3GENERALITES SUR LA THEORIE DES SYSTEMES 1 INTRODUCTION Un certain nombre de notions doivent être définies avant qu’on puisse aborder le sujet de la théorie des systèmes. Dans ce cours nous allons introduire brièvement quelques généralités qui traitent l’étude des systèmes asservis linéaires continus et quelques notions avec un rappel mathématique qui traitent l’étude des systèmes non linéaires. Ainsi nous allons faire une étude bien détaillée de la technique de linéarisation par retour d’état. 2 GENERALITES SUR LES SYSTEMES NON LINEAIRES 2.1 Représentation d’un système automatique L’objectif de l’automatisme est de réduire ou de supprimer l’intervention de l’homme dans ces procédés industriels, pour améliorer et augmenter le rendement d’une part et faciliter le travail d’autre part. En général, en automatique, un système est souvent représenté par le schéma fonctionnel de la figure (1). d’entrée _ de sorties Grandeurs + Système à commander Correcteur Capteur Grandeurs + Figure (1) schéma fonctionnel d’un système automatique 4 2.2 Systèmes linéaires Un système est linéaire, si la relation mathématique reliant les grandeurs d’entrée aux grandeurs de sorties est linéaire. Ce qui est équivalent à dire que l’équation différentielle est linéaire. Sa forme générale est donnée par : i i n i n i i i i i dt t x d b dt t y d a ) ( . ) ( . 0 0 ¯ ¯ = = = (1) Où y(t) et x(t) sont respectivement les grandeurs de sorties et d’entrée. 2.3 Nature des signaux d’entrée et de sortie Les signaux d’entrée et de sortie d’un système sont des fonctions du temps, si à chaque instant leur amplitude est parfaitement connue, le signal est dit déterministe. Si par contre, à chaque instant, on ne connaît que la probabilité pour le signal d’avoir telle ou telle amplitude, on dit que celui–ci est aléatoire. 2.4 Structure de commande 2.4.1 Commande en boucle ouverte (BO) Une structure de commande en (B.O) est définie comme un système ou le signal de commande est indépendant du signal de sortie. Ces structures de commande sont simples et peu coûteuses, mais malheureusement dans certaines applications ou la précision est d’une grande importance et ou les paramètres du système à commander sont variants, elles ne sont pas utilisées à cause de leurs imprécisions. Cette configuration est illustrée par la figure (2). Y(t) Perturbations X(t) Correcteur Actionneur Système Figure (2) : Structure de la commande en boucle ouverte 5 2.4.2 Commande en boucle fermée (B.F) Par opposition à la structure de commande en (B.O), celle en boucle fermée est définie comme un système ou le signal de commande dépend d’une façon ou d’une autre du signal de sortie. Les systèmes en boucle fermée sont couramment appelés des systèmes asservis, qui sont plus chers et plus robustes. Cette configuration est illustrée par la figure suivante. 2.5 Eléments fondamentaux des systèmes asservis Les systèmes asservis de commande possèdent un certain nombre d’éléments que l’on retrouve dans tous les systèmes bouclés: Ce sont le capteur, l’actionneur et l’organe de traitement de l’information. - Capteur Un capteur est un organe de transformation d’une grandeur physique en une autre. - Actionneur C’est l’élément qui commande le système à asservir. Il travaille souvent à Puissance élevée. - Organes de traitement de l’information. La grandeur d’entrée d’un système asservi permet de commander avec une faible énergie des procédés qui mettent en jeu des puissances élevées et il existe toujours dans ces systèmes un amplificateur de puissance. 3 REPRESENTATION D’ETAT DES SYSTEMES DYNAMIQUES Un tel système peut s’écrire sous la forme matricielle standard suivante : Figure (3) : Structure de commande en boucle fermée + Sortie Y(t) Correcteur Actionneur Système Entrée X(t) Capteur Perturbation 6 ) ( ) ( t BU t AX X + = - (2) ) ( ) ( ) ( t DU t CX t y + = (3) L’équation (2) est appelée équation d’état et l’équation (3) est appelée équation de sortie. A, B, C et D sont des matrices réelles constantes. Le schéma bloc de la représentation d’état est représenté par la figure (4) 4 REGULATION DES SYSTEMES Pour effectuer un certain nombre d’essai avec des performances données, le système doit être asservi. Le premier rôle du régulateur est d’obliger la ou les grandeurs asservies à conserver des valeurs aussi proches que possible de celles que l’on considéré comme idéale. Ces valeurs idéales, sont à leur tour des fonctions des grandeurs d’entrées du système (référence) et de perturbation . 4.1 Correcteurs Les systèmes asservis peuvent présenter des défauts, tel que ; une précision insuffisante, une mauvaise stabilité, un temps de réponse trop lent, un dépassement trop important. Il est donc souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservi, un bloc correcteur, dont l’objectif est d’améliorer un ou plusieurs de ces différents paramètres. On distingue différents types de correcteurs. Y(t) + + + + ) (t X - X(t) B í C A D U(t) Figure (4) : Schéma bloc de la représentation d’état 7 4.1.1 Correcteur proportionnel-Intégral (PI) Le correcteur proportionnel et intégral permet d’améliorer le régime permanant et le régime transitoire. L équation de ce correcteur dans le domaine du temps est : í + = t i p dt t e k t e k t u 0 ). ( ) ( ) ( (4) Où e (t) représente l’erreur entre la valeur de référence et la valeur mesurée u (t): grandeur de commande. i K et p K représentent respectivement les gains d’intégration et de proportionnalité La fonction de transfert du régulateur est : s z s k s k k s E s U s C p i p + = + = = ) ( ) ( ) ( (5) Avec : p i k k z = s : opérateur de Laplace L’emploi de ce correcteur se traduit par l’ajout d’un pôle à l’origine et d’un zéro à la fonction de transfert en boucle ouverte du système. Pour le régulateur PI, les actions proportionnel et intégral sont mises en parallèle figure (5.a). Il existe un autre correcteur intégral proportionnel IP où les actions sont mises en série Ffgure (5.b). Ce dernier a l’avantage de rejeter les perturbations 8 4.1.2 Correcteur proportionnel-dérivé (PD) L’équation de ce type de correcteur dans le domaine de temps est : ) ( ) ( ) ( t e dt d k t e k t u d p + = (6) La fonction de transfert est : ) ( ) ( ) ( ) ( z s k s k k s E s U s C D D p + = + = = (7) Où D p k k z = ' D K : gain de dérivation. 4.1.3 Correcteur PID Le correcteur proportionnel- intégral-dérivé est un correcteur très utilisé en industrie. Il regroupe les trois actions : - l’action proportionnelle utilisée pour améliorer la rapidité du système. - l’action intégrale est employée pour améliorer le régime permanent. - l’action dérivée assure l’amélioration de la stabilité. L’équation de ce type de correcteur dans le domaine du temps est : í + + = t D I p t e dt d k dt t e k t e k t u 0 ) ( ) ( ) ( ) ( (8) Y I P X + _ + _ Y P I Figure (5) : a : correcteur PI b : correcteur IP a b + _ X 9 La fonction de transfert correspondante est : s k s k k s E s U s C D I P + + = = ) ( ) ( ) ( (9) 1.5 PERFORMANCES D’UN SYSTEME ASSERVI On peut résumer les performances d’un système asservi en trois qualités fondamentales, la précision, la stabilité et la rapidité. - Précision La précision d’un système est définie à partir de l’erreur entre la grandeur de consigne et la grandeur de sortie, on distingue la précision statique qui caractérise la limite de l’erreur au bout d’un temps infini pour une entrée donnée, c’est à dire le régime permanent et la précision dynamique qui tient compte des caractéristiques d’évolution du système en régime transitoire. - Stabilité Un système est stable si pour une entrée (x) de référence constante, la sortie (y) tend vers cette constante. - Rapidité En règle générale, un système a une rapidité satisfaisante s’il se stabilise à son niveau constant en un temps jugé satisfaisant. 1.6 SYSTEMES NON LINEAIRES Le système est non linéaire lorsque la relation mathématique reliant les grandeurs de sortie est non linéaire, ce qu’est équivalent à dire que l’équation différentielle est non linéaire. En générale, les systèmes non linéaires sont difficiles à étudier, et il n’existe pas de théorie unifiée pour l’étude de ces systèmes. 1.6.1 Classification des non linéarités Les déférents cas de non linéarité sont illustrés dans la figure (10). 10 7 LINEARISATION DES SYSTEMES NON LINEAIRES Deux approches peuvent être utilisées pour linéariser un système non linéaire selon le modèle dont on dispose. 7.1 Modèle graphique Si le modèle d’un système donné est disponible sous forme graphique un choix possible de modèle linéaire consiste à approximer la courbe en un point par la courbe tangente en ce point. La représentation mathématique de cette évolution est souvent traduite par : y = f(r). Une telle relation est souvent non linéaire, la linéarisation de cette relation est souvent faite au tour d’un point appelé point de fonctionnement où point d’opération. En choisissant comme point de fonctionnement ( e e r y , ) c'est-à-dire ) ( e e r f y = , tel qu’il est représenté dans la figure (11). La décomposition en série de taylor au voisinage de ce point nous donne : ) .( ) ( ) ( ) ( ) ( e e re r re r r r r r r f dr d r f r f y ÷ + ÷ + = = = = o (13) Ou le terme ) ( re r ÷ o représente la combinaison des termes de second ordre et plus, ce terme tend vers zéro lorsque ) ( re r ÷ tend vers zéro Figure (10) : Déférents types de non linéarité (a) courbure (b) seuil (c) saturation (d) hystérésis (e) plus ou moins 11 On peut écrite la relation précédente (13) comme suit : r k y A = A (14) Ou : e y y y ÷ = A la variation de y e r r r ÷ = A La variation de r ) ( e r dr df k = Les termes du second ordre et plus ont été négligés. L’équation (14) est le modèle linéaire. La relation analytique entre les grandeurs d’entrées et les grandeurs de sorties n’est pas facile à obtenir. 7.2 Modèle analytique Si le modèle de système est connu sous forme analytique, on peut utiliser l’approche analytique. Pour montrer son principe, considérons le cas d’un système à plusieurs grandeurs de sortie dont le modèle non linéaire est donné par l’équation suivante : )) ( ), ( ( ) ( t r t y f t y = - (15) r y = f(r) r e y e y Figure (11) : Principe de linéarisation autour d’un point de fonctionnement 12 En supposant que l’on veut linéariser le système autour d’un point de fonctionnement. ) , ( e e r y tel que 0 ) , ( = e e r y f . Le développement en série de Taylor de l’équation (15) au voisinage de point de fonctionnement donne : ) ( ) ( ) ( t r B t y A t y A + A = A - (16) Avec : re ye p p p p p e e p p y f y f y f y f r y y f A , 1 1 1 ) , ( ) , ( c c c c c c c c = c c = (17) re ye m p r m e e m p r f r f r f r f r y r f B , 1 1 1 1 ) ( ) , ( c c c c c c c c = c c = × (18) Cette méthode de linéarisation se généralisé au cas où le point de fonctionnement est variable. La linéarisation est alors faite dans ce cas le long d’une trajectoire désirée, la figure (12) représente un tel cas. La trajectoire (réelle) désirée ) ( * t y correspond à une excitation ) ( * t r . Les deux grandeurs vérifient la relation suivante : y ) (t y - r ) (t y Figure (12) : Principe de linéarisation de long d’une trajectoire 13 )) ( ), ( ( ) ( * * * t r t y F t y = - (19) Les trajectoires réelles ) (t y et ) (t r sont données par : ) ( . ) ( ) ( * t y t y t y o + = (20) ) ( . ) ( ) ( * t r t r t r o + = (21) ) ( . t y o : La variation autour de la trajectoire nominale ) ( * t y à l’instant t ) ( . t r o : La variation autour de la trajectoire nominale ) ( * t r de référence ) ( * t r à l’instant t. En utilisant les équations (15) et (19) et en tenant compte de (20) et (21) on obtient : ) , ( ) , ( ) ( * * r y F r y F t y ÷ = - o (22) Le développement de Taylor de l’équation (22) autour du point ) , ( * * r y avec les termes d’ordre deux et plus sont négligeables, on donne : r r y r F y r y y F t y o o o ) , ( ) , ( ) ( * * * * c c + c c = - (23) Si : ) ( * * t y y = et ) ( * * t r r = sont fonctions du temps, le modèle linéaire est dit variant et son expression est donnée par l’équation suivante : r t B y t A t y o o o ) ( ) ( ) ( * + = (24) Ou : A (t) = ) , ( * * r y y F c c et B (t) = ) , ( * * r y r F c c Le modèle (24) constitué le modèle linéaire correspondant au système non linéaire (15). 8 TECHNIQUE DE LINEARISATION PAR RETOUR D’ETAT La technique de linéarisation par retour d’état est une approche récente pour la commande du système non linéaire. Elle consiste à trouver un état et à transformer partiellement ou complètement les systèmes dynamiques non linéaires en systèmes dynamiques linéaires d’une manière algèbrique. Par conséquent cette nouvelle approche permet l’utilisation des techniques classiques de commande linéaire connues. 14 8.1 Rappels mathématiques Lors de l’application de la technique de la linéarisation par retour d’état, on est appelé à utiliser des outils mathématiques que l’on va rappeler par la suite. L’objectif de l’introduction de ces notions mathématiques sur les équations différentielles est de limiter la complexité des équations obtenues lors de l’application de cette technique. 8.1.1 Gradient d’une fonction scalaire Soit h(x) une fonction scalaire définit de 9 ÷÷ ÷ 9 n , alors le gradient de h est un vecteur notée h grad et définit par : ) ......... ,......... , ( 2 1 n x h x h x h h h grad c c c c c c = V = (25) 8.1.2 Matrice de Jacobi d’une fonction Soit une fonction f(x) continue et dérivable, définit de n n 9 ÷÷ ÷ 9 , alors le Jacobien de f est une matrice dite de Jacobi. Elle est notée par f V et elle est donné par : c c c c c c c c = c c = V n n n n x f x f x f x f x f f 1 1 1 1 (1.26) 8.1.3 Dérivée de Lie - Définition Etant donné une fonction scalaire h(x) définie de 9 ÷÷ ÷ 9 n , et un vecteur champ f(x) défini de 9 ÷÷ ÷ 9 n , alors la dérivée de Lie de h suivant la direction du champ vectoriel de f est un vecteur noté h L f et défini par : f h h L f . V = (27) - Propriétés Soit h et f deux champs respectivement scalaire et vectoriel tels que : h h L f = 0 (dérivée de lie d’ordre zéro) 15 f h L h L L h L i f i f f i f ) ( ) ( 1 1 ÷ ÷ V = = (dérivée de Lie d’ordre i) si g est un deuxième champ vectoriel, alors on a la relation suivante : g x h L x h L L f f g )) ( ( ) ( V = (28) 8.2 Systèmes non linéaires multi-entrée multi-sorties (MIMO) Les systèmes appartenant à la classe des systèmes dynamiques non linéaires, multi- entrées multi-sorties sont donnés sous la forme suivante : ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = ¯ = - ) ( ) ( ). ( ) ( 1 1 x h y x h y u x g x f x m m i m i i i (29) Avec : x vecteur d’état défini dans n 9 ) .., ,......... ( 1 m U U U = Vecteur de contrôle d’entrée m n m n n n n h g f 9 ÷ 9 9 ÷ 9 9 ÷ 9 : , : , : . . Le système (29) peut s’écrire sous la forme condensée suivante : ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = - ) ( ) ( ) ( x H y U x G x F X (30) Si le nombre des sorties est inférieur à celui des entrées et pour appliquer la technique de linéarisation par retour d’état, le vecteur y est complété par des sorties fictives selon des règles bien définies pour avoir la même dimension que le vecteur de commande. Nous supposons que les fonctions f, g et h sont continues et dérivables. 8.3 Principe de la technique de linéairisation par retour d’état Avant de procéder à une étude détaillée de la linéairisation entrée-sortie par retour d’état une définition formelle de ce concept s’avère nécessaire. 16 Définition : un système non linéaire MIMO donnée sous la forme (30) avec F(x) et G(x) deux vecteurs champ dans n 9 peut être linèairisable, s’il existe : - une région I - un défeomorphisme n E 9 ÷ I : - une transformation et un retour d’état non linéaire de la forme : V x x U ). ( ) ( | o + = (31) Tels que ) (x | et ) (x o seront calculées ultérieurement. Le nouvel état Z et la nouvelle entrée V doivent satisfaire la relation linéaire suivante : V Z = - (32) Le nouvel état Z est appelé l’état linéarisé et le retour d’état (31) est appelé loi de commande de linéarisation. La difficulté dans le modèle (30) d’un système dynamique non linéaire est que la sortie ne dépend pas explicitement de son entrée. L’idée principale de la technique de commande par retour d’état est de différentier la sortie de système jusqu’à faire apparaître une équation qui met en relation directe la sortie du système avec son entrée. Cette équation pouvait se présenter sous forme suivante : ¯ = - + = m i i j gi j f j U h L h L y 1 ). . ( (33) Soit j r le degré relatif qui correspond le nombre de dérivée le plus petit pour lequel l’entrée apparaît soit alors : ¯ = ÷ + = m i i j r f gi i r f r j U x h L L x h L y j j j 1 ) 1 ( ) ( ) ( )) ( . ( ) ( (34) Avec : I e ¬ = ÷ x x h L L j r f gi j , 0 ) ( ) 1 ( I : est l’ensemble des états existants. Si on effectué la même procédure pour chaque sortie j y , nous obtenons m équations qu’on peut présenter comme suit : 17 + = m m rm f j ri f rm m r U U x E x h L x h L y y 1 1 1 ) ( ) ( . ) ( . (35) Où : = ÷ ÷ ÷ ÷ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 ) 1 1 ( 1 m rm f gm m rm f g r f gm r f g h L L h L L h L L h L L x E (36) La matrice ) (x E est appelée matrice de découplage du système multi variable. Si le déterminant de 0 )] ( [ = x E , le choix d’un retour d’état sera de la forme : + ÷ = ÷ ÷ m m rm f r f V V x E x h L x h L x E u 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( (37) Avec : T m V V ) ( 1 la nouvelle entrée à déterminer. En utilisant l’équation (1.35) et le retour d’état (37), on aura la relation différentielle entre la sortie et la nouvelle entrée : = m rm m r V V y y 1 1 1 (38) La loi de commande de la forme (1.37) est appelée commande de découplage et de linéarisation. Le système ainsi obtenu est non seulement linéaire mais découplé. 8.3.1 Notion de degré relatif Il est utile de formaliser le concept du degré relatif des systèmes non linéaires utilisant la technique de linéairisation par retour d’état. En effet il y’à un degré relatif associe à chaque sortie et il est défini par un entier. 18 - Définition On dit que le système (1.30) possède un degré relatif ) , , ( 1 m r r en x . S’il existe un voisinage I de x tel que, I e ¬x - 0 ) ( = x h L L j f gi o 1 0 1 ÷ s s r o m j i s s , 1 - ) (x E est non singulière Le degré relatif total du système s’exprime par : m r r r r + + + = 2 1 On envisage alors deux cas : 1 er Cas : n r = Quand n r = , le système non linéaire (30) est complètement linéarisé par retour d’état en utilisant les expressions h L h L h r f f 1 , , , ÷ . Soient les msorties i y et leurs dérivées d’ordre j r telles que : ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = = = = ÷ ÷ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 x h L x h L x h x h L x h L x h m rm f m m m f m m m r f r f . . . . . . (39) Les ) , , 1 ; , 1 ( rj i m j j i = = . sont indépendants et peuvent être considérées comme des nouvelles variables d’état du nouveau vecteur d’état. Ainsi, ces nouvelles variables d’état deviennent : ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ + = = ¯ = ÷ m i j rj f gi j rj f j rj j j x h L L x h L 1 1 2 1 ) ( ) ( . . . (40) Où m j s s 1 Avec cette loi de commande, on obtient une linéairisation entrée–sortie du système non linéaire c’est-à-dire que le système non linéaire sera constitué de msous systèmes linéaires et découplés. 19 2 eme Cas : n r < Dans ce cas les états ) , , 1 ; , , 1 ( rj i m j j i = = . représentent seulement la dynamique externe du système de dimension r , on peut alors compléter ce vecteur par les ) ( r n ÷ fonctions. ) , , ( 1 r n÷ n n Indépendantes les unes des autres. Elles sont obtenues par la vérification des conditions données par la méthode de Frobenius, qu’on va définir comme suit : 8.3.2 Théorème de FROBINIUS Une suite linéairement indépendance du vecteur champ { } m g g , , 1 de n 9 est complètement intégrable si et seulement si il existe ) ( m n ÷ fonctions scalaires ) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x m n÷ n n n qui vérifient le système d’équation différentielle suivant : I e ¬x 0 ) ( = x L k gi n m i s s 0 ; r n k ÷ s s 1 (41) Les états ) ( r n ÷ sont inobservables et déterminent la dynamique interne du système donné par l’expression suivante : U x L x L k gi k f ). ( ) ( n n n + = - (42) Tel que ) , , 1 ( r n k ÷ = et ) , , 1 ( m i = . 8.3.3 Dynamique des systèmes linéaires La dynamique des systèmes non linéaires utilisant la linéairisation exacte par retour d’état, est décomposée en une partie externe (relation entrée-sortie) et une partie interne (inobservable). La partie externe est constituée par une relation linéaire entre la sortie y et la nouvelle entrée i V . Il est facile alors de choisir l’entrée V de telle sorte que la sortie soit identique à celle désirée. Le problème est alors d’observer le comportement de la dynamique interne qui doit être soigneusement établie et stable. 8.3.4 Dynamique zéro La dynamique interne associé la à linéairisation par retour d’état correspond uniquement aux ) ( r n ÷ dernières équations données par (42) de la forme normale. Généralement cette dynamique dépend des états de sortie. . La sortie y est considérée identique à zéro, l’étude d’un tel système va nous aider à tirer des conclusions à propos de la stabilité de la dynamique interne. 20 - Définition La dynamique zéro des systèmes non linéaires est la dynamique des systèmes sous la contrainte ou la sortie et ses dérivées successives seront identiques à zéro. L’objectif de l’étude de la dynamique zéro est de déterminer la stabilité de la dynamique interne pour les systèmes non linéaires. La stabilité asympotique de la dynamique zéro (représentant une propriété intrinsèque du système indépendante du choix de la loi de contrôle) garantie la stabilité de la dynamique interne. Par conséquent : - Si le degré relatif associé à la linéairisation entrée–sortie est le même que l’ordre du système, ce dernier est complètement linéaire. - Par contre si le degré relatif est inférieur à l’ordre du système, ce dernier est partiellement linéaire. - L’étude de la stabilité de la dynamique interne peut être simplifiée localement par l’étude à sa place de la dynamique zéro. - Si la dynamique zéro est instable, la transformation est partiellement linéaire. REFERENCES [1] F. DECARFORT; G. FOULARD; J. CALVET, Asservissements linéaires continus, 1989. [2] El- KEBIR BOUKAS, Système asservis O) est définie comme un système ou le signal de commande est indépendant du signal de sortie.4. 2.3 Nature des signaux d’entrée et de sortie Les signaux d’entrée et de sortie d’un système sont des fonctions du temps.2. si la relation mathématique reliant les grandeurs d’entrée aux grandeurs de sorties est linéaire. dt i i 0 i 0 n (1) Où y(t) et x(t) sont respectivement les grandeurs de sorties et d’entrée. Cette configuration est illustrée par la figure (2). Sa forme générale est donnée par : n d i y (t ) d i x (t ) ai . le signal est dit déterministe. Perturbations X(t) Correcteur Actionneur Système Y(t) Figure (2) : Structure de la commande en boucle ouverte 4 . Ce qui est équivalent à dire que l’équation différentielle est linéaire.2 Systèmes linéaires Un système est linéaire.4 Structure de commande 2. mais malheureusement dans certaines applications ou la précision est d’une grande importance et ou les paramètres du système à commander sont variants. Ces structures de commande sont simples et peu coûteuses. on dit que celui–ci est aléatoire. elles ne sont pas utilisées à cause de leurs imprécisions.1 Commande en boucle ouverte (BO) Une structure de commande en (B. 2. on ne connaît que la probabilité pour le signal d’avoir telle ou telle amplitude. si à chaque instant leur amplitude est parfaitement connue. Si par contre. à chaque instant. dt i bi . l’actionneur et l’organe de traitement de l’information. Perturbation + Entrée X(t) Correcteur Actionneur Système Sortie Y(t) Capteur Figure (3) : Structure de commande en boucle fermée 2. Cette configuration est illustrée par la figure suivante. Organes de traitement de l’information. Actionneur C’est l’élément qui commande le système à asservir. Les systèmes en boucle fermée sont couramment appelés des systèmes asservis.4. 3 REPRESENTATION D’ETAT DES SYSTEMES DYNAMIQUES Un tel système peut s’écrire sous la forme matricielle standard suivante : 5 . qui sont plus chers et plus robustes.5 Eléments fondamentaux des systèmes asservis Les systèmes asservis de commande possèdent un certain nombre d’éléments que l’on retrouve dans tous les systèmes bouclés: Ce sont le capteur.2 Commande en boucle fermée (B.2. Il travaille souvent à Puissance élevée. celle en boucle fermée est définie comme un système ou le signal de commande dépend d’une façon ou d’une autre du signal de sortie.O).F) Par opposition à la structure de commande en (B. La grandeur d’entrée d’un système asservi permet de commander avec une faible énergie des procédés qui mettent en jeu des puissances élevées et il existe toujours dans ces systèmes un amplificateur de puissance. Capteur Un capteur est un organe de transformation d’une grandeur physique en une autre. 4. un bloc correcteur. le système doit être asservi. Il est donc souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservi. un temps de réponse trop lent. A. dont l’objectif est d’améliorer un ou plusieurs de ces différents paramètres. une précision insuffisante. Ces valeurs idéales. C et D sont des matrices réelles constantes. Le schéma bloc de la représentation d’état est représenté par la figure (4) D + + U(t) B X (t ) X(t) C + + Y(t) A Figure (4) : Schéma bloc de la représentation d’état 4 REGULATION DES SYSTEMES Pour effectuer un certain nombre d’essai avec des performances données. une mauvaise stabilité. Le premier rôle du régulateur est d’obliger la ou les grandeurs asservies à conserver des valeurs aussi proches que possible de celles que l’on considéré comme idéale. X AX (t ) BU (t ) (2) (3) y (t ) CX (t ) DU (t ) L’équation (2) est appelée équation d’état et l’équation (3) est appelée équation de sortie.1 Correcteurs Les systèmes asservis peuvent présenter des défauts. tel que . On distingue différents types de correcteurs. sont à leur tour des fonctions des grandeurs d’entrées du système (référence) et de perturbation . 6 . B. un dépassement trop important. les actions proportionnel et intégral sont mises en parallèle figure (5.1.b). L équation de ce correcteur dans le domaine du temps est : u (t ) k p e(t ) k i e(t ). Il existe un autre correcteur intégral proportionnel IP où les actions sont mises en série Ffgure (5.1 Correcteur proportionnel-Intégral (PI) Le correcteur proportionnel et intégral permet d’améliorer le régime permanant et le régime transitoire. Pour le régulateur PI.4. Ce dernier a l’avantage de rejeter les perturbations 7 .dt 0 t (4) Où e (t) représente l’erreur entre la valeur de référence et la valeur mesurée u (t): grandeur de commande.a). K i et K p représentent respectivement les gains d’intégration et de proportionnalité La fonction de transfert du régulateur est : C (s ) k U ( s) sz kp i kp E (s ) s s (5) Avec : z ki kp s : opérateur de Laplace L’emploi de ce correcteur se traduit par l’ajout d’un pôle à l’origine et d’un zéro à la fonction de transfert en boucle ouverte du système. l’action dérivée assure l’amélioration de la stabilité.P X + _ I Y X + _ I + _ P Y a Figure (5) : a : correcteur PI b : correcteur IP b 4.1.3 Correcteur PID Le correcteur proportionnel.1. 4. l’action intégrale est employée pour améliorer le régime permanent. Il regroupe les trois actions : l’action proportionnelle utilisée pour améliorer la rapidité du système. L’équation de ce type de correcteur dans le domaine du temps est : u (t ) k p e(t ) k I e(t )dt k D 0 t d e (t ) dt (8) 8 .intégral-dérivé est un correcteur très utilisé en industrie.2 Correcteur proportionnel-dérivé (PD) L’équation de ce type de correcteur dans le domaine de temps est : u (t ) k p e(t ) k d d e(t ) dt (6) La fonction de transfert est : C ( s) U ( s) k p k D s k D (s z) E ( s) (7) Où z kp kD K D : gain de dérivation. 5 PERFORMANCES D’UN SYSTEME ASSERVI On peut résumer les performances d’un système asservi en trois qualités fondamentales. c’est à dire le régime permanent et la précision dynamique qui tient compte des caractéristiques d’évolution du système en régime transitoire. un système a une rapidité satisfaisante s’il se stabilise à son niveau constant en un temps jugé satisfaisant. la précision. la sortie (y) tend vers cette constante. Stabilité Un système est stable si pour une entrée (x) de référence constante.La fonction de transfert correspondante est : C ( s) k U ( s) kP I kD s E ( s) s (9) 1. Rapidité En règle générale. on distingue la précision statique qui caractérise la limite de l’erreur au bout d’un temps infini pour une entrée donnée. 1. En générale. et il n’existe pas de théorie unifiée pour l’étude de ces systèmes.6. ce qu’est équivalent à dire que l’équation différentielle est non linéaire. les systèmes non linéaires sont difficiles à étudier. la stabilité et la rapidité. 9 .1 Classification des non linéarités Les déférents cas de non linéarité sont illustrés dans la figure (10). 1. Précision La précision d’un système est définie à partir de l’erreur entre la grandeur de consigne et la grandeur de sortie.6 SYSTEMES NON LINEAIRES Le système est non linéaire lorsque la relation mathématique reliant les grandeurs de sortie est non linéaire. La décomposition en série de taylor au voisinage de ce point nous donne : y f (r ) f (r ) r re d f (r ) (r re ) . la linéarisation de cette relation est souvent faite au tour d’un point appelé point de fonctionnement où point d’opération. En choisissant comme point de fonctionnement ( y e . 7.(a) courbure (b) seuil (c) saturation (d) hystérésis (e) plus ou moins Figure (10) : Déférents types de non linéarité 7 LINEARISATION DES SYSTEMES NON LINEAIRES Deux approches peuvent être utilisées pour linéariser un système non linéaire selon le modèle dont on dispose. La représentation mathématique de cette évolution est souvent traduite par : y = f(r). ce terme tend vers zéro lorsque (r re) tend vers zéro 10 .( r re ) dr r re (13) Ou le terme (r re) représente la combinaison des termes de second ordre et plus.1 Modèle graphique Si le modèle d’un système donné est disponible sous forme graphique un choix possible de modèle linéaire consiste à approximer la courbe en un point par la courbe tangente en ce point. re ) c'est-à-dire y e f (re ) . tel qu’il est représenté dans la figure (11). Une telle relation est souvent non linéaire. L’équation (14) est le modèle linéaire. considérons le cas d’un système à plusieurs grandeurs de sortie dont le modèle non linéaire est donné par l’équation suivante : y (t ) f ( y (t ). La relation analytique entre les grandeurs d’entrées et les grandeurs de sorties n’est pas facile à obtenir. Pour montrer son principe. r (t )) (15) 11 . y y = f(r) ye re r Figure (11) : Principe de linéarisation autour d’un point de fonctionnement 7.2 Modèle analytique Si le modèle de système est connu sous forme analytique. on peut utiliser l’approche analytique.On peut écrite la relation précédente (13) comme suit : y kr Ou : y y y e la variation de y (14) r r re k df (re ) dr La variation de r Les termes du second ordre et plus ont été négligés. Le développement en série de Taylor de l’équation (15) au voisinage de point de fonctionnement donne : y (t ) Ay (t ) Br (t ) Avec : f1 y1 f ( y e . La linéarisation est alors faite dans ce cas le long d’une trajectoire désirée. re ) r f r r1 f 1 rm f p rm ye. re ) tel que f ( y e . re ) y f p y 1 f p y p f p y p ye. la figure (12) représente un tel cas. re (18) Cette méthode de linéarisation se généralisé au cas où le point de fonctionnement est variable. Les deux grandeurs vérifient la relation suivante : 12 . re ) 0 . p ) (17) B( pm ) f 1 r f 1 ( y e .En supposant que l’on veut linéariser le système autour d’un point de fonctionnement. y y (t ) y (t ) r Figure (12) : Principe de linéarisation de long d’une trajectoire La trajectoire (réelle) désirée y * (t ) correspond à une excitation r * (t ) . ( y e . re (16) A( p. r ) y r Le modèle (24) constitué le modèle linéaire correspondant au système non linéaire (15). En utilisant les équations (15) et (19) et en tenant compte de (20) et (21) on obtient : y (t ) F ( y . on donne : y (t ) F F ( y * . r ) et B (t) = (y .r (t ) (20) (21) . r * ) (22) Le développement de Taylor de l’équation (22) autour du point ( y * . r ) F ( y * . y (t ) r (t ) r * (t ) .y (t ) F ( y * (t ). r * ) r y r (23) Si : y * y * (t ) et r * r * (t ) sont fonctions du temps.r (t ) : La variation autour de la trajectoire nominale r * (t ) de référence r * (t ) à l’instant t. 13 . r * (t )) * (19) Les trajectoires réelles y (t ) et r (t ) sont données par : y (t ) y * (t ) . r * ) y ( y * . r * ) avec les termes d’ordre deux et plus sont négligeables. 8 TECHNIQUE DE LINEARISATION PAR RETOUR D’ETAT La technique de linéarisation par retour d’état est une approche récente pour la commande du système non linéaire. Par conséquent cette nouvelle approche permet l’utilisation des techniques classiques de commande linéaire connues. y (t ) : La variation autour de la trajectoire nominale y * (t ) à l’instant t . Elle consiste à trouver un état et à transformer partiellement ou complètement les systèmes dynamiques non linéaires en systèmes dynamiques linéaires d’une manière algèbrique. le modèle linéaire est dit variant et son expression est donnée par l’équation suivante : y * ( t ) A ( t ) y B ( t ) r Ou : A (t) = (24) F * * F * * ( y . . alors le Jacobien de f est une matrice dite de Jacobi.. définit de n n . alors le gradient de h est un vecteur notée grad h et définit par : gradh h ( h h h .1.1 Rappels mathématiques Lors de l’application de la technique de la linéarisation par retour d’état.. 8....8.1. alors la dérivée de Lie de h suivant la direction du champ vectoriel de f est un vecteur noté L f h et défini par : L f h h.3 Dérivée de Lie Définition f n x1 f n x n (1. Elle est notée par f et elle est donné par : f1 x f 1 f x f1 x n 8..1 Gradient d’une fonction scalaire Soit h(x) une fonction scalaire définit de n . L’objectif de l’introduction de ces notions mathématiques sur les équations différentielles est de limiter la complexité des équations obtenues lors de l’application de cette technique. ) xn x1 x2 (25) 8. et un vecteur champ f(x) défini de n ...1... on est appelé à utiliser des outils mathématiques que l’on va rappeler par la suite.26) Etant donné une fonction scalaire h(x) définie de n .. f (27) Propriétés Soit h et f deux champs respectivement scalaire et vectoriel tels que : L f h h (dérivée de lie d’ordre zéro) 0 14 ....2 Matrice de Jacobi d’une fonction Soit une fonction f(x) continue et dérivable... .. ... Nous supposons que les fonctions f.3 Principe de la technique de linéairisation par retour d’état Avant de procéder à une étude détaillée de la linéairisation entrée-sortie par retour d’état une définition formelle de ce concept s’avère nécessaire.u i i 1 y1 hi ( x) y m hm ( x) (29) Avec : x vecteur d’état défini dans n U (U 1 . 8. le vecteur y est complété par des sorties fictives selon des règles bien définies pour avoir la même dimension que le vecteur de commande. h : n m .2 Systèmes non linéaires multi-entrée multi-sorties (MIMO) Les systèmes appartenant à la classe des systèmes dynamiques non linéaires.. Le système (29) peut s’écrire sous la forme condensée suivante : X F ( x) G ( x)U y H ( x) (30) Si le nombre des sorties est inférieur à celui des entrées et pour appliquer la technique de linéarisation par retour d’état. g : n n. L f h L f (L f i i 1 h) ( L f i 1 h) f (dérivée de Lie d’ordre i) si g est un deuxième champ vectoriel.. multientrées multi-sorties sont donnés sous la forme suivante : m x f ( x) g i ( x ). g et h sont continues et dérivables.....U m ) Vecteur de contrôle d’entrée f : n n .. m . 15 .. alors on a la relation suivante : L g L f h( x) ( L f h( x)) g (28) 8.. h j ). ( r 1) Si on effectué la même procédure pour chaque sortie y j .U i i 1 m (33) Soit r j le degré relatif qui correspond le nombre de dérivée le plus petit pour lequel l’entrée apparaît soit alors : y ( rj ) j L h ( x ) ( L gi . s’il existe : une région un défeomorphisme E : n une transformation et un retour d’état non linéaire de la forme : U ( x ) ( x). La difficulté dans le modèle (30) d’un système dynamique non linéaire est que la sortie ne dépend pas explicitement de son entrée. Le nouvel état Z et la nouvelle entrée V doivent satisfaire la relation linéaire suivante : (31) Z V (32) Le nouvel état Z est appelé l’état linéarisé et le retour d’état (31) est appelé loi de commande de linéarisation. Cette équation pouvait se présenter sous forme suivante : y j L f h j ( Lgi .L f j h j ( x ))U i i 1 ( rj ) f i m ( r 1) (34) Avec : Lgi L f j h j ( x ) 0.V Tels que (x ) et (x) seront calculées ultérieurement. nous obtenons m équations qu’on peut présenter comme suit : 16 . L’idée principale de la technique de commande par retour d’état est de différentier la sortie de système jusqu’à faire apparaître une équation qui met en relation directe la sortie du système avec son entrée.Définition : un système non linéaire MIMO donnée sous la forme (30) avec F(x) et G(x) deux vecteurs champ dans n peut être linèairisable. x : est l’ensemble des états existants. h j ( x) U1 f E ( x) rm rm U m y m L f .35) et le retour d’état (37).37) est appelée commande de découplage et de linéarisation. Si le déterminant de [ E ( x )] 0 .1 Notion de degré relatif Il est utile de formaliser le concept du degré relatif des systèmes non linéaires utilisant la technique de linéairisation par retour d’état. y1r1 Lri . Le système ainsi obtenu est non seulement linéaire mais découplé.hm ( x ) Où : (35) Lg1 ( L(fr11) h1 ) L gm ( Lrf11h1 ) E ( x) Lg1 ( L(frm 1) hm ) L gm ( L(frm 1) hm ) (36) La matrice E (x ) est appelée matrice de découplage du système multi variable. 8. 17 . le choix d’un retour d’état sera de la forme : Lrf1h1 ( x) V1 1 u E 1 ( x ) E ( x) Lrm hm ( x ) Vm f Avec : (V1 Vm )T la nouvelle entrée à déterminer. En effet il y’à un degré relatif associe à chaque sortie et il est défini par un entier. (37) En utilisant l’équation (1.3. on aura la relation différentielle entre la sortie et la nouvelle entrée : y1r1 V1 rm y m Vm (38) La loi de commande de la forme (1. Soient les m sorties y i et leurs dérivées d’ordre r j telles que : 1 11 h1 ( x) 2 L f h2 ( x) r11 Lrf11h1 ( x) m h ( x ) m L h ( x ) m Lrm 1h ( x ) 2 m f m m f m 1 (39) Les i j ( j 1. x L gi Lf h j ( x ) 0 0 r1 1 1 i. m. Ainsi. . Lrf1 h . L f h. le système non linéaire (30) est complètement linéarisé par retour d’état en utilisant les expressions h. S’il existe un voisinage de x tel que. . . rm ) en x . rj ) sont indépendants et peuvent être considérées comme des nouvelles variables d’état du nouveau vecteur d’état. i 1. ces nouvelles variables d’état deviennent : 1j 2j m j rj Lrj h j ( x ) Lgi Lrj 1 h j ( x ) f f i 1 (40) Où 1 j m Avec cette loi de commande. 18 . Définition On dit que le système (1. j m E (x ) est non singulière Le degré relatif total du système s’exprime par : r r1 r2 rm On envisage alors deux cas : 1er Cas : r n Quand r n . on obtient une linéairisation entrée–sortie du système non linéaire c’est-à-dire que le système non linéaire sera constitué de m sous systèmes linéaires et découplés.30) possède un degré relatif (r1 . La partie externe est constituée par une relation linéaire entre la sortie y et la nouvelle entrée Vi . (1 .2eme Cas : r n Dans ce cas les états i j ( j 1. 19 . . qu’on va définir comme suit : 8. 1 k n r (41) Les états (n r ) sont inobservables et déterminent la dynamique interne du système donné par l’expression suivante : L f k ( x) L gi k ( x).3. m. .. . m) .3.3 Dynamique des systèmes linéaires (42) La dynamique des systèmes non linéaires utilisant la linéairisation exacte par retour d’état. 8. Elles sont obtenues par la vérification des conditions données par la méthode de Frobenius. Le problème est alors d’observer le comportement de la dynamique interne qui doit être soigneusement établie et stable. 2 ( x).U Tel que (k 1. n m ( x) qui vérifient le système d’équation différentielle suivant : x L gi k ( x) 0 0 i m . n r ) et (i 1. g m de n est scalaires (n m) fonctions 1 ( x). 8. n r ) Indépendantes les unes des autres. .4 Dynamique zéro La dynamique interne associé la à linéairisation par retour d’état correspond uniquement aux (n r ) dernières équations données par (42) de la forme normale. est décomposée en une partie externe (relation entrée-sortie) et une partie interne (inobservable). rj ) représentent seulement la dynamique externe du système de dimension r . i 1. La sortie y est considérée identique à zéro.3. .2 Théorème de FROBINIUS Une suite linéairement indépendance du vecteur champ complètement intégrable si et seulement si il existe g 1 . on peut alors compléter ce vecteur par les (n r ) fonctions. Généralement cette dynamique dépend des états de sortie . . Il est facile alors de choisir l’entrée V de telle sorte que la sortie soit identique à celle désirée. l’étude d’un tel système va nous aider à tirer des conclusions à propos de la stabilité de la dynamique interne. DECARFORT. ce dernier est partiellement linéaire. la transformation est partiellement linéaire. L’étude de la stabilité de la dynamique interne peut être simplifiée localement par l’étude à sa place de la dynamique zéro. Par contre si le degré relatif est inférieur à l’ordre du système. FOULARD. REFERENCES [1] 1989. Définition La dynamique zéro des systèmes non linéaires est la dynamique des systèmes sous la contrainte ou la sortie et ses dérivées successives seront identiques à zéro. [2] F. Système asservis 20 . El. La stabilité asympotique de la dynamique zéro (représentant une propriété intrinsèque du système indépendante du choix de la loi de contrôle) garantie la stabilité de la dynamique interne. Par conséquent : Si le degré relatif associé à la linéairisation entrée–sortie est le même que l’ordre du système. L’objectif de l’étude de la dynamique zéro est de déterminer la stabilité de la dynamique interne pour les systèmes non linéaires. G. CALVET. Si la dynamique zéro est instable.KEBIR BOUKAS. ce dernier est complètement linéaire. J. Asservissements linéaires continus.