Topología de Un Espacio Métrico

June 26, 2018 | Author: daniels | Category: Metric Space, General Topology, Mathematical Concepts, Topology, Mathematical Structures


Comments



Description

Topología de un espacio métrico[editar] La distancia del espacio métrico induce en una topología, y por tanto el espacio es, a su vez, un espacio topológico al tomar como subconjuntos abiertos para la topología a todos los subconjuntos que cumplen . Esto es a todos los subconjuntos para los cuales cualquier punto en es el centro de alguna bola de radio positivo totalmente incluida en , o lo que es lo mismo: U no tiene puntos en la frontera; no tiene frontera. Dicha topología se denomina topología inducida por en . Podemos entonces interpretar intuitivamente que un conjunto abierto es entonces una parte que tiene un cierto "espesor" alrededor de cada uno de sus puntos. Un subespacio métrico de un espacio métrico es subespacio topológico del espacio topológico , donde es la topología en inducida por . Es decir, hereda de la topología inducida por . Un entorno de un punto de un espacio métrico no es más que un subconjunto de forma que exista un tal que la bola abierta . El conjunto es base de la topología inducida por , y también es base de entornos de dicha topología. Como es denso en , resulta entonces que también es base de entornos de la topología inducida por . En consecuencia, todo espacio métrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad. Todo espacio métrico es espacio de Hausdorff. Además, al igual que ocurre en espacios pseudométricos, para los espacios métricos son equivalentes las siguientes propiedades: ser espacio de Lindelöf, cumplir el Primer Axioma de Numerabilidad y ser separable. Sistemas axiomáticos alternativos[editar] La propiedad 1 () se sigue de la 4 y la 5. Algunos autores usan la recta real extendida y admiten que la distancia tome el valor . Cualquier métrica tal puede ser reescalada a una métrica finita (usando o ) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a topología se refiere. Una métrica es llamada ultramétrica si satisface la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdad triangular: . Si se elimina la propiedad 3, se obtiene un espacio pseudométrico. Sacando, en cambio, la propiedad 4, se obtiene un espacio quasimétrico. No obstante, perdiéndose simetría en este caso, se cambia, usualmente, la propiedad 3 tal que ambas y son necesarias para que e se identifiquen. Todas las combinaciones de lo anterior son posibles y referidas por sus nomenclaturas respectivas (por ejemplo como quasi-pseudo-ultramétrico). EjemplosSea X un conjunto cualquiera no vacío y definamos d Entonces d es una métrica en X, llamada métrica discreta y (X,d) es espacio métrico; (X, d) se llama espacio discreto; ver Análisis real de Haaser y Sullivan.  Los números reales con la función distancia d(x, y) = |y - x| dada por el valor absoluto, y más generalmente n-espacio euclídeo con la distancia euclidiana, son espacios métricos completos. El sistema de los números complejos C es un espacio métrico . C como espacio métrico es igual a RxR. e. z) . entonces este espacio es completo también. entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f : X -> M (i.  3) La siguiente equivalencia de la desigualdad triangular | d(x.y | = y i. f(z)) expresa que f es una función corta. Se puede demostrar que K(M) es completo si M es completo.|x . Un análisis lógico El concepto métrico fundamental es el de función corta. y) = ||y ..e.y| es la distancia allí) el hecho que d(x. g(x)) para cualesquiera funciones acotadas f y g.|d(y. aplicaciones bi- cortas. podemos convertir al conjunto K(M) de todos los subconjuntos compactos de M en un espacio métrico definiendo distancia de Hausdorff d(X. g) = supx en X d(f(x).d(x.  1) Es obvio que : | x . y) .d(x. y) . d: x . En este métrica. y = x / 2. y) . z) | | | = | d(x.d´(f(y). g) = supx en X d(f(x). entonces este espacio es completo también. Más generalmente aún. Y) = inf{r: para cada x en X existe un y en Y con d(x. los morfismos de la categoría métrica (los isomorfismos. dos elementos están cerca uno de otro si cada elemento de un conjunto está cerca de un cierto elemento del otro conjunto. | x . y)| = x). z) | | | = | d(x. Si M es completo.y | | = y es lo mismo que x = 0 o y ≤ x.  Si X es un conjunto y M es un espacio métrico. orden fuerte (y ≤ x ssi .-) es una isometría. lo llamamos espacio de Banach. Espacios metrizables Un espacio topológico se dice que es metrizable cuando existe una distancia cuya topología inducida sea precisamente la topología . cualquier espacio vectorial normado es un espacio métrico definiendo d(x. z) . ) es difícil.x||.|d(y. y) < r y para cada y en Y existe un x en X con d(x. y) < r). entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de X a M forma un espacio métrico si definimos la métrica como antes: d(f. son las isometrías). luego continua).| d(x.d(y. y) . z) | expresa desigualdad triangular directamente.  2) | d(y. pero posible.  Si M es un espacio métrico. g(x)) para cualesquiera funciones continuas acotadas f y g.d(x.|d(z. Si M es completo. luego distancia en los reales positivos da orden débil allí. z) | expresa desigualdad triangular y simetría (hacer z = x y usar | x . Si tal espacio es completo.d(x. i.e.  Reuniendo ambas : | d(y. z) expresa (sin ninguna referencia a una operación en los reales positivos.> d(x. z) . -) es función corta (luego uniforme. z) . z) | ≤ d(y. f(z)) | | = d´(f(y). z) . si se acepta una solución de |x . aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de M) puede ser convertido en un espacio métrico definiendo d(f.  Si X es un espacio topológico y M es un espacio métrico. pero su expresión usual usa el orden y la suma en los reales positivos luego. sin ninguna referencia a un orden en los reales positivos. y) . y) .  un leve cambio : | d(y. .d(x.| d(x.. Teorema de metrización de espacios completamente separables Un espacio topológico completamente separable es metrizable si y solo si es regular. Teorema de metrización de Stone Todo espacio metrizable es paracompacto.Un problema fundamental en Topología es determinar si un espacio topológico dado es o no metrizable. Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición suficiente) Todo espacio regular con una base numerable localmente finita es metrizable. Existen diversos resultados al respecto. Teorema de metrización de Urysohn Todo espacio topológico regular que cumpla el segundo axioma de numerabilidad es metrizable. Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria) Todo espacio metrizable tiene una base numerable localmente finita. . Teorema de metrización de Smirnov Un espacio topológico es metrizable si y solo si es paracompacto y localmente metrizable. Documents Similar To Topología de Un Espacio MétricoSkip carouselcarousel previouscarousel nextAlgebra Lineal 2 Pruebasuploaded by hedelsiMATRICES EN MATLAB.pptxuploaded by Katya BonillaTopologia Generaluploaded by Ixcoatl JuarezEjercicios Galindouploaded by Fernando Mena BarragánEjemplo3uploaded by ruperstinsky30Método del punto fijouploaded by Jose Miguel Delgado MaciasLa Transformada de Fourier Informeuploaded by Pedro Arturo Peter CarmonaInforme Taller 1uploaded by Jose David Alvaradolenguaje_basico_de_la_topologia.pdfuploaded by Miguel Antonio Leonardo SepulvedaMatematicas 3 Secundariauploaded by Edith Lopez de LarreaDes Arrollouploaded by Lylian Vera TelloVector.docxuploaded by Lindsey Patricktarea-3uploaded by Juan Ma GonzalezEjercicio Proyecto Finaluploaded by victor torres burgosHbailitacion.docxuploaded by MscJaiderBlancoPlano Cartesianouploaded by David LLontopSol EnDif 2ord.pdfuploaded by Lesly LizaL Mites en Sucesionesuploaded by Daniel Esteban Ponce MaripanguiSesion_11__15573 Arreglos.uploaded by Jean Carlos Flores LeonACT 7 -8 -9 -11uploaded by avera7777Funciones matemática 1.docxuploaded by mendozasolorzanoange7623pm2014-1uploaded by hubertlongart9247Solucion Trabajo Colaborativo 1uploaded by Leo RojasInforme Diego - 11 de Novuploaded by Rosemberg QuesadaTP 8.docuploaded by Eduardo CentozGuia de Progresion Aritmeticauploaded by RachelIntegral Tripleuploaded by Diana Aurorita Mora Solorzanoresalto hidraulicouploaded by Cliver López Vargas12 Transformada Z v08s02uploaded by Nestor Plasencia PradoSoluciones Evaluacion Matematicas Tema 10 - 4 Esouploaded by chinotranMore From danielsSkip carouselcarousel previouscarousel nextcomplejouploaded by danielsedp4uploaded by danielscomplejouploaded by danielscomplejouploaded by danielscomplejouploaded by danielsedp2uploaded by danielsedp1uploaded by danielsedp3uploaded by danielsedp2uploaded by danielsScan 01_04_18 17_46uploaded by danielscomplejouploaded by danielscomplejouploaded by danielsEdpuploaded by danielscomplejouploaded by danielscomplejouploaded by danielsEjercicios de complejouploaded by danielsHolderuploaded by danielsEdpuploaded by danielstaller-mb-1-3-pcuploaded by danielsImca2018uploaded by danielsimc.pdfuploaded by danielsHomomorfismo de anillosuploaded by danielscalificada 6uploaded by danielsEjercicios de estructuras algebraicauploaded by danielsTeorema Jordán holderuploaded by danielsquintatop.pdfuploaded by danielsDirigida6uploaded by danielsEdpuploaded by danielsDemostración d variable complejauploaded by danielsProblemas sobre gruposuploaded by danielsMenú del pie de páginaVolver arribaAcerca deAcerca de ScribdPrensaNuestro blog¡Únase a nuestro equipo!ContáctenosRegístrese hoyInvitar amigosObsequiosAsistenciaAyuda / Preguntas frecuentesAccesibilidadAyuda de compraAdChoicesEditoresLegalTérminosPrivacidadCopyrightRedes socialesCopyright © 2018 Scribd Inc. .Buscar libros.Directorio del sitio.Idioma del sitio: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaUsted está leyendo una previsualización gratuita.DescargarCerrar diálogo¿Está seguro?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELARAceptar
Copyright © 2021 DOKUMEN.SITE Inc.