UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLODEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : NÚMEROS REALES - INECUACIONES 1.- Encuentre el conjunto solución de: 1 a) x + > 3 c) x 2 + 3 x − 4 2 x 2 + 4 ≤ 0 x ( 3x2 + 2 x − 1 b) >2 x2 − 1 d) 2.- ¿Para que valores de x la expresión )( ) x −1 x + 4 ≤ x + 2 x −3 x2 − 4x − 5 x2 +7 ∉ IR 3.- Determine que valores debe tomar la constante a > 1 , de modo que: ∀ x ∈ IR : (a − 1)x 2 + 2(a − 3) x + a − 3 > 0 4.- Encuentre el conjunto solución para el siguiente sistema: 3x − 1 x − >6 2 3 x −3 x + >2 2 3 5.- Aplicaciones: a) En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la temperatura a “x” kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por: T = 30 + 25( x − 3) 3 ≤ x ≤ 15 donde T es la temperatura en grados Celsius. ¿a que profundidad la temperatura está entre 200 y 300°C? b) Una clínica debe decidir si renta o compra un equipo esterilizador. Si renta el equipo el pago mensual sería de US$600 (con base en un año) y el costo diario (por electricidad, operador, etc.) sería de US$60 por cada día de utilización. Si se compra, su costo anual sería de US$4000 y los costos de operación y mantención serían de US$80 por cada día de uso. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse el equipo para justificar la renta en lugar de la compra? UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA FUNCIONES (Parte 1: Algebra, Compuesta, Por ramas) 1.- Encuentre Dominio y Recorrido de las siguientes funciones: 3x + 5 x−8 3x + 1 d) f ( x ) = x-2 a) f ( x ) = c) f ( x ) = b) f ( x ) = 4x + 7 x e) f ( x ) = x + 3 2.- Considere las funciones: f : R − {2} → R − {3} / f(x) = 3x + 1 x-2 g : R → R / g(x) = x f(3 + h)− f(3) . h a) Encuentre en términos de “h” b) Encuentre una función “p” tal que f o p = g 3.-Dadas las funciones Determine: a) f ( x ) = 2x3 − x f ( x+ h) − f ( x ) h y b) g( x ) = g ( x − 1 ) − g( 1 ) x−2 2 2− x 4.- Dadas las siguientes funciones por ramas: 2 x + 1 si 1 f ( x )= si x+1 x − 4 si Calcule el valor de: x ≤ −1 x2 − 4 si x≤1 g ( x ) = x − 1 + 1 si 1 < x < 7 −3 si x ≥7 − 1< x ≤ 4 x>4 a )( fog )( −3 ) 5.- Considere la función g ( x ) = b ) ( fog )( 2 ) 1 x − a2 2 c ) ( gof )( 0 ) a > 0 ; a constante a) Encuentre, si es que existe, x talque g ( x) = 0 . Si no existe, justifique. b) Encuentre los intervalos donde g (x) es positiva c) Encuentre los intervalos donde g (x) es negativa 6.- Si f ( x ) = Encuentre: 3x 2x + 1 ( f og)= x−5 x a) g ( x ) b) ( g o f )( x ) UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : FUNCIONES (Parte 2: Características de una función, Función inversa) 1.- Sea f : A ⊆ IR → B ⊆ IR donde y = 2x + 3 x−6 Determine los conjuntos A y B de modo que f sea una función biyectiva. Encuentre su función inversa 2.- Considere la función f ( x ) = a) b) c) d) e) 3x + 1 calcule f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( −1 ) , f ( 0 ) 2x ¿Qué pasa con el valor de f (x) si x =o? ¿Cuál será el Dominio de la función? ¿Cuál será el recorrido? Que pasa si x crece ¿En qué intervalo? Que puede concluir Qué pasa si x decrece ¿En que intervalo? Que puede concluir 3.a) Defina dos funciones que sean crecientes b) Defina dos funciones que sean decrecientes c) Encuentre una función que no sea ni creciente ni decreciente 4.- Determine si las siguientes funciones son Crecientes; Decrecientes; Pares; Impares a) f : IR → IR / f ( x ) = 2 x − 2 b) f : IR → IR / f ( x ) = x 2 + 2 x c) f : IR → IR / f ( x ) = x x≤0 6 2 x 1 0 < x < 3 + d) f : IR → IR / f ( x ) = x + 7 3 ≤ x < 10 9 x≥0 5.- Sea: f : R − {3} → R − {1} / f ( x ) = x+5 Determine si f es Biyectiva, si lo es x−3 encuentre su función inversa. 6.- Sea f : R → R definida por f(x) = g : R → R tal que g(x) = x 3 − 2 a) Demuestre que “g” es biyectiva −1 b) Encuentre ( f o g ) x+2 3 de un 100% a los 30 a˜ nos hasta un 0% a los 50 a˜ nos. o o al someter la bacteria a la temperatura ambiente entre −20 C y 40 C: 30T + 600 600 P (T ) = −60T + 2400 si − 20o C 6 T 6 20o C si 20o C < T < 30o C si 30o C 6 T 6 40o C donde P (T ) se mide en miles de bacterias. Por ejemplo. . expresado en horas.´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ELEM.5t .DE ALG. y T en grados Celsius. Suponiendo que el porcentaje de fertilidad P . Suponga que la cantidad de sustancia de un elemento radiactivo decrece seg´ un el modelo exponencial N (t) = N0 · e−kt . donde t es el tiempo en a˜ nos y N expresado en mil´ıgramos. donde Q0 corresponde a la cantidad inicial de radio y Q(t) es la cantidad no desintegrada en un tiempo t ( en siglos ).ELEMENTAL . H´ ector Aguilera AYUDANTIA FUNCIONES (PARTE 3): APLICACIONES 1. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. (a) ¿A qu´e temperatura(s) la poblaci´on es de 300 mil?. Suponga que despu´es de 10 a˜ nos hay 500 mil´ıgramos de material y que despu´es de 20 a˜ nos quedan 100 mil´ıgramos. var´ıa seg´ un la relaci´on T = −10t2 + 40t − 30 donde t. La temperatura (o C). presenta estad´ısticas de ese tipo. (b) ¿Cu´al es la temperatura m´axima? 4. En un laboratorio de microbiolog´ıa experimental se est´a estudiando la bacteria MD y. El libro Sex and the Origins of Death. como media. de William Clark. representa el tiempo de exposici´on a fuentes de energ´ıa cal´orica. 5. que experimenta cierto cultivo de bacterias. bacterias. El radio se descompone seg´ un el modelo Q(t) = Q0 · e−0. (b) Determinar despu´es de cu´anto tiempo la cantidad de material radioactivo ser´a la cuarta parte de la inicial. se comporta de manera lineal con la edad x (a) Determine la funci´on P = f (x). Y CALC. (b) Si Q0 = 10 gramos. encuentre la cantidad de material que queda despu´es de 2 siglos. (b) ¿Qu´e edad corresponde para un porcentaje de fertilidad de 30%? 3. 2. En base a esto se pide (a) Determinar completamente el modelo. obteni´endose el siguiente modelo matem´ atico. (a) Determine en cu´anto tiempo se habr´a descompuesto la mitad de la cantidad original de radio ( a este tiempo se le llama la vida media del radio ).FMM 032 Coord. (b) ¿Qu´e cantidad de bacterias habr´a a los 20o C?. la fertilidad femenina cae. N0 y k. es decir. se ha observado la variaci´on de la poblaci´on respecto a la temperatura. (a) Determine el instante en que se alcanza la m´axima temperatura. UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. la ecuación x 2 + 1 = a−1 a tiene soluciones reales 4... .Determinar para que valores de a.. xB = 2 t +1 t +1 Determinar el o los intervalos de tiempo para los cuales la distancia entre A y B es inferior a 5.VALOR ABSOLUTO 1.Dos puntos A y B se mueven sobre un mismo eje real de modo que su posición está 3t − 1 t2 dada en cada instante t por: xA = 2 .Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones: a) 5 + 2 x + 1 = 8 c) 3 <2 5 − 2x e) 5 + 7 − x ≤ 18 b) 3x + 2 =3 5x − 3 d) x + 2 + x − 4 < 5 f) x− 2− x x2 + 4 <0 2.Dados a > 1 ∧ b < 2 encuentre el conjunto solución de: a−1 + b−2 ≤ x 3.. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : REALES . calcule f (ab) y f (a).Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de la Salud FMM 032 . Determinar funciones f y g.y Calc.de Alg. Considere las funciones f (x) = 9x + 7 y g(x) = x2 − x. Suponga que f (b) = ab2 + a2 b. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones (a) f (x) = 4x2 − 6 3 (b) f (x) = x−1 p (c) f (x) = 1 − x2 r x2 1+ 1 − x2 p 3 (e) f (x) = x2 − x (d) f (x) = 4 − t2 2t2 − 7t − 4 x2 − 3x + 2 (g) f (x) = x2 − 4 (f) f (t) = 2. tales que h(x) = f (g(x)) para cada uno de los siguientes casos (a) h(x) = (4x − 3)2 √ (b) h(x) = x2 − 2 1 (c) h(x) = 2 x −1 (d) h(x) = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + x − 2 5.Elemental GUIA FUNCIONES 1. 4. Graficar las siguientes funciones cuadr´aticas (a) f (x) = (4x − 3)2 (b) f (x) = 2x2 − 3x + 4 (c) f (x) = −3x2 + 2x + 1 (d) f (x) = (x − 3)(2 − x) .Elem. determine f (2 + h) − f (2) h g(x) − g(4) (b) x−4 (c) f (g(x)) − g(f (x)) (a) (d) f (g(1)) − g(f (−2)) 3. Sea f (x) = (a − 1)x − 1 . negativa.6. Determine el valor de a ∈ R tal que la imagen de ”1” sea ”1/5”. Dada la funci´on f (x) = 1−x x−2 si x < 2 3x + 1 4 si x ≥ 2 f (−2) + 3f (7) Determine p f (5) + (f of )(0) 7. ax + 2 10. Dadas las siguientes funciones. encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que sean biyectivas x+3 2x − 1 (b) f (x) = x2 − 1 (a) f (x) = (c) f (x) = 4x + 1 √ (d) f (x) = x + 1 . f (2)) y que tiene pendiente ”3”. 9. creciente y decreciente ½ 2 si 0 ≤ x ≤ 4 (a) f (x) = 3x si x > 4 ½ 2x + 1 si − 1 ≤ x < 2 (b) f (x) = 9 − x2 si x ≥ 2 x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x ≤ 5 (c) f (x) = x − 1 si x > 5 8. Grafique las siguientes funciones definidas por ramas e indique en qu´e intervalos la funci´on es positiva. (b) Encuentre f (f (−2)). Considere la funci´on definida por 2 x + 7 si x ≤ −1 1 f (x) = si − 1 < x < 0 x x + 9 si x ≥ 0 (a) Encuentre la ecuaci´on de la recta que pasa por (2. cuya variable independiente. se estim´o que la proporci´on de p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (en segundos). (a) Encuentre una funci´on lineal que modele la relaci´on entre el intervalo de tiempo y el porcentaje de pacientes con sida. hay 4. la proporci´on recordada aumentaba en 0. 12. la producci´on disminuir´ a en un n´ umero constante de hojas impresas por hora. Un gran hospital tiene una flota de 30 ambulancias cada una de las cuales recorre aproximadamente 200 Km al d´ıa y gasta en promedio 1 gal´on por cada 15 Km. (c) El tiempo aproximado. cuando han transcurrido 30 d´ıas on en el tejido de 100 mil´ımetros cuadrados. de acuerdo al planteamiento. (a) Establezca una funci´on que exprese la cantidad de dinero que se necesita para gastos de gasolina en los siguientes x d´ıas. Si la hora 30 con desperfecto produjo 3900 hojas (a) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora con defecto.5 mil´ımetros cuadrados de tejidos regenerados. En un estudio de paciente HIV que se infectaron por el uso de drogas intravenosas. corresponde al n´ umero de d´ıas en que el organismo regenera en mil´ımetros cuadrados sus tejidos. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210. Por lo tanto. 16. La evoluci´on de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneraci´on de tejidos . que ha permitido una evoluci´ . N . en funci´on de la cantidad de horas t.APLICACIONES 11. (b) Pronostique el n´ umero de a˜ nos hasta que la mitad de esos pacientes tenga sida.059 (a) Determine la relaci´on que exprese p en t´erminos de t (b) ¿Qu´e proporci´on de elementos fue recordada con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio? 14. Se encontr´ o que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0. (a) Encuentre una ecuaci´on lineal que exprese el riesgo R en t´erminos del nivel de colesterol C. En cierto experimento de aprendizaje.Por cada segundo m´as en el tiempo de estudio. arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos.192. (b) ¿Cu´al es el riesgo para un nivel de colesterol de 260? 15. cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. El precio de la gasolina es de $70 por gal´on.32 .160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0. determine (a) La ecuaci´on lineal de comportamiento (b) La cantidad de tejido regenerado. involucrando repetici´on y memoria. Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos la proporci´on de elementos recordados fue de 0. se encontr´ o que despu´es de 4 a˜ nos. donde t est´a entre 5 y 9 . el t´ecnico descubre que por un defecto de funcionamiento. sigue el comportamiento lineal. (b) ¿Despu´es de cu´antas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420? 13. sin embargo al cabo de 10 d´ıas se comprueba que. Despu´es de observar una fotocopiadora autom´atica de trabajo continuo. determine la cantidad de (b) Si la facturaci´on mensual promedio en el u d´ıas promedio que al mes funcionan las ambulancias. Seg´ un antecedentes al primer d´ıa no hay tejidos regenerados. ´ltimo a˜ no fue de $485.000. 17% de los pacientes ten´ıan sida y que despu´es de 7 a˜ nos 33% lo ten´ıan. (b) Cuando la temperatura del agua es de 15◦ C ¿ Cu´al es la tasa de crecimiento? (c) ¿A qu´e temperatura los peces dejan de crecer? 20.17. 19. (a) ¿Cu´ando se alcanzar´a la raz´on m´axima de disparos? (b) ¿Cu´al es la raz´on m´axima de disparos? (c) Represente un gr´afico de la situaci´on planteada. depend´ıa del n´ umero de insumos utilizados y que la relaci´on se daba de acuerdo a la funci´on C(x) = x2 − 50x + 8000 Determine el costo m´ınimo por intervenciones quir´ urgicas y el n´ umero de insumos a un costo de 7400 u.m. (a) ¿Cu´antas respuestas son de esperar despu´es de 3 ms? (b) Si hay 16 respuestas.Despu´es de este tiempo se espera que su valor de reventa sea 3600 d´olares. Si la depreciaci´on es lineal. determine la funci´on que describe esta devaluaci´ on. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan.0723(T − 23) + 3. (a) Determine la funci´on lineal que relacione la cantidad de drogadictos en t´erminos del tiempo medido en a˜ nos (t = 0 para 1980) (b) Interprete el significado de la pendiente (c) Si el n´ umero de drogadictos sigue creciendo. la tasa de crecimiento G (en porcentaje por d´ıa) est´a dada por la funci´on: G(T ) = −0. Aqu´ı r. Un investigador en fisiolog´ıa ha decidido que un buen modelo matem´atico para el n´ umero de impulsos disparados despu´es que un nervio ha sido estimulado est´a dado por la funci´on y = −x2 + 20x − 60 donde y es el n´ umero de respuestas por milisegundo y x es el n´ umero de milisegundos desde que el nervio fue estimulado. Las unidades se conservan 3 a˜ nos.¿cu´antos milisegundos han transcurridos desde que fue estimulado el nervio? (c) Grafique la funci´on r(s) 21.0346(T − 23)2 − 0. . es el n´ umero de respuestas por milisegundos (ms) y s es el n´ umero de milisegundos transcurridos desde que es estimulado el nervio. Para los peces de un cierto lugar. Una cl´ınica ha decidido renovar sus ambulancias. de intervenciones. 22.¿ cuando llegar´a a 1250000 ? 18. dio como antecedente que el costo de intervenciones quir´ urgicas . Un investigador en fisiolog´ıa ha decidido que la funci´on r(s) = −s2 +12s−20 es un modelo matem´atico aceptable para describir el n´ umero de impulsos emitidos despu´es que se ha estimulado un nervio.77 (a) Encuentre la temperatura del agua que genera la m´axima tasa de crecimiento. El n´ umero estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000 y en 1985 fue de 1025000. En el presente a˜ no el costo de compra es de 15000 d´olares. Un estudio contable realizado en una determinada cl´ınica. El departamento de salud estima que el n´ umero de personas que consumen coca´ına ha ido aumentando en una proporci´on lineal. La temperatura. su m´axima. que se espera despu´es de t a˜ nos. 25. de una rata en un per´ıodo fue de f (P ) = − P2 + 2P + 20 50 con 0 ≤ P ≤ 100 . var´ıa seg´ un la relaci´on y = −(x − 2)2 + 1 donde x. que experimenta cierto cultivo de bacterias. La prote´ına consist´ıa en levadura y harina de ma´ız. Se espera que su poblaci´on aumente seg´ un N (t) = 30 1 + 29e−kt donde N es el n´ umero de peces. en miles. (a) Determine el mes en que el nivel de contaminaci´ on fue m´aximo. ¿Cu´antos a˜ nos pasar´an para que se abra el lago a la pesca? . un la informaci´on dada ¿en qu´e mes no hubo contaminaci´ on? (b) Seg´ (c) Grafique la situaci´on planteada. Si se sabe que al cabo de 6 meses la poblaci´on aument´ o a 1900 peces y se planea que el lago estar´a abierto a la pesca cuando el n´ umero de peces sea de 20000. on en los primeros 6 meses de 2001 ha variado de 24.000 peces. en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva (b) Determine el tiempo en que la temperatura alcanza. asociada a la relaci´on. Encontrar el m´aximo peso ganado. representa el tiempo de exposici´on a fuentes de energ´ıa cal´orica. (c) Identifique las variables planteadas en el estudio. Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1. en gramos. 26. (d) Bosqueje la gr´afica. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla de prote´ına se estim´o que el peso promedio ganado. (a) Se˜ nale el intervalo de tiempo. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que conten´ıa un 10% de prote´ına.23. Se ha descubierto que los niveles de contaminaci´ acuerdo a la funci´on y = −x2 + 6x donde x representa el mes esperado. Una ley de curaci´on de las heridas es A = Be− 10 .27. . se estima que los infectados. Los registros de salud p´ ublica indican que t semanas despu´es del brote de cierta clase de gripe. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la funci´on f (t) = 250 1 + e−2t la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t. se pronostica por N (t) = 3000 1 + 2999e−0. lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes? n 31. Despu´es de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes . siendo A ( en m2 ) el ´area da˜ nada despu´es de n 2 d´ıas. relacionado con la cantidad de d´ıgitos afectados por restricci´on vehicular est´a dada por f (t) = 2000 − 9e0.donde t representa la cantidad de d´ıgitos que est´an restringidos durante una semana. ¿ Cu´antas ppm de PM10 contaminar´ an Santiago en ese per´ıodo? (b) Para que el nivel de contaminaci´on no supere las 50 ppm ¿ cu´antos d´ıgitos se deber´ıan restringir en la semana? 28. (a) Si el tiempo es medido en semanas.? (b) ¿ Cu´antas hab´ıan contra´ıdo la enfermedad despu´es de tres semanas? 30. Se estima que la cantidad de material particulado (PM10) que dejan las fuentes m´oviles en el gran Santiago. Hallar el n´ umero de d´ıas necesarios para reducir la herida a su tercera parte del ´area da˜ nada. aprox2 imadamente f (t) = miles de personas han contra´ıdo la enfermedad. y B (en m ) el ´area original da˜ nada. el n´ umero de estudiantes infectados despu´es de t d´ıas. ¿cu´antas han sido contagiados en tres semanas? (b) ¿Cu´al es la cantidad de contagiados en tres meses? (c) ¿En qu´e tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas 29.32t 15 part´ıculas por mill´on (ppm).895t (a) ¿Cu´antos estudiantes estar´an infectados despu´es de 10 d´ıas? (b) ¿En qu´e per´ıodo de tiempo.8t (a) ¿ Cu´antas personas ten´ıan la enfermedad al comienzo. (a) Si en total en una semana se restringen 12 d´ıgitos. 1 + 3e−0. en que t son los a˜ nos transcurridos desde el momento de la compra.000e−0. se determin´o que cuando la densidad de hu´espedes (n´ umero de hu´espedes por unidad de ´area) es x . Para una incapacidad particular. la recuperaci´on de la funcionalidad suele aumentar con la duraci´on del programa terap´eutico.32. De un elemento radiactivo quedan N gramos despu´es de t horas. (a) ¿ Cu´al es el valor original del equipo radiogr´afico ? (b) ¿ Cu´al es el valor esperado de reventa despu´es de 5 a˜ nos ? (c) ¿ Despu´es de cu´antos a˜ nos el valor de reventa ser´a de $250000 ? 33. donde y= 900x 10 + 45x Si la densidad de los hu´espedes fuera 10000 ¿cu´al es el n´ umero de par´asitos en el periodo? .035t (a) ¿ Cu´antos gramos est´an presente inicialmente ? (b) ¿ Cu´antos gramos permanecen despu´es de 10 horas ? ¿y despu´es de 50 horas? (c) ¿ Es posible estimar la cantidad de horas necesarias para que el elemento radiactivo ya no este presente ? 34. Es decir. (a) ¿ Para qu´e valores de x tiene sentido dicha funci´on ? (b) ¿ Cu´al es el costo de la terapia para lograr una recuperaci´on del 10%? (c) ¿Cu´al es el costo de la terapia para lograr una recuperaci´on total ? 35. entonces el n´ umero de par´asitos en un periodo es y. El valor de reventa V de un equipo radiogr´afico se comporta de acuerdo a la ecuaci´on V = 750. los terapeutas han ideado una funci´on matem´atica que describe el costo C de un programa terap´eutico en funci´on del porcentaje de la funcionalidad recuperada x dada por C(x) = 5x 120 − x donde C se mide en miles de d´olares.05t . pero con el tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relaci´on con los esfuerzos adicionales del programa. Para una relaci´on de particular hu´esped-par´asito. donde N = 100e−0. A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitaci´on se caracteriza por un efecto de rendimientos decrecientes. (b) ¿En qu´e instante se produce el grado m´aximo de adormecimiento? 40. (b) La presi´on fuera del avi´on volando a 10000 metros de altura. (b) Determine los subconjuntos A y B de modo que la funci´on sea biyectiva. entonces: µ h = (30T + 8000) · log 760 x ¶ Calcular: (a) La altura de una monta˜ na si los instrumentos ubicados en la cima registran 5◦ C y presi´on de 500 mil´ımetros de mercurio. Dada la funci´on definida por: f :A⊆R→B⊆R x 7→ y = f (x) = −x2 + 16x + 17 (a) Grafique la funci´on f (x). (a) Encuentre el modelo lineal que permita representar el porcentaje de alcoh´olicos en funci´on del tiempo medido en a˜ nos. h la altura (medida en metros sobre el nivel del mar) y T es la temperatura (en ◦ C).5% y en 1990 se elev´o a 12. 39. determine el intervalo de tiempo para el cual el paciente no siente dolor. Demuestre que µ ln f (x) 1 − f (x) ¶ = b + mx . Utilizando inecuaciones. Desde 1980 ha habido un incremento lineal en el porcentaje de la poblaci´on de alcoh´olicos en una ciudad europea. ¿en qu´e intervalo f es positiva? 38. En 1980 el porcentaje fue de 10. Si x es la presi´on atmosf´erica ( medida en mil´ımetros de mercurio). Si P es el porcentaje de alcoh´olicos en la poblaci´on y t representa el tiempo medido en a˜ nos desde 1980 (t = 0 en 1980 ).PROBLEMAS DE SOLEMNES 36. (b) ¿Qu´e porcentaje de alcoh´olicos se prev´e para el a˜ no 2005? (c) ¿En qu´e a˜ no el porcentaje de alcoh´olicos ser´a de un 18%? 37. indicando los puntos m´as relevantes. si la temperatura exterior es -10◦ C. (c) Respecto a la gr´afica de la funci´on en la parte (a). La funci´on definida por f (x) = 1 1+ e−(b+mx) se denomina funci´on log´ıstica y fue introducida por el bi´ologo matem´atico alem´an Verhulst hacia el a˜ no 1840 para describir el crecimiento de poblaciones con recursos alimentarios limitados.9%. El efecto de la anestesia bucal en un paciente en %. luego de t minutos de ser inyectado el f´armaco viene dado por G(t) = − 25t2 + 25t 16 (a) Se determina que un paciente no siente dolor cuando el efecto es superior al 75%. Determine despu´es de cu´anto tiempo la cantidad de sustancia ser´a la mitad de la inicial.3 km. . En una prueba para metabolismo de az´ ucar en la sangre. Suponga que al principio hay 100 miligramos de una sustancia radiactiva y despu´es de 20 a˜ nos hay 50 miligramos. Los elementos radiactivos tienen la particularidad de que su cantidad disminuye con respecto al tiempo de manera exponencial. 44. (b) Determinar despu´es de cuanto tiempo la cantidad de sustancia radiactiva es la cuarta parte de la inicial. la cantidad de az´ ucar encontrada est´a dada por la funci´on A(t) = 3.2t − 0. (b) Considere las funciones reales f (x) = ax + b y g(x) = a y b de modo que (g ◦ f )(1) = 3 y (g ◦ f )(−2) = 1 x+1 . llevada a cabo en un intervalo de tiempo.0063t donde q0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en d´ıas. h.N = N0 ekt . (a) Dada la funci´on f (x) = x−2 x . Para altitudes hasta casi los 10 kil´ometros. (c) Encuentre los intervalos donde f crece. En base a esto se pide: (a) Determinar completamente el modelo que representa el fen´omeno. (b) Determine Dominio y recorrido. tales que |f (x)| < 1.P . calcule los valores de x. sea positiva y negativa. Una cierta sustancia radiactiva decrece seg´ un la f´ormula q(t) = q0 · e−0. Encontrar el valor de las constantes 2 42.125h donde h est´a en kil´ometros. var´ıa con la altitud. La presi´on atmosf´erica . Considere la funci´on si x < −1 2x + 4 2 x − x − 2 si − 1 < x ≤ 2 f (x) = 2x e si x > 2 (a) Grafique f (x). donde N est´ a en miligramos y t en a˜ nos. sobre la superficie de la tierra. la presi´on P ( en mil´ımetros de mercurio ) est´a dada en forma aproximada por P = 760e−0. decrece. donde t es el tiempo medido en horas. (b) ¿A qu´e altitud la presi´on ser´a de 400 mil´ımetros de mercurio? 45.9 + 0.41.1t2 . es decir. (a) ¿Despu´es de cu´anto tiempo la cantidad de az´ ucar llega a su m´aximo? (b) ¿Cu´al es la cantidad m´axima de az´ ucar? 43. (a) Determine la presi´on a una altitud de 7. 46. 02t donde x(t) son gramos/cent´ımetros c´ ubicos (gr/cm3 ) (a) ¿Cu´al es la concentraci´on pasado 1 minuto? (b) ¿Cu´anto tiempo tardar´a en alcanzar 0. Si el peso de un cerdo al inicio de la dieta fue de 20 kg. (b) ¿A qu´e velocidad es id´entico el consumo de ox´ıgeno para una persona que camina y para otra que corre? (c) ¿Qu´e sucede con el consumo de ox´ıgeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en la parte (b)? 50. En pruebas realizadas en una dieta experimental para cerdos. de un cerdo. (c) ¿Despu´es de cu´antos d´ıas el peso de un cerdo era 72.12 · e−0. y a partir de ah´ı gan´o 6. (b) Calcule el peso del cerdo para 50 d´ıas despu´es que inici´o la dieta. se comporta linealmente con respecto al n´ umero de d´ıas.08 + 0. despu´es de iniciada la dieta.47. Determine el dominio de la funci´on r f (x) = x+2 x+3 − x−3 x−2 49. en kilos. d.8 kg? 48. (a) Encuentre un modelo lineal que permita obtener el peso de un cerdo en t´erminos del n´ umero de d´ıas. se determin´o que el peso. donde 0 ≤ d ≤ 100 .18 gr/cm3 de medicamento en el ´organo? . El consumo de ox´ıgeno ( en mililitros/libra/minuto ) para una persona que camina a x millas/hora est´a dada aproximadamente por la funci´on 5 5 f (x) = x2 + x + 10 3 3 mientras que el consumo de ox´ıgeno para un corredor a x millas/hora est´a dada aproximadamente por g(x) = 11x + 10 (a) Trace las gr´aficas de f y g ( en un mismo plano cartesiano ).6 kg cada 10 d´ıas. La concentraci´on de un medicamento en un ´organo al instante t ( en segundos ) est´a dada por x(t) = 0. P . Demuestre que ∀a. entonces a b + ≥2 b a 9. establezca cu´al propiedad de los n´ umeros reales se usa. Demuestre que si a. (a) 2(x + y) = 2x + 2y (b) 2(3y) = (2 · 3)y (c) 2(x − y) = (x − y) · 2 (d) 6 7 =6· 1 7 (e) (−1)(−3 + 4) = (−1)(−3) + (−1)(4) 7. Utilizando las propiedades de los n´ umeros reales.de Alg.y C´ alculo Elemental GUIA NUMEROS REALES 1. Demuestre que si a + b + c = 0. Demuestre que 2 − 2 = − 2 + 2 4. se tiene que a+b 2ab ≥ 2 a+b 10. utilizando las propiedades de los n´ umeros reales. b ∈ R+ . Demuestre que 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24 6.Elem. demuestre que: µ ¶ ab b (a) =a· c c a+b a b (b) = + c c c a c ad + bc (c) + = b d bd 2.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de la Salud FMM 032 . b > 0. 2(3x − 1) + 3 = 7x + 4 8. entonces a3 + b3 + c3 = 3abc √ √ 3. Demuestre que (8 + x) − y = 8 + (x − y) 5. En los siguientes problemas. Indique la propiedad que va ocupando paso a paso. Resuelva la ecuaci´on de primer grado. Demuestre que si a < b y c < d. entonces ad + bc < ac + bd . por lo general se retardan alrededor de 4 d´ıas por cada µ 1500¶metros. el costo de mantenci´on y energ´ıa (en millones de pesos) en un mes ser´a de C =x+ 6 x ¿Cu´antas m´aquinas se deben utilizar para que el costo sea a lo m´as de 5 millones? . El administrador de un centro m´edico estima que si se emplean x m´aquinas radiol´ogicas. En sicolog´ıa el CI de una persona se encuentra al dividir la edad mental por la edad cronol´ogica y luego esta relaci´on se multiplica por 100. h( cambio de altura medido en metros). En t´erminos de f´ormula esto se reduce a CI = EM · 100 EC Si el intervalo de variaci´on de CI de un grupo de alumnos de la UNAB de 20 a˜ nos de edad es 70 ≤ CI ≤ 120 . llamada regla bioclim´atica para zonas templadas.11. que establece que en primavera. Si esta regla es v´alida para 0 ≤ h ≤ 400. 15. En biolog´ıa existe una regla aproximada. h de altura sobre el nivel del mar. determinar la m´ınima y la m´axima retardaci´on para un fruto que florece entre los 1600 y 2300 metros sobre el nivel del mar. la maduraci´on de la fruta. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto (a) |x + 1| ≤ |2 + 3x| |x| (b) ≥0 x + ¯2 ¯ ¯2 + x¯ ¯ ¯<3 (c) 2 < ¯ x − 1¯ (d) |x − 1| = 2 (e) |x + 1| + |x − 1| = 0 13. Determinar el intervalo de variaci´ on de la edad mental del grupo. esta regla bioclim´atica se resumen en la expresi´on d = donde 1500 d( cambio en d´ıas ). y a principios de verano. fen´omenos peri´odicos tales como la aparici´on de insectos. Resolver las siguientes inecuaciones (a) x + 3 < 2x − 4 x−5 9−x (b) + >x 2 3 (c) (x − 2)(x + 3) > x(x − 1) 1 (d) ≤1 x x+1 (e) <2 x−4 4 3 (f) − >1 x+1 x+2 3x + 4 (g) −1 < <1 x−7 2 2−x (h) − ≤1 x x−1 x2 − 4x + 3 (i) 2 ≤ −1 x − 6x + 8 x2 − 3x + 2 (j) 2 <3 x + 2x + 6 12. 14. La sexta parte de un n´ umero m´as la novena parte del mismo. Un determinado f´armaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta v´ıa intramuscular. ¿A qu´e rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 ≤ F ≤ 95 ? 19. Un n´ umero entero positivo excede a otro en 5 unidades y su suma no supera a 29.¿Cu´ales son los n´ umeros enteros positivos que verifiquen esta condici´on? 20. ¿ Qu´e cantidad de dosis se 8x + 3 debe inyectar para que el f´armaco tenga efecto m´as de 4 horas y menos de 8 horas? 5 17. 18.¿Cu´al es el n´ umero m´as peque˜ no que verifica esta relaci´on? . tienen una suma mayor o igual a 15. Use la relaci´on C = (F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a 9 20 ≤ C ≤ 30 .16. Su 74x efecto (en horas) es dado en funci´on de x (mg de dosis) por E = . (a) 6 ∃x ∈ R para el cual |x − 1| = |x − 2| 1 (b) x + > 0. El instituto de salud p´ ublica decidi´o comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6% de sangre contaminada. Al realizar un estudio en un sector minero se encontr´ o un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. tales que a > b. justificando claramente o dando un contraejemplo. viene dado por la relaci´on x2 + 5x + 6 P = 2 . Determine la veracidad o falsedad ( V o F ). Diversos estudios han determinado que en condiciones normales la sensaci´on t´ermica de un individuo est´a relacionada con la altura a la cual ´este se encuentra mediante: µ ¶ h T = 20 1 − 40 En que T (sensaci´on t´ermica) expresada en o C y h la altura en metros. Resuelva las siguientes inecuaciones: ¯ ¯ ¯x − 3¯ ¯ ¯≥5 (a) ¯ 2 ¯ (b) x+2 5 x − < 2 x+3 2 23. Determine si la siguiente aseveraci´ on es verdadera o falsa. b ∈ R+ . Sean a. a3 b − ab3 <0 b−a 22. ∀x ∈ R x 1 1 1 (c) Si |x − 3| < 1 ⇒ < < 8 x+4 6 25.PROBLEMAS DE SOLEMNES 21. Encuentre el conjunto soluci´on para: 4 3 >1+ x+1 x+2 26. El porcentaje que describe la cantidad del plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento. Justifique claramente su respuesta. inclusive? 24. con P expresado en % x +x+1 ¿Al menos cu´antos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %? . (a) ¿A partir de qu´e temperatura el individuo comienza a sentir temperaturas bajo cero? (b) ¿Cu´al ser´a el ser´a el rango de la altitud si se sabe que las temperaturas oscilan entre los -10 o C y 10 o C. de las siguientes aseveraciones. (a) En un tri´angulo rect´angulo. Suponga que la concentraci´ on C de un f´armaco al transcurrir t horas despu´es de que se ha ingerido est´a dada por C= Si el nivel terap´eutico m´ınimo es de 4 20t h mg i t2 + 4 lto mg . lto . 28.27.¿Cu´al es el valor m´aximo del ´angulo que verifica esta condici´on? (b) Resolver la inecuaci´on |1 − 2x| ≤ 0 Justifique claramente su respuesta. uno de los ´angulos agudos x es menor o igual que 3 veces el otro ´angulo agudo m´as 10 grados. determine cu´ando se ha excedido este nivel. Para que cualquier medicamento tenga un efecto ben´efico. su concentraci´ on en el torrente sangu´ıneo debe exceder un cierto valor llamado ” nivel terap´eutico m´ınimo”. ´ DURACION: 90 MINUTOS SIN CONSULTAS . (a) Demuestre la identidad: (a · cos t − b · sin t)2 + (a · sin t + b · cos t)2 = a2 + b2 (b) El extremo A de una escalera se encuentra apoyado a una altura h del suelo. per´ıodo y desface. 2004 SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Jueves 28 de Octubre de 2004 1. Una cierta sustancia radiactiva decrece seg´ un la f´ormula q(t) = q0 · e−0. (b) Considere las funciones reales f (x) = ax + b y g(x) = a y b de modo que (g ◦ f )(1) = 3 y (g ◦ f )(−2) = 1 x+1 .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ´ ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALC. 4.0063t donde q0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en d´ıas. calcule amplitud. (c) Dada la funci´on trigonom´etrica y = −2 sin(3x + π). donde t es el tiempo medido en horas.9 + 0. (a) Dada la funci´on f (x) = x−2 x . la cantidad de az´ ucar encontrada est´a dada por la funci´on A(t) = 3.FMM 032 2do Semestre. formando un ´angulo de 30◦ con la pared. Determine despu´es de cu´anto tiempo la cantidad de sustancia ser´a la mitad de la inicial. calcule los valores de x. tales que |f (x)| < 1. (a) ¿Despu´es de cu´anto tiempo la cantidad de az´ ucar llega a su m´aximo? (b) ¿Cu´al es la cantidad m´axima de az´ ucar? 3. llevada a cabo en un intervalo de tiempo. En una prueba para metabolismo de az´ ucar en la sangre.ELEMENTAL .1t2 . Resbala y su extremo superior desciende hasta un punto B y queda formando un ´angulo de 60◦ con la pared.2t − 0. Encontrar el valor de las constantes 2 2. Si el largo de la escalera es de 3 metros¿Cu´anto descendi´o la escala?. Un laboratorio fabrica dos remedios diferentes. entonces: 180 + 5y ≤ 300 ⇔ 5y ≤ 120 ⇒ y ≤ 24 Rpta: Deben producirse como m´aximo 24 cajas del producto B. A y B.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Escuela de Qu´ımica y Farmacia . Considere las funciones f : R − {−1} −→ R − {−1} 2−x y = f (x) = x+1 g : R −→ R y = g(x) = x − 3 (a) Encuentre el conjunto soluci´on de |f (g(x))| < 1. como m´aximo. La elaboraci´on de cada caja del remedio A cuesta 6 d´olares y la elaboraci´on de cada caja del remedio B cuesta 5 d´olares. (a) Plantee la inecuaci´on que exprese. ( 0. ¿cu´ antas cajas del producto B. Soluci´on: 6x + 5y ≤ 300 ( 0. deber´an fabricarse si los costos totales son a lo m´as 300 d´olares? Soluci´on: Si x = 30.Ing. El laboratorio insiste en que los costos totales de los dos productos sea a lo m´as de 300 d´olares.Bioqu´ımica . que el costo total de fabricar x unidades del producto A e y unidades del producto B sea a lo m´as de 300 d´olares. Soluci´on: 2 − (x − 3) 2−x+3 5−x f (g(x)) = = = x−3+1 x−2 x−2 Luego. y C´ alculo Elemental FMM 032 Duraci´ on: 90 minutos Sin Consultas PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 27 de Mayo de 2005 1.7 Ptos ) (b) Suponiendo que el laboratorio acept´o surtir un pedido de 30 cajas del producto A.8 Ptos ) 2. hay que resolver .en Biotecnolog´ıa Elementos de Alg. . . 5 − x. 5−x 5−x . . . x − 2 . < 1 ⇔ x − 2 < 1 ∧ x − 2 > −1 . con lo que la tabla de puntos cr´ıticos queda: 7 2 −∞ 2 +∞ 7 − 2x + + − x−2 − + + Sol (−) (+) (−) 7 ⇒ S1 =] − ∞.Primer Caso: 5−x 5−x 5−x−x+2 7 − 2x <1⇔ −1<0⇔ <0⇔ <0 x−2 x−2 x−2 x−2 Los puntos cr´ıticos son: 2 y 72 . tm´ax = − ( 0. (a) Determine el instante en que se alcanza la m´axima temperatura. 2[∪ .0 Ptos ) (b) Calcular el valor num´erico de g(f (0)) − f (g(1)) 3 Soluci´on: g(f (0)) − f (g(1)) g(2) − f (−2) −1 − −4 3 = = = =1 3 3 3 3 ( 0. que experimenta cierto cultivo de bacterias.5 Ptos ) 3. +∞ 2 Segundo caso: 5−x 5−x 5−x+x−2 3 > −1 ⇔ +1>0⇔ >0⇔ >0⇔x−2>0⇔x>2 x−2 x−2 x−2 x−2 ⇒ S2 =]2. ( 0. La temperatura (o C). +∞[ Por lo tanto la soluci´on final del problema es: 7 .8 Ptos ) .7 Ptos ) (b) ¿Cu´al es la temperatura m´axima? Tm´ax = T (tm´ax ) = T (2) = −10 · 4 + 40 · 2 − 30 = 10 La temperatura m´axima es de 10o C. Soluci´on: El m´aximo viene dado por el v´ertice de la funci´on cuadr´atica b 40 =− =2 2a 2 · −10 Despu´es de 2 horas la temperatura es m´axima. +∞ Sf = S1 ∩ S2 = 2 ( 1. var´ıa seg´ un la relaci´on T = −10t2 + 40t − 30 donde t. expresado en horas. representa el tiempo de exposici´on a fuentes de energ´ıa cal´orica. 4. Suponga que la cantidad de sustancia de un elemento radiactivo decrece seg´ un el modelo exponencial −kt N (t) = N0 · e , donde t es el tiempo en a˜ nos y N expresado en mil´ıgramos. Suponga que despu´es de 10 a˜ nos hay 500 mil´ıgramos de material y que despu´es de 20 a˜ nos quedan 100 mil´ıgramos. En base a esto se pide (a) Determinar completamente el modelo, es decir, N0 y k. Soluci´on: Por las condiciones del problema se sabe que 500 = N0 · e−10k (1) 100 = N0 · e−20k (2) Dividiendo la ecuaci´on (1) con la (2), se llega a 5 = e10k / ln ln 5 10 Reemplazando el valor de k en la ecuaci´on (1), se obtiene ⇒k= ln 5 500 = N0 · e−10· 10 500 = N0 · e− ln 5 500 500 ⇒ N0 = − ln 5 = 1 = 2500 e 5 Luego el modelo queda: ln 5 N = 2500 · e− 10 ·t ( 1.0 Ptos ) (b) Determinar despu´es de cu´anto tiempo la cantidad de material radioactivo ser´a la cuarta parte de la inicial. Soluci´on: 1 N = · 2500 = 625. Por lo tanto: 4 ln 5 ln 5 625 = 2500 · e− 10 ·t ⇔ 0.25 = e− 10 ·t / ln − ln 5 · t = ln(0.25) 10 ⇒t=− 10 · ln(0.25) ≈ 8.6 ln 5 ( 0.5 Ptos ) Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032 2do Semestre, 2005 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 21 de Octubre de 2005 1. Determine el dominio de la funci´ on f (x) = x+2 x+3 − x−3 x−2 Soluci´ on: El dominio viene dado por la soluci´ on de la inecuaci´ on x2 − 4 − (x2 − 9) 5 x+2 x+3 − ≥0⇔ ≥0⇔ ≥0 x−3 x−2 (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x − 3) (0.5 Ptos) Resolver este problema es equivalente a resolver (x − 2)(x − 3) > 0 cuyos valores cr´ıticos son 2 y 3. La tabla correspondiente viene dada por −∞ 2 3 +∞ x−2 − + + x−3 − − + Sol (+) (−) (+) (0.5 Ptos) Luego la soluci´ on es: ] − ∞; 2[∪]3; +∞[= Dom f . (0.5 Ptos) 2. El consumo de ox´ıgeno ( en mililitros/libra/minuto ) para una persona que camina a x millas/hora est´a dada aproximadamente por la funci´ on 5 5 f (x) = x2 + x + 10 3 3 mientras que el consumo de ox´ıgeno para un corredor a x millas/hora est´a dada aproximadamente por g(x) = 11x + 10 (a) Trace las gr´aficas de f y g ( en un mismo plano cartesiano ). Soluci´ on: La gr´ afica de ambas funciones en un mismo plano es: 100 80 60 y 40 20 –4 –2 0 2 4 6 8 x (0.5 Ptos) (b) ¿A qu´e velocidad es id´entico el consumo de ox´ıgeno para una persona que camina y para otra que corre? Soluci´ on: Hay que imponer que ambos consumos sean iguales, es decir 5 5 5 5 f (x) = g(x) ⇔ x2 + x + 10 = 11x + 10 ⇔ x2 + x = 11x 3 3 3 3 ⇔ 5x2 + 5x = 33x ⇔ x(5x − 28) = 0 Luego si x = hora. 28 5 = 5.6, los consumos son iguales, es decir a una velocidad de 5.6 millas por (0.5 Ptos) (c) ¿Qu´e sucede con el consumo de ox´ıgeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en la parte (b)? Soluci´ on: De la gr´ afica, claramente a una velocidad mayor a la obtenida en la parte (b), el consumo de ox´ıgeno para una persona que camina es mayor al consumo de una persona que corre (f (x) > g(x)). (0.5 Ptos) 3. La concentraci´on de un medicamento en un o´rgano al instante t ( en segundos ) est´a dada por x(t) = 0.08 + 0.12 · e−0.02t donde x(t) son gramos/cent´ımetros c´ ubicos (gr/cm3 ) 6 Ptos) (b) ¿Cu´ anto tiempo tardar´ a en alcanzar 0. (0. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formando un a´ngulo de 60◦ con la pared.1 segundos la concentraci´on es de 0.02 0. (a) Si se sabe que sin α + cos α = . (0.18. formando un a´ngulo de 30◦ con la pared.18 gr/cm3 . demuestre que 2 sin α · cos α = − 3 8 Soluci´ on: Elevando la expresi´ on al cuadrado se obtiene: sin2 α + 2 sin α · cos α + cos2 α = 2 sin α · cos α = 1 4 1 3 −1=− 4 4 ⇒ sin α · cos α = − 3 8 (0.116 gr/cm3 .02t = 0.12 0.18 gr/cm3 de medicamento en el ´organo? Soluci´ on: x(t) = 0.02t = ⇒t=− ln 0.12 ≈ 9.(a) ¿Cu´ al es la concentraci´on pasado 1 minuto? Soluci´ on: Reemplazando t = 60 en la funci´ on se obtiene x(60) = 0.7 Ptos) (b) El extremo A de una escalera.02·60 ≈ 0.1 0.18 = 0.¿ Cu´ al es la longitud de la escalera? . se encuentra apoyado a una altura h metros del piso.9 Ptos) 1 4.12 · e−0.116 Rpta: Aproximadamente despu´es de 9. luego 0.1 0.08 + 0.116 Rpta: Despu´es de 1 minuto la concentraci´ on es de aproximadamente 0.1 ⇔ e−0.12 · e−0.02t ⇔ 0.12 · e−0.08 + 0. 8 Ptos) .73 3−1 (0.Soluci´ on: La situaci´ on es la siguiente: 1 30 L 60 h−1 60 30 De la figura se pueden obtener las siguientes relaciones: sin 60 = sin 30 = h ⇒ h = L · sin 60 L h−1 ⇒ h = L · sin 30 + 1 L Igualando: L · sin 60 = L · sin 30 + 1 ⇔ L(sin 60 − sin 30) = 1 ⇒L= 1 = sin 60 − sin 30 √ 3 2 1 − 1 2 =√ 2 ≈ 2. Soluci´on: Hay que resolver la inecuaci´on x−1 ≥ 0.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Soluci´on: • Dominio= R − {−2}. 0.5 Ptos. (c) Si g(x) = 3x + 2a. 2[∪[1.4 Ptos.5 Ptos. La tabla asociada es: x+2 −∞ −2 1 ∞ x−1 − − + x+2 − + + S (+) (−) (+) cuya soluci´on es S =] − ∞.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL . (b) Calcule Dominio y recorrido de f (x). x−1 ⇔ yx + 2y = x − 1 ⇔ yx − x = −2y − 1 x+2 −2y − 1 ⇔ x(y − 1) = −2y − 1 ⇒ x = y−1 Luego. ∞[. cuyos valores cr´ıticos son -2 y 1. 0. . 2006 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 26 de Mayo de 2006 1.1 Ptos.FMM 032 1er Semestre. Dada la funci´on y = f (x) = x−1 : x+2 (a) Encuentre x tal que f (x) ≥ 0. encuentre el valor de la constante a de modo que f (g(1)) = 2. • Recorrido: y= 0. Soluci´on: f (g(1)) = f (3 + 2a) = 2 + 2a 3 + 2a − 1 = =2 3 + 2a + 2 5 + 2a ⇔ 2 + 2a = 10 + 4a ⇒ a = −4 0. el recorrido es R − {1}. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. viene dada por: −b −k · a a xm´ax = = = 2a 2 · −k 2 Rpta: Para que la velocidad de reacci´on sea m´axima. (50.5 Ptos. como por ejemplo la reacci´on A+X →X Si se asume que esta reacci´on se produce en un recipiente cerrado. se comporta de manera lineal con la edad x (a) Determine la funci´on P = f (x). El modelo a determinar es P = −5x + n. El libro Sex and the Origins of Death. la velocidad de reacci´on est´ a dada por R(x) = kx(a − x) siendo a la concentraci´on inicial de A y x la concentraci´on inicial de X. presenta estad´ısticas de ese tipo. 0). la concentraci´on debe ser igual a de medida. Soluci´on: La velocidad de reacci´on se puede escribir como R(x) = −kx2 + kax. (b) ¿Qu´e edad corresponde para un porcentaje de fertilidad de 30%? Soluci´on: Reemplazando P por 30: 30 = −5x + 250 ⇔ −5x = −220 ⇒ x = 44 Rpta: Para un porcentaje de fertilidad de 30% corresponde a una edad de 44 a˜ nos.2. 100).5 Ptos. Por ejemplo. como media. Suponiendo que el porcentaje de fertilidad P . . de William Clark. Soluci´on: Los puntos a considerar son (30. Una reacci´on autocatal´ıtica utiliza el producto resultante para la formaci´on de un nuevo producto . Luego: m= 100 − 0 100 =− = −5 30 − 50 20 0. de un 100% a los 30 a˜ nos hasta un 0% a los 50 a˜ nos. la fertilidad femenina cae. y la concentraci´on para que la velocidad de reacci´on sea m´axima. 0.8 Ptos. a 2 unidades 0. donde n se obtiene reemplazando alguno de los dos puntos: 0 = −5 · 50 + n ⇒ n = 250 ⇒ P (x) = −5x + 250 0.5 Ptos. (a) Determine la concentraci´on x de modo que la velocidad de reacci´on sea la m´axima. 3. siendo z = 0 el valor de la superficie. I(1) = 0. Si I(z) indica la intensidad de luz(en %) a la profundidad z(en metros). para k = 2 y a = 6. Soluci´on: Para z = 1.5 Ptos.7 Ptos.9) = −α ⇒ α = − ln(0.9) ≈ 0. suponiendo que el 10% de la luz se absorbe en el primer metro. es decir: 0. entonces I(z) = I0 · e−αz siendo α una constante positiva denominada coeficiente de atenuaci´on vertical e I0 la intensidad en la superficie.9 = e−α / ln ⇔ ln(0. 0. Calcule α. . La intensidad de luz en los lagos disminuye exponencialmente con la profundidad. 4.(b) Grafique la funci´on R(x).9I0 = I0 · e−α ⇔ 0. Soluci´on: La funci´on a graficar es R(x) = 2x(6 − x) = −2x2 + 12x.105 1.9I0 . 8 Ptos x−1 (b) Considerando que g(x) = y que g(a) = 1. es decir: g(a) = a−1 = 1 ⇔ a − 1 = 2a + 3 2a + 3 ⇒ a = −4 Luego.FMM 032 2do Semestre.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. con este valor se obtiene lo pedido: g a 4 + g(a + 4) = g(−1) + g(0) = −2 − 1 −7 = 3 3 0. (a) Calcular el dominio de la funci´on r f (x) = 1− x+1 x−1 Sol: El dominio viene dado por 1− x+1 −2 2 ≥0⇔ ≥0⇔ ≤0 x−1 x−1 x−1 ⇔x−1<0⇒x<1 Luego el dominio es Dom =] − ∞. calcule el valor num´erico de 2x + 3 a g + g(a + 4) 4 Sol: Calculemos el valor de la constante a. 0. Y CALCULO ELEMENTAL . Por condici´on g(a) = 1. 1[. 2006 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 27 de Octubre de 2006 1.DE ALG.7 Ptos . Sol: Para x = 100: y(100) = 0. 1. representa el n´ umero de accidentes automovil´ısticos que se producen durante el d´ıa. est´a dada por la funci´on C(t) = t−3/2 donde C est´a medido en gramos. la cantidad de calcio en la sangre es de 0. Luego: C(0.54 Rpta: Permanecen en la sangre aprox.9 d´ıas.54 gramos.9 Rpta: Despu´es de 2.2. 3. La siguiente funci´on y = 0.1875x2 − 18x + 670. La cantidad de calcio que permanece en la sangre. despu´es de t d´ıas de inyectar calcio al torrente sangu´ıneo.0 Pto. 1.5 Ptos (b) ¿En qu´e instante. determine (a) ¿Cu´antos gramos de calcio permanecen en la sangre despu´es de 18 horas? Sol: Como el tiempo est´a en d´ıas 18 horas = 0. donde x es la velocidad a la cual viaja el autom´ovil. 0.75) = (0.1875 · (100)2 − 18 · 100 + 670 = 745 La cantidad de accidentes en un d´ıa para una velocidad de 100 km/hra es de 745.2 gramos. la concentraci´on de calcio en la sangre alcanzar´a 0. (a) Determine el n´ umero de accidentes que se producen si el autom´ovil viaja a una velocidad de 100 km/hora.75)−3/2 ≈ 1.5 Ptos (b) ¿A qu´e velocidad debe viajar para que el n´ umero de accidentes sea m´ınimo? Sol: La cantidad m´ınima de accidentes viene dada por el v´ertice de la funci´on cuadr´atica: xmin = −b 18 = = 48 2a 2 · 0.75 d´ıas.2 gramos? Sol: Se debe imponer que: 0. 0.5 Ptos . 0.1875 La velocidad m´ınima es de 48 km/hra.2 = t−3/2 ⇔ t3/2 = 5 /()2 t3 = 25 ⇒ t = √ 3 25 ≈ 2. 1875 · 482 − 18 · 48 + 670 = 238 La m´ınima cantidad de accidentes es de 238 en un d´ıa. Sol: El esquema se aprecia en la siguiente figura: De la figura se pueden obtener las siguientes relaciones: • tan 27 = 150 150 ⇒x= (1) x tan 27 • tan 41 = h − 150 (2) x Reemplazando (1) en (2) se obtiene: tan 41 = h − 150 ⇔h= 150 tan 27 = tan 27 · (h − 150) 150 tan 41 · 150 + 150 ≈ 406 tan 27 La altura del edificio B es de aprox.5 Ptos 4. 1.5 Ptos . 406 pies.(c) ¿Cu´al ser´ıa el n´ umero de accidentes m´ınimos? Sol: La cantidad m´ınima de accidentes se obtiene como: ymin = y(48) = 0. calcular la altura del edificio B. Con esta informaci´on. Un observador situado en el techo de un edificio A mide un ´angulo de depresi´on a la base de otro B de 27o . el ´angulo de elevaci´on desde el techo del edificio A al techo del edificio B es de 41o . si la altura del edificio A es de 150 pies. Adem´as. 0. Y CALCULO ELEMENTAL .5 mg/ml [U ] · V mediante venoclisis. En el curso de la medici´on. en la orina? Sol: Con los datos del problema se debe imponer que: 90 ≤ 2U 1. ∀x y el problema se reduce solamente a resolver la inecuaci´on x − 1 < 0.6 Ptos Claramente el t´ermino (x − 2)2 > 0. ∀x. 1[. Resolver una de las siguientes inecuaciones: (a) |x + 3| + 2x ≤2 x−1 (b) 2 x + <2 x 2 (a) Sol: |x + 3| + 2x |x + 3| + 2x |x + 3| + 2x − 2x + 2 ≤2⇔ −2≤0⇔ ≤0 x−1 x−1 x−1 ⇔ |x + 3| + 2 ≤0 x−1 0. 0. var´ıa [P ] entre 90 y 100 ml/min antes y despu´es de ingerir agua. Si [T F G] = . La concentraci´on plasm´atica de inulina (mg/ml). La tasa de flujo urinario V es constante a 2 ml/min. cuya soluci´on es S =] − ∞.6 Ptos 2.6 Ptos (b) Sol: 2 x 2 x 4 + x2 − 4x + <2⇔ + −2<0⇔ <0 x 2 x 2 2x ⇔ (x − 2)2 <0 2x 0.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. 0. 2007 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 18 de Mayo de 2007 1. ¿c´omo var´ıa la concentraci´on de inulina.[P ].DE ALG.FMM 032 1do Semestre.6 Ptos Claramente |x + 3| + 2 > 0. Un paciente recibi´o inulina para medir su tasa de filtraci´on glomerular [T F G]. se mantiene constante a 1.6 Ptos .5 2 0. la tasa de flujo urinario se modifica deliberadamente d´andole a beber grandes cantidades de agua. [U ]. que es la soluci´on de la inecuaci´on.5 ≤ 100 / · 1. y en este caso el problema se reduce a resolver solamente x < 0. Sol: h(x) = (g o f )(x) = 3 (x − 1) 3x − 3 + 2x + 4 5x + 1 +2= = x+2 x+2 x+2 0.4 Ptos .5 ⇔ 67.2 Ptos Calculemos el recorrido: y= 5x + 1 ⇔ yx + 2y = 5x + 1 ⇔ x(y − 5) = 1 − 2y x+2 ⇒x= 1 − 2y ⇒ Rec h = R − {5} y−5 0. x−5 0.90 · 1.5 ≤ U ≤ 50 · 1.2 Ptos (c) Verifique que Sol: (h o h−1 )(x) = x.2 Ptos ⇒ Dom h = R − {−2} 0. (h o h −1 )(x) = 5(1−2x) x−5 + 1 1−2x x−5 + 2 = = 5−10x+x−5 x−5 1−2x+2x−10 x−5 −9x =x −9 0. Considere las funciones f : R − {−2} −→ R − {1} x −→ y = f (x) = g : R −→ R x−1 x+2 x −→ y = g(x) = 3x + 2 (a) Encuentre dominio y recorrido de h(x) = (g o f )(x).6 Ptos 3.5 y 75 mg/ml.5 ≤ U ≤ 75 2 Rpta: La concentraci´on de inulina en la orina var´ıa entre 67. 0.2 Ptos (b) Determine una expresi´on para h−1 (x). Sol: De la parte (a) se deduce autom´aticamente que h−1 (x) = 1 − 2x . es decir: 200t − 5t2 = 0 ⇔ 5t(40 − t) = 0 → t = 0 ∨ t = 40 Luego. viene dada por: h(t) = 200t − 5t2 (a) ¿Cu´anto se demora la bala en alcanzar la m´axima altura? Sol: El tiempo m´aximo viene dado por: tm´ax = −b 200 =− = 20 2a 2 · −5 Rpta: El tiempo necesario para que alcance la altura m´axima es de 20 segundos. Si el paciente no sigue un tratamiento adecuado. Despejando k: 2 = e24k / ln ⇔ k = ln 2 ≈ 0.0289t . Cuando una colonia de staphylococcus llega a 106 unidades. 0. Una bala es lanzada de modo que su altura en metros en funci´on del tiempo en segundos. hay una alta probabilidad de presentar una infecci´on renal. se debe imponer que 2 · 106 = 106 · e24k .2 Ptos . 0.059. la bala demora 40 segundos en caer al suelo.4 Ptos 5.503 Rpta: Despu´es de 2 horas hay aproximadamente 1.0289 24 Finalmente el modelo es de la forma N (t) = 106 · e0. Sol: Por condici´on del problema.4 Ptos (c) ¿Cu´anto demora en caer al suelo? Sol: Se debe imponer que h(t) = 0.4.059.503 bacterias.6 Ptos (b) ¿Cu´antas bacterias habr´a despu´es de 2 horas de haber sido detectada la infecci´on? Sol: Se calcula simplemente N (2): N (2) = 106 · e0.4 Ptos (b) ¿Cu´al fue la m´axima altura alcanzada por la bala? Sol: La m´axima altura se obtiene como: hm´ax = h(20) = 200 · 20 − 5 · (20)2 = 2000 Rpta: La altura m´axima es de 2000 metros. que represente la situaci´on pr´actica. y se sabe que la colonia se duplica cada 24 horas (a) Determine la funci´on de la forma N (t) = 106 · ekt .0289·2 ≈ 1. 0. 0. 0. 0289t ⇔ 104 = e0.0289t / ln t= ln 104 ≈ 319 0. se obtiene: 1010 = 106 · e0. ¿Cu´anto tiempo tiene el paciente como m´aximo.0289 0. antes que sea demasiado tarde? Sol: Imponiendo que N (t) = 1010 . para someterse a un tratamiento. la vida del paciente est´a en peligro.4 Ptos .(c) Si el n´ umero de bacterias llega a 1010 . Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032 2do Semestre, 2007 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 19 de Octubre de 2007 1. Encontrar la soluci´on de la inecuaci´on x p 4 − |x| ≥0 Sol: Se sabe que p 4 − |x| > 0. Para que la raiz est´e bien definida imponemos la restricci´on 4 − |x| > 0 ⇔ |x| < 4 0.5 Ptos. Luego, resolver la inecuaci´on inicial es equivalente a resolver x ≥ 0. De esta manera, la soluci´ on final viene dada por: Sf = |x| < 4 ∩ x ≥ 0 = [0, 4[ 0.7 Ptos. 2. Pasados t minutos despu´es de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el n´ umero de bacterias est´a dado por N (t) = 10.000 + 2.000 t2 + 1 Utilizando inecuaciones, determine el instante en que el n´ umero de bacterias sea a lo m´as 4.000. Sol: Se debe imponer que N (t) ≤ 4.000, es decir: 10.000 10.000 + 2.000 ≤ 4.000 ⇔ 2 ≤ 2.000 / : 2.000 2 t +1 t +1 ⇔ t2 5 √ ≤ 1 ⇔ t2 + 1 ≥ 5 ⇔ t2 ≥ 4 / +1 ⇒ |t| ≥ 2 ⇔ t ≥ 2 ∨ t ≤ −2 0.8 Pto por contexto, nos quedamos con t ∈ [2, ∞[. Rpta: El n´ umero de bacterias ser´a de a lo m´as 4.000 pasados 2 minutos. 0.4 Ptos. 2 , encuentre el valor de las constantes a y b de modo que se cumpla x+2 simult´aneamente f (1) = g(1) ; f (−1) = 43 . 3. Sean f (x) = ax + b ; g(x) = Sol: Imponiendo las condiciones se establecen las ecuaciones que resuelven el problema: f (1) = g(1) ⇔ a + b = f (−1) = 2 3 4 4 ⇔ −a + b = 3 3 0.8 Ptos. Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a que a = − 13 ; b = 1. 0.4 Ptos. 4. Un is´otopo del sodio 24 Na, tiene una vida media de 15 horas. Suponga que la cantidad de este is´ otopo que queda, despu´es de t horas, viene dada por la funci´on exponencial N (t) = N0 · e−kt Si la cantidad inicial de este is´otopo es de 2 gramos, calcule el tiempo necesario para que la masa se reduzca a 0.01 gramos. Sol: El modelo a considerar es N (t) = 2 · e−kt . Por condici´on de vida media, se debe imponer que: 1 = 2 · e−15k ⇒ k = − ln(0.5) ≈ 0.0462 15 0.6 Ptos. Luego, para obtener el tiempo necesario para que la masa se reduzca a 0.01 gramos: −0.0462t 0.01 = 2 · e ln 0.01 2 ⇒t=− ≈ 114.68 0.0462 Rpta:El tiempo necesario para que la masa se reduzca a 0.01 gramos es de aproximadamente 116.68 horas. 0.6 Ptos. 5. Demuestre la identidad trigonom´etrica: 1 − (sin6 x + cos6 x) = 3 sin2 x · cos2 x Sol: 1 − (sin6 x + cos6 x) = 1 − (sin2 x + cos2 x)(sin4 x − sin2 x · cos2 x + cos4 x) | {z } 1 = 1 − (sin4 x − sin2 x · cos2 x + cos4 x) = sin2 x + cos2 x − (sin4 x − sin2 x · cos2 x + cos4 x) = sin2 x · (1 − sin2 x) + cos2 x · (1 − cos2 x) + sin2 x · cos2 x | {z } | {z } cos2 x sin2 x = sin2 x · cos2 x + sin2 x · cos2 x + sin2 x · cos2 x = 3 sin2 x · cos2 x 1.2 Ptos. Se determin´o que el calmante es efectivo si la concentraci´on es de por lo menos 75 miligramos por litro . la soluci´on es t ∈ [5. Es decir: −t2 + 20t ≥ 75 ⇔ t2 − 20t + 75 ≤ 0 ⇔ (t − 15)(t − 5) ≤ 0 Construyendo la tabla de valores cr´ıticos: −∞ t−5 t − 15 Sol 5 − − (+) 15 + − (−) +∞ + + (+) 1. var´ıa en su efectividad en el tiempo seg´ un la expresi´on C = −t2 + 20t donde C es la concentraci´on del calmante en el suero para que haga efecto durante t horas.3 Ptos. La concentraci´on de cierto calmante suministrado mediante suero. Y CALCULO ELEMENTAL . Bajo estas condiciones.0 Pto. .FMM 032 1er Semestre. 2008 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 16 de Mayo de 2008 1. 15].Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.2 Ptos.DE ALG. el calmante es efectivo entre 5 y 15 horas. y utilizando inecuaciones. 0. 0. ¿durante cu´anto tiempo es efectivo el calmante? Sol: Se debe imponer que C = −t2 + 20t ≥ 75. Por lo tanto. Claramente. 3 Ptos ) (f) Falsa. Reemplazando los puntos se forma el sistema de ecuaciones 10m + n = 23 50m + n = 63 0. ( 0. h(x) = 3x − 2 Determine si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas: (a) Rec h = R (b) Recf = R (c) 6 ∃ g(f (−1)) (d) 0 ∈ Rec g (e) h(g(x)) = (f) f es par. ( 0.3 Ptos ) (c) Verdadera ( 0. n = 13. Considere las siguientes funciones: f (x) = x2 + 2x . 63). 5 − 2x x+1 Sol: Las claves son las siguientes: (a) Verdadera ( 0.5 · e−0. Sol: Los pares de puntos a considerar son de la forma (10.2 Ptos ) (e) Falsa. mientras que un paciente de 50 kg de peso debe recibir 63 mg del f´armaco. 0. expresado en kg.2 Ptos ) 3.8 Ptos cuya soluci´on es m = 1. la funci´on lineal a construir es de la forma D = mx + n. El peso W ( en kg ) de una poblaci´on de elefantes africanos hembras est´a relacionado con la edad t ( en a˜ nos ) mediante la funci´on: W (t) = 2600 · 1 − 0.2 Ptos ) (d) Falsa ( 0.075t 3 (a) ¿Cu´anto pesa un elefante reci´en nacido? Sol: Basta calcular W (0): 3 1 2600 W (0) = 2600 · = = 325 2 8 El peso del elefante reci´en nacido es de 325 Kg.5 Ptos . Determinar la funci´on lineal que expresa la dosis correcta para un individuo en t´erminos del peso x en kg. g(x) = (x + 1)−1 . Finalmente la funci´on lineal pedida es D(x) = x + 13 0. Sabemos que a un paciente de 10 kg de peso se le debe administrar 23 mg diarios de la sustancia.7 Ptos 4.3 Ptos ) (b) Falsa ( 0.2. La dosis recomendada de determinado medicamento ( medida en mg ) es una funci´on lineal del peso x del paciente. 23) y (50. Luego. 075t )3 ⇔ ⇔ 0.55 a˜ nos.0 Pto. Sol: Se impone que W (t) = 1800: 9 √ = (1 − 0.075 9 13 !! ≈ 19.075t = 2 1 − =1− 13 13 1800 = 2600 · (1 − 0. 1.(b) Estime la edad de una hembra adulta si pesa 1800 kg.5 · e−0.075t = ln 2 1 − ⇒t= 3 q 9 ln 2 1 − 3 13 −0. .55 La edad de una hembra adulta es de aproximadamente 19.5 · e−0.075t r −0.5 · e−0.075t )3 / 3 13 r ! r 3 9 3 9 / ln ⇔ e−0. Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032 2do Semestre, 2008 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 17 de Octubre de 2008 1. Considere la ecuaci´on de segundo grado kx2 − x + k = 0 donde k es una constante arbitraria. Utilizando inecuaciones, determine entre qu´e valores se mueve la constante k de modo que la ecuaci´on tenga soluciones reales y distintas. Ind: Una ecuaci´on de segundo grado ax2 + bx + c = 0, tiene soluciones reales y distintas si, el discriminante 4 = b2 − 4ac > 0. Sol: Imponiendo la condici´on a la ecuaci´on: (−1)2 − 4k · k > 0 ⇔ 1 − 4k 2 > 0 ⇔ 4k 2 < 1 ⇔ k 2 < ⇒ |k| < 1 4 1 1 1 ⇔− <k< 2 2 2 1.5 Ptos. 2. Considere las funciones f (x) = x+4 1+x y g(x) = 5x − 4 (a) Encontrar el dominio de h(x) = f (x) + g(x) Sol: Se sabe que • Dom f = R − {−1} • Dom g = R Luego: Dom h(x) = Dom f ∩ Dom g(x) = R − {−1} 0.7 Ptos. (b) Determine el valor de la constante a ∈ R, de modo que (f o g)(a) = −2 Sol: Imponiendo la condici´on (f o g)(a) = f (g(a)) = f (5a − 4) = 5a − 4 + 4 5a = = −2 1 + 5a − 4 5a − 3 ⇔ 5a = −10a + 6 ⇔ 15a = 6 ⇒a= 6 2 = 15 5 0.8 Ptos. 3. Asumiendo que el crecimiento de una poblaci´on de bacterias es proporcional al n´ umero N (t) de bacterias presente en cada instante t(en horas), es posible obtener un modelo exponencial de la forma N (t) = N0 · ekt donde N0 es la cantidad inicial de bacterias y k una constante positiva. Si al cabo de 3 horas hay 20.749 bacterias y en 6 horas hay 26.909 bacterias, ¿cu´al fue el n´ umero inicial de la colonia en estudio? Soluci´on: Por las condiciones del problema se cumple que: 20749 = N0 · e3k 26909 = N0 · e6k 0.5 Ptos Dividiendo ambas ecuaciones y despejando k, se obtiene: e3k = ⇒k= ln 26909 / ln 20749 26909 20749 3 ≈ 0.0866 0.5 Ptos Reemplazando k en una de las dos ecuaciones se obtiene el valor de N0 : N0 = 20749 ≈ 16002 e3·0.0866 Rpta: La cantidad inicial es de aproximadamente 16002 bacterias. 0.5 Ptos 4. Demuestre la siguiente identidad trigonom´etrica sec2 x − tan3 x = tan x cot x Sol: sec2 x − tan3 x · sec2 x sec2 x − tan3 x · cot x − tan3 x = = cot x cot x cot x = 1 tan x sec2 x − tan2 x 1 = = tan x cot x cot x 1.5 Ptos. FMM 032 1er Semestre. la funci´on lineal es: T (h) = − 100 h + 60.4 Ptos . Sol: Los puntos a considerar son de la forma (h. T ).000 pies en altitud baja la temperatura del aire a 10o F. es decir (0. Encuentre la soluci´on de la siguiente inecuaci´on: 5 ≤ x2 − 4 ≤ 12 Sol: 5 ≤ x2 − 4 ≤ 12 / + 4 ⇔ 9 ≤ x2 ≤ 16 / √ ⇔ 3 ≤ |x| ≤ 4 ⇔ |x| ≤ 4 ∧ |x| ≥ 3 ⇔ ([−4. un aumento de 5. (a) Encuentre la funci´on T = f (h). (5000. 4] 1.8 Ptos (b) Utilizando la funci´on encontrada en la parte (a). 10 = 5000m + 60 → m = − 1 100 1 Luego. asociada al problema. 0.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Y CALCULO ELEMENTAL . −3]) ⇔ [−4. 60).2 Ptos. la funci´on lineal a determinar es de la forma T = mh + n. la altitud es de 6000 pies. 0.DE ALG. −3] ∪ [3. 10). La relaci´on entre la temperatura del aire T ( en grados Farenheit ) y la altitud h ( en pies sobre el nivel del mar ) es aproximadamente lineal. 2. 4]) ∩ ([3. determine la altitud para una temperatura del aire de 0o F. Reemplazando los puntos se llega a: 60 = 0 + n → n = 60 . 2009 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 15 de Mayo de 2009 1. De esta forma. Si la temperatura al nivel del mar es 60o F. ∞[∪] − ∞. Sol: Basta reemplazar en la funci´on T = 0: 0=− 1 h + 60 → h = 6000 100 A una temperatura de 0o F. se impone: 5 = 10 · 0.6 Ptos Ind: La vida media del medicamento corresponde al tiempo necesario para el cual la cantidad de medicamento es la mitad de la inicial.21 ln 0. 5.5 ≈ 3.10 ln 0.Exprese y en t´erminos t. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad A(t) que queda en el cuerpo t horas despu´es. est´a dada por A(t) = 10 · (0.8 Luego. 0.8t / ln 5 t · ln 0.1 horas. Es decir: y = −(8t + 90)2 + 80(8t + 90) = −64t2 − 1440t − 8100 + 640t + 7200 = −64t2 − 800t − 900 1.21 horas. Un medicamento se elimina del cuerpo a trav´es de la orina. (a) Determine cu´ando quedan s´olo 2 mg.2 ⇒ t = ln 0.8 Para que queden s´olo 2 mg. Suponga que cuando hay x peces peque˜ nos.8t ⇔ 0.3.8t = 0. Sol: S´olo basta con reemplazar el valor de x en la funci´on y = −x2 + 80x. deben transcurrir aproximadamente 7.8 = ln 0. la vida media del medicamento es de aproximadamente 3. entonces x = 8t + 90. la poblaci´on de depredadores es y = −x2 + 80x. Si la temporada de pesca termin´o hace t semanas.2 ≈ 7.6 Ptos (b) ¿Cu´al es la vida media del medicamento? Sol: Por condici´on de vida media. En un lago grande un pez depredador se alimenta de uno m´as peque˜ no y la poblaci´on de depredadores en cualquier instante est´a en funci´on del numero de peces peque˜ nos que hay en el lago en ese momento. Sol: S´olo basta imponer que A(t) = 2: 2 = 10 · 0.8t ⇔ 1 = 0.2 Ptos 4. 0.5 ⇒ t = ln 0.8)t Para que el f´armaco haga efecto debe haber en el cuerpo por lo menos 2 mg. Demuestre la siguiente identidad trigonom´etrica: 1 + tan α 1 + cot α + =0 1 − tan α 1 − cot α Sol: 1+ 1 + tan α 1 + cot α + = 1 − tan α 1 − cot α 1− sin α cos α sin α cos α 1+ + 1− cos α sin α cos α sin α . = = sin α+cos α cos α cos α−sin α cos α + sin α+cos α sin α sin α−cos α sin α = sin α + cos α sin α + cos α + cos α − sin α sin α − cos α sin2 α − cos2 α + cos2 α − sin2 α 0 = =0 (cos α − sin α)(sin α − cos α) (cos α − sin α)(sin α − cos α) 1.2 Ptos . 4 / + (−14.48 + 7.DE ALG. 8 3 Si la primera lectura L1 es de 7.97 y 8. La acidez del agua en un estanque se considera normal cuando el promedio de tres lecturas diarias de pH es mayor que 7.4 Ptos Confeccionando la tabla de los valores cr´ıticos: −∞ x−5 x−3 Sol 3 − − (+) 5 − + (−) +∞ + + (+) Por tanto la soluci´on es S =] − ∞.15 + L3 < 7.2 < 7.63 + L3 < 23.8 / · 3 ⇔ 21. +∞[ 0. 1.77 3 Luego. Encuentre el rango de valores de pH que se debe tener en la tercera lectura L3 para que resulte un nivel de acidez normal. 2 < L1 + L2 + L3 < 7. En t´erminos de f´ormula esto ser´ıa: 7. Y CALCULO ELEMENTAL .6 < 14.8 Ptos 2.97 < L3 < 8. se tiene que: 7. Sol: Reemplazando los valores de L1 y L2 . Encuentre la soluci´on de la inecuaci´on 5x2 − 40x + 75 ≥ 0 Sol: 5x2 − 40x + 75 ≥ 0 ⇔ x2 − 8x + 15 ≥ 0 ⇔ (x − 5)(x − 3) ≥ 0 0. 48 y la segunda lectura L2 es de 7.63) ⇔ 6.77. la tercera lectura debe estar entre 6. 2 y menor que 7. 15 .FMM 032 2do Semestre.2 Ptos . 3] ∪ [5. 8 . 2009 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 16 de Octubre de 2009 1.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. 97 segundos −0.6 Ptos 4.2·5 ) ≈ 50. ¿Cu´ando se alcanza la concentraci´on m´axima.06 =− = 150 minutos 2a 2 · −0.2t = 1 − = = / ln 80 80 80 20 t= ln 0. Sol: Basta con calcular v(5): v(5) = 80 · (1 − e−0.2t ) ⇔ 76 76 4 1 = 1 − e−0.2t ) donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies/seg.6 Ptos 5.6 Ptos Y la concentraci´on m´axima es: Cmax = C(150) = 0.06t − 0.0002 0. Un paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. Demuestre la identidad trigonom´etrica sec α + csc α = sin α + cos α tan α + cot α Sol: .06 · 150 − 0. Cuando cierto f´armaco se toma oralmente. Se puede demostrar que la velocidad de descenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como v(t) = 80 · (1 − e−0. (a) Calcule la velocidad despu´es de 5 segundos.05 ≈ 14. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad.3. su concentraci´on en el torrente sangu´ıneo del paciente despu´es de t minutos est´a dada por C(t) = 0.2t ⇔ e−0.5 mg/litro 0.2 0.6 Ptos (b) ¿Despu´es de cu´antos segundos la velocidad ser´a de 76 pies/seg? Sol: S´olo hay que imponer v = 76: 76 = 80 · (1 − e−0.0002 · 1502 = 4.0002t2 donde C(t) se mide en mg/L. y cu´al es esa concentraci´ on m´axima ? Sol: El instante donde se alcanza la concentraci´on m´axima viene dado por: tmax = − b 0.57 pies/seg 0. 2 Ptos ´ DURACION: 90 MINUTOS SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA SIN CONSULTAS .sec α + csc α = tan α + cot α 1 cos α sin α cos α + + 1 sin α cos α sin α = sin α+cos α sin α·cos α sin2 α+cos2 α sin α·cos α sin α + cos α = sin α + cos α 2 2 sin α + cos α | {z } 1 1. Justifique.0 Pto. Hace cinco a˜ nos. Sol: Calculemos f −1 (x): y = 5 − 3x ⇒ x = 5−y 5−x ⇒ f −1 (x) = 3 3 Luego: g(f −1 r 5 4 16 = +1= (1)) = g 3 9 3 1. 0. 2010 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 04 de Junio de 2010 1. g(x) = √ x2 + 1.5 Ptos. (b) Determine si la funci´on g(x) es par. la poblaci´on de una peque˜ na comunidad ind´ıgena era de 500 personas. Sol: Los puntos a considerar son (0. Como consecuencia de su integraci´on con otras comunidades la poblaci´on ascendi´o a 4000 personas. impar o ninguna de ellas. 1. 4000). Y CALCULO ELEMENTAL .DE ALG. De esta forma se tiene que: 500 = m · 0 + n → n = 500 Adem´as se cumple que: 4000 = 5m + 500 ⇔ 5m = 3500 → m = 700 Finalmente la funci´on lineal pedida es P (t) = 700t + 500. Sean f (x) = 5 − 3x .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.0 Pto. Luego la funci´on lineal pedida es P (t) = mt + n. .FMM 032 1er Semestre. la funci´on g(x) es par. 2. Suponiendo que el crecimiento se comporta de manera lineal: (a) Encuentre la funci´on lineal que exprese la cantidad de personas en t´erminos del tiempo en a˜ nos. Sol: g(−x) = p p (−x)2 + 1 = x2 + 1 = g(x) ⇒ g(x) = g(−x) Por lo tanto. 500) y (5. (a) Encuentre (g o f −1 )(1). Al principio se reprodujeron r´apidamente. por lo cual pasados 26 meses la poblaci´on de iguanas se extingue. . Comienza a enfriarse de modo que su temperatura en el instante t se determina mediante T (t) = 65 + 145 · e−0. En una isla se introdujeron 104 iguanas para convivir en un determinado ecosistema.5 Ptos. 3. 4. En una fiesta se sirve un taz´on de sopa caliente.000 habitantes? Sol: Ocupando la funci´on lineal de la parte (a): 10.(b) ¿Cu´ando llegar´a aproximadamente la poblaci´on a 10. 0.000 = 700t + 500 ⇒ t = 9500 ≈ 13.8 Ptos.05t donde t se mide en minutos y T se mide en o F. (a) ¿Cu´al es la temperatura de la sopa despu´es de 10 minutos? Sol: S´olo basta con reemplazar t = 10 en la funci´on: T (10) = 65 + 145 · e−0.9o F 0. pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la poblaci´on decreci´ o.5 Ptos.7 Ptos. 0. El n´ umero de iguanas a los t meses de haberlos dejado en la isla est´a dado por el modelo: S(t) = −t2 + 22t + 104 (t > 0) (a) ¿En qu´e instante la poblaci´on de iguanas se extingue? Sol: Hay que imponer que S(t) = 0: −t2 + 22t + 104 = 0 ⇔ t2 − 22t − 104 = 0 ⇔ (t + 4)(t − 26) = 0 ⇒ t = −4 ∨ t = 26 Se descarta la soluci´on negativa. (b) ¿En qu´e instante la poblaci´on de iguanas es m´axima? Sol: El instante m´aximo viene dado por t=− −22 b = = 11 2a 2 · −1 A los 11 meses se encuentra la cantidad m´axima de iguanas.5 a˜ nos 700 0.05·10 ≈ 152. 05 1.0 Pto. el instante en que la temperatura es m´axima es que se produce un m´ınimo es 3π 4 = 2. Al inyectar un determinado f´armaco a una rata de laboratorio se observa que el animal presenta variaciones de temperaturas en su sistema interno. Se logra establecer que dichas variaciones de temperaturas. en grados Celsius.35 minutos.9 Ptos. (a) Grafique un ciclo de la funci´on. se modelan mediante la funci´on f (x) = 3 + 1 sin(2x) 2 donde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el f´armaco ( en minutos ).6 Ptos.05t ⇔ e−0.05t ⇔ 35 = 145 · e−0.4 minutos −0. Sol: La gr´afica se muestra a continuaci´on: 0. (b) ¿En qu´e instante la temperatura es m´axima y m´ınima? Sol: De la gr´afica. π 4 = 0. .(b) ¿Despu´es de cu´anto tiempo la temperatura ser´a de 100o F? Sol: 100 = 65 + 145 · e−0.78 minutos y el instante en 0. 5.05t = 35 / ln 145 35 ln 145 ⇒t= ≈ 28. en intervalo del tiempo de reacci´on. 2010 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 15 de Octubre de 2010 1. 2 ≤1 (b) x−1 Sol: 3−x 2 ≤1⇔ ≤0 x−1 x−1 La tabla de valores cr´ıticos se muestra a continuaci´on: −∞ 1 3−x + x−1 − Sol (−) 3 + + (+) +∞ − + (−) Luego. es que el tiempo de reacci´on R. Y CALCULO ELEMENTAL .DE ALG. −1[∪[3. Encuentre la soluci´on de las siguientes inecuaciones: (a) 2x 1 + 1 < − 2x 5 5 Sol: 2x 1 1 1 + 1 < − 2x ⇔ 2x + 5 < 1 − 10x ⇔ x < − → S =] − ∞. .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Sol: 1≤N ≤5⇔1≤ R − 397 ≤ 5 / · 38 ⇔ 38 38 ≤ R − 397 ≤ 190 + 397 ⇔ 435 ≤ R ≤ 587 1.8 Ptos.FMM 032 2do Semestre. +∞[ 0. El resultado del experimento psicol´ogico de Sternberg sobre la recuperaci´on de la informaci´on.2 Ptos. en milisegundos. utilizando inecuaciones. de una persona.4 Ptos. 2. − [ 5 5 3 3 0. de acuerdo con las estad´ısticas se relaciona con el tama˜ no del conjunto de memoria N como sigue: N= R − 397 38 Encuentre. la soluci´on es S =] − ∞. sabiendo que 1 ≤ N ≤ 5. La cantidad de veneno. si se sabe que (f o h)(x) = g(x). miles de familias lo usar´an. 1 b (x). f (n). Una compa˜ n´ıa de investigaci´on de mercados estima que n meses despu´es de la introducci´on de un 120 10 2 nuevo producto. (a) Sean f (x) = 3x+1 . encuentre los valores de a y b de modo que f (x) = g Sol: Si g(x) = bx + 5 ⇒ g −1 (x) = x−5 b . Luego: 3x + a = De ac´a. (a) ¿Cu´antos mil´ıgramos de veneno habr´ıa en el torrente sangu´ıneo despu´es de 90 minutos de haberse aplicado el ant´ıdoto? Sol: Basta con evaluar t = 1. Luego.5) = 2 · e−0. 0. g(x) = bx + 5. (b) Si f (x) = 3x + a .4 Ptos . en donde f (n) = n− n . 5. Determinar el valor de h(3). 0.6 Ptos. Sol: La cantidad de meses que produce el m´aximo viene dada por: nmax = − 120 b = − 9−10 = 6 2a 2· 9 0. se deduce que 3 − −1 x−5 1 5 ⇔ x(3 − ) + a + = 0 b b b = 0 → b = 13 .6 Ptos. Determine el 9 9 n´ umero m´aximo de familias que usar´an el producto.5t donde V se mide en mil´ıgramos y t son las horas transcurridas desde que se aplic´o el ant´ıdoto.5·1. h(3) = x2 + 3x − 1 3 17 3 .6 Ptos. producto de la picadura de una ara˜ na.3. el n´ umero m´aximo de familias se obtiene como: f (6) = 120 10 2 ·6− · 6 = 40 mil familias 9 9 0.6 Ptos. Sol: Imponiendo la condici´on f (h) = 3h + 1 = x2 + 3x ⇒ h(x) = Luego. presente en el torrente sangu´ıneo una vez aplicado el ant´ıdoto est´a dado por la funci´on V (t) = 2 · e−0. g(x) = x2 +3x. Adem´as a + 15 = 0 → a = −15.5 ≈ 0.94 mil´ıgramos 0.5: V (1. 4. ¿cu´antas horas deber´an transcurrir desde que se aplic´o la primera dosis para aplicar la segunda? Sol: Imponemos V = 0.5t ⇔ e−0.5 = 2 · e−0.25 / ln ⇒t= ln(0.78 horas −0.5t = 0.5 0.(b) Si se debe aplicar una segunda dosis de ant´ıdoto cuando queden 0.25) ≈ 2.5 mil´ıgramos de veneno en la sangre.8 Ptos .5: 0. luego la soluci´on de la inecuaci´on es S =]0. Encuentre la soluci´on de las siguientes inecuaciones: (a) 2+x 1 + >1 4 x Sol: x2 − 2x + 4 2+x 1 + >1⇔ >0 4 x 4x Se puede apreciar que x2 − 2x + 4 > 0. Considere la funci´on f (x) = 1 . (b) 0 ≤ 2x − 4 < 5x + 8 Sol: Separando en dos casos: (2x − 4 ≥ 0) ∧ (2x − 4 < 5x + 8) ⇔ (x ≥ 2) ∧ (x > −4) Luego la soluci´on es S = [2. Y CALCULO ELEMENTAL . ∞[∩] − 4.FMM 032 1er Semestre. 2. ∞[. Encuentre el valor de la constante a de modo que x+1 1 2a + 1 f =f a+1 2a + 4 Sol: Por un lado: f 1 a+1 = a+1 ∧f a+2 2a + 1 2a + 4 = 2a + 4 4a + 5 Igualando: a+1 2a + 4 = ⇔ 4a2 + 9a + 5 = 2a2 + 8a + 8 a+2 4a + 5 ⇔ 2a2 + a − 3 = 0 ⇒ a = 1 ∨ a = − 3 2 . ∀x ∈ R. ∞[= [2. ∞[.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. 2011 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 20 de Mayo de 2011 1.DE ALG. 37t (a) ¿Cu´antas abejas hab´ıa inicialmente en el enjambre? Sol: Inicialmente hay P (0): P (0) = 228 = 4 abejas 1 + 56 · e0 (b) ¿Cu´anto tiempo le tomar´a a la colonia tener una poblaci´on igual a 180? Se impone que P = 180: 228 48 ⇔ e−0. Un delf´ın toma impulso y un salto por encima de la superficie del mar sigue la trayectoria h(t) = −t2 + 6t donde h es la altura que adquiere desde la superficie ( en metros ) y t el tiempo en transcurrido en segundos. Sol: Se impone que h = 5: −t2 + 6t = 5 ⇔ t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t − 1)(t − 5) = 0 ⇒t=1∨t=5 El delf´ın alcanza la altura 5 metros al segundo y a los 5 segundos.37t 1 + 56 · e 10080 48 ln 10080 ⇒t= ≈ 14. Sol: b −6 Se calcula tmax = − = = 3 segundos. El crecimiento de una colonia de abejas despu´es de t meses. (b) Calcule el tiempo para el cual la altura del delf´ın es m´axima. 2a 2 · −1 (c) ¿Cu´al es la altura m´axima? Sol: Basta con calcular h(3) = −9 + 6 · 3 = 9 metros (d) ¿En qu´e instante el delf´ın vuelve a sumergirse? Sol: Se impone que h = 0. 4. (a) Determine el(los) instante(s) en que el delf´ın alcanza una altura de 5 metros. es decir −t2 + 6t = 0 ⇔ t(6 − t) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 6 A los 6 segundos vuelve a sumergirse. viene dada por la funci´on exponencial: P (t) = 228 1 + 56 · e−0.3.37t = −0.37 180 = .5 meses −0. Desde ah´ı es capaz de ver dos peatones que caminan en direcciones opuestas y alej´andose del edificio mientras caminan en la acera.5. el esquema que resuelve el problema es: De ac´a: tan 34 = x ⇒ x = 100 · tan 34 100 tan 44 = y ⇒ y = 100 · tan 44 100 Luego. la distancia que separa a ambos peatones es: d = x + y = 100 · (tan 34 + tan 44) ≈ 164 metros .Xiong est´a en el tope de un edificio. La Sra. y sabiendo que el edificio tiene 100 pies de alto. respectivamente. Sol: De acuerdo a los datos. determine en ese instante la distancia horizontal que separa a los peatones. Si los ´angulos de depresi´ on a los peatones desde el tope del edificio son 56o y 46o . por lo tanto es soluci´on. (b) |1 − x2 | ≤ 0. Encuentre la soluci´on de las siguientes inecuaciones: (a) x 1−x x − ≤ + x − 1. g(x) = x − 1 5 − 2x si x ≥ 1 (a) Calcule f (g(2)). −1} 2.DE ALG. Sol: f (g(2)) = f (1) = 5 − 2 = 3 (b) Determine el valor de la constante a tal que g(a + 1) = f (f (0)). es decir S = {1. de modo que f (x) = 2. Sol: g(a + 1) = a + 1 − 1 = a = f (f (0)) = f (2) = 1 Por tanto. ∞[. Dadas las funciones: f (x) = 3x + 2 si x < 1 . Sol: Dado que |1 − x2 | > 0. Finalmente x = 0 ∨ x = 23 . • Si 2 = 5 − 2x → x = 32 ≥ 1. . la constante a = 1 (c) Determine el(los) valor(es) de x.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Sol: 2 4 8 x 1−x x − ≤ + x − 1 ⇔ 4x − 2(1 − x) ≤ x + 8x − 8 ⇔ 4x − 2 + 2x ≤ 9x − 8 2 4 8 ⇔ 3x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2 Por tanto la soluci´on es S = [2. 2011 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 21 de Octubre de 2011 1. la soluci´on de la inecuaci´on es puntual. por tanto es soluci´on. ∀x 6= 1.FMM 032 2do Semestre. −1. Y CALCULO ELEMENTAL . Sol: Observe que: • Si 2 = 3x + 2 → x = 0 < 1. 1 0. Sol: 4.5 ≈ 4.3) = 1.41x 91 = 1. en meses) el porcentaje de pacientes que podr´a ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera viene dado por: P (t) = t2 − 8t + 50 . El servicio de traumatolog´ıa de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. (b) ¿En qu´e mes el porcentaje de pacientes operados ser´a de un 43%? Sol: Se debe imponer que: t2 − 8t + 50 = 43 ⇔ t2 − 8t + 7 = 0 ⇔ (t − 7)(t − 1) = 0 → t = 1 ∨ t = 7 Luego.41 . (a) Si se sabe que una concentraci´on de alcohol de 0.13% (b) Determine qu´e concentraci´on deber´ıa existir en la sangre para que el riesgo alcance un 91%.5 en la sangre produce un riesgo de un 10% de sufrir un accidente. Las investigaciones sugieren que el riesgo R ( dado en porcentaje ) de tener un accidente automovil´ıstico puede ser modelado mediante la funci´on R(x) = 1.1 · e ⇔k= ln 10 1. 4.41 Luego: R(0.3 ≈ 4. Sol: El mes en que la cantidad de pacientes operados es m´ınimo viene dado por: t=− b 8 = =4 2a 2 que corresponde al mes de Mayo.1 · e 91 ln 1.3. encuentre el riesgo para una concentraci´on de alcohol igual a 0.3. Sol: Calculemos k. 1 · ekx donde x es la concentraci´on de alcohol en la sangre. Sabemos que es posible medir la concentraci´on de alcohol en la sangre.41·0.1 ⇔x= ≈1 4. (a) Determine en qu´e mes el porcentaje de pacientes que ser´a operado es m´ınimo. imponiendo: 0. en Febrero y en Agosto el porcentaje de paciente ser´a de un 43%. Se prev´e que a partir de ahora la siguiente funci´on indicar´a en cada momento (t. 0 ≤ t ≤ 11 donde t = 0 corresponde al mes de Enero.5k 10 = 1.1 · e4. Calcular el(los) valor(es) de la constante a de modo que: f (a + 2) = 3 · f −1 (a2 ) Sol: Si y = 3x − 2a ⇒ x = Finalmente: x + 2a y + 2a → f −1 (x) = . Por otra parte. Y CALCULO ELEMENTAL . Una furgoneta ( vac´ıa ) pesa 875 kg. Entonces el problema a resolver es: 875 − 4x ≥ 415 ⇔ 4x ≤ 460 ⇔ x ≤ 115 Luego. 3 3 a+6=3· a2 + 2a ⇔ a2 + a − 6 = 0 ⇔ (a + 3)(a − 2) = 0 3 → a = −3 ∨ a = 2 . La diferencia entre el peso de la furgoneta vac´ıa y el peso de la carga que lleve debe ser al menos 415 kg.FMM 032 1er Semestre. Sol: Para S1 : (x − 4)(x + 2) ≤ 0 Para que la par´ abola sea negativa x ∈ [−2. ¿cu´anto puede pesar. Si hay que cargar cuatro cajones iguales. el peso m´ aximo por caja es de 115 kg. S2 : |x − c| ≤ d ⇔ −d ≤ x − c ≤ d ⇔ c − d ≤ x ≤ c + d Para que S1 = S2 ⇒ c − d = −2 y c + d = 4. Resolviendo el sistema se llega a que c = 1. como m´ aximo. 2012 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 25 de Mayo de 2012 1. Considere los conjuntos: S1 = {x ∈ R/x2 − 2x − 8 ≤ 0} S2 = {x ∈ R/|x − c| ≤ d} Encuentre el valor de las constantes c y d tal que S1 = S2 . Considere la funci´ on f (x) = 3x − 2a. 2.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Adem´as f (a + 2) = 3(a + 2) − 2a = a + 6.DE ALG. Sol: Sea x el peso de un caj´ on. d = 3. 3. 4] = S1 . cada uno de los cajones para poder llevarlos en esa furgoneta? Ind:Debe resolver el problema mediante una inecuaci´on. 05 · 72 + 0. (a) Calcule la distancia horizontal que determina la altura m´axima de la pelota. donde y es la altura en metros de la pelota cuando ´esta se encuentra a x metros de distancia horizontal desde el punto que fue lanzada. Supongamos que un jugador de f´ utbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota.¿Desp´ ues de cu´anto tiempo se vendieron 6000 juegos? Sol: Imponemos que f (x) = 6000: 6000 = 12000 ⇔ 1 + 500 · e−x/2 = 2 1 + 500 · e−x/2 ⇔ 500 · e−x/2 = 1 ⇔ e−x/2 = ⇒ x = −2 ln 1 500 1 500 ≈ 12.05x2 + 0.45 metros (c) ¿A qu´e distancia horizontal la altura de la pelota ser´a de 2 metros? Sol: Se impone que y = 2: 2 = −0.7 =− = 7 metros 2a 2 · −0.7 · 7 = 2.05 (b) ¿Cu´al es la altura m´ axima? Sol: La altura m´ axima es: ymax = −0. Sol: La distancia horizontal que determina la altura m´axima es: xmax = − b 0.4 dias .05x2 + 0.4. 5. La funci´on f (x) = 12000 1 + 500 · e−x/2 entrega las ventas totales x d´ıas despu´es del lanzamiento de un nuevo juego de video.7x ⇔ x2 − 14x + 40 = 0 ⇒ x = 10 ∨ x = 4 R: A los 4 ´ o 10 metros de distancia horizontal la altura de la pelota ser´a de 2 metros.7x. es la par´abola correspondiente a la funci´on y = −0. mientras se encuentra en el aire. Si con 30 vueltas la altura de es de 36 cm y con 15 vueltas de 33 cm. b = 30 5 es decir.4 S= 3 (b) x2 − x − 6 ≥0 x−2 Sol: x2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) ≥0⇔ ≥0 x−2 x−2 La tabla de valores cr´ıticos es: −∞ x−3 x+2 x−2 Sol −2 − − − (−) 2 − + − (+) 3 − + + (−) +∞ + + + (+) De aqu´ı. 33). 2[∪[3. De esta forma la funci´ on a determinar es h(n) = an + b. la soluci´ on es: 2 . depende del n´ umero de vueltas n que se le d´e. Y CALCULO ELEMENTAL . determine la funci´ on lineal que relacione la altura en t´erminos del n´ umero de vueltas. h).DE ALG. de manera lineal.FMM 032 2do Semestre. 36). la soluci´ on es: S = [−2. la funci´ on solicitada es: h(n) = n + 30 5 . Sol: Si consideramos los puntos de la forma (n. +∞[ 2. tenemos (30.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. 15a + b = 33 y resolviendo el sistema se llega a que a= 1 . 2012 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 19 de Octubre de 2012 1. (15. Formando las ecuaciones 30a + b = 36. Se puede estimar que la altura h de un gato para levantar autom´oviles. Encuentre la soluci´ on de las siguientes inecuaciones: (a) |2x − 3| ≤ x + 1 Sol: |2x − 3| ≤ x + 1 ⇔ 2x − 3 ≤ x + 1 ∧ 2x − 3 ≥ −x − 1 ⇔ x ≤ 4 ∧ x ≥ 2 3 Luego. Sol: Para determinar la intersecci´ on igualamos las dos funciones: −4x2 + 8x = 6x − 6 ⇔ 4x2 − 2x − 6 = 0 ⇔ 2x2 − x − 3 = 0 cuyas soluciones son x1 = 23 . 25.25 · e −0. (a) Determine el punto de impacto (x.1 = 0. Luego.25 ⇔t=− ≈ 38. nos quedamos con la soluci´ on positiva. Determine el tiempo para el cual la cantidad de elemento radiactivo ser´a de 0. 3 .0239 .y t es el tiempo en a˜ nos. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una monta˜ na cuya ladera oeste sigue la recta de ecuaci´on y = 6x − 6.1 ln 0. Sol: Calculemos la distancia horizontal x que genera la m´axima altura: xmax = − 8 b =− = 1 km 2a 2 · −4 Por tanto la altura m´ axima es: hmax = −4 + 8 = 4 km 4. En un campo grande la lluvia ´ acida ha depositado estroncio radiactivo 90 Sr. De acuerdo al problema. De esta forma: 0. En este caso tome A0 = 0. el punto de impacto es 23 .0239t 0.33 a˜ nos 0.0239t en la que A0 es la cantidad actual en el campo. El 90 Sr decrece conforme a la f´ormula: A(t) = A0 · e−0. Si lanzamos un proyectil la altura alcanzada h (en Km) y la distancia horizontal x (en Km ) est´ an 2 relacionados por la ecuaci´ on h(x) = −4x + 8x. x2 = −1. 1.3. Sol: Basta con imponer que A = 20. el resultado puede ser c´ ancer en los huesos. (b) Calcule la altura m´ axima alcanzada por el proyectil. Si a trav´es de la cadena alimentaria llegan al ser humano cantidades suficientes de este elemento. h) entre el proyectil y la ladera. Imponiendo la condici´on: 15x + 300 > 10x + 500 ⇔ 5x > 200 ⇒ x > 40 Por tanto. La tabla asociada es: −∞ x−7 x+2 x Sol −2 0 7 − − − − + + − − + (−) (+) (−) +∞ + + + (+) Finalmente. ¿Cu´antos art´ıculos debe vender el viajante de la competencia para ganar m´as dinero que el primero?. Sol: Sea x la cantidad de art´ıculos a vender. la competencia debe vender m´as de 40 art´ıculos para ganar m´as dinero que la primera opci´on. 2.Otra f´abrica de la competencia paga $15 por art´ıculo y $300 fijas. De acuerdo a los datos entregados. Calcular la soluci´ on de la siguiente inecuaci´on: x+1 7 >3+ 2 x Sol: x+1 7 x8x + 1) − 6x − 14 x2 − 5x − 14 (x − 7)(x + 2) >3+ ⇔ >0⇔ >0⇔ >0 2 x 2x 2x 2x De ac´a. los valores cr´ıticos son: −2. la soluci´ on es:S =] − 2. 2013 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 17 de Mayo de 2013 1. 0[∪]7.DE ALG. 7. 0. . la primera opci´ on paga: 10x + 500 y la competencia paga 15x + 300.FMM 032 1er Semestre. Una f´abrica paga a sus trabajadores viajantes $10 por art´ıculo vendido m´as una cantidad fija de $500. Y CALCULO ELEMENTAL . Ind: Debe resolver el problema por medio de una inecuaci´on. +∞[.ELEM. aproximadamente. Demuestre la siguiente identidad trigonom´etrica: tan2 x − sec x + 1 = 0 sec x + 1 Sol: tan2 x − sec x + 1 = sec x + 1 = sin2 x cos2 x 1 cos x + 1 − 1 sin2 x · cos x cos x − 1 +1= + 2 cos x cos x(1 + cos x) cos x (1 − cos x)(1 + cos x) cos x − 1 1 − cos x + cos x − 1 0 + = = =0 cos x(1 + cos x) cos x cos x cos x .1(a+1) = 3 2 ln 32 ln 32 3 ⇔ 0.5 · 250 + 2. 5. tal que: f (g(a)) = 4 Sol: Se tiene que g(a) = a + 1.1(a + 1) = ln ⇔a+1= ⇒a= − 1 ≈ 3. Encuentre. (a) Calcule la cantidad necesaria de medicamento de modo que la rentabilidad sea m´axima.05 2 0. g(x) = x + 1.5 donde R viene dado en millones de pesos.1(a+1) = 4 ⇔ 2e0.001 (b) ¿A cu´anto asciende esta rentabilidad? Sol: La rentabilidad m´ axima es: Rmax = R(250) = −0.5 = 65 La rentabilidad m´ axima es de 65 millones de pesos. por tanto f (g(a)) = 1 + 2e0.1 0.3.5 =− = 250 unidades 2a 2 · −0.001 · 2502 + 0. Cierto laboratorio qu´ımico estima que la rentabilidad R por vender x unidades de un medicamento se puede modelar por la funci´ on: R(x) = −0.1(a+1) .001x2 + 0.1(a+1) = 3 ⇔ e0.1 4.5x + 2. el valor de la constante a. Luego: 1 + 2e0. Sol: La cantidad de modo que la rentabilidad sea m´axima viene dada por: xmax = − b 0. Considere las funciones f (x) = 1 + 2 · e0.1x . 2. para que la cantidad de bacterias sea a lo m´as 4000.DE ALG. f (−1) = −a + b = g −1 (1) = 0 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a: a = b = 31 . Encuentre el valor de las constantes a y b tal que se x+2 f (1) = g(1) . Utilizando inecuaciones. f (−1) = g −1 (1) Sol: Calculemos primero g −1 (x): y= 2 2 − 2y ⇔x= x+2 y ⇒ g −1 (x) = 2 − 2x x Imponiendo las condiciones. determine el instante m´ınimo para el cual la cantidad de bacterias sea a lo m´ Sol: La inecuaci´ on a considerar es: 10000 + 2000 ≤ 4000 ⇔ 10000 ≤ 2000(t2 + 1) ⇔ t2 ≥ 4 t2 + 1 ⇒ t ≥ 2 ∨ t ≤ −2 Observe que t ≤ −2. Y CALCULO ELEMENTAL .FMM 032 2do Semestre. 2013 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 18 de Octubre de 2013 1. Pasados t minutos despu´es de introducir un bactericida experimental en un cultivo. Considere las funciones f (x) = ax + b . se descarta de la soluci´on por contexto. g(x) = cumpla simult´ aneamente: 2 . el n´ umero de bacterias viene dado por: N= 10000 + 2000 t2 + 1 as 4000. es decir. por tanto nos quedamos con t ≥ 2. el instante m´ınimo es 2 minutos. observe que: f (1) = a + b = g(1) = 2 . .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. (a) Determine el(los) instante(s) en que la temperatura del cultivo alcanza los cero grados celsius.13 d´ıas −0. Sol: Se impone que T = 0: 0 = −10t2 + 40t − 30 ⇔ t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ (t − 3)(t − 1) = 0 Por tanto. En la cicatrizaci´ on normal de heridas se ha podido demostrar que el area A de cicatrizaci´on despu´es de n d´ıas.35n donde A0 es el area original de la herida.35n = 3 3 ln 31 ⇔n= ≈ 3.35n / : A0 ⇔ e−0. La temperatura (en grados celsius) que experimenta cierto cultivo de bacterias var´ıa seg´ un la funci´on: T (t) = −10t2 + 40t − 30 donde t representa el tiempo de exposici´ on a fuentes de energ´ıa cal´orica.35 5.3. Determine despu´es de cu´anto tiempo el area de la herida ser´a la tercera parte de la original. es una relaci´ on de la forma: A(n) = A0 · e−0. 1 1 + = 2 sec2 x 1 + sin x 1 − sin x Sol: 1 1 1 − sin x + 1 + sin x 2 2 + = = = = 2 sec2 x 2 1 + sin x 1 − sin x (1 − sin x)(1 + sin x) cos2 x 1 − sin x . (b) ¿En qu´e instante la temperatura es m´ axima? Sol: Corresponde al v´ertice de la funci´ on cuadr´atica: tmax = −40 = 2 horas 2 · −10 (c) Calcule la temperatura m´ axima del cultivo. Sol: Se debe imponer que A = A0 : 3 A0 1 = A0 · e−0. expresado en horas. Sol: La temperatura m´ axima viene dada por: T (2) = −10 · 22 + 40 · 2 − 30 = 10o C 4. cuando han transcurrido 1 ´o 3 horas. Demuestre la siguiente identidad trigonom´etrica. la temperatura ser´a de 0o C. y se hacen 3 llamadas a personas diferentes. De esta forma. Sol: Con los datos entregados.ELEM.FMM 032 1er Semestre. ¿Cu´ antos minutos quedan para hacer con la tercera llamada? Sol: Para una llamada de 7 minutos C(7) = 110 y para una llamada de 5 minutos C(5) = 90. n = 40. la primera de 7 minutos. (a) Determine la funci´ on lineal C = f (t)( Costo en funci´on del tiempo ) que expresa a esta promoci´on. determinando un sistema de ecuaciones cuya soluci´on es: m = 10. La funci´on lineal a determinar es de la forma C(t) = mt + n. Confeccionando la tabla de valores cr´ıticos: −∞ 4−x x−1 Sol 1 + − (−) 4 + + (+) +∞ − + (−) Por tanto S =]1. (2. quedando $100 para realizar la u ´ltima llamada. Evaluando los puntos en la funci´on. Esta promoci´ on indica un costo de $50 para el primer minuto y luego $10 por minuto adicional. la funci´ on es: C(t) = 10t + 40 (b) Si se compra una tarjeta de $300. se generan los siguientes puntos: (1. Movistar presenta una nueva promoci´ on para llamar de celular a celular llamada HABLA MAS.DE ALG.Y CALCULO ELEMENTAL . 4]. se obtienen las ecuaciones m + n = 50 y 2m + n = 60. 2. Suponiendo que la relaci´ on entre el costo y la duraci´ on de la llamada es lineal. Encuentre la soluci´ on de la siguiente inecuaci´on: x+2 ≥2 x−1 Sol: Observe que: x+2 x + 2 − 2x + 2 4−x ≥2⇔ ≥0⇔ ≥0 x−1 x−1 x−1 De ac´ a. De esta forma: 100 = 10t + 40 ⇒ t = 6 minutos . 2014 PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE Viernes 30 de Mayo de 2014 1. los valores cr´ıticos son: 1 y 4. la segunda de 5 minutos. 50). 60). Sol: Observe que para determinar el valor de las constantes c y k. 4= Finalmente. cos(2α) = cos2 α − sin2 α. Sol: Imponiendo que P = 8.021·22 1+ ·e 3 (b) El a˜ no en que la poblaci´ on alcanzar´ a los 8 millones de habitantes. determine: (a) La poblaci´ on en el a˜ no 2012. Demostrar la siguiente identidad trigonom´etrica: sec(2x) = 1 + tan(2x) · tan(x) IND: Puede utilizar el hecho que sin(2α) = 2 sin α cos α .3. por tanto: 3= 40 40 37 ⇔c= −1= 1+c 3 3 • Adem´ as.021. 4. viene dada por: P (22) = 40 ≈ 4.021·t ·e 3 ln 12 37 ⇒t= ≈ 53. la poblaci´ on en el a˜ no 2012(t = 22). es decir: 40 37 −15k 1+ ·e 3 Resolviendo la ecuaci´ on para k. se debe resolver la ecuaci´on para t: 40 8= 1+ 37 −0.6 −0.021 La poblaci´ on alcanzar´ a los 8 millones en el a˜ no 2043.5 millones de habitantes 37 −0. Si la poblaci´ on en 1990 (t = 0) es de 3 millones y en el 2005 es de 4 millones. Sol: 1 + tan(2x) · tan(x) = 1 + =1+ sin(2x) sin x 2 sin x · cos x sin x · =1+ · cos(2x) cos x cos x cos2 x − sin2 x 2 sin2 x cos2 x − sin2 x + 2 sin2 x cos2 x + sin2 x 1 = = = 2 2 2 2 2 2 2 cos x − sin x cos x − sin x cos x − sin x cos x − sin2 x = 1 = sec(2x) cos(2x) . se obtiene que k ≈ 0. Un investigador desea predecir el crecimiento de la poblaci´on en cierta ciudad de Chile. si t = 15 → P = 4. Se estima que t a˜ nos despu´es del 1990 la poblaci´ on total (en millones) viene dada por: P (t) = 40 1 + c · e−kt donde c y k son constantes. debemos imponer las condiciones entregadas: • Si t = 0 → P = 3. Encuentre f 0 (0). Encontrar la derivada de las siguientes funciones: (a) y = x5 · e−3 ln(5x) . Hallar los valores de a y b tal que la recta y = 2x sea tangente a esta curva en el punto (2. sin x − cos x 2. 4). (a) Sea f (x) = (5x2 + g(x))4 . Si y define una funci´on impl´ıcita de x en x3 = y 2 − 2x2 y + x4 Encuentre y 0 . H´ ector Aguilera AYUDANTIA : DERIVADAS ( PARTE 1 ) 1. Hallar f 0 (a) si f (x) = (x − a) · g(x). . con a y b constantes. g 0 (0) = 2. en el punto (2.DE ALG. 3.´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ELEM. (b) Encontrar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva xy − y 3 = 1.FMM 032 Coord. 5. sin x + cos x (b) y = . Sea f (x) = x2 + ax + b. 4. 1). si se sabe que g(0) = 1 . Y CALC. Sea g una funci´on continua en x = a tal que g(a) = 2.ELEMENTAL . Suponga que t semanas despu´es del brote de una epidemia. presente en la atm´osfera en cierto d´ıa de Mayo en una comunidad. la poblaci´on de bacterias ( en miles ). por sus siglas en ingl´es ) y t se mide en horas. (b) ¿Cu´al es la poblaci´on m´axima? 3. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1? . En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo de bacterias. viene dada por: P (t) = 24t + 10 t2 + 1 (a) Determinar el tiempo cuando la poblaci´on es m´axima.FMM 032 Coord.Y CALC. gas caf´e que dificulta la respiraci´on.8t personas la adquieren. est´a dado por: P (t) = 10000 − 9000 1+t ¿Cu´ando la poblaci´on crece a raz´on de 1500 insectos por d´ıa? 2. H´ ector Aguilera AYUDANTIA : DERIVADAS ( PARTE 2 ) 1.´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ELEM.DE ALG.M (a) ¿Cu´ando crece el PSI?. f (t) = 2000 1 + 3e−0. (c) ¿Cu´al es el valor m´aximo del PSI en ese instante?. La cantidad de bi´oxido de nitr´ogeno. 0 6 t 6 11 A(t) = 4 + (t − 4. El tama˜ no de una poblaci´on de insectos al tiempo t medido en d´ıas. 4. se aproxima mediante la funci´on 544 + 28. Se estima que t horas despu´es de la introducci´on de una toxina. con t = 0 correspondiente a las 7 A.5)2 donde A(t) se mide con un ´ındice est´andar de contaminaci´on ( PSI. (b) Determine a qu´e hora del d´ıa el PSI alcanza su m´aximo.ELEMENTAL . ´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ELEM. En algunas especies animales. En realidad.Y CALC. Encuentre el valor de constante a de modo que la funci´on f (x) sea continua en todo R: (2x + 1)2 − 1 . si x > 0 4. ¿Qu´e le ocurre al consumo de alimento I(S) cuando un bocado de tama˜ no S aumenta indefinidadmente? 3. la tasa de consumo de alimento I(S) est´a dada por la funci´on I(S) = aS S+c donde a y c son constantes positivas.ELEMENTAL .DE ALG. es dif´ıcil comer mucho mientras se siente la vigilancia de un depredador que se lo puede comer a usted. si x < 0 2x f (x) = x + a. el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la que se somete al animal mientras come. si x < 1 si x = 1 si x > 1 . Calcular los siguientes l´ımites √ x2 + 4 − 2 (a) lim √ x→0 x2 + 9 − 3 √ 3x + 4 − 4 (b) lim √ x→4 x+5−3 sin(3x) − sin(2x) (c) lim x→0 x 2. Considere la funci´on: 1 x2 − 2 0√ f (x) = 1− x 1−x Analice la continuidad de la funci´on en todo R. En cierto modelo.FMM 032 Coord. H´ ector Aguilera AYUDANTIA : LIMITES Y CONTINUIDAD 1. si el animal est´a buscando alimento en plantas que brindan un bocado de tama˜ no S. la funci´on es lineal. x→−2 (b) lim f (x). (f) lim f (x). si es que existen. −2] y x ∈ [1. los siguientes l´ımites: (a) lim f (x). Dada la siguiente funci´on definida por ramas. x→0 x→1 x→4 x→−4 Obs: Para el tramo en que x ∈] − ∞. se pide calcular. (e) lim f (x).5. ∞[. x→2 (c) lim f (x). (d) lim f (x). . demuestre que 2 sin α · cos α = − 3 8 (b) El extremo A de una escalera. (e) Determine el volumen m´aximo y m´ınimo. (c) ¿En qu´e instante el volumen es de 3. 3.FMM 032 Coord.000 pies de altura. formando un ´angulo de 30◦ con la pared.´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ELEM. se encuentra apoyado a una altura h metros del piso. ELEMENTAL . H´ ector Aguilera AYUDANTIA : TRIGONOMETR´IA 1 1. Y CALC. (d) ¿Cu´ando el volumen es m´aximo? ¿y m´ınimo?. encuentre la distancia que hay entre ellos. Unos observadores en dos pueblos distintos.DE ALG. Demuestre la identidad: (sec α − tan α)(csc α + 1) = cot α 4. (b) ¿Cu´al es el volumen para el tiempo cero?. (a) Dibuje la porci´on del gr´afico que tiene relaci´on con el problema.025 litros?. Un trazado de este gr´afico est´a dado por la funci´on V (t) = 3 + 1 π · sin 160π · t − 20 2 donde el tiempo est´a medido en minutos y el volumen en litros. (a) Si se sabe que sin α + cos α = . Asumiendo que los pueblos est´an sobre un mismo plano.¿ Cu´al es la longitud de la escalera? 2. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formando un ´angulo de 60◦ con la pared. . miden los ´angulos de elevaci´on entre el suelo y la cima de la monta˜ na que corresponden a 28 y 46o respectivamente. en cada lado de la monta˜ na de 12. A y B. Un espirograma es un instrumento que registra en un gr´afico el volumen del aire en los pulmones de una persona en funci´on del tiempo. Usando la definici´on de derivada calcule las siguientes derivadas dadas las funciones: (a) f (x) = √ 2x + 1 (b) f (x) = x2 + 3x + 5 √ (c) f (x) = 2 x 2.de Alg. Utilizando regla de la cadena. Utilizando propiedades y reglas de derivaci´ on.Elemental GUIA DERIVADAS 1.Elem. obtenga f 0 (x) (a) f (x) = 2ex + ln x sin x + cos x (b) f (x) = sin x − cos x (c) f (x) = 3 cos x + 2 sin x √ 1 (d) f (x) = x − √ x ex · cos x (e) f (x) = 1 − sin x x+1 (f) f (x) = x−1 sin x (g) f (x) = 2 x 3. encuentre y 0 a partir de 2 (a) y = e3x · x (b) y = (2x − 1)2 − 6 sin(5x) ³p ´5 2 (c) y = x3 + 5 (d) y = 2 ln(cos(2x)) q p (e) y = 1 − (2x + 1) x2 · ln(4x) e2x 2 (g) y = sin (2x) + cos2 (2x) (f) y = (h) y = ln(sin(x2 + 1)) x .y Calc.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de la Salud FMM 032 . √ 9. Calcular el ´area del tri´angulo formado por el eje OY . Por la escalera. satisface la ecuaci´on xy 0 − (1 − x2 )y = 0. Demuestre que y = x2 ex . su radio aumenta a raz´on de 0. 6. hallar las razones de cambio de: (a) El ´area.7 metros de la casa.4. 8. 4). mientras que el ancho ”w” aumenta a raz´on de 2 cm/s. Sea f (x) = + − x − 1. Sol: 14 cm2 s . Demuestre que (a) y = xe− x2 2 . 10. (b) y = x sin x. Sol: x = 3 2 ´o x = −2. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm . satisface la ecuaci´on y 00 + xy 0 − y = xex 5. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la gr´afica de f en el punto de coordenadas (2. satisface la ecuaci´on x2 y 00 − 2xy 0 + (x2 + 2)y = 0. Sol: 0.Sol: − 14 13 seg 12. satisface la ecuaci´on xy 0 = y − xy (d) y = ex . (b) -1.5 m/s. Sol: x = 0 ´o x = − 21 . satisface la ecuaci´on 2 d2 y dy −2 + y = ex dx2 dx 2x3 x2 7. si f (x) = sin (x − cos x). (c) 5.61 m2 /s b) 0. (c) y = xex . ¿Cu´al es la raz´on de cambio del ´area cuando el radio mide 50 cm? Sol: πcm2 /min 11. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno. Calentamiento de un plato. Cambio de dimensiones en un rect´angulo. 2). cm (c) La diagonal.986 rad/s . (a) ¿Cu´al es la raz´on de cambio del ´area del tri´angulo formado. la base se aleja a raz´on de 1. Hallar f 0 ¡π¢ 2 2 . Hallar los puntos de la gr´afica de f en que la pendiente de la recta 3 2 tangente en ese punto sea igual a (a) 0.01 cm/min. Cuando la base est´a a 3. (b) El per´ımetro. El lado ”l” de un rect´angulo disminuye a raz´on de 2 cm/s. Sol: x = 1 2 ´o x = −1. la tangente y la normal a la curva y = 9 − x en el punto de coordenadas (5. la pared y el suelo en ese instante? (b) ¿Cu´al es la raz´on de cambio del ´angulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante? Sol: a) Disminuye a raz´on de 5. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Sea f (x) = x2 + ax + b. 1 Sol:a 3 µ 16. ¿Con qu´e raz´on se aproxima a la cima de la torre cuando est´a a 20 metros de su base? Sol: 2. Hallar a que ritmo est´a creciendo la 50 + t2 poblaci´on cuando han pasado 120 minutos. creciendo en n´ µ 4t funci´on P (t) = 500 1 + donde t se mide en horas. En determinado instante el volumen del gas es 600 cm3 . La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante. 3). 0).¿ Con qu´e velocidad disminuye el volumen en este momento?.8 p + p + 139unidades cuando la poblaci´on sea de p miles. entonces f 0 (x) = g 0 (x). Sol: 31. Hallar dy si x2 y + 2y 3 = 3x + 2y y eval´ uela en (2. ¿a qu´e raz´on disminuye su volumen cuando su arista mide 10 cm? Sol: 600cm hra 3 14. la presi´on es 150 KPa y crece a una raz´on de 20 KPa/ min. de altura.69 u/a˜ no 19.49 m/hra 20. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva x2 y 3 − 6 = 5y 3 + x cuando x = 2 e y = −2. la poblaci´on de cierta comunidad suburbana ser´a p(t) = 10 − Sol: 1. Hallar la velocidad de variaci´ on de la abscisa en funci´on del tiempo. Se introduce una poblaci´ on de 500 umero de acuerdo con la ¶ bacterias en un cultivo. Encuentre y 0 en el punto (0. Un hombre camina a raz´on de 4 Km por hora hacia la base de una torre de 25 mts. ¿ A qu´e raz´on porcentual cambiar´a el nivel de mon´oxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 a˜ no? 18. 1). dx . la presi´on P y el volumen V satisfacen la ecuaci´on P V = c . Se estima que dentro de t a˜ nos. Un punto se desplaza sobre la curva y = x3 de forma que su ordenada var´ıa en funci´on del tiempo t seg´ un la ley y = at3 . Sol: Disminuye a raz´on de 80 cm3 min 20 (t + 1)2 miles de personas. 7x 22 Sol:y = + . 1 + ax 17. donde c es una constante. Demuestre que si f (x) = ln 1+x 1−x ¶ µ y g(x) = f ¶ a+x . 3 Sol:y 0 = − cos(1 − x) − e3x − 3xe3x x 22. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva x2 + y 2 − 3x + 4y − 31 = 0. Sol: -1 (b) Encuentre y 0 para y = ln(2x3 ) + sin(1 − x) − xe3x .55bacterias hra 15. 10 5 21. (a) La ecuaci´on sin(x + y) = x sin y define impl´ıcitamente ”y” como una funci´on de x. 33x 21 Sol: y = − + 12 6 23. Un bloque de hielo c´ ubico se funde de modo que su arista disminuye con regularidad 2 cm/hr. Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de mon´oxido de carbono p 2 en el aire ser´a c(p) = 0. en el punto (−2.13. 28. 0 ≤ r ≤ 20 donde k es una constante positiva. Una persona tose cuando hay un objeto extra˜ no en su tr´aquea.5 · 10−5 4Lk mm/min . entonces la velocidad ”V ” ( en mil´ımetros por segundo). r es la distancia que recorre la sangre desde el centro del vaso. el radio de un vaso sangu´ıneo se dilata a raz´on de 0. Hallar g 0 (2).02 mm. R2 (t) = t · e−2t 2 Debido a las caracter´ısticas de cierta enfermedad. Se desea cercar un terreno rectangular de ´area de 10000 m2 . sabiendo que uno de sus lados ya est´a cubierto por un r´ıo. Cuando se excava nieve en medio del aire fr´ıo. La reacci´on a dos drogas como funci´on del tiempo( medido en horas) est´a dada por: R1 (t) = t · e−t . que dilata los vasos sangu´ıneos.24. se optar´a por aquella droga que tenga una reacci´on m´axima mayor ¿Qu´e droga se debe elegir? Sol: La droga 1. Sea f (2) = −3. p Sol:2. Si un objeto extra˜ no tiene un radio ”r”( en mil´ımetros). g(x) = x2 · f x−1 . Suponga que una persona tiene una tr´aquea cuyo radio es 20 mm. f 0 (x) = ´ ³ √ x x2 + 5. ¿Para que tama˜ no del objeto se necesita la velocidad m´axima con el fin de removerlo? Sol:r = 40 3 29. Suponga que despu´es de tomar una tableta de nitroglicerina. de manera que el costo del cercado sea m´ınimo. necesaria para eliminar el objeto mediante la tos est´a dada por: V (r) = k(20r2 − r3 ). puede tomar una tableta de nitroglicerina. La velocidad del fluido sangu´ıneo V esta dada por: V = p (R2 − r2 ) 4Lk donde R es el radio del vaso sangu´ıneo.0025 mm/ min en un lugar en el vaso sangu´ıneo donde el radio es R= 0. La velocidad de la tos depende del tama˜ no del objeto. El flujo de sangre en los vasos sangu´ıneos es m´as r´apido cuando se dirige hacia el centro del vaso y m´as lento hacia el exterior. una persona con historial m´edico de dificultades card´ıacas puede desarrollar angina (dolor de pecho) debido a la contracci´on de los vasos sangu´ıneos. 25. L y k son constantes f´ısicas relacionadas con la presi´on. Sol: -24. Verificar que la funci´on y = sin(ln x) + cos(ln x) satisface la ecuaci´on x2 y 00 + xy 0 + y = 0 26. Hallar las dimensiones del terreno. Para contrarrestarlo. y p. Largo=100 2 27. encuentre la raz´on de cambio de la velocidad de la sangre. √ √ Sol: Ancho=50 2. Encuentre el valor de α tal que f 0 (1) = −2 37. 35. g : I ⊆ R → R dos funciones derivables que tienen un punto cr`ıtico en x0 ∈ I . con a ∈ R. (b) Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = ax2 . 36. Si la base y la tapa del contenedor est´an hechas de acero y las caras laterales de concreto. donde N= t3 − 6t2 + 32t. Se construye un contenedor de modo que su capacidad sea de 288 pies c´ ubicos.30. 0 ≤ t ≤ 8 3 ¿ Para qu´e valor de t es m´aximo el n´ umero de beneficiarios? . Demuestre que la funci´on h(x) = f (x) · g(x) tiene un punto cr´ıtico en x0 . Verifique si la funci´on y = x · e3x . con α ∈ R. Para la funci´on definida por f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x. encuentre los valores cr´ıticos y clasif´ıquelos en m´aximos o m´ınimos 33. Encuentre y 0 a partir de y 2 + y = ln x 34. satisface la ecuaci´on y 00 − y 0 − 6xe3x = 0 38. (a) El siguiente l´ımite representa la derivada de una funci´on f en un punto x 2(x + h)2 − 2x2 lim h→0 h Deduzca f (x). Sea f (x) = (αx − 2)2 + 3. se puede modelar como N Y (N ) = con N ≥ 0 1 + N2 Calcule el nivel de nitr´ogeno que maximiza la cosecha. ¿ Cu´ales ser´an las dimensiones del contenedor para que el costo de construcci´on sea m´ınimo sabiendo que el concreto tiene un costo de US 3 por pie cuadrado y el acero un costo de US 4 por pie cuadrado? Sol: Debe ser de 6 x 6 x 8 pies 32. 31. Un art´ıculo en una revista de sociolog´ıa afirma que si ahora se iniciase un programa espec´ıfico de servicios de salud. en el punto cuando x = 1. La cosecha de una explotaci´on agr´ıcola de ma´ız Y en funci´on del nivel de nitr´ogeno N en el suelo. N miles de personas adultas recibir´ıa beneficios directos. El contenedor tiene como base un cuadrado y cuatro caras verticales. Sean f. entonces al cabo de ”t” a˜ nos. Demuestre que la m´axima reacci´on se alcanza cuando la dosis es k unidades. entonces s0 (t) es la velocidad y s00 (t) es la aceleraci´on. Dada la funci´on f (x) = x3 − 3x2 − x + 1 (a) Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto cuando x = 3. Ind: Si s(t) es la posici´on del m´ovil. f (t) = 2000 1 + 3e−0. el proceso de oxidaci´ on que se lleva a cabo reduce el contenido en el estanque. despu´es de cierto tiempo. Las larvas de la polilla caen al pie de los ´arboles hu´espedes a una distancia de ”x” pies de la base del ´arbol. encuentre y 0 en e4y − ln y = 2x 46. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1? 41. Si se sabe que y es una funci´on impl´ıcita de x. ¿Qu´e tan r´apido cambia el contenido de ox´ıgeno en el estanque 20 d´ıas despu´es de vaciar la basura org´anica? 44. Suponga que t semanas despu´es del brote de una epidemia. La densidad de larvas ”D” ( n´ umero de larvas por pie cuadrado de suelo ). viene dada por: D = 59.3 − 1.5x + 0. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente y normal a la curva y = x3 −4x+1. sin embargo. (b) Si g(x) = sin x. Sup´ongase que el porcentaje de contenido de ox´ıgeno t d´ıas despu´es de tirar la basura org´anica en el estanque est´a dado por · t2 + 10t + 100 P (t) = 100 · 2 t + 20t + 100 ¸ con respecto de su nivel normal. 42. en el punto cuando x = 1. es la posici´on de un m´ovil(en metros) en el instante t (en segundos).8t personas la adquieren.5x2 . Cuando la basura org´anica se vac´ıa en un estanque. 43. Si s(t) = t4 −14t3 +60t2 . encuentre la velocidad del m´ovil cuando su aceleraci´on sea igual a cero. la naturaleza regresa el contenido de ox´ıgeno a su nivel natural.39. La fuerza R de reacci´on del cuerpo humano a una dosis D de cierto medicamento est´a dada por µ 2 R(D) = D · k D − 2 3 ¶ donde k es una constante positiva. En Nueva Escocia se llev´o a cabo un estudio de la polilla de invierno. 45. 1 ≤ x ≤ 9 (a) ¿Con qu´e rapidez cambia la densidad de larvas con respecto a la distancia cuando ´estas est´an a 6 pies de la base del ´arbol? (b) ¿A qu´e distancia de la base del ´arbol la densidad de larvas decrece a raz´on de 6 larvas por pie cuadrado por pie? 40. . calcule (f o g)0 . 47. Calcular el siguiente l´ımite lim (cos x)1/x x→0+ 1 2 . El porcentaje de alcohol en el flujo sangu´ıneo de una persona. b ∈ R. a 6= b.23 · t · e−0. Sea f definida por: f (x) = (b − a) · − . con a.4t ¿Qu´e tan r´apido aumenta el porcentaje de alcohol en el flujo sangu´ıneo de una persona despu´es de hora? µ ¶ x3 x2 48. 49. 6 2 Deduzca la condici´on que deben cumplir a y b para que x = 2 sea m´aximo relativo de f . t horas despu´es de beber cierta cantidad de whisky est´a dado por P (t) = 0. [ -0. d´e un valor x→0 estimado.Elementos de Alg.4 ]= 3.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de la Salud FMM 032 . Sea f (x) = x − [x]. Dado que lim f (x) = 0 y lim g(x) = 1 Analizar: x→∞ x→∞ h f (x) x→∞ g(x) (a) lim [f (x) + g(x)] b) lim x→∞ i h g(x) x→∞ f (x) i c) lim d) lim [f (x) ∗ g(x)] x→∞ 4.1 -1 De acuerdo con la tabla ¿es posible que exista el lim f(x) ?De ser as´ı.3 ]= -5. [ 0. eval´ ue lim [x] .5 ]= -1. lim [x] . La funci´on f (x) = [x] se define como el entero m´as grande que es menor o igual a x. lim f (x).001 -0. lim [x] x→n+ x→n− i. Sea f (x) = sen (x) x complete la siguiente tabla: X f(x) 1 0. Eval´ ue los siguientes l´ımites: a) lim [x] . a) Esboce el gr´afico de f .001 0 -0. lim [x].y C´ alculo Elemental GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD 1. 2. eval´ ue lim f (x) .2 ]= 0. x→n+ x→n− c) ¿Para cu´ales valores de a existe lim f (x)? x→a 1 .01 -0. x→3+ x→3− x→3. [ -4. Confeccione una tabla de valores que le permita estimar los l´ımites de las siguientes funciones: x−2 cuando x x2 −x−2 √ √ 3 = x+3− cuando x ( x2 + 2 x 6= 1 (a) f (x) = tiende a 2 (b) f (x) x tiende a 0 (c) g(x) = 1 x=1 3. c) ¿Para cu´ales valores de a existe lim [x]? x→a 5.01 0.1 0.6 (a) b) Si n es un entero. Por ejemplo: [ 3. b) Si n es un entero. 6. ¿Por qu´e se necesita un l´ımite por la izquierda? v→c− 8. demuestre que lim f (x)existe. ¿Hay un n´ umero a tal que: lim x→−2 3x2 +ax+a+3 x2 +x−2 exista?. Si es as´ı determine el valor de a y el l´ımite. donde L0 es la longitud en reposo y c es la velocidad de la luz. Muestre por medio de un ejemplo que lim (f (x) + g(x))puede existir aunque lim f (x) x→a x→a ni lim g(x)existan. Calcular los siguientes l´ımites. En la Teor´ıa de la Relatividad la f´ormula de contracci´ on de Lorentz: s L = L0 · 1− v2 c2 expresa la longitud L de un objeto como funci´on de su velocidad v respecto a un observador. Muestre por medio de un ejemplo que lim (f (x) · g(x))puede existir aunque lim f (x)ni x→a x→a lim g(x)existan. Si f (x) = [x] + [−x]. pero no es igual a f (2). x→2 7. sen9x x→0 3x p p (b) lim x6 + x3 − x6 − x2 (a) lim x→∞ x2 − 9 x→3 x2 − x − 6 senx lim x→0 tg(3x) √ 1− 6x √ lim x→1 1 − x √ 4+x−2 lim x→0 x µ ¶ x + 2 x−2 lim x→∞ x senx · (1 − cos x) lim x→0 x3 sen2x · senx lim x→0 x · sen3x x lim √ x→∞ 3 x3 + 10 √ √ x− a lim x→a x−a µ ¶ sen2x 1+x lim x→0 x (c) lim (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) 2 . 11. x→a 9. Encuentre lim L e interprete el resultado. x→a 10. donde f (x) = x→1 |x−1|+4−2 . Analice si los siguientes l´ımites existen. x−1 ( 15. dada la funci´on: f (x) = 3x2 −2 x−1 x < −2 − 5x 3 −2≤x≤3 x+1 x>3 (a) lim f (x) x→−3 (b) lim f (x) x→−2 (c) lim f (x) x→3 13. Determine los valores de a y b de modo que los l´ımites lim f (x) y lim f (x) existan. Determine si existe lim f (x). x + 2a x < −2 donde f(x) viene dada por: f (x) = x→−2 x→2 3ax + b − 2 < x < 2 3x − 2b x > 2 ( 17. donde f (x) = x→5 x2 −3x−10 |x−5| . donde: f (x) = x→1 √ 2− x+3 x−1 2x2 −3 x x2 +3 x>1 <1 16.. Determine si existe lim f (x). Determine si existe lim f (x) para f(x) definida como: f (x) = x→−1 3 x2 −1 3x+2 1 x2 +1 x < −1 x > −1 .µ (m) lim x→∞ (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) x+2 x+1 ¶x √ √ x+h− x lim h→0 h 1 − cos x lim x→0 x2 √ 3− 5+x √ lim x→4 1 − 5 − x √ 1 − cos x lim x→0 x2 √ 2− x−3 lim x→7 x2 − 49 √ 3 x−1 lim √ 4 x→1 x−1 sen5x lim x→0 sen2x 12. Determine si existe lim f (x). √ 14. de modo que la funci´on: ( f (x) = x+1 1<x<3 x2 + bx + c |x − 2| ≥ 1 sea continua en todos los reales.18. Si es reparable. Determine los valores de a y b. de modo que la funci´on: f (x) = x 1 − 1+e x2 ax=0 sea continua en todos los reales. indique si es reparable o irreparable. Determine el valor de a. 2x e −1 x<0 x 3 x=0 f (x) = 22 ³ 2x −1 ´ x>0 ln 2 x En caso de ser discontinua. 22. Determine el valor de a. De ser reparable. diga que tipo de discontinuidad tiene. Determine si la siguiente funci´on es continua en x = 0. senx x x<0 f (x) = 0x=0 1−x x > 0 √ 1− x En caso de no ser continua. Determine los valores de b y c. 24. 23. rep´arela. 20. 19. de modo que la funci´on: f (x) = a(x3 −1) x+1 + b 2ax − 3 b(x2 +3x−10) x−2 si x < 1 si 1 ≤ x ≤ 2 si 2 < x sea continua en todos los reales. de modo que la funci´on: ( f (x) = x+1 x>2 −x2 + a x ≤ 2 sea continua en todos los reales. 21. rep´arela. Analice si la siguiente funci´on es continua o discontinua en x = 0. Mostrar que ambas funciones son discontinuas en x = 0 ( f (x) = −x x<0 1x≥0 4 ( g(x) = x 6= 0 1x<0 xx≥0 . f (3) = 2 . Determine para qu´e valores de a.25. lim f (x) = −1 . De ser reparable. 5 . la funci´on definida por: ( f (x) = √ 1+x2 −1 senx·(1+x2 ) x 6= 0 ax=0 sea continua en x = 0. ( 29. x→−3− lim f (x) = 1/2 . 28. Analizar la continuidad de f (x) = x2 −4 x−2 En caso de ser discontinua. lim f (x) = 2 . f (−3) = x→−3+ 32. Esboce la gr´afica de un ejemplo de una funci´on que satisfaga todas las condiciones dadas: (a) lim f (x) = 5. diga que tipo de discontinuidad tiene. x 6= 1 αx=1 la funci´on sea continua en todos los reales. 31. 30. f (−1) = 0 x→3+ x→3− x→1 (b) lim f (x) = 1 . lim f (x) = 2 . f (1) no est´a definido 2 lim f (x) = 0 . Determine los valores de a y b de modo que la funci´on: f (x) = π −2senx − π < x ≤ − 2 asenx + b − π2 < x < cos x π2 ≤ x < π π 2 sea continua en todos los reales. Dada la funci´on: ( x2 −9 x+3 x 6= −3 −6 x = −3 f (x) = ¿Es continua en x = -3?. 26. rep´arela. Determine para qu´e valores de α la funci´on definida por: ( x2 senx x 6= 0 αx=0 f (x) = 27. x→1+ x→1− 1/ . Determine el valor de α de modo que: f (x) = x ln x x−1 x > 0. La poblaci´on N de una ciudad peque˜ na en t a˜ nos a partir de ahora se predice que ser´a : N = 20000 + 10000 (t+2)2 Encuentre la poblaci´on a largo plazo. una educadora de p´arvulos realiz´o un experimento en el que de modo repetido se le solicita a un ni˜ no que realice una prueba de destreza fina.33. si es que existen: tan x − sin x sin3 x √ x2 + 4 − 2 (b) lim √ x→0 x2 + 9 − 3 (a) lim x→0 6 . Para estudiar la tasa a la que aprenden los ni˜ nos pre-escolares . ¿a que valor se aproximar´ıa y? 35.0246·t (a) ¿ Cu´al es la temperatura de la tijera despu´es de 20 minutos de sacado de equipo? (b) ¿ Cuanto tiempo lleva la tijera fuera del equipo si su temperatura es de 200˚F (c) Despu´es de “infinitas” horas ¿cu´al es la temperatura aproximada de la tijera? 37. entonces el n´ umero 900·x de par´asitos en un per´ıodo es “y” donde: y = 10+45·x Si la densidad de los hu´espedes fuera aumenta infinitamente. entonces el costo promedio por unidad “c” para una producci´on de “q” unidades est´a dado por: c = qc . Sup´ongase que el tiempo requerido por el ni˜ no para realizar la n-´esima prueba era aproximadamente: f (n) = 3 + 12 minutos n (a) ¿En que prueba utiliz´o por primera vez 4 minutos o menos? un la funci´on f ¿ que le suceder´a al tiempo requerido para que el ni˜ no realice (b) Seg´ la prueba cuando el n´ umero de pruebas aumenta infinitamente? (c) ¿Podr´a el ni˜ no realizar la prueba alguna vez en menos de 3 minutos? 36. Suponga que una tijera quir´ urgica se saca de un esterilizador a una temperatura de 300o F. Para una relaci´on particular de hu´esped-par´asito. Si la ecuaci´on del costo total es c = 5000 + 6 · q. Si “c” es el costo total en d´olares para producir “q” unidades de un producto. 34. fue determinado que cuando la densidad de hu´espedes (n´ umero de hu´esoedes por unidad de ´area) es “x”. predice que la temperatura T de la tijera en cualquier tiempo t ( en minutos) medido a partir del instante en que ´esta es sacado del esterilizador es:T (t) = 70 + 230 · e−0. La Ley de enfriamiento de Newton. demuestre que el costo promedio se aproxima a un nivel de estabilidad si el productor aumenta infinitamente la producci´on. Calcular los siguientes l´ımites. en una laboratorio cuya temperatura ambiente es de 70o F. calcule lim x→∞ 7 . (a) Para x > −3.38. Considere la funci´on definida por 2 x +x−6 f (x) = x+3 −5 x > −3 x ≤ −3 1 f (x) (b) Analice la continuidad de f (x) en todos los reales. el ´angulo de depresi´on con que se observa un bote. el ´angulo de elevaci´on desde ´este hacia el faro es de 30◦ . el ´angulo de elevaci´ on de la punta de un campanario es de 60◦ . y que cos α = . Dado que cot θ = 2 y que θ est´a en el tercer cuadrante. hallar los otros valores funcionales (seno. que tiene 9 metros de altura. cotangente. Calcular la altura del faro si la distancia entre los botes es de 150 mts. cosecante).Ing. Cuando el bote se aleja 20 mts. ¿Qu´e altura tiene un ´arbol si arroja una sombra de 8. . el ´angulo de elevaci´ on hasta el remate de un edificio es de 60◦ y el ´angulo de depresi´on de la base es de 45◦ . secante. Dado que sin θ = 3 y que θ est´a en el primer cuadrante. al ´angulo de elevaci´ on es de 30◦ .en Biotecnolog´ıa . en direcci´on poniente es de 28◦ . 11.Marina FMM 032 . ¿cu´al es el valor de sin 2θ? 5 5. La persona camina 10 mts hacia el edificio y observa el tope de ´este con un ´angulo de elevaci´ on de 30◦ . formando un ´angulo de 30◦ con la pared. El extremo A de una escalera..¿ Cu´al es la altura de la escalera? 8.B. si la distancia de la base de la torre al extremo opuesto de la piscina es de 25 metros. 12. 7.5 mts la largo en el momento que el ´angulo de elevaci´on del sol es de 45◦ ? 10.Bioqu´ımica . Desde un faro de 25 mts de altura se observa un bote situado en un punto A. Calcular la altura del edificio. Desde el pie de un poste. Si la altura del edificio es de 40 mts. se encuentra apoyado a una altura h del piso. 3 coseno. Desde un faro. Dado que tan θ = − 3.encuentre el valor de la siguiente expresi´on: sin α − 3 cos β tan β + cot α 2 y que θ est´a en el segundo cuadrante. desde la parte superior del poste. Si mirando desde punta de la torre hacia el extremo opuesto de la piscina el ´angulo de depresi´on es de 30o . Se sabe que α y β son los ´angulo interiores de un tri´angulo rect´angulo. hallar los otros valores funcionales.Elem.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de la Salud Escuela de Qu´ımica y Farmacia . Desde el extremo superior de un monumento. 2. Hallar la altura del campanario y la distancia de ´este al poste. calcular la altura del monumento.y C´ alculo Elemental GUIA TRIGONOMETRIA 3 1. Desde lo alto de un edificio de h mts de altura se observa una persona con un ´angulo de depresi´on de 15◦ . Determinar la distancia final entre el bote y el extremo inferior del faro. 4. es de 55◦ y el ´angulo de depresi´on con que se observa otro bote. En el borde de una piscina se desea colocar una torre para clavados ol´ımpicos. 9. Sin recurrir 5 al valor de α y β . en direcci´on sur. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formando un ´angulo de 60◦ con la pared. 6. ¿Cu´anto debe medir la torre.de Alg. 5 sin t π − 2 6 ¶ donde D es el n´ umero de horas con luz d´ıa y t es el d´ıa del a˜ no.13. Suponga que el n´ umero de toneladas del contaminante liberado en la atm´osfera durante cualquier semana despu´es del primero de enero para cierta ciudad est´a dado por: ³ nπ ´ A(n) = 1. per´ıodo y desfase.45 − 0. Para la funci´on sinusoidal y = −2 sin(2x − π) . El volumen de aire en los pulmones t segundos despu´es de exhalar es aproximadamente µ ¶ πt . per´ıodo y desplazamiento de ³ π´ y = 3 sin 2x + 2 on de combustibles liberados hacia la 17. amplitud y desfase. Determinar gr´afica. amplitud. La cantidad de bi´oxido de azufre. e indique su per´ıodo. El n´ umero de horas con luz de d´ıa para un ´area en particular se relaciona con el d´ıa del a˜ no de la manera siguiente: µ D = 2. Construya una ecuaci´on y su gr´afica tal que cumpla todas las siguientes caracter´ısticas: • Funci´on coseno • Amplitud = 3 • Desface = − π3 . Demostrar las siguientes identidades (a) (b) (c) (d) (e) (f) sin x · cos x tan x − =0 cos 2x 1 − tan2 x sin α + sin 2α = tan α 1 + cos α + cos 2α csc2 α − 2 cos 2α = csc2 α 1 + tan α cos 2α = 1 − sin 2α 1 − tan α (sin x − csc x)2 + (cos x − sec x)2 = tan2 x + cot2 x − 1 1 − sin x (sec x − tan x)2 = 1 + sin x . 18. Obtenga su gr´afica. indicando amplitud. 16. 19.37 cos 2 Grafique la funci´on en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gr´afica. obtenido de la combusti´ atm´osfera de una ciudad var´ıa estacionariamente. donde t = 1 corresponde al primero de Enero. Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0. • Per´ıodo = π 14. Trace una gr´afica de esta funci´on.0≤t≤8 V (t) = 0.82 litros de aire cada 4 segundos.5 + cos . con 0 ≤ n ≤ 104 26 Grafique la funci´on en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gr´afica. 15. FMM 032 2do Semestre. y crece despu´es de pasadas t horas de acuerdo con la relaci´on µ N (t) = 1000 · 1 + t t + 20 ¶ Hallar el ritmo al cual est´a creciendo la poblaci´on.ELEMENTAL . despu´es de transcurridos 240 minutos. Encontrar los valores de las constantes c y d de modo que la funci´on h(x) sea continua en R. Suponga que se introduce una poblaci´on de 1000 bacterias en un cultivo. 2004 TERCERA PRUEBA SOLEMNE Jueves 25 de Noviembre de 2004 1. si x < 1 2x cx2 + d si 1 ≤ x ≤ 2 h(x) = 4x si x > 2 3. (a) Encontrar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva definida por x2 y + y 2 x + x = 1 en el punto (1. 0). demuestre que x x2 · f 00 (x) + x · f 0 (x) − f (x) = ln(x) ´ DURACION: 90 MINUTOS SIN CONSULTAS . (b) Si f (x) = 1 − ln(x). Calcular: µ 1 2 (a) lim − 2 x→1 x − 1 x −1 √ 1 + 4x2 (b) lim x→∞ 4+x ¶ 2.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ´ ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALC. 4. Ritmo ⇔ dn dt ³ ´ = 1000 1·(t+20)−t(1) (t+20)2 dn dt 20000 .FMM 032 1er Semestre.7 Bacterias/hrs.´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALC ELEMENTAL . (a) à lim X→1 1 2 − 2 x−1 x −1 ! à = x2 − 1 − 2(x − 1) (x − 1)(x2 − 1) ! x2 − 2x + 1 (x − 1)2 1 1 = lim = lim − X→1 (x − 1)(x − 1)(x + 1) X→1 (x − 1)(x + 1) x+1 2 = lim (b) s r √ 1 + 4x2 1 + 4x2 1 + 4x2 lim = lim = lim x→α 4+x (4 + x)2 x2 + 8x + 16 2. Evaluado en t= 4 horas (t+20)2 dn 20000 dt = 242 ≈ 34. Claramente la funci´on esta definida en x-1 y x-2 Falta analizar la existencia del limite en 1 y 2 limx→1− 2x = 2 limx→1+ Cx2 + d = c + d c+d=2 limx→2− Cx2 + d = 4c + d limx→2+ 4x = 8 4c + d = 8 De (1) Y (2): c 4c + + d d = = 2 8 ⇒ 3c = 6 c=2 ⇒d=0 Luego para que h(x) sea continua c = 2yd = 0 3. 2005 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE 1. . (a) Derivamos implicitamente: 2x · y + x2 · y 0 + 2y · y 0 x + y 2 + 1 = 0 y 0 · (x2 + 2xy) = −2xy − y 2 − 1 2 −1 y 0 = −2xy−y x2 +2xy x=1 y=0 = −1 1 = −1 = m Luego de la ecuaci´on de la siguiente es: y − 0 = −1(x − 1) y = −x + 1 (b) 70 (x) = −1 x2 − 1 x x2 700 + x · 70 − 7(x = ln x) à ! à ! ! à 1 2 1 −1 1 2 −1 + − − − ln x 700 (x) = 3 + 2 · x2 +x· x x x3 x2 x2 x x = = 2 x 2 x + 1 − x1 − 1 − x1 + ln x − x2 + ln x = ln x ´ DURACION: 90 MINUTOS SIN CONSULTAS .4. Considere la gr´afica de la funci´on real f : R → R −3 0 1 4 (a) Indique los valores de x ∈ R para los cuales f 0 (x) > 0 . de Ciencias F´ısicas y Matem´ aticas Pauta Tercera Prueba Solemne Primer Semestre 2005 Elementos de Algebra y C´ alculo elemental – FMM 032. f 0 (x) < 0 . Un bi´ologo realiz´o un experimento sobre la cantidad de individuos en una poblaci´on de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t) = ln(t2 − 2t + 5) donde t se mide en d´ıas y g(t) es el n´ umero de individuos en el cultivo. 4. Determine los valores de A y B tales que la funci´on y = ( Asen(x) + Bcos(x) ) ex satisfaga la ecuaci´on y 00 + 4y 0 + 3y = 3ex sen(x) . (b) ¿ Cu´anto vale lim f 0 (x) ? x→∞ 3. Indique despu´es de cu´anto tiempo el n´ umero de individuos en la poblaci´on es m´ınimo. Estudie la continuidad de la funci´on √ 2−x−1 x−1 sen(x − 1) f (x) = x3 − 1 4 si x < 1 si x > 1 si x = 1 2. 1. f 0 (0) = 0 .Universidad Andr´ es Bello Facultad de Ciencias de la Salud Escuela de Qu´ımica y Farmacia-Bioqu´ımica Dpto. ( 0.6 Ptos) Para el l´ımite lateral derecho. tenemos √ √ 2−x−1 2−x+1 2−x−1 √ √ lim− f (x) = lim− = lim− x→1 x→1 x−1 2 − x + 1 x→1 (x − 1) ( 2 − x + 1) = lim− x→1 1−x 1 √ =− 2 (x − 1) ( 2 − x + 1) ( 0. (a) Interpretando la derivada como la pendiente de la recta tangente al gr´afico de la funci´on tenemos que f 0 (x) > 0 si x ∈ (−3. 1) ∪ (4. 0) ∪ (1.3 Ptos) 2. tenemos lim+ f (x) = lim+ x→1 = lim+ x→1 x→1 sen(x − 1) sen(x − 1) = lim+ 3 x→1 (x − 1) (x2 + x + 1) x −1 1 sen(x − 1) 1 = 2 (x − 1) x + x + 1 3 ( 0. Para x→1 ver la existencia del l´ımite calculamos los l´ımites laterales. +∞) ( 1. Para estudiar la continuidad en x = 1 debemos verificar que lim f (x) = f (1) .6 Ptos) Como los l´ımites laterales son distintos se concluye que no existe lim f (x) y por lo x→1 tanto f es discontinua en x = 1 . −3) ∪ (0.Pauta 1. x→+∞ ( 0. Es claro que f es continua para todo x ∈ R \ {1} por ser la divisi´on de funciones continuas.0 Ptos) (b) Ante el supuesto que el gr´afico de f sigue asint´otico horizontal cuando x tiende a +∞ tenemos que lim f 0 (x) = 0 . 4) f 0 (x) < 0 si x ∈ (−∞. Para el l´ımite lateral izquierdo.5 Ptos) . 5 Ptos) 4.4 Ptos) Para obtener la igualdad y 00 + 4y 0 + 3y = 3ex sen(x) debemos tener 6A + 7B = 0 7A − 6B = 3 .4 Ptos) Luego y 00 + 4y 0 + 3y = [2Acos(x) − 2Bsen(x)] ex + 4[ (A + B)cos(x) + (A − B)sen(x) ] ex +3[ Asen(x) + Bcos(x) ] ex = [(6A + 7B)cos(x) + (7A − 6B)sen(x)] ex ( 0. g 0 (t) = 0 si En el contexto del problema: Despu´es de un d´ıa el n´ umero de individuos en el cultivo es un m´ınimo. Evaluando se sigue que g 00 (1) = 1/2 > 0 . ( 1.4 Ptos) y y 00 = [ −(A + B)sen(x) + (A − B)cos(x) ] ex + [ (A + B)cos(x) + (A − B)sen(x) ] ex = [2Acos(x) − 2Bsen(x)] ex ( 0. Calculamos la primera y segunda derivada de y para obtener y = ( Asen(x) + Bcos(x) ) ex y 0 = [ Acos(x) − Bsen(x) ] ex + [ Asen(x) + Bcos(x) ] ex = [ (A + B)cos(x) + (A − B)sen(x) ] ex ( 0. t2 − 2t + 5 Usamos el criterio de la segunda derivada para establecer extremos relativos.3. . Tenemos que g 0 (t) = t2 2t − 2 . Calculamos los puntos cr´ıticos: − 2t + 5 2t − 2 = 0 de donde el u ´nico punto cr´ıtico es t = 1 . y por lo 2 2 (t − 2t + 5) tanto t = 1 es un m´ınimo relativo. luego 2(t2 − 2t + 5) − (2t − 2)2 00 g (t) = . Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales. se tiene A = 21 85 y B = − 18 . 85 ( 0.3 Ptos) . 2005 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 25 de Noviembre de 2005 1.FMM 032 2do Semestre. Considere la funci´on definida por x2 + x − 6 f (x) = x+3 −5 x > −3 x ≤ −3 . Calcular los siguientes l´ımites. Y CALCULO ELEMENTAL .DE ALG.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.6 Ptos) √ x2 + 4 − 2 (b) lim √ x→0 x2 + 9 − 3 Soluci´on: √ √ √ √ x2 + 4 − 2 x2 + 4 + 2 x2 + 9 + 3 (x2 + 4 − 4)( x2 + 9 + 3) √ lim √ ·√ ·√ = lim x→0 x2 + 9 − 3 x2 + 4 + 2 x2 + 9 + 3 x→0 (x2 + 9 − 9)( x2 + 4 + 2) √ x2 + 9 + 3 6 3 lim √ = = 2 x→0 4 2 x +4+2 (0. si es que existen: tan x − sin x x→0 sin3 x (a) lim Soluci´on: tan x − sin x = lim x→0 x→0 sin3 x lim sin x cos x − sin x sin x(1 − cos x) 1 − cos x = lim = lim 3 3 x→0 sin x · cos x x→0 sin2 x · cos x sin x | {z } 1−cos2 x lim x→0 1 − cos x 1 1 = lim = (1 − cos x)(1 + cos x) · cos x x→0 (1 + cos x) · cos x 2 (0.6 Ptos) 2. donde n se obtiene de reemplazar el punto (1. (0. Luego la ecuaci´on viene dada por y = −x + n. calcule lim Soluci´on: x+3 1 = lim 2 =0 x→∞ x + x − 6 x→∞ f (x) lim pues. (0. x→∞ f (x) (b) Para x > −3. se concluye que la funci´on es continua en x = −3. entonces y = −2 La pendiente de la recta tangente viene dada por: y 0 = 3x2 − 4 Evaluada en x = 1 ⇒ y 0 = −1. x→−3 (0.3 Ptos) 3.3 Ptos) 1 . Soluci´on: Si x = 1.(a) Analice la continuidad de f (x) en todo R. el denominador crece m´as r´apido que el numerador. donde n es igual a −2 = 1 + n ⇒ n = −3 Por lo tanto la ecuaci´on de la recta normal es: yn = x − 3 (1.3 Ptos) • Como f (−3) = lim f (x). ya que en cualquier otro punto es claramente continua. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente y normal a la curva y = x3 −4x+1. (0.2 Ptos) . Est´a definida. y por lo tanto x→−3 es continua en todo R. en el punto cuando x = 1. −2). • f (−3) = −5. y en el infinito la fracci´on tiende a cero. Soluci´on: Analicemos la continuidad de la funci´on en x = −3. es decir −2 = −1 + n ⇒ n = −1 Por lo tanto la ecuaci´on de la recta tangente es: yt = −x − 1 La pendiente de la recta normal es mn = 1 ⇒ y = x + n.3 Ptos) • lim f (x) = lim −5 = −5 x→−3− x→−3− lim f (x) = lim x→−3+ x→−3+ x2 + x − 6 (x + 3)(x − 2) = lim = −5 x+3 x+3 x→−3+ Luego lim f (x) = −5. es un m´aximo.4.37 %/dia.QED. la cantidad de ox´ıgeno cambia a raz´on de 0. es decir dt (2t + 10)(t2 + 20t + 100) − (t2 + 10t + 100)(2t + 20) dP = 100 · dt (t2 + 20t + 100)2 Desarrolando la expresi´on y simplificando se obtiene dP 10t2 − 1000 = 100 dt (t2 + 20t + 100)2 Evaluando en t = 20 se llega a: dP = 0. La fuerza R de reacci´on del cuerpo humano a una dosis D de cierto medicamento est´a dada por R(D) = D2 · k D − 2 3 donde k es una constante positiva. Demuestre que la m´axima reacci´on se alcanza cuando la dosis es k unidades. el proceso de oxidaci´on que se lleva a cabo reduce el contenido en el estanque. Sup´ongase que el porcentaje de contenido de ox´ıgeno t d´ıas despu´es de tirar la basura org´anica en el estanque est´a dado por t2 + 10t + 100 P (t) = 100 · 2 t + 20t + 100 con respecto de su nivel normal. ¿Qu´e tan r´apido cambia el contenido de ox´ıgeno en el estanque 20 d´ıas despu´es de vaciar la basura org´anica? Soluci´on: La raz´on de cambio viene dada por dP .2 Ptos) 5. (1. sin embargo.37 dt Es decir. despu´es de cierto tiempo. Cuando la basura org´anica se vac´ıa en un estanque.2 Ptos) . Soluci´on: Calculemos los valores cr´ıticos: R(D) = k 2 D3 D − → R0 (D) = kD − D2 = 0 ⇔ D(k − D) = 0 2 3 ⇒D =k∨D =0 Calculemos la segunda derivada: R00 (D) = k − 2D Evaluando: R00 (0) = k > 0 R00 (k) = −k < 0 ⇒ D = k. (1. la naturaleza regresa el contenido de ox´ıgeno a su nivel natural. Justifique sus resultados.7 Ptos . La siguiente gr´afica de una funci´on f . ( los laterales son distintos )( 0. el l´ımite en ese punto. Soluci´on: f 0 (x) = 4(5x2 + g(x))3 · (10x + g 0 (x)) Evaluando en x = 0: f 0 (0) = 4(0 + g(0))3 · (0 + g 0 (0)) = 4(g(0))3 · g 0 (0) f 0 (0) = 4 · 13 · 2 = 8 0.( 0. muestra la presi´on de una persona hipertensa en un per´ıodo de 24 horas. 2006 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 30 de Junio de 2006 1.FMM 032 1er Semestre.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. si se sabe que g(0) = 1 . (a) Sea f (x) = (5x2 + g(x))4 . (a) ¿Cu´anto vale lim f (t) . t→8 (b) ¿Es f continua?. no existe. lim f (t)? ¿Existe lim f (t)?.3 Ptos ). g 0 (0) = 2.4 Ptos ) 2. t→8+ t→8− t→8 Soluci´on: De la gr´afica lim f (t) = 10(0.DE ALG. Encuentre f 0 (0). con lo que se concluye que t→8− t→8+ lim f (t) . Y CALCULO ELEMENTAL .4 Ptos) y lim f (t) = 12 (0.4 Ptos). Soluci´on: Claramente la funci´on no es continua en t = 8 y en t = 20 por no existir en ambos casos. Justifique. 7 Ptos . Luego: 0 P (t) = 0 − 0(1 + t) − 9000 · 1 (1 + t)2 = 9000 = 1500 (1 + t)2 0. donde n.45 d´ıas la poblaci´on crece a raz´on de 1500 insectos por d´ıa. est´a dado por: P (t) = 10000 − 9000 1+t ¿Cu´ando la poblaci´on crece a raz´on de 1500 insectos por d´ıa? Soluci´on: Hay que imponer que P 0 (t) = 1500.5 Ptos Luego. se obtiene al reemplazar el punto dado: 1 = 2 + n ⇒ n = −1 La ecuaci´on de la recta tangente es: y = x − 1.45. Rpta: Pasados aproximadamente 1. 1). en el punto (2.45 ∨ t2 = −3. la soluci´on est = 1. Soluci´on: Derivando impl´ıcitamente: y + xy 0 − 3y 2 y 0 = 0 ⇔ y 0 (x − 3y 2 ) = −y ⇒ y0 = −y x − 3y 2 Evaluando en (2. El tama˜ no de una poblaci´on de insectos al tiempo t medido en d´ıas. la ecuaci´on de la recta tangente es de la forma y = x+n. 0. 1): y0 = m = −1 =1 2−3 0. 0.3 Ptos 3.(b) Encontrar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva xy − y 3 = 1.45 Considerando.8 Ptos ⇔ (1 + t)2 = 6 ⇔ t2 + 2t − 5 = 0 ⇒ t1 = 1. por contexto del problema. Verifiquemos que efectivamente este valor sea un m´aximo. la poblaci´on de bacterias es m´axima. la poblaci´on de bacterias ( en miles ).67 hras. En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo de bacterias.3 Ptos Por contexto. viene dada por: P (t) = 24t + 10 t2 + 1 (a) Determinar el tiempo cuando la poblaci´on es m´axima. Se estima que t horas despu´es de la introducci´on de una toxina. la soluci´on de la ecuaci´on de segundo grado es: t1 = −3 2 ∨ t2 = 3 2 0. Rpta: Aproximadamente despu´es de 0. 0. = 18 0. P 00 (t) = (−20 − 48t)(t2 + 1)2 − (24 − 20t − 24t2 ) · 2(t2 + 1) · 2t (t2 + 1)4 Evaluando en t = 32 : 2 2 2 −(20 + 48 · + 1)2 − 0 2 3 )( 3 <0 P 00 = 2 3 ( 23 + 1)2 Luego t = 32 . nos quedamos con la soluci´on positiva.4 Ptos (b) ¿Cu´al es la poblaci´on m´axima? Soluci´on: La poblaci´on m´axima de bacterias viene dada por: Pm´ax = 2 3 + 10 2 2 +1 3 24 · Rpta: La cantidad m´axima de bacterias es de 18.4.000.3 Ptos . Soluci´on: Calculemos los valores cr´ıticos: P 0 (t) = 0 ⇔ 24(t2 + 1) − (24t + 10) · 2t 24 − 20t − 24t2 ⇔ =0 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 0. es un m´aximo.5 Ptos ⇔ 24t2 + 20t − 24 = 0 ⇔ 6t2 + 5t − 6 = 0 De ac´a. 1). (a) Calcular el siguiente l´ımite √ 3x + 4 − 4 lim √ x→4 x+5−3 Sol: √ √ √ √ 3x + 4 − 4 3x + 4 + 4 x+5+3 (3x − 12)( x + 5 + 3) √ lim √ ·√ ·√ = lim x→4 x+5−3 3x + 4 + 4 x + 5 + 3 x→4 (x − 4)( 3x + 4 + 4) √ 3(x − 4)( x + 5 + 3) 3·6 9 √ = limx→4 = = 8 4 (x − 4)( 3x + 4 + 4) 1.25 · e−0.25 1 + 0.DE ALG.4t 1+0 A largo plazo el peso del cultivo alcanzar´a los 1.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Y CALCULO ELEMENTAL . .5 Ptos. lim t→∞ 0. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva definida impl´ıcitamente por x3 + x2 y + 4y 2 = 6.0 Pto. 2. (b) Un cultivo de bacterias crece siguiendo la funci´on log´ıstica 1. 2006 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 24 de Noviembre de 2006 1.25 gramos. la ecuaci´on de la recta tangente viene dada por: y−1= −5 −5x 14 (x − 1) ⇔ y = + 9 9 9 0.25 1.FMM 032 2do Semestre. Luego.0 Pto. en el punto de coordenadas (1. ¿cu´al ser´a el peso en gramos del cultivo de bacterias? y= Despu´es de mucho Sol: Basta calcular lim f (t): t→∞ 1.5 Ptos. Sol: Derivemos impl´ıcitamente para encontrar y 0 : 3x2 + 2xy + x2 · y 0 + 8y · y 0 = 0 Evaluando el punto (1. 1): 3 + 2 + y 0 + 8y 0 = 0 ⇔ 9y 0 = −5 ⇒ y 0 = −5 9 1. tiempo(t → ∞).4t donde y denota el peso en gramos del cultivo y t el tiempo en horas.25 = = 1.25 · e−0.25 1 + 0. el consumo de energ´ıa por unidad de tiempo es proporcional a v 3 . 4.3. Una cierta c´elula bacteriana tiene una forma esf´erica tal que r micr´ometros (µm) es su radio y V µm3 es su volumen.Encuentre la raz´on de cambio del volumen respecto al radio. 0. a = 1 y L = 4. Para un pez que nada a una velocidad v con relaci´on al agua.82 dr El volumen aumenta a raz´on de 60. Si nada contra una corriente con velocidad u(u < v).2: dV = 4π · (2. la funci´on a minimizar es E(v) = 4v 3 v−2 Calculemos los valores cr´ıticos: E 0 (v) = 12v 2 (v − 2) − 4v 3 · 1 8v 3 − 24v 2 = =0 (v − 2)2 (v − 2)2 ⇔ 8v 3 − 24v 2 = 0 ⇔ v 2 (8v − 24) = 0 ⇒ v = 0 ∨ v = 3 0. el tiempo requerido L y por lo tanto la energ´ıa total E necesaria para nadar la distancia para nadar una distancia L es v−u se expresa mediante E(v) = av 3 L v−u donde a es la constante de proporcionalidad. Luego si v = 3 la energ´ .4 Ptos. Considerando u = 2 .0 Pto. Evaluando en v = 0 ⇒ E 00 (0) = 0. Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energ´ıa total requerida para nadar una distancia fija. de la c´elula.2)2 = 60.5 Ptos. 3 Sol: Derivamos directamente el volumen respecto al radio: dV 4 = π · 3r2 = 4πr2 dr 3 1. 1 = 72 > 0. cuando el radio es de 2. Sol: Reemplazando los valores mencionados. 4 Ind: V = πr3 . La segunda derivada viene dada por: E 00 (v) = (24v 2 − 48v)(v − 2)2 − (8v 3 − 24v 2 ) · 2(v − 2) (v − 2)4 0.8 Ptos. determine el valor de v que minimice la energ´ıa total E. 0. no es ni m´aximo ni m´ınimo. Evaluando en r = 2.3 Ptos.82 µm3 /µm. Evaluando en v = 3 ⇒ E 00 (3) = 72−0 ıa total es m´ınima.2µm. 5 ptos sin(3x) − sin(2x) ii. 0. En cierto modelo. lim x→5 x−5 Sol: Racionalizando: √ √ 2x − 1 − 3 2x − 1 + 3 2x − 1 − 9 √ lim ·√ = lim x→5 x−5 2x − 1 + 3 x→5 (x − 5)( 2x − 1 + 3) 2 1 2(x − 5) √ = = x→5 (x − 5)( 2x − 1 + 3) 6 3 = lim 0. En realidad. (a) Calcular los siguientes l´ımites: √ 2x − 1 − 3 i. es dif´ıcil comer mucho mientras se siente la vigilancia de un depredador que se lo puede comer a usted. si el animal est´a buscando alimento en plantas que brindan un bocado de tama˜ no S. la tasa de consumo de alimento I(S) est´ a dada por la funci´on I(S) = aS S+c donde a y c son constantes positivas. es decir S→∞ aS =a S→∞ S + c lim Por lo tanto.5 ptos (b) En algunas especies animales. se llega al mismo resultado: 3 cos(3x) − 2 cos(2x) sin(3x) − sin(2x) = lim =3−2=1 x→0 x→0 x 1 lim 0. Y CALCULO ELEMENTAL . la tasa de consumo se estabiliza en el valor constante a.DE ALG. ya que es de forma 00 . lim x→0 x Sol: sin(3x) − sin(2x) 3 sin(3x) 2 sin(2x) lim = lim − =3−2=1 x→0 x→0 x 3x 2x Si se utiliza la regla de L’Hopital. 2007 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 29 de Junio de 2007 1.FMM 032 1er Semestre. ¿Qu´e le ocurre al consumo de alimento I(S) cuando un bocado de tama˜ no S aumenta indefinidadmente? Sol: Cuando S aumenta indefinidamente. basta con calcular lim I(S).5 ptos . el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la que se somete al animal mientras come.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. 1875 dt 4 0. si x = −1 → y = −1.7 ptos Cuando se introduce la toxina t = 0. ¿la poblaci´ on est´ a aumentando o est´ a disminuyendo?.. 0.500 bacterias/hora.5 ptos Adem´as. ¿A qu´e hora entre el mediod´ıa y las 7:00 p. Sol: La raz´on de la poblaci´ on respecto al tiempo se obtiene como: 1 · (t2 + t + 4) − (t + 1)(2t + 1) 3 − t2 − 2t dP = = dt (t2 + t + 4)2 (t2 + t + 4)2 0.5 ptos La poblaci´on de bacterias est´ a aumentando a raz´on de 187. Encontrar la ecuaci´ on de la recta tangente a la funci´on y = x en el punto cuando x = −1. Un bi´ologo modela el efecto de introducir una toxina en una colonia de bacterias mediante la funci´ on P (t) = t2 t+1 +t+4 donde P es la poblaci´ on de la colonia ( en millones ) t horas despu´es de que se introduce la toxina. va m´ as r´ apido y m´ as lento el tr´afico? .2. donde t es el n´ umero de horas despu´es del mediod´ıa. Se estima que entre el mediod´ıa y las 7:00 p. Evaluando: dP 3 = 2 = 0.5 ptos Evaluando en x = −1: y0 = 3 =3 12 0. Luego la ecuaci´on de la recta tangente es de la forma y = 3x + n. 0. ¿A qu´e raz´on cambia la poblaci´ on cuando se introduce la toxina? En este instante.m.m. 2x + 3 Sol: Calculemos y 0 : y0 = 2x + 3 − x · 2 3 = 2 (2x + 3) (2x + 3)2 0. donde n = 3 − 1 = 2.3 ptos 4. la velocidad del tr´afico en una carretera que pasa por la salida del centro de una ciudad es aproximadamente V (t) = t3 − 9t2 + 15t + 45 millas por hora.5 ptos 3. Sol: Calculemos los valores cr´ıticos: V 0 (t) = 0 ⇔ 3t2 − 18t + 15 = 0 / : 3 ⇔ t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t − 5)(t − 1) = 0 ⇒t=5∨t=1 1. 0.2 ptos • V 00 (1) = 6 − 18 = −12 < 0 → t = 1 es un m´aximo.2 ptos Finalmente.1 ptos .0 pto Clasifiquemos los valores cr´ıticos calculando la segunda derivada: V 00 (t) = 6t − 18 • V 00 (5) = 30 − 18 = 12 > 0 → t = 5 es un m´ınimo. el tr´ afico va m´ as r´ apido a las 13:00 hrs y m´as lento a las 17:00 hrs. 0. 0. exista. de modo que lim f (x).7 Ptos .FMM 032 2do Semestre. si x < 2 x2 − 4x + 4 . Aplicando propiedades de l´ımites: x→c x→c lim (f (x) + g(x)) = 3 ⇔ a + b = 3 x→c lim (f (x) − g(x)) = −1 ⇔ a − b = −1 x→c Resolviendo el sistema de ecuaciones.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. si x > 2 x3 + 5x2 − 14x Encuentre el valor de la constante a.DE ALG. x(x − 2)(x + 7) Luego: 4a − 3 = 0 ⇒ a = 3 4 0. los laterales deben ser iguales: x→2 • lim 2ax − 3 = 4a − 3. se concluye que a = 1. x→c x→c x→c Sol: Sean lim f (x) = a . b = 2.8 Ptos (b) Sea f (x) = 2ax − 3. (a) Si lim (f (x) + g(x)) = 3 y lim (f (x) − g(x)) = −1. Por lo tanto lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) = 1 · 2 = 2 x→c x→c x→c 0. x→2 Sol: Para que lim f (x) exista. x→2− • lim x→2+ (x − 2)2 = 0. 2007 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 16 de Noviembre de 2007 1. encuentre lim (f (x) · g(x)). Y CALCULO ELEMENTAL . lim g(x) = b. 7 Ptos Reemplazando en la ecuaci´on: r2 · erx + 5r · erx − 6 · erx = 0 ⇔ erx · (r2 + 5r − 6) = 0 Para que se cumpla la igualdad.2. Si la poblaci´on t minutos despu´es de agregado el agente es Q(t) = 106 · e−t/3 . (a) Determine la raz´on de cambio de la poblaci´on respecto al tiempo.3 Ptos 3.7 Ptos . satisfaga la ecuaci´on: y 00 + 5y 0 − 6y = 0 Sol: Calculemos y 0 e y 00 : y 0 = rerx → y 00 = r2 erx 0. De esta manera: | {z } x 0. la u ´nica posiblidad es que r2 + 5r − 6 = 0 ⇒ r = −6 ∨ r = 1. 1 + x2 Sol: f (g(x)) = x / d( ) ⇔ f 0 (g(x)) · g 0 (x) = 1 dx 0. Un agente antibacteriano agregado a una poblaci´on de bacterias causa disminuci´on en el tama˜ no de ´esta.6 Ptos (1 + x2 ) · g 0 (x) = 1 ⇔ g 0 (x) = 1 1 + x2 0. Suponga que f es una funci´on derivable de modo que • f (g(x)) = x • f 0 (x) = 1 + [f (x)]2 Demuestre que g 0 (x) = 1 . 0. Sol: La raz´on de cambio viene dada por dQ 1 = 106 · e−t/3 · − dt 3 0. Dada y = erx . Encuentre el(los) valor(es) de la constante r.8 Ptos 4.6 Ptos Pero f 0 (g(x)) =1+ [f (g(x))]2 =1+ x2 . de modo que la funci´on. 000 ⇔ e−t/3 = 3 106 33 ⇒ t = −3 · ln ≈ 10.(b) ¿Despu´es de qu´e per´ıodo de tiempo la poblaci´on disminuye a raz´on de 11.000: dt 33.8 Ptos . 0.000 bact/min pasados 10.000 1 106 · e−t/3 · − = −11.23 minutos. Sol: dQ Hay que imponer que = −11.000 bacterias/min?.23 1000 Rpta: La poblaci´on disminuye a raz´on de 11. −(x − 2) • lim 2kx2 − x + 1 = 8k − 2 + 1 = 8k − 1.0 .0 . Y CALCULO ELEMENTAL .7 Ptos 2. • lim x→2− x→2+ Se impone que 8k − 1 = 3 ⇔ k = 12 . encuentre el valor de las constantes a. numerador y denominador se obtiene: .3 Ptos 0.0 = lim 2 3 x→∞ 3 x→∞ 3 − x + 2x 2 − x1 + 2 x3 7x3 0.5 Ptos Reemplazando en la ecuaci´on: 2a + 2ax + b − 2ax2 − 2bx − 2c = x2 ⇔ −2ax2 + (2a − 2b)x + (2a + b − 2c) = x2 .2 Ptos (b) Calcular el siguiente l´ımite: 7x3 + 4x + 2 x→∞ 3 − x2 + 2x3 lim Sol: Dividiendo por la mayor potencia (x3 ).Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. de modo que la funci´ on satisfaga la ecuaci´on y 00 + y 0 − 2y = x2 Sol: Derivando la funci´on se obtiene: y 0 = 2ax + b ⇒ y 00 = 2a 0. 0. 2008 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 20 de Junio de 2008 1.3 Ptos 0. (a) Sea 2 x − 7x + 10 |x − 2| f (x) = 2kx2 − x + 1 si x < 2 si x ≥ 2 Encuentre el valor de la constante k de modo que f sea continua en todo R. Sol: S´olo basta con imponer la existencia de lim f (x): x→2 (x − 5)(x − 2) = 3. Dada la funci´on y = ax2 + bx + c.DE ALG.0 4 7 + + x23 7 + 4x + 2 x2 = lim .FMM 032 1er Semestre. b y c. se genera lo siguiente: 0.4 Ptos . el volumen del cono recto viene dado por 1 V = πr2 h 3 (1) En un instante cualquiera. se llega a: V = 3 π · h3 100 y derivando impl´ıcitamente respecto a t: dV 3 dh 9 dh = π · 3h2 · = π · h2 · dt 100 dt 100 dt 0.3 Ptos Sustituyendo en (1).0 Pto 3. Un vaso de papel tiene la forma de un cono recto con altura 10 cm y radio de 3 cm. Sol: Por indicaci´on del problema. ¿qu´e tan r´apido aumenta el nivel del agua en el instante en que la altura del agua es 5 cm? Ind: El volumen de un cono recto de altura h y radio r viene dado por V = 13 πr2 h.5 Ptos Por semejanza de tri´angulos se observa que: h 10 3h = ⇒r= r 3 10 0. Si se vierte agua en el vaso a raz´on de 2 cm3 /seg.De aqu´ı se concluye para que la igualdad se cumpla: −2a = 1 → a = − 1 2 2a − 2b = 0 → −1 − 2b = 0 → b = − 2a + b − 2c = 0 → −1 − 1 2 1 3 − 2c = 0 → c = − 2 4 1. Por tanto.7 Ptos • Clasificaci´on de los valores cr´ıticos: V 00 (t) = 6t − 18 – V 00 (1) = −12 < 0 → t = 1 es un m´aximo.3 Ptos 4. – V 00 (5) = 12 > 0 → t = 5 es un m´ınimo. 0. 0.283 cm/seg. Determine en qu´e instante la virulencia es m´ınima y m´axima.8 Ptos .283 cm/seg 100 dt dt 9π Rpta: El nivel del agua aumenta a raz´on de 0. se llega a: dt 2= dh dh 8 9 π · 25 · ⇒ = ≈ 0. la virulencia es m´ınima cuando hayan transcurridas 5 horas y es m´axima cuando haya pasado una hora.Evaluando en h = 5 y dV = 2. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene dada por la funci´on V (t) = t3 − 9t2 + 15t + 40 donde t es el tiempo ( en horas ) transcurrido desde que comenz´o el estudio ( t=0 ). Sol: • Calculemos los valores cr´ıticos: V 0 (t) = 0 ⇔ 3t2 − 18t + 15 = 0 / : 3 t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t − 5)(t − 1) = 0 → t = 1 ∨ t = 5 0. Considere las funciones f (x) = x2 − 2x − 3 . g(x) = 2ex + sin x.7 Ptos p (b) Determine lim x→3 g(x) − 2 x−3 Soluci´on: p lim x→3 g(x) − 2 = lim x→3 x−3 √ √ x+1−2 x+1+2 ·√ x−3 x+1+2 x−3 1 1 x+1−4 √ √ = lim = lim √ = x→3 (x − 3)( x + 1 + 2 x→3 x→3 (x − 3)( x + 1 + 2 4 x+1+2 = lim 0.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.FMM 032 2do Semestre. demuestre que √ 2 · f 0 (1) − g 0 (0) =2 2−2 0 f (g(0)) Soluci´on 1 1 1 1 f 0 (x) = 2 · √ + = √ + 2 x x x x g 0 (x) = 2ex + cos x Luego • g(0) = 2e0 + sin 0 = 2 → f 0 (g(0)) = f 0 (2) = √1 2 + 1 2 • f 0 (1) = 2 • g 0 (0) = 2e0 + cos 0 = 3 1. g(x) = x + 1 (a) Calcular lim x→1 2f (x) + g(x) f (x) · g(x) Soluci´on: Aplicando ´algebra de l´ımites 2 lim f (x) + lim g(x) 2f (x) + g(x) x→1 = x→1 x→1 f (x) · g(x) lim f (x) · lim g(x) lim x→1 = x→1 2 · −4 + 2 −6 3 = = −4 · 2 −8 4 0. 2008 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 14 de Noviembre 2008 1.7 Ptos √ 2.0 Pto .DE ALG. Si f (x) = 2 x + ln x . Y CALCULO ELEMENTAL . La cantidad de bi´oxido de nitr´ogeno.M (a) Determine a qu´e hora del d´ıa el PSI alcanza su m´aximo.5 es el u ´nico valor cr´ıtico. y para t > < 0. entonces la dosis infantil est´a dada por F (t) = a·t t + 12 Suponga que la dosis para un adulto de una sustancia es 500 mg. la dosis infantil est´a cambiando a raz´on de 12. entonces la raz´on de cambio viene dada por dF .40 dt Por lo tanto. se aproxima mediante la funci´on 544 A(t) = + 28. gas caf´e que dificulta la respiraci´on.Reemplazando tenemos que 4−3 = √1 + 1 2 2 1 √ 2+√ 2 2 2 √ √ 2 2 2− 2 √ · √ = 2+ 2 2− 2 √ √ √ √ 2 2(2 − 2) √ = = 2(2 − 2) = 2 2 − 2 2 0.40 mg/a˜ no. Por lo tanto. por sus siglas en ingl´es ) y t se mide en horas. se obtiene dF ≈ 12.5.0 Pto Evaluando en t = 10. es decir dt dF 500(t + 12) − 500t · 1 6000 = = dt (t + 12)2 (t + 12)2 1.5 Ptos 4. A0 (t) .5 Ptos 3. A0 (t) 4. Thomas Young ha sugerido la siguiente regla para calcular la dosis de medicina para ni˜ nos entre uno y doce a˜ nos.6 Ptos 4.5)2 )2 ⇒ t = 4. 0 ≤ t ≤ 11 4 + (t − 4. Si a denota la dosis para un adulto ( en mg ) y si t es la edad del ni˜ no ( en a˜ nos ). se concluye que t = 4. 0.5 es un m´aximo relativo.5) =0 (4 + (t − 4.5)2 donde A(t) se mide con un ´ındice est´andar de contaminaci´on ( PSI. 0. presente en la atm´osfera en cierto d´ıa de Mayo en una comunidad. con t = 0 correspondiente a las 7 A. 0.5.6 Ptos Por el criterio de la primera derivada como para t < > 0. ¿Cu´al es la raz´on de cambio de dicha dosis para un ni˜ no de 10 a˜ nos? Soluci´on: Si la dosis de un adulto es de 500 mg. el PSI es m´aximo a las 11:30 hrs. Soluci´on: A0 (t) = −544 · 2(t − 4. 5) = 544 + 28 = 164 4+0 0.3 Ptos .(b) ¿Cu´al es el valor m´aximo del PSI en ese instante? Soluci´on: El valor m´aximo viene dado por A(4. el l´ımite queda: lim u→0 2 sin u + 1 · sin u = lim (2 + u) · =2 u→0 u u 0. 2009 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 19 de Junio de 2009 1.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. x→ 41 0. Y CALCULO ELEMENTAL .1 Ptos x→ 41 lim −4x = −1 x→ 14 − √ √ 1 − x 12 + x 4 −x lim · = lim √ √ = lim+ 1 1 1 + + x− 4 x − 4 · 12 + x x→ 14 x→ 14 x→ 14 2 + x Por tanto se concluye que lim f (x) existe y vale −1.1 Ptos (b) Utilice el cambio de variable u = x1 .FMM 032 1er Semestre. Luego.4 Ptos 0. la funci´on es continua en x = 14 . + x x→ 14 • Como f 1 4 = lim f (x). 1 2 1 2 −1 √ = −1.6 Ptos . para calcular el siguiente l´ımite: 1 lim (2x + 1) · sin x→∞ x Sol: Si u = 1 x →x= 1 u y si x → ∞ ⇒ u → 0.DE ALG. Sol: Observe que: • f 14 = −1 • Veamos si lim f (x) existe: 0. (a) Sea f (x) = −4x si x ≤ 1 4 √ − x x − 14 si x > 1 4 1 2 Analice la continuidad de f en x = 41 . 1 Ptos • Disminuye a raz´on de 1 cm2 /seg. 3): 27 + 27y 0 − 6(3 + 3y 0 ) = 0 ⇒ y 0 = −1 0.5 Ptos h0 (x) = 3x2 · f (x) + x3 · f 0 (x) ⇒ h0 (2) = 12 · f (2) + 8 · f 0 (2) = 12 · 3 + 8 · 4 = 68 0.4 Ptos Por tanto: • La raz´on de cambio del area disminuye. 0. Se sabe que en un tri´angulo la base est´a aumentando a raz´on de 3 cm/seg.6 Ptos 3. Sol: Utilizando derivada impl´ıcita.2 Ptos 4. f 0 (x) = x2 .5 Ptos Finalmente. 3). Sea f : R → R una funci´on derivable tal que f (2) = 3 . Sol: g 0 (x) = f 0 (f (x)) · f 0 (x) ⇒ g 0 (2) = f 0 (f (2)) · f 0 (2) = f 0 (3) · f 0 (2) = 9 · 4 = 36 0.6 Ptos Luego. g 0 (2) · h0 (2) = 36 · 68 = 2448.1 Ptos . Se pide encontrar el valor de g 0 (2) · h0 (2). Sol: Por geometr´ıa. Se definen las funciones g(x) = (f o f )(x) y h(x) = x3 · f (x). 0. 0. calculemos la pendiente de la recta tangente: 3x2 + 3y 2 · y 0 − 6(y + xy 0 ) = 0 Evaluando en el punto (3. 0. la ecuaci´on de la recta normal es de la forma y = x + n. En el instante en que la base y la altura miden 7 y 4 cm. Demuestre que la recta normal a la curva x3 + y 3 − 6xy = 0.6 Ptos Evaluando: 1 dA = · (12 − 14) = −1 dt 2 0. calcule la raz´on de cambio del area e indique si ´esta auemnta o disminuye. Derivando 0. el area de un tri´angulo es A = respecto a t: dA 1 = dt 2 db dh ·h+b· dt dt b·h 2 . donde n se obtiene a partir de 3 = 3 + n → n = 0. y utilizando el punto (3. As´ı queda demostrado que la ecuaci´on de la recta normal es y = x. en el punto (3. ∀x ∈ R. respectivamente. la pendiente de la recta normal es mn = 1. 3) viene dada por y = x.2. mientras que su altura disminuye a raz´on de 2 cm/seg. se sabe que si la base es b y la altura es h. 0. y as´ı sucesivamente. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros). viene dada por la expresi´on: f (t) = 10 . Sol: Calculemos los valores cr´ıticos a partir de f 0 (t) = 0: f 0 (t) = −10 · 2(t − 6) =0⇔t=6 ((t − 6)2 + 1)2 0.4 Ptos .5.3 Ptos f 0 (t) f 0 (t) (b) ¿ Cu´al es la cantidad m´axima de agua? Sol: La cantidad m´axima de agua viene dada por: f (6) = 10 = 10 0+1 La cantidad m´axima de agua es de 10 millones de litros.5 Ptos Claramente si t < 6 ⇒ > 0 y si t > 6 ⇒ < 0. en cierto pantano. como funci´ on del tiempo t (en meses). es decir. 1 ≤ t ≤ 12 (t − 6)2 + 1 donde t = 1 corresponde al mes de Enero. 0. en el mes de Junio. (a) Determine en qu´e mes se obtiene la cantidad m´axima de agua. Por tanto se concluye por el criterio de la primera derivada que si t = 6 se obtiene un m´ınimo. 8 Ptos .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM.FMM 032 2do Semestre. de modo que t minutos despu´es la concentraci´on de sal en gr/litro.DE ALG. viene dada por: C(t) = 30t 200 + t Calcule la concentraci´on de sal a largo plazo. Si f (x) + x2 · (f (x))3 = 10. (a) Calcular x8 − 1 x→1 x5 − x lim Sol: x8 − 1 (x4 − 1)(x4 + 1) x4 + 1 = lim = lim =2 x→1 x5 − x x→1 x→1 x(x4 − 1) x lim o bien si lo resolvemos por L’Hopital: 8x7 8 x8 − 1 = lim = =2 x→1 5x4 − 1 x→1 x5 − x 4 lim 0.7 Ptos Evaluando en x = 1: f 0 (1) + 2 · (f (1))3 + x2 · 3 · (f (1))2 · f 0 (1) = 0 ⇔ f 0 (1) + 16 + 12 · f 0 (1) = 0 ⇒ f 0 (1) = − 16 13 0. 2009 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 20 de Noviembre de 2009 1. Sol: La concentraci´on a largo plazo viene dada por 30t = lim t→∞ 200 + t t→∞ lim C(t) = lim t→∞ 30 = 30gr/lto +1 200 t 0. Sol: Derivando impl´ıcitamente f 0 (x) + 2x · (f (x))3 + x2 · 3 · (f (x))2 · f 0 (x) = 0 0. y adem´as f (1) = 2. Y CALCULO ELEMENTAL . calcule f 0 (1).7 Ptos 2.8 Ptos (b) Un recipiente contiene una salmuera. donde n se obtiene a partir de evaluar el punto en la recta: 1 = −1 + n ⇒ n = 2 0.7 Ptos Evaluando en t = 2: dN 280 · e−1. Sol: Derivando impl´ıcitamente: 2x + y + xy 0 + 2y · y 0 = 0 0. en el punto (1.4 )2 Rpta: La poblaci´on aumenta a raz´on de aproximadamente 44 c´elulas/hra.7 280 · e−0. la ecuaci´on de la recta tangente es y = −x + n.7t Encuentre a qu´e raz´on cambia la poblaci´on. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva x2 + xy + y 2 = 3.7t · −0. 1).7t = = dt (1 + e−0.4 = ≈ 44. pero los niveles con el tiempo terminan.5 Ptos Evaluando en (1.7t )2 (1 + e−0.8 Ptos .3. 1): 2 + 1 + y 0 + 2y 0 = 0 ⇒ y 0 = −1 0.5 Ptos Luego.7t ) − 400 · e−0. El n´ umero de c´elulas de levadura en un cultivo de laboratorio se incrementa r´apidamente al principio. 4 dt (1 + e−1.5 Ptos 4. 0. en el instante en que han transcurrido 2 horas.7t )2 0. Se puede estimar que el n´ umero de c´elulas despu´es de t horas viene dado por N (t) = 400 1 + e−0. Sol: El cambio en la poblaci´on viene dada por dN 0 · (1 + e−0. pero por contexto. 0.5 Ptos ´ DURACION: 90 MINUTOS SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA ELIJA 4 DE LAS 5 PREGUNTAS SIN CONSULTAS . 0. con el criterio de la primera derivada: • Si I < 2 ⇒ P 0 (I) > 0 • Si I > 2 ⇒ P 0 (I) < 0 Luego.5. ¿Para qu´e intensidad de luz P es m´axima? Sol: Calculemos los valores cr´ıticos: P 0 (I) = 100(I 2 + I + 4) − 100I · (2I + 1) −100I 2 + 400 =0⇔ 2 =0 2 2 (I + I + 4) (I + I + 4)2 0. medida en unidades adecuadas. −100I 2 + 400 = 0 ⇒ I = ±2.5 Ptos Verifiquemos que es m´aximo.5 Ptos De aqu´ı. se concluye que I = 2 es la intensidad m´axima. como P 0 (I) cambia de positiva a negativa al pasar por I = 2. nos quedamos s´olo con I = 2. La cantidad ( en mg de carb´on/m3 /h ) en que se lleva a cabo la fotos´ıntesis de una especie de fitoplancton se dise˜ na mediante la funci´on P = I2 100I +I +4 donde I es la intensidad de luz. Y CALCULO ELEMENTAL . encuentre y 0 .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Considere la funci´on 4 x − 16 x3 − 8 si x < 2 f (x) = 5ax + 1 si x ≥ 2 2 (a) Encuentre el valor de la constante a de modo que f sea continua en todo R Sol: Basta con imponer que lim f (x) = lim f (x).5 Ptos. 2. Sol: Derivando impl´ıcitamente: − sin(x − y) · [1 − y 0 ] − y 0 = 0 ⇒ y 0 = sin(x − y) sin(x − y) − 1 1.8 Ptos.DE ALG. f 0 (x). x→2− lim x→2− x→2+ x4 − 16 5ax (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) = lim + 1 ⇔ lim = 5a + 1 x3 − 8 x→2+ 2 x→2− (x − 2)(x2 + 2x + 4) ⇔ 8 1 = 5a + 1 ⇒ a = 3 3 0. Si y define una funci´on impl´ıcita de x dada por: cos(x − y) − y = 0. . (b) Para x < 2. encuentre Sol: Directamente y aplicando la regla del cuociente: f 0 (x) = 4x3 (x3 − 8) − (x4 − 16)3x2 (x3 − 8)2 0. 2010 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 25 de Junio de 2010 1.FMM 032 1er Semestre.7 Ptos. 5 Ptos.5)2 = y 2 y derivando respecto a t: dx dy dx y dy = 2y ⇔ = · dt dt dt x dt √ = −0. Sus manos est´ an a 1. se obtiene 2x Evaluando cuando x = 4 .52 ≈ 4. ¿A qu´e rapidez se aproxima la lancha al muelle? Sol: Del esquema se puede establecer la siguiente relaci´on: x2 + (1. Sol: Basta con imponer que las pendientes de las rectas tangentes en x = 1 y x = 2 son iguales. .27.85 dt 4 R: La lancha se acerca al muelle a una rapidez de 0. f 0 (x) = 3a2 x2 + 2ax + 3. Encuentre el(los) valor(es) de la constante a de modo que las rectas tangentes a la funci´on definida por f (x) = a2 x3 + ax2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2. 1.3.27 dx = · −0.8 e y = 16 + 1. Adem´ as. sean paralelas.8 m/seg. 4.8 ≈ −0. dx dt 4.85 m/seg.5 Ptos. Cuando la lancha est´a a 4 m del muelle.5 m por encima del amarre de la lancha ( ver figura ). entonces: f 0 (1) = f 0 (2) ⇔ 3a2 + 2a + 3 = 12a2 + 4a + 3 ⇔ 9a2 + 2a = 0 ⇒a=0∨a=− 2 9 1. Un hombre est´a parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. el hombre est´a jalando la cuerda a una velocidad de 0. −20). 12). s(6)) = (6. En un laboratorio de investigaciones nucleares. representa la posici´on de la part´ıcula en el instante t ( en segundos).4 Ptos. (6.5. Calculemos el punto de inflexi´on a partir de s00 (t) = 0 ⇔ 6t − 24 = 0 → t = 4. 0.6 Ptos. Con los puntos calculados anteriormente. −4).5 Ptos. (4. • s00 (6) = 12 > 0 → t = 6 segundos es el instante de manera que la posici´on sea m´ınima. s(t) . cierto cient´ıfico encontr´o que la funci´on que describe la posici´on de una determinada part´ıcula subat´omica. . y si requiere calcular otros. s(2)) = (2. y s00 (2) = −12 < 0 → t = 2 segundos es el instante de manera que la posici´ on sea m´axima. Determine en qu´e instante la posici´on de la part´ıcula es m´ınima y m´axima. realice un bosquejo de la gr´afica de s(t) para t > 0. s(4)) = (4. Finalmente el bosquejo de gr´afica es: 0. Sol: Los valores cr´ıticos los obtenemos a partir de s0 (t) = 0: s0 (t) = 3t2 − 24t + 36 = 0 / : 3 ⇔ t2 − 8t + 12 = 0 ⇔ (t − 6)(t − 2) = 0 ⇒ t = 6 ∨ t = 2 0. que se desplaza sobre una recta coordenada. est´ a dada por: s(t) = t3 − 12t2 + 36t − 20 donde. Los puntos a considerar para la gr´afica de la funci´on son (2. Adem´as • s00 (t) = 6t − 24. Considere la funci´on f (x) = sin x − e−x ex 3x + a si x < 0 si x ≥ 0 Encuentre el valor de la constante a de modo que lim f (x). Sol: Derivando impl´ıcitamente: 3x2 + 3y 2 · y 0 = 1 + y 0 0. Y CALCULO ELEMENTAL . Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva x3 + y 3 = x + y. 1. Luego. la ecuaci´on es y = −x + 2.3 Ptos. 0. Con esto.FMM 032 2do Semestre. vale 2.6 Ptos. Evaluando en (1. 1): 3 + 3y 0 = 1 + y 0 ⇔ y 0 = −1 0.3 Ptos. exista. 2010 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 03 de Diciembre de 2010 1. en el punto P (1.DE ALG. De esta forma: x→0− lim x→0+ sin x cos x 1 = lim x = (Aplicando L’Hopital) −x −x x→0 e + e −e 2 x→0 ex Adem´as: lim 3x + a = a x→0+ Luego. la ecuaci´on de la recta tangente viene dada por y = −x+n. 2. 1). se debe verificar que a = 12 .2 Ptos. . x→0 Sol: Para que el l´ımite exista lim f (x) = lim f (x). donde n al reemplazar en la funci´ on lineal por el punto P .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. En un tiempo de t horas despu´es de que se suministra.3. con A una constante cualquiera.14t + t2 2 +1 donde f (t) est´a expresada en mg/litro. y 000 = −A cos x. 4.4 Ptos. Rpta: La concentraci´on disminuye a raz´on de 3.14t − 2 dt (t2 + 1)2 (t + 1)2 0. ¿ Con qu´e rapidez est´a cambiando la concentraci´on justo en el instante que hayan transcurrido dos horas? Sol: La raz´on de cambio directa de la concentraci´on respecto al tiempo. 0.8 Ptos. la concentraci´on de un medicamento en el cuerpo viene dada por f (t) = 27 · e−0.14 · e−0. la funci´on no satisface la ecuaci´on.2 Ptos. 0. y 00 = −A sin x . Si y = A · sin x. Evaluando en t = 2: df = −3.14t + = −3. Luego: 0. .17 mg/litro/hra.78 · e−0.3 Ptos.17 dt 0. viene dada por: df (0 · (t2 + 1) − 2 · 2t) 4t = 27 · −0. y 000 + y 00 + y 0 + y = −A cos x − A sin x + A cos x + A sin x = 0 6= A sin x Por tanto. verifique si y 000 + y 00 + y 0 + y = A · sin x Sol: Se observa que y 0 = A cos x .7 Ptos. m ). Determine a qu´e hora del d´ıa se produce el m´aximo y m´ınimo rendimiento. La funci´on que expresa dicho rendimiento viene dada por R(t) = 30t − 10. Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral.m. .6 Ptos. Sol: Los valores cr´ıticos se obtienen a partir de: R0 (t) = 0 ⇔ 30 − 21t + 3t2 = 0 / : 3 t2 − 7t + 10 = 0 ⇔ (t − 5)(t − 2) = 0 ⇒ t = 5 ∨ t = 2 0. Clasifiquemos los valores cr´ıticos ocupando el criterio de la segunda derivada: R00 (t) = 6t − 21 • R00 (5) = 9 > 0 → t = 5 es un m´ınimo. y el m´ınimo a las 13:00 hrs.5t2 + t3 donde t es el n´ umero de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral ( considere t = 0 las 08:00 a. 0.5.6 Ptos. • R00 (2) = −9 < 0 → t = 2 es un m´aximo. Rpta: El m´aximo rendimiento se produce a las 10:00 a. x.FMM 032 1er Semestre. verifique si la funci´on satisface la ecuaci´on: y 00 − y 0 − 2y = 3 · e2x Sol: y 0 = e2x + 2xe2x ⇒ y 00 = 2e2x + 2e2x + 2xe2x · 2 = 4e2x + 4xe2x Reemplazando: 4e2x + 4xe2x − e2x − 2xe2x − 2xe2x = 3e2x Por lo tanto. de acuerdo a la funci´on: R(x) = 15 − x si 0 ≤ x ≤ 5 5x + 45 x+2 si x > 5 donde x es el tiempo en a˜ nos. • lim 15 − x = 10 . Cierta empresa de material fotogr´afico oferta una m´aquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15 fotograf´ıas por minuto. . Sol: Basta analizar para x = 5: • f (5) = 10. (b) Justificar. sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el n´ umero de fotograf´ıas por minuto(R(x)) ser´a funci´on de la antiguedad de la m´aquina. lim x→5− x→5+ 70 5x + 45 = = 10. Sol: Para ver que no revelar´a menos de 5 fotograf´ıas. (a) Demuestre que la funci´on es continua en todo su dominio. Y CALCULO ELEMENTAL . adecuadamente que por muy vieja que sea la m´aquina no revelar´a menos de 5 fotograf´ıas por minuto. se observa que f es decreciente y adem´ as: lim x→∞ 5x + 45 =5 x+2 2. Est´a definida. x→5 Por lo que se concluye que f es continua en x = 5 y por lo tanto en todo su dominio. Sin embargo. x+2 7 • f (5) = lim R(x). 2011 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 24 de Junio de 2011 1. si verifica.DE ALG.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Si y = x · e2x . Por lo tanto el l´ımite existe y vale 10. El n´ umero de personas.x ≥ 0 1 + x2 Determine el instante en que el rendimiento es m´aximo.5 dt 122 Luego. afectadas por una enfermedad infecciosa. ( en a˜ nos ). para x < 1 ⇒ f 0 (x) > 0 y para x > 1 ⇒ f 0 (x) < 0. viene dado por la funci´on: f (x) = 8. la cantidad disminuye a raz´on de aproximadamente 2500 personas/d´ıa. El rendimiento ( medido de 0 a 10 ) de cierto producto en funci´on del tiempo de uso. ¿Cu´al es la tasa de cambio del n´ umero de personas afectadas correspondientes al cuarto d´ıa? Sol: La tasa de cambio viene dada por: dN 30(t2 − 2t + 4) − 30t(2t − 2) = dt (t2 − 2t + 4)2 Evaluando en t = 4: dN 30 · 12 − 30 · 4 · 6 = = −2. 4.x. . y por el criterio de la primera derivada se concluye que x = 1 a˜ no es el instante en que el rendimiento es m´aximo. viene dado por la funci´ on N (t) = t2 30t − 2t + 4 donde t es el tiempo transcurrido en d´ıas desde que se inici´o el contagio. Sol: Calculemos los valores cr´ıticos a partir de f 0 (x) = 0: f 0 (x) = 3(1 + x2 ) − 3x · 2x = 0 ⇔ 3 + 3x2 − 6x2 = 0 (1 + x2 )2 ⇒ x2 = 1 → x = 1 ∨ x = −1 (se descarta) Adem´as.5 + 3x .3. en miles. (a) Utilice un cambio de variable para demostrar que: √ 3 1+x−1 = lim √ 3 x→0 2 1+x−1 Sol: Sea 1 + x = u6 .DE ALG. Analice la existencia de lim f (x) si: x→1 3 x −1 x−1 f (x) = 3x si x < 1 si x ≥ 1 Sol: Calculando los l´ımites laterales: lim x→1− (x − 1)(x2 + x + 1) =3 x−1 lim 3x = 3 x→1+ Como son iguales. Si x → 0 ⇒ u → 1.Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. luego: √ 1+x−1 u3 − 1 (u − 1)(u2 + u + 1) u2 + u + 1 3 lim √ = lim = lim = lim = 3 2 x→0 u→1 u+1 2 1 + x − 1 u→1 u − 1 u→1 (u − 1)(u + 1) (b) Encuentre el valor de la constante a de modo que: 5ax + 3x2 =4 x→1 a+x lim Sol: Evaluando directamente: 5ax + 3x2 5a + 3 = = 4 ⇔ 5a + 3 = 4a + 4 x→1 a+x a+1 lim ⇒ a = −1 2. 2011 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 25 de Noviembre de 2011 1. existe y vale 3.FMM 032 2do Semestre. Y CALCULO ELEMENTAL . x→1 . se concluye que lim f (x). I 00 (x) = −12x + 18. La inversi´on m´axima es: Imax = I(8) = −1024 + 576 + 1920 + 120 = 1592 miles de personas . I 00 (8) = −96 + 18 < 0.3. El valor de su cartera a lo largo del tiempo viene dado por la funci´on: I(x) = −2x3 + 9x2 + 240x + 120 donde I viene adado en miles de pesos y x en a˜ nos. Un individuo ha invertido en acciones de cierta compa˜ nia dutante los u ´ltimos 10 a˜ nos. Sol: Aplicando regla de la cadena: f 0 (x) = 2 ln x · 1 1 1 − · x ln x x Evaluando: f 0 (e) = 2 ln e · 1 1 1 2 1 1 − · = − = e ln e e e e e 4. por contexto con x = 8. Luego en el a˜ no 2009 la inversi´ on fue m´axima. ¿En qu´e a˜ no la inversi´on fue m´axima? ¿A cu´ anto alcanza esa inversi´on? IND: Considere x = 0 para el a˜ no 2001. con lo que se concluye que x = 8 es un m´aximo. calcule f 0 (e). Encuentre y 0 en: ey + x2 y − ln y = 8x. Si f (x) = ln2 x − ln(ln x). Sol: Calculemos los valores cr´ıticos: I 0 (x) = 0 ⇔ −6x2 + 18x + 240 = 0 ⇔ x2 − 3x − 40 = 0 ⇔ (x − 8)(x + 5) = 0 ⇒ x = 8 ∨ x = −5 S´olo nos quedamos. evaluando en 8. Sol: Derivando impl´ıcitamente: ey · y 0 + 2xy + x2 · y 0 − ⇒ y0 = 1 0 ·y =8 y 8 − 2xy + x2 − ey 1 y 5. Adem´as. 2012 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 22 de Junio de 2012 1.FMM 032 1er Semestre. exista. Para la funci´ on definida por ramas: sin(ax) si x < 0 x f (x) = 2x2 + 3a − 2 si x ≥ 0 Encuentre el valor de la constante a de modo que lim f (x). Sol: √ lim x→8 √ x+1−3 x+1+3 x−8 1 √ ·√ = lim = x→8 x−8 6 x+1+3 (x − 8)( x + 1 + 3) (b) Utilizando un cambio de variable.DE ALG. Si x → 8 ⇒ u → 3. Y CALCULO ELEMENTAL . nos queda x→0− x→0+ lim x→0− lim x→0− sin(ax) = lim 2x2 + 3a − 2 x x→0+ a sin(ax) = lim 2x2 + 3a − 2 ax x→0+ a = 3a − 2 ⇔ 2a = 2 ⇒ a = 1 .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Sol: Sea x + 1 = u2 . Luego: √ lim x→8 x+1−3 u−3 u−3 1 = lim 2 = lim = u→3 u→3 x−8 u −9 (u − 3)(u + 3) 6 2. x→0 Sol: Imponiendo que lim f (x) = lim f (x). Calcular el siguiente l´ımite √ lim x→8 x+1−3 x−8 (a) Utilizando racionalizaci´ on. x2 Sol: Calculemos y 0 : y0 = 1 x · x2 − ln x · 2x . Si y = ln x . 0) es y = x−1. demuestre que la ecuaci´ on de la recta tangente a la funci´on en el punto P (1.3. . 1−0 = =1 . • P 00 (21) = −66 < 0 → T = 21 es m´aximo. donde n se obtiene al evaluar en la recta el punto (1. De esta forma 0 = 1 + n ⇒ n = −1 demostrando que la ecuaci´ on de la recta tangente es y = x − 1. la ecuaci´ on queda. depende de la temperatura T en o C. mediante la funci´ on: P (T ) = −T 3 + 30T 2 + 63T + 32 (a) ¿A qu´e temperatura la raz´ on de cambio de la producci´on respecto a la temperatura ser´ a de 363 o kg/ C? Sol: dP Se debe imponer que = 363: dT dP = −3T 2 + 60T + 63 = 363 ⇔ −3T 2 + 60T − 300 = 0 / : −3 dT T 2 − 20T + 100 = 0 ⇔ (T − 10)2 = 0 ⇒ T = 10 R: A los 10o C. (b) Encuentre la temperatura para la cual la producci´on sea m´axima. y = x + n. la raz´ on de cambio ser´a de 363 kg/o C. P (T ) en kg. R: A los 21o C la producci´ on es m´ axima. 0). La producci´on de cierta hortaliza en un invernadero. . 4. Sol: Los valores cr´ıticos los obtenemos a partir de P 0 (T ) = 0: −3T 2 + 60T + 63 = 0 / : −3 ⇔ T 2 − 20T − 21 = 0 ⇔ (T − 21)(T + 1) = 0 ⇒ T = −1 ∨ T = 21 Utilizando el criterio de la segunda derivada P 00 (T ) = −6T + 60: • P 00 (−1) = 66 > 0 → T = −1 es m´ınimo. 4 x 1 x=1 Luego. FMM 032 2do Semestre. Y CALCULO ELEMENTAL .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. Considere la funci´ on: f (x) = 3x √ √ x x−2 2 √ √ x− 2 si x ≤ 2 si x > 2 Analice la continuidad de f en x = 2. 2012 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 23 de Noviembre de 2012 1. g(x) = x2 − x. con lo que se concluye que f es continua en x = 2. el l´ımite a calcular es: (x + 2)(x − 1) 3 x2 + x − 2 = lim = =3 2 x→1 x→1 x −x x(x − 1) 1 lim 2. x→2 . Sol: • f (2) = 6 • Calculemos los l´ımites laterales: lim 3x = 6 x→2− √ √ √ √ √ √ √ √ x x−2 2 x x+2 2 x+ 2 (x3 − 8)( x + 2) √ · √ √ ·√ √ = lim √ lim √ √ x→2+ x− 2 x x+2 2 x + 2 x→2+ (x − 2)(x x + 2 2) √ √ √ (x − 2)(x2 + 2x + 4)( x + 2) 12 · 2 2 √ √ lim = =6 √ x→2+ (x − 2)(x x + 2 2) 4 2 Por tanto el l´ımite existe y vale 6 • Finalmente se cumple que f (2) = lim f (x). demuestre que: lim x→1 f (g(x + 1)) =3 g(f (x + 2)) Sol: Observe que: g(x + 1) = (x + 1)2 − (x + 1) = x2 + x → f (g(x + 1)) = x2 + x − 2 f (x + 2) = x + 2 − 2 = x → g(f (x + 2)) = x2 − x Luego.DE ALG. Considere las funciones f (x) = x − 2 . m? Sol: La raz´on de cambio viene dada por: dA = 0. Seg´ un un estudio realizado por la junta distrital de Los Angeles el nivel de di´oxido de nitr´ogeno que da˜ na la respiraci´ on. donde n se obtiene como: 2= 11 −1 +n→n= 5 5 ⇒ yt = x 11 + 5 5 5.03t3 · 4(t − 7)3 dt Evaluando en t = 2: dA = 0. . 2). Dada la funci´ on y = (ln x)2 − ln(ln x). se obtiene: y 0 = 2 ln x · 1 1 1 2(ln x)2 − 1 − · = x ln x x x · ln x 4.m. ¿A qu´e raz´ on cambia el nivel de di´oxido de nitr´ogeno a las 9:00 a.09t2 · (t − 7)4 + 0.03 · 8 · 4 · (−5)3 = 105 dt Luego.3. Determine la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva x3 + x2 y + y 2 = 5. demuestre que: y0 = 2(ln x)2 − 1 x · ln x Sol: Aplicando regla de la cadena. en el punto (−1.09 · 4 · (−5)4 + 0. el nivel de di´ oxido de nitr´ ogeno aumenta a raz´on de 105 PSI/hra. y = 2: 3 − 4 + y 0 + 4y 0 = 0 ⇒ y 0 = La ecuaci´on de la recta tangente es y = x 5 1 =m 5 + n.03t3 · (t − 7)4 + 60 (0 ≤ t ≤ 7) donde A(t) se mide usando el ´ındice est´andar de contaminantes (PSI) y t se mide en horas. con t = 0 a las 7 a. Sol: Derivando impl´ıcitamente: 3x2 + 2xy + x2 y 0 + 2yy 0 = 0 Evaluando en x = −1. presente en la atm´osfera en cierto de´ıa del mes de Junio viene dado por: A(t) = 0. tal que l´ım f (x) exista. 2013 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 21 de Junio de 2013 1. Sea f (x) = e2x − 1 x si x<0 √ mx + 4 − 2 si x > 0 x Determine el valor de la constante m ∈ R. la ecuaci´on de la recta tangente es: y − 3 = 5(x − 1) ⇔ y = 5x − 2 .´ ´ ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL .FMM 032 1er Semestre. 3). Luego. x→0 Sol: Imponemos la igualdad de l´ımites laterales: e2x − 1 l´ım = l´ım x x→0− x→0+ (e2x − 1) · 2 l´ım = l´ım 2x x→0− x→0+ 2 = l´ım x→0+ 2= √ √ mx + 4 − 2 x √ mx + 4 − 2 mx + 4 + 2 ·√ x mx + 4 + 2 mx + 4 − 4 √ x( mx + 4 + 2 m ⇒m=8 4 2. Sol: Calculando la pendiente como y 0 se llega a: y0 = 3 + 1 ·2 2x − 1 Evaluando en x = 1 → m = 5. Determine la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva y = 3x + ln(2x − 1) en el punto (1. Considere la funci´ on f (x) = 3x2 − ax x+2 Encuentre el valor de la constante a de modo que f tenga un m´ınimo en x = 2. que lleva en el organismo. Sol: Calculamos: l´ım t→∞ 50t − 62.5 Por tanto. b) Por mucho tiempo que lleve el virus en el organismo.t > 5 0. se pide encontrar el valor de las constantes a y b de modo que f 0 (1) = −1 .3.5) · 0.5 50 = = 100 0. Luego. b = −1. por medio de la siguiente expresi´on: P (t) = 50t − 62.5t + 5 Si P (t) se mide en porcentaje. Seg´ un cierta teor´ıa m´edica el peligro de un virus se mide en funci´on del tiempo t (en minutos). entonces f 0 (2) = 0. Sol: Si x = 2 es minimo.5 . a) Calcule a qu´e raz´ on cambia la peligrosidad en el instante que han transcurrido 10 minutos con el virus al interior del organismo.8 %/min dt 100 R: La peligrosidad aumenta a raz´ on de 2.8 %/min.5t + 5) − (50t − 62. es posible superar una peigrosidad de un 95 %.5 = dt (0. f 0 (2) = 4.25 dP = = 2. Sol: dP Calculemos : dt dP 50(0. 5. ¿puede superar el virus una peligrosidad de un 95 %? Justifique su respuesta. 4. al calcular f 0 (x) se obtiene que: . Sol: Calculemos f 0 (x): f 0 (x) = 3ax2 + 4bx De esta forma f 0 (1) = 3a + 4b = −1 y f 0 (2) = 12a + 8b = 4.5t + 5 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a que a = 1.5t + 5)2 Evaluando en t = 10: 281. Dada la funci´on f (x) = ax3 + 2bx2 + 1. f 0 (2) = (12 − a) · 4 − (12 − 2a) = 0 =⇒ 48 − 4a − 12 + 2a = 0 =⇒ a = 18 16 .f 0 (x) = (6x − a)(x + 2) − (3x2 − ax) (x + 2)2 al evaluar en x = 2. se observa que si x → 0 → u → 1. .Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas ELEM. y 00 = e−x cos x + e−x sin x + e−x sin x − e−x cos x = 2e−x sin x Reemplazando en la ecuaci´ on: 2e−x sin x − e−x cos x − e−x sin x + e−x cos x = e−x sin x Por tanto. (a) Calcular el siguiente l´ımite. la funci´ on si satisface la ecuaci´ on. Si y = e−x · cos x. x→1 2ax + 1 (b) Encuentre el valor de la constante a de modo que: lim Sol: Evaluando directamente: ax2 + 6x − 1 a+6−1 = = 2 ⇔ a + 5 = 4a + 2 x→1 2ax + 1 2a + 1 lim ⇒a=1 2. la ecuaci´ on de la recta tangente es: y+1= 1 x 5 (x − 1) ⇔ y = − 4 4 4 3. 2013 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 29 de Noviembre de 2013 1. Encontrar la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva x2 + 2xy 2 + 3y 4 = 6. Entonces: √ 3 lim x→0 1−x−1 u2 − 1 (u − 1)(u + 1) −2 √ = lim = lim = 3 2 u→1 u→1 1 − u (1 − u)(1 + u + u 3 1− 1−x ax2 + 6x − 1 = 2. −1): 2 + 2 − 4y 0 − 12y 0 = 0 ⇒ y 0 = 1 4 Por tanto. utilizando alg´ un m´etodo visto en clases: √ 3 lim x→0 1−x−1 √ 1− 1−x Sol: Realizando un cambio de variable: u6 = 1 − x. verifique si: y 00 + y 0 + y = e−x · sin x Sol: Observe que: y 0 = −e−x cos x − e−x sin x . en el punto (1.FMM 032 2do Semestre. Sol: Derivando impl´ıcitamente: 2x + 2y 2 + 4xyy 0 + 12y 3 y 0 = 0 Evaluando en el punto (1.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL . −1). Sol: La raz´ on de cambio viene dada por: dP 24(t2 + 1) − (24t + 10) · 2t = dt (t2 + 1)2 Evaluando en t = 5: dP 624 − 1300 = −1 = dt 262 La poblaci´ on disminuye a raz´ on de 1. . calcule el instante en que la poblaci´on de bacterias es m´ axima.000 bacterias. En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo de bacterias. Se estima que t horas despu´es de la introducci´ on de una toxina. Indique si se trata de un aumento o disminuci´on. la poblaci´on de bacterias ( en miles ).¿ A cu´ anto asciende esta cantidad? Sol: Utilizando la derivada del problema 4. Calculemos P 00 (t): P 00 (t) = (−20 − 48t)(t2 + 1)2 − (24 − 20t − 24t2 )2(t2 + 1) · 2t (t2 + 1)4 Evaluando en t = 23 . por lo que t = La cantidad m´ axima de bacterias se obtiene como: Pmax = La cantidad m´ axima es de 18.4. 5. Con respecto al contexto y a la funci´ on del problema 4.000 bacterias/hora. se observa claramente que P 00 (2/3) < 0. calculemos los valores cr´ıticos: P 0 (t) = 0 ⇔ 24(t2 + 1) − (24t + 10) · 2t = 0 ⇔ 24t2 + 24 − 48t2 − 20t = 0 ⇔ 6t2 + 5t − 6 = 0 (t2 + 1)2 2 3 ⇒t=− ∨t= 2 3 descartando el valor cr´ıtico negativo. 24 · 4 9 2 3 + 10 = 18 +1 2 3 es m´aximo. viene dada por: P (t) = 24t + 10 t2 + 1 ¿A qu´e raz´ on cambia la cantidad de bacterias en el organismo en el instante que han transcurrido 5 horas?. nos quedamos s´olo con t = 23 . DE ALG.ELEM. Encuentre el valor de las constantes a. b y c de modo que f (2) = 0 00 14. 2014 PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Viernes 27 de Junio de 2014 1. donde si x → 0 → u → 1. Considere la funci´ on f (x) = ax2 + bx + c. Calcular los siguientes l´ımites: √ √ x + 13 − 4x + 4 (a) lim x→3 x2 − 9 Sol: √ √ √ √ √ √ x + 13 − 4x + 4 x + 13 − 4x + 4 x + 13 + 4x + 4 √ lim = lim ·√ x→3 x→3 x2 − 9 x2 − 9 x + 13 + 4x + 4 9 − 3x −3 (x − 3) √ √ √ √ = lim = lim x→3 (x − 3)(x + 3)( x + 13 + 4x + 4) x→3 (x − 3)(x + 3)( x + 13 + 4x + 4) = −1 16 √ 1+x−1 (b) lim √ x→0 4 1 + x − 1 Sol: Realizando el cambio de variable 1 + x = u4 . f 00 (x) = 2a Imponiendo las condiciones: f 00 (1) = 2a = 4 → a = 2 . Con esto se tiene que: √ u2 − 1 (u − 1)(u + 1) 1+x−1 = lim = lim =2 lim √ 4 u→1 x→0 u− 1 1 + x − 1 u→1 u − 1 2.Y CALCULO ELEMENTAL . f (−1) = 3 y f (1) = 4.FMM 032 1er Semestre. Sol: Observe que: f 0 (x) = 2ax + b . f 0 (−1) = −2a + b = 3 ⇔ −4 + b = 3 → b = 7 Finalmente: f (2) = 2 · 22 + 7 · 2 + c = 4 → c = −8 . 3. Sol: La raz´ on de cambio viene dada por: dv 6 3 = 15x4 + 24x2 − 3 + 4 dx x 2x Evaluando en x = 2: 6 3 dv = 15 · 16 + 24 · 4 − + ≈ 335.34 dx 8 32 Por tanto. Determine a qu´e raz´on cambia la velocidad en el instante que han transcurrido 2 segundos. Si y define una funci´ on impl´ıcita de x. calcule y 0 en: x2 y − xy 2 + y 2 = 7 Sol: Derivando impl´ıcitamente respecto a x: 2xy + x2 y 0 − (y 2 + 2xyy 0 ) + 2yy 0 = 0 ⇔ y 0 (x2 − 2xy + 2y) = y 2 − 2xy ⇒ y0 = y 2 − 2xy x2 − 2xy + 2y 4. la velocidad aumenta a raz´ on de 335. Los cientificos han encontrado que la velocidad de la part´ıcula (en metros/segundo) la pueden describir mediante la funci´on: v(x) = 3x5 + 8x3 + 1 3 − 3 2 x 2x donde x es el tiempo en segundos.34 m/s2 . En un laboratorio estudian el comportamiento de una particula.