Capítulo 11.Rotación de cuerpos rígidos Aceleración angular 11-1. Un cable está enrollado en torno de un carrete de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de este carrete se requieren para que un objeto atado al cable recorra una distancia rectilínea de 2 m? ¿Cuál es el desplazamiento angular? [R = 0.04 m, s = 2 m, θ = ?] != s 2m = = 5 rad R 0.400 m R # 1 rev $ ! = (5 rad) % & ' 2" rad ( θ = 0.796 rev s 11-2. La rueda de una bicicleta tiene 26 in de diámetro. Si esa rueda describe 60 revoluciones, ¿qué distancia rectilínea recorrerá? [D = 26 in; R = 13 in = 1.083 ft] # 2! rad $ " = 60 rev % & = 377 rad ; ' 1 rev ( s = θR = (377 rad)(1.083 ft); s = 408 ft 11-3. Un punto localizado en el borde de una gran rueda cuyo radio es 3 m se mueve en un ángulo de 37º. Halle la longitud del arco descrito por ese punto. # 2! rad $ " = 370 % = 0.646 rad ; s = θR = (0.646 rad)(3 m); 0 & ' 360 ( s = 1.94 m 144 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 11-4. Una persona sentada en el borde de una plataforma de 6 ft de diámetro recorre una distancia de 2 ft. Exprese el desplazamiento angular de esa persona en radianes, grados y revoluciones. [R = 3 ft] != s 2 ft = ; θ = 0.667 rad R 3 ft # 1 rev $ ! = (0.667 rad) % & ; θ = 0.106 rad ' 2" rad ( # 3600 $ 0 ! = (0.667 rad) % & ; θ = 38.2 2 " rad ' ( 11-5. Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular después de 6 s? f = 600 rev " 2! rad # " 1 min # $ %$ % ; f = 62.8 rad/s min & 1 rev ' & 60 s ' ! = "t = (62.8 rad/s)(6 s) ; θ = 377 rad 11-6. Una polea giratoria completa 12 revoluciones en 4 s. Calcule la velocidad angular promedio en revoluciones por segundo, revoluciones por minuto y radianes por segundo. f = 12 rev ; f = 3.00 rev/s 4s f = 3.00 rev " 1 rev # " 60 s # $ %$ % ; f = 28.6 rpm s & 2! rad ' & 1 min ' " = 2! f = 3.00 145 rev # 2! rad $ % & ; ω = 18.8 rad/s s ' 1 rev ( Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 6 m v = 4. dado que ω0 = 0. 7e. Manual de soluciones.19 rad/s t 3s La velocidad angular final es dos veces la promedio. R 0.3 rad R 0.38 rad/s)(0.31 rev v= s 20 m = .3 rad) % & ' 2" rad ( θ = 5. El cubo parte del reposo y asciende hasta una altura de 20 m en 5 s.00 m/s ω = 6. Derechos reservados .67 rad/s 11-8. (a) ¿Cuál es la velocidad angular promedio en radianes por segundo? (b) ¿Cuál es la velocidad lineal final de un punto situado en el borde de la rueda? #= ! 2 rev(2" rad/rev) = .00 revoluciones en 3. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Un cubo cuelga de una cuerda enrollada con varias vueltas en un carrete circular cuyo radio es de 60 cm.600 m R # 1 rev $ ! = (33.00 s.250 ft.15 m).38 rad/s vf = ωfR = (8.11-7. min ( ' 60 s ( ' v = 20. Una rueda de 15. Un trozo cilíndrico de material de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm. Cap. Física. v = 2" % 800 &% & (0.25 ft) . t 5s != v 4 m/s = .9 ft/s 146 Tippens.] rev $ # 1 min $ # v = ! R = 2" fR. ωf = 8. vf = 1. ¿Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro? [R = D/2 = 3 in = 0. (a) ¿Cuántas revoluciones giró el carrete? (b) ¿Cuál fue la velocidad angular promedio del carrete al girar? != s 20 m = = 33.0 cm de radio parte del reposo y completa 2. ω = 4.26 m/s 11-9. Derechos reservados .5 rad/s .04 m] v = ! R.0 s 147 Tippens. (0) 2 $ (41. R 0.75 rev/s . # $ = 167 s % 1 min & min f = 167 rpm 11-11. Un carrete circular de 40 cm de radio gira al inicio a 400 rev/min. Luego se detiene por completo después de 50 revoluciones. 7e. t = 3 s] "= ! f # !0 t = 8.5 rad/s = 2.70 m/s = = 17.9 rad/s t = 15.79 rad/s2 2" 2(314 rad) .11-10.08 m/2) = 0.419 m/s2 11-12.79 rad/s2)(0. Manual de soluciones.79 rad/s2 a = αR = (2.38 rad/s # 0 . La velocidad tangencial adecuada para fabricar material de acero es de 70 cm/s. ¿A cuántas rpm deberá girar en un torno un cilindro de acero cuyo diámetro es de 8 cm? [R = (0.9 rad/s) 2 . ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda descrita en el problema 11-8? ¿Cuál es la aceleración lineal de un punto localizado en el borde de esa rueda? [ωf = 8.38 rad/s.15 m). = !f 41.9 rad/s "= "= ! 2f $ ! 02 2# !0 + ! f 2 = t. Cap. θ = 50 rev(2π rad/rev) = 314 rad.04 m f = 17.75 v 0. 2(314 rad) t= α = 2. 3s α = 2. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. 2! rev ! 60 s " rev . != f = 2. ¿Cuáles fueron la aceleración angular y el tiempo de detención? 2αθ = ωf2 – ωo2. a = 0. ωo = 0. Física. f = 400 rpm = 41. 5 rad/s θ = ω0t + ½αt2 = (2 rad/s)(2 s) + ½(3.200 m) . a = 0. Si la aceleración de frenado fue de −6 rad/s2. v = 1.7 rad/s θ = (37. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.20 m. t = 2 s. La rapidez rotacional es de 2 rad/s en el t = 0.9 rad/s f = 8. ¿cuál fue la frecuencia inicial de giro en revoluciones por segundo? [θ = 40 rev (2π) = 251 rad] 2αθ = ωf2 – ωo2. Física.40 m/2 = 0. ' 2" rad ( θ = 38. & 2! rad ' 148 ωo = 54.7 rad/s)(5 s) + ½(4 rad/s2)(5 s)2.5 rad/s2)(2 s). ωo = 0. θ = 11.11-13. Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo diámetro es de 40 cm.750 m/s2 *11-15.9 rad/s $ %.00 rad/s)(0. En el problema 11-13. θ = 238 rad # 1 rev $ ! = 238 rad % &.00 rad/s 11-14.20 m) v = ωf R = (9.7 rad/s.50 rad/s2. α = 3.0 rev *11-16. Un disco rectificador detiene su movimiento en 40 revoluciones.00 rad ωf = 9. Manual de soluciones.74 rev/s Tippens. θ = ω0t + ½αt2. ωf = ωo + αt = 2 rad/s + (3. α = 4 rad/s2. R = 0. ωf = 37. La polea gira con una aceleración angular constante de 3.200 m). ¿Cuáles son el desplazamiento angular y la velocidad angular de la polea 2 s más tarde? θ = ω0t + ½αt2. " 1 rev # f = 54.7 rad/s + (4 rad/s2)(5 s). t=5s ωf = 57.80 m/s a = αR = (3. ωf = ωo + αt. ! 0 = $2"# = $2($6 rad/s 2 )(251 rad) . Cap.50 rad/s2)(0.5 rad/s2)(2 s)2. 7e. Derechos reservados . ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? ¿Cuántas revoluciones completará la rueda? ωο = 2πfR = 2π(6 rev/s) = 37. Una rueda gira al inicio a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4 rad/s2. ¿cuáles son la rapidez lineal final y la aceleración lineal final de la correa cuando se mueve sobre la ranura de la polea? (Se debe usar el radio R = 0. ¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular al cabo de 4 s? Primero encuentre la aceleración lineal: 0 2 s 2(100 m) s = v0t + ? at 2 .160 m) . ωf = (0. t = 8 s ωf = ωo + αt = 25.140 kg m2 ω = 300 rpm = 31.*11-17.140 kg m2)(31. 7e.125 rad/s2)(4 s).320/2 = 0.1 J Copyright Glencoe/McGraw-Hill. a = 2 = = 0.160 m). R 4m α = 0. recorre una distancia de 100 m en 20 s.500 rad/s 2 != = .500 rad/s Energía cinética rotacional. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética rotacional? 20 cm I = ΣmR2 = (2 kg)(0. Una masa de 2 kg y otra de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm.1 rad/s. 149 Tippens.2 m)2 + (6 kg)(0. v = 6. Manual de soluciones. colocada a 4 m del centro de una plataforma giratoria. Una polea de 320 mm de diámetro gira inicialmente a 4 rev/s y luego recibe una aceleración angular constante de 2 rad/s2. Física.1 rad/s)(0. momento de inercia 11-19. ωf = 41.4 rad/s Ek = ½Iω2 = ½(0. ωf = 0.500 m/s 2 2 t (20 s) a = ! R.4 rad/s)2. α = 2 rad/s2.1 rad/s + (2 rad/s2)(8 s). ¿Cuál es la velocidad lineal de una correa montada en dicha polea. al cabo de 8 s? ¿Cuál es la aceleración tangencial de la correa? [R = 0. a = αR = (2 rad/s2)(0. Cap.1 rad/s v = ωf R = (41.320 m/s2 *11-18.125 rad/s2 0 ωf = ωo + αt.1 m)2 I = 0. El sistema gira en la horizontal a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg.58 m/s a = 0. 11 2 kg 10 cm 6 kg Ek = 69.160 m] ωo = 4 rev/s (2π rad/rev) = 25. a 0. Una persona que al inicio se encontraba en reposo. Derechos reservados . Derechos reservados . 2 ! (41.0 rad/s Ek = ½Iωf2 = ½(0.00 rad/s2. Física. 12 R= mr L2 (1 kg)(1 m) 2 . = 6md 6(4 kg) R = 0. ¿Cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg si se requiere que su momento de inercia sea igual al de una varilla de 1 kg de peso y 1 m de peso y longitud que oscila apoyada en su punto medio? [ID = ½mR2. Ek = 42.0625 slug ft 2 ) . R = 2I 2(0.3 J *11-21.2 kg)(0. El sistema gira en la horizontal a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg.50 kg R = 0. I = mR2 = (1.70 m)2.89 rad/s) 2 I = 0.89 rad/s] m = (16 lb/32 ft/s2) = 0.0 rad/s)2.588 kg m2 ωf = ωo + αt = (0) + (3 rad/s2)(4 s).11-20.500 slugs. Manual de soluciones. = m 0. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética rotacional? α = 3.00 in *11-22.8 ft lb) = .8 ft lb. I = 0.588 kg m2)(12. ¿Cuál es el radio del disco si su energía cinética es de 54. ωf = 12. IR = (1/12)mL2] ? md R 2 = mr L2 .204 m 150 Tippens.0625 slug ft2 I = ½mR2. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Un disco esmeril de 16 lb gira a 400 rev/min. Una masa de 2 kg y otra de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. Ek = ½Ιω2 = 54.8 ft lb? ¿Cuál es el momento de inercia? [400 rpm = 41.500 ft o 6. 7e. Cap. I = ½mR2 I= 2 Ek 2(54. ¿Cuál es su energía cinética rotacional? mw = 2 kg.94 rad/s Ek = ? I! 2 = ? (0. le sigue el disco y después la esfera. Cap.3 m) 2 + 4(0. Segunda ley de Newton y rotación 11-25. Las inercias de rotación son: I H = mR 2 . Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central. suponga que ajusta m = 1 kg y R = 1 m Así que: I H = 1 kg m 2 . mR (5 kg)(0.20 m) α = 800 rad/s2 151 Tippens. ms = 0. Se puede considerar que la rueda es un aro circular de 2 kg de masa y cada uno de sus 12 rayos de madera de 500 g puede considerarse una varilla delgada que gira sobre sus extremos. 7e.5 kg.30 m. Manual de soluciones.3) 2 . un disco circular y una esfera sólida.94 rad/s) 2 . Ek = 78. Ek = ½Iω2. I D = ? mR 2 . Calcule el momento de inercia de toda la rueda. I = 0. IT = I w + 12 I s IT = mw R 2 + 12( 1 3 mL2 ). I S = 2 5 mR 2 Para fines de comparación. I = ½mR2 FR = (? mR 2 )! . != 2F 2(400 N) = . Compare la energía cinética rotacional de tres objetos que tienen radios y masas iguales: un aro circular.4 kg m 2 Ahora. 11 R F = 400 N Copyright Glencoe/McGraw-Hill.5 kg)(0. Rw = 0. tal que a una velocidad de rotación dada.30 m.360 kg m2. Física.5 kg m 2 .*11-23. el aro tiene la energía cinética mayor.360 kg m 2 )(20. La rueda de una carreta mide 60 cm de diámetro y está montada en un eje central sobre el cual gira a 200 rev/min. IT = (2 kg)(0.9 J *11-24. I D = 0. Derechos reservados . ¿cuál es la aceleración angular? τ = FR = Iα. I S = 0. ω = 200 rpm = 20. Ls = 0. Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. τ = 1885 N m 152 Tippens.9 rad/s. I = mk2 = (120 kg)(1 m)2 2s τ = Iα = (120 kg m2)(15.4 rad/s .40 m L = 0. ¿Qué momento de torsión se deberá aplicar para acelerar la rueda desde el reposo hasta 300 rev/min en 10 s? ωo = 0.ωo2. 2α(126 rad) = (62. Física.4 rad/s. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.94 rad/s ωf = 600 rpm = 62.8 rad/s)2 – (20. ¿Qué momento angular se requiere para acelerar el volante desde el reposo hasta una velocidad angular de 400 rpm en 10 s? ωf = 400 rpm = 41.11-26. 31.40 m) 2 (13. τ = 1010 N m *11-27.9 rad/s . ωo = 0. Una rueda grande de turbina pesa 120 kg y tiene un radio de giro de 1 m.7 rad/s2).8 rad/s. Cap. Manual de soluciones.19 rad/s2). 10 s τ = Iα = (24 slug ft2)(4. ωf = 300 rpm = 31. α = 13. τ = 0. Derechos reservados .94 rad/s)2. Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. 7e. Un volante de motor tiene un momento de inercia de 24 slug · ft2.0 = 15.9 rad/s 2 ) .7 rad/s 2 . t = 10 s. m = 3 kg. I = 24 slug ft2 "= ! f # !o t = 41. L = 0. t = 2 s "= !0 # ! f t = I = 120 kg m2.0 = 4.9 rad/s2 I= 1 12 mL2 ! = I" = 1 12 mL2" = 1 12 (3 kg)(0.558 N m *11-28. ωo = 200 rpm = 20. Un momento de torsión friccional de 80 N ⋅ m se opone a la rotación del eje.19 rad/s 2 .40 m m = 3 kg 2αθ = ωf2 . ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min? θ = 20 rev(2π rad) = 126 rad. Física. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. 7e.20 m) α = 13. mR (30 kg)(0. FR = (? mR 2 )" .3 rad/s2 *11-31.5 kg m2)(2. describiendo un círculo de 50 cm de radio. Un momento de torsión no balanceado de 150 N · m le imparte una aceleración angular de 12 rad/s2 al rotor de un generador.25 N m *11-30. " = !0 # ! f t = 62. Cap. ¿Qué fuerza de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 5 s? ω0 = 600 rpm = 62. F = 15.8 rad/s.1 N 11-32.5 kg m2 153 Tippens.11-29. ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene una tensión de 40 N y gira sin fricción alguna? ! = FR = I" . ¿Cuál es el momento de inercia? τ = Iα . ωf = 0.5 rad/s2? I = mR2 = (2 kg)(0.8 rad/s . Derechos reservados . Manual de soluciones. " = 2F 2(40 N) = . Un disco rectificador de 8 kg tiene 60 cm de diámetro y gira a 600 rev/min. ¿Qué momento de torsión resultante se requiere para impartir a esa masa una aceleración angular de 2. τ = 1.2 m de radio y 30 kg de masa. Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera. τ = Iα = (0.5 rad/s2).5 m)2 = 0. F = ? mR! = ? (8 kg)(0. " 12 rad/s 2 I = 12.6 rad/s 2 5s ! = FR = I" . Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un cilindro de 0.6 rad/s 2 ) .5 kg m2. FR = (? mR 2 )" . I= ! 150 N m = .0 = 12.30 m)(12. ¿qué rapidez angular promedio llegó a adquirir? P= Trabajo . Física.0 rad/s 154 Tippens. Derechos reservados . ωf = 98.10 m) 2 ωf = 163 rad/s *11-35. 9600 J = ½(2 kg m2) ωf2. Cap. Suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo. ¿Cuál es el trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el trabajo rotacional realizado sobre el disco? [R = 20/2) = 10 cm o 0. Trabajo = 200 J *11-34.2 kW impulsa durante 8 s una rueda cuyo momento de inercia es 2 kg m2. Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 N que la desplaza una distancia lineal de 5 m. !f = Trabajo = ½(½mR2) ωf2 4(200 J) 4(200 J) .10 m] Trabajo = F s = (40 N)(5 m). t Work = Pt = (1200 W)(8 s) = 9600 J Trabajo = ½Iωf2 – (0). I = ½mR2. = 2 mR (3 kg)(0. Aplique el teorema del trabajo y la energía para calcular la velocidad angular del disco. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.10 m Trabajo = τθ = FRθ = (40 N)(0.10 m)(50 rad).Trabajo rotacional y potencia 11-33. Trabajo = ½Iωf2 – (0). 7e. si éste parte del estado de reposo en el problema 11-33. Trabajo = 200 J != s 5m = = 50 rad R 0. Un motor de 1. Manual de soluciones. Un cordón está enrollado en el borde de un cilindro que tiene 10 kg de masa y 30 cm de radio. ¿cuál es la aceleración angular del cilindro? ¿Cuál es la aceleración lineal del cordón? I = ½mR2 = ½(10 kg)(0. I 0. K = 14 (2 kg)(12 m/s) 2 .5 rad/s) = 65. Total K = 216 J 155 Tippens. 973 ft lb/s o 120 hp Rotación y traslación combinadas 11-39.0 N m 11-38. P = τω = (350 ft lb)(188. Rueda sin delizarse a lo largo de Una superficie horizontal a una velocidad de 112 m/s. Un motor de 600 W impulsa una polea con una velocidad angular promedio de 20 rad/s. Cap. ¿Cuál es el momento de torsión así obtenido? P = !" .30 m)2 = 0. El cigüeñal de un automóvil desarrolla un momento de torsión de 350 lb · ft a 1800 rpm. ¿Cuál es la potencia resultante en caballos de fuerza? Nota: 1800 rpm = 188. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. K = 144 J 1 2 1 2 (b) K = 12 I! 2 . 7e.20 m 2 2 (a) K = mv = (2 kg)(12 m/s) . Derechos reservados .5 rad/s. Un cilindro de 2 kg tiene un radio de 20 cm. pero != v y I = 12 mR 2 R v m = 2 kg 2 !v " K = 12 ( 12 mR 2 ) # 2 $ = 14 mv 2 . K = 72 J %R & (c) Total K = 12 mv 2 + 12 I ! 2 = 144 J + 72 J .450 kg m 2 α = 40 rad/s2 11-37. (a) ¿Cuál es su energía cinética traslacional? (b) ¿Cuál es su energía cinética rotacional? (c) ¿Cuál es la energía cinética total? R = 0.3 m) = 18 N m ! = I" .450 kg m2. Si se tira del cordón con una fuerza de 60 N. "= ! 18 N m = . τ = (60 N)(0. Manual de soluciones.*11-36. != P 600 W = " 20 rad/s τ = 30. Física. 0 m/s Copyright Glencoe/McGraw-Hill. pero hay suficiente fricción para que los otros objetos rueden sin deslizarse.5 m/s ! v2 " La esfera: I = (2/5)mR2.8 m/s 2 )(16 m) o v = 14. %R & gh0 = 12 v 2 + 15 v 2 = 107 v 2 156 v= 10 7 Tippens. El total de TODAS las energías en lo alto de la inclinación es igual que el total en el plano bajo. Física. un disco. Aro: I = mR2 mgh0 = 12 mv 2 + 12 (mR 2 ) v2 = mv 2 y v = gho R2 h = 16 m 2 v = gh0 = (9. y mgh0 = ? mv 2 + ? ( 2 5 mR 2 ) # 2 $ .8 m/s 2 )(16 m) .8 m/s )(16 m) o v = 12. Cap. Un aro circular tiene la misma masa y radio que el cilindro del problema 11.20 m m = 2 kg ! v2 " 1 2 1 2 Total K = mv + (mR ) # 2 $ = 2 mv + 2 mv %R & 1 2 2 1 2 2 Total K = mv 2 = (2 kg)(12 m/s) 2 Total K = 288 J 11-41.11-40. determine el orden en el que llegan al punto más bajo del plano. 7e. v = 15. Considere el aro: mgho + 0 + 0 = 0 + ½mv2 + ½Iω2.39. Suponga que la fricción es insignificante para la caja. ¿Cuál es la energía cinética total si rueda con la misma velocidad horizontal? Total K = 12 mv 2 + 12 I ! 2 != v e I = mR 2 R R = 0. todos los términos contienen masa. Manual de soluciones. Derechos reservados . por lo que no se requieren. Considere un plano inclinado de 16 m de altura. Nota: en aplicación de la conservación de la energía.5 m/s ! v2 " Ahora para el disco: I = ½mR2 y mgh0 = ? mv 2 + ? (? mR 2 ) # 2 $ o gho = ½ v2 + ¼ v2 %R & Resolviendo para v se obtiene: v = 4 3 gh0 = 4 3 (9. Cuatro objetos de diferentes materiales tienen la misma masa de 3 kg: un aro circular. 11 gh0 = 10 7 (9. Al calcular las velocidades finales en cada caso. una esfera y una caja. Física. la esfera. En el problema 11-43.7 rad/s2). ¿Cuál es su momento angular? [ω = 300 rpm = 31.4 rad/s) = #15. Manual de soluciones. y al final el aro. primero la caja. ! v2 " Para el disco: I = ½mR2 y mgh0 = ? mv 2 + ? (? mR 2 ) # 2 $ .5 kg] I= 1 12 mL2 = 1 12 I = 0.7 rad/s 2 2s τ = Iα = (0.0589 N m 157 Tippens.7 m/s El orden de llegada es.4 rad/s) . I! = (0. %R & gho = ½ v2 + ¼ v2 Resuelva para ho: h=? 3v 2 3(20 m/s) 2 h0 = = 4 g 4(9. Cap. ¿Qué altura debe tener un plano inclinado para que un disco ruede desde una posición de reposo hasta el punto más bajp del plano con una velocidad final de 20 m/s? (conservación de energía). se ignoro la fricción de la caja la cual es requerida para la rotación de los otros. Derechos reservados .8 m/s 2 ) o h = 5. Una varilla de acero de 500 g y 30 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 300 rev/min.8 m/s 2 )(16 m) mgho = ½ mv2 y o v 2 = 2 gh0 or v = 2 gh0 v = 17. m = 0. τ = 0.00375 kg m 2 )(31.00375 kg m2 (0.4 rad/s.118 kg m/s2 11-44. Iω = 0.30 m) 2 . ¿qué momento de torsión promedio deberá aplicarse para detener totalmente la rotación en 2 s? "= ! f # !0 t = 0 # (31.Para la caja. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. no hay rotación: v = 2(9.50 kg)(0. 7e. Por supuesto. *11-42.00375 kg m2)(15.53 m Momento angular 11-43. el disco. 7e.02 s. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.480 kg m2.Iωο τ Δt = (400 N m)(0. ΙΑωAo + IBωBo = (IA + IB) ωc (0.060 kg m2 ωAo = 400 rpm = 41. Derechos reservados .48 kg m 2 + 0. IB = ½(3 kg)(0. Manual de soluciones. en la misma dirección que el disco A.2 m)2 = 0.00 kg m/s 2 . = I A + I B 0.4 m)2 = 0.54ωc. Conservación del momento: !c = ΙΑωAo + IBωBo = (IA + IB) ωc I A! A0 (0. ¿Cuál sería entonces la rapidez angular común después de su acoplamiento? Determine positiva la dirección de las manecillas del reloj y use unidades de rpm para la velocidad angular. ωAf = ωBf = ωc.2 m.*11-45.02 s) = 8.9 rad/s.48 kg m 2 + 0. Si la inercia rotacional del disco es de 4 kg · m2 y el momento de torsión actúa durante 0.4 m y el del disco B es de 0.48 kg m 2 )(41. 4 kg m 2 ωf = 2. Física. ωc = 378 rpm 158 Tippens. ¿Cuál es la rapidez angular combinada después de que los dos discos se acoplan? IA = ½(6 kg)(0. ωBo = 0. Un momento de torsión de 400 N · m se aplica repentinamente en el borde de un disco al inicio en reposo.00 rad/s *11-46.06 kg m2)(200 rpm) = ( 0. τ Δt = Iωf . se acopla a un disco B de 3 kg que inicialmente estaba en reposo.2 rad/s *11-47. Cap.48 kg m2)(400 rpm) + (0. ¿cuál será el cambio en el momento angular? ¿Cuál será la velocidad angular final? 0 cambio del momento angular = impulso angular. En la figura 11-14. un disco A de 6 kg.060 kg m 2 ωc = 37. que gira en el sentido de las manecillas del reloj a 400 rev/min.00 kg m/s2 !f = 8. Suponga que el disco B del problema 11-46 girará inicialmente en el sentido de las manecillas del reloj a 200 rev/min.00 kg m/s2 τ Δt = Ιωf = 8.060 kg m 2 )ωc 204 kg m2 rpm = 0. El radio del disco A es de 0.9 rad/s) . 060 kg m 2 )ωc 180 kg m2 rpm = 0. Manual de soluciones. Un disco rectificador circular de 6 kg gira inicialmente a 500 rev/min. I = ½mR2 = ½(6 kg)(0. pero está configurada para permitir que los pesos resbalen hacia fuera. ¿Cuál es la aceleración angular del disco si el eje ejerce una fuerza tangencial de 120 N en el borde? ¿Cuántas revoluciones describirá el disco antes de detenerse? ¿Qué trabajo se realiza y qué potencia se pierde en el proceso? [ω0 = 500 rpm = 52.4 m)2 = 0.17 m)2 + (2 kg)(0.05 m)2.48 kg m 2 α = -100 rad/s2 Tippens. ωo = 600 rpm. ωc = 333 rpm 11-49.010 kg m2. ¿Cuál es la velocidad angular combinada después del acoplamiento de los discos? (0.54ωc. I 0.06 kg m2)( –200 rpm) = ( 0. Derechos reservados . las masas de 2 kg están separadas 10 cm. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. La varilla que conecta los dos pesos de la figura 11-15 tiene un peso insignificante.68 kg m2. Ioωo = Ifωf.48 kg m2)(400 rpm) + (0.*11-48. En el instante en que la rapidez angular es de 600 rev/min.116 kg m2)ωf.35 rad/s] τ = FR = (120 N)(0. Suponga que existen las mismas condiciones descritas en el problema 11-46.48 kg m2 τ = Iα . (0. If = 0. Física.40 m) = 48 N m. Cap. ¿Cuál será la rapidez rotacional cuando las masas estén a 34 cm de distancia una de otra? 34 cm 10 cm 2 kg 2 kg 2 kg 2 kg Io = (2 kg) 0. 7e.9 rpm Problemas adicionales *11-50.05 m)2 + (2 kg)(0. con excepción de que el disco B gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y A gira en el sentido de las manecillas del reloj. " = 159 ! #(48 N m) = .17 m)2 I0 = 0.48 kg m 2 + 0.010 kg m2)(600 rpm) = (0. If = (2 kg)(0. El radio del disco es de 40 cm. ωf = 51. 35 rad/s)+0 = 26. Cap. τ Δt = Iωf – 0. ¿cuál será el régimen común de rotación de los discos combinados? Suponga que la dirección de las manecillas del reloj es positiva: ΙΑωAo + IBωBo = (IA + IB)ωc. Una rueda de 3 kg con rayos de masa insignificante gira libremente sobre su centro sin fricción alguna.40 m) = 240 N m. 2# 2( $ 100 rad/s 2 ) Trabajo = τθ = (48 N m)(13. I = mR2 = (3 kg)(0. ¿cuál era su rapidez angular al final del intervalo de 0.18 rad/s).35 rad/s) 2 = .48 kg m2 τ Δt = (240 N m)(0.480 kg m 2 ωf = 1.40 m)2. P= Trabajo != !0 + ! f 2 = θ = 13. El borde de la rueda.48 N m s ! #t 0. IA = 3 IB (3 IB)(200 rpm) + IB (–800 rpm) = (3IB + IB)ωc – (200 rpm) IB = 4IB ωc .002 s). Derechos reservados .7 rad = 2. (a) ¿Qué impulso angular se le imparte a la rueda? (b) Si la rueda estaba inicialmente en reposo. I = 0. 4 ωc = –50. " f = τ Δt = 0. de 40 cm de radio.26 kW *11-51. I 0.0 rpm 160 Tippens.2αθ = ωf2 – ωo2.7 rad). Manual de soluciones.48 N m s = . 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. P = "! 2 P = (48 N m)(26.002 s. P = 1. El disco A gira inicialmente en el sentido de las manecillas del reloj a 200 rev/min y el disco B gira en la dirección opuesta a 800 rev/min. ! c = "200 rpm . es golpeado repentinamente con una fuerza tangencial promedio de 600 N durante 0.18 rev Trabajo = 658 J (52. Física. 7e.2 rad/s. El disco A tiene el triple de la inercia rotacional del disco B. Si los dos discos se acoplan.002 s? τ = FR = (600 N)(0. "= $! 02 $(52.00 rad/s *11-52. Cap.5 rad/s)2 – ½(2 kg m2)(41. ωf = 100 rpm = 10.5 rad/s Trabajo = ½(2 kg m2)(10.93 rad/s2 161 Tippens. I = 2.) (3 IB)(200 rpm) + IB (+800 rpm) = (3IB + IB)ωc (1400 rpm) IB = 4IBωc. ! c = 1400 rpm . Una fuerza constante de 12 lb actúa tangencialmente en el borde de la rueda. I 8. ¿cuál será su rapidez angular común después del acoplamiento? (La dirección de las manecillas del reloj es positiva. ω = 400 rpm = 41.*11-53.5 m)2.9 rad/s)2 Trabajo = –1644 J 11-56.9 rad/s I = mk2 = (8 kg)(0.9 rad/s. Derechos reservados . ¿Cuánto trabajo se requiere para reducir la rotación de la rueda del problema 11-54 a 100 rev/min? Trabajo = cambio en energía cinética Trabajo = ½I wf2 –½Iwo2 ωo = 41. ¿Cuál es la aceleración angular? τ = Iα.00 kg m2 Ek = ½Iω2 = ½(2 kg m2)(41. Una rueda de 2 ft de radio tiene un momento de inercia de 8. Manual de soluciones. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.9 rad/s)2. Si los discos del problema 11-52 giran inicialmente en la misma dirección. Ek = 1750 J *11-55. la cual está inicialmente en reposo. El radio de giro de una rueda de 8 kg es de 50 cm. 4 ωc = 350 rpm *11-54. 7e. τ = FR = (12 lb)(2 ft) = 24 lb ft "= ! (24 lb ft) = . Halle su momento de inercia y su energía cinética cuando está girando a 400 rev/min.2 slug ft2.2 slug ft 2 α = 2. Física. θ = 36. t 5s P = 175.93 rad/s2)(5 s)2.02 s.6 rad Trabajo = τθ = (24 lb ft)(36.0 N m #= ! 2" (20 rev) = = 25. ¿cuál fue la rapidez angular final? (d) Aplique el teorema del trabajo y la energía para calcular el desplazamiento angular. Cap. Derechos reservados . Un aro circular con 2 kg de masa y 60 cm de radio gira libremente sobre su centro.5 rad/s τ = 584 lb ft 11-59. Manual de soluciones. al cual está conectado por medio de rayos centrales ligeros. P = 200 hp = 110 000 ft lb P = !" .5 rad/s. " 188.18 m). τ = 36. Una fuerza de 50 N actúa tangencialmente sobre el borde de la rueda durante un lapso de 0.13 rad/s t 5s P = τω = (36 N m)(25. 7e. Una máquina funciona a 1800 rev/min y desarrolla 200 hp. 162 Tippens. (a) ¿Cuál es el impulso angular? (b) ¿Qué cambio se registra en la cantidad de movimiento angular? (c) Si el aro estaba inicialmente en reposo.6 rad).319 hp *11-58. Una fuerza constante de 200 N actúa sobre el borde de una rueda de 36 cm de diámetro y la impulsa a 20 revoluciones en 5 s. Trabajo = 878 ft lb P= Trabajo 878 ft lb = . En el problema 11-56 la rueda se detuvo por completo en 5 s. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Física.7 ft lb/s o 0. P = 904 W Preguntas para la reflexión crítica 11-60.13 rad/s). != P (110 000 ft lb/s) = . ¿Qué potencia se ha desarrollado? τ = FR = (200 N)(0. ¿Cuánto trabajo se realizó? ¿Qué potencia se desarrolló en caballos de fuerza? θ = ω0t + ½αt2 = 0 + ½(2. ¿qué momento de torsión desarrolla? ω = 1800 rpm = 188.*11-57. 600 kg m 2 /s = . la potencia resultante es de 4 Kw. el bloque gira a 4 rad/s a una distancia r del centro del orificio.4 N m v = ωR = (94. Derechos reservados . Un bloque está unido a un cordón que pasa por la ranura de una polea a través de un orificio en la cubierta horizontal de una mesa como se muestra en la figura 11-16. v = 27.6 m) θ = 0. ωf = 0. ωf = 600 rpm = 62. Cambio en el momentum = 0.6 m)(002 s). ¿Actúa una fuerza para extraer el agua de la ropa o la ausencia de dicha fuerza produce este efecto? Cuando el ciclo opera a 900 rev/min. El ciclo de exprimido de una máquina lavadora disminuye de 900 a 300 rev/min en 4 s.83 rad/s . ¿cuál es la rapidez lineal de la ropa que se encuentra cerca del borde inferior? ωo = 90 rpm = 94.25 rad/s.7 m/s P = τω . ¿Qué momento de torsión se desarrolla? Si el radio de la tina es de 30 cm. Calcule la aceleración angular. ¿cuál será la nueva velocidad angular? 163 Tippens.6 m) 2 Trabajo = τθ = FRθ. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.25 rad/s .600 kg m2/s I = mR2.600 N m s Ιωf – Iωo = τΔt. Ιωf – Iωo = 0. Inicialmente.833 rad/s) 2 .83 rad/s.00833 rad 11-61. Impulso = τ Δt τ Δt = FRΔt = (50 N)(0. 2(50 N)(0. "= I! 2f 2 FR = (0.600 kg m 2 /s 0.30 m). 4s α = –7. R = 0.25 rad/s)(0.94. Cap.86 rad/s2 P 4000 W = .60 m)2 = 1.600 kg m 2 /s)(0.833 rad/s mR 2 (2 kg)(0. Manual de soluciones. ! = 11-62.τ = FR. τ Δt = 0. " 94.2 kg m2. Física. FRθ = ½Iω2f – 0. Si se tira del cordón desde abajo hasta que su radio es de r/4. 7e.30 m "= ! f # !0 t = 62.25 rad/s τ = 42.600 kg m2/s I = (2 kg)(0. !f = 0. ' 2 # % = (4 rad/s)(16) %% ' ωf = 64 rad/s *11-63. la masa y la aceleración lineal. F= m! 2f rf2 r02! 0 Sustituya ! f = 2 rf rf 3 r02! 0 rf2 v2 = ω2r2 = m! 2f rf . A continuación. Elimine T de estas dos ecuaciones. Física. rf = 3 0 0 25 N 25 N (2kg )(1 m) 4 (3 rad/s) 2 . m! 2f rf = 25 N en m! 2f rf = 25 N y resuelva para rf : " r 4! 2 # m $ 0 4 0 % rf = 25 N. Escriba la segunda ley de Newton para el caso del disco. ¿A qué distancia r la tensión del cordón será de 25 N? Ioωo = Ifωf .849 m u 84. 7e. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. escriba la segunda ley de Newton para masas en caída libre. Considere la figura 11-17. 164 Tippens. el momento de inercia del disco y la aceleración angular.Ioωo = Ifωf . (mro2)ωo = (mrf2)ωf . en función de la tensión sobre la cuerda.9 cm *11-64. para lo cual ha de recordar que v = ωR. F= mv 2f rf . M = 8 kg. Suponga que el bloque de la figura 11-16 tiene una masa de 2 kg y gira a 3 rad/s cuando r = 1 m. en función de la tensión sobre la cuerda. R = 60 cm y h = 6 m. 25 N rf = 0. (mro2)ωo = (mrf2)ωf El momento angular se conserva: 2 0 "r r! ! f = 2 0 = !0 $ 0 $ rf rf & " r ! f = (4 rad/s) $ 0 $$ r0 & 4 2 # %% . $ rf % & ' rf = !f = rf3 = mr04! 02 mr 4! 2 . Halle la aceleración lineal de la masa de 2 kg. Manual de soluciones. en la cual m = 2 kg. a = αR e I = ½mR2. Cap. Derechos reservados . 2 m2/s2. mg – (½Ma) = ma T (c) 2mg – Ma = 2ma. Manual de soluciones. 7e. Use los datos correspondientes al problema 11-64. I = ½MR2 R Epo de la masa que cae = Ekf de la masa que cae + Ekf del disco en rotación mgh = ½mv2 + ½Iωf2 . v = 6. Derechos reservados h . 2mg = Ma + 2ma T a= 2mg 2(2 kg)(9.8 m/s2)(6 m) = ½(2 kg)v2 + ¼(8 kg)v2. que se encuentra 6 m más abajo. If = 2 kg m2] 165 m Tippens.8 m/s 2 ) = . %R& T = ? Ma R R (b) mg – T = ma. Aplique la conservación de la energía para hallar la velocidad de la masa de 2 kg en la figura 11-17 inmediatamente antes de que toque el suelo. M + 2m [8 kg + 2(2 kg)] M m mg h 2 a = 3. Ahora el estudiante puede reducir la inercia rotacional a 2 kg m2 si retrae las pesas acercándolas a su cuerpo. Física. Cap. La plataforma inicia un movimiento constante de rotación a 90 rev/min sin fricción alguna. Un estudiante está de pie sobre una plataforma. ! v2 " mgh = ? mv + ? (? MR 2 ) # 2 $ . *11-67. I = ½MR2. TR = (? MR 2 ) # $ .27 m/s *11-65. [ωo= 90 rpm. M = 8 kg. v2 = 39.26 m/s *11-66. de manera que su inercia rotacional es de 6.!a" (a) τ = FR = Iα. %R & ωf2 = vf2/R2 M mgh = ½mv2 + ¼Mv2 (2 kg)(9. sosteniendo una pesa en cada mano. R = 60 cm y h = 6 m. 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. que se encuentra 6 m más abajo. Use los datos correspondientes al problema 11-64. (a) ¿Cuál será el nuevo régimen de rotación en ausencia de un momento de torsión externo? (b) ¿Cuál es la razón entre la energía cinética final y la energía cinética inicial? (c) Explique el incremento en la energía. Io = 6 kg m2. Dado: m = 2 kg. con los brazos extendidos. Aplique la conservación de la energía para hallar la velocidad de la masa de 2 kg en la figura 11-17 inmediatamente antes de que toque el suelo.0 kg m2. Física.8 m/s2)(6 m) – (2 kg)(9. Tres masas: 2 2 R M m2 2 m2gh = m1gh + ½m2v + ½m1v + ½Iω Sustituya I = ½MR2 y ωf2 = v2/R2 m1 h m2gh = m1gh + ½m2v2 + ½m1v2 + ½(½MR2)(v2/R2) m2gh = m1gh + ½m2v2 + ½m1v2 + ¼Mv2 ½m2v2 + ½m1v2 + ¼Mv2 = m2gh – m1gh ½(4 kg)v2 + ½(2 kg)v2 + ¼(6 kg)v2 = (4 kg)(9. Manual de soluciones. Conservación de energía: La energía potencial inicial de la masa a la derecha es igual a la suma de las energías potencial y cinética finales.5 v2 = 117.11 m/s 166 Tippens.00 La energía cinética final es tres veces la energía inicial.Conservacion del momento: Ioωo = Ifωf (6 kg m2)(90 rpm) = (2 kg m2) ωf.27 rad/s Ekf Ek 0 = ? I f ! 2f ? I 0! 02 = ? (2 kg m 2 )(28.425 rad/s) 2 Ek/Ef = 3. El incremento en energía proviene del trabajo que se realiza sobre las masas para acercarlas al cuerpo. 7e. ωf = 270 rpm ωo = 90 rpm = 9.6 m2/s2.27 rad/s) 2 . Considere el aparato que se muestra en la figura 11-18. Derechos reservados . 11 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.8 m/s2)(6 m) 2v2 + v2 + 1. La masa de la derecha es de 4 kg y la masa de la izquierda es de 2 kg. Cap. ? (6 kg m 2 )(9. 11-68. incluidas la Ek de rotación y la Ek de traslación. Considere tanto la energía de rotación como la de traslación y calcule la velocidad inmediatamente antes que la masa de 4 kg toque el piso. Imagine la polea grande como un disco de 6 kg y 50 cm de radio. ωf = 270 rpm = 28. v = 5.425 rad/s.