INTRODUCIONLas estructuras laminares han adquirido en los últimos tiempos un significado practico extraordinario debido a una relación particular de fuerzas en las estructuras superficiales espaciales, que conduce a un aprovechamiento favorable del material. Además por su condición de ser ejecutadas en concreto armado, los cascarones seria de cualidades, algunas de las cuales son : Incombustibles Cubre luces amplias sin necesidad de tener portantes dentro de ellos. Asimismo por ser elásticas y a la ves indeformables geométricamente En el caso de las estructuras laminares de doble curvatura anticlasicas(paraboloide hiperbólico )el encofrado es sencillo debido a que la superficie esta definida por dos sistemas de líneas rectas que se cortan, el encofrado necesita solamente vigas rectas como generatrices. Poco peso por lo tanto las cimentaciones son menos caras. El análisis de cascarones se puede realizar mediante las llamadas teorías exactas y las teorías aproximadas. Las primeras están en la teoría lineal de la elasticidad cuyas ecuaciones son engorrosas para lo cual es posibles hacer uso de métodos de calculo especializados, en adicion los cascarones debido a su estructura son de comportamiento discontinuo (presencia de vigas de borde ) y no homogéneo (caso del concreto ). La teoría aproximada considera que el cascaron no tiene rigidez a la flexion se comporta como una membrana delgada quedando solo esfuerzos directos en la superficie, esfuerzos de compresión pura y esfuerzos cortantes. Con los programas de calculo estructural esto no será para nada difícil los cuales en su mayoría están basado en la teoría del elemento finito dan como resultado soluciones rigurosas que predicen los esfuerzos principales y sus direcciones en ambos nodos, asi como los esfuerzos cortantyes máximos y sus direcciones en varios nodos. . es decir. Las primeras pruebas convincentes de que el hombre empleó tiendas. de descubrir su evolución formal y simultáneamente. deben guiar el proceso de definición formal de los elementos de superficie. las características físicas del material de membrana son las que. con posibilidad de adaptar su forma al funicular de las cargas externas. indios norteamericanos. Antecesoras de las cubiertas de membranas pretensadas son las cubiertas de membranas tensadas. que son antiquísimas. Es necesario conferirles rigidez. tendidas entre puntos firmes. hace unos 20. finalmente. que son cónicas.000 años. tan antiguas como el primitivo hombre nómada. porque son soluciones estructurales livianas y flexibles. Algunos autores las llaman cáscaras blandas. En las culturas primitivas más elevadas encontramos amplias descripciones y sobre todo muchas representaciones precisas de su apariencia formal. a los efectos de entender cómo evolucionó el diseño desde las tiendas hasta llegar a las actuales cubiertas de membranas pretensadas. enterrados en el suelo y unidos por la punta con una cuerda con nudos especiales. durante la época glacial. se hicieron excavaciones con hallazgos que determinaron que los cazadores del Paleolítico. para evitar que salgan de servicio ante las variaciones de cargas. en las tundras. cerca de Irkutsk. con mástiles dispuestos circularmente. En Siberia. Es decir.000 años. nos las aportan las excavaciones de campamentos que datan de 30. Es interesante hacer una breve revisión histórica. según Frei Otto.HISTORIA Las cubiertas de membranas pretensadas están definidas por membranas translúcidas. los aspectos técnicos particulares. utilizaban tiendas cónicas parecidas a las empleadas hasta épocas recientes por los tipis. que se encuadran dentro de las que resisten por tracción. es la descripta en la Biblia (Exodo. Representaciones egipcias de una tienda real las muestran como las describió Ptolomeo (275 a. tenían cerca de 8200 m2. Estas tiendas. las telas sustituyeron a las pieles. sostenidas por un armazón de barras y el borde sujeto por piedras. de forma rectangular. eran de lonas tensadas sostenidas por barras de madera. Las mas pequeñas. Las tiendas militares romanas. con mástiles de cedro y capiteles de palmera. para la tropa. eran de piel y se conservan aun algunas partes de ellas. con apoyos de barras de madera y piel tensada sobre ellos. El uso de las telas permitió llegar a superficies cubiertas relativamente grandes.C. Se observa. donde se realizaban fiestas. entonces. de grandes dimensiones. de aproximadamente 16 por 5 metros. durante el verano usaban tiendas cónicas de piel de foca.) se reconoce claramente el diseño de las tiendas. probablemente de fibras de lino.). .C. representadas en un relieve de la columna de Marco (siglo II). que en un principio las membranas que cerraban los espacios fueron pieles apoyadas sobre leños.tienda alargada con dos mástiles En relieves que representan las campañas guerreras de Senaquerib (705-681 a. al tipo de las actuales tiendas de los indios norteamericanos y. de Roma. Los esquimales (S XVIII). La más antigua de las que se tienen noticias. de Roma. más adelante. 26). y campamentos de tiendas de legionarios romanos en la columna de Trajano (siglo I). sosteniendo géneros tejidos en telares. donde se usa. se usan los tensores estrictamente necesarios. . Forma y estructura Debido a sus características físicas y para analizar su comportamiento. en planos verticales.La tienda beduina se adapta perfectamente al desierto. Se inicia el análisis planteando la voluntad de rigidizar un hilo tendido entre dos soportes. unos comprimidos y otros traccionados. es posible esquematizar el material de membrana como una malla de hilos. de manera de evitar los embates del viento. todos a 90° con respecto al primero. figura 3. Las telas de la tienda beduina sólo cierran el espacio. con curvatura inversa y anclándolo. Respondiendo a sus características de uso. dos cables estabilizadores más. algunos de los cuales son de considerable longitud. que son los elementos estructurales. entonces. el techo es bajo y tiene forma aerodinámica. en principio.2. Se destaca la preocupación por reducir al mínimo el número de tensores y puntales. Si ahora se considera que a partir de estos dos hilos se diseñará una estructura de cubierta de cables. La cubierta. Es la más sensible de todas las soluciones estabilizadoras. Esta disposición permite estabilizar el punto de intersección de ambos hilos. paralelos al segundo y contenidos. Se considera que ambos están contenidos en planos verticales y perpendiculares entre sí. deberán agregarse. el empleo de la madera está reducido al mínimo. Son necesarios los tensores y puntales para mantener su forma. En la figura se muestra cómo se constituye un sistema de dos hilos: atravesando un hilo sobre el que se pretende estabilizar. está sostenida por pocos elementos. todos. Esas intersecciones determinan los bordes de las superficies. . tanto los de un sector como los de toda la membrana limitan la forma con una geometría exactamente definida y son los elementos de anclaje y pretensado de la membrana. Superficie anticlástica de revolución intersecada con un plano normal al eje. Borde flexible materializado con relingas fijadas en el plano de intersección. corresponden a superficies infinitas.Dicho de otro modo. Fig. de doble curvatura total negativa. trabajando a flexión. Las cubiertas de membranas pretensadas son estructuras resueltas con elementos trabajando. Los elementos de borde. figuras 5 y 6. es necesario considerar. Se prefieren los primeros porque los bordes rectos. básicamente. la membrana en proximidad a esos bordes pierde la anticlasticidad. Las unidades formales. que pueden ser rígidos o flexibles. el aspecto tensional inherente a las mismas. durante el proceso de diseño formal de estas superficies. a tracción y compresión. Los bordes rígidos pueden ser curvos o rectos. pueden introducir deformaciones adicionales a la membrana y además. intersecadas por planos. que por sí solas o combinadas definen una cubierta de membranas pretensadas. a) Una superficie intermedia. como es el caso que se ejemplifica en la figura 8. b) También la articulación puede materializarse con un borde flexible. También es posible generar mallas de geometría libre. . figuras 10 a 13. se resuelven en base a ordenamientos geométricos simétricos. donde un sector de paraboloide hiperbólico ó HYPAR constituye la superficie que articula dos sectores de superficies de revolución. común a ambas superficies. siempre que se cumpla con la condición de anticlasticidad. como se muestra en la figura 7. Un alto porcentaje de los agrupamientos de sectores de superficies anticlásticas que determinan esta tipología. de eje inclinado. superficie en el punto P es la recta normal al plano 3. 4. Curvaturas principales (Kn1. es aquel generado por las tangentes de todas las curvas que pasan por P contenidos en la superficie.Normal a la tangente.GEOMETRIA DE LA SUPERFICIE 1. 2. Curvatura de la superficie es el producto de las superficies de las curvaturas normales en dos direcciones normales cuales quiera trazadas en un punto de la superficie 5.seccion normal de una superficie es la curva plana obtenida al cortar mediante un plano que contiene a la normal a ella en un punto P. Plano tangente a una superficie en un punto P.Kn2) son las curvaturas de 2 secciones normales trazadas en un punto de una superficie que toman valores máximos y mínimos respectivamente estas secciones se denominan estas secciones normales se denominan líneas de curvatura principales K=Kn1*Kn2 R1 y R2 son radios de curvatura principales ECUACION DE LA SUPERFICIE . De manera análoga se definen las curvas ξ2 como aquellas curvas de S a lo largo de las cuales varia ξ1 únicamente. . ξ2) Z=Z(ξ1. ξ2 Ecuacion paramétrica de la superficie de r quedan donde las componentes cartesianas X=X(ξ1. ξ2) Si en la ecuación se mantiene únicamente.y. ξ2 son 2 parametros y r es una función que admite derivadas de todos los ordenes respecto a ξ1. vale decir : ξ2 constante.z)=0 Z=Z(x.Esta superficie representada por las ecuaciones determinado sistema de coordenadas asi tenemos : referidas a un F(x. ξ2) Y=Y(ξ1. r estaría en función de ξ1 r r (1 ) Que es la ecuación vectorial de la curva S por tanto si ξ2 toma todos los valores constantes posibles .y) Ecuacion vectorial de la superficie r r (1 2 ) Donde ξ1. la ecuación representa una familia de curvas S en las que varia únicamente ξ1 a estas curvas se les llama curvas ξ1. La posición de cualquier punto en la superficie S queda definido por la intersección de una curva ξ1 y una curva ξ2. Cuando en cualquier punto de S las tangentes a las curvas coordenadas son perpendiculares. se dice que las curvas coordenadas son ortogonales. TIPO DE CASCARAS Nombraremos las relacionadas con nuestro tema en estudio Paraboloide hiperbólico Paraboloide de revolución .La posición de cualquier punto en la superficie S a lo largo de las cuales varia ξ2 únicamente. Por lo tanto se consideran a estas curvas como curvas coordenadas de P en la superficie S. generalmente en los bordes y a distancias relativamente cortas Se clasifican en : a) Superficie de revolución. pueden obtenerse a partir de una superficie plana. parabolide elíptico . elíptico . Son desarrolladas. Se clasifican por el valor de la curvatura gaussiana en: a) Superficie de doble curvatura elíptica o sin clástica con índice gaussiano positivo . es decir. elipsoide paraboloide Como ejemplo de superficies hiperboloide de una hoja .SUPERFICIE SIMPLE DE CURVATURA Son aquellas cuya curvatura es nula en este caso el plano tangente en un punto P contiene a una recta de la superficie. como la bóveda cilíndrica. Con índice gaussiano negativo. b) Superficie de traslación. SUPERFICIE DE DOBLE CURVATURA Son superficies no desarrollables la que hace rígidas. Esta propiedad las hace muy deformables se producen cambios de curvatura en su sección recta a fin de darles rigidez y estabilizar la forma elementos rigidizantes ajenos a la lamina misma tales como arcos o tímpanos . anticlasicas : el . b) Superficie de doble curvatura hiperbolicas o anticlasticas. como la cúpula cónica. Como ejemplo de superficie sinclastica : la esfera. ANALISIS DE UNA ESTRUCTURA LAMINAR DE DOBLE CURVATURA El análisis de una estructura laminar consiste en el calcular los esfuerzos internos. Los radios principales de curvatura quedan en los planos ESTUDIO DE LAS FUERZAS INTERNAS EN UN ELEMENTO DE LA CASCARA Considerando el elemento de la figura anterior las tensiones que actúan sobre las caras del elemento tienen resultantes en direcciones de los ejes de coordenadas y sus notaciones son en la cara abcd : . a las superficies media. para ello separaremos de la lamina en un elemento infinitamente pequeño determinado por dos pares de planos próximos normales a la superficie media que contenga las curvas principales . Tomando los ejes de coordenadas X e Y EN 0 . Nxy . My . Qy .Nx=σx*h Nxy=σx*h Qx=τxz*h Fuerza normal por unidad de longitud Fuerza cortante por unidad de longitud Fuerza cortante transversal por unidad de longitud Mx= Momento felctor provocado por Nx (por unidad de longitud) My= Momento flector provocado por Nxy(por unidad de longitud) Analogamente en la cara cdef Ny . Mxy . h.dy´dz dy´=(r2+Z)θ .Para determinar los valores de estas fuerzas internas y momentos internos se analizara el elemento diferencial : Para la fuerza normal Nx se tendrá : La fuerza normal total en la cara abcd es : F=Nx*dy ….(a) Recordando: Nx=σx*h Luego diferencial achurada) para ( un area dF= σx.dy= σx. De la misma forma se obtiene los valores para otras fuerzas internas asi : .dy´=(r2+Z)dy/2 reemplazando dy´ en d F : r2 z dF x dy dz r2 h 2 r2 z dy dz F x r2 h 2 h 2 r2 z dy dz Nx dy x r2 h 2 h 2 r2 z Nx x dz r2 h 2 Representa la fuerza normal que es la resultante de las fuerzas inducidas por los esfuerzos unitarios σx en la cara abcd. el signo negativo se debe a que Qx se tomo en sentido contrario al eje de coordenadas (z) De manera análoga se encuentran los valores de los esfuerzos resultantes por unidad de longitud en la car cedf: t 2 r1 z Qy y dz r1 t 2 t 2 r1 z Ny y dz r1 t 2 t 2 r1 z Nyx yx dz r1 t 2 . h 2 r2 z dz Nxy xy r2 h 2 Expresión para la fuerza cortante t 2 r2 z Qx xy dz r2 t 2 Expresion para la fuerza coratnte transversal . 800 asientos para eventos deportivos. actualmente recinto de eventos como conciertos.CONSTRUCIONES HYPAR El Palacio de los Deportes es una arena de la Ciudad de México. Antonio Peyri y Enrique Castañeda Tamborell. incluso se celebraron corridas de toros en los años de 1976 y 1987. Capilla de la ciudad de Cuernavaca con un detalle asimétrico muy llamativo y espectacular contruida por Félix Candela. . y es operado por Grupo CIE. Construido para los Juegos Olímpicos de 1968 por los arquitectos Félix Candela. ferias comerciales y exposiciones. Tiene una capacidad actual de 17. forma parte del complejo deportivo de la Magdalena Mixhiuca. entre otros. El lugar se caracteriza por haber tenido uno de los manantiales más importantes para abastecer de agua dulce a la ciudad. también es catalogado como el aeropuerto más largo (en términos de pista) de los Estados Unidos Este edificio se encuentra en Xochimilco que es considerado un lugar muy significativo por tener sus orígenes en el periodo prehispánico en la actual ciudad de México.City and County of Denver. . a) Condiciones de equilibrio entre las fuerzas aplicadas sobre la estructura y los esfuerzos internos desarrollados en los elementos que forman la estructura. 2. Existen dos formas fundamentales de atacar el problema del cálculo de estructuras laminares : el método de la membrana y el método de la flexión. El comportamiento de una estructura laminar se puede analizar en base a tres condiciones fundamentales de la mecánica de sólidos.CONCLUSIONES 1. b) Condición de compatibilidad geométrica entre las deformaciones de esos elementos. c) La condición constitutiva de los materiales. por consiguiente más útiles como elementos de techo cobertura en general. siendo . hiperbólicas o anticlasticas y cilíndricas y parabólicas. 4. 6. . En general bajo la acción de cualquier carga las estructuras laminares de doble curvatura son las más estables que de simple curvatura o desarrollables. debido fundamentalmente a que trabajan a esfuerzos directos de tracción y compresión. El estudio de la geometría diferencial permite clasificación geométrica de las cascaras en base a los conceptos de la curvatura gaussiana . 3. relaciona las tensiones como las deformaciones internas de cada punto. 5. Las hipótesis simplificadas de la teoría de la membrana reducen a tres el número número de incógnitas y el número de ecuaciones necesarias para el cálculo de los esfuerzos de las cascaras. La introducción de la función de tensión definida adecuadamente reduce el problema de la solución de una ecuación diferencial. pudiendo distinguirse 3 tipos básicos de superficies : elíptica o sinclastica.