Todostalleres CD

Cálculo DiferencialTaller de pre-requisitos 1. Exponentes. Simplifique las siguientes expresiones sin usar calculadora. p a) p 6s2 t3 v 5 6st5 v 3 , p b) (3x x3 )2 106 y + y c) y 3 2 2. Multiplicación. Expanda el producto y simplifique. a) 6s 2 1 2 (2s s3 )2 b) (x + 2)(5x 1) + 2(3x x2 ) c) 2t (t 2 t )2 3. Factorización. Escriba los siguientes polinomios en factores del menor grado posible. a) 4x2 24x + 36 b) 24B 10B 2 + B 3 c) y 2 1 y d) s4 + 2s2 + 1 4. Fracciones. Simplifique, escriba como una sola fracción. a) 1 x+1 1 b) 1 x 1 x+y x y c) 3 r+1 r2 1 d) p x(3x2 ) 1 2x 1 2 (x3 + 4) x 5. Ecuaciones. Halle los valores de la variable que satisfacen cada ecuación. r p v 3 2 a) T2 + 2 3 = 0 b) m 8 = 2m(m+4) c) 10 = d) x2 +x3 = 2x 7⇡ 6. Inecuaciones. Halle los valores de la variable que satisfacen cada desigualdad. a) 4t2 (t 1) < 0 2x 1 >0 x2 + 1 b) c) 0 6 1 2 n < 11 d) 8 >4 r+6 7. Trigonometría. Simplifique en términos de senos y cosenos o complete sin usar calculadora. a) e) sen(⇡) = sen(✓ + ) = b) cos( ⇡3 ) = f) c) sin(a) = sec(a b) tan( ⇡4 ) = g) d) cot(2x) = cos2 (3x)+sin2 (3x) = h) cot(0) = 8. Fórmulas de Geometría. Halle: a) área de un cuadrado de lado l; b) radio de un círculo de área 10 cm2 ; c) volumen de una esfera de radio r; d) área superficial de una caja de ancho a, profundo p y alto h; e) área de un triángulo de lados que midan 3cm, 4cm, 5cm respectivamente; f ) longitud del arco correspondiente a un ángulo de ⇡3 en un círculo de radio 1m. 1 a) Halle el valor de x b) Halle el valor de x 6 3 c) Los tri´angulos ABC y DEF son semejantes. Halle el valor de x usando la informaci´on dada. d) Este es un tri´angulo rect´angulo is´osceles. Halle los valores de x y y f ) Los ´angulos de los tri´angulos en la figura est´an dados en grados. Halle el ´angulo x en radianes. e) Halle la circunferencia del c´ırculo g) Un trapecio tiene ´area igual a 908.5 cm2 . Si la altura es de 23cm y una base mide 36cm, halle la longitud de la otra base. Cálculo Diferencial Respuestas a Taller de pre-requisitos 1. Exponentes. a) 3 6s 2 t4 v 4 , 5 b) 9x5 c) 1000001y 2 2. Multiplicación. 6s3 + 6s4 3 2 2s a) b) 3x2 + 15x 2 c) 2t t2 2t + 2 t 3. Factorización. a) 4(x 3)2 b) B(B 4)(B 6) c) [y 1 2 (1+ p 5)][y 1 2 (1 p 5)] d) (s2 +1)2 4. Fracciones. 2 a) 1 x2 b) 1 x2 c) y2 3r r 4 1 d) 5 32 2x 2x 3 2 5. Ecuaciones. p a) T = ± 5 b) m = 2( 2 ± p 2) c) v = 700⇡ d) x = 2, x = 1 10,5 < n 6 0,5 d) r < 4 6. Inecuaciones. a) t > 1 b) x 6 1 2 c) cos( ⇡3 ) = 1 2 c) 7. Trigonometría. a) e) sen(⇡) = 0 b) tan( ⇡4 ) = 1 sen(✓+ ) = sen(✓) cos( )+sen( ) cos(✓) f) d) cos2 (3x) + sin2 (3x) = 1 sin(a) = sen(a) cos(a) cos(b)+sen2 (a) sen(b) sec(a b) cos2 (x) sen2 (x) h) cot(0) no existe 2 cos(x) sin(x) q 4 ⇡ 3 2 8. Fórmulas de Geometría. a) l2 ; b) 10 ⇡ cm ; c) 3 ⇡r ; d) 2(ap + ah + hp); e) 6cm ; f ) 3 m. g) 9. Geometría. a) x = f ) 1,83rad; g) 43cm cot(2x) = p 410 180 p 3; 28+36 3 p b) x = 3( 196 1 4)cm ; c) x = 16; d) y = 12; e) 26⇡cm; CÁLCULO DIFERENCIAL Cálculo diferencial - Taller de planteamiento de funciones TALLER 0 1. Expresar el área de un triángulo equilátero como función de la altura h del triángulo. 2. Se va a construir una caja rectangular abierta con una base cuadrada de longitud x y un volumen de 16.000 cm 3 . Expresar el área A de la caja como una función de x. 3. Considerar un rectángulo inscrito en un círculo de radio a cm. Expresar tanto el área A como el perímetro P de dicho rectángulo en función de la longitud de su base x. 4. 5. 6. 7. 8. 9. R/. A = x 4a 2 − x 2 , 0 < x < 2a ; P = 2 x + 2 4a 2 − x 2 , 0 < x < 2a . Un envase cerrado de hojalata cuyo volumen es de 60 cm 3 tiene la forma de un cilindro circular recto. a. Expresar el área A de la superficie total del envase como función del radio r de la base. b. Expresar el área A de la superficie total del envase en función de la altura h del cilindro. 120 120 R/. a. A = 2 π r 2 + , 0 < r < ∞ . b. A = + 4 15π h , 0 < h < ∞ . r h Para el envase del ejercicio anterior, si el precio del material que se usa para la base y la tapa es de $4 por cm 2 , mientras que el costo del material para la parte curva es de $2 por cm 2 , expresar el costo total C del material del envase como función del radio r de la base, e indicar el dominio de la función resultante. 240 R/. C = 8π r 2 + , 0 < r < ∞. r Un fabricante de envases de cartón desea construir cajas, sin la tapa superior, usando láminas cuadradas de cartón de 120 cm de lado, recortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. a. Si x cm. es la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse, expresar en cm 3 el volumen de la caja a fabricar, como función de x. b. ¿Cuál es el domino de la función resultante? Un granjero que tiene 750 pies de cerca, desea encerrar un lote rectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Expresar el área total A del lote en términos de la longitud x del lado del lote paralelo a las cercas interiores. Indicar el dominio de la función. 5 R/. A = x (150 − x ) , 0 < x < 150 . 2 Se bombea agua en un tanque cónico invertido, cuya altura es de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Expresar, en m 3 , el volumen del agua dentro del tanque, como una función del radio r de la superficie del agua. Se debe construir una pista de atletismo con dos segmentos rectos y dos semicirculares, como se muestra en la siguiente figura. El radio de cada segmento semicircular es r. La longitud de la pista debe ser de 1 km. Expresar el área limitada por la pista como función de r. 000 por silla. Expresar el volumen V del cono en función: a. 12. d = 5x 2 − 12 x + 9 . en términos de x solamente. Se circunscribe un cono circular recto alrededor de un cilindro circular recto de 2 cm de radio y 3 cm de altura.000 habitantes. entonces la ganancia diaria por cada silla disminuye $40 por el número de sillas excedentes. exprese la rapidez de propagación de la epidemia como función del número de personas enfermas. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m 3 / min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. Expresar a G como función de x. pero si la capacidad de sillas sobrepasa las 80. 1 R/. Expresar la distancia d el punto (0. En un pequeño poblado con 5. expresar la longitud de su sombra s (en cualquier instante t) en términos de la distancia x del hombre al poste. Del radio r de la base del cono. Indicar el dominio de la función. Expresar el volumen V de agua en el depósito. como se muestra en la figura siguiente. 11. 2 R/. De la altura h del cono.10. s = x . R/. Si x es el número de sillas y G la ganancia diaria. − ∞ < x < ∞ . Si un hombre de 6 pies de estatura camina por dicha calle. la ganancia diaria será de $8. alejándose del poste. b. 2 . 3 13. V = πh3 . ¿Con qué rapidez se difunde la epidemia cuando 200 personas ya se han contagiado? 14. Dibujar la gráfica de G y hallar su dominio. situado en una calle horizontal y recta. b. a. En el proyecto de una Heladería se calcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas. b. Suponga que una farola se encuentra en el extremo superior de un poste de 15 pies de altura. se pide: a. 0 ) a un punto (x . la tasa de propagación de una epidemia (índice de variación del número de personas infectadas) es conjuntamente proporcional al número de personas atacadas y al número de personas que todavía no se han contagiado. Si la epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas contagiadas. 48 15. y ) sobre la recta y = 2 x − 3 . 0 < x < ∞ . en un instante cualquiera como función de la profundidad h del agua. Si x denota la distancia. para una excursión. $800. 5 8 19. Indicar el dominio de la función. el ingreso que recibe la compañía por todos los pasajeros. 0 ≤ x ≤ 6. desea ir al punto C. en función de x. [800. mediante una función de x. Una isla está ubicada en el punto A. En un ambiente limitado donde A es el número óptimo de bacterias soportado por el ambiente. del punto P a B. b. en la isla. Por cada naranjo adicional por hectárea el rendimiento por árbol decrece en 15 naranjas. N (x ) =  2 si 20 < x ≤ 60  900 x . Suponga que el número óptimo soportable por un ambiente particular es 1 millón de bacterias. expresar el tiempo total t gastado por la mujer para ir de la isla al punto C. 4 km mar adentro del punto más cercano B de una playa recta.000 a cada pasajero más $10. Expresar el número de naranjas N producidas en cada hectárea por año como una función del número de naranjos x plantados por hectárea. Si viajan x pasajeros a.000 + 10.000 + 10.000(100 − x ) . a. Expresar la tasa de crecimiento bacteriano T como función del número n de bacterias presente.15x R/. la tasa de crecimiento bacteriano T es conjuntamente proporcional al número presente de bacterias y a la diferencia entre A y el número presente. 2 R/.000(100 − x )] x 20. Expresar cuánto dinero pagará cada uno. ¿Cuál es el dominio de la función resultante? 18. El perímetro de la ventana es 200 cm y la cantidad de luz que ingresa por ella es directamente proporcional al área de la ventana. Los naranjos que crecen en la Pintada producen 600 naranjas por año si no se plantan más de 20 árboles por hectárea. Expresar.16. 333 17. a 6 km de B playa abajo. La mujer puede dirigirse hacia el punto P. b. Expresar la cantidad de luz que ingresa por la ventana como función de x. Un avión de una compañía tiene cupo para 100 pasajeros. La compañía cobra. Si x cm.000 por cada puesto que vaya vacío. 800. R/. entre B y C en un bote de remos a 5 km/h y después caminar en forma recta de P a C a 8 km/h. es el radio del semicírculo a. ( ) x 2 + 16 6 − x + . si 0 ≤ x ≤ 20  600 x R/. T = 10 −5 n 10 6 − n . y que la tasa de crecimiento es de 60 bacterias por minuto cuando se tienen 1000 bacterias presentes. b. en km. Una mujer. t = 3 . Una ventana rectangular está rematada por un semicírculo. es seguida por un rayo de luz giratorio. A = 4π R/. 0 ≤ θ < . Un estudio de mercadeo indica que por cada dólar que disminuya el precio de la boleta. 0 < θ ≤ 4 . Con el precio de la boleta fijado en 12 dólares. la asistencia promedio aumentará 1000. x2 1 2 R/. suponga que la fuente de luz está ubicada en un punto F a nivel del piso y a 1 km de la costa. Los vértices de un rectángulo están uno sobre el eje x. π 2 26. Indicar el dominio de la función. V = 9000 sen θ (1 + cos θ) . de la altura h del cono. Indicar el dominio de la función. expresar el área A de las dos figuras como una función de x. 0 ≤ x ≤ 10 4π 16 27. Si P es el punto de la costa más cercano a la fuente de luz. π R/. al recortar un sector circular y unir los bordes. Expresar la capacidad V del cono como función a. 25. Expresar el ingreso por la venta de boletas a un partido en función del precio x de cada boleta. R/. 23. l2 . Una persona que camina en la noche a lo largo de una costa recta. como se muestra en la figura siguiente. expresar la distancia x del hombre al punto P en cualquier instante como función del ángulo θ que forma el rayo de luz con el segmento de recta PF.000 espectadores. Si el largo de la lámina es 90 cm. expresar el volumen V de la canaleta como función de θ . Expresar el área A del rectángulo en función de uno de sus lados. 28. 2 24. del radio r del cono b.21. Se debe construir una canaleta para lluvia a partir de una lámina que tiene 30 cm de ancho. 0 < θ < π b. Expresar el área A de dicho triángulo como función de θ . Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Un equipo de fútbol juega en un estadio con una capacidad de 15. otro sobre el eje y.000 espectadores. Dos de los lados de un triángulo tienen 4 y 5 metros de longitud y el ángulo entre ellos es θ. la asistencia promedio a un partido es de 11. A = + (10 − x ) . x = tan (θ ) . Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. z = 41 − 40 cos (θ) . Expresar la longitud del tercer lado z en términos de θ R/. Expresar el área a de un círculo de radio r como función de la longitud l de la circunferencia correspondiente. otro sobre la gráfica de y = 4 − x 2 y el otro es el origen. Si x es la longitud del trozo de alambre usado para construir la circunferencia. R/. doblando la tercera parte de la lámina de cada lado hasta que forme un ángulo θ . Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R. a. A = 10 sen (θ) . 0 < θ < π 22. i (2{). que se extiende b) F es una función lineal de r con pendiente m. Explique en sus propias palabras los siguientes conceptos: triculados. asista a las asesorías con monitores o profesores. i(1). e indique su dominio y rango. i (1 ¡ 2). i( 2). funciones f 1 a) Dé los valores de f ( 1) y g (1). y por tanto la muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. i ({ + i ({+k)¡i({) f) Las funciones únicamente se pueden definir mediante una k). c) Los fondos que el estado distribuye a las Universidades de Colombia. 2i ({)> i (d)> i (i({))> i (2 + k)> i (w2 )> para k 6= 0= k e) La ecuación x = 7 representa una función de x. En la figura se proporcionan las gráficas de dos Estime la solución de la ecuación j ({) = 2. zona llamada la tropopausa. Suponga que la temperatura al nivel del suelo es k). por los primeros 10 km de altura. precio de depende de 3i ({)> (i({))> + k)> i (w2 )> el paralak carrera 6= 0= k fórmula. tes matriculados. Si i ({) = 2{3 ¡ { + 3> evalúe: i (0). de manera tal que en la parte identi…cados de la misma forma. y se espera que siga aumentando a una tasa de 800 mil personas por año. Para cada una de las siguientes situaciones o enunciados identifique la variable independiente. i ({+k)¡i({) 5 C. la cual se extiende por 50 km. entonces y es una función lineal de x. halle una fórmula. y recibió 650 mil millones de pesos. e) ¿En cuáles intervalos es f decreciente? f) Dé el dominio y el rango de f . N 3. pesos. El kilo vale 1000 pesos. le hacen un descuento del 10 % en el precio por kilo sobre cada kilo adicional. aunqueuna el monitor alcance a hacerlos todos durante el taller. en el 2011 la Universidad Nacional tuvo (en todas sus sedes) 45367 estudiantes maN 1. b) ¿Para cuáles valores (aproximados) de x se tiene f (x) = g (x)? c) Estime la solución de la ecuación f (x) = 2. Si compra más de 30 de kilos a usted le toca pagar 5000 pesos extra para que le ayuden a cargar ese montón de azúcar. i ({ + d) El número 0. i (¡{). m) La función |x| + x es par. a existir otro número real c. p superior de esta capa la temperatura espaproximadamente 1. ñ) Si dos funciones lineales tienen pendientes diferentes. pertenece al intervalo (0. i (1 ¡ 2).Cálculo Diferencial . i(¡{). se cumple que |x| = x. 1). F reto. i ( 2). la variable dependiente. existe una función lineal que pasa por ellos. 2. temperatura del aire es01 aproximadamente constante. tal que a < c < b.600 (a) Dé los valores de i mínima (¡1) y j (1). siguiente capa es la estratosfera. es Observe ejercicios marcados A y incrementa otros Taller B. Si tiene alguna pregunta. Dé el dominio y el rango de j. la función j es2. g) Dé el dominio y el rango de g. Por ejemplo. p p de 30 grados. Sede Medellín. i) Si se dice que “y es proporcional a x”. La Semestre de 2011 a) N ⇢ Z ⇢ Q ⇢ R. Luego hay una N±6. . a) La variable y es función de la variable x. Febrero. a) La población colombiana es actualmente de 46 millones de personas. h) Para algunos números. Escuela de Matemáticas. Si es verdadero. i (1). Se recomienda la asistencia a ambos tipos de talleres. y en la se llama zonanode b) Hay infinitos números irracionales. .99999 . esto inversión.51 Cálculo Diferencial N 2. b] el clima se desarrolla. Para empezar. ⌅ medio. Taller B.600 pesos. en la troposfera. y si es falso escriba el enunciado correcto o donde el máximo nivel de ozono se alcanza.Clases 1-2 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. i (3{). son proporcionales al número de estudianClasificación de problemas: N básico. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Se sabe además par. i (¡1). .Taller 1 . de unos 10km de espesor. ¿En ycuáles intervalos i decreciente? Dé el dominio y el rango de i . (b) (c) N (d) (e) (f) (g) ¿Para cuáles valores (aproximados) de { se tiene i ({) = j ({)? Estime la solución de la ecuación i ({) = 2. pero por la compra de más de 20 kilos. decirquelahaytemperatura de Taller hecho c) Dado cualquier par de números reales a < b. b) Hay promoción de azúcar. e) Eni (d)> un itaxi dei (2Medellín. y que es dónde todo c) f es una función creciente en el intervalo [a. carrera es de 4. y es función de x. d) La temperatura del aire en la atmósfera depende de la altura. Si i({) = 3{2 ¡ 2{ + 1> evalúe: i (0). 2014. Realice este taller individualmente o en grupos. Taller A. los cuales serán claramente linealmente con la altura. por cada 78 metros se cobran 81 pesos y la g) Una función par puede ser creciente en todo su dominio. en explique por qué. l) Si las variables x y y están relacionadas mediante la ecuación x2 + y 2 = 1 entonces. Universidad Nacional de Colombia. j) Si f es función impar y 0 2 Dom(f ) entonces f (0) = 0. entonces sus gráficas se interceptan en exactamente un punto. n) Para cada par de puntos en el plano. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. la temperatura del aire disminuye a unaTaller tase de C por cada kilómetro. Se sabe es además que la función g es par. g. 4. i (¡1). siempre va signi…ca que serán realizados en distintos talleres durante la misma semana. distancia recorrida por eldetaxi así: el ’banderazo’ vale que 3. Nota al estudiante: Se pretende quecual usted ocurre haga todoslolosque ejercicios. Taller A. haga una gráfica aproximada de la función que las relaciona. d) Estime la solución de la ecuación g (x) = 2. Enla la …gura se proporcionan las grá…cas dos funciones i y j. k) Si m 6= 0 entonces la gráfica de y = mx + b intersecta el eje horizontal. está dada por D = p ⇥ R. describa en palabras el comportamiento de cada función. ⌅ 8. Este proceso se puede describir mediante una función: sea x la posición inicial de la carta contando de arriba abajo. le cobraron 100 mil pesos. la carta punteada comenzó en la posición número dos. # dientes del plato # dientes del piñón se llama la “relación” y p es el perímetro de la rueda. halle la tabla de la función f . s(x) = x2 |x|. Cuál son el dominio y rango de la función D = f (R)? N 10. ⌅ 6. encuentre f (2). Halle la tabla de g. f (a) + 1. y f (x) su posición final. 2) se ponen las partes lado a lado. Halle las ecuaciones de las rectas paralelas y perpendiculares a la recta y = 7 4x que pasen por el punto (1. 1).N 5. Tiempo Tiempo ⌅ 11. halle la fórmula para f . (3. Use un computador o calculadora para graficarlas y verificar su respuesta. 32 y 44 dientes. 1). que consumió 7 m3 . Cómo describiría en palabras la gráfica sobrante? Distancia a la casa Distancia a la casa Tiempo Distancia a la casa Distancia a la casa Tiempo F 9. b) Me vine despacio pero me tocó acelerar porque me dí cuenta que iba a llegar tarde. Determine si la función es par o impar. f ( a). 2f (a). 06x62 N 7. a) Para el caso N = 10 que se muestra en la figura. y suponga que N es par. h(x) = x+5 4 x2 r(x) = x3 |x . |f (x)|. A cuál de las gráficas corresponden cada una de las siguientes historias de mi recorrido desde la casa a la Universidad: a) Me pinché viniendo y me tocó cambiar llanta. 2). Halle el dominio y rango de las siguientes funciones. Halle una fórmula para una función f (x) definida por tramos lineales que pase por los puntos (11. 19 y 32 dientes respectivamente. 3). En un mes dado. La distancia recorrida D en un pedalazo de una bicicleta. c) Se me quedaron los libros en la casa y me tocó devolverme. cuatro piñones de 11. Haga un gráfico de las rectas resultantes. f (a). Si f (x) = 3x2 2x+1. platos de 22. Suponga que una bicicleta tiene ruedas de 26” de diámetro. 2x. y terminó de cuarta. donde R = b) Sea g la función que describe revolver dos veces. Sea N el número de cartas en la baraja. Halle la fórmula que usan las Empresas Públicas para calcular el valor de la cuenta mensual. |x| + x2 . c) Para un número par de cartas N general. Una forma muy sencilla de revolver una baraja de cartas es la siguiente: 1) se parte la baraja por el medio. multiplicado por el consumo del mes en metros cúbicos. Según la gráfica. N 12. Ver figura siguiente. cos x 26x60 . Por ejemplo. y en la parte delantera. p x x3 + x 4 f (x) = x2 + x. f ( 2). f (|x|). a una casa que consumió 2 m3 de agua le llegó una cuenta por 40 mil pesos. Para cuáles valores de x se cumple que f (x) = 0? . f (a + 1). Las Empresas Públicas cobran mensualmente por el servicio de acueducto de la siguiente manera: un costo fijo más el precio por metro cúbico. y a un restaurante vecino. (5. 3) se intercalan las cartas. f (2a). g(x) = . entonces f (2) = 4. 15. t(x) = 1| ( u(x) = x4 x 4 2x. 86 Distancia [m] 10 20 5 6 a por los puntos ( > 0) y (1> )= 2 5 Suponiendo que la distancia recorrida x es una función lineal ecuación: 3{ ¡ 5| = ¡19= del tiempo t. localizado bastante lejos de su lugar de localizado bastante lejos de su lugar de trabajo. los primeros tiempos cronometrados a lo largo de ecuación: 10{ + 6| ¡ 50 = los 0= siguientes: la carrera fueron ¡1 a por el punto (0> 2) y su pendiente es Tiempo [seg] 21. y se llena con agua a razón de 0. b) Encuentre una fórmula que exprese el cateto del triángulo en términos de x. (b) (c) (d) 0. Halle el dominio de la función A. Si el silo está inicialmente vacío.0 m 1. Dadas las rectas descritas por:1 2 3 x 100 m META ecuación: 2{ ¡ | = 4= -1 2 1 ecuación: 4{ + 5| ¡ 10 = 0 ¡14 el récord de los cien metros planos ⌅ los 15. tal que todos los carriles tramos para g(x) = |f (x)|. La figura muestra un pista de atletismo. ¿qué puede decir del tiempo de reacción de 4 . desde su lugar de trabajo y se representa en una de correr? Si hubiera seguido a la misma velocidad. Se mide la distancia de un mensajero. Considere el silo que se muestra en la figura. Uno de ellos de tamaño x se dobla en forma de quince minutos y lo hizo ir de allídirectamente al hospital. Queremos hacer una carrera desde la salida halle una fórmula por tramos para f . La figura muestra la parte de la gráfica. que se desplaza en Bolt? Es decir. puntos Cuando(¡1> Usain Bolt rompió a por ¡2) y (0> )= 5 en Berlin. de una función impar f . Halle la función para marcar la línea punteada de salida. escoja la grá…ca que mejor describa dicha situación. a la derecha del vuelta por el carril interno es de 400 m y la pista tiene 10 eje vertical. La distancia de una ⌅ 14.N 13. ¿cuánto las gráficas siguientes. gráfica que mejor describa dicha situación.1 metros cúbicos por segundo.84 2. a) Haga un dibujo que exprese lo mejor posible la situación descrita. y metros de ancho. Conociendo que el mensajero hace un habría sido su tiempo total de carrera? único mandado en cada viaje.5 m 1. Complete la gráfica. triángulo rectángulo con ángulos agudos de 450 y el resto se y lo hizo ir de allí directamente al hospital. que cuando se detiene por un semáforo lo hace máximo por dos minutos y que al regreso ⌅ 16. Halle el volumen de líquido que ocupa el silo como función de la altura hasta la cual se llena. recorran la misma distancia. c) Encuentre una fórmula para la suma A de las áreas encerradas por el triángulo y por el cuadrado en función de x. y claro.0 m A. Su radio es de un metro. escriba la altura del nivel del agua como función del tiempo. Halle una formula por hasta la meta marcadas. y LID SA A 2 0 B. ¿cuánto tiempo tardó Bolt en comenzar a bicicleta. Un trozo de alambre de 20 metros de largo se corta en dos de uno de sus viajes sufrió un accidente que lo detuvo unos pedazos. Encuentre una expresión para la función cuya grá…ca es la curva dada a continuación F 18. escoja la dobla en forma de un cuadrado. (a) ⌅ 17. ⌅ medio. La función sen(x2 ) es periódica con periodo 2⇡. Función trigonométrica. Toda función lineal es un polinomio. ⌅ 6.bL H1. 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 -4 6 Halle las fórmulas de funciones potencia correspondientes a las gráficas mostradas: H16. 2y( 3x) 5. entonces se puede factorizar. 2.2L 2.2L 2 -3 -2 p t1/3 2. c) Un polinomio de grado cuatro que intercepte al eje horizontal en ⇡.dL H0.729L 1000 0. Si es verdadero. g(x) = xn . Halle las fórmulas de los polinomios de grado dos correspondientes a las gráficas mostradas. Función potencia. F reto.1L -1 1 N 3. 2 4 1 3 Out[87]= H5. 3 N 1. un ejemplo particular. y(x 3) + 2. 2. 0. asista a las asesorías con monitores o profesores. dibuje en el mismo plano las gráficas correspondientes a los valores n = 3. y una aplicación a la vida real: a) b) c) d) e) Función lineal. Para cada una de las siguientes funciones.Clases 3-4 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. Todo polinomio es una función racional. 1. 2y(x/2 + 4). g(x) = 4 x2 . 5). Para cada uno de los siguientes tipos de funciones. 1. Si tiene alguna pregunta. Halle el dominio y el rango de las siguientes funciones f (t) = H0. 2y(3x + 18). d) Una función con rango [3.Cálculo Diferencial . La función g(x) = cos(x) + sen(2x) es periódica.5 1500 Out[92]= 1.0 2500 2000 1. cada una de las siguientes ecuaciones: y(x 1) 1. h(x) = x1/n Hc. Si un polinomio tiene al menos una raíz real. La curva punteada es la gráfica de y(x). b) Una parábola que se abra hacía abajo y tenga su vértice en (2. Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. explique por qué. Realice este taller individualmente o en grupos. Función racional. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. 10000 ). Identifique entre las otras curvas. 2y(x). h(r) = |3 sen(r) + 1| x2 + x Febrero.0 0. Halle fórmulas para funciones que satisfagan las siguientes condiciones: a) Una función que sea par e impar a la vez. Dados cualquier tres puntos en el plano. escriba su forma general (si la hay). sen |x| = | sen x| para 2⇡ < x < 2⇡. El período de la función f (t) = sen(4⇡t) es 1/2. Clasificación de problemas: N básico. N 5. 1 y 5. 4 e) Una función potencia que pase por (2. f (x) = xn es una función par si y sólo si n es par. Polinomio. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. existe al menos un polinomio que pasa por ellos. a 5 b e 3 yHxL 1 -9 -7 -5 -3 -1 -1 1 3 N 4.0 H3. Escuela de Matemáticas. 1).5 500 5 10 15 20 1 2 3 4 N 8. 2014. N 2. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Todas la funciones potencia pasan por (1.1L N 7. La gráfica de la derecha muestra una parábola y una línea recta. Sede Medellín. El rango de todo polinomio es igual a R. Exprese cada una de las coordenadas c y d como función de b. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Universidad Nacional de Colombia. -3 f d c -5 5 7 . f (x) = nx.Taller 2 . 5] y periodo igual a 4. En cada uno de los dos casos siguientes. 1 2). g3 y g4 en términos de la función f usando la transformación elemental adecuada: a) f N 10. tiene fórmula f (x) = 4 (x 2)2 . g2 . s -2 -1 0 1 2 3 -1 g1 g2 2 1 1 s s -2 0 -1 1 2 3 -1 0 -1 -1 -2 -2 g3 1 2 1 2 g4 1 1 s s -1 0 1 2 3 -1 0 -1 b) f 2 1 s -2 -1 0 1 2 3 -1 2 g1 ⌅ 11. g2 1 1 s s -2 0 -1 1 2 3 -1 0 1 2 -1 -1 h -2 g3 g4 2 2 4 1 1 0 1 -1 2 3 f s s -1 -2 -1 0 1 2 2 -1 x 2 4 6 8 . h. j(x) = 12 f (x). escriba las funciones g1 . Determine cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos: g(x) = f (2x). g. Las gráficas de las funciones f. k. cuya p gráfica se muestra en la figura. l(x) = f ( 12 x). j. l se muestran en la figura. 2 h(x) = f (x k(x) = 12 f (2x). Halle una fórmula para la función h mostrada.N 9. La función f . 47R metros. ñ) V 3. 2. m) F. 1).82 seg. k)V. 4600 si 0 < d < 1925. f) f (x) = 12 x2 x + 6 T 120 La figura siguiente muestra datos reales de la variación en la altura de la superficie del agua.2 5. Perpendicular: y(x) = 14 x + 34 . use transformaciones elementales sobre una función trigonométrica hasta obtener el comportamiento deseado. L(x) = ⇡x. Suponga que queremos cambiarle las unidades a las variables y graficar ahora la temperatura T˜ en grados Fahrenheit como función del tiempo t˜ en segundos. V (h) es igual a: ⇡3 h3 para h 2 [0. (0. l) F.1t + 2⇡/3) ⇡1 para t 2 [10⇡/3. . a) P (t) = 46000000 + 800000t 80 35 para h 2 e) T (d) es igual a: 2600 si d = 0. Halle un modelo matemático que describa los datos de la tabla dada. 30]. f (x) = 16 x + 23 para x 2 [5.91.0 06:00 12:00 18:00 Feb 16 00:00 Los datos durante el 15 de Febrero se pueden resumir aproximadamente en la siguiente tabla Marea baja Marea alta Marea baja Marea alta 1:10 7:10 1:10 7:10 AM AM PM PM 2. 1. 2000 + 900c para c 2 (20.⌅ 12. 8. y 2000 m x 0 20 40 60 1.16. b) Dom(f ) = {0. g(x) = x. f)F.32 ⇥ 106 E d) T (h) es igual a: 6. 1. 15. 2. T denota la temperatura en grados centígrados. En cada paso.13. g(x) = tan x. 1]. 10.47. p p b) f (x) = 2 3x + 1. Use transformaciones elementales sobre la figura dada para hallar la gráfica de dicha función. Si T˜ = G(t˜). 11. y x la distancia horizontal en Km. 10⇡/3]. Suponga que una carretera tiene la forma mostrada en la figura: y = m(x) donde y es la altura en metros. 1. Tiempo de carrera: 11. e)F. P (c) = 16000 + 12000c 12.32. en metros. g(x) = cos x. [10.5 3.93. m m m m c) F (E) = 14.5 1 3. 14. El resultado de un proceso de calentamiento-enfriamiento es la función F (t) que muestra en la figura. b) c(x) = 2+xp2 . ⇣ ⌘2 16. Suponga que un auto viaja a una velocidad horizontal constante de 40 Km/h y comienza a subir la montaña a las 3 AM. d) f (x) = |2x x2 |. 2.5 F 4. j)V.1 2. ⇡3 + ⇡(h 3⇡ ⇡ (5 2h)2 ( 52 h) para h 2 [2. y t el tiempo en minutos.0 30 t 0 4. Dibuje a mano la gráfica de la función f mediante transformaciones elementales de la función g.3t para ⇡ t 2 [0. 40⇡/3]. 11]. 6. Tiempo de reacción: 0. ⌅ 15. 2]. y es imposible escribirla de manera cerrada para t 2 [40⇡/3. 6 f ( 72 ) = 0. c) A(x) = 12 2+xp2 + (5 x4 )2 17.02 seg. ocean height HmetersL ⌅ 13. b) 2.93)/78e + 4600 si d > 2100. c) f (x) = tan( ⇡2 (x 1)). ⌅ 14.2 5. 2. a) 3.5h + 30 para a 2 [0. g(x) = x3 . a) f (x) 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 c) f (x) = 2x si 0 6 x 6 N/2 y f (x) = 2(x N/2) 1 si N/2 < x 6 N . 2. 13.68. 18. f (x) = 2x 7 para x 2 [3.1 b) P (c) es igual a: 1000c para c 2 [0. 1/3 La altura como función del tiempo es h(t) igual a: 0.68. c) 4. a)V. 5. 5/2]. 5]. 20]. e) f (x) = 2|x 1|3 + 1. Paralela: y(x) = 4x + 5. 1. 81d(d 1925. trace la gráfica correspondiente e indique la fórmula de la función que está graficando. 15⇡]. g)F. h) V. 7. en la bahía de Tumaco. La gráfica corresponde a 48 horas a partir del 15 de Febrero del 2013 a la media noche. 2 3 1) para h 2 [1. Dom(f ) = Q \ [0. 20]. 2. 4. n) F. ¿cómo se puede obtener G a partir de transformaciones elementales de F ? 5. g(x) = x2 . donde x es la distancia del corredor al carril interno. 2.00. d) F. 1. i) V. Ayuda.93. 4} x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. c) V.5 2. Donde dxe es la función que redondea x por encima. a) D = 207. b. 700 + 900c para c > 30. Exprese la altura a la que se encuentra el auto como función del tiempo t en horas a partir de la media noche. a) f (x) = 2 cos(x ⇡4 ). Dibuje la nueva gráfica.0 Respuestas al Taller 1.38.0 0. 10]. b) V. 35 (h 70) 5 para h > 20. Si una población de bacterias se multiplica por sí misma cada hora. encuentre f. (g g). F reto. ⌅ medio. asista a las asesorías con monitores o profesores. Considere las siguientes funciones f. g(x) = tan(x) b) f (x) = x+1 e 2x . (f f ). (f g). explique por qué. entonces el número de bacterias es una función exponencial del tiempo.Clases 5-6 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller.Taller 3 . Si una población de bacterias aumenta a una tasa de dos bacterias por hora. g en la figura: a) Halle el dominio de g f b) Halle una fórmula para g f . Si una población de bacterias se reduce a la mitad cada hora. Realice este taller individualmente o en grupos. para graficar la función g(x) = sen2 (x). x. encuentre el dominio y la fórmula de (f g). Una función exponencial. 2014. ⌅ 9. (g f ). . a) Exprese el radio del globo en función del tiempo t. Dom(f /g) = Dom(f ) \ Dom(g). v(x) = 2 x + 2. Para cada caso. Un globo esférico está siendo inflado y su radio está aumentando a razón de 2 cm/s. Qué es f g y cuál es su dominio. Si tiene alguna pregunta. Vida media de un isótopo. entonces el número de bacterias es una función exponencial del tiempo. g. Ayuda: cos(2x) = cos2 x sen2 x ⌅ 4. Responda si el enunciado es verdadero o falso. entonces el número de bacterias es una función exponencial del tiempo. (h g). N 1. (f f ) y (g g). Si una población de bacterias se duplica cada hora. Para las funciones f. -1 2 t f (t) g 0 1 1 0 3 -2 1 x N 2. x61 x>1 Hallar fórmulas por tramos y grafique u v y v u ⌅ 8. x . (g f ). Sean las funciones reales definidas por: ( ( 3x + 1. (f g h) F 7. Para cada una de los siguientes casos. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. c) Dibuje la gráfica de g f . p a) f (x) = x. entonces el número de bacterias es una función exponencial del tiempo. Clasificación de problemas: N básico. g tales que F = (f a) F (x) = cos2 (x). Universidad Nacional de Colombia. Si es verdadero. Use la función f (x) = cos x y transformaciones elementales. Si f y g son funciones exponenciales. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Suponga que f y g son funciones: a) b) c) d) e) f) g) g). Toda función exponencial es creciente. h: h(x) = 1 h) i) j) k) l) f g=g f Dom(f + g) = Dom(f ) \ Dom(g).Cálculo Diferencial . Dom(g f ) = Dom(f ) \ Ran(g). ⌅ 6. Escuela de Matemáticas. entonces (f f )(x) = x. Sede Medellín. Si f (x) = 1/x. El número e. dibuje la gráfica. ⌅ 3. N 5. -2 -1 0 1 -1 Para cada uno de las siguientes funciones calcule su dominio. b) F (x) = ex/3 . g(x) = 1 Febrero. tan x c) F (x) = 1+tan x. entonces f g también lo es. x > 0 x + 6. y calcule el rango. u(x) = . Toda función exponencial g(x) = ax se puede expresar como g(x) = ekx para alguna constante k. x < 0 4x2 5. Repase las definiciones y explique en sus propias palabras el significado de los siguientes conceptos matemáticos: a) b) c) d) Compuesta de funciones. a) Encuentre la cantidad de masa restante cuando han transcurrido 60 horas. Sea V (y) el precio de venta de un paquete de arepas cuando el costo de producción de cada paquete es de y pesos.4 % cada 100 metros. c) Use composición de funciones para hallar el costo de la varilla como función de su longitud. 0 6 x 6 250 C(x) = 5x + 300 x > 250 El precio de venta de cada paquete depende del costo de producción. a) Halle una fórmula para la presión atmosférica en función de la altura. el kilo adicional cuesta 2500$.000 casos. Suponga que en un año el número de casos de cierta enfermedad se reduce en un 20 %. La fórmula para C(x) es: ( 5x + 200. Al nivel del mar la presión es pa = 101. c) ¿Qué significa la función G(y) = V (y) y? Halle su gráfica y su fórmula. Una varilla de cierto metal compuesto tiene una densidad lineal de 13 Kg/m hasta el segundo metro. el precio de venta de cada paquete de arepas depende del costo de producción. En una fábrica de arepas. b) Indique la población P (t) de bacterias que hay después de t horas. halle la expresión para la presión atmosférica fuera del avión como función del tiempo. e inicialmente una muestra de este isótopo tiene 2 gramos de masa. El costo total de producción de un paquete de arepas depende del precio de la libra de maíz. d) ¿Qué significa (C P )(n)? Halle el dominio y elabore la tabla de valores de esta función. Un cultivo de bacterias inicia con 100 bacterias y se duplica cada 5 horas. son: Día 1 2 3 4 Precio($) 300 260 240 220 costo del maíz requerido para fabricar un paquete de arepas en el n-ésimo día del mes. En 1900 había 11. El precio del material se da por peso: 3000$ por kilo hasta los primeros 20 Kg. tiene una vida media de 15 horas. 3000 a) Dibuje la gráfica de la función C. y en el año 2000 el Censo arrojó un total de 41 millones de habitantes. c) ¿A cuánto asciende el número de bacterias cuando han transcurrido 10 días? N 13. b) Exprese el costo del material como función del peso a comprar. c) Estime la cantidad restante una vez transcurridos 4 días. ⌅ 10. 24 Na. Sea: P (n) = ⌅ 11. Si el día de hoy existen 10.3KPa. Los precios proyectados de una libra de maíz en la plaza mayorista para los primeros cuatro días de octubre. Sea C(x) el costo de producir un paquete de arepas cuando el precio del maíz es de x pesos por libra en la plaza mayorista. La presión atmosférica es una función de la altura. y decrece en un 0. b) ¿En qué porcentaje se reduce la presión atmosférica cuando se sube del nivel del mar a Medellín (1500 msnm) ? c) Si un avión sube de la costa a la altura de Medellín a una velocidad constante de 100m/min. y si compra más de 20 Kg. N 15. Un isótopo de sodio. b) Halle la cantidad remanente al transcurrir t horas. f) ¿Cuál es el valor y el significado de (V C P )(4)? g) ¿En cuál de los días de esa semana de octubre es más barato comprar arepas? ¿Qué día es mas caro? h) ¿Cuál fue el mejor día para la empresa? a) Encuentre el número de bacterias en el cultivo después de 10 horas. y de 10 Kg/m entre el segundo y el cuarto metro. La fábrica requiere 1 libra de maíz para fabricar cada paquete de arepas. y este a su vez depende de las variaciones del precio de maíz en la plaza mayorista. encuentre V r y describa el significado de esta función. cuántos años tendrán que transcurrir para que: a) Se reduzca el número de casos a 1. La gráfica de V es la siguiente: V(y) 3000 2000 1500 y 0 1500 a) Exprese el peso de la varilla como función de la longitud. b) Halle la fórmula de la función V.000? b) Para eliminar la enfermedad (es decir que el número de casos sea menor que 1)? F 16.b) Si V (x) es el volumen de una esfera de radio x. ⌅ 14. N 12. e) ¿Qué significa (V C)(x)? Halle el dominio y la fórmula de esta función. Sea t el tiempo en años y considere los siguientes tres modelos matemáticos: .5 millones de Colombianos. 5 11. b) Llene los espacios vacíos en la siguiente tabla con los resultados. d) x6 . e) f (t) = tlog2 (4/1000) 4. 4]. 2. e)V. b)V. g2 (s) = 4f (2s). d) f (x) = sen( ⇡2 x) + 4. b) f (x) = 12 x2 + 12 x + 1. b. g3 (s) = 12 f (2(s + 1)). 8. d)V. en millones de habitantes. 14. h(x) = 52 f ( 45 (x 3)) 12. ↵. Ran(h) = [0. h(t) = m(40(t 3)) 1 ˜ 15. a) 12 (x 3)2 . 1}.Respuestas Taller 2 Crecimiento lineal: Pl (t) = mt + b Crecimiento exponencial: Pe (t) = c e kt Crecimiento potencial: Pp (t) = r t↵ a) Use los datos dados para hallar la fórmulas en cada modelo. a. Es decir. h) V. c) f (x) = (x ⇡)(x+ 1)(x 5)x. halle el valor de los parámetros m. Dom(g) = R {0. a) g1 (s) = 4f (s). f) F. p 7. 2⇡ 13.5 1950 2000 41 41 41 2014 2100 c) ¿Qué modelo predice mejor la población actual de 46. Año Lineal Exponencial Potencial 1800 1900 11.5 11. Dom(f ) = [8. 1). c(b) = b. l)F 3. g4 = | 4f (2s) + 1|. r. Dom(h) = R. 10. g4 (s) = 12 f (2(s + 1)). V. g3 = 4f (2s) + 1. Ran(g) se estima de la gráfica.F 11. t en mins desde la media noche.65. b) g1 (s) = f (2s). a)V.F. g2 (s) = 12 f (2s). T˜ = G(t˜) = 95 F ( 60 t) + 32. d. de cada uno de los modelos.45 cos( 720 (t 430)) + 3. 5. . g) F. c)V. i) V. k) F. f 9. j) V. 1). c. a) f (x) = 0. b.V.V. c.3 millones de Colombianos? d) ¿Cuál cree usted que es el mejor modelo matemático para esta situación y por qué? 1. d(b) = b2 . 6. k. c) 4 x. e. Ran(f ) = [0. b) f (x) = (x 2)2 +5. M (t) = 1. g) Si f es invertible y creciente. t minutos después de salir del horno. b) T (r) es el precio que marca un taximétro cuando el taxi ha recorrido r Km sin detenerse. Escuela de Matemáticas.Taller 4 . entonces Ran(f 1 ) = Dom(f ). Halle la vida media de una sustancia radioactiva que tarda 20 horas en reducirse en un 30 %. Producir q camisetas cuesta C(q) = 6000 + 22000q. Halle la inversa de las siguientes funciones: p a) f (u) = 2 5u. N 3. . a la cual se encuentran rocas de edad t millones de años. entonces f 1 también es creciente. N 6. y tres horas después ha aumentado a 50 individuos. La función f tiene la gráfica mostrada en la figura. e) Si f es impar entonces es invertible. d) Una función par puede ser uno a uno.Clases 7-9 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. Una población de bacterias tiene inicialmente 20 individuos. Cuál de las siguientes funciones son invertibles y por qué. se define a f (t) como la profundidad por debajo del fondo del mar. explique por qué. entonces f g también lo es.Cálculo Diferencial . podemos encontrar un número c tal que f se puede escribir como f (x) = c loga (x). Febrero. La temperatura T (en grados centígrados) de un pan. Si tiene alguna pregunta. f) La inversa de f es igual a 1/f . N 8. f) f (n) es el número estudiantes en su clase de cálculo que cumplen años en el n-ésimo día del año. 0 < s. ⌅ 7. asista a las asesorías con monitores o profesores. a) Asumiendo un modelo de crecimiento exponencial. 2014. 1 (40) ? N 5. Cuál es la definición de f dominio. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. b) Si f es una función invertible. Repase las definiciones y explique en sus propias palabras el significado de los siguientes conceptos matemáticos: 1 20 Profundidad (m) a) Función uno a uno. s < 1 f) f (s) = e (s+1) . En una excavación submarina. ⌅ 4. Si es verdadero. b) Función inversa. j) Dada una función logarítmica f (x) = logb (x) y cualquier a > 0. ⌅ medio. calcule f 1 y exprese su significado. i) Toda función exponencial es invertible. e) y(x) es la altura de la calzada de la calle que sube al cerro El Volador como función de la distancia x desde la entrada. exprese el número de bacterias B como función del tiempo t. Realice este taller individualmente o en grupos. 0 N 1. y tal que f 1 (x) = (f (x)) 1 . h) Si f y g son funciones uno a uno. Universidad Nacional de Colombia. Halle una fórmula para la inversa de C y explique su significado. Tiempo (millones de años) 10 20 30 40 40 60 80 100 120 140 160 a) ¿Es f invertible? b) ¿Cuánto vale y qué significa f c) Trace la gráfica de f 1 . c) f (s) es la cantidad de galones de gasolina en el tanque de un carro como función del tiempo desde la última tanqueada. b) Si B = f (t). y cuál es su N 2. F reto. d) E(t) es el número de estudiantes al interior de la biblioteca en el instante t. Suponga que f y g son funciones: a) a · a loga (a) = 1. e) f (x) = logx (2) 8 > <2s + 2. 16s60 > : 2 s + 2. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Responda si el enunciado es verdadero o falso. a) P (x) es el precio de x gaseosas en la cafetería central. ⌅ 9. Clasificación de problemas: N básico. c) Función logaritmo en base b. c) Una función periódica puede ser uno a uno. Sede Medellín. k) Existe una función invertible f con Dom(f ) = R. está dada por: T = f (t) = Halle f 1 50et 2et 1 (30) y explique su significado. 3 4r b) f (r) = 2 + 3r y c) f (y) = 2(10 ) d) f (v) = ln(v) ln(v 1). ¿Cuánto tarda en duplicarse una cantidad de dinero que crece a una tasa de interés anual del 6 %? ⌅ 10. Sabemos que infortunadamente f. -1 2 t f (t) 0 1 1 0 3 -2 g 1 x -2 -1 0 1 -1 Para cada uno de las siguientes funciones calcule su dominio. en kilómetros. Generalmente se toma como referencia la canasta familiar. Considere las siguientes funciones f. La tasa de inflación mide el incremento de los precios en una economía. La población humana es una función del tiempo P = f (t) y la concentración de gases invernadero en la atmósfera (en ppm) es una función de la población G = g(P ). h f 1 . 1 (h (g f ) Sea f (x) la altura en metros sobre el nivel del mar del automóvil cuando éste ha recorrido x kilómetros.N 11. La gráfica de g se muestra a continuación: g(t) t 1 2 3 Suponga que la cantidad de gasolina. ⌅ 16. Un automóvil realiza un recorrido de 100 kilómetros por una carretera que comienza en Medellín. ⌅ 13. g 1 . y se observó cerca a una orilla. h 1 . h f 1 . la temperatura media del aire está cambiando con el tiempo según. (f g h) 1 p ⌅ 15. las unidades. (h g) 1 . Los primeros cincuenta kilómetros de carretera son planos y a partir del kilómetro cincuenta. la gráfica y la fórmula para las siguientes funciones: f 1 . después se desplaza verticalmente de manera que pase por el origen y por último se refleja respecto a la recta y = x. f h 1 . 50 0 h(x) = 1 ). ¿Qué significado tienen las siguientes funciones?. ⌅ 12. f 1 . que 2cm2 de su superficie estaban cubiertos por una planta extremadamente peligrosa y que se reproduce de manera exponencial. que el automóvil gastó en r kilómetros recorridos fue: h(r) = 8 1 < 10 r. y por tanto invertibles. recorrida por el automóvil después de t horas está dada por g(t). h: (h g) 1 . g 1 . x. 50 6 r 6 100 En caso de existir. 100 14. La gráfica de la ecuación y = 2x 4 se desplaza hacia la izquierda 4 unidades. y calcule el rango. T = h(t). ¿Cuáles son sus correspondientes variables independientes y dependientes? f 1 h . La distancia. la plantica había incrementado su tamaño a 10 cm2 . y ahora vale 1700 pesos. g y h son funciones crecientes. valga mil pesos? . : 0 6 r 6 50 5 + 15 (r 50). Como resultado. ¿Cuál ha sido la tasa de interés en Medellín durante este periodo? ¿Cuánto tiempo pasará para que lo que vale hoy cien pesos. significa que cada año el precio promedio de los bienes se incrementa en I %. y se mide cuánto incrementó el costo de la canasta familiar de un año a otro. luego se encoje horizontalmente a la mitad. (g f ) 1 . Que un país tenga una tasa de inflación I anual. en galones. La elevación de Medellín es de 1500 metros sobre el nivel del mar. dibuje la gráfica. halle el significado. 1 f g 1 . Un lago tiene un área superficial de 1 hectárea. ¿Cuánto tardará la planta en invadir el lago entero? Todavía más interesante es: ¿qué porcentaje del lago estará invadido un día antes de que se complete la invasión? El pasaje del bus en Medellín en 1980 valía 40 pesos. Tres días después. Halle la ecuación de la gráfica resultante. la carretera tiene una pendiente constante del 2 %. g. h) F. Dom(C P ) = {1. 2].83 %. 1]. el ángulo formado por el lado desconocido y el de 10 cm. Ran(f p g h) = {0. ¿A cuáles horas de la mañana de hoy hubo una marea de 3 metros? Respuestas Taller 3. 2}. Halle el dominio y rango de la siguientes funciones: a) f (x) = cos b) g(x) = tan c) h(x) = sen 1 (x/10) 1 3 2x ( 4 ) 1 (1/|x 3|) ln(x + 2) ⌅ 19.3 ⇥ 0. p 4. sen2 (x) = 12 (1 cos(2x)). u(s) = 1 tan(s⇡/2).3 años. Dom(f g h) = {0} [ [1. N 20. 4}. f (r) = cos(r). ⌅ 18. 12. i)F. a) 10. (g f )(x) = 4 (2x 6)2 si x 2 (2. g)V. 1]. c(x) = 60000 + 2500(26 + 10(x 2) 20) si 2 6 x 6 4. d) F.33 pesos. c) G(y) ganancias netas cuando el costo de producción es y pesos. x 5. t 2 [1/2.45 cos (t 430) + 3. f)F. 16. La altura de la marea en la bahía de Tumaco está dada por: ✓ ◆ 2⇡ M (t) = 1. c) P (t) = 101. 13. b)(V r)(t) = 43 ⇡(2t)3 .5t/15 . g(x) = tan x. x 2 [0. verifique que es invertible en el dominio especificado y halle su función inversa: a) b) c) d) f (x) = cos(⇡x). 1<x60 e) h(x) = ⇡x e . 15. respectivamente. 3). d) (C P )(n) es el costo de producir un paquete en el n-ésimo día del mes. 4]. 10. a) F. 3. Identifique un intervalo donde M sea invertible. 2]. b) 5.996t . 4]. 2.3 ⇥ 0. 3]. 5⇡/2]. r 2 [2⇡.32 años. a) p(x) = 13x.65 720 metros. ⌅ 22. N 17. 1. 2]. Para cada uno de las siguientes funciones. c) c(x) = 3000(13x). l) F. si x 2 [ 5/2. c) F. 20/13]. f) 1733. 7. b) P (t) = 100 ⇥ 2t/5 . 2]. p(x) = 26 + 10(x 2) si x 2 [2. Dom(f g) = [k2Z [k⇡. ( cos(⇡x). e) V. y calcule M 1 allí. j) V. con t en minutos a partir de la media noche de hoy. k) V. 6. Halle los triángulos posibles que satisfacen lo siguiente: dos lados adyacentes miden 10 y 8 centímetros de largo. 9. b) I(t) = 2 ⇥ 0.Funciones trigonométricas inversas. si x 2 [0. . a) r(t) = 2t. c(x) = 60000 + 2500(13x 20). (g f ) = 4 x2 si x 2 [0. x > 0. 1. (f g)(x) = tan(x). sen 1 y tan 1 .996h/100 . (u v)(x) = (4x2 5)2 p + 2. p p 8. 3. k⇡ + ⇡2 ]). b) 41. s 2 (1. c) f (x) = 1+x . 14. Simplifique las siguientes expresiones: a) cos(sen b) tan(cos 1 1 (1/2)) p ( 3)) ⌅ 21. 11. (u v)(x) = 3(4x2 5) 1. (u v)(x) = (x + 6)2 + 2 si x > 1. a) P (h) = 101. si x 2 [20/13. b) V. 2. es ⇡/6. g(t) = 3 sin(2t 1) 5. La respuesta depende del año en que se considere t = 0. si x 6 5/2. Repase las definiciones los dominios y rangos de las funciones: cos 1 . si x 2 [0. c) ✓ l´ım xx . x x2 x |x| . x!0 x!2 x!4+ x!4 . e) l´ım g(x). ¿Cuándo ocurre que l´ım f (x) no existe? Ilustre ejemplos. entonces f (x) ⇡ 7. x!a entonces l´ım f (x) existe. ⌅ 7. l´ım g(x) = 0. f) l´ım . Clasificación de problemas: N básico. entonces f (x) es aproximadamente igual a 7 con una precisión de al menos 6 decimales. pero l´ım f (x) = 5. Sede Medellín. x!0+ ln x eh 1 . (x) j) Si l´ım f (x) = 4. Calcule los siguientes límites y explique el resultado. ¿qué puede decir sobre los valores de f (x) y g(x) para x cercanos a a ? a) l´ım (g(x) + f (x)) = 0. entonces los límites x!a l´ım f (x) existen y son iguales. 3+ t). l) l´ım (xf (x)) = 21. ¿Qué dice el teorema de Compresión? N 4. o) Debe existir un número positivo t tal que si x 2 (3 t. Si es verdadero. x!a f (x) x!a g(x) e) l´ım = 2. f) l´ım g(x). Responda si el enunciado es verdadero o falso. x!a N 1. d) l´ım . y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. c) l´ım+ 3 . g son funciones. x!r N 3. A continuación se muestra la gráfica de la función g. explique por qué. entonces l´ım x!a g(x) c) l´ım = 1. ¿Qué significa que el límite cuando x tiende a r de f (x) es el número L? Explique en sus propias palabras.Cálculo Diferencial . x!0 x x x x x!0 x!0 a) l´ım N 9. Escuela de Matemáticas. f) l´ım (1 + x)1/x x!1 x x!0 h!0 1 h x!a c) Si a 2 Dom(f ) entonces l´ım f (x) existe.Taller 5 . x!0 x x!0 x x!0 x x!0 x p p p x x x x p e) l´ım . entonces l´ım fg(x) no x!a x!a x!a existe. entonces l´ım (f (x)g(x)) = 28. x!3 y k) Si x ⇡ 3. Para cada uno de los siguientes casos. x!3 x m) Si g(3) = 4. x!a a) Qué tan cercano debe estar x de 0 para que a menos de 4 cifras decimales de 1. ⌅ medio. b) Qué tan cercano debe estar t de 1 para que menos de 6 cifras decimales de 1. x!a sen ✓ 1 . Resuelva los límites indicados. sen(x) ln t = 1 = l´ım t!1 x t 1 Use su calculadora para estimar: x!0 f) Si los límites l´ım f (x). l´ım g(x). F reto. entonces x!a l´ım g(x)f (x) no existe. sen(x) x ln t t 1 esté esté a x!a h) Si l´ım f (x) no existe y pero l´ım g(x) si existe. x!a f (x) x!a l´ım+ f (x). enunciados. x!3 n) Si l´ım (f (x) + g(x)) = 12 entonces l´ım g(x) = 5. x!a b) l´ım (g(x)f (x)) = 0. Para los siguientes l´ım f (x) = 7. Universidad Nacional de Colombia. suponga que N 8. Suponga que f . asista a las asesorías con monitores o profesores. x!a g) Si l´ım f (x) existe.9) 7|. g a) l´ım g(x). c) x! 1+ l´ım g(x). x! 1 d) l´ım g(x). Sabemos que l´ım no existe. 2014. x!0 e) Si l´ım f (x) = 1 entonces f (x) ⇡ 1 si x ⇡ 0. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. x!a f (x) g(x) d) l´ım = 0. Use una calculadora para estimar el valor de los siguientes importantes límites: ✓!0 a) Para calcular l´ım f (x) hay que evaluar f (a). b) x! 2 Febrero. N 2. b) l´ım ✓!0 ✓ cos ✓ . Si tiene alguna pregunta. x!a x!a l´ım f (x) x!a g(x) i) Si l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0. pero l´ım g(x) = 5. b) l´ım . Realice este taller individualmente o en grupos. l´ım f (x) existen y son iguales. d) Si f (a) = 0. x!a+ a) l´ım d) l´ım b) Si l´ım f (x) existe entonces a 2 Dom(f ). x!3 x!3 ñ) |f (2. entonces no exisx!a x!a te. g) l´ım+ . pero l´ım f (x) = 0. x!a 1 x!a f (x) N 6. N 5. g) l´ım g(x).Clases 11-12 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller.99) 7| < |f (2. e) l´ım . H(x). 38. 2.098 horas. f 1 (x) = a) 15 (2 x2 ). g)V. c) log10 (log2 (x)) d) exe 1 . b) f 1 (B) = 1 k ln(B/20). Para cualquier tiempo t. 11. las coordenadas del proyectil son (x(t). . a) c) e) g) i) k) m) o) q) x2 4 2 x!2 x 3x + 2 x3 1 l´ım x!1 x2 1 x 8 l´ım p x!8 3 x 2 l´ım x 8 l´ım p 3 x!8 x 2 x l´ım x!0 sen x l´ım (1 x!1 x) tan( 12 ⇡x) l´ım x2 ecos(⇡/x) x!0 1 1 x |x| sin(10x) l´ım x!0 sin(4x) l´ım x!0 A L x b) d) f) h) j) l) n) p) r) x3 3x + 2 x!1 x4 4x + 3 1 3 l´ım x!1 1 x 1 x3 p 3 5+x p l´ım x!4 1 5 x p p 3 x2 2 3 x + 1 l´ım x!1 (x 1)2 1 cos(4x) l´ım x!0 2x 1 x2 l´ım x!1 sen(⇡x) tan x sin x l´ım x!0 x3 F 14. F (x)H(x). c)F. La altura está dada por y(t) = ut 12 gt2 donde g es la aceleración de la gravedad y u es la velocidad vertical inicial. H(x) = > sin x. j)V. b)V. Calcule cada uno de los siguientes límites. : x. e)F. En la siguiente gráfica se muestran las funciones f y g. f (x)g(x). 10. use su calculadora para estimar el resultado. x = 0. Calcule l´ımt!0 A(t)/L(t). a)V. d)F. Es la edad de las rocas que se encuentran a 40 metros de profundidad. . x > 0. ¿Qué se puede decir de los tamaños relativos de A y L cuando t es casi cero? 5 2 -7 3 0 -3 -6 6 8 t -2 -5 Evalué (cuando sea posible) los límites de f (x). a). ⌅ 11. Antes de usar álgebra. 3. y(t)) como se muestra en la figura. C 1 (x) = x22000 es la cantidad de camisetas que se pueden producir con x pesos. k)F 3. b) 3x+4 . Es el tiempo que se demora el pan en alcanzar los 30 C 7. x 2x 3 8. g(x) f(x) ⌅ 13. 1. 8 > x2 2 x<0 < 1/x e) 2 . l´ım l´ım x cos(xx ) x!0 tan(⇡x) x!1 x 1 l´ım ⌅ 12. 6 y 8 por la derecha y por la izquierda. 0. a) B(t) = 20ekt con k = 13 ln(5/2). x > 0.87 horas. A medida que el ángulo t se hace cada vez más pequeño. f (x)/g(x) y g(x)/f (x) cuando x tiende a 7. a(t) y(t) x(t) Calcule el límite cuando t tiende a cero de y(t)/x(t). x < 0. 6. f 1 (30) = 1. Similarmente. Considere las siguientes funciones 8 ( > <cos x. 11.89 años. 3. . 0). f) log(x) 1 1e 6 x 6 1 > :p x 2 x>2 9. h)V. 6000 5. Considere la figura geométrica siguiente. b) F f 1 (40) = 5 millones de años. la distancia horizontal del proyectil es x(t) = wt + at2 donde a es una aceleración y w es la velocidad horizontal inicial. g(x). F (x) = 0. F (x) H(x) x < 0. Un proyectil es lanzado con un cañón desde el punto (0. e) 4. Calcule el límite cuando x tiende a cero de: F (x). i)F.N 10. ¿Con qué ángulo de inclinación se disparó el proyectil? Respuestas Taller 4. 6. x2 . las longitudes del lado L(t) y el arco circular A(t) tienden a cero. 6 % y en 21 años lo que vale hoy 100$. 3}. y el día antes había invadido el 58 % del lago. 1. 1} Dom(f g h) 1 = {0.12. Dom(h g) 1 = [0. 15. 1]. Ran(g 1 ) = ( 2. 0. b) g 14. Ran(h g) 1 = ( 2. 1 2 4 x + 4x . 0. c) (f 13. 16. 1}. 1]. 2). valdrá 1000$. 1. 1}. (x) = ( x 50 x 50 25 ( + 0 < x < 50 1 50 6 x 6 100 1500 0<x<5 1500 + 100(x 5) 5 6 x 6 15 e) (h g) 1 (x) = x/5 La planta tarda 33. 2}. Ran(f 1 ) = { 1. Dom[h 1 ) = Ran(h 1 ) = R. Ran(g f ) 1 = {0. 1] Dom(g f ) 1 = {0. La tasa de interés es dell 11. 1}. Dom(g 1 ) = ( 1. Dom(f 1 ) = {2. Ran(f g h) 1 = {0.042 días en invadir todo el lago. 1 h 1 )(x) = . y f es continua en todo R. e) Responda las preguntas a. d) Sea h(x) = x 2. y quiere hacer una promoción que la gente le compre grandes cantidades. b] con f (a) < f (b). ñ) l´ım | x1 cos( x1 )| = +1 x!0 . Si es verdadero. Responda estas preguntas de manera clara antes de continuar con el taller. k) Si l´ım f (x) = L. a) Si f es continua en a entonces f (a) existe.Cálculo Diferencial . x!a l´ım f (x)/g(x) = 0. x!a x!a a) ¿En dónde es f continua? b) ¿En dónde es f discontinua y por qué? c) Escriba las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de f . h x -2 1 -1 2 -1 a) ¿Qué significa que una función sea continua en a? b) ¿Qué dice el teorema del valor intermedio? c) Qué significa que l´ım f (x) = L? g 1 x!+1 x d) Qué significa que l´ım f (x) = +1? x!a -2 N 2. F reto. a) Sea V (a) el precio de venta de a kilos de arroz. e) Si f y g son funciones continuas en [0. Realice este taller individualmente o en grupos. entonces la línea x = L es una x! 1 asíntota horizontal para f . entonces l´ım f (x)⇥ x!a x!a x!a g(x) no existe. 1] con f (0) > g(0) y f (1) < g(1). La figura muestra la gráfica de la función f . En la figura se muestran las funciones f . entonces l´ım es ±1. Don Jairo vende arroz. pero g es discontinua en x = a.c para la función g(x) = 1/f (x). 1 f x -2 1 -1 Clasificación de problemas: N básico. entonces x!a 1 -1 2 -1 a) c) e) g) l´ım f (g(x)) b) l´ım g(f (x)) d) l´ım h(f (x)) f) l´ım f (h(g(x))) h) x!0 x!0 x!1 x!0 l´ım f (g(x)) x!1 l´ım g(f (x)) x! 1 l´ım h(f (x)) x! 1 l´ım (g h f x!1 h)(x) N 4. entonces l´ım cos(f (x)) = 1.Taller 6 . Escriba una fórmula para V (a) y dibuje su gráfica. n) Si l´ım f (x) = 0. Escuela de Matemáticas. entonces f (x) ⇥ g(x) no puede ser continua. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. pero g es discontinua en x = a. 2014. ⌅ medio. entonces x!a f (x) f (a) = 0. i) Si l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = +1. Universidad Nacional de Colombia. x!a f (x) h) Si y = L es una asíntota horizontal de f . asista a las asesorías con monitores o profesores. entonces debe existir un número x tal que f (x) = g(x). ⌅ 3.b. Don Jairo cobra cada kilo a 900 pesos. Responda las preguntas a. 1 l) Si l´ım = ±1. 2 1 N 1. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. Calcule los siguientes límites: ⌅ 5. Responda si el enunciado es verdadero o falso.b. c) Si f es continua en x = a. x!a j) Si l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = +1. Si compra más de 20 kilos. f) Si f es una función continua en [a. m) Una función puede tener 3 asíntotas horizontales. entonces [f (a). b) La función tan(x) es discontinua en x = ⇡/2.c anteriores para las funciones h f y f h. f (b)] ✓ Ran(f ). 1 g) Si f (a) = 0. h y g. Sede Medellín. explique por qué. Si tiene alguna pregunta. Febrero. Don Jairo cobra 1000 pesos por kilo. Su idea es la siguiente: si uno compra menos de 20 kilos de arroz. entonces f (x) + g(x) puede ser continua.Clases 13-14 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. entonces f nunca toma el valor de L. d) Si f es continua en x = a. l´ım ln(x2 x!3+ l´ım x!⇡/2+ 9) b) etan(x) d) 7x2 2x + 1 x!1 3x2 + 8x + 5 p l´ım x2 + x + x x! 1 q ln2 (x) sin(x) l´ım ln(x) + ex x!0+ l´ım f) h) j) l´ım x sin(1/x) l) x!1 l´ım x4 + ex ✓ ◆ x 2 l´ım tan 1 x!2 3x2 6x 4x 3 l´ım p x! 1 x2 + 1 sen(ln(x)) l´ım x!1 2 ln(x) p p 1+x 1 x l´ım x!0 x p x l´ım p p x!1 x+ x x! 1 N 11. V 2 (l) + cos(l) l!1 4V 2 (l) V (l) + 2 l´ım 2x + 3 x+5 ⌅ 12. ⌅ 10. el estudiante ha olvidado la mitad del material. d) Exprese el volumen de la onda V (t) como función del tiempo. Es un poliedro regular de 20 lados: todos los lados miden l y cada cara es un pentágono. y la temperatura del aire cerca al punto de detonación ⌧ (t) en C. Durante los primeros ensayos con armas nucleares. El modelo Ebbinghaus de aprendizaje propone que dónde k y Q son constantes positivas. los científicos podían obtener únicamente dos mediciones: el radio de la onda explosiva r(t) en metros. Calcule: b) ¿Es V continua? ¿Por qué le conviene a Don Jairo que esa función sea continua? c) ¿Cuánto sobrecargo debe Don Jairo cobrar a los clientes que compren más de 20 kilos para que la función sea continua. tiene al Una persona quiere cruzar del punto A al B en el borde una piscina cuadrada de 10m de lado. 3 8. x!5 c) P (t) = Q + (1 x!4 l´ım g(f (x))? a) ⌅ 13. para que la función f sea continua en todos los reales. Encuentre la asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones: p p 3 a) ex + e x b) 3 x3 + x x3 + 1 c) 2ex ex 5 d) x2 Los datos indicaban que r y ⌧ se pueden modelar así: r(t) = R0 t . e) Q)e F 14. ¿Es la función resultante continua? B r A g) i) k) kt a) Calcule l´ımt!1 P (t). x!4 t + 1. Halle k. E(t) = . ¿Qué significado tiene la constante R0 ? b) Calcule los límites cuándo t ! 0+ y t ! +1 de ⌧ (t). como función del tiempo t en segundos. La persona puede caminar a una velocidad de 5 m/s por el borde de la piscina o nadar a 2 m/s. 8 < x+4 mx + b N 6. x>1 si si si Encuentre los valores de m y b. t e) Calcule la energía desatada en el momento de la explosión. Calcular los siguientes límites.2. La energía de la onda explosiva está dada por: V (t)⌧ (t) . ¿Qué significado tiene la cantidad obtenida? b) Suponga Q = 0. El problema principal era determinar cuánta energía se desataba al detonar una bomba nuclear. Demuestre que el polinomio g (t) = 3t menos una raíz en el intervalo ( 1. 1). Sea P (t) el porcentaje de información que un estudiante recuerda t días después después de haberla estudiado. y a los de 10 días. Sea f (x) = : x 4 x6 1 1<x61 . t + T0 ⌧ (t) = ⌧ 0 t2 + 1 t2 donde R0 . ¿Qué significado tiene las constante ⌧0 ? ¿Qué puede decir de la temperatura del aire justo después de la explosión? c) Calcule l´ım+ r(t)/t. a) Calcule los límites cuándo t ! 0+ y t ! +1 de r(t). ¿Cuál es el valor de l´ım f (g(x)) y de ⌅ 9.Sea V (l) el volumen del poliedro en función de la longitud del lado. Si f es continua en todos los reales con f (5) = 4 y l´ım g(x) = 5 . T0 y ⌧0 son constantes. ⌅ 7. Halle el tiempo que se demora en cruzar como función del ángulo r. ¿Qué significa el resultado? t!0 Suponga que la onda explosiva forma una semiesfera (como se muestra en la foto) de radio r(t). La figura muestra un dodecaedro de lado l. 4. Para valores de x cercanos a cero se tiene que: a) g(x) ⇡ f (x). q) 5/2. 11. j) 0. m) F. b) F. g) F. . 3. d) no existe. d) -1. h) 1/9. 10. d) no existe. c) 1. e) l´ımx!a g(x) = 0 pero g(x) ⇡ 2f (x).Respuestas al taller 5: 1. c) g(x) ⇡ f (x). d) F. m) 0. c) 0. j) V. d) f (x) crece sin límite. a) no existe. ñ) F. 13. 1 14. e) 1. b) 0. f) -1/3. b) 0. f) no existe. r) ⇡ 12. g) 0. p) 0. c) no existe. c) 1. l) 2/⇡. 9.024. b) 1/2. a) F. a) 0. g) 12. g) no existe. a) 4. k) 2/⇡. e) 12. tan 1 (u/w). c) 3/2. o) V 5. b) g(x) ⇡ 0. f) no existe. f) V. n) 1/2. i) 1. n) V. 7. c) F. b) |t 1| < 8. e) V. a) 1. 6. e) 1. d) no existe. d) 1. b) 0. o) no existe. a) 1. k) V. 2. i) F. e) no existe. a) |x| < 0. l) V. f) e. b) 0. h) F. Escriba los siguientes pedazos de noticia en términos de variables. Si tiene alguna pregunta. asista a las asesorías con monitores o profesores. h!0 f (x) f (a) f (a + h) f (a) = l´ım . y su gráfica no tiene esquinas ni picos. a) La tasa de cambio promedio de f entre los valores x = a h!0Taller h!0 No. entonces f (x) ⇡ r(x) para x ⇡ 1.01)? N 3.Taller 7 . 1 a) A los dos minutos después de la media noche. Explique Trace las grá…cas de las funciones i y j a partir grá…cas. 2. podemos decir que su velocidad instantánea a las 3 PM fue de 25 km/h. 1 b) g no es diferenciable en x = 1 porque los siguientes límites son iguales a +1 g(1 + h) g(1) g(1 + h) g(1) l´ım+ . b) A los 3 segundos de iniciada la carrera un atleta ha recorrido 12 m. ⌅ 6.Cálculo Diferencial . son las gráficas de f y g respectivamente. Si f es una función de la variable x. Taller A. d) Si f 0 (a) existe. Si es verdadero. x!0 x N 4. l) Si f es una función lineal. (a) Suponga que las grá…cas (b) y (d) del ejercicio anterior son las grá…cas de las funciones i 0 y las gráficas I-IV corresponde a de su dichas derivada. N 2. función dada en las …guras (a)-(d) con las grá…cas de derivadas en las …guras I a IV. f (a)). (b) Suponga las grá…cas (I) las y (III) del ejercicio las grá…cas anterior de las funciones k y b)queSuponga que gráficas (b) yanterior (d) deson la pregunta Trace las grá…cas aproximadas de las0 derivadas k0 y n0 a partir de dichas grá…cas= 0 k) Si l´ım f (x) = +1. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. . ¿cómo se puede calcular aproximadamente el valor de f (a + 0. j) Dom(f 0 ) ✓ Dom(f ).Clases 15-16 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. Trace gráficas x!a x!a de las funciones f y g a partir de dichas gráficas. Universidad Nacional de Colombia. es diferenciable. entonces l´ım (f (a + h) f (a)) = 0. y 2 décimas de segundo más tarde. entonces g(x) l´ım existe. con g(0) = 0. g) Si f es continua. su derivada f 0 existe en todas partes. indique cuál de f 0 = g0 . h 7 de Cálculo Diferencial h y x = b. h) Si g se obtiene como una traslación vertical de f . el pasado 31 de Octubre. explique por qué. la velocidad del atleta a los 3 segundos. 2014. 5. entonces N a) Para cada una de las gráficas (a)-(d). Realice este taller individualmente o en grupos. Responda si el enunciado es verdadero o falso. j(0) = 0> respectivamente= razones para sus selecciones. entonces l´ım f 0 (x) = +1. h!0 x a h f) Si f es diferenciable en x = 1. Clasificación de problemas: N básico. f (1)). nació la persona número 7 mil millones de la tierra. N 1. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Semestre 01-2011 b) La tasa de cambio instantánea de f en x = a. funciones y derivadas. fue aproximadamente 10 m/s. e) l´ım x!a m) Si g es diferenciable en 0. Si se conoce f (a). y la población mundial aumenta a una tasa de 159 personas por minuto. a) Si un carro recorrió una distancia de 50 km entre las 2 PM y las 4 PM. entonces la tasa de cambio f (x) f (y) c) Trace las gráficas de las derivadas de las funciones en I y promedio es igual para cualquier par de valores x y III. y. l´ım . F reto. tales que las i (0) = 0 y i) Toda función continua. Dé las razones para sus selecciones. x. Muestre ejemplos (gráfico y fórmula) de funciones f y g que Febrero. su distancia recorrida es de 14 m. Considere las siguientes 1. porque: l´ım+ y!1 f (y) y f (1) f (y) 6= l´ım 1 y y!1 f (1) . ⌅ medio. Sede Medellín. y f 0 (a). defina y explique en sus propias palabras los siguientes conceptos: sean continuas en x = 1 y tales que: a) f no es diferenciable en x = 1. Taller A. c) La recta tangente a la gráfica de f en (a. Por tanto. Correlacione la grá…ca de cada gráficas. y r(x) es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1. c) La derivada de una función se puede calcular a partir de una tabla de valores. Escuela de Matemáticas. Suponga que las ganancias de un concesionario de autos b) f (x) es la cantidad de asfalto que se requiere para conscuando se gasta p millones de pesos en propaganda son C(p) truir una carretera de x km de larga. d) Si C 0 (10) = 0. c) ¿Qué pasa con D0 (h) cuando h crece mucho? Explique. donde t es la edad en meses y P es el peso en kilogramos. A continuación se muestra la grá…ca de una función i . cuando fueron de 567 millones de pesos. c) El rating del show “Yo me llamo” es actualmente de 4._____ 0 ) = i+ (¡1).91t 0. b) ¿Qué significa el valor de D0 (12000) ? ión i . ⌅ 12. está dada por la función: p D(h) = 0. de x metros por encima del valle de Aburrá.41 h. 000 c) Si C 0 (10) = 2. Es decir. Suponga que P (t) es la población colombiana en millones de habitantes como función del tiempo en años desde el 2000. c) f (x) es la altura por encima del nivel del mar de un río a a) ¿Si usted fuera el dueño del concesionario. P (t) = 4. Haga gráfica de la función f (x) = 2 (o x. f 00 y de f 000 . o menos de 10 min la …gurae)se fmuestran las grá…cas de i . y las directivas del canal estiman que una baja de 0.5._____ proyectil está dada por: v a Para la función i ({) = p { + 2._____ p ⌅ 15. ¿qué significa que C 0 (10) = 2? objeto inicialmente a una temperatura x. gustaría que C 0 tuviera? d) f (x) es el tiempo que tarda en enfriarse al aire libre un b) En la practica. a) f (x) es el costo en pesos de producir una cantidad x de galones de un producto químico.0295t2 + 0. La figura muestra un proyectil que se lanza con velocidad 10. D es la distancia al horizonte cuando una persona está a una altura h sobre un terreno plano. sus unidades. ¿usted gastaría más. i tiene recta tangente en { = 5 entonces i es diferenciable (o derivable) en { = 5.1 puntos del rating representa pérdidas por 150 millones de pesos.aIdenti…que una altura cada curva y explique llones en propaganda? nes. es falso a…rmar que: H(a) = L v2 sin2 (a) g a) Use la definición de derivada para calcular H 0 (a). ¡1._____ b) Calcule y = f 0 (x) usando la definición de derivada._____ H . Asigne las unidades correctas.b) En los últimos cuatro años. Identifique cada curva y explique sus selecciones.000379t3 ._____ i es ⌅ continua en la {= ¡1 entonces i es diferenciable inicial v a un ángulo a. i 00aire y de (x) es la temperatura media en i C . c) (P 1 )0 (44) = 0. a) b) c) d) ¿Cuánto pesa un recién nacido? ¿Cuánto es y qué significa P 0 (0) ? ¿A qué edad crecen los bebés más rápido? ¿A qué edad crecen los bebés más despacio? ⌅ 14. i 0del . explique el significado de f 0 (x). y explique el significado de los ⌅ 13. qué signo le una distancia x de su nacimiento. y explique si f 0 debe ser positiva o negativa.3 % respecto a su valor hace cuatro años.3 puntos._____ En la figura se muestran las gráficas de f . millones de esos. f 0 . haga la gráfica aproximada de f 0 . ⌅ 9.26. decir si es verdadero (V) o falso (F) cada uno de los siguientes enunciados._____ ({)N=11. ({) = +1. N 7.075 + 0. a) Halle D0 (h). La distancia D en kilómetros que una persona puede ver cuando se encuentra a una altura h en metros. Para las siguientes ejemplos. La altura máxima que alcanza el gráfica encontrada para graficar f 0 . o menos de 10 millones en propaganda? ⌅ 8. recta tangente vertical en { = 5. derivable) en { = ¡1. Un modelo matemático para el crecimiento de un bebé entre las edades de 0 y 36 meses está dado por: siguientes enunciados: a) P 0 (6) = 2. ¿usted gastaría más. b) P 1 (44) = 5. ferenciablea) enUse { =la2. los aportes del Estado a la Universidad se incrementaron en un 2. Para la función f de la siguiente figura. diferenciable en { = ¡4 porque es discontinua por salto en { = ¡4. La figura muestra una viga en voladizo de longitud L. j) F. n) V. c) F. ¿Qué significa este número? d) Use ese resultado para aproximar la altura máxima. 1/4. 4. k) 1. e) 7/3. 12. y la deflexión máxima s está dada por: W s= b h E 4L3 W . h) F. b) y = 0. b) 1. 1. 3. c) y = 0. 13. 8 6 r=0 > > > < 1 (10 10 tan(r)) + 5 sec(r) + 2 0 < r < ⇡ 4 8. 1)[(11). b = 0. c)1. ñ) F. ⌅ 16.9m de largo. a) no tiene. 11. b) 0. l´ımt!+1 ⌧ (t) = ⌧0 . verticales: x = 4. f) 0. d)0. h) 1/2. 7. e) Repita los puntos anteriores tomando a W como variable independiente. Como resultado. g) no existe. a) 1. 14. e) 3 2/3⇡(R0 /T0 ) . 5. -2. d) tan 1 (1/6). l) 1. E = 9 ⇥ 109 N/m2 (madera de pino) y W = 104 N. a) l´ımt!1 P (t) = Q. y = 2. e) 0. f) -4. j) 1. 10. d) V (t) = 2⇡/3r (t) . c) 2000 pesos. i) 1. 0)[(0. b) 0. a) Use la definición de derivada para calcular s0 (L).b) ¿Cuáles son las unidades de H 0 (a)? c) Si v = 2m/s y g = 10m/s2 . a) continua en (1. la viga se deforma hasta la posición indicada.098. si el ángulo a es 1 % mayor que ⇡/3. m = 3. y soportando una fuerza de W N (= Newtons) en un extremo. 4 y 5. l) V m) F. c) R T0 . e) V. es decir s = s(W ). sección transversal rectangular. b) F. bh3 E s L donde E es el módulo de Young del material. 4)[( 4. h = 0. a) V. g) F. a) l´ımt!0+ r(t) = 0. 2)[( 2. x = ln(5). d) F. T (r) = 5 ⇡ ⇡ > 10 cot(r) + 5 csc(r) < r < > 4 2 > : 2 r = ⇡2 9. Respuestas Taller 6 1. k) F.15m. calcule H 0 (⇡/3). l´ımt!+1 r(t) = R0 . b) l´ımt!0+ ⌧ (t) = 3 0 +1. b) ¿Cuáles son las unidades de s0 (L)? c) Si b = 0. a) V (a) = 1000a para a < 20. calcule s0 (L) para L = 10m. f) V. en unidades de N/m2 . a) 1. x = 1. c) horizontales: y = 2.1m. b) es discontinua en -4. g) 1/2. ¿Qué significa este número? d) Use ese resultado para estimar la deflexión máxima si la viga mide 9. h) 0. 2. 6. d) x = 5. i) V. y V (a) = 900a para a > 20. c) 0. entonces f 0 es derivable en x = a. entonces f 0 es creciente. cóncava hacia arriba. entonces la gráfica de p tiene a lo sumo n 1 puntos donde la recta tangente es horizontal. a) ¿Qué significado tiene y cuáles son las unidades de cada uno de los datos dados? b) Estime P (2013). P 0 (2012) = 0. y se sabe que P (2012) = 46. f 00 (x) > 0 si x < 2 y x > 1 b) f es par y diferenciable en todo el conjunto R. b) Si f 0 (a) existe.Clases 17-18 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. f 0 (x) < 0 si |x| < 1. Negativa y decreciente. entonces |f 0 (t)| 6 |g 0 (t)|. P 00 (2012) = 2 ⇥ 10 6 . l´ım f (x) = 0. d) Si f 0 es una función creciente. Si tiene alguna pregunta. Trace la gráfica de una función que satisfaga cada conjunto de condiciones: a) f es continua en todo el conjunto R y no es diferenciable. En las siguientes figuras se muestra la velocidad v de un auto como función del tiempo t en cuatro situaciones diferentes.Cálculo Diferencial . f 0 (x) > 0 x! 1 si |x| > 1. f) Si f 00 (a) = 0. Universidad Nacional de Colombia. en x = 1. haga un dibujo de la distancia recorrida Febrero. Positiva y decreciente. i) Si f (a) = f 0 (a) = 0 entonces (f /g)0 (a) = 0. t t v v t t N 4. Dibuje gráficas. entonces (f ⇥ g)0 es cero para algún x. entonces f 00 (a) = 0. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. k) Si p(x) es un polinomio de grado n > 1.Taller 8 . por el auto como función del tiempo. f 0 ( 1) = 0.673. entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión en x = a. explique por qué. c) Si la gráfica de f es cóncava hacia arriba. y enuncie ejemplos de la vida real en donde la derivada de la función sea: a) b) c) d) Positiva y creciente. Negativa y creciente. a) Si se conoce la función f 0 . decreciente. Calcule y simplifique la derivada de las siguientes funciones: p p 3 a) f (x) = x2 + 12 ex 4 b) g(t) = t t 3 c) e) g) i) k) 3y + y 2 y 7 + 3y 2 u u g(u) = p u f (u) = 4u+2 (u3 + 2u) cot x r(x) = xex x(y) = 2y (tan y + y) G(y) = d) f) f (x) = x2 (3x + 2) t(t) = p t 1 h) t2 h(x) = 3 sec x j) k(t) = t3 cos t sen t l) m(x) = e2x sen(2x) 2t cos x N 3. e) Si f 00 es creciente y positiva. N 2. . l´ım f (x) = 1. y g(t) es la posición de la misma partícula pero en Km. asista a las asesorías con monitores o profesores. como función del tiempo en años es P (t). únicamente. Sede Medellín. Realice este taller individualmente o en grupos. d) Use los datos dados para describir la situación del crecimiento poblacional en Colombia. entonces se puede determinar f (x) para cualquier x. ⌅ 7. Escuela de Matemáticas. f (0) = 2. ⌅ medio. m) Si f (t) es la posición en m de cierta partícula como función del tiempo. F reto. 3) y que son tangentes a la parábola y = x2 + x. cóncava hacia abajo? F 8. f 00 (x) < 0 si x! 1 1 < x < 0 y f 00 (x) > 0 si x > 1 N 6. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el punto (2. entonces f ⇥ g no puede serlo tampoco. c) Estime P 0 (2013). f ( 1) = 4. Responda si el enunciado es verdadero o falso.1. Si es verdadero. N 1. 2014. f 0 (x) < 0 si x > 0. Suponga que la población Colombiana en millones de personas. ¿En qué intervalos es f (x) = x3 ex creciente. l) Un polinomio de grado cinco tiene al menos un punto de inflexión. g) Si la gráfica de f tiene un punto de inflexión en x = a. N 5. Para cada gráfica. entonces f también es creciente. h) Si f es una función diferenciable en x = a pero g no lo es. ¿Qué situación de la vida real puede representar cada función? v v Clasificación de problemas: N básico. entonces f es creciente. j) Si f y g tienen el mismo intercepto con el eje horizontal. f 00 (x) < 0 si 2 < x < 1. t minutos de inyectada es 2. Usted desea comprar un auto. Cada uno de estos autos alcanzó. escriba los valores y las unidades de E. a)26.6 g/cm3 y dc = 2 g/cm3 respectivamente. En un momento dado se tienen 10 m3 de mezcla. Sean P (t) y E(t) el presupuesto anual de la UN y el número de estudiantes matriculados en el año t. ⌅ 12.5). Al mismo tiempo exigía que la UN incrementara su cobertura a una tasa de 15000 estudiantes por año a partir del mismo año. E 0 y P 0 en t = 2011. c) ¿Qué significado tiene el signo de G0 ? d) ¿Cuál debe ser el valor de f 0 (35000) para que G0 (35000) = 0? ¿Cómo explicaría usted esta situación? ⌅ 13. Se sabe que f (1) = 1. El porcentaje de concentración p de la droga en la sangre del paciente. En el 2011 la UN recibió 650 mil millones de pesos del gobierno nacional. El 0 1 2 3 4 t (seg) a) ¿Qué significado tiene. calcule. f ⇥ g y f /g en x = 1. b) El monto de dinero que el estado invierte en cada estudiante matriculado es p(t) = P (t)/E(t). Halle el valor aproximado de las funciones f . Una función f satisface f (5) = 20. c) ¿A qué velocidad está aumentando la densidad de la mezcla? . f 1 x 1 -1 2 -1 h 1 x -2 1 -1 75 B 50 C 25 c)22. Calcule G0 (35000). f 0 (1) = 2. y la tendencia de la inversión por cada estudiante? ⌅ 17. a) Según la información dada. ¿Qué ángulo forman entre sí las curvas y = x2 y y = x3 al cortarse? gráfico muestra los resultados del test: la velocidad v de cada auto como función del tiempo. c) ¿Qué se puede concluir sobre la tendencia de la inversión total del Estado. El proyecto de ley 30 proponía incrementar la financiación en un 1 % anual a partir del 2011. si existe. y contaba con 40000 estudiantes. En una planta se está produciendo mortero. -2 A v (Km/h) ⌅ 11. p00 (5) y p00 (100). calcule la tasa a la cual aumenta el peso de la mezcla. P . B y C. y cuáles son las unidades de v 00 (t)? Haga un gráfico aproximado de v 00 (t) para cada auto. f + g. N 14. g. y 0. y en el concesionario le muestran tres modelos: A. ¿Cuáles de los siguientes números son valores posibles para f (7)? 100 2 -1 ⌅ 15. es decir.01. y metabolizada rápidamente. g 0 (1) = 1/2. la mezcla de arena con cemento. La cantidad vendida q de cierta prenda depende del precio de venta p mediante la función q = f (p). a) ¿Qué se puede decir sobre la venta de la prenda a la luz de los datos? b) La ganancia total por la venta de la prenda es G(p) = pf (p).5t p(t) = 2 t +1 a) Calcule p0 (0. N 10. respectivamente. en un test de velocidad. (f ⇥ h)0 y (h/f )0 en x = 2. c) ¿Cuál auto compraría usted y por qué? ¿Cuál auto es más seguro? d) ¿Cuál auto recorrió una distancia mayor durante el test de velocidad? ⌅ 16. b) ¿Qué significado tiene. Una medicación es inyectada por vía intravenosa. b)24. g(1) = 0. Para las funciones f y h que se muestran en la gráfica. 1. a) ¿A qué velocidad está aumentando el volumen de la mezcla? b) Si las densidades de la arena y el cemento son da = 1.1m3 /min.⌅ 9. Si sabemos que f (35000) = 150 y f 0 (35000) = 6.5). durante cuatro segundos. 0. Calcule p0 (2011). f 0 (5) = 2 y f 00 (x) < 0 para todo x > 5. 100 Km/h en 4 segundos. p0 (5) y p0 (100). y cuáles son las unidades de v 0 (t)? Haga un gráfico aproximado de v 0 (t) para cada auto. respectivamente. c) Interprete los resultados obtenidos. b) Calcule p00 (0. 1. de los cuales el 60 % son arena y se está añadiendo arena y cemento a tasas de 1m3 /min. . p . c) s0 (10) = 3. h) V. b) 5 años es el tiempo transcurrido desde el 2000.9) ⇡ s(10) 0. 15. f 0 (x) = 2p21 x 11. a) 2 millones de habitantes/año es la tasa de crecimiento de la población. 8. la población tarda 0. t = tiempo en años a partir del 2010. a) D0 (h) = 20. la tasa a la cual venían disminuyendo el número de homicidios por año en Medellín. l) V. a) F. j) V.d) usar gráfica. i) F. 7. para que la población llegara a 44 millones de habitantes. 12. b) f (x) = 3 x 1 5. f) V. d) H(1. b) P 0 (0) = 3.95.01H 0 ( ⇡3 ). L2 16. m) V.01) ⇡ f (a) + 0. 13. 10. p 4.6. c) F.1s0 (10). f (a + 0. d) V. c) H 0 (⇡/3) = p 3/5. Se desea que la carretera resultante no tenga huecos. b) V.26 años en aumentar un millón de habitantes. a) s0 (L) = 12W bh3 E . 2. e) V. d) s(9. 200] y que satisfaga las especificaciones dadas. P (2) = 7⇥109 . a) f (x) = |x|. g) F. 14.F 18.01f 0 (a) 3.01 ⇡3 ) ⇡ H( ⇡3 ) + 0. Observe que el modelo no es realista. c) G(r) = ganancias en millones de pesos como función del rating r. P 0 (2) = 159.41 h 2 Los datos reales del número de homicidios en Medellín para los últimos cinco años se muestran en la siguiente tabla. a) ¿Eso es una noticia buena ó mala? 2008 654 2009 2186 2010 2019 2011 1649 1.0 -2% x (m) 0. c. cayó un 52 % respecto al período 2010-2011”. Suponga que un titular de prensa dice: “en el periódo 20112012. a) 16. Ayuda: use un polinomio. A(0) = 567 ⇥ 106 .26 años/millón de habitante: en el 2005. ni cambios bruscos de pendiente. t = tiempo en minutos. A0 (0) ⇡ 13 ⇥ 106 .3) ⇡ 150 ⇥ 107 . desniveles. (c) I. b) m/rad. 9.0 100 200 300 Halle una función y = f (x) para el el perfil de la carretera para x 2 [100. Año Homicidios Respuestas Taller 7 2012 1473 b) ¿Cómo obtuvo la persona que escribió el titular esa cifra del 52 %? c) Exprese lo dicho en el titular de prensa en términos de funciones y sus derivadas. y (m) 3% A B 1. (b) IV. a) P (t) = población. Se está construyendo una carretera y se desea unir los dos tramos rectos A y B que se muestran en la figura. (d) III. G0 (4. b) A(t) = aporte en pesos. b) metros de deflexión por metro de viga. c) 0. a) H 0 (a) = 2vg sin(a) cos(a). F 19. 6. k) F. (a)II. Los porcentajes mostrados son las pendientes de cada tramo.3. y es la edad del paciente en años y w es el peso del paciente. entonces f g es creciente en x = a. Encuentre una fórmula para la evolución de la población en función del tiempo. c = (140 y) .5 Febrero.5 kilogramos por mes. j) Si g(t) es la cantidad de gramos de un químico producidos a los t segundos. d c b F a -d -c -b -a a b c d x -a -b -c -d d c b G a -d -c -b -a a b c d x -a -b -c -d a) Calcule H(0) y H 0 (0). comienza a perder peso a razón de 1. decreciente? c) En x = a. ¿En cuál punto sobre la curva y = 1 + 2ex tangente es paralela a la recta 3x y = 5? 3x la recta N 5. Sede Medellín. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. entonces la de f 0 también se puede obtener mediante transformaciones elementales a partir de la de g 0 . positiva. y la dosis requerida depende muchas variables. entonces f 0 es par.25(c + 25). l) Si la gráfica de f se obtiene mediante transformaciones elementales de la gráfica de g. entonces g 0 (t) = 1/60f 0 (t).Clases 20-21 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. F reto. Si tiene alguna pregunta. y H(x) = F (G(x)). calcule dw . y k(t) es la cantidad del mismo químico expresada en kilos. y f (t) es la cantidad del mismo químico después de t minutos. c) Si f es periódica con período T . f) La derivada número 100 de sen(x) es cos(x). explique por qué. millones de habitantes y crecía exponencialmente a una tasa de 50000 habitantes por año.Cálculo Diferencial . c es llamada la “capacidad de creatina” del paciente. h) Si f y g son diferenciables en x = 0. Escuela de Matemáticas. Sean F y G dadas en las siguientes gráficas. 2010. entonces (f g)0 es un múltiplo de g 0 . y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. la población de Colombia era 45. sus unidades y significado. Derive cada una de las siguientes funciones y simplifique donde pueda. 2014. a) Si f es par. entonces f 0 es impar. e) Si f y g son crecientes y diferenciables en x = a. entonces f g es diferenciable en x = 0. ⌅ medio. k) m = x/y es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de x2 + y 2 = 1 para cualquier punto (x. En Octubre 17. Las fórmulas que manejan los oncólogos son las siguientes: w D = 4. 43 donde D es la dosis requerida en miligramos. ¿es H negativa. f 0 también es periódica y tiene el mismo período. y). b) En x = c. i) Si g(t) es la cantidad de gramos de un químico producidos a los t segundos. incluyendo la edad y el peso de la persona. ¿H crece o decrece? d) ¿Cuál es el signo de H(d) y H 0 (d)? ⌅ 6. Responda si el enunciado es verdadero o falso.Taller 9 . asista a las asesorías con monitores o profesores. b) Si un paciente de su edad y su peso. Realice este taller individualmente o en grupos. b) Si f es impar. dD a) Para una persona de su edad. N 4. Clasificación de problemas: N básico. N 1. d) La gráfica de la ecuación y 2 + xy = 1 tiene una recta tangente definida en todos sus puntos. N 2. Si es verdadero. La Carboplatina se usa en tratamientos para quimioterapia. entonces k 0 (t) = 1000g 0 (t). Universidad Nacional de Colombia. a) c) e) g) i) y = x2 + 2ex 4 p p g(t) = t + 3 t b) y = x2 /2x d) f (x) = (x (y + 3) (y 1) (y + 4)(y 3)3/2 r q p r(t) = 1 + 1 + t f) h(x) = xe (3x + 2) h) h(x) = f (✓) = sen (cos ✓) j) t(r) = r l) h(x) = tan(ex cos x) p b+ b2 4ac r(a) = 2a 2 8 x(y) = ✓ 1 2 k) f (x) = 2tan (x ) m) u(t) = sen(cos(tan(1/t))) n) 1)ex 1 1+ rr 1 1 1+ 1+x ⌅ 3. creciente. ¿cómo se debe modificar la dosis? . g) Si f es una función lineal y g es diferenciable. Encuentre el valor más pequeño de k para el cual éstas dos gráficas son tangentes. Diga qué significa y cuáles son las unidades de: x0 (4).04.1t a) Al largo plazo. Calcule la tasa de cambio del volumen con respecto a la presión. El número total N de personas infectadas despues de t días de iniciada la epidemia se puede modelar mediante N (t) = 106 1 + 5000e 0. 1. ⌅ 12. 0. y están relacionadas mediante la ecuación x3 + y 3 xy 2 = 5. (y x) 1 (800). Suponga que x(t) es la distancia recorrida desde Medellín en Km después de t horas en un carro. el carro está a 30 Km de distancia de Medellín y subiendo una loma a 1200 msnm con pendiente del 15 %.¿Cuál fue la velocidad real del proyectil? p ⌅ 9. (x 1 y 1 )(0). e) Calcule F 0 (y) e indique sus unidades.98. y compare con su aproximación. con respecto a su posición de equilibrio. a) Use el valor obtenido de dy/ dx para calcular los valores aproximados de los puntos sobre la curva de esta ecuación cerca del punto (1.5 0. ¿cuántas personas serán infectadas? b) ¿Qué significa N 0 (t)? c) ¿Hay algún día en particular en el cual se infectaron más de un millón de personas?. ¿Cuál es el signo de df / dP y qué significa? ⌅ 16. ¿Cuánto valen (y x)0 y [(y x) 1 ]0 en ese momento? ⌅ 8.0 -1. La gráfica de la ecuación P x2 + y 2 = (2x2 + 2y 2 x x)2 se llama un “cardiode” y se muestra en la figura. (x 1 )0 (40). c) Encuentre todos los puntos en la curva donde la recta tangente es vertical u horizontal. b) Use una calculadora para hallar el valor de y sobre la curva cuando x = 0. Sea t el tiempo real en segundos durante el experimento. las curvas de y = sen x y y = ke x se intersectan en un x > 0. Calcule y 0 (T ) y explique su significado. 2). (y 1 )0 (1000). ¿más de un cuarto de millón? y ⌅ 11. Dé una expresión para T (t): el tiempo marcado por el reloj como función del tiempo real. Durante un experimento se midió que la distancia recorrida (en metros) por cierto proyectil estaba dada por y(T ) = 150T 5T 2 donde T es el tiempo en segundos. y a una velocidad de 40 Km/h.02. (y x)0 (1).5 1.0 1. F 14. Suponga que se está monitoreando un epidemia. 1. Halle una fórmula para F (y). a) Encuentre una expresión para el tiempo en el cual el resorte se encuentra lo más lejos posible de la posición de equilibrio. La constante k es la rigidez del resorte.96. ¿Cuándo se mueve más rápido el resorte? ¿Cuándo es la aceleración máxima? b) ¿Cuál es el periodo T de la oscilación? c) Calcule dT / dm. se dieron cuenta que el reloj que se usó para cronometrar durante el experimento era defectuoso: se atrasaba 1 décima de segundo por cada segundo. para un fluido . 1. Suponga que a las 2 horas. A una presión de P atmósferas. Calcule df / dP . cuando se cuelga una masa m en un extremo. y A > 0 es la amplitud máxima de oscilación. y 1 (1000).5 2. se descompone una fracción f de un gas. Después de un tiempo. bajo presión P y a una temperatura T . Use derivación implicita para hallar la ecuación de la recta tangente que se muestra allí. ✓ ◆ n2 a P + 2 (V nb) = nRT V donde a. b.0 -0.0 0. y y(x) es la altura en metros sobre el nivel del mar a una distancia de x Km de Medellín. Van der Waal modificó la ecuación del gas ideal para modelar mejor el comportamiento de los fluidos y obtuvo que para un volumen V de fluido. Suponga que x. ¿Qué significado tiene esta función? ⌅ 10.0 0. [(y x) 1 ]0 (1200). Encuentre dy/ dx.5 -1. Incluya x = 0.96. La función y = A sen(t k/m) representa la longitud de las oscilaciones de un resorte. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de tangencia? ⌅ 15.0 -0. y 0 (150). n y R son constantes positivas. Verifique esto en una calculadora graficadora. Si k > 1.0 ⌅ 13. Halle el ángulo que forman los círculos de la figura en sus puntos de intersección. y(x(6)). de manera que el cociente 4f 2 P/(1 f 2 ) permanece siempre constante. x 1 (40).5 0.⌅ 7. 1. ¿Cuál es el signo de esta derivada y qué significa? d) Sea F (y) el tiempo que tarda el resorte en alcanzar por primera vez la longitud y. Se puede demostrar que rc satisface la siguiente ecuación. (f h)0 (1) = 0.. p 7. c) 0. i) V. 11. a) v 0 es la aceleración en Km/h cada segundo.773 millones de habitantes. Si los insectos se reproducen a una tasa r < rc . ¿Qué significado tiene esto? b) Suponga que D y L son constantes.99 ⇥ 10 6 porcentaje de concentración por minuto. P (2011) = 650 ⇥ 109 pesos. f (x) = 5 ⇥ 10 6 x3 0. b) 46. 1. b) p00 (0.38x 14 19. el titular dice que H 00 (2012) = 0. 17.93 ⇥ 106 pesos por estudiante por año. P 0 (2011) = 650 ⇥ 107 pesos por año. cada segundo.. (h/f )0 ( 1) N. g) F. que para concreto es igual a n = 0. m) F. a) Use un computador para graficar la relación entre x y y. p0 (5) = 0. 0] [ [3 + 3.5) = 1.088. 5. Determine el signo y las unidades de drc / dL. (f h)0 ( 1) N. se van a extinguir. f) F. p00 (100) = 4.1 m3 /min. 1).2.673002 millones de habitantes por año. (h/f )0 ( 2) N. dy b) Halle las dimensinones (x. k) V.36 Kg/m3 por minuto. a) E(2011) = 40000 estudiantes. b) G0 (35000) = 209850 pesos ganados / peso cobrado. Si H(t) es el número de homicidios y estimamos las derivadas de H a partir de la tabla H 0 (2012) ⇡ H(2012) H(2011). (h/f )0 (0) NE. 6. 2. d) el carro A.03129. h) F. El río tiene longitud L (m). 14. Se quiere diseñar una canaleta de sección rectangular que transporte un caudal Q = 2m3 /s y con una pendiente de S = 5 % como se muestra en la figura: y Q x Las dimensiones de dicha canaleta se relacionan entre sí.E. a) p0 (0. d) F. b) 1800 Kg/min. creciente p en [ 3. 18. (f h)0 ( 2) = 0. (h/f )0 (1) = 0. a) 1. 16.0025x2 + 0. (f h)0 (0) = 1. b) p0 (2011) = 5. a) millones de personas. d) 150 35000 . 15. cada minuto. . 10. j) V. p00 (5)0. arctan(3) arctan(2). mediante la ecuación de Manning: p S(xy)5/3 Q= n(x + 2y)2/3 donde n es el coeficiente de rugosidad de Manning. Sea rc la tasa de reproducción crítica de la población en unidades de 1/s (nuevos nacimientos por insecto por unidad de tiempo). b) v 00 es la rapidez de cambio de la aceleración (tirón) en km/h por segundo. millones de personas por año por año.49 ⇥ 10 4 porcentaje de concentración en el cuerpo por minuto. 9. 1). Cada insecto es esporádicamente arrancado del fondo del río y transportado por la corriente hacía aguas abajo una distancia que depende de v y D. b) F. p0 (100) = 2.E.E. Considere una población de insectos que viven en el fondo de un río. 8. ¿Qué significado tiene esto? Respuestas Taller 8.012.a temperatura constante. c 12. la velocidad del agua es v (m/seg) y el coeficiente de dispersión es D (m2 /s). c) -11. ⇣ p tan L Drc ⌘ 1p v2 + Drc v v2 = 0 a) Suponga que D y v son constantes. ¿Por qué? F 18. 3. e) F.52H 0 (2011). l) V.52.5) = 3. Use aproximaciones por recta tangente donde sea posible. de manera implícita. c) V. E 0 (2011) = 15000 estudiantes por año. 4. 13. y) donde dx = 1. cóncava hacia arriba en [ 3 + 3. Determine el signo y las unidades de drc / dv. y = x 1. a) F. similarmente para H 0 (2011) y H 00 (2012). . millones de personas por año. ¿Qué puede decir sobre el signo de la cantidad calculada? F 17. c) Esas dimensiones ofrecen el mejor diseño. y = 11x 25. ⌅ 6. Use una aproximación lineal para aproximar p el valor de los siguientes números si usar calculadora: 99. donde k es una constante positiva. y derivadas para escribir la información de este reporte. ¿a qué tasa le está entrando aire? ⌅ 5. El diámetro interior de un tanque cilíndrico de altura 10 metros se mide con un error porcentual de 1 %. ¿cuál de los errores produce un error relativo H/H mayor en la estimación de H? donde µ es la viscosidad el aire.Clases 23-24 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. asista a las asesorías con monitores o profesores. y ⇢ es la densidad lineal de la cuerda. y A su área superficial. ⌅ 4. Escuela de Matemáticas. Aproximaciones lineales y diferenciales.680 Kton de CO2 . b) Estime el cambio relativo en el área superficial de la pelota. Use los signos de las derivadas halladas para responder: a) Qué le pasa a f cuando se tensiona más la cuerda? b) Qué le pasa a f cuando se pone un dedo sobre la cuerda y por tanto se reduce L? c) Qué le pasa a f si se usa una cuerda menos densa? Utilice diferenciales para estimar el cambio relativo f /f si: a) se aumenta la tensión en un 10 %. calcule el cambio porcentual en la cantidad de sangre que puede circular por la arteria. ⌅ 10. r es el radio de la pelota. Si al inflar una bomba esférica. Según el Banco Mundial. Suponga que en este momento usted está perdiendo peso a razón de 4 kilogramos por semana. y por tanto el tono del sonido producido. log2 (5). N 9. a) Use funciones. . Sede Medellín. el radio de una arteria se disminuye en un 10 %. en el 2010. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. La cantidad S de sangre en mm por segundo que puede pasar por una arteria de radio r es modelada mediante la ecuación S = kr4 . ⌅ 3.Taller 10 . Si debido a la acumulación de grasa. a) ¿Cuál es el error porcentual máximo correspondiente al cálculo del volumen del tanque? b) ¿Con qué precisión se debe realizar la medición del radio interno. T es la tensión. F reto. ⌅ medio. N 1. b) se reduce la longitud de la cuerda en un 20 % ⌅ 8. 1/1002. las emisiones de Holanda fueron de 169650 Kton en 2010. en un momento tiene 10 cm de radio.8m/s2 . 2014. Si tiene alguna pregunta. Universidad Nacional de Colombia. está dada por s 1 T f= 2L ⇢ donde L es la longitud de la cuerda. pero iban disminuyendo a razón de 6532 Kton/año. Realice este taller individualmente o en grupos. tan(1. g es la aceleración de la gravedad. ⌅ 7. Calcule las derivadas de f con respecto a T . g y a respectivamente. El modelo Mosteller para el área superficial de la piel de una persona está dado por p hw S= 60 donde S área de la piel en m2 . 3 Febrero. h es la altura de la persona en cm y w su peso en kilogramos. Use su calculadora para calcular el error en la aproximación. ¿cuándo va Colombia a superar en emisiones a Holanda? N 2. a L Tasas de cambio relacionadas.Cálculo Diferencial . ⇢a y ⇢p son las densidad del aire y la celulosa respectivamente. c) Si las tendencias continúan. c) La fuerza de resistencia que el aire ejerce sobre la pelota es 1 F = ⇢a (⇢a ⇢p )g 2 Cd r2 A2 40µ2 Suponga que se usa v = 20m/s y g = 9. Por su parte. y su radio crece a una tasa de 2 cm/seg. Clasificación de problemas: N básico. La frecuencia de vibraciones de una cuerda de violín.1⇡). Calcule el cambio relativo en la fuerza de arrastre con el cambio del diámetro de la pelota. Si estas variables se miden con errores de v.4 para una esfera. La figura muestra un proyectil que se lanza con velocidad inicial v a un ángulo a. ⇢ y L. b) Estime las emisiones de CO2 en el 2014 para ambos países.1 % en el volumen del tanque. Para los Juegos Olímpicos del año 2000 se cambió el diámetro de la pelota de tenis de mesa de 38 mm a 40 mm para que el deporte fuera más vistoso para los televidentes. y a = ⇡/4. si se desea un error relativo de menos del 0. y sus emisiones iban incrementando en 4230 Kton/año. Colombia emitió 75. Cd es el coeficiente de arrastre igual a 0. Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para echarle una capa de pintura de 2 mm de grueso a una cúpula esférica de 50 metros de diámetro. sen 1 (11/20). La altura máxima que alcanza el proyectil está dada por: v H H= v2 sin2 (a) g a) Estime el cambio relativo en el volumen de la pelota. para el peso y el tiempo de circulación.a) ¿Qué tan rápido decrece su área superficial? b) Suponga que las estrías se forman cuando el área superficial de la piel aumenta más rápido que 0.1 m2 por día. respectivamente.1 Kg por mes. La potencia P (en Watts) requerida para montar en bicicleta en una carretera con pendiente s y a velocidad v en m/s es: P = mgv(k1 + s) + k2 v 3 . Un avión vuela a una velocidad constante de 300 km/h. El tiempo de circulación de la sangre en los mamíferos (es decir el tiempo en que tarda la sangre en circular y volver al corazón) es proporcional a la raíz cuarta del peso del mamífero. Dos carretas están unidas por un lazo de 8 metros de largo que pasa por una polea a 2 metros sobre el nivel de las carretas. Una niña vuela una cometa a una altura de 80 metros. y el viento la aleja horizontalmente a una velocidad de 8 metros por segundo. Si el minutero de un reloj mide 12 cms y el horario mide 6 cms. ¿A qué velocidad debe soltar cuerda cuando se han desenrollado 100 metros de piola? ⌅ 12. Si voy a 3 m/s en terreno plano. m es la masa de la bicicleta más la masa de la persona (digamos = 85 Kg). ¿Cuál es el tiempo de circulación en su cuerpo? Si un niño en etapa de desarrollo normal pesa 45 Kg y crece a una tasa de 0. N 11. ⌅ 13. k1 es una constante que incluye todos los efectos por fricción (⇡ 0. Una escalera de 3 metros reposa sobre una pared vertical formando un ángulo de 15 con la pared. Usando unidades de Kg y segundos. De un filtro cónico de café caen 2 gotas esféricas de café cada segundo.185 Kg/m). se sabe que la constante de proporcionalidad es igual a 17. Si un ciclista viaja a un a velocidad v y quiere voltear una curva de radio r. ¿Cómo puede usted controlar su peso para evitar la formación de estrías? el suelo satisface: tan ✓ = v2 . Si la carreta A se hala a una velocidad de 1 m/s. cada gota mide 5 milímetros de diámetro. pasa sobre una estación de radar a una altitud de 1 km e inmediatamente asciende formando un ángulo de 30 con la horizontal ¿Con qué razón aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 min más tarde? . entonces ¿cómo debe cambiar su inclinación? F 17. gr donde g es la aceleración de la gravedad. calcule: a) ¿A qué velocidad baja el extremo superior de la escalera? b) ¿A qué velocidad disminuye el ángulo que la escalera forma con el piso? c) ¿A qué altura estará el extremo superior de la escalera cuando éste punto alcanza la velocidad del sonido? N 14. A qué velocidad sube el nivel del café cuando la tasa está medio llena. ¿A qué velocidad cambia la distancia entre sus puntas cuando el reloj marca las 3:30 PM ? ⌅ 19. ¿a qué velocidad cambia su tiempo de circulación? N 15. Si el extremo inferior se hala horizontalmente a una velocidad de medio metro por segundo de manera que el extremo superior no se despegue de la pared. el ángulo ✓ que debe formar la bicicleta con Si el ciclista que se muestra en la foto está dando una curva de 2 metros de radio a una velocidad de 25 Km/h y quiere desacelerar 1 Km/h cada segundo. ¿a qué velocidad debo incrementar la potencia para alcanzar una aceleración de 1m/s2 ?. Donde g es la aceleración de la gravedad (= 10 m/s2 ). El café cae a una taza cilíndrica de 6 centímetros de diámetro y 5 de alto. ¿a qué velocidad se mueve la carreta B en el momento en que la distancia entre la carreta A y la polea es 4 metros? A B F 18.40. ¿Y si voy a la misma velocidad en una pendiente del 10 %? ¿Y si voy en terreno plano pero a 7 m/s? N 16.0053) y k2 incluye los efectos por la resistencia al aire (⇡ 0. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 24 pies/seg. Cuando la partícula pasa por el punto (4. l) V 2. Los extremos de la artesa mostrada son triángulos isósceles de 2 pies de altura. su masa va disminuyendo a medida que usa su combustible: el motor quema oxigeno líquido de densidad 1141 Kg/m3 . 3. a) tiempo cuando está mas lejos: (2k +1) 2 m/k. c) dT /dmp = ⇡/ mk > 0. está dada por F = GmM d2 3 m donde G = 6. drc /dL < 0. se mueve p p más rápido en k⇡ m/k. dV /dP = (nb V )/( n2 aV 2 + 2n3 abV 3 + P ) 16. 7. b) y = 1. y 0 (t) = 0. 3⇡/4 10. es vertical en y = 0. a una tasa de 1340 litros por segundo. b) N 0 (t) es la velocidad de propagación de la epidemia. y 0 (t) = 150 10T . 7 3 ln 3) 5. Si la artesa se llena con agua a razón de 12 pies3 /min. dy/dx = (y 2 3x2 )/(3y 2 2xy). g) V. c) V.2.28 ⇥ 106 Kg.6738⇥10 11 Kgs 2 es la constate universal de la gravitación. i) F. Calcule la tasa de cambio de la fuerza gravitacional que la tierra ejerce sobre el trasbordador. Recuerde que la fuerza gravitacional entre dos objetos de masas m y M respectivamente. a) use la recta tangente. El transbordador espacial Endeavor se desplaza a una velocidad de 27870 Km/h. k = e / 2 y son tangentes en x = (3⇡/4. k) F. 1. .9t. x = 1. ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 6 pulgadas de profundidad? F 22. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x. 2/2). y = x + 1/2.5106 )t} 4. 2 p p b) m/k. j) F. su coordenada x aumenta a razón de 3 cm/s. d) H(d) > 0. a) H(0) = d. aceleración máxima en 3⇡ m/k. d) F (y) = p periodo: 2⇡ m/k sen p1 (y/A). f) F. h) F.9945.9y p (T (t)). y d es la distancia entre sus centros de gravedad. ¿Con qué razón disminuye su distancia a la segunda base cuando está a la mitad de la distancia de la primera? Respuestas al Taller 9. H 0 (d) > 0. y = 1. su masa es de 2. 14. sin embargo. a) V. ¿Qué tan rápido cambia la distancia de la partícula al origen en ese instante? ⌅ 21. c) es vertical en x = 0. H 0 (0) = 0. [(y x) 1 ]0 (1200) = 1/6 h/m. a) 106 . pero hubo un día cuando la tasa de infección fue de 25000 personas por día. e) F. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies por lado. P (t) = 45.88. df /dP = 4f (1 f 2 )/(2P + 8f 2 P ) < 0 13. c) decrece. e) F 0 (y) = m/k(A2 p y 2 ) 1/2 . drc /dv > 0. (y x)0 (2) = 6 m/h. c) nunca se infectaron mas de un millón en un día. b) positiva. 0 8. d) V. 12.16. ⌅ 23. en el momento en que el cohete se encuentra a 20 Km de altura. 11.p ⌅ 20. (ln 3. Depende de la persona. decreciente.5106 exp{50000/(45. T (t) = 0. Al momento del despegue. b) V. 15. 2). ⇡ 9. 6. n) Entre Medellín y Bógota hay 360 Km. x = 5 es un máximo absoluto de f en ( 6. 5) es un mínimo relativo de f . Clasificación de problemas: N básico. 1) x+4 d) g(r) = r 2 tan 1 (r). además f 0 se hace cero en el mínimo absoluto. l) La función constante no tiene extremos relativos. (0. entonces f tiene un extremo relativo en x = a. h) Si f 0 (x) > 0 para todo x > c. ñ) Una epidemia duró 200 días. +1) ( cos x. Todo x 2 [4. [⇡. Si un bus tarda 10 horas en realizar la ruta entre esas dos ciudades. ( 1. asista a las asesorías con monitores o profesores. f) Si f (b) > f (a) y f es diferenciable en [a. Si es verdadero. i) Si f 00 (c) = 0. Para cada una de las siguientes funciones halle los números críticos. Responda si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) b) c) d) e) f) g) h) En x = 7. entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión en x = c. b) Si f tiene un máximo relativo en x = a entonces f 0 (a) = 0. [ 1. y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. Sede Medellín. pero no un máximo relativo. Escuela de Matemáticas. f tiene un mínimo local. 5). entonces en algún momento del viaje. f (3) es un máximo absoluto de f . [0. 2) El único mínimo absoluto de f es x = 1. 4]. f tiene un máximo absoluto. el tacómetro de bus marcó 36Km/h. Si tiene alguna pregunta. y f 0 (x) < 0 para todo x < c. explique por qué. Responda si el enunciado es verdadero o falso.Taller 11 . f tiene un máximo absoluto. ⌅ medio. i) En x = 7. f tiene un mínimo relativo. 2014. 3⇡] sin x. entonces debe haber un x 2 [a. b] donde f no es continua. b]. a) Si f no es continua en [a.Clases 25-27 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. e) Si f es diferenciable en [a. ⇡ < x 6 3⇡ . d) Si f es diferenciable en [a. N 3. p b) f (t) = t 4 t2 . Responda las siguientes preguntas: a) ¿Qué son los extremos absolutos y relativos de una función? b) ¿Qué dice el teorema del valor extremo? c) ¿Qué dice el teorema de Fermat? ¿Cómo se usa? d) ¿Qué dice el teorema del valor Medio? e) ¿Qué dicen los criterios de la primera y segunda derivada? N 2. Entonces hubo al menos un día en el cual murieron aproximadamente 5 personas. b]. pero en el intervalo [ 8. 2]. j) En x = 7. f tiene un máximo local en x = 5. 0 6 x 6 ⇡ f) f (x) = . e) h(t) = 2 cos t + sen(2t). b] y f (a) = f (b) entonces f tiene al menos un número crítico. b]. entonces f 0 se hace cero en todos los mínimos relativos de f . entonces f tiene un mínimo absoluto en ese intervalo. 3]. b]. es un máximo relativo de f . En x = 8. 1). b] entonces f es creciente en algún x 2 [a. m) Si f 0 (a) = 0. Todo x 2 (4.Cálculo Diferencial . x2 4 c) f (x) = . g) Todo extremo absoluto de una función es un extremo relativo. entonces f tiene un mínimo relativo en x = c. k) Si f 00 (c) = 0. N 1. Universidad Nacional de Colombia. pero no un máximo relativo. y extremos globales en el intervalo indicado. F reto. a) f (x) = 2x3 3x2 12x + 1. N 4. Sea f la función cuya gráfica se muestra a continuación: Extremos relativos y absolutos. Realice este taller individualmente o en grupos. entonces f no puede tener un extremo relativo en x = c. b]. j) Si f es diferenciable en [a. x = 7 no es un mínimo absoluto de f. y en ese intervalo murieron un total de 1000 personas. [ 2. c) Si f no tiene un máximo absoluto en [a. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Febrero. entonces no tiene extremos absolutos en ese intervalo. x!0 1 x!0 sen2 (x) l´ım 3 l´ım x 4+ln x x!0 d. Si la regla de L’Hospital no aplica. 2] que tenga más de un mínimo absoluto. extremos locales. explique por qué? c. h(✓) = 2 cos ✓ + cos2 ✓ g(x) x x a a f(x) a) f (x) = ln(x2 + c). Halle los valores de a. Use la regla de L’Hospital cuando sea apropiado. d. Para cada numeral. a) ¿Cómo es la gráfica de P (t)? Use la primera y segunda derivada. i. ¿Para qué valores de los números a y b tiene la función f (x) = axebx el valor máximo de f (2) = 1. r. Una función sobre el intervalo [ 1. r son constantes positivas y t es el tiempo en minutos. intervalos de crecimiento y decrecimiento. y que a 1 + be rt t>0 . b. Para las siguientes funciones halle: dominio y rango. paridad. Una función que tenga dos máximos locales. Además. l´ım f. 2 . g. asíntotas. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio está dado por x a f(x) a. ln(t)) b) g(x) = l´ım 5t l´ım x!1 3t t 1 t!0 1 x sen ⇡x 2 l´ım ln(x) ln(x x!1+ l´ım x cx 1 + c 2 x2 ⌅ 10. Para las siguientes familias de funciones determine los máximos y mínimos en términos del parámetro c. 2 ó 3. un mínimo local y que no tenga mínimo absoluto. dónde a. k. ⌅ 9. dos máximos locales y siete números críticos. b) Se sabe que el máximo número de individuos que el cultivo puede tener es de 2000. g(x) x P (t) = ⌅ 6. f (x) = x4 c. g(x) g(x) 6x2 1) 1/x x!1 x2 sen(1/x) x!0 sen x x sen x l´ım x!1 x + sen x l´ım Graficación N 7. intervalos de concavidad y puntos de inflexión. y evalué los límites cuando t tiende a ±1. l. b. ¿Qué se puede decir sobre el signo y el tamaño de l´ım f (x)/g(x) para cada una de las situaciones que se muesx!a tran a continuación? Suponga que todas la funciones so polinomios de grado 1.Regla de L’Hospital. g(x) = e f(x) a 1/(x+1) b. j. Calcule los siguientes límites. y fue de 350 nuevos individuos por minuto. a los 10 minutos se observó la tasa máxima de crecimiento de esta población. r(t) = ln(1 (1 1 x2 1 p 3 x) h. e. pero que no tenga máximo absoluto. N 5. g(x) f(x) a. Use esta información para graficar la función. ex x!1 x5 tan 3x l´ım + tan 5x x! ⇡ 2 l´ım ln(sen 4x) ln(sin x) 1 p l´ım x!1 (1 x) b. ⌅ 11. Una función que tenga tres mínimos locales. a) Una función que tenga un máximo local en x = 2. a g(x) c) e) f(x) f(x) b) sea continua pero no derivable en x = 2. 2] que tenga un máximo local pero que no tenga un máximo absoluto. trace la gráfica de una función que satisfagan todas las condiciones. x a x d) ⌅ 8. Una función en [ 1. c) 0.0046 cm/s.36.00099 7.5 W/s.F 12. 18. 19. b) Colombia: 92600 Kton.9 ⇥ 1011 N/h 24 p ft/seg 5 . b) ¿Bajo qué condiciones tiene la función exactamente tres puntos críticos? ¿Cuáles son? ¿Clasifíquelos como máximos o mínimos? c) ¿Es posible que esta función tenga exactamente dos puntos.023 s/mes. 22. 5.0279047 rad/s -1 m/s 11⇡ rad/seg 298. c) 31. 14.85 m3 .95. ¿Cómo se puede calcular a partir de los puntos de inflexión de la curva? ⌅ 13. a) ¿Bajo cuáles condiciones sobre a y b tiene la función exactamente un punto crítico? ¿Es un máximo o un mínimo?. 6. 20. 21. 7. Cambios relativos: a) 5 %.13 m/s. 800⇡ cm3 /s Depende de la persona. 12. 2.3141. d) 0. a) 9.5813.38 m/s. 1. e) 0. 9. a) 15 % b) 11 % c) 21 % Se disminuye en un 40 % a) 2 %. b) 2. 4. 23. 13. -0. c) 0. Analice los puntos críticos y de inflexión de f . b) el error relativo en la medida del diámetro debe ser menor que 0.0044 metros del piso.7 W/s.16 Km/h 27 p cm/seg 4 5 16/5 ft/min 8. c) en el 2018. Para el niño: 0. 10. a) 0.b y c. críticos? Respuestas al taller 10 1. 0. b) 20 % El relativo con respecto a a es H/H = 2 a. 15. 8. b) 94.17 rad/s. 3.5 W/s. a) 9. 16.05 % f aumenta en los casos a. Considere el polinomio p(x) = x4 + ax2 + b. b) 0. La función de densidad de la distribución Gaussiana es f (x) = 1 p e 2⇡ (x µ)2 2 2 dónde µ es la media y es la desviación estándar. 11. Holanda: 142522. 17. y directamente proporcional al coseno del ángulo a que se muestra en la figura.Clase 28 INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del taller. Considere la viga de longitud L en voladizo que se muestra en la figura. ⌅ medio. y las restricciones (es decir el intervalo en el cual toma valores la variable). dado que el perímetro debe ser de 100 cm.5 m de largo. Realice este taller individualmente o en grupos. La cantidad de luz (en lumens) que llega a un objeto desde de un bombillo. ¿Cuál es el ángulo a que maximiza la eficiencia? ⌅ 7. repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Un barco sale de un muelle a las 2 PM y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 KM/h. ¿A qué horas estuvieron más cerca de sí los dos barcos? ⌅ 6. halle los valores de x y y que minimizan el área.Taller 12 . Para cada una de las siguientes figuras. la fuerza necesaria para iniciar mg el movimiento Fes F . Clasificación de problemas: N básico. ¿Cuál es la longitud del cable b con la que se logra la mejor iluminación del libro? Suponga que el techo está a dos metros del piso. Otro barco ha estado navegando con rumbo al este a 15 Km/h y llega al mismo muelle a las 3 PM. Si el coeficiente de fricción es µ. ¿Cuál es el área más grande posible de cada uno de los corrales? . x x x y y y a ⌅ 8.Cálculo Diferencial . y que la cama mide 25 cm de alto y 1. N 2. y (b) circunscribir en un círculo de radio r. Se quiere diseñar un recipiente sin tapa y con volumen igual a 32000 cm3 . Sede Medellín. La eficiencia E al atornillar un tornillo depende del ángulo de roscado a. Para cada uno de los siguientes problemas defina muy bien la variable. Un agricultor tiene 400 metros de cerca y quiere encerrar un área rectangular. Si tiene alguna pregunta. F reto. Universidad Nacional de Colombia. WW M(x) M(x) L x L x Halle los puntos en la viga donde el momento de doblamiento M es máximo y mínimo. (d) Una pirámide de base cuadrada. ⌅ 5. Suponga que se quiere arrastrarauna caja de masa m halando de una cuerda atada a un extremo y formando el ángulo a con la horizontal. 2014. ¿Con qué ángulo se debe halar para que la fuerza sea mínima? ¿Existe una fuerza máxima? ⌅ 4. y luego dividirla en cuatro corrales iguales con vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. y de µ: el coeficiente de fricción entre el tornillo y el material que lo rodea. N 1. N 9. Encuentre las dimensiones para cada uno de los siguientes recipientes que minimizan la cantidad de material a usar: (a) Una caja de base cuadrada. Ver figura. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles de mayor área que se pueden (a) inscribir. es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d. a F N 3. La viga resiste una carga distribuida de W N/m (o sea fuerza por unidad de longitud). asista a las asesorías con monitores o profesores. la función a maximizar o minimizar. Escuela de Matemáticas. (c) Un cono. a d Fa a F (a) = mg b mgµ cos a + µ sin a mg Febrero. (b) Una lata cilíndrica. Si el dueño quiere usar 100 metros de cerca. digamos D(P ). vuela hasta un parche de bosque. La capacidad máxima del teatro es 150 espectadores. Ver figura. El tiempo total de vuelo (del nido al bosque y vuelta) es de 4 minutos. Halle el número de espectadores que hacen que la ganancia del teatro sea máxima y mínima. Halle las coordenadas del punto sobre la parábola y = x2 que está más cerca al punto (3. y consigue vender 60 gomitas. y naturalmente vende menos: vendió 40 gomitas. y c en ml de droga por ml de sangre.2 minutos. La familia del pájaro quiere se maximice la tasa (en lombirces/minuto) a la cual el pájaro trae lombrices al nido. ¿Tiene sentido que la curva sea cóncava hacia abajo? 8 L 20 m ⌅ 15. R a L tiempo de vuelo + tiempo de recolección sea máxima. 4 2 r 2 4 8 El máximo número que se ha observado que el pájaro cace es 8 lombrices en 9 minutos de búsqueda. otro día (tratando de no alterar nada mas) cambia el precio a $200 por gomita.3 se obtuvo después de 1. ¿cuál es la fórmula de c(t)? 17. Se ha observado que cuando el pájaro sale a cazar. Halle el precio al que debe vender las gomitas para maximizar su ganancia. Usted entonces hace el siguiente experimento: un día las ofrece a 100 pesos cada una. Una forma de construir un cono de papel es recortando un sector de un círculo de papel. ¿cuál el es el área máxima que puede cercar? Una situación más realista es la siguiente: el volumen del cono es dado (digamos 100 cm3 ) y usted como fabricante de los conos le interesa resolver los siguientes problemas de optimización: F b) Halle la combinación de R y a que hacen que el área . ⌅ 12.N 10. La cantidad de gomas que usted vende como función del precio se llama la “curva de demanda"de las gomas. Suponga que usted quiere hacerse rico vendiendo gomitas en la Universidad. Un teatro cobra 35000 pesos por tiquete para entrar a cierta función.5) y que corta el primer cuadrante en un triángulo de área mínima. el teatro promete que si se venden más de 50 tiquetes. Cada gomita le cuesta a usted $80 y debe decidir el precio al cuál usted las vende para maximizar su ganancia. y pegando los correspondientes radios. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3. ¿Cree usted que esta es una campaña inteligente? ⌅ 13. Un pájaro debe alimentar a sus pollitos cazando lombrices fuera del nido. 0). Como estrategia de mercadeo. 25 o N 11. ⌅ a) Suponga que el radio R es dado (igual a 10 cm). ⌅ 16. a cada espectador se le devolverán 500 pesos por cada tiquete vendido en exceso de los 50 tiquetes. Si la máxima concentración de 0. y que la curva de demanda es lineal. F 14. Halle el ángulo a con el cual se construye el cono de mayor volumen. o sea queremos hallar la cantidad de lombrices L que hace que T (L) = 135 o Una droga se inyecta en un paciente y se mide la concentración de la droga en su sangre. Una casa queda cerca de una curva de la carretera y se quiere cercar como se muestra en la figura.p Hágalo ajustando un modelo matemático de la forma L = c r a la gráfica dada. y empieza a recolectar lombrices en su pico. con t en minutos después de la inyección. Se sabe que un buen modelo matemático para la concentración tiene la forma c(t) = ate bt . Asuma que sus clientes son personas sensatas. La cantidad de lombrices L que toma en su pico depende del tiempo de recolección r y se muestra en la figura. f) 0. 1. m) F. 4. h) F. b) Si a < 0. b) x = 1/c es un mínimo para c < 0 y un máximo para c > 0. Fuerza mínima con a = tan 1 (1/µ). mínimo en xp= 0 y x = L. Se puede esperar entonces. b) F.total del círculo de papel usado sea mínima. a) base igual a 3r y altura 3r/2. k) F. d) 1. b) L < 1. c(t) = 0. F 18. k) e3 .15. e) L = 0. 6.28. a) F. f) V. La desviación estándar es la distancia entre la media y los puntos de inflexión. y anida en un acantilado como se muestra en la figura.85 y altura 39. Estuvieron más p cerca a las 2:21:36. a) L < 1. Si suponemos que las aves minimizan la energía total durante su vuelo. ¿cuántas veces es Ea mayor que Ec ? Respuestas Taller 11 1. d) base cuadrada de lado 51. g) N. a) Sipa > 0. Ec . b = e7 . l)F. f) V. r = 7/10. x = 0 es un mínimo. j) 0. y = 5/3(x 3) + 5 12. i) F. La ganancia máxima ocurre con 60 espectadores. 2. b) ln 5/3. a) 1. h) F. 10.05. b) V. a = 1. a) f (x) tiene un mínimo en x = 0 para c > 0.6Ec . Cada gomita se debe vender a $240. n) V. 5. 17.39 y altura 36.15. 8. F c) Halle la combinación de R y a que hacen que el área del sector circular de papel usado sea mínima. 5. b = 1/8. Se observa que la mayoría de las aves siguen la ruta mostrada. Cada corral debe medir 25 ⇥ 40m2 .65. llegando a la costa al punto P . e) 1. F d) Halle la combinación de R y a que hacen que el área del sector circular desechado sea mínima. a = 2. Isla 5 Km Nido P 13 Km La razón de esto.E. 6. 7. Máximo en x = L/2. La tasa máxima ocurre cuando el pájaro se gasta 4 minutos recolectando. g) V. h) 1. El área máxima que se puede encerrar es 2459. 1). a = 21 e.39. d) F. Una población de aves costeras se alimenta en una isla a 5Km de la costa.69 m a la derecha de la casa. d) V. 2.83 m2 y se obtiene si la cerca pasa a 21. l) 0. c) 5/3. 10. El punto es (1. a) a = 1. y luego vuelan en línea recta por el borde del acantilado hasta el nido. b) R = 6. e) F. ñ) V 3. El cable debe medir 68. i) 1/3.49 cm c) radio del cono 27. 9. d) L = 0.9 cm. digamos Ea (en unidades de Joules/m) es mayor que su contraparte sobre la costa. x = 1/c.. 8. i) F. g) V. 13. Respuestas Taller 12. la mínima con 150 espectadores. 11. x = 0. 12. 16. 7. b) a =p2000. b) no existe. c) L > 1. 15.833t t. durante el día.679e 0. c) V.8 y altura 46. En efecto. es un máximo para c < 0 y un mínimo para c > 0. las corrientes de aire (que se mueven tratando de disminuir su temperatura) bajan hacía el agua y se alzan cerca a la costa. ubicado a 9 Km del nido. Ea = 1.34. ± a/2 d) no. b) radio de la base igual 14. La media µ es en dónde se encuentra el máximo de f . 11. es que las aves prefieren volar sobre la costa que sobre el agua. c) V. Sea L el límite pedido. 14. d) 0 < L < 1. que la tasa a la cual el ave gasta energía al volar sobre el agua. c) R = 7. 9. e) F. 3. d) no existe 18. j) V. j) V 4. 13. a) base cuadrada de 40 ⇥ 40 cm2 y altura 20 cm. Eficiencia máxima con a = µ + 1 + µ2 . a) V. 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TeoremasZeolita. w de GradoSolucion EDO 2Syllabus Analisis Numerico 2014 IICondensacion y Ebullicionma2008-04Articulo N°4.TRabajo Practico 2Act_4Act_3Condensacion y Ebullicion201003_Unidad_1Articulo N°1.Modulo Biotecnologia 2009Act_Rec_2014-1Protocolo_biotec_avanzadaFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK