Centro Universitário do Leste de Minas GeraisUNILESTE Teoria de Estruturas I - Estruturas isostáticas – Prof. Marcelo Lopes Martins Borges 03/fevereiro/2014 1 Objetivo Transmitir os conhecimentos fundamentais para concepção e análise estrutural: determinação de reações de apoio e esforços solicitantes em estruturas reticuladas isostáticas planas. 2 Referências bibliográficas 1 – ALMEIDA, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos, 2009. 2 – SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Estruturas Isostáticas. Volume 1. 5ª edição, 1980. 3 – AMARAL, Otávio Campos. Estruturas Isostáticas. 6ª edição. 1992. 4 – SORIANO, Humberto Lima. Estática das Estruturas. 2ª edição. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2010. 5 – LEET, Kenneth M., UANG, Chia-Ming, GILBERT, Anne M.. Fundamentos da Análise Estrutural. 3ª edição. São Paulo: McGraw-Hill, 2009. 3 Avaliações • Primeira avaliação: 20 pontos. • Segunda avaliação: 25 pontos. • Terceira avaliação: 25 pontos. • Trabalhos: 20 pontos. • PI: 10 pontos. • Total: 100 pontos. 4 Programa 1 – Introdução 2 – Fundamentos 3 – Vigas - biapoiada - engastada e livre - biapoiada com balanço - inclinada - Gerber 4 – Pórticos planos 5– Arcos triarticulados 6 – Treliças 7 – Grelhas 5 1 – Introdução Conceito geral de estruturas Uma estrutura pode ser definida como uma composição de uma ou mais peças. ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um sistema em equilíbrio: . 6 . Na Teoria de Estruturas I aborda-se a Análise Estática. .dinâmico (estudado. na pós-graduação). em geral.estático (estudado na graduação). 7 . ferrovias. passarelas. máquinas.1 – Introdução Conceito geral de estruturas Na Engenharia. são estruturas: Naval: navios. edificações residenciais. barragens. Mecânica: veículos automotores. Aeronáutica: aviões. rodovias. viadutos. Civil: pontes. comerciais e industriais. paredes e contraventamentos. lajes. diretamente para outros membros de apoio ou para a fundação.1 – Introdução Conceito geral de estruturas A estrutura de um prédio de andares múltiplos é um sistema tridimensional complexo. normalmente a maior parte da carga é transmitida por intermédio de certos membros-chave. colunas. Embora a carga aplicada em um ponto especifico de uma estrutura tridimensional solicite todos os membros adjacentes. 8 . composto de vigas. Uma vez entendido os tópicos básicos abordados neste curso. treliças ou pórticos. será possível analisar a maioria dos prédios. pois as estruturas bidimensionais são muito mais fáceis e rápidas de analisar que as estruturas tridimensionais. 9 .1 – Introdução Conceito geral de estruturas O projetista pode simplificar a análise da estrutura real subdividindo-a em subsistemas bidimensionais menores que atuam como vigas. Esse procedimento reduz significativamente a complexidade da análise. pontes e sistemas estruturais normalmente encontrados na prática profissional. 1 – Introdução Conceito geral de estruturas 10 . Os elementos estruturais devem apresentar as propriedades de resistência e de rigidez. os elementos estruturais que compõem a parte resistente da estrutura são: vigas. Em um prédio. serem capazes de resistir a cargas. 11 . dentro de certos limites. sapatas.1 – Introdução Conceito específico de estruturas Na Engenharia Civil denomina-se estrutura a parte resistente de uma construção. isto é. paredes. sem se romperem e sem sofrer grandes deformações ou variações de suas dimensões originais. pilares. 1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Os antigos construtores egípcios usaram pedras retiradas de pedreiras ao longo do rio Nilo para construir templos e pirâmides. Vergas são vigas de rocha maciça distribuídas igualmente sobre colunas de pedra relativamente curtas. 12 . os vãos das vergas eram curtos para evitar falhas por flexão. Como a resistência à tração da pedra é baixa e altamente variável (devido a rachaduras e vazios internos). A tradição clássica dos gregos antigos exerceu influência por vários séculos depois do declínio de sua civilização.). 13 . Os gregos usaram o mesmo tipo de construção com coluna e verga no Pathernon (cerca de 400 a.C. as colunas precisavam ser grossas.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Para dar estabilidade. prédios e aquedutos. Os vãos dos arcos de primeiro e segundo níveis são de aproximadamente 16 a 24 m. A figura ao lado representa o aqueduto Pont du Gard. 14 .C. construído em 19 a. para transportar água pelo vale do Gardon até Nines.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Os romanos foram pioneiros no uso de arcos para pontes. França. Os romanos também desenvolveram um método para confinar um espaço interior com uma cúpula de alvenaria. no ano de 125. em Roma. que pode ser observada no Panteão. 15 .1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais A forma curva do arco possibilita um afastamento das linhas retangulares e permite vãos livres mais longos do que na construção com coluna e verga. 1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais 16 . foram usados junto com pilares (grossas colunas de alvenaria) ou paredes para transmitir o empuxo dos tetos abobadados para o chão. baseada no que os pedreiros mestres aprendiam e passavam para os seus aprendizes. A engenharia desse período era empírica.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Durante o período gótico das grandes construções de catedrais. 17 . elementos de alvenaria em arco. chamados arcobotantes. Duomo. Itália.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Corte transversal simplificado da construção gótica. Catedral de Milão. 18 construída em 1386. . meados do século XVIII. 19 . com vãos livres mais longos. permitindo o projeto de estruturas mais leves. As paredes resistentes e maciças exigidas para a construção de alvenarias não são mais necessárias. possibilitou aos engenheiros desenhar prédios com vigas delgadas.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais A introdução do ferro fundido em quantidades comerciais. O aço com alta resistência à tração e compressão permitiu a construção de estruturas mais altas. e colunas com seções transversais compactas. 20 . a ponte Verrazano-Narrows. Com o desenvolvimento dos cabos de aço de alta resistência. Por exemplo. na entrada do porto de Nova York. é uma das mais longas com vão de quase 1.300 metros entre as torres.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Em 1889. final do século XIX. foi possível a construção de pontes pensêis de vãos longos. o engenheiro francês Eiffel construiu a Torre Eiffel. os engenheiros conseguiram uma técnica relativamente simples para analisar estruturas contínuas. no inicio dos anos 1920. Com a introdução. do método da distribuicão de momentos por Hardy Cross. 21 .1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais A adição de aço no concreto permitiu transformar concreto simples em membros estruturais resistêntes e maleáveis. e simplificou a construção de pórticos de aço de nós rígidos. e o uso do concreto armado como material de construção aumentou rapidamente. puderam analisar pórticos estaticamente indeterminados.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais À medida que os projetistas se tornaram familiarizados com a distribuição dos momentos. A introdução da soldagem no final do século XIX facilitou a ligação de membros de aço. 22 . eliminou as placas pesadas e as cantoneiras exigidas pelos métodos de rebitagem anteriores. como os veículos espaciais.1 – Introdução Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Nos últimos anos. 23 . o computador e a pesquisa da ciência dos materiais produziram grandes alterações na capacidade dos engenheiros de construir estruturas para fins específicos. placas e elementos de casca permitiram aos projetistas analisar estruturas complexas rápida e precisamente. A introdução do computador e o subsequente desenvolvimento das matrizes de rigidez das vigas. 1 – Introdução Análise por computador Até o final dos anos 1950. uma treliça espacial) poderia exigir muitos meses de cálculos de uma equipe de engenheiros estruturais experientes. 24 . a análise de alguns tipos de estruturas indeterminadas era um procedimento longo e cansativo. como muitas vezes eram necessárias várias suposições sobre o comportamento estrutural para simplificação. A análise de uma estrutura com muitas ligações e barras (por exemplo. a precisão dos resultados finais era incerta. Além disto. por exemplo. um recepiente de contenção nuclear de paredes grossas ou o casco de um submarino (figura ao lado). estão disponíveis programas de computador que podem analisar a maioria das estruturas rápida e precisamente.1 – Introdução Análise por computador Atualmente. Se a estrutura tem uma forma incomum e incerta. a análise por computador ainda pode ser complicada e demorada. 25 . o comportamento é linear e elástico. Os métodos clássicos de análise abordados neste estudo produzem uma análise de primeira ordem.as forças dos membros não são afetadas pelas deformações (mudanca na geometria) da estrutura. como treliças. . 26 .nenhuma redução na rigidez à flexão é produzida nas colunas por forças de compressão. conveniente para a maioria das estruturas. .1 – Introdução Análise por computador A maioria dos programas de computador para análise de estruturas é escrita para produzir uma análise de primeira ordem presumem que: . vigas contínuas e pórticos. arcos longos e delgados sob cargas móveis podem passar por mudanças na geometria que aumentam significativamente os momentos de flexão. Por exemplo.1 – Introdução Análise por computador Embora sejam mais complicados de usar. são mais precisos e produzem uma análise mais fiel. que levam em conta o comportamento inelástico. os programas de segunda ordem. 27 . mudanças na geometria e outros efeitos que influenciam a magnitude das forças nos membros. 1 – Introdução Análise por computador Comportamento linear: M A P a Comportamento não linear: M A P (a u m ax ) Se: u m ax a M A P a 28 . a falha de uma treliça tridimensional que apoiava o teto de aproximadamente 90 m por 110 m do Hartford Civic Center Arena é um exemplo de projeto estrutural em que os projetistas confiaram em uma análise incompleta feita por computador e não produziram uma estrutura segura. 29 . Dentre os fatores que contribuiram para esse desastre estavam dados imprecisos (o projetista subestimou o peso próprio do teto em mais de 680.000 kg) e a incapacidade do programa de computador de prever a carga de flambagem das barras sob compressão na treliça.1 – Introdução Análise por computador Em 1977. 30 .1 – Introdução Análise por computador Havia no programa a suposição de que a estrutura era estável – suposição esta presente na maioria dos antigos programas de computador utilizados para analisar estruturas. 31 .1 – Introdução Análise por computador Embora o computador tenha reduzido o número de horas de cálculos necessárias para analisar estruturas. o projetista ainda precisa ter um discernimento básico sobre todos os tipos de falha em potencial para avaliar a confiabilidade das soluções geradas pelo computador. A preparação de um modelo matemático que represente adequadamente a estrutura continua sendo um dos aspectos mais importantes da Engenharia de Estruturas. Para isso..” (Professor Humberto Lima Soriano. Contudo. não é recomendável a sua utilização por usuário que não tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos..1 – Introdução Análise por computador “. e que se tenha “sentimento de comportamento das estruturas”. é necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos implementados. Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de projetos. livro “Análise de Estruturas”.. 2006) 32 .. . sem que ocorra a ruptura da peça. torção. compressão. força cortante. força normal. Para analisar a capacidade resistente de uma estrutura é necessário a determinação: .esforços solicitantes internos: momento fletor.1 – Introdução Conceito específico de estruturas Resistência é a capacidade de transmitir as forças internamente. momento de torção. 33 . molécula por molécula. . dos pontos de aplicação aos apoios. cisalhamento.tensões internas: flexão. tração. 34 . .uma mola esticada exerce forças sobre as peças que fixam a sua extremidade.uma locomotiva exerce força sobre os vagões que ela reboca. . Por exemplo: .etc.uma força sobre um corpo por meio de esforço muscular.2 – Fundamentos Carga Forças de contato: o corpo que exerce a força está em contato com aquele sobre o qual ela é exercida. . forças magnéticas. . As forças devidas à gravidade são os pesos dos corpos.2 – Fundamentos Carga Forças de ação à distância: atuam através do espaço. sem contato. 35 .forças elétricas. Por exemplo: . devido à existência de campos agindo sobre o corpo.forças de gravitação. . muito importantes na Análise Estrutural. intensidade. . 36 . As cargas ou forças são grandezas vetoriais. . caracterizadas por: .direção.sentido.2 – Fundamentos Carga É comum chamar-se as forças que atuam numa estrutura de cargas. 2 – Fundamentos Carga 37 . 38 . excepcionais.permanente: praticamente invariáveis ao longo da vida útil da estrutura: peso próprio da estrutura e de todos os componentes da construção. .2 – Fundamentos Carga As cargas que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em: permanentes. variáveis. vento. . . assumindo valores significativos durante uma fração importante da vida útil da estrutura: .sobrecargas em pisos e coberturas oriundas de equipamentos móveis (pontes rolantes) e divisórias móveis. 39 .variáveis: variam no tempo.temperatura causada por clima ou equipamentos.2 – Fundamentos Carga . forças transversais: acréscimo entre 5% a 100% .forças longitudinais: acréscimo de 20% cargas máximas das rodas motoras 40 .forças verticais: acréscimo de 25% .2 – Fundamentos Carga Carga variável devido a equipamento móvel: ponte rolante . 2 – Fundamentos Carga 41 . 2 – Fundamentos Carga Carga variável devido ao vento: mapa do vento no Brasil Unidade: m/s 42 . . 43 .explosões.incêndio. efeitos sísmicos. . choques de veículos. assumem valores significativos apenas durante uma fração muito pequena da vida útil da estrutura e tem baixa probabilidade de ocorrência: .2 – Fundamentos Carga excepcionais: variam no tempo. tornado).ventos extraordinários (furacão. 44 .2 – Fundamentos Carga Cargas: concentradas e distribuídas. As cargas concentradas são uma forma aproximada de tratar as cargas distribuídas segundo áreas tão pequenas (em presença das dimensões da estrutura) que podem ser consideradas nulas. Exemplo: roda de um caminhão descarregando uma reação uma reação sobre um piso. sendo representadas por uma taxa de distribuição (carga/comprimento). Exemplos: 45 .2 – Fundamentos Carga As cargas distribuídas são cargas que atuam ao longo de um trecho. cargas triangulares: 46 .2 – Fundamentos Carga Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são: .cargas uniformemente distribuídas: . 47 .2 – Fundamentos Momento É uma grandeza definida em função da força e de sua distância a determinado ponto. Conforme indica a figura a seguir. o momento de uma força F em relação a um ponto O é o produto vetorial do vetor OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de ação da força F ) pela força F : m OMF O vetor-momento m é representado por seta dupla para não ser confundido com uma força. rotação em torno de qualquer ponto: dada pelo momento resultante destas forças em relação a este ponto ( m ).translação: dada pela resultante das forças ( R ).2 – Fundamentos Condições de equilíbrio Para que um corpo submetido a um sistema de forças esteja em equilíbrio. . Condição de corpo em equilíbrio: R 0 m0 48 . é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de: . xz e yz : sistema de forças tridimensionais. 49 .2 – Fundamentos Condições de equilíbrio As equações de equilíbrio são as seis equações universais da estática. regendo o equilíbrio de um sistema de forças no espaço. Fx 0 Fy 0 M x 0 M y 0 Fz 0 M z 0 Planos xy. Fx 0 Fy 0 M z 0 50 .2 – Fundamentos Condições de equilíbrio Plano xy : sistema de forças coplanares. rotação ) em relação àquele ponto.2 – Fundamentos Graus de liberdade A ação estática de um sistema de forças no espaço. Uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogonais e uma rotação pode ser expressa segundo 3 rotações. em relação a um dado ponto. é igual a resultante das forças ( R . 51 .translação ) e ao momento resultante das forças ( m . formando um sistema de forças em equilíbrio. de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura. segundo os 3 eixos ortogonais (x. a fim de ser possível seu equilíbrio. através do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura. Estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos. y e z). A restrição é dada por apoios.2 – Fundamentos Graus de liberdade Logo. 52 . As reações de apoio se oporão às cargas aplicadas à estrutura. uma estrutura no espaço possui 6 graus de liberdade: 3 translações e 3 rotações. que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento (graus de liberdade).