Topología de Un Espacio Métrico

Topología de un espacio métrico[editar] La distancia del espacio métrico induce en una topología, y por tanto el espacio es, a su vez, un espacio topológico al tomar como subconjuntos abiertos para la topología a todos los subconjuntos que cumplen . Esto es a todos los subconjuntos para los cuales cualquier punto en es el centro de alguna bola de radio positivo totalmente incluida en , o lo que es lo mismo: U no tiene puntos en la frontera; no tiene frontera. Dicha topología se denomina topología inducida por en . Podemos entonces interpretar intuitivamente que un conjunto abierto es entonces una parte que tiene un cierto "espesor" alrededor de cada uno de sus puntos. Un subespacio métrico de un espacio métrico es subespacio topológico del espacio topológico , donde es la topología en inducida por . Es decir, hereda de la topología inducida por . Un entorno de un punto de un espacio métrico no es más que un subconjunto de forma que exista un tal que la bola abierta . El conjunto es base de la topología inducida por , y también es base de entornos de dicha topología. Como es denso en , resulta entonces que también es base de entornos de la topología inducida por . En consecuencia, todo espacio métrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad. Todo espacio métrico es espacio de Hausdorff. Además, al igual que ocurre en espacios pseudométricos, para los espacios métricos son equivalentes las siguientes propiedades: ser espacio de Lindelöf, cumplir el Primer Axioma de Numerabilidad y ser separable. Sistemas axiomáticos alternativos[editar] La propiedad 1 () se sigue de la 4 y la 5. Algunos autores usan la recta real extendida y admiten que la distancia tome el valor . Cualquier métrica tal puede ser reescalada a una métrica finita (usando o ) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a topología se refiere. Una métrica es llamada ultramétrica si satisface la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdad triangular: . Si se elimina la propiedad 3, se obtiene un espacio pseudométrico. Sacando, en cambio, la propiedad 4, se obtiene un espacio quasimétrico. No obstante, perdiéndose simetría en este caso, se cambia, usualmente, la propiedad 3 tal que ambas y son necesarias para que e se identifiquen. Todas las combinaciones de lo anterior son posibles y referidas por sus nomenclaturas respectivas (por ejemplo como quasi-pseudo-ultramétrico). EjemplosSea X un conjunto cualquiera no vacío y definamos d Entonces d es una métrica en X, llamada métrica discreta y (X,d) es espacio métrico; (X, d) se llama espacio discreto; ver Análisis real de Haaser y Sullivan.  Los números reales con la función distancia d(x, y) = |y - x| dada por el valor absoluto, y más generalmente n-espacio euclídeo con la distancia euclidiana, son espacios métricos completos. El sistema de los números complejos C es un espacio métrico . C como espacio métrico es igual a RxR. e. z) . entonces este espacio es completo también. entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f : X -> M (i.  3) La siguiente equivalencia de la desigualdad triangular | d(x.y | = y i. f(z)) expresa que f es una función corta. Se puede demostrar que K(M) es completo si M es completo.|x . Un análisis lógico El concepto métrico fundamental es el de función corta. y) = ||y ..e.y| es la distancia allí) el hecho que d(x. g(x)) para cualesquiera funciones acotadas f y g.|d(y. aplicaciones bi- cortas. podemos convertir al conjunto K(M) de todos los subconjuntos compactos de M en un espacio métrico definiendo distancia de Hausdorff d(X. g) = supx en X d(f(x).d(x.  1) Es obvio que : | x . y) .d(x. y) . d: x . En este métrica. y = x / 2. y) . z) | | | = | d(x.d´(f(y). g) = supx en X d(f(x). entonces este espacio es completo también. Más generalmente aún. Y) = inf{r: para cada x en X existe un y en Y con d(x. los morfismos de la categoría métrica (los isomorfismos. dos elementos están cerca uno de otro si cada elemento de un conjunto está cerca de un cierto elemento del otro conjunto. | x . y)| = x). z) | | | = | d(x. Si M es completo.y | | = y es lo mismo que x = 0 o y ≤ x.  Si X es un conjunto y M es un espacio métrico. orden fuerte (y ≤ x ssi .-) es una isometría. lo llamamos espacio de Banach. Espacios metrizables Un espacio topológico se dice que es metrizable cuando existe una distancia cuya topología inducida sea precisamente la topología . cualquier espacio vectorial normado es un espacio métrico definiendo d(x. z) . ) es difícil.x||.|d(y. y) < r y para cada y en Y existe un x en X con d(x. y) < r). entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de X a M forma un espacio métrico si definimos la métrica como antes: d(f. son las isometrías). luego continua).| d(x.d(y. y) . z) | expresa desigualdad triangular directamente.  2) | d(y. pero posible.  Si M es un espacio métrico. g(x)) para cualesquiera funciones continuas acotadas f y g.d(x.|d(z. Si M es completo. luego distancia en los reales positivos da orden débil allí. z) | expresa desigualdad triangular y simetría (hacer z = x y usar | x . Si tal espacio es completo.d(x. i.e.  Reuniendo ambas : | d(y. z) expresa (sin ninguna referencia a una operación en los reales positivos.> d(x. z) . -) es función corta (luego uniforme. z) . z) | ≤ d(y. f(z)) | | = d´(f(y). z) . si se acepta una solución de |x . aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de M) puede ser convertido en un espacio métrico definiendo d(f.  Si X es un espacio topológico y M es un espacio métrico. pero su expresión usual usa el orden y la suma en los reales positivos luego. sin ninguna referencia a un orden en los reales positivos. y) . y) .  un leve cambio : | d(y. .d(x.| d(x.. Teorema de metrización de espacios completamente separables Un espacio topológico completamente separable es metrizable si y solo si es regular. Teorema de metrización de Stone Todo espacio metrizable es paracompacto.Un problema fundamental en Topología es determinar si un espacio topológico dado es o no metrizable. Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición suficiente) Todo espacio regular con una base numerable localmente finita es metrizable. Existen diversos resultados al respecto. Teorema de metrización de Urysohn Todo espacio topológico regular que cumpla el segundo axioma de numerabilidad es metrizable. Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria) Todo espacio metrizable tiene una base numerable localmente finita. . Teorema de metrización de Smirnov Un espacio topológico es metrizable si y solo si es paracompacto y localmente metrizable. 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