Ti Roberto Ucar (1)

ACADEMIA NACIONAL DE LA INGENIERÍA Y EL HÁBITATUNA NUEVA METODOLOGÍA PARA DETERMINAR LA RESISTENCIA AL CORTE EN MACIZOS ROCOSOS Y EN EL CONCRETO Roberto Ucar Navarro UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA, MÉRIDA, VENEZUELA  Roberto Ucar Navarro Dedicatoria A Dios todo poderoso por haberme dado la oportunidad de poder contribuir modestamente con el desarrollo de mi país A mis difuntos padres Pedro Ucar Echeverría y Dorita Navarro de Ucar A mi esposa Damaris y a mis hijos Adriana, Jorge y Eduardo 2  Roberto Ucar Navarro ÍNDICE Página RESUMEN…………………………………………………………… 7 1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………… 9 1.1 Un simple ejemplo de aplicación en macizos rocosos……………. 17 2. DESARROLLO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES QUE PERMITEN DETERMINAR LA ENVOLVENTE DE ROTURA O CURVA DE RESISTENCIA INTRÍNSICA…………………………… 22 3. UN EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA ENVOLVENTE…………………………………………………………. 28 4. CRITERIOS EMPÍRICOS DE ROTURA…………………………… 30 4.1 Criterio original de rotura de Hoek y Brown……………………… 37 4.2 Criterio generalizado de rotura de Hoek y Brown…………………. 49 4.3 Criterio de rotura de Johnston y Chiu…………………………… 54 4.4 Criterios de Ramamurthy et al y Sheory…………………………. 56 4.5 Otros Criterios de rotura ………………………………………….. 64 4.5.1 Criterio de Henning y Zimmerman……………………………… 68 3  Roberto Ucar Navarro Página 4.5.2 Cálculo de las constantes k1 y m……………………………………… 73 4.5.3 Comparación con los valores de K y m obtenidos por Dreyer ……. 75 5. CRITERIOS DE ROTURA CONSIDERANDO EL ESFUERZO PRINCIPAL INTERMEDIO σ2 …………………………………………. 80 5.1 Otras formas de representar los diferentes criterios de rotura……… 97 6. AVANCES EN LAS TEORÍAS DE RESISTENCIAS DE MATERIALES CONSIDERANDO DIFERENTES ESTADOS DE TENSIONES……………………………………………………………….. 106 6.1 Teoría Cortante Simple o Criterio de Límite Inferior(Single Strength Theory - SSS -Lower Bound Criterion)……………………………………. 107 6.2 Teoría de la Resistencia Cortante Octaédrica, o Criterio de Curvas Intermedias (Octahedral-Shear Strength theory –OSS Theory- Intermediate Curves Criteria)………………………………………………108 6.2.1 Teoría de la resistencia cortante octaédrica con múltiples Parámetros…………………………………………………………………. 109 6.3 Teoría de resistencia al corte doble, o criterio del límite superior (Twin-Shear Strength Theory-TSS- Upper Bound Criterion)………… 109 4  Roberto Ucar Navarro 6.4 Teoría de resistencia unificada de Yu……………………………… 110 Página 6.4.1 Breve discusión de los criterios no lineales según Yu et al. ……. 112 7. DESARROLLO ANALÍTICO DEL NUEVO CRITERIO DE ROTURA…………………………………………………………………. 117 7.1 Determinación de la envolvente de rotura……………………………. 119 7.2 Cálculo de la constante de integración K4 – Un ejemplo de Aplicación…………………………………………………………………… 126 7.3 Representación del criterio de rotura en función de las invariantes I1, J2 y ……………………………………………………………........….. 131 7.4 Cálculo de las constantes K1 y K2 y K4 (constante de integración)…. 132 7.5 Determinación de las constantes a través del programa EES……… 138 7.6 Comparación de resultados aplicando diferentes criterios de rotura a través de los estudios experimentales realizados por Torres………… 140 7.6.1 Comentarios relacionados con los resultados obtenidos………… 144 7.6.2 Determinación del error estándar…………………………………. 149 5  Roberto Ucar Navarro Página 7.7 Determinación de la envolvente de rotura aplicando los estudios experimentales de Aire………………………………………………… 152 7.7.1 Determinación de la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura a través de las pruebas de resistencia realizadas por Aire………………………………………………………………………… 164 8. EXPRESIONES ANALÍTICAS DE INTERÉS AL APLICAR EL CRITERIO LINEAL DE ROTURA……………………………… 166 8.1 Cálculo aproximado de los parámetros de corte a través de la persistencia de las discontinuidades……………………………………… 176 9. PASOS A SEGUIR EN LA PRÓXIMA FASE DE INVESTIGACIÓN. 178 10. REFERENCIAS………………………………………………………… 183 6  Roberto Ucar Navarro RESUMEN En la presente monografía se ha desarrollado una expresión analítica que permite hallar la resistencia al corte en macizos rocosos y en materiales de rotura frágil como el concreto en función de los esfuerzos principales 1 y  3 . A través de este nuevo criterio empírico de rotura bidimensional se ha determinado la tensión normal actuando sobre el plano de rotura al resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden, y por ende la envolvente de falla. Para facilitar los cálculos la relación entre los esfuerzos principales 1 y  3 en el instante de la rotura se ha expresado en forma adimensional, a través de la siguiente ecuación: 1/ 2  1   3       K1      K2  3     c   c   c  c y t representan la resistencia a compresión sin confinar y a tracción de la roca intacta (matriz rocosa) respectivamente, y por otra parte ξ es un parámetro adimensional que define el cociente de t entre c. Estos valores de resistencia, junto con las constantes K1 y K2 a determinar para cada roca en particular, permitirá hallar la vinculación analítica entre 1 y  3 . En estas condiciones, al aplicar esta nueva hipótesis, conjuntamente con los conceptos matemáticos básicos sobre contactos de curvas para obtener la envolvente de una familia de círculos de falla, es posible determinar la resistencia al corte  = ζ(β) y la tensión normal sobre el plano de rotura n =ψ (β). Por lo tanto, ambas curvas están definidas paramétricamente a través del ángulo β que forma la tangente a la envolvente falla con la horizontal, conocido también 7  Roberto Ucar Navarro como ángulo de fricción interna instantáneo φi. Lo anterior indica que: d   tan   tan  i d n Por otra parte, el cálculo analítico de la envolvente o curva de resistencia intrínseca se ha obtenido considerando como punto de partida que se conoce la magnitud del esfuerzo normal n*, el cual corresponde a la solución de la ecuación diferencial. Posteriormente, utilizando la técnica de iteración con el objeto que la función ζ (n, β) =0, se obtiene β. A través del referido ángulo, junto con la tensión normal n se halla la resistencia al corte  , la cual se expresa en la forma: 2  K2       tan  45        n     2   2       tan  45      c  c    2   2     2  tan  4  2   K1      Cabe destacar, que esta representación analítica de la curva intrínseca ayudará sin lugar a dudas a desarrollar nuevos métodos de cálculo en lo concerniente a la estabilidad de taludes y obras subterráneas, en el diseño del soporte en macizos rocosos mediante anclajes, en la estimación de la resistencia por el fuste en roca de calidad pobre siendo el tipo de fundación por medio de pilotes, así como la carga de hundimiento de una fundación en terrenos diaclasados, y en otras innumerables aplicaciones dentro del campo de la geotecnia. también, debe señalarse que excelentes resultados se han obtenido empleando este nuevo criterio de rotura al determinar la resistencia al corte del concreto en * n = α (Ambos componentes representan o denotan a la tensión normal) 8  Roberto Ucar Navarro función de los parámetros K1 y K2 a través de pruebas de laboratorio en probetas sometidas a tracción, compresión uniaxial y triaxial , esta última para la condición en la cual σ2 = σ3 . Los resultados se pueden observar en detalle en las secciones 7.6 y 7.7.Finalmente, vista la relevancia del tópico investigado se ha considerado de interés incluir la parte correspondiente a los diferentes criterios de rotura en roca, así como la influencia del esfuerzo principal intermedio σ2 en el proceso de fractura de la roca y en el ángulo de rotura. 1. INTRODUCCIÓN En los últimos años una extensa investigación se ha realizado en el campo de la ingeniería geotécnica con el objeto de poder determinar con mayor precisión la resistencia al corte de la roca tanto en la condición sana como fracturada. Todo esto ha generado como resultado la publicación de una gran cantidad de estudios para definir un criterio tanto del punto de vista teórico como experimental que permita predecir la rotura del macizo rocoso, desde que en 1773 Coulomb postulara la primera hipótesis de falla. La causa fundamental de que ninguno de los criterios existentes haya tenido una utilización universal radica en el hecho de que son muchos los parámetros que gobiernan el proceso de rotura de la roca, factores estos que dependen tanto del propio macizo rocoso como del estado tensional. Cabe destacar como se apreciará más adelante, que en las últimas décadas se han desarrollado diferentes criterios empíricos, los cuales aunque no poseen el esperado fundamento científico, ofrecen la gran ventaja de acercarse a la realidad del fenómeno físico. Por otra parte, el gran reto se fundamenta en llevar a cabo investigaciones que permitan obtener la resistencia de la roca en la condición fracturada y meteorizada; tarea esta nada fácil por lo complejo del problema. 9  Roberto Ucar Navarro También otro aspecto a señalar son las importantes contribuciones realizadas por Bieniawski [1], Barton [2], Hoek y Brown [3] y Ramamurthy et al [4] entre otros destacados investigadores, al avanzar con paso firme y aproximarse a los valores reales de la resistencia de la roca en función del grado y las características de la fracturación, tamaño de los bloques, abertura, relleno y alteración de las discontinuidades. Otra valiosa contribución, ha sido la de Yu [5] a través de su excelente libro” “Unified Stremgth Theory and Its Applications”, el cual se recomienda su lectura junto con el de los siguientes autores: Sheorey [6], “Empirical Rock Failure Criteria”, Andrev [7], “Brittle Failure Of Rocks Materials”, Chen y Liu [8], “Limit Analysis in Soil Mechanics”, Chen y Saleeb [9], “Constitutive Equations for Engineering Materials”, Chen y Mizuno [10], “Non Linear Analysis in Soil Mechanics-Theory and Implementation”, Chen [11] “Plasticity in Reinforced Concrete”, Chen y Baladi [12], “Soil Plasticity”, y Mogi [13] “Experimental Rock Mechanics, donde investiga en detalle la deformación y fractura de rocas, así como la transición de la rotura de frágil a dúctil en función de la presión de confinamiento. Teniendo en cuenta el aporte de estos investigadores, conjuntamente con el nuevo criterio propuesto y la solución analítica de la envolvente de rotura, en la sección siete se demuestra su importancia y aplicación práctica en el campo de la mecánica de las rocas y del concreto. En la sección 7.2, se lleva a cabo un ejemplo detallado para la condición de roca intacta, y en las secciones 7.6 y 7.7 se utilizan casos prácticos aplicados al concreto, cuyos buenos resultados demuestran y comprueban la validez de este nuevo criterio de rotura. Por otra parte, cabe señalar que una de las ventajas del procedimiento analítico el cual se detalla en la sección 7.4, es que permite obtener con un buen rango de aproximación las constantes requeridas que vinculan los esfuerzos principales a través un sistema de ecuaciones no lineales. 10  Roberto Ucar Navarro Esto se logra conociendo únicamente la relación entre la resistencia a tracción uniaxial y la resistencia a compresión simple o sin confinar de la roca o concreto (ξ =t/c ), incorporando además las respectivas condiciones de borde. Es decir, para determinar las referidas constantes no se requiere tener como datos de entrada los valores de las tensiones principales del ensayo triaxial (3, 1) En la tabla anexa, utilizando la hoja de cálculo de Excel se comparan los resultados obtenidos del esfuerzo principal mayor 1 considerando la solución del sistema de ecuaciones no lineales, y el ajuste de curva aplicando la técnica de mínimos cuadrados. A través del programa asistido por el ordenador EES (Engineering Equation Solver) se han calculado las constantes K1 Y K2 considerando la nueva expresión que vincula los esfuerzos principales, junto con la constante de integración K4 de la ecuación que relaciona la tensión normal n y  (ángulo que forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal para cada punto de coordenas n,). A la vez, se han determinado cuatro incógnitas adicionales para la condición en la cual el esfuerzo principal menor 3 =0 y n =0 n     '  ,    3 0 ,  3'  , 1   n 0  f c  3 0  c  n 0 f En la referida tabla, se aprecia que las magnitudes de 1 aplicando la solución del sistema de ecuaciones no lineales varían aproximadamente entre menos del 1% a un 4%. al compararse con la curva de ajuste de mínimos cuadrados. El porcentaje lógicamente aumenta a medida que la presión de confinamiento también incrementa. Esto se debe, como previamente se ha indicado a que dichas constantes se han determinado sin considerar los valores (3 , 1) de los ensayos triaxiales. 11  Roberto Ucar Navarro Tabla 1.1 Comparación de los resultados de σ1 obtenidos a través de los ensayos de laboratorio y los valores de σ1 mediante el ajuste de la curva por mínimos cuadrados y empleando el sistema de ecuaciones no lineales Sistema de Sistema de Parámetros Resultados de los ensayos de laboratorio Curva ecuaciones Curva ecuaciones 2 f'c(kgf/cm2) Valores en kgf/cm Valores adimensionales Ajuste Ucar no lineales Ajuste Ucar no lineales 330.00 σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1/ f'c)Ucar (σ1/ f'c) σ1 kgf/cm 2 σ1 kgf/cm2 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 0 0 0 σt (kgf/cm2) 0.000 330.00 0 1 1.000090787 1.000402802 330.0299598 330.1329246 -35.00 27.97 466.86 0.084757576 1.414727273 1.376015548 1.366140012 454.085131 450.826204 38.46 538.95 0.116545455 1.633181818 1.497968271 1.483802588 494.3295293 489.6548542 ξ 55.94 578.90 0.169515152 1.754242424 1.686551791 1.664876448 556.5620911 549.4092278 -0.106060606 69.99 636.62 0.212090909 1.929151515 1.827859596 1.799894919 603.1936666 593.9653234 Ajuste Curva 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 1.960838995 1.926463111 647.0768683 635.7328266 к1 97.90 696.74 0.296666667 2.111333333 2.088393839 2.047438215 689.1699667 675.6546108 0.712 111.89 746.12 0.339060606 2.260969697 2.211033429 2.163369916 729.6410316 713.9120722 к2 139.86 794.50 0.423818182 2.407575758 2.443860538 2.382481176 806.4739774 786.2187881 2.839 153.85 858.16 0.466212121 2.600484848 2.555125049 2.486757328 843.1912662 820.6299181 167.83 863.62 0.508575758 2.617030303 2.663361537 2.587937752 878.9093073 854.019458 Ecuaciones 174.83 870.90 0.529787879 2.639090909 2.716545792 2.637563989 896.4601113 870.3961163 No lineales 181.82 891.27 0.550969697 2.700818182 2.769025326 2.686475085 913.7783574 886.5367782 195.80 971.71 0.593333333 2.944575758 2.872217819 2.782487147 947.8318802 918.2207584 Қ1 209.79 982.94 0.635727273 2.978606061 2.973301575 2.87633152 981.1895197 949.1894018 0.5 223.78 1008.41 0.678121212 3.055787879 3.072386679 2.968127963 1013.887604 979.4822276 237.76 1030.47 0.720484848 3.122636364 3.169564304 3.05797685 1045.95622 1009.13236 Қ2 251.76 1088.86 0.762909091 3.299575758 3.265180892 3.146212297 1077.509694 1038.250058 2.909 265.73 1107.72 0.805242424 3.356727273 3.359019418 3.232646711 1108.476408 1066.773415 279.72 1135.73 0.847636364 3.441606061 3.451526108 3.317702537 1139.003616 1094.841837 LEYENDA f'c = Resistencia a compresion simple del concreto en kgf/cm 2 Obsérvese , que la diferencia en los 2 σt = Resistencia a tracción del concreto en kgf/cm valores de σ1 al aplicar el sistema de ecuciones no lineales con la curva de ajuste varía aproximadamente entre el 1% ξ=σt /f 'c al 4% K1 = Constante 1/ 2  1   3   3  K2 = Constante  '   K1  '    K 2  '     fc   fc   fc  (σ1/ f'c)Ucar Valores de (σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar mediante ajuste de la curva (σ1/ f'c) Valores de( σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar obtenidos a través del sistema de ecuaciones no lineales Nota: Los valores de las constantes K1 y K2 obtenidas a través del sistema de ecuaciones simultáneas no lineales se determinaron únicamente conociendo la relación ξ=σt /f 'c = - 0,106 .Es decir no se consideró como datos de entrada los valores (σ1 ,σ3) de los ensayos triaxiales. 12  Roberto Ucar Navarro Sistema de Ecuaciones no Lineales- EES (Engineering Equation Solver) 13  Roberto Ucar Navarro   sigman   n'   0,1676 ,     0  41, 67 0  f c'  330, 00 kgf / cm 2  f c  3  0 3   sigma 3   3'    0, 06993 ,    1 n 0  51, 410  f c  n  0 1/ 2  1  3  3   '  0, 5  '     2, 909  '    ,    0,106  fc   fc   fc  Solución del sistema de ecuaciones no lineales a través del programa EES (Engineering Equation Solver) 14  Roberto Ucar Navarro Adicionalmente es de interés señalar que el objetivo trazado en la próxima fase de investigación de este apasionante tema concerniente con la resistencia de macizos rocosos , es desarrollar primeramente un criterio práctico y efectivo de rotura que considere el estado de fractura y meteorización de la roca utilizando las bien conocidas clasificaciones geomecánicas, tales como el Rock Masas Rating de Bieniawski [1],el Sistema Q de Barton [2] ,o el Índice de Resistencia Geológica (Geological Strength Index-GSI )de Hoek y Brown [3]. En estas condiciones se propone una ecuación de la forma:  1  K1  3   tm   K  3   tm  (1.1) Donde σtm representa la resistencia a tracción de la masa rocosa, y es una fracción de la resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt . En general, es práctica común determinar la resistencia de la masa rocosa a compresión σcm y a tracción σtm a través de las siguientes expresiones:  cm  RMR  100   exp   (1.2) c  a  σc = resistencia a compresión simple o sin confinar de la roca intacta  tm  RMR  100   exp   (1.3) t  b  RMR= índice de calidad de Bieniawski a, b = parámetros que varían de acuerdo al investigador a ≈ 18,75-25 b ≈ 12-27 Por ejemplo Sheorey [6], en su criterio de rotura utiliza los siguientes valores: 15  Roberto Ucar Navarro a=20 y b=27 Dividiendo la ecuación (1.1) por σcm , resulta: 1     K   3   tm   K1  3  tm     (1.4)  cm   cm  cm   cm   cm  Llamando: K K2  (1.5)  cm La ecuación anterior se transforma, 1         tm   K1  3  tm   K 2  3  (1.6)  cm   cm  cm    cm  A través de (1.2) y (1.3), la relación σtm / σcm puede representarse como sigue:   tm    t   RMR  100   RMR  100        exp    (1.7)   cm   c   b   a  Por lo tanto, en forma reducida se tiene;  t  m    exp   RMR      exp   RMR    c  (1.8)  RMR  100   RMR  100     RMR      (1.9)  b   a  Quedando finalmente, 1/ 2  1   3   3     K1   m  K 2   m (1.10)   cm    cm    cm  Lógicamente, si RMR=100 (roca intacta), se observa a través de (1.9) que: 16  Roberto Ucar Navarro  c    RMR   0 ,  m       t  Por lo tanto, en este caso en particular la ecuación (1.10) pasa a representar la condición de una roca intacta. Finalmente, la segunda etapa de investigación se fundamenta en ampliar el criterio propuesto en un procedimiento práctico y efectivo de rotura en tres dimensiones, por cuanta hay evidencias que demuestran que el esfuerzo principal intermedio σ2 tiene influencia en la resistencia de la roca. En caso de lograse, su aplicación sería de gran utilidad al poder determinar con mayor exactitud la resistencia de la masa rocosa en función de las tres tensiones principales. Así, por ejemplo por mencionar dos casos, es de fundamental importancia optimizar el diseño del sostenimiento de túneles junto con una reducción en los costos de la obra, e igualmente es de interés analizar en mayor detalle la estabilidad de hoyos en la industria petrolera, cuyo campo tridimensional de esfuerzos es complejo de determinar. 1.1 Un simple ejemplo de aplicación en macizos rocosos Con el objeto de poder apreciar la importancia de las ecuaciones (1.7) y (1.10), a continuación se lleva cabo un ejemplo práctico a través del cual se determina la relación ente los esfuerzos principales considerando el índice de calidad RMR de Bieniaswki [1] y las ecuaciones (1.2) y (1.3) utilizando las constantes a=20 y b=27 sugeridas por Sheorey [6] A la vez los resultados se comparan con el criterio de rotura generalizado de Hoek y Brown. Los datos de entrada de la masa rocosa investigada son los siguientes: σc = 40,00MPa , σt = 40,00/12 =3,33 MPa 17  Roberto Ucar Navarro t 1    c 12 RMR = GSI (Índice de Resistencia Geológica de Hoek y Brown ) = 60 Al aplicar (1.10), resulta:   tm   1   60  100   60  100   m       exp      0,14   cm   12    27   20  Utilizando el programa EES (Engineering Equatión Solver), se ha resuelto el sistema de cinco ecuaciones simultáneas no lineales. Por otra parte, el procedimiento analítico para determinar las referidas ecuaciones se detalla en la sección (7.4). Adicionalmente cabe señalar, que previo al cálculo se ha reemplazado σc por σcm y ξm por ξ, con la finalidad de pasar de la condición de roca intacta a diaclasada. Los cinco valores obtenidos son: K1 = 4,16 K2 =1,12 K4 =0,02793 (constante de integración, la cual se encuentra en la ecuación de σn )  n    n    0,154 3 0   cm  σn =Esfuerzo normal actuando en el plano de rotura para el caso particular que la tensión principal menor σ3 =0 =44,36o (inclinación de la tangente a la envolvente de rotura, para la condición en la cual σ3 =0. Ensayo de compresión sin confinar) Por lo tanto, el ángulo que forma el plano de falla con el esfuerzo principal menor es: α = (π/4+/2)= 67,18o 18  Roberto Ucar Navarro Con los valores de K1, K2, K4 y ξm es posible determinar la tensión normal empleando la ecuación (7.42) indicada en la sección (7), y la resistencia la corte a través de (7.27)  n     4 K1  (3  K1 )  2 1  K1   1  K1  sen      K     m   1  sen   K 4    2    21 K1      cm     2     1   1       K1 K 1 sen    (1.11)   K 3  tan  45         2   n   m   tan  45     cm   cm   2   2     2 (1.12)  tan  4  2   K1      Finalmente, en la tabla anexa con la ayuda de la hoja de cálculo Excel se compara el nuevo criterio propuesto con el criterio generalizado de Hoek Y Brown. Se observa, para este caso en particular que la diferencia existe en la zona de tracción y a partir de valores de σ3 > 5 MPa. Para mayor detalla véase la figura 1.1 En definitiva, es necesario seguir investigando y analizando a profundidad la resistencia al corte en rocas fracturadas y meteorizadas, tal como se ha mencionado como una segunda fase de investigación, debiéndose hacer hincapié en los parámetros σtm y σcm y por ende en el factor ξm= (σtm /σcm ). Todo esto con el propósito fundamental de obtener valores lo más cercanos posibles a los reales, tarea por supuesto nada fácil de lograr. Además de comparar las expresiones de σtm y σcm con los obtenidos por Sheorey [6] , será necesario tener en cuenta otras investigaciones las cuales se mencionan en la sección nueve , por cuanto ξm es el factor más importante que gobierna la resistencia al corte de la roca. 19  Roberto Ucar Navarro Comparación de resultados entre el nuevo criterio de rotura propuesto por Úcar y el de Hoek y Brown Curva Curva Curva Ajuste Ucar Ajuste Ucar Ajuste H&B σcm (MPa) σc (MPa) σ3 (MPa) σ3/σcm (σ1/σcm ) Ucar σ3 (MPa) (σ1) Ucar σ3 (MPa) (σ1) HB 5.41 40 -0.757669 -0.13996 0 -0.75767 0 -0.1624 0.006196379 -0.5 -0.09236 0.442359484 -0.5 2.39467384 -0.1 2.404105126 σtm (MPa) σt (MPa) -0.25 -0.04618 0.733107427 -0.25 3.96861205 -0.05 3.33259724 -0.76 -3.333333333 0 0 1.001247654 0 5.42016539 0 4.083563736 0.1 0.018473 1.104888245 0.1 5.98121454 0.1 5.321159803 ξ RMR 0.25 0.046182 1.257571327 0.25 6.80775087 0.25 6.832584376 -0.08333333 60 0.5 0.092363 1.506311395 0.5 8.15428317 0.5 8.892788165 K1 0.6 0.110836 1.604209077 0.6 8.68424359 0.6 9.62021691 4.16 0.8 0.147781 1.797795574 0.8 9.73220693 0.8 10.9647991 K2 ξm 1 0.184726 1.988893093 1 10.7666964 1 12.19829262 1.12 -0.139961467 1.5 0.27709 2.458222757 1.5 13.3073709 1.5 14.95373677 Parámetros Hoek & Brown 2 0.369453 2.91854392 2 15.7992787 2 17.39634674 m mb 2.5 0.461816 3.372226643 2.5 18.2552499 2.5 19.62988299 12 2.876 3 0.554179 3.820754382 3 20.6833151 3 21.71084915 s a 4 0.738906 4.706063639 4 25.4758582 4 25.54282914 0.0117 0.513 5 0.923632 5.579612361 5 30.2047368 5 29.0585184 6 1.108358 6.444366956 6 34.8860091 6 32.34604256 Sigma3t (σtm )HB( MPa) 7 1.293085 7.302223548 7 39.5299397 7 35.45883383 -0.1624 0.006196379 8 1.477811 8.154481342 8 44.1435617 8 38.43220211 9 1.662538 9.002076648 9 48.7319437 9 41.29093224 10 1.847264 9.845710684 10 53.2988818 10 44.05321759 LEYENDA σ3 = Esfuerzo principal menor en la rotura , MPa σ1 = Esfuerzo principal mayor en la rotura , MPa σc = Resistencia a la compresion simple de la roca intacta (matriz rocosa) , MPa σt = Resistencia a la tracción unidimensional de la roca intacta , MPa ξ=σt /σc ξ m=σtm /σcm 1/ 2  1   3        K1    m  K 2  3   m  K1 = Constante   cm    cm    cm  K2 = Constante m, s = Parámetros del criterio empírico de rotura de Hoek y Brown σcm = Resistencia a la compresion simple de la masa rocasa en MPa σtm = Resistencia a la tracción unidimensional de la masa rocosa en MPa Tabla 1.1 Comparación de los valores de σ1, aplicando el nuevo criterio de rotura propuesto y el criterio generalizado de Hoek y Brown. 20  Roberto Ucar Navarro COMPARACIÓN DE CRITERIOS DE ROTURA EN MACIZOS ROCOSOS 60 50 E s fu e r z o P r in c ip a l M a y o r Criterio de Úcar 40 S ig m a 1 , M P a Serie1 30 Serie2 20 Criterio de Hoek & Brown 10 0 -2 0 2 4 6 8 10 12 -10 Esfuerzo Principal Menor Sigma3, MPa Fig.1.1 Gráfico comparativo entre el nuevo criterio de rotura propuesto en esta investigación y el criterio generalizado de Hoek y Brown. Obsérvese en este caso en particular que para valores de 0 ≤ σ3 ≤ 5 MPa, ambos criterios tienen resultados muy semejantes. La diferencia se aprecia en la zona de tracción y para valores del esfuerzo principal menor σ3 > 5MPa 21  Roberto Ucar Navarro 2. DESARROLLO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES QUE PERMITEN DETERMINAR LA ENVOLVENTE DE ROTURA O CURVA DE RESISTENCIA INTRÍNSICA. Utilizando las ecuaciones de equilibrio en un estado bidimensional y mediante la figura (2.1) se sabe que: 2 2  1  2 1   3      2 1    3         2  Que equivale a escribir, (2.1) 2 2   f (  , 1 , 3 ,  )      1   3    2   1 3   0 1  2   2  Por cuanto 1 = (3), la ecuación (2.1) toma la forma. f (, , 3 ) = 0 (2.2) Donde,  = n y  representan el esfuerzo normal y tangencial sobre el plano de rotura respectivamente. Por otra parte, si la familia de líneas planas f (, , 3) = 0, admite envolvente, las funciones  =  (3) y  =  (3) que definen las ecuaciones paramétricas de esta envolvente, satisfacen el sistema de ecuaciones: f (  ,  ,  3 )  0 (2.3) f 0  3 22  Roberto Ucar Navarro Despejando en (2.3) las tensiones  y  en función de 3, se obtienen las ecuaciones paramétricas que definen la envolvente. Asimismo, en caso que sea posible, se puede proceder eliminando 3 en las dos ecuaciones indicadas en (2.3), hallándose una relación de la forma ζ(, ) = 0, la cual representa también la envolvente. Cabe destacar, que la familia de circunferencias de radio variable 3, representada a través de (2.1) recibe el nombre de involutas. Tomando la derivada de 1 con respecto a 3 en ambos lados de la ecuación (2.1) queda:  1   1   1      3    1  2    1   3     1   1    1 (2.4)  2  2   3    2    3    1      3    1  1    1  1     1     1   3   0 (2.5)   3   2    3  2  Al simplificar resulta:    3   1   3    1  (2.6) 1     3  Reemplazando (2.6) en (2.1) y despejando  , se obtiene:  1   3  1   (2.7)   1   3 1     3 23  Roberto Ucar Navarro Figura 2.1. Envolvente de rotura por cizallamiento en macizos rocosos. 24  Roberto Ucar Navarro Al dividir (2.7) entre (2.6), es posible escribir: 1/ 2 1/ 2          1          3   1  (2.8)     3    3    3  Por otro lado, al observar el triángulo ABC de la figura (2.1), el ángulo de rotura se calcula a través de la expresión: 1/ 2    tan    1  (2.9)   3  Igualmente, al observar la figura (2.1), se aprecia que el ángulo que forma el plano de falla  con el esfuerzo principal menor y la inclinación de la envolvente de falla , están relacionados a través de la expresión: 2 = (/2 + ) (2.10) Es decir: tan.tan2 = -1 (2.11) Cabe destacar, que  se conoce también como el ángulo de fricción interna instantáneo ( = i) A la vez utilizando (2.11), la pendiente de la envolvente puede determinarse como sigue:  d    tan 2   1     tan     (2.12)  2 tan    d     Al reemplazar (2.9) en (2.12), resulta: 25  Roberto Ucar Navarro   1     1  d        tan    3  1 / 2   ' (2.13)  d      2 1    3  †   1  Llamando     '1 , queda por tanto:   3   '1 1  '  (2.14) 2 '1  1 / 2 La cual se transforma:  '1 - 2 ' · (  '1 ) 1/2 –1=0 (2.15 De donde: 1/2 (  '1 ) =  ' + [ 1 + ( ' ) 2 ] 1/2 (2.16) Despejando  = n en (5), se tiene: 1  ' 1     1   3   1   3  1  (2.17) 2   ' 1 1  Al simplificar resulta:  1   3   '1   (2.18) 1   '1 Al despejar el esfuerzo principal menor 3 de la ecuación (2.7) se obtiene:   1  † En este caso  '1    , por lo tanto no se refiere a la presión efectiva.   3  26  Roberto Ucar Navarro  1   '1   3  1   (2.19)  '1  1 / 2 Reemplazando dicho valor en (2.18), queda:     1   '1     1   '1    1   '1  1   (2.20)   '1  1 / 2  Al despejar 1 de la ecuación anterior, es posible escribir: 1 =  +  (  '1 ) 1/2 (2.21) Sustituyendo (2.16) en (2.21) se obtiene:         '   1   '  1/ 2  2 (2.22) 1     Es decir: 2         '   ·  1   '  1/ 2 (2.23) 1   Igualmente, el esfuerzo principal menor 3 puede expresarse: 2 1/ 2         ' -  ·  1   '  (2.24) 3   Siendo la diferencia entre los esfuerzos principales: ( 1 - 3 ) = 2  ·  1   ' 2  1/ 2 (2.25)   Elevando (2.16) al cuadrado:  '    '  2  2  '  1    ' 1   2  1/ 2   1    '  2  (2.26) Así:    '  1   1  2  ' 2  2  ' 1   '  2  1 / 2 (2.27) 1          3 27  Roberto Ucar Navarro 3. UN EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA ENVOLVENTE A continuación, a través de un ejemplo sencillo descrito por Marín Tejerizo [14], se determina la envolvente a una familia de circunferencias, cuyo procedimiento es el utilizado en esta investigación para determinar la nueva envolvente de rotura en macizos rocosos. En resumen, si la familia de líneas planas f(x, y, t) = 0, admite envolvente, las funciones x=ξ(t), y=φ(t) que definen las ecuaciones paramétricas de esta envolvenvente, satisfacen por lo tanto el sistema de ecuaciones: f f ( x, y , t )  0 y 0 (3.1) t 2 Considérese según [14] la ecuación (x-t) +y2-2t+1=0, la cual representa una familia de circunferencias de radio variable, teniendo todas ellas (ver figura 3.1) su centro en el eje OX. Al aplicar el sistema de ecuaciones indicado en (3.1), y derivando se obtiene que: x t 2  y 2  2t  1  0 (3.2) 2  x  t )  2  0  Obteniéndose por tanto, dos arcos x   t  1 y  2  t  1 (3.3) x   t  1 y   2  t  1 (3.4) 28  Roberto Ucar Navarro 2 Suponiendo que t ≥1, estos dos arcos forman la parábola y = 2x, la cual es la envolvente a las circunferencias, que en este caso son las involutas. Figura No 3.1 -Envolvente a una familia de círculos 29  Roberto Ucar Navarro 4. CRITERIOS EMPÍRICOS DE ROTURA Un criterio empírico de rotura permite determinar con la mayor precisión posible la resistencia de la roca a través de datos experimentales. Por otra parte, se deben obtener los mejores valores de las constantes o parámetros incógnitas para cada roca en particular de la función escogida, de manera que la curva pase lo más cerca posible del conjunto de puntos obtenidos experimentalmente a través de los ensayos de tracción, compresión sin confinar y triaxial en núcleos de rocas intactas . Este método analítico de ajuste de la curva es ampliamente utilizado y se conoce como el método de los mínimos cuadrados. Sin embargo, cabe indicar que algunos de los criterios establecidos han buscado mecanismos para hallar la resistencia en rocas diaclasadas y meteorizadas. Esto se ha logrado relacionando en forma aproximada las nuevas constantes involucradas en macizos rocosos fracturados y alterados por la acción de agentes externos, con los parámetros de la roca intacta previamente obtenidos mediante el ajuste de la curva y considerando adicionalmente los bien conocidos índices de calidad tales como el RMR [1] , también denominado Rock Masas Raiting de Bieniaswki ,el sistema Q de Barton [2] y el índice de resistencia geológica (Geological Strength Index GSI) propuesto por Hoek y Brown [3] De acuerdo a Edelbro [15], en la tabla anexa se indican varios criterios empíricos de rotura en roca intacta propuesta por diferentes investigadores. 30  Roberto Ucar Navarro Tabla No.4.1.Resumen de diferentes criterios de rotura en rocas, según Edelbro [15] Ecuación de Rotura Comentarios Autor 1 3   ab 1 3  2 Una generalización empírica de la Fairhurst( 1964) teoría de Griffith de roca intacta Ajuste de curva mediante datos Hobbs(1964) 1 c 3 F3f experimentales en roca intacta 1 c a3b Ajuste de curva mediante datos Murrel(1965) experimentales en roca intacta C Ajuste de curva mediante datos Hoek(1968)  m  0  D m experimentales en roca intacta c c 1 c a 3 Ensayo triaxial en roca blanda Bodonyi(1970) 1 3 c1B  1 3  B Ajuste de curva ensayando 500 Franklin(1971) testigos de rocas 1 3   1 Aplicación de la teoría de Griffith Hoek y Brown m c 3 sc2 2 ,y ajuste de curva en roca intacta (1980) y diaclasada-  Ajuste de curva ensayando 700 Bieniawski(1974) 1    ab 3  testigos de roca, tanto .en intacta Modificado por c c  como diaclasada Yudhbir(1983) b Aplicación utilizando 80 testigos Ramamurthy et al   1 3 a3  c  de rocas (1985) 3  B Ajuste de curva para suelos y Johnston(1985) M   '1n   '3n 1 roca B  31  Roberto Ucar Navarro b Aplicación en roca intacta y Balmer (1952),   1 c 1 3  fracturada Sheorey et al (1952)  t  1 A, B y S parámetros de corte Yoshida(1990)   B 1 3  Ac  3 S  c  a Versión 2002 Hoek y Brown  '3   1  3 ci mb  s ' ' (1980)  ci   A , parámαetro adimensional , B Yudhbir et al   1  Aci Bci  3  es una contante de la roca y el (1973) ci  valor de α ≈ 0,65 bm Emplea RMR76 Sheorey et al (1989)  3  1 cm 1   t m    bm Versión 2001 Ramamurthy(1995) ci  '1 '3 '3 am  '   3  De acuerdo a la tabla (4.1): A, a, am, b, bm, B, F, f, M, m, s α, mb son constantes a determinar 1 es el esfuerzo principal mayor en la rotura y 3 el esfuerzo principal menor. Al considerar las tensiones principales efectivas, éstas se denotan como ’1 y ’3. c =ci es la resistencia a compresión simple de la roca “intacta (matriz rocosa). m= (1+3)/2 y m= (1-3)/2 σtm representa la resistencia la tracción de la masa rocosa, y es una fracción de la resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt . 32  Roberto Ucar Navarro σcm= resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa σ’1n= ’1 /c y σ’3n= ’3 /c (tensiones normales efectivas normalizadas) Adicionalmente, cabe destacar que el autor del presente trabajo ha determinado la envolvente de rotura del criterio original de Hoek y Brown [16] y de Murrel [17]. Este último en mencionarse ha sido expresado posteriormente en forma adimensional por Bieniawski [18], en el cual los esfuerzos principales en el instante de la falla están vinculados a través de la ecuación. K  1       A  3  1 (4.1) c  c  Siendo c la resistencia a compresión simple de la roca intacta y los parámetros A y K, constantes que dependen de las características geomecánicas de la roca, tal como se indican en la tabla anexa Tabla No 4.2 según Bieniawski [18] K 1  3   1 A    K = 0,75 c  c  Tipo de roca intacta A Norita 5,0 Cuarcita 4,5 Limolita 4,0 Lodolita 3,0 Mayoría de las rocas 3,5 Por otro lado, Wang Chuan-zhi et al [19], mencionan los trabajos de Richart realizados en ensayos triaxiales en concreto, quien obtuvo inicialmente la relación: 33  Roberto Ucar Navarro 1  3   1  4,10   (4.2) c  c  Es decir, A = 4,10 y K=1. Esta ecuación lineal corresponde al criterio de rotura de Mohr – Coulomb como se apreciará más adelante en el apéndice (A) de este estudio. 2   En este caso en particular A  tan     4,10    37, 43 .  4 2 Siendo φ el ángulo de fricción interna del concreto. Posteriormte Richart la modificó, obteniendo A=3,7 y K=0,86, como puede apreciarse en la figura 4.1. También a través de la referida figura se comparan ambos criterios de rotura, observándose que aproximadamente hasta valores con relaciones de σ3/σc = 0,60 ambas ecuaciones presentan resultados muy cercanos de σ1/σc. Igualmente puede observarse que el valor obtenido por Richart en concreto es de K =0,86, mientras que para rocas Bieniawski recomienda utilizar K=0,75. Teniendo en cuenta que ambos criterios son utilizados en el campo de la mecánica de las rocas para detrminar la resistencia al corte, al final de esta investigación en el apéndice (A) se explica en detalle el desarrollo analítico para el caso particular que K=0,75, valor obtenido experimentalmente por Bieniawski [18] Cabe destacar que a partir de 1980 el criterio de rotura de Hoek y Brown [16] es uno de los más utilizados, en particular se ha popularizado luego que la ecuación original ha sido expandida y mejorada, con la ventaja adicional que los parámetros m y s se obtienen bien sea en función del índice de calidad RMR de Bieniaswki [1], o a través y del índice de resistencia geológica GSI [3] 34  Roberto Ucar Navarro Para mayor detalle véase el artículo de Hoek –Brown failure Criterion-2002 Edition, por Hoek, Carranza –Torres y Corkum [20], el cual está disponible en la página Web www.rocscience.com, incluyendo además el programa asistido por el ordenador Analysis of Rock Strength using RocLab. Considerando lo previamente mencionado, es de vital importancia poder comparar ambos criterios, con la ecuación propuesta en esta investigación. En dicha comparación se han utilizado los datos experimentales obtenidos por Torres [21] en cilindros de concreto ensayados a tracción, compresión simple y triaxial. A la vez cabe destacar, que al equipararse los resultados obtenidos entre ambos criterios con la nueva relación que vincula a los esfuerzos principales 1 y 3 en el instante de la falla , se observa que la nueva relación propuesta se ajusta mucho mejor a los datos experimentales. 35  Roberto Ucar Navarro Figura 4.1 - Comparación de los ensayos de compresión triaxial en muestras de concreto según diferentes autores, según Wang Chuan-zhi et al [19]. Obsérvese que en ambas ecuaciones se obtienen iguales resultados para valores de σ3 /f ’c ≤ 0,60 36  Roberto Ucar Navarro 4.1 Criterio original de rotura de Hoek y Brown Teniendo en cuenta la importancia de este criterio y su utilización cada día mayor en la ingeniería de las rocas, a continuación se describe la nueva hipótesis de rotura propuesta por Hoek y Brown [16] tanto en roca intacta como en macizos que exhiben características predominantes de diaclasamiento y metereorización. A través de innumerables ensayos de laboratorio, conjuntamente con los fundamentos teóricos que existen sobre fractura y propagación de grietas en roca, Hoek y Brown [16], hallaron una nueva hipótesis empírica de rotura estableciendo la siguiente relación entre los esfuerzos principales 1 y 3, es decir: 1/ 2     1   3   c m  3  s   c  En forma adimensional (Ver figura No 4.2) (4.3) 1/ 2 1  3   3    m   s c c  c  Donde: 1 = esfuerzo principal mayor en la rotura 3 = esfuerzo principal menor en la rotura c = resistencia a la compresión simple de la roca “intacta” m, s =constantes que dependen de las propiedades de la roca El parámetro (m) controla la curvatura entre los esfuerzos principales, mientras que (s) regula la localización de la curva entre 1 y 3. 37  Roberto Ucar Navarro En la tabla No 4.3, se pueden apreciar los diferentes valores de m y s, dependiendo del índice RMR de Bieniaswki. Por otra parte de acuerdo a González de Vallejo et al [22] la tabla No 4.4 incluye la clasificación Q de Barton. La resistencia a compresión simple de la roca intacta c se obtiene al convidar que no existe confinamiento lateral (3 = 0), y que además s = 1, resultando a través de (4.3) que 1 = c. Cuando el macizo presenta planos de fracturas (s < 1), la resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa se denomina cm y se determina como una fracción de c, como podrá apreciarse más adelante. Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación (4.3) y despejando 3 resulta:   3   1   m 2  1    c   m 2   c2  4  m 1   c  4  s   c2  2  1/ 2 (4.4) Tomando la raíz no positiva de m 2   c2  4  m 1   c  4  s   c2  ya que 3 corresponde al esfuerzo principal menor, se tiene por tanto:   3   1   m 2  1    c   m 2   c2  4  m 1   c  4  s   c2  2  1/ 2 (4.5) La resistencia de la tracción unidimensional de la masa rocosa tm se determina al considerar 1 = 0, así la ecuación anterior toma la forma: c   m   m2  4  s   1/ 2 3  tm    (4.6) 2   38  Roberto Ucar Navarro Figura 4.2 Criterio de rotura original de Hoek y Brown [16] 39  Roberto Ucar Navarro Tabla 4.3 – Valores típicos de los parámetros del criterio de rotura de Hoek y Brown [16] en función del índice RMR 40  Roberto Ucar Navarro Tabla 4.4 41  Roberto Ucar Navarro A través de (4.3) y (4.6) se aprecian los límites de s, es decir: s = 1, 1 = c  roca intacta s = 0, 3 = t = 0  roca muy fracturada De lo anterior resulta, que para otros estados intermedios del macizo rocoso, (s) se encontrara dentro del entorno 0 < s < 1. Al considerar s=1 y m=mi., se obtiene la resistencia a tracción en la condición intacta. Por tanto (4.6) se transforma: c   mi   mi2  4   1/ 2 t  2   (4.7) El valor de m en roca intacta puede hallarse midiendo el ángulo  que forma la superficie de falla con la dirección del esfuerzo principal menor 3. Adicionalmente, al observar el triangulo ABC de la figura No 2.1 y empleando la ecuación (4.3), la magnitud de () se determina mediante la siguiente expresión: 1/ 2   1/ 2       m  tan    1   1     3  1/ 2 (4.8)   3    2  m    s     c   Al considerar que: s=1  roca intacta 3 = 0  ensayo de compresión sin confinar 2 Resulta por lo tanto: tan α= (1+ mi /2) y mi = 2 (tan2-1) Adicionalmente, a continuación se demuestra que para la condición de la roca intacta (s = 1), el valor del parámetro m = mi es: 42  Roberto Ucar Navarro c m , m  mi (condición intacta) (4.9) t Por otra parte, la ecuación (4.3) puede expresarse como sigue: 2  1  3  3     m 1 (4.10)   c  c  c Como previamente se ha mencionado la resistencia a tracción t en la condición intacta (s=1) se determina considerando 1 = 0. En estas condiciones 3 = t, por lo tanto la ecuación anterior toma la forma: 2  t  t    m 1 (4.11)   c   c Al despejar m, se obtiene: 2  t    1  m c  t  valor negativo  (4.12)  t     c   t  1 Como una simple aproximación, si se considera que la relación   su    10 c cuadrado es << 1, obteniéndose finalmente que: m= m i ≈ (σc / σt) También, cabe destacar que Ucar [23] aplicando dicho criterio original de Hoek y Brown, determinó analíticamente la solución exacta de la envolvente de rotura, es 43  Roberto Ucar Navarro decir la ecuación que gobierna la resistencia al corte  , conjuntamente la tensión normal n tal como se especifica a continuación‡ : m 1  seni     c   (4.13) 8  tan i  i = inclinación de la envolvente de falla. Se conoce también como ángulo de fricción interna instantáneo (ver figura 2.1).        i  = ángulo entre la superficie de falla y la dirección del esfuerzo 4 2  principal menos 3. m  1  3 m s   n    c   seni  c   (4.14)  2  sen i  16 m  2 8  Los valores de m y s en función de RMR, pueden obtenerse de acuerdo a Hoek y Brown [24] mediante la siguiente expresión cuando la roca ha sido bien excavada mediante voladura controlada (sin ser perturbada), y cuando ha sido perturbada. 1,00 (roca perturbada)  RMR  100  m  mi exp    Im = (4.15)  14 I m  2,00 (roca no perturbada) m i = valor de m en la condición “intacta”, ver tabla 4.3 y 4.4 ‡ La ecuación empírica de la envolvente utilizada por Hoek y Brown es: B       A  c  n t  , A y B constantes a determinar mediante ensayos.  c  44  Roberto Ucar Navarro 1,00 (roca perturbada)  RMR  100  s  exp    Is = (4.16)  6I s  1,50 (roca no perturbada) Por otra parte, Hoek, Kaiser y Bawden [25], han determinado los parámetros m y s en función de un nuevo índice de calidad de la roca, conocido como índice de resistencia geológica GSI (Geological Strength Index), el cual evalúa la calidad del macizo rocoso en función del grado de fractura , tamaño de los bloques , rugosidad y alteración de las discontinuidades. Al tener en cuenta este nuevo índice resulta:  GSI  100  m  mi .exp   (Ver tabla No 4.5)  28  GSI  100  s  exp   (4.17)  9 mi corresponde al valor de m para la roca intacta, es decir cuando GSI=100, por lo tanto s=1 Adicionalmente dichos investigadores, indican que el índice de resistencia geológica (Geological Strength Index) GSI = RMR76, para valores de RMR76 > 18 y por otra parte, GSI = (RMR89 – 5), cuando el índice calidad del macizo rocoso RMR89 > 23. En resumen, el GSI a través de observaciones visuales en el campo permite determinar la reducción de la resistencia de la masa rocosa en función de la frecuencia de las diaclasas, su rugosidad, relleno y alteración de las paredes de las discontinuidades. 45  Roberto Ucar Navarro § En este punto debe señalarse que Stille y Palmström , indican que este procedimiento visual representa un retorno a la descripción cualitativa en lugar de lograr avances dese el punto de vista cuantitativo con datos de entrada como el RMR o el sistema Q. Adicionalmente mencionan que el GSI se ha encontrado principalmente útil en roca débiles con valores de RMR<20, concluyendo por otra parte, que es este índice de resistencia geológica no corresponde a una clasificación ingenieril de la roca. Posiblemente debido a lo previamente indicado, Sömez y Ulusay [26] recientemente han modificado la tabla anterior determinando el GSI en función del índice volumétrico de las diaclasas Jv, el cual representa el número 3 total de discontinuidades que interceptan un volumen unitario (1m ), cuantificando además la rugosidad, alteración y relleno de las fracturas. De esta manera logran un valor del GSI más representativo a través del procedimiento de valoración que se indica en la tabla 4.6 § Stille, H y Palmström, A (2003), “Classification as a tool in rock engineering”, Tunnelling and Underground Space Technology, Volume 18, pp 331-345 46  Roberto Ucar Navarro Tabla No 4.5 Índice de calidad GSI 47  Roberto Ucar Navarro Tabla 4.6 48  Roberto Ucar Navarro 4.2 Criterio generalizado de rotura de Hoek y Brown Como se sabe, el criterio original de rotura en rocas publicado por Hoek y Brown [16] en 1980 ha generado buenos resultados para las mayorías de las rocas de calidad buena y media, en la cual la resistencia está controlada por un fuerte trabado de los trozos angulares de los granos minerales. Posteriormente Hoek y Brown en 1992 [27] mejoraron y extendieron la ecuación (4.3), la cual permite estimar con mayor precisión la resistencia en macizos rocosos de calidad pobre en donde la unión o trabazón de las partículas de roca ha sido destruida bien sea por efectos de la meteorización o el cizallamiento, dando como resultado una roca sin resistencia a la tracción o cohesión. Teniendo en cuenta lo previamente indicado, los mencionados autores han expresado en una forma más general la ecuación (4.3) en función del exponente (a), resultando por lo tanto: a 1  3   3     m   s  (4.18) c c  c  Siendo:  GSI   a  0, 65    , si GSI  30 (4.19)   200   Cuando GSI  30, a =1/2 Posteriormente, Hoek, Carranza-Torres y Corkum [20] y en el programa Roc Lab [28], incorporan en la ecuación (4.17) el factor D que depende del grado de perturbación de la roca durante el proceso de excavación. A la vez el exponente (a) involucrado en la fórmula (4.18) que vincula a los esfuerzos principales en la falla σ1 y σ3 ha sido modificado y se expresa como sigue: 49  Roberto Ucar Navarro 1 1 GSI /15 20 / 3 a  e e  (4.20) 2 6  GSI  100  m  mi exp    28  14 D  (4.21)  GSI  100  s  exp   9  3D  Al considerar nuevamente que σ3 = 0 el valor de la resistencia a compresión sin confinar de la mas rocoas es σcm . Por tanto, la ecuación (4.18) toma la forma:  cm   c  s  a (4.22) ** Cabe señalar que algunos autores , como por ejemplo que Ramamurthy denotan dicha resistencia como (σc)j para la condición en la cual la roca contiene planos de discontinuidades que condicionan el comportamiento deformacional, hidráulico y resistente de los macizos rocosos. Se aprecia a través de la ecuación anterior, que para el caso particular en el cual el parámetro s =1, σcm= σc, es decir corresponde cuando el medio rosos es completamente sano (roca intacta). Para el caso en cual σ3 = σtm, y σ1 = 0, la resistencia a tracción de la masa rocosa empleando (4.18), se transforma en la siguiente expresión: s c  tm   (4.23) m ** Ramamurthy, T (2004) . A geo-engineering classification for rocks and rocks masses. International Journal Of Rock Mechanics and Mining Sciences, Vol 41, pp 89-101 50  Roberto Ucar Navarro 1/ a Dicho valor aproximado se obtiene considerando que (σtm / σc) o Para la condición de roca intacta, s=1, m = mi y por lo tanto: σt ≈ - σc/mi Por otra parte, en relación a la resistencia a la compresión sin confinar σcm , Marinos y Hoek [29] , han determinado dicho valor en función del índice GSI , mi y de la resistencia a comprensión sin confinar de la roca intacta σc= σci, como a continuación se indica: GSI    0,10 m i    cm    0, 0034 m i 0,80  ci  1, 029  0, 025  e    (4.24) También, el valor de σcm puede obtenerse según Kalamaras y Bieniawski [30] en función del índice RMR de Bieniawski, a través de la expresión:  RMR  100   cm   c exp   (4.25)  24  Debe indicarse que las ecuaciones (4.24) y (4.25) dan resultados muy parecidos. Sin embargo, si hay diferencias con la ecuación propuesta por Burton [2]    cm  5   Qc1/ 3 (4.26)  10  3 Siendo, Qc= Q (/100) , con σc en MPa y γ el peso unitario en kN/m . Para completar este importante tópico, es oportuno aclarar lo siguiente: Hoek en su artículo Uniaxial compressive Strength versus Global strength in the Hoek Brown criterion, disponible en www.rocsciece.com, indica que la ecuación (4.22), tiene aplicación limitada por cuanto calcula la resistencia específicamente en la periferia de un túnel , o en el lindero de la cara del talud o de un pilar , pero no en el interior de la masa rocosa . 51  Roberto Ucar Navarro A la vez, menciona que es de interés determinar la resistencia a la compresión de la roca en función del grado de confinamiento conocida como resistencia global o media. En estas condiciones previamente descritas Hoek, Carranza-Torres y Corkum [20], recomiendan la siguiente ecuación††:  m   a 1  m4 s a ( m8s )   s   cm confinada  c  4   2(1 a )(2 a ) (4.27) c Definida en el intervalo: 0  3  4 Sin lugar a dudas, este intervalo es muy amplio y por lo tanto dicho valor indicado en (4.27) es una simple aproximación al problema y debe emplearse con precaución, por cuanto la resistencia a la compresión de la roca varía significativamente con el grado de confinamiento debido a la elevada pendiente de la curva σ1 =f (σ3) del referido criterio de Hoek y Brown. Por otra parte, en el presente trabajo a la ecuación (4.27) se le ha colocado como subíndice la palabra “confinada”, para no confundir dicha ecuación con las indicadas en (4.22), (4.24) , (4.25) y (4.26) que se refieren específicamente a la resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa , la cual corresponde cuando σ3=0 Se ha considerado conveniente esta aclaratoria, ya que Marinos y Hoek [29] han definido con anterioridad a σcm como la resistencia a compresión sin confinar. †† En este trabajo se emplea (σcm )confinado en lugar de σcm , tal como lo expresan los referidos autores en su artículo Hoek-Brown Criterion – 2002 Edition [20] 52  Roberto Ucar Navarro Igualmente, cabe mencionar que Hoek y Marinos en el año 2000 utilizan el mismo concepto de σcm descrito en el párrafo anterior en el artículo Predicting tunnel squeezing problems in weak heterogeneous rock masses (Véase Select Publications by E.Hoek: http://www.rocscience.com/hoek/references/Published- Papers.htm). Teniendo en cuenta el análisis precedente, es oportuno señalar que es necesario ser cuidadoso con la terminología empleada en los diferentes artículos sobre resistencia al corte en macizos rocosos. Un caso particular es el programa Roc Lab, en el cual valor de σcm ha sido definido como la resistencia global a la compresión y no como la resistencia sin confinar de la masa rocosa, por cuanto son dos conceptos totalmente diferentes. Para mayor detalle el referido programa [28] asistido por el ordenador se obtiene libremente a través de: http://www.rocscience.com/products/overview Finalmente, Kumar [31], teniendo en cuenta el criterio de rotura desarrollado por Hoek y Brown [16] , ha determinado la envolvente de rotura y la tensión normal 1 para el caso general de a  mediante un sencillo procedimiento analítico, sin 2 necesidad de resolver ninguna ecuación diferencial, tal como fue hallada previamente por Ucar [23], utilizando la ecuación original que relaciona los esfuerzos principales  1 y  3 del mencionado criterio, mediante la conocida ecuación cuadrática representada a través de la ecuación (4.3), es decir a =1/2. Lamentablemente estas ecuaciones han sido poco difundidas, a pesar de que la contribución llevada a cabo por Kumar es de gran relevancia al poder determinar la resistencia al corte en macizos rocosos, tanto en la condición intacta como considerando los planos de discontinuidad. La resistencia al corte y la tensión normal, según dicho autor, son las siguientes: 53  Roberto Ucar Navarro  a   a   1 a   ma  1 a     1  seni     cos i      c  2   sen i    2   (4.28)  1   1      n 1  m a   1 a   1  seni   1 a   seni  s    1    c m  2   seni   a  m Como puede apreciarse, al considerar el valor de a =1/2, se obtienen las ecuaciones indicadas a través (4.13) y (4.14), las cuales han sido derivadas por Ucar [23] 4.3 Criterio de rotura de Johnston y Chiu [32] Dichos investigadores han desarrollado la siguiente ecuación para roca intacta. B M   ' 1N    3' N  1 (4.29)  B  Expresando los esfuerzos efectivos en forma normalizada en términos de σc  1'  3'  '  ,  '  1N c 3N c (4.30) Donde  1' y  3' corresponden al esfuerzo efectivo principal mayor y menor en instante de la falla respectivamente. M y B = constantes de la roca obtenidas experimentalmente. Cuando  3' =0 ,  1'   c c M Cuando  1'  0 ,  3'   c ,  (4.31) t B 54  Roberto Ucar Navarro Para el caso particular que B=1, resulta;  1'  3'  '   M '  1  M 1 (4.32) 1N 3N c c En este caso, al ser la relación entre las tensiones principales lineal su envolvente también es lineal, obteniéndose la conocida ecuación de Mohr- Coulomb. Siendo por lo tanto, 1  sen ' M (4.33) 1  sen ' Posteriormente, Johnston [33] determinó mediante regresión por mínimos cuadrados que: B  1  0, 0172  log  c  2  c (kPa) (4.34) M  2, 065  0, 276  log  c  2 Cuando c  0, B  1, y M  2, 065 Es decir, la evolvente o curva de resistencia intrínseca es lineal y al aplicar (4.33), se obtiene un ángulo de fricción interna efectivo de  '  20 .Este valor como lo 0 menciona Parry [34] corresponde a una arcilla blanda normalmente consolidada. En el caso de una arcilla rígida sobre consolidada con valores de  c =200,00kPa, Johnston determinó que B=0,90. Es decir una envolvente ligeramente curva. En rocas con alta resistencia a la compresión (  c =250,00MPa), B=0,50 obteniéndose la familiar curva parabólica. Mediante el ajuste la función indicada en (4.29), Johnston [33] determinó los siguientes valores para diferentes grupos de roca. 55  Roberto Ucar Navarro En la tabla adjunta se resumen los valores de las constantes.  M  2, 065  0,170  log  c  2 Grupo a Grupo b  M  2, 065  0, 231 log  c  2 Grupo c  M  2, 065  0, 270  log  c  2 (4.35) Grupo e  M  2, 065  0, 659  log  c  2 Tabla 4.7, según Johnston [33] Mejor ajuste Ecuación Ecuación  c MPa No 4.34 No 4.35 Roca Grupo B M B M Caliza a 96,00 0,481 7,43 0,573 6,29 Limolita b 1,30 0,750 6,16 0,833 4,30 Arenisca c 68,00 0,444 11,40 0,598 8,37 Granito e 230,00 0,538 15,60 0,505 21,02 4.4 Criterios de Ramamurthy et al [4] y Sheory [6] En esta sección se describen los trabajos realizados por investigadores de la India, cuyo aporte ha sido de gran importancia en el campo de la mecánica de las rocas. Ramamurthy ex-profesor del Indian Institute of Technology y Sheory Director of Cental Mining Research Institute han desarrollado criterios de rotura teniendo en cuenta las discontinuidades de la roca. Ramamurthy y colaboradores [4] han propuesto la siguiente ecuación: b   1   3  a  3  c  (4.36)  3  56  Roberto Ucar Navarro Siendo a y b contantes de la roca para la condición intacta Adicionalmente, dichos investigadores basándose en un extensivo programa experimental tanto en roca intacta como conteniendo planos de discontinuidad lograron determinar una expresión que vincula a cm en función de c, junto con un factor de diaclasamiento. Cabe señalr que llevaron a cabo más de 250 ensayos de compresión sin confinar en un ancho rango de resistencia y 1.300 ensayos triaxiales en roca intacta y diaclasada. Para ello, emplearon una técnica especial variando el número de fracturas e inclinación. Además de testigos de roca utilizaron como material yeso de París (plaster of Paris).  cm  exp   0, 008 J f  (4.37) c Siendo: cm = Resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa medida sobre los planos de discontinuidad (strength of jointed rock). Jn =Factor de diaclasamiento.  J  Jf  n  (4.38)  nr  Jf =Factor de diaclasamiento. Varía desde cero en roca intacta a 500 en roca muy diaclasada 57  Roberto Ucar Navarro Jn = Parámetro que tiene en cuenta la frecuencia de diaclasamiento, y corresponde al número de diaclasas por metro n = Parámetro que depende del ángulo de inclinación de la diaclasa  con la vertical r = Parámetro relacionado con la resistencia de la roca. Dichos valores se obtienen a través de las tablas siguientes: Tabla 4.8. ÁNGULO DE VALORES DE ( n) ANISOTROPÍA FORMA DE U FORMA DE HOMBRO 0º 0,82 0,85 10º 0,46 0,60 20º 0,11 0,20 30º 0,05 0,06 40º 0,09 0,12 50º 0,30 0,45 60º 0,46 0,80 70º 0,64 0,90 80º 0,82 0,95 90º 0,95 0,98 58  Roberto Ucar Navarro Tabla 4.9 c ( Resistencia a compresión uniaxial en roca intacta,MPa) r 2,50 0,30 5,00 0,45 15,00 0,60 25,00 0,70 45,00 0,80 65,00 0,90 100,00 1,00 Para mayor detalle, véase la figura 4.3 la cual muestra la variación de (n) en función del ángulo de inclinación del plano de diaclasa  con la vertical. La curva con forma de hombro es predominante en rocas estratificadas o diaclasadas de elevada resistencia. Mientras que la forma en U representa rocas débiles con un plano de estratificación o de diaclasa. Al considerar los planos de discontinuidad, la resistencia de la masa rocosa a través de ecuación (4.36) puede expresarse en forma más general según [4] como a continuación se indica: bm    1   3  am   3  cm   3  (4.39) Siendo, 59  Roberto Ucar Navarro a    am  exp  2, 037 cm  0,13  c (4.40)    cm b b . m c (4.41) El factor de diaclasamiento Jf expresado en función del índice RMR y el sistema Q de Barton, está definido por las ecuaciones. J f / 5  100  RMR  (4.42) Al considerar RMR = 100, se observa a través de (4.42), (4.41), (4.40) y 4.37) que: Jf = 0, bm = b, am = a y cm = c J f  250 1  0,30 log Q  (4.43) Al reemplazar (4.42) en (4.37) se obtiene:  cm  RMR  100   exp   (4.44) c  25  Se observa que dicha expresión es muy parecida ala ecuación (4.26), la cual ha sido determinada por Kalamaras y Bieniawski [30]. 60  Roberto Ucar Navarro Figura 4.3 Variación del parámetro de inclinación (n) en función de la orientación de los planos de discontinuidad, según Ramamurthy et al [4] 61  Roberto Ucar Navarro Por otra parte, de acuerdo a las investigaciones de Sheorey [6] recomienda el siguiente criterio de rotura. Roca Intacta (matriz rocosa) b     1   c 1  3  (4.45)  t  c       s 1  n  (4.46)  t  σc, σt y b son parámetros a ser determinados en la roca intacta a través de las pruebas de laboratorio empleando diferentes niveles de confinamiento  bb   s    c t  1b    1  b   (4.47)   s2 1  b    t2 2 0  2 s t 1  b  (4.48)   0,9 c t  0 (4.49)  s  62  Roberto Ucar Navarro Masa Rocosa bm     1   cm 1  3   t m  (4.50)   cm  n     sm 1    t m  (4.51)    cm  RMR  100   exp   (4.52) c  20  RMR= índice de calidad de Bieniawski -Versión 1976  tm  RMR  100   exp   (4.53) t  27  Siendo σtm la resistencia uniaxial a tracción de la masa rocosa. bm  b RMR /100 , bm  0,95 (4.54) 63  Roberto Ucar Navarro  bmbm   sm    cm   tm  bm    1  bm  1  (4.55)   1  bm    tm 2  sm 2 2 0 m  2 sm   tm 1  bm  (4.56)   tm  0,9 cm    0 m (4.57)   sm  4.5 Otros Criterios de rotura En las secciones anteriores se han mencionado los diferentes criterios de rotura teniendo en cuenta la relación entre los esfuerzos principales σ1 y σ3 en el instante de la falla, sin embargo otros autores han desarrollado criterios de resistencia en términos del esfuerzo cortante resistente y la tensión normal actuando sobre un determinado plano de rotura . De acuerdo al modelo propuesto por Barton [35] y más recientemente por Barton y Choubey [36], se sabe que:   JCS      n' tan b  JRC log10  '  (4.58)    n  Donde: 64  Roberto Ucar Navarro  = Resistencia al corte en discontinuidades rugosas. ’n = Tensión normal efectiva (MPa). JRC =Coeficiente de rugosidad en la discontinuidad 0  JRC  20. JRC =0 (superficie perfectamente suave). JRC =20 (superficie muy rugosa). JCS =Resistencia a la compresión de las paredes de la discontinuidad (MPa). Si las paredes de las discontinuidades no están alteradas o meteorizadas, puede tomarse el valor de la resistencia a compresión simple en la condición intacta c. Si la pared está alterada, como ocurre en muchos casos, el valor de JCS puede tomarse a través de los resultados del esclerómetro o martillo Schmidt empleando la ecuación: log10 JCS  0,88   R  1,01 ,  siendo el peso unitario en MN/m3, y JCS en MPa y R el valor del rebote en el esclerómetro. Se observa que este modelo de rotura bidimensional esta fundamentado en la influencia de las rugosidades o asperezas que frecuentemente presentan las discontinuidades. Por lo tanto las irregularidades de una superficie de fractura consiste en un ángulo de rugosidad ( i ) al cual se le suma el ángulo básico de fricción para obtener un valor p = (i+b). A la vez al no existir cohesión en la discontinuidad resulta la conocida ecuación:    n'  tan  p (4.59) En estas condiciones, a través de (4.36) se aprecia que:  JCS  i  JRC  log10  '   n  (4.60) Barton y Choubey [36], también mencionan que una vez realizado el ensayo de corte directo sobre un determinado plano de fractura, el área de contacto real puede 65  Roberto Ucar Navarro variar entre una décima a una milésima del área bruta total del plano de discontinuidad. Por tanto, la relación entre el área bruta sobre la real está íntimamente relacionada con el cociente JCS/n, el cual juega un papel preponderante en la resistencia al cizallamiento. Por ejemplo si la tensión normal n= 0,10 MPa y JCS= 50MPa, la relación del área real /área bruta es de dos milésimas. Adicionalmente, cabe destacar, que la magnitud de la tensión normal efectiva actuando sobre el plano de discontinuidad es el factor externo más importante que afecta la resistencia al corte. El ángulo de fricción interna instantáneo puede calcularse al tener en cuenta que    i  arctan  , es decir:   n      JCS  tan i     tan b  JRC log10     n    n  JRC  log10 (2,718281)    JCS  (4.61)  1 tan b  JRC log10  2   180     n  Siendo por lo tanto, la cohesión instantánea: Ci     ´n tan i (4.62) En general , Hoek y Bray [37] señalan que pruebas de laboratorio a través de diferentes ensayos de corte con resultados del ángulo de rugosidad entre 40° a 50° están relacionados con tensiones normales efectivas inferiores a los 0,70 MPa. 66  Roberto Ucar Navarro Esto demuestra claramente que los valores instantáneos del ángulo de fricción interna son muy altos cuando el campo de tensiones normales efectivas es bajo, por el contrario dicho ángulo disminuye cuando el estado tensional aumenta. Este último efecto se debe como resultado del aumento progresivo de la tensión normal, lo que genera que las asperezas sean cortadas o cizalladas y por ende se obtiene una inclinación mucho menor de la envolvente de rotura. Por otra parte, González de Vallejo, et al [22], indican que si se ejerce un esfuerzo cortante sobre la discontinuidad donde actúan tensiones normales bajas, al producirse el corrimiento a favor del plano tiene lugar una dilatancia (apertura o separación) de las paredes de la discontinuidad, al tener que exceder el ángulo i para que se genere el desplazamiento, siendo además la cohesión nula o prácticamente nula. Al continuar el desplazamiento tangencial, se pueden romper los bordes más angulosos, limando o suavizando las rugosidades y las dos superficies se ponen en contacto prevaleciendo el valor del ángulo b. Las rugosidades o asperezas presentes en las paredes de las juntas es uno de los aspectos más influyentes en la resistencia friccionante, en particular en planos de fracturas sometidos a esfuerzos normales bajos. Cabe destacar que a través de la ecuación de Barton y Choubey se obtienen ángulos de fricción interna muy altos para tensiones normales de compresión muy bajas actuando sobre el plano de discontinuidad. En definitiva los valores equivalentes del ángulo de fricción interna  están representados por el ángulo de fricción básico b (determinado en una superficie suave aparente) y el ángulo de rugosidad i, el cual depende de las irregularidades que exhiba la masa rocosa, es decir  = (b + i). Por lo general b varía entre 25º y 35º, y el valor del ángulo  suele encontrarse en el rango de 35º a 70º. En este 67  Roberto Ucar Navarro sentido, Barton y Choubey [36], recomiendan truncar los valores de, cuando dicho valor alcanza los 70º. Igualmente, mencionan que los geólogos expertos en tectónica registran valores de la cohesión de decenas de MPa y ángulos de fricción interna de unos 20º, cuando la roca está sometida a elevadas tensiones normales, mientras que, el ingeniero geotécnico que investiga la estabilidad de taludes obtiene valores del ángulo de fricción interna de 70º y cero cohesión. También señalan que en la mayoría de los problemas investigados en el campo de la ingeniería de rocas, es común obtener magnitudes del esfuerzo normal efectivo variando en el rango de 0,10 a 2 MPa (1 a 20 kgf/cm2). Estas cifras son por lo general alrededor de tres órdenes de magnitud menores que las obtenidas por los geólogos que investigan fallas tectónicas, es decir cuando los valores de la presión normal efectiva se encuentra entre 100 y 2000 MPa. 4.5.1Criterio de Henning y Zimmerman Dreyer [38] en su libro The Science of Rock Mechanics, menciona la ecuación propuesta por Henning y Zimmerman, en la cual la resistencia al corte  en función de la tensión normal  n está, definida por la ecuación:    k  n   t  m (4.63) σt =resistencia a tracción unidimensional (valor negativo) k , m = parámetros a determinar experimentalmente. La gráfica anexa según Dreyer [38], muestra la envolvente de rotura a través de ensayos realizados en muestras de roca de la Liniel Salt, cuyos valores se indican en la tabla 4.10. A través de dichos valores, la ecuación que vincula la resistencia al corte con el esfuerzo normal es: 68  Roberto Ucar Navarro 0,205    69, 9  n   t  , kgf / cm 2 (4.64) Figura No 4.4 Envolvente de rotura [38] 69  Roberto Ucar Navarro Tabla 4.10 Tensión Normal Resistencia al Corte  n (kgf/cm2 )   ( kgf/cm2 )  n =  t =-25 0 -20 97 0 135 25 156 50 169 100 188 150 202 200 212 250 221 300 229 350 236 400 242 450 247 500 252 550 257 600 262 70  Roberto Ucar Navarro Como se ha demostrado previamente en la sección (2), los esfuerzos principales 1 y 3 pueden expresarse en función de la tensión normal y cortante, junto con la inclinación de la tangente a la envolvente de falla β, mediante las fórmulas :     n    '   1   ' 2 1/2 1  (4.65) Igualmente, el esfuerzo principal menor puede expresarse:   3   n    '   1   ' 2 1/2  (4.66) Siendo además d  mk  '   tan   d n  n   t   (4.67) 1 m Por lo tanto, al considerar que α’ = tan, (4.65) y (4.66) toman la forma:   1   n   tan   1  tan 2    n    tan   sec   (4.68)    3   n   tan   1  tan 2    n    tan   sec   (4.69) Reemplazado (4.63) y (4.67) en las dos últimas ecuaciones, se obtiene finalmente las tensiones principales en función de la tensión normal y los parámetros k y m  2 m 1  2 m 1  1   n  m  k 2   n   t   k  n   t  1  m 2 k 2  n   t  m (4.70)  2 m 1  2 m 1  3   n  m  k 2   n   t   k  n   t  1  m 2 k 2  n   t  m (4.71) 71  Roberto Ucar Navarro Una forma más práctica de utilizar la ecuación 4.63, es expresarla en forma adimensional. En estas condiciones se tiene:     k    m      n     c   c  t (4.72) La cual equivale a escribir, m      k   n   t         c  m    c   c   c  (4.73) Llamando, n  n  y   c c m         k  c  m  1    n  t  c  c  (4.74) Resultando finalmente,    m    k1    (4.75)  c n Siendo, t  m 1  y k1  k  c  c (4.76) ξ es negativo , por cuanto en el sistema de convención utilizado se considera que los esfuerzos de tracción son negativos. 72  Roberto Ucar Navarro Cabe señalar que la ecuación (4. 75) es exactamente igual a la utilizada por Hoek y Brown en su criterio original de rotura. Dichos autores al no poder hallar la envolvente analíticamente en función de su criterio original de rotura σ1 =f (σ3, σc, m, s), aplicaron la fórmula: B        A      c   c (4.77)  Es decir: A=K1 y B=m 4.5.2 Cálculo de las constantes k1 y m Los valores de k1 y m indicados en (4.75) pueden obtenerse con buena aproximación conociendo ξ= (σc/σt) conjuntamente con las ecuaciones (4.70) y (4.71), y agregando una tercera ecuación vinculada con la tensión normal σn, como a continuación se indica:  n  1 cos2    3sen2 (4.78) Al dividir la ecuación anterior por la resistencia a compresión sin confinar σc resulta, n n    1 cos 2    3 sen 2 (4.79) c Siendo además, 1 1  c  (4.80) 3  3 c 73  Roberto Ucar Navarro Para el caso particular que σ1/σc =1, σ3/σc =0, la ecuación (4.79) se transforma: n  1  cos 2  n   cos 2     (4.81) c  2  Por otra parte, al observar la figura (2.1) la relación entre α y el ángulo de inclinación β que forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal es: 2α = (π/2+β) (4.82) Al reemplazar dicho ángulo en (4.78) se obtiene que:  n   3 0 1  2 1 sen  (4.83) Adicionalmente, según (2.12), se sabe que: d  d  tan    (4.84) d n d  n Por lo tanto al derivar (4.63) : sen    m 1 tan    k1  m  n   (4.85) 1  sen 2  Quedando finalmente, 1  2        3 0   m 1   n   k1.m   n      (4.86)      3 0 2 n   1   n   3 0    3 0  74  Roberto Ucar Navarro En estas condiciones, al considerar (4.86) junto con (4.70) y (4.71) expresadas adimensionalmente para el caso que σ1/σc =1, σ3/σc =0, se han obtenido tres ecuaciones con tres incógnitas: k1, m y  n   3 0 es decir:  2 m 1  2 m 1       m 1   n  m  k12   n    k1  n   1  m 2 k12  n    2 m 1  2 m 1       m 0   n  m  k12   n    k1  n   1  m 2 k12  n   1  2       n  0   m 1 3   k1.m   n        0      3 0 2 n   1   n   3 0    3 0  (4.87) 4.5.4 Comparación con los valores de K y m obtenidos por Dreyer Los parámetros de corte obtenidos por Dreyer [38] en muestras de roca de la Liniel Salt indicados en la tabla 4.10 son K=69,90 y m =0,205. Al emplear (4.63) la 0,205 ecuación resultante es:    69, 9  n   t  , kgf / cm 2 Adicionalmente se conoce que: 2 c  404, 60 kgf / cm      t   0, 062  c  2 t  25, 00 kgf / cm 75  Roberto Ucar Navarro Por otra parte, a través de la solución del sistema indicado en (4.87) , los valores de los parámetros k1, m y  n 30 son los siguientes: k1= 0,5898, m =0,2385 y al aplicar (4.54), k1 0, 5898 k  0.7615  57, 00  c   m1  404, 60  Con dichos valores la ecuación (4.63) y (4.75) toman la forma, 0,2385    57, 00  n   t  , kgf / cm 2 (4.88)    0,2385      0, 5898  n   c   n   0, 3715   n  0, 3715. c  150, 00 kgf / cm 2    c  30    57, 00 150, 00   t  0,2385 2  195, 00 kgf / cm Siendo la inclinación de la envolvente en el punto (α,σn)=(150,195), correspondiente a σ3 =0 y σ1= σc al aplicar (4.83): 1 sen   2  n   0, 743    14, 89   3 0 Al utilizar las constantes obtenidas por Dreyer, el valor de K1 es: 76  Roberto Ucar Navarro  m1  0,2051 k1  k  c   69, 90.  404, 60  0, 5914 En forma adimensional, la ecuación de Dreyer al emplear (4.75) toma la forma:    0,205    0, 5914  n   c (4.89) Finalmente en la tabla anexa se comparan las ecuaciones (4.88) y (4.89), observándose la buen aproximación al resolver el sistema de ecuaciones no lineales indicados en (4.87) y conociendo que ξ= σt/σc. Cabe señalar que la solución del sistema de ecuaciones no lineales se ha llevado a cabo a través del programa EES (Engineering Equation Solver), cuyos resultados se anexan. 77  Roberto Ucar Navarro 78  Roberto Ucar Navarro    69, 90  n   t     57, 00  n   t  0,205 0,2385 Tensión Normal Valores Dreyer Solución Aproximada  n (kgf/cm2 )  ( kgf/cm2 )   ( kgf/cm2 )  n =  t =-25 0 0 -20 97 84 0 135 123 25 156 145 50 169 160 100 188 180 150 202 195 200 212 207 250 221 218 300 229 226 350 236 234 400 242 241 450 247 248 500 252 254 550 257 259 600 262 265 79  Roberto Ucar Navarro 5. CRITERIOS DE ROTURA CONSIDERANDO EL ESFUERZO PRINCIPAL INTERMEDIO σ2 Como es bien conocido existe mucha evidencia la cual indica que el esfuerzo principal intermedio σ2 tiene influencia en la resistencia de la roca. Diferentes investigadores como Mogi [13], Pan y Hudson [39], Brown [40], Lade [41] Wang y Kemeny [42], Chang y Haminson [43], Colmenares y Zoback [44], entre otros han demostrado la importancia de considerar la rotura de la roca en tres dimensiones. Teniendo en cuenta que el criterio de rotura de Hoek y Brown es ampliamente utilizado en el campo de la ingeniería de rocas, varios autores como Pan y Hudson [39] y Zhang [36] han incorporado el esfuerzo principal intermedio σ2 en el referido criterio empírico de rotura.  Pan y Hudson [45], han propuesto una expresión en tres dimensiones empleando el criterio original de Hoek y Brown [16], la cual está definida a través de la fórmula : 3 3 I J2  m J 2  m 1  s  c (5.1) c 2 3 I1   1'   2'   3' = Primera invariante de esfuerzos efectivos del tensor σij J2 = Segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij 1 '         3'   1'  2 2 2 J2   1   2'   2'   3' (5.2) 6   80  Roberto Ucar Navarro Antes de proseguir con los criteros de rotura en tres dimensiones, es importante considerar algunos aspectos de interés relacionados con el estado de tensiones que originan cambios de volumen y de forma Teniendo en cuenta que el campo tensional en un punto del sólido está definido por el tensor de esfuerzos ij, un criterio de plastificación corresponde a una ley que defina el límite del comportamiento elástico de la masa de suelo o roca. En estas condiciones es necesario obtener una ley que permita expresar una determinada función de la forma: f(xx, yy, zz, xy, yz, zx) = C (5.3) C = constante (valor crítico) Si el valor de la función en cualquier punto es menor que (C), es decir: f(xx, yy, zz, xy, yz, zx) < C (5.4) El material se comporta elásticamente sin que haya ocurrido plastificación. En caso contrario, si la función es mayor o igual al mencionado valor crítico habrá plastificación. Se ha podido comprobar que la tensión normal media m = (1 +2 +3 )/3 tiene muy poco o ningún efecto sobre la plastificación del material, por lo que el tensor esférico no interviene en dicho proceso, al producir únicamente cambio de volumen pero no de forma. Por el contrario, el tensor desviador produce distorsión o cambio de forma pero no de volumen, ya que su primera invariante J1 = 0, como se apreciará más adelante. Esta distorsión es la causante de la plastificación del material. Por otro lado, se ha podido comprobar que una forma más conveniente de expresar dicha función es a través de los esfuerzos principales, y por ende en términos de la invariante de esfuerzos. Adicionalmente un procedimiento más conveniente para describir la rotura se basa en considerar diferentes combinaciones de las invariantes 81  Roberto Ucar Navarro de esfuerzos con la ventaja que permiten interpretar geométrica y físicamente el criterio de rotura utilizado. Por lo tanto: f (1, 2, 3) = C (5.5) f (I1, J2, J3) = C (5.6) Siendo: I1 = (1 + 2 + 3) (5.7) I1 =primera invariante de esfuerzos del tensor ij J2 = segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij J3 = tercera invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij   11  12  13    xx  xy  xz    x  xy  xz         ij    21  22  23     xy  yy  xz    yx  y  yz  (5.8)   31  32  33    xz  xy  zz    zx  xy  z  xx,yy, zz = tensiones normales (el primer subíndice indica la dirección normal al plano donde actúa el esfuerzo y el segundo subíndice la dirección del eje al cual es paralela la componente normal del esfuerzo). Lógicamente, en el caso de las tensiones normales ambos subíndices coinciden. xy, yz, xz = tensiones tangenciales (nuevamente el primer subíndice indica la dirección normal al plano en que actúa la componente tangencial del esfuerzo, cuya dirección es paralela al eje que indica el segundo subíndice 82  Roberto Ucar Navarro Por otra parte, al considerar lo previamente indicado, es conveniente descomponer el tensor de esfuerzos ij en dos partes, la primera correspondiente al tensor * hidrostático o esférico, y la otra llamada tensor desviador Sij. El tensor esférico está definido por los elementos m. ij, siendo m la tensión normal media y ij el delta de Kronecker, es decir:  m   kk  1 3 1 3  1 1  xx   yy   zz   1   2   3   I1 3 3 (5.9) El valor de m se conoce también como tensión normal octaédrica (m = oct).  1 , si i  j  ij   0 , si i  j  1 0 0   m 0 0       m   m0 1 0   0  m 0  (5.10) ij 0 1 0  0 0  m     En estas condiciones: ij = Sij + m.ij (5.11) Sij = ij - m.ij (5.12) Resultando por tanto:  S11 S12 S13    11   m   12  13      S ij   S 21 S 22 S 23     21  22   m   23  (5.13) S S 33    31  32  33   m   31 S 32 Que equivale a la notación: * Tratándose de masas de suelo o de roca es más conveniente llamarlo litostático. Suppe, J. (1985) “Principles of Structural Geology”, 537 p. 83  Roberto Ucar Navarro  Sx S xy S xz    xx   m   xy  xz      S ij   S yx Sy S yz     yx  yy   m   yz  (5.14)     S zx S zy Sz    zx  zy  zz   m  Nótese además que Sij = ij, cuando i  j. Por otro parte, el tensor desviador en función de los esfuerzos principales es:   1   m  0 0    S ij   0  2   m  0   0 0  3   m    2 1   2   3   0 0   3  2 2   3   1 = 0 0  (5.15)  3   2 3   1 2   0 0   3  Finalmente, los valores principales del tensor de esfuerzos desviadores se obtienen a través de la expresión: det S ij  S ij  0 (5.16) Resultando: S3 – J1S2 – J2S – J3 = 0 (5.17) Siendo J1, J2 y J3 la invariante de esfuerzos del tensor desviador. J1 = Sii = S11 + S22 + S33 = S1 + S2 + S3 = 0 (5.18) 84  Roberto Ucar Navarro J2  1 2 1  S ij .S ji  S112  S 22 2  S 33 2  S12 .S 21  S 21 .S12  S13 .S 31  2  S 31 .S13  S 23 .S 32  S 32 .S 23   2  1 2 1   S1  S 2 2  S 3 2  S112  S 22 2  S 33 2  2 S12 2  2 S 23 2  2 S 312 2   S1 .S 2  S 2 .S 3  S 3 .S1    1 6      xx   yy 2   yy   zz 2   zz   xx 2   xy 2   yz 2   zx 2   1   2  2   2   3 2   3   1  2  1 6 1 1   1   m    2   m    3   m     I12  3I 2  2 2 2  (5.19) 2  3  xx   m   xy  xz 1 J 3  S ij .S jk .S ki  3  yx  yy   m   yz  zx  zy  zz   m   3  1 3  S1  S 2 3  S 3 3  S1 .S 2 .S 3   1   m  2   m  3   m  1 3  (2 I1  9 I1  I 2  27 I 3 ) (5.20) 27 La ecuación cúbica indicada a través de (5.17) puede resolverse sin dificultad con la ayuda de la siguiente expresión trigonométrica: 3 1 cos 3   cos   cos 3  0 (5.21) 4 4 Considerando el cambio de variable: S = Rcos (5.22) 85  Roberto Ucar Navarro La fórmula (5.17) se transforma: J J cos 3   2 cos   3  0 (5.23) R2 R3 Al comparar (5.21) y (5.23) resulta: R 2  J2  (5.24) 3 Siendo además: 3 3  J 3  cos 3  (5.25) 2  J 3 / 2  2 0    /3 (5.26) Adicionalmente, la tensión tangencial octaédrica oct (ver figura 5.1) puede relacionarse a través de la invariante de esfuerzo J2 utilizando la expresión: 2  oct  J2 (5.27) 3 Adicionalmente, cabe destacar que () se conoce como ángulo de similitud o de Lode (en reconocimiento al ingeniero alemán W. Lode, 1926). Se encuentra en el plano desviador y corresponde al ángulo entre la proyección de 1 sobre el plano desviador 1’ y el vector de esfuerzos desviador [S1, S2, S3],ver figura (5.2a y 5.2b). Por otro lado, la dirección del esfuerzo tangencial octaédrico está definido por el ángulo de similitud, el cual está relacionado con las invariantes de esfuerzos J2 y J3, tal como lo mencionan Chen [11] y Chen y Saleeb [9]. Por tanto, al tener en cuenta (5.25) y (5.27) queda:  J3  cos 3  2   (5.28)  3   oct  86  Roberto Ucar Navarro La selección de la alternativa de las invariantes I1, J2 y  (ángulo de Lode), es decir (oct, oct,), tiene la ventaja que permite la evaluación directa de los esfuerzos principales 1, 2 y 3, en lugar de resolver la engorrosa ecuación cúbica. A la vez las invariantes I1 y J2 están directamente relacionadas con m= oct y oct respectivamente. En estas condiciones los esfuerzos principales desviadores al considerar (5.22) y (5.24) son: 2 S1  J 2 cos  (5.29) 3 2  2  S2  J 2 cos       (5.30) 3  3  2  2  S3  J 2 cos       (5.31) 3  3  Por tanto, al considerar (5.12) las tensiones principales 1, 2 y 3 (1  2  3) en función de σoct = (1+ 2 +3)/3 = I1/3 y los esfuerzos desviadores, S1 S2 y S3, se obtiene:    cos    1   oct        2   2      2   oct   J 2  cos          3   3  (5.32)  3   oct    2  cos         3  87  Roberto Ucar Navarro  1   oct   S1         2    oct    S 2       S   3   oct   3  88  Roberto Ucar Navarro Figura 5.1 89  Roberto Ucar Navarro Figura 5.2a y 5.2 b 90  Roberto Ucar Navarro Figura 5.3 91  Roberto Ucar Navarro  Zhang-Zhu [46 ] utilizando el criterio original de Hoek y Brown ha obtenido siguiente ecuación : 9  oct 2  3 m  oct  m   m ,2  s  oct ' 2 2 c 2 2 (5.33) Siendo ' 1'  3'  m,2  2 (5.34) 1    '  '        1   2 2 2  oct   1 2 ' 2 ' 3 ' 3 '  (5.35 3 Considerando las diferencias entre los criterios originales y generalizados de Hoek y Brown, dichos investigadores modificaron la ecuación (5.33), la cual se transforma como sigue: 1  3  oct  m   oct   m   m' ,2  s   c a 3 c     2   2  c   2  (5.36)  Criterio de Lade modificado El criterio de Lade [47], fue originalmente desarrollado para materiales friccionantes sin cohesión, como suelos granulares, y se expresa a través de la ecuación: m'  I13   I1    27     1 (5.37)  I3   Pa  I1   1   2   3 =primera invariante de esfuerzos 92  Roberto Ucar Navarro I 3   1   2   3 = tercera invariante de esfuerzos Pa = presión atmosférica m’ y η = constantes a determinar Posteriormente Ewy [48] en 1999, considero las presiones efectivas y la resistencia cohesiva, resultando: I  3 ' 1 '  27   (5.38) I3      I1'   1'  C / tan    2'  C / tan    3'  C / tan   (5.39) I '   '  C / tan     '  C / tan     '  C / tan   3 1 2 3 (5.40) 4  tan    9  7 sen  2  (5.41) 1  sen   Criterio propuesto por Zhou Zhou [49] ha propuesto un criterio de rotura muy similar al desarrollado por Wiebols y Cook [50] y es referido como una modificación de de los mencionados autores. 1 J 2 2  A  B   m  C   m2 (5.42) Siendo, I1'  1'   2'   3' m   = tensión efectiva normal media (5.43) 3 3 1 '         3'   1'  2 2 2 J 1/ 2   1   2'   2'   3' (5.44) 2 6   J2 = segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador. 93  Roberto Ucar Navarro Por otra parte, las constantes se obtienen a través de las expresiones: 27  C1  (q  1) 3'    q 1   C  c   2C1  (q  1) 3'   c  2C1  (2q  1) 3'   c  q  2   q  tan 2 ( / 4   / 2) (5.45) C1  (1  0, 6  tan  )   c 3  q  1 C B   2 c   q  2   3'  q2 3 c c  c2 A  B C 3 3 9  Criterio de Mogi Mogi [51] ha investigado en detalle la fractura de rocas desde el año 1960, a través de innumerables experimentos los cuales se pueden apreciar en su excelente libro Experimental Rock Mechanics, que es el resultado de su labor como investigador y director en el Instituto de Investigaciones Sísmicas en la Universidad de Tokio. Él ha dividido los criterios de rotura en dos grupos, el primero el cual no tiene en cuenta el efecto del esfuerzo principal intermedio σ2 , como es el caso del criterio de Mohr – Coulomb, el de Hoek y Brown y el propuesto en esta investigación, y el segundo que si existe una dependencia de σ2 de acuerdo al ensayo triaxial verdadero o poliaxial σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 . 94  Roberto Ucar Navarro Mogi [51] también menciona que varios investigadores propusieron una realción del tipo oct =f (σoct) como criterio de fractura, pero no se ajusta a los datos experimentales. Es decir no hay una buena correlación con los valores de resistencia obtenidos a través de los ensayos de laboratorio. Adicionalmente, [51], menciona que la superficie de rotura es aproximadamente paralela a σ2, y por lo tanto considera que la energía de distorsión se incrementa con el esfuerzo normal medio 1/2(σ1+ σ3). En estas condiciones dicho investigador ha propuesto un criterio de rotura del tipo: oct =f (σ1+ σ3). Expresada en una función potencial toma la forma: oct ≈ A(σ1+ σ3)n (5.46) Los valores del exponente (n) obtenidos por Mogi [51] se indican a continuación. Sin embargo, al observar las gráficas obtenidas por el referido investigador a través de los diferentes ensayos en rocas, la ecuación anterior se puede aproximar a una recta, siendo la referida linearización indicada también por dicho investigador Tabla No 5.1 Roca ensayada Valores de n Caliza de Solnhofen 0,56 Dolomita de Duham 0,72 Mármol de Yamaguchi 0,74 Granito de Inada 0,87 Andesita de Manazuru 0,88 Granito de Westerley 0,89 Anfibolita de KTB 0,86 95  Roberto Ucar Navarro Al-Ajmi y Zimmerman [52] mencionan que la ecuación (5.46), es el aspecto relevante de la contribución de Mogi [51], y aun cuando la ecuación es usualmente considerada en forma potencial, estos investigadores han obtenido un ajuste lineal con coeficientes de determinación R2 entre 0,933 y 0,999 empleando los mismos valores experimentales obtenidos por Mogi en la mayoría de las rocas previamente señaladas . Dichos resultados se indican en la tabla 5.2. Tabla No 5.2 oct=a+b[(σ1+ σ3)/2] Roca ensayada a (MPa) b R2 Dolomita de Duham 58,32 0,55 0,99 Caliza de Solenhofen 103,95 0,35 0,983 Arenisca de Shirahama 32,95 0,39 0,933 Anfibolita de KTB 26,30 0,69 0,998 Mármol 9,80 0,58 0,999 Granito de Westerley 23,88 0,74 0,999 La relación lineal es: 1   3   oct  a  b   (5.47)  2  2 Los valores obtenidos de σc y q = tan (45+/2) se indican en la tabla 5.3. 96  Roberto Ucar Navarro Tabla 5.3 Roca ensayada σc (MPa) q=tan2(45+/2) Dolomita de Duham 298,93 3,66 Caliza de Solenhofen 351,50 2,16 Arenisca de Shirahama 123,59 2,31 Anfibolita de KTB 220,35 6,44 Mármol 54,02 4,15 Granito de Westerley 240,09 8,20 Teniendo en cuenta las tablas (5.2) y (5.3), a través de este estudio y con la ayuda de la hoja Excel y aplicando la técnica de los mínimos cuadrados se ha determinado el siguiente ajuste de curvas para calcular los parámetros a y b en función de σc en unidades de MPa y q respectivamente. 3 2    a  MPa   10  c   44  c   61, 25  c   7, 77 , R 2  0,95 (5.48)  100   100   100  2  q   q b  1,17    1,832    0, 017  0, 0135 , R 2  0,99 (5.49)  10   10  Se aprecia que el valor de 7,77 y 0,0135 corresponden al error estándar, es decir a la desviación estándar de la distribución muestral del estimador. 97  Roberto Ucar Navarro 5.1 Otras formas de representar los diferentes criterios de rotura Por lo general los criterios de rotura se expresan como una funcion f (σ1, σ3)=0, para el caso bidimensional o en tres dimensiones f (σ1, σ2, σ3)=0. Sin embargo, es común expresar también los criterios en términos de las invariantes y del ángulo (), el cual como previamente se ha indicado se conoce como ángulo de similitud o de Lode. Chen y Saleeb [9] en el libro Contitutive Equations for Engineering Materials, exponen con gran claridad los diferentes criterios de rotura.  Considerando el criterio de Tresca , se tiene la siguiente expresión : 1 1   3  k (5.50) 2 Es decir la rotura ocurre cuando el máximo esfuerzo cortante en un punto alcanza el valor crítico k .En el espacio de los esfuerzos principales representa un prisma cuya sección en el plano desviador es un hexágono regular. Utilizando (5.32), la ecuación anterior se transforma en términos de la invariante J2 y el ángulo, como sigue: 1   3 1  2   J 2 cos   cos(   )   k (5.51) 2 3  3  Siendo,  1   2   3  , 0    60 La ecuación anterior a través de simplificaciones trigonométricas se reduce, 1 f  J 2 ,    J 2 sen(   )  k  0 (5.52) 3 En función de  ,  ,  (véase figuras 5.2a y 5.2b, resulta, 1 f   ,      sen(   )  2 k  0 (5.53) 3 98  Roberto Ucar Navarro  Criterio de von Mises Este criterio establece que la falla ocurre cundo el esfuerzo cortante octaédrico oct alcanza un valor límite. Matemáticamente puede expresarse a través de cualquiera de las tres fórmulas siguientes: f J2   J2  k2  0 f     k 2 0 (5.54) 2 f  o ct    o ct  k 0 3 En función de los esfuerzos principales, resulta  1   2    2   3     3   1  2 2 2  6k 2 (5.55) En el espacio de los esfuerzos principales la superficie de rotura está representada por un cilindro cuya generatriz es paralela al eje litostático. La traza de la superficie en el plano desviador es un circulo que circunscribe el hexágono de Tresca (ver figura 5.4)  Criterio de Morh –Coulomb Como se demostrara en el apéndice (A) de esta investigación, el criterio de Mohr- Coulomb en función de los esfuerzos principales 1 y  3 está representado por la ecuación:  1  sen   1  sen  1     3  1 (5.56)  2  C  cos    2  C  cos   Siento C la resistencia cohesiva y  el águlo de fricción interna. Empleando la ecuación (5.32) junto con (5.56) en términos de la invariante I1, J2 y , se obtienen las siguientes expresiones: 99  Roberto Ucar Navarro  I1 2   I1 2 2  3   cos   1     3   cos(  ) 1 sen   2C  cos 3  J 2 sen J 2  3   3 (5.57) I  J   2     1  sen  2 cos 1 sen   cos     1 sen    C  cos  0 3 3   3   (5.58)  I1  J2   1 3      sen  cos  cos .sen    cos  sen 1 sen    C  cos  0 3 3   2 2   (5.59) Finalmente, mediante transformaciones trigonométricas se obtiene: I J f  I1, J2 ,    1 sen  J2  sen(  / 3)  2  cos(  / 3)sen  C  cos  0 3 3 (5.60) Que equivale a escribir,  3 1 sen  sen  3   3  sen  cos   f  I1, J2 ,   I1sen    J2  3 C  cos  0  2    (5.61) La cual también puede expresarse,  3 1 sen  sen 3   3  sen  cos   f  , ,    6   sen      3 2  C  cos  2    (5.62) Siendo,  1   2   3    3  y   3  oct (5.63)  3  100  Roberto Ucar Navarro Figura 5.4 101  Roberto Ucar Navarro En el espacio de los esfuerzos principales el criterio de Mohr-Coulomb representa una pirámide hexagonal irregular, véase figura 5.5 Figura 5.5 Criterio de Mohr-Coulomb 102  Roberto Ucar Navarro  Criterio de Drucker –Prager Es una extensión del criterio de von Mises y es utilizado en ciertas aplicaciones prácticas en suelos. Dicho criterio se representa mediante la ecuación: f  I1, J2   J2   I1  k  0 (5.64) La cual equivale a escribir, al considerar que:   I1 / 3 ,   2J2 f   ,      6     2  k  0 (5.65) La superficie de falla en el espacio de los esfuerzos principales es un cono y su traza en el plano desviador es un círculo. Véase figuras 5.6 y 5.7. De esta forma dicho criterio puede ser observado como una superficie suave de Mohr –Coulomb El valor de las constantes en términos de C y  para el caso que circunscribe el hexágono de Mohr –Coulomb. Corresponde al límite exterior y los parámetros se obtienen al coincidir ambos criterios en =0◦ (ver punto A de la figura 5.7) 2 sen 6.C.sen  ,k  (5.66) 3  (3  sen ) 3  (3  sen ) ◦ Si el círculo está inscrito en el hexágono =60 (ver punto B de la figura 5.7), resulta: 2 sen 6.C.sen  ,k  (5.67) 3  (3  sen ) 3  (3  sen ) 103  Roberto Ucar Navarro Superficie de falla en el espacio de los esfuerzos principales correspondiente al criterio criterio de Drucker –Prager Figura 5.6 104  Roberto Ucar Navarro Figura 5.7 105  Roberto Ucar Navarro  Criterio Original de Hoek y Brown Como previamente se ha mencionado, este criterio es muy utilizado en el campo de de la ingeniería de rocas conjuntamente con el índice de resistencia geológica GSI y la resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc. Por otra parte, con el objeto de expresar dicho criterio en función de las invariantes, es beneficioso expresar la ecuación 4.3 en la forma siguiente: 2  1  3  2 3       c  m   s  (5.68) c c   c  Reemplazando (5.32) en la ecuación anterior resulta: 2   I 2 J2   I 2 J2  2    1  cos   1   3 cos      3 3   3  3   m   I1 2 J 2  2              3  3 cos  3   s  0  c   c        (5.69) 2  cos  3      cos  2  sen 2      4 J 2       m    I1  2 J 2 cos  2   0 2       3     s  c  3  c    3  3       (5.70) Obteniéndose finalmente,    4 J 2  sen 2       m   I1 2 J2  2         c    3  cos    s 0 (5.71)  2  c   3     3  3    106  Roberto Ucar Navarro 6. AVANCES EN LAS TEORÍAS DE RESISTENCIAS DE MATERIALES CONSIDERANDO DIFERENTES ESTADOS DETENSIONES. Como lo menciona Yu [5], en los últimos 100 años desde que la bien conocida teoría de Mohr-Coulomb fue establecida en el año 1900, una considerable cantidad de investigación teórica y experimental se ha llevado a cabo para determinar la resistencia de materiales sometidos a diferentes estados de esfuerzos. Mohr usando su círculo de esfuerzos, el cual lleva su nombre desarrolló su teoría de resistencia, la cual es muy utilizada para determinar la resistencia de los suelos en función de las presiones efectivas. Cabe destacar qua a sus treinta y dos años al ser reconocido como un destacado ingeniero, fue invitado como profesor en la Universidad de Stuttgart donde a través de sus clases magistrales de ingeniería mecánica, sembró la semilla y el interés en sus estudiantes, logrando que algunos de ellos se destacaran como investigadores en el campo de la resistencia de materiales. Sin embargo, es oportuno señalar que Parry [34], en la nota histórica de su libro “Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics”, indica que si bien el círculo de esfuerzos es atribuido a Mohr, quien fue el pionero en representar gráficamente los esfuerzos fue Karl Kulmann cuyo aporte en la teoría de estructuras de puentes, diseño de armaduras, su libro de estática gráfica, presiones sobre muros y obras subterráneas contribuyó en forma relevante en el desarrollo de la ingeniería para su época. Por otro lado, Mohr se destacó por sus estudios de las tensiones en dos y tres dimensiones, en el desarrollo de su criterio de rotura aplicando el círculo de esfuerzos, conocido como representación o diagrama de Mohr. 107  Roberto Ucar Navarro Esta representación plana de los esfuerzos se extendió rápidamente, facilitando los cálculos ya que el elipsoide de Lamé da un análisis o interpretación de los esfuerzos, la cual no es práctica por extenderse en tres dimensiones. Yu [5], autor del excelente libro “Unified Strength Theory and Its Applications”, junto con su artículo “Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 20th Century”, [53] y “A unified strength criterion for rock”, Yu et al [54] divide su investigación en tres grupos de teorías de resistencia, considerando la tensiones cortantes principales y los esfuerzos normales actuando sobre los planos donde se generan las referidas tensiones cortantes. Las tensiones tangenciales y normales están representadas por las ecuaciones: 1  ij  2  i  j  i, j  1, 2, 3 (6.1) 1  ij  2  i  j  * En forma sucinta, utilizando la nomenclatura de Yu [5, 53] , y Yu et al [54] se indican algunos de los criterios más importantes descritos por el referido investigador. * Dicho autor al igual que en la teoría de la elasticidad establece que los esfuerzos de tracción son positivos. Por ejemplo, en el criterio de Mohr Coulomb :  1     3   t Se observa que al considerar σ3=0 , σ1=σt .Cuando σ1=0 , σ3=-σc (compresión es negativo) Como se sabe en mecánica de rocas y de suelos se utiliza la notación en la cual las tensiones de compresión son positivas. La razón se debe a que la mayoría de las tensiones actuando en la corteza terrestre son compresionales. 108  Roberto Ucar Navarro 6.1 Teoría Cortante Simple o Criterio de Límite Inferior (Single Strength Theory - SSS -Lower Bound Criterion) 1) En el caso del criterio de rotura de Mohr-Coulomb Yu [5, 53, 54] lo expresa como sigue: F  13     13   C (6.2) Que equivale a escribir, F  1     3   t (6.3) σc y σt, corresponden a la resistencia a compresión sin confinar y a tracción unidimensional respectivamente, siendo α = σt/ σc. 2) Criterio de Tresca f  13 C (6.4) 6.2 Teoría de la Resistencia Cortante Octaédrica, o Criterio de Curvas Intermedias (Octahedral-Shear Strength theory –OSS Theory- Intermediate Curves Criteria) Matemáticamente puede escribirse como sigue: F ( 8 ,  8 )  C   8  f (  8 ) (6.5)  8   oct ,  8   oct (6.6) Siendo, 1  2  8   oct    1   2    2   3    3   1    2 2 2 J2 (6.7) 3   3 1   1   2    2   3    3   1   2 2 2 J2  (6.8) 6   8   oct  1      m 3 1 2 3  (6.9) 109  Roberto Ucar Navarro 3) Criterio de von Mises (un parámetro) f   8  C , es decir J 2  C (6.10) C = parámetro a determinar 4) Drucker-Prager (dos parámetros) F   8   . 8  C (6.11) β y C = parámetros a determinar 6.2.1 Teoría de la resistencia cortante octaédrica con múltiples parámetros F  A  82  B  82  C  8  1  0 También esta última ecuación puede expresarse en la forma, F  A 8  b  8  a  82  C (6.13) 6.3 Teoría de Resistencia al Corte Doble, o Criterio de límite Superior (Twin- Shear Strength Theory-TSS- Upper Bound Criterion) Estas teorías de resistencia, considera la tensión cortante máxima 13 , los esfuerzos cortantes principales intermedios 12 o 23 y la influencia de los esfuerzos normales σ13 y σ12 o σ23 .Matemáticamente se expresa como sigue: F  13 , 12 ,  13 ,  12   C (6.14) Yu [55], ha propuesto el siguiente criterio considerando dos parámetros. F  13  12    13  12   C (6.15) Cuando, 12    12  23    23 (6.16) 110  Roberto Ucar Navarro Por otra parte, F   13   23    13   22   C (6.17) Cuando, 12   12  23   23 (6.18) En función de los esfuerzos principales las referidas ecuaciones pueden expresarse como sigue:  F  1   2   3    t (6.19) 2 Cuando,  1   3  2    (6.20)  1   1 F'  1   2      3   t (6.21) 2 Cuando,   1   3  2    (6.22)  1   6.4 Teoría de resistencia Unificada de Yu La teoría de resistencia unificada propuesta por Yu [5, 53, 54], presenta las siguientes características; a) Tiene la habilidad de reflejar el comportamiento de la roca para diferentes resistencias a tracción, compresión, presión litostática, y el efecto del esfuerzo principal intermedio. b) Representa un modelo matemáticamente simple y unificado 111  Roberto Ucar Navarro c) Es fácil de aplicar en modelos analíticos y numéricos. Igualmente es aplicable en el campo de la plasticidad y puede expresarse en términos de la invariante de esfuerzos. El modelo matemático puede expresarse como sigue: F  13  b  12    13  b12   C (6.23) Cuando se cumple que, 12   12  23   23 (6.24) Por otra parte, F '  13  b  23    13  b 23   C (6.25) Debiendo satisfacer la condición, 12   12   23   23 (6.26) En función de los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 , resulta:  F  1   b  2   3    t (6.27) 1  b    1   3  Debiéndose cumplir (6.20), es decir:  2    (6.28)  1   Por otra parte,  F'  1  b  2    3   t (6.29) 1  b  Debiendo satisfacer (6.22). La teoría de resistencia unificada, se reduce a la teoría cortante simple, por ejemplo en el caso de Mohr-Coulomb cundo b=0, y al criterio cortante doble cuando b =1. En general, se obtiene un amplio rango para valores de 0 ≤ b ≤ 1, siendo además versátil en reflejar el efecto del esfuerzo principal menor σ2. 112  Roberto Ucar Navarro De acuerdo a Yu et al [54] en la mayoría de las rocas el parámetro (b) se encuentra entre 0,5 y 1. A la vez recomiendan emplear el criterio unificado con b=0,5, reemplazando el criterio de Mohr-Coulomb (Teoría Cortante Simple) a través de de las ecuaciones siguientes:    1   3  F  1   2  2 3    t , cuando  2    3  1   (6.30) 1      F'  21   2    3   t , cuando  2   11   3  3   Para un caso mas general, el parámetro (b) pude inicialmente ser obtenido en función de la resistencia a la tracción, compresión y al corte o de la roca. b 1    0   t  t   0  (6.31) 6.4.1 Breve discusión de los criterios no lineales según Yu et al [54] Yu y sus colaboradores dividen en tres grupos los criterios no lineales de rotura en rocas.  El esfuerzo principal mayor σ1 es función del esfuerzo principal menor σ3 Murrell, 1965  1   c  a   3b (6.32) Bieniawski, 1974, Yudhbir, 1983 113  Roberto Ucar Navarro  1    1 b  3  c  c  (6.33) Cabe destacar que Ucar [55] determinó la envolvente de rotura considerando el la relación indicada en (6.33), para el caso particular que α =0,75, valor recomendado por Bieniawski [56]. En el apéndice (A) se determina analíticamente la referida curva de resistencia intrínseca. Balmer, 1952, Sheorey et al, 1989 b     1   c  1  3  (6.34)  t  Mogi 3 1  a  b  c (6.35)  En el segunda agrupación el esfuerzo cortante principal 13=(σ1- σ3)/2 es una función del esfuerzo principal menor σ3 . Hobbs, 1964  1   3    c  a   3b (6.36) Ramamurthy et al, 1985 b    1   3    c  a   3   c   t  (6.37) Hoek y Brown, 1980 1/ 2     1   3    c  m  3  s  (6.38)  c  Yoshida, 1990 114  Roberto Ucar Navarro b    1   3   a   c  3  s  (6.39)  c   Finalmente en el tercer grupo el esfuerzo cortante principal 13=(σ1-σ3)/2 es una función de la tensión normal σ13=(σ1+σ3)/2 Franklin, 1971  1   3   a   1   3  b (6.40) Fairhurst, 1964  1   3   a  b  1   3  2 (6.41) En las ecuaciones indicadas en esta sección a, b, c, α, m y s, corresponden a parámetros de la roca determinados mediante ajuste de la curva a través de ensayos de compresión, tracción y triaxiales. Criterio de Rotura No Lineal Unificado de acuerdo a Yu et al [54] El criterio de rotura no lineal unificado propuesto por Yu y sus colaboradores pude expresarse como sigue: F  f 13,12 ,13 23  ,13,12 23  ,m  (6.42) Siendo el criterio de rotura, 2  1  m c F   1   2 3  b       b 2  3   s c 2  1  b   1b  (6.43) Si F ≥ F’ 2  1  F'  1  b   2    3   m  c   3  s c2  1  b  (6.44)  Si F’ ≥ F 115  Roberto Ucar Navarro σc, es la resistencia de la roca intacta a compresión simple. m y s son parámetros del criterio de rotura de Hoek y Brown previamente definidos. Por otra parte el valor de α de acuerdo a la ecuación (4.6) es: t 1    m   m 2  4  s   1/ 2  (6.45) c 2  Los valores de m y s se determinan a través de las tablas (4.4) y (4.5), y empleando la ecuación (4.17) Al considerar el criterio de resistencia al corte doble (Twin –Shear Strength Theory-TSS), con el parámetro b=1, resulta; 1 F  1   2   3   m   c ( 3   2 ) / 2  s c2  0 (6.46) 2 Si F ≥ F’ 1 F'  1   2    3  m   c   3  s c2  0 (6.47) 2 Si F’ ≥ F En general, el criterio de resistencia unificado para el caso no lineal según Yu y sus colaboradores está representado por las ecuaciones:  1    n F   1   b   2   3     c  1b  c b 2  3   s  m  1  b     (6.48) Si F ≥ F’  1    n F'  1  b   2    3    3   c  3  s  m 0   1  b (6.49)  Si F’ ≥ F 116  Roberto Ucar Navarro Teniendo en cuenta que el ángulo de similitud o de Lode es:  3  23    2   2 3    arctan    , 0    60 0 (6.50)  13   12   2 1   2   3  Al utilizar la ecuación (5.32), dicho criterio unificado en función de las invariantes características I1 y J2, puede expresarse como sigue: Si F ≥ F’ 2 4       F  sen    3   b  sen    3    J 2 1  b  2      2m   c  m  c (6.51)  2   2   b  cos    3   cos      J 2  I1  s c2 0 3 1  b      3  3 Si F’ ≥ F 2 4       F   sen     b  sen      J 2 1  b  2   3  3  2m   c   2 m  c (6.52)   cos       J 2  I1  s c2 0 3   3  3 Si en la ecuación (6.51), se particulariza para b=0, es decir no se tiene en cuenta el esfuerzo principal intermedio σ2 ,se obtiene el criterio empírico original de Hoek Brown.   3  m  c  2  F  sen 2      J 2  cos      J2  3 6  3  2 (6.53) m  c s  I1  c 0 12 4 Cabe destacar que la ecuación (6.53) es exactamente igual a la ecuación (5.71) previamente obtenida al utilizar en criterio de Hoek y Brown. 117  Roberto Ucar Navarro 7. DESARROLLO ANALÍTICO DEL NUEVO CRITERIO DE ROTURA El criterio bidimensional propuesto en esta investigación que relaciona los esfuerzos principales 1 y  3 en el instante de la rotura está representado por la ecuación:  1  K1  3   t   K  3   t  1/ 2 (7.1) Siendo K y K1 contantes del material a determinar y σt la resistencia a tracción. En el caso del ensayo de compresión sin confinar, se sabe que:  3 =0 y por lo tanto 1   c , transformándose la ecuación (7.1) como sigue:  c  K1   t   K   t  1/ 2 (7.2) Cabe destacar que los signos convencionales utilizados en este trabajo son: Esfuerzo de compresión positivo y de tracción negativo. Al despejar el valor de K1 en (7.2), se obtiene: K   t  1/ 2 c K1  (7.3) t Dividiendo ambos lados de la ecuación (7.1) por σc resulta: 1/ 2  1   3 t  K  3 t     K1     (7.4)  c   c  c  c  Como previamente se ha mencionado,  t     (7.5)   c Si además, se tiene en cuenta que: 118  Roberto Ucar Navarro K K2  (7.6) c La ecuación (7.4) se trnasforma, 1/ 2  1   3   3     K1      K 2     (7.7)  c   c   c  Al aplicar nuevamente las condiciones de borde correspondientes al ensayo de compresión simple, se obtiene que:  3 = 0 y 1   c .Adicionalmente debe cumplirse considerando (7.7) la siguiente expresión: 1  K1     K 2    1/ 2 (7.8) Como ejemplo de aplicación Torres [21] , en su trabajo de investigación realizado en un total de 55 probetas de concreto de 5,00cm de diámetro y 10,00 cm de altura, a través de ensayos de compresión simple, tracción indirecta y compresión triaxial (σ2= σ3) llevados a cabo en el Laboratorio de Materiales y Ensayos de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes, determinó los siguiente parámetros: c  33, 00 MN / m ,  t   3, 50 MN / m , K1  0, 712 y K 2  2, 839 2 2  t 35, 00 MN / m 2    0,107  c 330, 00 MN / m 2 Al utilizar (7.8), resulta: 0, 712  0,107   2,839  0,107  1/ 2  1, 0048  1 Es decir, cumple con dicha condición. Por otra parte, para simplificar cálculos posteriores es conveniente expresar la ecuación (7.7) en forma adimensional: 119  Roberto Ucar Navarro     1/ 2 1  K1  3    K 2  3   (7.9) Siendo, 1 3 1  y 3  c c (7.10) 7.1 Determinación de la envolvente de rotura Primeramente, es necesario determinar la pendiente de la curva que relaciona al esfuerzo σ1 =f(σ3). Por lo tanto al derivar la ecuación (7.7) el valor de la   1    1  pendiente    es:   3    3     1  K2    K1  (7.11)   3 2 3  Utilizando (2.36), y considerando que:  '   d     tan  (7.12)    d Se obtiene la siguiente expresión:     '1   1   1  2  tan 2   2 tan  .sec  (7.13)     3 Mediante transformaciones trigonométricas (7.13) se reduce finalmente en la expresión siguiente:     1  sen  2    '1   1      tan    (7.14)   3   1  sen  4 2 Igualando (7.11 y (7.14) , resulta: 120  Roberto Ucar Navarro    K2 tan 2     K1   tan 2  (7.15) 4 2 2 3    Al despejar  3   se obtiene: 1 2 K2   4 K3 3   2  2  2      2     (7.16)  tan     K1  tan     K1  4 2   4 2  Siendo, 2 K  K3   2  (7.17)  2  Por otra parte, la ecuación (2.8) expresada adimensionalmente toma la forma: 1/ 2   1      n   3     (7.18)  3 Al igual que lo indicado a través de (7.8), todas las tensiones o esfuerzos se han expresado en forma adimensional al dividirse por la resistencia a compresión simple de la roca intacta σc. n  n  y   c c (7.19) Por simplicidad en términos de (x, y) , la ecuación (7.18) se transforma: 1/ 2   1   y  x 3     (7.20)  3 121  Roberto Ucar Navarro Es decir:   y ,  n  x (7.21) 1/ 2   1    A través de (7.14) se sabe que:    tan  45   por lo tanto,   3  2     y  x   3  tan  45    2 (7.22) La cual puede expresarse también,    y  tan  45    x   3  2  (7.23) Al despejar  3 resulta,    3  x  y tan  45   (7.24)  2 Que equivale a escribir,      3     x     y  tan  45    2 (7.25) Reemplazando el valor de  3     indicado a través de la ecuación (7.16) en (7.245) , se obtiene que: K3   2   x     y  tan  45    2      2 (7.26)  tan  4  2   K1      Al despejar y = (τα /σc ) =   queda: 122  Roberto Ucar Navarro   K 3  tan  45      2 y   x     tan  45    2  2   2     (7.27)  tan  4  2   K1      Llamando a X = (x-ξ), la ecuación anterior se transforma finalmente.   K 3  tan  45      2 y  X  tan  45    2  2   2     (7.28)  tan  4  2   K1      Por otra parte, al derivar la ecuación anterior se obtiene la pendiente de la envolvente, es decir;    sec 2    dy     4 2  d  ta n    ta n    X   dX  4 2  2  dX       f1    f2    d  K3  4     2       dX  (7.29)   ta n  4  2         Siendo las funciones, 2 1        f1     sec 2     tan 2     K1  (7.30) 2  4 2  4 2                 f 2     tan    2  tan 2     K1  tan    sec 2      4 2   4 2  4 2  4 2  (7.31) 123  Roberto Ucar Navarro Luego de realizar simplificaciones se obtiene:          d   d  2  tan   tan      cos 2     X    K3  f3 (  )    (7.32)   4 2  4 2  dX   dX       3 tan 2     K1   4 2  f3 (  )   3  (7.33)  2        tan  4  2   K1      A través se transformaciones trigonométricas la fórmula anterior queda:   2    3 tan     K1      d   4 2  d   tan     X    K3  3   4 2  dX    tan 2        dX  (7.34)       K1   4 2    dX  Adicionalmente, al expresar esta última ecuación en términos de   , resulta:  d    2    3 tan     K1   dX      4 2    dX     X  tan     K3   0  d     d 3 (7.35) 4 2  2       tan     K1     4 2   El próximo paso es resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden, que es de primer grado en la variable dependiente y a su derivada. La cual en forma compacta toma la forma, dX  P     X  Q(  )  0 (7.36) d 124  Roberto Ucar Navarro Siendo por lo tanto,    P (  )  tan    4 2   2    3 tan     K1  Q(  )  K3  4 2  (7.37)  3  2       tan     K1     4 2   La solución de la ecuación diferencial lineal es según [57] y [58]:   P( )d   K  e   P (  ) d   Q(  ) d   X e  4   (7.38) Siendo K4 una constante de integración a determinase posteriormente en función de las condiciones de borde. Aplicando (7.38) se obtiene,         cos    cos    3 tan 2     K1     d    d     tan      d     1 se    1 se   4 2 X e   K 4  K3 e 3        4 2  2     tan     K1        4 2    (7.39)    2     3 tan     K1      tan      d   K3  4 2 X  1  sen   K 4    1  sen    2         4 2  3   tan     K1        4 2    (7.40) 125  Roberto Ucar Navarro Al considerar que,    cos       1  sen  tan     y tan 2       , la solución de la integral  4 2  1  sen   4 2   1  sen  se simplifica, obteniéndose finalmente,      4 K1 (3  K1 ) X  1  sen   K 4    K3   1 K1 2  1  K1   1  K1  sen  2 1  K1   1  K1  sen        (7.41) 2, Teniendo en cuenta que X=(x-ξ) y K3 = (K2/2) resulta:    4 K1  (3  K1 )  2 1  K1   1  K1  sen      K   x     1  sen   K 4   212K     1  K1   1  K1  sen  2   1      (7.42) Con las ecuaciones (7.28) y (7.42) se tiene el par de ecuaciones requeridas representadas paramétricamente a través del ángulo β que forma la tangente a la envolvente de falla, conocida también como curva de resistencia intrínseca. Igualmente, se observa que tanto el esfuerzo cortante τα como el normal σn están expresados en forma adimensional, es decir: y = (τα /σc ), x = (σn /σc). Por lo tanto, si se conoce la tensión normal σn a través de la ecuación (7.40) se determina β y posteriormente τα empleando (7.28). En estas condiciones para cada intervalo de esfuerzos (σn , τα ), habrá un ángulo β, o ángulo de fricción interna instantáneo φi 126  Roberto Ucar Navarro 7.2 Cálculo de la constante de integración K4 – Un ejemplo de aplicación Para efectos prácticos se ha considerado el siguiente ejemplo. Parámetros de la roca intacta obtenidos a través de pruebas de laboratorio y utilizando la técnica de mínimos cuadrados: t 1 K1 =2 y K2 =3,50, σc =32,00 MPa y σt = -2,00 MPa,    c 16 Al aplicar (7.7) se tiene la siguiente relación entre los esfuerzos principales; 1/ 2  1   3       K1      K2  3     c   c   c  1/ 2  1    3 1  3 1     2   3, 5     c   c 16   c 16  Por otra parte, cuando  3 =0 (ensayo de compresión sin confinar) 1   c , debiéndose cumplir de acuerdo a (7.8) que: 1  K1     K 2    1/ 2 1/ 2  1 1 1  2    3,5    16   16  A través de (7.11), la pendiente de la curva que relaciona σ1 con σ3 es:   1  2   K2 3,5    tan     K1   2    3  4 2 2 3  2 3  1 16 Para facilitar los cálculos, se determinará primeramente la pendiente para el caso particular de un ensayo de compresión simple, en el cual  3 =0. 127  Roberto Ucar Navarro 2    3, 5 tan     2  9 4 2 1 2 16 Por otra parte, se sabe que el ángulo (α) que forma el plano de falla con el esfuerzo principal menor es,          71, 56 (7.43) 4 2  Siendo por lo tanto β = 53,13 Al considerar la ecuación (2.6) expresada forma adimensional se determina la relación (σn / σc), y el esfuerzo normal σn actuando sobre el plano de rotura de inclinación (α) con la horizontal. Para el ensayo de compresión simple se sabe que: σ3/ σc = 0, y σ1 / σc =1, obteniéndose:  1  3     n 3  c c  1     1/10  c  c   1  1  9  1     3  Por lo tanto, el esfuerzo normal como una fracción de σc es, 1 n    3, 20 MPa 10 c Igualmente, la tensión normal puede obtenerse a través de la conocida ecuación:  n 1  1 x  n   cos 2   3 sen 2  1  cos 2 71, 56   c c c 10 Reemplazando dicho valor en (7.42) se determina la constante de integración K4. 128  Roberto Ucar Navarro     1 1   3,0625  8  (3  2) 1  2   1  2  sen53,13        1  sen53,13   K 4  9    1  2   1  2  sen53,13  2  10 16     K4 = - 0,81944 3 A través de (7.23), el esfuerzo cortante para la condición en la cual  3   0 es, c  y    c    1  x   3  tan  45    tan 71, 56    2  10 3 10    103  c  9, 60 MPa Igual valor se obtiene a través de la ecuación,  1  1  3  3     sen 2  1  sen143,12   c 2  c c  10 Resumiendo, a continuación se indican los valores de obtenidos a través del ensayo de compresión sin confinar (σ3 =0) son los siguientes:  n   1 3  ,   ,   c c   10 10  c  32, 00 MPa   n ,    (3, 20 , 9, 60)  t  1 t  2, 00 MPa         c  16 Véase figura (2.1)            71, 56 ,   53, 13 4 2 129  Roberto Ucar Navarro En definitiva, la envolvente de rotura indicada en (7.27) puede construirse partiendo de la ecuación (7.42) considerando inicialmente diferentes valores de n , por ejemplo: c n  0, 0, 05 , 0,10, 0, 20, 0,30, 0, 40, 0,50......... c . Luego para cada valor de x = (σn /σc) se determina el correspondiente ángulo β y seguidamente y = (τα /σc ), a través de la referida ecuación (7.27) Continuando con el problema, se determinará un segundo punto de la envolvente considerando el caso particular que σ3/ σc = 0,10. Por lo tanto, para esta presión de confinamiento, la rotura ocurrirá cunado σ1/ σc alcance el siguiente valor. 1/ 2  1   3       K1      K2  3    σ1 = 55,55 MPa  c   c   c  1/ 2  1   1   1     2  0,1   3, 5  0,1    1, 736   c  16   16  . La inclinación de la tangente a la envolvente de falla β y el ángulo que forma el plano de rotura α con el esfuerzo principal menor en el intervalo (σ3/ σc, σ1/σc), representado por los valores (0,10, 1,736) son los siguientes: 130  Roberto Ucar Navarro   1  2   K2 3,5    tan     K1   2  6,34   3  4 2  2 3  1 2 0,10  16 β = 46,68 ◦ y α = (π/4+ β/2) = 68,34◦ Al utilizar la ecuación (7.42) y (7.22), el valor de (σn /σc) y (τα /σc), es respectivamente:     n           1  sen 46, 68   0, 81944  1  3,0625  7 3 sen 46, 68  9   2  c 16        1 3  sen 46, 68  n 1  0, 323  c 3  n 1  1 n   cos 2   3 sen 2  1, 736  cos 2 68, 34  sen 2 68, 34   0, 323 c c c 10 n  10,34MPa    n  3     1        tan  45    0, 323   tan 68, 34  c  c c   2  10     0, 562   c  17, 98  18, 00 MPa. De igual forma se obtiene :  1  1  3  1     sen 2  1, 736  0,10  sen 136, 48   0, 563 c 2  c c  2 Resumiendo, para (σ3/ σc =1/10) (σ1/ σc = 1,736), los valores son: 131  Roberto Ucar Navarro  n    ,    0, 323 , 0, 562   c c  c  32, 00 MPa   n ,    (10, 34 , 17, 98) MPa  t  1 t  2, 00 MPa         c  16 Véase figura (2.1)            68, 34 ,   48, 64 4 2 7.3 Representación del criterio de rotura en función de las invariantes I1, J2 y  Teniendo en cuenta la ecuación (7.7), es posible transformarla como a continuación se indica: 2  1  3  2  3    K1      K 2     (7.44)   c   c     c  2  1  2  3      K    K  1   K 2     (7.45)  c  c 1 1 3   Reemplazando 5.32 en la ecuación anterior resulta: 2  1  I1 2  I 2 2      J2  cos   K1  1  J2  cos(  )   K1  c  3 3  3 3 3   K22  I1 2 2     J2  cos(  )   K22  0 c  3 3 3  (7.46) A través de simplificaciones queda, 132  Roberto Ucar Navarro 2  1  I1   2  K1      1  K   J 2 cos     1 k sen   1  K  c  3 1   3    K22  I1 2 2     J2  cos(  )   K22  0 c  3 3 3  (7.47) 7.4 Cálculo de las constantes K1 y K2 y K4 (constante de integración) Los valores de K1 y K2 indicados en (7.7) pueden obtenerse con buena aproximación conociendo ξ=σc/σt conjuntamente con las ecuaciones obtenidas aplicando las siguientes condiciones: 1) Para el caso particular del ensayo de compresión simple, se sabe que;  3 = 0, y 1   c , Debiéndose por lo tanto cumplir a través de la ecuación (7.7) : 1  K1     K 2    1/ 2 (7.48) 2) La pendiente de la curva que relaciona 1  f  3  , es de acuerdo a (7.11) :   1  K2   tan   K1  2  (7.49)   3 2 3  Por otra parte, al emplear (7.18), es posible escribir: 1/ 2   1      n   3      1 2    1   3 sen 2 (7.50)  3 Siendo además, 133  Roberto Ucar Navarro n    n  ,    ,  1  1 y  3  3 c c c c (7.51) Continuando con el ensayo de compresión simple, se conoce que: 1  1  1 y 3  3  0 c c Por lo tanto, (7.50) se transforma: 1  2  tan    n  3 0  tan   1 2 sen 2    2  1  tan 2   (7.52) 2 En estas condiciones, al reemplazar el valor de tan α indicado en (7.49), se obtiene la siguiente expresión:      n   3 0   1 K1  2 K2    1  (7.53) 3) A través de (2.12) y (2.13) se determina la pendiente a la envolvente de rotura, definida por la ecuación;   1    1  d     3    tan    ' 1/ 2   d    1  (7.54) 2    3  134  Roberto Ucar Navarro Por otra parte de acuerdo a la figura (2.1) la relación entre el ángulo de rotura α y el ángulo de inclinación β que forma la tangente a la envolvente o curva de resistencia intrínseca es: 2α = (π/2+β) Mediante transformaciones trigonométricas se obtiene que: 1  tan 2   1  tan     (7.55) 2  tan   Por lo tanto, (7.54) se transforma:  K2   K   1 1  tan 2   1   2   1   2  tan   K2 (7.56) 2 K1  2  El próximo paso a seguir, es determinar el valor de  n 3 0 Al aplicar (4.79), y considerando que, 1  1   1 y  3  3  0 , re s u lta : c c n  n  3 0  c   1 cos 2    3 sen 2  cos 2   1 1  tan 2   (7.57) Por lo tanto, 1 1 tan   1  1  n /  c    n 3 0 (7.58) Sustituyendo esta última ecuación en (7.49), se obtiene: 135  Roberto Ucar Navarro  K2   1  2     n   3 0    K1   2    1    (7.59)   n 1     3 0    n    3 0  K1  K2 2  4) Otro valor de importancia es determinar el ángulo β para la condición en la cual:  3  3   0  c      1  sen  A través de (7.14) la pendiente de 1  f  3  es:  '   1     1   1  sen   3  Por lo tanto, al despejar senβ, y empleando (7.49) resulta:          1   2 2  sen  3 0 2    1   (7.60)   1  tan       K2    1    K1        2     5) La última ecuación a emplear es la (7.42) la cual relaciona (σn /σc) y el ángulo   de fricción instantánea β=i , para la condición  3    3 0 .   c  En estas condiciones es posible calcular la constante de integración K4 136  Roberto Ucar Navarro     n 3 0      1   sen  0    3     1  K   1  K  sen     4  (3  )    (7.61)   2 K K  1 1  1 1  3 0    K 4   K2    21 K1   2    1  K   1  K  sen       1 1   3 0    De acuerdo a las ecuaciones obtenidas se tienen cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Como previamente se ha señalado la solución del sistema de ecuaciones no lineales (7.48), (7.53), (7.59), (7,60) y (7.61) se ha llevado a cabo a través del programa EES (Engineering Equation Solver), tal como se podrá apreciar en las páginas siguientes. Las cinco incógnitas a determinar son: K1, K2, K4, y [senβ, (σn /σc)].Las dos últimas indicadas corresponden a la condición en la cual el esfuerzo σ3 =0 En caso que se requiera, pueden agregarse dos fórmulas adicionales al sistema de ecuaciones no lineales para la condición en la cual σn=0. Considerando dicha condición y llamando a  = 1, la ecuación 7.42 se transforma:   1   sen 1  0   n     1  K  1  K sen      2 4 K  (3  K ) 1       1  0    n   1 1 1    K 4   K2    (7.62) 21 K1   2       1  K1   1  K1  sen 1  n 0        137  Roberto Ucar Navarro La otra ecuación se obtiene al utilizar nuevamente (4.79) y considerando que σn=0. Por lo tanto, n n    1 cos 2    3 sen 2  0 (7.63) c Resultando,  1    3 tan 2  (7.64) A través de (2.10) se conoce que:  = (/4 + /2) Reemplazando el valor de  en (7.64) y llamando a  = 1, se obtiene:     1    3 tan 2   1  (7.65) 4 2  Al substituir esta última ecuación en (7.7), queda finalmente para esta condición en particular: 1/ 2       3 n0 2 4 2      tan   1   K1   3 n0          K2   3  n0     0 (7.66) Es de hacer notar que 1 es el ángulo que forma la tangente a la envolvente de rotura en el punto correspondiente a la ordenada en el origen. 7.5 Determinación de las constantes a través del programa EES En la sección 7.2 se determinaron los valores de las tensiones normales y tangenciales para el caso de una roca intacta con los siguientes parámetros; t 1 K1 =2 y K2 =3,50, σc =32,00 MPa y σt = -2,00 MPa,    c 16 Las constantes K1 y K2, se obtuvieron mediante el ajuste de curva aplicando la técnica de mínimos cuadrados tomando como datos los ensayos de compresión simple, tracción indirecta y las pruebas triaxiales a través de los núcleos de rocas. 138  Roberto Ucar Navarro Empleando el programa matemático EES (Engineering Equation Solver) asistido por el ordenador se han determinado las constantes K1 y K2 que vinculan a los esfuerzos principales σ1 y σ3. El referido programa numérico ha sido desarrollado por Apple Macintosh y opera en sistema Windows. Está diseñado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales, problemas de variables complejas e integración numérica.También minimiza y maximiza funciones, así como lo referente al ajuste de curvas entre otras importantes aplicaciones. Aplicando dicho programa con las cinco ecuaciones arriba indicadas y considerando únicamente la relación entre resistencia a la tracción y a la compresión, es decir xi = ξ= σt/ σc=-1/16, se han obtenido los mismos valores K1 y K2, a través del programa EES cuya solución se anexa a continuación. 139  Roberto Ucar Navarro 140  Roberto Ucar Navarro 7.6 Comparación de resultados aplicando diferentes criterios de rotura a través de los estudios experimentales realizados por Torres [21] En esta sección, se han utilizado los valores de resistencia obtenidos por Torres [21] en 350 probetas de concreto, 55 de ellas correspondientes a las pruebas triaxiales (σ2=σ3), en muestras cilíndricas de 5,00cm de diámetro y 10,00cm de altura, las restantes probetas se fabricaron variando la relación ancho/altura y tamaño. Adicionalmente, Torres [21] llevó a cabo pruebas de resistencia a la compresión simple en probetas tomadas como referencia en cilindros con relación altura /ancho de 2;1 , de diámetro  =15,00cm y altura H=30,00cm. La resistencia media de los 2 treintas cilindros ensayados resultó ser de f ’c = 268,79 kgf/cm , con una desviación estándar σ f ’c =9,608 kgf/cm2. En la tablas (7.1) y (7.2) se anexan los valores promedios para los diferentes rangos de presiones (σ3, σ1) y se comparan con los resultados del criterio de rotura propuesto en esta investigación, conjuntamente con el de Hoek y Brown, Murrell- Bieniaswki y Mohr-Coulomb. A continuación se indican las diferentes ecuaciones cuyas constantes se han obtenido mediante el ajuste de curvas aplicando la técnica de mínimos cuadrados y con la ayuda de la hoja de cálculo Excel 141  Roberto Ucar Navarro  Criterio de Ucar 1/ 2  1   3   3   '   K1  '     K 2  '     fc   fc   fc  Constantes obtenidas: K1  0, 712 , K 2  2, 839  Criterio original de Hoek y Brown Constantes obtenidas: m  7, 037 ,s 1 1/ 2 1 3  3     m   s  f c' f c'  f c'   Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075) Constante obtenida: A  2, 67 0,75  1   3   '   A '   1  fc   fc   Criterio lineal Constante obtenida: k  3,14 1  3   1  k  ' f c'  fc  Tabla 7.1 142  Roberto Ucar Navarro Comparación de los resultados entre los diferentres criterios de rotura y los valores de los ensayos de laboratorio Resultados de los ensayos de laboratorio Curva Curva Curva Curva Valores en kgf/cm2 Valores adimensionales Ajuste Ucar Ajuste H&B Ajuste M&B Ajuste Lineal f'c(kgf/cm2) σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1/ f'c)Ucar (σ1/ f'c)HB (σ1/ f'c)MB (σ1/ f'c)Lineal 330.00 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 0.397577672 * 0.666969697 0.000 330.00 0 1 1.000090787 1 1 1 σt (kgf/cm2) 27.97 466.86 0.08475758 1.414727273 1.376015548 1.348260271 1.419416157 1.266138788 -35.00 38.46 538.95 0.11654545 1.633181818 1.497968271 1.465667526 1.532577441 1.365952727 55.94 578.90 0.16951515 1.754242424 1.686551791 1.650352118 1.705371085 1.532277576 ξ 69.99 636.62 0.21209091 1.929151515 1.827859596 1.790851096 1.83445477 1.665965455 -0.10606061 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 1.960838995 1.924491769 1.956147542 1.798511515 к1 97.90 696.74 0.29666667 2.111333333 2.088393839 2.053835792 2.073279478 1.931533333 0.712 111.89 746.12 0.33906061 2.260969697 2.211033429 2.179161007 2.186367557 2.064650303 к2 139.86 794.50 0.42381818 2.407575758 2.443860538 2.419415472 2.402477651 2.330789091 2.839 153.85 858.16 0.46621212 2.600484848 2.555125049 2.535205765 2.506429917 2.463906061 167.83 863.62 0.50857576 2.617030303 2.663361537 2.648399957 2.607970224 2.596927879 m 174.83 870.90 0.52978788 2.639090909 2.716545792 2.70421132 2.658012401 2.663533939 7.037 181.82 891.27 0.5509697 2.700818182 2.769025326 2.759402118 2.707485587 2.730044848 195.80 971.71 0.59333333 2.944575758 2.872217819 2.868258973 2.805033731 2.863066667 s 209.79 982.94 0.63572727 2.978606061 2.973301575 2.975302623 2.900922423 2.996183636 1 223.78 1008.41 0.67812121 3.055787879 3.072386679 3.08060721 2.995224452 3.129300606 237.76 1030.47 0.72048485 3.122636364 3.169564304 3.184232376 3.087997145 3.262322424 251.76 1088.86 0.76290909 3.299575758 3.265180892 3.286515889 3.179545069 3.395534545 265.73 1107.72 0.80524242 3.356727273 3.359019418 3.387197292 3.269636186 3.528461212 279.72 1135.73 0.84763636 3.441606061 3.451526108 3.486730354 3.358676859 3.661578182 *Este criterio no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción ). Por lo tanto es una limitante LEYENDA f'c = Resistencia a la compresion simple del concreto en kgf/cm2 σt = Resistencia a la tracción del concreto en kgf/cm2 ξ=σt /f 'c m, s = Parámetros del criterio de Hoek Y Brown K1 = Constante 1/ 2  1   3   3  K2 = Constante  '   K1  '    K 2  '     fc   fc   fc  (σ1/ f'c)Ucar Valores de (σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar (σ1/ f'c)HB Valores de( σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Hoek y Brown (σ1/ f'c)MB Valores de (σ1/f 'c) correspondientes al criterio de rotura de Murrell-Bieniawski (σ1/ f'c)lineal Valores de (σ1/ f'c )correspondientes al criterio de rotura lineal 143  Roberto Ucar Navarro Tabla 7.2 Comparación de los resultados entre los diferentres criterios de rotura y los valores de los ensayos de laboratorio 2 VALORES DEL ESFUERZO PINCIPAL MAYOR σ1 en kgf/cm Resultados de los ensayos de laboratorio Curva Curva Curva Curva Valores en kgf/cm Valores adimensionales Ajuste Ucar Ajuste H&B Ajuste MB Ajuste Lineal f'c(kgf/cm2) σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1)Ucar (σ1)HB (σ1)MB (σ1)Lineal 330.00 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 131.2006318 * 220.1 0.000 330.00 0 1 330.0299598 330 330 330 σt (kgf/cm2) 27.97 466.86 0.08475758 1.414727273 454.085131 444.9258894 468.4073317 417.8258 -35.00 38.46 538.95 0.11654545 1.633181818 494.3295293 483.6702836 505.7505555 450.7644 55.94 578.90 0.16951515 1.754242424 556.5620911 544.6161989 562.7724581 505.6516 ξ 69.99 636.62 0.21209091 1.929151515 603.1936666 590.9808616 605.3700741 549.7686 -0.106060606 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 647.0768683 635.0822839 645.5286888 593.5088 к1 97.90 696.74 0.29666667 2.111333333 689.1699667 677.7658112 684.1822277 637.406 0.712 111.89 746.12 0.33906061 2.260969697 729.6410316 719.1231322 721.5012939 681.3346 к2 139.86 794.50 0.42381818 2.407575758 806.4739774 798.4071058 792.8176249 769.1604 2.839 153.85 858.16 0.46621212 2.600484848 843.1912662 836.6179024 827.1218725 813.089 167.83 863.25 0.50857576 2.615909091 878.9093073 873.9719859 860.630174 856.9862 m 174.83 870.90 0.52978788 2.639090909 896.4601113 892.3897357 877.1440925 878.9662 7.037 181.82 891.27 0.5509697 2.700818182 913.7783574 910.6026989 893.4702438 900.9148 195.80 971.71 0.59333333 2.944575758 947.8318802 946.5254611 925.6611312 944.812 s 209.79 982.94 0.63572727 2.978606061 981.1895197 981.8498655 957.3043997 988.7406 1 223.78 1008.41 0.67812121 3.055787879 1013.887604 1016.600379 988.4240692 1032.6692 237.76 1030.47 0.72048485 3.122636364 1045.95622 1050.796684 1019.039058 1076.5664 251.75 1088.86 0.76287879 3.299575758 1077.487347 1084.526301 1049.228446 1120.495 265.73 1107.72 0.80524242 3.356727273 1108.476408 1117.775106 1078.979942 1164.3922 279.72 1135.73 0.84763636 3.441606061 1139.003616 1150.621017 1108.363363 1208.3208 *Este criterio no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción ). Por lo tanto es una limitante LEYENDA f'c = Resistencia a la compresion simple del concreto en kgf/cm 2 2 σt = Resistencia a la tracción del concreto en kgf/cm ξ=σt /f 'c m, s = Parámetros del criterio de Hoek Y Brown   K1 = Constante K2 = Constante 1  K 1 3   t  K2  ' fc  3   t  1/ 2 (σ1)Ucar Valores de (σ1 ) correspondientes al criterio de rotura de Ucar (σ1)HB Valores de( σ1 ) correspondientes al criterio de rotura de Hoek y Brown (σ1)MB Valores de (σ1 ) correspondientes al criterio de rotura de Murrell- Bieniawski (σ1)line al Valores de (σ1 )correspondientes al criterio de rotura lineal 144  Roberto Ucar Navarro 7.6.1 Comentarios relacionados con los resultados obtenidos  Criterio lineal Como se sabe, al ser la relación entre los esfuerzos principales lineal, la resistencia al corte es también lineal † obteniéndose la bien conocida envolvente de rotura de Mohr-Coulomb, siendo por tanto:  1 sen  k  tan2 ( / 4   / 2)    (7.67)  1 sen  1  3  2      1   '  tan    . En estas condiciones al considerar el valor de f c'  fc   4 2 k=3,14, se obtiene que el ángulo de fricción interna del concreto es =31,12o. Por otra parte, al aplicar el criterio de Mohr –Coulomb, se obtiene la expresión: fc'  2  C  tan( / 4   / 2) (7.68) A través de esa última ecuación, el valor de la cohesión del concreto es: fc' 330, 00kgf / cm2 C   93,11kgf / cm2 (9,13MPa) 2  tan( / 4   / 2) 2 3,14 Por otro lado, cabe señalar que Chen [11] en su libro de Plasticity in Reinforced f c' 330, 00 kgf / cm 2 Concrete, indica valores de  ≈37 y C  o  82,50kgf / cm 2 4 4 Adicionalmente, a través de la figura (4.1), se observa que en la ecuación lineal propuesta por Richart el parámetro k =4,10. Utilizando dicho valor se obtiene un ángulo  ≈37o , es decir coincide con las experiencias de Chen [11]. † En el apéndice A , se lleva a cabo el desarrollo analítico, en el cual se demuestra que la envolvente de rotura es lineal cuando la relación entre los esfuerzos principales también es lineal . 145  Roberto Ucar Navarro En definitiva, se aprecia que en los parámetros obtenidos por Torres [21], el ángulo de fricción interna es unos seis grados menor y la resistencia cohesiva es un 12% mayor. Sin embargo al aplicar el criterio original empírico de Hoek y Brown, las constantes obtenidas son m =7 y s =1, las cuales coinciden con una roca intacta del tipo caliza. Como se sabe esta roca es utilizada frecuentemente como agregado en la elaboración de concretos, y por lo tanto dichos parámetros son buenos indicadores de los resultados obtenidos. Además, para llevar a cabo una comparación detallada de los parámetros de corte C y  del concreto, es necesario conocer en detalle , los ensayos granulométricos de los agregados , el diseño de la mezcla, así como la elaboración de las probetas, su normativa y otros factores que influyen en la resistencia del concreto. En este sentido, cabe señalar las investigaciones realizadas por Aire [59] en su tesis doctoral sobre el comportamiento del hormigón confinado sometido a compresión. Dicho investigador ensayó probetas cilíndricas de concreto de 150x300mm a diferentes niveles de confinamiento (σ2=σ3) en dos casos específicos con resistencias a la compresión uniaxial de 35,00 MPa y de 68,00MPa (concreto de alta resistencia) En la tabla 7. 3 se presentan los resultados de dicho investigador, indicándose los parámetros de corte C y  de su estudio experimental. Finalmente, se observa que el concreto con resistencia f ’c =35MPa, tiene un ángulo de fricción interna que coincide con el obtenido por Torres [21], pero la cohesión es un 27% mayor. Por otra parte, de acuerdo a los estudios experimentales realizados por Aire [59], se aprecia que el concreto de alta resistencia f ’c =68MPa duplica la cohesión al compararse con el concreto de 35,00MPa, pero el ángulo de 146  Roberto Ucar Navarro fricción interna disminuye en unos cinco grados con respecto al concreto de menor resistencia. Cabe destacar que los parámetros de corte C =9,13 MPa  =31,12o obtenidos por Torres [21], para un concreto con resistencia f ’c=33MPa se asemejan a los valores experimentales obtenidos por Aire [59] para el caso de un concreto en el cual la resistencia f ’c=35MPa Tabla 7.3 Parámetros del Criterio de Mohr-Coulomb, según Aire [59] Parámetros de tan  resistencia C (MPa) Angulo de Fricción  Coeficiente de Fricción f ’c=35MPa 11,60 31,50 0,614 f ’c=68MPa 22,60 29,10 0,557  Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075) Este criterio propuesto por Murrell y luego modificado por Bieniawski no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción), tal como se pude 0,75  1   3  apreciar a través de la ecuación:  '   A  '   1  fc   fc  Es decir, el referido criterio está limitado para el caso de tensiones de tracción, y por lo tanto se reduce su aplicación. Obsérvese que en las tablas 7.1 y 7.2 para el 2 caso de que σt =-35,00kgf/cm no se registra ningún valor, ya que todos los valores de las tensiones deben ser de compresión Por otra parte, si el exponente K=1, la relación entre los esfuerzos es lineal y la constante A = tan2(π/4+/2). Para mayor detalle véase apéndice (A). 147  Roberto Ucar Navarro  Criterio de rotura de Hoek y Brown (HB) 2 A través de la tabla 7.2, se oberva que el valor de σ1=131,20kgf/cm corresponde cuando la resistencia a la tracción σt=-35,00 kgf/cm2. Lógicamente el valor de σ1 debe ser cero para el caso particular en el cual σ3 =σt. Por tanto, el referido criterio de rotura no cumple con dicha condición. Con el objeto de conocer las razones por la cuales el esfuerzo principal mayor σ1 no es cero, se aplicará la ecuación derivada por dichos investigadores para determinar la resistencia a la tracción σt a través de la ecuación (4.6), es decir: c    m   m2  4  s   1/ 2 3  t  2   Por otra parte, los valores de (m) y (s) obtenidos mediante el ajuste de la curva aplicando la técnica de mínimos cuadrados en función de los 21 ensayos de (σ1,σ3) indicados en la tablas (7.1) y (7.2), han dado como resultado que m=7 y s =1. Con dichos parámetros al aplicar (4.6) resulta: 330   7   49  4 1   46, 22kgf / cm 2 1/ 2 3  t  2   Es decir, esta resistencia no corresponde con el valor obtenido experimentalmente 2 de σt =-35 kgf/cm . Adicionalmente, para que se obtenga dicho valor, es necesario según el criterio de Hoek y Brown aplicar la ecuación (4.9), definida por la relación: c fc' m  2 2  t  t .En estas condiciones, m= f ’c/σt= (330 kgf/cm /35 kgf/cm ) ≈ 9,4 Con dicho valor y s=1, la resistencia a la tracción al aplicar (4.6) corresponde a una 2 resistencia a la tracción de σt=-35,00 kgf/cm . 148  Roberto Ucar Navarro Por oto lado, el parámetro m =7, obtenido mediante el ajuste de la curva no coincide con el valor teórico de m =9,40 al aplicar el mencionado criterio de rotura. En definitiva estas discrepancias entre lo teórico y experimental producen restricciones al criterio, aunque es muy posible que en otros casos no se produzca. Por supuesto, si se utiliza m =9,40 en lugar de m =7,00, los valores de σ1 se alejan todavía más con relación a los obtenidos experimentalmente.  Criterio de rotura de Ucar Al examinar las constantes K1 y K2 de este nuevo criterio, se observa que la constante K2 tiene una gran influencia sobre la curvatura y por ende en la variación del vector tangente al moverse sobre la curva. Por otra parte, si K2 0, la relación entre los esfuerzos principales es lineal y por lo tanto el radio de curvatura    , y la constante K1=tan2(π/4+/2), como se demuestra a continuación. Al ser K2 =0, la ecuación (7.7) se trasforma:  1   3     K1     (7.69)  c   c   3     1  K1   c      K1 3  K1 c   t  (7.70)  c   c  Por cuanto σt es negativo resulta,  1  K1 3  K1 t (7.71) Por otra parte, si σ 1 =σ c σ3 =0, por tanto: c  c  K1 t  K1  (7.72) t 149  Roberto Ucar Navarro Quedando finalmente la conocida relación lineal,  1  K1 3   c (7.73) Adicionalmente, un aspecto de importancia que debe señalarse en el referido criterio, es que ambas constantes están vinculadas con dos propiedades fundamentales como son la resistencia a la compresión y la tracción, a través de la relación:     t  t f ' c c (7.74) Debiéndose cumplir a través de la ecuación (7.8) que: 1  K1     K 2     Para la condición  1   c ,  3  0 1/ 2 Cabe señalar, como se podrá apreciar en la próxima sección, que este criterio presenta el menor error estándar al compararse con el Murrell –Bieniawski, Hoek y Brown y la relación lineal entre σ1 y σ3. 7.6.2 Determinación del error estándar En la tabla 7.2, a través de los diferentes criterios de rotura investigados se indica la variación del esfuerzo principal mayor σ1 = f (σ3). Estos valores se han utilizado para determinar el error estándar del valor estimado. Dicho valor es simplemente la desviación estándar de los valores observados de σ1 (valor experimental) alrededor de de la línea de regresión estimada, la cual se utiliza frecuentemente como una medida resumen de la bondad de ajuste de dicha línea. En resumen, el Error Estándar no es otra cosa que la desviación estándar de la distribución muestral del estimador. 150  Roberto Ucar Navarro    ui2 1 n  k  (7.75) ui  1  exp  1  estimado (7.76) ui es el residuo, es decir la diferencia entre el valor experimental y el estimado.  ui2  suma de los valores residuales al cuadrado (n-k), se conoce como el número de grados de libertad. El término grados de libertad, significa el número total de observaciones(n) en la muestra menos el número de restricciones independientes (k) k =número de parámetros o constantes a determinar. En el caso, correspondiente a los criterios investigado k =2, excepto en la ecuación de Murrell-Bieniawski, en la cual k =1 Tabla 7.3 Desviación estándar para los diferentes criterios Criterio de Rotura Desviación Estándar σσ1 (kgf/cm2 ) Ucar 19,04 Hoek y Brown 38,60 Murrell-Bieniawki 23,65 Lineal 72,04 Se observa de acuerdo a tabla 7.3 que el menor error estándar corresponde al criterio de rotura empírico propuesto por Ucar. Estos resultados se basan en el estudio experimental realizado por Torres [21] en probetas de concreto sometidas a 151  Roberto Ucar Navarro compresión triaxial (σ3 = σ2). Los valores para diferentes intervalos de tensiones (σ3 , σ1) se indican en la tabla 7.2. Resumiendo se tiene:  Criterio de Ucar  1  K1  3   t   K 2 f c'  3   t  1/ 2 , kgf / cm 2 Constantes obtenidas: K1  0, 712 , K 2  2, 839 f c'  330, 00 kgf / cm 2 ,   35, 00 kgf / cm t 2 Desviación Estándar = 19,04kgf/cm2  Criterio original de Hoek y Brown 1/ 2     1   3  f c'  m  3'  s  , kgf / cm 2  fc  Constantes obtenidas: m  7, 037 ,s 1 Desviación Estándar = 38,60 kgf/cm2  Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075) 0,75    1  A  fc'  3'   f c' , kgf / cm 2  fc  Constante obtenida: A  2, 67 152  Roberto Ucar Navarro Desviación Estándar = 23,65 kgf/cm2  Criterio lineal  1  k  3  fc' Constante obtenida: k  3,14 Desviación Estándar = 72,04 kgf/cm2 7.7 Determinación de la envolvente de rotura aplicando los estudios experimentales de Aire [59]. Con la finalidad de apreciar la utilidad del nuevo criterio de rotura, a continuación se consideran los resultados de las investigaciones realizadas por Aire [59] en su tesis doctoral sobre el comportamiento del concreto cuando está sometido a compresión triaxial Dicho investigador ensayó probetas cilíndricas de concreto de 150x300mm a diferentes niveles de confinamiento pero considerando la condición en la cual σ3=σ2, es decir el esfuerzo principal menor e intermedio son iguales. Investigó dos casos específicos con resistencias a la compresión sin confinar de 35,00 MPa y de 68,00MPa (concreto de alta resistencia). La tabla 7.4, muestra los valores (σ3, σ1), para el caso particular de las pruebas de concreto con una resistencia fc’=35,00 MPa 153  Roberto Ucar Navarro Tabla 7.4 Resultados de los ensayos triaxiales realizados por Aire [59] Valores de σ 3 (MPa)  3 = σ3/ f ’c σ1(MPa) 1 =σ1/ f ’c resistencia del Concreto a 0 0 f ’c =35 1 diferentes estados 7 0,20 71 2,03 de confinamiento 17 0,49 103 2,94 f ’c =35MPa 28 0,80 132 3,77 35 1 151 4,31 La fase siguiente es determinar las constantes K1 y K2 a través del nuevo criterio propuesto y comparar los resultados con los valores de σ1 de la tabla 7.4. Por cuanto, Aire [59] en sus pruebas de laboratorio no determinó la resistencia a la tracción del concreto σ t, es necesario hallar una constante adicional la cual corresponde a ξ = σt / fc’. Por tanto, se aplicará nuevamente la ecuación (7.7) representada por: 1/ 2  1   3       K1      K2  3     c   c   c  Adicionalmente, para el caso del ensayo de compresión simple, se debe cumplir que 1   c y por tanto  3 = 0, obteniéndose a través de esta última ecuación que: 1  K1     K 2    1/ 2 Las otros dos ecuaciones se determinan, considerando los valores de la tabla 7.4, para el valor intermedio de  3 = 17MPa y el extremo con  3 = 35MPa. 154  Roberto Ucar Navarro En forma adimensional se tiene: (σ3 / fc’, σ1 / fc’) = ( 0,49, 2,94) y (1, 4,31) En estas condiciones el sistema de ecuaciones simultáneas no lineales es: 1  K1     K 2    1/ 2 2,94  K1  0, 49     K 2  0, 49    1/ 2 4,31  K1 1     K 2 1    1/ 2 Adicionalmente, al aplicar el programa matemático asistido por el ordenador EES (Engineering Equation Solver), las constantes obtenidas son: K1 =0,67, K2 =3,40 y ξ = σt / fc’ =- 0,0778, por lo tanto σt =-2,72 MPa (valor teórico estimado). A través de la ecuación (7.15) el ángulo de rotura (α) que forma el plano de falla con el esfuerzo principal menor es:  1    K2  tan 2     K1   tan 2   3 4 2 2 3  Tabla 7.5  3   3 / f c'  1 /  3 αo βo 0 6,765 68.97 47,94 0,20 3,895 63,13 36,26 0,49 2,926 59,69 29,38 0,80 2,484 57,61 25,21 1 2,3075 56,64 23,29 155  Roberto Ucar Navarro Adicionalmente se ha determinado β, el ángulo que forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal en cada plano de rotura definido en el intervalo de tensiones (α, σn). Como se ha mencionado previamente β= i, es decir el ángulo de fricción interna instantáneo. Tabla 7.6 Valores Experimentales según Aire [59 ] Valores utilizando el en probetas de concreto sometidas a Criterio de Ucar compresión triaxial σ3 (MPa) 3 σ1(MPa) 1 1  1(MPa) 0 0 f ’c =35 1 1 f ’c =35 7 0,20 71 2,03 1,98 69,30 17 0,49 103 2,94 2,94 103 28 0,80 132 3,77 3,77 132 35 1 151 4,31 4,25 148,80 1 3     1/ 2 1  , 3  ;  1  0, 67  3    3, 40  3      0, 0778 f c' f c' Seguidamente, se determina la resistencia al corte y el esfuerzo normal para cada intervalo de tensiones (σ3, σ1). Expresando la ecuación (2.6) en forma adimensional se obtiene primeramente para cada intervalo (σ3,σ1) la relación (σn / σc), y (α / σc) . 156  Roberto Ucar Navarro Luego el esfuerzo normal σn y la resistencia al corte α actuando sobre el plano de rotura de inclinación (α) con la horizontal. Como ejemplo, se ha considerado el ensayo de compresión simple. Por lo tanto: σ3/ σc = 0, y σ1 / σc =1, obteniéndose:  1  3   ' '  n  3  fc fc  1     0,1288 fc' f c   1  1  6, 765 ' 1     3  El esfuerzo normal como una fracción de σc es, ' ' n  0,1288  f c  4, 508 MPa , f c  35, 00 MPa Igualmente, la tensión normal puede obtenerse a través de la conocida ecuación: n 1 3 x  n   cos 2   sen 2  1  cos 2 68, 97   0,1288 f c' ' fc f c' Por otra parte, la tensión cortante definida a través de (7.23) es la siguiente:  y    f c'  x  3  tan    45    2 , siendo : n 3 x y 3  f c' f c' La cual equivale a escribir: 157  Roberto Ucar Navarro   n 3      '   '  '   tan  45    0,1288 tan 68, 97   0, 335 fc  fc fc   2    0, 335  f c'  11, 73 MPa.. Igual valor se obtiene a través de la ecuación,  1  1  3  1     sen 2  1 sen137, 94  0, 335 f c' 2  f c' f c'  2 En la tabla anexa, se indican los diferentes valores de las tensiones normales y cortantes para cada intervalo (σ3, σ1) y en la figura 7.1, los círculos de Mohr de los ensayos triaxiales y la envolvente no lineal de rotura. Cabe señalar que la figura 7.2 representa la relación entre las tensiones principales (σ3, σ1) junto con el nuevo el nuevo criterio empírico de rotura, el cual permite calcular σ1=f (σ3, ξ, K1, K2) con un buen nivel de aproximación para diferentes presiones de confinamiento. A la vez debe indicarse el beneficio de obtener una envolvente curva, por cuanto se ajusta con mayor precisión a los valores reales de las tensiones actuando sobre los planos de rotura , además de la evidente diferencia al compararse con la envolvente lineal (véase figura 7.3), en particular en la zona de tracción y de compresión sin confinar. Por otra parte, al incrementarse la presión de confinamiento la pendiente de la curva tiende a disminuir. Obsérvese a través de la tabla 7.5 como el ángulo β=47,94o, valor que corresponde cuando no hay presión de confinamiento y que disminuye a β=23,29 o al incrementarse a σ3 /f ’c =1. 158  Roberto Ucar Navarro Tabla 7.7 Tensión normal y cortante para cada intervalo (σ3 / fc’, σ1 / fc’)  3 / f c'  1 / f c'  n / fc '   / f c'  n (MPa)   (MPa) 0 1,00 0,129 0,335 4,510 11,72 0,20 1,98 O,564 0,718 19,73 25,12 0,49 2,94 1,114 1,067 38,99 37,36 0,80 3,77 1,652 1,344 57,83 47,02 1,00 4,25 1,982 1,4927 69,39 52,24 La tabla 7.7, muestra los valores de σn y α pertenecientes a la referida curva de resistencia intrínseca, cuyos valores se han determinado conociendo previamente el intervalo de los esfuerzos principales (σ1 ,σ3 ) y el ángulo α. En estas condiciones se construye la curva considerando las coordenadas de las tensiones (σn , α ). Lógicamente, la forma elegante de obtener la envolvente de rotura es a través de la ecuación (7.28), en función de la tensión normal σn y el ángulo que forma la tangente a la envolvente con la horizontal β =i (ángulo de fricción interna instantáneo). 159  Roberto Ucar Navarro Figura 7.1 160  Roberto Ucar Navarro Los pasos a seguir son los siguientes conociendo las constantes K1, K2 y ξ  A través de la ecuación (7.53) determinar: n  n    cuando  3  0  c    n 3 0   K 1  1 K1 2   2    Utilizando la ecuación (7.60) se obtiene el ángulo β para la condición en la cual σ3=0.    4    sen   1   3 0   2  (1  K1 )  K 2    Cononociendo los valores de :  n  3 0 y    , se calcula la constante deintegración K 4 3 0 El próximo paso es utilizar la ecuación (7.42), la cual es la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden. Fácilmente, a través de dicha expresión se calcula la constante K4. Por lo tanto, se tiene la función ζ(σn, β,ξ,K1,K2, K4) =0, definida por:    4 K1  (3  K1 )  2 1  K1   1  K1  sen      K   n     1  sen   K4   212K      0 1  K1   1  K1  sen  2   1      161  Roberto Ucar Navarro Por ejemplo, al considera nuevamente los ensayos experimentales realizados por Aire [59], y las constantes K1=0,67, K2=3,40 y ξ=-0,0778 obtenidas utilizando el criterio de rotura propuesto, resulta:  n  3 0   1 3,40   0,1288 10,67    2 0,0778     4 0, 0778   sen   1    0, 7424    47,94  3 0   2 0, 0778(1  0, 67)  3, 40   Por lo tanto, al sustituir los valores de la tensión nomal σn y β, en (7.42), la constante de integración K4 =-1,863. En estas condiciones, al utilizar la fórmula (7.42) para diferentes valores de σn , se determina el correspondiente ángulo β. También, puede aplicarse el caso contrario, es decir dando valores de β=i se calcula la tensión normal.  Finalmente, para cada valor de σn junto con el respectivo ángulo β, se determina la resistencia al corte α, y se construye la envolvente o curva de resistencia intrínseca representada por la ecuación (7.28), es decir: 2  K2     tan  45       2   2    n     tan  45    2  2   2     tan  4  2   K1      162  Roberto Ucar Navarro Figura 7.2 Relación entre los esfuerzos principales obtenida en este estudio empleando los datos experimentales de Aire [59] 163  Roberto Ucar Navarro Envolvente lineal obtenida por Aire [59] en sus estudios experimentales del concreto confinado sometido a compresión Figura 7.3 164  Roberto Ucar Navarro 7.7.1 Determinación de la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura a través de las pruebas de resistencia realizadas por Aire [59] . En la sección 7.1, se determinó que la pendiente de la curva que vincula σ1=f (σ3), está representada por la ecuación:   1  2   K2    tan     K1  (7.78)   3  4 2  2 3  Siendo,   1    1  1 3    , 1  ' ,  3  '   3    3  fc fc Seguidamente se determina el valor medio de la refererida pendiente, considerando a través de la tabla 7.7 los siguientes límites de integración: 3 3 3  0 3  1 fc' f c' b 1 Como se sabe el valor medio de una función ym  b  a  ‡  f ( x)dx , a  x  b a  3 1  K2     1  2   1    tan     K   d 3   3   4 2  (1  0)  1 2     3 0   3 (7.79) t f c'   0, 0778   12,85 fc' t ‡ Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica,G, Thomas (1966) , Editorial Aguilar, pp234-236 165  Roberto Ucar Navarro Al integrar se obtiene:   1  2      1    tan      K1  K 2  3     4 2   valor medio   0  3  K1=0,67 y K2 =3,40   1  2       tan      0, 67  3, 40 (1, 04  0, 28)  3, 25   3   4 2   valor medio El próximo paso, es determinar la pendiente aplicando el criterio lineal y comparar resultados. Al aplicar el criterio lineal con los datos indicados en la tabla 7.7, se obtiene mediante el ajuste por mínimos cuadrados: 1  3   3, 44  '  1 , R 2  0,973 . Por lo tanto, la pendiente de la recta es f c'  fc  d 1  tan 2  / 4   / 2   3, 44   33,340 d 3 Obsérvese que la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura corresponde a 3,25, es decir ligeramente menor al compararse con el criterio lineal. En estas condiciones, el valor del ángulo de fricción interna es:  2     0  tan     3, 25      31,97 0  32   4 2   valor promedio 166  Roberto Ucar Navarro 8 .EXPRESIONES ANALÍTICAS DE INTERÉS AL APLICAR EL CRITERIO LINEAL DE ROTURA Un aspecto importante a señalar, es que el criterio lineal es ampliamente utilizado en el campo de la geotecnia, aun cuando presenta limitaciones. Además, por su simplicidad es una herramienta básica para el ingeniero por cuanto permite resolver innumerables problemas relacionados con fundaciones, excavaciones y obras subterráneas. En el apéndice (A) se demuestra analíticamente que al ser la relación entre los esfuerzos principales lineal, también es lineal la relación entre la resistencia al corte y el esfuerzo normal actuando sobre el plano de falla, la cual corresponde a la bien conocida ecuación de Mohr-Coulomb. Por tal motivo, es de interés relacionar los parámetros resistentes utilizando el referido criterio como a continuación se lleva a cabo.  Criterio de Mohr-Coulomb en función los esfuerzos principales (σ1, σ3)        1   3 tan 2     2  C tan    (8.1)  4 2  4 2 Teniendo en cuenta que el plano de rotura α = (π/4+/2)  1   3 tan 2   2  C  tan  (8.2) Siendo además,      1  sen  tan 2        N (8.3)  4 2   1  sen       cos   tan        N 1/ 2 (8.4)  4 2   1  sen  167  Roberto Ucar Navarro  Relación entre la resistencia al corte y el esfuerzo normal (σn, τα)    C   n tan  ( Ecuación de Mohr  Coulomb ) (8.5) A continuación se deducen algunas expresiones de interés, las cuales permiten relacionar los parámetros resistentes. 1) Relación entre la resistencias a compresión σc y a tracción σt Ensayo de compresión sin confinar Condiciones de borde: σ3=0, por lo tanto σ1= σc Reemplazando dichos valores en la ecuación (8.1) se obtiene la resistencia a compresión sin confinar en términos de C y , es decir:    c  2.C tan    (8.6) 4 2  A la vez, la ecuación (8.1) puede expresarse en forma compacta como sigue:     1   3 tan 2    c (8.7)  4 2 Ensayo de tracción Condiciones de borde : Al Considerar σ3= σt , σ1=0 Al aplicar la ecuación (8.1), se obtiene la siguiente ecuación; c    t    c tan 2    2     4 2 (8.8) tan     4 2 168  Roberto Ucar Navarro Por lo tanto, la relación entre la resistencia a la compresión simple y la tracción está representada por la ecuación. c     tan 2    (8.9) t  4 2 Siendo la tangente del ángulo de rotura α = (π/4+/2)    c tan     (8.10)  4 2 t El próximo paso es representar la ecuación (8.1) en forma segmentaria o canónica, por cuanto permite expresarla en forma sencilla cuando se conoce el segmento de recta definido por los puntos: (0, σc) y (σt ,0). En estas condiciones la ecuación (8.8) se transforma:  1  3 tan  / 4   / 2  2  1 (8.11) c c Teniendo en cuenta (8.9), se obtiene que: 1 3  1 c  c  (8.12)    tan  / 4   / 2   2 Resultando finalmente al considerar la ecuación (8.8): 1  3  1 (8.13) c t Para mayor detalle, véase figura (8.1) 169  Roberto Ucar Navarro 2) Determinación de la cohesión en función de σc y σt El valor de la cohesión en términos de la resistencia a la compresión sin confinar y de la tracción, se obtiene reemplazando la tangente del ángulo de rotura representada a través de (8.8) en (8.5). c  c  2.C (8.14) t Al despejar el valor de la ecuación queda, 1 C   c t (8.15) 2 3) Obtención del ángulo de fricción interna en función de σc y σt Despejando sen en la ecuación (8.2), se obtiene que:  tan 2  / 4   / 2   1  sen   2  (8.16)  tan   / 4   / 2   1  Por otra parte, al sustituir el valor de tan2 (π/4+/2) a través de la ecuación (8.10) en (8.13), se obtiene:  c    t 1  sen      c  1  (8.17)   t  170  Roberto Ucar Navarro Figura 8.1 171  Roberto Ucar Navarro 4) Determinación del coeficiente de rozamiento interno μ=tan en suelos granulares en función de los esfuerzos principales σ1 y σ3. Si la masa de suelo investigada es granular, es decir C=0, la ecuación (8.6) que representa la resistencia al corte se reduce a la siguiente expresión:     n tan  (8.18) Por otra parte, se sabe que:  n   1 cos 2    3 sen 2 1    1   3  sen2 (8.19) 2 Reemplazando (8.19) en (8.18), y despejado μ= tan , resulta: 1  1   3  sen2  1   3  tan  tan   2  (8.20)  1 cos 2    3 sen 2  1   3 tan 2  Considerando en (8.2) que C=0 : σ1=σ3 tan2 α . Siendo α el ángulo que forma el plano de rotura con el esfuerzo principal menor. En función del valor arriba indicado, la ecuación (8.20) se transforma en función de los esfuerzos principales como sigue: 1  1   3  tan   3   1   3  (8.21) 2 1 2  1 3 Algunos aspectos a mencionar sobre las limitaciones de dicho criterio son las siguientes:  Al igual que el nuevo criterio propuesto en este estudio , la ecuación lineal entre los esfuerzos principales no toma en cuenta la tensión principal intermedia σ2 172  Roberto Ucar Navarro  Goodman [60], menciona que no es razonable admitir la resistencia friccionante en la presencia de esfuerzos de tracción, perdiendo por lo tanto la ecuación de Mohr-Coulomb α=C+σn tan su validez física en la zona de tracción.  Muchos investigadores recomiendan, crear una línea de corte en la región de tracción (Tension Cutoff), tal como se muestra en la figura (8.2).En estas condiciones se obtiene que la resistencia al corte es cero cuando σ3= σt.  Sobrevalora la resistencia a la tracción.  Se ha determinado que la resistencia de la roca aumenta menos con el incremento de la presión de confinamiento, que la obtenida al considerar una ley lineal.  Lo anterior demuestra que la envolvente de rotura no lineal se ajusta mejor al fenómeno físico al compararse con la ecuación de la recta de Mohr-Coulomb.  También, a través de este criterio es difícil determinar los parámetros de corte en forma global teniendo en cuenta los planos de discontinuidad y los puentes de roca sana. Por tal motivo, se ha tratado de obtener valores de la cohesión y fricción del macizo rocoso a partir de expresiones del criterio de Hoek y Brown (HB), junto con las clasificaciones geomecánicas, mediante cálculos que no son inmediatos .Esto se debe a que la principal dificultad estriba en que el criterio de HB no es lineal, y por lo tanto los referidos parámetros C y  no son constantes, sino que dependen de la tensión normal σn . Cabe destacar que dichos autores a través de su criterio no lineal y el programa Roc Lab (http://www.rocscience.com/assets/files/uploads/8079.pdf), determinan los valores C y  equivalentes para cada intervalo de tensiones σn. Ucar [61] en su Manual de Anclajes en Ingeniería Civil, también ha desarrollado una metodología analítica para calcular los referidos parámetros equivalentes 173  Roberto Ucar Navarro utilizando el criterio de Hoek y Brown, con aplicación a la estabilidad de taludes y excavaciones subterráneas. Bieniawski [1] en su libro Engineering Rock Mass Classifications, recomienda en función del índice de calidad RMR los siguientes valores: Valores de RMR 100-81 80-61 60 -41 40 -21 <20 Cohesión (MPa) > 25 15-25 8,5-15 4,5-8,5 <4,5  (grados) >65 55-65 48-55 41-48 <41 También menciona la siguiente relación obtenida por Trunk y Hönish, en función de cuarenta casos estudiados: =0,5 RMR+8,3 (±7,2) (8.22) Por supuesto, al considerar los comentarios previamente indicados, estos valores deben tomarse con mucha precaución. Finalmente, es de importancia mencionar los resultados obtenidos por Torres [21] a través de sus estudios experimentales en probetas de concreto y cuyos resultados se pueden observar en la tabla 7.1, especialmente en los valores correspondientes a σc= f’c =330,00 kgf/cm2 y σt=-35,00 kgf/cm2. Si se emplea el criterio lineal, al aplicar las ecuaciones (8.10) y (8.15) , el valor de la cohesión y del ángulo de fricción interna es por lo tanto, f c'     tan 2     9, 43   53,920 t  4 2 1 1 C  c t  330,00 (35,00)  53,74kgf / cm2  5, 27MPa  2 2 174  Roberto Ucar Navarro Por otra parte, estos resultados no concuerdan con la ecuación lineal obtenida mediante el ajuste de mínimos cuadrados (véase sección 7.6), y representada por la fórmula: 1  3   1  k  '  , k  3,14 f c'  fc   1 sen  k  tan2 ( / 4   / 2)     3,14    31,12 0  1 sen  Obsérvese, que en este caso la resistencia es compresión es 3,14 veces la de tracción. Lógicamente dicho resultado no concuerda con el valor real obtenido en el laboratorio, en el cual fc’ /σt = 9,43 Al aplicar (7.63), el valor de la cohesión es: fc' 330, 00kgf / cm 2 C   93,11kgf / cm 2 (9,13MPa) 2  tan( / 4   / 2) 2 3,14 Como previamente se ha mencionado, estas diferencias tan notables en los resultados al aplicar el criterio lineal de Mohr-Coulomb se debe a que la resistencia friccionante (σn tan) en la presencia de esfuerzos de tracción pierde su validez física .Por lo tal motivo, es práctica común dividir la envolvente en una zona de compresión aplicando la ecuación lineal de Mohr-Coulomb , y una línea de corte en la región sometida a tracción “tension cutoff ”, tal como se puede observar a través de la figura (8.2) 175  Roberto Ucar Navarro Figura 8.2 176  Roberto Ucar Navarro 8.1 Cálculo aproximado de los parámetros de corte a través de la persistencia de las discontinuidades. En esta sección, se describe con un ejemplo práctico el procedimiento para obtener la resistencia aproximada en rocas fracturadas a través del modelo propuesto por Terzaghi, el cual menciona Pariseau [62] en su libro Design Analysis in Rock Mechanics. Básicamente, a través del concepto de persistencia se estudia los planos de discontinuidad y los puentes de roca sana entre segmentos fracturados. Es un parámetro que no es fácil de cuantificar, en especial cuando no se puede visualizar en detalle el afloramiento Si el área de roca intacta y fracturada se denotan por Ai y Af respectivamente, y definiendo la persistencia p como la relación entre Af y el área total A= (Ai y Af), resulta por lo tanto que: P= Af /( Ai + Af ). En estas condiciones, es posible escribir las siguientes expresiones para determinar la resistencia global o promedio τp de la masa rocosa en función de la roca intacta y diaclasada.  p   i  AAi    f  AAf  (8.23)   Siendo i yf la resistencia de la roca intacta y fracturada respectivamente.  p   i  AAA f    f  AAf  (8.24)      p   i 1 p    f p (8.25)  p  1 p  Ci  n tan i   p  C f  n tan  f   (8.26) Llamando a Cp y p los parámetros de corte promedios de la masa rocosa, se obtiene: 177  Roberto Ucar Navarro  p  C p   n  tan  p (8.27) Por lo tanto, los valores promedios de la cohesión y ángulo de fricción interna en función de la persistencia se determinan a través de (8.26) como a continuación se indica: C p  1  p  Ci  p  C f (8.28) tanp  1 p tani  p  tanf (8.29) Con el objeto de poder apreciar la aplicación de esta metodología, a continuación se lleva a cabo un ejemplo de aplicación resuelto por Pariseau [62] en su libro Design Analysis in Rock Mechanics. Medidas de campo en afloramientos indican que la persistencia de la roca fracturada es p = 0,75. Por otra parte, a través de las pruebas de laboratorio en roca intacta se determinó que σc=105,00MPa y σt=-10,50MPa. Adicionalmente se realizaron ensayos de corte directo, obteniéndose los siguientes parámetros resistentes promedios medidos en los planos de discontinuidad: Cf =0,06MPa y f =25o Utilizando (8.15) y (8.17), los valores de la cohesión y ángulo de fricción interna para la condición intacta son: 1 1 Ci   c t  105, 00.(10,50) 2 2 1 Ci  (105, 00) 2 /10  16, 60MPa 2  c   t  1  9 seni    i  54,90o   c  1  11   t  178  Roberto Ucar Navarro Por lo tanto, los parámetros resistentes promedios o globales de la masa rocosa al emplear las ecuaciones (8.28) y (8.29) son los siguientes: C p  1  p  Ci  p  C f  (1  0,75)16,6  0,06  4, 21MPa tanp  1 p tani  p  tanf  (1 0,75)tan54,900  0,75 tan250 p=35,20o 9. PASOS A SEGUIR EN LA PRÓXIMA FASE DE INVESTIGACIÓN Como se ha mencionado al principio de este estudio, la siguiente etapa de investigación está orientada en extender el nuevo criterio de rotura propuesto a través una metodología real y efectiva de rotura en tres dimensiones. Cabe señalar que muchos investigadores han estudiado en detalle este importante tema de la mecánica de las rocas ,en especial Mogi [13] quien ha demostrado en sus estudios experimentales a partir de 1964 que existen evidencias notables que demuestran la influencia del esfuerzo principal intermedio σ2 en la resistencia de la roca. Dicho investigador desarrolló un equipo triaxial verdadero (True triaxial apparatus) , en el cual los tres esfuerzos pueden ser aplicados independientemente, y aplicando altas presiones. Sin lugar a dudas, esta es una tarea complicada, en especial cuando se desea ampliar las condiciones de rotura para un estado de esfuerzo poliaxial σ1> σ2> σ3 Por otra parte, ya se han iniciado los primeros pasos para investigar un procedimiento el cual considere las condiciones de fractura y meteorización del macizo rocoso. Dicho estudio se fundamenta en un estado de esfuerzo bidimensional utilizando las bien conocidas clasificaciones geomecánicas, tales como el Rock Masas Rating (RMR) de Bieniawski [1],el sistema Q de Barton [2] ,o 179  Roberto Ucar Navarro el Índice de Resistencia Geológica (Geological Strength Index-GSI )de Hoek y Brown [3] .Para mayor detalle , véase la sección uno correspondiente a la introducción del presente trabajo. . En estas condiciones se propone la ecuación (1.10) , la cual nuevamente se indica: 1/ 2  1   3   3     K1   m  K 2   m (9.1)   cm    cm    cm  Siendo,   tm  m    (9.2)   cm  Como previamente se ha mencionado, σcm es la resistencia a compresión uniaxial (compresión simple o sin confinar) de la masa rocosa, y σ tm representa la resistencia tracción unidimensional de la masa rocosa, y es una fracción de la resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt En función de ξ=σt / σc y del índice RMR, resulta:  t  m      RMR     exp   RMR    c  (9.3) En base los estudios realizados por Hoek y Bray [3,27], junto con Kalamaras y Bieniwski [30], Ramamurthy et al [4], Singh y Goel [63], Hoek [64], Mehrotra [65], Zhang [66] y Brady citado por Aubertin et al [67], se ha iniciado el proceso de obtener las constantes K1 y K2 que vinculan las tensiones principales en el instante de la rotura. 180  Roberto Ucar Navarro Con la ayuda de la hoja de cálculo, y el programa Crystal Ball utilizando la técnica de simulación de Monte Carlo, ha sido posible establecer las siguientes ecuaciones aproximadas para σcm y σ tm considerando las experiencias de los investigadores previamente mencionados.  cm  RMR  100   exp   , RMR = Versión 1989 (9.4) c  22, 6  1, 4   tm  RMR  100   exp   (9.5) c  14  1  Transformándose (9.3) como sigue:  RMR  100   RMR  100     RMR      (9.6)  14  1   22, 6  1, 4   Teniendo en cuenta los valores medios, resulta:  RMR  100    RMR      37  (9.7) Quedando finalmente como una primera aproximación,  t   t   RMR  100  m      RMR      exp   (9.8)  c   c   37  La ecuación (9.8), reviste gran importancia, por cuanto es el vínculo para determinar las referidas constantes K1 , K2 , con las siguientes ecuaciones: 1  K1   m   K 2   m  1/ 2 (9.9) 181  Roberto Ucar Navarro      n    3 0    1 K1 2 K2   1  m  (9.10)  K2   1  2        3 0   1  K    1 2  m    n   n 1    3 0    n   3 0   K1  K2 2  m (9.11)           1   2 2  sen  3 0 2    1   (9.12)   1  tan       K2    1   K1  2        m        n 3 0    m   1   sen  0    3     1  K   1  K  sen    4  (3  )    (9.13)   2 K K1   3 0   K  K4   2 1  1 1    21 K1    2        1  K1   1  K1  sen  0    3     En la sección 7.4, se explica en detalle en función de las condiciones de borde, el procedimiento a través del cual se han obtenido estas cinco ecuaciones no lineales que son las claves del éxito para determinar las referidas constantes, junto con la constante de integración K4 ,el valor de la tensión normal σn y el ángulo =i . 182  Roberto Ucar Navarro Debe indicarse que estos últimos valores están calculados para la condición en la cual σ3=0. Por supuesto, pueden utilizarse únicamente las tres primeras ecuaciones, es decir (9.8), (9.9) y (9.10), obteniéndose K1, K2 y  n  30 . El siguiente paso de la segunda etapa de investigación próxima comenzar, es preparar una tabla con diferentes valores de ξ=σt/σc y de ξm empleando la ecuación (9.8) u otra similar. Posteriormente se deberá determinar las respectivas constantes y luego comparar la ecuación obtenida σ1= f (σ3, ξm, K1, K2) con otros criterios de rotura. Los criterios que se desean comparar inicialmente son:  Hoek y Brown generalizado [24]  Sheorey [6]  Ramamurty et al [4]  Murell [17], empleando la solución obtenida por Ucar [55 ], que se anexa en el apéndice (A)  Yu [ 54] Finalmente, en base a los resultados obtenidos, se llevará a cabo un análisis detallado con sus respectivas conclusiones y recomendaciones. 183  Roberto Ucar Navarro 10. 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Proyectos, E.T.S.I Minas Universidad Politécnica de Madrid pp. 99-116 DEDICATORIA El autor dedica con admiración y cariño el presente estudio al profesor Eduardo Peláez como reconocimiento a su extraordinaria labor docente y humana, la cual llevó a cabo con notable dedicación en la formación de profesionales de la ingeniería en nuestra querida y recordada Escuela de Geología y Minas de la Universidad Central de Venezuela. 193  Roberto Ucar Navarro APÉNDICE B DETERMINATION OF SHEAR FAILURE ENVELOPE IN ROCK MASSES Trabajo publicado en el Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, Vol. 112, No. 3, March, 1986 , pp 303-315. 194