Teoria Electromagnetica - Lineas De Transmision

LINEAS DE TRANSMISIÓN LINEAS DE TRANSMISIÓNEn las comunicaciones, las líneas de transmisión llevan señales telefónicas, datos de computadoras en LAN, señales de televisión en sistemas de televisión por cable y señales de un transmisor a una antena o de una antena a un receptor. Las líneas de transmisión son enlaces importantes en cualquier sistema. Son más que tramos de alambre o cable. Sus características eléctricas son sobresalientes, y se deben igualar a las del equipo para obtener comunicaciones adecuadas. Las líneas de transmisión también son circuitos. En frecuencias muy altas donde las longitudes de onda son cortas, las líneas de transmisión actúan como circuitos resonantes y aun como componentes reactivos en VHF y UHF, y frecuencias de microondas, la mayor parte de los circuitos sintonizados y filtros se utilizan con líneas de transmisión. REQUERIMIENTOS PARA LAS REQUERIMIENTOS PARA LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Hay dos requerimientos principales en una línea de transmisión: 1) la líneas deberá introducir la mínima atenuación y distorsión a la señal y 2) la línea no deberá radiar señal alguna como energía radiada. TIPOS DE LÍNEAS DE TIPOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN TRANSMISIÓN Líneas de transmisión de conductor paralelo: Existen dos tipos: Uno se conoce como línea de transmisión de cable abierto y es un conductor paralelo de dos cables. Consiste simplemente de dos cables paralelos, espaciados muy cerca y solo separados por aire. Los espaciadores no conductivos se colocan a intervalos periódicos para apoyarse y mantenerse a la distancia, entre la constante de los conductores. La distancia entre los dos conductores generalmente está entre 2 y 6 pulgadas. El dieléctrico es simplemente el aire, entre y alrededor de los dos conductores en donde se propaga la onda TEM. La única ventaja real de este tipo de línea de transmisión es su construcción sencilla. Ya que no hay cubiertas, las pérdidas por radiación son altas y es susceptible a recoger ruido. Los cables gemelos son otra forma de línea de transmisión para un conductor paralelo de dos cables. Los cables gemelos también son llamados cable de cinta. Los cables gemelos esencialmente son igual que una línea de transmisión de cable abierto, excepto que los espaciadores que están entre los dos conductores se reemplazan con un dieléctrico sólido continuo. Esto asegura los espacios uniformes a lo largo de todo el cable. Típicamente, la distancia entre los dos conductores es de 5/16 de pulgada, para el cable de transmisión de televisión. Los materiales dieléctricos más comunes son el teflón y el polietileno. Cable de par trenzado. Se forma doblando ("trenzando") dos conductores aislados juntos. Los pares se trenzan frecuentemente en unidades y las unidades, a su vez, están cableadas en el núcleo. Estas se cubren con varios tipos de fundas, dependiendo del uso que se les vaya a dar. Los pares vecinos se trenzan con diferente inclinación (el largo de la trenza) para poder reducir la interferencia entre los pares debido a la inducción mutua. Las constantes primarias del cable de par trenzado son sus parámetros eléctricos, que están sujetas a variaciones del ambiente físico y dependen de las variaciones en la fabricación. Par de cables protegido con armadura. Para reducir las pérdidas por radiación e interferencia, frecuentemente se encierran las líneas de transmisión de dos cables paralelos en una malla metálica conductiva. La malla se conecta a tierra y actúa como una protección. También evita que las señales se difundan más allá de sus limites y evita que la interferencia electromagnética llegue a los conductores de señales. Consiste de dos conductores de cable paralelos separados por un material dieléctrico sólido. Toda la estructura está encerrada en un tubo trenzado conductivo y luego cubierto con una capa protectora de plástico. Líneas de transmisión coaxial o concéntrica Se utilizan extensamente, para aplicaciones de alta frecuencia, para reducir las pérdidas y para aislar las trayectorias de transmisión. El cable coaxial básico consiste de un conductor central rodeado por un conductor exterior concéntrico (distancia uniforme del centro). A frecuencias de operación relativamente altas, el conductor coaxial externo proporciona una excelente protección contra la interferencia externa. Sin embargo, a frecuencias de operación más bajas, el uso de la protección no es costeable. Además, el conductor externo de un cable coaxial generalmente está unido a tierra. Hay dos tipos de cables coaxiales: líneas rígidas llenas de aire y líneas sólidas flexibles. El material aislante es un material de polietileno sólido no conductivo que proporciona soporte, así como aislamiento eléctrico entre el conductor interno y el externo. El conductor interno es un cable de cobre flexible que puede ser sólido o hueco. Ambos tipos de cables coaxiales son inmunes a la radiación externa y pueden operar a frecuencias mas altas que los cables paralelos. DEFINICIÓN DE LÍNEA DE DEFINICIÓN DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN TRANSMISIÓN Las líneas de transmisión son las interconexiones que transmiten la energía electromagnética de un punto a otro. Esta energía puede ser usada en forma de luz, de calor, de trabajo mecánico, o para transmitir información oral, musical fotográfica o estadística. PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN TRANSMISIÓN Desde el punto de vista de circuitos la línea de transmisión tiene dos terminales en las que la energía se alimenta y dos terminales donde se recibe la energía. En consecuencia la línea de transmisión se puede considerar como una red de cuatro terminales. R.- Resistencia en Serie de la línea por unidad de longitud, incluyendo ambos conductores. Ohms/metro. L.- Inductancia en Serie de la línea por unidad de longitud, incluyendo la inductancia debida al flujo magnético interno y externo a los conductores de la línea. Henrios/metro. G.- Conductancia en paralelo de la línea por unidad de longitud. Representa pérdidas que son proporcionales al cuadrado del voltaje entre los conductores o al cuadrado del campo eléctrico en el medio. Generalmente G representa una pérdida interna molecular de los materiales aislantes dieléctricos. Siemens/metro. C.- Capacidad en paralelo de la línea por unidad de longitud. Farads/metro. Para una línea sin pérdidas R=G=0 y el cambio en el voltaje dV (o el cambio en la corriente dI) en una distancia dx está dado por: (1) (2) Derivando la primera respecto a x y la segunda respecto a t, se obtiene: Ecuación de onda de una línea de transmisión Se observa que ) ( 1 ! Vm dt dI L dx dV ) ( 1 ! Am dt dV C dx dI 2 2 2 2 1 dx V d C dt V d = ) ( 1 1 = = ms v velocidad LC Dada la siguiente figura: Para una variación senoidal de V e I y con R y G { 0, se tiene el caso más general de una impedancia en serie: Y una entrada en derivación: ) ( 1 O + = + = m jX R L j R Z L [ ) ( 1 + = + = Sm jB G C j G Y C [ De esta manera la ecuaciones 1 y 2 se convierten en: (3) (4) Diferenciando estas ecuaciones respecto a x para una línea uniforme con Z e Y constantes se obtiene: La raíz cuadrada de ZY es la constante de propagación K que es un número complejo: IZ dx dV = VY dx dI = 0 0 2 2 2 2 = = ZYI dx I d ZYV dx V d Es decir: E=constante de atenuación y F=constante de fase y están dadas por: P = longitud de onda (m) Así una solución general para el voltaje de línea es: ) ( 1 + = radm jF E K ) ( Re 1 ! Npm ZY E ) ( Im 2 1 ! ! radm ZY P T F ) ( ) ( 2 ) ( 1 V e e V e e V V x t j x x t j x F [ E F [ E ! Y para la corriente de línea es: Los primeros términos de las dos ecuaciones anteriores representan la propagación en la dirección x negativa y los segundos términos, la energía de propagación en la dirección x positiva. Para la energía de propagación en una dirección: ) ( 2 ) ( 1 x t j x x t j x e e Y Z V e e Y Z V I F [ E F [ E + = ) (; ! ! ! C j L j Y Z I V Z linea [ [ Esta es la impedancia característica de la línea. Para una línea sin pérdidas R=G=0 tenemos: Resistencia característica de la línea. La velocidad de la energía, o velocidad con que la energía se propaga es: Donde: Si R=G=0 tenemos: C L Z linea = ) ( Im 1 = = ms ZY v [ F [ ) )( ( C j G L j R ZY [ [ + + = LC j ZY [ = Y la velocidad de onda en línea: EJEMPLO: Una línea de transmisión uniforme tiene como constantes R=12m;/m, G=1.4QS/m, L=1.5QH/m, y C=1.4nF/m. A f=7KHz. Encuentre: a) Impedancia característica b) Atenuación en dB/km ) ( 1 1 = = ms LC LC v [ [ SOLUCIÓN: ) 10 4 . 1 )( 7000 )( 2 ( ) 10 4 . 1 ( ) 10 5 . 1 )( 7000 )( 2 ( ) 10 12 ( ) 9 6 6 3 + + = + + = x j x x j x C j G L j R Z a z z [ [ r ’ r ’ = + + = 7 . 88 10 62 80 10 67 10 1575 . 6 10 4 . 1 06597 . 0 012 . 0 6 3 5 6 x x j x x j Z r . = r . = = 4 8633 . 32 8 64 . 1080 3967 . 150 1283 . 1070 j Z ; ! ) 3 . 2 78 . 32 ( j Z ) )( ( e ) C j G L j R b [ [ E + + = )) 10 4 . 1 )( 7000 2 ( 10 4 . 1 (( )) 10 5 . 1 )( 7000 2 ( ) 10 12 (( e 9 6 6 3 + + = x j x x x j x z z E ) 10 1575 . 6 10 4 . 1 )( 06597 . 0 012 . 0 ( e 5 6 j x x j + + = E Entonces: De la relación: 1Np=20log(e)=8.686dB 3881 . 168 10 1298 . 4 Re ) 10 3125 . 8 10 0453 . 4 ( Re 6 7 6 . = + = x j x x E ) 10 0215 . 2 10 0555 . 2 Re( ) 194 . 84 10 032 . 2 Re( 3 4 3 j x x x + = . = E Km dB Km m x Np dB x m Np x 78 . 1 1 1000 1 686 . 8 10 0555 . 2 4 ! ! E Fórmulas de impedancias de las Fórmulas de impedancias de las líneas de transmisión líneas de transmisión La impedancia Z de la línea de transmisión está dada por: Para una línea coaxial: Donde: Como ya sabemos: Integrando se obtiene: l C l L C L Z linea ! ! V V l Q l C l ( ! ( ! V ´ ! ( b a r dr E V r E l r TI V 2 ! a b V l ln 2TI V ! ( En consecuencia: Del mismo modo: Donde: Entonces: Por consiguiente: a b V l C l ln 2TI V ! ( ! I dr B l L b a r ´ ! r I B r T Q 2 ! a b l L ln 2z p = a b l C l L Z r r ln 2 1 0 0 I Q I Q T ! ! Para Qr=1, se tiene que: Línea coaxial En forma similar: Línea de dos conductores Conductor sobre plano terreno a b Z r log 138 0 I ! a D Z r log 276 0 I = a h Z r 2 log 138 0 I ! EJEMPLO: Una línea de un solo conductor de 10cm de radio sobre el plano terreno, tiene una impedancia de 75;. Encuentre la altura h, si Ir=3. SOLUCIÓN a h Z a h Z r r 2 log 138 2 log 138 0 0 = ÷ = I I a h a h 2 log 9413 . 0 2 log 138 3 75 ! ! h h ! ! 2 8735 . 0 1 . 0 2 10 9413 . 0 . 436 . 436 . 0 mm m h = = Energía, potencia y vector de Energía, potencia y vector de Poynting Poynting La potencia transmitida por una línea de transmisión, en notación de circuitos es: P=VI (W) En forma más general si V e I varían en forma senoidal con respecto al tiempo y no están en la misma fase, la potencia promedio es: P=½V 0 I 0 cosU En notación de campo, la densidad de potencia S está dada por el vector de Poynting, que es el producto cruz de los vectores de campo eléctrico y magnético E y H. Es decir S = E X H (W m -2 ) El resultado de esta expresión es el vector de Poynting instantáneo. El vector de Poynting promedio se obtiene integrando el vector de Poynting instantáneo sobre un período y dividiendo entre un período. En notación compleja se obtiene mediante: Donde: S prom = Sax = promedio del vector de Poynting \ = Angulo de fase entre Ey y Hz en rad o grados ) ( cos 2 1 ) Re( 2 1 2 * = = Wm ax Hz Ey H x E S prom \ E = Eyay = ay`Ey`e j[t , Vm -1 H * = Hz * az = az`Hz`e -j([t-\) , Am -1 Este último es el conjugado complejo de H. Las cantidades H y H * tienen la misma dirección espacial pero difieren en signo en sus factores de fase. De esta manera la magnitud promedio del vector de Poynting está dada por: ) ( cos 2 1 ) Re( 2 1 2 * ! ! Wm E E S z y z y prom \ Puesto que la impedancia intrínseca del medio es: La magnitud del vector de Poynting promedio se puede escribir como: O: Además: Cuando \=90r, S prom = 0 \ \ . = . = = 0 0 Z H E H E Z ) Re( 2 1 ) Re( 2 1 0 2 0 * Z H Z H H S z z z prom = = ) 1 Re( 2 1 ) Re( 2 1 0 2 0 * Z E Z E E S y y y prom = = \ \ cos 2 1 cos 2 1 0 2 0 2 Z E Z S z z prom ! ! Similarmente para V e I, la potencia promedio está dada por: Las barras de valor absoluto de Ey y Hz indican magnitud pico que se pueden indicar también mediante un subíndice 0. Es decir: Otra opción es usar valores del promedio cuadrático de la raíz (rms). Entonces: U U cos 2 1 cos 2 1 0 2 0 0 0 Z V Z I P prom ! ! 0 0 z z y y H H E E ! ! 0 707 . 0 V V rms = 0 707 . 0 I Irms = y rms y E E 707 . 0 ) ( = z rms z H H 707 . 0 ) ( ! Por tanto tenemos: Y también EJEMPLO: Encuentre la potencia promedio de una linea de transmisión para la cual V=180sen(2T60t) Volts, e I=600sen(2T60t + 24r) mAmpers. SOLUCIÓN: \ \ cos cos 0 ) ( 2 0 ) ( 2 Z E Z H S rms y rms z prom ! ! U U cos cos 0 ) ( 2 0 ) ( 2 Z V Z I S rms rms prom = = ´ ) W x P prom 3 . 49 ) 24 cos( 6 . 0 180 2 1 ! r ! EJEMPLO: Considere una línea de transmisión de dos conductores con un espaciamiento centro a centro de 1m y opera con una diferencia de potencial de 4160V(rms). La razón del espaciamiento centro a centro al diámetro del conductor es de 3 a 1. Encuentre la potencia transmitida. Considere I r =1 SOLUCIÓN: Diámetro de conductor = 2a = (1/3)m Radio del conductor = a = (1/6)m Con esto la impedancia característica es: Entonces la potencia transmitida es: O = = = 215 6 log 1 276 log 276 0 a D Z r I KW Zo V P rms prom 5 . 80 215 ) 4160 ( 2 2 = = = LINEA DE TRANSMISIÓN LINEA DE TRANSMISIÓN UNIFORMEMENTE TERMINADA Y LA UNIFORMEMENTE TERMINADA Y LA VSWR VSWR Hasta ahora solo hemos considerado líneas de longitud infinita. Analicemos ahora el caso donde la línea de transmisión de impedancia característica Zo termina en una impedancia ZL. La carga está en x=0 y la distancia positiva se mide a lo largo de la línea a la izquierda. El voltaje y corriente total se expresan como la resultante de dos ondas viajeras moviéndose en direcciones opuestas como en una línea de transmisión infinita En una línea terminada la onda a la derecha es la onda incidente y la onda a la izquierda es la reflejada Vo e Io son el voltaje y la corriente debido a la onda incidente y V 1 e I 1 el voltaje y la corriente debido a la onda reflejada de la carga. El voltaje resultante V en un punto en la línea es la suma de Vo y V 1 en el punto. Es decir: V = Vo + V 1 Donde: \=corrimiento de fase en la carga En la carga x=0 se tiene Vo=`Vo` y V 1 =`V 1 `e j\ de tal forma que en la carga la razón del voltaje reflejado e incidente está dado por: Donde Vv es el coeficiente de reflexión para el voltaje. Se concluye que: \ K K j x x e V V e Vo Vo + = = 1 1 v Vo V Vo V V \ = . = 1 1 ´ ) x x ve e Vo V K K V + = Del mismo modo para las corrientes: I = Io + I 1 Donde: H=diferencia de fase I y V La razón entre la corriente reflejada e incidente esta dada por: Vi es el coeficiente de reflexión para la corriente. De donde resulta: ) ( 1 1 H \ K H K + = = j x j x e I I e Io Io i Io I Io I V \ = . = 1 1 ´ ) x x j ie e e Io I K K H V ! Además Vv y Vi se pueden expresar en términos de la impedancia característica Zo y de la impedancia de carga ZL. Así, en cualquier punto de la línea: En la carga (x=0) Y así de la expresiones anteriores se tiene: H H ’ ! ! ’ ! ! 1 1 1 1 I V I V Io Vo Io Vo Zo I V ZL ! Zo V Vo Zo V Zo Vo ZL V 1 1 ! ! Considerando que V=Vo+V 1 se tiene que: Despejando V 1 /Vo: Coeficiente de reflexión para el voltaje Para impedancias de carga reales ZL variando de 0 a g, Vv varía de -1 a 1. Similarmente se puede demostrar que: Coeficiente de reflexión para la corriente Zo V Vo ZL V Vo 1 1 ! v Zo ZL Zo ZL Vo V V ! ! 1 v Zo ZL Zo ZL i V V ! ! La razón V/I en cualquier punto x en la línea da la impedancia Zx en el punto viendo en dirección a la carga: Considerando la expresión de Vv y aplicando identidad al exponencial, esta última expresión se puede escribir como: Impedancia a una distancia x de la carga ) ( ) ( x x j x x ie e e Io ve e Vo I V Zx K K H K K V V ! ! ¹ ¹ º ¸ © © ª ¨ . ! x x x x ve e ve e Io Vo Zx K K K K V V H x ZL Zo x Zo ZL Zo Zx K K tanh tanh ! Si la línea está en circuito abierto ZL=g y la ecuación se reduce a: Si la línea está en corto circuito ZL=0 se tiene: Como K=E+jF. Se tiene que: El producto de la impedancia de la línea cuando es cortocircuito y circuito abierto x Zo x Zo Zx K K coth tanh ! ! x Zo Zx K tanh ! x xsen jsenh x x x xsen j x x senh x F E F E F E F E K ! cos cosh cosh cos tanh x x j x j x x F E F E K tan tanh 1 tan tanh tanh + + = es igual al cuadrado de la impedancia característica Zo: Donde Zca=Zx para una línea en circuito abierto y Zcc=Zx para una línea en cortocircuito. Si la línea es sin pérdidas (E=0), las relaciones anteriores se reducen a lo siguiente: Impedancia distancia Circuito abierto x ZcaZcc Zo ZcaZcc Zo = = 2 x jZL Zo x jZo ZL Zo Zx F F tan tan + + = x jZo x j Zo Zx F F cot tan = = Cortocircuito Se observa que la impedancia para una línea sin pérdidas de circuito abierto o de cortocircuito es una reactancia pura. x jZo Zx F tan ! EJEMPLO: ¿Cuál es la impedancia de la línea Zo para acoplar una carga ZL a un valor deseado Zx utilizando una sección de acoplamiento x=P/4? SOLUCIÓN: x jZL Zo x jZo ZL Zo Zx F F tan tan + + = ¹ º ¸ © ª ¨ ¹ º ¸ © ª ¨ = ¹ º ¸ © ª ¨ + ¹ º ¸ © ª ¨ + = 4 2 tan 4 2 tan 4 2 tan 4 2 tan ´ ´ z ´ ´ z ´ ´ z ´ ´ z jZL jZo Zo jZL Zo jZo ZL Zo Zx ZxZL Zo ZL Zo Zo Zx ! ! 2 ZxZL Zo ! EJEMPLO: ¿Cuál es la impedancia Zo de la línea de transmisión que se requiere para acoplar una carga ZL=100; a una línea de 50;? SOLUCIÓN: ; ! ! 71 . 70 ) 50 )( 100 ( Zo En una línea sin pérdidas, la razón de voltaje de onda estacionaria (VSWR) está dada por: Se infiere que: Y de esta forma: Imin Imax Vmin Vmax ! ! VSWR ´ ) ´ ) Vo V Vo V V Vo V Vo VSWR 1 1 1 1 1 1 ! ! v Vo V V ! 1 1 1 1 1 + = ÷ + = VSWR VSWR v v v VSWR V V V EJEMPLO: Una señal de 10V se aplica a una línea de transmisión coaxial de 50; terminada en una carga de 200;. Encuentre: a) Coeficiente de reflexión para voltaje b) Magnitud de voltaje reflejado c) Magnitud de corriente reflejada SOLUCIÓN: a) 6 . 0 250 150 50 200 50 200 ! ! ! ! Zo ZL Zo ZL v V b) c) EJEMPLO: Un tipo común de línea de transmisión para microondas, la RG59U, tiene una impedancia de circuito abierto 150’25r; y una impedancia de corto circuito de 37.5’-35r;. ¿Cuál es la impedancia característica? V V vVo V Vo V v 6 ) 10 )( 6 . 0 ( 1 1 = = = ÷ = V V A V Zo V I I V Zo 12 . 0 50 6 1 1 0 1 1 ! ; ! ! r ’ ! SOLUCIÓN: EJEMPLO: Encuentre la impedancia de una línea de transmisión en una distancia de P/8 de una carga de 400;. SOLUCIÓN ) 35 5 . 37 )( 25 150 ( r ’ r ’ ! ! ZcaZcc Zo ; r ’ ! r ’ ! 5 75 10 5625 Zo ¹ º ¸ © ª ¨ ¹ º ¸ © ª ¨ ! ! 8 2 tan 400 50 8 2 tan 50 400 50 tan tan P P T P P T F F j j x jZL Zo x jZo ZL Zo Zx Es decir: r . r . = + + = 875 . 82 1128 . 403 125 . 7 1128 . 403 50 400 50 50 400 50 j j Zo O r . = 75 . 75 50 Zo CARTA DE SMITH CARTA DE SMITH La carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos. Resistencias (conductancias) constantes Hacia el Generador Hacia la Carga Circuito abierto (Z=g) Corto Circuito (Z=0 ) Círculo unitario (r=1/g=1) Reactancias (suceptancias) constantes Círculo r=0 El problema inicial es localizar cualquier carga especificada sobre la carta. La impedancia de carga o admitancia de carga específica no se lee directamente de la carta, ya que lo que está ubicado sobre ella es una impedancia de carga normalizada que es la razón entre la impedancia de carga ZL y la impedancia característica Zo: Siempre que ZL y Zo sean iguales el punto aparecerá sobre el círculo unitario, el cual también incluye el centro de la carta. Zo ZL Zn = Los círculos a la derecha del centro son mayores que la unidad y los que están a la izquierda son menores que la unidad. El círculo más exterior o perímetro representa el valor 0 (carga en cortocircuito). El extremo derecho de la línea central representa el círculo de valor g, el cual se reduce a un simple punto. La carta de Smith también acomoda admitancias de carga, donde la parte resistiva se grafica como conductancia (G) El otro parámetro de la impedancia de carga es el elemento reactivo representado por una serie de arcos que emanan del lado derecho del círculo. La línea central representa el valor de reactancia o susceptancia 0, que es el caso de carga resistiva pura. Cualquier impedancia o admitancia de carga normalizada puede localizarse en la intersección de circulo y de arcos EJEMPLO: Dada una línea de transmisión con una Zo=100; Localice las siguientes cargas sobre la carta de Smith: a) ZL=200; b) ZL=(300+j50); c) ZL=(75-j150); d) ZL=(0+j400); EJEMPLO: Dada una línea de transmisión con Zo=200;, localice las siguientes cargas sobre la carta de Smith como admitancias normalizadas. a) YL=(0-j0.1)S b) YL=(0.005+j0.003)S c) YL=(0.02-j0.006)S d) YL=(0.003+j0)S e) ZL=(200-j200); f) ZL=(75+j300); En la carta de Smith el circulo exterior está dividido en unidades de longitudes de onda que comienzan en el extremo izquierdo y abarcan media longitud de onda. La marca exterior se incrementa desde 0 a 0.5P en dirección de las manecillas del reloj y representa el alejamiento de la carga hasta el generador. El interior del mismo círculo se numera en dirección opuesta, también de 0 a 0.5P y representa la dirección hacia la carga, alejándose del generador. El siguiente círculo interior designado como ´ángulo del coeficiente de reflexión en gradosµ comienza con cero en el extremo derecho del circulo y divide cada mitad de éste en 180r. Las dos últimas escalas corriendo horizontalmente bajo el círculo, tienen varias funciones. El extremo izquierdo de la escala más inferior correlaciona SWR y decibeles y los relaciona con la SWR de la carga localizada en la carta de Smith. El extremo derecho de esta escala más inferior define pérdidas por reflexiones en dB. La escala superior a la más inferior en su extremo izquierdo identifica pérdida de transmisión, correlacionando coeficiente de pérdida y dB, y los relaciona con la SWR indicada en la carta de Smith. El último grupo de valores que están al extremo derecho de esta escala superior incluye el coeficiente de reflexión, correlacionándolo con razones de voltaje y potencia, relacionándolos a todos ellos con la SWR indicada en la carta de Smith. CALCULOS PARA UN ACOPLADOR CALCULOS PARA UN ACOPLADOR DE IMPEDANCIAS DE DE IMPEDANCIAS DE PP/4 /4 Una carga que consiste en resistencia y reactancia se puede acoplar a la línea de transmisión. La consideración básica es alejarse de la carga a una distancia, que es una fracción de longitud de onda y en la cual la impedancia de la línea aparece como una resistencia pura. En la figura, la posición A es la localización de la carga compleja. La longitud l desde la carga lleva al punto B. La impedancia vista desde el punto B de regreso a la carga debe aparecer como una resistencia pura de algún valor no necesariamente igual a Zo. La sección P/4 de impedancia Zo· se inserta en el punto B. Esta sección termina adecuadamente a la línea de transmisión y evita la formación de ondas estacionarias en la línea principal. EJEMPLO: Dada una línea de transmisión con una Zo=100; y una impedancia de carga ZL=(150+j150);. Diseñe una sección acopladora P/4. SOLUCIÓN: 1. Normalizar la carga 2. Localizar Zn en la carta de Smith (punto A) 3. Trazar un círculo de SWR (con centro en 1.0 y que pase por A) 4. El valor de SWR se ubica donde el círculo 5 . 1 5 . 0 100 150 50 j j Zn ! ! corta a la recta en el sentido de las manecillas del reloj. (SWR=7) 5. Trazar una recta radial desde 1.0 que pase por A hasta la circunferencia [C(0.162P)] 6. La distancia en longitudes de onda, alejándose de la carga, entre el punto C y D es: 0.25-0.162=0.0882P. Este valor es la distancia desde el punto del cual se ve a la carga como puramente resistiva y es ahí donde se inserta de sección P/4. 7. Para determinar la impedancia característica de esta sección, se calcula la resistencia vista al final de l y se multiplica por Zo. Esta resistencia es un valor normalizado por lo que se calcula como: R=(7)(100)=700;. Por tanto: EJEMPLO: Dada una línea de transmisión con Zo=300; y una impedancia de carga ZL=(450-j150);, determine las ubicaciones requeridas y el valor de una sección acopladora P/4, si la frecuencia de la señal es 600MHz ; ! ! 6 . 264 ) 700 )( 100 ( ' Zo 1. Normalizar ZL y ubicarlo en la carta (A) 2. Dibujar el círculo SWR y anotar el valor correspondiente (SWR=1.85) este es el punto B y representa una SWR desacoplada 3. Trazar un radio desde el centro de la circunferencia que pase por A [C(0.296P)] 4. Desde el punto C y en el sentido de las manecillas del reloj ubicar el punto D sobre el círculo SWR donde la impedancia es resistencia pura (Rn=0.54). En este caso 5 . 0 5 . 1 300 150 450 j j Zn ! ! tenemos: R=(0.54)(300)=162;. La distancia es: l=0.5-0.296=0.204P 5. Como f=600MHz, la distancia se puede convertir en cm. 6. Se inserta la sección acopladora P/4 y se encuentra su impedancia Zo· cm cm l cm s x s cm x f c 2 . 10 ) 204 . 0 )( 50 ( 50 1 10 600 10 3 6 10 = = = = = ´ ´ ´ ´ ; = = 220 ) 162 )( 300 ( ' Zo CALCULOS PARA UN TROMBÓN DE CALCULOS PARA UN TROMBÓN DE ACOPLAMIENTO ACOPLAMIENTO La ventaja de un trombón acoplador respecto a una sección acopladora P/4 es que se usa un tramo de línea del mismo tipo que la línea principal. Además se pueden diseñar líneas de trombones múltiples para acoplamiento de impedancia en un amplio rango de frecuencias. El trombón se conecta en paralelo con la línea de transmisión a una distancia l1 desde la carga. La longitud del trombón es l2. El punto B se selecciona para proporcionar una admitancia Y=1sjB, donde G es unitaria, significando que R=Zo y la línea principal se acopla respecto a la componente resistiva. La componente de susceptancia (sjB) puede ser cualquier valor y puede ser positiva o negativa. La longitud de un trombón cortocircuitado se selecciona para que proporcione una susceptancia sjB que cancela la reactancia vista en la línea donde el trombón está unido a la línea. EJEMPLO: Dada una línea de transmisión de 150; terminada en una carga ZL=(200-j300);, determine la ubicación y longitud de un acoplador tipo trombón cortocircuitado. SOLUCIÓN: 1. Se calcula Zn (puntoA) 2. Dibujar el círculo SWR pasando por A (su valor es muy alto, 4.9) 2 33 . 1 150 300 200 j j Zn = = 3. Se extiende la línea radial pasando por A hasta el otro extremo del círculo SWR pasando por el centro para obtener el punto B (0.23+j0.36) y continuar la línea hasta obtener el punto C (0.057P). El punto B es la admitancia de la carga normalizada. 4. Se extiende la línea radial desde el centro pasando por la intersección del círculo SWR y el círculo r=1 para obtener el punto D (1+j1.8) y continuar la línea hasta el perímetro exterior para obtener el punto E(0.183P). La distancia desde la carga hasta la unión del acoplador trombón con la línea principal es: 0.183-0.057=0.126P=l1 5. Se determina la longitud real del trombón. Como la susceptancia vista en la unión es +j1.8, la susceptancia aportada por el trombón será ²j1.8. En el punto F(jB=-j1.8) el perímetro de la carta indica 0.33P. La longitud del trombón está determinada por el arco que comienza en el lado derecho girando en el sentido de las manecillas del reloj hasta el punto F: l2=0.33-0.25=0.08P EJEMPLO: Diseñe un acoplador trombón cortocircuitado, para una carga ZL=(150+j225); para una línea de 75; cuando la frecuencia es de 500MHz. SOLUCIÓN: 1. Normalizamos ZL: (A) 2. Dibujamos el circulo SWR (SWR=7) 3. Extender línea radial pasando por A hasta obtener el punto B (0.15-j0.23), continuar la línea hasta el punto D (0.464P) 3 2 75 225 150 j j Zn ! ! 4. Anotar el valor de la intersección entre el circulo de r=1 y el circulo SWR para obtener el punto D(1+j2.2). Dibujar radio desde el centro pasando por D hasta el perímetro, para obtener el punto E (0.192P). Entonces la distancia desde la carga hasta el punto donde se localizará el acoplador trombón es: l1=(0.5-0.464)+0.192=0.228P cm cm l cm x x 68 . 13 ) 228 . 0 )( 60 ( 1 60 10 500 10 3 6 10 = = = = ´ ´ ´ ´ 5. La susceptancia vista por el trombón es +j2.2 por lo que se ubica el punto F(-j2.2) sobre el arco ²j2.2 y se traza una línea radial desde el punto 1.0 y que pase por F encontrando el valor 0.378P. La longitud del trombón es: cm cm l l 08 . 4 ) 068 . 0 )( 60 ( 2 068 . 0 25 . 0 318 . 0 2 ! ! ! ! P P P DESACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIA DESACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIA CON VARIACIÓN DE FRECUENCIA CON VARIACIÓN DE FRECUENCIA La sección P/4 y el trombón se diseñan con longitudes para una frecuencia específica. Si la portadora se cambia en frecuencia, o si las bandas laterales de la portadora son un porcentaje significativo de ésta, el acoplamiento de impedancia ya no será válido. Esto da como resultado la formación de ondas estacionarias sobre la línea de transmisión que originalmente había sido diseñada como una línea plana. EJEMPLO: (Sección acopladora P/4) Dadas ZL=(225-j37.5);, Zo=75;, f=800MHz, diseñe una sección acopladora P/4 y determine el desacoplamiento si la frecuencia se incrementa 10% (880MHz) SOLUCIÓN: 1. (A) 2. Dibujar el circulo SWR desde el centro pasando por A (SWR=3.1). Extender el radio pasando por A hasta el perímetro, obteniendo B (0.261P) 5 . 0 3 75 5 . 37 225 j j Zn ! ! 3. Determinar la distancia a la sección acopladora P/4 en el punto C (0.5P) 4. Anotar el valor correspondiente al punto D (0.32+j0) y calcular la Z de la sección. 5. Para f=880MHz tenemos: Se dibuja el arco l· desde B abarcando 0.263P, es decir: 0.263-0.239=0.024P (punto E) P 239 . 0 261 . 0 5 . 0 = = l cm x x l f c longitud 96 . 8 ) 239 . 0 ( 10 800 10 3 6 10 = = = O = = 24 ) 75 )( 32 . 0 ( R ; ! ! 42 . 42 ) 75 )( 24 ( ' Zo P 263 . 0 10 3 ) 96 . 8 ( 10 880 ) ( ' 10 6 ! ! ! x x c longitud f l 6. Se dibuja una línea radial desde E, anotar la intersección con el circulo SWR, se obtiene F (0.33+j0.14); 7. El punto F representa la impedancia normalizada de la sección P/4, ya no es puramente resistiva,y su longitud es 10% mayor, es decir: 0.275P. Su valor es: 8. Normalizamos ZL· en términos de Zo· (G) 9. Dibujamos un círculo SWR· desde el centro pasando por G ; + = + = ) 5 . 10 75 . 24 ( ) 75 )( 14 . 0 33 . 0 ( j j ZL 25 . 0 58 . 0 42 . 42 5 . 10 75 . 24 ' j j Zn ! ! 10. Dibujamos la línea radial desde el centro pasando por G hasta el perímetro, se obtiene H (0.056P). 11. Trazar un arco de 0.275P empezando en H. Es decir: 0.056+0.275=0.331P (punto I) 12. Trazar una línea radial desde el centro hasta I. Anotar la intersección con el círculo SWR·. Se obtiene J (1.19-j0.65) Esta es la impedancia normalizada presentada a la línea de transmisión principal. El valor real es: 57 . 27 5 . 50 ) 42 . 42 )( 65 . 0 19 . 1 ( ' ' j j ZL ! ! 13. Normalizando ZL·· en términos de Zo se tiene: (K) 14. Se ubica K y se dibuja el círculo SWR··. Se observa que el punto K está prácticamente sobre el círculo SWR· y que el círculo SWR·· está aproximadamente en 1.75. Entonces se concluye que: El sistema propiamente acoplado en 800MHz. Está desacoplado a 880MHz con una SWR=1.75. 37 . 0 67 . 0 75 57 . 27 5 . 50 ' ' j j Zn = = EJEMPLO: (Trombón acoplador) Diseñe un acoplador cortocircuitado para Zo=200;, ZL=(40-j100); para f=500MHz. Calcule SWR para 600MHz. SOLUCIÓN: 1. (A) 2. Dibujar en circulo SWR pasando por A. Se observa SWR=6 3. Dibuje la línea radial desde A pasando por el centro, encontrando B=(0.7+j1.7) hasta el punto C (0.175P) 5 . 0 2 . 0 200 100 40 j j Zn ! ! 4. En la intersección del círculo SWR y r=1 se obtiene el punto D=(1+j2.1). Continúe la radial hasta el perímetro obteniendo el punto E (0.188P) 5. La distancia desde la carga hasta el acoplador es: l1=0.188-0.175=0.013P 6. l2 es el arco desde 0.25P hasta las longitudes de onda correspondientes jB=-j2.1 resultando el punto F (0.324P): l2=0.324-0.25=0.074P cm x x l f c longitud 78 . 0 013 . 0 10 500 10 3 1 6 10 = = = . 44 . 4 074 . 0 10 500 10 3 2 6 10 cm x x l f c longitud ! ! ! 7. Para f=600MHz tenemos: 8. Dibujamos el arco l1· desde el punto C hasta G=0.175+0.0156=0.191P 9. Se dibuja la línea radial a través de G. La intersección con el círculo SWR se obtiene H=(1.05+j2.15). Esta es la admitancia presentada a la línea por l1en la frecuencia más alta. 10. Dibujamos el arco l2· comenzando en 0.25P hasta el punto I=0.25+0.0888=0.3388P. P P 0888 . 0 10 3 ) 10 600 )( 44 . 4 ( ' 2 0156 . 0 10 3 ) 10 600 )( 78 . 0 ( ' 1 10 10 10 6 = = = = x x l x x l 11. Este punto representa una admitancia ²jB=-j1.58 (punto I). Entonces, la admitancia total vista en la unión entre el acoplador y la línea es la admitancia presentada por l1 y el acoplador y esta dada por: (punto J) 12. Se ubica este punto y se traza el círculo SWR·. Se observa que SWR·=1.7, por lo que se puede considerar al acoplador todavía útil a 600MHz. 57 . 0 05 . 1 58 . 1 15 . 2 05 . 1 j j j Y total ! !