TECSUP - PFRMatemática II UNIDAD X DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. INTRODUCCIÓN La distribución normal es la distribución más importante de probabilidades, no solo en la teoría estadística, sino también en sus aplicaciones a problemas industriales. Es una distribución continua y simétrica conocida también como la distribución de Gauss o de Laplace. La distribución normal representa el resultado de la actuación conjunta de causas aleatorias, y por ello resulta fundamental en el control estadístico de calidad, particularmente en la teoría de los gráficos del control de fabricación. La función de probabilidades es: f ( x; , 2 ) 2 2 1 e ( x ) / 2 2 - x Donde: Es la media de la distribución Es la desviación estándar f(x) X Gráfica de densidad de Probabilidad Normal El diagrama es simétrico y el área bajo la curva es la unidad. 123 Matemática II 2. TECSUP - PFR ESTANDARIZACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA Si en lugar de x tomamos: z ( x ) Lo cual significa adoptar como origen de las z el punto en que x y como unidad de escala de las z la desviación estándar ; la que designaremos como distribución Normal Estándar: 2 z 1 2 e 2 f(z) Esta distribución tiene parámetros: ( z ) 0 y 2 ( z ) 1 ; por conveniencia se acostumbra nombrar esta distribución como la N(0;1) . Los valores del área desde ...z son iguales a la probabilidad acumulada de los valores correspondientes a f(z). Estos valores se encuentran tabulados en la tabla 3 al final de esta información. Esta tabla corresponde a la distribución normal estándar, es decir, la distribución normal con 0 y 1 La función acumulada es: F( z ) F( z ) 1 2 z e t2 / 2 dt 1 z t 2 / 2 e dt 2 0 Gráfica de densidad de Probabilidad Normal Estándar Para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con la distribución normal estándar adopte un valor entre a y b, usamos la ecuación: P(a z b) F(b) F(a) y si a o b es negativa, hacemos uso de la identidad 124 TECSUP - PFR Matemática II F( z ) 1 F( z ) . EJEMPLO 1 Determine las probabilidades de que una variable aleatoria con la distribución normal estándar adopte un valor. (a) (b) (c) (d) Entre 0,87 y 1,28 Entre -0,34 y 0,62 Mayor que 0,85 Mayor que -0,65 = = = = p(0,87<z<1,28) p(-0,34<z<0,62) p(z>0,85) p(z>-0,65) Solución Consultando los valores necesarios en la tabla 3, obtenemos. a) Entre 0,87 y 1,28 = p(0,87<z<1,28) F(1,28) F(0,87) 0,8997 0,8078 0,0919 0 b) Entre -0,34 y 0,62 = p(-0,34<z<0,62) F(0.62) F( 0.34) 0.7324 (1 0.6331) 0.3655 0 125 Matemática II c) TECSUP - PFR Mayor que 0,85 = p(z>0,85) 1 F(0.85) 1 0.8023 0.1977 0 d) Mayor que -0,65 = p(z>-0,65) 1 F( 0.65) 1 1 F(0.65) F(0.65) 0.7422 0 EJEMPLO 2 Si el monto de radiación cósmica a la que se expone una persona al volar en avión por los Estados Unidos es una variable aleatoria con la distribución normal con 4.35 mrem y 0.59 mrem, determine las probabilidades de que el monto de radiación cósmica a la que se expondrá una persona en un viaje así sea de: (a) (b) entre 4.00 y 5.00 mrem; al menos 5.50 mrem. Solución Primero estandarizamos los valores: a) 5.00 4.35 4.00 4.35 F F 0.59 0.59 = F(1.10) F( 0.59) = 0,8643 (1 0,7224) 126 TECSUP - PFR Matemática II = 0,5867 b) 5.50 4.35 1 F 0.59 = 1 F(1.95) = 1 0.9744 0.0256 EJEMPLO 3 El monto real de café instantáneo que una máquina de relleno deposita en frascos de “4 onzas” puede considerarse una variable aleatoria con una distribución normal con 0.04 onzas. Si sólo 2% de los frascos contienen menos de 4 onzas, ¿Cuál debería ser el relleno medio de esos frascos? Solución 4 0.02 y, por lo tanto, 0.04 Para determinar de tal manera que F 4 F 0.98 0.04 buscamos en la tabla 3 la entrada más cercana a 0.98 y obtenemos 0.9798, que corresponde a z 2.05. Así: 4 2.05 0.04 Y al resolver , determinamos que 4.082 onzas EJEMPLO 4 En cierta ciudad, el número de interrupciones del suministro eléctrico por mes es una variable aleatoria con una distribución con 11,6 y 3,3 . Si esta distribución puede aproximarse cercanamente con una distribución normal, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos ocho interrupciones en un mes cualquiera? Solución El número de interrupciones de servicio es una variable aleatoria discreta, y si deseamos aproximar su distribución con una distribución normal, debemos “dispersar” sus valores en una escala continua. Lo hacemos representando cada número entero k con el intervalo de k 1 k . Por ejemplo: 2 127 1 a 2 Matemática II TECSUP - PFR 3 es representado con el intervalo de 2,5 a 3,5; 10 es representado con el intervalo de 9,5 a 10,5. y “al menos 8” es representado con el intervalo a la derecha de 7,5 tal como se muestra en la figura: 3,3 11,6 Así, la probabilidad deseada es “aproximada” por: 7,5 11,6 1 F 1 F( 1,24) 3,3 F(1,24 ) 0,8925 3. APLICACIONES: LÍMITES DE CONTROL La distribución normal puede aplicarse en el control de calidad para “aceptar” un producto o “rechazar” un producto. Para ello se establece una franja cuyo ancho será el rango de aceptación. Este rango se establece alrededor de la media la que definirá la Línea Media LM. El rango R quedara definido en función del valor estableciéndose diversos criterios. Un criterio bastante común es tomar: R LSC LIC LSC A LIC A Donde A 3 ; n = tamaño de la muestra. n 128 TECSUP - PFR Matemática II Los límites de este rango serán el Límite Superior de Control LSC y el Límite Inferior de Control LIC. 3 n 3 n EJEMPLO 5 Construir para muestras de n = 5 artículos el gráfico de control de la media de un proceso de fabricación de ejes de acero con media 5,60 mm y desviación estándar 0,05 mm. Verificar si el proceso de fabricación de ejes se mantiene BAJO CONTROL, si se han extraído 10 muestras con n = 5 de hora en hora y los valores se encuentran en la tabla siguiente: MUESTRA ARTICULO 1 ARTICULO 2 ARTICULO 1 ARTICULO 1 ARTICULO 1 MEDIA 1 5,67 5,50 5,58 5,48 5,70 5,586 2 5,90 5,58 5,61 5,59 5,44 5,624 3 5,52 5,66 5,68 5,59 5,38 5,566 4 5,60 5,76 5,55 5,58 5,57 5,612 5 5,55 5,68 5,65 5,45 5,68 5,602 6 5,39 5,65 5,63 5,57 5,61 5,570 7 5,79 5,61 5,59 5,70 5,51 5,640 8 5,67 5,59 5,59 5,75 5,48 5,616 9 5,51 5,51 5,65 5,55 5,63 5,570 10 5,66 5,64 5,61 5,66 5,56 5,626 129 x Matemática II TECSUP - PFR Solución La línea media: LM = = 5,60 Los límites de control serán: LSC A 5,60 ( 3 LIC A 5,60 ( 3 5,68 3 n 5 5 )0,05 5,667 )0,05 5,533 LSC 5,667 5,66 5,64 5,62 LM 5,60 5,58 5,56 5,54 3 n LIC 5,533 5,52 MUESTRA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mediante el gráfico recomprueba que todos los puntos se encuentran en el rango en torno a la LM, de ello se concluye que el PROCESO DE FABRICACION SE ENCUENTRA BAJO CONTROL. 4. BLOQUE I 1. Una troqueladora produce tapas de lata cuyos diámetros se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 0,01 pulgadas. ¿En que diámetro “nominal” deberia fijarse la máquina para que no mas del 5% de las tapas producidas tengan diámetros que excedan de 3 pulgadas? Sol: 2,984 2. Se corta automáticamente varillas de plástico moldeadas por inyección en longitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes reales están 130 TECSUP - PFR Matemática II normalmente distribuidas en torno a una media de 6 pulgadas y su desviación estándar es de 0,06 pulgadas. a) ¿Qué proporción de las varillas excede los límites de tolerancia de 5,9 a 6,1 pulgadas. b) ¿A qué valor es necesario reducir la desviación estándar si el 99% de las varillas den hallarse dentro de la tolerancia. Sol: a) b) 3. Si una variable aleatoria tiene la distribución binomial con n=30 y p=0,60; use la aproximación normal para determinar la probabilidad de que adopte: a) El valor de 14 b) Un valor menor que 12 Sol: a) 0,049 b) 0,008 4. Un fabricante sabe que, en promedio, 2% de las tostadoras eléctricas que produce requerirán reparaciones en un término de 90 días posteriores a su venta. Use la aproximación normal a la distribución binomial para determinar la probabilidad de que entre 1200 tostadoras al menos 30 requerirán reparaciones en los primeros 90 días de su venta. Sol: 5. La probabilidad de que un componente electrónico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es de 0,25. Use la aproximación normal para determinar la probabilidad de que entre 200 de esos componentes menos de 45 fallen en menos de 1000 horas de uso continuo. Sol: 0,1841 6. Un ingeniero de seguridad supone que el 30% de los accidentes industriales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Si esa cifra es correcta, determine aproximadamente la probabilidad de que entre 84 accidentes industriales en esa planta cualquier número entre 20 a 30 inclusive se deban a la negligencia de los empleados de no seguir las instrucciones. Sol: 7. Una variable aleatoria tiene una distribución normal con 62,4 . Determine su desviación estándar si la probabilidad de que adopte un valor mayor que 79,2 es de 0,20. Sol: 19,88 131 Matemática II TECSUP - PFR 8. Una variable aleatoria tiene una distribución normal con 10 . Si la probabilidad de que adopte un valor menor que 82,5 es de 0,8212. ¿Cuál es la probabilidad de que adopte un valor mayor que 58,3? Sol: 9. Las especificaciones de cierto trabajo implican limpiadores con un diámetro interior de 0,300 0,005 pulgadas. Si los diámetros interiores de los limpiadores provistos por cierto fabricante pueden considerarse una variable aleatoria con la distribución normal con 0,302 pulgadas y 0,003 pulgadas, ¿Qué porcentaje de estos limpiadores cumplirá las especificaciones? Sol: 83.15% 10. Se sabe que la vida útil de un componente eléctrico sigue una distribución normal con media 2000 hr y una desviación estándar 200 hr. a) b) Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure entre 2000 y 2400 horas. Determine la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure más de 2200 horas. Sol: a) 0,4772 b) 0,1587 132