G.Plizzari Giovanni Plizzari Università degli Studi di Brescia [email protected] La Teoria delle Lastre 1 G. Plizzari Le lastre sono elementi bidimensionali caratterizzati dalla prevalenza di due dimensioni rispetto alla terza (generalmente indicata come spessore) e soggetti a carichi agenti nel loro piano . Caratteristica fondamentale di questi elementi è un rapporto luce-altezza molto basso, con luci pari a 3÷4 volte l’altezza, a differenza delle travi snelle per le quali tale rapporto è compreso in un intervallo fra 15 e 20. Le teorie elementari alla base della scienza delle costruzioni non si prestano a determinare le tensioni interne nei corpi non assimilabili a una trave o a travi la cui forma si discosti troppo da quella prismatica. In questi casi i mezzi di indagine più generali della teoria dell’elasticità sono in grado di affrontare ed, in molti casi, risolvere il problema. Il problema elastico consiste sostanzialmente nella determinazione dello stato tensionale, delle deformazioni e degli spostamenti di un solido costituito da un materiale elastico, vincolato su porzioni di superficie, soggetto sia a carichi esterni di volume che di superficie. Un significativo contributo alla risoluzione del problema viene dato dalle caratteristiche dello specifico problema in esame che consente la formulazione di particolari ipotesi, le quali, adeguatamente sfruttate, portano ad una soluzione analitica di facile raggiungimento. La linearità delle equazioni che governano il problema, inoltre, consente l’utilizzo del Principio di Sovrapposizione degli Effetti, ovvero è possibile considerare la risposta data da un mezzo elastico lineare come la somma delle singole risposte offerte dal materiale sottoposto ad azioni individualmente applicate. 2 Forze di massa nulle E’ possibile considerare il peso proprio della lastra trascurabile. E’ quindi possibile affermare che la distribuzione delle tensioni − − è indipendente dall’asse z. 4. Carichi di tipo distribuito e/o concentrato agenti nel piano medio. Superficie media piana. omogeneo ed isotropo. Spessore (s) costante e molto piccolo rispetto alle altre dimensioni La geometria dell’elemento bidimensionale analizzato consente di considerare i rapporti ⁄ ÷ ⁄ tendenti a 1⁄∞ dove con e si indicano rispettivamente l’altezza e la lunghezza della lastra e con s il suo spessore. in quanto molto inferiore ai carichi esterni agenti su di essa. 2. con un errore tanto minore quanto più piccolo è lo spessore della trave. si pongono quindi nulle le forze di massa nel sistema di riferimento Oxyz Fx = Fy = Fz = 0 3 . 5. le quali permettono di considerare le lastre come degli elementi strutturali soggetti a stati piani di sforzo.G. Materiale elastico lineare. Di conseguenza si può ritenere che il medesimo regime tensionale valga anche nei piani interni paralleli.y nel piano medio e l’asse z normale ad esso in modo da poter considerare un regime di tensioni particolare che vede = = = 0 sulle due facce della lastra. Plizzari Ipotesi per l’applicazione della teoria elastica al problema delle lastre 1. Stato piano di sforzo Costituisce l’ipotesi fondamentale per lo studio della teoria degli elementi strutturali bidimensionali ed è diretta conseguenza delle ipotesi fatte in precedenza. 3. Sostanzialmente si assumono gli assi x. 6. EQUAZIONI GENERICHE + EQUAZIONI APPLICATE AL PROBLEMA + + =0 + + + + =0 + + + + =0 0=0 =0 (1) =0 (2) (3) 4 . tale legame deve valere per ogni punto del mezzo e coinvolge anche le variazioni delle componenti di sforzo tra due punti a distanza infinitesima. Plizzari Equazioni indefinite di equilibrio Le equazioni indefinite di equilibrio forniscono un legame differenziale tra le componenti del tensore degli sforzi e le forze di massa agenti nell’elemento strutturale.G. Definendo le costanti in ambito dinamico. è possibile arrivare alla scrittura delle equazioni di legame costitutivo in forma inversa. attraverso la teoria dell’elasticità.G. Plizzari Equazioni di legame costitutivo Nelle ipotesi alla base della trattazione del problema delle lastre. si introduce la condizione che il legame costitutivo non dipenda dal sistema di riferimento. EQUAZIONI GENERICHE = − = − = − EQUAZIONI APPLICATE AL PROBLEMA + ) = − (4) ( + ) = − (5) ( + =− ( + (6) = = (7) = =0 (8) = =0 (9) 5 . ovvero definire le deformazioni in funzione degli sforzi agenti nell’elemento strutturale. Plizzari Dalla relazione (4)si ottiene: = (10) +υ Dalla relazione (5): = =− (11) +υ υ +υ + = −υ + − = −υ + + =− υ ( 1 − υ) υ + +υ (12) + (13) (14) (15) 6 .G. EQUAZIONI APPLICATE AL EQUAZIONI GENERICHE PROBLEMA = (16) + = + + = =0 (17) + = =0 (18) 2 = + + 0=0 (19) 2 = + + 0=0 (20) 2 = + + =0 (21) 7 .G. attraverso opportune integrazioni. un campo di spostamenti regolare. Plizzari Equazioni di congruenza interna Tale gruppo di equazioni indica le condizioni alle quali devono sottostare le deformazioni lineari ed angolari di modo che possa essere ricavato. . sfruttando la linearità dell’operatore derivata. e dalle tre componenti di deformazione . Sostituendo nelle equazioni di congruenza le deformazioni 1 −υ 1 + −υ + −υ −υ . . è possibile esplicitare la (24) come: −υ + −υ =2 + 2υ (25) Sfruttando l’ipotesi di spessore piccolo e di non contrazione del materiale è possibile combinare le equazioni (24) e (25): ∂ σ + ∂y −2 =υ +υ + −2 =υ + + −2 =0 + 2υ +2 (26) (27) (28) 8 . si ha: = (22) = 2(1 + υ) (23) Derivando e sommando le equazioni indefinite di equilibrio (1) e (2) si ottiene: + (24) = −2 Inoltre. Plizzari Equazione biarmonica delle lastre Il problema presenta sei incognite individuate dalle tre componenti di sforzo . .G. G. 9 . Plizzari + + + (29) =0 In conclusione si ottiene: + + =0 Equazione di congruenza di Mitchell-Beltrami (30) E’ possibile scrivere la relazione nella forma compatta: + =0 Equazione risolvente delle lastre (31) Equazione differenziale a due variabili di tipo armonico in cui compaiono le derivate seconde degli sforzi lungo x ed y. 10 .y) = =− (33) F (x.y) (34) La funzione definita soddisfa le equazioni di equilibrio e di congruenza: F (x.G.y) (35) =0 (36) =0 F (x. Quest’ultima è un’equazione differenziale del quarto ordine alle derivate parziali esprimibile come una certa combinazione lineare di funzioni armoniche. Plizzari Metodo di Airy per la risoluzione dell’equazione delle lastre Si consideri una funzione potenziale continua F(x.y) F (x.y).y) + +2 F (x. tale che: F (x.y) + F (x.y) + + + F (x.y)=0 Equazione di Airy (37) La relazione ottenuta attraverso l’utilizzo dell’operatore doppio di Laplace (∇ ∇ = ∇ ) viene definita anche come equazione bi-armonica delle lastre o equazione di Airy.y) = (32) F (x. Plizzari Funzioni di Airy di tipo polinomiale Essendo l’equazione di Airy di IV grado. coincidente con gli sforzi lungo il contorno. (33) e (34) allo specifico caso del polinomio di secondo grado si ottengono delle soluzioni dipendenti da costanti: = = F (x.G. Applicando le condizioni al contorno sui bordi della lastra si ottengono i seguenti valori: .y) F (x.y) =− =2 (39) =2 (40) F (x. che risulta biarmonica per qualunque valore delle costanti + F(x.Condizione al contorno corrispondente a = 2 11 .y)= : Funzione di Airy + (38) Applicando le relazioni (32).y) (41) =− Si osservi che la funzione di Airy descritta in questo modo. è la funzione polinomiale di secondo grado. essa risulta soddisfatta da un qualsiasi polinomio di grado inferiore al IV: tutti questi polinomi sono biarmonici e soluzione di un particolare problema piano negli sforzi (e nelle deformazioni avendo posto per ipotesi = 0). Caso con polinomio di secondo grado La più semplice espressione associabile ad F che comporta degli sforzi non nulli. rappresenta uno stato di sforzo costante nella lastra. Plizzari Permette di ricavare la relazione che indica il valore del carico normale al bordo parallelo all’asse x: ∙ =2 (42) ∙ = .G.Condizione al contorno corrispondente a = 2 Permette di ricavare la relazione che indica il valore del carico normale al bordo parallelo all’asse y: 12 . .G. Plizzari ∙ =2 (43) ∙ = Analogamente è possibile ricavare le componenti tangenziali ai bordi: . Caso con polinomio di terzo grado Si consideri ora.Condizione al contorno corrispondente a ∙ =− = (44) ∙ = . e le forze tangenziali . per soddisfare le condizioni al contorno. per la funzione di sforzo.Condizione al contorno corrispondente a ∙ =− 2 = 2 (45) ∙ = Essendo le forze di massa nulle e le tensioni costanti indipendenti dal punto considerato. In questo modo la condizione di congruenza è rispettata la soluzione risulta essere esatta. 13 . l’espressione cubica che soddisfa l’equazione biarmonica per ogni valore delle costanti. sui lati della lastra dovranno agire le forze normali . y)= + Funzione di Airy + (46) Applicando le relazioni (39) (40) (41) al nuovo problema si ottiene: = = F (x.Imponendo = =6 = = 0 si ottiene: = =0 (50) 14 .y) = −2( + (49) ) Si riconoscono nelle (47) (48) e (49) quattro casi indipendenti ognuno associato ad una costante. Plizzari + F(x.y) =− =2 +6 (47) =6 +2 (48) F (x.y) F (x. .G. G.Per = =0 = = 0 si ha invece: =2 = −2 (51) I restanti due casi comportano solamente uno scambio tra gli assi x ed y. Plizzari . 15 . 16 .y)= + + + + + F (x. in questi casi la funzione F(x.y)= (52) + +2 + =0 (53) 24 +24 +24 =0 (54) 3 +3 +3 =0 (55) L’equazione (37) rappresenta la condizione necessaria affinché il polinomio di IV grado sia armonico.y) non è automaticamente soddisfatta perciò è necessario imporre la congruenza che genera relazioni fra i coefficienti del polinomio. Plizzari Polinomi di grado superiore al terzo Come premesso.G. Per esempio nel caso di polinomio di IV grado: F(x. G. La serie di Fourier in forma trigonometrica che descrive il carico in figura è della forma: p(x)= 2 + ( ) (56) 17 . Si ipotizza di associare il carico sollecitante ad una funzione periodica. Considerando un elemento bidimensionale sottoposto a carichi periodici applicati sul bordo. ovvero ad una funzione che assuma dei valori che si ripetano esattamente ad intervalli regolari. è possibile individuarne una rappresentazione matematica significativa. si giunge ad una schematizzazione matematica del problema in esame. introducendo poi una serie di Fourier. Plizzari Funzioni di Airy con sviluppi in serie Le soluzioni con sviluppi in serie si prestano a risolvere casi in cui si hanno carichi posti a distanze regolari e che possono essere definiti periodici. che consiste nella rappresentazione di una funzione periodica mediante una somma di funzioni armoniche. le funzioni con discontinuità richiedono un maggior numero di armoniche in particolare nelle zone di discontinuità.G. ma è ben visibile come già la seconda armonica compensi gli eccessi o i difetti della precedente. Si può quindi osservare che seppur utilizzando due sole armoniche è possibile ottenere una buona approssimazione di funzioni senza discontinuità. Il calcolo dei coefficienti è sviluppato sfruttando le proprietà di ortogonalità delle funzioni armoniche: 18 . Dalla figura seguente si osserva come la prima funzione armonica sovrastimi o sottostimi il carico in molte punti. Plizzari Il carico p(x) è rappresentato come somma di funzioni armoniche le quali aumentando in numero migliorano l’approssimazione del carico in questione. Plizzari .PROPRIETA’ 1.PROPRIETA’ 2. moltiplicandola per cos ( a ) ed integrandola si ottiene: a ( ) ( ) = a 2 a ( ) ( + a ) ( (59) ) a Si osserva il verificarsi di tre casi distinti in funzione dei valori assunti da m e n.G.CASO 1 se ≠ a a ( ) ( =0 a ) ( ) =0 (60) a ≥1 . a ( ) ( ) =0 Se ≠ (57) ( ) =a Se = (58) a .CASO 3 se ) =a da cui 1 = a a ( ) ( ) (61) a =0 19 . ≥1 . a ( ) a Sfruttando la relazione (58).CASO 2 se = a ( ) ( a . Plizzari ( )=0 ed essendo = a ( ) =0 quindi 2 a = 1 2a a =0 (62) ( ) (63) a a Verifica grafica della composizione tra armoniche differenti Si consideri il CASO 1 con m ≥ 1 e m ≠ n: a a a a (64) =0 In figura è rappresentata la prima armonica caratterizzata da Di seguito è rappresentata la seconda armonica caratterizzata da con n = 1 a a con m = 2 20 .G. 21 .G. Plizzari In figura è rappresentata l’armonica risultante dalla composizione delle precedenti caratterizzata da a a con n = 1 ed m = 2. G. 22 .y)= ( ) ( ) Il carico periodico è identificato da cos(α x) e da una componente smorzante (66) ( ) dovuta al fatto che allontanandosi dalla zona di applicazione dello stesso il suo effetto si smorza. E’ possibile scrivere il carico nella forma: p(x)= 2 + ( ) dove 2 = 2 (65) La soluzione sarà espressa in funzione di x ed y e la funzione di Airy facendo riferimento ad una delle n armoniche sarà scritta come: F(x. Plizzari Lastra infinitamente alta e lunga Si ipotizzi una lastra infinitamente alta e lunga a cui si applica il metodo degli sviluppi in serie di Fourier. passando dalla zona di appoggio a quella di mezzeria. subisce un’inversione di segno. 23 .G. Plizzari Andamento degli sforzi nell’esempio di lastra con carico appeso Per il caso di carico appeso si ottiene lo stato di sforzo mostrato: Lo sforzo ha un andamento non lineare e. Più schematicamente è possibile suddividere le zone sollecitate da stati di sforzo differenti secondo la figura: 24 . Plizzari Le sono nulle a metà campata e lungo la mezzeria del pilastro.G. G. Plizzari Andamento delle isostatiche con carico appeso 25 . Plizzari Andamento delle isostatiche con carico dall’alto 26 .G.