo. donde: :Peso específico del fluido.UNPRG Resistencia de Materiales I Momento de Inercia Siempre que una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un área y que su intensidad varia linealmente. Así la fuerza que actúa sobre el área diferencial ( ) es: de la placa es Por lo tanto el momento de esta fuerza con respecto al eje Y al integrar sobre toda el área de la placa resulta: La integral respecto al eje . varía en forma lineal con la profundidad. de tal manera Esta presión que. se denomina el momento de inercia del área con Las integrales de esta forma aparecen con frecuencia en las fórmulas que se utilizan en mecánica de fluidos. mecánica estructural y diseño mecánico. por lo que los ingenieros necesitan conocer los métodos empleados para su cálculo. 4 . considere la placa de la figura. la cual está sometida a una presión del fluido. Los momentos de inercia son determinadospor integración para toda el área. por uniformidad. es decir: 5 . denominación que es probablemente más apropiada. los momentos de inercia del área diferencial plana respecto a los ejes y son y con . llamado así por su semejanza con las integrales de los momentos de las fuerzas de inercia de los cuerpos en rotación que se estudian en la dinámica. respectivamente. usaremos en este capítulo un término más común. Por definición.UNPRG Resistencia de Materiales I Figura 1 Al momento de inercia de un área se le llama en ocasiones el segundo momento del área. momento de inercia.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . El momento de inercia de un área es una medida de cuánta área está situada y qué tan lejos de un eje. Sin embargo. figura 10-2. siempre serán A partir de las formulaciones anteriores se ve que positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . Aquí. Figura 2 6 . las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia. A éste se le llama momento de inercia polar. r es la distancia perpendicular desde el polo (eje ) hasta el elemento Para toda el área. Además. figura 10-2. esto es.UNPRG Resistencia de Materiales I También podemos formular el segundo momento de “polo” con respecto al o eje . el momento de inercia polar es La relación entre e es posible puesto que y . para toda el área A. y). muy a menudo es más fácil escoger un elemento que tenga un tamaño o espesor diferencial en un sentido solamente. como x o y pueden ser cantidades negativas. el producto de inercia puede ser positivo. el producto de inercia 7 . Por ejemplo.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . Así. dependiendo de la localización y orientación de los ejes coordenados. por ejemplo. el producto de inercia tiene unidades de longitud elevadas a la cuarta potencia. como se indica en la figura de arriba. debe efectuarse una integral doble para calcular . Sin embargo. • Sin embargo. en cuyo caso el cálculo requiere de sólo una integral simple. Como el momento de inercia. se define como . el producto deinercia es: ∫ Si se escoge el elemento de área con un tamaño diferencial en dos sentidos. mientras que el elemento de área siempre es positivo. como se indica en la figura a la izquierda. negativo o cero.UNPRG Resistencia de Materiales I PRODUCTO DE INERCIA PARA UN AREA Definición: El producto de inercia para un elemento de área localizadoen el punto (x. los métodos para efectuar su cálculo serán analizados a continuación. MOMENTOS DE INERCIA DE MASA El momento de inercia de masa de un cuerpo es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a la aceleración angular. Como este momento se usa en dinámica para estudiar el movimiento rotatorio. 8 .Escuela Profesional de Ingeniería Civil . el momento de inercia de masa es una medida de la distribución de su masa con relación a un eje determinado. el momento de inercia de masa de un cuerpo / respecto a un eje determinadopuede definirse como (figura 1) Para un cuerpo rígido dado. En términos generales.UNPRG Resistencia de Materiales I para un área será cero si cualquiera de los ejes x o y es un eje de simetría para el área. UNPRG Resistencia de Materiales I Definimos el momento de inercia de masa como la integral del "segundo momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo. considere el cuerpo rígido mostrado en la figura su momento de inercia con respecto al eje z es: Aquí. generalmente. el eje que es seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . el "brazo de momento" r es la distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento arbitrario dm. pie2. Por ejemplo. como r está elevado al cuadrado en la ecuación. Como la formulación implica a r. 9 . El momento de inercia calculado con respecto a este eje será definido como . Observe que. m2 o slug. Las unidades comunes usadas para su medida son kg. el valor de I es único para cada eje z con respecto al cual es calculado. el momento de inercia de masa es siempre una cantidad positiva. Sin embargo. la masa elemental dm del cuerpo puede ser expresada en términos de su densidad y volumen como . y la integración es entonces meramente una función de la geometría: 10 .UNPRG Resistencia de Materiales I Casos: a) Cuerpo con material de densidad variable Si el cuerpo consiste .Escuela Profesional de Ingeniería Civil . Sustituyendo dm en la primera ecuación. el momento de inercia del cuerpo es calculado entonces usando elementos de volumen para la integración. ( ). este término puede ser factorizado fuera de la integral.de material con densidad variable. es decir: b) Cuerpo con material de densidad constante En el caso especial donde es una constante. Por esto. figura de la izquierda.UNPRG Resistencia de Materiales I PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS a) Elemento cascarón Si un elemento cascarón con altura z. primero es necesario determinar el momento de inercia del elemento con respecto al eje z y luego integrar este resultado. En vez de efectuar la integración usando este elemento. no se pueden usar para determinar . con radio y y del eje z.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la misma distancia radial r del eje z. En este caso el elemento es finito en la dirección radial. espesor dz. Este elemento se puede usar en las ecuaciones de los casos a y b para determinar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z ya que todo el elemento. se elige para la integración. debido a su "delgadez". como en la figura mostrada. entonces el volumen ( )( ) . radio y y espesor dy se elige para la integración. se encuentra a la misma distancia perpendicular b) Elemento de disco Si un elemento de disco. entonces el volumen ( ) . las ecuaciones anteriores. 11 . Escuela Profesional de Ingeniería Civil . Calcular el momento de inercia del área compuesta en la siguiente figura respecto del eje X representado en dicha figura.UNPRG Resistencia de Materiales I EJERCICIO DE APLICACION 1. Todas las medidas están expresadas en mm. 12 . Como sabemos: A cada uno de los momentos de inercia parciales se les va a aplicar el Teorema de Steiner: ̅ ̅ ̅ ( ( ( ) ) ) ∑ ̅ ∑ Llegamos a la conclusión que el momento de inercia total es la suma de los momentos de inercia de cada parte respecto a su eje centroidal. más la suma de los términos de traslación de ejes. indicando que: ̅ ̅ ̅ 13 . un rectángulo (R) de 140 x 240 mm y un triángulo (T) de 75 x 240 mm.Escuela Profesional de Ingeniería Civil .UNPRG Resistencia de Materiales I Solución: El área mostrada está formada por un semicírculo (S) de 50 mm de radio. 69 ( Area ) 24.UNPRG Resistencia de Materiales I Componentes ( Rectángulo Semicirculo Triángulo Totales ̅ ) 115.6 19.00 3.80 144.22 110.4 ) 70.69 28.00 Con las sumas obtenidas procedemos a hallar el momento de inercia del área mostrada: ∑ ̅ ( ∑ ) 14 .9 108.00 71.93 9.Escuela Profesional de Ingeniería Civil .00 ( d ) ( 117.20 0.9 246. Principales 15 .Escuela Profesional de Ingeniería Civil .UNPRG Resistencia de Materiales I ANEXOS Tabla de momento de Inercia de fig. Escuela Profesional de Ingeniería Civil .UNPRG Resistencia de Materiales I 16 . UNPRG Resistencia de Materiales I BIBLIOGRAFÍA RESISTENCIA DE MATERIALES.Escuela Profesional de Ingeniería Civil . Singer MECANICA PARA INGENIERO-ESTATICA Hibbeler MECANICA PARA INGENIERO-ESTATICA Beer Jhonstom 17 .