Capítulo 5.Momento de torsión y equilibrio rotacional Conversión de unidades 5-1. Dibuje el brazo del momento de la fuerza F sobre un eje en el punto A de la figura 5-11a. ¿Cuál es la magnitud del brazo del momento? Se dibujan perpendiculares a la línea de acción: rA = (2 ft) sen 250 rA = 0.845 ft rA A 250 2 ft 3 ft B r B F 250 5-2. Calcule el brazo del momento sobre el eje B de la figura 5-11a. (Véase la figura anterior.) rB = (3 ft) sen 250 rB = 1.27 ft 5-3. Calcule el brazo del momento si el eje de rotación está en el punto A de la figura 5-11b. ¿Cuál es la magnitud del brazo del momento? rB = (2 m) sen 60 0 F rB = 1.73 m 2m A 600 300 5m B rB 5-4. Halle el brazo del momento en el eje B de la figura 5-11b. rB = (5 m) sen 300 rB = 2.50 m rA Momento de torsión 5-5. Si la fuerza F de la figura 5-11a es igual a 80 lb, ¿cuál es el momento de torsión resultante en el eje A (ignore el peso de la varilla)? ¿Cuál es el del eje B? Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que τA es – y τB es +. (a) τA = (80 lb)(0.845 ft) = –67.6 lb ft (b) τB = (80 lb)(1.27 ft) = +101 lb ft 5-6. La fuerza F ilustrada en la figura 5-11b es de 400 N y el peso del hierro del ángulo es insignificante. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno de los ejes A y B? Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que τA es – y τB es +. (a) τA = (400 N)(1.732 m) = +693 N m; (b) τB = (400 N)(2.50 m) = –1000 N m 39 Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados 60 m) sen θ para todos los ángulos: (a) τ = 120 N m (b) τ = 60 N m (b) τ = 104 N m (d) τ = 0 θ θ 5-9.40 m) τ = 260 N m 5-10. 4m 30 N 15 N 2m 3m A 20 N 40 Tippens. A r 60 cm 200 N τ = (200 N) (0. Se aplica a la correa una fuerza de 60 N. Los pedales giran con un radio de 40 cm. F τ = (60 N)(0.00 N m 5-8. en sentido contrario al reloj. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.10 m) = +6. Una correa corre en dos poleas. La de tracción: 10 cm de diámetro. (b) 60º. La varilla liviana de la figura 5-12 tiene 60 cm de longitud y gira libre alrededor del punto A. ¿cuál es el momento de torsión máximo? τ = (250 N)(0.5-7. Si la tensión en la parte superior de la correa es de 50 N en el borde de cada polea. 7e. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en A de la figura 5-13? Ignore la barra.10 m) = 5 N m Torsión a la salida = (50 N)(0. Στ = +(30 N)(6 m) . Derechos reservados . la de salida un diámetro de 20 cm. si el ángulo θ es de (a) 90º. Una persona que pesa 650 N decide pasear en bicicleta. Una correa de cuero enrollada en una polea de 20 cm de diámetro. Física. ¿cuáles son los momentos de torsión de entrada y de salida? Torsión a la entrada = (50 N)(0. Si todo el peso actúa en cada movimiento descendente del pedal. (c) 30º y (d) 0º. Cap.20 m) = 10 N m Momento de torsión resultante 5-11. Halle la magnitud y el signo del momento de torsión provocado por la fuerza de 200 N.0 N m. ¿Cuál es el momento de torsión en el centro del eje? r = ½D = 10 cm.(15 N)(2 m) – (20 N)(3 m) τ = 90. Manual de soluciones. Στ = +(30 N)(0) + (15 N)(4 m) – (20 N)(9 m) A 4m 30 N 15 N 2m 3m 20 N τ = –120 N m. Suponga que retira el peso de 150 N de la rueda más pequeña de la figura 5-14. Derechos reservados . P = 100 N 2m P 0 5m B rB 300 5-14.7 N m 0 B 20 cm 80 N 60 cm 160 N 400 τR = 45.30 m. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.30 m) – W (0. 7e.7 N m – 16. Física.7 N m 5-17. Στ = – (80 N)(0. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno de un eje central con los pesos ahí indicados? r1 = ½(60 cm) = 0. contra reloj 5-15. r2 = ½(30 cm) = 0. ¿Qué fuerza horizontal se aplica en el punto A de la figura 5-11b para que el momento de torsión resultante en B sea igual a cero si la fuerza F = 80 N? F = 80 N τ = P (2 m) – (80 N)(5 m) (sen 30 ) = 0 2 P = 200 N. Manual de soluciones. figura 5-14.5-12.60 m) sen 40 – (80 N)(0. Halle el momento de torsión resultante de C en la figura 5-15.20 m) = –16 N m 20 cm A r 400 C 80 N 60 cm 160 N r 400 C 41 Tippens. W = 400 N 5-16.5 N m. Calcule el momento de torsión resultante de la esquina A.5 N m.0 N m = 45. Calcule el momento de torsión resultante en la figura 5-13 si el eje se mueve hasta el extremo izquierdo de la barra.20 m) Στ = 61. Στ = +(160 N)(0. Cap.15 m) = 0.15 m) = 37.15 m τ = (200 N)(0.30 m) – (150 N)(0. τ = 37. ¿Qué nuevo peso puede colgar para obtener un momento de torsión resultante de cero? τ = (200 N)(0. Dos ruedas de 60 cm y 20 cm de diámetro giran sobre el mismo eje. en sentido contrario al reloj. 5-13. 5 m 2.6 m) = 37. ¿Cuáles son las fuerzas ascendentes para cargarlo? Στ = A (0) – (800 N)(1. Un poste de 4 m usado por dos cazadores para cargar un venado de 800 N que cuelga a N 50 1..5 m 800 N B 42 Tippens. Física. La regla se balancea sobre un solo apoyo en su punto medio. Cap.5 m del extremo izquierdo. 7e. En una regla se colocan pesas de 10 N. 20 N y 30 N en las marcas de 20. donde se le aplica un peso de 50 N.2 m) + (103 N)(0. Manual de soluciones. 5-20. Una regla de material uniforme se ha equilibrado en su punto medio en un punto de apoyo. 0 B 20 cm Fy = 160 sen 40 0 80 N 60 cm 160 N Fy 400 Στ = – (123 N)(0. Una pesa de 60 N cuelga a 30 cm. (60 N)(20 cm) – (40 N)x = 0 40 x = 1200 N cm o x = 30 cm: 60 N 20 cm x 40 N El peso debe colgar en la marca de 80 cm.*5-18. A = 500 N Eje A 1. ¿En qué punto habrá que agregar una pesa de 5 N para obtener el equilibrio? Στ = (10 N)(30 cm) + (20 N)(10 cm) – (30 N)(10 cm) – (5 N) x = 0 5 x = (300 + 200 –300) o x = 40 cm 10 N 20 N 30 N 5N 10 cm 30 cm x El peso de 5 N debe estar a los 90 cm. 40 y 60 cm. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.7 N F 6m 2m 5-22. Halle el momento de torsión resultante del eje B. Fx = 160 cos 40 . Una tabla de 8 m con peso despreciable está sostenida a 2 m del extremo derecho.2 N m Fx Equilibrio 5-19.5 m) + B (4.0 m) = 0 4B = 1200 N o B = 300 N ΣFy = A + B – 800 lb = 0.) Στ = 0. ¿Qué fuerza descendente se tendrá que ejercer en el extremo izquierdo para alcanzar el equilibrio? Στ = 0: F (6 m) – (50 N)(2 m) = 0 6 F = 100 N m o F = 16. Derechos reservados . 5-21. ¿En qué punto debe colgar una pesa de 40 N para equilibrar el sistema? (El peso de 60 N está a 20 cm del eje. Halle las fuerzas F y A considerando que el sistema está en equilibrio.5 lb + 110 lb. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes A y B? ΣτΑ = B (11 m) – (60 N)(3 m) – (40 N)( 9 m) = 0. Στ = (80 N)(1. 5-26. B = 49. Halle las fuerzas que ejerce en cada extremo un tractor de 1600 N a 8 m del extremo izquierdo. F = 6.667 ft) = 4 lb ft.7 N F = 107 N. ¿qué fuerza debe aplicar a la correa? R = ½(16 in) = 8 in R = (8/12 ft) = 0.1 N ΣFy = A + B – 40 N – 60 N = 0 B = 50.20 m) – F (0. Manual de soluciones. Un puente pesa 4500 N. Suponga que la barra de la figura 5-16 tiene un peso despreciable. ¿Cuáles deben ser las fuerzas F1 y F2 para lograr el equilibrio en la figura 5-17? F1 Στ = (90 lb)(5 ft) – F2 (4 ft) – (20 lb)(5 ft) = 0. ΣτΑ = B (20 m) – (1600 N)(8 m) – (4500 N)( 10 m) = 0.9 N A 3m Eje 60 N 40 N 6m B 2m A = 100 N – B = 100 N – 49. Cap.00 lb 5-27. Física.7 N A 5-24.5 lb ΣFy = F1 – F2 – 20 lb – 90 lb = 0 F1 = F2 +110 lb = 87. Una correa en V enrollada en una polea de 16 pulg de diámetro. 43 Tippens. B = 2890 N ΣFy = A + B – 1600 N – 4500 N = 0 B = 3210 N A 8m Eje 1600 N 4500 N 2m 10 m B A = 6100 N – B = 6100 N – 2890 N. Requiere un momento de torsión resultante de 4 lb ft. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Considere la barra ligera sostenida como indica la figura 5-18. tiene 20 m de longitud y soportes en ambos extremos.1 N. F = 107 N 30 cm 80 N F 90 cm Eje ΣFy = F – A – 80 N = 0. F1 = 198 lb 90 lb Eje F2 20 lb 5-25. Derechos reservados . A = 107 N – 80 N = 26.667 ft F τ = F (0. 5 ft 4 ft 1 ft F2 = 87.90 m) = 0. A = 26.5-23. 7e. 5 m 400 N 1200 N φ = 90 – 37 = 53 . ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la barra? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de esa fuerza? ΣFx = H – Tx = 0. ¿Cuál es la tensión en el cable? Ty 3m Eje Ty 1.20 Centro de gravedad 5-31. Una barra horizontal de 6 m. H – T cos 530 = 0. véase figura 5-19. La barra sujeta un cable a 4.5 m de la pared y sostiene un peso de 1200 N en el extremo derecho. Ty = T sen 53 0 0 0 0 V H B 1. H = 1408 N ΣFy = V + T sen 530 – 400 N – 1200 N = 0. 349. las componentes son: H = 1408 N y V = –269 N.0 lb Eje 40 lb 180 lb A 5 ft 1 ft 4 ft B A = 220 lb – B = 220 lb – 128 lb. Manual de soluciones. 3. Una plataforma de 10 ft que pesa 40 lb la sostienen escaleras de tijera. De su extremo izquierdo pende una pesa de 50 N y en el derecho se aplica una fuerza de 20 N. Derechos reservados .80 SE 1408 R = H 2 + V 2 = 1434 N.59 T = 1200 N + 7200 N.5 m ΣτΑ = (T sen 530)(4. 7e. gira sobre un pivote fijo. *5-29. tan! = R = 1434 N. Un pintor que pesa 180 lb está a 4 ft del extremo derecho. H = (2340 N) cos 530. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. x = 2. B = 128 lb ΣFy = A + B – 40 lb – 180 lb = 0 A = 92. T = 2340 N *5-30. Una barra con longitud de 6 m pesa 30 N. ¿A qué distancia del extremo izquierdo debe aplicar una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio? ΣFy = F – 50 N – 30 N – 20 N = 0. de 400 N. Encuentre las fuerzas que ejercen los soportes. ΣτΑ = B(10 ft) – (40 lb)(5 ft) – (180 lb)( 6 ft) = 0.10 m 3m 20 N 44 Tippens. F = 100 N Eje F x 3m 50 N 30 N Στ = F x – (30 N)(3 m) – (20 N)(6 m) = 0 (100 N) x = 210 N m. Física.5 m) – (400 N)(3 m) – (1200 N)(6 m) = 0. Cap. V = 1600 N – (2340 N) sen 530 = –269 N Así. La resultante es: -269 ! =10.5-28. aplicada al extremo izquierdo de la varilla.42 N.4 m) sen 400 = 48.42 N m 400 400 40 cm 200 N r 5. Suponga que la construcción y el peso del mango son uniformes. Calcule el centro de gravedad de un martillo si la cabeza de metal pesa 12 lb y el mango de 32 in que la sostiene pesa 2 lb. Pesas de 2.08 m 2N F = 25 N 2m x 2m 2m 5N 2m 8N F 2m Fx – (2 N)(2 m) – (5 N)(4 m) – (8 N)(6 m) – (10 N)(8 m) = 0 10 N 5-34. 6 y 8 m del extremo izquierdo. 45 Tippens. ¿A qué distancia del punto medio de la esfera de 40 N está el centro de gravedad? ΣFy = F – 40 N – 12 N = 0.36 ¿Con qué fuerza horizontal. 7e. ¿A qué distancia del extremo izquierdo está el centro de gravedad? ΣFy = F – 10 N – 8 N – 5 N – 2 N = 0. F 80 N r 40 cm 400 Así. Una esfera de 40 N y otra de 12 N unidas por una varilla ligera de 200 mm de longitud. si Στ = 0. F = 14 lb Fx = 32 lb in 12 lb x F 16 in Fx – (12 lb)(0) – (2 lb)(16 in) = 0. Manual de soluciones. entonces se debe adicionar la torsión de +3.5-32.0 N m – 51. Cap. 16 in 2 lb x = 2. 5. 8 y 10 N penden de una varilla ligera de 10 m a distancias de 2.29 in de la cabeza.6 m) – (200 N)(0. Física. x = 0. (14 lb) x = 32 lb in. ¿Cuál es el momento de torsión resultante en torno del pivote de la figura 5-20? τ = (80 N)(0. se llega al equilibrio rotacional? Del problema 5-33: τ = . (25 N) x = 152 N m. figura 5-20. 4.3. ΣFy = F – 2 lb – 12 lb = 0. x = 6. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.40 N m. F = 52 N Στ = F x – (40 N)(0) – (12 N)(0. Problemas adicionales 5-35.0462 m or x = 46.4 N m.2 mm x F 200 mm 40 N 12 N 5-33. Derechos reservados .42 N m.20 m) = 0 (52 N) x = 2. 60 cm 80 N τ = – 3. Derechos reservados . Física. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.6 m) cos 400 = +3.45 N m.45 N 46 Tippens. F = 7. 7e. Manual de soluciones. Cap.F (0. 131 m) = –8. Manual de soluciones. Derechos reservados . figura 5-22. Una viga de acero de 8 m pesa 2400 N sostenida a 3 m del extremo derecho. 0 Primero encuentre a y b.05 m) sen 500 – (50 N)(0. A = 4920 N ΣFy = A + B – 2400 N – 9000 N = 0 B = 11 400 N – A = 11 400 N – 4920 N. figura 5-22.16 m) sen 550 Στ = 2. A = 375 N 100 N Eje 200 N 500 N Las fuerzas ejercidas por los soportes son: A = 375 N y B = 425 N 5-38. B = 425 N 2m A 3m 3m B 2m ΣFy = A + B – 100 N – 200 N – 500 N = 0 A = 800 N – B = 800 N – 425 N.5-37. como se aprecia en la figura 5-21. A = 6480 N A 2400 N 9000 N 4m 1m F 3m *5-39.131 m Στ = – (50 N)(0. Física.0231 m + 0. ¿qué fuerza se debe aplicar en el extremo izquierdo para equilibrar el sistema? ΣτΑ = A (5 m) + (2400 N)(1 m) – (9000 N)( 3 m) = 0.0231 m.16 N m 50 N a 16 cm 55 0 b 47 Tippens. 200 y 500 N colocadas sobre una tabla ligera que descansa en dos soportes. 7e.87 N m 50 N 500 70 N B 5 cm r 16 cm 55 0 A r *5-40. ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes? Στ = (100 N)(2 m) + B(8 m) – (200 N)(3 m) – (500 N)(6 m) = 0. Στ = (70 N)(0) – (50 N)(a + b) . b = (0. Halle el momento de torsión resultante del punto A. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill.05 m) cos 50 = 0.87 N m Στ = –3. Si se coloca un peso de 9000 N en el extremo derecho.16 N m Στ = –8. Halle el momento de torsión resultante del punto B.68 N m – 6.16 m) sen 55 = 0. Pesas de 100.55 N m = –3. Στ = (70 N)(0. Cap. 0 B 500 70 N 5 cm a = (0. Note las fuerzas de acción-reacción R y R’. Cap. Cómo usa esos tres elementos para hallar el peso de la piedra pequeña.Preguntas para la reflexión crítica *5-41. Manual de soluciones. una regla de 4 N y un soporte con borde de navaja. F3 = 83. F 0. F2 y F3 para que el sistema de la figura 5-23 quede en equilibrio. En un banco tiene una piedra pequeña. Mida las distancias a y b. Física. ΣτR = (300 lb)(6 ft) – (50 lb)(2 ft) – F1(8 ft) = 0 F1 = 213 lb Ahora. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. 5-42.00 ft Note que el peso en el centro NO x 30 lb 40 lb 8 ft contribuye a la torsion alrededor del centro y por consiguiente. x = 4. Una caja de 30 lb y otra de 50 están en extremos opuestos de una tabla de 16 ft sostenida en su punto medio. ¿A qué distancia del lado izquierdo se debe colocar una caja de 40 lb para lograr el equilibrio? ¿Sería diferente si pesara 90 lb? ¿Por qué sí o por qué no? Στ = (30 lb)(8 ft) + (40 lb)(x) – (50 lb)(8 ft) = 0. R es hacia arriba. determine F y después calcule el peso W a partir de métodos de equilibrio. F2 = –254 lb. De donde: F3 = 83. ΣFy = 0 da: 213 lb + R –300 lb – 50 lb = 0.9 lb ΣFy = 0 = F2 + 83.5 m F 8 ft W 50 lb a 4N b W *5-43. Derechos reservados . sin importar el peso.9 lb – 138 lb – 200 lb. 300 lb F1 2 ft 6 ft R 2 ft 50 lb F2 3 ft 5 ft 200 lb F3 2 ft R’ ’ R = 138 lb = R’ Sume los momentos de torsión F2 con R’ = 138 lb hacia abajo: ΣτF = (138 lb)(3 ft) + F3(7 ft) – (200 lb)(5 ft) = 0. 7e. Las tres fuerzas desconocida: F2 = –254 lb F1 = 213 lb.9 lb 48 Tippens. trabaje la tabla superior: Στ (de R) = 0. el punto de equilibrio no es afectado. Primero. Calcule las fuerzas F1. ¿Cuál es la tensión en el cable de la figura 5-25? El peso de la vigueta es 300 N. o H = 1169 N o V = 500 N 300 1169 N V Eje 4m 300 H 100 N 2m 400 N ΣFy = V – 100 N – 400 N = 0. Derechos reservados . Suponga que la vigueta de la figura 5-24 pesa 100 N y que el peso suspendido W es igual a 40 N. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? Στ = Τ(4 m) sen 30 ) – (40 N)(6 m) cos 30 – (100 N)(3 m) cos 300 = 0 T = 234 N 0 0 0 0 0 300 400 N 4m Axis 30 0 2m W 300 T 4m Eje 30 0 2m W 100 N *5-46. pero se ignora su longitud. T = 360 N L 300 T 750 V H r 546 N 300 N 49 Tippens.) L "! = TLsen750 # (300 N ) sen300 # 546 Lsen300 = 0 2 450 T sen 750 = 75. En las condiciones del problema 5-45. Cap. L se cancela. ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el gozne sobre la base de la vigueta? ΣFx = H – 1169 N = 0. Física. (Seleccione el eje en la pared.0 N + 273 N.*5-44. (a) Στ = (400 Ν)(4 m) sen 300) – W (6 m) cos 30 = 0 W = 154 N (b) Στ = T(4 m) sen 30 – (400 N)(6 m) cos 30 = 0 T = 600 N *5-45. 7e. Manual de soluciones. H = 1169 N y V = 500 N **5-47. (a) ¿Qué peso W producirá una tensión de 400 N en la cuerda atada a la vigueta de la figura 5-24? (b) ¿Cuál sería la tensión en la cuerda si W = 400 N? Ignore el peso de la vigueta en ambos casos. figura 5-25? También.6W(0) + 0.(360 N) cos 450 = 0. 0 H = 255 N T = 360 N 450 600 300 ΣFy = V + (360 N) sen 45 – 300 N – 546 N = 0.4W(3. V = 591 N H = 255 N y V = 591 N *5-49. Remítase a la figura y datos dados en el problema 5-7 y recuerde que T = 360 N.4 m del delantero de un auto. 60 % del peso del auto descansa en las ruedas delanteras. El eje trasero está a 3.4 m F x Eje x = 1. Cap. Derechos reservados . 7e. ΣFx = H .4W 3. ¿a qué distancia del eje frontal se localiza el centro de gravedad? Στ = 0. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Manual de soluciones.6W 50 Tippens.4 m) – F x = 0 Pero F = W: 1. suponga que el peso de la tabla es de 300 N. Física. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que ejerce la pared sobre la vigueta.36 m en el eje frontal 0.**5-48.36 W – W x = 0 0.