MANUAL DE INVESTIGACIÓNDE OPERACIONES II CATEDRÁTICO: m. c. RAÚL LEONEL GUZMÁN SAMPAYO. REALIADO POR: CASTRO OCHOA AGUSTIN. ELIZALDE RAMIREZ FERNANDO. RODRIGUEZ MARTINEZ JOAQUIN C. SONI SANTOS IRIS ABRIL. ESPECIALIDAD: INGENIERÍA INDUSTRIAL PERIODO: AGOSTO-DICIEMBRE 2008 CERRO AZUL, VER. ÍNDICE UNIDAD I: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1.1 Características de la programación dinámica: etapas, estados, fórmula recursiva, programación en avance y retroceso…….. .........................4 1.2 Algunos modelos de ejemplos de Programación Dinámica………………...6 1.3 Programación dinámica determinística……………………………………..…7 1.4 Programación dinámica probabilística………………………………….……..8 1.5 Problema de dimensionalidad de Programación Dinámica…………………8 Ejercicios resueltos……………………………………………………………..…..10 Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…21 UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS 2.1 Introducción y casos de aplicación……………………………………………24 2.2 Definiciones características y suposiciones………………………………….24 2.3 Terminología y notación. …………………………………………………..…..26 2.4 Proceso de nacimiento y muerte Modelos Poisson. ……………………………………………………………....27 2.5 Un servidor, fuente finita, cola finita. ……………….…………………………28 2.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita…………………………………….…30 2.7 Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. ……………………………32 2.8 Servidores múltiples, cola finita, fuente finita. ……………………………..…34 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..36 Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…40 UNIDAD III: TEORÍA DE DECISIÓN 3.1 Características generales de la teoría de decisiones. ……………………..43 3.2 Criterios de decisión determinísticos y probabilísticos……………………..44 3.3 Valor de la información perfecta. ……………………………………………..45 3.4 Árboles de decisión. …………………………………………………………...46 3.5 Teoría de dualidad. ………………………………………………………….…47 3.6 Decisiones secuenciales. ………………………………………………….…..49 3.7 Análisis de sensibilidad. …………………………………………………...…..49 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..51 Ejercicios propuestos………………………………………………………………..55 UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV 4.1 Introducción. …………………………………………………………………….58 4.2 Formulación de las cadenas de Markov. ……………………………….……58 2 4.3 Procesos estocásticos. …………………………………………………….…60 4.4 Propiedad Markoviana de primer orden. ……………………………………60 4.5 Probabilidades de transición estacionarias de un solo paso……………...61 4.6 Probabilidades de transición estacionarias de n pasos…………………...63 4.7 Estados absorbentes. …………………………………………………………64 4.8 Probabilidades de transición estacionarias de estados estables. Tiempos de primer paso. ………………………………………………….65 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………66 Ejercicios propuestos………………………………………………………………72 UNIDAD V: OPTIMIZACIÓN DE REDES 5.1 Terminología……………………………………………………………………75 5.2 Problema de la ruta más corta. Redes cíclicas y acíclicas. ………………77 5.3 Problema del árbol de mínima expansión. …………………………………80 5.4 Problema de flujo máximo. …………………………………………………...81 5.5 Problema de flujo de costo mínimo. ………………………………………...83 5.6 Programación lineal en teoría de redes. ……………………………………86 5.7 Uso de programas de computación. ……………………………………..…88 Ejercicios resueltos……………………………………………………………..….95 Ejercicios propuestos……………………………………………………………..103 Bibiliografía………………………..………………………………………………..105 3 El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema. y enlazando cada etapa a través de cálculos recursivos. PROGRAMACIÓN EN AVANCE Y EN RETROCESO La programación dinámica es una técnica matemática que se utiliza para la solución de problemas matemáticos seleccionados.El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en cada una de ellas. Este proceso se repite hasta obtener la solución óptima del problema original. 3.UNIDAD I: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1.. en los cuales se toma una serie de decisiones en forma secuencial. afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas estados). El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas de programación dinámica. Proporciona un procedimiento sistemático para encontrar la combinación de decisiones que maximice la efectividad total. Por tanto una manera de reconocer una situación que se puede formular como un problema de programación dinámica es poder identificar una estructura análoga a la del problema de la diligencia. y a las decisiones que se plantearán en el futuro. las que pueden ser completadas por una o más formas (estados). Los estados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema.El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo.Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio. 4.. La programación dinámica parte de una pequeña porción del problema y llega a la solución óptima para esa pequeña parte del problema. Características básicas. entonces gradualmente se agranda el problema hallando la solución óptima en curso a partir de la anterior. 4 .. al descomponer el problema en etapas. La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. ESTADOS. 2.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA: ETAPAS. FÓRMULA RECURSIVA. 1.. 7. La idea básica detrás de la relación recursiva es trabajar "hacia atrás". el procedimiento de solución comienza al final y se mueve hacia atrás etapa por etapa. n+1. 2. Se encuentra la decisión óptima en la última etapa de acuerdo a la política de decisión establecida. n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1.. tomando en cuenta solamente la "contribución" de la última etapa.5.. pero usaremos una notación análoga a la siguiente: N = número de etapas.2. 3..Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima para la etapa n..Dado el estado actual..El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la última etapa. es decir. 1.xn) ó fn*(sn) = max fn(sn.. preguntándose en cada etapa: ¿qué efecto total tendría en el problema si tomo una decisión particular en esta etapa y actúo óptimamente en todas las etapas siguientes? 5 .xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n. Este es el principio de optimalidad para programación dinámica..N. sin ningún método establecido.. la decisión inmediata es xn y en adelante se toman decisiones óptimas. si el sistema se encuentra en el estado sn en la etapa n. hasta que encuentra la política óptima desde la etapa inicial.Cuando se usa esta relación recursiva.xn*) La relación recursiva siempre tendrá la forma: fn*(sn) = mín fn(sn. Comúnmente la solución de esta última etapa es trivial. Se construye una relación recursiva que identifica la política óptima para cada estado en la etapa n. 6.. una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en etapas anteriores.. La forma precisa de relación recursiva difiere de un problema a otro de programación dinámica. Procedimiento de solución.N) sn = estado actual para la etapa n xn = variable de decisión para la etapa n xn* = valor óptimo de xn (dado sn) fn(sn... fn*(sn) = fn(sn.xn) 8. dada la solución óptima para cada estado en la etapa n + l. dada la política óptima para la etapa n+1. 6 . El problema de las monedas. pero tiene múltiples opciones para viajar a través del territorio. y quiere viajar de la forma más segura posible. simplificando la solución del problema. Tiene los puntos de salida y destino conocidos. Para el problema de las monedas con programación dinámica se necesita crear un algoritmo que permita a una máquina expendedora devolver el cambio mediante el menor número de monedas posible. de la primera etapa hacia la sería necesario realizar una enumeración exhaustiva de todas las alternativas. Mediante la programación dinámica se solucionará el caso en el que el número de monedas de cada tipo es ilimitado. Un cazafortunas desea ir de Missouri a California en una diligencia.2 EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA El problema de la diligencia. Cuando se llega a la etapa inicial se encuentra la solución óptima. El costo de la póliza estándar (cij ) se muestra en la tabla siguiente. En el problema de las monedas mediante el algoritmo voraz el que el número de monedas es ilimitado. Si se resolviera el problema "hacia adelante". que resolviéndolo "hacia atrás" reducimos el número de alternativas a analizar. es decir. 1. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida como pasajero de la diligencia. Queremos llenar la mochila con objetos. Los pasos que vamos a seguir son los siguientes: • Ver que se cumple el principio de optimalidad de Bellman. Por ejemplo. 1. tal que se maximice el beneficio.3 PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA Los problemas determinísticos de programación dinámica son aquellos en los cuales el estado asociado en la etapa siguiente está totalmente determinado por el estado y la política de decisión de la etapa actual. Sn Sn+1 Contribución al objetivo fn (Sn. las temporadas deben ser las etapas. Una manera de catalogar los problemas de programación dinámica determinística es por la forma de la función objetivo. En un problema de programación dinámica. Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. el objetivo podría ser minimizar la suma de contribuciones de las etapas individuales. o bien minimizar un producto de tales términos y así sucesivamente.El problema de la mochila. 7 .Xn) Cn (Xn) fn+1* (Sn+1* ) Los problemas de programación dinámica determinística son aquéllos en los que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinado por el estado y la política en la etapa actual. El peso máximo que puede llevar la mochila es C. La siguiente figura describe el funcionamiento de la programación dinámica determinística. • Buscar ecuaciones recurrentes para el problema. • Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones. En la siguiente figura se describe diagramáticamente la estructura básica que resulta para la programación dinámica probabilística. Sin embargo. para seleccionar aquella que minimiza el índice de desempeño. En lugar de ello existe una distribución de probabilidad para lo que será el estado siguiente. Se generan requisitos adicionales de cálculo cuando la trayectoria. Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en todas las etapas. Esta característica de la metodología fue denominada “maldición de dimensionalidad” por el propio Bellman. En cada punto de la rejilla. Si el árbol de decisión no es demasiado grande.1. esta distribución de probabilidad todavía esta completamente determinada por el estado y la decisión de la política del estado actual. Para ello es necesario realizar interpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisión o control óptima y del índice de costo. a veces recibe el nombre de árbol de decisión. Con un número del orden de cinco variables de estado. Los algoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cómputo digital ampliamente disponibles en la actualidad. con cualquier tipo de funcional o índice de desempeño y con restricciones en las variables. variantes. proporciona una manera útil de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir. Para obtener resultados útiles se debe construir una rejilla de estados suficientemente fina. en cada etapa de tiempo. se deben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de las variables de decisión cuantificadas. los algoritmos tradicionales de programación dinámica exigen elevados requisitos de memoria y de tiempo de cálculo a los sistemas de procesamiento digital. de las variables de decisión o control y del tiempo. en donde N denota el número de estados posibles en la etapa n+1. calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estado cuantificado en la etapa siguiente. La aplicación de estos algoritmos a sistemas continuos exige la discretización de las ecuaciones diferenciales que modelan el proceso o sistema. lo cual desalentó el empleo de la programación dinámica tradicional durante más de veinte años.5 PROBLEMA DE DIMENSIONALIDAD EN PROGRAMACIÓN DINÁMICA La programación dinámica tradicional permite obtener las trayectorias óptimas de control para procesos no lineales. 8 . así como la cuantificación de las variables de estado.4 PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICA La programación dinámica probabilística difiere de la programación dinámica determinística en que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la decisión de la política en el estado actual. 1. las ventajas significativas que ofrece la programación dinámica para la solución de problemas de control óptimo. promovieron el interés de muchos investigadores por encontrar métodos alternativos para superar los problemas que presenta la técnica tradicional 9 . la obtención de una solución óptima global. la utilización de cualquier índice de desempeño. Por otro lado. tales como. y el hecho de que cuanto más restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de tiempo de cómputo y memoria. el tratamiento de sistemas no lineales y variantes. Solución: n=3 S3 f3*(s) X3* D 6 T D 7 T n=2 sx2 D E f2*(s) X2* A 5+6=11 ---------. n=2 y n=1. El objetivo es encontrar la ruta mas corta del origen al destino. Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo manualmente las tablas usuales para n=3. 6+7=13 13 E n=1 sx1 A B C f1(s) X1* O 9+11=20 6+13=19 7+13=20 19 B Ruta: 0→B→D→T 10 . 11 D B 7+6=13 8+7015 13 D C ---------.EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio # 1 Considere la siguiente red en la que cada número junto a una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. La siguiente tabla da un incremento estimado en ventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en publicidad: Gasto en Producto 1 Producto 2 Producto 3 publicidad 1 7 4 6 2 10 8 9 3 14 11 13 4 17 14 15 Utilice programación dinámica para resolver este problema. Se dispone de un total de 6 millones de dólares para esta campaña de publicidad y se supone que el gasto para cada producto deberá ser un número entero mayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia ha establecido el objetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada producto con el fin de maximizar las ventas totales. Solución: n=3 S3 f3*(s) X3* 1 6 1 2 9 2 3 13 3 4 15 4 11 .Ejercicio # 2 Una compañía esta planeando una estrategia de publicidad durante el año próximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 son bastante diferentes. cada esfuerzo de publicidad estará dedicado a un solo producto. n=2 X2 = 1 f2(2.2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14 X2 = 1 f2(4.1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13 X2 = 2 f2(3.2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17 X2 = 3 f2(4.3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17 12 .1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10 X2 = 1 f2(3.1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17 X2 = 2 f2(4. 1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 = 19 X2 = 2 f2(5.3) = P1(3) + f2*(6-3) = 14+14 = 28 X1 = 4 f1(6.4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 = 20 X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2* S2 1 10 10 1 2 13 14 14 2 3 17 17 17 17 1.2) = P1(2) + f2*(6-2) = 10+17 = 27 X1 = 3 f1(6.2.3 1→2→3 = 7+8+13 = 28 3→2→1 = 14+8+6 = 28 13 .3 4 19 21 20 20 21 2 n=1 X1 = 1 f1(6.X2 = 1 f2(5.1) = P1(1) + f2*(6-1) = 7+21 = 28 X1 = 2 f1(6.2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 = 21 X2 = 3 f2(5.4) = P1(4) + f2*(6-4) = 7+10 = 27 X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2* S2 6 28 27 28 27 28 1.3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 = 20 X2 = 4 f2(5. la educación para la salud y los programas de capacitación.Ejercicio # 3 El World Health Council. Dispone de 5 brigadas médicas para asignarlas a 3 de estos países con el fin de mejora el cuidado de la salud. entones. se dedica a mejorar la atención médica en los países subdesarrollados del mundo. Los equipos deben mantenerse como están formados por lo que el número asignado a cada país debe ser un entero. esta medida es igual al incremento en el promedio de vida esperado en años. ¿Cual es la asignación que maximiza la medida de desempeño? Brigadas Medicas País 1 País 2 País 3 0 0 0 0 1 45 20 50 2 70 45 70 3 90 75 80 4 105 110 100 5 120 150 130 14 . multiplicado por su población). La medida de desempeño se tomara en términos de los años de vida adicionales por persona (para una país especifico. En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos años de vida adicionales de vida por persona (en múltiplos de mil) para cada país y para cada número posible de brigadas médicas asignadas. el consejo necesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno de estos países para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas. 1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20 15 .0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0 X2 = 0 f2(1.Solución: n=3 S3 f3*(s3) X3* 0 0 0 1 50 1 2 70 2 3 80 3 4 100 4 5 130 5 n=2 X2 = 0 f2(0.0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50 X2 = 1 f2(1. 3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145 X2 = 4 f2(5.1) = P2(1) + f3*(4-1) = 20+80 = 100 X2 = 2 f2(4.1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 = 170 X2 = 2 f1(5.3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 = 160 X2 = 4 f1(5.3) = P2(3) + f3*(4-3) = 75+50 = 125 X2 = 4 f2(4.1 3 80 90 95 75 95 2 4 100 100 115 125 110 125 3 5 130 120 125 145 160 150 160 4 n=1 X2 = 0 f1(5.2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45 X2 = 0 f2(3.2) = P2(2) + f3*(4-2) = 45+70 = 115 X2 = 3 f2(4.1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120 X2 = 2 f2(5.5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0 = 120 16 .0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70 X2 = 1 f2(2.2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 = 165 X2 = 3 f1(5.4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160 X2 = 5 f2(5.0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130 X2 = 1 f2(5.3) = P2(3) + f3*(3-3) = 75+0 = 75 X2 = 0 f2(4.4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 = 155 X2 = 5 f1(5.2) = P2(2) + f3*(3-2) = 45+50 = 95 X2 = 3 f2(3.0) = P2(0) + f3*(4-0) = 0+100 = 100 X2 = 1 f2(4.X2 = 0 f2(2.2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125 X2 = 3 f2(5.0) = P2(0) + f3*(3-0) = 0+80 = 80 X2 = 1 f2(3.4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0 = 110 X2 = 0 f2(5.1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70 X2 = 2 f2(2.0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 = 160 X2 = 1 f1(5.5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150 X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2* S2 0 0 0 0 1 50 20 50 0 2 70 70 45 70 0.1) = P2(1) + f3*(3-1) = 20+70 = 90 X2 = 2 f2(3. por lo que quiere asignar 1. Necesita por lo menos un día para cada curso y quiere concentrarse solo en un curso cada día. 2. ha decidido aplicar programación dinámica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4 cursos. Como hace poco tomó un curso de investigación de operaciones. Estima que las distintas opciones de días de estudio redituarán puntos de calificación según la siguiente tabla: Puntos de calificación estimados Número de Curso 1 Curso 2 Curso 3 Curso 4 Días 1 3 5 2 6 2 5 5 4 7 3 6 6 7 9 4 7 9 8 9 17 . X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2* S2 5 160 170 165 160 155 120 170 1 1→3→1 = 45+75+50=170 Ejercicio # 4 Una estudiante universitaria tiene 7 días para preparar los exámenes finales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene para estudiar de la manera más eficiente posible. 3 ó 4 días a cada curso. 1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11 X3 = 2 f3(5.4) = P2(4) + f3*(6-4) = 9+8 = 17 18 .4 n=2 X2 = 1 f2(3.1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8 X3 = 1 f3(4.3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13 X3 = 1 f3(6.1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15 X2 = 2 f2(4.2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10 X3 = 1 f3(5.2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13 X2 = 1 f2(5.1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18 X2 = 2 f2(5.1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9 X3 = 2 f3(4.1) = P2(1) + f3*(6-1) = 5+14 = 19 X2 = 2 f2(6.3) = P2(3) + f3*(6-3) = 6+10 = 16 X2 = 4 f2(6.2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13 X3 = 3 f3(6.3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14 X2 = 1 f2(6.n=4 S4 F4*(s4) X4* 1 6 1 2 7 2 3 9 3 4 9 4 n=3 X3 = 1 f3(3.1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13 X2 = 1 f2(4.2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15 X2 = 3 f2(5.1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11 X3 = 2 f3(6.2) = P2(2) + f3*(6-2) = 5+13 = 18 X2 = 3 f2(6.4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14 X3 1 2 3 4 F3*(s3) X3* S3 1 8 8 1 2 9 10 10 2 3 11 11 13 13 2 4 11 13 14 14 14 3.3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14 X3 = 4 f3(6.2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11 X3 = 3 f3(5. aplique programación dinámica para determinar cómo asignar los $ 4 millones de dólares para maximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo producto. que continúen comprando el producto a precio normal.2) = P1(2) + f2*(7-2) = 5+18 = 23 X3 = 3 f2(7. La fase 3 entonces.4) = P1(4) + f2*(7-4) = 7+13 = 20 X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3* S2 7 22 23 21 20 23 2 2→1→3→1 =5+5+7+6=23 Ejercicio # 5 Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto al mercado muy competido y está planeando su estrategia de comercialización. Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dólares para esta campaña comercial. Ha tomado la decisión de introducir el producto en 3 fases. Se sabe que otra compañía introducirá otro nuevo producto competitivo más o menos cuando termine la fase 2.3) = P1(3) + f2*(7-3) = 6+15 = 21 X4 = 4 f2(7. La fase 1 incluirá ofertas especiales de introducción a un precio muy reducido para atraer a los compradores de primera vez. f2 la fracción de este mercado que se retiene en la fase 2 y f3 la fracción restante del porcentaje de mercado que se retiene en la fase 3. X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3* S2 1 13 13 1 2 15 13 15 1 3 18 15 14 18 1 4 19 18 16 17 19 1 X1 = 1 f2(7. 19 . Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enteras múltiplos de 1 millón en cada fase y que el mínimo permisible es 1 para la fase 1 y 0 para las fases 2 y 3. Sean m el porcentaje de mercado inicial que se logra en las fases.1) = P1(1) + f2*(7-1) = 3+19 = 22 X2 = 2 f2(7. es decir. El problema consiste ahora en determinar como asignar este dinero de la manera más efectiva a las 3 fases. La fase 2 comprenderá una campaña intensa de comerciales y anuncios para persuadir a estos compradores de primera vez. Con los datos de la siguiente figura. incluirá una campaña de seguimiento de promoción para tratar de evitar que los clientes regulares cambien al producto de la competencia. maximizar m+ff+ff. 2 0 1 0.24 0.1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.2 X2 = 2 f2(2.1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.12 = 4.3 0 1 0.0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.2*0.0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.3 = 0.4*0.7 3 X2 = 0 f2(1.12 X2 = 1 f2(2.0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.25 =5 X1 = 1 f1(4.2*0.5 = 0.2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.2 0.12 0.15 0.7 = 0.3 = 0.15 X2 = 0 f2(3.2 =6 X1 = 2 f1(4.2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.12 X2 = 0 f2(2.2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.14 X2 = 1 f2(3.2 = 10 20 .12 1 3 0.0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.6 = 0.6 = 0.5*0.12 0.18 X2 0 1 2 3 F2*(s2) X2* S2 0 0.5 = 0.3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.6*0.18 0.4*0.1 0.4*0.5 = 0.1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.6 2 3 0.25 X2 = 3 f2(3.8 X1 = 3 f1(4.14 0.5 1 2 0.250 2 X1 = 0 f1(4.2 1 3 0.25 0.24 X2 = 2 f2(3.2*0.1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.5*0.3 = 0.n=3 S3 F3*(s3) X3* 0 0.6 0.3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.1 X2 = 1 f2(1. Comerciales Área 1 Área 2 Área 3 Área 4 0 0 0 0 0 1 4 6 5 3 2 7 8 9 7 3 9 10 11 12 4 12 11 10 14 5 15 12 9 16 21 . Uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en 4 áreas diferentes. Estas estimaciones se dan en la siguiente tabla en miles de votos. La siguiente tabla da el incremento estimado en las ventas de cada región si se le asignan diferentes cantidades de agentes. Con base en la información de las preliminares se hizo una estimación del número de votos adicionales que se pueden ganar en las diferentes áreas de difusión según el número de comerciales que se contraten. Agentes Región 1 Región 2 Región 3 1 35 21 28 2 48 42 41 3 70 56 63 4 89 70 75 Ejercicio Propuesto # 2 Una campaña política se encuentra en su última etapa y las preliminares indican que la elección está pareja.8 10 10 3 3 millones en la 1a fase 1 millones en la 2a fase 0 millones en la 3a fase EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio Propuesto # 1 El gerente de ventas de una editorial de libros de texto universitarios tiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regiones distintas del país. X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3* S2 4 5 6 4. Ha decidido que cada región debe tener por lo menos un agente y que cada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones con el fin de maximizar las ventas. La siguiente tabla proporciona la ganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas: Numero de cargas Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 0 0 0 0 1 5 6 4 2 9 11 9 3 14 15 13 4 17 19 18 5 21 22 20 Utilice programación dinámica para determinas cuantas cargas deben asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada. La siguiente tabla da el aumento estimado en el número de votos para el candidato del partido en cada distrito si se asignan distintos números de voluntarios: Voluntarios Distrito 1 Distrito 2 Distrito 3 Distrito 4 0 0 0 0 0 1 4 7 5 6 2 9 11 10 11 3 15 16 15 14 4 18 18 18 16 5 22 20 21 17 6 24 21 22 18 22 . Ejercicio Propuesto # 3 El propietario de una cadena de tres supermercados compró 5 cargas de fresas frescas. Por razones administrativas no quiere dividir las cargas entre las tiendas. esta de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas. Utilice programación dinámica para determinar como deben distribuirse los 5 comerciales entre las 4 áreas con el fin de maximizar el número estimado de votos ganados. Cuenta con la colaboración de 6 voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignar a 4 distritos de manera que se maximice su efectividad. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada. La distribución de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los 3 supermercados. Ejercicio Propuesto # 4 La presidenta de un partido político en un estado está haciendo planes para las próximas elecciones presidenciales. Ella piensa que sería ineficiente asignar un voluntario a más de un distrito pero está dispuesta a no asignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr más en otro distrito. Sin embargo. a) ¿Cuáles son las etapas y los estados para la formulación de programación dinámica de este problema? b) Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo las tablas usuales. Ejercicio Propuesto # 5 Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo PERT. Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantos voluntarios deben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento total esperado en la popularidad del candidato del partido. 23 . Utilice programación dinámica para encontrar todas las soluciones óptimas. ya que la trayectoria más larga es la ruta crítica. para que la presidenta del partido pueda hacer una selección tomando en cuenta otros factores. donde el número junto al arco es el tiempo requerido para la actividad correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria más grande (el mayor tiempo total) a través de esta red desde el vento uno (inicio del proyecto) al evento 9 (terminación del proyecto). UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS 2. Como modelo. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. el control de las operaciones en planta. cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”.2 DEFINICIONES CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente. ante un semáforo en rojo. filas de espera o colas. Las líneas de espera. el cual tiene una cierta capacidad de atención. Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora.1 INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación. Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. entonces se forma la línea de espera. vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino. son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco. actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria. Esta se presenta. Los servidores del sistema seleccionan miembros de la cola según una regla 24 . Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar.). tienen mucho en común. pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. etc. 2. en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo. nos restringiremos al estudio de sistemas de colas con fuentes infinitas. en caso contrario se dice que es infinita. Probabilístico. Si el número de unidades potenciales es finito. Disciplina de la cola En sistemas monocanal. se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor. fijo y conocido. multicanal. el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios (prioridades): • El que llegó antes. se dice que la fuente es finita.predefinida denominada disciplina de la cola. pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas. • El que más requiere. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio. en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. En general. Cuando un cliente seleccionado termina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio) abandona el sistema. Si la capacidad es uno. Fuente Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las unidades que piden un servicio. en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo. Mecanismos de servicio Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. 25 . • El que llegó el último. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese instante. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. Tiempo entre llegadas Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico. • El que menos tiempo de servicio requiere. Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado. Tasa media de llegada. Población finita.. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable..3 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN. la cantidad promedio en la línea.Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio.Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalación de servicio en un periodo dado. Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: 26 ...Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio.Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero. Características operativas. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita..Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno.. 2.Supuestos El modelo simple de teoría de colas que se ha definido. no tiene un límite superior especificado. todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola. Bloqueado. Línea de espera de canales múltiples. c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. b) Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema.Línea de espera con dos o más instalaciones de servicio paralelas. se basa en las siguientes suposiciones: a) Un solo prestador del servicio y una sola fase. tiene un valor fijo y finito. Operación de estado estable. el tiempo de espera promedio... Tasa media de servicio. etc. Población infinita. 27 . Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera. en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. Todas estas características operativas de estado estable se obtienen mediante formulas que dependen del tipo de modelo de línea de espera que se este manejando. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos).…. denotado por N (t). es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio. la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. El estado del sistema en el tiempo t (t 0). De manera más precisa.4 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.2. En general. dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. MODELOS POISSON. La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Para calcular éstas. el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. se necesitan los siguientes datos: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegadas) μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio) 2. las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIÓN 1.). Sin embrago en el contexto de la teoría de colas.1. Dado N (t) = n. Para los modelos de línea de espera introducidos hasta ahora. se dice que el modelo tiene una población infinita. COLA FINITA.). En términos técnicos.2. la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1. cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá. Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Bajo esta suposición.2. Por otro lado. Distribución de llegadas. En tales casos. La función de probabilidad es como sigue: P(x)= μxe-λ x! para x= 0. es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla). Dado N (t) = n.5 UN SERVIDOR.1.…. los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. la población de unidades o clientes que llegan para servicio se han considerado ilimitadas. cuando no se pone límite respecto a cuántas unidades pueden buscar servicio. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico. Excepto por algunos casos especiales. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.SUPOSICIÓN 2. Esta suposición de una población infinita se hace en la mayoría de los modelos de 28 . FUENTE FINITA.… 2. SUPOSICIÓN 3. Para muchas situaciones de línea de espera. la tasa media de llegada λ permanece constante sin importar cuántas unidades hay en el sistema de línea de espera. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. con una tasa media de llegada λ. La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una población finita se define en función de cuán a menudo llega o busca servicio cada unidad. el modelo M/M/1 con una población finita de demandantes. el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población finita. dependiendo de la cantidad de unidades en el sistema. en el modelo de población finita λ indica la tasa media de llegada para cada unidad. Con un solo canal. Las fórmulas para las características operativas de los modelos de línea de espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de la población finita. dependiendo de la cantidad de unidades en la línea de espera y se dice que el modelo de línea de espera tiene una población finita. El modelo de población finita que se expone en esta sección se basa en las siguientes suposiciones.línea de espera. Esta situación difiere de la de modelos de línea de espera anteriores en los que λ denotaba la tasa media de llegada para el sistema. En otros casos. 1. Con una población finita. 3. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 29 . En lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistema cambiante. Las llegadas para cada unidad siguen una distribución de probabilidad de Poisson. En esta situación. con una tasa media de servicio μ. la tasa media de llegada para el sistema varía. La población de unidades que pueden buscar servicio es finita. Características operativas para. 2. la tasa media de llegada para el sistema cambia. se asume que la cantidad máxima de unidades o clientes que pueden buscar servicio es finita. Las siguientes formulas se usan para determinar las características operativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una población finita donde: λ = la tasa media de llegada para cada unidad μ= la tasa media de servicio N = el tamaño de la población 1. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. FUENTE INFINITA. La metodología matemática usada para derivar las fórmulas para las características operativas de las líneas de espera es bastante compleja. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: 5. COLA INFINITA. y por tanto. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio: 7. Sin embargo. 30 . Las fórmulas son aplicables si las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. 2. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: 6. proporcionarle a la administración información útil para la toma de decisiones.6 UN SERVIDOR. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera: 3. Mostramos cómo pueden usarse las fórmulas para determinar las características de operación de un sistema de un servidor. Probabilidad de n unidades en el sistema: 2. Las fórmulas que pueden usarse para determinar las características ope- rativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal se citarán más adelante. cola infinita y fuente infinita. sino mostrar cómo las fórmulas que se han elaborado pueden dar información acerca de las características operativas de la línea de espera. Cantidad promedio de unidades en el sistema: 4. el propósito no es proporcionar el desarrollo teórico de estos modelos. Características operativas. μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio). Las fórmulas siguientes pueden usarse para calcular las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. 31 . Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. donde: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada). P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera: L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos): Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera: W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. . 2. 2.7 SERVIDORES MÚLTIPLES. En el sistema de canales múltiples. Estas fórmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones. FUENTE INFINITA. 3. La siguiente figura muestra un diagrama de la línea de espera de dos canales de Burger Dome. 4.-Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio.Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer canal disponible para el servicio. En esta sección presentamos fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de varios canales. La operación de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio.-Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial.La tasa media de servicio μ es la misma para cada canal.. Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. 1. Características Operativas 32 . COLA INFINITA. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. k. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos).la tasa media de llegada para el sistema...la cantidad de canales. Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera.la tasa media de servicio para cada canal. Pueden usarse las siguientes fórmulas para calcular las características operativas de estado estable para líneas de espera con canales múltiples. μ. donde: λ. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio: 33 . Las tasas de llegada y de servicio son λ y μ. Este tipo de modelo es el M/M/c : DG/∞/∞. FUENTE FINITA. donde el límite del sistema es finito igual a N. Las características operativas para este sistema se calculan como sigue: Probabilidad de n unidades en el sistema: Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 34 . las fórmulas son aplicables sólo si kμ es mayor que λ. en otras palabras. las fórmulas para las características operativas de las líneas de espera con múltiples canales sólo pueden aplicarse en situaciones donde la tasa media de servicio para el sistema es mayor que la tasa media de llegadas. Debido a que μ es la tasa media de servicio para cada canal. COLA FINITA. Como sucedió con el modelo de línea de espera de un solo canal. kμ es la tasa media de servicio para el sistema de canales múltiples. 2. eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N – c.8 SERVIDORES MÚLTIPLES. se calcula el valor de λef como sigue: EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio Resuelto # 1 Marty’s Barber Shop tiene una peluquería. Los clientes llegan a la tasa de 2. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera: Para determinar Wq.2 clientes por hora. y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de cinco 35 . W y L. 2 = 0.037 clientes/min..1084 5 Ejercicio Resuelto # 2 Willow Brook Bank opera una ventanilla para atención de automovilistas que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde sus autos.56 5 0 b) P0 = 2. a. = 0. las llegadas a las ventanillas ocurren al azar.2 0.4 clientes por minuto.56 = 0.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y dos cliente este esperando? λ = 2. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales para responder las siguientes preguntas.2 0. a.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y nadie este esperado? c.-¿Cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b. μ = 5 cortes/hr.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y un cliente este esperando? d.2.2464 5 2 d) P2 = 2.56 = 0.¿Cuál es la cantidad media o esperada de clientes que llegara en un periodo de cinco minutos? b.56 = 0.Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada.083 cortes/min. a) P0 = 1 .2 0.56 5 1 c) P1 = 2. = 0.por hora. Use la tasa media de llegada del inciso a y 36 .2 clientes/hr. con una tasa media de llegada de 24 clientes por hora o 0. en las mañanas de los días hábiles.. 1353 0! P1 = (2)1 e-2 = 0.6(1) = 0..2707 + 0.1429 Ejercicio Resuelto # 3 En el sistema de línea de Willow Brook National Bank.2707 + 0.4 x 5 = 2 clientes/5min. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran esas demoras? a) 0. = λ b) P0 = (2)0 e-2 = 0.¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos o menos? c..4512 37 .2707 1! P2 = (2)2 e-2 = 0. a.1804 3! c) P(demoras) = 1 – (0. suponga que los tiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguen una distribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora o 0.calcule las probabilidades de que llegaran exactamente 0. Use la distribución de probabilidad exponencial para responder las siguientes preguntas.1353 + 0. 1.2707 2! P3 = (2)3 e-2 = 0.¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o menos? b.¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de mas de do minutos? a) P (tiempo de servicio ≤ 1 min) = 1 – e-0. c. 2 y 3 clientes durante un periodo de cinco minutos..1804) = 0.Se esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier periodo de cinco minutos.6 clientes por minuto.. 3012 Ejercicio Resuelto # 4 Los pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa media de 2. Los tiempos de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución la probabilidad 38 . b) Lq = (0.05) = 50 minutos 10: 10 + 50 min. a) λ = 2. b) P (tiempo de servicio ≤ 2 min) = 1 – e-0.0467 pacientes / min.6(2) = 0. Un estudio de los tiempos de espera de los pacientes muestra que. Wq = 30 min. µ = 3 / 60 = 0.401 pacientes c) Wq = 30 min. M.8 pacientes / hrs. W = 30 + (1/0.0467 * 30) = 1.6988 c) P (tiempo de servicio ≥ 2 min) = 1 – 0. El dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de 3 pacientes por hora.8 / 60 = 0. Ejercicio Resuelto # 5 Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado.8 pacientes por hora.05 pacientes / min. µ = 3 pacientes / hrs. = 11: 00 A. a) ¿Cuáles son las tasas medias de llegada y de tratamiento en función de pacientes por minuto? b) ¿Cuál es la cantidad promedio de pacientes en la sala de espera? c) Si un paciente llega a las 10: 10 A.6988 = 0. ¿A que hora se espera que salga del consultorio? λ = 2. suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora. M. en promedio. un paciente espera 30 min de ver al dentista. µ = 6.- Po = 1 – 5/ 9.6 min / 60 min.exponencial. W = 0.3125 / 5 = 0.1625 hrs. 0 B 6..25 min.6)2 = 0.0 min / 60 min.05 hrs B. 0 3.0625 + 1/ 10 = 0.σ = 3. A continuación se muestra dos diseños propuestos para la operación de ensamblado de la planta.4792 Lq = (52 * 0.01 2) + (5/9.µ = 6.6) 39 . ¿Qué diseño parece proporcionar la tasa de servicio mejor o mas rápida? c) ¿Cuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en horas? d) Use el modelo M/ G / 1 para calcular las características operativas para cada diseño e) ¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? ¿Por qué? λ = 5 trabajos / hra = 0.. = 0.8125 trabajos Wq = 0.5 B..16 trabajos / min. / trabajo = 10 trab / hra = 0.3125 trabajos 2* (1-(5/10) L = 0.3125 + 5/10 = 0..6 = 0.0625 hrs. 25 0. 6 a) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada diseño? b) Para las tasas medias d e servicio en el inciso a. 167 trabajos / min.- Po = 1 – 5/10 = 0. b) La del diseño A c) A.01 hrs d) A. = 0.5 Lq = (52 * 0. Pw = 5/10 = 0.0 min. Para B.σ = .052)+ (5 /10)2 = 0. TIEMPO DE SERVICIO DISEÑO MEDIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR A 6.2857 trabajos 2 * (1 – 5)/9. / trabajo = 9.6 trabajos / hora = 0.0833 trabajos / min. a) Para A. ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos (tiempos de espera mas tiempo de servicio? e. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el muelle estará ocioso? b) ¿Cuál es a cantidad promedio de embarcaciones que estará esperando por servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara una embarcación esperando por servicio en el muelle? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara un bote en el muelle? e) Si usted fuera el gerente de la marina Fore and Aft.¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que empiece el servicio? d.6 = 0. ¿Estaría satisfecho con el nivel d servicio que proporcionara su sistema? ¿Por qué? 40 .¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio? Ejercicio Propuesto # 2 El gerente de la marina Fore and Aft desea investigar la posibilidad de agrandar el muelle de modo de que dos embarcaciones puedan detenerse para cargar combustible y recibir servicio de manera simultanea.1613 hrs Pw = 5 / 9..5208 e) El diseño B.0571 hrs W = 0. Suponga que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson.2857 + 1/9....2857/ 5 = 0.2857 + 5/9. porque tiene un tiempo de espera ligeramente menor y existe mayor probabilidad de que no haya ningún cliente en la fila. con una tasa media de servicio de 12 solicitudes de ayuda en el sistema? a.6 = 0..8065 trabajos Wq = 0.6 = 0. con una tasa media de 10 solicitudes por hora que describe el patrón de llegada y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio Propuesto # 1 El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda.¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema? b.¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio? c. Suponga que la tasa media de llegada es de 5 yates por hora y que la tasa media de servicio para cada canal es de 10 por hora. L = 0. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? d.¿Cuál es la capacidad promedio de automóviles en el sistema? b...¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema? 41 .¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio? e.. La operación de servicio de comida requiere un promedio de 2 minutos por pedido del cliente.-Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y DVD para clientes que ven películas en casa. a.25 clientes por minuto.¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b.. los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y que los tiempos de servicio que siguen una distribución exponencial.¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio? c. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de dos clientes por minuto. a. los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1....¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil para que comience el servicio de aceite y lubricación? c.5 automóviles por hora y la tasa media de servicio es de cinco automóviles por hora.. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2. Durante el juego.¿ Las características operativas indican que el sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona un nivel de servicio aceptable? Ejercicio Propuesto # 5 Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricación de automóviles. Durante las noches entre semana.Ejercicio Propuesto # 3 Un estudio de una operación de servicio de comidas con canales múltiples en el parque de béisbol Red Birds muestra que el tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedido surtido es de 10 minutos. a) ¿Cuál es la tasa media de servicio por canal en función de clientes por minuto? b) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la línea antes de colocar un pedido? c) En promedio ¿Cuántos clientes hay en el sistema del servicio de comidas? Ejercicio Propuesto # 4 3. ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio? UNIDAD III: TEORÍA DE DECISIÓN 42 ..d. 3.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LA TEORÍA DE DECISIONES. En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupación ahora se refiere a tomar quizá una sola decisión (o a lo más una secuencia de unas cuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. No obstante, todavía se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control que crean cierta incertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentes cursos de acción. El análisis de decisiones proporciona un marco conceptual y una metodología para la toma de decisiones racional en este contexto. Una pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este momento o hacer primero algunas pruebas (con algún costo) para reducir el nivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión. Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promoción de prueba de un nuevo producto propuesto para ver la reacción del consumidor antes de tomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización a gran escala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizar experimentación. Entonces, el análisis de decisiones divide la toma de decisiones en los casos sin experimentación y con experimentación. Ejemplo prototipo. La GOFERBROKE COMPANY es dueña de unos terrenos en los que puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado a la gerencia que piensa que existe una posibilidad de 1 a 4 de encontrar petróleo. Debido a esta posibilidad, otra compañía petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90 000. Sin embargo, la Goferbroke está considerando conservarla para perforar ella misma. Si encuentra petróleo, la ganancia esperada de la compañía será aproximadamente de $700 000; incurrirá en una pérdida de $100 000 si encuentra un pozo seco (sin petróleo). Sin embargo, otra opción anterior a tomar una decisión es llevar a cabo una exploración sísmica detallada en el área para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrar petróleo. Este caso es de una toma de decisiones con experimentación, y en ese momento se proporcionarán los datos adicionales necesarios. Esta compañía está operando sin mucho capital por lo que una pérdida de $100 000 sería bastante seria. 43 3.2 CRITERIOS DE DECISIÓN DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS. Determinísticos. Los enfoques de la toma de decisiones que no requieren un conocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza son apro- piados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianza en su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseable un análisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones enfoques diferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de decisiones necesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar el enfoque específico que, de acuerdo con su juicio, sea el más apropiado. Enfoque optimista El enfoque optimista evalúa cada alternativa de decisión en función del mejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión que se recomienda es la que da el mejor resultado posible. Para un problema en el que se desea la ganancia máxima el enfoque optimista conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia. Para problemas que implican minimización, este enfoque conduce a elegir la alternativa con el resultado más pequeño. Para mostrar el enfoque optimista, primero, determinamos el mejor resultado para cada alternativa de decisión; luego, seleccionamos la alternativa de decisión que proporciona el máximo resultado global. Estos pasos identifican de manera sistemática la alternativa de decisión que proporciona la mayor ganancia posible Enfoque conservador El enfoque conservador evalúa cada alternativa de decisión desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión recomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia el enfoque conservador conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximiza la ganancia mínima posible que podría obtenerse. Para problemas que implican minimización, este enfoque identifica la alternativa que minimizará el resultado máximo. Para mostrar el enfoque conservador, primero, identificamos el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisión, luego, seleccionamos la alternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo. Este enfoque de decisión se considera conservador debido a que identifica el peor resultado 44 posible y luego recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidad de resultados extremadamente "malos". Probabilísticos. En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuando están disponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor esperado para identificar la mejor alternativa de decisión. Definamos primero el valor esperado de una alternativa de decisión. Sea N= el número de estados de la naturaleza P(sj)= la probabilidad del estado de la naturaleza sj Debido a que puede ocurrir uno y sólo uno de los N estados de la naturaleza, las probabilidades deben satisfacer dos condiciones: El valor esperado (VE) de la alternativa de decisión d1 se define como sigue: En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los resultados ponderados para la alternativa de decisión. El peso para un resultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y, por consiguiente, la probabilidad de que ocurrirá el resultado. 3.3 VALOR DE LA INFORMACIÓN PERFECTA. Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial. Existe un método que supone (de manera poco realista) que la experimentación eliminará toda la incertidumbre sobre cuál es el estado de la naturaleza verdadero y después hace un cálculo rápido sobre cuál sería la mejora en el pago esperado (ignorando el costo de experimentación). Esta cantidad, llamada valor esperado de la información perfecta proporciona una 45 cota superior para el valor potencial del experimento.4 ÁRBOLES DE DECISIÓN. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado. el VEIP da una cota superior sobre el valor esperado de la experimentación. Ejemplo de un árbol de decisión: 46 . Así. se elegirá la acción con el máximo pago para ese estado. Un árbol decisión proporciona una forma para desplegar visualmente el problema y después organizar el trabajo de cálculos. Suponga que el experimento puede identificar de manera definitiva cual es el verdadero estado de la naturaleza. este definitivamente debe llevarse a cabo. Para evaluar si debe de realizarse el experimento. éste se calcula como: VEIP= pago esperado con información perfecta – pago esperado sin experimentación. 3. No se sabe de antemano cuál estado se identificará. proporcionando con esto. como la experimentación casi nunca puede proporcionar información perfecta. información “perfecta”. Entonces. se usa la cantidad del pago esperado para calcular el valor esperado de la información perfecta (VEIP). por lo que el cálculo del pago esperado con la información perfecta (ignorando el costo de la experimentación) requiere ponderar el pago máximo para cada estado de la naturaleza con la probabilidad a priori de ese estado. si esta cota superior es menor que el costo del experimento. Estos árboles de decisión son especialmente útiles cuando debe tomarse una serie de decisiones. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal. 3. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado. El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los nodos del árbol de decisión se conocen como nodos de decisión y los arcos se llaman ramas. representado por un cuadrado. indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. Un nodo de probabilidad.5 TEORÍA DE DUALIDAD. que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. indica que ocurre un evento aleatorio en ese punto. llamado precisamente dual. Un nodo de decisión. Si el Primal es: 47 . representado por un círculo. c) Crear nuevos algoritmos para la solución de problemas de redes de optimización. 48 . Como el grado de dificultad en resolver un programa lineal por medio de una computadora está en función del número de filas de la matriz A y no en el número de columnas. c) La matriz de los coeficientes tecnológicos del Dual es la matriz transpuesta de los coeficientes tecnológicos del Primal. Las estructuras duales permiten entre otras cosas: a) Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades. Propiedades del primal y del dual. b) Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal. el Dual es un problema de Minimización (Maximización). Y como (AT)T=A entonces el Dual(Dual)=Primal. AX≤ b xi≥ 0 El Dual es: Min Z = bTY s.a. Y los valores de los coeficientes de la función objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual.Máx Z = CX s. se obtiene otro problema lineal donde el número de filas n es menor al número de columnas m. b) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes de la función objetivo del Dual. d) Generar métodos como el dual simples para el análisis de sensibilidad de los programas de programación lineal.a. es decir. al aplicarse la dualidad a un problema primal donde m > n. a) Si el Primal es un problema de Maximización (Minimización). d) El número de restricciones del Primal es igual al número de variables de decisión del Dual. por cada restricción del Primal existe una variable Dual asociada. AT Y≥ CT yi≥ 0 Usos de la formulación dual. Las decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesante que se resuelve con lo que se denomina un árbol de decisiones. por cada variable del Primal existe una restricción asociada del Dual. Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posibilidad de contratar por 10 años sus servicios para una nueva operación diferente a su actual operación. El análisis de sensibilidad ayuda al tomador de decisiones a entender cuáles de estas entradas son críticas para la elección de la mejor alternativa de decisión. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo 500. e) El número de variables de decisión del Primal es igual al número de restricciones del Dual. que incluso le supone realizar una nueva inversión estimada en 6 millones de unidades monetarias. El análisis de sensibilidad puede usarse para determinar cómo los cambios en las probabilidades para los estados de la naturaleza o los cambios en los resultados afectan la alternativa de decisión recomendada. 3. a fin de conocer el van (valor actualizado neto) según cada inversión para cada alternativa. la variable Dual asociada es sin restricción de signo y viceversa.7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. f) Si una restricción del Primal esta en la forma canónica del problema. h) Si una restricción del Prima es una igualdad. 3. Pero siempre considerando el van de la decisión de no hacer nada o sea de seguir con sus servicios actuales. Si un cambio pequeño en el valor de una de 49 . es decir. y tendría que abandonar ese servicio para aceptar el nuevo contrato.000 unidades monetarias por año. la variable Dual asociada es no positiva y viceversa. entonces se deben comparar a valor presente los dos rendimientos de esas alternativas para poder decidir. a su vez los rendimientos según alternativas se haría con el valor actualizado de una anualidad constante. En muchos casos. las probabilidades para los estados de la naturaleza y los resultados se basan en afirmaciones subjetivas. g) Si una restricción del Primal no esta en la forma canónica del problema. Para estos casos es necesario primero conocer (con una encuesta) las probabilidades relativas a la preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio que se desea ofertar y ello arrojaría un % tal que sería el peso subjetivo que se utilizaría en el árbol de decisiones. la variable Dual asociada es no negativa y viceversa.6 DECISIONES SECUENCIALES. Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionar valores diferentes para las probabilidades de los estados de la naturaleza y los resultados y luego resolver el problema de análisis de decisiones. Si cambia la alternativa de decisión recomendada. Es obvio que podríamos continuar modificando las probabilidades de los estados de la naturaleza y aprender aún más acerca de cómo afectan los cambios en las probabilidades a la alternativa de decisión recomendada. para determinar cómo afectan los cambios de las probabilidades a la alternativa de decisión recomendada. El inconveniente de este enfoque son los numerosos cálculos que se requieren para evaluar el efecto de varios cambios posibles en las probabilidades del estado de la naturaleza. la solución al problema de análisis de decisión no es sensible a esa entrada particular. Para el caso particular de dos estados de la naturaleza. la solución para el problema de análisis de decisión es sensible a esa entrada particular. No se requeriría tiempo o esfuerzo adicional para refinar el valor de entrada estimado. si un cambio de modesto a grande en el valor de una de las entradas no causa un cambio en la alternativa de decisión recomendada. sabemos que la solución es sensible a los cambios hechos. Debe hacerse un esfuerzo y tener un cuidado adicional para asegurar que el valor de entrada es tan preciso como sea posible. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio # 1 50 .las entradas causa un cambio en la alternativa de decisión recomendada. Por otra parte. puede usarse un procedimiento gráfico. los precios de las pastillas vitamínicas deben ser positivos. 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. 5y1 + 1. que desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamínicas.5 unidades de vitamina C. comprarán justamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas del ganado de cada una de las vitaminas. b) Cada kilogramo del preparado P2 aporta 3 unidades de vitamina A. B y C respectivamente. y2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A.5y2 + 1y3 ≤ 2 3y1 + 3y2 +1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 5y1+1.a. Para ello el precio de venta de las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1. por tanto se tienen además las condiciones de no negatividad de y1. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 5y1+1. Esta empresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten las vitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas.5y3 ≤ 3 y1. a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A. 3 unidades de vitamina B y 1. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1. Es decir. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 3y1+3y2+1. P2.5y2+1y3 ≤ 2. Para establecer los precios. y2 y y3. 1. Por tanto los ingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de Z = 27y1+15y2+9y3 por animal y día. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consigan maximizar sus beneficios pero que además resulten atractivo para los responsables de la granja. Piénsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado. c) Por supuesto. Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas. y no mediante los preparados que hasta ahora utilizaban. la empresa debería plantearse el programa lineal: PRIMAL Max Z = 27y1+15 y2+ 9y3 s.5y3.5y2+1y3. y3 ≥ 0 DUAL Max = 2y1 + 3y2 51 . y2. por cada animal y día se comprarían 27 unidades de vitamina A. Sean y1.5y3 ≤ 3. de 15% en un mercado a la alza y solo 5% en un mercado a la baja. 000 acciones de A 52 . pero podrían producir un rendimiento de 50% sobre la inversión durante el próximo año.5y2 = 9 y1 = 9 – 1.s.10.6) $ 5.29) = 18.5) 5y1 + 3y2 = 27 (-5) 1.07 Max = 2(4.10.5y1 + 4. 000.07) + 3(3. comprando acciones de una de dos compañías: A y B.15y2 = . Las acciones de la compañía A son arriesgadas.75 .5 y2 = 3. las acciones pueden perder el 20% de su valor.5 y2 = .5 / .5y2 = -34. ¿Dónde debería invertir su dinero? Invertir en Mercado a la alza (0.29 y1 + 1.5y1 .5y2 = 40. 5y1 + 3y2 ≥ 27 1. La empresa B proporciona utilidades seguras. Todas las publicaciones que consulto predicen que hay 60% de probabilidades que el mercado este a la alza y 40% de que este a la baja.5(3.5y1 + 3y2 = 15 7. en el mercado de valores.01 Ejercicio # 2 Suponga que de sea invertir $10. a. Si las condiciones del mercado de valores no son favorables.5y2 ≥ 9 Solución: (1.29) y1 = 4.5y1 + 3y2 ≥ 15 y1 + 1.5 -7.34. 4 = $ 1100 En base a estos cálculos se recomienda invertir en la empresa A. d1 = complejo pequeño con 30 condominios. 000 *0. d2 = complejo mediano con 60 condominios. d3 = complejo grande con 90 condominios.4) . donde se unen los ríos Allegheny y Monongahela para formar el rió Ohio. 000 1 Invertir enMercado a la alza (0. 500 * 0. Los resultados posibles para un evento fortuito o estados de la naturaleza son para PDC: s1 = Demanda fuerte para los condominios. otro con 60 y uno más con 90. Ejercicio # 3 Pittsburgh Development Corporation (PDC) compro unos terrenos en los que se construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. PDC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre $300. s2 = Demanda débil para los condominios.6 + (-200) * 0.6 + $ 500 * 0. 500 3 Mercado a la baja (0. Enfoque optimista Alternativa de dedición Resultado máximo 53 .$ 2.6) acciones de B $1.4 = $2200 Para las acciones B = $ 1. 2 Mercado a la baja (0. 000 y $ 1 400 000 cada una.4) $ 500 Para las acciones A = $ 5. La ubicación proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del Triangulo Dorado. El problema de decisión de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto que llevara a la mayor ganancia dada la incertidumbre en la demanda de los condominios. PDC comisiono los bocetos arquitectónicos preeliminares para tres proyectos de diferente tamaño: uno con 30 condominios. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del complejo de condominios y del evento fortuito para la demanda que exista de los inmuebles. 000. d3 -9 • El máximo de los valores de resultados mínimos es 7. Suponga que PDC construya un complejo de condominios pequeños y la demanda resulta ser fuerte. Generalmente. Enfoque de arrepentimiento mínimax. 000 sin embargo. seleccionamos la alternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo. que produce una ganancia de $20. d3 20 • El máximo de los valores de resultados máximos es 20. LA ganancia resultante para PDC seria de $8.$ 8 000 000 = $12 000 000. Enfoque conservador Primero. d1 7 Complejo mediano. d1 12 0 54 . 000. d2 5 Complejo grande. Estado de la naturaleza Alternativa de dedición Demanda fuerte s1 Demanda débil s2 Complejo pequeño. dado que ha ocurrido en el estado de la naturaleza de demanda fuerte. d2 14 Complejo grande. 000. identificamos el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisión. La diferencia entre el resultado por la mejor alternativa de decisión y el pago por la dedición de construir un complejo de condominios pequeño es la perdida de oportunidad o arrepentimiento. Tabla de pérdida de oportunidad o arrepentimiento.Complejo pequeño. Alternativa de dedición Pago mínimo Complejo pequeño. luego. d1 8 Complejo mediano. nos damos cuenta que la decisión d construir un complejo de condominios grande. por lo que se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios pequeños. Para este caso la perdida de oportunidad o arrepentimiento es: $ 20 000 000 . al siguiente expresión representa la perdida de oportunidad o arrepentimiento: Rij = | Vj* . abría sido al mejor decisión.Vij | El siguiente paso es enlistar el arrepentimiento máximo para cada alternativa de decisión. por lo que se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios grande. El valor de su inversión cambiara. el cual corresponde a un complejo mediano. dependiendo de las condiciones del mercado. y 40% de probabilidades de que suba. Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje. de crecimientos agresivos y globales. d3 16 Se toma el mínimo del arrepentimiento máximo que es 6. d3 0 16 Arrepentimiento máximo para cada alternativa de decisión Alternativa de dedición Arrepentimiento máximo Complejo pequeño. d2 6 Complejo grande. La tabla siguiente muestra el cambio porcentual en el valor de la inversión bajo las tres condiciones: Rendimientos en un año por inversión de $10. Minimizar z = 3x + 5y Sujeto a: x1 + 2 x2 + x3 =5 .000 Alternativa Mercado baja (%) Mercado moderado (%) Mercado sube Servicios +5 +7 +8 Crecimiento -10 +5 +30 global +2 +7 +20 a) Represente el problema con un árbol de decisión b) ¿Cuál fondo de ahorro deberá seleccionar? Ejercicio # 2 Escribir el dual del siguiente problema y determinar su solución óptima usando la base primal optima. d2 6 2 Complejo grande. 50% de que quede estable.x 1 + 3 x2 + x4 = 2 55 .Complejo mediano. d1 12 Complejo mediano. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio # 1 Tiene usted oportunidad de invertir en tres fondos de ahorros: servicios. media o alta. x3. Para realizar un análisis. c) Recomiende una decisión basada en el uso de los enfoques optimista. conservador y de arrepentimiento mínimax? Ejercicio # 4 La decisión de Sowthland Corporation de producir una línea nueva de productos recreativos a dado como resultado a la necesidad de construir ya sea una planta pequeña o una grande. conservador y de arrepentimiento minimax. Ejercicio # 5 56 . x1. Estado de la naturaleza Alternativa de S1 S2 S1 decisión d1 250 100 25 d1 100 100 75 a) Construya un árbol de decisión para este problema. x2. La mejor selección del tamaño de al planta depende de cómo reaccione el mercado a la nueva línea de producción. Demanda a largo plazo Tamaño de la planta baja media Alta pequeña 150 200 200 Grande 50 200 500 a) ¿Cual es la decisión que se ve a tomar y cual es el evento fortuito para el problema de Sowthland? b) Construya un árbol de decisión. la gerencia de mercadotecnia ha decidido calificar la posible demanda a largo plazo como baja. x4 ≥ 0 Ejercicio # 3 La siguiente tabla de resultados muestra las ganancias para un problema de análisis de decisiones con dos alternativas y tres estado de la naturaleza. La siguiente tabla de resultados muestra la ganancia proyectada en millones de dólares. ¿Cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista. b) Si el tomador de cisiones no sabe nada sobre las probabilidades de los tres estados de la naturaleza. 2 y P (s2) = 0. Estado de la naturaleza Alternativa de S1 S2 decisión d1 10 1 d2 4 3 a) Use una análisis de sensibilidad grafico para determinar le rango de probabilidades del estado de la naturaleza S1. La tabla de resultados siguiente muestra la ganancia para un problema de decisión con dos estados de la naturaleza y dos alternativas de decisión.8. b) Suponga que P (s1) = 0. ¿Cuál es la mejor decisión usando el enfoque del valor esperado? UNIDAD IV: 57 . a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes. el generador de Markov produce uno de n eventos posibles. . de manera que el generador se encuentra en el estado Mj . .2 FORMULACIÓN DE LAS CADENAS DE MARKOV. En la figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. Las cadenas de Markov tienen la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionará en el futuro dependen sólo del estado actual en que se encuentra el proceso y. E j. En efecto. Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Por lo general este tratamiento se puede lograr si el fenómeno natural muestra un cierto grado de regularidad de manera que sea posible describir la variación mediante un modelo probabilístico. Esta incertidumbre proviene de la variación inherente a las fuentes de esa variación que eluden el control o proviene de la inconsistencia de los fenómenos naturales. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. . 4. como tirar una moneda al aire o un dado. las cadenas de este tipo tienen memoria. 2. Tales procesos se llaman procesos estocásticos. En lugar de manejar esta variabilidad como cualitativa puede incorporarse al modelo matemático y manejarse en forma cuantitativa.1 INTRODUCCIÓN.1. Una cadena de Markov es una serie de eventos. 58 . El capitulo está dedicado a un tipo especial llamado cadena de Markov. Muchos procesos se ajustan a esta descripción por lo que las cadenas de Markov constituyen una clase de modelos probabilisticos de gran importancia. por tanto son independientes de los eventos ocurridos en el pasado. el último evento generado fue Ej. En la figura 4. . n. en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. Este capítulo presenta modelos de probabilidad para procesos que evolucionan en el tiempo de una manera probabilística. En los problemas de toma de decisiones. Este estado se describe por el último evento generado. CADENAS DE MARKOV 4. donde j = 1. con frecuencia surge la necesidad de tomar decisiones basadas en fenómenos que tienen incertidumbre asociada a ellos.1. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. M3 y M4 . como el que se muestra en la figura de abajo. 59 . Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados. Probabilidades de transición. La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla siguiente . Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al estado Ek. La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional: P ( Ek / Mj ). M2 . La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama: Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles : M1. 4. .. Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias { X1 }. no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0. X3. En puntos específicos del tiempo t . . X2 . . Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso... . 4. Por ejemplo. El superíndice n no se escribe cuando n = 1. S. que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema.. M . . etiquetados 0. Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico.4 PROPIEDAD MARKOVIANA DE PRIMER ORDEN. 2.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Para n = 0. 1. . . Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X. Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema. representa una característica de interés medible en el tiempo t. 1. Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos. 2. . ... en donde las variables aleatorias se observan en t = 0. . .. 60 . Un proceso markoviano de orden 1 es un proceso estocástico de orden 1 en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su presente está especificado. 1. o puede representar la colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto. M . 1. el proceso estocástico. Puede representar la colección de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado. Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. . y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0. donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado. X1 .. 1. . Probabilidad de Transición: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un período ó tiempo. X2 el número de cámaras al final de la semana dos.5 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE UN SOLO PASO. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso. Sean d1. . d2. X 1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno.. y se denota por pij (la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una transición ó período) Características de los procesos de Markov de primer orden: Se pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico que tenga las siguientes propiedades: a) Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov. b) Existencia de un número finito de estados. Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia. etc. este es un proceso de Markov de mayor orden. cumple con el Principio de Markov de Primer Orden. 4... d) Ensayos en períodos iguales. X (t ) =i ) =P ( X (t +1) = j X (t ) =i ) = p ij Definiciones en los procesos de Markov de primer orden: Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posibles. las demandas de esta cámara durante la primera. Si un suceso depende de otro además del inmediatamente anterior.. Suponga que X0 = 3 .. Cuando una probabilidad condicional depende únicamente del suceso inmediatamente anterior. Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. un proceso de segundo orden describe un proceso en el cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores.. . es decir: P ( X (t +1) = j X (0) =K 0 .. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. c) Las pij son constante con respecto al tiempo ó período. Por ejemplo... semana. respectivamente. El sábado en la noche la 61 . segunda. X (1) =K 1 .. es decir. Para encontrar . entonces la demanda durante la semana tiene que ser exactamente 1. En consecuencia. significa que la demanda durante la semana fue de tres o más cámaras. 2. . Si . 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. lo que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transición ( de un paso): 62 . Observe que {Xi}. y se puede obtener de una manera parecida. ordenar (hasta) S=3. Para obtener . 1. los elementos de la matriz de transición ( de un paso). . Por esto. en donde Xi es el número de cámaras en el almacén al final de la semana t ( antes de recibir el pedido }). Entonces. Así. si . La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. entonces . Si . {X1} para t = 0. Los elementos restantes se obtienen en forma similar. Para obtener es necesario evaluar . 1. la probabilidad de que una variable aleatoria Poisson con parámetro tome el valor de 3 o más. Entonces . es una cadena de Markov. Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. por ende. S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda). De otra manera. no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén. Los estados posibles del proceso son los enteros 0. no se hace el pedido). observe que si .. Se verá ahora cómo obtener las probabilidades de transición (de un paso). la demanda durante la semana debe ser 1 o más. . La tienda usa la siguiente política ( s. Por lo tanto. Suponiendo que cada Dt tiene una distribución Poisson con parámetro . .tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. estas expresiones se vuelven : Note que las son los elementos de la matriz P (2) . pero también debe de observarse que estos elementos. Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones Para toda i. el proceso estará en algún estado k después de exactamente m (menor que n) pasos. esto es .m pasos. Para n=2. j. Así. Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular estas probabilidades de transición de n pasos : Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n pasos. P(2) = P * P = P2 .6 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE N PASOS. y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de manera recursiva. 63 . se obtienen multiplicando la matriz de transición de un paso por sí misma. si se comienza en el estado i.4. el proceso vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en n. Es solo la probabilidad condicional de que. es posible determinar los siguientes datos: 1) El número esperado de pasos antes de que el proceso sea absorbido.7 ESTADOS ABSORBENTES. Si el estado k es un estado absorbente. Se dice que un estado i es absorbente si la probabilidad de transición (de un paso) pij es igual a 1.. es deseable encontrar estas probabilidades de absorción. Dichas probabilidades pueden obtenerse con sólo resolver un sistema de ecuaciones lineales. Una cadena de Markov es Absorbente si: a) Tiene por lo menos un estado Absorbente. En términos más generales. Si se tienen dos o más estados absorbentes en una cadena de Markov y es evidente que el proceso será absorbido en uno de estos estados. Esta probabilidad se denota por fik. 3) La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado. se concluye que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la expresión: P(n) = P * P . Entonces. tales cálculos resultan tediosos y. b) Es posible ir de cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores no muy grandes de n. 4.. ni es necesario tener la posibilidad de alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente. Una vez que la cadena llega al estado k permanece ahí para siempre. entonces el conjunto de probabilidades de absorción fik satisface el sistema de ecuaciones 64 . Si k es un estado absorbente y el proceso comienza en el estado i. No es necesario efectuar esta transición en un paso. 2) El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado dado no absorbente.. la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la forma que se acaba de describir. A partir del análisis de estas cadenas. los errores de redondeo pueden causar inexactitudes. la probabilidad de llegar en algún momento a k se llama probabilidad de absorción al estado k dado que el sistema comenzó en i. pero cuando n es grande. P = Pn = PPn-1 = Pn-1 P. más aún. o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. o bien permanecerá en i o se moverá a uno de los estados - inmediatamente adyacentes a i. Para encontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P. (1). Como Pij (n + 1) = ( renglón i de Pn )(columna j de P). . podemos escribir (2) 65 . según el teorema. El vector a menudo se llama distribución de estado estable. 4. la caminata aleatoria con frecuencia se usa como a modelo para situaciones que incluyen juegos de azar. TIEMPOS DE PRIMER PASO. Por ejemplo. para n grande y para toda i .sujeta a las condiciones Las probabilidades de absorción son importantes en las caminatas aleatorias.8 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE ESTADOS ESTABLES. Existe entonces un vector tal que: Se establece que para cualquier estado inicial i . Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados. entonces en una sola transición. Una caminata aleatoria es una cadena de Markov con la propiedad de que. si el sistema se encuentra en el estado i. 9 0.9 Súper Cola = 0.1 0.9 1 Red Rot Pop Súper Cola = 0.09 Súper Cola Red Rot Pop = 0 0.1 0. Súper Cola.1 0.9 0.1 Súper Cola = 0 0 Red Rot Pop Red Rot Pop = 0 0. se basan en la compra más reciente del cliente.9 a) Trace el diagrama de árbol de dos periodos para un cliente que compro la ultima vez Red Rot Pop.9 0. ¿Cuál es el efecto proyectado de la campaña de publicidad sobre las participaciones del mercado? a) Primera Segunda compra compra Red Rot Pop = 0.09 Red Rot Red Rot Pop = 0.01 Pop 0.81 0.9 Súper Cola = 0 Súper Cola [0. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio #1 Los administradores de la empresa New Fangled Sofdrink Company consideran que la probabilidad de que un cliente compre la bebida Red – Rot Pop. 0.1 0.1 Súper Cola 0.1 0. Supóngase que son apropiadas las siguientes probabilidades de transición: Red Rot Pop Super Cola Red Rot Pop 0. Los administradores consideran que la nueva compañía aumentaría a 0.9 0.1 Súper Cola 0.18] 66 .15 la probabilidad de que un cliente cambie de Súper Cola a Red Rot Pop. o el principal producto de competencia.82. ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente compre Red Rot Pop en una segunda compra? b) ¿Cuál es la participación de mercado a largo plazo para cada uno de estos dos productos? c) Se esta planeando una importante campaña de publicidad para aumentar la probabilidad de atraer a los clientes de Súper Cola. 2y = 0 x = 0.9x + 0. b) = 0.1 – 0. La probabilidad de que un cliente compre dos veces consecutivas la marca de refresco Red Rod Pop es de 0.9 y = y 0.1 – 0.25 0.4 x+y=1 0.1 x + 0.0.5 0.1y = 0 x=1–y 0.1y = 0 y = -0.1y = 0 .15y = 0 x=1–y 0. Supóngase que se definen los ensayos de un proceso correspondiente de Markov como periodos de una llora y que la probabilidad de que el sistema esté en estado de operación o en estado inactivo se basa en el 67 .6.85y = y 0. c) = 0.2y = -0.5 x=1–y La participación en el mercado a largo plazo de ambas marcas es de 0.6 -0.1y – 0.15y = x 0.15y = 0 x = 1 – 0.5 -0.15y = 0 y = 0.1y = 0 x = 1 – 0.1 -0.4 x+ y=1 x=1–y Se espera que con la publicidad realizada.1x + 0.1 x + 0.1x – 0.1 y = x 0.1(1 – y) – 0. el mercado para Red Rot Pop aumente a 0.1(1 – y) – 0.2 x+ y= 1 y = 0.82.1 / -0.1x – 0.1y – 0. Ejercicio #2 El centro de computación de la Universidad Rockbottom ha estado experimentando periodos considerables de tiempo muerto en sus computadoras.9 x + 0.25y = -0.1/-0.15y = 0 y = -0.25y = 0 x = 0.1 – 0.1 0.1x + 0.40. mientras que la fidelidad de la marca Súper Cola caerá a 0.5 para cada una de ellas.1 – 0. 3y = x 0.9x + 0.90 0.1 – 0.90 0.30 0.4y = -0.05 0.4y = 0 x = 0.10 DeInoperante 0. Si el sistema está inicialmente operando. ¿cuál es la probabilidad de que se caiga el sistema en la siguiente hora de operación? b.3y = 0 y = 0. 68 . ¿Cuáles son las probabilidades de estado estable de que el sistema se encuentre en estado operante y en estado inoperante? a) = La probabilidad de que caiga el sistema es de 0.3y = 0 x = 1.75 x+y=1 -0.1 – 0.1(1 – y) – 0.3y = 0 x=1–y 0. ¿Qué marca parece tener la mayor cantidad de clientes leales? Explique.95 a. Los datos históricos muestran las siguientes probabilidades de transición: A Operante Inoperante Operante 0. b) = 0.1 / -0.estado del sistema en el periodo anterior.1x + 0.10 MDA 0.25 0.1.1 y = -0.4 -0.1x + 0.25 0.7y = y 0.3y = 0 x = 1 – 0. con las siguientes probabilidades de transición: Especial B MDA Especial B 0.70 a.1y – 0.1x – 0.y Ejercicio #3 Se pueden expresar como procesos de Markov los patrones de compra de dos marcas de dentífrico. 20 T-Blanca 0. mientras que la participación de MDA será de 2/3.80 0.1x + 0. = 69 .1 / -0.9x + 0.05y = 0 x = 1. de manera que se tienen las siguientes probabilidades de transición: Especial B MDA T-Blanca Especial B 0. b.y 0.1 – 0.1(1 – y) – 0.95y = y 0.15y = -1 -0.05y = 0 x = 1 – 2/3 x+y=1 0.15y = 0 x = 1/3 -0.1x + 0.10 0.15 0.1x .40 0.05 0.1 – 0.0.1y – 0.10 MDA 0.05y = x 0.30 ¿Cuáles son las nuevas participaciones de mercado a largo plazo? ¿Q ué marca sufre más por la inclusión de la nueva marca de crema dental? Obsérvese que determinar las probabilidades de estado constante para este problema requiere de la solución de tres ecuaciones y tres incógnitas.30 0.05y = 0 y = 2/3 x=1–y Especial B tendrá una participación esperada en el mercado a largo plazo de 1/3.75 0. Ejercicio #4 Supóngase que en el problema anterior entra en el mercado una nueva marca de crema dental.05y = 0 y = -0. b) = 0. ¿Cuáles son las participaciones de mercado que se proyectan para las dos marcas? La marca que tiene la mayor cantidad de clientes leales es MDA. Sin embargo.4423 1 -0.3z = 0 z = 0.5(0.05y + 0.1x – 0.2x + 0. Ejercicio #5 La empresa KLM Christmas Tree Farm es propietaria de un vivero con 5000 árboles de hoja perenne.25R2 + 0.20y + 0. En la actualidad.4423 1 1 1 1 Participaciones de mercado a largo plazo de R2 = -0.7z = 0 z = 0.25 -2 0 MDA = 0. es posible que no se le seleccione para corte sino hasta unos años después.225 0.225 y = 0.25 3 1 R3 = R3 + R2 La marca que se vera mas afectada R4 = 1.08655 1 1 1 1 y = -0.25 0.8x + 0.1x + 0.0.1R1 + R2 las diversas marcas: R3 = -0.3846 R1 = R1 / -0.225 0.1R1 + R3 R4 = -R1 + R4 Especial B = 0.2 -0.225 -0.25 -2 0 0.25 0.75y + 0.2 -0.2 0.1731) =0 0.3 0 -0.3846 0 -0.225 / 1.5 0 0.1 -0.0.4 0 -0.1731 x+ y+ z=1 -0.7 0 x = 0.4z = 0 1.7 0 -0.25y + 0.225y = .5z = 0 -0.1 -0.1 0.3z = 0.05y + 0.08655 / -0. Aunque la mayoría de los árboles que no 70 .2 x+y+z=1 1 -0. aun cuando exista un árbol disponible para corte en un año determinado.1 0. mientras que los 3500 restantes están disponibles para su corte.05 0.225 -0.3z = z 0 0 0 0 x+ y+ z=1 0 0 1.3 0.08655 = 0 0.225 0.1x + 0.3 0.225y + 0.5 0 T – Blanca = 0.225y + 0.20y – 0.5 0 0 1. KLM permite a los vendedores de árboles de Navidad al menudeo que seleccionen y corten árboles para vender a clientes individuales.3 0 x = 1 – 0. Cada año.3z = y 0 -0.25 -2 0 x=1–y–z 0.3846 – 0.1731 0 0.1x + 0.225R3 negativamente por la introducción de T – Blanca al mercado a largo plazo es MDA.4z = x 1 -0.1731 0. La KLM protege los árboles pequeños (usualmente de menos de 4 pies de altura) de manera que se les permite crecer y estar disponibles para su venta en años futuros. 1500 árboles se clasifican como árboles protegidos.225y + 0. y cuántos se perder P= 71 .se cortan en un año determinado siguen de pie hasta el año siguiente. Al considerar la operación de árboles navideños de la KLM como un proceso de Markov con periodos anuales. se definen los cuatro siguientes estados: Estado 1 Cortado y vendido Estado 2 Perdido por enfermedad Estado 3 Demasiado pequeño para corte Estado 4 Disponible para corte pero no cortado y vendido La siguiente matriz de transición resulta apropiada: P= ¿Cuántos de los 5000 árboles del vivero se venderán en algún momento dado. algunos árboles mueren durante ese año y se les pierde. Los administradores consideran que cambiando a un componente distinto de maquinaria se obtendría la siguiente matriz de probabilidades de transición: operante Inoperante Operante 0.5R1 + 0.60 0.25 R2 = R2 /0.05 inoperante 0.95 0.40 a. N= R1 = R1/ 0.2R2 BNR = BNR = BNR = Cantidad de árboles cortados y vendidos: 3580 árboles Cantidad de árboles perdidos: 1420 árboles EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio #1 Se determinó que una de las causas del problema del tiempo muerto de una maquinaria era una pieza específica de los aparatos de cómputo.5 I–Q= N= I–Q= N= N= NR = N= R1 = 0. ¿Cuáles son las probabilidades de estado estable de que el sistema se encuentre en los estados de operación e inactivo? . ¿cuál es el costo de equilibrio para el nuevo componente de la maquinaria. con base en los periodos? Ejercicio #2 En el análisis de participación de mercado. ¿Qué se observa respecto a las probabilidades a largo plazo de cada estado? Ejercicio #3 Dada la siguiente matriz de transición.5 de que un cliente haya comprado en Murphy’s y una probabilidad de 0.5 y π2. se podría suponer que existe una probabilidad de 0.000 en la categoría de antigüedad de 0 a 30 días. Dadas estas probabilidades de estado iniciales. ¿cuál es su estimación del monto de incobrables que la compañía experimentará? . ¿cuál es la probabilidad de que las unidades de los estados 3 y 4 terminen en cada uno de los estados absorbentes? P= Ejercicio #4 Supóngase que es apropiada la siguiente matriz de transición: P= Si Heidman's tiene $4. es decir. que muestre la probabilidad de cada estado en periodos futuros.5 de que el cliente haya comprado en Ashley’s en el periodo 0. Por ello.000 en la categoría de antigüedad de 31 a 90 días. con los estados 1 y 2 como estados absorbentes. π1(0) = 0.(0) = 0. y $5. evaluando los procesos de Markov correspondientes a las visitas de compras de un cliente pero que no se sabe en donde compró en la última semana. considérese que está. Si se estima que el costo de que el sistema esté descompuesto en cualquier periodo es de $500 (incluyendo las utilidades que se pierden por el tiempo muerto y el mantenimiento).5. b. elabore una tabla. y se considera que el periodo es de 30 min. dado que hubo demoras en el periodo anterior. ¿Considera que este supuesto es apropiado en el problema anterior sobre el tráfico? Explique. (2 periodos) el sistema se encuentre en el estado de demoras? Obsérvese que tal es la probabilidad de que se encuentre en el estado de demora para 2 periodos consecutivos. Una suposición importante de los modelos de procesos de Markov que se presentaron en este capítulo han sido las probabilidades de transición constantes o estacionarias durante la operación del sistema en el futuro. y en dirección a Kentucky. a. Suponga que es 0.75 la probabilidad de encontrar una demora debido al tráfico de un periodo. ¿Cuál es la probabilidad de que el tránsito se encuentre a largo plazo en el estado de carencia de demoras? b. Suponiendo que es un automovilista que ingresa al sistema vial o de tránsito y recibe un reporte de radio de que hay demoras en el tráfico.Ejercicio #5 Un problema importante en el área principal de Cincinnati implica el tráfico automovilístico que intenta cruzar el río Ohio. a.85 la probabilidad de que no haya demoras por el tráfico en un periodo. ¿cuál es la probabilidad de que. El tráfico se clasifica como estados en los que se tiene demora o no. para los siguientes 60 min. utilizando la Carretera Interestatal I-75. proviniendo de Cincinnati. . dado que no hubo demoras de tal clase en el periodo anterior. que es 0. si se desea. Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Sin embargo. un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra manera de etiquetarlo es A —> B. Aun para un arco dirigido. pero en el entendimiento de que el flujo real será el flujo neto (la diferencia de los flujos asignados en las dos direcciones). lo que reduce el flujo en la dirección original de 10 a 6. en la seleccionada. con frecuencia se hará referencia a los arcos no dirigidos con el sugestivo nombre de ligadura. Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une. Los arcos de una red pueden tener un flujo de algún tipo que pasa por ellos. Una red con una mezcla de arcos dirigidos y no dirigidos (o incluso una con todos sus arcos no dirigidos) se puede convertir en una red dirigida. Las líneas se llaman arcos (o ligaduras. Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones). Los puntos se llaman nodos (o vértices). Para ayudar a distinguir entre los dos tipos de arcos. Los arcos se etiquetan dando nombre a los nodos en sus puntos terminales. Una red que tiene sólo arcos dirigidos se llama red dirigida. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección. y no se tendrán flujos simultáneos en direcciones opuestas. De igual manera. esto es. se dice que el arco es un arco no dirigido. se dice que se trata de una red no dirigida. en el proceso de toma decisiones sobre el flujo en un arco no dirigido. se permite hacer una secuencia de asignaciones de flujos en direcciones opuestas. se dice que el arco es un arco dirigido.1 TERMINOLOGÍA Se ha desarrollado una terminología relativamente extensa para describir los tipos de redes y sus componentes. Se supone que ese flujo será en una dirección. después el nodo a donde va. siempre se pone primero el nodo de donde viene. se puede hacer una asignación ficticia de flujo en la dirección "equivocada" a través de un arco dirigido para registrar una dirección en esa cantidad en el flujo que va en la dirección "correcta". sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en . si se asigna un flujo de 10 en una dirección y después un flujo de 4 en la dirección opuesta. aristas o ramas). En particular. AB sería el arco entre los nodos A y B. La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.UNIDAD V: OPTIMIZACIÓN DE REDES 5. Por ejemplo. si todos sus arcos son no dirigidos. si el flujo a través de un arco se permite sólo en una dirección (como en una calle de un sentido). el efecto real es la cancelación de 4 unidades de la asignación original. por ejemplo. en ocasiones se usa la misma técnica como una manera conveniente de reducir un flujo previamente asignado. pero el inverso no se cumple. (Después se puede optar por interpretar los flujos a través de cada par de arcos dirigidos como flujos simultáneos en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto en una dirección. las trayectorias no dirigidas juegan un papel muy importante en el análisis de las redes dirigidas.direcciones opuestas. (Observe que una trayectoria dirigida también satisface la definición de trayectoria no dirigida. pero en general el inverso no es cierto. Por ejemplo. Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos.) Con frecuencia una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir. Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos fue conectan estos nodos. un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido. (Observe que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida. En una red dirigida un ciclo puede ser dirigido o no dirigido.) Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado.) Cuando dos nodos no están unidos por un arco surge la pregunta natural de si están conectados por una serie de arcos. . hacia el nodo i). de manera que el flujo del nodo i al nodo j a través de esta trayectoria es factible. y viceversa. es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O →B→ D →T). se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. según si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.) Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. una de las trayectorias que conectan a los nodos O y T en la siguiente figura. según se ajuste al caso. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida. 1.. plantas. Sea ui la distancia mas corta entre el nodo 1 hasta el nodo i. Una etiqueta temporal se modifica si se encuentra una ruta mas corta a un nodo. Cuando no se ve que se puede encontrar rutas mejores. Los nodos pueden representar ciudades. cambia la etiqueta de un estado temporal a permanente.. . . identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas). Entonces el algoritmo define la etiqueta de un nodo inmediato posterior j como [uj. el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. que indica que el nodo no tiene predecesor.j). entre otros. . REDES CÍCLICAS Y ACÍCLICAS. Igualar i = 1. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen. Paso 0. fábricas. El algoritmo de Floyd es general. desde el origen.5.i].]. los arcos o flechas representan las distancias que hay entre las carreteras o caminos que enlazan a los elementos antes mencionados.i] = [ui + dij. porque permite determinar la ruta mas corta entre dos nodos cualesquiera en la red. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema.]. Etiquetar el nodo fuente (nodo 1) con la etiqueta permanente [ 0.Algoritmo de Dijkstra 2. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Las etiquetas de nodos en el algoritmo de Dijkstra son de dos clases: temporales y permanentes. y se define dij( ≥ 0 ) como la longitud del arco (i.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA.Algoritmo Floyd Algoritmo de Dijkstra El algoritmo de Dijkstra tienen por objeto determinar las rutas mas cortas entre lo nodo fuente y los demás nodos de la red. Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. Algoritmo de Dijkstra. En esta sección se representan los algoritmos para resolver redes cíclicas (es decir que continúen bucles o lazos) como acíclicas. dij ≥ 0 La etiqueta del nodo de inicio es [0. e infinitamente en caso contrario. Dados tres nodos i.j) de la matriz expresa la distancia dij del nodo i al nodo j.k] por [uj + dij. Figura. con las distancias entre si indicadas en los tres arcos.i] para cada nodo j al cual pueda llegarse desde el nodo i.k] por otro nodo k.j y k. Algoritmo de Floyd. es mas corto ir a k desde i pasando por j si dij + djk < dik En este caso. Este intercambio de operación triple se aplica en forma sistemática a la red. Los elementos diagonales se marcan con (-) para indicar que están bloqueados. detenerse. b) Si todos los nodos tienen etiquetas permanentes. porque determina la ruta mas corta entre dos nodos cualesquiera de la red. Igualar k = i. El algoritmo representa una red de n nodos como matriz cuadrada con n renglones y n columna. El elemento (i. a) Calcular las etiquetas temporales [ui + dij. Definir las matrices iniciales de distancias D0 y de secuencias de nodos S0 como se describe abajo. En caso contrario. si el nodo j ya esta etiquetado con [uj. que es finita si i esta conectado directamente con j. El algoritmo de Floyd es más general que el de Dijkstra.Paso i. sustituir [uj. Operación triple de Floyd El concepto de Floyd es directo. con los siguientes pasos: Paso 0. . seleccionar la etiqueta [ur. s] que tenga la distancia mas corta (=ur) entre todas las etiquetas temporales (los empates se rompen en forma arbitraria. y si ui + dij < uj. siempre y cuando j no tenga tarjeta permanente. Hacer que i = r y repetir el paso i. i]. lo óptimo es reemplazar la ruta directa de i k por la ruta indirecta i j k. Paso general k. Aplicar la operación triple a cada elemento dij en Dk-1 para toda i y j. si se satisface la condición: dik + dkj < dij. j≠k e i≠j) hacer los siguientes cambios: a) Crear Dk reemplazando dij en Dk-1 por dik + dkj b) Crear Sk reemplazando sij en Sk-1 por k. Igualar k = k+1 y repetir el paso k. Definir el renglón k y la columna k como renglón pivote y columna pivote. (i≠k. . 5. sin preocuparse del efecto de esta elección pueda tener en las decisiones posteriores. la longitud total de las ligaduras seleccionadas. Los dos problemas involucran también el hecho de seleccionar un conjunto ligaduras de ligaduras que tiene la longitud total más corta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierta propiedad. con la mínima longitud de las ramas enlazantes. Una red con n nodos requiere sólo (n . carretera. con el inicio en cualquier nodo. 1.3 PROBLEMA DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN. No deben usarse más ligaduras ya que esto aumentaría. sin necesidad.1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. En ambos casos se considera una red no dirigida y conexa. El algoritmo de expansión mínima enlaza los nodos de una red. el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. Por ejemplo.) asociada con cada ligadura. Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima. . Para el árbol de expansión mínima la propiedad requerida es que las ligaduras seleccionadas deben proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. de manera arbitraria. etc. Las (n .. Para el problema de la ruta más corta esta propiedad es que la ligadura seleccionada debe proporcionar una trayectoria entre el origen y el destino. en forma directa o indirecta. puede ser útil en la planeación de redes de transporte que no se transitarán mucho y en las que la inquietud principal es proporcionar alguna trayectoria entre todos los pares de nodos de la manera más económica El problema del árbol de mínima expansión se puede resolver de una forma bastante directa. en las redes de comunicación eléctrica. Se selecciona. en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva (distancia. etc. Este problema tiene muchas aplicaciones prácticas importantes. La aplicación de este tipo de problemas de optimización se ubica. sobre todo. marítima. costo.1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante (con sólo las ligaduras seleccionadas) forme un árbol de expansión. cualquier nodo y se conecta (es decir se pone una ligadura) al nodo más cercano distinto de éste. El problema del árbol de expansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del problema de la ruta más corta. telefonía. En la segunda etapa se trata de identificar el nodo no conectado que esté más cerca de cualquiera de los dos que se acaban de conectar y después agregar la ligadura correspondiente a la red. Por lo tanto. Este proceso se repite hasta que se hayan conectado todos los nodos. donde los nodos representan por a si decirlo las estaciones del ferrocarril. tiempo. la primera etapa consiste en elegir la rama más corta posible a otro nodo. es ocurre que se trata de uno de los pocos problemas de Investigación de Operaciones en el que ser codicioso en cada etapa del procedimiento de solución ¡conduce al final a una solución óptima! Así. estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones óptimas múltiples. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado.1 iteraciones. de un nodo (1) a otro (n). respectivamente. fuente y sumidero. y se conectan estos dos nodos (es decir. se ha de hacer pasar la máxima cantidad de flujo posible. En cualquier paso el algoritmo clasifica los nodos en “etiquetados” y “no etiquetados”. Este paso se repite hasta que se hayan conectado todos los nodos. Objetivo: Determinar el máximo flujo que se puede enviar desde el nodo fuente al nodo destino. se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo todavía debe llevar a una solución óptima. Todas esas soluciones se pueden identificar si se buscan las demás formas de romper los empates hasta el final. cuyos arcos admiten cambio de flujo. 3. 5. 2. Este algoritmo termina en n. a los que se llama. En una red en la que los arcos tienen limitada su capacidad. Se utiliza para saber cual es la cantidad máxima de vehículos. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2). teniendo en cuenta las capacidades k ij sobre el flujo de cada arco (i. se agrega una ligadura entre ellos). No obstante. líquidos o llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema. peatones.4 PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO.j) y que el flujo se debe conservar. El algoritmo avanza “en abanico” desde el nodo fuente para encontrar todos los nodos que son “alcanzables” a lo largo de cadenas en la red. prefijados. Los nodos etiquetados son aquellos que el algoritmo ha alcanzado en el proceso y de este modo determina una cadena en la red . Capacidad máxima de los arcos Capacidad máxima de los es igual a la oferta arcos es igual a la disponibilidad Capacidad mínima de los arcos es igual a la demanda Algoritmo de etiquetado para el problema del flujo máximo. mientras que el grupo de nodos vecinos Ns. El algoritmo termina cuando ha explorado todos los nodos etiquetados y el nodo sumidero permanece no etiquetado (ya no hay cadena que conecte el nodo fuente (1) al nodo sumidero (n). considera que un nodo puede estar en uno de los siguientes estados. el problema . El nodo fuente Ns pasa a ala categoría de etiqueta y con registro. o hasta q sea imposible etiquetar nodos intermedios de la red. la capacidad del arco no saturada del arco Aij. Si Xij es el flujo que va de Ni a Nj. al nodo Nj no se le pone una etiqueta. implicando que ya no puede haber mas aumento de flujo del nodo 1 al nodo n).desde el nodo fuente a esos nodos (sobre la que puede haber un cambio de flujo). que son mutuamente excluyentes. Este proceso se repita hasta alcanzar el nodo destino de la red. no puede ser etiquetado. a) con etiqueta b) sin etiqueta Al inicio el algoritmo todos los nodos están sin etiqueta. que o tengan etiqueta y para los cuales se cumpla la condición de que 0 ≤ Xjk ≤ ujk Se le asigna una etiqueta [j+. pasan a la categoría de etiqueta pero sin registro. Los nodos no etiquetados son aquellos que el algoritmo todavía no ha alcanzado en el proceso. δ j] donde δ j = gsj > 0 y Nj son todos los nodos vecinos a Ns. el flujo actual en la red no cambia y por consiguiente es el flujo máximo. Nt. Este algoritmo es de naturaleza recursiva. A todos los nodos vecinos de Ns se le asigna la etiqueta [s+. Primera fase: etiquetas. se define como el flujo ficticio que va de Nj a Ni. etiquetarlo y registrarlo. Si el nodo destino de la red. δ k]. El primer elemento de la etiqueta indica el nodo de donde proviene y el segundo elemento indica la cantidad de flujo que aun puede fluir en el arco. PASOS. Xij] y gjk = ujk – Xjk. es decir. Al comienzo del algoritmo se asigna la etiqueta [s+. donde δ k = Min [δ j. Reiteradamente. es decir N t. el algoritmo elige un nodo etiquetado y explora su lista de arcos adyacentes para alcanzar y etiquetar nuevos nodos. Sea gij = uij + Xij. En este caso de que gij = 0. A todos los nodos vecinos Nk del nodo Nj. Como todos los nodos vecinos Nk del nodo Nj han sido investigados al nodo Nj pasa al estado de etiqueta con registro. δ s = ∞] al nodo fuente. 8. De hecho. porque su solución es en extremo eficiente.) . debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo. primero. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones. donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. La razón por la que el problema del flujo de costo mínimo se puede resolver de manera tan eficiente es que se puede formular como un problema de programación lineal. Al menos uno de los nodos es nodo demanda. Igual que el problema de la ruta más corta. 5.5 PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO. La red es una red dirigida conexa.queda resuelto. Igual que el problema del flujo máximo. toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. El nuevo flujo se determina mediante la suma de Xjk + δ t y a si sucesivamente por los todos los nodos de la ruta determinada. de nuevo con costos asociados. estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo. Al menos uno de los nodos es nodo fuente. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha. A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo: 1. El resto de los nodos son nodos de trasbordo. puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo. 5. Igual que el problema de transporte o el de asignación. En este caso Nt recibe una etiqueta el flujo actual cambiara de acuerdo a lo que se explica a continuación. 2. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. Segunda fase: Se inicia desde Nt hacia al nodo inicial. 3. donde se conoce el costo por unidad. Una vez hecho lo anterior se vuelve aindiar el proceso de etiquetado. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío. porque abarca una clase muy amplia de aplicaciones y segundo. El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes. 4.) 6. 7. Un problema de transporte es un caso particular de problema de programación lineal en el cual se debe minimizar el costo del abastecimiento a una serie de puntos de demanda a partir de un grupo de puntos de oferta (posiblemente de distinto número). Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda dj. En la siguiente tabla se muestran algunos tipos de aplicaciones comunes del problema de del flujo de costo mínimo: Tipo de Aplicación Nodos Fuentes Nodos de Nodos de Trasbordo Demanda Operación de una red Fuentes de bienes Almacenes Consumidores de distribución intermedios Administración de Fuente de Instalaciones de Rellenos desechos sólidos desechos sólidos procesamiento Operación de una red Agentes de ventas Almacenes Instalaciones de de suministros intermedios procesamiento Coordinación de plantas Producción de u Mercado del mezcla de productos artículo específico producto en plantas específico Administración de Fuentes de Opciones de Necesidades de flujo de efectivo efectivo en inversión a corto efectivo en tiempos plazo tiempos específicos específicos Casos especiales. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta si. Un conjunto de m puntos de oferta. 2. . Un conjunto de n puntos de demanda.Aplicaciones del problema del flujo de costo mínimo El tipo más importante de aplicación del problema del flujo de costo mínimo es en la operación de la red de distribución de una compañía. Un problema de transporte queda definido por la siguiente información: 1. teniendo en cuenta los distintos precios de envío de cada punto de oferta a cada punto de demanda. EL PROBLEMA DE TRANSPORTE. es decir. EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA. Muchos problemas pueden ser modelados mediante una red en la cual se considera que los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un producto que se puede enviar a través del arco. Entonces. frecuentemente se desea transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida llamado fuente hacia un punto final denominado pozo. EL PROBLEMA DE TRASBORDO. Vehículos a rutas.3. Oficinas al personal. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo unitario de transporte c EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte. como lo es la demanda en cada destino. excepto por no tener capacidades finitas en los arcos. que los recursos totales sean iguales a las demandas totales. con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona. etc. productos a fabricar. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución. EL PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO. Vendedores a regiones. cualquier flujo de costo mínimo en el que cada arco pueda llevar cualquier cantidad de flujo deseada se llama también un problema de trasbordo. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino. es que se encuentre balanceado. Máquinas. . El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos ( o trabajos a máquinas). En estas situaciones. Este caso especial en realidad incluye todas las características generales del problema del flujo de costo mínimo. El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: Trabajadores. pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno. se tienen dos restricciones de cota superior. Ejemplo. Estas restricciones tienen la siguiente forma: Restricción de flujo neto para cada localidad: . Este tema se ilustrará con ejemplo para que se tenga un mejor entendimiento del mismo. Entonces F1 puede enviar directamente a A1 y tiene tres rutas posibles (F1→CD→A2. Formulación como un problema de programación lineal: Con siete canales de envío_ se necesitan siete variables de decisión (XFI-F2. Todas las demás restricciones surgen de las cinco restricciones de flujo neto. XFI-A1.1 y A2 se muestran a la derecha. Fl→F2 y CD→A2. XAI-A2. impuestas por la capacidad limitada de envío de los dos canales. El costo por unidad enviada a través de cada canal se muestra al lado de la flecha. Los otros canales tienen suficiente capacidad para manejar todo lo que las fábricas pueden enviar. Fl→F2→CD→A2 y F1→A1→A2) para mandar bienes a A2. donde cualquiera de las dos fábricas puede abastecer a cualquiera de los dos almacenes. fabricará el mismo nuevo producto en dos plantas distintas y después tendrá que enviarlo a dos almacenes de distribución. XFI-F2 ≤ 10 y XCD-A2 ≤ 80. La DISTRIBUTION UNLIMITED CO. La red de distribución disponible para el envío de este producto se muestra en la siguiente figura. donde Fl y F2 son las dos fábricas. que posteriormente se podrá resolver con alguno de los programas de computación que se presentan más adelante. Además de las restricciones usuales de no negatividad. Puesto que en los modelos de redes se tiene un objetivo dadas determinadas restricciones. Al y A2 son los dos almacenes y CD es el centro de distribución.5. estos modelos se pueden formular como un problema lineal. La decisión que debe tomarse se refiere a cuánto enviar a través de cada canal de distribución. XFI-CD.6 PROGRAMACIÓN LINEAL EN TEORÍA DE REDES. y las cantidades que deben recibirse en A. Existen varias restricciones sobre los valores de estas variables. Cada flecha representa un canal factible de envío. Las cantidades que deben enviarse desde F1 y F2 se muestran a la izquierda. XF2-CD. una para cada localidad. También. XCD-A2. junto a F1→F2 y CD→A2 se muestran las cantidades máximas que se pueden enviar por estos canales. La fábrica F2 tiene sólo una ruta a A2 (F2→CD→A2) y una a A1 (F2→CD→A2→A1). XA2-A1) para representar las cantidades enviadas a través de los canales respectivos. El objetivo es minimizar el costo total de envío. el modelo completo de programación lineal es: Minimizar Z = 2 XFI-F2 + 4XFI-CD + 9XFI-A1 + 3XF2-CD + XCD-A2 + 3XAI-A2 + 2XA2-A1 sujeto a: XFI-F2 + XFI-CD + XFI-A1 = 50 -XFI-F2 + XF2-CD = 40 . 40 para F2. la diferencia de estas dos cantidades enviadas (la cantidad requerida para la restricción de flujo neto) debe ser cero. XCD-A2. -30 para A1 y -60 para A2.cantidad recibida = cantidad requerida.XA2-A1 = -30 . XF2-CD.XF2-CD + XCD-A2 =0 . estas cantidades requeridas son 50 para F1.XFI-A1 + XAI-A2 . XFI-CD.XCD-A2 . En otras palabras. XFI-A1. usando unidades monetarias en cientos de dólares en esta función objetivo. XA2-A1 ≥ 0 . Cantidad enviada . Como el objetivo es minimizar el costo total de envío. la cantidad total enviada del centro de distribución a los almacenes debe ser igual a la cantidad total enviada desde las fábricas al centro de distribución. los coeficientes de la función objetivo son directamente los costos unitarios de envío dados. XAI-A2.XFI-CD . Como se indica en la figura. ¿Cuál es la cantidad requerida para CD? Todas las unidades producidas en las fábricas se necesitan en algún momento en los almacenes. Por lo tanto. Por lo tanto.XAI-A2 + XA2-A1 = -60 XFI-F2 ≤ 10 XCD-A2 ≤ 80 XFI-F2. suponga que el número junto a las fechas es el costo entre cada nodo: WINQSB: Paso 1: Abrir WinQSB ir al menú File/New Problem. establecer numero de nodos y nombre del problema como sigue: Pulsar OK. . EJEMPLO Considere la siguiente figura que representa las posibles rutas de transporte.5. Paso 2: Elegir la opción Shortest PathProblem.7 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN. Paso 3: ir al menú: Solve and Analyze/Solve Problem y establecer los nodos de inicio y fin: Dar clic en “Solve” Paso 4: WinQSB arroja el resultado de problema. . En la tabla que aparece a continuación insertar los valores de la red del problema a resolver. Dar clic para observar la solución gráfica: La ruta mas corta es: 1→2→5→8→9=15 Otros ejemplos: El paquete WinQSB contiene un ejemplo resuelto de cada tipo de problemas de esta unidad. para acceder a ellos ir al menú: File/Load Problem. . Acciones Precio ($) Rendimiento Anual Inversión Posible Estimado por ($) Acción ($) Navesa 60 7 60. 3. Formule usted un modelo de Programación Lineal para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Andrés con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.Definir la función objetivo...000 60X1 <= 60. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente. como podemos apreciar en la siguiente tabla.000 Xi >= 0 A continuación se construye el modelo en una hoja de cálculo de Excel de la siguiente manera: . SOLVER Andrés Loreto es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. 000..000 25X2 <= 25. 2.: 60X1 +25X2 + 20X3 <= 100.000 Para solucionar este problema debemos seguir los pasos para la construcción de modelos de programación lineal (PL): 1. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100. Luego construimos el modelo: MAX Z = 7X1 + 3X2 + 3X3 S.Definir la variable de decisión.000 Telectricidad 25 3 25.000 Rampa 20 3 30.000 20X3 <= 30.A.Definir las restricciones. . Desde la E5 hasta la E8 se encuentra la función de restricción (LI) y no es mas que utilizar la siguiente formula =sumaproducto($B$2:$D$2.B3:D3). Desde la G5 hasta G8 se encuentra la holgura o excedente. En la celda E3 colocaremos una formula la cual nos va indicar el rendimiento anual total. Desde la F5 hasta F8 se encuentran los valores de las restricciones.B5:D5) la cual se alojaría en la celda E5. luego daríamos un copy hasta la E8. En la fila 3 el rendimiento anual y sus valores desde B3 hasta D3. =sumaproducto($B$2:$D$2. Desde la fila B5 hasta la D8 colocaremos los coeficientes que acompañan a las variables de decisión que componen las restricciones. En la fila 2 se coloca la variable de decisión la cual es el número de acciones y sus valores desde la B2 hasta la D2. en caso de haber encontrado una solución óptima usted podrá aceptar o no dicha solución. en las celdas cambiantes las variables de decisión y por último se debe de complementar con las restricciones. Una vez completada la hoja de cálculo con el modelo respectivo ¡GRABE SU HOJA!. Una vez realizado estos pasos deben pulsar el icono de "Opciones" y debe hacer clic en "Asumir modelo lineal" y enseguida el botón de "Aceptar". . ahí tendrá que especificar dentro del cuadro de dialogo de Solver: o La celda que va a optimizar o Las celdas cambiantes o Las restricciones Así tendremos la siguiente pantalla: Como se puede observar en la celda objetivo se coloca la celda que se quiere optimizar. y seleccione "Solver…" en el menú de "Herramientas". lea detenidamente el mensaje de terminación de Solver y ahí observará si se encontró una solución o hay que modificar el modelo. luego tendrá oportunidad de analizar un informe de análisis de sensibilidad para luego tomar la mejor decisión. Luego haga clic en el botón de "Resolver" para realizar la optimización. En nuestro ejemplo el máximo rendimiento anual fue de 12750$, y la cantidad de acciones a comprar serían 750, 1000 y 1500 para Navesa, Telectricidad y Rampa respectivamente. EJEMPLOS RESUELTOS Ejercicio # 1 La administración de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud mínima de cable. Se describirá paso a paso la solución de este problema con base en los datos que se dan en la siguiente figura: Los nodos y distancias para el problema se resumen enseguida, en donde las líneas delgadas, ahora representan ligaduras potenciales. En forma arbitraria, se selecciona el nodo O para comenzar. El nodo no conectado más cercano a O es el nodo A. Se conecta el nodo A al nodo O. El nodo no conectado más cercano a cualesquiera de los nodos O o A es el nodo B (más cercano a A). Se conecta el nodo B al nodo A. El nodo no conectado más cercano a O, A o B es el nodo C (más cercano a B). Se conecta el nodo C al nodo B. El nodo no conectado más cercano a O, A, B o C es el nodo E (más cercano a B). Se conecta el nodo E al nodo B. El nodo no conectado más cercano a los nodos O, A, B, C o E es el nodo D (más cercano a E). Se conecta el nodo D al nodo E. El único nodo no conectado es el nodo T. está más cerca del nodo D. Se conecta el nodo T al nodo D. se habrá encontrado. y los números en los arcos son distancias en kilómetros. Como el costo de tendido de cable eléctrico es proporcional a la distancia. Se trata de encontrar el árbol que con una longitud total mínima. Todos los nodos han quedado conectados. La longitud total de las ramas es 14 kilómetros. con la distancia mínima. los nodos son centros de consumo eléctrico. por lo que ésta es la solución (óptima) que se buscaba. aplicando de nuevo el algoritmo. 3 C F 8 3 2 9 A 5 6 2 7 6 8 7 D G I 0 6 8 7 2 8 B 8 4 6 E H ITERACIÓN PASO NODO ARCO ARCOS EN . Se sugiere que se verifique este hecho para el ejemplo. Aunque con este procedimiento a primera vista puede parecer que la elección del nodo inicial afectaría la solución final (y la longitud total de las ligaduras). también el costo mínimo. comunica a todos los nodos. pero iniciando en un nodo distinto de O. Ejercicio # 2 Supóngase que en la red que se muestra en la siguiente figura. en realidad no es así. El árbol mínimo de comunicación. se muestra a continuación. que no es necesariamente único. SELECCIONADO SELECCIONADO ÁRBOL EN EL ÁRBOL EN EL ÁRBOL 1 1 C (ARBITRARIO) 2 0 3 D ACD = 2 2 2 1 3 F ADF = 2 3 2 2 3 G ACG = 3 4 2 3 3 B ADB = 6 5 2 4 3 E ABE = 4 6 2 5 3 A ADA = 6 7 2 6 3 H AEH = 6 8 2 7 3 O AAO = 7 9 2 8 3 I AHÍ = 8 10 2 9 3 Solución optima. con longitud total mínima de 44 unidades. C F 2 A 2 6 7 3 D G I O 6 8 B 4 E 6 H Ejercicio # 3 . para cruzar la ciudad de norte a sur.3] X57 = 0 + 3 = 3 g57 = 8 – 3 = 5 N2 N5 5 3 [2.5] [2. un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas. DE FLUJO Xjk gjk N1 N4 ∞ 5 [1. el cual exige cerrar dichas vías.5] N1 N3 ∞ 6 [1.5] N7 = [5.6] [1.3] X25 = 0 + 3 = 3 g25 = 3 – 3 = 0 N3 N6 6 7 [3. [1.∞] [3.5] X12 = 0 + 3 = 3 g12 = 5 – 3 = 2 N5 N7 3 8 [5. la cual incorpora avenidas importantes.6] N2 = [1.3] [5.3] . Debido a un programa de mantenimiento general.6] [1. . Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15000 vehículos / hora en el horario pico.3] N5 = [2.3] [1.∞] N1 N2 ∞ 5 [1. 1.¿Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama? SOLUCIÓN [1.5] NODO NOD δ gjk ETIQUETA Nj O j NK Nk N1 N1 .6] NODO Nk NUM.¿Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máximo de 15 000 v / h de norte a sur? 2.¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que permite la red cada hora? 3. 6] NODO Nk NUM.3] . .Se satisfacen 3 unidades NOD NODO δ gjk ETIQUETA O Nk j NK Nj N1 N1 .6] X13 = 0 + 3 = 3 g12 = 6 – 3 = 3 N5 N7 3 5 [5.2] N1 N3 ∞ 3 [1. [1. DE FLUJO Xjk gjk O O j NK N7 = [6.5] N7 = [5.5] N3 N6 3 7 [3.3] X57 = 3 + 3 = 6 g57 = 5 – 3 = 2 N3 N5 6 3 [3.. DE FLUJO Xjk gjk N1 N4 ∞ 5 [1.3] X36 tres =0+ 3=3 unidades G36 = 7 – 3 = 4 N1 N1 .5] N3 = [1.3] N5 = [3. [1.∞] 5 N1 N2 ∞ 2 [1.2] N1 N3 ∞ 6 [1.3] X35 = 0 + 3 = 3 G35 = 3 – 3 = 0 N4 N6 5 5 [4.3] X67 = 0 + 3 = 3 G67 = 7 – 3 = 4 Nj Nk NSe 6 = satisfacen [3.∞] N3 = [1.3] N1 N4 ∞ 5 [1.3] N6 N7 3 7 [6.3] X13 = 3 + 3 = 6 g13 = 3 – 3 = 0 N1 N2 ∞ 2 [1.3] Se satisfacen 3 unidades 5 NOD NOD δ gjk ETIQUETA NODO Nk NUM. . .2] Se satisfacen 2 unidades NOD NOD δ gjk ETIQUETA NODO Nk NUM.5] X36 = 0 + 2 = 2 g36 = 5 – 2 = 3 N1 N1 .2] N6 N7 2 4 [6.5] N2 N3 2 2 [2.2] X12 = 3 + 2 = 5 g12 =2–2=0 N1 N4 ∞ 5 [1.2] X36 = 3 + 2 = 5 g36 =4–2=2 N1 N1 .2] N2 = [1.5] N4 N6 5 5 [4..2] X67 = 3 + 2 = 5 g67 =4–2=2 Nj Nk N6 = [3. [1.2] N3 N6 2 4 [3.2] Se satisfacen 2 unidades.∞] N3 = [2.5] N6 N7 5 2 [6. DE FLUJO Xjk gjk O O j NK N7 = [6.∞] N4 = [1.NOD NOD δ gjk ETIQUETA NODO Nk NUM. DE FLUJO Xjk gjk O O j NK N7 = [6.2] X67 = 5 + 2 = 7 g67 = 2 – 2 = 0 Nj Nk N6 = [4.5] X23 = 0 + 2 = 2 g23 = 5 – 2 = 3 N1 N4 ∞ 5 [1.2] X23 = 0 + 2 = 2 g23 =2–2=0 N1 N2 ∞ 2 [1. [1. lo cual no cumple con el requerimiento de 15 000 v / h.Σ Unidades satisfechas = 3 + 3 + 3 +2 +2 = 13 Se tiene un flujo máximo de 13 000 v/h. El flujo vial queda distribuido de la siguiente manera: . La disponibilidad de transporte entre las dos fábricas permite un máximo de 8 millones de costales por año. Se de sea instalar líneas telefónicas subterráneas entre todas las casetas minimizando la cantidad total de cable. Los números son las distancias que hay entre las casetas por cada uno de los caminos. Hay tres centros almacenadotes: el D. Esta se compra de dos fábricas. T: Mirador al otro extremo. Des Guadalajara D.F. O: Origen. Los excedentes de la fábrica de Mérida pueden transferirse a la planta de saltillo. Las letras representan la localización de casetas de los guardabosques. y otra en saltillo con capacidad de producción máxima de 7 millones de costales al año. Oaxaca tino Origen Saltillo 8 4 - Mérida 2 3 3 . La siguiente matriz proporciona la capacidad máxima anual d e transporte de las fábricas a los centros almacenadotes. una en Mérida con capacidad de producción máxima de 10 millones de costales al año.EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio # 1 Se tiene una ruta de caminos en una reserva ecológica. ¿Cuál es la distancia mínima de cable requerida? Ejercicio # 2 Suponga que la compañía nacional de subsistencias populares tiene un programa anual de costalera.F. Guadalajara y Oaxaca. los costales se entregan a los ejidatarios de la región. al final del año i y si se remplaza al final del año j (en donde el momento presente es año 0).). No obstante. La capacidad máxima de entrega es de 4 millones en la región almacenadota de Guadalajara.F. J 1 2 3 0 8 18 31 i 1 10 21 2 12 El problema es determinar en qué momento debe remplazarse el tractor para minimizar el costo total durante los tres años. 7 millones en la región del DF. por lo que después no se necesitará el tractor. Aumentarán rápidamente con el tiempo y podría resultar costeable reemplazarlo en uno o dos años. . y 5 millones en la región de Oaxaca.(En millones de costales por año) Los excedentes de Guadalajara y Oaxaca pueden transferirse al D. La siguiente tabla proporciona los costos descontados netos totales asociados a la compra del tractor (precio de compra – valor a cambio del tractor en uso + costos de operación y mantto. la compañía aerea local piensa comprar un tractor nuevo para mover el tren de carros que llevan y traen el equipaje de los aviones. ¿Cuál es el flujo máximo anual de costales nuevos que pueden circular en este sistema? R = 14 millones de costales Ejercicio # 3 En un pequeño aeropuerto que está creciendo. Dentro de tres años se instalará un nuevo sistema mecanizado de transporte de equipaje. La capacidad máxima de transporte es de 3 y 4 millones de costales respectivamente. a) Formule este como un problema de la ruta más corta. Una vez en los centros almacenadotes. tendrá una carga de trabajo pesada y los costos de operación y mantto. BIBLIOGRAFÍA Introducción a la Investigación de Operaciones S. Williams Editorial Thomson . Juan Editorial Limusa Investigación de Operaciones A. Frederick J. Taha. Sweeney. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones Vol. 1 Modelos Determinísticos Prawna. Hamdy Editorial Prentice Hall Métodos Cuantitativos Para los Negocios Anderson. Gerald Sexta Edición. Hillier. Lieberman. ELABORARON: CASTRO OCHOA AGUSTÍN ELIZALDE RAMÍREZ FERNANDO RODRÍGUEZ MARTÍNEZ JOAQUÍN CRISTÓBAL SONÍ SANTOS IRIS ABRIL .
Report "Teoria Investigacion de Operaciones 2 (completa).pdf"