UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉSFACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009 FACULTAD DE ING ENIERÍA F I UMSA TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMATICA FECHA: 7/12/2009 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS En cada una de las preguntas, responda INDICANDO el inciso de la respuesta correcta EN LA PLANTILLA DE RESPUESTAS colocada en la parte inferior de este examen. Valor por pregunta 10%. ____ ____ 1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y M, siendo O el punto medio de AM . Si AO =10, y 2 ____ BM ____ ____ − OB 2 =5, Hallar AB A) 220 B) 200 C)110 D) 100 E) 50 F) ninguno 2. En todo triángulo, el ángulo formado por dos de sus bisectrices exteriores es igual a: A) 90º + 3. β β β B) 90º − C) D) 90º + β E) Ninguno de los anteriores 2 2 2 Calcular el área sombreada que se muestra en la Figura. A) 2(π + 1) ninguno B) 2(π − 1) C) (π D) (π − 1) + 1) E) π − 2 F) 4 4 4. En un triangulo ABC, el ángulo del vértice B ( β ) es igual a 100. La bisectriz del ángulo β interfecta al segmento AC en el punto D. Si DB = DC = 8. Hallar la magnitud de la altura perpendicular al lado AC A)8sen(60º) B)8cos(100º) C) 8sen(100º) D) 8sen(50º) E) 8sen(80º) F)ninguno 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2,1) y es perpendicular a la recta 2x + 3y + 4 = 0 A) 3x – 2y 10 =0 B) 3x – 2y 23 =0 C)3x – 2y 4 =0 D) 3x – 2y 11 =0 E) 3x – 2y 8 =0 F) Ninguno 6. Hallar la ecuación de la circunferencia donde el centro coincide con el origen de coordenadas y la recta 3x – 4y – 25 = 0 es tangente a la circunferencia. A) x² + y² = 16 B) x² + y² = 4 C) x² + y² = 10 D) x² + y² = 25 E) x² + y² = 36 F) Ninguno En cada una de las siguientes preguntas realizar el desarrollo práctico correspondiente, indicando de forma clara la respuesta. 7. Se da un triángulo ABC cuyos lados BC y AC miden 8m y 10m respectivamente. Por un punto D de AB se traza DE paralelo a AC, de modo que DE = EC – BE, estando E en BC. Hallar EC 8. Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje Y, su radio es igual a 5 y es tangente a la recta 3 x − 4 y + 13 = 0 (considerar solo el valor positivo para el valor absoluto) PLANTILLA DE RESPUESTAS Pregunta Respuesta Calificación Puntaje 1 2 3 4 5 6 FILA B NOTA Nº EXAMEN UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009 FACULTAD DE ING ENIERÍA F I UMSA SOLUCIONARIO TERCER EXAMEN PARCIAL ÁREA: MATEMATICA FECHA: 7/12/2009 TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS En cada una de las preguntas, responda INDICANDO el inciso de la respuesta correcta EN LA PLANTILLA DE RESPUESTAS colocada en la parte inferior de este examen. Valor por pregunta 10%. ____ ____ 1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y M, siendo O el punto medio de AM . Si AO =10, y 2 ____ BM ____ ____ − OB 2 =5, Hallar AB A) 220 B) 200 C) 110 D) 100 A O M B AO=10 ____ ____ ____ ____ E) 50 F) ninguno BM=5 AO = OM = 10 ____ ____ OM = OB + BM = 10 Si BM =5 ____ ____ OB + 5 = 10 ____ ____ OB = 5 ____ Entonces: AB = AO + OB = 10 + 5 = 15 2 2 ____ ____ AB − OB = 15 2 − 5 2 = 200 2. En todo triángulo, el ángulo formado por dos de sus bisectrices exteriores es igual a: A) 90º + β β β B) 90º − C) D) 90º + β E) Ninguno de los anteriores 2 2 2 90−α/2 90−α/2 90−α/2 α γ=180−(α+β)/2−(90−α/2) γ=90−β/2 (α+β)/2 (α+β)/2 180−α−β β 3. Calcular el área sombreada que se muestra en la Figura. A) 2(π + 1) ninguno B) 2(π − 1) C) (π − 1) D) (π + 1) E) π − 2 F) 4 4 RESPUESTA A2 A2 A1 A2 A2 4 4 Dividiendo en área, el área de medio círculo es igual a: π A semicirculo = ⋅ (2) 2 = A1 + 4 A2 (i) 2 El área del cuadrado es igual a: A cuadrado = 4 2 = 4 A1 + 8 A2 (ii) Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos: A1 = π − 2 4. En un triangulo ABC, el ángulo del vértice B ( β ) es igual a 100. La bisectriz del ángulo β interfecta al segmento AC en el punto D. Si DB = DC = 8. Hallar la magnitud de la altura perpendicular al lado AC A)8sen(60º) B)8cos(100º) C) 8sen(100º) D) 8sen(50º) E) 8sen(80º) F)ninguno SOL. Si DB=DC=8, se conforma un triángulo isósceles BCD, es decir el ángulo que se conforma en D, es igual a 80º. En el triángulo rectángulo que se conforma entre la bisectriz y la altura, se tiene: h DB h = DBsen(80º ) = 8sen(80º ) sen(80º ) = 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2,1) y es perpendicular a la recta 2x + 3y + 4 = 0 A) 3x – 2y 10 =0 B) 3x – 2y 23 =0 C)3x – 2y 4 =0 D) 3x – 2y 11 =0 E) 3x – 2y 8 =0 F) Ninguno SOL. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2,1) y es perpendicular a la recta 2x + 3y + 4 = 0 De la ecuación de la recta se obtiene su pendiente despejando y 2 2 y = − x − 4 de donde m = − 3 3 3 La pendiente perpendicular por tanto es igual a M = 2 Con la ecuación de punto, pendiente se halla la recta solicitada. y − y 0 = M ( x − xo ) 3 ( x − 2) 2 2 y − 2 = 3x − 6 3x − 2 y − 4 = 0 y −1 = 6. Hallar la ecuación de la circunferencia donde el centro coincide con el origen de coordenadas y la recta 3x – 4y – 25 = 0 es tangente a la circunferencia. A) x² + y² = 16 B) x² + y² = 4 C) x² + y² = 10 D) x² + y² = 25 E) x² + y² = 36 F) Ninguno SOL. Se tiene el dato del centro, para hallar el radio de la circunferencia se conoce una recta tangente a la circunferencia, aplicando distancia del centro a esta recta se obtendrá el radio. Ax o + By o + C r = A2 + B 2 Donde A= 3 , B = 4 , C = 20, Xo = 0 , Yo = 0, remplazando en la anterior r = 0 + 0 − 25 9 + 16 = 25 =5 5 Por tanto la ecuación de la circunferencia es: x² + y² = 25 En cada una de las siguientes preguntas realizar el desarrollo práctico correspondiente, indicando de forma clara la respuesta. 7. Se da un triángulo ABC cuyos lados BC y AC miden 8m y 10m respectivamente. Por un punto D de AB se traza DE paralelo a AC, de modo que DE = EC – BE, estando E en BC. Hallar EC SOL. Se construye la figura según enunciado: A 10m D B 2x8 E 8x x C 8m Por dato: DE = EC – BE = x – (8 – x) DE = 2x – 8 Como DE es paralelo a AC, se tiene que. ∆ DBE ∼ ∆ ABC Formando proporción entre sus lados homólogos: 2x − 8 8 − x = 10 8 72 m x= 13 de donde: 8. Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro se encuentra sobre el eje Y, su radio es igual a 5 y es tangente a la recta 3 x − 4 y + 13 = 0 (considerar solo el valor positivo para el valor absoluto) Como el centro se encuentra sobre el eje “Y”, su componente en “X”, siempre será cero C(0, k) Si el radio es 5, entonces es igual a la distancia de la recta al centro Por: d = Reempl. 5 = Considerando solo el valor positivo del valor absoluto: x 2 + ( y + 3) 2 = 52 A2 + B 2 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ k + 13 3 2 + (−4) 2 25 = −4k + 13 La ecuación de la circunferencia es: ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 Reemplazando: Ax 0 + By 0 + C ⇒ k = −3 ⇒ 5= − 4k + 13 5 PLANTILLA DE RESPUESTAS Pregunta 1 2 3 4 5 6 FILA Respuesta B B E E C D B
Report "Tercer Examen Parcial Área Matematica Fecha 7-12-2009c"