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ESTRATEGIA DE REFORZAMIENTOPEDAGÓGICO MATEMÁTICA ❱ Tomo 2 ESTRATEGIA DE REFORZAMIENTO PEDAGÓGICO EN COMUNICACIÓN Y MATEMÁTICA Ministerio de Educación Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Primera edición 2015 Tiraje: 114,861 ejemplares Elaboración de contenidos: Hubner Luque Cristóbal Jave Gladis García Lizama Revisión Pedagógica: Manuel Rodríguez Del Águila Diseño y diagramación: Víctor Ataucuri Impreso por: Consorcio Corporación Gráfica Navarrete S.A., Amauta Impresiones Comerciales S.A.C., Metrocolor S.A. En los talleres gráficos de METROCOLOR S.A., sitio en Jr. Los Gorriones Nº 350 - Urb. La Campiña, Chorrillos, Lima. © Ministerio de Educación – 2015 – Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú No. 2016-03175 Impreso en Perú / Printed in Peru int_Mate2_25-02 METROCOLOR.indd 2 2/03/16 14:12 › Ficha 11 Matemática Crecimiento de las bacterias Las bacterias crecen exponencialmente, de modo que son capaces de colonizar de forma rápida un medio normalmente vacío. Sin embargo, luego de alcanzar grandes densidades poblacionales, experimentan reducción en su número e incluso la extinción total. Esto ocurre debido a, por ejemplo, la falta de alimento o la acumulación de residuos tóxicos. Tal disminución del número de bacterias, producto de la sobrepoblación, también puede ser exponencial y expresarse como una potencia de base fraccionaria menor que 1. Responde las siguientes preguntas: 1 ¿Qué significa que la cantidad de bacterias crezca exponencialmente? 2 ¿A qué se llama densidad poblacional? 3 ¿Qué es una potencia de base fraccionaria menor que 1? 4 ¿Por qué crees que una colonia de bacterias puede reducirse o extinguirse? N.° de Decrecimiento de una En un laboratorio se observa que un grupo bacterias poblacion bacteriana de bacterias disminuye cada día de forma 70 000 exponencial. A 1 de su población cada día. 60 000 4 50 000 En un principio las bacterias eran 65 536, 40 000 aproximadamente. 30 000 20 000 10 000 0 0 1 2 3 4 5 Tiempo transcurrido (días) 3 Ficha 11 Matemática Completa la siguiente tabla.. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Veamos y repasemos algunos conceptos que nos ayudarán a comprender mejor este tema.   ×   ×   .  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   . Días Factor de decrecimiento Cantidad de bacterias: trascurridos 0 1 65 536  1  1 1     X 65 536 4 4  1  1  1  1 2  X    X   x 65 536 4 4 4 4  1  1  1  1  1  1 3  X X    X   X   x 65 536 4 4 4 4 4 4  1  1  1  1  1  1  1  1 4  X X X    X   X   X   x 65 536 4 4 4 4 4 4 4 4  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 5  X X X X    X   X   X   X   x 65 536 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 ¿Cuántas bacterias han muerto el primer y el tercer día? 2 ¿En qué momento la población se puede considerar extinta? ¿Por qué? » APRENDEMOS La situación planteada conlleva multiplicaciones sucesivas de fracciones que son iguales..   ×   ×   ×   . que relaciona los días transcurridos con la reducción en la cantidad de bacterias..   ×   . ¿Existe otra forma de escribir la multiplicación sucesiva de factores iguales? Observemos si es posible en el siguiente ejemplo: Multiplicación de factores iguales Se puede escribir así: 1  1  1     4 4 2  1  1  1       4 4 4 3  1  1  1  1         4 4 4 4 4 . de la misma forma que la multiplicación es la suma de varios sumandos iguales (la potenciación es una multiplicación abreviada). Si la base es negativa y el exponente es impar. n  a   a  a  a   a    =       . 4 2 24 16   = 4 = 3 3 81 2. Por ejemplo: 5 5  3   3  3  3  3  3  3 243 =         = 5 =  4   4  4  4  4  4  4 1024 ¿Cuáles son los signos en la potenciación de números fraccionarios? 1. Si la base es positiva y el exponente es par o impar. entonces la potencia será positiva. 3  3 27 −  = −  4 64 5 . Si la base es negativa y el exponente es par. Por tanto: La potenciación es la forma abreviada de una multiplicación de factores. 2  3 9 −  =  4  16 3..   b   b  b  b   b  a n veces     b En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes: la base y el exponente. ¿Qué entendemos por la operación de potenciación? La potenciación es la multiplicación de varios factores que son iguales. entonces la potencia será positiva.. El exponente se escribe en forma de superíndice y determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. entonces la potencia será negativa. Ficha 11 Matemática Multiplicación de factores iguales Se puede escribir así: 4  1  1  1  1  1   ·   ·   ·    4 4 4 4 4 5  1  1  1  1  1  1   ·   ·  ·  ·     4 4 4 4 4 4 6  1  1  1  1  1  1  1   ·   ·   ·  ·   ·     4 4 4 4 4 4 4 En la tabla podemos apreciar que una multiplicación de factores iguales puede abreviarse con una operación llamada potenciación. b ≠ 0. Estas permiten resolver por diferentes métodos una potencia. En notación científica se expresa así: 1 x 10 -43 segundos Un número está expresado en notación científica cuando está escrito como un producto de una potencia de 10 y un número mayor o igual a 1 y menor que 10. 3   3 6 . b 0 2 2 Por ejemplo:   = 1. b ≠ 0. 0 a   = 1.0004 4x10-4 0. n Q.0000000000000006 0. Veamos un ejemplo: Según la teoría del Big Bang. Expresión Notación científica 30 000 000 3x107 500 000 000 000 000 5x1014 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0. b. Con. porque la base   está afectada por el exponente 0. 1 < m <10 m x 10 n Expresa los números de la columna izquierda en notación científica. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. el origen del universo fue de 0.0000000000000000000000000000000000000000000000008 ¿Qué propiedades se cumplen en la potenciación? Son las que se describen a continuación.00000001 0. Para todo a. m. Ficha 11 Matemática ¿Qué es la notación científica? La notación científica resulta de un acuerdo que se estableció entre los científicos para estandarizar de forma práctica la escritura de números muy grandes o muy pequeños mediante la potencia de base 10.000… 01 segundos (43 cifras decimales). n    =    b    b  3  2 2   2  6 26 64 Por ejemplo:  5   =  5  = 56 = 15625      7 . se coloca la misma base y se restan los exponentes. −n n a b   =  b a −2 2 Por ejemplo: 7 2 4   =  = 2  7  49 Potencia de otra potencia Para elevar una potencia a otra potencia. Ficha 11 Matemática Potencia de exponente 1 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. se coloca la misma base y se suman los exponentes. se multiplican los exponentes. n  a  m   a  m . m n m+n a a a   ⋅  =   b b b 2 3 2 +3 5 5 Por ejemplo: 3 3 3 3 3 243   ⋅  =   =  = 5 = 4 4 4 4 4 1024 División de potencias de igual base Para la división de dos potencias de igual base. m n m−n a a a   ÷  =   b b b 5 3 5−3 2 3 3  9 2 3 3 3 Por ejemplo:   ÷   =   =  = 2 = 4 4 4  4   4  16 Potencia de exponente negativo La potencia de exponente negativo es la inversa de la misma potencia de exponente positivo. 1 a a 1   = 2 2 b b Por ejemplo:   = 3 3 Multiplicación de potencias de igual base Para el producto de dos o más potencias de igual base. Para calcularla.  1  1  1  −  = −   = − 3  3  3  8 . n −3 En la expresión −4 n Resolvemos la división de potencias de igual base. Si la masa de la Tierra es 6 × 1024 kg. podemos concluir que Cinthya 2 . 330 000 veces la de la Tierra. ¿Estás de acuerdo     con ella? Desarrolla un procedimiento para comprobar si la afirmación es correcta. hallamos la masa del Sol: 3. podemos deducir. Pero antes convertimos 330 000 a notación científica: 330 000 = 3.3 x 105. ¿cuál será la masa del Sol? ❱ RESOLUCIÓN Debemos comprender la situación. A continuación. hay una división entre ellas. Analizamos la suposición de Diego. estas potencias tienen la misma base. aproximadamente. Nos piden la masa del Sol. Hallamos los resultados para cada potencia: 2  1   1  1   −  =  −  −  =  3   3  3  Entonces. Ficha 11 Matemática » ANALIZAMOS 1 La masa del Sol es. ❱ RESOLUCIÓN a. que = n −4 2 2  1  1 3 Diego afirma que  − 3  = −  3  . Además. b. Así: n3 – –7 n −3 Finalmente.3 x 105 x 6 x 1024 = n −3 2 ¿Cuál de las siguientes expresiones equivale a ? n −4 3 −1 n −3 n − 4 n n7 n −4 ❱ RESOLUCIÓN Como observamos en el problema. debemos multiplicar. pero Cinthya le responde que no es cierto.   . Ficha 11 Matemática 4 El triángulo de Sierpinski es una figura geométrica de un tipo especial denominado fractal.                     9 . De esta manera. .   4 3 El área sombreada del nivel 2 es   3  . el auténtico triángulo de Sierpinski es la figura geométrica que resulta de aplicar este proceso infinitas veces. el área sombreada de cada nivel es igual a las partes del área 4 sombreada del nivel anterior. =  =   m2. el proceso área del triángulo de Sierpinski de nivel 4? continúa de forma indefinida. Se construye de forma recursiva a partir de un triángulo equilátero. ¿cuál es el usado en el nivel 2. de nivel 1. El triángulo de Sierpinski de nivel 1 se obtiene al El de nivel 2 se obtiene repitiendo el proceso sobre los quitar el triángulo equilátero que resulta de unir los tres triángulos que forman el triángulo de Sierpinski puntos medios de cada lado del triángulo inicial. De hecho. 4    4     3 El área sombreada del nivel 3 es   3 . ❱ RESOLUCIÓN 3 Como podemos observar.   =   =   m2.  . El de nivel 3 resulta de aplicar el mismo procedimiento Si el área del triángulo inicial es de 1 m2.   =  =   m2. 4       4       El área sombreada del nivel 4 es   . En consecuencia: El área sombreada del nivel 1 es  3  m2. a. su puntaje se duplica. 4 b. 2 años c.      21   70  3 27  1  15  b. 10 galones c. Alicia empezó con 1 punto. ¿Cuántos 4 galones de gasolina empleará durante 400 horas? a. Lucía tenía 64 puntos.    14   210  3 6 Una máquina gasta   de galón de gasolina por cada 30 horas de funcionamiento. 11 galones d. 4 años b. su puntaje disminuye hasta la mitad de lo que tenía antes. 20 galones 10 . ¿cuántos artículos le quedan luego de dos semanas? b.  15  c. en el que cada participante empieza con cierta cantidad de puntos.   d. en cambio. jugó 5 veces y perdió las 5 veces. 15 galones b. así que cada semana vende la mitad del stock . pero no repone ningún artículo. 3 Una tienda está liquidando sus productos por cambio de domicilio. Ficha 11 Matemática » PRACTICAMOS 1 Una población de 100 000 insectos disminuye por acción de un depredador natural con un factor de 3 decrecimiento de   por cada año. 8 3 3 3  1  3  5 5 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a   ⋅  ⋅  3  10  7 3 3 3   a. ¿Cuántas semanas transcurren hasta agotar el stock? −1 −1 −1 1 1 1 4 Hallar la mitad de   +   −   2 8 4 a. ¿Cuántos puntos obtuvo Alicia? ¿Con cuántos puntos se quedó Lucía luego de las 5 jugadas? Expresa cada resultado como una sola potencia. jugó 6 veces y ganó las 6 veces. 3 c. si pierde. Si en un principio tenía 1024 artículos. Cada vez que el jugador gana. ¿En cuánto tiempo quedará menos de la cuarta parte? 4 a. 3 años d. 6 d. 5 años 2 Alicia y Lucia participan de un juego. ¿Cuántos virus serían necesarios para conseguir el peso de una ballena? 11 Observa la tabla. 430 b. 410 c. 7x1024 10 El ser vivo más pequeño es un virus que pesa más o menos 10-18 g. 70 kg. 7x10 -24 d. ¿Cuál es la potencia relacionada con el problema? ¿Cuál es el valor de la longitud de la cinta al término del cuarto doblez? 9 La masa de un virus es 10-21 kg. el más grande es la ballena azul. ¿Cuál es la relación entre la masa del hombre y la masa del virus? a. 17 x 10-22 c. a. 440 12 Una población de 810 000 insectos disminuye cada año por acción de un depredador natural. Para guardarla en una caja que mide 2 cm x 10 cm. 7 x1022 b. 30 vueltas b. y la de un hombre. que pesa aproximadamente 138 toneladas. Completa la siguiente tabla y luego responde las preguntas. 20 vueltas d. Ficha 11 Matemática 1 7 Una rueda avanza de metro al dar una vuelta. debe ser doblada por la mitad en forma sucesiva 4 veces. Años transcurridos Factor de decrecimiento Tamaño de la población 0 0 2 2 0     x 810 000 = 810 000 3 3 1 1 2 1 2     x 810 000 = 540 000 3 3 2 3 4 11 . 40 vueltas 8 Una cinta mide 1. ¿Cuántas vueltas debe dar para avanzar 10 metros? 4 a. 10 vueltas c. 420 d.6 cm de ancho y 128 cm de longitud. −5 −6  1 −1  1 −2  1 −3  1 −4  1  1             4 4 4 4 4 4 4 16 64 256 1024 4096 Usa la tabla para expresar el valor 256 x 4096 como potencia de 4. 13 Juan Cristóbal tiene un terreno de forma cuadrada de 450 m de lado. 36. 75 topos b. además de los útiles de labranza. ¿Después de cuantos años se extinguirá este tipo de insectos? Topo o tupu En el Imperio incaico todas las tierras pertenecían al Sol. sino del Estado incaico. 51. El campesino tenía como propios la casa. ¿Cuántos topos comprende este terreno? a. Estas eran distribuidas de forma que cada habitante contaba con una parcela de tierra fecunda para trabajar. ya que no eran posesión de ellos. 135 m d.pe/2010/05/tyema-8-economia-inca. ¿Cuánto mide. por ello.74 m 15 El vecino de Juan tiene un terreno cuadrado de 200 m de lado. el establo. Ficha 11 Matemática a. al inca y al Estado. 45 topos c. A partir de esta información. los pequeños animales domésticos (perros. ¿En qué año la población es de 756 000 insectos? b. 1300 m c. ¿Cuántos insectos han disminuido entre el tercer y el cuarto año? c. el lado del terreno que ha recibido su hija? a. mientras que las mujeres recibían tan solo medio topo.67 acres) al nacer. A cada persona se le daba tierra para que pudiera alimentar bien a su familia. 0. Los varones recibían un topo o tupu (2700 m². cuando una persona moría.27 Ha. (Fuente: http://historiaenaccion3052. cobayos. ¿cuánto medirá el lado del terreno? 12 .96 m b.blogspot. No podían venderlos ni heredarlos. sus tierras eran destinadas a un nuevo habitante. 2 aproximadamente. de modo que el espacio comprende 25 topos. 55 topos d.html). el cual es de forma cuadrada. 14 y 15. 0. 6 topos 14 Juan hereda a su hija 1 topo de su terreno. responde las preguntas 13. Si él amplía los lados (pero sin que el lugar pierda la forma). Esta porción asignada de tierra fue denominada topo. patos y gallinas sin cola) y el granero. avala una relación comercial. obras públi- cas y apoyo a los más necesitados. seguridad. el Estado puede obtener los recursos para poder brindar edu- cación. recibieron el comprobante de venta que se observa en la imagen. justicia. Es importante pedir o emitir el comproban- te de pago con el fin de evitar la evasión de impuestos. entre otros Comprobantes de pago [ilustración]. Luego de pagar esa compra.wordpress. (2010). beneficios.› Ficha 12 Matemática Los porcentajes y las compras El comprobante de pago es un documento que acredita la transferencia de bienes. de esta manera.49 en porcentaje con respecto al subtotal? 13 . ¿Cuánto es 6.com/2013/09/29/ comprobantes-de-pago/> Responde las siguientes preguntas: 1 ¿Por qué es importante pedir el comprobante de pago al efectuar una compra? 2 ¿Qué es el IGV? 3 ¿Cuál es el porcentaje que corresponde al IGV? 4 María y su mamá fueron a comprar aceite Primor y aceite de oliva. a. salud. Se usan varios tipos de comprobantes de pago: la factura. Recuperado de <https://doloresojeda19. según el comprobante? b. el recibo por honorarios. ¿Cuánto es el IGV que se aplica. etc. la boleta de venta. la entrega en uso o la prestación de servicios. además. es importante entender lo siguiente: ¿Qué sabemos sobre porcentaje? Porcentaje o tanto por ciento representa la razón que indica el número de unidades que se toma por cada 100 partes. 40 15 El 100 % El 40 % = 100 El 15 % = 100 1 1 1 15 40 100 100 100 Observemos un ejemplo: Un presupuesto familiar de S/ 300 tiene los siguientes porcentajes: Porcentaje Fracción El porcentaje de S/ 300 es: Presupuesto familiar 5% 5 5 × 300 = 15 5% 5% 100 100 5 10 % 5% 5 × 300 = 15 100 100 15 % 40 % 10 10 % 10 × 300 = 30 25 % 100 100 15 15 Ropa Alimentación 15 % × 300 = 45 100 100 Vivienda Salud 40 40 Movilidad Otros 40 % × 300 = 120 100 100 25 25 25 % × 300 = 75 100 100 14 . Para ello. Ficha 12 Matemática » APRENDEMOS Respecto al problema anterior. debemos saber a cuánto equivale el 18 % que corresponde al IGV (el cual se aplica a cada compra de un producto). 125 Como porcentaje: 0.125 x 100 = 12. por tanto: Si a una cantidad le restamos el 15 %. De esta manera.5 % 8 Un cuarto 1 Como fracción: 4 Como decimal: 0. nos queda el 85 % de la cantidad.5 % A% (100 . Si a una cantidad le sumamos el 20 % de sí misma. Ficha 12 Matemática El mismo valor se puede expresar de la siguiente manera: Un octavo 1 Como fracción: 8 =1 Como decimal: 0.25 Como porcentaje: 0. Importante: los descuentos sucesivos de 20 % y 10 % no significan un descuento único de 30 %. ¿A qué llamamos descuentos sucesivos? Son descuentos que se aplican. entonces tendremos el 120 % de la cantidad.25 x 100 = 25 % IMPORTANTE • Toda cantidad representa el 100 %. la cantidad que resulta es considerada el nuevo 100 % hasta la aplicación del siguiente descuento.A) % A% (100 + A) % Explica con tus palabras cómo completó el cuadro. Si pierdo Queda Si gano Resulta 15 % 85 % 20 % 120 % 27 % 73 % 10 % 110 % 10 % 90 % 12. 15 . Observemos el siguiente ejemplo: En la clase de Matemática Juanito ha completado correctamente el cuadro sobre los porcentajes. uno a continuación del otro.5 % 112. ¿A qué llamamos aumentos sucesivos? Son los incrementos que se producen uno a continuación del otro. El precio final es 240 – 24 = S/. 240. 20 % de 300 = 60 10 % de 240 = 24 El nuevo precio es 300 – 60 = S/. ¿cuál será su nuevo precio? Resolución Primer descuento Segundo descuento El precio inicial es S/. 20 25 % de 1152 = × 1152 = 288 20 % de 960 = × 960 = 192 100 100 El nuevo precio es 960 + 192 = S/. 1152 El precio final es 1152 + 288 = S/. Ejemplo: Si el precio de una lavadora es de 960 soles y se le asigna dos aumentos sucesivos de 20 % y 25 %. de manera que el nuevo 100 % es la cantidad que va resultando. Importante: los aumentos sucesivos de 20 % y 25 % no significan un aumento único de 45 %. 216. 300. Ficha 12 Matemática Ejemplo: Si se aplican dos descuentos sucesivos de 20 % y 10 % a una tablet que cuesta 300 soles. 960. 1 440. ¿cuál será su nuevo precio? Resolución Primer aumento Segundo aumento 25 El precio inicial es S/. Observación AUMENTO ÚNICO  A⋅ B  AU =  A + B + %  100  Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos incrementos sucesivos de 15 % y 40 %? Resolución:  15 ⋅ 40  AU =  15 + 40 +  % = 61%  100  DESCUENTO ÚNICO  A⋅ B  DU =  A + B − %  100  Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos de 10 % y 30 %? Resolución:  10 ⋅ 30  DU =  10 + 30 −  % = 37%  100  16 . Ficha 12 Matemática » ANALIZAMOS 1 Completa el siguiente cuadro para conocer los resultados de una encuesta realizada a 600 personas sobre los medios de transporte que utilizan. ¿cuánto es el importe que se ha pagado por este impuesto? 17 . ¿cuál será su nuevo precio? ❱ Resolución ❱ Primer aumento ❱ Segundo aumento Precio inicial 4 Si se compra un equipo de sonido a S/. Porcentaje Fracción El porcentaje de S/600 es: Medios de transporte 5% 5 5 100 × 600 = 30 100 45 40 % 45 % 45 % × 600 = 100 40 10 % 40 % × 600 = 100 5% 10 Automóvil Moto Camión Bicicleta 10 % × 600 = 100 2 Un microondas cuesta 1300 soles. ¿cuál será su nuevo precio? ❱ Resolución ❱ Primer descuento ❱ Segundo descuento Precio inicial 3 Si el precio de una moto es de 4800 soles y se le aplican dos aumentos sucesivos de 20 % y 15 %. 1500. precio que incluye el IGV. Si se le aplican dos descuentos sucesivos de 30 % y 10 %. 200 c. a. ¿Cuánto dinero tiene Gabriela? a. S/.5 % d. S/. 50 d. 12 es el 40 % de… ( ) 210 2 María dice que si vendiera su pulsera a 40 % menos de su valor. El 20 % de 420 ( ) 900 b. 20 b. S/. S/. ¿A qué aumento único equivalen estos dos aumentos sucesivos? a. 35. Para adquirirla. El 30 % de 700 ( ) 45 d. 12. Si después de dos horas aún quedan 116. 100 b. 30 c. 27. esta costaría S/. El 25 % del 30 % de 600 ( ) 84 e. El 25 % de 3600 ( ) 30 c.7 % c. a ella le falta el 30 % del dinero que tiene. 44 % d.5 % 5 Debido a la demanda de vuelos. 4. 54 % 18 . la aerolínea Seguros y Rápidos incrementó el costo de sus pasajes de manera sucesiva en 10 % y 40 %. 18. S/. S/. 300 d. 400 4 En la panadería Luchita se han preparado 160 galletitas para ser vendidas. S/. 80 3 Gabriela quiere comprarse un vestido que cuesta S/. 260. ¿Cuál es el precio real de la pulsera? a.2 % b. S/. 12 % b. ¿en qué porcentaje disminuyó dicha cantidad? a. 30 % c. Ficha 12 Matemática » PRACTICAMOS 1 Relaciona. S/. 300 % d. 1800 19 . $ 23 600 d. Si se aumenta el radio del círculo en 100 %. Si después de un año su precio se reduce en 20 % y al año siguiente en 10 %. 9000 c. S/. $ 15 000 d. $ 17 000 c. 400 % 9 En una tienda de ropa de moda los precios de las prendas de vestir de algunas marcas tienen un descuento solo por hoy. $ 18 000 b. ¿Cuál será el precio final en ambos casos? Precio Descuento Precio Aumento para Precio Marcas normal por hoy día final mañana final Tyfy S/ 30 10 % 3% Silve S/ 40 5% 2% Genuino S/ 35 10 % 3% Peruano S/ 50 15 % 5% Elegante S/ 45 20 % 4% Moda S/ 20 12 % 2% 10 Joaquín quiere comprar una moto que cuesta S/ 11 900. si el automóvil recibe aumentos sucesivos de 20 % y 15 % sobre su precio original. precio que incluye el 18 % del IGV. $ 14 400 c. ¿qué tanto por ciento se incrementaría el área? a. 9500 d. ¿cuál será su nuevo precio? a. 100 % b. S/. 8900 b. 200 % c. ¿cuál será su nuevo valor? a. $ 16 500 7 De acuerdo con el problema anterior. $ 27 600 8 La Municipalidad de San Martín de Porres decidió construir un parque que tiene forma circular. Ficha 12 Matemática 6 Un automóvil cuesta 20 000 dólares. pero mañana se incrementarán. $ 12 000 b. S/. ¿Cuánto es el costo real de la moto? Explica por qué razón. a. 24 m c. Ella recorta el 10 % del ancho y 20% del largo. 654 20 . 400 c. ¿cuánto dinero habría ganado en intereses durante el primer año? a. 3. 25 % 13 Ayer.3 % b.5 % de intereses en un año. S/. S/. 435 c. 706 12 El arroz en el mercado ha bajado 20 %. Ficha 12 Matemática 11 Una colección de cuentos de Julio Cortázar cuesta S/. 100 b. ¿cuánto será su valor original? a. S/. 5000. el costo de un Smart TV fue de S/ 3000.2 % d. 28 m 15 Una entidad financiera ofrece a sus clientes 6. S/. Si el señor Gómez invierte S/. S/. 3. S/. 600 d. 4. 2. 22 % d. 13 % c. 12 % b. 833.1 % 14 Anita tiene una tela de forma rectangular. pero para el próximo mes se prevé un aumento de 10 %. Si en el precio está incluido el IGV. 20 m b. ¿cuál fue la longitud del largo antes de ser cortada? a. pero hoy su precio es de S/ 2901. S/. ¿Cuánto variará el precio con respecto al valor inicial? a. 325 b.3 % c. S/. La tela ahora tiene 36 m2 de área. 25 m d. Si antes de cortarla medía 2 m de ancho. 256 d. ¿Cuánto es el porcentaje de diferencia entre ambas cantidades? a. en 50 viviendas. ¿en cuántas viviendas instalará gas natural? 21 . en 102 viviendas.› Ficha 13 Matemática Economizando con el gas natural Cada vez es más la cantidad de peruanos que empiezan a disfrutar las ventajas de contar con gas natural (GN) en sus hogares. Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N. La compañía encargada tiene un plan de expansión para el 2016 que consiste en am- pliar la cobertura a 25 distritos de Lima.° de viviendas con gas 2 Encuentra un patrón para averiguar la cantidad de viviendas que ya cuentan con gas natural y su relación con los días transcurridos. en 76 viviendas. Responde las siguientes preguntas: 1 Anota en el siguiente cuadro la cantidad de viviendas en las que se instaló gas natural desde el primer hasta el décimo día. el segundo día. el tercer día. y así sucesivamente. Por ello. el primer día de noviembre empezaron las instalaciones en 24 viviendas. 3 ¿Cuántas viviendas ya tienen gas natural desde el 1 hasta el 25 de noviembre? 4 Si este año la empresa trabajará hasta el 20 de diciembre. el cuarto día. . 37. También es necesario conocer las progresiones aritméticas Una sucesión de números es una progresión aritmética cuando cada término se obtiene al sumar al anterior un número fijo. llamado diferencia de la progresión. la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. a5. 47. 34. a2.… Fórmula para hallar el n-ésimo término. Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………………… + 496 + 497 + 498 + 499 + 500 501 501 501 501 501 22 . 38.5 a8 = 42 + 7(. En los siguientes ejemplos deduciremos el término n-ésimo de una progresión aritmética. siempre dan el mismo resultado. basta con observar en un ejemplo que las sumas de los términos.: a1.: 42. primero + último.5) = 42 – 35 = 7 Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética Para obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. Por tanto. segundo + penúltimo. Resolución: a1 = 42 y d = . 42.A. El n-ésimo término de una progresión es la regla que determina cómo se calculan los términos de la progresión. 42. an d d d d a1 = a1 Ejemplo 1: a2 = a1 + d Halla el décimo término de la siguiente progresión aritmética: 26.. …. A. 30. en una progresión aritmética. Sea la P. así como la suma de los primeros n números en progresión aritmética.… a3 = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a1 + d + d + d = a1 + 3d Resolución: a5 = a1 + d + d + d + d = a1 + 4d a1 = 26 y d = 4 A10 = a1 + 9 · d = 26 + 9(4) = 26 + 36 = 62 Ejemplo 2: an = a1 + (n . a4. Ficha 13 Matemática » APRENDEMOS Hallemos el patrón de la secuencia de datos que se aplica en la situación planteada en la lectura “Economizando con el gas natural” para luego deducir las fórmulas y calcular el n-ésimo término. a3.1)d Halla el octavo término de la siguiente P. Ficha 13 Matemática Como cada par de números suma 501 y hay 250 parejas (la mitad de los términos que se suman). la suma total es 501 · 250 = 125 250. calculamos la suma del ejemplo anterior. ¿Cuántos bloques de cemento serán necesarios para construir una escalera de 240 escalones? ❱ RESOLUCIÓN Para 1 escalón: 4 Para 2 escalones: Para 3 escalones: Para 4 escalones: Notamos que: a1 = y d= Calculamos a240 : a240 = 4 + 239( ) a240 = Respuesta: 23 . La fórmula general para obtener la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es la siguiente: a +a  Sn =  1 n  . como se muestra en la ilustración.n  2  Ahora. pero utilizando la fórmula:  1 + 500  S500 =   ⋅ 500 = 125 250  2  » ANALIZAMOS 1 El alcalde de Lima va a construir escaleras con bloques de cemento. …… 8.a fila. Calculamos el total de asientos en la zona vip. la segunda con 22. …………… a40 a40 = 20 + 39( ___ ) = ___  20 +  S 40 =   ⋅ 40 =  2  Respuesta: 24 . …………… a12 a12 = ___+(____)(___)= _____  +  S12 =  ⋅ =  2  Respuesta: d. las siguientes 12 filas. y así sucesivamente. Ficha 13 Matemática 2 Un anfiteatro posee las características de la figura inferior. 21. Sus 40 filas están distribuidas de la siguiente manera: las primeras 8 filas conforman la zona vip.……… 40. ___. Organizamos los datos. ¿Cuántos asientos hay en la zona vip y cuántos en la zona preferencial? PREFENCIAL b.a fila. ¿Cuál es la capacidad total del anfiteatro? VIP ESCENARIO ❱ RESOLUCIÓN a. 20. la zona general. Calculamos el total de asientos en la zona preferencial. 24. 24. Si la primera fila cuenta con 20 asientos. ………… a8 a8 = 20 + 7( )=  20 +  S8 =  ⋅8 =  2  Respuesta: c. 9. ____.a fila. 20. la tercera con 24.a fila. Calculamos el total de asientos del anfiteatro. 22. ………20. ____.a fila Zona Zona Zona b. 22. 1. 2.a fila. la zona preferencial. y las últimas 20 filas.a fila. entonces: GENERAL a. a10 = décimo vendedor. 12 metros. a9 = noveno vendedor.° segundo el ciclista recorre 3 metros por cada segundo que pasa. En el primer segundo recorre 3 metros. Ordenamos los datos. ❱ RESOLUCIÓN a. En el décimo segundo habrá recorrido la siguiente distancia: a10 = 3 + 9( )= metros. para lo cual dispone de 46 000 soles. 9 metros. S10 = a +a  S10 =  1 10  × 10 =  2   a + 1000  = 1  × 10  2  = a1 + 1000 a1 = b. ❱ RESOLUCIÓN Según los datos. 3. Encuentra el bono de cada vendedor premiado. 3+  Distancia total recorrida: S10 =   ⋅ 10 =  2  Respuesta: 4 Una empresa premia con bonos a sus diez mejores vendedores. en el tercero. entonces la progresión quedaría así: 1.° segundo: 9 metros. Luego: a10 = 1000. encuentra la distancia total recorrida. Ficha 13 Matemática 3 Un ciclista baja por una pendiente con su bicicleta. a8 = octavo vendedor. y así sucesivamente.… a1 = primer vendedor. Calculamos d usando la fórmula: a10 = a1 + 9 · d = + 9d = 9d d= 25 . 6 metros. El décimo vendedor de la lista recibirá 1 000 soles y la diferencia en dinero de bonos entre los vendedores sucesivamente clasificados será constante. después del 2. Si llega hasta la parte baja de la pendiente en 10 segundos.° segundo: 12 metros. en el cuarto.° segundo: 3 metros. en el segundo. 4. y así sucesivamente.° segundo: 6 metros. 2. ¿Cuál será el valor de x? 27 x 26 . y en cada una de las semanas siguientes. y así sucesivamente. Finalmente: Vendedor 10 = 1000 soles Vendedor 9 = a1 + d = 8200 + = Vendedor 8 = a1 + 2d = 8200 + = Vendedor 7 = a1 + = 8200 + = Vendedor 6 = a1 + = 8200 + = Vendedor 5 = a1 + = 8200 + = Vendedor 4 = a1 + = 8200 + = Vendedor 3 = a1 + = 8200 + = Vendedor 2 = a1 + = 8200 + = Vendedor 1 = 8200 » PRACTICAMOS 1 Un objeto cae de un globo aerostático que se encuentra a una altura de 2304 metros. de cada columna y de las dos diagonales formen progresiones 16 aritméticas. ¿a cuánto ascenderá el interés por el préstamo? 21 4 Completa los cuadrados vacíos de la tabla. además. 112 metros en el cuarto. ¿a los cuántos segundos llegará a tierra? 2 Las siguientes figuras han sido construidas con palitos de fósforo: ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para formar una figura con 24 hexágonos? 3 Guillermo pide prestado 1500 soles a su amigo José y acepta la forma de pago. sabemos que se desplaza16 metros en el primer segundo. Si se desprecia la resistencia del aire y. Ficha 13 Matemática c. Si el trato es que la deuda se cancele en 30 semanas bajo esta modalidad. 4 soles más que en la semana anterior. 48 metros en el siguiente segundo. Esta consiste en entregarle 5 soles durante la primera semana. de manera que los números de cada fila. 80 metros en el tercer segundo. 45 mg c. 15.5 km su recorrido cada día. 16. 888 ladrillos c.… an = 2n + 7 7. Ley de formación Desarrollo de una P. 12 mg 7 Con el fin de prepararse para una carrera. 870 mg d. ¿Cuántos miligramos debe tomar el enfermo durante todo el tratamiento? a. 9 días c. A 15.75 m de dicho lugar.… an = 8 – 2n 11. de 46. 13. 10 días 8 Una ONG se dedica a atender problemas de salud de personas que se encuentran en la pobreza. A 14. 60 mg b. y así sucesivamente hasta llegar a la capa superior con 24 ladrillos. 14 capas de ladrillos b. 17. Si todos los meses se incorporan 5 personas. la tercera. A 5. 518 ladrillos d. 19. la segunda capa se compone de 48.75 m d. 130 voluntarios c. mientras que la octava fila se encuentra a 9.5 m. 581 ladrillos 27 . 5 días d. 23. ¿Cuántos días tiene que entrenar para llegar a un recorrido de 15 km? a. … 6 La dosis de medicamento de un enfermo es de 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes días. 270 voluntarios d. 11. El tratamiento durará 12 días. 4. A 17 m b. un deportista comienza corriendo 3 km y aumenta 1. y al final del primer mes hay 125 voluntarios ¿cuántas trabajarán en la ONG al cabo de 2 años y medio? a. an = 3n + 4 9. ¿A qué distancia del escenario estará la fila 16 si la distancia entre fila y fila es la misma? a. 15 días b. de manera que forma una base con 50 de ellos.… an = 4n + 7 6. 10. 150 voluntarios b. 2. A.25 m 10 Un albañil apila ladrillos. 15. 13. Ficha 13 Matemática 5 Relaciona mediante flechas la ley de formación que corresponde al desarrollo de una progresión aritmética. ¿Cuántos ladrillos en total apilará el albañil? a. 27.75 m c. 145 voluntarios 9 En un teatro la primera fila dista del escenario en 4. Empieza el 1 de noviembre resolviendo un problema y cada día resuelve dos problemas más que el día anterior. la ley de formación es an = 3n+ 13. S/. 7. Para la siguiente P.3n describe el desarrollo de una P.: 16. FVF b.… para todo n mayor o igual a 1. 10. El nóveno término de la progresión aritmética es 84. indica cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. III y IV 14 El alquiler de una cuatrimoto durante la primera hora cuesta S/ 10 y S/ 6 más cada nueva hora. II y IV b. En ella. 5.11. an = 19 . ( ) III. III. El primer término de la progresión aritmética es 12. 200 problemas 28 . S/. En enero mete 30 soles en su alcancía y cada mes introduce la misma cantidad del mes anterior más 4 soles. a. para todo n entero mayor o igual a 1. I. 13. La suma de los nueve primeros términos de la progresón aritmética es igual a 468. II. FFF d. I. VVV c. 72 b. ¿Cuántos problemas matemáticos resolverá en total? a. S/. La suma del primer término más el tercero es igual a 56. ( ) a. 76 c. n es mayor o igual a 1.: 16. S/. III y IV d. 408 b. 13. S/. 82 d. II y III c. 624 d. …. S/. 8. FVV 12 A inicios del año Juan decide ahorrar para comprarse una consola de videojuegos.… . ¿Cuánto se debe pagar si el alquiler fue por 12 horas? a. S/. 360 13 La regla de formación de una progresión aritmética es la siguiente: an = 12 + 8n. 192 15 Un estudiante de segundo grado de secundaria se propone resolver los problemas de su libro de matemática durante quince días consecutivos. II. 10. 29 problemas c. 30 problemas d. ( ) II. La ley de formación an = 3n – 1 describe el siguiente desarrollo: 2. 364 c. A partir de esta progresión aritmética. Ficha 13 Matemática 11 Escribe V en la proposición verdadera y F en la falsa. A. IV.A. S/. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado al finalizar el año? a. 225 problemas b. 7. distancia (m) tiempo (s) 29 . 3 ¿En cuánto tiempo terminará cada uno la carrera? 4 Grafica el recorrido de los dos amigos en un diagrama cartesiano e identifica la función lineal y la función afín.› Ficha 14 Matemática Carrera entre amigos 10 m 100 m Mauricio le propone a su amigo Héctor hacer una carrera de 100 metros. además. estas velocidades son constantes en todo el recorrido. Si Héctor recorre 4 metros por cada segundo y Mauricio 6 metros en el mismo tiempo. le da a su amigo una ventaja de 10 metros (para calcular las medidas de las distancias. ellos aprovechan que en la pista atlética de su colegio las distancias están indicadas). Como Mauricio es un atleta. entonces: 1 ¿En cuánto tiempo alcanzará Mauricio a su amigo Héctor? 2 Establece la expresión matemática que representa la distancia que recorre cada uno de ellos en un determinado tiempo e identifica la función lineal y la función afín. ❱ El conjunto de valores que toma y se llama conjunto imagen o rango. 0). Es decir. pretendemos que el estudiante modele la situación dada y diferencie una función lineal de una función lineal afín. ❱ b es la ordenada en el origen. de la recta respecto al eje X. También es necesario conocer las funciones y ecuaciones lineales. que se dé cuenta de la necesidad de las ecuaciones para responder algunas interrogantes. Función lineal Función afín f (x) = mx (Notación de función) f (x) = mx + b (Notación de función) y = mx (Notación de ecuación) y = mx + b (Notación de ecuación) ❱ Su gráfica es una recta que pasa por el ❱ Su gráfica es una recta que no pasa por el origen origen de coordenadas (0. ❱ Su gráfico es el siguiente: ❱ Su gráfico es el siguiente: Y Y b mx+ x x) = m f( = x) f( b X X 30 . la recta corta al eje de ordenadas en el punto (0. b). Ficha 14 Matemática 5 ¿Durante cuánto tiempo Mauricio correrá detrás de su amigo Héctor si tomamos el tiempo a partir de la ventaja de 10 metros que lleva Héctor? 6 ¿Durante cuánto tiempo Mauricio irá delante de su amigo Héctor si tomamos el tiempo a partir de la ventaja de 10 metros que lleva Héctor? 7 ¿En qué tiempo Mauricio perderá por 3 metros si tomamos el tiempo a partir de la ventaja de 10 metros que lleva Héctor? 8 ¿En qué tiempo Mauricio irá ganando por ocho metros si tomamos el tiempo a partir de la ventaja de diez metros que lleva Héctor? » APRENDEMOS Respecto a la situación planteada en “Carrera entre amigos”. de coordenadas. ❱ El conjunto de valores que toma x se llama dominio. Asimismo. ❱ m es la pendiente de la recta e indica la ❱ m es la pendiente de la recta e indica la inclinación inclinación de la recta respecto al eje X. Ejemplos: a. además. etc. este punto se encuentra sobre el eje Y. 2 y= x- y= X X -2 -2 1 2 3 = = = . lo cual nos indica que cuando la abscisa aumenta 1 unidad. La ordenada al origen es la distancia del origen al punto (0. Y Y 2 x. 31 .. y = x – 2 En este ejemplo la recta intersecta el eje de ordenada en -2 y su pendiente es 1. la ordenada aumenta 2 unidades. cuando la abscisa aumenta 2 unidades. es la intersección con la recta. la ordenada también aumenta 1 unidad.= 1 = m 1 2 3 Observamos que los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente. luego. y = mx + b m>0 m<0 m=0 Y Y Y X X X Función creciente Función decreciente Función constante Podemos distinguir que la pendiente indica el número de unidades que incrementa o disminuye y cuando x aumenta. Ficha 14 Matemática Continuemos analizando la pendiente de una recta.. b). luego. Ficha 14 Matemática b. Para graficar una función lineal. Además.. = −2 = m 1 2 3 Observamos que los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente. cuando la abscisa aumenta 2 unidades. como se aprecia en el siguiente ejemplo: Y y = x -2 2 x y x- Dom ( f ) = R y= 1 -1 Ran ( f ) = R (2. la ordenada disminuye 3 unidades.. etc.0) 2 0 (1. la cual nos indica que cuando la abscisa aumenta 1 unidad. la ordenada disminuye 4 unidades. Y Y 3 3 X X y= y= -2 x -2 x +3 +3 −2 −4 −6 = = = . empleando representaciones tabulares. y = – 2x + 3 En este ejemplo la recta intersecta el eje de ordenada en 3 y su pendiente es -2.-1) X 32 . podemos graficarla de otra forma. es suficiente conocer la ordenada en el origen y la pendiente. el costo inicial del automóvil fue de soles. ¿Cuál fue el costo inicial del automóvil? c. determina: a. d. el valor del sistema será nulo. c. pero hace 4 años su valor era de 45 000 soles. la letra t. ❱ RESOLUCIÓN a. ¿Cuál es el modelo matemático que expresa el valor del automóvil respecto al tiempo transcurrido? b. La depreciación del sistema por año es _________________ soles. considerándolo contablemente? Grafica en el plano cartesiano el modelo matemático encontrado.) 20 000 45 000 … Tiempo 8 7 6 5 4 … 0 4 Si al valor en soles del automóvil le asignamos la letra v. entonces el modelo matemático es: v = ___ · t + ___ . b. Ficha 14 Matemática » ANALIZAMOS 1 Un automóvil de 8 años de antigüedad tiene un valor actual de 20 000 soles. aproximadamente. Su gráfico es el siguiente: 33 . obtendremos: d. e. ¿Cuál será su valor después de 10 años de antigüedad? d. Según el modelo matemático. Si el valor del sistema varía de forma lineal con el tiempo. Si reemplazamos en el modelo matemático el valor de 10 en t. el tiempo aproximado será de _____ años. Para hallar el modelo matemático. y al tiempo. Hacemos v = 0 y obtenemos la ecuación: ________ + _________ = 0 t = _______ Luego. ¿Dentro de cuántos años. ¿Cuál es la depreciación del sistema por año? e. teniendo en cuenta que varía linealmente 25 000 Valor (S/. antes completaremos la siguiente tabla. Si 30 000 simboliza la ordenada en el origen y 20 la pendiente. Estima el número de neumáticos que se deben vender para que la compañía no pierda ni gane. en relación con los neumáticos vendidos anualmente.30 000. P(t) = ______ + _____ · t b. 3 La utilidad anual en soles de un almacén de neumáticos está representada por u y puede estimarse por medio de la función u(n) = 20n . entonces el gráfico será el siguiente: v Utilidad (miles de soles) 40 30 20 10 0 n 1 2 3 4 6 Número de neumáticos vendidos (miles) -10 -20 -30 34 . Comprendemos el problema. Estima el número de neumáticos vendidos. b. Ficha 14 Matemática 2 El gimnasio Power Gym cobra un derecho de inscripción de 260 soles y una mensualidad de 120 soles. El número de ______ vendidos representa la variable independiente. tienen instalaciones semejantes y las mismas máquinas. si la compañía tuvo una utilidad de 70 000 soles. Determinamos la función de lo que se paga en Power Gym en t meses. la cual ponemos en el eje horizontal. ____ + _____ t = _____ + ______ · t Luego: t = ________ meses. Igualamos ambas funciones para averiguar por cuántos meses se paga lo mismo en los dos gimnasios. c. P(t) = ______ + _____ · t c. Dibuja una gráfica de la utilidad. mientras que en el eje vertical ubicamos la _______ . Ambos gimnasios se ubican en la misma avenida. mientras que el gimnasio Gym Extreme cobra 140 soles por derecho de inscripción y 160 soles de mensualidad. en la que n es el número de neumáticos vendidos por año. que representa la variable dependiente. Determinamos la función de lo que se paga en Gym Extreme en t meses. a. ¿Por cuántos meses se paga la misma cantidad en ambos gimnasios? ❱ RESOLUCIÓN a. ❱ RESOLUCIÓN a. Los costos por unidad son de S/. En este caso reemplazamos u = 70 000 70 000 = ____n . a una velocidad promedio de 90 km/h. 100 000. 27. usando la pendiente y la ordenada en el origen. efectuamos lo siguiente: u = 0 0 = ____n ._______ n = ______ Respuesta: ______________________________ 4 Determina la función de cada gráfico. parte otro autobús. ¿Cuál es la función de la utilidad de la empresa y cuánta utilidad se obtuvo si la venta anual fue de 20 000 unidades? 3 Determina la función de cada gráfico usando la pendiente y la ordenada en el origen. también de la ciudad de Lima y con la misma dirección y destino que el anterior. Y Y Y X X X » PRACTICAMOS 1 Un autobús sale de la ciudad de Lima y se dirige a Huancayo a una velocidad promedio de 80 km/h. Los costos fijos anuales son de S/. 20 por materiales y S/._______ n = ______ Respuesta: ______________________________ c. Ficha 14 Matemática b. ¿En cuánto tiempo y a qué distancia de la ciudad de Lima alcanzará el segundo autobús al primero? 2 Una empresa vende un producto en S/. Y Y Y X X X 35 .50 por trabajo. 65 la unidad. Una hora después. Para estimar el número de neumáticos que se deben vender a fin de que la compañía no gane ni pierda. 1170 soles c. Y d. 28 clientes. ¿Cuál es el modelo matemático que representa dicha situación y cuántos chips de celular vendió si recibió ese día la suma de 43 soles? a. ¿Cuántos clientes necesita para no ganar ni perder dinero y cuánto ganaría si tuviera 74 clientes? a. ¿Cuál es la función que relaciona el perímetro con el lado del cuadrado? b. f (x) = 2x. Y X X X X 6 Jorge consigue un trabajo en telefonía móvil. concluye que sus ingresos mensuales son representados con la siguiente ecuación: y = 65x – 1700. 1170 soles d. 21 chips 7 Un técnico en computación pone un negocio de reparación de computadoras y asesoría en cómputo. f (x) = 15 + 2x. adicionalmente. f (x) = 15x + 2. 26 clientes. 1 170 soles b. Por día. 29 chips d. Y c. 8 chips b. Después de formular cálculos. a. Si el perímetro fue de 104 cm. 14 chips c. 48 clientes. Y b. en el que diariamente le pagan. Representa el gráfico de la función. Asimismo. 84 clientes. le dan 2 soles por cada chip de celular que vende. ¿cuánto aumentó cada lado del cuadrado original? c. Ficha 14 Matemática 4 Los lados de un cuadrado de 3 centímetros de longitud son aumentados en x centímetros. 1 5 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función afín: f (x) = x+3? 4 a. recibe 15 soles. f (x) = 15 + 2x. donde x es el número de clientes. 1170 soles 36 . estima que el costo mensual para mantener el negocio se describe con la siguiente ecuación: y = 20x + 460. 0267 m b. y = 200 + 11x. además. Durante su juventud son amamantados por un periodo de 15 meses. ¿cuál es el aumento diario de la longitud para un delfín joven? a. si la relación entre L y t es lineal. ¿Cuál es la expresión matemática que representa la relación del costo de la radio con el número de cuotas? ¿Cuánto debe pagarse en 12 cuotas? a. 200 al contado.5 m al nacer y pesa alrededor de 30 kg. Ficha 14 Matemática El delfín mular o pico de botella El delfín mular mide 1. y = 200 + 11x. 0. deberá pagarse un interés mensual fijo de S/ 11. 25 2 2 1 a. y = 11x.00276 m d. y = 200 + 11x. L = 1 ⋅ t + 3 c.00267 m c. L = 2 ⋅ t + 3 b. 200 soles c.7 m y pesan 375 kg. 8 Siendo L la longitud en metros. pero si se cancela en cuotas. 132 soles b. 0. 0. 211 soles 11 La renta de dos casas en un año es de S/ 7360.0276 m 10 El precio de una radio es de S/. ¿Cuál fue la renta mensual de cada casa si entre ellas hubo una diferencia de 120 soles. la casa con la renta más alta estuvo desocupada dos meses? a. 280 y 400 soles b. 332 soles d. 61 y 181 soles 37 . al final del cual miden 2. 380 y 500 soles d. expresa L en términos de t. 120 y 240 soles c. L = ⋅t + 25 2 25 2 2 3 25 2 9 De acuerdo con la información brindada acerca del delfín mular. y P el peso en kilogramos de un delfín mular de t meses. 0. L = ⋅t + d. es decir. 2500. Durante un día ingresaron 300 personas y pagaron en total S/. 267 500 d. ¿Cuántos niños y adultos ingresaron al parque? a. 102 500 b. dos personas participan en él. ¿cuál será la utilidad que resulte de vender 300 computadoras al final del mes? a. 7 partidos individuales y 6 partidos dobles d. Si la empresa vende cada computadora en S/. S/. 1500. 12 250. 190 adultos y 110 niños b. S/. S/. por lo que cuatro personas lo practican. agua y renta del local una cantidad mensual fija de S/. ¿Cuántos partidos individuales y dobles se están jugando? a. S/. 25 por niño. Y d. 6 partidos individuales y 7 partidos dobles 15 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función lineal afín y = −3x −2? a. Y b. 24 partidos individuales y 14 dobles b. Ficha 14 Matemática 12 Una empresa en la que se fabrican computadoras debe cancelar por concepto de luz. Por otra lado cada computadora que se produce genera un gasto de S/. Y X X X X 38 . 50 adultos y 25 niños d. 245 adultos y 490 niños 14 En un torneo deportivo 38 personas están jugando 13 partidos de tenis de mesa. 50 por adulto y S/. Mientras que algunos partidos son individuales. 75 200 13 La entrada para un parque de diversiones cuesta S/. otros son dobles. Y c. 110 adultos y 190 niños c. 72 500 c. 900 en materia prima y S/. 14 partidos inviduales y 24 dobles c. 350 en mano de obra. ¿Cuál será la medida del ancho del poncho. corresponde a las culturas nasca y wari. se desea realizar un diseño por el ancho de manera horizontal. según los historiadores. si se sabe que hay diez figuras de 4 cm de lado? 39 . que es la prenda anterior al poncho. El uncu. El diseño. pero sin olvidar los diseños que se encuentran en la vestimenta Responde las siguientes preguntas: 1 ¿En qué regiones se desarrollaron las culturas nazca y wari? 2 ¿Qué diseños tienen en común los ponchos actuales y los uncus? 3 ¿Cuántos lados tienen las figuras del uncu? 4 En un poncho. de modo que los lados de las figuras sean de la misma medida. se ha ido poco a poco modernizando hasta la actualidad. En la visita al Museo de Arte de Lima (MALI) observamos este uncu con diseños escalonados y lineales.› Ficha 15 Matemática Las figuras geométricas en nuestro uso cotidiano Los diseños de nuestras ropas y vestidos tienen en sus moldes figuras geométricas. que fue elaborado entre los años 500 y 700 de nuestra era. algo que viene desde nuestros antepasados. r s ¿Cuándo dos rectas son oblicuas? Cuando se interceptan y forman un ángulo diferente de 90°. Lado 5. 40 . Apotema: solo para polígonos regulares. Ángulo externo: es la porción de espacio que forma la Apotema prolongación de un lado con su lado consecutivo. el dodecágono (12 lados). Ficha 15 Matemática » APRENDEMOS Respecto a la situación planteada anteriormente. Clasificación Se clasifican según tres criterios: cantidad de lados. el decágono (10 lados). el octágono u octógono (8 lados). es la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado. Según su cantidad de lados. se brindan a continuación unos conceptos previos. el interior de un polígono es llamado área. Diagonal: es el segmento que une dos vértices no Ángulo Ángulo interno (ap) consecutivos. r s r ¿Cuándo dos rectas son paralelas? Cuando tienen la misma dirección. externo 6. el icoságono (20 lados). Todas las formas geométricas similares a las de la imagen son llamadas polígonos. pueden ser los siguientes: Triángulo (3 lados) Cuadrilátero (4 lados) Pentágono (5 lados) Así. se observa que los diseños son figuras geométricas con algunas similitudes y con ciertas diferencias. Ángulo interno: es la porción de espacio que forman dos lados consecutivos del polígono. Vértice: eselpuntodeinterseccióndedoslados. a. Sus elementos son los siguientes: 1. los cuales tienen muchas características. Lado: escadasegmentoquelimitaalpolígono. convexidad y medida de lados y ángulos. ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares? Paralelas Perpendiculares Cuando se interceptan y forman 90° entre ellas. el undecágono o endecágono (11 lados). como el hexágono (6 lados). el pentadecágono (15 lados). sucesivamente. el heptágono (7 lados). Diagonal 3. 4. el triacontágono (30 lados) y el tetracontágono (40 lados). es decir. 2. Para su mejor comprensión. Oblicuas ¿Qué es un polígono? Es una figura cerrada compuesta por una secuencia limitada Vértice de segmentos. el nonágono o eneágono (9 lados). cuando nunca se s interceptarán. Según las medidas de sus lados y ángulos. ❱ Cóncavo: Llamado también no convexo. ❱ Regulares: Cuando las medidas de sus lados y de sus ángulos son iguales. Para calcular el total de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo de n lados. Los polígonos que tienen lados iguales son llamados equiláteros (por ejemplo. Según su convexidad. sería n= 6: se podrán trazar tres diagonales desde un solo vértice. Esto quiere decir que para ser un polígono regular debe ser equilátero y equiángulo a la vez. 1. Si es un hexágono. esto es. Octágono regular Octágono irregular Propiedades de los polígonos Un polígono de n lados tiene igual cantidad de vértices. desde un vértice solo se podrá trazar una diagonal. el rombo). ¿Cómo se calcula el total de diagonales en un polígono convexo? Las diagonales trazadas desde un vértice de un polígono convexo de n lados están dadas por n–3. Ficha 15 Matemática b. de ángulos internos y de ángulos externos. pueden ser los siguientes: ❱ Convexo: Cuando todos sus ángulos internos son menores que 180°. ❱ Irregulares: Cuando un lado o uno de sus ángulos tiene diferente medida. y los que tienen ángulos de igual medida son llamados equiángulos (como el rectángulo). es cuando por lo menos un ángulo interno es mayor que 180°. Hexágono convexo Hexágono cóncavo Ángulo mayor a 180° c. tenemos lo siguiente: n = 4: D = ( 4 4 − 3) n = 6: D = ( 5 ( 5 − 3) 6 6 − 3) =2 n = 5: D= =5 =9 2 2 2 7 (7 − 3) n = 8: D = ( 8 8 − 3) n = 7: D = = 14 = 20 2 2 41 . si el polígono tiene cuatro lados. se usará la fórmula mostrada a continuación: n ( n − 3) D= 2 Al reemplazar en lá fórmula. pueden ser regulares e irregulares. Ficha 15 Matemática n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 D=2 D=5 D=9 D = 14 D = 20 2. ¿Cómo se cálcula la suma de ángulos internos de un polígono? La suma de ángulo interno de cualquier polígono se justifica por la descomposición de este polígono en triángulos. Se sabe que la suma de ángulos internos de un triángulo es 180°. Cuadrilátero (4 lados) Pentágono (5 lados) Hexágono (6 lados) Suman 180°(2) = 180°(4 – 2) Suman 180°(3) = 180°(5 – 2) Suman 180°(4) = 180°(6 – 2) Generalizando Si = 180°(n – 2) Para conocer la medida de cada ángulo interno, si el polígono es regular solo se dividirá entre el número total de ángulos; es decir, entre n. 180º (n–2) i= n Por ejemplo, si queremos saber cuál es la suma de todas las medidas de ángulos internos de un decágono y cuánto mide un solo ángulo interno, haremos lo siguiente: n = 10 Si = 180° (10 – 2) = 180° × (8) = 1440° Luego, para el caso de un decágono regular, si se desea saber la medida del ángulo interno, se divide entre 10. i = 1440°/10 = 144° 3. ¿Cómo se calcula la suma de ángulos externos de un polígono convexo? Como el ángulo interno y el ángulo externo son suplementarios (es decir, suman 180°), se efectúa como sigue: i +e=180° 180º (n–2) + e = 180º n 360º Por lo que la medida de un ángulo externo está dado por e= n Esto es, siempre y cuando el polígono sea regular. 42 Ficha 15 Matemática Por ejemplo, para calcular la medida de un ángulo externo o exterior de un decágono regular se realiza esta ecuación: n = 10 360° e= = 36° 10 Para el caso de la suma de los ángulos externos de cualquier polígono convexo, es así: Se = 360° 4. ¿Cómo se calcula la medida de un ángulo central? En un polígono regular, desde el centro se trazan segmentos hacia los vértices (estos segmentos son llamados radios, y cada ángulo que forman los radios se conoce como ángulo central). Al formarse tantos 45° ángulos centrales como lados tiene el polígono, cada ángulo central estará dado por 360º . n Por ejemplo, para calcular la medida del ángulo central de un octágono regular, si sabemos que en el octágono la cantidad de lados es ocho, entonces: 360º = 45° 8 Por tanto, el ángulo central de un octágono regular mide 45°. 5. ¿Cómo se calcula el perímetro de un polígono? El perímetro de un polígono regular es igual a la cantidad de lados Perímetro = n x lado por la longitud del lado. El perímetro de los polígonos irregulares es la suma de las medidas de todos los lados del polígono. 6. ¿Cómo se calcula el área de un polígono? El área de un polígono regular se halla aplicando la siguiente fórmula: perímetro × apotema Área = 2 APOTEMA El área de un polígono irregular se calcula dividiéndola en figuras LADO conocidas. » ANALIZAMOS 1 Observa las calles y responde. ❱ ¿Cuál es la medida del mayor ángulo entre la Av. La Historia y la Av. Perseverancia? ❱ ¿Cuál es la medida del menor ángulo que hay entre las avenidas Las Letras y Disciplina? ❱ Las avenidas Perseverancia y Disciplina representan a rectas . ❱ La Av. Perseverancia y la Av. Ciencias representan a rectas . ❱ La Av. Las Letras y la Av. Ciencias representan a rectas . 43 Ficha 15 Matemática 2 En la naturaleza tenemos a la Ipomoea o morning glory. Ese es el nombre que reciben cientos de plantas herbáceas trepadoras cuyas flores nacen y mueren cada día. ❱ La flor de esta planta tiene ______ lados y presenta la forma de un polígono _________________. ❱ Se observa que cada lado tiene la misma _____________, y también sus __________ internos, por lo que el polígono es ________________. 3 ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular en el que, desde un vértice, se pueden trazar tres diagonales? n – 3 = ____ ; de aquí, n = ______ . Reemplazando en la fórmula de ángulo interior, tenemos lo siguiente: 180° ( n − 2 ) 180° ( __ − 2 ) = = n __ 4 A continuación se muestra una sombrilla vista desde arriba, y se desea saber la medida de los ángulos de cada paño triangular. ❱ RESOLUCIÓN La figura es un , por lo que el valor de n es . Observamos que se divide en paños triangulares iguales, por lo que el ángulo central está dado por 360º = . Cada ángulo ___ interno está dado por 180º( __–2) = . Esta medida se divide entre ________ dos para obtener la otra medida del ángulo del triángulo, que es _______. Así, las medidas de los ángulos de cada paño son ______, _____ y ______. » PRACTICAMOS 1 Relaciona ambas columnas mediante flechas. Tiene once lados. Eneágono No tiene diagonales. Hexágono Su ángulo externo es el doble de su ángulo interno. Cuadrado Su ángulo central es recto. Endecágono Se puede dividir en nueve triángulos congruentes desde su centro. Triángulo 44 a. VVFV 45 . 4 ¿Cuál es la suma de ángulos internos del cuerpo de la guitarra que tiene forma de estrella? 5 Se tiene un cometa con el diseño que se muestra abajo. 75 cm c. El Jr. El menor ángulo formado por las avenidas Wilson y Nicolás de Piérola es 50°. ¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos del triángulo obtuso más pequeño? 6 Una porción de papel tiene forma de hexágono regular de 15 cm de lado. Cuadrilátero c. 45 cm 7 ¿Cuál es el polígono que tiene la misma cantidad de lados y de diagonales? a. Tacna son vías paralelas. 3 En la siguiente figura se puede observar una estrella de mar disecada. La Av. ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrilátero? a. Eneágono 8 Indica si es verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes afirmaciones: I. FFVV d. Tacna y la Av. si se sabe que cada cuadrícula es de 1 cm de lado. 65 cm d. Al cortarse por una de sus diagonales se obtienen dos pedazos en forma de cuadriláteros. Pentágono d. Ficha 15 Matemática 2 Calcula el área sombreada. 60 cm b. Las avenidas Wilson y Nicolás de Piérola son oblicuas. IV. VFFF b. 50º II. FFVF c. Cañete y la Av. III. ¿Cada punta de la estrella rozará la vitrina? Explica. Wilson son perpendiculares. la cual se desea poner en una vitrina circular del menor radio posible. Octágono b. ¿cuál es la medida del ángulo interior que forman dos lados consecutivos? a. 1731 cm2 b. 3462 cm2 46 . Si se sabe que tiene los lados iguales. Hexágono convexo c. 128. Calcula la medida de un ángulo central. 102. 252° d. Trapecio b. Hexágono regular b. 50° d. Heptágono cóncavo 11 ¿Cuál de los polígonos mencionados tiene lados paralelos y perpendiculares? a. 44° d.2 cm2 d. 30° b. 173. 144° b. Rombo d.1 cm2 c. Rectángulo 12 Se desea hacer una réplica de la ventana presentada. 20° d. ¿Qué medida tiene el menor ángulo formado entre el lado del decágono y la diagonal trazada? a. 36° 14 La cantidad total de diagonales de un polígono regular es igual al triple de la cantidad de vértices. 40° 15 Si un decágono regular tiene 15 cm de lado y la distancia del centro a uno de sus lados es 23. a. 40° c. 130° b. ¿cuál es la medida del ángulo obtuso que forman las avenidas Nicolás de Piérola y Wilson? a. Romboide c. 136° c. ¿cuál es el área del decágono? a.9° 13 Dentro del presente decágono regular se muestran ocho polígonos de diferente tamaño.08 cm.6° c. 140° 10 ¿Qué polígono representa los adoquines que se han puesto en un estacionamiento? a. 346. Ficha 15 Matemática 9 Del mapa anterior. 120° b. Hexágono cóncavo d. 10° c. Museo de sitio Ernst Middendorf O. Caballero Carmelo E. Boleterías I. Al ingresar.› Ficha 16 Matemática Mapas. Mesa de partes H. Sallqa Yachay Wasi B. les dieron un pequeño mapa de todo el parque.pe/patpal/pdf/mapa_del_parque_de_las_leyendas_2015.leyendas. Museo del Petróleo Q.pdf A. Mina modelo K. Auditorio Chabuca Granda L. Espejo de agua Responde las siguientes preguntas: 1 ¿Qué utilidad se le puede dar al mapa? 2 ¿Qué es un plano cartesiano? 3 ¿Qué es una escala? 4 ¿Qué indica el origen de coordenadas? 5 En el mapa que le entregaron a Antonio al ingresar al parque.gob. Felinario P. cada cuadrícula que se forma equivale a 20 m por lado. 20 cm 1 cm 20 cm 1 cm Recuperado de http://www. Auditorio central F. escalas y coordenadas Antonio y su familia fueron de paseo al Parque de las Leyendas. Acuario de peces M. Zona de juegos D. Garita de control J. Museo Kallinowsky N. ¿A qué distancia se encuentra el auditorio central de la entrada? 47 . Boletería de botes C. Ingreso y estacionamiento G. permiten que una persona se ubique en un territorio y pueda saber qué caminos son los mejores para llegar a un destino específico. Y ordenada 4 3 II cuadrante I cuadrante 2 A(3. Los mapas ayudan a medir superficies y distancias con gran exactitud. tal como un globo terráqueo. ¿Qué es un mapa? Es un dibujo o esquema que representa un territorio sobre una determinada superficie en dos dimensiones. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición de los puntos (que son expresados con letras mayúsculas del alfabeto). los x negativos y los y positivos. 48 . nuestro planeta puede ser dibujado en un plano (como el mapamundi). Para esto. la cual tradicionalmente es plana como un papel. por lo que sus medidas son proporcionales a una escala en particular. y). los cuales nos ayudarán a comprender mejor la situación. en el tercero ambos son negativos. lo que permite conocer su posición. en el segundo cuadrante. aunque también puede ser esférica. los cuales se representan por coordenadas o pares ordenados. Por ejemplo. así como también conocer un punto de referencia para calcular distancias y ubicarnos dentro de un plano en nuestra vida real. El plano cartesiano tiene cuatro cuadrantes. y en el cuarto cuadrante se ubican hallan los x positivos y los y negativos. reconozcamos algunos conceptos. llamado origen. En el primer cuadrante se ubican los x positivos y los y positivos. y la recta vertical (que es el eje Y) tiene el nombre de ordenada.2) 1 X abscisa -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 III cuadrante IV cuadrante -3 -4 ¿Qué es un punto de referencia? La idea que se tiene de punto de referencia está asociada con el lugar que ocupa un observador dentro de cierto espacio. ¿Qué es un plano cartesiano? El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares que se cortan en un punto. Ficha 16 Matemática » APRENDEMOS La situación planteada involucra interpretar la escala de un mapa mediante la proporcionalidad. Por ejemplo. El territorio representado en el mapa y el territorio real guardan una semejanza. La recta horizontal (que es el eje X) tiene el nombre de abscisa. un par ordenado está dado por P(x. como es imposible hacer mapas con las mismas dimensiones que la realidad. de forma numérica y de forma gráfica. Cada unidad de la escala gráfica equivale a determinada distancia del lugar real. Escala gráfica Es una línea recta dividida en unidades iguales (que pueden ser centímetros. Se expresa con un número o una fracción. Con la escala podemos saber cuánto se redujo la representación de un lugar para mostrarlo en un mapa. 1 2 km 1 cm Según esta escala. Por ejemplo. Escala numérica Indica la cantidad de veces que tendría que aumentar el mapa para que tuviese el tamaño real. La escala puede representarse de dos maneras. cada centímetro del mapa será equivalente a 1 km. y nos permite calcular las distancias verdaderas. y señala una reducción de la realidad de cien veces en el mapa. se utilizan las escalas. por ejemplo. 49 . la escala 1:100 se lee “uno a cien”. pulgadas u otra medida). que son una relación matemática entre la dimensión real y la representación en el mapa. Ficha 16 Matemática ¿Qué es una escala? Es la relación entre la realidad y un dibujo que la representa. se ubica a la Luna en un punto L y a la Tierra en un punto T. Para convertir a metros se divide entre _________ y se obtiene ____________. resulta _________ . será ______________ cm. Se desea realizar un dibujo con las distancias proporcionales. Para ello. Según el siguiente mapa. se dividirá entre ______ . sabiendo que la Luna se encuentra entre ambos? ❱ RESOLUCIÓN La escala es una proporción entre las distancias reales y las hechas en el dibujo. Ficha 16 Matemática » ANALIZAMOS 1 Se desea poner flores alrededor de toda la plaza de Armas de la ciudad del Cusco. separados por 1 mm. Se sabe que 1 m = _______cm. 1 cm en el mapa equivale a ____________ en la realidad. así. como 1 cm = _____ mm. Ese segmento mide _________. Entonces. ST = ________ cm. la escala es ____ : _________________. ¿A qué distancia en centímetros se colocará la Tierra del Sol (punto S). Entonces. por lo que: ST = Se eliminan las unidades de km y ST = _______mm. por lo que. por lo que 50 m = ________ cm. De tal modo. 2 La distancia que hay entre la Tierra y el Sol es de 149 600 000 km. lo que equivale a ________ en la realidad. ¿cuál es el perímetro de la plaza? ❱ RESOLUCIÓN En la parte inferior derecha del mapa se indica una escala. en la realidad. y la de la Tierra a la Luna es de 384 400 km. Midiendo el perímetro del parque en el mapa. 50 . las coordenadas para llegar al estadio serían (____. Que a cada cuadra le corresponda un número. Sinchi Roca. España con el Jr. Enrique espera a su primo Felipe.____). Si quiere conocer primero el estadio Mansiche. Si primero llega a la casa de su primo y toma como punto de referencia dicho lugar. que la catedral sea su punto de referencia u origen de coordenadas.____). y que su casa se ubique en el par ordenado (___. Felipe llama por teléfono a su primo. que viene desde Pucallpa y no conoce el lugar. debe seguir las coordenadas (____. Si Enrique vive en el cruce de la Av. Colón. ¿qué indicaciones le debe dar a su primo? ❱ RESOLUCIÓN Primero. en forma proporcional. 4 Sara debe realizar una exposición en el curso de Geopolítica. 51 . También le comenta que luego quiere conocer el estadio Mansiche. Ficha 16 Matemática 3 En la ciudad de Trujillo. El dibujo que usará se encuentra en una hoja de 20 cm x 15 cm en forma vertical.___). y en ella tiene que emplear un mapa. Luego debe mirar las proporciones tanto de la hoja donde se encuentra el dibujo como del pape- lógrafo. y lo tiene que dibujar en un papelógrafo de 100 cm x 70 cm. ¿Qué se recomendaría para que su dibujo sea semejante al original? ¿Cuál es la escala que debería utilizar? ¿Cuánto espacio le debe sobrar para el título? ❱ RESOLUCIÓN Se le recomendaría realizar cuadrículas en el dibujo y luego. en el papeló- grafo. le dice que se encuentra en la catedral de Trujillo y le pregunta hacia dónde debe ir para llegar a su casa. y muy cerca de la Av. Separadora Industrial con la Av. ¿en qué cuadrante se encuentra el parque industrial y cuál sería la coordenada del cruce de la Av. 8) b. 8) 2 Si los números correspondientes a un par ordenado son negativos. El Sol. I cuadrante – (5. 5) d. ¿en qué cuadrante del plano cartesiano se encuentran? 3 En un mapa a escala 1:60000. tendrá un espacio de 100 cm – ________ = ________cm para el título. 5) c. que sería 4. Ficha 16 Matemática = Y = 20 cm 15 cm De estos resultados. I cuadrante – (8. Si se toma como punto de referencia el cruce de la Av. la altura del dibujo será de 20 × _______ = ________. se escogerá convenientemente el menor número entero. provincia de Lima. la escala sería ___:___. » PRACTICAMOS 1 En el siguiente mapa se presenta un pequeño territorio del distrito de Villa El Salvador. ¿Cuál será la distancia en la realidad? 52 . Así. Entonces. Mariano Pastor Sevilla con la Av. II cuadrante – (8. José Carlos Mariátegui? a. Por lo tanto. la distancia entre dos pueblos es de 12 cm. II cuadrante – (5. 1:4 c. 12 cm 6 En un mapa de América del Sur construido a escala de 1:84000000. 1:100 9 Desde una vista aérea se toma una foto de las líneas de Nasca. a. Disminuye a su sexta parte. Disminuye a su tercera parte. si la distancia entre dos pueblos es de 3 km. 2. Disminuye a su veintisieteava parte. 1 km c.5 km d. el largo que la representa es de 12 cm. sabiendo que el largo del colibrí es de 260 m. y la mayor distancia de este a oeste corresponde a 100 mm.5 km b. 2 km 10 En un dibujo de escala 1:3. Disminuye a su novena parte. ¿en cuánto varía el área con respecto al original? a. 10 cm b. 8 cm d. 6 cm c. ¿Qué escala se ha empleado? 8 Determina la escala que se aplica cuando se hace una fotocopia reducida al 25 %. aproximadamente. ¿Cuántos kilómetros representan estas distancias? 7 Una célula humana mide cuatro millonésimas de metro de diámetro. c. la mayor distancia de norte a sur corresponde a dos puntos situados a 120 mm. 1:5 d. ¿cuál es la distancia más corta entre el mono y la plaza de Armas? a. Ficha 16 Matemática 4 De la pregunta anterior. 4 cm d. ¿a qué distancia se encontrarán en el mapa? a. 3 cm c. Haciendo el uso de una regla. 6 cm 5 Si en el plano de una habitación de 9 m de largo y 6 m de ancho. 1:25 b. 1. ¿cuánto medirá la representación del ancho? a. y en la pantalla de un microscopio electrónico se ve con un diámetro de 2 cm. d. 5 cm b. 53 . b. Ficha 16 Matemática 11 En el mapa del Perú durante el Virreinato. 1:1 000 000 c. 117 m2 15 Haciendo uso de una regla. 1:1 b. 1:200 d. 1:100 000 000 54 . ¿cuántas ciudades se muestran en el cuarto cuadrante? a. 98 m2 ama 5. ¿cuál es la escala utilizada en la siguiente imagen. 1:100 000 b. 136 m2 s s c. 1:2 c. 1:8 13 Haciendo uso de una regla. 1:250 14 Si la medida de la cama grande es de 2 m × 2 m. 1:4 d. 1:10 000 000 d. 5 d. 1:100 b. 77 m2 ama b. ¿cuál es el área de la casa? 3. ¿cuál es la escala que corresponde al mapa? a.5 c d. 1:150 c. 8 12 ¿Qué escala se usó para realizar el dibujo pequeño? a. sabiendo que el ancho de la casa es de 8 m? 4 cm a. tomando como punto de referencia la ciudad de Tarma. 1 b. 6 c.5 c a. › Ficha 17 Matemática Transformaciones geométricas con azulejos En pleno centro limeño se encuentra el convento de Santo Domingo. en la decoración del patio. Cuando accedimos al convento pudimos observar. espléndidos azulejos que fueron traídos a Lima desde Sevilla. Responde las siguientes preguntas: 1 ¿Cómo son las figuras que ves en los azulejos? 2 ¿Se pueden observar cambios de posición con respecto a una figura determinada en los diseños de los azulejos? 3 ¿Qué se entiende por transformaciones geométricas? 55 . Entre sus paredes vivieron personajes tales como san Martín de Porres y san Juan Macías. Los azulejos sevillanos fueron colocados utilizando algunas transformaciones geométricas. y en su interior se encuentra el sepulcro de santa Rosa de Lima. que se caracterizan por una superficie más porosa y sin el vidriado de los españoles. En los amplios paneles de azulejos sevillanos se intercalan algunos de tipo limeño. ciudad en la que los fabricó el taller de Hernando de Valladares. que culminan en una cenefa en la que se representan los grandes personajes de la orden dominica. El enorme claustro está decorado con azulejos en todas sus paredes hasta una altura de 240 cm. se observa que los diseños utilizados en las paredes están formados por cuatro azulejos. y el C’ ángulo será negativo cuando el giro sea en sentido horario. + Antihorario D’ B’ A’ – Horario Son aquellas transformaciones que La cancha de futbol es simétrica. B’ el ángulo de rotación será positivo. Si el giro es en sentido antihorario. Ficha 17 Matemática 4 ¿Qué transformaciones geométricas se han aplicado en las paredes del convento de Santo Domingo? 5 ¿Conoces otros tipos de transformaciones geométricas? APRENDEMOS Respecto de la situación planteada sobre los azulejos del convento de Santo Domingo en Lima. En ella. se aplican las siguientes transformaciones geométricas: simetría. solo varía el lugar. para la decoración de toda la superficie. tamaño y formas se mantienen. En las rotaciones ROTACIÓN O GIRO D’ las figuras conservan su forma. Eje de simetría 56 . puede ser respecto de un punto (simetría central o puntual) o respecto de una recta SIMETRÍA (simetría axial). Su orientación. con los cuales. traslación y rotación. invierten los puntos y figuras del plano. Transformaciones geométricas Es una transformación geométrica que se TRASLACIÓN realiza en el plano. es decir. tamaño y C’ A’ ángulos. las figuras solo cambian su posición. Es una transformación en la que se efectúan Rotación horario 90° movimientos de la figura alrededor de un punto fijo en el plano. Desde él se trazan tantos segmentos de recta O como vértices tenga la figura que se va a transformar. 2 A’ B’ A’ B’ A B A B D C D C D’ C’ D’ C’ Fig. ya que. ANALIZAMOS 1 Señala el centro (O) y la razón de homotecia en los siguientes casos. se obtienen una Ampliación Reducción o varias figuras en tamaño mayor o menor razón de razón de 1 k= =2 k= = HOMOTECIA que la figura inicial. el cual se llama centro de homotecia (O). 3 Fig. Se debe considerar la razón de 0<k<1 homotecia (k). Para ello se parte de homotecia homotecia 2 un punto escogido arbitrariamente. 4 57 . 1 Fig. que viene a ser la escala en k>1 la que se realiza la reproducción. a partir de una figura dada. A B D’ C’ A’ B’ A B D’ C’ C D D C B’ A’ Fig. Ficha 17 Matemática Es la transformación geométrica que no Figura inicial tiene una imagen congruente. la razón de homotecia es ________ . En la figura 4. la razón será negativa. se dice que la homotecia es inversa. La razón de homotecia (k) se calcula así: Medida de lado original = = = = = Medida del lado transformado Si los vértices están a un mismo lado del centro de homotecia (O). En la figura 3. por lo tanto. c. Si los vértices están a distinto lado del centro de homotecia (O). 2 Observa esta figura: O ¿Cuál de las siguientes figuras se obtiene al aplicar una rotación de centro O y ángulo de giro de 90° a la figura inicial? O O O O a. sucesivamente. porque _____________________. y así. Entonces: En la figura 1. por lo tanto. de acuerdo con una razón. En la figura 2. la razón será positiva. Para determinar el centro de homotecia. B y B’. la razón de homotecia es ________ . porque _____________________. la razón de homotecia es ________ . b. Ficha 17 Matemática ❱ RESOLUCIÓN Se considera a los cuadrados ABCD como figura original y a los cuadrados A’B’C’D’ como figura transformada. porque _____________________. d. porque _____________________. trazamos rectas que pasen por los vértices A y A’. la razón de homotecia es ________ . se dice que la homotecia es directa. El punto de intersección será el centro de homotecia. 58 . se da cuenta de que el árbol observado se refleja en nuestra retina de forma invertida. se entiende que es antihorario (+). Desde A hasta B: rotación 60°. ¿Podrías determinar qué tipo de transformación geométrica se realizó para ubicar las piezas desde la posición A hasta la F? ❱ RESOLUCIÓN Desde la posición A hasta la posición F. O Por tanto. Desde el punto O. Ficha 17 Matemática ❱ RESOLUCIÓN Cuando no se indica el sentido de giro. ¿Qué transformación geométrica se presenta en la formación de las imágenes en el ojo? ¿Serán semejantes los dos árboles mostrados en la imagen? 59 . con respecto a un punto. antihorario Desde B hasta C: _______________________ Desde C hasta D: _______________________ Desde C hasta E: _______________________ Desde E hasta D: _______________________ Desde E hasta F: _______________________ 4 Cristian investiga para la clase de CTA sobre la formación de las imágenes en el ojo. la transformación geométrica utilizada ha sido la rotación. la respuesta es la figura C. 3 Se desea enchapar el piso del parque municipal con el siguiente diseño. y ha encontrado la siguiente información: Formación de las imágenes en el ojo A partir de la imagen. se hace el giro de 90° con ayuda del transportador. 2 Usa la siguiente cuadrícula y dibuja el mosaico mostrado. PRACTICAMOS 1 Observa la siguiente imagen y colorea las figuras que tienen una misma letra en su parte interior. sombrea de modo que el conjunto sombreado reproduzca la composición dada. Sector A Sector C Sector B a. Los objetos observados son semejantes. ¿Qué tipo de transformación geométrica has empleado en el sector B? 60 . porque ___________________________ y __________________________________________________________________. de acuerdo con la transformación geométrica correspondiente: traslación de color verde. Ficha 17 Matemática ❱ RESOLUCIÓN La transformación geométrica es la ____________________________. ¿Qué tipo de transformación geométrica has empleado en el sector A? b. rotación de rojo y simetría de amarillo. Traslación Rotación Homotecia 5 A partir del diseño mostrado. Q es una traslación de P. Solo II y III 4 Por aniversario del I. completa toda la cuadrícula utilizando las trasformaciones geométricas más convenientes. Juan Pablo II se convocó al concurso de diseños artísticos. 61 . Solo III c. Solo II b. a. Solo I y II d. R es una rotación en 180° de P. Relaciona con una línea los diseños finalistas con el tipo de transformación geométrica utilizado. S es un rotación en 180° de R. y quedaron tres finalistas. III. II. Ficha 17 Matemática 3 Considera la siguiente figura: P Q R S I. E. 60 m 90 metros b. Ficha 17 Matemática 6 La figura muestra las medidas del campo de fútbol de una asociación comunal. Grafica el campo de fútbol y responde: ¿cuánto mide el perímetro del campo reducido? a. Felipe quiere realizar la representación reduciendo las medidas a su tercera parte. así que decide elaborar una reja utilizando las transformaciones geométricas. 90 m c. Diseña dos modelos diferentes de reja decorativa a partir de la figura mostrada. 62 . 135 m d. 270 m 45 metros 7 Gerardo necesita cercar su jardín. similares al diseño de abajo. 9 Encuentra el patrón con el que fueron generadas las figuras. 150 cm c. representa la figura que obtendrías dentro de la cuadrícula y determina su perímetro. 180 cm d. b. 100 cm o b. c. Considera lo siguiente: 5 cm 5 cm a. d. c. Ficha 17 Matemática 8 Observa la siguiente figura: ¿Cuál es la figura rotada de la figura anterior? a. d. 200 cm 63 . ¿Cuál sería la figura que sigue? a. b. 10 Si a la siguiente figura le haces una homotecia cuyo centro sea O y su razón sea –2. se pidió una ampliación. 7. 10. 30 cm × 20 cm b. 20 cm × 10 cm 13 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en 45° con centro P? P P a. 22. 11 ¿Cuáles son sus dimensiones? a. P d.5 cm × 7 cm b. 6 cm × 5 cm 12 Si se programa la fotocopiadora a 150 %.5 cm × 5 cm d. por error. P P 64 . pero la encargada de fotocopiar dicha foto. ¿cuáles serían las dimensiones de la fotografía obtenida? a. b. responde las preguntas 11 y 12. programó la fotocopiadora con un zoom de 70 %. 9 cm × 6 cm c. c. 15 cm 70 % 100 % 10 cm 150 % Con esta información. Ficha 17 Matemática Homotecia y tecnología Al fotocopiar la fotografía de Albert Einstein.o grado de Secundaria.5 cm × 15 cm d. 25 cm × 8 cm c. con la finalidad de colocarla en el periódico mural del aula de 2. 2 d. Ficha 17 Matemática 14 Con el transportador. 60° 135° 45° 15 El siguiente gráfico muestra la reproducción de una imagen realizada con un pantógrafo. que es un dispositivo mecánico empleado para hacer ampliaciones o reducciones de dibujos. 3 65 . 1 3 b. determina el ángulo de giro de las figuras mostradas. Figura transformada Figura original ¿Cuál es el factor de escala de la homotecia? a. Relaciona con una línea las figuras y la medida de dicho ángulo. 1 2 c. 5. 5. Las felicita por la iniciativa. Ellas realizaron una encuesta entre sus compañeros para identificar la cantidad de horas que hacen uso de Facebook durante una semana. 12. 12. Organizaron esta información en una tabla y un gráfico de barras como el siguiente: Cantidad de horas de Cantidad de uso de Facebook estudiantes Relación entre estudiantes y horas de uso 0 3 de Facebook durante la semana 1 4 2 3 6 Cantidad de estudiantes 3 4 4 2 5 5 5 6 1 7 3 4 8 1 9 2 3 10 3 11 2 2 12 2 13 1 1 14 2 15 1 16 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17 0 Cantidad de horas 18 1 Respecto a esta información. 5. 1. 0. 11.º grado A. 1. 0. 1. 4. 14. 2. más acordes con su naturaleza. 10. 5. 14. 3. 4. 8. 1. 3. 0. 10. Estas fueron las respuestas de sus compañeros: 2. 7. 7. sin embargo. 6. 3. 10. 7. ¿Cómo podrían Leticia y Margarita organizar la información y representarla gráficamente? 66 . 15. › Ficha 18 Matemática Histogramas y polígonos de frecuencias para representar el uso del tiempo libre Leticia y Margarita son estudiantes del 2. 13. les dice que pudieron haber elegido otras formas para representar esa información. 18. 9. 9. responde a las siguientes preguntas: a ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados? b ¿Cuántos estudiantes usan Facebook menos de 5 horas a la semana? c ¿Cuántos estudiantes usan Facebook más de 15 horas a la semana? d ¿Cuántos estudiantes usan Facebook más de 5 horas y menos de 10 horas a la semana? El profesor observa la tabla y el gráfico hecho por Leticia y Margarita. 11. 2. 5. 3. etc. 850. S/. S/. 990. 800. 1050. Tabla de frecuencia para datos de variables cuantitativas continuas Si observamos el trabajo realizado por Leticia y Margarita. S/. Ficha 18 Matemática » APRENDEMOS 1. La marca de clase se denota por Xi. Total 20 S/. 790. se encuentra en medio del intervalo. S/. 920. S/. 1320. vemos que se trata de una variable con 19 ocurrencias diferentes del 0 al 18. 1250. S/. De 700 a 900 800 6 S/. A estos grupos se les denomina intervalos de clase. De más de 900 a 1100 1000 5 S/. S/. amplitud. Esto hace que la tabla y el gráfico sean muy amplios y engorrosos de leer. se representa con la semisuma de los valores extremos del intervalo. S/. De b a c 2 (c + d) De c a d 2 … … (x + y) De x a y 2 ❱ RESOLUCIÓN Ejemplo: Marca de clase Cantidad de Sueldo de los empleados Los sueldos de los empleados de una (Xi) trabajadores empresa son los siguientes: S/. 1400. 200 de vez. por ejemplo: de 0 a 5. 1000.  750. 1345. De más de 1300 a 1500 1400 6 S/. S/. S/. Elabora una tabla de frecuencias Nota: se tuvo que delimitar el intervalo con la finalidad de que un mismo dato no se encuentre en dos intervalos a la con intervalos de clase de S/. por lo general. De más de 1100 a 1300 1200 3 S/. S/. 900. 67 . S/. S/. S/. 1300. es decir. 1280. 1480. De c a d … De x a y Un intervalo de clase se representa con un valor que. de más de 5 De b a c Intervalos de clase hasta 10. Marca de Variable clase ( Xi ) (a + b) De a a b 2 Las frecuencias absolutas son el recuento de los datos cuyos valores (b + c) corresponden al intervalo de clase. 1500. 1100. 810. Variable Los datos de esta variable se pueden agrupar de De a a b distintos modos. 1450. 0 a b c m n Sueldo de Cantidad de Ejemplo: empleados trabajadores Elabora un histograma para mostrar la información de la De 700 a 900 6 siguiente tabla de frecuencias: De más de 900 a 5 1100 De más de 1100 a 3 1300 De más de 1300 a 6 1500 Total 20 ❱ RESOLUCIÓN En el eje horizontal ubicamos los sueldos. estas deben ir juntas y comprender el ancho de cada intervalo de clase. hasta la 3 altura de 6. de 1101 a 1300. En el eje vertical van f1 las frecuencias absolutas o relativas fn simples. Histograma El histograma es un gráfico estadístico f2 para variables cuantitativas continuas que consiste en unas barras distribui- das en un eje horizontal. de 1301 a 1500. que es 6. hacemos un corte al inicio del eje para omitir el señalar los valores menores que S/ 700.. y finalmente. De esa forma. Como el sueldo va desde S/ 700 hasta S/ 1500. A diferencia f3 del gráfico de barras. hasta 4 la altura de 3. el histograma queda de la 2 siguiente manera: 1 0 700 900 1100 1300 1500 sueldos (S/.. Ficha 18 Matemática 2. En el eje vertical señalamos las frecuencias desde 0 hasta la máxima frecuencia absoluta de la tabla: 6. hasta la altura de 5.) 68 . Cada barra se levanta hasta la . De 700 a 900 levantamos Sueldos de los trabajadores de un empresa la columna hasta la altura de la frecuencia que le 6 corresponde. altura que indica su frecuencia. de Cantidad de trabajadores 5 901 a 1100. y en un eje vertical.. Se finaliza los extremos . Se trazan f3 líneas desde ambos ejes y se unen los puntos resultantes f1 de las intersecciones que se forman. Polígono de frecuencia Es un gráfico estadístico para variables cuantitativas Polígono de frecuencias continuas.. Ejemplo: Elabora un polígono de frecuencias para mostrar la información de la siguiente tabla de frecuencias: Cantidad de Sueldo de empleados Marca de clase (Xi) trabajadores De 700 a 900 800 6 De más de 900 a 1100 1000 2 De más de 1100 a 1300 1200 3 De más de 1300 a 1500 1400 5 De más de 1500 a 1700 1600 4 Total 20 Sueldo de los trabajadores de una empresa ❱ RESOLUCIÓN 6 5 4 3 2 1 0 700 900 1100 1300 1500 1700 sueldo (S/) 69 . sobre el que se ubica la marca de clase f2 Xi. El polígono consiste en un eje horizontal. del polígono uniendo con fn puntos de marcas de clase x1 a x2 a x3 a m n ficticias anterior y posterior con frecuencia cero. Ficha 18 Matemática 3.. en el que se localizan las frecuencias absolutas o relativas. º grado A. 5. 8. 7. debemos elegir entre histograma o polígono de frecuencias. 9. Ellas realizaron una encuesta entre sus compañeros para identificar la cantidad de horas que hacen uso de Facebook durante una semana. 5. 1. de 10 a menos de 15 y de 15 a 20. El profesor observa la tabla y el gráfico hecho por Leticia y Margarita. 3. 12. 1. 5. 11. 0. 10. 0.5 12 De 10 a menos de 15 horas 12. 3. 5. 11. ¿Cómo podrían Leticia y Margarita organizar la información y representarla gráficamente? ❱ RESOLUCIÓN Los datos recolectados por Leticia y Margarita se pueden organizar en una tabla de frecuencias con intervalos de clase. 14. 9. Marca de Horas de usos de Facebook Cantidad de trabajadores clase Menos de 5 horas 2. sin embargo. 7. 12. 3. 10.5 10 De 15 a 20 horas 17. 4. 0.5 16 De 5 a menos de 10 horas 7. 2. 1. 2. Relación entre estudiantes y horas de uso de Facebook durante la semana Cantidad de estudiantes 16 14 12 10 8 6 4 2 5 10 15 20 Cantidad de horas 70 .5 2 Total 40 Según la naturaleza de los datos. 4. 7. 14. 15. 1. Las felicita por la iniciativa. 10. Estas fueron las respuestas de sus compañeros: 2. de 5 a menos de 10. 18. más acordes con su naturaleza. 5. Ficha 18 Matemática » ANALIZAMOS Resolvemos la situación problemática propuesta al inicio de esta ficha: Uso del tiempo libre Leticia y Margarita son estudiantes del 2. les dice que pudieron haber elegido otras formas para representar esa información. 6. Elegimos convenientemente la amplitud de los intervalos: menor que 5 horas. 3. 13. S/.: 42. 2 Elabora una tabla de frecuencias con intervalos de clase de 5 kg de amplitud para las estudiantes mujeres. 890.7 kg Silvia A. 1450.9 kg Silvia T. S/. S/. Con esta información. S/. 850. 1050. 1250.4 kg Martín: 75. Un gráfico de línea Sueldos de los trabajadores En una empresa de fabricación de botellas se cuenta con 40 trabajadores.: 57 kg María: 46 kg Mónica: 41 kg Luis: 69.4 kg Linda: 49. 850. 1650. S/. S/. S/.5 kg Ricardo: 73. S/. S/. S/. S/. 850.4 kg Lucía: 46. 1700. S/. 1650. S/.3 kg Según esta información. el profesor de Educación Física los pesa y luego registra las cifras en una libreta: Abril: 45. S/. 1350. S/. responde las preguntas 5 a 8. responde las preguntas 1 a 4.8 kg Noemí: 40.4 kg Carlos A. 1550. S/.8 kg Luna: 56. S/. 71 . S/. 960. 960. 1000.7 kg Norma: 42. S/. 1050. 3 Elabora una tabla de frecuencias con intervalos de clase de 5 kg de amplitud para los estudiantes varones.: 40.8 kg Tomás P. 1320. 1570. 880.: 51. S/.: 76 kg Hugo: 71.: 50. S/. S/. 1270. S/.5 kg Tito: 70. S/. 1680. 1000. S/.7 kg Paola: 50. S/. S/.6 kg Carlos S.5 kg Tomás B. 1200. Ficha 18 Matemática » PRACTICAMOS Peso de los estudiantes Para actualizar las fichas de datos de sus estudiantes. 880.4 kg Anibal: 50. 750. cuyos salarios son los siguientes: S/.4 kg Laura: 49. 1170. S/. Un gráfico de barras simples c. 1320.5 kg Melquiades: 60. 1200.8 kg Enrique: 66. 4 ¿Qué gráfico estadístico sería el más conveniente para representar la información sobre el peso de los estudiantes de esta sección? a. 1320.7 kg Teresa: 50. Un histograma b.5 kg Jesús: 80 kg Mirtha: 50. 780. S/.5 kg Tomás R.: 70. 1050.4 kg Luisa: 49. S/. S/. 1200. 1300. S/. 1 Elabora una tabla de frecuencias con intervalos de clase de 5 kg de amplitud para todos los estudiantes. S/. S/. S/. 1400. 850. 990. S/. 1170. S/.8 kg Edgar: 65. 1400. Un gráfico de sectores d. S/.1 kg Alex: 55. 1580. 950. S/.7 kg Neil: 70. 3600 b.html> 72 . S/. Ficha 18 Matemática 5 Elabora una tabla con intervalos de clase de amplitud S/. Puntaje en una prueba Un grupo de estudiantes dio una prueba de selección. 150 De S/. <http://www. 2800 c. 250 De S/. ¿Cuánto dinero significa para la empresa este aumento de sueldo? a. 1000 a más. 900 S/. Utiliza una amplitud de S/ 200 para cada intervalo de clase. 1100 a menos de S/. 200 De S/. S/. 6400 d. S/.edu. 1300 S/. S/.ceibal.f. 300 De S/. 700 a menos de S/. 100 a los que ganen de S/.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/estadistica/histograma. 900 a menos de S/. 1300 a menos de S/. “Estadística”. y en S/. 1700 S/. responde las preguntas 9 a 11. Los resultados se presentaron mediante este gráfico1: Puntajes obtenidos en una prueba 16 14 Número de alumnos 12 10 8 6 4 2 0 2 5 8 11 14 17 20 Calificaciones Con esta información. 300 a los trabajadores que ganan menos de S/. 1500 S/. 1500 a menos de S/. 6 Se desea incrementar el sueldo en S/. 200 para mostrar la información de los sueldos de los trabajadores de esta empresa. 100 Elabora el gráfico más conveniente para mostrar la distribución de los trabajadores según su nuevo sueldo. 12 000 7 Elabora un polígono de frecuencias para mostrar la información sobre el sueldo de los trabajadores de esta empresa.). 1000. 8 Se incrementa el sueldo de los trabajadores siguiendo la siguiente tabla: Sueldo Incremento De S/. 1100 S/. Consulta: 15 de enero de 2016. 1 Ceibal (s. 5 8 De 11 a menos de 14 12.5 7 De 8 a menos de 11 9.5 7 De 5 a menos de 8 6.5 2 De 5 a menos de 8 6. ¿cuántos estudiantes desaprobaron? a.5 17 c.5 11 De 14 a menos de 17 15. Marca de Cantidad de b.5 7 De 11 a menos de 14 12.5 5 De 8 a menos de 11 9. 73 . se encuentra que a tres estudiantes del intervalo de clase de 8 a menos de 11 se les debe incrementar 4 puntos.5 4 De 5 a menos de 8 6. Desaprobaron 15 estudiantes.5 12 De 11 a menos de 14 12. Marca de Cantidad de Calificación Calificación clase estudiantes clase estudiantes De 2 a menos de 5 3.5 14 De 17 a menos de 20 18.5 6 De 17 a menos de 20 18. Desaprobaron 2 estudiantes. b.5 4 De 5 a menos de 8 6.5 1 De 14 a menos de 17 15. Marca de Cantidad de d.5 6 De 2 a menos de 5 3. d. Desaprobaron 25 estudiantes. 10 ¿Cuál de las siguientes tablas corresponde a los datos del histograma? a.5 14 De 8 a menos de 11 9. Ficha 18 Matemática 9 Si la puntuación mínima aprobatoria es 11. Desaprobaron 13 estudiantes.5 6 De 2 a menos de 5 3. c. por lo que dos de ellos quedarían en el intervalo de clase de 11 a menos de 14 y uno en el intervalo de clase de 14 a menos de 17.5 6 11 Al revisar las calificaciones.5 7 De 14 a menos de 17 15.5 1 De 17 a menos de 20 18. Dibuja el polígono de frecuencia de esta nueva distribución de los estudiantes.5 15 De 8 a menos de 11 9. Marca de Cantidad de Calificación Calificación clase estudiantes clase estudiantes De 2 a menos de 5 3.5 13 De 11 a menos de 14 12.5 1 De 14 a menos de 17 15.5 1 De 17 a menos de 20 18. 20[ [20.pe/2011_11_01_archive. responde las preguntas 12 a 15.30[ [30.42[ Con esta información. Ficha 18 Matemática Matrimonio En un municipio. Témpora Excel. 12 ¿Es adecuado el gráfico elegido por el funcionario? ¿Por qué? 13 ¿Cuántos contrayentes tienen edades comprendidas en el intervalo de clase de 24 a menos de 34 años de edad? a.38[ [38. 84 d. 29 b.blogspot. 10 b. 25 c. Consulta: 15 de enero de 2015. 15 d.34[ [34. 50 15 ¿Es posible saber cuántos de los contrayentes son mayores de 40 años? ¿Por qué? 2 Anónimo (20 de noviembre de 2011). 80 c. Para eso elabora el siguiente gráfico2: Histograma Edad de los novios 60 55 50 40 29 30 25 22 20 16 15 10 10 0 [16. el funcionario de Registro Civil debe presentar como balance de fin de año la cantidad de matrimonios celebrados según la edad de los contrayentes.html> 74 . <http://temporaexcel.26[ [26.24[ [24. 109 14 ¿Cuántos de los contrayentes tienen menos de 24 años? a. segundo y tercero en cada evento reciben medallas de oro. Más de 5000 atletas compiten en los Juegos Panamericanos en 36 deportes y cerca de 400 eventos. respectivamente. pues abarcan muchos rituales y símbolos. Los puestos primero. miles de atletas participan en diversas disciplinas deportivas. La ciudad anfitriona es elegida por la Organización Deportiva Panamericana y es responsable de organizar y financiar una celebración acorde con la Carta Olímpica y las reglas de los deportes que se disputarán.› Ficha 19 Matemática Las medidas de tendencia central en el historial medallero de los Juegos Panamericanos Los Juegos Panamericanos se celebran cada cuatro años en nuestro continente entre los países de América. El siguiente cuadro muestra a los países que ganaron más medallas de oro en los últimos cuatro Juegos Panamericanos: Santo Domingo Río de Janeiro Guadalajara Toronto Países 2003 2007 2011 2015 Estados Unidos 117 97 92 103 Cuba 72 59 59 36 Canadá 30 39 30 78 Brasil 29 54 48 42 México 20 18 42 15 Argentina 16 11 22 22 75 . Las ceremonias de apertura y clausura dan un gran realce a esta celebración. plata y bronce. como la bandera y la antorcha. La ciudad de Lima será la próxima sede de los Juegos Panamericanos 2019. pretendemos que el estudiante. Se simboliza con x y se calcula mediante la siguiente fórmula: ∑ n x + x + x + x +…+ xn x i =1 i x= 1 2 3 4 = n n Por ejemplo. encuentre unas medidas representativas conocidas como medidas de tendencia central. ¿Qué son las medidas de tendencia central? Son medidas cuyo objetivo es resumir la información de un conjunto de datos en un solo valor. La media o promedio ( x) La media o promedio es el valor que se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la suma entre el número de datos. Ficha 19 Matemática Responde las siguientes preguntas: 1 ¿Qué país ha destacado más en los cuatro últimos Juegos Panamericanos? ¿Cuánto es el promedio de sus medallas de oro? 2 Al ordenar de menor a mayor la cantidad de medallas de cada país. la mediana y la moda. la mediana y la moda. Para una mejor comprensión. es necesario que profundicemos sobre el tema. que son la media. ¿cuál es el promedio de las dos cantidades que quedan al centro? 3 ¿Qué países tienen la misma cantidad de medallas en dos o tres Juegos Panamericanos? ¿Cuál es esa cantidad en cada caso? 4 ¿Qué nombre reciben los valores hallados anteriormente? APRENDEMOS Respecto a la situación planteada. a partir de un conjunto de datos. en el siguiente cuadro se muestra la cantidad de medallas de oro que Estados Unidos obtuvo en los cuatro últimos Juegos Panamericanos: Santo Domingo Río de Janeiro Guadalajara Toronto País 2003 2007 2011 2015 Estados Unidos 117 97 92 103 76 . Las medidas de tendencia central más utilizadas son la media o promedio. queremos obtener el promedio del peso de 100 personas registradas en la siguiente tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos: Peso (kg) Frecuencia (fi) [ 40 – 50 [ 10 [ 50 – 60 [ 18 [ 60 – 70 [ 32 [ 70 – 80 [ 36 [ 80 – 90 ] 4 Total 100 Entonces.(fi) [ 40 – 50 [ 45 10 45 · 10 = 450 [ 50 – 60 [ 55 18 55 · 18 = 990 [ 60 – 70 [ 65 32 65 · 32 = 2080 [ 70 – 80 [ 75 36 75 · 36 = 2700 [ 80 – 90 ] 85 4 85 · 4 = 340 Total . aplicamos los pasos señalados anteriormente y trabajamos con las marcas de clase en vez de los intervalos. Ficha 19 Matemática El promedio o la media de dichas cantidades se hallaría de la siguiente manera: 117 + 97 + 92 + 103 409 x= = = 102 25 4 4 Por lo tanto. La media aritmética se obtiene al dividir la suma de los productos obtenidos entre la x= i =1 N suma de las frecuencias absolutas. ∑ f ⋅m i i c. 100 6560 77 int_Mate2_25-02 METROCOLOR. Peso Marca de clase Marcas de clase x Frecuencia (fi) (kg) Mi frecuencias: (Mi ). el promedio del número de medallas obtenido por Estados Unidos en los cuatro últimos Juegos Panamericanos es 102.25 medallas.indd 77 2/03/16 12:48 . Por ejemplo. ¿Cómo se calcula la media para datos agrupados? Para calcular la media aritmética para datos agrupados en intervalos de clase. para calcular la media aritmética. Cada marca de clase se multiplica por su respectiva frecuencia absoluta y luego se n suman los productos obtenidos. Cada intervalo se representa por su marca de clase:  Mi =   2 b. se procede de la siguiente manera:  Límite inferior + Límite superior  a. la cantidad de medallas de oro que obtuvo Brasil en los cuatro últimos Juegos Panamericanos fueron estas: Santo Domingo Río de Janeiro Guadalajara Toronto Países 2003 2007 2011 2015 Brasil 29 54 48 42 Para hallar la mediana de dichos valores.6 kg. aplicando la fórmula para datos agrupados. Se interpolan los valores faltantes para alcanzar la mediana. Para establecer la mediana. La mediana es el valor que divide al conjunto en dos subconjuntos con la misma cantidad de elementos cada uno. Se busca el lugar de la mediana n y se reconoce la clase mediana. primero se los ordena de menor a mayor: 29. ❱ Si el número de datos es par. tenemos lo siguiente: 6560 x= = 65 6 kg 100 Finalmente. Entonces. 54. se siguen los siguientes pasos: a. c. Por último. 42. La mediana (me) En un conjunto ordenado de datos. procedemos de la siguiente manera: n 100 a. utilizando para ello la frecuencia y el ancho de la clase mediana. En los Juegos Panamericanos. sea de manera creciente o decreciente. 2 b. el promedio de las medidas de los pesos de estas personas es 65. ¿Cómo se calcula la mediana para datos agrupados? Para datos agrupados en intervalos de clases. la mediana es la media o promedio de los dos datos que se encuentra en la mitad de dicha lista ordenada. Se calcula el ancho de la clase mediana: A. 45 es el valor de la mediana de este conjunto de datos. si queremos calcular la mediana del peso de las 100 personas registradas en la tabla de la sección “¿Cómo se calcula la media para datos agrupados?”. y se obtiene el promedio de los dos datos del centro. Ficha 19 Matemática Luego. Por ejemplo. Se suman las frecuencias para saber en qué intervalo se encuentra la mediana del conjunto de datos. 48. e. se suma el límite inferior de la clase mediana y el valor de la interpolación. La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad son mayores. d. la mediana es el dato que se encuentra en el centro. Buscamos el lugar de la mediana:= = 50 2 2 78 . se debe considerar también lo siguiente: ❱ Si el número de datos es impar. 875 La interpretación de la situación es que el peso del 50% de las personas está por debajo y por encima de 66. Dependiendo de los datos. Por otro lado. será bimodal. 875 22 se corresponde con x 32 e. 79 . puede haber más de una moda. sumando el límite inferior y el valor de la interpolación: Me = 60 + 6. Como ninguna cantidad se repite.875 = 66. La moda (mo) Es el valor que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos. Por ejemplo. no hay moda y se llama amodal. cantidades diferentes de medallas de oro. Si ninguno se repite. entonces: 10 + 18 = 28. Cuba obtuvo en dos Juegos Panamericanos la misma cantidad de medallas de oro. c.875 kg. la cantidad de medallas de oro que obtuvieron Brasil y Cuba en los cuatro últimos Juegos Panamericanos fue la siguiente: Santo Domingo Río de Janeiro Guadalajara Toronto Países 2003 2007 2011 2015 Estados Unidos 117 97 92 103 Cuba 72 59 59 36 Se puede observar que Estados Unidos obtuvo en cada Juego Panamericano. Vemos que faltan 22 lugares para llegar a la mediana. Ficha 19 Matemática b. Así. Luego interpolamos para los lugares faltantes utilizando una regla de tres simple y considerando la frecuencia y la amplitud. Para ubicar la clase mediana. Si hay dos datos que se repiten. decimos que este conjunto de datos es amodal. en la tabla tendremos: Peso (kg) Frecuencia (fi) [ 40 – 50 [ 10 f1 + f2 = 10 + 18 = 28 [ 50 – 60 [ 18 Clase mediana [ 60 – 70 [ 32 Frecuencia de la clase [ 70 – 80 [ 36 mediana: fm [ 80 – 90 ] 4 Total 100 d. vamos sumando las frecuencias hasta llegar a la posición 50. De este modo. entonces se puede afirmar que 59 medallas de oro es la moda en este conjunto de datos. nos damos cuenta que la mediana se encuentra en el tercer intervalo. Finalmente la mediana se obtiene. Así: 32 se corresponde con 10 22 ⋅ (10 ) x= = 6. El ancho de la clase mediana o amplitud del intervalo es A = 10. ¿Qué son las medidas de dispersión? Las medidas de dispersión miden el grado de alejamiento o separación de los datos con respecto a las medidas de tendencia central. El ancho de la clase modal o amplitud: A = 10 En la tabla quedaría de este modo: Peso (kg) Frecuencia (fi) [ 40 – 50 [ 10 Clase modal [ 50 – 60 [ 18 [ 60 – 70 [ 32 d1 = 36 – 32 = 4 [ 70 – 80 [ 36 Frecuencia de la [ 80 – 90 ] 4 clase Modal: fmo Total 100 d2 = 36 – 4 = 32 c. Para calcular la moda se reemplaza los datos en la fórmula: Mo = 70 + x 10 = 70 +  d1  Mo = Li +  A  d1 + d 2  Mo = 70 + 1. 80 .11 kg. que es la que tiene mayor frecuencia. La mayor frecuencia es 36. Se calcula c. calculamos la moda en la distribución de frecuencias del ejemplo anterior. Se busca la clase modal. a. Se calcula d. 11 Mo = 71. entonces la clase modal es [ 70 – 80 [ Donde: Li = 70 y fmo = 36 b. Ficha 19 Matemática ¿Cómo se calcula la moda para datos agrupados? Para datos agrupados en intervalos de clase.11 Kg La interpretación de la situación es que el peso que más se presenta entre las 100 personas es 71. Se anota su límite inferior (Li) y su frecuencia (fmo). el cálculo de la moda se realiza de esta manera: a. b. Se aplica la fórmula: Donde: Li: límite inferior de la clase modal  d1  Mo = Li +  A A: Amplitud o ancho de la clase modal  d1 + d 2  d1 = f Modal − f anterior Por ejemplo. o de estudiantes 20 16 14 15 10 4 5 0 Edades 12 años 13 años 14 años ❱ RESOLUCIÓN Según el gráfico podemos afirmar que hay un total de __________ estudiantes. la mediana y la moda. Esta medida no se ve afectada por la dispersión. a. Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos. Si el conjunto de datos es muy numeroso o el rango es muy amplio.  ANALIZAMOS 1 En el gráfico siguiente se muestran las edades de un grupo de estudiantes de 2. Cuando los valores no están concentrados. por ejemplo. es mejor no utilizar esta medida. si se quiere saber el puntaje que más han obtenido los participantes. la mediana o la moda? ❱ La media se utiliza cuando los datos son más homogéneos o no están dispersos. Para determinar la media aritmética. es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos de clases. Cuanto mayor es el rango. la media y la mediana pueden tomar el mismo valor. Determina la media aritmética. reemplazamos los datos en la fórmula: 4 (12 ) + + (14 ) = x= = Respuesta: _______________________________________________________ n 34 b. ¿Cuándo usar la media. más dispersos están los datos de un conjunto. Cuando los datos no están muy dispersos. Para determinar la mediana: = = 2 2 81 . El rango nos da la idea de proximidad a los datos de la media.o grado de Secundaria. Ficha 19 Matemática El rango Se calcula restando el dato menor al dato mayor. ❱ La mediana es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. ❱ La moda se puede utilizar cuando se requiera el valor más común en un conjunto de datos. en una encuesta que mide el nivel de aprendizaje después de una capacitación. N. 1. Calcula la cantidad de minutos que represente mejor el tiempo de tardanza que tuvo Edgard durante ese mes. el valor hallado nos indica que los datos están __________. Se determina el rango para saber si los datos están muy dispersos o no: Restamos 20 – 1 = 19. podemos afirmar que los datos no están dispersos. 2.o grado de Secundaria sobre el número de hermanos que tiene cada uno. 20. Para hallar su valor completamos la columna xi. Número de hermanos 1 2 3 4 Frecuencia absoluta (fi) 4 6 8 2 Determina: El rango y el valor de la medida de tendencia central más representativa. 1. 82 . 2. 2. Entonces dicho valor es la moda. b. Ficha 19 Matemática ❱ Se busca el lugar de la mediana: ❱ Se suman las frecuencias f1 + f2 = 4 + 16 = 20. Por lo tanto. Esto nos indica que el dato de lugar 17 se encuentra dentro de la segunda frecuencia. Determinamos el rango: restamos 4 – 1 = 3.fi Número de Frecuencia Xi. la mediana es ___. 6. se observa que el dato que tiene mayor frecuencia es _____. se obtuvieron los siguientes datos. 1. ❱ RESOLUCIÓN a. Como el valor no es tan grande. 2 En una encuesta realizada a 20 estudiantes de 2. Para determinar la moda.fi hermanos (xi) (fi) 1 4 4 2 6 3 8 4 2 Total 20 Respuesta: 3 Los siguientes datos son los minutos de tardanza que tuvo Edgard a la hora de ingreso a su centro de labores durante el mes de febrero: 1. 2. entonces. c. la medida más representativa es la media. ❱ RESOLUCIÓN a. 9. El siguiente cuadro muestra los resultados: Expectativas de educación Número de estudiantes Universidad 12 Institutos superiores 21 SENATI 32 Escuelas militares 7 Otros 8 Total 80 ¿Debemos utilizar la media.68 m.70 entonces: ____ + x = 4 (1.70 m? ❱ RESOLUCIÓN Utilizamos la estrategia heurística: planteo de ecuaciones para hallar la estatura de Miguel.72 m y 1. 6. la medida más representativa es ________ . 1. ¿Cuánto es la estatura de Miguel si la estatura promedio de los 4 amigos es 1. Luis y Manuel miden 1. 2. ___.70) 4 ___+ x = ________ Luego: x = ____ . Sea x la estatura de Miguel. y se ubica al valor que está ______. 2.65 m. mediana o moda para alcanzar el propósito que tiene la encuesta? ¿Por qué? ❱ RESOLUCIÓN Debemos utilizar _______porque esta medida nos indica qué expectativa tienen la mayoría de nuestros estudiantes.______ Finalmente: x = Respuesta: _____________________________________________________ 83 . entonces: suma delas esturas conocidas + x = 1. 9. 20. 1. 2. Entonces la mediana es __________. 1.o de Secundaria para conocer sus expectativas de educación al egresar del colegio. 1. Para hallar su valor hay que ______en forma creciente: 1. Ficha 19 Matemática ❱ Por lo tanto. Respectivamente. b. Vemos que la mayoría prefieren seguir estudios en ______________________ 5 José. 4 Se realizó una encuesta a 80 estudiantes de 5. La interpretación de la situación es que 2 es la cantidad de minutos que mejor representa las tardanzas de Edgard durante el mes de febrero. o de clientes 120 100 100 80 60 40 20 0 año 2011 año 2012 año 2013 año 2014 a. 10.5. media 4 1640 1 3900 84 . promedio b. 14. determina el rango y la cantidad promedio de clientes que tuvo una empresa en los últimos cuatro años. 8.5 clientes c. b. mediana c. Calcula el valor que representa la edad de los integrantes de dicho coro. 13. moda d. Aumentó 1 kg. No varía. Rango: 8. 7. moda 3 1520 d. Si se incorpora al grupo una amiga de 52. 200 Cantidad de clientes durante los 182 180 años 2011-2014 160 135 145 140 N. S/ 1100. 11. ¿Qué medida de tendencia central es? a.5 kg.5 kg de peso. media o mediana 2 Según el gráfico. Rango: 80 y Promedio: 140 clientes b. S/ 1640. 10. 4 La siguiente tabla indica el número de trabajadores de un fábrica con sus respectivos sueldos. ¿Qué cantidad representa mejor el sueldo de los trabajadores y qué medida de tendencia central es? N. Rango: 80 y Promedio: 562 clientes d. mediana 2 1100 c. 11. Aumentó 0. S/ 1722. 10.o de Trabajadores Sueldo (S/) a.2 y Promedio: 1405 clientes 3 El peso promedio de un grupo de tres amigas es de 54. 10. d.5 kg. S/ 1580. 11. 10. Ficha 19 Matemática PRACTICAMOS 1 Los siguientes datos son las edades de los integrantes del coro que representará a la institución educativa en un concurso de canto: 5. ¿en cuánto varía el peso promedio del nuevo grupo? a. Disminuyó 0. media aritmética b. c. 8. 17.5 kg. 12. Rango: 82 y Promedio: 140. La media aritmética es S/ 4450. determina la cantidad de familias encuestadas y responde ¿qué cantidad representa al número de hijos que tienen la mayoría de las familias? 30 24 25 20 20 15 12 12 10 8 4 5 0 0 1 2 3 4 5 Respuesta: __________________________________________________________________ 6 La siguiente distribución de frecuencias representa los Número de puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes en una Puntajes estudiantes (fi) prueba de comprensión lectora. Se le agregó 17 y 21. 14. Ficha 19 Matemática 5 Según el gráfico. [5200. b. La moda se ubica en la tercera clase. 16. 85 . 3700[ 8 a. d. Se le agregó 14 y 24. de modo que después su mediana es igual a 15. 14. 8 A este conjunto de datos (13. ¿Qué afirmación es fi (soles) correcta? [2200. 18) se le agregan dos datos más. 5200[ 16 b. [3700. 14.00 c. [ 04 – 08 [ 13 Respuesta: _____________________________________ [ 08 – 12 [ 14 Interpretación: _________________________________ [ 12 – 16 [ 12 [ 16 – 20 ] 9 ______________________________________ Total 50 7 La siguiente tabla muestra los sueldos (en soles) de Sueldo los empleados de una empresa. 6700[ 12 d. Halla la mediana en este [ 00 – 04 [ 2 conjunto de datos y argumenta tus procedimientos. y su moda. ¿Qué datos se habrán agregado? a. Se le agregó 16 y 20. Se le agregó 18 y 20. c. Las tres medidas de tendencia central se ubican en la [6700. La mediana y la moda son iguales. 8200] 4 segunda clase. su promedio. 15. 11. 18 11 Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I. El rango de dichas notas es 7. ¿Qué afirmación de las siguientes es correcta? a. ¿Qué nota mínima debe obtener Luisa en el promedio del tercer trimestre. La mayoría de los maestros tienen 15 años de servicio. d. III. 13.o bimestre. Según el valor de la moda para datos [ 00 – 05 [ 6 agrupados. 14. II. [ 20 – 25 [ 13 c. La nota de Marco en el 4. III y I 12 La siguiente distribución de frecuencias representa el Tiempo de servicio Número de tiempo de servicio de los docentes de una institución (en años) docentes (fi) educativa. c. 17 d. 13. La nota promedio de Marco es 13.5 b. Marco obtuvo 11 en la libreta. II y III c. 14. a. La clase modal es [ 10 – 15 [. 10 Luisa tiene de promedio 15. 10. 15. 14. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos. [ 25 – 30 ] 1 Total 60 86 . La media aritmética es siempre menor que la moda. La mayoría de los maestros tienen 17 años de servicio. Solo I b. Le han informado que para postular a una beca debe tener como mínimo 16 de promedio final. [ 15 – 20 [ 16 b. Solo III d. para que pueda postular a dicha beca? a. 10. La mediana y la media aritmética son siempre iguales.o bimestre será 14. b. En el 4. d. Marco ha tenido las siguientes notas en Matemática: 08. IV.5 en los dos trimestres anteriores. La moda siempre se encuentra en el centro de un conjunto ordenado de datos. Los maestros tiene entre 14 y 16 años de servicio. Ficha 19 Matemática 9 Durante el 4. se puede determinar una de las siguientes [ 05 – 10 [ 10 afirmaciones: [ 10 – 15 [ 14 a. 16. 16 c.o bimestre. 19 980 S/.9 63. 55 890 ___________________________________________________________________________________ 87 . La mayoría de los trabajadores pesan más de 71 kg. 34 320 S/.7 Alfredo 60.4 62. 47 350 Agosto S/.5 62. 50 120 Setiembre S/. 60[ 20 [60.a 5.1 Luis 61.3 62.3 kg.9 63.7 62.2 ¿Qué estudiantes representará mejor a la institución educativa? ___________________________________________________________________________________ 15 Una empresa de equipos deportivos está evaluando el efecto de dos planes publicitarios sobre las ventas de 4 meses.7 63.6 kg y [80. 70[ 35 a. estilo libre el profesor de Educación Física convoca a los tres mejores nadadores en esta disciplina.7 61. 80[ 39 b. [50. El 50 % de los trabajadores pesan menos de 60 kg.a 2.7 62. 54 790 Octubre S/. 22 670 S/. 50[ 12 en la siguiente distribución de frecuencias.a Julio 61.a 3. Dadas las ventas que se han registrado en la tabla. [70. 16 570 S/.a 4.9 62. Total 110 c.6 kg. los hace competir 5 veces y les registra el tiempo en la siguiente tabla. 90] 4 el otro 50 % pesan más de 66. El 50 % de los trabajadores pesan menos de 66. ¿qué plan de publicidad es conveniente para dicha empresa? Mes Plan 1 Plan 2 Julio S/. Tiempo en segundos Estudiantes 1. d. Indica que afirmación es incorrecta. Ficha 19 Matemática Intervalos Frecuencia 13 El peso de los trabajadores de una fábrica se representó [40.7 62.7 61. 14 Para elegir al estudiante que represente a la institución educativa en un campeonato de natación de 100 metros. El peso promedio de todos los trabajadores es 65. › Ficha 20 Matemática Conociendo el uso de las probabilidades A fines del año 2014, Osiptel publicó un informe sobre el estado actual de participación de los operadores móviles en el Perú, a causa de la aparición de dos nuevas operadoras, Entel (que reemplazó a Nextel) y Bitel. Tampoco hay que olvidar la entrada de Tuenti, un sub-carrier que nos ofrece planes económicos y apunta exclusivamente al mercado prepago. Todos estos movimientos implicaban un gran movimiento en el mercado móvil, pero los datos revelados por Osiptel nos muestran un panorama diferente, como podemos apreciar a continuación: 1% 2014 3 9 % 39,2 5 4% 5,4 54,4 % Responde las siguientes preguntas: 1 ¿Posibilidad es igual a probabilidad? 2 ¿Qué determinan las probabilidades? 3 En una reunión, ¿cuál es la probabilidad de que un asistente tenga un celular con operador Claro? 4 Si a una reunión asisten 250 personas, ¿cuántas personas posiblemente usen el operador móvil Claro? 88 Ficha 20 Matemática APRENDEMOS Respecto a la situación planteada anteriormente, se observa que se tienen varias posibilidades de un total y se quiere conocer qué tan probable es encontrar un cierto suceso. Para esto será necesario conocer algunas definiciones. ¿Qué es un experimento aleatorio? Es un experimento en el que no se puede predecir el resultado, por lo que el experimento esta sujeto al azar. Estos son algunos ejemplos: ❱ Al tirar un dado. ❱ Al lanzar una moneda. ❱ En una rifa, al extraer un boleto. Si se pudiera predecir, el experimento sería determinista, por ejemplo: ❱ Predecir la fecha de las próximas elecciones. ❱ Al tirar piedras hacia arriba todas caen. ¿Qué es un espacio muestral? Es el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar un experimento. Se pueden usar E, S, U, Ω para denominarlo. ¿Qué es un suceso? Es un subconjunto del espacio muestral. Son los posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Pueden clasificarse de la siguine forma: ❱ Suceso elemental: es aquel que tienen menor cantidad de elementos que el espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar una vez un dado, si sale un número par, pueden ser { 2; 4; 6 }. ❱ Suceso seguro: es aquel cuyos elementos coinciden con el espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar una vez un dado, que salga un número menor que 7: eso siempre va a ocurrir. ❱ Suceso imposible: es aquel que nunca se produce. Por ejemplo, al lanzar una vez un dado, no es posible que salga un 7 porque en un dado solo hay números del 1 al 6. 89 Ficha 20 Matemática Estos son otros ejemplos de esta clasificación: Experimento aleatorio Espacio muestral Suceso Lanzar un dado y observar el número A: que salga un número múltiplo de 3. E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} que aparece en la cara superior. A = {3; 6} Se dirá que un suceso es equiprobable cuando todos sus elementos tengan la misma probabilidad de que resulten parte del suceso. Probabilidad Mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1, y también se puede expresar en porcentajes al multiplicarlos por 100. La probabilidad de que suceda un suceso seguro es 1 o 100 %, y la probabilidad de que suceda un suceso imposible es 0 o 0 %. Propiedades de la probabilidad ❱ Para un suceso A, 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 ❱ La probabilidad de un suceso seguro es 1: P ( Ω ) = 1 ❱ La probabilidad de un suceso imposible es 0: P (φ ) = 0 Ley de Laplace Para medir la probabilidad de un suceso A, se halla el cociente entre el número de casos favorables en A y el número de casos posibles (elementos del espacio muestral). La fórmula es como sigue: Rango de valores de la probabilidad 0 0,25 0,50 0,75 1 Imposible Poco probable Menos probable Probable Más probable Muy probable Seguro 90 ____. ____. ____. ____. ____. ____. ____. ____ } n(A) = __________ P(A) = __________ = ___________ La probabilidad de que salga una cara y un número impar en el experimento aleatorio es ______. ____. ____. ____. ____. ____. ____. ____. ____. ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara y un número impar? ❱ RESOLUCIÓN Primero hallaremos el espacio muestral. usando un diagrama del árbol. ____. 91 . ____. ____. ____. ____. ____. ____. ____. 1 1 2 2 3 3 C 4 C 4 5 5 6 6 C S 1 1 2 2 3 3 S 4 S 4 5 5 6 6 Deducimos que el espacio muestral está dado por: Ω = { ____. ____. ____ } n(Ω) = __________ A = { ____. Ficha 20 Matemática ANALIZAMOS 1 Al lanzar dos monedas y un dado. ____. ____. P(A) = _______ = _______ La probabilidad de que practique vóley es _________. son los estudiantes que practican vóley.o grado de secundaria. Los resultados se colocaron en el siguiente gráfico: 60 50 40 30 20 10 0 Fútbol Básquet Vóley Al conversar con uno de ellos. Ficha 20 Matemática 2 Se realizó una encuesta sobre el deporte que más práctican a los estudiantes de las cuatro secciones del 2. 3 Al lanzar un dardo sobre un tablero. y esto da un valor de ________ Por lo que n(Ω) = _______ El suceso favorable. en este caso. ¿cuál es la probabilidad de que caiga en la zona X? 92 . ¿cuál es la probabilidad de que practique vóley? ❱ RESOLUCIÓN El total de estudiantes de las cuatro secciones resulta al sumar ____+____+_____. Sea el suceso A: estudiantes del segundo de secundaria que practican vóley Por lo que n(A) = _______ Entonces. 93 . ¿cuál es la probabilidad de sacar. P(A) = __________ = ___________ La probabilidad de que el dardo caiga en la Zona X es __________ 4 En la siguiente caja. sin ver. es ____________. Entonces n(A) = ________ Luego. Luego. una pelota verde o blanca? ❱ RESOLUCIÓN Contando la cantidad de pelotas que hay en la caja tenemos lo siguiente: _____ pelotas blancas _____ pelotas rojas _____ pelotas moradas _____ pelotas verdes _____ pelotas amarillas _____ pelotas rosadas _____ pelotas anaranjadas _____ pelotas celestes Luego de hacer el conteo. que indica el total de casos favorables. Ficha 20 Matemática ❱ RESOLUCIÓN La cantidad de grados en una circunferencia es ____________. sin ver. se tiene un total de _____ pelotas. Entonces. Sea el suceso A: el dardo que cae en la región de color azul. P(A) = __________ = ___________ La probabilidad de sacar de la caja una pelota verde o blanca. por lo que n(Ω) = _______. Se tiene el suceso A: sacar una pelota verde o blanca. donde n(A) = _____. n(Ω) = _______ La zona X tiene como ángulo central a ________. Completa el cuadro y responde cuál de los tres tiene mayor probabilidad de sacar una bola roja. ¿cuál es la probabilidad de obtener un sello y un número mayor a cuatro? 2 Juan tiene una baraja de 52 cartas. Ficha 20 Matemática 5 En el siguiente gráfico se muestra a Ana con 10 pelotas en una bolsa. ¿cuál es la probabilidad de que saque una carta de diamante con un valor menor que seis o mayor que once? 3 En la figura se muestra una ruleta. N.o de bolas rojas Probabilidad Ana Beto Celia ❱ RESOLUCIÓN La mayor probabilidad de sacar una bola roja la tiene ___________ y es _______% PRACTICAMOS 1 Carolina lanza una moneda y un dado. a Beto con 15 pelotas y a Celia con 12 pelotas.o total de bolas N. ¿cuál es la probabilidad de que salga 20 o 40? 94 . 0. ¿entonces en cuánto excede el número de bolas rojas al de azules? 6 En una bolsa hay cuatro bolas blancas y ocho rojas. Se debe elegir un brigadier y un policía escolar por sorteo. 0.5 c. Si al sacar una bola cualquiera la probabilidad de que sea roja es 0.125. 0 b. 0.67 7 En un salón de clases hay 24 mujeres y 17 varones.71 8 De una baraja de 52 cartas.57 c. 0. ¿cuál es la probabilidad de sacar una carta con el número 3? a. 0. 0. 25 % b.7 % A B C 95 .071 b.24 b. 66. ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona que salga sorteada sea mujer? a.6 d.076 c. y la de sacar azul es 0. 0. ¿probablemente cuántos choferes no estén usando el cinturón de seguridad? 5 En una caja hay 24 bolas de tres colores diferentes.25 d. Si en el control de tránsito detienen 30 vehículos. 0. 50 % d. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en A? a.33 d. ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída no sea ni blanca ni roja? a.5. 0. 33. Si el primero en salir es un varón. la probabilidad de sacar verde es 0.019 9 Se suelta una pelota sobre unas tubería tal como indica el gráfico. 0. Ficha 20 Matemática 4 La policía de tránsito estima que la probabilidad de que un chofer no use el cinturón de seguridad es del 30 %. 0.3 % c.375. 6 % d.5 % c. 30 % c. Muy probable 11 Al lanzar dos dados del mismo tamaño.5 % 96 . de 300 operaciones. 66. 8. 60 % 13 De la pregunta anterior. ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea varón? a. Al someterse a la operación. 6 % b. Poco probable b. 28. 28. 25 % d.4 % 12 En un salón de clases de 36 estudiantes. 18 pacientes no la han resistido. la mitad son mujeres. pero de distinto color. 16. 26 estudiantes no usan lentes y 4 varones usan lentes. 50 % d. 60 % d. 16.67 % d.7 % c. 6 % c.3 % c. Ficha 20 Matemática 10 Pedro se tiene que realizar una operación en el seguro de salud y le han dicho que.3 % b. 5 % b.6 % 14 Daniela irá a pasear con sus amigas y escogerá una combinación entre las prendas mostradas. Más probable d. ¿Cuál es la probabilidad de que vaya con las tres prendas del mismo color? a. 66.7 % 15 De la pregunta anterior. Menos probable c. 16. ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante de la lista sea una mujer con lentes? a. 19. ¿cuál es la probabilidad de que vaya con dos prendas del mismo color? a. ¿cuál es el rango de probabilidad de que salga bien? a. ¿cuál es la probabilidad de obtener como suma 7? a. 83. 50 % b. El director escoge un apellido de esa lista. 50 % b.