122 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.Derechos reservados Capítulo 10. Movimiento circular uniforme Aceleración centrípeta 10-1. Una pelota está unida al extremo de una cuerda de 1.5 m y gira en círculos con rapidez constante de 8 m/s. ¿Cuál es la aceleración centrípeta? 2 2 (8 m/s) 1.5 m c v a R = = a c = 42.7 m/s 2 10-2. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de rotación de la pelota del problema 10-1? 2 2 R 2 (1.5 m) 2 ; ; T = 8 m/s R v fR v T v ! ! ! ! = = = ; T = 1.18 s 1 1 1.18 s f T = = ; f = 0.849 rev/s 10-3. Una polea motriz de 6 cm de diámetro se hace girar a 9 rev/s. ¿Cuál es la aceleración centrípeta en un punto ubicado en el borde de la polea? ¿Cuál sería la velocidad lineal de una banda accionada por la polea? [R = (0.06 m/2) = 0.03 m.] 2 2 2 2 4 4 (9 rev/s) (0.03 m) c a f R ! ! = = ; a c = 95.9 m/s 2 2 2 (9 rev/s)(0.03 m) v fR ! ! = = ; v = 1.70 m/s 123 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 10-4. Un objeto gira describiendo un círculo de 3 m de diámetro con una frecuencia de 6 rev/s. ¿Cuáles son el periodo de revolución, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta? [R = (3 m/2) = 1.5 m] 1 1 6 rev/s T f = = ; T = 0.167 s; 2 2 (6 rev/s)(1.5 m) v fR ! ! = = ; v = 56.5 m/s 2 2 (56.5 m/s) (1.5 m) c v a R = = ; a c = 2130 m/s 2 10-5. Un automóvil transita por una curva de 50 m de radio y recibe una aceleración centrípeta de 2 m/s 2 . ¿Cuál es su rapidez constante? 2 2 ; (2 m/s) (50 m) v a v aR R = = = ; v = 10.0 m/s 10-6. Un automóvil de 1500 kg recorre una pista circular con una rapidez constante de 22 m/s. Si la aceleración centrípeta es de 6 m/s 2 , ¿cuál es el radio de la pista? ¿Cuál es la fuerza centrípeta sobre el automóvil? 2 2 2 2 (22 m/s) ; 6 m/s v v a R R a = = = ; R = 80.7 m 2 2 (1500 kg)(22 m/s) (80.7 m) mv F R = = ; F c = 9000 N 124 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 10-7. Un avión desciende siguiendo una trayectoria curva de radio R a la velocidad v. La aceleración centrípeta es de 20 m/s 2 . Si tanto la velocidad como el radio se duplican, ¿qué valor tendrá la nueva aceleración? 2 2 2 2 1 2 2 (2 ) 4 2 ; ; 2 2 v v v v a a a R R R R = = = = ; a 2 = 2a 1 = 2(20 m/s 2 ; a = 40 m/s 2 Fuerza centrípeta 10-8. Un niño de 20 kg se desplaza en círculos a 16 m/s sobre una pista de 16 m de radio, en uno de los juegos mecánicos de una feria. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el niño? 2 2 (20 kg)(16 m/s) 16 m mv F R = = ; F c = 320 N 10-9. Una piedra de 3 kg, atada a una cuerda de 2 m oscila describiendo un círculo horizontal; así completa una revolución en 0.3 s. ¿Cuál es la fuerza centrípeta sobre la piedra? ¿Se ejerce sobre la piedra alguna fuerza que la impulse hacia fuera? 2 2 2 2 1 4 4 (3 kg)(2 m) 0.3 s c F f mR ! ! " # = = $ % & ' ; F c = 2630 N, No 10-10. Un objeto de 5 kg oscila describiendo un círculo horizontal con una rapidez de 30m/s. ¿Cuál es el radio de su trayectoria si la fuerza centrípeta es de 2000N? 2 2 o c mv mv F R R F = = 2 2 (5 kg)(30 ft/s) 2000 N c mv R F = = ; R = 2.25 m 125 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-11. Dos masas de 8 kg están unidas en el extremo de una varilla de aluminio de 400 mm de longitud. La varilla está sostenida en su parte media y gira describiendo un círculo. La varilla soporta una tensión máxima de 800 N. ¿Cuál es la frecuencia máxima de revolución? [R = (400 mm/2) = 200 mm] 2 (800 N)(0.20 m) ; 8 kg c c F R mv F v R m = = = ; v = 4.47 m/s 4.47 m/s 2 ; 2 2 (0.20 m) v v fR f R ! ! ! = = = ; f = 3.56 rev/s *10-12. Una camisa mojada de 500 g gira contra la pared interna de una máquina lavadora a 300 rpm. El diámetro del tambor giratorio es de 70 cm. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre la camisa? [R = (70 cm/2) = 35 cm; f = 300 rpm(1 min/60 s) = 5 rev/s] 2 2 2 2 4 4 (5.00 rev/s) (0.5 kg)(0.35 m) c F f mR ! ! = = ; F c = 173 N, hacia el centro *10-13. Un corredor de 70 kg recorre una pista de 25 m de radio con una rapidez de 8.8 m/s. ¿Cuál es la fuerza central que hace al corredor describir la curva y a qué se debe esa fuerza? 2 2 (70 kg)(8.8 m/s) 25 m c mv F R = = ; F c = 217 N, fricción *10-14. En una carrera de trineos realizada durante la olimpiada de invierno, un equipo toma una curva de 24 ft de radio con una rapidez de 60 mi/h. ¿Cuál es la aceleración? ¿A cuántas g están sometidos los tripulantes? Nota: 60 mi/h = 88 ft/s. 2 2 (88 ft/s) 24 ft c v a R = = ; a c = 323 ft/s 2 o 10.1 g 126 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Curvas planas y curvas con peralte 10-15. En un día lluvioso, el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la carretera es de sólo 0.4. ¿Cuál es la rapidez máxima a la que puede transitar un automóvil en una curva de 80 m de radio? 2 2 ; (0.4)(9.8 m/s )(80 m) s c s mv mg v gR R µ µ / = = = / ; v c = 17.7 m/s o 63.8 km/h 10-16. Un autobús transita por una curva de 120 m de radio con una rapidez de 96 km/h. Si a esa rapidez comienza a derrapar, ¿cuál es el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la carretera? Nota: 96 km/h = (96 km/h)(1000 m/ 1 km)(1 h/3600 s) = 26.7 m/s 2 2 2 2 (26.7 m/s) ; (9.8 m/s )(120 m) s s mv v mg R gR µ µ / = = = / ; µ s = 0.605 10-17. Halle el coeficiente de fricción estática necesario para mantener un movimiento a 20 m/s en una curva cuyo radio es de 84 m. 2 2 2 2 (20 m/s) ; (9.8 m/s )(84 m) s s mv v mg R gR µ µ / = = = / ; µ s = 0.486 *10-18. Un niño de 20 kg se sienta a 3 m de una plataforma giratoria. Si µ s = 0.4, ¿cuál es el máximo número de revoluciones por minuto que alcanza la plataforma antes que el niño resbale? (El deslizamiento ocurre cuando la fuerza centrípeta es igual a la fuerza máxima de fricción estática.) 2 2 2 2 2 (0.4)(9.8 m/s ) 4 ; 4 4 (3 m) s c s g F f mR mg f R µ ! µ ! ! = = = = ; f = 0.182 rev/s (60 s/min); f = 10.9 rpm 127 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-19. Una plataforma gira libremente a 100 rpm. Si el coeficiente de fricción estática es 0.5, ¿a qué distancia del centro de la plataforma se puede colocar un perno sin que resbale? f = 100 rev/min (1 min/60 s) = 1.67 rps; µ s = 0.5; R = ? 2 2 2 2 2 2 2 (0.5)(9.8 m/s ) 4 ; 4 4 (1.67 rev/s) s c s g F f mR mg R f µ ! µ ! ! = = = = ; R = 4.45 cm 10-20. Calcule el ángulo de peralte necesario para que el automóvil transite por la curva descrita en el problema 10-15 sin derrapar. 2 2 2 (17.7 m/s) tan (9.8 m/s )(80 m) v gR ! = = ; ! = 21.8 0 10-21. Halle el ángulo de peralte necesario para evitar que el autobús del problema 10-16 derrape. 2 2 2 (26.7 m/s) tan (9.8 m/s )(120 m) v gR ! = = ; ! = 31.2 0 10-22. Se ha encontrado que el ángulo de peralte óptimo para una curva de 20 m de radio es de 28º. ¿Para qué rapidez fue proyectado este ángulo? 2 2 0 tan ; tan (9.8 m/s )(20 m) tan 28 v v gR gR ! ! = = = ; v = 10.3 m/s 128 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-23. En un camino de 9 m de ancho hay una curva cuyo radio es de 96 m. ¿Cuánto más alto debe estar el borde externo respecto al borde interno para que un automóvil pueda transitar por la curva a la rapidez óptima de 40 km/h? v = 40 km/h = 11.1 m/s; h = (9 m) sen !; 2 tan v gR ! = 2 2 2 (11.1 m/s) tan (9.8 m/s )(96 m) v gR ! = = ; ! = 7.48 0 ; h = (9 m) sen 7.48 0 ; h = 1.17 m El péndulo cónico 10-24. Un péndulo cónico oscila describiendo un círculo horizontal de 30 cm de radio. ¿Qué ángulo forma el cordón del péndulo con respecto a la vertical cuando la velocidad lineal de la masa es de 12 m/s? 2 2 2 (12 m/s) tan (9.8 m/s )(0.30 m) v gR ! = = ; ! = 88.8 0 10-25. ¿Cuál es la velocidad lineal de los contrapesos que ilustra la figura 10-16 si L = 20 cm y ! = 60º? ¿Cuál es la frecuencia de revolución? L = 20 cm = 0.20 m; R = L sen ! = (0.2 m) sen 60 0 ; R = 0.173 m 2 2 0 tan ; tan (9.8 m/s )(0.173 m)( tan 60 ) v v gR gR ! ! = = = ; v = 1.71 m/s 1.71 m/s 2 ; 2 2 (0.173 m) v v fR f R ! ! ! = = = ; f = 1.58 rev/s R L ! 129 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 10-26. Si la longitud de L en la figura 10-16 es de 60 cm, ¿qué velocidad se requiere para que los contrapesos se muevan formando un ángulo de 30º con la vertical? R = L sen ! = (60 cm) sen 30 0 ; R = 30 cm = 0.30 m 2 2 0 tan ; tan (9.8 m/s )(0.30 m) tan30 v v gR gR ! ! = = = ; v = 1.30 m/s 10-27. Cada uno de los contrapesos de la figura 10-16 tiene una masa de 2 kg. La longitud L es de 40 cm y el eje gira a 80 rev/min. ¿Cuál es la tensión en cada brazo? ¿Cuál es el ángulo !? ¿Cuál es la altura h? 80 rev/min = 1.33 rev/s; T sen! = F c = mv 2 /R sen 0.4 m R R L ! = = ; 2 2 4 0.4 m R T f mR ! " # = $ % & ' T = (0.4 m)(4 " 2 )(1.33 rev/s) 2 (2 kg); T = 56.1 N T cos ! = mg; 2 (2 kg)(9.8 m/s ) cos 56.1 N mg T ! = = ; ! = 69.6 0 h = L cos ! = (0.4 m) cos 69.6 0 ; h = 0.14 m o h = 14.0 cm 10-28. En la figura 10-16, suponga que L = 6 in, que el peso de cada contrapeso es 1.5 lb y que el eje gira a 100 rev/min. ¿Cuál es la tensión en cada brazo? ¿Cuál es el ángulo !? ¿Cuál es la distancia h? 100 rpm = 1.67 rev/s; T sin! = F c = mv 2 /R 1.5 lb 0.0469 slug 32 ft/s m = = ; L = 6 in = 0.50 ft sin 0.5 ft R R L ! = = ; 2 2 4 0.5 ft R T f mR ! " # = $ % & ' T = (0.5 ft)(4 " 2 )(1.67 rev/s) 2 (0.0469 slug); T = 2.75 lb h mg ! T cos ! R L ! T sen ! h mg ! T cos ! R L ! T sen ! 130 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados T cos ! = mg; 2 (0.0469 slug)(32 ft/s ) cos 2.57 lb mg T ! = = ; ! = 54.3 0 h = L cos ! = (0.5 ft) cos 54.3 0 ; h = 0.292 ft 10-29. Considere las "sillas voladoras" de la figura 10-17. La longitud L = 10 m y la distancia a = 3 m. ¿Cuál tendrá que ser la velocidad lineal de la silla para que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical? [L = 10 m; a = 3 m, ! = 30 0 ] b = L sen ! = (10 m) sen 30 0 = 5 m; R = a + b = 7 m; 2 tan ; tan v v gR gR ! ! = = 2 0 (9.8 m/s )(7 m) tan30 v = v = 6.73 m/s 10-30. ¿Cuál será la frecuencia de revolución del columpio ilustrado en la figura 10-17 si el ángulo ! es igual a 25º? b = L sen 28 0 = (10 m) sen 28 0 ; b = 4.695 m; R = a + b = 7.695 m 2 tan ; tan v v gR gR ! ! = = ; 2 0 (9.8 m/s )(7.695 m) tan 28 v = ; v = 6.33 m/s 6.33 m/s 2 ; 2 2 (7.695 m) v v fR f R ! ! ! = = = ; f = 0.131 rev/s o 7.86 rpm b a R = a + b ! L 131 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Movimiento en un círculo vertical 10-31. Una piedra reposa en el fondo de un cubo que se mueve describiendo un círculo vertical de 70 cm de radio. ¿Cuál es la menor rapidez a la cual debe moverse el cubo en la parte superior del círculo para que la piedra no se salga de él? [Fuerza resultante al centro = mv 2 /R.] 2 mv T mg R + = ; Velocidad crítica v c cuando T = 0 2 (9.8 m/s )(0.7 m) c v gR = = ; v c = 2.62 m/s 10-32. Una piedra de 1.2 kg está atada al extremo de una cuerda de 90 cm de longitud. A continuación, la piedra se hace girar con una rapidez constante describiendo un círculo vertical. ¿Cuál es la velocidad crítica que la cuerda debe alcanzar en la parte superior de la trayectoria para no perder su tensión? 2 mv T mg R + = ; Velocidad crítica v c cuando T = 0 2 (9.8 m/s )(0.7 m) c v gR = = ; v c = 2.97 m/s *10-33. Suponga que la piedra del problema 10-32 se mueve con una rapidez constante de 8 m/s describiendo un círculo vertical. ¿Cuáles son las tensiones de la cuerda cuando está en la parte superior y en la inferior del círculo? Parte superior: 2 mv T mg R + = y 2 mv T mg R = ! 2 2 (1.2 kg)(8 m/s) (1.2 kg)(9.8 m/s ) (0.9 m) T = ! ; T = 73.6 N Parte inferior: 2 mv T mg R ! = y 2 mv T mg R = + 2 2 (1.2 kg)(8 m/s) (1.2 kg)(9.8 m/s ) (0.9 m) T = + ; T = 97.1 N 0 R T mg 0 v R T mg v R T mg v T mg 132 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-34. El piloto de prueba de la figura 10-18 se lanza en picada a 620 ft/s y describe una curva de 2800 ft de radio. Si el piloto pesa 160 lb, ¿qué aceleración experimentará en el punto más bajo del círculo? ¿Cuál es la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto? W = 160 lb; m =160 lb/32 ft/s 2 = 5 slugs; v = 620 ft/s; 2 2 (620 ft/s) (2800 ft) v a R = = ; a = 137 ft/s 2 2 2 ; mv mv mg mg R R ! = = + N N 2 (5 slugs)(620 ft/s) 160 lb (2800 ft) = + N ; N = 846 lb *10-35. Si el piloto del problema 10-34 no está sujeto a una aceleración mayor que siete veces la gravedad (7g), ¿cuál es la velocidad máxima para salir del descenso en un rizo de 1 km de radio? 2 2 7 ; 7 7(9.8 m/s )(1000 m) v a g v gR R = = = = ; v = 262 m/s o 943 km/h Nota: El piloto “siente” verdaderamente una fuerza que es ocho veces W. N – mg = m(7g); N = 8mg *10-36. Una pelota de 3 kg oscila describiendo un círculo vertical en el extremo de un cordón de 8 m. Cuando llega a la parte más alta de su trayectoria, su velocidad es de 16 m/s. ¿Cuál es la tensión en el cordón? ¿Cuál es la velocidad crítica en el punto más alto? [R = 8 m; m = 3 kg; v = 16 m/s.] En la parte superior: 2 mv T mg R + = y 2 mv T mg R = ! 2 2 (3 kg)(16 m/s) (3 kg)(9.8 m/s ) (8 m) T = ! ; T = 66.6 N Cuando T = 0, 2 (9.8 m/s )(8 m) c v gR = = ; v c = 8.85 m/s v R T mg 133 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-37. Una niña de 36 kg ocupa el asiento de un columpio que está sujeto por dos cadenas de 20 m de longitud cada una. Si una persona suelta a la niña desde una posición 8 m por debajo del punto más alto del columpio, ¿qué fuerza ejercerá el columpio sobre la niña cuando ésta pase por el punto más bajo? 0 8 m cos ; 66.4 20 m ! ! = = ; h = 20 m– 8 m = 12 m 2 2 ? ; 2 2(9.8 m/s )(12 m) mv mgh v gh = = = ; v = 15.3 m/s En la parte inferior: 2 mv T mg R ! = y 2 mv T mg R = + 2 2 (36 kg)(15.34 m/s) (36 kg)(9.8 m/s ) (20 m) T = + ; T = 776 N Gravitación 10-38. ¿Qué distancia debe haber entre un peso de 2 toneladas y otro de 3 ton si su fuerza de atracción mutua es igual a 0.0004 lb? (G = 3.44 # 10 8 lb pies/slug 2 ) 1 2 2 2 (2 ton)(2000 lb/ton) (3 ton)(2000 lb/ton) 125 slugs; 187.5 slugs 32 ft/s 32 ft/s m m = = = = -8 2 2 1 2 1 2 2 (3.44 x 10 lb ft /slug )(125 slug)(187.5 slug) ; 0.0004 lb Gmm Gmm F R R F = = = R = 1.42 ft 10-39. Una masa de 4 kg se encuentra a una distancia de 8 cm de otra de 2 kg. Calcule la fuerza de atracción gravitacional entre las dos masas. -11 2 2 1 2 2 (6.67 10 N m /kg )(4 kg)(2 kg) 0.08 m Gmm F R ! = = ; F = 8.34 # 10 –8 N ! 8 m h T mg 134 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-40. Una masa de 3 kg está colocada a 10 cm de una masa de 6 kg. ¿Cuál es la fuerza gravitacional resultante sobre una masa de 2 kg colocada en el punto medio de una recta que une las dos primeras masas? -11 2 2 3 2 3 2 2 (6.67 x 10 N m /kg )(3 kg)(2 kg) (0.05 m) Gm m F R = = -11 2 2 6 2 6 2 2 (6.67 x 10 N m /kg )(6 kg)(2 kg) (0.05 m) Gm m F R = = F 3 = -1.6 # 10 –7 N, F 6 = 3.20 # 10 –7 N F R = -1.6 # 10 –7 N + 3.60 # 10 –7 N; F R = 1.60 # 10 –7 N *10-41. La aceleración debida a la gravedad en un planeta distante es de 5.00 m/s 2 y el radio del planeta es de 4560 km, aproximadamente. Use la ley de la gravitación para estimar la masa de ese planeta. 2 2 2 2 -11 2 2 (5.00 m/s )(4560 m) ; 6.67 x 10 N m / kg p p Gmm gR mg m R G = = = ; m p = 1.56 # 10 24 kg *10-42. La masa de la Tierra es aproximadamente 81 veces mayor que la masa de la Luna. Si el radio de la Tierra es cuatro veces mayor que el de la Luna, ¿cuál es la aceleración debida a la gravedad en la Luna? m e = 81m m ; R e = 4R m ; Considere la masa de prueba m en la Luna y la Tierra: 2 2 y = m m m m m m Gmm Gm mg g R R = ; 2 2 y = e e e e e e Gmm Gm mg g R R = 2 2 2 2 (4 ) 81 m m e m m e e m m m g m R m R g m R m R = = ; 2 0.1975 9.8 m/s m g = ; g m = 1.94 m/s 2 3 kg 6 kg F 6 F 3 0.05 m 0.05 m 2 kg 135 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-43. Una masa de 60 kg y otra de 20 kg están a una distancia de 10 m. ¿En qué punto de la recta que une a estas dos cargas se puede colocar otra masa de manera que la fuerza resultante sobre ella sea cero? [F 2 = F 6 ] 6 2 2 2 ' ' (10 x) Gm m Gm m x = ! ; 2 6 2 2 (10 x) m x m = ! 6 2 60 kg 1.732 (10 x) 20 kg m x m = = = ! ; x = 1.732(10 – x); x = 17.32 – 1.732 x x = 6.34 m de la masa de 60 kg. Leyes de Kepler del movimiento planetario 10-44. ¿Qué rapidez debe tener un satélite para que describa una órbita circular de 800 km sobre la superficie de la Tierra? [La fuerza central F c debe igualar a la gravitacional F g .] Note que : R = R e + h = (6.38 # 10 6 m) + (0.8 # 10 6 m) = 7.18 # 10 6 m F c = F g ; 2 2 ; e e Gmm Gm mv v R R R = = ; -11 2 2 24 6 (6.67 10 N m / kg )(5.98 10 kg) 7.18 x 10 m v ! ! = ; v = 7450 m/s 10-45. La masa de Júpiter es 1.90 # 10 27 kg y su radio mide 7.15 # 10 7 m. ¿Qué rapidez debe alcanzar una nave espacial para volar en círculos a una altura de 6.00 # 10 7 m sobre la superficie de Júpiter? R = R j + h = 7.15 # 10 7 m + 6 # 10 7 m; R = 1.315 # 10 8 m ; 2 2 ; e Gmm mv R R = -11 27 8 (6.67 10 )(1.9 10 kg) 1.315 10 m e Gm v R h ! ! = = + ! v =31,400 m/s Esto representa una velocidad aproximadamente de 69 800 mi/h. m’ 60 kg 20 kg F 2 F 6 10 - x x 136 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 10-46. ¿Cuál es la velocidad orbital de un satélite cuya órbita se encuentra 1200 km por encima de la superficie de la Tierra? Note que: R = R e + h = (6.38 # 10 6 m) + (1.2 # 10 6 m) = 7.58 # 10 6 m F c = F g ; 2 2 ; e e Gmm Gm mv v R R R = = ; -11 2 2 24 6 (6.67 10 Nm /kg )(5.98 10 kg) 7.58 10 m v ! ! = ! ; v = 7254 m/s 10-47. El radio de la Luna es 1.74 # 10 6 m y la aceleración debida a la gravedad en su superficie es 1.63 m/s 2 . Aplique la ley de la gravitación universal para hallar la masa de la Luna. 2 2 6 2 2 -11 2 2 (1.63 m/s )(1.74 x 10 m) ; 6.67 x 10 N m /kg m m m m Gmm gR mg m R G = = = ; m m = 7.40 # 10 22 kg *10-48. Un satélite se localiza a una distancia de 900 km por encima de la superficie de la Tierra. ¿Cuál es el periodo del movimiento del satélite? [R = 6.38 # 10 6 m + 0.9 # 10 6 m = 7.28 # 10 6 m.] 2 2 6 3 2 3 2 7 2 -11 2 2 24 4 4 (7.28 10 ) ; = 3.82 10 s (6.67 10 N m /kg )(5.98 10 kg) e T R T Gm ! ! " # $ = = $ % & $ $ ' ( 7 2 3.82 10 s T = ! ; T = 6180 s (cerca de una hora y 43 minutos) *10-49. ¿A qué distancia por encima de la superficie de la Tierra debe estar un satélite para que complete una vuelta alrededor de nuestro planeta en un lapso de 28 h? T = 28 h (3600 s/h) = 1.01 # 10 5 s; T 2 = 1.02 # 10 10 s 2 2 2 -11 2 2 24 10 2 2 3 3 2 2 4 (6.67 10 Nm /kg )(5.98 10 kg)(1.02 10 s ) ; 4 4 e e Gm T T R R Gm ! ! ! " # $ $ $ = = = % & ' ( 3 23 3 1.03 10 m R = ! ; R = 4.69 # 10 7 m; h = R – R e = 4.05 # 10 7 m 137 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Problemas adicionales 10-50. ¿A qué frecuencia tiene que girar una bola de 6 lb en un radio de 3 ft para producir una aceleración centrípeta de 12 ft/s 2 ? ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 2 2 2 2 -2 2 2 (12 ft/s ) 4 ; ; 0.1013 s 4 4 (3 ft) c c a a f R f f R ! ! ! = = = = ; f = 0.318 rev/s 2 2 6 lb (12 ft/s ) 32 ft/s c T ma ! " = = # $ % & ; T = 2.25 lb 10-51. ¿Qué aceleración centrípeta se necesita para mover una masa de 2.6 kg en un círculo horizontal de 300 mm de radio si su rapidez lineal es de 15 m/s? ¿Cuál es la fuerza centrípeta? 2 2 (15 m/s) (0.300 m) c v a R = = ; a = 750 m/s 2 F c = ma c = (2.6 kg)(750 m/s 2 ); F c = 1950 N 10-52. ¿Cuál debe ser la velocidad de un satélite colocado 1000 mi por encima de la superficie de la Tierra si se tiene que desplazar en una trayectoria circular? [R = 4000 mi + 1000 mi = 5000 mi; 5000 mi = 2.64 # 10 7 ft.] 2 2 ; e e Gmm Gm mv v R R R = = ; 7 6 0.3048 m 2.64 10 ft 8.047 10 m 1 ft R ! " = # = # $ % & ' -11 2 2 24 6 (6.67 10 N m / kg )(5.98 10 kg) 8.047 10 m v ! ! = ! ; v = 7041 m/s 138 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 10-53. Una pelota de 2 kg oscila describiendo un círculo vertical en el extremo de un cordón de 2 m de largo. ¿Cuál deberá ser la velocidad crítica en la parte más alta de la órbita para que ésta conserve su forma circular? 2 mv T mg R + = ; velocidad crítica v c es cuando T = 0 2 (9.8 m/s )(2.0 m) c v gR = = ; v c = 4.42 m/s *10-54. Una piedra de 4 kg se desplaza a la velocidad constante de 10 m/s sobre un círculo vertical en el extremo de un cordón de 1.4 m. ¿Cuáles son las tensiones registradas en el cordón en la parte más alta y en la más baja de esa trayectoria circular? En la parte superior: 2 mv T mg R + = y 2 mv T mg R = ! 2 2 (4 kg)(10 m/s) (4 kg)(9.8 m/s ) (1.4 m) T = ! ; T = 247 N En la parte inferior: 2 mv T mg R ! = y 2 mv T mg R = + 2 2 (4 kg)(10 m/s) (4 kg)(9.8 m/s ) (1.4 m) T = + ; T = 325 N *10-55. ¿Qué frecuencia de revolución se necesita para que los contrapesos de la figura 10-16 se levanten hasta una distancia vertical de 25 mm por encima de su posición más baja? Suponga que L = 150 mm. h = 150 mm – 25 mm = 124 mm; h = 0.124 m 2 1 1 9.8 m/s 2 2 0.125 m g f h ! ! = = ; f = 1.41 rev/s = 84.6 rpm R T mg v R T mg v T mg h R L ! 139 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-56. La masa combinada de una motocicleta y su conductor es de 210 kg. Si el motociclista va a describir un círculo vertical completo de 6 m de radio, ¿cuál tendrá que ser la velocidad crítica en el punto más alto? 2 (9.8 m/s )(6.0 m) c v gR = = ; v c = 7.67 m/s *10-57. Si la velocidad en la parte más alta del rizo descrito en el problema 10-56 es de 12 m/s, ¿cuál es la fuerza normal en el punto más alto del rizo? En la parte superior: 2 mv mg R + = N y 2 mv mg R = ! N 2 2 (210 kg)(12 m/s) (210 kg)(9.8 m/s ) (6 m) = ! N ; N = 2980 N 10-58. El límite de rapidez en cierta curva de 200 ft de radio es 45 mi/h. ¿Cuál es el ángulo de peralte óptimo para esa curva? ¿Las carreteras están construidas según sus ángulos óptimos? v = 45 mi/h = 66.0 ft/s; 2 2 2 (66 ft/s) tan ; (9.8 m/s )(200 ft) v gR ! = = ! = 34.2 0 ; No *10-59. En el péndulo cónico que muestra la figura 10-17, suponga que a = 2 m y L = 4 m. ¿Qué rapidez lineal se requiere para que en su oscilación se desplace hasta un ángulo de 20º? b = L sen ! = (4 m) sen 20 0 = 1.37 m; R = a + b = 3.37 m; 2 tan ; tan v v gR gR ! ! = = v = 3.47 m/s R T mg b a R = a + b ! L 140 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Preguntas para la reflexión crítica *10-60. Una moneda está en reposo sobre una plataforma giratoria a una distancia de 12 cm del centro de rotación. Si el coeficiente de fricción estática es 0.6, ¿cuál es la máxima frecuencia de rotación para que la moneda no resbale? Suponga que la frecuencia se reduce a la mitad. ¿A qué distancia del centro se puede colocar ahora la moneda? La frecuencia máxima ocurre cuando F c = F s 2 2 2 2 s s 4 ; = ; 4 c F f mR mg f mR mg ! µ ! µ = = s F ; 2 4 s g f R µ ! = 2 2 2 (0.6)(9.8 m/s ) 4 4 (0.12 m) s g f R µ ! ! = = ; f = 1.11 rev/s 2 1.114 rev/s 0.557 rev/s; 2 f = = 2 2 2 2 s 2 2 2 2 4 ; 4 s g f mR mg R f µ ! µ ! = = 2 2 2 2 (0.6)(9.8 m/s ) 4 (0.557 rev/s) R ! = ; R = 0.480 m; R = 48.0 cm *10-61. El aparato de laboratorio que ilustra la figura 10-19 permite que una masa giratoria estire un resorte, de modo que el cordón de soporte quede en posición vertical con una frecuencia de rotación específica. Suponga que la masa del peso oscilante es 400 g y el radio de revolución es de 14 cm. Por medio de un cronómetro se ha observado que el tiempo que corresponde a 50 revoluciones es de 35 s. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre el peso oscilante? Primero encuentre f en (rev/s). 50 rev 1.429 rev/s 35 s f = = . 2 2 4 c F f mR ! = 2 2 4 (1.429 rev/s) (0.4 kg)(0.14 m) c F ! = ; F c = 4.51 N, dirigida hacia el centro. La fuerza centrípeta está SOBRE el péndulo. La fuerza hacia afuera SOBRE el resorte NO es la fuerza centrípeta. F c = F s 14 cm 400 g 141 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-62. En el problema 10-61, suponga que se agrega una masa de 100 g a la masa de 400 g. La fuerza necesaria para estirar el resorte sería la misma que antes, pero la masa de rotación se habrá incrementado. ¿Qué cambio se produce cuando se realiza de nuevo el experimento, de modo que la fuerza centrípeta sea la misma que en el caso anterior? ¿Sobre qué actúa la fuerza centrípeta en este experimento? Como la fuerza centrípeta debe ser la misma, es preciso que la velocidad se reduzca de modo que: 2 ; c mv F R = El producto mv 2 debe ser el mismo. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 (400 g) ; (500 g) m v v m v m v v m = = = v 1 = 2"f 1 R = 2"(1.429 rev/s)(0.14 m) = 1.26 m/s 2 1 2 1 (400 g) 0.894 (500 g) v v v = = ; v 2 = (0.894)(1.26 m/s); v 2 = 1.13 m/s Así, el objeto se mueve más lentamente y la frecuencia de revoluciones decrece de modo que la fuerza centrípeta que actúa SOBRE el péndulo no cambia: 2 2 1 1 2 2 m v m v = *10-63. Una plataforma de 10 in de diámetro gira a 78 rev/min. Un insecto está en reposo sobre la plataforma a 1 in del borde exterior. Si el insecto pesa 0.02 lb, ¿qué fuerza actúa sobre él? ¿De dónde proviene esa fuerza? ¿Hacia dónde deberá desplazarse el insecto para reducir dicha fuerza a la mitad? f = 78 rev/min = 1.30 rev/s; m = W/g = 0.02 lb/32 ft/s 2 ; m = 0.000625 slugs R = 5 in. – 1 in. = 4 in; R = (4/12) ft = 0.333 ft; F c = 4" 2 f 2 mR 2 2 4 (1.3 rev/s) (0.000625 slug)(0.333 ft) c F ! = ; F c = 0.0139 lb La fuerza central SOBRE el insecto es ejercida POR la plataforma (fricción estática). Como F c es proporcional a R, al dividir el radio a la mitad, ¡también la fuerza se divide a la mitad! 2 (4 in) 2 in 2 R = = ; el insecto se debe arrastrar en un punto a 2 cm del centro. 100 g 14 cm 400 g 142 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-64. El diámetro de Júpiter es 11 veces mayor que el de la Tierra y su masa es casi 320 veces mayor. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie de Júpiter? m j = 11m e = 320(5.98 # 10 24 kg); m j = 1.914 # 10 27 R j = 11R e = 11(6.38 # 10 6 m); R j = 7.018 # 10 7 m ; 2 j j j Gmm mg R = -11 2 2 27 2 7 2 (6.67 10 N m /kg )(1.914 10 kg) (7.018 10 m) j j j Gm g R ! ! = = ! ; g j = 25.9 m/s 2 *10-65. Suponga que L = 50 cm y m = 2 kg en la figura 10-16. ¿Cuántas revoluciones por segundo se necesitan para que se forme un ángulo ! = 30º? ¿Cuál es la tensión en la varilla de soporte en ese punto? [h = (50 cm) cos 30 0 = 0.433 m; m = 2.0 kg; ! = 30 0 ] 2 2 0 tan ; tan (9.8 m/s )(0.25 m) tan(30 ) v v gR gR ! ! = = = v = 1.19 m/s; v = 2"fR; (1.19 m/s) 2 2 (0.25 m) v f R ! ! = = ; f = 0.757 rev/s T cos ! = mg; 2 0 (2 kg)(9.8 m/s ) cos cos30 mg T ! = = ; T = 22.6 N h R L ! 143 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 10 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *10-66. Un bloque de 9 kg ha sido colocado en la plataforma de un camión que transita por una curva de 86 m de radio. Suponga que µ k = 0.3 y que µ s = 0.4. ¿La fuerza de fricción sobre el bloque actúa acercándose al centro de la curva o alejándose de él? ¿Cuál es la máxima rapidez a la cual puede tomar la curva el camión sin que derrape? Si el camión toma la curva a una rapidez mucho mayor, ¿cuál será la fuerza resultante sobre el bloque? [F = F c ; m = 9 kg] 2 (0.4)(9.8 m/s )(86 m) c s v gR µ = = ; v c = 18.4 m/s F k = µ k mg = (0.3)(9 kg)(9.8 m/s 2 ); F k = F R = 26.5 N F c F s R = 86 m