6.TIEMPO MUERTO 6.1 INTRODUCCION Un fenómeno que se presenta muy a menudo en los sistemas de flujo es el del atraso por transporte, que se conoce también como tiempo muerto. Para explicar dicho fenómeno, se considera un sistema como el mostrado en la figura 6.1, que consiste en un líquido que fluye a través de un tubo aislado de área transversal constante, A, y una longitud, L, con un flujo volumétrico constante, Q. La densidad, ρ , y el calor específico, c, del líquido son constantes; la pared del tubo es de un calor específico despreciable y el flujo es de un régimen de pistón, es decir, el perfil de velocidad es plano. La temperatura de entrada del fluido, Ti, varía con el tiempo y se quiere hallar la respuesta del sistema con respecto a la temperatura, T, de salida del fluido en términos de la función de transferencia Figura 6.1 Sistema de flujo con atraso por transporte Se considera como estado inicial, las temperaturas del fluido en estado estacionario y que además son iguales, es decir que ) 0 ( ) 0 ( T T i = (6.1) Al perturbar la temperatura de entrada, T i (t), con un cambio paso en un instante t = 0, dicho cambio se detecta en el otro extremo del tubo después de un tiempo t o , requerido para que el fluido entrante atraviese todo el tubo. Esta respuesta se representa en la figura 6.2 El parámetro t o es el denominado atraso por transporte o tiempo muerto y es, simplemente, el tiempo necesario para que una partícula de fluido se traslade desde la entrada hasta la salida del tubo y puede calcularse a partir de la expresión: Mach 98 o Volumétric Flujo Tubo del Volumen t o = Q AL t o = (6.2) Figura 6.2 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio paso Si la variación en T i (t), es una función arbitraria como la mostrada en la figura 6.3, la respuesta T(t) en el otro extremo del tubo será idéntica a la variación de T i (t) pero nuevamente retrasada en t o unidades de tiempo. Figura 6.3 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio arbitrario Mach 99 Se puede observar a partir de las figuras 6.2 y 6.3 que la relación entre T i (t) y T(t) es ) ( ) ( o i t t T t T − = (6.3) En términos de las variables desviación, Γ , la ecuación (6.3) se expresa como ) ( ) ( o i t t t − Γ = Γ (6.4) El miembro derecho de la ecuación (6.4) expresa una traslación de la temperatura de entrada a un tiempo posterior. Aplicando el teorema sobre la transformada de Laplace a una función trasladada, la función de transferencia correspondiente a la ecuación (6.4) es de la forma o st i e s s − = Γ Γ ) ( ) ( (6.5) La ecuación (6.5) es la función de transferencia de un atraso por transporte. Cuando se establece una proporcionalidad constante entre las variables de salida y entrada, esto incluye un parámetro adicional en la función de transferencia entendida como una ganancia proporcional y, por lo tanto, se escribe como: o st i Ke s s − = Γ Γ ) ( ) ( (6.6) El atraso por transporte es muy común en las industrias químicas donde se transportan fluidos a través de tuberías. Los atrasos por transporte hacen mas difícil el control de los sistemas, por lo que deben evitarse en lo posible colocando los equipos lo mas cerca posible entre sí. Aproximación de Padé A menudo el término exponencial correspondiente al tiempo muerto se aproxima mediante las aproximaciones de Padé de primer y segundo orden, así: Mach 100 Primer Orden: s t s t e o o s t o 2 1 2 1 + − ≈ − (6.7) Segundo Orden: 12 6 ) ( 12 6 ) ( 2 2 2 2 + + + − ≈ − s t s t s t s t e o o o o s t o (6.8) 6.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON TIEMPO MUERTO Si en la respuesta de un sistema se considera tanto atraso dinámico como por transporte, el atraso total corresponde dos atrasos en serie que en un diagrama de bloques pueden representarse de la siguiente manera para un sistema de primer orden: 1 1 + s K τ Figura 6.4 Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto Sistemas de Primer Orden con Tiempo Muerto De acuerdo al algebra de las funciones de transferencia, para un sistema de primer orden como el representado en la figura 6.4 se tiene que: Atraso dinámico: ) ( 1 ) ( 1 1 s X s K s Y + = τ Atraso por transporte: ) ( ) ( 1 2 s Y e K s Y o st − = Atraso total: ) ( 1 ) ( s X s Ke s Y o st + = − τ (6.9) Mach 101 El término encerrado entre corchetes en la ecuación (6.9) es una función de transferencia importante utilizada para aproximar la respuesta de procesos de orden mayor que uno. Se le denomina como “Función de transferencia de primer orden mas tiempo muerto” Sistemas de Segundo Orden con Tiempo Muerto En forma similar, algunos procesos de dinámica desconocida pueden aproximarse a un modelo de segundo orden con tiempo muerto con funciones de transferencia en la forma de ) ( ) 1 )( 1 ( ) ( 2 1 s X s s Ke s Y o st + + = − τ τ (6.10) ó ) ( 1 2 ) ( 2 2 s X s s Ke s Y o st + + = − ζ τ (6.11) Siendo K, la ganancia estacionaria; t o , el tiempo muerto; 2 1 , , τ τ τ , los atrasos dinámicos y ζ la razón de amortiguamiento 6.3 DINAMICA DE SISTEMAS CON TIEMPO MUERTO El efecto del tiempo muerto sobre las respuestas paso, rampa y sinusoidal de un sistema es un atraso que analíticamente se observa en los términos de dichas respuestas afectados por el tiempo. A continuación se muestran las respuestas analíticas y gráficas para un sistema lineal de primer orden y se dejan para el trabajo de los estudiantes las correspondientes a un sistema de segundo orden Respuestas de un sistema de primer orden con tiempo muerto Respuesta Paso La respuesta paso, ∆x, para un sistema de primer orden con tiempo muerto es ) 1 )( ( ) ( / ) ( τ o t t o e t t xu K t Y − − − − ∆ = (6.12) Mach 102 Donde u(t – t o ) muestra que la respuesta es cero para t < t o . En la ecuación (6.12) se observa que el término exponencial muestra para un determinado tiempo el valor correspondiente a un tiempo anterior, o t t − La figura 6.5 muestra la gráfica correspondiente a la respuesta paso de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto. Esta construcción corresponde a la respuesta paso unitario de un sistema con una función de transferencia con una ganancia proporcional de 5, una constante de tiempo de 2 segundos y un tiempo muerto de dos segundos Figura 6.5. Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto Respuesta Rampa La respuesta rampa de pendiente “r” para un sistema de primer orden con tiempo muerto es: | | ) ( ) ( ) ( / ) ( τ τ τ − − + − = − − o t t o t t Kr e Kr t t u t Y o (6.13) Mach 103 Observe que el efecto del tiempo muerto en la respuesta a largo plazo es que el atraso de la rampa de la respuesta con respecto a la rampa de entrada es la suma del tiempo muerto más la constante de tiempo del sistema La figura 6.6 muestra la gráfica correspondiente a la respuesta rampa de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto. Esta construcción corresponde a la respuesta rampa de pendiente cinco del sistema utilizado para la respuesta paso representada en la figura 6.5 Figura 6.6. Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto Respuesta sinusoidal La respuesta sinusoidal para un sistema de primer orden con tiempo muerto es: | | ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + − + + + − = − − θ ω ω τ ω τ ωτ τ ) ( 1 1 ) ( ) ( 2 2 / ) ( 2 2 o t t o t t Sen KA e KA t t u t Y o (6.14) Mach 104 El único efecto del tiempo muerto sobre la respuesta a largo plazo es el aumento en el atraso fase en o t ω . Este aumento en el atraso fase es proporcional a la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada La figura 6.7 muestra la gráfica correspondiente a la respuesta seno de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto. Esta construcción corresponde a la respuesta seno de amplitud 5 y frecuencia 0.5 rad/seg, del sistema utilizado para la respuesta paso en la figura 6.5 Figura 6.7. Respuesta Seno de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto 6.4 MATLAB: DINAMICA DE UN SISTEMA CON TIEMPO MUERTO Matlab dispone de la instrucción para agregar el tiempo muerto a una función de transferencia como también del comando que realiza la aproximación de Padé del término exponencial correspondiente a la función de transferencia de un tiempo muerto Mach 105 Funciones de transferencia con tiempo muerto Matlab dispone de las instrucciones para agregar varias propiedades a una función de transferencia como el tiempo muerto, el nombre de la variable de entrada y de salida junto con anotaciones como el nombre de la función de transferencia. La sintaxis para cada una de ellas consiste en escribir entre comillas el nombre de cada propiedad seguido, también entre comillas del valor de la propiedad, de acuerdo al orden siguiente para una función de transferencia de nombre “sys” sys = tf(num, den, ‘inputdelay’, ‘Valor’, ‘inputname’, ‘Valor’, … ‘outputname’, ‘Valor’, ‘notes’, ‘Valor’) sys = zpk(z, p, k, ‘inputdelay’, ‘Valor’, ‘inputname’, ‘Valor’, … ‘outputname’, ‘Valor’, ‘notes’, ‘Valor’) sys = ss(A, B, C, D, ‘Inputdelay’, ‘Valor’, ‘inputname’, ‘Valor’, … ‘outputname’, ‘Valor’, ‘notes’, ‘Valor’) Para acceder a las propiedades de una función de transferencia se utiliza el comando “get” con la siguiente sintaxis h = get(sys) Para acceder a una de las propiedades de la función de transferencia la instrucción es H = get(sys, ‘Nombre de la propiedad’) Aproximacion de Pade La función “pade” calcula aproximaciones racionales de tiempos muertos en los modelos lineales continuos en el tiempo, LTI. La sintaxis sysx = pade(sys, n) Siendo “sys” el modelo continuo con tiempo muerto y el número entero “n” especifica el orden de la aproximación de Padé Mach 106 6.5 MATLAB: PROGRAMAS CODIFICADOS Trabajo No. 1 – Dinámica de sistemas de primer y segundo orden En esta sección el estudiante deberá integrarse a un grupo y realizar lo siguiente: Modificar los archivos lsolplin.m de la lección 3 y lsolslin.m de la lección 6 de tal manera que: 1. Desarrollen las respuestas gráficas de los sistemas que simulan sin tiempo muerto y con tiempo muerto (Asignado por el usuario) haciéndolas observar en una misma gráfica y 2. Escriban los comentarios relacionados con las diferencias entre las dos respuestas. El trabajo debe entregarse, con los nombres del grupo que lo realizó, en un medio magnético y sustentarse en fecha fijada por el profesor es una función arbitraria como la mostrada en la figura 6.2 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio paso Si la variación en Ti(t).2) Figura 6.98 to = Volumen del Tubo Flujo Volumétrico AL Q to = (6. la respuesta T(t) en el otro extremo del tubo será idéntica a la variación de Ti(t) pero nuevamente retrasada en to unidades de tiempo. Figura 6.3.3 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio arbitrario Mach . Γ . la ecuación (6.4) El miembro derecho de la ecuación (6. esto incluye un parámetro adicional en la función de transferencia entendida como una ganancia proporcional y. por lo que deben evitarse en lo posible colocando los equipos lo mas cerca posible entre sí. se escribe como: Γ( s ) = Ke − sto Γi ( s ) (6.6) El atraso por transporte es muy común en las industrias químicas donde se transportan fluidos a través de tuberías. la función de transferencia correspondiente a la ecuación (6.4) expresa una traslación de la temperatura de entrada a un tiempo posterior. Aplicando el teorema sobre la transformada de Laplace a una función trasladada. Aproximación de Padé A menudo el término exponencial correspondiente al tiempo muerto se aproxima mediante las aproximaciones de Padé de primer y segundo orden.3 que la relación entre Ti(t) y T(t) es T (t ) = Ti (t − t o ) (6. así: Mach .99 Se puede observar a partir de las figuras 6.5) La ecuación (6.3) se expresa como Γ(t ) = Γi (t − t o ) (6.5) es la función de transferencia de un atraso por transporte.3) En términos de las variables desviación.2 y 6. Cuando se establece una proporcionalidad constante entre las variables de salida y entrada. Los atrasos por transporte hacen mas difícil el control de los sistemas. por lo tanto.4) es de la forma Γ( s ) = e − sto Γi ( s ) (6. 7) Segundo Orden: e − to s ( t o ) 2 s 2 − 6 t o s + 12 ≈ ( t o ) 2 s 2 + 6 t o s + 12 (6.9) Mach . para un sistema de primer orden como el representado en la figura 6. el atraso total corresponde dos atrasos en serie que en un diagrama de bloques pueden representarse de la siguiente manera para un sistema de primer orden: τs + 1 K1 Figura 6.100 Primer Orden: e − to s to s 2 ≈ t 1+ o s 2 1− (6.4 Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto Sistemas de Primer Orden con Tiempo Muerto De acuerdo al algebra de las funciones de transferencia.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON TIEMPO MUERTO Si en la respuesta de un sistema se considera tanto atraso dinámico como por transporte.8) 6.4 se tiene que: Atraso dinámico: Atraso por transporte: Atraso total: K Y1 (s) = 1 X (s) τs + 1 Y (s) = K 2 e − sto Y1 (s) Ke− sto Y ( s) = X ( s) τs + 1 (6. algunos procesos de dinámica desconocida pueden aproximarse a un modelo de segundo orden con tiempo muerto con funciones de transferencia en la forma de Ke− sto Y ( s) = X ( s) (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) ó (6. to. A continuación se muestran las respuestas analíticas y gráficas para un sistema lineal de primer orden y se dejan para el trabajo de los estudiantes las correspondientes a un sistema de segundo orden Respuestas de un sistema de primer orden con tiempo muerto Respuesta Paso La respuesta paso. el tiempo muerto. rampa y sinusoidal de un sistema es un atraso que analíticamente se observa en los términos de dichas respuestas afectados por el tiempo. ∆x. τ 1 . τ 2 .10) Ke − st o Y (s) = 2 2 X (s) τ s + 2ζ s + 1 (6.3 DINAMICA DE SISTEMAS CON TIEMPO MUERTO El efecto del tiempo muerto sobre las respuestas paso. para un sistema de primer orden con tiempo muerto es Y ( t ) = K ∆ xu ( t − t o )( 1 − e − ( t − t o ) / τ ) (6.11) Siendo K.101 El término encerrado entre corchetes en la ecuación (6.12) Mach . los atrasos dinámicos y ζ la razón de amortiguamiento 6.9) es una función de transferencia importante utilizada para aproximar la respuesta de procesos de orden mayor que uno. τ . Se le denomina como “Función de transferencia de primer orden mas tiempo muerto” Sistemas de Segundo Orden con Tiempo Muerto En forma similar. la ganancia estacionaria. una constante de tiempo de 2 segundos y un tiempo muerto de dos segundos Figura 6.102 Donde u(t – to) muestra que la respuesta es cero para t < to.5. Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto Respuesta Rampa La respuesta rampa de pendiente “r” para un sistema de primer orden con tiempo muerto es: Y ( t ) = u ( t − t o ) Kr τ e − ( t − t o ) / τ + Kr ( t − t o − τ ) Mach [ ] (6.5 muestra la gráfica correspondiente a la respuesta paso de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto.12) se observa que el término exponencial muestra para un determinado tiempo el valor correspondiente a un tiempo anterior.13) . Esta construcción corresponde a la respuesta paso unitario de un sistema con una función de transferencia con una ganancia proporcional de 5. t − t o La figura 6. En la ecuación (6. 6. Esta construcción corresponde a la respuesta rampa de pendiente cinco del sistema utilizado para la respuesta paso representada en la figura 6.5 Figura 6.103 Observe que el efecto del tiempo muerto en la respuesta a largo plazo es que el atraso de la rampa de la respuesta con respecto a la rampa de entrada es la suma del tiempo muerto más la constante de tiempo del sistema La figura 6. Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto Respuesta sinusoidal La respuesta sinusoidal para un sistema de primer orden con tiempo muerto es: KAωτ −(t −to ) / τ KA Y (t ) = u(t − t o ) e Sen[ω(t − t o ) + θ ] + 2 2 1 + τ 2ω 2 1 + τ ω (6.6 muestra la gráfica correspondiente a la respuesta rampa de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto.14) Mach . 104 El único efecto del tiempo muerto sobre la respuesta a largo plazo es el aumento en el atraso fase en ω t o .5 rad/seg. del sistema utilizado para la respuesta paso en la figura 6. Esta construcción corresponde a la respuesta seno de amplitud 5 y frecuencia 0. Respuesta Seno de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto 6.5 Figura 6.7.4 MATLAB: DINAMICA DE UN SISTEMA CON TIEMPO MUERTO Matlab dispone de la instrucción para agregar el tiempo muerto a una función de transferencia como también del comando que realiza la aproximación de Padé del término exponencial correspondiente a la función de transferencia de un tiempo muerto Mach .7 muestra la gráfica correspondiente a la respuesta seno de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto. Este aumento en el atraso fase es proporcional a la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada La figura 6. ‘Valor’. de acuerdo al orden siguiente para una función de transferencia de nombre “sys” sys = tf(num. ‘Valor’. ‘Valor’. ‘Valor’) Para acceder a las propiedades de una función de transferencia se utiliza el comando “get” con la siguiente sintaxis h = get(sys) Para acceder a una de las propiedades de la función de transferencia la instrucción es H = get(sys. … ‘outputname’. ‘inputname’. ‘Valor’. ‘Valor’. ‘Valor’. ‘notes’. ‘inputname’.105 Funciones de transferencia con tiempo muerto Matlab dispone de las instrucciones para agregar varias propiedades a una función de transferencia como el tiempo muerto. ‘inputdelay’. ‘Valor’) sys = ss(A. el nombre de la variable de entrada y de salida junto con anotaciones como el nombre de la función de transferencia. C. ‘Nombre de la propiedad’) Aproximacion de Pade La función “pade” calcula aproximaciones racionales de tiempos muertos en los modelos lineales continuos en el tiempo. ‘inputname’. ‘notes’. también entre comillas del valor de la propiedad. B. ‘notes’. … ‘outputname’. ‘Valor’) sys = zpk(z. ‘inputdelay’. LTI. La sintaxis sysx = pade(sys. ‘Valor’. k. ‘Inputdelay’. … ‘outputname’. D. La sintaxis para cada una de ellas consiste en escribir entre comillas el nombre de cada propiedad seguido. ‘Valor’. ‘Valor’. p. den. n) Siendo “sys” el modelo continuo con tiempo muerto y el número entero “n” especifica el orden de la aproximación de Padé Mach . 1 – Dinámica de sistemas de primer y segundo orden En esta sección el estudiante deberá integrarse a un grupo y realizar lo siguiente: Modificar los archivos lsolplin.5 MATLAB: PROGRAMAS CODIFICADOS Trabajo No.106 6. con los nombres del grupo que lo realizó.m de la lección 3 y lsolslin.m de la lección 6 de tal manera que: 1. en un medio magnético y sustentarse en fecha fijada por el profesor Mach . Desarrollen las respuestas gráficas de los sistemas que simulan sin tiempo muerto y con tiempo muerto (Asignado por el usuario) haciéndolas observar en una misma gráfica y 2. Escriban los comentarios relacionados con las diferencias entre las dos respuestas. El trabajo debe entregarse.