Tippens Fisica 7e Diapositivas 11b

Cap.11B – Rotación de cuerpo rígido Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007 Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: •• Definir Definir yy calcular calcular el el momento momento de de inercia inercia para para Definir y calcular el momento de inercia para sistemas sistemas simples. simples. •• Definir Definir yy aplicar aplicar los los conceptos conceptos de de segunda segunda ley ley de de Newton Newton,, energía energía cinética cinética rotacional rotacional,, trabajo trabajo rotacional rotacional,, potencia potencia rotacional rotacional yy cantidad cantidad de de movimiento movimiento rotacional rotacional aa la la solución solución de de problemas problemas físicos. físicos. •• Aplicar Aplicar principios principios de de conservación conservación de de energía energía yy cantidad cantidad de de movimiento movimiento aa problemas problemas que que involucran involucran rotación rotación de de cuerpos cuerpos rígidos. rígidos. Inercia de rotación Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. Inercia lineal, F = 20 N m 24 N 2 a = 4 m/s m = 4 m/s2 = 5 kg F = 20 N R = 0.5 m  = 2 rad/s2 Inercia rotacional, I (20 N)(0.5 m) 2 I= = = 2.5 kg m  4 m/s2 La fuerza hace para la traslación lo que el momento de torsión hace para la rotación: Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m: v = R m K = ½mv K = ½m(R)2 2 K = ½(mR ) 2  2 m1 eje m 4 m3 m2 Objeto que rota a constante Suma para encontrar K total: K = ½(mR2)2 Definición de inercia rotacional: (½2 igual para toda m ) 22 II = mR = mR . 300 JJ .Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez Primero: constanteI = de 600 rpm? 2 mR I = (3 kg)(1 m)2 + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg) (2 m)2 I = 25 kg m2 2 kg 3m 3 kg 1m 2m  1 kg = 600rpm = 62.8 rad/s) 2 KK = = 49.8 rad/s K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.300 49. Inercias rotacionales comunes L L I Aro 3 I 2 mL 1 12 2 mL R R R I = mR 1 2 I = ½mR 2 Disco o cilindro I 2 5 mR 2 Esfera sólida . 120 kg m2 R I = ½mR2 Disco Aro I  mR  (3 kg)(0. I  mR  (3 kg)(0.Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm.0600 kg m2 2 . R Compare2 sus inercias 2rotacionales.2 m) I = mR2 I = 0.2 m) 1 2 2 1 2 I = 0. x f Una fuerza resultante F produce aceleración negativa a para una masa m. F F  ma ma I R 4 kg  50 rad/s  = 40 N m Un momento de torsión resultante produce aceleración angular  de disco con inercia rotacional I. hay una analogía extraída del movimiento  m lineal.   II  .Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación. 5 rad = 1.2 m) = 100rad/s2 F R 4 kg  50 rad/s R = 0.20 m F = 40 N 2f02 2  o 2  0 (50 rad/s) 2   2 2(100 rad/s 2 )  = 12.Segunda ley de rotación de Newton ¿Cuántas revoluciones requiere para detenerse? = I FR = (½mR2) 2F 2(40N)   mR (4 kg)(0.99 rev . 6 N .½(6 kg) a = (2 kg) a 19.Ejemplo 3: ¿Cuál es la R = 50 cm aceleración lineal de la masa de M6 kg 2-kg que cae? Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio: I a=? TR = (½MR ) 2 a T = ½MR pero a = R.T = ma mg .½Ma T = ma T T +a (2 kg)(9.  = R a T = ½MR( ) .8 m/s2) .(3 kg) a = (2 kg) a 2 kg a = 3. T = ½Ma y R R = 50 cm 6 kg Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae: mg .92 m/s2 2 kg mg . Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FR FR  Trabajo Trabajo = =   Trabajo Potencia = t  = t s  =  t F F s = R Potencia =  Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio . 4 m F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2).Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una s masa de 6 kg.4 m)(50 Trabajo = 392 J rad) Potencia Trabaj = o t =392 J 4s Potencia = 98 W . F=W  = s =20 m = 50 s = 20 m rad R 0. F = 19. Encuentre el  trabajo y la potencia si la 6 F masa de 2 kg se eleva 20 m 2 kg kg Trabajo = = FR  en 4 s.6 N)(0.6 N Trabajo = (19. se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energía cinética rotacional:   ½ I  ½ I 2 f 2 0 .El teorema trabajoenergía Recuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energía cinética lineal: Fx  ½ mv  ½ mv 2 f 2 0 Al usar analogías angulares. 36 kg m2 0   ½ I  ½ I 2 f 2 0 Trabajo = -½I Trabajo = -½(0.Aplicación del teorema trabajoenergía: ¿Qué trabajo se necesita para detener la rueda que rota? F R Trabajo = r 4 kg  60 rad/s R = 0.3 m)2 = 0.30 m F = 40 N Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg) (0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J . así P que se escribe: v  R O v  R .Rotación y traslación combinadas vcm Primero considere un disco que se desliza sin fricción. La velocidad v R angular  en torno al punto P es igual que  para el disco. La vcm velocidad de cualquier parte vcm es igual a la velocidad vcm del centro de masa.  Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. Dos tipos de energía cinética  Energía 2 K = ½mv cinética de traslación: v R Energía 2 P K = ½I  cinética de rotación: Energía cinética total de un objeto que rueda: K KTT  mv mv  II  11 22 22 11 22 22 . Conversiones angular/lineal En muchas aplicaciones. Es necesario recordar los puentes: puentes Desplazamient o: s R Velocidad: v  R Aceleración: v R s  R v  R  a R . debe resolver una ecuación con parámetros angulares y lineales. debe convertir todos los términos lineales a términos angulares: v R s R v  R .¿Traslación o rotación? Si debe resolver un parámetro lineal. debe convertir todos los términos angulares a términos lineales: v s    a I  (?)mR 2 R R R Si debe resolver un parámetro angular. Energía total: E = ½mv2 + ½I v E  mv  I  . E  12 mv 2  14 mv 2  R 1 2 2 2 1 2 1 2  3mv 2 E 4 2  or 4E v 3m .Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energía cinética total E.   R 2   v 2 2 1 1 1 E  2 mv  2 2 mR  2 . I  mR . Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular  de un disco dada su energía cinética Energíatotal total: EE. v   R E  12 m( R ) 2  12  12 mR 2   2 . E  12 mR 2 2  14 mR 2 2 3mR 2 2 E 4 or 4E  3mR 2 . I  12 mR 2 . = ½mv2 + ½I E  12 mv 2  12 I  2 . ) y escriba una ecuación que involucre la cantidad • desconocida.Estrategia para problemas • Dibuje y etiquete un bosquejo del problema. energía. conservación. • Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. . trabajo. • Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. etc. Resuelva para la cantidad desconocida. • Recuerde conceptos involucrados (potencia. v v KT = ½mv2 Kr = ½I2 Energía total: E = ½mv + ½I  2  2 2 E  ½ mv  ½ ½ mR Disco: Aro:     E  ½ mv  ½ mR  2 2   v 2  2  R v 2 2 R v = R E = ¾mv2 E = mv2 . Compare sus energías  Dos tipos de energía: cinéticas. cada uno con la misma masa y radio.Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares. ruedan con rapidez  lineal v. Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f ¿Altura? ¿Rotació n? ¿Velocida d? mghf mgho ½ ½mv 2 o = ½f ½mv 2 f ¿Altura? ¿Rotación ? ¿Velocida d? . Sin embargo.Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. ahora debe considerar la rotación. R = 50 cm mghf mgho = ½ ½f ½mvf2 ½mv 2 o mgh0  12 mv 2  12 I  2 (2)(9.85 m/s .Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo.8)(10)  (2)v  (6)v 2 2 kg h = 10 m I  12 MR 2 2   v 2 2 1 1 1 mgh0  2 mv  2 ( 2 MR )  2  R 1 2 6 kg 1 4 2 2.5v2 = 196 m2/s2 v = 8. Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m ? 2 2 2 mgh = ½mv + ½I Aro: I = mR o 2   v 2 2 mgh0  ½ mv  ½(mR )  2  R mgho = ½mv2 + ½mv2. mgho = ½mv2 + ½I2 2  v 2 2 mgh0  ½ mv  ½(½ mR )  2  R vv == 14 14 m/s m/s v 4 3 gh0 v = 16.8 m/s 2 )(20 m) Aro: Disco: I = ½mR2.2 m/s . 20 m mgho = mv2 v  gh0  (9. da: L = m(r) r = mr2 Para cuerpo extendido en rotación: L = (mr2)  v = r m  m1 eje m 4 m3 m2 Objeto que rota con constante Dado que I = mr2.Definición de cantidad de movimiento angular Considere una partícula m que se mueve con velocidad v en un círculo de radio r. Defina cantidad de movimiento angular L: L = mvr Al sustituir v= r. se tiene: L = I Cantidad de movimiento angular . 33 kg m2 con :una 12 12  rev     300  min   2 rad   1 rev  1  min  31.4 rad/s)2 L = 1315 kg m2/s .L=2m Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento m=4 angular de una barra delgada kg de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su1 punto medio 1 2 Para barra I  rapidez mL  de(4300 kg)(2rpm m) 2 .4 rad/s  60  s L = I(1. I = 1.33 kg m2)(31. para movimiento lineal. el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal: F t  mv f  mv0 Al usar analogías angulares.Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que. se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular :  t  I f  I 0 . La fuerza actúa durante 0.4 m)(0. ¿Cuál es la angular final? t = 0.002 s) f   I 0.Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar.32 m 2  f = 0.40 m F F = 200 N Momento de torsión 2 kg aplicado FR Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular 0 t = Ifo FR t = If FR t (200 N)(0.002 I =velocidad mR2 = (2 kg)(0.5 rad/s .002 s.4 m)2 I = 0.32 kg m2 s R   0 rad/s R = 0. se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante).Conservación de cantidad de movimiento En ausencia de momento de torsión externo.   = ? I 0 0 (2 kg  m 2 )(600 rpm) f   2 If 6 kg  m f = 200 rpm .   = 600 rpm If = 6 kg m2. 0 Iffo Iffo=t Io = 2 kg m2. Resumen – Analogías rotacionales Cantidad Lineal Desplazamient Desplazamiento x o Inercia Fuerza Masa (kg) Newtons N Velocidad v “ m/s ” a “ m/s2 ” mv (kg m/s) Aceleración Cantidad de movimiento Rotacional Radianes  I (kgm2) Momento de torsión N·m  Rad/s  Rad/s2 I (kgm2rad/s) . ½Io2 .½mvo2  = I K = ½I2 Trabajo =  Potencia = I  = ½If2 .Fórmulas análogas Movimiento lineal Movimiento rotacional F = ma K = ½mv2 Trabajo = Fx Potencia = Fv Fx = ½mvf2 . Resumen de Trabajo =  KK  II  11 22 22 I = mR I = mR fórmulas: 22   ½ ½II  ½ ½II  22 ff ¿Altura? ¿Rotació n? ¿Velocida d? 22 00 ½mv 2 o  Potencia    t mghf mgho ½ IIoo oo  IIff ff = ½f ½mv 2 f ¿Altura? ¿Rotación ? ¿Velocida d? . CONCLUSIÓN: Capítulo 11B Rotación de cuerpo rígido .