Capitolo 0 Considerazioni preliminari0.1 scalari, vettori e tensori Nel campo scientifico, cos` come nella vita quotidiana, accade spesso di definire delle ı quantit` per mezzo di un numero (di solito reale) seguito da un’unit` di misura e questa a a informazione da sola ` sufficiente a caratterizzare completamente la grandezza in oggetto. e Se, per esempio, si dice che la temperatura in un certo punto dello spazio vale T = 373.15 K ` non c’` pi` alcuna ambiguit` sul valore della temperatura in quel punto. E bene precisare e u a che la temperatura intesa come grandezza fisica esiste in quel punto indipendentemente dalle unit` in cui viene espressa; al contrario la sua misura assume significato solo nela l’ambito di un sistema di unit` specificato. Si pu` per esempio dire che la temperatura a o o a T = 373.15 K sar` T = 100 C, passando dall’unit` Kelvin ai gradi centigradi (Celsius) a mentre scrivere T = 50 senza alcuna unit` ` un’espressione priva di significato. Le quanae tit` caratterizzate da un unico numero seguito da unit` di misura prendono il nome di a a scalari: il valore della resistenza elettrica di un conduttore, la viscosit` cinematica di un a fluido o la densit` di un solido sono tutte grandezze scalari. a Ci sono altre quantit` per le quali un solo valore (con unit` di misura) non ` sufficiente a a e a caratterizzare la grandezza. Se per esempio si dice che una persona, partendo da un punto prefissato, si ` spostata di 5 metri non ` possibile dire dove ` finita la persona a e e e meno di specificare anche, la retta lungo cui ` avvenuto lo spostamento, ossia la direzione, e ed il senso di percorrenza della retta, il verso. In uno spazio a tre dimensioni, definire tutte queste informazioni richiede l’assegnazione di 3 quantit` scalari, tutte seguite da a unit` di misura, che, nell’esempio in oggetto, sono tre spostamenti lungo tre direzioni a prefissate. Riferendoci alla figura 1a, le direzioni sono definite da tre assi mutuamente ortogonali (x, y, z) mentre i versi e le unit` di misura sono dati da tre segmenti orientati su ognuno a degli assi (versori) che definiscono gli spostamenti unitari in ogni direzione. In questo ˆ ˆ ˆ contesto si pu` scrivere s = sx x + sy y + sz z oppure s = (sx , sy , sz ) con sx = 1 m, sy = sz = o √ 2 m, caratterizzando cos` completamente lo spostamento di 5 metri precedentemente ı introdotto. Anche in questo caso ` utile precisare che lo spostamento in quanto tale non e dipende n` dal sistema di riferimento n` dalle unit` di misura mentre i tre numeri sx , sy ed e e a 5 6 CAPITOLO 0. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI a) z b) z n s s ^ z ^ x x sx sz ^ y sy y k θ xk x ^ k ^ n ^ m m y Figura 1: Vettore s e sue componenti in due sistemi di riferimento. sz dipendono da entrambi. Per esempio, usando lo stesso sistema di riferimento di figura 1 ma passando dai metri ai pollici (inches) risulterebbe sx = 39.37 in, sy = sz = 55.67 in. Al contrario se si continuasse ad usare i metri ma si descrivesse lo spostamento s nella ˆ ˆ ˆ terna di figura 1b risulterebbe s = sk k + sm m + sn n con sk = sm = 0 m ed sn = 5 m. Come ` evidente dal confronto tra le figure 1a e 1b le due terne di riferimento hanno e l’origine in comune e gli assi formano tra loro degli angoli. Detto cij il coseno dell’angolo che uno degli assi della prima terna (i = x, y, z) forma con uno degli assi della seconda terna (j = k, m, n) da semplici costruzioni geometriche si ricava x = cxk k + cxm m + cxn n ed analoghe per y e z, (1) k = ckx x + cky y + ckz z ed analoghe per m ed n. (2) Se le grandezze sx , sy ed sz nel cambiamento di riferimento si trasformano in sk , sm ed sn (o viceversa) seguendo le relazioni (1), (2) allora lo spostamento s si dice che ` un e vettore e la terna di valori (in tre dimensioni) che lo definiscono in qualunque sistema di riferimento sono le sue componenti. La velocit` di un oggetto in qualunque istante, a l’accelerazione di gravit` o il campo magnetico in un punto sono dei vettori mentre una a terna di numeri contenente l’et` del sottoscritto, la temperatura odierna a Budapest e la a distanza media terra–luna non ` evidentemente un vettore in quanto cambiando sistema e di riferimento non si trasforma secondo le leggi (1), (2). Ritornando sulla figura 1 ` evidente che il concetto di sistema di riferimento ` alla base e e della definizione di vettore e non c’` alcun obbligo nello scegliere uguali le unit` di misura e a lungo gli assi, i versori mutuamente ortogonali o il loro orientamento costante nello spazio. In linea di principio, infatti, qualunque terna di funzioni vettoriali funzioni dello spazio che non risultino in alcun punto complanari pu` essere utilizzata come sistema di riferimento o 0.1. SCALARI, VETTORI E TENSORI 7 in uno spazio tridimensionale. Ci sono infatti casi in cui risulta impossibile scegliere dei versori il cui orientamento si mantenga costante (si pensi alle coordinate cilindriche o sferiche) oppure situazioni in cui le unit` di misura sono diverse a seconda della direzione a (nel caso delle traiettorie dei velivoli in cui gli spostementi lungo la superficie terrestre vengono misurate in kilometri mentre le variazioni di quota in metri). Se tuttavia si usano le stesse unit` di misura per i tre assi ed i versori, mutuamente ortogonali, mantengono il a loro orientamento costante nello spazio, allora si parla di sistema di riferimento Cartesiano e molti argomenti possono essere introdotti in maniera notevolmente semplificata. Poich´ e lo scopo di questi appunti ` solo quello fornire qualche rudimento da questo punto in poi e limiteremo la discussione ai sistemi di riferimento Cartesiani ed a quantit` ivi definite; si a rammenti per` che tale scelta oltre a non essere l’unica possibile in qualche caso non ` o e nemmeno la pi` naturale n` la pi` conveniente. u e u F n S S n F n S F Figura 2: Varie configurazioni di forza applicata alla stessa superficie con diversi orientamenti Dopo aver introdotto le grandezze scalari ed i vettori osserviamo che esistono delle quantit` che necessitano di maggiori informazioni dei vettori per poter essere caratteriza zate. Si pensi allo stato di sforzo nell’intorno di un punto: poich´ uno sforzo ` una forza e e (quantit` vettoriale) divisa per una superficie, saremmo tentati di pensare che una volta a assegnato il vettore forza e l’area della superficie anche lo sforzo ` definito. Dagli schemi di e figura 2, tuttavia, ` evidente che con la stessa forza e la stessa area si possono immaginare e infinite situazioni differenti a seconda dell’orientamento relativo tra la forza e la normale alla superficie. Contemplando tutte le possibili combinazioni tra le componenti della normale alla superficie (3) e le componenti della forza (3) si conclude che lo stato di sforzo ` caratterizzato da nove quantit` che sono le sue componenti (in tre dimensioni). Anche e a in questo caso vale l’osservazione che lo sforzo in quanto entit` fisica va distinto dalle sue a componenti che assumono significato solo nell’ambito di un sistema di unit` di misura a ed una terna di riferimento. Le singole componenti dello sforzo possono essere indicate da un simbolo seguito da due pedici (per esempio il primo riferito alla componente delle forza ed il secondo alla normale alla superficie su cui agisce) Tij , i, j = x, y, z e possono quindi essere raccolte, in tre dimensioni, in una matrice 3 × 3. Analogamente ai vettori le 8 CAPITOLO 0. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI singole componenti si devono trasformare sotto un cambiamento di riferimento seguendo regole del tipo ∗ Txy = cxi cyj Tij i, j = k, m, n ed analoghe per le altre componenti (3) ∗ Tkm = cik cjm Tij i, j = x, y, z ed analoghe per le altre componenti (4) ∗ in cui Tij e Tij sono, rispettivamente, le componenti dello sforzo nei sistemi x, y, z e k, m, n. Tutte le grandezze con propriet` analoghe a quelle dello sforzo le cui componenti a si modificano in un cambiamento di riferimento secondo le relazioni (3), (4) vengono detti tensori del secondo ordine. Ci` implica che una qualunque matrice 3 × 3 in generale non o sar` un tensore a meno che non soddisfi le relazioni (3), (4). a Un modo alternativo per pensare alla definizione di tensore ` riconsiderare la definizioe ne di sforzo come una forza divisa per una superficie ed associare alla superficie un vettore S diretto come la sua normale. Si sarebbe quindi tentati di calcolare il tensore degli sforzi T come T = f /S; purtroppo in algebra vettoriale l’operazione di divisione tra due vettori non ` definita e quindi l’espressione T = f /S ` priva di significato. Tuttavia a livello di e e schema mentale si pu` immaginare che i tensori del secondo ordine siano quantit` definite o a proprio per risolvere l’ambiguit` introdotta dall’operazione di divisione tra due vettori. a L’operatore ∇, detto nabla, riveste un’importanza particolare nell’algebra dei vettori e dei tensori in quanto pu` essere ‘applicato’ ad entrambi (oltre che agli scalari) elevandone o o diminuendone l’ordine tensoriale generando cos` vettori da scalari, tensori da vettori e ı viceversa. 0.1.1 Divergenza Dato un vettore s di componenti (sx , sy , sz ) la divergenza di tale vettore si indica con ∇ · s e d` come risultato una quantit` scalare definita come a a ∇·s= ∂sx ∂sy ∂sz + + . ∂x ∂y ∂z (5) In modo analogo si pu` calcolare la divergenza di un tensore T il cui risultato sar` un o a vettore di componenti ∇·T= ∂Txx ∂Txy ∂Txz ∂Tyx ∂Tyy ∂Tyz ∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz . + + , + + , + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z (6) Da questi esempi si pu` notare come l’operatore divergenza diminuisca di un’unit` o a l’ordine tensoriale della quantit` a cui viene applicato per cui restituisce uno scalare se a applicato ad un vettore ed un vettore se applicato ad un tensore del secondo ordine. 0.1. SCALARI, VETTORI E TENSORI 9 0.1.2 Gradiente Consideriamo ora uno scalare p che sia funzione dello spazio; le variazioni di p lungo le 3 direzioni ortogonali saranno date dal vetttore ∇p = ∂p ∂p ∂p x+ ˆ y + z, ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z (7) che costituisce il gradiente di p. a Se applichiamo il gradiente ad un vettore s = (sx , sy , sz ) otteniamo una quantit` con 9 termini ∂s ∂s ∂s ∇s = x ∂x ∂sy ∂x ∂sz ∂x ∂y ∂sy ∂y ∂sz ∂y x ∂z ∂sy ∂z ∂sz ∂z x (8) che ha le propriet` di un tensore. Di nuovo da questi esempi concludiamo che l’applia cazione del gradiente ad una grandezza restituisce una quantit` con un ordine tensoriale a aumentato di una unit`. a 0.1.3 Rotore Un ulteriore modo per ‘applicare’ l’operatore nabla ` moltiplicarlo vettorialmente con un e vettore. Il risultato sar` anch’esso un vettore definito nel seguente modo: a ∇×s= ∂sz ∂sy ∂sx ∂sz ∂sy ∂sx − , − , − . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (9) Tale operazione prende il nome di rotore ed il risultato, essendo un vettore, ha lo stesso ordine tensoriale dell’elemento su cui agisce. 0.1.4 Due importanti teoremi Il maggior vantaggio nell’introduzione di vettori e tensori (e di tutti gli operatori ad essi applicabili) ` di rendere le relazioni tra grandezze del tutto indipendenti dal sistema di e riferimento e quindi molto pi` maneggevoli e generali. Ci` apparir` chiaramente quando u o a verranno introdotte le equazioni di conservazione e di bilancio per un fluido oppure quando se ne vogliano scrivere le relazioni ottenute in un particolare sistema di riferimento.Nella derivazione delle equazioni mesionate si ricorre a due teoremi che vengono qui brevemente ricordati. Sia V un determinato volume e sia S la superficie che lo delimita con n la normale uscente dalla superficie e definita in ogni punto di essa. Se a ` un vettore o un e e tensore si definisce flusso di a su S la quantit` S a · ndS. Se la superficie ` regolare (o a pu` essere decomposta in un numero finito di superfici regolari) e se a ` differenziabile o e con derivate continue allora risulta V ∇ · adV = S a · ndS. (10) La relazione (11) ` detta teoe e rema di Stokes o teorema della circuitazione (o teorema della circolazione. . CONSIDERAZIONI PRELIMINARI Questa relazione ` molto utilizzata per trasformare integrali di volume in integrali di e superficie o viceversa quando ci` possa semplificare la trattazione. (11) in cui dl ` l‘elemento di C orientato nel verso positivo.10 CAPITOLO 0. Se di nuovo S ` regolare (o pu` essere e o decomposta in un numero finito di superfici regolari) e se a ` un vettore differenziabile e con derivate continue su S allora vale la seguente relazione S (∇ × a) · ndS = C a · dl. Sia ora S una superficie delimitata da un contorno chiuso C e sia C orientato in modo tale che percorrendolo nel verso positivo si abbia sempre S a sinistra. in ambito fluidodinamico) e viene usato per trasformare degli integrali di superficie in integrali di linea. Sia inoltre n la normale alla superficie e sia diretta dalla parte dell’osservatore che percorrendo C in verso positivo la vede puntare dalla sua parte. L’espressione (10) va o sotto il nome di teorema della divergenza o teorema di Green o di Gauss o di Ostrogradsky (o di qualche combinazione di questi nomi presi a coppie) e pu` anche essere applicato ad o una funzione scalare f nella forma V ∇f dV = S f ndS. In tale situazione gli atomi vibrano con oscillazioni di piccola ampiezza senza tuttavia modificare la struttura del legame. mentre un blocco di marmo o un cubo di acciaio non lo sono.1: Disegno schematico della struttura di solidi a). 11 .2).1b) gli atomi o molecole non hanno una posizione definita e si muovono di un moto casuale (agitazione termica) variando in continuazione direzione a causa degli urti tra le varie molecole. a) b) c) Figura 1. Ci` giustifica la grande facilit` o a che hanno i gas di cambiare volume quando viene variato lo spazio a loro disposizione. Sebbene a livello euristico ognuno di noi intuisce che acqua ed aria sono dei fluidi. e liquidi c).1 definizione di fluido La fluidodinamica ` quella branca della meccanica del continuo che studia la dinamica e dei fluidi. gas b). la definizione di fluido non ` un concetto ben definito in quanto si basa pi` sulla risposta del materiale e u alle sollecitazioni esterne piuttosto che sulla struttura della materia. La distanza media percorsa tra un urto ed il successivo ` detta libero cammino medio (λ) e nei gas questa distanza ` molto pi` grande e e u della distanza d di equilibrio tra forze attrattive e repulsive. Per vie molto generali si possono schematizzare i solidi come dei materiali in cui gli atomi o le molecole occupano delle posizioni ben definite (figura 1.1a) e vengono mantenuti in tali posizioni da forze che divengono fortemente repulsive appena la distanza tende a diminuire ed attrattive quando aumenta (figura 1. Al contrario nei gas (figura 1.Capitolo 1 Generalit` sui fluidi a 1. Un liquido. GENERALITA SUI FLUIDI forza (repulsione) distanza d (attrazione) Figura 1. si pu` pensare come ad un sacchetto di plastica pieno di biglie. se invece si prova a o comprimere l’involucro si ottengono variazioni di volume praticamente nulle 1 .12 ` CAPITOLO 1. Un semplice modello di gas si potrebbe realizzare con una ventola che tiene in costante agitazione delle palline di polistirolo all’interno di un sacchetto di plastica. esistono sostanze dette solidi amorfi (come il vetro) che pur avendo una struttura simile ad un liquido hanno tutte le caratteristiche esterne dei solidi. Per fare degli esempi tangibili. I liquidi hanno una struttura intermedia tra i solidi ed i gas in quanto sono formati da molecole la cui distanza reciproca ` mediamente dell’ordine di d ma non sono vincolate e a mantenere una posizione fissa (figura 1. Analogamente esistono delle sostanze che si comportano come dei solidi fino ad un certo valore della sollecitazione esterna e come dei fluidi per sollecitazioni oltre il valore di soglia (fluidi di Bingham). Se si varia il volume del sacchetto. applicando delle o sollecitazioni tangenziali si pu` deformare il sacchetto a piacimento. le palline tendono comunque a vagare all’interno dell’intero volume messo a disposizione mentre applicando delle forze esterne ` possibile variare tanto il volume quanto la forma dell’involucro.2: Diagramma indicativo delle forze tra molecole al variare della loro distanza. Da questa struttura ne consegue che un liquido varia la propria forma con estrema facilit` mentre per avere variazioni di volume a servono sollecitazioni esterne estremamente elevate. Abbiamo cos` visto come gas e liquidi siano accomunati dalla caratteı Questa descrizione vuole avere uno scopo puramente introduttivo ed ` ben lungi dal dare una visione e completa della struttura della materia. Infatti. Finora abbiamo descritto alcune propriet` dei materiali guardando alla loro struttura a microscopica. cercando cio` di dedurre le loro propriet` in base alla disposizione dei loro e a atomi o molecole. 1 . applicando delle forze esterne si possono far variare le distanze relative tra le sferette ma al cessare delle sollecitazioni la disposizione iniziale viene ristabilita. si pu` pensare ad una particella di un solido come a o delle sferette collegare tra loro tramite molle molto rigide. Infine le caratteristiche di un materiale dipendono dalle condizioni esterne di pressione e temperatura e spesso in prossimit` delle a transizioni da un stato all’altro si hanno dei materiali ambigui con caratteristiche contemporanee di solidi e liquidi o liquidi e gas. e infine.1c). d’altra parte una mole di gas contiene un numero di e molecole pari al numero di Avogadro n 6. Nella regione I si hanno variazioni discontinue della grandezza misurata dovute alla insufficienza statistica dei campioni contenuti nel volume di misura. un fluido resiste solo agli sforzi normali. in quanto prescindono dalla struttura intima del materiale ma considerano solo la sua risposta ad azioni esterne. se infatti si misurasse la temperatura o la pressione in un volume di misura cos` piccolo da contenere 12. 1.5 · 1016 mentre in un µm3 (ossia in un cubo di un millesimo di millimetro di lato) ce ne sono circa 2.2 concetto di continuo Come abbiamo visto in precedenza la definizione di fluido implica la reazione macroscopica di un materiale a delle azioni esterne e richiede quindi la valutazione di quantit` su a scala estremamente pi` grande rispetto a quella molecolare. in condizioni di quiete. In altre parole.3 dove si possono osservare tre regioni distinte. Nella regione II si ha invece un valore stabile di q in quanto il volume di misura contiene un numero elevato di atomi o molecole (> O(106 )) e quindi la media di q risulta indipendente dall’estensione del volume stesso. Nell’ultima parte del grafico. Si consideri una qualunque grandezza q (pressione. etc.02 · 1023 da cui si deduce facilmente che in un volume di un dm3 ci sono 2. Bisogna notare come queste definizioni siano di tipo fenomenologico. 57 o 200 molecole.) e si valuti la sua dipendenza dall’estensione a del volume sul quale viene misurata.4 litri. In generale si otterr` un andamento come quello in a figura 1. Rimane quindi da stabilire quanto piccolo si pu` assumere un elemento in modo da mano tenere valide le ipotesi di continuo per capire se i fenomeni che avvengono comunemente possono essere studiati utilizzando questa assunzione oppure se si deve considerare la dinamica delle singole molecole. a Abbiamo cos` stabilito che per poter parlare di continuo. ci` conduce in modo naturale u o alla definizione del concetto di continuo. CONCETTO DI CONTINUO 13 ristica di cambiare facilmente forma quando sono soggetti ad un’azione esterna di taglio. in un mm3 ce ne sono 2. bisogna avere all’interno del ı proprio volume di misura un numero sufficientemente elevato di atomi o molecole in modo da avere delle medie indipendenti dal numero di elementi contenuti nel volume stesso.5 · 107 . l’ipotesi di continuo sia ampiamente soddisfatta potendo cos` parlare di propriet` del fluido senza considerare le caratteristiche delle singole moleı a cole appartenenti alla particella fluida.1. infine (regione III) si hanno nuovamente delle variazioni di q questa volta per` legate al fatto che o le quantit` sono delle funzioni dello spazio ed il loro valore varia quindi da punto a punto. ci fa anche capire . si pu` valutare il volume o occupato da una mole di gas in condizioni normali (temperatura T = 15o C e pressione p = 1atm) che ` di circa 22. la media di q risulteı rebbe fortemente dipendente dal numero di campioni e quindi dall’estensione del volume stesso. In base a questa propriet` definiremo fluido come un materiale in grado di deformarsi a indefinitamente quando sottoposto ad una sollecitazione tangenziale esterna ed al cessare di tale azione non recupera la sua forma iniziale. energia. tuttavia. temperatura velocit`. Questo semplice esempio numerico ci fa capire come nella pressoch´ totalit` dei flussi e a incontrati nella vita quotidiana. L’esempio precedente.2. Per fare una stima di massima.5 · 1022 molecole. Se per esempio ci si trovasse in un ambiente con una pressione di 10−5 atm alla temperatura di T = 0o C un volume di un mm3 conterrebbe ‘solo’ 4. si espande e diminuisce di densit`. Mentre nei gas si possono ottenere variazioni considerevoli di densit` cambiando a pressione o temperatura. In tale situazione si u trova sicuramente la navetta spaziale ‘space shuttle’ quando orbita alla quota di 100km intorno alla terra. se quindi il riscaldamento avviene su una a . come la validit` o meno dell’ipotesi di continuo dipenda fortemente dalle condizioni estera ne di pressione. Per poter utilizzare l’ipotesi di continuo deve risultare Kn −→ 0 dovendo cio` risultare le dimensioni macroscopiche del flusso e incomparabilmente pi` grandi della scala di lunghezza delle collisioni intermolecolari. Tralasciando tuttavia questi casi molto particolari possiamo affermare che la fluidodinamica tratti essenzialmente dei modelli continui e nello specifico noi ci limiteremo alla trattazione di questi ultimi. infatti.3 densit` ed espansione termica a La densit` di un fluido misura la quantit` di massa contenuta nell’unit` di volume e viene a a a generalmente indicata con il simbolo ρ. Un fluido riscaldato. L’indice di rarefazione di un gas viene misurato dal numero di Knudsen Kn definito come il rapporto tra il libero cammino medio λ delle molecole e la dimensione L dell’oggetto intorno a cui si considera il flusso. nei liquidi queste sono normalmente di entit` modesta anche se a in entrambi i casi i loro effetti sono di straordinaria importanza. 1. GENERALITA SUI FLUIDI q I II III volume Figura 1. La sua unit` di misura nel Sistema Internazionale a (SI) ` Kg/m3 ed il valore dipende sia dalle condizioni esterne di temperatura che da quelle e pressione.3: Variazione del valore misurato di una grandezza q in relazione alle dimensioni del volume di misura.14 ` CAPITOLO 1.08 · 106 molecole ponendo in dubbio l’ipotesi di continuo per dimensioni pi` piccole. Al u contrario per Kn ≥ 1 le due lunghezze sono comparabili ed in queste condizioni si parla di ‘gas rarefatti’ per i quali bisogna ricorrere a schematizzazioni differenti. 3. DENSITA ED ESPANSIONE TERMICA 15 porzione limitata di fluido.3 3 1.1 ρaria 0.10-3 2 T ( C) Figura 1. Questo comportamento ` infatti responsabile a della sopravvivenza delle forme di vita in acqua. nella figura a a sinistra ` riportato uno zoom dell’anomalia di variazione per l’acqua.4: Variazione della densit` con la temperatura per aria ed acqua.4 non c’` modo per acqua pi` fredda di prendere il suo posto. e In figura 1. in quanto non permette ad acqua di u temperatura inferiore a T = 4o C di occupare gli strati pi` profondi. per piccole variazioni di temperatura si pu` approssimare la curva con una relazione o del tipo ρ − ρ0 ∆ρ = α(T − T0 ). α ` generalmente negativo (densit` decrescente per temperatura crescente) ma di e a particolare rilevanza risulta l’anomalia dell’acqua che la porta ad avere la sua massima e densit` alla temperatura di T = 4o C. (1. Se supponessimo al contrario che l’acqua si comportasse come l’aria (e come la pressoch´ totalit` dei fluidi) e a allora la densit` diminuirebbe in modo monotono con la temperatura e l’acqua pi` fredda a u si disporrebbe al di sotto di quella pi` calda.4 ` riportata la variazione di densit` per aria ed acqua. oppure = α∆T. Appare chiaro che le variazioni sono di natura non lineare anche se.` 1.999 ρH O . Questo fenomeno ` la causa dei moti atmosferici ed oceanici e viene a e utilizzato in innumerevoli applicazioni pratiche. e u garantendo cos` la sopravvivenza di flora e fauna. questo avr` una densit` minore dell’ambiente circostante e a a tender` a salire.2 1. ı o 60 80 100 . in funzione della temperaura dove si nota che in entrambi i casi la densit` a diminuisce al crescere T . alla pressione di e a una atmosfera. Al contrario sul fondo degli oceani e dei u laghi alpini l’acqua si trova costantemente alla temperatura di T = 4o C ed in base al diagramma di figura 1.1) ρ0 ρ0 in cui ρ0 ` il valore della densit` alla temperatura T0 e ρ0 α ` la pendenza locale della e a e curva.9995 0.10-3 2 0 4 8 12 1 0.9 0 20 40 ρH O . ρ (Kg/m ) 1 1. ET dove si ` indicato con αp il coefficiente di espansione termica a pressione costante e con ET il modulo di e comprimibilit` del fluido a temperatura costante. (k = 1) allora si avr` E = p mentre per una isentropica p/ργ = const. evidentemente il valore di E rimane indeterminato fino a quando non si specifica la natura della trasformazione che lega p a ρ (o a V ). da cui la considerazione dei liquidi come incomprimibili. Nel caso in cui il fluido in esame sia un gas che rispetta a la legge di stato dei gas perfetti si avr`. Se per esempio si considera la politropica p/ρk = const. αp = −1/T ed ET = p da cui si ottiene a dρ dT dp =− + . E = 2. . ∂p T =const. GENERALITA SUI FLUIDI 1. dV /V (1. ossia dV negativi. Ricordando che la massa m ` data dal prodotto di densit` per a e a volume e differenziando logaritmicamente la relazione m = ρV si ottiene dV /V = −dρ/ρ da cui di ottiene dp . Per quanto riguarda i gas. Supponendo di avere inizialmente un fluido che occupa un volume V si avr` che dopo aver a applicato una differenza di pressione dp il volume iniziale sar` variato di una quantit` dV a a da cui si pu` definire il modulo di comprimibilit` come o a E=− dp . Volendo mettere insieme i risultati di questa sezione e della precendente per le variazioni di densit` a si pu` scrivere o ∂ρ ∂ρ ρ dT + dp = ραp dT + dp. E = 1.3 · 109 Pa per la benzina) indicando che per variazioni di pressione limitate si hanno variazioni di volume praticamente trascurabili.2) le cui unit` di misura sono le stesse della pressione (Pa) ed il segno negativo tiene in a conto il fatto che per variazioni di pressione positive si hanno diminuzioni di volume.3) E= dρ/ρ Nel caso dei liquidi E assume dei valori estremamente elevati.4 comprimibilit` di un fluido a Un’importante propriet` di un fluido ` la sua comprimibilit`. In alcuni casi viene usato l’inverso di E che ` chiamato coefficiente di e comprimibilit` β = 1/E. ρ T p (1.85 · 1010 Pa per il mercurio.15 · 109 Pa per l’acqua. (1.4) Dalla relazione di sopra si vede che se per esempio la trasformazione ` isoterma p/ρ = e const. (1.5) dρ = ∂T p=const. (E = 2. ossia quanto facilmente a e a varia percentualmente il proprio volume conseguentemente a variazioni di pressione. (k = γ = a Cp /Cv rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante) risulta E = γp 2 .6) 2 come si sarebbe potuto ottenere direttamente per differenziazione logaritmica della legge di stato dei gas perfetti. (1. dp = kp. dρ/ρ da cui E = kp.16 ` CAPITOLO 1. si ha: ρk dp − kpdρρk−1 = 0. Per la velocit` di deformazione a 3 angolare si pu` scrivere γ = lim∆t→0 ∆γ/∆t = U/b = dU/dy . a Soluzione Dalla definizione di modulo di comprimibilit` a E=− si ottiene per integrazione dV dp =− V E =⇒ log ∆p Vf =− . Le relazione che lega linearmente la velocit` di deformazione con gli sforzi a ` caratteristica di una classe di fluidi detti ‘fluidi newtoniani’. o ˙ Se effettuassimo un numero elevato di questi esperimenti con diversi valori di τ scopriremmo che la velocit` di deformazione angolare γ risulta sempre proporzionale allo sforzo a ˙ applicato attraveso una costante µ che dipende solamente dal tipo di fluido considerato e dalla sua temperatura. questo si deformer` con continuit` sotto e a a l’azione dello sforzo costante τ . 3 . La fondatezza di tale assunzione e le ipotesi di validit` a verrano dimostrate rigorosamente in seguito.5. VISCOSITA E SFORZI ESEMPIO Sia dato un fluido di volume iniziale V0 . in un tempo ∆t percorrer` una distanza U ∆t producendo a a una deformazione angolare tg(∆γ) = U ∆t/b ∆γ.85 · 1010 Pa (il fluido ` cio` mercurio). Assumendo che la superficie superiore si muova a con una velocit` costante U . Poich´ stiamo considerando un fluido.7) che permette di calcolare lo sforzo generato internamente ad un fluido nota la sua velocit` a di deformazione. Sebbene la relazione (1. quindi invece di determinare la deformazione dovremo determinare la velocit` di deformazione. Sapendo che dopo aver aumentato la sua pressione di ∆p il suo volume diminuisce della percentuale %V calcolare il suo modulo di comprimibilit`. 1. La particella fluida verr` quindi a sottoposta ad uno sforzo di taglio τ = F/S che la deformer` come mostrato in figura a 1. dy (1. ∆p = 8GPa.` 1.7) e Ci` risulta vero solo se si suppone che una tale configurazione produca una distribuzione lineare di o spostamenti all’interno della particella fluida. Ma risulta Vf /V0 = 1 − %V /100 e quindi E = e e 2. Si potr` cos` scrivere τ = µγ ossia a ı ˙ τ =µ dU .47.5 viscosit` e sforzi a Si consideri una particella fluida inizialmente a forma di parallelepipedo e si applichi su una sua superficie S una forza F diretta come in figura 1. V0 E dp .5a. %V = 24.5b. dV /V 17 essendo Vf il volume finale. 18 S ` CAPITOLO 1. diverse eccezioni al comportamento lineare che rivestono una notevole importanza nella vita quotidiana.5: Schema delle deformazione di una particella fluida.6: Diagramma di sforzo vs shear per vari fluidi newtoniani e non. GENERALITA SUI FLUIDI U∆t y F τ ∆γ b a) b) Figura 1. sia la pi` semplice che si possa immaginare. Una differente classe di fluidi ` costituita da quelli che non danno luogo ad alcuna deformazione e per valori dello sforzo di taglio al di sotto di un certo valore limite (τ0 ) mentre presentano una relazione lineare del tipo τ − τ0 = µγ per τ ≥ τ0 . oil τ (N/m2 ) 3 2 blood Bingham fluid water 1 τ0 0 100 200 300 400 −1 dU/dy (s ) Figura 1.6) permettendo cos` al cuore di pom˙ ı pare. a parit` di portata con minore sforzo. reagisce con sforzi che aumentano meno che linearmente con γ (figura 1. Questi fluidi appartengono alla categoria a “shear–thinning” e sono caratterizzati da un comportamento pressoch´ newtoniano per e bassi valori della velocit` di deformazione (come il sangue che fluisce nell’aorta) mentre a negli altri casi (sangue nei capillari) hanno un comportamento non newtoniano. Ci sono. gli idrocarburi ed il mercurio obbediscono in modo altrettanto fedele alla relazione lineare di sopra. Questi fluidi sono detti di ˙ Bingham (figura 1. Il sangue. Acqua ed aria sono i fluidi pi` u importanti ma anche i vari gas in condizioni non critiche. ad esempio. tuttavia.6) e se si pensa alle dune di sabbia si ha una chiara dimostrazione di . tutti i fluidi di uso pi` comune obbediscono u u abbastanza fedelmente alla relazione appena descritta. tuttavia.5 in cui un elemento di fluido inizialmente a forma di parallelepipedo viene deformato in seguito al moto traslatorio di una superficie superiore con velocit` U (figura a + 1.5. infatti. Tuttavia densit` e viscosit` non sono affatto legate visto che la prima indica la quantit` di a a a massa contenuta nell’unit` di volume mentre la seconda indica la facilit` che ha un fluido a diffondere a a la quantit` di moto. al crescere di questa infatti. A causa del moto di agitazione termica. VISCOSITA E SFORZI 19 questo fenomeno. Seguendo l’esempio precedente appare evidente come il moto caotico delle molecole causi la diffusione di quantit` di moto all’interno di un fluido. le molecole in moto trasferiranno parte della loro quantit` di moto a a quelle statisticamente ferme che a loro volta inizieranno a muoversi (figura 1.7: Trasferimento di quantit` di moto ad istanti successivi tra strati di fluido a inizialmente in quiete. per esempio l’olio ` pi` viscoso dell’acqua ma meno denso come possiamo osservare a e u dal galleggiamento di quest’ultimo sull’acqua. a aumenta il moto caotico di agitazione delle molecole e quindi diventer` pi` efficiente la a u E interessante notare come nel linguaggio quotidiano il concetto di viscosit` venga spesso confuso a con quello di densit`. Questo processo raggiunger` un equilibrio quando si bilancer` l’azione degli strati superiori a a di fluido che tenderanno a far muovere tutto l’elementino con velocit` U e quelli della a superficie inferiore che tendono ad arrestare gli strati fino ad una velocit` U = 0 (figura a 1. La trattazione dei diversi tipi di fluido ` studiato dalla disciplina chiae mata reologia ed esula comunque dallo scopo delle presenti note che hanno un carattere prevalentemente introduttivo. Si sente infatti spesso dire ‘un liquido molto denso’ per indicare una sostanza a viscosa.` 1. Per comprendere in che modo la viscosit` agisce in un fluido. Il meccanismo microscopico che genera la viscosit` giustifica anche il fatto che quea sta quantit` sia fortemente dipendente dalla temperatura. 4` . Se per` cambia la pendenza (per esempio a causa del vento) allora gli strati di o sabbia cominciano a ‘scivolare’ gli uni sugli altri fino a ristabilire valori di τ al di sotto di quello di soglia. agisce la componente tangenziale della forza di gravit` che tuttavia produce uno sforzo minore del τ0 caratteristico di quella particolare a sabbia. sui lati della duna.7).8a). U t0 t1 t2 t3 t4 Figura 1.7) e sono N · s/m2 4 . questa attitudine alla a diffusione viene misurata dalla viscosit` µ le cui dimensioni possono essere facilmente a ricavate dalla relazione (1. Immediatamente dopo l’inizio della traslazione (t = 0 ) solamente le molecole di fluido a contatto con la superficie in moto verranno trascinate con essa mentre gli strati inferiori di fluido permarranno nel loro stato di quiete. riconsideriamo l’esempio a di figura 1.8b). Nei liquidi questo effetto a deve competere con uno opposto. a diffusione secondo quanto precedentemente descritto. Dall’equazione (1. b) evoluzione temporale del profilo di velocit` nell’esempio di figura 1. Un grafico della variazione di µ per aria ed acqua ` riportato in figura 1. Si vedr` nel seguito che ricorrer` spesso la quantit` a a a µ . quando ` ben caldo. che prende il nome di viscosit` cinematica per distinguerla dalla viscosit` dinamica µ. GENERALITA SUI FLUIDI y t0 t1 t2 t3 t4 U y U U a) b) Figura 1. Questo effetto ` molto importante per i gas mentre si pu` generalmente e o trascurare nel caso dei liquidi. se un fluido viene compresso la sua densit` aumenter` e conseguentemente diminuir` la viscosit` a a a a cinematica. La pressione ha generalmente un effetto assai ridotto sulla viscosit` e viene di a solito trascurato. Un esempio quotidiano a di tale fenomeno si osserva quando in cucina si mette dell’olio in una padella. Infatti. si a e comporta ‘come se fosse acqua’. si osserva che l’olio fluisce con maggiore facitit` e.7. non appena si accende la fiamma.8) a le cui dimensioni sono m2 /s. ρ ν= (1. Ci` si osserva a livello macroscoo pico nei gas con una viscosit` che cresce con la temperatura. cio` l’indebolirsi del legame che tiene le molecole vicine.9 dove si pu` e o notare il comportamento opposto al crescere della temperatura caratteristico per gas e liquidi. e All’aumentare dela temperatura si verifica cio` una maggiore mobilit` delle molecole che e a tende a far diminuire la viscosit`. al contrario. Quest’ultimo effetto prevale sul primo con la consea guenza che nei liquidi la viscosit` diminuisce con la temperatura. .8: a) schema di diffusione di quantit` di moto tra due strati di fluido inizialmente a in moto (particelle nere) e fermo (particelle bianche).8) si pu` notare che comparendo la densit` a o a nella definizione di ν quest’ultima ha una dipendenza dalla pressione.20 ` CAPITOLO 1. Inizialmente l’olio si muove con difficolt` aderendo al fondo della padella e fluendo molto lentamena te nonostante si disponga la superficie verticalmente. 2 0. vincolata ad una molla con costante e elastica K. VISCOSITA E SFORZI 2.10 5 µH O .5.9: Variazione della viscosit` con la temperatura per aria ed acqua. . determinare il valore di U .` 1.8 0.86 m/s. a o 100 ESEMPIO Sia dato il flusso d’acqua tra due laste piane e parallele come in figura in cui la parete superiore si muove con velocit` U . Sapendo che il profilo di velocit` tra le a a due lastre ` lineare e che la parete inferiore. viene spostata di una quantit` x. s/m2 ) (N 1.25 cm K = 103 N/m b = 1.10 3 2 60 80 T ( C) Figura 1. Da questa relazione si ricava il valore di U = kxh/(µbl) = 6.3 m b ` la dimensione nella direzione e ortogonale al foglio Soluzione Dalle indicazioni del testo (si vedr` in seguito che questa ` una soluzione esatta a e delle equazioni del moto) si ha che il profilo di velocit` tra le due lastre ` dato a e da: u(y) = U y/h (se y ` la coordinata ortogonale alle due lastre con origine sulla e lastra ferma). a l U h k h = 4 mm l=1m x = 0.4 0 0 20 40 µ air . La risultante delle forze viscose sulla parete inferiore si ottiene integrando lo sforzo di parete τw = µ(∂u/∂y)y=0 = µU/h sulla superficie della parete F = S τw dS = µU bl/h e questa forza deve eguagliare la reazione della molla F = kx.4 2 21 µ 1.6 . ci saranno delle molecole con energia cinetica maggiore che potranno quindi ‘abbandonare’ la particella fluida. GENERALITA SUI FLUIDI 1. Si verifica e infatti che siccome la pressione ambiente diminuisce con la quota.22 ` CAPITOLO 1. Questo fenomeno si traduce nell’osservazione comune che se un recipiente viene parzialmente riempito di liquido e nello spazio rimanente viene fatto il vuoto si osserva la progressiva formazione di vapore. A livello microscopico. questo equilibrio esprime il bilanciamento statistico tra le molecole che lasciano la fase liquida per entrare in quella gassosa e quelle che seguono il percorso inverso. 5 . ossia di molecole di liquido allo stato gassoso. A livello statistico. all’interno di un fluido in moto si producono delle zone di bassa a pressione dove la velocit` ` elevata. il liquido bolle formando delle sacche di gas che quando si richiudono implodono violentemente generando intenso rumore e causando ingenti danni alle strutture. Questo fenomeno ` noto come cavitazione ed ` particolarmente noto ai costruttori e e di turbine che sono costretti alla periodica sostituzione delle palette a causa della loro usura (vedi figure 1. la tensione di vapore dell’acqua bilancia la pressione ambiente a temperature inferiori a T = 100o C (per esempio alla quota di 3000m l’acqua bolle a 90o C) e la pasta cuocendo in acqua a temperatura bassa perde la sua consistenza.6 tensione di vapore Se riconsideriamo per un istante la schematizzazione di liquido data in figura 1. pv pv T t Figura 1. come si vedr` in seguito.11 e 1. Il valore di equilibrio della pressione del vapore viene detto tensione di vapore ed il suo valore sar` a fortemente dipendente dalla temperatura.12). tuttavia. Come ci si aspetta.10: Schema di formazione della fase gassosa al di sopra di un liquido. La tensione a di vapore sar` quindi una funzione crescente della temperatura e quando questa pressione a uguaglia la pressione esterna si verifica l’ebollizione del liquido 5 . Questo fenomeno trova un posto di particolare rilevanza nella tecnologia in quanto. infatti.1c possiamo osservare che le varie molecole pur nel loro moto caotico di agitazione termica sono tenute insieme da delle forze di coesione. Se localmente la pressione scende al di sotto della ae tensione di vapore. a temperature maggiori le molecole saranno animate da un moto di agitazione termica pi` intenso e quindi u un maggior numero avr` energia cinetica sufficiente a lasciare la fase liquida.10). fino al raggiungimento di una condizione di equilibrio (figura 1. Questo ` il motivo per cui in alta montagna non si riesce a cucinare la pasta al dente. ci` implica che.11: Visualizzazione della formazione di zone di cavitazione nel flusso intorno ad un’elica per propulsione navale in acqua.7 tensione superficiale Nella sezione 1.7.12: Usura della superficie di pala di un’elica navale prodotta dal fenomeno della cavitazione. Figura 1.1 abbiamo visto che nei liquidi ci sono delle forze coesive che tendono a mantenere le molecole a ‘contatto’ tra loro. 1.1. TENSIONE SUPERFICIALE 23 Figura 1. al contrario dei gas che si o . GENERALITA SUI FLUIDI espandono fino ad occupare l’intero volume messo a loro disposizione.13a). Viceversa se si prova a spostare una molecola all’interfaccia ulteriormente al di fuori della particella fluida le forze coesive si opporrano generando una tensione allo stesso modo di una membrana elastica. e u la forza peso si pu` trascurare e le superfici sono effettivamente delle sfere. ` E bene osservare che le forze coesive tra molecole sono presenti in tutti i punti del fluido. il fluido e a ` sottoposto anche all’azione della gravit` che tende a deformare la superficie. tuttavia. nel primo caso. oppure quando si dispone del mercurio su un piano.13b). sia all’interno che all’interfaccia.24 ` CAPITOLO 1. a) b) Figura 1. al contrario. tuttavia queste avranno risultante nulla in quanto si bilanceranno tra loro (figura 1. Comunque per goccie e a particolarmente piccole. La presenza di questa ‘pellicola’ pu` essere evidenziata osservando alcuni insetti in grado di o camminare sulla superficie degli stagni come se si muovessero su una membrana elastica. in prossimit` di un’interfaccia tra un liquido ed un gas o a tra liquidi immiscibili. le forze intermolecolari non sono bilanciate in tutte le direzioni e generano un sistema di tensioni che ha lo stesso effetto di una ‘pellicola superficiale’.13: Forze di coesione agenti in un liquido su una molecola interna a) ed ` riportata la configurazione con l’interfaccia e all’interfaccia b). In altre parole. le molecole non sono circondate dallo stesso fluido su ogni lato e la risultante delle forze di coesione ` diversa da zero (figura 1. poich´ le forze di volume tendono a zero pi` rapidamente di quelle superficiali. i liquidi formano degli agglomerati compatti in modo da rendere minima la superficie esposta per un dato volume 6 . Nella realt`. Ci` implica che le molecole all’interno del fluido e o possono muoversi in qualunque direzione senza che le forze coesive oppongano alcuna resistenza. In assenza di perturbazioni esterne questa superficie ` quella sferica. Con la linea deformata. cosa evidentemente impossibile in assenza delle tensioni di suerficie. Questo fenomeno si osserva comunemente quando si formano delle goccie d’acqua su una superficie grassa o sulla carta oleata. Nelle zone di interfaccia. o 6 . Le carateristiche di queste tensioni dipendono dalla natura dei due fluidi a contatto e dalla temperatura (oltre che dal grado di purezza dei fluidi) e possono essere sia di natura attrattiva che repulsiva. dθ r1 r2 σdl2 dθ 2 σdl2 dl1 σ dl 1 dl2 dθ Figura 1. TENSIONE SUPERFICIALE 25 1. . rispettivamente.7. r1 ed r2 . Per mettere in relazione questa differenza di pressione con le caratteristiche geometriche della superficie. che ` il doppio del raggio di curvatura a medio della superficie. nel caso di un’interfaccia non piana. ` e E utile osservare che la quantit` 1/r1 + 1/r2 . induce anche una forza normale e quindi una differenza di pressione tra i fluidi.7. Detta σdl2 la forza ortogonale al lato dl2 si ha che la componente in direzione normale risulta dF2 = σdl2 dθ = σ dl1 dl2 r1 (1. dF1 = σ(dl1 dl2 )/r2 .9) con un’espressione analoga per la forza ortogonale al lato dl1 .1. ottenendo ∆pdl1 dl2 = σdl1 dl2 1 1 + r1 r2 =⇒ ∆p = σ 1 1 + r1 r2 (1.1 ∗ effetto della curvatura della superficie Le azioni di tensione superficiale all’interfaccia tra due fluidi immiscibili genera delle forze tangenti alla superficie stessa che.10) con la pressione maggiore dal lato convesso della superficie. consideriamo lo schema in figura 1.14 in cui viene isolato un elemento di superficie con i lati dl1 e dl2 ortogonali e raggi di curvatura. ` un invariante geometrico indipendente dal sistema di riferimento e scelto e ci` torna intuitivamente con il fatto che la differenza di pressione che si genera alo l’interfaccia tra i due fluidi deve chiaramente essere indipendente dal sistema di riferimento che si sceglie per descrivere il fenomeno. Queste forze sono bilanciate dalla differenza di pressione tra i fluidi.14: Sistema di forze generate dalla tensione superficiale su una superficie curva. GENERALITA SUI FLUIDI La situazione appena illustrata si riferisce ad un’unico fluido circondato da un gas oppure da un fluido circondato unicamente da un altro fluido 7 . l’impatto produce una deformazione della superficie con linee a piccolo raggio di curvatura. Una situazione comune in cui la tensione superficiale ha un ruolo determinante ` e nell’impatto di un corpo con un’interfaccia tra fluid immiscibili.11) σ13 − σ23 = σ12 cos α in cui l’angolo di contatto dipende dai valori delle tensioni superficiali dei materiali a contatto. infatti. Questa ` la situazione che tipicamente si verifica quando sull’interfaccia aria–acqua si e deposita qualche goccia di olio che tende a spandersi uniformemente fino a formare un sottile velo uniforme.15: Sistema di forze generate dalla tensione superficiale nel punto di contatto tra tre mezzi diversi (di cui almeno uno sia un liquido). In questo caso. Se invece | σ13 − σ23 |>| σ12 | l’equazione (1. La configurazione diventa notevolmente pi` complessa nel caso in cui ci siano pi` fluidi a contatto sia con un gas che u u con una superficie solida. Presa come esempio la situazione in figura 1. 7 α σ23 2 In questo caso la tensione superficiale σ ` il valore di un fluido rispetto all’altro. Le particelle fluide.15.17). In queste regioni la tensione superficiale ha un effetto dominante sulle altre forze e tende a generare delle piccole goccie che minimizzano la superficie esposta rispetto al volume di fluido contenuto (figura 1.11) non pu` evidentemente essere soddisfatta per alcun valore di α implicando che non ` o e possibile raggiungere una configurazione di equilibrio come quella riportata in figura 1. Accade quindi che la distanza tra punti diametralmente opposti della superficie del getto diviene tanto piccole da permettere alla tensione superficiale di diventare efficace e rompere la vena continua in molteplici gocce (figura 1. Questo ` lo stesso motivo per cui quando si lascia scendere dal rubinetto un ‘filino’ e d’acqua questo prima o dopo si frantuma in piccole gocce. a causa della forza di gravit` tenderebbero ad aumentare indefinitamente la loro velocit` e a a la vena fluida. dovrebbe diventare infinitamente sottile. σ12 1 σ13 3 Figura 1.16). infatti. per conservare la portata.15 si ha chiaramente che deve risultare (1.26 ` CAPITOLO 1. e . Quando risulta α > π/2 (ossia σ23 > σ13 ) si ha che il fluido 2 non bagna il mezzo 3 (per esempio mercurio su vetro). 7. e . Questa forza. proiettata nella direzione verticale dovr` bilanciare il peso della colonna di fluido a sollevata (o abbassata).18 sono riportati due esempi u e a di comportamento per le interfacce tra aria–acqua–vetro e aria–mercurio–vetro da cui si pu` vedere che non solo i fenomeni di tensione superficiale dipendono dalla natura dei o due fluidi ma anche dalle forze di adesione dei fluidi con il solido. In figura 1. TENSIONE SUPERFICIALE 27 Figura 1. 1.7.12) dove si osservi che h ` la quota media dell’interfaccia.2 capillarit` a Consideriamo infine la combinazione di effetti di tensione superficiale e forza di gravit` il a cui fenomeno pi` noto ` quello della capillarit`.18c.1. ρgR (1.16: Deformazioni della superficie libera e frammentazione conseguente all’impatto di una goccia d’acqua con un’interfaccia acqua/aria. Figura 1. ⇒ h= 2σ cos θ . Se σ esprime il valore della tensione superficiale (in unit` a N/m) la forza totale esercitata dall’interfaccia sar` pari al perimetro della circonferenza a moltiplicata per il valore della tensione ossia 2πRσ orientata come in figura 1. l’interfaccia aria–fluido pu` salire o o scendere rispetto al livello esterno e per il calcolo dell’altezza h si procede semplicemente effettuando un bilancio di forze. risulter` quindi: a 2πRσ cos θ = ρghπR2 . Nell’esempio specifico ` rappresentato un capillare (un tubicino di sezione O(1)mm) in vetro immerso in un e recipiente contenente del fluido. A seconda dei casi.17: Rottura di un getto d’acqua a sezione circdolare di diametro d = 4 mm indotta dalla tensione superficiale. rispettivamente θH2 O 0o e θHg 130o . La determinazione di θ viene effettuata per via sperimentale ed acqua e mercurio sono due prototipi di fluido per i comportamenti precedentemente descritti risultando. aria– mercurio–vetro b). Sa al contrario il fluido non aderisce al capillare allora saranno a le forze di coesione a prevalere su quelle di adesione e l’angolo θ risulter` maggiore di a o 90 . R θ h 2πRσ a) b) ρg π R h Figura 1. GENERALITA SUI FLUIDI Il valore dell’angolo θ ` determinato dal bilancio tra le forze di adesione tra il fluido ed e il capillare e le forze di coesione all’interno delle molecole del fluido. Se un fluido tende a ‘bagnare’ una superficie allora le forze di adesione superano quelle di coesione e l’angolo θ sar` minore di 90o . Bilancio tra forza peso e tensione superficiale c).28 ` CAPITOLO 1. 2 c) .18: Esempi di tensione superficiale all’interfaccia tra aria–acqua–vetro a). 12) avendo posto θ 0 e σ = 7. 29 .34 · 10−2 N/m si ottiene 2σ cos θ R= = 9.7. In tal caso. Tuttavia. Nella realt` il meccanismo che porta la linfa alle foglie ` l’osmosi. volendo attenere una stima di larga massima. si possono assimilare le propriet` a della linfa a quelle dell’acqua ed i vasi linfatici ad un capillare in vetro. TENSIONE SUPERFICIALE ESEMPIO Assumendo che la linfa salga dalle radici alle foglie di un albero per capillarit` a calcolare il raggio dei vasi linfatici (supposti circolari) per un albero di altezza h = 15 m. ρgh Il presente valore (∼ 1µm) risulta estremamente piccolo ed ` poco probabile che e all’interno di un tronco si possa realizzare un condotto. Soluzione Come ` stato detto. privo di imperfezioni del raggio di 1µm per tutta la sua lunghezza.1. i fenomeni di tensione superficiale dipendono sia dal fluido e e dal suo grado di purezza sia dal materiale con il quale viene a contatto.97 · 10−7 m. ricorrendo alla formula (1. in quanto a e evaporando l’acqua attraverso le foglie si creano concentrazioni maggiori di sali in alto che attirano l’acqua dalle radici. GENERALITA SUI FLUIDI .30 ` CAPITOLO 1. 1 pressione in un fluido Volendo determinare la risultante delle forze di pressione su una superficie immersa in un fluido. In tutti questi casi le uniche forze a presenti sono forze di pressione e forze di volume. 31 . Il dimensionamento di una diga.1: Diagramma di corpo libero per un elemento di fluido in quiete.Capitolo 2 Statica dei fluidi Una categoria importante di problemi della fluidodinamica ` costituita da quei fenomeni e in cui il fluido si trova in quiete oppure si muove senza generare degli sforzi di taglio.1). la determinazione della cui risultante ` e lo scopo di questa parte della fluidodinamica. la forma della superficie libera di un liquido in rapida rotazione o il sollevamento in volo di una mongolfiera sono solo alcuni esempi tra molti che incontriamo nella realt` quotidiana. sebbene questa condizione possa sembrare estremamente restrittiva. 2. Consideriamo a tale scopo un fluido in quiete dal quale si tolga un elemento a forma di prisma e si consideri il diagramma di corpo libero per tale elemento (figura 2. la sollecitazione generata in un serbatoio in pressione. ci si render` conto a che riguarda una vasta gamma di problemi pratici. ci si deve porre immediatamente la domanda di come la pressione dipenda dall’orientamento dell’elemento di superficie su cui agisce. p dyds z y x dz pydzdx 2 dx θ ds ρ gdxdydz 2 dy Figura 2. 2.32 CAPITOLO 2. considerando quindi l’equilibrio nella direzione verticale z e nella x si ottiene pz dxdy − pdyds cos θ = ρgdxdydz/2. ∂y (2. D’altra parte. Questo effetto si chiama effetto scala ed ` il motivo e per cui quando si costruisce un aeromodello non basta ridurre in scala tutte le dimensioni ma bisogna anche cambiare la curvatura dei profili alari per avere un giusto bilanciamento tra il peso dell’aeromodello e la forza di sostentamento (portanza) 1 . STATICA DEI FLUIDI Essendo l’elemento di fluido in quiete. In modo simile all’esempio precedente. (2. Ci` implica che al diminuire delle dimensioni di un corpo.2) ossia la pressione in un punto ha lo stesso valore indipendente dal valore dell’angolo θ. . questa affermazione ` e e nota come Legge di Pascal. essendo interessati alla pressione in un punto. px = p. la risultante delle forze applicate dovr` essere a nulla. ∂y 2 ∂y 2 ⇒ − ∂p = ρay .1) da cui osservando che ds sin θ = dz e ds cos θ = dx.2) e si applichi la seconda legge della dinamica F = ma. possiamo far tendere a zero le dimensioni del prisma mantenendone invariata la forma da cui risulta per dx.3) Un altro esempio si ha negli impatti dei corpi. Indicando con p il valore della pressione al centro dell’elemento ed utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor si avr` per le pressioni sulle facce perpendicolari all’asse y a p−∂p/∂y(dy/2) e p+∂p/∂y(dy/2) da cui. detta ρ la densit` del fluido ed ay la componente a dell’accelerazione lungo la direzione y si pu` scrivere l’equilibrio dell’elemento: o p− 1 ∂p dy ∂p dy dxdz − p + dxdz = ρdxdydzay . le forze di volume e di superficie o non diminuiscono nello stesso modo ma le prime perdono sempre pi` importanza mentre u le seconde diventano preponderanti. se cade a terra un cucciolo di elefante o un elefante adulto l’effetto sulla struttura ossea certamente non sar` lo stesso anche se i due animali possono a certamente essere considerati in scala. px dydz = pdyds sin θ.2 distribuzione di pressione in un fluido Dopo aver stabilito che la pressione in un punto agisce in ugual modo in tutte le direzioni bisogna ora capire in che modo la pressione varia all’interno di un fluido in quiete o in moto ma sempre sotto la condizione che non siano presenti degli sforzi tangenziali interni al fluido. si consideri un elemento di fluido a forma di parallelepipedo (figura 2. Questa stima ` generale e si pu` applicare a tutte le forze di superficie e di volume. si ha: pz − p = ρgdz/2 e p = px . Questo esempio ci d` anche lo spunto per riflettere su un’altra questione molto impora tante in fluidodinamica. Indicando con dl l’ordine di grandezza dei lati del prisma si ha e che le forze di pressione sono proporzionali a dl2 mentre la forza peso ` proporzionale a 3 e o dl . (2. Se ora ricordiamo che tanto il valore di θ quanto l’orientamento del prisma sono stati scelti in modo del tutto arbitrario arriviamo alla conclusione di validit` generale che il valore della a pressione in un punto ` indipendente dalla direzione in cui agisce. dy. dz −→ 0 pz = p. .2.2: Equilibrio delle pressioni per un elemento di fluido. y e z sono i versori degli assi.6) che ha validit` generale qualunque siano f ed a. DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO 33 dz p . ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z (2. L’unica restrizione all’applicazione di a questa relazione resta quindi l’assenza di sforzi viscosi all’interno del fluido. L’equilibrio si scriver` in modo del tutto analogo nella direzione x mentre per la a direzione verticale z bisogner` includere tra le forze il peso: a p− ∂p dz ∂p dz dxdy − p + dxdy − ρdxdydzg = ρdxdydzaz . l’equilibrio dell’elemento di fluido z si scrive −∇p + ρf = ρa (2.5) dove x.2. ed indicando con f il vettore contente tutte le densit` ˆ ˆ ˆ a di forze di volume (nell’esempio in questione f = −gˆ).δp dy dxdz δy 2 z p y x dx dy ρ gdxdydz p + δp dy dxdz δy 2 Figura 2. ∂z 2 ∂z 2 (2. ∂z Se ora osserviamo che il gradiente della pressione (in un sistema di coordinate cartesiane) fornisce l’espressione ∇p = ∂p ∂p ∂p x+ ˆ y + z.4) ossia − ∂p − ρg = ρaz . 5 m R = 200 m H=2m (h = 2H/3) Soluzione In un sistema di riferimento solidale con il camion. sul fluido agiranno la forza peso e quella centrifuga per cui. aperto in superficie e con le sponde laterali di altezza H. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Un camion trasporta del liquido che riempie per 2/3 il cassone a forma di parallelepipedo. Se percorre una curva circolare di raggio R alla velocit` costante U . a o U H h l R l = 2. =⇒ z(r) = + C. D’altra parte per il differenziale della pressione si pu` scrivere o dp = ∂p U2 ∂p dz + dr = −ρgdz + ρ dr.34 CAPITOLO 2. La condizione critica si ha quando z(r = l) = H e per conservare la massa deve risultare h1 = 2h − H che risulter` anche il valore di C = z(r = 0). ∂r R z rispettivamente per le componenti verticale e radiale. ∂z − ∂p U2 +ρ = 0.34 m/s. H h1 r O . le equazioni per la statica del fluido saranno: − ∂p − ρg = 0. calcolare la massima a velocit` con cui pu` percorrere la curva prima che fuoriesca il liquido.h pressione risulta per` dp = 0 da cui si ricava per o la superficie libera U2 U 2r dz = . ∂z ∂r R g Essendo la superficie libera una superficie iso. dr Rg Rg La costante C si determina in base al volume iniziale di fluido. preso un sistema d’assi come in figura. Da a ci` si ricava H = U 2 l/(Rg) + 2h − H ossia o U = 2Rg(H − h)/l = 32. le variazioni di densit` con la quota non saa ranno pi` trascurabili e l’integrazione dell’equazione (2.7) deve tenere conto della forma u specifica di ρ(z).10) da cui si vede che la diminuzione di pressione con la quota ` un esponenziale decrescente.3 variazioni di pressione in un fluido in quiete La relazione (2. dz RT da cui si ottiene per integrazione log g p(z) =− z.2. Un caso semplice ` costituito da uno strato di gas che obbedisca ale l’equazione di stato dei gas perfetti e che sia isotermo risultando cos` ρ = p/(RT ) con ı il fattore 1/(RT ) costante in z e dipendente solo dalla temperatura e dal gas specifico considerato.6) z dp = −ρg.6) permette. prendendo dei ∆z costanti si ottengono dei decreo menti di pressione sempre pi` piccoli. (2. Nel caso dei liquidi a abbiamo visto che il modulo di comprimibilit` ha valori estremamente elevati (O[GPa]) a e la variazione di densit` pu` essere sicuramente trascurata ottenendo cos` a o ı p(z) = p(0) − ρgz.3. Se invece dei liquidi consideriamo i gas.7) fornisce gp dp =− . g ⇒ dp g =− dz. p(0) RT ⇒ p(z) = p(0)e− RT z . (2.9) (2.8) in cui p(0) ` il valore della pressione alla quota z = 0 scelta come riferimento. questo effetto si pu` comprendere intuitivamente u o osservando che gli strati inferiori dell’atmosfera sono compressi dal peso degli strati superiori e questo peso diminuisce con z per due fattori ı) lo spessore di fluido ` minore ıı) il e fluido ha una densit` sempre minore perch´ meno compresso. Questo fatto dovrebbe essere ben noto a tutti quelli che fanno immersioni in quanto il continuo aumento di pressione con la profondit` costringe a frequenti compensazioni tra a la pressione interna dell’orecchio e quella esterna che agisce sul timpano durante la fase di immersione.8) ci dice che ogni 10 metri di profondit` (z = −10m) si ha una variazione di pressione ∆p = 98000Pa ossia circa un’atmosfera. sostituita nella (2. a e ` E comunque importante notare che dato il basso valore di densit` dei gas. come caso particolare. le variazioni a di pressione dovute al peso proprio diventano importanti solo per variazioni di quota .7) dz Evidentemente l’integrazione di questa relazione fornisce risultati differenti a seconda che la densit` si possa considerare indipendente o meno dalla coordinata z. e Ci` implica che pur salendo in quota. p RT (2. di determinare la variazione di pressione con la quota per un fluido soggetto solamente al peso proprio. Nel caso e a dell’acqua (ρ = 1000Kg/m3 ) la relazione (2. VARIAZIONI DI PRESSIONE IN UN FLUIDO IN QUIETE 35 2. Questa relazione. In questo caso risulter` a a = 0 ed orientando l’asse z nella stessa direzione ma verso opposto rispetto alla gravit` a f = −gˆ si ottiene dalla (2. per o esempio applicare la relazione (2. meteorologia e geofisica.15K (15o C) ed una pressione di p(0) = 101330Pa.10) all’aria a temperatura ambiente osservando che per una variazione di quota di z = 50m si ha una variazione relativa di pressione di solo lo 0.4 atmosfera standard Tra i problemi di determinazione di variazioni di pressione con la quota.0065K/m (ossia 6. 2 . (2. Queste condizioni di riferimento sono state fissate mediando i valori in un anno di tutto il globo alla latitudine 40o nord il che fornisce una temperatura al suolo di T (0) = 288.3: Distribuzione della temperatura con la quota nell’atmosfera. quello dell’atmosfera riveste una particolare rilevanza pratica a causa di tutte le applicazioni di trasporto aereo.11) Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti si possono quindi mettere in relazione p e ρ con la quota Se ci limitiamo solamente a considerare la pressione al suolo.36 CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI dell’ordine delle centinaia o migliaia di metri. possiamo gi` notare che questa varia a con la latitudine e con le condizioni meteorologiche di ‘alta’ o ‘bassa pressione’ risultando cos` funzione ı del tempo oltre che dello spazio. z (Km) 100 80 60 40 ionosfera mesopausa mesosfera stratopausa stratosfera 20 tropopausa troposfera 0 158 208 278 T (K) Figura 2. Per le variazioni di temperatura con la quota ` stato provato che nella zona compresa tra 0 ed 11000m (troposfera) si ha una diminuzione e lineare di temperatura con gradiente costante pari a τ = 0. Per provare questa asserzione si pu`.59%. 2. Purtroppo le cause che determinano le variazioni di preso sione nell’atmosfera sono molteplici e complesse 2 e ci` ha reso necessaria la definizione di valori standard applicabili ovunque ed in qualunque momento dell’anno in modo da avere dei valori di riferimento.5 gradi ogni Km di quota) da cui si ottiene T (z) = T (0) − τ z. a 2. isolato l’elemento d’area dS. dz R(T (0) − τ z) dp g dz =− . A quote ancora superiori si entra nella u mesosfera dove si osserva una nuova diminuzione di temperatura fino alla quota di 80Km. nel a e caso generale. ρ p = R(T (0) − τ z). Si consideri allo scopo una superficie S (figura 2. (2. Al di sopra della troposfera c’` uno strato dello spessore di circa 2Km caratterizzato e da un gradiente termico di circa 0. ρ p .12) che sostituita nella (2.4) e. in questa regione.7) diventa pg dp =− . Per la forza totale si avr` a semplicemente: (2. il valore estremamente basso di densit` e la ionizzazione dei gas presenti a (a causa della radiazione solare) non permette pi` di utilizzare l’ipotesi di continuo e non u verr` quindi descritta in questa sede.14 e 2. FORZE DI PRESSIONE p = RT. Per quote ancora e superiori e fino a circa 50Km c’` invece la stratosfera caratterizzata da temperatura che e inizialmente ` pressoch´ costante (fino a circa 20Km) mentre successivamente aumenta e e dapprima lievemente e poi in modo pi` marcato. p R T (0) − τ z p(z) = p(0) T (0) − τ z T (0) .002K/m che ` detto tropopausa.15) S Bisogna notare che sebbene dal punto di vista teorico la soluzione di questo problema sia elementare e si risolva utilizzando elementi classici della teoria dei vettori. si calcoli la forza elementare agente su tale superficie dF = −pndS dove n ` la nore male orientata dal lato in cui il fluido ‘bagna’ la superficie. tuttavia.13) Infine.15) ` alquanto limitata e. dalle funzioni T (z) e p(z) si ricava facilmente dall’equazione di stato la funzione per ρ(z). Al di sopra dei 90Km si ha infine la ionosfera con una temperatura crescente. R(T (0) − τ z) g τR 37 ρ= (2. in questi casi si procede ad una soluzione del problema per via numerica in . S Preso invece un polo O e detto x il vettore che unisce il polo con la forza infinitesima dF si ha M = −px × ndS. (2.2. Le difficolt` possono derivare sia dalla a complessit` della superficie e dall’orientazione della sua normale ma anche dalla distria buzione della pressione che in linea di principio potrebbe essere una funzione complicata dello spazio.5.5 forze di pressione Possiamo a questo punto calcolare il sistema delle forze di pressione che un fluido in quiete esercita su una superficie di forma qualunque il che generalmente richiede il calcolo dellla sua risultante F e della coppia M.14) F = −pndS. la possibilit` pratica di calcolare effettivamente gli integrali (2. quasi mai possibile per via analitica. riprendendo l’espressione (2.5.15).15) la normale ` costantemente ortogonale al braccio x mentre la risultante e E utile evidenziare che. come ` noto dalla meccanica razionale. 3` . in quanto e M ed F sono ortogonali.5. a 2. In particolare il ‘trinomio invariante’ T = M × F ` identicamente nullo.38 CAPITOLO 2.1 pressione costante Iniziamo con il considerare il caso in cui la superficie sia piana e la pressione risulti costante come negli esempi raffigurati nelle figure 2. essendo questo un sistema di vettori e paralleli. in tal caso ` possibile risolvere gli integrali trovati per via analitica e e trovare delle formule risolutive di grande utilit` per le applicazioni pratiche. Analizziamo in dettaglio l’esempio di figura 2. STATICA DEI FLUIDI dF=-pn dS dS z x O y n x Figura 2.4: Forza di pressione agente su una superficie. ` possibile ricondurre le forze di pressione ad un unico vettore risultante senza la necessit` di e a calcolarne il momento. Per il calcolo della retta d’applicazione consideriamo la direzione x e notiamo che nell’espressione (2. ı La pressione sul fondo del contenitore sar` data dalla somma della pressione atmosferica a u p0 pi` la componente idrostatica risultando p = p0 + ρgh. nei gas per variazioni di quota limitate o nei liquidi) e le superfici in esame sono piane o si possono decomporre in un numero limitato di superfici piane. e ci` implica che per caratterizzare il sistema di forze ` sufficiente calcolarne la o e risultante F ed un appropriato punto d’applicazione tale da bilanciare il momento delle forze dato dalla (2.5 e 2.6. Ci sono tuttavia numerose applicazioni pratiche in cui la pressione ` costante o varia e linearmente con la quota (rispettivamente.14) si ha che la normale ` orientata sempre nello e stesso modo su tutta la superficie e la pressione non varia ottenendo cos` F = −pSn 3 . cui la superficie viene discretizzata in tanti elementi sui quali la pressione si possa ritenere costante e gli integrali divengono delle sommatorie discrete. 16) Lo stesso ragionamento pu` essere effettuato in modo del tutto analogo per determinare il o punto di applicazione della risultante nella direzione y ottenendo l’espressione ry S ydS/S per cui in forma vettoriale xdS . S (2.p0)S Figura 2. =⇒ p xdS = pSrx .2. il sistema di forze di pressione ` equivalente ad un’unica forza il cui modulo ` dato dal prodotto della pressione per la e e superficie mentre il punto d’applicazione si trova nel centroide della superficie stessa 4 .17) ` un integrale e noto nella geometria ed r corrisponde esattamente alla definizione di centroide di una figura. FORZE DI PRESSIONE 39 z p0 h dF F p x y rx y x Figura 2. F dovr` essere normale al braccio rx .15) si ha a p xdS =| F | rx .17) r= S S da cui si vede che in tali circostanze la retta d’applicazione viene determinata esclusivamente dalle caratteristiche geometriche della superficie. In conclusione si pu` quindi affermare che nel caso in cui la superficie sia piana o e la pressione abbia un valore costante su tale superficie. (2.6: Forza di pressione generata da una gas agente su una superficie piana.5: Forza di pressione generata da un liquido agente su una superficie orizzontale. 4 Nell’esempio di figura 2. =⇒ rx = S S S xdS .5. p 0 pI > p0 S F =( pI . L’integrale in (2.5 ` stata calcolata la forza di pressione come F = −pSn dove essendo e . Esplicitando quindi l’integrale in (2. Per la retta d’applicazione. Tuttavia l’analisi delle dimensioni delle due quantit` permette di fare un minimo di chiarezza in quanto la prima a e e (Ix ) dimensionalmente ` una lunghezza alla quarta potenza mentre la seconda ` una massa per una e a lunghezza al quadrato. Seguendo un ragionamento identico ai precedenti si avr` una nuova forza a a F0 = −p0 Sn avente esattamente lo stesso punto di applicazione di F ma verso opposto.18) dove con zC si ` indicata la coordinata del centroide di S e con zC la coordinata corrie spondente sull’asse z . concerne tutti quei problemi in cui ` presente un fluido la e cui densit` possa essere considerata costante (generalmente tutti i liquidi).2 distribuzione lineare di pressione Come ` stato mostrato nella sezione 2. La forza dovuta alla pressione atmosferica (che ` costante su tutta la superficie S) si determina come mostrato nella e sezione precedente e non verr` considerata ulteriormente nel presente esempio. Per il momento della risultante si avr` invece a ˆ ˆ M = zR × F = ρgzC cos θSzR z × n = ρg cos θzC SzR x.20) p = p0 +ρgh si ` considerato anche il contributo della pressione atmosferica. In alcuni testi la quantit` Ix viene chiamata momento di figura per evitare la confusione con a IV . ρ densit` ed r distanza del volume e a elementare dV rispetto ad un generico punto O) che viene pure chiamata momento d’inerzia. Al contrario IV (contenendo la massa) ` una e quantit` dipendente dall’inerzia dell’oggetto sotto esame e deve essere considerato nell’analisi di quantit` a a dinamiche.3 il caso di una pressione linearmente crescente e o decrescente con la quota. In altre parole Ix ` una quantit` puramente geometrica e consistentemente entra in gioco quando si fanno considerazioni di statica. a 5 La quantit` Ix ` indicata con il nome di momento d’inerzia e ci` pu` trarre in inganno un quanto a e o o c’` un’altra grandezza definita come IV = V ρr2 dV (con V volume. . A tale scopo consideriamo la figura 2. rispettivamente i versori ˆ ˆ degli assi z ed x. STATICA DEI FLUIDI 2. per le prime.40 CAPITOLO 2.5. Non bisogna per` dimenticare e o che c’` un’ulteriore forza che ` quella prodotta dalla pressione atmosferica che agisce sulla stessa superficie e e esternamente al sebatoio. si possono invece uguagliare i momenti rispetto all’asse x delle forze di pressione e della risultante. Cerchiamo a ora di determinare la risultante delle forze di pressione su una superficie piana immersa in tale fluido e comunque orientata. (2.15). Ne conseguir` ˆ che la forza totale applicata ad S sar` Ftot = −ρghS z . (2. dar` luogo ad una forza pari a a F = −ρgn S z dS = −ρgn cos θ S zdS = −ρg cos θzC Sn = −ρgzC Sn. a Utilizzando la (2. x essendo Ix il momento d’inerzia 5 di S rispetto all’asse x e z e x.7 e notiamo a u che la pressione alla generica quota z sar` la somma di quella atmosferica p0 pi` il a contributo ρgz essendo ρ la densit` del fluido in esame.19) ρgn × z ˆ S z zdS = ρg cos θˆ x S z 2 dS = ρg cos θˆIx .14) la componente di pressione linearmente crescente con la quota. seguendo la (2. si scrive M= S z × dF = − S pz × ndS = −ρgˆ × n z S z zdS = (2. Detto allora Ixc il momento d’inerzia di S rispetto ad un asse parallelo ad x ma passante per il centroide di S si pu` o scrivere 2 (2. Osservando inoltre l’espressione (2.2. utilizzando un noto teorema della meccanica razionale ` possibile.22) Ix = Ixc + zC S per cui dalla (2. per cui uguagliando gli ultimi membri di (2. una volta noto Ix per e un generico asse x calcolare Ix rispetto a qualunque asse x . e Il momento d’inerzia Ix sar` chiaramente differente a seconda dell’asse x rispetto a al quale si valuta ed in linea di principio andrebbe calcolato caso per caso.5.8 vengono riportati i valori di Ixc per alcune figure geometriche regolari. In figura 2.19) e (2. FORZE DI PRESSIONE 41 p0 dF = -pndS θ S dS z z’ x Figura 2. Tuttavia. zC S (2.20) si ottiene zR = Ix zC S (2. ossia il punto di applicazione e ` della risultante delle forze ` pi` in basso rispetto al centroide.23) a La quantit` Ixc ha il vantaggio di essere gi` calcolata per la maggior parte delle figure a geometriche regolari per cui in base alla (2.21) zR = zC + Ixc .23) risulta banale il calcolo del punto di applicazione della risultante delle pressioni. E altrettanto interessante e u osservare che la differenza tra zR e zC non ` costante ma dipende dalla quota di immersione e e attraverso zC stesso (che ` determinato rispetto ad un asse la cui origine coincide con la .7: Forza di pressione generata da un liquido agente su una superficie generica.23) si nota che il secondo termine a secondo membro ` certamente definito positivo per cui deve risultare zR > zC .21) che ci fornisce la coordinata z in cui ` applicata la risultante delle forze di pressione. In particolare. Per quanto riguarda il punto di applicazione della risultante nella direzione x si pu` o seguire esattamente lo stesso ragionamento applicato alla direzione z per arrivare alla e formula xR = xC + IxzC /(SxC ) in cui IxzC ` il momento misto calcolato rispetto ad un asse parallelo all’asse z e passante per il centroide. superficie libera del fluido). all’aumentare della profondit` a cui ` immersa a e a S. STATICA DEI FLUIDI Figura 2. Il motivo fisico di ci` ` che se zC → ∞ la variazione della pressione sulla oe superficie diventer` sempre pi` piccola rispetto alla pressione media e la risultante tender` a u a a comportarsi come se la pressione fosse costante (e quindi applicata nel centroide).8: Caratteristiche geometriche di alcune figure regolari. .9).42 CAPITOLO 2. mentre ` bene notare che se la superficie S ` e e simmetrica rispetto ad un asse parallelo all’asse z e passante per il centroide il momento misto IxzC ` identicamente nullo e la risultante delle forze risulta applicata alla stessa x e del centroide. La derivazione dell’espressione per xR viene lasciata al lettore come facile esercizio. zC aumenter` mentre sia S che Ixc rimarranno costanti da cui ne consegue che zR → zC (figura 2. 2. zR ) in cui xC ` la coordinata x del centroide e zR ` un punto pi` e e u in basso del centroide definito in (2.9: Variazione del punto di applicazione della risultante delle forze di pressione con la quota di immersione z. Tale risultante sar` applicata in un punto di coordinate (xC .5.9 si ha che la risultante delle forze di pressione sar` pari al prodotto della superficie S per la pressione valutata a a alla quota del centroide zC ed orientata come −n. Riassumendo possiamo concludere affermando che: presa una superficie piana immersa in un fluido la cui pressione vari linearmente con la quota e preso un sistema d’assi x − z con l’origine su pelo libero del fluido ed orientato come in figura 2. FORZE DI PRESSIONE 43 p min zc zr p max p min zc zr p max z p= ρ gz Figura 2. .23). 44 CAPITOLO 2. quindi: P = 2156071 N.719 m e b2 = l1 /2. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Una paratia come in figura si trova sotto il livello dell’acqua ed ` incernierata in e C. La dimensione b ` e ortogonale al foglio. F1 = ρg(h1 + h2 /2)bh2 = 2795850 N. C b1 h2 F1 b2 F2 l1 P .m l1 = 3 m h2 = 5 m b=6m Soluzione h1 Dall’equilibrio dei momenti intorno alla cerniera C si ha: F1 b1 + F2 b2 = P h2 con. Determinare il minimo valore di P per impedire la fuoriuscita di liquido.) h1 C h2 P l1 h1 = 7. b1 = yR − h1 = h2 /2 + bh3 /(12bh2 [(h1 + 2 h2 /2)] = 2. (Si trascuri il peso proprio della paratia e l’attrito della cerniera. Dall’equilibrio dei momenti si ricava. F2 = ρg(h1 + h2 )l1 b = 2118960 N. Questa forza ` applicata nel punto y1R = e 1.3435 m.955 m misurato sull’asse y con origine in O.986 m misurato sull’asse y con origine in O .2 m l1 = 1.2.4 N con h2c = (l + l1 ) sin θ + l2 /2 = 2.1064 m e bF = l1 sin θ + l2 = 2.4 m b = 1.786 m. Dall’equilibrio dei momenti intorno alla cerniera C si ha: F1 b1 + F2 b2 = F bF con b1 = yR1 − l = 0. l C θ l1 45 l = 1. essendo h1c = (l + l1 /2) sin θ = 1.838 m applicata nel punto y2R = 2. Ci sono tuttavia delle applicazioni in cui questa ipotesi non pu` essere applicata e ci` nonostante ` possio o e bile calcolare la risultante delle forze di pressione senza ricorrere al calcolo esplicito degli integrali (2.14) e (2.10 in cui si voglia calcolare la .5.99 m da cui si ricava F = 66126 N. sul tratto verticale agir` una forza F2 = ρgh2c A2 = a 83536.3 forze di pressione su una superficie curva Nelle due sezioni precedenti abbiamo considerato problemi in cui la superficie in esame poteva essere interamente contenuta in un piano e questo ha permesso di ottenere delle formule generali per il calcolo della risultante delle forze di pressione. b2 = y2R − l sin θ = 2.5. Nello stesso modo. FORZE DI PRESSIONE ESEMPIO Data la configurazione nell’illustrazione calcolare l’intensit` della forza F per a evitare l’apertura dello sportello incernierato in C. Si consideri allo scopo la figura 2.15). Soluzione Sul tratto inclinato dello sportello agir` a una forza F1 = ρgh1c A1 = 27677 N. O’ C b2 b1 l O l1 F 1 F2 θ l2 F bF y’ y 2.5 m l2 = 2 m θ = 45o fluido:acqua l2 b ` la dimensione dello sportello e F nella direzione ortogonale al foglio. i bracci di Fr . tutte le forze sono contenute in un piano (quello del foglio). Frx ed Fry rispetto a G si ricava dall’equilibrio alla rotazione Fr r + Frx rx − Fry ry = 0. in ogni sezione. Il vettore della forza risultante avr` quindi modulo Fr e former` con l’asse x un angolo α a a cos` determinati: ı Fry 2 2 α = tan−1 . 6 (2. rx ed ry . rispettivamente. Fry = Fy + W. STATICA DEI FLUIDI forza risultante sulla superficie esterna che delimita la regione di fluido pi` scura 6 . Per determinare la retta di applicazione di Fr basta infine equilibrare i momenti delle forze rispetto ad un punto.25) Fr = Frx + Fry . Nel caso pi` generale la riduzione del sistema di forze richiederebbe il calcolo di una risultante e di un u momento rispetto ad un polo. Se. Utilizzando le formule ricavate precedentemente si ricavano facilmente Fy ed Fx da cui dall’equilibrio alla traslazione in x ed y si ha Frx = Fx . detti r.24) essendo W il peso del volume di fluido racchiuso nella zona evidenziata in figura 2. (2. .10.46 CAPITOLO 2.10: Forze di pressione su una superficie curva. Frx Fy Fx y r G Frx x W F ry Fr α Figura 2. per esempio si sceglie il baricentro. (2. Se u si isola il volume di fluido delimitato da tale superficie e dalle superfici piane orizzontali e verticali interne al fluido si pu` tracciare il diagramma di corpo libero per tale volume o e determinare le reazioni che la superficie esterna esercita sul fluido.26) Si noti che anche in questo caso il sistema di forze ` equivalente solo ad una risultante applicata in un e punto opportuno in quanto. 2. Dall’equilibrio dei momenti intorno ad = 0.3 m.7) per calcolare la differenza In realt` esistono forme solide per le quali non si pu` determinare tale perimetro. r4 = h/10 = 0. aventi braccio rispetto ad O r1 = 3h/4+h/36 = 2. ˆ (2. O h/2 F l h h/2 G l/5 Supporre il baricentro nella posizione indicata (sportello incernierato in O) Suggerimento: 47 4l/5 h=3m b=2m Soluzione Sul sistema agiranno le 4 forze disegnate in figura e determinate secondo le seguenti formule: F1 ρg3h/4 · bh/2 = 66217. Riferendoci alla figura 2.6 spinta di Archimede Vogliamo ora calcolare la forza esercitata da un fluido che circonda un corpo a causa della variazione di pressione. F2 ρgh/4 · bh/2 = 22072.27) che per integrazione su tutta la superficie S ci fornisce la risultante. r3 = h/4 = 0. r2 = h/3 = 1 m. F4 = b(h2 /4 − πh2 /16)ρg = 9473. ` per` possibile a o e o decomporre tali forme in un numero finito di corpi per i quali l’operazione descritta ` definita quindi la e procedura ha validit` generale.6.5 N. a 7 . F h/2 = F1 r1 + F2 r2 + F3 r3 − F4 r4 si ricava F = 137897. SPINTA DI ARCHIMEDE da cui si ricava r.11 consideriamo un corpo di forma generica immerso in un fluido e consideriamo il perimetro massimo che circoscrive il corpo in un piano orizzontale 7 indicando con S la superficie delimitata. O F h/2 F 3 F1 F4 F2 h 2.5 N.333 m. F3 = ρgh/2 · bh/2 = 44145 N. ESEMPIO Determinare F in modo che lo sportello non si apra sotto la spinta dell’acqua.8 N. Se per ogni elemento dS costruiamo un cilindro elementare contenuto nel solido. Essendo la pressione costante su piani orizzontali possiamo utilizzare la relazione (2. possiamo calcolare la risultante delle forze di pressione esercitate su tale cilindro che saranno dF = (pl − pu )dS z .6 N.75 m. possono essere ripetuti per un corpo immerso parzialmente in un fluido e parzialmente in un altro fluido a densit` differente (figura 2. STATICA DEI FLUIDI zu dp = zl ρgdz. ne consegue che la forza esercitata dal fluido sul a corpo ` una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato dal corpo 8 . Naturalmente ogni fluido contribuisce alla spinta per la porzione di fluido spostato per cui detti rispettivamente V1 e V2 le frazioni di volume del corpo immerse nei fluidi a densit` ρ1 e ρ2 e V il volume totale del corpo a a (con V = V1 + V2 ) dovr` risultare V1 8 ρ1 gdV + V2 ρ2 gdV = ρgV. ˆ ˆ S (2. (2. ossia se ρ1 ≥ ρ ≥ ρ2 a allora il corpo si disporr` in una posizione intermedia all’interfaccia tra i due fluidi in modo a che la spinta di Archimede bilanci il suo peso.29) da cui. ˆ essendo V il volume del solido in esame.27) diventa F= S zu zl CAPITOLO 2. (2.28) (pl − pu )dS z = ˆ zu S zl ρgdzdS z = ˆ V ρgdV z .31) L’espressione (2.30) . ˆ (2.27) diventa dF = ρghdS z .12).11: Forze di pressione su corpo immerso in un fluido. risulta infatti dp = −ρgdz e quindi (pl − pu ) = − che sostituita in (2.27) assume una forma particolarmente semplice se la pressione ha una variazione lineare con la quota in quanto risulta pl = pu − ρg(zl − zu ) = pu + ρgh e la (2. da cui F = ρgh hdS z = ρgV z . e zu h(x.48 (pl − pu ).y) z zl x -p u dS n dS S y -p ln dS Figura 2. essendo ρ la densit` del fluido. Se la configurazione risulta stabile. Gli stessi ragionamenti fatti per un corpo immerso in un solo fluido. 32) A rigore questo ragionamento andrebbe applicato anche quando i due fluidi sono acqua ed aria come per esempio nel caso di una nave. ρ 2 V2 V1 ρ 1 ρ Figura 2.. tuttavia avendo l’aria una densit` di 600−800 a volte minore di quella dell’acqua si capisce immediatamente che il contributo alla spinta dell’aria risulta trascurabile rispetto a quello dell’acqua e di solito non si considera 9 . a Uno dei primi esperimenti di cui si abbia traccia scritta sul galleggiamento di un corpo tra due fluidi a differente densit` ` descritto da Galileo Galilei nel 1630 che riporta:“. (2. 9 .2.Nel fondo di un recipiente ho ae messo dell’acqua salata e sopra di essa uno strato di acqua pura. SPINTA DI ARCHIMEDE oppure nel caso di fluidi incomprimibili 49 ρ1 V1 g + ρ2 V2 g = ρgV. ho quindi mostrato che la palla (di cera) rimaneva in equilibrio all’interfaccia tra i due fluidi e quando veniva spinta verso il fondo o sollevata verso l’altro non rimaneva in nessuna delle due posizioni ma ritornava nella posizione iniziale”.12: Galleggiamento per un corpo in equilibrio tra due fluidi a differente densit`.6.. 98 Kg/dm3 ρ0 = 1. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Dato il cono a base circolare in figura. determinare l’altezza della porzione di solido immerso nel fluido a densit` ρ0 .50 CAPITOLO 2. e V a il volume totale del corpo).7 galleggiamento e stabilit` a Nella sezione precedente abbiamo visto come calcolare la risultante delle pressioni esercitate da un fluido in cui ` immerso un corpo. 12 12 da cui si ricava h0 = 0. D’altra parte i volumi sono dati da V = πd2 h/12 e V0 = πd2 h0 /12 0 mentre dalla similitudine tra i triangoli si pu` scrivere d/h = d0 /h0 per cui la o precedente relazione diventa: πd2 h0 πd2 h 0 (ρ0 −ρ1 ) = (ρ−ρ1 ). =⇒ d d0 h0 h ρ ρ1 ρ0 h3 = 0 ρ − ρ1 3 h.15 Kg/dm3 ρ1 = 0. a ρ 1 ρ h0 h ρ 0 ρ = 1. Tale risultante prende il nome di spinta di e Archimede e si calcola in modo identico anche nel caso in cui il corpo sia solo parzialmente immerso nel fluido.367 m.13 si pu` vedere che per un’oscilo lazione contenuta del corpo. il punto di applicazione della spinta si sposta in modo tale . ρ 0 − ρ1 2. Nel caso di figura 2.2 Kg/dm3 h = 0. rispettivamente V0 e V1 le frazioni di volume del corpo immerse nei fluidi a densit` ρ0 e ρ1 .4 m Soluzione Dal principio di Archimede si ha ρ0 gV0 + ρ1 gV1 = ρgV (essendo. Risultando V1 = V − V0 l’equilibrio al galleggiamento si pu` scrivere come V0 (ρ0 − ρ1 ) = o V (ρ − ρ1 ). nascono questioni di stabilit` visto che il pea so del corpo ` applicato nel suo baricentro (ed ` quindi indipendente dall’immersione del e e corpo) mentre la spinta di galleggiamento ` applicata nel baricentro della regione di fluido e spostata (detto centro di spinta) ed ` quindi funzione della posizione del corpo rispetto e alla superficie libera del fluido. In quest’ultimo caso. si avr` un innalzamento del baricentro a che.8) si ottiene: patm = ρHg gh + pHg .8 misuratori di pressione In questo paragrafo verranno illustrati alcuni dispositivi di misura della pressione soffermandosi in particolare sul loro principio di funzionamento. il punto di intersezione tra la retta contenente la spinta e l’asse di simmetria del corpo ` detto metacentro e si pu` immaginare che il corpo e o oscilli intorno ad un asse ortogonale al piano del foglio e passante per il metacentro 10 . Preso un tubo chiuso ad un estremo e riempito di fluido. per un corpo a e simmetrico rispetto al piano del foglio e per piccoli valori dell’angolo di rollio. ` anche detto barometro.13: Schema di stabilit` alla rotazione. In particolare se questa pressione ` quella atmosferica ed il fluido manometrico ` mercurio. salendo su una scala. S G S M G Figura 2. la posizione del baricentro dipende dalla dislocazione delle masse con la conseguenza che la stabilit` pu` essere aumentata o diminuita spostando dei a o pesi all’interno del corpo. a Nel caso di corpi simmetrici. 10 (2. E utile osservare che mentre la spinta ed il suo punto di applicazione dipendono unicamente dall’immersione del corpo. e si pone il lato aperto in un recipiente contenente lo stesso fluido. per il suo impiego nella misurazione della pressione atmosferica. si portino ad un’altezza di 2 − 3 metri si pu` avere facilmente il ribaltamento della barca. . si osserva allora che la colonna di fluido nel tubo scende fino ad un’altezza h dalla cui misura si pu` risalire al o valore di pressione che insiste sulla superficie libera del fluido nel recipiente. Se infine come caso a a estremo si immagina che tutte le persone.33) Questo in realt` ` vero solo nel caso in cui siano assenti movimenti di beccheggio. o 2. in base alla e e (2. Iniziamo con il considerare il dispositivo di figura 2. si pu` vedere che la configurazione sar` stabile fino a quando il baricentro si trova al o a ` di sotto del metacentro mentre nel caso opposto si ha una configurazione instabile. diminuir` la stabilit` del natante. avvicinandosi al metacentro.8. MISURATORI DI PRESSIONE 51 da formare con il peso una coppia stabilizzante che tende cio` a riportare il corpo nella e posizione iniziale.14a che.2. Come esempio si consideri un piccolo natante con sei persone a bordo. se tutte le persone si alzano in piedi. Il dispositivo in figura 2. (2. La descrizione del dispositivo e dell’esperimento sono contenute in ‘Lezioni Accademiche’ in cui sono riportate una serie di conferenze tenute da Torricelli all’Accademia della Crusca. b) manometro. Lo strumento riportato in figura 2. pHg h patm ρm Hg a) pa p b p ρ 1 pa h2 h1 b h ρ 2 b) c) Figura 2. c) manometro ad U. il o fluido nel tubo deve essere un liquido e la pressione pb non pu` scendere al di sotto di un valore limite se si vuole evitare la fuoriuscita del fluido manometrico dal tubo. Questo strumento pur essendo molto semplice ha notevoli limitazioni che ne rendono l’uso abbastanza limitato.52 CAPITOLO 2.14c risolve alcuni dei problemi appena citati. a Inoltre dall’equilibrio delle pressioni si ha: pa + ρ1 gh1 = ρ2 gh2 + pb .35) da cui si vede che la massima differenza di pressione pa −pb non dipende pi` ora solamente u o dalla lunghezza del tubo ma anche dal valore di ρ2 che pu` essere quindi variato per aumentare la sensibilit` o la portata dello strumento. Innanzi tutto il fluido manometrico ed il fluido di cui bisogna misurare la pressione devono essere immiscibili.14b ` simile al precedente ma ha l’estremit` del tubo aperto. Data la bassa volatilit` del mercurio si pu` porre pHg 0 da cui ne consegue il valore ben noto a o 11 h = 759mm .14: Schema di funzionamento di dispositivi per la misurazione della pressione: a) barometro. STATICA DEI FLUIDI e in cui pHg ` la tensione di vapore del mercurio alla temperatura di esercizio. a Questa esperienza fu effettuata per la prima volta da Evangelista Torricelli (1608–1647) che fu allievo di Galileo Galilei. (2. Se infatti il tubo ha la forma di U e tra il fluido a densit` ρ1 e quello ambiente viene inserito a e u un terzo fluido a densit` ρ2 non ` pi` necessario che i primi due fluidi siano immiscibili.34) per cui si pu` misurare il valore della pressione pb noti pa ed h oppure la differenza di o pressione pa − pb conoscendo solamente h. e a a a dette quindi pa e pb le pressioni alle due estremit` del tubo risulter` pa = ρm gh + pb . 11 . non consentono di misurare pressioni elevate e. la propriet` cio` che hanno a e alcuni cristalli (per esempio il quarzo) di generare una differenza di potenziale quando sottoposti a compressione in alcune particolari direzioni. Nel caso dei manometri meccanici questa superficie ` generalmente una membrana che costituisce la e parete di una camera stagna all’interno della quale c’e’ una pressione nota. Nel caso dei trasduttori elettronici. Per questo motivo nelle applicazioni pratiche vengono usati dei manometri il cui principio di funzionamento ` la deformazione e di una superficie a causa delle forze di pressione comunicate dal fluido.8. non sono adatti a misure di pressioni rapidamente variabili nel tempo. Dalla lettura di questa differenza di potenziale si risale quindi alla pressione per mezzo di un’operazione di taratura dello strumento con delle pressioni note. benzina).2. (2. Dalla relazione ∆p = ρm gh si vede quina di che per aumentare la sensibilit` del manometro bisogna rendere massima h a parit` a a e di ∆p. tuttavia si nota a u che h ` la lunghezza della colonna di fluido nella direzione di g e se quindi si inclina il tubo e si ottengono valori assoluti di lunghezza l che possono crescere a piacimento diminuendo l’inclinazione del tubo.36) I misuratori descritti in questa sezione hanno il vantaggio di essere estremamente semplici ed economici ma non permettono la lettura di valori precisi. .15: Schema di funzionamento del manometro inclinato. ad un esame pi` attento. A prima vista sembrerebbe che si possa agire solo su ρm . si sfrutta invece l’effetto piezoelettrico. In figura 2. cercando cio` dei fluidi manometrici con bassa densit` (alcool. MISURATORI DI PRESSIONE 53 p ρ 1 pa h2 l h1 ρ 2 2 b θ c) Figura 2. a causa dell’inerzia della colonna di fluido. Dagli esempi precedenti ` evidente che il principio di funzionamento di tutti i manoe metri discussi si riduce alla conversione di una lunghezza h in un valore di pressione una volta nota la densit` del fluido manometrico ρm .15 ` raffigurato uno di tali dispositivi dal cui equilibrio e delle pressioni si ha: pa + ρ1 gh1 = ρ2 gl2 sin θ + pb . . la configurazione e di equilibrio e’ indipendente dal valore della gravit` e quindi sulla luna non a cambierebbe nulla. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Dato il dispositivo in figura. Dalla relazione precedente si pu` calcolare ρ ottenendo ρ = o 3 1544 Kg/m .54 CAPITOLO 2. poich´ il termine g si semplifica a primo e secondo membro. calcolare la densit` del fluido incognito. Come a cambierebbero i livelli se tale dispositivo fosse trasportato sulla luna? alcool acqua h1 h3 h4 h2 h1 = 40 cm h2 = 16 cm h4 = 21 cm ρacqua = 1000 Kg/m3 h3 = 32 cm ρalcool = 780 Kg/m3 ? Soluzione Per l’equilibrio deve risultare: gρalcool (h1 − h2 ) + gρh2 = gρacqua (h3 − h4 ) + gρh4 . 55 B h1 h2 ρ1 ρ 2 θ l h1 = 22 cm ρ1 = 10870 Kg/m3 pB = 1. MISURATORI DI PRESSIONE ESEMPIO Dato il dispositivo in figura calcolare l’angolo θ in modo da avere all’equilibrio nel tubo inclinato una colonna di fluido di lunghezza l.62. .7 atm h2 = 86 cm ρ2 = 11030 Kg/m3 l = 0.2.6 m Soluzione Dall’equilibrio delle pressioni tra la superficie libera ed il punto B si scrive p0 + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 = l sin θρ2 g + pb da cui si ricava θ = sin−1 p0 + g(ρ1 h1 + ρ2 h2 ) − pB lρ2 g = 44o .8. 56 CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI Capitolo 3 Cinematica dei fluidi In questo contesto verrano definite alcune propriet` del moto di un fluido come posizione, a velocit` ed accelerazione indipendentemente dalle forze necessarie a generare il moto; ci a occuperemo quindi della cinematica dei fluidi che riveste un’importanza fondamentale oltre che per la descrizione di un flusso anche per la sua visualizzazione sia in un esperimento di laboratorio che in una simulazione numerica. 3.1 descrizione lagrangiana ed euleriana Quando si analizza il moto di un solido si considera solitamente il moto del suo baricentro ed il suo orientamento (angoli di Eulero) descrivendo la loro evoluzione nel tempo. La descrizione del moto di un fluido risulta in qualche modo pi` ambigua in quanto il sistema u 1 ` composto da particelle fluide in continuo moto relativo e la sola informazione sul e baricentro e sugli angoli di Eulero non sono sufficienti a caratterizzare la distribuzione del fluido nello spazio. Si pongono a questo punto due alternative, la prima consiste nel seguire il moto di tutte le particelle fluide nel tempo mantenendo separata la loro identit` a mentre nella seconda si descrive il moto del fluido considerando dei punti fissi nello spazio indipendentemente dalle particelle che li attraversano. Per esempio, quando si seguono le evoluzioni di una rondine nel cielo si sta adottando un punto di vista lagrangiano in quanto si fissa ad un certo istante un oggetto e lo si segue nel tempo. Al contrario, se si osserva il mare attraverso un foro nel ghiaccio praticato dagli eschimesi per la pesca, la descrizione risulta euleriana considerando che si dispone di un punto di osservazione fisso nello spazio attraverso cui passano in continuazione differenti particelle di fluido. Per chiarire meglio consideriamo la figura 3.1 in cui viene raffigurato il moto di due particelle fluide A e B; secondo il primo punto di vista, la descrizione del moto consiste Il concetto di ‘particella fluida’ non deve essere in alcun modo confuso con quello di atomo o molecola. La particella fluida infatti ` un’astrazione concettuale che indica un’insieme abbastanza grande di e molecole di fluido da poter considerare valide le ipotesi di continuo ma allo stesso tempo la particella deve avere un’estensione in volume piccola abbastanza da essere caratterizzata da un’unico valore di velocit` a accelerazione, pressione, etc. 1 57 58 CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI z P r (t) A r (t+∆ t) B x r (t+∆ t) A u (t+ t) ∆ A r (t) B u (t) B y Figura 3.1: Traiettorie lagrangiane per due particelle fluide A e B e descrizione euleriana nel punto P . nel descrivere tutte le funzioni rA (t), rB (t), ..... per tutte le particelle fluide del sistema in esame. Nel secondo caso, al contrario si considera ogni punto P fisso nello spazio e si descrive la variazione nel tempo delle grandezze. In particolare dalla figura 3.1 si nota che la particella A passa per P al tempo t mentre la particella B ci passa al tempo t + ∆t risultando uP (t) = uA (t) e uP (t + ∆t) = uB (t + ∆t). La descrizione del moto delle singole particelle fluide viene detta descrizione lagrangiana mentre l’altra descrizione euleriana. Generalmente, essendo impossibile identificare le singole particelle fluide in un flusso, la descrizione lagrangiana non viene praticamente mai utilizzata anche se dal punto di vista teorico ha il vantaggio di fornire delle espressioni di pi` immediata comprensione per molte grandezze fluidodinamiche. u 3.2 traiettorie, linee di corrente e streaklines Nella sezione precedente abbiamo parlato di traiettoria di una particella fluida senza tuttavia darne una definizione rigorosa; ci` ` importante in quanto vedremo che in un o e flusso si possono definire diverse ‘linee’, in generale non coincidenti, ognuna delle quali con un diverso significato. Possiamo definire la traiettoria di una particella fluida come il luogo geometrico dei punti occupati dalla stessa particella in istanti di tempo successivi. Riferendoci alla figura 3.1 si ha quindi che le linee solida e tratteggiata sono rispettivamente le traiettorie delle ` particelle fluide A e B. E evidente come il concetto di traiettoria sia lagrangiano in quanto legato all’identificazione ed al tracciamento di particelle singole. 3.2. TRAIETTORIE, LINEE DI CORRENTE E STREAKLINES 59 Definiamo invece linea di corrente una linea che sia in ogni punto tangente al vettore locale di velocit`. Se quest’ultima avr` un’evoluzione non stazionaria, le linee di corrente a a saranno evidentemente diverse da istante ad istante. Un esempio di linee di corrente in due diversi istanti temporali ` riportato in figura 3.2 dove si pu` notare che nei punti di e o intersezione tra le linee le tangenti sono diverse in quanto la velocit` ` funzione del tempo. ae Il concetto di linea di corrente ` evidentemente un concetto euleriano in quanto considera e per ogni istante temporale la distribuzione spaziale di velocit` e, fissato un insieme di a punti, traccia la linea tangente al vettore velocit` nei punti considerati. In ogni punto a per istanti differenti transiteranno particelle fluide diverse quindi in generale le traiettorie intersecheranno le linee di corrente. z u (t) P P ∆ u (t+ t) P x y Figura 3.2: Linee di corrente in due diversi istanti di tempo. La definizione delle streaklines (talvolta tradotte in italiano come ‘linee di fumo’) ` e invece un concetto che riguarda principalmente gli esperimenti di laboratorio. Si definisce infatti una streakline come il luogo dei punti occupato ad una dato istante da tutte le particelle fluide che in un istante precedente siano transitate per una posizione stabilita. Questo concetto ` particolarmente utile quando si considerano le visualizzazioni di laboe ratorio in quanto in questi casi si rilascia un tracciante (fumo, inchiostro, etc.) nel flusso da una posizione prefissata e si segue la traccia lasciata da questa emissione continua nello spazio. Nella figura 3.3 si vede come dalla sorgente S vengano rilasciate delle particelle fluide P per tempi successivi t6 > t5 > ..... > t0 il cui luogo dei punti forma appunto le streakline. Da questo esempio si vede come la definizione di streakline sia essenzialmente operativa e, a meno di casi speciali, queste linee non hanno un particolare significato fisico. Il vasto utilizzo delle streaklines in campo sperimentale ` dovuto al fatto che se il flusso e risulta stazionario (ossia se la la velocit` in ogni punto risulta indipendente dal tempo) a le streaklines coincidono sia con le traiettorie che con le linee di corrente. In questo caso le streaklines costituiscono un modo estremamente pratico ed economico per conoscere la 60 CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI U P(t3) P(t2) S P(t0) Figura 3.3: Esempio di streakline. direzione del vettore velocit` in ogni punto e la traiettoria delle particelle fluide (figure a 3.4, 3.5). P(t4) streakline P(t5) P(t1) P(t6) Figura 3.4: Esempio di streaklines intorno ad un modello di camion in un tunnel ad acqua. Per ottenere un’espressione matematica per le varie linee descritte riconsideriamo le loro definizioni: per le traiettorie abbiamo che presa una particella questa si muover` con a la propria velocit` che sar` in generale funzione dello spazio e del tempo potendo cos` a a ı scrivere dr = u(r, t). (3.1) dt L’integrazione di questa espressione fornir` quindi il valore di r(t) che dipender` dal suo a a valore iniziale r(0), se quindi la particella fluida n–esima si trova a passare nella posizione r(0) al tempo t = 0 allora la curva r(t) descriver` la traiettoria della particella n. a Le linee di corrente sono invece definite come quelle linee in ogni punto tangenti al 3.5: Esempio di streaklines intorno ad un modello di automobile in una galleria del vento. dy e dz sono le componenti cartesiane di dr e u. ∆t a(t) = lim ∆t→0 v(t + ∆t) − v(t) . tale luogo geometrico e descriverlo in forma parametrica r(l) (essendo a l il parametro) per ogni tempo t. Volendo quindi calcolare la velocit` e l’accelerazione della particella al tempo t basta utilizzare le a definizioni v(t) = lim ∆t→0 r(t + ∆t) − r(t) .3 derivata materiale Consideriamo la traiettoria della particella tracciata in figura 3. t) v(r. t) w(r. v e w le componenti di u.6 queste quantit` sono state calcolate per via grafica e si pu` notare che le vea o locit` sono tangenti alla traiettoria mentre l’accelerazione ha una componente centripeta a dovuta alla curvatura ed una componente tangenziale causata dall’aumento di velocit` a . DERIVATA MATERIALE 61 Figura 3. a seconda del campo di velocit`. 3.3) In figura 3.2) in cui. =⇒ = = | dr | |u| u(r. t) (3.3. La definizione matematica delle streaklines ` pi` macchinosa in quanto risulta essere il e u luogo geometrico di tutte le posizioni ri (t) delle particelle i che per un tempo ti ≤ t sono transitate per una posizione r0 : si tratta quindi di definire caso per caso. vettore velocit` e questo si pu` esprimere matematicamente nella forma a o dr u dx dy dz = .6 osservando che al tempo t occupa la posizione r(t) mentre al tempo t + ∆t si trova in r(t + ∆t). rispettivamente dx. ∆t (3. Volendo infatti definire quest’ultima grandezza da un punto di vista euleriano. a La velocit` sar` invece definita in modo analogo nei due casi anche se il loro significato a a fisico ` sostanzialmente differente. la velocit` v come una funzione sia del tempo t che della posizione r. vogliamo quindi vedere come si passa da una descrizione all’altra per le grandezze considerate. 2 .). Se e infatti si considerasse. si avrebbe v[r(t). si immagini che ad un certo istante t si ‘congeli’ il campo di moto e si identifichi ogni singola particella fluida (per esempio in base alla posizione al tempo t. In questo contesto ogni grandezza a ` funzione unicamente del tempo che assume il significato di ascissa curvilinea lungo la traiettoria. temperatura. bisogna considerare la variazione di velocit` nel punto fisso x di una particella fluida la cui posizione al tempo a Per comprendere meglio la descrizione lagrangiana. si tratta infatti solamente della stessa o accelerazione valutata da riferimenti differenti. accelarazione a(t). Questa a differenza pu` sembrare sottile ma in realt` cambia completamente il punto di vista del o a fenomeno e porta ad una profonda differenza nella definizione di accelerazione 3 . etc.62 CAPITOLO 3. a risultando r = r(t). t] = v(t). Abbiamo comunque accennato che in fluidodinamica risulta pi` utile la descrizione euleu riana. infatti. ad esempio. A questo punto ogni singola particella sar` univocamente determinata durante tutta l’evoluzione dalla ‘marcatura’ ricevuta al tempo t a e potr` essere caratterizzata ad ogni istante dai valori della posizione r(t). oppure assegnandole un colore particolare o applicandole un’etichetta). velocit` ed accelerazione lungo la traiettoria di una particella fluida. dr(t) r(t) z r(t+∆ t) r(t) v(t) dv(t) v(t+∆ t) v(t) v(t+ t) ∆ a(t) r(t+∆ t) y x Figura 3. pressione. nella descrizione lagrangiana. t). la velocit` sar` e a a solamente funzione del tempo (v(t)) in quanto si tratta della velocit` misurata da un a osservatore ‘a cavallo’ sempre della stessa particella fluida durante il suo moto 2 . ossia u(x. al contrario la velocit` ` misurata in punti di osservazione fissi quindi ae il suo valore sar` funzione del tempo e della stazione di osservazione. CINEMATICA DEI FLUIDI ` lungo la traiettoria. Per quanto riguarda la posizione r(t) non esiste chiaramente una controparte nella descrizione euleriana in quanto in questo caso non ci sono particelle da seguire ma piuttosto delle ‘stazioni di osservazione’ fisse nel tempo.6: Posizione. Nella descrizione euleriana. E bene notare che le definizioni date sono delle definizioni lagrangiane in quanto seguono le variazioni di una particella fluida lungo la sua traiettoria. a a e qualunque altra grandezza (densit`. 3 Ci` non deve far pensare che si tratti di concetti differenti. velocit` v(t). 4) Osservando ora che dx/dt ` la velocit` della particella che si trova in x al tempo t.5) in cui D • /Dt = ∂ • /∂t + u · ∇• ` chiamato operatore di derivata materiale 4 . L’espressione (3. questo implica che le equazioni della fluidodinamica (che non sono altro che F = ma scritta per un fluido) sono accoppiate spazialmente. consideriamo un sistema di assi coordinati cartesiani ed indichiamo con ax . dt dt ∂t ∂x dt (3. e e a quindi anche la velocit` euleriana nel punto fisso x. t) = du(x(t). uy ed uz quelle di u. Per il momento ci limiteremo a riferire a La notazione u·∇u potrebbe sembrare inconsistente in quanto ∇u ` un tensore mentre u ` un vettore e e ed il prodotto “righe per colonne” non sembrerebbe possibile. Questo risultato non ` affatto e e sorprendente se ripensiamo al significato di a(x. questa dovrebbe possedere l’accelerazione centripeta prodotta dalla curvatura della traiettoria e questa accelerazione dovrebbe comparire anche nella descrizione euleriana. L’altro risultato importante ` che come si osserva dalle (3. t) = ∂u ∂u ∂u Du + ·u= + u · ∇u = . (3. L’espressione precedente va invece intesa come (u · ∇)u che ` definito in modo corretto.3.5) scritta per componenti risulter` quindi ∂ux ∂ux ∂ux ∂ux + ux + uy + uz . se questa particella si muovesse con velocit` a costante lungo una traiettoria circolare. e 4 .6) ` che l’accelee razione ` una funzione non lineare delle velocit` (e tali risulteranno quindi le equazioni e a della fluidodinamica). ossia x ≡ r(t).3. e Per capire meglio quanto grandi siano le implicazioni di questa espressione. si ottiene dall’espressione precedente a a(x.6) ax = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂uy ∂uy ∂uy ∂uy ay = + ux + uy + uz . Questo fatto costituisce la maggiore difficolt` alla soluzione dei a problemi fluidodinamici come si vedr` nel seguito. t) ∂u ∂u dx dv(. t) che ` l’accelerazione di una particella e fluida che al tempo t occupa la posizione x. t) = = + .6) nella componente di ace a celerazione ax entrano anche le componenti di velocit` in y e z e lo stesso accade per le altre direzioni. cio` non ` possibile e e avere informazioni sull’evoluzione in una direzione senza conoscere ci` che accade nelle o altre direzioni. ∂t ∂x ∂t Dt (3. Questa particella avr` tuttavia una posizione x dipendente a dal tempo per cui si avr` per l’accelerazione a a(x. L’ultima informazione che possiamo estrarre dalle (3. ∂t ∂x ∂y ∂z Risulta subito evidente che le componenti di accelerazione possono esistere anche nel caso di velocit` indipendente dal tempo (flusso stazionario) in quanto la curvatura della a traiettoria e la dipendenza della velocit` da punto a punto nello spazio sono responsabili a del termine u · ∇u che ` detto accelerazione convettiva. DERIVATA MATERIALE 63 t sia proprio x. ay ed az le componenti a di a e con ux . ∂t ∂x ∂y ∂z ∂uz ∂uz ∂uz ∂uz az = + ux + uy + uz . 7 detto ds l’elemento di lunghezza del segmento che unisce il punto A con B si ha per la portata .8) pu` essere dimostrata come facile esercizio scrivendo ω e u per componenti a o in un sistema d’assi cartesiano. =⇒ ux dy − uy dx = 0.2) a o dy dx = . ux uy (3. Considerato infatti l’esempio di figura 3. La funzione di corrente risulta particolarmente utile quando si voglia determinare la portata in volume tra due punti.64 CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI che a meno di problemi estremamente semplificati o di condizioni del tutto particolari l’espressione dell’accelerazione rende impossibile la soluzione analitica delle equazioni del moto.5 ∗ funzione di corrente Avendo definito le linee di corrente come quelle linee che sono in ogni punto tangenti al vettore velocit`. 3.9) (3. Limitandoci per semplicit` al caso bidimensionale si pu` porre dalla (3. limitando l’analisi di problemi complessi a soluzioni numeriche o esperimenti di laboratorio.4 ∗ accelerazione di Lagrange In questa sezione mostreremo brevemente un’identit` vettoriale che torner` utile per gli a a argomenti trattati successivamente. Se allora a poniamo (3. 2 da cui si pu` scrivere o ∂u 1 Du = + ∇u2 + ω × u. Riprendiamo la formula (3.7) Dt ∂t e notiamo che.11) dψ = ux dy − uy dx avremo che nemmeno la funzione ψ varia lungo una linea di corrente che ` quindi la e funzione cercata.5) per l’accelerazione di una particella fluida ∂u Du = + u · ∇u. risulta naturale introdurre la funzione di corrente come quella funzione a le cui isolinee (in due dimensioni o isosuperfici in tre dimensioni) costituiscono le linee di corrente. 3.8) L’identit` (3. detta ω = ∇ × u la vorticit` sussiste l’identit` a a 1 u · ∇u = ∇u2 + ω × u. Dt ∂t 2 (3.10) ottenendo che lungo una linea di corrente la quantit` ux dy − uy dx non varia. (3. 6.6 3. Ci` ` consistente con il a o e fatto che un linea di corrente ` sempre tangente al vettore velocit` e quindi si comporta e a come una superficie impermeabile da cui il valore nullo di portata. elementare dQ = u · nds = ux dy − uy dx che. 3. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO 65 y n U B U A ds dx ux n -u y dy x Figura 3. a Osserviamo dalla figura 3. in base alla (3. immaginiamo che dopo un intervallo di tempo ∆t sia stata deformata dal campo di velocit` come in figura 3.1 analisi del moto nell’intorno di un punto caso bidimensionale semplificato Concludiamo lo studio della cinematica dei fluidi.3.7: Determinazione della portata (in volume) tra due punti.11) ` proprio uguale a dψ.8. . e Per la portata tra A e B si avr` allora a B B Q= A dQ = A (ux dy − uy dx) = B A dψ = ψB − ψA . (3. considerando lo stato di moto nell’intorno di un punto. Notiamo infine che nel caso in cui A e B vengano scelti su una linea di corrente allora risulter` Q = 0.9 che la deformazione totale pu` essere decomposta in tre moti o elementari che verranno ora illustrati.12) ci dice anche che questo valore della portata ` indipendente dal percorso seguito per andare da A a B e per cui dψ deve essere un differenziale esatto. la differenza di ψ tra due punti qualunque ci fornice il valore della portata in volume (per unit` di lunghezza nella a direzione ortogonale al foglio) che passa tra i due punti. Questa analisi ci permetter` di comprendere in che modo una particella a fluida si deforma durante la sua evoluzione e render` pi` semplice la definizione degli a u sforzi in un fluido quando se ne affronter` la dinamica. a Data una regione fluida inizialmente di forma rettangolare.12) per cui se si conosce la funzione di corrente per un flusso. L’espressione (3.6. 15) Per calcolare la velocit` di deformazione angolare si osserva semplicemente che risulta a ∆θ = π/2 + ∆α + ∆β da cui si pu` porre o ∆θ ∂uy ∂ux ˙ = + . CINEMATICA DEI FLUIDI Il primo consiste in una traslazione rigida in cui tutta la regione si muove con la stessa e velocit` u0 uniforme nello spazio. ∆t−→0 lx ∆t ∆t ∂x (3. y l’ x t+∆t l’ y t lx ly x Figura 3. Il terzo moto consiste contemporaneamente in una rotazione rigida ed una deformazione angolare che possono essere quantificate calcolando gli angoli ∆α e ∆β di cui ruotano.66 CAPITOLO 3. ∂x (3. Detta lx la lunghezza in x dell’elemento indeformato ed a lx la lunghezza dello stesso lato dopo la deformazione si avr` lx = lx + ∂ux lx ∆t. ∂y (3.14) Un’espressione del tutto analoga si ricava per la direzione y. i lati lx ed ly nel loro moto. Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine si ha ∆α ∂uy ∂uy lx ∆t = ∆t. ∂x lx ∂x ∆β ∂ux ∆t. rispettivamente.13) da cui si ricava per la velocit` relativa di dilatazione ˙x in x a ˙x = lim ∆t−→0 lx ∂ux 1 ∆lx l − lx = lim x = . Il secondo moto ` una dilatazione pura in cui l’elemento a fluido subisce una variazione di lunghezza dei suoi lati. senza tuttavia ruotare ne variare l’angolo tra i lati del rettangolo.16) . θ = lim ∆t−→0 ∆t ∂x ∂y (3.8: Deformazione di un elemento fluido in un tempo ∆t. (3.17) assume la forma: ux uy = ux0 uy0 + ˙ ˙x θ/2 ˙ θ/2 ˙y x y + 0 γ ˙ −γ 0 ˙ x y . considerando le (3.21) x y .16) e (3. − ∂y ∂x (3. − ∂x ∂y (3. da considerazioni geometriche si ottiene ∆γ = π/4 − a ∆α − ∆θ/2 = (∆β − ∆α)/2 da cui si ha per la velocit` di rotazione a γ = lim ˙ 1 ∆γ = ∆t−→0 ∆t 2 ∂ux ∂uy − .14). che. ∂y ∂x (3.17) D’altra parte.9: Decomposizione della deformazione di un elemento fluido in moti elementari.20) Le espressioni (3.19) ux0 + ∂ux 1 x+ ∂x 2 Con passaggi analoghi si ottiene per la componente y di velocit` a uy = uy0 + ∂uy 1 y+ ∂y 2 1 ∂uy ∂ux x+ + ∂x ∂y 2 ∂uy ∂ux x.18) ux = ux0 + ∂x ∂y che contiene i termini precedentemente identificati quanto si riscriva nella forma ux = ux0 + ∂ux 1 ∂ux 1 ∂ux 1 ∂uy 1 ∂uy y= x+ + + − ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂ux ∂uy y+ + ∂y ∂x 2 ∂ux ∂uy y. Per la velocit` di rotazione rigida. (3. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO y lx 67 y l’ x lx ly lx u0 ly x y ly l’ y ∆β ∆θ ∆γ ∆α x x (a) (b) (c) Figura 3.3. dallo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine si pu` scrivere o per la velocit` lungo x a ∂ux ∂ux x+ y.2) possono essere unificate nell’espressione vettoriale ux uy = ux0 + uy0 1 2 ∂uy ∂x ∂ux ∂x + ∂ux ∂y 1 2 ∂ux + ∂uy ∂y ∂x ∂uy ∂y x + y 1 2 0 ∂uy − ∂x ∂ux ∂y 1 2 ∂ux ∂y − ∂uy ∂x 0 (3.22) .19) e (1.6. (3. E consuetudine in fluidodinamica indicare il prodotto scalare tra un tensore ed un vettore con il simbolo “·” al contrario della meccanica dei solidi dove tale operazione ` denotata con ∇u x. Detto allora x lo spostamento della particella nel tempo ∆t si potr` scrivere a (3. a Figura 3.6. Le due notazioni tuttavia indicano di fatto la stessa operazione.10 dove viene evidenziata una deformazione pi` consistende delle particelle vicine u alle pareti a causa dei gradienti di velocit` prodotti dall’aderenza del fluido alla parete a (strato limite). e in cui |O sta ad indicare che il gradiente ∇u ` valutato nel punto O 5 . una rotazione rigida descritta da un tensore e antisimmetrico ed una dilatazione lineare con una deformazione angolare descritte da un tensore simmetrico. Questi due tensori sono.2 ∗ caso generale tridimensionale Pi` in generale le stesse conclusioni si ottengono per il caso tridimensionale considerando u una particella fluida il cui baricentro al tempo t coincida con l’origine di un sistema di assi cartesiani ed immaginiamo che dopo un tempo ∆t la stessa particella si sia portata in una posizione P sufficientemente vicina da poter ritenere accurato uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine. la parte simmetrica ed antisimmetrica del tensore gradiente di velocit`. 3. Bisogna notare che ∇u ` un tensore ed il temine ∇u · x.23) uP = uO + ∇u |O ·x + O(x2 ).10: Deformazione di elementi di fluido (marcati con un tracciante) durante il loro moto all’interno di un canale convergente. indicando il prodotto scalare tra un tensore e ` ed un vettore fornisce come risultato un vettore. rispettivamente. e 5 . CINEMATICA DEI FLUIDI Quest’ultima espressione mette in evidenza che lo stato di moto nell’intorno di un punto ` dato da una traslazione rigida.68 CAPITOLO 3. Una visualizzazione sperimentale della deformazione di particelle fluide ` riportata in e figura 3. 6. 2 (3. Se indichiamo quindi con x .3. esso vi rimarr` indefinitamente confermando che il tensore E produce un moto di deformazione a pura.11: Spostamento di una particella fluida in un tempo ∆t. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO 69 z x P r(t+∆ t) r(t) O x y Figura 3. λ2 e λ3 sono gli autovalori di E. si ottiene dalle espressioni precedenti (3. y e z le componenti del vettore x nella terna principale ˆ ˆ ˆ risulter` E · x = λ1 x x + λ2 y y + λ3 z z . 2 (3. In conclusione possiamo quindi affermare che lo stato di moto nell’intorno di un punto pu` essere descritto nel seguente modo o 1 uP = uO + ω × x + E · x. In base a a questa espressione. se quindi un punto si trova inizialmente su uno dei tre assi. 2 2 (3.25) uP = uO + E · x + Ω · x. introdotta la vorticit` come il rotore del campo di velocit` a a ω = ∇ × v risulta identicamente 1 Ω · x = ω × x. Essendo u un vettore. dove λ1 .26) Per il temine E · x si dimostra invece che si tratta di una deformazione pura: ci` ` oe particolarmente semplice osservando che essendo E un tensore simmetrico i suoi autovalori saranno reali.27) . il termine ∇u sar` un tensore che si pu` quindi decomporre in a o una parte simmetrica ed una antisimmetrica ∇u = 1 1 ∇u + ∇uT + ∇u − ∇uT = E + Ω.24) da cui. Poich` Ω ` un tensore a traccia nulla ed antisimmetrico si pu` vedere che Ω · x ` un e e o e termine di rotazione rigida e. trascurando i termini di ordine superiore al primo. Ponendosi quindi nella terna principale formata dagli autovettori di E questo tensore diventa diagonale ed i termini della diagonale sono gli autovalori stessi. un moto cio` in e e cui non c’` n` rotazione n` deformazione angolare. j = x. z) dei tensori E e Ω in base alle definizioni (3. = 0. ωz = ∂uy ∂ux − = 2Ω ∂x ∂y (3. yx. Se ora calcoliamo gli a e elementi Eij ed Ωij (con i.28) (3.24) risulter` (ponendo xx = x.12a ` riportato l’esempio di una rotazione pura e con velocit` angolare Ω costante intorno all’asse z da cui risulta θ = Ωt e quindi a ˙ x = r cos θ = r cos(Ωt). y = r sin θ = r sin(Ωt).12: Esempi di moto nell’intorno di un punto per una particella fluida: a) rotazione pura.12b ` rappresentato un esempio di dilatazione pura. =⇒ uy = y = −rΩ cos(Ωt) = Ωx. Se infine dalla definizione ω = ∇ × u si calcola la vorticit` si ottiene a ωx = ωy ≡ 0. Ωij = 1 2 1 2 ∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi ∂uj ∂ui − ∂xj ∂xi ≡ 0. b) dilatazione pura.70 CAPITOLO 3. In figura 3. CINEMATICA DEI FLUIDI e a in cui uO ` una velocit` di traslazione pura.31) da cui si vede che in una rotazione rigida la vorticit` ` un vettore con stessa direzione e ae verso del vettore rotazione e modulo doppio. ˙ mentre la componente di velocit` lungo z ` sempre nulla (uz = 0). y. per ij = xy.29) (3. =⇒ ux = x = −rΩ sin(Ωt) = −Ωy. Nella figura 3.30) da cui si pu` confermare che un campo di rotazione pura ha tutti gli elementi di E nulli o mentre il tensore antisimmetrico Ω risulta diverso dal tensore nullo. xy = y ed xz = z): a Eij = Ωyx = −Ωxy = Ω. il secondo termine costituisce una rotazione rigida con velocit` angolare | ω | /2 mentre il terzo termine ` una deformazione pura. a e Si considereranno ora dei semplici campi di moto per mostrare in dettaglio la natura dei termini appena descritti. z Ω θ r l x(t+∆t) l x(t) z y ∆β ∆θ+π/2 Β ∆α Α c) x x y a) x b) y Ο Figura 3. In questo caso si ha banalmente e e e . c) deformazione angolare pura. (3. le componenti di velocit` (per esempio ux ) devono risultare costanti o al a pi` dipendere dalla sola coordinata corrispondente (x). In particolare nell’esempio di figura 3. Al tempo t + ∆t si avr` a invece li (t + ∆t) = li (t) + ui (li )∆t = li (t) + ai li (t)∆t (3. Riassumendo i risultati principali di questo esempio abbiamo trovato che in un moto di dilatazione pura. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO 71 che.33) da cui si pu` scrivere per il volume al tempo t + ∆t o V (t + ∆t) = lx (t + ∆t)ly (t + ∆t)lz (t + ∆t) = (lx + ax lx ∆t)(ly + ay ly ∆t)(lz + az lz ∆t) = = lx ly lz + (ax + ay + az )lx ly lz ∆t + O(∆t2 ) ≈ V (t) + (ax + ay + az )V (t)∆t. z. Se per esempio lo stesso problema venisse descritto in un sistema di riferimento con gli assi coincidenti con le diagonali del parallelepipedo. i = u ı x. allora il tensore E perderebbe la sua struttura diagonale. infine. La somma di tutti i termini sulla diagonale. ` a la traccia del tensore E e ci fornisce la variazione relativa nell’unit` di tempo del volume a considerato che ` pari alla divergenza del campo di velocit`. y.32) Da queste espressioni per le componenti di velocit` si ricava che Ωij ≡ 0 o in modo a a equivalente ωi ≡ 0.6. Per i termini sulla diagonale a di E abbiamo invece visto che sono diversi da 0 e sono esattamente uguali alle variazioni e di velocit` lineare lungo gli assi (ai ). risultando cos` ui = ui0 + ai xi . Se come caso particolare e a si considerasse un flusso incomprimibile il volume di un suo qualunque elemento deve Chiaramente l’assenza di deformazione angolare dipende dal sistema di riferimento nel quale viene descritto il moto. caso al quale ` sempre possibile ricondursi data la simmetria del tensore E. e 6 (3. z e quindi ux = ax x. poich´ le superfici inizialmente complanari con i piani coordinati rimarranno tali e indefinitamente.34) .3. da cui si ricava che la variazione relativa di volume nell’unit` di tempo ` proprio pari alla a e traccia di E 1 ∆V 1 dV (3. y. uy = ay y. il tensore velocit` di rotazione Ω ha tutti i termini nulli mentre nel a tensore velocit` di deformazione E sono nulli solo gli elementi fuori dalla diagonale che a rappresentano quindi una velocit` di deformazione angolare. Se infine indichiamo con li (t) la lunghezza dei lati del parallelepipedo al tempo t possiamo calcolare il volume del solido V (t) = lx (t)ly (t)lz (t). Per il tensore velocit` di deformazione risulta invece Eij = 0 per i = j e Eii = ai da cui si vede che in assenza di deformazione angolare i termini fuori diagonale del tensore E sono nulli 6 . In generale si pu` dire che E risulta diagonale solo quando il sistema di riferimento coincide o con la terna principale.12b si nota che il vertice del parallelepipedo inizialmente nell’origine degli assi rimane nell’origine anche dopo un tempo ∆t il che implica ui0 = 0.35) = lim = ax + ay + az = ∇ · u. i = x. e uz = az z. ∆t→0 V ∆t V dt essendo l’ultimo termine la divergenza del campo di velocit` definita come ∇ · u = a ∂ux /∂x + ∂uy /∂y + ∂uz /∂z. (3. ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∂x ∂y (3. ∂y ∂uy 1 ∂uy AB = OA∆t = ∆t. Da un punto di vista fisico ci` implica che se due lati si dilatano il terzo si deve accorciare o viceversa. CINEMATICA DEI FLUIDI rimanere costante nel tempo e quindi in base alla (3.12c risulta inoltre ∆θ = (π/2+∆α+ ∆β) − π/2 per cui possiamo scrivere per la velocit` di deformazione angolare a ∂uy ∂ux ∆θ ∆α + ∆β ˙ θ = lim = lim = + = 2Exy = 2Eyx . In particolare Eij ` pari al doppio della velocit` di deformazione angolare misurata con i lati inizialmente paralleli agli assi i e j.37) ı Per tutti gli altri elementi di E si ha invece Eij = 0 cos` come risulta Ωij ≡ 0. a Per completare il quadro delle possibilit` ci rimane da considerare il caso di figura a 3.35) si nota che l’incomprimibilit` implica ∇ · u = 0.35) deve risultare ax + ay + az = 0 da cui si vede che le ai non possono avere tutte lo stesso segno. Sempre o dalla (3.72 CAPITOLO 3. questa relazione costituisce a l’equazione di conservazione della massa in forma differenziale per i flussi incomprimibili come verr` ritrovato per altra via nei capitoli successivi. OA ∂x OA ∂x (3. confermando quindi che gli elementi fuori diagonale di E sono legati alla velocit` di deformazione angoa e a lare dell’elemento fluido. Se immaginiamo che inizialmente la forma dell’elemento fluido fosse rettangolare mentre dopo un tempo ∆t l’elemento si ` deformato in un rombo si pu` allora scrivere utilizzando degli sviluppi e o in serie di Taylor per le velocit` (troncati al primo ordine): a ∆α ≈ tan(∆α) = e analogamente ∆β ≈ tan(∆β) = ∂ux ∆t. .12c in cui il campo di moto induce una pura deformazione angolare.36) Da semplici considerazioni geometriche sulla figura 3. Questo argomento costituisce la dinamica dei fluidi e comprende la derivazione delle equazioni di bilancio e conservazione (rispettivamente quantit` di moto. u volume materiale e volume di controllo Immaginiamo in un istante t1 di delimitare un volume V (t1 ) contenente delle particelle fluide che identifichiamo in qualche modo. 4.1 teorema del trasporto di Reynolds Nel capitolo sulla cinematica dei fluidi abbiamo visto come nella descrizione di un fenomeno sia possibile scegliere due punti di vista. Se fossimo in grado di seguire il moto di tutte a le particelle fluide.Capitolo 4 Dinamica dei fluidi Dopo aver definito le propriet` fisiche. ad un tempo t2 > t1 avremo che il volume avr` cambiato posizione e a forma(V (t2 )) e lo stesso accadr` per un tempo successivo t3 > t2 (figura 4. sia esternamente che generate all’interno del fluido stesso.1). Se al contrario si delimita un volume (fisso o mobile) V0 questo 67 . abbiamo anche visto come la derivata materiale permetta di valutare l’accelerazione di una particella fluida che ad un certo istante t passa in un punto fisso nello spazio. Se invece di considerare una singola particella fluida si prende un sistema fluido (ossia un insieme di particelle) ci si pone un problema identico al precedente ma per un sistema finito piuttosto che infinitesimo: il teorema del trasporto di Reynolds permette di legare le quantit` calcolate per un sistema composto sempre dalle stesse particelle a quelle per a un volume fisso nello spazio. Un volume cos` definito prende il nome di volume materiale (o sistema materiale o sistema fluido) ed ı ha la caratteristica di essere composto per qualunque tempo dalle particelle fluide che lo componevano inizialmente. Prima di illustrare tale teorema daremo delle definizioni che ci permetteranno. in seguito. di procedere pi` speditamente. affronterea mo ora il problema del moto dei fluidi come effetto di forze applicate. la statica e la cinematica dei fluidi. uno legato alle singole particelle fluide (descrizione lagrangiana) e l’altro a posizioni fisse nello spazio (descrizione euleriana). massa ed energia) e la loro applicazione a volumi di fluido finiti a (formulazione integrale) o infinitesimi (differenziale). DINAMICA DEI FLUIDI V (t1 ) V0 V (t2 ) V (t3 ) Figura 4.1) V essendo ρ la densit` del fluido nel volume V .1).2. a a a teorema del trasporto di Reynolds Possiamo ora calcolare la variazione nel tempo di una grandezza estensiva B definita in (4. Al contrario se si e misurasse la massa dei sistemi precedenti questa evidentemente crescer` linearmente con a il volume del sistema stesso. una sua definizione in modo oculato semplifica notevolmente la soluzione dei problemi pratici. In particolare. Consideriamo allo scopo un volume di controllo V0 fisso che al tempo t viene preso coincidente con il volume materiale V (t). (4. quindi la temperatura ` una grandezza intensiva. dopo un tempo ∆t il volume materiale si sar` a mosso come disegnato nella figura 4. come si vedr` nelle o a applicazioni. etc. potr` contenere o meno alcune delle particelle fluide del volume materiale. .68 CAPITOLO 4.1 per t = t3 ) che il volume fisso o e non contenga alcuna particella del volume materiale. 2 o 100 metri cubi d’aria questa sar` a sempre la stessa. grandezze intensive ed estensive Definiamo grandezza estensiva B (scalare.1: Evoluzione temporale di un volume materiale (disegnato in rosso) e posizione fissa di un volume di controllo. e a Per esempio se si misura la temperatura di 1. detta b una grandezza intensiva si pu` scrivere o B= ρbdV. Per esempio la massa ` la grandezza estensiva coniugata e all’unit`. Il volume V0 ` chiamato volume di controllo e pu` essere scelto in modo del tutto arbitrario anche se.risultando quindi la massa una grandezza estensiva. e si dir` che B ` la grandezza estensiva a a e coniugata a quella intensiva b. la quantit` di moto alla velocit`. vettoriale o tensoriale) una quantit` il cui a valore dipende dall’estensione del volume V considerato mentre una grandezza intensiva b ` una quantit` indipendente dal valore di V . ma comunque a nel tempo queste varieranno e si pu` verificare (in figura 4. V (t) −→ V0 . n la sua normale ed u la velocit` di traslazione risulter` dV = u · n∆tdS per il volume V2 e dV = −u · n∆tdS per il volume V1 . Il secondo e quarto integrale della (4.4. TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS 69 V0 = V(t)=V+V1 V1 n u V(t+∆t)=V+V2 n u V dS V2 dV Figura 4. ∂t (4. Notiamo ora che il primo e terzo integrale dell’equazione (4.2: Moto relativo dopo un tempo ∆t tra un volume di controllo fisso ed un volume materiale inizialmente coincidenti.2) In base alla figura 4.4) avendo notato che per t −→ 0. (4. Per la variazione nel tempo di B possiamo scrivere d dB = dt dt V (t) ρbdV = lim V (t+∆t) ∆t−→0 ρbdV − ∆t V (t) ρbdV .5) = lim ∆t−→0 S2 (ρb)t+∆t u · ndS + S1 (ρb)t u · ndS = S0 .3) in cui tutte le funzioni integrande sono calcolate al tempo relativo al volume di appartenenza.2 che. (4. Per gli altri due integrali osserviamo dalla figura 4.1. detto dS un elemento di a a superficie del volume V0 . (4.3) diventeranno allora ∆t−→0 lim V2 (ρb)t+∆t dV − ∆t V1 (ρb)t dV = ρbu · ndS.2 possiamo scrivere V (t) = V + V1 e V (t + ∆t) = V + V2 da cui dB = lim ∆t−→0 dt V (ρb)t+∆t dV + V2 (ρb)t+∆t dV − V (ρb)t dV − V1 (ρb)t dV ∆t .3) sono valutati sullo stesso dominio V ma gli integrandi sono calcolati in tempi differenti per cui si ha ∆t−→0 lim V (ρb)t+∆t dV − ∆t V (ρb)t dV = V0 ∂ρb dV. 9) oppure in base al teorema del trasporto di Reynolds ∂ρ dV + ∂t ρu · ndS = 0. al e a e contrario. prendendo un sistema materiale e avendo. (4.1) che b = 1 da cui la conservazione della massa si esprimer` a d dM = dt dt V (t) ρdV = 0. (4.5) possiamo scrivere dB = dt V0 ∂ρb dV + ∂t S0 ρbu · ndS.4) e (4. ponendo quindi B = M ne conseguir` a dalla (4. una interna al sistema stesso e quindi dovuta a variazioni di b all’interno del volume V . (4. dovendo valutare il flusso di ρb attraverso dS non saremo pi` interessati alla velocit` assoluta del fluido ma piuttosto alla velocit` relativa tra il u a a a fluido e la superficie S0 . a u La relazione (4.8) 4.1 equazione di conservazione della massa forma integrale Avremo ora modo di apprezzare la potenza della relazione (4.70 CAPITOLO 4. V0 ` in movimento. S1 + S2 −→ S0 .2 4. risultando nulla la velocit` di S0 (e di dS) non a nascono dubbi e u ` la velocit` con cui si muove il fluido nel punto considerato.10) V0 S0 . Nel primo caso. Indicata allora con v la velocit` del fluido e con ur quella di S0 risulter` u = v − ur e quindi a d dB = dt dt V0 ρbdV + S0 ρb(v − ur ) · ndS. Iniziamo dall’equazione di conservazione della massa. DINAMICA DEI FLUIDI e dove si ` indicata con Si la parte di superficie di V0 in comune con il volume Vi e si ` e utilizzato il fatto che per t −→ 0.6) con la quale abbiamo messo in relazione la grandezza B calcolata su un volume materiale con quantit` calcolate su un volume di controllo e quindi di pi` facile valutazione. Se ora mettiamo insieme i risultati delle (4. Se. L’altra possibilit` ` a e causata da scambi del sistema attraverso la sua superficie. (4. ossia il flusso di b attraverso S.6) ci dice che le variazioni di B hanno due cause. dalla stessa definizione. (4. Se la funzione ρbu ` continua e differenziabile allora il secondo integrale della (4. che la sua massa M non varia nel tempo.7) Un’ultima precisazione ` necessaria circa il significato fisico di u a seconda che V0 sia e fisso o in movimento.6) (e le sue forme derivate) nella determinazione delle equazioni di bilancio e di conservazione.6) si e pu` trasformare utilizzando il teorema della divergenza e scrivere o dB = dt V0 ∂ρb dV + ∂t V0 ∇ · (ρbu)dV.2. 2 forma differenziale Se il volume di controllo ` fisso e sussistono le condizioni per l’applicazione del teorema e della divergenza la (4. 4. l’espressione (4. infatti.4 m2 p2 = 30 kPa Soluzione Dall’equazione di stato applicata alla sezione di ingresso si ricava ρ1 = ˙ ˙ p1 /(RT1 ) = 4.10) si pu` scrivere come o ∂ρ + ∇ · (ρu) dV = 0.2.039 Kg/s ed ˙ U1 = V /S1 = 240. (4. In tal caso. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA 71 L’espressione (4.10) esprime la conservazione della massa in forma integrale e risulta particolarmente utile nelle applicazioni quando il fenomeno in esame ` stazionario. Dalla conservazione della massa deve risultare −ρ1 U1 S1 + ρ2 U2 S2 = 0 (in quanto u1 · n1 = −U1 mentre u2 · n2 = U2 ) da cui si ricava U2 = ρ1 U1 S1 /(ρ2 S2 ) = 61.11) ` particolarmente semplice da applicare nel caso in cui il volume di e controllo selezionato abbia un numero finito di porzioni (N ) attraverso le quali ci sia flusso di massa e su queste porzioni le caratterstiche del flusso (velocit` e densit`) possano essere a a considerate costanti.714 m/s.12) che permette. Sapendo che le sezioni a di ingresso ed uscita misurano S1 ed S2 calcolare le velocit` di ingresso ed uscita del flusso. in e questo caso infatti il primo termine risulta identicamente nullo mentre il secondo fornisce semplicemente il flusso di massa attraverso la superficie del volume di controllo: S0 ρu · ndS = 0. ESEMPIO ˙ Una portata d’aria V entra in un sistema alla pressione p1 ed alla temperatura T1 ed esce alla stessa temperatura ma alla pressione p2 . di determinare un flusso incognito noti gli altri.19 m/s. ∂t (4.4. p 1 n1 T1 S1 p U1 V S2 U2 n2 ˙ V = 12 m3 /s T1 = 188 K p1 = 216 kPa S1 = 0.13) V0 . (4.11) L’equazione (4. tramite semplici relazioni algebriche.2 m2 S2 = 1.003 Kg/m3 per cui risulta m = ρ1 V = 48.2.11) diviene N i=1 ρi ui · ni Si = 0. e possiamo distinguere tra le forze di contatto FS . L’equazione (4.13) impone l’uguaglianza per qualunque scelta di V0 . 4.14) ∂t che ` l’equazione di conservazione della massa in forma differenziale. o mentre per esprimere F bisogna distinguere i vari tipi di forze che agiscono sul sistema.16) viene risostituita nella (4. e le forze di volume FV che agiscono anche sulle particelle fluide interne al volume materiale. Il primo membro della (4.15) si riduce a ∇ · u = 0.3. Se la relazione (4. Iniziamo con il definire Q = V0 ρudV e. Senza elencare nel dettaglio tutte le possibili forze agenti sul volume materiale di fluido. a e o e ossia ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0. mentre la forza peso.17) dove con F sono state indicate tutte le forze che agiscono sul volume materiale in esame.15) ∂t da cui emerge che nel caso particolare di flusso incomprimibile Dρ/Dt = 0 la (4. 1 .17) si pu` esplicitare tramite il teorema del trasporto di Reynolds. utilizzando il secondo principio della dinamica possiamo scrivere: dQ = F. DINAMICA DEI FLUIDI e dobbiamo a questo punto notare che la scelta del volume di controllo V0 ` assolutamente arbitraria mentre la relazione (4. ` evidente che la densit` di una particella in un flusso incomprimibile non pu` variare e e a o quindi la sua derivata materiale deve essere nulla.1 equazione di bilancio della quantit` di moto a forma integrale Per derivare l’equazione di bilancio della quantit` di moto Q. quelle cio` che agiscono solo attraverso azioni di contatto sulla superficie S del volume materiale.15) si ottiene che la derivata materiale della densit` a ` nulla.14) e si pu` anche scrivere o ∂ρ + u∇ · ρ + ρ∇ · u = 0. procediamo in modo analogo a alla sezione precedente. (4. ∂t Dt Ricordando che la derivata materiale indica la variazione misurata da un osservatore solidale con la particella fluida. (4.16) relazione gi` trovata per altra via quando si ` considerata l’analisi del moto nell’intorno a e di un punto 1 .3 4. (4. L’unica possibilit` affinch´ ci` si verifichi ` che sia identicamente nulla la funzione integranda. la forza centrifuga e quella di Coriolis fanno parte della seconda categoria. Tra le prime possiamo annoverare le forze di pressione e le forze viscose. e Dρ ∂ρ + u∇ · ρ = = 0. dt (4.72 CAPITOLO 4. a Se ` possibile applicare il teorema della divergenza questa relazione pu` essere trasfore o mata in ∂ρu (−∇p + ∇ · τ + ρf )dV. EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA DI MOTO 73 Tra le forze di contatto possiamo ulteriormente distinguere l’azione della pressione da quella delle altre forze (come l’attrito) e porre FS = − S0 pndS + F S . e a ρ .2 forma differenziale FS = T · ndS e FV = ρf dV. (4. In e e a e questa decomposizione il tensore degli sforzi di superficie T viene decomposto in una parte isotropa dovuta alla pressione ed una parte deviatorica dovuta alla viscosit`. a Mettendo insieme la definizione di Q. (4. le espressioni (4.14) moltiplicata per u si ottiene Du = −∇p + ∇ · τ + ρf . I ` il tensore identit` e τ ` la parte deviatorica degli sforzi viscosi.3. (4.19) dV + V0 ∂t S0 S0 Questa espressione trova largo uso nel caso di flussi stazionari e la sua applicazione e relativi esempi verranno trattati in §4. Anticipando a e ora un risultato che sar` dimostrato successivamente.17) e (4.22) + ∇ · (ρuu) dV = ∂t V0 V0 dove si pu` osservare di nuovo che.3. (4.3.20) Senza perdita di generalit` poniamo a S0 V0 in cui f ` la densit` delle forze di volume (nel caso della sola forza peso f risulterebbe essere e a l’accelerazione di gravit`) mentre T ` il tensore degli sforzi di superficie. poniamo T = −pI + τ in cui p a ` la pressione. dovendo sussistere l’identit` dei due membri per o a qualunque scelta del volume di controllo V0 .23) viene sottratta o l’equazione (4.20) ed il teorema del trasporto di Reynolds si ottiene ∂ρu ρuu · ndS = − pI · ndS + τ · ndS + ρf dV. 4.18) per cui dalla definizione di Q ed il teorema del trasporto di Reynolds si ottiene ∂ρu ρuu · ndS + pndS = F S + FV .21) dV + V0 ∂t S0 S0 S0 V0 che esprime il bilancio di quantit` di moto in forma integrale. (4. (4. devono necessariamente risultare uguali le funzioni integrande da cui ∂ρu + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τ + ρf . (4.24) Dt che ` un’altra forma differenziale dell’equazione di bilancio della quantit` di moto.3. e a Come semplice esercizio si pu` dimostrare che se all’equazione (4.` 4.23) ∂t che ` l’equazione di bilancio della quantit` di moto in forma differenziale. N attraverso le quali c’` flusso di massa e la N e rimanente superficie S = S0 − i=1 Si che o ` impermeabile o soddisfa la condizione di aderenza u = 0 e quindi avr` un flusso di massa nullo.27) avendo indicato con F la risultante di tutte le forze di volume. Si verifica infatti che le fluttuazioni delle grandezze e rispetto ad i valori medi siano generalmente contenute e ci` consente di ipotizzare che il o termine contenente la derivata temporale della quantit` di moto sia trascurabile rispetto a agli altri. .25) Distinguendo in modo analogo i contributi del termine di pressione scriviamo S0 pI · ndS = N i=1 Si pI · ndS + S pI · ndS = N pnSi + Fps i=1 (4. i = 1.. ..3.3 applicazione dell’equazione di bilancio della quantit` di a moto Le relazioni (4. In tal caso ipotizzando che le a a grandezze siano costanti su ognuno dei tratti di S0 risulter`: N i=1 Si N i=1 S0 ρuu · ndS = ρuu · ndS + S ρuu · ndS = ρuu · nSi . (4. Con queste assunzioni l’equazione (4..21) diventa N i=1 (ρuu · n + pn)Si = F (4. DINAMICA DEI FLUIDI 4.26) dove con Fps si ` indicata la risultante di tutte le forze di pressione che la superficie di e controllo senza flusso di massa esercita sul fluido (per esempio le reazioni vincolari). Notiamo a questo punto che. L’assunzione pi` comune ` quella di flusso u e stazionario in cui tutte le variazioni temporali delle grandezze sono nulle. 2.74 CAPITOLO 4. quelle viscose e quelle di pressione esercitate dalle porzioni di S0 attraverso cui non transita massa.17)–(4. detta S0 la superficie del volume di controllo avremo e in certo numero di porzioni Si . Bisogna osservare che nella pratica un flusso non ` mai strettamente stazionario ossia ∂ • /∂t ≡ 0 ma e lo ` quasi sempre in senso statistico.21) possono essere ridotte a forme pi` maneggevoli per applicazioni u pratiche sotto alcune ipotesi semplificative. 273 N. Determinare modulo e verso delle forze orizzontali e verticali necessarie a mantenere l’ugello fermo.025 m2 p1 = 1.53 N la e a forza aggiuntiva verso il basso sar` Fy = −588. preso il fluido all’interno del a condotto come volume di controllo e dette 1 e 2. L’ugello smaltisce una portata Q. poich´ l’ugello vuoto pesa gi` W = 127.` 4.015 m3 S2 = 0.3.5 bar Q = 0. rispettivamente le sezioni di ingresso ed uscita si ottiene 2 2 Fy = −ρU1 S1 − (p1 − p0 )S1 + ρU2 sin αS2 + ρgV = −715. a .55 N avendo preso l’asse x orizzontale e l’asse y verticale ed orientato verso l’alto.1 m3 /s V = 0. e α S2 75 g Q S1 p1 α = 40o W = 13 Kg S1 = 0. Il peso dell’ugello vuoto ` W ed il volume d’acqua e contenuta ` V . I valori per U1 = 4 m/s ed U2 = 12.5 m/s sono stati ricavati dalla portata Q e la superficie S delle sezioni.61 N 2 Fx = ρU2 cos αS2 = 957. Infine.008 m2 (pressione assoluta) Soluzione Dall’equazione di bilancio della quantit` di moto. EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA DI MOTO ESEMPIO Dell’acqua fluisce nell’ugello in figura dalla sezione 1 alla 2 dove scarica in atmosfera. ` presente un flusso stazionario che entra e uniformemente con velocit` U ed esce con profilo parabolico. DINAMICA DEI FLUIDI ESEMPIO In un canale piano. 0 In questa relazione c’` ancora come incognita u(y) che deve avere una forma e parabolica e deve preservare la massa: h 0 u(y)dy = U h.76 CAPITOLO 4. come in figura. Essendo il canale posto verticalmente. =⇒ u(y) = 6U y y − h h 2 .2 m l=b=1m U = 0. Proiettando l’equazione lungo la direzione verticale positiva si ottiene: h −ρU 2 bh + ρb u2 (y)dy + bh(p2 − p1 ) + ρgbhl = Fx . Sono note le presa e sioni p1 e p2 uniformi sulle sezioni iniziali e finali ed il fluido ` acqua. .5 m/s p1 = 1. da cui h 0 u2 (y)dy = 6U 2 h/5 e di conseguenza Fx = −1030 N.15 · 105 Pa p2 = 105 Pa U p1 b Soluzione Si utilizza l’equazione di bilancio della quantit` di moto in forma integrale per a flussi stazionari. a u(y) p2 y l h h = 0. calcolare la risultante delle forze viscose per unit` a di profondit` b. Sapendo che il tubo ha e sezione costante S e che ` orizzontale. ossia la grandezza intensiva coniugata ad E possiamo scrivere d dE = dt dt ˙ ˙ ρEdV = L + Q (4.28) Se ora indichiamo con E l’energia totale specifica.854 · 10−3 m2 p1 = 6 atm Q = 7.30) V0 S0 . Fy = −ρu2 S1 − ρu2 S2 − p1 S1 − p2 S2 = −9924 N. x 77 y 2 S = 7. (4.4. calcolare le forze Fx ed Fy necessarie a e mantenere fermo il tubo. scriviamo a dE ˙ ˙ = L + Q. 4. partiamo dal primo principio della termodinamica che sancisce.4 4.4. Indicando con E il contenuto totale di energia del volume materiale. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ESEMPIO Un flusso stazionario d’acqua entra nella sezione 1 con portata Q ed esce dopo e aver compiuto una curva di 1800 dalla sezione 2. 1 2 essendo u1 = u2 = Q/S = 10 m/s. e ˙ ˙ con L e Q rispettivamente il lavoro fatto sul sistema ed il calore introdotto nel sistema.1 equazione di conservazione dell’energia forma integrale Per la formulazione dell’equazione di conservazione dell’energia per un fluido. La pressione (media) in 1 ` P1 mentre quella in 2 ` p2 (p2 < p1 ) a causa delle perdite. l’equivalenza tra le varie forme di energia.29) V e quindi usando il teorema del trasporto di Reynolds ∂ρE dV + ∂t ˙ ˙ ρEu · ndS = L + Q.5 atm 1 Soluzione Dall’equazione di bilancio della quantit` di moto in forma integrale si ha: a Fx = 0.854 · 10−2 m3 /s p2 = 4. di fatto.4. entrambi per unit` di tempo. dt (4. Il segno negativo in QS = − S0 K · ndS ` invece causato dall’orientamento di n che ` positiva se punta esternamente al sistema.30) possiamo scrivere d dE = dt dt ˙ ˙ ˙ ˙ ρEdV = LS + LV + QS + QV . ˙ che ` l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale.3 4. dividiamo anche L e Q nei contributi di volume e superficie e per il lavoro fatto dalle forze di volume e superficie abbiamo ˙ ˙ LS = (T · n) · udS e LV = ρf · udV.31) e (4.31) S0 V0 Per il calore.4.4. quello nella definizione di K deriva dal fatto che naturalmente il calore va da punti di Q a temperatura maggiore a punti a temperatura minore. (4. Utilizzando ora le espressioni (4. per flussi di e calore entranti nel sistema. ossia si muove in verso opposto ˙ e rispetto al gradiente di temperatura.33) V e quindi usando le definizioni (4.29) e (4. ˙ (4.32) ed il teorema del trasporto di Reynolds ∂ρE dV + ∂t ρEu · ndS = − + p(I · n) · udS + τ (τ · n) · udS + ρf · udV + (4. da cui il segno negativo. L’espressione (4. DINAMICA DEI FLUIDI che ` l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale. Usando nelle solite e ipotesi il teorema della divergenza si possono ridurre tutti i termini ad un integrale di volume ed ipotizzando un volume di controllo fisso si ha ∂ρE + ∇ · (ρEu) dV = ∂t (4. Tali dettagli con esempi verranno forniti in §4.2 forma differenziale ˙ ˙ In modo analogo alle forze precedentemente introdotte.30) ` di e e fondamentale importanza per le applicazioni anche se necessita di maggiori dettagli nelle ˙ ˙ definizioni di L e Q per poter essere utilizzata. poniamo q il calore per unit` di volume generato internamente al sistema ˙ a (per esempio per processi chimici o assorbimento di radiazione) e K il flusso di calore per unit` di superficie che entra nel sistema attraverso la superficie esterna.78 CAPITOLO 4. (4. Poich´ e e K ` positivo se entrante nel sistema il prodotto K · n risulterebbe negativo. Risultando in a base al postulato di Fourier K = −λ∇T (essendo λ la conducibilit` termica del materiale a e ∇T il gradiente di temperatura) possiamo porre ˙ QS = − S0 K · ndS = S0 λ∇T · ndS ˙ e QV = V0 ρqdV.32) Vogliamo brevemente commentare i vari segni negativi che compaiono nella definizione ˙ S .34) V0 S0 S0 S0 V0 S0 λ∇T · ndS + V0 ρqdV.35) V0 . 36) sottraiamo l’equazione (4.28)-(4. e 4. .35) da cui ne consegue l’equazione di conservazione dell’energia in forma differenziale ∂ρE τ + ∇ · (ρEu) = −∇ · (pu) + ∇ · (τ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq.28)–(4. ˙ Dt (4.4. h ed e (per esempio considerandone i valori mediati sul volume e la quota del baricentro). EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA = τ (−∇ · (pu) + ∇ · (τ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq) dV. l’applicazione delle equazioni (4. le equazioni e e (4.36) Analogamente a quanto fatto per il bilancio della quantit` di moto notiamo che se a all’equazione (4. ˙ ∂t (4. ossia non c’` flusso di massa attraverso la sua superficie.38) si trasforma in u2 m + gh + e 2 u2 − + gh + e 2 f in = ∆L + ∆Q ini (4.4.37) che ` un’ulteriore forma dell’equazione di conservazione dell’energia in forma differenziale.39) che mette in relazione gli stati iniziali e finali del sistema quando siano note le quantit` a di lavoro e calore fatti sul sistema durante il lasso di tempo trascorso tra i due stati.29) possono essere messe in una forma particolarmente utile dal punto di vista applicativo.14) moltiplicata per E otteniamo ρ DE τ = −∇ · (pu) + ∇ · (τ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq. Infatti.34) a risulta notevolmente semplificata nel caso in cui si possano fare alcune assunzioni che vengono verificate in numerosi casi pratici. 2 (4. uno potenziale gh ed uno di energia interna e l’equazione (4. sistemi chiusi Se il sistema ` chiuso. se nell’energia totale specifica E si contempla un contributo cinetico u2 /2.4.38) V Con l’ulteriore ipotesi che il sistema sia caratterizzabile da un unico valore di u.3 applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia Similmente al bilancio della quantit` di moto.29) assume la forma d dt ρ u2 ˙ ˙ + gh + e dV = L + Q. la relazione (4. essendo la massa m = V vρdV costante. ˙ 79 V0 Anche in questo caso noteremo che data l’assoluta arbitrariet` del volume di controllo V0 a devono risultare uguali le funzioni integrande a primo e secondo membro della (4. 40) S0 S0 ˙ ˙ Q indica gli ultimi due termini della (4. Con le ulteriori ipotesi che il sistema abbia una sola sezione di ingresso (Sin ) ed una sola di uscita (Sout ) e che le grandezze possano considerarsi costanti su tali sezioni gli integrali si semplificano in S0 ρEu · ndS = E S0 ρu · ndS = m(Eout − Ein ). ˙ (4.40) assume la forma m ˙ p u2 + e + + gh 2 ρ p u2 − + e + + gh 2 ρ out ˙ ˙ = Q + LM . E ` diverso da zero solo su quelle porzioni della superficie di controllo dove si ha flusso di e massa in quanto negli altri casi la velocit` o ` ortogonale ad n (contorno impermeabile) a e o risulta identicamente nulla (parete con condizione di aderenza).34) che possiamo scrivere come: ρEu · ndS = − ˙ ˙ p(I · n) · udS + Q + LM . DINAMICA DEI FLUIDI Se.34)) che si ` e ` importante notare che quest’ultimo distinto dal lavoro delle pressioni S0 p(I · n) · udS.41) S0 p(I · n) · udS = p ρ n · udS = m ˙ S0 ρ p ρ − out p ρ . . (4.42) I termini e + p/ρ sono per definizione l’entalpia h = Cp T che pu` talvolta essere nota in o ingresso e/o in uscita. ˙ ˙ ˙ Con la stessa definizione per l’energia totale specifica E fatta nella sezione precedente l’equazione (4.34) mentre con LM si ` indicato il lavoro meccanico e sul sistema (rappresentato dal terzultimo e quartultimo termine della (4. invece il sistema ` aperto ma il flusso ` stazionario (o statisticamente stazionario) e e il termine contenente la derivata temporale scompare nella (4. in dopo aver osservato che risulta mout ≡ min = m per la conservazione della massa.80 sistemi aperti CAPITOLO 4. in (4. 4. Dall’equazione di stato dei gas perfetti ρ0 = p0 /(RT0 ) = 1.4) e dalla costanza della a massa ρ0 h = ρI (h − ∆h) da cui ∆h = 0. inizialmente ad una distanza h comprime con una forza F il sistema fino all’equilibrio quale sar` la temperatura finale a dell’aria nel cilindro? Considerare il fenomeno isentropico.088 m. Nella relazione appena scritta risulta gz0 = gz1 ed u0 = u1 = 0 e ∆Q = 0. Se un pistone. Infine.4. D’altra parte essendo la trasformazione isentropica dovr` risultare a γ 3 p0 /pI = (ρ0 /ρI ) da cui ρI = 1. Per determinare la quantit` e di lavoro fatta sul sistema basta osservare che il pistone comprimer` l’aria fino a a quando la pressione interna bilancer` la forza esterna (somma della forza apa plicata e di quella esercitata dalla pressione atmosferica) pI = p0 + F/(πR2 ) = 133146 Pa.2 m T0 = 290 K h = 0.97 J.0764 Kg. 81 R T0 h p 0 R = 0. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ESEMPIO Un cilindro circolare di raggio R contiene dell’aria alla temperatura iniziale T0 ed a pressione atmosferica.479 Kg/m (con γ = 1. .217 Kg/m3 per cui a la massa del sistema ` m = ρ0 πR2 h = 0. essendo e = Cv T dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi chiusi si ricava T1 = T0 + ∆L/(Cv m) = 317 K. Il lavoro fatto sul sistema sar` 2 quindi ∆L = (F + p0 πR )∆h = 1481.5 m F = 4000 N F Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi chiusi si scrive: m e1 + u2 u2 1 + gz1 − e0 + 0 + gz0 2 2 = ∆L + ∆Q. Dall’equazione di stato dei gas perfetti si ricava ρ1 = p1 /(RT1 ) = 9.153 Kg/m3 e a o quindi m = ρ1 S1 u1 = 14. (Trascurare il calore scambiato dalla camera di combustione con l’esterno. Note queste quantit` si pu` calcolare T2 ˙ dall’equazione di sopra: T2 = ˙ MP u2 u2 + (CV + R)T1 + 1 − 2 /(CV + R) = 666. DINAMICA DEI FLUIDI ESEMPIO ˙ In una camera di combustione c’` un flusso di massa di combustibile M .645 Kg/s. Lm = 0 e Q = P M . ˙ ˙ ˙ Nella relazione appena scritta risulta gz2 = gz1 . V 1 p1 T1 S1 l S2 V 2 S1 = S2 = 0. m ˙ 2 2 .64 K. trascurare la variazione di portata in massa dovuta all’introduzione di combustibile e considerare il gas come perfetto e con le caratteristiche dell’aria). Calcoe lare la temperatura di uscita del gas utilizzando i dati in figura ad essumendo che il combustibile bruci totalmente tra le sezioni 1 e 2 con potere calorifico inferiore P .82 CAPITOLO 4.1 m2 ˙ M = 0.1 Kg/s V2 = 60 m/s T1 = 270 K P = 14000 Kcal/Kg V1 = 16 m/s p1 = 7 atm Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi aperti si scrive: m ˙ u2 p2 u2 p1 2 e2 + + gz2 − e1 + 1 + + gz1 + 2 ρ2 2 ρ1 ˙ ˙ = Lm + Q. 4.4. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ESEMPIO A causa delle infiltrazioni nel terreno dell’acqua fluisce in modo stazionario da un lago in quota ad uno pi` in basso di una quota h. Calcolare l’aumento di u temperatura dell’acqua causata dal passaggio da una bacino all’altro. 83 280 m Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia applicata tra i peli liberi dei due bacini (u1 = u2 = 0, p1 = p2 = p0 ), essendo nulli lavoro e calore trasmessi al sistema si ha m[(CT + gh)2 − (CT + gh)1 ] = 0, ˙ essendo C = 4186.8 J/(Kg K). ∆T = gh/C = 0.656 K, 84 CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI ESEMPIO ˙ Una portata d’aria V entra in un compressore alla pressione p1 ed alla temperatura T1 ed esce alla pressione p2 . Calcolare la potenza assorbita dal compressore sapendo che le sezioni di ingresso ed uscita misurano S1 ed S2 e supponendo l’intero processo isentropico ed il compressore adiabatico. S1 p1 T1 V p2 S2 ˙ V = 20 m3 /s T1 = 288.15 K p1 = 124 kPa S1 = 1.2 m2 S2 = 0.4 m2 p2 = 630 kPa Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale u 2 u2 ˙ ˙ m h2 − h1 + 2 − 1 gz2 − gz1 = Q + Lm , ˙ 2 2 ˙ in cui risulta z1 ≈ z2 e Q = 0. Dall’equazione di stato applicata alla sezione di ingresso si ricava ρ1 = ˙ ˙ ˙ p1 /(RT1 ) = 1.499 Kg/m3 , m = ρ1 V = 29.988 Kg/s ed U1 = V /S1 = 16.666 m/s. L’equazione isentropica tra le sezioni 1 e 2 fornisce T2 = T1 (p2 /p1 )(γ−1)/γ = 458.468 K e dall’equazione di stato ρ2 = p2 /(RT2 ) = 4.788 Kg/m3 . Dalla ˙ conservazione della massa U2 = m/(ρ2 S2 ) = 15.657 m/s e quindi 2 2 ˙ Lm = [Cp (T2 − T1 ) + (U2 − U1 )/2] = 5.13 MW. 4.5 ∗ forma differenziale vs forma integrale Nelle tre sezioni precedenti abbiamo derivato le equazioni di conservazione della massa e dell’energia e di bilancio della quantit` di moto presentando per ogni equazione una forma a integrale ed una differenziale. Ci chiediamo ora quale sia la differenza sostanziale tra le due forme di equazione ed in quali applicazioni utilizzare l’una o l’altra forma; cercheremo di chiarire questo punto mediante due semplici esempi. Nel dispositivo di figura 4.3 vengono a contatto due correnti a velocit` costante U1 ed a U2 e, se il tubo (cilindrico) ha lunghezza sufficiente, con buona approssimazione la corrente in uscita ha velocit` uniforme; ci chiediamo quale sia il valore della velocit` di uscita U a a data la geometria assialsimmetrica di figura. Il problema pu` essere semplicemente risolto o considerando l’equazione di conservazione della massa in forma integrale (4.10) che, data 4.5. ∗ FORMA DIFFERENZIALE VS FORMA INTEGRALE 85 n r r2 r1 n n Figura 4.3: Dispositivo per il miscelamento di correnti a diversa velocit`. a la stazionariet` del flusso si riduce a a S0 U U2 U1 u ρu · ndS = 0. (4.43) Preso allora il volume di controllo indicato in figura con una linea tratteggiata si ha che il mantello cilindrico laterale non d` alcun contributo in quanto u · n ≡ 0 mentre dai a contributi delle superfici di destra e di sinistra risulta S0 ρu · ndS = −U1 S1 − U2 S2 + U S = 0, =⇒ U = U1 S1 + U2 S2 , S (4.44) 2 2 risultando S1 = πr1 , S2 = π(r2 − r2 ) e S = πr2 . Come secondo esempio consideriamo un campo bidimensionale di velocit` e densit` a a tali che in un intervallo temporale compreso tra t1 = 1s e t2 = 2s e nell’intorno del punto x = (1, 1/2) possano essere descritti dalle espressioni ρu = (ρux , ρuy ) = (6xt2 + 4t, 4y 2 t + 8xt + 12t2 )Kg/(m2 s); sapendo che nel punto x al tempo t1 = 1s la densit` vale a a ρ = 25Kg/m3 calcolare il valore della densit` nello stesso punto al tempo t2 = 2s. Poich´ questa volta si tratta di determinare il valore locale di una quantit` bisogner` e a a usare una relazione differenziale. Presa in particolare l’equazione (4.14) possiamo scrivere ∂ρ = −∇ · (ρu), ∂t con ∇ · (ρu) = 6t2 + 8yt, (4.45) da cui si ottiene per integrazione tra i tempi t1 e t2 t2 t1 ∂ρ dt = − ∂t t2 t1 (6t2 + 8yt)dt, =⇒ ρ(t2 ) = ρ(t1 ) − [2t3 + 4yt2 ]t2 = 1Kg/m3 . t1 (4.46) Dagli esempi discussi possiamo riassumere dicendo che se in un problema siamo interessati a valori o variazioni puntuali di grandezze fluidodinamiche allora bisogna ricorrere alle relazioni differenziali che forniscono una soluzione estremamente dettagliata (funzioni 86 CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI Figura 4.4: Esempio di flusso all’interno del dispositivo di miscelamento. La linea spezzata tratteggiata ` un esempio di volume di controllo inappropriato. e dello spazio e del tempo) a costo di una notevole complessit` (pi` spesso impossibilit`) a u a di soluzione del problema. Se al contrario, l’obiettivo dell’indagine ` una grandezza gloe bale come un profilo medio di velocit` o la risultante di forze allora le relazioni in forma a integrale sono pi` utili in quanto permettono sotto opportune condizioni semplificative di u determinare le grandezze sul contorno del volume di controllo senza conoscere ci` che aco cade al suo interno. Per esempio nel precedente dispositivo di miscelazione, la zona subito a valle dell’inflow, dove le due correnti vengono a contatto, sar` una regione caratteriza zata da intense fluttuazioni e disomogeneit` del flusso (figura 4.4), per analizzare le quali a bisogna senz’altro ricorrere a relazioni di tipo differenziale. Se tuttavia si ` interessati e solo a quello che accade nella sezione di uscita del dispositivo allora si pu` trascurare la o dinamica del flusso al suo interno e considerare il miscelatore come una scatola nera nella quale entra un flusso con certe caratteristiche ed esce con altre caratteristiche. La figura 4.4 ci d` anche lo spunto per discutere la scelta del volume di controllo per a la soluzione di un problema. Da un punto di vista teorico, infatti non esistono volumi di controllo sbagliati visto che le relazioni utilizzate sono valide per qualunque V0 . La soluzione dell’esempio precedente, tuttavia ha mostrato che l’uso delle relazioni in forma o integrale implica la valutazione di integrali di superficie e la scelta della superficie S0 pu` risultare determinante per l’effettiva possibilit` di valutare i suddetti integrali. Se per a esempio invece del primo volume di controllo si fosse scelto quello indicato con la linea tratteggiata in figura 4.4, la valutazione del flusso di massa lungo S0 avrebbe richiesto dei dati non disponibili dal problema. Vogliamo infine notare che tutte le equazioni in forma integrale, risultano realmente semplici da risolvere solo quando si riducono alla valutazione di integrali di superficie in quanto in caso contrario, il calcolo degli integrali di volume richiede ugualmente la conoscenza delle quantit` all’interno del volume di controllo. Ci` ` particolarmente vero a oe per il termine non stazionario d/dt V0 ρbdV per la valutazione del quale occore conoscere la distribuzione della grandezza intensiva b nel volume V0 . Nelle applicazioni pratiche, purtroppo, il flusso non ` quasi mai stazionario e ci` sembrerebbe diminuire fortemente e o l’utilit` delle relazioni integrali. a Possiamo comunque osservare che se un flusso ha delle fluttuazioni a media nulla, ossia mixing zone 4.6. ∗ IL TENSORE DEGLI SFORZI 87 se le grandezze fluidodinamiche oscillano nel tempo intorno ad un valore medio che rimane costante, allora il flusso si considera statisticamente stazionario e si pu` nuovamente o tornare ad usare le relazioni integrali per flussi stazionari. ∗ 4.6 il tensore degli sforzi Quando sono state derivate le equazioni di bilancio della quantit` di moto e di conservaa zione dell’energia ` stato introdotto il tensore delle forze di superficie T senza specificare e come esso sia legato allo stato di moto nell’intorno di un punto; in questa sezione verr` a data la forma esplicita di T e verranno discusse le ipotesi fisiche che determinano la relazione tra sforzi viscosi e campo di velocit`. Come primo punto bisogna giustificare per T a la forma di tensore ed a tale scopo consideriamo le due situazioni disegnate in figura 4.5. Nella prima (figura 4.5a) vogliamo determinare le caratteristiche delle azioni di superficie relativamente ad un contorno piano la cui normale abbia una sola direzione. Possiamo osservare che in questa particolare situazione una forza F applicata alla superficie S generer` tre sforzi che possiamo definire come sx = Fx /S, sy = Fy /S ed sz = Fz /S. a Proseguiamo l’analisi di s osservando che ` definito come le azioni di superficie che il fluido e esternamente al sistema esercita sul sistema stesso, la distinzione tra esterno ed interno ` fornita dalla normale il cui verso positivo ` quello uscente. Per il terzo principio della e e dinamica si ha che l’azione di superficie esercitata dal sistema sull’esterno sar` punto per a punto uguale ed opposta dovr` quindi risultare s(−n) = −s(n), ossia s ` una funzione a e dispari di n. Nell’esempio precedente abbiamo visto come si comportano gli sforzi s su una superficie con normale n essendo assegnata una forza F; ricordiamo ora che il nostro scopo ` invece e quello di caratterizzare le azioni di superficie (T) per un elemento fluido generico in modo da poter determinare s conoscendo T ed n. Cominciamo con l’osservare che una superficie avr` un orientamento generico determinato dalla sua normale n = (nx , ny , nz ) a e su di essa agir` un forza F = (Fx , Fy , Fz ) da cui si evince che la determinazione delle a azioni di superficie necessita di due informazioni di direzione. Questa osservazione ci porta ad immaginare T = T(F, n) che giustificherebbe per gli elementi di T un forma Tij con i, j = x, y, z. Bisogna notare, tuttavia, che il fatto che gli elementi di T abbiano due indici non implica necessariamente che T sia un tensore, visto che per affermare ci` o bisogna verificare che cambiando sistema di riferimento T si trasformi seguendo le regole dei tensori. Prendiamo ora un elemento di fluido a forma di tetraedro (figura 4.5b) e calcoliamone l’equilibrio sotto l’azione di forze di volume e di superficie; indicando con x, y ed z i ˆ ˆ ˆ versori degli assi si avr` a y z s(n)dS + s(−ˆ)dSx + s(−ˆ)dSy + s(−ˆ)dSz = ρdV (a − f ). x (4.47) D’altra parte, per le propriet` geometriche del tetraedro possiamo scrivere dSx = dS x ·n e a ˆ lo stesso per le altre superfici, da cui notando che il volume del tetraedro si pu` esprimere o 2 . j = x. Avendo stabilito che le forze di superficie in un punto sono caratterizzate da un tensore (del secondo ordine) ne consegue che per ogni punto abbiamo bisogno di 9 informazioni (Tij . DINAMICA DEI FLUIDI S z F Fz n z Fy x a) Fx y x dS b) y Figura 4.49) si pu` scrivere e o per componenti nella forma s = Tn oppure per componenti si = Tij nj (risultando Tij = xx y y z z (si (ˆ)ˆj + si (ˆ)ˆj + si (ˆ)ˆj )nj ) possiamo effettivamante affermare che per caratterizzare le azioni di superficie in un punto ` necessario un tensore. per i. tuttavia se i momenti delle forze di superficie sono infinitesimi di ordine dl3 quello delle forze di volume sono di ordine dl4 e quindi contraendo il prisma lasciandone invariata la forma i momenti delle forze di volume tendono a zero pi` rapidamente di quelli relativi alle forze di superficie. Poich´ la relazione (4. Questo ` di nuovo u e l’effetto scala che rende trascurabili le prime forze rispetto alle seconde per elementi fluidi infinitesimi. ci chiediamo ora se le 9 componenti del tensore sono tutte inipendenti o se c’` un legame tra loro che permetta di diminuire il numero delle incognite.5: Definizione del tensore degli sforzi.48) Se ora si fa tendere a zero il volume del tetraedro mantenendone invariata la forma. z). con h l’altezza del tetraedro relativa alla base dS abbiamo s(n) − (s(ˆ)ˆ + s(ˆ)ˆ + s(ˆ)ˆ) · n = xx y y z z h (a − f ). 3 (4.49) che ci dice come calcolare lo stato di tensione in un punto di una superficie con normale n note le tensioni in altre tre direzioni ortogonali. si ha che le forze di volume tendono a zero pi` rapidamente di quelle di superficie (effetto u scala) e poich´ il tetraedro si contrae in un punto si ottiene la relazione e s(n) = (s(ˆ)ˆ + s(ˆ)ˆ + s(ˆ)ˆ) · n xx y y z z (4. Indicando con dz la dimensione dell’elemento nella direzione In realt` nell’equilibrio alla rotazione dell’elemento fluido andrebbero considerate anche le foze di a volume. come dV = dSh/3. e Consideriamo la figura 4. cos` come precedentemente e ı ipotizzato. y.6 e calcoliamo l’equilibrio alla rotazione intorno all’origine degli assi per l’elemento fluido 2 .88 CAPITOLO 4. 4.4. A tale scopo facciamo due ipotesi giustificate dall’evidenza sperimentale: (ı) τ dipende solo dalla distribuzione istantanea del campo di velocit` ossia a . In generale tuttavia il fluido sar` in movimento ed il tensore a a degli sforzi avr` anche i termini deviatorici risultando cos` a ı T = −pI + τ . risultando identicamente T = −pI. a essendo I la matrice identit`. ∗ RELAZIONI COSTITUTIVE 89 y Tyy dx Tyx O Tn n Ttt dy Tx x x Tx y Figura 4. (4. a dalla deviazione della velocit` rispetto ad una corrente uniforme visto che in questo caso a gli sforzi viscosi sono nulli.50) da cui si vede che il tensore degli sforzi ` simmetrico e quindi le sue componenti indipene denti sono solo 6. ortogonale al foglio si ha Tyx dydz dx dy − Txy dxdz = 0.51) Vogliamo ora determinare come il tensore τ dipende dal campo di velocit`. o meglio. =⇒ Txy = Tyx . 2 2 (4.6: Equilibrio alla rotazione per un elemento fluido sottoposto alle azioni di superficie.7.7 ∗ relazioni costitutive Dopo aver determinato la forma tensoriale di T vogliamo ora metterlo in relazione con lo stato di moto nell’intorno di un punto. Notiamo subito che nel caso di fluido fermo. le azioni viscose saranno identicamente nulle e l’unica forza di superficie sar` la pressione. 90 CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI la storia di u non influenza il valore di τ , (ıı) il fluido in esame ` isotropo, ossia τ ` e e indipendente dall’orientamento dell’elemento di fluido 3 . Nelle suddette ipotesi, la forma pi` generale che pu` assumere τ ` (scritta per componenti): u o e τij = Aijkl ∂uk + O[(∇u)2 ]. ∂xl (4.52) Aggiungiamo l’ulteriore ipotesi che ∇u sia ‘piccolo’ abbastanza da poter trascurare i ı termini O[(∇u)2 ] e superiori cos` da poter scrivere τij = Aijkl ∂uk . ∂xl (4.53) Notiamo che τ , e quindi Aijkl , non possono dipendere esplicitamente da u per l’invarianza Galileiana e nemmeno da derivate temporali di u in quanto siamo nell’ipotesi di fluidi o senza effetto memoria. Aijkl pu` dipendere dallo stato del fluido (per esempio dalla temperatura) e persino dagli invarianti del tensore ∇u (ma non dal tensore stesso). Notiamo infine che, essendo τ simmetrico in i e j, tale deve risultare anche il tensore A da cui ne consegue che la forma pi` generale che pu` assumere ` u o e Aijkl = aδij δkl + bδik δjl + cδil δjk , (4.54) essendo δij il delta di Kronecker. Osservando che questa espressione, oltre che in i e j, risulta simmetrica anche in k ed l, ne segue b = c. Se ora decomponiamo ∇u nella sua parte simmetrica ed antisimmetrica (∇u|i,j = Eij + Ωij ), scopriamo che quando viene moltiplicato per A sopravvive solo la parte simmetrica in quanto anche A ` simmetrico. e τ ` solo la componente deviatorica di T deve quindi Come ultimo passo ricordiamo che e risultare identicamente τii ≡ 0 da cui ne consegue τij = aδij Ekk + 2bEij . (4.55) Avevamo comunque detto che deve valere τii ≡ 0 e se nella (4.55) si pone i = j si ottiene 2 3a∇ · u + 2b∇ · u = 0, =⇒ a = − b, 3 (4.56) per cui si ` passati da un tensore Aijkl del quarto ordine con 81 componenti incognite alla e sola incognita b. Per collegare b alle propriet` del fluido si ricorre a prove sperimentali; se per esempio a abbiamo un flusso con velocit` solo nella direzione x che varia lungo la direzione y si ha a Queste ipotesi sono valide per la quasi generalit` fluidi ma non sono applicabili ad alcuni materiali a di straordinaria importanza pratica. Esistono infatti fluidi che presentano fenomeni di isteresi e quindi τ dipende anche dalla storia del moto. Ci sono inoltre fluidi anisotropi in cui il valore di τ dipende dall’orientamento della particella fluida. Il sangue, le vernici e le soluzioni polimeriche sono solo alcuni esempi tra molti. 3 4.8. EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES 91 a o sperimentalmente τyx = µdux /dy essendo µ la viscosit` del fluido, da cui si pu` congetturare b = µ. Con questa posizione il legame tra τ e lo stato di moto nell’intorno di un punto diventa 2 (4.57) τ = − µ(∇ · u)I + 2µE 3 che ` la relazione costitutiva per fluidi Newtoniani. e Prima di concludere la trattazione delle relazioni costitutive si vuole chiarire un punto che non dovrebbe essere sfuggito ad un lettore attento. Nel passare della relazione (4.51) alla (4.53) abbiamo detto di assumere che il gradiente di velocit` ∇u risulti ‘piccolo’. a Naturalmente in fisica piccolo o grande risulta del tutto privo di significato se non si dice rispetto a cosa. Per costruire quindi un termine di confronto riconsideriamo la natura molecolare del fluido esposta all’inizio del testo e risaliamo al meccanismo microscopico che produce gli sforzi viscosi. Abbiamo visto che questi sforzi sono generati dalla diffusione di quantit` di moto delle singole molecole attraverso delle collisioni tra molecole a differente a velocit`. Considerata la velocit` con cui si muovono le molecole e lo spazio percorso tra a a una collisione e la successiva (libero cammino medio) si ha che il tempo medio tra due collisioni successive `, per i gas a pressione e temperatura ambiente O(10−10 s). D’altra e parte l’inverso del gradiente di velocit` ` dimensionalmente un tempo quindi richiedere che ae ∇u sia piccolo significa richiedere che la scala temporale associata agli sforzi macroscopici sia molto grande rispetto ai tempi caratteristici microscopici. Nei liquidi i fenomeno sono complicati dalla presenza di legami labili tra le molecole, appare comunque ragionevole assumere che qualunque fenomeno microscopico sia incomparabilmente pi` rapido rispetto u alle variazioni macroscopiche e quindi l’assunzione in (4.53) risulta giustificata. 4.8 equazioni di Navier–Stokes Dopo aver determinato la relazione tra il tensore degli sforzi viscosi e lo stato di moto nell’intorno di un punto ` finalmente possibile chiudere l’equazione di bilancio della e quantit` di moto che, nella forma data dalla (4.24), aveva una dipendenza da τ rimasto a incognito. Se ora sostituiamo la relazione costitutiva (4.57) precedentemente trovata nella (4.24) otteniamo ρ 2 Du = −∇p + ρf − ∇[(µ∇ · u)]I + 2∇ · (µE), Dt 3 (4.58) che ` chiamata equazione di Navier–Stokes. Nel caso in cui si possa assumere che la e viscosit` del fluido non ` funzione della posizione allora si pu` scrivere a e o ∇ · (µ∇ · u)I = µ∇(∇ · u), che risostituiti nella (4.58) danno ρ Du µ = −∇p + ρf + ∇(∇ · u) + µ∇2 u, Dt 3 (4.60) 2∇ · (µE) = µ∇2 u + µ∇(∇ · u), (4.59) 92 CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI che ` l’equazione di Navier–Stokes per flussi a viscosit` costante nello spazio. e a Se infine si aggiunge l’ulteriore ipotesi che il flusso sia incomprimibile, per cui l’equazione di conservazione della massa diventa ∇ · u = 0, allora l’equazione di Navier–Stokes si scrive Du (4.61) = −∇p + ρf + µ∇2 u. ρ Dt Vedremo ora come il numero di equazioni da utilizzare per la soluzione di un problema fluidodinamico dipenda dalla natura del flusso. Infatti se un flusso ` incomprimibile la sua e densit` sar` costante e quindi non entra tra le incognite del problema. Questo implica che a a le incognite sono solamente la velocit` (3 componenti scalari) e la pressione (1 scalare) a che ha il solo ruolo cinematico di assicurare l’incomprimibilit` del flusso. In questo caso a abbiamo 4 incognite e dobbiamo quindi utilizzare 4 equazioni che si ottegono dalla (4.61) (1 equazione vettoriale =⇒ 3 equazioni scalari) e dalla conservazione della massa ∇·u = 0 (1 equazione scalare). Nella soluzione dei flussi incomprimibili, quindi, non ` necessario e utilizzare la conservazione dell’energia in quanto la conservazione della massa ed il bilancio della quantit` di moto costituiscono un sistema chiuso in cui il numero di equazioni ` pari a e al numero delle incognite. Al contrario nel caso di flussi comprimibili, la densit` ` una variabile del problema e ae quindi bisogna usare anche l’equazione di conservazione dell’energia (1 equazione scalare). Questa equazione tuttavia introduce come ulteriore incognita la temperatura e quindi richiede l’uso di un’altra relazione per chiudere il problema. Questa relazione ` costituita e dall’equazione di stato del fluido considerato che, mettendo in relazione densit` pressione a e temperatura senza introdurre incognite aggiuntive, pareggia il bilancio tra incognite ed equazioni. 4.9 ∗ varie forme dell’equazione dell’energia L’equazione di conservazione dell’energia si presta a varie interpretazioni fisiche che permettono di distinguere l’origine ed il bilancio dei vari termini sorgente. Come primo punto ricordiamo che E ` la densit` di energia totale di una particella fluida che avr` una e a a parte cinetica u2 /2 ed una parte di energia interna e. D’altra parte, l’equazione di bilancio per la sola componente cinetica dell’energia si pu` ottenere facilmente moltiplicando o scalarmente per u l’equazione di bilancio della quantit` di moto (4.24) da cui si ricava a ρ D Dt u2 2 = −u · ∇p + u · ∇ · τ + ρf · u. (4.62) Se questa equazione viene sottratta alla (4.37), con la posizione E = u2 /2 + e, si ottiene l’equazione di bilancio dell’energia interna ρ De = −p∇ · u + τ · E + ∇ · (λ∇T ) + ρq ˙ Dt (4.63) in cui i termini sorgente hanno sia natura termodinamica che meccanica. In particolare il termine ρq tiene in conto la variazione di energia interna a causa di produzione di ˙ 4.9. ∗ VARIE FORME DELL’EQUAZIONE DELL’ENERGIA 93 calore interna alla particella fluida mentre ∇ · (λ∇T ) ` il contributo dovuto al calore che e entra nella particella dall’esterno. −p∇ · u ` invece un termine meccanico e rappresenta e l’energia interna immagazzinata dal sistema sotto forma di lavoro di pressione. Il temine τ · E ` infine la parte di energia meccanica trasformata in calore a causa degli sforzi e viscosi. Questo termine deriva da τ · ∇u che ` la contrazione di due tensori (anche detto e doppio prodotto scalare); ricordando per` che τ ` simmetrico e che ∇u si pu` decompore o e o in parte simmetrica ed antisimmetrica ne consegue che nel prodotto sopravvive solo la parte simmetrica di ∇u da cui il termine τ · E. Sostituendo a τ ed E le loro espressioni in funzione del gradiente di velocit` si pu` dimostrare che il temine τ · E ` definito positivo a o e ed ` omogeneo di grado 1 in µ potendo cos` scrivere τ · E = µφ. Il fatto che questo e ı termine sia sempre positivo ci dice che la trasformazione di energia meccanica in calore da parte dei termini viscosi pu` andare in un solo verso e non si pu` mai verificare il o o contrario. Questa osservazione introduce la questione della reversibilit` dei vari processi a di trasformazione dell’energia da una forma all’altra. Per comprendere meglio questo punto, ricordiamo alcune definizioni della termodinamica 1 1 δQ , dS = (4.64) =⇒ T dS = de + pd de = δQ − pd ρ T ρ essendo S l’entropia e Q il calore entrante nel sistema 4 . Dall’ultima delle (4.64) si ottiene ρ De DS ρp Dρ DS = ρT + 2 = ρT − p∇ · u, Dt Dt ρ Dt Dt (4.65) avendo notato che per la conservazione della massa risulta Dρ/Dt + ρ∇ · u ≡ 0. Sostituendo l’uguaglianza di sopra nella (4.63) si arriva quindi all’equazione di bilancio dell’entropia DS = µφ + ∇ · (λ∇T ) + ρq, ˙ (4.66) ρT Dt in cui non compare pi` il termine −p∇ · u che ` quindi di tipo reversibile. u e Nel caso particolare in cui il flusso abbia gli effetti viscosi, la conducibilit` termica e a la produzione interna di calore trascurabili, allora l’equazione (4.66) si riduce a DS = 0, Dt (4.67) che, ricordando il significato della derivata materiale, afferma la costanza dell’entropia di una particella fluida durante la sua evoluzione. Se infine il flusso ` anche stazionario e la (4.67) diventa u · ∇S = 0 che ` equivalente ad affermare che le variazioni di entropia e avvengono solo in direzione ortogonale alle linee di corrente, oppure l’entropia lungo una linea di corrente rimane costante. In queste definizioni si ` usata la convenzione di indicare con d i differenziali esatti e con δ le semplici e variazioni infinitesime. Per esempio dS ` un differenziale esatto mentre δQ ` una variazione infinitesima e e e sussistendo la dS = δQ/T si ha che 1/T ` il fattore integrante. e 4 94 CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI Capitolo 5 Equazione di Bernoulli In questo capitolo verranno integrate alcune relazioni esposte precedentemente che assumeranno una forma particolarmente semplice. che il campo di moto sia anche bidimensionale e che una a linea di corrente sia come quella in figura 5. Si vuole a analizzare. e Si consideri ora una particella fluida di dimensioni ds e dn.2) ∂s . nelle direzioni tangenti e normali alla linea di corrente nel punto s = s. in particolare.1.1 seconda legge della dinamica per un fluido ideale In questa sezione si considera il moto di una particella fluida in un flusso non viscoso e stazionario nel caso in cui sia soggetta alle sole forze di pressione e di gravit`. 5. se s ` la coordinata che corre lungo la e linea di corrente ed R(s) il raggio di curvatura locale. rispettivamente. R (5. per semplicit`. Detta p le pressione nel baricentro della particella. la generica particella fluida che al a a tempo t = t si trova nel punto s = s con velocit` U (s) avr` le componenti di accelerazione tangenziale e normale alla linea di corrente as = dU ∂U ds ∂U = =U |s=s dt ∂s dt ∂s e an = U2 |s=s . e calcolino le risultanti delle forze Fs ed Fn nelle due direzioni. sia per le applicazioni. che per l’interpretazione fisica.1) dove la prima espressione si ottiene semplicemente dalla regola di derivazione di una funzione composta mentre la seconda ` l’espressione dell’accelerazione centrifuga. nella direzione s agiranno le forze di pressione Fsp = [ps1 − ps2 ]dn = p− ds ds ∂p ∂p |s=s |s=s − p+ ∂s 2 ∂s 2 95 dn = − ∂p |s=s dsdn (5. la forma che assume la seconda legge della dinamica in tale contesto in quanto pu` essere posta in una forma particolarmente semplice ed utile per le o applicazioni fluidodinamiche. Si assuma. 1). Utilizzando le espressioni (5. EQUAZIONE DI BERNOULLI s=s U(s) R(s) s x Figura 5. 2 ∂s ∂s (5.3) Oltre alle forze di pressione sulla particella fluida agisce la gravit` che. E posibile a questo punto scrivere la seconda legge e della dinamica F = ma per la particella fluida proiettandone le componenti nelle direzioni tangenziale e normale alla linea stessa.3) e (5. (5. procedendo analogamente per la direzione normale. e.4) ` dove ρdsdn ` la massa della particella. (5.6) pu` essere integrata nella forma o ∂ ρU 2 + p + ρgz ∂s 2 = 0.96 z CAPITOLO 5.6) ∂U ∂p |s=s = − |s=s dsdn − ρg sin |s=s θdsdn ∂s ∂s (5. fornisce le due componenti di forza peso: Fsg = −ρg sin θ |s=s dsdn e Fng = −ρg cos θ |s=s dsdn. formando un a angolo π − θ con la normale alla linea di corrente.1: Disegno schematico di linee di corrente. a L’espressione (5.7) . si ottiene Fnp = − ∂p |s=s dsdn. e l’identit` sin θ|s=s ≡ ∂z/∂s|s=s in cui cui z ` e a e una coordinata misurata su una asse con origine arbitraria ed orientato in verso opposto rispetto alla gravit`.4) per le accelerazioni e le forze si ottiene ρdsdnU oppure ∂ ∂s ρU 2 ∂p ∂z |s=s + |s=s + ρg |s=s . ∂n (5.5) dove si ` utilizzata l’ipotesi ρ = cost. s=s (5. 9) ` invece meno immediata ed ` legata al cambio di direzione del moto di una particella in e e cui la forza centrifuga deve essere bilanciata da una combinazione di gradiente normale di pressione e forza peso.10) ed ` comunque di minor e e interesse applicativo rispetto alla (5. a ρU 2 + p + ρgz = cost. e che. di pressione e potenziale) nell’una o nell’altra forma senza aumentare o diminuire l’energia totale. nelle ipotesi in cui ci siamo posti. E bene anticipare che queste . il budget energetico di una particella fluida rimane costante e durante il suo moto pu` solo convertire. in modo o reversibile.8).5.10) R La relazione sancisce che.2: Forze sulla particella fluida. quando si osservi che s ` un punto qualunque sulla linea di corrente.8) (5. La sua forma integrata ` data in (5. implica che la quantit` tra parentesi quadre deve essere costante lungo una linea di corrente. lungo la normale ad una linea di corrente (5.9) U2 dn + p + ρgz = cost. l’equazione di a conservazione dell’energia) assume una forma particolarmente semplice ed utile nelle ap` plicazioni quando si facciano alcune ipotesi semplificative. lungo una linea di corrente 2 che ` una forma particolare dell’equazione di Bernoulli. in modo equivalente. 5. L’interpretazione fisica della relazione (5.2. i vari contributi (cinetico. e Procedendo in modo analogo per la direzione normale si scrive U2 ∂p |s=s = − |s=s dsdn − ρg cos θ |s=s dsdn R ∂n che utilizzando le stesse ipotesi precedenti pu` essere scritta come o ρdsdn ρ (5. ∗ EQUAZIONE DI BERNOULLI 97 g z pn2 p s=s ps1 pn1 p s2 dn ds dz θ ds θ dn dz Figura 5.2 ∗ equazione di Bernoulli L’equazione di bilancio della quantit` di moto (o. EQUAZIONE DI BERNOULLI ipotesi potrebbero sembrare troppo restrittive. queste ipotesi a vengono verificate da molti problemi pratici riuscendo cos` a ricavare facilmente delle ı informazioni sul comportamento del sistema. ∂t 3 u2 + ω × u. si vedr` al contrario che. 2 Maggiori ragguagli sul significato fisico di flusso barotropico verranno dati quando si parler` della a dinamica della vorticit`. e Indicando inoltre con F (µ) una funzione omogenea di grado 1 in µ contenente tutti i termini viscosi.14) L’ipotesi di incomprimibilit` del flusso pu` essere rilassata considerando una densit` dia o a pendente unicamente dalla pressione.13) possiamo notare che il primo e secondo termine del primo membro sono gi` in forma di gradiente mentre il terzo termine non lo `. Si consideri l’equazione di bilancio della quantit` di moto nella forma (4. in tali ipotesi. In tal caso il lavoro delle forze descritte da G sarebbe dipendente dal percorso seguito e ci` e contrario alle ipotesi o di partenza. infatti ` possibile porre ∇p/ρ = e dp/ρ. presa una generica curva s deve risultare ∂J dp 1 dp dJ = · = . e L’indipendenza di G dal tempo non ` un’ipotesi aggiuntiva ma ` condizione necessaria per la consere e vativit` del campo di forze. a 1 . 2 ρ ∂t ρ (5.13) Dall’espressione (5. Per dimostrarlo basta osservare che se J(p) = dp/ρ. ossia le proiezioni ˆ ˆ dei gradienti lungo la direzione tangente ad s allora risulter` in generale ∇J = ∇p/ρ che a ` la tesi 2 .11) nella forma ∇ ∇p ∂u F (µ) u2 + ∇G + =− −ω ×u+ .11) e riprendiamo la formula dell’accelerazione di Lagrange secondo cui possiamo scrivere u · ∇u = ∇ (5.12) Supponiamo inoltre che il vettore f contenga solo forze di massa conservative cos` che ı si possa porre f = −∇G dove G ` una funzione potenziale indipendente dal tempo 1 . possiamo porre l’equazione (5. con buona approssimazione. limitando fortemente l’applicabilit` dei a risultati ottenuti.15) ds ∂p ds ρ ds Se notiamo ora che dJ/ds e dp/ds sono rispettivamente ∇J · s e ∇p · s.13) nella forma ∇ u2 p +G+ 2 ρ =− ∂u F (µ) −ω ×u+ . Se per` ipotizzassia e o mo l’incomprimibilit` del flusso potremmo scrivere ∇p/ρ = ∇(p/ρ) e potremmo porre a l’equazione (5. ∂t ρ (5. (5.58) che a riportiamo di seguito ρ 2 ∂u + ρu · ∇u = −∇p + ρf − ∇(µ∇ · u) + 2∇ · (µE). Infatti se cos` non fosse si potrebbe percorrere un circuito chiuso partendo ed a ı arrivando nello stesso punto in due istanti diversi ed ottenere due valori diversi del potenziale. 2 (5.98 CAPITOLO 5. queste linee sono dette linee vorticose ed anche lungo questi percorsi la quantit` a in (5. per una particella fluida lungo il suo moto.16) Queste relazioni diventano di particolare utilit` pratica quando le azioni viscose possono a considerarsi trascurabili (F (µ) = 0) ed il flusso stazionario (∂u/∂t = 0) 3 .17) per un flusso incomprimibile. Quest’ultima condizione risulta pi` evidente se si considera che il prodotto vettore ω × u u sar` un vettore ortogonale sia a ω che a u e tale dovr` risultare il vettore a primo membro a a delle (5. il secondo membro delle (5.17) non afferma altro che la costanza dell’energia di una particella fluida. data la stazionariet` del flusso. Questa relazione ci dice che se ci troviamo nei primi due casi precedentemente elencati la quantit` a primo membro della (5.2.. a in questo caso l’equazione (5.13) si pu` porre nella forma o ∇ u2 +G+ 2 dp ρ =− ∂u F (µ) −ω ×u+ . Tuttavia l’espressione risultante ha scarsa utilit` pratica a non viene qui considerata. a a 3 . Per esempio se nel potenziale c’` solo quello dovuto alla e gravit` g risulta G = gh. ııı) le equazioni (5. In tali ipotesi. potenziale e di pressione in modo tale che il budget totale rimanga costante. ∂t ρ (5. (5. essendo h la quota fissata rispetto ad un riferimento arbitrario.16) si riduce a −ω ×u che si annulla in tre casi: ω ω ı) il flusso ` irrotazionale (ω = 0). oppure l’equivalente derivata dalla (5.17) afferma che l’energia di una particella fluida lungo la sua evoluzione non pu` n´ aumentare n´ diminuire ma pu` solo convertisi tra le forme o e e o cinetica. ∗ EQUAZIONE DI BERNOULLI 99 Se la densit` non ` costante ma dipende unicamente dalla pressione il flusso si dice a e barotropico e l’equazione (5.14) e (5.17) rimane costante. flussi e a a di Beltrami). se ci si muove lungo una linea di corrente questa dovr` essere punto a per punto tangente alla velocit` e quindi ortogonale al vettore ω × u da cui ne consegue a che si pu` scrivere o u2 p +G+ 2 ρ = const. In realt` l’ipotesi di stazionariet` del flusso potrebbe essere rilassata introducendo il potenziale di a a velocit`.16) per un flusso barotropico.16) vengono valutate lungo una linea di corrente.14) e (5. ω infatti. ıı) vorticit` e velocit` sono allineate (ω × u ≡ 0. a nel terzo caso deve rimanere costante lungo una linea di corrente ossia.14) e (5. Naturalmente lo stesso a ragionamento si potrebbe ripetere per un linea che risulta in ogni punto tangente al vettore ω .5.16).17) deve rimanere costante in tutto il flusso. Risulta utile osservare che l’equazione (5. calcolare la legge oraria del carrello che parte da fermo. Soluzione Applicando l’equazione di Bernoulli tra il pelo libero del serbatoio e l’uscita del √ getto si ha che il getto d’acqua fuoriesce con una velocit` orizzontale U = 2gh = a 10. applicando il bilancio di quantit` di moto in forma a integrale al volume d’acqua contenuta nel carrello si ha che. e risolvendo questa equazione si determina la legge oraria s(t). Assumendo il deflusso perfetto e orizzontale e che. il getto produce una a spinta orizzontale pari a F = ρU (U − V (t) cos θ)πd2 /4. D’altra parte. 4m B = g sin θ − πd2 ρU 2 cos θ 4m B At Bt e −1 − . ponendo s(t) = V (t) e s(t) = a. 2 A A . ¨ ˙ la cui soluzione ` e s(t) = A= πd2 ρU cos2 θ . h U d θ h = 6 m d = 10 cm θ = 15o Massa del sistema m = 200 Kg. sia le variazioni di massa del sistema sia le variazioni di quota del livello siano inizialmente trascurabili.100 CAPITOLO 5.844 m/s. se quest’ultimo si muove con una velocit` V (t) parallela al piano inclinato. l’equazione ˙ ¨ diventa s − As = B. In particolare. EQUAZIONE DI BERNOULLI ESEMPIO Dal carrello in figura fuoriesce dell’acqua da un foro circolare di diametro d. Applicando quindi il secondo principio della dinamica nella direzione parallela al piano inclinato si ottiene: F cos θ − mg sin θ = ma. a per cui. o 2 UB = 4Q/(πd ). Integrando gli ultimi due membri dell’uguaglianza precedente si ottiene il tempo di svuotamento del serbatoio T . pB = p0 ed hA − hB = h1 da cui UB = 2g(h + h1 ) = 4Q/(πd2 ). h R h=2m h1 = 2 m R = 0. si pu` scrivere l’equazione di Bernoulli risultando UA = 0.24 s.5. Calcolare la situazione finale nel caso in cui ci siano perdite per attrito nel tubo e siano assimilabili ad una differenza di pressione costante pf . ∗ EQUAZIONE DI BERNOULLI ESEMPIO 101 Il recipiente cilindrico in figura ` pieno d’acqua fino all’orlo. Nel caso in cui ci siano delle perdite per attrito.2. h + h1 =⇒ 8 T =√ 2g R d 2 [ h + h1 − h1 ] = 661. all’equilibrio si arrester` il flusso.5 m d = 2 cm pf = 23053 Pa h1 d Soluzione Indicando. T 0 R dt = d 2 4 √ 2g h 0 √ dh . dall’equazione di Bernoulli generalizzata. Osserviamo ora che la quota del fluido nel recipiente varia nel tempo in quanto il livello diminuisce. con A e B gli estremi del tubo. . detto quindi dV il volume infinitesimo di fluido che transita nel tubo in un tempo dt risulta dV = Qdt = πd2 πd2 2g(h + h1 )dt = −πR2 dh. Calcolare il tempo e necessario al suo svuotamento se effettuato con un tubo di diametro d con effetti viscosi trascurabili. UB dt = 4 4 essendo dh la variazione di livello del liquido nel recipiente. nel contenitore ed all’esterno. pA = ρgh. rispettivamente.35 m. si avr` l’equilibrio quando h = a pf /(ρg) − h1 = 0. 102 CAPITOLO 5.6 m/s. e che p2 = p0 = 101300 Pa perch´ il getto ` immesso in atmosfee e ra libera).2 N.2 m/s Suggerimento: notare che le sezioni S1 ed S2 sono alla stessa quota. Trascurare la forza peso. che i termini gravitazionali non ci sono in quanto le sezioni sono alla stessa quota. EQUAZIONE DI BERNOULLI ESEMPIO Nel condotto in figura entra dell’acqua nella sezione S1 a velocit` u1 ed esce a nell’ambiente attraverso la sezione S2 . Considerando anche quest’ultima verrebbe un risultato differente per la Fy ). Applicando ora l’equazione di bilancio della quantit` di moto proa iettata nelle direzioni x ed y si ottiene rispettivamente: Fx = ρu2 S2 cos θ − 2 [ρu2 + (p1 − p0 )]S1 = −14941. y x u1 S1 S2 θ S1 = 0.88 N e 1 Fy = −ρu2 S2 sin θ = −9311. (Da 2 notare che in questa soluzione non si ` e considerata la forza peso. tra le sezion 1 e 2 si pu` anche applicare l’equazione di Bero noulli: p1 /ρ + u2 /2 = p2 /ρ + u2 /2 ⇒ 1 2 p1 = p0 + 4ρu2 = 308660 Pa (aven1 do tenuto conto della conservazione della massa. y x θ u1 n1 p 1 p S1 2 S2 n2 u2 . Essendo gli effetti viscosi trascurabili. Soluzione Dalla conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 si ha ρu1 S1 = ρu2 S2 ⇒ u2 = 3u1 = 21. Sapendo che gli effetti viscosi sono nulli (trascurabili) calcolare le forze in x ed y necessarie a mantenere il condotto fermo.12 m2 S2 = S1 /3 θ = 30o u1 = 7. Fx = −454.5. deve essere necessariamente | u2 |=| u3 | (dall’equazione di Bernoulli). e D’altra parte. ∗ EQUAZIONE DI BERNOULLI ESEMPIO 103 Da un ugello piano di larghezza D e profondit` b (nella direzione ortogonale al a foglio) esce verticalmente un getto d’acqua ad una velocit` U . Infine. applicando il bilancio della quantit` di moto nella a direzione verticale al volume di fluido contenuto nel solido si avr`: −ρu2 S2 − ρu2 S3 = a 2 3 −ρgV + Fx . Calcolare il peso del guscio semicilindrico sapendo che il volume di fluido costantemente in transito nel semicilindro (volume delimitato dalla linea tratteggiata in figura) ` 1/4 del volume del semicilindro stesso. Il peso del guscio sar` quindi −Fx . d H U D D = 5 cm d = 50 cm U = 5 m/s H = 40 cm b = 25 cm Soluzione Dall’equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2 si ha u2 /2 + p1 /ρ + gh1 = u2 /2 + p2 /ρ + gh2 1 2 2 ossia u2 = (U − 2gH) (in quanto P1 e p2 sono entrambe uguali alla pressione atmosferica in quanto la vena fluida non ` confinata). dalla conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 si ottiene la relazione ρbDU = ρbd2 u2 da cui si ricava lo spessore della vena fluida nella sezione 2. Poich´ le sezioni 2 e 3 sono alla stessa quoe ta ed alla stessa pressione. e (Si trascurino le azioni viscose tra fluido e superficie del semicilindro). Ad una distanza a H ` posto un semicilindro di diametro d e profondit` b che rimane in equilibrio e a sospeso dalla spinta del getto. Dalla conservazione della massa (essendo la densit` costante) ne conseguir` che a a anche le sezioni della vena fluida in 2 e 3 devono essere uguali S2 = S3 .2. essendo le azioni viscose trascurabili. a d 2 3 3 H U 1 D .7 N. (5.104 CAPITOLO 5. 5.19) deve essere nullo e quindi deve valere la T ∇S = ω × u.21) implicando che un flusso stazionario ed isentropico (ossia con S =const. EQUAZIONE DI BERNOULLI ∗ 5.19) pu` anche essere interpretata con un’ottica o invertita rispetto alla precedente.64) si ottiene ∇p = ∇h − T ∇S. Presi i punti 1 e 2 come in figura a si ha che in 1 la vena fluida viene arrestata (punto di ristagno) e.19) + G + h = T ∇S − ω × u. 2 (5.13) con le ipotesi di flusso stazionario e non viscoso. sostituita nella (5. Questo risultato ` particolarmente interessante quando si osservi che mette in e relazione la vorticit` la cui definizione ` puramente cinematica con l’entropia che ` una a e e grandezza termodinamica. d` a u2 ∇ (5. (5. Al .4 tubo di Pitot Un’applicazione importante dell’equazione di Bernoulli si ha nelle misure di velocit` alle a quali si pu` risalire da differenze di pressione. Poich´ questo implica e che il gradiente di entropia lungo una linea di corrente ` nullo ma tale risulta anche la e ω × u ne consegue che proiezione del vettore u2 + G + h = const. lungo una linea di corrente) avr` l’entropia uniforme nello spazio (flusso omentropico) solo se risulta ω ≡ 0 a (flusso irrotazionale) o nel caso particolarissimo di ω parallela ovunque ad u (flusso di Beltrami).20) lungo una linea di corrente. tutta la sua energia cinetica viene convertita in energia di pressione. La relazione (5.3 teorema di Crocco Sfruttando alcune definizioni della termodinamica e l’equazione dell’energia in termini di entropia introdotta nel precedente capitolo si pu` porre l’equazione di Bernoulli in una o forma utile nei casi in cui si debbano calcolare le variazioni di temperatura in un flusso. 2 dove si noti che non ` stata usata l’ipotesi di barotropicit` del flusso. e a L’utilit` dell’espressione (5. in base all’equazione di Bernoulli. Si consideri infatti il dispositivo disegnato in o figura 5..20) lungo una linea di corrente il primo membro della (5. ossia in base alla (5.3 investito da una corrente uniforme a velocit` U .19) appare evidente qualora si ricordi che se alle presenti a ipotesi si aggiungono quelle di conducibilit` termica trascurabile ed assenza di produzione a interna di calore l’equazione dell’entropia diventava u · ∇S = 0.18) ρ Questa uguaglianza. Differenziando infatti la definizione di entalpia h = e + p/ρ ed utilizzando le relazioni introdotte in (4. 22) si vede quindi che pur non conoscendo il valore assoluto di pressione ` sufficiente misurare la differenza di pressione tra 1 e 2 per risalire al valore e della velocit` U . 4 . TUBO DI PITOT 105 contrario. Dalla relazione (5. La pressione misurata in 2 ` detta a e pressione statica in quanto non contiene alcun contributo cinetico. Per questo motivo le misure di velocit` devono a a essere effettuate ‘spazzando’ il settore angolare nell’intorno della direzione presunta di allineamento in modo da trovare la posizione nella quale si rileva la massima differenza di pressione.3. p p 1 2 U 2 1 Figura 5. comunque. la vena fluida lambisce il punto 2 senza essere perturbata 4 mantenendo quindi la stessa velocit` e pressione del flusso all’infinito. U1 = 0 ed avendo trascurato la variazione di quota h1 − h2 in quanto piccola.3: Disegno schematico di un tubo di Pitot.5. La misura di pressione pu` essere effettuata tramite un manometro a o differenziale applicato alle estremit` dei due tubi concentrici disegnati in figura 5. Uno svantaggio di questo strumento ` che a causa dell’inerzia delle colonne di e fluido contenuto nei condotti concentrici pu` misurare solo pressioni costanti o lentamente o variabili nel tempo. la pressione misurata in 1 ` invece chiamata pressione totale perch´ ` comprensiva anche di tutto il contributo e ee e cinetico ρU 2 /2 che ` detto pressione dinamica. la vena fluida si comporta come se fosse effettivamente indisturbata. Per i ragionamenti sulla a a pressione. a Questa tecnica di misura ` particolarmente utile negli aerei sia perch´ non possono utie e lizzare sistemi simili a quelli delle automobili.4. ρ (5.22) essendo U2 = U . In realt` sono presenti fenomeni di strato limite di cui si parler` in seguito. e a Il tubo di Pitot deve essere allineato perfettamente con la direzione della corrente per e rendere effettivamente il punto 1 un punto di ristagno (U1 = 0) poich´ in caso contrario si misura una velocit` minore di quella reale. =⇒ U = 2 ρ 2 ρ 2(p1 − p2 ) . Applicando quindi l’equazione di Bernoulli tra i punti 1 e 2 si ha 2 p2 p1 U2 U2 + gh2 + = 1 + gh1 + . sia perch´ per il sostentamento aerodinamico e ` rilevante solo la velocit` rispetto all’aria piuttosto che quella rispetto al suolo. 2 ρ 2 ρ (5. Ci` si pu` ottenere facilmente agendo sulla strozzatura in 2 anche o o se considerazioni energetiche.4 ` riportato uno schema di un misuratore di portata detto tubo di Venturi il cui e principio di funzionamento ` basato sull’equazione di Bernoulli. U A1 h A2 Figura 5.5 tubo di Venturi In figura 5. in questa sede si accenner` solo al fatto che nella sezione divergente a del condotto si possono verificare dei distacchi della vena fluida dalla parete laterale che provocano delle perdite di energia (figura 5.5). anche per questo strumento e si pu` variare la sensibilit` cercando di rendere massima la differenza di pressione per o a una data portata. in formule. Dall’equazione di Bernoulli segue che deve prodursi una differenza di pressione tra le sezioni 1 e 2 in modo da compensare la variazione di velocit` ossia. Notando infatti che tra le e sezioni 1 e 2 ` presente una piccola variazione di diametro si avr` un’accelerazione del flusso e a in corrispondenza della sezione 2 per mantenere costante la portata Q = U1 A1 = U2 A2 . EQUAZIONE DI BERNOULLI 5. detta ρm la densit` del fluido manometrico ed h la differenza di quota tra i due menischi risulta a p1 − p2 = ρm gh da cui leggendo la quota h si risale alla portata.4: Disegno schematico di un tubo di Venturi. Molti dispositivi di uso quotidiano utilizzano un tubo di Venturi anche se questo non viene utilizzato per misure di portata ma per generare differenze di pressione all’interno . Analogamente a quanto ` stato visto per i manometri. si ottiene a 2 U2 p2 p1 U2 + gh2 + = 1 + gh1 + . Il motivo fisico di tale limitazione sar` compreso con lo studio dei fenomeni a di strato limite. suggeriscono di limitare a qualche percento la variazione di sezione.23) e dovendo essere U1 A1 = U2 A2 Q = U2 A2 = A2 2(p1 − p2 ) ρ[1 − (A2 /A1 )2 ] (5. Se per esempio si misura la variazione di pressione con un tubo ad U.24) che permette di misurare la portata nota la geometria del condotto e la differenza di pressione tra le sezioni 1 e 2.106 CAPITOLO 5. di un condotto. a .5.6). TUBO DI VENTURI 107 a) total energy E U2 2 p ρ b) separated flow region x total energy energy loss E U2 2 p ρ x Figura 5. b) con separazione del flusso.5. Se infatti in corrispondenza della sezione di gola si mette un condotto che pesca del liquido da un sebatoio questo viene aspirato nel condotto dove incontrando una corrente ad elevata velocit` viene nebulizzato (figura 5. dell’aerografo e dei vaporizzatori per profumi. Su questa differenza di pressione si basa per esempio il funzionamento del (ormai vecchio) carburatore a farfalla.5: Andamento del flusso e di energia cinetica e di pressione in un tubo di Venturi: a) in assenza di separazione. EQUAZIONE DI BERNOULLI Figura 5.108 CAPITOLO 5. ESEMPIO Calcolare la portata in massa sapendo che nel condotto scorre del petrolio (ρo = e 800 Kg/m3 e che nel tubo ad U c’` acqua. con p2 − p1 = ρH2 O gh. ˙ Nota u1 si ricava la portata in massa M = ρu1 A1 = 718. 1 2 h = 4 cm A1 = 0.76 Kg/s.123 m/s.6 m2 Soluzione Applicando la conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 ρV1 S1 = ρV2 S2 e l’equazione di Bernoulli (lungo la linea di corrente tracciata con una linea tratteggiata) p1 + ρu2 /2 = p2 + ρu2 /2 si ottiene: 1 2 2(p2 − p1 ) u1 = ρ[1 − (A2 /A2 )] 1 2 1 2 = 1.6: Principio di funzionamento del vaporizzatore per profumi.8 m2 h A2 = 0. . 3 m h = 3. arrestando completamente la vena fluida.632 Kg/m3 l2 = 0. la densit` del gas in galleria del vento ` ρ e la differenza di quota e a e nel tubo ad U tra i due menischi del fluido manometrico ` h. h 109 l1 U = 28 m/s ρ = 0. Per la portata in volume si ha infine Q = U A = 3. .2 Kg/m3 . Se la velocit` media della a corrente ` U . inoltre la portata in volume nella a sezione della galleria supponendo che sia rettangolare con i lati l1 ed l2 . misura la pressione totale per cui dall’equazione di Bernouilli si ottiene ∆p = p1 − p2 = ρU 2 /2 che combinata con la legge di Stevino ∆p = ρm gh = ρU 2 /2 fornisce ρm = 702.6 cm Soluzione Per calcolare la differenza di pressione tra i due rami del tubo di Pitot.36 m3 /s.4 m U l1 = 0.5. determinare la e densit` del fluido manometrico. Determinare. basta ricordare che un ramo misura la pressione statica mentre l’altro. TUBO DI VENTURI ESEMPIO In una galleria del vento viene posto un tubo di Pitot.5. EQUAZIONE DI BERNOULLI .110 CAPITOLO 5. come si vedr` successivamente. l’analisi di un oe u a flusso irrotazionale pu` essere trattato con molte semplificazioni rispetto al caso generale.61) si ottiene ∇× ∂u ∇p + ∇ × (u × ω ) = −∇ × + ∇ × f + ν∇ × (∇2 u). Per esempio dall’equazione di Bernoulli abbiamo visto che l’energia totale si mantiene costante in tutto il campo solo se risulta ω = 0 ovunque mentre in base al teorema di Crocco un flusso irrotazionale sar` anche omentropico (aggiungendo anche altre ipotesi). il primo in quanto la divergenza di un rotore ` e identicamente nulla. 2 (6. ricordiamo che il termine convettivo dall’accelerazione pu` essere scritto utilizzando l’accelerazione di Lagrange e che il rotore di un gradiente ` o e identicamente nullo da cui ∇ × (u · ∇u) = ∇ × ∇ u2 ω + ω × u = +∇ × (ω × u). a Ci` ` ancora pi` vero se si considera che. e a Se a questo punto si applica il rotore all’equazione (4. o Per derivare un’equazione di evoluzione della vorticit` basta ricordare la sua definia zione e fare quindi il rotore dell’equazione di bilancio della quantit` di moto.2) in cui gli ultimi due termini sono nulli.1) Utilizzando un’identit` vettoriale si pu` porre ulteriormente a o ω ω ∇ × (ω × u) = u · ∇ω − ω · ∇u − u∇ · ω + ω ∇ · u.1 equazione del trasporto della vorticit` a Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come la vorticit` ω = ∇ × u abbia un ruolo fondaa mentale nella determinazione delle caratteristiche cinematiche e dinamiche di un flusso. (6. Prima a di procedere con tale operazione.Capitolo 6 ∗ Dinamica della vorticit` a 6. ∂t ρ 111 (6.3) . dinamica ed evoluzione della vorticit` risulta fondamentale nello studio della fluidodinamica. a In base a questi esempi appare evidente che la comprensione della generazione. il secondo perch´ ipotizziamo per semplicit` il flusso incomprimibile. Sfruttando le propriet` a a commutative dei vari operatori e le relazioni appena derivate si pu` scrivere o ω ∇ρ × ∇p ∂ω ω + ω · ∇u + u · ∇ω = ν∇2ω + ∇ × f + ∂t ρ2 (6. il gradiente a di densit` ` nullo ovunque ed il termine baroclino non ` presente. analogamente all’equazione della quantit` di moto 1 . osserviamo comunque che se queste forze sono conservative e possono essere quindi espresse da un gradiente f = −∇G allora risulta ∇ × ∇G ≡ 0. essendo conservativa. Questo punto sar` visto in maggior dettaglio a nell’analisi dei fenomeni di strato limite. Nel caso in cui ρ =const. a Il secondo termine rappresenta la generazione di vorticit` prodotta dalle forze di masa sa. misurata da un osservatore che si muove con la particella stessa.1 e 6. produce la vorticit` nel caso in cui il gradiente a di densit` non sia allineato con quello di pressione.4) che ` l’equazione del trasporto della vorticit`.1: Schema di generazione di vorticit` baroclina per differenza di densit`. ossia le forze conservative non contribuiscono in alcun modo alla generazione della vorticit`. detto termine baroclino.112 CAPITOLO 6.. Un caso che a capita frequentemente ` costituito dalla forza peso che. ρ1 ∆ 1 ρ < ρ2 ω ρ < 1 2 < Nelle figure 6. Abbiamo infatti visto in §5. I termini a secondo membro sono invece le cause della variazione ed il primo termine rappresenta la diffusione. Nel primo caso si hanno fluidi a differente densit` (per esempio acqua a ed olio) tenuti separati verticalmente da un setto.4) sono e a quelli della derivata materiale di ω e quantificano la sua variazione per una particella fluida.2 sono riportati due esempi di generazione di vorticit` prodotta dal a termine baroclino. I termini a primo membro della (6. non genera e vorticit`. Una possibilit` pi` a e e a u generale ` invece quella di flusso barotropico in cui la densit` non ` costante ma risulta e a e ρ = ρ(p). a a .2 che in tale caso il gradiente di ρ ` collineare con e quello di p ed il termine baroclino risulta identicamente nullo. a Il terzo temine. In questa configurazione il gradiente Il termine viscoso ` anche un termine sorgente per la vorticit` nel caso in cui siano presenti delle pareti e a dove il fluido deve soddisfare la condizione di aderenza. ∗ ` DINAMICA DELLA VORTICITA essendo ν = µ/ρ la viscosit` cinematica supposta costante. ∆ p ρ a) b) c) Figura 6. Dell’aria fredda viene quindi aspirata dal basso e u portata a contatto con il radiatore che di nuovo la scalda e cos` via.1.2: Schema di generazione di vorticit` baroclina per differenza di densit` indotta a a da variazioni di temperatura. Al contrario per ogni oscillazione parte dell’energia viene convertita in modo irreversibile in calore e per tempi lunghi il sistema assume la configurazione stabile mostrata in figura 6. come indicato dall’equazione a (6. ρ Il vettore accelerazione a ` applicato nel baricentro della sfera la cui posizione dipende e . infatti. Riferendoci allo schema ı di figura 6.1c. ci` induce una rotazione nell’intero sistema che a o produce appunto la vorticit` nella direzione ortogonale al foglio. a e L’aria a contatto con il termosifone. di pressione ` verticale (pressione idrostatica) mentre quello di densit` ` orizzontale e e a e localizzato all’interfaccia tra i due fluidi. Un secondo esempio di generazione baroclina di vorticit` ` quello dei termosifoni. Nell’istante in cui il setto viene tolto il fluido pi` pesante tender` a scivolare verso il basso prendendo il posto del fluido pi` leggero u a u che si disporr` negli strati superiori. Abbiamo detto in precedenza che per non avere produzione baroclina di vorticit` non a ` necessario avere una distribuzione di densit` costante ma ` sufficiente che il flusso sia e a e barotropico ossia ρ = ρ(p). Se il sistema non avesse a perdite viscose il fluido oscillerebbe indefinitamente convertendo in ogni periodo energia potenziale in cinetica e viceversa.4).2 si nota che in questo modo viene generata una circolazione a grande scala che contiene della vorticit` nella direzione ortogonale al foglio.5) a = − ∇p.` 6. Il fatto che la densit` debba essere funzione solo della pressione a si pu` comprendere fisicamente con il seguente esempio: consideriamo una particella o sferica di fluido con densit` non costante e concentriamoci solo sulle forze di massa e a quelle di pressione. EQUAZIONE DEL TRASPORTO DELLA VORTICITA 113 T2 > ω T1 < Figura 6. Dalla seconda legge della dinamica possiamo scrivere 1 (6. aumenta di temperatura e per dilatazione termica diventa pi` leggera e sale. infatti anche se i vettori sono applicati in punti differenti essi hanno la stessa retta d’applicazione ed il loro momento ` nullo.114 CAPITOLO 6. D’altra parte e l’equazione (6. prima di considerare il suo significato. risulta identicamente nullo in due dimensioni. a meno che ∇ρ e ∇p non siano allineati (flusso barotropia co). Al contrario. L’ultimo termine a secondo membro dell’equazione (6. (6. ∗ ` DINAMICA DELLA VORTICITA dalla distribuzione di densit` all’interno della stessa.4) che ci rimane da analizzare ` e ω · ∇u. Questa coppia in generale esiste e provoca la rotazione della particella fluida. in altre parole genera la vorticit`. p ρ G O G O a a a) b) Figura 6.4) si scrive ω ∂ω ω + u · ∇ω = ω · ∇u. Abbiamo descritto il significato fisico dei termini sorgente di vorticit` nella a (6. Ci` si verifica in quanto la o vorticit` ` un vettore ortogonale al piano mentre la velocit` deve necessariamente essere ae a ∆ ∆ 1 p ρ ∆ ∆ 1 p ρ ∆ ∆ ρ p . vogliamo riassumere i risultati finora trovati.4) trovando dei casi in cui questi termini sono nulli. in particolare se il flusso ` non e viscoso (ν = 0). In questo caso. Una seconda considerazione riguarda il termine ω · ∇u che. le forze di massa sono conservative e il flusso ` a densit` costante oppure e a barotropico allora i tre termini precedentemente descritti si annullano e l’equazione (6. indipendentemente dal suo significato fisico.3: Coppia baroclina su una particella fluida: a) flusso non barotropico.5) ci dice solamente che le due forze sono uguali e che la loro risultante ` e nulla ma ci` non preclude la possibilit` che venga generato un momento sulla particella o a stessa.6) ∂t Una prima importante considerazione ` che tutti questi termini sono omogenei nella vore ticit` se quindi inizialmente risulta ω = 0 si otterr` ∂ω /∂t = 0 ed il flusso rimarr` a a ω a irrotazionale indefinitamente. Questo ` il caso dell’atmosfera e e (calma) in cui la densit` aumenta con il diminuire della quota ed il suo gradiente ` quindi a e allineato con il gradiente della pressione idrostatica. b) flusso barotropico. la risultante delle forze a di pressione sar` applicata al centro della sfera in quanto risultante di vettori normali a alla superficie ed ` indipendente dalla distribuzione delle masse nella sfera. comunque. 8) (ω · ∇u) · x = ωx ˆ ∂x ∂y ∂z Il primo termine agisce quando c’` un gradiente di velocit` nella stessa direzione della e a vorticit` ed avr` quindi un’azione di stiramento (vortex stretching).7) ∂t Dt ossia la vorticit` di una particella fluida rimane invariata durante il suo moto.6) implica quindi che per un flusso bidimensionale con viscosit` trascurabile forze di massa conservative e flusso barotropico la vorticit` a a obbedisce a ω ω Dω ∂ω ω + u · ∇ω = =0 (6.4 vediamo che se un tubo fluido viene allungato.` 6. (6. Riferendoci alla fia a gura 6. Sempre riferendoci alla figura 6. per la conservazione del momento angolare la sua velocit` di rotazione deve aumentare e di conseguenza la vorticit`. a Nel caso pi` generale di flusso tridimensionale il termine ω · ∇u non ` invece nullo u e ed ha un ruolo fondamentale nella dinamica della vorticit`. b) vortex tilting.4: Schema del meccanismo di azione del termine di vortex streching: a) vortex stretching. scriviamone una componente in un sistema di assi cartesiani ed analizziamo i vari termini: ∂ux ∂ux ∂ux ω + ωy + ωz . . y < < y < < x δ ux δx ωx x ωy ux y < < ωx x a) ux δ ux δy y < ωy < ω ωx b) x Figura 6. Quea a sto meccanismo ` quindi di autoamplificazione a causa dei gradienti di velocit` e senza e a necessit` di sorgenti esterne. Gli altri termini tendono invece a ruotare parte della vortia cit` preesistente da una componente all’altra a causa di gradienti trasversali di velocit` a a (vortex tilting).1. L’equazione (6. Per capirne meglio il suo a significato.4 vediamo infatti che in presenza di un gradiente di ux nella direzione y una struttura contenente unizialmente solo ωy dopo un certo tempo cambia direzione convertendo parte della sua ωy in ωx . EQUAZIONE DEL TRASPORTO DELLA VORTICITA 115 contenuta nel piano. 5 e di identificare tutte le particelle attraversate si possono seguire nel tempo le singole particelle e quindi l’evoluzione temporale della linea (detta linea materiale). sar` ora semplice dimostrare alcuni teoremi sui vortici 2 e comprenderne la rilevanza a fluidodinamica. Per i nostri e u scopi ` sufficiente definire un vortice come una regione compatta a vorticit` non nulla e con delle linee e a di corrente chiuse (in un riferimento solidale al vortice stesso).5): a Γ= la quantit` Γ ` detta circolazione. o 2 . (6.9) z ω n y x dl Figura 6.5: Calcolo della circolazione di una regione vorticosa (indicata in rosso).2 teorema di Kelvin Avendo mostrato l’equazione di trasporto della vorticit` ed il significato fisico dei suoi tera mini. pu` tuttavia essere invalidata con dei controesempi. ∗ ` DINAMICA DELLA VORTICITA 6. cos` come tutte quelle ı finora proposte in letteratura. Se ora immaginiamo di tracciare una linea chiusa nel fluido come in figura 6.Γ. Questa definizione.11) dt dt ∂S Dt ∂S Dt ∂S Il termine vortice ` un concetto che ognuno di noi possiede a livello pi` o meno intuitivo.116 CAPITOLO 6. (6. la circolazione calcolata lungo una linea materiale chiusa ` costante nel e tempo dΓ = 0. Iniziamo con il definire l’intensit` di un vortice .10) dt Dalle definizioni si ha infatti: Ddl Du d dΓ u · dl = u· = · dl + . Il teorema di Kelvin dice che in un fluido barotropico. con forze viscose trascurabili e soggetto a forze di massa conservative. come la circuitazione del suo campo a di velocit` lungo un percorso chiuso contenente interamente il vortice oppure (in base al a teorema di Stokes) come il flusso di vorticit` attraverso la superficie racchiusa (figura 6. a e ∂S u · dl = S ω · ndS (6. 3.7). barotropico e forze di massa conservative) la circolazione in un tubo vorticoso si mantiene costante lungo il tubo stesso.10).3 teoremi di Helmholtz Come conseguenza del teorema di Kelvin appena dimostrato si hanno tre teoremi che si applicano a delle strutture vorticose che ora definiamo.6. In analogia con le linee di corrente si possono introdurre le linee vorticose come quelle linee che in ogni punto sono tangenti al vettore vorticit`. 6. . I risultati delle (6.14) dimostrano la tesi ((6.6 dl − dl (u − u)∆t + dl − dl Ddl = lim = lim = du.13) u· Ddl = Dt ∂S u · du = ∂S du2 ≡ 0. ∆t−→0 ∆t−→0 Dt ∆t ∆t da cui si ottiene per il secondo integrale ∂S (6. TEOREMI DI HELMHOLTZ 117 u’∆t dl’ dl u ∆t dl’= − u ∆t +dl + u’∆t Figura 6. e I teorema di Helmholtz: nelle stesse ipotesi del teorema di Kelvin (flusso non viscoso. e nelle presenti ipotesi dall’equazione di bilancio della quantit` di moto si ha (ponendo G a il potenziale delle forze di massa conservative) ∂S Du · dl = − Dt ∂S ∇ dp + ∇G · dl ≡ 0.12) in quanto si tratta di differenziali esatti integrati su un circuito chiuso. 2 (6. Per il secondo integrale si ha invece considerando il circuito materiale in figura 6.6: Calcolo della derivata materiale per una linea materiale.13) e (6. ρ (6.14) di nuovo in quanto differenziale esatto integrato su un circuito chiuso. Preso allora un circuito chiuso C consideriamo le linee vorticose a attraversate da C che costituiranno una superficie detta superficie vorticosa mentre il volume di fluido all’interno ` definito tubo vorticoso (figura 6. .15) ne consegue a o quindi Γ1 = Γ2 ma data l’arbitrariet` delle sezioni 1 e 2 lo stesso ragionamento si pu` ripetere per qualunque altra sezione il che dimostra che la circolazione Γ si mantiene costante lungo il tubo vorticoso.8 si ottiene 0≡ V ∇ · ω dV = S ω · ndS = S1 ω · ndS + S2 ω · ndS + Sl ω · ndS. Dall’equazione (6. e III teorema di Helmholtz: l’intensit` di un tubo vorticoso si mantiene costante nel a tempo.15) Osserviamo ora che risulta S1 ω · ndS = −Γ1 . Per dimostrare tale affermazione osserviamo che la divergenza della vorticit` ` identiae camente nulla (in quanto ω = ∇ × u) e applicando quindi il teorema della divergenza al volume delimitato dal tubo vorticoso come in figura 6. in altre parole. e Se prendiamo infatti la superficie laterale di un tubo vorticoso deve risultare identicamente Sl ω · ndS ≡ 0. ∗ ` DINAMICA DELLA VORTICITA ω ω S C ω ω ω Figura 6. un tubo vorticoso ` un tubo materiale. (6. S2 ω · ndS = Γ2 e Sl ω · ndS ≡ 0 in quanto ω e n sono ortogonali sulla superficie laterale. se per assurdo una particella interna al tubo vorticoso (e quindi contenente della vorticit`) attraversasse la superficie laterale verrebbe violata nell’istante a dell’attraversamento tale relazione il che ` impossibile. Dal primo teorema di Helmholtz si ha infatti che la circolazione ` costante lungo il e tubo vorticoso ma ci` non preclude che essa sia una funzione del tempo. Ci` ` escluso o oe tuttavia dal teorema di Kelvin in quanto per ogni sezione deve risultare dΓ/dt = 0 che dimostra la tesi.7: Definizione di tubo vorticoso.118 CAPITOLO 6. II teorema di Helmholtz: nelle stesse ipotesi precedenti le particelle fluide contenute all’interno di un tubo vorticoso vi permangono indefinitamente o. a . TEOREMI DI HELMHOLTZ 119 Sl nl S1 ω n1 ω n2 ω S2 Figura 6.8: Flussi di vorticit` in un tubo vorticoso.6.3. ∗ ` DINAMICA DELLA VORTICITA .120 CAPITOLO 6. Capitolo 7 Soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes Nei capitoli precedenti abbiamo visto come in generale il moto di un fluido abbia una componente di accelerazione non stazionaria ed una convettiva. Essendo le lastre infinitamente estese nella direzione z ` lecito aspettarsi che il flusso non abbia e variazioni in questa direzione per cui possiamo affermare che la componente di velocit` a a ux sar` funzione solo della direzione y.1 flusso tra lastre piane e parallele Consideriamo il flusso tra due lastre piane e parallele. ∂x ∂y ∂z =⇒ ∂ux = 0. Se alle ipotesi fatte si aggiunge quella di stazionariet` le equazioni di Navier–Stokes si a riducono a ∂ 2 ux ∂p (7.2) +µ 2 . Ci` nonostante queste a o soluzioni hanno un grande interesse fluidodinamico in quanto permettono di comprendere alcuni meccanismi che sono presenti anche in flussi pi` complessi. poste ad una distanza h come in figura 7. ∂x (7. Ci sono tuttavia alcuni casi speciali in cui a causa di particolari condizioni iniziali ed al contorno i termini non lineari sono identicamente nulli e le equazioni di Navier–Stokes ammettono una soluzione analitica. inoltre che il flusso sia incomprimibile per cui dall’equazione di conservazione della massa si ricava ∂ux ∂uy ∂uz + + = 0. La seconda implica la non linearit` delle equazioni di Navier–Stokes rendendo praticamente impossibile la soluzione a analitica. u 7.1 ed assumiamo che data la particolare geometria delle piastre il fluido si muova unicamente nella direzione x ossia uy = uz ≡ 0. Assumiamo. Vedremo nel dettaglio che queste soluzioni sono fisicamente ammissibili solo per valori molto limitati del numero di Reynolds il che rende la loro applicabilit` a fenomeni reali praticamene nulla.1) il che implica per la ux di non avere variazioni nella direzione della corrente. 0=− ∂x ∂y 121 . 122CAPITOLO 7. dovr` a risultare u(0) = 0 ed u(h) = 0 da cui si ottiene ux (y) = 1 ∂p 2 (y − yh).3) dove le costanti A e B dipendono dalle condizioni al contorno ed avendo assunto che il gradiente di pressione sia costante in x (il che implica che f sia al pi` una funzione lineare u della variabile x).2) si ottiene per la pressione p = −ρgy + f (x) da cui si vede che la pressione varia idrostaticamente nella direzione y mentre il suo comportamento in x dipende dalla f incognita. 2µ ∂x 4 (7. Dovendo il flusso soddisfare le condizioni di aderenza alle piastre. µ ∂x 2 (7.4) 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 l y h g u u(y) 111111111111111111111111111111 x 000000000000000000000000000000 ∆p Figura 7. y e z. ∂z rispettivamente nelle direzioni x. D’altra parte dall’analisi ` noto che il valore medio di e . ∂y µ ∂x ux (y) = 1 ∂p y 2 + Ay + B. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ∂p − ρg. Ci` significa che o il gradiente di pressione in x ∂p/∂x dipende unicamente dalla f che possiamo pensare come un dato del problema.2) si ottiene: 0=− 1 ∂p ∂ux = y + A. infatti a e e ∂p/∂x > 0 indica che la pressione ` crescente nella direzione x e consistentemente il flusso e si muove nella direzione opposta. Integrando allora la prima delle (7. Abbiamo cos` visto che il profilo di velocit` ` parabolico e la velocit` massima si ha ı ae a quindi al centro (y = h/2) essendo (ux )max = ux h 2 1 ∂p h2 =− .1: Schema di flusso tra due lastre piane e parallele. ∂y ∂p 0=− .5) Bisogna notare che la velocit` ` negativa se il gradiente di pressione ` positivo. Integrando la seconda delle (7. 2µ ∂x (7. ux = (ux )max = − 3 3µ ∂x 4 (7.7.8) che quando eccede il valore limite produce un flusso turbolento 1 . nella pratica oltre un certo valore non si osserva pi` il comportamento u previsto dalla teoria in quanto il flusso cessa di essere piano (uy = 0. Questo regime viene detto di transizione alla turbolenza e le sue caratteristiche dipendono oltre che dal flusso anche dalla presenza di disturbi esterni. Se indichiamo con l la lunghezza di un tratto di canale e ∆p la differenza di pressione applicata ai suoi estremi possiamo scrivere ∂p/∂x = ∆p/l da cui vediamo che le velocit` a e la portata sono direttamente proporzionali alla differenza di pressione applicata ed inversamente proporzionali alla lunghezza del canale.6) Volendo infine calcolare la portata in volume che attraversa il condotto (per unit` di a profondit` nella direzione ortogonale al foglio) si ha semplicemente a Q = ux h = − 1 ∂p h3 .1. Il flusso infatti inizia a mostrare un comportamento dapprima non stazionario con la produzione di regioni isolate con flusso fortemente tridimensionale fino a quando questa condizione non viene raggiunta da tutto il flusso. dalle condizioni di finitura superficiale delle lastre etc.7) dove si osservi che allo stesso risultato si perviene integrando il profilo parabolico (7.4) su tutta l’altezza del canale. Sperimentalmente non si osserva un salto improvviso da flusso laminare a turbolento per il valore del Re indicato. 3µ ∂x 4 (7. Ci` potrebbe indurre a pensare che o si pu` aumentare a piacimento tanto la portata quanto la velocit` facendo crescere il grao a diente di pressione. Questa integrazione viene lasciata al lettore come facile esercizio. uz = 0) e stazionario. FLUSSO TRA LASTRE PIANE E PARALLELE 123 una funzione parabolica ` pari ai 2/3 del valore massimo per cui risulta per la velocit` e a media nel condotto: 2 1 ∂p h2 . 1 . Questa soglia ` fissata dal numero di Reynolds e Re = ρux h µ 1400 (7. 79 · 10−5 Ns/m2 .10) per alcuni valori di Π ` riportato in figura 7.23 Kg/m3 e µ = 1. In particolare se il gradiente di pressione ` nullo il profilo di velocit` ` lineare ed unisce la parete inferiore e ae ferma alla parete superiore in moto con velocit` U . Mettendoci nelle stesse a ipotesi del caso precedente si giunge quindi all’integrazione delle equazioni (7. il profilo (7. 2 h h h (7.3cm x ˙ l = 2.2) ma con le condizioni al contorno ux (0) = 0 e ux (h) = U da cui si ottiene: ux (y) = 1 ∂p 2 y (y − yh) + U .25 m/s da cui risulta Re = V h/ν = 1116 < 1400. ρ = 1.9) Da questa espressione si vede che la nuova soluzione ` simile alla precedente ma con un e termine aggiuntivo che tiene in conto la nuova condizione al contorno.97 Pa. Il valore della velocit` media ` V = 1. Verificare che con i dati assegnati sia valida l’ipotesi di flusso laminare (usare aria a 15 o C. per esempio la parete superiore.02 Kg/ms Soluzione Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per il flusso tra due la˙ stre piane e parallele si ha: V = h2 ∆p/(12µl) ed M = ρhV da cui ∆p = 3 ˙ a e 12µlM /(ρh ) = 3.10) in cui si nota che il profilo dipende dalla variabile η = y/h e dal gruppo adimensionale e Π = −h2 /(2µU ) · ∂p/∂x. . SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ESEMPIO Tra due lastre piane e parallele infinitamente estese e poste ad una distanza h fluisce una portata in massa d’aria pari a m (per unit` di profondit` b). 2µ ∂x h (7.9) a si pu` scrivere come o h2 ∂p ux (y) = U 2µU ∂x y2 y y − + = −Π(η 2 − η) + η. In forma adimensionale il profilo (7.5 m M = 0.) l h b h = 1.2 flusso di Couette Una facile estensione del precedente esempio ` costituita dal caso in cui una delle due e pareti si muova con velocit` U . Sup˙ a a ponendo il flusso laminare.2. calcolare la differenza di pressione tra le due sezioni poste ad una distanza l nella direzione della corrente. 7.124CAPITOLO 7. a Naturalmente anche in questo caso la soluzione non ` fisicamente realizzabile per e qualunque valore dei parametri in quanto la transizione alla turbolenza invalida ben presto le ipotesi fatte inizialmente. a L’espressione adimensionale (7. tuttavia non si pu` trovare un semplice o valore di soglia del numero di Reynolds in quanto questo dipende sia da U che dal gradiente di pressione.10) permette di vedere immediatamente che per Π = −1 il profilo ha tangente verticale per y = 0 mentre per valori Π < −1 si ha l’inversione del segno della velocit`. FLUSSO DI COUETTE 125 U 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 Π<−1 Π=−1 Π=0 Π>0 y h u(y) 111111111111111111111111111111 x 000000000000000000000000000000 Figura 7. .2.2: Profili di velocit` per il flusso di Couette. Nel flusso di Couette.7. 126CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ESEMPIO Due lastre piane e parallele infinitamente estese distano tra loro h. (Per µ si ` usato il valore µ = νρ = 0.5 cm ν = 4. l h U b l=2m b = 1.2 · 10−4 m2 /s Soluzione Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per flussi piani sappiamo che tra le due lastre si svilupper` un profilo di velocit` lineare u(y) = U y/h e a a quindi lo sforzo di parete sar` dato da τw = µdu/dy|w = µU/h = 115N/m2 .383 Ns/m2 .) e .3 m ρ = 912 Kg/m3 x U = 1. calcolare la forza che bisogna applicare ad una superficie di e dimensioni l e b per mantenere tale stato di moto. La a forza totale esercitata dal fluido sulla parete sar` quindi F = s τw dS = τw S = a 299 N.5 m/s h = 0. Sapendo che la lastra superiore trasla in direzione x con una velocit` U e che il liquido a tra le lastre ` olio. 7. calcolare la differenza di pressione ˙ ∆p che ` necessario applicare su una lunghezza l per ottenere tale situazione. piano e viscoso.008 m2 /s ˙ h = 4 mm µ = 1.1. FLUSSO DI HAGEN–POISEUILLE ESEMPIO Tra due lastre piane parallele ed infinitamente estese scorre un flusso laminare.4 m/s q = 0. 7. Se assumiamo il flusso incomprimibile.5 Ns/m2 u(y)dy = U h/2 − dp/dxh3 /(12µ) si ricava 12µ = −9 · 105 Pa.11) . 2µ dx h h 0 h l = 6 cm U = 2. Sapendo che la portata in volume per unit` di larghezza e a (nella direzione ortogonale al foglio) vale q. data la simmetria assiale o del problema conviene scrivere le equazioni in coordinate cilindriche ottenendo 0 = −ρg sin θ − 0 = −ρg cos θ − ∂p ∂r 1 ∂p r ∂θ (7. e cerchiamo di determinare il campo di velocit` a all’interno del tubo. per`.3 flusso di Hagen–Poiseuille Consideriamo un tubo a sezione circolare di raggio R di lunghezza l alle cui estremit` ` ae applicata una differenza di pressione ∆p.3. stazionario. In questo esempio. possiamo utilizzare delle equaa zioni simili a quelle ricavate in §7. h3 dp Uh ˙ =− q− dx 2 e quindi ∆p = dp/dx · l = −54000 Pa. La lastra inferiore si muove a velocit` U mentre a quella superiore ` fissa. stazionario e con un’unica componente di velocit` allineata decondo l’asse del tubo. e 127 l q U Soluzione Integrando la relazione dp/dx = µd2 u/dy 2 con le condizioni al contorno u(0) = U ed u(h) = 0 si ottiene u(y) = Risultando d’altra parte q = ˙ Uy 1 dp 2 (y − hy) − + U. 3: Flusso di Hagen–Poiseuille. facciamo l’ipotesi che il gradiente di pressione ∂p/∂x sia indipendente da x allora la terza delle (7. 4µ ∂x (7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES 1 ∂ ∂ux ∂p +µ r .12) 0=− e. Per il calcolo della velocit` media bisogna tenere in conto il fattore metrico r delle a coordinate cilindriche da cui ux = 1 S S 0 ux (r)dS = 1 πR2 R 0 0 2π ux (r)rdrdθ = − 1 ∂p 2 (ux )max R = . a a y r u(y) θ z x g R u Figura 7.14) si pu` calcolare la velocit` massima che si ottiene all’asse (r = 0) o a con 1 ∂p 2 (ux )max = − (7. Imponendo la condizione di aderenza alla parete (ux (R) = 0) e che la soluzione rimanga finita all’asse (ux (0) = ∞) si ottiene A = 0. ∂x r ∂r ∂r essendo gli assi orientati come in figura 7.11) pu` essere facilmente integrata ottenendo: o r ∂ux 1 ∂p 2 = r + A.13) essendo le costanti A e B determinate in base alle condizioni al contorno. B=− 1 ∂p 2 R .14) che d` un profilo parabolico di velocit` in ogni sezione. 8µ ∂x 2 (7.11) ci dice che la pressione varia nella direzione verticale in modo idrostatico.3. di nuovo.15) R 4µ ∂x valendo le osservazioni fatte nei precedenti esempi circa il segno del gradiente di pressione. mentre nella direzione x la sua distribuzione dipende da una funzione incognita f che in generale sar` un dato a del problema: p = −ρgr sin θ + f (x) = ρgy + f (x). Dal profilo (7.16) . ∂r 2µ ∂x ux = 1 ∂p 2 r + A ln r + B 4µ ∂x (7. (7. 4µ ∂x ux (r) = 1 ∂p 2 (r − R2 ).128CAPITOLO 7. L’integrazione delle prime due (7. (7.7.17) noto il gradiente di pressione ∂p/∂x = ∆p/l.6 Pa. Reynolds e in un famoso esperimento del 1883 nel quale oltre ad osservare la dinamica transizionale del flusso all’interno di un tubo ` stato anche dimostrato che i parametri del flusso non e intervenivano separatamente ma come un gruppo adimensionale Re = ρux 2R/µ. ESEMPIO i Dato un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza l sia applicata alle estremit` a del tubo una differenza di pressione ∆p. FLUSSO DI HAGEN–POISEUILLE Da queste espressioni si pu` calcolare la portata in volume o 129 Q = ux S = S 0 ux (r)dS = πR4 ∂p 8µ ∂x (7. Quanto vale la portata in massa in tali condizioni? ∆p R l = 3 m R = 0. Se nel tubo fluisce acqua.65 · 10−2 Kg/s. basta calcolarla dalla definizione: M = ρQ = ρV πR2 = 1. Combinando la verie relazioni si ricava ∆p = ReC 4µlν/R3 = ˙ 201. Questa semplice soluzione rimane valida per valori del numero di Reynolds Re = ρux 2R µ 2100. V ` la velocit` media nella sezione del tubo e vale e a V = R2 ∆p/(8µl). . Per la portata in massa.5 cm l Soluzione Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per il flusso in un tubo cilindrico si sa che vale la soluzione laminare per numeri di Reynolds Re = V 2R/ν ≤ 2100 = ReC .3.18) mentre per valori maggiori si ha l’insorgere di un flusso transizionale e quindi della turbolenza. determinare il massimo ∆p applicabile per mantenere valida la soluzione di Hagen–Poiseuille. Questo valore di soglia ` stato determinato per la prima volta da O. 9424 N. verificato!. calcolare la velocit` massima e la risultante delle forze a viscose.130CAPITOLO 7. .94 m/s. Per verificare la laminarit` del flusso bisogna valutare il numero di Reynolds a Re = uD/ν = 1470 < 2100. Verificare a posteriori se ` valida l’ipotesi di flusso laminare. Soluzione Dalle soluzioni esatte dele equazioni di Navier–Stokes si ha che il profilo di velocit` per un tubo cilindrico ` dato da a e u(r) = 1 dp 2 (r − R2 ). e ∆p D l d = 1 cm ∆p = 12000 Pa ρ = 850 Kg/m3 l=3m ν = 10−1 cm2 /s fluido: olio. 4µ dz La velocit` massima si ha quindi per r = 0 ottenendo umax = ∆pR2 /(4lνρ) = a 2. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ESEMPIO Dato il flusso in figura. La risultante delle forze viscose si ottiene integrando lo sforzo di parete τw = µ(du/dr)r=R = R(dp/dz)/2 sul mantello cilindrico del tubo F = S τw dS = 2πRlτw = πR2 ∆p = 0. 1 teoria del potenziale Ci sono molte situazioni in fluidodinamica in cui il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscose per un dato flusso ` estremamente elevato. Di seguito verrano riportati prima alcuni fondamenti della teoria e quindi degli esempi di flussi bidimensionali e tridimensionali. In particolare se inizialmente risulta ω = 0 allora tale dovr` rimanere a 131 . I flussi potenziali (o correnti euleriane) sono stati storicamente di grande utilit` in quanto possono essere ricondotti allo studio di equazioni lineari con a la conseguente facilit` di trattazione matematica. Quando a questo parametro ` molto grande. 8.Capitolo 8 ∗ Flussi potenziali In questo capitolo verranno studiati dei particolari flussi nei quali gli effetti della viscosit` a possono essere trascurati. la zona potenziale ` molto pi` estesa di quella viscosa e lo studio e u della prima pu` fornire informazioni utili sul flusso intorno al corpo. al contrario. la seconda ` che il flusso si distacchi dal corpo e e quindi la regione di flusso influenzata dalla viscosit` si estende anche lontano dal corpo. l’effetto dei termini viscosi ` confinato ad un sottile e e strato di fluido in prossimit` del corpo dove i gradienti di velocit` sono estremamente a a elevati mentre il resto del flusso ha una dinamica indipendente dalla viscosit`. tale rapporto si misura con il numero e di Reynolds definito come Re = U L/ν essendo rispettivamente U ed L una velocit` ed a una lunghezza caratteristiche del fenomeno e ν la viscosit` cinematica del fluido. o Se effettivamente l’effetto della viscosit` ` trascurabile supponendo le eventuali forze di ae massa conservative ed il flusso barotropico (o incomprimibile) si pu` applicare il teorema o di Kelvin che ci dice che la circolazione Γ calcolata su qualunque linea materiale chiusa C non varia nel tempo. a In quest’ultimo caso la distinzione tra regione interna ed esterna (cio` tra zona potenziale e e zona viscosa) diventa meno chiara ed inoltre le due estensioni sono confrontabili. Con questa teoria ` stato possibile a e ottenere le prime informazioni sul campo di moto intorno a corpi pi` o meno complessi u anche se la teoria non era in grado di calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo. In tale a situazione si possono verificare essenzialmente due eventualit`: la prima ` che il flusso a e rimanga attaccato al corpo e quindi la regione in cui i termini viscosi sono rilevanti risulta molto piccola rispetto al campo esterno. Nel primo caso. Da ci` si deduce che nelle ipotesi del teorema di Kelvin. un flusso inizialmente irrotazionale o rimane tale indefinitamente. sarebbe possibile trovare un circuito materiale C che la contiene ottenendo Γ = 0.1) essendo la prima la condizione di impermeabilit` con n la normale alla superficie del corpo a e v la velocit` del corpo e la seconda la condizione di congruneza del potenziale con la a corrente indisturbata.2) (8. ` allora possibile definire una funzione potenziale φ tale che e u = ∇φ in quanto risulta identicamente ω = ∇ × u = ∇ × (∇φ) ≡ 0. Risultando infatti u = ∇φ risulta ∂u/∂t = ∇(∂φ/∂t) e 1 . Con queste condizioni ` possibile risolvere l’equazione (8. Questa equazione deve essere completata con le condizioni al contorno che sono ∂φ = v · n.1) che fornisce la funzione e potenziale φ in tutto lo spazio.132 CAPITOLO 8.1) da cui si ricava il potenziale (e quindi la velocit`) a Facciamo notare che come anticipato nel capitolo 5 per i flussi potenziali si pu` rilassare nell’equazione o di Bernoulli l’ipotesi di flusso stazionario. allora l’equazione di conservazione della a massa si scrive ∇ · u = 0. Ma essendo inizialmente ω = 0 ovunque la circolatione calcolata sulla stessa linea oe materiale C al tempo t = 0 avrebbe dato Γ = 0 e ci` ` contro il teorema di Kelvin. che. e anche per tempi successivi in quanto se per assurdo venisse prodotta una vorticit` diversa a da zero. Il vantaggio principale di questa formulazione ` che la soluzione del flusso potenziale e richiede l’equazione differenziale (8. si pu` 1 calcolare la pressione . sul corpo e φ = φ∞ all ∞.. Se in aggiunta si considera per semplicit` il flusso incomprimibile. Essendo ω = ∇ × u ≡ 0. b flusso separato.1: Flusso intorno ad un corpo: a flusso attaccato. Una volta noto φ si pu` calcolare u e quindi dall’equazione o o di Bernoulli. che per un flusso irrotazionale si scrive u2 /2 + G + p/ρ = const. combinata con la definizione di potenziale fornisce: ∇2 φ = 0. ∂n (8. ∗ FLUSSI POTENZIALI potential region U U boundary layer U separated region viscous region a) b) Figura 8. La zona indicata in rosso ` la zona ‘viscosa’. L’equazione per la presu sione ` invece non lineare. ρ ∂t m ≡ 0.5) avendo posto m = Q/(4π) come intensit` della sorgente. SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI 133 e la soluzione dell’equazione di Bernoulli per il calcolo della pressione.16). essendo la velocit` uniforme. la cui portata in volume sia Q.3) . Tutta la trattazione pu` essere quindi unificata utilizzando la (8.5) sia per la o sorgente che per il pozzo risultando nel primo caso m > 0 mentre nel secondo m < 0. ma la non linearit` ` di tipo algebrico e quindi non presenta e ae particolari difficolt`. in assenza di forze esterne o altre correnti questa massa dovr` a distribuirsi equamente in tutte le direzioni. essendo ω ≡ 0 diventa: (8. a diventa Q Q = ur 4πr2 .2. ` possibile adottare e e tutte le procedure di soluzione per serie note dall’analisi matematica e la costruzione di soluzioni complesse mediante addizione di pi` soluzioni semplici. ci` si ottiene facilmente notando che φ dipende solo dalla coordinata radiale e scrivendo quindi il laplaciano in coordinate sferiche risulta ∇2 φ = 1 ∂ 2 ∂φ 1 ∂ ∂ r = − 2 r2 2 ∂r r ∂r r ∂r ∂r u2 +G+ 2 dp ∂φ + = const. valendo il principio di sovrapposizione degli effetti. Lo stesso ragionamento pu` a o essere ripetuto in modo identico per un pozzo giungendo a delle relazioni uguali alle precedenti. esempi di tale paradosso verranno dati attraverso lo studio di flussi particolari.2).6) l’equazione (5.5) sia effettivamente una funzione potenziale bisogna dimostrare che o soddisfi l’equazione ∇2 φ = 0.8.2 8. A titolo di confronto. volendo risolvere lo stesso problema con le a equazioni di Navier–Stokes per flussi incomprimibili bisognerebbe risolvere un’equazione differenziale non lineare vettoriale (tre equazioni scalari) pi` la conservazione della massa u che ` differenziale lineare.2. Per affermare che la (8.4) 4πr2 e per integrazione si ottiene la funzione potenziale φ(r) = − Q m +c=− +c 4πr r (8. Per la cona servazione della massa dovr` risultare Q = S ur dS che.1 soluzioni tridimensionali sorgente e pozzo Consideriamo un punto nello spazio in cui sia localizzata una sogente di massa. generando una velocit` radiale ur uniforme a in un sistema di coordinate sferiche con origine nella sorgente (figura 8. =⇒ ur (r) = (8. r (8. 8. La prima equazione ` lineare e. e Chiaramente tanta semplicit` nella trattazione ha il prezzo di non poter calcolare le a forze esercitate dal flusso sul corpo (paradosso di d’Alembert). Se il sistema di riferimento ` scelto in modo che l’origine coincida con la sorgente e 2 2 2 2 2 2 2 allora risulta rS = x + y + z ed rP = (x − ∆)2 + y 2 + z 2 da cui rS − rP = −∆2 + 2∆x. S Q r ur Figura 8. Ci poniamo di nuovo la domanda se la soluzione trovata in (8. Supponiamo ora di far tendere a zero la distanza ∆ facendo crescere progressivamente m in modo che il prodotto m∆ = k rimanga costante.2.8) ` soluzione dell’equae e zione del potenziale. Come facile esercizio si pu` vedere che lo stesso risultato si ottiene o utilizzando un sitema di assi Cartesiani.8) in quanto per ∆ −→ 0 rS = rP = r.2 doppietta Si supponga ora di avere una sorgente ed un pozzo di uguale intensit` m posti ad una a distanza ∆ lungo l’asse delle x e sia A un punto qualunque nello spazio. in tal caso si ottiene ∆−→0 lim φ = lim −k∆ + 2kx kx = 3. Si pu` allora scrivere o ∇2 ∂ 2 −k kx ∂ −k = ∇2 = ∇ ≡ 0. la risposta ` si in quanto ∂(−k/r)/∂x = kx/r3 e −k/r ` soluzione e dell’equazione.7) avendo posto c = 0. rS rP rS rP rS rP (rS + rP ) (8. Per la propriet` a additiva il potenziale in A sar` a φ = φ S + φP = − 2 2 m m r S − rP r S − rP + =m =m .2: Schema di flusso generato da un sorgente in tre dimensioni. 3 r ∂x r ∂x r (8.134 CAPITOLO 8. ∆−→0 rS rP (rS + rP ) r (8. ∗ FLUSSI POTENZIALI che dimostra la tesi.9) . 8. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI 135 Allo stesso risultato si poteva pervenire ricordando dall’analisi matematica che la derivata di una funzione armonica ` ancora una funzione armonica.8. Il potenziale per questa configurazione ` e φ = Ux − m . a u 8.1 il semicorpo Osserviamo preliminarmente che una corrente uniforme con velocit` U diretta nella direa zione positiva dell’asse delle x avr` un potenziale φU = U x e questa soluzione soddisfa a l’equazione (8.1) ` lineare quindi se φ1 e φ2 sono soluzioni della (8. In questo modo si riescono a costruire delle soluzioni intorno a corpi di forma relativamente complicata partendo dalle soluzioni elementari precendentemente esposte. uno dei vantaggi fondamentali della teoria potena ziale ` che l’equazione (8. Nel seguito di questa sezione verranno mostrati alcuni esempi classici. indicando la modalit` per costruire soluzioni pi` complesse. se quindi il potenziale della e sorgente ` soluzione dell’equazione di Laplace. r (8. lo deve essere anche quello della doppietta.3. e z A rs rp ∆ S y Figura 8.3: Doppietta in tre dimensioni.3 sovrapposizione di soluzioni tridimensionali Come abbiamo detto in precedenza. In questo esempio viene considerata una corrente uniforme orientata nella direzione positiva dell’asse delle x ed una sorgente posta nell’origine di un sistema di assi. x P 8.3.10) .1).1) dovr` e e necessariamente risultarlo anche φ = φ1 + φ2 . Se invece consideriamo la portata dovuta al flusso traslazionale si otterr` in generale Q = πy 2 U e le due portate saranno uguali quando a 2 2 y U = 2a U (1 − cos θ) y = a 2(1 − cos θ) e x = −y cotg θ. ∂y r (8. r3 (8.13) da cui si ottiene Q = 2πm(1 − cos θ). (8. ∂x r CAPITOLO 8. a Dato allora un cono di semiapertura θ si ha dΩ = 2π sin θdθ.14) . La portata totale della sorgente ` QT = 4πm distribuita uniformemente su tutto e l’angolo solido per cui una frazione di angolo solido Ω smaltir` la portata Q/QT = Ω/4π. Se nella prima delle (8.12) Da queste espressioni si deduce che all’approssimarsi della corrente al corpo questa viene frenata e le linee di corrente si allargano.11) Da queste espressioni si vede che il campo di velocit` ` simmetrico rispetto all’asse x per ae cui basta studiare il flusso nel semipiano meridiano x–y con y ≥ 0. basta verificare la condizione di equilibrio tra le portate in volume della corrente traslazionale e della sorgente.11) si annulla la ux si trova un punto di ristagno in x = −a = − m/U da cui si scrive ux = U 1 + a2 x r3 e uy = U a2 y . Per calcolare quale sia la forma del corpo.4: Semicorpo potenziale tridimensionale. ∗ FLUSSI POTENZIALI e uy = my ∂φ = 3. y U r S z x 2a θ a Figura 8.136 da cui si ottiene per le velocit` a ux = mx ∂φ =U+ 3 . =⇒ Ω = θ 0 2π sin θdθ = 2π(1 − cos θ) (8. θ = 0) e B = (r = 3. Sapendo che la pressione nel punto A ` PA calcolare il e valore della pressione nel punto B. x −→ ∞ ed y −→ 2a da cui si vede che il corpo rimane aperto. A = (−2.5 m Soluzione Il potenziale del semicorpo tridimensionale ` dato da φ = −U r cos θ − m/r + c (per il e sistema di riferimento polare in figura). pA = 175870 Pa | a |= 1. θ = π/2) si ottiene uA = (−4. Per le componenti di velocit` sappiamo che ur = ∂φ/∂r = −U cos θ + a m/r2 ed uθ ∂φ/∂θ = U sin θ da cui essendo A = (r = 2.25 (velocit` in m/s).14 ed | uB |2 = 106. l’equazioa ne di Bernoulli tra i punti A e B si pu` scrio 2 2 vere: pB = pA +ρ[(uA −uB )/2+g(hA −hB )] = 102995 Pa.5 m3 /s. 3). Applicando infine. 0). si ottiene y = 0 mentre la x assume una forma indeterminata 0 · ∞. 0) Coordinate Cartesiane espresse in metri. U B y A a x U = 10 m/s B = (0. Si ha in generale che se la somma delle intensit` di sorgenti e pozzi non ` nulla il corpo a e deve necessariamente rimanere aperto in quanto tutta la portata immessa dalle sorgenti non viene bilanciata da quella riassorbita dai pozzi.3.5. uB = (2. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI 137 Per θ = 0. Alla stessa conclusione si poteva giungere osservando che all’infinito tutta la portata della sorgente deve essere smaltita con una velocit` ux = U quindi 4πm = πy 2 U a =⇒ y = 2a. U θ r A a B y x . Notiamo inoltre che per θ −→ π. Risulta inoltre a = (m/U ) da cui si ricava m = 22. 10) e quindi | uA |2 = 16.8. ESEMPIO Il semicorpo tridimensionale in figura ` investito da una corrente uniforme d’ace qua U nella direzione x. tuttavia sostituendo la prima delle (8.14)√ nella seconda ed utilizzando elementari trasformazioni √ trigonometriche si ottiene x = − 2a cos θ/ 1 + cos θ che tende effettivamente a −a per θ −→ 0.375. r2 (8.2 la sfera Vogliamo ora vedere quale flusso possiamo ottenere dalla sovrapposizione di una corrente e uniforme e di una doppietta nell’origine degli assi il cui potenziale φD ` dato dalla relazione (8. y U A r θ z D x Figura 8.18) r3 U che ` una sfera con centro nella doppietta e raggio dato dalla (8.8). (8.18).17) uθ = ∇φ · θ = r ∂θ r3 Da queste espressioni si vede che la velocit` radiale ` sempre nulla sulla superficie descritta a e da 1 2k 2k 3 = U.3. essendo r = x2 + y 2 + z 2 questo potenziale ` simmetrico sia rispetto all’asse y che all’asse z (ci` si osserva sostituendo y a −y e z a −z).138 CAPITOLO 8.5 da cui si ha x = −r cos θ e quindi φ = − rU + k cos θ. e . ossia il flusso o ` assialsimmetrico rispetto ad x. Per il potenziale totale si pu` quindi scrivere o φ = Ux + kx r3 (8.16) Per il calcolo delle velocit` radiale ed azimutale possiamo scrivere a ur = ∇φ · r = ˆ ∂φ 2k = −U + 3 cos θ. (8.15) √ e da cui si osserva che. ossia r = = R. ∗ FLUSSI POTENZIALI 8. Questa circostanza suggerisce di utilizzare un sistema e di coordinate sferiche come in figura 8. ∂r r ˆ 1 ∂φ = U + k sin θ.5: Sezione meridiana della sovrapposizione di una corrente uniforme ed una doppietta nell’origine. 21) (8. =1− 2 /2 2 ρU U 4 (8. trascurando le variazioni di quota si ottiene per il coefficiente di pressione Cp = p(θ) − p∞ 9 u(θ)2 = 1 − sin2 θ. Questo significa che partendo dal punto di ristagno anteriore (θ = 0) dove la velocit` ` zero ae e tutta l’energia cinetica ` stata convertita in pressione. il flusso accelera costantemente e .3.8. Nei punti e o o in cui sin θ = 2/3 (θ 42 e θ 138 ) si ha Cp = 0 ed u(θ) = U . Gli andamenti descritti sono riportati nelle figure 8. Per la distribuzione di pressione si utilizza l’equazione di Bernoulli scritta tra un punto all’∞ nella corrente indisturbata e l’altro sulla superficie della sfera u(θ)2 p(θ) U 2 p∞ + + gh∞ = + + gh(θ). SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI 139 Sostituendo il valore di R trovato nella seconda delle (8.6: Distribuzione del coefficiente di pressione sulla superficie della sfera (flusso potenziale).17) si ottiene il profilo di velocit` azimutale sulla superficie della sfera stessa a uθ = −U + kU 2k 3 sin θ = U sin θ.19) che quindi assume il valore massimo per θ = π/2 u(θ) = 3U/2 ed il minimo per θ = 0 e θ = π con u(θ) = 0. 2 (8. Cp U θ r Figura 8.6 e 8. 2 ρ 2 ρ da cui.20) Da questa relazione si vede che la pressione massima si ha per θ = 0 e θ = π con Cp = 1 (punti di ristagno) mentre la minima ` nel punto θ = π/2 dove vale Cp = −5/4.7 da cui risulta evidente la simmetria del coefficiente di pressione tra la parte frontale e la parte posteriore della sfera. Questo ` un caso particolare del paradosso di d’Alembert che si dimostra per corpi di e forma qualunque in condizioni di flusso incomprimibile e stazionario. le uniche azioni che il fluido pu` esercitare sul o corpo sono quelle normali di pressione che in questa configurazione hanno risultante nulla per tutte le componenti.7: Diagrammi della distribuzione di velocit` e coefficiente di pressione sulla a superficie di una sfera. ∗ FLUSSI POTENZIALI u( θ ) U 3/2 1 Cp(θ) 1 0 π/2 π θ 0 π/2 π θ −9/4 a) b) Figura 8. Ci` provoca uno sbilanciamento o della distribuzione di pressione e quindi una resistenza. a e Infatti le azioni viscose del flusso alla parete trasformano in modo irreversibile parte dell’energia cinetica in calore e nella zona a valle del punto θ = π/2 il flusso non riesce a far aumentare la pressione fino al valore che aveva in θ = 0. Si vedr` nei capitoli successivi che questo flusso ` ideale e nella pratica non si realizza. Mancando l’effetto dei termini viscosi.140 CAPITOLO 8. . In figura ` riportata solo la met` superiore. fino al punto θ = π/2 in cui si ha il massimo della velocit` ed il minimo di pressione. a Appena superato il punto θ = π/2 il flusso ricomincia a decelerare ed aumentare la sua pressione e nel punto di ristagno posteriore su ha una situazione speculare rispetto al quello anteriore. la met` inferiore si e a a ottiene per riflessione. 1 sorgente e pozzo Si supponga di avere una sorgente di massa puntiforme da cui esce una portata volumetrica Q in uno spazio piano. 8. 2 da cui per la forza sulla semisfera si ha Fx = π/2 0 y θ x 1 9 sin(2θ) p∞ + ρU 2 − sin2 θ πR2 dθ 2 4 1 9ρU 2 πR2 Fx = πR2 p∞ + ρU 2 − = 27776 N. 2 16 Se si assume che la pressione all’interno della sfera ` p∞ allora risulta Fx = −πR2 ρU 2 /16 = e −865 N.8. Sapendo che la sfera ` composta da due gusci poggiati come in figura ed utilizzando la teoria potenziale. 8.3 m U = 7 m/s p∞ = 101300 Pa Soluzione Dalla formula per il coefficiente di pressione per una sfera cp = 1 − (9/4) sin2 θ si ricava la forza di pressione nella direzione x 1 2 x dFx = −pˆndS = ρU cp + p∞ cos θ2πR2 sin θdθ. calcolare la forza con cui la semisfera di sinistra spinge su quella di destra. Nel seguito ne verrano riportate alcune a titolo di esempio con dei flussi di interesse pratico ottenuti dalla loro sovrapposizione. si trovano le soluzioni potenziali in due dimensioni.4 soluzioni bidimensionali Seguendo dei ragionamenti del tutto analoghi a quelli precedentemente riportati per uno spazio a tre dimensioni. SOLUZIONI BIDIMENSIONALI ESEMPIO Una sfera di raggio R ` investita da una corrente d’acqua a velocit` costante U e a e e pressione della corrente indisturbata p∞ .4. La portata attraverso la circonferenza con centro nella sorgente e raggio r sar` Q = 2πrur da cui ur = Q/(2πr). U 141 R R = 0. D’altra parte essendo ur = ∂φ/∂r si pu` a o .4. rP (rS + rP ) (8.142 ottenere per integrazione il potenziale φ= CAPITOLO 8.4. Ponendo senza perdita di generalit` a c = 0.8: Sorgente bidimensionale.24) si scrive m∆(2x − ∆) . Naturalmente se la portata Q ` negativa allora si avr` un pozzo il cui potenziale sar` e a a φ = −m ln r + c. 2π (8. ∗ FLUSSI POTENZIALI Q ln r + c = m ln r + c. a y r S ur x Figura 8.9 a si ha per il potenziale nel generico punto A φ = m ln rS − m ln rP + c (8. con queste espressioni si pu` scrivere o φ = m ln r S − rP rS = m ln 1 + rP rP = m ln 1 + 2 2 rS − rP .23) √ essendo rS = x2 + y 2 e rP = (x − ∆)2 + y 2 .22) con la costante c che pu` essere fissata arbitrariamente in quanto nella determinazione o delle velocit` entrano solo i gradienti del potenziale.24) x + O(x2 ) la (8. φ rP (rS + rP ) . 8.2 doppietta Data una sorgente ed un pozzo aventi la stessa intensit` m e disposti come in figura 8.25) Assumendo che ∆ sia un parametro piccolo e ricordando che ln(1 + x) (8. 9: Doppietta bidimensionale. x 8. Se ora si fa tendere a a zero il raggio R della circonferenza.3 vortice libero Immaginiamo di avere una vorticit` ω distribuita uniformemente all’interno di una cira conferenza di raggio R.27) Γ = 2πruθ .26) soddisfa o l’equazione del potenziale. ∆−→0 rP (rS + rP ) r (8. e Con un calcolo diretto si pu` agevolmente verificare che l’espressione (8.26) che ` il potenziale cercato. aumentando contemporaneamente l’intensit` della a vorticit` in modo che la circolazione Γ rimanga costante. y A rs rp ∆ S P Figura 8.4. si ottiene una singolarit` nella a a vorticit` di circolazione finita (figura 8.28) r ∂θ 2π . Se in particolare si sceglie una circonferenza con centro nella singolarit` e a a raggio r si ha: Γ (8. =⇒ φ = θ + c. Per calcolare il potenziale di questo flusso a basta osservare che in base al teorema di Stokes la circolazione Γ pu` essere calcolata o mediante la circuitazione della velocit` lungo un qualunque percorso chiuso contenente a la singolarit`.4.8. (8. questa avr` una circolazione Γ = ωπR2 .10a). SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 143 se ora si fa il limite per ∆ −→ 0 mantenendo costante il prodotto k = m∆ (intensit` di a doppietta) si ha che rP −→ rS −→ r e per il potenziale si ottiene φ = lim kx m∆(2x − ∆) = 2. =⇒ uθ = 2πr da cui essendo 1 ∂φ Γ uθ = . 2 + (y + 1)2 2 + (y − 2)2 ∂ (x + 1) (x − 1) [(x − 3)2 + y 2 ]2 Sostituendo ad x ed y i valori delle coordinate in A e B si ottiene u2 = A 0. a a un pozzo di intensit` mP ed una doppietta di intensit` k (quest’ultima allineata a con l’asse x). P . fluido:acqua (trascurare la gravit`). y r uθ x R r y a) θ uθ x φ= const.0967 m2 /s2 ed u2 = 0. 0) S = (−1. D vengono posti. a Soluzione 2 L’espressione del potenziale ` Φ = m(ln rS − ln rP ) + k(x − xD )/rD con ri = e (x − xi )2 + (y − yi )2 . Calcolare la differenza di pressione tra i punti A e B. ESEMPIO Nei punti S.3 m /s mP = 0.20725 m2 /s2 . b) Velocit` tangenziale indotta e linee a a equipotenziali. una sorgente di intensit` mS . ∗ FLUSSI POTENZIALI Questa soluzione essendo lineare in θ ` sicuramente soluzione dell’equazione di Laplace ed e ` quindi il potenziale cercato. Il corpo risultante dalla sovrapposizione delle 3 soluzioni assegnate ` aperto o chiuso? e 2 2 3 mS = 0. B A .3 m /s k = 0. 0) B = (1. 1) Coordinate in metri. i = S. b) Figura 8. a e a ω φ= const. 2) D = (3. −1) B = (1.5 m /s A = (0. Le linee equipotenziale sono delle rette uscenti dall’origine e e la velocit` indotta ` puramente tangenziale (velocit` azimutale) (figura 8.255 Pa. rispettivamente. Per derivazione da queste espressioni si ottiene: ux = uy = ∂Φ x−1 y 2 − (x − 3)2 x+1 − +k . D.10: a) Singolarit` di vortice libero. flusso bidimensionale.10b).144 CAPITOLO 8. Applicando quindi l’equazione di Bernoulli B si ha pA − pB = ρ(u2 − u2 )/2 = 55. P. =m ∂x (x + 1)2 + (y + 1)2 (x − 1)2 + (y − 2)2 [(x − 3)2 + y 2 ]2 y+1 ∂Φ y−2 2y(x − 3) =m − −k . Abbiamo immediatamente per il potenziale φ = U x + m ln r. ma utilizzando le soluzioni singolari bidimensionali. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 145 8.5. Si ha infatti che per x −→ ∞.5 8. utilizzando la definizione di a. o φ = −U r cos θ + m ln r. (8. Per il potenziale si pu` quindi scrivere o φ = Ux + kx .32) Essendo la sorgente nell’origine l’unica sorgente di massa (che non ` bilanciata da alcun e pozzo) ci aspettiamo che il corpo trovato debba rimanere aperto. ∂r r uθ = 1 ∂φ = −U r sin θ. si ottiene per x ed y y = aθ e x = y cotg θ. a Analogamente al caso tridimensionale per θ −→ 0 si ottiene una forma indeterminata per la x.29) in un sistema di riferimento polare.11). vogliamo ora sovrapporre una corrente uniforme di intensit` U nella direzione positiva dell’asse delle x con una doppietta disposta come a in §8.8. 8.1 sovrapposizione di soluzioni bidimensionali il semicorpo Seguendo l’esempio riportato in §8.2.30) e si vede che la condizione ur = 0 non ` mai verificata per θ = π mentre per θ = 0 si ha un punto di ristagno per r = m/U = a (x = −m/U ).3.5. r ∂θ (8. tuttavia sostituendo l’espressione per la y nella x si ottiene x = −a cos θ · θ/ sin θ che tende a −a per θ −→ 0 (osservando che limx−→0 (sin x/x) = 1).1. r2 oppure φ = − U r + k cos θ. Noto il potenziale si possono calcolare immediatamente le velocit` a ur = ∂φ m = −U cos θ + . r (8.30) Da queste espressioni si nota che sull’asse x (θ = 0 e θ = π) risulta uθ ≡ 0 e gli eventuali punti in cui risultasse ur = 0 ci darebbero dei punti di ristagno. Per calcolare il contorno del corpo si procede in modo del tutto analogo al caso tridimensionale. Dalla prima delle (8. sovrapponiamo una corrente uniforme nella direzione positiva dell’asse delle x con una sorgente posta nell’origine degli assi (figura 8. y −→ πa ossia all’infinito tutta la portata della sorgente deve essere smaltita con una velocit` ux = U quindi 2πm = 2yU =⇒ y = πa.4. Le due portate saranno in equilibrio quando U y = 2πm θ 2π (8.31) da cui.2 il cilindro Analogamente al caso tridimensionale. (8.33) . si bilancia cio` la portata e proveniente dalla corrente uniforme e quella uscente dalla sorgente su una generica linea ortogonale all’asse x.5. r ∂θ r (8. ∂r r uθ = 1 ∂φ k = U + 2 sin θ.35) da cui si vede che ci sono due punti di ristagno a θ = 0 e θ = π. trascurando le variazioni di quota si ottiene Cp = p(θ) − p∞ u(θ)2 = 1 − 4 sin2 θ.13. Sulla superficie del cilindro il valore della velocit` azimutale ` a e uθ = 2U sin θ (8.36) Anche in questo caso si ha una simmetria della distribuzione di pressione sul corpo sia rispetto all’asse x che y con la conseguenza che tutti i coefficienti di forza risultano . 2 ρ 2 ρ da cui. ∗ FLUSSI POTENZIALI y U r θ a S x πa Figura 8. se si prende un sistema d’assi polari come in figura 8.11: Semicorpo potenziale bidimensionale. Ci` significa che la circonferenza o di raggio R si comporta come una superficie solida (impermeabile) nei confronti del flusso che quindi rappresenta il flusso intorno ad un cilindro.37) (8. I punti in cui la velocit` a ` massima sono a θ = π/2 e θ = 3π/2 dove uθ = 2U ed infine la velocit` vale U nei punti e a θ = π/6 e θ = 5π/6 (ed i punti simmetrici rispetto all’asse x). Applicando l’equazione di Bernoulli tra un punto all’∞ nella corrente indisturbata e l’altro sul corpo possiamo calcolare il coefficiente di pressione sulla superficie del cilindro: u(θ)2 p(θ) U 2 p∞ + + gh∞ = + + gh(θ). =1− ρU 2 /2 U2 (8.34) Da queste espressioni si vede che la velocit` radiale risulta identicamente nulla per il a valore costante del raggio R = k/U per qualunque θ. Dall’espressione del potenziale si possono calcolare le componenti radiale ed azimutale della velocit` ottenendo a ur = ∂φ k = − U − 2 cos θ.146 CAPITOLO 8. 12: Visualizzazione sperimentale tramite l’analogia di Hele–Shaw delle linee di corrente nel flusso potenziale bidimensionale intorno ad un semicorpo. per la conservazione della massa. . nulli. Per esempio.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 147 Figura 8. se in a un condotto a sezione rettangolare l × D viene posta una sfera di diametro D. una maggiore diminuzione di pressione.8. Di nuovo ci troviamo di fronte ad un caso particolare del paradosso di d’Alembert che vale per corpi di forma qualunque nell’ipotesi di flusso potenziale. Dal confronto con le espressioni analoghe per la sfera si osserva che in corrispondenza del punto θ = π/2 si ha una velocit` maggiore nel cilindro rispetto alla sfera e. la velocit` deve aumentare. Ci` si spiega facilmente osservando o che a parit` di diametro un cilindro crea un ‘bloccaggio’ del flusso maggiore di una sfera a quindi. consea guentemente. la superficie a disposizione per il passaggio del flusso sar` SS = lD − πD2 /4 mentre nel caso di a un cilindro si ha SC = lD − D2 da cui risulta SS > SC per πD2 /4 < D2 che ` sempre e verificata. entrambi posti nell’origine degli assi. ESEMPIO Lungo il perimetro di un cilindro sono praticati due fori a cui ` collegato un e manometro ad U come in figura.148 CAPITOLO 8. La peculiarit` di questo flusso ` a e .06cm θ = 30o Soluzione Essendo gli effetti viscosi trascurabili il flusso intorno al cilindro sar` potenziale a e per il coefficiente di pressione sulla sua superficie si ha cp = 2(p − p∞ )/(ρU 2 ).13: Sovrapposizione di una corrente uniforme ed una doppietta nell’origine (caso bidimensionale).3 il cilindro rotante Come ultimo esempio di flusso bidimiensionale potenziale vogliamo studiare il cilindro rotante che si ottiene sovrapponendo una corrente uniforme con una doppietta ed un vortice libero. ∗ FLUSSI POTENZIALI y U A r θ D x Figura 8. (Trascurare gli effetti viscosi). 8. Combinando questo risultato con la legge di Stevino si ottiene ∆p = p(180o ) − p(30o ) = ρU 2 /2 = ρm gh da cui di ricava U = (2ρm gh/ρ)1/2 = 16 m/s. Per θ = 30o risulta cp = 0 mentre per θ = 180o cp = 1. di conseguenza p(30o ) = p∞ e p(180o ) = p∞ + ρU 2 /2.5. U θ h h = 2. Se la differenza di quota tra i due menischi ` e 3 a h ed il fluido manometrico ` alcool (ρm = 780 Kg/m ) calcolare la velocit` della e corrente d’aria che investe il cilindro. 40) La prima conseguenza della rotazione ` lo spostamento dei punti di ristagno avendo sulla e superficie del cilindro uθ = 0 per sin θ = − Γ 4πRU ossia θ = − sin−1 Γ .38) (8. 2πr (8.5. 2 r 2πr (8.39) e Poich´ la velocit` radiale ur ` rimasta invariata rispetto al caso senza rotazione. r 2π uθ = U + k Γ sin θ + . 4πRU (8.8. rispettivamente. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 149 Cp U 30 o Figura 8. risulta a mutata la velocit` azimutale che sulla superficie del cilindro vale a uθ = 2U sin θ + Γ . a Aggiungendo il potenziale di vortice libero a quello del cilindro della sezione precedente si ottiene.41) . il flusso e a sar` ancora quello intorno ad un cilindro di raggio R = k/U .14: Distribuzione del coefficiente di pressione sulla superficie del cilindro (flusso potenziale). per il potenziale e le velocit`: a φ = − Ur + ur = − U − k cos θ. r2 k Γ cos θ + θ. dovuta al fatto che pur essendo potenziale riesce a generare una forza sul corpo diversa da zero. questa circostanza ` dovuta ad una particolarit` del flusso indotto dal vortice e a libero che verr` spiegata in dettaglio successivamente. Al contrario. avendo una dipendenza lineare in sin θ.17 ` evidente che la rotazione del cilindro rompe la simmee tria rispetto al diametro orizzontale e questa dissimmetria dovr` riflettersi anche nella a pressione.42) U 1+ 2 = r 2πr Uno schema delle tre situazioni ` riportato in figura 8. e Non ` superfluo notare che la circolazione si pu` determinare dalla velocit` di rotazione e o a 2 a Ω del cilindro come Γ = 2πΩR . riflette proprio la mancanza di simmetria. a Dagli schemi di figura 8. con la condizione che risulti Γ/(4πRU ) ≤ 1.44) .150 CAPITOLO 8. possiamo scrivere per le componenti della forza Fx = 2π 0 p cos θRdθ = 0. ∗ FLUSSI POTENZIALI u( θ ) U 2 1 0 π/2 π θ Cp(θ) 1 0 π/2 π θ −3 a) b) Figura 8.17. la met` inferiore si e a a ottiene per riflessione. (8. e ricordando che le forze di pressione hanno direzione opposta alla normale uscente. Se infine risulta Γ/(4πRU ) > 1 il punto di ristagno non sar` pi` sulla superficie a u del cilindro ma nel flusso sulla linea θ = −π/2 (dove comunque ur = 0) e per un valore del raggio r tale che R2 Γ . Riferendoci alla figura 8. p(θ) = p∞ + ρU − 2ρU sin θ − 2 2 − 2 8π R πR (8. (8. Dall’equazione di Bernoulli si ottiene infatti: 1 2 ρΓ2 ρU Γ sin θ 2 2 .15: Diagrammi della distribuzione di velocit` e coefficiente di pressione sulla a superficie di un cilindro.43) in cui l’ultimo termine.13. In figura ` riportata solo la met` superiore. Quando questo fattore ` proprio uguale ad e 1 i due punti di ristagno saranno coincidenti in un solo punto a θ = −π/2 e 3π/2 (per Γ > 0). Fy = 2π 0 p sin θRdθ = ρU Γ. tenendo fissa la velocit` della corrente U e le dimensioni del cilindro R la posizione dei punti di ristagno pu` essere determinata semplicemente o variando la velocit` di rotazione del cilindro. 16: Visualizzazione sperimentale tramite l’analogia di Hele–Shaw delle linee di corrente nel flusso potenziale bidimensionale intorno ad un cilindro. e altrimenti impossibile nell’ambito della teoria potenziale. lanci e tiri ‘ad effetto’ nello sport.8.44) ed osservando che l’unico termine ad integrale non nullo ` l’ultimo della (8.). in linea di principio.43) moltiplicato per e sin θ. In passato si ` anche provato a sfruttare questa forza per fini propulsivi come ` mostrato e e in figura 8. Ai due risultati di sopra si perviene facilmente sostituendo la (8. poteva essere vantaggioso.43) nelle (8. . La generazione della forza indotta dalla rotazione di un cilindro investito da una corrente ` anche nota come effetto Magnus che ha notevoli implicazioni nella balistica e (moto di proiettili e missili in rapida rotazione. Sebbene tale sistema non sia stato utilizzato successivamente si ` comunque e visto che. Lo svolgimento analitico degli integrali in (8.44) viene lasciato come facile esercizio.18 con la ‘Flettner–rotorship’ un’imbarcazione ideata da Anton Flettner nel 1922 in cui una spinta addizionale era fornita dai due cilindri rotanti che fungevano da fumaioli.5. etc. A questo punto appare chiaro l’effetto del vortice libero che generando una circolazione nel cilindro ` in grado di produrre una forza. Il risultato trovato sulla forza ` un caso particolare del teorema di Kutta–Joukowsky e che d` come espressione della forza F = ρU×Γ in cui Γ ` un vettore che ha la circolazione a e come intensit` e la stessa direzione e verso della vorticit` associata. Il risultato pi` a a u importante di questo teorema ` che non ` possibile generare una forza (di pressione) su e e un corpo se non si ha una circolazione netta. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 151 Figura 8. ∗ FLUSSI POTENZIALI Ω θ Ω θ Ω a) b) c) Figura 8. b) Γ = 4πRU . la posizione e angolare dei punti di ristagno ` quindi data da uθ = 0. Infine dal teorema di Kutta–Joukowsky si ha F = ρU Γ = 201056 N/m diretta verso l’alto. quale deve essere la velocit` di rotazione Ω del a a cilindro in modo da avere i due punti di ristagno come in figura? Quanto vale la forza per unit` di lunghezza in tali condizioni? a U D θ P1 θ P2 θ = 300 U = 8 m/s D = 1.152 CAPITOLO 8.132 m2 /s. ESEMPIO Dato un cilindro a sezione circolare di diametro D investito da una corrente d’acqua uniforme a velocit` U . e Essendo per le condizioni della figura i punti di ristagno a θ = −π/3 e θ = 7π/6 si ricava Γ = 25. ossia sin θ = −Γ/(4πU R). .17: Schema delle linee di corrente per un cilindro rotante potenziale bidimensionale: a) Γ < 4πRU . c) Γ > 4πRU . Dovendo quindi risultare Γ = 2πRΩ · R si ricava Ω = 16rad/s. m ipotizzare il flusso potenziale Soluzione Per il flusso potenziale intorno ad un cilindro circolare si ha che la velocit` a tangenziale sulla superficie del corpo ` uθ = 2U sin θ + Γ/(2πR). SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI 153 Figura 8. .5.18: Immagine dell’imbarcazione ideata da Flettner con sistema di propulsione basato sull’effetto Magnus.8. ∗ FLUSSI POTENZIALI .154 CAPITOLO 8. Sebbene questo approccio fornisca delle informazioni molto utili. a U y potential flow boundary layer δ x L Figura 9. in un flusso reale il fluido a contatto con il corpo deve avere la stessa velocit` del corpo (condizione di aderenza) che non coincider` con la a a velocit` potenziale. sotto alcune ipotesi.1). o 155 . il flusso intorno ad un corpo pu` essere analizzato con un modello di flusso non viscoso il che semplifica notevolo mente la trattazione conducendo alla formulazione potenziale. Questa differenza di velocit` genera dei forti grandienti in prossimit` a a a del corpo che renderanno non trascurabili gli sforzi viscosi. esso presenta delle pesanti limitazioni come l’impossibilit` di calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo (paradosso di d’Alembert). l’ipotesi di trascurare i termini viscosi dalle equazioni del moto non ` e applicabile ovunque. in particolare.Capitolo 9 Strato Limite Come abbiamo visto nel capitolo precedente.1: Flusso uniforme su una lastra piana: la zona indicata in rosso ` la zona e ‘viscosa’ dove non pu` essere applicata la teoria potenziale. Il sottile strato di fluido adiacente al corpo dove i termini viscosi non si possono trascurare (o pi` precisamente dove u i termini viscosi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli inerziali nel bilancio della quantit` di moto) viene detto strato limite (figura 9. a Evidentemente. possiamo quantificare il suo spessore δ. con u e v le componenti di velocit` ux e uy . ∂x ∂y ∂u 1 ∂p ∂u ∂2u ∂2u + . Questa caratteristica fu intuita per la prima volta da Prandtl all’inizio del secolo che formul` la teoria dello strato limite basandosi sul fatto che il fenomeno avviene nelle o due direzioni x ed y con scale differenti. Dovendo infatti i due e termini dell’equazione di conservazione della massa essere dello stesso ordine di grandezza si ha √ ∂v U v v Re U ∂u ≈ . +v =− +ν u ∂x ∂y ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 u ∂v 1 ∂p ∂2v ∂2v ∂v + . consideriamo il flusso stazionario su una lastra piana ad incidenza nulla come in figura 9.2) L νL 2 =√ .1) che rappresenta il bilancio di quantit` di moto nelle direzione della a corrente x. detta L la lunghezza della lastra in x dovr` risultare δ a L da cui si intuisce che il secondo termine viscoso deve essere molto pi` grande del primo. =⇒ . Riferiamoci alla seconda delle (9.1 ed ipotizziamo per semplicit` tale flusso incomprimibile e bidimensionale. oltre ad avere una dimensione molto pi` piccola dell’altra δ u L si ha anche una velocit` molto pi` piccola dell’altra a u v u.4) ∂x ∂y L δ L Re da cui si vede immediatamente che nello strato limite. Dalle equazioni di conservazione a della massa e bilancio della quantit` di moto si scrive a ∂u ∂v + = 0.1) avendo indicato. D’altra parte.156 CAPITOLO 9.5) . ∂x ∂y =⇒ 1 U2 L ν U δ2 (9. a Richiamando il concetto che nello strato limite i termini viscosi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli inerziali.3) U Re avendo assunto che la velocit` parallela alla lastra sia dello stesso ordine di U e definendo a il numero di Reynods Re = U L/ν (con Re 1). +v =− +ν ∂x ∂y ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 (9. STRATO LIMITE Per comprendere i punti essenziali della fisica di questo fenomeno. δ (9. Volendo dare una stima sulle forze viscose si pu` calcolare lo sforzo di parete o τw = µ ∂u ∂y µ w U U√ Re = =µ δ L µρU 3 L (9. Noto lo spessore δ ` possibile calcolare la relazione tra u e v. dei u due termini convettivi il primo ci d` il trasporto di quantit` di moto parallelamente alla a a lastra che sar` ostacolato appunto dai temini viscosi all’interno dello strato limite. Da a queste considerazioni ne segue che possiamo porre u da cui ∂ 2u ∂u ≈ ν 2. rispettivamente. (9. =⇒ v √ . 6) √ o e da cui emerge che la resistenza aumenta solo come L. L ρ ∂y ∗ L2 ∂y ∗ 2 L Re ∂x∗ L Re ∂y ∗ ReL2 ∂x∗ 2 Da queste relazioni.8) si ottiene per sostituzione nelle (9.1 equazioni di Prandtl Abbiamo a questo punto a disposizione gli elementi per derivare le equazioni nelle ipotesi di strato limite. Le lunghezze nelle direzioni x ed y. (9. facendo il limite per Re −→ ∞ e ricordando che Re = U L/ν si ricava ∂u∗ ∂v ∗ + = 0.1 nella direzione ortogonale al foglio si ha D=b L 0 τ dx = 2b µρU 3 L. UL Re (9. Introducendo allora delle lunghezze e velocit` adimensionali definite come a x∗ = x .10) ∂x∗ ∂y ∗ .9. Per avere delle informazioni quantitative ` necessario risolvere in qualche modo le e equazioni (9. = δ L u∗ = u . Ci` ` dovuto al fatto che lo spessore dello strato limite cresce con la coordinata x e lo sforzo di parete diminuisce per cui le regioni pi` lontane dal bordo d’attacco contribuiscono meno alla resistenza rispetto u a quelle pi` vicine. Per il calcolo della resistenza totale si pu` integrare lo sforzo di parete su o tutta la superficie della lastra per cui detta b la dimensione della lastra in figura 9.1) cercando di introdurre le semplificazioni delle ipotesi di strato limite. 9. (9. L ∂x∗ Re L ∂y ∗ (9. verranno infatti scalate rispettivamente √ √ a con L e δ = L/ Re mentre le velocit` u e v con U ed U/ Re. L y∗ = y y√ Re.1.9) √ U 2 ∗ ∂u∗ Re ∗ ∂u∗ U ∂ 2 u∗ U Re ∂ 2 u∗ U2 ρU 2 1 ∂p∗ u v +√ =− +ν + 2 .7) Bisogna notare che queste relazioni sono basate su considerazioni sull’ordine di grandezza delle varie quantit` quindi danno delle informazioni solo qualitative sul fenomea no. U v∗ = v v√ Re = δ U (9. Se vogliamo infine calcolare il coefficiente d’attrito possiamo scrivere u cf = D 1 ρU 2 bL 2 =4 4 ν =√ . L ∂x∗ ∂y ∗ L ρ ∂x∗ L2 ∂x∗ 2 L ∂y ∗ 2 Re L √ √ U ∂ 2 v ∗ U Re ∂ 2 v ∗ U 2 ∗ ∂v ∗ U 2 ∗ ∂v ∗ ρU 2 Re 1 ∂p∗ √ u + √ v =− +ν √ + . EQUAZIONI DI PRANDTL 157 da cui si vede che questo cresce come U 3/2 mentre diminuisce all’aumentare della lunghezza della lastra L.1) √ U Re ∂v ∗ U ∂u∗ +√ = 0. Matematicamente ci` si esprime o dicendo che le equazioni (9.10) sono paraboliche in x mentre le (9. Ripercorrendo le ipotesi che ci hanno portato alle a equazioni (9. L’altra caratteristica importante ` che la seconda delle (9. Ci` implica che una volta trovata la soluzione questa o sar` applicabile a tutte le situazioni geometricamente simili potendo poi trovare i valori a dimensionali di velocit` e lunghezze attraverso le definizioni (9. in questi a casi l’approssimazione di strato limite cessa di essere valida. STRATO LIMITE dp∗ ∂ 2 u∗ ∂u∗ ∂u∗ + v∗ ∗ = − ∗ + ∗2 . Da un punto di vista fisico questo significa che il flusso ad una certa coordinata x nella direzione della corrente dipende solo da ci` che succede per x ≤ x al contrario delle (9. il flusso tenda a separare ed una particella fluida inizialmente in prossimit` della parete venga trasportata lontano da essa.1) la cui soluzione o in un punto dipende dal flusso in tutto il resto del campo. a causa dell’azione frenante dell’attrito. ∗ ∂y Re dove l’ultima equazione deriva dall’osservazione che nella terza delle (9. Si pu` verificare tuttavia o che. Ci` indica che la pressione nello strato limite ` imposta dal campo esterno che pu` essere facilmente determinato e o dalla teoria potenziale. infatti ci` ha implicato che tutte le variazioni in y fossero molto pi` o u intense di quelle in x permettendo di trascurare alcuni termini.10) non solo ` e una derivata ordinaria perch´ dipendente solo da x ma non ` nemmeno un’incognita del e e problema visto che viene dal flusso esterno. u Un’altra caratteristica importante delle equazioni (9.10) ` che la loro forma ` indie e pendente dal numero di Reynolds. 1 .9) il gradiente di √ pressione deve essere dello stesso ordine di grandezza degli altri termini (O(1/ Re)) 1 .10) con le (9. Come prima osservazione notiamo che la pressione ha variazione nulla nella direzione ortogonale alla corrente che o quindi non varia attraverso lo strato limite: ∂p∗ /∂y ∗ = 0.1) si vede che ci sono evidenti differenze con notevoli semplificazioni delle seconde rispetto alle prime. inoltre il temine di pressione nella seconda delle (9. Ci` si verifica sempre a meno che nel problema non subentri una forzante di pressione imposta dall’esterno.8). avendo questa distinzione anche profonde implicazioni nelle metodologie di soluzione che risultano molto pi` difficili per le seconde rispetto alle prime.2 separazione dello strato limite Analizzando le equazioni di Prandtl per lo strato limite abbiamo visto che portano a delle notevoli semplificazioni pur fornendo tutta l’informazione necessaria all’analisi del flusso.10) ha un solo termine e viscoso avendo perso il termine di derivata seconda nella direzione x. Ci chiediamo ora fino a che punto possiamo usare le equazioni semplificate e quale fenomeno fisico ne precluda la validit`. Dal confronto delle equazioni (9. ∂x∗ ∂y dx ∂y ∂p∗ 1 =O −→ 0.158 u∗ CAPITOLO 9.1) sono ellittiche. Nello sviluppare tutti questi passaggi abbiamo anche supposto che la scala di adimensionalizzazione o delle pressioni sia P = ρU 2 ossia che il numero di Ruark ρU 2 /P = Ru sia uguale ad 1. a 9. da un punto di vista fisico.10) notiamo che risulta essenziale la forte differenza di scala δ L. 2.10) alla parete diventa dp∗ = dx∗ ∂ 2 u∗ ∂y ∗ 2 . Al contrario si pu` o affermare che essendo un punto di separazione caratterizzato dalla condizione ∂u/∂y|w = 0 il cambio di concavit` nel profilo di velocit` ` condizione necessaria per la separazione. il profilo in questo punto deve avere un cambio di concavit`.9. w (9. Nelle figure 9. In questo contesto. ossia se il flusso ` sempre accelerato.4 a .2 osservando che a causa della u diffusione lo spessore dello strato limite δ cresce con la coordinata x nei primi 3 profili. In particolare se il gradiente di pressione ` sempre e negativo.4 sono riportate due visualizzazioni di laboratorio di separazioni di strato limite. SEPARAZIONE DELLO STRATO LIMITE 159 Analizziamo pi` in dettaglio lo schema di figura 9. In figura 9. dovendo necessariamente il profilo di velocit` recuperare il valore U a per y −→ ∞. Nella figura 9. x Al contrario se il flusso si muove da zone a pressione minore verso zone a pressione maggiore il gradiente di pressione sar` positivo e la concavit` del profilo di velocit` a a a a parete sar` positiva. si pu` verificare che in qualche punto il profilo a o raggiunga la condizione di gradiente nullo a parete e quindi il flusso separi. a ae Se utilizziamo il fatto che alla parete (y ∗ = 0) la condizione di aderenza implica ∗ u = v ∗ = 0 la seconda delle (9.3 e 9. a U y S Figura 9.2: Separazione dello strato limite su una lastra piana.2 ci` accade in S o o dove si osserva che. Con la crescita di δ diminuisce progressivamente il gradiente di velocit` alla parete fino a ad un punto in cui questo valore pu` diventare nullo. il profilo di velocit` sar` convesso e la e a a situazione illustrata in figura 9. Si osservi che a anche nel terzo profilo la concavit` non ` unica per cui il cambio di concavit` non pu` a e a o essere utilizzato come criterio per l’identificazione della separazione.2 non potr` mai verificarsi. Nella prima la separazione avviene in un divergente a causa della diminuzione di velocit` del flusso esterno e conseguente aumento di pressione.11) da cui si vede che la concavit` del profilo di velocit` alla parete dipende dal gradiente di a a pressione imposto dal flusso esterno. Osserviamo infine che la separazione dello strato limite ` un fenomeno che si cerca di e evitare nelle applicazioni pratiche in quanto provoca delle perdite di energia meccanica.1) e ricordando che il flusso esterno ha solo la componente di velocit` parallela al corpo e che i termini viscosi sono trascurabili si ottiene −(1/ρ)dp/dx = a U dU/dx. STRATO LIMITE viene mostrato.11) si deve notare che non ` necessario conoscere effettivae mente la pressione ma basta conoscere il campo esterno di velocit`. Riguardo alla relazione (9.3: Visualizzazione sperimentale della separazione dello strato limite all’inizio di un divergente. invece. a e In particolare. Figura 9. 9.10) ma piuttosto le (9. y) deve .160 CAPITOLO 9. che proprio a causa dell’effetto del gradiente di pressione sullo strato limite le situazioni di contrazione ed espansione non sono simmetriche verificandosi il distacco del flusso dalla parete solo nel secondo caso. Considerando infatti a la prima delle (9. Per esempio nell’aerodinamica esterna degli autoveicoli la presenza di bolle di separazione aumenta il coefficiente di resistenza e quindi il consumo di carburante.10) ` di fare ricorso alle soluzioni simili. poich´ nella direzione x non c’` una scala di lunghezze assegnata si pu` e e o ipotizzare che il profilo di velocit` assuma un forma simile in x.1).3 ∗ soluzione simile Una delle possibilit` per risolvere le equazioni (9. Evidentemente dall’insorgere della zona di separazione in poi non sar` pi` vero che le a u variazioni nella direzione y saranno pi` grandi di quelle in x e quindi non si potranno pi` u u usare le equazioni (9. Matematicamente ci` si a o a esprime dicendo che prese due coordinate x1 ed x2 ed il campo di velocit` u(x. valere y u x1 . f (x1 ) g(x1 ) = y u x2 . f (x2 ) g(x2 ) . ∗ SOLUZIONE SIMILE 161 Figura 9.4: Visualizzazione sperimentale del flusso attraverso un’improvvisa contrazione e successiva espansione. y) ` simile se e ` possibile far coincidere i profili di velocit` per due sezioni qualunque introducendo un e a fattore di scala per la velocit` e per la coordinata y. In altre parole la soluzione u(x.12) dove f e g sono due funzioni di forma. (9. a Se ora introduciamo la funzione di corrente possiamo porre per le velocit` u = ∂ψ/∂y a .5: Profili di velocit` a varie sezioni ed evoluzione della regione di separazione a per il flusso all’interno di un condotto divergente. Dato il problema in esame. Figura 9.3. il fattore a di scala per la velocit` ` la velocit` del flusso esterno U mentre la funzione con cui scalare ae a la y sar` lo spessore dello strato limite δ.9. da cui si possono fare alcune considerazioni.15) √ y U 1 νU ∂ψ νU f (η) − νxU f (η) = = √ [f (η) − ηf (η)].13) ed assumendo un gradiente esterno di pressione a nullo (U dU/dx) si ricava Uf U η 1 − f + 2 x 2 νU [ηf − f ]U f x U U = νU f νx νx (9. abbiamo cos` un’equazione differenziale ordinaria non lineare del 3o ordine con 3 condiı zioni al contorno che permettono di risolvere il problema (per esempio per integrazione numerica). Dalla tabella si vede che ci` accade per η o 5 per cui si ha δ 5 νx/U .16) che opportunamente semplificata si riduce a 1 f + f f = 0. (9. Il . STRATO LIMITE e v = −∂ψ/∂x per cui la seconda delle (9. δ(x) νx ψ(x. v(y = 0) = 0 ⇒ f (0) = 0. ∂y ∂η ∂y νx (9.17) Questa equazione ` nota come equazione di Blasius che pu` essere risolta con le e o seguenti condizioni al contorno u(y = 0) = 0 ⇒ f (0) = 0.14) (9.162 CAPITOLO 9. 2 (9.18) u(y −→ ∞) = U ⇒ f (η −→ ∞) = 1. ∂x 2 νx3 2 x 2 νxU Sostituendo queste velocit` nella (9. convenzionalmente si pu` definire lo spessore o dello strato limite come come la distanza dalla parete a cui la velocit` u raggiunge il 99% a della U . In figura 9.1. η) = √ νxU f (η) (9.10) (in forma dimensionale) diviene ∂ψ ∂ 2 ψ dU ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ 3ψ =U − +ν 3 ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 dx ∂y in cui si possono fare le seguenti posizioni f (x) = δ(x) = e per le velocit` a u= −v = νx . o I valori di f sono di solito tabulati ed alcuni dati sono riportati nella tabella 9. Il valore di f (η) (e quindi di u/U ) parte da 0 per η = 0 e tende asintoticamente ad 1.6 viene riportata una visualizzazione in acqua del profilo di strato limite di Blasius da cui si pu` dedurre l’andamento della funzione f (η) al variare di η.13) U ∂ψ ∂η √ ∂ψ = = νxU f (η) = Uf . y) = y U =y . U η(x. Per l’attrito di parete si ha τw = µ ∂u ∂y = µf (0) w U3 ρµU 3 = 0.664 νx/U .1 si tratta di trovare e la distanza δ ∗ per cui le due aree indicate abbiano lo stesso valore. (9.9.166 1.3.99992 0. considerata una distanza h dalla parete tale che u U si ha che la portata in volume Q risulta pi` piccola di quella u che si avrebbe se il flusso fosse potenziale(figura 9. =⇒ δ ∗ = 1− dy.22) . η 0 1 3 5 7 8 ∗ SOLUZIONE SIMILE f f 0 0. La linea y = δ(x) non ` conseguentemente e e una linea di corrente non essendo verificata la relazione v/u = dy/dx. Ci si pu` allora chiedere quale sia o la distanza dalla parete δ ∗ tale che considerando il flusso tra δ ∗ ed h costante ed uniforme si ottiene esattamente il flusso Q.7).1: Valori tabulati per la funzione f e le sue derivate 163 f 0 0. Da un punto di vista fisico questa distanza ci dice di quanto dovremmo spostare verso l’esterno il contorno del corpo in un’ipotetico flusso potenziale per compensare la perdita di flusso di massa dovuto alla condizione di aderenza. a e a Al bordo dello strato limite la quantit` ηf −f ∼ v ` sempre positiva quindi la velocit` a normale al bordo dello strato limite non ` nulla.161 0.279 valore u = 0.00022 1.397 3. (9.3298 0. Sempre a causa della condizione di aderenza si ha una diminuzione di flusso di quantit` a di moto per cui seguendo il ragionamento precedente si pu` trovare uno spessore analogo o θ (detto spessore di quantit` di moto) tale che: a ∞ ∞ u ∞ √ u u(U − u)dy =⇒ θ = 1− dy = f (η)[1 − f (η)]dη νxU ρU 2 θ = ρ U U 0 0 0 (9.323 0.28 6. Riferendoci alla figura 9.19) U (h − δ ∗ ) = U 0 0 0 essendo stato esteso l’integrale all’infinito in quanto u/U = 1 per y > h. Osserviamo a tal fine che a causa della condizione di aderenza.332 νx x (9.99U ` tuttavia arbitrario e se si scegliesse u = 0.0000 0.332 0.28 5. =⇒ U δ ∗ = (U − u)dy.991 0. Usando la soluzione di Blasius si pu` quindi scrivere o ∞ √ νx νx δ∗ = [1 − f (η)]dη νxU = [η − f (η)]η−→∞ = 1.999U si otterrebbe η e 6 per cui nasce l’esigenza di una definizione pi` oggettiva di spessore che prescinda dalla u determinazione di valori di soglia arbitrari.01591 0.20) U U 0 ossia circa 1/3 di δ. Questa distanza si trova semplicemente imponendo che h h ∞ u udy.21) che integrato numericamente d` θ = 0.00001 Tabella 9. questa distanza ` chiamata spessore di spostamento.8461 0.72 . 6: Visualizzazione sperimentale di un profilo di Blasius in acqua. tuttavia il fatto di disporre di una soluzione esatta ci permette di utilizzare lo strato limite su una lastra piana come flusso test per validare eventuali metodi approssimati che permettano di risolvere pi` facilmente anche casi pi` complessi. stazionario ed in assenza di gradiente di pressione imposto dal flusso esterno.23) Per il coefficiente d’attrito si pu` infine scrivere o cf = D 1 ρU 2 bL 2 1.332b ρµU 3 L 0 d √ = 0.328 = √ . Ci` si verifica nella realt` o a solo per numeri di Reynolds minori di 2 · 105 –5 · 105 ed il valore esatto dipende dalle perturbazioni nel flusso esterno e dalla rugosit` della lastra. Per valori superiori del a .164 CAPITOLO 9. Queste condizioni sono eccessivamente restrittive per le applicazioni pratiche. Re (9. mentre per la resistenza D=b L 0 τw dx = 0. u u Come ultima osservazione dobbiamo sottolineare che i risultati trovati valgono per flussi laminari. flussi cio` in cui il fluido scorre sopra la lastra come se fosse formato e da tante lamine parallele che scorrono una rispetto all’altra.24) Vogliamo ricordare che tutte queste considerazioni sono valide nel caso in cui il flusso sia bidimensionale.664b ρµU 3 L. STRATO LIMITE U U f’(η) η Figura 9. x (9. ESEMPIO Data la lastra in figura investita da un profilo di velocit` UX (z). calcolare la a densit` del fluido sapendo che la forza sulla lastra (considerata bagnata da un a solo lato) ` F . x 4 Ricavando da questa relazione ρ si ottiene ρ = 26755 Kg/m3 . ∗ SOLUZIONE SIMILE 165 U y δ∗ Figura 9. con x la coordinata nella direzione della corrente misurata a partire dal bordo d’attacco della lastra.9. numero di Reynolds si ha la transizione del flusso alla turbolenza condizione in cui il flusso ` completamente tridimensionale e non stazionario.7: Definizione di spessore di spostamento. A questa condizione si accenner` in e a un capitolo successivo.5 m Ux(z) x Essendo il flusso laminare e non essendo prescritto alcun profilo di velocit` apa prossimato si possono usare le formule di Blasius che danno per lo sforzo di parete τw = 0. Per la forza sulla lastra si avr` quindi a F = b 0 0 l τw dxdz = 0.332 ρµU 3 /x.332 ρµ53 2 l. e l z b Ux (z) = 5z 2 m/s F = 6ˆ N x l=1m µ = 10−1 Ns/m2 b2 = 0.3.332 ρµ53 b 0 z 3 dz l 0 dx b4 √ √ = 0. . Calcolare la resistenza di una seconda lastra L2 a investita dallo stesso fluido della lastra precedente ma a velocit` U2 . STRATO LIMITE La resistenza di una lastra piana L1 ad incidenza nulla ed investita da una core rente a velocit` U1 ` pari a D1 . √ √ 3 Per la prima lastra si ha D1 = 0. Per la seconda lastra si potr` quindi scrivere a U2 √ 3 D2 = 0.166 ESEMPIO CAPITOLO 9.332 ρµU 3 . a b1 U1 l1 L1 b2 U2 L2 l2 D1 = 290 N b1 = l1 = 1.664 ρµb2 l2 U2 = D1 U1 3 2 b2 b1 l2 l1 1 2 = 188. m U1 = 20 cm/s b2 = 1. . x D= b 0 0 l √ τw dS = 0.664 ρµb1 l1 U1 da cui si ricava ρµ.664 ρµU 3 b l.5 m U2 = 11 cm/s Soluzione Essendo il flusso laminare su lastre piane ad incidenza nulla (e non essendo specificato alcun tipo di profilo di velocit` approssimato) si pu` usare la soluzione a o di Blasius che fornisce τw = 0.3 N.3 m l2 = 1. ∂y 2 (9.332 ρµΩ3 y 5/2 x−1/2 dxdy = 0.332 ρµΩ3 y 3 dxdy x con U (y) = Ωy la velocit` che investe ogni striscia di pala ed x la distanza dal a bordo d’attacco.9.5 m Ω = 150 giri/min Soluzione Prendendo un asse y allineato con il bordo d’attacco della pala ed un asse x ortogonale.1232 W. risulter` a dF = τ dxdy = 0. l Considerando ora che ogni pala ha 2 superfici bagnate ed il rotare ha due pale ne risulta che la potenza sar` data da a W = 4M Ω = 0.25) . In generale questa procedura non pu` essere seguita in quanto la soluzione analitica presenta delle o difficolt` insormontabili. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE ESEMPIO La ‘ventola’ in figura ha due pale ad incidenza nulla e ruota in aria a velocit` a costante Ω.4. Calcolare la potenza necessaria a mantenere la ventola in rotazione supponendo il flusso laminare e localmente bidimensionale (ossia ogni striscia di pala parallela al lato h si comporta indipendentemente dalle altre). Partendo allora dalle equazioni per lo strato limite ed integrando in direzione normale alla parete fino ad un’altezza h (essendo h grande abbastanza da essere per qualunque x al di fuori dello strato limite) si ottiene: h 0 u ∂u dU ∂u +v −U ∂x ∂y dx dy = µ ρ h 0 ∂ 2u dy.664 ρµhΩ5/2 l7/2 = 0. Una possibile alternativa consiste nel richiedere che l’equazione a non sia soddisfatta puntualmente ma che lo sia una sua media effettuata su tutto lo spessore dello strato limite.4 equazione integrale dello strato limite Nella sezione precedente abbiamo visto un caso in cui l’equazione per lo strato limite pu` o essere risolta in modo esatto trovando la soluzione in ogni punto del campo.332 2 ρµΩ3 h 4 l . M= l 0 0 yh/l 0. Per il momento dispetto all’asse di rotazione risulta dM = ydF. 9. 167 h = 20 cm l = 0. Essendo lo strato limite laminare e bidimensionale. θ e a a τw e quindi per le quantit` derivate. δ (9. L’essenza della soluzione di questa equazione consiste nell’assumere un profilo di velocit` che soddisfi le condizioni al contorno e la continuit` con la soluzione esterna e a a ∗ procedere con il calcolo di δ . aggiungendo e sottraendo il termine ∂uU/∂x nell’integrale e combinando opportunamente i termini si ottiene h 0 ∂ [u(U − u)]dy + ∂x h 0 dU τw (U − u)dy = .168 CAPITOLO 9.26) che possiamo sostituire nel primo membro della (9. Inoltre per y > h tutte le funzioni integrande vanno a zero quindi gli integrali si possono estendere fino all’∞ da cui. ricordando le espressioni per lo spessore di spostamento e di quantit` di moto si ottiene a dU τw dθU 2 + δ∗U = .30) si a otterr` un’equazione differenziale dalla cui soluzione si ottengono le formule per δ ∗ . Dall’equazione di continuit` ricaviamo a ∂v ∂u =− =⇒ v = − ∂x ∂y h 0 y 0 ∂u dy.28) Risostituendo l’espressione trovata nella (9. 6 τw = µ ∂u ∂y y=0 U =µ . Sostituendo il risultato in (9. Dalle definizioni di θ e τw abbiamo θ= ∞ 0 u u 1− dy = U U 1 0 δ η(1 − η)δdη = .30) Questa ` l’equazione integrale dello strato limite anche detta equazione di von Karm´n e a che mette in relazioni le grandezze integrali dello strato limite con lo sforzo di parete.29) Osserviamo ora che poich´ h non dipende da x le derivazioni in x possono essere portate e fuori dal segno di integrale. STRATO LIMITE Il secondo membro dopo l’integrazione pu` essere immediatamente posto uguale a −τw /ρ o risultando ∂u/∂y = 0 per y = h.27). Risultando il gradiente di pressione esterno nullo (dU/dx = 0) l’equazione integrale si riduce a U2 τw dθ = . ∂x τw .32) . θ e τw i cui valori saranno funzione della coordinata x e dei parametri liberi assunti nel profilo di velocit`. dx dx ρ (9. A titolo di esempio consideriamo il flusso intorno ad una lastra piana ad incidenza nulla per il quale abbiamo la soluzione esatta di Blasius come termine di paragone. dx ρ (9. ∂x (9.31) Assumendo come profilo di velocit` u/U = y/δ = η si ha che questo soddisfa la condizione a di aderenza alla parete (u = 0 per y = 0) e la continuit` con la soluzione esterna (u = U a per y = δ).25) u ∂u ∂u − ∂x ∂y h 0 y 0 ∂u dU dy − U ∂x dx h 0 dy = − (9.27) Integrando il secondo termine per parti h 0 ∂u ∂y y 0 ∂u dy dy = U ∂x ∂u dy − ∂x u ∂u dy = ∂x h 0 ∂u (U − u)dy. ρ (9. dx ρ (9. Vogliamo infine ricordare che se il contorno del corpo non ` di forma semplice.9.33) che ci d` l’espressione per lo spessore dello strato limite in funzione di x. U τw 0.35) Tutti questi valori vanno confrontati con la soluzione esatta di Blasius e dal confronto si vede che nonostante il profilo u/U = η sia il pi` semplice che si possa usare i valori u numerici non vengono troppo dissimili da quelli esatti. 6 dx ρδ U (9.557 νx . Valori ancora pi` prossimi a u quelli esatti si possono comunque ottenere utilizzando profili di velocit` pi` complicati a u che replichino anche le caratterstiche di curvatura del profilo di Blasius (funzioni cubiche.576b ρµU 3 L. U δ ∗ = 1. . x (9. UL D = 0.152 ν .732 νx . seno oppure funzioni a tratti). θ e τw .4.31) si ottiene una semplice equazione differenziale in δ √ µU νx U 2 dδ = =⇒ δ = 12 . se il e gradiente di pressione non ` nullo o se il profilo non ` simile la procedura di soluzione e e (concettualmente identica) si complica notevolmente e si deve ricorrere a diverse funzioni a seconda del gradiente di pressione. Alla fine si giunge comunque ad un’equazione differenziale per δ(x) dalla cui soluzione si ricavano δ ∗ .288 ρµU 3 .34) mentre per il coefficiente d’attrito e la resistenza si ottiene cf = 1. Noto δ(x) ` a e possibile procedere a ritroso e calcolare tutte le altre quantit` a θ = 0. (9. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE 169 e sostituendo queste espressioni nella (9. determinare l’andamento dello sforzo di parete in funzione di x a 1 y u(y) =− U 2 δ u(y) δ x 3 U + 3 y . per il profilo di velocit` assegnato su ha τw = a µdu/dy |y=0 = 3µU/(2δ) e per θ θ= ∞ 0 u u 39δ 1− dy = .170 ESEMPIO CAPITOLO 9. 13U .0145 x m. STRATO LIMITE Data una lastra piana ad incidenza nulla investita da una corrente uniforme d’aria a velocit` U . x x s2 m =⇒ 140ν dx = δdδ 13U =⇒ δ= √ 280ν √ x = 0.00284 . U U 280 Questi valori risostituiti nell’equazione di partenza forniscono 39ρU 2 dδ 3µU = 2δ 280 dx da cui τw = 117ρµU 3 1120 1 1 Kg = 0.5 m/s Soluzione Partendo dall’equazione integrale dello strato limite (nel caso di gradiente di pressione nullo) τw /ρ = U 2 dθ/dx. considerando il flusso laminare ed assegnato l’andamento del profili a di velocit` u(y). 2 δ δ<y δ≥y u(y) =1 U U = 1. 4. Dall’equazione integrale per lo a a strato limite si scrive τw dθ = U2 .7 m/s 1/2 u/U 2/3 1 Soluzione Per il profilo di velocit` si ha: u/U = 4y/(3δ) per 0 ≤ y ≤ δ/2 e u/U = a (2y + δ)/(3δ) per δ/2 ≤ 1.1574δ. Supponendo il profilo di velocit` nello strato limite simile ed approssimabile a con due tratti rettilinei come in figura. ρ dy da cui δ(0.00177 x.2) = 1. . 171 1 y/δ l = 20 cm U = 2. 3U 0.9.1574 √ δ = 0. calcolare lo spessore dello strato limite ad una distanza l dal bordo d’attacco. Lo sforzo di parete ` τw = µ4U/(3δ) mentre lo e spessore di quantit` di moto sar` θ = 0. δdδ = 4ν dx. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE ESEMPIO Su una lastra piana con un gradiente di pressione nullo scorre dell’acqua a velocit` a U .12 mm. 172 CAPITOLO 9. STRATO LIMITE . irregolare ed apparentemente caotico di un fluido. indicando che il fumo ha “diffuso” ovunque. Le volute formate dal fumo di una sigaretta nel suo moto ascensionale. Si potrebbe comunque osservare che poich´ il fumo di sigaretta ` pi` caldo dell’aria e e u circostante.7giorni. il miscelamento tra latte e caff` e all’interno di una tazza o la scia irregolare di un fiume a valle del pilone di un ponte sono solo alcuni esempi tra un’innumerevole quantit`. potendo a a a a porre κ = νSc (essendo Sc il numero di Schmidt che vale circa Sc = 0. la convezione naturale ha un ruolo rilevante nella diffusione del fumo. utilizzando i parametri dell’aria 1. Si consideri. per esempio l’accensione di una sigaretta all’interno di una stanza. non ` e altrettanto chiaro l’effetto che ha la turbolenza sulle caratteristiche globali di un flusso. il tempo impiegato dal a fumo per percorrere tale lunghezza risulta Tν = L2 /ν che. Detta infatti ν la viscosit` cinematica dell’aria ed L la distanza percorsa dal fumo. Un’interpretazione ingenua potrebbe indurre a pensare che la diffusione sia la causa di questo fenomeno ma una stima delle scale temporali esclude inequivocabilmente questo fattore. Una stima dimensionale.1 fenomenologia della turbolenza L’osservazione di flussi turbolenti ` un’esperienza quotidiana che identifichiamo con il e moto non stazionario. tuttavia fornisce delle velocit` dell’ordine dei cm/s che. con l’esperienza quotidiana. a Sebbene il concetto di turbolenza sia abbastanza chiaro per ognuno di noi. infatti. Ci` a o 171 .Capitolo 10 ∗ Turbolenza 10. ` e esperienza comune che dopo pochi secondi la presenza del fumo pu` essere avvertita in o tutta la stanza. Le fluttuazioni di e velocit` indotte nel fluido dal moto turbolento.07 · 106 s (circa 12 giorni)! In realt` il tempo a ed ipotizzando L = 4m fornisce Tν risulterebbe ancora maggiore in quanto per tale calcolo non bisognerebbe considerare ν che d` la diffusivit` della quantit` di moto ma la diffusivit` κ del fumo in aria.7 per l’aria) si otterrebbe Tν 17. combinata a con l’osservazione che il fumo caldo sale verso l’alto e non si propaga orizzontalmente. hanno la capacit` di trasportare a a una quantit` (scalare o vettoriale) molto rapidamente anche in assenza di moto medio. porta comunque a dei tempi di ore in netto contrasto. si ` trascurata la presenza della turbolenza. La ragione della discrepanza tra l’esperienza pratica e le due stime quantitative ` e che in entrambi i casi. In questo regime transizionale. Questo esperimento ` stato descritto per la prima volta in modo sistematico da O. Per fornire un altro esempio sugli effetti macroscopici della turbolenza consideriamo la portata di un fluido attraverso un tubo a sezione circolare di raggio R e lunghezza L per una data differenza di pressione ∆p. Un studio pi` attento dei fenomeni turbolenti mostrer` comunque che questo u a ` solo l’effetto pi` visibile di una dinamica molto complessa che coinvolge principalmente e u i termini non lineari delle equazioni di Navier–Stokes. infatti. ∗ TURBOLENZA porta ad assimilare l’effetto della turbolenza con un notevole aumento della diffusivit` del a fluido che arriva ad essere anche due o tre ordini di grandezza maggiore rispetto al valore molecolare. Per Re ≤ 2100 il flusso si manteneva stazionario e si comportava come se delle lamine rettilinee (da cui il temine flusso laminare) scorressero le une sulle altre interagendo solo attraverso degli sforzi tangenziali. a Un’altra caratteristica comune a tutti i flussi turbolenti ` che se si ripete lo stesso esperie Questo risultato ` stato determinato utilizzando il valore del fattore d’attrito f determinato dal e diagramma di Moody ipotizzando una rugosit` relativa delle superfici del tubo pari a /D = 10−3 . il flusso all’interno a del condotto non pu` considerarsi n` stazionario n` tantomeno piano (ossia contenente o e e la sola componente di velocit` nella direzione della corrente) e le intense fluttuazioni a di velocit` “diffondono” la quantit` di moto in modo molto efficiente comportando un a a apparente aumento degli sforzi viscosi.172 CAPITOLO 10. si manteneva rettilinea diffondendo molto debolmente mentre si allontanava dalla sorgente. Questo risultato sovrastima in modo molto grossolano la portata reale che risulta 1 invece Q 0. la linea di colorante. Al contrario. in tali condizioni.5 m una portata d’acqua di Q 20 m3 /s. Per 2100 ≤ Re ≤ 4000 la linea di colorante perdeva la sua stazionariet` e si propaa gava lungo una traiettoria ondulata con caratteristiche dipendenti dal tempo. osserv` che combinando la velocit` media del flusso U . Quest’ultimo regime ` detto e turbolento ed ` caratterizzato da un moto disordinato. e Reynolds nel 1883 il quale. Questo comportamento fu notato osservando l’evoluzione di una “streakline” di inchiostro rilasciata da una posizione fissa all’interno del condotto. per Re ≥ 4000. conducendo degli esperimenti sul flusso all’interno di tubi a sezione circolare. completamente tridimensionale e e non stazionario e da delle fluttuazioni di velocit` con caratteristiche non deterministiche. a 1 .2 da cui si ae vede che la velocit` oscilla intorno ad una valore medio senza alcuna frequenza specifica.25 m3 /s. tuttavia la traccia di colorante preservava la sua coerenza spaziale rimanendo confinata in una linea sottile. In base alla soluzione laminare di Hagen–Poiseuille si potrebbe scrivere Q = πR4 ∆p/(8µL) indicando che sarebbe sufficiente una differenza di pressione di un Pascal per ogni metro di lunghezza per avere in un tubo di raggio R = 0. a Un tipico esempio di segnale turbolento di velocit` ` mostrato in figura 10. dopo un tratto iniziale con oscillazioni di ampiezza crescente la traccia d’inchiostro veniva diffusa vigorosamente in tutta la sezione trasversale del tubo fino a distribuirsi omogeneamente in tutto il flusso. Il motivo di tale differenza ` che il numero di Reynolds del flusso ` Re 3 · 105 ossia molto al di sopra del e e limite Re = 2100 di validit` della soluzione laminare. il diametro del o a tubo d e la viscosit` cinematica del fluido ν nel fattore U d/ν (che in seguito prese il a nome di numero di Reynolds) si poteva descrivere la dinamica del flusso in 3 categorie differenti. 98 0.08 1. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA 173 Re < 2100 2100 < Re < 4000 Re > 4000 Figura 10.04 1. Exp.06 1.2 u/U 1.98 0.06 1.10.04 1.02 1 0.1: Disegno schematico dell’esperimento di Reynolds.96 0.96 0. Questa osservazione sembra a prima vista inconciliabile con la natura delle equazioni che governano il fenomeno. cio` le equazioni di Navier–Stokes. mento e si misura la stessa quantit` nello stesso punto per lo stesso intervallo temporale si a ottengono dei segnali notevolmente differenti se confrontati istantaneamente mentre essi hanno le stesse caratteristiche statistiche (valore medio. Questo dilemma ` stato e risolto da Lorentz che nel 1963 mostr` che alcuni sistemi non lineari possono avere una o tale sensibilit` alle condizioni iniziali che perturbazioni inapprezzabili nei parametri di a .).94 0.02 1 0.92 0.92 0.9 0.9 0.2: Segnali turbolenti di velocit` per due realizzazioni successive dello stesso a esperimento.08 1. etc.94 0. deviazione standard.88 0 5 10 15 20 25 T T Figura 10.1 u/U 1.1. essendo infatti le equazioni e di tipo deterministico ed avendo condizioni iniziali ed al contorno definite si ha che anche la soluzione deve essere deterministica nello spazio e nel tempo.88 0 5 10 15 20 25 Exp. In e o figura 10.174 CAPITOLO 10. viene riportata invece con una linea continua l’andamento temporale per una della variabile y(t) del sistema (10.5.100001 e z(0) = 0. Press. Se. β = 8/3 e ρ = 35 con le condizioni iniziali x(0) = 0. la soluzione di questo sistema ` riportata in figura 10. β e ρ) le due soluzioni differiscono nei valori istantanei e possono essere confrontate solo nei valori medi e nell’ampiezza delle fluttuazioni (figura 10. 2 . ∗ TURBOLENZA partenza determinano rapidamente soluzioni completamente differenti 2 .3.3 dove e il tempo ` il parametro lungo la curva si pu` osservare il noto attrattore di Lorentz. y(0) = 0. (10. a ma anche la distribuzione iniziale di temperatura (che determina la viscosit` del fluido) a Questo esempio ` stato preso dal testo ‘Turbulent Flows’ by S.3: Attrattore di Lorentz nello spazio tridimensionale x–y–z. ˙ y = ρx − y − xz.1) z 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 -25 -20 y -15 -10 initial condition -5 0 5 10 15 20 x 0 -10 -20 -30 Figura 10.4. ˙ z = −βz + xy. linea tratteggiata). e 2000).5. lasciando tutto invariato.B. si considerano le condizioni iniziali x(0) = 0. y(0) = 0.4.3 si nota che dopo un intervallo di tempo iniziale (in questo caso t ≥ 15 ma il valore dipende dalle condizioni iniziali e dai parametri σ. la pressione e la geometria del condotto.1 e z(0) = 0. A tale scopo si consideri il sistema di equazioni x = σ(y − x). Pope.1). Cambridge Univ. ˙ in cui i parametri valgono σ = 10. Facendo un parallelo con le equazioni di Navier–Stokes possiamo annoverare tra i parametri iniziali sicuramente il campo di velocit`. con queste ipotesi ` possibile espandere la e . un’equazione monodimensionale.2) Immaginiamo ora che l’intervallo di definizione della soluzione sia x ∈ [0. la presenza di eventuali impurit` e le condizioni di finitura superficiale del tubo. come viene trasferita l’energia dal moto a grande scala fino alle strutture pi` piccole? u Per rispondere a questa domanda consideriamo l’equazione di Burgers.1. a Riconsiderando infatti l’esempio del flusso nel condotto. 2π) e che la soluzione sia periodica in x con media nulla. condizioni iniziali perturbate.10. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA 175 30 20 10 y(t) 0 -10 -20 -30 0 10 20 30 t 40 50 60 Figura 10. mentre la dispersione dell’inchiostro in tutto il flusso richiede l’azione di strutture piccole rispetto al diametro del tubo in grado di miscelare localmente il colorante con il fluido non marcato. per quanto si cerchi di mantenere controllati tutti i parametri di un esperimento ` impossibile che due relizzazioni successive dello e stesso fenomeno abbiano le condizioni iniziali replicate con una precisione infinita e ci` o porta inevitabilmente a soluzioni divergenti nel tempo. Quea sti ultimi parametri non possono essere controllati in modo arbitrariamente preciso e ci` o determina (attraverso la non linearit` delle equazioni) la dinamica non deterministica a precedentemente descritta.4: Evoluzione temporale della variabile y(t) soluzione dell’equazione di Lorentz: condizioni iniziali originali. In altre parole. ci si convince facilmente che la differenza di pressione imposta ∆p fornisce energia solamente al moto medio. ∂t ∂x ∂ x (10. I termini non lineari sono anche gli artefici della produzione di fluttuazioni ‘locali’ di velocit` che comportano la generazione di strutture fluidodinamiche di piccola scala. che ha tutte le caratteristiche principali delle equazioni di Navier– Stokes tranne il termine di pressione: ∂u ∂ 2u ∂u +u =ν 2 . 5 0 -0. 2 l=1 m=1 Questi termini possono essere risostituiti nell’equazione (10.5) ∞ ∞ ∞ ˙ Ak (t) sin(kx)+ . ∗ TURBOLENZA sin(x) 1 0.57 3.5 0 sin(5x) L1 x 4.71 6.5 -1 L5 0 1. (10.57 3.3) per esprimere i singoli termini della (10. ∂t k=1 ∞ ∂u Ak (t)k cos(kx). possiamo utilizzare la sommatoria (10. Con questo sempliu u ce esempio abbiamo quindi imparato che l’indice k ci d` l’informazione sulla dimensione a della struttura e sui gradienti spaziali che. {sin[(l+m)x]+sin[(l−m)x]} = −ν 2 l=1 m=1 k=1 (10. = ∂x k=1 ∞ ∂2u Ak (t)k 2 sin(kx).5 -1 L3 0 1. t) con una serie di seni ∞ u(x.14 1 0. A titolo di esempio vengono riportate in figura 10.14 x 4. Avendo fatto questa precisazione. u(x.5 0 sin(3x) 1 0.5: Esempio di variazione di lunghezza d’onda Lk con il numero d’onda k. 5 da cui si pu` notare che la luno ghezza della singola onda (detta appunto lunghezza d’onda) ` pari ad Lk = 2π/k e che il e gradiente della curva diventa tanto pi` ripido quanto pi` aumenta k.176 CAPITOLO 10. 3.57 3. =− ∂ 2x k=1 (10. rispettivamente.28 -0.71 6. t) = k=1 Ak (t) sin(kx).14 -0.5 le funzioni seno per k = 1. diminuiscono ed aumentano al crescere di k.28 Figura 10.2) che diventa ∞ k=1 ∞ Al (t)Am (t)m Ak (t)k 2 sin(kx).71 6.3) in cui la dinamica della soluzione ` tenuta in conto dai coefficienti Ak (t) mentre la base e di seni soddisfa automaticamente le condizioni al contorno.4) u ∞ ∂u = ∂x ∞ ∞ Al (t)Am (t)m sin(lx) cos(mx) = l=1 m=1 Al (t)Am (t)m {sin[(l + m)x] + sin[(l − m)x]}.5 -1 0 1.2) ed ottenere ∞ ∂u ˙ = Ak (t) sin(kx).28 x 4. . abbiamo che moltiplicando l’equazione (10.6) diventa 2 ˙ Ak = −νk 2 Ak . 2 l=1 m=1 ∞ ∞ k = 1. ∞.5) per sin(kx) ed integrando tra 0 e 2π si ottiene ˙ Ak (t)π + πAl (t)Am (t)m = −πνk 2 Ak (t). 8 ognuno decrescendo nel tempo indipendentemente dagli altri secondo la soluzione appena ricavata. (10. .. 2.7) in cui si vede che effettivamente solo i coefficienti Ak presenti nella condizione iniziale determinano la dinamica del fenomeno e che questi decrescono nel tempo tanto pi` rapidamente quanto pi` ` grande k.6 ` riportata la soluzione in termini di e u(x. t) e di Ak (t) dell’equazione (10. k = 1. 2 2 2 (10. In figura 10. 3. Per comprennel modo k–esimo (A dere meglio l’effetto dei due termini sorgente immaginiamo per un istante di cancellare dall’equazione di partenza (10.. ∞... 3. u ue Al contrario.6) scritta per componenti risulterebbe allora: 1 2 3 ˙ A1 + (A1 A0 + A1 A2 ) + (A2 A−1 + A2 A3 ) + (A3 A−2 + A3 A4 ) = −νA1 . .2) i termini non lineari.8) ... trasferendo quantit` di moto dalla componente k alle componenti k − m a e k + m.1.. la presenza dei termini non lineari modifica completamente la dinamica del fenomeno. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA Osservando ora la propriet` di ortogonalit` delle funzioni seno a a 2π 0 177 sin(px) sin(qx)dx = πδpq . 8) evolverebbe unicamente con i modi 1.. 2. essendo la doppia sommatoria ristretta ai soli m ed l tali che l + m = k ed l − m = k ossia ˙ Ak + ∞ m m=1 Am Ak−m Am Ak+m + 2 2 = −νk 2 Ak . (10.. 2 2 2 1 2 3 ˙ A3 + (A1 A2 + A1 A4 ) + (A2 A1 + A2 A5 ) + (A3 A0 + A3 A6 ) = −νA3 .3) sia limitato a 3 invece che infinito. ottenendo che la (10. k = 1. L’altro risultato notevole ` che in assenza di termini non lineari l’evoluu e e e o zione di ogni modo Ak ` indipendente dagli altri. 2. ci` implica che una condizione iniziale che contenesse solamente un numero finito di Ak (0) (per esempio k = 1.6) L’equazione appena trovata indica che le variazioni nel tempo della quantit` di moto a ˙ k ) hanno due cause. ∞. L’equazione (10.. =⇒ Ak (t) = Ak (0)e−νk t . Per illustrare pi` in dettaglio questo concetto..10. . una lineare ed una non lineare. 2 2 2 1 2 3 ˙ A2 + (A1 A1 + A1 A3 ) + (A2 A0 + A2 A4 ) + (A3 A−1 + A3 A5 ) = −νA2 .7) da cui si nota che ogni componente Ak decresce inesorabilmente nel tempo tanto pi` rau pidamente quanto pi` ` viscoso il fluido e quanto pi` ` piccola la struttura (ossia quanto ue ue pi` grande ` k). immaginiamo che il numero di u termini della sommatoria (10. rispettivamente per t = 0.25 0 x 4. Questo spiega la formazione di strutture di grande scala nell’atmosfera e negli oceani (grandi circolazioni e correnti).5 e t = 1. = −4νA2 2 2 3A1 A2 ˙ A3 + = −9νA3 .178 3 2 CAPITOLO 10.75 ∗ TURBOLENZA u(x)0 -1 -2 -3 0 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi.7) si vede che a causa del termine A1 A1 /2 risulter` ˙ a nell’istante iniziale A2 = 0 indicando che parte della quantit` di moto viene trasferita nella componente A2 . D’altra parte.14 1 Ak 0.6: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers (senza i termini non lineari) ν = 10.5 0. u In particolare se nell’esempio precedente invece di limitare a 3 il numero di termini ne avessimo infiniti. 1 0. quando risulta A2 = 0. anche il temine 3A1 A2 /2 a verr` attivato nell’equazione per A3 e quindi anche la terza struttura verr` interessata a dal moto del flusso.28 0 2 4 6 k 8 10 12 14 Figura 10.9) . A sinistra e’ riportata l’evoluzione temporale di u(x. 2 Se ora consideriamo una condizione iniziale contenente solo A1 (per esempio un seno a come il primo pannello di figura 10. avremmo un trasferimento di energia verso strutture sempre pi` piccole u (k grandi) in un tempo tanto pi` lungo quanto pi` distante risulterebbe k dal modo k = 1 u u contenente energia nella condizione iniziale. t). Se ricordiamo quindi che al crescere di k diminuisce la dimensione della struttura.57 3.71 6. 3 (10. e osservando che risulta Ap ≡ 0 per p ≤ 0 e p > 3 si riducono a A1 A2 ˙ A1 + + A2 A3 = −νA1 . abbiamo che i termini non lineari hanno come effetto quello di trasferire il ‘moto’ (e quindi l’energia) dalle strutture grandi a quelle pi` piccole 3 con un meccanismo u detto di ‘cascata’ dai moti a grande scala verso quelli pi` piccoli e locali. 2 A1 A1 A1 A3 ˙ A2 + + . t = 0. Questa osservazione ci pone quindi un nuovo Ci` non ` vero nella turbolenza bidimensionale dove l’effetto combinato dei termini non lineari ed i o e termini viscosi crea un trasferimento in direzione opposta rispetto al caso monodimensionale e tridimensionale. 75 u(x) 0 Ak 0.71 6. consistentemente con gli argomenti precedentemente discussi.5 0.57 3. il moto medio a grande scala non degenera in strutture pi` piccole.5 e riportata l’evoluzione temporale di u(x. ma con due diversi valori di viscosit`. Ragionando in termini di Ak abbiamo quindi che la soluzione con viscosit` u u oe piccola conterr` Ak con k pi` elevati rispetto alla soluzione pi` viscosa. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi. essendo inibito ogni trasferimento di energia. Se in particolare questa diminuzione ` sufficientemente rapida. che il flusso di energia verso le piccole scale ` cos` rapido che la viscosit` ` costretta a ‘spostare’ il k di taglio e ı ae verso valori maggiori dove pu` agire pi` efficientemente. si potrebbe verificare. t). si pu` inibire il trasferimento e o di energia verso numeri d’onda k elevati semplicemente perch´ l’energia viene dissipata e prima ancora che riesca ad essere trasferita.10.7 e 10. Al contrario. 1 0. A sinistra e’ t = 0. Confrontando le figure 10.8 che riportano l’evoluzione temporale della distribuzione degli Ak . entrambe con la medesima condizione iniziale.25 0 0 1. Riconsiderando con quest’ottica l’esperimento di Reynolds per il flusso all’interno di tubi. La risposta ` fornita dalla soluzione analitica (10. o u Le considerazioni appena fatte sono mostrate mediante due esempi in cui si riporta la soluzione dell’equazione di Burgers. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA 179 interrogativo e cio` se il trasferimento dell’energia procede indefinitamente fino a k = ∞ e oppure se interviene qualche meccanismo in grado di bloccare questa cascata. rispettivamente per t = 1.8 si nota come nel a caso a viscosit` minore la curva presenti un gradiente pi` ripido in corrispondenza del a u a punto x = π. infatti. Ci` ` confermato a dai pannelli di destra delle figure 10. t = 0.5 -1 x 4. a u .14 -0.7) da cui si vede come la viscosit` e a diminuisca rapidamente il contenuto energetico del modo k–esimo all’aumentare di k.7: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers ν = 10−1 .28 0 2 4 6 k 8 10 12 14 Figura 10. si comprende che se il numero di Reynolds ` piccolo (Re < 2100) gli effetti viscosi e prevalgono su quelli inerziali (non lineari) e.5 1 0.1. quando u gli effetti inerziali prevalgono su quelli viscosi (Re > 4000) il trasferimento tra i modi sar` a attivato ed il moto inizialmente uniforme produrr` strutture fluidodinamiche pi` piccole. In pratica la viscosit` opera un ‘taglio’ sulla a dimensione minima della struttura che ` possibile generare (o sul k massimo) in un flusso e e questo taglio dipende sia dal valore della viscosit` ν sia da quanto velocemente l’energia a viene trasferita da un modo all’altro.7 e 10. Purtroppo dal punto di u vista pratico.2 equazioni di Reynolds Nella sezione precedente abbiamo visto che in un flusso turbolento. anche con condizioni al contorno e forzanti stazionarie.14 -0. Nel caso in cui il valore medio sia costante nel tempo allora si pu` porre: o u(x.5 0.25 0 0 1. A tal fine.71 6.28 0 2 4 6 k 8 10 12 14 Figura 10. t).8: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers ν = 10−3 . l’estremo dettaglio con cui queste equazioni descrivono il flusso costituisce al tempo stesso la debolezza del modello in quanto le risorse di calcolo necessarie per la risoluzione di queste equazioni crescono vertiginosamente con il numero di Reynolds (∼ Re3 ). 1 0.5 -1 x 4. rispettivamente per t = 1.180 1 0.75 ∗ TURBOLENZA u(x) 0 Ak 0. il campo di velocit` ` non stazionario con oscillazioni non ae deterministiche intorno ad un valore medio che eventualmente pu` dipendere anch’esso o dal tempo. t) = U(x) + u (x. t = 0. derivare delle equazioni pi` semplici per le sole u grandezze medie.5 CAPITOLO 10. Se si considera che nei problemi pratici si ha Re = 106 − 109 si capisce immediatamente che una soluzione del problema con un metodo ‘diretto’ ` tecnicamente impossibile. 10. t). (10. ` E utile chiarire immediatamente che questa dinamica cos` complessa ` interamente ı e contenuta nelle equazioni di Navier–Stokes che sono in grado di descrivere il moto e l’interazione di tutte le scale di moto. e D’altra parte per alcune applicazioni pratiche la sola conoscenza delle grandezze medie pu` essere sufficiente per la soluzione del problema. o partendo dalle equazioni di Navier–Stokes. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi. fino alle pi` piccole e dissipative. A sinistra e’ t = 0. ci si chiede quindi se sia possibile. iniziamo con l’osservare che dato un qualunque segnale dipendente dal tempo (nella fattispecie la velocit`) ` possibile decomporlo in un valore medio ed una a e fluttuazione. Queste ultime osservazioni costituiscono la base di partenza della teoria della turbolenza tridimensionale che illustreremo brevemente in una sezione successiva.57 3.5 e riportata l’evoluzione temporale di u(x.10) . Se la velocit` media risulta invece anch’essa funzione del tempo allora l’operazione di a media non va effettuata per un tempo infinito ma su un’intervallo finito che risulti molto grande rispetto alle scale temporali delle fluttuazioni ma abbastanza breve se confrontato con i tempi di variazione del campo medio 4 (figura 10.6 0.10.8 0.4 u 0. Dala e le definizioni risulta identicamente < u (x. t) >= lim 1 T−→∞ T T 0 181 u(x. propriet` che torner` utile nella a a decomposizione delle equazioni del moto. EQUAZIONI DI REYNOLDS risultando U(x) =< u(x.4 0.4 0 5 =U t 10 15 20 0.9: Decomposizione di un segnale statisticamente stazionario in parte media e parte fluttuante.8 0.6 0.2 0 -0. In turbolenza questa eventualit` si verifica assai raramente (a a meno che non ci siano forzanti periodiche imposte esternamente) e la decomposizione in parte media e parte fluttuante pu` presentare delle ambiguit`.2 -0.11) in cui tutta la non stazionariet` del segnale ` nella fluttuazione (figura 10. t) >≡ 0.4 t 15 20 0 5 10 t 15 20 Figura 10.2 -0.6 0.8 0.8 0.4 0 5 =U t 10 15 20 0.4 0. (10. t) − U(x). Per semplicit` tratteremo solo il caso ρ = const. t) = u(x.2 -0.6 0.4 -0.2 0 -0.2 -0.10). 0.2 0 + u’ 0 5 10 0.10: Decomposizione di un segnale statisticamente non stazionario in parte media e parte fluttuante. t)dt e u (x.4 0. (flusso incomprimibile a Questa operazione ` ben definita quando esiste una netta separazione tra i periodi delle piccole e fluttuazioni e quelli del campo medio.2 -0. 0.8 0. o a 4 .2 -0.2 0 -0.8 0.2 0 -0.4 0.6 0.9).2 0 + u’ 0 5 10 0. La decomposizione appena illustrata pu` naturalmente essere effettuata per la pressioo ne p e per tutte le altre variabili dipendenti delle equazioni di Navier–Stokes e di conservazione della massa.2.4 u 0.4 t 15 20 0 5 10 t 15 20 Figura 10.4 -0.6 0. 13) e la prima delle (10. (10.14) (10. ∂t ρ osserviamo che per tutti i termini. e ∇ · u = 0. ∇2 u = ∇ 2 U + ∇ 2 u .13) si ricava l’equazione per le fluttuazioni ∂u 1 + ∇ · (u u ) + ∇ · (Uu ) + ∇ · (u U) − ∇ · (< u u >) = − ∇p .12) che sono le equazioni di partenza. Per decomporre in modo analogo le equazioni di Navier–Stokes 1 ∂u + ∇ · (uu) = − ∇p + ν∇2 u. (10.12) rispettivamente per la velocit` media e quella fluttuante.16) e la seconda delle (10.12) ` a e stata ottenuta dalla prima dopo aver affettuato un’operazione di media. La seconda delle (10. Questo problema ` noto come ‘chiusura’ della turbolenza e si presenta sempre con un numero di incognite e superiore al numero delle equazioni ogni volta che si tenta di derivare un’equazione per la turbolenza. + ν∇2 u . ∂t ρ (10. Una conferma di questa affermazione si pu` ottenere ricavando l’equazione o per < u u > dalla (10. (10.12) ` infine ottenuta semplicemente per sottrazione e della seconda dalla prima. u . (10. ∗ TURBOLENZA omogeneo) per cui. tranne quello non lineare possiamo porre ∂u ∂U ∂u = + . aver notato che < u >≡ 0 e che l’operazione di media e di divergenza commutano (in quanto entrambi operatori lineari). l’equazione di continuit` si pu` decomporre in a o ∇ · u = ∇ · (U + u ) = 0.12) costituiscono le equazioni della dinamica del campo medio e se non fosse per il termine ∇·(< u u >) queste sarebbero identiche alla (10. ∂t ∂t ∂t ∇p = ∇P + ∇p .15) Se ora sostituiamo i termini cos` decomposti nell’equazione (10.13) Il termine non lineare si decompone invece secondo ∇ · (uu) = ∇ · [(U + u )(U + u ) = ∇ · (UU) + ∇ · (Uu ) + ∇ · (u U) + ∇ · (u u ). La differenza potrebbe sembrare marginale ma mentre il sistema originale di equazioni ` chiuso (4 equazioni nelle e 4 incognite u e p) le equazioni del campo medio rimangono 4 a fronte di un numero di incognite che sale a 13. non risolvendo comunque il problema della chiusura.17) ∂t ρ L’equazione (10. ı osservando che risulta < Uu >=< u U >≡ 0 mentre < u u >= 0 si ottiene 1 ∂U + ∇ · (UU) + ∇ · (< u u >) = − ∇P + ν∇2 U. La terza delle (10. Notando evidenti propriet` di simmetria del tensore < u u > il numero delle incognite si riduce a a 10.13) e ne facciamo la media.17) dopo averla moltiplicata per u ed averne effettuato la media.182 CAPITOLO 10. =⇒ ∇ · U = 0. p ed il tensore 5 del secondo ordine < u u >. 5 .16) e sottraendo questa equazione dalla (10. 19) si pu`.18) 2 da cui si osserva che i termini < u u > possono essere considerati come degli sforzi aggiuntivi (detti sforzi di Reynolds) che sottraggono energia al campo medio per trasferirla alle fluttuazioni. Si otterrebbe cio` una gerarchia di equazioni in cui le incognite sono seme pre superiori ripetto alle relazioni disponibili rendendo impossibile la soluzione esatta del problema. Per comprendere il significato fisico di tale approssimazione.16) assume la forma ∂U 1 + ∇ · (UU) = − ∇P∗ + ∇ · (2ν ∗ E). La via comunemente utilizzata ` quindi quella di troncare il numero di equazioni ad un e certo ordine e modellare le incognite di ordine superiore con delle relazioni approssimate. poich´ l’equazione (10. ∂t ρ con E = 1 (∇U + ∇UT ) (10. ∂t ρ (10. Infatti. mentre ν ` una propriet` molecolare del fluido e nelle ipotesi ρ = const.20) e a (10. porre per la parte deviatorica degli sforzi di o Reynolds.21) che ` identica all’equazione originale avendo usato la pressione modificata P ∗ = P + 2K/3 e ed avendo definito una viscosit` ‘totale’ ν ∗ = ν + νT . 2 2 (10. detta K l’energia cinetica turbolenta (per unit` di massa) definita come a 1 1 K = (< ux ux > + < uy uy > + < uz uz >) = T r(< u u >). maggiore sar` il numero e a delle incognite da modellare e conseguentemente la complessit` del modello utilizzato.2. potremmo essere e tentati di ricavarne un’equazione per chiudere il problema.21) possano sembrare particolarmente attraenti data la loro semplicit`.10. sia matematiche che fluidodinamiche. Sebbene le espressioni (10. Chiaramente maggiore ` l’ordine a cui si tronca la gerarchia. 2 (10. Con questa posizione l’equazione (10. Identificando queste fluttuazioni come la componente turbolenta del moto. 3 e a e in cui νT ` la viscosit` turbolenta ed ` la nuova incognita del problema. EQUAZIONI DI REYNOLDS 183 Infatti.20) − < u u > + KI = 2νT E. Purtroppo se effettivamente derivassimo questa nuova equazione noteremmo che l’evoluzione di < u u > introduce la nuova incognita < u u u > e la procedura potrebbe essere ripetuta all’infinito senza mai riuscire a bilanciare il numero di incognite con le equazioni. analogamente al caso laminare. riconsideriamo l’equazione (10. ` costante in tutto e a e e a il campo.16) introduce un’incognita aggiuntiva. νT ` una propriet` del flusso il cui valore cambia in ogni punto del campo e nel . a Lasceremo ai testi specialistici del settore la disamina dei numerosi modelli ed equazioni di ordine elevato mentre in queste note ci limiteremo al semplice caso in cui i termini < u u > vengono modellati con una semplice ipotesi di ‘gradiente diffusivo’.16) e riscriviamola nella forma ∂U 1 + ∇ · (UU) = − ∇P + ∇ · (2νE− < u u >). ` bene sota e tolineare che nascondono diverse insidie. Dalla teoria cinetica dei gas ne consegue che. Immaginiamo quindi di posizionarci a a alla distanza y ∗ dalla parete ed osservare in quel punto sia fluttuazioni di velocit` verso . uno strato limite o un getto turbolento. Ricordiamo infine che. Inoltre. interagiscano mescolandosi tra loro e quindi diffondendo la quantit` di moto.20) implica quindi che il primo e secondo meme bro abbiano le stesse direzioni principali ossia che gli autovettori dei due tensori siano paralleli. L’equazione (10.11 ` riportato uno schema di flusso (tipo strato limite) sul quale si possono e effettuare semplici ragionamenti intuitivi per determinare l’andamento di e V . Ricordiamo infatti brevemente che la diffusione molecolare avviene a a causa degli urti casuali tra molecole dovuti al moto di agitazione termica. esistono leggi empirico–euristiche (spesso con correzioni sperimentali o ad hoc) che permettono di calcolare la νT dalla geometria del problema o dalle caratteristiche del flusso medio e quindi di chiudere il sistema di equazioni. detta V la met` della velocit` media delle molecole e λ a a il libero cammino medio si ottiene ν ≈ Vλ.20). mentre altre volte induce errori grossolani. In figura 10.184 CAPITOLO 10. ∗ TURBOLENZA tempo (νT = νT (x. infatti. dopo aver percorso una distanza ad una velocit` o a V .20) attraverso simulazioni numeriche ed esperimenti di laboratorio ha mostrato che ci` non ` verificato per la maggior parte dei flussi. A questo proposito abbiamo detto che νT dipende dal flusso. anche accettando in modo acritico l’equazione (10. questo ‘disallineamento’ porta in o e qualche caso a piccole differenze tra le soluzioni calcolate e quelle misurate. Il proa a blema della determinazione di νT si tradurr` quindi nella valutazione di (detta appunto lunghezza di mescolamento) e di V . il problema non risulta ancora chiuso in quanto le equazioni sono sempre 4 mentre le incognite sono ancora 5 (U. Questa propriet` non ` giustificabile teoricamente ed infatti una verifica diretta a e della (10. Ricordiamo tuttavia che alcuni modelli possono essere u tanto complicati da richiedere per il calcolo della νT un set di equazioni differenziali pi` complesse di quello per il calcolo del campo medio. p e ν ∗ oppure νT ). la velocit` media U sar` prevalentemente orizzontale ed il suo profilo a a dipender` dalla coordinata normale alla parete y. 10. anche se a prima vista la relazione (10. la descrizione di tutti i modelli per la νT viene lasciata ai testi di modellistica della turbolenza mentre in queste note ci limiteremo a commentare un particolare modello algebrico basato sul concetto di lunghezza di mescolamento. Per questo flusso. dobbiamo osservare che la prima ` un tensore del secondo ordine mentre la seconda ` uno scalare. t)) ed il suo comportamento varia da problema a problema. Anche in questo caso.20) sembra solo aver spostato l’incognita < u u > e nell’incognita νT .3 viscosit` turbolenta e lunghezza di mescolamena to Uno dei primi tentativi effettuati per la determinazione della viscosit` turbolenta ` stato a e fatto costruendo un’analogia tra la turbolenza e la diffusione a livello molecolare della quantit` di moto. ossia a seconda che si stia studiando un flusso a valle di un’ostacolo. Se allora si identificano i vortici pi` piccoli del flusso come le ‘molecole’ della turbou lenza si pu` immaginare che questi. 22) . dy avendo troncato lo sviluppo in serie di Taylor per la velocit` al primo ordine. Nel primo caso. dy Statisticamente avremo quindi che le fluttuazioni di velocit` orizzontale in y ∗ avranno un a modulo pari a 1 dU . Analoa gamente. una particella inizialmente nella posizione y ∗ + l a verr` trasportata in y ∗ generando una fluttuazione di velocit` orizzontale a u+ ≈ ∆U+ = U (y ∗ + l) − U (y ∗ ) l dU .11: Schema di flusso per la definizione di lunghezza di mescolamento e viscosit` a turbolenta. il basso che verso l’alto. le fluttuazioni verso l’alto porteranno una particella fluida inizialmente nella a posizione y ∗ − l in y ∗ inducendo una fluttuazione di velocit` u− ≈ ∆U− = U (y ∗ ) − U (y ∗ − l) −l dU . Con queste ipotesi si pu` scrivere o < u v >= −c2 |u ||v | = −c1 c2 l2 dU dy 2 =− 2 dU dy 2 (10. VISCOSITA TURBOLENTA E LUNGHEZZA DI MESCOLAMENTO 185 y v u y* u* l l x Figura 10.` 10. Ci` implica che si pu` porre v ≈ −c1 u con c1 costante di ordine uno e che il prodotto u v deve essere sicuramente negativo.3. una variazione positiva di u (particella che si muove da y ∗ + l ad y ∗ ) induce una fluttuazione negativa di v mentre l’opposto o o accade per una particella che si muove da y ∗ − l ad y ∗ . u = (|u+ | + |u− |) = l 2 dy Osserviamo ora che per la conservazione della massa. 25) =ν ρ dy y=0 ` possibile definire delle scale di velocit` e lunghezza uτ = τw /ρ e δτ = ν/uτ dette. la relazione (10. L’ultimo punto che rimane da chiarire ` come determinare in funzione della geometria e del flusso. ` la lunghezza di mescolamento e |dU/dy| = V ` la velocit` cercata. che u quindi erano trascurabili. ∗ TURBOLENZA e e in cui c2 ` ancora una costante di ordine uno. In particolare.26) dovendo risultare c = 0 per le condizioni alla parete ed avendo indicato U+ = U =U uτ ρ τw e y+ = y y = δτ ν ρ τw (10.24) che assume la forma 1 (10.27) dette quantit` di parete. ρ ν (10.25) con τw costante a pu` essere facilmente integrata o ρ U= τw τw y + c =⇒ U + = y + . τT A (10. con questo vincolo l’assunzione pi` u semplice per la ` e = Ay. Indicando a con τT /ρ = − < u v > gli sforzi turbolenti l’assunzione (10. In quella regione infatti si deve assumere che gli sforzi turbolenti siano trascurabili. a D’altra parte.23) implica quindi τT = ρ 2 dU . tranne che per gli strati di fluido immediatamente adiacenti alla parete. e che i primi si mantenessero di intensit` costante. Prandtl nel 1925 osserv` che risultando alla parete (y = 0) u ≡ 0 anche gli o sforzi turbolenti dovranno essere nulli in quel punto. queste ipotesi non possono essere applicate alla parete dove. Indicando quindi lo sforzo viscoso di a parete come dU τw .186 CAPITOLO 10.24) che fornisce l’andamento della velocit` media U in funzione della distanza dalla parete. uτ e δτ possono essere utilizzate per rendere adimensionale la (10. (10. a causa della condizione di aderenza. a Allo stesso modo. =⇒ dy 2 dU τT = Ay =⇒ U ρ dy ρ 1 = ln y + C.20) ed osservando che per questo semplice flusso risulta 2E12 = dU/dy da cui si ricava νT = V = 2 |dU/dy|. mentre quelli viscosi sono i pi` rilevanti e sono approssimativamente costanti (che ` equivalente ad ammettere che u e il profilo di velocit` alla parete sia linearizzabile). il flusso deve essere laminare. e a rispettivamente velocit` e lunghezza d’attrito. Ci` si evince facilmente confrontando la relazioe a o ne appena trovata con la (10. (10.28) U + = ln y + + β α . gli sforzi turbolenti fossero molto pi` grandi degli sforzi puramente viscosi. con le quali ` possibile adimensionalizzare a e le quantit` della turbolenza di parete.23) Prandtl suppose anche che. Nelle applicazioni pratiche la geometria del flusso ` solitamente pi` complicata e devono essere utilizzati modelli pi` e u u complessi e con fisica meno intuitiva.23) per a la lunghezza di mescolamento descrive in modo adeguato la dinamica della turbolenza di parete. questa regione ` detta sottostrato laminare ed ` caratterizzata da sforzi puramente viscosi di intensit` circa e a + e costante. 10.1 + U 1 10 y+ 100 1000 Figura 10. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA 187 in cui α = 0.4.4 turbolenza omogenea ed isotropa L’esempio della soluzione di Burgers ha mostrato come nelle equazioni di evoluzione di un fluido ci sono i termini viscosi e quelli non lineari che hanno meccanismi di azione . Il profilo di velocit` di figura 10. non deve trarre in inganno in quanto una tale semplificazione funziona solo nel caso in cui nel flusso non ci sono separazioni. La regione intermedia (5 ≤ y + ≤ 30) ` una a regione di sovrapposizione dei due regimi in cui sia sforzi viscosi che turbolenti hanno rilevanza sul fenomeno. Questo risultato.4 e β = 5.10.26). tuttavia. Le linee indicano gli andamenti teorici. Il primo per y + ≤ 5 in cui la U + segue la legge (10.28) ed ` dovuta e a sforzi turbolenti di intensit` costante.5 sono delle costanti in cui sono compresi tutti i fattori di normalizzazione e risultano universali per tutti i flussi turbolenti di parete che ricadono nella tipologia della figura 10.11.12: Andamento della velocit` media in funzione della distanza dalla coordinata a y (quantit` di parete). 25 20 15 10 5 0 0. Un andamento tipico della velocit` normalizzata U + in funzione delle coordinate di a + e parete y ` riportato in figura 10.12 da cui si nota che il flusso ha due comportamenti e distinti.12 mostra chiaramente che l’assunzione (10. mentre i simboli sono valori a misurati. La seconda regione per y ≥ 30 segue la legge riportata in (10. in assenza di gradienti di pressione esterni e per geometrie piane. I primi. Tecnicamente la definizione rigorosa richiede l’introduzione di variabili random. Tuttavia e la sua utilit` per lo studio della turbolenza ` duplice in quanto da un lato semplifica a e enormemente la trattazione teorica e permette quindi una migliore comprensione della fisica. infatti. In questa affermazione ‘strutture fluidodinamiche piccole’ ` inteso rispetto alle scale di moto in cui l’energia turbolenta e L’asserzione di Richardson era:“Big whorls have little whorls. deviazione standard. per esempio. vengano prodotti vortici pi` piccoli che a loro volta generano vortici ancora a u pi` piccoli e cos` via fino a quando le dimensioni non sono talmente piccole che la viscosit` u ı a 6 dissipa le strutture impedendo ogni ulteriore trasferimento .188 CAPITOLO 10. Sebbene le equazioni di Navier–Stokes abbiano una struttura pi` complessa dell’eu quazione di Burgers. Un fenomeno si definisce omogeneo se la funzione f (x) ` indipendente dalla posizione x. ∗ TURBOLENZA completamente diversi ed in competizione tra loro. I secondi. quando le sue caratteristiche statistiche non dipendono dalla posizione nello spazio e sono uguali in tutte le direzioni. quanto piccole sono le dimensioni a cui prevalgono gli effetti viscosi. senza ulteriori ipotesi. etc. L’efficacia con cui viene dissipata l’energia cresce con il quadrato del numero d’onda k e quindi con l’inverso del quadrato della dimensione della struttura. detta infatti u(x) una variabile random funzione della posizione x (per esempio la velocit`) questa ` definibile mediante tutti i suoi momenti a e e a statistici (media. 6 . sono dissipativi ed hanno un’azione locale. non ` possibile quantificare il e fenomeno descritto. al contrario. attraverso meccanismi di o u instabilit`. data la loro natura non lineare sono responsabili del trasferimento di energia tra i vari modi senza alterarne il valore globale. dall’altro si osserva che tutti i sistemi reali soddisfano ‘localmente’ le condizioni di omogeneit` ed isotropia. which feed on their velocity and little whorls have lesser whorls and so on to viscosity”. a Quest’ultima asserzione costituisce la prima ipotesi fondamentale di Kolmogorov e cio` “per numeri di Reynolds sufficientemente elevati le strutture fluidodinamiche piccole e in un flusso turbolento sono statisticamente isotrope”. interessano cio` singolarmente i vari modi senza implicare alcuna e interazione. 7 La turbolenza si definisce omogenea ed isotropa. e cosa succede tra le scale in cui l’energia viene immessa nel flusso e quelle a cui viene dissipata? Questi quesiti hanno trovato una risposta solo recentemente quando Kolmogorov nel 1941 ha pubblicato i risultati di una sua teoria applicabile alla turbolenza omogenea ed isotropa 7 . l’azione dei temini non lineari e di quelli viscosi ` analoga a quella e appena descritta e questa dinamica ha dato spunto a molti scienziati del ventesimo secolo per ipotizzare lo scenario evolutivo della turbolenza. ` E bene precisare subito che la turbolenza omogenea ed isotropa ` un’astrazione cone cettuale e che non ` mai riprodotta in modo esatto da alcun sistema fisico reale. rispettivamente.) < um >= f (x)um du dove f (x) ` la funzione densit` di probabilit`. La a e definizione di isotropia richiede invece che f (x) sia invariante sotto ogni rotazione e riflessione degli assi in x. In particlare Richardson nel 1922 immagin` che l’energia entri nel flusso alle scale pi` grandi e. Lo scenario appena presentato descrive in modo abbastanza fedele ci` che accade o in un flusso turbolento anche se. Questa descrizione implica un trasferimento a cascata (essenzialmente non viscosa) dell’energia dalle scale pi` granu di del moto verso quelle sempre pi` piccole fino alle scale dissipative dove la viscosit` u a trasforma tutta l’energia in calore. tη = ν 1/2 . dette quindi U ed L.” a Questa osservazione potrebbe apparire di scarsa utilit` per stime quantitative. non potrebbero essere statisticamente stazionarie. 8 . detta l’energia cinetica turbolenta (per unit` di massa) prodotta nell’unit` di tempo. Con questa osservazione si pu` comprendere la a seconda ipotesi di Kolmogorov che dice:“per numeri di Reynolds sufficientemente elevati. avendo un ı contenuto di energia variabile nel tempo.10. si ottiene da considerazioni dimensionali ` e = U 3 /L.4. uη T = Re1/2 .29) rispettivamente per la lunghezza. la velocit` u a e la lunghezza caratteristiche di queste scale. In particolare. tuttavia a considerazioni di tipo dimensionle ci portano a concludere che con e ν c’` un solo modo e per costruire delle scale di lunghezza.29). Dalla stima per e dalle relazioni (10. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA 189 viene immessa nel flusso e questa osservazione chiarisce anche perch´ vengano richiesti e ‘numeri di Reynolds sufficientemente elevati’. ricordando la definizione del numero di Reynolds Re = U L/ν. e Infatti. si conclude facilmente che le strutture pi` fini di u qualunque flusso turbolento hanno tutte le stesse caratteristiche. Se il fenomeno fluidodinamico ` statisticamente e stazionario. u La seconda ipotesi di Kolmogorov trae spunto dall’osservazione che la dinamica della turbolenza dipende da quanto rapidamente l’energia viene trasferita dalle grandi alle piccole scale e dal valore della viscosit` che fissa il numero d’onda k a cui viene operato a il taglio nel trasferimento di energia. tη (10. le caratteristiche delle piccole scale di tutti i flussi turbolenti sono universali e sono determinate dalla viscosit` ν e dalla potenza dissipata . l’energia si dovrebbe accumulare alle scale intermedie che. se cos` non fosse. Ci` infatti implica che gli effetti inerziali o siano di gran lunga pi` importanti di quelli viscosi rendendo possibile un lungo processo u di cascata dell’energia dalle strutture pi` grandi alle pi` piccole. essendo la cascata dall’energia non viscosa. η U = Re1/4 . questa sar` anche a a a 8 o l’energia dissipata nell’unit` di tempo . si ottiene: L = Re3/4 . si deduce che. (10. che per un processo stazionario coincide con la potenza immessa nel flusso dalle scale di moto pi` grandi. rispettivamente. Si avr` quindi che le a piccole scale generate dietro un cilindro o a valle di un getto hanno la stessa statistica nonostante le scale pi` grandi abbiano una dinamica completamente differente. osservando che a ` un’energia per unit` di tempo e unit` di massa si ottiene e a a η= ν3 1/4 . a u Ricordiamo ora. velocit` e tempo delle scale dissipative (le pi` piccole). uη = (ν )1/4 .30) dove T = L/U ` la scala dei tempi dei moti a grande scala. E utile osservare che in questa stima dimensionale non ` stata considerata la viscosit` in quanto per le strutture pi` grandi gli effetti viscosi sono trascurbili e le a u questioni energetiche devono coinvolgere fattori puramente inerziali. Se si ipotizza che ad u u ogni passo della cascata le strutture perdano sempre pi` memoria delle caratteristiche dei u vortici che hanno innescato la cascata. velocit` e tempo. D’altra parte nel range inerziale a si dispone solo di per poter soddisfare requisiti dimensionali per cui ponendo [E(k)] = C[ α k β ] = [U 2 L] si ricava α = 2/3 e β = −5/3. ` facile convincersi che la viscosit` avr` un’influenza e a a trascurabile in quanto agisce solo alle scale pi` piccole. In base a quanto visto finora. La conseguenza di ci` ` che i vortici pi` grandi hanno le velocit` pi` intense ed una o e u a u dinamica pi` lenta mentre per i gradienti di velocit` ∇u ∼ ur /r ≈ r−2/3 si ha che quelli u a pi` intensi sono alle scale pi` piccole 9 .31) valgono solo per L r η. Da questa stima sembrerebbe che i gradienti diventino infiniti per r −→ 0.31) Queste stime indicano che le strutture con scale r intermedie tra L ed η hanno una velocit` a 1/3 2/3 caratteristica che cresce solo come r mentre i tempi caratteristici crescono come r . ∗ TURBOLENZA Queste relazioni permettono di stimare i rapporti tra le caratteristiche delle scale pi` u grandi e quelle pi` piccole in un flusso turbolento in funzione del solo numero di Reynolds u ed hanno ripercussioni di straordinaria importanza pratica per le misure sperimentali. a Dopo aver messo in relazione le strutture pi` piccole con le pi` grandi. la terza ipotesi di Kolmogorov afferma che per numeri di Reynolds sufficientemente elevati le caratteristiche (la statistica) delle strutture di dimensione r (con L r η) sono universali e dipendono unicamente da (e quindi sono indipendenti da ν). (10. Viceversa quando r −→ 0 risulta r dello stesso ordine di η ed il campo di velocit` si ‘regolarizza’ essendo ur ∼ r con dei gradienti finiti. e a Ci` comporta che se ur ` la velocit` delle scale di dimensione r si ottiene o u3 U U3 r = = . rimane da u u analizzare la dinamica delle strutture intermedie con dimensione r tale che L r η. ur U (10. r L L e tr = r L1/3 2/3 = r . Se infatti si definisce lo spettro come E(k) tale che K= ∞ 0 E(k)dk.190 CAPITOLO 10. mentre in realt` bisogna a ricordare che le formule (10. in cui C ` una costante universale e 10 . a 10 A questo risultato si giunge facilmente ricordando che dimensionalmente k ` l’inverso di una lunghezza e da cui ne consegue che le dimensioni di E(k) sono una velocit` al quadrato per una lunghezza (ossia quelle a di un’energia cinetica per unit` di massa moltiplicata per una lunghezza). proveniente dai grandi vortici e trasferito verso i vortici dissipativi. In base a quanto detto. u u Notiamo a margine che dall’ultima ipotesi si deriva la famosa legge di potenza (k−5/3 ) per lo spettro di energia. =⇒ ur = 1/3 r1/3 . dalla terza ipotesi di kolmogorov e da a argomenti dimensionali si ottiene E(k) = C 2/3 k −5/3 . 9 . D’altra parte l’energia viene imu messa nel flusso dalle scale pi` grandi da cui ne consegue che le scale intermedie vedranno u solo un flusso di energia in transito.32) con K energia cinetica per unit` di massa del flusso. per le simulazioni numeriche e per la possibilit` di predizione di un flusso turbolento. 01 −5/3 range inerziale 0.001 1e-04 1e-05 E(k) 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 0. potenza k . TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA 191 0. La linea ` la legge di e −5/3 riportata per confronto.10.13: Spettro della turbolenza omogenea ed isotropa.4.01 0.1 0.1 1 k 10 100 Figura 10. ∗ TURBOLENZA .192 CAPITOLO 10. sia localmente che integrate su tutta la struttura. In questo caso. le grandezze di maggior interesse in uno studio fluidodinamico sono le forze che il fluido esercita sul corpo.1). la determinazione delle forze locali sar` importante per dimensionare lo spessore dei pannelli di rivestimento ed il a tipo di rivettatura mentre l’entit` della forza integrata sezione per sezione servir` per il a a dimensionamento della trave alare (longherone) (figura 11. Per esempio un aereo in volo si sostiene grazie alle forze di pressione che il fluido esercita sui pannelli di rivestimento dell’ala. forze sulla trave alare forze di pressione locali Figura 11. tuttavia. Identifichiamo le grandezze significative per studiare il problema in: 193 .Capitolo 11 Forze fluidodinamiche e similitudini Da un punto di vista ingegneristico. Immaginiamo di voler determinare la forza di resistenza R alla quale ` sottoposto un e cilindro infinitamente lungo investito da un flusso ortogonale all’asse. ci si scontra immediatamente con problemi pratici che risulteranno immediatamente evidenti con un esempio pratico. Come abbiamo visto nei capitoli precedenti.1: Schema di forze locali ed integrate su un’ala tridimensionale. la soluzione per via analitica di problemi fluidodinamici ` relegata a casi estremamente semplici e di scarsissima applicabilit` pratica e a per cui di regola si ricorre all’analisi sperimentale. a a Individuate le grandezze che influiscono sulla resistenza R si tratta quindi di determinare una funzione f tale che R = f (U. a. ρ e µ. a.1) funzione che non possiamo definire teoricamente. fissati D. Volendo procedere in modo sistematico. µ con U velocit` del flusso indisturbato. A parte l’impossibilit` pratica di effettuare un cos` elevato numero di prove.µ. Appare allora chiaro che se volessimo esplorare la dipendenza di R da U in modo completo dovremmo ripetere delle prove come quelle riportate in figura 11.D. D diametro del cilindro. Per ogni serie di prove si otterrebbero quindi dei grafici come quelli di figura 11. per valutare l’influenza di ogni parametro sulla resistenza R. Lasceremo comunque queste considerazioni al di fuori della presente trattazione. (11. eseguiamo le prove facendo variare la velocit` a U .2 per tutti i possibili valori dei parametri. acconı tentandoci di avere ogni curva interpolata su dieci punti. ρ densit` del fluido.µ. 1 .194 CAPITOLO 11.2 otterremmo 104 grafici la cui consultabilit` sarebbe sicuramente problematica. a R a. ma solo tramite una prova sperimentale. ρ.U. bisogna effettuare 105 prove sperimentali per conoscere la dipendenza di R dai parametri selezionati 1 . bisogna fissarne quattro e variare il rimanente per un numero discreto di valori.2).ρ R a.2: Variazione della resistenza con la velocit` ed il diametro lasciando invariati a gli altri parametri. C’` inoltre il problema dei costi del modello in quanto e In realt` le prove sono molte di pi` in quanto oogni caso andrebbe ripetuto pi` volte per poter a u u calcolare un valore medio della resistenza e poter stimare l’errore di misura. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI U. a. I dati che si ottengono formeranno una curva che sar` tanto pi` continua quanto pi` a u u i valori di velocit` per cui si sono effettuate le prove sono numerosi (figura 11. Si arriva quindi facilmente alla conclusione che in un problema cos` semplice. µ a a viscosit` dinamica del fluido ed a velocit` del suono. D. ρ.ρ U D Figura 11. sorge a ı immediatamente il problema della fruibilit` dei dati ottenuti: se immaginiamo infatti a a di organizzare i risultati come in figura 11. per esempio. µ).2 applicabili sono per il set di valori fissati. D. indicando con L la lunghezza.. siano tra loro indipendenti. la risposta ` stata trovata solo nel e secolo scorso attraverso innumerevoli tentativi in diverse direzioni. come si utilizzano le informazioni ottenute sul fenomeno di dimensioni reali? Sebbene il quesito potrebbe sembrare banale.. 2. Evidentemente c’` un metodo sperimentale pi` semplice che permette effettuare un e u ridotto numero di prove ed organizzare l’informazione in modo razionale. Se questa ipotesi ` verificata si pu` affermare che se un fenomeno ` governato da N pae o e rametri attraverso una relazione del tipo f (P1 . . Se invece del cilindro si immagina di dover fare delle prove su un modello in scala di un aereo.11. TEOREMA DI BUCKINGHAM ED ANALISI DIMENSIONALE 195 far variare D implica effettuare prove con cilindri di dimensioni diverse. 11. contengano tutte le K dimensioni fondamentali.1. ΠN −K ) = 0. Riconsideriamo ora il precedente esempio del cilindro e vediamo come procedere praticamente: Per prima cosa scriviamo le dimensioni relative alle grandezze che descrivono il fenomeno. e questi N parametri possono essere descritti da K dimensioni fondamentali (K numero minimo). Π2 ... di un’automobile o di una nave (i cui modelli possono costare alcune decine di milioni) si capisce immediatamente che c’` un solo modello a disposizione e da quello bisogna estrarre e tutta l’informazione necessaria. ` allora pose sibile studiare il fenomeno tramite N − K gruppi adimensionali Πj con una relazione del tipo g(Π1 . questo metodo si basa sulla teoria della similitudine dinamica che poggia le sue fondamenta sul teorema di Buckingham. P2 . M la massa e T il tempo [R] = [M LT 2 ] [U ] = [LT −1 ] [ρ] = [M L−3 ] . La similitudine dinamica permette anche di rispondere ad un’altra domanda che ci si deve porre quando si effettua un esperimento: se si effettuano le prove sperimentali su un modello in scala.. Per passare dalla funzione f alla funzione g si deve individuare una base di K variabili Pi che vengono utilizzate per adimensionalizzare le rimanenti e le K variabili devono avere le seguenti caratteristiche: 1. PN ) = 0. . cio` non devono da sole costituire un gruppo adimene sionale. ossia che tutti i termini di un’equazione abbiano le stesse dimensioni. ..1 teorema di Buckingham ed analisi dimensionale Il teorema di Buckingham si basa sull’assunzione che le relazioni utilizzate siano dimensionalmente omogenee. L.2) con α. D. Π3 = U α Dβ ργ R (11. D. µ) ⇐⇒ Π1 = g(Π2 . ρ. costruiti affiancando al gruppo U α Dβ ργ le variabili che non formano la base prese una alla volta. che equivalentemente si pu` scrivere: o Lα Lβ T −β M γ L−3γ = M 0 L0 T 0 . β. a. [D]α [U ]β [ρ]γ = M 0 L0 T 0 . a. 2. Consideriamo come K variabili D. Imponendo l’adimensionalit` dei gruppi formati si ottiene: a . con j=1. Π2 . di conseguenza la condizione 1 ` condizione necessaria per soddisfare la condizione 2. U . utilizziamo il metodo delle variabili ripetute che consiste nell’isolare i K parametri in modo da far comparire tutte le dimensioni fondamentali. ρ) va bene perch´ contiene tutte le e dimensioni fondamentali M . Π3 ). T . e Determiniamo i parametri adimensionali imponendo le seguenti condizioni: Π1 = U α Dβ ργ µ. ed esplicitando i termini si ha: α + β − 3γ = 0 −β = 0 γ = 0. assicurandoci che i parametri scelti siano tra loro indipendenti.U . tali da rendere adimensionali i gruppi Πj . µ ) con N − K = 3 si ha pertanto: R = f (U. ρ. Π3 . Per trovare i gruppi adimensionali Π1 . inoltre se la base non sodisfacesse la condizione 1. T ) e N = 6 ( R. Per esempio la terna ( U . mentre la terna ( U . a ) non ` accettabile poich´ in queste variabili e e manca la dimensione M . Π2 = U α Dβ ργ a. D. ha come unica soluzione α = β = γ = 0 e quindi la base ` indipendente. 3. Il sistema. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI [µ] = [M L−1 T −1 ] [D] = [L] [a] = [LT −1 ] da cui osserviamo che risulta K = 3 ( M . cio` la seguente equazione deve ammettere come unica soluzione quella e banale. la e matrice del sistema conterrebbe una colonna nulla e quindi non avrebbe rango massimo. γ costanti incognite. ρ.196 CAPITOLO 11. L. avendo determinante non nullo. 1).11. e Bisogna notare che la determinazione della funzione g richiede ancora delle prove sperimentali ma con evidente vantaggio rispetto alla relazione originale (11. U ) potevano essere ugualmente utilizzate giungendo chiaramente ad una relazione finale diversa dalla (11. ρU 2 D2 (11. quindi. da cui.1. U D e ρ che fornisca lo stesso valore per il gruppo µ/(U Dρ) dar` lo stesso risultato in g. U D e ρ ognuno indipendentemente dall’altro mentre al contrario l’espressione (11.4) scopriamo che la forza del teorema di Buckingham consiste nel riunire le variabili in gruppi adimensionali ed escludere tutte quelle prove che danno lo stesso numero adimensionale. (11. oppure usarne l’inverso o sostituire un o suo termine con uno dimensionalmente equivalente senza alterarne il significato. TEOREMA DI BUCKINGHAM ED ANALISI DIMENSIONALE 197 M 0 L0 T 0 = M L−1 T −1 Lα T −α Lβ M γ L−3γ = M (1+γ) L(−1+α+β−3γ) T (−1−α) . M 0 L0 T 0 = LT −1 Lα T −α Lβ M γ L−3γ = M γ L(1+α+β−3γ) T (−1−α) .1) avremmo variato separatamente µ.3) Con questi gruppi adimensionali si giunge quindi ad una relazione del tipo R a µ =g . Sebbene in linea di principio non ci sia una funzione g migliore delle altre. le terne (a. praticamente ` invalso l’uso di alcuni gruppi adimensionali per i quali e ` disponibile una maggiore esperienza sperimentale ed una letteratura pi` vasta. 2 D2 ρU U Dρ U . Riferendoci sempre e . e u L’operazione precedente alla determinazione della funzione g. Chiaramente la funzione g assumer` una forma completamente differente ma ci` non costituisce a o un problema visto che ` ancora da determinare sperimentalmente.4) che ` il risultato del teorema di Buckingham. ρ) o (µ. occorrono 10 esperimenti usando la funzione “g” contro i 105 necessari per determinare la funzione “f”. cio` avere informazioni su curve ricavate e 2 interpolando dieci punti. a A patto di soddisfare le ipotesi di completezza dimensionale ed indipendenza. ponendo l’uguaglianza fra gli esponenti dei termini omologhi si ottengono i seguenti gruppi adimensionali: Π1 = µ . ρ. U Π3 = R . D. Notiamo a tal fine che da un punto di vista dimensionale un parametro si pu` moltiplicare per un fattore numerico. U Dρ Π2 = a . Imponendo infatti le stesse richieste sulla sperimentazione. Analizzando l’espressione (11. Per esempio nella relazione (11.4) e contenente differenti gruppi adimensionali. per cui solitamente si cerca di ottenere gruppi u adimensionali noti. ad esempio. ` quella di rene dere pi` ‘comoda’ la sua espressione. Nel e caso precedente.4) ci dice che questi parametri agiscono in modo combinato quindi qualunque set di valori di µ. M 0 L0 T 0 = M LT −2 Lα T −α Lβ M γ L−3γ = M (γ−1) L(1+α+β−3γ) T (−2−α) . qualunque set di K variabili ` corretto per la determinazione dei gruppi adimensionali. considerare dei parametri ininfluenti produrrebbe delle relazioni finali inutilmente complicate che renderebbero troppo costosa o impossibile la sperimentazione. saranno gli stessi in punti a a corrispondenti.6) d` la risposta ad una delle prime domande di questo capitolo cio`: a e come utilizzare i risultati ottenuti su un modello per il fenomeno in dimensioni reali? Osserviamo infatti che nella (11. Se con S si intende la superficie frontale del cilindro per unit` di lunghezza allora l’operazione ` lecita ma se.6) compaiono solo gruppi adimensionali e non c’` riferie mento esplicito alle dimensioni del modello.6) per la quale sono disponibili molti risultati in letteratura. questo implica che la funzione h si applica ugualmente al fenomeno reale ed a quello in scala ed i dati ottenuti per un caso possono essere applicati all’altro. e La relazione (11.4) ` qundi equivalente alla seguente e cD = h(Re. al a e contrario. Per esempio la sostituzione del primo membro della (11. S = Dl ` la superficie frontale allora si ` introdotto involontariamente un altro e e parametro che ` la lunghezza assiale del cilindro l e questo non ` ammesso a meno che e e non si introduca a secondo membro il nuovo gruppo adimensionale l/D. µ M= U . Re ` il numero di e e e Reynolds. La relazione (11. M ). (11. Al conu trario. 1 ρU 2 S 2 R (11. a cD = .1) non era stata inie zialmente contemplata la lunghezza del cilindro l tra le variabili del fenomeno.5) dove S ` la superficie frontale del cilindro esposta alla corrente fluida. M ` il numero di Mach e cD ` il coefficiente di resistenza.4) con il termine cD implica la moltiplicazione per un fattore 2 e la sostituzione di D2 con S. La sostituzione di S con Dl non ` ammessa in quanto nella (11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI all’esempio considerato osserviamo che i seguenti gruppi adimensionali sono largamente usati in fluidodinamica Re = U Dρ .2 similitudine dinamica La relazione (11. Se osserviamo poi che anche le equazioni della fluidodinamica possono essere espresse in forma adimensionale allora si vede che i campi di moto saranno cinematicamente simili ossia i valori adimensionali di velocit` pressione densit` etc. La mancata inclusione di un parametro fondamentale porterebbe infatti ad una relazione finale priva degli effetti fisici pi` rilevanti. .198 CAPITOLO 11. Questa osservazione pone in risalto il fatto che la selezione iniziale delle variabili ` la fase pi` dee u licata di tutto il processo di analisi. La trasformazione di parametri adimensionali in una forma nota nasconde talvolta delle insidie alle quali bisogna fare attenzione analizzando fisicamente le operazioni compiute.6) dice in particolare che se sono uguali i gruppi adimensionali per fenomeno reale e fenomeno in scala allora saranno uguali anche i coefficienti di forza ossia i due fenomeni avvengono in condizioni di similitudine dinamica. 11. .2.4: Prova in galleria del vento di un modello di edificio e della sua interazione con il centro abitativo circostante in determinate condizioni di vento. fenomeno reale fenomeno in scala Dm Rm Um ρm ρ ν νm U D R Figura 11.11.3: Esempio di similitudine dinamica per un edificio investito dal vento. Figura 11. SIMILITUDINE DINAMICA 199 Per riassumere possiamo dire che se due fenomeni sono geometricamente simili ed hanno i gruppi adimensionali uguali allora avranno gli stessi coefficienti di forza ed un campo di moto cinematicamente simile permettendo di trasferire informazioni da un caso all’altro. 04 J Um = 0. Questa possiamo ricavarla dall’uguaglianza dei numeri a a di Reynolds Re = Rem = 105 .5297 · 1017 J e U = Um / fs = 0. risultando N = 6 e K = 3. Vogliamo calcolare quale sar` la forza di resistenza sul prototipo.003 m/s . a ESEMPIO In un fenomeno di fluidodinamica geofisica in aria. da cui.8 per cui per il cilindro di dimensioni reali si avr` R = ρU 2 ScD /2 = 1. In un laboratorio si riproduce il fenomeno in acqua in scala fS e si misura un’energia dissipata Em . per un cilindro di diametro D = 1m e lunghezza l = 2m mentre per modello in scala 1 : 20 in acqua in condizioni di similitudine dinamica viene misurata una a resistenza Rm = 8N.N.200 CAPITOLO 11. essendo fs = lm /l. ρ) che. Dal metodo delle variabili ripetute si ricava Π1 = U/(Ωl). Π2 ). dell’accelerazione di gravit` g e delle dimensioni carattea a ristiche del fenomeno l. Dal calcolo del coefficiente di resistenza si ottiene facilmente cD = 0. si stima che l’energia dissipata E ` funzione della velocit` di rotazione Ω del sistema. Co2 me primo passo calcoliamo il coefficiente di resistenza del modello cD = 2Rm /(ρm Um Sm ). g. l. della sua densit` ρ. nota la viscosit` cinematica dell’acqua si ricava Um = 2m/s. Se la velocit` in laboratorio ` Um quanto vale la U del fenomeno a e reale? fs = 1 : 105 Soluzione La relazione ` del tipo E = f (Ω. Calcolare l’energia dissipata nel fenomeno reale.9486 m/s. della velocit` del fluido e a a U . Em = 2. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI Riferendoci sempre all’esempio del cilindro immaginiamo che il fenomeno reale si svolga in aria a Re = 105 . Dall’uguaglianza dei parametri adimensionali tra esperimento e fenomeno reale √ 4 si ottiene: E = Em ρ/(ρm fs ) = 2. U. pu` e o essere scritta con 3 parametri adimensionali Π3 = F (Π1 . Π2 = g/(Ω2 l) e Π3 = E/(Ω2 l5 ρ). per il quale ci serve la velocit`. ρ. ρ la densit` e a a e k la diffusivit` termica del fluido.4 m Cm = 80 W/K L = 2 m Soluzione In base al teorema di Buckingham essendoci N = 6 variabili e K = 4 dimensioni fondamentali il fenomeno pu` essere descritto mediante N − K = 2 parameo tri adimensionali.2. ∆T. quanto vale C per un un dispositivo di dimensione L? Lm = 0. Da un’analisi preliminare risulta che C = f (U. UL Um Lm L da cui C = Cm Lm /L = 16 W/K. SIMILITUDINE DINAMICA ESEMPIO Lo scambio termico C di un dispositivo viene misurato dal rapporto tra la potenza termica smaltita e la differenza di temperatura ([C] = W/K). Se l’unica grandezza che varia ` U e per un e modello di dimensione Lm lo scambio termico vale Cm . 3 ρL2 U UL In condizioni di similitudine dovranno risultare uguali i gruppi adimensionali ed essendo U l’unica grandezza che varia (oltre naturalmente ad L e C) si ottiene k k Lm =⇒ U = Um = . Utilizzando il metodo delle variabili ripetute si ha una delle possibili soluzioni: C∆T k =g . Cm ∆T C∆T U 3 L2 = 3 2 =⇒ C = Cm 3 2 U 3 ρL2 Um ρLm Um Lm 201 .11. ∆T ` la differenza di temperatura applicata a e ed L una dimensione del dispositivo. L) in cui U ` la velocit`. k. ν2 Cm = 280 J da cui si ricava facilmente ∆T = ∆Tm αm /α = 0.48 · 10−3 K−1 per l’aria e αm = 2. e Si consideri il problema del cilindro in cui siano assegnati i seguenti dati: D = 1. Dm = 30 cm Abbiamo per i parametri adimensionali: Re = Ud U dρ = . Prendendo come variabili o ripetute ∆T .5 m.3 similitudine distorta Nell’esempio del paragrafo precedente ` stato in realt` commesso un ‘errore’ che costie a tuisce praticamente la regola in campo sperimentale. H.10 · 10−4 K−1 per ’acqua). ∆T differenza a di temperatura. M = U/a = 0. Se un modello in scala fS funzionante a a in acqua alla temperatura di 20 o C per un dato ∆Tm smaltisce il calore Cm . ν viscosit` cinematica e ρ densit` del fluido. H dimensione principale. Considerando che la velocit` del suono in acqua ` di circa 1500m/s si ha che a e se calcoliamo il numero di Mach di esperimento e fenomeno reale si ha. α coefficiente di espansione termica. ρ) con g accelerazione di gravit`.93 J (con i valori per α = 3.8 o C Soluzione Dal teorema di Buckingham.0013. che la condizione di similitudine dinamica prevede che tutti i gruppi adimensionali che governano il fenomeno debbano essere gli stessi per poter applicare i risultati della simulitudine dinamica. quale sar` il ∆T di funzionamento ed il calore smaltito dal dispositivo reale in a condizioni di similitudine dinamica? fS = 1 : 7 ∆Tm = 1. ν µ Rem = ρm Um Dm µ . ν e ρ si ottiene C =F Hρν 2 gH 3 . 11. Ricordiamo. α∆T . ν. infatti. α. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Il calore C che smaltisce un particolare dispositivo in aria a 15 o C ` espresso dalla e relazione C = f (g.108 K e C = Cm (H/Hm )(ρ/ρm )(ν/νm )2 = 435. ∆T. vediamo mediante un esempio con parametri leggermente differenti se ` possibile mantenere la similitudine dinamica in qualche altro modo. U = 50 m/s. H.202 CAPITOLO 11.0044. poich´ risulta M = Mm verrebbe da concludere che la similitudine dinamica non ` rispettata! e Prima di tirare delle conclusioni. risultando N = 7 e K = 4 si ha che la relazione si pu` esprimere tramite 3 parametri adimensionali. rispettivamene te Mm = Um /am = 0. considerando l’acqua al posto dell’aria.11. infatti M = 0. a In realt` sebbene le due soluzioni proposte sembrano essere equivalenti in quanto pora tano entrambe ad un differenza nel numero di Mach da un punto di vista fluidodinamico sono profondamente differenti e mentre la prima risulta inaccettabile. Mm = 0. la seconda costitui` sce la procedura effettivamente adottata nei laboratori. ma diverso numero di Mach M = 0. aumentandone la pressione a o e contemporaneamente diminuendone la temperatura (per evitare l’aumento della velocit` del suono) a anche se questa soluzione risulta estremamente costosa e pericolosa per la presenza di gas in pressione. 2 . SIMILITUDINE DISTORTA 203 M= U . In aggiunta questo stratagemma diventa tanto pi` oneroso quanto pi` diventa grande la scala del modello u u e produce delle forze estremamente elevate sui modelli a causa della crescita con ρm della pressione dinamica. non lo ` quella del numero e e di Mach. a Mm = Um am Un primo modo per avere lo stesso numero di Reynolds ` quello di aumentare di cinque e volte la velocit` del flusso lasciando invariate le altre grandezze.016 am 1500 Sembrerebbe che non ci sia via di uscita perch´ qualunque accorgimento si cerchi di e adottare nasconde comunque degli inconvenienti dovuti al fatto che non si riescono a fissare i parametri in conformit` con le regole dell’analisi dimensionale 2 .3. Proviamo allora a cambiare il fluido.147 Mm = Um 25 = = 0.147. a e a mantenendo la velocit` del modello pari a quella del prototipo e conservando l’uguaglianza del numero di a Mach. L’aumento della densit` del fluido pu` essere ottenuta.7. E infatti noto nella fluidodinamica Una possibilit` estrema ` usare lo stesso fluido ma aumentarne la densit` nell’esperimento ρM = 5ρ. In questo modo si ottiene a lo stesso numero di Reynolds. per esempio. e utilizziamo una velocit` per il modello tale da conservare la similitudine dinamica del numero a di Reynolds: Re = Rem ⇒ Ud Um Dm = νaria νacqua Um = νacqua d U νaria Dm Um = 5 1 50 = 25 m/s 10 Anche se la similitudine del numero di Reynolds ` rispettata. o caratterizza la rugosit` superficiale.4 Studio di flussi particolari In questa sezione mostreremo attraverso degli esempi tipici come si applica l’analisi dimensionale a problemi applicativi. Questi esempi di similitudine vengono chiamati di similitudine distorta per distinguerli dalla similitudine esatta in cui tutti i parametri adimensionali sono uguali.. Un’ispezione delle a a dimensioni dei parametri elencati rivela immediatamente K = 3 per cui se q non introduce . una nave in mare aperto o persino un sottomarino con il periscopio in emersione (ossia con lo scafo immerso di qualche metro) non possono essere analizzati nell’ambito di questa schematizzazione in quanto i fenomeni di deformazione della superficie libera non vengono contemplati nella scelta dei parametri di interesse. in generale.7 non fornir` dati in similitudine dinamica in a quanto il flusso sar` influenzato da effetti di comprimibilit` che sono assenti nel fenomeno a a a reale. ρ. un aereo in volo di crociera o un sottomarino in immersione profonda sono tutti flussi intorno a corpi immersi.. a e a a U la velocit` della corrente indisturbata ed a la velocit` del suono. In questa categoria di flussi ricade anche l’esempio della sezione precedente i cui risultati sono quindi corretti. . Rimane inteso che i seguenti esempi sono solo alcuni tra i problemi pi` comuni mentre. Alla luce di questo risultato appare allora o a chiaro che la prima soluzione che d` Mm = 0. ρ ` la densit` del fluido.3 il numero di Mach non ` un parametro che e governa il flusso e quindi pu` essere trascurato. l tiene in conto le altre dimensioni e (eventualmente l pu` essere del tipo li i = 1.4.1 Flusso intorno a corpi immersi In questa categoria ricadono tutti i flussi in cui uno stesso fluido ‘bagna’ completamente uno o pi` corpi e non sono presenti fenomeni di superficie libera. Questo implica che per M ≤ 0. U. l. In questo campo non ci sono delle regole fisse ma ci si affida piuttosto alla sensibilit` ed esperienza a dello sperimentatore che conosce quali paramentri pu` trascurare e quali invece deve o preservare fedelmente per ottenere risultati utilizzabili in pratica. M per corpi di geometria complessa). Al contrario.. 11. a) in cui L ` la dimensione caratteristica del corpo. .016 fornir` dei risultati in perfetta similitudine dinamica nonostante la differenza tra i numeri di Mach. µ la sua viscosit` dinamica. µ. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI che gli effetti della comprimibilit` in un flusso divengono apprezzabili solo per numeri di a Mach > 0.204 CAPITOLO 11. Indicando con q una generica grandezza da determinare la relazione che si utilizza per questa tipologia di problemi ` la seguente: e q = f (L. Un vento in atmosfera u che investe un palazzo. 11..3 mentre al di sotto di questo valore di soglia il flusso si comporta come incomprimibile. un’automobile che corre in autostrada. bisogna ricorrere alla teoria per trovare i u gruppi adimensionali di interesse. Al contrario la seconda soluzione con Mm = 0. Supponendo rispettati i rapporti l/L ed /L. come facile esercizio. il terzo il numero di Reynolds ed il quarto il numero di Mach. lo studio della similitudine con un fluido differente. In questo caso a si deve quasi sicuramente rinunciare alla similitudine in Mach. . consiste nel cambiare u tipo di fluido ed utilizzarne uno con viscosit` minore di quella dell’aria.32 si ` giusto al limite per poter trascurare gli effetti della come primibilit` ed un qualunque esperimento con un Mach minore del valore trovato darebbe a risultati simili. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI dimensioni aggiuntive la relazione di sopra si pu` mettere nella forma o Πq = g l ρU D U . tuttavia essendo il Mach del prototipo M a 0. 205 Il primo parametro d` le dimensioni dell’oggetto in forma adimensionale. Un modo sicuramente pi` semplice per effettuare questa prova. Se decidiamo allora di lasciare invariata la velocit` della prova U = UM l’unica posa sibilit` che ci rimane ` aumentare la densit` del fluido del modello di dieci volte rispetto a e a a quella del prototipo. preservando cos` tanto la similitudine in Re quanto quella in M a. e possiamo scrivere per le forze: cD = cDm D 1 ρU 2 L2 2 = Dm 1 ρ U 2 L2 2 m m m Dm = ρm L 2 m D ρ L2 1 D 10 Dm = con D e Dm forza di resistenza rispettivamente sul prototipo e sul modello. dando per scontata la similitudine geometrica (il o che include anche la condizione sulla rugosit` superficiale). L L µ a . Osserviamo immediatamente che se pensassimo di aumentare la velocit` del modello di un fattore a 10 per compensare il fattore di scala geometrico otterremmo una velocit` Um = 4000Km/h a 1100m/s che ` chiaramente inaccettabile in quanto in regime ampiamente supersonico e e quindi non renderebbe possibile nemmeno la similitudine distorta. imponiamo preliminarmente la similitudine sul numero di Reynolds assumendo di utilizzare lo stesso fluido per cui µ = µm . Viene lasciato al lettore.4. il parametro Πq dipende solo a dal numero di Reynolds Re e dal numero di Mach M a. ı Ricordando ora che il coefficiente di resistenza ` uguale per il modello e per il prototipo. Prendiamo come esempio un aereo la cui velocit` di crociera sia U = 400Km/h ed un a suo modello in scala 1 : 10 e proviamo a calcolare il rapporto tra le forze di resistenza D. il secondo ` la a e rugosit` relativa. . .11. Dalla a relazione di sopra si pu` osservare che. per mantenere la similitudine sul numero di Reynolds sarebbe stata necessaria una velocit` Um = 281. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO In una galleria del vento viene posto un modello di sciatore durante un salto (sci nordico) con una dimensione caratteristica di 40 cm ed investito da una velocit` a di 67. U = ν/νm · Lm /L · Um = 50.2 m/s sconfinando a cos` nel campo dei flussi comprimibili. I coefficienti 2 di forza devono essere gli stessi risultando: cL = 2Lm /(ρm Um Sm ) e quindi L = 2 2 ρU ScL = 1190.5 Km/h in una corrente d’acqua. ı . Se l’esperimento fosse stato fatto in aria.4 N (avendo usato la relazione S/Sm = L /L2 ). Sapendo che la resistenza e la portanza misurate sul modello sono rispettivamente 4500 N e 5400 N. Procedendo m analogamente per la resistenza si ha D = 992 N. m/s. calcolare le forze corrispondenti avvertite da uno sciatore con dimensione caratteristica di 2 m in condizioni di similitudine dinamica. Perch´ l’esperimento non ` stato fatto in e e aria? L D Soluzione In condizioni di similitudine dinamica modello e sciatore devono avere lo stesso Reynolds Um Lm /νm = U L/ν.206 CAPITOLO 11. 11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI ESEMPIO Un grattacielo alto h con una pianta quadrata di superficie S deve essere costruito in una zona dove mediamente si hanno venti di velocit` massima U con un profilo a come in figura. Facendo le prove su un modello in scala fS in condizioni di similitudine dinamica si ottiene un coefficiente di resistenza pari a CD (basato sul valore di velocit` media). Calcolare il valore della resistenza del grattacielo a e le condizioni per un esperimento in acqua. 207 U a h = 150 m CD = 0.85 a = h/3 2 S = 900 m U = 15 m/s fS = 1 : 75 Per il calcolo della resistenza utilizzare la h superficie frontale del grattacielo. Soluzione La velocit` media ` data da: a e U= 1 h h 0 U dy = 1 h a 0 2 Uy dy + a h U dy = a 1 Ua + U (h − a) = 12.5 m/s. h 2 Per la resistenza D = ρU SF CD = 3.705 · 105 N (essendo SF la superficie frontale del grattacielo pari a SF = 30 · 150 = 4500 m2 . Per l’esperimento, dovendo uguagliare i numeri di Reynolds si avr` U L/ν = a U m Lm /νm U m = U · L/Lm · νm /ν = 62.5 m/s. 208 CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Per determinare la portanza di un aereo al decollo in atmosfera standard viene effettuato un esperimento in galleria del vento su un modello in scala fS e per mantenere la similitudine dinamica viene pressurizzata la galleria del vento. Calcolare la pressione di esercizio dell’esperimento sapendo che il rapporto tra la velocit` del prototipo e quella del modello ` U/Um . Sapendo inoltre che sul a e modello viene misurata una portanza Lm calcolare la portanza sul prototipo. Ipotizzare uguali le temperature delU/Um = 1/3 fs = 1 : 20 l’aria nell’esperimento e nel fenome- L = 90500 N m no reale. Soluzione Un aereo al decollo ha velocit` ancora contenute, il parametro fondamentale di a similitudine sar` quindi il numero di Reynolds. Re = Rem implica che ρm /ρ = a µm U L/(µUm Lm ) = 1 · U/Um · 1/fS = 6.66 ossia, essendo i due fenomeni alla stessa temperatura (pρ = const.) pm = 6.66p0 = 6.66 atm. Dall’uguaglianza tra i coefficienti di portanza L = Lm · ρ/ρm (U/Um )2 · S/Sm = 603340 N. ESEMPIO Misurando il coefficiente di resistenza di un albero mediante un modello in galleria del vento in scala fs si ottiene un valore CD . Sapendo che l’albero viene investito da un vento di velocit` U calcolare le condizioni sperimentali per realizzare la a similitudine. Se la superficie frontale dell’albero pu` essere stimata come S = o 2 0.55H calcolare le forze di resistenza sull’albero e sul modello. U H fs = 1 : 8 H = 16 m U = 12 m/s CD = 1.22 Soluzione Affinch´ valga la similitudine dinamica ci deve essere l’uguaglianza tra i numeri e di Reynolds per l’albero e per il modello in galleria del vento Re = Rem , ossia U L/ν = Um Lm /νm . Trattandosi per entrambi i casi di aria a pressione ambiente e si ha ν = νm e quindi Um = U L/Lm = U/fS = 96 m/s (notare che non ` importante definire la grandezza L in quanto alla fine entra in gioco solo il fattore di scala fS ). Quindi dalla definizione di resistenza: D = ρU 2 (0.55H 2 )CD /2 = 2 2 15138 N e Dm = ρm Um (0.55Hm )CD /2 = 15138 N. 11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI ESEMPIO Nel primo tentativo di volo con esito positivo (1903) i fratelli Wright usarono un aereo con superficie alare S, apertura alare L che, utilizzando una potenza P , vol` per alcune decine di secondi ad una velocit` U . Calcolare il coefficiente di o a resistenza dell’aereo. Sapendo che la galleria del vento dei fratelli Wright non poteva contenere modelli pi` grandi di Lm , dire se questi furono in grado di u effettuare esperimenti in similitudine dinamica. S 209 L S = 57 m2 L = 13.44 m U = 60 Km/h P = 5100 W Lm = 40 cm Soluzione Dalla relazione P = DU (con D la forza di resistenza) si pu` scrivere P = o 3 3 ρU SCD /2 da cui CD = 2P/(ρU S) = 0.0311. Per avere la similitudine dinamica modello e prototipo devono avere lo stesso numero di Reynolds (per queste basse velocit` di volo), ne consegue che Um Lm /νm = U L/ν ossia Um = U L/Lm = a 560 m/s. Questa velocit` purtroppo a temperatura ambiente darebbe un valore a del numero di Mach pari a M a = 1.64 il che invaliderebbe completamente i risultati dell’esperimento. (A parte il fatto che la galleria del vento dei fratelli Wright non era in grado di raggiungere velocit` cos` elevate, a quei tempi non a ı erano nemmeno noti gli effetti del numero di Reynolds sui coefficienti di portanza e resistenza. Infatti i fratelli Wright effettuarono le prove in galleria a numeri di Reynolds considerevolmente pi` bassi di quelli di volo ottenendo dei risultati u solamente indicativi per le prestazioni del prototipo. 210 CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Un cartellone pubblicitario di superficie S viene investito da un vento costante di velocit` U e necessita di due pali di sostegno per contrastare l’azione della a corrente. Se un cartellone geometricamente simile (anche nella lunghezza dei pali) di superficie tripla venisse investito da una corrente a velocit` doppia di a quanti pali (identici ai precedenti tranne che per la lunghezza) si avrebbe bisogno per mantenere i pali in posizione? U S Suggerimento: considerare in entrambi i casi il flusso in regime di turbolenza sviluppata ed approssimare il numero dei pali all’intero pi` u vicino. Soluzione Sul cartellone agir` una resistenza D = a 2 a ρU SCD /2 che generar` un momento alla base dei pali 2Ml = M = Dl, con Ml il momento sopportato da ogni singolo palo. Per il cartellone 2 in scala si avr` Mm = Dm lm = ρUm Sm CD /2lm , a e dove si e’ tenuto conto che il CD ` lo stesso in entrambi i casi in quanto il flusso ` in regime di e turbolenza sviluppata. Ponendo Mm = nMl e ricavando il CD dall’espressione di M si ottiene n= Um U √ Sm lm 2 = 4 · 3 · 3 ≈ 42, S l S D avendo approssimato il risultato all’intero pi` u prossimo. 11.4.2 Flussi con superficie libera Quando un corpo si muove tra due fluidi immiscibili o, in modo equivalente uno dei due fluidi si muove in presenza o meno di un corpo, si ha inevitabilmente la deformazione dell’interfaccia tra i fluidi con la generazione di onde o comunque di fenomeni che coinvolgono scambi tra energia cinetica e potenziale. Due esempi tipici di questi flussi sono una nave che produce delle onde durante la sua navigazione oppure dell’acqua che passa da un bacino idrico ad un fiume attraverso una diga. Su una scala pi` piccola questi fenomeni u si possono osservare anche in un bicchiere, mettendo sul fondo uno strato d’acqua ed in 11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI 211 superficie uno d’olio. Agitando il bicchiere si osserva la formazione di ‘onde interne’ la cui dinamica ` appunto regolata da fenomeni di superficie libera. e Per questi flussi una qualunque quantit` incognita q sar` esprimibile tramite una a a relazione del tipo: q = f (µ, ρ, U, g, σ, , L, l) in cui g ` l’accelerazione di gravit` e σ la tensione superficiale. In base al teorema di e a Buckingham, questa espressione ` equivalente alla seguente forma: e U U Lρ ρLU 2 l √ , , , , Πq = h L L gL µ σ in cui compaiono i nuovi parametri We = ρLU 2 σ e U Fr = √ , gL (11.7) che sono rispettivamente il numero di Weber ed il numero di Froude. Il primo tiene in conto tutti i fenomeni relativi alla tensione superficiale e sar` importante per descrivere a la dinamica su piccola scala. Il numero di Froude, al contrario, esprime il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle di gravit` ed ` un parametro rilevante per tutti i fenomeni che a e coinvolgono bilanci di energia potenziale. I parametri l/L ed /L sono gli stessi discussi nella sezione precedente e coinvolgono la similitudine geometrica. Questi di solito si suppongono simili anche se mantenere la similitudine sulla rugosit` relativa pu` alle volte risultare di difficile realizzazione a o sperimentale. Il numero di Reynolds esprime al solito il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscose e la sua influenza sul fenomeno va valutata caso per caso. Nei flussi intorno a carene di navi o dighe, il numero di Reynolds ` solitamente dell’ordine delle centinaia di milioni o e miliardi indicando che il flusso si trova in regime di turbolenza sviluppata. In questo caso la dipendenza del flusso dal numero di Reynolds diventa trascurabile rispetto agli effetti degli altri parametri e pu` essere semplificato dalla relazione (11.7). Questa operazione, o tuttavia, nasconde un’insidia in quanto l’eliminazione di Re dalla (11.7) non implica che nel fenomeno non ci sono effetti viscosi ma solo che la loro entit` non dipende dal valore a del numero di Reynolds; ci` implica che quando si realizza l’esperimento in scala si deve o essere sicuri che questo avvenga in regime di turbolenza sviluppata cos` come nel fenomeno ı reale. Consideriamo come esempio il caso di una diga con dimensione caratteristica L = 20m e e portata pari a Q = 125 m3 /s, il cui modello ` in scala 1 : 15 da cui risulta che Lm = L/15 = 1.33 m. La scala di velocit` nella diga reale sar` U = Q/cL2 x con c costante che dipende dalla a a geometria della diga e la portata del modello ` quindi e Qm = cUm L2 . m cL2 a essendo g = gM . = L Lm Tm = U Lm T = Um L Q cL2 Qm cL2 m Lm T. L Q Tm = Qm Lm L 3 T = 0.143 m3 /s. Dai calcoli fatti sulla scala delle velocit` del prototipo e sulla portata smaltita dal modello. risulta: 1 Q . Quindi se il fenomeno impiega 24 ore u per svilupparsi nella diga. . Il risultato ottenuto indica che l’analisi dimensionale permette di costruire modelli nei quali il fenomeno si sviluppa pi` velocemente. prevedere tempestivamente l’evoluzione di un incidente con una sperimentazione in laboratorio. per eseme pio. nel modello impiega solo 6 ore. per cui ` possibile.258T. gm L m gL Um = gm g 1/2 Lm L 1/2 Q .212 CAPITOLO 11. Qm = c √ cL2 m 15 Vediamo cosa accade alla scala dei tempi: TU Tm Um . Um = √ 15 cL2 1 Q 2 L = 0. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI Poich´ in questo caso n´ il numero di Weber n´ quello di Reynolds contano. imponiamo e e e la similitudine sul numero di Froude: √ U Um =√ . 09 · 107 l/min 11.5m3 /s). a Per il numero di Reynolds. 5/2 213 = 5. avendo la superficie libera un ruolo fondamentale bisogna √ √ mantenere la similitudine in Froude U/ gL = Um / gm Lm . STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI ESEMPIO Per un prototipo di nave lungo 200 m. 2 La portata sar` Q = U S = UM (1/fS ) · SM /fS = QM /FS a (848. ESEMPIO Per studiare le caratteristiche di una diga ne viene realizzato un modello in scala e a FS . Se il rapporto di scala tra le dimensioni lineari ` fS . ed essendo le ac√ celerazioni di gravit` identiche si ha Um = U Lm /L = U fS = 3. .286 nodi = a 1. Soluzione In questo problema. Si noter` a a che non ` stata inserita una scala di velocit` U in quanto questa ` ricavabile sia dal e a e . se si usa lo stesso fluido (ν = νm ) si avr`: Rem = √ 3/2 Um Lm /νm = U fS · LfS · 1/ν = Re · fS . del peso di 105 tonnellate e con velocit` a di crociera di 18 nodi. Essendo i numeri di Reynolds diversi (similitudine distorta) si dovr` essere sicuri che entrambi i flussi siano nello stesso a regime (turbolento).11. l. il rapporto tra i volumi sar` e a 3 3 a fS e lo stesso dovr` risultare per le forze peso. Una qualunque grandezza q si pu` quindi a o esprimere dalla relazione q = f (L. viene realizzato un modello in scala fS = 1 : 30. quale sar` la portata smaltita dalla diga reale? Commentare le ipotesi fatte ed il tipo di similitudine ottenuta (esatta o distorta). µ. Ω) essendo Q la portata smaltita dalla macchina ed Ω la sua velocit` di rotazione.69 m/s. Quindi Pm = P/fS = 3703 Kg. nelle macchine rotanti entra come parametro fondamentale la velocit` di rotazione. Soluzione Essendo un fenomeno con superficie libera bisogna preservare la similitudine in Froude. Q. ρ.3 Flusso nelle macchine rotanti Rispetto agli esempi precedentemente elencati.4. ricorda: dimensionalmente una portata in volume ` data da una velocit` fs = 1 : 200 Qm = 90 l/m e a per una superficie.4. Calcolare le condizioni sperimentali per una prova sul modello in similitudine dinamica. Quale dovr` essere il peso del modello? Citare gli accorgimenti che dovranno a essere presi per gli eventuali parametri non in similitudine (similitudine distorta). Se la portata che smaltisce il modello ` Qm . U/ (gL) = UM / (gLM ) da cui U = UM (L/LM ) = UM (1/fS ). Dalle curve caratteristiche con le quantit` dimensionali si ricavano delle curve analoghe a per i parametri adimensionali come ` mostrato in figura 11.10 η 100 80 η 60 40 20 0 efficienza h (m) 20 15 10 prevalenza CΗ .050 CQ 0. Dal grafico (η.6 4.063 0. . Il rapporto Q/(ΩL2 ) a e ` il coefficiente di flusso cQ ed ` un parametro fondamentale per la similitudine. ρΩ2 L2 e con PI potenza immessa. ed Ω = 1200rpm operante nelle condizioni di massima efficienza.5.5: Curve caratterstiche di un pompa (curve dimensionali ed adimensionali).020 . Ricorrendo al teorema di Buckingham la relazione appena scritta si riduce a: Q ΩL2 ρ ΩL l .3 altrimenti sar` un parametro di similitudine da rispettare. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI a rapporto tra portata Q ed una superficie caratteristica (S ∼ L2 ) sia dalla velocit` di rotazione attraverso U = ΩL. PI cH = gh .4 0 0. Πq = g L L ΩL3 µ a I parametri l/L e /L sono fissati dalla similitudine geometrica mentre il numero di o Reynolds Re = ΩL2 ρ/µ pu` essere trascurato se il regime di flusso tra prototipo e modello ` lo stesso. .214 CAPITOLO 11. cQ ) si ricava e . .2 potenza 5 0 0 0.015 C .025 0.21 . Supponiamo di volere determinare le caratteristiche di una pompa che abbia dimensione L = 8inch.075 0. il coefficiente di prevalenza “cH ” oppure il coefficiente di potenza “cP ”.10 CP CΗ .126 0.010 . definiti come segue: η= PU .8 1.16 .252 . 100 80 η 60 40 20 0 PΙ (kw) 5. e o Nelle macchine rotanti il parametro Πq pu` essere il rendimento “η”. Per il numero di Mach M = ΩL/a valgono le considerazioni fatte nei precedenti e esempi. quindi si pu` trascurare se prototipo e modello lavorano entrambi nel regime o M ≤ 0. Ω2 L2 cP = PI .05 0 P Figura 11.05 0 0 0. note le caratteristiche di una pompa geometricamente simile con dimensione caratteristica di a LM = 12inch funzionante alla velocit` di rotazione ΩM = 1000rpm. PU potenza utile ed h la prevalenza cio` l’altezza della colonna fluida equivalente alla differenza di pressione che la macchina pu` creare (nel caso si tratti o di una pompa). .189 Q (m 3/s) 2. Noti quindi D ed Ω di modello e prototipo ` possibile riscalare la curva in figura ed ottenere il ∆p per la pompa simile.015 . L’applicazione del metodo della variabili ripetute (scegliendo come terna fondamentale D. Conoscendo il valore di “cQ ”. Ω la velocit` di rotaa zione. e dalla sua definizione il valore della portata Q = cQ L3 Ω = 0. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI 215 per le condizioni di massima efficienza cQ = 0. In base al teorema di Buckingham si ha che lo stesso fenomeno pu` essere descritto da N − K = o 2 parametri adimensionali. ricordando che il fluido ` acqua.06 Ωm = 40π rad/s Dm = 25 cm Ω = 60π rad/s D = 32 cm Soluzione Dalle relazioni fornite si nota che ci sono N = 5 grandezze in gioco descritte dimensionalmente da K = 3 dimensioni fondamentali. determiniamo dal grafico (cP . Ω e ρ) fornisce Π1 = ∆p/(ρD2 Ω2 ) e e Π2 = Q/(ΩD3 ).015 e. . Stimare il ∆p per una pompa geometricamente simile di dimensione D operante in acqua alla velocit` angolare Ω. cQ ) calcoliamo il valore di cH e. ρ. cQ ) il valore del coefficiente di potenza pari a 0. ρ la densit` del fluido e Q la sua portata. Un modello funzionante in a a acqua di diametro Dm . Ω. a ∆ p (KPa) 56 42 28 14 Q (m3/s) . Q) essendo D una dimensione caratteristica.045 . di conseguenza. alla velocit` angolare Ωm fornisce una curva come in figura.176 m3 /s.0625.4.11.34m ESEMPIO Il salto di pressione attraverso una pompa di forma assegnata ` ∆p = e f (D.03 . quello di h come segue: h = cH L2 Ω2 /g = 18. calcoliamo la “PI ” dalla seguente e relazione: PI = cP ρΩ3 L3 = 405KW Infine dal grafico (cH . Ω. contemplando anche eventuali variazioni di sezione. Bisogna notare che l’aggettivo chiuso del circuito non si riferisce al fatto che il circuito si chiuda su se stesso ma all’assenza di superfici libere che vanno trattate come mostrato precedentemente. In questa categoria di flussi. che. l. ρ. µ. pu` essere ridotta alla forma o Πq = g l ρU D . . Sapendo che un modello di dimensione lm con fluido acqua assorbe una potenza Wm ed ha una prevalenza Hm . D. W ν H . . ρ.. Ω la velocit` di rotazione.5 Flusso in circuiti chiusi Nella classe dei flussi in circuiti chiusi rientrano tutti quei flussi in cui un fluido scorre all’interno di un sistema tubi.8) In questa relazione. detta q la generica quantit` da determinare possiamo a scrivere q = h(l. U ). e a ρ e ν la densit` e la viscosit` cinematica del fluido di lavoro ed l una dimensione a a caratteristica.3 m. calcolare W ed H per una pompa geometricamente simile in scala f = 2. Hm = 21 m lm = 16 cm f = 2.3 volte pi` e u grande del modello) che lavora in olio in similitudine dinamica.216 CAPITOLO 11. il rapporto l/D descrive la geometria del sistema. . . ν) in cui W ` la potenza assorbita.1 kW ρolio = 850 Kg/m3 Applicando il teorema di Buckingham risulta N = 6 e K = 3 per cui si pu` o esprimere la relazione con 3 parametri adimensionali. gomiti. rubinetti etc. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Si supponga che la prevalenza H di una pompa sia esprimibile tramite la relazione H = f (W. 11.3 : 1 (ossia il prototipo ` 2. νm W = Wm ρ ρm l lm 5 Ω Ωm 3 = Wm ρ lm ρm l ν νm 3 = 1. valvole.3 : 1 νolio = 10−5 m2 /s Soluzione Wm = 6. D D µ (11. la rugosit` a . applicando il teorema di Buckingham. al solito. come in figura 11. Ω = Ωm lm l 2 ν . =g 3 l5 l2 Ω l ρΩ Uguagliando i parametri adimensionali si ottiene quindi H = Hm l/lm = Hm f = 48.6.604 Mw. 11. la rilevanza pratica di circuiti per il trasporto di fluidi ha dato origine a delle formule empiriche di grande utilit` nelle applicazioni pratiche. sono rispettati i rapporti l/D e /D. Dalla portata della valvola. per cui rimane da verificare la similitudine sul numero di Reynolds. Um = 0.075 · 0. Osserviamo che. imponendo l’uguaglianza del numero di Reynolds: UD Um Dm Dνm = U. LEGGE DI DARCY-WEISBACH 217 relativa /D esprime la natura della superficie dell’oggetto. =⇒ Um = ν νm Dm ν ed assumendo di utilizzare lo stesso fluido nell’esperimento e nel fenomeno reale (ν = νm ).1 m3 /s.60 · 0.36 Con questa velocit` e con il diametro del modello siamo quindi in grado di calcolare a la portata richiesta 2 Qm = Um Dm = 0. possiamo calcolare una scala di velocit` per il prototipo a U = Q/D2 quindi.22 m/s. 0. l4 l3 U d3 d1 l1 d2 l2 Figura 11.6: Esempio di flusso in circuiti chiusi.1 · 1 = 2. a . Ci chiediamo quale deve essere la portata di un modello in scala con dimensione Dm = 7. Come esempio consideriamo una valvola con una dimensione caratteristica D = 60cm e supponiamo che smaltisca una portata Q = 0.0125 m3 /s. .6 Legge di Darcy-Weisbach Sebbene la trattazione di questi flusso rientri a tutti gli effetti nell’ambito dell’analisi dimensionale. mentre il numero di Reynolds ρU D/µ esprime il regime di moto del flusso nel condotto.11.5cm. essendo un problema in scala.6. in base alla (11. ed arrivando alla quota z1 < z2 . ρ 2 ρ 2 (11. . le velocit` a nelle due sezioni sono uguali e quidi l’equazione di Bernoulli diventa: p1 p2 + gz1 = + gz2 + gh.9) Dalla conservazione della massa si deduce che. essendo gli effetti viscosi non trascurabili. aggiungendo un termine correttivo h che tenga conto degli effetti viscosi si pu` porre: o 2 2 p2 U2 p1 U1 + + gz1 = + + gz2 + gh. a parit` di ∆p la presenza dei termini viscosi a diminuisce di h la quota massima raggiungibile z2 = ∆p + z1 − h. . (mantenendo una portata Q) si genera un differenza di pressione minore rispetto al caso non viscoso ρgz1 = ρgz2 − ∆p + ρgh. se si suppone inoltre nulla la variazione di quota delle sezioni del condotto. essendo il diametro costante.10) e.10). In definitiva sia per portare in quota il fluido che per farlo tornare indietro occorre sempre una differenza di pressione pi` grande del caso non viscoso e ci` esprime la dissipativit` u o a del termine h in contrasto con la reversibilit` della trasformazione dell’energia potenziale a in energia cinetica nel caso ideale. assumendo il flusso incomprimibile possiamo mettere un relazione la velocit` media nel tubo con la portata attraverso a Q= (πU D2 ) .11) L’interpretazione fisica di questa relazione ` che l’effetto dei termini viscosi ` equie e valente ad una sezione di uscita posta ad una quota pi` alta di h rispetto alla sezione u di entrata oppure. si ha p1 p2 p1 − p2 = + gh. non sarebbe possibile applicare l’equazione di Bernoulli.218 CAPITOLO 11. ρ ρ (11. ρ ρ ρg (11. Per mettere ora in relazione le perdite dovute agli effetti viscosi con le grandezze adimensionali osserviamo che possiamo esprimere la differenza di pressione alle estremit` a del tubo come U Dρ l ∆p =φ . ρg Esplicitando invece la relazione precedente rispetto a z1 si nota che partendo dalla quota z2 . =⇒ h = . 4 Per questo flusso. 1 2 D D µ ρU 2 . FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI Consideriamo un tubo a sezione circolare di lunghezza l e diametro costante D attraverso cui passa una portata Q di un fluido viscoso. tuttavia. Questo risultato implica ∆p 1 ρU 2 2 3 = l U Dρ Φ . D D µ Notiamo√ ci` non si verifica nel regime laminare in quanto in uno strato limite la forza√ resistenza che o di a u cresce come l e quindi una lastra di lunghezza 2l avr` perdite per attrito che sono solo 2 volte pi` grandi di una di lunghezza l .6. In base ad innumerevoli osservazioni sperimentali ` stato visto che l’effetto del parae metro l/D interviene linearmente nella funzione φ il che implica fisicamente che le perdite per attrito in un tubo di lunghezza 2l saranno doppie rispetto ad un tubo identico ma di met` lunghezza (nel caso in cui il flusso all’interno del tubo sia in regime di turbolenza a sviluppata) 3 . LEGGE DI DARCY-WEISBACH 219 Figura 11.11.7: Diagramma di Moody. e 11.7 anche se il tubo non ` circolare. direttamente dal grafico di figura 11.12) dovremmo concludere che non abbiamo fatto alcun passo in avanti in quanto abbiamo espresso una quantit` incognita h in funzione a del fattore d’attrito f che non ` noto a priori.7 Re f . a Osservando criticamente la relazione (11.13) che ` stata ottenuta come fit empirico del grafico del diagramma di Moody.51 /D √ + 3. Evidentemente. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI per cui definendo il fattore d’attrito f f= si ottiene ∆p 1 ρU 2 2 1 ρU 2 2 ∆p D U Dρ =Φ . la velocit` media del flusso (U ) ed il fattore d’attrito f .220 CAPITOLO 11. D Ricordando infine dalla (11. l D µ = l f. analogo a quello di Moody. Data tuttavia la grande variet` a di geometrie possibili questa procedura non viene seguita e si preferisce ricavare delle informazioni.11) che h = ∆p/ρg si giunge alla legge di Darcy-Weisbach: h= 1 U2 l f. di determinare f . si potrebbe ripetere una campagna di misure. Attualmente queste formule possono essere agevolemente impiegate anche con l’ausilio di una calcolatrice programmabile rendendo pi` rapido il calcolo di f .7) che consente. Una di tali formule ` quella di Colenbrook u e 1 √ = −2 log f 2. (11.6. A tal fine si definisce il diametro idraulico Dh come il rapporto e tra l’area della sezione trasversale del tubo S divisa per un quarto del perimetro bagnato . In realt` il fattore d’attrito si determina e a facilmente dal diagramma di Moody (figura 11. noto il valore di /D ed il numero di Reynolds del tubo.1 tubi a sezione non circolare In molte applicazioni pratiche i circuiti per il trasporto del fluido hanno sezione non circolare (per esempio negli impianti di condizionamento dove i condotti hanno una sezione quadrata) ed in questi casi il diagramma di Moody non pu` essere utilizzato nella forma o descritta nella precedente sezione. seppur approssimate. 2 g D (11. cosi` come ` stato fatto ı e per i tubi a sezione circolare per ottenere un diagramma.12) che consente di calcolare le perdite per effetti viscosi nota la geometria del condotto (l/D). Questo diagramma ` stato molto e utilizzato nel passato in quanto l’assenza di calcolatori elettronici rendeva problematico l’utilizzo di formule implicite non lineari. ma specifico per la particolare geometria di interesse. 75 1 A1 A2 h= k V12 2g Figura 11. permette di risolvere agevolmente problemi per i quali non esiste un diagramma specifico per le perdite di carico oppure flussi in cui si hanno tubi di geometria diversa in uno stesso circuito.75 1 1.5 . in cui tale condizione non ` assolutamente verificata. il rubinetto e la variazione di sezione.4 .6 K . L’analisi sperimentale mostra comunque che in corrispondenza e di tali tratti del circuito si verificano delle perdite di energia la cui entit` pu` superare a o quella nei tratti rettilinei.2 perdite concentrate L’assunzione che gli effetti viscosi siano proporzionali alla lunghezza l del condotto funziona nel caso di condotti a sezione uniforme in cui il flusso sia in un regime di turbolenza completamente sviluppata. questo viene usato per valutare il numero di Reynolds Re = U Dh /ν. come i gomiti.5 . per condizioni di flusso turbolento completamente sviluppato l’errore rimane contenuto intorno a valori del 15%: per quei problemi nei quali ` richiesta un’accuratezza maggiore bisogna allora ricorrere a e diagrammi specifici o prove sperimentali ad hoc.2 0 .11. mentre per una sezione rettangolare Dh ` il prodotto dei lati diviso per la loro media. . . in questo modo per un condotto a sezione quadrata il diametro idraulico ` proprio e e pari al lato.8: Esempio di grafico per la determinazione delle perdite concentrate per variazioni di sezione repentine.6 appare evidente come ci siano dei componenti. la velocit` media U viene calcolata dividendo la portata in volume Q di fluido che transita nel condotto per la sua sezione S.5 .6. Riferendoci alla figura 11. Normalmente. Questo tipo di approssimazione.25 A1 A 2 /A1 A2 h= k V22 2g 0 . Dopo aver calcolato Dh per una data geometria. l’entit` delle perdite viscose dipende dalla forma a dei componenti.75 .25 . 11. LEGGE DI DARCY-WEISBACH 221 P/4. dal modo in cui sono accoppiati con i tratti rettilinei di tubo oltre che dalla portata che li attraversa.25 A1 /A2 . la rugosit` relativa /Dh da cui si ricava il fattore a a d’attrito f dal grafico 11. Queste perdite vengono dette perdite concentrate (hc ) e vengono quantificate attraverso dei coefficienti empirici Kc .6. Chiaramente.7 e quindi la perdita di carico hf = f (l/Dh )U 2 /(2g). 04... (d) Kc = 1. a U2 hc = Kc .2. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI A B Figura 11. il materiale con cui ` costruito ed il modo in cui ` collegato con e e . (d) Kc = 0.8.10: A: coefficiente di perdita Kc per differenti modalit` di uscita del flusso: (a) a Kc = 1. (c) Kc = 1. 2g L’effetto di ognuno di questi componenti ` quindi assimililabile ad una perdita concentrata e equivalente ad una quota parte dell’energia cinetica del flusso. (b) Kc = 0. (b) flusso con guide... e I valori numerici di Kc possono essere trovati sia in forma di tabella in cui ` specificata la forma del componente.. B: coefficiente di perdita Kc per differenti modalit` di ingresso del flusso: (a) Kc = 0.9: A: coefficiente di perdita Kc in un gomito a 90o in funzione del raggio di curvatura e della finitura superficiale.5. (b) Kc = 1. (c) Kc = 0. A B Figura 11.222 CAPITOLO 11. B: perdite associate ad una variazione di direzione del flusso con angoli retti (a) flusso senza ‘guide’. = 3. giustificando le assunzioni fatte. ottenute da tabelle per la strozzatura in ingresso. ESEMPIO Data la presente configurazione determinare la portata in massa di olio che attraversa il condotto.8. LEGGE DI DARCY-WEISBACH 223 i tubi rettilinei oppure in forma di grafico come gli esempi forniti nelle figure 11. 11.78 m/s (ricordiamo che per la procedura iterativa conviene partire da un valore di tentativo di f nella parte piatta del diagramma di Moody che per /d = 0.01 Ns/m2 tubi commerciali gomito avvitato Stimare le perdite concentrate (assumendo valori opportuni dei Kj ).0059 fornisce f 0. p l1 1 l2 d p 2 p1 − p2 = 106 Pa d = 0.10. a ˙ .0059 da cui iterando sul diagramma di Moody tra f e Re = U d/ν si ottiene U 4. 11. Soluzione 2 Dall’equazione di Bernoulli generalizzata scriviamo p1 + ρU1 /2 + ρgh1 = p2 + 2 2 2 a ρU2 /2 + ρgh2 + f (l1 + l2 )U ρ/(2d) + j Kj ρU /2. ρ 1 + f (l1 + l2 )/d + j Kj dove j Kj = K1 + K2 + K3 = 0. essendo U la velocit` nel condotto e risultando U1 = 0.11.6. La 2 portata in massa nel condotto sar` quindi m = ρU πd /4 = 0. per il gomito e per la sezione di uscita.5 + 1. U2 = U . Dalle tabelle per tubi commerciali ricaviamo /d = 0.3 inch l2 = 6 m l1 = 10 m 3 ρolio = 840 Kg/m µolio = 0. Osservando che h1 − h2 = l2 si ricava per U: 2 (p1 − p2 ) + ρgl2 U2 = .032).5 + 1.183 Kg/s.9. 82 m.5 cm d3 = 15 cm 1. calcolare la pressione pI nel serbatoio per avere una portata Q uscente dal rubinetto. a Per le variazioni di sezione in C e D vedi tabelle.5 . A1 /A2 A 2 /A1 2 Rubinetto con k = 2 basato sulla velocit` a A1 A2 h= k V2 A1 A2 h= k V12 h2 d2 2g 2g nel tubo (in d2 ).75 pI Q = 500 l/min .6 K .0009 e Re3 = u3 d3 /ν = 70570. Trascurare le perdite distribuite C d3 D d d2 2 nel serbatoio. hA − hB = h1 + h2 e quindi: 4 u2 pI = p0 − ρg(h1 + h2 ) + ρ B + ρg 2 i li u2 i fi + di 2g j u2 kj j . 2g 2g j Note le perdite si calcola infine pI ottenendo pI = 271666 Pa. di 2g d2 2g d3 2g kj u2 u2 j = (0. . h1 = 2 m h2 = 4 m l1 = l2 = l3 = 3 m d2 = 5 cm d4 = 2.0003 si ottiene rispettivamente f2 = 0.25 h1 Fluido:acqua 0 .2 .8 + 0.75 1 0 .5 . /d2 = 0. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Dato il circuito in figura.25 .25 . noti i valori di kj si possono calcolare anche le perdite concentrate ottenendo: fi i li u2 h2 + l1 + l3 u2 l2 u2 i 2 3 = f2 + f3 = 3.5) 2 4. 2g Dalla costanza della portata si ha u2 = 4Q/(πd2 ) = 4. Gomito avvitato.4715m/s.976 m/s.75 1 Tubi commerciali a sezione circolare. Dal diagramma di Moody con Re2 = u2 d2 /ν = 212206. /d1 = 0.4 .5 basato l3 l2 sulla velocit` nel tubo.224 CAPITOLO 11.026 con cui si possono calcolare le perdite di carico distribuite. pB = p0 e uB = 4Q/(πd2 ) = 16. Soluzione Prendendo i due peli liberi dei serbatoi come sezioni A e B e scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata si ottiene: pA = pI . D’altra parte. d4 l1 Raccordo serbatotio–tubo k = 0.5 + 2 + 0. uA = 0.5 + 1.244m/s e u3 = 4Q/(πd2 ) = 2 3 0.021 ed f2 = 0.861 m. .5 . 08 m.034 ed f2 = 0.8 basato sulla d2 velocit` in d1 . Dal diagramma di Moody con Re1 = u1 d1 /ν = 141471.1.5 m l2 = 3 m l1 = 2. 2g Dalla costanza della portata si ha u1 = 4Q/(πd2 ) = 9. /d1 = 0. e Soluzione Prendendo i due peli liberi dei serbatoi come sezioni A e B e scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata si ottiene: pA = p0 .358m/s.431m/s e u2 = 4Q/(πd2 ) = 1 2 2.2 m H d2 = 3 cm d1 = 1. noti i valori di kj si possono calcolare anche le perdite concentrate ottenendo: fi i li u2 h1 + l1 2 h2 + l2 u2 i 2 u1 /2g + f2 = f1 = 44. di 2g d1 d2 2g kj u2 u2 u2 j = (kC + kD + kE ) 1 + kF 2 = 17. .5 mm pI = 150000 Pa h1 l1 Tubi circolari in cemento E pI Trascurare le perdite nei due serbatoi D d1 D ed F gomiti avvitati d2 h2 hS Gomito in E con k = 1.029 con cui si possono calcolare le perdite di carico distribuite. pB = pI e uB = 0. hA − hB = H + h1 + h2 − hS e quindi: H = hS − h1 − h2 + pI − p0 + ρg fi i 225 li u2 i + di 2g kj j u2 j . LEGGE DI DARCY-WEISBACH ESEMPIO Dato il circuito in figura.5 cm C hS = 1 m Q = 100 l/min d1 = 0.5 a F basato sulla velocit` in d1 a l2 Attenzione: H viene molto grande (> 20m) ed il disegno non ` in scala.67 m.11. /d2 = 0. Raccordo in C con k = 0. D’altra parte. quale deve essere il livello dell’acqua H nel serbatoio per avere una portata Q? h1 = 2 m h2 = 2.0066 e Re2 = u2 d2 /ν = 70735.6. 2g 2g 2g j Note le perdite si calcola infine H ottenendo H = 64.0033 si ottiene rispettivamente f1 = 0. uA = 0.94 m. calcolare il valore della pressione pA necessaria a mantenere il sistema in condizioni stazionarie.012 e Re3 = 47746 per cui dal diagramma di Moody si ottiene f1 = 0. /d2 = 0.92 m2 /s2 .12 mm Q = 27 l/min θ = 30o B raccordo in D k = 1 basato sulla velocit` del tubo con diametro d3 .5 . 1 3 pB = p0 e hB − hA = −l3 sin θ = −4 m. di 2 Dalla prima espressione si ricava quindi pA = 653734 Pa. a rubinetto k = 2. Per i tre tratti si ha. 2 risultando: UA = 4Q/(πd2 ) = 0.4 .342 m2 /s2 . 2 2 2 fi i li Ui2 = 525.75 1 A 2 /A1 A1 A2 h= k V22 2g l1 = 4 m l2 = 3 m l3 = 8 m d2 = 3 cm d3 = 1 cm d1 = 10 cm d3 = 0. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Nel dispositivo in figura transita una portata Q.034 e f3 = 0.5 2 (1 + 2) 3 = 49. f2 = 0.004 e Re2 = 17051 e /d3 = 0.0573 m/s. Soluzione Scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata tra A e B si ha 2 UA pA U2 pB + + ghA = B + + ghB + 2 ρ 2 ρ fi i li Ui2 + di 2 kj j Uj2 . /d1 = 0.6 l2 d2 D d3 θ A l3 K .04. .25 .2 0 .226 CAPITOLO 11. Per le perdite concentrate e distribuite risulta quindi kj j Uj2 U2 U2 = 0.038. UB = 4Q/(πd2 ) = 5. rispettivamente.0012 e Re1 = 5116. l1 A p d1 C .7295 m/s. si ottiene U2 = ossia in termini numerici U= 568.0013 si ipotizza dal diagramma di Mooa dy un valore per il fattore d’attrito f = 0. Questa tecnica. All’iterazione successiva con questi dati risultava f2 = 0. FORZE AERODINAMICHE ESEMPIO Il dispositivo in figura rappresenta un circuito di raffreddamento in cui entra acqua alla pressione pA a sinistra ed esce nell’ambiente dal rubinetto in B dopo aver attraversato il dispositivo da raffreddare schematizzato con una perdita di carico concentrata con K = 20.002 si ` ottenuto rispettivamente U1 = 3. variazioni del numero di Reynolds pi` piccole di alcune centinaia. Soluzione Dall’equazione di Bernoulli generalizzata scritta tra A e B. l3 227 l2 l1 A d R k=20 l4 l1 = 2 m l2 = 5 m l3 = 4 m l4 = 1 m R=3m d = 1.02 ` stato ottenuto dalla parte piatta della curva del diagramma e e di Moody.522 · 10−4 m3 /s = 0.56 1218. Con i dati a disposizione. rubinetto con k = 2.5 cm = 0. u 11.7 forze aerodinamiche Nella prima parte di questo capitolo abbiamo visto come la similitudine dinamica permetta di determinare delle grandezze di interesse per un problema mediante un esperimento in scala ridotta. Il valore f = 0. L’iterazione ` stata a questo punto fermata non potendo apprezzare.5 1/2 2[(pA − p0 )/ρ + g(R − l2 )] f i (li /d) + j kj Dal valore di rugosit` relativa /d = 0. non d` alcuna informazione sui meccanismi fisici presenti nel flusso e quindi a .02 di primo tentativo e.343 m/s e Re1 = 44772. pB = p0 ed hA − hB = R − l2 .552 l/s. risultando UA = UB = U . iterando nell’espressione sopra si ottiene U = 3. calcolare la portata d’acqua che smaltisce il circuito. manualmente e su un grafico logaritmico. Dal valore f1 = 0. anche se estremamente potente da un punto di vista quantitativo. e U2 = 3.125 m/s da qui si ricava la portata Q = U πd2 /4 = 5.026.125 m/s e Re2 = 41852.88f + 26.11.7.02 mm pA = 4 atm B tutti i diametri sono costanti. gomiti avvitati. . a Tra le varie quantit` fluidodinamiche le forze occupano un posto di particolare rilievo a in quanto da esse dipende sia il dimensionamento della struttura che il suo comportamento dinamico. Ci` ` partioe colarmente importante quando si voglia progettare un dispositivo con certe caratteristiche fluidodinamiche (per esempio un’automobile con basso coefficiente di resistenza) piuttosto che valutare il comportamento di un sistema gi` esistente. Per esempio.14) non ` praticae a e mente mai calcolabile per via analitica in quanto la conoscenza della funzione integranda presuppone la determinazione dei campi di pressione e velocit` nell’intorno del corpo che a a loro volta sono governati dalle equazioni di Navier–Stokes. Dallo schema di figura appare chiaro che se dS ` l’elemento infinitesimo di superficie e del corpo risulter` dF = (−pn + τ w )dS da cui per integrazione si ottiene a F= S (−pn + τ w )dS (11.pn τw dS U y θ S x Figura 11. nella progettazione di un ponte sopra un fiume si deve tener conto sia della forza che la corrente del fiume esercita sui piloni. sia della forza che eventuali raffiche di vento esercitano sulla struttura sovrastante. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI non permette di migliorare la comprensione fluidodinamica di un fenomeno. A dispetto della sua semplicit` l’espressione (11. In aggiunta. essendo queste forze non stazionarie bisogna anche evitare che le frequenze proprie del ponte siano vicine alle frequenze delle forze in quanto l’instaurarsi di fenomeni di risonanza pu` portare al collasso o della struttura anche per forze di modesta entit`.11: Schema di forze locali di pressione e viscose. a In generale preso un corpo di forma qualunque ed isolato un suo elemento di superficie si avr` che la forza sar` generata dall’azione della pressione che agisce normalmente alla a a superficie e dagli sforzi viscosi che invece agiscono tangenzialmente (figura 11.14) che ` la forza cercata.228 CAPITOLO 11. .11). La separazione dello strato limite si spiega facilmente ricordando che la velocit` tangenziale sul contorno del corpo calcolata secondo la teoria potenziale a e a ` uθ = 2U sin θ in cui U ` la velocit` della corrente all’∞ e θ la coordinata azimutale e misurata a partire dal punto di ristagno anteriore.12b mostra tuttavia che la viscosit` produce un evidente a fenomeno di separazione il cui effetto non si pu` confinare ad un sottile strato di fluido o adiacente al corpo. (b) flusso viscoso. (La zona marcata in rosso indica una bolla di ricircolazione con il flusso separato). In base all’equazione di Bernoulli si ha quindi una pressione decrescente (gradiente di pressione favorevole) per 0 ≤ θ ≤ π/2 ed una pressione crescente (gradiente di pressione sfavorevole) per π/2 < θ ≤ π.12b.12: Linee di corrente per il flusso intorno ad un cilindro: (a) flusso potenziale. Si osserva infatti che gi` per numeri di Reynolds O(50) lo strato a limite separa immediatamente a valle della sezione massima generando una scia vorticosa e non stazionaria. ` E intuitivo che un primo effetto della viscosit` ` quello di generare degli sforzi viscosi ae sulla superficie del cilindro che indurranno delle forze assenti nel caso potenziale. Nel caso reale le cose vanno in modo ben diverso come ` schematizzato e nella figura 11. FORZE AERODINAMICHE 229 Data l’impossibilit` di valutare esplicitamente la (11. Lo strato limite si trover` quindi nelle condizioni di separare a nella seconda met` del cilindro e poich´ parte dell’energia cinetica ` stata dissipata per a e e effetti viscosi gi` nella prima met` del cilindro la separazione si verifica inevitabilmente per a a numeri di Reynolds maggiori di circa 50. Il confronto tra le figure 11. a b Figura 11.11. Iniziamo con il ricordare che nel caso di flusso potenziale le linee di corrente sono come in figura 11.7.12a e che a causa della loro simmetria tra la parte frontale e quella posteriore del cilindro danno una risultante nulla delle forze di pressione.14) consideriamo allora come a semplice esempio il flusso intorno ad un cilindro circolare e cerchiamo almeno di vedere in che modo agiscono i due termini della funzione integranda ed in quali casi uno diventa preponderante rispetto all’altro. Questa espressione ci dice che il flusso esterno accelera tra θ = 0 e θ = π/2 mentre deve decelerare tra θ = π/2 e θ = π. La maggiore conseguenza di questa separazione ` e il mancato recupero della pressione a valle del cilindro che induce quindi una dissimmetria . nelle ipotesi di flusso potenziale le azioni tangenziali sono identicamente nulle da cui si conclude che il flusso esercita un sistema di forze a risultante nulla sul corpo (paradosso di d’Alembert).12a e 11. In aggiunta. infatti.14) risulta dominante rispetto a quello viscoso che per numeri di Reynolds sufficientemente elevati diventa trascurabile. Evidentemente. il termine u di pressione nella (11. per il cilindro. la diffusione di quantit` di moto dal flusso esterno all’interno a dello strato limite risulta molto pi` efficiente del caso laminare e. In questo a modo si riesce a diminuire la resistenza della palla che pu` quindi percorrere uno spazio maggiore. a a 4 . Cp(θ) 1 0 π/2 flusso potenziale π θ Re > 10 6 Re < 10 5 −3 Figura 11. Osservando la figura 11. questa dissimmetria produrr` una forza di pressione la cui risultante ` diretta come il flusso ed ` quindi una a e e forza di resistenza.14). con una maggiore u energia cinetica.13.13: Coefficiente di pressione per un cilindro bidimensionale: confronto tra flusso potenziale e flusso viscoso.230 CAPITOLO 11. lo strato limite riesce a risalire pi` a lungo la zona con gradiente avverso u 4 di pressione prima di separare (figura 11.13 potrebbe sembrare singolare il fatto che si ha un recupero di pressione maggiore nel flusso a Re > 106 rispetto al quello a Re < 105 . Questo comportamento ` dovuto alla transizione dello strato limite da laminare a turbolento. e pi` in generale per tutti i corpi tozzi. in e quest’ultimo caso. a parit` di quantit` di moto iniziale. rispetto o ad una con superficie liscia. Una realizzazione di laboratorio della fenomenologia appena descritta ` riportata in e Questo fenomeno ` ben noto ai costruttori di palle da golf i quali provocano artificialmente la trane sizione alla turbolenza dello strato limite mediante delle irregolarit` della superficie (dimples). FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI tra monte e valle come mostrato in figura 11. b) flusso turbolento. a) c) b) d) Figura 11. Questo a . Ricordiamo che il coefficiente di resistenza ` definito come e 2D (11.16 in cui ` riportato l’andamento del coefficiente di resistenza CD in funzione di e Re. rispettivamente. e e Nel primo tratto. per Re < 1 si ha il coefficiente di resistenza che diminuisce come Re−1 (CD 16π/Re) e quindi la resistenza D cresce linearmente con la velocit`. FORZE AERODINAMICHE 231 S S a) b) Figura 11.7.15: Visualizzazione sperimentale del flusso intorno ad una sfera a) flusso laminare.14: Schema di scia a valle di un cilindro bidimensionale: a) flusso laminare.15 dove si pu` notare le minore estensione della zona di separazione nel flusso o in regime turbolento rispetto al caso laminare.15) CD = ρU 2 S dove D ` il modulo della forza di resistenza ed S ` la superficie frontale del cilindro. I pannelli c) e d) riportano degli ingrandimenti delle zone. b) flusso turbolento. di separazione e di transizione. L’evoluzione con il numero di Reynolds di tutti i fenomeni descritti viene riassunta nella figura 11. figura 11.11. Da un punto di vista teorico questo comportamento pu` essere facilmente compreso o ricorrendo all’analisi dimensionale.17: Coefficiente di resistenza per una sfera.232 CAPITOLO 11. in questo regime (regime di Stokes) si ha quindi un semplice bilanciamento tra forze di pressione e forze viscose e la resistenza ` generata oltre che dalle azioni tangenziali anche dalla deformazione e del fluido intorno al corpo (che per bassi Re non ` pi` limitato ad uno strato sottile e u adiacente alla superficie stessa). FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI Figura 11. a . Figura 11. Per velocit` del flusso estremamente ridotte. infatti. comportamento ` tipico di tutti i flussi a numeri di Reynolds estremamente bassi e deriva e dal poter trascurare i termini inerziali nelle equazioni di Navier–Stokes.16: Coefficiente di resistenza per un cilindro bidimensionale. ossia D = C. il coefficiente di 0. a parte pochissime eccezioni. tutte le applicazioni pratiche si trovano in questa condizione che implica un elevato dispendio di energia per mantenere lo stato di moto.16) essendo S = Ad2 (con A costante dipendente dal particolare corpo) e C = C/A: questa relazione rispetta l’andamento trovato nel primo tratto della curva in figura 11. Se un corpo. Per Re > 106 tuttavia. le forze prodotte da questi ultimi.11. FORZE AERODINAMICHE 233 non solo gli effetti della comprimibilit` ma anche quelli inerziali sono ininfluenti e per la a resistenza D del cilindro si pu` porre D = f (U. 5 6 Per 5 · 10 ≤ Re ≤ 10 si verifica una brusca diminuzione del coefficiente di resistenza dovuto alla transizione da regime laminare a turbolento precedentemente discussa. Il teorema di Buckingham ci dice o che questa relazione deve essere governata da un solo parametro adimensionale. In base alla definizione (11. Questa caratteristica ` comune a tutti i flussi e intorno a corpi tozzi in cui si generano intensi gradienti sfavorevoli di pressione. Bisogna notare che il valore specifico di C dipende dal corpo considerato (per esempio per un 16π/Re e quindi C 8π mentre per una sfera risulta CD = 24/Re cilindro si ha CD e ossia C = 12) al contrario l’andamento CD ∼ 1/Re ` caratteristico di tutti i flussi a numeri di Reynolds minori o uguali all’unit` (flussi di Stokes).6) e la resistenza ricoresistenza si attesta nuovamente ad un valore costante (CD 2 mincia a crescere come U . in termini di coefficiente di resistenza CD . Vale la pena di notare che durante la transizione si ha una cos` brusca diminuzione del CD che ı persino la resistenza D diminuisce lievemente. tuttavia sono di entit` pi` modesta rispetto a u . ` affusolato i gradienti di pressione saranno pi` deboli ed i e u fenomeni di separazione possono essere generalmente evitati. Purtroppo.15) un coefficiente di resistenza costante implica una resistenza u che cresce con U 2 e quindi molto pi` rapidamente che nel caso precedente. CD = D 1 ρU 2 S 2 = 2CµdU 2C = . Un tipico esempio di corpo affusolato ` il profilo alare in cui la resistenza ` quasi totalmente generata dagli sforzi e e viscosi. Nel flusso intorno ad un cilindro si pu` affermare che la forza di resistenza ` generata o e essenzialmente dalla distribuzione di pressione sul corpo a sua volta determinata dai fenomeni di separazione dello strato limite.16. ρU 2 S Re (11.7. un secondo tratto interessante ` quello in cui il numero e 4 5 e di Reynolds ` compreso tra 2 · 10 e 3 · 10 dove il CD ` costante e vale circa 1. Il comportamento del cilindro bidimensionale ` caratteristico di tutti i corpi tozzi per e alcuni dei quali vengono riportati in tabella alcuni coefficienti di resistenza per il flusso in regime di turbolenza sviluppata (figure 11. µdU o. d. In e questo tratto i fenomeni di separazione sono ormai completi e la resistenza di pressione d` il contributo dominante alla resistenza totale. µ). al contrario. consistentemente il CD rimane costante a anche se con l’aumentare del numero di Reynolds aumentano gli sforzi viscosi alla parete.16. a Tornando alla figura 11.20).18–11.2. . comunque. In e u particolare si osserva che al crescere di α non si ha un aumento indefinito del cL ma dopo una valore limite dell’angolo di incidenza si ha un crollo improvviso del cL ed un brusco o aumento del cD . FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI alle forze di pressione e.234 CAPITOLO 11. Ci` si verifica quando si ha il distacco dello strato limite dal corpo che.23). si comporta come un corpo tozzo (vedi figura 11. Questa forza viene prodotta quando la distribuzione di pressione sulla superficie del corpo non ha simmetria rispetto ad un piano orizzontale e pu` essere quindi prodotta da corpi o asimmetrici oppure da corpi simmetrici disposti asimmetricamente rispetto alla direzione della corrente. L’andamento di figura 11. Questa condizione ` e detta di stallo ed ` particolarmente indesiderata nei velivoli in quanto viene bruscamente e a mancare la forza di sostentamento a fronte di un forte aumento di resistenza. ` E intuitivo immaginare che detto α l’angolo di incidenza di un profilo rispetto alla corrente. al crescere di α crescer` il coefficiente di portanza cL (in quanto aumenta la a dissimmetria delle pressioni tra le superfici superiore ed inferiore) ma aumenter` anche a e il coefficiente di resistenza cD (perch´ aumenta la superficie frontale nella direzione ortogonale al flusso). La distribuzione di pressioni su un corpo. ρU 2 S per il quale possono essere applicati tutti i risultati della similitudine dinamica. il profilo in figura con dimensione trasversale 10d ha lo stesso coefficiente di resistenza di un cilindro circolare di diametro d. dei corpi affusolati.22 ` caratteristico dei profili alari e. non genera solo forze di resistenza ma anche una forza ortogonale alla direzione della corrente detta portanza L. per fare un esempio. Analogamente alla resistenza anche per la portanza si pu` definire un suo o coefficiente cL = 2L . in pratica. Per i profili alari ` usuale riportare in un unico grafico i coefficienti e di resistenza e di portanza ponendo l’angolo di incidenza come parametro. pi` in generale. e . FORZE AERODINAMICHE ESEMPIO Una sfera d’acciaio di diametro d precipita in acqua alla velocit` U .446 m/s.7. =⇒ CD = 0.775 m/s Soluzione Dal bilancio tra spinta di Archimede e forza peso in acqua si ha 4 d3 1 d2 π (ρF e − ρH2 O )g = ρH2 O U 2 π CD .11.4. 3ρHg CD 235 (la sfera si muove verso l’alto). Con quale a velocit` ‘precipiterebbe’ la stessa sfera immersa nel mercurio? a ρf e = 7800 Kg/m3 ρhg = 13600 Kg/m3 d = 15 cm U = 5. I numeri di Reynolds sono in entrambi i casi > 3 · 105 ed il CD ` approssimativamente indipendente dal Reynolds. 3 8 2 4 Da una relazione analoga per il mercurio U =− 4dg(ρF e − ρHg ) = −1. 273 N. Utilizzando tutte le relazioni precedenti per le velocit` U1 ed U2 ed a osservando che. 3 2 2 f c1 = A · P 1 . D = a 1 2 ρU ScD .96 l/h.236 CAPITOLO 11. in regime turbolento il coefficiente di resistenza diventa indipenU3 3 3 P2 = 1 ρU2 ScD = P1 U2 . essendo A una o costante. rispettivamente. a . FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO Una vettura procede in autostrada alla velocit` U1 impiegando una potenza a P1 con un consumo di carburante f c1 . Per la velocit` a 1 3 1 3 U3 Pmax = ρUmax ScD = P1 max =⇒ Umax = U1 3 2 U1 P1 = 159 Km/h. quale sar` il consumo di carburante alla velocit` U2 ? Se il motore a a e a pu` erogare una potenza massima Pmax . P = DU = 1 ρU 3 ScD . quale ` la velocit` massima raggiungibile o dall’automobile? f c1 = 4. Assumendo trascurabili tutti i fattori tranne quelli aerodinamici e che il consumo di carburante varii linearmente con la potenza. la spinta del motore bilancer` la a a resistenza aerodinamica (abbiamo supposto tutti gli altri fattori trascurabili) si avr` quindi per la resistenza D e la potenza P . massima infine Pmax f c2 = A · P2 = f c 1 P2 P1 = U3 f c 1 U2 3 1 1 = 22.41 l/h Pmax = 9.5P1 U1 = 75 Km/h U2 = 130 Km/h Soluzione Se la vettura procede a velocit` costante. orza aggiuntiva verso il basso sar` Fy = −588. e dente dal Reynolds si ottiene: P1 = 1 ρU1 ScD . Avendo assunto il consumo di carburante 2 2 linearmente dipendente dalla potenza si pu` porre f c = A · P . 7.25 Kg/m.5 · 10−5 m2 /s U2 = 90 m/s Re 104 105 106 107 Soluzione Noti U1 .2 e 2 dall’espressione D1 = ρU1 ScD1 /2 si ricava ρS = 0. calcolare il valore della resistenza quando la a velocit` del fluido ` U2 .6 0.8 0. FORZE AERODINAMICHE ESEMPIO Un corpo ha un andamento del coefficiente di resistenza con il numero di Reynolds come riportato in figura.35.2 1. Dal valore di U2 si calcola quindi Re2 = 1. Il valore di D2 risulta 2 quindi D2 = ρU2 ScD2 /2 = 354.4 0. Il corpo ha una dimensione caratteristica L e.25 m U1 = 3 m/s D1 = 1. a e CD 1.2 237 L = 0. fornisce un valore di resistenza D1 . quando viene investito da una corrente a velocit` U1 . .5 · 106 e dal grafico cD2 = 0.0 0.375 N. a Sapendo che il fluido ha viscosit` ν. L e ν si ricava Re1 = 50000 per cui dal grafico si ha cD1 = 1.35 N ν = 1.11. ρg = 920 Kg/m3 la densit` del ghiaccio S = πR2 ed a a R il raggio della sfera. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO La formazione dei chicchi di grandine ` dovuta a correnti ascensionali all’interno e delle nubi che consentono il continuo accumulo di ghiaccio intorno ad un nucleo fino a quando il peso proprio del singolo chicco diventa troppo grande e cade al suolo. per CD1 = 0.4 per 103 ≤ Re ≤ 2·105 ed il secondo CD2 0.35 cm mentre per CD2 = 0. dal bilancio tra resistenza. . quanto pu` valere il diametro di o un chicco di grandine? Fare tutte le assunzioni ritenute necessarie e giustificarle. per un chicco di grandine supposto sferico risulta 4 1 ρa U 2 SCD = πR3 g(ρg − ρa ) 2 3 con ρa la densit` dell’aria.7 cm ` quella giusta.2 fornisce R1 = 1.7 cm. Dall’espressione sopra si ricava R= 3ρa U 2 CD 8g(ρg − ρa ) che.4 risulta R2 = 2. quindi. Per i numeri di Reynolds risulta invece Re1 = 64800 e Re2 = 129600 la e seconda soluzione. D’altra parte. Per un vento ascensionale di 130 Km/h.2 per Re > 5 · 105 .238 CAPITOLO 11. peso e spinta di Archimede. Soluzione L’andamento del coefficiente di resistenza CD per una sfera in funzione del numero di Reynolds presenta due “plateau”: il primo CD1 0. R2 == 2. 7. FORZE AERODINAMICHE 239 Figura 11.11.18: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma. . .19: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI Figura 11.240 CAPITOLO 11. .7.20: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma.11. FORZE AERODINAMICHE 241 Figura 11. 2 1.06 .0 .8 .4 1.08 . FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI d a) b) 10d Figura 11.23: Visualizzazione sperimentale delle linee di corrente intorno ad un profilo alare bidimensionale (NACA 0012) a basso ed alto angolo di incidenza.21: Il coefficiente di resistenza per un cilindro bidimensionale di diametro d e per un profilo alare di spessore 10d sono circa uguali. 1.02 CD 1. α=0o α>15o Figura 11.22: Esempi di portanza a) e resistenza b) in funzione dell’angolo di incidenza per un corpo affusolato.6 .242 CAPITOLO 11.10 . e polare del profilo c).4 .6 .14 .12 .4 .04 .12 . .2 0 CL .0 .02 .8 .10 .08 .06 .04 .14 CD c) Figura 11.4 1.2 CL 2 4 6 8 10 12 14 16 18 α 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 a) α b) .2 1. .11.7. b) corpo simmetrico disposto asimmetricamente nella corrente.24: Esempi di corpi in grado di generare portanza: a) corpo asimmetrico. FORZE AERODINAMICHE 243 L L U U a) b) Figura 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI .244 CAPITOLO 11. 1 245 . etc. densit` etc. in modo statisticamente a a significativo. a In questo capitolo verranno brevemente accennati alcuni di questi fenomeni lasciandone l’analisi pi` approfondita ai testi specializzati di gasdinamica. densit`. Ci` implica che una perturbazione o applicata in un punto di un fluido si propaga al suo interno a causa degli urti caotici tra le molecole e giunge in un altro punto solo dopo un tempo finito che dipende dalla frequenza delle collisioni tra molecole e quindi dalla temperatura del fluido stesso. perdiamo l’identit` delle singole a molecole ma manteniamo il concetto di velocit` finita di propagazione dei disturbi.3 e e i fenomeni associati alla comprimibilit` si possono trascurare. questa assunzione tuttavia a cessa di essere valida per i flussi ad ‘alta velocit`’ o pi` in generale quando si voglia tenere a u conto degli effetti di velocit` di propagazione finita delle perturbazioni. sezione S a √ S. nel quale ` presente del fluido.1 propagazione di piccole perturbazioni e velocit` a del suono Per comprendere in modo pi` intuitivo il motivo per cui le perturbazioni si propagano u nei fluidi con velocit` finita conviene per un istante ricordare che una particella fluida ` a e 1 in realt` composta da un elevatissimo numero di molecole in continua collisione tra loro a in quanto animate da un moto di agitazione termica.Capitolo 12 ∗ Cenni sui flussi comprimibili Nei capitoli precedenti abbiamo visto che in molte applicazioni pratiche la dinamica dei flussi si pu` considerare incomprimibile anche se il fluido in questione ` un gas. Se ora ritorniamo al nostro modello di fluido continuo. quindi a delle perturbazioni di temperatura. con L Ricordiamo infatti che l’ipotesi di continuo si basa sul fatto che dei volumi di fluido di dimensioni ı ‘infinitesime’ rispetto alle dimensioni caratteristiche del flusso [O(µm3 )] contengono sempre un cos` elevato numero di molecole da poter definire velocit`. Ad un’estremit` del condotto ` posto un e a e . In partio e colare ` stato accennato che se il numero di Mach ` approssimativamente minore di 0. a Per calcolare tale velocit` supponiamo di avere un condotto di lunghezza L. temperatura. u 12. non saranno avvertite istantaneamente a ovunque ma viaggeranno con una velocit` propria a. Isolando una regione di fluido a cavallo dell’onda di compressione t 3> t 2 . In tale volume si avr` quindi e a un aumento di densit`.1 si vede che nell’intervallo [t1 . Per esempio. t2 ] le particelle inizialmente contenute nel volumetto di controllo tratteggiato sono ancora rimaste al suo interno (in quanto la perturbazione di velocit` non si ` ancora propagata oltre tale a e volumetto) mentre ` diminuito lo spazio a loro disposizione. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI a pistone che al tempo t1 = 0+ inizia a muoversi con una velocit` infinitesima dU spostando il fluido adiacente alla parete del pistone nella direzione del moto (che supponiamo verso destra).1: Moto del fluido all’interno di un tubo in conseguenza della partenza impulsiva di un pistone. a Dopo un tempo t2 = t1 + dt il pistone si sar` spostato trascinando nel suo moto le particelle fluide immediatamente adiacenti e modificandone le loro variabili di stato. pressione e temperatura oltre che di velocit`. a a a Per un tempo t3 > t2 (figura 12.1c) il fronte della perturbazione si sar` spostato ulteriormente verso destra accrescendo la regione di fluido interessata dall’azione di compressione del pistone.246 CAPITOLO 12. t1= 0+ dU a) t2 > t1 dU b) dU c) Figura 12. riferendoci alla figura 12. 1) e (12.1) ρa = ((ρ + dρ)(a − du).3) (12.1) Osserviamo ora che. essendo la variazione di velocit` del pistone infinitesima. si pu` a o considerare con buona approssimazione la trasformazione ` isentropica.2: a) Stato del fluido a monte e valle dell’onda di compressione. dopo aver sostituito dalla (12. PROPAGAZIONE DI PICCOLE PERTURBAZIONI E VELOCITA DEL SUONO247 si ha la situazione riportata in figura 12.2) (12.2a. Applicando quindi il bilancio della quantit` di moto al volume di controllo risulta: a ρa2 S − (ρ + dρ)(a − du)2 S + pS − (p + dp)S = 0. Pertanto risulta e che la velocit` del suono ` calcolata dall’espressione: a e a= ∂p ∂ρ S . Se tuttavia si riconsidera la stessa configurazione in un riferimento solidale all’onda (ossia si somma al flusso una velocit` pari ad a e diretta verso sinistra) si ottiene una sia tuazione stazionaria che pu` essere facilmente analizzata utilizzando il volume di controllo o indicato dalla linea tratteggiata in figura 12.2b. a u2 = du p2 = p+dp T2 = T+dT ρ2 = ρ+dρ a u1 = p1 = T1 = ρ1 = 0 p T ρ u2 = -a+du p2 = p+dp T2 = T+dT ρ2 = ρ+dρ S u1 = p1 = T1 = ρ1 = -a p T ρ a) b) Figura 12. e mettendo a sistema le equazioni (12.3) si ha: adρ = ρdU ⇒ ρadu = dp dp du = adρ ρ ⇒ a2 = . situazione chiaramente non stazionaria data la velocit` di propagazione a dell’onda. che. diventa ρadu = dp. Dall’equazione di conservazione della massa in forma integrale per flussi stazionari si ottiene: ρaS = (ρ + dρ) (a − du) S. b) la stessa situazione precedente in un riferimento solidale all’onda. che esplicitata e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si scrive adρ = ρdu. ρadu = dp dρ (12.1.` 12. 5J/(KgK) R = 277.666 γ = 1.15 · 109 N/m ρ = 680Kg/m3 ρ = 13600Kg/m3 ρ = 1000Kg/m3 a = 1382m/s a = 1447m/s a = 1581m/s Nel caso particolare in cui il fluido in questione sia un gas perfetto. definito dalla seguente relazione: E ∂p = ∂ρ ρ si ha quindi: E .666 γ = 1.45m/s a = 337. Argon Elio Aria Aria γ = 1.85 · 1010 N/m E = 2. Da questa espressione si nota che la velocit` del suono in un gas dipende dalla natura del a gas attraverso γ ed R e dalla sua temperatura.4 R = 207.16m/s a = 557.248 CAPITOLO 12. ogni incremento di velocit` dar` luogo ad a a . questa espressione conferma la descrizione intuitiva data all’inizio di questo capitolo secondo cui la propagazione di un disturbo in un gas ` dovuto all’interazione successiva delle sue molecole attraverso le collisioni indotte e dal moto di agitazione termica.3 · 109 N/m E = 2. a= Benzina Mercurio Acqua E = 1.4 γ = 1.78m/s a = 1005.13J/(KgK) T T T T = 293K = 293K = 293K = 800K a = 246. In base a quanto appena visto. nella seguente tabella vengono riportati alcuni esempi. ργ la velocit` del suono per gas perfetto: a p =C ργ p = RT ρ p = RT. ρ I valori di E sono riportati nelle tabelle da cui si possono ricavare i valori di velocit` di a propagazione delle piccole perturbazioni. ρ ∂p ∂ρ = Cγργ−1 ∂p γ ⇒ = Cργ = γRT ⇒ a = p = RT ∂ρ ρ ρ γRT . si pu` ricavare o dalle relazioni per una trasformazione isentropica e l’equazione di stato: p = C. e Introducendo il modulo elastico del fluido.13J/(KgK) R = 277.85J/(KgK) R = 2078. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI che ` valida per qualsiasi fluido che subisce una trasformazione isentropica.12m/s Supponiamo ora che la velocit` del pistone subisca pi` incrementi infinitesimi dU in a u successione. Nella seguente tabella si riportano a titolo di esempio le velocit` del suono per alcuni a gas e per differenti temperature. t1 a) a1 t2 > t1 a2 a3 b) a1 t3 > t2 a2 a3 a c) Figura 12. Se infatti il pistone si muovesse verso sinistra.1. si ha che. inizierebbe la √ propagazione a destra di un’onda di espansione con velocit` a1 = γRT . Un altro fatto interessante ` che la fenomenologia non ` simmetrica per un moto e e del pistone verso sinistra. u a ` interessante notare che questo si propagher` con una velocit` maggiore di quella del e a a suono a quella temperatura un quanto la velocit` dell’urto ` maggiore di quella della a e prima onda di compressione.3: Coalescenza di onde di compressione generate ad istanti successivi. Ci` implica che. essendo T la a . Chiaramente la coalescenza a di pi` perturbazioni di ampiezza infinitesima dar` luogo ad un disturbo finito detto urto. PROPAGAZIONE DI PICCOLE PERTURBAZIONI E VELOCITA DEL SUONO249 un’onda di compressione la cui velocit` dipende dalle condizioni termodinamiche del fluido a in cui si propaga.3). ogni onda si propaga in un fluido preriscaldato dall’onda che la precede e quindi con una velocit` maggiore dell’onda che insegue e minore a dell’onda che precede (figura 12. dopo un tempo finito la coda del o treno di onde raggiunger` la testa dando luogo ad un’unica perturbazione che si muove con a una velocit` intermedia tra quella delle singole perturbazioni. Osservando che in ogni compressione il fluido subisce un incremento di temperatura.` 12. dopo la prima. tale profilo soddisfa la condizione di aderenza alla parete mentre. Notiamo a margine che in un modello di flusso senza termini viscosi la condizione di aderenza non pu` essere soddisfatta alle pareti dove invece il vettore velocit` ` tangeno ae te al contorno. Questa condizione implica che il condotto abbia una sezione lentamente variabile ossia che le pareti formino un angolo piccolo con l’asse x. rendendo sufficiente la sola conoscenza della velocit` media per caratterizzare a il flusso.2 Flusso quasi unidimensionale Dato un flusso all’interno di un condotto si avr` in generale che le sue variabili saranno a funzione delle coordinate spaziali e del tempo. rendendo trascurabile tanto l’effetto dei termini viscosi quanto e gli scambi di calore e permettendo quindi l’uso del modello di fluido perfetto. Descriviamo quantitativamente il flusso quasi unidimensionale partendo dalle equazioni di conservazione della massa. Questa eventualit` ` peralı ae tro preclusa dal secondo principio della termodinamica in quanto un urto di espansione comporterebbe una variazione di entropia negativa. fuori dallo strato limite. tuttavia. Per esempio. ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 ∂t ρ ρ ∂u µ + u∇ · u = −∇p + ∇ (∇ · u) + µ∇2 u + ρf ∂t 3 ∂E + u∇E ∂t = −u∇p + µΦ + ρq + ∇ · (k∇T ) + u · f . la lunghezza di tali condotti ` limitata. u a Ci` implica che un treno di onde di espansione inizialmente equispaziate tenderebbe semo pre di pi` a distanziarsi in quanto la ‘testa’ si propaga a velocit` maggiore rispetto alla u a ‘coda’ precludendo cos` la formazione di ‘urti di espansione’.4 la componente u di velocit` lungo l’asse del condotto avr` un profilo come a a quello rappresentato con la linea tratteggiata. un’onda di espansione successiva u √ si dovrebbe quindi propagare in un fluido pi` freddo con una velocit` a2 = γRT2 < a1 . In un condotto a sezione variabile ci` comporta la generazione di una o componente di velcocit` v ortogonale all’asse del condotto e se vogliamo che v risulti traa scurabile rispetto ad u deve essere v = u tan α ≈ uα = udh/dx u ossia dh/dx 1. nella geometria a sezione variabile come quella di figura 12. In qualche caso. . della quantit` di moto e dell’energia scritte in forma a differenziale. ` possibile che e la dipendenza da alcune direzioni spaziali e dal tempo si possa trascurare semplificando notevolmente il problema. ha la distribuzione piatta caratteristica dei flussi turbolenti. Se il regime di flusso permane turbolento lungo tutto il condotto il profilo di velocit` si pu` ragionevolmente assumere simile lungo tutta la lunghezza del a o condotto. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI temperatura del fluido indisturbato. questi argomenti rientrano tuttavia nell’ambito della gasdinamica e vengono lasciati ai testi specializzati. Il passaggio di quest’onda lascerebbe a valle un fluido espanso e quindi pi` freddo a temperatura T2 = T − dT . inoltre (specialmente quelle aeronautiche). 12.250 CAPITOLO 12. In molte applicazioni. 4: Schema di condotto a sezione variabile con un flusso quasi monodimensionale. e che la produzione interna di calore risulti nulla q = 0 le equazioni di conservazione diventano: ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 ∂t ρ ρ ∂u + u∇ · u = −∇p ∂t ∂E + u∇E ∂t = −u∇p. su un volume di controllo V di superficie S. (figura 12. Se supponiamo che il flusso sia non viscoso: µ = 0 ed anche termicamente non conducente ∇ · (k∇T ) = 0. In forma integrale.2. che le forze di volume siano trascurabili f = 0. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE 251 α v u1 y h(x) u2 x u Figura 12.4) la conservazione della massa assume la forma V ∂ρ dV + ∂t S ρu · ndS = 0 ossia ∂ ∂t ∂ ∂t x2 x1 V ρdV = − S ρu · ndS ρu · ndS S x2 x1 ρdS dx = − ρSdx = − S ∂ ∂t S ρu · ndS .12. 1 essendo ρ = S S ρdS la densit` media sulla sezione. e ∂ ∂t x2 x1 ρSdx = − [(ρ · uS)2 − (ρ · uS)1 ] x x1 x2 ∂ ∂ x2 ρSdx = − (ρ · uS) dx ∂t x1 x1 ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ (ρS) + (ρ · uS) dx = 0 ⇒ (ρS) + (ρ · uS) = 0. notando che u ` la componente lungo l’asse del condotto del vettore u. Dt ∂x S dx . in quest’ottica quindi il prodotto ρu diventa: ρu = (ρ + δρ) (u + δu) = ρu + δρδu + uδρ + ρδu.5: Bilancio su un volume di controllo in un condotto a sezione variabile. a Sia la densit` che la velocit` sono grandezze non costanti in y che possono essere a a scomposte nella somma di due contributi dei quali uno rappresenta il valore medio e l’altro ne rappresenta lo scostamento.252 CAPITOLO 12. Se ora si suppone che gli scostamenti rispetto alla media siano notevolmente pi` piccoli u della media stessa si pu` porre: o ρu = ρ u da cui ne consegue per la conservazione della massa ∂ x2 ρSdx = − ρu · ndS ∂t x1 S oppure. ∂t ∂x ∂t ∂x Introducendo la derivata materiale D/Dt = ∂/∂t+u∂/∂x (indicata con D per distinguerla da quella con la velocit` u) l’equazione di conservazione della massa si pu` scrivere come: a o Dρ ∂u ρ · u dS +ρ + = 0. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI Sl dh 1 dS dx = 2 dx S1 2h(x) u1 x1 p V dx S2 u2 x2 y x Figura 12. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE 253 Procediamo ora in modo analogo per il bilancio della quantit` di moto in forma integrale: a ∂ (ρu) dV + ∂t ρuu · ndS + pndS = − s2 s1 (bp sin α) ds V S S x2 ∂ dx (bp sin α) (ρu) dV + ρuu · ndS + pndS = − cos α V ∂t S S x1 in cui il termine a secondo membro ` la reazione vincolare (di pressione) data dalla e superficie laterale del condotto.12. diventa ∂u ∂u ∂p +u =0 ρ + ∂t ∂x ∂x In modo del tutto analogo si pu` trattare l’equazione dell’energia che diventa o ∂ u2 u2 p ∂ ρ e+ S + ρSu e + + ∂t 2 ∂x 2 ρ =0 (12. e a Notando inoltre che α ` piccolo si ha tgα = sinα = α = dh e considerando che S = 2hb e dx 1 risulta dh = 2b dS da cui dx dx V ∂ (ρu) dV + ∂t S ρuu · ndS + S pndS = − x2 x1 2bp − 1 dS dx 2b dx ossia x2 x1 ∂ (ρSu) dx + ∂t x2 x1 ∂ ρSu2 dx + ∂t x2 x1 ∂ (pS) dx − ∂t x2 x1 p ∂S dx = 0 ∂x ∂ ∂ ∂ ∂S ρSu2 + (ρSu) + (pS) − p ∂t ∂t ∂t ∂x ∂ ∂ dS (ρSu) + =0 ρ · u2 + p S − p ∂t ∂x dx ∂ che. . b ` la sua profondit` nella direzione ortogonale al foglio.2. tenendo conto del’equazione di conservazione della massa scritta come S ∂ρ + ∂x (ρ · uS) = ∂t 0. calcolando il termine S dS dall’equazione della conservazione della massa scritta in dx forma di derivata materiale dall’equazione dell’energia si ottiene : De D +p Dt Dt 1 ρ =0⇔ Ds =0 Dt Quest’ultima equazione indica che il flusso ` isentropico cio` che l’entropia di ogni e e particella non cambia lungo la sua traiettoria. tenendo conto dell’equazione della conservazione della massa e quella della quantit` di a moto. De ∂u u · p dS ρ +p + =0 Dt ∂x S dx 1 Infine.4) e. 6) a moltiplicata per u u2 p d + e+ dx 2 ρ =0 (12.11) ρ u S Mettendo a sistema la relazione (12.10) ricava una relazione differenziale tra la densit` del fluido.5) moltiplicata per E e la (12.5) (12. utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti p/ρ = RT e la definizione di velocit` a 2 del suono a = γRT . la velocit` del flusso ed il numero di Mach a a . ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI Per allegerire la notazione.6) d dS ρu2 + p S − p =0 dx dx Se moltiplichiamo l’equazione (12. da ora in poi ometteremo il simbolo · per denotare le quantit` mediate. Le relazioni appena trovate possono essere sfruttate in modo semplice per trovare l’andamento di grandezze fluidodinamiche e termodinamiche all’interno del condotto al variare della sua sezione. (12. se facciamo l’ulteriore ipotesi che il flusso sia stazionario le equazioni a di conservazione si semplificano in d (ρSu) = 0 dx =⇒ ρSu = cost (12.5) per u e la sottraiamo alla (12.8) Una forma utile dell’equazione di conservazione dell’energia si ottiene dalla (12.6) ρSu du dp +S =0 dx dx =⇒ u du 1 dp + =0 dx ρ dρ (12.254 CAPITOLO 12. Per flusso isentropico si ha pρ−γ = C e differenziando entrambi i membri si ha dp + p (−γ) ρ−γ−1 dρ = 0 ργ dp dρ =γ p ρ dp = γp dρ ρ e.8) con la seconda delle (12. dp = γRT dρ dp = a2 dρ (12.7) quindi l’equazione della quantit` di moto in forma differenziale si scrive: a udu + dp =0 ρ (12. ossia con energia costante ovunque e non solo lungo una linea di corrente.9) che sancisce la natura omoenergetica del flusso.4) nell’ipotesi di stazionariet` dopo avere sottratto la (12.10) L’equazione di conservazione della massa ` ρuS = C e dalla differenziazione logarite mica si ottiene dρ du dS + + = 0. dρ ρ = γ dρ dp M 2 dS ρ ⇒ = −γ 2 2 dS M = − M 2 −1 S p M −1 S dp p differenziando l’equazione di stato dei gas perfetti risulta che dp + dρ − dT = 0 p ρ T che accoppiata all’equazione differenziale dell’isentropica. dp = γ dρ . FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE dp = a2 dρ dρ u ⇒ = − 2 du dp udu + ρ = 0 ρ a 255 ⇒ dρ du = −M 2 ρ u Sostituendo l’ultima delle precedenti nella (12.fornisce la seguente p ρ relazione: dT dρ = (γ − 1) T ρ dT du = − (γ − 1) M 2 T u dT M 2 dS = − (γ − 1) 2 T M −1 S Ricapitolando le equazioni ricavate sono: . a dal sistema dell’equazione precedentemente trovata con l’equazione di conservazione della massa ricaviamo l’equazione differenziale tra la velocita del flusso e la sezione sulla quale viene la velocit` ` calcolata ed il numero di Mach ae dρ ρ dρ ρ = −M 2 du du dS u ⇒ 1 − M2 =− du dS + u + S =0 u S 1 dS du = 2 (12.12.2.12) u M −1 S il legame tra densit` e sezione sulla quale ` calcolata e il numero di Mach si trova dal a e seguente sistema dρ ρ du u = −M 2 du dρ M 2 dS u =− 2 dS ⇒ 1 = M 2 −1 S ρ M −1 S Differenziando l’equazione dell’isentropica abbiamo visto che dp = γ dρ e dal seguente p ρ sistema troviamo la relazione tra pressione e sezione e numero di Mach.11) si ottiene la relazione tra variazione di velocit` e variazione di sezione il cui comportamento dipende dal numero di Mach. dT < 0.256 CAPITOLO 12. dp < 0 dS < 0 → du < 0.13) M >1⇒ Il fenomeno pi` interessante da notare ` che in base all’equazione (12.12 e 12. in un condotto a sezione variabile pu` avvenire solo in corrispondenza o di una gola dove dS = 0. dT > 0. dp > 0 dS < 0 → du > 0.12) la velocit` u e a di un flusso reagisce in modo opposto alle variazioni di sezione e seconda che il numero di Mach sia maggiore o minopre di 1.5).13) e mentre per M < 1 le variazioni di velocit` superano quelle di densit` nei flussi supersonici accade a a il fenomeno opposto. M <1⇒ dS > 0 → du < 0. ossia il flusso accelera se la sezione a del condotto diminuisce mentre decelera se la sezione si allarga. dT > 0. in corrispondenza di M = 1 si o avrebbero variazioni infinite di tutte le quantit` indicando l’impossibilit` di far avvenire a a il fenomeno. dp > 0 (12. Al contrario. In particolare se il flusso ` subsonico (M < 1) per e una dS negativa si avr` una du positiva e viceversa. dp < 0 dS > 0 → du > 0. . L’ultima questione che si vuole brevemente menzionare ` la variazione di alcune grane dezze lungo l’asse di un condotto a sezione variabile nel caso in cui valgano le equazioni (12. dT < 0. dρ < 0. (12. Un’altra importante osservazione ` che la transizione di un flusso da subsonico a supere sonico o viceversa.9). dρ < 0. dρ > 0. dρ > 0. Se infatti ci` non accadesse. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI du 1 dS =− 2 u M −1 S dT du M 2 dS = − (γ − 1) M 2 = (γ − 1) 2 T u M −1 S M 2 dS du dρ = −M 2 = 2 ρ u M −1 S dp du M 2 dS = −γM 2 =γ 2 p u M −1 S Analizziamo la variazione delle grandezze temodinamiche al variare della sezione di un condotto attraversato da due tipi di flusso uno subsonico e l’altro supersonico. se il flusso ` supersonico (M > 1) variazioni di sezione e di velocit` avranno segno concorde e quindi e a il flusso accelera se la sezione cresce in x e decelera se la sezione si riduce. Il motivo di tale comportamento ` dovuto al fatto che velocit` e densit` si comportano in modo e a a opposto rispetto alle variazioni di sezione (confronta le equazioni 12.7) e (12. e a In forma equivalente.2.15) 2 e dove T0 ` detta temperatura totale e misura l’energia totale del sistema. Bisogna notare che la relazione sopra costituisce anche una definizione della temperatura totale che pu` essere calcolata indipendentemente dal fatto che nel condotto si verifichi o meno la o condizione u = 0 in qualche sezione. a2 + 1 1 1 .14) e.15 assume la forma u2 T0 1 =1+ T1 2cp T1 γ − 1 u2 T0 1 =1+ T1 2 RγT1 T0 γ − 1 u2 1 =1+ T1 2 a2 1 γ−1 2 T0 =1+ M1 T1 2 se il flusso ` isentropico valgono le relazioni: e p0 T0 = p1 T1 γ γ−1 γ−1 2 = 1+ M1 2 γ γ−1 γ − 1 2 γ−1 ρ0 T0 γ−1 = = 1+ M1 ρ1 T1 2 con le quali ` possibile definire la pressione e densit` totali del flusso. (12. se in particolare si ha una sezione in cui la velocit` ` nulla si ottiene ae u2 cp T1 + 1 = cp T0 . FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE 257 Ricordando che l’entalpia per un gas perfetto ` h = e+p/ρ = cp T con il calore specifico e γR a pressione costante pari a cp = γ−1 riscriviamo l’equazione di conservazione dell’energia tra due generiche sezioni del condotto ottenendo: cp T + u2 2 = cp T + 2 u2 2 . 1 (12.12. utilizzando la definizione cp = γR/(γ − 1) ed introducendo la velocit` del suono si pu‘øporre l’equazione di conservazione dell’energia nella forma a γRT1 u2 γRT2 u2 + 1 = + 2 γ−1 2 γ−1 2 a2 u2 a2 u2 1 2 + 1 = + 2 γ−1 2 γ−1 2 (γ − 1) 2 (γ − 1) 2 u1 = a 2 + u2 2 2 2 e nuovamente ` possibile definire la velocit` del suono totale a0 ponendo in qualche sezione e a u = 0. Con qualche trasformazione la relazione 12. ∗ CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI .258 CAPITOLO 12.