AMHXXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE TIRANTES NORMALES Y CRÍTICOS Jiménez Castañeda Amado Abel, Luna Reyes Aldo y Berezowsky Verduzco Moisés Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, 04510, México, D. F. E-mail:
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[email protected] Introducción En estudios de hidráulica de canales es común que se requiera hacer el cálculo del tirante normal; por ejemplo, en el diseño hidráulico de un canal se dispone de los datos siguientes: la forma de la sección transversal del canal, la pendiente de la plantilla, el coeficiente de rugosidad de Manning y el caudal de diseño; primero, con estos datos y alguno de los métodos del diseño hidráulico del canal, se obtiene una de las dimensiones del canal, por ejemplo el ancho de la plantilla; después, se calcula el tirante normal requerido para el caudal de diseño. Otro de los estudios clásicos donde se requiere hacer el cálculo del tirante normal se tiene cuando se hace el estudio del funcionamiento hidráulico de un canal, donde se requiere conocer los tipos de perfiles hidráulicos que se presentan en toda su longitud; para ello es necesario calcular tanto el tirante normal como el tirante crítico. Además, en este tipo de estudios es común que al menos una de las secciones de control este asociada al régimen crítico. Por ello, las dos partes fundamentales de este trabajo se dedican al cálculo del tirante normal y del tirante crítico. Tradicionalmente, se dispone de varios métodos que permiten hacer el cálculo de los tirantes normal y crítico, los cuales se basan en el empleo de tablas y gráficas que están incluidas en casi todos los libros de hidráulica de canales; sin embargo, la precisión que se obtiene con estos métodos no es adecuada. También se dispone de métodos numéricos tradicionales que se recomiendan para hacer el cálculo de los tirantes crítico y normal, los cuales se dice que en la actualidad ya no se emplean debido a que se dispone de modelos matemáticos que permiten hacer el cálculo de manera sencilla, y cuyos resultados tienen excelente aproximación. Dos herramientas numéricas clásicas de este tipo son las hojas de cálculo y el software matemático. Sin embargo, la experiencia adquirida en la docencia y la práctica profesional de los autores del presente trabajo, indica que es conveniente disponer de métodos alternativos para este tipo de cálculos; por ello, en este trabajo se incluyen varios métodos con los que se obtienen excelentes resultados, y tan sencillos de emplear que solo se necesita una calculadora de bolsillo para su aplicación. Se aclara que la mayoría de las fórmulas y métodos de cálculo que se incluyen en este trabajo son de los años 2010 y 2011; estos métodos se escogieron al hacer una revisión del estado del arte con respecto a métodos de cálculo de tirantes normales y críticos. Cálculo del tirante normal En casi todo el continente americano, y también a nivel mundial, se emplea la fórmula de Manning para calcular la velocidad media del flujo en un canal con régimen uniforme; esta conocida expresión se escribe como: I = R h 2¡3 ¸S 0 n (1) donde I, es la velocidad media del flujo, en m/s; R h , el radio hidráulico, en m; S 0 , la pendiente de la plantilla del canal, adimensional; y n, el coeficiente de rugosidad de Manning. Al multiplicar la ec. (1) por la correspondiente área hidráulica se obtiene una ecuación, conocida como la ecuación de continuidad para un flujo unidimensional en un canal con régimen permanente y uniforme, la cual se expresa como: µ = A R h 2¡3 ¸S 0 n (2) donde µ, es el gasto, en m 3 /s y A, el área hidráulica, en m 2 . Es conveniente recordar que el tirante normal es aquel que se presenta en un canal con flujo a superficie libre, en régimen uniforme, y que satisface la ec. (2), por lo que para su cálculo se requiere resolver dicha ecuación; esto indica que se requiere resolver una ecuación del tipo no lineal e implícita; para ello se dispone de métodos numéricos del tipo recursivo y también de ecuaciones ajustadas del tipo explícito, cuya solución no es matemáticamente exacta, pero los resultados obtenidos tienen excelente aproximación. Sección rectangular Para este caso se dispone de dos métodos que emplean fórmulas explícitas y un método numérico bastante sencillo. • Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008) Terzidis (2005) publicó un método que emplea expresiones del tipo explícito para calcular el tirante normal en canales de sección rectangular, y Srivastava (2008) indica que hizo algunas adecuaciones a esas expresiones, con las que propone la metodología de cálculo siguiente: AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH 1. Se calcula el parámetro 0 ¡ 0 ¡ = _ n µ b 8 3 ⁄ ¸S 0 _ 0.6 (So) donde b es el ancho de la plantilla del canal, en m. 2. Se obtiene el parámetro p 0 p 0 = 0 ¡ (1 +1.20 ¡ ) 0.7826 (Sb) 3. Se calcula el parámetro p p = 0 ¡ (1.2p 0 + 1) (2p 0 + 1) 0.6 − u.80 ¡ (Sc) 4. Se obtiene el valor del tirante normal, en m y n = pb (SJ) • Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011) 1. Se obtiene el parámetro [ ¡ [ ¡ = n µ b 8 3 ⁄ ¸S 0 (4o) 2. Se calcula p n p n = [ ¡ 3 5 _1 + 2[ ¡ 3 5 +1.712[ ¡ 6 5 ] 2 5 (4b) 3. Se obtiene el valor del tirante normal y n = p q b (4c) Con esta expresión se obtienen errores menores que el 0.08%, por lo que se considera que es bastante precisa. • Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) En Knight et al (2010) se presenta una expresión del tipo recursivo para calcular el tirante normal en una sección transversal de forma trapecial. Esa misma expresión se simplifica para el caso de una sección rectangular, puesto que k = u, donde k es el talud de la pared lateral del canal, adimensional. Así, la expresión simplificada se expresa de la manera siguiente: y n ì+1 = _ µ n ¸S 0 _ 3¡5 (b + 2y n ì ) 2¡5 b (S) donde el superíndice i es un contador de las iteraciones. Un criterio de convergencia comúnmente empleado para suspender el proceso iterativo es cuando se cumple la condición siguiente: |y n ì+1 −y n ì | ≤ u.uu1 m Este mismo criterio es válido para las otras fórmulas recursivas que se incluyen en el presente trabajo. Este método se distingue porque con pocas iteraciones se obtiene una solución tan precisa como sea requerida por el usuario. El método permite que el valor inicial propuesto sea inclusive y ì=0 = u.u Sección trapecial Para canales de sección trapecial se dispone de un método que emplea expresiones del tipo explícito, y otro que es numérico del tipo recursivo. • Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008) En Srivastava (2008) se presenta un método del tipo explícito para calcular el tirante normal en canales de sección transversal de forma trapecial. Este autor aclara que el método se basa en el presentado por Terzidis (2005), con una adecuación sencilla propuesta por Srivastava; la metodología de cálculo es la siguiente: 1. Se calcula el parámetro 0 t 0 t = (1 + k 2 ) 0.2 _ k n µ b 8 3 ⁄ ¸S 0 _ 0.6 (6o) 2. Se calcula p 0 p 0 = −u.S + _ u.2S +0 t _ k 1 +k 2 −1 +¸1 + 40 t (6b) 3. Se obtiene g q g q = 2p 0 + k √1 +k 2 (6c) 4. Se calcula p p = p 0 2 g q 0.6 − u.80 t p 0 + 0 t g q g q 0.6 (2p 0 + 1) − u.80 t (6J) 5. Se calcula el tirante normal y n = p b k (6c) Al aplicar este método se ha observado que el error máximo es menor que 0.01%, por lo que es ampliamente recomendado en aplicaciones prácticas. AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH • Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) Este método emplea la expresión recursiva siguiente: y n ì+1 = _ µ n ¸S 0 _ 3¡5 (b +2y n ì √1 +k 2 ) 2¡5 b + k y n ì (7) Para comenzar el proceso iterativo es necesario proponer un valor inicial del tirante, por ejemplo, y ì=0 = u. El proceso iterativo se suspende cuando se cumple con el criterio de convergencia ya citado. Sección circular • Método propuesto por Srivastava (2008) Para una sección de forma circular, se recomienda la expresión del tipo explícito siguiente: y n Ð = 1.S60 c 0.4666 |1 − u.S6S(u.SSSS − 0 c ) 0.4971 ] (8o) donde 0 c = _ µ n Ð 8 3 ⁄ ¸S 0 _ (8b) y Ð es el diámetro del conducto, en m. Esta expresión es válida para tirantes normales que tienen un porcentaje de llenado menor que 0.94, y el error en el tirante normal calculado es menor que el 0.85%. Cálculo del tirante crítico El tirante crítico, y c , se obtiene al resolver la ecuación general del tirante crítico, la cual se expresa como: µ 2 g = A c 3 I c (9) donde A c , es el área hidráulica del tirante crítico, en m 2 ; I c , el ancho de la superficie libre del agua, en m; g, la aceleración de la gravedad, en m/s 2 . También esta ecuación es del tipo no lineal e implícita cuando se requiere calcular el tirante para secciones transversales de forma trapecial y circular. Sección trapecial Para este tipo de sección se dispone de dos expresiones del tipo explícito y un sencillo método numérico, del tipo recursivo. • Ecuación propuesta por Swamee (1993) La fórmula propuesta, que es del tipo explícito, es la siguiente: y c = __ gb 2 µ 2 _ 0.7 _ gk 2 2µ 2 _ 0.42 _ -0.476 (1u) Los resultados obtenidos con esta expresión tienen errores menores que el 2%. • Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa (2011) y c = _ µ 2 gb 2 _ 1¡3 _1 +1.1S24_ k b ] 1.041 _ µ 2 gb 2 _ 0.347 _ -0.339 (11) El error relativo máximo en porcentaje que se obtiene con esta expresión es menor que 0.27 %. • Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) En el caso particular de que se requiera mayor precisión en el cálculo del tirante crítico de una sección trapecial, se recomienda emplear el método numérico recursivo de Punto Fijo que se basa en la expresión siguiente: y c ì+1 = _ µ 2 g _ 1¡3 (b + 2 k y c ì ) 1¡3 (b +k y c ì ) (12) Para utilizar la ec. (12) se requiere proponer un valor inicial del tirante; en este caso se puede proponer un valor inicial de cero, es decir, y c ì=0 = u, sin embargo, al proponer como valor inicial del tirante calculado con la ec. (10), el número de iteraciones para obtener un valor bastante preciso del tirante crítico es del orden tres. El criterio tradicional de convergencia para suspender el proceso iterativo es el mismo que ya se citó. Sección circular • Ecuación propuesta por Swamee (1993) Aunque esta expresión ya tiene casi veinte años de haber sido publicada, se considera que es útil presentarla por su sencillez y su amplio rango de aplicación, que es desde el 2 hasta el 100% del porcentaje de llenado. y c Ð = _1 + u.77 _ µ 2 g Ð 5 _ -3 _ -0.085 (1S) AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH Los resultados obtenidos con esta expresión son bastante precisos, ya que el error que se obtiene al emplearla es menor que 1.27%, lo cual es comúnmente aceptado en la práctica profesional. • Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa (2011) Esta expresión, del tipo explícito, es de las más recientemente publicadas. El rango de aplicación es desde el 1 hasta el 100% del porcentaje de llenado. y c Ð = _1 + 1S.6_ µ 2 g Ð 5 _ -2.1135 −1S _ µ 2 g Ð 5 _ -2.1 _ -0.1156 (14) Los resultados obtenidos con esta expresión tienen un error menor que 0.27%, por lo que se considera que es bastante precisa. Ejemplos de aplicación para el cálculo del tirante normal Calcular el tirante normal que se tiene con un gasto de S m 3 ¡s, en los canales cuyas características se indican a continuación. Considerar n = u.u1S; y S 0 = u.uuS. Sección rectangular con ancho de plantilla h = 3 m. • Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008) 1. Se calcula el parámetro 0 ¡ con la ec. (So) 0 ¡ = _ u.u1S(S) (S) 8 3 ⁄ √u.uuS _ 0.6 = u.2u82 2. Se calcula p 0 con la ec. (Sb) p 0 = u.2u82(1 + 1.2(u.2u82)) 0.7826 = u.2479 3. Se calcula p con la ec. (Sc) p = u.2u82(1.2(u.2479) + 1) (2(u.2479) + 1) 0.6 − u.8(u.2u82) = u.2441 4. Se obtiene el tirante normal con la ec. (SJ) y n = u.2441(S) = u.7S2S m • Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011) 1. Se obtiene el parámetro [ ¡ con la ec. (4o) [ ¡ = u.u1S(S) (S) 8 3 ⁄ √u.uuS = u.u7S1 2. Se calcula p n con la ec. (4b) p n = (u.u7S1) 3 5 _1 + 2(u.u7S1) 3 5 +1.712(u.u7S1) 6 5 ] 2 5 p n = u.2442 3. Se obtiene el valor del tirante normal con la ec. (4c) y n = u.2442(S) = u.7S26 m • Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) Al sustituir los correspondientes valores en la ec (S) se obtiene y n ì+1 = _ S(u.u1S) √u.uuS _ 3¡5 (S +2y n ì ) 2¡5 S y n ì+1 = u.4u2S + (S + 2y n ì ) 2¡5 Los valores obtenidos al emplear la expresión anterior en forma recursiva se reportan en la tabla siguiente: Tabla 1. Cálculo del tirante normal con la ec. (5) y n | (m) y n |+1 (m) |y n |+1 − y n | | 0.0 0.6246 0.6246 0.6246 0.7180 0.0934 0.7180 0.7304 0.0124 0.7304 0.7321 0.0017 0.7321 0.7323 0.0002 Se suspenden las iteraciones con y n = u.7S2S m ya que se cumple la condición de convergencia siguiente: |y n ì+1 −y n ì | ≤ u.uu1 m La comparación de los resultados obtenidos con los métodos anteriores se incluye en la tabla siguiente, donde el caudal se obtiene al emplear la ec. (2), mientras que E ç es el error relativo. AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH Tabla 2. Comparación de resultados Método o ecuación y n (m) Q (m 3 s ⁄ ) F Q (%) Terzidis - Srivastava 0,7323 4,9999 0,002 Vatankhah y Easa 0,7326 5,0028 0,056 Knight 0,7323 4,9999 0,002 Sección trapecial con h = 3 y k = 2 • Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008) 1. Se calcula el parámetro 0 t con la ec (6o) 0 t = (1 + (2) 2 ) 0.2 _ 2(u.u1S)(S) (S) 8 3 ⁄ √u.uuS _ 0.6 = u.4SS4 2. Se calcula la variable RZ RZ = ¸1 +4(u.4SS4) = 1.6SS7 S. Con la ec (6b) se obtiene p 0 p 0 = −u.S + _ u.2S + u.4SS_ 2 1 +(2) 2 − 1 + RZ = u.S9u 4. Se obtiene g q con la ec (6c) g q = 2(u.S9u) + 2 ¸1 +(2) 2 = 1.6744 5. Se calcula p con la ec (6J) p = (u.S9u) 2 g q 0.6 − u.8(u.4SS4)(u.S9u) + (u.4SS4)g q g q 0.6 (2(u.S9u) + 1) − u.8(u.4SS4) p = u.S8S4 6. Se calcula el tirante normal con la ec (6c) y n = u.S8S4_ S 2 ] = u.S781 m • Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) Mediante la expresión recursiva (7) y n ì+1 = _ S(u.u1S) √u.uuS _ 3¡5 [S + 2y n ì ¸1 + (2) 2 ¸ 2¡5 S +2y n ì y n ì+1 = (1.2u7S) (S + 2√Sy n ì ) 2¡5 S +2y n ì Tabla 3. Cálculo del tirante normal con la ec. (7) y n | (m) y n |+1 (m) |y n |+1 − y n | | 0.0 0.6246 0.6246 0.6246 0.5738 0.0508 0.5738 0.5785 0.0047 0.5785 0.5781 0.0004 Se suspenden las iteraciones, ya que para y n = u.S781 m se cumple que |y n ì+1 − y n ì | ≤ u.uu1 m. En este caso particular, los dos métodos dan resultados prácticamente iguales. En la tabla siguiente se presenta la comparación de los resultados al emplear los correspondientes métodos, donde se nota que la aproximación es excelente. Tabla 4. Comparación de resultados Método o ecuación y n (m) Q (m 3 s ⁄ ) F Q (%) Terzidis-Srivastava 0.5781 4.9997 0.006 Knight 0.5781 4.9997 0.006 Sección circular con diámetro D = 2 m • Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011) Se calcula 0 c con la ec. (8b) 0 c = _ S(u.u1S) (2) 8 3 ⁄ √u.uuS _ = u.21S6 AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH Al Sustituir el parámetro anterior en la ec. (8o) se obtiene y n Ð = 1.S6(u.21S) 0.4666 |1 − u.S6S(u.SSSS − u.21S) 0.4971 ] y n Ð = u.612S y n = u.612S(2) = 1.2249 m Ejemplos de aplicación para el cálculo del tirante crítico Calcular el tirante crítico que se tiene con un gasto de S m 3 ¡s, en los canales cuyas características se indican a continuación. Considerar g = 9.81 m¡s 2 . Sección trapecial, h = 3 y k = 2 • Ecuación propuesta por Swamee (1993) Mediante la ec. (1u) y c = __ 9.81(S) 2 S 2 _ 0.7 _ 9.81(2) 2 2(S) 2 _ 0.42 _ -0.476 = u.S647 m • Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa (2011) Se calcula la variable Zu Zu = _ (S) 2 9.81(S) 2 _ = u.28S1 Al emplear la ec. (11) se obtiene y c = Zu 1¡3 _1 +1.1S24_ 2 S ] 1.041 Zu 0.347 _ -0.339 y c = u.S7S9 m • Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) Con base en la ec. recursiva (12) y c ì+1 = _ (S) 2 9.81 _ 1¡3 (S + 2(2) y c ì ) 1¡3 (S +2y c ì ) y c ì+1 = (1.S6S9) (S + 4y c ì ) 1¡3 (S + 2y c ì ) Tabla 5. Cálculo del tirante normal con la ec. (12) y c | (m) y c |+1 (m) |y c |+1 − y c | | 0.0 0.6567 0.6567 0.6567 0.5632 0.0934 0.5632 0.5754 0.0122 0.5754 0.5738 0.0016 0.5738 0.5740 0.0002 Se suspenden las iteraciones ya que se cumple para y c = u,S74u m que |y c ì+1 − y c ì | ≤ u.uu1 m. Una forma alternativa de revisar la aproximación de cada método, se basa en emplear el valor del tirante crítico para calcular el gasto con la ec. (9). Tabla 6. Comparación de resultados Ecuación y c (m) Q (m 3 s ⁄ ) F Q (%) Swamme 0.5647 4.8635 2.730 Vatankhah y Easa 0.5739 4.9986 0.028 Knight 0.5740 5.0003 0.006 Sección circular con diámetro D = 3 m • Ecuación propuesta por Swamee (1993) Con base en la ec. (1S) y c Ð = _1 + u.77_ (S) 2 9.81 (S) 5 _ -3 _ -0.085 = u.S198 y c = u.S198(S) = u.9S94 m • Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa (2011) Se calcula la variable Kc Kc = _ (S) 2 9.81(S) 5 _ = u.u1u4 AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012 AMH Mediante la ec. (14) y c Ð = |1 + 1S.6Kc -2.1135 − 1SKc -2.1 ] -0.1156 = u.S16S y c = u.S16S(S) = u.949S m Tabla 7. Comparación de resultados Ecuación y n (m) Q (m 3 s ⁄ ) F Q (%) Swamme 0.9594 5.0917 1.834 Vatankhah y Easa 0.9495 4.9904 0.192 Conclusiones En este trabajo se reportan varios métodos para el cálculo del tirante crítico y el tirante normal de secciones transversales de forma rectangular, trapecial y circular, las cuales son ampliamente empleadas en estudios de hidráulica de canales. La mayoría de estos métodos fueron publicados en los últimos años. Unos métodos se basan en ecuaciones ajustadas del tipo explícito, y otros emplean ecuaciones sencillas del tipo recursivo. La aproximación que se obtiene en los resultados al emplear cualquiera de estos métodos es excelente. Se considera que estos métodos son de gran utilidad tanto en la docencia como en la práctica profesional. Referencias 1.- Knight W.R., Gahey MC.C., Lamb R. and Samuels G.P. (2010). Practical channel hydraulics. CRC Press. UK. 2.- Srivastava, R. (2008). Flow Through Open Channels. Oxford University Press. India. 3.- Swamme, P.K. (1993). “Critical depth equations for irrigation canals”. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, Vol. 119 (2), pp. 400-409. 4.- Terzidis, G.A. (2005). “Explicit method to calculate the normal depth of trapezoidal open channel”. Greece. 5.- Vatankhah, R.A. and Easa, M.S. (2011). “Explicit solutions for critical and normal depths in channels with different shapes”. Journal of Flow Measurement and Instrumentation Vol. 22, 2011, pp. 43-49. Reconocimientos Se agradece al personal de la Unidad de Servicios de Información, del Instituto de Ingeniería, UNAM, por su apoyo para obtener la mayor parte de las publicaciones que se incluyen en las referencias del presente trabajo.