101 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.Derechos reservados Capítulo 9. Impulso y cantidad de movimiento 9-1. Una llave de tuercas de 0.5 kg cae desde 10 m. ¿Cuál es su cantidad de movimiento antes de tocar el suelo? (Primero encuentre la velocidad desde la conservación de energía.) mgh = !mv 2 ; 2 2 2(9.8 m/s )(10 m) v gh = = v = 14.0 m/s p = mv = (0.5 kg)(14 m/s); p = 7.00 kg m/s, caída 9-2. Calcule la cantidad de movimiento y la energía cinética de un automóvil de 2400 lb que avanza hacia el norte a 55 mi/h. 2 2400 lb ; m = 75 slugs ; 32 ft/s W m g = = v = 55 mi/h = 80.7 ft/s p = mv = (75 slugs)(80.7 ft/s); p = 6050 slug ft/s K = !mv 2 = !(75 slugs)(80.66 ft/s) 2 ; K = 244,000 ft lb 9-3. Un camión de 2500 kg que viaja a 40 km/h choca una pared y se detiene en 0.2 s. (a) ¿Cuál es el cambio en su cantidad de movimiento? (b) ¿Cuál es el impulso? (c) ¿Cuál es la fuerza promedio sobre la pared durante el choque? Tome + cuando es hacia la pared. Nota: 40 km/h = 11.1 m/s. !p = mv f – mv o = 0 – (2500 kg)(11.1 m/s); !p = – 27 800 kg m/s Impulso = !p; F t = –27 800 kg m/s Fuerza sobre el camión: 27, 800 ; 0.2 s F ! = F = –139,000 N La fuerza en la pared es opuesta, así, F = +139 000 N 102 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 9-4. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de una bala de 3 g que se mueve a 600 m/s en una dirección 30º por encima de la horizontal? ¿Cuáles son los componentes horizontal y vertical de esta cantidad de movimiento? p = mv = (3 kg)(600 m/s); p = 1800 kg m/s, 30 0 p x = 1800 cos 30 0 y p y = 1800 sen 30 0 ; p x = 1560 kg m/s; p y = 900 kg m/s *9-5. Una pelota de béisbol de 0.2 kg lanzada hacia la izquierda a 20 m/s sale en dirección contraria a 35 m/s al ser golpeada por un bate. La fuerza promedio en la pelota es de 6400 N. ¿Cuánto tiempo tuvo contacto con el bat? (Impulso = cambio de momento.) F !t = mv f – mv o = (0.2 kg)(35 m/s) – (0.2 kg)( –20 m/s) (6400 N) !t = 11 kg m/s; !t = 1.72 ms *9-6. Un bate ejerce una fuerza promedio de 248 lb sobre una pelota de 0.6 lb durante 0.01 s. La velocidad de llegada de la pelota fue de 44 ft/s. Si ésta sale disparada en la dirección opuesta, ¿cuál es su velocidad? Escoja + para la dirección que se aleja del bate, haciendo que la velocidad de la pelota que llega sea negativa: F !t = mv f – mv o ; F !t = mv f – mv o ; 2 0.6 lb 0.01875 slugs 32 ft/s m = = (240 lb)(0.01 s) = (0.01875 slugs)v f – (0.01875 slugs)(-44 ft/s); 0.01875 v f = 2.4 lb s – 0.825; v f = 84.0 ft/s 600 m/s 30 0 !t -20 m/s 35 m/s + 103 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-7. Una pelota de 500 g se desplaza de izquierda a derecha a 20 m/s. Un bate impulsa la pelota en dirección opuesta a una velocidad de 36 m/s. El tiempo de contacto fue de 0.003 s. ¿Cuál fue la fuerza promedio sobre la pelota? (m = 0.5 kg, v o = +20 m/s, v f = –36 m/s, !t = 0.003 s) F !t = mv f – mv o ; F(0.003 s) = (0.5 kg)( –36 m/s) – (0.5 kg)(20 m/s) 18 kg m/s - 10 kg m/s 0.003 s F ! = ; F = 9330 N *9-8. Una pelota de caucho de 400 g se deja caer sobre el pavimento desde una distancia vertical de 12 m. Está en contacto con el pavimento durante 0.01 s y rebota hasta una altura de 10 m. ¿Cuál es el cambio total en su cantidad de movimiento? ¿Qué fuerza promedio actúa sobre la pelota? Para aplicar el teorema de impulso–momento, primero necesita encontrar las velocidades precisas antes y después del impacto con el suelo. (E p ) inicio = (E k ) suelo ; mgh o = !mv o 2 ; 2 0 0 2 2(9.8 m/s )(12 m) v gh = = v o = – 15.3 m/s !mv f 2 = mgh f ; 2 2(9.8 m/s )(10 m) f v = v f = + 14 m/s F!t = mv f – mv o ; F(0.01 s) = (0.4 kg)(14 m/s) – (0.4 kg)( –15.3 m/s); F = 1170 N *9-9. Un taco de billar golpea la bola ocho con una fuerza promedio de 80 N durante un tiempo de 12 m/s. Si la masa de la bola es de 200 g, ¿cuál será su velocidad? F!t = mv f – mv o ; (80 N)(0.012 s) = (0.2 kg)v f – 0; v = 4.80 m/s v f 10 m h f 12 m v o 104 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 9-10. Un jugador de golf golpea una pelota de 46 g con una velocidad inicial de 50 m/s a 30º. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la cantidad de movimiento que le ha impartido a la pelota? v x = (50) cos 30 0 = 43.3 m/s; v y = (50) sen 30 0 = 25.0 m/s p x = (0.046 kg)(43.3 m/s); p y = (0.046 kg)(25 m/s) p x = 1.99 kg m/s; p y = 1.15 m/s *9-11. El palo de golf del problema 9-10 está en contacto con la pelota durante 1.5 m/s. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza promedio sobre la pelota? Necesita tratar los impulsos y momentos horizontales y verticales por separado: Del problema anterior: p o = 0, p f = 1.99 kg m/s, p fy = 1.15 kg m/s F x !t = p fx – p ox =1.99 kg m/s; 1.99 kg m/s 0.0015 s x F = ; F x = 1330 N F x !t = p fx – p ox =1.15 kg m/s; 1.15 kg m/s 0.0015 s y F = ; F y = 767 N Conservación del momento 9-12. Una niña de 20 kg y un niño en patines están parados frente a frente. Se empujan entre ellos lo más fuerte que pueden y el niño se mueve a la izquierda con una velocidad de 2 m/s, mientras que la niña se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s. ¿Cuál es la masa del niño? La cantidad de movimiento es cero antes y después del evento. 0 + 0 = m g v g + m b v b (20 kg)(2 m/s) (3 m/s) g g b b m v m v ! ! = = ; v 1 = – 1.33 m/s v y v x 30 0 50 m/s 105 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 9-13. La masa del camión de juguete de la figura 9.8 es del triple de la masa del cochecito, y están unidos en su parte trasera por una cuerda y un resorte comprimido. Cuando el resorte se rompe, el cochecito se mueve a la izquierda a 6 m/s. ¿Cuál es la velocidad impartida al camión? La cantidad de movimiento es cero antes y después: 0 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ( 6 m/s) (3 ) c c T T m v m v m m ! ! ! = = ; 2.00 m/s, a la derecha T v = 9-14. Una persona de 70 kg, de pie sobre una superficie sin fricción, arroja un balón de futbol americano con una velocidad de 12 m/s. Si la persona se mueve hacia atrás a 34 cm/s, ¿cuál era la masa del balón? La cantidad de movimiento es cero antes y después: 0 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 1 2 2 (70 kg)(0.34 m/s) ( 12 m/s) m v m v ! ! = = ! ; m 2 = 1.98 m/s 9-15. Un niño que pesa 20 kg está en un carrito. Cuando el niño salta hacia adelante a 2 m/s, el carrito es lanzado hacia atrás a 12 m/s. ¿Cuál es la masa del carrito? 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; 2 2 1 1 (20 kg)(2 m/s) (-12 m/s) m v m v ! ! = = ; m 1 = –3.33 kg 9-16. Dos niños, cuyos pesos son de 80 lb y 50 lb, están inmóviles sobre sus patines. El mayor de ellos empuja al más pequeño y éste se aleja a 6 mi/h. ¿Cuál es la velocidad del niño mayor? 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; 2 2 1 1 (50 lb)(6 ft/s) (80 lb) m v v m ! ! = = ; v 1 = – 3.75 ft/s (Aquí se usa el peso porque es proporcional a la masa.) v 1 v 2 6 m/s 3m 106 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 9-17. Cuando un cohete de 60 g estalla, un trozo de 45 g es lanzado a la izquierda y el otro a la derecha, con una velocidad de 40 m/s. ¿Cuál es la velocidad del trozo de 45 g? Los dos trozos suman 60 g: m 1 + m 2 = 60 g; entonces, m 1 = 45 g, m 2 = 15 g 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; 2 2 1 1 (15 g)(40 m/s) (45 g) m v v m ! ! = = ; v 1 = – 13.3 m/s *9-18. Una bala de 24 g es disparada a una velocidad inicial de 900 m/s con un rifle de 5 kg. Halle la velocidad de retroceso del rifle. ¿Cuál es la razón entre la energía cinética de la bala y la del rifle? 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; 2 2 1 1 (24 g)(900 m/s) (5000 g) m v v m ! ! = = ; v 1 = – 4.32 m/s 2 2 2 2 ? (24 g)(900 m/s) ? (5000 g)(4.32 m/s) kb b b kr r r E m v E m v = = ; Razón = 208 *9-19. Una bola de boliche de 6 kg choca contra un bolo de 1.8 kg. Éste se mueve hacia adelante a 3 m/s y la pelota reduce su velocidad a 1.6 m/s. ¿Cuál era la velocidad inicial de la bola de boliche? m b u b + 0 = m b v b + m p v p ; (6 kg)u b = (6 kg)(1.6 m/s) + (1.8 kg)(3 m/s) 6u b = 9.6 m/s + 5.4 m/s; u b = 2.50 m/s *9-20. Un hombre que pesa 60 kg está de pie sobre un lago de hielo y atrapa una pelota de 2 kg. Tanto la pelota como el hombre se mueven a 8 cm/s después que éste atrapa la pelota. ¿Cuál era la velocidad de la pelota antes de ser atrapada? ¿Cuánta energía se perdió en el proceso? (Una colisión perfectamente inelástica: v c = v m = v b = 8 cm/s) m b u b + m m u m = (m b + m m )v c ; (2 kg)u b + 0 = (2 kg + 60 kg)(0.08 m/s) 2u b = 4.96 m/s; u b = 2.48 m/s !m b u b 2 + 0 =(m b + m m )v c 2 ; !(2 kg)(2.48 m/s) 2 = !(62 kg)(0.08 m/s) 2 + Pérdida Pérdida = 6.15 J – 0.198 J; Pérdida = 5.95 J 107 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-21. Una piedra de 200 g se mueve hacia el sur a 10 m/s y golpea un bloque de 3 kg que inicialmente estaba en reposo. (a) Si los dos se mantienen juntos después del choque, ¿cuál será su velocidad común? (b) ¿Qué cantidad de energía se perdió en el choque? m r u r + m b u b = (m r + m b )v c ; (0.2 kg)(10 m/s) + 0 = (0.2 kg + 3 kg)v c 2 m/s = 3.2 v c ; v c = 0.625 m/s !m r u r 2 + 0 =(m r + m b )v c 2 ; !(0.2 kg)(10 m/s) 2 = ! (3.2 kg)(0.625 m/s) 2 + Pérdida Pérdida =10.0 J – 0.625 J; Pérdida = 9.38 J Colisiones elásticas e inelásticas 9-22. Un automóvil que circulaba a 8 m/s choca contra otro de la misma masa que estaba detenido frente a un semáforo. ¿Cuál es la velocidad de los autos chocados inmediatamente después de la colisión, suponiendo que ambos se mantengan juntos? (u 1 = 8.00 m/s; u 2 = 0, m 1 = m 2 = m) mu 1 + mu 2 = (m + m)v c ; mu 1 = 2mv c 1 8 m/s 2 2 c u v = = ; v c = 4.00 m/s 9-23. Un camión de 2000 kg que viaja a 10 m/s choca contra un automóvil de 1200 kg que inicialmente estaba en reposo. ¿Cuál es la velocidad común después del choque si ambos se mantienen juntos? ¿Cuál es la pérdida en términos de energía cinética? m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 )v c ; (2000 kg)(10 m/s) + 0 = (2000 kg + 1200 kg)v c 20 000 m/s = 3200 v c ; v c = 6.25 m/s !m 1 u 1 2 + 0 =(m 1 + m 2 )v c 2 ; !(2000 kg)(10 m/s) 2 = !(3200 kg)(6.25 m/s) 2 + Pérdida Pérdida = 100 000 J – 62 500 J; Pérdida = 37 500 J 9-24. Un niño de 30 kg está de pie sobre una superficie sin fricción. Su padre le arroja un balón de futbol de 0.8 kg con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué velocidad tendrá el niño después de atrapar el balón? m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; (0.8 kg)(15 m/s) = (30 kg + 0.8 kg)v c (30.8 kg)v c = 12 m/s; v c =0.390 m/s 108 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-25. Un objeto de 20 g que se mueve hacia la izquierda a 8 m/s choca de frente con un objeto de 10 g que se desplaza hacia la derecha a 5 m/s. ¿Cuál será la velocidad combinada de ambos después del impacto? Parte (a). m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 )v c ; (20 g)( –8 m/s) + (10 g)(5 m/s) = (20 g + 10 g)v c –110 m/s = 30 v c ; v c = –3.67 m/s, a la izquierda Parte (b): Conservación de energía: !m 1 u 1 2 + !m 2 u 2 2 =!(m 1 + m 2 )v c 2 + Pérdida !(20 g)( –8 m/s) 2 + !(10 g)(5 m/s) 2 = !(30 g)( –3.67 m/s) 2 + Pérdida 765 J = 202 J + Pérdida; Pérdida = 563 J; % de pérdida = 563 J 765 J = 73.6% *9-26. Dos bolas de metal A y B suspendidas como se muestra en la figura 9-9, así que cada una toca a la otra. Las masas se indican en la figura. La bola A se jala hacia a un lado hasta que queda a 12 cm sobre su posición inicial y luego se deja caer. Si golpea la bola B en una colision completamente elástica, halle la altura h alcanzada por la bola B, suponiendo que la fricción sea cero. Primero use la conservación de la energía para A y encuentra u A antes de la colisión: 2 2 1 2 ; 2 2(9.8 m/s )(0.12 m); 1.53 m/s A A A A A mu mgh u gh u = = = = ± Considere positivo el miembro derecho, así u A = –1.53 m/s, u B = 0, y h = 0.12 m Elástica (e = 1): - ( 1.53 m/s) 0; 1.53 m/s B A A B B A v v u u v v = ! = ! ! ! = ! Puesto que necesita conocer v B , lo encuentra en v A : v A = v B + 1.53 m/s Ahora, use la conservación del movimiento de la colisión elástica y obtiene ; 0, 1.53 m/s A A B B A A B B B A m u m u m v m v u u + = + = = (1.4 kg) (2 kg) (1.4 kg)( 1.53 m/s) + 0; 1.4 2 2.14 m/s A B A B v v v v + = ! + = ! Sustituya para v A , usando la ecuación subrayada, para encontrar que 1.4( v B + 1.53 m/s) + 2v B = –2.14 m/s; o v B = –1.26 m/s Al final, aplique la conservación de energía a B para encontrar la altura h. 2 2 2 1 2 2 ( 1.26 m/s) ; ; 0.0810 m or 8.10 m 2 2(9.8 m/s ) A B A B v mgh mv h h h g ! = = = = = 109 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-27. Un bloque de barro de 2 kg está unido al extremo de una cuerda como indica la figura 9-9. Una bola de acero de 500 g se incrusta en el barro y ambos se elevan juntos hasta una altura de 20 cm. Halle la velocidad a la cual se incrustó la bola. Antes de aplicar la conservación del momento, debe conocer la velocidad común de la arcilla y la bola tras la colisión. La energía se conserva: !(m 1 + m 2 ) v c 2 = (m 1 + m 2 ) gh 2 2 2(9.8 m/s )(0.20 m) c v gh = = ; v c = 1.98 m/s m 1 u 1 + 0 = (m 1 + m 2 ) v c ; (0.5 kg) u 1 = (0.5 kg + 2 kg)(1.98 m/s) (0.5 kg)u 1 = 4.95 m/s; u 1 = 9.90 m/s *9-28. En el problema 9-27, suponga que la bola de 500 g atraviesa por completo el barro y sale del otro lado con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál fue la nueva velocidad de entrada si el bloque se elevó a la misma altura anterior de 20 cm? Debe encontrar la velocidad v 2 de la arcilla después de la colisión: !(m 1 + m 2 ) v 2 2 = (m 1 + m 2 ) gh 2 2 2(9.8 m/s )(0.20 m) c v gh = = ; v 2 = 1.98 m/s; La cantidad de movimiento se conserva: m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; (0.5 kg)u 1 = (0.5 kg)(10 m/s) + (2 kg)(1.98 m/s); u 1 = 17.9 m/s *9-29. Una bala de 9 g está incrustada en un péndulo balístico de 2.0 kg (véase la figura 8-13). ¿Cuál fue la velocidad inicial con que se incrustó la bala si ambas masas combinadas se elevan hasta una altura de 9 cm? !(m 1 + m 2 ) v c 2 = (m 1 + m 2 ) gh 2 2 2(9.8 m/s )(0.09 m) c v gh = = ; v c = 1.33 m/s m 1 u 1 + 0 = (m 1 + m 2 ) v c ; (0.009 kg) u 1 = (0.009 kg + 2 kg)(1.33 m/s) (0.009 kg)u 1 = 2.68 m/s; u 1 = 297 m/s h h 10 m/s 110 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-30. Una bola de billar lanzada hacia la izquierda a 30 cm/s choca de frente con otra que se movía a la derecha a 20 cm/s. La masa es la misma. Si el choque es completamente elástico, ¿cuál será la velocidad de cada una tras el impacto? (Considere + hacia la derecha.) Cantidad de movimiento: m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 Dado que: m 1 = m 2 = m, v 1 = –-30 cm/s, v 2 = 0 m(–30 cm/s) + 0 = mv 1 + mv 2 ; v 1 + v 2 = (–30 cm/s) + (20 cm/s); v 1 + v 2 = –10 cm/s Energía (e = 1): v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = (–30 cm/s) – (20 cm/s); v 2 – v 1 = – 50 cm/s De la segunda ecuación: v 2 = v 1 – 50 cm/s; Sustituyendo por v 2 , obtiene: v 1 + (v 1 – 50 cm/s) = – 10 cm/s; y v 1 = 20 cm/s, derecha Y, v 2 = v 1 – 50 cm/s = (20 cm/s) – 50 cm/s; v 2 = –30 cm/s, izquierda 9-31. El coeficiente de restitución del acero es 0.90. Si una bola de acero se deja caer desde una altura de 7 m, ¿hasta qué altura rebotará? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; (7 m)(0.9) h h e e h h e h h = = = = ; h 2 =5.67 m *9-32. ¿Cuánto tiempo transcurre entre el primer contacto con la superficie y el segundo contacto con ella en el problema 9-31? (Necesita conocer v 0 para elevarse a 5.67 m, y después encontrar t.) 2 2 0 0 ? ; v 2 2(9.8 m/s )(5.67 m) mv mgh gh = = = ; v o = 10.54 m/s 0 2 2(5.67 m) ; 2 0 10.54 m/s f o v v s s t t v + = = = + ; t = 1.07 s; T = 2t; T = 2.15 s h 2 h 1 7 m 111 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-33. Una pelota que se deja caer desde una posición de reposo sobre una placa horizontal fija rebota hasta una altura igual a 81% de su altura original. ¿Cuál es el coeficiente de restitución? ¿Cuál debió ser la velocidad en el primer impacto para que la pelota pudiera rebotar hasta una altura de 8 m? 2 1 0.81; h e h = = e = 0.900 2 1 1 2 v v e u u ! = ! ; v 2 = u 2 = 0; 1 1 1 1 1 ; (0.9) v v v e u u e ! ! ! = = = ; u 1 = –1.11v 1 2 2 1 1 ? ; v 2 2(9.8 m/s )(8 m) mv mgh gh = = = ; v 1 = –12.5 m/s u 1 = –1.11v 1 ; u 1 = –1.11(–12.5 m/s); u 1 = 13.9 m/s *9-34. Un bloque de 300 g que se mueve hacia el norte a 50 cm/s choca contra otro de 200 g que se desplaza hacia el sur a 100 cm/s. Si el choque fue completamente inelástico, ¿cuál es la velocidad común de los bloques en cuanto empiezan a desplazarse juntos? ¿Cuál es la pérdida de energía? (Considere el norte como positivo.) Cantidad de movimiento: m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; v 1 = v 2 = v c para colisiones inelásticas (300 g)(50 cm/s) + (200 g)( –100 cm/s) = (300 g + 200 g)v c 15 000 g cm/s – 20 000 g cm/s = (500 g)v c ; v c = –10 cm/s, sur (Nota: Cuando se trabaja con energía es necesario usar kg para la unidad de masa.) Conservación de energía: !m 1 u 1 2 + !m 2 u 2 2 =!(m 1 + m 2 )v c 2 + Pérdida !(0.3 kg)(-8 m/s) 2 + !(0.2 kg)(5 m/s) 2 = !(0.3 kg + 0.2 kg)(-3.67 m/s) 2 + Pérdida Al resolver para “pérdida” se obtiene Pérdida = 0.135 J + h 1 h 2 112 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-35. Suponga que el choque descrito en el problema 9-34 es perfectamente elástico. ¿Cuáles serán las velocidades después del impacto? m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; m 1 = 300 g, m 2 = 200 g, u 1 = 50 cm/s, u 2 = – 100 cm/s (300 g)(50 cm/s) + (200 g)( –100 cm/s) = (300 g)v 1 + (200 g)v 2 Dividiendo cada término entre 100 g: 3 v 1 + 2 v 2 = –50 cm/s Energía (e = 1): v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = (50 cm/s) – (–100 cm/s); v 2 – v 1 = 150 cm/s Sustituya v 2 = v 1 + 150 cm/s en la primera ecuación y resuelva parar v 1 : 3 v 1 + 2 (v 1 + 150 cm/s) = – 50 cm/s; v 1 = –80 cm/s, a la izquierda v 2 – (–80 cm/s) = 150 cm/s; v 2 = 70 cm/s, a la derecha *9-36. Un objeto de 5 kg y otro de 12 kg se aproximan entre sí a velocidades iguales de 25 m/s. ¿Cuáles serán sus velocidades después del impacto si el choque fue (a) completamente inelástico o (b) completamente elástico? Cantidad de movimiento: m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; v 1 = v 2 = v c choque inelástico (5 kg)(25 m/s) + (12 kg)( –25 m/s) = (5 kg + 12 kg)v c ; v c = –10.3 m/s Caso elástico: (5 kg)(25 m/s) + (12 kg)( –25 m/s) = (5 kg)v 1 + (12 kg)v 2 ; Dividiendo cada término entre 5 kg: v 1 + 2.4 v 2 = –35 m/s Energía (e = 1): v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = (25 m/s) – (–25 m/s); v 2 – v 1 = 50 m/s Sustituya v 1 = v 2 – 50 m/s en la primera ecuación y resuelva para v 1 : (v 2 – 50 m/s) + 2.4 v 2 = – 35 m/s; v 2 = 4.41 m/s v 1 = v 2 – 50 m/s = 4.41 m/s – 50 m/s; v 1 = –45.6 m/s 113 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Problemas adicionales 9-37. Una fuerza promedio de 4000 N actúa sobre un trozo de metal de 400 g que estaba en reposo y le imprime un movimiento con velocidad de 30 m/s. ¿Cuál fue el tiempo de contacto en lo que se refiere a esta fuerza? F !t = mv f – mv o = (0.4 kg)(30 m/s) – 0; (4000 N)!t = 12 kg m/s; !t = 3.00 ms *9-38. Un objeto de 600 g cuya velocidad es inicialmente de 12 m/s choca contra una pared y rebota con la mitad de su energía cinética original. ¿Cuál fue el impulso que recibió de la pared? !mv 0 2 = 2(!mv f 2 ) ; 2 2 0 (12 m/s) ; 8.49 m/s 2 2 f f v v v = = = ! F !t = mv f – mv o = (0.6 kg)( –2.45 m/s) – (0.6 kg)(12 m/s); F !t = –12.3 N m *9-39. Un bloque de 10 kg que descansa sobre una superficie horizontal es golpeado por un proyectil balístico de 20 g que se mueve a 200 m/s. La bala atraviesa totalmente el bloque y sale de él a una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál es la velocidad del bloque? m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; m 1 = 0.02 kg (0.02 kg)(200 m/s) = (0.02 kg)(10 m/s) + (10 kg)v 2 ; v 2 = 0.380 m/s 9-40. ¿Cuánta energía cinética se perdió en el problema 9-39? Conservación de energía: !m 1 u 1 2 + 0 = m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 + Pérdida !(0.2 kg)(200 m/s) 2 = !(0.2 kg)(10 m/s) 2 + !(10 kg)(0.380 m/s) 2 + Pérdida Resolviendo para “pérdida” se obtiene: Pérdida =3990 J v 2 = ? v 1 = 10 m/s 114 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-41. Un cuerpo de 60 g que se mueve hacia la derecha con una velocidad inicial de 100 cm/s choca con un cuerpo de 150 g que se movía hacia la izquierda a 30 cm/s. El coeficiente de restitución es de 0.8. ¿Cuáles son las velocidades de ambos después del impacto? ¿Qué porcentaje de la energía se ha perdido en el impacto? m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; m 1 = 60 g, m 2 = 150 g, u 1 = 100 cm/s, u 2 = – 30 cm/s (60 g)(100 cm/s) + (150 g)( –30 cm/s) = (60 g)v 1 + (150 g)v 2 Divida cada término entre 60 g y simplifique: v 1 + 2.5 v 2 = 25 cm/s v 2 – v 1 = e(u 1 – u 2 ); v 2 – v 1 = 0.8[100 cm/s – (–30 cm/s)]; v 2 – v 1 = 104 cm/s Resolviendo para v 1 : v 1 = v 2 – 104 cm/s. Ahora sustituya para v 2 : (v 2 – 104 cm/s) + 2.5 v 2 = 25 cm/s; v 2 = 36.9 cm/s, a la derecha v 1 = v 2 – 104 cm/s = (36.9 cm/s) – 104 cm/s; v 1 = –67.1 cm/s, a la izquierda Conservación de energía: !m 1 u 1 2 + !m 2 u 2 2 = m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 + Pérdida Para la energía debe usar unidades del SI con la masa en “kg” y velocidad en ”m/s.” E ok = !(0.06 kg)(1 m/s) 2 + !(0.15 kg)( –0.3 m/s) 2 ; E ok = 0.03675 J E fk = – (0.06 kg)( –0.671 m/s) 2 + !(0.15 kg)(0.369 m/s) 2 ; E fk = 0.0237 J 0.03675 J - 0.0237 J %Pérdida 100 100 0.03675 J ok fk ok E E E ! " # " # = = $ % $ % & ' & ' % Pérdida = 35.5% *9-42. El bloque de la figura 9-10 pesa 1.5 kg. ¿Qué altura alcanza dicho bloque si es golpeado por un proyectil de 40 g que se incrusta en él con una velocidad inicial de 80 m/s? Conservación de movimiento: m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; (0.04 kg)(80 m/s) = (0.04 kg + 1.5 kg)v c v c = 2.08 m/s Ahora encuentre h usando la conservación de la energía y lavelocidad inicial común v c : !(m 1 + m 2 ) v c 2 = (m 1 + m 2 ) gh ; Las masas divididas. 2 2 2 (2.08 m/s) 2 2(9.8 m/s ) c v h g = = ; h = 0.220 m; h = 22.0 cm h 115 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-43. Un vagón desenganchado se desplaza hacia el norte a 10 m/s y golpea dos vagones idénticos, enganchados entre sí, que inicialmente se movían al sur a 2 m/s. Si los tres vagones quedan enganchados después de la colisión, ¿cuál será su velocidad común? m 1 = m 2 = m 3 = m; u 1 = 10 m/s; u 2 = u 3 = –2 m/s; v 1 = v 2 = v 3 =v c Conservación de movimiento se conserva: mu 1 + m(u 2 + u 3 ) = (3m)v c (Las masas divididas.) 10 m/s – 2 m/s – 2 m/s = 3 v c ; v c = 2.00 m/s, norte *9-44. Una partícula atómica cuya masa es de 2.00 " 10 #27 kg se desplaza con una velocidad de 4.00 " 10 6 m/s y choca de frente con una partícula de masa 1.20 " 10 #27 kg que estaba en reposo. Si supone que el choque fue completamente elástico, ¿cuál fue la velocidad de la partícula incidente después de dicho impacto? m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; m 1 = 2 " 10 #27 kg, m 2 = 1.2 " 10 #27 kg, u 1 = 4 "10 6 m/s (2 " 10 #27 kg)( 4 " 10 6 m/s) = (2 " 10 #27 kg)v 1 + (1.2 " 10 #27 kg )v 2 Divida cada término entre 2 " 10 #27 kg: v 1 + 0.6 v 2 = 4 " 10 6 m/s Energía (e = 1): v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = 4 " 10 6 m/s – 0 ; v 2 – v 1 = 4 " 10 6 m/s Sustituya v 2 = ( v 1 + 4 " 10 6 m/s) en la ecuación anterior y resuelva para v 1 : v 1 + 0.6 (v 1 + 4 " 10 6 m/s) = 4 " 10 6 m/s; v 1 = 1.00 " 10 6 m/s *9-45. Un bate golpea una pelota de softbol de 400 g con movimiento horizontal hacia la izquierda a 20 m/s. La pelota sale del bate, con una velocidad de 60 m/s, a un ángulo de 30º respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical del impulso impartido a la pelota? Primero encuentre las componentes de la velocidad: v 1x = – 20 m/s; v 1y = 0 v 2x = (60 cos 30 0 ) = 52.0 m/s; v 2y = (60 sen 30 0 ) = 30 m/s F x !t = J = mv 2x – mv 1x ; J x = (0.4 kg)(52.0 m/s) – (0.4 kg)( –20 m/s); J x = 28.8 N s F y !t = J = mv 2y – mv 1y ; J y = (0.4 kg)(30 m/s) – 0 ; J y = 12.0 N s v 1x -20 m/s v 2y v 2x 30 0 60 m/s 116 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-46. El bate del problema 9-45 estuvo en contacto con la pelota durante 5 ms, ¿cuál fue la magnitud de la fuerza promedio sobre la pelota de softball? x 28.8 N s 5760 N 0.005 s F = = ; y 12.0 N s 2400 N 0.005 s F = = 2 2 2 2 (5760 N) (2400 N) x y F F F = + = + ; F = 6240 N *9-47. El carrito A tiene una masa de 300 g y se desplaza en una pista neumática sin fricción a 1.4 m/s cuando golpea al carrito B que estaba en reposo. El choque es completamente elástico y la velocidad del carrito de 300 g se reduce a 0.620 m/s después del choque. ¿Cuál era la masa del otro carrito y cuál fue su velocidad después del choque? m 1 = 300 g; u 1 = 1.4 m/s; v 1 = 0.620 m/s m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; (300 g)(1.4 m/s) = (300 g)(0.620 m/s) + m 2 v 2 m 2 v 2 = 234 g m/s; Colisión elástica: v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = (1.4 m/s) – 0 v 2 = v 1 + 1.4 m/s = 0.620 m/s + 1.4 m/s; v 2 = 2.02 m/s 2 2 2 234 g m/s 234 g m/s; m 2.02 m/s m v = = m 2 = 116 g *9-48. En la figura 9-11, suponga que el choque de las dos masas es completamente inelástico. ¿Cuál será la velocidad común después del choque y cuál es la razón entre la energía cinética final y la energía cinética inicial? m 1 u 1 + 0 = (m 1 + m 2 )v c ; u 1 = 15 m/s (1 kg)(15 m/s) + 0 = (1 kg + 2 kg)v c v c = 5.00 m/s 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 ? ( ) (3 kg)(5 m/s) ? (1 kg)(15 m/s) k c k E m m v E m u + = = ; Razón = 0.333 15 m/s 2 kg 1 kg 117 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-49. Suponga que el choque del problema 9-48 fue completamente elástico. ¿Cuál es la velocidad de cada una de las masas después del choque? Elástica: m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 y v 2 – v 1 = u 1 – u 2 (1 kg)(15 m/s) = (1 kg)v 1 + (2 kg)v 2 ; v 1 + 2v 2 = 15 m/s ; v 1 = 15 m/s – 2 v 2 v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = (15 m/s) – 0; v 2 = 15 m/s + v 1 v 2 = 15 m/s + (15 m/s – 2v 2 ); v 2 = 10 m/s ; v 1 = 15 m/s – 2(10 m/s ) = –5 m/s v 1 = –5 m/s y v 2 = 10 m/s *9-50. Una masa de 2 kg se mueve a la derecha a 2 m/s y choca con una masa de 6 kg que se mueve a la izquierda a 4 m/s. Si el choque es completamente inelástico, ¿cuál es la velocidad común de las dos masas después de chocar y cuánta energía se perdió en el impacto? Cantidad de movimiento: m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; v 1 = v 2 = v c para choque inelástico (2 kg)(2 m/s) + (6 kg)( –4 m/s) = (2 kg + 6 kg)v c 4 kg m/s – 24 kg m/s = (8 kg)v c ; v c = –2.50 m/s Conservación de energía: !m 1 u 1 2 + !m 2 u 2 2 = !(m 1 + m 2 )v c 2 + Pérdida !(2 kg)(2 m/s) 2 + !(6 kg)( –4 m/s) 2 = !(2 kg + 6 kg)( –2.50 m/s) 2 + Pérdida Resolviendo para “pérdida” se obtiene: Pérdida = 27.0 J **9-51. En el problema 9-50, suponga que el choque es completamente elástico. ¿Cuáles son las velocidades después del choque? m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; m 1 = 2 kg, m 2 = 6 kg, u 1 = 2 m/s, u 2 = – 4 m/s (2 kg)(2 m/s) + (6 kg)( –4 m/s) = (2 kg)v 1 + 6 kg)v 2 Dividiendo cada término para 2 kg: v 1 + 3 v 2 = –10 m/s Energía (e = 1): v 2 – v 1 = u 1 – u 2 = (2 m/s) – (–4 m/s); v 2 – v 1 = 6 m/s Sustituya v 2 = v 1 + 6 m/s en la ecuación anterior y resuelva para v 1 : v 1 + 3(v 1 + 6 m/s) = – 10 m/s; v 1 = –7.00 m/s v 2 – (–7.00 m/s) = 6 m/s; v 2 = –1.00 m/s 118 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados Preguntas para la reflexión crítica *9-52. Un astronauta que sale de una cápsula en órbita utiliza un revólver para controlar su movimiento. Con todo su equipo, el astronauta pesa 200 lb en la Tierra. Si el revólver dispara balas de 0.05 lb a 2700 ft/s y el astronauta ha disparado 10 tiros, ¿cuál es la velocidad final de dicho astronauta? Compare la energía cinética final de las 10 balas con la del astronauta. ¿Por qué es tan considerable la diferencia? 0 + 0 = W a v a + W b v b ; (0.05 lb)(2700 ft/s) 200 lb b b a a W v v W ! ! = = ; v a = –0.675 ft/s Cada disparo cambia v a por –0.675 m/s: v f = 10(0.675 m/s); v f = – 6.75 ft/s Necesita masas: 2 0.05 lb 0.00156 slugs 32 ft/s b m = = ; 2 200 lb 6.25 slugs 32 ft/s b m = = E kb = 10 (!mv b 2 ) = (5)(0.00156 slugs)(2700 ft/s) 2 ; E kb = 56 950 ft lb E ka = !m a v a 2 = !(6.25 slugs)(6.75 ft/s) 2 ; E ka = 142 ft lb La energía cinética de las balas es mucho mayor debido a que al encontrar la energía cinética, debe tratar con el cuadrado de la velocidad. Las velocidades dominan. *9-53. Al aplicar la conservación de la cantidad de movimiento para hallar la velocidad final de objetos en colisión, ¿se podría usar el peso de los objetos en lugar de la masa de los mismos? ¿Por qué sí o por qué no? Compruebe su respuesta aplicándola a alguno de los ejemplos de este texto. Puesto que el peso es proporcional a la masa: W = mg, y como la masa aparece en todo término que comprende la conservación del momento, se puede usar el peso en lugar de la masa para calcular sea velocidades o pesos de objetos que entran en colisión. Por ejemplo vea el problema 9-36. m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 1 2 1 2 1 2 1 2 W W W W u u v v g g g g + = + W 1 u 1 + W 2 u 2 = W 1 v 1 + W 2 v 2 119 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-54. Una bala de 20 g que se mueve a 200 m/s golpea un bloque de madera de 10 kg, lo atraviesa por completo y sale del otro lado con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál era la velocidad del bloque después del impacto? ¿Cuánta energía se perdió? m 1 u 1 + 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 (0.020 kg)(200 m/s) = (0.020 kg)(10 m/s) + (10 kg)v 2 ; v 2 = 0.380 m/s Conservación de energía: !m 1 u 1 2 + 0 = !(m 1 + m 2 )v c 2 + Pérdida !(0.02 kg)(200 m/s) 2 = !(10.02 kg)(0.38 m/s) 2 + Pérdida Pérdida = 399 J *9-55. Una pelota de béisbol de 0.30 kg se mueve horizontalmente a 40 m/s cuando es golpeada por un bate. Si la pelota está en contacto con el bate durante un periodo de 5 ms y se separa de él a una velocidad de 60 m/s, en un ángulo de 30º, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza promedio que actúa sobre el bate? Primero encuentre las componentes de velocidad: v 1x = – 20 m/s; v 1y = 0 v 2x = (60 cos 30 0 ) = 52.0 m/s; v 2y = (60 sen 30 0 ) = 30 m/s F x !t = mv 2x – mv 1x = (0.3 kg)(52.0 m/s) – (0.3 kg)( –40 m/s); F x (0.005 s) = 27.6 N s ; F x = 5520 N F y !t = mv 2y – mv 1y = (0.3 kg)(30 m/s) – 0 ; F y (0.005 s) = 9.00 N s; F y = 1800 N *9-56. Cuando dos masas chocan producen impulsos iguales, pero en direcciones opuestas. Las masas no cambian en el choque, por lo cual el cambio registrado en la cantidad de movimiento de una de ellas debe ser igual al cambio registrado en la otra, pero con signo negativo. ¿Es válida esta afirmación independientemente de que el choque sea elástico o inelástico? Compruebe su respuesta con los datos de los problemas 9-50 y 9-51. v 1x -40 m/s v 2y v 2x 30 0 60 m/s 120 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados El momento se conserva independientemente de que en la colisión se pierda o no energía. Por lo consiguiente impulsos iguales pero opuestos siempre deben producir cambios iguales, pero opuestos en el momento. Prob. 9-50: La prueba es si: m 1 v 1 – m 1 u 1 = – ( m 2 u 2 – m 2 v 2 ); v 1 = v 2 = –2.5 m/s (2 kg)(–2.50 m/s) – (2 kg)(2 m/s) = –[(6 kg )(–2.50 m/s) – (6 kg)(–4 m/s)] – 9 kg m/s = – 9 kg m/s. Funciona para colisiones inelásticas. Prob. 9-51: La misma prueba: m 1 v 1 – m 1 u 1 = –( m 2 v 2 – m 2 u 2 ); v 1 = –7 m/s; v 2 = –1 m/s (2 kg)(–7 m/s) – (2 kg)(2 m/s) = –[(6 kg )(–1 m/s) – (6 kg)(–4 m/s)] – 18 kg m/s = – 18 kg m/s. También funciona par alas colisiones elásticas. *9-57. Dos coches de juguete con masas m y 3m se aproximan uno al otro a la misma velocidad de 5 m/s. Si continúan moviéndose unidos, ¿cuál será su rapidez común después del impacto? ¿Cuáles serán las velocidades de los coches si el choque fue completamente elástico? (m 1 = m, m 2 = 3m, u 1 = 5 m/s, u 2 = – 5 m/s) m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 ) v c ; m(5 m/s) + 3m(–5 m/s) = (m + 3m) v c –10 m/s = 4 v c ; v c = –2.50 m/s para el caso inelástico m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ; m(5 m/s) + 3m(–5 m/s) = mv 1 + 3mv 2 v 1 + 3v 2 = –10 m/s Ahora para el elástico: v 2 – v 1 = u 1 – u 2 v 2 – v 1 = 5 m/s – (–5 m/s) = 10 m/s; v 1 = v 2 – 10 m/s (v 2 – 10 m/s) + 3 v 2 = -10 m/s; v 2 = 0 v 1 = (0) – 10 m/s = – 10 m/s; v 1 = –10 m/s 121 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 9 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados *9-58. Una bala de 8 g es disparada en dirección horizontal contra dos bloques que descansan sobre una superficie sin fricción. El primer bloque tiene una masa de 1 kg y el segundo de 2 kg. La bala atraviesa el primer bloque y se aloja dentro del segundo. Después de esos choques, el bloque de 1 kg se mueve a una velocidad de 1 m/s y el bloque de 2 kg se mueve a 2 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la bala antes y después de salir del primer bloque? Momento total al inicio = momento total al final (0.008 kg) v 1 = (1 kg)(1 m/s) + (2.008 kg)(2 m/s); v 1 = 627 m/s Para encontrar la velocidad emergente de la masa de 1 kg, aplique la conservación solamente al primer bloque: (0.008 kg)(627 m/s) = (0.008 kg)v e + (1 kg)(1 m/s); v e = 502 m/s *9-59. Una masa A de 1 kg está unida a un soporte por medio de una cuerda de 80 cm de longitud y está sostenida horizontalmente como se indica en la figura 9-12. Cuando esta masa se suelta, oscila hacia abajo y golpea la masa B de 2 kg, la cual está en reposo sobre una mesa sin fricción. Suponiendo que el choque haya sido completamente elástico, ¿cuál es la velocidad de cada una de las masas inmediatamente después del impacto? Primero encuentre u A a partir de la energía de la caída: !mv 2 = mgh 2 2 2(9.8 m/s )(0.8 m) v gh = = ; v = 3.96 m/s m A u A + 0 = m A v A + m B v B ; m A = 1 kg; u A = 3.96 m/s (1 kg)(3.96 m/s) = (1 kg)v A + (2 kg) v B v A + 2 v B = 3.96 m/s; elástica: v B – v A = u A – u B = 3.96 m/s – 0 v B – v A = 3.96 m/s; v A = v B – 3.96 m/s; sustituya para v A en la otra ecuación. (v B – 3.96 m/s) + 2 v B = 3.96 m/s; de la cual: v B = 2.64 m/s v A = v B – 3.96 m/s = 2.64 m/s – 3.96 m/s; v A = –1.32 m/s 8 g 2 m/s 1 m/s 2 kg 1 kg m A = 2 kg m B = 2 kg L = 80 cm