Fı́sica Experimental IIISALAS 413 e 415 2017–1 Conteúdo I Experimentos – Roteiros 7 1 Noções de circuitos elétricos 8 1.1 Material 8 1.2 Introdução 8 1.3 Voltagem 8 1.4 Corrente elétrica 9 1.5 Resistência 9 1.5.1 Associação de resistores em série 10 1.5.2 Associação de resistores em paralelo 11 1.6 Leis de Kirchhoff 12 1.6.1 Lei das correntes de Kirchhoff 12 1.6.2 Lei das tensões de Kirchhoff 12 1.7 Introdução ao uso dos equipamentos 13 1.7.1 Fonte de alimentação DC 14 1.7.2 Amperı́metro 15 1.7.3 Voltı́metro 15 2 1.7.4 Multı́metro digital: medidas de tensão e corrente 16 1.7.5 Protoboard 16 1.8 Procedimentos Experimentais 17 1.8.1 Procedimento 1: Lei de Ohm 17 1.8.2 Procedimento II: Lei das tensões de Kirchhoff e associação em série 19 1.8.3 Procedimento III: Lei das correntes de Kirchhoff e associação em pa- ralelo 20 2 Gerador de funções e osciloscópio 22 2.1 Material 22 2.2 Introdução 22 2.3 A onda quadrada 22 2.4 Gerador de funções 24 2.4.1 Operação básica 24 2.4.2 Representação do gerador em um diagrama 25 2.5 Osciloscópio digital 25 2.5.1 Tela do osciloscópio 26 2.5.2 Informações básicas sobre operação 26 2.5.3 Representação do osciloscópio em um diagrama 32 2.6 Procedimentos Experimentais 33 2.6.1 Procedimento I: seleção dos parâmetros da forma de onda no gera- dor de funções e medida de amplitude. 33 2.6.2 Procedimento II: ajuste automático e controle de “trigger”. 34 2.6.3 Procedimento III : execução de medidas com diferentes escalas. 35 2.6.4 Procedimento IV: utilizando o menu de medidas. 36 2.6.5 Procedimento V: usando os cursores. 37 3 2.4 Procedimento IV 55 3.7.7.7.1 Procedimento I: constante de tempo e frequência de oscilação do cir- cuito RLC 66 4.6 Circuitos RL 49 3.7.1 Material 69 .2 Introdução 42 3.2 Introdução 58 4. 41 3 Transientes em circuitos RC e RL 42 3.3.2 Procedimento II 53 3.7.1 Material 58 4.7 Procedimentos experimentais 51 3.6.1 Material 42 3.6.6 Procedimento VI: observação de 2 formas de onda simultaneamente.3 Procedimentos experimentais 66 4.3. 40 2.1 Procedimento I 51 3.7 Procedimento VII: adicionando valores constantes aos sinais.5 Procedimento V 56 4 Circuitos RLC com onda quadrada 58 4.4 Circuitos RC 44 3.3 Procedimento III 55 3.5 Indutores 48 3. 67 5 Circuitos resistivos com onda senoidal 69 5.3 Capacitores 42 3.2 Procedimento II: transição do regime sub-crı́tico para o regime super- crı́tico. 2 Filtro passa-alta 97 .1 Procedimento II: medida da diferença de fase e da reatância indutiva de um circuito RL 94 7 Filtros de frequência 95 7.1 Material 78 6.6 Introdução 88 6.3 Circuitos RC 80 6.3 Filtros usando circuitos RC 96 7.1 Procedimento I: verificação do análogo da lei de Ohm para capacitores 85 6.1 Material 95 7.1 Sinais senoidais 70 5.3. A.2 Procedimento II: circuitos resistivos com tensão senoidal 75 6 Circuitos RC e RL com C. 78 6.3.4.1 Filtro passa-baixa 97 7.5 Material 87 6. 4 5.3.2 Introdução 69 5.8 Procedimentos experimentais 94 6.2.3 Procedimentos experimentais 74 5.3.2 Resistores em corrente alternada 73 5.7 Circuitos RL 90 6.2.2 Introdução 95 7.1 Procedimento I: uso do multı́metro e do osciloscópio para medidas de tensão alternada 74 5.8.2 Introdução 78 6.4 Procedimentos experimentais 85 6. 5 Procedimentos experimentais 116 8.1 Procedimento I: análise da amplitude de corrente no circuito RLC em série 116 8.5.2 Introdução 104 8.3.3.1 Material 104 8.4.3 Circuitos RLC em série 105 8.1 Procedimento I: filtro passa-alta 101 7.5.4.4 Procedimentos Experimentais 101 7.2 Procedimento II: análise da amplitude de corrente no circuito RLC em paralelo 118 8.2 Procedimento II: filtro passa-baixa 102 8 Circuitos RLC com corrente alternada: ressonância 104 8.3.4 Circuitos RLC em paralelo 113 8.4 Transmitância e diagrama de Bode 100 7. 5 7.5.3 Frequência de corte 98 7.3 Procedimento III: determinação da frequência de ressonância pela diferença de fase 118 II Relatórios e Pré-relatórios 124 .1 Potência média 109 8. capacitores e indutores. O que se espera ao final desse curso é que os estudantes sejam capazes de montar circui- tos elétricos simples e realizar medidas sobre eles. tendo por objetivo o estudo de circuitos elétricos simples. a quem correções e sugestões devem ser enviadas. oferecido pelo Instituto de Fı́sica . Este curso experimental tem um escopo um pouco mais restrito (porém não menos inte- ressante).ufrj. Os responsáveis por este material são os professores Irina Nasteva e Kazu Akiba. Ele aborda conceitos relacionados à medição de grandezas elétricas e à observação de propriedades básicas de alguns elementos simples usados em circuitos elétricos. O material inclui os roteiros para os procedimen- tos experimentais. tais como resistores.br e
[email protected]. os pré-relatórios e os relatórios. e que tenham assimilado os principais conceitos relacionados ao seu funcionamento. que tem como objeto de estudo os fenômenos elétricos e magnéticos.br. iniciado no final de 2012 pela Coordenadoria do Ciclo Básico. bem como as caracterı́sticas básicas de circuitos resisti- vos simples (circuitos RC. RL e RLC). O curso pretende ser complementar ao curso de Fı́sica III. Introdução Esta apostila contem o material completo para o curso de Fı́sica Experimental III (FIN 231). pelos endereços kazu@if. tanto do ponto de vista teórico.ufrj. Este material faz parte de um amplo processo de reformulação das disciplinas básicas de Fı́sica Experimental. como do ponto de vista experimental. . PARTE I EXPERIMENTOS – ROTEIROS . Mesmo as- sim. • fonte de alimentação.2 Introdução Existem duas quantidades que normalmente queremos acompanhar em circuitos elétricos e eletrônicos: voltagem e corrente. 1.3 Voltagem A voltagem. • amperı́metro.1 Material • multı́metro digital. Mover uma carga de um ponto cujo potencial é menor para outro ponto de potencial maior é um processo similar a mover uma massa de uma altura a outra. Noções básicas de circuitos elétricos e Lei de Ohm 1 1. tensão ou diferença de potencial entre dois pontos. Essas grandezas podem ser constantes ou variáveis no tempo. • resistores 10 kΩ e 2. O conceito de potencial elétrico é muito similar ao conceito de potencial gravitacional. é o custo em energia. ao mover a massa no sentido do chão para a mesa. Se definirmos o potencial zero como sendo o nı́vel da mesa. o solo terá um potencial negativo. Para mover a massa do chão até um ponto situado sobre uma mesa a energia potencial é alterada. e neste caso estaremos ganhando energia potencial gravitacional. Podemos definir como zero de energia potencial o solo. o trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto com um potencial elétrico mais baixo a outro de potencial elétrico mais alto. ganhamos energia potencial! Com . Vejamos a seguir algumas definições. 1. ou seja.2 kΩ. Para uma dada voltagem. as medi- das que realizamos correspondem às diferenças de potencial elétrico entre a referência e um outro ponto qualquer do espaço. que não oferecem quase nenhuma resistência à passagem de corrente elétrica. A unidade de medida de diferença de potencial é o volt (V). e frequentemente é expressa em múltiplos. O ampère. em relação à passagem de corrente elétrica. A unidade de medida de corrente é o ampère (1 A = 1 cou- lomb/segundo). a corrente é o fluxo de carga elétrica que passa por um determinado ponto. é uma unidade muito grande para as aplicações do dia-a-dia. O sı́mbolo para indicar uma resistência em um circuito elétrico é mostrado na figura 1. as correntes são geralmente expressas em mili-ampères (1 mA = 10−3 A). células solares (conversão fotovoltaica da energia dos fótons da luz incidente). Por isso. os condutores. As diferenças de potencial são produzidas por geradores.1. ou em submúltiplos. levando-as de um potencial mais baixo para outro mais alto. Usamos a letra R para indicar a resistência de um material. 1. O trabalho realizado ao se mover uma carga de 1 coulomb através de uma diferença de potencial de 1 volt é de 1 joule. tais como o quilovolt (1 kV = 103 V). que são dispositivos que re- alizam trabalho de algum tipo sobre as cargas elétricas. micro-ampères (1 µA = 10−6 A) ou nano-ampères (1 nA = 10−9 A). portanto. é a diferença que existe entre os potenciais desses pontos.1. os portadores de corrente elétrica são cargas positivas que fluem de potenciais mais altos para os mais baixos (embora o fluxo de elétrons real seja no sentido contrário). Costuma-se definir esse ponto de referência como sendo a terra (o ponto onde a altura é zero). e a unidade de medida desta grandeza é o ohm (Ω).4 Corrente elétrica 9 o potencial elétrico ocorre o mesmo. Fica claro que só há sentido em definir voltagem ENTRE DOIS PONTOS. 1. Os materiais são classificados. que são aqueles que oferecem alta resistência à passagem de cargas elétricas. . Temos que definir um ponto de referência. Por convenção. o fluxo de cargas dependerá da resistência do meio por onde essas car- gas deverão passar. geradores de usinas hidrelétricas (energia potencial da água armazenada na represa). em geral. A voltagem entre dois pontos.5 Resistência Para que haja fluxo de cargas elétricas são necessários dois ingredientes básicos: uma diferença de potencial e um meio por onde as cargas elétricas possam circular. e os semicondutores que se situam entre os dois extremos menciona- dos anteriormente. menor o fluxo de cargas para uma dada diferença de potencial.4 Corrente elétrica Usualmente identificada pelo sı́mbolo i. como o milivolt (1 mV = 10−3 V) e o microvolt (1 µV = 10−6 V). em três cate- gorias básicas: os isolantes. Quanto maior a resistência. Isso é o que ocorre em dispositivos como baterias (energia eletroquı́mica). Na figura 1. (1. V1 = VAB .5.1 Associação de resistores em série Elementos de um circuito elétrico (como por exemplo resistores) são ditos ligados em série se conduzem a mesma corrente.3) Para a associação em série de resistores temos então: R = R1 + R2 .1: Representação esquemática de um resistor colocado entre os pontos A e B de um dado circuito.1) i A equação 1. (1. A resistência de um material condutor é definida pela razão entre a voltagem V apli- cada aos seus terminais e a corrente i passando por ele: V R= . (1.2) As voltagens no resistor R1 . Num circuito elétrico os dois resistores ligados em série têm o mesmo efeito de um resistor equivalente de resistência Rs .1 é uma das representações da Lei de Ohm.5 Resistência 10 A B R Figura 1. a corrente i1 passando por R1 e a corrente i2 por R2 são a mesma corrente i passando pela associação: i = i1 = i2 . e no resistor R2 . V2 = VBC . 1.4) . e será muito utilizada nesta disciplina. (1. etc.2 mostramos uma associação em série dos resistores R1 e R2 . Na montagem de circuitos elétricos e eletrônicos dois tipos de associações de elementos são muito comuns: associações em série e em paralelo. Na associação em série de resistores.1. Através dela vemos que no SI a unidade de resistência é definida por 1 Ω = 1 V/A. somadas são iguais à voltagem da associação VAC : VAC = VAB + VBC = V1 + V2 . (1. se estão ligados entre o mesmo par de nós.2: a) Associação em série de resistores. V2 .1. b) Resistor equivalente. . V1 . (1.3: a) Associação em paralelo de resistores.6) Para a associação em paralelo de resistores. b) Resistor equivalente. Na associação em paralelo de resistores. a resistência equivalente Rp será: 1 1 1 = + .5 Resistência 11 A B C a) R1 R2 A C b) Rs Figura 1. são a mesma voltagem da associação VAB : VAB = V1 = V2 . 1. (1. soma da corrente i1 passando por R1 e da corrente i2 por R2 é a corrente total i passando pela associação: i = i1 + i2 .5. Num cir- cuito elétrico os dois resistores ligados em paralelo têm o mesmo efeito de um resistor equivalente de resistência Rp . Na figura 1. e portanto têm a mesma tensão em seus terminais.7) Rp R1 R2 A A a) b) R1 R2 Rp C B Figura 1. e R2 .2 Associação de resistores em paralelo Elementos de um circuito elétrico são ditos ligados em paralelo.5) As voltagens nos resistores R1 .3 mostramos uma associação em paralelo dos resistores R1 e R2 . i3 e i5 ) são atribuı́dos sinais algébricos positivos e às correntes que saem do nó (i2 e i4 ) são atribuı́dos sinais negativos. • Laço (loop) – um caminho fechado simples num circuito passando somente uma vez em cada nó e voltando ao nó de partida. 1. Para que a corrente flua dentro ou fora de um nó de um caminho de circuito fechado deve existir. • Circuito – a ligação entre elementos de circuitos. Essa lei pode ser entendida como uma lei de conservação das cargas. Logo. e fonte de corrente.1 Lei das correntes de Kirchhoff A primeira lei de Kirchhoff. afirma que a soma algébrica de todas as correntes em qualquer nó de um circuito é igual a zero: isaı́da + ientrada = 0.6 Leis de Kirchhoff Para enunciar as leis de Kirchhoff para circuitos é necessário darmos algumas definições da teoria de circuitos: • Elemento de circuito – um componente que tem dois terminais e pode ser descrito em termos de tensão e corrente. Vamos ilustrar a LCK usando o exemplo de nó mostrado na Fig. . 1. capacitor. • Ramo – um caminho entre dois nós consecutivos. Nós podemos usar a LCK ao analisar circuitos em paralelo.6. de modo que formem pelo menos um caminho fechado para a corrente fluir. • Malha (mesh) – um laço que não contém nenhum outro laço dentro.6 Leis de Kirchhoff 12 1. Há cinco elementos básicos ideais de circuitos: resistor.6. indutor. Segmentos de condutor não con- tam como elementos ou ramos. • Nó – o ponto em qual dois ou mais elementos se unem. definimos o sentido de referência para a corrente da seguinte maneira: às correntes que entram no nó (i1 . 1. ou lei das correntes (LCK). Aqui.1. Esta lei de Kirchhoff é baseada na conservação de energia. fonte de tensão.2 Lei das tensões de Kirchhoff A segunda Lei de Kirchhoff. i1 − i2 + i3 − i4 + i5 = 0 . ou lei das tensões (LTK) afirma que a soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer caminho fechado em um circuito é igual a zero. ou que não há acúmulo de carga numa junção e cargas não são perdidas nem criadas: a carga total en- trando num nó é exatamente igual à carga deixando o nó.4 a). Mais precisamente. Um outro instrumento. é que para verificar as relações entre as diversas grandezas que participam de um circuito elétrico devemos medi-las. que nos permitem realizar essas medidas. devemos conhecer as correntes e as voltagens que ocorrem no circuito. Esses instrumentos indicam o valor medido através do movimento de uma agulha ou ponteiro em uma escala (mostradores analógicos).4 b). 1. ou por um mostrador digital. Optamos pelo sentido horário e sempre vamos percorrer os caminhos neste sentido.1. devemos escolher o sentido em que vamos percorrer o laço (horário ou anti-horário).7 Introdução ao uso dos equipamentos 13 Figura 1. a LTK dá VAB + VBC + VCD + VDA = 0 . Para aplicar a LTK. Inicialmente vamos nos restringir a correntes e voltagens que não variam no tempo. Com ele podemos literalmente ver voltagens em função do tempo em um ou mais pontos de um circuito. mais versátil. 1. e que diz respeito diretamente ao nossa disciplina. ou . ou seja invertendo os pontos de medida. Note que VDA = −VAD . que iremos utilizar é o osciloscópio. como o voltı́metro e o am- perı́metro. Podemos sempre usar a LTK ao analisar circuitos em série. existem diversos instrumentos. Definimos o sentido de referência para as tensões: vamos atribuir sinal positivo às quedas de tensão. No exemplo mostrado na Fig. a tensão troca de sinal.4: Exempos das Leis de Kirchhoff: a) Lei das correntes. e sinal negativo aos aumentos de tensão. percorrendo o laço no sentido horário. Para isso. quando utilizarmos correntes e voltagens que variam no tempo. b) Lei das tensões. Teremos a oportunidade de trabalhar com osciloscópios um pouco mais à frente na disciplina.7 Introdução ao uso dos equipamentos de medida da ban- cada Um ponto importante. Os equipamentos disponı́veis para nossas medidas na aula de hoje são o multı́metro e uma fonte de alimentação DC (corrente contı́nua). Elas são classificadas como contı́nuas.5: Representação de uma fonte DC cuja tensão pode ser ajustada. Usamos o termo genérico corrente contı́nua quando nos referimos a voltagens e correntes que não variam no tempo.7 Introdução ao uso dos equipamentos 14 seja. identificados como saı́da positiva (potencial mais alto) e negativa (potencial mais baixo). Num circuito elétrico a fonte DC é um elemento polarizado. que possuem um valor constante. 1. Há ainda uma bancada com diversos resistores e capacitores que serão utilizados nas montagens experimentais.5.1. Vamos intro- duzir o uso de todos esses equipamentos através de experimentos que serão realizados no decorrer da disciplina. Se a polaridade não for respeitada. Para as voltagens e correntes que variam no tempo damos o nome genérico de corrente alternada. + VB - Figura 1. As fontes utilizadas nesta disciplina serão fontes de voltagem variável. a voltagem nos terminais pode ser variada entre 0 V e algumas dezenas de volts. A voltagem desejada pode ser ajustada no painel frontal da fonte.7. Representamos uma fonte de tensão contı́nua pelo sı́mbolo mostrado na Figura 1. onde a seta inclinada indica que a tensão por ela produzida é variável. e pode ser usada nos circuitos apenas conectando os cabos nos conectores de saı́da da fonte. isto significa que a corrente sai de seu terminal positivo (B) e entra em seu terminal negativo (A). ou seja. alguns componentes do circuito podem ser danificados. .1 Fonte de alimentação DC A fonte de alimentação DC (corrente direta do termo original em inglês) na bancada é um equipamento utilizado para transformar a corrente alternada que existe na rede normal de distribuição em corrente contı́nua. + - Figura 1. com diâmetro da ordem da espessura de um fio de cabelo. Ele é polarizado e deve ser inserido em série no ponto do circuito onde se deseja medir a corrente. como o nome diz. a diferença de poten- cial em cada resistência é a mesma da associação e a corrente que passa em cada uma das resistências dependerá do valor da resistência. é montada de tal maneira que quando passa uma corrente por ela. a corrente passando por ele será pequena e não afetará o funcionamento do circuito. Seu princı́pio de funcionamento é baseado nos efeitos magnéticos das correntes elétricas.6 é utilizado frequente- mente para indicar um medidor de corrente. podemos verificar que ele se comporta exatamente como um imã. Ao fazermos passar uma corrente elétrica por um condutor. A deflexão da agulha é proporcional à corrente elétrica que passa pela bobina. O amperı́metro é baseado em um galvanômetro montado em paralelo com uma re- sistência de desvio. Como sabemos. ou amperı́metro. em série com uma resistência de valor alto. gera- mos um campo magnético à sua volta. 1.7 Introdução ao uso dos equipamentos 15 1.6: Representação esquemática de um medidor de corrente. Sua construção também é baseada no princı́pio do galvanômetro. O sı́mbolo mostrado na Figura 1. Se este condutor for enrolado na forma de uma espira (ou várias delas). Este é o princı́pio de funcionamento básico do galvanômetro: uma bobina muito leve formada por muitas espiras de fio de cobre.7. Os primeiros amperı́metros construı́dos eram aparelhos analógicios e seu funcionamento se baseava em um instrumento chamado galvanômetro. causando e sofrendo forças e torques devido a interações com outros imãs. um tor- que é gerado fazendo com que haja a deflexão de uma agulha. ou campos magnéticos externos.3 Voltı́metro O voltı́metro. Sendo a resistência do voltı́metro muito alta.1. O voltı́metro deve ser ligado em paralelo com o elemento de circuito cuja tensão estamos medindo. Galvanômetro é o nome genérico de um instrumento capaz de acusar a passagem de uma corrente elétrica.2 Amperı́metro Medidas de correntes elétricas podem ser feitas com o uso de amperı́metros.7. Esta corrente poderá ser medida pelo galvanômetro e convertida em tensão usando o valor . quando duas resistências são ligadas em paralelo. é um instrumento que mede voltagens ou diferenças de potencial. ou como uma agulha de uma bússola. além do prefixo tera usamos também com frequência o giga = 109 e o mega = 106 ).7: Representação usual de voltı́metros em circuitos elétricos. corrente contı́nua. Por questões de segurança. como no caso dos instrumentos analógicos.7 Introdução ao uso dos equipamentos 16 conhecido da resistência em série (usando a lei de Ohm). resistência elétrica. 1. o que o torna um instrumento ideal para as medidas usuais de diferenças de potencial. entre outros. O multı́metro digital é um instrumento que permite medir digitalmente voltagens. os mesmos cuidados observados com os instrumentos analógicos. O sı́mbolo apresentado na Figura 1.7. . 1 tera = 1012 . pois ao invés de interações entre correntes e campos magnéticos. a resistência interna do voltı́metro passa de algumas dezenas de kΩ para alguns TΩ (T significa tera. ca- pacitância.4 Multı́metro digital: medidas de tensão e corrente Os voltı́metros e amperı́metros das formas descritas acima apresentam muitas limitações e. O proto- board contém alguns pontos que são interligados entre si e outros pontos independentes. Com este instrumento podemos medir voltagem contı́nua. usam-se conversores analógico-digitais para detectar diferenças de potencial. voltagem alternada. Por isso. por isso. + V - Figura 1.7. estão sendo substituı́dos gradualmente por aparelhos digitais que apresentam algumas vantagens extremamente importantes. O princı́pio de medida também é diferente. Trata- se de um equipamento sensı́vel e com o qual se deve tomar. temos que tomar um certo cuidado para não submeter o aparelho a grandezas cujas intensidades sejam demasiadamente grandes e que podem danificá-lo.7 é frequentemente utilizado para representar um voltı́metro em circuitos elétricos. É nele que ligamos os componentes eletrônicos e os instrumentos de medição. 1. com alto grau de precisão e acurácia. Em primeiro lugar. uma boa regra é mantermos o aparelho ligado sempre na MAIOR escala possı́vel e irmos dimi- nuindo o valor da escala até obtermos a medida com menor incerteza possı́vel.1.5 Protoboard Um dos equipamentos que iremos utilizar durante todo a disciplina será o protoboard. quando vamos efetuar uma medida de uma grandeza des- conhecida. cor- rentes e diversas outras grandezas derivadas. na sua utilização. O valor da voltagem é fornecido entre os terminais “+” e “−”. 1. uma fonte de tensão. Figura 1.8 Procedimentos Experimentais 17 Os pontos independentes servem para inserir um componente de um ponto ao outro do circuito e desta maneira completar a ligação. 1. 1.8. Lei de Ohm 2.8: Diagrama esquemático do protoboard.8 Procedimentos Experimentais Serão feitos 3 procedimentos experimentais.8. . Certifique-se que a tensão é 0 (zero). Veja a Figura 1. Lei das tensões de Kirchhoff 3.1. Ligue a fonte de tensão. comprovando a relação: V = Ri (1.1 Procedimento 1: Lei de Ohm O objetivo desse experimento é confirmar a lei de Ohm. Lei das correntes de Kirchhoff 1.8) Iremos montar um circuito formado por um resistor (R1 = 10 kΩ ). um amperı́metro e um voltı́metro. o valor dado no mostrador trocará de sinal. Observe que VAB é a voltagem aplicada pela fonte. Meça os valores de i e VAB e anote-os na Tabela 1.10: Como montar o circuito da Figura 1. medir a voltagem com o voltı́metro e medir a corrente passando pelo circuito com o amperı́metro.9 no protoboard. O resistor não possui polaridade e poderá ser usado sem preocupação quanto ao sentido da corrente que o atravessa.10 como guia.1. Monte o circuito indicado na Figura 1. Note que se o amperı́metro. 3. Utilize a Figura 1. .9. Conecte o amperı́metro ao circuito de modo a medir a corrente que passa por R1 no ponto B. ou o voltı́metro tiverem seus terminais invertidos.9: Circuito a ser montado para o Procedimento I. Ajuste a voltagem da fonte para 1 V. Conecte o voltı́metro entre os terminais do resistor de modo a medir a voltagem entre os pontos A e B. Figura 1. 2. Iremos variar a voltagem fornecida pela fonte.8 Procedimentos Experimentais 18 Figura 1. Utilize a fonte regulável (botão giratório) para variar a voltagem no resistor. já que a soma de todas as tensões num circuito fechado deve ser nula. Estime também a sua incerteza σR . Tenha atenção com as unidades de medida dos valores usados no ajuste da reta. no ponto A. Não se esqueça de anotar também os valores das incertezas de suas medidas. Determine graficamente (isto é.1. a corrente que atravessa todos os elementos desse circuito deve ser a mesma. e a partir dele o valor da resistência R.11 temos que: VAB + VBC + VCA = 0 . Inverta as posições do amperı́metro e resistor. Faça um gráfico de VAB (eixo y) contra i (eixo x). Dessa mesma forma. sem o uso de computadores) o coeficiente angular da reta que melhor se ajusta aos seus pontos experimentais. para que tenhamos R em ohms. 7. Note que . Complete a Tabela 1 com outros cinco pares de pontos (i. ou seja.8.11: Circuito a ser montado para o procedimento 1. 6. onde V deve estar em volts e i em ampères.2. Faz alguma diferença na medida a posição em que você insere o amperı́metro? Por quê? 5. VAB ).8. 1. Anote o valor de VAB medido pelo voltı́metro e seu correspondente valor da corrente i medido pelo amperı́metro. Figura 1.8 Procedimentos Experimentais 19 4.2 Procedimento II: Lei das tensões de Kirchhoff e associação em série Iremos verificar experimentalmente a lei das tensões de Kirchhoff fazendo medidas de voltagem e corrente numa montagem de resistores em série. No circuito da Figura 1. Será feito o ajuste da função V = Ri. Meça o valor da resistência de R1 e sua incerteza usando um multı́metro digital. Note que agora a corrente está sendo medida antes do resistor. Escolha valores de voltagem entre 1 e 2 V. 1.8 Procedimentos Experimentais 20 VCA = −VAC , o que depende do ponto de medida do multimetro. Para comprovar esta suposição iremos realizar o procedimento abaixo. 1. Ligue a fonte de tensão e ajuste a voltagem para VB = 0 V antes de iniciar a monta- gem do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura 1.11. Tome como exemplo o diagrama do protoboard da Figura 1.12. Figura 1.12: Guia de montagem do procedimento 1.8.2. Note que ao inverter o lugar do am- perı́metro com o de R1 , medimos a corrente no ponto A. Da mesma forma, trocando a posição do amperı́metro com R2 , medimos a corrente no ponto C. 2. Ajuste o valor da voltagem na fonte para VB = 5 V, usando o voltı́metro. 3. Meça as correntes nos pontos A e B e as voltagens VAB (entre A e B), VBC (entre B e C) e VAC (entre A e C). Complete as Tabelas 2 e 3 com estes valores e suas respectivas incertezas. 1.8.3 Procedimento III: Lei das correntes de Kirchhoff e associação em paralelo Iremos verificar experimentalmente a lei das correntes de Kirchhoff fazendo medidas de voltagem e corrente numa montagem de resistores em paralelo. 1. Ligue a fonte de alimentação e ajuste a voltagem para VB = 0 V antes de iniciar a mon- tagem do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura 1.13. Tome como exemplo o diagrama do protoboard da Figura 1.14. 1.8 Procedimentos Experimentais 21 Figura 1.13: Circuito a ser montado para o procedimento 1.8.3. Figura 1.14: Guia de montagem do procedimento 1.8.3. Note que a corrente total no cı́rculo trace- jado é igual a iA − iB − iD = 0, ou seja, a corrente que entra no cı́rculo é igual à soma das correntes que saem do cı́rculo. Por sua vez, as correntes iB e iD são iguais às correntes que atravessam, res- pectivamente, R1 e R2 . Os elementos J1 , J2 , J3 , são conectores de junção para fechar o circuito e as setas têm tamanhos diferentes para mostrar que suas magnitudes são também diferentes. 2. Ajuste o valor da voltagem na fonte para VB = 2 V, usando o voltı́metro. 3. Meça as correntes nos pontos A, B e D e as voltagens VAC , VBC e VDE . Complete as Tabelas 4 e 5 com estes valores e suas respectivas incertezas. Gerador de funções e osciloscópio 2 2.1 Material • Osciloscópio digital; • Gerador de funções. 2.2 Introdução Na aula anterior utilizamos instrumentos de medida (amperı́metro e voltı́metro) e fon- tes de energia (fonte de voltagem DC) para estudar o comportamento de correntes elétricas e voltagens estacionárias, ou seja, que não variam com o passar do tempo. No entanto, como veremos a partir da próxima aula, a resposta elétrica de alguns ele- mentos de circuito que utilizaremos está relacionada com correntes e voltagens variáveis no tempo. Assim, para estudá-los devemos ser capazes de gerar e observar correntes e voltagens com essas caracterı́sticas. Em nosso curso utilizaremos um gerador de funções (também conhecido como gerador de sinais) para gerar voltagens variáveis com o tempo e um osciloscópio digital para observá-las e medi-las. Esta aula contém uma breve introdução ao funcionamento e operação destes dois equi- pamentos, com a descrição geral das funcionalidades que serão utilizadas neste curso. Para detalhes do funcionamento dos instrumentos que estão à disposição na sala de aula, consulte os manuais de operação especı́ficos. 2.3 A onda quadrada Existem diferentes formas de onda, mas na 1a parte do curso utilizaremos apenas a onda quadrada. A figura 2.1 mostra o gráfico desta forma de onda, com o tempo no eixo 1) T A unidade SI para a frequência é o hertz (Hz). Sua unidade SI é o segundo (s) e neste curso serão comuns seus submúltiplos. medido em relação ao valor Vmed = 0. o número de oscilações que ocorrem num dado intervalo de tempo.1: Forma de onda quadrada com perı́odo T = 1 ms e amplitude V0 = 1 V. o milivolt (1 mV = 10−3 V). um sinal que se repete após um dado intervalo de tempo.2. Na figura 2. definido como 1 Hz = 1 s−1 . podemos também definir a tensão pico-a-pico Vpp como sendo a diferença (em módulo) entre o valor máximo e o valor mı́nimo de voltagem do sinal. (2. como o milissegundo (1 ms = 10−3 s) e o microssegundo (1 µs = 10−6 s). . Uma onda quadrada pode ser inteiramente definida por 2 parâmetros: . é a frequência f .o perı́odo T : é o intervalo de tempo necessário para que a onda se repita.1. Alternativamente. é fácil perceber que a frequência é o inverso do perı́odo: 1 f= . esta onda pode ser descrita como possuindo .2) Figura 2. diretamente relacionada ao conceito de perı́odo.a amplitude V0 : é o valor máximo de voltagem que a onda assume. A primeira caracterı́stica que podemos observar é que se trata de um sinal periódico. simetricamente dispostos em torno de seu valor médio Vmed = 0. isto é. A partir desta definição.3 A onda quadrada 23 horizontal e a voltagem no eixo vertical. (2. a tensão pico-a-pico é o dobro da amplitude da onda: Vpp = 2V0 . temos a representação gráfica de uma onda quadrada com perı́odo T = 1 ms e amplitude V0 = 1 V. Como os patamares superior e inferior da onda quadrada estão simetricamente dispostos em torno do valor Vmed = 0 V. Além da amplitude V0 . Sua unidade SI é o Volt (V) e neste curso será comum um de seus submúltiplos. A segunda caracterı́stica é que a voltagem da onda oscila entre dois valores. Uma terceira grandeza. Faremos uma breve descrição das funcionalidades princi- pais. Nos aparelhos disponı́veis no laboratório. A seguir passa- mos ao ajuste da frequência. é importante ressaltar que o valor mostrado no visor representa apenas uma INDICAÇÃO da frequência do sinal. 2.1. triangular ou senoidal. presentes na maioria dos modelos de geradores de sinais. . senoidal ou triangular). Figura 2. A figura 2.1 Operação básica Ao ligarmos o gerador de sinais.4 Gerador de funções O gerador de funções. e um visor digital mostra o valor de frequência ajustado. ou de sinais. deve ser utilizado um INSTRUMENTO DE MEDIDA apropriado (osciloscópio). podemos iniciar o ajuste pela definição da forma de onda desejada. quando for solicitada uma medida da frequência. Ele possui várias funcionalidades. algumas das quais não serão utilizadas no curso. equivalentemente. seme- lhante aos que utilizaremos no curso. é possı́vel selecionar a forma de onda desejada. O ajuste da frequência é feito em seguida.2 mostra uma imagem do painel frontal de um gerador de sinais tı́pico.4 Gerador de funções 24 uma frequência f = 1 kHz e uma tensão pico-a-pico Vpp = 2 V. é um aparelho que gera voltagens Vg variáveis como função do tempo t. que é denominada de GND (do inglês “ground”) ou terra. Como mostrado na figura 4. sua frequência (ou. e em alguns modelos é possı́vel visualizar o valor ajustado em um visor. com diversos valores de frequências e amplitudes de voltagens.4. caso contrário é preciso o auxı́lio de um osciloscópio para isto. seu perı́odo) e sua amplitude. dentre as opções disponı́veis (quadrada. e para isto selecionamos inicialmente o botão correspondete à faixa de frequência desejada. é possı́vel gerar uma forma de onda quadrada. a voltagem gerada assumirá valores positivos ou negativos em relação a uma referência. Em muitos modelos existe um fre- quencı́metro acoplado.2.2: Painel frontal de um gerador de sinais tı́pico. 2. e sugerimos a consulta ao manual de operação do equipamento disponı́vel na bancada. uma breve descrição de seu princı́pio de funcionamento e principais funções serão a seguir apresentados. bem como para comparação entre sinais diferentes. Para conectar o sinal produzido pelo gerador a um circuito ou a um instrumento de medida.4 mostra o esquema do painel frontal de um osciloscópio que usaremos como . é utilizado para a determinação de amplitudes e frequências dos sinais de voltagem. Muitas são suas funções e é fundamental para o bom andamento deste curso que o estudante se familiarize com as principais.3. Normalmente não há indicador da amplitude da onda gerada no visor. na figura 2.3 significa o mesmo que referência ou terra.5 Osciloscópio digital O osciloscópio é um instrumento empregado para visualizar voltagens que variam com o tempo. A figura 2. Para tanto.2 Representação do gerador em um diagrama Num circuito. representamos o gerador de funções pelo sı́mbolo indicado na figura 2. 2. basta utilizar um cabo com um conector compatı́vel com a saı́da do sinal. normal- mente um conector do tipo BNC. Figura 2. Neste caso o sinal gerado é uma onda quadrada.3: Representação esquemática de um gerador de funções num circuito elétrico.5 Osciloscópio digital 25 A variação da amplitude do sinal de saı́da é feita através de outro botão de ajuste. A fim de obter familiaridade com o gerador de funções e o osciloscópio iremos conectá- los e a partir de exemplos de aplicação os efeitos dos vários controles nas saı́das das formas de onda fornecidos pelo gerador de funções e dos recursos de medição do osciloscópio podem ser observados. GND na figura 2.4. O sı́mbolo dentro do cı́rculo representa a forma de onda gerada. é preciso medi-la com um equi- pamento adequado (osciloscópio).3 a forma de onda gerada é quadrada.2. 2. que pode ser chamado “Output Level” (botão 4.2) ou “Amplitude”. No exemplo da figura 2. mostrando um gráfico bidimensional com a voltagem no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. 5. Já os controles horizontais definem o quanto da evolução temporal do sinal será mostrado: isto é chamado de base de tempo. Os osciloscópios utilizados neste curso possuem 2 canais de entrada. Outros modelos possuem caracterı́sticas e operações muito semelhantes. por exemplo) ou atenuado (no caso em que queremos compará-lo com um outro sinal de maior amplitude. podemos . por exem- plo). a tela apresenta muitas informações sobre os sinais ob- servados e sobre as configurações de controle do osciloscópio.4: Painel frontal do osciloscópio mostrando as principais áreas funcionais. No caso de um sinal de perı́odo T . 2. o que significa que até 2 sinais elétricos indepen- dentes podem ser visualizados ao mesmo tempo. Os controles verticais permitem alterar a maneira como o sinal é mostrado na tela: ele pode ser ampli- ficado (no caso em que queremos examinar algum detalhe seu. Neste texto apresentaremos uma visão geral rápida dos controles e das informações exibidas na tela. Tela Controle de Controles horizontais verticais Controles “trigger” Figura 2. não deve ser difı́cil migrar para outros modelos. os controles verticais. Uma imagem tı́pica observada na tela do osciloscópio está representada na figura 2.5.1 Tela do osciloscópio Além de exibir as formas de onda. e uma vez que se conheça o princı́pio básico de operação.2.2 Informações básicas sobre operação Ao conectarmos um sinal periódico qualquer numa das entradas do osciloscópio.5 Osciloscópio digital 26 exemplo. sua tela passará a mostrar um gráfico da voltagem do sinal em função do tempo. Este painel está dividido em 4 áreas funcionais facilmente identificáveis: a tela. 2. os controles horizontais e os controles de gatilho (também chamados de controle de “trigger”).5. utilizada para fazer medidas sobre a forma de onda (seja de voltagem ou de tempo) de maneira rápida e intuitiva. Quando a forma de onda termina de ser desenhada (normalmente no centro da tela. da esquerda para a direita: é por isso que nos referimos à “varredura” do osciloscópio. É importante entender que mesmo quando a tela do osciloscópio exibe uma imagem fixa (“parada”). Ao longo do eixo vertical ela é normalmente composta por 8 ou 10 divisões. impedindo qualquer tipo de medida) ou que nenhuma forma de onda seja mostrada. utilizar uma base de tempo bem maior que T para confirmar a periodicidade. O controle de trigger define qual a condição para que o gráfico seja redesenhado a cada vez: caso esteja mal ajustado. estamos usando como exemplo um osciloscópio que possui . mas esta posição pode ser ajustada pelo usuário). Como mencionado anteriormente. devemos utilizar uma base de tempo bem menor do que T. mas se qui- sermos examinar algum detalhe da forma de onda. pode ocorrer que a tela mostre várias ondas simultâneas (que ficam “correndo” pela tela do osciloscópio.6 mostra os botões disponı́veis para o controle da escala vertical.5: Imagem tı́pica da tela do osciloscópio. a “caneta” (ou o cursor) está pronta para reiniciar a varredura. enquanto ao longo do eixo horizontal podemos ver 10 divisões. A tela do osciloscópio é dividida num conjunto de retı́culos chamados de gratı́cula. Controles verticais A Figura 2.2. na verdade as formas de onda estão sendo continuamente “desenhadas” pelo osciloscópio.5 Osciloscópio digital 27 Figura 2. Atenção. subtração. . enquanto a cor azul é utilizada para o canal 2. Os controles verticais permitem ha- bilitar ou desabilitar a apresentação das formas de onda na tela. Ao girar o botão para a esquerda ou direita. . Ao girar o botão para a direita ou esquerda a forma de onda é deslocada para cima ou para baixo.5). pois se você deslocar excessi- vamente a forma de onda ela pode sair da tela do osciloscópio. definir os parâmetros de entrada e até mesmo realizar operações matemáticas entre os sinais. aumentando ou diminuindo o tamanho vertical da forma de onda.botão de escala: seleciona fatores de escala verticais e assim amplia ou atenua o sinal de entrada do canal.5).botão de posição: determina em que linha da tela do osciloscópio será desenhada a posição de 0 V da forma de onda de cada canal. Figura 2. veremos que o fundo de escala (o valor em Volts representado por cada divisão vertical da gratı́cula) aumenta ou diminui gradativa- mente.2. . até os valores máximo e mı́nimo possı́veis. Quando apertado. figura 2. produto e Transformada de Fourier. As escalas selecionadas para cada canal aparecem na parte inferior da tela do osciloscópio (figura 2.6: Comandos disponı́veis para controle da escala vertical. ajustar a escala e a posição verticais.5 Osciloscópio digital 28 2 canais: a forma de onda do sinal conectado ao canal 1 é sempre representada pela cor amarela. . uma vez que a posição do zero volts é alterada. Cada canal possui um indicador na tela do osciloscópio mostrando a posição de seu 0 V (na lateral esquerda da tela. se a forma .botões “1” e “2” (Menu): a função primordial destes botões é habilitar ou desabilitar a exibição do respectivo canal (há um menu para cada canal).botão “Math”: permite fazer operações matemáticas sobre as formas de ondas dos 2 canais: soma. iv. 2 V. Na opção “Fino”. Inverter: quando está ligada a forma de onda é invertida em relação ao nı́vel de V = 0 V.2.02 V. • CA (corrente alternada) . Quando um menu é ativado. 100 mV. CC e AC. Sonda: aplica um fator multiplicativo à voltagem do sinal de entrada. como 1. . A função secundária é ativar o menu do respectivo canal na tela do osciloscópio. v. 20 mV. suas opções aparecem no canto direito da tela.5 Osciloscópio digital 29 de onda está sendo exibida ela desaparece da tela. e um sinal de voltagem de referência (terra) é aplicado. de modo que as suces- sivas formas de ondas mostradas na tela apareçam como uma imagem parada. 500 mV. 200 mV. etc. que corta as frequências inferiores a 10 Hz. Para fazer este sincronismo.o sinal é mostrado sem nenhum processamento. 10 mV. ela o seja da mesma maneira.opções do menu de canal: i.o sinal é submetido a um filtro.o sinal de entrada é desconectado. O objetivo é que cada vez que a forma de onda for desenhada na tela do osciloscópio. caso ela não esteja sendo exibida. neste curso devemos usar sempre a opção “1X Voltagem”. já que todos os valores de voltagem medidos estarão multiplicados pelo fator escolhido. Ganho variável: se a opção “Grosso” estiver selecionada.04 V. ii. Pode ser utilizado quando se deseja medir um sinal muito baixo. . 1 V. e é preciso estar atento com as configurações automáticas (como aquelas obtidas usando o botão “Autoset”). 50 mV. ela volta a aparecer na tela. iii. • GND . Acoplamento: cada canal pode ter 3 tipos de acoplamento: GND. 5 mV e 2 mV. Controles de “Trigger” ou de gatilho O sistema de gatilho (“trigger”) determina a condição para que o osciloscópio inicie a varredura para exibir uma forma de onda. como resultado os componentes DC do sinal são eliminados e não são mostrados na tela do osciloscópio. é possı́vel selecionar escalas intermediárias. ao girar o botão de escala só podemos selecionar as escalas 5 V. com todos os componentes AC (dependentes do tempo) e DC (constantes no tempo). que é con- tinuamente monitorado pelo osciloscópio: ao finalizar a exibição de uma forma de onda. utilizamos um sinal elétrico (chamado de sinal de “trigger”). 1. • CC (corrente contı́nua) . Limite da Largura de Banda: deve estar normalmente desligado. o osciloscópio exibe uma linha horizontal (voltagem constante de 0 V). Sempre que desejarmos observar um ou mais sinais no osciloscópio. São elas: i.5. a escolha natural para o sinal de “trigger” é o próprio sinal que queremos observar. Tipo: deve ser sempre “Borda”. ii. iii. isto é.5). .2. o valor do sinal de “trigger” que uma vez atingido inicia a varredura. o sinal utilizado como “trigger” é indicado no canto inferior direito da tela (figura 2. é preciso escolher um sinal de “trigger” adequado para disparar a varredura. a aquisição ocorrerá de maneira automática (com as formas de onda rolando na tela) ou simplesmente não ocorrerá.5 Osciloscópio digital 30 a varredura só é reiniciada quando este sinal atinge um certo valor. Caso o nı́vel do “trigger” esteja ajustado acima do patamar superior ou abaixo do patamar inferior da onda quadrada. Se utiliza- mos uma onda quadrada como sinal de “trigger”. normalmente será um dos dois sinais de entrada (canal 1 ou 2). cada vez que a varre- dura terminar. Este valor é mostrado no canto inferior direito da tela e é também indicado por uma seta na lateral direita (figura 2. como mostrado na fi- gura 2. Mesmo quando este menu está desabilitado.botão de nı́vel: este é o botáo que define o nı́vel do “trigger”. Origem: define qual o sinal que será utilizado como “trigger”. cada varredura desenhará sempre o mesmo gráfico e a forma de onda aparecerá “parada” na tela. Desta maneira. Inclinação: digamos que escolhemos uma onda quadrada de amplitude V0 = 1 V como sinal de “trigger” e colocamos o nı́vel do “trigger” exatamente na “metade” da onda . .botão do menu de “trigger”: ao apertar este botão as opções do menu do “trigger” são exibidas na lateral direita da tela. ela só será reiniciada quando o sinal de“trigger” atingir este mesmo valor. Figura 2.7: Comandos disponı́veis para controle de “trigger”. será o canal 1 (“CH1”) ou o canal 2 (“CH2”).5). o nı́vel deve estar ajustado de maneira que fique contido entre os patamares superior e inferior da onda. Se quisermos observar um sinal periódico no osciloscópio. 2.5 Osciloscópio digital 31 quadrada, em 0 V. Ora, num perı́odo uma onda quadrada passa pelo zero 2 vezes, quando passa do patamar inferior para o superior e quando passa do superior para o inferior, o que resultaria num disparo do “trigger” a cada meio-perı́odo. O ajuste de inclinação define se o “trigger” ocorre quando o nı́vel é atingido na subida ou na descida. A opção selecionada também é indicada no canto inferior direito da tela (figura 2.5). iv. Modo: no modo automático, ao fim de cada varredura o osciloscópio espera por um certo intervalo de tempo (chamado de tempo de espera ou “holdoff”); ao fim deste perı́odo, mesmo que a condição de “trigger” não tenha sido satisfeita a varredura será reiniciada. Neste modo, mesmo que o “trigger” esteja mal ajustado, sempre haverá uma forma de onda sendo exibida (é claro que no caso do “trigger” mal ajustado as formas de onda estarão “correndo” pela tela...). No modo normal, a varredura só é reiniciada quando a condição de “trigger” for detetada; enquanto isso não ocorrer, nenhuma forma de onda será exibida (a tela exibirá somente a última forma de onda adquirida). v. Acoplamento: permite filtrar o sinal que será transmitido ao circuito de “trigger”. O acoplamento CC não realiza nenhuma filtragem e deve ser utilizado sempre que possı́vel. As opções CA, Rej. de Ruı́do e Rej. AF podem ser utilizadas caso o ajuste do “trigger” não consiga resultar na exibição de formas de onda estáveis. - botão “Set To 50%”: o osciloscópio ajusta automaticamente o nı́vel do “trigger” para a metade entre os nı́veis máximo e mı́nimo do sinal utilizado como “trigger”. - botão “Force Trig”: caso o sistema esteja aguardando um “trigger” (como no modo “Normal”) faz a aquisição do sinal, independente de um sinal de “trigger” ter sido rece- bido. - botão “Trig View”: enquanto pressionado, exibe o nı́vel do “trigger” como uma linha tracejada e o sinal utilizado para o “trigger” como uma forma de onda na cor azul escuro. Controles horizontais A figura 2.8 mostra os botões disponı́veis para o controle da escala horizontal. Mesmo quando 2 formas de onda estão sendo exibidas, a escala horizontal (base de tempo) é a mesma para ambas; não é possı́vel usar bases de tempo independentes para cada uma delas. Os controles horizontais permitem ajustar a escala e a posição horizontais, escolher qual parte da tela será exibida e definir o tempo de espera do “trigger”. - botão de escala: similar aos botões de escala do controle vertical, este botão seleciona fatores de escala horizontais. Desta forma podemos mostrar na tela um intervalo mais longo ou mais curto da evolução temporal do sinal medido: a forma de onda se “contrairá” ou se “expandirá” em torno da posição do “trigger” (ver abaixo). Ao girar o botão para a esquerda ou direita, veremos que o fundo de escala (o valor em segundos representado por cada divisão horizontal da gratı́cula) aumenta ou diminui gradativamente, até os valores máximo e mı́nimo possı́veis. A escala de tempo selecionada aparece na parte inferior da 2.5 Osciloscópio digital 32 Figura 2.8: Comandos disponı́veis para controle da escala horizontal. tela (figura 2.5). O fundo de escala horizontal é também conhecido como base de tempo ou velocidade de varredura. - botão de posição: este botão seleciona a posição horizontal a partir de onde a forma de onda será desenhada, ou seja, onde será o inı́cio da contagem do tempo. Tem funciona- mento bastante intuitivo: quando girado para a direita a forma de onda é deslocada para direita, e quando girado para a esquerda a forma de onda é deslocada para a esquerda. A posição do “trigger” é indicada por uma pequena seta vertical no topo da tela e seu valor é mostrado também acima da tela (figura 2.5): um valor positivo indica que o “trigger” está à esquerda do centro da tela, enquanto um valor negativo indica que ele está à direita. - botão de menu horizontal: ao apertar este botão as opções do menu horizontal são exibidas na lateral direita da tela. - botão “Set to Zero”: faz com que a posição horizontal do “trigger” volte ao centro da tela. 2.5.3 Representação do osciloscópio em um diagrama Num circuito, representamos o osciloscópio pelo sı́mbolo indicado na figura 2.9. Ao contrário das medidas de voltagem realizadas com um multı́metro, em que podemos fazer medidas entre quaisquer dois pontos do circuito, os osciloscópios sempre realizam medidas entre um ponto e o terra do circuito (que deve estar no mesmo potencial que o terra da rede elétrica). Como exemplo de uso do osciloscópio para medidas de amplitudes e perı́odos de sinais periódicos no tempo, considere que o mostrador do osciloscópio seja aquele apresentado 2.6 Procedimentos Experimentais 33 Figura 2.9: Representação esquemática de um osciloscópio num circuito elétrico. As setas indicam onde devem ser conectados os sinais dos canais CH1 e CH2. na figura 2.10, e que tenham sido utilizadas a escala vertical 1 DIV = 5 V e a escala horizon- tal 1 DIV = 1ms. Vemos que a forma de onda é senoidal. Para determinarmos o perı́odo e a amplitude dessa forma de onda, utilizamos o reticulado da tela do osciloscópio como régua. Observe que cada retı́culo, ou seja, cada DIV está subdivido em 5 divisões menores. Assim temos para este caso que a amplitude V0 = (1, 7 ± 0,1) DIV, ou seja, V0 = (8,5 ± 0,5) V. Também temos que o perı́odo T = (5,1 ± 0,1) DIV, ou seja, T = (5,1 ± 0,1) ms. Figura 2.10: Exemplo de sinal na tela do osciloscópio que é discutido no texto. 2.6 Procedimentos Experimentais Esta seção apresenta uma série de exemplos de aplicações. Esses exemplos simplifica- dos destacam alguns dos recursos do osciloscópio e do gerador de sinais e dão idéias de como usá-los para solucionar seus próprios problemas de testes e medidas. 2.6.1 Procedimento I: seleção dos parâmetros da forma de onda no gera- dor de funções e medida de amplitude. 1. Monte o circuito da figura 2.11. Observe que esse circuito corresponde a escolher a forma de onda quadrada e a ligar diretamente a saı́da do gerador de sinais ao canal utilize-o para fazer o ajuste inicial da frequência. O botão Auto Set é bastante útil quando se deseja visualizar rapidamente uma dada forma de onda no osciloscópio. 4. Pressione o botão que habilita a exibição do menu do canal 1 na tela. Ligue o gerador de sinais e selecione a forma de onda quadrada através do botão correspondente. mas sempre utilize a leitura de frequência feita pelo osciloscópio para fazer o ajuste fino do valor desejado. descreva o quê cada uma delas significa. 2. Se o gerador de sinais utilizado for equipado com um frequencı́metro e um visor. ob- servando a forma de onda na tela do osciloscópio. e anote as opções selecionadas para o canal 1. 3. Ajuste a frequência do gerador para 1 kHz. meça a amplitude da onda quadrada. 2.6. . 1.6 Procedimentos Experimentais 34 CH1. Figura 2.2. Indique também a escala vertical utilizada. Se o gerador não possuir um visor. Utilize os controles verticais de posição e escala do canal 1 para exibir os patamares superior e inferior da onda qua- drada na tela. ajuste a frequência diretamente a partir da leitura de seu valor na tela do osciloscópio.2 Procedimento II: ajuste automático e controle de “trigger”. 2.11: Circuito a ser montado com um gerador de sinais e um osciloscópio. Pressione o botão “Auto Set” e espere até que a forma de onda esteja estável na tela. Este será o circuito utilizado para todos os procedimentos experimentais desta aula. Utilizando a rede de gratı́culas. Para tanto você deve selecionar o botão de faixa de frequência para “1K” ou “10K” e em seguida ajustar o valor desejado de frequência. Ajuste a amplitude do sinal de saı́da para que seu valor esteja próximo de 4 V. O osciloscópio identifica a forma de onda e ajusta seus controles para garantir uma exibição útil do(s) sinal (sinais) de entrada. Com o botão de nı́vel. . O que ocorre? Explique. Pressione o botão que habilita a exibição do Menu de “trigger”. ajuste manualmente esses controles. Anote a escala vertical da voltagem e a base de tempo selecionadas automaticamente.6 Procedimentos Experimentais 35 3.1 ms e 0. Tabela 1 Escala vertical V0 ± σV (V) σV /V 1. o osciloscópio define automaticamente as escalas vertical e hori- zontal. e as incertezas serão metade da menor divisão. 4. ou seja. Novamente as medidas devem ser feitas pelo sistema das gratı́culas. 2.0 V/DIV Altere as escalas de tempo para 0. Com o ajuste automático. Utilize as escalas de voltagem de 1 V e 5 V por divisão e faça a leitura das amplitu- des. Se você deseja alterar ou otimizar a exibição da forma de onda.2. o que na prática corresponde a 10 % do valor da escala.0 V/DIV 5.5 ms por divisão e apresente os valores do perı́odo e da frequência na tabela 2. através da leitura do número de divisões e posterior multiplicação pelo valor da escala. Estas medidas devem ser feitas pelo sistema de gratı́culas.3 Procedimento III : execução de medidas com diferentes escalas. aumente o nı́vel do “trigger” até ele ficar acima do patamar superior da onda quadrada. A indicação do nı́vel de “trigger” estará ajustada aproximadamente no valor médio da forma de onda do canal 1. Apresente os valores na tabela 1. as incertezas das medidas feitas serão calculadas como metade da menor divisão das gratı́culas. Retorne o nı́vel do “trigger” até o valor médio da forma de onda para prosseguir com as medidas. Neste caso.6. 10 % do valor da escala. como perı́odo.2. para medidas da estrutura temporal do sinal. Meça a frequência. e para medidas de valores médios de voltagem. NOTA: se aparecer um ponto de interrogação (?) na leitura de valor. Também é possı́vel realizar medidas na forma de onda resultante de operações matemáticas que tenham sido feitas entre as ondas dos canais 1 e 2.6 Procedimentos Experimentais 36 Tabela 2 Escala horizontal T ± σT (ms) σT /T 0.. é importante notar que as medidas são realizadas na forma de onda que aparece na tela. se no do canal 1 ou no do canal 2. Pressionando o botão do menu de medidas automáticas. Para medidas de voltagem. tanto de volta- gens quanto de tempo. é preciso ajustar na tela do osciloscópio múltiplos inteiros de um comprimento de onda. até que o ponto de interrogação deixe de ser mostrado ao lado do valor medido. os limites inferior e superior da forma de onda devem estar visı́veis. Ajuste a escala vertical do canal adequado para ou altere a configuração da escala horizontal.5 ms/DIV Quais escalas de voltagem e de tempo proporcionam uma medida com menor incerteza relativa? 2.6. Há vários tipos disponı́veis de medições. é preciso que ao menos um perı́odo da onda esteja sendo mostrado. é configurar o osciloscópio para fazer medições automáticas. pelo sistema de gratı́culas. amplitude. a voltagem pico-a-pico. . etc. “Measure”. tensão pico-a-pico. Assim sendo. frequência. você poderá esco- lher em qual sinal será feita a medida. o sinal estará fora da faixa de medição. e que tipo de medida será realizada. o tempo de subida e a largura positiva do sinal quadrado inicial e complete a tabela 3 com valores medidos.4 Procedimento IV: utilizando o menu de medidas. o perı́odo. Uma alternativa à medida “visual”.1 ms/DIV 0. 2. Utilizando os cursores de “tempo” (barras verticais. além disso. meça o perı́odo da oscilação da subida da voltagem.6. 1.13). como visto com a base de tempo inicial. vamos medir a frequência e a amplitude das oscilações presentes na onda quadrada quando ela passa de um patamar para outro.6 Procedimentos Experimentais 37 Tabela 3 Grandeza Valor ± σ f T V0 Vpp Lpos 2. Note que a “subida” da onda quadrada não é vertical. Figura 2. Os cursores são pares de linhas que podem ser exibidos na tela para facilitar a medição de grandezas de voltagem (cursores horizontais) ou de tempo (cursores verticais). após a subida o sinal apresenta algumas oscilações.13). como na fig. Diminua a base de tempo de maneira que apenas a subida da onda quadrada esteja na tela (você deve observar um gráfico semelhante àquele mostrado na figura 2. que são atenuadas após um certo tempo e o sinal atinge seu valor “estacionário”. Para isto posicione o cursor 1 no primeiro pico .5 Procedimento V: usando os cursores. Como exemplo de aplicação dos cursores.12: cursores do tipo “Voltagem” (à esquerda) e do tipo “Tempo” (à direita). e também seu tempo de subida. 2. a diferença de voltagem entre os pontos onde cada cursor cruza a forma de onda. ∆t. Anote todos este valores e preencha a Tabela 4. A leitura da diferença de tempo da leitura de cada cursor. Tabela 4 Tipo Tempo . selecione agora tipo “Amplitude”. da oscilação.14. 4.13: Figura que deve ser observada para medida do perı́odo de oscilação. Anote todos este valores e preencha a Tabela 5. e posicione o cursor 2 no segundo pico da oscilação (veja a Figura 2. Ainda usando os “Cursores” na tela.13). Aparecem 2 linhas horizontais na tela. dará o perı́odo.amplitude dos picos da oscilação Cursor 1 Cursor 2 ∆V .6 Procedimentos Experimentais 38 Figura 2. 3.frequência de oscilação Cursor 1 Cursor 2 ∆t 1/∆t 2. Tabela 5 Tipo Amplitude . Agora no menu “Cursores” faça a leitura da grandeza ∆V. conforme a figura 2.2. Meça a amplitude dos picos da oscilação posicionando o cursor 1 no topo do primeiro pico e o cursor 2 na base do segundo pico. en- quanto a leitura de 1/∆t dará o valor da frequência desta oscilação. Em geral.5 divisões abaixo da linha horizontal central. Posicione o cursor 2 no ponto em que a forma de onda cruza a segunda linha da gratı́cula acima do centro da tela. 7. 10. Esse é o nı́vel de 10% da forma de onda. 5. Ajuste a escala vertical de maneira que a amplitude da forma de onda seja próxima de 5 divisões. 11. 6. Pressione o botão “1” (que habilita a exibição do menu do canal 1 na tela). A leitura ∆t no menu “Cursores” é o tempo de subida da forma de onda. Gire o botão “Position” para centralizar a forma de onda verticalmente.15). 8. posicione a linha de base da forma de onda (patamar inferior da onda quadrada) 2. . Usando os cursores do tipo “Tempo” posicione o cursor 1 no ponto em que a forma de onda cruza a segunda linha da gratı́cula abaixo do centro da tela (ver Figura 2. mede-se o tempo de subida entre os nı́veis 10% e 90% da forma de onda.6 Procedimentos Experimentais 39 Figura 2.15). Vamos agora medir o tempo de subida do “pulso” positivo da onda quadrada.2.14: Figura que deve ser observada para medida da amplitude de oscilação. 5 divisões Figura 2. e selecione a opção de “Ganho variável Fino”. Esse é o nı́vel de 90% da forma de onda.15: Figura que deve ser observada para medida do tempo de subida. preencha a Tabela 6. Ajuste a escala vertical de maneira que a amplitude da onda quadrada seja exata- mente 5 divisões (ver figura 2. 9. Selecione uma forma de onda senoidal.2. No lado esquerdo da tela. 5. Conecte com um outro cabo coaxial a saı́da auxiliar do gerador de funções (pode estar identificada como “TTL/CMOS” ou “Sync”. 3. Caso as 2 formas de onda não estejam aparecendo na tela do osciloscópio.6 Procedimentos Experimentais 40 Tabela 6 Tipo Tempo .6 Procedimento VI: observação de 2 formas de onda simultaneamente. dependendo do modelo utilizado) ao canal 1 do osciloscópio. Novamente varie o valor do nı́vel do “trigger”. O aluno deve ver 2 formas de onda diferen- tes. 2. os osciloscópios disponı́veis no laboratório têm a a ca- pacidade de mostrar simultaneamente 2 formas de ondas independentes. sem no entanto levá-lo acima (abaixo) do valor máximo (mı́nimo) da onda senoidal. respectivamente. Selecione o sinal do canal 1 como o sinal do “trigger” (caso esta opção já não esteja selecionada). Pressione o botão que habilita a exibição do Menu de “trigger”. cada uma mostrada com uma cor.tempo de subida Cursor 1 Cursor 2 ∆t 1/∆t ∆V 2. dependendo do modelo utilizado) ao canal 2 do osciloscópio. Selecione uma base de tempo que permita a visualização de ao menos um perı́odo completo da onda quadrada. e ajuste a frequência e a amplitude do sinal para 1 kHz e 4 V. . Varie o valor do nı́vel do “trigger”. Como mencionado anteriormente. As formas de onda se deslocam horizon- talmente na tela? 7. sem no entanto levá-lo acima (abaixo) do pata- mar superior (inferior) da onda quadrada. 1.6. use o ajuste automático (botão “Autoset”). veja qual sinal está sendo utilizado como “trigger” (é a opção “Origem”). 6. Note que a seta que indica o nı́vel do “trigger” na tela tem a cor do sinal selecionado como origem. Desta vez as formas de onda se deslocam horizontal- mente na tela? Explique. Selecione agora o sinal do canal 2 como o sinal do “trigger”. Conecte com um cabo coaxial a saı́da principal do gerador de funções (pode estar identificada como “Output” ou “Main”. 4. Vamos utilizar essa capacidade para observar 2 formas de onda produzidas pelo gerador de ondas. . 3. Aperte o botão “DC Offset” e varie o valor somado ao sinal periódico com o botão gi- ratório “DC Offset”.6. Ajuste o valor do “offset” de maneira que o patamar inferior da onda quadrada esteja sobre a linha de 0 V. Normalmente o operador pode escolher o valor deste “offset”. Mantendo o mesmo arranjo do procedimento anterior.7 Procedimento VII: adicionando valores constantes aos sinais. 1. você deverá puxar o botão “DC Offset’ e então girá-lo. dependendo do modelo do gerador. na opção “Acoplamento”. 2. selecione uma forma de onda quadrada e. Agora habilite a exibição do menu do canal 2 e. O quê ocorre com a forma de onda? Explique. no osciloscópio.6 Procedimentos Experimentais 41 2. selecione a opção “CA”. desabilite a exibição do canal 1. Os geradores de funçẽs permitem que se some um valor constante (“offset”) às formas de onda produzidas.2. 1 kΩ e 10 kΩ. Podemos armazenar em uma mola estendida. 3. • capacitores de 100 nF e 1 µF. • resistores de 56 Ω.2 Introdução O objetivo desta aula é estudar o comportamento de capacitores e indutores acoplados a circuitos resistivos em tensão constante.1 Material • Gerador de funções. • indutor de 10 a 40 mH. comprimindo um gás ou elevando um objeto com uma determinada massa. Uma outra maneira de armazenar energia na forma de energia potencial é através de um campo elétrico. Serão realizadas medidas das constantes de tempo para os circuitos RC (resistor e capacitor em série) e RL (resistor e indutor em série). • osciloscópio. Transientes em circuitos RC e RL alimentados com 3 onda quadrada 3. e isso se faz utilizando um dispositivo chamado capacitor. • multı́metro. . 3.3 Capacitores Sabemos que podemos armazenar energia sob a forma de energia potencial de diversas formas. usamos dois segmen- tos de reta paralelos. se o capacitor estiver se carregando ou descarregando teremos corrente circulando. Basta lembrarmos que dq i= . cuja caracterı́stica principal é o fato que quando aplicamos uma dada diferença de potencial entre esta placas.1). positivas (+q) em uma e negativas (−q) na outra.3. representando duas placas paralelas condutoras. representado pela letra F. Num circuito elétrico. . C Figura 3. (3. O farad é uma unidade muito grande e por isso os dispositivos disponı́veis comerci- almente são designados por submúltiplos do farad. contendo um material dielétrico entre elas. Dito em outros termos.3) dt A equação 3. em geral. (3.1 na equação 3. Podemos então escrever a equação caracterı́stica do capacitor como: q = CVC .1: Representação esquemática de um capacitor.2) dt Substituindo a equação 3. podemos reescrever a equação acima em função da corrente que passa no circuito do capacitor.3 Capacitores 43 O capacitor (ou condensador) é um dispositivo formado por duas placas condutoras. A unidade de capacitância no sistema internacional é o farad. Como.3 mostra que somente teremos corrente no circuito se houver uma variação da voltagem no capacitor V. rela- cionando a voltagem no capacitor em um dado momento e o módulo da carga acumulada em cada uma de suas placas. A quan- tidade de carga elétrica acumulada q é proporcional à diferença de potencial aplicada.1) Essa definição pode ser considerada como uma definição estática ou instantânea. medimos voltagens e correntes. A constante de proporcionalidade entre a carga adquirida e a diferença de potencial aplicada é chamada de capacitância e depende das dimensões do capacitor (como a área das placas condutoras e a separação entre elas) e da permissividade elétrica do isolante.2 temos: dVC i=C (3. como sı́mbolo do capacitor (figura 3. como o picofarad (1 pF = 10−12 F). há o acúmulo de uma quan- tidade de cargas elétricas nelas. Após o transiente. mesmo que seja a resistência interna da bateria ou da fonte de alimentação. Esse controle é obtido associando-se um resistor em série no circuito do capacitor.4).3. Por isso. ou seja.3).2: Diagrama de um circuito RC.4) Qualitativamente ocorrerá o seguinte: se o capacitor estiver completamente descarre- gado no instante inicial (o instante em que a chave é virada para a posição “A”). como mostrado na figura 3. o capacitor não se carregará “ins- tantaneamente”. a voltagem se torna constante e a corrente será nula. 3. Isso corresponde ao caso ideal. VC = 0 V e. enquanto o capacitor estiver se carregando (equação 3. (3. que é equivalente à lei da conservação da energia no circuito. . Isso ocorrerá durante o breve intervalo de tempo em que a bateria estiver sendo conectada. se conectarmos uma bateria aos terminais de um capacitor. o microfarad (1 µF = 10−6 F) e o milifarad (1 mF =10−3 F). aparecerá uma corrente elétrica no circuito enquanto a diferença de potencial aplicada ao capacitor estiver variando no tempo. VB = VR = R i0 . mas levará um certo tempo. A + B R VB C - Figura 3. e VR conse- quentemente vai diminuindo (equação 3.4 Circuitos RC Como foi mencionado anteriormente. Esse tempo no jargão da eletrônica consiste de um “tran- siente”. um capacitor nunca é utilizado isolada- mente.2. Na prática. a utilidade prática do capacitor baseia-se no fato de podermos controlar o tempo que ele leva para se carregar totalmente e a carga que queremos que ele adquira. À medida que o tempo passa VC vai aumentando. Sempre existe um resistor associado em série com ele. o capacitor se carregará. onde i0 é a corrente no circuito no instante t = 0 s. Pela lei das malhas. teremos: VB = VR + VC . portanto. Aliás. Isso significa que no instante inicial (t = 0 s).4 Circuitos RC 44 nanofarad (1 nF = 10−9 F). pois o capacitor estará se carregando. Se conectarmos a chave na posição “A”. que dependerá das caracterı́sticas elétricas do circuito. obtemos o valor de VR : t VR (t) = VB − VC = VB e− τ . como não existe bateria ligada no circuito. (3.5.7) onde novamente τ = RC .3. variará de VB até zero. Se nesse momento passarmos a chave para a posição “B”. mais longo será esse tempo. tendo como solução geral t VC (t) = VC (∞) + [VC (0) − VC (∞)] e− τ .9) . Usando a lei das malhas. (3. (3. VR + VC = 0. VC (0) é a voltagem no capacitor no instante t = 0 e τ = RC. (3. Quanto maior for esse produto. VC (∞) = VB . haverá um refluxo das cargas acumula- das no capacitor. (3. Se a chave ficar ligada na posição “A” por um tempo relativamente longo (o signifi- cado de “relativamente longo” logo ficará claro). ao final desse tempo o capacitor estará totalmente carregado e teremos VC = VB .7 mostra que o tempo necessário para o capacitor se carregar dependerá do produto RC. Nesse caso. O produto RC é conhecido como constante de tempo do circuito e inclui todas as resistências presentes no mesmo. VB = 0 V e.4 Circuitos RC 45 o valor de VC é mı́nimo (VC = 0 V) e o valor de VR é máximo (VR = VB ). a equação 3. A voltagem no capacitor.4 se torna: q dq q dVC VB = Ri + = R + = RC + VC .5) C dt C dt que pode ser integrada. Substituindo as expressões para VR e VC por suas equações caracterı́sticas.8) A equação 3. a corrente inverterá o sentido e o capacitor se descarregará. No caso da equação diferencial descrita pela equação 3. Assumindo que a voltagem nas placas do capacitor é nula em t = 0. o que ficará claro quando estudarmos circuitos com excitação senoidal. Essa defasagem entre voltagem e corrente no capacitor tem um papel fundamental na teoria dos circuitos elétricos. VR = 0 V e a corrente cessará de passar. encontramos t VC (t) = VB 1 − e− τ . pela lei das malhas.6) onde VC (∞) é a voltagem no capacitor quando o tempo tende a infinito (capacitor comple- tamente carregado). no caso. ou VR = − VC . eventu- almente. inicialmente descar- regado. no . 37) = 0. Por isso. Uma outra maneira de obtermos τ consiste em determinarmos um outro tempo carac- terı́stico. O processo é bastante simplificado na descarga do capacitor. 37 VB .11) A constante de tempo que caracteriza o circuito pode ser obtida experimentalmente de algumas maneiras diferentes. não dispomos. tempo esse que. Ele é definido como o tempo necessário para a grandeza medida cair à metade do seu valor inicial. que ocorre em todos os processos exponenciais. (3.13 para a determinação de τ . tanto na carga como na descarga. será o tempo necessário para a voltagem do capa- citor atingir. (3. e teremos para a carga: VC (τ ) = VB (1 − e−1 ) = VB (1 − 0. Caso contrário. A primeira delas decorre diretamente da sua definição: é o tempo necessário para o argumento da exponencial se tornar “−1”. em t = 0).10) e t VR (t) = −VB e− τ . fazendo VB = 0 e assumindo que o capacitor está completamente carregado no instante inicial t = 0. Somente podemos determinar a constante de tempo no processo de carga se o capacitor estiver descarregado para t = 0 s e conhecermos a priori o valor de VB .3.4 Circuitos RC 46 Para o estudo da descarga do capacitor temos que resolver a equação diferencial descrita na equação 3. Para a descarga. Encontramos: t VC (t) = VB e− τ (3. seria necessário esperar um tempo muito longo para VC chegar até VB .12) ou seja. t1/2 . Por exemplo. teremos algo semelhante: VC (τ ) = VB e−1 = 0. (3. em geral usamos a equação 3. atinja 63 % do valor final da tensão da fonte que o carrega. τ é o tempo necessário para que a voltagem em um capacitor. pois nesse caso podemos definir a origem do tempo (t = 0) e VB é a voltagem que o sistema possui naquele momento.13) Isto significa que na descarga τ é o tempo necessário para o capacitor atingir 37% do valor inicial da voltagem (isto é. a metade do valor de VB . chamado de meia-vida do sis- tema. No caso presente.5. 63 VB . 14) 2 τ ou 1 t1/2 = exp(− ). com uma frequência muito grande. o patamar superior da onda quadrada (VB = V0 ) irá representar o circuito com a chave na posição “A”. (3. Isso é possı́vel se utilizarmos um gerador de sinais. escolhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento do circuito. e o patamar inferior (VB = 0 V) irá representar o circuito com a chave na posição “B”.3. da ordem de kilohertz. (3. determinando- se o tempo necessário para o valor inicial da voltagem cair à metade. e vice-versa.4 Circuitos RC 47 processo de carga teremos: VB t1/2 VC (t1/2 ) = = VB 1 − exp(− ) (3. Assim.15) 2 τ Aplicando-se logaritmos naturais a ambos os lados dessa equação.16) A constante de tempo também pode ser obtida no processo de descarga.16 é novamente obtida. Nesse caso. encontramos: t1/2 = τ ln 2 . para observarmos a variação da voltagem será necessário chavear o circuito da posição “A” para a posição “B”.18) e a equação 3. ou seja: VB t1/2 VC (t1/2 ) = = VB exp(− ) (3. de acordo com a figura 3.17) 2 τ ou t1/2 = τ ln 2.2. (3.19) ln 2 Utilizaremos elementos de circuito com valores de capacitância e resistência que levam a tempos de relaxação da ordem de milissegundos. . (3. mostrando que tanto na carga como na descarga a constante de tempo pode ser obtida a partir do tempo de meia-vida a partir da equação t1/2 τ= . 5 Indutores 48 3. construı́do por várias voltas (ou espiras) de fio de metal condutor enrolado em uma forma que permite a geração de campos magnéticos axiais. como veremos mais adiante. . A unidade de indutância no sistema internacio- nal é o henry (H) que. Como pode ser verificado a partir da equação caracterı́stica do indutor (equação 3. correspondendo à resistência do fio condutor com o qual ele é fabricado.20) dt dt Nessa equação VL é a voltagem induzida pela taxa de variação do fluxo Φ(t) = Li(t) no interior do solenóide. de modo a se opor a essa variação de fluxo. Num circuito elétrico representamos o indutor pelo sı́mbolo mostrado na figura 3. neste caso.3: Representação esquemática de um indutor em circuitos elétricos. A constante de proporcionalidade en- tre Φ(t) e i(t) é chamada de auto-indutância . No caso de correntes alternadas. Isto é expresso pela equação caracterı́stica do indutor: dΦ di VL (t) = − = −L .do indutor. Como os indutores são fabricados com fios condutores.5 Indutores Um indutor é um solenóide ou bobina. O uso do indutor em circuitos elétricos está baseado na lei de Faraday-Lenz que diz que quando ocorre uma variação do fluxo magnético Φ através das espiras do solenóide.ou simplesmente indutância . a taxa de variação do fluxo está associada à taxa de variação da corrente que passa pelo indutor. aparece uma voltagem induzida nos seus terminais.20). após esse transiente o efeito da indutância desaparece e ele se comporta apenas como um condutor ôhmico. Por isso. a voltagem induzida (também chamada de força eletromotriz) somente estará presente no circuito enquanto a corrente elétrica estiver variando. O sinal negativo representa o fato da voltagem induzida gerar um fluxo magnético de forma a se opor à variação do fluxo original.3. assim como no caso de capacitores. Observe que. em geral com resistência bastante baixa.3. é uma unidade muito grande. (3. em geral os indutores que aparecem nos equipamentos do nosso dia-a-dia são representados por sub-múltiplos do henry: mili-henry (mH) e micro-henry (µH). Já no caso de cor- rentes contı́nuas a lei de Faraday atuará apenas durante o transiente correspondente ao tempo que o sistema gasta para entrar em equilı́brio na nova voltagem aplicada. o indutor está sempre atuando como tal. Figura 3. 4.22) dt Esta equação diferencial para a corrente é semelhante à equação diferencial que encon- tramos para a carga q nas placas do capacitor (equação 3. No caso representado na figura 3. podemos associar qualquer outro resistor em série com a resistência do indutor.6 Circuitos RL No caso real.4: Diagrama de um circuito RL. Sua solução.5). (3. o fato do indutor possuir uma resistência ôhmica. Generali- zando.6 Circuitos RL 49 3. Figura 3.4.23) R . a lei das malhas nos diz que VB = VR + VL (3. utilizando as expressões para a queda de voltagem no resistor e no indutor. quando ligamos a chave na posição “A”. (3. obtemos que di(t) VB = Ri(t) + L . onde R pode ter qualquer valor a partir do valor da resistência interna do indutor.3. é dada por: VB t i(t) = 1 − e− τ . e teremos a situação real representada pelo circuito da figura 3. assumindo que para t = 0 a corrente também é igual a zero (i(0) = 0).21) e. faz com que ele possa ser pensado como um indutor ideal (resistência nula) em série com um resistor. Também neste caso.6 Circuitos RL 50 onde L τ= . a corrente atinge 63% do seu valor máximo quando a chave da figura 3. Se nesse momento.27) dt A condição inicial neste caso passa a ser i(0) = VB /R e a solução da equação diferencial descrita na equação 3. (3.24) R o que nos mostra que a evolução da corrente no circuito depende do valor da razão L/R.3. portanto. Após um intervalo de tempo muito maior que τ .25) e t VL (t) = VB − VR (t) = VB e− τ .23 é análoga ao caso do capacitor e. a chave da figura 3. Em função desses resultados e usando também a lei das malhas obtemos: − τt VR (t) = VB 1 − e (3. uma nova equação diferencial passa a governar o comportamento do circuito: di(t) 0 = R i(t) + L . A equação 3. (3.27 será dada por: VB − t i(t) = e τ . a voltagem no resistor é próxima de zero. a voltagem da fonte. VL cai a zero e VR se torna igual a VB . todos os resultados obtidos para os capacitores se aplicam também aos indutores. (3. (3.28) R Teremos então neste caso: t VR (t) = VB e− τ (3.29) .25 e 3.26) As equações 3. que será a constante de tempo do circuito RL. enquanto no indutor ela tem valor próximo de VB .4 é comutada para a posição “A” e a voltagem da fonte passa de zero volt a VB .26 nos mostram que para tempos próximos de zero.4 for comutada para a posição “B”. Nesse intervalo de tempo. τ é o tempo necessário para o argumento da exponencial chegar a -1. 7 Procedimentos experimentais 3.30) Como no caso do circuito RC. que oscila entre . uma linearização e uma regressão linear. Ajuste no gerador de sinais uma onda quadrada de frequência f = 200 Hz e tensão pico-a-pico Vpp = 6 V. para observarmos a variação da voltagem será necessário chavear o circuito da posição “A” para a posição “B”. Com os cursores de amplitude . b) medindo diretamente o tempo de meia-vida t1/2 e utilizando sua relação com τ (equação 3.3.5 a seguir com C = 100 nF e R = 10 kΩ. Você consegue isto somando um sinal constante de 3 V à onda quadrada inicial.6 na tela do osciloscópio. 3. A determinação dos tempos caracterı́sticos de um circuito RL pode ser feita de ma- neira análoga à de um circuito RC. observando o intervalo de tempo que leva para a voltagem no resistor atingir 63% do valor máximo ou a voltagem no indutor cair a 37% de seu valor inicial. e meça os valores de t1/2 e τ .19). Você pode fazer estas medidas usando os cursores do osciloscópio. ajuste a onda quadrada para que seu patamar inferior corresponda a 0 V. Através da função “DC Offset” do gerador de sinais.7. Isso é possı́vel se utilizarmos um gerador de sinais. (3. podemos determinar τ : a) diretamente a partir da tela do osciloscópio. enquanto τ é o tempo necessário para VC chegar a 37% desse valor inicial. Assim.3 V e + 3 V. e vice-versa. 2) Ajuste agora as escalas do osciloscópio de modo a colocar na tela um perı́odo com- pleto da onda quadrada.7 Procedimentos experimentais 51 e t VL (t) = −VB e− τ . A voltagem no indutor descrita na equação 3. com uma frequência muito grande. como indicado na figura 3.13).1 Procedimento I 1) Monte o circuito da figura 3. Vimos que t1/2 é o tempo necessário para que a voltagem no capacitor durante a des- carga atinja a metade do valor que tinha no inı́cio do processo. utilizaremos elementos de circuito com valores de in- dutância e resistência que levam a tempos de relaxação muito pequenos. esco- lhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento do circuito. Você deverá obter uma imagem semelhante à da figura 3. da ordem de milissegundos.7. da ordem de kilohertz. (tempo definido como t = 0 s). Assim.26 tem a mesma expressão que a voltagem no capacitor quando o mesmo está descarregando (equação 3. c) utilizando medidas de VL em função de t. com os cursores de tempo. Figura 3. em relação aos 0 V definidos na onda quadrada.7.6: Imagem semelhante à que você deve obter na tela do osciloscópio. Note que você deverá medir um tempo relativo a partir do inı́cio da descarga conforme indicado na figura 3. Essa montagem permite a medida da voltagem na fonte (VG ) e no capacitor (VC ). meça a voltagem máxima no capacitor. .3. e o tempo transcorrido entre o inı́cio da queda da voltagem no capacitor e o momento em que a voltagem atinge 37 % de seu valor máximo para obter τ .5: Montagem de um circuito RC simples usando um gerador de sinais e um osciloscópio. através da medida direta de seu valor e através da medida de t1/2 (3. meça o tempo transcorrido entre o inı́cio da queda desta voltagem e o momento em que ela atinge 50% de seu valor máximo para obter t1/2 . 3) Compare os valores que obteve para a constante de tempo τ . Para isso devemos ligar o canal 1 (CH1) do osciloscópio no ponto “A” e o canal 2 (CH2) no ponto “B” do circuito. Em seguida. ambas em relação ao terra.19).7 Procedimentos experimentais 52 Figura 3. 8: Montagem de um circuito RC simples usando um gerador de sinais e um osciloscópio. Para isso devemos ligar o canal 1 (CH1) do osciloscópio no ponto “A” e o canal 2 (CH2) no ponto “B” do circuito. Figura 3. 2) Para obtermos uma curva de VR em função de t com boa resolução devemos fazê- .7 Procedimentos experimentais 53 t1/2 V 0.8.37 V Figura 3. na descarga do capacitor.7: Voltagem no capacitor mostrando.2 Procedimento II 1) Monte o circuito da figura 3. como medir a constante de tempo τ e o tempo de meia-vida t1/2 . Com o auxı́lio de um multı́metro meça os valores de R e C.5 com as posições do capacitor e do resistor trocadas.5 V 0. 3. Ajuste no gerador de sinais uma onda quadrada semelhante à do procedimento anterior. Você deverá obter uma imagem semelhante à da figura 3.3. Com isto podemos fazer medidas simultâneas da tensão no gerador e no resistor. Nesta configuração medimos no canal 2 do osciloscópio a voltagem VR no resistor. Use os mesmos valores de C = 100 nF e R = 10 kΩ. mas com frequência f = 100 Hz. ele corresponde ao circuito da figura 3. Essa montagem permite a medida da voltagem no resistor em relação ao terra (VR ). variando entre 0 V e + 6 V.7.9 na tela do osciloscópio. 10: Maximização na tela do osciloscópio da voltagem VR na carga do capacitor. b) ajuste o nı́vel “zero” da voltagem VR de forma que ele coincida com a linha inferior da tela.9: Imagem semelhante à que você deve obter na tela do osciloscópio. Se for necessário ajuste um pouco a frequência do gerador. usando os cursores ou fazendo leitura direta na tela (método das gratı́culas). e diminua a escala do canal 2 para o menor valor em que ainda seja possı́vel ver o máximo da curva. escolha seis pares de valores de t e VR . Anote .3. la ocupar a maior região possı́vel da tela do osciloscópio. Para tanto você deve efetuar os seguintes passos: a) desloque a posição horizontal do sinal de voltagem para que o decaimento comece na linha vertical mais à esquerda da tela. Para isso devemos ajustar os controles do osciloscópio e do gerador de sinais para que apareça na tela apenas o intervalo de tempo correspondente à carga do capacitor. 3) A partir da curva ajustada no canal 2 do osciloscópio.10.7 Procedimentos experimentais 54 Figura 3. Deverá aparecer na tela do osciloscópio uma figura semelhante à figura 3. Figura 3. é possı́vel que você tenha que utilizar a opção “Ganho variável: fino”. Para fazer a medida de τ . lembrando que RG = 50 Ω. Utilize um dos métodos descritos acima (no procedimento I ou II) para medir τ e a partir deste valor calcule o valor de RG . .7.7 Procedimentos experimentais 55 os valores medidos com suas respectivas incertezas. o gerador de funcões pode ser representado como um gerador “ideal” em série com uma resistência RG de 50 Ω. enquanto a parte imaginária representa o efeito de componentes capacitivas e indutivas. toda fonte de alimentação (como a fonte de tensão DC ou o gerador de funções) é também caracterizada por uma grandeza chamada im- pedância interna. através da medida de τ .4 Procedimento IV Vamos estudar um circuito RL e obter experimentalmente o valor de sua constante de tempo τ . Seu significado ficará claro na segunda parte do curso. Alimente agora o circuito com uma onda quadrada com amplitude de 4 V (oscilando entre Vmin = 0 V e Vmax = 8 V) e com a frequência calculada acima. Anote também as escalas de tempo e voltagem utilizadas.11 utilizando um resistor R = 1 kΩ e um indutor de L = 23. Utilize o valor esperado para τ para calcular a frequência da onda quadrada. marcando os pontos medidos e traçando à mão livre a curva que melhor se ajusta aos pontos experimentais. 1) Monte o circuito da figura 3. 3. 3. Vamos agora utilizar um circuito RC para medir a resistência interna do gerador. com a parte real correspondendo a uma componente resistiva. 2 mH.3 Procedimento III Além dos parâmetros do sinal de saı́da. Calcule qual o valor de τ esperado para este circuito. desejamos que o tempo de aplicação da tensão (isto é. obtenha o valor de τ .3. com valor de 50 Ω.7. Os geradores de função (como este que utilizamos no curso) normalmente têm uma impedância interna real e independente da frequência. Monte um circuito RC com um resistor com R = 56 Ω e um capacitor com C = 1 µF . variando entre Vmin = 0 V e Vmax = 6 V. Faça um gráfico de VR versus t no retı́culo milimetrado disponı́vel na folha de seu re- latório. Por estas razões a impedância interna corresponde a uma resistência interna. comparando com o valor esperado. Ajuste no gerador de sinais uma forma de onda quadrada de frequência f = 5 kHz e com tensão pico-a-pico Vpp = 6 V. utilizando o mesmo método do Procedimento I. A partir da curva traçada no retı́culo milimetrado. T /2) seja aproximadamente igual a 3 vezes o valor de τ . mas por en- quanto basta dizermos que trata-se de uma grandeza complexa cujo valor pode variar com a frequência do sinal produzido. Compare com o valor obtido através da medida direta da constante de tempo. Anote os valores obtidos em uma tabela.5 Procedimento V 1) Utilizando o mesmo circuito utilizado para o Procedimento IV. ajuste nova- mente o osciloscópio para apresentar na tela uma imagem semelhante à que é mostrada na figura 3. 3) A partir do valor medido de t1/2 e usando a expressão 3. figura 3. com suas respectivas incertezas. isto é. 3) Os pontos obtidos correspondem à função 3. vamos linearizar a equação 3.11. a partir de um gráfico desta função. Queremos. Para facilitar este trabalho.26. 3. será visualizado no canal 1 do osciloscópio e o sinal da tensão no indutor. respectivamente. VL . através da medida do tempo necessário para a tensão no indutor. ou seja. Meça o valor de R usando um multı́metro. 2) Utilize um dos métodos de medida.3. 2) Faça a medida de t1/2 e τ para o circuito RL montado usando o método descrito no Procedimento I acima. para medir sete pares de valores de t e VL . VL . será visualizado no canal 2. VB . Anote também os valores das escalas de tempo e voltagem utilizadas nas medidas. fazer uma mudança de variáveis que .7 Procedimentos experimentais 56 Figura 3. cair à metade e a 37% de seu valor inicial. gratı́cula ou cursor.10. obter o valor da constante de tempo τ através de um ajuste. calcule o valor de τ com sua incerteza.11: Montagem a ser realizada para medidas da constante de tempo do circuito RL. e considere que o indutor possui uma incerteza de 10 % no valor nominal de sua indutância.7.19. Observe que o sinal da fonte de tensão.26. Anote os valores obtidos com suas incertezas. 7 Procedimentos experimentais 57 irá torná-la uma equação linear. 5) Compare o valor medido da constante de tempo com seu valor nominal. . (3.3. Os valores de VL são divididos por 1 volt para que o argumento do logaritmo seja uma grandeza adimensional. com a seguinte forma: t ln(VL ) = ln(VB ) − .24. dado pela equação 3.31) τ 4) Faça o gráfico de ln(VL /Volt) versus t e obtenha o valor de τ fazendo um ajuste linear. No instante que viramos a chave para a posição “A”. a fonte é desconectada. um capaci- tor e um indutor em série em um circuito. 4. Vimos que o capacitor e o indutor possuem comportamentos opostos quando um transiente posi- tivo de tensão é aplicado. as . • multı́metro. A voltagem no capacitor (inicialmente descarregado) é zero e vai aumentando à medida que o tempo passa.2 Introdução No capı́tulo anterior estudamos o comportamento da voltagem em circuitos RC e RL quando alimentados por uma voltagem constante que muda subitamente de valor. • indutor de 10 a 50 mH. enquanto que a voltagem no indutor começa com o valor máximo e vai caindo à medida que o tempo passa. uma voltagem VB é aplicada ao circuito e quando a chave vai para a posição “B”. • potenciômetro. A taxa com que a voltagem (ou a corrente) varia em cada circuito depende de sua constante de tempo caracterı́stica.1 Material • Gerador de funções. Circuitos RLC alimentados com onda quadrada 4 4. • capacitor de 10 nF. • resistores de 100 Ω. O que vamos estudar agora é o que se passa quando colocamos um resistor. • osciloscópio. Neste caso. como o mostrado na figura 4.1 a seguir. 5) dt dt C . quando a fonte estava ligada.1: Circuito RLC. com uma solução particular qp (t) da equação completa: q(t) = q h (t) + q p (t) . (4. (4. cargas se movem usando a energia que foi armazenada no indutor e no capacitor.1.4) A equação homogênea associada à equação diferencial 4.2) dt dt C Como se trata de uma equação diferencial não-homogênea.2 é q p = aVB . que ao ser substituı́da na equação 4. encontramos: d2 q dq q L 2 + R + = VB . sua solução geral será a soma da solução geral qh (t) da equação homogênea associada. (4. Quando a chave é colocada na posição “A”. (4.4. (4.2 é: d2 q dq q L 2 + R + = 0.1) dt C Substituindo i = dq/dt na equação 4. ou seja: q p (t) = CVB . pela lei das malhas temos que: di q VB = L + Ri + .3) A solução particular da equação 4.2 Introdução 59 Figura 4.2 leva a a = C. (4. .4. As funções que satisfazem a essas condições são a função exponencial e as funções seno e cosseno. observemos que ela envolve funções cujas derivadas primeira e segunda são proporcionais a elas mesmas. enquanto ω0 é chamado de frequência natural (ou frequência de ressonância) do circuito RLC (sua relevância será compreendida quando estudarmos circuitos RLC alimentados com tensões senoidais). para que a equação diferencial descrita na equação 4. (4. de forma que: dq h = r q h (t) (4. (4.8) dt2 Assim.6) onde b e r são constantes. Como podemos representar as funções seno e cosseno por exponenciais complexas.2 Introdução 60 Para encontrarmos a solução desta equação diferencial. vamos supor uma solução geral do tipo: q h (t) = b ert .11) LC O parâmetro α é chamado de constante de amortecimento (seu significado se tornará óbvio nas páginas seguintes).10) 2L e 1 ω0 ≡ √ .7) dt e d2 q h = r2 q h (t) .9) onde definimos os parâmetros R α≡ (4. (4.5 seja satisfeita devemos ter r2 + 2αr + ω02 = 0. por exemplo. podemos escrever q = CVB . (4.12) e q r2 = −α + α2 − ω02 .1). portanto. três regimes diferentes de operação. • regime crı́tico: neste caso α = ω0 . encontramos para r os seguintes valores: q r1 = −α − α2 − ω02 (4. (4. podemos escre- . r1 = r2 e a solução corresponde à soma de uma exponencial que decai com o tempo com uma função linear em t. e a solução corresponde a oscilações amortecidas. a solução pode ser escrita como: q(t) = CVB [1 − e−αt cos(ω 0 t)]. dependendo dos valores de α e ω0 : • regime super-crı́tico: neste caso α > ω0 e a solução corresponde à soma de duas exponenciais que decaem com o tempo.14 e substituindo as condições iniciais.13) Temos. Tomando a parte real da equação 4. Para t → ∞. Na equação 4. q(0) = 0 e i(0) = 0.15) Apenas no regime sub-crı́tico oscilações são observadas no sistema. • regime sub-crı́tico: neste caso α < ω0 . (4.14 o termo CVB corresponde ao valor da carga para um tempo muito grande e. (4. As constantes c1 e c2 são determinadas a partir das condições iniciais do problema.9. podemos associá-lo à carga máxima que o capacitor pode acumular.16) Como a voltagem VC no capacitor é proporcional à carga (equação 4. Para o caso sub-crı́tico podemos escrever a solução geral da equação 4. portanto.4.2 Introdução 61 Resolvendo a equação 4. as raı́zes r1 e r2 são complexas.2 como: 0 0 q(t) = CVB + e−αt (c1 ejω t + c2 e−jω t ).14) √ com j = −1 e q 0 ω = ω02 − α2 . (4.37 de seu valor inicial ∆V . Como no caso dos circuitos RC e RL.15 seja modificada para: q(t) = CV0 [1 − 2e−αt cos(ω 0 t)] (4. temos uma transferência periódica de energia entre o capacitor e o indutor.19) Na figura 4. que é a carga que o capacitor terá após cessado o efeito do transiente. para observarmos as oscilações no regime sub- crı́tico devemos usar um gerador de sinais. próprio de circuitos RLC operando em regime sub-crı́tico.2 Introdução 62 ver também: VC (t) = VB [1 − e−αt cos(ω 0 t)]. chamada de transiente.14 e 4. a voltagem (em módulo) terá caı́do a 0. como assumimos na discussão anterior. . Por isso α é chamado de constante de amortecimento. (4. Uma parte é oscilante. O efeito dessa mudança altera a condição inicial do problema. parte de sua energia é transferida para o indutor e parte é dissipada pelo resistor. Depois que o capacitor é completamente descarregado. modulada por uma função exponencial decrescente. Após esse tempo.16 nos mostra que a carga no capacitor é composta de duas partes. A outra parte é fixa. que tende a zero.2 mostramos uma imagem aproximada do que deve ser visto na tela do osciloscópio quando utilizamos uma onda quadrada alimentando um circuito RLC.4. que é amortecida pelo resistor. cuja frequência f 0 = ω 0 /2π tem um valor próximo do valor da frequência de ressonância. Durante um certo tempo a carga do capacitor mostra um comportamento oscilante que decai ex- ponencialmente. o indutor descarrega a energia armazenada no ciclo anterior. Isto faz com que a solução descrita pelas equações 4. A determinação experimental de α pode ser feita usando-se os mesmos métodos em- pregados para a determinação dos tempos de decaimento de circuitos RC e RL: quando t = 1/α. Per- cebemos por essa figura que a voltagem oscilante corresponde aos máximos e mı́nimos das oscilações em torno da voltagem do gerador de sinais. com o capacitor carregado com o valor máximo de carga. Dessa forma. à medida que o capacitor se descarrega. Esta figura mostra um aspecto muito interessante. carregando novamente o capacitor e dissipando parte dessa energia através do resistor. o circuito sai do regime transitório e entra no regime permanente. A nova condição inicial para a carga do capacitor quando o circuito é chaveado para a posição “B” passa a ser q(0) = − CV0 e não “zero”.18) e VC (t) = V0 [1 − 2e−αt cos(ω 0 t)]. como assumimos em toda a discussão do problema. que ao invés de gerar uma voltagem no circuito variando de V = 0 a V = VB . gera uma onda quadrada com amplitude variando de − V0 a + V0 .17) A equação 4. ou seja: T0 tn = n (n = 0. Assim. 1. .4. (4. é dada em módulo por: q oscilante (t) = q0 e−αt .21) 2 com 2π T0 = . 2. C indicados na mesma. (4.3 mostra a representação dos instantes de tempo tn . A parcela da carga total que oscila no tempo. 3. (4. .23) com ∆V = 2V0 .2 Introdução 63 Figura 4.20) onde q0 = 2CV0 e os instantes de tempo tn são aqueles que fazem cos(ω 0 tn ) = ±1.2: Figura aproximada que deve ser obtida na tela do osciloscópio para um circuito RLC operando em regime sub-crı́tico com os valores de R. (4. nos pontos de máximo ou mı́nimo da função “cosseno”.). L. . A figura 4. podemos escrever: |VC (tn )| = ∆V e−αtn . Um outro parâmetro também é utilizado para caracterizar o comportamento do circuito . para os instan- tes de tempo tn .22) ω0 Note que T 0 é o perı́odo das oscilações da voltagem no capacitor. Note que ω’ é sempre menor que a frequência ω0 .25) R ou.24) Energia dissipada por ciclo Quanto maior o fator Q. As oscilações são amortecidas exponencialmente com a constante de tempo τ ≡ 1/α. (4.26) 2α e portanto ω’ também pode ser definido em função deste fator: r 1 q 0 ω = ω02 − α2 = ω0 1 − . Este fator é definido como sendo: Energia armazenada Q = 2π .3: Representação esquemática de tn .4.27) 4Q2 Se o fator de mérito Q > 1/2 (regime sub-crı́tico) então o circuito oscila com a frequência natural de oscilação ω’. menor a perda fracionária de energia por ciclo. escrevendo de outra forma. e não há . Se o fator de mérito Q < 1/2 (regime super-crı́tico) então ω’ é imaginário. Conhecido como fator Q ou fator de mérito.2 Introdução 64 Figura 4. 1 Qα = ω0 (4. RLC. Para o circuito RLC em série pode ser mostrado que: L Q = ω0 (4. (4. pelo menos uma das voltagens da soma deve ser descontı́nua. 5) e super-crı́tico (direita Q = 0. o número de oscilações dentro de uma constante de tempo τ é Q/π. 3).4. Podemos então escrever que QN = N × π. É interessante notar que no caso de amortecimento sub-crı́tico. Se Q = 1/2 temos o caso do amortecimento crı́tico e ω’ é nulo. Este fato é muitas vezes utilizado para estimar rapidamente o Q do circuito. Para amortecimento crı́tico o capacitor se carrega em tempo mı́nimo sem exceder a voltagem de entrada em nenhum instante. capacitor e indutor nos três regimes (sub-crı́tico. Q = 0. Como a soma das voltagens sobre todos os elementos do circuito em série deve ser igual à voltagem da fonte. A voltagem no indutor é sempre descontı́nua em t = 0. (4. Esta é uma caracterı́stica de todo circuito excitado por uma função degrau. amortecimento crı́tico (direita.2 Introdução 65 oscilações.4: Transientes no circuito RLC em série para os casos de amortecimento sub-crı́tico (es- querda).28) onde N é o número de oscilações contadas dentro do intervalo de tempo τ .4 mostra as voltagens sobre o resistor. excedendo a vol- tagem da fonte. Figura 4. pp é a voltagem pico a pico da onda quadrada. super-crı́tico e crı́tico). . A figura 4. No caso de amortecimento sub-crı́tico a voltagem no capacitor oscila. Você deve ser capaz de visualizar na tela do osciloscópio o circuito operando no modo sub-crı́tico. com ao menos 5 ciclos de oscilações da voltagem no capacitor (semelhante à figura 4. Compare com o valor nominal. 4. Figura 4.5 com um resistor de R = 100 Ω. 2. Meça o perı́odo T’ das oscilações da voltagem no capacitor. .4. Coloque o patamar superior da onda quadrada do canal 1 no meio da tela e aumente a sua duração de modo a obter apenas o primeiro semi-ciclo da onda quadrada. um capacitor de C = 10 nF e um indutor de L = 23. 3. Preencha a tabela 1 com os valores de |VC (tn )| e tn .5: Circuito RLC a ser montado para o Procedimento I. Ajuste as escalas de tempo e tensão do osciloscópio de modo a maximizar a imagem de meio perı́odo da onda quadrada na tela.3. Monte o circuito da figura 4. Ajuste no gerador de funções uma onda quadrada com amplitude de V0 = 4 V e frequência aproximada f = 500 Hz.2 mH. Meça os valores de R e C usando um multı́metro e anote o valor nominal de L para a bobina utilizada.2). Indique as escalas utilizadas.3 Procedimentos experimentais 4.1 Procedimento I: constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC 1.3 Procedimentos experimentais 66 4. 26).3 Procedimentos experimentais 67 Figura 4.4. .25 e 4. a potência fornecida a determinado circuito elétrico. 4. • número de oscilações N dentro de um intervalor τ = 1/α e o fator de mérito Q (equações 4.23.24.6.6: Circuito RLC com um potenciômetro a ser montado no Procedimento II. Ele é muito utilizado em situações que se deseja variar a corrente e. No circuito montado para o Procedimento I.2 Procedimento II: transição do regime sub-crı́tico para o regime super- crı́tico. Tabela 1 tn ± σtn |VC (tn )| ± σ|VC (tn )| (V) ln(|VC (tn )| /1V ) σln(|VC (tn )|) 5. por conseguinte. O potenciômetro é um elemento de cir- cuito com resistência variável. substitua o resistor por um potenciômetro (R pot = 5 kΩ). 4. Determine a partir das medidas tabeladas os valores dos parâmetros: • α e ∆V da equação 4. Varie a resistência do potenciômetro de modo a identificar o valor crı́tico de re- sistência para o qual o circuito passa do regime sub-crı́tico ao regime super-crı́tico. 2. como mostrado na figura 4. Meça R crı́tica usando um multı́metro.3. 1. . O amortecimento persiste? Neste caso não deveria haver amortecimento e o circuito deveria ser um oscilador hamônico simples. Expli- que porque isto não ocorre.3 Procedimentos experimentais 68 3. Descreva o que acon- tece com a voltagem no capacitor.4. Ajuste o potenciômetro de modo que ele tenha resistência nula. 2 Introdução Nas aulas anteriores estudamos o comportamento de circuitos compostos de resisto- res. Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal 5 5. Introduziremos o con- ceito de impedância para compreendermos os comportamentos observados. estudaremos o comportamento de resistores.1 Material • Gerador de funções. faremos uma breve introdução a respeito dos sinais senoidais. Inicialmente. Observamos comportamentos transientes. A partir desta aula. • resistor de 1 kΩ. 5. .54. ou seja. Mostraremos também as condições em que ocorrem diferenças de fase entre a corrente e a voltagem. Estudaremos como a amplitude da tensão sobre cada um dos ele- mentos varia com a frequência do sinal de excitação. • multı́metro. Essas observações só foram possı́veis graças ao uso do osciloscópio. capacitores e indutores quando submetidos a voltagens senoidais. caracterizados por constantes de tempo curtas. com valores da ordem de milissegundos.2 e 50 mH. • indutores de 9. 23. • osciloscópio. voltagens que variam no tempo descre- vendo uma função seno. capacitores e indutores quando excitados por uma tensão que oscila bruscamente entre 2 valores. Como o perı́odo T da onda repre- senta o tempo necessário para a realização de uma oscilação completa. A partir dessa definição. fica óbvio que VPP = 2 V0 . normalmente repre- sentado por VPP .4) T O argumento da função seno (ωt+θ) é chamado de fase da senóide. representando o número de oscilações realizadas por unidade de tempo. é preciso medir a diferença (em módulo) entre o máximo valor que a voltagem assume e o “zero” da função (o “zero” do canal ao qual o sinal está conectado).2) Para determinarmos a amplitude de um sinal senoidal utilizando um osciloscópio. (5. e seu valor é sempre positivo.5. a voltagem tem seu valor mı́nimo − V0 .3) onde f é a frequência linear (ou simplesmente frequência) da senóide.2 Introdução 70 5.1 Sinais senoidais Quando estamos lidando com circuitos elétricos. pode-se simplesmente medir a diferença (também em módulo) entre os valores máximo e mı́nimo da função (que vem a ser a tensão pico-a-pico) e dividir o valor por dois. A figura 5. e θ é denominado de constante de fase. ou seja. Por- tanto um sinal senoidal oscilará entre os valores extremos − V0 e + V0 e a diferença entre esses valores é o que chamamos de “valor pico-a-pico” da voltagem. (5. (5. Alternativamente. V0 é o valor da voltagem quando a função seno é igual à unidade.1 ilustra essas definições. Quando a função seno atinge o valor −1. obtemos a relação entre frequência e perı́odo: 1 f= .1) onde V0 é o que chamamos de amplitude da forma de onda.2. O sı́mbolo ω representa a frequência angular da senóide e é definida por ω = 2 πf. Esses sinais podem ser produzidos por um gerador de ondas (como aquele utilizado nos experimentos anteriores) e são repre- sentados em sua forma mais geral por uma função do tipo VG (t) = V0 sen(ωt + θ). A amplitude também é chamada de “valor de pico” da função. sinais senoidais são voltagens que variam no tempo descrevendo uma função do tipo senóide. é o valor máximo da voltagem gerada. Esta é uma constante arbitrária que é utilizada para determinar o valor . (5. Na prática o valor da constante de fase só é relevante se estivermos comparando duas (ou mais) funções senoidais. o sinal representado por V02 sen(ωt+θ) possui uma diferença de fase θ.1 vê-se imediatamente que V (t = 0) = V0 sen θ).1: Figura que mostra os parâmetros que definem uma forma de onda senoidal.2 a linha contı́nua representa a voltagem de referência. A tı́tulo de exemplo. sejam V1 (t) e V2 (t) duas voltagens que variam senoidalmente em função do tempo com a mesma frequência. Note que θ = 0. da função em t = 0 (a partir da equação 5. Nesse caso a constante de fase θ serve essencialmente para determinar a diferença de tempo que uma senóide leva para chegar à mesma fase de outra senóide tomada como referência. Em nossos procedimentos experimentais definiremos a função que representa o sinal produzido pelo gerador como aquela representada pela linha sólida da Figura 5. No exem- plo apresentado. A figura 5. (o que significa que VPP = 10 V) e T = 1 ms (o que equivale a dizer que f = 1 kHz). Dizemos então que a fase de V2 (t) está adiantada.2. Isso significa que para esse sinal escolhemos arbitrariamente θ = 0 na equação 5.1. esta será nossa função de referência. enquanto a fase de V1 (t) está atrasada (ambas em relação ao sinal de referência). que assume o va- lor zero em t = 0.5. Quando VG (t) passa pela linha de zero volt com derivada positiva (isto é. Portanto se representamos o sinal de referência como V01 sen(ωt). Se elas atingem seus respectivos valo- res máximos em instantes de tempo diferentes é porque existe uma diferença de fase entre elas. temos V0 = 5 V.2 Introdução 71 Figura 5.2 mostra duas funções defasadas em relação a um sinal VG (t) tomado como referência. crescendo) V2 (t) tem um valor positivo e V1 (t) tem um valor negativo. Essas três funções podem ser representadas pelas seguintes . uma apresentando uma defasagem de + π/4 radianos (ou + 45◦ ) e a outra apresentando uma defasagem de − π/4 radianos (ou − 45◦ ) Na figura 5. 5. e por isso chamada de “corrente alternada”. Voltagens do tipo senoidal são as mais simples de serem produzidas. expressões: VG (t) = V0 sen(ωt). (5.5) V1 (t) = V0 sen(ωt − π/4). Uma das grandes vantagens da utilização de senos (ou cossenos) para representar sinais elétricos vem do fato que essa classe de funções são soluções de equações diferenciais que descrevem muitos fenômenos encontrados na natureza.2: Voltagens que possuem a mesma amplitude e frequência. A eletricidade produzida por geradores em usinas hidrelétricas é resultado de voltagens induzidas pela rotação de turbinas. (5. mas com diferenças de fase entre si. Por isso são as formas de onda mais comu- mente encontradas: a voltagem presente nas tomadas das residências é senoidal. . (5. Tomando o sinal representado pela linha contı́nua como referência. e também as mais simples de serem tratadas matematicamente. a linha pontilhada (V1 ) representa um sinal com uma defasagem de −π/4 radianos. enquanto o sinal representado pela linha tracejada (V2 ) possui uma defasagem de +π/4 radianos.7) com V0 = 5 V e T = 1 ms.6) V2 (t) = V0 sen(ωt + π/4).2 Introdução 72 Figura 5. voltagens essas descritas por funções senoidais. incluindo circuitos elétricos lineares. Esse é o valor eficaz. A equação 5. como o próprio nome indica. e são geralmente calibrados para a frequência de 60 Hz (frequência da rede elétrica). que só assume valores positivos. Essas são caracterı́sticas de circuitos lineares. A figura 5.5. Além disso. para um sinal com amplitude V0 = 5 V e perı́odo T = 1 ms. que transfoma a função V0 sen(ωt) em V0 |sen(ωt)|.9 mostra alguns fatos interessantes: a corrente que atravessa o resistor também é uma sinal senoidal. com a constante de proporcionalidade sendo chamada de resistência.3 mostra os gráficos para corrente e voltagem em função do tempo.” de um voltı́metro.2. 6 V. que é definido como a raiz quadrada do valor médio do quadrado de V (t): Z T 21 1 V0 Vef = [V0 sen(ωt)]2 dt =√ . Consi- dere um resistor com uma resistência R = 1 kΩ submetido a uma tensão VG (t) = V0 sen(ωt). o valor da voltagem na rede elétrica doméstica é 127 V. Entretanto voltı́metros (ou multı́metros digitais) também podem ser utilizados.c. Como um sinal alternado possui um valor médio nulo.9) R R onde definimos i0 ≡ V0 /R. Note que a partir da definição de i0 . e que oscila com a mesma frequência da tensão aplicada. quando utilizamos a opção “V a. são aqueles nos quais as voltagens e cor- rentes se relacionam de forma linear. mas a Lei de Ohm também vale para os casos em que os resistores estão sujeitos a tensões alternadas. é o caso de resistores. para resistores submetidos a tensões constantes.2 Resistores em corrente alternada Circuitos lineares.2 Introdução 73 O instrumento ideal para a observação e medida de sinais elétricos alternados é o osci- loscópio. uma vez que se conheça suas limitações. podemos calcular a resistência em termos das am- .8) T 0 2 Por exemplo. Isso foi verificado nos ex- perimentos anteriores. o quê significa que a amplitude da tensão na rede é V0 = 179. Nesse caso o valor medido para a volta- gem é chamado de valor eficaz. 5. podemos notar que não há nenhuma diferença de fase entre a voltagem e a corrente. Portanto suas medidas só são confiáveis para sinais com frequências próximas deste valor. (5. Pela Lei de Ohm a corrente no resistor será dada por: VG (t) V0 i(t) = = sen(ωt) = i0 sen(ωt). Multı́metros sempre medem valores eficazes de tensão. o sinal passa por um dis- positivo chamado “retificador de onda completa”. para os quais a Lei de Ohm (estudada na primeira aula) mostra que a tensão aplicada é proporcional à corrente. (5. 3 Procedimentos experimentais 74 Figura 5. de acordo com a figura 5. Selecione uma frequência próxima de 60 Hz e faça as seguintes medidas com o sinal produzido: .3: Voltagem (linha sólida) e corrente (linha tracejada) para um resistor de R = 1 kΩ sub- metido a uma tensão alternada com 5 V de amplitude e 1 kHz de frequência. Conecte também o multı́metro digital de bancada ao gerador para medir sua voltagem.10 mostra que a amplitude de corrente não depende da frequência do si- nal aplicado.5.4.10) i0 A equação 5. plitudes de tensão e corrente: V0 R= . pois nos permite determinar a amplitude de corrente num circuito simplesmente medindo a amplitude de tensão no resistor e dividindo este valor pela resistência. (5. 5.3 Procedimentos experimentais 5. este é um resultado extremamente importante.1 Procedimento I: uso do multı́metro e do osciloscópio para medidas de tensão alternada Selecione a forma de onda senoidal com amplitude de 4 V no gerador de sinais e conecte sua saı́da ao canal 1 do osciloscópio.3. 3. verifique pelo osci- loscópio se a amplitude do sinal do gerador continua igual a 4 V e. corrija para o valor inicial. meça a voltagem com o multı́metro (selecione a opção “Voltagem AC”). apresente seus resultados na Tabela 1 e comente os resultados obtidos. será possı́vel obter o valor da resistência e comparar com outra medida (como aquela obtida utilizando um multı́metro digital. por exemplo).10. A idéia é realizar com o osciloscópio medidas simultâneas das amplitudes de tensão e corrente e verificar grafi- camente se existe uma relação linear entre V0 e i0 .5.4 ou então utilizar o menu “Medidas”). meça a frequência do sinal senoidal com o osciloscópio (lembre-se que isso pode ser feito de 2 maneiras: usando o sistema de gratı́culas para medir o perı́odo e utili- zar a equação 5. caso ela tenha mudado. . 1. 3. 2. Tabela 1 f ± σf V0 ± σV0 (V) V ± σV (V) 5. Repita agora essas medidas para uma frequência de 3 kHz. Caso essa relação seja observada. Ao mudar a frequência. como previsto pela equação 5.4: Circuito a ser utilizado no Procedimento I.3 Procedimentos experimentais 75 Figura 5. lembre-se também que a frequência mostrada pelo gerador de funções representa apenas uma indicação de frequência.2 Procedimento II: circuitos resistivos com tensão senoidal Neste procedimento estamos interessados em verificar que a Lei de Ohm de fato se aplica a um resistor quando submetido a voltagens e correntes senoidais. meça a amplitude do sinal senoidal com o osciloscópio (seja utilizando o sistema de gratı́culas ou o menu “Medidas”). medir a amplitude de tensão sobre ele e calcular a corrente como i(t) = V (t)/R. Este resultado seria diferente se a frequência do sinal do gerador fosse diferente de 500 Hz? . (5. portanto para medir a amplitude de cor- rente utilizamos um expediente muito comum. Lembre-se que o osciloscópio mede voltagens.11) 4. e anote seus valores com as respectivas incertezas. Note que o sinal medido no canal 1 é a tensão do gerador (com amplitude V0G . Monte o circuito da figura 5. O sinal da corrente possui frequência igual ou diferente? Há diferença de fase entre esses dois sinais? 3.5: Circuito a ser utilizado no Procedimento II. sempre ajustando a ampli- tude de voltagem no gerador para que a amplitude V0R2 aumente em intervalos de 0. Você deve observar uma figura semelhante à figura 5. Ajuste a amplitude da tensão no gerador de modo que a amplitude de tensão sobre o resistor R2 (medida no canal 2) seja V0R2 = 0. Repita agora a medida para outros cinco valores de V0R2 . Meça os valores das duas resistências com o multı́metro. comentando seu resultado. com uma frequência próxima de 500 Hz. usando os resistores R1 = 1 kΩ e R2 = 100 Ω. 30 V e com esse valor calcule a amplitude de corrente como i0 = V0R2 /R2 .10 V. 2.5. 5.5. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal do gerador. com sua incerteza. que é inserir um segundo resistor em série. Ob- tenha o valor de R1 a partir desse gráfico e compare com o valor obtido na medida direta com o multı́metro.3. Faça um gráfico de V0R1 versus i0 e comente sobre o comportamento observado.3 Procedimentos experimentais 76 Figura 5. R1 é o resistor para o qual desejamos verificar a Lei de Ohm enquanto R2 é utilizado para calcular a amplitude de corrente. Selecione um sinal senoidal no gerador de funções. 1. Complete a Tabela 2 com esses dados. medida no canal 1) e para construirmos o gráfico desejado precisamos da amplitude de tensão sobre o resistor R1 . que pode ser calculada simplesmente como a diferença V0R1 = V0G − V0R2 . 40 0.80 .70 0.60 0.3 Procedimentos experimentais 77 Tabela 2 V0R2 ± σV0R2 i0 ± σi0 (A) V0G ± σV0G (V) V0R1 (V) σV0R1 (V) 0.5.50 0.30 0. 2 µF. (6. • gerador de sinais. a equação caracterı́stica do capacitor ideal é dada por d i(t) = C VC (t). ele se carregará com uma corrente i(t) dada por d π i(t) = C [V0 sen(ωt)] = ωCV0 cos(ωt) = ωCV0 sen ωt + . Circuitos RC e RL com Corrente Alternada 6 Parte A: Circuitos RC com corrente alternada 6.2) dt 2 . • capacitor de 2. (6. • multı́metro digital.1 Material • osciloscópio. 6. • resistor de 10 Ω.1) dt Se aplicarmos uma voltagem alternada VG = V0 sen(ωt) a este capacitor.2 Introdução Como vimos na aula sobre capacitores. Já para frequências muito baixas o valor da reatância aumenta e sinais de baixa frequência serão fortemente atenuados. (6. (6.6.7) temos a corrente dada pela expressão π i(t) = i0 sen ωt + .2 Introdução 79 A corrente então pode ser escrita como π π i(t) = ωCV0 sen ωt + = i0 sen ωt + . Esta proprie- dade dos capacitores é utilizada para a construção de filtros de frequência. Para frequências muito altas o capacitor se comporta como um curto-circuito (resistência nula). (6.8) 2 mostrando que a corrente está adiantada de π/2 radianos em relação à voltagem da fonte.5) ωC A equação 6. ela desempenha um papel semelhante à resistência na Lei de Ohm. A grandeza definida por 1 XC ≡ (6. a corrente e a voltagem estão defasa- das de π/2 radianos: para uma tensão do gerador dada por VG = V0 sen(ωt) .4) Dessa forma.3) 2 2 onde definimos a amplitude de corrente i0 como i0 ≡ ωCV0 .3 mostra que em um capacitor ideal. (6. com a importante diferença de ser inver- samente proporcional à frequência. .5 é o equivalente da Lei de Ohm para capacitores com correntes alternadas. A equação 6. o que significa que sinais de alta frequência pas- sam pelo capacitor sem serem atenuados.6) ωC tem dimensão de resistência e é chamada de reatância capacitiva. a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como 1 V0 = i0 = XC i0 . (6. 3 Circuitos RC Para circuitos RC como o mostrado na figura 6.1: Circuito RC alimentado por uma fonte de tensão senoidal.12 pode ser reescrita expandindo-se as funções sen(ωt + ϕ) e cos(ωt + ϕ) e em seguida reagrupando os termos que envolvem cos(ωt) e sen(ωt). encontra- mos que i0 ωV0 cos(ωt) = sen(ωt + ϕ) + ωRi0 cos(ωt + ϕ) . (6. Como este circuito é composto apenas de componentes lineares.10 em relação ao tempo e fazendo uso da equação 6. tendo como forma geral i(t) = i0 sen (ωt + ϕ) .10) C sendo VG (t) a tensão produzida pelo gerador.11. espera-se que a cor- rente também varie senoidalmente com o tempo e com a mesma frequência de VG (t). a aplicação da lei das malhas leva a VG (t) = VC (t) + VR (t) (6.12) C A equação 6. (6. Após algumas . 6.6. (6.1.11) onde ϕ representa a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito.9) q(t) V0 sen(ωt) = + Ri(t).3 Circuitos RC 80 Figura 6. Derivando a equação 6. 6.3 Circuitos RC 81 manipulações algébricas obtemos i0 i0 cos(ωt) ωV0 − (ωRi0 ) cos ϕ − sen ϕ + sen(ωt) (ωRi0 ) sen ϕ − cos ϕ = 0 . (6.13) C C Como a equação 6.13 deve valer para qualquer instante de tempo, os coeficientes dos termos cos(ωt) e sen(ωt) devem ser individualmente nulos, o que significa que duas equações devem ser satisfeitas simultaneamente: i0 (Ri0 ) cos ϕ + sen ϕ = V0 , (6.14) ωC e i0 (Ri0 ) sen ϕ − cos ϕ = 0 . (6.15) ωC Da equação 6.15 obtemos diretamente a expressão para o ângulo de fase ϕ: 1 XC tan ϕ = = . (6.16) ωCR R A Figura 6.2 mostra o comportamento da diferença de fase ϕ (em radianos) em função da frequência angular (em rad/s), para um circuito RC com R = 10 Ω e C = 2, 2 µF. O gráfico possui escala semi-logarı́tmica para permitir uma melhor visualização da de- pendência de ϕ. Para valores de ω tendendo a zero, a diferença de fase tende a π/2 radi- anos; já para valores de ω tendendo a infinito, a diferença de fase tende a zero (corrente e tensão em fase). Já a equação 6.14 pode ser resolvida utilizando-se as seguintes relações trigonométricas: tan ϕ sen ϕ = p , (6.17) 1 + tan2 ϕ e 1 cos ϕ = p . (6.18) 1 + tan2 ϕ 6.3 Circuitos RC 82 Figura 6.2: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão em função da frequência angular em um circuito RC. Após utilizarmos as equações 6.17 e 6.18 na equação 6.14 e utilizarmos a equação 6.15, obtemos a relação entre as amplitudes de corrente e de tensão do gerador: V0 q = R2 + XC2 . (6.19) i0 Definimos então uma grandeza chamada impedância do circuito RC (Z) como sendo esta razão entre amplitudes: V0 q Z≡ = R2 + XC2 . (6.20) i0 Note que Z tem dimensão de resistência e, como V0 = Zi0 , num circuito com corrente alternada a impedância desempenha um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contı́nua. Observe também que a impedância do circuito não é simplesmente a soma de R e XC , mas sim a raiz quadrada da soma dos quadrados de R e XC . As equações 6.16 e 6.20 nos permitem imaginar uma representação gráfica na qual a impedância do circuito RC é representada por dois eixos ortogonais no plano: o eixo ho- rizontal representa o valor de R enquanto o eixo vertical representa o valor de XC , como se fossem as duas componentes de um vetor ou as partes real e imaginária de um número complexo (veja figura 6.3). Nesse caso a impedância Z definida na equação 6.20 representa o módulo da impedância complexa Ze ≡ R − jXC . Note que se tivéssemos definido Ze como R + jXC a analogia permaneceria válida, mas a razão para termos escolhido o sinal negativo para a parte complexa ficará clara abaixo. √ Note que utilizamos a letra j para representar o valor −1; isso é feito para que não 6.3 Circuitos RC 83 Figura 6.3: Representação da impedância Z de um circuito RC como o módulo de um número complexo Ze = R − jXC . haja confusão com a corrente no circuito, representada pela letra i. Essa analogia com grandezas complexas tem uma boa razão para ser feita, pois circuitos com correntes alternadas podem ser tratados utilizando o formalismo de números comple- xos. Considere um circuito composto apenas por um gerador e um capacitor; a tensão do gerador é dada por VG (t) = V0 sen(ωt) . (6.21) De acordo com a fórmula de Euler, qualquer número complexo obedece a relação ejθ = cos θ + j sen θ, e a tensão do gerador pode ser escrita como h i VG (t) = Im VeG (t) , (6.22) onde definimos a voltagem complexa VeG (t) como VeG (t) = V0 ejωt . (6.23) Como vimos na seção 6.2, para este circuito com apenas o gerador e o capacitor a cor- rente é dada por π i(t) = i0 sen ωt + , (6.24) 2 com i0 = ωCV0 . Da mesma forma que fizemos com a voltagem, podemos representar a basta utilizarmos uma relação análoga à Lei de Ohm para resolvermos o circuito: Ve (t) = Ze ei(t) . (6.14 e 6. (6. (6. A partir das expressões para a amplitude de tensão no circuito RC.15 podem ser re-escritas na forma V0R cos ϕ + V0C sen ϕ = V0 . uma vez que as grandezas complexas estejam definidas. podemos encontrar a impedância com- plexa para este circuito puramente capacitivo: VeG (t) V0 ejωt 1 1 ZeC = = j(ωt+π/2) = jπ/2 = = −jXC . (6.27) Como já temos as expressões para Ve (t) e ei(t).6.26) A grande vantagem do uso do formalismo de números complexos é que.25) onde a corrente complexa ei(t) é dada por ei(t) = i0 e j(ωt+π/2) . Pela Lei de Ohm.28) ei(t) ωCV0 e ωCe jωC Fica clara portanto a razão de termos escolhido a componente capacitiva da impedância complexa do circuito RC como sendo −XC : o sinal negativo decorre do comportamento do capacitor.5: V0C = XC i0 . sabemos que a amplitude de tensão no resistor é dada por V0R = R i0 . que sempre adianta a corrente em relação à tensão da fonte.29) enquanto a amplitude de tensão no capacitor é dada pela equação 6. (6.3 Circuitos RC 84 corrente em termos de uma grandeza complexa: h i i(t) = Im i(t) . podemos expressar a diferença de fase ϕ e a amplitude de tensão do gerador em termos dessas grandezas.30) Portanto as equações 6. e (6. (6.31) . 4 Procedimentos experimentais 6.5 ∆t é a diferença de tempo entre 2 pontos onde as formas de onda passam pelo zero. 3. meça ∆t1 e sua incerteza. obtemos: V0 2 = V0C2 + V0R2 .5).4. na figura 6. ligue os equipamentos e ajuste o gerador para alimentar o circuito com uma tensão senoidal de frequência próxima de f1 = 1 kHz. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal com sua respectiva incerteza. A diferença de fase pode ser medida a partir da medida dessa diferença temporal ∆t1 : escolha 2 pontos similares em cada forma de onda.33) E uma simples manipulação algébrica da equação 6. Ajuste o gerador para que a amplitude de tensão sobre o resistor (V0R . o que fica claro pela diferença de tempo entre 2 pontos similares em cada forma de onda (veja a figura 6. Não se esqueça de utilizar o valor de f1 medido no item anterior. (6. 1. medida no canal 2 do osciloscópio) seja próxima a 0. Observe que existe uma diferença de fase ϕ1 entre os dois sinais. Meça com o multı́metro digital os valores de R e C e em seguida monte o circuito da figura 6. Como exemplo. (6.4 Procedimentos experimentais 85 e V0R sen ϕ − V0C cos ϕ = 0 .1 Procedimento I: verificação do análogo da lei de Ohm para capaci- tores Queremos verificar a validade da relação V0C = XC i0 .32 nos permite obter uma expressão alternativa para a diferença de fase: V0C tan ϕ = .34) V0R 6. Em seguida calcule a diferença de fase entre a tensão no resistor VR e a tensão do gerador VG como ϕ1 = 2πf1 ∆t1 . . verificando o comportamento da reatância capacitiva com a frequência. 2.6. (6. calcule também sua incerteza. Lembre-se de utilizar no osciloscópio a escala que permita a medida com a maior precisão.3 V.4.32) Tomando o quadrado de cada equação e somando membro a membro. . como deve sempre ser num circuito RC. A linha contı́nua representa a voltagem da fonte VG e a linha tracejada representa a voltagem no resistor VR .4 Procedimentos experimentais 86 Figura 6. Nessa figura VR (que é um sinal proporcional à corrente. pois num resistor tensão e corrente estão em fase) está adiantada em relação a VG .5: Ilustração da medida da diferença de fase no circuito RC. Figura 6.4: Circuito a ser utilizado no procedimento I.6. 5 Material 87 4. 5.4 V e repita as medidas do item anterior. Calcule a amplitude de corrente no circuito. Parte B: Circuitos RL com corrente alternada 6. calcule o valor da amplitude de tensão no capacitor como: V0C = V0G − V0R2 . Sem alterar o ajuste do gerador.60 0. Com os valoresp de V0R e V0G . medida no canal 1 do osciloscópio). Compare com o valor obtido a partir da diferença de fase e com o valor nominal. A partir dos dados da Tabela 1. • multı́metro digital.40 0. meça a amplitude de tensão do gerador (V0G . . Meça agora a amplitude de tensão sobre o resistor V0R e sua incerteza. utilizando a Lei de Ohm: i0 = V0R /R (lembre-se de utilizar o valor de R medido com o multı́metro). i0 e obtenha o valor da reatância capacitiva XC para a frequência f1 . A partir do valor obtido para ∆ϕ1 .70 0. Ajuste agora a amplitude do gerador de modo que a amplitude de tensão sobre o resistor seja de 0.30 0. calcule o valor da reatância capacitiva XC para a frequência f1 . Anote todos os valores na primeira linha da Tabela 1. faça um gráfico de V0C vs. Em seguida repita todo este procedimento para todos os valores de V0R indicados na Tabela 1. 2 6.6. • gerador de sinais. Tabela 1 Valores V0B ± σV0B i0 ± σi0 (A) V0G ± σV0G (V) V0C (V) σV0C (V) sugeri- dos para V0B 0.50 0.80 7.5 Material • osciloscópio. e obtemos duas equações: ωLi0 cosϕ = 0 . o que significa que se aplicarmos uma voltagem senoidal de uma dada frequência a ele.38 mostra que ϕ = ± π/2. (6. oscilando na mesma frequência da voltagem. VL (t) = VG (t): V0 sen(ωt) = ωLi0 cos(ωt + ϕ) . enquanto que a equação 6. Substituiremos então essa expressão para i(t) na equação 6. uma vez que V0 .2 mH. L.39 indica que ϕ deve ter o valor − π/2. (6. em sua forma mais geral.38) V0 = −(ωLi0 ) senϕ . seguiremos o mesmo procedimento utilizado no estudo dos circuitos RC. Veremos que as soluções formais das equações do circuito RL e RC são as mesmas. A equação caracterı́stica de um indutor ideal é: di(t) VL (t) = L . lembrando que como só temos esses dois elementos no circuito. i0 e ω são todas grandezas positivas. Isso significa que se a tensão do gerador for descrita como VG = V0 sen(ωt).6. na parte A.39) A equação 6.6 Introdução 88 • resistor de 100 Ω. podemos comparar os dois lados da equação termo a termo. (6.35. • indutor de 23. a corrente.35) dt Considere um circuito composto apenas de um gerador de ondas e um indutor.37) Escrevendo cos(ωt + ϕ) como cos(ωt)cosϕ − sen(ωt)senϕ. (6. (6.36) Note que estamos deixando aberta a possibilidade de haver uma diferença de fase ϕ entre a corrente e a tensão. Portanto a . 6. O in- dutor é um componente linear.6 Introdução Para entendermos o papel dos indutores em circuitos RL alimentados com tensões alter- nadas. esperamos que a corrente que o atravessa também seja uma função senoidal. pode ser expressa como i(t) = i0 sen(ωt + ϕ) . a grandeza que pode ser medida) VG (t) pode ser obtida como h i VG (t) = Im VeG (t) . mas com valor diretamente proporcional à frequência angular do sinal.41) ωL Note que a corrente está atrasada de π/2 radianos em relação à voltagem. com- posto apenas de um indutor ideal e um gerador.6. (6.45) Para esse circuito vimos que a corrente é dada por i(t) = i0 sen(ωt − π/2) . Vamos agora aplicar o formalismo de números complexos a este mesmo circuito. Se a tensão do gerador é dada por VG (t) = V0 sen(ωt). (6.6 Introdução 89 corrente num indutor ideal é dada por i(t) = i0 sen(ωt − π/2) .42) A equação 6. (6.46) . (6. A grandeza chamada de reatância indutiva é definida por XL ≡ ωL.42 é o equivalente da Lei de Ohm para indutores com correntes alternadas.41 obtemos que a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como V0 = ωL i0 = XL i0 . A partir da equção 6. (6.43) tem dimensão de resistência e desempenha papel análogo ao da resistência na lei de Ohm.44) de maneira que a tensão que tem sentido fı́sico (ou seja. podemos definir uma tensão complexa VeG (t) como VeG (t) ≡ V0 ejωt .40) com V0 i0 = . (6. (6. e (6.51) di(t) V0 sen(ωt) = L + Ri(t).6. Essa corrente complexa é ei(t) ≡ i0 ej(ωt−π/2) . (6. (6. esperamos que a corrente tenha como forma mais geral . quando este circuito é alimentado por uma tensão VG (t) = V0 sen(ωt). este formalismo de números com- plexos nos permite escrever uma relação análoga à Lei de Ohm.6. podemos definir uma grandeza complexa associada à corrente.7 Circuitos RL Um circuito RL é uma associação em série de um resistor e um indutor. Aplicando a lei das malhas a este circuito obtemos: VG (t) = VL (t) + VR (t) (6. como mostrado na figura 6.52) dt Como possui apenas componentes lineares. podemos encontrar Ze para este circuito puramente indutivo: VeG (t) V0 ejωt ωL ωL ZL = e = j(ωt−π/2) = −jπ/2 = = jXL .7 Circuitos RL 90 com i0 = V0 /(ωL).50) ei(t) (V0 /ωL) e e −j Vemos portanto que para um indutor a impedância complexa é um número imaginário puro positivo.49) onde Ze é a impedância complexa.47) e a corrente que tem sentido fı́sico pode ser obtida como h i i(t) = Im i(t) . (6.48) Assim como vimos no caso dos circuitos capacitivos. Como já temos as expressões para Ve (t) e ei(t). resultado do comportamento do indutor. que sempre causa um atraso de fase da corrente em relação à voltagem da fonte. Como no caso da voltagem. 6. mas para circuitos alimen- tados com correntes alternadas: VeG (t) = Ze ei(t) . (6. 56) e (ωLi0 ) cos ϕ + (Ri0 ) sen ϕ = 0 .57) Resolvendo a equação 6. e obtemos h i h i sen(ωt) Ri0 cosϕ − ωLi0 senϕ − V0 + cos(ωt) ωLi0 cosϕ + Ri0 senϕ = 0.52 encontramos V0 sen(ωt) = ωLi0 cos(ωt + ϕ) + Ri0 sen(ωt + ϕ) .57.53) onde ϕ representa a diferença de fase entre a corrente e a tensão da fonte. i(t) = i0 sen(ωt + ϕ) . Substituindo a expressão para i(t) na equação 6. obtemos que a diferença de fase entre a corrente e a volta- . o que nos leva a duas igualdades: (Ri0 ) cos ϕ − (ωLi0 ) sen ϕ = V0 . é necessário que os coeficientes dos termos em sen(ωt) e cos(ωt) sejam nulos. (6.6. (6. (6.55) Para que a equação seja satisfeita.54 pode ser reescrita após aplicarmos identidades trigonométricas sim- ples.6: Circuito RL.54) Mas a equação 6.7 Circuitos RL 91 Figura 6. (6. (6. para um circuito RL com R = 10 Ω e L = 10 mH.7: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão com a frequência angular. (6.7 Circuitos RL 92 Figura 6.61) i0 Esta razão entre as amplitudes de tensão e de corrente é o que definimos como a im- . Pode-se observar que ϕ pode assumir valores entre − π/2 (frequências mais altas) e 0 (frequências mais baixas). (6. Já a equação 6.53 pode ser simplificada escrevendo sen ϕ e cos ϕ em função de tan ϕ utilizando as relações tan ϕ sen ϕ = p . mostrando que num circuito RL a corrente sempre está atrasada em relação à tensão da fonte. obtemos V0 p 2 = R + XL 2 .58) R R A figura 6.6. (6.59) 1 + tan2 ϕ e 1 cos ϕ = p .58.56 e fazendo uso de 6.7 mostra a variação da diferença de fase com a frequência angular para um certo par de valores R e L. gem é dada por ωL XL tan ϕ = − =− .60) 1 + tan2 ϕ Substituindo essas relações na equação 6. (6. 8: Componentes real e imaginária da impedância complexa Z. Por último. um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contı́nua. (6. (6. note que a relação entre Z.64) e uma forma alternativa para calcular a diferença de fase a partir das amplitudes de tensão: V0L tan ϕ = − . R e XL é uma equação que tem a mesma forma da relação entre o módulo de um número complexo e suas componentes real e imaginária.62) i0 Assim como no caso do circuito RC. Isso sugere que postulemos a existência de uma impedância complexa. com a parte real igual à resistência e a parte imaginária igual à reatância indutiva (veja a figura 6. (6. e pedância do circuito RL: V0 q Z≡ = R2 + XL2 .65) V0R . em circuitos com corrente alternada.7 Circuitos RL 93 Figura 6. (6.63) As equações 6.6. a impedância do circuito RL tem a dimensão de resistência. resistor e indutor) V0 2 = V0R2 + V0L2 .8): Ze = R + jXL . e novamente vemos que a impedância desempenha.62 nos permitem obter uma relação entre as amplitudes de tensão nos três componentes do circuito (gerador.58 e 6. 2. Utilizando o mesmo método empregado no circuito RC.6. calcule o valor da reatância indutiva XL para a frequência f2 e compare com o valor nominal. 1. Em seguida monte o circuito da figura 6.1 Procedimento II: medida da diferença de fase e da reatância indu- tiva de um circuito RL Vamos caracterizar um circuito RL. Meça com um multı́metro o valor de R e anote o valor nominal de L.8. verificando a diferença de fase entre a corrente que flui no circuito e a tensão aplicada pelo gerador. com sua incerteza.8 Procedimentos experimentais 6. Observe que existe uma diferença de fase ∆ϕ2 entre o sinal do canal 1 (tensão do gerador) e o sinal do canal 2 (tensão sobre o resistor). meça a diferença de fase entre a corrente e a tensão do gerador. Não esqueça de utilizar o valor de f2 medido no item anterior. 3.6. Com o osciloscópio meça a frequência do sinal com sua respectiva incerteza. ligue os equipamentos e ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com uma tensão senoidal com frequência próxima a f2 = 500 Hz e uma amplitude próxima a 4 V.8 Procedimentos experimentais 94 6. A partir do valor obtido para ∆ϕ2 . . Poderemos então calcular a reatância indutiva para a frequência escolhida e comparar com seu valor esperado. • multı́metros digitais (de mão e de bancada). • resistor de 1 kΩ. ao passo que aqueles que cortam sinais com frequências acima de um dado valor chamam-se “filtros passa-baixa”.1) Z . Aplicando as definições de reatância capacitiva e impedância discutidas anteriormente.1 Material • Gerador de funções. • capacitor de 100 nF. Essa propriedade pode ser utilizada para a confecção de filtros de frequência que atenuem sinais com certos valores de frequência num dado circuito elétrico. Circuitos RC e filtros de frequência 7 7.2 Introdução Vimos que a reatância capacitiva depende da frequência: quanto maior a frequência do sinal que alimenta um capacitor. A combinação dos dois tipos de filtros pode resultar num outro tipo de filtro (chamado de passa-banda) que deixa passar somente sinais com frequências próximas de um certo valor. atenuando todos os sinais com frequências acima e abaixo deste valor. 7. as amplitudes das voltagens no capacitor (V0C ) e no resistor (V0R ) em um circuito RC em série podem ser escritas como: XC V0C = V0 (7. Os filtros que cortam os sinais com frequências abaixo de um certo valor são chamados de “filtros passa-alta”. • osciloscópio. menor será a resistência que o componente oferecerá à passagem da corrente. desta forma o filtro define uma banda passante. (7. mas de maneira oposta. Assim. Conforme a frequência aumenta.3 Filtros usando circuitos RC 96 e R V0R = V0 . . Para eliminarmos frequências altas. e se quisermos eliminar frequências baixas. a razão V0C /V0 vai diminuindo.3) Z 1 + (ωRC)2 e R ωRC V0R = V0 = p V0 . Observe que o termo “resistência” aplica-se somente ao resistor.7. Para frequências baixas a amplitude V0R é baixa. (7. e de seus valores de capacitância e resistência. devemos utilizar o sinal de tensão no capacitor como saı́da (filtro passa-baixa). Esta amplitude aumenta com o aumento da frequência. No ca- pacitor. as amplitudes das voltagens no capacitor (V0C ) e no resistor (V0R ) serão dadas por: XC 1 V0C = V0 = p V0 .2) Z onde V0 é a amplitude da voltagem p de alimentação do circuito. a amplitude V0C → V0 quando a frequência angular ω → 0. R é a resistência e Z = R + XC a impedância do circuito. V0R → V0 .4) Z 1 + (ωRC)2 Vemos então que V0C e V0R dependem da frequência ω. Os filtros deixarão passar certas faixas de frequência dependendo da escolha de qual disposi- tivo será usado para obter o sinal de saı́da do filtro. usamos o sinal do resistor como saı́da (filtro passa-alta). Para o capacitor utiliza-se o termo “reatância capacitiva” e para a “resistência total do circuito” empregamos o termo “impedância”. escolhemos o dispositivo de onde iremos extrair o sinal de saı́da. de acordo com a faixa de frequências que queremos eliminar do sinal de entrada. XC = 1/ωC é a reatância ca- 2 2 pacitiva. V0C → 0. 7. capacitor ou resistor. e no limite de frequências muito altas.3 Filtros usando circuitos RC Quando alimentamos um circuito RC em série com uma voltagem alternada de frequência angular ω e amplitude V0 . e no limite em que ω → ∞. (7. No resistor observamos o comportamento oposto. a amplitude da voltagem no capacitor V0C é dada pela equação 7.1 Filtro passa-baixa Vamos analisar um circuito RC em série atuando como um filtro passa-baixa.1 simplesmente invertendo as posições do resistor e do capacitor. extraı́do do capacitor. à medida que a frequência cresce. Para isto devemos comparar o sinal de entrada. a voltagem no capacitor tem a mesma amplitude que a voltagem do gerador (APB ∼ = 1). a voltagem no capacitor diminui. o que significa que esta voltagem apresenta uma atenuação em relação ao sinal do gerador.7. Ele é ob- tido a partir do circuito da figura 7. com o sinal de saı́da.3 Filtros usando circuitos RC 97 Figura 7.1. (7.3.3.3.1: Representação esquemática de um filtro passa-baixa construı́do a partir de um circuito RC em série. Isto é feito montando o circuito mostrado na figura 7. somente sinais com frequências muito baixas não terão suas amplitudes diminuı́das. Se tomarmos o limite da frequência tendendo a infinito. a amplitude APB tende a zero e neste caso a voltagem no capacitor é totalmente atenuada. representando a razão entre as amplitudes de tensão de entrada e saı́da. alimentado com corrente alternada. ou seja. . Portanto. Isto será feito montando o circuito mostrado na figura 7. Por sua vez. e será expressa como: V0C 1 APB ≡ =p .2 Filtro passa-alta Vamos analisar agora um circuito RC em série atuando como um filtro passa-alta. o sinal não é atenuado.5) V0 1 + (ωRC)2 A equação 7.5 mostra que para frequências próximas de zero. Para este circuito apresentado. De- vemos agora comparar o sinal fornecido pelo gerador de funções com o sinal de saı́da extraı́do do resistor. 7. fornecido pelo gerador de funções. 7.2. A razão entre as amplitudes V0C e V0 será chamada de APB . 7. É costume definir para estes filtros uma frequência. o valor de ω que satisfaz a condição XC = R. que especifica a faixa de frequências a ser filtrada. alimentado com corrente alternada.3. que pode ser expressa na forma: V0R ωRC APA ≡ =p . Usando esta definição encontramos 1 XC = = R. (7. Para este circuito a amplitude da voltagem no resistor V0R será dada pela equação 7.6 mostra que o filtro passa-alta tem uma dependência com ω oposta àquela observada no caso do filtro passa-baixa. Esta frequência (ωc ) é definida como aquela que torna a reatância capacitiva igual à resistência do circuito.4. Sinais com frequências baixas são fortemente atenuados enquanto os sinais com frequências muito altas são transmitidas com pequena (ou nenhuma) atenuação. falamos de frequências “muito altas” e “muito baixas”. mas ao utilizarmos este tipo de expressão devemos especificar em relação a qual valor é feita a comparação.7) ωc C .3 Frequência de corte Nas seções anteriores.2: Representação esquemática de um filtro passa-alta construı́do a partir de um circuito RC em série. (7.6) V0 1 + (ωRC)2 A equação 7. 7. Definimos a razão entre as amplitudes V0R e V0 como sendo APA .3 Filtros usando circuitos RC 98 Figura 7. chamada de frequência angular de corte. ou seja. 3: Curvas caracterı́sticas dos filtros passa-alta (APA ) e passa-baixa (APB ) construı́dos com um circuito RC que utiliza R = 1 kΩ e C = 100 nF. dada por: 1 fc = . (7. tanto APB quanto APA tem o mesmo valor: √ 2∼ APA = APB = = 0. Isto pode ser visto na figura 7. A frequência angular de corte para este caso é ωc = 104 rad/s.8) RC A partir da equação 7.7% do seu valor máximo. o que nos leva a: 1 ωc = . (7. VB representa V0R para o filtro passa-altas e V0C para o passa-baixas.3 onde mostramos o comportamento de APA e APB com a frequência angular para um circuito RC.9) 2πRC Na frequência de corte.7. Note que o eixo x está em escala logarı́timica. Este tipo de gráfico é denominado curva caracterı́stica do filtro. (7. ou simplesmente frequência de corte. . 707 .3 Filtros usando circuitos RC 99 Figura 7.8 obtemos a frequência linear de corte. com R = 1 kΩ e C = 100 nF.10) 2 Na frequência de corte a voltagem do sinal no capacitor ou no resistor atinge 70. (7. como o mostrado na figura 7. a transmitância cai à metade do máximo. ωc = 1/RC. Este compor- tamento é mais fácil de ser visualizado em um gráfico que apresenta a transmitância em decibéis (ver equação 7. Há três caracterı́sticas a serem observadas neste diagrama para um filtro passa-baixas: .4 Transmitância e diagrama de Bode O funcionamento de um filtro pode ser descrito por sua curva caracterı́stica. há informação tanto em seu módulo (que será simplesmente a razão entre as amplitudes dos sinais) quanto em sua fase (que será a diferença de fase entre os sinais). Muitas das vezes estamos mais interessados nas amplitudes do que na diferença de fase.11) V0E (ω) Grandezas como a transmitância (que é uma razão entre voltagens ao quadrado) são comumente expressas em termos de decibéis (dB) da seguinte maneira: TdB (ω) = 10 log[T (ω)]. (7. Esta é uma função complexa. A partir da função de transferência definimos então a transmitância de um filtro T (ω) (também chamada de resposta em potência) como sendo o quadrado da razão entre as amplitudes de saı́da (V0S ) e de entrada (V0E ): 2 V0S (ω) T (ω) = . mas também pode ser representado por uma grandeza chamada função de transferência.3 Filtros usando circuitos RC 100 7. definida como a razão entre a tensão (complexa) de saı́da (a voltagem sobre o resistor ou sobre o capacitor.12) Para os filtros passa-baixa e passa-alta baseados no circuito RC.14) 1 1+ (ωRC)2 Tomemos como exemplo o filtro passa-baixa.4. chamado diagrama de Bode.13) 1 + (ωRC)2 e 1 TPA (ω) = .12) em função do logaritmo de ωRC. Na frequência de corte. Como toda grandeza complexa. as transmitâncias são dadas respectivamente por: 1 TPB (ω) = . (7.3. este filtro possui transmitância máxima Tmax = 1 para ω = 0 e cai para zero como 1/(ωRC)2 na medida em que ω → ∞. dependendo do filtro utilizado) e a tensão (complexa) de entrada (a voltagem do gerador).7. (7. 010). . Meça com o multı́metro os valores de R e C.2. O filtro passa-altas também apresenta transmitância de −3 dB em ω = ωc . mas inver- sas em relação à frequência de corte.4 Procedimentos Experimentais 101 • Para ω ωc .5). Figura 7. 1. realizar medidas para traçar sua curva caracterı́stica e a partir dela obter o valor da frequência de corte. 7. a transmitância cai a uma taxa de −20 dB/dec (decibéis por década). a resposta do filtro é praticamente plana e a transmitância é de 0 dB. A faixa de frequências entre 0 e ωc é chamada largura de banda do filtro. Para ω ωc a transmitância sobe a uma taxa de 20 dB/dec.7.4 Procedimentos Experimentais 7. e para ω ωc ela é aproximadamente constante com valor TdB = 0 dB (ver figura 7. • para ω = ωc . • para ω ωc . Monte o circuito da figura 7. Diagramas de Bode para filtros passa-alta terão caracterı́sticas semelhantes. No diagrama de Bode a dependência com 1/ω 2 em alta frequência (para o filtro passa-baixas) é muito mais evidente do que em um gráfico em escala linear. a transmitância é −3 dB (10 log(1/2) ∼ = −3. com 10 log[1/(ωRC)2 ] = −20 log(ω) + const.4. Neste ponto temos log(ωc RC) = log(1) = 0.4: Diagrama de Bode para filtros passa-baixas.1 Procedimento I: filtro passa-alta Neste procedimento vamos montar um filtro passa-alta. utilizando um resistor de 1 kΩ e um capacitor de 100 nF. comparando com seu valor nominal. Complete a primeira linha da tabela calculando o valores de log(f ) e de APA . Lembre-se que o valor de frequência mostrado no gerador é apenas uma indicação. Caso esta amplitude tenha se alterado. 20 kHz e 50 kHz. R e C medidos. Com a amplitude ajustada. Inclua também uma outra curva para os valores esperados de APA . Mude a frequência do sinal do gerador para 500 Hz e verifique se a amplitude de tensão do gerador permanece igual a 4 V. faça o gráfico dos valores medidos de APA vs. Repita este procedimento para as frequências de 1 kHz.4 Procedimentos Experimentais 102 Figura 7. log(f /Hz) e obtenha o valor da frequência de corte para este filtro.5: Diagrama de Bode para filtros passa-altas. anotando o valor na Tabela 1. Meça a frequência do sinal do gerador. 7.7. para medı́-lo deve ser utilizado o osciloscópio. 4. Calcule também o valor esperado para APA . 5. No retı́culo milimetrado do seu relatório. realizar medidas para traçar sua curva caracterı́stica e a partir . 5 kHz. 2. repita as medidas e os cálculos realizados no item anterior. Compare os valores experimen- tais com os valores esperados.2 Procedimento II: filtro passa-baixa Neste procedimento vamos montar um filtro passa-baixa utilizando os mesmos compo- nentes do procedimento I. Ligue os equipamentos e ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com um si- nal senoidal com uma frequência de cerca de 200 Hz e amplitude próxima a V0 = 4 V. 6. ajuste o gerador para que ela volte a ter o valor inicial. 10 kHz. medido no canal 2) e a amplitude de tensão no gerador (V0 .4. Meça a amplitude de tensão no resistor (V0R . 3. medido no canal 1). anotando ambos os valores na Tabela 1. utilizando os valores de f . 2 kHz. faça o gráfico de APB vs. alterando sua tensão de saı́da se necessário. a amplitude de tensão no capacitor (V0C ) e a amplitude de tensão no gerador (V0 ). log(f /Hz) e obtenha o valor da frequência de corte para este filtro. 2. 4. traçaremos também o diagrama de Bode. Repita o procedimento utilizado com o filtro passa-alta. Obtenha os valores da frequência de corte (comparando com o valor obtido a partir da curva caracterı́stica) e da inclinação da curva para ω ωc (comparando com o valor esperado). faça o diagrama de Bode (gráfico de TdB vs. A partir dos valores de log(ωRC) e de TdB da Tabela 2. utilizando os mesmos componentes do procedimento anterior. Ligue os equipamentos e ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com um sinal senoidal com uma amplitude próxima a V0 = 4 V. 1 kHz. de APB e de TdB . 500 Hz. Compare este valor com seu valor nominal e com o valor obtido para o filtro passa-alta. log(ωRC). e anote os valores na Tabela 2.1. 5 kHz. log[ωRC]) para este circuito. Para cada frequência suge- rida abaixo. . Valores sugeridos para a frequência: 200 Hz. 3.7. 10 kHz. 20 kHz e 50 kHz. No mesmo retı́culo milimetrado onde foi feito o gráfico de APA . Monte o circuito da figura 7. 1. 2 kHz. 5. meça: a frequência da tensão do gerador (f ). Lembre-se que toda a vez que a frequência for alterada deve-se verificar que a amplitude de tensão do gerador continua em 4 V. A partir destes mesmos dados. obtendo os valores da frequência de corte e da inclinação da curva de transmitância para ω ωc . comparando com seu valor nominal e com o va- lor obtido no procedimento anterior.4 Procedimentos Experimentais 103 dela obter o valor da frequência de corte. Calcule o valores de log(f ). Neste experimento (dividido em 2 aulas) veremos como a ressonância se apresenta num sistema elétrico em particular.2 Introdução A ressonância é um fenômeno caracterı́stico de sistemas oscilatórios sujeitos à uma perturbação periódica. mesmo forças de baixa intensidade são capazes de produzir oscilações de grande amplitude. • indutor de 23. • osciloscópio. • resistor de 1 kΩ. Se uma perturbação excita o sis- tema numa destas frequências. • capacitor de 10 nF.1 Material • Gerador de funções. acústicos ou eletromagnéticos. • multı́metros digitais (de mão e de bancada). Circuitos RLC com corrente alternada: ressonância e 8 filtros passa-banda e rejeita-banda 8. As frequências para as quais observa-se este aumento na resposta do sistema são chamadas de frequências de ressonância. A ressonância se manifesta em diversos sistemas fı́sicos. 8. observa-se um significativo aumento da amplitude de oscilação.2 mH. sejam eles mecânicos. Quando a frequência desta perturbação se aproxima de uma das frequências preferenciais de oscilação do sistema. o circuito RLC alimentado com tensão senoidal. Faremos medidas para caracterizar o comportamento ressonante do circuito e mediremos (de diferentes maneiras) sua frequência de ressonância. comparando com as . (8. ele poderá se comportar como um filtro passa-banda ou rejeita-banda. obtemos VG (t) = VL (t) + VC (t) + VR (t).2) dt q(t) VC (t) = . (8. .3 Circuitos RLC em série A figura 8. ao qual conectamos um osciloscópio para medir a tensão do gerador (no canal 1) e a tensão sobre o resistor (no canal 2). Já na segunda aula o foco será a identificação do comportamento ressonante pela observação das diferenças de fase.4) Figura 8. Na primeira aula nos concentraremos no comportamento da amplitude dos sinais.1) com VL (t). (8.1 mostra o esquema de um circuito RLC em série. e discutiremos como calcular a potência elétrica transmitida em circuitos. vere- mos também que. dependendo de como o circuito for montado.3) C e VR (t) = R i(t).3 Circuitos RLC em série 105 previsões teóricas. (8.1: Representação esquemática de um circuito RLC em série. VC (t) e VR (t) dados por: di(t) VL (t) = L . 8. Aplicando a lei das malhas ao circuito.8. De acordo com a√fórmula de Euler. ejθ = cos θ + jsen θ (lembre que usamos j para representar o complexo −1).8) A corrente i(t) também pode ser escrita como a parte imaginária de uma grandeza com- plexa: h i i(t) = Im ei(t) .7) isto é.8. e a tensão do gerador pode ser escrita como h i VG (t) = Im VG (t) .5) esperamos que a corrente no circuito seja também uma função senoidal que oscila na frequência angular ω. • usar o formalismo de números complexos.1. e então na equação 8. e seguire- mos a segunda opção. dada pela equação 8. 8.3 e 8. e resolver a equação diferencial resultante.2. tendo como forma geral i(t) = i0 sen(ωt + ϕ).4. (8. (8.1. determinando a impedância do circuito. (8. Deixamos como exercı́cio a determinação de i0 e ϕ a partir da primeira opção. (8. e (8.6) Precisamos encontrar i0 e ϕ a partir da equação do circuito.3 Circuitos RLC em série 106 Com a voltagem de excitação dada por VG (t) = V0 sen(ωt).9) com ei(t) = i0 ej(ωt+ϕ) .10) . ela é a parte imaginária de uma tensão complexa dada por VeG (t) = V0 ejωt . Podemos proceder de duas maneiras: • substituir a expressão para i(t) nas equações 8. (8. (8.1 os três elementos estão associados em série.16) Z e ϕ = −θ.17) . (8. lembrando que para o resistor temos ZeR = R. para o capacitor ZeC = −jXC e para o indutor ZeL = jXL .11. Assim. (8. onde p Z= R2 + (XL − XC )2 .8 e 8. (8. A associação de impedâncias complexas do circuito é feita da mesma forma que a associação de resistências. a expressão análoga à lei de Ohm será VeG (t) = Ze ei(t).13 na equação 8. podemos escrevê-la na forma polar.14) R R Substituindo as equações 8. encontramos: jωt j(ωt−θ) ei(t) = V0 e = V0 ej(ωt−θ) = r V0 e (8. (8.15) Zejθ Z 1 2 R2 + ωL − ωC Como a corrente i(t) é a parte imaginária de ei(t) (equação 8.9).3 Circuitos RLC em série 107 Seguindo esta notação.12) ωC Como a impedância total Ze é um número complexo.11) onde Ze é a impedância total do circuito. temos: 1 Ze = ZeR + ZeC + ZeL = R + j(XL − XC ) = R + j(ωL − ). No circuito mostrado na figura 8. (8.13) e (XL − XC ) (ωL − 1/ωC) tan θ = = . Ze = Zejθ .8. temos que: V0 i0 = . Isto significa que medir VR (t) é observar o comportamento da corrente no circuito. o circuito terá caracterı́stica predominantemente capacitiva.19 nos dá a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito. • na frequência em que as reatâncias são iguais (XC = XL ). V0 i0 = p . (8. √ • para altas frequências (ω > 1/ LC).8. (8. teremos XC < XL .20) LC A frequência linear de ressonância. para este circuito temos: RωC V0R = s V0 . ou simplesmente frequência de ressonância.19) R R A equação 8.22) 2 2 ω (RωC)2 + 1 − 2 ωR . (8. é então escrita como: 1 fR = √ . (8. teremos XC > XL . elas se cancelam mutua- mente. e o circuito terá caracterı́sticas indutivas. (8. fazendo com que o circuito apresente propriedades puramente resistivas.3 Circuitos RLC em série 108 Ou seja.18) R2 + (XL − XC )2 e (XL − XC ) (XC − XL ) tan ϕ = − = . O fato novo introduzido pelo circuito RLC é que a impedância terá um comportamento diferente dependendo da frequência: √ • para baixas frequências (ω < 1/ LC). Assim. esta frequência é chamada de frequência angular de ressonância e é dada por: 1 ωR = √ .21) 2π LC Sabemos que a amplitude da voltagem no resistor está em fase com a corrente. 3 Circuitos RLC em série 109 e 1 ω2 tan ϕ = 1− 2 . a diferença de fase tende a +π/2. na maioria das vezes) em .9 kHz. L = 10 mH. para um circuito RLC com R = 1 Ω.1 Potência média A potência elétrica transmitida num circuito (isto é. Conforme ω se aproxima de ωR . a energia transmitida por unidade de tempo) é dada por P = V i. quando a frequência angular tende a zero. ou seja. Quando a frequência angular tende a infinito. V0R se aproxima de V0 . ϕ = 0. o circuito tem comportamento indutivo.2 mostramos o comportamento esperado para a amplitude de VR em função da frequência angular do sinal do gerador. o circuito tem comportamento capacitivo. C = 10 nF e a voltagem de pico do gerador V0 = 5 V. neste caso o circuito assume um caráter puramente resistivo.3. No caso de tensões e correntes constantes.2: Comportamento esperado para a amplitude de VR em função da frequência angular do sinal do gerador. Finalmente. V0R Figura 8. Mas no caso de circuitos alimentados por tensões alternadas.3 é mostrado o comportamento esperado para a diferença de fase em função da frequência angular. teremos P (t) = V (t) i(t) e a potência será um função que oscila (rapidamente.23) RωC ωR Quando a frequência angular ω é muito maior ou muito menor do que ωR . Já para a diferença de fase ϕ. este é o número que nos interessa. 8. a amplitude V0R também tende a zero. (8. quando ω = ωR . Na figura 8.8. Na figura 8. ou seja. Para este caso temos ωR = 100 krad/s e fR = 15. a diferença de fase tende a −π/2. Num circuito RLC. enquanto ϕ é diferença de fase entre a corrente e a tensão no gerador. para o mesmo circuito da figura 8. (8. Ao calcular P (t0 ) para um dado instante de tempo teremos a potência instantânea. (8. a tensão eficaz do gerador e a corrente eficaz no cir- cuito. É muito mais instrutivo calcular a potência média trasmitida num ciclo de oscilação hP i.2.3 Circuitos RLC em série 110 Figura 8. função do tempo. que não traz informação sobre o comportamento periódico do sistema.26) 2 A expressão para hPR i(ω) pode ser escrita em função da resistência R e das reatâncias . (8. a potência média transmitida do gerador para o circuito é função de ω e pode ser escrita como hP i(ω) = Vef ief cos ϕ. respectivamente. A potência dissipada pode ser escrita como V ef R 2 (V0R )2 hPR i(ω) = R i2ef = R = .3: Comportamento esperado para a diferença de fase φ em função da frequência angular do sinal do gerador.25) R 2R onde utilizamos a expressão para a tensão eficaz no resistor V0R Vef R = √ . Para tensões e correntes senoidais que oscilam com frequência angular ω. já que não há dissipação no capacitor e no indutor (se desprezar- mos a resistência interna deste último). esta potência transmitida pelo gerador deve ser igual à potência dissipada no resistor (através do efeito Joule).24) onde Vef e ief são.8. 29) • a reatância total X = XC − XL é nula. apresenta um máximo em ω = ωR .28) 2 ω 2 R2 + L2 (ω 2 − ωR2 )2 Figura 8. (8.3 Circuitos RLC em série 111 capacitiva XC e indutiva XL : R Vef2 1 R V02 hPR i(ω) = R i2ef = 2 = .8. ou seja Z(ωR ) = R.4. isto é X(ωR ) = 0.27) R + (XL − XC )2 2 1 2 R2 + ωL − ωC É fácil verificar que o gráfico de hPR i(ω). (8. mostrado na figura 8.30) . • sua impedância é mı́nima. (8. Na ressonância o circuito apresenta as seguintes caracterı́sticas: • um comportamento puramente resistivo.4: Potência média transferida por um gerador de Vef = 1 V para um circuito RLC com diferentes valores de R. (8. ao reescrever esta última expressão em termos da frequência de ressonância: 1 R V02 ω 2 hPR i(ω) = . Quando a saı́da é no capaci- tor temos um filtro passa-baixas.8. ω. (8. na linha tracejada da curva inferior da figura 8. máxima.34) ∆ωR R R C A figura 8. Isso significa que pode ser escrita como R ∆ωsérie = .3 Circuitos RLC em série 112 • a corrente que passa no circuito é. Longe da res- sonância a transmitância cai a uma taxa de 20 dB por década. Para uma melhor comparação entre os filtros passa-baixas RLC e o RC. . ou seja. Quando a saı́da é no resistor (figura 8. V0R i0 (ωR ) = . (8. ou seja. ∆ω cor- responde à amplitude à meia-altura da curva hPR i vs.5 mostra dois filtros ressonantes em série com as suas respectivas curvas de transmitância. (8. (8.32) 2R A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequências dentro do qual a potência hPR i(ω) é maior ou igual à metade do valor máximo. No filtro RLC a transmitância cai com o logaritmo da frequência a uma taxa de −40 dB/dec. enquanto que no RC a queda é de −20 dB/dec.33) L O fator de mérito Q do circuito em série ressonante caracteriza a curva de ressonância e é dado por: r ωR L 1 L Qsérie = = ωR = .31) R • a potência transferida ao circuito é máxima e dada por V02 hPR imax = . portanto. Este filtro rejeita as altas frequências melhor que o filtro RC passa-baixa.5 representamos também a transmitância de um filtro RC com a mesma frequência de corte.5a) temos um filtro passa-banda. (b) transmitância quando a saı́da é tomada no capacitor.5: Curvas de transmitância para circuitos RLC: (a) transmitância quando a saı́da é tomada no resistor. (8. 8. A impedância complexa total do circuito resso- nante RLC paralelo é L/C ωL Ze = R + =R+j .4 Circuitos RLC em paralelo Um circuito RLC em paralelo está representado na figura 8.37) Z ejθ Z ωL R2 + 1 − ω 2 LC . Para este circuito a im- pedância complexa da associação LC em paralelo é: ωL ZeLC = j( ). (8.4 Circuitos RLC em paralelo 113 Figura 8.6.36) 1 1 − ω 2 LC jωL + jωC e podemos deduzir que a corrente complexa é dada por: jωt ei(t) = V0 e = V0 ej(ωt−θ) = s V0 ej(ωt−θ) 2 .8. (8.35) 1 − ω 2 LC onde ω é a frequência angular do gerador. (8.8.38) R(1 − ω 2 LC) Para este circuito a potência média hP i(ω) dissipada no resistor será: 1 R V02 hPR i(ω) = Vef ief cos ϕ = R i2ef = i2 . (8. i(ωR ) = 0. . • a reatância total X é infinita. • a corrente que passa no circuito é mı́nima.6: Representação esquemática do circuito RLC paralelo. Z(ωR ) → ∞.39) 2 h ωL R2 + 1 − ω 2 LC A condição de ressonância é a mesma do circuito RLC em série.4 Circuitos RLC em paralelo 114 L Figura 8. onde V0 é a amplitude de voltagem no gerador e a fase da impedância Z é dada por: ωL tan θ = . X(ωR ) → ∞.40) LC Na condição de ressonância no circuito RLC em paralelo verificamos que: • sua impedância é máxima. ou seja: 1 ωR = √ . (8. 43) RC O fator de mérito Q do circuito em paralelo ressonante caracteriza a curva de res- sonância. faixa na qual a potência transmitida decai rapidamente.45) Qsérie A figura 8. indo a zero quando ω = ωR . (8.42) 2R Se ω → 0 toda a corrente passa pelo indutor. para dife- rentes valores de Q. hPR imin = 0.44) ∆ωparalelo É interessante notar que o fator de mérito do circuito em paralelo é o inverso do fator de mérito para o circuito em série: 1 Qparalelo = . (8. e se ω → ∞ toda a corrente passa pelo capacitor. (8. exceto para valores próximos de ωR .41) Para ω = 0 ou ω → ∞ a potência dissipada no resistor é máxima e igual a V02 hPR imax = . . e é dado por: ωR Qparalelo = ωR RC = . (8. A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequências dentro do qual a potência média hP i(ω) é menor ou igual à metade do valor máximo. A partir desse gráfico fica claro que o circuito RLC em paralelo (com voltagem de saı́da no resistor) corresponde a um filtro rejeita-banda: a potência de saı́da tem um valor constante para todos os valores de frequência.4 Circuitos RLC em paralelo 115 • a potência transferida ao circuito é mı́nima. (8.7 mostra o gráfico da potência média normalizada em função de ω.8. Esta largura pode ser escrita como: 1 ∆ωparalelo = . C = 10 nF e L = 23.1 Procedimento I: análise da amplitude de corrente no circuito RLC em série Vimos que a ressonância ocorre quando as reatâncias capacitiva e indutiva se anulam mu- tuamente (XC = XL ). Calcule o valor nominal da frequência de ressonância a partir dos valores anotados para L e C. Nesta situação. 3. a amplitude de voltagem no resistor também será mı́nima. Observe que a frequência de ressonância é dada pela equação 8. 2. variamos a frequência do gerador e observamos no osciloscópio para qual valor da mesma a ampli- tude V0R é máxima (V0R = V0 ). . metade deles abaixo da frequência de ressonância nominal calculada e metade acima.5 Procedimentos experimentais 8.33. Para o circuito em paralelo ocorrerá o oposto. ajuste a tensão de saı́da do gerador para uma onda senoidal com amplitude V0 = 4 V e frequência f = 1 kHz.5 Procedimentos experimentais 116 Figura 8.2 mH.21 e a largura de banda pela equação 8. Com o auxı́lio do osciloscópio. consequentemente. 4.5. Complete a tabela 1 com os valores das amplitudes de voltagem no resistor (V0R ) obtidas para cada frequência utilizada. a impedância do circuito é mı́nima e a amplitude de corrente atinge seu valor máximo. anote o valor nominal de sua indutância e considere uma incerteza relativa de 10 %. na frequência de ressonância a amplitude de corrente será mı́nima e. Meça e anote os valores de R e C utilizados. Escolha cerca de 10 valores de frequência.8. Monte o circuito da figura 1 com R = 560 Ω. Esse valor de f será a frequência de ressonância do circuito. 1. 8. com suas respectivas incertezas. Para o indutor. Dessa forma.7: Potência normalizada para diferentes valores de Q em um circuito RLC em paralelo. para o circuito em série. - .25 e coloque-os na tabela 1. - . - .27 para os três pontos indicados na tabela.8. - . - . . Faça medidas num intervalo de frequências suficientemente amplo para mostrar nitidamente o máximo da curva de hPR i vs. ∆ω.27 . ωR . - 7. certifique-se também que as amplitudes de voltagens no resistor (V0R ) no primeiro e no último valor escolhido para f sejam muito menores do que na ressonância. 6. • a largura de banda. f (por exemplo. Calcule os valores teóricos para a potência média hPR i empregando a equação 8. - . Tabela 1 f (Hz) log (f /Hz) V0R ± σV0R PR ± σPR (mW) PR (mW) Discrepância (%) (V) experimental equação 8. Determine a partir do gráfico traçado os seguintes parâmetros: • a frequência de ressonância. entre 1 kHz e 20 kHz). Todos os resultados experimentais devem ser apresentados com suas respectivas in- certezas. Certifique-se que a amplitude do sinal do gerador permaneça constante (V0 = 4V) para todos os valores de frequência utilizados. - . A amplitude da voltagem do gerador deve ser monitorada pelo canal 1 do osciloscópio. A partir dos dados da tabela 1 trace a curva da potência média (dados experimentais) dissipada no resistor em função do logaritmo da frequência f . Calcule os valores de hPR i pela equação 8.5 Procedimentos experimentais 117 Antes de começar a anotar os resultados. de C pelo multı́metro e L indicado pelo fabricante. 5. Utilize para isto os valores medidos de f pelo osciloscópio. 8. • a potência média no máximo. A introdução de indutores . ajuste a tensão de saı́da do gerador para uma onda senoidal com amplitude V0 = 4 V e frequência f = 1 kHz. 2. Faça uma varredura rápida em frequência abrangendo a faixa entre 1 e 20 kHz.2 Procedimento II: análise da amplitude de corrente no circuito RLC em paralelo 1. Monte o circuito da figura 8. 8. L e C usados. 3.6 com R = 2. Faça um esboço da curva da voltagem no resistor (V0R ) em função da frequência para este circuito. 4. C = 10 nF e L = 23. A amplitude da voltagem do gerador deve ser monitorada pelo canal 1 do osciloscópio. Tabela 2 Parâmetro Experimental Modelo Discrepância ωR ∆ωsérie Q hPR imax 8. 2 kΩ. Meça e anote os valores de R e C utilizados. Com o auxı́lio do osciloscópio. e pela observação da voltagem no resistor (canal 2 do osciloscópio) determine a frequência de ressonância para este circuito. Compare os resultados obtidos no item 8 com os valores nominais esperados. Certifique-se que a amplitude do sinal do gerador permanece constante (V0 = 4 V) para todos os valores de frequência utilizados.5. considerando- se os valores de R.5. Escreva seus resultados na tabela 2. Para isto faça medidas rápidas de V0R para alguns valores de frequência. 2 mH.5 Procedimentos experimentais 118 • o fator de mérito.3 Procedimento III: determinação da frequência de ressonância pela diferença de fase Há várias maneiras de se determinar a frequência de ressonância de um circuito RLC.8. tendo o cuidado de tomar pontos ao redor da ressonância medida no item anterior. Q. 9. Nos procedimentos anteriores determinamos a frequência de ressonância através da dependi- encia da amplitude da voltagem no resistor com a frequência. hPR imax . 5 Procedimentos experimentais 119 e capacitores em circuitos elétricos alimentados com corrente alternada tem como resul- tado o surgimento de diferencas de fase entre a corrente e a voltagem aplicada no circuito. nesse caso o circuito se comporta como puramente resistivo. . Neste método.8). entre os dois sinais é dada por: 2π∆t ϕ1 = = 2πf ∆t. Essa será a frequência de ressonância.8: Diferença de fase entre a tensão do gerador e a corrente no circuito. já circuitos puramente resistivos não apresentam diferença de fase alguma. A frequência de ressonância é aquela para a qual a diferença de fase é nula. XC é maior que XL . (8. Quando o circuito RLC possui carac- terı́sticas capacitivas. e ∆t é o deslocamento relativo entre os sinais i(t) − proporcional a VR (t) − e V (t).1 Método da diferença de fase Figura 8.5.46) T onde T e f são o perı́odo e a frequência do sinal do gerador. a corrente se adianta em relação à vol- tagem. enquanto que para um circuito indutivo (RL) ela se atrasa. 8. A ressonância ocorre quando XC = XL . Para frequências abaixo da frequência de ressonância a voltagem do resistor (canal 2) se encontra adian- tada em relação à voltagem da fonte (canal 1). respectivamente. Desse modo. Para frequências acima da frequência de ressonância ocorre o contrário. a voltagem no resistor fica atrasada em relação à voltagem da fonte.1 e variamos a frequência.3. em radianos. Observando os sinais senoidais de corrente e tensão através do gerador. Baseados nessas considerações. podemos conceber dois outros métodos para determinação da frequência de ressonância de um circuito RLC. ∆t é diferença de tempo entre dois máximos.8. que serão descritos a seguir. a diferença de fase. Na figura. variando-se a frequência podemos determinar com segurança a frequência na qual a diferença de fase vai a zero. Vimos que no caso de um circuito capacitivo (RC). observando os dois canais simultaneamente no osciloscópio (figura 8. montamos o circuito mostrado na figura 8. enquanto o contrário ocorre quando o circuito tem caracterı́sticas indutivas. 5 Procedimentos experimentais 120 8. como pode ser visto na figura 8. E é possı́vel determinar a diferença de fase entre esses sinais a partir da geometria da figura de Lissajous observada. Mas além de permitir a observação de gráficos de voltagem versus tempo (configuração chamada de modo Y-T). um no eixo horizontal (canal 1) e outro no eixo vertical (canal 2): essas figuras são chamadas de figuras de Lissajous. (8. Para o caso do circuito RLC.49) Z . Figura 8. aplicaremos a voltagem do gerador ao canal 1 (eixo x) e a voltagem do resistor ao canal 2 (eixo y).8. temos: Vx = V0 sen(ωt).47) e R Vy = V0 sen(ωt + ϕ). permitindo a observação simultânea de 2 sinais independentes. as figuras geométricas observadas na tela são o resultado da composição de 2 movimentos oscilatórios.48) Z Escrevendo Vy como função de Vx encontramos: R q 2 2 Vy = cos(ϕ)Vx + sen(ϕ) V0 − Vx .9. Se esses sinais senoidais possuem a mesma frequência e uma diferença de fase não-nula. Sendo Vx a voltagem do gerador e Vy a voltagem no resistor. Quando os sinais medidos pelo osciloscópio são senoidais. (8. a figura observada será uma elipse. (8.9: Figura de Lissajous (elipse) resultante da composição de 2 sinais senoidais defasados. o osciloscópio também pode mostrar em sua tela o gráfico da voltagem no canal 2 em função da voltagem do canal 1 (configuração conhecida como modo X-Y).3.5.2 Método das figuras de Lissajous Os osciloscópios digitais utilizados nesse curso possuem 2 canais. Nessa situação o sistema se encontra em ressonância. Figura 8. Assim. respectivamente: 2 2 ZVy Vx + = 1. a equação 8. L = 10 mH.50) Z Para ϕ = ±π/2. a elipse se torna excêntrica. Na figura 8. C = 10 nF e amplitude de tensão do gerador V0 = 5 V.10 mostramos a figura de Lissa- jous esperada para um circuito RLC para 2 situações diferentes: diferença de fase arbitrária e diferença de fase nula.10: Circuito RLC com R = 1 kΩ.8. Linha tracejada: figura de Lissajous observada para frequência igual à frequência de ressonância.51) RV0 V0 Para valores de ϕ diferentes de 0 ou ± π/2. com uma inclinação dada por R/Z: R Vy = Vx . Usando a equação 8. observamos que quando Vx = V0 temos b = V0 e quando Vy = 0 temos a = V0 |sen(ϕ)|. Na figura 8. a equação 8.49. Linha contı́nua: figura de Lissajous para frequência diferente da frequência de ressonância. (8. e a figura de Lissajous observada será uma reta.50 se reduz à equação de uma reta. sua excentrici- dade será máxima quando ϕ = 0.49 se reduz à equação de uma elipse com os eixos maior e menor ao longo dos eixos x e y. (8. podemos determinar o módulo da diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente pela .10 mostramos também 2 parâmetros (a e b) que podem ser utilizados para medir a diferença de fase usando a figura de Lissajous.5 Procedimentos experimentais 121 Para ϕ = 0. temos |sen(ϕ)| = 3. A partir do valores medidos para ∆t.21.5. Na Tabela 3. varie a frequência até que a elipse na tela do os- ciloscópio se transforme numa reta.52) b onde a e b são parâmetros representados na figura 8. 8 rad. dado pela equação 8. C = 10 nF e L = 23. Monte o circuito da figura 8. Certifique-se que a amplitude do sinal do gerador permanece constante (V0 = 4 V) para todos os valores de frequência utilizados. 8. Meça os valores de R e C e anote o valor de L dos dispositivos utilizados. Ajuste a saı́da do gerador de funções para uma frequência f = 5 kHz e meça os parâmetros a e b da figura de Lissajous formada (vide fig. 8. 5. Para a situação mostrada. 2.10.5 Procedimentos experimentais 122 expressão: a |sen(ϕ)| = . 4. L e C. Utilizando o método da figura de Lissajous identifique a condição de ressonância do circuito. Lembre-se que no resistor a corrente está em fase com a voltagem e que para frequências abaixo da ressonância. Complete a tabela 3 com os valores de diferença temporal (∆t) entre a voltagem do gerador e a corrente do circuito para 10 valores de frequência. 5/5 = 0.38 e os valores medidos para R.10).1 com R = 1 kΩ. ajuste a tensão de saı́da do gerador para uma onda senoidal com amplitude V0 = 4 V e frequência f = 1 kHz. calcule os valores esperados (nominais) para a diferença de fase (ϕN ). 0 < ϕ < +π/2 e para frequências acima da ressonância −π/2 < ϕ < 0. (8. com suas incertezas (considere incerteza relativa de 10% para o valor nominal da indutância). Com o auxı́lio do osciloscópio. No modo de operação X-Y. Use para isto o valor da frequência de ressonância encontrado pela figura de Lissajous. Compare o valor medido de fR com o valor esperado. A partir destes valores determine a diferença de fase para esta frequência.3. 3. . utilizando a equação 8. A partir dessa condição determine a frequência de ressonância fR e sua respectiva incerteza. 2 mH. 7 ⇒ ϕ = 0.8. calcule os valores da diferença de fase ϕ. Todos os resultados experimentais devem ser apresentados com suas respectivas incertezas.3 Medidas da diferença de fase 1. 6. metade deles abaixo da frequência de ressonância determinada e a outra metade acima. .8.5 Procedimentos experimentais 123 Tabela 3 f (Hz) log(f /Hz) ∆t ± σ∆t ϕ ± σϕ ϕN (ms) (rad) (rad) 7) Faça o gráfico da diferença de fase ϕ versus log(f /Hz). Obtenha do gráfico traçado a frequência de ressonância fR .