[Ano] Conceitos Básicos Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Unidade: Conceitos Básicos MATERIAL TEÓRICO Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. Victo dos Santos Filho Revisão Textual: Profa. Ms. Alessandra Cavalcante Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 2 2. Corpos puntiformes ou part´ ıculas: S˜ ao aqueles em que se pode desprezar todas as suas dimens˜ oes no problema em estudo. Ex. em outras palavras. Est´ atica: E anica que estuda o estado de repouso ou equil´ ıbrio dos corpos. Corpos extensos: S˜ ao os corpos em que n˜ ao se pode desprezar todas as suas dimens˜ oes no problema em considera¸ c˜ ao. um fio de varal. um ´ atomo isolado em um g´ as ou em um l´ ıquido. etc. etc. Ex. considerando suas causas. ´ a parte da Mecˆ 2. de acordo com as suas dimens˜ oes: 1. Denominamos corpo uma por¸ c˜ ao limitada de mat´ eria ou.: Uma barra de ferro em um andar.: Uma bolinha de gude em um gramado. ´ a parte da Mecˆ 3. Por se tratar de uma ´ area extremamente ampla. um corpo ´ e qualquer objeto que possua massa. sem considerar suas causas. Os corpos podem ser classificados em dois tipos.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Mecˆ anica Geral Unidade I: Conceitos b´ asicos 1 Introdu¸ c˜ ao Mecˆ anica ´ e a parte da F´ ısica que estuda o estado de movimento de um corpo. Mecˆ anica: E anica que estuda o movimento dos corpos. Cinem´ atica: E anica que estuda o movimento dos corpos. a Mecˆ anica se divide em trˆ es sub-´ areas: ´ a parte da Mecˆ 1. 1 . um paralelep´ ıpedo na cal¸ cada. ou seja. pois na verdade existem apenas corpos extensos na Natureza. em geral.br .com. No contexto da Engenharia. movendo-se sozinho na Via Dutra. dependendo das condi¸ c˜ oes do problema em estudo. Entretanto. analisaremos as grandezas f´ ısicas relevantes no estudo do estado de equil´ ıbrio dos corpos e as condi¸ c˜ oes f´ ısicas em que ocorre o repouso dos mesmos. 2 Est´ atica A Est´ atica ´ e a parte da Mecˆ anica que estuda as condi¸ c˜ oes para que os corpos permane¸ cam em equil´ ıbrio. considerando os corpos como part´ ıculas. 2 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. (e) Uma formiga. (c) Um carro. Definimos equil´ ıbrio como o estado f´ ısico em que um corpo se encontra com: • Velocidade nula. em estado de repouso. em rela¸ c˜ ao a um dado referencial inercial. (d) Um carro. caracterizando o estado de movimento que se denomina Movimento Retil´ ıneo Uniforme (MRU). ou seja. consideraremos o estudo da Est´ atica. em rela¸ c˜ ao a um dado referencial inercial. consideramos. movendo-se em rela¸ c˜ ao ` a Lua: (b) A Terra.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Essa classifica¸ c˜ ao ´ e meramente did´ atica. embora existam casos em que se analisam for¸ cas sobre corpos com dimens˜ oes desprez´ ıveis no problema em considera¸ c˜ ao. Exerc´ ıcio 1: Classifique em puntiforme ou extenso: (a) A Terra. corpos extensos. em rela¸ c˜ ao ` a Via-L´ actea. podemos simplificar um c´ alculo. Neste curso. manobrando na garagem. ou seja. caminhando em uma mesa. ou • Velocidade constante.cruzeirodovirtual. Uma grandeza f´ ısica descreve quantitativamente as propriedades naturais na forma de um n´ umero e uma unidade. massa. enquanto que um pino pode ser considerado como uma part´ ıcula nos c´ alculos. atribu´ ımos um valor unit´ ario a uma por¸ c˜ ao previamente adotada da grandeza que se deseja medir para servir de padr˜ ao ou referˆ encia. 3 Grandezas F´ ısicas Denominamos grandeza f´ ısica qualquer quantidade. temperatura. atribuindo-se grandezas f´ ısicas ` as propriedades da Natureza podemos quantific´ a-las ou medi-las. como vigas. Medir significa comparar quantitativamente uma grandeza f´ ısica com uma unidade de mesma natureza previamente definida.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Na Engenharia. Esta referˆ encia ´ e denominada unidade f´ ısica. em que se conectam muitas barras atrav´ es de jun¸ c˜ oes ou n´ os. Entretanto. que formalmente corresponderiam a pequenos corpos em que se aplicam as condi¸ c˜ oes matem´ aticas de equil´ ıbrio para se analisar o estado de repouso ou movimento da estrutura global. que ´ e uma unidade de velocidade. As unidades ou grandezas f´ ısicas podem ser classificadas em dois tipos: 3 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. alguns corpos podem ter dimens˜ oes desprez´ ıveis e os consideramos como part´ ıculas ´ tamb´ para facilitar os c´ alculos. etc. E em usual trabalhar com n´ os em estruturas mecˆ anicas. Ex. hora.com.cruzeirodovirtual.: Uma haste ´ e um corpo extenso. velocidade. observadas no estudo de um fenˆ omeno da Natureza. Exemplos de grandezas: comprimento.br . Nas medi¸ c˜ oes. No processo de medi¸ c˜ ao. qualidade ou propriedade observ´ avel da Natureza que possamos medir. pontes ou estruturas como treli¸ cas. ou seja. Podemos dizer que uma grandeza f´ ısica descreve qualitativa e quantitativamente propriedades e/ou suas rela¸ c˜ oes associadas a corpos. barras. que ´ e uma unidade de distˆ ancia. que ´ e uma unidade de tempo e metro por segundo (m/s). as grandezas sempre devem vir acompanhadas de suas unidades respectivas. envolvendo principalmente corpos extensos. Exemplos de unidades f´ ısicas: cent´ ımetro. s˜ ao utilizados muitos c´ alculos. no segundo caso. ∆t (1) c˜ oes entre as grandezas. o s´ ımbolo ∆ significa apeDo ponto de vista das rela¸ nas uma varia¸ c˜ ao da grandeza dada. a for¸ ca F e a ´ area A: P = F . A (2) que podem ser desdobradas em trˆ es fundamentais: massa. classifique em grandeza f´ ısica fundamental (GFF) ou grandeza f´ ısica derivada (GFD): (a) Velocidade (c) Odor (e) For¸ ca (g) Comprimento (i) Estado de agita¸ c˜ ao de mol´ eculas (b) Utilidade (d) Beleza (f) Press˜ ao (h) Trabalho (j) Tempo 4 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.br . J´ a a velocidade e a press˜ ao s˜ ao grandezas derivadas. pois dependem de outras grandezas em suas defini¸ c˜ oes. Exemplo 1: A velocidade ´ e definida como: v= ∆s . Exemplo 2: No caso da press˜ ao. essa grandeza ´ e definida como a divis˜ ao entre duas grandezas (ambas tamb´ em derivadas). A rela¸ c˜ ao que define a grandeza f´ ısica velocidade ´ e a divis˜ ao entre a grandeza espa¸ co ou comprimento e a grandeza tempo. a velocidade ´ e uma grandeza f´ ısica derivada que depende de duas grandezas f´ ısicas fundamentais em sua defini¸ c˜ ao. Exerc´ ıcio 2: Caracterize em grandeza (G) ou grandeza f´ ısica (GF) e. comprimento e tempo. tempo e espa¸ co s˜ ao conceitos primitivos que consideramos fundamentais.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui • Fundamentais: S˜ ao aquelas que representam as mais b´ asicas e essenciais propriedades ou conceitos da Natureza. ou seja. • Derivadas: S˜ ao aquelas que dependem das fundamentais e/ou aquelas cujas defini¸ c˜ oes derivam das fundamentais. O mesmo ocorre para as demais grandezas f´ ısicas derivadas da mecˆ anica. Como exemplo.cruzeirodovirtual. a partir das quais se constroem as demais grandezas ou unidades.com. talvez. com exce¸ c˜ ao. dos Estados Unidos e da Gr˜ aBretanha. 5 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.com.o comprimento.br . dadas na tabela 1: Grandeza Comprimento Tempo Massa Temperatura Corrente el´ etrica Quantidade de mat´ eria Intensidade luminosa Unidade metro segundo quilograma Kelvin Amp` ere mol candela S´ ımbolo m s kg K A mol cd Tabela 1: Grandezas f´ ısicas fundamentais e suas respectivas unidades f´ ısicas no sistema internacional.para construir as demais grandezas f´ ısicas derivadas. a massa e o tempo . nos u ´ltimos anos. Entretanto.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 4 Sistemas de Unidades F´ ısicas Denominamos sistema de unidades f´ ısicas um conjunto de unidades adotado para que se possa medir qualquer grandeza em quaisquer fenˆ omenos existentes na Natureza. de modo que qualquer propriedade ou quantidade natural de qualquer fenˆ omeno pode ser medida. como anteriormente mencionado nos exemplos. Obviamente.cruzeirodovirtual. sendo utilizado atualmente por quase todos os pa´ ıses no mundo. Com essas grandezas f´ ısicas fundamentais. O Sistema Internacional de Unidades possui as seguintes grandezas e unidades fundamentais constituintes. tendo em vista sua grande utilidade e a conveniˆ encia de que todos adotem unidades universais. H´ a muitos sistemas de unidades. Sistema Internacional de Unidades (SI) ou Sistema MKS: O Sistema Internacional de Unidades foi aquele adotado em uma conferˆ encia internacional de f´ ısica. mesmo ambos tˆ em adotado o sistema. podem ser constru´ ıdas quaisquer outras grandezas f´ ısicas derivadas. na Mecˆ anica s˜ ao necess´ arias as trˆ es primeiras grandezas f´ ısicas . mas os mais famosos s˜ ao: 1. como vimos. medir uma grandeza f´ ısica ´ e compar´ a-la com outra grandeza de mesma esp´ ecie. em que a unidade de for¸ ca ´ e o quilograma-for¸ ca ou kgf.br . que ´ e a unidade de medida. mas na Engenharia ´ e tamb´ em muito comum trabalharmos com unidades dos sistemas americanos. podem ser feitas medidas de grandezas muito pequenas a grandezas extremamente grandes. ent˜ ao. E ecnico. Adotaremos aqui o sistema internacional. muito encontrados em documentos t´ ecnicos de empresas e em livros americanos. Suas principais grandezas e unidades fundamentais na Mecˆ anica s˜ ao dadas na tabela 2 abaixo: Grandeza Comprimento Tempo Massa Unidade cent´ ımetro (cm) segundo (s) grama (g) Tabela 2: Grandezas f´ ısicas fundamentais da Mecˆ anica no sistema CGS. a convers˜ ao de unidades e/ou o uso de prefixos para as unidades. como a utiliza¸ c˜ ao da nota¸ c˜ ao cient´ ıfica. Alguns. Na F´ ısica. Unidades f´ ısicas s˜ ao. destacamos os sistemas americano e britˆ anico. valores padronizados como unit´ arios de uma dada grandeza f´ ısica que tˆ em por finalidade medir a magnitude das mesmas. al´ em dos dois j´ a citados. o principal adotado no mundo. H´ a tamb´ em outros sistemas de unidades. chamado Sistema Internacional (SI) ou sistema MKS (devido ` as iniciais das unidades das trˆ es principais grandezas fundamentais) e tamb´ em o sistema CGS (nome dado devido ` as iniciais das unidades da Mecˆ anica que o comp˜ oem). Resumindo. assim ´ e necess´ ario adotar t´ ecnicas que facilitem a escrita desses n´ umeros.com. quantas vezes a unidade est´ a contida na grandeza que est´ a sendo medida. ou seja. Dentre os sistemas de unidades mais usados.cruzeirodovirtual.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 2. Sistema Gaussiano ou CGS: O sistema CGS tamb´ em ´ e muito utilizado. 6 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. baseados em potˆ encias de dez. principalmente em Eletromagnetismo. Verifica-se. inclusive. usam n˜ ao a ´ o caso do sistema t´ massa e sim a for¸ ca como grandeza fundamental. Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 5 Nota¸ c˜ ao Cient´ ıfica Existem muitas formas de se representar n´ umeros com nota¸ c˜ ao cient´ ıfica. na forma: N = M. w = 0.0000000000000010 m.38 kg 2. temos: 1. A dimens˜ ao m´ edia de um n´ ucleo atˆ omico ´ e um n´ umero da ordem de r=0. Entretanto. Como exemplos. Exerc´ ıcio 3: Escrever em nota¸ c˜ ao cient´ ıfica: 1.cruzeirodovirtual.10e .0000000001 m 5. temos: R = 6. Desse modo. a mais usada ´ e a chamada nota¸ c˜ ao cient´ ıfica padr˜ ao ou padronizada.400 x 107 m. Em nota¸ c˜ ao cient´ ıfica. Definimos nota¸ c˜ ao cient´ ıfica padronizada aquela em que se tem a mantissa (coeficiente ou n´ umero com os algarismos significativos) com valor maior ou igual a 1 e menor que 10. y = 0. v = 168000000000000 N (3) 7 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.br . multiplicado por fatores de 10. esse n´ umero deve ser escrito como: r = 1. x = 64538. Em nota¸ c˜ ao cient´ ıfica. M ´ e a mantissa e e o expoente. onde N ´ e o n´ umero a ser representado.00000538 m 3. z = 6000000000 J 4. O raio da Terra ´ e da ordem de 6400 km ou 6400000 m. cada n´ umero ´ e representado de um modo u ´nico.0 x 10−15 m 2.com. Os prefixos mais usados s˜ ao dados na tabela 3. y = 0. v = 168000000000000 N 8 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.38 kg 2.0000000001 m 5.000005 J = 5 µJ 2.cruzeirodovirtual. x = 64538. significando um fator de 10 multiplicativo ` a unidade.br . x = 0. usando prefixos: 1.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 6 Prefixos Outro recurso para se representar n´ umeros muito grandes ou muito pequenos ´ e o de utilizar prefixos.00000538 m 3.83 Gg Exerc´ ıcio 4: Escrever os n´ umeros abaixo. Denominamos prefixos os s´ ımbolos antepostos as unidades f´ ` ısicas. y = 5830000000 g = 5. a seguir. Prefixo Nome Atto Femto Pico Nano Micro Mili Quilo Mega Giga Tera Peta Exa Prefixo S´ ımbolo a f p n µ m k M G T P E Fator 10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 103 106 109 1012 1015 1018 Tabela 3: Prefixos e seus respectivos valores em potˆ encias de dez Como exemplos. temos: 1. w = 0. z = 6000000000 J 4.com. como indicado na tabela 6: kg 103 g hg 102 g dag 101 g g 1g dg 10−1 g cg 10−2 g mg 10−3 g Tabela 6: Tabela de convers˜ ao com m´ ultiplos e subm´ ultiplos do grama. Convers˜ ao de unidades de distˆ ancia: H´ a muitas unidades de distˆ ancia.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 7 Convers˜ ao de Unidades Muitas vezes.com. Convers˜ ao de unidades de tempo: Neste caso. em que est˜ ao tamb´ em indicadas as convers˜ oes entre as principais unidades: dia. Convers˜ ao de unidades de massa: Neste caso. sendo as unidades mais comuns. inclusive sendo usadas no dia-a-dia. ou seja. devemos fazer a convers˜ ao de unidades. muito comum no quotidiano. ´ e necess´ ario saber passar um n´ umero de uma unidade para outra.br . 2. aquelas dadas na tabela 4: km 103 m hm 102 m dam 101 m m 1m dm 10−1 m cm 10−2 m mm 10−3 m Tabela 4: Tabela de convers˜ ao com m´ ultiplos e subm´ ultiplos do metro. tem-se como unidades principais as dadas na tabela 5.cruzeirodovirtual. 2. 9 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. usamos os mesmos prefixos adotados no caso das convers˜ oes de distˆ ancia. hora e segundo: ano 365 dias semana 7 dias dia 24 h hora (h) 3600 s minuto (min) 60 s segundo (s) 1s ms 10−3 s Tabela 5: Tabela de convers˜ ao com m´ ultiplos e subm´ ultiplos do segundo. Algumas convers˜ oes muito u ´teis s˜ ao: 1. webcalc. as unidades b´ asicas s˜ ao: p´ e. Convers˜ ao entre o sistema internacional e o americano: No caso das grandezas anteriores e de outras grandezas escritas no sistema americano usual. No sistema americano usual.com. 80 km/h ∼ = 72.54)/12 ] p´ ee 1 h = 3600 s. torna-se muitas vezes necess´ ario convertˆ e-las para o sistema internacional.908 p´ Exemplo 2: Converter 100 slug / p´ e2 para o SI: Sabemos que: 10 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Para se verificar rela¸ c˜ oes de convers˜ ao entre diversas unidades. Logo: 80 km / h = 80 x 1000 x 1 / ( 0.5938 kg p´ e 0.cruzeirodovirtual.4482 N 2 1 slug = (lb × s )/p´ e 14. libra e segundo. Grandeza For¸ ca Massa Comprimento Tempo Unidade Fator de convers˜ ao para o SI 1 lb 4. pode-se consultar p´ aginas espec´ ıficas com esse tipo de fun¸ c˜ ao de c´ alculo. Neste caso. respectivamente. for¸ ca e tempo.0254 * 12 * 3600 ) p´ e / s.br/ Exemplo 1: Converter 80 km / h para p´ e / s: Sabemos que: 1 km = 1000 m = 1000 x [ (100/2.com. como: http://www. para as grandezas f´ ısicas distˆ ancia. algumas destas convers˜ oes s˜ ao dadas na tabela 7.3048 m s s Tabela 7: Exemplos de convers˜ ao entre unidades do sistema americano e o SI.br . de modo que: e/s.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 3. cruzeirodovirtual.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 1 slug = 14.5938 kg / (0. A dimens˜ ao de uma grandeza permite que se estabele¸ cam as rela¸ c˜ oes entre as unidades fundamentais que a constituem. A nota¸ c˜ ao para representar a dimens˜ ao de uma grandeza f´ ısica ´ e dada por: [ A ]: Lˆ e-se ”dimens˜ ao da grandeza f´ ısica A”.5938 kg e 1 p´ e = 0.3048 m .com. Logo: 100 slug / p´ e2 = 100 x 14.br .57 x 104 kg / m2 . Exerc´ ıcio 5: Executar os c´ alculos e convers˜ oes abaixo. expressando a quantidade em unidades do SI (pesquise as unidades que desconhecer): (a) 50 p´ es x 60 µlb (b) 50 kN x 60 nm (c) 100 kgf x 200 p´ es (d) 500 lb / p´ es2 (e) 10 dyn x 20 ns 8 Dimens˜ oes Denominamos dimens˜ ao de uma grandeza f´ ısica a unidade gen´ erica que a caracteriza.3048)2 m2 . independentemente do sistema de unidades que se use para determin´ a-la. de modo que: 100 slug / p´ e2 ∼ = 1. As dimens˜ oes das grandezas fundamentais s˜ ao dadas na tabela 8: 11 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Exemplo 1: A velocidade tem dimens˜ ao de espa¸ co por tempo. Exemplo 5: Determine a dimens˜ ao do trabalho de uma for¸ ca. 12 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Exemplo 3: A for¸ ca tem dimens˜ ao de massa vezes acelera¸ c˜ ao. Exemplo 4: Determine a dimens˜ ao da energia cin´ etica.( LT−2 ) ou [ F ] = MLT−2 .com.br . logo: [v]=[s]/[t] [ v ] = L / T ou [ v ] = LT−1 . logo: [a]=[v]/[t] [ a ] = ( LT−1 ) / T ou [ a ] = LT−2 . logo: [F]=[m][a] [ F ] = M . Exemplo 2: A acelera¸ c˜ ao tem dimens˜ ao de velocidade por tempo.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Grandeza Comprimento Tempo Massa Temperatura Corrente el´ etrica Quantidade de mat´ eria Intensidade luminosa Dimens˜ ao L T M Θ I N J Tabela 8: Grandezas f´ ısicas fundamentais e suas respectivas dimens˜ oes f´ ısicas.cruzeirodovirtual. br . ˆ angulos. mostrando seus elementos: lados.cruzeirodovirtual. Em um triˆ angulo retˆ angulo. tendo em vista que a soma dos ˆ angulos internos de o qualquer triˆ angulo ´ e igual a 180 . ent˜ ao podemos calcular a medida dos demais lados e ˆ angulos. A rela¸ c˜ ao entre os lados e ˆ angulos de um triˆ angulo retˆ angulo ´ e a base da trigonometria. os dois lados menores .com. tendo aplica¸ c˜ oes importantes nas ciˆ encias e na Engenharia. Na figura 1. 13 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Na geometria euclidiana plana. Matematicamente: ˆ+B ˆ +C ˆ = 180o A (4) A trigonometria ´ e fundamental em v´ arias ´ areas.s˜ ao chamados catetos. Figura 1: Esquema de um triˆ angulo retˆ angulo. se soubermos as medidas de dois lados ou a medida de um lado e de um ˆ angulo agudo. enquanto que o maior lado.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 9 Revis˜ ao de Trigonometria Trigonometria ´ e um ramo da matem´ atica que estuda as rela¸ c˜ oes entre os comprimentos dos lados e dos ˆ angulos em um triˆ angulo retˆ angulo. altura e proje¸ c˜ oes. definimos um triˆ angulo retˆ angulo como um triˆ angulo que possui um ˆ angulo reto. Em um triˆ angulo retˆ angulo. Consequentemente. os outros dois angulos s˜ ˆ ao agudos. podemos visualizar a forma de um triˆ angulo retˆ angulo e suas principais medidas.que s˜ ao cada um oposto a um dos ˆ angulos agudos . ´ e chamado hipotenusa. oposto ao ˆ angulo reto. b1 b2 b3 (5) Assim. usando o mesmo racioc´ ınio e montando as poss´ ıveis propor¸ co ˜es. c n de modo que: c2 = a. a hipotenusa tem medida a e os a ˆngulos s˜ ao denotados com os respectivos nomes de seus v´ ertices com ˆ ˆ ˆ circunflexo (A. temos que o triˆ angulo menor ` a esquerda ´ e semelhante ao triˆ angulo ABC. podemos estabelecer rela¸ c˜ oes m´ etricas entre seus elementos.cruzeirodovirtual. identificamos na figura outras medidas importantes. ent˜ ao o mesmo ocorre entre as propor¸ c˜ oes dos demais lados correspondentes. aplicando as propriedades b´ asicas da geometria euclidiana. Em outras palavras. pois possuem ao menos dois ˆ angulos iguais.br .m (8) e bc = a. Com as rela¸ c˜ oes acima. se o maior triˆ angulo tem seu maior lado trˆ es vezes maior que o do segundo.n + a. em triˆ angulos semelhantes os comprimentos de seus lados correspondentes s˜ ao proporcionais. Este ´ e o caso se.m = a(m + n) = a. (7) Analogamente. Usando como base o triˆ angulo da figura 1.h. logo os lados correspondentes s˜ ao proporcionais: a c = . seus ˆ angulos correspondentes s˜ ao iguais.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Na figura 1.com. Em um triˆ angulo retˆ angulo. e somente se. como as proje¸ c˜ oes dos catetos sobre a hipotenusa (m e n) e a medida da altura (h) do triˆ angulo em rela¸ c˜ ao ` a hipotenusa. 14 (10) (9) (6) Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. 10 Rela¸ c˜ oes m´ etricas em um triˆ angulo retˆ angulo Dois triˆ angulos s˜ ao ditos semelhantes se um pode ser obtido do outro pela multiplica¸ c˜ ao da medida de seus lados por um fator constante. Al´ em disso. podemos provar o famoso Teorema de Pit´ agoras: c2 + b2 = a. B e C ).n. ou seja: a1 a2 a3 = = = k. os catetos tˆ em medidas c e b.a. obtemos: b2 = a. temos: ˆ= c . cujo resultado nos fornece o enunciado: ”O quadrado da medida da hipotenusa ´ e igual ` a soma das medidas dos quadrados dos catetos.br . Dois triˆ angulos retˆ angulos que tˆ em angulos B correspondentes iguais s˜ ˆ ao obviamente semelhantes. temos: ˆ= b .Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui logo: a2 = c 2 + b 2 . hipotenusa (12) Assim. hipotenusa (14) de modo que. sendo um valor entre 0 e 1 e que depende somente de B. Cosseno: ˆ= cos B cateto adjacente ao ˆ angulo . pois sabemos da geometria que triˆ angulos com dois ˆ angulos iguais s˜ ao semelhantes. sendo denotada e definida matematicamente como: ˆ= sin B cateto oposto ao ˆ angulo .com. a mesma nos dois triˆ angulos. portanto. Esta raz˜ ao ou rela¸ c˜ ao trigonom´ etrica ´ e denominada seno de B. cos B a 15 (15) Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. seguindo a figura 1.cruzeirodovirtual. A raz˜ ao entre o comprimento do lado oposto a B e o comprimento da hipotenusa ser´ a. sin B a (13) Outras fun¸ c˜ oes que s˜ ao poss´ ıveis de definir em um triˆ angulo retˆ angulo s˜ ao: 2. podemos definir as fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas em triˆ angulos retˆ angulos.” (11) 11 Propriedades trigonom´ etricas em um triˆ angulo retˆ angulo Com as propriedades de semelhan¸ ca. no triˆ angulo da figura 1. c (20) ˆ=c . cateto oposto ao ˆ angulo (22) hipotenusa .Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 3. cateto oposto ao ˆ angulo Matematicamente: 5. ˆ .cruzeirodovirtual. ou seja: ˆ +C ˆ = 90o . como: sin x = cos (90o − x). csc B (23) b As raz˜ oes trigonom´ etricas definidas acima tamb´ em podem ser definidas para o outro ˆ angulo agudo do triˆ angulo retˆ angulo. (25) (24) 16 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Como os ˆ oˆ angulo C angulos s˜ ao complementares. Cotangente: angulo ˆ = cateto adjacente ao ˆ cot B . Secante: ˆ= sec B Matematicamente: 6. cateto adjacente ao ˆ angulo a . cot B b (18) ˆ = b. B ent˜ ao podemos concluir algumas propriedades interessantes. ou seja. tan B c (16) (17) (19) ˆ= sec B (21) ˆ=a . Tangente: angulo ˆ = cateto oposto ao ˆ tan B . Cossecante: ˆ= csc B Matematicamente: hipotenusa . em nossa figura. cateto adjacente ao ˆ angulo Matematicamente: 4.com.br . br . Esses valores podem ser demonstrados com propriedades da geometria plana. que s˜ ao iguais a 45o .cruzeirodovirtual. para qualquer um dos ˆ angulos agudos. pode-se mostrar os valores das raz˜ oes para o ˆ angulo de 45o : Figura 2: Esquema de um quadrado. 45o e 60o . Dentre os angulos agudos.com. Por exemplo. A tabela a seguir mostra esses ˆ angulos not´ aveis e os valores de suas raz˜ oes trigonom´ etricas principais.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 12 ˆ Angulos not´ aveis Denominamos ˆ angulos not´ aveis alguns ˆ angulos em que se pode determinar de forma exata os valores de suas raz˜ oes trigonom´ etricas. pode-se obter um triˆ angulo retˆ angulo a partir da divis˜ ao de um retˆ angulo por sua diagonal. logo. com ˆ angulos agudos de 45o . De fato. neste triˆ angulo. s˜ ˆ ao eles os ˆ angulos de 30o . os catetos tˆ em medidas iguais ao lado do quadrado (a). ˆ Angulo 30o 45o 60o Seno 1/2 √ √2/2 3/2 Cosseno √ √3/2 2/2 1/2 Tangente √ 3/3 1 √ 3 ˆ Tabela 9: Angulos not´ aveis e suas raz˜ oes trigonom´ etricas. para 17 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. subdividido em dois triˆ angulos retˆ angulos. Supondo um quadrado (figura 2). (26) (27) Assim. Obter os valores das medidas dos catetos b e c abaixo.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui que a soma forne¸ ca 90o . a hipotenusa mede 5 cm e o ˆ angulo B Figura 3: Esquema do triˆ angulo retˆ angulo do exemplo 1. de modo que: √ h = a 2. cosseno e tangente dadas na tabela 9 podem ser facilmente verificadas: √ 2 a o o sin 45 = √ ⇒ sin 45 = . por Pit´ agoras: h2 = a2 + a2 ⇒ h2 = 2a2 . sabendo-se que ˆ vale 30o . a Exemplos resolvidos: 1. Resolu¸ c˜ ao: Com os conceitos dados anteriormente.br . tem-se. as raz˜ oes trigonom´ etricas seno.cruzeirodovirtual. podemos escrever: ˆ= b ⇒ sin B a 18 (31) Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.com. (28) 2 a a √ 2 a o o cos 45 = √ ⇒ cos 45 = (29) 2 a a e a (30) tan 45o = ⇒ tan 45o = 1. (35) 5 √ ao angulos not´ aveis.br .5 cm.33 cm. sabendo-se que a hipotenusa vale 12 m e o cateto c vale 6 cm. aproximadamente. 5. sin C 12 ˆ = 30o . obtemos: Como B ˆ = 60o . Obter os valores das medidas do cateto b e dos ˆ angulos. B 19 (38) (39) Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Com a tabela de ˆ angulos not´ aveis.cruzeirodovirtual. 2.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui b sin 30o = . (33) 2 5 de modo que temos 2 b = 5 ou b = 2. (32) 5 angulos not´ aveis. podemos escrever: ˆ= c ⇒ sin C a ˆ = 6 = 0. sabemos que sin 30o = 1/2.com. sabemos que cos 30o = 3/2. conclu´ ımos que C ˆ +C ˆ = 90o . (36) 2 5 √ de modo que temos 2 b = 5 3 ou √ 5 3 b= (37) 2 ou. b=4. podemos usar a raz˜ ao cosseno para obter o outro cateto: ˆ= c ⇒ cos B (34) a c cos 30o = . Resolu¸ c˜ ao: Com os conceitos dados anteriormente. ent˜ ao podeComo da tabela de ˆ mos escrever: 1 b = . ent˜ Como da tabela de ˆ podemos escrever: √ 3 b = . Analogamente. : 3) 1. 2 √ alculo. (40) (41) (42) Respostas dos exerc´ ıcios propostos: Ex. (d) Corpo extenso. (c) Part´ ıcula.39 cm. por exemplo.453838 x 104 kg (b) G (d) G (f) GFD (h) GFD (j) GFF 20 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.: 1) (a) Corpo extenso. obtemos: b = 6 3 ou. Ex. x = 6. (e) Part´ ıcula ou corpo extenso. temos: ˆ= b ⇒ sin B a √ 3 b = ⇒ 2 12 √ 3 b = 12 . o que vai depender de seu tamanho e se consideramos seu movimento em rela¸ c˜ ao a um objeto na mesa como uma colher ou em rela¸ c˜ ao a um cubo de a¸ cu ´car.br .com. (b) Part´ ıcula.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Ent˜ ao.cruzeirodovirtual. aproximadamente: Desse c´ b = 10.: 2) (a) GFD (c) G (e) GFD (g) GFF (i) GFF Ex. 38 µm 3. w = 0. w = 1.m (b) 50 kN x 60 nm = 0. v = 1. v = 16. x = 64.0041 N.: 5) (a) 50 p´ es x 60 µlb = 0.98 x 104 N.cruzeirodovirtual. y = 5.003 N.39 x 105 N / m2 (e) 10 dyn x 20 ms = 2 x 10−6 N.1 nm 5.38 x 10−6 m 3.8 TN Ex.br .68 x 1014 N Ex.0 x 10−10 m 5.s 21 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.53838 Mg 2.com. z = 6 x 109 J 4.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui 2.m (d) 5000 lb / p´ es2 = 2.: 4) 1. z = 6 GJ 4.m (c) 100 kgf x 200 p´ es = 5. y = 5. com.Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Anotações _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.br .cruzeirodovirtual. Unidade: Conceitos Básicos Unidade: Colocar o nome da unidade aqui Referências HIBBELER. R. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www. Gelson. 10ª ed. 8ª ed. Estática .br . São Paulo: Editora Atual. SHAMES.com. C.cruzeirodovirtual. Estática . 2004. Vol. 4ª ed.Volume I. 1996. Cap. IEZZI.Mecânica Para Engenharia . Pearson Prentice Hall. Pearson Prentice Hall. 1.Mecânica Para Engenharia. Fundamentos de Matemática Elementar. 3: Trigonometria. 2005. 1. IRVING H. Cap. 868 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.br .cruzeirodosul.com.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno.edu.www.